LIMING WU

Quelques problèmes associés au processus de
Donsker-Varadhan

Annales mathématiques Blaise Pascal, tome 3, n° 1 (1996), p. 189-210

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# QUELQUES PROBLÈMES ASSOCIÉS AU PROCESSUS DE DONSKER-VARADHAN

WU Liming

à la mémoire d' Albert Badrikian

**Resumé** : Pour un processus de Markov d'espace d'états E et une probabilité fixée v sur E, on définit le processus de Donsker-Varadhan comme celui qui réalise le minimum de l'entropie du niveau-3 de Donsker-Varadhan ayant la marginale v. On étudie l'ergodicité, la dependance en v et la construction de ce processus. En particulier on étend les travaux de Meyer-Zheng et de Takeda sur la construction du processus de Nelson réversible au cas de sauts.

**Mots clés** : entropie et processus de Donsker-Varadhan, τ-topologie, forme de Dirichlet
**1991 AMS Subject Classification:** 60F10, 60J60.

La motivation vient de mon ami Albert Badrikian, qui proposait d'étudier la mécanique de Nelson, les travaux récents de Zambrini [Z1, 1986; Z2, 1987] sur la mécanique quantique euclidienne, et ceux de Nagasawa [Na, 1993] sur le processus de Schrödinger. J'ai été amené ainsi dans ce domaine, en essayant de comprendre ces objets par des approches entropiques dans les grande déviations.

## §0. Introduction

Le role de l'entropie dans la mécanique statistique est bien connu ([Ru]), mais peut-être moins pour la mécanique quantique. A l'origine des travaux de Föllmer [F, 1986] et de Dawson & Gärtner [DG, 1987], Cattiaux & Léonard [CL, 1994] démontrent l'existence de la diffusion de Nelson en résolvant un problème variationnel d'entropie associé. Comparée avec la première démonstration de Carlen [C, 1984] et celle de Zheng [Zh. 1985], leur approche exhibe plus d'informations physiques et semble donc plus naturelle. Les travaux de Nagasawa développent aussi cette approche entropique.

D'autre part, à la suite des travaux de pionniers de Donsker & Varadhan [DV, I-IV, 1975, 1976, 1983] sur les grandes déviations de processus de Markov (voir [DS]), Takeda [T, 1990], Roelly et Zessin [RZ, 1991] et l'auteur [W3, 1993] trouvent naturellement par
l'approche d'entropie le processus réversible de Nelson, construit pour la première fois par Meyer et Zheng [MZ, 1984] dans le cas du mouvement brownien. Ce papier suit surtout cette direction.

Expliquons brièvement les travaux de Meyer-Zheng [MZ]. Soit $0 \le \phi \in H^1(\mathbb{R}^d)$ tel que $\langle\phi,\phi\rangle_{dx} = 1$. On considère l'é.d.s. dans $\mathbb{R}^d$,

$$ (0.1) \qquad dX_t = dW_t + \nabla\phi/\phi (X_t) dt, $$

où $(W_t)$ est le MB standard dans $\mathbb{R}^d$. C'est la diffusion symétrique de Nelson associée à la fonction d'onde $\phi$. Fixons une version quasi-continue $\tilde{\phi}$ de $\phi$ (par rapport au MB). Une solution faible de loi initiale $v=\phi^2$dx de (0.1) sera donnée par la formule de Girsanov, $(\mathbb{P}_v)$ ci-dessous est la loi du MB de loi initiale $v)$

$$ (0.2) \qquad \begin{aligned} \mathbb{Q}^V|_{\mathcal{F}_t} &= 1_{\{t<\sigma\}} \exp\left(\int_0^t \frac{\nabla\phi}{\tilde{\phi}}(X_s) dW_s - \frac{1}{2} \int_0^t \frac{|\nabla\phi|^2}{\tilde{\phi}^2}(X_s) ds\right) d\mathbb{P}_v \\ &:= M_t d\mathbb{P}_v, \end{aligned} $$

(où $\sigma = \inf\{t \ge 0 : \tilde{\phi}(X_t) = 0\}$ est le temps d'atteinte de $[\tilde{\phi}=0]$), à condition que l'on puisse vérifier que

$(M_t)$ étant une martingale locale sur $[0,\sigma)$, est une vraie martingale.

Pour ceci, on est ramené à montrer

(i) l'intégrabilité uniforme de $(M_t)_{t \le 1}$ ; (ii) $\mathbb{Q}^V(\sigma=+\infty) = 1$.

Meyer et Zheng [MZ] résolvent ces deux points difficiles très ingénieusement, et leurs idées et techniques sont dévélappées dans la théorie des formes de Dirichlet dans [T] et [FOT] etc. On va voir maintenant le lien avec la théorie de grande déviations de Donsker-Varadhan [DV]. Pour $\phi \in C_b^2(\mathbb{R}^d)$ et $\phi>0$, la formule d'Itô permet de réeccrire (0.2) comme.

$$ (0.3) \qquad \mathbb{Q}^V|_{\mathcal{F}_t} = \frac{\phi(X_t)}{\phi(X_0)} \exp \left[ \int_0^t -\frac{\Delta\phi}{2\phi}(X_s) ds \right] d\mathbb{P}_v $$

qui est exactement d'après [DV], [DS] la solution du problème variationnel

$$ (0.4) \qquad \inf\{H(Q) \mid Q(X_0 \in \cdot) = v\} = H(\mathbb{Q}^V) = J(v), $$

où J et H sont respectivement les entropies de niveau-2 et -3 de Donsker-Varadhan.

Comme les entropies de Donsker-Varadhan sont bien définies pour tous les processus de Markov et qu'elles ont des significations physiques importantes, ce point de vue nous ramène à étudier (0.4) dans le cadre général où le MB est remplacé par un processus de Markov quelconque.
Précisons l'organisation de cet article: Dans le §1, en résolvant (0.4), nous introduisons le processus de Donsker-Varadhan $\mathbb{Q}^V$ associé à une loi marginale $v$ et, présentons les problèmes étudiés dans cette note. On étudie la dependance de $\mathbb{Q}^V$ par rapport à $v$ au §2, et on lie l'ergodicité de $\mathbb{Q}^V$ avec la convexité stricte de l'entropie de Donsker-Varadhan $J$ en $v$ au §3. Dans le cas du temps discret, nous présentons la construction de $\mathbb{Q}^V$ en suivant les travaux fondamentaux de Csiszár ([Cs, 1975]) et Donsker-Varadhan ([DV, 1976]), et nous en déduisons un critère d'ergodicité de $\mathbb{Q}^V$, qui est le résultat principal du §4. Dans le §5, la partie centrale de ce papier, on traite le cas où le processus de base indexé par $\mathbb{R}^+$ est réversible. On donne la construction de $\mathbb{Q}^V$ dans le Théorème 5.1. en généralisant le résultat de Meyer et Zheng [MZ] et celui de Takeda [T] (l'hypothèse de la compacité locale d'espace d'états et la continuité du processus dans [T] est enlevée). Comme conséquence, on arrive à donner un critère de l'ergodicité de $\mathbb{Q}^V$.

## §1. Processus de Donsker-Varadhan et problèmes

**§1.1. Notations.** Considère un processus de Markov canonique à valeurs dans un espace polonais $E$ avec sa tribu borélienne $\mathcal{B} : \mathfrak{A} = (\Omega, (\mathcal{F}_t)_{t \in \mathbb{T}}, \mathcal{F}, (X_t(\omega))_{t \in \mathbb{T}} \subset (\mathbb{P}_{x,x'} \in \mathcal{E}))$. Ici $\Omega = E^{\mathbb{N}}$ si $\mathbb{T}=\mathbb{N}$ (temps discret) et $\Omega = \mathcal{D}(\mathbb{R}^+, E)$ (l'espace des applications càdlàg de $\mathbb{R}^+$ dans $E$) si $\mathbb{T} = \mathbb{R}^+$ (temps continu); $(\mathcal{F}_t)_{t \ge 0}$ est la filtration naturelle borélienne de $\Omega$; $\mathcal{F} = \mathfrak{l}/\mathcal{F}$ est la tribu borélienne de $\Omega$; et $\mathbb{P}_x$ est la loi du processus issu de $x \in E$.

Ses mesures empiriques de niveau-2 (ou marginales) sont

$$ (1.1\text{a}) \quad L_t(\omega) := \frac{1}{t} \sum_{k=0}^{t-1} \delta_{\omega(k)} \quad \text{si } \mathbb{T}=\mathbb{N} \text{ et } 0<t\in\mathbb{N} \text{ ou } := \frac{1}{t} \int_0^t \delta_{\omega(s)} ds \quad \text{si } 0<t\in\mathbb{R}^+, $$

et celles de niveau-3 sont

$$ (1.1\text{b}) \quad R_t(\omega) := \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \delta_{\theta_k \omega} \quad \text{si } \mathbb{T}=\mathbb{N} \text{ et } 0<t\in\mathbb{N} \text{ ou } := \frac{1}{t} \int_0^t \delta_{\theta_s \omega} ds \quad \text{si } 0<t\in\mathbb{T}=\mathbb{R}^+. $$

où $(\theta_t \omega)(s) = \omega(s+t)$ pour tous $s,t \in \mathbb{T}$. Elles sont respectivement des éléments aléatoires dans $M_1(E)$ et $M_1(\Omega)$ (l'espace des probabilités sur $E$ ou sur $\Omega$). $M_1(E)$ (resp. $M_1(\Omega)$) est muni de deux topologies: la topologie de convergence étroite $\sigma(M_1(E))$, $C_b(E))$ (resp. $\sigma(M_1(\Omega), C_b(\Omega)))$ désignée par $\xrightarrow{w}$, et la $\tau$-topologie $\sigma(M_1(E))$, $b\mathcal{B})$ désignée par $\tau$ (resp. la $\tau$-topologie de limite projective $\sigma(M_1(\Omega), U b\mathcal{F}_t)$, désignée par $\tau_p$). Ici $C_b(\cdot)$ (resp. $\in \mathbb{R}$) désigne l'espace des fonctions réelles bornées et continues (resp. $\mathfrak{F}$-mesurable).

L'entropie $J: M_1(E) \to [0, +\infty]$ de Donsker-Varadhan de niveau-2 est
$$
\begin{equation} \tag{1.2a}
\begin{aligned}
J(v) &= \sup_{u \in \mathcal{U}} \int \log \frac{\Phi}{P\Phi} \, dv, \quad \forall v \in M_1(E), \quad \text{si } \mathcal{T}=\mathbb{N} \\
&= \sup_{u \in \mathcal{U}^c} \int -\frac{\mathcal{L}\Phi}{\Phi} \, d\beta, \quad \forall \beta \in M_1(E), \quad \text{si } \mathcal{T}=\mathbb{R}^+,
\end{aligned}
\end{equation}
$$

où $\mathcal{U}:=\{\phi \in b\mathcal{B}; \exists \varepsilon>0 \text{ t.q. } \phi \ge \varepsilon\}$. $P=P_1$, $\mathcal{L}$ est le générateur de $(P_1)_{t \in \mathbb{R}^+}$, et $\mathcal{U}^c$ est l'intersection de $\mathcal{U}$ avec le domaine de $\mathcal{L}$ dans $b\mathcal{B}$.

L'entropie $H: M_1(\Omega) \to [0, +\infty)$ de Donsker-Varadhan de niveau-3 est

$$
\[
(1.2\text{b}) \qquad H(Q) = \begin{cases} \mathbb{E}_{\bar{\mathcal{F}}_0^s} h_{\mathcal{F}_0^s} (\bar{\mathcal{Q}}_{\omega_-} - \mathcal{P}_{\omega_0}(Q)) & \text{si } Q \in M_1^s(\Omega) \\ +\infty & \text{sinon} \end{cases}
\]
$$

où $M_1^s(\Omega) = \{Q \in M_1(\Omega); Q \text{ est stationnaire}\}; \bar{\mathcal{Q}} \text{ est l'unique extension stationnaire de } Q \in M_1^s(\Omega) \text{ à } \bar{\mathcal{\Omega}} \text{ qui est } \mathbb{E}^2 \text{ ou } \mathcal{D}(\mathbb{R}, \mathcal{E}) \text{ suivant } \mathcal{T}=\mathbb{N} \text{ ou } \mathbb{R}^+; \mathcal{F}_t^s=\sigma\{\omega(u); s \le u \le t\} \text{ et } \{\bar{\mathcal{Q}}_{\omega_-}\} \text{ est la famille des lois conditionnelles régulières de } \bar{\mathcal{Q}} \text{ sachant } \omega_- = \omega(-\infty, 0] \text{ (i.e., } \mathcal{F}_t^{-\infty}); h_{\mathcal{G}}(.,.) \text{ est l'entropie de Kullback usuelle sur la } \sigma\text{-tribu } \mathcal{G}.

Il est bien connu ([DV]) que pour tout $v \in M_1(E)$,

$$
(1.3) \qquad J(v) = \inf\{H(Q) \mid Q \in \mathcal{P}^V\}.
$$

$$
\text{où } \mathcal{P}^V = \{Q; Q \in M_1^s(\Omega) \text{ et } Q_0 := Q(\omega : \omega(0) \in \bullet) = v\}.
$$

Si $\alpha$ est une mesure nonnegative $\sigma$-finie sur $(E, \mathcal{B})$, invariante et ergodique (i.e., si $f \in \mathcal{B}$ vérifie $P_f=f$, $\alpha$-p.p. pour tout $t \in \mathbb{T}$, alors $f$ = constante $\alpha$-p.p.), on pose

$$
(1.2c) \qquad J_{\alpha}(v) = J(v) \quad \text{si } v \ll \alpha \text{ et } +\infty \text{ sinon ;}
$$

$$
(1.2\text{d}) \qquad H_{\alpha}(v) = H(Q) \quad \text{si } Q_0 := Q(\omega(0) \in \cdot) \ll \alpha \text{ et } +\infty \text{ sinon :}
$$

§1.2. Nous commençons par le

**Théorème 1.1.** *Supposons que $J(v)<+\infty$. Il existe une et une seule mesure $\mathcal{Q}^V \in \mathcal{P}^V$ qui résoud le problème variationnelle (1.3), i.e., $H(\mathcal{Q}^V) = J(v)$. De plus $\mathcal{Q}^V$ est markovienne.*

Sa preuve est donnée dans le §1.3. Ce résultat nous permet d'introduire la

**Définition 1.2.** Pour $v \in M_1(E)$ vérifiant $J(v) < +\infty$, on appelle le processus de Markov $\mathbb{D}^v$ donné dans le Théorème 1.1. processus de Donsker-Varadhan.

**Remarque 1.3.** Pour voir la signification du processus de Donsker-Varadhan, rappelons la
conséquence suivante du principe de grandes déviations,

**Théorème A.** Soient $v \in M_1(E)$ vérifiant $J(v) < +\infty$ et $\beta \in M_1(E)$ une mesure initiale. Supposons

(H1) $x \to \mathcal{P}_x$ est continu de $E$ dans $(M_1(\Omega), \stackrel{w}{\longrightarrow})$. (Propriété de Feller)

Si $\mathcal{P}_\beta(R_t \in \bullet)$ satisfait le principe de grande déviation sur $(M_1(\Omega), \stackrel{w}{\longrightarrow})$ avec la fonction de vitesse $H$, alors lorsque $t \to +\infty$ d'abord et le voisinage $N$ de $v$ dans $(M_1(E), \stackrel{w}{\longrightarrow})$ tend vers $[v]$ ensuite, $\mathcal{P}_\beta(R_t \in \bullet | L_t \in N)$ satisfait le principe de grande déviation sur $(M_1(\Omega), \stackrel{w}{\longrightarrow})$ avec la fonction de vitesse donnée par

$$ (1.4) \qquad H^V(Q) = \begin{cases} H(Q) - J(v) & \text{si } Q \in \mathcal{P}^V \\ +\infty & \text{sin on} \end{cases}. $$

Autrement dit,

(i) $H^V$ est inf-compacte sur $(M_1(\Omega), \stackrel{w}{\longrightarrow})$, i.e., $\forall L \ge 0$, $[H^V \le L]$ est compact.

(ii) Pour tout ouvert $G$ dans $(M_1(\Omega), \stackrel{w}{\longrightarrow})$,

$$ \liminf_{N \to [v]} \liminf_{t \to +\infty} \frac{1}{t} \log \mathcal{P}_\beta(R_t \in G | L_t \in G) \ge - \inf_G H^V. $$

(iii) Pour tout fermé $F$ dans $(M_1(\Omega), \stackrel{w}{\longrightarrow})$,

$$ \limsup_{N \to [v]} \limsup_{t \to +\infty} \frac{1}{t} \log \mathcal{P}_\beta(R_t \in G | L_t \in F) \le - \inf_F H^V. $$

En particulier, pour tout voisinage $G$ de $\emptyset^V$,

$$ (1.5) \qquad \limsup_{N \to [v]} \limsup_{t \to +\infty} \frac{1}{t} \log \mathcal{P}_\beta(R_t \notin G | L_t \in N) < 0. $$

Nous ne donnons pas la preuve, qui est fondée sur une variante du principe de Laplace donnée par Ellis [E, II.7.2] en suivant l'approche canonique, voir e.g. Roelly et Zessin [RZ]. La formule (1.5) nous dit que : en temps grand, si l'observation de la loi marginale par $L_t$ est proche de $v$, alors la loi du processus observé par $R_t$ approchera $\emptyset^V$ avec une vitesse exponentielle.

Nous allons étudier les trois problèmes suivants dans ce papier,

**Problème I.** Comment construire $\emptyset^V$ pour $v$ donnée ?

**Problème II.** Est-ce que $\emptyset^V$ est ergodique (i.e. un état équilibre pûr) ?

**Problème III.** Quelle est la dependence de $\emptyset^V$ en $v$, lorsque $v$ varie ?
### §1.3. Démonstration du Théorème 1.1.

Dans le cas du temps discret, ce théorème a été établi dans [DV] en utilisant la projection de Csiszär [Cs]. Nous allons donc travailler seulement dans le cas du temps continu. L'idée est de discuter un autre problème variationnel du type Csiszär.

$$ (1.6) \qquad a = \inf\{h_{\mathcal{F}_1^0}(Q; \mathbb{P}_V) \mid Q \in \mathcal{M}^V\} $$

où $\mathcal{M}^V = \{Q \in M_1(\Omega_1=\mathbb{D}[0,1], E) \mid Q_t := Q(\omega(t) \in \bullet) = \nu \text{ pour tout } t \in [0,1]\}$ et de montrer qu'elle admet la même solution que (1.3).

**Etape 1.** Pour tout $Q \in \mathcal{S}^V \subseteq \mathcal{M}^V$, on a d'après (1.2b),

$$ (1.7a) \qquad H(Q) = h_{\mathcal{F}_1^{-\infty}}(\bar{Q} : \bar{Q} \otimes_0 \mathbb{P}_\bullet) \ge h_{\mathcal{F}_1^0}(\bar{Q} ; \bar{Q} \otimes_0 \mathbb{P}_\bullet) = h_{\mathcal{F}_1^0}(Q ; \mathbb{P}_V). $$

et l'égalité a lieu si et seulement si

$$ (1.7b) \qquad \bar{Q}_{\omega-} := \bar{Q}(\cdot | \mathcal{F}_0^{-\infty}) = \bar{Q}(\cdot | \mathcal{F}_0^0) := Q_{\omega(0)}, \quad \bar{Q}-\text{p.s.,} $$

$$ \text{où } \bar{Q} \otimes_0 \mathbb{P}_\bullet(d\omega-, d\omega+) := \bar{Q}(d\omega-) \mathbb{P}_{\omega(0)}(d\omega+) \in M_1(\bar{\Omega}), (\text{pour } \omega \in \bar{\Omega}, \omega+=\omega_{[0, +\infty)}). $$

$$ \text{Par suite on obtient : } a \le J(v) < +\infty. $$

**Etape 2.** Par Csiszär [Cs], il existe une et une seule mesure $\Omega \in \mathcal{M}^V$ telle que

$$ h_{\mathcal{F}_1^0}(\emptyset; \mathbb{P}_V) = a. $$

Nagazawa [N, Th.5.4., p132] montre que $\emptyset$ est Markovien, et sa preuve donne aussi la stationarité de $\emptyset$ dans notre cas particulier (laissée au lecteur). La mesure markovienne et stationnaire $\emptyset$ sur $\mathcal{F}_1^0$ admet donc une extension stationnaire et markovienne unique $\mathcal{Q}^V$ sur $\Omega$. On obtient par (1.7a,b)

$$ (1.8) \qquad a \le J(v) \le H(\mathcal{Q}^V) = h_{\mathcal{F}_1^0}(\emptyset; \mathbb{P}_V) = a. $$

Autrement dit $\mathcal{Q}^V$ est une solution du problème variationnel (1.3).

**Etape 3.** Soit $Q \in \mathcal{S}^V$ une solution quelconque de (1.3), i.e., $H(Q) = J(v)$. On a

$$ a \stackrel{(1.8)}{=} J(v) = H(Q) \ge h_{\mathcal{F}_1^0}(Q; \mathbb{P}_V) \ge a. $$

qui devient donc une égalité. Donc $Q_{[0,1]}$ est une solution de (1.6), et d'après (1.7a,b), $Q$ est Markovien. Donc $Q_{[0,1]} = \emptyset$ par Etape 2. Par suite $Q=\emptyset^V$, le résultat désiré. ∎
## §2. La dependance de $\mathbb{Q}^V$ en $v$

Le résultat suivant répond au Problème III. La partie (a) suivante a été obtenue par Takeda [T, 1990] dans le cas où $\mathbb{T}=\mathbb{R}^+$ et le processus de base est réversible et continu.

**Proposition 2.1.** Soit $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de probabilités sur $\mathbb{E}$ satisfaisant

$$ (2.1) \qquad J(v_n) \to J(v) < +\infty. $$

(a) Sous (H1), si $v_n \xrightarrow{w} v$, alors $\mathbb{Q}^v n \xrightarrow{w} \mathbb{Q}^V$.

(b) Si $v_n \xrightarrow{\tau} v$, alors $\mathbb{Q}^v n \to \mathbb{Q}^V$ pour la topologie $\tau_p$.

Nous commençons par le

**Lemme 2.2.** Soit $\mathbb{A} \subset M_1^*(\Omega)$ vérifiant

$$ (2.2) \qquad \sup\{H(Q) \mid Q \in \mathbb{A}\} < +\infty. $$

(a) Si $\mathbb{A}_0 := \{Q_0 \mid Q \in \mathbb{A}\}$ est relativement compact dans $(M_1(E), \xrightarrow{w})$, alors $\mathbb{A}$ est relativement compact dans $(M_1(\Omega), \xrightarrow{w})$ sous (H1).

(b) Si $\mathbb{A}_0$ est relativement compact dans $(M_1(E), \tau)$ et s'il existe $\alpha \in M_1(E)$ tel que $v \ll \alpha$ pour tout $v \in \mathbb{A}_0$, $\mathbb{A}$ est relativement compact dans $(M_1(\Omega), \tau_p)$.

*Preuve:* On a pour tout $0<T \in \mathbb{T}$,

$$ H(Q) = (1/T) h_{\mathbb{F}_T^\infty}(\overline{Q}; \mathbb{P}_v) \ge (1/T) h_{\mathbb{F}_T^0}(Q; \mathbb{P}_v). $$

où $v=Q_0$. On obtient pour tous $Q \in \mathbb{A}$, $D \in \mathbb{F}_T^0$ et $M>1$, en notant $f_Q = \frac{dQ}{d\mathbb{P}_v} \rvert_{\mathbb{F}_T^0}$.

$$ \begin{align} Q(D) &= \int_D f_Q \, d\mathbb{P}_v \nonumber \\ &\le M \mathbb{P}_v(D) + (1/\log M) \int_\Omega f_Q \log^+ f_Q \, d\mathbb{P}_v \nonumber \\ &\le M \mathbb{P}_v(D) + (1/\log M) [1/e + h_{\mathbb{F}_T^0}(Q; \mathbb{P}_v)] \quad (x \log x \ge -1/e) \end{align} $$
$$ \leq M \mathbb{P}_V(D) + (1/\log M) [I/e + T \sup_A H]. $$

(a): Comme $A_0$ est relativement compact et l'application $v \to \mathbb{P}_V|_{\Omega_1}$ (où $\Omega_T = E^{T+1}$ ou $\mathcal{D}([0,T],E)$ muni de la topologie de Skorokhod suivant que $T=N$ ou $R^+$) est continue de $(M_1(E), \xrightarrow{w} \mathcal{H})$ dans $(M_1(\Omega_1), \xrightarrow{w} \mathcal{H})$, d'après (H1) (Note: en temps continu, $Q \to Q \mid_{\Omega_T} \Omega_T$ n'est pas continue, mais continue au point $Q$ vérifiant: $Q(\omega$ est continu en $t=T)=1$, qui est le cas de $\mathbb{P}_V$ sous (H1)), l'ensemble $\{\mathbb{P}_V|_{\Omega_1} : v \in A_0\}$ est aussi relativement compact. Pour $\varepsilon>0$ quelconque, on choisit $M \ge 2$ tel que le dernier terme dans (2.3) soit inférieur à $\varepsilon/2$. D'après le théorème de Prohorov, il existe un compact $K$ dans $\Omega_1$ tel que

$$ \sup\{ \mathbb{P}_V(\omega_{[0,1]} \in K) : v \in A_0 \} < \varepsilon/2M. $$

Par conséquent (2.3) implique $\sup\{ Q(\omega_{[0,1]} \in K) : Q \in A \} < \varepsilon$. ce qui signifie que la restriction de $A$ à $[0,1]$ est tendu. Puisque les éléments de $A$ sont stationnaires, il en résulte que $A$ est tendu aussi sur tout $T$, donc relativement compact dans $(M_1(\Omega), \xrightarrow{w} \mathcal{H})$.

(b) Par la définition de la $\tau_p$-topologie, il suffit de montrer que $\{Q_{\Omega_T} : Q \in A\}$ est relativement compact par rapport à la topologie $\tau=\sigma(M_1(\Omega_T), b\mathcal{F}_T^0)$, pour chaque $T>0$ fixé.

En associant $v \in A_0$ à $h_v := \frac{dv}{d\alpha}$, on voit que $A_0^\alpha := \{h_v : v \in A_0\}$ est relativement compact dans $\sigma(L^1(\alpha), L^\infty(\alpha))$. D'après le théorème de Dunford-Pettis ([DM. I]), cette dernière propriété est équivalente à l'intégrabilité uniforme de $A_0^\alpha$ dans $L^1(\alpha)$, donc à celle de

$$ \left\{ \frac{d\mathbb{P}_V}{d\mathbb{P}_\alpha} \mid_{\mathcal{F}_T^0} = h_v(\omega(0)) : v \in A_0 \right\} \text{ dans } L^1(\mathcal{F}_T^0, \mathbb{P}_\alpha). $$

Donc pour tout $\varepsilon>0$, on choisit d'abord $M \ge 2$ tel que le dernier terme dans (2.3) soit inférieur à $\varepsilon/2$, et ensuite $\delta>0$ tel que

$$ \text{si } D \in \mathcal{F}_T^0 \text{ et } \mathbb{P}_\alpha(D) < \delta, \quad \sup_{v \in A_0} \mathbb{P}_V(D) < \varepsilon/2M. $$

Il en résulte d'après (2.3),

$$ \sup\{ Q(D) = \int_D f_Q d\mathbb{P}_V = \int_D f_Q h(\omega(0)) d\mathbb{P}_\alpha : Q \in A \} < \varepsilon. $$

où $f_Q := \frac{dQ}{d\mathbb{P}_V}|_{\mathcal{F}_T^0}$. Autrement dit $\{f_Q^h(\omega(0)) : Q \in A\}$ est uniformément intégrable dans $L^1(\mathcal{F}_T^0, \mathbb{P}_\alpha)$, donc relativement compact par rapport à $\sigma(L^1, L^\infty)$ d'après le théorème de Dunford-Pettis. Il en résulte la compacité relative de $\{Q|_{\Omega_T} : Q \in A\}$ par rapport à la $\tau$-topologie. ■

## Démonstration de Proposition 2.1.
(a) On écrit simplement $\mathbb{Q}^{n=\mathbb{Q}^V n}$. En appliquant le lemme 2.2 à $A=\{\mathbb{Q}^n; n \in \mathbb{N}\}$, on obtient que $A$ est relativement compact. Soit $\mathcal{O}$ un point limite de $(\mathbb{Q}^n)$. donc la limite d'une sous-suite $(\mathbb{Q}^n k, k \to +\infty)$. D'après la semi-continuité inférieure de $H$ sur $(M_1(\Omega), \stackrel{w}{\longrightarrow})$ sous $(H1)$ ([DV]), on a

$$J(v) \leq H(\mathbb{Q}) \leq \liminf_{k \to +\infty} H(\mathbb{Q}^n k) = J(v) \text{ (d'après (2.1))}.$$

Par conséquent le théorème 1.1. implique $\mathbb{Q}=\mathbb{Q}^V$.

(b) La preuve est la même en notant que $H$ est toujours s.c.i. sur $(M_1(\Omega), \tau_p) ([W1])$.

### §3. L'ergodicité et la convexité stricte de $J$

On dit que $J$ est strictement convexe en $v$, si pour tous $v_i$, $i=1,2$ différents vérifiant $(v_1+v_2)/2 = v$, alors

$$J(v) < (J(v_1) + J(v_2))/2.$$

Bolthausen et Schmock [BS] établissent la convexité stricte de $J$ dans le cas où $T=\mathbb{N}$ et $P$ est uniformément ergodique. i.e., $\exists$ $(\alpha \in M_1(E) \text{ et } C>0)$ tels que

$$(3.1) \qquad \alpha P = \alpha \text{ et } \alpha(dy)/C \le P(x,dy) \le C\alpha(dy) \text{ pour tout } x \in E.$$

Voici une note générale sur cette question:

**Proposition 3.1.** *J est strictement convexe en v, si et seulement si le processus de Donsker Varadhan $\mathbb{Q}^V$ est ergodique.*

**Preuve: Necessité.** Nous désignons par $(P_t^V)_{t \in \mathbb{T}}$ le semigroupe de transition du processus $\mathbb{Q}^V$. Supposons que $\mathbb{Q}^V$ soit au contraire non-ergodique. D'après la decomposition ergodique de Dynkin, il existe deux mesures différentes $v_1$ et $v_2$ telles que

$$v = (1/2)(v_1 + v_2) \text{ et } v_1, v_2 \text{ sont invariantes par rapport à } (P_t^V).$$

Soit $\mathbb{Q}^1$ la loi du processus de Markov sur $\Omega$ avec le même semigroupe de transition $(P_t^V)$, mais avec la loi marginale $v^1$ ($i=1,2$). Donc $\mathbb{Q}^V = (1/2)(\mathbb{Q}^1+\mathbb{Q}^2)$. Il en résulte d'après la propriété affine de $H$,

$$J(v) = H(\mathbb{Q}^V) = (1/2)(H(\mathbb{Q}^1) + H(\mathbb{Q}^2)) \ge (1/2)(J(v_1) + J(v_2)).$$

qui devient égalité d'après la convexité de $J$, d'où la contradiction.
**Suffisance:** S'il y a au contraire deux mesures différentes $v_1, v_2$ telles que

$$v = (1/2)(v_1 + v_2) \text{ et } J(v) = (1/2)(J(v_1) + J(v_2)).$$

Soient $\mathbb{Q}^i = \mathbb{Q}^i_i$ ($i=1,2$). Nous avons

$$J(v) = (1/2)(H(\mathbb{Q}^1) + H(\mathbb{Q}^2)) = H((1/2)(\mathbb{Q}^1 + \mathbb{Q}^2)).$$

D'après le Théorème 1.1, nous obtenons

$$\mathbb{Q}^V = (1/2)(\mathbb{Q}^1 + \mathbb{Q}^2).$$

$\mathbb{Q}^V$ est donc non-ergodique, d'où la contradiction. ∎

## §4. Le cas du temps discret

**4.1.** On suppose dans cette section $T=N$ et $J(v)<+\infty$. Notons $P = P_1$. Nous désignons par $Q_{0,1}$ la loi marginale $Q((\omega(0), \omega(1))\in\bullet)$ de $Q\in M_1(\Omega)$. D'après le théorème de Csiszár [Cs], une loi markovienne stationnaire $Q$ sur $\Omega$ avec $Q_0=v$ est le processus de Donsker-Varadhan $\mathbb{Q}^V$ si et seulement si

$$(4.1a) \qquad Q_{0,1}(dx, dy) = \psi(x)\phi(y) v(dx)P(x,dy),$$

où $\phi, \psi \ge 0$ sont $\mathcal{B}$-mesurables. On voit facilement que (4.1a) implique

$$(4.1b) \qquad \psi P\phi = 1, \text{ v-p.s.}$$

$$(4.1c) \qquad v(dy) = \phi(y) \int_E \psi(x)v(dx)P(x,dy).$$

Le résultat suivant répond au Problème II dans le cas où $T=N$,

**Proposition 4.1.** Soit $T=N$ et supposons que $J(v)<+\infty$. Alors $\mathbb{Q}^V$ est ergodique si et seulement si pour tous $A, B$ et $F\in\mathcal{B}$ avec $v(A)>0, v(B)>0, v(F)=1$,

$$(4.2) \qquad \exists n\in\mathbb{N} : P_v(X_0\in A, X_n\in B, \text{ et } X_k\in F \text{ pour tout } k\le n) > 0.$$

**Corollaire 4.2.** S'il existe $\beta\in M_1(E)$ telle que

$$(4.3) \qquad P(x,dy) = f(x,y) \beta(dy) \text{ pour tout } x\in E \text{ avec } \beta\otimes\beta(f=0)=0,$$
alors pour tout $v \in [J<+\infty], \mathbb{Q}^V$ est ergodique et $J$ est strictement convexe sur $[J<+\infty]$.

En effet sous (4.3), si $J(v)<+\infty$, alors $h(v;vP) \le J(v) < +\infty$. On obtient $v \ll vP \ll \beta$. D'après (4.3), $P_v$ vérifie (4.2). Ce corollaire résulte donc des propositions 4.1 et 3.1. Et il est facile de construire un contre-exemple pour lequel (4.3) n'est pas satisfaite, et $\mathbb{Q}^V$ est non-ergodique. Remarquons que ce résultat généralise le résultat de Bolthausen & Schmock mentionné au début de §3.

**Démonstration de la Proposition 4.1.:**

**Nécessité:** Il est élémentaire que $\mathbb{Q}^V$ est ergodique si et seulement si

$$ (4.4) \qquad \exists n \in \mathbb{N} : \mathbb{Q}^V(X_0 \in A, X_n \in B) = \mathbb{Q}^V(X_0 \in A, X_n \in B, \text{ et } X_k \in F \ \forall k \le n) > 0, $$

pour tous A,B,F comme dans (4.2) (voir [Re]). Comme $\mathbb{Q}^V \subsetneq \mathbb{P}_v$ sur chaque $\mathfrak{F}_n^0$, $n \in \mathbb{N}$, (4.2) résulte de (4.4).

**Suffisance:** Il s'agit de montrer que $\mathbb{Q}^V$ vérifie (4.4). On fixe les versions boréliennes réelles $\phi, \psi \ge 0$ dans (4.1) et on pose

$$ \bullet F = [\phi>0] \cap [\psi>0] \cap [\psi \cdot P\phi=1] : \bullet \sigma_F = \inf\{n \in \mathbb{N} : X_n \notin F\} \text{ (temps de sortie).} $$

$$ \bullet L_0 = 1 \text{ et } L_n = \prod_{k=0}^{n-1} \psi(X_k) \phi(X_{k+1}) , n \ge 1; $$

$$ \bullet M_0 = 1 \text{ et } M_n := L_n \mathbf{1}_{[\sigma_F > n]} = \prod_{k=0}^{n-1} \psi(X_k) \phi(X_{k+1}) \mathbf{1}_{[\sigma_F > n]}, n \ge 1. $$

D'après (4.1a,b,c), $v(F)=1$. Nous affirmons que

$$ (4.5) \qquad \frac{d\mathbb{Q}^V}{dP_v}|_{\mathfrak{F}_n^0} = M_n \quad \text{pour tout } n \ge 1. $$

En effet, posons

$$ N(x, dy) = \psi(x) \phi(y) P(x, dy), \text{ si } x \in F, $$

$$ = P(x, dy) \qquad \text{sinon.} $$

C'est un noyau markovien qui est une famille régulière de lois conditionnelles $\mathbb{Q}^V(X_1 \in dy | X_0=x)$. Soit $\mathbb{Q}_x$ la loi du processus de Markov $(X_n)$ avec probabilités de transition $N$ et issu de $x$. Alors
$$ \mathbf{1}_{[\sigma_F > n]} \mathbb{Q}_x |\mathcal{F}_n^0 = \mathbf{1}_{[\sigma_F > n]} L_n \mathbb{P}_x |\mathcal{F}_n^0 \quad \text{pour } x \in F \text{ et tout } n \ge 1. $$

En intégrant cette égalité par rapport à $v(dx)$ et en remarquant que

$$ \int_E \mathbb{Q}_x v(dx) = \mathbb{Q}^V \quad \text{et} \quad \mathbb{Q}^V(\sigma_F > n) = 1 \quad \text{pour tout } n \ge 1. $$

nous obtenons

$$ \mathbb{Q}^V |_{\mathcal{F}_n^0} = \mathbf{1}_{[\sigma_F > n]} \mathbb{Q}^V |_{\mathcal{F}_n^0} = \mathbf{1}_{[\sigma_F > n]} L_n \mathbb{P}_v |_{\mathcal{F}_n^0} = M_n \mathbb{P}_v |_{\mathcal{F}_n^0}. $$

d'où (4.5). L'expression (4.5) entraîne l'équivalence de $\mathbb{Q}^V|_{\mathcal{F}_n^0}$ et $\mathbf{1}_{[\sigma_F > n]} \mathbb{P}_v|_{\mathcal{F}_n^0}$ (puisque $M_n>0$ sur $[\sigma_F>n]$) et donc le résultat désiré (4.4) d'après (4.2).

**Remarque 4.3.** D'après (4.5), si $\mathbb{P}_V(\sigma_F = +\infty) = 1$, alors $\mathbb{Q}^V$ est équivalente à $\mathbb{P}_V$ sur chaque $\mathcal{F}_n^0$. En particulier si $J_\alpha(v)<+\infty$ et $v\sim\alpha$ (où $\alpha$ est une mesure $\sigma$-finie invariante et ergodique), alors $\mathbb{Q}^V$ est équivalente à $\mathbb{P}_\alpha$ sur chaque $\mathcal{F}_n^0$, et ergodique.

## §5. Le cas du temps continu et reversible

L'objective principal de cette section est d'étendre le résultat de Meyer-Zheng [MZ] sur la construction de la diffusion réversible de Nelson, du cas du mouvement brownien au cas général. Nous soulignons que cette extension a été donnée par Takeda [T. 1990] dans le cas où E est de plus localement compact et que le processus est continu (voir aussi [FOT]). Notre méthode est inspirée de [MZ] (combiné avec certains résultats précédents). On suppose qu'il y a une mesure $\sigma$-finie nonnegative $\alpha \neq 0$ sur $(E, \mathcal{B})$ telle que

$$ (H2) \quad (P_t)_{t \in \mathbb{R}^+} \text{ est symétrique dans } L^2(\alpha) \text{ et ergodique.} $$

On va supposer que notre processus de base $(\mathbb{P}_X)_{x \in E}$ est un processus de Hunt (voir [MR] dans le cadre (H2)). L'hypothèse (H2) nous donne le résultat clé suivant :

$$ (5.1) \quad J_\alpha(v) = \begin{cases} \mathcal{E}(\phi, \phi) & \text{si } \phi = (dv/d\alpha)^{1/2} \in \mathcal{D}(\mathcal{E}) \\ +\infty & \text{sinon.} \end{cases} $$

où $(\mathcal{E}, \mathcal{D}(\mathcal{E}))$ est la forme de Dirichlet associée à $((P_t), L^2(\alpha))$ (voir [W1, 2]).

### 5.1. Résultats

Soit $\phi \in \mathcal{D}(\mathcal{E})$, $\tilde{\phi}$ une version $\mathcal{E}$-quasi-continue. On écrit sa décomposition de Fukushima ([MR])
$$
\tilde{\Phi}(X_t) - \tilde{\Phi}(X_0) = N_t^{\Phi} + A_t^{\Phi}, \forall t \in \mathbb{R}^+
$$

où $N_t^\Phi$ est une $\mathbb{P}_X$-martingale locale pour $\varepsilon$-quasi tout $x \in E$, et $A_t^\Phi$ est une fonctionnelle
additive continue d'energie zéro. On définit pour tout $\varepsilon>0$,

$$
\begin{align*}
(5.2) \qquad \sigma_{\varepsilon} &= \inf\{t \ge 0 : \tilde{\Phi}(X_t) \le \varepsilon\}, \\
&\qquad \sigma = \sup_{\varepsilon>0} \sigma_{\varepsilon} = \inf\{t \ge 0; \tilde{\Phi}(X_{t^+}) \text{ ou } \tilde{\Phi}(X_{t^-}) = 0\}.
\end{align*}
$$

$$
(5.3) \qquad L_t^\varepsilon = \int_0^{t/\Lambda} \sigma(\tilde{\Phi}(X_{s-}))^{-1} dN_s^\Phi \quad (\text{intégrale d'Itô})
$$

où $X_{\cdot-}$ désigne la limite à gauche. $\sigma_{\varepsilon}$ est un temps d'arrêt par rapport à $(\mathbb{F}_t^{\alpha})$, la filtration complète de $(\mathbb{F}_t^0)$ par $\mathbb{P}_{\alpha}$, qui est continue à droite. L'intégrale stochastique (5.3) est bien définie puisque $\tilde{\Phi}(X_{\cdot-}) \ge \varepsilon$ sur $[0, \sigma_{\varepsilon}]$ (or il est possible que $\tilde{\Phi}(X_{\sigma_{\varepsilon}}) = 0$).

On désigne par $e(L^\xi)$ la martingale locale de Doléans-Dade de $L^\xi$. qui est la solution
unique de l'é.d.s. suivante

$$
(5.4a) \qquad e(L^\xi)_t = 1 + \int_0^t e(L^\xi)_{s-} dL_s^\xi, \quad \forall t \in \mathbb{R}^+.
$$

Elle est donnée par

$$
(5.4b) \quad e(L^\xi)_t = \exp \left[ L_t^\xi - \frac{1}{2} \langle (L^\xi)^c, (L^\xi)^c \rangle_t \right] \prod_{s \le t} (1 + \Delta L_s^\xi) e^{-\Delta L_s^\xi} .
$$

où $(L^\xi)^c$ est la partie continue de $L^\xi$ (voir [DM, II] et [JS]).

D'après les propriétés d'intégrale stochastique, il est facile de justifier les
définitions suivantes, pour tout $t<\sigma$.

$$
(5.5) \qquad L_t := L_t^\varepsilon \quad \text{si } t \le \sigma_\varepsilon ;
$$

$$
(5.6) \qquad e(L)_t := e(L_t^\varepsilon) \quad \text{si } t \le \sigma_\varepsilon.
$$

(qui ne dépendent pas de ε>0). Nous pouvons énoncer maintenant le

Théorème 5.1. Supposons que le processus de base $((X_t), (\mathbb{P}_X))$ est de Hunt et vérifie (H2).
Soit $0 \le \phi \in \mathcal{D}(\varepsilon)$ et $v := \phi^2 d\alpha \in M_1(E)$. Alors le processus de Donsker-Varadhan $\mathcal{Q}^V$ est donné par

$$
(5.7) \qquad \mathcal{Q}^V|_{\mathfrak{F}_t^\alpha} = \mathbf{1}_{[t<\sigma]} e(L)_t d\mathbb{P}_V, \text{ pour tout } t \in \mathbb{R}^+.
$$

De plus $\mathcal{Q}^V$ est réversible et satisfait $\mathcal{Q}^V(\sigma=+\infty) = 1$. En particulier, si de plus
$$
(H3) \quad \mathbb{P}_x(t \to X_t \text{ est continu sur } \mathbb{R}^+) = 1 \quad \text{pour tout } x \in E.
$$

(5.7) devient : pour tout $t \in \mathbb{R}^+$,

$$
(5.8) \quad \mathbb{Q}^V \mid_{\mathfrak{F}_t} \alpha = \mathbf{1}_{[t<\sigma]} \exp \left( \int_0^t (\tilde{\phi}(X_{s-}))^{-1} dN_s^\phi - \frac{1}{2} \int_0^t (\tilde{\phi}(X_{s-}))^{-2} d\langle N^\phi, N^\phi \rangle_s \right) d\mathbb{P}_V.
$$

Il répond au Problème I et étend [MZ] et [T]. Sa démonstration sera donnée au §5.2..
Nous donnons d'abord la réponse du Problème II par

**Corollaire 5.2.** *Dans le contexte du Théorème 5.1,*

(a) $\mathbb{Q}^V$ est 'ergodique. si et seulement si $\forall A, B \in \mathcal{B}$ avec $v(A)>0, v(B)>0$, il existe $t \ge 0$ tel que

$$
(5.9) \quad \mathbb{P}_V(X_0 \in A, X_t \in B, \tilde{\phi}(X_s) \wedge \tilde{\phi}(X_{s-}) > 0 \text{ pour tout } s \le t) > 0.
$$

(b) $\mathbb{Q}^V$ est équivalente à $\mathbb{P}_\alpha$, si et seulement si $\tilde{\phi} > 0$, $\varepsilon$-quasi partout. En particulier $\mathbb{Q}^V$ est ergodique dans ce cas.

Preuve: D'après [JS, p59, Theorem 4.61.(c)],

$$
e(L^\epsilon)_\bullet > 0 \text{ sur } [0, \tau_\epsilon), \text{ où } \tau_\epsilon = \inf\{t \ge 0 : \Delta L^\epsilon_t := L^\epsilon_t - L_{t-}^\epsilon = -1\}.
$$

Or pour $t < \sigma_\epsilon$,

$$
\Delta L_t^\epsilon = (\tilde{\phi}(X_{t-}))^{-1} \Delta N_t^\phi = (\tilde{\phi}(X_{t-}))^{-1} ( \tilde{\phi}(X_t) - \tilde{\phi}(X_{t-}) ) > -1.
$$

Par suite, $\tau_\epsilon \ge \sigma_\epsilon$ et $e(L^\epsilon) > 0$ sur $[0, \sigma_\epsilon)$. Il en résulte

$$
(5.10) \qquad e(L)_{\bullet} > 0 \text{ sur } [0, \sigma).
$$

Ayant ceci, on peut finir la preuve très facilement:

(a) Rappelons le fait suivant : $\mathbb{Q}^V$ est ergodique si et seulement si

$$
\forall A, B \in \mathcal{B} \text{ avec } v(A) \wedge v(B) > 0, \text{ alors } \exists t \ge 0 \text{ t.q. } \mathbb{Q}^V(X_0 \in A, X_t \in B) > 0.
$$

Or d'après (5.10) et (5.7), $\mathbb{Q}^V \sim \mathbb{P}_V$ sur $\mathfrak{F}_t^\alpha \cap [\sigma>t]$. Donc la propriété ci-dessus est équivalente à (5.9) de $\mathbb{P}_V$.
(b) Comme $\tilde{\phi} >0 \ \varepsilon$-quasi partout si et seulement si $P_\alpha(\sigma<+\infty) = 0$, (b) résulte de (5.10).

**Remarque :** La propriété (5.9) signifie que $((X_t), P_\alpha)$ restreint à $[\tilde{\phi}>0]$ est transitive. Notons une différence avec le cas du temps discret : il est possible que $v\sim\alpha$, mais $\mathbb{Q}^V$ n'est ni équivalente à $P_\alpha$ sur $\mathcal{F}_t^0$, ni ergodique (comparer avec la Remarque 4.3). Un exemple est : $P_X$ est la mesure de Wiener issue de $x$ dans $\mathbb{R}$,

$$v(dx) = x^2 \exp(-x^2/2) \, dx/\sqrt{2\pi} = (v_+ + v_-)/2, \text{où } v_\pm = \mathbf{1}_{[\operatorname{sign}(x)=\pm]} 2v.$$

Sous $\mathbb{Q}^V$, $(X_t)$ n'atteint pas l'origine $x=0$, donc $\mathbb{Q}^V$ n'est pas équivalente à $P_V$ sur $\mathcal{F}_t^0$ ($t>0$). Et $\mathbb{Q}^V = (\mathbb{Q}^+ + \mathbb{Q}^-)/2$ est non-ergodique.

## 5.2. Démonstrations du Théorème 5.1.

Elle est composée de trois étapes: 1) le bon cas où $\phi>0$ sur E et $\phi\in\mathcal{D}(\mathcal{L})$; 2) l'estimation à priori du type Meyer-Zheng "$\mathbb{Q}^V(\sigma=+\infty)=1$"; et 3) la Proposition 2.1 nous permet de passer au cas général par une procedure de passage à la limite.

### Etape 1. une remarque générale

**Lemma 5.3. (sans (H2))** Soit $v\in[J<+\infty]$. Supposons qu'il existe $\phi : E \to ]0,+\infty[$ telle que

(i) $\phi$ est $P_V$-finement continue, i.e., $P_V(\phi(X_\bullet))$ est càdlàg et $\phi(X)_- = \phi(X_+)_- = 1$.

(ii) il existe une fonction réelle borélienne $g$ telle que $\int_0^t |g(X_s)| \, ds < +\infty$ $P_V$-p.s. et

$$N_t^\phi = \phi(X_t) - \phi(X_0) - \int_0^t g(X_s) \, ds$$

est une $P_V$-martingale locale. Notons $g$ par $\mathcal{L}\phi$.

(iii) $\log\phi$ et $\mathcal{L}\phi/\phi \in L^1(v)$ et $J(v)=H(\mathbb{Q}^V) \le \int_E -\frac{\mathcal{L}\phi}{\phi} \, dv$.

Alors

$$(5.11) \qquad M_t = \frac{\phi(X_t)}{\phi(X_0)} \exp - \int_0^t \frac{\mathcal{L}\phi}{\phi} (X_s) \, ds = e(L)_t.$$

est une $P_V$-martingale, où $dL_t = \phi(X_{t-})^{-1} dN_t^\phi$ et

$$(5.12) \qquad \mathbb{Q}^V|_{\mathcal{F}_t^0} = M_t P_V|_{\mathcal{F}_t^0}.$$
**Preuve :** Notons que le processus suivant est $P_V$-p.s. bien défini, absolument continu,

$$A_t = \exp\left(-\int_0^t \frac{\mathcal{L}\phi}{\phi}(X_s)ds\right), \quad dA_t = -\frac{\mathcal{L}\phi}{\phi}(X_t) A_t dt$$

(d'après (i) et (ii)). Calculons la différentielle d'Itô de $(M_t)$ définie par (5.11),

$$ 
\begin{align*}
dM_t &= \frac{1}{\Phi(X_0)} \left[ A_t \, d\Phi(X_t) + \Phi(X_{t-}) \, dA_t \right] && (\text{comme } [\Phi(X_t, A)] = 0) \\
&= \frac{1}{\Phi(X_0)} \left[ A_t \left( dN_t^\Phi + \mathcal{L}\Phi(X_t)dt \right) - \Phi(X_t) \cdot \frac{\mathcal{L}\Phi}{\Phi}(X_t) A_t dt \right] \\
&= \frac{\Phi(X_{t-})}{\Phi(X_0)} A_t \frac{dN_t^\Phi}{\Phi(X_{t-})} \\
&= M_{t-} \, dL_t \quad (\text{par la définition de L}).
\end{align*}
$$

Par conséquent, $(M_t)$ est l'exponentielle de Doléans-Dade de $(L_t)$, qui est une $P_V$-martingale locale nonnegative, donc une surmartingale.

Il reste à montrer que M est une vraie $P_V$-martingale et que (5.12) a lieu. L'idée est de poser pour chaque $T>0$ fixé,

$$Q_T = M_T P_V |_{\mathcal{F}_T^0} / C, \quad \text{où } C = \int M_T dP_V \in (0,1].$$

On va montrer que $C=1$ et $Q_T = \mathbb{Q}^V |_{\mathcal{F}_T^0}$, ce qui nous donne le résultat désiré. Calculons l'entropie de Kullback,

$$ 
\begin{align*}
0 \le h_{\mathcal{F}_T^0}(\mathbb{Q}^V; Q_T) &= h_{\mathcal{F}_T^0}(\mathbb{Q}^V; P_V) - \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^V} \log \frac{dQ_T}{dP_V |_{\mathcal{F}_T^0}} \\
&= TH(\mathbb{Q}^V) - \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^V} \left[ \log \Phi(X_T) - \log \Phi(X_0) - \int_0^t \frac{\mathcal{L}\Phi}{\Phi}(X_s)ds - \log C \right] \\
&= T J(v) + T \int \frac{\mathcal{L}\Phi}{\Phi} dv + \log C \quad (\text{d'après (iii)}) \\
&\le \log C \le 0 \quad (\text{d'après (iii)}).
\end{align*}
$$

Par suite, $C=1$ et $\mathbb{Q}^V |_{\mathcal{F}_T^0} = Q_T$.

## Étape 2: une inégalité du type Meyer-Zheng

**Lemme 5.4.** Supposons que $\Phi \in \mathcal{D}(\mathcal{E})$ est $\mathcal{E}$-quasi-continue et $v=\Phi^2 d\alpha \in M_1(E)$.
(a) Si de plus $h(v; \alpha) < +\infty$, $\Phi \in \mathcal{D}(\mathcal{L})$ (domaine de $\mathcal{L}$ dans $L^2(\alpha)$) et $\Phi > 0$ $\mathcal{E}$-quasi partout.
alors $\mathcal{Q}^V$ est donné par (5.11) et (5.12), et il est réversible.

(b) Dans le cas général, $\mathcal{Q}^V$ est réversible et $\forall \lambda>0$,

$$ (5.13) \qquad \mathcal{Q}^V \left[ \sup_{0 \le t \le T} \frac{\phi(X_t)}{\phi(X_0)} \vee \frac{\phi(X_0)}{\phi(X_t)} \ge 6e^\lambda \right] \le (3/\lambda) (\varepsilon(\phi, \phi) \cdot T + e^{-1}) + 3e^{-\lambda}. $$

En particulier

$$ (5.14) \qquad \mathcal{Q}^V(\sigma=+\infty) = \mathcal{Q}^V(\phi(X) \wedge \phi(X_-) > 0 \text{ sur } \mathbb{R}^+) = 1. $$

**Preuve:** (a) On voit facilement que (i), (ii) dans le Lemme 5.3 sont vérifiées. Comme

$$ 2 \mathbb{E}^V |\log \phi| \le 2/e + h(v; \alpha) < +\infty. $$

et d'après l'inégalité de Schwarz et (5.1),

$$ \int_E \left| \frac{\mathcal{L}\phi}{\phi} \right| d\nu = \int_E \left| \mathcal{L}\phi \right| \phi \, d\alpha \le \left( \int_E \left( \mathcal{L}\phi \right)^2 d\alpha \right)^{1/2} < +\infty \quad \text{et} \quad \int_E - \frac{\mathcal{L}\phi}{\phi} \, d\nu = \varepsilon(\phi, \phi) = J(v). $$

la condition (iii) du Lemme 5.3 est aussi vérifiée. Donc d'après Lemme 5.3, $\mathcal{Q}^V$ est donné par (5.12). Pour montrer la réversibilité, on constate d'après (5.12).

$$ \mathcal{Q}^V|_{\mathcal{F}_I^0} = \phi(X_0) \phi(X_t) \exp - \int_0^1 \frac{\mathcal{L}\phi}{\phi} (X_s) \, ds \, d\mathcal{P}_\alpha|_{\mathcal{F}_I^0}. $$

Comme $\mathcal{P}_\alpha$ est invariant par le retournement du temps $r_t: \mathcal{D}([0,1].E) \to \mathcal{D}([0,1].E)$ défini par $r_t(\omega)_t=\omega((1-t)-)$ d'après (H2), $\mathcal{Q}^V$ l'est aussi par la formule ci-dessus. Donc $\mathcal{Q}^V$ est réversible.

(b) Cas 1 : sous les conditions de (a). Pour tout $T>0$ fixé, on considère le retournement du temps $r_T(\omega)(t):=\omega((T-t)-)$ pour $t \in [0,T]$, $\omega \in \Omega_T=\mathcal{D}([0,T].E)$. Soit $(M_t)$ la martingale définie par (5.11). La découverte clé de Meyer-Zheng [MZ] se traduit ici par l'égalité :

$$ (5.15) \qquad \left[ \frac{\phi(X_t)}{\phi(X_0)} \right]^2 = M_t \cdot \frac{M_{(T-t)}(r_T)}{M_{T-(r_T)}}. $$

Par conséquent

$$ \sup_{0 \le t \le T} \left[ \frac{\phi(X_t)}{\phi(X_0)} \vee \frac{\phi(X_0)}{\phi(X_t)} \right]^2 \le \frac{\bar{M}_T \cdot \bar{M}_T(r_T)}{M_{T-(r_T)}} \vee \frac{M_{T-(r_T)}}{\bar{M}_T \cdot \bar{M}_T(r_T)}. $$

où

$$ \bar{M}_T = \sup_{0 \le t \le T} M_t, \quad \bar{M}_T = \inf_{0 \le t \le T} M_t. $$

Soient
$$ \xi = \inf \{ t \ge 0; M_t \ge e^{\lambda t} \} \quad \text{et} \quad \eta = \inf \{ t \ge 0; M_t \le e^{-\lambda t} \}. $$

nous avons

$$
\begin{align*}
\mathbb{Q}^V \left( \bar{M}_T \ge e^{\lambda t} \right) &= \mathbb{Q}^V \left( \xi \le T, M_{\xi \wedge T} \ge e^{\lambda t} \right) \le \frac{1}{\lambda} \int_{\Omega_T} \log^+ M_{\xi \wedge T} \, d\mathbb{Q}^V \\
&\le \frac{1}{\lambda} \left( h_{\mathcal{F}_{\xi \wedge T}^0} (\mathbb{Q}^V; \mathbb{P}_V) + e^{-1} \right) \\
&\le \frac{1}{\lambda} \left( h_{\mathcal{F}_T^0} (\mathbb{Q}^V; \mathbb{P}_V) + e^{-1} \right) \\
&\le \frac{1}{\lambda} (H(\mathbb{Q}^V) \cdot T + e^{-1}) \\
&= \frac{1}{\lambda} (\mathcal{E}(\phi, \phi) \cdot T + e^{-1}).
\end{align*}
$$

Et

$$ \mathbb{Q}^V \left[ \underline{M}_T \le e^{-\lambda t} \right] = \mathbb{Q}^V (\eta \le T) = \int_{[\eta \le T]} M_{\eta \wedge T} \, d\mathbb{P}_V \le e^{-\lambda t}. $$

Comme $\mathbb{Q}^V$ est réversible, on a les même estimations pour $\underline{M}_T(r_T)$ et $\bar{M}_T(r_T)$.
Par conséquent, nous obtenons

$$
\begin{align*}
\text{le membre gauche de (5.13) } &\le \mathbb{Q}^V(\bar{M}_T \ge e^{\lambda t}) + \mathbb{Q}^V(\bar{M}_T(r_T) \ge e^{\lambda t}) + \mathbb{Q}^V(M_{T-}(r_T) \ge e^{\lambda t}) \\
&\quad + \mathbb{Q}^V(M_{T-}(r_T) \le e^{-\lambda t}) + \mathbb{Q}^V(\underline{M}_T \le e^{-\lambda t}) + \mathbb{Q}^V(\underline{M}_T(r_T) \le e^{-\lambda t}) \\
&\le 3 \cdot \frac{1}{\lambda} (\mathcal{E}(\phi, \phi) \cdot T + e^{-1}) + 3 e^{-\lambda t}.
\end{align*}
$$

qui est exactement (5.13).

**Cas 2: Cas général.** Note que (5.14) est une conséquence immédiate de (5.13). On montre (5.13) pour $\phi$ général par une procedure de passage à la limite. Prenons

$$ \psi_n = \text{la version quasi continue de } nR_n(\phi \wedge n), \quad \phi_n = \psi_n / \sqrt{\langle \psi_n' \psi_n \rangle} \quad \text{où} \quad R_\lambda = \int_0^{+\infty} e^{-\lambda t} P_t \, dt. $$

Alors ([MR])

• $\phi_n \in \mathbb{Q}(\mathcal{L}) \cap L^\infty(\alpha)$ et $\phi_n > 0$ $\varepsilon$-quasi partout;

• $\mathcal{E}_t(\phi_n - \phi, \phi_n - \phi) := \langle \phi_n - \phi, \phi_n - \phi \rangle_\alpha + \mathcal{E}(\phi_n - \phi, \phi_n - \phi) \to 0$.
Le premier point dessus assure que $\phi_n$ vérifie toutes les conditions dans la partie (a).
D'après [MR], le deuxième point ci-dessus implique: pour tout $\delta>0$, $T\ge 0$,

$$
(5.16) \quad \mathbb{P}_x \left( \sup_{t \in [0, T]} |\phi_n(X_t) - \tilde{\phi}(X_t)| > \delta \right) \to 0,
$$

pour $\varepsilon$-quasi-tout $x \in E$. Fix $T$, $\lambda>0$. On désigne par $A_n$ (resp. A) l'événement associé à $\phi_n$
 resp. $\tilde{\phi}$) dans le membre gauche de (5.13). Nous avons donc pour $\mu\sim\alpha$ et $\mu\in M_1(E)$ fixée,

$$
(5.17) \quad \mathbb{P}_{\mu} (A_n \Delta A := (A_n \setminus A) \cup (A \setminus A_n)) \to 0 .
$$

Soit $v_n = \phi_n^2 d\alpha$. Evidemment $v_n \to v$ dans la $\tau$-topologie et

$$
J(v_n) = \varepsilon(\phi_n, \phi_n) \to \varepsilon(\phi, \phi) = J(v).
$$

Nous pouvons donc appliquer la Proposition 2.1. pour obtenir

$$
\limsup_{n \to +\infty} |\mathfrak{A}^V(A) - \mathfrak{A}^n(A_n)| \le \limsup_{n \to +\infty} |\mathfrak{A}^V(A) - \mathfrak{A}^n(A)| + \limsup_{n \to +\infty} \mathfrak{A}^n(A_n \Delta A) \\
= \limsup_{n \to +\infty} \mathfrak{A}^n(A_n \Delta A) .
$$

Nous vérifions que ce dernier terme est nul aussi. D'après le théorème de Dunford-Pettis.
$$ \{d\mathfrak{A}^n/d\mathbb{P}_\mu|\mathfrak{F}_T^0; n\ge1\} \text{ est uniformément intégrable dans } L^1(\mathbb{P}_\mu). \text{ Par conséquent.} $$

$$
\mathfrak{A}^n(\dot{A}_n \Delta A) = \int_{A_n \Delta A} d\mathfrak{A}^n/d\mathbb{P}_\mu |\mathfrak{F}_T^0| d\mathbb{P}_\mu \to 0.
$$

d'où la convergence $\mathfrak{A}^n(A_n) \to \mathfrak{A}^V(A)$. Donc l'inégalité (5.13) pour $\phi$ résulte de celle
pour $\phi_n$ (établie dans *Cas 1*), lorsque $n \to +\infty$.

Finalement la réversibilité de $\mathfrak{A}^V$ se déduit de celle de $\mathfrak{A}^{\vee n}$ et de la $\tau$-convergence. $\|$

Etape 3 : le cas général.

Soit $(\phi_n)$ la suite approchant $\phi$ dans $\mathcal{D}(\varepsilon_1)$, donnée dans la preuve du Lemme 5.4. Soient
$v_n = \phi_n^2 d\alpha$, $\mathfrak{A}^n = \mathfrak{A}^\vee n$ et $N^n$ la partie martingale de $\phi_n(X_\cdot) - \phi_n(X_0)$ dans la décomposition
de Dynkin-Fukushima pour $n \ge 1$, et $L^n$ la martingale locale donnée par : $dL^n = (1/\phi^n(X_\cdot))dN^n$.

On désigne par $N^{n,\varepsilon}$, $L^{n,\varepsilon}$, $\phi_n(X)^\varepsilon$ etc les processus arretés en $\sigma_\varepsilon$, qui est le temps d'arrêt défini dans (5.2)). On fixe une probabilité $\mu\sim\alpha$.

Notre idée est très simple : il s’agit de montrer *pour* $\varepsilon>0$ *fixé*.
(i) $L^{n,\varepsilon} \to L^\varepsilon$ et $[L^{n,\varepsilon} - L^\varepsilon]$ (le crochet droit) $\to 0$ en probabilité $\mathbb{P}_\mu$. uniformément sur l'intervalle du temps $[0,T]$;

(ii) En conclure que $e(L^{n,\varepsilon}) \to e(L^\varepsilon)$ dans le même sens.

Pour voir que les deux impliquent (5.7), rappelons le fait général: sur un espace mesurable $(E, \mathcal{B})$ quelconque,

(5.18) si $v_n=f_n d\mu \to v$ dans $(M_1(E), \tau)$ et $f_n \to f$ en mesure $\mu$, alors $f_n \to f$ dans $L^1(\mu)$.

Donc $f_n = dv_n/d\mu \to f = dv/d\mu$ dans $L^1(\mu)$ et

$$ \begin{align*} \mathbb{Q}^V|_{\mathcal{F}_T \wedge \sigma_\varepsilon}^{\alpha} &= \text{la limite dans la } \tau\text{-topologie de } \mathbb{Q}^n|_{\mathcal{F}_T \wedge \sigma_\varepsilon}^{\alpha} \quad (\text{Prop.2.1}) \\ &= \text{la limite dans la } \tau\text{-topologie de } f_n(X_0) e(L^{n,\varepsilon})_T d\mathbb{P}_{\mu|\mathcal{F}_T \wedge \sigma_\varepsilon}^{\alpha} \tag*{(par le Lemme 5.4 et le théorème d'arrêt de Doob)} \end{align*} $$

$$ = f(X_0) e(L^\varepsilon)_T d\mathbb{P}_\mu|_{\mathcal{F}_T \wedge \sigma_\varepsilon}^\alpha \quad (\text{par (5.18) et (ii) ci-dessus}) $$

$$ = e(L^\varepsilon)_T d\mathbb{P}_V|_{\mathcal{F}_T \wedge \sigma_\varepsilon}^\alpha $$

Comme $\forall \varepsilon>0$,

$$ h_{\mathcal{F}_T \wedge \sigma_\varepsilon}^{\alpha} (\mathbb{Q}^V : \mathbb{P}_V) \le h_{\mathcal{F}_T \wedge \sigma_\varepsilon}^{\alpha} (\mathbb{Q}^V ; \mathbb{P}_V) = T H(\mathbb{Q}^V) = T \varepsilon(\phi, \phi). $$

$(e(L^\varepsilon)_T, \varepsilon>0)$ est uniformément intégrable. En laissant $\varepsilon \to 0$, on obtient (5.7) de (5.6). (5.18) et de l'estimation à priori (5.14).

Il reste à vérifier (i) et (ii). Commençons par

$$ \begin{align} [L^{n,\varepsilon} - L^\varepsilon]_t &= [L^{n,\varepsilon}]_t + [L^\varepsilon]_t - 2 [L^{n,\varepsilon}, L^\varepsilon]_t \nonumber \\ &= \int_0^{t\wedge\sigma_\varepsilon} \frac{l}{\phi_n^2(X_{s-})} d[N^n]_s + \int_0^{t\wedge\sigma_\varepsilon} \frac{l}{\tilde{\phi}^2(X_{s-})} d[N^\phi]_s \nonumber \\ &\quad - 2 \int_0^{t\wedge\sigma_\varepsilon} \frac{l}{\tilde{\phi} \phi_n(X_{s-})} d[N^\phi \wedge N^\psi]_s . \end{align} $$

Nous savons que

$$ (5.20) \qquad \mathbb{E}^\alpha[N^n - N^\phi]_T = \mathbb{E}^\alpha \langle N^n - N^\phi \rangle_T = T \varepsilon(\phi_n - \phi, \phi_n - \phi) \to 0. $$

En passant par une sous-suite, on peut supposer $\mathbb{P}_\mu$-p.s. que,
$$ \bullet \ \sup_{t \le T} | [N^n]_t - [N^\phi]_t | \to 0 \quad (\text{par (5.20)}); $$

$$ \bullet \ \sup_{t \le T \wedge \sigma_\epsilon} \left| \frac{1}{\phi_n(X_{t-})} - \frac{1}{\tilde{\phi}(X_{t-})} \right| \to 0 \quad (\text{par (5.16)}); $$

Par conséquent par l'expression (5.19),

$$ (5.21) \qquad \sup_{t \le T} [L^{n,\epsilon} - L^\epsilon]_t(\omega) = [L^{n,\epsilon} - L^\epsilon]_T(\omega) \to 0, \mathbb{P}_\mu^{-\text{p.s.}}. $$

Cette convergence donne aussi la convergence uniforme sur $[0,T]$ en probabilité $(\mathbb{P}_\mu)$ de $L^{n,\epsilon}$ vers $L^\epsilon$ (voir [DM, II, p313]). Ainsi (i) est établie. Et la propriété (ii) est une conséquence de (i) (une estimation élémentaire à l'aide de (5.4b)).

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