# UNE INÉGALITÉ OPTIMALE POUR DES SOUS-VARIÉTÉS RIEMANNIENNES DANS DES ESPACES PSEUDO-RIEMANNIENS

B. Gmira

Université Abdelmalek Essaâdi, Katholieke Universiteit Leuven
and

L. Verstraelen

Université de Valenciennes Katholieke Universiteit Brussel

## Abstract

Let $M^n$ be a Riemannian $n$-submanifold of a real space form $Q_2^{n+2}(c)$ of constant curvature $c$ and of index 2. We prove a pontwise inequality relating the main Riemannian scalar invariants of $M^n$, namely the scalar curvature of $M^n$, the normal scalar curvature and the squared norm of the mean curvature vector of $M^n$ in $Q_2^{n+2}(c)$. Then we give some examples proving that the equality sign is in fact realized.

**Key words:** sous-variété riemannienne, courbure, espace à courbure constante.

**AMS subject classifications:** 53 B25, 53 A35, 53 A07
## 0. Introduction

Les deux conditions bien connues nécessaires à l'existence d'une immersion isométrique minimale d'une variété riemannienne $M^n$ dans l'espace euclidien, sont la non-compacité de $M$ et la non-positivité du tenseur de Ricci. Dans [4], S.S. Chern posait le problème de trouver d'autres telles conditions. Etant donnée une sous-variété riemannienne $M^n$ d'une variété réelle $N^m(c)$ à courbure constante $c$, on a comme conséquence directe de l'équation de Gauss, l'inégalité optimale suivante :

$$ (0.1) \qquad \|H\|^2 \geq \tau - c, $$

qui relie en plus de $c$ la courbure scalaire normalisée $\tau$, et le carré de la norme du vecteur de courbure moyenne de $M^n$ dans $N^m(c)$. B-Y.Chen [3] a caractérisé les sous-variétés qui réalisent l'égalité dans (0.1).

En ce qui concerne des inégalités universelles, i.e. valables sans aucune condition sur les sous-variétés considérées, entre courbures extrinsèques et intrinsèques, B-Y.Chen [2] a obtenu récemment l'inégalité suivante:

$$ (0.2) \qquad \delta_M \leq \frac{n^2(n-2)}{2(n-1)} \|H\|^2 + \frac{1}{2}(n+1)(n-2)c, $$

où $\delta_M = \frac{n(n-1)}{2}\tau(p) - \inf K(p)$, et $K(p)$ est la fonction courbure sectionnelle de $M^n$. Π a également donné une caractérisation, en termes de la seconde forme fondamentale, du cas où l'égalité est réalisée dans (0.2). En particulier, cette inégalité donne une troisième condition nécessaire à l'existence d'une immersion isométrique minimale d'une variété riemannienne $M^n$ dans l'espace euclidien: les courbures sectionnelles et la courbure scalaire doivent satisfaire $K(\pi) \geq \frac{1}{2}\rho(p)$ pour toute section plane $\pi \subset T_pM, p \in M$.

Plus récemment encore, P.J. De Smet, F. Dillen, L. Verstraelen et L. Vrancken [5] ont démontré une nouvelle inégalité ponctuelle, pour toute sous-variété $M^n$ d'une variété $N^{n+2}(c)$ réelle à courbure constante $c$, faisant apparaître en plus des invariants $\tau$ et $\|H\|^2$, un invariant extrinsèque additionnel qui est la fonction courbure normale $\tau^N$. Cette inégalité s'écrit:

$$ (0.3) \qquad \|H\|^2 \geq \tau + \tau^N - c. $$

Ces mêmes auteurs ont donné dans leur article, des exemples de plusieurs classes de sous-variétés réalisant l'égalité dans (0.3), et ont conjecturé que cette inégalité est vraie en toutes codimensions. Cette conjecture est déja prouvée pour $n=2, c=0$ en codimension 2 par Wintgen [10]; pour $n=2$
où X, Y sont des champs de vecteurs tangents à M. $h(X, Y)$ est un champ de vecteurs normal à M qui est symétrique en $X$ et $Y$. Soit $\xi$ un champ de vecteurs normal à M. Alors l'application de Weingarten $A_\xi$ relative à $\xi$ et à la connexion normale $\nabla^N$ de M dans $Q_n^m(c)$ est définie par la formule de Weingarten:

$$ \bar{\nabla}_X \xi = -A_\xi X + \nabla_X^N \xi, $$

où $-A_\xi X$ et $\nabla_X^N \xi$ sont respectivement la composante tangentielle et la composante normale de $\bar{\nabla}_X \xi$.

On prend un champ local de repères orthonormés $(e_1, \dots, e_n, \xi_1, \dots, \xi_{m-n})$ sur $Q_n^m(c)$ tel que $(e_1, \dots, e_n)$ sont tangents à M, et donc $(\xi_1, \dots, \xi_{m-n})$ sont normaux à M. Si $(\omega_1, \dots, \omega_m)$ est le corepère associé au repère précédent, la métrique pseudo-riemannienne sur $Q_n^m(c)$ et la seconde forme fondamentale s'écrivent respectivement:

$$ ds^2 = \sum_{i=1}^{n} \omega_i^2 - \sum_{\alpha=n+1}^{m} \omega_{\alpha}^2, \\ h = \sum_{\substack{1 \le \alpha \le m-n \\ 1 \le i,j \le n}} \varepsilon_{\alpha} h_{ij}^{\alpha} \omega_i \otimes \omega_j \otimes \xi_{\alpha}, $$

où $h_{ij}^{\alpha}$ est un tenseur symétrique, $\varepsilon_{\alpha} = \langle \xi_{\alpha}, \xi_{\alpha} \rangle$ et $\langle \cdot, \cdot \rangle$ désigne le produit indéfini associé à la métrique sur $Q_n^m(c)$.

Les formes de connexion s'expriment dans le corepère tangent $(\omega_1, \dots, \omega_n)$:

$$ (1.1) \qquad \omega_{i,\alpha+n} = \sum_{j=1}^{n} h_{ij}^{\alpha} \omega_j, \quad i = 1, \dots, n \text{ et } \alpha = 1, \dots, m-n. $$

Le vecteur de courbure moyenne défini par $H = \frac{1}{n}$ traceh s'écrit:

$$ (1.2) \qquad H = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} h(e_i, e_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{\alpha=1}^{(m-n)} \varepsilon_{\alpha} h_{ii}^{\alpha} \xi_{\alpha}, $$

Soient $R$ et $R^N$ les tenseurs de courbure associés à $\nabla$ et $\nabla^N$ respective-ment. L'équation de Ricci s'écrit:

$$ R^N(X, Y)\xi = h(X, A_{\xi}Y) - h(A_{\xi}X, Y). $$

Rappelons la définition de la courbure scalaire normalisée $\tau$ définie dans [3], et celle de la courbure normale scalaire normalisée $\tau^N$ introduite dans [5]:
$$ (1.3) \qquad \tau = \frac{2}{n(n-1)} \sum_{1 \le i < j \le n} <R(e_i, e_j)e_j, e_i>, $$

$$ (1.4) \qquad \tau^N = \frac{2}{n(n-1)} \sqrt{ \sum_{1 \le i < j \le n} \sum_{1=\alpha < \beta}^{m-n} <R^N(e_i, e_j)\xi_\alpha, \xi_\beta>^2 } $$

Remarque Pour $n = 2$, $\tau$ n'est autre que la courbure de Gauss K de la surface M et $\tau^N = |K^N|$, où $K^N$ est la courbure normale étudiée par Wintgen [10] (pour $m = 4$), puis par Guadalupe et Rodriguez [6] pour $m$ quelconque.

## 2. Démonstration du Théorème

Dans cette section, on prend $m = n + 2$, i.e. la sous-variété est de codimension 2. Les formules (1.2) et (1.4) se réduisent alors à:

$$ (2.1) \qquad H = -\frac{1}{n} \{ (\sum_{i=1}^{n} h_{ii}^{1}) \xi_{1} + (\sum_{i=1}^{n} h_{ii}^{2}) \xi_{2} \}, $$

$$ (2.2) \qquad \tau^N = \frac{2}{n(n-1)} \sqrt{ \sum_{1 \le i < j \le n} <R^N(e_i, e_j)\xi_1, \xi_2>^2 } $$

Pour démontrer le théorème A, nous aurons besoin de deux lemmes techniques et des deux inégalités triviales qui suivent:

$$ (2.3) \qquad (a+b)^2 \ge 4ab, $$

et l'égalité est réalisée dans (2.3) si et seulement si $a = b$.

$$ (2.4) \qquad (A-C)^2 \le 2((A-B)^2 + (B-C)^2), $$

et l'égalité est réalisée dans (2.4) si et seulement si $B = \frac{1}{2}(A+C)$.

2.1. Lemme Soient $n$ nombres réels $a_1, a_2, \dots, a_n$. On a:

$$ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 = \frac{1}{n-1} \left[ \sum_{i<j} (a_i - a_j)^2 + 2 \sum_{i<j} a_i a_j \right]. $$

2.2. Lemme [5] Soient $n$ nombres réels $a_1, a_2, \dots, a_n$, et soit $A = \sum_{i<j} (a_i - a_j)^2$. On a:
$A \ge \frac{n}{2}(a_1 - a_2)^2$ et l'égalité est satisfaite si et seulement si $\frac{1}{2}(a_1 + a_2) = a_3 = a_4 = \dots = a_n$.

Soient $k,l$ deus entiers tels que $1 \le k < l \le n$ et $(k,l) \ne (1,2)$. Si

$$A = \frac{n}{2}(a_1 - a_2)^2 = \frac{n}{2}(a_k - a_l)^2,$$

alors $a_1 = a_2 = a_3 = \dots = a_n$.

Démonstration Pour $n = 2$, le lemme est trivial. Supposons que le lemme est vrai pour un entier $n \ge 2$. Alors en appliquant successivement l'hypothèse de récurrence puis (2.4), on obtient:

$$ \begin{aligned} \sum_{1<i<j<n+1} (a_i - a_j)^2 &\ge \frac{n}{2}(a_1 - a_2)^2 + (a_1 - a_{n+1})^2 + (a_2 - a_{n+1})^2 \\ &\ge \frac{n+1}{2}(a_1 - a_2)^2, \end{aligned} $$

de plus, si l'égalité est satisfaite alors $a_3 = a_4 = \dots = a_n = a_{n+1}$ et $a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_1 + a_2)$. On voit immédiatement, par simple calcul que la réciproque est vraie.

Pour démontrer (2), on remarque que si $k, l > 2$ alors d'après (1), $a_k = a_l$, donc $A = 0$ et (2) découle immédiatement dans ce cas. On peut donc supposer que $l > 2$ et que $k = 2$. Appliquant alors (1) aux couples (1, 2) et (2, $l$), on trouve que $a_l = \frac{1}{2}(a_1 + a_2)$ et $a_1 = \frac{1}{2}(a_l + a_2)$, d'où $a_l = a_1 = a_2$, par conséquent $A = 0$.

Nous sommes à présent en mesure de démontrer le Théorème A.

Démonstration Soit $p \in \mathbb{N}^n$. On choisit $\xi_1$ dans la direction du vecteur de courbure moyenne et $\xi_2$ un vecteur orthogonal. Ensuite, on prend une base orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$ telle que l'application $A_{\xi_2}$ soit un endomorphisme diagonal. L'équation de Ricci nous donne alors:

$$ \langle R^N(e_i, e_j)\xi_2, \xi_1 \rangle = \langle (h_{jj}^2 h(e_i, e_j) - h_{ii}^2 h(e_i, e_j)), \xi_1 \rangle = \langle h_{jj}^2 - h_{ii}^2 \rangle h_{ij}^1. $$

D'où:

$$ \frac{n(n-1)}{2} \tau^N = \sqrt{\sum_{1 \le i < j \le n} (h_{jj}^2 - h_{ii}^2)^2 (h_{ij}^1)^2}. $$

L'équation de Gauss, traduite en termes de tenseurs de courbure donne:

$$ \langle R(e_i, e_j)e_j, e_i \rangle = c(\langle e_j, e_j \rangle \langle e_i, e_i \rangle - \langle e_i, e_j \rangle \langle e_j, e_i \rangle) + $$
$$ 
\begin{aligned}
&+i\langle h(e_j, e_j), h(e_i, e_i) \rangle - \langle h(e_i, e_j), h(e_j, e_i) \rangle = \\
&= c + \langle h_{jj}, h_{ii} \rangle - \langle h_{ij}, h_{ij} \rangle .
\end{aligned}
$$

D'où :

$$ (2.5) \qquad \frac{n(n-1)}{2} (\tau - c) = \sum_{1 \le i < j \le n} (\langle h_{ii}, h_{jj} \rangle - \langle h_{ij}, h_{ij} \rangle). $$

Maintenant, d'après (2.1) on a :

$$ n^2 ||H||^2 = \left( \sum_{i=1}^{n} h_{ii}^1 \right)^2 + \left( \sum_{i=1}^{n} h_{ii}^2 \right)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n} (h_{ii}^1)^2 + 2 \sum_{i<j} h_{ii}^1 h_{jj}^1 \right) + \left( \sum_{i=1}^{n} (h_{ii}^2)^2 + 2 \sum_{i<j} h_{ii}^2 h_{jj}^2 \right). $$

En appliquant le lemme 2.1, on obtient :

$$ 
\begin{aligned}
n^2 ||H||^2 &= \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i<j} (h_{ii}^1 - h_{jj}^1)^2 + \sum_{i<j} (h_{ii}^2 - h_{jj}^2)^2 \right) + \\
&\quad \frac{2n}{n-1} \sum_{i<j} (h_{ii}^1 h_{jj}^1 + h_{ii}^2 h_{jj}^2) = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i<j} (h_{ii}^1 - h_{jj}^1)^2 + \sum_{i<j} (h_{ii}^2 - h_{jj}^2)^2 \right) - \\
&\quad - \frac{2n}{n-1} \sum_{i<j} \langle h_{ii}, h_{jj} \rangle,
\end{aligned}
$$

ce qui, d'après (2.5), devient :

$$ 
\begin{aligned}
n^2 ||H||^2 &= \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i<j} (h_{ii}^1 - h_{jj}^1)^2 + \sum_{i<j} (h_{ii}^2 - h_{jj}^2)^2 \right) - \frac{2n}{n-1} \\
&\quad \left( \frac{n(n-1)}{2} (\tau - c) + \sum_{i<j} \langle h_{ij}, h_{ij} \rangle \right).
\end{aligned}
$$

Puisque $A_{\xi_2}$ est diagonal, cette dernière égalité est équivalente à la suivante :
$$n^2(n-1)(||H||^2 + \tau - c) = \left( \sum_{i<j} (h_{ii}^1 - h_{jj}^1)^2 + \sum_{i<j} (h_{ii}^2 - h_{jj}^2)^2 \right) + 2n \sum_{i<j} (h_{ij}^1)^2,$$

d'où :

$$n^2(n-1)(||H||^2 + \tau - c) \geq \sum_{i<j} (h_{ii}^2 - h_{jj}^2)^2 + 2n \sum_{i<j} (h_{ij}^1)^2.$$

Ensuite, utilisant successivement (2.3) et le lemme 2.2, on aboutit enfin à :

$$\sum_{i<j} (h_{ii}^2 - h_{jj}^2)^2 + 2n \sum_{i<j} (h_{ij}^1)^2 \geq \sqrt{8n \left( \sum_{i<j} (h_{ii}^2 - h_{jj}^2)^2 \right) \left( \sum_{k<l} (h_{kl}^1)^2 \right)} \\ \geq 2n \sqrt{\sum_{k<l} (h_{kk}^2 - h_{ll}^2)^2 (h_{kl}^1)^2} \geq n^2(n-1)\tau^N,$$

d'où l'inégalité (0.4).

Supposons maintenant, qu'en un point $p$ l'égalité est atteinte dans (0.4). Dans ce cas, toutes les inégalités obtenues précédemment deviennent des égalités. Alors, en appliquant (2.3) et le lemme 2.2. on trouve pour $(k, l)$, $1 \le k < l \le n$,

$$(2.6) \qquad h_{kk}^1 - h_{ll}^1 = 0,$$

$$(2.7) \qquad \mathrm{sum}_{i<j} (h_{ii}^2 - h_{jj}^2)^2 = 2n \sum_{i<j} (h_{ij}^1)^2,$$

$$(2.8) \qquad h_{kl}^1 = 0 \text{ ou } \frac{1}{2}(h_{kk}^2 + h_{ll}^2) = h_{mm}^2 \text{ pour tout } m \neq k, l.$$

Supposons d'abord que la seconde partie de (2.8) est vérifiée pour deux couples $(k, l)$. Alors, le lemme 2.2. implique que $h_{11}^2 = h_{22}^2 = \dots = h_{nn}^2$. Puisque $\xi_2$ est orthogonal à $H$, on a $h_{ii}^2 = 0$ pour tout $i$, et (2.7) donne $h_{ij}^1 = 0$ pour $i \neq j$ donc $M^n$ est totalement ombilicale d'après (2.6).

Supposons maintenant que la seconde partie de (2.8) est vérifiée pour un seul couple $(k, l)$. On peut supposer $k = 1$ et $l = 2$, quitte à réordonner la base $(e_1, \dots, e_n)$. Ensuite, en posant $h_{11}^2 = \mu$ et $h_{22}^2 = \nu$, on a $h_{mm}^2 =$
$\frac{1}{2}(\mu + \nu)$, d'où $\nu = -\mu$ puisque $\xi_2$ est orthogonal à $H$. D'après notre hypothèse, (2.8) donne $h_{kl}^1 = 0$ pour $k < l$, $(k, l) \neq (1, 2)$. Et, (2.7) se réduit à:

$$2n(h_{12}^1)^2 = 4\mu^2 + 2(n-2)\mu^2 = 2n\mu^2.$$

Ainsi, avec (2.6), et quitte à changer $e_2$ en $-e_2$ si nécessaire, la deuxième partie du théorème est démontrée dans ce cas.

Enfin, si la seconde partie de (2.8) n'est jamais satisfaite, alors $h_{kl}^1 = 0$ pour tous les indices $k < l$. Dans ce cas, (2.7) entrainerait $h_{11}^2 = \dots = h_{nn}^2$, ce qui contredit l'hypothèse.

### 3. Quelques classes de sous-variétés réalisant l'égalité

3.1. Les sous-variétés totalement ombilicales. Ce sont les sous-variétés pour lesquelles les opérateurs de Weingarten sont proportionnels à l'identité. Les sous-variétés totalement ombilicales de dimension $n$, d'une $(n+2)$-variété pseudo-riemannienne de signature $(2, n)$ à courbure constante satisfont clairement l'égalité dans (0.4). Une classification des sous-variétés totalement ombilicales d'une variété à courbure constante est donnée dans [1].

3.2. Les surfaces dont l'ellipse de courbure est un cercle. Pour davantage de détails sur la notion d'ellipse de courbure, voir [8] ou [11]. C'est le sous-espace de l'espace normal défini par $\{h(X, X) : X \in T_pM, ||X|| = 1\}$, où $h$ est la seconde forme fondamentale de l'immersion et $\| \|$ $\|$ la norme des vecteurs. Les surfaces d'une variété $Q_2^4(c)$ pour lesquelles l'ellipse de courbure est un cercle réalisent l'égalité dans (0.4) [7]. Un cas particulier de cette classe de surfaces est constitué par les surfaces superminimales (i.e. minimales ayant une ellipse de courbure circulaire) de l'espace pseudo-euclidien $E_2^4$. Les cylindres, au-dessus de telles surfaces réalisent également l'égalité.

3.3. Les courbes planes holomorphes. Les courbes holomorphes dans $C_1^2$ sont des surfaces superminimales de $E_2^4$ ($C_1^2$ étant l'espace pseudo-euclidien complexe de dimension 2 et de signature $(2, 2)$). Par conséquent les cylindres complexes, au-dessus de courbes holomorphes de $C_1^2$, satisfont aussi l'égalité dans (0.4).
3.4. Produit tordu (warped product) [9] Soient $(M_1, g_1)$ et $(M_2, g_2)$ deux variétés riemanniennes, et $\rho$ une fonction positive $C^\infty$ sur $M_1$. Le produit tordu (warped product) $M_1 \times_\rho M_2$ de $(M_1, g_1)$ et $(M_2, g_2)$ est la variété produit $M_1 \times M_2$ munie de la métrique $g = g_1 \times_\rho g_2$ définie par:

$$g_1 \times_\rho g_2 = \pi_1^* g_1 + (\rho \circ \pi_1) \pi_2^* g_2,$$

$\pi_i : M_1 \times M_2 \to M_i$ étant les projections naturelles, $i = 1, 2$. On obtient alors une série d'exemples en décomposant l'espace $E_2^{n+2}$ en produit tordu $E_2^{n+2} = E^{n-2} \times_\rho E_2^4$. Ainsi, prenant une surface superminimale $M^2$ de $E_2^4$ et formant la sous-variété $E^{n-2} \times_\rho M^2$ de $E_2^{n+2}$, on obtient encore une sous-variété qui réalise l'égalité dans (0.4).

## 4. Version hyperbolique des surfaces de Vrănceanu

Dans l'espace pseudo-euclidien $E_2^4$ munie de la métrique

$$\bar{g} = dx_1^2 + dx_2^2 - dx_3^2 - dx_4^2,$$

on considère les surfaces de rotation $M$ dont le vecteur position est donné par:

$$X(u, v) = r(u) (chu.shv, shu.chv, shu.shv, chu.chv),$$

où $(u, v) \in \mathbb{R}^2$ et $r(u)$ est une fonction différentiable. La première forme fondamentale est décrite par:

$$ds^2 = (r^2 - r'^2)du^2 + r^2 dv^2.$$

On choisit un repère mobile $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ de $E_2^4$ tel que $(e_1, e_2)$ soit tangent à $M$ et $(e_3, e_4)$ soit normal à $M$;

$$e_1 = (chu.chv, shu.shv, shu.chv, chu.shv),$$

$$e_2 = \frac{1}{A}(Bshv, Cchv, Cshv, Bchv),$$

$$e_3 = \frac{1}{A}(Cshv, Bchv, Bshv, Cchv),$$

$$e_4 = -\epsilon(shu.chv, chu.shv, chu.chv, shu.shv),$$
où

$$
\begin{cases}
A = \sqrt{\epsilon(r^2 - r'^2)}, \epsilon = \pm 1 \text{ de façon à ce que } \epsilon(r^2 - r'^2) > 0, B = \\
\qquad = r'chu + rshu \text{ et } C = r'shu + rchu.
\end{cases}
$$

Si <, > désigne le produit scalaire associé à la métrique $\bar{g}$ sur $E_2^4$, on vérifie aisément que l' on a:

$<e_1, e_1> = -<e_4, e_4> = 1, <e_2, e_2> = -<e_3, e_3> = \epsilon.$

Le repère $(e_1, e_2)$ et le corepère associé s'écrivent en fonction de $u$ et $v$
comme suit:

$$
e_1 = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial v}, \quad e_2 = \frac{1}{\epsilon A} \frac{\partial}{\partial u}, \quad \omega_1 = rdv \text{ et } \omega_2 = \epsilon A du.
$$

Les formes locales de structure sont déterminées à partir des équations

$$
de_i = \sum_k \epsilon_k \omega_{ik} e_k , \quad \epsilon_k = \langle e_k, e_k \rangle .
$$

On trouve :

$$
\begin{cases}
\omega_{12} = -\frac{r'}{rA}\omega_1, \quad \omega_{13} = -\frac{1}{A}\omega_1, \quad \omega_{14} = \frac{1}{A}\omega_2, \omega_{23} = \\
\qquad \frac{\epsilon}{A^3}(2r'^2 - rr'' - r^2)\omega_2, \quad \omega_{24} = \frac{1}{\epsilon A}\omega_1, \omega_{34} = \frac{r'}{\epsilon r A}\omega_1.
\end{cases}
$$

De ces équations et de la relation (1.1), on déduit la seconde forme
fondamentale :

$$
\begin{gather*}
\{h_{11}^1 = -a, \ h_{12}^1 = h_{21}^1 = 0, \ h_{22}^1 = \epsilon b, h_{11}^2 = h_{22}^2 = 0, \ h_{12}^2 = h_{21}^2 = \epsilon a, \\
(4.1)
\end{gather*}
$$

où l'on a posé :

$a = A^{-1} \text{ et } b = \epsilon A^{-1} (2r'^2 - rr'' - r^2).$

Ceci nous permet de déterminer le vecteur de courbure moyenne, la courbure de Gauss *K* et la courbure normale *K*^N de la surface *M* dans *E*<sub>2</sub><sup>4</sup>.
On obtient:
$$H = \frac{1}{2}\varepsilon(a-b)e_3, \quad \tau = K = ab + a^2, \\ \tau^N = |K^N| = |a(a + \varepsilon b)|.$$

Notons que lorsque $\varepsilon = +1$, i.e. dans le cas où $r^2 - r'^2 > 0$, la surface $M$ est une sous-variété riemannienne de l'espace pseudo-euclidien $E_2^4$; nous sommes donc dans les hypothèses du théorème A et il est aisé de vérifier l'inégalité (0.4) dans ce cas. Nous avons en effet:

$$ (4.2) \quad 4(-\|H\|^2 - \tau) = -[(a+b)^2 + 4a^2] \le -4|a(a+b)|, \le -4\tau^N. $$

D'autre part, les opérateurs de Weingarten s'écrivent dans la base:

$(e_1, e_2, \xi_1, \xi_2)$

où $\xi_1 = e_3$ et $\xi_2 = e_4$, sous la forme:

$$ A_{\xi_1} = (-) a00b, \quad A_{\xi_2} = (0) aa0 $$

On vérifie, à l'aide d'un calcul très simple d'algèbre linéaire, qu'il existe une base $(e'_1, e'_2)$ de l'espace tangent dans laquelle on a:

$$ A_{\xi_1} = ( ) b - a2\frac{\varepsilon_1(a+b)}{2\varepsilon_2}\frac{\varepsilon_1(a+b)}{2\varepsilon_2}\frac{b-a}{2}, \\ A_{\xi_2} = ( ) \varepsilon_1(a+b)2\varepsilon_200 - \frac{\varepsilon_1(a+b)}{2\varepsilon_2}, $$

si et seulement si l'égalité est satisfaite dans (4.2). Cette base est donnée par:

$$ e'_1 = \alpha(e_1 - \varepsilon_1 e_2 e_2), \quad e'_2 = \alpha(\varepsilon_1 e_1 + \varepsilon_2 e_2) \text{ avec } \varepsilon_i = \pm 1 \text{ et } \alpha \in \mathbb{R}^*. $$

Remarque L'égalité est satisfaite dans (4.2) si et seulement si on a:

$$ (4.3) \qquad |a+b| = 2|a|. $$

Et ceci équivaut, d'après (4.1), à $||h_{11} - h_{22}|| = 2||h_{12}||$; autrement dit l'ellipse de courbure est un cercle. En résolvant l'équation (4.3), on constate que l'égalité dans (4.2) est effectivement atteinte par les surfaces $M$ données par:
$$ \begin{gather*} \{X(u, v) = r(u) (chu.shv, shu.chv, shu.shv, chu.chv)r(u) = \\ kch(-2u + l) \text{ our}(u) = kch(2u + l), (u, v) \in \mathbb{R}^2, \end{gather*} $$

avec $k$ et $l$ des constantes arbitraires d'intégration. Parmi ces surfaces, les minimales sont celles pour lesquelles $r(u) = kch(-2u + l)$.

## References

[1] B. Y. Chen paper Geometry of submanifolds Marcel Dekker, New York, (1973).

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Received : March 10, 1997.

## B. Gmira

Université Abdelmalek Essaâdi

Faculté des Sciences

B. P.: 2121

Tétouan (Maroc)

Université de Valenciennes

Lamath Groep Exacte Wetenschappen

Le Mont Houy, BP 311

59304 Valenciennes Cedex (France)

## L. Verstraelen

Katholieke Universiteit Leuven

Departement Wiskunde

Celestijnenlaan 200 B

B 3001 Leuven (Belgium)

Katholieke Universiteit Brussel

Vrijheidslaan 17

B 1081 Brussel (Belgium)