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# Peut-on penser une science économique sans mathématique? Un exemple d'application du modèle de Schelling

Annick Vignes

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To cite this version:

Annick Vignes. Peut-on penser une science économique sans mathématique? Un exemple d'application du modèle de Schelling. Licence. Séminaire Panoram Recherche, DER ENS Paris-Saclay, France. 2025, 27 p. hal-05310630

HAL Id: hal-05310630

https://hal.inrae.fr/hal-05310630v1

Submitted on 13 Oct 2025

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# Peut-on penser une science économique sans mathématique?
## Un exemple d'application du modèle de Schelling

Annick Vignes

Economiste, Directrice de recherche INRAE (LISIS),
Chercheure associée au CAMS,
Professeure Ecole des Ponts

Séminaire Panorama Recherche
Paris Saclay, 13 janvier 2025

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École des Ponts

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INRAE

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# A quoi sert la science économique ?

**Serge-Christophe Kölm (1975)** : L'économie sert à donner à manger à ceux qui ont faim.
Kolm, S. C. (1986). À quoi sert la science économique?. Annales, Joseph Stiglitz (2011), prix Nobel 2001 : A travers leurs modèles, les économistes ont fourni le cadre intellectuel utilisé par les régulateurs financiers pour justifier leur inaction. La théorie économique est devenue un monde autosuffisant, une fausse représentation de la réalité.

**Les modèles économiques** : des modèles qui marchent correctement, sauf en cas de choc extrême, tels des parapluies qui s'ouvrent sauf en cas d'orage ?

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# Qu'étudie la science économique ?

Jusqu'à la première moitié du 19ème siècle, l'économie politique était considérée comme la recherche de

* ✓ (Adam Smith, fin du 18ème siècle), "la nature et des causes de la richesse des nations"

* ✓ lois qui régissent la distribution du produit de la terre (Ricardo, 19ème siècle)

* ✓ lois des rouages du capitalisme " (Marx, 19ème siècle)

* ✓ "Qu'est ce que la propriété ?" (Proudhon, 19ème siècle)

Droits de propriété : fondements du marché et robustesse du processus des échanges (Buchanan, 1919-2013, Nobel en 1986)

⇒ **Question centrale de l'économie** : Redistribution des ressources dans un contexte de rareté.

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Quelles sont les ressources rares ?

- Pour P. Samuelson (1948) :

* Le foncier / Le capital physique

* Le travail / le capital humain

- Pour les économistes du XXIème siècle :

* La connaissance : certaines formes de capital humain ?

* Le capital financier : niveau d'épargne suffisant ?

* l'information (problème central des asymétries d'information)

* recrutement des salariés / financement de projets / société de la « confiance / défiance » (ex : crise financière / crise sanitaire ...)

- Les ressources rares actuelles : climat, biodiversité etc.

- Dans certaines grandes villes : le logement

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L'individu rationnel

► Producteur : max. fonction de profit ss contrainte de coûts

► Consommateur : max. utilité ss contrainte budgétaire

► Ses préférences respecte les axiomes de complétude, réflexivité, transitivité. Pas de discontinuité dans ses choix.

► fonction d'utilité : représente les préférences (rationnelles) d'un consommateur

► Décroissance marginale de l'utilité : utilité est strictement croissante mais concave (ou quasi-concave) : maximisable.

Un individu rationnel :

a des préférences complètes (monotones), transitives ; non
saturation des préférences (on préfère toujours avoir plus que
moins), principe de convexité ($\lambda x + (1 - \lambda)y \gtrsim y$).

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La rationalité est-elle toujours souhaitable ?

La fable du boulanger : "Ce n'est pas de la bienveillance du boulanger que nous attendons notre dîner, mais plutôt du soin qu'ils apportent à la recherche de leur propre intérêt."
Adam Smith, 1776

La tragédie des commun sou tragédie de l'accès libre : "Cas d'un village où des éleveurs auraient accès au pré communal pour faire paître leurs vaches. S'ensuit un surpaturage, qui provoque la destruction du bien collectif. Dans ce cas, le comportement rationnel et maximisateur des individus conduit à un résultat dégradé pour l'ensemble du groupe."
Garret Hardin, 1968

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Le modèle de Schelling (1970) ou l'émergence d'une involontaire ségrégation

* Modèle qui explique le lien entre ségrégation spatiale et préférences individuelles concernant cette ségrégation.

* Montre, à partir d'une simulation très simple qu'une forte ségrégation peut être le résultat collectif de décisions individuelles qui ne visent pas, elles, à une telle ségrégation.

* Les préférences individuelles : chacun préfère vivre dans un voisinage dans lequel 1/3 des habitants lui ressemble (règle tolérante).

* Conséquence (effet pervers) : ségrégation urbaine élevée. L'état d'équilibre consiste en une séparation complète des populations.

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# L'échiquier de Schelling

<table><caption>Figure 1 – Un exemple d'évolution vers la ségrégation</caption><thead><tr><th>Situation de départ</th><th>Situation d'arrivée</th></tr></thead><tbody><tr><td><pre>. N B N B N B .<br>N B . B N B . B<br>B N . N B N B N<br>N B N B . B N B<br>B N B N B N B N<br>N B N B . . N B<br>B N . N B N B N<br>. B N . N B N . .</pre></td><td><pre>. B B . B B B B<br>B B N B B B B B<br>B N N N B . B B<br>N . N B . B B B<br>. N B B B N . B<br>N . N B N N .<br>. N N N N N . N<br>N N N N N N N</pre></td></tr></tbody><tfoot><tr><td colspan="2">(Les insatisfaits sont en gras)</td></tr></tfoot></table>

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Urban housing markets

L. Gauvin, A. Vignes, J-P Nadal (2013) : Modeling urban housing market dynamics : can the socio-spatial segregation preserve some social diversity ? (2013)

Pangallo, M., Nadal, J. P., Vignes, A. (2019). Residential income segregation : A behavioral model of the housing market.

> L'endroit où les gens vivent et la façon dont ils se répartissent dans les villes est important.

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# Ségrégation et distribution de revenus

Cet article :

⇒ cherche à expliquer comment des individus ayant des consentements à payer différents sont répartis dans une ville monocentrique.

⇒ traite de la dynamique de la formation des prix dans cette ville.

⇒ La ségrégation que nous examinons dans cet article est exclusivement liée à la répartition des revenus

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## Avec qui les gens préfèrent-ils vivre ?

La rationalité économique suggère qu'il vaut mieux vivre avec plus riche que plus pauvre que soi.

La littérature sur le bonheur tend à prouver que les gens sont plus heureux lorsqu'ils ont des voisins plus pauvres.

* Goyal and Ghiglino (2010) les individus pauvres sont perdants, tandis que les individus plus aisés y gagnent, lorsqu'ils passent d'une société économiquement ségréguée à une société intégrée.

⇒ Nous postulons que les gens préfèrent vivre avec des personnes aussi riches ou plus riches qu'eux (rationalité économique).

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## Un modèle de localisation résidentielle :

* Les agents **prennent leurs décisions** en fonction de leur consentement à payer (willingness to pay - WTP) et de leur évaluation individuelle de l'attractivité de chaque localisation de la ville.

* Les acheteurs, **hétérogènes** dans leur **WTP** cherchent des logements, en fonction de l'attractivité de chacun des emplacements possibles.

* Les agents sont à la fois des vendeurs et des acheteurs

* On définit une **attractivité intrinsèque** $A^0$ à chaque emplacement qui dépend de la distance géographique au centre (max au centre et décroit avec la distance, (Alonso and von Thünen) . hypothèse d'une ville monocentrique. Pourrait être généralisé à une ville polycentrique.

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# Démarche

* Modèle théorique : hypothèses et résultats analytiques

* Simulation et généralisation

* Comparaison avec des prix parisiens (tirés de la base des notaires B.I.E.N)

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# Modèle théorique : les hypothèses

* **A0 : l'espace** Un nombre fini $N$ de biens homogènes sont situés sur un espace discret $\Omega$ de localisations $X$ uniformément distribuées dans un espace bi-dimensional fermé.

* **A1 : Agents** le temps est discret et indexé par $t$. L'incrément de temps est $\delta t$. L'horizon est infini.

A chaque période, un nombre fini d'agents est dans un des 3 états suivants : (1) **acheteur**, (2) **vendeur**, (3) **logé**. Les agents logés deviennent des vendeurs avec un taux homogène $\alpha$. A $t$ un nombre constant de nouveaux acheteurs arrivent sur le marché.

* Ils s'ajoutent aux acheteurs qui n'ont pas réussi à acheter dans la période précédente.

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A2 : Les prix de demande

► Agents caractérisés par leur willingness to pay (or sell). → prix max qu’un agent est prêt à payer pour un bien.

► On considère un nombre fini *K* de WTP. Les agents avec le m WTP sont des *k*-agents, $k \in \{0, ..., K-1\}$, et ont un WTP $P_k, P_0 < P_1 < ... < P_{K-1}$.

► Quand un agent est acheteur, son prix de demande est $P_k^d = P_k$.

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# A3 : L'attractivité

La X-attractivité totale à l'instant $t$ vue par un $k$-agent est révisée à chaque étape de la dynamique comme suit :

$$ \Delta A_k = \underbrace{\omega \Delta t (A^0(X) - A_k(X, t))}_{\text{terme de relaxation : qd pas de transaction } \to 0} + \underbrace{\epsilon v_{k>}(X, t)}_{\text{nouveaux acheteurs avec WT}} $$

Quand $\omega$ est large, l'attractivité réagit très vite et tend vers zéro dès qu'il n'y a pas de transaction.

Plus $\epsilon$ est large, plus la décision d'acheter dépend du voisinage.

La X-attractivité moyenne :

$$ \bar{A}(X, t) = \sum_{k=0}^{K-1} \frac{A_k(X, t)}{K} \quad (1) $$

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# A4 : Les prix d'offre

Chaque vendeur ⇒ **Un prix d'offre qui dépend de sa "willingness to sell" et sur la X-attractivité moyenne.**

A $k$-agent, a une willingness to sell déterminée par sa WTP $P_k$.

Prix d'offre : $P_k^o(X)$ :

$$P_k^o(X) = P^0 + \underbrace{(1 - \exp(-\lambda \bar{A}(X, t)))}_{\rightarrow 0 \text{ quand } \bar{A}(X, t) \rightarrow 0} P_k \quad (2)$$

$P^0 \Rightarrow \text{prix minimum}$
$\lambda$ est un paramètre.

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# A5 : Le Matching (1)

A chaque étape de temps :

* La densité $\rho_k$ de k-acheteurs est la somme d'une proportion constante $\frac{\gamma_k}{K}$ de nouveaux acheteurs, et de la densité d'acheteurs qui ont échoué précédemment (outsiders)

* Chaque agent a une probabilité $\pi_k(X)$ de visiter une localisation $X$, qui dépend de l'attractivité de cette localisation :

$$ \pi_k(X) = \frac{1 - \exp(-\lambda A_k(X, t))}{\sum_{X' \in \Omega} (1 - \exp(-\lambda A_k(X', t)))}. \quad (3) $$

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A5 : Le Matching (2)

► Au lieu $X$, une transaction entre un $k$-acheteur et un $k'$-vendeur avec un prix d'offre $P_{k'}^o(X)$, **peut être réalisé si** $P_k > P_{k'}^o(X)$.

► Le prix de transaction :

$$P_{tr} = (1 - \beta)P_{k'}^{o}(X) + \beta P_{k}^{d} \quad (4)$$

où $\beta$ est un coefficient constant.

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## Dynamique de temps continu

* La densité totale $u_k(X, t)$ de **k-insiders** est :

$$ (1 - \alpha) \partial_t u_k(X, t) = v_k(X, t) - \alpha u_k(X, t) \quad (5) $$

A chaque période, une proportion $\alpha$ d'agents quitte le côté des insiders.

* Un k-agent **réactualise son attractivité** pour un certain lieu $X$ en continu :

$$ \partial_t A_k(X, t) = \omega (A^0(X) - A_k(X, t)) + \epsilon v_{k>}(X, t) \quad (6) $$

* La densité des **k-outsiders** $\rho_k(X, t)$ est :

$$ \rho_k(X, t) = v_k(X, t) + \bar{v}_k(X, t), \quad (7) $$

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Définition d'un équilibre non saturé

Il s'agit d'un équilibre pour lequel, $\forall k \in \{0, ..., K-1\}, \forall X \in \Omega$, soit le WTP des k-agents, personne ne peut s'y loger et $v_k^*(X) = 0$, soit les k-agents peuvent se loger et toute k-demande est satisfaite :

$$ \bar{v}_k^*(X) = 0. \qquad (8) $$

⇒ se réalise quand le flux d'entrée n'est pas trop important comparé au flux de sortie et au nombre total N de biens en un lieu donné.

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Let us first assume $P_c^* \le P_{K-1}$, hence $\bar{k} \le K-1$. We consider the $k$-agents with $k \ge \bar{k}$: **they are rich enough to buy a flat wherever they want**. The market is non saturated :

$$ \forall k \ge \bar{k}, \forall X \in \Omega, \bar{v}_k^*(X) = 0. \qquad (9) $$

**Proposition 1:** The density of housed $k$-agents with $k \ge \bar{k}$ does not depend on the level of individual WTP but only on the intrinsic attractiveness of the location, according to :

$$ \forall k \ge \bar{k} \quad \forall X \in \Omega, \quad u_k^*(X) = \frac{\gamma A^0(X)}{K\alpha Z^0} \qquad (10) $$

with

$$ Z^0 = \sum_{X \in \Omega} A_0(X). \qquad (11) $$

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**The budget constraint matters.** Not everybody is rich enough to buy a flat wherever he wants.

⇒ minimal distance $d_c^*(k)$ from the center at which a k-agent can buy a flat? **As one would expect, we find that the lower the WTP, the higher the distance.**

**Proposition 2 :** For $k < \bar{k}$, the density of k-insiders depends on the level of individual revenues and on the intrinsic attractiveness of the location according to :

$$u_k^*(X) = \frac{\gamma A^0(X)}{K\alpha \sum_{X' \in \Omega_k} A^0(X')} \quad \text{if } D(X) \ge d_c^*(k) \quad (12)$$

$$= 0 \text{ otherwise} \quad (13)$$

where

$$\Omega_k = \{X \in \Omega | D(X) \ge d_c(k)\} \quad (14)$$

and $D(X)$ is the distance to the center.

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Distribution des prix dans Paris

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FIGURE – Les prix diminuent quand la distance au centre augmente.

Commentaire : On rate l'effet 16ème.

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Comparison avec les données empiriques

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Figure: Averaged transaction prices with respect to the distance to the center (left: data, right: model).</figcaption></figure>

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Standard deviation des prix de transaction

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Figure: Standard deviation of the averaged transaction prices with the distance to the center (left: data, right: model).</figcaption></figure>

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## Ouverture et conclusion

⇒ On considère des agents hétérogènes dans leur capacité à payer (WTP) → ce qui permet d'aller plus loin que le simple cas de Schelling avec des agents aux caractéristiques binaires.

⇒ **Trois résultats importants, en lien avec l'action publique.**

1. Une ségrégation socio-spatiale avec les plus riches au centre et les plus pauvres en périphérie.

2. Mais l'existence d'une zone de mixité socio-spatiale.

3. La variance au centre, où les prix sont plus élevés est plus importante qu'en périphérie.

⇒ **Prolongements possibles.**

1. Que se passe t-il si les agents préfèrent vivre avec des plus pauvres qu'eux ?

2. Comment se diffusent les prix ?

3. Quels types de ségrégation dans les zones riches ?

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