# L'indépendance dans les distributions extrêmales bivariées

J. Tiago de Oliveira

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## To cite this version:

J. Tiago de Oliveira. L'indépendance dans les distributions extrêmales bivariées. Annales de l'ISUP, 1964, XIII (3), pp.137-141. hal-04085194

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Submitted on 28 Apr 2023

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# L'INDÉPENDANCE DANS LES DISTRIBUTIONS
## EXTRÊMALES BIVARIÉES

J. TIAGO DE OLIVEIRA

Le but de cette note est de présenter quelques caractérisations de l'indépendance des couples extrêmaux, résultats qui sont bien différents de ses analogues pour les distributions binormales ce qui souligne, encore une fois, les différences profondes entre les distributions extrêmales et les normales.

Des travaux récents [2], [3], [9], [6] et [7] ont donné diverses caractérisations équivalentes des distributions asymptotiques des couples extrêmaux des échantillons bivariés. Par des transformations simples [4] nous pouvons toujours supposer que les marges ont des distributions extrêmales réduites :

$$ \Phi(x) = \exp(-e^{-x}) \quad \text{et} \quad \Phi(y) = \exp(-e^{-y}) $$

de moyenne $\gamma$ (la constante de Euler 0,577...) et variance $\pi^2/6$;
dans ce cas les distributions extrêmales bivariées avec les marges réduites sont de la forme

$$ \Phi(x,y) = [\Phi(x) \ \Phi(y)]^{k(y-x)} = \exp \left[ -(e^{-x} + e^{-y}) k(y-x) \right] $$

où la fonction de dépendance $k(w)$, dans le cas absolument continu (le seul que nous supposerons ici) doit vérifier les relations

$$ k(-\infty) = 1 \ ; \ k(+\infty) = 1 $$

$$ (1 + e^{-w}) k''(w) + (1 - e^{-w}) k'(w) \geq 0 $$

qui simplifient celles données antérieurement (pour les détails voir [8]) ; $k(w) = 1$ est le cas de l'indépendance.

Montrons, maintenant, le résultat suivant :

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Si $(X, Y)$ est un couple extrême, la distribution conditionnelle de $Y$ sur $X$ est extrême si et seulement si $(X, Y)$ est un couple extrême indépendant.

Il est évident que si $(X, Y)$ est un couple extrême indépendant, la distribution conditionnelle de $Y/X$ est extrême.

Inversement, cherchons la condition pour que la distribution conditionnelle $G(y|x)$ soit extrême, c'est-à-dire, pour que

$$G(y|x) = \Phi \left( \frac{y - v(x)}{\tau(x)} \right) \quad (0 < \tau(x) < +\infty)$$

on supposera, pour plus de simplicité des calculs, que les marges sont réduites.

De l'expression de $\Phi(x,y)$ on obtient [1]

$$G(y|x) = \frac{\Phi(x,y) \{k(y-x) + (1 + e^{-(y-x)\tau}) k'(y-x)\}}{\Phi(x)}$$

La relation

$$G(y|x) = \Phi \left( \frac{y - v(x)}{\tau(x)} \right)$$

prend alors la forme

$$-(e^{-x} + e^{-y}) k(y-x) + \log \{k(y-x) + (1 + e^{-(y-x)\tau}) k'(y-x)\} + e^{-x} = -e^{-\frac{y-v(x)}{\tau(x)}}$$

Prenons les valeurs $x_1$ et $x_2$ tels que $\tau(x_1)$, $\tau(x_2) > 0$. En faisant, successivement $y = w + x_1$, $x = x_1$ et $y = w + x_2$, $x = x_2$ et en soustrayant on obtient, après des calculs simples

$$(1 + e^{-w}) k(w) = \eta + \alpha e^{-\beta w} + \alpha' e^{-\beta' w}$$

avec $0 < \beta, \beta' < +\infty$ car $\beta = \tau(x_1)^{-1}, \beta' = \tau(x_2)^{-1}$.

De la condition $k(+\infty) = 1$ on obtient, immédiatement, $\eta = 1$.

Supposons, maintenant, $\beta = \beta'$. On aurait

$$k(w) = \frac{1 + \alpha e^{-\beta w}}{1 + e^{-w}}$$
et la condition $k(-\infty) = 1$ entraîne donc $\alpha = \beta = 1$, c'est-à-dire l'indépendance.

Supposons, maintenant, $\beta < \beta'$. On peut écrire

$$k(w) = \frac{1 + \alpha e^{-\beta w} + \alpha' e^{-\beta' w}}{1 + e^{-w}}$$

et la condition $k(-\infty) = 1$ entraîne $\alpha' = \beta' = 1$. $k(w)$ sera donc de la forme

$$k(w) = 1 + \alpha \frac{e^{-\beta w}}{1+e^{-w}} \quad \text{avec} \quad 0 < \beta < 1$$

Des conséquences immédiates $k(w) \le 1$ et $((1 + e^{-w}) k(w))' < 0$ des conditions sur $k(w)$, on obtient facilement $\alpha = 0$, d'où $k(w) = 1$, ce qui montre finalement le théorème.

Dans [8] nous avons montré que le coefficient de corrélation entre X et Y à l'expression

$$\rho = \frac{-6}{\pi^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \log k(w) dw$$

et, donc, la condition $\rho = 0$ est équivalente à l'hypothèse de l'indépendance $k(w) = 1$. Nous allons utiliser ce fait pour obtenir des conditions d'indépendance du couple extrêmal (X, Y).

Le premier résultat est lié avec des théorèmes de [5].

Le couple extrêmal (X, Y) est indépendant si et seulement si les couples $(X_\theta, Y_\theta)$ avec

$$X_{\theta} = \cos \theta X + \sin \theta Y + \alpha$$

$$Y_{\theta} = -\sin \theta X + \cos \theta Y + \beta$$

ont des variances égales pour des rotations non-triviales

$$(\theta \neq 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2).$$

Si (X, Y) est indépendant, $X_\theta$ et $Y_\theta$ ont des variances égales. L'inverse est aussi immédiat, car on a

$$\text{Var}(X_{\theta}) = \frac{\pi^2}{6}(2 + \rho \sin 2\theta) \quad \text{et} \quad \text{Var}(Y_{\theta}) = \frac{\pi^2}{6}(2 - \rho \sin 2\theta)$$

Nous dirons qu'une transformation linéaire $(X_o, Y_o) \rightarrow (X, Y)$ est triviale si on a $X = \alpha + aX_o$, $Y = \beta + bY_o$ avec $a, b \neq 0$.
Montrons donc que :

Un couple extrêmal (X, Y) est obtenu par une transformation linéaire d'un couple extrêmal indépendant $(X_o, Y_o)$ si et seulement si la transformation linéaire est triviale et le couple extrêmal est donc indépendant.

Si la transformation linéaire est triviale le résultat est immédiat. Prouvons la réciproque. Nous pouvons, d'abord, supposer que $(X_o, Y_o)$ et $(X, Y)$ ont des marges réduites, car d'autre façon, on aurait à faire une transformation triviale en plus.

Nous avons donc

$$X = \alpha + a' X_o + a'' Y_o$$

$$Y = \beta + b' X_o + b'' Y_o$$

et, en prenant des valeurs moyennes on peut éliminer $\alpha$ et $\beta$, obtenant donc

$$X - \gamma = a' (X_o - \gamma) + a'' (Y_o - \gamma)$$

$$Y - \gamma = b' (X_o - \gamma) + b'' (Y_o - \gamma)$$

Le calcul du second et quatrième moments centraux de $X$ donne $(\beta_2 = 5,4$ étant le rapport $\mu_4/\mu_2^2$ pour la distribution $\Phi(x))$

$$1 = a'^2 + a''^2$$

$$\beta_2 = \beta_2 a'^4 + 6 a'^2 a''^2 + \beta_2 a''^4$$

ce qui entraîne la relation

$$(6 - 2\beta_2) a'^2 a''^2 = 0$$

Prenons $a'' = 0$ (pour que $X$ s'exprime en $X_o$). On obtient $a' = \pm 1$ ; le calcul du troisième moment central de $X$ montre qu'on doit avoir $a' = 1$, c'est-à-dire

$$X = X_o$$

et, analoguement,

$$Y = Y_o$$
La transformation linéaire est donc triviale et le couple (X, Y) indépendant.

Remarquons, aussi, qu'on a montré que :

si $Z = \alpha + a'X_o + a''Y_o$ est une combinaison linéaire d'un couple extrê-
mal indépendant (X_o, Y_o) et Z est extrême on doit avoir $a' = 0$
ou $a'' = 0$.

REFERENCES

[1] DUGUÉ D. : *Traité de Statistique théorique et appliquée*. Paris,
Masson (1958).

[2] FINKELSTEIN B. V. : Limiting distributions of extreme values of the variational series of a two dimensional random value, *Dokl. Akad. Nauk. SSSR* **91** (1953), 209-211 (version anglaise du russe).

[3] GEFFROY J. : Contributions à la Théorie des Valeurs Extrêmes, *Publ. Inst. Statist. Univ. Paris* **7** (1958), 37-121 et **8** (1959), 123-184.

[4] GUMBEL E. J. : *Statistics of Extremes*. New-York, Columbia Univ. Press (1958).

[5] KONIJN H. S. : A class of two-dimensional random variables and distributions functions, *Sankhyā* **18** (1957), 167-172.

[6] TIAGO DE OLIVEIRA J. : Extremal distributions, *Univ. Lisboa Revista Fac. Ci. A.* **7** (1959), 219-227.

[7] TIAGO DE OLIVEIRA J. : La représentation des distributions extrêmales bivariées, *Bull. Inst. Internat. Statist. (Actes de la 33e Session, tome 39, 2e livr.)* [1961, Paris], 477-480.

[8] TIAGO DE OLIVEIRA J. : Structure of bivariate extremal dis-
tributions. A publier.

[9] SIBUYA M. : Bivariate extremal statistics, I, *Ann. Inst. Statist. Math.* **11** (1960), 195-210.

Faculdade de Ciências
Instituto de Matemática
Lisboa, Portugal

Reçu le 29 février 1964