# Introduction aux écoulements polyphasique pour ingénieurs

Sophie Charton

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

## To cite this version:

Sophie Charton. Introduction aux écoulements polyphasique pour ingénieurs. Master. Introduction aux écoulements polyphasiques, IMT Alès, France. 2024. hal-05367632

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Introduction aux écoulements diphasiques

Sophie CHARTON - CEA Marcoule

Institut des Sciences et technologies pour une Economie Circulaire des énergies bas carbone
(ISEC)

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>East meets West par Yang Liu (File d'attente)</figcaption></figure>
# Sommaire

1 Introduction 8

2 Description macroscopique des écoulements diphasiques 11

2.1 Répartition des phases et fraction volumique 12

2.2 Quelques approches de modélisation 14

2.2.1 Modèle du fluide équivalent (ou de mélange) 14

2.2.2 Modèles à phases séparées 17

2.2.3 Pour aller plus loin... 18

2.3 Ecoulements en milieux poreux 22

2.3.1 Intérêt industriel 22

2.3.2 Écoulement d'un liquide en régime stationnaire dans un milieu poreux 22

3 La particule isolée 26

3.1 Principales forces s'exerçant sur une particule isolée 26

3.2 Vitesse terminale de chute (ou d'ascension) 29

3.3 Particules déformables : écoulement d'une bulle ou d'une goutte 32

3.3.1 Tension superficielle 32

3.3.2 Apport de l'analyse dimensionnelle 33

3.3.3 Diagramme de Clift et al. (1978) 36

3.4 Transfert de matière et de chaleur 36

4 De la particule isolée aux configurations réelles 40

4.1 Influence de la concentration 40

4.1.1 Définitions 40

4.1.2 Vitesse de déplacement en écoulement gêné 42

4.2 Lits fluidisés 43

4.2.1 Intérêt industriel 43

4.2.2 Caractéristiques des lits fluidisés 44

4.2.3 Seuil de fluidisation 45

5 Conclusion 47
# Préambule

Au carrefour de la mécanique des fluides et de nombreuses autres disciplines (énergétique, thermodynamique, chimie, environnement, etc.), l'étude des écoulements polyphasiques peut se révéler très complexe.

Loin de vouloir m'aventurer dans une description mathématique rigoureuse, qui sortirait large- ment du cadre de ce cours introductif, j'ai opté pour une approche plus phénoménologique afin de donner un aperçu des principales problématiques associées aux écoulements polyphasiques et à leurs applications.

Dans ce but, je me suis inspirée des différents exemples rencontrés au cours de mon expérience professionnelle au CEA et de l'enseignement de Monsieur le Professeur Noël MIDOUX (1944 - 2013)<fnref n="1" /> que j'ai eu la chance de suivre dans mon cursus d'ingénieur en génie des procédés.

<footnote n="1">¹dont le pragmatisme et le goût immodéré pour les petits calculs de coin de table aura, à n'en pas douter, marqué plusieurs générations d'élèves-ingénieurs de l'ENSIC...</footnote>
Nomenclature

<table><tr><td>A</td><td>m<sup>2</sup></td><td>Surface projetée de la particule, surface mouillée</td></tr><tr><td>a<sub>p</sub></td><td>m<sup>-1</sup></td><td>Surface spécifique de la particule</td></tr><tr><td>B<sub>0</sub></td><td>m<sup>2</sup></td><td>Perméabilité (milieu poreux)</td></tr><tr><td>C<sub>D</sub></td><td>-</td><td>Coefficient de traînée</td></tr><tr><td>C<sub>L</sub></td><td>-</td><td>Coefficient de portance</td></tr><tr><td>c</td><td>Kg.m<sup>3</sup></td><td>Concentration</td></tr><tr><td>d<sub>p</sub></td><td>m</td><td>Diamètre de la particule (sphérique)</td></tr><tr><td>d<sub>v</sub></td><td>m</td><td>Diamètre de la sphère équivalente en volume</td></tr><tr><td>D</td><td>m</td><td>Diamètre de la conduite, du réservoir</td></tr><tr><td>D<sub>M</sub></td><td>m<sup>2</sup>.s<sup>-1</sup></td><td>Coefficient de diffusion</td></tr><tr><td>f</td><td>-</td><td>Coefficient de frottement</td></tr><tr><td>F<sub>A</sub></td><td>N</td><td>Force de poussée d'Archimède</td></tr><tr><td>F<sub>B</sub></td><td>N</td><td>Norme de la force de flottabilité</td></tr><tr><td>F<sub>D</sub></td><td>N</td><td>Norme de la force de traînée</td></tr><tr><td>F<sub>L</sub></td><td>N</td><td>Norme de la force de portance</td></tr><tr><td>F<sub>P</sub></td><td>N</td><td>Poids</td></tr><tr><td>F<sub>VM</sub></td><td>N</td><td>Norme de la force de masse ajoutée</td></tr><tr><td>g</td><td>m.s<sup>-2</sup></td><td>Norme du vecteur gravité g</td></tr><tr><td>J</td><td>Kg.s<sup>-1</sup></td><td>Débit massique total</td></tr><tr><td>j</td><td>Kg.s<sup>-1</sup>.m<sup>-2</sup></td><td>Flux (ou débit) massique spécifique</td></tr><tr><td>k, h</td><td>m.s<sup>-1</sup></td><td>Coefficient de transfert de matière, de chaleur</td></tr><tr><td>h</td><td>J.Kg<sup>-1</sup></td><td>Enthalpie massique</td></tr><tr><td>h<sub>B</sub>, h<sub>k</sub></td><td>-</td><td>Constante de Burke-Plummer, constante de Kozeny</td></tr><tr><td>M</td><td>Kg.mol<sup>-1</sup></td><td>Masse molaire</td></tr><tr><td>N<sub>c</sub></td><td>-</td><td>Nombre de capillaires (modèle de Kozeny)</td></tr><tr><td>N<sub>p</sub></td><td>-</td><td>Nombre de particules dans la phase dispersée</td></tr><tr><td>m<sub>p</sub>, m<sub>f</sub></td><td>Kg</td><td>Masse de la particule, de fluide</td></tr><tr><td>n<sub>d</sub></td><td>-</td><td>Fonction de densité de probabilité</td></tr><tr><td>p, P</td><td>Pa</td><td>Pression</td></tr><tr><td>p&#773;</td><td>Pa</td><td>Pression moyenne entre l'entrée et la sortie du milieu poreux</td></tr><tr><td>P<sub>z</sub></td><td>m</td><td>Périmètre mouillé</td></tr><tr><td>P<sub>M</sub>, P<sub>T</sub></td><td>W</td><td>Puisance mécanique, thermique</td></tr><tr><td>Q</td><td>m<sup>3</sup>.s<sup>-1</sup></td><td>Débit volumique</td></tr><tr><td>R</td><td>J.mol<sup>-1</sup>.K<sup>-1</sup></td><td>Constante universelle des gaz parfaits</td></tr></table>
<table><tr><td>S</td><td>m<sup>2</sup></td><td>Surface de l'interface</td></tr><tr><td>T</td><td>K</td><td>Température</td></tr><tr><td>T</td><td>-</td><td>Tortuosité</td></tr><tr><td>u, u<sub>c</sub>, u<sub>d</sub></td><td>m.s<sup>-1</sup></td><td>vitesse (ou flux) spécifique totale, de la phase continue, de la phase dispersée (encore appelée vitesse superficielle)</td></tr><tr><td>u<sub>mf</sub></td><td>m.s<sup>-1</sup></td><td>Seuil de fluidisation</td></tr><tr><td>U</td><td>m.s<sup>-1</sup></td><td>Norme de la vitesse relative entre le fluide et la particule</td></tr><tr><td>U<sub>∞</sub></td><td>m.s<sup>-1</sup></td><td>Vitesse terminale d'une particule isolée</td></tr><tr><td>U<sub>∞</sub><sup>α</sup></td><td>m.s<sup>-1</sup></td><td>Vitesse terminale des grains dans une suspension homogène de concentration α</td></tr><tr><td>v<sub>f</sub></td><td>m.s<sup>-1</sup></td><td>Vitesse absolue (norme de v<sub>f</sub>) de la phase continue</td></tr><tr><td>v<sub>p</sub></td><td>m.s<sup>-1</sup></td><td>Vitesse absolue (norme de v<sub>p</sub>) de la particule</td></tr><tr><td>v<sub>d</sub>, v<sub>c</sub></td><td>m.s<sup>-1</sup></td><td>Vitesse réelle (ou intersicielle) de la phase dispersée, de la phase continue</td></tr><tr><td>v<sub>CD</sub></td><td>m.s<sup>-1</sup></td><td>Vitesse relative (algébrique)) de la phase dispersée par-rapport à la phase continue</td></tr><tr><td>V</td><td>m.s<sup>3</sup></td><td>Volume</td></tr><tr><td>V<sub>c</sub></td><td>m.s<sup>3</sup></td><td>Volume occupé par la phase continue</td></tr><tr><td>V<sub>d</sub></td><td>m.s<sup>3</sup></td><td>Volume occupé par la phase dispersée</td></tr><tr><td>V<sub>p</sub></td><td>m.s<sup>3</sup></td><td>Volume de la particule</td></tr><tr><td>X</td><td>-</td><td>Titre massique de la phase dispersée (encore appelé "qualité")</td></tr><tr><td>Y<sub>G</sub>, Y<sub>L</sub></td><td>-</td><td>Multiplicateurs diphasiques</td></tr><tr><td>Z, Z<sub>c</sub></td><td>m</td><td>Longueur, longueur du capillaire droit</td></tr></table>
Symboles

$\alpha$ - Fraction volumique de la phase dispersée (encore appelé taux de vide, ou taux de rétention)

$\alpha_T$ m$^2$.s$^{-1}$ Diffusivité thermique

$\beta$ - Titre volumique de la phase dispersée

$\epsilon$ - Porosité

$\Delta\rho$ Kg.m$^{-3}$ Différence de masse volumique entre les phases

$\chi$ - Paramètre de Lockhart et Martinelli

$\varphi$ Kg.s$^{-1}$ Flux de matière échangé à l'interface

$\lambda$ W.m$^{-1}$.K$^{-1}$ Conductivité thermique

$\mu_{app}$ Pa.s Viscosité apparente d'une suspension (corrélation d'Einstein)

$\mu^*$ - Rapport de viscosité entre la phase dispersée et la phase continue

$\mu_f, \mu_c$ Pa.s Viscosité dynamique du fluide, de la phase continue

$\mu_p, \mu_d$ Pa.s Viscosité dynamique du fluide, de la phase dispersée (cas des gouttes et bulles)

$\mu_e$ Pa.s Viscosité du fluide équivalent (modèle de mélange)

$\nu$ m$^2$.s$^{-1}$ Viscosité cinématique (diffusion de quantité de mouvement)

$\Omega$ m$^2$ Section droite de la conduite, du réacteur

$\rho_f, \rho_c$ Kg.m$^{-3}$ Masse volumique du fluide, de la phase continue

$\rho_p, \rho_d$ Kg.m$^{-3}$ Masse volumique de la particule, de la phase dispersée

$\rho_e$ Kg.m$^{-3}$ Masse volumique du fluide équivalent (modèle de mélange)

$\sigma$ N.m$^{-1}$ Tension interfaciale (ou tension de surface)

$\tau_v$ s Temps de réponse de la particule à un changement de vitesse de la phase continue

$\tau_p$ Pa Contrainte de frottement à la paroi
Nombres adimensionnels

$$Ar = \frac{g\Delta\rho\cdot\rho_f d_v^3}{\mu_f^2} \quad \text{Nombre d'Archimède}$$

$$Eo = \frac{g\Delta\rho d_v}{\sigma} \quad \text{Nombre d'Eötvos}$$

$$Fr = \frac{U^2}{gd_v} \quad \text{Nombre de Froude}$$

$$Nu = \frac{hd_p}{\lambda} \quad \text{Nombre de Nusselt}$$

$$Mo = \frac{g\mu_f^4 \Delta\rho}{\rho_f^2 \cdot \sigma^3} \quad \text{Nombre de Morton}$$

$$Pe = \frac{U_\infty^2 d_p}{D_M} \quad \text{Nombre de Péclet}$$

$$Pe_T = \frac{U_\infty^2 d_p}{\lambda} \quad \text{Nombre de Péclet thermique}$$

$$Pr = \frac{\nu}{\alpha_T} \quad \text{Nombre de Prandtl}$$

$$Re_p = \frac{\rho_f U d_p}{\mu_f} \quad \text{Nombre de Reynolds particulaire}$$

$$Sc = \frac{\nu}{D_M} \quad \text{Nombre de Schmidt}$$

$$Sh = \frac{kd_p}{D_M} \quad \text{Nombre de Sherwood}$$

$$St = \rho_f U d_v \quad \text{Nombre de Stokes}$$

$$We = \frac{\rho_f U d_v}{\sigma} \quad \text{Nombre de Weber}$$
# 1 Introduction

## Définitions

Le terme *écoulement polyphasique* désigne un écoulement impliquant des corps présents sous plusieurs phases physiques (liquide, solide ou gaz).

Dans ce module on traitera particulièrement le cas des écoulements à particules (cristaux, gouttelettes, bulles) dispersées dans un fluide (liquide, gaz, fluide supercritique). Par extension, nous traiterons également le cas des écoulements en milieu poreux. Nous n'aborderons pas en revanche, les écoulements à surface libre.

Les systèmes polyphasiques sont généralement répertoriés en fonction de la nature des phases qui les constituent On distingue ainsi :

* d'un part la phase continue, dont le comportement, en première approximation, s'éloigne peu de l'écoulement monophasique ;

* d'autre part la (ou les) phase(s) dispersée(s), présente(s) sous forme divisée dans le milieu continu.

<table><caption>Table 1.1: Classification des écoulements polyphasiques en fonction de la nature de la phase continue (en ligne) et de la phase dispersée (en colonne).</caption><thead><tr><th></th><th>Solide</th><th>Liquide</th><th>Gaz</th></tr></thead><tbody><tr><th>Solide</th><td>/</td><td>Milieu poreux</td><td>Milieu poreux</td></tr><tr><th>Liquide</th><td>Suspension</td><td>Émulsion</td><td>Nuage de bulles, Mousse</td></tr><tr><th>Gaz</th><td>Écoulement granulaire, aérosol</td><td>Aérosol, spray</td><td>/</td></tr></tbody></table>

## Remarque 1.1

Même si par la suite on assimilera les constituants de la phase dispersée à des sphères de taille identique, les particules, gouttes ou bulles peuvent avoir des formes et des tailles quelconques et différentes. Ainsi l'étude des écoulements polyphasiques est-elle souvent liée aux statiques et aux notions de distributions, fonctions de probabilité, etc.
## Applications industrielles

Les applications industrielles des écoulements polyphasiques sont très nombreuses.

Dans l'industrie chimique, on a souvent besoin de promouvoir le mélange et la mise en contact de différentes phases pour faciliter une réaction chimique, des échanges thermiques, etc.

* Les réactions catalytiques sont souvent mises en œuvre en milieu poreux (lit fixe ou ruisselant), voire en lit fluidisé, pour promouvoir le contact entre le fluide et le catalyseur solide et contrôler la température ;

* L'injection de la phase gazeuse sous forme de bulles dans les colonnes de lavage des gaz, les bassins d'aération des stations de traitement des eaux, facilite les réactions entre les deux phases en augmentant la surface d'échange, voire le temps de séjour du gaz, facilitant ainsi sa dissolution dans le milieu ;

* De la même façon, les unités industrielles d'extraction liquide-liquide sont basées sur la dispersion d'une des deux phases liquides (généralement la phase organique) dans la seconde sous forme de gouttelettes, pour augmenter la surface d'échange.

Parfois le procédé est polyphasique car il met en oeuvre des réactions avec changement(s) de phase :

* Les réactions de cristallisation ou de précipitation, pour lesquelles le changement de température ou la réaction chimique donne naissance à un produit peu soluble dans le milieu réactionnel ;

* Les réactions exothermiques, ou impliquant une dépressurisation conduisant à la vaporisation de certains composés.

Dans l'agro-alimentaire, la pharmacie et la cosmétique, c'est généralement le produit fini qui est multiphasique (émulsion, émulsion multiple), et toute la difficulté réside dans le mélange des deux phases initiales, en délivrant assez d'énergie pour former un milieu homogène et stable dans le temps, sans pour autant trop le chauffer.

Dans le domaine de l'énergie, les exemples d'écoulements polyphasiques sont également très nombreux :

* L'injection d'eau, de gaz, de vapeur, l'ajout de tensio-actifs, permettent via respectivement la pressurisation du réservoir géologique exploité, la diminution de la viscosité de l'huile, la mitigation des phénomènes de capillarité dans les roches, d'étendre la durée d'exploitation des gisements. On parle de "récupération assistée du pétrole" ou "enhanced oil recovery" (EOR).

* Les différentes phases du produit récupéré (huile, eau, gaz) sont préalablement séparées dans de gros décanteurs gravitaires, par exemple pour éviter le dégazage du CO₂ ou le dépôt d'eau et de sédiments lors du transport dans les oléoducs, susceptibles d'engendrer des problèmes de surpression, de corrosion et à terme de fuites. La séparation des phases peut être aidée par des champs électriques ou par micro-ondes.
* La séparation des différentes coupes pétrolières dans les raffineries met en oeuvre des procédés polyphasiques de distillation, rectification, craquage catalytique ;

* Les écoulements liquide-vapeur sont au coeur du fonctionnement des centrales de production d'électricité. La connaissance de leurs propriétés est indispensable au dimensionnement des réacteurs (coeurs) et générateurs de chaleur, vis à vis de la perte de charge, de l'efficacité du transfert, de chaleur, etc. et à la mitigation des accidents (crise d'ébullition).

Dans le domaine des transports, on rencontre des écoulements polyphasiques à différentes étapes du fonctionnement des véhicules à moteur thermique :

* dans les moteurs à injection, pour lesquels le comburant et le carburant sont mis en contact en vaporisant ce dernier dans la chambre de combustion (spray). L'évaporation du carburant est ainsi plus rapide et plus homogène, ce qui permet de limiter la consommation et la formation/le dépôt de suies ;

* dans des pots catalytiques, où les particules fines et les polluants présents dans les gaz d'échappement sont piégés (adsorption en lit fixe).

## En conclusion

Ce module a surtout pour vocation d'introduire ce qu'est un écoulement polyphasique, d'illustrer à travers quelques exemples leur importance industrielle et les propriétés recherchées relatives à ces applications, enfin d'amener à se poser les bonnes questions pour comprendre et simuler ces systèmes :

* Quels sont les phénomènes physiques pertinents ?

* Comment évoluent-ils avec le changement d'échelle ?

* Quelle est la bonne échelle d'observation ?

* Quelle est l'approche de modélisation la plus appropriée ?

## Exercice 1.1

On considère l'extraction par un solvant organique d'un cation dissous en phase aqueuse. L'opération est mise en oeuvre dans un mélangeur cylindrique de 1 L, rempli à moitié de phase organique et de phase aqueuse. Grâce à un agitateur mécanique, la phase huileuse est dispersée sous forme de gouttelettes, dont la taille varie avec la vitesse d'agitation. Calculer les surfaces d'échange obtenues avec des gouttes de 1mm et des gouttes de 0,1 mm de diamètre. Comparer avec la surface de contact des deux phases au repos (on considèrera un mélangeur de hauteur 20cm.) Discutez.
## 2 Description macroscopique des écoulements diphasiques

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 2.1: Illustration des différentes structures d'un écoulement gaz/liquide ascendant dans une conduite verticale (Delhaye, 1984).</figcaption></figure>

Contrairement aux écoulements monophasiques, les écoulements diphasiques peuvent présenter plusieurs topologies, selon la répartition relative des phases en présence (cf. Fig. 2.1). Alors que certains régimes d'écoulement se caractérisent par une répartition plutôt homogène des deux phases dans l'espace (bulles uniformément dispersées dans le liquide, comme sur le cliché de gauche), d'autres font apparaître une (ou des) ségrégation(s) locale(s) très nette(s). Cette situation peut être permanente (comme dans le cas du régime annulaire du cliché de droite) ou intermittente (passage de grosses bulles, appelées bulles de Taylor, sur le cliché du milieu). On parle alors de "régimes à phases séparées".

Il n'est pas toujours facile de savoir *a priori* dans lequel de ces régimes on se trouve. Or on conçoit bien que les pertes de charge, les transferts de matière ou de chaleur, le mélange etc. vont être très différents d'une configuration à l'autre. De même, des approches de modélisation différentes seront considérées selon que l'écoulement est à phases dispersées ou séparées.

Pour les configurations industrielles les plus fréquentes, on pourra se référer à des abaques pour prédire le régime d'écoulement en fonction des conditions opératoires (la plupart compilées dans Perry and Green (1997)). Dans le cas de l'écoulement isotherme ascendant d'eau et d'air à co-courant, le diagramme de Taitel et al. (1980) (Fig. 2.2) fournit la cartographie des différents
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 2.2: Cartographie des différentes structures d'un écoulement air-eau dans un tube vertical ascendant. $U_{LS}$ et $U_{GS}$ désignent les débits spécifiques de liquide et de gaz (où $j_L$ et $j_G$ avec les notations employées ici). (Taitel et al., 1980)</figcaption></figure>

régimes qui peuvent être rencontrés selon les valeurs des débits spécifiques (i.e. rapporté à la section droite de la conduite) du liquide et du gaz. Des diagrammes similaires existent pour les écoulements à contre-courant, les écoulements en conduite horizontale, dans un tube chauffé, etc.

## 2.1 Répartition des phases et fraction volumique

Considérons un écoulement diphasique isotherme et incompressible dans une conduite cylindrique de section constante $\Omega$. On note $Q_d$ et $Q_c$ (resp. $J_d$ et $J_c$) les débits volumiques (resp. massiques) des phases dispersée et continue en $m^3.s^{-1}$ (resp. $Kg.s^{-1}$). On a par définition :

$$J_d = \rho_d \times Q_d \qquad (2.1)$$

$$J_c = \rho_c \times Q_c \qquad (2.2)$$
avec $\rho_d$ et $\rho_c$ les masses volumiques en Kg.m$^{-3}$ des deux phases.

Le débit volumique (reps. massique) total dans la conduite est égal à :

$$Q = Q_d + Q_c \tag{2.3}$$

$$J = J_d + J_c \tag{2.4}$$

On définit la vitesse superficielle, ou flux volumique spécifique (en m.s$^{-1}$) par le rapport :

$$u = \frac{Q}{\Omega} \tag{2.5}$$

De façon analogue, on définit le flux massique spécifique selon :

$$j = \frac{J}{\Omega} \tag{2.6}$$

$u$ et $j$, les débits par unité de section droite de conduite, sont des paramètres de similitudes hydrodynamiques, classiquement utilisés pour appréhender le changement d'échelle.

Pour chaque phase, la vitesse superficielle, qui représente la vitesse qu'aurait le fluide si il occupait toute la section de la conduite, est reliée à sa vitesse réelle $v$ par :

$$u_d = \alpha \cdot v_d \tag{2.7}$$

$$u_c = (1 - \alpha) \cdot v_c \tag{2.8}$$

La vitesse réelle, qui est relative à la section de passage réellement occupée par la phase considérée, est également appelée vitesse intersticielle.

Enfin, on peut également définir la vitesse relative de la phase dispersée par rapport à la phase continue :

$$v_{CD} = v_d - v_c = -v_{DC} \tag{2.9}$$

## Estimation de la fraction volumique

La fraction volumique $\alpha$ est une grandeur spatiale, qui représente la répartition relative des deux phases dans l'écoulement. Elle ne peut généralement pas être fixée à priori. $\alpha$ est encore appelée taux de vide en écoulement gaz/liquide, ou taux de rétention en liquide/liquide.

En pratique on utilise plutôt les titres massique et volumique de l'écoulement $X$ et $\beta$. Il s'agit en effet de grandeurs opératoires, facilement mesurables et réglables par l'opérateur. $X$ et $\beta$ quantifient la fraction du débit de phase dispersée dans le débit total :

$$X = \frac{J_d}{J} \tag{2.10}$$
$$ \beta = \frac{Q_d}{Q} = \frac{\alpha v_d}{\alpha v_d + (1 - \alpha) v_c} \qquad (2.11) $$

Des corrélations existent pour relier $\alpha$ à $X$, grandeur très utilisée en pratique et encore appelée qualité du mélange. Lorsque les 2 phases progressent à la même vitesse ($v_d = v_c$), la relation (2.15) s'écrit :

$$ \alpha = \frac{\frac{\rho_c}{\rho_d}}{\frac{\rho_c}{\rho_d} + \frac{1-X}{X}} \qquad (2.12) $$

Dans le cas général ($u_d \neq u_c$), des corrélations empiriques existent (Perry and Green, 1997). L'un des plus utilisées est corrélation de Chisholm:

$$ \alpha = \frac{1}{1 + \frac{1-X}{X} \frac{\rho_c}{\rho_d} \sqrt{1 - X \left(1 - \frac{\rho_c}{\rho_d}\right)}} \qquad (2.13) $$

### Exercice 2.1

Démontrez les relations suivantes :

$$ \frac{u_c}{u_d} = \frac{Q_c}{Q_d} = \frac{(1-\alpha)}{\alpha} \cdot \frac{v_c}{v_d} \quad \text{et} \quad \frac{j_c}{j_d} = \frac{J_c}{J_d} = \frac{1-X}{X} \qquad (2.14) $$

$$ \frac{1-X}{X} = \frac{v_c \rho_c}{v_d \rho_d} \frac{1-\alpha}{\alpha} \qquad (2.15) $$

Montrez que les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ ne sont égales que si les vitesses des deux phases sont égales $v_d = v_c$.

## 2.2 Quelques approches de modélisation

### 2.2.1 Modèle du fluide équivalent (ou de mélange)

Le modèle du fluide équivalent est le plus simple des modèles macroscopiques. Il revient à représenter l'écoulement diphasique comme l'écoulement d'un fluide unique dont les propriétés sont équivalentes à celles du mélange.

La masse volumique équivalente du mélange est généralement exprimée à partir de la fraction volumique :

$$ \rho_e = \alpha \rho_d + (1 - \alpha) \rho_c \qquad (2.16) $$
ou encore à partir de son titre massique (qui est connu a priori):

$$ \frac{1}{\rho_e} = \frac{X}{\rho_d} + \frac{1-X}{\rho_c} \qquad (2.17) $$

La viscosité équivalente du mélange peut quant à elle être exprimée à partir de corrélations empiriques, telle que la relation d'Einstein (voir Chap. 3) pour les dispersions. Pour un écoulement gaz/liquide on utilise fréquemment une moyenne pondérée par le titre massique :

$$ \mu_e = X\mu_d + (1-X)\mu_c \qquad (2.18) $$

ou encore par la vitesse des deux phases :

$$ u \times \mu_e = u_d \times \mu_d + u_c \times \mu_c \qquad (2.19) $$

Ainsi, comme pour un fluide monophasique, les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie sur un élément dz de tube de section droite Ω, traversé en régime permanent par un débit massique J d'un mélange gaz-liquide, s'écrivent :

$$ J = \rho_e u \Omega = Cte \qquad (2.20) $$

$$ J \frac{du}{dz} = -\Omega \frac{dp}{dz} - P_z \tau_p - \rho_e g_z \Omega \qquad (2.21) $$

$$ J \frac{d}{dz} \left( h + \frac{u^2}{2} + g_z z \right) = \frac{d(P_M + P_T)}{dz} \qquad (2.22) $$

où $P_z$ est le périmètre du tronçon de longueur $dz$, $\tau_p$ la contrainte de frottement à la paroi, $g_z$ la composante du vecteur gravité dans la direction $z$, $h$ l'enthalpie massique du mélange, $P_M$ et $P_T$ les puissances mécaniques et thermiques fournies le cas échéant au mélange.

### Remarque 2.1: Restrictions

Le modèle du fluide homogène équivalent suppose que les 2 phases progressent ensemble dans l'écoulement, i.e. qu'il n'y a pas de vitesse relative, donc que $\alpha = \beta$.

Il ne prend en compte ni les interactions entre les 2 phases, ni l'action des forces gravitaires, différentes selon la densité de chaque phase. Il faut donc être vigilant dans son application. Enfin, il ne permet pas de prédire la distribution relative des phases dans l'espace: il ne peut donc rendre compte que du comportement moyen du mélange.

Ce modèle est donc surtout pertinent pour les écoulements dispersés présentant une répartition homogène des deux phases, et pour lesquels les forces de flottabilité sont négligeables devant les forces d'inertie.
Application: estimation des pertes de charge

L'intérêt de l'équation de conservation de la quantité de mouvement, Eq. (2.21), est de permettre d'exprimer explicitement la perte de charge de l'écoulement du mélange. Cette donnée est importante notamment pour le dimensionnement des pompes et des conduites. La relation (2.21) s'écrit encore :

$$
\frac{dp}{dz} = -\frac{P_z}{\Omega}\tau_p - \frac{J}{\Omega}\cdot\frac{du}{dz} - \rho_e g_z = \left(\frac{dp}{dz}\right)_f + \left(\frac{dp}{dz}\right)_i + \left(\frac{dp}{dz}\right)_g \quad (2.23)
$$

Les 3 termes du membre de droite expriment respectivement les contributions des frottements visqueux à la paroi, de l'inertie et de la pesanteur.

Par analogie avec les écoulements monophasiques, on peut définir un coefficient de frottement
à la paroi :

$$
f = \frac{2\tau_p}{\rho_e u^2} \tag{2.24}
$$

Soit encore, après avoir reporter les expressions de Pz et Ω pour une conduite de cylindrique de diamètre D :

$$
f = \frac{D}{2\rho_e u^2} \left( -\frac{dp}{dz} \right)_f \qquad (2.25)
$$

Pour l'écoulement gaz/liquide dans une conduite verticale considéré ici, la perte de charge peut être estimée à l'aide de la méthode de Lockhart and Martinelli (1949). Elle consiste à calculer la perte de charge que subirait chaque phase si elle était seule à s'écouler dans la conduite, au même débit total que le mélange. On calcule ensuite $\chi^2$, le rapport de ces deux pertes de charge, calculées respectivement pour le liquide et pour le gaz :

$$
\chi^2 = \frac{(dp/dz)_L}{(dp/dz)_G} \tag{2.26}
$$

La perte de charge subie par le mélange est ensuite estimée en fonction de l'une ou l'autre des
pertes de charge monophasique selon :

$$
\left(\frac{dp}{dz}\right)_f = Y_L \left(\frac{dp}{dz}\right)_L = Y_G \left(\frac{dp}{dz}\right)_G \qquad (2.27)
$$

Ces dernières peuvent être estimées par les corrélations usuelles en mécanique des fluides, en
utilisant par exemple les relations de Hagen-Poiseuille, Eq. (2.28), en écoulement laminaire ou
de Blasius, Eq. (2.29), en régime turbulent :

$$
f = \frac{16}{Re} \tag{2.28}
$$

$$
f = \frac{0,079}{Re^{0.25}} \qquad (2.29)
$$
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 2.3: Abaque de Lockhart and Martinelli (1949)</figcaption></figure>

$Y_L$ et $Y_G$ sont appelés *multiplicateurs diphasiques* (Fig. 2.3). Ils ont été tabulés par les auteurs en fonction du titre massique X du mélange. En régime turbulent, une bonne approximation est donnée par (Perry and Green, 1997):

$$Y_L = 1 + \frac{20}{\chi} + \frac{1}{\chi^2} \qquad (2.30)$$

### 2.2.2 Modèles à phases séparées

#### Modèle mixte simple

Comme indiqué précédemment, le modèle du fluide homogène équivalent ne prend pas en compte les interactions entre les phases. Pourtant, lorsque ces dernières ont des masses volumiques très différentes, elles subissent une action différente des forces gravitaires, susceptible de modifier la distribution des phases et, par exemple, l'évolution vers l'un ou l'autre des régimes illustrés sur la Fig. 2.1.
Pour pallier cette lacune du modèle du fluide équivalent, on peut dans une première approche différentier les contributions des deux phases dans les équations de conservation (2.20), (2.21) et (2.22).

Ainsi, si on reprend notre écoulement permanent en conduite cylindrique, on va écrire pour la conservation de la masse et de la quantité de mouvement en régime permanent :

$$J = (1 - \alpha)\rho_c v_c \Omega + \alpha \rho_d v_d \Omega = Cte \quad (2.31)$$

$$-\frac{dp}{dz} = \frac{4\tau_p}{D} + j \cdot \frac{d}{dz} \cdot ((1 - \alpha)\rho_c v_c + \alpha \rho_d v_d) + ((1 - \alpha)\rho_c + \alpha \rho_d) g_z \quad (2.32)$$

Soit encore, en introduisant la qualité du mélange :

$$J = \rho_c v_c \frac{1 - \alpha}{1 - X} \Omega = \rho_d v_d \frac{\alpha}{X} \Omega = Cte \quad (2.33)$$

$$-\frac{dp}{dz} = \frac{4\tau_p}{D} - j \cdot \frac{d}{dz} \cdot ((1 - X)v_c + Xv_d) + ((1 - \alpha)\rho_c + \alpha\rho_d)g_z \quad (2.34)$$

Comme pour le modèle du fluide équivalent, le nombre de variables est plus grand que le nombre d'équations. On aura donc de la même façon recours à des corrélations empiriques pour estimer les facteurs de frottements, le taux de vide etc.

### Modèle à phases différenciées

On peut également considérer les deux phases séparément et écrire les équations de bilan de matière, de quantité de mouvement et d'énergie pour chacune d'elles (en tenant compte du volume effectivement occupé par chaque phase). Cette approche, où le nombre de relations entre les variables est plus important que dans les modèles précédents, limite le besoin de recourir à des corrélations empiriques.

### 2.2.3 Pour aller plus loin...

Dans les applications concrètes, tout comme en mécanique des fluides monophasique, il n'existe pas de solution analytique aux équations de bilans (d'autant plus qu'en diphasique le nombre d'équations et de variables est deux fois plus important). Une résolution numérique est donc nécessaire, qui va nécessiter de découper le domaine d'étude en petit volumes représentatifs, ou en éléments (le maillage), sur lesquels les équations de conservations seront réécritres, moyennant des approximations sous une forme (dite discrétisée) permettant leur résolution par des algorithmes dédiés.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 2.4: Simulation numérique d'un lit fluidisé : approche multiéchelle (d'après Deen and Kuipers (2014)). De gauche à droite : Simulation numérique directe (DNS), Modèle aux éléments discrets (DEM), Modèle à deux phases (TFM).</figcaption></figure>
Simulation numérique des écoulements diphasiques

Plusieurs approches de simulations numériques peuvent être envisagées. Le choix du modèle numérique dépend de l'échelle (de temps et/ou d'espace) des phénomènes physiques qui régissent l'écoulement (Fig. 2.4)

* Dans les approches Euler-Lagrange (DNS et DEM sur la Fig. 2.4), on résoud les équations de conservation pour la phase continue. La phase dispersée est représentée par des particules ponctuelles sur lesquelles on applique le principe fondamental de la dynamique (cf. Chap. 3). Bien que ponctuelle vis à vis du maillage, chaque particule se voit assigner des propriétés (masse, etc.). Les interactions entre les 2 phases nécessitent des corrélations spécifiques (souvent empiriques). Ce type de modèle est relativement coûteux en temps de calculs, surtout lorsque la concentration en particules augmentent. Les approches Euler-Lagrange donnent une description mésoscopique du système.

* Les approches Euler-Euler (TFM sur la Fig. 2.4) considèrent les équations de conservation pour les deux phases, chacune étant considérée comme un milieu continu, qui se partage l'espace (fraction volumique $\alpha$ de phase dispersée). Cette méthode ne permet pas de représenter physiquement toutes les échelles de l'écoulement, ni en particulier les interactions locales, à l'interface entre les deux phases. Elles nécessitent donc des modèles spécifiques (des équations de fermeture) pour pallier ce défaut de représentation microscopique. Dans le cas de systèmes dominés par la coalescence et la rupture (de gouttes, bulles), les équations de conservations peuvent être couplées à des équations de bilan de population. Les modèles Euler-Euler donnent une approche plutôt macroscopique du système, elles sont compatibles avec la simulation numérique d'appareils industriels.

Bilan de population et phénomènes de coalescence et de rupture

Il est rare, dans un procédé chimique ou thermique, que toutes les particules aient la même taille. En outre, le nombre et la taille des particules peuvent évoluer dans le temps, ou différer localement, suite à l'occurrence d'évènements de nucléation (cristallisation, ébullition), de coalescence ou d'agrégation, ou encore de brisure (Fig. 2.5).

Afin de connaître l'état de la population de particules dans un appareil, on réalise un recensement des individus en fonction d'une ou de plusieurs propriétés d'intérêt (en général leur taille ou leur volume, mais également la température, la composition chimique, la forme, le temps de séjour dans l'appareil, etc.), exactement comme on ferait un recensement démographique. Les équations mathématiques correspondantes sont appelées "équations de Bilan de Population" (PBE).

Dans une réacteur fermé (c'est à dire sans entrée ni sortie de matière, par exemple un réacteur agité), où $\alpha$ est constant, on écrira :

$$ \frac{\partial n(d, t)}{\partial t} = B_{breakage} + B_{coalescence} - D_{breakage} + D_{coalescence} \quad (2.35) $$
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 2.5: Disparition / apparition d'une bulle de taille d (en bleu) suite à des évènements de brisure (à gauche) ou de coalescence (à droite).</figcaption></figure>

$n(d)$ est la fonction de densité en nombre de particules, différentiées ici par leur diamètre d. Elle vérifie :

$$ \int_{0}^{\infty} n(d, t) dd = N_{p}(t) \qquad (2.36) $$

où $N(t)$ est le nombre total de particules dans le réacteur à l'instant $t$.

Les termes du membre de droite dans l'Eq. (2.35) représentent les taux d'apparition (B pour Birth) et de disparition (D pour Death) de particules de diamètre $d$ entre les instants $t$ et $t + dt$. Ce sont les termes sources de l'équation de bilan.

Il existe de nombreux modèles pour estimer les taux de coalescence et de rupture des bulles et des gouttes.

Concernant la coalescence, on considère que la coalescence de 2 particules, de taille $d$ et $d'$, résulte de leur collision, à laquelle est associée une probabilité de fusion $\lambda$, Eq. (2.37). Alors que la fréquence des collisions $h(d, d')$ est généralement calculée par analogie avec la théorie cinétique des gaz, différentes approches sont proposées dans la littérature pour évaluer l'efficacité $\lambda(d, d')$ de ces collisions, selon qu'on considère le besoin d'une énergie de collision suffisante pour compenser les forces de cohésion interfaciales, ou un temps de contact suffisamment long pour drainer le film de liquide piégé entre les deux interfaces, etc.

$$ Q(d, d') = h(d, d') \times \lambda(d, d') \qquad (2.37) $$

De la même façon, la fréquence de rupture des bulles dans un écoulement turbulent peut s'exprimer comme le produit de la fréquence de collision des tourbillons à la surface des bulles et d'une probabilité que l'énergie cinétique de ces tourbillons soit supérieure à l'énergie de surface. Cette fonction est généralement complexe, à l'instar du spectre d'énergie des tourbillons dans l'écoulement turbulent, et parce que la taille et le nombre des fragments peuvent être très variés.

Les équations de bilan de population sont des équations algébro-différentielles qui admettent
rarement une solution analytique. Différentes méthodes numériques sont proposées pour les résoudre (Marchisio and Fox, 2013).

## 2.3 Écoulements en milieux poreux

### 2.3.1 Intérêt industriel

Les milieux poreux sont un cas particulier de système diphasique, où la concentration de particules solides est tellement grande que ces dernières n'ont plus de mouvement relatif les unes par rapport aux autres. En forçant un fluide à cheminer dans les interstices laissés libres par le solide, les écoulements en milieu poreux (en lit fixe) présentent de nombreuses applications industrielles :

* nombre de réacteurs catalytiques sont des lits fixes, où le catalyseur est immobilisé sur les grains de solide;

* la décontamination / purification des gaz ou des liquides en colonne sur adsorbant;

* la chromatographie préparative, etc.

* les procédés de séparation membranaire et les opérations de filtration en général.

### 2.3.2 Écoulement d'un liquide en régime stationnaire dans un milieu poreux

On considère un milieu poreux de section $\Omega$ et de hauteur $Z$, traversé à débit volumique constant $Q$ par un liquide de viscosité $\mu$. Darcy, en 1830, a établi une loi empirique entre le débit du liquide et la perte de pression par frottement à la traversée du lit, appelée loi de Darcy:

$$u = \frac{Q}{\Omega} = \frac{B_0 \Delta P_f}{\mu Z} \qquad (2.38)$$

$B_0$ est la perméabilité du milieu poreux, elle s'exprime en m².<fnref n="1" /> C'est une constante propre au milieu poreux.

Différentes approches ont été proposées pour estimer $B_0$. Dans le modèle de Kozeny-Carman, les interstices laissés libres entre les particules sont assimilés à un faisceau de $N_c$ capillaires cylindriques (Fig. 2.6), de même volume vide et de même surface mouillée $A$ que le lit poreux, où le liquide s'écoule dans les capillaires à la vitesse $v_c$. La perte de charge, due à l'écoulement laminaire dans les capillaires, peut ainsi être déterminée à partir de la loi de Poiseuille :

$$\frac{\Delta P_f}{Z_c} = \frac{32\mu v_c}{d_c^2} \qquad (2.39)$$

<footnote n="1">¹L'unité historique est le Darcy: 1 darcy = 0,987 $10^{-12}$ m² (soit environ 1 $\mu$m²). 1 darcy représente la perméabilité d'un cube de 1 cm de coté traversé par un débit de 1 cm³/s de liquide sous une différence de pression de 1 atm.</footnote>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 2.6: Représentation schématique du modèle de Kozeny.</figcaption></figure>

## Remarque 2.2

Dans le cas d'un milieu poreux on utilise la notion de porosité, $\epsilon$, pour exprimer la fraction du volume du lit accessible au fluide.

$$ \epsilon = \frac{\text{volume vide}}{V} = \frac{1 - \text{volume solide}}{V} \qquad (2.40) $$

Si le lit est isotrope, on admet que $\epsilon$ représente également la fraction d'aire occupée par le fluide sur une tranche quelconque du lit, ainsi que la fraction de longueur sur une ligne quelconque traversant le milieu (théorème de Dupuit).

En remplaçant dans l'Eq. (2.39), $Z_c$, $d_c$ et $v_c$ par leurs expressions respectives, et après réarrangement, on obtient l'équation de Kozeny-Carman, pour l'écoulement d'un fluide incompressible à faible débit dans un milieu poreux isotrope :

$$ \frac{\Delta P_f}{Z} = h_k \cdot a_p^2 \frac{(1 - \epsilon)^2}{\epsilon^3} \mu \cdot u \qquad (2.41) $$

$h_k$ est la constante de Kozeny. Dans les cas usuels, elle vaut $h_k = 4, 5 + / - 1$.

## Exercice 2.2

Exprimez $v_c$, $d_c$ et $N_c$ en fonction des propriétés du milieu poreux, selon le modèle de Kozeny.

On notera $T$, la tortuosité du lit ($T = Z_c/Z$) et $a_p$ la surface spécifique des grains, reliée à la surface mouillée par : $A = a_p \times V (1 - \epsilon)$.
## Écoulement à grande vitesse en milieu poreux

La loi empirique de Darcy, tout comme le modèle de Kozeny, prédisent une évolution linéaire de la perte charge avec la vitesse du fluide. Elles ne sont valables qu'en régime laminaire, c'est-à-dire lorsque les frottements du fluide à la surface des grains de solide sont prépondérants.

Pour rendre compte des transferts de quantité de mouvement liés aux multiples élargissements / rétrécissements de la veine fluide dans les pores du lit, qui vont être prépondérants lorsque la vitesse est élevée, Burke et Plummer ont adapté le modèle géométrique proposé par Kozeny en considérant des capillaires coudés (i.e. en zig-zag).

En considérant la perte de charge inertielle dans les capillaires (proportionnelle à $\frac{1}{2}\rho v_c^2$), on montre que :

$$ \frac{\Delta P_f}{Z} = h_B \cdot a_p \frac{1 - \epsilon}{\epsilon^3} \rho \cdot u^2 \quad (2.42) $$

$h_B$ est la constante de Burke-Plummer. Dans les cas usuels, elle vaut $h_B = 0, 3 + /-0, 1$.

En faisant la somme des contributions inertielles et laminaires, Ergun a proposé la relation pratique suivante pour exprimer la perte de charge subie par un fluide incompressible en écoulement permanent dans un milieu poreux isotrope :

$$ \frac{\Delta P_f}{Z} = h_k \cdot a_p^2 \frac{(1 - \epsilon)^2}{\epsilon^3} \mu \cdot u + h_B \cdot a_p \frac{1 - \epsilon}{\epsilon^3} \rho \cdot u^2 \quad (2.43) $$

La loi d'Ergun est très utilisée en pratique, sous la forme ci-dessus ou sous différentes expressions adimensionnelles permettant de corréler le coefficient de frottement $f_c$ au nombre de Reynolds $Re_c$ caractéristique des capillaires.

## Écoulement isotherme des gaz en milieux poreux

On se limitera ici aux écoulements faiblement compressibles des gaz parfaits.

Dans le cas des fluides compressibles, le débit volumique $Q$ varie avec la pression. La vitesse $u$ évolue à la traversée du lit sous l'effet des pertes de charge. Le débit massique est quant à lui uniforme et constant (pour un écoulement stationnaire).

Si le gaz obéit à la loi des gaz parfaits, on a en tout point d'abscisse $z$ dans le milieu poreux :

$$ p(z)Q(z) = J \frac{R}{M} T \quad (2.44) $$

où $M$ est la masse molaire du gaz (en mol/Kg), $R$ la constante des gaz parfait et $T$ la température (en K).
On peut réécrire l'équation d'état du gaz pour faire apparaître sa vitesse locale $u(z)$:

$$u(z) = \frac{j.R.T}{p(z).M} \qquad (2.45)$$

Si on considère la pression est constante dans chaque petite tranche élémentaire de volume $\Omega dz$ du lit, on peut appliquer localement la loi de Darcy :

$$u(z) = \frac{B_0}{\mu} \cdot \frac{dp}{dz} \qquad (2.46)$$

En injectant (2.45) dans (2.46) et après intégration entre l'entrée ($p = P_E$) et la sortie ($p = P_S = P_E - \Delta P$) du lit, on obtient :

$$j.R.T = B_{app} \frac{\Delta P}{Z} \qquad (2.47)$$

où $B_{app} = \frac{B_0}{\mu} \bar{p}$ est la perméabilité apparente, dépendant de la perméabilité intrisèque $B_0$ et de la pression moyenne $\bar{p} = \frac{P_E + P_S}{2}$ calculée entre les bornes du milieu poreux.

De nombreuses études sont consacrées aux écoulements en milieu poreux et aux transfert de matière et de chaleur entre le lit et le(s) fluide(s) en écoulement. On pourra par exemple se référer à l'ouvrage de Kaviany (1995).
# 3 La particule isolée

## 3.1 Principales forces s'exerçant sur une particule isolée

Le mouvement d'une particule (sa vitesse et sa trajectoire) est régi par le principe fondamentale de la dynamique (ou seconde loi de Newton) qui stipule que la somme vectorielle des forces appliquées à un objet (supposé ponctuel) est égale au produit de la masse de l'objet, $m_p$, par son vecteur accélération.

$$m_p \frac{\partial v_p}{\partial t} = \sum F_{ext} \qquad (3.1)$$

où $v_p$ est la vitesse de la particule.

Parmi les forces intervenant au second membre de l'Eq. (3.1), on distingue généralement les forces volumiques (body forces) des forces surfaciques (surface forces). Les premières agissant sur la masse de la particule alors que les secondes sont liées aux couplages entre le fluide environnant et la particule et dépendent de leur surface de contacte, donc de la forme de la particule.

### Force de flottabilité

La première force volumique importante s'appliquant sur une particule soumise au champ de gravité, est le poids: $F_p = m_p g$. La seconde force est la force d'Archimède $F_A = -m_f g$, qui exprime la poussée exercée sur la particule, égale au poids du fluide qu'elle a remplacé.

La résultante de ces deux forces volumiques est appelée force de flottabilité (ou Buoyancy force):

$$F_B = F_p + F_A = (m_p - m_f) \times g \qquad (3.2)$$

D'autres forces volumiques peuvent s'exercer sur la particule, comme les forces de Coulomb si elle est chargée et placée dans un champs électrique, des forces d'interaction magnétiques, etc.

### Force de frottement

On considère une particule placée dans un fluide en écoulement à la vitesse $v_f$. Ce fluide exerce une force de frottement (visqueux) sur la particule. Cette force, notée $F_D$ est appelée force de
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 3.1: Influence de la circulation interne sur l’écoulement autour d’une particule sphérique : cas d’une particule rigide (à gauche) et fluide (à droite) Wegener et al. (2014).</figcaption></figure>

trainée (ou drag force en anglais). Sa norme s’exprime sous la forme :

$$F_D = C_D \frac{1}{2} \rho_f U^2 A \quad (3.3)$$

où $U = \|v_f - v_p\|$ est la norme de la vitesse relative entre le fluide et la particule, A la surface projetée de la particule dans la direction de l’écoulement.

$C_D$ est appelé coefficient de traînée. C’est un nombre sans dimension dont la valeur dépend de la forme de la particule, de son orientation par rapport à l’écoulement (cylindre, plaquette) de sa nature (rigide, ou fluide, i.e. dans laquelle un écoulement interne peut de développer) et de la vitesse. On l’exprime généralement à partir du nombre de Reynolds de la particule:

$$Re_p = \frac{\rho_f U d_p}{\mu_f} \quad (3.4)$$

A noter que $Re_p$ est calculé à partir des propriétés physico-chimiques de la phase continue, sur laquelle frotte la particule sphérique de diamètre $d_p$. De nombreuses corrélations ont été proposées pour évaluer $C_D$ pour une sphère rigide (Tab. 3.1).

Si la particule est fluide et sa surface non contaminée, la force de traînée est réduite sous l’effet des recirculations internes (illustrées sur la Fig. 3.1). Dans le cas d’une bulle, de viscosité beaucoup plus faible que la phase continue, Mei and Klausner (1992) ont proposé la corrélation (3.5) :

$$C_D^{\text{bulle}} = \frac{16}{Re_p} \left[ 1 + \left( \frac{8}{Re_p} + 0.5 \left( 1 + 3.315 Re_p^{-0.5} \right) \right)^{-1} \right] \quad 0.1 \le Re_p \le 200 \quad (3.5)$$
<table><caption>Table 3.1: Calcul du coefficient de traînée d'une sphère rigide (Flemmer and Banks, 1986).</caption><thead><tr><td>Auteurs</td><td>Corrélation</td><td>Domaine d'application</td></tr></thead><tbody><tr><td>Stokes</td><td>C<sub>D</sub> = <sup>24</sup>&frasl;<sub>Re<sub>p</sub></sub></td><td>Re<sub>p</sub> &lt; 0,3</td></tr><tr><td>Perry et Chilton</td><td>C<sub>D</sub> = <sup>18,5</sup>&frasl;<sub>Re<sub>p</sub><sup>0.6</sup></sub></td><td>0,3 &lt; Re<sub>p</sub> &lt; 1000</td></tr><tr><td>Oseen</td><td>C<sub>D</sub> = <sup>24</sup>&frasl;<sub>Re<sub>p</sub></sub>(1 + <sup>3</sup>&frasl;<sub>16</sub>Re<sub>p</sub>)</td><td>Re<sub>p</sub> &lt; 1</td></tr><tr><td>Schiller et Naumann</td><td>C<sub>D</sub> = <sup>24</sup>&frasl;<sub>Re<sub>p</sub></sub>(1 + 0,15Re<sub>p</sub><sup>0,687</sup>)</td><td>1 &lt; Re<sub>p</sub> &lt; 1000</td></tr></tbody></table>

### Exercice 3.1

En écoulement de Stokes ($Re_p < 0,3$), Hadamard et Rybczynski ont exprimé analytiquement le coefficient de traînée autour d'une goutte sphérique (Clift et al., 1978):

$$C_D^{goutte} = \frac{8}{Re_p} \left( \frac{2 + 3\mu^*}{1 + \mu^*} \right) \qquad (3.6)$$

où $\mu^* = \mu_p/\mu_f$ est le rapport entre la viscosité de la goutte et celui de la phase continue. Calculez $C_D^{goutte}$ pour des gouttes de différentes viscosités ($0,1 \le \mu^* \le 10$) en écoulement de Stokes. Comparez les valeurs obtenues à celles caractéristiques des particules solides et des bulles, respectivement $C_D$ et $C_D^{bulle}$. Que remarquez-vous? En déduire une nouvelle formulation de l'Eq. (3.6).

## Autres forces

### Force de masse ajoutée

Pour pouvoir accélérer, une particule doit repousser le liquide qui l'entoure. La force de masse ajoutée $F_{VM}$ (ou virtual mass force) qui s'exerce alors sur la particule correspond à l'inertie du
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 3.2: Illustration de la force de masse ajoutée (à gauche) et de la force de portance (à droite).</figcaption></figure>

liquide ainsi mis en mouvement (Fig.3.2, à gauche):

$$F_{VM} = -\frac{1}{2}m_f \frac{d\boldsymbol{v}_p}{dt} \qquad (3.7)$$

où $m_f = \rho_f V_p$ est la masse de fluide déplacée par la particule de volume $V_p$.

$F_{VM}$ est généralement négligeable dans les applications industrielles, à l'exception de celles où intervient l'écoulement non-stationnaire de bulles dans un liquide ($\rho_p \ll \rho_f$).

## Force de portance

Une particule dans un écoulement non uniforme est également soumise à une force de portance $F_L$ (lift force en anglais). Dans le cas d'un écoulement cisaillé, le gradient de vitesse auquel est soumise la particule (Fig.3.2, à droite) induit une différence de pression entre les 2 pôles et un couple tendant à faire tourner la particule sur elle même. La force qui en résulte est perpendiculaire à l'écoulement du fluide.

De même que la force de traînée, la portance est homogène au produit d'une énergie cinétique et d'une surface, corrigée par un coefficient de portance $C_L$. Cette force est très importante dans l'aéronautique, où la forme des objets résulte d'un compromis entre la minimisation de la force de traînée et la maximisation de la portance.

## 3.2 Vitesse terminale de chute (ou d'ascension)

### Cas d'une particule rigide

On considère la sédimentation d'une particule isolée dense (telle que $\rho_p > \rho_f$) dans un fluide au repos ($v_f = 0$). Elle est soumise à la force de flottabilité $F_B$ et à la force de traînée $F_D$. L'équation
de mouvement de la particule s'écrit donc :

$$m_p \frac{\partial v_p}{\partial t} = F_B - F_D \qquad (3.8)$$

Ce bilan indique que la particule, initialement au repos, subit une accélération jusqu'à atteindre une vitesse maximale, appelée *vitesse terminale* de chute $U_∞$, lorsque les forces extérieures s'équilibrent. L'Eq. (3.8) se réécrit alors :

$$m_p \frac{\partial v_p}{\partial t} = (m_p - m_f)g - C_D \frac{1}{2} \rho_f U_\infty^2 A = 0 \qquad (3.9)$$

Soit pour une particule sphérique :

$$U_{\infty} = \sqrt{\frac{4d_p g}{3 C_D} \frac{\rho_p - \rho_f}{\rho_f}} \qquad (3.10)$$

### Remarque 3.1

$U_∞$ désigne en toute rigueur la vitesse relative de la particule, mais dans le cas du fluide au repos ($v_f = 0$) la vitesse de la particule et sa vitesse relative sont égales.

Le coefficient de traînée $C_D$ étant une fonction de la vitesse de la particule, il n'est généralement pas possible d'exprimer analytiquement $U_∞$.

En régime de Stokes, c'est à dire à très faible Re, le coefficient de traînée $C_D$ d'une particule sphérique rigide (solide ou petite bulle) lâchée dans un fluide immobile est reliée à la vitesse selon la relation de Stokes (cf. Tab. 3.1). On obtient ainsi une expression analytique de la vitesse terminale de la particule :

$$U_{\infty}^{rigide} = \frac{d_p^2 (\rho_p - \rho_f) g}{18 \mu_f} \qquad (3.11)$$

## Cas d'une particule fluide

Dans le cas d'une goutte ou d'une bulle, comme précédemment indiqué, la mobilité de l'interface diminue la force de traînée. En régime de Stokes, $C_D$ est donné par la relation (3.6) proposée par Hadamard et Rybczynski. On obtient alors pour la vitesse terminale :

$$U_{\infty}^{fluide} = \frac{d_p^2 (\rho_p - \rho_f) g}{18 \mu_f} \times \frac{3 (1 + \mu^*)}{2 + 3\mu^*} = U_{\infty}^{rigide} \times \frac{3 (1 + \mu^*)}{2 + 3\mu^*} \qquad (3.12)$$

où $\mu^*$ est le rapport de viscosité entre la particule et le fluide environnant.
Cas particuliers

Dans le cas d'une particule dense dans un gaz, $(\rho_p - \rho_f) \approx \rho_p$ et l'Eq. (3.11) se réécrit :

$$U_{\infty}^{\text{dense}} = \frac{d_p^2 \rho_p g}{18 \mu_f} \qquad (3.13)$$

Dans le cas d'une bulle dans un liquide, pour laquelle $\mu^* \to 0$ et $(\rho_p - \rho_f) \approx -\rho_f$, l'Eq. (3.12) se simplifie en :

$$U_{\infty}^{\text{bulle}} = \frac{d_p^2 \rho_f g}{12 \mu_f} \qquad (3.14)$$

On parle alors de vitesse d'ascension et non plus de vitesse de chute ou de sédimentation.

Enfin, si la particule a la même masse volumique que le fluide, sa vitesse terminale est nulle ($U_{\infty} = 0$). En anglais on dit que la particule est *non buoyant*. Une telle particule ne subit aucune force volumique car la poussée d'Archimède compense exactement son poids. Cette propriété est utilisée dans les méthodes de traçage des écoulements.

La vitesse terminale est à la base de nombreux modèles d'écoulement de particules, en particulier pour les problèmes de sédimentation, de décantation ou de fluidisation.

Exercice 3.2

Dans l'expression de la vitesse terminale d'une particule dense en régime de Stokes, Eq. (3.13), le terme $\frac{d_p^2 \rho_p}{18 \mu_f}$ est homogène à un temps. Il correspond au temps de réponse $\tau_v$ de la particule vis-à-vis d'un changement de vitesse de la phase continue. $\tau_v$ est également appelé *temps de relaxation* ou *temps caractéristique* de la particule.

Calculez le temps de réponse d'une goutte d'eau dans l'air en régime de Stokes, pour $d_p = 10 \ \mu\text{m}$, $100 \ \mu\text{m}$ et $1 \ \text{mm}$. Discutez.

De la même façon, calculez à l'aide de l'Eq. (3.14), le temps de réponse d'une bulle d'air de $100 \ \mu\text{m}$ en ascension dans l'eau. Discutez.

Données : Eau : $\rho = 1000 \ \text{Kg/m}^3$, $\mu = 10^{-3} \ \text{Pa.s}$

Air : $\mu = 1, 8 \cdot 10^{-5} \ \text{Pa.s}$
## 3.3 Particules déformables : écoulement d'une bulle ou d'une goutte

### 3.3.1 Tension superficielle

Une interface entre deux fluides immiscibles est une zone de transition caractérisée, du point de vue macroscopique, par un saut dans les propriétés physico-chimiques (Fig. 3.3, droite).

Du point de vue microscopique, elle traduit une anisotropie dans l'arrangement des molécules. Par exemple, alors que dans l'eau toutes les molécules sont soumises aux forces attractives de Van der Waals, ces forces d'interaction à courte distance sont beaucoup plus faibles dans l'air, où les molécules sont plus éloignées les unes des autres. En conséquence, les forces appliquées sur les molécules situées à l'interface eau/air sont anisotropes, plus fortes du côté liquide et faibles voire négligeables du coté gaz. Ces molécules ne peuvent interagir qu'avec leurs voisines latérales et inférieures (Fig. 3.3). Ainsi, à la surface, les forces de cohésion ne s'équilibrent pas symétriquement comme à l'intérieur du liquide. La tension superficielle est la manifestation de cette dissymétrie.

Par définition, la tension de surface $\sigma$ représente le travail $\delta W$ nécessaire pour créer une unité d'interface $dA$:

$$ \delta W = \sigma dA \qquad (3.15) $$
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 3.3: Représentation schématique d'une interface eau/air et de ses manifestations macro et microscopiques</figcaption></figure>

**Remarque 3.2**

σ s'exprime en N/m. Sa valeur est très sensible à la température et à la composition chimique du milieu (concentration de sels par exemple).

La tension interfaciale entre l'eau est l'air à 25°C est égale à 72 mN/m. Elle est de l'ordre de 20 mN/m pour une interface eau/huile.

### 3.3.2 Apport de l'analyse dimensionnelle

Comme pour les particules solides, le problème de l'hydrodynamique d'une bulle dans un liquide (ou d'une goutte dans un fluide) va résulter de l'action de différentes forces (flottabilité, forces d'inertie, forces visqueuses), auxquelles s'ajoutent ici les forces interfaciales.

Tout cela pré suppose donc a priori l'intervention de nombreux paramètres, de nature à la fois:

* physico-chimiques : les masses volumiques et les viscosités des 2 phases, la tension interfaciale ;

* géométriques: le diamètre des particules $d_p$ ou celui de la sphère de volume équivalent $d_v$, leur forme, en plus des dimensions de la conduite ou du réacteur ;

* voire spécifique au référentiel ou à l'environnement, la pesanteur ou autre champs de force, la température etc.
L'analyse dimensionnelle, en introduisant des groupes choisis de ces paramètres, permet de réduire le nombre de variables nécessaires à la compréhension du problème et de comparer les contributions des différentes forces. Ces groupes de paramètres peuvent être obtenus par application du théorème de Buckingham en se basant sur les 7 quantités physiques de bases (de longueur, de masse, de temps, de température, de courant électrique, d'intensité lumineuse et de quantité de substance), c'est l'analyse dimensionnelle proprement dite (Midoux, 1988) ; soit en réalisant une normalisation appropriée des équations de conservation du mouvement pour y faire apparaître des paramètres de similitude (et sans dimension) qui seront transposables à d'autres échelles ou systèmes physiques.

Les principaux groupes adimensionnels pertinents pour les écoulements à bulles (et les écoulements disphasiques en général) sont définis dans le Tab. 3.2. A noter que les vitesses et tailles caractéristiques utilisées pour définir ces nombres adimensionnels peuvent varier d'un problème à un autre.

<table><caption>Table 3.2: Définitions des principaux nombres adimensionnels d'intérêt pour les écoulements à bulles / à gouttes. Δρ est la différence de masse volumique entre les 2 phases.</caption><tr><td>Nombre de Reynolds</td><td>Re = <sup>ρ<sub>f</sub>Ud<sub>v</sub></sup>&frasl;<sub>μ<sub>f</sub></sub></td><td>Force d'inertie<br>Forces visqueuses</td></tr><tr><td>Nombre de Froude</td><td>Fr = <sup>U<sup>2</sup></sup>&frasl;<sub>gd<sub>v</sub></sub></td><td>Force d'inertie<br>Force de pesanteur</td></tr><tr><td>Nombre d'Archimède</td><td>Ar = <sup>gΔρ·ρ<sub>f</sub>d<sub>v</sub><sup>3</sup></sup>&frasl;<sub>μ<sub>f</sub><sup>2</sup></sub></td><td>Force d'inertie × Force de pesanteur<br>Forces visqueuses<sup>2</sup></td></tr><tr><td>Nombre de Weber</td><td>We = <sup>ρ<sub>f</sub>Ud<sub>v</sub></sup>&frasl;<sub>σ</sub></td><td>Force d'inertie × Force d'inertie<br>Forces superficielles</td></tr><tr><td>Nombre d'Eötvos</td><td>Eo = <sup>gΔρd<sub>v</sub><sup>2</sup></sup>&frasl;<sub>σ</sub></td><td>Force de pesanteur<br>Forces superficielles</td></tr><tr><td>Nombre de Morton</td><td>Mo = <sup>gμ<sub>f</sub><sup>4</sup>Δρ</sup>&frasl;<sub>ρ<sub>f</sub><sup>2</sup>·σ<sup>3</sup></sub></td><td>Forces visqueuses<sup>4</sup><br>Forces superficielles<sup>3</sup></td></tr></table>
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 3.4: Diagramme de Clift et al. (1978) pour évaluer les propriétés des bulles et gouttes en écoulement.</figcaption></figure>

Exercice 3.3

Le nombre de Morton, qui compare les forces visqueuses aux forces interfaciales, est particulièrement utilisé pour prédire la déformation des bulles et des gouttes. Il est en effet intéressant car, contrairement à *Eo* et *We* qui nécessitent de connaître ou de faire des hypothèses sur la taille des bulles et leur vitesse, il peut être calculé uniquement à partir des propriétés physico-chimiques du système.

Exprimez *Mo* en fonction de *We*, *Fr* et *Re*<sub>p</sub>.
### 3.3.3 Diagramme de Clift et al. (1978)

L'hydrodynamique des bulles, gouttes et particules est un problème complexe qu'il est rare de pouvoir résoudre analytiquement. Compte tenu de leur importance industrielle, ces écoulements font l'objet de nombreuses recherches en mécanique des fluides, dont une synthèse a été publiée en 1978 par Clift et al.

Nous avons déjà évoqué une première différence majeure entre les particules rigides et les particules fluides, liée à la mobilité de l'interface des bulles et des gouttes, propice au développement d'une circulation du fluide au sein de la goutte (Fig. 3.1). Cette circulation interne influe sur l'écoulement au voisinage de la goutte et, comme vu au paragraphe 3.1, sur le coefficient de traînée.

Une autre différence majeure est que les forces interfaciales et les différences de viscosité entre les deux phases peuvent engendrer des déformations des bulles et des gouttes en écoulement. Le diagramme de Clift (Fig. 3.4) propose une méthode graphique pour corréler la vitesse (i.e. le nombre de Reynolds) à la forme des particules en fonction des différentes forces auxquelles elles sont soumises. Ces dernières sont représentées à l'aide du nombre d'Eötvos, qui exprime le rapport des forces de pesanteur et des forces de surface. Ce diagramme inclut des courbes d'isovaleur du nombre de Morton, qui permet de quantifier la déformabilité des gouttes sous l'effet des forces visqueuses et interfaciales (on rappelle que Mo ne dépend que des propriétés des fluides, pas de l'écoulement, et qu'il peut donc être facilement évalué).

#### Exercice 3.4

Le procédé PUREX pour le traitement des combustibles irradiés, repose sur des étapes d'extraction liquide-liquide au cours desquelles les espèces d'intérêt (plutonium et/ou uranium) sont extraites de la solution d'acide nitrique où elles ont été préalablement dissoutes, par des gouttes de solvant organique. En considérant des gouttes de 1 mm de diamètre, évaluer à l'aide du diagramme de Clift la vitesse et la forme des gouttelettes.

 comparer avec des bulles de 4mm en écoulement dans l'eau. Discutez.

Données : Acide nitrique : $\rho$ = 1170 Kg/m$^3$, $\mu$ = 10$^{-3}$ Pa.s. Solvant organique : $\rho$ = 970 Kg/m$^3$, $\sigma_{acide/solvant}$ = 10 mN.m

## 3.4 Transfert de matière et de chaleur

Jusqu'à maintenant, nous nous sommes intéressés au transfert de quantité de mouvement entre une particule et la phase continue. Un des principaux intérêts des écoulements diphasiques est d'augmenter la surface d'échange, favorisant ainsi les échanges de matière (et ou de chaleur) entre les phases.
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 3.5: Représentation du transfert de matière entre une goutte en écoulement et la phase continue. Modèle du double film.</figcaption></figure>

On exprime généralement le flux échangé à l'interface d'une particule (en Kg/s) sous la forme :

$$ \varphi = k \times S \times \Delta c \qquad (3.16) $$

où, S la surface d'échange (en m²), k le coefficient de transfert de matière (en m/s) et Δc une différence de concentration. Une expression analogue s'applique au cas de l'échange de chaleur :

$$ \varphi = h \times S \times \Delta T \qquad (3.17) $$

où T est la température et h le coefficient de transfert de chaleur (en m/s).

Le flux de matière échangé à l'interface peut être exprimé de différentes façons (Fig. 3.5):

$$ \varphi_{int} = k_{int} \cdot S (c_p - c_p^i) \qquad (3.18) $$

$$ \varphi_{ext} = k_{ext} \cdot S (c_f^i - c_f) \qquad (3.19) $$

$$ \varphi_{app} = k \cdot S (c_p - c_f) \qquad (3.20) $$

avec : $\varphi_{int} = \varphi_{ext} = \varphi_{app} = \varphi$ (pas d'accumulation à la surface).

Le coefficient de transfert global (ou apparent) k est généralement inconnu. Il dépend des propriétés physico-chimiques des 2 phases et des coefficients de diffusion de l'espèce transférée. Il est également fonction des propriétés de l'écoulement (interne et/ou externe).

On peut distinguer trois régimes selon la localisation de la plus grande résistance au transfert (i.e. 1/k), comme illustré sur la Fig. 3.6:

* le régime de transfert interne, où la résistance est principalement localisée à l'intérieur de la particule. La concentration (température) à l'interface est constante et uniforme, imposée par l'écoulement extérieur. Le transfert interne est souvent apparenté à un problème de diffusion pure dans la particule ;

* le régime de transfert externe, où la résistance est principalement localisée à l'extérieur de la particule, dont la concentration (température) est alors uniforme (mais variable dans
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 3.6: Illustration des régimes de transfert de matière interne (à gauche), externe (à droite) et conjugué (au centre) (simulations numériques Rachih (2019).</figcaption></figure>

le temps), ce qui simplifie la simulation numérique ;

* le régime conjugué, où les résistances interne et externe sont équivalentes, et pour lequel aucune simplification ne peut être faite a priori.

Tout comme pour la partie purement hydrodynamique, l'analyse dimensionnelle est très utile pour traiter les problèmes de transfert de chaleur et de matière. Les principaux nombres dimensionnels pertinents sont définis dans le Tableau 3.3.

De nombreuses corrélations, généralement empiriques, ont été proposées pour évaluer le coefficient de transfert sur une sphère en régime externe $k = k_{ext}$. La plupart expriment le nombre de Sherwood (resp. Nusselt) en fonction des nombres de Schmidt (resp. Prandtl), Peclet et Reynolds, à l'instar des modèles de type Ranz et Levenspiel pour les grains de catalyseur (Villermaux, 1993):

$$Sh = 2,0 + 1,8Re_p^{1/2}Sc^{1/3} \qquad (3.21)$$

$$Nu = 2,0 + 1,8Re_p^{1/2}Pr^{1/3} \qquad (3.22)$$

Quelques corrélations supplémentaires sont reportées dans le Tableau 3.4 dans le cas des gouttes.

### Exercice 3.5

Un réacteur à lit fixe est composé de billes de réactif de diamètre 5 mm. Il est traversé par de l'eau avec une vitesse de 0,5 m/s. A l'aide de la relation (3.21), calculer le coefficient de transfert de matière entre le fluide et un grain, en régime permanent.

Données : $\rho_{eau} = 1000$ Kg/m³, $\mu_{eau} = 10^{-3}$ Pa.s, Coefficient de diffusion du réactif dans le liquide : $D_M = 10^{-5}$ cm²/s.
<table><caption>Table 3.3: Définitions des principaux nombres adimensionnels d’intérêt pour les transferts de matière et de chaleur.</caption><tr><td>Nombre de Sherwood</td><td>Sh = <sup>kd<sub>p</sub></sup>&frasl;<sub>D<sub>M</sub></sub></td><td>Flux de matière échangé à l'interface<br>Flux de diffusion</td></tr><tr><td>Nombre de Nusselt</td><td>Nu = <sup>hd<sub>p</sub></sup>&frasl;<sub>&lambda;</sub></td><td>Flux de chaleur échangé à l'interface<br>Flux de conduction</td></tr><tr><td>Nombre de Péclet</td><td>Pe = <sup>U<sub>&infin;</sub><sup>2</sup>d<sub>p</sub></sup>&frasl;<sub>D<sub>M</sub></sub></td><td>Flux de convection<br>Flux de diffusion</td></tr><tr><td>Nombre de Péclet thermique</td><td>Pe<sub>T</sub> = <sup>U<sub>&infin;</sub><sup>2</sup>d<sub>p</sub></sup>&frasl;<sub>&lambda;</sub></td><td>Flux de convection<br>Flux de conduction</td></tr><tr><td>Nombre de Schmidt</td><td>Sc = <sup>v</sup>&frasl;<sub>D<sub>M</sub></sub></td><td>Diffusion de quantité de mouvement<br>Diffusion de la matière</td></tr><tr><td>Nombre de Prandtl</td><td>Pr = <sup>v</sup>&frasl;<sub>&alpha;<sub>T</sub></sub></td><td>Diffusion de quantité de mouvement<br>Diffusion de la chaleur</td></tr></table>

<table><caption>Table 3.4: Exemples de corrélations pour le transfert de matière extérieur à une goutte en régime permanent (Wegener et al., 2014).</caption><tr><td>Sh = 2</td><td>Fluide immobile (diffusion pure)</td></tr><tr><td>Sh = 1 + (1 + Pe)<sup>1/3</sup></td><td>Écoulement rampant sur une sphère rigide Re<sub>p</sub> &lt; 1</td></tr><tr><td>Sh = 0,65( Pe (1 + μ*)<sup>1/2</sup> )</td><td>Écoulement rampant sur une goutte circulante Re<sub>p</sub> &lt; 1</td></tr><tr><td>Sh = -178 - 3,62Re<sub>p</sub><sup>1/2</sup>·Sc<sup>1/3</sup></td><td>50 ≤ Re<sub>p</sub> ≤ 800</td></tr></table>
# 4 De la particule isolée aux configurations réelles

## 4.1 Influence de la concentration

Les écoulements à phase dispersée solide interviennent dans de nombreuses applications industrielles (i.e. le séchage par atomisation ou en lit fluidisé, le dépoussiérage ou le dévésiculage des gaz, etc.). Le dimensionnement ou la compréhension de ces procédés nécessite généralement de considérer en premier lieu les phénomènes physiques à l'échelle d'une particule isolée, qui vont notamment régir leur vitesse et l'intensité de leurs échanges avec la phase continue. Ces comportements individuels peuvent ensuite considérés dans une approche statistique pour les étendre à l'ensemble de la population.

### 4.1.1 Définitions

Les propriétés d'un écoulement dispersé dépendent fortement de la densité de particules. Cette dernière est quantifiée par son taux de rétention volumique $\alpha$, égal au rapport entre le volume occupée par l'ensemble des particules de la phase dispersée, $V_d = \sum V_p$, et le volume total $V = V_c + V_d$.

Dans un écoulement dilué (à gauche sur la Fig. 4.1), la distance entre 2 objets est grande. Le comportement de chaque particule est assimilable à celui d'une particule isolée, n'ayant pas d'interaction avec les autres particules. On peut considérer qu'une particule est isolée si la distance qui la sépare de ses voisines est supérieure à 10 fois son diamètre (Crowe et al., 2012). Cette hypothèse est souvent utilisée en pré-dimensionnement.

* En écoulement dilué ($\alpha \le 0,01$), le mouvement et les trajectoires des particules sont contrôlés par l'écoulement de la phase continue et les forces exercées par le fluide sur les particules individuellement (cf. Chap. 3).

* Au-delà d'une fraction volumique de particules de 0,05, l'écoulement est qualifié de dense. Le mouvement des particules est alors contrôlé par leurs collisions, entre-elles ou avec les parois (cas représenté au centre de la Fig. 4.1). Le temps de contact des particules au moment du choc est court.

* Si $\alpha > 0,1$, la fréquence des chocs entre les particules est grande et l'écoulement est dominé par les contacts, quasi-permanent, entre les particules. Le cas extrême étant le cas du lit fixe, traité au Chap. 2.3, où les particules sont immobiles.
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 4.1: Représentation schématique des écoulements dilués et denses et plages de fraction volumique $\alpha$ correspondantes</figcaption></figure>

Exercice 4.1

En assimilant les constituants de la phase dispersée à des sphères de diamètre $d$, calculez le nombre de particules dans $1 \text{ mm}^3$ d'un écoulement dilué de cristaux ($d = 1\mu\text{m}$ et $d = 10\mu\text{m}$), de gouttes ($d = 100\mu\text{m}$) et de bulles ($d = 1 \text{ mm}$). Commentez.

Le concept de couplage entre les phases est également très important pour les écoulements diphasiques. Ainsi, si l'écoulement de la phase continue modifie celui de la seconde sans être lui même affecté en retour, on parle de couplage à sens unique (ou *one-way coupling* en anglais). C'est typiquement le cas des écoulements dilués. Si au contraire la présence des particules modifie l'écoulement de la phase continue, on parle de couplage à deux sens (*two-way coupling*). Ces couplages ne concernent pas que la quantité de mouvement, ils s'appliquent également aux transferts de masse et de chaleur. Par exemple, les changements de phase (évaporation, précipitation) ou les procédés de séparation impliquant le transfert d'espèces d'une phase à l'autre (extraction, distillation) reposent sur le couplage matériel entre les particules et le fluide porteur. Lors d'un changement de phase, ce couplage est souvent associé à un couplage thermique. Dans tous les cas, le siège du couplage est l'interface de la particule, qu'il est donc important de pouvoir quantifier.

Pour déterminer l'importance de ces couplages, on considère généralement le temps de réponse $\tau_v$ de la particule vis-à-vis d'un changement de vitesse de l'écoulement de la phase continue. Il intervient notamment dans le nombre de Stokes, $St$, très utilisé en analyse dimensionnelle (Sec. 3.3.2) et qui compare $\tau_v$ à un temps caractéristique de l'écoulement (par exemple le temps de passage dans une singularité, une section chauffée, etc.). Si le temps caractéristique de la particule est très petit devant celui de l'écoulement ($St \ll 1$), la particule a tout le temps de s'accommoder aux changements de vitesse du fluide porteur et sera considérée à l'équilibre (par
<table><caption>Table 4.1: Calcul du coefficient *n* de la relation de Richardson and Zaki (1954)</caption><thead><tr><th>Re<sub>p</sub></th><th>n</th></tr></thead><tbody><tr><td>Re<sub>p</sub> &lt; 0, 2</td><td>n = 4, 65 + 20d<sub>p</sub>/D</td></tr><tr><td>0, 2 &lt; Re<sub>p</sub> &lt; 1</td><td>n = (4, 4 + 18d<sub>p</sub>/D)Re<sub>p</sub><sup>-0,03</sup></td></tr><tr><td>1 &lt; Re<sub>p</sub> &lt; 200</td><td>n = (4, 4 + 18d<sub>p</sub>/D)Re<sub>p</sub><sup>-0,1</sup></td></tr><tr><td>200 &lt; Re<sub>p</sub> &lt; 500</td><td>n = 4, 4Re<sub>p</sub><sup>-0,1</sup></td></tr><tr><td>Re<sub>p</sub> &gt; 500</td><td>n = 2.4</td></tr></tbody></table>

exemple thermique) avec la phase continue. Au contraire si $St \gg 1$) la particule ne sera pas ou peu affectée par ces changements (cf. Exercice 3.2).

### 4.1.2 Vitesse de déplacement en écoulement gêné

Dans un essaim de particules, la vitesse de chute d'une particule est modifiée par la présence de ses voisines.

On distingue, en première approximation, les effets liés à la modification de la "pseudo phase continue" vue par la particule dans l'essaim par rapport au cas où elle est isolée (cas des essais dilués sans chocs entre les particules) de ceux liés aux nombreux chocs, avec transfert d'énergie, entre les particules pour les écoulements denses. Nous ne traiterons ici que la première configuration (particules ne s'entrechoquant pas).

Sans échanger directement d'énergie les unes avec les autres, la présence des autres particules modifie le transfert de quantité de mouvement avec le fluide environnant par rapport au cas isolé. Ce phénomène peut être pris en compte en définissant une viscosité apparente pour la phase continue. La corrélation d'Enstein (4.1) est généralement bien adaptée aux suspensions diluées :

$$ \frac{\mu_{app}}{\mu_f} = 1 + 2,5 \times \alpha \qquad (4.1) $$

De nombreuses corrélations empiriques sont proposées pour évaluer la vitesse $U_\infty^\alpha$ de sédimen- tation d'un essaim de particules (identiques) dans une suspension de concentration $\alpha$, la plus connue étant celle de Richardson and Zaki (1954):

$$ \frac{U_\infty^\alpha}{U_\infty} = (1 - \alpha)^n \qquad (4.2) $$

L'exposant *n* est toujours supérieur à 1 (Tab. 4.1), il dépend du Reynolds particulaire et du rapport de taille entre les particules et la conduite $d_p/D$.
Remarque 4.1

D'autres forces seront le cas échéant prises en compte dans la simulation numérique d'écoulements à phase dispersée. Elles traduisent : la dispersion induite par un essaim sur une particule isolée, l'effet des chocs et rebonds des particules sur les parois, etc. Des modèles sont proposés à cet effet dans les codes de simulation numérique (CFD, *Computational Fluid Dynamics*).

Dans les écoulements denses, *i.e.* lorsque les chocs et contacts entre les particules sont prépondérants, d'autres modèles, spécifiques, doivent être utilisés pour évaluer les transferts d'énergie entre particules, tels que :

* le modèle à sphères dures, qui ne considère que les collisions des particules deux à deux et calcule leur énergie cinétique après le choc en fonction de leur énergie initiale (et de coefficients de restitution et de frottement à définir) ;

* le modèle dit *soft core*, plus général, qui repose sur l'analogie avec des éléments mécaniques tels que des ressorts, etc. dont les caractéristiques doivent également être précisées.

Ces deux approches sont très utilisées dans les simulations numériques d'écoulements granulaires basées sur les éléments discrets (*Discrete Elements Model*, DEM, cf. Fig. 2.4).

## 4.2 Lits fluidisés

### 4.2.1 Intérêt industriel

Les lits fluidisés sont généralement de gros réacteurs. On les utilise principalement pour des applications nécessitant des échanges thermiques importants car ils permettent une mise en contact optimale d'une (ou plusieurs) phase(s) solide(s) avec un fluide, avec un bon contrôle de la température au sein du solide (par exemple par rapport à un lit fixe). Nombre d'opérations unitaires industrielles sont ainsi mises en oeuvre en lit fluidisé :

* Réactions chimiques hétérogènes

* Craquage catalytique

* Grillage, calcination des minerais

* Gazéification de la biomasse

* Traitement thermique des solides divisés

* Opérations physiques (mélange, tri de particules, etc.)

* Enrobage de particules
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 4.2: Régimes d'écoulements en lit fluidisé (Kunii and Levenspiel, 2013)</figcaption></figure>

### 4.2.2 Caractéristiques des lits fluidisés

La morphologie du lit de particules et la perte de charge évoluent significativement avec la vitesse du fluide.

En régime de lit fixe (partie a et b), conformément à la loi d'Ergun, Eq. (2.43), la perte de charge à la traversée du lit augmente avec la vitesse du fluide $u_c$. Dans ce domaine, la porosité du lit varie peu.

Lorsque la perte de pression du fluide à la traversée du lit équilibre le poids du lit (au point b), les particules se réarrangent et on observe une expansion du lit. En se soulevant, les particules offrent une résistance minimale à l'écoulement du gaz: on a atteint le régime de lit fluidisé. Le comportement du lit s'apparente alors à un liquide (le niveau est horizontal, même si le tube est incliné, et on pourrait faire flotter un objet à sa surface). La vitesse du fluide en ce point, notée $u_{mf}$, est appelée vitesse minimale de fluidisation, ou seuil de fluidisation.

On distingue alors 2 cas de figure :

* si la densité du fluide est proche de celle du solide (cas des liquides), et que les particules son petites, le lit continue à se dilater: sa hauteur et sa porosité augmentent. La perte de charge en revanche reste relativement constante. On parle de *fluidisation homogène*. Cet état dure jusqu'à ce que la vitesse du fluide dépasse la vitesse terminale de chute des particules, seuil à partir duquel on atteint le régime de transport fluidique (e) ;

* dans le cas des lits fluidisés gaz / solide, ou lorsque les particules sont de taille très dispersée, on atteint un régime de *fluidisation hétérogène*. Des zones à faible rétention de solide apparaissent, qui grossissent avec le débit de gaz (c). Si le diamètre de la colonne est petit, on peut également voir se développer un régime piston (d). Dans ce cas, le lit se
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 4.3: Evolution de la perte de charge avec le régime de fluidisation</figcaption></figure>

comporte globalement comme le mélange d'une phase dense pseudo-continue et d'une phase légère, très diluée en particules.

### 4.2.3 Seuil de fluidisation

#### Vitesse de fluidisation d'une particule

Dans le cas où le fluide circule dans le sens inverse des particules, on a:

$$v_d = U_{\infty}^{\alpha} - v_c \qquad (4.3)$$

Si la vitesse du liquide est égale à la vitesse terminale de chute des particules, $|v_c| = |U_{\infty}^{\alpha}|$, alors $v_d = 0$ et la particule est immobile (suspendue) dans le fluide. C'est le principe de la fluidisation.

#### Soulèvement d'un lit de particules

Lorsqu'on est au seuil de fluidisation ($u_c = u_{mf}$), le lit de particules commence à se soulever car la perte de charge subie par le fluide compense le poids des particules.

Dans le modèle à phases séparées introduit au Chap. 3, le bilan de quantité de mouvement aux bornes du lit de hauteur Z s'écrit, en régime permanent:

$$0 = \epsilon \left( -\frac{\Delta p}{Z} - \rho_c g \right) - F_{sf} \qquad (4.4)$$
$$0 = (1 - \epsilon) \left( -\frac{\Delta p}{Z} - \rho_d g \right) + F_{sf} \quad (4.5)$$

respectivement pour les phases fluide et solide. $F_{sf}$ est la force de frottement par unité de volume du lit, c'est le terme d'échange entre les 2 phases.

En éliminant $F_{sf}$ des Eq. (4.4) et (4.5) et après réarrangement on obtient :

$$\Delta P_f = (1 - \epsilon)(\rho_d - \rho_c)gZ \quad (4.6)$$

avec $\Delta P_f = \Delta p + \rho_c g Z$.

Au seuil de fluidisation, la perte de pression motrice subie par le fluide est égale au poids apparent du lit :

$$\frac{\Delta P_f}{Z_{mf}} = (1 - \epsilon)(\rho_d - \rho_c)g \quad (4.7)$$

### Exercice 4.2

En considérant que l'écoulement du fluide obéit à la loi de Kozeny-Carman (régime laminaire), montrez que le seuil de fluidisation d'un lit de petites particules sphériques de diamètre d s'exprime sous la forme :

$$u_{mf} = Cte \times \frac{g(\rho_d - \rho_c)}{\mu_c} d^2 \quad (4.8)$$

Comparez cette valeur à la vitesse de fluidisation des particules isolées. Commentez.

Diverses corrélations existent pour estimer la valeur de la constante, parmi lesquelles la relation de Leva pour laquelle : $Cte = 7.10^{-4} Rep$

Tout comme l'étude des écoulements en milieux, la dynamique des lits fluidisés dépasse le cadre de ce cours introductif, mais de nombreux ouvrages peuvent être consultés pour en savoir plus, parmi lesquels celui de Kunii and Levenspiel (2013).
# 5 Conclusion

A travers ce cours introductif on a pu souligner la diversité des systèmes polyphasiques et leur omniprésence dans de nombreuses applications industrielles.

La compréhension de ces problèmes multiphysiques nécessitent de croiser des connaissances en mécaniques de fluides, en thermodynamique, en physico-chimie, etc.

Il en résulte des équations généralement très complexes, nécessitant une résolution numérique, elle-même difficile à mettre en place compte tenu des échelles, parfois très petites, des phénomènes physiques impliqués.

Aussi, la modélisation des écoulements polyphasiques demeure très empirique (en témoignent les quelques corrélations qui ont émaillé ce poly) et fait largement appel à l'analyse dimensionnelle.

Le lecteur désireux d'en savoir plus pourra se référer aux différents ouvrages cités, et en particulier au "Multiphase flow handbook" de Michaelides et al. (2016).
Références

Clift, R., J. Grace, and M. E. Weber (1978). *Bubbles, Drops and Particles*. Academic Press, New York.

Crowe, C. T., J. D. Schwarzkopf, M. Sommerfeld, and Y. Tsuji (2012). *Multiphase Flows with Droplets and Particles*. CRC Press.

Darcy, H. (1830). *Les fontaiens publiques de la ville de Dijon*.

Deen, N. and J. Kuipers (2014). Direct numerical simulation of mass, momentum and heat transfer in dense fluid-particle systems. *Current Opinion in Chemical Engineering* 5, 84–89.

Delhaye, J. (1984). *La Houille Blanche 3-4*, 179-192.

Flemmer, R. and C. Banks (1986). On the drag coefficient of a sphere. *Powder Technology* 48(3), 217-221.

Kaviany, M. (1995). *Principles of Heat Transfer in Porous Media*. Springers.

Kunii, D. and O. Levenspiel (2013). *Fluidization engineering, 2nd Ed*. Elsevier.

Lockhart, R. and R. Martinelli (1949). Proposed correlation of data for isothermal two-phase, two-component flow in pipes. *Chemical Engineering Progress* 45(1), 38–48.

Marchisio, D. and R. Fox (2013). *Computational Models for Polydisperse Particulate and Multiphase Systems*. University Press, Cambridge.

Mei, R. and J. Klausner (1992). Unsteady force on a spherical bubble at finite reynolds number with small fluctuations in the free-stream velocity. *Physics of Fluid A* 4(1), 63–70.

Michaelides, E., C. T. Crowe, and J. D. Schwarzkopf (2016). *Multiphase flow handbook*. CRC Press.

Midoux, N. (1988). *Mécanique et rhéologie des fluides en génie chimique*. Tec et Doc Lavoisier.

Perry, R. and D. Green (1997). *Perry's Chemical Engineers' Handbook, 7th Ed*. McGraw-Hill.

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