# SL(2, Z), les tresses à trois brins, le tore modulaire et Aut + (F 2 ). d'après Emil Artin et Jacob Nielsen

Alexis Marin Bozonat

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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Alexis Marin Bozonat. SL(2, Z), les tresses à trois brins, le tore modulaire et Aut + (F 2 ). d'après Emil Artin et Jacob Nielsen. 2025. hal-05123432v2

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$SL(2, \mathbb{Z})$, les tresses à trois brins, le tore modulaire et $Aut^+(F_2)$.

par Alexis Marin, d'après Emil Artin et Jacob Nielsen

à Valentin Poénaru pour son nonante et deuxième anniversaire,
de la part de son ami Jean Cerf<fnref n="1" />.

Résumé

Le groupe spécial linéaire entier deux-dimensionnel agit sur le quotient par symétrie centrale du tore entier. La présentation d'Artin du groupe $B_3$ des tresses à trois brins produit alors une présentation de $SL(2, \mathbb{Z})$ de générateurs, les paraboliques $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Cette « présentation d'Artin » de $SL(2, \mathbb{Z})$ clarifie l'action de son groupe dérivé sur le demi-plan de Poincaré $H$ et son quotient le tore modulaire, ainsi que le théorème de Nielsen donnant le groupe des automorphismes directs du groupe libre de rang 2 en produit semi-direct, amalgamé sur le sous-groupe d'indice 2 du centre de $B_3$, des automorphismes intérieurs par $B_3$.

Abstract

The action of $SL(2, \mathbb{Z})$ on the integer torus and its quotient by central symmetry and Artin's presentation of three strings braid group $B_3$, produces a presentation with parabolic generators $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. This braided presentation describes the action of the derived group on Poincaré's half plane and its quotient the modular torus, just as Nielsen's theorem giving the group of direct automorphisms of the free group on two generators as semi-direct product, amalgamated on the index 2 subgroup of the center of $B_3$, of inner automorphisms with $B_3$.

2020 Mathematics Subject Classification :

Primary: 20F36; Secondary: 20H05, 20F05, 20E36, 57K20, 01A99.

Key Words and Phrases. Braid group, modular torus, Nielsen's theorem for $Aut^+(F_2)$.

<footnote n="1">¹ Ce texte a d'abord été accepté dans un volume édité par Louis Funar et Athanase Papadopoulos en l'honneur de Valentin Poenaru, puis refusé par Springer pour ne pas être écrit dans la « grande belle langue angloUSienne ».</footnote>
Soit $Aut(F_2)$ le groupe d'automorphismes de $F_2 = \langle u, v \rangle$, le groupe libre à deux générateurs, et $Int(F_2)$ le sous-groupe normal des automorphismes intérieurs.

Le groupe d'Artin des tresses à trois brins $B_3 = \langle a, b \mid aba = bab =: s \rangle$, de centre$^2$Z = $\langle s^2 = ababab \rangle$ se représente aussi$^3$ comme sous-groupe de $Aut(F_2)$.

L'abélianisation $F_2 \to \mathbb{Z}^2$ induit $\rho : Aut(F_2) \to GL(2, \mathbb{Z})$. Le sous-groupe des automorphismes directs de $F_2$ est noté :

$$Aut^+(F_2) := \rho^{-1}(SL(2, \mathbb{Z})) \subset Aut(F_2).$$

Nielsen a essentiellement montré :

**THÉORÈME.** — Le sous-groupe $Int(F_2)$ des intéromorphismes est le noyau de :

$$\rho^+ := \rho_1 : Aut^+(F_2) \to SL(2, \mathbb{Z})$$

et engendre avec $B_3$ le groupe des automorphismes directs :

$$Aut^+(F_2) = Int(F_2)B_3.$$

Comme $\rho^+$ est surjectif et $\rho^+(s^2)=-I \neq 1$ il suit la présentation d'Artin :

$$(\mathfrak{A}) \qquad SL(2, \mathbb{Z}) \simeq B_3/\langle s^4 \rangle = \langle a, b \mid aba = bab, (ababab)^2 = 1 \rangle$$

Mais la preuve proposée en Appendice B de ce théorème de Nielsen nécessite cette présentation, présentation qui, indépendamment de la surjectivité de $\rho^+$, est obtenue au §1 grâce à l'action affine de $SL(2, \mathbb{Z})$ sur la sphère plate $\mathbb{S}$, quotient du tore entier $\mathbb{T} = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ par la symétrie centrale $-I : \mathbb{T} \to \mathbb{T}, x \mapsto -x$.

Le §2 décrit, à l'aide de $(\mathfrak{A})$, l'action sur le demi-plan de Poincaré du groupe dérivé $G'$ du groupe modulaire $G = SL(2, \mathbb{Z})/\{\pm I\}$, de quotient le tore modulaire.

L'appendice A explicite l'image dans $B_3 = \pi_0(Diff(\mathbb{S}; \mathbb{T}_2, \{\emptyset\}))$ des générateurs de la présentation $(\mathfrak{A})$, l'appendice B établit, en sus du plongement de $B_3$ dans $Aut^+(F_2)$, les théorèmes de Nielsen de structure et caractérisation de $Aut^+(F_2)$, l'appendice C, grâce à une forme normale dans $B_3$, déduit du théorème de Nielsen la classification à conjugaison près des éléments de torsion de $SL(2, \mathbb{Z})$ et $Aut^+(F_2)$, l'appendice D introduit le groupe des *tresses diédrales* à trois brins $DB_3$ permettant d'obtenir des résultats analogues pour le groupe complet $Aut(F_2)$ des automorphismes du groupe libre à deux générateurs, l'appendice E traite du produit semi-direct de deux groupes amalgamé$^4$ sur un sous-groupe commun.

<footnote>$^2$ On n'utilise que l'élément $s=aba=bab$, conjuguant $a$ en $b$ n'est pas central mais $s^2$ l'est. Qu'il engendre le centre demande plus de travail dans la littérature mais suivra ici de la présentation d'Artin du groupe de centre trivial $PSL(2, \mathbb{Z})=B_3/\langle s^2 \rangle$ établie au §1.</footnote>

<footnote>$^3$ via $a(u, v) = (u, u^{-1}v)$, $b(u, v) = (vu, v)$ (Cf. la Proposition de l'Appendice B).</footnote>

<footnote>$^4$ une notion, sans doute bien connue, mais que nous n'avons pas trouvée dans la littérature.</footnote>
Enfin en postroduction, des commentaires bibliographiques sur les divers
traitements de ces résultats dans la littérature.

REMERCIEMENTS

Cette note doit tout aux relectures attentives de Danielle Bozonat, Daniel Marin, des éditeurs Athanase Papdopoulos et Louis Funar et surtout Greg McShane qui, en partageant ses tentatives contre la conjecture d'unicité de Frobenius pour les nombres de Markoff (Cf. [H]), a poussé le metteur en scène à comprendre le tore modulaire. Enfin n'oublions pas l'arbitre qui, avec patience et longueur de temps, a fourni la matière du quatrième de couverture.

§1 Le morphisme $SL(2, \mathbb{Z}) \to B_3/\mathbb{Z}$ et la présentation parabolique de $SL(2, \mathbb{Z})$.

Le groupe $SL(2, \mathbb{Z})$ agit sur l'espace vectoriel $V = \mathbb{R}^2$, respectant le réseau
$\Lambda = \mathbb{Z}^2$, induisant un automorphisme du tore quotient $\mathbb{T} = V/\Lambda$. La suite exacte :

$0 \rightarrow \Lambda \rightarrow V \rightarrow \mathbb{T} \rightarrow 0$

fait apparaître $\Lambda$ comme groupe fondamental de $\mathbb{T}$ et $\bar{M} : (\mathbb{T}, 0) \rightarrow (\mathbb{T}, 0)$,
l'automorphisme induit par $M \in SL(2, \mathbb{Z})$, produit sur ce groupe fondamental
la restriction $\pi_1(\bar{M}, 0) = M_\downarrow : \Lambda \rightarrow \Lambda$ de $M$ à $\Lambda$.

Le centre {$\pm I$} < SL(2, $\mathbb{Z}$) fixe le sous-groupe de 2-torsion $\mathbb{T}_2 = \frac{1}{2}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ et
l'action de SL(2, $\mathbb{Z}$) passe au quotient en une action par homéomorphismes affines :

$$
\pi : G = \mathrm{PSL}(2, \mathbb{Z}) \to \mathrm{Affeo}(\mathbb{T}/\{\pm I\}, \mathbb{T}_2, \{\bar{0}\})
$$

du groupe modulaire $G=SL(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ sur la sphère plate à 3+1 points singuliers
(d'angle $\pi)^5$ $(\mathbb{T}/\{\pm I\}, \mathbb{T}_2, \{0\}) =: (\mathbb{S}, \{m,n,p,\infty\}, \{\infty\}) =: (\mathbb{S}, R, \{\infty\})$.

D'où par lissage<fnref n="6" />, fibration de Cerf et suite exacte d'une fibration :

$$
\begin{align*}
\pi_0 : SL(2, \mathbb{Z}) &= \pi_0(SL(2, \mathbb{Z})) \rightarrow \pi_0(Affeo(\mathbb{S}, R, \{\infty\})) \rightarrow \\
&\rightarrow \pi_0(Diff(\mathbb{S}, R, \{\infty\})) = \pi_1(Pl(R \setminus \{\infty\}, \mathbb{S} \setminus \{\infty\}))/Z
\end{align*}
$$

<footnote n="5">5 notés $p = (\frac{1}{2}, 0)$, $n = (0, \frac{1}{2})$, $m = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ et $\infty = (0, 0)$.</footnote>

<footnote n="6">⁶ Si $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ on déforme, dans le commutant de $\{\pm I\}$, $\bar{M}$ au voisinage de $R$ en $\bar{M}_c$, affine près de $R$ de partie linéaire la « conformisée $\begin{pmatrix} a & -c \\ c & a \end{pmatrix}$ sur la première colonne », de $M$.</footnote>
où $Z = \langle ababab \rangle$ est le centre du groupe $B_3$ des tresses à trois brins d'Artin<fnref n="7" /> :

$$B_3 = \pi_1(\mathrm{Pl}(\{m, n, p, \}, \mathbb{S} \setminus \{\infty\})) = \langle a, b \mid aba = bab \rangle.$$

Si $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, on a :

$$ABA=S=BAB, S^4=I, S^2=-I \neq I \quad \text{et (cf. Appendice A)} \quad \pi_0(A)=a, \pi_0(B)=b$$

d'où un morphisme $\sigma : B_3 \to SL(2, \mathbb{Z})$ défini sur les générateurs de la présentation d'Artin par $\sigma(a) = A, \sigma(b) = B$ qui, si on note $\bar{\rho} : B_3 \to B_3/Z$, vérifie $\pi_0 \circ \sigma = \bar{\rho}$.

Ainsi, si $s = aba = bab$, le morphisme $\sigma$ induit un morphisme injectif :

$$\bar{\sigma} : B_3/\langle s^4 \rangle \to SL(2, \mathbb{Z})$$

qui est isomorphisme puisqu'aussi surjectif car, si $M \in SL(2, \mathbb{Z})$ et $\pi_0(M)$ est représenté par $\mu \in B_3$, les matrices $M$ et $\sigma(\mu)$ sont la $\pi_1$-action de relevés de deux difféomorphismes homotopes de $(\mathbb{S}, R, \{\infty\}) = (\mathbb{T}/\{\pm I\}, \mathbb{T}_2, \{0\})$ donc sont, soit égales et $M = \sigma(\mu)$, soit opposées et $M = \sigma(s^2\mu)$. $\square$

On vient d'établir les présentations :

$$SL(2, \mathbb{Z}) = \langle A, B \mid ABA(BAB)^{-1}, (ABABAB)^2 \rangle$$

$$G = PSL(2, \mathbb{Z}) = \langle A, B \mid ABA(BAB)^{-1}, ABABAB \rangle$$

et $SL(2, \mathbb{Z})$ et $PSL(2, \mathbb{Z})$ ont leurs abélianisés cycliques d'ordre 12 et 6. $\blacksquare$

## §2 Action du groupe dérivé $SL(2, \mathbb{Z})'$ sur le demi-plan de Poincaré.

Soit dans le demi-plan de Poincaré $\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} | \Im(z) > 0\}$ les translatés par les puissances de $A$ du domaine fondamental usuel de l'action de $G = PSL(2, \mathbb{Z})$ :

$$\mathcal{B}_n = A^{-n} (\{z \in \mathbb{C} \mid \Im(z) > 0, -\frac{1}{2} \le \Re(z) \le \frac{1}{2}, |z| \ge 1\}).$$

L'union $\tilde{H} = \cup \mathcal{B}_n$ quotientée par l'image dans $G$ du sous-groupe $\langle A^{-6}S^2 \rangle$ du groupe dérivé<fnref n="1" /> $SL(2, \mathbb{Z})'$ de $SL(2, \mathbb{Z})$ est un hexagone hyperbolique pointé qui, par identification de ses côtés opposés, produit un tore symétrique pointé $\mathcal{T}$, identifications par les images dans $G$ des éléments suivants du groupe dérivé :

<footnote n="7">⁷ a (resp. b) fixe $p$ (resp. $n$) et échange, par demi-tour positif, $n$ (resp. $p$) et $m$.</footnote>

<footnote n="1">¹ car, dans l'abélialisé on a : $\bar{A} = \bar{B}$ donc $\bar{S} = \bar{A}^3$, ainsi $\bar{A^{-6}S^2} = \bar{I}$.</footnote>
$$
\begin{align*}
f_n &= A^{-n}A^{-3}SA^n = A^{-(n+3)}SA^n = A^{-(n+1)}A^{-1}BA^{(n+1)} \\
f_{n+1}f_{n-1} &= A^{-(n+4)}SA^{(n+1)}A^{-(n+2)}SA^{n-1} = A^{-(n+3)}BAA^{(n+1)}A^{-(n+2)}SA^{n-1} \\
&= A^{-(n+3)}BSA^{n-1} = A^{-(n+3)}SAA^{n-1} = A^{-(n+3)}SA^n = f_n.
\end{align*}
$$

$$
\text{De plus } A^{-6}S^2 = f_n f_{n-3} = (f_{n-1} f_{n-2}^{-1})(f_{n-1}^{-1} f_{n-2}) = [f_{n-1}^{-1}, f_{n-2}].
$$

Ainsi<fnref n="2" /> $\mathcal{T}$ est quotient de $\mathbb{H}$ par le sous-groupe de $G$ engendré par les $f_n$ :

$$
\langle f_n; n \in \mathbb{Z} \rangle = \langle f_{-2}, f_{-1} \rangle
$$

qui est<fnref n="3" /> d'indice 6 dans le groupe modulaire $G$ (l'indice de son l'abélianisé $G'$).

Comme $\langle f_n; n \in \mathbb{Z} \rangle \subset G'$, ce sous-groupe est le groupe dérivé de $G$ :

$$
G' = PSL(2, \mathbb{Z})' = \langle f_{-2}, f_{-1} \rangle
$$

et le tore modulaire est $\mathcal{T}$, de parabolique de cusp, le commutateur<fnref n="4" /> de $f_{-1}^{-1}$ et $f_{-2}$.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Comme $-I = S^2 \in SL(2, \mathbb{Z})$ est d'abélianisé $\overline{A}^6 \neq 0$, $-I \notin SL(2, \mathbb{Z})'$, ainsi le quotient $SL(2, \mathbb{Z}) \to G$ est injectif sur le groupe dérivé $SL(2, \mathbb{Z})'$ et ce groupe dérivé est engendré<fnref n="5" /> par $f_{-2} = BA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ et $f_{-1} = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. $\blacksquare$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

<footnote n="2">² notant par abus $f_n \in G$ les images dans le groupe modulaire $G$ des $f_n \in SL(2, \mathbb{Z})$.</footnote>

<footnote n="3">³ car $\cup_{n=0}^5 \mathfrak{B}_n$, union de 6 translatés du domaine fondamental usuel de $SL(2, \mathbb{Z})$, est un domaine fondamental de ce sous-groupe $\langle f_n; n \in \mathbb{Z} \rangle$.</footnote>

<footnote n="4">⁴ avec la convention $[a, b] = a^{-1}b^{-1}ab$ de Bourbaki, Hall...</footnote>

<footnote n="5">⁵ librement puisque c'est le groupe fondamental d'un tore pointé.</footnote>
# APPENDICE A

## Description de $\mathbb{T}/\{\pm I\}$ et vérification de $\pi_0(A) = a, \pi_0(B) = b$.

En identifiant $(V, \Lambda)$ au plan complexe muni du réseau de Gauß $(\mathbb{C}, \mathfrak{G})$ où $\mathfrak{G}=\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$, la fonction $\wp: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ de Weierstraß :

$$ \wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{\gamma \in \mathfrak{G} \setminus \{0\}} \frac{1}{(z - \gamma)^2} - \frac{1}{\gamma^2} $$

paire et invariante par $\mathfrak{G}$, identifie $\mathbb{T}/\{\pm I\}$ à $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ avec $\wp(\bar{0}) = \infty$ et<fnref n="1" /> :

$$ \wp(m) = \wp(\frac{1}{2}(1+i)) = 0, \quad \wp(p) = \wp(\frac{1}{2}) = -\wp(\frac{1}{2}i) = -\wp(n) \in ]0, +\infty[. $$

Les deux «sous-groupes de coordonnées» $\mathbf{t} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$, $\mathbf{u} = \mathbb{R}i/\mathbb{Z}i$ et les deux «sous-groupes diagonaux» $\Delta_+ = \mathbb{R}(1+i)/\mathbb{Z}(1+i)$ et $\Delta_- = \mathbb{R}(1-i)/\mathbb{Z}(1-i)$, points fixes d'isométries conformes<fnref n="2" /> du réseau $\mathfrak{G}$ commutant à $-I$, vont dans des droites et sont d'images<fnref n="3" /> les demi-axes réels tronqués et les demi-axes imaginaires :

$$ \begin{align*} \wp(\mathbf{t}) &= H_{\wp(p)}^{+} := [\wp(p), +\infty[\cup\{\infty\}, \quad \wp(\mathbf{u}) = H_{\wp}^{-(n)} := ]-\infty, \wp(n)] \cup \{\infty\} \subset \mathbb{R} \cup \{\infty\} \\ \wp(\Delta_{+}) &= V_{-} := ]-\infty, 0] \cup \{\infty\}, \quad \wp(\Delta_{-}) = V^{+} := [0, +\infty[\cup\{\infty\} \subset \mathbb{R}i \cup \{\infty\} \end{align*} $$

Ainsi l'action de $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ fixe $H_{\wp(p)}^{+}$ et envoie $H_{\wp}^{-(n)}$, $V_{-}$ sur $V^{+}$, $H_{\wp}^{-(n)}$ respectivement, c'est le «demi-tour» positif a.

Et l'action de $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ fixe $H_{\wp}^{-(n)}$ et envoie $H_{\wp(p)}^{+}$, $V^{+}$ sur $V_{-}$, $H_{\wp(p)}^{+}$ respectivement, c'est le «demi-tour» positif b. ■

<footnote n="1">¹ comme $\wp(iz)=-\wp(z)$ et $m-im \in \Lambda$ on a $\wp(m)=0$ et $\wp(n)=-\wp(p)$. Ainsi $\wp^{-1}(0)=m+\Lambda$, donc comme $\wp(\bar{z})=\overline{\wp(z)}$ et, près de 0, on a $\wp(z) \sim \frac{1}{z^2}$, on a $\wp([0,p]) \subset ]0, +\infty[$.</footnote>

<footnote n="2">² $z \mapsto \pm\bar{z}$ et $z \mapsto \pm i\bar{z}$ qui toutes deux fixent l'origine 0.</footnote>

<footnote n="3">³ remarquer de nouveau que, près de 0, on a $\wp(z) \sim \frac{1}{z^2}$.</footnote>
# APPENDICE B

Les théorèmes de Nielsen de structure et caractérisation de Aut$^+(F_2)$.

Soit $F_2 = \langle u, v \rangle$ le groupe libre à deux générateurs notés $u, v$.

On identifie le groupe libre $F_2$ à son groupe d'automorphismes intérieurs par :

$$ \varphi : F_2 \to \mathrm{Int}(F_2), \quad x \mapsto \varphi_x : y \mapsto xyx^{-1} = y^{x^{-1}} =: x y $$

et note $Y = \langle s^4 \rangle$ le sous-groupe d'indice 2 du centre $Z = \langle s^2 \rangle$ de $B_3$ identifié, par $s^4 \mapsto \varphi_{[u,v]} \in \mathrm{Int}(F_2)$, au sous-groupe cyclique infini $Y = \langle \varphi_{[u,v]} \rangle \subset \mathrm{Int}(F_2)$.

**PROPOSITION.** — Les endomorphismes $\alpha, \beta : F_2 \to F_2$ définis par :

$$ \alpha(u, v) = (u, u^{-1}v) \quad \beta(u, v) = (vu, v) $$

sont des isomorphismes d'inverses définis par :

$$ \alpha^{-1}(u, v) = (u, uv), \quad \beta^{-1}(u, v) = (v^{-1}u, v) $$

vérifiant la relation de tresse $\alpha\beta\alpha = \beta\alpha\beta =: s : (u, v) \mapsto (v^u, u^{-1})$, avec de plus : $s^2 : (u, v) \mapsto (u^{-1}, v^{-1})^{vu}$ et $s^4 : (u, v) \mapsto (u, v)^{v^{-1}u^{-1}vu} = (u, v)^{[v,u]} = \varphi_{[u,v]}(u, v)$.

Ainsi $\alpha, \beta$ définissent un morphisme injectif :

$$ \Psi : B_3 \to \mathrm{Aut}(F_2), \quad \Psi(a) = \alpha, \Psi(b) = \beta. $$

Par abus, on identifiera $B_3$ au sous-groupe $\Psi(B_3)$ de $\mathrm{Aut}(F_2)$. Soit :

$$ \psi : B_3 \to \mathrm{Aut}(\mathrm{Int}(F_2)), \quad \psi(x) : h \mapsto x \circ h \circ x^{-1}. $$

Le sous-groupe $H = \mathrm{Int}(F_2)B_3 \subset \mathrm{Aut}^+(F_2)$ est<fnref n="1" /> produit semi-direct suivant $\psi$ :

$$ H = \mathrm{Int}(F_2) \rtimes_{\psi, Y} B_3 \subset \mathrm{Aut}^+(F_2) $$

de $\mathrm{Int}(F_2)$ par $B_3$ amalgamé sur $Y$ (identifiant $\varphi_{[u,v]}$ à $s^4$).

**Démonstration de la Proposition.** — Que $\alpha^{-1}$ soit inverse de $\alpha$ suit de :

$$ \alpha\alpha^{-1}(u, v) = \alpha(u, uv) = (u, uu^{-1}v) = (u, v) $$

donc $\alpha\alpha^{-1} = \mathrm{Id}$, de même on établit $\alpha^{-1}\alpha = \mathrm{Id} = \beta\beta^{-1} = \beta^{-1}\beta$. $\square$

Pour les relations, notant $s = \alpha\beta\alpha, s' = \beta\alpha\beta$, on a :

$$ s(u, v) = \alpha\beta(u, u^{-1}v) = \alpha(vu, u^{-1}v^{-1}v) = \alpha(vu, u^{-1}) = (u^{-1}vu, u^{-1}) = (v^u, u^{-1}) $$

$$ s'(u, v) = \beta\alpha(vu, v) = \beta(u^{-1}vu, u^{-1}v) = (v^{vu}, u^{-1}v^{-1}v) = (v^u, u^{-1}) = s(u, v), \text{ ainsi :} $$

$$ s^2(u, v) = s(v^u, u^{-1}) = ((u^{-1})^{v^u}, (v^{-1})^u) = ((u^{-1})^{vu}, (v^{-1})^u) = (u^{-1}, v^{-1})^{vu} $$

<footnote n="1">¹ Cf. **Corollaire** de l'appendice E.</footnote>
$$s^4(u, v) = s^2((u^{-1}, v^{-1})^{vu}) = (u, v)^{vu(v^{-1}u^{-1})^{vu}} = (u, v)^{[v, u]} = \varphi_{[u,v]}(u, v) \quad \square$$

Comme<fnref n="2" /> $\ker(\Psi) \subset \ker(\rho \circ \Psi) \subset \ker(\rho^+ \circ \Psi) = \langle s^4 \rangle$, celui de la présentation d'Artin (A), l'intériomorphisme $s^4 = \varphi_{[u,v]}$ étant d'ordre infini, $\Psi$ est injectif.

□ ■

Désormais on remonte la paire de générateurs de $F_2$ en $t = (t_1, t_2) := (u, v)$.

**Définitions et notations.** Soit $W = W(T) = T_{i_0}^{\epsilon_0} \cdots T_{i_k}^{\epsilon_k} \cdots T_{i_n}^{\epsilon_n}$, $(i_j, \epsilon_j) \in \{1, 2\} \times \{-1, 1\}$ un mot non vide en les indéterminées<fnref n="3" /> $T_1, T_2$ et leurs inverses $T_1^{-1}, T_2^{-1}$, son mot inverse est $W^{-1} = W^{-1}(T) = T_{i_n}^{-\epsilon_n} \cdots T_{i_k}^{-\epsilon_k} \cdots T_{i_0}^{-\epsilon_0}$. Le mot vide est noté $1 := \emptyset$.

Si $k > 0$, $i_{k-1} = i_k$, $\epsilon_{k-1} + \epsilon_k = 0$ et $\{j_0, \dots, j_{n-2}\} = \{0, \dots, n\} \setminus \{k-1, k\}$, dans le même ordre, $W' = W_{k,k+1} = T_{i_{j_0}}^{\epsilon_{j_0}} \cdots T_{i_{j_{n-2}}}^{\epsilon_{j_{n-2}}}$ est dit réduction élémentaire de $W$.

On notera plus visuellement $s^4 1 < k < n$, $W_{k-1,k} = T_{i_0}^{\epsilon_0} \cdots \{T_{i_{k-1}}^{\epsilon_{k-1}} T_{i_k}^{\epsilon_k}\} \cdots T_{i_n}^{\epsilon_n}$.

Une réduction de $W$ est un mot $W''$ tel qu'il y a $W = W_0, \dots, W_p = W''$ une suite de mots telle que pour $1 \le k \le p$, $W_k$ est réduction élémentaire de $W_{k-1}$.

Si un mot $W = ABC$ est juxtaposé de trois mots $A, B, C$ avec $A$ (resp. $B, C$) se réduisant sur 1, on notera $W = \{A\}BC$ (resp. $A\{B\}C, AB\{C\}$).

Un mot $W$, est équivalent à $W'$, noté $W \approx W'$ s'il y a $W = W_0, \dots, W_r = W'$ avec $W_l$ réduction élémentaire de $W_{l-1}$ ou $W_{l+1}$ (supposant $l > 0, l < r$ dans le premier et le second cas).

Un mot $W = T_{i_0}^{\epsilon_0} \cdots T_{i_n}^{\epsilon_n}$ est dit réduit s'il n'a pas de réduction élémentaire.

Un mot $W = T_{i_0}^{\epsilon_0} \cdots T_{i_n}^{\epsilon_n}$ est cycliquement réduit s'il est réduit et si $T_{i_0}^{\epsilon_0} \neq T_{i_n}^{-\epsilon_n}$.

Pour tout mot $W$ il y a un unique<fnref n="5" /> mot réduit, noté $\tilde{W}$, réduction de $W$. Cette réduction réduite de $W$ ne dépend que de la classe d'équivalence de $W$.

Le nombre $n + 1$ de termes de $W = T_{i_0}^{\epsilon_0} \cdots T_{i_n}^{\epsilon_n}$ est la longueur $l_T(W) = l(W)$ du mot $W$.

En substituant les générateurs $t_1, t_2$ de $F_2$ dans les indéterminées $T_1, T_2$, on a les mêmes définitions et notations pour les éléments du groupe libre à deux générateurs :

$$w = t_{i_0}^{\epsilon_0} \cdots t_{i_n}^{\epsilon_n} \in F_2, (i_j, \epsilon_j) \in \{1, 2\} \times \{-1, 1\}$$

**Définition.** Un endomorphisme $x_0 : F_2 \to F_2$ induit un endomorphisme :

$$\bar{x}_0 = ab(x) : \mathbb{Z}^2 = ab(F_2) \to ab(F_2) = \mathbb{Z}^2$$

de l'abélianisé $\mathbb{Z}^2$. On dira que l'endomorphisme $x_0$ est direct si $\det(\bar{x}_0) > 0$.

**THÉORÈME** (de Nielsen, 1917). — i) Un endomorphisme surjectif $x$ du groupe libre à deux générateurs $F_2$ est un automorphisme.

<footnote n="2">² car $\rho(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\rho(\beta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \in SL(2, \mathbb{Z})$, donc $\Psi(B_3) \subset \mathrm{Aut}^+(F_2)$.</footnote>

<footnote n="3">³ non-commutatives, on notera $T = (T_1, T_2)$ la paire de ces indéterminées.</footnote>

<footnote n="4">⁴ et $W_{0,1} = \{T_{i_0}^{\epsilon_0} T_{i_1}^{\epsilon_1} T_{i_2}^{\epsilon_2} \cdots T_{i_n}^{\epsilon_n}, W_{n-1,n} = T_{i_0}^{\epsilon_0} \cdots T_{i_{n-2}}^{\epsilon_{n-2}} \{T_{i_{n-1}}^{\epsilon_{n-1}} T_{i_n}^{\epsilon_n}\}.$</footnote>

<footnote n="5">⁵ sans unicité de la réduction $\{II^{-1}\}I$ et $I\{I^{-1}I\}$ sont deux réductions de $II^{-1}I$ à $\widetilde{II^{-1}I} = I$. Pour une démonstration, voir Théorème 1 et Lemme 1 de [Se].</footnote>
ii) Le groupe d'automorphismes directs du groupe libre $F_2$ est produit semi-direct suivant $\psi$ amalgamé sur le sous-groupe Y d'indice 2 dans le centre de $B_3$ :

$$Aut^+(F_2) = \mathrm{Int}(F_2) \rtimes_{\langle\varphi_{[t_1,t_2]}=s^4\rangle} B_3.$$

iii) Le groupe $\mathrm{Int}(F_2)$ des automorphismes intérieurs de $F_2$ est le noyau de :

$$\rho: \mathrm{Aut}(F_2) \to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}^2) = \mathrm{GL}(2, \mathbb{Z}).$$

iv) Un endomorphisme $\varphi: F_2 \to F_2, \varphi(t_i)=X_i, i=1,2$ du groupe libre à deux générateurs est un automorphisme direct de ce groupe libre si et seulement si il préserve à conjugaison près le commutateur $[t_1, t_2]$ des générateurs :

$$(Cw) \qquad [X_1, X_2] = X_1^{-1} X_2^{-1} X_1 X_2 = [t_1, t_2]^w = w^{-1}[t_1, t_2]w.$$

De plus, il est dans $B_3$ si et seulement si $[X_1, X_2]=[t_1, t_2]$, c.à.d. on a $(C_1)$.

### REMARQUES.
(1) i) vaut pour tout groupe libre de type fini<fnref n="6" /> $F$: le gradué central descendant de $F$ étant engendré par son terme de degré 1, un endomorphisme surjectif $x$ de $F$ est surjectif au niveau du gradué central descendant $gr_c(F)$ donc, puisque chaque terme est de dimension finie, injectif et, puisqu'un élément non nul de $F$ se détecte dans $gr_c(F)$, $x$ est aussi injectif donc un isomorphisme. $\square$

(2) Le point iii) est particulier à la dimension 2 :

$$\psi: F_3 = \langle t_1, t_2, t_3 \rangle \to F_3, \quad \psi(t_1) = t_1^{t_2} = t_2^{-1}t_1t_2, \quad \psi(t_2) = t_2, \quad \psi(t_3) = t_3$$
est dans le noyau de $\rho_3: \mathrm{Aut}(F_3) \to \mathrm{GL}(3, \mathbb{Z})$ mais n'est pas intérieur<fnref n="7" />. $\square$

(3) Les éléments de $H$ et $B_3$ vérifient les conditions<fnref n="8" />$(C_w)$ et $(C_1)$. $\square$

(4) Si $x$ vérifie $(C_1)$, alors $x = \varphi_w b$ où $w \in F_2, b \in B_3$ et, si $w[t_1, t_2] = [t_1, t_2]$, alors $w = [t_1, t_2]^n \in \langle[t_1, t_2]\rangle$, ainsi le « De plus ... » suit<fnref n="9" /> de iv) et ii). $\square$

Dans la suite on dira « Nielsen * » pour « le point * du THÉORÈME de Nielsen ».

### Définitions.
La taille d'un endomorphisme $x$ défini par la paire de mots réduits<fnref n="10" /> : $X=(X_1, X_2)$, $x(t_i)=X_i(t)$, $i=1,2$ est $|x|:=l_T(X_1)+l_T(X_2)$. L'endomorphisme $x$ est minimal si sa taille $|x|$ est minimale dans la double classe $HxH$.

Soit $M = X_{i_0}^{\epsilon_0} \cdots X_{i_n}^{\epsilon_n}$ un mot réduit en une paire d'indéterminées notée abusivement $X = (X_1, X_2)$ et $N = N(T)$, le mot (non réduit), obtenu après avoir substitué dans $X$ la paire $X = (X_1(T), X_2(T))$ définissant $x$.

<footnote n="6">⁶ nous donnerons cependant ici ausi une démonstration de i) « à la Nielsen ».</footnote>

<footnote n="7">⁷ si $\psi = \varphi_w$ alors $w$ doit commuter à $t_2$, donc $w = t_2^n$ pour un $n \in \mathbb{Z}$, mais il doit aussi commuter à $t_3$, ainsi $n=0$ et $\varphi_w = \varphi_1 = \mathrm{Id} \neq \psi$ car $\psi(t_1) \neq t_1$. $\square$</footnote>

<footnote n="8">⁸ $t \mapsto t^w$ étant un morphisme, l'isomorphisme intérieur $\varphi_{w^{-1}}$, on a $[t_1^w, t_2^w]=[t_1, t_2]^w$ et : $[\alpha(t_1), \alpha(t_2)] = [t_1, t_1^{-1}t_2] = t_1^{-1}(t_1^{-1}t_2)^{-1}t_1t_1^{-1}t_2 = t_1^{-1}(t_2^{-1}t_1)t_1t_1^{-1}t_2 = [t_1, t_2]$ et : $[\beta(t_1), \beta(t_2)] = [t_2t_1, t_2] = (t_2t_1)^{-1}t_2^{-1}(t_2t_1)t_2 = t_1^{-1}t_2^{-1}t_2^{-1}t_2t_1t_2 = [t_1, t_2]$. $\square$</footnote>

<footnote n="9">⁹ En effet, comme $\varphi_{[t_1,t_2]^n} = s^{4n}$, on a $x = s^{4nb} \in B_3$. $\square$</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ en la paire d'indéterminées $T = (T_1, T_2)$.</footnote>
Il y a des mots réduits<fnref n="11" /> $C_0, D_0, \dots, C_k, D_k, \dots, C_{n-1}, D_{n-1}, C_n$ tels que :

$$X_{i_0}^{\epsilon_0} = C_0 D_0, \text{ pour } 0 < k < n, X_{i_k}^{\epsilon_k} = D_{k-1}^{-1} C_k D_k, \text{ et } X_{i_n}^{\epsilon_n} = D_{n-1}^{-1} C_n$$

comme mots réduits et, pour $0 < k \le n$, le mot $C_{k-1}C_k$ est réduit, ils peuvent être définis inductivement dans cet ordre en partant de la gauche<fnref n="12" /> ou de la droite.

Un endomorphisme direct est dit *admissible* s'il est surjectif ou satisfait ($C_w$).

**LEMME.** — Si l'endomorphisme $x$ est admissible minimal alors pour $0 \le i \le n$ le mot $C_i \ne \emptyset$ est non vide donc $C_0 \cdots C_n$ est la réduction réduite $\tilde{N}$ du mot $N$.

Les $C_i$, $i=0, \dots, n$ (non vides, d'après ce LEMME) sont dits *subsistants* de $N$. Démonstration du Théorème. — iii) Comme $\mathrm{Int}(F_2) \subset \mathrm{ker}(\rho) \subset \mathrm{Aut}^+(F_2)$ et, d'après la présentation $(\mathfrak{A})$, on a $B_3 \cap \mathrm{ker}(\rho) = Y$, le point iii) suit de ii). $\square$

i) et ii) Soit $x_0$ admissible et $x=k \circ x_0 \circ h$, $h, k \in H$, minimal pour la taille $|x|$ de $x$ dans la double classe $Hx_0H$ de $x_0$ suivant $H$.

Si $\tau \in \mathrm{Aut}(F_2)$, $\tau(t_i)=t_{3-i}$, $i=1,2$ alors $\det(\tau)=-1$ et $|x\tau|=|x|$ donc, quitte à prendre $x\tau$, il suffit dans $i$), de considérer un endomorphisme surjectif direct.

Par surjectivité de $x$ il y a une paire<fnref n="13" /> $Y=(Y_1, Y_2)$ telle que $\tilde{Y}_k(T)=T_k$ pour $k=1,2$. Ainsi, par le LEMME, $Y_1$ et $Y_2$ sont de longueur 1, donc aussi $X_1$ et $X_2$.

L'endomorphisme admissible minimal $x$ étant direct on a :

$$\text{soit } X = T, x(t) = (t_1, t_2) = t$$

$$\text{soit } X = (T_1^{-1}, T_2^{-1}), \quad x(t) = (t_1^{-1}, t_2^{-1}) = s^2(t)^{t_1^{-1}t_2^{-1}} : x = \varphi_{t_2t_1}s^2 \in H$$

$$\text{soit } X = (T_2^\epsilon, T_1^{-\epsilon}), \quad x(t) = (t_2^\epsilon, t_1^{-\epsilon}) = (s^\epsilon(t)^{t_1^{-1}}) : x = \varphi_{t_1}s^\epsilon \in H, \epsilon = -1, 1.$$

Dans tous ces cas l'endomorphisme admissible minimal $x=kx_0h$ est dans le sous-groupe $H$, donc $x_0$, est dans $H=\mathrm{Int}(F_2) \rtimes_{<\varphi_{[t_1,t_2]}=s^4>} B_3$, d'où $i$) et ii). $\square$

iv) D'après la REMARQUE (3) on peut demander à l'endomorphisme $x$, parmi ceux minimisant la taille $|x|$ dans la double classe $Hx_0H$, de minimiser aussi $l(w)$. Alors<fnref n="14" /> $l(t_2w) = l(w)+1 = l(t_1w)$ et $w^{-1}[t_1, t_2]w$ est réduction réduite de $[X_1, X_2]$.

<footnote n="11">¹¹ en la paire d'indéterminées $T$, certains de ces mots $C_i, D_j$ pouvant être vides.</footnote>

<footnote n="12">¹² $C_0\{D_0D_0^{-1}\}E_1X_{i_2}^{\epsilon_2}\cdots X_{i_n}^{\epsilon_n}$ est la plus grande suite de réductions élémentaires entre $X_{i_0}^{\epsilon_0}$ et $X_{i_1}^{\epsilon_1}$ dans $X_{i_0}^{\epsilon_0}\cdots X_{i_n}^{\epsilon_n}$, puis $C_0C_1\{D_1D_1^{-1}\}E_2X_{i_3}^{\epsilon_3}\cdots X_{i_n}^{\epsilon_n}$ est la plus grande suite de réductions élémentaires entre $E_1$ et $X_{i_2}^{\epsilon_2}$ dans $C_0E_1X_{i_2}^{\epsilon_2}\cdots X_{i_n}^{\epsilon_n}$.</footnote>

<footnote n="13">¹³ de mots réduits en la paire d'indéterminées $X=(X_1, X_2)$.</footnote>

<footnote n="14">¹⁴ Sinon pour un $i \in \{1,2\}$, $w = t_i^{-1}w'$, $l(w') = l(w) - 1$ et, comme pour $i=1,2$ on a : $[t_1, t_2]^{t_i^{-1}} = [t_2^{3-2i}, t_1^{2i-3}] = [k^{-1}(t_1), k^{-1}(t_2)]$, où $k = k_i = (s^{2i-3})^{t_i^{-1}}$ et $x' = kx, w'' = k(w')$, on a : $x' \in Hx \subset HxH$, $|x'| = |x|$, $l(w'') = l(w') < l(w)$ et $[x'(t_1), x'(t_2)] = k([x(t_1), x(t_2)] = k([t_1, t_2]^{t_i^{-1}w'}) = k([k^{-1}(t_1), k^{-1}(t_2)]^{w'}) = ([kk^{-1}(t_1), kk^{-1}(t_2)]^{k(w')} = [t_1, t_2]^{w''}$, contredisant que $x$ minimise $|x|$, puis $l(w)$ dans la double classe $HxH$. $\square$</footnote>
Si $w \neq 1$, donc $w=w'a$, $a=t_k^{\pm 1}$, alors, par le LEMME, $X_i=X_i''a$ pour $i=1,2$ et $x'=\varphi_a x = x^{a^{-1}}$, défini par $(X'_1, X'_2) = (\widetilde{aX''_1}, \widetilde{aX''_2})$, vérifie $[X'_1, X'_2]=[t_1, t_2]^{w'}$ et $|x'| \le |x|$ contredisant la minimalité de $|x|$, puis $l(w)$ dans la double classe $Hx_0H$.

On a donc (C1) $[X_1, X_2] = [t_1, t_2]$ et le LEMME donne les égalités réduites :

$$X_1^{-1} = t_1^{-1}D_0, \quad X_2^{-1} = D_0^{-1}t_2^{-1}D_1, \quad X_1 = D_1^{-1}t_1D_2, \quad X_2 = D_2^{-1}t_2$$

On a $l(X_i^{-1})=l(X_i)$, $i=1,2$ donc $l(D_0)=l(D_1)+l(D_2)=l(D_1)+l(D_0)+l(D_1)$, ainsi $l(D_1)=0$ et $X_1^{-1}=t_1^{-1}D_0, X_2^{-1}=D_0^{-1}t_2^{-1}, X_2X_1=(t_2D_0)(D_0^{-1}t_1)=t_2t_1$.

$$\text{Comme } l(X_1)+l(X_2)=|x|\le |x\beta|=l(\widetilde{X_2X_1})+l(X_2)=2+l(X_2), \text{ on a } l(D_0)\le 1.$$

Ainsi $l(D_2) \le 1$. Les $X_i$ étant réduits $t_1^{-1} \neq D_2 \neq t_2$. Or$^{15}$ $D_2 \in \{t_1, t_2^{-1}\}$, donc $D_2=1$ et $X_1=t_1, X_2=t_2, x=1$, ainsi $x_0=k^{-1}xh^{-1}=k^{-1}h^{-1} \in H$. $\square$ $\blacksquare$

**Démonstration du Lemme.** — Rappelons que $(X_1, X_2)$ est la paire de mots en la paire $T = (T_1, T_2)$ d'indéterminées telle que l'endomorphisme $x$ est donné par $x(t_i)=X_i(t)$, $i=1,2$. Si, pour un $1 \le k \le n$, $i_k \neq i_{k-1}$, on note :

$$U = X_{i_{k-1}}^{\epsilon_{k-1}}, \quad V = X_{i_k}^{\epsilon_k}, \quad \nu = \epsilon_{k-1}, \quad \epsilon = \epsilon_{k-1}\epsilon_k.$$

**AFFIRMATION 1.** — Il y a $h \in H$ tel que $xh$ minimise encore la taille dans la double classe $Hx_0H$ et est défini par l'un des deux cas :

i) (cas I) $(U, V)$

ii) (cas II) $(V, U)$.

**Démonstration.** — Quitte$^{16}$ à changer $x$ en $x\varphi_{t_1}s$, on peut supposer $\epsilon = +1$.

Alors, si $\nu = -1$, $h = \varphi_{t_2t_1}s^2$ convient et si $\nu = 1$, $\{U, V\} = \{X_1, X_2\}$. $\blacksquare$

Par abus, on renomme désormais le $xh$ donné par l'AFFIRMATION 1 en $x$.

**COMPLÉMENT 1.** — Suivant le cas I ou II, les paires de mots réduits :

(cas I) $(U, \widetilde{UV})$, $(U, \widetilde{VU})$, $(\widetilde{VU}, V)$

(cas II) $(\widetilde{UV}, U)$, $(\widetilde{VU}, U)$, $(V, \widetilde{VU})$

définissent des endomorphismes de la double classe $Hx_0H$ de $x_0$, à savoir :

$$x\alpha^{-1}, \varphi_U^{-1}x\alpha^{-1}, x\beta \quad \text{resp.} \quad x\beta, \varphi_U^{-1}x\beta, x\alpha^{-1} \quad \square$$

**Démonstration pour les subsistants extrêmes** $C_0, C_n$. Si $C_0 = \emptyset$ est vide on a $X_{i_0}^{\epsilon_0} = D_0$ et, comme le mot $M$ est réduit, $i_1 \neq i_0$.

<footnote>$^{15}$ sinon $X_1 = t_1^2$ ou $X_2 = t_2^2$ et, dans le terme de degré 2 du gradué central descendant $[F_2, F_2]/[[F_2, F_2], F_2] \simeq \mathbb{Z}$, la classe du commutateur $[X_1, X_2]$ serait divisible par 2 contredisant que, d'après la condition (C1), elle est celle de son générateur.</footnote>

<footnote>$^{16}$ puisque $x\varphi_{t_1}s \in xH \subset Hx_0H$, étant défini par $t \mapsto (X_2, X_1^{-1})$, a même taille que $x$.</footnote>
Alors<sup>17</sup> $l(\widetilde{UV}) = l(V) - l(U) < l(V)$ et suivant le cas I ou II, d'après le complément de l'AFFIRMATION 1, l'endomorphisme $x\alpha^{-1}$ ou $x\beta$ contredit que $xh$ minimise la taille dans la double classe $Hx_0H$. $\square$

Ainsi le subsistant initial $C_0 \neq \emptyset$ est non vide. En considérant le mot inverse $M^{-1} = X_{i_n}^{-\epsilon_n} \cdots X_{i_0}^{-\epsilon_0}$ on établit de même que $C_n \neq \emptyset$ est non vide. $\square$

*Démonstration pour les subsistant intérieurs.* Supposons, pour un $0 < k < n$, $C_k = \emptyset$ vide, alors $X_{i_k}^{\epsilon_k} = D_{k-1}^{-1}D_k$ et $D_k, D_{k-1}^{-1}$, ne pouvant être subsistant final, ou inital, vide du mot $M_{k-} = X_{i_0} \cdots X_{i_k}$ ou $M_{k+} = X_{i_k} \cdots X_{i_n}$, on a : $D_k \neq \emptyset \neq D_{k-1}$.

AFFIRMATION 2. — $i_{k-1} \neq i_k \neq i_{k+1}$ (donc<sup>18</sup> $i_{k-1} = i_{k+1}$) et $\epsilon_{k-1} = \epsilon_{k+1}$.

*Démonstration*. — Si $i_{k-1}=i_k=i_{k+1}$, alors, puisque Z est réduit, on a :
$\epsilon_{k-1}=\epsilon_k=\epsilon_{k+1}$ et<sup>19</sup> $D_{k-2}^{-1}C_{k-1}D_{k-1} = D_{k-1}^{-1}D_k = D_k^{-1}C_{k+1}D_{k+1}$.

Suivant que $l(D_{k-1}) \leq l(D_k)$ ou $l(D_{k-1}) \geq l(D_k)$, on a $X_{i_k}^{\epsilon_k} = D_{k-1}^{-1}ED_{k-1}$ ou $X_{i_k}^{\epsilon_k} = D_k^{-1}ED_k$, on notera selon le cas $D = D_{k-1}$ ou $D_k$.

Comme<sup>20</sup> on a $X_{i_k}^{\epsilon_k} \neq 1$ donc $E \neq \emptyset$, $X_{i_{k-1}}^{\epsilon_{k-1}} X_{i_k}^{\epsilon_k} X_{i_{k+1}}^{\epsilon_{k+1}} = D^{-1}E^3D$ et le terme $E$ central, celui qui est dans $X_{i_k}^{\epsilon_k} = D^{-1}ED$, ne peut disparaître. $\square$

Si $i_{k-1} = i_k \neq i_{k+1}$ ou $i_{k-1} \neq i_k = i_{k+1}$, quitte à considérer le mot inverse $M^{-1}$, on supposera que l'on est dans le second cas $i_k = i_{k+1}$ alors, avec les notations précédant l'AFFIRMATION 1 et car $M$ est réduit, on a $X_{i_{k-1}}^{\epsilon_{k-1}} X_{i_k}^{\epsilon_k} X_{i_{k+1}}^{\epsilon_{k+1}} = UVV$.

Comme $\emptyset \neq D_k$, $D_k = D'_k a$, $a = t_i^{\pm 1}$ dernière lettre du $V$ central donc $a^{-1}$ est première du $V$ de droite et<sup>21</sup> de $D_{k-1}^{-1}$ donc $a$ est aussi dernière lettre de $U$.

Ainsi $l(V^{a^{-1}}) = l(V) - 2 < l(V)$, $l(U^{a^{-1}}) \leq l(U)$ et $\varphi_a x \in Hx_0H$ contredit que $|x|$ minimise la taille dans la double classe $Hx_0H$. $\square$

Si $\epsilon_{k-1} = -\epsilon_{k+1}$ on a $X_{i_{k-1}}^{\epsilon_{k-1}} X_{i_k}^{\epsilon_k} X_{i_{k+1}}^{\epsilon_{k+1}} = UVU^{-1}$, donc $D_{k-1}$ et $D_k$ sont segments finaux de $U = (U^{-1})^{-1}$, contredisant<sup>22</sup> que $V = D_{k-1}^{-1}D_k$ est réduit. $\blacksquare$

Ainsi, posant $D = D_{k-1}^{-1}$, $E = D_k$, on $a^{23} V = DE$ et $U_-D^{-1} = U = E^{-1}U_+$.

Quitte à prendre l'inverse $(UVU)^{-1} = U^{-1}V^{-1}U^{-1}$ du mot $UVU$ et à
renommer $(U,V,D,E) := (U^{-1},V^{-1},E^{-1},D^{-1})$, on supposera $l(D) \le l(E)$.

<footnote n="17"><sup>17</sup> avec les notations ci-dessus avec $k=1$.</footnote>

<footnote n="18"><sup>18</sup> c'est ici que $x \in \mathrm{End}(F_2)$, plutôt que $\mathrm{End}(F)$ (F un groupe libre de type fini), est crucial!</footnote>

<footnote n="19"><sup>19</sup> avec les conventions $D_{-1} = \emptyset = D_{n+1}$.</footnote>

<footnote n="20"><sup>20</sup> par l'hypothèse faite sur $x_0$ (celle de $i$) ou $iv$) du théorème).</footnote>

<footnote n="21"><sup>21</sup> puisque $D_{k-1}^{-1}$ est segment initial du $V$ central.</footnote>

<footnote n="22"><sup>22</sup> puisque $D_{k-1} \neq \emptyset \neq D_k$.</footnote>

<footnote n="23"><sup>23</sup> avec les notations $U = X_{i_{k-1}}^{\epsilon_{k-1}}$, $V = X_{i_k}^{\epsilon_k}$ de l'Affirmation 1 car, par l'Affirmation 2, $i_{k-1} \neq i_k$.</footnote>
Fin de la démonstration du LEMME:

Si $l(U_+) < l(E)$ (donc $l(\tilde{V}\tilde{U}) < l(V)$), suivant le cas I ou II, $\varphi_U^{-1}x\alpha^{-1}$ ou $\varphi_U^{-1}x\beta$
contredit encore que $x$ minimise la taille dans la double classe $Hx_0H$. $\square$

Ainsi $l(U_+) \ge l(E) \ge l(D)$ et il y a un mot, éventuellement vide, $F$ tel que
$U_+$ a l'expression réduite $U_+ = FD^{-1}$ et donc $U = E^{-1}FD^{-1}$, ainsi :

$\varphi_D^{-1}(V) = (DE)^D = ED$ et $\varphi_D^{-1}(U) = (E^{-1}FD^{-1})^D = D^{-1}E^{-1}F$
donc $\varphi_D^{-1}(\tilde{V}\tilde{U}) = \varphi_D^{-1}(V)\varphi_D(U) = F$ et $l(\varphi_D^{-1}(V)) = l(V)$, $l(\varphi_D^{-1}(\tilde{V}\tilde{U})) < l(U)$.

Donc, suivant le cas I ou II, que $x$ minimise la taille dans $Hx_0H$ est encore
contredit par l'endomorphisme surjectif $\varphi_D^{-1}x\beta$ ou $\varphi_D^{-1}x\alpha^{-1}$.

Aucun subsistant $C_k$ ne pouvant ainsi être vide, le Lemme est établi. $\square \blacksquare$
# APPENDICE C

## Forme normale dans $B_3$ et classes de conjugaison de torsion.

On utilise les notations du §1 : $B_3 = \langle a, b ; aba = bab \rangle$ groupe des tresses à trois brins, d'après la Proposition de l'appendice B, identifié à $\Psi(B_3) \subset Aut^+(F_2)$.

Ainsi $s=aba=bab : (u,v) \mapsto (v, u^{-1})^u$, $c=s^2=ababab$, $(u,v) \mapsto (u^{-1}, v^{-1})^{vu}$ et $d=c^2$, $(u,v) \mapsto (u,v)^{[v,u]}$ qui engendrent respectivement le centre $Z=\langle c \rangle$ de $B_3$ et son sous-groupe d'indice 2, $Y = \langle d \rangle \subset \langle c \rangle = Z$.
On note $A, B, S, C \in SL(2, \mathbb{Z})$ leurs images par $\varrho := \rho^+ \circ \Psi : Aut^+(F_2) \to SL(2, \mathbb{Z})$.

**PROPOSITION.** — Soit une tresse à trois brins $w \in B_3$. Alors il y a :
$n \in \mathbb{Z}$, $\nu_1, \nu_2 \in \{0,1\}$ et $W(a^{-1}, b)$, un mot du monoïde engendré par $a^{-1}$ et $b$, t.q. :

$$w = s^{\nu_1} W(a^{-1}, b) s^{\nu_2} c^n$$

De plus, si $w \notin \langle s \rangle$, cette écriture est uniquement<fnref n="1" /> déterminée par $w$.

**Démonstration.** — Il y a $\frac{1}{2}2^4$ choix de signes<fnref n="2" /> pour les coefficients de $M = \varrho(w)$, ainsi il y a $\nu \in \{0,1\}^3$ avec $M_\nu = S^{-\nu_1} \varrho(w) S^{-\nu_2} C^{-\nu_0}$ à coefficients positifs ou nuls.

Par une classique<fnref n="3" /> suite de soustraction de lignes<fnref n="4" />, on ramène $M$ à $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et donc $\varrho(w)$ est le produit $W(A^{-1}, B)$ en sens inverse des matrices inverses $A^{-1}, B$.

D'après (2a) l'élément $w' = s^{\nu_1} W(a^{-1}, b) s^{\nu_2} c^{\nu_0}$ vérifiant $\varrho(w) = \varrho(w')$ diffère de $w$ par une puissance paire de $c : w = w' c^{2m} = s^{\nu_1} W(a^{-1}, b) s^{\nu_2} c^{\nu_0+2m}$. ■

**Définition.** La taille normale de $w \in B_3$ est l'ordre lexicographique de la paire

$$t_n(w) = (2\nu_1 + \nu_2, l(W)).$$

**COROLLAIRE.** — Un élément $w_0$ de taille normale minimale dans la classe de conjugaison $w^{B_3}$ de l'élément $w \in B_3$ est de taille soit :

i) $t_n(w_0) = (0,0)$, et $w_0 = c^n$ est central.

ii) $t_n(w_0) = (0,m)$, $m \neq 0$ et $w_0 = Wc^n$, $W \neq 1$ cycliquement réduit.

<footnote n="1">¹ si $w=s^m \in Z$ il n'y a pas unicité : $c^n = s^{2n} = s1sc^{n-1}$ (resp. $s1c^n = s^{2n+1} = 1sc^n$).</footnote>

<footnote n="2">² comme $\det(\varrho(x)) = 1 > 0$ la moitié des choix $\pm$ pour chacun des quatre coefficients.</footnote>

<footnote n="3">³ soit $M = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$, $\|M\| = e+f+g+h$. Si $e=g$ et $f > h$ (resp. $f < h$) on note $M_1 = AM$ (resp. $B^{-1}M$). Si $e > g$ (resp. $e < g$) alors $f \ge h$ (resp. $f \le h$) et on pose $M_1 = AM$ (resp. $B^{-1}M$). Dans tous les cas $M_1$ est à coefficients positifs ou nuls avec $\|M_1\| < \|M\|$ (sinon $e \ge g+1, h \ge f+1$ et $\det(M) \ge (g+1)(f+1) - fg = g+f+1 > 1$, sauf si $M = \text{Id}...$)</footnote>

<footnote n="4">⁴ multiplication à gauche par $A$ ou $B^{-1}$, la note précédente implique l'unicité du processus.</footnote>
iii) $t_n(w_0) = (1,0)$ et $w_0 = sc^n = s^{2n+1}$.

iv) $t_n(w_0) = (1,1)$, et soit $w_0 = a^{-1}s^{2n+1}$, soit $w_0 = bs^{2n+1}$.

COMPLÉMENT. — L'image de $w_0$ dans $B_3/Y = SL(2, \mathbb{Z})$ est :

Dans le cas i), $\overline{w_0} = \overline{c^n}$ d'ordre 2 si $n$ est impair, trivial si $n$ est pair.

Dans le cas ii), $\overline{w_0} = \overline{Wc^n}$ d'ordre infini.

Dans le cas iii), $\overline{w_0} = \overline{s^{2n+1}}$ d'ordre 4 et conjugué à l'un de $\overline{s}$, $\overline{s^{-1}}$.

Dans le cas iv) d'ordre 6 ou 3 et conjugué à l'un de $\overline{b\bar{a}}$, $(\overline{b\bar{a}})^{-1}$ ou $(\overline{b\bar{a}})^2$, $(\overline{b\bar{a}})^{-2}$.

Dans les cas iii) et iv) les choix sont deux à deux non conjugués$^5$.

Démonstration. — Si $t_n(w) = (k,m) \ge (2,1)$ alors $w = sWc^n$, ou $sWsc^n$ et le conjugué $w^s=Wsc^n$ ou $w^s=Wc^{n+1}$ est de taille normale $(k-1,m)$ ou $(k-3,m)$.

Si $w = Wsc^n$ a une écriture de taille $(1,m)$, $m>1$ alors $W$ a l'une des formes :

$$W = a^{-1}W'a^{-1}, a^{-1}W'b, bW'a^{-1}, bW'b$$

avec $l(W')=l(W) - 2 < l(W)$ et dans les quatre cas les conjugués :

$$w^{a-1} = aa^{-1}W'a^{-1}abac^{n}a^{-1} = W'bc^{n}, \quad w^{a-1} = aa^{-1}W'babac^{n}a^{-1} = W'sc^{n}$$

$$w^b = b^{-1}bW'a^{-1}abac^{n}b = W'sc^{n}, \quad w^b = b^{-1}bW'babac^{n}b = W'a^{-1}c^{n+1}$$

ont une écriture de taille normale inférieure :

$$(0, m-1), (1, m-2), (1, m-2), (0, m-1).$$

Dans le cas iv) si $n$ est pair : $a^{-1}s^{2n+1} = a^{-1}s = a^{-1}aba = ba \mod Y$, $bs^{2n+1} = bs = baba = (ba)^2 \mod Y$ et si $n$ est impair $a^{-1}s^{2n+1} = a^{-1}s^3 = a^{-1}ababababa = babababa = (ba)^4 \mod K$, $bs^{2n+1} = bs^3 = bababababa = (ba)^5 \mod K$.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

FORMULES DANS $Aut^+(F_2) = Int(F_2) \rtimes_{\psi} B_3$. — i) $\sigma\varphi_x = \varphi_{\sigma(x)}\sigma$

$$(ii) \quad (\varphi_x\sigma)(\varphi_y\tau) = \varphi_{x\sigma(y)}\sigma\tau$$

$$(iii) \quad (\varphi_x\sigma)^{\varphi_y\tau} = \varphi_{\tau^{-1}(y^{-1}x\sigma(y))}\sigma^\tau.$$

Démonstration. — ii) suit de i) et iii) suit de ii) et i) :

$$\varphi_x\sigma\varphi_y\tau = \varphi_x\varphi_{\sigma(y)}\sigma\tau = \varphi_{x\sigma(y)}\sigma\tau$$

$$(\varphi_y\tau)^{-1}\varphi_x\sigma\varphi_y\tau = \tau^{-1}\varphi_{y^{-1}}\varphi_{x\sigma(y)}\sigma\tau = \tau^{-1}\varphi_{y^{-1}x\sigma(y)}\sigma\tau = \varphi_{\tau^{-1}(y^{-1}x\sigma(y))}\tau^{-1}\sigma\tau$$

<footnote>$^5$ car $S, S^{-1}, BA = M, M^{-1}, M^2, M^{-2}$ sont distinctes dans l'abélianisé de $B_3/Y = SL(2, \mathbb{Z})$.</footnote>
Quant à $i$), pour tout $t \in F_2$ on a :

$$ \sigma\varphi_x(t) = \sigma(xtx^{-1}) = \sigma(x)\sigma(t)\sigma(x)^{-1} = \varphi_{\sigma(x)}(\sigma(t)) = (\varphi_{\sigma(x)}\sigma)(t). $$

### REMARQUE. — Les éléments suivants $\sigma, \iota, \zeta$ de Aut$^+(F_2)$ :

$$ \begin{align*} \sigma &= \varphi_{vu}s^2 : (u, v) \mapsto (u^{-1}, v^{-1}) \\ \iota &= \varphi_u s : (u, v) \mapsto (v, u^{-1}), \quad (\iota^2 = \sigma) \end{align*} $$

$$ \zeta := \varphi_u \beta s : (u, v) \mapsto (v, v^{-1}u^{-1}), \quad \zeta^{-1}(u, v) = (v^{-1}u^{-1}, u) $$

sont d'ordre fini, respectivement 2, 4 et 3 et d'images dans SL(2, $\mathbb{Z}$) :

$$ \rho(\sigma) = -I = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \rho(\iota) = S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \rho(\zeta) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \rho(\zeta^{-1}) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. $$

$$ \text{De plus } \zeta^{\sigma} = \varphi_{v}\zeta \text{ et } \sigma^{\zeta^{-1}} = \varphi_{v^{-1}}\sigma. $$

### Démonstration. — D'après la Proposition de l'Appendice B on a les relations :
$$ s^2(u, v) = (u^{-1}, v^{-1})^{vu}, \quad s(u, v) = (v, u^{-1})^u, \text{ d'où les cas de } \sigma \text{ et } \iota \text{ et :} $$
$$ \zeta(u, v) = \varphi_u \beta((v, u^{-1})^u) = \varphi_u (v^{vu}, (u^{-1}v^{-1})^{vu}) = (v^v, (u^{-1}v^{-1})^v) = (v, v^{-1}u^{-1}), $$
expression en $u$ et $v$ de la permutation cyclique des générateurs de la présentation symétrique $F_2 = \langle u, v, w | uvw \rangle$ d'où l'ordre de $\zeta$ et l'expression de $\zeta^{-1}$. $\square$

$$ \begin{align*} \zeta^{\sigma}(u, v) &= \sigma^{-1}\zeta\sigma(u, v) = \sigma\zeta(u^{-1}, v^{-1}) = \sigma(v^{-1}, uv) = (v, u^{-1}v^{-1}) = \varphi_{v}\zeta(u, v) \\ \sigma^{\zeta^{-1}}(u, v) &= \zeta\sigma\zeta^{-1}(u, v) = \zeta\sigma(v^{-1}u^{-1}, u) = \zeta(vu, u^{-1}) = (v^{-1}u^{-1}v, v^{-1}) = \varphi_{v^{-1}}\sigma(v). \end{align*} $$

### COCOROLLAIRE. — i) Les éléments de torsion de SL(2, $\mathbb{Z}$) sont d'ordre 6, 4, 3, 2, une classe de conjugaison pour ceux d'ordre 2, deux pour les autres :

$$ M=BA=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, M^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, S,S^{-1}, M^{2}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, M^{-2}=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, -I. $$

ii) Tout relevé dans Aut$^+(F_2)$, avec même ordre, d'un élément d'ordre 2, 4 ou 3 de SL(2, $\mathbb{Z}$) est respectivement conjugué à $\sigma, \iota$ ou $\iota^{-1}, \zeta$ ou $\zeta^{-1}$.

Il n'y a pas d'élément d'ordre 6 dans Aut$^+(F_2)$.

### Démonstration. — i) est une paraphrase du COMPLÉMENT. $\square$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

ii) Si $\gamma \in Aut^+(F_2)$ est d'ordre $k$ et $\gamma' \in Aut^+(F_2)$ est tel que $\rho(\gamma') = \rho(\gamma)$ alors, d'après Nielsen iii) il y a $x \in F_2$ tel que $\gamma' = \varphi_x\gamma$.

D'après la FORMULE ii), $\gamma'$ est d'ordre $k$ si et seulement si :

$$ x \in X_{\gamma} := \{x \in F_2 \mid x\gamma(x) \cdots \gamma^{k-2}(x)\gamma^{k-1}(x) = 1\} $$
et, d'après la FORMULE iii) et Nielsen iii), l'élément $\varphi_y\tau$ conjugue $\gamma'' = \varphi_{x'}\gamma$ à $\gamma'$ si et seulement si : $\gamma^\tau = \varphi_z\gamma$ pour un $z \in F_2$ et $\tau^{-1}(y^{-1}x'\gamma(y))z = x$.

Si $\tau=1$ on a $z=1$ et $x$ est dans l'orbite de $x'$ pour l'action à droite :

$$ \cdot_{\gamma} : X_{\gamma} \times F_2 \to X_{\gamma}, \quad x \cdot_{\gamma} w = w^{-1}x\gamma(w). $$

D'après i) et Nielsen iii), les éléments d'ordre 2, 3, 4 de $Aut^+(F_2)$ sont conjugés à l'un de : $\varphi_{x_\sigma}\sigma$, $(\varphi_{x_\zeta}\zeta)^{\pm 1}$, $(\varphi_{x_\iota}\iota)^{\pm 1}$ avec des $x_\gamma \in X_\gamma$, $\gamma = \sigma, \zeta, \iota$.

Soit $x_\gamma \in X_\gamma$ de longueur $l(x_\gamma) = \min\{l(w \cdot_\gamma x_\iota | w \in F_2\} = l$ minimale dans l'orbite de $x_\gamma$ pour l'action de $\cdot_\gamma$ avec $\gamma=\sigma, \zeta, \iota$.

Démonstration des cas d'ordre non divisible par 3 dans ii).

Si $l=0$, $\varphi_{x_\gamma}\gamma$ est, suivant le cas, $\sigma$ ou $\iota^{\pm 1}$. $\square$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Sinon, $\gamma$ envoyant les générateurs sur des éléments de longueur 1, $\gamma(x_\gamma)$, en mot réduit, s'obtient en remplaçant dans $x_\gamma$ chaque lettre par son image par $\gamma$.

Le mot $x_\gamma\gamma(x_\gamma)\cdots\gamma^{k-1}(x_\gamma) = 1$ n'étant pas réduit, soit $x_\gamma$ est de longueur $l(x_\gamma) \ge 2$ avec $a, z$ pour première et dernière lettre vérifiant $\gamma(a) = z^{-1}$, donc $l(x_\gamma \cdot_\gamma a) = l(x_\gamma) - 2$, contredisant la minimalité de $l(x_\gamma)$ dans l'orbite de $x_\gamma$. $\square$

Donc $l(x_\gamma) = 1$, $x_\gamma = a$ et $\gamma(a) = a^{-1}$, impossible si $\gamma = \iota$, et si $\gamma = \sigma$, comme $\iota$ agit transitivement sur $\{u^{\pm 1}, v^{\pm 1}\}$ les quatre cas $x_\sigma = \varphi_t\sigma$, $t \in \{u^{\pm 1}, v^{\pm 1}\}$ sont conjugués entre eux par les puissances de $\iota : (\varphi_t\sigma)^{\iota k} = \varphi_{\iota^{-k}(t)}\sigma$, $k = 1, 2, 3, 4$ et, comme$^6 \sigma^{\zeta^{-1}} = \varphi_{\zeta^{-1}}\sigma$, l'élément $\varphi_{x_\sigma}\sigma$ est aussi conjugué à $\sigma$. $\square \blacksquare$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Démonstration du cas d'ordre 3 dans ii).

Par confort notationnel on identifie les générateurs de la présentation symétrique de $F_2 = \langle u, v, w | uvw \rangle$ à $\overline{1}, \overline{2}, \overline{3} \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, ainsi :

$$ F_2 = \langle \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} | (i-1)i(i+1) \rangle, \quad \zeta : F_2 \to F_2, \zeta(i) = i+1. $$

Comme pour tout générateur $i \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, on a : $i^{-1} = (i+1)(i-1)$, tout élément de $w \in F_2$ a une écriture $w = i_1 \cdots i_n$ en uniquement les générateurs (et pas leurs inverses) $\overline{1}, \overline{2}, \overline{3} \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, écriture unique si elle est réduite, c.à.d. ne contient, pour un $i \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, le sous-mot $(i-1)i(i+1)$, on note alors $l^+(w) = n$, sa longueur.

Soit $x = i_1 \cdots i_n \in X_\zeta$ avec $l^+(x)$ minimale dans l'orbite de $x$ pour l'action $\cdot_\zeta$

AFFIRMATION. — $n = l^+(x) \le 1$

Démonstration. — On a $x\zeta(x)\zeta^2(x) = 1$ donc, soit $l^+(x) \le 1$, soit il y a réduction entre$^7 x$ et $\zeta(x)$. Comme $(i_1i_2)(i_1+1)(i_2+1)$ ne se réduit pas, on a $l(x) = n > 2$.

$$ \text{Comme } \zeta(x) = (i_1+1)\cdots(i_n+1), \quad i_n = i_1 \text{ et soit } i_2 = i_1+1, \text{ soit } i_{n-1} = i_1-1. $$

<footnote>$^6$ par la dernière relation de la **Remarque**.</footnote>

<footnote>$^7$ l'image par $\zeta^{-1}$ d'une réduction entre $\zeta(x)$ et $\zeta^2(x)$ est une réduction entre $x$ et $\zeta(x)$.</footnote>
Dans le premier cas<fnref n="8" /> $x \cdot \zeta (i_n - 1)^{-1} = i_1(i_1 + 1)i_3 \cdots i_{n-1}i_1 \cdot \zeta (i_1 - 1)^{-1} =$
$(i_1 - 1)i_1(i_1 + 1)i_3 \cdots i_{n-1} = i_3 \cdots i_{n-1}$, contredisant $l^+(x)$ minimal dans l'orbite.

Dans le second $x \cdot \zeta i_1 = i_1 i_2 \cdots i_{n-2} (i_1 - 1) i_1 \cdot \zeta i_1 = i_2 \cdots i_{n-2} (i_1 - 1) i_1 (i_1 + 1) =$
$i_2 \cdots i_{n-2}$, contredisant encore $l^+(x)$ minimal dans l'orbite de $x$. ■

Ainsi soit $x = 1$ et $\zeta' = \zeta$, soit $\zeta' = \varphi_{\bar{i}}\zeta$, cependant<fnref n="9" /> $\zeta^\sigma = \varphi_{\bar{i}+\zeta}$ et, pour $k=1,2,3$, $(\varphi_{\bar{i}}\zeta)^{\zeta^{-k}} = \varphi_{\zeta^k(\bar{i})}\zeta = \varphi_{\bar{i}+k}\zeta$ et $\zeta'$ est encore conjugué à $\zeta$. ■ ■

Démonstration de la non existence d'élément d'ordre 6 dans ii).

Soit $\omega$ d'ordre 6 de $Aut^+(F_2)$. Les éléments d'ordre 3 de $Aut^+(F_2)$ étant conjugués à $\zeta$ ou $\zeta^{-1}$ et, dans $SL(2, \mathbb{Z})$, ceux d'ordre 6 à $M$ ou $M^{-1}$, on suppose $\omega$ d'abélianisé $M$ et de carré $\omega^2 = \zeta = \varphi_u \beta s$, le cas $M^{-1}$ suit par passage à l'inverse.

Ainsi $\omega = \varphi_x \beta \alpha$ et :

$$ \omega^2 = \varphi_x \beta \alpha \varphi_x \beta \alpha = \varphi_x \varphi_{\beta \alpha(x)} \beta \alpha \beta \alpha = \varphi_{x \beta \alpha(x)} \beta s = \varphi_{x \beta \alpha(x)} \varphi_{u^{-1}} \zeta = \varphi_{x \beta \alpha(x) u^{-1}} \zeta . $$

Mais $N = I + M = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ne peut avoir $\bar{u} = e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ dans son image<fnref n="10" />,
à plus forte raison, dans le groupe libre $F_2 = \langle u, v \rangle$, l'équation : $x\beta\alpha(x)u^{-1} = 1$,
dont $(I + M)(X) - U = 0$ est l'équation induite dans l'abélianisé $\mathbb{Z}^2$, n'a pas de
solution, donc il n'y a pas d'hypothétique $\omega$ d'ordre 6 dans $Aut^+(F_2)$. ■ ■ ■

<footnote n="8">⁸ Si $n=3, 4, 5$, $i_3 \cdots i_{n-1}$ (resp. $i_2 \cdots i_{n-2}$) sont $\emptyset, i_3, i_3 i_{n-1} = i_3 i_4$ (resp. $\emptyset, i_2, i_2 i_{n-2} = i_2 i_3$).</footnote>

<footnote n="9">⁹ d'après la **Remarque**.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ l'unique préimage par $N$ de $e_1$ dans $\mathbb{Q}^2$ est $\frac{1}{3}e_1 - \frac{1}{3}e_2 \notin \mathbb{Z}^2$.</footnote>
# APPENDICE D

## Le groupe des tresses diédrales à trois brins $DB_3$ et $Aut(F_2)$.

Le groupe à deux éléments $\Delta = \{1, d\}$ agit sur le groupe des tresses à trois brins $B_3$ par $a^d = b^{-1}, b^d = a^{-1}$.

**Définition.** Le groupe des *tresses diédrales à trois brins* $DB_3$ est l'extension triviale de $\Delta$ par $B_3$ muni de l'action précédente. :

$$1 \to B_3 \to DB_3 = B_3 \times \Delta \to \Delta \to 1,$$

il a donc la présentation :

$$DB_3 = \langle a, b, d \mid d^2, aba(bab)^{-1}, bdad \rangle.$$

**PROPOSITION.** — L'endomorphisme $\delta : F_2 \to F_2$ défini par $\delta(u, v) = (v, u)$ est un isomorphisme d'ordre 2 vérifiant les relations

$$\alpha^{\delta} = \beta^{-1}, \quad \beta^{\delta} = \alpha^{-1},$$

il permet donc d'étendre le morphisme :

$$\Psi : B_3 \to Aut^+(F_2), \Psi(a) = \alpha, \Psi(b) = \beta$$

de l'appendice B en un morphisme injectif :

$$\Phi : DB_3 \to Aut(F_2), \Phi(a) = \Psi(a) = \alpha, \Phi(b) = \Psi(b) = \beta, \Phi(d) = \delta.$$

**Démonstration.** — Comme $\delta^2 = 1$, il suffit d'établir $\alpha^\delta = \beta^{-1}$ :

$$\alpha^{\delta}(u, v) = \delta^{-1}\alpha\delta(u, v) = \delta\alpha(v, u) = \delta(u^{-1}v, u) = (v^{-1}u, v) = \beta^{-1}(u, v). \blacksquare$$

Il sera alors aisé à la lectrice d'établir, pour $Aut(F_2)$, la version originelle :

**THÉORÈME'** (de Nielsen, 1917). — i) *Un endomorphisme surjectif du groupe libre à deux générateurs $F_2$ est un automorphisme.*

ii) Le groupe des automorphismes de $F_2$ est produit semi-direct amalgamé :

$$Aut(F_2) = Int(F_2) \rtimes_{\langle\varphi_{[u,v]}\rangle = \Phi(s^4)} \Phi(DB_3).$$

iii) Le groupe $Int(F_2)$ des automorphismes intérieurs de $F_2$ est le noyau de :

$$\rho : Aut(F_2) \to Aut(\mathbb{Z}^2) = GL(2, \mathbb{Z}).$$

iv) Un endomorphisme $\varphi$ du groupe libre à deux générateurs $F_2$ défini par $\varphi(t_i) = X_i, i = 1, 2$ est un automorphisme de $F_2$ si et seulement si il préserve à conjugaison et inverse près le commutateur des générateurs :

$$(C'w) \quad [X_1, X_2] = X_1^{-1}X_2^{-1}X_1X_2 = ([t_1, t_2]^{\pm 1})^w = w^{-1}[t_1, t_2]^{\pm 1}w.$$

De plus, il est dans $\Phi(DB_3)$ ssi $[X_1, X_2] = [t_1, t_2]^{\pm 1}$, c. à d. on a $(C'1)$
et la détermination à conjugaison près des torsions de $GL(2, \mathbb{Z})$ et $Aut(F_2)$ :

COCOROLLAIRE. — i) Les éléments de torsion de $GL(2, \mathbb{Z})$ sont d'ordre 2, 3, 4 ou 6, trois classes de conjugaison pour ceux d'ordre 2, une seule pour les autres :

$$ -I, D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, SD = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, M^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, S \text{ ou } M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. $$

ii) Tout relevé dans $Aut^+(F_2)$, avec même ordre, d'un élément d'ordre 2, 3, 4 de $GL(2, \mathbb{Z})$ est respectivement conjugué à $\sigma$, $\delta$, $\iota\delta$, $\zeta$ ou $\iota$.

Il n'y a pas d'élément d'ordre 6 dans $Aut(F_2)$.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
# APPENDICE E

## Un exercice de théorie des groupes : produits semi-directs amalgamés.

On rapelle que, si $K, L$ sont des groupes et $\psi : L \to Aut(K)$ est un morphisme de groupes, le produit semi-direct de $K$ par $L$ suivant $\psi$ est $K \times_{\psi} L$, le produit $K \times L$ muni de la loi :

$$ (k, l) \cdot (k', l') = (k\psi(l)(k'), ll') . $$

Il contient $K \times \{1\}, \{1\} \times L \subset K \times_{\psi} L$ comme sous-groupes qu'abusivement, on note encore $K=K \times \{1\}, L=\{1\} \times L < K \times_{\psi} L$ avec $K \cap L=\{1\}$, le premier $K$ étant normal et la restriction $\pi|_L : L \subset K \times_{\psi} L \to K \times_{\psi} L/K$ à $L$ du morphisme quotient est un isomorphisme.

De plus $(k, l)^{-1} = (\psi(l^{-1})(k^{-1}), l^{-1})$ et, si $l \in L$, $\psi(l) : K=K \times \{1\} \to K \times \{1\} = K$ est la restriction à $K \times \{1\}$ de la conjugaison par $l$ dans $K \times_{\psi} L, (k, 1) \mapsto (1, l)(k, 1)(1, l)^{-1} = \psi(l)(k)$.

Le but de cet appendice est une version sans l'hypothèse $K \cap L = \{1\}$ de la classique :

**Proposition.** — Soit $K < G$ un sous-groupe d'un groupe $G$ et $L < N(K)$ un sous-groupe du normalisateur de $K$ avec $K \cap L = \{1\}$.

$$ \text{On note } \psi : L \to Aut(K), \psi(l)(k) = lkl^{-1}. $$

$$ \text{Alors } K \times_{\psi} L \text{ est, par } (k, l) \mapsto kl, \text{ isomorphe au sous-groupe } KL \subset G. $$

Soit $K, L, M$ trois groupes, $\psi : L \to Aut(K)$, $\kappa : M \to K$, $\lambda : M \to L$ trois morphismes de groupes avec $\kappa, \lambda$ injectifs, $\lambda(M) \triangleleft L$ normal dans $L$ et $\psi$ respectant l'image $\kappa(M)$, c.à.d. induisant $\psi_M : L \to Aut(\kappa(M))$, et tant $\psi_M$ que $\psi \circ \lambda$ sont intérieurs au sens fort suivant<fnref n="1" /> :

$$ \psi_M(l)(\kappa(m)) = \kappa \circ \lambda^{-1}(l\lambda(m)l^{-1}), \quad \psi(\lambda(m))(k) = \kappa(m)k\kappa(m)^{-1}. $$

$$ \text{On note } \mu : M \to K \times_{\psi} L, \mu(m) = (\kappa(m)^{-1}, \lambda(m)). $$

Identifiant, au moyen de $\kappa$ et $\lambda$, le groupe $M$ à un sous-groupe commun à $K$ et $L$, ainsi que $K, L$ aux sous-groupes $K \times \{1\}, \{1\} \times L$ de $K \times_{\psi} L$, on a :

$$ \mu : M \to K \times_{\psi} L, \mu(m) = (m^{-1}, m), $$

$$ \psi_M(l)(m) = lml^{-1} = :l^m, \quad \psi(m)(k) = mkm^{-1} = :m^k, $$

$$ (k, l) = kl, \quad (k, l)(k', l') = (k(l'k'), ll'), \quad (k, l)^{-1} = (l^{-1}k^{-1}l, l^{-1}) = :((k^{-1})^l, l^{-1}). $$

**LEMME.** — $\mu$ est un morphisme d'image $\mu(M) \triangleleft K \times_{\psi} L$, un sous-groupe normal.

**Définition.** Le groupe quotient $K \times_{\psi} L/\mu(M)$, noté $K \times_{\psi, \eta=\kappa} L$ (ou<fnref n="2" /> $K \times_{\psi, M} L$), est le produit semi-direct suivant $\psi$ de $K$ et $L$ amalgamé par $\eta=\kappa$ (ou sur $M$).

<footnote n="1">¹ notant abusivement $\lambda^{-1} : \lambda(M) \to M$ l'inverse de la bijection $\lambda' : M \to \lambda(M), m \mapsto \lambda(m)$.</footnote>

<footnote n="2">² comme ci-dessus, identifiant $M$ à $\kappa(M), \dots$</footnote>
COROLLAIRE. — Soit $K < G$ un sous-groupe d'un groupe $G$ et $L < N(K)$ un sous-groupe du normalisateur de $K$. Alors, si $\psi : L \to Aut(K)$, $\psi(l)(k) = lkl^{-1}$ est la restriction à $L < G$ de la conjugaison dans $G$, l'application :

$$p : K \times_{\psi} L \to KL < G, (k, l) \mapsto kl$$

est un morphisme de noyau $M = K \cap L$ et induit un isomorphisme :

$$\bar{p} : K \times_{\psi, M} L \to KL.$$

Démonstration. — $p(k, l)p(k', l') = klk'l' = klk'l^{-1}ll' = p((k, l)(k', l'))$, et $p$ est morphisme. $\square$

$1 = p(k, l) = kl \text{ ssi } K \ni k = l^{-1} \in L, \text{ donc } l \in K \cap L = M, \text{ c.a.d. } (k, l) = (m^{-1}, m) \in \mu(L). \quad \blacksquare$

Démonstration du Lemme. — $\mu(m)\mu(m') = (m^{-1}, m)(m'^{-1}, m') = (m^{-1}(mm'^{-1}), mm') = (m'^{-1}m^{-1}, mm') = ((mm')^{-1}, mm') = \mu(mm')$ donc $\mu$ est un morphisme de groupes. $\square$

$$ \begin{align*} kl\mu(m) &= kl(m^{-1}, m)(kl)^{-1} = (k(lm^{-1}), lm)l^{-1}k^{-1} = (k(lm^{-1}), lm)(l^{-1}k^{-1}ll^{-1}) = \\ &= (k(lm^{-1})(lm((k^{-1})^l)), lml^{-1}) = (klm^{-1}l^{-1}lml^{-1}k^{-1}lm^{-1}l^{-1}, l^m) = \\ &= (l^m, l^m) = \mu(l^m) \in \mu(M). \end{align*} $$

et le sous-groupe $\mu(M)$ est normal dans $K \times_{\psi} L$. $\blacksquare$
COMMENTAIRES BIBLIOGRAPHIQUES

Les seuls calculs $ABA = BAB, f_{n+1}f_{n-1} = f_n$ et $\pi_0(A) = a, \pi_0(B) = b$ plutôt que ceux et les récurrences à base d'algorithmes d'Euclidean du traitement classique (p. 9-19 de [Ra]) profitent de ce que la suffisance des relations est donnée par la présentation du groupe des classes d'isotopie de difféomorphismes de la sphère plate ($\mathbb{S}, \{m, n, p, \infty\}, \{\infty\}$) = $(\mathbb{T}/\{\pm I\}, \mathbb{T}_2, \{0\})$ respectant points d'ordre 2 et 1, présentation déduite de celle du groupe des tresses à trois brins d'Artin ([A]).

Plus de vingt ans après<fnref n="1" />, Artin concédait que (dans son article de 1925) “Most of the proofs are entirely intuitive”, renvoyant pour les relations de $B_n$ au quasiment simultané<fnref n="2" /> traitement algébrique de F. Bohnenblust via l’action de $B_n$ sur le groupe libre $F_n$ (le groupe fondamental du plan privé de $n$ points).

Depuis, l'établissement de ces relations<fnref n="3" /> a fait couler beaucoup d'encre.

Un traitement clair et rigoureux est donné par l'école d'Orsay via la méthode des espaces fonctionnels<fnref n="4" /> et les théorèmes de fibration de Cerf ([Ce]).<fnref n="5" />

Dans son introduction à la K-théorie algébrique ([Mi]) Milnor prouve<fnref n="6" /> que le noyau du morphisme canonique $\phi: St(2, \mathbb{Z}) \to SL(2, \mathbb{Z})$ du groupe de Steinberg<fnref n="7" /> sur le groupe spécial linéaire en dimension 2 est un groupe cyclique infini.

Exprimant la présentation de $St(2, \mathbb{Z})$ au moyen de $\alpha = x_{1,2}^{-1}, \beta = x_{2,1}$, il reconnaît $St(2, \mathbb{Z}) \simeq B_3$, le noyau de $\phi$ étant le sous-groupe d'indice 2 du centre de ce groupe, non de tresses, mais groupe fondamental du complémentaire du nœud de trèfle<fnref n="8" /> et, rappelant l'argument de Quillen pour construire un difféomorphisme de $M = SL(2, \mathbb{R})/SL(2, \mathbb{Z})$ sur le complémentaire du nœud de trèfle<fnref n="9" />, obtient

<footnote n="1">¹ *Theory of Braids* Ann. of Math. 48 (1947), p. 101-126.</footnote>

<footnote n="2">² *The algebraic braid group*. Ann. Math. 48 (1947), p. 127-136.</footnote>

<footnote n="3">³ tant celles du groupe des tresses que le passage au groupe des classes d'isotopies d'homéomorphismes ou difféomorphismes respectant une partie finie de la sphère.</footnote>

<footnote n="4">⁴ L'espace des plongements de $n$ points dans le plan est stratifié avec une seule strate ouverte (les $n$ points d'abscisses deux à deux distinctes) qui est contractile, les générateurs du groupe fondamental correspondant aux traversées des strates de codimension 1 et les relations aux contournements de celles de codimension 2 (des strates de coïncidences d'abscisses).</footnote>

<footnote n="5">⁵ voir la rédaction de Valentin Poénaru, Exposé 2, p. 21-31 de [FLP].</footnote>

<footnote n="6">⁶ chaque étape est simple, une fois assimilé le début du §5 et beaucoup de §8, §9 et §10...!</footnote>

<footnote n="7">⁷ $St(2, \mathbb{Z}) = \langle x_{12}, x_{21} | x_{21}^{x_{12}-1} x_{12}^{x_{21}-1} = x_{12}^{-1} \rangle$ et $\phi(x_{12}) = e_{12} = A^{-1}, \phi(x_{21}) = e_{21} = B$.</footnote>

<footnote n="8">⁸ Artin ([A], p. 53), voir aussi [FLP] le corollaire p. 25 de l'exposé 2 de V. Poénaru.</footnote>

<footnote n="9">⁹ L'espace des réseaux de $\mathbb{R}^2 \simeq \mathbb{C}$ s'identifie d'une part à $GL(2, \mathbb{R})/GL(2, \mathbb{Z})$ et d'autre part, via l'équation $(W_\Lambda): (\wp')^2 = 4(\wp)^3 - u\wp - v$ de la fonction de Weierstraß du réseau $\Lambda \subset \mathbb{C}$, $\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}} \frac{1}{(z-\lambda)^2} - \frac{1}{\lambda^2}$, $u=g_2 = 60 \sum_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}} \frac{1}{\lambda^4}$, $v=g_3 = 140 \sum_{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}} \frac{1}{\lambda^6}$, au complémentaire dans $\mathbb{C}^2$ du discriminant $\{\Delta_\Lambda(u, v) = 27u^2 - v^3 = 0\}$. Ainsi l'espace des réseaux unimodulaires $SL(2, \mathbb{R})/SL(2, \mathbb{Z})$, puisque $\Delta_\Lambda$ est quasi homogène, s'identifie au complémentaire $(\mathbb{C}^2 \setminus \{\Delta_\Lambda = 0\}) \cap \{|u|^2 + |v|^2 = 1\}$ du nœud de trèfle dans la sphère unité de $\mathbb{C}^2$.</footnote>
que le groupe fondamental de $M$ est $\text{St}(2, \mathbb{Z}) \simeq B_3 = \widetilde{SL}(2, \mathbb{Z})$, préimage de $SL(2, \mathbb{Z})$ dans le revêtement universel $\widetilde{SL}(2, \mathbb{R})$ du groupe spécial linéaire réel $SL(2, \mathbb{R})$, établissant à nouveau la présentation tressée d'Artin, mais avec la réserve (which is of course classical). Sans doute pensait-il à un traitement comme dans l'Appendice A de la monographie de C. Kassel et V. Turaev ([KT]) inspiré de celui de Reidemeister ([Re]) de la présentation du groupe modulaire.

Voir $B_3$ comme préimage de $SL(2, \mathbb{Z})$ dans le revêtement universel de $SL(2, \mathbb{R})$ faisait partie du folklore (voir Serre dans son cours de 1968-69 ([Se], p. 20).

L'intérêt pour le théorème de Nielsen *iii*) a été ravivé depuis les années 50 puis 80-90 par l'intervention du tore modulaire en arithmétique, topologie des surfaces et décompte des géodésiques simples sur les surfaces hyperboliques<fnref n="10" />.

S'ils attribuent le résultat à Nielsen et son article ([N] de 1917), tant Magnus, Karass et Solitar ([MKS], p. 169) que Lyndon et Shupp ([LS], p. 25), montrent<fnref n="11" /> $\ker(Aut(F_2) \to GL(2, \mathbb{Z})) = \text{Int}(F_2)$ en utilisant la présentation de $Aut(F_n)$ publiée par Nielsen<fnref n="12" /> sept ans après.

Le court (13 pages) article original de Nielsen ([N]) n'est pas de lecture aisée :
Nielsen signale que Dehn lui a communiqué *iv*) avec une preuve différente<fnref n="13" />.

Si l'analogue de *iii*) et *iv*) est clairement dégagé en fin de I et début de II, ce

<footnote n="10">10 Voir [Co], l'article synthèse [H] de Haas et la note [McR].</footnote>

<footnote n="11">¹¹ Via référence à Chang ([Ch] pour Lyndon et Shupp, qui proposent aussi une démonstration fautive : si $\text{Int}(F_2) =: I < K := \ker(\rho)$, utilisant la présentation classique de $GL(2, \mathbb{Z})$ avec un générateur d'ordre 2, un d'ordre 4 et un d'ordre 6 ($C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et, avec nos notations, $S, (AB)$) laissent le lecteur vérifier que les relèvements $(v, u), (v^{-1}, u), (v^{-1}, uv)$ dans $Aut(F_2)$ de $C, S, (AB)$ vérifient modulo $I$ les relations. Même en corrigeant $(v^{-1}, uv)$ en $(v, u^{-1}v)$, cela montre que l'extension $1 \to K/I \to \text{Aut}(F_2)/I \to GL(2, \mathbb{Z}) \to 1$ a une section, mais pas que $K/I = \{1\}$.</footnote>

<footnote n="12">¹² Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen Math. Ann. **91** (1924), p. 169-209, (traduction en anglais par J. Stillwell [N-12]).</footnote>

<footnote n="13">¹³ sans référence par Nielsen, imaginons : la conservation à conjugaison près du commutateur des générateurs par l'endomorphisme $\varphi$ permet d'étendre en une application de degré 1 du tore $f : \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 =: R \to R$ sur lui-même une application $h : B \to B$ du bouquet $B = \mu \cup \lambda := R \times \{0\}/\mathbb{Z} \times \{0\} \cup \{0\} \times R/\{0\} \times \mathbb{Z}$ sur lui-même, identité près de $m = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ et induisant sur le groupe fondamental de $B$ l'endomorphisme $\varphi$. On déforme $f : (R, R \setminus \{m\}, \{m\}) \to (R, R \setminus \{m\}, \{m\})$ en une application lisse transverse à $B$ et simplifie $f^{-1}(\mu)$, puis $f^{-1}(\lambda)$ (pour $f^{-1}(\mu)$: on élimine les composantes inessentielles puis, celles qui restent (il y en a car $f$ est de degré 1) sont, s'il y en a plus d'une, des courbes parallèles, chaque paire de composantes voisines étant séparée par deux anneaux $A_1, A_2$. Alors la restriction de $f$ à $A_1$, celui qui ne contient pas $m$, est d'image disjointe de $m$ donc de degré nul et $f$ se déforme, près de $A_1$, en une application envoyant $A_1$ hors de $\mu...$). Ainsi $f$ se déforme en $g$ lisse transverse à $B$ avec $g^{-1}(\mu)$ et $g^{-1}(\lambda)$ connexes, donc $g_\| : g^{-1}(B) \to B$ est un revêtement connexe, de degré $\text{deg}(g_\|) = \text{deg}(g) = \text{deg}(f) = 1$, ainsi $g_\|$ est un homéomorphisme, donc l'endomorphisme $\varphi$ qu'il induit sur le groupe fondamental de $\pi_1(R \setminus \{m\})$ est un isomorphisme. ■</footnote>
n'est que page 9 après une intrication de démonstrations et énoncés intermédiaires.

Le point *i*) est plutôt supposé que démontré<sup>14</sup> au tout début de I.

N'ayant dégagé le sous-groupe $H \subset Aut^+(F_2)$, pour l'analogue de $i$) et $iii)$, Nielsen procède en deux temps : d'abord de I 1. à I 6. il réduit jusqu'à 1, par automorphisme intérieur et changement de « paires images » $(S(t_1), S(t_2))$ décrits dans le complément de l'AFFIRMATION 1 de l'Appendice B, la longueur des images, par l'endomorphisme surjectif $S$, des générateurs, puis de I 7. à I 10., examinant pas à pas le passage inverse et, utilisant la dernière partie de sa thèse<sup>15</sup>, il établit que dans chacun des mots $S(t_i)$, $i=1,2$ les exposants de chaque générateur ont même signe et que ces mots ont une forme uniquement déterminée par l'abélianisé de $S$.

Cette dernière partie a été oubliée<sup>16</sup> et a provoqué une grande activité pour déterminer la forme explicite des mots $S(t_i)$, avec McShane et Rivin, citons [OZ].

A la fin<sup>17</sup> de [A] Artin transforme sa présentation $B_3=<a, b| aba=bab>^n$ en $<t, s|t^3=s^2>(t=ba, s=bab)$ et, renvoyant à Dehn [D] et Schreier [Sc], il met tout élément $w \in B_3$ sous la forme normale $w=t^{\epsilon_0}st_1^{\epsilon_1}\cdots st^{\epsilon_{n-1}}s^{\epsilon_n}c^k$ avec :

$$n \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{Z}, \epsilon_j \in \{-1, 1\} \text{ pour } 0 < j < n, \epsilon_0 \in \{-1, 0, 1\}, \epsilon_n \in \{0, 1\}.$$

Comme $ts = babab = ca^{-1}$, $t^{-1}s = (ba)^{-1}bab = b$, quitte à modifier le traitement des termes extérieurs : $w = s^{\nu_1}t^{\epsilon_1}s \cdots t^{\epsilon_{n-1}}ss^{\nu_2}c^k, \nu_1, \nu_2 \in \{0, 1\}$, c'est celle de l'Appendice C, obtenue par méthode de Gauß sur les matrices $2 \times 2$ à coefficients entiers naturels que l'on trouve à la fin de la thèse de Nielsen [N-1].

La détermination de la torsion de $Aut(F_2)$ est due à Meskin [Me]. Il laisse cependant à la lectrice une grande initiative dans la distinction entre mot réduit de l'image par un endomorphisme d'un mot réduit et image de ce mot réduit et lui demande des vérifications de "non cancellation" problématiques<sup>18</sup>.

$$(SW)^3 = W^{S^2}W^S W (= (U^{S^2}A)(A^{-1}B^{-1}U'^S)W)$$

<footnote n="14"><sup>14</sup> à moins de savoir dès 1917 qu'un sous-groupe d'un groupe libre est libre (attribué à Schreier (1927) ou Nielsen (1921) en Danois, traduction en anglais par A.W. et W.D.Neumann [N-8]), on ne peut affirmer avec Nielsen que si les générateurs $a, b$ de $F_2$ s'expriment en fonction de mots $\alpha, \beta$ alors l'endomorphisme envoyant $a, b$ sur $\alpha, \beta$ est un isomorphisme (pour avoir l'inverse, il faudrait savoir que $\alpha$ et $\beta$ n'aient pas de relation entre eux).</footnote>

<footnote n="15"><sup>15</sup> Kurvennetze au Flächen Diss. Kiel 1913, p. 47-49 (accessible depuis 1986 : [N-1]).</footnote>

<footnote n="16"><sup>16</sup> ou jugée, sans accès (avant 1986) à la thèse de Nielsen, incomplète.</footnote>

<footnote n="17"><sup>17</sup> §9, p. 70 avec $\sigma_1, \sigma_2, a=\sigma_1\sigma_2, b=\sigma_1\sigma_2\sigma_1$ pour nos $a, b, ab:=t, s$ mais, comme nous $c=s^2$!</footnote>

<footnote n="18"><sup>18</sup> par exemple p. 497 If W ends in B, that is, $W = UB$, then $W^S = U^S A^{-1}B^{-1}$ and $W^{S^2} = U^{S^2}A$ and the A' do not cancel or, sans avoir prouvé préalablement que $W$ ne peut commencer et finir par $B$, si $U = BU'$ commence aussi par $B$, d'après la relation $B^S = A^{-1}B^{-1}$, donnée plus haut, il y a une simplification de $A$ dans l'expression :</footnote>
RÉFÉRENCES

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Quatrième de couverture de la plaquette, scénario de :

$SL(2, \mathbb{Z})$, les tresses à trois brins, le tore modulaire et $Aut^+(F_2)$

The main subject of this booklet, written as it is in french, is to propose an “Artin presentation” of $SL(2, \mathbb{Z})$. This presentation is obtained via the action of the two-dimensional integer special linear group on the so-called pillow orbifold ie the 2 sphere together with a singular euclidean metric, having three cone points permuted by the action whilst the fourth cone point is fixed.

This orbifold is obtained as the quotient of the integer two-dimensional torus by the elliptic involution $(x, y) \mapsto (-x, -y)$. Artin’s presentation of $B_3$, braid group on three strings viewed as modular group of the sphere with 3+1 marked points, provides us with the desired presentation.

This Artin presentation provides a convenient description of the derived group and its action on the Poincaré half plane, an action whose quotient is none other than the modular torus.

It appears that a formulation of Nielsen’s theorem for direct automorphisms of the free group $F_2$ using Artin’s braid group $B_3$ allows one to obtain in a simple and more rapid fashion the Artin presentation of $SL(2, \mathbb{Z})$ which though surely known to experts has not been popularized as it deserves.

However the proof of this formulation of Nielsen’s theorem, which seems not to be present in the literature at least explicitly, needs Artin’s presentation. This is our task in the second appendix (an appendix which is not the core of the paper but merely intended as a kind of flashback).

In the remaining appendices we treat various subjects related to Nielsen’s theorem such as determining torsion elements of $SL(2, \mathbb{Z})$ and the automorphism group of the free group of rank 2, a corresponding formulation of Nielsen’s theorem for the full automorphism group and the treatment of semi direct product of groups with amalgamation used in the formulation of Nielsen’s theorem.

During the shooting of this short movie, the “director and script”, not only cited, but (re)read the literature both old and new. He hopes that this humble effort might aid, the public to avoid some of the many traps and to enjoy what he intends as “a safari in the past and present”.

Metteur en scène et secrétaire : Alexis Marin Bozonat
courriel : alexis.charles.marin@gmail.com

Institut Fourier, UMR 5582, Laboratoire de Mathématiques Université Grenoble Alpes, CS 40700, 38058 Grenoble cedex 9, France