# Des espérances mathématiques de X 1 et X-2

Paul Schmutz

► To cite this version:

Paul Schmutz. Des espérances mathématiques de X 1 et X-2. Annales de l'ISUP, 1964, XIII (3), pp.153-168. hal-04085209

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Submitted on 28 Apr 2023

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# DES ESPÈRANCES MATHÉMATIQUES DE $X^{-1}$ ET $X^{-2}$

Paul SCHMUTZ

## Introduction

Les approximations des espérances mathématiques ont été traitées par R. von Mises. Il a donné ([1] et [2]) des formules pour

$$E(X^{-1}) = \int_G \frac{dF(x)}{x}$$

où $F(x)$ est la fonction de distribution de la variable aléatoire $X$, $X \in G$. Cependant, ces résultats ne semblent pas être très con- nus. Dans l'œuvre de Kendall-Stuart [4], par exemple, pour la va- leur probable citée, on ne donne que l'approximation $\frac{1}{\mu}$, $\mu$ étant $E(X) = \int_G x dF(x)$.

Dans ce travail, on va essayer de donner des approximations de $E(X^{-1})$ et $E(X^{-2})$ qui soient utiles aux praticiens.

Dans la première partie, on considère les bases théoriques.

Deux méthodes y seront discutées.

1) A l'aide de séries, on obtiendra des bornes pour $E(X^{-1})$ et $E(X^{-2})$, qui peuvent être rendues aussi voisines qu'on veut, si on connaît tous les moments d'une distribution. (Formules (2.2)(2.3) (3.1)(3.2)).

2) Dans la pratique, on ne connaît souvent pas beaucoup de moments. Voilà pourquoi on va construire des distributions discrètes $A_k(x)$ à k points, dont les moments soient égaux aux moments d'une distri- bution donnée $F(x)$ jusqu'à un certain ordre. R. v. Mises [2] a cité deux théorèmes, dont le premier est dû à Tchebichef :
**THEOREME I** : $F(x)$ étant une fonction de distribution croissante au moins en k points il existe une seule distribution discrète $A_k(x)$ à k points dont les moments sont égaux aux moments de $F(x)$ jusqu'à l'ordre 2k-1 et dont les k sauts se trouvent à l'intérieur de l'intervalle où $F(x)$ est croissante.

**THEOREME II** : $F(x)$ étant une fonction de distribution croissante au moins en k+1 points, il y a plusieurs distributions discrètes à k points dont les moments sont égaux aux moments de $F(x)$ jusqu'à l'ordre 2k. Un des k+1 points étant choisi arbitrairement les autres sont déterminés.

Ces distributions discrètes $A_k(x)$ sont-elles utilisables pour l'approximation de $E(X^{-1})$ et de $E(X^{-2})$ ? R. v. Mises [2] a démontré:

**THEOREME III** : Soit $g(x)$ une fonction dont les dérivés de l'ordre 2k-1 (resp. 2k), donc $g^{(2k-1)}$ (resp. $g^{(2k)}$), existent, on a dans le cas du théorème I

$$E(g(x)) = \int_{b}^{d} g(x) dF(x) \leq \sum_{k=1}^{k} g(x_k) A_k(x_k), g^{(2k-1)} \begin{cases} \text{non croissante} \\ \text{non décroissante} \end{cases}$$

Dans le cas du théorème II, un saut étant choisi en $x = d$, on a

$$E(g(x)) = \int_{b}^{d} g(x) dF(x) \gtrsim \sum_{k=1}^{k+1} g(x_k) A_k(x_k), g^{(2k)} \begin{cases} \text{non croissante} \\ \text{non décroissante} \end{cases}$$

Si on met un saut en $x = b$, les signes changent.

Nous allons utiliser des distributions à 2 et 3 points pour l'approximation de $E(X^{-1})$ et $E(X^{-2})$. Les résultats se trouvent dans les paragraphes 4 et 5.

**La deuxième partie** contient les exemples numériques concernant quelques lois de répartition usuelles.

Le travail a été animé et surveillé par Monsieur le Professeur E. Batschelet (Washington D.C.). Je tiens à témoigner ici ma vive reconnaissance pour ses maints conseils.
# Première partie

## 1. Notations et hypothèses

Soit X une variable aléatoire dont la fonction de répartition est F(x). Si F(x) est dérivable, f(x) = F'(x) est la densité de probabilité. X sera borné par b > 0 et d > b.

La moyenne de X étant

$$ \mu = E(X) = \int_{b}^{d} x \, dF(x) $$

les moments centrés $\mu_\nu$ sont donnés par les formules

$$ \mu_o = 1, \mu_1 = 0, \mu_\nu = E[(X - \mu)^\nu] = \int_b^d (x - \mu)^\nu dF(x), (\nu = 2, 3, 4, \dots) $$

Pour la plupart des calculs on posera, sans restriction de gé- néralité, $\mu = 1$.

Les espérances mathématiques qui nous intéressent dans ce travail sont

$$ E(X^{-1}) = \int_{b}^{d} \frac{dF(x)}{x} \quad \text{et} \quad E(X^{-2}) = \int_{b}^{d} \frac{dF(x)}{x^2} $$

De plus nous nous occuperons de la variance de $X^{-1}$

$$ \text{var}(X^{-1}) = E(X^{-2}) - [E(X^{-1})]^2 $$

## 2. Des bornes pour E(X⁻¹)

Développant $\frac{1}{x}$ en série géométrique on obtient

$$ \frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1-x)} = 1 + \sum_{\nu=1}^{n-1} (1-x)^\nu + R_n, \quad \text{où} \quad R_n = \frac{(1-x)^n}{x} \quad (2.1) $$

D'où

$$ E(X^{-1}) = 1 + \sum_{\nu=2}^{n-1} (-1)^\nu \mu_\nu + E(R_n), \quad (\mu = 1) $$
Après une évaluation de $E(R_n)$, des bornes pour $E(X^{-1})$ se-
ront trouvées. Il faut distinguer entre n pair et n impair.

n pair : A cause de $0 < b \le x \le d$, $b < 1$, $d > 1$ on constate que

$$
\frac{(1-x)^n}{d} \le \frac{(1-x)^n}{x} \le \frac{(1-x)^n}{b}
$$

<u>n impair</u> : On obtient

$$
(1-x)^n \le \frac{(1-x)^n}{x} \le \frac{1-b}{b} (1-x)^{n-1}
$$

D'où les bornes pour $E(X^{-1})$, $\mu = 1$

n pair :

$$
1 + \sum_{\nu=2}^{n-1} (-1)^\nu \mu_\nu + \frac{\mu_n}{d} \le E(X^{-1}) \le 1 + \sum_{\nu=2}^{n-1} (-1)^\nu \mu_\nu + \frac{\mu_n}{b}, \qquad (2.2)
$$

n impair :

$$
1 + \sum_{\nu=2}^{n} (-1)^{\nu} \mu_{\nu} \le E(X^{-1}) \le 1 + \sum_{\nu=2}^{n-2} (-1)^{\nu} \mu_{\nu} + \frac{\mu_{n-1}}{b}
$$

Remarques :

1) L'approximation $\frac{1}{\mu}$, $\mu$ quelconque, pour $E(X^{-1})$ est trop pe-
tite, car $E(X^{-1}) \ge \frac{1}{\mu} \left(1 + \frac{\mu_2}{d \cdot \mu}\right)$. (Voir (2.2), $n=2$).

2) Pour les distributions symétriques les moments d'indices impairs disparaissent et les bornes inférieures sont meilleures, si on choi-
sit n impair.

3) La série (2.1) étant convergente pour $|1-x|<1$ la série $\sum_{\nu=2}^{\infty} (-1)^\nu \mu_\nu$ l'est aussi. En effet, si on pose $b=1-\delta$ et $d=1+\delta$
$0 < \delta < 1$, on obtient

$$
\mu_{\nu} = \int_{1-\delta}^{1+\delta} (x-1)^{\nu} dF(x) = \int_{-\delta}^{\delta} t^{\nu} dF(1+t) \le \delta^{\nu} \int_{-\delta}^{\delta} dF(1+t) = \delta^{\nu}
$$

et

$$
1 + \sum_{\nu=2}^{\infty} (-1)^{\nu} \mu_{\nu} \le 1 + \sum_{\nu=2}^{\infty} \delta^{\nu} = 1 + \frac{\delta^2}{1 - \delta}
$$
De cela on reconnaît que

$$E(X^{-1}) = 1 + \sum_{\nu=2}^{\infty} (-1)^{\nu} \mu_{\nu}, \quad (\mu = 1) \quad (2.3)$$

et que la série $\sum_{\nu=2}^{\infty} (-1)^{\nu} \mu_{\nu}$ ne converge pas moins vite qu'une série géométrique.

### 3. Des bornes pour $E(X^{-2})$

Pour $E(X^{-2})$ on obtient des formules semblables à celles qu'on a obtenues pour $E(X^{-1})$. En dérivant les membres de l'expression (2.1), c'est-à-dire de

$$\frac{1}{x} = 1 + \sum_{\nu=1}^{n} (1-x)^{\nu} + R_{n+1}, \quad R_{n+1} = \frac{(1-x)^{n+1}}{x}$$

on obtient

$$\frac{1}{x^2} = \sum_{\nu=1}^{n} \nu(1-x)^{\nu-1} - R'_{n+1}, \quad -R'_{n+1} = \frac{(1-x)^n (nx+1)}{x^2}$$

Pour le reste $-R'_{n+1}$ on a les inégalités suivantes :

**n pair**

$$\frac{(1-x)^n (nx+1)}{d^2} \le \frac{(1-x)^n (nx+1)}{x^2} \le \frac{(1-x)^n (nx+1)}{b^2}$$

**n impair**

$$(1-x)^n (nx+1) \le \frac{(1-x)^n (nx+1)}{x^2} \le \frac{1-b}{b^2} (1-x)^{n-1} (nx+1)$$

Alors les bornes de $E(-R'_{n+1})$ sont :

**n pair**

$$\frac{1}{d^2} [(n+1)\mu_n + n \mu_{n+1}] \le E(-R'_{n+1}) \le \frac{1}{b^2} [(n+1)\mu_n + n \mu_{n+1}]$$

**n impair**

(3.1a)

$$-(n+1) \mu_n - n \mu_{n+1} \le E(-R'_{n+1}) \le \frac{1-b}{b^2} [(n+1) \mu_{n-1} + n \mu_n]$$

Avec ces inégalités les bornes pour $E(X^{-2})$ sont trouvées ; car

$$E(X^{-2}) = \sum_{\nu=1}^{n} (-1)^{\nu-1} \nu \mu_{\nu-1} + E(-R'_{n+1}), \quad (\mu = 1) \quad (3.1b)$$
Remarques :

1) Sous les mêmes conditions qu'au §2, remarque 3, la série $\sum_{\nu=3}^{\infty} (-1)^{\nu-1} \nu \mu_{\nu-1}$ converge aussi et on obtient la formule :

$$E(X^{-2}) = 1 + \sum_{\nu=3}^{\infty} (-1)^{\nu-1} \nu \mu_{\nu-1}, \quad (\mu = 1) \quad (3.2)$$

2) La variance de $X^{-1}$ est approximée dans [4] par $\frac{\mu_2}{\mu^4}$. Cette expression est obtenue à partir des formules (3.1) et (2.2) pour $n=3$, $\mu$ quelconque et en négligeant $\mu_3$ et $\mu_4$.

On a donc $\frac{1}{\mu^2}(1 + \frac{3\mu_2}{\mu^2})$ pour $E(X^{-2})$ et en posant $\frac{1}{\mu}(1 + \frac{\mu_2}{\mu^2})$ au lieu de $E(X^{-1})$ (2.2), on a par conséquent $\frac{1}{\mu^2}(1 + \frac{2\mu_2}{\mu^2})$ pour $[E(X^{-1})]^2$ et pour la variance :

$$\frac{1}{\mu^2}\left(1 + \frac{3\mu_2}{\mu^2}\right) - \frac{1}{\mu^2}\left(1 + \frac{2\mu_2}{\mu^2}\right) = \frac{\mu_2}{\mu^4}$$

### 4. Distribution discrète à deux points

Soient $\mu, \mu_2, \mu_3$ des moments d'une distribution donnée $F(x)$. Nous cherchons une distribution discrète $A_2(x)$ à deux points dont la moyenne est égale à $\mu$ et dont les moments du deuxième ordre et du troisième ordre sont égaux à $\mu_2$ et $\mu_3$. Ayant mis les sauts de cette distribution à $x_1$ et $x_2 > x_1$, les probabilités étant nommées respectivement $p$ et $1-p$, nous obtenons les équations suivantes :

$$1) \quad E(X) = px_1 + (1-p)x_2 = \mu$$

$$2) \quad E(X^2) = px_1^2 + (1-p)x_2^2 = \mu_2 + \mu^2$$

$$3) \quad E(X^3) = px_1^3 + (1-p)x_2^3 = \mu_3 + 3\mu\mu_2 + \mu^3$$

On obtient alors :

$$x_1 = \mu - \sqrt{\mu_2} \sqrt{\frac{1-p}{p}}, \quad x_2 = \mu + \sqrt{\mu_2} \sqrt{\frac{p}{1-p}} \quad \text{et} \quad p = \frac{1}{2} + \frac{\mu_3}{2\sqrt{4\mu_2^3 + \mu_3^2}} \quad (4.1)$$
Remarque : Si on se borne à l'accord des moments $\mu$ et $\mu_2$, alors $x_1$ ou $x_2$ ou p peut être choisi à volonté (0 < p < 1). Posant $x_1 = b$ puis $x_2 = d$ R. v. Mises [2] a donné des bornes pour l'espérance mathématique $E(g(x))$ d'une certaine fonction $g(x)$. Voir [2], formule 16).

Maintenant nous désignons par $E_{A_2}(X^{-1})$ et $E_{A_2}(X^{-2})$ les valeurs probables de $X^{-1}$ et $X^{-2}$ pour la distribution $A_2(x)$, que nous voulons comparer, plus loin, avec $E(X^{-1})$ et $E(X^{-2})$, valeurs pour $F(x)$.

On a donc

$$E_{A_2}(X^{-1}) = \frac{p}{x_1} + \frac{1-p}{x_2}, \quad E_{A_2}(X^{-2}) = \frac{p}{x_1^2} + \frac{1-p}{x_2^2}$$

Avec (4.1) on obtient

$$E_{A_2}(X^{-1}) = \frac{1}{\mu} + \frac{\mu_2}{\mu(\mu^2 - \mu_2 + \mu \frac{\mu_3}{\mu_2})}, \quad E_{A_2}(X^{-2}) = \frac{\mu^2 + \mu_2 + 2\mu \frac{\mu_3}{\mu_2} + \frac{\mu_3^2}{\mu_2^2}}{(\mu^2 - \mu_2 + \mu \frac{\mu_3}{\mu_2})^2} \quad (4.2)$$

et

$$\mathrm{var}_{A_2}(X^{-1}) = \frac{\mu_2}{(\mu^2 - \mu_2 + \mu \frac{\mu_3}{\mu_2})^2}$$

Remarque : Les dérivées du 3me et du 5me ordre des fonctions $x^{-1}$ et $x^{-2}$ croissent constamment, x étant positif. Alors on constate que

$$E_{A_2}(X^{-1}) \le E(X^{-1}) \quad \text{et} \quad E_{A_2}(X^{-2}) \le E(X^{-2})$$

(Voir le théorème III de l'introduction).

### 5. Distribution discrète à trois points

Avec trois sauts, on obtient l'accord des moments jusqu'au cinquième ordre. Si on renonce à l'accord des moments du cinquième ordre, on peut choisir le lieu d'un saut. Nous le plaçons en $x = \mu$. Si alors la densité de probabilité est symétrique par rapport à $x = \mu$, on a de plus l'accord jusqu'au cinquième ordre. Désignons donc par $A_3(x)$ une distribution discrète à trois points qui remplit les conditions suivantes :
1) Les quatre premiers moments de $A_3(x)$ sont égaux aux quatre premiers moments de $F(x)$, c'est-à-dire à $\mu, \mu_2, \mu_3, \mu_4$.

2) Les sauts sont en :

$$x_1 = \mu - \lambda_1, \quad (\lambda_1 > 0); \quad x_2 = \mu; \quad x_3 = \mu + \lambda_2, \quad (\lambda_2 > 0)$$

et les probabilités correspondantes

$$A_3(x_1) = p_1; \quad A_3(x_2) = 1 - p_1 - p_2; \quad A_3(x_3) = p_2$$

Puis il faut déterminer les nombres $\lambda_1, \lambda_2, p_1$ et $p_2$ en résolvant les quatre équations suivantes :

$$(-1)^i \lambda_1^i p_1 + \lambda_2^i p_2 = \mu i \quad (i = 1, 2, 3, 4)$$

D'où :

$$\lambda_{1/2} = \mp \frac{\mu_3}{2\mu_2} + \frac{\sqrt{4\mu_2\mu_4 - 3\mu_3^2}}{2\mu_2} \quad (5.1)$$

et

$$p_{1/2} = \frac{\mu_2^3}{2(\mu_2 \mu_4 - \mu_3^2)} \pm \frac{\mu_2^2 \mu_3 \sqrt{4\mu_2\mu_4 - 3\mu_3^2}}{2(4(\mu_2\mu_4 - 3\mu_3^2)(\mu_2\mu_4 - \mu_3^2))} \quad (5.2)$$

Pour les lois symétriques $\mu_3$ disparaît et les formules se réduisent à :

$$\lambda_1 = \lambda_2 = \sqrt{\frac{\mu_4}{\mu_2}} \quad (5.1')$$

$$p_1 = p_2 = \frac{\mu_2^2}{2\mu_4} \quad (5.2')$$

Les espérances mathématiques de $X^{-1}$ et $X^{-2}$ pour la distribution $A_3(x)$ sont :

$$\begin{gathered} \left[ \text{Le dénominateur est } D = \mu \left( \mu^2 + \mu \frac{\mu_3}{\mu_2} + \frac{\mu_3^2}{\mu_2^2} - \frac{\mu_4}{\mu_2} \right) \right] \\ E_{A_3}(X^{-1}) = \frac{p_1}{\mu - \lambda_1} + \frac{1 - p_1 - p_2}{\mu} + \frac{p_2}{\mu + \lambda_2} = \frac{1}{\mu} + \frac{\mu_2}{D} \quad (5.3) \\ E_{A_3}(X^{-2}) = \frac{p_1}{(\mu - \lambda_1)^2} + \frac{1 - p_1 - p_2}{\mu^2} + \frac{p_2}{(\mu + \lambda_2)^2} = \frac{1}{\mu^2} + \frac{3\mu^2\mu_2 + 2\mu\mu_3 + \frac{\mu_3^2}{\mu_2} - \mu_4}{D^2} \end{gathered}$$
et

$$ \operatorname{var}_{A_3}(X^{-1}) = \frac{\mu_2^2 \mu_3 - \mu_2^2 - \frac{\mu_3^2}{\mu_2} + \mu_4}{D^2} \quad (5.4) $$

Pour les lois symétriques on a

$$ \begin{gathered} E_{A_3}(X^{-1}) = \frac{1}{\mu} + \frac{\mu_2}{\mu \left( \mu^2 - \frac{\mu_4}{\mu_2} \right)}, \qquad E_{A_3}(X^{-2}) = \frac{1}{\mu^2} + \frac{3\mu^2 \mu_2 - \mu_4}{\mu^2 \left( \mu^2 - \frac{\mu_4}{\mu_2} \right)^2}, \quad (5.5) \\ \operatorname{var}_{A_3}(X^{-1}) = \frac{\mu^2 \mu_2 - \mu_2^2 + \mu_4}{\mu^2 \left( \mu^2 - \frac{\mu_4}{\mu_2} \right)^2} \end{gathered} $$

Remarque :

Dans le cas d'une loi symétrique on a de nouveau

$$ E_{A_3}(X^{-1}) \le E(X^{-1}) \quad \text{et} \quad E_{A_3}(X^{-2}) \le E(X^{-2}) $$

(Voir la remarque à la fin du §4).

Dans le cas d'une loi dissymétrique le théorème III de l'intro-
duction ne s'applique plus puisqu'il suppose $x_3 = d$ (ou bien, après
avoir changé les signes, $x_1 = b$), tandis que dans nos formules nous
avons admis $x_2 = \mu$.

Deuxième partie

**Introduction** : Les développements en séries et les valeurs approximatives, trouvées à l'aide des distributions discrètes, seront appliquées à la comparaison avec les valeurs exactes de $E(X^{-1})$ et var($X^{-1}$). Les exemples contiennent deux lois symétriques, la distribution uniforme et la distribution normale tronquée. D'autres distributions symétriques (triangulaire, Cauchy) ont des résultats analogues. L'accord des valeurs approximatives avec les valeurs exactes est assez bon. Il devient mauvais, cela s'entend, si l'intervalle où $X$ varie, s'étend vers 0. Avec la distribution de Poisson et la distribution logarithmico-normale deux lois asymétriques seront adjointes. La distribution à deux points reste toujours applicable. Notre distribution à trois points n'est applicable que si la dissymétrie n'est pas trop grande. Quant à la loi de Poisson l'approximation est meilleure quand on emploie trois points.
## 6. Distribution uniforme

La densité de probabilité est définie par les équations

$f(x) = 0$, si $x < b$ et $x > d$; $f(x) = \frac{1}{2\sigma\sqrt{3}}$, si $0 < b \le x \le d$ où $\sigma$ signifie la dispersion, or $\sigma = \sqrt{\mu_2}$. On peut exprimer $b$ et $d$ par $\mu$ et $\sigma$: $b = \mu - \sigma\sqrt{3}$; $d = \mu + \sigma\sqrt{3}$.

Par conséquent on a la condition $\frac{\sigma}{\mu} < \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$E(X^{-1})$ et $E(X^{-2})$ peuvent être calculées directement

$$E(X^{-1}) = \frac{1}{2\sigma\sqrt{3}} \ln \frac{\mu + \sigma\sqrt{3}}{\mu - \sigma\sqrt{3}}, \quad E(X^{-2}) = \frac{1}{\mu^2 - 3\sigma^2}$$

Nous comparons ces valeurs avec les approximations (5.5) c'est-à-dire avec

$$E_{\lambda_3}(X^{-1}) = \frac{1}{\mu} \left( 1 + \frac{\sigma^2}{\mu^2 - 1,8\sigma^2} \right) \quad \text{et} \quad \text{var}_{\lambda_3}(X^{-1}) = \frac{\sigma^2(\mu^2 + 0,8\sigma^2)}{\mu^2(\mu^2 - 1,8\sigma^2)^2}$$

Les tableaux suivants contiennent des résultats numériques pour quelques valeurs de $\frac{\sigma}{\mu}$.

$E(X^{-1})$ a un pôle pour $\frac{\sigma}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,577...$ $E_{\lambda_3}(X^{-1})$ a son pôle pour $\frac{\sigma}{\mu} = \frac{\sqrt{5}}{3} = 0,745...$. Par conséquent les approximations deviennent mauvaises quand $\frac{\sigma}{\mu}$ se rapproche de la valeur $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

<table><thead><tr><th>σ/μ</th><th>μE(X<sup>-1</sup>)</th><th>μE<sub>λ<sub>3</sub></sub>(X<sup>-1</sup>)</th><th>μ<sup>2</sup>var(X<sup>-1</sup>)</th><th>μ<sup>2</sup>var<sub>λ<sub>3</sub></sub>(X<sup>-1</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,1</td><td>1,01022</td><td>1,01018</td><td>0,01038</td><td>0,01045</td></tr><tr><td>0,2</td><td>1,04315</td><td>1,04310</td><td>0,04820</td><td>0,04793</td></tr><tr><td>0,3</td><td>1,108</td><td>1,107</td><td>0,1419</td><td>0,137</td></tr><tr><td>0,4</td><td>1,232</td><td>1,225</td><td>0,4059</td><td>0,356</td></tr><tr><td>0,5</td><td>1,521</td><td>1,455</td><td>1,6875</td><td>0,992</td></tr><tr><td>0,55</td><td>1,952</td><td>1,664</td><td>7,0008</td><td>1,811</td></tr></tbody></table>
## 7. Distribution normale tronquée

La distribution normale a une densité positive pour chaque valeur de x. C'est pourquoi $E(X^{-1})$ n'a pas de sens. On est obligé de se servir d'une distribution tronquée. Tout d'abord calculons ses moments.

La distribution normale réduite à la densité

$$ \Phi'(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\xi^2}{2}} $$

et la fonction de répartition

$$ \Phi(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\xi} e^{-\frac{t^2}{2}} dt $$

On la tronque en -a et +a, a étant un nombre positif. La fonction de répartition de la distribution normale tronquée est notée $\psi(\xi)$, sa densité $\psi'(\xi)$. On obtient

$$ \psi'(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{-\frac{\xi^2}{2}}}{2\Phi(a) - 1}, \quad -a \le \xi \le a $$

$$ \psi'(\xi) = 0, \quad \text{si} \quad \xi < -a \quad \text{et} \quad \xi > a $$

A cause de la symétrie, les moments d'ordre impair disparaissent. Pour les moments d'ordre pair il faut calculer les intégrales $E(\xi^{2n}) = \int_{-a}^{a} t^{2n} \psi'(t) dt$. Après une intégration par parties on arrive à la formule de réduction suivante :

$$ E(\xi^{2n}) = -2 a^{2n-1} \psi'(a) + (2n-1) E(\xi^{2n-2}) $$

Introduisons ici $\tau$ par

$$ \tau = 2a \psi'(a) = \frac{2a \Phi'(a)}{2 \Phi(a) - 1}, $$

nous obtenons

$$ E(\xi^{2n}) = -a^{2n-2} \tau + (2n-1) E(\xi^{2n-2}) $$

Les premiers moments sont :

$$ E(\xi^2) = -\tau + 1, \quad E(\xi^4) = -a^2\tau + 3(1-\tau), \quad E(\xi^6) = -a^4\tau + 5(-a^2\tau - 3\tau + 3) $$
La fonction $f(x)$ dont nous avons besoin pour nos recherches sera trouvée après un changement de variable. On pose $\xi = \frac{x - \mu}{\sigma}$ et on arrive à

$$f(x) = \frac{1}{\sigma (2\Phi(a) - 1) \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad 0 < \mu - a\sigma \le x \le \mu + a\sigma$$

$$f(x) = 0 \quad x < \mu - a\sigma, \quad x > \mu + a\sigma$$

De plus les moments $\mu_\nu$ sont $\mu_\nu = \sigma E(\xi^\nu)$.

Pour $E(X^{-1}) = \int_{\mu-a\sigma}^{\mu+a\sigma} \frac{f(x)}{x} dx$ et pour $E(X^{-2}) = \int_{\mu-a\sigma}^{\mu+a\sigma} \frac{f(x)}{x^2} dx$ on ne peut pas effectuer l'intégration. Les formules (2.2) et (3.1) nous fournissent des bornes. Remarquons qu'une intégration par parties nous conduit à :

$$E(X^{-2}) = \frac{\tau}{\mu^2 - a^2\sigma^2} + \frac{1}{\sigma^2}(\mu E(X^{-1}) - 1)$$

Nous comparons avec les approximations (5.5) de la distribution discrète à trois points. Pour la distribution normale tronquée les formules s'écrivent

$$E_{\lambda_3}(X^{-1}) = \frac{1}{\mu} + \frac{1-\tau}{\mu\left(\frac{\mu^2}{\sigma^2} - 3 + \frac{a^2\tau}{1-\tau}\right)}, \quad \text{var}_{\lambda_3}(X^{-1}) = \frac{\left(\frac{\mu^2}{\sigma^2} + 3\right)(1-\tau) - (1-\tau)^2 - a^2\tau}{\mu^2\left(\frac{\mu^2}{\sigma^2} - 3 + \frac{a^2\tau}{1-\tau}\right)^2}$$

Les tableaux suivants contiennent des valeurs calculées à l'aide de ces formules. Les valeurs correspondantes de $E(X^{-1})$ sont obtenues d'après (2.2) pour une valeur de n convenable.

$a = 3$

<table><thead><tr><th>$\sigma/\mu$</th><th>$\mu E_{\lambda_3}(X^{-1})$</th><th>$\mu E(X^{-1})$</th><th>$\mu^2 \text{var}_{\lambda_3}(X^{-1})$</th><th>$\mu^2 \text{var}(X^{-1})$</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,0333</td><td>1,00108</td><td>1,00108</td><td>0,00109</td><td>0,00109</td></tr><tr><td>0,0667</td><td>1,00438</td><td>1,00438</td><td>0,00446</td><td>0,00447</td></tr><tr><td>0,1000</td><td>1,01001</td><td>1,01001</td><td>0,01048</td><td>0,01050</td></tr><tr><td>0,1333</td><td>1,01819</td><td>1,01822</td><td>0,01974</td><td>0,01988</td></tr><tr><td>0,1667</td><td>1,02928</td><td>1,02939</td><td>0,03327</td><td>0,03390</td></tr><tr><td>0,2000</td><td>1,04375</td><td>1,04414</td><td>0,05267</td><td>0,05500</td></tr><tr><td>0,2333</td><td>1,06234</td><td>1,06354</td><td>0,0804</td><td>0,0883</td></tr><tr><td>0,2667</td><td>1,08607</td><td>1,08961</td><td>0,121</td><td>0,147</td></tr><tr><td>0,3000</td><td>1,11646</td><td>1,12734</td><td>0,180</td><td>0,285</td></tr></tbody></table>
E(X⁻¹) a son pôle pour $\frac{\sigma}{\mu} = \frac{1}{3}$.

a = 2

<table><thead><tr><th>σ/μ</th><th>μE<sub>λ₃</sub>(X⁻¹)</th><th>μE(X⁻¹)</th><th>μ²var<sub>λ₃</sub>(X⁻¹)</th><th>μ²var(X⁻¹)</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,05</td><td>1,00194</td><td>1,00194</td><td>0,00196</td><td>0,00196</td></tr><tr><td>0,10</td><td>1,00788</td><td>1,00788</td><td>0,00811</td><td>0,00812</td></tr><tr><td>0,15</td><td>1,01816</td><td>1,01819</td><td>0,01939</td><td>0,02018</td></tr><tr><td>0,20</td><td>1,03339</td><td>1,03347</td><td>0,03756</td><td>0,03794</td></tr><tr><td>0,25</td><td>1,05461</td><td>1,05492</td><td>0,06573</td><td>0,06754</td></tr><tr><td>0,30</td><td>1,08337</td><td>1,08452</td><td>0,1093</td><td>0,11645</td></tr><tr><td>0,35</td><td>1,12218</td><td>1,12584</td><td>0,1779</td><td>0,2034</td></tr><tr><td>0,40</td><td>1,17507</td><td>1,18730</td><td>0,289</td><td>0,389</td></tr><tr><td>0,45</td><td>1,24895</td><td>1,293</td><td>0,480</td><td>0,966</td></tr></tbody></table>

Le pôle de E(X⁻¹) et de var(X⁻¹) paraît cette fois pour $\frac{\sigma}{\mu} = 0,50$.

## 8. Distribution de Poisson tronquée

D'après la distribution de Poisson la variable aléatoire X peut avoir les valeurs 0,1,2,3,... . La loi est définie par

$$P(X = k) = \frac{m^k}{k!} e^{-m} \quad (m > 0, k = 0,1,2,3,...)$$

Ici la valeur E(X⁻¹) n'a pas de sens parce que la probabilité pour X = 0 est e⁻⁰ ≠ 0. Il nous faut tronquer. Alors la distribution de Poisson tronquée est définie par

$$P(X = k) = \frac{1}{e^{-m} - 1} \cdot \frac{m^k}{k!} \quad (k = 1,2,3,...)$$

La moyenne de cette distribution est $\mu = \frac{m}{1 - e^{-m}}$.

Les autres moments sont : (On pose encore $\Delta = \mu - m$).

$$\mu_2 = \mu (1 - \Delta), \quad \mu_3 = \mu (1 + \Delta(m-3) + 2\Delta^2)$$

$$\mu_4 = \mu(1 + 3m + \Delta(-m^2 - 4) + \Delta^2(-3m + 6) - 3\Delta^3)$$

Nous introduisons ces valeurs aux formules (4.2) et (5.3) :
$$E_{A_2}(X^{-1}) = \frac{1}{\mu} + \frac{(1-\Delta)^2}{\mu m} \quad E_{A_3}(X^{-1}) = \frac{1}{\mu} + \frac{(1-\Delta)^3}{m(m-2+3\Delta-\Delta^2)}$$

$$\text{où} \quad \mu = \frac{m}{1 - e^{-m}} \quad \text{et} \quad \Delta = \mu - m = \frac{m}{e^m - 1}.$$

Il est facile de trouver directement $E(X^{-1})$ de sorte qu'il n'est pas nécessaire de se servir des approximations. On a

$$E(X^{-1}) = \frac{1}{e^m - 1} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{m^k}{k \cdot k!} = \frac{1}{e^m - 1} \left( \int_{-\infty}^{m} \frac{e^t}{t} dt - \ln m - \gamma \right)$$

où $\gamma$ est la constante d'Euler, $\gamma = 0,57721...$. Les valeurs des intégrales sont tabulées (p.ex. Tables of sine, cosine and exponential integrals, National Bureau of Standards).

Mais ici nous voulons examiner la qualité de nos approximations.

(Voir aussi les remarques à la fin des paragraphes 4 et 5).

<table><caption>Tableau</caption><thead><tr><th>m</th><th>E(X<sup>-1</sup>)</th><th>E<sub>A<sub>2</sub></sub>(X<sup>-1</sup>)</th><th>E<sub>A<sub>3</sub></sub>(X<sup>-1</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0,766 988</td><td>0,7426</td><td>0,8115</td></tr><tr><td>2</td><td>0,576 591</td><td>0,5343</td><td>0,6250</td></tr><tr><td>3</td><td>0,432 684</td><td>0,3917</td><td>0,4547</td></tr><tr><td>4</td><td>0,329 626</td><td>0,2980</td><td>0,3347</td></tr><tr><td>5</td><td>0,257 760</td><td>0,2357</td><td>0,2567</td></tr><tr><td>6</td><td>0,207 790</td><td>0,1931</td><td>0,2056</td></tr><tr><td>7</td><td>0,172 486</td><td>0,1629</td><td>0,1706</td></tr><tr><td>8</td><td>0,146 889</td><td>0,1405</td><td>0,1456</td></tr><tr><td>9</td><td>0,127 758</td><td>0,1234</td><td>0,1269</td></tr><tr><td>10</td><td>0,113 021</td><td>0,1100</td><td>0,1125</td></tr></tbody></table>

## 9. Distribution logarithmico-normale

Soit la distribution de $\ln x$ normale, la moyenne étant $E(\ln x) = m$ et la variance $E(\ln x - m)^2 = \sigma^2$. La variable aléatoire $X$ a la densité de probabilité

$$f(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - m)^2}{2\sigma^2}}, \quad (x > 0); \quad f(x) = 0 \quad (x \le 0)$$

(Ici notre hypothèse $b > 0$ (§1) peut être modifiée en $b \ge 0$ parce que $f(x)$ tend vers 0 assez vite).
Les valeurs $E(X^n)$ sont

$$E(X^n) = e^{n \cdot m} \cdot e^{-\frac{n^2 \sigma^2}{2}} \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots)$$

L'usage d'une approximation est superflu. Nous ne nous occupons de la distribution logarithmico-normale que pour examiner nos approximations dans le cas d'une distribution extrêmement asymétrique. Pour une distribution à deux points on sait que $E_{A_2}(X^{-1}) \le E(X^{-1})$ et dans le cas présent on a, en posant $e^m = \alpha$ et $e^{\sigma^2} = t$,

$$E(X^{-1}) = \frac{\sqrt{t}}{\alpha} \quad \text{et} \quad E_{A_2}(X^{-1}) = \frac{t^2 + t - 1}{\alpha \sqrt{t} \cdot t^2}.$$

Quant à la distribution à trois points notre hypothèse d'un saut en $x = \mu$ se montre défavorable. Car $x_1$, la valeur du premier saut à gauche, devient négative $\sigma^2$ étant petit. Pour $\sigma^2$ ou $t$ croissant $x_1$ croît et s'annule pour $t = 1,3247...$ ($\sigma^2 = 0,2812$).

Pour cette valeur $E_{A_3}(X^{-1})$ a un pôle. On a

$$E_{A_3}(X^{-1}) = \frac{-t^5 + t^3 + t^2 + t - 1}{\alpha \sqrt{t} \cdot t^2 (-t^3 + t + 1)}$$

Dans un tableau nous donnons les erreurs relatives

$$1 - \frac{E_{A_2}(X^{-1})}{E(X^{-1})} = 1 - \frac{t^2 + t - 1}{t^3} \quad \text{et} \quad 1 - \frac{E_{A_3}(X^{-1})}{E(X^{-1})} = 1 - \frac{-t^5 + t^3 + t^2 + t - 1}{t^3(-t^3 + t + 1)}$$

<table><thead><tr><th>t = e<sup>σ²</sup></th><th>σ²</th><th>Erreurs relatives<br>dist. à 2 points/dist. à 3 points</th></tr></thead><tbody><tr><td>1,1</td><td>0,0953</td><td>0,016 - 0,007</td></tr><tr><td>1,2</td><td>0,1823</td><td>0,103 - 0,079</td></tr><tr><td>1,3</td><td>0,2624</td><td>0,176 - 0,185</td></tr><tr><td>1,4</td><td>0,3365</td><td>0,238 - 0,709</td></tr><tr><td>1,5</td><td>0,4055</td><td>0,321 - 0,503</td></tr><tr><td>2,0</td><td>0,6931</td><td>0,375 - 0,525</td></tr><tr><td>e</td><td>1,0000</td><td>0,547 - 0,637</td></tr></tbody></table>
BIBLIOGRAPHIE

[1] VON MISES (R.) : Ueber einige Abschätzungen von Erwartungswerten, *J.Reine Angew. Math.* 165 (1931), 184-193.

[2] VON MISES (R.) : Bestimmung einer Verteilung durch ihre ersten Momente, *Skand. Aktuarietdskr.* 20 (1937), 220-243.

[3] RICHTER (H.) : Wahrscheinlichkeitstheorie (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol.86). Berlin, Springer (1956),

[4] KENDALL (M.G.) & STUART (A.) : *The Advanced Theory of Statistics*, 1. London, Griffin (1958).

Paul SCHMUTZ

Professeur à l'Ecole Cantonale de Commerce
Bâle

Andreas Heuslerstrasse 41
Suisse

Reçu le 5 janvier 1964

Révisé le 15 juillet 1964