**Caractère (2 b).** L'ensemble $H_{n-1} \geqq K_0$ des points au voisinage desquels $\varphi_n$ est non totalisable sur $P$, quand on attribue pour variation à sa totale sur le contigu $c_m d_m$ à $P$ la valeur $\theta_{m,n-1}$, $H_{n-1}$ est non-dense sur $P$.

Soit $\bar{w}$ une portion de $P$ sans point commun avec $H_{n-1}$, $\alpha\beta$ les extrémités de $\bar{w}$. La fonction $\mu(x)$, égale à $\varphi_n$ sur $\bar{w}$, à $\frac{\theta_m}{i_m}$ sur le contigu $i_m$ à $\bar{w}$, est totalisable. Sa totale entre $\alpha$ et $x$ ne diffère que par une constante de $f_{n-1}(x, P)$ sur $\bar{w}$. Dès lors, on connaît de la fonction $f_{n-2}(x, P)$ 1º la dérivée approximative égale à $f_{n-1}(x, P)$ sur une pleine épaisseur de $P-H_{n-1}$, 2º les variations de $f_{n-2}(x, P)$ sur chaque contigu à $P$ n'ayant aucune de ses extrémités sur $H_{n-1}$.

**63 c.** $f_{n-2}(x, P)$ étant résoluble d'ordre $n-1$, l'ensemble $H_{n-2} \geqq H_{n-1}$ des points où sa dérivée approximative $f_{n-1}(x, P)$ n'est pas totalisable est non-dense sur $P$. Sur tout intervalle contigu à $H_{n-2}$, une totalisation simple nous donnera $f_{n-2}(x, P)$, à une fonction linéaire aditive près, en tenant compte de la constante arbitraire ajoutable à $f_{n-1}(x, P)$.

De proche en proche, on aboutira à un ensemble $H \geqq H_1 \geqq \dots \geqq H_{n-1}$, $H$ étant non-dense sur $P$ et $f(x)$ étant connu à l'addition près d'un polynome de degré $n-1$ sur chaque contigu à $H$,

Par le caractère 1a de la continuité de cette dernière totale, en tout point, on a $f(x)$ sur tout segment contigu à $H$.

**64.** On conclut de là, comme dans le cas de la totalisation simple, que, par une suite dénombrable d'opérations, on résout le problème de l'intégration de $\varphi_n$ pour la totalité du segment ac.

**65.** Dans le cas où la fonction donnée inconnue $f(x)$ est supposée posséder en chaque point de ab une différentielle d'ordre $n$, elle est résoluble d'ordre $n$, d'après le théorème II. Donc, on passera, par l'opération que nous venons de décrire, de son $n^o$ quotient différentiel ordinaire $f_n(x)$ supposé donné à la fonction $f(x)$ supposée inconnue.

La même conclusion vaut si $f(x)$ possède en tout point, au moins d'un côté, deux coefficients différentiels $n^{os}$ extrèmes finis, et si $\omega_n(x)$ est en chaque point égal à l'un d'eux.

## Sur l'existence des continus indécomposables.

Par

Stefan Mazurkiewicz (Warszawa).

Je me propose de démontrer que tout espace métrique compact de dimension $\geqq 2$ contient un continu indécomposable<fnref n="1" />).

Désignons par $z$ la variable complexe, par $S_1$ la circonférence $|z|=1$, par $Q_2$ le disque $|z| \leqq 1$, par $Y^\alpha$ la famille des fonctions continues qui transforment l'espace $X$ en sous-ensembles de l'espace $Y$.

**Lemme I<fnref n="2" />).** Si $f$ est une transformation essentielle d'un espace métrique et compact $A$ en $Q_2$, alors $f$ est une transformation essentielle de $A_1=f^{-1}(S_1)$ en $S_1$.

Désignons par $x$ les points de $A$, par $u$ les points de $A_1$, par $\Gamma_1$ la famille des $\varphi \in S_1^A$ qui sont inessentielles, par $\Gamma_2$ la famille des $\psi \in S_1^A$, qui sont extensibles sur $A$ relativement à $S_1$. Posons $\varphi_0(u)=1$; il vient $\varphi_0 \in \Gamma_1$ et $\varphi_0 \in \Gamma_2$. Or, $\Gamma_1$ est connexe et $\Gamma_2$, d'après un théorème de M. K. Borsuk<fnref n="3" />), ouvert et fermé. Donc $\Gamma_1 \subset \Gamma_2$.

Supposons que la transformation $f$ de $A_1$ en $S_1$ soit inessentielle, c. à d. que $f \in \Gamma_1$; donc $f \in \Gamma_2$ et il existe une fonction $g \in S_1^A$ telle que $g(u)=f(u)$.

Posons: $f_t(x) = (1-t)f(x) + t \cdot g(x)$, $0 \leqq t \leqq 1$.

On aura: $f_0(x)=f(x)$; $f_1(x)=g(x) \in S_1$; $f_t(x) \in Q_2$; $f_t(u)=f(u)$. Donc, la transformation $f$ de $A$ en $Q_2$ est inessentielle, contrairement à l'hypothèse.

En utilisant un lemme de M. Eilenberg<fnref n="4" />), on obtient le

<footnote n="1">¹) Solution d'un problème posé par M. P. Alexandroff.</footnote>

<footnote n="2">²) Les lemmes I, II et le théorème I s'étendent aux transformations essentielles en éléments $n$-dimensionnels.</footnote>

<footnote n="3">³) Borsuk, Monatsh. f. Math. Phys. 38 (1931), p. 382—383.</footnote>

<footnote n="4">⁴) Fund. Math. XXIV, p. 164—165.</footnote>
**Corollaire I.** Si $f$ est une transformation essentielle de $A$ en $Q_2$, alors $A_1=f^{-1}(S_1)$ contient un constituant $K$ tel que $f$ est une transformation essentielle de $K$ en $S_1$, donc $f(K)=S_1$.

**Lemme II.** Soit $f$ une transformation essentielle de $A$ en $Q_2$, $J \subset Q_2$ une ligne simple fermée, H celui des deux domaines déterminés dans le plan par $J$, qui est contenu dans $Q_2$. Alors $f$ est une transformation essentielle de l'ensemble $f^{-1}(\bar{H})$ en $\bar{H}=H+J$.

J'omets la démonstration, qui ne présente aucune difficulté.

Les lemmes I, II et le corollaire I entraînent le

**Corollaire II.** Si $f$ est une transformation essentielle de $A$ en $Q_2$, $J \subset Q_2$ une ligne simple fermée, alors $A$ contient un continu $K$ tel que $f(K)=J$.

**Théorème I.** Soit $f$ une transformation essentielle de $A$ en $Q_2$ et $C \subset Q_2$ un continu. Alors il existe un continu $L \subset A$ tel que $f(L)=C$.

Il existe une suite de lignes simples fermées $J_n \subset Q_2$ telle que $\lim_{n \to \infty} J_n = C^5)$. D'après le corollaire II, il existe un continu $K_n \subset A$ tel que $f(K_n)=J_n$, $n=1, 2, \dots$. De la suite $\{K_n\}$ nous pouvons extraire une suite convergente $\{K_{n_s}\}$, $s=1, 2, \dots$. Soit $L = \lim_{s \to \infty} K_{n_s}$. On a $L \subset A$, $L$ est fermé et connexe, enfin en vertu de la continuité de $f$, on aura: $f(L) = \lim_{s \to \infty} f(K_{n_s}) = \lim_{s \to \infty} J_{n_s} = \lim_{n \to \infty} J_n = C$, c. q. f. d.

**Théorème II.** Tout espace $A$ métrique, compact et de dimension $\ge 2$ contient un continu indécomposable.

Il existe $^a$ une transformation essentielle $f$ de $A$ en $Q_2$. Soit $C_0$ un continu indécomposable contenu dans $Q_2$. D'après le théorème I $A$ contient un continu $L_0$ tel que $f(L_0)=C_0$. Or, $L_0$ contient alors un continu indécomposable $L_1$ tel que $f(L_1)=C_0$ $^b$. Le théorème est ainsi démontré.

**On the absolute integrability of Fourier transforms.**

By

Einar Hille (New Haven) and J. D. Tamarkin (Providence).

**1. Introduction.** In their important paper [1] <fnref n="1" />) Hardy and Littlewood proved that if $\varphi(\theta)$ belongs to a Lebesgue class $L_p$ over $(-\pi, \pi)$, $p>1$, and if $\{c_m\}$, $m=\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$, is the sequence of complex Fourier coefficients of $\varphi(\theta)$ then

$$ \sum_{m=-\infty}^{\infty} |c_m|^p (|m|+1)^{p-2} \le C_p \int_{-\pi}^{\pi} |\varphi(\theta)|^p d\theta, $$

where $C_p$ is a constant depending only on $p$. This constant tends to $\infty$ as $p \to 1$, and the result does not hold when $p=1$. It does hold however in the special case where $\varphi(\theta)$ is the limit function of a function

$$ \psi(w) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n w^n $$

analytic in the unit circle $|w|<1$, and such that

$$ \int_{-\pi}^{\pi} |\psi(re^{i\theta})| d\theta $$

is bounded for $0 \le r < 1$. In this case the result of Hardy and Littlewood can be stated in the form

$$ \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|/(n+1) \le C_1 \int_{-\pi}^{\pi} |\varphi(\theta)| d\theta $$

<footnote n="5">5) Comp. p. ex. Fund. Math. XVI, p. 157 (mutatis mutandis).</footnote>

<footnote n="6">6) Alexandroff, Math. Ann. 106, p. 170—171.</footnote>

<footnote n="7">7) Knaster-Mazurkiewicz, Fund. Math. XXI, p. 87—88.</footnote>

<footnote>Warszawa 28/VI 1985.</footnote>

<footnote n="1">1) The numbers in brackets refer to the list at the end of this paper.</footnote>