# Communiquer la recherche contemporaine : une analyse didactique d'un exposé de P. Cartier au séminaire Bourbaki

Thomas Hausberger, Frédéric Patras

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Thomas Hausberger, Frédéric Patras. Communiquer la recherche contemporaine : une analyse didactique d'un exposé de P. Cartier au séminaire Bourbaki. 2026. hal-05496830

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# Communiquer la recherche contemporaine : une analyse didactique d'un exposé de P. Cartier au séminaire Bourbaki

Thomas Hausberger & Frédéric Patras

à la mémoire de Guy Brousseau & Pierre Cartier

**Abstract.** In this paper, we propose a didactic analysis of a lecture delivered by Pierre Cartier at the Bourbaki Seminar, drawing on Guy Brousseau's Theory of Didactical Situations. More specifically, we use the typology of didactical contracts developed by Brousseau to account for the strategies implemented by the teacher in order to regulate the didactic relationship. This exploratory study highlights that university-level research seminars constitute a didactic practice in their own right, going beyond the mere communication of results. Such a practice articulates different types of contracts for both epistemological and didactic reasons, which Brousseau's categories—originally developed in relation to a school context—make it possible to examine through processes of analogy and contrast. Finally, this study sheds light on the processes of transposition and institutionalization of knowledge within the scholarly sphere, which remain largely under-documented in didactics research.

**Keywords.** Theory of Didactic Situations, Didactic contract, Bourbaki seminar, Mathematical communication

**Résumé.** Nous proposons dans cet article une analyse didactique d'un exposé donné par Pierre Cartier au séminaire Bourbaki, en appui sur la théorie des situations didactiques de Guy Brousseau. Nous utilisons en particulier la typologie de contrats élaborée par Brousseau pour rendre compte des stratégies mises en oeuvre par l'enseignant pour réguler la relation didactique. Notre étude exploratoire permet de mettre en lumière que les exposés de recherche de type universitaire relèvent d'une pratique didactique à part entière, dépassant la simple communication de résultats. Cette pratique articule différents types de contrats pour des raisons à la fois épistémologiques et didactiques que les catégories de Brousseau, construites en lien avec un contexte scolaire, permettent d'examiner, par analogie et par contraste. Enfin, notre étude vient éclairer les processus de transposition et d'institutionnalisation des savoirs au sein de la sphère savante, peu documentés dans les recherches en didactique.

**Mots-Clés.** Théorie des Situations Didactiques, Contrat didactique, Séminaire Bourbaki, Communication mathématique

## Table des matières

<table><tr><td>1. Introduction</td><td>2</td></tr><tr><td>2. Le séminaire Bourbaki</td><td>3</td></tr><tr><td>2.A. Les séminaires de recherche : émergence historique</td><td>4</td></tr><tr><td>2.B. Le cas du séminaire Bourbaki</td><td>4</td></tr><tr><td>2.C. Bourbaki et l'enseignement</td><td>6</td></tr><tr><td>3. Eléments de théorie des situations didactiques, d'après Brousseau</td><td>7</td></tr><tr><td>3.A. Milieu, connaissances et savoirs</td><td>7</td></tr><tr><td>3.B. Compréhension et sens</td><td>8</td></tr><tr><td>3.C. Stratégies didactiques et contrats</td><td>8</td></tr><tr><td>3.D. Extrait de la typologie : une pluralité de contrats pour modéliser la pratique mathématique de séminaire</td><td>10</td></tr><tr><td>3.D.a. Contrats non didactiques</td><td>10</td></tr><tr><td>3.D.b. Contrats faiblement didactiques (relatifs à des savoirs nouveaux)</td><td>10</td></tr><tr><td>3.D.c. Les contrats didactiques basés sur la transformation des savoirs anciens</td><td>11</td></tr><tr><td>4. Un exposé de Cartier sur les fonctions polyzêtas</td><td>11</td></tr><tr><td>4.A. Cartier et le séminaire Bourbaki</td><td>11</td></tr><tr><td>4.B. Un milieu</td><td>13</td></tr><tr><td>4.C. Un contrat global</td><td>13</td></tr><tr><td>4.D. Un sous-contrat didactique</td><td>14</td></tr><tr><td>4.E. Un sous-contrat faiblement didactique</td><td>15</td></tr><tr><td>4.F. Une dernière partie alternant contrats non didactiques et faiblement didactiques</td><td>16</td></tr><tr><td>5. Conclusions et perspectives</td><td>18</td></tr></table>
# 1. Introduction

Pourquoi les didacticiens s'intéressent-ils aux pratiques de recherche des mathématiciens ? En s'appluyant sur les valeurs éducatives de la résolution de problèmes ou sur la nécessité d'enrichir les programmes d'études, l'un des objectifs est d'identifier des moyens d'initier les élèves à une expérience mathématique plus authentique et créative (Liljedahl, Santos-Trigo, Malaspina, & Bruder, 2013; Taylor, 2018). L'attention peut également se porter sur les modes d'apprentissage des chercheurs en mathématiques, sur les pratiques qui leur sont associées et sur leurs implications pédagogiques et didactiques. Ces dimensions sont notamment explorées à travers des entretiens analysés à la lumière de la littérature critique en philosophie, en histoire et en sociologie des sciences (Burton, 2013). De même, Wilkerson-Jerde et Wilensky (2011) étudient comment les mathématiciens experts donnent un sens aux idées mathématiques lorsqu'ils lisent une preuve dans un document de recherche non familier en faisant appel à différents types de ressources mathématiques.

À notre connaissance, peu d'attention a été accordée aux pratiques didactiques des chercheurs en mathématiques lorsqu'ils transmettent des idées à leurs pairs sur les frontières de la recherche, par exemple lors de séminaires. En effet, les études didactiques portent généralement sur des connaissances cristallisées qui ont été stabilisées et transposées pour prendre la forme d'un élément du programme d'études. D'autre part, la communication entre mathématiciens en séminaire repose sur des pratiques qui diffèrent de celles abordées par les études sur la résolution de problèmes.

Pourtant, bien qu'elle se situe en amont de la transposition didactique usuelle (qui s'effectue de la sphère savante vers les institutions scolaires), la transmission des idées mathématiques au sein de la sphère savante a été identifiée comme relevant d'une pratique didactique. Celle-ci nécessite un « pas de côté » (préalable indispensable à toute transposition didactique ultérieure) :

> Les mathématiciens ne communiquent pas leurs résultats sous la forme dans laquelle ils les découvrent ; ils les réorganisent, ils leur donnent une forme aussi générale que possible. Les mathématiciens pratiquent une « pratique didactique » qui consiste à mettre les connaissances sous une forme communicable, décontextualisée, dépersonnalisée, détemporalisée.
> 
> (Brousseau, 1997, p. 227)<fnref n="1" />

Cette analyse de Brousseau vaut en effet à tous les niveaux de la communication. De fait, rendre compte des travaux mathématiques en cours et des nouvelles voies à suivre par la recherche de manière à ce que ces travaux produisent du sens est une partie essentielle de l'effort de recherche, dont le succès devrait être lié à certains phénomènes didactiques. Ces comptes-rendus prennent des formes spécifiques, les plus courantes étant les séminaires de recherche. Ceci dit, on peut s'attendre à ce que les intentions didactiques, s'il y en a, restent très implicites dans les communications entre mathématiciens professionnels, d'autant plus que les contenus présentés dans les séminaires de recherche ouvrent de nouvelles voies de recherche et laissent une large place à l'interprétation. Il faut donc, pour les analyser, une approche spécifique et comprendre dans quelle mesure les outils classiques de la didactique peuvent leur être appliqués.

Signalons encore une difficulté : il faut distinguer la communication mathématique, qui a lieu au sein des institutions de recherche, de l'enseignement mathématique, dispensé au sein des institutions d'enseignement. Cependant, la frontière entre les deux peut devenir perméable dans certains contextes naturels de la formation des étudiants : ainsi la formation à la recherche inclut-elle la participation à des séminaires de recherche au sein des écoles doctorales. Cette considération vient, de fait, renforcer la portée didactique de notre étude.

<footnote n="1">1. Traduit de l'anglais par les auteurs.</footnote>
Comment un mathématicien structure-t-il son exposé pour tenir compte de son auditoire ? Peut-on mener une analyse didactique d'un séminaire de recherche en mathématiques ? Telles sont les premières questions qui ont guidé notre étude. Plus précisément, il s'est agi de mettre en lumière les intentions et les gestes didactiques des mathématiciens lors de situations de communication des mathématiques contemporaines à leurs pairs dans le cadre de séminaires de recherches. Cette façon de poser le problème nous a dirigés vers la Théorie des Situations Didactiques (TSD) de Brousseau (1997), et plus précisément son analyse du rôle de l'enseignant (Brousseau, 1996). En effet, Brousseau se propose de repérer les assujettissements de l'enseignant qui s'actualisent dans la relation didactique et de les modéliser sous forme de « jeu » formel (les situations didactiques). Ces assujettissements sont relatifs aux différentes institutions qui déterminent la fonction sociale, technique et culturelle de l'enseignant, ainsi qu'aux caractères spécifiques du savoir visé. Ces considérations le conduisent à distinguer l'activité didactique des phénomènes de communication et à mettre en évidence différents types de contrats didactiques.

Ces éléments théoriques nous ont permis de préciser et reformuler nos questions de recherches. Par ailleurs, notre étude ne saurait être exhaustive sur un tel sujet, elle est nécessairement exploratoire. Se plaçant dans le cadre culturel de la recherche mathématique académique en France, nous avons choisi de nous focaliser sur le cas des séminaires Bourbaki (Mashaal, 2017), dont le groupe a profondément marqué les mathématiques, en France et au-delà, dans la seconde moitié du XXème siècle.

Comment caractériser en termes de contrat (au sens de la TSD) les assujettissements de l'orateur lors d'un séminaire Bourbaki et les régulations (didactiques) qu'il met en place ? Prenant pour exemple un exposé donné par Cartier (2002), l'un des membres emblématiques du groupe Bourbaki, les différents types de contrat (non didactiques, faiblement et fortement didactiques) mis en évidence par Brousseau sont-ils adaptés pour décrire le « jeu » de l'orateur, en d'autres termes les stratégies qu'il déploie ? Enfin, quels phénomènes didactiques (tenant compte notamment des caractéristiques épistémologiques des connaissances exposées) la clarification des contrats régissant l'exposition des mathématiques de recherche permet-elle de mettre en évidence ?

L'exposé de Cartier apparaît comme un cas d'école pour mettre à jour ces phénomènes didactiques, en évitant l'écueil d'une vision caricaturale. Par exemple, les mathématiciens prennent soin de situer leurs recherches dans la continuité du développement du champ, d'où une dialectique entre contextualisation et décontextualisation (mais aussi une dialectique entre l'ancien et le nouveau, entre le particulier et le général) plutôt que la simple décontextualisation, dépersonnalisation, détemporalisation typique de la transposition didactique. Notre étude apporte ainsi une contribution nouvelle aux études portant sur la transposition didactique, sur des aspects rarement explorés.

Nous débutons par une étude du contexte social, didactique et épistémologique des séminaires Bourbaki, en appui sur les recherches des historiens et notre expérience personnelle, puis présentons les éléments de la TSD utilisés dans cette étude. Nous exposons ensuite notre analyse de l'exposé de Cartier au séminaire Bourbaki, menée à la lumière des distinctions opérées par Brousseau lors de l'élaboration de sa typologie des contrats, et de notre compréhension des enjeux épistémologiques et didactiques de l'exposé de Cartier. Enfin, nous synthétisons les réponses aux questions de recherches initiales que cette étude a permis de dégager, et évoquons quelques perspectives ouvertes par ce travail.

## 2. Le séminaire Bourbaki

Partant de l'émergence historique des séminaires de recherche en mathématiques dans la pratique savante, nous centrons ensuite notre propos sur le cas du séminaire Bourbaki puis terminons cette section par quelques commentaires sur les rapports de Bourbaki aux questions d'enseignement.
## 2.A. Les séminaires de recherche : émergence historique

L'idée même de séminaire est devenue une évidence dans la vie universitaire. C'est aujourd'hui un mode de communication et de diffusion des connaissances par excellence, mais cela n'a pas toujours été le cas. De fait, la dimension didactique des séminaires s'avère assez variable, de même que le contrat didactique sous-jacent. Beaucoup de séminaires actuels s'adressent prioritairement à des experts d'un domaine et ont pour fonction prioritaire la transmission de savoirs récents, sur un mode assez proche de celui des articles de recherche. Pour autant, il est fréquent d'assister à des débats entre leurs organisateurs et leur public, sur cette fonction, et la nécessité, y compris au sein de communautés déjà spécialisées, d'en rendre les contenus plus accessibles. Il est par ailleurs admis que les séminaires font partie intégrante de la formation des doctorants.

L'idée de séminaire se décline par ailleurs sous des formes diverses, avec par exemple les colloquia, plus axés sur la communication et la diffusion que sur l'apprentissage, et il serait sans doute intéressant de mieux typifier ces notions avant d'en analyser l'éventuelle dimension didactique. Nous nous contenterons ici d'étudier quelques séminaires ayant une double dimension : celle de transmission des connaissances, et ce sous une forme se voulant accessible à un public assez général.

L'existence de séminaires au sens académique moderne est avérée, en Allemagne, depuis Carl Gustave Jacobi (1804-1851), qui en aurait eu l'idée comme méthode d'enseignement :

> L'enseignement des mathématiques doit être une source d'excitation intellectuelle. Ceci peut être réalisé, à un niveau supérieur, en amenant l'étudiant au bord de l'inconnu; à des niveaux antérieurs, en lui faisant résoudre par lui-même des questions d'importance théorique ou pratique. C'est la méthode suivie dans les « séminaires » des universités allemandes, organisés pour la première fois par Jacobi il y a un siècle, et qui constituent encore aujourd'hui la caractéristique la plus marquante du système allemand; la division du travail entre les élèves dans l'étude d'un groupe de questions donné est une pratique courante dans ces séminaires et s'avère être une puissante incitation au travail. (Weil, 1979, p. 119)<fnref n="2" />

Le premier séminaire mathématique français a été le séminaire Hadamard (1913-1937), au Collège de France, avec une interruption durant la première guerre mondiale :

> Hadamard « allait donner au nom de Séminaire, un sens personnel tout nouveau, qui allait rendre son séminaire partout célèbre. À l'étranger, les séminaires étaient généralement spécialisés. Grâce à son érudition et à son aptitude à dominer tous les domaines, Hadamard étend à toutes les parties des mathématiques l'activité de son séminaire [...] Il fait participer ses auditeurs à des analyses de Mémoires. Il lui faut choisir ceux-ci, choisir aussi les chercheurs capables de les exposer [...] » (Fréchet, 1963)<fnref n="3" />

On constate ainsi un infléchissement de la notion de séminaire, qui acquiert, sous la forme que lui donne Hadamard, une dimension généraliste, dimension que l'on va retrouver plus tard dans le séminaire Bourbaki. Cet infléchissement est également un infléchissement didactique : ce n'est pas le même type de contenus et de savoirs qui y seront acquis que dans le cadre d'un séminaire spécialisé.

## 2.B. Le cas du séminaire Bourbaki

Rappelons brièvement que (Nicolas) Bourbaki est le nom d'un groupe de mathématiciens formé en 1935 et toujours actif aujourd'hui. Il a eu une grande influence sur les mathématiques dans les années 1950-1970, en particulier en créant, au niveau mondial, un style mathématique un moment dominant dans ce qu'on appelle souvent les « mathématiques pures » : le *structuralisme*, un développement du style axiomatique typique des mathématiques modernes tel qu'il s'était mis en place dans les débuts du

<footnote n="2">2. Cité dans (Audin, 2014, p.9). Traduit de l'anglais par les auteurs de l'article. On trouvera une analyse détaillée de la genèse des séminaires, en Allemagne et en France, dans le même ouvrage.</footnote>

<footnote n="3">3. Cité dans (Audin, 2014, p.12).</footnote>
20ième siècle. Deux traits du bourbakisme sont importants pour les analyses qui suivront : d'une part, sa dimension didactique (très controversée, sous la forme qu'elle prit), avec en particulier la rédaction de ce qui devait être un traité d'analyse et devint les *Éléments de mathématique*, un traité volumineux couvrant une part importante des mathématiques modernes. L'autre dimension, intimement liée à la première, est l'idée d'une architecture générale des mathématiques où les grandes notions, les grands champs disciplinaires (algèbre, analyse, géométrie, topologie...) se répondent, interagissent et se complètent. Ces deux dimensions vont avec un souci d'universalisme et la nécessité d'acquérir une culture mathématique générale qui font écho au projet sous-jacent au séminaire Hadamard.<fnref n="4" />

Le séminaire Hadamard, puis le séminaire Julia (1933-1939), contribuèrent, de fait, à la formation des premiers membres de Bourbaki (H. Cartan, Dieudonné, Weil...). De façon significative pour notre propos, et à titre de nouvelle illustration de la polysémie de la notion de séminaire, Julia affiche, dans une lettre circulaire de mai 1933, une conception encore différente du séminaire qu'il souhaite créer :

> J'examine en ce moment la possibilité d'organiser un séminaire mathématique suivant une formule différente de celle que M. Hadamard a adoptée, et qui ne ferait aucunement double emploi avec la sienne. Chaque année serait choisie une question assez ample qu'on étudierait aux séances du séminaire. Les premières séances comporteraient un exposé des éléments de la question destiné à ceux qui ne connaissent pas le sujet ; on étudierait ensuite les principaux mémoires en insistant sur l'essentiel. Le but poursuivi serait, d'une part de nous mettre mutuellement en état de suivre les recherches modernes, d'autre part de provoquer de nouvelles recherches et, éventuellement, de les exposer. (Audin, 2014, p.29)

Le séminaire Bourbaki fait suite à partir de 1948 au séminaire Julia — quoiqu'en termes de contenus il adopte plutôt les caractéristiques du séminaire Hadamard. C'est un séminaire généraliste, étendu d'abord sur trois journées, puis deux (Andler, 1988), chaque exposé abordant un thème d'actualité différent. Les textes sont rédigés à l'avance et distribués aux participants, qui peuvent donc les consulter en parallèle à la présentation orale. Il vise à rendre les recherches récentes accessibles à un public, certes formé de mathématiciens professionnels, mais élargi : il ne s'agit pas (en théorie du moins) de s'adresser aux spécialistes du sujet. L'orateur est d'ailleurs préférablement choisi parmi les non spécialistes, ce qui devrait le rendre mieux capable d'exposer sans être sous le joug des fausses évidences qui gouvernent la pratique des mathématiques par un expert du domaine.

D'un point de vue didactique, l'orateur, préférablement jeune, cumule ainsi les positions d'élève et d'enseignant, approche où l'on retrouve certains traits classiques des séminaires à l'allemande et des séminaires Hadamard et Julia. Cette dimension didactique s'accompagne d'ailleurs d'une véritable « évaluation », au jugement du mathématicien Jean-Pierre Bourguignon, bon connaisseur du milieu mathématique français : « C'est un haut lieu des mathématiques dans le monde. Un jeune à qui l'on demande de faire un exposé dans ce Séminaire doit y réfléchir à deux fois. Sa réputation est en jeu. Il y a une exigence intellectuelle exceptionnelle, l'orateur est soumis à une grande pression psychologique. » (J.-P. Bourguignon, cité dans (Mashaal, 2017, p. 165)). « Toute la France y venait ; je pense que le tiers des gens comprenait, même si tous le prétendaient. C'était très sympathique, mais le niveau était assez élevé ; Dieudonné était un de ceux qui comprenaient tout, moi un de ceux qui ne comprenaient pas tout. » (Laurent Schwartz, cité par Mashaal (2017), p. 167). Projet doublement didactique donc, où l'orateur passe une forme atypique d'examen d'enseignement...

Il convient de préciser que la plupart des commentateurs sont d'accord pour reconnaître une transformation progressive des valeurs du séminaire, qui se rapproche peu à peu et de plus en plus au fil du temps des autres séminaires, avec, en particulier, des exposés de moins en moins accessibles : « Le Séminaire est encore très intéressant, mais il n'a plus la fonction pédagogique qu'il avait jadis ; il tend à devenir un séminaire spécialisé classique, peu abordable par les non-spécialistes » (Christian Houzel, cité par Mashaal (2017), p. 167).

Ces citations de Schwartz et Houzel insistent sur des enjeux didactiques de compréhension qui sont,

<footnote n="4">4. Sur Bourbaki, le structuralisme, ses succès et ses limites, on pourra consulter (Patras, 2001; Mashaal, 2017).</footnote>
de façon plus générale, inhérents à la pratique d'exposition des connaissances en séminaire de recherche. Une autre dimension didactique tient, plus subtilement, au choix des thèmes sélectionnés : « Quand un sujet est traité au Séminaire Bourbaki, c'est signe qu'il est vraiment important et intéressant » (J.-P. Bourguignon, Ibid). Il serait sans doute plus correct de dire que « Quand un sujet est traité au Séminaire Bourbaki, c'est signe que Bourbaki le juge vraiment important et intéressant », et que ce jugement, du fait de l'autorité scientifique du groupe, lui donnerait une légitimité mathématique générale. Dans les termes de Brousseau, nous assistons à une institutionnalisation de contenus, originale en ce qu'elle est le fait d'une institution auto-constituée (le groupe Bourbaki), et non d'une des institutions organisant de façon plus classique le champ didactique (l'école, l'inspection générale,...).

De fait, il convient de signaler que ce « choix bourbachique », en reprenant une formule d'un de ses membres les plus emblématiques, Jean Dieudonné (Dieudonné, 1977), a été amplement critiqué dans la mesure où il a très longtemps laissé délibérément hors champ nombre des thématiques qui se sont peu à peu révélées comme essentielles au développement des mathématiques, et souvent les plus dynamiques : probabilités, combinatoire, physique mathématique...

## 2.C. Bourbaki et l'enseignement

La relation de Bourbaki avec l'enseignement et l'écriture des mathématiques est notoirement contro-
versée :

> Le groupe suscite des critiques sur son influence, mais aussi sur son style, trop aride selon certains, avec trop peu d'exemples et de dessins [...]. On reproche également parfois à Bourbaki son rôle dans la réforme des « maths modernes ». Mise en place au lycée autour des années 1970, elle fut ambitieuse en théorie, mais abstraite jusqu'à l'absurde dans ses programmes et se solda par un échec. Mais l'influence véritable de Bourbaki dans sa promotion est probablement nulle. Jean Dieudonné certes était membre de la commission qui a pensé la réforme, mais il en a démissionné dès 1970. (Guilbaud, 2015)

De fait, les ouvrages de Bourbaki sont arides, presque dépourvus d'exemples. Leurs motivations se trouvent le plus souvent dans l'histoire et des pratiques mathématiques. Elles restent cachées dans le texte et n'apparaissent que très partiellement dans les notes historiques qui l'accompagnent. En ce qui concerne l'enseignement, diverses déclarations tardives de Dieudonné, agissant fréquemment comme porte parole du groupe, affirment que Bourbaki n'a jamais initié, soutenu ou encouragé la réforme des mathématiques modernes. Le contenu de ces déclarations est repris comme un fait acquis dans l'article que nous venons de citer, ou dans l'interview (Andler, 1988). Tout suggère pourtant le contraire, car les promoteurs de la réforme en France, comme Lichnerowicz, étaient très proches du groupe et, malgré ses affirmations ultérieures, Dieudonné lui-même était connu pour avoir défendu l'utilité des méthodes de théorie des ensembles à des niveaux d'enseignement très bas, tout comme Piaget l'a fait à la même époque. Le second auteur de cet article a eu, après un exposé sur les mathématiciens niçois, l'occasion de d'obtenir le témoignage oral d'une ancienne directrice d'école élémentaire niçoise, qui se souvenait très précisément d'une visite à son école de Dieudonné, alors doyen de l'Université de Nice, pour plaider les vertus de l'usage de la théorie des ensembles pour l'enseignement des mathématiques dans le primaire...

Au delà de l'anecdote, il est bien connu que c'est l'échec de cette réforme qui est à l'origine de l'émergence de la didactique dans les années 1960-1970 :

> Tirant les leçons de l'activisme novateur de la période des mathématiques modernes et des désillusions qu'il avait engendrées, les didacticiens français ont donné la priorité à la compréhension de l'interaction complexe entre l'apprentissage des mathématiques et leur enseignement dans les systèmes didactiques. (Artigue et al., 2019)
### 3. Eléments de théorie des situations didactiques, d'après Brousseau

Notre source principale pour cette partie est la série de cours donnés par Guy Brousseau lors de la huitième école d'été de didactique des mathématiques de l'ARDM (Brousseau, 1996), en particulier le second cours, portant sur « les stratégies de l'enseignant et les phénomènes typiques de l'activité didactique ». Nous reprenons certains concepts clefs de la TSD rappelés par Brousseau, puis nous le suivons dans sa méthode de classification des assujettissements en tant que partage de responsabilités (voir ci-dessous), qui conduit à l'émergence d'une typologie de contrats (plus ou moins didactiques).

Comme Brousseau le souligne lui-même, ces considérations ont une source « idéaliste » : les modèles proposés de la diffusion des connaissances seront théoriques jusqu'à leur confrontation avec une source empirique qui permette de les mettre à l'épreuve. Dans notre cas, il s'agira de la mise en regard avec les traces du séminaire Bourbaki donné par Cartier à ses pairs. Brousseau vise principalement le partage des responsabilités entre l'enseignant et le groupe des personnes enseignées (les élèves). Pour autant, la TSD modélise, d'une façon générale, une situation d'enseignement-apprentissage comme un jeu entre un émetteur et un récepteur (engageant un milieu) : « tout émetteur de connaissances n'est pas un enseignant, mais tout enseignant sera fatalement un émetteur de connaissances » (Brousseau, 1996, p.15), ce qui l'amène à considérer tout d'abord les phénomènes de communication de connaissances sans contraintes spécifiques (contrôles) sur les apprentissages. Ceci garantit que le contexte que nous souhaitons étudier puisse être englobé par les formalisations de Brousseau.

Brousseau souligne la nécessité d'« examiner des assujettissements à première vue non didactiques pour pouvoir les identifier comme partie dédidactifiée (a-didactique) d'une situation didactique ». Une partie des enjeux de notre travail consistera, à l'inverse, à pouvoir interpréter certains aspects de la communication en séminaire de recherche comme des parties didactifiées, qui se greffent à la situation essentiellement a-didactique d'exposition d'une recherche en cours, et permettent de la lire partielle-ment comme une situation, in fine, didactique (tout ceci étant à préciser). Dans le but de favoriser l'application des notions de TSD à ce contexte original, les rappels des théorisations de Brousseau seront brièvement illustrées en référence au contexte de l'exposition de connaissances mathématiques en séminaire de recherche.

#### 3.A. Milieu, connaissances et savoirs

Comme le rappelle Brousseau, « la communication “didactique” a pour objet de donner à son destina-taire un moyen de contrôle ou de régulation sur un certain milieu. Nous pouvons appeler “connaissance” cette capacité de contrôle » (Brousseau, 1996, p.14). Dans notre contexte, le milieu est celui de la recherche mathématique contemporaine, où des individus en interaction avec des collectifs façonnent, structurent et valident de nouveaux concepts et résultats au sein de courants de recherches plongés dans une histoire de problèmes et de méthodes. En séminaire, le conférencier extrait et structure une partie de ce milieu de la recherche pour constituer un milieu adapté à son exposition, lequel fait office de milieu au sens de la TSD (tout ce qui agit sur l'apprenant et ce sur quoi il agit).

Brousseau souligne qu'une telle régulation est rendue possible par un « bagage (ou répertoire) de connaissances culturelles » reconnu comme tel, c'est-à-lié lié à un système de savoirs partagés par les collectifs. A minima, dans notre contexte, ce bagage inclura les savoirs mathématiques de Licence à l'université, que tout enseignant-chercheur doit être capable d'enseigner. Ces derniers font office de savoirs anciens. Il s'agit de souligner que les savoirs sont les « instruments culturels de reconnaissance et d'organisation des connaissances [...] », objets d'une activité spécifique des institutions ». Pointer une connaissance nouvelle (aux yeux du groupe classe) comme un élément du répertoire des savoirs officiels d'une discipline est un geste didactique essentiel d'une situation didactique, dévolu au pro-fesseur et appelé *institutionnalisation*. D'autres institutions interviennent dans le cadre des savoirs scolaires, comme la noosphère en charge de désigner les savoirs à enseigner (le programme officiel). Or, une dialectique de l'ancien et du nouveau prend place également au sein des institutions savantes, et ce au même titre : les connaissances émergeant de l'actualité de la recherche deviennent savoirs
partagés et reconnus au sein d'une discipline à travers un processus d'institutionnalisation. Notre étude du séminaire Bourbaki va montrer que de tels séminaires de recherche participent à ce processus d'institutionnalisation, ce qui leur affecte encore une autre dimension didactique que celle liée à leurs contenus conceptuels stricto sensu.

Pour autant, le milieu d'un séminaire demeure largement *a-didactique*, au sens de Brousseau : dans une exposition classique d'une recherche en cours les auditeurs ne perçoivent a priori pas d'intention didactique particulière de l'orateur (ciblant des apprentissages spécifiques). En d'autres termes, le lien qu'opère Brousseau entre connaissance et moyen de contrôle mériterait plus ample discussion dans le cas d'une pratique savante de séminaire. La notion de contrôle, qui dans un contexte scolaire consiste en la capacité de l'apprenant à adopter un comportement approprié dans les situations qui lui sont proposées (pour produire des réponses correctes, selon les normes de l'institution scolaire et de la discipline), est à interroger et exemplifier dans le contexte du métier de chercheur en mathématiques. Il s'agit à la fois, selon ce que propose l'orateur et les ambitions d'un membre de l'auditoire, d'être capable de vérifier la validité d'une (partie de) preuve, de produire ou compléter une preuve (cas d'un exercice dévolu aux auditeurs), ou simplement de faire sens d'un énoncé en le liant à un contexte et un ensemble de connaissances antérieures, ou encore, de façon plus ambitieuse, d'envisager des prolongements sous la forme d'hypothèses, de questions, de propriétés d'objets et de structures à étudier. D'une façon générale et un peu vague, la notion de contrôle par un individu récepteur est liée à des enjeux de compréhension qui visent in fine la capacité du récepteur à contribuer potentiellement à la recherche en cours (par exemple comme relecteur d'un article, à défaut d'apporter une nouvelle pierre à l'édifice), et ce de façon partiellement déconnectée de son domaine actuel d'expertise.

### 3.B. Compréhension et sens

Les interviews de mathématiciens soulignent les enjeux de compréhension liés à la pratique des séminaires. Brousseau propose des définitions pour les notions de compréhension et de sens qui nous apparaissent opérationnelles dans notre contexte, c'est-à-dire en lien avec les objectifs de formation poursuivis lors d'un séminaire du type Bourbaki. Nous les reproduisons ci-dessous.

> La compréhension est la mobilisation concomitante de savoirs, de connaissances et l'évocation de situations non directement nécessaires à la décision dans l'action en cours mais supposés utiles au contrôle des connaissances qui régulent cette décision [...] Le "sens" d'une connaissance est une image culturelle de la compréhension, un moyen de la reconnaître et de la gérer, comme le savoir est un moyen de reconnaissance et de gestion des connaissances, moyen personnel ou institutionnel, et donc variable suivant les institutions. Le sens peut donc se décomposer suivant les "types didactiques" de connaissances en une composante sémantique, par laquelle la connaissance à l'oeuvre est reliée à un champ de situations, en une composante syntaxique qui la relie aux différents répertoires (en particuliers logiques et scientifiques) qui en régissent la manipulation, et en une composante pragmatique qui en décrit les caractères d'utilisation. (Brousseau, 1996, p.14)

Il s'agira d'élucider, dans le cadre de l'exposé de Cartier, quelles sont les tâches (actions) dévolues à l'auditoire et comment la structuration du milieu opérée par l'enseignant contribue à atteindre les objectifs de compréhension qui sont assignés. En outre, nous pourrons discuter les connaissances en jeu dans les situations présentées par le conférencier à l'aulne du triptyque sémantique-syntaxe-pragmatique.

### 3.C. Stratégies didactiques et contrats

Brousseau décrit son approche de classification en ces termes :

> Nous allons considérer que l'enseignant se caractérise par les assujettissements qu'il accepte et par ceux qu'il impose. Chaque assujettissement consiste en un partage de responsabiliti-
tés entre ‘l’enseignant’ et un milieu antagoniste (comprenant l’enseigné) et par les moyens de régulation réciproques qui conditionneront l’évolution du système. Cette approche permet de classer les régulations didactiques suivant la répartition des responsabilités entre le système qui diffuse une connaissance et celui qui la reçoit et l’apprend. [...] Ces responsabilités concerneront d’abord l’émission des connaissances - leur communication, leur validité, leur nouveauté, leur valeur, leur intérêt ou leur statut culturel - et les conditions dans lesquelles elles pourront se manifester, être reçues, apprises, reproduites, etc. [...] Nous appelons ‘contrats’ ces répartitions de responsabilité. (Brousseau, 1996, p.15)

Dans ces propos, ‘l’enseignant’ peut très bien être remplacé par ‘l’orateur’ et ‘l’enseigné’ par ‘l’auditeur’ sans modifier la visée de la démarche. Brousseau lui-même débute par l’inventaire des contrats non spécifiquement didactiques, liés à la communication de connaissances. En outre, les dimensions épisté-mologiques et axiologiques mises en avant par Brousseau (validité, nouveauté, intérêt,...) conviennent parfaitement au cas de la diffusion de la recherche contemporaine.

La classification à laquelle aboutit Brousseau comprend quatre catégories : les contrats non-didactiques, faiblement didactiques ou fortement didactiques (portant sur un savoir ‘nouveau’), et enfin ceux basés sur la transformation des savoirs ‘anciens’ (déjà rencontrés par les apprenants). Les contrats non didactiques sont considérées parce que des assujettissements liés à de tels modes de communication « peuvent être inclus dans un assujettissement didactique » tandis que les contrats didactiques « stricts » sont ceux où « le professeur veut provoquer un apprentissage » en modifiant « les systèmes de décision de l’enseigné face à un certain ensemble de situations typiques » (de l’institution à laquelle l’enseigné doit s’assujettir, c’est-à-dire l’école). En d’autres termes, les stratégies sont classées suivant la responsabilité dévolue à l’élève et celle conservée par le professeur. S’appuyant sur des exemples observés dans les pratiques scolaires, Brousseau met en avant et illustre différents contrats fortement didactiques (reproduction formelle, ostension, conditionnement, maïeutique socra-tique, apprentissages empiristes, constructivistes).

Bien que la responsabilité des acquisitions soit déléguée aux enseignés dans un contrat construc-tiviste, le rôle du professeur étant centré sur l’organisation du milieu, l’ensemble de ces contrats di-dactiques nous semble ancré dans les normes des pratiques scolaires, où des objectifs d’apprentissages sont assignés et des dispositifs d’évaluation mis en place. Ils nous semblent inadaptés au fonctionne-ment d’un institut de recherche, de sorte que nous avons retenu, dans le but de modéliser la pratique mathématique de séminaire, essentiellement des contrats non didactiques ou faiblement didactiques.

Dans l’esprit de Brousseau, les contrats non didactiques ou faiblement didactiques peuvent être en vigueur lors de moments a-didactiques de situations didactiques. Il vise à clarifier ces épisodes pour rendre compte de la diversité des stratégies didactiques et éviter les tentations réductionnistes. En outre :

aucune méthode didactique ne peut résoudre seule les paradoxes fondamentaux et donc aboutir à un apprentissage des mathématiques. Même s’il obéit à des conditions et à des lois générales et collectives, ce dernier s’effectue par un processus historique dans des conditions dialectiques où les ruptures jouent un rôle important. Ainsi le travail didactique du professeur consiste essentiellement à réguler et changer des contrats didactiques de façon à maintenir des équilibres et des conditions optimales et non pas à appliquer contre vents et marées une méthode, aussi sophistiquée soit elle. (Brousseau, 1996, p.24)

De façon similaire, au niveau des pratiques de la sphère savante et en particulier la diffusion des connaissances en séminaire, il nous paraît essentiel de saisir cette diversité de contrats et de discuter le rôle des ruptures de contrats dans la visée de formation assignée aux séminaires.
### 3.D. Extrait de la typologie : une pluralité de contrats pour modéliser la pratique mathématique de séminaire

Nous nous limitons ici aux contrats qui nous paraissent appropriés pour rendre compte des stratégies didactiques d'un orateur de séminaire.

#### 3.D.a. Contrats non didactiques

Dans ces contrats, « l'émetteur n'a aucune responsabilité didactique à l'égard du récepteur : il n'est pas chargé de lui enseigner quoi que ce soit ». Brousseau distingue notamment :

> *Le contrat d'expertise* (contrat A.2.1.) : il est plus exigeant [que le contrat de communication], l'émetteur garantit la validité de ce qu'il émet. [...]. Le travail d'un "professeur" qui utiliserait ce "contrat" pour diffuser une théorie mathématique, consisterait à énoncer l'un après l'un après l'autre les "théorèmes" qui la composent, dans un ordre quelconque. Les énoncés, parce qu'ils seraient déclarés implicitement comme "vrais", deviendraient alors des assertions.

> *Le contrat de production* (contrat A.2.2) : l'émetteur garantit la nouveauté de son message, la nouveauté ou l'originalité formelle (propriété littéraire ou industrielle) ou la nouveauté du contenu intellectuel et scientifique. (Brousseau, 1996, pp.15-16)

#### 3.D.b. Contrats faiblement didactiques (relatifs à des savoirs nouveaux)

Dans ces contrats, « l'émetteur accepte d'organiser son message en fonction de certaines caractéristiques 'théoriques' de son interlocuteur. Il assume certaines responsabilités quant au contenu de ce message, mais aucune quant à ses effets sur le récepteur ». Brousseau distingue quatre niveaux de contrats, où le diffuseur de connaissances prend une responsabilité croissante.

Au premier niveau, le *contrat d'information* (contrat B.1.), l'émetteur garantit la nouveauté et la validité de son message (comme dans le cas des contrats non didactiques exposés plus haut), mais il doit de plus « rechercher l'assentiment de l'informé et, en réponse à sa demande éventuelle, lui fournir certaines "preuves", ses sources, ses références ». Brousseau distingue l'information *dialectique* de l'information *dogmatique*, qui est préférée lorsque le temps ne permet pas d'instaurer un dialogue, dans la tradition socratique, d'où émergerait la conviction du récepteur. Ce dernier est « celui qui a théoriquement cours dans la communauté mathématique pour la diffusion des résultats ». Il est basé sur un moyen de dérivation des résultats nouveaux accepté par tous (la démonstration) et l'organisation du propos selon un ordre approprié (lié à une axiomatique). L'informateur tient principalement compte de l'informé en distinguant les énoncés qui appartiennent au répertoire supposé de l'informé et les savoirs nouveaux.

Le *contrat d'utilisation des connaissances* (contrat B. 2), situé au deuxième niveau, transfère vers l'informateur la responsabilité de montrer à l'informé l'emploi et l'utilité des connaissances qu'il propose. L'exposé des connaissances doit alors comporter un champ d'applications, selon l'état de développement historique de ce champ et ce qui est à la portée des apprenants. Dans le contexte scolaire, l'enjeu est de problématiser ces connaissances, lesquelles deviennent questions, situations, problèmes, ce qui nécessite un travail d'ingénierie didactique conséquent et aboutit souvent à des « fictions ». Les pratiques de la sphère savante échappent à un tel travers tout en exacerbant d'autres difficultés : le rapport applicatif des mathématiques dites pures se limite souvent à des questions intra-théoriques tandis que les mathématiques dites appliquées convoquent d'autres disciplines et engendrent de multiples difficultés liées à l'interdisciplinarité.

Au troisième niveau, dans le *contrat d'initiation ou de contrôle* (contrat B. 3), « l'informateur fournit à l'informé un critère pour déterminer s'il a bien 'compris' (et pas seulement reçu) le savoir communiqué [...] sous forme de questions, d'applications ou de problèmes à résoudre ». Comme précédemment, ce contrat est bâti, dans un contexte scolaire, sur la fiction qu'il corresponde à un savoir des situations typiques dont les possibilités d'action sont gouvernées par des connaissances directement
dérivées de ce savoir, tandis que ces situations en retour légitiment la communication des savoirs. Cette
fiction nécessite une légitimation institutionnelle et est liée au travail de transposition didactique. Le
cas de l'actualité de la recherche (savoir vivant) offre une autre temporalité, où les liens entre savoirs
et connaissances sont renforcés : que dire du travail épistémologique de l'orateur, dans ses visées didac-
tiques ? Et des assujettissements institutionnels qui gouvernent ce travail de transposition effectué par
l'orateur ? Nous ne pourrons aborder ces questions difficiles qu'à travers l'étude d'un cas particulier,
l'exposé de Cartier, en tant qu'étude exploratoire.

Brousseau définit un quatrième niveau, le *contrat d'instruction ou de direction d'études* (contrat B. 4) où l'informateur adopte la posture de directeur d'études en indiquant « *comment* un savoir peut être appris ». Dans un contexte scolaire, Brousseau pense notamment à « des séries 'd'exercices' qui sont supposés permettre d'acquérir les connaissances visées », à travers une gradation de problèmes et leurs variantes, lorsque la théorie mathématique à l'étude s'y prête. Le contexte de la sphère savante permet d'évoquer un autre cas de figure : celui d'un directeur de thèse, par exemple, qui offre également un soutien méthodologique important à la personne encadrée. Nous ne détaillerons pas les différences que l'on peut envisager entre les deux contextes car ce contrat, s'il résonne avec certaines modalités de pratiques académiques, ne convient pas au cas des séminaires qui est le focus privilégié de cet article.

3.D.c. Les contrats didactiques basés sur la transformation des savoirs anciens

La reprise d'un savoir ancien peut être justifiée par des raisons épistémologiques et didactiques en vue de la construction d'un savoir nouveau, ce qui nécessite des réorganisations, adaptations, dans un contexte où l'élève a potentiellement développé son propre rapport au savoir ancien. Le contrat didactique implique alors une *mémoire didactique du professeur*, laquelle permet à ce dernier de mobiliser des connaissances disponibles du fait de l'histoire particulière de la classe. Dans un tel contexte scolaire, Brousseau définit en particulier :

le *contrat de reprise* [par opposition à un simple rappel] : la forme ancienne est dans ce cas ouvertement mise en cause, dans sa forme, elle fait l'objet d'une formulation, ou d'une traduction, ou dans sa constitution même, elle est alors l'objet au moins d'un commentaire, souvent d'une explication, d'une remise en cause, d'une critique, ou même d'un rejet. La reprise place le savoir ancien dans une nouvelle dialectique. (Brousseau, 1996, p.27)

A minima, dans le contexte des séminaires, la mémoire didactique de l'orateur peut s'appuyer sur les connaissances de Licence de mathématiques, à l'université. La dialectique du nouveau et de l'ancien sera à observer à travers les choix opérés par l'orateur, dans sa présentation des connaissances nouvelles liées à l'actualité de la recherche du domaine.

4. Un exposé de Cartier sur les fonctions polyzêtas

Nous débutons cette section par une présentation générale de l'exposé de Cartier au séminaire Bourbaki en motivant ce choix, puis nous en détaillerons la structure à travers différents milieux (au sens de la TSD) et leurs contrats associés, qui se succèdent. L'exposition est analytique et descriptive ; une synthèse des éléments saillants en lien avec les questions de recherche énoncées dans l'introduction sera offerte à la section suivante.

4.A. Cartier et le séminaire Bourbaki

Le séminaire Bourbaki, autre pilier, avec les *Éléments de mathématiques*, des activités du groupe, se présente très différemment du traité. Alors que celui-ci visait à rendre compte de la science existante, déjà largement cristallisée, le séminaire avait (et a toujours) pour objectif de rendre compte des travaux en cours, des idées importantes en développement et des nouvelles voies sur lesquelles s'engager. L'orateur y cherche assurément à transmettre des idées, à institutionnaliser certains résultats récents, mais il cherche aussi souvent à dégager des perspectives, des horizons de recherche : un exercice a priori
tout à fait différent de ce à quoi vise classiquement la didactique, et qui pourrait nécessiter, pour être analysé et éventuellement donner naissance à une ingénierie didactique spécifique, le développement d'outils théoriques différents.

La question soulevée ici est donc : avec ces objectifs à l'esprit, comment les séminaires Bourbaki ont-ils été conçus ? Plus généralement, comment utiliser l'exemple de ce séminaire pour réfléchir d'un point de vue didactique à la transmission des idées sur les progrès actuels et futurs possibles de la science, ou à l'articulation entre les connaissances existantes et celles qui émergent, au sein de la sphère savante ? Ou encore, comment sont transmis et institutionnalisés aujourd'hui les contenus mathématiques actuels, à un moment où on observe un éclatement toujours plus marqué des champs disciplinaires, une multiplication des compétences fondamentales et des langages dont la maîtrise serait requise ? Ces questions, on le verra, peuvent être envisagées, dans le contexte spécifique des séminaires, à l'aune de la théorie des situations didactiques de Brousseau.

Les mathématiciens différant largement par leurs styles et leurs engagements didactiques, notre enquête se limitera à l'intervenant le plus actif au séminaire Bourbaki : Pierre Cartier (Connes & Kouneiher, 2025; Patras, 2025). Sa bibliographie 5 recense 38 exposés, étalés entre 1953/54 (Cartier, 1954) et 2002 (Cartier, 2002). Ses interventions étaient connues pour se démarquer par la profondeur et l'universalité de ses points de vue sur les mathématiques du XXe siècle.

Nous nous concentrerons, de manière quelque peu arbitraire, sur la dernière d'entre elles : « Fonctions polylogarithmes, nombres polyzêtas et groupes pro-unipotents » (Cartier, 2002), où la structure de ses séminaires ressort de manière particulièrement claire, tant au niveau de sa forme générale que des déclarations explicites faites sur les objectifs poursuivis.

Esquissons d'abord brièvement le contexte, plutôt avec l'idée de fixer un cadre général que d'entrer dans le détail des contenus mathématiques. La fonction zêta

$$\zeta(s) = \sum_{m>0} \frac{1}{m^s}$$

est bien connue des mathématiciens (Balazard, 2010) : on la rencontre dans des exercices dès les premiers pas à l'université, et elle satisfait quelques identités remarquables, comme

$$\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}, \quad \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}, \quad \zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}.$$

Elle fait l'objet de la conjecture la plus célèbre à ce jour : l'hypothèse de Riemann sur la localisation de ses zéros dans le plan complexe.

La notion de fonctions (ou nombres) multizêtas

$$\zeta(k_1, \dots, k_n), \quad k_1 \ge 2, \quad k_2, \dots, k_n \ge 1$$

qui fait l'objet de l'exposé, en est une généralisation assez naturelle :

$$\zeta(k_1, \dots, k_n) = \sum_{m_1 > \dots > m_n > 0} \frac{1}{m_1^{k_1} \dots m_n^{k_n}}.$$

Elle se généralise encore en la notion de polylogarithmes multiples

$$Li_{s_1, \dots, s_r}(z_1, \dots, z_r) = \sum_{m_1 \dots, m_r > 0} \prod_{i=1}^{r} \frac{z_i^{m_i}}{(m_1 + \dots + m_r)^{s_i}}, \quad (4.1)$$

puisque

$$\zeta(k_1, \dots, k_n) = Li_{k_1, \dots, k_r}(1, \dots, 1).$$

<footnote n="5">5. https://www.ihes.fr/cartier/REFERENCES/seminaires.html, consultée le 03/02/2026.</footnote>
Cartier propose d'utiliser plutôt la terminologie « polyzêtas » qui évite le mélange des racines grecques (zêta) et latines (multi), conformément à une pratique un peu oubliée aujourd'hui.

Les nombres polyzêtas vérifient des identités remarquables, qui jouent un rôle clé dans l'exposé, comme :

$$ \zeta(n)\zeta(m) = \zeta(n, m) + \zeta(m, n) + \zeta(n+m). \quad (4.2) $$

Une telle identité peut être vérifiée facilement à l'aide de manipulations standards de séries formelles. Ce qu'elle suggère (et c'est effectivement le cas, et une des raisons de leur intérêt), c'est que les multizêtas sont nécessaires pour étudier les propriétés algébriques des fonctions zêta. Le séminaire de Cartier rendait compte des développements récents au moment où il a été rédigé. Depuis lors, la théorie a évolué rapidement et continue de se développer.

Comme le montrera l'analyse de son contenu, le séminaire cherchait à être accessible, au moins en partie, à un large public. Plus précisément, tout lecteur ayant une formation mathématique aurait dû pouvoir en « tirer quelque chose », d'autant plus que sa formation mathématique était étendue.

## 4.B. Un milieu

Analysons l'introduction. Elle va fixer à la fois un milieu et un contrat. On peut légitimement penser que c'est ce par quoi devrait toujours commencer un exposé : déterminer un cadre, en particulier théorique et conceptuel et préciser ce que l'orateur entend mobiliser en termes de connaissances et de répertoire culturel; préciser les modalités de communication des contenus et sa visée (par exemple sémantique).

La fonction zêta est une vieille connaissance. Ce n'est que récemment que l'on a commencé à s'intéresser à ses généralisations à plusieurs variables et aux fonctions polylogarithmiques à plusieurs variables. Il existe des relations profondes, qui n'ont pas toutes été explorées, avec la théorie des nombres, la géométrie algébrique, la théorie des nœuds et même la physique mathématique. C'est également un domaine où des expériences numériques à grande échelle sont possibles. Il y en a pour tous les goûts. (Cartier, 2002)

La notion de milieu a plusieurs dimensions. En termes de contenu, celui fixé ici est celui de la fonction zêta et des connaissances connexes que l'auditeur ou le lecteur est implicitement supposé posséder. Les mots sont intéressants : la fonction zêta « est une vieille connaissance ». Concrètement, cela signifie qu'elle fait partie de notre culture et de notre bagage mathématique général, mais nous donne également une « capacité de contrôle ». Nous sommes censés savoir, au moins approximativement, comment elle se comporte, et son nom fait écho à des choses connues qui pourront être mobilisées dans la réception et la compréhension que Cartier s'apprête à transmettre – en vrac : Euler, Riemann, la théorie des séries numériques, des fonctions spéciales, des fonctions analytiques, l'analyse complexe, etc.

Les développements en direction des polylogarithmes et des polyzêtas vont ouvrir sur un horizon plus large et en partie ouvert qui se joue dans la théorie des nombres (depuis Riemann, étroitement liée à la fonction zêta pour ce qui touche à l'étude de la répartition des nombres premiers), la géométrie algébrique, la théorie des nœuds, la physique mathématique, le calcul numérique, etc.

On devine déjà que le contrat passé entre l'orateur et les participants va avoir une structure complexe, avec d'un côté des mécanismes assez classiques de transmission de connaissances et l'installation de savoirs, et, de l'autre, une dimension d'ouverture à des savoirs nouveaux, pas forcément bien cristallisés, en devenir, et parfois simplement programmatiques.

## 4.C. Un contrat global

Signalons d'emblée le rôle structurant de ce contraste entre le « bien connu » et certains « espaces ouverts » pour l'activité et la recherche. Cartier met ainsi en place un contrat didactique spécifique avec le public et les lecteurs : le séminaire rendra compte des avancées récentes en s'appuyant sur la
familiarité existante avec le sujet (composante didactique du milieu) et fera allusion à des développements possibles (composante a-didactique). Cependant, les questions ouvertes, bien qu'elles doivent encore être explorées, ne sont pas dépourvues de structure : la possibilité de les explorer avec succès acquiert un sens grâce à la structure d'horizon 6 que leur procurent les connaissances déjà acquises (le répertoire de connaissances de l'auditeur ou du lecteur).

Dans la première partie, nous donnerons un exposé semi-historique de tout ce qui tourne autour de la fonction $ζ(s)$. La deuxième partie est élémentaire au sens de Nielsen et de son « Traité élémentaire des nombres de Bernoulli » ; nous avons autant que possible calqué les méthodes de la première partie, mais beaucoup reste à faire. La troisième partie introduit les puissantes méthodes combinatoires de séries formelles non commutatives, et donne les théorèmes de structure sur les algèbres de fonctions polylogarithmes et des nombres « polyzêtas formels ». Enfin, dans la conclusion, on décrit rapidement quelques-unes des voies plus profondes, où se développera la théorie. (Cartier, 2002)

Le découpage en trois parties déploie ainsi le « contrat » avec l'auditoire-lectorat (rappelons que les exposés sont distribués au format papier avant le début du séminaire) sous trois modes successifs : 1) un cadrage historique et technique de contenus classiques ; 2) un exposé se voulant élémentaire de contenus plus récents et moins bien stabilisés – au moins dans leur exposition – ; 3) une troisième partie, contemporaine et structurelle.

C'est un schéma dont le principe est assez classique dans la préparation d'un exposé de séminaire : rappels, première partie de l'exposé accessible à tous ; dernière partie consacrée aux résultats plus récents (et souvent accessible aux seuls spécialistes). Ce qui nous intéressera ici, sera de revenir sur ce schéma général pour comprendre comment sa mise en œuvre peut être analysée en tant que relevant d'une forme d'ingénierie didactique.

### 4.D. Un sous-contrat didactique

La première partie est donc « semi-historique » : l'histoire y est mobilisée pour des objectifs épistémologiques (comprendre la dynamique d'évolution de la pensée mathématique), théoriques et sémantiques (donner du sens, contextualiser) plutôt que par intérêt pour l'histoire stricto sensu – à l'image d'ailleurs du traitement général de l'histoire des mathématiques par Bourbaki.

Cette première partie commence avec Leibniz et Euler et s'appuie sur les formules classiques pour les puissances de $π$, et les fonctions zêta, Gamma et polylogarithmes. Les mathématiques utilisées vont du calcul intégral aux développements en série de fonctions en passant par l'utilisation par Euler des fonctions symétriques pour calculer $ζ(2)$.

Cartier crée un milieu : les matériaux ne sont pas nécessairement connus de l'auditeur ou du lecteur, mais ils sont considérés comme faciles à saisir et à comprendre car ils sont construits à partir de connaissances classiques de licence de mathématiques (suites et séries, intégrales, analyse complexe, etc.). Ils donnent accès à un premier niveau de compréhension du comportement des différentes fonctions considérées. Les références à l'histoire et aux noms clés de celle-ci (Euler, Bernoulli, Riemann, Goldbach, Weierstrass...) relient ces notions et résultats à la culture mathématique générale.

En termes didactiques, nous nous trouvons dans le contexte de ce que Brousseau nomme les *contrats didactiques basés sur la transformation des savoirs anciens*, et en particulier le *contrat de reprise* :

- les savoirs anciens sont mobilisés en vue de nouveaux apprentissages,

- et il y a aussi cette idée, un peu différente, d'une reprise visant à placer ces savoirs dans une nouvelle perspective qui prendra, dans l'exposé, deux formes, dans les deuxième et troisième parties :

<footnote n="6">6. Les structures d'horizon peuvent être pensées de façon spécifique dans un contexte didactique. Nous n'aborderons pas ces questions ici et renvoyons à nos articles (Hausberger & Patras, 2019, 2023).</footnote>
1. d'un côté, la reprise, dans la période récente, de l'utilisation des fonctions symétriques – sous une forme plus sophistiquée et plus conforme à l'esprit structuraliste, que celle utilisée par Euler,

2. l'exploitation de ce que l'on appelle habituellement la *dimorphie* (Cartier n'emploie pas le terme, mais la notion est centrale dans l'exposé) : le fait de pouvoir jouer entre représentations en série et représentations intégrales des mêmes quantités, un exemple typique de ce phénomène étant :

$$ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots $$

et

$$ \frac{\pi}{4} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{1 + t^2}. $$

### 4.E. Un sous-contrat faiblement didactique

Ce que nous décrivons maintenant [dans deuxième partie] a à peine dix ans d'âge. Les séries polylogarithmiques les plus générales, et les constantes associées, étaient connues de Jean Ecalle vers 1980, dans sa théorie des « moules », bien avant que les spécialistes de théorie des nombres ne s'intéressent activement au dilogarithme, puis aux polylogarithmes $Li_k(z)$. Les constantes $\zeta(k_1, \dots, k_r)$ remontent sans aucun doute à Euler dans le cas $r = 2$, mais sont mentionnées explicitement par Hoffman et Zagier vers 1990. (Cartier, 2002)

Cette deuxième partie se veut élémentaire, dans les termes du contrat passé au début du séminaire. De fait, elle l'est beaucoup moins que la première. Le cœur en est la théorie, récente à l'époque, des fonctions polyzêtas. De nouvelles techniques, moins classiques et qui ne font pas partie des connaissances fondamentales d'un étudiant en mathématiques, sont utilisées : des propriétés combinatoires des intégrales itérées, des produits de quasi-mélanges (dont un exemple typique est donné par la formule de produit 4.2 ou l'identité (94)<fnref n="7" />), etc.

Les propriétés, le comportement des nouvelles fonctions sont très riches et impliquent diverses structures algébriques. Dans l'ensemble, il semble raisonnable de penser que ces contenus seront accessibles à différents niveaux de compréhension, car une lecture attentive et un certain travail mathématique sont nécessaires pour entrer dans les détails.

On retrouve au cœur de cette deuxième partie deux phénomènes mathématiques déjà évoqués, mais ils sont cette fois thématisés et deviennent (en partie implicitement) l'objet d'un discours structural :
— on a, d'une part, le phénomène de la dimorphie, illustré au niveau des polyzêtas par les formules (88) (identité (4.1)) et (89) :

$$ \begin{gather*} Li_{s_1, \dots, s_r}(z_1, \dots, z_r) = \Gamma(s_1)^{-1} \dots \Gamma(s_r)^{-1} \int_0^\infty \dots \int_0^\infty t^{s_1-1} \dots t^{s_r-1} \Phi(t_1, \dots, t_r) dt_1 \dots dt_r, \\ \text{avec } \Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t} dt \text{ et} \\ \Phi(t_1, \dots, t_r) = \prod_{i=1}^r \frac{z_i}{e^{t_1+\dots+t_i} - z_i}. \end{gather*} $$

La dimorphie se traduit, en termes structurals, par la coexistence de deux produits : celui de mélange (117) (qui décrit le produit des représentations intégrales), et celui de quasi-mélange (formules (94, 99, 100)...), qui décrit le produit des représentations en séries.

<footnote n="7">7. Par souci de concision, nous ne reproduisons pas toutes les formules : les chiffres (94), (88),... renvoient à (Cartier, 2002).</footnote>
— D'autre part, on a à nouveau le lien avec les fonctions symétriques, qui s'approfondit avec l'introduction d'une généralisation, les fonctions quasi-symétriques. (Cartier, 2002, section 2.4)

Ces différents phénomènes induisent tout un ensemble d'identités formelles satisfaites par les polyzétas. En termes didactiques, cette partie relève des *contrats faiblement didactiques portant sur un savoir nouveau* : Cartier organise son développement théorique en fonction des caractéristiques de son auditoire, un public de mathématiciens, la plupart avertis, qui peuvent se satisfaire de simples indications comme « Une manipulation simple donne la formule (87) qui est la forme standard d'une fonction holomorphe dans le plan complexe $P$ coupé le long de $[1, +\infty[$ ou « le prolongement analytique en les variables $s_1, \dots, s_r$ se fait par la méthode classique (M. Riesz, J. Hadamard) d'intégration par parties », etc. Cependant, ces quelques tâches, potentiellement dévolues à un auditeur et visant à compléter les preuves sur des aspects élémentaires engageant des connaissances antérieures, ne font pas office d'un ensemble de questions et problèmes permettant d'exercer un contrôle sur le domaine d'étude (les propriétés des fonctions polyzétas), au sens où Brousseau l'entend. Le contrat demeure de ce fait un *contrat d'information dogmatique*, plutôt que d'initiation et de contrôle.

### 4.F. Une dernière partie alternant contrats non didactiques et faiblement didactiques

La troisième partie introduit les « puissantes méthodes combinatoires » des séries formelles non commutatives. Ce troisième niveau peut être compris comme du structuralisme mathématique appliqué : les phénomènes et identités décrits précédemment sont désormais codés dans le langage des groupes et des algèbres de Lie (concrètement dans le langage des algèbres de Hopf commutatives, qui sont des algèbres de fonctions sur les groupes).

La complexité des structures est désormais comprise théoriquement, à travers l'interaction des structures algébriques. Le milieu change une fois de plus. D'un côté, il y a la phénoménologie des polyzétas qui a été partiellement comprise à l'aide de méthodes « naïves » dans les deux premières parties. De l'autre, le séminaire fait désormais appel aux méthodes et aux idées puissantes de l'algèbre. L'horizon de la compréhension est façonné par l'interaction entre ces deux composantes.

Cette partie aborde des idées à l'époque très récentes. Plusieurs conjectures sont énoncées. L'exposé se termine avec une conclusion, assez brève, qui décrit rapidement quelques pistes plus approfondies. Le milieu et le type de compréhension changent ainsi radicalement : un nouveau territoire mathématique s'ouvre, et il reste largement à explorer. L'auditeur et/ou le lecteur se retrouvent sur un terrain, qui, pour être celui de la recherche, n'est pas sans être structuré et informé par tous les développements mathématiques de l'ensemble de l'exposé. Ceux de la troisième partie forment un socle d'idées et de résultats, non entièrement structuré et institutionnalisé, à charge pour chacun de se les approprier.

Du point de vue didactique, on assiste à une nouvelle modification du partage des responsabilités entre l'orateur et le récepteur. Le style est plus condensé et elliptique. Le discours n'est pas entièrement stabilisé, il porte autant sur des phénomènes concrets que sur la possibilité d'édifier une théorie organique, ce qui se manifeste par des horizons théoriques ouverts, des conjectures, des pistes à explorer.

De façon plus précise, Cartier énonce des conjectures en donnant des indications sur leur vraisemblance et la naturalité de leur apparition dans le contexte où elles sont énoncées. En termes didactiques, ces conjectures apparaissaient comme des problèmes ouverts, tout comme les problèmes ouverts qu'un enseignant peut suggérer dans une classe à des élèves doués. Elles ont une formulation non ambiguë et, à l'exception de leur difficulté et de leur éventuelle fausseté, leur statut est proche de celui d'exercices (difficiles).

Cartier accomplit un travail d'institutionnalisation des connaissances, dans un sens proche de celui que donne Brousseau en contexte scolaire :

> Choisir certaines questions parmi celles que nous savons résoudre, les placer au cœur de la problématique qui confère le statut de connaissances plus ou moins importantes aux
réponses que ces questions exigent et les relier à d'autres questions et à d'autres connaissances, constitue en fin de compte la meilleure partie de l'activité scientifique. Ce travail culturel et historique diffère totalement de ce qu'il semblait nécessaire de laisser à l'étudiant, et il revient à l'enseignant. (Brousseau, 1997, p. 44)

Toutefois, Cartier accomplit ce travail de façon programmatique, sur des énoncés dont la validité est incertaine – une des spécificités didactiques d'un exposé de recherche, qu'il conviendra de mieux analyser dans des travaux ultérieurs.

Dans les termes des catégorisations de Brousseau, cette partie semble alterner entre différents types de discours qui relèvent de contrats différents :

— un type de contrat non didactique, qui est celui du contrat d'expertise, où le porteur du discours s'engage sur la validité de ce qu'il énonce sans fournir d'autre élément en éclairant le contenu eu égard du récepteur :

> Les formes linéaires $\alpha_{z_0}^{z_1}$ sont des homomorphismes d'algèbres de $\mathfrak{h}_{sh}$ dans $\mathbb{C}$, qui permettent souvent de ramener un calcul analytique à un calcul dans l'algèbre avec le produit de mélange. (Cartier, 2002, p.163)

— le type de contrat que nous avons rencontré dans la deuxième partie, en l'occurrence un contrat faiblement didactique portant sur un savoir nouveau, sous la forme du contrat d'information (dogmatique) :

> Le point technique le plus important de la démonstration consiste à prouver que $\mathfrak{d}m_0(A)$ décrit comme ci-dessus est stable par le crochet $\langle \psi_1, \psi_2 \rangle$ d'Ihara. (Cartier, 2002, p.167)

— enfin, un autre type de contrat faiblement didactique portant sur un savoir nouveau, qui est le contrat de direction d'étude où l'émetteur du discours indique comment un savoir pourrait être acquis, sans s'engager dans la démarche didactique qui consisterait à développer complètement le discours et ses justifications théoriques sous une forme organisée :

> Nous terminons par une série de problèmes ouverts. [...] La démonstration de Rabinet permet en principe de construire $D$ à partir d'un élément pair $\Phi$ de $DM(Q)$. La construction explicite d'un tel $\Phi$ est un problème important. (Cartier, 2002, p.167)

Nous ne retenons pas le contrat d'initiation et de contrôle car il ne s'agit pas de savoirs stabilisés; leur maîtrise ne peut donc s'évaluer à travers un ensemble de questions et problèmes, le contour de ces derniers demeure à saisir avant d'être à même d'exercer un contrôle. En d'autres termes, nous considérons la notion de contrôle comme relative à un objet de savoir déterminé (par un processus d'institutionnalisation parvenu à son terme, au moins temporairement dans l'attente de nouveaux développements).

La situation est différente pour le contrat de direction d'étude. A l'instar du cadre scolaire, l'instructeur propose « des séries d'exercices supposées permettre l'acquisition des connaissances visées sans passer par la conversion des savoirs ». Il n'est pas nécessaire de mobiliser des savoirs stabilisés ; il s'agit plutôt de suivre les grandes lignes d'une méthode, telle qu'elle est indiquée par le directeur lors de la dévolution du problème, lequel fait alors office de situation a-didactique.

L'alternance des différents types de discours et leurs contrats nous semble ici liée à des raisons à la fois épistémologiques et didactiques. Il y a une économie du discours propre aux exposés de recherche, avec des contraintes fortes sur le temps disponible. Cartier fait ici de toute évidence des choix de priorités conceptuelles et didactiques, choisissant de développer plus ou moins tel ou tel résultat, tel ou tel argument, en fonction du rôle stratégique qu'il joue dans le séminaire et son ouverture vers des questions de recherche ouvertes. D'où une alternance entre contrat d'expertise et contrat d'information dogmatique, l'ensemble des contenus présentés étant par ailleurs très largement orientés vers les problèmes ouverts et le contrat de direction d'étude.
# 5. Conclusions et perspectives

Nous avons cherché à montrer que :

- les exposés de recherche de type universitaire posent de véritables questions didactiques, avec des enjeux importants, dont celui de la communication savante et de la cristallisation en un savoir des avancées de la recherche,

- il y a des outils disponibles pour étudier et décrire ces phénomènes, dont en particulier la typologie de contrats en théorie des situations didactiques, élaborée par Brousseau pour caractériser les stratégies de l'enseignant dans la relation didactique,

- enfin, c'est une problématique indissociable de questions épistémologiques comme, dans l'exemple que nous avons étudié, la possibilité de relier un projet faiblement didactique à un mode de pensée mathématique : le structuralisme.

Si, en première approche pour Brousseau, le contrat d'information dogmatique est « celui qui a théoriquement cours dans la communauté mathématique pour la diffusion des résultats », un examen plus approfondi, comme celui que nous avons mené à propos de l'exposé de Cartier au séminaire Bourbaki, révèle une pluralité de contrats similaire à ce que l'on peut observer en classe dans un contexte scolaire (sans atteindre pour autant les niveaux de contrats fortement didactiques, ce qui était attendu). Cette diversité permet de mieux cerner la communication mathématique savante comme une pratique didactique à part entière.

Des raisons épistémologiques et didactiques viennent éclairer cette pluralité de contrats, dont les changements au cours même de l'exposé correspondent, tout comme en situation d'enseignement en classe, à des choix délibérés de l'enseignant/orateur destinés à « maintenir des équilibres et des conditions optimales » au vu d'un projet (d'enseignement ou d'exposition d'une recherche en cours dans le but d'en susciter des prolongements). Ainsi l'exposé de Cartier offre-t-il une structure assez typique des exposés de recherche, où alternent un contrat de reprise de savoirs anciens dans une perspective (semi-)historique, un contrat d'information (dogmatique) attaché à une présentation synthétique des avancées des dix dernières années, et enfin une mixité de contrats, avec une dominance du contrat de directeur d'étude lors d'une dernière partie davantage programmatique et transférant à l'auditoire un ensemble de questions et énoncés (propositions et hypothèses), cela en appui sur quelques idées directrices et lignes méthodologiques.

Les catégories de contrats de Brousseau s'appliquent au contexte de notre étude du fait de la visée qui a présidé à son élaboration : inclure les phénomènes de communication au-delà des assujettissements typiques selon les normes d'une institution scolaire. Pour autant, le « problème épistémologique » se pose différemment. En milieu scolaire où les savoirs à enseigner sont consignés sous forme de programme officiel, les contrats faiblement et fortement didactiques supposent l'usage de « fictions » (les situations), nécessaires à la conversion des savoirs en connaissances. A l'inverse, les mathématiques de recherche font vivre des savoirs authentiques non stabilisés, que les séminaires de recherche contribuent à institutionnaliser, et sur lesquels l'exercice du contrôle que viserait une communication didactique classique est limité de fait par l'état des connaissances.

Les règles qui ont été mises en place par le groupe Bourbaki pour organiser son séminaire (par exemple la présentation des idées par un non-spécialiste), tout comme les interviews de quelques-uns de ses membres auxquelles nous avons eu accès, soulignent des enjeux de compréhension et de sens. Nous pouvons placer ces enjeux à la lumière des définitions de Brousseau et notamment du triptyque sémantique-syntaxe-pragmatique. La dimension syntaxique est portée, comme en milieu scolaire, par les axiomatiques et la méthode démonstrative, mais les enjeux de sens et de créativité de l'activité mathématique se situent bien entendu à un autre niveau. Si la dimension sémantique trouve ancrage, pour Bourbaki, dans la pensée structuraliste, laquelle organise l'architecture du tissu conceptuel en articulant intuition et formalisme, le déficit de contrôle lié au caractère vivant de la recherche en cours conduit à mettre en avant la dimension pragmatique. In fine, un bon exposé de séminaire n'est pas lié à une exposition claire et impeccable d'un point de vue logique et formel de la matière mathématique,
mais un exposé qui optimise la possibilité de contribuer rapidement au champ de connaissances et à la sédimentation des concepts et résultats. A cette fin, tout comme en situation d'enseignement en classe, la mise en place de « conditions dialectiques où les ruptures jouent un rôle important » semble une stratégie gagnante. Du moins, c'est une telle stratégie que nous avons pu mettre en lumière dans nos analyses, notamment dans la dernière partie de l'exposé de Cartier relative aux frontières de la connaissance.

Cette étude exploratoire appelle à de nombreux prolongements, dont une étude plus large et systématique des exposés du séminaire Bourbaki. Une telle entreprise nécessiterait une collaboration entre historiens, didacticiens et mathématiciens, afin de délimiter un corpus et préciser une méthodologie d'analyse qui permette de s'affranchir en partie des difficultés liées à la technicité des contenus mathématiques. La méthodologie pourrait également donner une place plus large à des interviews de mathématiciens afin d'expliciter les gestes et les intentions didactiques sur la base de la réflexivité des orateurs. Dans notre cas, l'accès à des interviews de la génération qui a mis en place le séminaire Bourbaki se limite essentiellement aux archives disponibles et les traces recueillies semblent indiquer une évolution du séminaire. Ce dernier s'éloignerait des principes didactiques (e.g. choix le l'orateur parmi les non spécialistes du domaine) et épistémologiques (rôle assigné à la méthode structuraliste) en lien avec la spécialisation croissante des domaines scientifiques et la place croissante des mathématiques appliquées, porteuses d'autres dimensions épistémologiques. Cette dimension applicative, dans les séminaires Bourbaki ou ailleurs, pourrait, par exemple, permettre d'illustrer un usage du contrat d'utilisation des connaissances de Brousseau, lequel s'est avéré absent de nos analyses du séminaire de Cartier, ou à mettre en évidence de nouveaux contrats qui n'ont pas été envisagés par Brousseau lors de son approche mêlant la visée théorique de la TSD à ses propres observations empiriques.

Références

Andler, M. (1988). Entretien avec trois membres de Nicolas Bourbaki. *Gazette des mathématiciens* (35), 43-49.

Artigue, M., Bosch, M., Chaachoua, H., Chellougui, F., Chesnais, A., & al. (2019). The French didactics tradition in mathematics, ICME-13 Monographs. In W. Blum, M. Artigue, M. A. Mariotti, R. Sträfer, & M. V. den Heuvel-Panhuizen (Eds.), *European traditions in didactics of mathematics* (p. 11-55). Barcelona : Universitat Ramon Llull.

Audin, M. (2014). *Le Séminaire de mathématiques 1933-1939, no. 1, L'histoire*. Cedram.

Balazard, M. (2010). Un siècle et demi de recherches sur l'hypothèse de Riemann. *Gazette des mathématiciens*, *126*, 7-23.

Brousseau, G. (1996). L'enseignant dans la théorie des situations didactiques. In R. Noirfalise & M.-J. Perrin-Glorian (Eds.), *Actes de la viiième école d'été de didactique des mathématiques à saint-sauves d'auvergne* (pp. 3-46). IREM de Clermont-Ferrand. Consulté sur https://ardm.eu/guy-brousseau/guy-brousseau.com/wp-content/uploads/2012/02/LENSEIGNANTdans-la-TSDM.pdf

Brousseau, G. (1997). *Theory of didactical situations in mathematics – 1970-1990*. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers.

Burton, L. (2013). Research mathematicians as learners—and what mathematics education can learn from them. *British Educational Research Journal*, 27(5).

Cartier, P. (1954). Représentations des groupes de Lie (d'après Harish-Chandra). *Séminaire Bourbaki* (exp. 96), 415-424.

Cartier, P. (2002). Fonctions polylogarithmes, nombres polyzêtas et groupes pro-unipotents. *Astérisque*, 282 (exp. 885), 137-173.

Connes, A., & Kouneiher, J. (2025). Pierre Cartier : A Visionary Mathematician. *Notices of the Amer. Math. Soc.*, 72(5), 514-522.

Dieudonné, J.-A. (1977). *Panorama des mathématiques pures : le choix bourbachique*. Paris, Gauthier-Villars.

Fréchet, M. (1963). Notice nécrologique sur Jacques Hadamard. *C. R. Acad. Sci. Paris* (257), 4081-4086.

Guilbaud, S. (2015). Bourbaki et la fondation des maths modernes. *Le Journal du CNRS (Numérique)* (10.06.2015, https://lejournal.cnrs.fr/articles/bourbaki-et-la-fondation-des-maths-modernes).

Hausberger, T., & Patras, F. (2019). The didactic contract and its horizon of expectation. *Revista Educere Et Educare*, 15 (33).
Hausberger, T., & Patras, F. (2023). Networking phenomenology and didactics : Horizon of didactical milieus with a focus on abstract algebra. In V. M. A. & al. (Eds.), *Ongoing advancements in philosophy of mathematics education* (pp. 87–102). Springer.

Liljedahl, P., Santos-Trigo, M., Malaspina, U., & Bruder, R. (2013). *Résolution de problèmes dans l’enseignement des mathématiques*. Suisse : Springer.

Mashaal, M. (2017). *Bourbaki. Une société secrète de mathématiciens*. Belin.

Patras, F. (2001). *La pensée mathématique contemporaine*. P.U.F.

Patras, F. (2025). Pierre Cartier (1932-2024). *Annals of mathematics and philosophy, II*(2).

Taylor, P. (2018). Enseigner les mathématiques des mathématiciens. *Sciences de l'éducation, 8*, 56.

Weil, A. (1979). *Oeuvres scientifiques, vol II*. Springer.

Wilkerson-Jerde, M. H., & Wilensky, U. J. (2011). How do mathematicians learn math : Resources and acts for constructing and understanding mathematics. *Educational Studies in Mathematics, 78*, 21–43.

Thomas Hausberger

IMAG, Univ. Montpellier & CNRS

Montpellier, France

*e-mail*: thomas.hausberger@umontpellier.fr

Frédéric Patras

Laboratoire J.A.Dieudonné, Université Côte d'Azur & CNRS

Nice, France

*e-mail*: frederic.patras@unice.fr