# Développement d'une loi de comportement pour la fatigue et l'auto-échauffement d'un thermoplastique copolyester-ether

Pierre Robard, Laurent Gornet, Gilles Marckmann, Jean-Charles Guldner, Frederic Maitay, Patrick Rozycki

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Pierre Robard, Laurent Gornet, Gilles Marckmann, Jean-Charles Guldner, Frederic Maitay, et al. Développement d'une loi de comportement pour la fatigue et l'auto-échauffement d'un thermoplastique copolyester-ether. Colloque national MECAMAT Aussois “Matériaux Numériques”, Jun 2018, Paris, France. hal-04943005

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Submitted on 12 Feb 2025

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# DEVELOPPEMENT D'UNE LOI DE COMPORTEMENT POUR LA FATIGUE ET L'AUTO-ECHAUFFEMENT D'UN THERMOPLASTIQUE COPOLYESTER-ETHER

Pierre ROBARD<sup>a</sup>, Laurent GORNET<sup>b</sup>, Gilles MARCKMANN<sup>b</sup>, Jean-Charles GULDNER<sup>c</sup>, Frederic MAITAY<sup>c</sup>, Patrick ROZYCKI<sup>b</sup>

<sup>a</sup> Trelleborg Boots, Trelleborg Group, pierre.robard@trelleborg.com;

<sup>b</sup>GeM, UMR CNRS 6183, Ecole Centrale Nantes, France, laurent.gornet@ec-nantes.fr, gilles.marckmann@ec-nantes.fr, patrick.rozycki@ec-nantes.fr;

<sup>c</sup> Trelleborg Boots, Trelleborg Group, Jean-Charles.Guldner@trelleborg.com; Frederic.Maitay@trelleborg.com

**Mots-clefs** : Fatigue, loi de comportement, hyperélasticité, plasticité, viscosité, endommagement, auto-échauffement, thermoplastique

## 1 Introduction

Le présent travail a pour application les joints de cardans (autrement nommés CVJ pour "Constant Velocity Joint", représentés figure 1), produits par l'entreprise Trelleborg Boots et composants de la chaîne de transmission des automobiles. Durant leur vie, ce type de joint est soumis à de fortes contraintes d'environnement et d'usage telles que :

- l'auto-contact entre les spires;

- une large gamme de températures d'utilisation;

- la présence de graisse;

- ...

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Présentation de soufflets et positionnement dans la chaîne de transmission/direction</figcaption></figure>

Dans le but d'augmenter leur durée de vie, Trelleborg Boots recherche les matériaux les plus adaptés à ces contraintes dont notamment, le Copolyester-Ether thermoplastique (TPE-E) qui sera au centre de cette étude. L'objectif final est de déterminer un critère de fatigue permettant d'apprécier la durée de vie des pièces en conditions d'utilisation. Ces travaux sont structurés en deux grandes étapes :

- Dans un premier temps un modèle adaptée au matériau est construit avec l'objectif de prévoir l'état de contrainte dans la pièce afin d'utiliser cette information pour un critère de fatigue. Cette loi sera implémentée dans un code élément finis commercial. Elle sera par la suite étendue et servira d'aide à l'analyse des essais.

- Dans un second temps, une limite de fatigue sera déterminée à la fois par l'analyse de courbes de Wöhler (méthode classiquement utilisée) mais aussi à l'aide d'une méthode telle que l'auto-échauffement, déjà utilisée pour les métaux [9] et les composites [12]. Cette méthode est plus rapide tant en mise en œuvre qu'en temps. Le modèle précédente sera utilisée pour effectuer une approche numérique de l'auto-échauffement.

Ce résumé portera uniquement sur les travaux de la première année de thèse, à savoir l'élaboration d'une loi de comportement.
# 2 Analyse expérimentale du comportement du matériau

## 2.1 Introduction

Les polymères constituent une classe de matériaux ayant en commun d'être constitués par la répétition de nombreuses sous-unités ou monomères. Cette large définition rassemble un grand nombre de matériaux allant des caoutchoucs naturels aux matières plastiques. Parmi les catégories de polymères, on peut citer les élastomères (déformables de manière réversible), les thermodurcissables et les thermoplastiques ou TPE (devenant malléables quand ils sont chauffés). Cette dernière catégorie se divise en deux familles : les mélanges mécaniques de polymère thermoplastique et d'élastomère, et les copolymères à bloc. Le matériau de cette étude appartient à cette dernière catégorie.

Les copolymères à bloc sont constitués par la succession de segments rigides et de segments souples qui peuvent être choisis suivant les propriétés attendues. Le matériau de Trelleborg est donc composé de :

- polyester : phase rigide, résistante à la graisse et à la température;

- polyether : phase souple appréciée pour sa flexibilité.

La partie suivante permettra de mettre en lumière le comportement de ce matériau lorsqu'il est soumis à des sollicitations mécaniques.

## 2.2 Comportement du matériau

Un essai de traction cyclique est effectué sur éprouvette de type haltère à l'aide d'une machine Instron, la déformation est mesurée à l'aide d'un extensomètre grandes déformations et les efforts sont mesurés à l'aide d'une cellule de force 1kN. L'éprouvette est de section $2 \text{ mm} \times 4 \text{ mm} = 8 \text{ mm}^2$ et de longueur utile $40 \text{ mm}$. L'essai est réalisé à température ambiante et piloté en déplacement. La vitesse de l'essai est fixée à $20 \text{ mm/mn}$ (vitesse machine). En condition réelle, les joints de cardan subissant des déformations maximales de 30%, nous ne nous intéresserons pas aux résultats au delà de cette limite. La figure 2 représente la courbe de la réponse en contrainte (normée pour des raisons de confidentialité) en fonction de l'élongation.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Essai de traction avec decharges</figcaption></figure>

Un second essai est effectué avec le même matériel que le précédent. L'éprouvette est de type haltère, de section $2 \text{ mm} \times 8 \text{ mm} = 16 \text{ mm}^2$ et de longueur utile $40 \text{ mm}$. L'essai est réalisé à température ambiante et piloté en déplacement. Lorsque ma machine est en mouvement, la vitesse de déplacement est constante et fixée pour cet essai. L'essai est caractérisé par une succession de cycle déplacement-arrêt (3 minute). Avant d'entammer la decharge, le temps d'arrêt est de 15 minutes. La figure 3 représente la courbe de réponse contrainte-elongation du matériau pour différentes vitesses de déformation.

### 2.2.1 Analyse

A l'étude de la figure 2, on peut tirer les conclusions suivantes :

- Les déformations résiduelles sont caractéristiques d'une déformation plastique de la pièce ;
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Réponse contrainte-elongation du matériau pour différentes vitesses de déformation</figcaption></figure>

- Le comportement viscoélastique est marqué lors des décharges-recharges, et est similaire à celui des caoutchoucs ;

- La perte de rigidité d'un cycle à l'autre caractéristise la présence d'endommagement. L'étude de la figure 3 montre une dépendance de la réponse à la vitesse de déformation.

## 2.3 Modélisation du comportement

### 2.3.1 Introduction

Les polymères se décomposent en plusieurs branches parmi lesquelles se distinguent les caoutchoucs et les thermoplastiques. Les caoutchoucs sont étudiés depuis de nombreuses années et grand nombre de lois ont étés proposés pour modéliser leur comportement ([5][6] à titre d'exemples). Ces modèles ont étés complétés afin de rendre compte de divers aspects du comportement des caoutchoucs tels que l'effet Mullins [7], et la dépendance au temps [8], ou plus récemment la crystallisation sous contrainte. Ces mécanismes se retrouvent aussi pour certains polymères non caoutchouteux et les formalismes peuvent donc s'adapter. Ainsi J. S. Bergström et M. C. Boyce proposent un premier modèle pour les polymères [4]. Ce modèle sera repris par un grand nombre d'auteurs et complété de la plasticité [3] avec le formalisme théorique de J.C. Simo [16][15] ou de Mandel [10].

Le matériau étudié étant un polymère thermoplastique, il entre dans le cadre des modèles de type Bergström-Boyce étendu en tant que polymère. Il n'existe pas, à notre connaissance, de bibliographie traitant spécifiquement la modélisation des TPE-E. Les travaux de G. Ayoub [2] sur les TPE-S correspondent à ce qu'il y a de plus proche de notre cas. Toutefois, les lois qu'il propose nécessitent un trop grand nombre de paramètres pour s'accorder avec les besoins de l'industriel.

Au regard de ces considérations, un premier modèle hyper-élastoplastique endommageable est proposé et sera décrit dans la suite.

### 2.3.2 Premier modèle

Un premier modèle simplifié hyperélastoplastique endommageable est proposé afin de représenter le comportement du matériau à température et vitesse de déformation constante. Les boucles d'hystérésis seront modélisées par leur courbe moyenne à l'aide de loi hyperélastique.

Etant donné la plage des déformations étudiée (0-30%), le formalisme des grandes déformations sera utilisé. Communément à ce qui est fait pour les polymères, l'hypothèse d'un matériau incompressible est faite.

Afin de prendre en compte la plasticité, on considère le cas classique de la décomposition multiplicative du gradient de la transformation $\bar{F}$ en une partie élastique $\bar{F}_e$ et une partie plastique $\bar{F}_p$. Il vient : $\bar{F} = \bar{F}_e \cdot \bar{F}_p$.
La hyperélastique est modélisée par la fonction énergie libre de Gent [5], dont la définition est rappelée par l'équation 1. Ce modèle non-linéaire simple écrit pour les caoutchoucs permet de représenter un point d'inflexion.
$$ \psi = C_0 \ln \left( 1 - \frac{I_1 - 3}{J_m} \right) \qquad (1) $$

$$ \text{avec } I_1 = \text{trace}(\bar{C}_e) = \text{trace}(\bar{t}\bar{F}_e \cdot \bar{F}_e) $$

L'endommagement est introduit en reprenant l'approche de Gornet & al. [4], les constantes de l'équation 1 sont transformées en des fonctions d'une variable $I_{1-max}$ dont l'évolution est pilotée par le critère d'endommagement $f_d$ donné par l'équation 2.

$$ f_d = I_1(t) - \max_t [I_1(t)] = I_1(t) - I_{1-max} \qquad (2) $$

Le potentiel décrit dans l'équation 1 devient donc :

$$ \psi = C_0(I_{1-max}) \ln \left( 1 - \frac{I_1 - 3}{J_m(I_{1-max})} \right) \qquad (3) $$

Andrieux & al. [1] ont montré que la présence d'endommagement introduit des variations de volume du matériau, allant à l'encontre de l'hypothèse d'incompressibilité précédente. Le matériau est néanmoins toujours considéré comme incompressible dans la suite de l'étude.

Le formalisme de plasticité utilisé par J.C. Simo [16] est adopté. Le critère de plasticité isotrope sst donc défini par l'équation 4, où $\sigma$ représente le tenseur de Cauchy, R la fonction d'écrouissage isotrope, $\bar{\bar{1}}$ le tenseur identité et pour toute matrice carrée A : $dev(A) = [A - 1/3 trace(A)\bar{\bar{1}}]$ le déviateur, $||A|| = \sqrt{trace(tA \cdot A)}$ la norme.

$$ f_p = ||dev(\sigma)|| - R(r) \qquad (4) $$

Les lois d'évolution sont définies à l'aide du principe de dissipation maximum, grâce à deux facteurs $\dot{\lambda}_p$ (pour la plasticité) et $\dot{\lambda}_d$ (pour l'endommagement). Il vient :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial^2 \psi}{\partial C \partial C_p} \dot{C}_p = - \dot{\lambda}_p \frac{\partial f_p}{\partial C} \\ \dot{r} = \dot{\lambda}_p \\ \dot{I}_{1-max} = \dot{\lambda}_d \end{array} \right. \qquad (5) $$

Le modèle est déterminé entièrement par ses variables externes $\bar{\bar{F}}$ (ou $C = {}^t\bar{\bar{F}} \cdot \bar{\bar{F}}$) correspondant à la donnée d'entrée), $\sigma$ (résultat) et ses variables internes $r, C_p, I_{1-max}$. Le système d'équation 5, résolu par un schéma implicite à chaque incrément de déplacement (voir [16]), permet leur actualisation au pas de temps en cours.

La détermination des fonctions $R(r), C_0(I_{1-max})$ et $J_m(I_{1-max})$ est faite par la méthode suivante :

- Etant donné que lors de chaque phase décharge-recharge, $\dot{I}_{1-max}$ est constant, on identifie $C_0(I_{1-max})$ et $J_m(I_{1-max})$.

- De la même manière, pour chaque phase décharge-charge $\dot{C}_p = 0$ (équivalent à $\dot{\varepsilon}_p = 0$ en grandes déformation), on identifie $R(r)$.

- Ces ensembles de points sont interpolés par des fonctions splines à n pôles. La minimisation de l'écart entre les courbes obtenues et des courbes représentées par des splines à $n_2$ pôles (avec $n_2 < n$) permet d'obtenir des lois d'évolution monotones.

Le modèle est identifié. Le résultat de la simulation du premier essai est superposé aux mesures expérimentales sur la figure 4.

Dans le cadre fixé par les hypothèses (déformations incompressibles, vitesse de chargement et température constantes), ce premier modèle permet :

- de représenter fidèlement l'enveloppe de chargement

- de retrouver les valeurs d'élongation résiduelles de l'éprouvette

- de retrouver le point d'inflexion des courbes théoriques

- de reproduire l'endommagement

Ce modèle reproduit avec une bonne précision la réponse expérimentale du matériau, aux hypothèses près.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Comparaison Essai-simulation pour un essai de traction cyclique</figcaption></figure>

## 3 Conclusion et perspectives

Cette étude propose un premier formalisme de loi pour les matériaux de type TPE-E. Sous les hypothèses décrites plus haut, celui-ci permet de reproduire fidèlement la réponse expérimentale, il est donc pleinement satisfaisant en ce point.

Ce premier modèle est toutefois incomplet car il ne représente ni les boucles d'hystérésis ni la dépendance de la réponse à la vitesse de sollicitation.

Un second modèle, basé sur le précédent, est donc construit en ajoutant la dépendance à la vitesse. De plus :

- L'écriture dans le cadre thermodynamique se fera par la définition d'un potentiel de dissipation basé sur des variables internes tel que fait par Sidoroff [14] ou plus récemment S.Méo et al. [11] ;

- Le modèle de Gent est remplacé par le modèle GDM [7] (endommageable avec l'endommagement piloté par le maximum du premier invariant de déformation) afin d'utiliser un modèle plus respectueux de la triaxialité par la prise en compte de la dépendance du comportement au second invariant du tenseur des déformations ;

- la composante plastique est remplacée par de la viscoplasticité telle que faite par A. Shutov [13]

L'ensemble du modèle sera développé en approche Lagrangienne afin de simplifier les questions liées à l'objectivité des tenseurs utilisés.

Les difficultés d'un tel modèle résidant à la fois dans son formalisme, la gestion de l'incompressibilité, l'intégration temporelle et l'identification des paramètres, ces notions sont le centre du travail actuel.

A long terme, l'influence de la température sera prise en compte. Un couplage faible sera d'abord implémenté (influence de la thermique sur la mécanique) et ensuite étendu à un couplage fort (influence mutuelle de la thermique et la mécanique).

Une autre partie de l'étude concernera la fatigue. Ce modèle complet sera utile pour l'analyser des réponse du matériau lors des essais d'auto-échauffement. En effet l'analyse des sources de chaleur permettra l'isolement des termes issus de l'endommagement en fatigue. Il ne servira donc pas directement dans le calcul du critère de fatigue mais à son élaboration.
Références

[1] F. Andrieux, K. Saanouni, and F. Sidoroff. Sur les solides hyperplastiques à compressibilité induite par l'endommagement. *Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series IIB - Mechanics*, 324 :281-288, 1997.

[2] G. Ayoub. *Large deformation behavior and fatigue of polymers : constitutive modeling and fatigue life prediction*. PhD thesis, 2010.

[3] G. Ayoub, F. Zaïri, M. Naït-Abdelaziz, and J. M. Gloaguen. Modelling large deformation behaviour under loading-unloading of semicrystalline polymers : Application to a high density polyethylene. *International Journal of Plasticity*, 26(3) :329-347, 2010.

[4] J. S. Bergström, S. M. Kurtz, C. M. Rimnac, and A. A. Edidin. Constitutive modeling of ultra-high molecular weight polyethylene under large-deformation and cyclic loading conditions. *Biomaterials*, 23(11) :2329-2343, 2002.

[5] A. Gent. gent1996.pdf. *Rubber Chemistry and Technology*, 69(1) :59-61, 1996.

[6] L. Gornet, G. Marckmann, R. Desmorat, and P. Charrier. A new isotropic hyperelastic strain energy function in terms of invariants and its derivation into a pseudo-elastic model for Mullins effect : Application to finite element analysis. *ResearchGate*, (May) :265-271, 2012.

[7] L. Gornet, G. Marckmann, R. Desmorat, and P. Charrier. Unified model for Mullins effect and high cycle fatigue life prediction of rubber materials. *Constitutive Models for..., (2), 2013.

[8] A. R. Johnson, C. J. Quigley, and C. E. Freese. A viscohyperelastic finite element model for rubber. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 127(1-4) :163-180, 1995.

[9] G. La Rosa and A. Risitano. Thermographic methodology for rapid determination of the fatigue limit of materials and mechanical components. *International Journal of Fatigue*, 22(1) :65-73, 2000.

[10] J. Mandel. Equations constitutives et directeurs dans les milieux plastiques et viscoplastiques. *International Journal of Solids and Structures*, 9(6) :725-740, 1973.

[11] S. Meo, A. Boukamel, and O. Debordes. Analysis of a thermoviscoelastic model in large strain. *Computers and Structures*, 80(27-30) :2085-2098, 2002.

[12] C. Peyrac, T. Jollivet, N. Leray, F. Lefebvre, O. Westphal, and L. Gornet. Self-heating Method for Fatigue Limit Determination on Thermoplastic Composites. *Procedia Engineering*, 133 :129-135, 2015.

[13] A. V. Shutov, R. Landgraf, and J. Ihlemann. An explicit solution for implicit time stepping in multiplicative finite strain viscoelasticity. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 265 :213-225, 2013.

[14] F. Sidoroff and G. D. Collongue. Internal variables and phenomenological models for metals plasticity To cite this version :. 1988.

[15] J. Simo. A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum dissipation and the multiplicative decomposition : Part II. *Computational aspects. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 66 :1-31, 1988.

[16] J. Simo. A Framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation and the multiplicative decomposition : part I. *continuum formulation*. 66 :199-219, 1988.