RIA
laboria

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
B.P. 5 78150 - Le Chesnay
France
Tél.: 954 90 20

laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

PROBLÈMES
A FRONTIÈRE LIBRE
EN THÉORIE
DES MILIEUX CONTINUS

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

G. DUVAUT

Rapport de Recherche N° 185

Août 1976
# PROBLEMES A FRONTIERE LIBRE
EN THEORIE DES MILIEUX CONTINUS

G. Duvaut

Résumé :

L'état actuel de la recherche sur les problèmes à frontière libre conduit à les classer en trois groupes :

i) Ceux qui se formulent directement en termes d'inéquations variationnelles. On donne l'exemple de l'absorption de l'oxygène par les tissus vivants.

ii) Ceux qui se ramènent à une inéquation variationnelle après changement de fonction inconnue.
On place en tête de cette famille le problème de filtration à travers une digue poreuse (C. Baiocchi)
et on donne ici comme illustration le problème de Stéfan à deux phases.

iii) Les problèmes ouverts. Dans ce groupe on trouve le problème du water-drive dont les équations sont explicitées ici et tous les problèmes d'interface liquide atmosphère.

Abstract :

The state of research on free boundary problems lead us to classify them in three groups :

i) Those which can be formulated directly in terms of variational inequalities. We give the case of absorption of oxygen by living tissues.

ii) Those which can be formulated in terms of variational inequalities after a change of unknown function. The first of these is filtration through a porous dam (C. Baiocchi) and we give here the two phases Stefan problem.

iii) Open problems : in this group are the problem of water drive whose equations are explicitely here and all problems involving an interface liquid atmosphere.
PROBLEMES A FRONTIERE LIBRE

EN THEORIE DES MILIEUX CONTINUS.

par G. DUVAUT (*)

# I - INTRODUCTION

Les problèmes à frontière libre se présentent naturellement dans des situations concrètes : problème de Stéfan (c'est-à-dire de changement de phase), d'interface entre deux fluides non miscibles, de contact unilatéral, etc... Sauf dans les situations où l'on peut trouver explicitement une solution des équations mises en oeuvre, c'est-à-dire essentiellement lorsqu'il y a une seule variable d'espace, ces problèmes sont d'un abord difficile du point de vue mathématique à cause de l'incertitude liée à l'existence de cette frontière libre. La découverte des inéquations variationnelles** a apporté un outil mathématique qui permet dans certains cas d'appréhender ces problèmes. Il apparaît en effet que la solution d'une inéquation variationnelle, lorsqu'elle est interprétée en terme d'inéquations aux dérivées partielles et conditions aux limites, est en fait la solution d'un problème à frontière libre.

Les exemples d'une telle situation sont assez nombreux : problème de Signorini, c'est-à-dire du contact unilatéral d'un solide élastique sur un support rigide (G. Fichera [1], M. Boucher [1]), élasticité avec conditions de frottement à la frontière (G. Duvaut et J.L. Lions [1]), élastoplasticité (J. Moreau, H. Lanchon

<footnote>* IRIA-LABORIA et Université de Paris VI</footnote>

<footnote>** Pour une introduction à ces questions, consulter J.L. Lions et G. Stampacchia [1] et la bibliographie correspondante.</footnote>
[1], G. Duvaut et J.L. Lions [2], matériau à blocage (G. Prager [1], F. Léné [1]), fluides non-newtoniens. Il était dès lors naturel de se demander si inversement un problème posé en terme de frontière libre ne pouvait pas être transformé en la recherche de la solution d'une inéquation variationnelle d'un type classique ou non d'ailleurs.

Cette question reste actuellement sans réponse dans le cadre le plus général, mais certains problèmes s'y ramènent directement. De plus, C. Baiocchi [1] a introduit à propos d'un problème de filtration à travers une digue poreuse, un type de changement de fonction inconnue qui permet dans certains cas de répondre affirmativement à la question précédente.

Dans le développement qui suit nous classerons donc les problèmes à frontière libre en trois classes :

i) Ceux qui s'expriment directement en termes d'inéquation variationnelle. Entrent dans cette classe les situations analysées dans le livre "Les inéquations en mécanique et en physique" de G. Duvaut et J.L. Lions ainsi que les problèmes de contact entre corps déformables (M. Boucher [1], G. Duvaut [1]). Nous ne développerons pas ces situations à nouveau ici. Par contre nous donnerons un exposé assez détaillé d'un problème d'origine biomédicale : l'absorption de l'oxygène par les tissus vivants.

ii) Ceux qui se ramènent à une inéquation variationnelle après un changement de fonction inconnue du type introduit par C. Baiocchi. Dans cette classe nous trouvons le problème original de la filtration à travers une digue poreuse (C.Baiocchi [1]), écoulement bidimensionnel avec sillage d'un fluide parfait autour d'un profil symétrique sans incidence (H. Brézis et G. Duvaut [1]), (J.F. Bourgat et G. Duvaut [1]), problème de Stéfan à une phase (G. Duvaut [2] et [3]), cristallisation d'un métal fondu s'écoulant à vitesse constante à partir d'un creuset (Th. Brière [1]), problème de Stéfan à deux phases (G. Duvaut [5]). Dans le présent exposé nous donnerons la mise sous forme variationnelle du problème de Stéfan à deux phases.

iii) Enfin ceux qui actuellement sont encore des problèmes ouverts : interface entre un liquide pesant et l'atmosphère (F. Léné [2]), interface entre deux fluis des immiscibles en milieu poreux (problème du water-drive qui intervient dans l'exploitation des gisements pétrolifères), problèmes de contrôle optimal (*), écoulements autour d'un profil non symétrique avec sillage en bidimensionnel ou tridimensionnel, J. Boistel de Belloy [1]. Enfin, signalons le problème de la digue poreuse non rectangulaire qui conduit à une formulation dite inéquation quasi-

<footnote>* Sur le contrôle optimal consulter les travaux du Professeur CEA, etc..., [1]
Université de Nice.</footnote>
variationnelle pour laquelle on obtient un théorème d'existence d'une solution,
la question de l'unicité restant ouverte (C. Baiocchi [2]). Nous développerons
ici avec quelques détails le seul problème du water-drive.

2 - PROBLEMES S'EXPRIMANT DIRECTEMENT EN TERMES D'INEQUATION VARIATIONNELLE.
ABSORPTION DE L'OXYGENE PAR LES TISSUS VIVANTS.

2.1. <u>Enoncé du problème.</u>

Le problème a été posé et résolu explicitement dans le cas d'une seule variable
d'espace par CRANK et GUPTA. Nous donnons ici le cas tridimensionnel. Soit Ω la
région ouverte de R³ occupé par un tissu vivant. On désigne par u(x,t), x ∈ Ω,
t ∈ (0,T) la saturation en oxygène dans Ω. On a évidemment

$$
(2.1) \qquad u(x,t) \ge 0, \text{ dans } \Omega \times (0,T).
$$

Aux points Ω⁺(t) de Ω où la saturation u est strictement positive elle satisfait
à la loi de conservation correspondante soit

$$
(2.2) \qquad \frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{Div} \vec{q} = f \quad \text{dans } \Omega^+ (t),
$$

où $\vec{q}$ désigne le vecteur flux d'oxygène et où $f(x,t)$ représente l'absorption d'oxygène en $(x,t)$ par le tissu vivant. On suppose $f(x,t)$ donnée, négative ou nulle,

$$
(2.3) \qquad f(x,t) \le 0 \quad \text{dans } \Omega \times (0,T).
$$

De plus, la diffusion d'oxygène satisfait une loi de type Fourier,

$$
(2.4) \qquad \vec{q} = -K \overrightarrow{grad} u
$$

où K est une matrice de diffusivité. Dans les cas où le tissu est isotrope homo-
gène, la matrice K est sphérique constante. Dans tous les cas, nous supposerons
qu'elle est définie positive et ceci de manière uniforme sur Ω, c'est-à-dire

$$
(2.5) \quad \exists \alpha > 0, \text{ tel que } K_{ij} y_i y_j \ge \alpha y_i y_i, \quad \forall y_i \in \mathbb{R}, i=1,2,3 \quad \forall x \in \Omega.
$$

Enfin on suppose que sur la frontière ∂Ω = ∅ le flux d'oxygène est lié à la satu-
ration par une relation

$$
(2.6) \qquad \vec{q} \cdot \vec{n} = + \lambda (u-b)
$$

où b = b(x,t) est une saturation positive ou nulle donnée sur ∂Ω et où λ est un
coefficient positif ou nul sur $\partial\Omega$. Enfin, on se donne une condition initiale

$$ (2.7) \qquad u(x,0) = u_o(x), $$

où la fonction $u_o(x)$ est donnée positive ou nulle.

Le problème posé possède une frontière libre $\mathcal{L}(t)$ qui est la ligne de séparation entre $\Omega^+(t)$ où $u(t)$ est strictivement positive et la région $\Omega-\Omega^+(t) = \Omega^0(t)$ où $u(x,t)$ est nulle. Cette ligne inconnue $\mathcal{L}(t)$ varie avec $t$ et sépare deux régions $\Omega^+(t)$ et $\Omega^0(t)$ où les équations sont différentes. De plus elle porte les conditions

$$ (2.8) \qquad u(x,t) = 0 \quad \text{sur } \mathcal{L}(t) $$

$$ (2.9) \qquad \overrightarrow{\text{grad}} \, u(x,t) = 0 \quad \text{sur } \mathcal{L}(t). $$

La condition (2.8) exprime la continuité de la saturation à la traversée de $\mathcal{L}(t)$ et la condition (2.9) qui traduit la continuité de $\overrightarrow{\text{grad}} \, u$ provient de ce que le déplacement de $\mathcal{L}(t)$ ne s'accompagne d'aucune absorption d'oxygène.

## 2.2 Formulation variationnelle.

Supposons que le problème posé (2.1)-(2.9) possède une solution $u(x,t)$ suffisamment régulière pour que, pour tout $t \in (0,T)$ on ait

$$ (2.10) \qquad u(\cdot, t) \in H^1(\Omega) \cap \mathcal{U}_{\text{ad}}^{(*)}. $$

Introduisons le cadre fonctionnel suivant :

$$ ^{*} (2.11) \qquad V_o = L^2(\Omega), V = H^1(\Omega), \mathcal{U}_{\text{ad}} = \{v | v \in V, v \ge 0 \text{ dans } \Omega\}. $$

$$ (2.12) \qquad (u,v) = \int_{\Omega} u(x) v(x) \, dx, \quad a(u,v) = \int_{\Omega} K \overrightarrow{\text{grad}} u \cdot \overrightarrow{\text{grad}} v \, dx. $$

Soit alors $v$ un élément quelconque de $\mathcal{U}_{\text{ad}}$ ; multiplions (2.2) par $v-u(t)$ et intégrons sur $\Omega^+(t)$ par parties. Il vient,

$$ (2.13) \qquad \left( \frac{\partial u}{\partial t}(t), v-u(t) \right) - \int_{\Omega^+(t)} \overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{\text{grad}} (v-u(t)) \, dx = \\ - \int_{\partial \Omega^+(t)} \overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{n} (v-u(t)) \, d\Gamma + \int_{\Omega(t)} f(v-u(t)) \, dx $$

<footnote>* $H^1(\Omega)$ est l'espace de Sobolev des (classes de) fonctions de $L^2(\Omega)$ de dérivées premières dans $L^2(\Omega)$.</footnote>
et en tenant compte de (2.4), (2.8), (2.9) il vient

$$
(2.14) \quad \left( \frac{\partial u}{\partial t}(t), v-u(t) \right) + \int_{\Omega} k \overrightarrow{\text{grad}} u(t) \cdot \overrightarrow{\text{grad}} (v-u(t)) \, dx + \int_{\partial \Omega} \lambda(u-b) (v-u(t)) \, d\Gamma = \int_{\Omega^{+}(t)} f(v-u) \, dx
$$

mais

$$
(2.15) \quad \int_{\Omega^+(t)} f(v-u) \, dx = \int_{\Omega} f(v-u) \, dx - \int_{\Omega^O(t)} f v \, dx
$$

et comme $f \le 0$ et $v \ge 0$ on a

$$
(2.16) \quad \left( \frac{\partial u}{\partial t}(t) , v-u(t) \right) + a(u(t), v-u(t)) + \int_{\partial \Omega} \lambda(u(t) - b) (v-u(t)) \, d\Gamma \ge \\
\qquad (f,v-u(t)), \quad \forall v \in \mathcal{U}ad.
$$

Nous pouvons donc annoncer la

Propriété (variationnelle).

Si le problème (2.1)-(2.9) possède une solution $u(x,t)$ assez régulière, cette der-
nière satisfait (2.10) (2.16) et la condition initiale (2.7).

Remarque 2.1

La réussite de la mise sous forme variationnelle tient essentiellement à la continuité de $u$ et $\overrightarrow{\text{grad } u}$ à la traversée de la ligne inconnue $\ell(t)$. Ce fait peut être mis en parallèle avec les résultats de H. Brézis et G. Stampacchia [1] sur la régularité des soltuions des inéquations variationnelles que nous rappelons ici sous forme indicative : sous des hypothèses convenables (mais généralement satisfaites dans les applications) la solution $u$ d'une équation variationnelle satisfait

$$
(2.17) \qquad u \in W^2, P(\Omega), \forall p > 1
$$

où $W^2, P(\Omega)$ est l'espace de Sobolev des fonctions qui appartiennent ainsi que leurs dérivées jusqu'à l'ordre 2 à $L^p(\Omega)$. Un théorème d'injection indique de plus que

$$
(2.18) \qquad W^{2,p}(\Omega) \subset C^1(\bar{\Omega}) \quad \text{pour } p \text{ assez grand.}
$$

Il en résulte donc que si $u$ et $\overrightarrow{\text{grad } u}$ ne sont pas continues dans $\Omega$ on ne doit pas
espérer qu'ils soient solution d'une inéquation variationnelle.

### Remarque 2.2.

L'intérêt de la propriété 2.1. réside dans le fait qu'elle ne fait plus aucune mention de la frontière inconnue $\mathcal{L}(t)$. Celle-ci ne sera récupérée à posteriori qu'en tant que frontière dans $\Omega$ de la région $\Omega^+(t)$ où $u(x,t)$ est positive à l'ins tant $t$.

## 2.3 Existence et unicité d'une solution. Propriétés.

La propriété nous amène à reformuler le problème (2.1)-(2.9) sous forme plus pré cise :

### Problème 2.1.

#### Trouver une application

$$ (2.19) \qquad t \to u(.,t) $$

#### satisfaisant (2.10)(2.16)(2.7).

Nous allons par application de la théorie des inéquations variationnelles parabo liques établir les résultats suivants :

### Théorème 2.1.

Avec les données

$$ (2.20) \qquad f, f' \in L^2(0,T; V') \quad (*) , \quad f \le 0, $$

$$ (2.21) \qquad u_o \in U_{ad}, \Delta u_o \in V_o, \quad \frac{\partial u_o}{\partial n} + \lambda(u_o - b(0)) = 0 \quad \text{sur } \Gamma, $$

la matrice K satisfaisant (2.5),

$$ (2.22) \qquad \lambda \ge 0, \lambda \in L^\infty(\Gamma), b \in L^2(0,T; H^{1/2}(\Gamma)), b \ge 0 \quad (**) $$

il existe un unique $u$ satisfaisant (2.10) (2.16) (2.7) dans la classe

$$ (2.23) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} u \in L^2(0,T; V) \cap L^\infty(0,T; V_o) \\ u' \in L^2(0,T; V'). \end{array} \right. \qquad u' = \frac{\partial u}{\partial t} $$

<footnote>* V' est le dual de V quand on identifie $V_o$ et son dual, d'où le triplet classi que $V \subset V_o \subset V'$ avec injection continue et dense de chaque espace dans le suivant
** $H^{1/2}$ est l'espace des traces sur $\Gamma$ des fonctions de $H^1(\Omega)$.</footnote>
### Théorème 2.2.

Sous les hypothèses du théorème 2.1 et les hypothèses supplémentaires

$$ (2.24) \qquad \begin{cases} \lambda \text{ est une constante strictivement positive} \\ u_o |_{\Gamma} = b(o) \\ \exists c_1 \text{ telle que } |b'(t,x)| \le c_1, \quad \forall (x,t) \in \Omega \times (0,T), \end{cases} $$

si on désigne par $u_\lambda(t)$ la solution donnée par le théorème 2.1, on a lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$,

$$ (2.25) \qquad \begin{cases} u_\lambda \to w \text{ dans } L^\infty(0,T; V_o) \text{ faible étoile} \\ u_\lambda \to w \text{ dans } L^2(0,t; V) \text{ faible} \\ u'_\lambda \to w' \text{ dans } L^\infty(0,T; V_o) \text{ faible} \end{cases} $$

où w est l'unique solution de

$$ (2.26) \qquad \left\{ \begin{array}{l} w(t) \in \mathcal{U} \text{ad}_1(t) = \{v | v \in H^1(\Omega), v \ge 0 \text{ dans } \Omega, v=b \text{ sur } \Gamma\} \\ (w'(t), v-w(t)) + a(w(t), v-w(t)) \ge (f(t), v-w(t)), \\ \forall v \in \mathcal{U} \text{ad}_1(t). \\ w(0) = u_o. \end{array} \right. $$

Le système (2.26) constitue la formulation variationnelle du problème (2.1)-(2.5), (2.7)-(2.9) où (2.6) est remplacée par

$$ w = b \text{ sur } \Gamma \times (0,T). $$

### Remarque 2.3.

Le problème (2.26) est un système variationnel parabolique non classique puisque le convexe $\mathcal{U} \text{ad}_1(t)$ dépend du temps. La démonstration que nous donnerons du théorème 2.2 est basée sur une estimation a priori sur $u'$-$\lambda(t)$, estimation qui traduit mathématiquement le fait bien prévisible que "la dérivée $u'(t)$ est majorée par les dérivées par rapport à t des données et la dérivée $u'(0)$".

### Théorème 2.3.

Sous les hypothèses du théorème 2.1 et les hypothèses supplémentaires

$$ \left\{ \begin{array}{l} b(t) \in L^2(\Gamma), \exists b_\infty \in L^2(\Gamma) \text{ tel que } \lim_{t \to +\infty} |b(t)-b_\infty|_{L^2(\Gamma)} = 0 \\ f(t) \in L^2(\Omega), \exists f_\infty \in L^2(\Omega) \text{ tel que } \lim_{t \to +\infty} |f(t)-f_\infty|_{V_o} = 0 \end{array} \right. $$
On a

$u_{\lambda}(t) \to u_{\lambda\infty}$ dans $V_o$ fort quand $t \to +\infty$

où $u_{\lambda\infty}$ est l'unique solution de

$$
\left\{
\begin{array}{l}
u_{\lambda\infty} \in \mathcal{U} \text{ ad} \\
\\
a(u_{\lambda\infty}, v-u_{\lambda\infty}) + \lambda \int_{\Gamma} (u_{\lambda\infty} - b_{\infty}) (v-u_{\lambda\infty}) \, d\Gamma \ge \\
\phantom{a(u_{\lambda\infty}, v-u_{\lambda\infty}) + \lambda \int_{\Gamma} (u_{\lambda\infty} - b_{\infty}) (v-u_{\lambda\infty}) \, d\Gamma} (f_{\infty}, v-u_{\lambda\infty}) \quad \forall v \in \mathcal{U} \text{ ad.}
\end{array}
\right.
$$

Théorème 2.4.

Sous les hypothèses du théorème 2.3 et $b_\infty \in H^{1/2}(\Gamma)$, on a

$$
\lim_{\lambda \to +\infty} u_{\lambda \infty} = w_{\infty} \text{ dans } V \text{ faible}
$$

où $w_\infty$ est l'unique solution de

$$
\left\{
\begin{array}{l}
w_{\infty} \in \mathcal{U} \, \text{ad}_2 = \{v \mid v \in V, v \ge 0 \text{ dans } \Omega, v = b_{\infty} \text{ sur } \Gamma\} \\
\\
a(w_{\infty}, v-w_{\infty}) \ge (f_{\infty}, v-w_{\infty}), \quad \forall v \in \mathcal{U} \, \text{ad}_2.
\end{array}
\right.
$$

2.4 Démonstration du théorème 2.1.

Du fait des hypothèses (2.21) sur $u_o$, si on désigne par $A$ l'opérateur de $V$ dans
$V$ défini par

$$
(Au, v) = a(u, v) + \int_{\Gamma} \lambda u \, v \, d\Gamma
$$

on a

$$
Au_o - f(0) \in V_o ;
$$

ceci permet d'appliquer, compte-tenu des hypothèses sur f, un théorème classique
sur les inéquations variationnelles paraboliques pour conclure. Sur cette question
on pourra consulter J.L. Lions [1] et pour un exposé plus proche des applications
G. Duvaut [5].

## 2.5 Démonstration du théorème 2.2

Elle comprend trois étapes : pénalisation de la condition $u_{\lambda} \ge 0$, estimations a priori sur $u_{\lambda}$ et $u'^{\lambda}$, puis enfin passage à la limite.
i) Pénalisation

Introduisons le paramètre positif $\varepsilon$ destiné à tendre vers zéro et $u_{\lambda\varepsilon}$ solution

$$
(2.27) \quad \left\{
\begin{array}{l}
u(t) \in V \\
(u'(t),v) + a(u(t),v) - \frac{1}{\varepsilon} \int_{\Gamma} u^{-}(t) v \, dx + \lambda \int_{\Gamma} (u-b) \, v \, d\Gamma = \\
\qquad (f(t), v) \quad \forall v \in V. (*) \\
u(0) = u_o.
\end{array}
\right.
$$

La solution $u_{\lambda\varepsilon}$ de (2.27) existe d'après la théorie classique des équations mono-
tones paraboliques. Pour alléger les notations nous la désignerons par $u$ chaque
fois qu'il n'y aura aucun risque de confusion.

ii) Estimations a priori I.

Introduisons $B(t)$ solution de

$$
(2.28) \qquad \Delta B = 0 \text{ dans } \Omega, B = b \text{ sur } \Gamma.
$$

D'après les hypothèses faites sur b, on a

$$
(2.29) \quad B \in L^2(0,T; V) , B' \in L^2(0,T; V')
$$

et d'après le principe du maximum

$$
(2.30) \qquad B(t) \ge 0 \text{ dans } \Omega.
$$

Choisissons $V = u(t) - B(t)$ dans (2.27). Il vient

$$
(2.31) \quad (u',u-B) + a(u,u-B) - \frac{1}{\epsilon} \int_{\Omega} u^{-}(u-B) \, dx + \lambda \int_{\Gamma} (u-b)^2 \, d\Gamma = (f,u-B)
$$

et comme

$$
(2.32) \quad - \frac{1}{\epsilon} \int_{\Omega} u^{-} (u-B) \, dx \geq 0, \quad \lambda \int_{\Gamma} (u-b)^2 \, d\Gamma \geq 0
$$

on a

$$
(2.33) \quad (u'-B', u-B) + a(u-B, u-B) \le (f, u-B) - (B', u-B) - a(B, u-B).
$$

Intégrons (2.33) sur (0,t) pour obtenir

<footnote>* On a posé $u^+ = \text{Sup}(u,0)$ , $u^- = \text{Sup}(-u,0)$.</footnote>
$$
(2.34) \quad \frac{1}{2} |u(t) - B(t)|_{V_o}^2 + \int_o^t a(u-B, u-B) \, dt \le C \left( \int_o^t \|u-B\|^2 \, dt \right)^{1/2} + \frac{1}{2} |u_o - B(0)|_{V_o}^2
$$

où C est une constante indépendante de ε et λ, et où |·|_{V_o} et ||·|| désignent respectivement les normes dans V_o et dans V. L'hypothèse (2.5) sur K implique

$$
(2.35) \quad a(v,v) \ge \alpha ||v||^2 - \alpha |v|_{V_o}^2, \quad \forall v \in V.
$$

d'où il résulte que (*)

$$
(2.36) \quad \frac{1}{2} |u(t) - B(t)|_{V_o}^2 + \frac{\alpha}{2} \int_o^t \|u(t) - B(t)\|^2 dt \le C_1 + C_2 \int_o^t |u(t) - B(t)|_{V_o}^2 dt
$$

où $C_1$ et $C_2$ sont des constantes positives indépendantes de $\lambda$ et $\varepsilon$.
On déduit immédiatement de (2.36) que

$$
(2.37) \quad u_{\varepsilon\lambda} \in \text{borné de } L^{\infty}(0,T; V_o) \cap L^2(0,T; V)
$$

car (2.29) implique que $B \in L^\infty(0,T; V_o)$. De plus (2.32) implique

$$
(2.38) \quad \lambda \int_{o}^{T} \int_{\Gamma} (u_{\lambda \varepsilon} - b)^2 d\Gamma \le C \quad (C \text{ indépendante de } \lambda, \varepsilon).
$$

Estimations a priori II

Soit $t \in (0,T)$ et $h > 0$ tel que $t + h \in (0,T)$. Posons, pour toute fonction $x(t)$,

$$
x_h(t) = \frac{1}{h} [x(t+h) - x(t)].
$$

Ecrivons (2.27) pour les instants t et t+h et retranchons membre à membre en divi-
sant par h. Il vient,

$$
(u'_h(t), v) + a(u_h(t), v) - \frac{1}{\epsilon h} \int [u(t+h)^{-} - u(t)^{-}] v \, dx + \\
\lambda \int_{\Gamma} (u_h(t)) v \, d\Gamma = (f_h(t), v) \quad \forall v \in V.
$$

<footnote>* On utilise l'inégalité $xy \le \frac{\alpha}{2} x^2 + \frac{1}{2\alpha} y^2$, $\forall x, y \in \mathbb{R}$. pour chasser $||u-B||^2$ du deuxième membre.</footnote>
Choisissons $v = (u_h(t) - C_l)^+$ dans (2.38) où $C_l$ est la constante qui intervient dans (2.24) (*) . Nous avons alors

$$
(2.39) \quad - \frac{1}{\varepsilon h} \int_{\Omega} [u(t+h)^- - u(t)^-] (u_h(t) - C_l)^+ dx \ge 0
$$

comme on le vérifie élémentairement en examinant tous les cas possibles et

$$
(2.40) \quad \lambda \int_{\Gamma} (u_h(t) - b_h(t)) \left( (u_h(t) - C_l)^+ + d\Gamma \right) = \lambda \int_{\Gamma} (u_h(t) - C_l + C_l - b_h(t)) \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \left( u_h(t) - C_l \right)^+ d\Gamma \ge 0
$$

car (2.24) entraîne $C_l - b_h(t) \ge 0$.

On tire alors de (2.38),

$$
(2.41) \quad \frac{1}{2} |(u_h(t) - c_l)^+|^2_{V_o} + \int_o^t a \left[ (u_h(t) - c_l)^+ dt \right] \le \\
\qquad c \left( \int_o^t \|(u_h(t) - c_l)^+\|_{V_o}^2 dt \right)^{1/2} + \frac{1}{2} |(u_h(o) - c_l)^+|^2_{V_o}.
$$

Comme

$$
u'(o) = f(o) + \Delta u_o \in V_o
$$

Il résulte de (2.41) que (**)

$$
(2.42) \qquad (u_h(t) - c_l)^+ \in \text{borné } L^\infty(0,T ; V_o)
$$

En raisonnant de manière analogue on obtient que

$$
(2.43) \qquad (u_h(t) + c_l)^- \in \text{borné } L^\infty(0.T ; V_o).
$$

$$
(2.39) \quad \forall \xi \in \mathbb{R}, \xi^+ = \operatorname{Sup}(\xi, 0), \xi^- = \operatorname{Sup}(-\xi, 0)
$$

qui entraîne

$$
|\xi| = \xi^+ + \xi^- , \xi = \xi^+ - \xi^-
$$

$$
(\xi+\eta)^+ \le \xi^+ + \eta^+ , (\xi+\eta)^- \le \xi^- + \eta^-, \forall \xi, \eta \in \mathbb{R}.
$$

<footnote>*On a utilisé la notation</footnote>

<footnote>**En raisonnant sur l'approximation Galerkin de u comme dans G. Duvaut [4].</footnote>
Il en résulte immédiatement que

$$
(2.44) \qquad u_h(t) \in \text{borné de } L^\infty(0T; V_o)
$$

et donc que

$$
(2.45) \qquad u'_{\epsilon\lambda}(t) \in \text{borné de } L^{\infty}(0,T; V_o).
$$

iii) *Passage à la limite.*

L'intérêt des estimations est qu'elles sont indépendantes à la fois de $\epsilon$ et de $\lambda$.
Il est classique que, lorsque $\epsilon \to 0$, $u_{\epsilon\lambda}$ tend vers $u_\lambda$ solution donnée par le théo-
rème 2.1. Les estimations (2.37), (2.38) et (2.45) restent donc valables pour $u_\lambda$.
Reprenons alors l'inéquation satisfaite par $u_\lambda$,

$$
(2.46) \quad \begin{cases}
u_\lambda(t) \in \mathcal{U}\mathit{ad} \\
(u'_\lambda, v-u_\lambda) + a(u_\lambda, v-u_\lambda) + \lambda \int_\Gamma (u_\lambda-b) (v-u_\lambda) \, d\Gamma \ge \\
\phantom{(u'_\lambda, v-u_\lambda) + a(u_\lambda, v-u_\lambda) + \lambda \int_\Gamma } (f,v-u_\lambda) \quad \forall v \in \mathcal{U}\mathit{ad} \\
u_\lambda(0) = u_o
\end{cases}
$$

Il résulte des estimations qu'il existe $w \in L^\infty(0,T; V_o) \cap L^2(0,T; V)$ et $w' \in L^\infty(0,T; V_o)$ telle que

$$
(2.47) \quad \begin{cases}
u_\lambda \to w \text{ dans } L^\infty(0,T; V_o) \text{ faible étoile} \\
u_\lambda \to w \text{ dans } L^2(0,T; V) \text{ faible} \\
u'_\lambda \to w' \text{ dans } L^\infty(0,T; V_o) \text{ faible étoile.}
\end{cases}
$$

Introduisons $u_{ad_1}(t)$ défini en (2.26). Il résulte immédiatement de l'estimation
(2.38) et de la semi-continuité inférieure de

$$
(2.48) \qquad v - \int_0^T \int_\Gamma (v-b)^2 \, d\Gamma
$$
de $L^2(0,T; V)$ dans $\mathbb{R}$ que

$$
(2.49) \qquad \int_0^T \int_\Gamma (w-b)^2 \, d\Gamma \le \liminf_{\lambda \to \infty} \int_0^T \int_\Gamma (u-b)^2 \, d\Gamma = 0.
$$

et donc

$$
(2.50) \qquad w(t) \in \mathcal{U}\mathit{ad}_1(t).
$$

Choisissons alors $v \in L^2(0,T; V)$ tel que

$$
(2.51) \qquad v(t) \in \mathcal{U}\mathit{ad}_1(t)
$$

et reportons dans (2.46). Après intégration sur (0,T), on a

$$
(2.52) \quad \int_0^T (u'_{\lambda}, v) dt + \int_0^T a(u_{\lambda}, v) dt \ge \int_0^T (f, v - u_{\lambda}) dt + \\
\qquad \int_0^T a(u_{\lambda}, u_{\lambda}) dt + \frac{1}{2} |u_{\lambda}(T)|^2 - \frac{1}{2} |u_o|^2
$$
après avoir remarqué que

$$ \lambda \int_{0}^{T} \int_{\Gamma} (u_{\lambda} - b) (v - u_{\lambda}) \, d\Gamma \le 0. $$

Prenant alors la limite inférieure des deux membres de (2.52) il vient

$$ (2.53) \quad \int_{0}^{T} (w',v) \, dt + \int_{0}^{T} (a(w,v) \, dt \ge \int_{0}^{T} (f,v-w) \, dt + \int_{0}^{T} a(w,w) \, dt + \frac{1}{2} |w(T)|^2 - \frac{1}{2} |u_0|^2 $$

car $(u_\lambda, u'_\lambda) \to (w, w')$ dans $L^2(0,T; V_0)$ faible entraine $u_\lambda(t) \to w(t)$ dans $V_0$ faible. L'inégalité (2.54) s'écrit aussi, pour presque tout $t \in (0,T)$,

$$ (2.54) \quad (w'(t), v-w(t)) + a(w(t), v-w(t)) \ge (f, v-w(t)), \quad \forall v \in \mathcal{U}_{\text{ad}}(t). $$

Ceci achève la démonstration de l'existence d'une solution de (2.26).

## Unicité de la solution de 2.26

Supposons qu'il y ait deux solutions $w$ et $w^*$ de (2.26). Choisissons $v = w^*(t)$ (resp $v = w(t)$ dans l'inéquation relative à $w(\text{resp } w^*)$ et ajoutons ; il vient, en posant

$$ (2.55) \quad z(t) = w^*(t) - w(t), $$

$$ (2.56) \quad -(z'(t), z(t)) - a(z(t), z(t)) \ge 0, $$

et par intégration sur $(0,t)$ il vient

$$ z(t) = w^*(t) - w(t) = 0 $$

ce qui démontre l'unicité.

## 2.6 Démonstration du théorème 2.3

Introduisons $u_{\lambda, \infty}$ solution de

$$ (2.57) \quad \left\{ \begin{array}{l} u_{\lambda, \infty} \in \mathcal{U}_{\text{ad}} \\ a(u_{\lambda, \infty}, v-u_{\lambda, \infty}) + \lambda \int_{\Gamma} (u_{\lambda, \infty} - b_{\infty}) (v-u_{\lambda, \infty}) \, d\Gamma \ge \\ \phantom{a(u_{\lambda, \infty}, v-u_{\lambda, \infty}) + \lambda \int_{\Gamma} (u_{\lambda, \infty} - b_{\infty}) (v-u_{\lambda, \infty}) \, d\Gamma \ge} (f_{\infty}, v-u_{\lambda, \infty}), \quad \forall v \in \mathcal{U}_{\text{ad}} \end{array} \right. $$

et rappelons que $u_\lambda$ satisfait

$$ (2.58) \quad \left\{ \begin{array}{l} u_{\lambda} \in \mathcal{U}_{\text{ad}} \\ (u'_{\lambda}, v-u_{\lambda}) + a(u_{\lambda}, v-u_{\lambda}) + \lambda \int_{\Gamma} (u_{\lambda} - b) (v-u_{\lambda}) \, d\Gamma \ge \\ \phantom{(u'_{\lambda}, v-u_{\lambda}) + a(u_{\lambda}, v-u_{\lambda}) + \lambda \int_{\Gamma} (u_{\lambda} - b) (v-u_{\lambda}) \, d\Gamma \ge} (f, v-u_{\lambda}), \quad \forall v \in \mathcal{U}_{\text{ad}} \end{array} \right. $$
Remplaçons dans (2.57) v par $u_λ(t)$ et dans (2.58) v par $u_{λ∞}$, et ajoutons membre à membre. Il vient, en posant,

$$
(2.59) \qquad z(t) = u_{\lambda}(t) - u_{\lambda\infty},
$$

$$
(2.60) \quad (z'(t),z(t)) + a(z(t),z(t)) + \lambda \int_{\Gamma} (z(t))^2 \, d\Gamma \le \lambda \int_{\Gamma} (b-b_{\infty}) z(t) \, d\Gamma + \\
\qquad \qquad (f-f_{\infty}, z(t)).
$$

En appliquant l'inégalité classique

$$
(2.61) \qquad xy \leq \frac{1}{2\beta} x^2 + \frac{\beta}{2} y^2
$$

On déduit de (2.60),

$$
(2.62) \quad (z', z(t)) + a(z, \cdot, z) + \frac{\lambda}{2} \int_{\Gamma} z^2 \, d\Gamma \le \frac{\lambda}{2} \int_{\Gamma} (b-b_{\infty})^2 \, d\Gamma + (f-f_{\infty}, z).
$$

Comme $\lambda$ est strictement positif il existe $\alpha_1 > 0$, tel que

$$
(2.63) \qquad a(z,z) + \frac{\lambda}{2} \int_{\Gamma} z^2 \, d\Gamma \geq \alpha_1 |z|_{V_o}^2
$$

d'où l'on déduit, en appliquant à nouveau (2.61),

$$
(2.64) \quad \frac{d}{dt} |z(t)|_{V_o}^2 + \alpha_1 |z|_{V_o}^2 \le \lambda \int_{\Gamma} (b-b_{\infty})^2 d\Gamma + \frac{1}{\alpha_1} |f-f_{\infty}|_{V_o}^2 = \phi(t)
$$

où la fonction $\phi(t)$ est positive ou nulle et, d'après les hypothèses faites sur $b(t)$ et $f(t)$,

$$
(2.65) \qquad \lim_{t \to +\infty} \phi(t) = 0.
$$

On déduit alors de (2.64) après multiplication par $e^{\alpha_1 t}$,

$$
\frac{d}{dt} \left( e^{\alpha_1 t} |z(t)|_{V_o}^2 \right) \le \phi(t) e^{\alpha_1 t}
$$

d'où par intégration,

$$
e^{\alpha_1 t} |z(t)|_{V_o}^2 \le |z(0)|_{V_o}^2 + \int_0^t \phi(\tau) e^{\alpha_1 \tau} d\tau
$$

$$
(2.66) \quad |z(t)|_{V_o}^2 \le e^{-\alpha_1 t} |z(0)|_{V_o}^2 + e^{-\alpha_1 t} \int_0^t \phi(\tau) e^{\alpha_1 \tau} d\tau.
$$
Montrons que le second membre de (2.66) tend vers zéro quand $t \to +\infty$. Soit $\varepsilon > 0$ ;
d'après (2.65) il existe $t_1 > 0$ tel que

$$ \phi(t) \le \frac{\varepsilon}{2} \quad \text{si } t \ge t_1, $$

d'où

$$ e^{-\alpha_1 t} \int_0^t \phi(\tau) e^{\alpha_1 \tau} d\tau \le e^{-\alpha_1 t} \int_0^t \phi(\tau) e^{\alpha_1 \tau} d\tau + \frac{\varepsilon}{\alpha_1} $$

Il en résulte immédiatement que

$$ (2.67) \qquad u_{\lambda}(t) \to u_{\lambda_{\infty}} \text{ dans } V_o \text{ fort quand } t \to +\infty. $$

**Remarque 2.4.**

L'estimation (2.66) obtenue sur $|z(t)|_{V_o}$ n'est pas indépendante de $\lambda$.

## 2.7. Démonstration du théorème 2.4.

Introduisons $B_\infty$ solution de

$$ (2.68) \qquad \begin{cases} \Delta B_\infty = 0 \text{ dans } \Omega \\ B_\infty = b_\infty \text{ sur } \Gamma \end{cases} $$

Comme $b_\infty \ge 0$ sur $\Gamma$ il en résulte que $B_\infty \ge 0$ dans $\Omega^+$. Nous pouvons donc choisir $v = B_\infty$ dans l'inéquation de définition de $u_{\lambda_\infty}$. Il vient,

$$ \text{d'où} \qquad a(u_{\lambda_{\infty}}, B_{\infty} - u_{\lambda_{\infty}}) - \lambda \int_{\Gamma} (u_{\lambda_{\infty}} - b_{\infty})^2 d\Gamma \ge (f_{\infty}, B_{\infty} - u_{\lambda_{\infty}}) $$

$$ (2.69) \qquad a(u_{\lambda_{\infty}} - B_{\infty}, u_{\lambda_{\infty}} - B_{\infty}) + \lambda \int_{\Gamma} (u_{\lambda_{\infty}} - b_{\infty})^2 d\Gamma \le (f_{\infty}, u_{\lambda_{\infty}} - B_{\infty}) + a(-B_{\infty}, u_{\lambda_{\infty}} - B_{\infty}). $$

Comme $\lambda$ est destiné à tendre vers $+\infty$, nous supposerons que $\lambda > 1$. On en déduit les estimations indépendantes de $\lambda$,

$$ (2.70) \qquad \|u_{\lambda_{\infty}}\| \le c^{\text{ste}}, \quad (\lambda-1) \int_{\Gamma} (u_{\lambda_{\infty}} - b_{\infty})^2 d\Gamma \le c^{\text{ste}}. $$

On peut alors extraire de $u_{\lambda_\infty}$ une sous-suite encore notée $u_{\lambda_\infty}$, telle que

$$ (2.71) \qquad u_{\lambda_{\infty}} \to w_{\infty} \text{ dans } V \text{ faible.} $$

La semi-continuité inférieure de
$$v \rightarrow \int_{\Gamma} v^2 d\Gamma$$

de V dans $\mathbb{R}$, implique alors que

$$(2.72) \qquad w_{\infty} \in \mathcal{U}ad_2.$$

Choisissons alors $v \in \mathcal{U}ad_2$ dans l'inéquation de définition de $u_{\lambda_{\infty}}$, il vient

$$(2.73) \quad a(u_{\lambda_{\infty}}, v-u_{\lambda_{\infty}}) + \lambda \int_{\Gamma} (u_{\lambda_{\infty}}-b_{\infty}) (b_{\infty}-u_{\lambda_{\infty}}) d\Gamma \geq (f_{\infty}, v-u_{\lambda_{\infty}}),$$

qui entraîne

$$(2.74) \quad a(u_{\lambda_{\infty}}, v-u_{\lambda_{\infty}}) \geq (f_{\infty}, v-u_{\lambda_{\infty}}), \quad \forall v \in \mathcal{U}ad_2.$$

Utilisant une fois de plus la semi-continuité inférieure, on peut faire tendre $\lambda$ vers $+\infty$ dans (2.74), ce qui fournit

$$(2.75) \quad a(w_{\infty}, v-w_{\infty}) \geq (f_{\infty}, v-w_{\infty}), \quad \forall v \in \mathcal{U}ad_2,$$

et démontre le théorème 2.4.

### 3 - PROBLEME SE RAMENANT A UNE INEQUATION VARIATIONNELLE APRES CHANGEMENT DE FONCTION INCONNUE - PROBLEME DE STEFAN A DEUX PHASES.

#### 3.1 Problème physique.

Le problème considéré est celui de l'étude du champ de températures dans un matériau qui change de phase. Nous négligeons tout mouvement. Eventuellement des petites variations de volumes pourront être calculées à posteriori. Cette étude peut s'appliquer à la fusion d'un bloc de glace ou à la cristallisation de l'eau dans un réservoir ou, mieux, dans un milieu poreux (sol), et aussi à des problèmes métallurgiques tels que la cristallisation d'un métal fondu. La difficulté principale provient de l'existence d'une frontière inconnue qui sépare les phases liquide et solide.

La première mise sous forme variationnelle de ce problème a été réalisée par M. Frémond et G. Duvaut simultanément et indépendamment. Dans la version présentée ici les coefficients de chaleur spécifiques dépendent de la température et nous utilisons la théorie des distributions pour expliquer le succès du changement de fonction inconnue.
Au N° 3.2 nous donnons les équations et conditions du problème. Nous interprétons ces dernières en termes de distributions au N° 3.3, puis utilisons un changement de fonction inconnue pour mettre le problème sous forme variationnelle mettant en jeu une inéquation parabolique non linéaire d'un type non classique. Un résultat direct d'existence et d'unicité d'une solution a été donné par J.L. Lions [2]. Nous ne le reproduisons pas ici.

## 3.2 Équations.

Nous étudions le champ de températures $θ(x,t)$ pour $x \in \Omega$ ouvert borné de $\mathbb{R}_x^3$, à frontière régulière, et $t \in ]0,T[ \in \mathbb{R}_t$, où $T$ est une constante positive donnée. Nous supposons que $θ = 0$ est la température de changement de phase. Désignons par $\mathcal{L}(t)$ la frontière séparant les deux phases et $\Omega_1(t), \Omega_2(t)$ les régions occupées respectivement par les phases solide et liquide. De plus nous introduisons

$$ (3.1) \qquad Q_i = \bigcup_{0<t<T} \Omega_i(t), \quad i = 1,2; \quad \Sigma = \bigcup_{0<t<T} \mathcal{L}(t); \quad Q = \Omega_x(0,T). $$

Nous avons

$$ (3.2) \qquad \begin{cases} \theta(x,t) = \theta_1(x,t) < 0 & \text{dans } Q_1 \\ \theta(x,t) = \theta_2(x,t) > 0 & \text{dans } Q_2 \end{cases} $$

L'équation de la chaleur dans $Q_i$ s'écrit :

$$ (3.3) \qquad \hat{c}_i \frac{\partial \theta_i}{\partial t} - k_i \Delta \theta_i = 0 $$

où $k_i$ est la conductivité calorifique dans $Q_i$ et $\hat{c}_i$ est la chaleur spécifique dans $Q_i$. Nous supposons que les $k_i$ sont des constantes positives et que les $\hat{c}_i$ sont des fonctions positives de $θ$. Nous introduisons

$$ (3.4) \qquad C_i(\theta) = \int_0^\theta \hat{c}_i(\theta^*) d\theta^* $$

de manière que (3.3) s'écrive :

$$ (3.5) \qquad \frac{\partial}{\partial t} C_i(\theta) - k_i \Delta \theta_i = 0 \text{ dans } Q_i. $$

Les conditions aux limites sont :

$$ (3.6) \qquad \theta(x,t) = b(x,t) \text{ sur } \Gamma' (\Gamma' \subset \Gamma = \partial\Omega) $$

$$ (3.7) \qquad - \frac{\partial \theta}{\partial n}(x,t) = 0 \text{ sur } \Gamma'' = \Gamma - \Gamma' $$
où $b(x,t)$ est une fonction donnée de $x,t$ sur $\mathbb{R}'$ et $t \in (0,T)$.
Sur la frontière libre $\mathcal{L}(t)$ nous avons

$$
(3.8) \qquad \theta_1 = \theta_2 = 0
$$

$$
(3.9) \qquad -k_2 \overrightarrow{\nabla \theta_2} \cdot \hat{n} + k_1 \overrightarrow{\nabla \theta_1} \cdot \hat{n} = L \overrightarrow{V} \cdot \hat{n}
$$

où $\vec{n}$ est un vecteur normal à $\mathcal{L}(t)$, $\vec{V}$ est la vitesse de propagation de $\mathcal{L}(t)$ dans $\mathbb{R}_2^3$ et L est la chaleur latente de fusion, constante positive.

Les conditions initiales sont

$$
(3.10) \qquad \theta(x,0) = \theta_0(x) \text{ dans } \Omega.
$$

3.3 Calcul au sens des distributions dans Q.

Nous allons transformer les équations précédentes de manière à les écrire en
terme de distributions dans Q. Introduisons

$$
(3.11) \quad \mathcal{S}(Q) = \{ \phi \mid \phi \text{ indéfiniment différentiable à support compact dans } Q \}
$$

$$
(3.12) \quad \mathring{\partial}_i (x,t) = \begin{cases} \theta_i (x,t) & \text{dans } Q_i \\ 0 & \text{ailleurs.} \end{cases}
$$

On désigne par $\mathcal{F}'(Q)$ l'ensemble des distributions sur $Q$ et par $\langle, \rangle$ la dualité entre $\mathcal{F}'(Q)$ et $\mathcal{F}(Q)$. Si $\phi \in \mathcal{F}(Q)$ nous avons,

$$
\begin{equation}
\begin{split}
& \langle \frac{\partial}{\partial t} C_1(\hat{\theta}_1) - k_1 \Delta \theta_1, \phi \rangle = - \langle C_1(\hat{\theta}_1), \frac{\partial \phi}{\partial t} \rangle - k_1 \langle \hat{\theta}_1, \Delta \phi \rangle = \\
& \phantom{\langle \frac{\partial}{\partial t} C_1(\hat{\theta}_1) - k_1 \Delta \theta_1, \phi \rangle = -} - \int_Q C_1(\theta_1) \frac{\partial \phi}{\partial t} \, dx \, dt - k_1 \int_{Q_1} \theta_1 \Delta \phi \, dx \, dt.
\end{split}
\tag{3.13}
\end{equation}
$$

Si $\vec{N}$ est la normale unitaire à $\Sigma$ dirigée vers $Q_1$, avec $\vec{N} = (\vec{N}_x, \vec{N}_t) \in \mathbb{R}_x^3 \times \mathbb{R}_t$,
Nous obtenons après quelques calculs

$$
(3.14) \quad \left\langle \frac{\partial}{\partial t} C_1(\hat{\theta}_1) - k_1 \Delta \theta_1, \phi \right\rangle = -k_1 \int_{\Sigma} \overrightarrow{\text{grad}} \theta_1 \cdot \vec{N}_x \, \phi \, d\Sigma,
$$

et de manière analogue

$$
(3.15) \quad \left\langle \frac{\partial}{\partial t} C_2(\theta_2) - k_2 \Delta \theta_2, \phi \right\rangle = k_2 \int_{\Sigma} \overrightarrow{\text{grad}} \theta_2 \cdot \vec{N}_x \, \phi \, d\Sigma.
$$
Ajoutant membre à membre (3.14) et (3.15) nous obtenons, en utilisant (3.7),

$$
(3.16) \quad \left\langle \frac{\partial}{\partial t} \left[ C_1(\theta_1^\sim) + C_2(\theta_2^\sim) \right] - k_1 \Delta \theta_1^\sim - k_2 \Delta \theta_2^\sim, \phi \right\rangle = -L \int_\Sigma \vec{V} \cdot \hat{N}_x \, \phi \, d\Sigma.
$$

Si localement $F(x,t) = 0$ est l'équation de $\Sigma$, nous avons

$$
(3.17) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \dot{\vec{N}}_x = \frac{\overrightarrow{\text{grad } F}}{\sqrt{(\overrightarrow{\text{grad } F})^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)^2}} , \quad N_t = \frac{\frac{\partial F}{\partial t}}{\sqrt{(\overrightarrow{\text{grad } F})^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)^2}} \\[1em]
\qquad V \cdot \overrightarrow{\text{grad } F} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0,
\end{array}
\right.
$$

de sorte que

$$
(3.18) \qquad \vec{V} \cdot \hat{N}_x + N_t = 0
$$

Par ailleurs si $\chi_2(x,t)$ est la fonction caractéristique de $Q_2$, nous avons

$$
(3.19) \quad \left\langle \frac{\partial \chi_2}{\partial t} , \phi \right\rangle = - \int_{Q_2} \frac{\partial \phi}{\partial t} dx dt = - \int_{\Sigma} N_t \phi \, d\Sigma .
$$

Par conséquent, utilisant (3.17) - (3.19), l'équation (3.16) peut s'écrire

$$
(3.20) \quad \frac{\partial}{\partial t} [ c_1(\theta_1^\sim) + c_2(\theta_2^\sim) ] - \Delta (k_1 \theta_1^\sim + k_2 \theta_2^\sim) = -L \frac{\partial \chi_2}{\partial t} .
$$

Rappelons les conditions aux limites et les conditions initiales (3.6) (3.7) (3.10).

Toutes les informations du problème sont maintenant contenues dans (3.6) (3.7)
(3.10) (3.20).

3.4. Changement de fonction inconnue.

Introduisons la nouvelle fonction inconnue $u(x,t)$ définie par

$$
(3.21) \quad u(x,t) = \int_0^t [ k_2 \theta_2(x,\tau) + k_1 \theta_1^\sim(x,\tau) ] d\tau.
$$

Intégrant (3.20) par parties par rapport à t nous obtenons

$$
(3.22) \quad C_1(\theta_1^\sim) + C_2(\theta_2^\sim) - \Delta u = -L \chi_2(x,t) + L \chi_2(x,0) + C_1(-\theta_o^-) + C_2(\theta_o^+),
$$

en utilisant la notation introduite en (2.39). Nous avons aussi

$$
(3.23) \qquad \frac{\partial u}{\partial t} = k_2 \theta_2^\sim + k_1 \theta_1^\sim = k_2 \theta^+ - k_1 \theta^-
$$
et, $k_1$ et $k_2$ étant des constantes positives,

$$ (3.24) \qquad \frac{\partial u}{\partial t} = k_2 \theta^+ = k_2 \theta_2^+, \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) = k_1 \theta^- = - k_1 \theta_1^+. $$

Si alors nous introduisons la fonction monotone $\beta$ par

$$ (3.25) \qquad \beta(v) = c_1 \left(-\frac{v}{k_1}\right) + c_2 \left(\frac{v}{k_2}\right), \quad \forall v \in \mathbb{R} $$

nous avons

$$ (3.26) \qquad \beta \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) = c_1(\theta_1^+) + c_2(\theta_2^+) $$

et (3.22) peut s'écrire

$$ (3.27) \qquad \beta \left( \frac{\partial u}{\partial t} \right) - \Delta u = - L \chi_2(x,t) + g_o(x) $$

où

$$ (3.28) \qquad g_o(x) = L\chi_2(x,0) + c_1(-\theta_o^-(x)) + c_2(\theta_o^+(x)). $$

La condition (3.6) donne

$$ (3.29) \qquad u(x,t) = \int_0^t [k_2 b^+(x,\tau) - k_1 b^-(x,\tau)] d\tau = B(x,t), \text{ sur } \Gamma', \text{ et la condition } (3.7) \text{ peut être transformée en} $$

$$ (3.30) \qquad - \frac{\partial u}{\partial n} = 0 $$

Par rapport à la nouvelle fonction inconnue $u(x,t)$, le problème s'exprime par les equations (3.27)(3.29)(3.30) et la condition initiale

$$ (3.31) \qquad u(x,0) = 0. $$

### 3.5. Inéquation variationnelle.

Introduisons les notations suivantes

$$ (3.32) \qquad \left\{ \begin{array}{l} H = L^2(\Omega), \ V = H^1(\Omega), \ K(t) = \{v | v \in V, \ v|_{\Gamma'} = \frac{\partial}{\partial t} B(x,t)\} \\[1em] (u,v) = \int_{\Omega} u v \, dx, \quad j(v) = L \int_{\Omega} v^+ \, dx, \\[1em] a(u,v) = \int_{\Omega} \overline{\text{grad} \ u} \cdot \overline{\text{grad} \ v} \, dx \end{array} \right. $$
Supposons que u soit solution de (3.27) (3.29) (3.30) (3.31).

Nous avons

$$
(3.33) \qquad u(t) \in V, \quad u'(t) \in K(t).
$$

Si $v \in K(t)$ et si on multiplie (3.27) par $v-u(t)$, on obtient

$$
(3.34) \quad \left( \beta(u'(t) - \Delta u - g_o, v-u'(t)) + j(v) - j(u'(t)) \right) \geq X
$$

où

$$
(3.35) \quad X = j(v) - j u'(t) - L \int_{\Omega_2(t)} (v-u') \, dx \geq 0.
$$

Utilisant (3.35) et les conditions aux limites (3.29) (3.30), on peut écrire

(3.34) sous la forme,

$$
(3.36) \quad \begin{gathered} (\beta(u'(t), v-u'(t)) + a(u(t), v-u'(t)) + j(v) - j(u'(t))) \ge \\ (g_o, v - u'(t)) \quad \forall v \in K(t). \end{gathered}
$$

Nous dirons finalement que (3.36) (3.33) (3.31) constitue la formulation varia-
tionnelle du problème posé en terme de la fonction inconnue u.

Un résultat direct d'existence et d'unicité a été donné par J.L. Lions [2].

Remarque 3.1.

Si la fonction $u(x,t)$ est connue on obtient $\theta(x,t)$ par la relation (3.23) ou (3.24). On détermine alors les régions $\Omega_1(t)$ et $\Omega_2(t)$ par (3.2) et la ligne $\mathcal{L}(t)$ est la ligne de séparation dans $\Omega$ des régions $\Omega_1(t)$ et $\Omega_2(t)$.

Remarque 3.2.

Des calculs numériques utilisant la formulation variationnelle trouvée ont été
effectués avec succès par J.F. Bourgat [1] à l'Institut de Recherches en Infor-
matique et Automatique sur un exemple concret.
# 4 - PROBLEME DU "WATER-DRIVE" (OUVERT)

## 4.1. Présentation physique (*)

Il s'agit d'un problème qui se présente lors de l'exploitation de certains gisements pétrolifères dans lesquels on rencontre à la fois de l'eau et du pétrole. De par sa densité l'eau se tient dans les zones les plus profondes qui souvent se trouvent alimentées à plus ou moins grande distance par une pression quasiment constante. Lors de la perforation de la partie supérieure du gisement par un puits, il se crée une dépression qui aspire l'huile, mais également l'eau et qui provoque un déplacement de l'interface eau-pétrole. Si cet interface atteint le puits, ce dernier produira alors un mélange eau-pétrole. Si cet interface atteint le puits, ce dernier produira alors un mélange eau-pétrole. On comprend l'intérêt de contrôler en fonction du débit du puits, le déplacement de cet interface.

## 4.2 Equations et conditions du problème.

Désignons par $\Omega$ la région de $\mathbb{R}^3$ occupée par le gisement.

Soit $\Gamma = \partial\Omega$ sa frontière, constituée de trois zones $\Gamma_w$ correspondant aux parois du puits, $\Gamma_I$ surface imperméable et $\Gamma_p$ en contact avec l'eau et alimentée à pression constante. On désigne par $\Omega^{(1)}(t)$ et $\Omega^{(2)}(t)$ les régions occupées respectivement par l'eau et l'huile et par $\mathcal{L}(t)$ la frontière entre $\Omega^{(1)}(t)$ et $\Omega^{(2)}(t)$.

On néglige la compressibilité des fluides.

Si $q^{(i)}$, $i = 1, 2$ représentent les vecteurs flux dans l'huile et dans l'eau respectivement nous aurons

$$ (4.1) \qquad \mathrm{Div} \, q^{(i)} = 0 \text{ dans } \Omega^{(i)}(t) $$

et

$$ (4.2) \qquad \rightarrow q^{(i)} = - \frac{K^{(i)}}{\mu^{(i)}} \operatorname{grad} \phi^{(i)} (\text{loi de Darcy}) $$

avec

$$ (4.3) \qquad \phi^{(i)} = p^{(i)} + \rho^{(i)} g z $$

où $K^{(i)}$ est la perméabilité, $\mu^{(i)}$ la viscosité, $p^{(i)}$ la pression et $\rho^{(i)}$ la densité du fluide dans $\Omega^{(i)}(t)$.

Si $\overline{n}$ est une normale unitaire à $\mathcal{L}(t)$, nous aurons à tout instant et en tout point de $\mathcal{L}(t)$,

$$ (4.4) \qquad p^{(1)} = p^{(2)} \quad \text{sur } \mathcal{L}(t) $$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

<footnote>* Pour une présentation des écoulement en milieu poreux on pourra consulter J. BEAR [1].</footnote>
$$
(4.5) \qquad \vec{q}^{(1)}. \vec{n} = \vec{q}^{(2)}. \vec{n} = \vec{V}. \vec{n} \text{ sur } \mathcal{L}(t)
$$

où $\vec{V}$ désigne la vitesse de déplacement de $\mathcal{L}(t)$.

Les conditions aux limites sont

$$
(4.6) \qquad p = P, P \text{ donné constant sur } \Gamma_P
$$

$$
(4.7) \qquad \vec{q}^{(i)}. \vec{n} = 0 \text{ sur } \Gamma_I \cap \partial\Omega^{(i)}(t)
$$

$$
(4.8) \qquad \left\{ \begin{array}{l} p = \text{Cste} \\ \int_{\Gamma_W} \vec{q} \cdot \hat{n} \, d\vec{\Gamma} = Q, \quad (Q \text{ donné}) \end{array} \right. \qquad \text{sur } \Gamma_W,
$$

La pression constante sur $\Gamma_w$ est inconnue et peut dépendre du temps : c'est celle
qui correspond au débit imposé $Q$.

Enfin on se donne la position initiale de $\mathcal{L}(0)$.

Remarque 4.1.

Le problème énoncé est ouvert si on le considère globalement sur un intervalle
de temps [0,T]. Néanmoins on peut imaginer un processus d'obtention d'une solu-
tion approchée par une métrode de pas à pas dans le temps. Donnons-nous un inter-
valle de temps h petit et supposons que nous connaissons à l'instant t₀ la posi-
tion ℒ(t₀) de la frontière libre. Le problème de trouver p(x,t₀) dans Ω satisfai-
sant (4.1) – (4.8) est, sous des hypothèses raisonnables sur les coefficients
K(i)/µ(i) (positifs par exemple), un classique problème de transmission et possède
une solution unique. La condition (4.5) donne alors $\vec{V}$. $\vec{n}$, c'est-à-dire la vitesse
normale de déplacement de ℒ(t) à l'instant t₀. On peut alors calculer la position
de ℒ(t) à l'instant t₀ + h soit ℒ(t₀ + h) et recommencer le même processus à par-
tir de t₀ + h.

Cette méthode de pas à pas dans le temps peut être utilisée pour calculer une
"solution" approchée mais actuellement, à notre connaissance, elle ne fournit pas
un théorème d'existence et unicité d'une solution.

5 - CONCLUSION

Les problèmes à frontière libre restent actuellement encore des problèmes difficiles.

Néanmoins la théorie des inéquations variationnelles stationnaire ou d'évolution
a permis de démontrer, dans certains cas, que ces problèmes possédaient une solu-
tion unique et a fourni une méthode de calcul de cette dernière. Ces succès doi-
vent constituer un enseignement pour aborder les situations plus difficiles.
BIBLIOGRAPHIE

B. BAIOCCHI.

[1] Note aux C.R.A.S. ; Dec. 1971.

[2] Problème à frontière libre en hydraulique.
C.R.Ac. Sciences, T. 278, Avril 1974, pp. 1201-1204.

J. BEAR.

[1] Dynamics of fluids in porous media. Elsevier (1972).

M. BOUCHER.

[1] Thèse de 3ème cycle. Université Paris VI. 1972.

J.F. BOURGAT.

[1] A paraître.

J.F. BOURGAT et G. DUVAUT.

[1] Numerical analysis of flow with or without wake past a symmetric two-dimensional profile without incidence.
A paraître dans "International Journal of Numerical Methods for Engineering".

H. BREZIS et G. STAMPACCHIA.

[1] Sur la régularité de la solution d'inéquations elliptiques.
Bull. Soc. Math. de France 96 (1968), p. 153-180.

H. BREZIS et G. DUVAUT

[1] Ecoulement avec ou sans sillage autour d'un profil symétrique.
C.R. Acad. Sciences, Paris.

Th. BRIERE.

[1] Thèse de 3ème cycle. En cours.

J. CEA, D. CHENAIS, A. DERVIEUX, M. KOENIG, B. PALMERIO, J.P. ZOLESIO.

[1] Séminaire Université de Nice, 1973-1974.

J. CRANK, R.S. GUPTA.

[1] A moving boundary problem arising from the diffusion of oxygen in absorbing tissue.
J. of Inst. Math. Appl. T 10, 1972, p. 19-33.

G. DUVAUT.

[1] Le problème de Signorini en viscoélasticité linéaire.
C.R. Acad. Sciences, Paris, tome 268 (1969); 1044-1046.
[2] Problème de Stéfan à 1 phase.

[3] Problèmes unilatéraux en mécanique. C.I.M.E., Bressanone (1973).

[4] Equations et inéquations paraboliques monotones. Notes de cours de 3ème cycle. Université P. et M. Curie, T.66.

[5] The solution of a two phases Stefan problem by a variational inequality. Proc. of the Symposium on "Moving boundary problems". Oxford, 25-27 Mars 1974.

G. DUVAUT et J.L. LIONS.

[1] Elasticité avec frottement. J. de Mécanique (1971).

[2] Les inéquations en mécanique et en physique. Dunod (1972).

G. FICHERA.

[1] Problemi elastostatici con vincoli unilaterali. Mem. Accad. Naz. Lincei. 8(7) (1964), 91-140.

H. LANCHON.

[1] Thèse, Université Paris VI, (1972).

F. LENE.

[1] Thèse de 3ème Cycle. Université Paris VI. 1972.

[2] Thèse d'Etat. En cours.

J.L. LIONS.

[1] Quelques méthodes de résolutions des problèmes aux limites non linéaires. Dunod-Gauthier-Villars (1969).

[2] Communication personnelle. Mai 1975.

J.L. LIONS et G. STAMPACCHIA.

[1] Variational inequalities. Com. Pure Appl. Math. XX (1967), 493-519.

J. MOREAU.

[1] New variational techniques in Mathematical Physics. C.I.M.E. Bressanone 1973.

G. PRAGER.

[1] On ideal locking material. Transactions of the Society of Rheology. Vol. 1, 1957 (169-175).