Now we have to determine

$$z_0 = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{b_k^{(0)}}{k!}, \quad 0 \le b_k^{(i)} \le k-2,$$

so that all the $z_0+z_i$ are in $S$. To do this put $b_k^{(0)} = 0$, $2 \le k \le m-1$, and further for $k \ge m$, $1 \le i \le n-1$,

$$(1) \qquad b_k^{(0)} + b_k^{(i)} \neq k-1, k-2, 2k-2, 2k-3.$$

If $m > 4n$ such a choice of $b_k^{(0)}$ is always possible since for each $i$ (1) excludes at most 4 values of $b_k^{(0)}$ and there are $k-1 \ge m-1$ possible values for $b_k^{(0)}$ (i. e. $0 \le b_k^{(0)} \le k-2$ and $k \ge m$).

If $b_k^{(k)}$ satisfies (1) for all $k \ge m$ then $z_0+z_i$ is clearly in $S$ since the $k$-th digit of $z_0+z_i$ is $\le k-2$, i. e.

$$z_0+z_i = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{c_k}{k!}, \quad 0 \le c_k \le k-2. \quad \dots$$

Budapest, October 4, 1955

## SUR LA DÉRIVÉE D'UNE FONCTION DE SAUTS

PAR

J. S. LIPIŃSKI (ŁÓDŹ)

On appelle fonction de sauts non décroissante une fonction de la forme

$$(1) \quad f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} q_n(x), \quad \text{où } q_n(x) = \begin{cases} b_n+c_n & \text{pour } x > a_n, \\ b_n & \text{pour } x = a_n, \\ 0 & \text{pour } x < a_n, \end{cases}$$

la suite $a_n$ étant arbitraire, les nombres $b_n, c_n$ non négatifs, la série $\sum (b_n+c_n)$ convergente et $b_n+c_n > 0$. Le nombre $b_n$ est dit saut à gauche, le nombre $c_n$ saut à droite de la fonction $f(x)$ au point $a_n$. On voit que cette fonction est non décroissante, et l'ensemble de ses points de discontinuité est l'ensemble $\{a_n\}$. La somme d'une série uniformément convergente de fonctions de sauts non décroissantes est aussi une fonction de sauts non décroissante. On appelle fonction de saut une fonction de la forme $f(x) = f_1(x) - f_2(x)$, où $f_1(x)$ et $f_2(x)$ sont des fonctions de sauts non décroissantes.

Remarques sur la définition. Si l'on suppose que la suite $\{a_n\}$ est contenue dans un intervalle ouvert, et si l'on considère la fonction de sauts définie uniquement sur cet intervalle, on obtient une définition de la fonction de sauts équivalente à celle de Riesz et Nagy ([3], p. 142). E. Marczewski ne définit que des fonctions de sauts monotones. En désignant la limite à gauche de la fonction par $f(x-0)$ et la limite à droite par $f(x+0)$, il appelle $f(x)$ fonction de sauts monotone lorsque

$$f(b-0)-f(a+0) = \sum_{a<x<b} [f(x+0)-f(x-0)] \quad \text{pour } a < b.$$

(La somme du membre droit est comprise comme la somme des termes qui ne sont pas nuls, et l'ensemble de ceux-ci n'est que dénombrable; [1], p. 142). On voit que sa définition embrasse une classe de fonctions monotones plus étendue que la définition formulée au début. P. ex. $y = E x$, étant une fonction de sauts au sens de Marczewski, ne l'est pas d'après la définition (1). Tous les théorèmes de ce travail, bien que démontrés pour la fonction de sauts définie au début, restent valables si l'on admet la définition de Marczewski.
On sait que pour un ensemble arbitraire $D$ de mesure nulle il existe une fonction continue non décroissante $\varphi(x)$ qui n'est différentiable en aucun point de l'ensemble $D$. Il existe aussi une fonction de sauts non décroissante $f(x)$ qui n'est différentiable en aucun point de l'ensemble $D$ (cf. [1], théorème 2). On peut choisir la fonction $\varphi(x)$ de sorte que l'on ait $\varphi'(x) = \infty$ pour $x \in D$ (cf. [1], démonstration du théorème 1, ou aussi [2], p. 189). E. Marczewski a posé la question si la fonction $f(x)$ peut toujours être choisie de telle sorte que l'on ait $f'(x) = \infty$ aux points de l'ensemble $D$. La réponse est négative. L'ensemble $D$ doit en effet remplir une certaine condition nécessaire (théorème 2), en particulier il doit être de première catégorie. La condition que j'énonce est, on le verra, aussi suffisante (théorème 3).

Voici les termes et les notations que je vais employer dans la suite: l'ensemble $E$ sera dit de mesure pleine si son complément est de mesure nulle. La dérivée inférieure de Dini de la fonction $f(x)$ sera désignée par $Df(x)$. Soit $f(x)$ une fonction définie par la formule (1), $(a, b) = d$ un intervalle ouvert arbitraire, et $A$ l'ensemble de tous les nombres naturels $n$ tels que $a < a_n < b$. Je pose

$$S(a, b) = S(d) = \sum_{A} (b_n + c_n); \quad D(a, b) = D(d) = \frac{S(d)}{|d|} = \frac{S(a, b)}{b-a}.$$

**LEMME 1.** Soient les points $a < a_{n1} < a_{n2} < \dots < a_{n_r} < b$, qui partagent l'intervalle $(a, b)$ en $r+1$ intervalles $(a, a_1) = d_1$, $(a_{n_{r-1}}, a_{n_r}) = d_p$ $(p=2, 3, \dots, r)$, $(a_n, b) = d_{r+1}$. Soit $m$ un nombre naturel. Je désignerai par un astérisque, soit $d_p^*$, les intervalles $d_p$ pour lesquels $D(d_p) \ge 1/m$. On peut toujours choisir les nombres $a_{np}$ de sorte que

$$\sum_{p=1}^r |d_p^*| < \frac{b-a}{2}.$$

Démonstration. Je choisis les points $a_{np}$ de sorte que l'on ait

$$(3) \qquad S(a, b) - \sum_{p=1}^{r} (b_{np} + c_{np}) < \frac{b-a}{2m},$$

ce qui est possible, car $S(a, b)$ est la somme d'une série convergente de nombres positifs et $b_n+c_n$ sont les termes de cette série. De la définition de $S(a, b)$ on tire

$$(4) \qquad S(a, b) - \sum_{p=1}^{r} (b_{np} + c_{np}) = \sum_{p=1}^{r+1} S(d_p).$$

Supposons que l'inégalité (2) n'ait pas lieu, c'est-à-dire que

$$(5) \qquad \sum_{p=1}^r |d_p^*| \ge \frac{b-a}{2}.$$

Nous avons $D(d_p^*) = S(d_p^*)/|d_p^*| \ge 1/m$, d'où

$$S(d_p^*) \ge \frac{1}{m} |d_p^*| \quad \text{et} \quad \sum S(d_p^*) \ge \frac{1}{m} \sum |d_p^*|.$$

En vertu de (4) et (5) nous aurions

$$S(a, b) - \sum_{p=1}^{r} (b_{np} + c_{np}) \ge \sum S(d_p^*) \ge \frac{b-a}{2m},$$

ce qui est en contradiction avec (3). Le lemme est ainsi démontré.

**LEMME 2.** Pour tout nombre naturel $m$ il existe un ensemble ouvert $G_m$, de mesure pleine et de composantes $A_n$ telles que

$$(6) \qquad |A_n| \le \frac{1}{m}; \quad D(A_n) < \frac{1}{m}.$$

Démonstration. Je définis la classe des composantes en y mettant d'abord tous les intervalles $(i/m, (i+1)/m) (i=0, \pm 1, \pm 2, \dots)$, pour lesquels $D(i/m, (i+1)/m) < 1/m$. Si l'intervalle $(i/m, (i+1)/m)$ n'est pas un intervalle $A_n$, alors, en vertu du lemme 1, je le partage en un nombre fini d'intervalles $d_p$ de sorte que $\sum |d_p^*| < 1/2m$. J'appelle les intervalles $d_p^*$ intervalles initiaux au premier pas de l'induction, et je prends les autres comme composantes $A_n$. Supposons que la somme des longueurs de tous les intervalles initiaux au $n$-ième pas de l'induction, contenus dans $(i/m, (i+1)/m)$, soit inférieure à $1/2^m$. Soit $(c, d)$ un intervalle initial au $n$-ième pas de l'induction. En vertu du lemme 1 je le partage en un nombre fini d'intervalles $l_p$ $(p=1, 2, \dots, s)$, tels que $\sum |l_p^*| < (d-c)/2$ $(l_p^*$ désigne les intervalles pour lesquels $D(l_p) \ge 1/m$). J'appelle les intervalles $l_p^*$ intervalles initiaux au $n+1$-ème pas de l'induction et je mets les autres intervalles $l_p$ parmi les composantes $A_n$. On voit que la somme des longueurs des intervalles initiaux au $n+1$-ème pas de l'induction, contenus dans $(i/m, (i+1)/m)$, est inférieure à $1/2^{n+1}m$. Tous les intervalles $A_n$ sont disjoints et ouverts. Leur somme forme un ensemble de mesure pleine, ouvert, dont les composantes $A_n$ satisfait à l'inégalité (6), elle est donc l'ensemble $G_m$ dont l'existence était à démontrer.

**THÉORÈME 1.** Si $f(x)$ est une fonction de sauts non décroissante, on a $\{Df(x) = 0\} \supset G$, où l'ensemble $G$ est de mesure pleine et $G \in G_3$.
Démonstration. Soient $G_m$ les ensembles dont il a été question dans le lemme 2. Je pose

$$
G = \prod_{m=1}^{\infty} G_m.
$$

Les ensembles $G_m$ sont de mesure pleine et ouverts, l'ensemble $G$ est donc
de mesure pleine et de classe $G_s$. Pour établir le théorème, il suffit de
prouver que pour $x_0 \in G$ on a $\underline{D}f(x_0) = 0$. Dans chaque ensemble $A_m$ il
existe une composante $A_m$, telle que $x_0 \in A_m$. En vertu de l'inégalité (6)
il vient

$$
\{x_0\} = \prod_{m=1}^{\infty} A_m.
$$

On doit avoir
(7)
$x_0 \neq a_s$.

En effet, si $x_0 = a_s$, on aurait $S(A_m) \ge b_s + c_s > 0$ et, en tenant compte de (6),

$$
D(A_m) = \frac{S(A_m)}{|A_m|} \ge \frac{b_s+c_s}{|A_m|} \ge (b_s+c_s)m.
$$

Il en résulterait que

$$
\lim_{n \to \infty} D(A_m) = \infty,
$$

en contradiction avec (6). Posons $A_m = (x_0 - a_m, x_0 + \beta_m)$. De l'inégalité
(7) il vient

$$
(8) \qquad S(x_0 - a_m, x_0) + S(x_0, x_0 + \beta_m) = S(A_m).
$$

Pour l'un au moins des intervalles $(x_0-a_m, x_0)$, $(x_0, x_0+\beta_m)$ on a
$D(x_0-a_m, x_0) < 1/m$, ou $D(x_0, x_0+\beta_m) < 1/m$. Sinon on aurait

$$
S(x_0 - a_m, x_0) \ge \alpha_m/m \quad \text{et} \quad S(x_0, x_0 + \beta_m) \ge \beta_m/m,
$$

d'où, en tenant compte de (8),

$$
S(A_m) \ge \frac{a_m + \beta_m}{m} = \frac{|A_m|}{m}, \quad \text{on} \quad D(A_m) \ge 1/m,
$$

en contradiction avec (6). Si $D(x_0-a_m, x_0) < 1/m$, je pose $x_m = x_0 - a_m/2$,
dans le cas contraire $x_m = x_0 + \beta_m/2$. Nous avons alors $D(x_0, x_0+\beta_m) < 1/m$.

Supposons vrai le premier cas. Alors $0 < x_0 - x_m = \alpha_m / 2$, et $0 \le$
$\le f(x_0) - f(x_m) \le S(x_0 - a_m, x_0)$, d'où

$$
0 \le \frac{f(x_0) - f(x_m)}{x_0 - x_m} \le \frac{2S(x_0 - a_m, x_0)}{a_m} = 2D(x_0 - a_m, x_0) < \frac{2}{m}.
$$

Dans le second cas nous obtenons d'une manière analogue la même
inégalité

$$
0 \le \frac{f(x_0) - f(x_m)}{x_0 - x_m} < \frac{2}{m}.
$$

Il en résulte

$$
\lim_{m \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_m)}{x_0 - x_m} = 0;
$$

en tenant compte de l'inégalité $|x_0 - x_m| < |A_m| \le 1/m$, ceci donne
$\underline{D}f(x_0) = 0$.

THÉORÈME 2. Si $f(x)$ est une fonction de sauts, il existe un ensemble $F$, de mesure nulle et de classe $F_\sigma$, tel que

$$
(9) \qquad \{f'(x) = \infty\} \subset F.
$$

Démonstration. Soient $f_1(x)$ et $f_2(x)$ des fonctions de sauts non décroissantes, telles que $f(x) = f_1(x) - f_2(x)$. La fonction $f_2(x)$ étant non décroissante, nous avons $\underline{D}f(x) \le \underline{D}f_1(x)$. De là

$$
(10) \qquad \{f'(x) = \infty\} \subset \{f'_1(x) = \infty\}.
$$

En vertu du théorème 1 il existe un ensemble $G \in G_s$, de mesure pleine,
contenu dans l'ensemble $\{\underline{D}f_1(x) = 0\}$. Je désigne par $F$ le complément
de l'ensemble $G$. Évidemment $F \in F_\sigma$, $|F| = 0$ et $F \supset \{\underline{D}f_1(x) \neq 0\} \supset
\{f'_1(x) = \infty\}$; avec (10) ceci entraîne (9).

En vertu d'un théorème bien connu de Lebesgue, une fonction de
sauts est différentiable presque partout. Évidemment sa dérivée, partout
où elle existe, est égale à la dérivée inférieure de Dini. On sait que celle-ci
est presque partout nulle (théorème 1). Une fonction de sauts non décrois-
sante a donc presque partcut une dérivée nulle. Il en est de même de la
différence de deux telles fonctions. Nous arrivons ainsi à la conclusions
suivante:

COROLLAIRE. Une fonction de sauts a presque partout une dérivée nulle.

Riesz et Nagy obtiennent ce résultat comme conséquence immédiate
du théorème de Fubini sur la dérivation terme à terme d'une série de
fonctions monotones (cf. [3], p. 14).

LEMME 3. Soit $E$ un ensemble fermé, de mesure nulle, contenu dans l'intervalle ouvert $(a, b)$. Il existe une suite de points isolés $a_n \in (a, b) - E$ et une fonction de sauts non décroissante $f(x)$, continue en chaque point différent de $a_n$ et discontinue aux points $a_n$, ayant une dérivée en chaque point et telle que $f'(x) = \infty$ pour $x \in E + \{a_n\}$ et $f'(x) = 0$ pour $x \in E + \{a_n\}$.
Démonstration. Toutes les composantes de l'ensemble ouvert $(a, b) - E$ forment une suite d'intervalle ouverts $(a_m, \beta_m)$. Pour $a_m \neq a$ je ferme la suite

$$a_{m,k} = a_m + \frac{1}{2^k} \quad \left( k \ge N, \quad \frac{1}{2^N} \le \frac{\beta_m - a_m}{2} \right),$$

pour $\beta_m \neq b$, la suite

$$b_{m,k} = \beta_m - \frac{1}{2^k} \quad \left( k \ge N, \quad \frac{1}{2^N} \le \frac{\beta_m - a_m}{2} \right).$$

Je range les nombres $a_{m,k}$ et $b_{m,k}$ en une suite $a_n$. L'ensemble $\{a_n\}$ se compose de points isolés et $\{a_n\} \subset (a, b) - E$. L'ensemble $E + \{a_n\}$ est fermé, l'ensemble $(a, b) - (E + \{a_n\})$ ouvert. Je range les composantes de celui-ci en une suite $(\gamma_v, \delta_v)$ de sorte que la suite $\{\delta_v - \gamma_v\}$ soit non croissante. Comme $|E| = 0$, on a

$$\sum_{v=1}^{\infty} (\delta_v - \gamma_v) = b - a.$$

Je choisis une série convergente de nombres positifs $\sum_{v=1}^{\infty} d_v$ telle que

$$(11) \qquad \lim_{v \to \infty} \frac{d_v}{\delta_v - \gamma_v} = \infty.$$

Soit $(\gamma_{v\alpha}, \delta_{v\alpha})$ le plus long, respectivement l'un des deux intervalles contigus à $a_n$, s'ils sont égaux. Je pose $b_n = c_n = d_{v\alpha}$ et je définis la fonction $f(x)$ par la formule (1). Je dis que la fonction (1) a les propriétés mentionnées dans l'énoncé du lemme.

Nous avons $\varphi_n(x) \le 2d_{v\alpha}$. La série

$$\sum_{v=1}^{\infty} d_v$$

est convergente, donc la série

$$\sum_{n=1}^{\infty} \varphi_n(x)$$

est uniformément convergente. Les fonctions $\varphi_n(x)$ sont continues en dehors de l'ensemble $\{a_n\}$, la fonction

$$f(x) = \sum_{n=1}^{n} \varphi_n(x)$$

est donc continue pour $x \neq a_n$; la fonction $\varphi(x)$ est discontinue au point

$a_n$, et toutes les autres fonctions $\varphi_i(x)$ y sont continues; la fonction $f(x)$ est donc discontinue. Au point $a_n$ nous avons $\varphi'_{v\alpha}(a_n) = \infty$. Toutes les fonctions $\varphi_i(x)$ sont non décroissantes, donc $f'(a_n) = \infty$. Dans chaque composante $(\gamma_v, \delta_v)$ les fonctions $\varphi_n(x)$ sont constantes, la fonction $f(x)$, qui est leur somme, l'est aussi; dans l'ensemble $(a, b) - (E + \{a_n\})$ nous avons donc $f'(x) = 0$.

Il reste à montrer que l'on a $f'(x) = \infty$ pour $x \in E$. Soit $M$ un nombre positif quelconque. En vertu de (11) il existe un nombre $N$ tel que

$$(12) \qquad \frac{d_v}{\delta_v - \gamma_v} > M \quad \text{pour } v > N.$$

La somme

$$H = \sum_{v=1}^{N} [\gamma_v, \delta_v]$$

est un ensemble fermé et bornée, n'ayant aucun point commun avec $E$, donc la distance $\eta$ entre $E$ et $H$ est positive. Soit $x_0 \in E$, $\delta = \min(\eta, b - x_0)$ et $0 < h < \delta$. Désignons par $A$ l'ensemble de tous les nombres naturels $k$ tels que $x_0 < a_k < x_0 + h$. Soit $\Omega$ la somme des longueurs de tous les intervalles $(\gamma_{v\alpha}, \delta_{v\alpha})$ pour $k \in A$. Nous avons

$$(x_0, x_0 + h) \subset E \cdot (x_0, x_0 + h) + \{a_n\} (x_0, x_0 + h) + \sum_{x_0 < y_v < x_0 + h} (\gamma_v, \delta_v).$$

Comme $|E| = 0$ et $|\{a_n\}| = 0$, nous avons

$$h = |(x_0, x_0 + h)| \le \sum_{x_0 < y_v < x_0 + h} (\delta_v - \gamma_v) < 2 \sum_{k \in A} (\delta_{v\alpha} - \gamma_{v\alpha}) = 2\Omega,$$

d'où $\Omega > h/2$.

D'autre part, nous avons

$$f(x_0+h) - f(x_0) \ge \sum_{k \in A} (b_k + c_k) = \sum_{k \in A} 2d_{v\alpha}.$$

En tenant compte de (12) et de l'inégalité

$$\min_{k \in A} \{\gamma_k\} > N,$$

on conclut que

$$f(x_0 + h) - f(x_0) > \sum_{k \in A} 2M(d_{v\alpha} - \gamma_{v\alpha}) = 2M\Omega > Mh,$$

$$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} > M.$$
Il en résulte que la dérivée à droite de la fonction $f(x)$ aux points de l'ensemble $E$ est égale à $\infty$. Pour la dérivée à gauche la démonstration est analogue. De l'existence de ces dérivées et de leur égalité nous concluons finalement que l'on a $f'(x) = \infty$ pour $x \in E$, c. q. f. d.

Remarque. Parmi les hypothèses du lemme 3 on peut supprimer celle qui suppose l'ensemble $E$ borné. En effet, l'ensemble $E$ est partout non-dense, dans chaque intervalle $(k-\frac{1}{2}, k+\frac{1}{2})$ ($k=0, \pm 1, \pm 2, \dots$) il existe donc un point $p_k \in E$. Alors

$$E = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} E \cdot (p_k, p_{k+1}).$$

S'ils ne sont pas vides, les ensembles $E \cdot (p_k, p_{k+1})$ vérifient les hypothèses du lemme 3 : les suites $a_n^{(k)}$ et les fonctions $f_{(k)}(x)$, ayant les propriétés mentionnées dans l'énonce du lemme, existent pour ces ensembles. Si l'ensemble $E \cdot (p_k, p_{k+1})$ est vide, je pose $f_{(k)}(x) = 0$. De la définition (1) des fonctions $f_{(k)}(x)$ il résulte qu'elles sont bornées: $0 \le f_{(k)}(x) < M_k$. Je range les nombres $a_n^{(k)}$ ($n=1, 2, \dots$; $k=0, \pm 1, \pm 2, \dots$) en une suite $a_n$ et je définis la fonction $f(x)$ par l'égalité

$$f(x) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f_{(k)}(x) \cdot \frac{1}{2^{|k|}M_k};$$

on vérifie aisément que la suite et la fonction ainsi obtenues ont les propriétés mentionnées dans l'énoncé.

**THÉORÈME 3.** Si l'ensemble $E \in F_\sigma$ et $|E| = 0$, il existe une fonction de sauts non décroissante $f(x)$ telle que $f'(x) = \infty$ pour $x \in E$.

**Démonstration.** L'ensemble $E$ peut être mis sous la forme

$$E = \sum_{n=1}^{\infty} F_n,$$

où les ensembles $F_n$ sont de mesure nulle, fermés et bornés. En vertu du lemme 3 il existe pour chacun d'eux une fonction de sauts non décroissante $f_n(x)$ telle que $f'_n(x) = \infty$ pour $x \in F_n$. De la définition d'une fonction de sauts non décroissante il résulte que les fonctions $f_n(x)$ sont bornées: $0 \le f_n(x) < M_n$. Je pose

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n M_n} \cdot f_n(x).$$

Cette fonction étant la somme d'une série uniformément convergente de fonctions de sauts non décroissantes, elle est une fonction de sauts

non décroissante. Comme les fonctions $f_n(x)$ sont non décroissantes, on conclut de $f'_n(x) = \infty$ que $f'(x) = \infty$. Pour chaque point $x_0 \in E$ il existe un ensemble $F_n$ tel que $x_0 \in F_n$. En ce point on a $f'_n(x_0) = \infty$, donc aussi $f'(x_0) = \infty$, c. q. f. d.

### TRAVAUX CITÉS

<footnote>[1] E. Marczewski, *Uwagi o zbiorach miary zero i o różniczkowalności funkcji monotonicznych*, Roczniki P. T. M., Ser. I, Prace Matematyczne I. 1 (1955), p. 141-144.</footnote>

<footnote>[2] И. П. Натансон, *Теория функций бесцветной переменной*. Москва-Петербург, 1950.</footnote>

<footnote>[3] F. Riesz et B. Sz. Nagy, *Legons d'analyse fonctionnelle*. Budapest 1953.
UNIVERSITÉ DE LÓDZ</footnote>