# Sur la lissité du schéma Quot ponctuel emboîté

Sergej Monavari and Andrea T. Ricolfi

*Abstract.* Dans cet article on caractérise la lissité du schéma Quot ponctuel emboîté d'une variété lisse—c'est-à-dire l'espace de modules paramétrant les drapeaux de quotients de dimension 0 d'un faisceau localement libre fixé. Nos résultats étendent la classification de Cheah dans le cadre des schémas de Hilbert ponctuels emboîtés.

## 0 Introduction

Soit $X$ une variété lisse et quasi-projective de dimension $m$, définie sur le corps $\mathbb{C}$. Soit $E$ un faisceau localement libre de rang $r$ au dessus de $X$. Pour un entier fixé $d > 0$ et un $d$-uplet $\mathbf{n} = (0 \le n_1 \le \cdots \le n_d)$ d'entiers non-décroissant, on considère le schéma Quot ponctuel emboîté

$$ \mathrm{Quot}_X(E, \mathbf{n}) = \{[E \to T_d \to \cdots \to T_1] \mid \dim(T_i) = 0, \chi(T_i) = n_i\}, $$

où la dimension d'un faisceau cohérent $T$ est, par définition, la dimension de son support.

Dans cet article on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour que le schéma $\mathrm{Quot}_X(E, \mathbf{n})$ soit lisse. Quand $d=1$ on retrouve le schéma Quot de Grothendieck et par abus on remplace l'écriture $\mathbf{n} = (0 \le n)$ par l'entier $n \in \mathbb{N}$ cor- respondant. Sans que cela impacte la généralité de notre propos, on suppose au cours du théorème suivant que $\mathbf{n}$ est de la forme $\mathbf{n} = (0 < n_1 < \cdots < n_d)$.

**Théorème A** Soit $(X, E, \mathbf{n})$ comme ci-dessus. Alors $\mathrm{Quot}_X(E, \mathbf{n})$ est lisse dans les cas suivants:

(1) Si $m = 1$, pour tout choix de $(E, d, \mathbf{n})$,

(2) si $d = 1$ et $n = 1$,

(3) si $r = 1$, dans les cas suivants:

(a) $m = 2, d = 1$, pour tout choix de $n$,

(b) $m = d = 2$ et $\mathbf{n} = (n, n+1)$,

(c) $m \ge 3, d = 1$ et $n \le 3$,

(d) $m \ge 3, d = 2$ et $\mathbf{n} = (1, 2), (2, 3)$.

Dans tous les autres cas, $\mathrm{Quot}_X(E, \mathbf{n})$ est singulier.

<footnote>Received by the editors October 14, 2021; accepted March 9, 2022.</footnote>

<footnote>Published online on Cambridge Core March 14, 2022.</footnote>

<footnote>AMS subject classification: 14C05.</footnote>

<footnote>Keywords: Lissité, schéma Quot.</footnote>
On va démontrer le Théorème A de la façon suivante: on se ramène d'abord au cas $(X, E) = (\mathbb{A}^m, \mathcal{O}^{\oplus r})$, on généralise ensuite la classification de Cheah [3] pour $r = 1$ (listant tous les schémas de Hilbert ponctuels emboîtés lisses) au rang $r$ arbitraire; enfin on exclut toutes les exceptions à priori possibles, en produisant explicitement des points singuliers.

On remarque ici que dans le cas $d = r = 1$, correspondant au schéma de Hilbert de $n$ points Hilb$^n(X)$, il est connu que la lissité s'obtient si et seulement si $m \le 2$ ou bien $n \le 3$. Si $r > 1$, le schéma Quot$_X(\mathcal{O}^{\oplus r}, n)$ est lisse si $X$ est une courbe lisse, par contre il est singulier (mais irréductible, de dimension $n(r+1)$, voir [4] et [2, Example 3.3]) si $X$ est une surface.

La cohomologie de Quot$_X(E, n)$ a été étudiée en détail par Mochizuki [5] lorsque $X$ est une courbe lisse; dans ce cas-là, le motif $[\text{Quot}_X(E, n)] \in K_0(\text{Var}_C)$ de ce schéma a été calculé explicitement dans notre article [6].

# 1 Propriétés de l'espace de modules

On fixe, avec les notations précédentes, un triplet $(X, E, n)$ formé d'un faisceau localement libre $E$ au dessus d'une variété lisse $X$, et un $d$-uplet d'entiers $n = (0 \le n_1 \le \dots \le n_d)$ pour un entier $d > 0$. On rappelle que l'on utilise la notation $m = \dim X$ et $r = \text{rg} E$. On remarque aussi que, si $n_d = 1$, le schéma Quot$_X(E, n)$ est isomorphe à $\mathbb{P}(E)$, et notamment est lisse de dimension $m + r - 1$. Ce fait sera exploité dans la Section 1.3.

## 1.1 Espace tangent

Comme démontré en [6, Proposition 2.1], on peut décrire l'espace tangent du schéma Quot$_X(E, n)$ en un point $z = [E \to T_d \to \dots \to T_1]$ comme le noyau d'une application $\mathbb{C}$-linéaire appropriée,

$$ T_z \operatorname{Quot}_X(E, n) = \ker \left( \bigoplus_{i=1}^{d} \operatorname{Hom}(K_i, T_i) \xrightarrow{\Delta_z} \bigoplus_{i=1}^{d-1} \operatorname{Hom}(K_{i+1}, T_i) \right), $$

où l'on pose $K_i = \ker(E \to T_i)$. On omet la définition précise de $\Delta_z$. On nèn fera pas usage dans nos preuves (le lecteur pourra en trouver une définition dans [6, Section 2] ou encore, sous une forme équivalente, dans [5]).

## 1.2 Le morphisme somme directe

Supposons que l'on ait une décomposition $n = n_1 + \dots + n_s$, où tous les $n_k = (n_{k1} \le \dots \le n_{kd})$ sont des suites non-décroissantes d'entiers non-négatifs «plus petites» que $n$. La notation «somme» ci-dessus signifie bien-sûr que $n_i = \sum_{1 \le k \le s} n_{ki}$ pour tout $i = 1, \dots, d$. Considérons l'ouvert

$$ U \to \prod_{1 \le k \le s} \operatorname{Quot}_X(E, n_k), $$

paramétrant les $s$-uplets de quotients emboîtés

$$ z_k = [E \to T_{kd} \to \dots \to T_{k1}] \in \operatorname{Quot}_X(E, n_k), \quad k = 1, \dots, s, $$
tels que le support de $T_{kd}$ soit disjoint du support de $T_{ld}$ pour tout $1 \le k \ne l \le s$. Alors on a un morphisme de schémas

$$U \xrightarrow{\oplus} \operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n}),$$

qui associe à un $s$-uplet $(z_1, \dots, z_s)$ le point

$$[E \to T_{1d} \oplus \cdots \oplus T_{sd} \to \cdots \to T_{11} \oplus \cdots \oplus T_{s1}] \in \operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n}).$$

Une application immédiate du critère infinitésimal montre que ce morphisme est étale.

## 1.3 Dimension attendue

Fixons $\mathbf{n} = (n_1 \le \cdots \le n_d)$ et une décomposition $\mathbf{n} = \sum_{k=1}^{n_d} \mathbf{n}_k$, où tout $\mathbf{n}_k = (n_{k1} \le \cdots \le n_{kd})$ satisfait à la condition $n_{kd} = 1$. Dans le produit

$$\prod_{k=1}^{n_d} \operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n}_k) \cong \mathbb{P}(E)^{n_d},$$

on considère le sous-schéma ouvert $U_n$ paramétrant les $n_d$-uplets de quotients dont les supports sont deux à deux disjoints. L'ouvert $U_n$ est lisse de dimension $n_d(m+r-1)$. Comme $U_n$ est étale au dessus de $\operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n})$, à travers le morphisme somme directe, on peut définir la *dimension attendue*

$$\expdim \operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n}) = n_d(m+r-1).$$

En effet, $\operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n})$ contient un ouvert lisse (l'image de $U_n$) de cette dimension. Dans le cas du schéma de Hilbert de $n$ points $\mathrm{Hilb}^n(X)$, l'image de $U_n$ paramètre les $n$-uplets de points distincts (à permutation près). Sa dimension est bien $n \cdot \dim(X)$. Ce nombre est la dimension de $\mathrm{Hilb}^n(X)$ lorsqu'il est irréductible, car la clôture de Zariski de cet ouvert-là, que l'on appelle la *smoothable component*, est toujours une composante irréductible.

## 1.4 Connexité

Si $X$ est irréductible, le schéma $\operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n})$ est connexe [6, Theorem. 1.4]. Alors, si l'on trouve un point $z \in \operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n})$ tel que

$$\dim_{\mathbb{C}} T_z \operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n}) > \expdim \operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n}) = n_d(m+r-1),$$

il en résulte que $z$ est forcément un point singulier de $\operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n})$.

# 2 Démonstration du théorème

Nous allons réduire notre analyse sur l'existence des singularités dans le cas «global» $(X, E)$ à la même analyse dans le cas «local» $(\mathbb{A}^m, \mathcal{O}^{\oplus r})$.

**Lemme 2.1** Soit $X$ une variété lisse et quasi-projective de dimension $m$ sur $\mathbb{C}$, et soit $E$ un faisceau localement libre de rang $r$ au dessus de $X$. Alors $\operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n})$ est lisse si et seulement si $\operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, \mathbf{n})$ est lisse.
**Démonstration** L'énoncé résulte du fait que $\operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n})$ est localement une carte étale pour $\operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, \mathbf{n})$. On détaille ce fait dans la suite.

Considérons d'abord le cas $d=1$. Soit $U \subset X$ une sous-variété ouverte tel que $E|_U = \mathcal{O}_U^{\oplus r}$. Supposons que l'on ait un morphisme étale $\varphi: U \to \mathbb{A}^m$. Si l'on écrit $V_{r,n}^\varphi$ pour le sous-schéma ouvert de $\operatorname{Quot}_U(\mathcal{O}_U^{\oplus r}, n)$ paramétrant les quotients $[\mathcal{O}_U^{\oplus r} \to T]$ tels que $\varphi|_{\operatorname{Supp}(T)}$ soit injectif, on peut bien définir un morphisme étale [1, Proposition A.3]

$$ \Phi_n: V_{r,n}^{\varphi} \to \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}_{\mathbb{A}^m}^{\oplus r}, n) $$

en associant $[\mathcal{O}^{\oplus r} \to T] \mapsto [E \to \varphi_* \varphi^* E = \varphi_* \mathcal{O}^{\oplus r} \to \varphi_* T]$. En variant $(U, \varphi: U \to \mathbb{A}^m)$ pour couvrir $\mathbb{A}^m$ tout entier, on peut facilement confirmer le résultat dans le cas $d=1$.

Pour le cas général, fixons $\mathbf{n} = (0 < n_1 \le \cdots \le n_d)$ et $(U, \varphi)$ comme ci-dessus. Le produit des morphismes étales $\Phi_{n_i}$ nous donne un morphisme étale $\Phi_n$ qui apparaît dans un diagramme

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

où les flèches horizontales sont des immersions fermées.

On peut facilement vérifier que $Z_n^\varphi$ est aussi l'intersection schématique

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

dans un produit de schémas Quot classiques; comme $\operatorname{Quot}_U(\mathcal{O}_U^{\oplus r}, \mathbf{n}) \subset \operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n})$ est ouvert, on a trouvé un sous-schéma ouvert $Z_n^\varphi \subset \operatorname{Quot}_X(E, \mathbf{n})$ qui admet un morphisme étale vers $\operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}_{\mathbb{A}^m}^{\oplus r}, \mathbf{n})$. En faisant varier $(U, \varphi: U \to \mathbb{A}^m)$ tout comme dans le cas $d=1$ on obtient le résultat. $\square$

On aborde désormais la démonstration de notre résultat principal.

**Démonstration du Théorème A.** Grâce au Lemme 2.1 on peut supposer que $(X, E) = (\mathbb{A}^m, \mathcal{O}_{\mathbb{A}^m}^{\oplus r})$. La lissité dans le cas $m=1$, voir (1), est démontrée dans notre article [6, Proposition 2.1] et dans [5, Proposition 2.1]. La lissité dans les cas (3a)-(3d) a été démontrée par Cheah [3, Theorem, p. 43]. Enfin, (2) découle de l'isomorphisme $\operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, 1) \cong \mathbb{A}^m \times \mathbb{P}^{r-1}$ (voir aussi Remarque 2.2). Il reste à prouver qu'il n'existe pas d'autres schémas Quot ponctuels emboîtés lisses.
On note que si $\mathrm{Hilb}^n(\mathbb{A}^m) = \mathrm{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}, \mathbf{n})$ est singulier, alors il en est de même de $\mathrm{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, \mathbf{n})$ pour tout $r > 1$. En effet, le tore $\mathbb{G}_m^r$ opère canoniquement sur $\mathrm{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, \mathbf{n})$, et $\mathrm{Hilb}^n(\mathbb{A}^m)$ est une composante connexe du sous-schéma des points fixes [6, Proposition 3.1].

Comme Cheah a démontré que $\mathrm{Hilb}^n(\mathbb{A}^m)$ est singulier chaque fois qu'il ne tombe pas dans les cas (1), (2), (3a)–(3d), on déduit que, si $r > 1$, le schéma $\mathrm{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, \mathbf{n})$ est singulier dans les cas suivants:

(1) si $d \ge 3$, pour tout choix de $\mathbf{n}$,

(2) si $m = 2$, $d = 2$, $\mathbf{n} = (n, n')$ et $n' - n \ge 2$,

(3) si $m \ge 3$, $d = 1$, $n \ge 4$,

(4) si $m \ge 3$, $d = 2$, $\mathbf{n} \ne (1, 2), (2, 3)$.

Il ne reste plus qu'à démontrer que $\mathrm{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, \mathbf{n})$ est singulier dans les cas suivants:

(A) si $m \ge 2$, $r \ge 2$, $d = 1$ et $n \ge 2$,

(B) si $m \ge 2$, $r \ge 2$, $d = 2$ et $\mathbf{n} = (n, n+1)$.

Le cas (A) (resp. (B)) est l'énoncé du Lemme 2.3 (resp. Lemme 2.4). □

**Remarque 2.2** Soit $E$ un faisceau cohérent au dessus d'une variété $X$. L'isomorphisme $\mathrm{Quot}_X(E, 1) = \mathbb{P}(E)$ s'obtient en comparant les foncteurs de modules. En revanche, le cas $(X, E) = (\mathbb{A}^m, \mathcal{O}^{\oplus r})$, qui entraîne $\mathrm{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, 1) = \mathbb{A}^m \times \mathbb{P}^{r-1}$, s'obtient également à travers une présentation explicite du schéma $\mathrm{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, \mathbf{n})$ en tant que sous-schéma fermé du schéma $\mathrm{Quot}$ non-commutatif

$$ \mathrm{ncQuot}_{m}^{n,r} = \left\{ (A_1, \dots, A_m, v_1, \dots, v_r) \in \mathrm{End}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}^n)^m \times (\mathbb{C}^n)^r \;\middle|\; \begin{array}{l} (v_1, \dots, v_r) \text{ est} \\ (A_1, \dots, A_m)\text{-stable} \end{array} \right\} / \mathrm{GL}_n, $$

où $\mathrm{GL}_n$ opère par conjugaison sur les endomorphismes et par multiplication à gauche sur les vecteurs; enfin, la condition de stabilité se lit de la façon suivante: le sous- espace de $\mathbb{C}^n$ engendré par les vecteurs obtenus en appliquant tous les monômes possibles en $A_1, \dots, A_m$ au vecteurs $v_1, \dots, v_r$ coïncide avec $\mathbb{C}^n$ tout entier. On voit facilement que la variété $\mathrm{ncQuot}_m^{n,r}$ est lisse de dimension $(m-1)n^2 + rn$. Au cas où $n=1$, l'immersion (qui dans le cas général est définie par les relations $[A_i, A_j] = 0$) est triviale, et l'action de $\mathrm{GL}_1$ est aussi triviale sauf sur les $r$-uplets de nombres complexes $(v_1, \dots, v_r) \in \mathbb{C}^r$, qui ne peuvent pas être tous 0 grâce à la condition de stabilité. Ceci fournit une démonstration directe de la décomposition $\mathrm{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, 1) = \mathbb{A}^m \times \mathbb{P}^{r-1}$.

Pour compléter la démonstration du Théorème A il nous reste à traiter les cas (A) et (B).

**Lemme 2.3** Soit $m \ge 2$, $r \ge 2$, $n \ge 2$. Alors $\mathrm{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, \mathbf{n})$ est singulier.

**Démonstration** Nous commençons par démontrer l'énoncé dans le cas $n = 2$. Considérons un point $z \in \mathrm{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, 2)$ représenté par une suite exacte

$$ 0 \to \mathfrak{m}_0^{\oplus 2} \oplus \mathcal{O}^{\oplus r-2} \to \mathcal{O}^{\oplus r} \to \mathcal{O}_0^{\oplus 2} \to 0, $$
où $\mathfrak{m}_0 = (x_1, \dots, x_m) \subset \mathcal{O} = \mathbb{C}[x_1, \dots, x_m]$ est l'idéal de l'origine $0 \in \mathbb{A}^m$ et $\mathcal{O}_0 = \mathcal{O}/\mathfrak{m}_0$ est son faisceau structural. On obtient

$$
\begin{align*}
\dim_{\mathbb{C}} T_z \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, 2) &= \dim_{\mathbb{C}} \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}}(\mathfrak{m}_0^{\oplus 2} \oplus \mathcal{O}^{\oplus r-2}, \mathcal{O}_0^{\oplus 2}) \\
&= \dim_{\mathbb{C}} \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}}(\mathfrak{m}_0^{\oplus 2}, \mathcal{O}_0^{\oplus 2}) + \dim_{\mathbb{C}} \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}}(\mathcal{O}^{\oplus r-2}, \mathcal{O}_0)^{\oplus 2} \\
&= 4m + 2(r-2),
\end{align*}
$$

qui est plus grand que $\expdim \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, 2) = 2(m+r-1)$ comme $m \ge 2$. En exploitant la connexité du schéma Quot (voir la Section 1.4), le calcul ci-dessus montre que $z$ est bien un point singulier.

On suppose désormais que $n \ge 3$. Considérons le sous-schéma ouvert

$$
U \to \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, 2) \times \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, 1)^{n-2},
$$

paramétrant les $(n-1)$-uplets de quotients dont les supports sont deux à deux disjoints. Choisissons un point $u \in U$ de la forme $u = (\mathfrak{m}_0^{\oplus 2} \oplus \mathcal{O}^{\oplus r-2}, \mathfrak{m}_{p_1} \oplus \mathcal{O}^{\oplus r-1}, \dots, \mathfrak{m}_{p_{n-2}} \oplus \mathcal{O}^{\oplus r-1})$, où $0 \ne p_i \in \mathbb{A}^m$ pour tout $1 \le i \le n-2$ et $p_i \ne p_j$ pour $1 \le i \ne j \le n-2$. Le schéma $U$ est étale au dessus de $\operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, n)$ par le morphisme somme directe. On note $v$ l'image du point $u$ par ce morphisme. On trouve

$$
\begin{align*}
\dim_{\mathbb{C}} T_v \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, n) &= \dim_{\mathbb{C}} T_u U \\
&= 4m + 2(r-2) + (n-2)(m+r-1) \\
&= n(m+r-1) + 2m-2,
\end{align*}
$$

qui est plus grand que $\expdim \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, n) = n(m+r-1)$ comme $m \ge 2$. Encore une fois grâce à la connexité du schéma Quot, ceci prouve le résultat.

**Lemme 2.4** Soit $m \ge 2$, $r \ge 2$ et $n = (n, n + 1)$ pour $n \ge 1$. Alors $\operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, n)$ est singulier.

**Démonstration** On commence par montrer l'énoncé dans le cas $n=1$.

Considérons un point $z \in \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, (1,2))$ représenté par les quotients emboîtés

$$
[ \mathcal{O}^{\oplus r} \to \mathcal{O}_0^{\oplus 2} \to \mathcal{O}_0 ],
$$

et écrivons encore une fois $\mathfrak{m}_0 = (x_1, \dots, x_m) \subset \mathcal{O} = \mathbb{C}[x_1, \dots, x_m]$ pour l'idéal de l'origine $0 \in \mathbb{A}^m$. Comme on l'a rappelé à la Section 1.1, l'espace tangent en $z$ est donné par:

$$
\begin{align*}
T_z \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m} (\mathcal{O}^{\oplus r}, (1,2))
&= \ker \left( \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}} (\mathfrak{m}_0 \oplus \mathcal{O}^{\oplus r-1}, \mathcal{O}_0) \oplus \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}} (\mathfrak{m}_0^{\oplus 2} \oplus \mathcal{O}^{\oplus r-2}, \mathcal{O}_0^{\oplus 2}) \right. \\
&\qquad \left. \xrightarrow{\Delta_z} \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}} (\mathfrak{m}_0^{\oplus 2} \oplus \mathcal{O}^{\oplus r-2}, \mathcal{O}_0) \right).
\end{align*}
$$
D'autre part, les espaces vectoriels apparaissant en $\Delta_z$ satisfont

$$ \dim_{\mathbb{C}} \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}}(\mathfrak{m}_0 \oplus \mathcal{O}^{\oplus r-1}, \mathcal{O}_0) = m + r - 1, $$

$$ \dim_{\mathbb{C}} \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}}(\mathfrak{m}_0^{\oplus 2} \oplus \mathcal{O}^{\oplus r-2}, \mathcal{O}_0^{\oplus 2}) = 4m + 2(r-2), $$

$$ \dim_{\mathbb{C}} \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}}(\mathfrak{m}_0^{\oplus 2} \oplus \mathcal{O}^{\oplus r-2}, \mathcal{O}_0) = 2m + r - 2. $$

On obtient alors

$$ \dim_{\mathbb{C}} T_z \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, (1,2)) \geq (m+r-1) + (4m+2(r-2)) - (2m+r-2) \\ > 2(m+r-1) = \expdim \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, (1,2)). $$

Ceci entraîne que $z$ est un point singulier par notre remarque à la Section 1.4.

On va maintenant supposer que $n \ge 2$. Considérons le sous-schéma ouvert

$$ U \to \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, (1,2)) \times \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, (1,1))^{n-1}, $$

paramétrant les $n$-uplets de quotients dont les supports sont deux à deux disjoints. Choisissons un point $u = (z, z_1, \dots, z_{n-1}) \in U$, où $z$ est comme ci-dessus et $z_i$ est représenté par des quotients emboîtés

$$ [\mathcal{O}^{\oplus r} \to \mathcal{O}_{p_i} \xrightarrow{\sim} \mathcal{O}_{p_i}], \quad p_i \in \mathbb{A}^m. $$

On va supposer également que $0 \ne p_i \in \mathbb{A}^m$ pour tout $i$ et que $p_i \ne p_j$ pour $1 \le i \ne j \le n-1$. Le schéma $U$ est étale au dessus de $\operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, (n, n+1))$, par le morphisme somme directe. On note $v$ l'image du point $u$ par ce morphisme. On trouve

$$ \begin{aligned} \dim_{\mathbb{C}} T_v \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, (n, n+1)) &= \dim_{\mathbb{C}} T_u U \\ &> 2(m+r-1) + (n-1)(m+r-1) \\ &= (n+1)(m+r-1) \\ &= \expdim \operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^m}(\mathcal{O}^{\oplus r}, (n, n+1)). \end{aligned} $$

Le point $v$ est donc un point singulier.

Remerciements S.M. est financé par NWO grant TOP2.17.004.

## References

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[6] S. Monavari and A. T. Ricolfi, *On the motive of the nested Quot scheme of points on a curve*. Preprint, 2021. arXiv:2106.11817

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