# Développement des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques dans un dispositif de formation lesson study : quels types de dialogue

Valérie Batteau, Stéphane Clivaz, Luc-Olivier Bünzli, Audrey Daina, Sara Presutti, Jean-Philippe Pellet

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## To cite this version:

Valérie Batteau, Stéphane Clivaz, Luc-Olivier Bünzli, Audrey Daina, Sara Presutti, et al.. Développement des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques dans un dispositif de formation lesson study : quels types de dialogue. 2024. hal-04720685v2

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Preprint submitted on 7 Oct 2024

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DEVELOPPEMENT DES CONNAISSANCES POUR
ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES EN
MATHEMATIQUES DANS UN DISPOSITIF DE
FORMATION LESSON STUDY : QUELS TYPES DE
DIALOGUE ?

Valérie Batteau*, Stéphane Clivaz*, Luc-Olivier Bünzli*,
Audrey Daina*, Sara Presutti**, Jean-Philippe Pellet*

DEVELOPING KNOWLEDGE FOR TEACHING MATHEMATICAL
PROBLEM-SOLVING IN A LESSON STUDY: WHAT TYPES OF
TALK?

**Abstract** – This research aims to analyze the type of knowledge for teaching problem solving used during collaborative work in a *lesson study* (LS) process, and to examine how dialogic interactions and in particular types of talk contribute to the construction of this knowledge. The data consists of eight meetings with a group of eight Swiss primary school teachers during a LS process. The meetings were video-recorded, transcribed and coded using qualitative data analysis software. This analysis is carried out by crossing theoretical frameworks from two different fields of education, namely mathematics education and discourse analysis. The mixed method uses quantitative analysis with cross-tabulations and Markov chains, and qualitative analysis at the micro, meso and macro levels.

<footnote>* UER MS et laboratoire 3LS, Haute École Pédagogique de Vaud, Suisse et valerie.batteau@hepl.ch</footnote>

<footnote>* UER MS et laboratoire 3LS, Haute École Pédagogique de Vaud, Suisse et stephane.clivaz@hepl.ch</footnote>

<footnote>* UER MS et laboratoire 3LS, Haute École Pédagogique de Vaud, Suisse et luc-olivier.bunzli@hepl.ch</footnote>

<footnote>* UER MS et laboratoire 3LS, Haute École Pédagogique de Vaud, Suisse et audrey.daina@hepl.ch</footnote>

<footnote>* Haute École Pédagogique du Valais, Laboratoire 3LS, Haute École Pédagogique de Vaud, Suisse et Sara.Presutti@hepvs.ch</footnote>

<footnote>* UER MI, Haute École Pédagogique de Vaud, Suisse et jean-
philippe.pelet@hepl.ch</footnote>
This research shows that the types of dialogue are not the same for each LS session and evolve over the course of the process. Participants use more exploratory talk during the planning session for the second research lesson than during the first, and the same applies to the post-lesson sessions. In the post-lesson session of the second research lesson, participants use the cumulative talk much less.

This research also shows that participants collectively mobilize their mathematical and problem-solving knowledge to focus on pedagogical problem-solving knowledge, that they navigate between different levels of knowledge.

**Key words:** type of talk, lesson study, mathematical knowledge for teaching problem solving.

TITRE DE L'ARTICLE EN ESPAGNOL (STYLE RESUME TITRE)

**Resumen** – El objetivo de esta investigación es analizar el tipo de conocimiento sobre la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos utilizado durante el trabajo colaborativo como parte de un proceso de Estudio de Lección (LS) y examinar cómo las interacciones dialógicas y, en particular, los tipos de diálogo contribuyen a la construcción de este conocimiento. Los datos consisten en ocho sesiones con un grupo de ocho profesores de primaria suizos durante un ciclo de LS, grabadas en vídeo, transcritas y codificadas mediante software de análisis cualitativo de datos. Este análisis se lleva a cabo cruzando marcos teóricos de dos ámbitos diferentes de la educación, a saber, la didáctica de las matemáticas y el análisis del discurso. El método mixto utiliza un análisis cuantitativo con tabulaciones cruzadas y cadenas de Markov y un análisis cualitativo a nivel micro, meso y macro.

Esta investigación demuestra que los tipos de diálogo en juego no son los mismos según las sesiones de LS y evolucionan a lo largo del sistema. Los participantes utilizaron más el tipo de diálogo exploratorio durante la sesión de preparación de la segunda lección de investigación que durante la primera, y lo mismo ocurrió con las sesiones de análisis de la lección. Los participantes recurrieron mucho menos al diálogo acumulativo durante la sesión de análisis de la segunda lección de investigación.

Esta investigación también muestra que los participantes movilizan colectivamente sus conocimientos sobre matemáticas y resolución de problemas para centrarse en el conocimiento pedagógico de la resolución de problemas, y que navegan entre distintos niveles de conocimiento.

**Palabras-claves:** tipo de diálogo, lesson study, conocimientos sobre la resolución de problemas en la enseñanza.

RESUME
Développement des connaissances pour enseigner la résolution
de problèmes en mathématiques 3

Cette recherche vise à analyser le type de connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques utilisées lors d'un travail collaboratif dans le cadre d'un processus de *lesson study* (LS) et à examiner comment les interactions dialogiques et en particulier les types de dialogue contribuent à la construction de ces connaissances. Les données sont constituées de huit séances d'un collectif de huit enseignants primaires suisses au cours d'un cycle de LS, enregistrées en vidéo, transcrites et codées à l'aide d'un logiciel d'analyse de données qualitatives. Cette analyse est menée en croisant des cadres théoriques issus de deux champs différents de l'éducation, à savoir la didactique des mathématiques et l'analyse du discours. La méthode mixte utilise une analyse quantitative avec des tableaux croisées et des chaines de Markov et une analyse qualitative aux niveaux micro, méso et macro.

Cette recherche montre que les types de dialogue en jeu ne sont pas les mêmes en fonction des séances LS et évoluent au cours du dispositif. Les participants vont utiliser davantage le type de dialogue exploratoire lors de la séance de préparation de la deuxième leçon de recherche que lors de la première, il en est de même pour les séances d'analyse de leçon. Les participants emploient beaucoup moins de type de dialogue cumulatif lors de la séance d'analyse de la deuxième leçon de recherche par rapport à la première.

Cette recherche montre également que les participants mobilisent
collectivement leurs connaissances en mathématiques et en résolution de
problèmes pour se concentrer sur les connaissances pédagogiques en
matière de résolution de problèmes, qu'ils naviguent entre différents
niveaux de connaissances.

**Mots-Clés** : type de dialogue, *lesson study*, connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques.

Les connaissances mathématiques pour l'enseignement ont suscité
de l'intérêt en mathematics education et en didactique des
mathématiques (voir par exemple, Ball, 2017; Clivaz, 2014) et en
particulier pour l'enseignement de la résolution de problèmes (voir
par exemple, Chapman, 2015; Chapman et al., 2022; Fujii, 2018).
Une tendance similaire se manifeste pour le travail collectif des
enseignants accompagnés par des chercheurs et formateurs en
mathématiques (Borko et Potari, 2024). Dans notre recherche,
l'enseignement de la résolution de problèmes est étudié sous l'angle
du développement des connaissances professionnelles des
enseignants dans un processus dialogique au sein d'une *lesson
study* (LS) (Lewis et al., 2019). Dans la lignée des travaux de
Littleton et Mercer (2013) et de Hennessy et ses collègues (2016),
cet article se focalise sur l'analyse du discours et en particulier sur
les types de dialogue qui contribuent au développement des
connaissances professionnelles des enseignants.
Dans cet objectif, nous avons analysé le travail d'un collectif composé de huit enseignants des degrés 3 et 4¹ de la région lausannoise (Suisse romande) et de deux facilitateurs. De 2018 à 2019, ce collectif a réalisé deux cycles de LS autour de la problématique « comment enseigner à résoudre des problèmes mathématiques à des élèves de degrés 3-4 ? ». Notre recherche se concentre sur le premier cycle de la LS.

Le long processus de création du cadre théorique et de la grille d'analyse a été décrit dans un article récent (Clivaz, Daina, et al., 2023). Les aspects quantitatif et qualitatif de la méthodologie ainsi que les résultats des analyses concernant cinq des huit séances étudiées ont été présentés dans un autre article récent (Clivaz, Batteau, et al., 2023). Nous reprendrons ici certains éléments dans les parties théorique et méthodologique et proposons les résultats des analyses en se focalisant sur les types de dialogue pour l'entier des huit séances du cycle LS. La section d'analyse et discussion commencera par quelques résultats de l'analyse statistique quantitative ; elle sera illustrée par notre analyse qualitative et aboutira à une conclusion concernant les types de dialogue qui contribuent à la construction des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques au cours du travail collaboratif des enseignants.

## CADRE THEORIQUE

Nous aborderons d'abord la question des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques ce qui nous permettra d'introduire les outils d'analyse utilisés afin de rendre compte de l'évolution des connaissances durant le processus LS. Dans un deuxième temps, nous présenterons différents courants de recherche sur lesquels nous nous sommes référés afin de construire notre cadre d'analyse du discours et nous en préciserons les catégories d'analyse.

## Connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques

Les travaux de Ball, Thames et Phelps (2008) ont proposé une catégorisation générale des connaissances mathématiques des enseignants pour l'enseignement, basée sur des observations de

<footnote n="1">¹ Degrés internationaux (3-4). Élèves de 8 à 10 ans, 5-6H en Suisse, CE2-CM1 en France.</footnote>
Développement des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques 5

classe. Concernant plus spécifiquement les connaissances que les enseignants utilisent pour enseigner la résolution de problèmes, Chapman (2015) en distingue six catégories sur la base d'une revue de littérature composée d'études réalisées entre 1922 et 2013 (Tableau 1).

<table><caption>**Tableau 1.** - Connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques (Chapman, 2015). Les parties en italique sont nos contributions.</caption><tr><td>Connaissance des problèmes mathématiques</td><td>Connaissance de la nature des problèmes ; de la structure et du but des différents types de problèmes ; de l'impact des caractéristiques des problèmes sur les élèves</td></tr><tr><td>Connaissance de la résolution de problèmes en mathématiques (faire/meta)</td><td>Capacité à résoudre des problèmes (faire)<br>Considérer la résolution de problèmes comme une manière de penser ; comprendre les heuristiques, leur usage et leur sens ; savoir comment interpréter les solutions inhabituelles des élèves ; comprendre les conséquences des différentes approches des élèves (méta)</td></tr><tr><td>Connaissance de la formulation des problèmes</td><td>Compréhension de la formulation des problèmes avant, pendant et après la résolution de problèmes</td></tr><tr><td>Connaissance des élèves en tant que résolveurs de problème</td><td>Comprendre ce qu'un élève sait, sait faire et est disposé à faire (par exemple, les difficultés des élèves lors de la résolution de problèmes caractéristiques des « bons » élèves en résolution de problèmes ; raisonnement des élèves lors de la résolution de problèmes)</td></tr><tr><td>Connaissance de l'enseignement de la résolution de problèmes</td><td>Comprendre comment et dans quel but aider les élèves à devenir de meilleurs résolveurs de problèmes (par exemple techniques d'enseignement pour les heuristiques/stratégies, métacognition, usage des technologies, évaluation des progrès des élèves en résolution de problèmes ; quand et comment intervenir lorsque les élèves résolvent des problèmes)</td></tr><tr><td>Connaissance des facteurs affectifs et des représentations/ croyances [enseignant/ élève]</td><td>Comprendre la nature et l'influence (productive et destructive) des facteurs affectifs et des représentations et croyances (des enseignants/des élèves) sur l'enseignement- apprentissage de la résolution de problèmes et de l'enseignement en général</td></tr></table>

À la suite des travaux de Chapman (2015) et Ball, Thames et Phelps (2008), nous proposons la représentation graphique suivante (Figure 1) afin de faire le lien entre les catégories de connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques et de connaissances mathématiques pour l'enseignement.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 1.** - Connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques (CERPEM, catégories colorées) sont tirées de Chapman (2015). Les connaissances mathématiques pour l'enseignement (partie supérieure grise de la figure) sont tirées de Ball et al. (2008). La représentation graphique des catégories colorées a été réalisée par les auteurs de cet article (Clivaz, Daina, et al., 2023)</figcaption></figure>

Afin de compléter cette catégorisation, nous avons ensuite déterminé des niveaux de connaissances (voir Tableau 2) pour identifier l'évolution des connaissances des participants tout au long des séances. Ces niveaux sont étiquetés de 1 à 5, nais ne sont pas hiérarchisés. Par exemple, des connaissances contextualisées ou du questionnement ont autant de valeur que des connaissances généralisées.
Développement des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques 7

<table><caption>**Tableau 2.** - Niveaux de connaissance (Clivaz, Daina, et al., 2023)</caption><thead><tr><th colspan="2">Niveaux de connaissance</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>Connaissance erronée, absence de connaissance, ignorance assumée et/ou représentation personnelle discutable</td></tr><tr><td>2</td><td>Connaissance non expliquée, de l'ordre de l'observation, du témoignage</td></tr><tr><td>3</td><td>Connaissance incomplète, connaissance avec un faible degré de certitude<br>Questionnement explicite</td></tr><tr><td>4</td><td>Connaissance explicite contextualisée. Le locuteur connaît ou semble connaître la justification</td></tr><tr><td>5</td><td>Connaissance généralisée, décontextualisée (processus de décontextualisation, éventuellement pas complètement abouti).<br>Exemple générique</td></tr></tbody></table>

Après avoir présenté les types de connaissances au cœur de notre étude, nous présentons les différentes manières dont elles peuvent être exprimées au cours du dialogue. Plus précisément, nous nous attachons à caractériser la dynamique des interactions et à décrire notre cadre théorique et notre démarche d'analyse.

Analyse des interactions

Dans l'objectif de décrire comment les connaissances des enseignants se construisent et évoluent dans un dispositif collectif tel que les LS, nous avons été amenés à nous intéresser à l'analyse du discours. Les travaux sur l'analyse du discours ou des interactions s'intéressent à mieux comprendre les processus d'acquisition de connaissances au fil des interactions. Citons les travaux francophones (Balslev et Saada-Robert, 2006); Filliettaz (2014); (Mondada, 2005) et les travaux anglophones (Cooper, 2014; Kershner et al., 2020; Little, 2002). Ces travaux se réfèrent à différents cadres théoriques des sciences de l'éducation, de linguistique, de sociologie et de psychologie. Les termes d'analyse du discours ou des interactions peuvent se référer à des approches très différentes, qui poursuivent des objectifs ou convoquent des modèles théoriques et méthodologiques variés. Toutefois, toutes ces approches ont en commun de s'ancrer dans les travaux de Vygotsky (1962, 1978) et dans le modèle socioculturel, reconnaissant l'importance du rôle du langage et des interactions sociales dans l'acquisition des savoirs.

Notre recherche se place dans la lignée des travaux anglophones de Littleton et Mercer (2013) qui ont développé un modèle nommé « Interthinking » (p. 1). Ce modèle repose d'une part sur l'idée que par le langage, les locuteurs sont capables de penser de manière créative, dynamique et de développer ensemble de nouvelles idées et connaissances. D'autre part, les locuteurs vont utiliser le langage
non seulement pour interagir mais aussi pour penser collectivement, pour s'engager dans les idées des autres à travers le langage oral. Ainsi, le modèle place au centre les échanges langagiers, considérés comme cruciaux pour comprendre comment se coconstruisent les idées et les connaissances dans le fil d'une conversation.

### Types de dialogue<fnref n="2" />

Littleton et Mercer (2013) ont mis en évidence trois types de dialogue, suite à l'analyse d'enregistrements de discours d'élèves en classe :

- Le *dialogue cumulatif*<fnref n="3" /> (*Cumulative talk*) se caractérise par le fait que chacun accepte et est d'accord avec ce que les autres disent. Chacun exprime ses connaissances dans la conversation, mais il n'y a pas de position critique ou d'évaluation.

- Le *dialogue disputationnel* (*Disputational talk*) se caractérise par des désaccords entre les personnes qui discutent et une atmosphère compétitive dans laquelle chacun prend ses propres décisions. Il y a peu de partage de ressources ou de critiques constructives, les interactions sont souvent des prises de position courtes sans justification.

- Le *dialogue exploratoire* (*Exploratory talk*) se caractérise par le fait que chacun s'engage de manière critique, mais constructive dans la conversation. Chacun apporte des informations qu'il considère comme pertinentes ; celles-ci sont questionnées et argumentées, et les membres du groupe cherchent à rejoindre un accord avant de passer à une autre étape. Il est ainsi possible pour un observateur extérieur de suivre le fil du raisonnement.

Le type de dialogue exploratoire a été jugé comme étant le plus « efficace sur le plan éducatif » (Littleton et Mercer, 2013, p. 16). Ces résultats ont été largement repris dans une perspective de développement professionnel, notamment auprès du groupe

<footnote n="2">² Nous traduisons « type of talk » par type de dialogue.</footnote>

<footnote n="3">³ Nous traduisons « cumulative talk » par dialogue cumulatif, « disputational talk » par dialogue disputationnel et « exploratory talk » par dialogue exploratoire.</footnote>
Développement des connaissances pour enseigner la résolution
de problèmes en mathématiques 9

Cambridge Educational Dialogue Reasearch (CEDIR<fnref n="4" />). L'objectif de cette équipe de recherche est de mieux comprendre et de fournir des outils pour développer le dialogue et la collaboration dans le contexte scolaire, mais également professionnel. Les travaux du sous-groupe Scheme for Educational Dialogue Analysis<fnref n="5" /> (SEDA, Hennessy et al., 2016; Vrikki et al., 2018) ont particulièrement influencé nos travaux, car ils sont à la base de la grille d'analyse des interactions que nous utilisons dans notre méthodologie.

En lien avec le SEDA, les travaux de Vermunt et ses collègues (Dudley, 2013; Vermunt et al., 2019; Vrikki et al., 2017; Warwick et al., 2016) ont catégorisé les processus dialogiques dans les groupes de LS, afin de trouver des corrélations statistiques entre les caractéristiques des dialogues et le développement professionnel des enseignants.

Ces différentes équipes de recherche du CEDIR témoignent de la complexité méthodologique que l'on rencontre lorsqu'il s'agit de décrire et d'interpréter de manière objective et systématique le discours. Quelle méthodologie adopter pour mettre en évidence d'une part la dynamique des interactions et d'autre part la construction d'un type de dialogue qui peut favoriser, in fine, le développement de connaissances ? C'est dans cet objectif que nous avons repris et adapté la grille d'analyse du SEDA. Nous reprenons des travaux de Dudley (2013, p. 110) deux types de dialogue, plutôt liés à des aspects organisationnels de la LS et spécifiques au dialogue entre enseignant·es, que nous avons ajoutés aux trois premiers.

- la *structuration de la conversation*<fnref n="6" /> se caractérise par des actions de guidage liées au processus LS. La fonction des interactions est de faire avancer la discussion par rapport au processus LS, recentrer le groupe sur un sujet, gérer le temps passé sur un sujet, changer d'angles pour traiter du sujet ou reprendre un fil précédent.

- La *gestion de la compréhension* se manifeste dans trois cas : le cours dialogué (quand un membre du collectif a

<footnote n="4">⁴ Voir https://www.educ.cam.ac.uk/research/groups/cedir/</footnote>

<footnote n="5">⁵ Voir
https://www.educ.cam.ac.uk/research/programmes/analysingd-
ialogue/</footnote>

<footnote n="6">⁶ Nous avons traduit « structuring conversation » par structuration de la conversation et « managing understanding » par gestion de la compréhension.</footnote>
besoin d'expliquer le contexte, les contenus pédagogiques, curriculaires ou autres), l'échange de clarification (sur ce que quelqu'un a dit ou sur le sujet discuté) et l'intervention ponctuelle pour apporter une information.

## La construction de la grille d'analyse des interactions LS

La construction de la grille Lesson Study Dialogue Analysis (LSDA), basée sur la grille Scheme for Educational Dialogue Analysis (Hennessy et al., 2016; SEDA, n.d.) est décrite en détail dans l'article théorique et méthodologique de notre équipe (Clivaz, Daina, et al., 2023). Il en résulte une grille d'analyse à trois niveaux (micro, meso, macro) qui sont imbriqués et qui fournissent une structure systématique pour l'analyse des données :

- Les actes de communication se situent au niveau micro. Ils correspondent à un tour de parole, produit par une personne. Ils sont identifiés par leur fonction dans l'interaction (poser une question, justifier, etc.), en utilisant l'un des codes relatifs aux groupes E, Q, R, P et G, décrits dans le Tableau 3. Les transitions entre deux actes de communication se situent également au niveau micro.

- Les événements communicatifs se situent au niveau méso. Notre objectif est de mettre en évidence les connexions établies au cours des échanges. Ainsi, ce niveau de codage est réalisé par blocs de plusieurs tours de parole, permettant de mettre en évidence une forme de séquençage des interactions. Un bloc correspond à une suite d'interactions liées à une même thématique : les contributions précédentes, la leçon de recherche, une expérience d'enseignement, une expérience personnelle, une représentation d'enseignement, une référence, le processus LS (code C dans le Tableau 3).

- Les situations communicatives se situent au niveau macro et représentent le contexte dans lequel la conversation a lieu, lié aux phases du processus LS : choix du sujet, étude du sujet, planification de la leçon et analyse de la leçon.

<table><thead><tr><th>Catégories LSDA</th><th>Caractéristiques et codes LSDA</th></tr></thead><tbody><tr><td>E - Exprimer ou inviter à exprimer des idées nouvelles</td><td>Cette catégorie se caractérise par le fait que l'interaction codée E marque l'entrée d'un nouveau sujet dans la discussion, d'une idée nouvelle, d'une observation. Nous avons distingué deux intentions :<br/>- inviter à exprimer des idées, des observations (EI)</td></tr></tbody></table>
Développement des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques 11

<table><tr><td>Q - Susciter un développement ou un raisonnement</td><td><ul><li>exprimer une idée nouvelle ou une observation (EE).</li></ul><p>Cette catégorie est étroitement liée à la catégorie suivante R car elle prend place dans une suite d'échanges autour d'un sujet. L'interaction codée Q se réfère donc à une contribution précédente.</p><p>Nous avons distingué trois intentions :</p><ul><li>mieux comprendre propos factuel, demande de clarification (QC)</li><li>comprendre les raisons qui justifient ce qui précède, demander une justification (QJ)</li><li>envisager d'autres possibilités ou hypothèses (QH)</li></ul></td></tr><tr><td>R - Répondre, développer</td><td><p>Cette catégorie permet de caractériser une interaction qui prend place dans un échange et qui a pour intention de :</p><ul><li>fournir une clarification, une explication (RC)</li><li>donner une justification, une argumentation (RJ)</li><li>élaborer une hypothèse ou considérer une alternative (RH)</li></ul><p>Les interactions R peuvent se situer dans la suite d'interactions codées Q (voir ci-dessus), mais elles peuvent aussi s'enchaîner lors du développement d'une idée.</p></td></tr><tr><td>P - Se positionner ou coordonner</td><td><p>Cette catégorie se caractérise par le fait qu'elle marque une prise de position ou une volonté de coordination par rapport aux échanges précédents de la LS.</p><p>Il peut s'agir de synthétiser des idées (PS), d'évaluer différentes perspectives (PE), de challenger une idée (PV) ou de prendre position (PP), d'approuver (PA), de proposer un consensus (PC).</p></td></tr><tr><td>G - Guider</td><td><p>Cette catégorie se marque par le fait qu'elle a pour intention de guider le cours de l'interaction de manière générale, en encourageant le dialogue et la dynamique (GG), en verbalisant les règles de communication pour favoriser le discours (GD), en proposant une action immédiate (GA) ou dans le futur (GP). L'intention peut aussi être de se poser en tant qu'expert (GE) ou de mettre le focus sur un élément particulier (GF).</p></td></tr><tr><td>C - Connecter</td><td><p>Cette catégorie est utilisée pour montrer à quoi se réfère une série d'échanges. Elle peut se référer à :</p><ul><li>un contenu d'un épisode de discussion passée (CA)</li><li>la leçon de recherche (passée ou futur, CL)</li><li>une expérience d'enseignement (CE)</li><li>une expérience personnelle (CH)</li></ul><ul><li>au processus LS (à un niveau méta, CS)</li><li>des croyances sur l'enseignement et l'apprentissage (CB)</li><li>la trajectoire d'apprentissage des participants (CT)</li><li>la tâche mathématique (CM)</li></ul></td></tr></table>
<caption>**Tableau 3.** - Codes pour l'analyse du dialogue LS, traduit de (Clivaz, Daina, et al., 2023)</caption>

Après avoir exposé les cadres théoriques utilisés et la grille d'analyse développée pour cette recherche, nous présentons les questions de recherche, puis le contexte et les données, ainsi que les méthodes employées.

## Questions de recherche

La première série de questions de recherche porte sur la construction, au cours du processus LS, des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques (CERPEM et niveaux de connaissances).

* Quelles connaissances émergent lors de chaque séance LS ?

* Quelles sont les transitions entre les connaissances mobilisées lors des séances LS ?

La deuxième série de questions de recherche porte sur les types de dialogue mobilisés lors d'un processus LS et sur la construction des connaissances (CERPEM et niveaux de connaissances) par type de dialogue.

* Quels sont les types de dialogue mobilisés lors de chaque séance LS ?

* Quelles sont les CERPEM mobilisées par type de dialogue ?

* Quelles sont les transitions entre les niveaux de connaissances mobilisées par type de dialogue ?

# DONNEES ET METHODES

## Contexte et données

Les données analysées dans cet article font partie du travail d'un collectif LS composé de huit enseignants de 3e et 4e année d'école primaire de la région lausannoise et de deux facilitateurs. L'un des deux facilitateurs est formateur-chercheur en didactique des mathématiques (deuxième auteur de cette contribution) et l'autre, enseignante primaire, a participé en tant que membre d'un collectif LS précédent en mathématiques.

Le Tableau 4 permet d'avoir une vue d'ensemble des huit séances du premier cycle de la LS et précise le thème principal de chaque séance et sa durée.
Développement des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques 13

<table><caption>Tableau 4. - Les huit séances analysées</caption><thead><tr><th>Séance n°</th><th>Thème principal</th><th>Durée totale [min.]</th><th>Partie transcrite [min.]</th><th>Nombre de tours de parole transcrits</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>Discussion générale sur l'enseignement de la résolution de problèmes</td><td>71</td><td>36</td><td>103</td></tr><tr><td>2</td><td>Étude du curriculum (moyens d'enseignement, plan d'étude)</td><td>86</td><td>70</td><td>350</td></tr><tr><td>3</td><td>Suite de l'étude du curriculum et choix d'un problème pour la leçon de recherche</td><td>92</td><td>89</td><td>557</td></tr><tr><td>4</td><td>Planification de la leçon de recherche</td><td>90</td><td>51</td><td>311</td></tr><tr><td>5.1</td><td>Leçon de recherche, enseignée par E7, observée par le groupe</td><td>43</td><td>0</td><td></td></tr><tr><td>5.2</td><td>Discussion après la leçon</td><td>94</td><td>82</td><td>554</td></tr><tr><td>6</td><td>(Re-)planification de la leçon de recherche</td><td>88</td><td>78</td><td>604</td></tr><tr><td>7.1</td><td>Leçon de recherche, enseignée par E6, observée par le groupe</td><td>63</td><td></td><td></td></tr><tr><td>7.2</td><td>Discussion après la leçon</td><td>102</td><td>83</td><td>546</td></tr><tr><td>8</td><td>Discussion sur les deux leçons, sur la finalisation du plan de leçon. Évaluation du cycle LS. Ce qu'il faut faire pour le prochain cycle LS.</td><td>88</td><td>78</td><td>492</td></tr></tbody></table>

Méthode

Les parties de séance au cours desquelles la conversation n'est pas directement liée au thème des LS (discussion hors sujet, sujets organisationnels...) n'ont pas été transcrites. Les huit séances représentent ainsi 3517 tours de parole transcrits, dont 2726 sont codés avec un code LSDA unique chacun. Ils contiennent 2263 codes CERPEM<fnref n="7" />, chacun associé à un niveau de connaissance unique.

Les données ont été transcrites et codées, à l'aide d'un logiciel d'analyse de données qualitatives, Transana (transana.com), par les auteurs de cet article. Ce logiciel nous permet de transcrire les dialogues des huit séances du premier cycle de la LS et de coder

<footnote n="7">⁷ Un tour de parole avec un code LSDA peut être codé avec zéro, une ou plusieurs CERPEM.</footnote>
les interactions selon les grilles d'analyse que nous venons de présenter.

La capacité du logiciel à coder la transcription, liée à la vidéo, est essentielle lors de la phase de codage, qui implique parfois de prendre en compte le ton de la voix et le contexte non verbal de l'interaction pour décider du code. Une fois le codage terminé, il est possible d'effectuer la première partie des analyses à l'aide de Transana, ce qui permet de croiser et de relier ces codes ou de créer des tableaux et des diagrammes qui donnent une vue d'ensemble des données codées. Cela permet également de mettre en évidence des éléments d'analyse descriptive : le temps de parole par locuteur, les types de connaissances et les niveaux, ainsi que les regroupements de LSDA.

Comme précisé dans la partie théorique, l'analyse du discours implique de considérer différents niveaux. Nous avons ainsi adopté une méthode d'analyse mixte : (a) un codage systématique et qualitatif au niveau micro du tour de parole, (b) une analyse quantitative avec des chaînes de Markov modélisant les transitions, ainsi que des tableaux croisés (1 - Figure 2) et (c) une analyse qualitative aux niveaux micro, méso et macro avec leur liens (flèches 2, 3 et 4 - Figure 2).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 2.** - Méthode et niveaux d'analyse</figcaption></figure>

Nous détaillons les aspects qualitatifs et quantitatifs de la méthode d'analyse dans les deux parties suivantes.

## Présentation du codage et de l'analyse qualitative des données

### Analyses au niveau micro

Au niveau micro (Figure 2), les interactions (codes LSDA, voir Tableau 3), les connaissances (codes CERPEM, voir Tableau 1), les niveaux de connaissances (voir Tableau 2) et les locuteurs sont
Développement des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques 15

codés pour chaque tour de parole de manière systématique et qualitative. Nous avons réalisé ces codages par équipe de deux chercheurs, puis lorsqu'il y avait un doute, nous les avons rediscutés entre les cinq premiers auteurs de l'article.

Au niveau meso, codage du type de dialogue cumulatif

Au niveau meso (Figure 2), nous avons attribué le code C (voir Tableau 3) à une suite de tours de parole qui se réfère à un même sujet. Puis nous avons codé un type de dialogue pour chacun de ces passages à partir d'indicateurs parmi les codes d'interaction LSDA (flèche 2 - Figure 2) dans la lignée des travaux de Littleton et Mercer (2013) et Dudley (2013) (flèche 2 - Figure 2).

Nous détaillons et exemplifions maintenant le codage des différents types de dialogue.

Pour coder un type de dialogue cumulatif, les indicateurs sont la présence des codes LSDA : exprimer une nouvelle idée (EE), donner une clarification ou une justification (RC et RJ), sans qu'une même idée ne soit reprise au cours du dialogue.

Dans l'exemple ci-dessous (Tableau 5), le facilitateur F1 demande au début de la séance 5 (qui a suivi la leçon de recherche) ce qui s'est passé dans le groupe d'élèves observé par l'enseignante E1. Le dialogue est marqué par la présence de plusieurs interlocuteurs qui ajoutent et développent des arguments (RJ), mais sans que la même idée ne soit reprise au fil du dialogue.

<table><thead><tr><th>Locuteur</th><th>Résumé</th><th>LSDA</th><th>CERPEM</th><th>Niveau de connaissance</th></tr></thead><tbody><tr><td>F1</td><td>0556 Propose de commencer par le groupe de E1</td><td>GA</td><td></td><td></td></tr><tr><td>E1</td><td>0602 E1 apporte le témoignage de ce qui s'est passé dans son groupe</td><td>EE</td><td>car cer crpMETA</td><td>2</td></tr><tr><td>E4</td><td>0751 Ajoute : l'effet de groupe a peut-être joué un rôle</td><td>RJ</td><td>cfaELE</td><td>4</td></tr><tr><td>E1</td><td>0807 Va plus loin : ils n'ont pas suivi la consigne donnée</td><td>RJ</td><td></td><td></td></tr><tr><td>E4</td><td>0811 Approuve</td><td>PA</td><td></td><td></td></tr><tr><td>E1</td><td>0811 Va plus loin : décrit le travail de collaboration observé</td><td>RJ</td><td>car</td><td>2</td></tr><tr><td>E4</td><td>0836 Exprime un doute par rapport à l'effet groupe</td><td>PP</td><td>cfaELE</td><td>3</td></tr><tr><td>F1</td><td>0839 Relève ce qu'il faut retenir à propos de ce témoignage et recentre la discussion sur les sapins</td><td>GF</td><td>car cer</td><td>24</td></tr></tbody></table>
<table><caption>**Tableau 5.** - Exemple de type de dialogue cumulatif (code CUMU)</caption><tr><td>E7</td><td>0910 E7 n'a rien à ajouter</td><td>RC</td><td></td></tr></table>

*Au niveau meso, codage du type de dialogue disputationnel*

Pour coder un type de dialogue disputationnel, les indicateurs sont la présence des codes de positionnement (PP, PV), de justification (RJ), d'humour (H) qui sous-tend certaines questions sujettes à tension, d'invitation à exprimer de nouvelles idées (EI), de guidage pour modérer la discussion (GA, GE).

Dans l'exemple ci-après, après un échange sur la manière d'enseigner à résoudre des problèmes (séance 3), un enseignant (E2) exprime que certains élèves ne comprendront pas. Ceci est codé comme une nouvelle idée (EE) qui porte sur la capacité des élèves. S'en suit une prise de position (PP), une intervention d'humour (H), un guidage expert (GE) lorsque le facilitateur (F1) dit qu'il faut amener tous les élèves à un certain niveau et suivi d'une justification (RJ). Cet exemple illustre que les locuteurs ont des positions différentes et que les échanges n'ont pas mené à un consensus partagé par le groupe.

<table><caption>**Tableau 6.** - Exemple de type de dialogue disputationnel (code DISPU)</caption><thead><tr><th>Locuteur</th><th>Résumé</th><th>LSDA</th><th>CERPEM</th><th>Niveau de connaissance</th></tr></thead><tbody><tr><td>E2</td><td>4626 Exprime : certains ne comprendront pas</td><td>EE</td><td>car</td><td>1</td></tr><tr><td>F1</td><td>4635 Désapprouve</td><td>PP</td><td>car</td><td>2</td></tr><tr><td>E2</td><td>4637 Humour</td><td>H</td><td></td><td></td></tr><tr><td>F1</td><td>4640 Exprime : l'objectif est d'amener tous les élèves à un certain niveau !</td><td>GE</td><td>CP</td><td>2</td></tr><tr><td>E2</td><td>4648 Justifie : ok, à un certain niveau seulement</td><td>RJ</td><td>CP</td><td>2</td></tr><tr><td>F1</td><td>4650 Justifie : on ne peut pas baisser les bras avant d'essayer</td><td>RJ</td><td>CP</td><td>4</td></tr></tbody></table>

*Au niveau meso, codage du type de dialogue exploratoire*

Un type de dialogue exploratoire est caractérisé par la présence de plus de deux interlocuteurs qui reprennent et développent la même idée. Pour coder ce type de dialogue, les indicateurs sont la présence des codes de réponse et développement (RJ, RC et RH), de positionnement (PP, PV) qui montrent des prises de positions pour appuyer les arguments. Plusieurs interlocuteurs s'engagent
Développement des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques 17

dans la conversation et il est possible de suivre le fil du raisonnement. Les interventions montrent une volonté d'ajouter des arguments ou d'aller plus loin. Il peut y avoir des désaccords et des questions mais les membres du groupe cherchent à rejoindre un accord.

L'exemple ci-après (Tableau 7) est issu de la séance 5 qui suit la première leçon de recherche. Les enseignants ont témoigné chacun leur tour de ce qu'ils avaient observé dans les groupes d'élèves. Puis le facilitateur (F1) propose de synthétiser ce qui s'est passé dans chaque groupe d'élèves observés (PS). Plusieurs locuteurs s'engagent alors dans le dialogue avec des développements avec justification ou clarification (RJ, RC) et des prises de position (PA, PP). Il est possible de suivre le fil du dialogue : plusieurs groupes d'élèves ont rencontré des difficultés avec la manipulation d'argent, le dialogue se poursuit sur les modalités et les raisons d'utiliser de l'argent pour résoudre le problème.

<table><caption>Tableau 7. - Exemple de type de dialogue exploratoire (code EXPLO)</caption><thead><tr><th>Locuteur</th><th>Résumé</th><th>LSDA</th><th>CERPEM</th><th>Niveau de connaissance</th></tr></thead><tbody><tr><td>F1</td><td>3809 Propose de synthétiser ce qui s'est passé dans les groupes</td><td>PS</td><td>car</td><td>2</td></tr><tr><td>NC</td><td>3830 Développe : le groupe qui a joué s'est perdu</td><td>RJ</td><td>car</td><td>2</td></tr><tr><td>F1</td><td>3833 Suite synthèse : plusieurs difficultés avec l'argent</td><td>PS</td><td>car</td><td>2</td></tr><tr><td>F2</td><td>3841 Développe : les échanges (avec l'argent) ont posé difficulté</td><td>RJ</td><td>car</td><td>2</td></tr><tr><td>F1</td><td>3843 Va plus loin : les élèves ont joué avec l'argent dès le début alors qu'il n'y a pas besoin</td><td>RJ</td><td>car crpFAIRE</td><td>2 4</td></tr><tr><td>E7</td><td>3900 Demande : si F1 passait dans les groupes</td><td>QC</td><td></td><td></td></tr><tr><td>F1</td><td>3901 Répond que oui</td><td>RC</td><td></td><td></td></tr><tr><td>E7</td><td>3902 Approuve</td><td>PA</td><td></td><td></td></tr><tr><td>F1</td><td>3902 Développe : il a observé des élèves qui comptaient l'argent</td><td>RJ</td><td>car</td><td>2</td></tr><tr><td>E2</td><td>3908 Va plus loin : c'est attrayant</td><td>RJ</td><td>cfaELE</td><td>2</td></tr><tr><td>F1</td><td>3909 Considère que ça a joué un rôle</td><td>PP</td><td>crpFAIRE</td><td>4</td></tr><tr><td>F2</td><td>3915 Va plus loin : l'argent a aidé son groupe car ils prenaient "un sac 3 francs"</td><td>RJ</td><td>car</td><td>4</td></tr></tbody></table>

<caption>Tableau 7. - Exemple de type de dialogue exploratoire (code EXPLO)</caption>
### *Au niveau meso, codage des deux autres types de dialogue*

Le type de dialogue de structuration de la conversation est caractérisé par la présence de guidage (G), de nouvelles idées (et de synthèse des idées (PS). Le type de dialogue de gestion de la compréhension se caractérise par un grand nombre d'échanges de questions et clarification (QC et RC) ou beaucoup de développement de clarification (RC). Ce type de dialogue est souvent marqué par la présence de deux interlocuteurs, avec des approbations (PA) sans justification et des guidages experts (GE).

### *Analyses au niveau macro*

Le niveau macro correspond aux phases du processus LS et est utilisé de la façon suivante : nous caractérisons les phases du processus LS avec les types de dialogue (flèche 3 - Figure 2).

À partir des types de dialogue et des phases du processus LS (flèche 4 - Figure 2), nous revenons au niveau micro en identifiant les connaissances qui les caractérisent.

### *Présentation du modèle statistique*

La question principale de la recherche porte sur la construction de connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques, au cours du processus LS. Ainsi, nous avons besoin d'un modèle statistique qui prenne en compte la temporalité et la succession des interactions dans cette construction de connaissances. Nous avons choisi les *chaînes de Markov* (Gagniuc, 2017) pour explorer la dépendance temporelle ; les *chaînes de Markov* sont des modèles facilement visualisables, décrivant dans notre contexte, pour une variable discrète variant dans le temps, sa probabilité de transition vers une valeur donnée au tour de parole suivant, en fonction de sa valeur au tour de parole actuel. Nous avons analysé les transitions des connaissances au cours des séances LS, afin d'apprévender la construction des connaissances. À partir des données exportées de Transana, les *chaînes de Markov* ont été générées en langage Python avec le logiciel code par le sixième auteur de cette contribution. Nous avons analysé les transitions entre les différentes valeurs prises pour chacune des variables : CERPEM, niveaux de connaissance et interactions (catégories LSDA et code LSDA).

Nous illustrons un exemple de *chaînes de Markov* avec la variable CERPEM. Soit $(X_n)_{n\ge0}$ la variable CERPEM au temps $n$ qui peut prendre les valeurs qualitatives $(x_i)_{14\ge i\ge0}$ qui sont les connaissances de l'ensemble discret $E = \{\text{connaissance des élèves}$
Développement des connaissances pour enseigner la résolution
de problèmes en mathématiques 19

en tant que résolveurs de problèmes, connaissance de la
formulation de problèmes...}.

$$
\begin{align*}
& \forall i \text{ et } \forall x_0 \dots x_{i+1} \in E, P(X_{i+1} = x_{i+1} | X_i = x_i) \\
& = P(X_{i+1} = x_{i+1} | X_i = x_i, \dots, X_0 = x_0)
\end{align*}
$$

Nous faisons l'hypothèse que la probabilité d'apparition d'une
CERPEM à un temps donné *i* + 1 ne dépend que de la CERPEM
au temps *i* et pas avant (de 0 jusqu'à *i* − 1). Cette propriété dite
« sans mémoire » est nécessaire aux chaînes de Markov : la suite
des valeurs prises avant le temps *i* n'a pas d'importance. Nous
calculons ensuite les probabilités de transition de *X*<sub>*n*</sub> à *X*<sub>*n*+1</sub>
∀*n* ∈ N. Nous le faisons pour chaque tour de parole de chaque
séance LS, puis pour toutes les séances LS afin d'obtenir une vue
d'ensemble.

Lorsqu'il y a un type de connaissance codé au temps *i* et pas de connaissance codée au temps *i* + 1, nous avons décidé de ne pas prendre en compte le temps *i* + 1 lors du calcul de la probabilité de transition et nous avons considéré la transition entre le temps *i* et le temps *i* + 2 (ou *i* à *i* + 3 ou *i* à *i* + 4 etc. jusqu'à ce que nous trouvions un tour de parole codé avec une connaissance). Nous avons vérifié et confirmé ce choix par une approche qualitative. Nous avons pris en compte dans le codage certains tours de parole sans connaissance mais codés avec les autres codes (LSDA, locuteur) lorsque la discussion et l'évolution des connaissances se poursuivaient après ces quelques tours de parole. Nous avons été confrontés à une difficulté méthodologique : certains tours de parole ont été codés avec plusieurs connaissances et chaque connaissance pouvait être associée à un niveau de connaissance différent. Cela contredit notre choix méthodologique d'affecter chaque tour de parole par une seule valeur de la variable. Dans ce cas, nous avons choisi de normaliser comme dans l'exemple de la Figure 3. La connaissance de la résolution de problèmes en mathématiques (meta) est codée pour six tours de paroles dans la séance 1. Un tour de parole suivant ces six tours de parole est codé avec quatre connaissances : la connaissance des facteurs affectifs et des croyances (des élèves), la connaissance des élèves en tant que résolveurs de problèmes, la connaissance de l'enseignement de la RP, connaissance des programmes et moyens d'enseignement.

Cela signifie que :

$X_{i+1}$ = Connaissance des facteurs affectifs et des croyances (élèves), connaissance des élèves en tant que résolveurs de
problèmes, connaissance de l’enseignement de la RP, connaissance
des programmes et moyens d’enseignement.

Et $X_i$ = connaissance de la résolution de problèmes en mathématiques (méta)

Ensuite, cette transition particulière a été prise en compte comme
une contribution d'un quart de transition de l'état au temps i vers
chacun des quatre états trouvés au temps i + 1. Cela explique les
probabilités de transition en nombres rationnels, étiquetant
certaines flèches de transition dans la Figure 3.

$$
P(X_{i+1} = c. \text{ des facteurs affectifs et des croyances (élèves)} | X_i = c. \text{ de la RP en maths (méta)}) = \frac{1,25}{6} \approx 21\%
$$

$$
c. \text{ de la RP en maths (méta)}) = \frac{1,25}{6} \approx 21\%
$$

$$
P(X_{i+1} = c. \text{ des élèves en tant que résolveurs de problèmes} / X_i = c. \text{ de la RP en maths (méta)}) = \frac{1,25}{6} \approx 21\%
$$

$$
\frac{P(X_{i+1} = c. \text{ de l'enseignement de la RP}}{X_i = c. \text{ de la RP en maths (méta))}} = \frac{1,25}{6} \approx 21\%
$$

$$
P(X_{i+1} = c. \text{ de l'enseignement de la RP} / X_i =
$$

$$
c. \text{ de la RP en maths (méta)}) = \frac{1,25}{6} \approx 21\%
$$

$$
P(X_{i+1} = c. \text{ des programmes et moyens d'enseignement} / X_i =
$$

$$
c. de la RP en maths (m\'eta)) = \frac{0.25}{6} \approx 4\%
$$

$$
P(X_{i+1} = c. \text{ de la RP en maths (m\'eta)} / X_i =
$$

$$
c. \text{ de la RP en maths (méta)}) = \frac{2}{6} \approx 33\%
$$

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 3. - Chaînes de Markov pour CERPEM dans la séance 1</figcaption></figure>

Dans la Figure 3<sup>8</sup>, chaque ovale représente une valeur de la variable $X_n$ (CERPEM) avec un nombre entier représentant le nombre de

<footnote n="8">⁸ Les dimensions des ovales représentant chaque état sont proportionnelles au logarithme du nombre de fois que cet état a été trouvé dans les données (le logarithme a été choisi pour avoir une bonne visibilité). Les couleurs des sommets correspondent aux couleurs des</footnote>
Développement des connaissances pour enseigner la résolution
de problèmes en mathématiques 21

fois où X a pris cette valeur. Les flèches correspondent aux
transitions entre deux valeurs prises par une même variable à un
tour de parole et au tour de parole suivant. Les flèches sont
étiquetées avec un pourcentage (arrondi) indiquant les probabilités
de transition et avec des écritures fractionnaires. Nous avons fait le
choix de ne représenter que les transitions dont la probabilité est
supérieure à une certaine valeur pour rendre les graphes plus
lisibles. Après quelques essais, le seuil de 10% nous a semblé
adéquat. Dans la suite de l'article, la flèche correspondant à 4%
dans la Figure 3, par exemple, ne sera plus visible dans les graphes.
Nous avons effectué les graphes de *chaînes de Markov* pour toutes
les variables mais nous présentons ici les résultats de l'analyse que
pour les connaissances et les niveaux associés.

En plus de ces graphes, nous avons réalisé des tableaux croisés des
variables deux à deux : CERPEM, niveaux de connaissance, LSDA
(ou catégorie de LSDA) et locuteur.

Nous adoptons une méthodologie mixte à deux égards. Les
résultats quantitatifs sont croisés avec l'analyse qualitative, en
considérant des exemples au niveau méso, de plusieurs tours de
parole. Les résultats quantitatifs sont également croisés par une
analyse qualitative aux niveaux micro, méso et macro. Nous
utilisons la succession de deux tours de parole (niveau micro), le
contenu de la suite de tours de parole (niveau méso) ou le contexte
de chaque phase du processus LS (niveau macro) pour expliquer
les résultats quantitatifs.

RESULTATS

Connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en
mathématiques (CERPEM)

CERPEM pour toutes les séances et par séance

Au cours des huit séances analysées, 2096 codes CERPEM ont été
attribués. La CERPEM la plus répandue était la connaissance de
l'enseignement de la résolution de problèmes (654) et la
connaissance des élèves en tant que résolveurs de problèmes (571).
Puis, la connaissance de la résolution de problèmes en
mathématique (meta) apparaît loin après les deux premières
connaissances (231).

différentes variables présentées précédemment (CERPEM, LSDA). Les
flèches sont coloriées avec des tons de gris de plus en plus foncés lorsque
le pourcentage augmente.
<table><caption>**Tableau 8.** - Nombre de types de connaissances lors de chaque séance</caption><thead><tr><th>Séance</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>Tota<br>1</th></tr></thead><tbody><tr><td>CERPEM</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>C. des pb maths</td><td>2</td><td>52</td><td>83</td><td>6</td><td>7</td><td>5</td><td>10</td><td>4</td><td>169</td></tr><tr><td>C. de la résolution de pb en<br>math (faire)</td><td>1</td><td>18</td><td>11</td><td>3</td><td>7</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>42</td></tr><tr><td>C. de la résolution de pb en<br>math (méta)</td><td>6</td><td>10</td><td>51</td><td>15</td><td>39</td><td>40</td><td>50</td><td>20</td><td>231</td></tr><tr><td>C. de la formulation des pb</td><td>2</td><td>16</td><td>52</td><td>58</td><td>35</td><td>3</td><td>7</td><td>0</td><td>173</td></tr><tr><td>C. des élèves en tant que<br>résolveurs de pb</td><td>12</td><td>42</td><td>83</td><td>72</td><td>151</td><td>49</td><td>138</td><td>24</td><td>571</td></tr><tr><td>C. de l'enseignement de la<br>résolution de pb</td><td>15</td><td>48</td><td>151</td><td>98</td><td>111</td><td>99</td><td>81</td><td>51</td><td>654</td></tr><tr><td>C. des facteurs affectifs et<br>des représentations,<br>croyances de l'enseignant</td><td>1</td><td>8</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>12</td></tr><tr><td>C. des facteurs affectifs et<br>des représentations,<br>croyances de l'élève</td><td>11</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td>21</td><td>7</td><td>35</td><td>3</td><td>87</td></tr><tr><td>C. math communes</td><td>0</td><td>4</td><td>5</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>9</td></tr><tr><td>C. spécifiques à<br>l'enseignement</td><td>6</td><td>0</td><td>2</td><td>13</td><td>0</td><td>4</td><td>8</td><td>1</td><td>34</td></tr><tr><td>C. des élèves et de<br>l'apprentissage du sujet<br>math</td><td>1</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td></tr><tr><td>C. du contenu et de<br>l'enseignement du sujet<br>math</td><td>10</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>12</td></tr><tr><td>C. du programme et des<br>moyens d'enseignement</td><td>16</td><td>28</td><td>37</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>7</td><td>4</td><td>95</td></tr><tr><td>Total</td><td>83</td><td>234</td><td>480</td><td>269</td><td>373</td><td>211</td><td>340</td><td>107</td><td>2096</td></tr></tbody></table>

Le nombre élevé d'occurrences de ces deux catégories est interprété par séance au niveau macro, des phases du processus LS. La séance 1 commence par un tour de table sur l'enseignement de la résolution de problèmes et sur les représentations des enseignants sur ce sujet. La principale CERPEM dans cette séance est la connaissance du programme et des moyens d'enseignement (16), suivie par la connaissance de l'enseignement de la résolution de problèmes (15) et des élèves en tant que résolveurs de problème (12). Les enseignants ont fait de nombreuses références aux tâches des moyens d'enseignement (connaissance du programme et des moyens d'enseignement) lorsqu'ils parlent de leur enseignement de la résolution de problèmes.

Les séances 2 et 3 portent sur l'étude du curriculum. La connaissance de l'enseignement de la résolution de problèmes est la plus représentée (48 lors de la séance 2 et 151 lors de la séance 3). Comme le montre l'extrait suivant (Tableau 9), les participants
Développement des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques 23

parlent du programme, en particulier de l'enseignement des mathématiques dans les écoles enfantines<fnref n="9" /> et du développement des compétences sociales. Ils utilisent principalement des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques et les conséquences sur l'apprentissage des élèves (E7).

<table><caption>**Tableau 9.** - Extrait de transcription codé avec les LSDA, CERPEM et niveaux de connaissance</caption><thead><tr><th>Locuteur</th><th>Transcription</th><th>LSDA</th><th>CERPEM</th><th>Niveau</th></tr></thead><tbody><tr><td>E7</td><td>Je suis d'accord avec ce qu'a dit E4, cela demande beaucoup de compétences autres que les mathématiques, je veux dire, cela demande d'être capable de discuter avec son camarade de classe, sans avoir à parler d'autre chose, sans avoir à expliquer à son camarade de classe « eh bien oui, on fait trois plus deux égale quatre », au lieu de lui montrer comment...</td><td>EE</td><td>C. math commune<br>C. des élèves en tant que résolveurs de pb<br>C. de l'enseignement de la résolution de problèmes</td><td>1<br>4<br>4</td></tr><tr><td>E4</td><td>Cela fait cinq.</td><td>PP</td><td>C. math commune</td><td>2</td></tr><tr><td>E7</td><td>Je suis désolée, cinq. Et c'est vrai que ça, je trouve que c'est aussi tout au long de la scolarité qu'on le travaille, et je pense qu'ils sont... vous savez en 5ème ou 6ème, ben oui, si on commence en enfantine, ils ont... ils ne peuvent pas faire ça.</td><td>EE</td><td>C. du programme et des moyens d'enseignement<br>C. de l'enseignement de la résolution de problèmes</td><td>4<br>4</td></tr><tr><td>E4</td><td>Non, mais vous seriez surpris, je pense, qu'en enfantine, je veux dire, travailler en groupe, écouter, écouter les autres, c'est déjà travaillé... [...].</td><td>PP</td><td>C. de l'enseignement de la résolution de problèmes</td><td>4</td></tr><tr><td>E6</td><td>Et puis avec les calculs, il y a déjà des... On associe deux quantités, et on compte les jetons, je pense qu'il y a beaucoup de choses qui sont faites aussi et je me rends compte...</td><td>RJ</td><td>C. de l'enseignement de la résolution de problèmes</td><td>4</td></tr><tr><td>E7</td><td>Non, mais je parle d'échange. Le partage entre enfants, pour le reste, je suis d'accord avec E4, les élèves peuvent le faire !</td><td>RJ</td><td>C. des élèves en tant que résolveurs de pb</td><td>4</td></tr></tbody></table>

Lors de la séance suivante, consacrée à la planification de la leçon de recherche, les CERPEM les plus représentées sont la

<footnote n="9">⁹ L'école enfantine concernaient les enfants de 4/5 ans et de 5/6 ans.</footnote>
connaissance de l'enseignement de la résolution de problèmes (98) et la connaissance des élèves en tant que résolveurs de problèmes (72). Ainsi, pour planifier une leçon, les participants utilisent presque autant de connaissances sur les élèves que de connaissances sur l'enseignement.

La discussion post-leçon (séance 5) se concentre sur les apprentissages des élèves observés pendant la leçon, mais aussi sur l'enseignement et les conséquences des choix de l'enseignant sur ces apprentissages. Ainsi, la connaissance des élèves en tant que résolveurs de problèmes est la plus représentée (151).

La séance 6 correspond à la planification de la deuxième leçon de recherche autour du même problème. Nous observons que pour le même type de phase LS, les connaissances des élèves en tant que résolveurs de problème et la connaissance de l'enseignement de la résolution de problèmes sont les plus présentes. Mais contrairement à la séance 4 (planification de la première leçon de recherche), la connaissance de la résolution de problèmes en mathématique (méta) est plus présente et celle de la formulation des problèmes l'est moins. Les discours de la séance 6 n'ont pas porté sur la formulation du problème, mais davantage sur les conséquences des différentes approches des élèves.

Pour les séances 5 et 7, qui correspondent aux phases d'analyse des leçons, nous observons une même évolution avec moins de connaissances de formulation du problème et plus de connaissance de la résolution de problèmes en mathématique (méta).

Lors de la séance 8, nous identifions peu de connaissances liées à la résolution de problèmes car cette séance de fin de processus a davantage porté sur le dispositif lui-même et sur l'enseignement des mathématiques en général. Nous notons principalement la présence des connaissances des élèves en tant que résolveurs de problème, la connaissance de l'enseignement de la résolution de problèmes et la connaissance de la résolution de problèmes en mathématique (méta).

Ces analyses font ressortir le fait que les participants utilisent les mêmes types de connaissances pour les mêmes types de phases LS de planification et d'analyse des leçons.

*CERPEM pour toutes les séances : le graphe des chaînes de Markov*

Le graphe des *chaînes de Markov* de la Figure 4 nous permet d'analyser les transitions entre deux tours de parole codés par les connaissances (CERPEM) pour l'ensemble des huit séances. L'une des conclusions est que la probabilité qu'un type de connaissance
résolution de problèmes en mathématiques les plus nombreuses (en bleu au centre).

Nous illustrons ce phénomène avec les connaissances sur la formulation de problèmes. Les tours de parole codés avec des connaissances sur la formulation de problèmes au temps $i$ sont associés à des tours de parole codés au temps $i+1$ avec les mêmes connaissances (40%, voir Figure 4), avec des connaissances sur les élèves en tant que résolveurs de problèmes mathématiques (21%) et avec des connaissances sur les pratiques d'enseignement pour la résolution de problèmes (23%). Ainsi lorsqu'un participant parle de la formulation de problèmes, il y a une forte probabilité que le participant suivant parle de l'effet du choix de la formulation de problèmes sur les pratiques pédagogiques ou sur les élèves. Dans l'extrait suivant (tableau 8), les participants traitent des difficultés liées aux contextes des problèmes et au vocabulaire utilisé. Les enseignants E1 et E6 parlent des changements dans la formulation d'un problème (remplacer « cassette vidéo » par « CD »), nécessaires pour rendre le vocabulaire accessible aux élèves, ce que nous avons codé comme étant une connaissance de la formulation du problème. Rappelons que dans le contexte de la Suisse romande, les manuels scolaires appelés moyens d'enseignement sont officiels et partagés par l'ensemble de la communauté éducative.

<table><thead><tr><th>Locuteur</th><th>Transcription</th><th>LSDA</th><th>CERPEM</th><th>Niveau</th></tr></thead><tbody><tr><td>E1</td><td>Tu mets CD, ou tu mets...</td><td>RJ</td><td>C. de la formulation du problème</td><td>2</td></tr><tr><td>E6</td><td>Non je mets pas CD mais, pour moi l'objectif c'est vraiment d'estimer une durée, et de lire un tableau, et puis du coup, ... mais c'est vrai que je le déshabille du coup.</td><td>PP</td><td>C. de l'enseignement de la RP<br>C. de la formulation du problème</td><td>4<br>4</td></tr><tr><td>F2</td><td>Mais faut-il, on...</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>F1</td><td>Mais c'est deux objectifs différents, c'est peut-être intéressant, et ce qui est peut-être difficile ici, alors je ne parle pas de l'ECR. Là on aurait mis un autre problème, là je pense qu'on fait vraiment une discrimination sociale quand on demande ce genre de problème... [...]</td><td>EE</td><td>C. de la formulation du problème</td><td>5</td></tr><tr><td>F1</td><td>Non mais là je pense qu'il y a un souci [sur le problème du compost et de la plantation d'arbres], je veux dire, on fait une première</td><td>EE</td><td>C. de l'enseignement de la RP</td><td>3</td></tr></tbody></table>
<table><caption>**Tableau 10.** - Exemple de transition de c. de la formulation du problème vers c. de l'enseignement de la résolution de problèmes (séance 3)</caption><tr><td></td><td>discrimination sur, pour une fois c'est plutôt les enfants de paysans qui sont avantagés, tant mieux, hein, non mais je veux dire là on sépare déjà ceux qui connaissent le contexte, et ceux qui le connaissent pas. Je crois que... Mais, est-ce que dans notre cas, est-ce qu'on veut travailler plutôt sur cette question de... ouais du contexte, de... peut-être résoudre sans connaître les mots, et puis après il y a les difficultés de la résolution mathématique, ou est-ce qu'on travaille plutôt sur la résolution mathématique... parce que les deux en même temps...</td><td></td><td>C. de la formulation du problème</td><td>4</td></tr><tr><td>E6</td><td>Ça va être dur, hein ?</td><td>PA</td><td>-</td><td></td></tr><tr><td>F2</td><td>Mais moi je... est-ce qu'il faut clarifier certains éléments de départ, enfin pour que, justement pour qu'ils puissent démarrer ensuite donc parler du vocabulaire essentiellement mais aussi au niveau du contexte, quoi, sans parler du problème en soi, qu'est-ce qu'on doit clarifier pour qu'ils puissent comprendre ?</td><td>GIE</td><td>C. de l'enseignement de la RP</td><td>3</td></tr></table>

De même, lorsque les participants étudient le curriculum ou planifient la leçon, ils utilisent les connaissances sur la formulation des problèmes et parlent ensuite des effets de leurs choix sur l'enseignement de la résolution de problèmes ou sur les apprentissages des élèves.

Cette partie nous a permis d'apporter des éléments de réponse aux sous-questions de recherche : quelles connaissances émergent lors de chaque séance LS et quelles sont les transitions entre les connaissances mobilisées lors des séances LS. Cette partie a pu montrer la dynamique des transitions entre les connaissances, avec un pôle attractif composé des deux connaissances pédagogiques de la résolution de problèmes les plus nombreuses.

## Types de dialogue

Les différents types de dialogue peuvent être associés à des séances ou des phases spécifiques du cycle LS, aux types de CERPEM et aux niveaux de connaissance associés. Les sections suivantes se situent aux niveaux meso et macro (voir Figure 2) et présentent les résultats des types de dialogue pour ces trois dimensions.
Types de dialogue par séance

Nous commençons cette partie par l'analyse du type de dialogue
présent par séance LS (Figure 5) et avec leur évolution lors de
chaque séance (Figure 6).

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5. - Type de dialogue par séance et pour toutes les séances</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 6. - Répartition chronologique du type de dialogue par séance</figcaption></figure>

Ces figures illustrent la répartition par type de dialogue lors de
chaque séance. Nous observons la prédominance des types de
dialogue exploratoire (en vert, 53%), cumulatif (en bleu, 23%) et
disputationnel (en orange, 10%), mais surtout l'évolution des types
de dialogue au cours de chaque séance.

Lors de la séance 1, les enseignants ont manifesté leurs motivations
à participer à la LS et le collectif a discuté des difficultés liées à
l'enseignement et à l'apprentissage de la résolution de problèmes.
Cette séance est caractérisée par un type de dialogue
majoritairement cumulatif (58%), exploratoire (28%) et gestion de
la compréhension (11%). Lors de la séance 5, le collectif a discuté
de la leçon de recherche qui vient de se dérouler. Cette séance
présente la même répartition de type de dialogue que la séance 1 :
majoritairement du dialogue cumulatif (48%), exploratoire (37%)
et gestion de la compréhension (15%). Dans ces deux séances, les
participants ont exprimé leurs idées et questions, en faisant peu de
liens ou en se référant peu aux interventions précédentes. Ainsi lors
de la séance 5, la forte présence de type de dialogue cumulatif
s'explique par le fait que les enseignants ont manifesté ce qu'ils
ont observé dans les différents groupes d'élèves sans tenir compte
des observations émises par les autres participants.
Développement des connaissances pour enseigner la résolution
de problèmes en mathématiques 29

Les séances 2 et 3 sont consacrées à l'étude du sujet, des moyens d'enseignement et du programme. Ces séances sont marquées par un type de dialogue exploratoire important (37% et 62%), de gestion de la compréhension (21% et 18%) et disputationnel (15% et 9%).

Les séances 4 et 6 correspondent aux séances de planification des deux leçons de recherche. Ces séances présentent une répartition similaire concernant le type de dialogue exploratoire qui est majoritaire (50% et 76%) et le type de dialogue cumulatif (19% et 24%). De plus, la Figure 6 illustre que le type de dialogue cumulatif est présent en début de séance laissant la place progressivement à un type de dialogue exploratoire.

Les séances 5 et 7 correspondent aux séances post-leçons. La Figure 5 illustre une évolution dans les types de dialogue entre ces deux séances : le type de dialogue cumulatif a diminué (48% à 21%) au profit du dialogue exploratoire qui a augmenté (37% à 64%) et disputationnel (0 à 14%). Pendant la séance 5, les dialogues sont majoritairement cumulatifs (48%) : ceux-ci ne se construisent pas sur les observations des autres participants. Pendant la séance 7, les participants émettent des observations sur la leçon en se positionnant, en débattant et en argumentant par rapport aux observations précédentes. Presque toutes les observations étaient liées à celles des participants, comparant ou contrastant les observations de manière exploratoire (65%), ou parfois en désaccord de manière disputationnelle (14%). La Figure 6 permet d'illustrer l'évolution au cours de la séance des types de dialogue. Ainsi, le type de dialogue cumulatif est davantage présent en début de séance 5 et 7 laissant la place à un type de dialogue exploratoire. Cela illustre la dynamique dans les discours au cours de ces séances.

La dernière séance du cycle LS (séance 8) est marquée par un type de dialogue exploratoire (70%) et disputationnel (24%). Nous comparons les séances 1 et 8 qui sont similaires dans le sens où les discussions étaient d'ordre général : sur l'enseignement de la résolution de problèmes pour la première et sur les deux leçons, l'évaluation du cycle LS pour la dernière. Nous notons une évolution significative des types de dialogue exploratoire et disputationnel entre celles-ci. En effet, au cours de la séance 8, les participants ont discuté des deux leçons, des plans de leçon, de l'évaluation du cycle LS et de considérations pour le prochain cycle LS. Les propos des participants utilisent moins de types de dialogue cumulatifs et davantage exploratoires (70%) et disputationnels (24%). Au cours de cette séance, les participants se
sont activement engagés à développer les idées des uns et des autres et ont parfois exprimé leur désaccord.

Nous notons ainsi que le type de dialogue exploratoire augmente au cours du cycle de la séance 1 à 8. Mais aussi, ce type de dialogue augmente pour les séances correspondant aux mêmes phases du cycle LS. Les séances 2 et 3 qui correspondent à la même phase d'étude du curriculum montrent une augmentation du type de dialogue exploratoire passant de 37% à 62%. Les deux séances de planification de leçon (séances 4 et 6) se caractérisent par une évolution du discours exploratoire (de 50% à 76%). Le contraste est encore plus prononcé si l'on compare les discussions qui suivent la première et la deuxième leçon (séances 5 et 7 passant de 37% à 65%).

Concernant le type de dialogue disputationnel, celui-ci est présent tout au long du cycle LS (séances 2, 3, 4, 7 et 8), ce qui montre une certaine dynamique dans les discours dans lesquels une place existe pour les débats entre les participants avec des prises de position différente.

Les types de dialogue de gestion de la compréhension et de structuration, moins présents que les trois premiers, sont très présents tout au long de la séance 2 (total de 41%), moins présent lors de la séance 3 (total de 19%) et diminuent pour les séances 4 et 5 jusqu'à devenir absents de la séance 6 à 8. Cela peut s'expliquer par le fait qu'au début du cycle, les interventions doivent permettre de clarifier les rôles de chacun dans le dispositif, de clarifier ce qui est attendu et de donner des actions de guidage liées au processus LS.

Ces résultats confirment que les types de dialogue subissent des changements évolutifs au cours des séances, mais aussi en fonction de la nature et de l'objectif spécifiques de chaque séance.

## Type de dialogue et CERPEM

Nous avons exploré s'il existait une relation entre les types de dialogue et les types de connaissances CERPEM. Notre hypothèse initiale postulait qu'un type de connaissance n'aurait pas de corrélation significative avec les types de dialogue et notre analyse a validé cette affirmation.
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 7. - CERPEM par type de dialogue</figcaption></figure>

La Figure 7 montre que les types de dialogue ne se caractérisent pas spécifiquement avec des types de connaissances, confirmant ainsi notre hypothèse.

## Type de dialogue et niveaux de connaissances

Cette partie explore les relations entre les niveaux de connaissances et les types de dialogue. Nous nous attendions à ce que certains niveaux se manifestent davantage dans des types de dialogue spécifiques. En particulier, l'hypothèse selon laquelle le type de dialogue exploratoire serait le plus « efficace sur le plan éducatif» (Littleton & Mercer, 2013, p.16) nous amène à penser que ce type de dialogue favoriserait les niveaux de connaissance 4 ou 5.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 8. - Niveau de connaissance par type de dialogue</figcaption></figure>

L'analyse des types de dialogue par niveau de connaissance fait ressortir des différences entre les types de dialogue exploratoire et cumulatif. En effet, le type de dialogue cumulatif présente un niveau 2 de connaissance non expliquée, de l'ordre de l'observation, du témoignage plus important que pour le dialogue exploratoire (58% contre 45%). Le type de dialogue cumulatif se caractérise par un niveau 4 qui relève des connaissances explicites
contextualisées pour lesquelles le locuteur connaît ou semble connaître la justification, moins important (19%) que pour le dialogue exploratoire (29%).

Il ressort également de ces analyses que les types de dialogue exploratoire et disputationnel se caractérisent avec une même répartition pour le niveau 2 (45% et 46%) et le niveau 4 (29% et 29%). Nous ne nous attendions pas à ce résultat. D'ailleurs, Littleton et Mercer (2013, p. 21-22) précisent que les dialogues disputationnels ne visent pas à parvenir à un consensus, comme dans les deux autres types de dialogue. Ces auteurs indiquent que les dialogues disputationnels sont marqués par beaucoup d'interactions, mais les raisonnements impliqués restent très individualisés et tacites. Nous nous attendions donc à ce que le dialogue disputationnel se rapproche du dialogue cumulatif concernant les niveaux de connaissances impliqués et par là, une possibilité de construction des connaissances plus limitée que pour le dialogue exploratoire. Nous interprétons nos résultats ainsi : dans les dialogues disputationnels observés dans ce dispositif LS, les participants ont été amenés à argumenter lorsqu'il y avait des désaccords, cela peut expliquer la présence importante du niveau 4 de connaissances contextualisées explicites. Ainsi, les débats et conflits entre les participants ont été constructifs au regard des niveaux de connaissances en jeu dans notre dispositif LS.

Nous avons ensuite affiné nos analyses par l'étude des transitions entre niveaux de connaissances et ceci par type de dialogue (Figure 9).

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 9. - Chaînes de Markov des niveaux de connaissance par type de dialogue</figcaption></figure>

*Dynamiques dans les transitions entre niveaux de connaissances, spécifiques aux types de dialogue*

Ces chaînes de Markov nous permettent de faire ressortir que les types de dialogue exploratoire et cumulatif se différencient sur les transitions du niveau 3 vers le niveau 4 passant de 22% pour le type
Développement des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques 33

de dialogue exploratoire à 11% pour celui cumulatif. Ce résultat
peut s'interpréter comme suit, lorsqu'un participant manifeste une
connaissance incomplète ou un questionnement, le participant
suivant témoignera d'une connaissance explicite contextualisé. De
même la transition du niveau 4 au niveau 2 (connaissance non
expliquée, de l'ordre de l'observation, du témoignage) est
beaucoup plus importante dans le type de dialogue cumulatif
(65%) qu'exploratoire (31%).

Ces résultats issus des analyses des transitions entre les niveaux de connaissances illustrent comment se construisent les connaissances dans les dialogues exploratoires en contraste avec les dialogues cumulatifs. Ces résultats confirment notre hypothèse de recherche concernant le dialogue exploratoire appuyée sur les travaux de (Littleton et Mercer, 2013, p. 16). Ces résultats permettent également d'analyser les dynamiques dans la construction des connaissances, par les transitions entre niveaux de connaissance.

De plus, il n'y a pas de niveau 5 de connaissance généralisée,
décontextualisée dans le type de dialogue cumulatif, contrairement
au type de dialogue exploratoire et disputationnel. Les transitions
des niveaux 2, 3 et 4 vers le niveau 5 de connaissance sont toutes
inférieures à 10% pour les trois types de dialogue. Il n'y a donc pas
de transition significative vers le niveau 5 de connaissance
décontextualisée, ce que nous aurions pu attendre dans le type de
dialogue exploratoire. En revanche, il y a des transitions entre le
niveau 5 vers le niveau 2 pour le type de dialogue exploratoire
(34%) et disputationnel (12%). De même, des transitions entre le
niveau 5 vers le niveau 3 pour le type de dialogue exploratoire
(14%) et disputationnel (38%), et vers le niveau 4 pour le type de
dialogue exploratoire (26%) et disputationnel (38%). Le nombre
d'occurrences étant faible nous pouvons souligner que dans les
types de dialogue exploratoire et disputationnel, les connaissances
décontextualisées mobilisées à un tour de parole sont
requestonnées ou alors sont recontextualisées à des situations de
classe au tour de parole suivant. Ces résultats illustrent les
dynamiques entre les connaissances décontextualisées et les
connaissances de l'ordre du questionnement ou de l'observation de
classe.

Le niveau 2 de connaissance est le plus présent pour le type de
dialogue cumulatif, en contraste avec les deux autres types de
dialogue. Dans un dialogue cumulatif, les participants expriment
leurs connaissances dans la conversation sans prise de position
critique ou d'évaluation, et ces connaissances sont principalement
de niveau 2. Ainsi dans ce type de dialogue, les participants témoignent de ce qu'ils ont pu observer lors des leçons de recherche ou alors se réfèrent à leurs pratiques en classe, sans se positionner par rapport à l'interaction précédente.

Concernant les transitions du niveau 2 au niveau 4, les types de dialogue cumulatif et exploratoire sont similaires avec 18% et 20%. À la suite d'une observation de classe, le tour de parole porte sur une connaissance contextualisée. Ce qui peut s'expliquer par la recherche de consensus dans ces deux types de dialogue (Littleton et Mercer, 2013).

*Dynamiques dans les transitions entre niveaux de connaissances, communes aux trois types de dialogue*

Pour les trois types de dialogue, les transitions des niveaux 2 vers 3 (12 à 13%) et 3 vers 2 (34 à 37%) sont similaires. Cela signifie que les types de dialogue ne se différencient pas concernant la transition d'une connaissance en lien avec une observation de classe qui est suivie ou précédée d'un questionnement ou d'une connaissance incomplète. De même, pour les trois types de dialogue, les transitions des niveaux 4 vers 3 (entre 11% et 15%) sont proches. Ces résultats peuvent s'expliquer par la nature même du code de niveau 3 de connaissance qui relève soit d'un questionnement, ce qui peut être favorable à la construction de connaissance, soit de connaissance incomplète, ce qui peut être moins favorable à la construction de connaissance dans le cas où elle n'est pas suivie d'une connaissance de niveaux 4 ou 5.

## CONCLUSION ET PERSPECTIVES

Dans cette partie, nous apportons des éléments de réponse aux deux séries de questions de recherche concernant les connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques et les types de dialogue mobilisés dans le processus LS. Puis, nous discuterons les limites de la recherche.

L'analyse des graphes des chaînes de Markov pour les CERPEM nous a permis de rendre compte de la construction des connaissances en passant d'un point de vue statique à un point de vue dynamique et ainsi d'apporter des éléments de réponse à la première série de questions de recherche. Non seulement les connaissances spécifiques à l'enseignement et à l'apprentissage de la résolution de problèmes sont les plus représentées lors de nos séances LS, mais elles ont également un pouvoir d'attraction du dialogue vers elles. En effet, lorsque, lors d'un tour de parole, un
participant utilise des connaissances mathématiques pour l'enseignement (les CME en gris, Figure 4) ou des connaissances du contenu de la résolution de problèmes (en jaune, Figure 4), le participant suivant utilise alors le plus souvent une connaissance des élèves en tant que résolveurs de problèmes mathématiques ou une connaissance des pratiques d'enseignement pour la résolution de problèmes, qui sont deux sous-catégories des connaissances pédagogiques de la résolution de problèmes (en bleu, Figure 4).

Concernant la deuxième série de questions de recherche, les analyses menées sur les types de dialogue ont mis à jour que les séances sont marquées par des types de dialogue différents selon les phases du processus LS. En particulier, les séances de planification de leçon emploient un type de dialogue majoritairement exploratoire. De plus, la comparaison de la première et de la deuxième séance post-leçon montre une diminution du type de dialogue cumulatif au profit de dialogue exploratoire et disputationnel. Ce résultat peut traduire un enrichissement des types de dialogue au fil du processus LS.

Concernant les liens entre types de dialogue et CERPEM, comme nous pouvions nous y attendre, les types de dialogue ne sont pas marqués par des CERPEM particulières.

L'analyse des niveaux de connaissance par type de dialogue a montré une distinction entre le type de dialogue cumulatif avec un niveau 2 de connaissance de l'ordre de l'observation plus important que pour le type de dialogue exploratoire et un niveau 4 des connaissances explicites contextualisées moins important. Par ailleurs, les types de dialogue exploratoire et disputationnel se caractérisent avec des niveaux 2 et 4 de connaissance similaire, résultat inattendu du point de vue de la littérature.

La vision dynamique de l'analyse en chaîne de Markov entre les niveaux de connaissance a permis de montrer des dynamiques spécifiques à chaque type de dialogue et des dynamiques communes aux types de dialogue exploratoire et disputationnel. Dans ces deux types de dialogue, une connaissance incomplète ou incertaine exprimée par un participant tend à conduire à une connaissance explicite ou à une observation.

Nous sommes conscients que cette étude de cas est liée à un groupe particulier et que les caractéristiques individuelles influencent les résultats, en particulier le profil du facilitateur expérimenté en LS et chercheur en didactique des mathématiques. Toutefois, les analyses concernant les CERPEM, niveaux de connaissances et types de dialogue, telles qu'elles sont présentées, montrent un
potentiel important dans l'identification de dynamique et dans la construction de connaissance, mais aussi certaines limites.

Une première limite est liée à la nature chronophage du processus de codage et d'analyse. Cela a eu pour conséquence de restreindre le nombre de séances analysées dans notre recherche. Une perspective de cette recherche est de coder et d'analyser le deuxième cycle concernant l'enseignement de la résolution de problèmes avec le même groupe d'enseignants lors de six séances de LS. Cela permettrait d'identifier des phénomènes particuliers à ce premier cycle de LS et communs aux deux cycles, d'analyser la construction des connaissances sur un temps plus long. Une autre perspective serait d'appliquer la méthodologie développée dans cette recherche à d'autres types de dispositifs collaboratifs. Cette perspective permettrait d'identifier les particularités liées aux processus LS mais aussi de comparer la construction des connaissances professionnelles dans différents dispositifs collaboratifs. En regard des travaux de Ni Shuilleabhain et al. (2024) une autre perspective serait de questionner si notre dispositif particulier de LS a permis le développement d'une communauté professionnelle d'enseignants.

Une autre limite de la recherche porte sur les définitions des niveaux de connaissances et des types de dialogue qui ne sont pas des variables totalement indépendantes. Ceci peut influencer par exemple le fait que le type de dialogue exploratoire contient beaucoup de niveaux de connaissance 4 et 5 et le dialogue cumulatif de niveau 2. En revanche, les types de connaissances et niveaux de connaissances sont des variables indépendantes.

Une autre limite est liée à nos outils d'analyse. La vision dynamique apportée par les *chaînes de Markov* est limitée à la transition entre deux tours de parole, ignorant ainsi une évolution potentielle de la dynamique qui se passerait durant une séance.

Une autre limite est liée à notre choix d'examiner le développement collectif des connaissances dans le dialogue. Nos données codées pourraient aussi être utilisées pour examiner l'évolution des connaissances de chaque participant individuellement et analyser la manière dont leur participation au dialogue par les interactions (LSDA) est liée à la construction individuelle des connaissances. Cette perspective prometteuse viserait à mieux comprendre comment le développement individuel des connaissances professionnelles des enseignants se produit dans un processus collectif de LS.

La méthode mixte que nous avons utilisée a permis une vision dynamique et dialogique de la construction collective des
*Développement des connaissances pour enseigner la résolution de problèmes en mathématiques* 37

CERPEM au cours d'un processus LS. Les résultats sur la construction des CERPEM dans un processus dialogique au cours d'une LS contribuent à illustrer la manière dont les LS et la résolution de problèmes sont imbriquées et représentent « the two wheels of a cart » pour reprendre l'expression de Fujii (2018, p. 2).

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