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# Modèles stochastiques de suites gaussiennes à deux indices

Samer Attasi

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Samer Attasi. Modèles stochastiques de suites gaussiennes à deux indices. [Rapport de recherche] IRIA-RR-056, IRIA. 1974, pp.34. hal-04716002

HAL Id: hal-04716002

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laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

# Modèles stochastiques de suites gaussiennes à deux indices

S.Attasi

34P

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n° 56

Février 1974
# MODELES STOCHASTIQUES DE SUITES GAUSSIENNES A DEUX INDICES

S. Attasi

(Présenté par P. Faurre)

## Résumé :

On considère des suites gaussiennes à deux indices {$y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2$} admettant des modèles récurrents excités par des bruits blancs, ces modèles récurrents ayant été présentés dans un précédent rapport (voir références). On montre que ces suites permettent d'approximer toute suite gaussienne obtenue par des transformations linéaires sur des bruits blancs. L'étude de la fonction d'autocorrélation et du spectre de ces suites met en lumière des propriétés de factorisation spectrale et conduit à des algorithmes d'identification stochastique.

## Abstract :

Gaussian double indexed sequences {$y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2$} that can be represented as output of recursive models driven by white noise are considered (those recursive models were introduced by the author in a Laboria report given in reference). It is shown that these sequences approximate any gaussian sequence obtained by a linear transformation on white noise. The study of the autocorrelation and spectrum of these sequences throws light on spectral factorization properties leading besides to stochastic realization algorithms.
## SOMMAIRE

<table><thead><tr><th></th><th>Page</th></tr></thead><tbody><tr><td>I - Introduction....................................................</td><td>1</td></tr><tr><td>II - Suites gaussiennes homogènes à deux indices....................</td><td>2</td></tr><tr><td>III - Propriétés statistiques des suites de la classe Σ....................</td><td>8</td></tr><tr><td>IV - Identification stochastique....................................</td><td>21</td></tr><tr><td>V - Conclusion.......................................................</td><td>22</td></tr><tr><td>Annexe 1............................................................</td><td>23</td></tr><tr><td>Annexe 2............................................................</td><td>24</td></tr><tr><td>Références........................................................</td><td>30</td></tr></tbody></table>
# I - Introduction.

La modélisation stochastique (au moyen de modèles récurrents excités par des bruits blancs) des suites aléatoires gaussiennes à deux indices, revêt un double intérêt :

- théorique car elle peut ouvrir la voie à l'extension à plusieurs indices des propriétés des suites gaussiennes à un indice,

- pratique car elle peut ouvrir la voie à un traitement numérique (filtrage, détection, codage...) récursif des images.

Dans la recherche d'une telle modélisation deux optiques sont possibles a priori :

- ou bien s'attacher à déterminer les liens qui existent entre les suites à deux indices considérées et leurs caractéristiques stochastiques (caractère de Markov, martingale, innovation...)

- ou bien s'intéresser essentiellement à la représentation de ces suites par modèles linéaires excités par des bruits blancs.

Il se trouve que dans le cas des suites à un indice, ces deux voies sont parallèles et complémentaires en ce sens qu'on a pu établir plusieurs types d'équivalences entre les deux types de résultats [ANDERSON, FAURRE, KAILATH, MEHRA, YOULA...]. On verra qu'il n'en est pas de même pour les suites à deux indices. Différents auteurs [LEVY, WONG, WOODS] ont adopté la première approche. LEVY et WONG se sont intéressés à définir et étudier un caractère de Markov pour les fonctions aléatoires définies sur un espace Euclidien de dimension $n(n \ge 1)$. Ils ont montré que lorsque n était pair, l'extension du mouvement brownien ne possédait pas de caractère de Markov. WOODS est arrivé à des résultats similaires dans le cas de suites gaussiennes à deux indices.

Nous avons préféré la seconde approche qui a l'avantage de permettre de définir une classe $\Sigma$ de suites à deux indices, telle que

- toute suite obtenue par des transformations linéaires sur des bruits blancs est la limite uniforme en moyenne quadratique, d'une suite d'éléments de $\Sigma$ (chapitre II).

- on sait caractériser les propriétés statistiques (spectre et fonction d'autocorrélation) de ces suites (chapitre III) ; cette caractérisation fournissant
par ailleurs des algorithmes d'identification stochastique (chapitre IV).

Notons enfin que ce travail est la suite dans le domaine stochastique des travaux précédents [ATTASI] dont certains résultats, qui sont utilisés dans ce rapport, sont rappelés en annexe 2.

## II. Suites gaussiennes homogènes à deux indices.

### II-1 Difficultés relatives à la modélisation de ces suites.

On considère des suites $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ de variables aléatoires gaussiennes centrées, à valeurs dans $\mathbb{R}^p$ ($p \ge 1$) vérifiant la condition d'homo-généité

$$E[y_{i,j} y_{k,l}^T] = E[y_{i-k,j-l} y_{00}] = \Lambda(i-k,j-l),$$

et l'on se propose de définir un sous ensemble aussi large que possible de suites $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ admettant des modèles linéaires récurrents à deux indices, excités par des suites de variables gaussiennes indépendantes entre elles (bruit blanc à 2 indices).

Pour ce faire, il est naturel de chercher à étendre à deux indices, les propriétés des suites gaussiennes stationnaires à un indice. Or, une propriété fondamentale de ces dernières est qu'à toute suite $\{y_k ; k \in \mathbb{Z}\}$ à valeurs dans $\mathbb{R}^p$, on peut associer une suite "d'innovations" $\{v_k ; k \in \mathbb{Z}\}$ à valeurs dans $\mathbb{R}^p$, définie par

$$(2-1) \qquad v_k = y_k - E[y_k/y_{k-1}, y_{k-2}, \dots]$$

et vérifiant les propriétés

i) la suite $\{v_k ; k \in \mathbb{Z}\}$ est un bruit blanc stationnaire

ii) il existe deux suites de matrices $(p \times p)$, $\{\alpha_i ; i \in \mathbb{N}\}$ et $\{\beta_i ; i \in \mathbb{N}\}$, de carré sommable, telles que

$$(2-2) \qquad v_k = \sum_{i \in \mathbb{N}} \alpha_i y_{k-i}$$

$$y_k = \sum_{i \in \mathbb{N}} \beta_i v_{k-i} \quad **$$

Ces propriétés impliquent que toute suite gaussienne $\{y_k ; k \in \mathbb{Z}\}$ stationnaire est la sortie d'un filtre causal (et d'inverse causal) dont l'entrée est l'innovation.

<footnote>* Pour toute matrice $M, M^T$ désigne la matrice transposée de $M$.</footnote>

<footnote>** Cette propriété est en fait valable pour les suites $\{y_k ; k \in \mathbb{Z}\}$ purement non déterministiques au sens de la décomposition de Wald. Voir à ce sujet [DOOB, FAURRE]</footnote>
Enfin, on sait que toute suite de matrices de carré sommable
$\{\beta_i ; i \in \mathbb{N}\}$ peut être approximée (au sens $1^2$) par la réponse impulsionnelle
d'un système linéaire récurrent stationnaire (modèle de Kalman). Il s'ensuit
que toute suite stationnaire de variables gaussiennes $\{y_k ; k \in \mathbb{Z}\}$ peut être
approximée (en moyenne quadratique) par des suites $\{\tilde{y}_k ; k \in \mathbb{Z}\}$ admettant des
modèles récurrents excités par des bruits blancs.

L'absence de relation d'ordre total dans $\mathbb{N}^2$, exclut, dans le cas
général, que la suite $\{v_{k,l} ; (k,l) \in \mathbb{Z}^2\}$ définie par

$$
v_{kl} = y_{k,l} - E[y_{k,l}/y_{i,j} ; (i,j) \in D_{k,l}]
$$

$D_{k,l}$ domaine de $Z^2$ (correspondant au "passé" de $(k,l)$)

vérifie les propriétés correspondants à i) et ii). En outre, dans le cas où

$$
D_{k,l} = \{(i,j) : i \le k, j \le l, (i,j) \ne (k,l)\}
$$

on peut montrer que ces propriétés équivaudraient à l'existence d'une factorisa-
tion forte * du spectre de la suite considérée.

Ceci explique que certains auteurs [HABIBI, WOODS] aient pu trouver des exemples
de suites à deux indices dont le spectre n'admet pas de factorisation forte.

II-2 Une classe $\mathcal{R}$ de suites gaussiennes homogènes à deux indices.

Nous reprendrons au paragraphe III-4 l'exemple donné dans [WOODS] d'une
suite gaussienne **scalaire** à deux indices n'admettant pas de factorisation forte
(ou de manière équivalente n'admettant pas de suite "d'innovation") et nous dé-
montrerons qu'elle admet néanmoins une représentation de la forme

$$
(2-3) \qquad y_{i,j} = \sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} \beta_{i,j} \omega_{i-k,j-l}
$$

où {$\omega_{i,j}$ ; $(i,j) \in \mathbb{Z}^2$} est un bruit blanc homogène **vectoriel** à valeurs dans $\mathbb{R}^2$.
La suite **scalaire** {$y_{i,j}$ ; $(i,j) \in \mathbb{Z}^2$} n'admet ni factorisation forte ni suite
"d'innovation", et pourtant elle s'exprime comme résultat d'une transformation
linéaire effectuée sur le bruit blanc **vectoriel** {$\omega_{i,j}$ ; $(i,j) \in \mathbb{Z}^2$}.

<footnote>* On rappelle en annexe 1 les extensions des notions de spectre et de factorisation forte aux suites à 2 indices.</footnote>
Généralisant cet exemple, nous considérons une classe $\mathcal{F}$ de suites $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ de variables gaussiennes à valeurs dans $\mathbb{R}^p$, et pouvant s'exprimer par des transformations linéaires à partir de bruits blancs homogènes $\{\omega_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ à valeurs dans $\mathbb{R}^m$ ($m \in \mathbb{N}^+$).

$$ (2-4) \qquad y_{i,j} = \sum_{(k,l) \in \mathbb{Z}^2} \beta_{k,l} w_{i-k,j-l} $$

où la suite de matrices $(p \times m)$, $\{\beta_{k,l} ; (k,l) \in \mathbb{Z}^2\}$ doit être de carré sommable afin que l'équation (2-4) ait un sens.

Il est clair que $\mathcal{F}$ est la classe la plus générale pour laquelle on peut espérer trouver des modèles linéaires récurrents excités par des bruits blancs.

## II-3 Représentation récursive d'une sous classe $\Sigma$ de $\mathcal{F}$

Considérons la classe $\Sigma$ des suites gaussiennes à deux indices $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ à valeurs dans $\mathbb{R}^p$, admettant le modèle récurrent

$$ (2-5) \qquad \left\{ \begin{array}{l} y_{i,j} = H X_{i,j} \\ X_{i+1,j+1} = F_1 X_{i,j+1} + F_2 X_{i+1,j} - F_1 F_2 X_{i,j} + v_{i,j} \end{array} \right. $$

où $\{v_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ est un bruit blanc à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ ($n > 1$),

• $H, F_1, F_2$ sont des matrices de dimensions appropriées vérifiant la condition de commutativité

$$ (2-6) \qquad F_1 F_2 = F_2 F_1 $$

et la condition de stabilité [ATTASI]

$$ (2-7) \qquad \sup_{i \in (1,2)} |\lambda(F_i)| < 1 $$

Sous les conditions de commutativité et de stabilité (2-6) et (2-7), les suites $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ données par (2-5) existent et peuvent s'exprimer sous la forme équivalente

$$ (2-8) \qquad y_{i,j} = \sum_{\substack{k>0 \\ l>0}} H F_1^{k-1} F_2^{l-1} v_{i-k,j-l} $$

<footnote>* $\sup |\lambda(F_i)|$ désigne le plus grand module des valeurs propres de la matrice $F_i$.</footnote>
On voit ainsi que $\Sigma \subset \mathcal{R}$. Inversement, la classe $\Sigma$ est représentée par les éléments de $\mathcal{R}$ pour lesquels il existe une décomposition de la forme (2-8).

L'absence, en général, de suite d'innovation associée à une suite donnée de la classe $\Sigma$, rend très difficile le problème de la caractérisation des propriétés stochastiques (caractère de Markov, martingale etc...) des suites de la classe $\Sigma$. Néanmoins, conformément à la démarche que nous avons annoncée dans l'introduction de ce rapport, nous nous attach erons au chapitre suivant à donner une caractérisa- tion de la classe $\Sigma$ par ses propriétés statistiques (spectre et fonction d'auto- corrélation).

## II-4 Densité de $\Sigma$ dans $\mathcal{R}$ (en moyenne quadratique).

L'intérêt des suites de la classe $\Sigma$ apparaîtra grâce au théorème fondamental suivant :

### Théorème 2-1

Toute suite $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ de la classe $\mathcal{R}$ est la limite uniforme en moyenne quadratique de suites de la classe $\Sigma$ (convergence dans $1^{\infty}(\mathbb{Z};\mathbb{L}^2(\Omega;\mathbb{R}^p)))$

### Démonstration

Soit une suite $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ de la classe $\mathcal{R}$, qui peut donc s'écrire

$$ (2-9) \qquad y_{i,j} = \sum_{(k,l) \in \mathbb{Z}^2} \beta_{k,l} v_{i-k,j-l} $$

$$ \text{Soit :} \qquad Q = E[v_{i,j}^T v_{i,j}] $$

et M un réel positif tel que

$$ (2-10) \qquad 0 \le Q \le MI^* $$

Définissons les suites $\{y_{i,j}^{(N)} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ par

$$ (2-11) \qquad y_{i,j}^{(N)} = \sum_{\substack{-N<k<N \\ -N<1<N}} \beta_{k,l} v_{i-k,j-l} $$

<footnote>* A $\ge$ B $\Leftrightarrow$ la forme quadratique associée à la matrice A-B est semi positive définie.</footnote>
Montrons d'abord que les suites $\{y_{i,j}^{(N)} ; (i,j) \in Z^2\}$ sont des éléments de la classe $\Sigma$.

Il suffit pour cela d'effectuer dans l'équation (2-11) la translation d'indices

$$ (2-12) \qquad \begin{aligned} w_{i,j} &= v_{i+N,j+N} \\ \gamma_{k,l} &= \beta_{k-N,l-N} \end{aligned} $$

On obtient alors

$$ (2-13) \qquad \begin{aligned} y_{(i,j)}^{(N)} &= \sum_{\substack{o<k<2N \\ o<l<2N}} \gamma_{k,l} w_{i-k,j-l}^{(N)} \end{aligned} $$

La suite de matrices $\{\gamma_{k,l} ; o < k < 2N, o < l < 2N\}$ étant finie, on sait [Théorème 2-1 de l'annexe 2] qu'il existe un quadruplet de matrices vérifiant (2-6) et (2-7), tel que

$$ \begin{array}{lll} H F_1^{k-1} F_2^{l-1} G = & \gamma_{k,l} & \text{si } o < k < 2N \\ & & \text{et } o < l < 2N \\ H F_1^{k-1} F_2^{l-1} G = & o & \text{si } k \ge 2N \text{ ou } l \ge 2N \end{array} $$

L'équation (2-13) devient :

$$ y_{i,j}^{(N)} = \sum_{\substack{k > o \\ l > o}} H F_1^{k-1} F_2^{l-1} u_{i-k,j-l} $$

où $\{u_{i,j} ; (i,j) \in Z^2\}$ est un bruit blanc de covariance $G \ Q \ G'$.

Les suites $\{y_{i,j}^{(N)} ; (i,j) \in Z^2\}$ définies par (2-11) appartiennent donc à la classe $\Sigma$.

Il reste à montrer que ces suites convergent uniformément en moyenne quadratique vers $\{y_{i,j} ; (i,j) \in Z^2\}$.
Formons donc

$$
\epsilon_{i,j}^{(N)} = y_{i,j} - y_{i,j}^{(N)} = \sum_{(k,l) \in C_N} \beta_{k,l} v_{i-k,j-l}
$$

où $C_N$ désigne le complémentaire dans $Z^2$ de l'ensemble $(-N,N) \times (-N,N)$.

On a

$$
E[\epsilon_{i,j}^{(N)} \epsilon_{i,j}^{T(N)}] = \sum_{(k,l) \in C_N} \beta_{k,l} Q \beta_{k,l}^{T}
$$

et compte tenu de (2-10)

$$
(2-14) \quad 0 < \mathbb{E}[\epsilon_{i,j}^{(N)} \epsilon_{i,j}^{T(N)}] < M \sum_{(k,l) \in C_N} \beta_{k,l} \beta_{k,l}^{T} .
$$

Comme la suite de matrices {$\beta_{k,l}$ ; $(k,l) \in Z^2$} est de carré sommable, le membre
de droite de l'inégalité (2-14) tend vers o lorsque N tend vers + $\infty$. D'autre part,
cette convergence est uniforme puisque le majorant de l'équation (2.14) ne dépend
pas de (i,j). Ainsi

$$
\sup_{(i,j) \in \mathbb{Z}^2} \{E(\epsilon_{i,j}^{(N)} \epsilon_{i,j}^{(N)T})\} \to 0 \quad \blacksquare
$$

Corollaire 2-1

La fonction d'autocorrélation $\Lambda(k,1)$ d'une suite $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ de l'ensemble $\mathcal{R}$, est la limite uniforme des fonctions d'autocorrélation $\Lambda^{(N)}(k,1)$ des suites $\{y_{i,j}^{(N)} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ de la classe $\Sigma$, définies au théorème précédent.

Démonstration

En gardant les notations du théorème (2-1) on a

$$
\begin{align*}
\Lambda^{(N)}(k,l) \triangleq \mathbb{E}[y_{i+k,j+1}^{(N)} y_{i,j}^{(N)T}] &= \mathbb{E}[(y_{i+k,j+1}^{(N)} - \epsilon_{i+k,j+1}^{(N)})(y_{i,j} - \epsilon_{i,j}^{(N)})^T] \\
&= \Lambda(k,l) + \mathbb{E}[\epsilon_{i+k,j+1}^{(N)} \epsilon_{i,j}^{(N)T}] - \mathbb{E}[\epsilon_{i+k,j+1}^{(N)} y_{i,j}^T] - \mathbb{E}[y_{i+k,j+1}^{(N)} \epsilon_{i,j}^{(N)T}].
\end{align*}
$$

L'inégalité de Schwartz dans l'espace de Hilbert des variables aléatoires à
valeurs dans $\mathbb{R}^p$, donne

$$
\begin{align*}
& \left\| \mathbb{E}[\epsilon_{i+k,j+1}^{(N)} \epsilon_{i,j}^{(N)T}] \right\|_{\mathbb{R}^{p \times p}} \ll \left\| \mathbb{E}[\epsilon_{i,j}^{(N)} \epsilon_{i,j}^{(N)T}] \right\|_{\mathbb{R}^{p \times p}} \\
& \left\| \mathbb{E}[\epsilon_{i+k,j+1}^{(N)} y_{i,j}^{T}] \right\|_{\mathbb{R}^{p \times p}} \ll \left\| \mathbb{E}[\epsilon_{i,j}^{(N)} \epsilon_{i,j}^{(N)T}] \mathbb{E}[y_{i,j}^{T} y_{i,j}^{T}] \right\|_{\mathbb{R}^{p \times p}}^{1/2}
\end{align*}
$$
$$ \text{et } \left\| E[y_{i+k,j+1} \varepsilon_{i,j}^{(N)}] \right\|_{\mathbb{R}^{p \times p}} \le \left\| E[\varepsilon_{i,j}^{(N)} \varepsilon_{i,j}^{(N)T}] E[y_{i,j} y_{i,j}^T] \right\|_{\mathbb{R}^{p \times p}}^{1/2} $$

Comme $E[\varepsilon_{i,j}^{(N)} \varepsilon_{i,j}^{(N)T}]$ tend uniformément vers 0 lorsque N tend vers l'infini, et que $E[y_{i,j} y_{i,j}^T]$ est borné, on a

$$ \sup_{(i,j) \in \mathbb{Z}^2} \left\| \Lambda^{(N)}(i,j) - \Lambda(i,j) \right\|_{\mathbb{R}^{p \times p}} \to 0. \blacksquare $$

Ce résultat a une importance pratique considérable, car il donne une "bonne" notion de convergence tout à fait adaptée à la pratique où il s'agit d'approximer une fonction d'autocorrélation estimée par une fonction d'autocorrélation d'une suite de la classe Σ.

### III - Propriétés statistiques des suites de la classe Σ.

#### III-1 Représentation minimale d'une suite de la classe Σ.

Soit une suite $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ de la classe Σ, admettant les 2 représentations équivalentes

$$ (3-1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} y_{i,j} = \bar{H} \bar{X}_{i,j} \\ \bar{X}_{i+1,j+1} = \bar{F}_1 \bar{X}_{i,j+1} + \bar{F}_2 \bar{X}_{i+1,j} - \bar{F}_1 \bar{F}_2 \bar{X}_{i,j} + \bar{V}_{i,j} \end{array} \right. $$

$$ (3-2) \qquad \begin{array}{l} y_{i,j} = \sum_{\substack{k>0 \\ l>0}} \bar{H} \bar{F}_1^{k-1} \bar{F}_2^{l-1} \bar{V}_{i-k,j-l} \\ \qquad \bar{F}_1^{k-1} \bar{F}_2^{l-1} \bar{V}_{i-k,j-l} \end{array} $$

dans lesquelles

• $\{\bar{v}_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ est un bruit blanc à valeurs dans $\mathbb{R}^n$, de covariance $\bar{Q} = \bar{L} \bar{L}^T \ge 0$ (avec $\bar{L}$ matrice de dimensions $(n \times n')$, $n' \ll n$)

• les matrices $\bar{F}_1$ et $\bar{F}_2$ vérifient les propriétés

$$ (3-3) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \bar{F}_1 \bar{F}_2 = \bar{F}_2 \bar{F}_1 \\ \sup |\lambda(\bar{F}_i)| < 1 \quad i \in (1,2) \end{array} \right. $$
Remarquons d'abord que l'équation (3-2) peut s'écrire

$$ (3-4) \qquad y_{i,j} = \sum_{\substack{k>0 \\ l>0}} \bar{H}_{1}^{k-1} \bar{F}_{1}^{j} \bar{F}_{2}^{l-1} \bar{L}_{i-k,j-l} $$

où {$\bar{w}_{i,j}$ ; (i,j) ∈ Z²} est un bruit blanc à valeurs dans $R^n$ et de covariance unité.

Appliquant le théorème 3-3 de l'annexe 2, au quadruplet $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{L})_{\bar{n}}$ on définit un quadruplet $(H, F_1, F_2, L)_n$ avec $n \ll \bar{n}$, vérifiant

$$ i) \quad \bar{H} \bar{F}_1^i \bar{F}_2^j \bar{L} = H F_1^i F_2^j L \qquad \forall i \ge 0, j \ge 0. $$

ii) le triplet $(H, F_1, F_2)_n$ est observable **

iii) le triplet $(F_1, F_2, L)_n$ est commandable **

Dans ces conditions, l'équation (3-4) devient

$$ (3-5) \qquad y_{i,j} = \sum_{\substack{k>0 \\ l>0}} H F_1^{k-1} F_2^{l-1} v_{i-k,j-l} $$

où {$v_{i,j} = L \bar{w}_{i,j} ; (i,j) \in Z^2$} est un bruit blanc à valeurs dans $R^n$, de covariance $LL' = Q$.

Nous obtenons ainsi le théorème suivant :

### Théorème 3-1

Toute suite {$y_{i,j} ; (i,j) \in Z^2$} de la classe Σ, admet des représentations possédant les propriétés suivantes

i) le triplet $(H, F_1, F_2)$ est observable.

ii) le triplet $(F_1, F_2, L)$ est commandable.

Ce théorème nous permet de définir une réalisation stochastique d'une suite {$y_{i,j} ; (i,j) \in Z^2$} de la classe Σ.

<footnote>* $\bar{n}$ désigne la dimension des matrices $\bar{F}_1$ et $\bar{F}_2$</footnote>

<footnote>** Définitions en annexe 2.</footnote>
### Définition 3-1

Le quadruplet $(H, F_1, F_2, L)_n$ est une réalisation stochastique de la suite $\{y_{i,j} ; (i,j) \in Z^2\}$ si celle-ci admet le modèle

$$ (3-6) \qquad \begin{cases} y_{i,j} = H X_{i,j} \\ X_{i+1,j+1} = F_1 X_{i,j+1} + F_2 X_{i+1,j} - F_1 F_2 X_{i,j} + v_{i,j} \end{cases} $$

où

i) $\{v_{i,j} ; (i,j) \in Z^2\}$ est un bruit blanc à valeurs dans $\mathbb{R}^n$, de covariance
$$Q = LL^T.$$

ii) Les matrices $H, F_1, F_2, L$ ont les propriétés suivantes :

$$a) \quad F_1 F_2 = F_2 F_1$$

$$b) \quad \sup |\lambda(F_i)| < 1$$

c) le triplet $(H, F_1, F_2)_n$ est observable.

d) le triplet $(F_1, F_2, L)_n$ est commandable.

## III-2 Fonction d'autocorrélation d'une suite de la classe Σ.

### III-2-1 Problème de la réalisation stochastique.

Le but de ce paragraphe est de caractériser les fonctions d'autocorrélation des suites de la classe Σ.

### Théorème 3-2

La fonction d'autocorrélation $\{\Lambda(i,j) ; (i,j) \in Z^2\}$ de la suite $\{y_{i,j} ; (i,j) \in Z^2\}$ définie par (3-6) est donnée par :

$$i) \quad \forall (i,j) \in Z^2 \quad \Lambda(-i,-j) = \Lambda^T(i,j)$$

$$ii) \quad \forall (i,j) \in \mathbb{N}^2 ; \quad \Lambda(i,j) = H F_1^i F_2^j P H^T \\ \Lambda(-i,j) = H F_2^j P F_1^i H^T \quad *$$

où P est donné par

$$ (3-7) \qquad P = \begin{cases} \sum_i F_1^i F_2^j Q F_1^T F_2^T & \quad i \ge 0 \\ j \ge 0 & \end{cases} $$

<footnote>* Le symbole $F_1^T$ désigne la puissance ième de la matrice $F_1^T$.</footnote>
ou de manière équivalente [théorème 3-1 de l'annexe 2] comme solution de l'équation

$$ (3-8) \qquad P - F_1^T F_1 + F_2^T F_2 + F_1 F_2^T F_2^T = Q $$

## Démonstration

Ecrivons $y_{k,l}$ sous la forme équivalente à (3-6)

$$ (3-9) \qquad y_{k,l} = H \begin{array}{c} \Sigma > o \\ p > o \\ q > o \end{array} F_1^{p-1} F_2^{q-1} v_{k-p,l-q} $$

On a alors

$$ \Lambda(i,j) \triangleq E[y_{k+i,l+j}^T y_{k,l}^T] $$

Soit

$$ (3-10) \quad \Lambda(i,j) = H \begin{array}{c} \Sigma \\ n > o \\ p > o \\ q > o \\ m > o \end{array} F_1^{n-1} F_2^{m-1} E[v_{k+i-n,l+j-m} v_{k-p,l-q}^T] F_1^{T-p-1} F_2^{T-q-1} H^T $$

Remarquons que

$$ (3-11) \quad E[v_{k+i-n,l+j-m} v_{k-p,l-q}^T] = \begin{cases} Q & \text{si } p = n-i, q = m-j \\ 0 & \text{autrement} \end{cases} $$

et exprimons successivement $\Lambda(i,j)$ et $\Lambda(-i,j)$ pour $(i,j) \in \mathbb{N}^2$ à l'aide de (3-10) et (3-11). On obtient

$$ \Lambda(i,j) = H \begin{array}{c} \Sigma \\ n > i \\ m > j \end{array} F_1^{n-1} F_2^{m-1} Q F_1^{T(n-i-1)} F_2^{T(n-j-1)} H^T $$

$$ \Lambda(i,j) = H F_1^i F_2^j \begin{array}{c} \Sigma \\ n \ge o \\ m \ge o \end{array} F_1^n F_2^m Q F_1^{T(n-i-1)} F_2^{T(n-j-1)} H^T $$

$$ (3-12) \qquad \Lambda(i,j) = H F_1^i F_2^j P H^T $$

où P est donné par (3-7) ou de manière équivalente [théorème 3-1 de l'annexe 2] par (3-8)
De même

$$ \Lambda(-i,j) = H \begin{Bmatrix} \sum_{p>i} F_1^{p-i-1} & \dots & F_2^{p-i-1} & \dots & F_1^{m-1} & \dots & F_2^{m-1} & \dots & F_1^{m-j-1} & \dots & F_2^{m-j-1} \\ & \ddots & & & \ddots & & & & & \ddots & \\ \sum_{m>j} F_1^{m-j} & \dots & F_2^{m-j} & \dots & F_1^{i} & \dots & F_2^{i} & \dots & F_1^{i} & \dots & F_2^{i} \end{Bmatrix} H^T $$

$$ \Lambda(-i,j) = H F_2^j \begin{Bmatrix} \sum_{n \ge 0} F_1^n F_2^m Q F_1^{T^n} F_2^m \\ \sum_{m \ge 0} F_1^n F_2^m Q F_1^{T^n} F_2^m \end{Bmatrix} F_1^T H^T $$

Soit

$$ \Lambda(-i,j) = H F_2^j P F_1^T H^T $$

Enfin, la condition

$$ \Lambda(-i,-j) = \Lambda^T(i,j) \quad (i,j) \in \mathbb{Z}^2 $$

découle de la propriété d'homogénéité des suites de la classe Σ. ■

L'expression obtenue pour la fonction d'autocorrélation Λ(...) d'une suite de la classe Σ permet immédiatement de caractériser l'ensemble des réalisations stochastiques associées à une fonction d'autocorrélation Λ(...) donnée, par l'énoncé suivant :

### Théorème 3-3

L'ensemble, s'il n'est pas vide, des réalisations stochastiques $(H, F_1, F_2, \dots, F_n)$ associées à une fonction Λ(...) vérifiant $\Lambda(-i, -j) = \Lambda^T(i, j)$ donnée, est donné par les solutions du système :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \Lambda(i,j) = H F_1^i F_2^j P H^T \\ \Lambda(-i,j) = H F_2^j P F_1^T H^T \\ P > 0 \\ P - F_1 P F_1^T - F_2 P F_2^T + F_1 F_2 P F_1^T F_2^T = LL^T \end{array} \right. \quad \forall (i,j) \in \mathbb{N}^2 \quad \blacksquare $$

### III-2-2 Etude des réalisations stochastiques associées à une fonction Λ(...)
donnée

Dans ce paragraphe, nous donnerons une caractérisation en deux étapes, de l'ensemble des réalisations stochastiques, qui peut rappeler la caractérisation de l'ensemble des réalisations markoviennes des suites stationnaires à un indice $[\text{FAURRE}]$.
Cette caractérisation, valable presque partout dans la classe Σ (en dehors d'un ensemble de mesure nulle qui est précisé dans le théorème (3-6) de l'annexe 2), a l'avantage de conduire à des algorithmes d'identification stochastique issus d'algorithmes d'identification déterministe déjà exposés [ATTASI].

### Lemme 3-1

Une condition nécessaire pour que la fonction $\Lambda(\dots)$ soit la fonction d'autocorrélation d'une suite de la classe Σ est que

$$ i) \quad \Lambda(-i, -j) = \Lambda^T(i, j) \quad \forall (i, j) \in \mathbb{Z}^2 $$

ii) Il existe un quadruplet $(H, F_1, F_2, G)$ de matrices où $H, F_1, F_2$, vérifient les conditions du modèle (3-6) et tel que

$$ \Lambda(i,j) = H F_1^i F_2^j G \quad \forall (i,j) \in \mathbb{N}^2 \blacksquare $$

Ce lemme est une conséquence immédiate des théorèmes (3-2) et (3-3).

Dans la suite, nous n'avons donc à considérer que des fonctions $\Lambda(\dots)$ satisfaisant le lemme ci-dessus. De plus, nous considérerons des quadruplets $(H, F_1, F_2, G)$ de dimension minimale (voir théorème (3-3) et (3-4) de l'annexe 2). Cela revient à admettre que la minimalité du quadruplet $(H, F_1, F_2, L)$ entraîne la minimalité du quadruplet $(H, F_1, F_2, P H^T)$ où P se déduit de $Q = LL^T$ par l'équation (3-7). Cette propriété est vraie presque partout dans la classe Σ (en dehors d'un ensemble de mesure nulle). En effet, lorsque tous les modes d'un système linéaire sont excités $((F_1, F_2, L) \text{ commandable})$ et observés $((H, F_1, F_2) \text{ observable})$ ils apparaissent aussi dans la fonction d'autocorrélation du processus généré à la sortie du système linéaire, sauf éventuellement pour des valeurs numériques particulières de mesure nulle (voir théorème (3-6) de l'annexe 2).

### Théorème 3-4

Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction $\Lambda(\dots)$ vérifiant le lemme (3-1) soit la fonction d'aucorrélation d'une suite de la classe Σ est qu'il existe une matrice P symétrique vérifiant

$$ (3-14) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \Lambda(-i,j) = H F_2^j P F_1^i H^T \\ G = P H^T \end{array} \right. $$

$$ (3-15) \qquad \left\{ \begin{array}{l} P > 0 \\ P - F_1 P F_1^T - F_2 P F_2^T + F_1 F_2 P F_1^T F_2^T \ge 0 \end{array} \right. $$
# Démonstration

## Condition suffisante

Posons

$$P - F_1 P F_1^T - F_2 P F_2^T + F_1 F_2 P F_1^T F_2^T = Q = LL^T$$

Les équations (3-15) impliquent que le triplet $(F_1, F_2, L)$ soit commandable [Théorème (3-1) de l'annexe 2].

La suite admettant la réalisation stochastique $(H, F_1, F_2, L)_n$ a, d'après le théorème (3-2) une fonction d'autocorrélation égale à $\Lambda(\cdot, \cdot)$.

## Condition nécessaire

Soit $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{L})$ une réalisation stochastique d'une suite $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ de la classe $\Sigma$, ayant pour fonction d'autocorrélation la fonction $\{\Lambda(i,j) ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ considérée.

D'après le théorème (3-2), on peut écrire

$$ (3-16) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \Lambda(i,j) = \bar{H} \bar{F}_1^i \bar{F}_2^j \bar{P} \bar{H}^T = H F_1^i F_2^j G \\ \Lambda(-i,j) = \bar{H} \bar{F}_2^j \bar{P} \bar{F}_1^T \bar{H}^T \\ \Lambda(-i,-j) = \Lambda^T(i,j) \quad \forall (i,j) \in \mathbb{Z}^2 \end{array} \right. \quad \forall (i,j) \in \mathbb{N}^2 $$

où $\bar{P}$ est la solution unique [Théorème (3-1) de l'annexe 2] définie positive de l'équation

$$ (3-17) \qquad \bar{P} - \bar{F}_1 \bar{P} \bar{F}_1^T - \bar{F}_2 \bar{P} \bar{F}_2^T + \bar{F}_1 \bar{F}_2 \bar{P} \bar{F}_1^T = \bar{L} \bar{L}^T . $$

De plus les quadruplets $(H, F_1, F_2, G)$ et $(\bar{H}, \bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{P} \bar{H}^T)$ sont tous deux de dimension minimale * et il existe une matrice inversible $M$ [Théorème (3-5) de l'annexe 2] telle que

$$ (3-18) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \bar{H} = H M^{-1} \\ \bar{P} \bar{H}^T = M G \\ \bar{F}_1 = M F_1 M^{-1} \\ \bar{F}_2 = M F_2 M^{-1} \end{array} \right. $$

<footnote>* Voir remarque précédent le théorème (3-4).</footnote>
Si l'on substitue les équations (3-18) dans l'expression de $\Lambda(-i,j)$ donnée
dans (3-16), on obtient

$$
(3-19) \quad \Lambda(-i,j) = \bar{H} \bar{F}_2^j \bar{P} \bar{F}_1^T \bar{H}^T = H F_2^j M^{-1} P M^{-1} F_1^T H^T
$$

$$
(3-19\text{bis}) \qquad \Lambda(-i,j) = H F_2^j P F_1^T H^T
$$

où l'on a posé

$$
(3-20) \qquad P = M^{-1} \bar{P} M^{T-1} > 0
$$

En substituant les équations (3-18) et (3-20) dans (3-17) on a

$$
(3-21) \quad P - F_1 P F_1^T - F_2 P F_2^T + F_1 F_2 P F_1^T F_2^T = M^{-1} \bar{L} \bar{L}^T M^{-1} \ge 0
$$

Enfin, les équations (3-18) et (3-20) donnent aussi

$$
(3-22) \quad P H^T = M^{-1} \bar{P} M^{-1} \quad M^T \bar{H}^T = M^{-1} \bar{P} \bar{H}^T = G
$$

Ainsi la matrice P que nous avons définie vérifie toutes les conditions formu-
lées dans le théorème. ■

En conséquence immédiate du théorème (3-4) on obtient le théorème suivant et son corollaire caractérisant l'ensemble des réalisations stochastiques.

Théorème 3-5

L'ensemble des réalisations stochastiques (H, F₁, F₂, L)ₙ associées
à une fonction Λ(..) se caractérise de la manière suivante
i) les matrices H, F₁, F₂ sont uniques à un changement de base près, transfor-
mant le triplet (H, F₁, F₂)ₙ en (HM⁻¹, MF₁M⁻¹, MF₂M⁻¹)ₙ.

ii) Dans une base donnée (H, F₁, F₂ fixés), la matrice L doit satisfaire les équations

$$
(3-23) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
P > o \\
P H^T = G \\
\Lambda(-i,j) = H F_2^j P F_1^T H^T
\end{array}
\right.
$$

où P est solution unique de

$$
(3-24) \quad P - F_1 P F_1^T - F_2 P F_2^T + F_1 F_2 P F_1^T F_2^T = L L^T \ge o \blacksquare
$$
### Théorème 3-6

Sous la condition d'observabilité des couples $(H, F_1)$ et $(H, F_2)$, l'ensemble des réalisations stochastiques $(H, F_1, F_2, L)$ associées à une fonction $\Lambda(\dots)$ donnée, constitue une classe d'équivalence en ce sens que les matrices $H, F_1, F_2, L$ sont uniques à un changement de base près, transformant le quadruplet $(H, F_1, F_2, L)_n$ en $(HM^{-1}, MF_1M^{-1}, MF_2M^{-2}, ML)$.

### Démonstration

Si les couples $(H, F_1)$ et $(H, F_2)$ sont observables, les équations (3-19) et (3-19bis) ont pour unique solution $P$, la valeur donnée par (3-20). Le résultat découle alors des équations (3-18), (3-20) et (3-21). ■

### Corollaire 3-1

L'ensemble des réalisations stochastiques $(H, F_1, F_2, L)_n$ d'une fonction $\Lambda(\dots)$ donnée, constitue presque partout dans la classe $\Sigma$, une classe d'équivalence définie par le théorème (3-6).

### Démonstration

On sait [GANTMACHER] que lorsque deux matrices $F_1$ et $F_2$ commutent entre elles, chaque matrice s'exprime en général par une fonction polynomiale de l'autre matrice. Une condition suffisante pour qu'il en soit ainsi est que les matrices $F_1$ et $F_2$ aient toutes leurs valeurs propres simples ; cette propriété reste donc vraie en dehors d'un ensemble de mesure nulle dans la classe $\Sigma$.

Dans ces conditions, il est facile de voir que l'observabilité du triplet $(H, F_1, F_2)_n$ est équivalente à l'observabilité de chacun des couples $(H, F_1)$ et $(H, F_2)$. Le résultat découle alors du théorème (3-6).

## III-3 Factorisation spectrale et réalisations stochastiques.

Soit une suite $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ gaussienne à deux indices à laquelle on associe la fonction d'autocorrélation $\Lambda(\dots)$.

Le spectre * de la suite $\{y_{i,j} ; (i,j) \in \mathbb{Z}^2\}$ est la fonction de deux variables complexes $(z_1, z_2)$ définie par

$$ (3-25) \qquad S(z_1, z_2) = \sum_{(i,j) \in \mathbb{Z}^2} \Lambda(i,j) z_1^{-i} z_2^{-j} $$

<footnote>* Voir annexe 1.</footnote>
Le théorème suivant, relie la propriété de factorisation spectrale
à l'existence de réalisations stochastiques.

Théorème (3-7)

La fonction S(z₁, z₂) définie par l'équation (3-25) admet une facto-
risation faible de la forme

$$
S(z_1, z_2) = \mathfrak{H}(z_1, z_2) \mathfrak{H}^T \begin{pmatrix} \frac{1}{z_1} & \frac{1}{z_2} \end{pmatrix}
$$

où

$$
i) \mathfrak{H}(z_1, z_2) = H(I - z_1^{-1} F_1)^{-1} (I - z_2^{-1} F_2)^{-1} L
$$

ii) Le triplet (H, F₁, F₂) est observable

iii) Le triplet (F₁, F₂, L) est commandable

si et seulement si le quadruplet (H, F₁, F₂, L)ₙ est une réalisation stochastique
associée à la fonction Λ(...).

Démonstration

Condition suffisante

Soit (H, F₁, F₂, L)ₙ une réalisation stochastique associée à la
fonction Λ(...).

Alors, compte tenu du théorème (3-1) donnant l'expression de Λ(...), S(z₁, z₂)
peut s'écrire

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
S(z_1, z_2) = {}& H(I-z_1^{-1}F_1)^{-1} (I-z_2^{-1}F_2)^{-1} PH^T + H(I-z_1^{-1}F_1)^{-1} PF_2^T z_2 (I-z_2F_2^T)^{-1} H^T \\
& + H(I-z_2^{-1}F_2)^{-1} P F_1^T z_1 (I-z_1F_1^T)^{-1} H^T \\
& + HP F_1^T z_1 (I-z_1F_1^T)^{-1} F_2^T z_2 (I-z_2F_2^T)^{-1} H^T
\end{aligned}
\tag{3-26}
\end{equation}
$$

où P est la solution unique définie positive de

$$
(3-27) \quad P - F_1 F_1^T - F_2 F_2^T + F_1 F_2 F_1^T F_2^T = Q = LL^T \ge 0.
$$

L'équation (3-27) donne lieu à l'identité suivante

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
Q = P(I - F_1^T z_1)(I - F_2^T z_2) &+ (I - z_1^{-1} F_1) P F_1^T z_1 (I - z_2 F_2^T) \\
&+ (I - z_2^{-1} F_2) P F_2^T z_2 (I - z_1 F_1^T) \\
&+ (I - z_1^{-1} F_1) (I - z_2^{-1} F_2) P F_1^T F_2^T z_1 z_2
\end{aligned}
\tag{3-28}
\end{equation}
$$
En substituant "judicieusement" l'identité (3-28) dans l'expression (3-26) de $S(z_1, z_2)$, on obtient la factorisation annoncée de la fonction $S(z_1, z_2)$.

### Condition nécessaire

Soit la fonction $S(z_1, z_2)$ factorisée suivant les conditions du théorème.

Soit P la solution unique positive définie de l'équation (3-27). En réutilisant l'identité (3-28) dans l'expression factorisée de $S(z_1, z_2)$, on peut décomposer celle-ci en une somme de la forme (3-26).

En identifiant ensuite les parties analytiques de $S(z_1, z_2)$ successivement dans les domaines $\{|z_1| > 1, |z_2| > 1\}$, $\{|z_1| > 1, |z_2| < 1\}$, $\{|z_1| < 1, |z_2| > 1\}$, $\{|z_1| < 1, |z_2| < 1\}$, dans les expressions (3-25) et (3-26) de $S(z_1, z_2)$, on obtient

$$ \begin{cases} \Lambda(i,j) = H F_1^i F_2^j P H^T & (i,j) \in \mathbb{N}^2 \\ \Lambda(-i,j) = H F_2^j P F_1^T H^T & (i,j) \in \mathbb{N}^2 \end{cases} $$

$$ \Lambda(-i, -j) = \Lambda^T(i, j) \quad (i, j) \in \mathbb{Z}^2 $$

Autrement dit, le quadruplet $(H, F_1, F_2, L)_n$ est bien une réalisation stochastique associée à la fonction $\Lambda(\dots)$. ■

### Corollaire 3-2

Si les couples $(H, F_1)$ et $(H, F_2)$ sont observables, le spectre associé à une suite de la classe $\Sigma$ admet une factorisation unique, à un changement de base près.

### Démonstration

Ce résultat découle des théorèmes (3-6) et (3-7). ■

Enfin, compte tenu du corollaire (3-1), on peut énoncer le résultat suivant

### Corollaire 3-3

Le spectre associé à une suite de la classe $\Sigma$ admet, dans le cas général une factorisation unique.
### III-4 Exemple d'une suite de la classe Σ n'admettant pas de factorisation forte.

Une idée communément répandue dans la littérature [HABIBI, WOODS] sur le traitement des suites à deux indices est d'attacher l'existence d'un modèle récurrent excité par des bruits blancs à la factorisation forte * du spectre associé à ces suites. Ce raisonnement découle bien entendu d'une extrapolation hâtive des résultats connus [FAURRE, YOULA] sur les suites à un indice.

Les théorèmes du paragraphe précédent, et en particulier les corollaires (3-1) et (3-3) prouvent que les suites de la classe Σ, bien qu'admettant des modèles récurrents excités par des bruits blancs, n'admettent pas en général de factorisation forte (mais seulement une factorisation faible).

Pour illustrer ces faits, nous reprenons l'exemple donné dans [WOODS], pour lequel l'auteur concluait à l'impossibilité de lui associer un modèle récurrent excité par des bruits blancs.

Soit donc la fonction $\Lambda(\cdot, \cdot)$ dont les valeurs $\Lambda(i,j)$ non nulles sont indiquées entre parenthèses ci-dessous:

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Nous allons montrer que l'on peut associer à cette fonction une réalisation stochastique $(H, F_1, F_2, L)_n$ que nous déterminerons.

Il faut d'abord trouver un quadruplet $(H, F_1, F_2, G)_n$ vérifiant la condition nécessaire exprimée par le lemme (3-1), à savoir

$$ \Lambda(i,j) = H F_1^i F_2^j G \quad (i,j) \in \mathbb{N}^2 $$

<footnote>* Définition en annexe 1.</footnote>
Cela a été réalisé à l'aide de l'algorithme issu de [ATTASI] et mis en oeuvre
par [CLERGET].

Le quadruplet de dimension minimale obtenu est

$$
H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

$$
G^T = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix} \right)
$$

$$
F_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

$$
F_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

Les équations (3-23) conduisent à rechercher des matrices P définies positives
de la forme

$$
P = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\
0 & a & \alpha & \beta \\
\frac{1}{4} & \alpha & b & \gamma \\
\frac{1}{4} & \beta & \gamma & c
\end{pmatrix}
$$

et vérifiant (3-24)

Formant le membre de gauche de (3-24), on obtient

$$
Q = \begin{pmatrix}
1 - a - b + c & -\gamma & \frac{1}{4} - \beta & \frac{1}{4} \\
-\gamma & a - c & 0 & \beta \\
\frac{1}{4} - \beta & 0 & b - c & \gamma \\
\frac{1}{4} & \beta & \gamma & c
\end{pmatrix}
= L L^T \ge 0
$$
L'examen de la matrice Q ci-dessus permet de tirer les conclusions suivantes
i) Q ne peut pas être de rang 1. Il n'existe donc pas de factorisation carrée du spectre, conformément à la conclusion de WOODS.

ii) En prenant $\beta = \gamma = 0$, $a = c = \frac{1}{4}$, $b = \frac{1}{2}$

On obtient

$$ Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = L L^T \ge 0 $$

$$ \text{Avec } L = \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Le quadruplet $(H, F_1, F_2, L)$ est bien une réalisation stochastique associée à la suite $\Lambda(\cdot, \cdot)$ considérée.

## IV. Identification stochastique

Il s'agit d'indiquer les étapes et les algorithmes permettant à partir d'une réalisation donnée de la suite aléatoire $\{y_{i,j} ; (i,j) \in Z^2\}$ de déterminer les réalisations stochastiques $(H, F_1, F_2, L)$ associées à ces suites.
On suppose dans ce paragraphe que la suite $\{y_{i,j} ; (i,j) \in Z^2\}$ est scalaire.

### Les étapes sont les suivantes

i) En utilisant l'hypothèse nécessaire en pratique, d'ergodicité on estime par des méthodes statistiques la fonction $\Lambda(\cdot, \cdot)$ en des points $(i,j)$ du demi plan défini par

$$ \begin{cases} -N \ll i \ll N \\ 0 \ll j \ll N \end{cases} $$
ii) On détermine par l'algorithme établi dans [ATTASI], un quadruplet de dimension minimale vérifiant la condition nécessaire formulée par le lemme (3-1) :

$$ (4-1) \qquad \Lambda(i,j) = H F_1^i F_2^j G \quad \text{pour } 0 \le i \le N; 0 \le j \le N $$

Deux cas sont à prévoir dans la suite :

iii) -a Cas général : Les couples $(H, F_1)$ et $(H, F_2)$ sont observables (ce qui est le cas, en particulier, lorsque les matrices $F_1$ et $F_2$ ont leurs valeurs propres simples) et tous les modes apparaissent dans la fonction d'autocorrélation $\{\Lambda(i,j), i \ge 0, j \ge 0\} ((H, F_1, F_2, \text{PH}^T) \text{ minimal}). Il existe alors une réalisation stochastique unique déterminée par les équations (3-14) et (3-15).

iii) -b Cas particuliers

Si l'une des conditions exprimées dans le cas général n'est pas vérifiée, il peut exister de nombreuses réalisations stochastiques, qu'il est possible de déterminer par exemple sous forme paramétrique conformément au paragraphe III-4.

Notons cependant, que ces cas particuliers forment par rapport à la classe $\Sigma$, un "ensemble de mesure nulle" que l'on peut sans doute négliger dans la pratique.

## V - Conclusion

Exploitant les résultats exposés dans [ATTASI], nous nous sommes attachés à établir les résultats permettant d'étendre à deux indices, les méthodes de la modélisation stochastique (au moyen de modèles récurrents excités par des bruits blancs) des suites de variables gaussiennes.

L'intérêt de ces modèles stochastiques récurrents est de permettre d'envisager un traitement récursif des signaux bidimensionnels (Filtrage, codage et détection d'image). Aussi, nous nous intéresserons dans les prochaines publications au problème général de l'estimation pour des suites admettant de tels modèles stochastiques.
# Annexe 1 Spectre et factorisation spectrale

## Définition 1 Spectre

Le spectre d'une suite gaussienne $\{y_k ; k \in Z\}$ (resp. $\{y_{k,l} ; (k,l) \in Z^2\}$) est la fonction matricielle $S(z)$ (resp. $S(z_1,z_2)$) donnée par

$$S(z) = \sum_{k \in Z} \Lambda(k) z^{-k}$$

$$(\text{resp. } S(z_1,z_2) = \sum_{(k,l) \in Z^2} \Lambda(k,1) z_1^{-k} z_2^{-l})$$

où $\Lambda(\cdot)$ (resp. $\Lambda(\cdot,\cdot)$) est la fonction d'autocorrélation de la suite considérée.

## Définition 2 Factorisation spectrale

Un spectre $S(z)$ (resp. $S(z_1,z_2)$) est dit admettre une factorisation s'il existe une fonction matricielle $H(z)$ (resp. $H(z_1,z_2)$) analytique pour $|z| > 1$ (resp. pour $|z_1| > 1, |z_2| > 1$) telle que

$$S(z) = H(z) H^T \left(\frac{1}{z}\right)$$

$$(\text{resp. } S(z) = H(z_1,z_2) H^T \left(\frac{1}{z_1}, \frac{1}{z_2}\right))$$

De plus, cette factorisation est forte si $H(z)$ (resp. $H(z_1,z_2)$) est une fonction matricielle carrée dont l'inverse vérifie les mêmes propriétés d'analycité.

Les spectres des suites gaussiennes stationnaires à un indice possèdent les propriétés de factorisation spectrale (d'ailleurs fondamentalement liées à l'existence d'une suite d'innovation) que l'on peut résumer dans le théorème suivant :

### Théorème 1

Le spectre $S(z)$ d'une suite gaussienne $\{y_k ; k \in Z\}$ possède les propriétés suivantes équivalentes [FAURRE], [YOULA].

i) $S(z)$ admet une factorisation faible

ii) $S(z)$ admet une factorisation forte

iii) $S(e^{i\omega}) \to 0 \quad \forall \omega \in \mathbb{R}$.

Comme il apparaît clairement de nos résultats, ni l'existence, ni l'équivalence des factorisations ne s'étendent aux spectres des suites à deux indices.
# Annexe 2

Dans cette annexe, nous exposons certains résultats démontrés dans [ATTASI] et dont il est fait référence dans les chapitres I, II et III et nous démontrons un résultat annoncé au paragraphe III.2.2.

## 1 Définition

Un système linéaire $\sigma$ à deux indices, de la classe considérée, transforme une suite "d'entrée" {$u_{k,1}$ ; $(k,1) \in Z^2$} en une suite de "sortie" {$y_{k,1}$ ; $(k,1) \in Z^2$}, suivant le modèle :

$$ (1) \qquad y_{k,1} = H X_{k,1} $$

$$ (1') \quad X_{k+1,1+1} = F_1 X_{k,1+1} + F_2 X_{k+1,1} - F_1 F_2 X_{k,1} + G u_{k,1} $$

$u_{k,1}$ étant le vecteur d'entrée $\in \mathbb{R}^m$, $y_{k,1}$ le vecteur de sortie $\in \mathbb{R}^p$ et $X_{k,1}$ le vecteur "d'état" $\in \mathbb{R}^n$.

Les matrices $H, F_1, F_2, G$ ont les dimensions appropriées et vérifient la condition de commutativité :

$$ (2) \quad F_1 F_2 = F_2 F_1. $$

La réponse impulsionnelle {$A_{i,j}$ ; $(i,j) \in Z^2$} et la fonction de transfert $R(z_1,z_2)$ de ce système sont respectivement données par :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} A_{i,j} = H F_1^{i-1} F_2^{j-1} G & i > 0, j > 0 \\ A_{i,j} = 0 & \text{autrement.} \end{array} \right. $$

$$ R(z_1, z_2) = H(z_1 I - F_1)^{-1} (z_2 I - F_2)^{-1} G $$

## 2 Propriétés d'approximation

Soit $\Gamma$ l'espace des suites à deux indices de la forme :

$$ (5) \quad \omega = \{ \omega_{i,j} = H F_1^i F_2^j G ; i \ge 0, j \ge 0 \} $$

où $H, F_1, F_2, G$ sont des matrices de dimensions finies avec $F_1 F_2 = F_2 F_1$.

<footnote>* Bien que les équations (1) et (1') rappellent la représentation interne des systèmes linéaires à un indice, l'"état" $X$ ne possède pas ici la propriété de résumer tout le "passé" du système ; mais bien que cette dénomination soit un abus de langage, elle est utilisée car pratique.</footnote>
### Théorème 2.1

Γ est dense dans tous les espaces $l_p(p < +\infty)$ des suites $\{\omega_{i,j} ; i \ge 0, j \ge 0\}$ de puissance p-sommable.

### Principe de la démonstration (voir [ATTASI])

On montre que Γ est un espace vectoriel et qu'on peut construire à l'aide de matrices $F_1$ et $F_2$ nilpotentes chacun des éléments de la base canonique de l'espace $\gamma$ des suites à support compact ; donc $\gamma \subset \Gamma$. Comme $\gamma$ est dense dans $l_p$, Γ est aussi dense dans $l_p$.

La démonstration de ce théorème donne en outre un algorithme d'approximation d'une suite quelconque de $l_p$, par une suite de Γ.

## 3 Généralisation des propriétés classiques

Les démonstrations des théorèmes de ce paragraphe ne sont pas indiquées (voir [ATTASI]) ; elles constituent des extensions des démonstrations de propriétés similaires pour les systèmes à un indice [KALMAN 1], [KALMAN 2], [SILVERMAN].

### 3.1. Commandabilité

#### Définition 3.1

Le système $\sigma$ (ou le triplet $\{F_1, F_2, G\}$) est dit commandable si pour tout $(k,l) \in \mathbb{Z}^2$, et pour tout $\xi \in \mathbb{R}^n$, on peut trouver une suite finie de commandes

$$ \{u_{i,j} ; i \in (k-N,k-1), j \in (l-M,l-1)\} $$

telle qu'à partir des conditions initiales $X_{k-N,\cdot} = 0, X_{\cdot,l-M} = 0$, l'équation (1') conduise à $X_{k,l} = \xi$.

### Théorème 3.1

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) $\sigma$ (ou $\{F_1, F_2, G\}$) est commandable

ii) La matrice de commandabilité $C_n = [G, \dots, F_1^i, F_2^{jG}, \dots, F_1^{n-1}F_2^{n-1}G]$ où $0 \le i \le n-1$ et $0 \le j \le n-1$, est de rang plein.
iii) Lorsque les matrices $F_1$ et $F_2$ sont asymptotiquement stables (valeurs propres de module inférieur à l'unité), l'équation en P

$$ (7) \quad P - F_1 P F_1^T - F_2 P F_2^T + F_1 F_2 P F_1^T F_2^T = G G^T * $$

a une solution unique positive définie donnée par

$$ (7') \quad P = \begin{array}{ll} \sum_{i > 0} & F_1^i F_2^j G G^T F_1^T F_2^T \\ \sum_{j > 0} & F_1^j F_2^i G G^T F_1^T F_2^T \end{array} $$

### Remarque :

Dans [ATTASI], des notions de stabilité sont introduites, et se caractérisent par la stabilité asymptotique des matrices $F_1$ et $F_2$. Il est intéressant à noter que l'équation (7) permet de définir pour les systèmes $\Sigma$ stables, une classe de fonctions de Lyapunov quadratiques.

## 3.2. Observabilité

### Définition 3.2

Le système $\sigma$ (ou le triplet $\{H, F_1, F_2\}$) est dit observable si pour tout $(k,l) \in \mathbb{Z}^2$, il existe deux entiers positifs N et M tels que la connaissance de la sortie $\{y_{u,v} ; k \le u \le k+N, l \le v \le l+M\}$, et de l'entrée $\{u_{\alpha,\beta} ; k \le \alpha \le k+N-1, l \le \beta \le l+M-1\}$, avec les conditions initiales, $X_{k,l}$ quel-conque et $X_{i,j} = 0$ si $i < k$ ou $j < l$, détermine d'une manière unique l'état $X_{k,l}$.

### Théorème 3.2

Le triplet $\{H, F_1, F_2\}$ est observable si et seulement si le triplet "dual" $\{F_1^T, F_2^T, H^T\}$ est commandable.

On définit de même la matrice d'observabilité $O_n$ qui est la transposée de la matrice de commandabilité du triplet "dual".
### 3.3 Réalisations minimales

#### Définition 3.3

Le quadruplet {$H, F_1, F_2, G$}$_n$** avec $F_1 F_2 = F_2 F_1$ est dit une réalisation de la suite {$A_{i,j} ; i \ge 0, j \ge 0$} si :

$$ (8) \quad \forall i \ge 0, \forall j \ge 0; \quad A_{i,j} = H F_1^i F_2^j G $$

#### Définition 3.4

Deux réalisations {$H, F_1, F_2, G$}$_n$ et {$\overline{H}, \overline{F_1}, \overline{F_2}, \overline{G}$}$_n$ de la même suite {$A_{i,j} ; i \ge 0, j \ge 0$} sont dites strictement équivalentes s'il existe une matrice inversible $T$, telle que :

$$ \overline{F}_1 = T \overline{F}_1 T^{-1}, \quad \overline{F}_2 = T \overline{F}_2 T^{-1}, \quad \overline{H} = H \overline{T}^{-1}, \quad \overline{G} = T \overline{H}. $$

Les théorèmes (3.3) et (3.4) qui suivent donnent une décomposition de l'espace d'état associé à une réalisation quelconque à l'aide des matrices de commandabilité et d'observabilité, et permettant de définir l'ensemble des réalisations de dimension minimale.

#### Théorème 3.3

Toute réalisation {$H, F_1, F_2, G$}$_n$ de la suite {$A_{i,j} ; i \ge 0, j \ge 0$} où l'on pose rang ($O_n C_n$) = $n_1 \ll n$, est strictement équivalente à une réalisation {$\overline{H}, \overline{F_1}, \overline{F_2}, \overline{G}$}$_n$ dans laquelle

$$ (9) \quad \overline{F}_i = \begin{bmatrix} \overline{F}_{11,i} & 0 & \overline{F}_{13,i} \\ \overline{F}_{21,i} & \overline{F}_{22,i} & \overline{F}_{23,i} \\ 0 & 0 & \overline{F}_{33,i} \end{bmatrix} \quad i \in \{1,2\}; G = \begin{bmatrix} \overline{G}_1 \\ \overline{G}_2 \\ 0 \end{bmatrix} \quad ; \overline{H} = (\overline{H}_1, 0, \overline{H}_2) $$

où {$\overline{H}_1, \overline{F}_{11,1}, \overline{F}_{11,2}, \overline{G}_1$}$_{n_1}$ est une réalisation commandable et observable de la même suite {$A_{i,j} ; i \ge 0, j \ge 0$}.

#### Théorème 3.4

Les propositions suivantes sont équivalentes :

i) La réalisation {$H, F_1, F_2, G$}$_n$ est de dimension minimale

<footnote>** Dans la suite du texte, on portera en indice la dimension $n$ des matrices $F_1$ et $F_2$ du quadruplet.</footnote>
ii) $\text{rang}(O_N \circled_N) = n \quad \forall N \ge n$.

iii) La réalisation {$H, F_1, F_2, G$}$_n$ est commandable et observable.

Le théorème (3.5) montre que la structure de l'ensemble des réalisations minimales est très simple.

**Théorème 3.5**

Deux réalisations minimales d'une suite {$A_{i,j} ; i \ge 0, j \ge 0$} sont strictement équivalentes.

Notons que le théorème (3.3) fournit une procédure de réduction d'une réalisation quelconque à une réalisation minimale.

Voici enfin un résultat annoncé au paragraphe III.2.2. :

A tout quadruplet $(H, F_1, F_2, L)_n$ on associe le quadruplet $(H, F_1, F_2, \text{PH}^T)_n$ où P est donnée par l'équation (7). On a alors le théorème suivant :

**Théorème 3.6**

Les quadruplets $(H, F_1, F_2, L)_n$ minimaux auxquels sont associés des quadruplets $(H, F_1, F_2, \text{PH}^T)_n$ non minimaux, constituent dans l'ensemble des quadruplets minimaux un ensemble de mesure nulle caractérisé de la manière suivante :
Dans toute base ou le quadruplet $(H, F_1, F_2, \text{PH}^T)_n$ se décompose sous la forme

$$ (10) \quad F_i = \begin{pmatrix} F_{11,i} & F_{12,i} \\ 0 & F_{22,i} \end{pmatrix} $$

$$ (11) \quad H = (H_1 \ H_2) $$

$$ (12) \quad \text{PH}^T = \begin{pmatrix} G_1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

La matrice H doit vérifier

$$ (13) \quad H_2^T = -(P_{22})^{-1} P_{12} H_1^T \quad \text{où} \quad P = \begin{pmatrix} P_{11} & P_{12} \\ P_{12} & P_{22} \end{pmatrix} $$
## Démonstration

L'équation (12) implique

$$P_{12} H_{1}^{T} + P_{22} H_{2}^{T} = 0$$

Par ailleurs, la commandabilité du triplet (F₁, F₂, L) entraine

$$P > 0, P_{22} > 0, P_{11} > 0$$

On a donc

$$H_{2}^{T} = -(P_{22})^{-1} P_{12} H_{1}^{T} .$$
Références

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S. ATTASI Introduction d'une classe de systèmes linéaires récurrents à deux indices. C.R. Acad. Sc. Paris t. 277 (5 Déc. 73).

M. CLERGET Systèmes linéaires positifs non stationnaires - Thèse Docteur-Ingénieur - Paris Sud (Déc. 73) et rapport LABORIA (à paraître).

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    <td>E. WONG</td>
    <td>Homogeneous Gauss Markov Random Fields. The Annals of Mathematical Statistics 1969, Vol. 40 N° 5</td>
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   </tr>
  </table>