# Les "indices additifs". Une autre approche de la théorie des indices et de l'étude du chaînage

Jean-Pierre Berthier

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Jean-Pierre Berthier. Les "indices additifs ". Une autre approche de la théorie des indices et de l'étude du chaînage. Courrier des Statistiques, 2002, 104, pp.41-60. hal-05516149

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# Les « indices additifs »

## Une autre approche de la théorie des indices et de l'étude du chaînage<fnref n="1" />

En 1995, la France a produit 29,462 millions de tonnes de blé tendre, avec une surface cultivée de 4,34 millions d'hectares et un rendement de 68 quintaux par hectare. Cinq années plus tard, la surface cultivée est passée à 4,788 millions d'hectares, le rendement atteint 74 quintaux par hectare et la production s'élève alors à 35,463 millions de tonnes. Comment décomposer l'accroissement de la production entre ces deux dates en faisant intervenir les deux variables que sont la surface et le rendement ?

Cette question, posée volontairement de façon imprécise, reçoit très classiquement la réponse suivante : la hausse de 20 % de la production se décompose en une hausse de 10 % de la surface et une hausse de 9 % du rendement. Cette réponse, basée sur le calcul d'indices élémentaires, ne présente à ce stade aucune difficulté méthodologique. Les difficultés arrivent cependant dès que l'on considère qu'il y a deux sortes de blé : le blé tendre et le blé dur. Il faut alors faire appel à la méthodologie des indices (agrégés). Diverses possibilités s'offrent à nous : indices de Laspeyres, de Paasche ou de Fisher, pour se contenter des plus courants, indices chaînés ou indices à base fixe. Il est établi qu'il n'y a malheureusement pas de solution entièrement satisfaisante, même d'un strict point de vue théorique [1].

En revenant au cas simple d'un seul blé, on peut interpréter la question initiale d'une façon inhabituelle en considérant la différence des productions aux deux dates (et non leur quotient) et en cherchant un partage entre une partie « surface » et une partie « rendement », la somme des deux représentant l'accroissement de la production. Quel avantage peut-il y avoir à poursuivre dans cette voie ? Il est en fait double : d'une part la démarche elle-même est intéressante, d'autre part (et surtout) elle permet un éclairage méthodologique et pédagogique de la théorie des indices classiques.

Ces deux aspects méritent quelques explications :

- la décomposition multiplicative habituelle paraît naturelle et adaptée au modèle en question (production = surface x rendement). Une décomposition additive semble, à l'inverse, inappropriée à la nature même des données : surfaces et rendements ne peuvent s'ajouter. Cependant, il est facile de se persuader qu'il s'agit de deux problèmes différents. Avec un partage additif, les deux parts sont par définition exprimées en quantité de blé produit : elles mesurent les suppléments de quantité respectivement imputables à l'accroissement de la surface cultivée et à l'augmentation du rendement. Avec une telle approche, on pourra par exemple déterminer si la seule augmentation du rendement a suffi à couvrir l'augmentation de la demande intérieure. La réponse concrète à cette question est présentée, de façon illustrative, dans l'encadré des pages 44-45 ;

- la question méthodologique est en fait la plus intéressante. Avec les indices classiques, l'interaction entre les deux variables (surface et rendement) n'intervient que si l'on considère plusieurs composantes (ici blé tendre et blé dur). Seuls les indices agrégés font en effet intervenir dans leur expression les deux types de variables<fnref n="2" />, ce qui induit alors des effets de structure. Par contre, dans une décomposition additive, les deux variables interagissent même si l'on n'introduit pas plusieurs composantes : la quantité de blé supplémentaire qui peut être imputée à l'accroissement de la surface dépend aussi du niveau de rendement, même si l'on ne distingue pas différentes sortes de blé. Ces interactions, qui constituent le cœur des difficultés rencontrées en théorie des indices, se posent ici — et dans des termes souvent analogues — dès que l'on considère le modèle le plus élémentaire (une seule sorte de blé). Leur étude, alors sensiblement plus simple, permet un éclairage intéressant sur les propriétés et subtilités des indices classiques. Ceci est vrai pour les représentations les plus familères, indices de Laspeyres et de Paasche, par lesquelles nous commencerons. Mais l'avantage de la simplicité devient essentiel lorsque l'on veut comprendre la question importante mais délicate du chaînage.

<footnote n="1">1. Je remercie François Magnien qui m'a fait bénéficier de sa grande connaissance de la théorie des indices à utilité constante et avec qui les discussions autour du projet de cet article ont été très enrichissantes. Je remercie également Hugues Picard pour sa relecture attentive d'une première version de ce texte.</footnote>

<footnote n="2">2. Par exemple, dans un partage volume-prix, l'indice de Laspeyres des prix est égal à la moyenne des indices de prix élémentaires, pondérés par les valeurs, lesquelles font intervenir prix et quantités.</footnote>
La première partie de cet article est consacrée à l'étude des propriétés des indices additifs. Après l'examen des formules les plus simples, la question du chaînage est étudiée de façon assez détaillée, sous l'angle théorique du chaînage continu qui est celui de Divisia pour les indices classiques. La simplicité des indices additifs permet une compréhension assez aisée des problèmes posés classiquement par le chaînage continu, la dépendance du résultat au chemin parcouru entre deux situations données étant au cœur du sujet. Elle permet également de trouver simplement des conditions sous lesquelles ces problèmes disparaissent, rendant le chaînage continu particulièrement attractif d'un point de vue théorique.

La deuxième partie se demande si ces derniers résultats, obtenus sur le chaînage additif continu, sont transposables à l'indice classique de Divisia. Un résultat original sur l'invariance de cet indice est alors établi. Ce résultat est d'un certain point de vue assez général, mais ne s'applique que lorsque l'on considère les indices à deux composantes (agrégation de deux indices élémentaires). Le fil directeur qui pourrait conduire à sa généralisation à un nombre quelconque de composantes bute sur la nécessité de fixer de sévères conditions restrictives. Cette démarche fournit alors une approche pédagogique du théorème de Hulten, théorème central dans la théorie des indices à utilité constante et de leurs liens avec l'indice de Divisia.

## Indices additifs de Laspeyres et de Paasche

Considérons, pour deux dates notées 0 et 1, deux variables X et Y ainsi que leur produit Z. Ce peut être la surface de blé, le rendement et leur produit (quantité de blé produite); ou plus classiquement une variable de quantité, son prix et leur produit (valeur). On cherche une décomposition de $Z_1 - Z_0$ entre ce qui peut être attribué au fait que X passe de $X_0$ à $X_1$, et ce qui peut l'être au passage de $Y_0$ à $Y_1$, la somme des deux termes correspondant à la variation de Z. Remarquons tout de suite que chacun des deux termes aura nécessairement la dimension de la variable Z. Ceci constitue bien sûr une différence radicale avec le concept d'indice, au sens classique du terme.

La première idée qui vient est de faire varier la variable d'intérêt tout en gardant l'autre fixe. Pour X, on obtient ainsi $Y_0X_1 - Y_0X_0 = Y_0(X_1 - X_0)$. Par analogie avec l'indice de Laspeyres (noté ici L), dont la démarche est exactement la même, on appellera cette expression « indice additif de Laspeyres » et on la notera $LA$ (« A » comme additif).

**Définition 1 : indice addititif de Laspeyres pour la variable X :** $LA(X) = Y_0(X_1 - X_0)$.

Naturellement, l'indice addititif de Laspeyres pour la variable Y s'écrit $LA(Y) = X_0(Y_1 - Y_0)$.

$LA(X) + LA(Y)$ n'est en général pas égal à $Z_1 - Z_0$ comme on le souhaiterait. En effet cette expression est égale à $Y_0(X_1 - X_0) + X_0(Y_1 - Y_0) = Y_0X_1 + X_0Y_1 - 2X_0Y_0$ alors que $Z_1 - Z_0 = X_1Y_1 - X_0Y_0$. La simplicité du modèle autorise ici une représentation graphique qui permet de visualiser le phénomène, visualisation qui sera d'autant plus aisée si on se place dans la configuration où $X_1$ et $Y_1$ sont respectivement supérieurs à $X_0$ et $Y_0$: sur le graphique 1, $LA(X)$ correspond à l'aire D et $LA(Y)$ à B, alors que $Z_1 - Z_0$ correspond à $B + C + D$, l'aire C étant égale à $(X_1 - X_0)*(Y_1 - Y_0)$. Ce défaut de propriété est l'exact analogue au fait que, pour les indices classiques, lorsqu'interviennent plusieurs composantes i, $L(X)*L(Y)$ n'est pas égal à la somme des $X_{1i}Y_{1i}$ divisée par la somme des $X_{0i}Y_{0i}$.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Graphique 1</figcaption></figure>

La somme des aires B, C et D, égale à $LA(Y) + (X_1 - X_0)*(Y_1 - Y_0) + LA(X)$, peut aussi s'écrire

$$X_0(Y_1 - Y_0) + (X_1 - X_0)*(Y_1 - Y_0) + LA(X) = (Y_1 - Y_0)*(X_0 + X_1 - X_0) + LA(X) = LA(X) + X_1(Y_1 - Y_0).$$

Le second terme, $X_1(Y_1 - Y_0)$, diffère d'un Laspeyres additif puisque l'accroissement de Y est appliqué non pas à $X_0$ mais à $X_1$. Par analogie avec l'indice de Paasche (noté P), on posera :

**Définition 2 : indice addititif de Paasche pour la variable Y :** $PA(Y) = X_1(Y_1 - Y_0)$.

Naturellement, l'indice addititif de Paasche pour la variable X s'écrit $PA(X) = Y_1(X_1 - X_0)$.

$$\begin{aligned} & \text{On a ainsi } Z_1 - Z_0 = LA(X) + X_1(Y_1 - Y_0) \\ & = LA(X) + PA(Y). \end{aligned}$$

La somme des aires B, C et D peut aussi s'écrire

$$\begin{aligned} & LA(Y) + (X_1 - X_0)*(Y_1 - Y_0) + Y_0(X_1 - X_0) = \\ & LA(Y) + (X_1 - X_0)*(Y_0 + Y_1 - Y_0) = LA(Y) + Y_1(X_1 - X_0), \\ & \text{soit } Z_1 - Z_0 = LA(Y) + PA(X). \end{aligned}$$

En définitive, on a la propriété suivante :

$$\begin{aligned} & \text{Proposition 1 : } Z_1 - Z_0 = LA(X) + PA(Y) \\ & = LA(Y) + PA(X). \end{aligned}$$
Cette double décomposition est l'exact analogue de celle
pour les indices classiques lorsqu'interviennent plusieurs
composantes $i$ :

$$L(X)*P(Y) = P(X)*L(Y) = \text{somme des } X_{1i}Y_{1i} \text{ divisée par la somme des } X_{0i}Y_{0i}.$$

Comme pour les indice classiques, on peut définir un
indice de Fisher comme la moyenne, cette fois arithmétique, des indices de Laspeyres et de Paasche.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Irving Fisher, 1867-1947</figcaption></figure>

**Définition 3 : indice additif de Fisher :**

$$FA = 1/2 (LA + PA).$$

À partir de la propriété 1, il est facile de vérifier que l'on a :

$$\textbf{Proposition 2 : } Z_1 - Z_0 = FA(X) + FA(Y).$$

Pour les indices classiques, lorsqu'interviennent plusieurs
composantes $i$, on a, de façon analogue : $F(X)*F(Y) =$
somme des $X_{1i}Y_{1i}$ divisée par la somme des $X_{0i}Y_{0i}$.

Indices chaînes additifs

Considérons maintenant trois dates, notées 0, 1 et 2.

Il est aisé de vérifier que, sauf coïncidence, $LA_{2-1}(X \text{ ou } Y)$ plus $LA_{1-0}(X \text{ ou } Y)$ n'est pas égal à $LA_{2-0}(X \text{ ou } Y)$. Il suffit de remarquer, par exemple, que $Y_1$ intervient dans $LA_{2-1}(X)$, égal à $Y_1(X_2 - X_1)$, mais ni dans $LA_{1-0}(X)$, égal à $Y_0(X_1 - X_0)$, ni dans $LA_{2-0}(X)$, égal à $Y_0(X_2 - X_0)$. On vérifie de même que $PA_{2-1} + PA_{1-0}$ n'est pas égal à $PA_{2-0}$, et que $FA_{2-1} + FA_{1-0}$ n'est pas égal à $FA_{2-0}$.

L'accroissement de Z dû à X entre 0 et 2 n'est donc, en
général, pas égal à la somme de celui entre 0 et 1 et celui
entre 1 et 2, et cela quel que soit l'indice additif considéré.

Même chose, évidemment, pour l'accroissement dû à Y.
Ce défaut de propriété des LA, PA et FA est à l'origine de
la notion importante de chaînage.

De façon à disposer d'un indice vérifiant la propriété
recherchée de « transitivité » (par analogie avec la théorie
des indices classiques), on peut poser, en prenant
l'exemple des LA :

**Définition 4 : indice chaîne additif de Laspeyres :**

$$CHLA_{2-0}(X) = LA_{2-1}(X) + LA_{1-0}(X).$$

Naturellement, l'indice chaîne additif de Paasche s'écrit
$CHPA_{2-0}(X) = PA_{2-1}(X) + PA_{1-0}(X)$, et l'indice chaîne
additif de Fisher $CHFA_{2-0}(X) = FA_{2-1}(X) + FA_{1-0}(X)$.

La définition 4, qui peut bien sûr s'étendre à n'importe
quel nombre fini de dates (notées 0, 1, ..., n), implique la
propriété suivante :

**Proposition 3 : pour tout ensemble de 3 dates {$p, q, r$} tel que $0 \le p \le q \le r \le n$,**

$$CHLA_{r-p}(X) = CHLA_{r-p}(X) + CHLA_{q-p}(X).$$

Au-delà de cette propriété, la pertinence du chaînage
entre deux dates provient de sa capacité à capter l'évolu-
tion de l'autre variable : en reprenant l'exemple de la sur-
face et du rendement, il est clair que l'impact d'une
hausse du rendement sur le nombre de quintaux produits
dépend de la surface cultivée, laquelle varie au cours du
temps. Ce phénomène correspond par exemple, en théo-
rie classique des indices, à la déformation des prix relatifs
dans l'économie : ainsi, entre 1980 et aujourd'hui, le poids
de l'informatique dans l'économie a considérablement
augmenté sous l'impulsion d'une baisse des prix (absolus,
et plus encore comparés à l'évolution générale des prix).
L'utilisation d'un indice de Laspeyres à base fixe (non
chaîné) sur cette longue période revient à donner à l'indice
de l'informatique le poids de l'informatique dans l'écono-
mie en 1980, alors que celui-ci a fortement varié entre
1980 et aujourd'hui. L'utilisation du chaînage permet de
tenir compte de cette évolution.

Cette idée fait que le chaînage est considéré comme une
technique assez généralement satisfaisante (du moins sur
le plan théorique). Mais elle n'est pas sans poser de
redoutables problèmes. On peut ainsi imaginer qu'entre
deux dates, même éloignées, les valeurs des variables en
fin de période soient les mêmes qu'en début de période
(ou simplement voisines). Le chaînage est alors au mieux
inutile ; au pire, il peut être néfaste. Ce problème est bien
connu des spécialistes des indices de prix. Supposons
qu'au cours du temps le prix de chaque bien passe alter-
nativement par deux valeurs différentes : à chaque
période paire, il redevient identique à ce qu'il était à l'ori-
gine, et à chaque période impaire, il prend la deuxième
valeur. Dans ce cas, si les indices de Laspeyres (ou de
Paasche) relatifs aux périodes paires seront bien égaux à
1 (ou 0 si l'on considère les indices additifs), les indices
chaînes correspondants s'écarteront en revanche de plus
en plus de 1 (ou 0).
Exemple réel

Le tableau suivant reprend l'exemple initial de la culture du blé (tendre) en France entre 1995 et 2000 :

<table><thead><tr><th></th><th>1995</th><th>1996</th><th>1997</th><th>1998</th><th>1999</th><th>2000</th></tr></thead><tbody><tr><td>X : surface (en milliers d'hectares)</td><td>4340</td><td>4516</td><td>4767</td><td>4844</td><td>4938</td><td>4788</td></tr><tr><td>Y : rendement (en tonnes par hectare)</td><td>6,788</td><td>6,610</td><td>7,272</td><td>6,807</td><td>7,746</td><td>7,407</td></tr><tr><td>Z = X*Y : production</td><td>29462</td><td>29850</td><td>34667</td><td>32971</td><td>38248</td><td>35463</td></tr><tr><td>Utilisation intérieure</td><td>soit + 6001 milliers de tonnes entre 1995 et 2000</td><td>27971</td><td>28670</td><td>29816</td><td>30339</td><td>31011</td><td>31522</td></tr><tr><td></td><td>soit + 3551 milliers de tonnes entre 1995 et 2000</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>IA(X) : indices additifs rendement<br>(en milliers de tonnes)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>LA<sub>n / n-1</sub></td><td>- 775</td><td>2992</td><td>- 2220</td><td>4549</td><td>- 1674</td></tr><tr><td>PA<sub>n / n-1</sub></td><td>- 807</td><td>3158</td><td>- 2256</td><td>4637</td><td>- 1623</td></tr><tr><td>FA<sub>n / n-1</sub></td><td>- 791</td><td>3075</td><td>- 2238</td><td>4593</td><td>- 1649</td></tr><tr><td>CHLA à partir de 1995</td><td>- 775</td><td>2217</td><td>- 3</td><td>4546</td><td>2872</td></tr><tr><td>CHPA à partir de 1995</td><td>- 807</td><td>2351</td><td>95</td><td>4732</td><td>3109</td></tr><tr><td>CHFA à partir de 1995</td><td>- 791</td><td>2284</td><td>46</td><td>4639</td><td>2990</td></tr><tr><td>LA<sub>2000 / 1995</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2683</td></tr><tr><td>PA<sub>2000 / 1995</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2960</td></tr><tr><td>FA<sub>2000 / 1995</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2821</td></tr><tr><td>IA(Y) : indices additifs surface<br>(en milliers de tonnes)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>LA<sub>n / n-1</sub></td><td>1195</td><td>1659</td><td>560</td><td>640</td><td>- 1162</td></tr><tr><td>PA<sub>n / n-1</sub></td><td>1163</td><td>1825</td><td>524</td><td>728</td><td>- 1111</td></tr><tr><td>FA<sub>n / n-1</sub></td><td>1179</td><td>1742</td><td>542</td><td>684</td><td>- 1136</td></tr><tr><td>CHLA à partir de 1995</td><td>1195</td><td>2854</td><td>3414</td><td>4054</td><td>2892</td></tr><tr><td>CHPA à partir de 1995</td><td>1163</td><td>2988</td><td>3512</td><td>4240</td><td>3129</td></tr><tr><td>CHFA à partir de 1995</td><td>1179</td><td>2921</td><td>3463</td><td>4147</td><td>3011</td></tr><tr><td>LA<sub>2000 / 1995</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>3041</td></tr><tr><td>PA<sub>2000 / 1995</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>3318</td></tr><tr><td>FA<sub>2000 / 1995</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>3180</td></tr><tr><td>IA(X) + IA(Y)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>LA<sub>n / n-1</sub></td><td>420</td><td>4651</td><td>- 1660</td><td>5189</td><td>- 2836</td></tr><tr><td>PA<sub>n / n-1</sub></td><td>356</td><td>4983</td><td>- 1732</td><td>5365</td><td>- 2734</td></tr><tr><td>FA<sub>n / n-1</sub></td><td>388</td><td>4817</td><td>- 1696</td><td>5277</td><td>- 2785</td></tr><tr><td>CHLA à partir de 1995</td><td>420</td><td>5071</td><td>3411</td><td>8600</td><td>5764</td></tr><tr><td>CHPA à partir de 1995</td><td>356</td><td>5339</td><td>3607</td><td>8972</td><td>6238</td></tr><tr><td>CHFA à partir de 1995</td><td>388</td><td>5205</td><td>3509</td><td>8786</td><td>6001</td></tr><tr><td>LA<sub>2000 / 1995</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>5724</td></tr><tr><td>PA<sub>2000 / 1995</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>6278</td></tr><tr><td>FA<sub>2000 / 1995</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>6001</td></tr></tbody></table>
On observe des écarts assez importants entre les différents types d'indices additifs : l'indice 2000/1995 s'échelonne de + 2 683 (LA) à + 3 109 (CHPA) milliers de tonnes pour le rendement, et, pour la surface, de + 2 892 (CHLA) à + 3 318 (PA) milliers de tonnes. Si l'on s'en tient aux indices additifs de Fisher, chaînés ou non, qui sont a priori les meilleurs, la fourchette se réduit : + 2 990 ou + 2 821 milliers de tonnes en ce qui concerne les rendements, + 3 011 ou + 3 180 milliers de tonnes en ce qui concerne les surfaces.

On notera par ailleurs que le choix entre indice chaîne et indice non chaîné est en la circonstance difficile car les séries sont fluctuantes et qu'il n'y a pas de lien fonctionnel entre rendement et surface.

Mais on peut de toute façon conclure que :

— l'impact, sur l'accroissement de la production, de l'évolution du rendement est voisin de celui de l'évolution de la surface, tout en lui étant légèrement inférieur ;

— aucune des deux variables n'a eu un impact suffisant pour couvrir l'accroissement de l'utilisation intérieure de blé tendre sur la période 1995-2000, qui s'élève à 3 551 milliers de tonnes.

Enfin, on aura bien sûr remarqué qu'en additionnant les indices relatifs à nos deux variables, il vient $FA(X) + FA(Y) = CHFA(X) + CHFA(Y) = 6 001$ milliers de tonnes = accroissement de la production entre 1995 et 2000.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Plaine céréalière de la Beauce</figcaption></figure>
L'intérêt du chaînage provient donc de ce que l'on suppose que la situation des dates intermédiaires est ellemême intermédiaire. Ceci est bien indiqué dans le SCN 93 (système de comptabilité nationale version 1993), au paragraphe 16.48 : « Il convient d'utiliser un indice chaîne quand les prix relatifs de la première et de la dernière période diffèrent beaucoup les uns des autres et que l'enchaînement fait intervenir des périodes intermédiaires où les prix et les quantités relatifs se situent entre ceux des première et dernière périodes. »

Dans le cas des indices classiques, cette idée générale est cependant difficile à préciser et à formaliser (voir [2] et [3] pour une telle tentative appliquée aux comptes nationaux). Dans le cas des indices additifs, le fait que l'analyse peut être conduite avec une seule composante rend la démarche à la fois plus simple et plus naturelle : on considèrera que l'idée du SCN 93 est vérifiée lorsque la suite des $X_1, ..., X_i, ..., X_n$ et celle des $Y_1, ..., Y_i, ..., Y_n$ sont toutes deux monotones, croissantes ou décroissantes (les points qui ne sont pas intermédiaires pour X ou pour Y sont alors à éliminer du chaînage). On montre sans difficulté que l'indice chaîne additif (de Laspeyres, Paasche ou Fisher) est alors compris entre l'indice additif de Laspeyres et celui de Paasche (plus précisément, entre le plus petit et le plus grand des deux).

Mais on verra plus loin que cette idée de points intermédiaires est, d'un point de vue théorique, plus une condition suffisante (et donc une règle prudente) qu'une condition nécessaire : certains détours ne nuisent pas à la performance du chaînage...

L'étude plus approfondie des propriétés et des défauts des indices sera développée dans le paragraphe suivant, consacré aux chaînages en continu dans lequel on fait varier continûment les valeurs de X et Y en fonction du temps. Du point de vue théorique (qui nous intéresse ici), le chaînage en continu constitue l'aboutissement de l'idée de chaînage. En théorie classique des indices, la complexité de son expression rend son étude difficile. Mais pour les indices additifs, sa (relative) simplicité permet, mieux que le chaînage discret, de comprendre la question du chaînage. L'éclairage que cela permet d'apporter à la théorie du chaînage des indices classiques n'en sera que plus intéressant, même si les analogies sont ici moins immédiates que pour ce qui précède.

## Chaînage en continu

L'idée du chaînage en continu est d'augmenter indéfiniment le nombre de points intermédiaires (le plus souvent des dates) par lesquels on effectue un chaînage des indices (ici additifs) de Laspeyres et de considérer la limite (si elle existe) de la valeur obtenue lorsque l'espace de temps entre deux points successifs tend vers zéro (il reviendrait au même d'utiliser des indices de Paasche ou de Fisher, cf. ci-après).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>François Divisia, 1889-1964</figcaption></figure>

Ceci suppose naturellement que les variables X et Y soient définies en chaque instant. L'assiette $X(t)$ correspond alors toujours à celle de l'instant pendant lequel est appliquée l'évolution instantanée de Y. En termes mathématiques, son expression est immédiate et on l'appellera indice additif de Divisia, par analogie avec l'indice classique de Divisia.

**Définition 5 : entre deux dates notées 0 et 1, l'indice de Divisia additif pour Y, noté $DA(Y)$, est égal à**

$$ \int_{0}^{1} X(t)(Y(t+dt) - Y(t))dt, \text{ soit } \int_{0}^{1} X(t)Y'(t)dt, \text{ son existence étant subordonnée à celle de Y', fonction dérivée de Y.} $$

Naturellement, $DA(X)$ s'écrit $\int_{0}^{1} Y(t)X'(t)dt$.

Cet indice $DA$ possède deux propriétés très analogues à celles des indices classiques de Divisia.

**Proposition 4 :** $Z_1 - Z_0 = DA(X) + DA(Y)$.

Cette propriété provient simplement du fait que $Z'(t) = [X(t)*Y(t)]' = X'(t)*Y(t) + X(t)*Y'(t)$. En intégrant entre 0 et 1, il vient bien l'égalité indiquée. Dans le graphique 1, cela signifie simplement que lorsque l'accroissement de X et celui de Y sont des « infiniment petits » (correspondant à leur évolution entre $t$ et $t+dt$), l'aire C est un « infiniment petit » d'ordre supérieur et donc négligeable par rapport aux aires B et D.

La propriété 4 suggère, si on la compare à la propriété 1, que l'indice additif de Divisia, bien que défini à partir du chaînage d'indices additifs de Laspeyres, est une synthèse des indices additifs de Laspeyres et de Paasche. L'explication est que entre deux instants « infiniment proches », $t$ et $t+dt$, Laspeyres et Paasche sont équivalents. En réalité, on pourrait définir l'indice $DA$ à partir des indices $PA$ sans que cela ne change rien.
**Proposition 5 :** si 0, 1 et 2 sont trois dates, on a $DA_{2-0}(X) = DA_{2-1}(X) + DA_{1-0}(X)$.

Cette propriété résulte de façon immédiate des propriétés des intégrales. Elle correspond à l'origine même de l'idée de chaînage indiquée précédemment.

L'expression de $DA$ est bien plus simple que celle de l'indice de Divisia lui-même qui s'écrit ainsi (en prenant l'exemple d'un indice de prix calculé entre les dates 0 et 1) :

$$D_{1/0}(p) = \exp \left[ \int_{0}^{1} \sum_{i} \left( \frac{\text{vali}(t)}{\text{val}(t)} \right) \left( \frac{p'_{i}(t)}{p_{i}(t)} \right) dt \right],$$

val désignant la valeur totale du « panier », vali la valeur du seul produit $i$, pi le prix de ce produit et $p'_{i}$ la dérivée (par rapport au temps) de pi.

Naturellement, on peut aussi prendre l'exemple d'un indice de quantité, notée $q$, calculé entre les dates 0 et 1 :

$$D_{1/0}(q) = \exp \left[ \int_{0}^{1} \sum_{i} \left( \frac{\text{vali}(t)}{\text{val}(t)} \right) \left( \frac{q'_{i}(t)}{q_{i}(t)} \right) dt \right].$$

L'indice de Divisia additif, malgré ses bonnes propriétés et le caractère intuitif de sa pertinence, possède (de façon analogue à l'indice classique de Divisia) deux types de défauts étroitement liés :

**Proposition 6 :** la valeur de $DA(X)$ ou $DA(Y)$ ne dépend pas forcément que de $X_0$, $X_1$, $Y_0$ et $Y_1$, mais peut dépendre du « chemin » suivi par $X(t)$ et $Y(t)$ entre 0 et 1.

**Proposition 7 :** la valeur de $DA(X)$ ou $DA(Y)$ n'est pas forcément nulle lorsque la situation finale est identique à la situation initiale ($X_1 = X_0$ et $Y_1 = Y_0$).

**Preuve :**

Les deux propositions étant étroitement liées, on en présentera les preuves dans un même paragraphe. On s'intéressera à $DA(Y)$, mais le raisonnement serait identique pour $DA(X)$.

Considérons (cf. graphique 2) trois dates, notées 0, 1 et 2, et deux fonctions, définies sur l'intervalle $[0, 2]$ : la première, d'équation $f(t) = -t^2 + 2t + 1$ correspond à l'arc de parabole ; la deuxième, d'équation $g(t) = t + 1$ entre 0 et 1 et d'équation $g(t) = -t + 3$ entre 1 et 2, correspond à la ligne brisée. Les deux fonctions valent 1 en $t=0$, 2 en $t=1$ et reviennent à 1 en $t=2$.

Supposons maintenant que $X(t) = f(t)$ et $Y(t) = g(t)$.

À partir de la définition $DA(Y) = \int_{0}^{1} X(t)Y'(t)dt$,

on obtient sans problème

$$DA(Y)_{1-0} = 5/3, DA(Y)_{2-1} = -5/3 \text{ et } DA(Y)_{2-0} = 0.$$

Il n'y a là rien qui confirme les propositions 6 et 7.

Mais inversons les chemins suivis par $X$ et $Y$ en posant désormais $X(t) = g(t)$ et $Y(t) = f(t)$.

On obtient cette fois-ci $DA(Y)_{1-0} = 4/3$, $DA(Y)_{2-1} = -4/3$ et $DA(Y)_{2-0} = 0$.

La valeur de $DA(Y)_{1-0}$ a changé bien que les valeurs de $X$ et $Y$ n'aient été modifiées ni en 0 ni en 1. Ce résultat démontre donc la proposition 6.

Cependant, on a toujours $DA(Y)_{2-0} = 0$, ce qui n'apporte rien pour la proposition 7.

Pour démontrer celle-ci, il est important de remarquer que dans les exemples présentés ci-dessus, les valeurs prises par $X$ et $Y$ quant $t$ passe de 1 à 2 sont identiques à celles prises entre $t=0$ et $t=1$, à ceci près qu'elles sont parcourues en sens inverse (mathématiquement, les fonctions $f$ et $g$ sont symétriques par rapport à $t=1$, ce qui se voit bien sur le graphique 2).

Pour briser cette symétrie, considérons alors le cas où sur $[0, 1]$ on a $X(t) = f(t)$ et $Y(t) = g(t)$, alors que sur $[1, 2]$ on a $X(t) = g(t)$ et $Y(t) = f(t)$. D'après ce qui précède,

on a $DA(Y)_{1-0} = 5/3$, $DA(Y)_{2-1} = -4/3$, et donc $DA(Y)_{2-0} = DA(Y)_{1-0} + DA(Y)_{2-1} = 1/3$, ce qui démontre la proposition 7.

**CQFD.**

On avait déjà indiqué que le chaînage pouvait présenter l'inconvénient d'aboutir à une valeur différente de 1 (pour les indices classiques) ou de 0 (pour les indices additifs) lorsque les variables prennent des valeurs identiques en début et fin de période. La proposition 7 montre que l'espoir de voir disparaître ce défaut de propriété en effectuant un chaînage continu était vain.

La preuve donnée ci-dessus des propositions 6 et 7 montre aussi que la proposition 6, qui peut apparaître moins choquante (nous y reviendrons un peu plus loin) que la proposition 7, l'implique pourtant (la démonstration

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Graphique 2</figcaption></figure>
tion générale reprend la même démarche que celle indiquée précédemment).

Afin de progresser dans la compréhension du problème soulevé par les propositions 6 et 7, considérons un nouvel exemple.

Prenons le cas, entre $t_0=0$ et $t_1=1$, de différents chemins du type « t élevé à une certaine puissance positive ». Tous prennent la valeur 0 en $t_0$ ($X_0 = Y_0 = 0$) et la valeur 1 en $t_1$ ($X_1 = Y_1 = 1$). Le graphique 3 représente deux courbes de ce type, l'une avec un exposant a supérieur à 1, l'autre avec un exposant b inférieur à 1.

Si $X(t)$ suit le chemin de paramètre a (soit $X(t) = t^a$, avec $X_0 = 0$ et $X_1 = 1$) et Y le chemin de paramètre b (soit $Y(t) = t^b$, avec $Y_0 = 0$ et $Y_1 = 1$), on a :

$$DA(Y) = \int_{0}^{1} X(t)Y'(t)dt = \int_{0}^{1} t^{a}b^{t(b-1)} dt = b \int_{0}^{1} t^{a+b-1}dt = (b/(a+b))*(1^{a+b} - 0^{a+b}) = b/(a+b).$$

On obtient de même $DA(X) = a/(a+b)$.

$$\text{Bien sûr, } DA(X) + DA(Y) = 1 = X_1Y_1 - X_0Y_0 = Z_1 - Z_0.$$

Cet exemple montre bien que $DA(X$ ou $Y)$ dépend du chemin emprunté. En faisant varier $a$ et $b$, on peut même faire prendre à ces indices additifs toutes les valeurs comprises entre 0 et 1. En prenant des exemples légèrement plus compliqués, on montre que, $X_0$, $X_1$, $Y_0$ et $Y_1$ étant donnés ainsi qu'un nombre quelconque $k$, on peut trouver des chemins tels que $DA(X$ ou $Y) = k$.

Revenons au graphique 3 (avec a supérieur à 1 et b inférieur à 1) pour comprendre pourquoi $DA(X)$ est supérieur à $DA(Y)$ lorsque $X(t)$ suit le chemin de paramètre a et $Y(t)$ celui de paramètre b. $X$ augmente rapidement (et donc $X'$ est élevé) pour des valeurs de $t$ proches de 1, au moment où l'assiette $Y$ est elle-même élevée. L'augmentation de $X$ se fait donc au moment favorable à un impact important sur la valeur de $Z = XY$. Inversement, $Y$ augmente rapidement pour des valeurs de $t$ proches de 0, alors que l'assiette $X$ est faible. Et au moment où celle-ci devient forte, c'est-à-dire pour $t$ voisin de 1, $Y$ tend à stagner (et donc $Y'$ est faible). Cette différence de « phasage »<fnref n="3" /> explique que l'accroissement de $Z$ est dû à l'impact de l'accroissement de $X$ plutôt qu'à celui de $Y$.

Si l'on se reporte à l'expression compliquée de l'indice de Divisia (cf. supra), on peut la lire à la lumière de ce qui pré-

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Graphique 3</figcaption></figure>

cède. Prenons en effet l'exemple d'un indice de prix dans lequel interviennent deux produits 1 et 2, les prix et quantités correspondants étant respectivement notés $p_1$, $p_2$, $q_1$ et $q_2$. Entre l'instant $t=0$ et l'instant $t=1$, on a $p_1 = \exp(t - t^2/2)$ et $q_1 = t/\exp(t - t^2/2)$, de telle sorte que $val_1 = t$ ; on a par ailleurs $p_2 = 1$ (quel que soit $t$) et $q_2 = 1 - t$, de telle sorte que $val_2 = 1 - t$. La valeur totale, val = $val_1 + val_2$, est égale à 1. Par ailleurs, $p'_2 = 0$ puisque $p_2$ est constant : dans l'expression de l'indice de Divisia, le terme correspondant au deuxième produit n'intervient donc pas puisque nul.

Considérons à présent une situation alternative : $p_2$ et $q_2$ sont inchangés mais on a désormais $p_1 = \exp(t^2/2)$ et $q_1 = t/\exp(t^2/2)$, avec donc $val_1$ toujours égal à $t$.

En $t=0$ et en $t=1$, les prix et quantités du premier produit sont dans l'une et l'autre situations identiques.

Or le calcul aboutit à un indice de Divisia égal à $\exp(1/6)$ dans le premier cas et à $\exp(1/3)$ dans le deuxième cas. Le graphique 4 permet de comprendre pourquoi (sachant que le produit 2 n'intervient pas et que $val_1/val = t$ dans

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Graphique 4</figcaption></figure>

<footnote n="3">3. Ce terme prend tout son sens lorsque l'on prend pour X et Y des fonctions sinusoidales déphasées, comme par exemple $X = \sin t$ et $Y = \cos t$. Entre 0 et 2, X et Y reviennent à leur valeur initiale mais on obtient $DA(X) > 0$ et $DA(Y) < 0$, ce que l'analyse précédente permet de comprendre : X croît lorsque Y est positif alors que Y croît lorsque X est négatif. Si l'on souhaite se restreindre au cas, plus concret, où X et Y sont des variables positives, on peut considérer $X = 1 + \sin t$ et $Y = 1 + \cos t$. Entre 0 et 2, X et Y reviennent à leur valeur initiale et l'on obtient encore $DA(X) > 0$ et $DA(Y) < 0$.</footnote>
les deux cas) : dans le premier cas, $p'_1/p_1$ (qui est égal à 1 – $t$) est faible lorsque la pondération $val_1/val$ est forte (pour $t$ voisin de 1) et fort lorsque cette pondération est faible. Inversement, dans la situation alternative, $val_1/val$ et $p'_1/p_1$ (alors lui aussi égal à $t$) sont forts en même temps, et l'indice est donc plus élevé que dans le premier cas.

Revenons maintenant sur le caractère apparemment cho-
quant de la proposition 6 (et donc de la proposition 7).
L'indépendance vis-à-vis du chemin suivi par X et Y
$(X_0, X_1, Y_0, Y_1$ étant donnés) constituerait une belle pro-
priété, mais une indépendance complète serait tout de
même paradoxale : il suffirait de faire une hypothèse quel-
conque sur le chemin suivi par les deux variables pour que
cette hypothèse fournisse la valeur commune à tous les
chemins possibles, indépendamment de la plausibilité
économique de ce chemin. À la lumière de ce qui précède
sur le « phasage » des évolutions de X et Y, il semble
cependant logique de demander une certaine régularité
(ou une certaine rationalité) entre les évolutions de X et
celles de Y.

Reprenons, avec les mêmes notations, l'exemple des chemins du type « t élevé à une certaine puissance positive ». La variable X, qui correspond à la quantité (volume), suit le chemin $X(t) = t^a$, et la variable Y, qui correspond au prix, suit le chemin $Y(t) = t^b$. Les résultats, on s'en souvient, étaient $DA(Y) = b/(a + b)$ et $DA(X) = a/(a + b)$. Considérons de plus qu'il existe une élasticité donnée, notée $e$, du volume au prix, soit $a/b = e$.

$$
\text{Dès lors, on a } DA(Y) = 1/(a/b + 1) = 1/(e + 1) \\
\text{et } DA(X) = (a/b)/(a/b + 1) = e/(e + 1).
$$

Il apparaît donc que DA(X) et DA(Y) ne dépendent que de
l'élasticité du volume au prix. Celle-ci étant fixée comme
une donnée de comportement économique, l'indice DA(Y)
est indépendant du chemin parcouru par Y. On voit sur cet
exemple qu'une régularité économique peut conduire à
l'indépendance recherchée vis-à-vis du chemin, mais à
condition de restreindre l'ensemble des chemins pos-
sibles à ceux qui vérifient cette régularité. On peut étendre
ce résultat à un cas beaucoup plus général :

**Proposition 8** : si $X(t)$ est une fonction<fnref n="4" /> de $Y(t)$, alors $DA(Y)$ ne dépend que des valeurs initiales et finales (en fait juste de $Y_0$ et $Y_1$) et de la forme de la fonction en question, indépendamment du chemin suivi par $Y$.

La preuve de cette proposition est très courte.

Notons $X = f(Y)$.

$$
\begin{align*}
\text{On a } DA(Y) &= \int_0^1 X(t)Y'(t)dt = \int_0^1 f(Y(t))Y'(t)dt \\
&= F(Y_1) - F(Y_0)
\end{align*}
$$

où F est une primitive de f.

La proposition suivante s'en déduit de façon évidente,
mais son importance justifie de l'écrire :

**Proposition 9** : si $X(t)$ est une fonction de $Y(t)$ et si la situation finale est identique à la situation initiale, alors $DA(Y)$ est obligatoirement nul.

Si, a contrario, on reprend la démonstration de la proposi-
tion 7, on se rendra compte qu’à une valeur de Y corres-
pondent des valeurs différentes de X pour t compris entre
0 et 1, et pour t compris entre 1 et 2 ; X ne peut dès lors
pas être fonction de Y.

Les propriétés 8 et 9 contribuent à la pertinence de la
notion de chaînage additif continu. Si l'on revient à ce que
l'on avait écrit à propos du chaînage, en évoquant le
SCN 93, on voit qu'il n'est pas toujours nécessaire qu'à
des dates intermédiaires correspondent des valeurs inter-
médiaires, dès lors qu'est respecté un certain lien fonc-
tionnel entre les variables.

*
*

Dans toutes les définitions et propriétés relatives aux
indices additifs, il n'y a aucune difficulté à **généraliser aux
cas avec plusieurs composantes (ou produits)**. En
reprenant l'exemple du blé mais en introduisant deux
variétés, blé tendre et blé dur, on peut définir sans pro-
blème IA(blé) = IA(blé tendre) + IA(blé dur), où IA représente l'un quelconque des indices additifs définis dans cet
article (LA, PA, FA et DA) et généraliser les propriétés
obtenues avec une seule composante. Cela tient simplement au fait que la structure par essence additive des
indices additifs ne pose aucune difficulté à la prise en
compte de plusieurs composantes, lesquelles sont toujours additives (la production totale de blé est égale à la
somme des deux productions, de la même façon que les
valeurs s'ajoutent classiquement).

Transpositions à la théorie
des indices classiques

Les propriétés 8 et 9 sont-elles transposables à la théorie des indices classiques ? La transposition la plus simple que l'on puisse imaginer n'est pas valide. En effet, si on reprend l'exemple des prix et des quantités, l'indice de Divisia des prix n'est pas obligatoirement égal à 1 quand, pour chaque produit, la quantité (ici notée X) est fonction du prix (noté Y) et qu'il y a identité entre la situation de départ et la situation d'arrivée.

<footnote n="4">4. Il faut que cette fonction soit intégrable, mais cette condition est extrêmement peu restrictive (en particulier, il suffit qu'elle soit continue).</footnote>
Illustration (avec deux produits notés 1 et 2) :

On a $X_1(t) = Y_1(t) = t^{1/2}-t+1$ et $X_2(t) = Y_2(t) = t^2-t+1$, pour $t$ décrivant l'intervalle de 0 à 1. Les différents $X$ ou $Y$ sont tous égaux à 1 en $t = 0$ et en $t = 1$ (cf. graphique 5), mais on obtient (numériquement) que l'indice de Divisia des prix (ou des quantités, puisqu'on a posé ici quantité = prix pour chacun de nos deux produits) est environ égal à 0,995.

L'indice de Divisia faisant intervenir les parts relatives de « valeur » $(X_1Y_1/\Sigma X_1Y_1)$, il est en fait assez naturel de faire inter-

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Graphique 5</figcaption></figure>

venir les « prix relatifs » ($Y_2/Y_1$ par exemple) dont l'évolution peut être à l'origine de substitutions dans la « consommation » des différents « biens ». Il est alors remarquable de constater que, dans le cas de deux composantes (ou produits), la propriété des indices de Divisia additifs est transposable aux indices classiques. On a en effet :

**Proposition 10 (invariance de l'indice de Divisia) :** si l'on considère le cas où l'on a deux composantes, notées 1 et 2, et où $X_2/X_1$ s'écrit comme une fonction de $Y_2/Y_1$, alors $D(Y)$ ne dépend que des valeurs initiales et finales de ces quatre variables ($X_1, X_2, Y_1$ et $Y_2$)$^5$ et de la fonction en question, indépendamment du chemin suivi par chacune des variables. En particulier, cet indice est égal à 1 si les valeurs initiales et finales sont identiques.

## Preuve de la proposition 10 :

On a $X_2/X_1 = f(Y_2/Y_1)$.

$$X_1Y_1/(X_1Y_1 + X_2Y_2) = 1/[1 + (X_2Y_2/X_1Y_1)] = 1/[1 + (Y_2/Y_1)^*f(Y_2/Y_1)].$$

$X_1Y_1/(X_1Y_1 + X_2Y_2)$ est donc une fonction de $Y_2/Y_1$. Notons $g_1$ cette fonction.

$X_2Y_2/(X_1Y_1 + X_2Y_2)$ étant égal à 1 – $[X_1Y_1/(X_1Y_1 + X_2Y_2)]$ est également une fonction de $Y_2/Y_1$. Notons $g_2$ cette fonction.

On a, par construction, $g_1 + g_2 = 1$.

L'indice de Divisia s'écrit

$$ 
\begin{align*}
D(Y) &= \exp \int_0^1 \left[ \left(X_1 Y_1 / (X_1 Y_1 + X_2 Y_2)\right)^* \left(Y_1' / Y_1\right) + \left(X_2 Y_2 / (X_1 Y_1 + X_2 Y_2)\right)^* \left(Y_2' / Y_2\right) \right] dt \\
&= \exp \int_0^1 \left[ g_1(Y_2/Y_1)^* \left(Y_1' / Y_1\right) + g_2(Y_2/Y_1)^* \left(Y_2' / Y_2\right) \right] dt \\
&= \exp \int_0^1 \left[ g_1(Y_2/Y_1)^* \left(Y_1' / Y_1\right) + \left(1 - g_1(Y_2/Y_1)\right)^* \left(Y_2' / Y_2\right) \right] dt.
\end{align*}
$$

Comme $Y'_i/Y_i$ est la dérivée de $\ln Y_i$, on peut écrire :

$$ 
\begin{align*}
D(Y) &= \exp \int_0^1 \left[ g_1(Y_2/Y_1)^* (\ln Y_1)' + (1 - g_1(Y_2/Y_1))^* (\ln Y_2)' \right] dt = \exp \int_0^1 \left[ g_1(Y_2/Y_1)^* ((\ln Y_1)' - (\ln Y_2)') + (\ln Y_2)' \right] dt \\
&= \exp \int_0^1 \left[ g_1(Y_2/Y_1)^* (\ln(Y_1/Y_2))' + (\ln Y_2)' \right] dt = \exp \int_0^1 \left[ - g_1(Y_2/Y_1)^* (\ln(Y_2/Y_1))' + (\ln Y_2)' \right] dt.
\end{align*}
$$

Notons $g$ la fonction telle que $g(\ln(Y_2/Y_1)) = g_1(Y_2/Y_1)$, et $G$ une fonction primitive de $g$.

$$ 
\begin{align*}
\text{On a } D(Y) &= \exp \int_0^1 \left[ -g\left(\ln\left(\frac{Y_2}{Y_1}\right)\right)^* \left(\ln\left(\frac{Y_2}{Y_1}\right)\right)' + \left(\ln Y_2\right)' \right] dt = \exp\left[-G\left(\ln\left(\frac{Y_2}{Y_1}\right)\right) + \ln Y_2\right]_0^1 \\
&= \left(\frac{Y_2(t_1)}{Y_2(t_0)}\right)\left[\exp G\left(\ln\left(\frac{Y_2(t_0)}{Y_1(t_0)}\right)\right) - \exp G\left(\ln\left(\frac{Y_2(t_1)}{Y_1(t_1)}\right)\right)\right],
\end{align*}
$$

ce qui montre que $D$ n'est fonction que des conditions initiales et finales.

## CQFD.

<footnote n="5">5. $D(Y)$ ne dépend en fait des variables $X_1$ et $X_2$ qu'à travers leur rapport, lequel s'exprime justement en fonction du rapport entre $Y_1$ et $Y_2$. Il en résulte que formellement, $D(Y)$ ne dépend que des valeurs initiales et finales de $Y_1$ et $Y_2$, comme le montre l'expression obtenue en fin de démonstration.</footnote>
**Corollaire :** le résultat précédent est encore vrai dans le cas où c'est $Y_2/Y_1$ qui s'écrit comme une fonction de $X_2/X_1$.

**Preuve :**

La proposition 10 s'applique dans ce cas à $D(X)$.

Mais il suffit de se rappeler du résultat classique suivant : (valeur totale en 1)/(valeur totale en 0) = $D(X)*D(Y)$ pour obtenir le résultat escompté en ce qui concerne $D(Y)$.

**CQFD.**

La propriété 10 signifie que si l'on connaît la forme de la fonction reliant $X_2/X_1$ et $Y_2/Y_1$ on peut calculer $D(Y)$ sans connaître la trajectoire suivie par les variables $X_1, X_2, Y_1$ et $Y_2$ entre les début et fin de période. Mais il faut bien voir que cette indépendance à la trajectoire est conditionnée par l'existence d'une telle liaison fonctionnelle : les variables $Y_1$ et $Y_2$ peuvent suivre n'importe quelle trajectoire entre leurs valeurs initiales et finales, mais une fois celles-ci définies, la trajectoire de $X_1/X_2$ est fixée. C'est dire que l'indépendance de $D(Y)$ n'intervient que dans la classe des trajectoires des variables $X_i$ et $Y_i$ respectant la liaison fonctionnelle en question.

La recherche d'une indépendance complète, c'est-à-dire dans l'ensemble des trajectoires, sans que l'on suppose aucun lien a priori entre les variables $X_i$ et $Y_i$, débouche, comme l'a montré C. Bidard [4] sur une impossibilité, à l'exception du cas sans grand intérêt où les variables $X_1(t)$ et $X_2(t)$ sont proportionnelles et où dès lors l'indice de Laspeyres est égal à l'indice de Paasche et à celui de Divisia.

En définitive, la proposition 10, en ne faisant sur la liaison fonctionnelle aucune autre hypothèse que l'intégrabilité, fournit un cadre assez général. Mais, malheureusement,

cette proposition ne semble pas pouvoir être généralisée à un nombre quelconque de composantes. Une tentative de démonstration de la proposition 10 avec au moins trois composantes bute sur le fait que les « parts de valeur » sont des fonctions à plusieurs variables et qu'il faudrait (pour dérouler les calculs de manière analogue) que ces différentes fonctions des prix relatifs dérivent (au sens des dérivées partielles) d'une même fonction.

Ceci recoupe alors la théorie des indices (classiques) à utilité constante et le théorème de Hulten [5], fondé sur l'existence d'une fonction d'utilité (cf. encadré page 52) de laquelle seront dérivées les quantités une fois donnés les prix relatifs et le revenu. On énoncera pour l'instant, non pas le théorème de Hulten lui-même (ce qui supposerait de définir auparavant les indices à utilité constante), mais ses conséquences immédiates en ce qui concerne l'indépendance au chemin suivi<fnref n="6" />.

S'il existe une fonction d'utilité, identique sur la période considérée (et présentant quelques propriétés relative-ment habituelles<fnref n="7" />) telle que la consommation des diffé-rents biens maximise (en chaque instant de la période considérée) l'utilité procurée une fois donnés les prix et la contrainte budgétaire (on dit que cette fonction d'utilité « rationalise » les données de consommation), alors l'inc-ide de Divisia des prix ne dépend que des valeurs ini-tiales et finales des prix et des quantités (mais celles-ci sont liées aux prix par la fonction d'utilité). Il ne dépend donc pas du chemin suivi, entre les deux dates, par les prix et les quantités, dès lors que la condition de rationa-lité indiquée est respectée. Ceci implique que lorsque la situation finale est identique à la situation initiale, l'indice de Divisia des prix est bien égal à 1. François Magnien et Jacques Pougnard ont par ailleurs montré [6] qu'en pra-tique les hypothèses du théorème de Hulten peuvent être considérées comme vérifiées en ce qui concerne l'indice des prix à la consommation.

Cette propriété, qui découle directement du théorème de Hulten, est valide quel que soit le nombre de compo-santes, contrairement à la proposition 10. Mais elle est d'un autre côté plus restrictive parce que le simple lien fonctionnel est remplacé par une véritable rationalité du

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Charles R. Hulten, né en 1942 à Eugene (Oregon)</figcaption></figure>

<footnote n="6">6. À partir d'une présentation du théorème de Hulten effectuée par François Magnien (Insee), qui clarifie le texte de Hulten lui-même et se trouve plus orientée vers notre problématique.</footnote>

<footnote n="7">7. En plus des exigences habituelles de continuité, concavité et non-saturation (on peut toujours augmenter l'utilité en augmentant la quantité consommée d'un produit donné), le théorème suppose que lorsque les quantités de tous les biens du panier de consommation sont multipliées par un même nombre positif k, alors l'utilité est elle-même multipliée par k (la fonction d'utilité est une fonction homogène de degré 1). Il suffit en fait que la fonction d'utilité soit équivalente, en termes de définition des préférences du consommateur, à une fonction homogène de degré 1, toute fonction d'utilité n'étant définie qu'à une fonction strictement crois-sante près. Les fonctions d'utilité les plus courantes respectent cette condition. De façon plus parlante, celle-ci est équivalente à la propriété suivante : lorsque l'utilité procurée par un premier panier de biens est supérieure à l'utilité procurée par un deuxième panier, alors, si l'on multi-plie toutes les quantités consommées par un même nombre, le sens de l'inégalité entre les utilités des deux paniers est conservée.</footnote>
Les fonctions d'utilité

On considère un consommateur et un certain nombre de biens pouvant être consommés. Pour la clarté de l'exposé, on ne considèrera ici que deux biens, notés 1 et 2. Le consommateur peut, potentiellement, consommer différents paniers de consommation, définis par les quantités $q_1$ et $q_2$ de chacun des deux biens en question.

Dans l'étude du comportement du consommateur, la première question qui se pose est celle des préférences qu'il peut manifester entre les différents paniers. On admet généralement que si un premier panier est jugé préférable ou équivalent à un deuxième panier lui-même jugé préférable ou équivalent à un troisième panier, alors le premier panier est jugé préférable ou équivalent au troisième (transitivité des préférences).

Une façon commode et très habituelle de représenter cette question de préférence consiste à construire une fonction d'utilité $U$, l'utilité de chaque panier ($q_1, q_2$) étant alors mesurée par $U(q_1, q_2)$. La question de la préférence revient alors simplement à comparer les utilités respectives des différents paniers.

Il est habituel d'effectuer certaines hypothèses sur la fonction d'utilité. En particulier, les courbes d'utilité constante (ou courbes d'indifférence) définies dans le plan d'abscisse $q_1$ et d'ordonnée $q_2$ doivent être concaves. Le graphique ci-contre donne l'exemple de deux courbes d'utilité constante correspondant toutes deux à une même fonction d'utilité (l'ensemble des paniers matérialisés par l'une ou l'autre des deux courbes d'indifférence présentent une même utilité pour le consommateur). Naturellement, les paniers matérialisés par la courbe supérieure présentent pour le consommateur une utilité supérieure à ceux matérialisés par la courbe inférieure.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Une question fondamentale dans la théorie du consommateur consiste à définir quel sera son panier de consommation compte tenu du prix de chaque bien et de la somme maximale qu'il entend dépenser (sa contrainte de revenu). Soient $a$ le prix du bien 1, $b$ celui du bien 2 et $R$ la contrainte de revenu.

La résolution du programme $\max U(q_1, q_2)$ sous la contrainte $aq_1 + bq_2 = r$ aboutit à l'égalité suivante :

$$U'_{q_1}(q^*_{1}, q^*_{2}) / U'_{q_2}(q^*_{1}, q^*_{2}) = a / b$$

où $q^*_1$ et $q^*_2$ sont les quantités déterminant le panier de consommation recherché, $U'_{q_1}$ la dérivée partielle de $U$ par rapport à $q_1$ et $U'_{q_2}$ la dérivée partielle de $U$ par rapport à $q_2$. Ce point $(q^*_1, q^*_2)$ est celui où la droite d'équation $aq_1 + bq_2 = R$ est tangente à l'une des courbes d'utilité constante correspondant à la fonction $U$.

La validité de ce résultat est cependant restreinte aux équilibres qui ne sont pas situés sur la frontière de l'ensemble des paniers possibles ; en particulier, il ne s'applique pas si l'utilité maximum passe par une consommation nulle pour l'un des biens.

La signification de ce résultat classique est en fait très intuitive : à l'optimum du consommateur, le rapport des utilisés marginales des différents biens est égal au rapport de leurs prix et, dès lors, l'utilité marginale du revenu est la même quel que soit le bien acheté avec un petit supplément de revenu. Si tel n'était pas le cas, le consommateur aurait eu intérêt à acheter un peu plus du bien procurant la plus forte utilité marginale du revenu et un peu moins de l'autre bien.
comportement économique, ce qui oblige à se placer dans le cadre plus étroit du partage volume-prix et de la théorie du consommateur<fnref n="8" />. On se reportera à l'encadré des pages 58-59 pour approfondir ce point, encadré dans lequel est également repris notre exemple initial des surfaces cultivées et des rendements.

En prolongeant l'idée de la démonstration de la proposition 10, on peut en fait démontrer directement, et de façon relativement simple, la proposition 11 ci-dessous.

**Proposition 11 :** sous les hypothèses du théorème de Hulten (existence d'une fonction d'utilité continue, concave, non saturée et homogène de degré 1, identique sur toute la période et rationalisant les choix du consommateur), les indices de Divisia de volume et de prix vérifient ces trois propriétés :

a) l'indice de volume est égal au rapport de l'utilité des paniers consommés en début et en fin de période (en considérant la fonction d'utilité effectivement homogène de degré 1 et non une fonction équivalente) ;

b) les indices de volume et de prix sont indépendants du chemin parcouru par les volumes ou prix (suivant l'indice considéré) entre le début et la fin de période ;

c) lorsque la situation finale est identique à la situation initiale, les indices de volume et de prix sont obligatoirement égaux à 1.

**Preuve :**

**Propriété a :**

Notons $q$ le vecteur des quantités consommées (..., $q_i$, ...)
des différents produits, $U$ la fonction d'utilité homogène
de degré 1, $U'_{qi}$ sa dérivée partielle par rapport à $q_i$ et $q'_i$
la dérivée de $q_i$ par rapport au temps. Un résultat
central de la théorie du consommateur est que
$U'_{qi}(q) / U'_{qi}(q) = p_i / p_1$ (le prix relatif est égal aux rapport
des utilités marginales).

On a donc, en chaque instant :

$$
\begin{align*}
\text{vali} / \text{val} &= q_i p_i / \sum q_j p_j \\
&= [q_i p_1 * U'_{qi}(q) / U'_{qi}(q)] / \sum [q_j p_1 * U'_{qi}(q) / U'_{qi}(q)] \\
&= [q_i * U'_{qi}(q)] / \sum [q_j * U'_{qi}(q)]
\end{align*}
$$

Mais le fait que $U$ soit homogène de degré 1 entraîne que
$\Sigma[q_i * U'_{qi}(q)] = U$ (identité d'Euler).

$$
\text{Donc } \text{vali / val} = [q_i * U'_{qi}(q)] / U \\
\text{et } (\text{vali / val}) * (q_i / q_j) = [q_i' * U'_{qi}(q)] / U.
$$

$$
\text{Mais } \Sigma[q_i^* * U_i'(q)] = dU/dt,
$$

$$
d'\text{où } \Sigma[(\text{val}_i / \text{val})^*(q_i' / q_i)]dt = dU/U.
$$

$$
\begin{align*}
\text{On a donc } D_{1/0}(q) = \exp\left[ \int_{0}^{1} \sum_{i} (\text{vali}(t) / \text{val}(t))^*(q_i'(t)/q_i(t)) dt \right] \\
= \exp\{dU/U\} = \exp(\ln U_1 - \ln U_0) = U_1 / U_0.
\end{align*}
$$

**Propriété b :**

En démontrant la propriété a, on a montré en même temps
que l'indice de Divisia des volumes était indépendant du
chemin suivi par les volumes. Il en est de même pour l'in-
dice de Divisia des prix puisque celui-ci est égal à l'indice
des valeurs (également indépendant des chemins parcou-
rus entre les extrémités) divisé par l'indice de Divisia des
volumes.

**Propriété c :**

Lorsque l'état final est identique à l'état initial, considé-
rons le chemin qui garde constants tous les prix. En appli-
quant directement la formule de l'indice de Divisia des
prix, on obtient que l'indice correspondant est égal à 1.
D'après la propriété b, ce sera le cas quel que soit le che-
min suivi par les prix. Le même raisonnement s'applique
avec les volumes.

CQFD.

La proposition 11a est très parlante et l'on peut en déduire
les propriétés suivantes :

**Proposition 12 :** sous les hypothèses du théorème de Hulten (existence d'une fonction d'utilité continue, concave, non saturée et homogène de degré 1, identique sur toute la période et rationalisant les choix du consommateur),

a) l'indice de Divisia des prix ne dépend que des prix initiaux et finaux, la fonction d'utilité étant donnée (il est en particulier indépendant du revenu et des quantités initiales) ;

b) il est égal au rapport des revenus $R^*/R_0$, $R_0$ étant le revenu initial et $R^*$ étant le revenu minimal qui permettrait en $t=1$ (donc avec les prix finaux) de procurer au consommateur la même utilité que celle que lui procure $R_0$ en $t=0$ (avec les prix initiaux).

Nota : cette propriété 12b correspond à la définition d'un
indice à utilité constante. En démontrant que l'indice de
Divisia des prix est un tel indice (sous les hypothèses
énoncées), on a ainsi redémontré le théorème de Hulten
lui-même.

**Preuve :**

Notons $p$ et $q$ les vecteurs de prix et quantités, $R$ le revenu et $U$ la fonction d'utilité.

<footnote n="8">8. Le théorème de Hulten s'applique aussi dans le cadre de la théorie du producteur, la fonction de production jouant alors le rôle de la fonction d'utilité.</footnote>
Puisque $q$ est fonction de $R$ et de $p$,
on peut écrire $U(q) = U(q(R, p)) = U(R, p)$.

Montrons tout d'abord le lemme suivant :
pour tout $k$ positif, $U(kR, p) = kU(R, p)$.

$U(kR, p) = U(q(kR, p)) \geq U(kq(R, p))$ car avec le revenu $kR$
le consommateur peut toujours multiplier par $k$ chacune
de ses consommations.

Mais $U(kq(R, p)) = kU(q(R, p))$ puisque $U$ est homogène
de degré 1.

Il s'ensuit que $U(kR, p) \geq kU(q(R, p)) = kU(R, p)$.

Mais, avec le même type de raisonnement,
on a $U(R, p) = U((1/k)kR, p) \geq (1/k)U(kR, p)$,
c'est-à-dire $U(kR, p) \leq k U(R, p)$.

Des deux inégalités on déduit le lemme.

Propriété a :

D'après la proposition 11a,

$$
\begin{align*}
D_{1/0}(q) &= U(R_1, p(t=1)) / U(R_0, p(t=0)) \\
&= (R_1/R_0) * U(1, p(t=1)) / U(1, p(t=0)).
\end{align*}
$$

On a alors $D_{1/0}(p) = \text{indice de valeur} / \text{indice de Divisia des volumes}$

$$
= (R_1/R_0) / D_{1/0}(q) = U(1, p(t=0)) / U(1, p(t=1)),
$$

ce qui démontre la propriété a.

Propriété b :

Notons $R^*$ le revenu tel que $U(R^*, p(t=1)) = U(R_0, p(t=0))$.

On a (d'après le lemme) : $R^*U(1, p(t=1)) = R_0U(1, p(t=0))$
d'où $R^*/R_0 = U(1, p(t=0)) / U(1, p(t=1))$.

Mais on a montré que $D_{1/0}(p) = U(1, p(t=0)) / U(1, p(t=1))$.

On a donc $D_{1/0}(p) = R^* / R_0$, ce qui démontre la pro-
priété b.

CQFD.

Les propositions 11 et 12 fournissent des propriétés
remarquables pour l'indice classique de Divisia dans le
cadre de la théorie du consommateur : sous certaines
hypothèses, $D(q) = U_1/U_0$, et l'indice $D(p)$ est un indice à
utilité constante. Pourrait-on en retour mettre au jour des
propriétés analogues concernant l'indice de Divisia addi-
tif ? On trouvera une réponse à cette question dans l'en-
cadré de la page 60 (indice additif de Divisia et théorie du
surplus).

*
*
*

Il est remarquable que le chaînage continu fournisse, sous les hypothèses du théorème de Hulten, des indices à utilité constante (cf. proposition 12b) qui constituent pour les théoriciens des indices de prix les meilleurs indices. Ces indices des prix de Divisia ne dépendent que des prix initiaux et finaux et de la forme de la fonction d'utilité qui définit les préférences des consommateurs (cf. proposition 12a) et sont donc susceptibles d'avoir des expressions simples, en dépit de leur complexité intrinsèque.

De fait, aux fonctions d'utilité classiques correspondent
des indices à utilité constante classiques [7 et 8]. Ainsi, à
une fonction de type Cobb-Douglas correspond la
moyenne géométrique des indices élémentaires (pondé-
rée par les coefficients de la Cobb-Douglas), l'indice de
Fisher correspond à une fonction d'utilité quadratique
généralisée, homogène de degré 1, et celui de Tornqvist à
une fonction translog.

L'usage de ces indices classiques en tant qu'indices à uti-
lité constante suppose que l'on connaisse la forme de la
fonction d'utilité qu'utilise implicitement le consommateur
pour rationaliser ses choix, ce qui est bien sûr une condi-
tion très restrictive. Ce qui est fascinant avec le chaînage
continu, c'est qu'il converge de lui même vers l'indice à
utilité constante correspondant à la bonne fonction d'uti-
lité, sans que celle-ci n'intervienne dans son calcul...

Jean-Pierre BERTHIER

Direction générale de l'Insee
Chef de la division Agriculture
Références bibliographiques

[1] Vacher J., « Indices statistiques. Quels outils pour quelles mesures ? », *Insee Méthodes*, n° 15, 1991.

[2] Berthier J.-P., « Pertinence et mise en œuvre des séries chaînées », in *Comptabilité Nationale — Nouveau système et patrimoine*, Economica, 2001.

[3] Berthier J.-P., « Réflexions sur les différentes notions de volume dans les comptes nationaux », document de travail G2002/08 de l'Insee, 2002.

[4] Bidard C., « Sur l'indice de Divisia », *Revue d'économique politique*, 1976, tome 86, pp. 437-449.

[5] Hulten C.R., « Divisia index numbers », *Econometrica*, 41, 1973, n° 6, pp. 1017-1025.

[6] Magnien F., Pougnard J., « Les indices à utilité constante : une référence pour mesurer l'évolution des prix », *Économie et Statistique*, n° 335, 2000.

[7] Diewert W.E., « Exact and superlative index numbers », *Journal of Econometrics*, 4, 1976.

[8] « Generation and distribution of productivity increases in european agriculture (1967-1987) », étude réalisée pour Eurostat par l'INRA (Bureau, Butault, Hassan, Lerouvillois et Rousselle), 1988.
Indices additifs et égalités comptables

La question de la compatibilité des équations comptables avec le partage volume-prix est l'un des problèmes emba-
rassants de la compabilité nationale. Rappelons les deux principaux résultats (sur des exemples facilement transpo-
sables au cas général) :

— en valeur, la consommation globale est évidemment égale à la somme des consommations des différents produits.
Pour que cette égalité comptable soit également assurée en volume, il est nécessaire et suffisant d'agréger les
consommations des différents produits en utilisant un indice de Laspeyres pour les volumes et un indice de Paasche
pour les prix. C'est généralement ce qui est fait, en particulier en Europe, le plus souvent de façon implicite c'est-à-
dire en supposant vérifiée cette additivité. Les États-Unis utilisent cependant des indices de Fisher, intrinsèquement
meilleurs, mais qui suppriment l'additivité des volumes ;

— le chaînage détruit les égalités comptables. Si l'on a par exemple, à la fois en valeur et en volume au prix de l'année précédente, « production + importations = consommation + exportations », alors cette égalité n'est généralement plus vérifiée lorsque l'on calcule des volumes chaînés pour chaque agrégat. Les comptes nationaux français de la base 95, qui ont adopté le principe du chaînage de chaque série, présentent cet inconvénient de ne pas être équilibrés « aux prix de l'année précédente, chaînés ».

Les indices additifs ont par certains côtés des propriétés analogues. Cependant, leur chaînage ne détruit pas les éga-
lités comptables.

**Proposition A** : soient un produit donné et deux périodes notées 0 et 1 ; on note *p* et *q* les prix et quantités correspondants pour chacun des termes d'une équation comptable, par exemple l'équation « *production* + *importations* = *consommation* + *exportations* », que l'on écrira en abrégé « *P* + *I* = *C* + *E* ». Si celle-ci est vérifiée en valeur pour chacune des deux périodes et en volume de la période 1 au prix de la période 0, alors on a :

$$
(1) : LA[q_{(P)}] + LA[q_{(I)}] = LA[q_{(C)}] + LA[q_{(E)}]
$$

$$
(2) : PA[p_{(P)}] + PA[p_{(I)}] = PA[p_{(C)}] + PA[p_{(E)}]
$$

En revanche, on n'a pas d'équation semblable si l'on utilise d'autre indices additifs que le Laspeyres pour les quanti-
tés et le Paasche pour les prix (du moins parmi les indices additifs de Laspeyres, Paasche et Fisher).

Cette propriété fait naturellement penser à la première indiquée pour les indices classiques.

Sa démonstration est simple :

On a $LA(q) = p_0(q_1 - q_0) = p_0q_1 - p_0q_0$, avec $p_0q_1 = \text{volume en période 1 au prix de la période 0}$ et $p_0q_0 = \text{valeur}$
à la période 0, ceci pour chacun des quatre termes (production, importations, consommation et exportations, que l'on
notera $P, I, C$ et $E$) de notre équation comptable.
D'après les hypothèses, $p_{0(P)}q_{1(P)} + p_{0(I)}q_{1(I)} = p_{0(C)}q_{1(C)} + p_{0(E)}q_{1(E)}$ et $p_{0(P)}q_{0(P)} + p_{0(I)}q_{0(I)} = p_{0(C)}q_{0(C)} + p_{0(E)}q_{0(E)}$.

D'où l'égalité (1), en soustrayant termes à termes.

Par ailleurs $PA(p) = q_1(p_1 - p_0) = q_1p_1 - q_1p_0$, avec $q_1p_1 = \text{valeur à la période 1}$ et $q_1p_0 = \text{volume en période 1}$ au prix de la période 0.

D'après les hypothèses, $q_{1(P)}p_{1(P)} + q_{1(I)}p_{1(I)} = q_{1(C)}p_{1(C)} + q_{1(E)}p_{1(E)}$ et $q_{1(P)}p_{0(P)} + q_{1(I)}p_{0(I)} = q_{1(C)}p_{0(C)} + q_{1(E)}p_{0(E)}$.

D'où l'égalité (2), en soustrayant termes à termes.

En ce qui concerne le chaînage, la situation est par contre très différente : le caractère additif des équations comptables se combine très mal avec les indices classiques, qui ont un caractère multiplicatif, mais est tout à fait compatible avec les indices additifs. On a ainsi la propriété suivante :

**Proposition B** : en supposant vérifiées aux différentes périodes considérées les égalités comptables en valeur et en volume au prix de la période précédente, on a :

$$CHLA[q_{(P)}] + CHLA[q_{(I)}] = CHLA[q_{(C)}] + CHLA[q_{(E)}]$$

$$CHPA[p_{(P)}] + CHPA[p_{(I)}] = CHPA[p_{(C)}] + CHPA[p_{(E)}]$$

En repartant de la proposition A et en l'écrivant pour les différentes périodes, la démonstration est immédiate par addition termes à termes.

Cette propriété des indices additifs, qui dans l'optique de cet article ne présente pas d'intérêt particulier, recoupe en fait des travaux récents du professeur Hillinger, de l'Université de Munich, exposés dans deux articles présentés dans le cadre du meeting of national accounts statistics de l'OCDE (Organisation de coopération et de développement économiques) des 21-24 septembre 1999. Dans le premier<fnref n="1" />, l'auteur, à la recherche d'un chaînage conservant l'additivité, introduit la notion de centered quantity/price variation qui correspond à ce que j'ai appelé « indice additif de Fisher ». Dans le second<fnref n="2" />, il est indiqué que, dans un tout autre contexte, Hicks avait introduit dès 1941-42 des « indices de Laspeyres ou Paasche des variations de quantité ou prix »<fnref n="3" />, lesquels correspondent à ce que j'ai appelé « indices additifs de Laspeyres ou de Paasche » !

<footnote n="1">1. « On chained prices and quantity measures that are additively consistent » (version révisée de décembre 1999).</footnote>

<footnote n="2">2. « Aggregate real consumption and the cost-of-living : theory and measurement ».</footnote>

<footnote n="3">3. Hicks J.R., « Consumers surplus and index numbers », Review of Economic Studies, 9, 1941-1942, pp. 126-137.</footnote>
La proposition 10 et le théorème de Hulten

Soient deux composantes notées 1 et 2, $X_i$ et $Y_i$ ($i$ = 1 ou 2) deux variables caractéristiques de ces composantes. Les composantes 1 et 2 peuvent être deux céréales, par exemple le blé tendre et le maïs grain, $X_i$ et $Y_i$ désignant les surfaces cultivées et les rendements. Il peut également s'agir de deux produits de consommation, $X_i$ et $Y_i$ désignant les quantités consommées et les prix : dans ce cas, on posera pour commodité de langage $X_i = q_i$ et $Y_i = p_i$.

Selon la proposition 10 établie dans le texte, l'indice de Divisia pour la variable Y est indépendant des chemins suivis par $Y_1$ et $Y_2$ entre leurs valeurs initiales et finales si $X_2/X_1$ s'écrit comme une fonction de $Y_2/Y_1$. Les deux composantes (de même que les deux variables) jouant des rôles parfaitement symétriques, la proposition 10 peut également s'énoncer comme suit : l'indice de Divisia pour la variable Y est indépendant des chemins suivis par $Y_1$ et $Y_2$ entre leurs valeurs initiales et finales si $X_1/X_2$ s'écrit comme une fonction de $Y_1/Y_2$, autrement dit, avec l'exemple des produits de consommation, si $q_1/q_2$ s'écrit comme une fonction, que l'on notera $f$, de $p_1/p_2$.

L'on se pose la question suivante : la proposition 10 découle-t-elle du théorème de Hulten ? Autrement dit, l'existence de la liaison fonctionnelle $q_1/q_2 = f(p_2/p_1)$ implique-t-elle la possibilité de construire une fonction d'utilité homogène de degré 1 (même si la signification économique de cette fonction d'utilité peut faire défaut) ?

Le théorème de Hulten prend comme hypothèse l'existence d'une fonction d'utilité $U$ « rationalisant » les données (les choix du consommateur).

On a donc la propriété classique $U'_{q_1}(q_1, q_2) / U'_{q_2}(q_1, q_2) = p_1/p_2$.

Mais Hulten fait également l'hypothèse que cette fonction $U$ est une fonction homogène de degré 1.

Dès lors, pour tout $k$, on a $U'_{q_1}(kq_1, kq_2) = U'_{q_1}(q_1, q_2)$ et $U'_{q_2}(kq_1, kq_2) = U'_{q_2}(q_1, q_2)$.

En prenant $k = 1/q_2$, il vient $U'_{q_1}(q_1/q_2, 1) = U'_{q_1}(q_1, q_2)$ et $U'_{q_2}(q_1/q_2, 1) = U'_{q_2}(q_1, q_2)$.

D'où $p_1/p_2 = U'_{q_1}(q_1, q_2) / U'_{q_2}(q_1, q_2) = U'_{q_1}(q_1/q_2, 1) / U'_{q_2}(q_1/q_2, 1)$.

En définitive, sous les hypothèses du théorème de Hulten, $p_1/p_2$ est une fonction de $q_1/q_2$.

Supposons à présent que la fonction $f$ dont il est fait état dans la proposition 10 soit la fonction « sinus au carré », soit $q_1/q_2 = \sin^2(p_1/p_2)$. Dans ce cas, $p_1/p_2$ ne peut pas être fonction de $q_1/q_2$ puisque à une même valeur de $q_1/q_2$ correspond plusieurs valeurs de $p_1/p_2$.

**La démonstration qui précède montre que la proposition 10 ne se réduit pas à une application du théorème de Hulten** dès lors que la fonction $f$ n'est pas inversible. Même s'il ne paraît pas remarquable sur le plan théorique, le cas est peut-être important en pratique.
Un autre cas dans lequel la proposition 10 peut s'appliquer mais pas le théorème de Hulten est celui où la fonction $f$ est strictement monotone, donc inversible, mais se trouve être croissante : autrement dit, $q_1/q_2$ augmente ou diminue en même temps que $p_1/p_2$.

Le théorème de Hulten ne s'applique alors pas : en effet, dans la théorie du consommateur, la concavité des fonctions d'utilité implique une liaison fonctionnelle décroissante entre les prix relatifs et les quantités relatives (cf. graphique ci-contre).

Certes, le cas où les prix relatifs et les quantités relatives consommées croissent ou décroissent ensemble ne peut être envisagé que pour des produits très particuliers.

Mais revenons à notre exemple initial des céréales, des surfaces cultivées et des rendements. Au-delà des importantes fluctuations inhérentes à toute activité agricole et de l'importance des considérations de politique agricole, à travers les subventions et le contrôle éventuel des prix ou des quantités, une croissance relative simulée des surfaces cultivées et des rendements semble assez naturelle, du moins lorsque l'on ne se situe pas dans une économie autarcique : lorsque le rendement d'une céréale augmente, par rapport à une autre, on imagine aisément que certains agriculteurs vont délaisser quelque peu la seconde au profit de la première.

Considérons le cas (réel) des deux céréales les plus cultivées en France, le blé tendre et le maïs grain, au cours des cinq dernières années disponibles (1996 à 2000).

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Le lieu des points tels que $q_2/q_1$ est constant (soit $q_2/q_1 = k$) est une demi-droite qui pivote dans le sens contraire des aiguilles d'une montre lorsque $k$ augmente. Le vecteur des prix ($p_1, p_2$) au point de rencontre de cette demi-droite avec une courbe d'utilité constante est perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point. Lorsque $k$ augmente, la pente du vecteur des prix (soit $p_2/p_1$) diminue, et vice-versa, ceci du fait de la concavité de la courbe.

Le graphique ci-dessous montre le nuage de points obtenu. Il est difficile de savoir s'il existe une fonction reliant les deux variables, et si cette fonction éventuelle est inversible. Mais il est clair que le nuage de points suggère une relation croissante plutôt que décroissante.

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Source : SCEES, service central des enquêtes et études statistiques du ministère de l'Agriculture, de l'Alimentation, de la Pêche et des Affaires rurales.
Indice additif de Divisia et théorie du surplus

Rappelons que dans l'indice additif de Divisia tel que nous l'avons défini (définition 5), seules interviennent deux variables, X et Y. Nous considèrerons ici que ces deux variables sont respectivement le prix et la quantité consommée d'un produit lambda, et nous les noterons p et q en lieu et place de X et Y.

Entre deux dates notées 0 et 1, on a donc $DA(q) = \int_{0}^{1} p(t)q'(t)dt$.

La **théorie du surplus**<fnref n="1" /> s'intéresse non pas à la consommation des différents produits existants, comme c'est le cas de la théorie classique du consommateur, mais à celle d'un produit en particulier : par exemple le nombre de fois qu'une personne empruntera une portion d'autoroute, ou bien qu'elle ira au cinéma. Elle pose alors que le consommateur cherche à maximiser la différence entre ce qu'il serait prêt à payer pour consommer une certaine quantité du produit en question, autrement dit son **consentement à payer**, et ce qu'il paie réellement pour consommer cette même quantité de produit.

Notons S le surplus et C le consentement à payer : on a $S(q) = C(q) - pq$.

$S(q)$ est maximal pour $S'(q) = 0$, c'est-à-dire pour $C'(q) = p$.

En clair, le surplus maximal est atteint lorsque le consentement marginal à payer, naturellement décroissant, devient égal au prix unitaire. En d'autres termes, le consommateur achètera du produit considéré tant qu'il estimera que l'utilité marginale que lui procure une unité supplémentaire de produit est supérieure ou égale au prix de cette unité supplémentaire de produit.

Si l'on s'inscrit dans le cadre de cette théorie du surplus, c'est-à-dire si l'on pose $C'(q) = p$, il vient $DA(q) = \int_{0}^{1} p(t)q'(t)dt = \int_{0}^{1} C'(q(t))q'(t)dt = C_{1} - C_{0}$.

**Proposition C** : dans le cadre de la théorie du surplus, l'indice additif de Divisia de quantité (ou de volume) entre deux dates 0 et 1 traduit la variation du consentement à payer entre ces deux dates.

Intéressons-nous à présent à $DA(p)$.

D'après la proposition 4, on a $DA(q) + DA(p) = p_1q_1 - p_0q_0$,

$$ \text{soit } DA(p) = p_1q_1 - p_0q_0 - DA(q) = p_1q_1 - p_0q_0 - (C_1 - C_0) = (p_1q_1 - C_1) - (p_0q_0 - C_0), $$

$$ \text{soit } DA(p) = -(S_1 - S_0). $$

**Proposition D** : dans le cadre de la théorie du surplus, l'indice additif de Divisia de prix entre deux dates 0 et 1 traduit, au signe près, la variation du surplus entre ces deux dates.

Pour ceux qu'un cadre théorique plus rigoureux intéresse, précisons que dans la théorie du surplus sont considérés deux produits, un produit lambda et un produit particulier appelé « monnaie ». L'utilité V que procurent au consommateur q unités du produit lambda et m unités monétaires est définie par $V(q, m) = C(q) + m$, où C est une fonction décroissante. Intuitivement, $C(q)$ s'analyse comme étant égal au consentement à payer du consommateur pour disposer des q unités du produit lambda, puisqu'il lui est indifférent de posséder $C(q)$ unités monétaires supplémentaires ou de consommer q unités du produit lambda : on a en effet $V(q, m) = V(0, m+C(q))$. La particularité du produit « monnaie » tient au fait que son utilité marginale est constante. L'application concrète de la théorie du surplus suppose donc que la consommation du produit lambda reste marginale dans le budget du consommateur (comme cela est le cas dans les exemples de l'autoroute et du cinéma donnés ci-dessus).

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Jules Dupuit</figcaption></figure>

<footnote n="1">1. Cette théorie a été développée au XIXe siècle par l'ingénieur Jules Dupuit (1804-1866) en vue de l'optimisation des investissements en infrastructures de transport.</footnote>