# Méthodes rapides pour l'évaluation de la variabilité de fréquences propres d'une caisse nue automobile

Frédéric Druesne, Mohamed Boubaker, Pascal Lardeur

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Frédéric Druesne, Mohamed Boubaker, Pascal Lardeur. Méthodes rapides pour l'évaluation de la variabilité de fréquences propres d'une caisse nue automobile. 11e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2013, Giens, France. hal-01717104

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# Méthodes rapides pour l'évaluation de la variabilité de fréquences propres d'une caisse nue automobile

Frédéric DRUESNE *, Mohamed Bader BOUBAKER, Pascal LARDEUR

Université de Technologie de Compiègne, Dpt GSM Laboratoire Roberval
{frederic.druesne, mohamed-bader.boubaker, pascal.lardeur}@utc.fr

**Résumé** — Deux méthodes rapides et non intrusives sont ici proposées pour évaluer la variabilité de fréquences propres, due à des propriétés physiques ou matériau aléatoires. L'hypothèse de stabilité modale est exploitée menant à la méthode Modal Stability Procedure (MSP), et à la méthode au premier ordre First Order MSP (FOMSP) utilisant le calcul de sensibilité. Le modèle étudié est celui d'une caisse nue automobile à grand nombre de degrés de liberté et à grand nombre de variables aléatoires. Pour cette application, les coûts des méthodes sont au maximum de l'ordre de 4 calculs par éléments finis déterministes, et elles fournissent de très bonnes prédictions des quantités statistiques.

**Mots clés** — stabilité modale, sensibilité, variabilité, fréquence propre

## 1. Introduction

De nombreuses études ont montré que le comportement vibro-acoustique des véhicules présente un niveau de variabilité élevé [1]. La prise en compte des incertitudes dans les calculs vibratoires par éléments finis est donc nécessaire et elle permet de reproduire numériquement la variabilité observée expérimentalement.

Parmi les méthodes probabilistes, la méthode de référence est la simulation de Monte-Carlo (MCS). Elle permet d'introduire une approche statistique, en réalisant un très grand nombre de tirages afin de pouvoir estimer une variabilité. Cette méthode MCS est fiable mais très coûteuse en temps de calcul pour un modèle industriel. Plusieurs approches ont ainsi été développées. Parmi les techniques proposées pour réduire le nombre de calculs, on peut citer les approches avec perturbation, au premier et second ordre [2]. La technique de meta-modèle est également utilisée par Pichler et al. [3] pour approximer des quantités modales par des polynômes. Hinke et al. [4] utilisent des méthodes de synthèse modale pour l'analyse vibratoire de réponse en fréquence en réduisant le nombre de degrés de liberté du modèle éléments finis. Ces recherches en dynamique des structures de système incertain ont permis de proposer des approches variées afin de réduire le coût de calcul, ce qui rend possible l'étude de modèles industriels. L'objectif de ce papier est d'estimer la variabilité des fréquences propres sur un modèle de caisse automobile à grand nombre de degrés de liberté et à grand nombre de variables aléatoires. Ces variables sont le module d'élasticité, la masse volumique et l'épaisseur de tôle. Pour atteindre l'objectif, il s'agit donc de proposer une approche très rapide et robuste. Pour cela, deux méthodes non intrusives sont proposées, elles sont compatibles avec les codes industriels de calcul par éléments finis, et elles sont comparées à la méthode MCS de référence.

## 2. Présentation des méthodes MSP et FOMSP

### 2.1. La méthode Modal Stability Procedure

La méthode Modal Stability Procedure (MSP) est une approche numérique permettant de prendre en compte la variabilité dans les calculs vibratoires de type analyse modale et réponse en fréquence. Les grandes lignes de cette méthode ont été proposées par Martini [5]. La méthode MSP repose sur l'hypothèse mécanique de stabilité modale, supposant que la déformée modale de la structure est très
peu influencée par la perturbation des paramètres d'entrée. Pour l'analyse modale, le problème déterministe aux valeurs propres peut s'écrire de la manière suivante pour un mode considéré :

$$K_0 \phi_0 = \lambda_0 M_0 \phi_0 \quad (1)$$

avec $K_0$ la matrice de rigidité nominale, $M_0$ la matrice de masse nominale, $\lambda_0$ la valeur propre nominale associé au mode considéré et $\phi_0$ le vecteur modal nominal. Le système perturbé par la variabilité de paramètres peut ainsi s'écrire sous une forme (1) perturbée. En considérant la théorie des matrices perturbées et en exprimant les vecteurs propres perturbés sous la forme $\phi_p=\phi_0+\Delta\phi_p$, l'expression du quotient de Rayleigh s'écrit sous la forme suivante, en tenant compte de l'hypothèse de stabilité modale :

$$\lambda_p = \frac{(\phi_0 + \Delta \phi_p)^T K_p (\phi_0 + \Delta \phi_p)}{(\phi_0 + \Delta \phi_p)^T M_p (\phi_0 + \Delta \phi_p)} = \frac{\phi_0^T K_p \phi_0}{\phi_0^T M_p \phi_0} \quad (2).$$

L'obtention des matrices élémentaires de rigidité et de masse dans les codes éléments finis est coûteuse (extraction à chaque tirage) et parfois impossible avec certains logiciels. Le numérateur de l'équation (2) est constitué de l'énergie interne de déformation, et son dénominateur est proportionnel à l'énergie cinétique. Le numérateur peut ainsi être modifié en mettant en évidence les déformations modales dans les éléments, et le dénominateur peut être simplifié en considérant une matrice de masse concentrée. Ainsi, pour un mode donné et pour un maillage à n éléments, l'expression du carré de la pulsation propre perturbée s'écrit :

$$\omega_p^2 = \frac{\sum_{j=1}^{n} \int_{V_{p,j}} \varepsilon_{p,j}^T H_{p,j} \varepsilon_{p,j} dV}{\sum_{j=1}^{n} \phi_{0,j}^T m_{p,j} \phi_{0,j}} \quad (3)$$

avec $\varepsilon_{p,j}$ le vecteur des déformations modales de l'élément $j$, $V_{p,j}$ le volume fini de l'élément $j$, $H_{p,j}$ la matrice de loi constitutive de l'élément $j$, $m_{p,j}$ la matrice de masse de l'élément $j$, $\phi_{0,j}$ le vecteur propre nominal de l'élément $j$ nominal.

La méthode MSP requiert donc une analyse éléments finis sur la configuration nominale, afin de récupérer les déformées modales et les déformations modales élémentaires. Puis, des tirages rapides de Monte-Carlo sont ensuite réalisés en exploitant l'équation (3) pour calculer les fréquences perturbées, et donc estimer la variabilité des fréquences propres d'une structure.

Cette méthode MSP a déjà démontré ses qualités de méthode rapide et précise, notamment sur un modèle de pare-brise automobile [6] composé d'éléments finis de type triangle à 3 noeuds. La formulation a été ici étendue en prenant en compte les éléments de types quadrangle à 4 noeuds, hexaèdre à 8 noeuds, ainsi que les éléments ressort et masse, afin de pouvoir appliquer cette méthode au modèle de caisse nue [7].

## 2.2. La méthode MSP de premier ordre

Il est présenté ici une autre méthode rapide, nommée First Order MSP (FOMSP), basée sur le calcul de la sensibilité de la fréquence propre à chaque variable aléatoire $v_i$. Le développement limité au premier ordre d'une fréquence perturbée $f$ peut en effet s'écrire :

$$f = f_0 + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial v_i} \Delta v_i \quad (4)$$

avec $f_0$ la fréquence propre nominale, et $\partial f / \partial v_i$ la sensibilité de la fréquence à la variable aléatoire $v_i$. Il est considéré ici que les variables sont indépendantes, et que la distribution des paramètres incertains est symétrique par rapport à la valeur nominale. Ceci mène aux expressions suivantes pour
la moyenne et l'écart-type de la fréquence propre :

$$ 
\begin{gathered}
m(f) = f_0 \\
\sigma(f) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial v_i} \right)^2 \cdot \sigma^2(v_i)}
\end{gathered}
\qquad (5)
$$

L'approche au premier ordre proposée approxime donc la moyenne des fréquences perturbées comme étant la fréquence nominale, et l'écart-type est approximé par une expression faisant apparaître la sensibilité de la fréquence aux variables aléatoires. L'évaluation de cette sensibilité peut se réaliser avec une méthode analytique, une méthode semi-analytique, ou une méthode numérique. Les travaux de Dunne [8] comparent la méthode de Monte-Carlo et une analyse de sensibilité au premier ordre, pour la réponse en fréquence d'une structure. Cette approximation au premier ordre donne de très bons résultats et elle est implémentée dans le logiciel commercial CDH/VAO [9] pour l'optimisation et la variabilité vibro-acoustiques. Cependant, ces développements ne permettent pas de calculer la variabilité des fréquences propres.

La méthode FOMSP que nous proposons ici, estime la variabilité de la fréquence propre. La sensibilité, pour l'expression de l'écart-type (5), est approximée par différences finies décentrées à droite. Suite à des tests numériques, le niveau de perturbation retenu est égal à $10^{-3}$. Le calcul de sensibilité nécessite deux évaluations MSP, pour calculer une fréquence perturbée et la fréquence nominale :

$$ \frac{\partial f}{\partial v_i} \approx \frac{\Delta f}{\Delta v_i} = \frac{f^{\text{MSP}}(v_i + \Delta v_i) - f^{\text{MSP}}(v_i)}{\Delta v_i} \qquad (6) $$

### 3. Application

L'application proposée est une caisse nue automobile. Cette structure est composée de 214 pièces de tôlerie reliées entre elles par 3000 points de soudure. Le modèle éléments finis comprend 840000 degrés de liberté, et possiblement 642 variables aléatoires. Ces variables sont le module d'élasticité, la masse volumique et l'épaisseur sur chaque pièce. Les 15 premiers modes et fréquences propres sont étudiés, soit une plage de 30 à 95 Hz (Fig.1).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 1. Modes propres 1 à 4 de la caisse nue</figcaption></figure>
## 3.1. Evaluation de l'hypothèse de stabilité modale

L'hypothèse de stabilité modale utilisée par la méthode MSP est tout d'abord vérifiée à l'aide de l'indicateur MAC (Modal Assurance Criterion). Cet indicateur est utilisé depuis de nombreuses années pour évaluer la corrélation entre des modes propres [10]. La valeur parfaite du MAC est 1, une valeur supérieure à 0.9 indique une très bonne corrélation. Dix tirages aléatoires sont réalisés pour former des vecteurs propres perturbés. L'indicateur MAC est calculé, pour chaque mode *k*, entre le vecteur propre nominal $\phi_0^k$ et chaque vecteur propre perturbé $\phi_p^k$ :

$$MAC^k = \frac{(\phi_p^k \phi_0^k)^2}{(\phi_p^k \phi_p^k)(\phi_0^k \phi_0^k)} \quad (7).$$

Le coefficient de variation (CoV) appliqué est ici 5% sur les variables d'épaisseur. Les valeurs moyennes de MAC obtenues sont indiquées dans le tableau 1. Ces valeurs moyennes de MAC sont excellentes jusqu'au mode 7, puis pour les modes suivants elles sont comprises entre 0.8 et 0.9. Sur les 15 premiers modes, le MAC moyen est toujours supérieur ou égal à 0.8, ce qui constitue un bon niveau pour cet indicateur. Dans la plage des basses fréquences, l'hypothèse de stabilité modale est donc vérifiée d'une manière satisfaisante.

<table><caption>Tableau 1. Valeurs moyennes de MAC entre les vecteurs propres nominaux et perturbés – CoV($h$)=5%</caption><thead><tr><th>Mode</th><th>1,2,3,4</th><th>5,6,13</th><th>7</th><th>9</th><th>8</th><th>14</th><th>10,15</th><th>11,12</th></tr></thead><tbody><tr><td>MAC moyen</td><td>1</td><td>0.99</td><td>0.98</td><td>0.93</td><td>0.9</td><td>0.83</td><td>0.82</td><td>0.8</td></tr></tbody></table>

## 3.2. Résultats de la méthode MSP

La méthode MSP est comparée ici à la méthode de référence MCS, en considérant comme incertaines les épaisseurs de tôles, soit 214 variables aléatoires. Le niveau de variabilité d'entrée est modéré (CoV=5%). Les distributions MCS et MSP des quatre premières fréquences sont tracées sur la figure 2. 10000 tirages sont effectués pour tracer les distributions MSP et MCS. Pour ces quatre fréquences propres étudiées, les distributions MCS et MSP sont quasi-gaussiennes et très proches l'une de l'autre.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 2. Distribution MCS et MSP des fréquences 1, 2, 3 et 4 - CoV($h$)=5% - 214 variables aléatoires</figcaption></figure>
Les erreurs MSP sur la moyenne et l'écart-type sont décrites dans le tableau 2. L'erreur MSP sur la moyenne est inférieure à 1% pour les 4 premières fréquences. L'erreur MSP sur l'écart-type est légèrement supérieure, de l'ordre de 1% pour les fréquences 2, 3 et 4, et de l'ordre de 4% concernant la fréquence 1 (mode local Fig.1). Les prédictions statistiques de MSP sont donc précises pour ce modèle de caisse nue, en moyenne et en écart-type.

<table><caption>Tableau 2. Erreurs MSP / MCS - CoV(h)=5% - 214 variables aléatoires</caption><thead><tr><th>Mode</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th></tr></thead><tbody><tr><td>Érreur sur la moyenne des fréquences</td><td>-0.4</td><td>0.1</td><td>0</td><td>0.7</td></tr><tr><td>Érreur sur l'écart-type des fréquences</td><td>-3.6</td><td>0.7</td><td>-1.1</td><td>1.3</td></tr></tbody></table>

## 3.3. Comparaison MSP / FOMSP

Les performances des deux méthodes MSP et FOMSP sont ici comparées entre elles. Pour ce faire, les erreurs sur l'écart-type des fréquences 2 et 4 sont tracées (Fig. 3). Ces fréquences correspondent respectivement à un mode global de torsion et à un mode global de flexion (Fig. 1). Les deux méthodes se comportent de la même manière par rapport à la référence MCS, l'écart maximum entre ces deux méthodes est faible, il est de l'ordre de 2%. Et elles fournissent toutes deux des erreurs généralement très faibles par rapport à la référence MCS. Une exception est à relever : l'erreur sur l'écart-type de la quatrième fréquence propre est supérieure à 10%, pour CoV(h) = 20%, ce qui correspond à un niveau de variabilité très élevé.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 3. Erreurs MSP et FOMSP sur l'écart-type des fréquences 2 et 4</figcaption></figure>

Il a été également vérifié pour le mode 12 (mode très semblable au mode 1 de la figure 1), pour lequel le MAC est légèrement moins bon (Tableau 1), que les méthodes MSP et FOMSP fournissent encore des résultats acceptables (Fig. 4). L'erreur sur la moyenne FOMSP reste très faible, inférieure à 2%. La méthode MSP est encore plus précise, l'erreur sur la moyenne est inférieure à 1%. Concernant les erreurs des méthodes FOMSP et MSP sur l'écart-type de la fréquence 12, des écarts importants par rapport à MCS sont constatés. Pour un CoV compris entre 10% et 20%, les erreurs en écart-type varient de 10% à 20%. Ce mode 12, qui est un mode local, a été choisi car sur l'ensemble des modes étudiés, c'est celui qui mène aux erreurs les plus élevées pour l'écart-type.

En conclusion, même lorsque l'hypothèse de stabilité modale est légèrement dégradée (c'est souvent le cas pour un mode local), les prédictions des méthodes rapides restent très précises pour la fréquence moyenne. Par contre, pour ce type de mode, les résultats obtenus avec les méthodes MSP et FOMSP sont moins bons pour l'écart-type.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 4. Mode 12 - Erreurs MSP et FOMSP / MCS</figcaption></figure>

## 3.4. Coûts de calcul des méthodes MSP et FOMSP

Les coûts de calcul des méthodes MCS, MSP et FOMSP pour le modèle éléments finis de caisse nue (840 000 ddl et 214 variables aléatoires) sont présentés dans le tableau 3. Ils ont été obtenus sur un ordinateur muni d'un processeur Intel(R) Core(TM) i5 M480 3,67Ghz avec 8Go de RAM. Le temps CPU d'une analyse éléments finis pour ce modèle est 360 secondes. Les gains pour les méthodes MSP et FOMSP par rapport à la référence MCS sont très importants. Les coûts des méthodes MSP et FOMSP sont respectivement ceux de 4 et 2 analyses éléments finis déterministes.

<table><caption>Tableau 3. Caisse nue – Coûts de calcul des méthodes (840 000 ddl)</caption><thead><tr><th></th><th>Temps CPU</th><th>Facteur d'accélération /MCS</th><th>Nombre équivalent de calculs EF déterministes</th></tr></thead><tbody><tr><td>MCS (10000 trials)</td><td>10000 x 360s</td><td>/</td><td>10000</td></tr><tr><td>MSP (10000 trials)</td><td>1040s +360s</td><td>2571</td><td>environ 4</td></tr><tr><td>FOMSP</td><td>478s + 360s</td><td>4296</td><td>environ 2</td></tr></tbody></table>

## 4. Conclusion

La méthode MSP s'appuyant sur l'hypothèse mécanique de stabilité modale et la méthode du premier ordre FOMSP utilisant le calcul de sensibilité, ont été proposées dans cet article pour estimer la variabilité d'une fréquence propre, due à des épaisseurs de tôles aléatoires. Ces deux méthodes non intrusives ont été appliquées à un modèle de caisse nue caractérisé par un grand nombre de degrés de liberté et un grand nombre de variables aléatoires. La comparaison des méthodes MSP et FOMSP à la méthode MCS a permis de mettre en évidence de très bonnes prédicitions des quantités statistiques. Les erreurs calculées sur la moyenne, l'écart-type et les distributions, sont en effet très faibles et montrent la fiabilité de ces deux méthodes proposées. Un autre avantage de ces méthodes est de pouvoir traiter des modèles industriels à grand nombre de degrés de liberté et à grand nombre de variables aléatoires. Ces méthodes ont en effet l'avantage d'être très rapides, et ainsi rendent possible la prise en compte des incertitudes dans ce type de modèle éléments finis industriels.

Les perspectives de ces travaux dans le domaine vibratoire sont de développer et d'appliquer ces méthodes MSP et FOMSP à la réponse en fréquence, pour des exemples industriels tels qu'une caisse automobile.
Remerciements

Ce travail a été réalisé dans le contexte du projet de recherche MADIAV, soutenu financièrement
par la région Picardie et l'Union Européenne (FEDER). La société Renault est remerciée d'avoir fourni
un modèle éléments finis de caisse nue, ainsi que son expérience.

Références

[1] L.A. Wood, C.A. Joachim, Variability of interior noise levels in passengers cars, Conference on vehicle noise and vibration, The Institution of Mechanical Engineers, Londres, pages 197-206, 1984.

[2] M. Kaminski, Stochastic second order perturbation approach to the stress based finite element method, International Journal of Solids and Structures, 38 (21), pages 3831-38-52, 2001.

[3] L. Pichler, A. Gallina, T. Uhl, L.A. Bergman, A meta-modeling technique for the natural frequencies based on the approximation of the characteristic polynomial, Computers and Structures, pages 108-116, 2012.

[4] L. Hinke, F. Dohnal, B.R. Mace, T.P. Waters, N.S. Ferguson, Component mode synthesis as a framework for uncertainty analysis, Journal of Sound and Vibration, 324, pages 161-178, 2009.

[5] L. Martini, Développement et évaluation de l'hypothèse de stabilité modale pour la variabilité du comportement vibratoire des structures minces modélisées par éléments finis, thèse de doctorat, Université de Technologie de Compiègne, France, 2008.

[6] E. Arnoult, P. Lardeur, L. Martini, The modal stability procedure for dynamic and linear finite element analysis with variability, Finite Elements in Analysis and Design, 47(1) pages 30-45, 2011.

[7] M.B. Boubaker, F. Druesne, P. Lardeur, F. Barillon, P. Mordillat, Uncertain vibration analysis of an automotive car body modeled by finite elements with the Modal Stability Procedure, International conference on noise and vibration engineering (ISMA), & International conference on Uncertainty in Structural Dynamics (USD), Leuven, Belgique 2012.

[8] L.W. Dunne, Modal correction methods in acoustic reliability analysis of vehicles, Sound and Vibration, 2006.

[9] http://www.cdh-ag.com/de/vao.html

[10] D.J. Ewins, Modal testing: theory and practice, Research Studies Press, Baldock, Hertfordshire, U.K., 1984.