# Simulation éléments finis étendus du phénomène de plasticité de transformation

Stéphane Valance, Julien Réthoré, Michel Coret, René de Borst

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Stéphane Valance, Julien Réthoré, Michel Coret, René de Borst. Simulation éléments finis étendus du phénomène de plasticité de transformation. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01495637

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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Simulation éléments finis étendus du
phénomène de plasticité de transformation

Stéphane Valance* — Julien Réthoré** — Michel Coret* — René de Borst**

* LaMCoS, UMR 5259, INSA-Lyon
20, av. Albert Einstein
F-69621 Villeurbanne cedex
{stephane.valance;michel.coret}@insa-lyon.fr

** TU Delft, Kluyerweg
NL-2629 HS Delft
{j.rethore;r.deborst}@TUDelft.nl

RÉSUMÉ. Les modèles actuels de plasticité de transformation sont essentiellement des modèles d'homogénéisation analytique utilisant une topologie simpliste de changement de phase. Or ils s'avèrent inefficaces pour modéliser des problèmes sous chargement complexe. Pour pallier ce problème on a mis au point une modélisation fine du changement de phase par la méthode des éléments finis étendus en association avec l'observation optique de la topologie des phases durant la transformation.

ABSTRACT. Usual models designed for transformation induced plasticity (TRIP) mechanical sim-
ulation makes an essential use of analytical homogeneisation. This implie to use a simplificate
topology of different phase while transformation is occuring. One of there weakness is that
they are unable to simulate TRIP under complex loadings. In order to overcome this limitation,
we design an Xfem simulation which enable the mechanical simulation of TRIP under complex
loading while taking into account the real phase change.

MOTS-CLÉS : plasticité de transformation (TRIP), X-fem, level set

KEYWORDS: transformation induced plasticity (TRIP), X-fem, level set
# 1. Préambule

La plasticité de transformation est provoquée par l'application d'un chargement sur un acier lorsqu'il change de phase. Ce phénomène peut s'expliquer par l'accomodation plastique, la charge oriente l'écoulement plastique local dû à la différence de compacité entre les phases (Greenwood et al., 1965), et, de plus, pour la transformation martensitique, par la formation de plaquettes à orientation préférentielles (Magee, 1970). Dans cette étude, on se focalise sur la simulation du phénomène d'accomodation plastique.

Jusqu'à présent, la simulation mécanique de ce phénomène se réalise essentiellement via des modèles analytiques, qui, s'ils décrivent bien le phénomène en terme de différence de compacité, sont par contre très simplistes dans la modélisation de la topologie des phase pendant la transformation (Leblond et al., 1986). Ainsi, pour des chargements complexes, ces modèles se révèlent incapable de prédire correctement la déformation plastique résiduelle (Coret et al., 2004).

Pour dépasser cette limitation, on présente dans cet article un modèle de simulation de la plasticité de transformation utilisant la méthode des éléments finis étendus (X-fem). Ce calcul permet d'obtenir l'état mécanique local. Ensuite un calcul de propagation du front par la méthode level set permettra de considérer le changement de topologie des phases.

Dans un premier temps, on présente le modèle X-fem associé à cette problématique. La partie suivante est consacrée à la description de la méthode utilisée pour modéliser le front de changement de phase. Enfin, on aborde les conclusions et les perspectives.

# 2. Modèle de simulation

## 2.1. Simulation mécanique : éléments finis étendus (X-fem)

D'un point de vue mécanique, un changement de phase se traduit par un saut du champs de densité à l'interface entre les deux phases. Pour conserver un milieu continu, et en faisant l'hypothèse que la frontière entre deux phases n'a pas d'épaisseur, la condition de saut de Hadamard associée à l'équation de conservation de la masse permet d'affirmer que le champs de déplacement subira une discontinuité faible (champs continu mais dérivée non continue) à l'interface entre les deux phases.

Dans la méthode X-fem (Moës et al., 1999), les discontinuités sont représentées par l'enrichissement de l'espace de projection avec des fonctions présentant le même type de discontinuité que le problème physique. Dans le cas d'une transformation de phase, les fonctions enrichies sont faiblement discontinues sur le front. On a ainsi choisi d'utiliser des fonctions 'chapeau', c'est à dire, en notant $\phi$ la fonction distance signée au front de changement de phase, et $u$ la fonction discrétisée :

$$u(x) \approx N(x)u = N^c(x)u^c + N^c(x)|\phi(x)|u^e \quad [1]$$
où N, Nᵉ sont les vecteurs nodaux des fonctions de forme, respectivement complets et classiques, **u**, **u**ᵉ, et **u**ᵉᵉ les vecteurs nodaux de degré de liberté, respectivement complets, classiques et enrichis.

Enfin, la stratégie d’intégration retenue consiste à garder un arrangement constant des points de Gauss pour éviter toute reprojection des variables internes lors de l’évolution du front. L’intégration est ainsi réalisée par un sous découpage non-conforme des éléments. Cette technique consiste à sous découper un élément en une grille de points de Gauss, ces points étant associé quatre par quatre, comme le montre la figure 1.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

**Figure 1.** Sous découpage non-conforme pour l’intégration d’un élément quadrangulaire traversé par un front. Les croix et les étoiles représentent des points de Gauss dont les proprietés matériaux sont celles de chacune des phases. Les rectangles grisés représentent les sous-élément d’intégration où l’intégration n’est pas éxacte.

## 2.2. Comportement matériau

Le comportement pris en considération pour ce modèle est un comportement thermo-élasto-plastique en contrainte plane. Le saut sur le champs de densité est traduit par un coefficient de dilatation non linéaire pour la phase finale obtenue dans le calcul comme cela est indiqué sur la figure 2, sur la schématisation de la courbe déformation-température dans le cas de la dilatométrie libre. L’algorithme plastique est de type retour radial en déformation, et le modèle de contrainte plane est obtenu par une condition de retour à zéro de la contrainte normale (de Borst, 1991).

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

**Figure 2.** Coefficient de dilatation pour chacune des phases, éxemple pour une simulation dont la phase initiale est de type α, C<sub>γ</sub> est le coefficient de dilatation de la phase γ
## 2.3. Illustration

L'illustration présentée figure 3 est réalisée pour un milieu biphasé soumis à un chargement en température.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.** Résultat de calcul pour un comportement élasto-plastique. De gauche à droite, déplacement horizontal et vertical sur le maillage déformé, champs de contrainte de von Mises</figcaption></figure>

# 3. Modélisation du front de changement de phase

## 3.1. Méthode level set

La méthode classique en association avec X-fem pour la simulation de front est d'utiliser une fonction *level set* (Osher *et al.*, 1988) : le front est modélisé par l'iso-0 d'un champs scalaire dont la norme du gradient est unitaire, *i.e.* la distance signée. En association avec ce modèle, Osher et Sethian proposent une équation de propagation, permettant de faire avancer le front, et une équation de réinitialisation assurant la conservation de la distance signée. L'initialisation à la distance signée est nécessaire pour obtenir un mouvement exact et régulier du front à partir de la vitesse normale du front et de l'équation de propagation.

Historiquement, la méthode *level set* à été définie pour des schémas différence finies. Son utilisation en conjonction avec X-fem implique un code héterogène mixant la résolutionet la mise en forme de problèmes éléments finis et différences finies. Pour pallier à ce problème, Mourad & al. (Mourad *et al.*, 2005) proposent une méthode éléments finis pour propager le front. Malheureusement, il manque à cette méthode l'étape décisive d'initialisation de la distance signée. Les paragraphes suivants présentent une méthodologie concernant cette initialisation ainsi que l'obtention du front initial.

## 3.2. Reinitialisation de la distance signée

Pour l'initialisation de la distance signée, on recherche un champs de vitesse permettant d'assurer entre deux pas de temps fictifs une propagation du contour telle que $|| \nabla \phi || = 1$, avec $\phi$ la fonction level set. Ce calcul doit se faire avec comme condition limite une vitesse nulle sur l'iso-0 du contour pour ne pas modifier le front discrétisé.
Cette condition limite interne est assurée par un choix d'enrichissements adéquat dans le cadre X-fem. Le choix d'enrichissement réalisé est tel que l'espace de projection est réduit à la valeur nulle sur le front : $V_e \simeq N^c(x)\phi(x)V_e^e$, où $V_e$ est le champs de vitesse utilisé pour la propagation, et $V_e^e$ le vecteur de degré de liberté nodal enrichi associé.

### 3.3. Obtention du front initial

On suppose ici que le front level set s'appuie sur la séparation entre deux domaines, représentable par une image à deux niveaux de couleur. La solution proposée consiste ainsi à minimiser la distance entre la fonction level set $\phi$ et chacun de ces niveaux de couleur, l'un des niveaux étant affecté d'une valeur constante négative et l'autre positive. Soit, avec $P(x)$ la fonction représentant l'image :

$$ \forall x \in \Omega, \text{ trouver } \phi \text{ tel que : } \min(\phi(x) - P(x)) \quad [2] $$

Cette forme du problème permet ensuite la production d'un problème variationnel puis éléments finis bien posé.

### 3.4. Illustration

L'exemple présenté figure 4 montre les différentes étapes permettant d'obtenir successivement un front initial, puis d'obtenir un champs level set, i.e. dont la norme du gradient est constante. Les calculs ont été réalisés sur un maillage régulier de 10x10 éléments quadrangulaires à quatre noeuds.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 4.** De gauche à droite, image initiale, front discrétisé obtenu, et la norme de son gradient, avant et après reinitialisation</figcaption></figure>

## 4. Conclusion

On a présenté dans cet article une application de la méthode X-fem et level set dans un cadre éléments finis dans le but de réaliser une simulation éléments finis mécanique du changement de phase dans les aciers. La propagation du contour se fait dans un
premier temps avec une vitesse constante normée pour respecter la proportion globale
de chacune des phases issue d'essais en dilatométrie libre.

L'étape suivante pour aboutir à une simulation fine de la topologie est d'utiliser
une vitesse réaliste pour la propagation du front, *via* le concept de force matérielle
introduit par Maugin (Maugin, 2003). Pour cela, on devra coupler les simulations à
des observations de la topologie réelle des phases pendant la transformation.

Remerciements

partenaires du programme inzat4, fédération Rhône-Alpes matériaux, conseil ré-
gional Rhône-Alpes

**5. Bibliographie**

Coret M., Calloch S., Combescure A., « Experimental study of the phase transformation plasti-
city of 16MND5 low carbon steel under multiaxial loading », *Eur. J. Mech. A/Solids*, vol.,
p. 823-842, 2004.

de Borst R., « The zero-normal-stress condition in plane stress and shell elastoplasticity », *Com. Appl. Num. Meth.*, vol. 7, p. 29-33, 1991.

Greenwood G., Johnson R., « The deformation of metals under small stresses during phase
transformations », *Proc. R. Soc.*, vol. 283, p. 403-422, 1965.

Leblond J., Mottet G., Devaux J., « A theoretical and numerical approach to the plastic beha-
vior of steels during phase transformations I. Derivation of general relations », *Jal. Mech. Phys. Solids*, vol. 34, n° 4, p. 395-409, 1986.

Magee C., *Nucleation of martensite, Phases transformations*, oh edn, ASM, Metals Park, 1970.

Maugin G., « Pseudo-plasticity and Pseudo-inhomogeneity Effects in Materials Mechanics », *J. Elas.*, vol. 71, p. 81-103, 2003.

Moës N., Dolbow J., Belytschko T., « A finite element method for crack growth without reme-
shing », *Int. J. Numer. Meth. Engng.*, vol. 46, p. 131-150, 1999.

Mourad H. M., Dolbow J., Garikipati K., « An assumed-gradient finite element method for the level set equation », *Int. J. Numer. Meth. Engng.*, vol. 64(8), p. 1009-1032, 2005.

Osher S., Sethian J., « Fronts propagating with curvature dependent speed : algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations », *J. Comp. Phys.*, vol. 79, p. 12-49, 1988.