# Oscillations forcées de systèmes hamiltoniens

Michel Willem

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Michel Willem. Oscillations forcées de systèmes hamiltoniens. 1981. hal-00702119

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PUBLICATIONS MATHÉMATIQUES

de la Faculté des Sciences
de Besançon

Année 1980-1981

ANALYSE NON LINEAIRE

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# OSCILLATIONS FORCEES DE SYSTEMES HAMILTONIENS

Michel WILLEM

## INTRODUCTION :

Ce travail est consacré à l'existence de solutions T-périodiques (oscillations) de systèmes différentiels du second ordre de la forme

$$ \ddot{u} + D_u V(t, u) = 0 $$

où la fonction V est T-périodique en t. Cette condition n'implique pas l'existence d'oscillations. Une méthode simple consiste à minimiser l'action

$$ \int_0^T \left[ \frac{|\dot{u}|^2}{2} - V(t, u) \right] dt $$

sur un espace de fonctions T-périodiques "régulières" en supposant que

$$ V(t, u) \to -\infty, \quad |u| \to \infty, $$

(voir [2]). En affinant cette approche, on met en évidence l'existence d'oscillations de l'équation du pendule forcé

$$ \ddot{u} + \sin u = f(t) $$

lorsque la fonction f est de moyenne nulle sur $[0, T]$. Ce résultat généra-lise un travail récent de Castro ([5]). On démontre aussi l'existence d'oscillations impaires lorsque f est impaire et d'oscillations impaires non triviales lorsque $f \equiv 0$ et $T > 2\pi$.

Dans le cas où

$$ V(t, u) \to \infty, \quad |u| \to \infty, $$

il est hors de question de minimiser l'action. Néanmoins, l'existence d'oscillations est obtenue lorsqu'il existe $k \in ]0, 4\pi^2/T^2[$ et $c > 0$ tels que

$$ V(t, u) \le k \frac{|u|^2}{2} + c $$
et

$$
(1) \quad (D_u V(t, u_1) - D_u V(t, u_2), u_1 - u_2) \le \frac{4\pi^2}{T^2} |u_1 - u_2|^2.
$$

On trouvera des résultats analogues dans [6], [7] et [11]. Comme dans
[7] on utilise un principe de moindre action dual, mais la convexité de V
en u est remplacée par la condition de Lipschitz unilatérale (1).

Outre leur intérêt numérique, les principes variationnels permettent d'étu-
dier la stabilité des oscillations. En particulier on montre que, dans le
cas d'une équation, tout minimum "local" de l'action correspond à une oscil-
lation instable. Ce résultat constitue une généralisation non autonome du
théorème d'instabilité de Lagrange-Dirichlet.

1 - LE PRINCIPE DE MOINDRE ACTION :

Soient $T > 0$ et $n \in \mathbb{N}^*$. On note $H$ l'espace des fonctions absolument continues et $T$-périodiques $u : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ telles que $\dot{u} \in L^2(0, T; \mathbb{R}^n) = L^2$. L'espace $H$ est muni du produit scalaire

$$
(u_1, u_2)_H = \int_0^T [(u_1, u_2) + (\dot{u}_1, \dot{u}_2)]
$$

où (., .) est le produit scalaire usuel sur Rⁿ. On note X l'ensemble des fonctions de H qui sont constantes et Y l'ensemble des fonctions de H qui sont de moyenne nulle. L'espace H est la somme orthogonale de X et de Y. Si w ∈ Y, w vérifie l'inégalité de Wirtinger

$$
|\dot{w}|_{L^2}^2 \geq \frac{2\pi}{T} |w|_{L^2}^2
$$

où $|\cdot|_{L^2}$ est la norme usuelle sur $L^2$.

Soit $V : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} : (t, u) \mapsto V(t, u)$ une fonction continue, $T$-périodique en $t$ et dérivable en $u$. On suppose $D_u V$ continue sur $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$. Si $f \in L^2$, on définit $\varphi$ sur $H$ par

$$
\varphi(u) = \int_{0}^{T} \left[ \frac{|\dot{u}|^2}{2} - V(t, u) + (f(t), u) \right] dt,
$$

où $|\cdot|$ est la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^n$. On étend $f$ à $\mathbb{R}$ par $T$-périodicité.
L'interprétation mécanique de $\varphi$ est claire. L'intégrand est le lagrangien,
$|\dot{u}|^2/2$ l'énergie cinétique, $V(t, u)$ l'énergie potentielle et $f(t)$ un terme forçant. La fonction $\varphi$ étant la somme d'une fonction convexe continue et d'une fonction faiblement continue (théorème d'injection de Sobolev) est faiblement semi-continue inférieurement. De plus $\varphi$ est dérivable et

$$ \langle D\varphi(u), h \rangle_{H, H^*} = \int_0^T [(\dot{u}, \dot{h}^*) - (D_u V(t, u), h) + (f(t), h)] dt. $$

On appelle points critiques de $\varphi$ les points où $D\varphi$ s'annule et valeurs critiques de $\varphi$ les valeurs de $\varphi$ aux points critiques.

Par conséquent les points critiques de $\varphi$ sont les solutions faibles de

$$ (2) \qquad \ddot{u} + D_u V(t, u) = f(t). $$

(Si, de plus, $f$ est continue et T-périodique, $u$ est deux fois continûment dérivable). La recherche des solutions T-périodiques de (2) est donc ramenée à l'étude des points critiques de $\varphi$.

Si l'on suppose avec Berger que $f \equiv 0$ et que

$$ V(t, u) \to -\infty, \quad |u| \to \infty, $$

uniformément en $t$, on démontre la coercivité de $\varphi([2])$. Dès lors $\varphi$ atteint son infimum en un point de $H$ qui est nécessairement un point critique (condition nécessaire au premier ordre). La section suivante envisage une situation où $\varphi$ n'est pas coercive.

## 2 - OSCILLATIONS DE L'ÉQUATION DU PENDULE FORCE :

L'équation du pendule forcé

$$ (3) \qquad \ddot{u} + \sin u = f(t), $$

où $f$ est T-périodique, est l'une des plus anciennes et des plus importantes de la mécanique et même des mathématiques tout entières. Le Chanoine Lemaître dit à propos de l'équation autonome : "Ce problème du pendule est un de ceux où la mécanique a apporté une des plus grandes contributions à l'édifice des mathématiques modernes puisqu'elle s'identifie longuement avec l'étude des fonctions elliptiques autour de laquelle s'est édifiée la théorie des fonctions de variables complexes".

Dans le cas de "petites" oscillations forcées, l'approximation du troisième ordre de (3) a occupé une place centrale dans la "mécanique non linéaire"
des années trente sous le nom d'équation de Duffing. Mais ce n'est qu'assez récemment que l'étude des "grandes" oscillations de (3) a été abordée.

Cet état de chose s'explique probablement par l'alternative suivante : selon la valeur de f l'ensemble des oscillations de (3) est soit vide, soit non borné. Notre premier théorème généralise un résultat de Castro [5] qui assure l'existence d'oscillations de (3) lorsque $T \le 2\pi$ et $\int_0^T f = 0$. Castro utilise la méthode de Liapounov-Schmidt qui ne semble pas s'appliquer lorsque $T > 2\pi$. Il serait intéressant de caractériser les termes forçants pour lesquels (3) admet des oscillations.

**Théorème 1** : Soient $V$ et $f$ vérifiant les hypothèses de la section 1. S'il existe $\tau_1, \dots, \tau_n > 0$ tels que $\forall t \in R, \forall u \in R^n, \forall i,$

$$ (4) \qquad V(t, u + \tau_i e_i) = V(t, u) $$

où $e_i$ est le $i$-ème vecteur de la base canonique de $R^n$, et si

$$ (5) \qquad \int_0^T f = 0, $$

alors le système (2) admet une solution T-périodique faible qui minimise $\varphi$ sur $H$.

**Démonstration** : Soit $u \in H$. On pose $u=v+w$, $v \in X$ et $w \in Y$. On déduit de (5) que

$$ \varphi(u) = \int_0^T \left[ \frac{|\dot{w}|^2}{2} - V(t, v+w) + (f(t), w) \right] dt. $$

D'où, en utilisant (4),

$$ (6) \qquad \varphi(u + \tau_i e_i) = \varphi(v + \tau_i e_i + w) = \varphi(u). $$

On déduit de (4) que $V$ est majorée par une constante $c$. Dès lors

$$ \varphi(u) \ge \frac{|\dot{w}|^2}{2} L_2^2 - |f| L_2^2 |w| L_2^2 - cT. $$

L'inégalité de Wirtinger entraîne que

$$ (7) \qquad \varphi(u) \to \infty, \quad |w|_H \to \infty. $$
Soit $(u_n)$ une suite minimisante pour $\varphi$. Grâce à (6), on peut supposer que $(v_n, e_i) \in [0, \tau_i]$. D'après (7), $(w_n)$ est bornée dans H. Finalement $(u_n)$ est bornée dans H. La fonction $\varphi$ atteint donc son infimum. $\square$

### Remarques :

1) On ne suppose aucune relation entre $T, \tau_i, \dots, \tau_n$.

2) L'hypothèse (4) est vérifiée en particulier lorsque $V = 0$. Dans ce cas la condition (5) est également nécessaire pour l'existence d'une solution T-périodique.

On déduit immédiatement du théorème 1 le résultat suivant :

**Exemple 1** : Si $f \in L^2$ et si $\int_0^T f = 0$, alors l'équation (3) admet une solution T-périodique faible qui minimise $\varphi$ sur H.

Si $f$ est impaire, l'existence d'oscillations impaires de (3) résulte d'un théorème de Mawhin ([10]) qui s'applique aussi au cas dissipatif. Nous allons donner une extension de ce théorème dans le cas variationnel.

On note Z l'ensemble des fonctions impaires de H. Comme $Z \subset Y$ l'inégalité de Wirtinger est vérifiée dans Z. L'espace Z muni de la norme induite est réflexif car c'est un sous-espace fermé de H.

**Théorème 2** : Soient $V$ et $f$ vérifiant les hypothèses de la section 1. Si, $\forall t \in \mathbb{R}$ et $V(u) \in \mathbb{R}^n$,

$$ (8) \qquad D_u V(-t, -u) = - D_u V(t, u) \quad \text{et} \quad f(-t) = -f(t) \qquad \text{p.p.} $$

et s'il existe $k \in ]0, 4\pi^2/T^2[$ et $c > 0$ tels que

$$ (9) \qquad V(t, u) \le k \frac{|u|^2}{2} + c, $$

alors le système (2) admet une solution T-périodique faible impaire qui minimise $\varphi$ sur Z. Si, de plus,

$$ (10) \qquad u_1 \neq u_2 \Rightarrow \left(D_u V(t, u_1) - D_u V(t, u_2), u_1 - u_2\right) < \frac{4\pi^2}{T^2} |u_1 - u_2|^2, $$

il existe une seule solution T-périodique faible impaire.

**Démonstration** : Soit $u \in Z$. On déduit de (9) que

$$ \varphi(u) \ge \frac{|\dot{u}|^2}{2} L_2^2 - \frac{k}{2} |u|^2 L_2^2 - |f| L_2^2 |u| L_2^2 - c T. $$
### 3 - INSTABILITE DES SOLUTIONS PERIODIQUES :

On considère le cas d'une équation ($n=1$). Outre les hypothèses de la section 1 sur $V$ et $f$, on suppose $V$ deux fois dérivable en $u$ et $D_u^2 V$ continue sur $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Dans ce cas $\varphi$ est deux fois dérivable et

$$ \langle D^2\varphi(u)h, h \rangle_{H^*, H} = \int_0^T [\dot{h}^2 - D_u^2 V(t, u)h^2] dt. $$

Si $u$ est une solution $T$-périodique faible de (2), on appelle équation aux variations associée à $u$ l'équation

$$ (12) \qquad \ddot{h} + D_u^2 V(t, u(t))h = 0. $$

Comme $D_u^2 V(t, u(t))$ est continue et $T$-périodique, l'équation (12) est une équation de Hill.

On dit qu'une solution $T$-périodique faible $u$ de (2) est instable lorsque l'équation aux variations associée à $u$ admet des solutions non bornées.

**Théorème 3** : Tout minimum local de $\varphi$ correspond à une solution instable de (2).

**Démonstration** : Si $\varphi$ admet un minimum local en $u$, il vient, pour tout $h \in H$,

$$ (13) \qquad \int_0^T [\dot{h}^2 - D_u^2 V(t, u)h^2] dt \ge 0. $$

Soit $\lambda_0$ la plus petite valeur propre de l'opérateur $A$ défini par

$$ D(A) = \{u \in C^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}) : u \text{ est } T\text{-périodique}\}, \\ A u = -\ddot{h} - D_u^2 V(t, u(t)) h. $$

L'inégalité (13) entraine que $\lambda_0 \ge 0$. On déduit alors du théorème 2.1 de [9] que (12) admet des solutions non bornées. $\square$

**Corollaire 1** : Si $D_u V(t, u)$ est décroissante en $u$, toutes les solutions $T$-périodiques faibles de (2) sont instables.

**Démonstration** : Par hypothèse $-V(t, u)$ est convexe en $u$. Donc $\varphi$ elle-même est convexe. Par conséquent la seule valeur critique possible est l'infimum de $\varphi$ s'il est fini. $\square$
**Corollaire 2** : On suppose $f \equiv 0$. S'il existe $R > 0$ et $u_o \in R$ tels que, $\forall t, u \in R$,

$$|u - u_o| < R \Rightarrow V(t, u) \leq V(t, u_o),$$

alors la fonction constante $u_o$ est une solution instable de

$$\ddot{u} + D_u V(t, u) = 0.$$

**Démonstration** : On vérifie facilement que $\varphi(u_o)$ est un minimum local de $\varphi$. $\square$

## 4 - OSCILLATIONS LIBRES DE SYSTEMES CONSERVATIFS :

Si $V$ est pair, $DV$ est impaire et le système

$$(14) \qquad \ddot{u} + DV(u) = 0$$

admet la solution triviale $u \equiv 0$ qui est impaire et $T$-périodique pour tout $T > 0$.

Sous des hypothèses dues à Clarke et Ekeland (croissance de $V$ "rapide" à l'origine et "lente" à l'infini), nous obtenons l'existence d'oscillations impaires non triviales (et donc non constantes).

L'approche de [7] se fonde sur la convexité du potentiel et un principe de moindre action dual. Nous utilisons la parité de $V$ et le principe de moindre action. Comme dans [7] on obtient des oscillations dont la période minimale est fixée, et ce pour la première fois, semble-t-il, lorsque le potentiel n'est pas nécessairement convexe.

**Théorème 4** : Soit $V: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ une fonction paire continûment dérivable. On suppose, sans perte de généralité, que $V(0) = 0$. S'il existe $k, c \geq 0$, $\eta, \delta > 0$ tels que $k < 4\pi^2/T^2 < \eta$ et, $\forall u \in \mathbb{R}^n$,

$$(15) \qquad V(u) \leq k \frac{|u|^2}{2} + c,$$

$$(16) \qquad |u| \leq \delta \Rightarrow V(u) \geq \eta \frac{|u|^2}{2},$$

alors le système (14) admet une solution périodique impaire de période minimale $T$ qui minimise $\varphi$ sur $\mathbb{Z}$.
**Démonstration** : Grâce à (15), on déduit du théorème 2 que (14) admet une solution T-périodique impaire u qui minimise $\varphi$ sur $Z$.

Si $h(t) = (\delta \sin \frac{2\pi}{T} t)$ e, où e est un vecteur de $\mathbb{R}^n$ de norme 1, on déduit de (16) que

$$ \varphi(u) \le \varphi(h) \le \int_0^T \left[ \frac{4\pi^2}{T^2} \frac{\delta^2}{2} \left( \cos \frac{2\pi}{T} t \right)^2 - \eta \frac{\delta^2}{2} \left( \sin \frac{2\pi}{T} t \right)^2 \right] dt < 0 = \varphi(0). $$

Donc u est une solution non triviale.

Si T n'est pas la période minimale de u, u est T/k périodique pour un entier $k \ge 2$. Comme dans [7] on pose $\tilde{u}(t) = u(t/k)$. Alors $\tilde{u} \in Z$ et

$$ \varphi(\tilde{u}) = \frac{1}{k^2} \int_0^T \frac{|\dot{u}|^2}{2} - \int_0^T V(u) = \varphi(u) + \frac{1-k^2}{k^2} \int_0^T \frac{|\dot{u}|^2}{2} < \varphi(u). $$

Ce qui est absurde. $\square$

**Exemple 3** : L'équation $\ddot{u} + \sin u = 0$ admet une oscillation impaire de période minimale T si et seulement si $T > 2\pi$. Cette oscillation minimise $\varphi$ sur $Z$.

**Démonstration** : Comme

$$ u_1 \neq u_2 \Rightarrow \frac{\sin u_1 - \sin u_2}{u_1 - u_2} < 1, $$

la condition est nécessaire en vertu du théorème 2.

Montrons qu'elle est suffisante. Le potentiel est donné par $V(u) = 1 - \cos u$. On vérifie (15) avec $k = 0$. Comme $V(u)/u^2 \to 1/2$, $u \to 0$, on peut vérifier (16) avec $\eta > 4\pi^2/T^2$ lorsque $4\pi^2/T^2 < 1$. $\square$

**Remarque** : On peut évidemment construire les oscillations au moyen d'intégrales elliptiques.

**Exemple 4** : Si $-1/2 < \alpha < 0$, alors, pour tout $T > 0$, le système

$$ \ddot{u} + |u|^{2\alpha} u = 0 $$

admet une oscillation impaire de période minimale T qui minimise $\varphi$ sur $Z$.

**Démonstration** : le potentiel est donné par $V(u) = (2\alpha + 2)^{-1} |u|^{2(\alpha+1)}$. Dès lors $V(u)/|u|^2 \to 0$, $|u| \to \infty$, et $V(u)/|u|^2 \to \infty$, $|u| \to 0$, et il est facile de vérifier les hypothèses du théorème 4 pour tout $T > 0$. $\square$
Remarques :

1) Comme le potentiel est convexe, l'existence d'une oscillation de période minimale T résulte de [7].

2) L'exemple 4, qui concerne un système soumis à une force de rappel sous linéaire, offre un contraste frappant avec le cas linéaire ($\alpha = 0$) pour lequel toutes les solutions sont $2\pi$-périodiques.

5 - LE PRINCIPE DE MOINDRE ACTION DUAL :

Nous allons obtenir des oscillations forcées qui ne correspondent pas à des minima globaux de l'action en utilisant le principe de moindre action dual de Clarke et Ekeland (voir [4], [7], [8] et les bibliographies de ces articles).

**Théorème 5** : Soient $V$ et $f$ vérifiant les hypothèses de la section 1. S'il existe $k \in ]0, 4\pi^2/T^2[$ et $c \ge 0$ tels que

$$ (17) \qquad V(t,u) \le k \frac{|u|^2}{2} + c $$

et si

$$ (18) \qquad (D_u V(t, u_1) - D_u V(t, u_2), u_1 - u_2) \le \frac{4\pi^2}{T^2} |u_1 - u_2|^2, $$

$$ (19) \qquad V(t,u) \to \infty, \quad |u| \to \infty, \quad \text{uniformément en } t, $$

$$ (20) \qquad \int_0^T f = 0, $$

alors le système (2) admet une solution T-périodique faible.

**Notations** : Par un changement de variable on se ramène au cas où $T=2\pi$. Comme précédemment $L^2 = L^2(0, 2\pi; \mathbb{R}^n)$. On définit l'opérateur linéaire $L$ par

$$ D(L) = \{u \in L^2 : u \text{ et } \dot{u} \text{ sont absolument continues,} \\ u(0) - u(2\pi) = \dot{u}(0) - \dot{u}(2\pi) = 0, \underline{u} \in L^2\} $$

$$ Lu = -\dot{u} - u $$

et $\Psi : L^2 \to \mathbb{R}$ par

$$ \Psi(u) = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{|u|^2}{2} - V(t, u) + (f(t), u) \right] dt. $$
Grâce à (18) la fonction $\Psi$ est convexe et $\partial \Psi(u) = u - D_u V(., u) + f$. Les solutions T-périodiques faibles de (2) sont les zéros de $L + \partial \Psi$. L'espace $L^2$ est la somme orthogonale de l'image de $L$, $R(L)$, et du noyau de $L$, Ker $L$. On pose

$$K = (L | D(L)) \cap R(L)^{-1},$$

$$\Psi^*(v) = \sup_{u \in L^2} [(v, u)_{L^2} - \Psi(u)], \quad v \in L^2,$$

et

$$\Phi(v) = \frac{1}{2} (K v, v)_{L^2} + \Psi^*(v), \quad v \in R(L).$$

La fonction $\Psi^*$ est la transformée de Fenchel de $\Psi$ et $\Phi$ est l'action duale. On déduit de (17) que $\Psi^*$ est partout finie. Chaque $v \in R(L)$ s'écrit d'une manière unique sous la forme $v_1 + v_2$ où $v_1$ est la valeur moyenne de $v$ et $v_2$ est de moyenne nulle.

**Démonstration :** Par définition

$$(K v, v)_{L^2} \geq - |v_1|^2_{L^2}$$

et

$$\Psi^*(v) \geq \int_0^{2\pi} \left[ \frac{|v|^2}{2} + V(t,v) - (f(t),v) \right] dt.$$

En utilisant (20), on obtient

$$(21) \qquad \Phi(v) \ge \frac{|v_2|^2}{2} L^2 + \int_0^{2\pi} V(t,v) dt - |f|_{L^2} |v_2|_{L^2}.$$

Comme $V$ est bornée inférieurement grâce à (19), il vient

$$(22) \qquad \Phi(v) \ge \frac{|v_2|^2}{2} L^2 - 2\pi c' - |f|_{L^2} |v_2|_{L^2}.$$

Montrons que $\Phi$ est coercive, i. e. $|v_n|_{L^2} \to \infty \Rightarrow \Phi(v_n) \to \infty$. Si $|v_{2,n}|_{L^2} \to \infty$ on déduit immédiatement de (22) que $\Phi(v_n) \to \infty$. On peut donc supposer que $(v_{2,n})$ est bornée dans $L^2$ et que $|v_{1,n}| \to \infty$. Grâce à (21) il suffit de prouver que

$$(23) \qquad \int_0^{2\pi} V(t, v_{1,n} + v_{2,n}) dt \to \infty, \ n \to \infty.$$
L'argument suivant est classique. On pose

$$
\Omega_n = \{t \in [0, 2\pi] : |v_{2,n}(t)| \ge \frac{1}{2} |v_{1,n}|\}.
$$

Comme $\int_{\Omega_n} \frac{1}{n} |v_{1,n}|^2 \le |v_{2,n}|^2 \L^2 \le c''$, il vient $\mu(\Omega_n) \le 4c''/|v_{1,n}|^2$.

Soit m tel que $n \ge m \Rightarrow \mu(\mathcal{L}_{\Omega_n}) \ge \pi$. Sur $\mathcal{L}_{\Omega_n}$, $|v_n(t)| \ge |v_{1,n}| - |v_{2,n}(t)|$
$\ge \frac{1}{2} |v_{1,n}|$. Si $n \ge m$,

$$
\int_0^{2\pi} V(t, v_{1,n} + v_{2,n}) dt \ge -c'\pi + \int_{\mathcal{L}_{\Omega_n}} V(t, v_{1,n} + v_{2,n}) dt.
$$

En utilisant (19) on obtient (23).

L'application K étant compacte et la fonction ψ* convexe et continue, Φ est
faiblement semi-continue inférieurement. Comme Φ est coercive, elle at-
teint son infimum en un point v de R(L).

Pour $h \in R(L)$ et pour $t \in ]0, 1[$, on a

$$
\psi^*(v) \le \psi^*(v+th) + t(K_v, h) \mathbb{L}^2 + \frac{t^2}{2} (Kh, h) \mathbb{L}^2.
$$

Donc

$$
-(K v, h) \mathbb{L}^2 \le \frac{\psi^*(v+th) - \psi^*(v)}{t} + \frac{t}{2} (Kh, h) \mathbb{L}^2.
$$

Si $t \downarrow 0$, on obtient

$$
- (K v, h) \mathbb{L}^2 \le \delta^+ \psi^* (v, h).
$$

Comme $\delta^+ \psi^*(v, \cdot)$ est positivement homogène et sous-additive, le théorème
de Hahn-Banach assure l'existence de $w \in \text{Ker } L$ tel que, pour tout $h \in L^2$,

$$
(w, h)_{L^2} - (K v, h)_{L^2} \le \delta^+ \psi^*(v, h).
$$

Mais alors

$$
(w - K v, h) \mathbb{L}^2 \le \psi^*(v+h) - \psi^*(v),
$$

i. e. $w - K v \in \partial \psi^*(v)$. Il vient $v = \partial \psi(w - K v)$. Si $u = w - K v$, $-L u = v$
et $u$ est un zéro de $L + \partial \psi$. $\square$
Remarques :

1) D'après la démonstration, tout minimum local de $\Phi$ correspond à un zéro de $L+\partial \Psi$.

2) On obtient d'une manière analogue un résultat semblable pour des systèmes hamiltoniens du premier ordre. On peut aussi traiter d'autres problèmes aux limites.

3) L'hypothèse (18) est superflue lorsque $D_u V$ est bornée [1], ou lorsque $V$ est convexe en $u$ [7], [8]. L'est-elle en général ?

**Exemple 5** : On considère une équation de la forme

$$
(24) \qquad \ddot{u} + g(u) = h \in L^2(0, 2\pi; \mathbb{R})
$$

où $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est continue, admet des limites à l'infini et est telle que
$g(-\infty) < g(u) < g(\infty)$, $\forall u$, et

$$
u_1 \neq u_2 \Rightarrow \frac{g(u_1) - g(u_2)}{u_1 - u_2} \leq 1.
$$

On pose $h_1 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} h$ et $h_2 = h - h_1$. Il est clair que, si (24) admet une
solution $2\pi$-périodique,

$$
(25) \qquad g(-\infty) < h_1 < g(\infty).
$$

En vue d'appliquer le théorème 5, on pose

$$
V(t, u) = \int_{0}^{u} g(s) \, ds - h_{1} \cdot u \quad \text{et} \quad f = h_{2},
$$

de sorte que (24) prend la forme (2). Comme (25) entraîne (19), cette condi-
tion suffit aussi à assurer l'existence d'une solution périodique (voir [3]
et la bibliographie de cet article pour de nombreux développements liés à
ce type de condition).
Remerciements :

Le Professeur J. ROBERT et les membres du Séminaire d'Analyse non Linéaire m'ont réservé un accueil chaleureux : je les en remercie vivement.

Je tiens aussi à remercier les Professeurs A. LAZER et J. MAWHIN de conversations aussi sympathiques qu'utiles au développement de ce travail.
BIBLIOGRAPHIE

[1] BENCI V. et RABINOWITZ P. :
Critical point theorems for indefinite functionals.
Inventiones Math. 52, (1979), p. 241-273.

[2] BERGER M. :
"Nonlinearity and functional analysis. Lectures on nonlinear
problems in mathematical analysis".
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[3] BREZIS H. et NIRENBERG L. :
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applications to boundary value problems.
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[4] BREZIS H., CORON J.M. et NIREMBERG L. :
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P. Rabinowitz.
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[6] CASTRO A. et LAZER A. C. :
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[8] EKELAND I. :
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[9] MAGNUS W. et WINKLER S. :
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[10] MAWHIN J. :
Une généralisation de théorèmes de J. A. Marlin.
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[11] MAWHIN J. :
Contractive mappings and periodically perturbed conservative
systems.
Arch. Math. 12, (1976), p. 67-74.

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