pédagogique » qui peut être utilisée pour « placer les élèves dans la situation la plus typique de l'activité de recherche mathématique c'est-à-dire affronter un problème dont l'énoncé les place, toutes proportions gardées, dans la situation du chercheur° (Arsac et Mante, 1983, p. 7). Il ne s'agit pas d'enseigner mais de mettre les élèves au contact d'une science vivante : « la pratique de la recherche de problèmes apprend d'abord ce que sont les mathématiques (même si elle apprend aussi des mathématiques) » (ibid., p. 7 et 10). L'enseignant° n'a pas de rôle particulier sinon de proposer un problème et d'accompagner les élèves en leur laissant toute latitude, même si une solution n'est pas trouvée dans le temps imparti. Il s'agit d'une recherche pour l'innovation (Boero et al., 2009) : ses résultats et propositions doivent pouvoir être utilisés par tout enseignant° dans sa classe.

L'essentiel repose ici encore sur le problème. La répétition des observations conduit à une caractérisation de ceux susceptibles de fonctionner : énoncé court qui n'induit pas une méthode ou une solution, les élèves ont assez de familiarité avec le domaine conceptuel de l'énoncé. Une autre exigence est que le problème permette assez de propositions pour que, même s'il n'est pas résolu dans le temps imparti, il y ait un échange riche lors du bilan des avancées pour les discuter et les comparer (nous retrouvons l'essentiel des principes IBL).

Lors de cette clôture de la séquence, l'enseignant° guide le débat en sollicitant des arguments, voire des preuves et des contre-exemples. Iel initie ainsi la prise de conscience de la nature du débat mathématicien. Cette phase de conclusion est fragile : l'enseignant° s'attache à impliquer les élèves dans le respect du principe de leur autonomie mais sans renoncer à sa responsabilité professionnelle et mathématicienne.

La rédaction d'affiches qui présentent des propositions est un moyen de régulation des échanges, notamment en demandant l'attention aux principes d'écoute et de respect mutuel. Mais si les règles d'un bon comportement collectif peuvent être comprises sinon suivies, celles du débat mathématicien n'émergent pas spontanément : elles n'ont pas d'analogues dans la vie quotidienne dans laquelle la question de la vérité d'un jugement n'a pas de réponse aussi radicale qu'en mathématique – la pratique peut s'accommoder d'un énoncé vrai en général.

Au milieu des années 1980, prenant en compte l'introduction dans les programmes de l'initiation au raisonnement déductif dans les premières années du collège, les travaux évoluent vers une recherche sur ce thème : « il s'agit de rendre l'élève progressivement capable de contrôler par lui-même la vérité d'un énoncé mathématique. » (Arsac, Colonna et al., 1992 ; Arsac et Mante, 1996, p. 21). Le cadre reste celui d'une recherche pour l'innovation : « Proposer des situations de classe utilisables dans le cours d'une classe ordinaire, effectivement testées dans ces conditions, et permettant de fournir une réponse à cette demande du programme. » (ibid., p. 22). L'approche se structure, elle est de nature expérimentale et adopte le cadre théorique et méthodologique de la TSD.

Les acquis des recherches sur le problème ouvert et l'étude épistémologique du rapport entre raisonnement quotidien et mathématique, conduit à postuler a priori que les métarègles du raisonnement déductif ne seront pas entièrement construites et adoptées collectivement par les élèves (ibid., p. 24), notamment les trois suivantes : (1) un énoncé est soit vrai soit faux, (2) un exemple ne suffit pas à valider un énoncé, (3) un contre-exemple suffit à invalider un énoncé. Les travaux se concentrent sur l'étude des situations favorables à leur apprentissage.

La situation fondamentale pour l'initiation au raisonnement déductif est celle d'un débat dont l'enjeu est l'explicitation de l'accord sur des règles assujettissant la validité d'un énoncé. La construction des situations
pédagogique » qui peut être utilisée pour « placer les élèves dans la situation la plus typique de l'activité de recherche mathématique c'est-à-dire affronter un problème dont l'énoncé les place, toutes proportions gardées, dans la situation du chercheur° (Arsac et Mante, 1983, p. 7). Il ne s'agit pas d'enseigner mais de mettre les élèves au contact d'une science vivante : « la pratique de la recherche de problèmes apprend d'abord ce que sont les mathématiques (même si elle apprend aussi des mathématiques) » (ibid., p. 7 et 10). L'enseignant° n'a pas de rôle particulier sinon de proposer un problème et d'accompagner les élèves en leur laissant toute latitude, même si une solution n'est pas trouvée dans le temps imparti. Il s'agit d'une recherche pour l'innovation (Boero et al., 2009) : ses résultats et propositions doivent pouvoir être utilisés par tout enseignant° dans sa classe.

L'essentiel repose ici encore sur le problème. La répétition des observations conduit à une caractérisation de ceux susceptibles de fonctionner : énoncé court qui n'induit pas une méthode ou une solution, les élèves ont assez de familiarité avec le domaine conceptuel de l'énoncé. Une autre exigence est que le problème permette assez de propositions pour que, même s'il n'est pas résolu dans le temps imparti, il y ait un échange riche lors du bilan des avancées pour les discuter et les comparer (nous retrouvons l'essentiel des principes IBL).

Lors de cette clôture de la séquence, l'enseignant° guide le débat en sollicitant des arguments, voire des preuves et des contre-exemples. Iel initie ainsi la prise de conscience de la nature du débat mathématicien. Cette phase de conclusion est fragile : l'enseignant° s'attache à impliquer les élèves dans le respect du principe de leur autonomie mais sans renoncer à sa responsabilité professionnelle et mathématicienne.

La rédaction d'affiches qui présentent des propositions est un moyen de régulation des échanges, notamment en demandant l'attention aux principes d'écoute et de respect mutuel. Mais si les règles d'un bon comportement collectif peuvent être comprises sinon suivies, celles du débat mathématicien n'émergent pas spontanément : elles n'ont pas d'analogues dans la vie quotidienne dans laquelle la question de la vérité d'un jugement n'a pas de réponse aussi radicale qu'en mathématique – la pratique peut s'accommoder d'un énoncé vrai en général.

Au milieu des années 1980, prenant en compte l'introduction dans les programmes de l'initiation au raisonnement déductif dans les premières années du collège, les travaux évoluent vers une recherche sur ce thème : « il s'agit de rendre l'élève progressivement capable de contrôler par lui-même la vérité d'un énoncé mathématique. » (Arsac, Colonna et al., 1992 ; Arsac et Mante, 1996, p. 21). Le cadre reste celui d'une recherche pour l'innovation : « Proposer des situations de classe utilisables dans le cours d'une classe ordinaire, effectivement testées dans ces conditions, et permettant de fournir une réponse à cette demande du programme. » (ibid., p. 22). L'approche se structure, elle est de nature expérimentale et adopte le cadre théorique et méthodologique de la TSD.

Les acquis des recherches sur le problème ouvert et l'étude épistémologique du rapport entre raisonnement quotidien et mathématique, conduit à postuler a priori que les métarègles du raisonnement déductif ne seront pas entièrement construites et adoptées collectivement par les élèves (ibid., p. 24), notamment les trois suivantes : (1) un énoncé est soit vrai soit faux, (2) un exemple ne suffit pas à valider un énoncé, (3) un contre-exemple suffit à invalider un énoncé. Les travaux se concentrent sur l'étude des situations favorables à leur apprentissage.

La situation fondamentale pour l'initiation au raisonnement déductif est celle d'un débat dont l'enjeu est l'explicitation de l'accord sur des règles assujettissant la validité d'un énoncé. La construction des situations
adidactiques correspondantes ne pouvant, a priori, assurer que ces règles seront formulées, ni qu'un consensus acceptable au regard des mathématiques sera trouvé, l'hypothèse travaillée est que les conflits lors du débat justifieront l'intervention de l'enseignant° et donneront du sens aux règles qu'iel édictera. « Cela suppose que l'enseignant ne présentera ces règles qu'après la prise de conscience par les élèves de la difficulté de conclure le débat » (ibid., p. 23). Le problème doit être choisi pour rendre très probable ce débat, trois conditions sont retenues (ibid., p. 25) :

- les élèves ne doivent pas tous produire la même solution au problème posé ;

- des réponses différentes aux questions ci-dessus entrainent des solutions différentes au problème, le résultat exact ne doit pouvoir être obtenu que par l'utilisation des règles dont l'apprentissage est visé ;

- les élèves doivent percevoir que la différence entre les solutions est liée aux techniques de validation utilisées.

La séquence des situations est construite pour amener au débat plénier, un scénario précis est proposé (ibid., p. 26). Il mérite que l'on en retienne le détail :

- formation de groupes (4 à 5 élèves)

- distribution de l'énoncé

- recherche individuelle (5 à 10 minutes) – appropriation initiale

- recherche en groupe (environ 45 minutes) – travail pour une solution commune

- production d'une affiche (résultats et explications pour convaincre)

- ramassage des affiches, ordonnancement et étiquetage.

- ouverture du débat avec la première affiche (A).

- travail de chaque groupe sur l'affiche A (10 minutes)

- jugement de chaque groupe énoncé par un porte-parole sous l'une des deux formes suivantes :

- « Nous sommes d'accord avec cette affiche car ... »

- « Nous ne sommes pas d'accord avec cette affiche car ... »

[...]

Ce scénario se poursuit en faisant expliciter les accords et les désaccords argumentés, individuels ou collectifs, pour chacune des affiches. L'enseignant° invite les auteurs à répondre aux remarques ou objections sur le même mode de justification que celui de leur proposition. Une fois exprimées, ces positions sont mises en débat.

Les observations, est-il rapporté, confirment qu'au fil des débats pléniers, les règles pragmatiques du raisonnement quotidien suscitent des désaccords qui les mettent en question. Les élèves les constatent mais ne parviennent pas à les dépasser, ils campent sur leurs positions. L'enseignant° formule le motif des désaccords puis édicte la règle qui tranche le débat.

Deux observations robustes sont avancées (Arsac, Colonna et al., 1992, p. 187-188 ; Arsac et Mante, 1996, p. 22-23 et 40-42) :

- les élèves s'approprient majoritairement les règles,

- les élèves évoquent spontanément les situations vécues comme référence ; elles sont utilisées comme telles par l'enseignant°

Cependant, la qualité du débat n'est pas assurée, elle dépend de la nature des solutions proposées. Enfin, la variété des solutions, parce qu'elle appelle la recherche de critères de comparaison et de choix, et
adidactiques correspondantes ne pouvant, a priori, assurer que ces règles seront formulées, ni qu'un consensus acceptable au regard des mathématiques sera trouvé, l'hypothèse travaillée est que les conflits lors du débat justifieront l'intervention de l'enseignant° et donneront du sens aux règles qu'iel édictera. « Cela suppose que l'enseignant ne présentera ces règles qu'après la prise de conscience par les élèves de la difficulté de conclure le débat » (ibid., p. 23). Le problème doit être choisi pour rendre très probable ce débat, trois conditions sont retenues (ibid., p. 25) :

- les élèves ne doivent pas tous produire la même solution au problème posé ;

- des réponses différentes aux questions ci-dessus entrainent des solutions différentes au problème, le résultat exact ne doit pouvoir être obtenu que par l'utilisation des règles dont l'apprentissage est visé ;

- les élèves doivent percevoir que la différence entre les solutions est liée aux techniques de validation utilisées.

La séquence des situations est construite pour amener au débat plénier, un scénario précis est proposé (ibid., p. 26). Il mérite que l'on en retienne le détail :

- formation de groupes (4 à 5 élèves)

- distribution de l'énoncé

- recherche individuelle (5 à 10 minutes) – appropriation initiale

- recherche en groupe (environ 45 minutes) – travail pour une solution commune

- production d'une affiche (résultats et explications pour convaincre)

- ramassage des affiches, ordonnancement et étiquetage.

- ouverture du débat avec la première affiche (A).

- travail de chaque groupe sur l'affiche A (10 minutes)

- jugement de chaque groupe énoncé par un porte-parole sous l'une des deux formes suivantes :

- « Nous sommes d'accord avec cette affiche car ... »

- « Nous ne sommes pas d'accord avec cette affiche car ... »

[...]

Ce scénario se poursuit en faisant expliciter les accords et les désaccords argumentés, individuels ou collectifs, pour chacune des affiches. L'enseignant° invite les auteurs à répondre aux remarques ou objections sur le même mode de justification que celui de leur proposition. Une fois exprimées, ces positions sont mises en débat.

Les observations, est-il rapporté, confirment qu'au fil des débats pléniers, les règles pragmatiques du raisonnement quotidien suscitent des désaccords qui les mettent en question. Les élèves les constatent mais ne parviennent pas à les dépasser, ils campent sur leurs positions. L'enseignant° formule le motif des désaccords puis édicte la règle qui tranche le débat.

Deux observations robustes sont avancées (Arsac, Colonna et al., 1992, p. 187-188 ; Arsac et Mante, 1996, p. 22-23 et 40-42) :

- les élèves s'approprient majoritairement les règles,

- les élèves évoquent spontanément les situations vécues comme référence ; elles sont utilisées comme telles par l'enseignant°

Cependant, la qualité du débat n'est pas assurée, elle dépend de la nature des solutions proposées. Enfin, la variété des solutions, parce qu'elle appelle la recherche de critères de comparaison et de choix, et
le temps, parce qu'il est nécessaire à la convergence et au consensus, sont deux conditions d'émergence d'une norme sociomathématique de la preuve.

## 4.5. Des principes partagés

Les travaux de cette section ont pour origine la même volonté de permettre aux élèves de faire vraiment des mathématiques, en reprenant l'expression de Denise Grenier, ce qui implique leur autonomie intellectuelle et corrélativement la neutralité de l'enseignant°. Ces deux conditions sont communes avec l'approche IBL, mais la façon dont la seconde est satisfaite est significativement différente. Dans le cas de l'approche IBL, la neutralité est un principe inscrit dans le rôle de l'enseignant, animateur et modérateur de l'activité individuelle et collective. Dans le cas des approches regroupée sous le thème épistémologie expérimentale, elle est recherchée comme conséquence de la conception de situations qui favorisent la dévolution d'un enjeu de vérité et de responsabilité. La recherche porte sur les caractéristiques de ces situations et non sur l'enseignant° même lorsque son rôle est magistral comme il l'est dans le modèle de la didactique du débat scientifique en cours.

L'enseignant° ne pouvant s'affranchir de ses responsabilités mathématiciennes et institutionnelles, le dépassement de cette limite est recherché de deux façons : l'intégration de l'enseignant-mathématicien° à la situation et la relaxation de la contrainte institutionnelle. Cette dernière est obtenue en acceptant des conclusions imparfaites et en ouvrant le temps (didactique des domaines d'expérience, SiRC), en édictant des règles du jeu et installant l'enseignant° dans un rôle d'arbitre (débat scientifique en cours), ou encore en intégrant un principe robuste d'institutionnalisation (initiation au raisonnement déductif).

La situation fondamentale pour donner du sens à la preuve est celle de la prise de décision collective sur la validité la solution d'un problème ou de l'énoncé d'une conjecture. Le texte, celui de la solution ou de l'énoncé, est l'objet du jugement. Le débat est le moyen de la décision et de son appropriation collective, il a pour enjeu l'acceptation du texte – c'est-à-dire de sa validité sur la forme et le fond au regard d'une norme probatoire partagée. Remarquons que cette situation n'est pas une situation mathématique, ou de modélisation mathématique, au sens canonique du concept de situation fondamentale de la TSD. C'est une situation de débat scientifique dont le caractère mathématique vient du choix du problème dont les caractéristiques rendent le débat potentiel en permettant l'engagement de tous les élèves et l'initialisation de sa résolution dans des directions multiples dont la comparaison motive les échanges critiques. La nature mathématique du débat est potentialisée<fnref n="41" /> par la capacité du problème à évoluer vers un problème mathématique (théorique) parce qu'il est introduit par un énoncé mathématique (initiation au raisonnement déductif), ou par un milieu formel tangible (SiRC), ou encore parce qu'il induit de façon assez immédiate une modélisation mathématique (didactique des domaines d'expérience, débat scientifique en cours).

L'écriture demandée d'un texte public exige une attention à la langue, à la cohérence et au sens qui engagent une dialectique de la formulation plus exigeante que celle de la communication orale prise dans la dynamique parfois vive du débat. Quelles que soient les modalités, ces textes participent à la création d'une mémoire personnelle (narration du raisonnement, cahier de recherche) et la création d'un objet commun (affichage des argumentations).

<footnote n="41">⁴¹ L'idée de potentiel est développée dans les travaux de Jean-Philippe Georget (en particulier 2009, p. 79).</footnote>
le temps, parce qu'il est nécessaire à la convergence et au consensus, sont deux conditions d'émergence d'une norme sociomathématique de la preuve.

## 4.5. Des principes partagés

Les travaux de cette section ont pour origine la même volonté de permettre aux élèves de faire vraiment des mathématiques, en reprenant l'expression de Denise Grenier, ce qui implique leur autonomie intellectuelle et corrélativement la neutralité de l'enseignant°. Ces deux conditions sont communes avec l'approche IBL, mais la façon dont la seconde est satisfaite est significativement différente. Dans le cas de l'approche IBL, la neutralité est un principe inscrit dans le rôle de l'enseignant, animateur et modérateur de l'activité individuelle et collective. Dans le cas des approches regroupée sous le thème épistémologie expérimentale, elle est recherchée comme conséquence de la conception de situations qui favorisent la dévolution d'un enjeu de vérité et de responsabilité. La recherche porte sur les caractéristiques de ces situations et non sur l'enseignant° même lorsque son rôle est magistral comme il l'est dans le modèle de la didactique du débat scientifique en cours.

L'enseignant° ne pouvant s'affranchir de ses responsabilités mathématiciennes et institutionnelles, le dépassement de cette limite est recherché de deux façons : l'intégration de l'enseignant-mathématicien° à la situation et la relaxation de la contrainte institutionnelle. Cette dernière est obtenue en acceptant des conclusions imparfaites et en ouvrant le temps (didactique des domaines d'expérience, SiRC), en édictant des règles du jeu et installant l'enseignant° dans un rôle d'arbitre (débat scientifique en cours), ou encore en intégrant un principe robuste d'institutionnalisation (initiation au raisonnement déductif).

La situation fondamentale pour donner du sens à la preuve est celle de la prise de décision collective sur la validité la solution d'un problème ou de l'énoncé d'une conjecture. Le texte, celui de la solution ou de l'énoncé, est l'objet du jugement. Le débat est le moyen de la décision et de son appropriation collective, il a pour enjeu l'acceptation du texte – c'est-à-dire de sa validité sur la forme et le fond au regard d'une norme probatoire partagée. Remarquons que cette situation n'est pas une situation mathématique, ou de modélisation mathématique, au sens canonique du concept de situation fondamentale de la TSD. C'est une situation de débat scientifique dont le caractère mathématique vient du choix du problème dont les caractéristiques rendent le débat potentiel en permettant l'engagement de tous les élèves et l'initialisation de sa résolution dans des directions multiples dont la comparaison motive les échanges critiques. La nature mathématique du débat est potentialisée<fnref n="41" /> par la capacité du problème à évoluer vers un problème mathématique (théorique) parce qu'il est introduit par un énoncé mathématique (initiation au raisonnement déductif), ou par un milieu formel tangible (SiRC), ou encore parce qu'il induit de façon assez immédiate une modélisation mathématique (didactique des domaines d'expérience, débat scientifique en cours).

L'écriture demandée d'un texte public exige une attention à la langue, à la cohérence et au sens qui engagent une dialectique de la formulation plus exigeante que celle de la communication orale prise dans la dynamique parfois vive du débat. Quelles que soient les modalités, ces textes participent à la création d'une mémoire personnelle (narration du raisonnement, cahier de recherche) et la création d'un objet commun (affichage des argumentations).

<footnote n="41">⁴¹ L'idée de potentiel est développée dans les travaux de Jean-Philippe Georget (en particulier 2009, p. 79).</footnote>
# 5. Les situations de preuve

Les objectifs des recherches que j'ai réunies pour ce cours sont proches, ils se démarquent nettement les uns des autres par leur options épistémologiques (i.e. la reproduction de l'activité du mathématicien versus détermination par les savoirs), leurs cadres théoriques et leurs méthodes. Au-delà de ces différences que l'on pourrait parfois considérer comme des complémentarités, ces travaux portent sur trois grandes catégories de questions : celle de la spécificité de la preuve comme savoir disciplinaire, celle de la nature de l'argumentation mathématique en amont de la démonstration, celle des caractéristiques des situations de preuve et donc de l'objet et de la régulation du débat nécessaire au partage d'une norme probatoire dans la classe de mathématique.

Les réponses à ces questions sont nécessaires pour résoudre les problèmes didactiques que soulève le travail de l'enseignant°, pour donner une raison d'être à l'engagement des élèves et pour leur permettre de reconnaitre les leçons à tirer de leur activité (Brousseau, 1986/1998, p. 49). Ce sont ces dernières qui seront l'objet de l'institutionnalisation de la norme.

J'aborde ces questions dans les sections qui suivent en précisant d'abord le concept d'argumentation mathématique, puis celui de situation de preuve.

## 5.1. Prouver : une compétence

Les programmes et textes officiels, et leurs divers documents d'accompagnement, en France et internationalement, identifient « prouver » comme une compétence. Son statut épistémologique est celui d'un savoir transversal (Grenier et Payan, 2006) dont une caractéristique est d'être engagé dans la construction des savoirs disciplinaires et d'être indépendant de savoirs spécifiques (par ex. raisonnement mathématique), voire de la discipline elle-même (par ex. conjecturer).

Une compétence s'acquiert par la pratique de la discipline, elle doit être apprise bien qu'elle échoue à être enseignée explicitement (par ex. Schoenfeld, 1987). C'est le sens de la question de Gilbert Arsac (1988) : peut-on enseigner la démonstration ?

La réponse serait positive s'il ne s'agissait que de s'en tenir à l'apprentissage d'un style de rédaction, elle est négative dès lors qu'il s'agit du sens de la validation en mathématique. En résumé, écrit Daniel Lehmann, quelque regret qu'on puisse avoir qu'il n'y en ait pas de plus sécurisants, flair, tact et discernement sont les principaux critères de validation en mathématiques. Il conclut :

> Il ne va pas de soi que l'apprentissage de la démonstration doive être institutionalisé. Cette institutionnalisation peut présenter des dangers, en privilégiant un discours ayant pour sujet la démonstration (définition, exemples, ...) au détriment de la signification de celle-ci en tant qu'instrument d'acquisition du savoir. Ce qui est important, c'est que les élèves apprennent à faire des mathématiques, c'est-à-dire apprennent à chercher et si possible à résoudre les problèmes qui se posent à eux ou les problèmes qu'on leur pose et qu'ils auront bien voulu s'approprier. Il faudra bien, pour cela, qu'ils comprennent ce qu'est une démonstration [ce qui ne veut pas dire qu'ils sachent en donner une définition, est-il ajouté en note] et qu'ils apprennent à en faire. (Lehmann, 1989, p. 15-16).

Gibert Arsac résume cette position par : la démonstration ne doit intervenir que comme outil et ne doit donc pas faire l'objet d'un enseignement explicite (ibid., p. 262).

Le mot démonstration a en fait deux significations dans le texte de Daniel Lehmann, un type de texte d'une part et d'autre part une preuve en mathématique. En affirmant, au début de sa note, que preuve
# 5. Les situations de preuve

Les objectifs des recherches que j'ai réunies pour ce cours sont proches, ils se démarquent nettement les uns des autres par leur options épistémologiques (i.e. la reproduction de l'activité du mathématicien versus détermination par les savoirs), leurs cadres théoriques et leurs méthodes. Au-delà de ces différences que l'on pourrait parfois considérer comme des complémentarités, ces travaux portent sur trois grandes catégories de questions : celle de la spécificité de la preuve comme savoir disciplinaire, celle de la nature de l'argumentation mathématique en amont de la démonstration, celle des caractéristiques des situations de preuve et donc de l'objet et de la régulation du débat nécessaire au partage d'une norme probatoire dans la classe de mathématique.

Les réponses à ces questions sont nécessaires pour résoudre les problèmes didactiques que soulève le travail de l'enseignant°, pour donner une raison d'être à l'engagement des élèves et pour leur permettre de reconnaitre les leçons à tirer de leur activité (Brousseau, 1986/1998, p. 49). Ce sont ces dernières qui seront l'objet de l'institutionnalisation de la norme.

J'aborde ces questions dans les sections qui suivent en précisant d'abord le concept d'argumentation mathématique, puis celui de situation de preuve.

## 5.1. Prouver : une compétence

Les programmes et textes officiels, et leurs divers documents d'accompagnement, en France et internationalement, identifient « prouver » comme une compétence. Son statut épistémologique est celui d'un savoir transversal (Grenier et Payan, 2006) dont une caractéristique est d'être engagé dans la construction des savoirs disciplinaires et d'être indépendant de savoirs spécifiques (par ex. raisonnement mathématique), voire de la discipline elle-même (par ex. conjecturer).

Une compétence s'acquiert par la pratique de la discipline, elle doit être apprise bien qu'elle échoue à être enseignée explicitement (par ex. Schoenfeld, 1987). C'est le sens de la question de Gilbert Arsac (1988) : peut-on enseigner la démonstration ?

La réponse serait positive s'il ne s'agissait que de s'en tenir à l'apprentissage d'un style de rédaction, elle est négative dès lors qu'il s'agit du sens de la validation en mathématique. En résumé, écrit Daniel Lehmann, quelque regret qu'on puisse avoir qu'il n'y en ait pas de plus sécurisants, flair, tact et discernement sont les principaux critères de validation en mathématiques. Il conclut :

> Il ne va pas de soi que l'apprentissage de la démonstration doive être institutionalisé. Cette institutionnalisation peut présenter des dangers, en privilégiant un discours ayant pour sujet la démonstration (définition, exemples, ...) au détriment de la signification de celle-ci en tant qu'instrument d'acquisition du savoir. Ce qui est important, c'est que les élèves apprennent à faire des mathématiques, c'est-à-dire apprennent à chercher et si possible à résoudre les problèmes qui se posent à eux ou les problèmes qu'on leur pose et qu'ils auront bien voulu s'approprier. Il faudra bien, pour cela, qu'ils comprennent ce qu'est une démonstration [ce qui ne veut pas dire qu'ils sachent en donner une définition, est-il ajouté en note] et qu'ils apprennent à en faire. (Lehmann, 1989, p. 15-16).

Gibert Arsac résume cette position par : la démonstration ne doit intervenir que comme outil et ne doit donc pas faire l'objet d'un enseignement explicite (ibid., p. 262).

Le mot démonstration a en fait deux significations dans le texte de Daniel Lehmann, un type de texte d'une part et d'autre part une preuve en mathématique. En affirmant, au début de sa note, que preuve
et démonstration sont synonymes, il se prive d'une distinction entre l'objet mathématique et sa signification. Plus de trente après, le mot preuve est adopté par les institutions permettant d'émanciper la preuve dans la classe de mathématique de la démonstration-outil au sens de la forme qui sera fixée à la fin du cycle 4.

Si la compétence échappe à l'enseignement magistral, il faut pour en permettre l'apprentissage créer des situations qui suscitent une activité dans laquelle sa manifestation puisse être observée, désignée et reconnue pour telle<fnref n="42" />. Compétence et activité sont indissociables, comme le sont connaissance et problème. La compétence est la décomposition et l'organisation de l'activité pour mobiliser des connaissances opératoires efficaces dont une grande part est de l'ordre du concept-en-acte (Vergnaud, 1990, 2011).

Rappelons, pour ce qui nous intéresse ici, qu'il y a, à l'origine de l'activité de l'élève, un problème à résoudre. À ce point, il s'agit d'une activité individuelle (voire au sein d'un petit groupe assimilable à une sujet épistémique individuée) dont le produit est une explication, acquise pour l'individu, de la validité d'une solution ; cette explication est personnelle et temporellement située. La problématique de la preuve est celle de sa transformation en une argumentation dans une transition privé-public, qui permettra la qualification du produit individuel en un bien collectif aux termes d'un accord explicite. Le corollaire est la dépersonnalisation et éventuellement l'institutionnalisation – acte de détachement du contexte et du temps – de l'argumentation qui devient une preuve.

L'ensemble de ces processus individuels et sociaux mobilise divers niveaux de langage et divers registres sémiotiques pour produire les textes explicatifs ou argumentatifs, et pour instrumenter le débat probatoire. Le langage a « une fonction de communication, une fonction de représentation, une fonction d'aide à la pensée et à l'organisation de l'action. » (Vergnaud, 1990, p. 168). Il est fonctionnellement constitutif de la construction et de l'institution d'une preuve.

Pour cette raison, sans la réduire à cela, je propose de caractériser la compétence nécessaire à la preuve et au débat en mathématique en aménageant le modèle de la compétence linguistique selon quatre composantes (Cuq et Gruca, 2017, p. 245) :

- *Composante linguistique* : connaissance des règles et des structures grammaticales, du vocabulaire ;

- *Composante sociomathématique* : connaissance des règles partagées d'utilisation des formes linguistiques et sémiotiques en fonction dans la classe de mathématique ;

- *Composante discursive* : cohérence des types de discours en fonction de la situation de communication dans laquelle ils s'insèrent ;

- *Composante stratégique* : capacité d'utiliser des stratégies verbales et non verbales adaptées au débat mathématique.

Le débat mathématique est un instrument (outil-processus) pour la construction de la compétence mathématique, en particulier de sa composante sociomathématique (reconnaissance et acquisition des critères de preuve), et de sa composante stratégique (construction d'une argumentation mathématique).

<footnote n="42">⁴² Rappelons-nous que cette acception est commune aux formations métiers dans lesquelles ce sont essentiellement des gestes, des procédures et des savoir-faire qui sont enseignés.</footnote>
et démonstration sont synonymes, il se prive d'une distinction entre l'objet mathématique et sa signification. Plus de trente après, le mot preuve est adopté par les institutions permettant d'émanciper la preuve dans la classe de mathématique de la démonstration-outil au sens de la forme qui sera fixée à la fin du cycle 4.

Si la compétence échappe à l'enseignement magistral, il faut pour en permettre l'apprentissage créer des situations qui suscitent une activité dans laquelle sa manifestation puisse être observée, désignée et reconnue pour telle<fnref n="42" />. Compétence et activité sont indissociables, comme le sont connaissance et problème. La compétence est la décomposition et l'organisation de l'activité pour mobiliser des connaissances opératoires efficaces dont une grande part est de l'ordre du concept-en-acte (Vergnaud, 1990, 2011).

Rappelons, pour ce qui nous intéresse ici, qu'il y a, à l'origine de l'activité de l'élève, un problème à résoudre. À ce point, il s'agit d'une activité individuelle (voire au sein d'un petit groupe assimilable à une sujet épistémique individuée) dont le produit est une explication, acquise pour l'individu, de la validité d'une solution ; cette explication est personnelle et temporellement située. La problématique de la preuve est celle de sa transformation en une argumentation dans une transition privé-public, qui permettra la qualification du produit individuel en un bien collectif aux termes d'un accord explicite. Le corollaire est la dépersonnalisation et éventuellement l'institutionnalisation – acte de détachement du contexte et du temps – de l'argumentation qui devient une preuve.

L'ensemble de ces processus individuels et sociaux mobilise divers niveaux de langage et divers registres sémiotiques pour produire les textes explicatifs ou argumentatifs, et pour instrumenter le débat probatoire. Le langage a « une fonction de communication, une fonction de représentation, une fonction d'aide à la pensée et à l'organisation de l'action. » (Vergnaud, 1990, p. 168). Il est fonctionnellement constitutif de la construction et de l'institution d'une preuve.

Pour cette raison, sans la réduire à cela, je propose de caractériser la compétence nécessaire à la preuve et au débat en mathématique en aménageant le modèle de la compétence linguistique selon quatre composantes (Cuq et Gruca, 2017, p. 245) :

- *Composante linguistique* : connaissance des règles et des structures grammaticales, du vocabulaire ;

- *Composante sociomathématique* : connaissance des règles partagées d'utilisation des formes linguistiques et sémiotiques en fonction dans la classe de mathématique ;

- *Composante discursive* : cohérence des types de discours en fonction de la situation de communication dans laquelle ils s'insèrent ;

- *Composante stratégique* : capacité d'utiliser des stratégies verbales et non verbales adaptées au débat mathématique.

Le débat mathématique est un instrument (outil-processus) pour la construction de la compétence mathématique, en particulier de sa composante sociomathématique (reconnaissance et acquisition des critères de preuve), et de sa composante stratégique (construction d'une argumentation mathématique).

<footnote n="42">⁴² Rappelons-nous que cette acception est commune aux formations métiers dans lesquelles ce sont essentiellement des gestes, des procédures et des savoir-faire qui sont enseignés.</footnote>
## 5.2. Argumentation mathématique

Je reviens sur la définition de « raisonnement » de Raymond Duval (1992, p. 52) : le raisonnement est l'organisation de propositions orientée vers un énoncé-cible pour modifier sa valeur épistémique. Cette définition n'introduit pas de contradiction avec le choix des recherches IBL (cf. § 3.1.). Elle en limite la portée en projetant le raisonnement dans le plan du discours, celui des termes « proposition » et « énoncé ».

L'expression du raisonnement abouti est la matière d'un texte à l'appui de la validité d'un énoncé. Ce texte est une *argumentation* lorsqu'il est orienté vers l'acceptation par autrui (éventuellement soi-même) de la validité prétendue. Il est une *explication* lorsqu'il met l'énoncé cible en relation avec des énoncés dont la validité est acquise (ibid., p. 40). Il est une preuve quand l'argumentation qu'il soumet est acceptée par une communauté individuée, c'est-à-dire par des individus réunis dans une circonstance donnée, à un moment donné, avec un projet commun de connaissance.

Le fait que l'expression d'un raisonnement soit *une argumentation* peut être prétendu. Le fait qu'une argumentation soit *une preuve* doit être débattu et accepté.

« Démonstration » désigne les preuves de la communauté mathématique, sans préjuger de leurs formes qui peuvent être différentes de celle héritée d'Euclide.

Il est fréquent de rencontrer des mathématiciens° qui considèrent que les termes preuve et démonstration sont synonymes <fnref n="43" />. Cette position n'est pas tenable dans une problématique d'apprentissage du CP à l'université. Un retour sur l'histoire permet de nuancer leur position :

> Nolens volens, une preuve est teintée de rhétorique, car elle est un discours complet, qui est surtout d'adéquation à ce qu'il prouve et présente de ce chef un caractère interprétéatif, alors qu'une démonstration peut être considérée comme un acte d'extérieurité ou d'objectivation, quelque chose qui requiert le regard (l'objet est celui d'un sujet), mais un « voir » qui se suffit à lui-même, véritablement une "monstration" de la vérité de ce qui est en cause. (Dhombres, 2008, p. 61).

Nous pouvons retenir, sans créer de rupture indépassable avec les mathématiciens°, que la démonstration est un outil dans un processus de construction des savoirs mathématiques par un acte collectif d'objectivation et de reconnaissance de ce qui les fonde. Cette reconnaissance ne tient pas à une norme discursive et linguistique particulière, c'est le sens de la position de Daniel Lehmann, elle résulte d'un accord au terme d'un procès de l'institution mathématique. La norme de la démonstration est un moyen de créer un référent commun de la critique et de régler ce procès. Sa nature est sociomathématique.

Sur le chemin de la connaissance la première étape est la formulation d'une *conjecture* pour laquelle celui qui l'énonce a de bonnes raisons de soutenir sa vérité. Le procès probatoire porte sur trois aspects : la formulation de son énoncé, le cadre d'une conception<fnref n="44" /> dans lequel elle est prétendue, l'argumentation

<footnote n="43">⁴³ Cédric Villani m'a réaffirmé cette position à l'occasion d'un bref échange de courriels à propos du rapport Villani-Torossian sur l'enseignement des mathématiques (30 mars 2018).</footnote>

<footnote n="44">⁴⁴ « Conception » est utilisé ici au sens du modèle cKc (Balacheff, 2019a).</footnote>
## 5.2. Argumentation mathématique

Je reviens sur la définition de « raisonnement » de Raymond Duval (1992, p. 52) : le raisonnement est l'organisation de propositions orientée vers un énoncé-cible pour modifier sa valeur épistémique. Cette définition n'introduit pas de contradiction avec le choix des recherches IBL (cf. § 3.1.). Elle en limite la portée en projetant le raisonnement dans le plan du discours, celui des termes « proposition » et « énoncé ».

L'expression du raisonnement abouti est la matière d'un texte à l'appui de la validité d'un énoncé. Ce texte est une *argumentation* lorsqu'il est orienté vers l'acceptation par autrui (éventuellement soi-même) de la validité prétendue. Il est une *explication* lorsqu'il met l'énoncé cible en relation avec des énoncés dont la validité est acquise (ibid., p. 40). Il est une preuve quand l'argumentation qu'il soumet est acceptée par une communauté individuée, c'est-à-dire par des individus réunis dans une circonstance donnée, à un moment donné, avec un projet commun de connaissance.

Le fait que l'expression d'un raisonnement soit *une argumentation* peut être prétendu. Le fait qu'une argumentation soit *une preuve* doit être débattu et accepté.

« Démonstration » désigne les preuves de la communauté mathématique, sans préjuger de leurs formes qui peuvent être différentes de celle héritée d'Euclide.

Il est fréquent de rencontrer des mathématiciens° qui considèrent que les termes preuve et démonstration sont synonymes <fnref n="43" />. Cette position n'est pas tenable dans une problématique d'apprentissage du CP à l'université. Un retour sur l'histoire permet de nuancer leur position :

> Nolens volens, une preuve est teintée de rhétorique, car elle est un discours complet, qui est surtout d'adéquation à ce qu'il prouve et présente de ce chef un caractère interprétéatif, alors qu'une démonstration peut être considérée comme un acte d'extérieurité ou d'objectivation, quelque chose qui requiert le regard (l'objet est celui d'un sujet), mais un « voir » qui se suffit à lui-même, véritablement une "monstration" de la vérité de ce qui est en cause. (Dhombres, 2008, p. 61).

Nous pouvons retenir, sans créer de rupture indépassable avec les mathématiciens°, que la démonstration est un outil dans un processus de construction des savoirs mathématiques par un acte collectif d'objectivation et de reconnaissance de ce qui les fonde. Cette reconnaissance ne tient pas à une norme discursive et linguistique particulière, c'est le sens de la position de Daniel Lehmann, elle résulte d'un accord au terme d'un procès de l'institution mathématique. La norme de la démonstration est un moyen de créer un référent commun de la critique et de régler ce procès. Sa nature est sociomathématique.

Sur le chemin de la connaissance la première étape est la formulation d'une *conjecture* pour laquelle celui qui l'énonce a de bonnes raisons de soutenir sa vérité. Le procès probatoire porte sur trois aspects : la formulation de son énoncé, le cadre d'une conception<fnref n="44" /> dans lequel elle est prétendue, l'argumentation

<footnote n="43">⁴³ Cédric Villani m'a réaffirmé cette position à l'occasion d'un bref échange de courriels à propos du rapport Villani-Torossian sur l'enseignement des mathématiques (30 mars 2018).</footnote>

<footnote n="44">⁴⁴ « Conception » est utilisé ici au sens du modèle cKc (Balacheff, 2019a).</footnote>
qui l'accompagne. Ces composantes étant explicitées, l'énoncé mérite d'être reconnu comme une conjecture. Cette observation m'a conduit à proposer<fnref n="45" /> une caractérisation de la conjecture :

$$ \text{Conjecture} = \{\text{conception, énoncé, argumentation}\} $$

Cette forme a pour intérêt sa congruence avec la caractérisation de théorème sous la forme du triplet décrit par Maria-Alessandre Mariotti (cf. ce volume ; 1997, p. 180) :

$$ \text{Théorème} = \{\text{théorie, énoncé, preuve}\} $$

Le rapprochement de ces deux représentations rappelle que l'argumentation devenant une preuve transforme la conjecture en théorème et relie le théorème à la théorie. Toutefois, l'idée de théorème est impropre aux niveaux élémentaires. En fait, même lorsque la démonstration est introduite, cette notion a un usage dans la classe restreint à ceux des énoncés dont l'institutionnalisation autorise les utilisations sans restitution de la preuve. Un théorème dans l'ordinaire de la classe de mathématique est un énoncé vrai qui mérite, du fait de son importance et de sa portée, l'intégration explicite à la théorie. L'enjeu de la validation est essentiellement la modification du statut épistémique d'un énoncé qui devient un énoncé vrai.

Il nous faut revenir aux termes propositions et énoncés utilisés par Raymond Duval. Ils dénotent la mise en mots d'objets de pensée. Il s'agit, d'une part, d'explicitations nécessaires au débat public de preuve, et d'autre part, d'instrumenter la pensée (Vergnaud, 1990, p. 158-159, 1991, p. 85). D'une façon générale, et donc a fortiori dans le cas de jeunes élèves, il est utile de distinguer dans la mise en mots ce qui est dit ou écrit – la phrase – de ce qu'elle représente – l'énoncé. Cette distinction, reprise ici de John Langshaw Austin<fnref n="46" />, n'est pas faite dans l'usage courant sans que pour autant la communication en soit affectée mais cela masque le travail nécessaire. La phrase, objet linguistique complexe, est le produit d'un travail au cours duquel elle évolue pour être ajustée au mieux à l'intention de l'énonciation (adéquation sémantique) et être respectueuse des règles et structures grammaticales de la langue (correction linguistique). Ce travail se poursuit jusqu'à l'expression finale de l'argumentation.

La caractérisation d'un énoncé vrai<fnref n="47" />, sur le mode de celle de théorème, serait :

$$ \text{Énoncé vrai} = \{\text{base de connaissances, phrase, argumentation mathématique}\} $$

Les termes de ce triplet évoluent dans le cours des échanges (dialectique de la communication et de la formulation au sens de la TSD) jusqu'au point où une explication de la vérité est établie aux yeux du résolveur du problème, individuel ou collectif, et peut fonctionner au moins comme une argumentation pour les autres<fnref n="48" />.

<footnote n="45">⁴⁵ Ref. in *La Lettre de la preuve* (Balacheff, 1999).</footnote>

<footnote n="46">⁴⁶ "A statement is made and its making is an historic event, the utterance by a certain speaker or writer of certain words (a sentence) to an audience with reference to an historic situation, event or what not. A sentence is made up of words, a statement is made in words. A sentence is not English or not good English, a statement is not in English or not in good English. Statements are made, words or sentences are used. We talk of my statement, but of the English sentence (if a sentence is mine, I coined it, but I do not coin statements)." (Austin, 1950, p. 3).</footnote>

<footnote n="47">⁴⁷ J'utilise ici le vocabulaire commun, mais « valide » serait plus exact.</footnote>

<footnote n="48">⁴⁸ Voire comme une explication, mais ce n'est pas d'emblée le cas – repensons à l'exclamation fameuse de Cantor : je le vois mais je ne le crois pas.</footnote>
qui l'accompagne. Ces composantes étant explicitées, l'énoncé mérite d'être reconnu comme une conjecture. Cette observation m'a conduit à proposer<fnref n="45" /> une caractérisation de la conjecture :

Conjecture = {conception, énoncé, argumentation}

Cette forme a pour intérêt sa congruence avec la caractérisation de théorème sous la forme du triplet décrit par Maria-Alessandre Mariotti (cf. ce volume ; 1997, p. 180) :

Théorème = {théorie, énoncé, preuve}

Le rapprochement de ces deux représentations rappelle que l'argumentation devenant une preuve transforme la conjecture en théorème et relie le théorème à la théorie. Toutefois, l'idée de théorème est impropre aux niveaux élémentaires. En fait, même lorsque la démonstration est introduite, cette notion a un usage dans la classe restreint à ceux des énoncés dont l'institutionnalisation autorise les utilisations sans restitution de la preuve. Un théorème dans l'ordinaire de la classe de mathématique est un énoncé vrai qui mérite, du fait de son importance et de sa portée, l'intégration explicite à la théorie. L'enjeu de la validation est essentiellement la modification du statut épistémique d'un énoncé qui devient un énoncé vrai.

Il nous faut revenir aux termes propositions et énoncés utilisés par Raymond Duval. Ils dénotent la mise en mots d'objets de pensée. Il s'agit, d'une part, d'explicitations nécessaires au débat public de preuve, et d'autre part, d'instrumenter la pensée (Vergnaud, 1990, p. 158-159, 1991, p. 85). D'une façon générale, et donc a fortiori dans le cas de jeunes élèves, il est utile de distinguer dans la mise en mots ce qui est dit ou écrit – la phrase – de ce qu'elle représente – l'énoncé. Cette distinction, reprise ici de John Langshaw Austin<fnref n="46" />, n'est pas faite dans l'usage courant sans que pour autant la communication en soit affectée mais cela masque le travail nécessaire. La phrase, objet linguistique complexe, est le produit d'un travail au cours duquel elle évolue pour être ajustée au mieux à l'intention de l'énonciation (adéquation sémantique) et être respectueuse des règles et structures grammaticales de la langue (correction linguistique). Ce travail se poursuit jusqu'à l'expression finale de l'argumentation.

La caractérisation d'un énoncé vrai<fnref n="47" />, sur le mode de celle de théorème, serait :

Énoncé vrai = {base de connaissances, phrase, argumentation mathématique}

Les termes de ce triplet évoluent dans le cours des échanges (dialectique de la communication et de la formulation au sens de la TSD) jusqu'au point où une explication de la vérité est établie aux yeux du résolveur du problème, individuel ou collectif, et peut fonctionner au moins comme une argumentation pour les autres<fnref n="48" />.

<footnote n="45">⁴⁵ Ref. in *La Lettre de la preuve* (Balacheff, 1999).</footnote>

<footnote n="46">⁴⁶ "A statement is made and its making is an historic event, the utterance by a certain speaker or writer of certain words (a sentence) to an audience with reference to an historic situation, event or what not. A sentence is made up of words, a statement is made in words. A sentence is not English or not good English, a statement is not in English or not in good English. Statements are made, words or sentences are used. We talk of my statement, but of the English sentence (if a sentence is mine, I coined it, but I do not coin statements)." (Austin, 1950, p. 3).</footnote>

<footnote n="47">⁴⁷ J'utilise ici le vocabulaire commun, mais « valide » serait plus exact.</footnote>

<footnote n="48">⁴⁸ Voire comme une explication, mais ce n'est pas d'emblée le cas – repensons à l'exclamation fameuse de Cantor : je le vois mais je ne le crois pas.</footnote>
Ce que peut être la base de connaissances doit être explicité. Les premières recherches sur l'apprentissage de la preuve ont été centrées sur des questions de logique et de structure discursive, puis sur les processus probatoires dans le contexte de la résolution de problèmes. Elles ne prenaient pas en charge pleinement la nature théorique de la conjecture et de sa transformation en théorème<fnref n="49" />.

Cette explicitation s'est imposée dans le cadre de la didactique des domaines d'expérience (cf. section 4.1.). Dans cette approche le travail de modélisation conduit les élèves à une étude *dans* le modèle (qui est un modèle mathématique) sans pour autant le leur signifier. Il faut pour cela détacher le procès de validation du recours aux contrôles exogènes par le référent, et avoir un accord sur le modèle – c'est-à-dire sur les connaissances que ce modèle assemble et institue. C'est le « taken as shared » des approches IBL (Cobb et Yackel, 1996). Reconnaitre devoir s'en tenir aux contrôles endogènes au modèle est un acte initiateur de la constitution d'une norme sociomathématique.

Raisonner *dans* le modèle, sans retour au référent, est une première introduction à une *activité théorique*. En effet, assurer la validité d'un raisonnement consiste alors soit à vérifier que les énoncés utilisés sont ceux acceptés lors de la construction du modèle, soit des énoncés issus d'un *raisonnement valide* dans le modèle ; décider de cette validité n'est pas autre chose qu'interroger la logique qui la sous-tend, ses règles et les conditions de leur utilisation (cf. par exemple Arsac et Mante, 1996, p. 33). Ce sont là les caractéristiques du raisonnement déductif. Pour autant, les argumentations avancées ne sont pas d'emblée conformes à la norme mathématique. À minima, elles doivent être acceptables au regard de la discipline, même si elles n'y ont pas le statut de preuves (Herbst et al., 2009, p. 43). Ainsi en est-il, par exemple, du recours à un *exemple générique* ou celui à une *expérience mentale* (NB 1987) qui peuvent être admis aux niveaux élémentaires.

Si un modèle n'est pas une théorie au sens fort de ce terme dans la discipline, il l'est localement – en reprenant la formule de Hans Freudenthal (1971, p. 430) – au sens de *l'organisation locale des connaissances*. Pour cette raison, j'ai repris l'expression « base de connaissances » pour désigner l'ensemble organisé des connaissances d'origines souvent diverses qui sont au fondement de la modélisation. Établie par et pour la communauté de la classe, cette base de connaissances peut associer des savoirs scolaires, des connaissances-en-acte, voire des faits d'observation dont la légitimité est empirique. Elle doit être *instituée* pour exister comme ressource référente de l'argumentation (Ball et Bass, 2003).

En somme...

- Les conditions d'éligibilité d'une phrase au débat probatoire dans la classe de mathématiques seront sa conformité à l'éthique (sincérité, responsabilité), sa correction linguistique (vocabulaire et syntaxe), son adéquation sémantique (fidélité à l'objet de l'énoncé).

- La recevabilité mathématique d'une argumentation sera soumise à la satisfaction des conditions sur les phrases auxquelles s'ajouteront la correction formelle du texte (cohérence logique), sa congruence aux conceptions des élèves et enfin son ancrage dans la base de connaissances partagée.

<footnote n="49">⁴⁹ J'ai saisi cette idée assez tôt, mais sans en tirer toutes les conséquences : « D'élève-praticien, tout orienté vers la maîtrise d'un savoir-faire, on passe à l'élève-théoricien dont la justification de l'activité est celle de connaître. » (NB 1988, p. 65, 1990).</footnote>
Ce que peut être la base de connaissances doit être explicité. Les premières recherches sur l'apprentissage de la preuve ont été centrées sur des questions de logique et de structure discursive, puis sur les processus probatoires dans le contexte de la résolution de problèmes. Elles ne prenaient pas en charge pleinement la nature théorique de la conjecture et de sa transformation en théorème<fnref n="49" />.

Cette explicitation s'est imposée dans le cadre de la didactique des domaines d'expérience (cf. section 4.1.). Dans cette approche le travail de modélisation conduit les élèves à une étude *dans* le modèle (qui est un modèle mathématique) sans pour autant le leur signifier. Il faut pour cela détacher le procès de validation du recours aux contrôles exogènes par le référent, et avoir un accord sur le modèle – c'est-à-dire sur les connaissances que ce modèle assemble et institue. C'est le « taken as shared » des approches IBL (Cobb et Yackel, 1996). Reconnaitre devoir s'en tenir aux contrôles endogènes au modèle est un acte initiateur de la constitution d'une norme sociomathématique.

Raisonner *dans* le modèle, sans retour au référent, est une première introduction à une *activité théorique*. En effet, assurer la validité d'un raisonnement consiste alors soit à vérifier que les énoncés utilisés sont ceux acceptés lors de la construction du modèle, soit des énoncés issus d'un *raisonnement valide* dans le modèle ; décider de cette validité n'est pas autre chose qu'interroger la logique qui la sous-tend, ses règles et les conditions de leur utilisation (cf. par exemple Arsac et Mante, 1996, p. 33). Ce sont là les caractéristiques du raisonnement déductif. Pour autant, les argumentations avancées ne sont pas d'emblée conformes à la norme mathématique. À minima, elles doivent être acceptables au regard de la discipline, même si elles n'y ont pas le statut de preuves (Herbst et al., 2009, p. 43). Ainsi en est-il, par exemple, du recours à un *exemple générique* ou celui à une *expérience mentale* (NB 1987) qui peuvent être admis aux niveaux élémentaires.

Si un modèle n'est pas une théorie au sens fort de ce terme dans la discipline, il l'est localement – en reprenant la formule de Hans Freudenthal (1971, p. 430) – au sens de *l'organisation locale des connaissances*. Pour cette raison, j'ai repris l'expression « base de connaissances » pour désigner l'ensemble organisé des connaissances d'origines souvent diverses qui sont au fondement de la modélisation. Établie par et pour la communauté de la classe, cette base de connaissances peut associer des savoirs scolaires, des connaissances-en-acte, voire des faits d'observation dont la légitimité est empirique. Elle doit être *instituée* pour exister comme ressource référente de l'argumentation (Ball et Bass, 2003).

En somme...

- Les conditions d'éligibilité d'une phrase au débat probatoire dans la classe de mathématiques seront sa conformité à l'éthique (sincérité, responsabilité), sa correction linguistique (vocabulaire et syntaxe), son adéquation sémantique (fidélité à l'objet de l'énoncé).

- La recevabilité mathématique d'une argumentation sera soumise à la satisfaction des conditions sur les phrases auxquelles s'ajouteront la correction formelle du texte (cohérence logique), sa congruence aux conceptions des élèves et enfin son ancrage dans la base de connaissances partagée.

<footnote n="49">⁴⁹ J'ai saisi cette idée assez tôt, mais sans en tirer toutes les conséquences : « D'élève-praticien, tout orienté vers la maîtrise d'un savoir-faire, on passe à l'élève-théoricien dont la justification de l'activité est celle de connaître. » (NB 1988, p. 65, 1990).</footnote>
### 5.3. Dialectique de la validation et situation de preuve

La TSD a son origine dans la recherche de situations qui donnent du sens aux concepts mathématiques en les faisant naître dans le creuset d'une dialectique de la validation (Brousseau, 1972, p. 436) dont l'aboutissement prend la forme de l'explicitation d'un accord collectif sur la vérité ou la fausseté d'un énoncé et sa reconnaissance formelle (l'institutionnalisation). Le concept didactique canonique correspondant est celui de situation de validation. Les concepts de situation d'action et de situation de formulation s'en déduisent en raisonnant sur les conditions nécessaires à une dialectique pertinente et efficace : disponibilité des conceptions que l'enseignant° souhaite voir engagées, partage de moyens de communication langagiers et non langagiers qui instrumentent le débat contradictoire. Une autre condition est celle de l'autonomie des élèves en assurant une bonne plausibilité de l'aboutissement du processus dans un espace de possibles mathématiquement acceptables. Pour réaliser cette condition, la TSD dispose, d'une part, du concept de milieu dont les propriétés doivent assurer une régulation endogène propre à rendre minimale l'intervention de l'enseignant° et, d'autre part, d'un modèle de jeu de stratégie collectif pour donner consistance à une finalité qui oriente l'activité des élèves.

Ce jeu est déterminé par le terrain concret ou abstrait sur lequel il se déroule, ses états et les règles de changement d'état, la spécification d'un état de bonne fin et les rôles des joueurs (Brousseau, 1986/1998, p. 82 sqq). La création d'un milieu objectif, réalité<fnref n="50" /> tierce et antagoniste, sur le terrain de jeu est un moyen de régulation endogène qui objective les rétroactions (réfutation, évidence empirique). Le jeu régule l'action et détermine les raisons d'agir. Il doit se dérouler sans interventions de l'enseignant°. Pourtant ces interventions peuvent être légitimes et nécessaires pour assurer le respect des règles qui pourraient être oubliées, malencontreusement non respectées ou transgressées.

Comme en droit où la loi écrite réclame un juge, le jeu aux règles explicites appelle l'arbitre. Ainsi, absent du jeu théorique (situation adidactique), l'enseignant° fait partie du jeu effectivement joué (situation didactique) : il est garant du respect des règles mais indifférent aux stratégies – c'est en cela que l'activité des élèves est autonome bien que l'on puisse observer la présence active de l'enseignant. Le contrat didactique fixe les limites de la responsabilité des élèves-joueurs et de l'enseignant°-arbitre.

La situation doit être conçue pour que chacun ait intérêt à jouer son rôle de façon sincère et efficace dans un contexte favorisant l'émulation plus que la compétition pour contribuer à la réussite collective. La dialectique de la validation prend la forme d'échanges contradictoires dont il est attendu qu'ils mobilisent des figures de rhétorique que les élèves utiliseront puis auxquelles ils renonceront (Brousseau, 1978/1998, p. 127). Ainsi, au sens de la TSD, « un problème de validation est bien plus un problème de comparaison d'évaluation, de rejet des preuves que de recherche de la démonstration » (ibid.) ; nous parlerions aujourd'hui de recherche de la preuve. C'est ce problème de validation que la situation doit faire émerger, et pas seulement le problème qui est sa raison d'être mise en avant lors de sa dévolution.

Les situations de validation sont un moyen efficace pour la transformation de construits individuels en un objet de connaissance partagé qui pourra être reconnu et institutionalisé par l'enseignant°. La validité de cette connaissance est ainsi attestée, mais le plus souvent en laissant implicite les fondements de cette décision. La preuve est alors un outil, elle n'est pas en elle-même l'enjeu de la situation, son objet.

<footnote n="50">⁵⁰ Matérielle ou immatérielle.</footnote>
### 5.3. Dialectique de la validation et situation de preuve

La TSD a son origine dans la recherche de situations qui donnent du sens aux concepts mathématiques en les faisant naître dans le creuset d'une dialectique de la validation (Brousseau, 1972, p. 436) dont l'aboutissement prend la forme de l'explicitation d'un accord collectif sur la vérité ou la fausseté d'un énoncé et sa reconnaissance formelle (l'institutionnalisation). Le concept didactique canonique correspondant est celui de situation de validation. Les concepts de situation d'action et de situation de formulation s'en déduisent en raisonnant sur les conditions nécessaires à une dialectique pertinente et efficace : disponibilité des conceptions que l'enseignant° souhaite voir engagées, partage de moyens de communication langagiers et non langagiers qui instrumentent le débat contradictoire. Une autre condition est celle de l'autonomie des élèves en assurant une bonne plausibilité de l'aboutissement du processus dans un espace de possibles mathématiquement acceptables. Pour réaliser cette condition, la TSD dispose, d'une part, du concept de milieu dont les propriétés doivent assurer une régulation endogène propre à rendre minimale l'intervention de l'enseignant° et, d'autre part, d'un modèle de jeu de stratégie collectif pour donner consistance à une finalité qui oriente l'activité des élèves.

Ce jeu est déterminé par le terrain concret ou abstrait sur lequel il se déroule, ses états et les règles de changement d'état, la spécification d'un état de bonne fin et les rôles des joueurs (Brousseau, 1986/1998, p. 82 sqq). La création d'un milieu objectif, réalité<fnref n="50" /> tierce et antagoniste, sur le terrain de jeu est un moyen de régulation endogène qui objective les rétroactions (réfutation, évidence empirique). Le jeu régule l'action et détermine les raisons d'agir. Il doit se dérouler sans interventions de l'enseignant°. Pourtant ces interventions peuvent être légitimes et nécessaires pour assurer le respect des règles qui pourraient être oubliées, malencontreusement non respectées ou transgressées.

Comme en droit où la loi écrite réclame un juge, le jeu aux règles explicites appelle l'arbitre. Ainsi, absent du jeu théorique (situation adidactique), l'enseignant° fait partie du jeu effectivement joué (situation didactique) : il est garant du respect des règles mais indifférent aux stratégies – c'est en cela que l'activité des élèves est autonome bien que l'on puisse observer la présence active de l'enseignant. Le contrat didactique fixe les limites de la responsabilité des élèves-joueurs et de l'enseignant°-arbitre.

La situation doit être conçue pour que chacun ait intérêt à jouer son rôle de façon sincère et efficace dans un contexte favorisant l'émulation plus que la compétition pour contribuer à la réussite collective. La dialectique de la validation prend la forme d'échanges contradictoires dont il est attendu qu'ils mobilisent des figures de rhétorique que les élèves utiliseront puis auxquelles ils renonceront (Brousseau, 1978/1998, p. 127). Ainsi, au sens de la TSD, « un problème de validation est bien plus un problème de comparaison d'évaluation, de rejet des preuves que de recherche de la démonstration » (ibid.) ; nous parlerions aujourd'hui de recherche de la preuve. C'est ce problème de validation que la situation doit faire émerger, et pas seulement le problème qui est sa raison d'être mise en avant lors de sa dévolution.

Les situations de validation sont un moyen efficace pour la transformation de construits individuels en un objet de connaissance partagé qui pourra être reconnu et institutionalisé par l'enseignant°. La validité de cette connaissance est ainsi attestée, mais le plus souvent en laissant implicite les fondements de cette décision. La preuve est alors un outil, elle n'est pas en elle-même l'enjeu de la situation, son objet.

<footnote n="50">⁵⁰ Matérielle ou immatérielle.</footnote>
Cette limite restreint la portée de ces situations pour l'apprentissage de la preuve. Pour lever cette hypothèque, il faut accéder au « schéma de validation explicite », le mettre en question, en reconnaitre les caractéristiques et les instituer, alors seulement « la petite société de la classe » peut prétendre être véritablement mathématique (Brousseau, 1986/1998, p. 112). Guy Brousseau utilise l'expression « situation de preuve » pour désigner les situations de validation ayant ces caractéristiques, mais il ne développe pas la modélisation dans cette direction et n'y revient pas. J'adopterai l'expression *situation de décision* pour désigner les situations de validation qui n'exigent pas l'explicitation d'un schéma de validation explicite, en réservant le nom de *situation de preuve*<fnref n="51" /> aux situations de validation dont l'objet est le problème de validation.

La conception de situations d'interactions sociales ouvertes, telles celles de l'approche IBL, repose sur l'hypothèse que la création d'un débat libre dans la classe suffirait à faire émerger le problème de validation. Ce n'est pas ce qui est observé, même lorsque le problème est choisi sur les critères du problème ouvert et lorsque la situation vérifie les caractéristiques d'une situation de validation incluant un milieu objectif.

La situation de preuve doit donner aux élèves les raisons de s'engager dans une validation par les connaissances (théorèmes et théorèmes-en-acte, règles d'inférence, contrôles) et non par les seules interactions avec le milieu objectif (mesurer, observer, manipuler, tracer, calculer). Pour cela, le milieu pour poser le problème de validation ne peut être seulement matériel, il doit inclure des connaissances (Margolinas, 1992, p. 42 sqq), au sens où elles obligent. C'est à cette condition que ce milieu est un système antagoniste du sujet : les connaissances constituent la référence (savoirs locaux).

La situation adidactique d'apprentissage de la preuve sera fondée sur le milieu de référence, qui associe milieu objectif et connaissances, et modélisera un jeu de stratégie collectif instrumentant et régulant la dialectique du vrai et du faux. Ce jeu transforme la preuve outil dans la situation de validation, en objet dans la situation de preuve.

## 5.4. Le débat, objet et régulations

La reconnaissance d'une argumentation comme preuve mathématique passe par une discussion critique, des échanges et des examens d'arguments pour et contre, des propositions d'explications, et un effort de réduction des conflits de fond (sur la connaissance, les structures argumentatives) ou de principe (sur les règles, les métarègles du travail mathématique). Il est fréquent, dans la littérature, de nommer débats ces discussions, je m'en tiendrai à cet usage bien qu'il souligne plus le conflit que la collaboration ou la coopération sur le procès de validation. Les règles de ce jeu, formulées ou induites, doivent amener les élèves à avoir un intérêt à :

- s'engager dans la dialectique des preuves et des réfutations ;

- partager les règles du débat probatoire mathématique ;

- transformer une construction personnelle en un bien public ;

- contribuer à une base de connaissances partagée (savoirs locaux).

La finalité du jeu est la publication d'une preuve, texte public accepté par l'ensemble des élèves et potentiellement acceptable par l'enseignant°. La réussite de ce passage de la sphère privée, dans laquelle

<footnote n="51">⁵¹ Cette expression apparaît deux fois dans le recueil d'articles présentant la TSD (Brousseau, 1998, p. 43 et p. 111).</footnote>
Cette limite restreint la portée de ces situations pour l'apprentissage de la preuve. Pour lever cette hypothèque, il faut accéder au « schéma de validation explicite », le mettre en question, en reconnaitre les caractéristiques et les instituer, alors seulement « la petite société de la classe » peut prétendre être véritablement mathématique (Brousseau, 1986/1998, p. 112). Guy Brousseau utilise l'expression « situation de preuve » pour désigner les situations de validation ayant ces caractéristiques, mais il ne développe pas la modélisation dans cette direction et n'y revient pas. J'adopterai l'expression *situation de décision* pour désigner les situations de validation qui n'exigent pas l'explicitation d'un schéma de validation explicite, en réservant le nom de *situation de preuve*<fnref n="51" /> aux situations de validation dont l'objet est le problème de validation.

La conception de situations d'interactions sociales ouvertes, telles celles de l'approche IBL, repose sur l'hypothèse que la création d'un débat libre dans la classe suffirait à faire émerger le problème de validation. Ce n'est pas ce qui est observé, même lorsque le problème est choisi sur les critères du problème ouvert et lorsque la situation vérifie les caractéristiques d'une situation de validation incluant un milieu objectif.

La situation de preuve doit donner aux élèves les raisons de s'engager dans une validation par les connaissances (théorèmes et théorèmes-en-acte, règles d'inférence, contrôles) et non par les seules interactions avec le milieu objectif (mesurer, observer, manipuler, tracer, calculer). Pour cela, le milieu pour poser le problème de validation ne peut être seulement matériel, il doit inclure des connaissances (Margolinas, 1992, p. 42 sqq), au sens où elles obligent. C'est à cette condition que ce milieu est un système antagoniste du sujet : les connaissances constituent la référence (savoirs locaux).

La situation adidactique d'apprentissage de la preuve sera fondée sur le milieu de référence, qui associe milieu objectif et connaissances, et modélisera un jeu de stratégie collectif instrumentant et régulant la dialectique du vrai et du faux. Ce jeu transforme la preuve outil dans la situation de validation, en objet dans la situation de preuve.

## 5.4. Le débat, objet et régulations

La reconnaissance d'une argumentation comme preuve mathématique passe par une discussion critique, des échanges et des examens d'arguments pour et contre, des propositions d'explications, et un effort de réduction des conflits de fond (sur la connaissance, les structures argumentatives) ou de principe (sur les règles, les métarègles du travail mathématique). Il est fréquent, dans la littérature, de nommer débats ces discussions, je m'en tiendrai à cet usage bien qu'il souligne plus le conflit que la collaboration ou la coopération sur le procès de validation. Les règles de ce jeu, formulées ou induites, doivent amener les élèves à avoir un intérêt à :

- s'engager dans la dialectique des preuves et des réfutations ;

- partager les règles du débat probatoire mathématique ;

- transformer une construction personnelle en un bien public ;

- contribuer à une base de connaissances partagée (savoirs locaux).

La finalité du jeu est la publication d'une preuve, texte public accepté par l'ensemble des élèves et potentiellement acceptable par l'enseignant°. La réussite de ce passage de la sphère privée, dans laquelle

<footnote n="51">⁵¹ Cette expression apparaît deux fois dans le recueil d'articles présentant la TSD (Brousseau, 1998, p. 43 et p. 111).</footnote>
un élève ou un groupe d'élève est parvenu à une explication qui le convainc, à celle de la classe est la pierre de touche de la situation. La publication du texte est son institutionnalisation. Elle le constitue en un élément légitime de la mémoire commune dont la connaissance qu'il établit est une contribution au savoir de référence. Pour y parvenir, le processus est analogue à celui que suit le mathématicien°. Il comprend plusieurs types d'activités en étroites interactions, celles du rapport dialectique entre formulation et validation, dont :

- Rédiger (créer les phrases et les organiser);

- Valider le texte (les contraintes de bonne forme);

- Valider la preuve (les critères de validité).

Les travaux rapportés dans ce cours vérifient plusieurs de ces conditions, rarement toutes. En particulier, les situations dans le paradigme IBL sont trop faiblement structurées pour être modélisées en termes de jeu de stratégie collective. Mais ces situations vérifieraient-elle toutes les conditions, dans leur esprit sinon à la lettre, la proposition que je fais ici doit être considérée avec précaution : si une situation de preuve favorise a priori l'explication et la discussion des règles aux différents niveaux, les éléments théoriques sont assez solides pour l'assurer, sa mise en œuvre est incertaine du fait de la nature même de l'engagement humain dans l'interaction sociale (image de soi, rapport aux autres, marquage social entre « bons » et « mauvais » élèves, manipulation des règles, etc.). Il ne peut être assuré que tous les élèves participeront à la construction d'un consensus, les désaccords peuvent résister aux tentatives internes de résolution des conflits sur les règles du débat.

Les arbitrages sont nécessaires, ils ne peuvent venir d'un milieu objectif, ni du jeu de stratégie collectif. C'est à l'enseignant° qu'ils incombent pour confirmer ou rejeter au besoin l'usage d'une règle, rappeler à la règle, etc. Dans une certaine mesure iel peut agir en tant que mathématicien° (apport d'un contrexemple, demande de justification factuelle). Mais cela est-il possible lorsque ce qui est en question est le marquage d'un consensus (ce qui est partagé – Yackel et Cobb, 1996, p. 471) ou l'institutionnalisation d'une règle qui complètera la norme sociomathématique ?

Ces interventions paraissent impossibles sans une rupture unilatérale du contrat d'autonomie des élèves. Une solution, au demeurant classique, peut consister à s'appuyer sur ceux d'entre eux qui ont une légitimité particulière ; une *communauté de valideurs* (ibid., p. 473, Tabach *et al*., 2014, p. 196-197). Cela peut affaiblir la construction de la norme sociomathématique en tant que norme partagée parce que certains élèves pourraient se sentir tenus à l'écart ou enjoints de s'aligner. Cette difficulté peut être levée par un déplacement de son objet. En désignant dans un premier temps les problèmes que les conflits vécus par les élèves révèlent, l'institutionnalisation permet de « donner du sens aux règles institutionnalisées par le professeur, dans la mesure où elles leur permettront de trancher le débat dans lequel ils se sont engagés et qu'ils ne peuvent conclure. » (Arsac et Mante, 1996, p. 25). Cela suppose que l'enseignant° ne présentera ces règles qu'après la prise de conscience par les élèves de la difficulté de conclure le débat. Ce faisant, iel peut agir explicitement en tant que représentant° de la communauté mathématique.

On s'interrogera sur la possibilité pour l'enseignant° d'être partie prenante de la situation de preuve sans risquer de rompre le processus d'appropriation des élèves (rupture du contrat de dévolution) dont il est postulé qu'il nécessite leur prise de responsabilité autonome, et sans hypothéquer ses responsabilités d'enseignant° ? Claire Margolinas répondait de façon assez nette : « Le maître n'est pas un sujet mathématique, il n'est jamais dans une situation adidactique, mais toujours en situation
un élève ou un groupe d'élève est parvenu à une explication qui le convainc, à celle de la classe est la pierre de touche de la situation. La publication du texte est son institutionnalisation. Elle le constitue en un élément légitime de la mémoire commune dont la connaissance qu'il établit est une contribution au savoir de référence. Pour y parvenir, le processus est analogue à celui que suit le mathématicien°. Il comprend plusieurs types d'activités en étroites interactions, celles du rapport dialectique entre formulation et validation, dont :

- Rédiger (créer les phrases et les organiser);

- Valider le texte (les contraintes de bonne forme);

- Valider la preuve (les critères de validité).

Les travaux rapportés dans ce cours vérifient plusieurs de ces conditions, rarement toutes. En particulier, les situations dans le paradigme IBL sont trop faiblement structurées pour être modélisées en termes de jeu de stratégie collective. Mais ces situations vérifieraient-elle toutes les conditions, dans leur esprit sinon à la lettre, la proposition que je fais ici doit être considérée avec précaution : si une situation de preuve favorise a priori l'explication et la discussion des règles aux différents niveaux, les éléments théoriques sont assez solides pour l'assurer, sa mise en œuvre est incertaine du fait de la nature même de l'engagement humain dans l'interaction sociale (image de soi, rapport aux autres, marquage social entre « bons » et « mauvais » élèves, manipulation des règles, etc.). Il ne peut être assuré que tous les élèves participeront à la construction d'un consensus, les désaccords peuvent résister aux tentatives internes de résolution des conflits sur les règles du débat.

Les arbitrages sont nécessaires, ils ne peuvent venir d'un milieu objectif, ni du jeu de stratégie collectif. C'est à l'enseignant° qu'ils incombent pour confirmer ou rejeter au besoin l'usage d'une règle, rappeler à la règle, etc. Dans une certaine mesure iel peut agir en tant que mathématicien° (apport d'un contrexemple, demande de justification factuelle). Mais cela est-il possible lorsque ce qui est en question est le marquage d'un consensus (ce qui est partagé – Yackel et Cobb, 1996, p. 471) ou l'institutionnalisation d'une règle qui complètera la norme sociomathématique ?

Ces interventions paraissent impossibles sans une rupture unilatérale du contrat d'autonomie des élèves. Une solution, au demeurant classique, peut consister à s'appuyer sur ceux d'entre eux qui ont une légitimité particulière ; une *communauté de valideurs* (ibid., p. 473, Tabach *et al*., 2014, p. 196-197). Cela peut affaiblir la construction de la norme sociomathématique en tant que norme partagée parce que certains élèves pourraient se sentir tenus à l'écart ou enjoints de s'aligner. Cette difficulté peut être levée par un déplacement de son objet. En désignant dans un premier temps les problèmes que les conflits vécus par les élèves révèlent, l'institutionnalisation permet de « donner du sens aux règles institutionnalisées par le professeur, dans la mesure où elles leur permettront de trancher le débat dans lequel ils se sont engagés et qu'ils ne peuvent conclure. » (Arsac et Mante, 1996, p. 25). Cela suppose que l'enseignant° ne présentera ces règles qu'après la prise de conscience par les élèves de la difficulté de conclure le débat. Ce faisant, iel peut agir explicitement en tant que représentant° de la communauté mathématique.

On s'interrogera sur la possibilité pour l'enseignant° d'être partie prenante de la situation de preuve sans risquer de rompre le processus d'appropriation des élèves (rupture du contrat de dévolution) dont il est postulé qu'il nécessite leur prise de responsabilité autonome, et sans hypothéquer ses responsabilités d'enseignant° ? Claire Margolinas répondait de façon assez nette : « Le maître n'est pas un sujet mathématique, il n'est jamais dans une situation adidactique, mais toujours en situation
didactique. Réduire le maître à un sujet rationnel, en interaction avec un milieu objectif, ne me semble pas valable. L'analogie avec la théorie des jeux s'arrête là où le travail du maître commence. » (Margolinas, 1992, p. 120). Trois décennies plus tard, parce que les recherches, quelles que soient les approches, apportent suffisamment d'indications, je pense que nous pouvons reconsidérer cette position et revenir sur le problème qu'il nous faut résoudre, aussi bien dans le cadre théorique de l'IBL que dans celui de la TSD.

L'enseignant° peut être un participant° de la situation de preuve, s'iel occupe dans cette situation une position de mathématicien°, non comme partenaire du jeu mais comme arbitre. Iel a, dans les termes de la TSD, une place comme élément du milieu dans sa dimension sociale. L'arbitre peut avoir à juger des conflits, il contribue alors à les nommer et à les comprendre. Un conflit que les élèves ne peuvent régler au sein du jeu, peut être tranché de façon « objective » en s'appuyant sur la référence mathématique et en l'expliquant. Cet arbitrage est un moteur de l'évolution de la norme sociomathématique.

# 6. Conclusion : les élèves, les mathématiques, l'enseignant

En 1988, Gilbert Arsac posait la question : « La démonstration, telle qu'elle est dans les mathématiques, est-elle enseignable ? » (Arsac, 1988, p. 276). Il ne répondait pas mais constatait les positions divergentes entre des mathématiciens qui tendaient à classer la démonstration parmi les savoirs non scolarisables et des didacticiens qui s'élèvent « avec force contre cette idée » (cf. section 4). Pour ma part, je retenais à l'époque que « la construction de situations qui permettraient des débats sur la preuve, et pas seulement des débats de preuve, la détermination de leurs caractéristiques et de leurs contraintes sont des problèmes ouverts pour la recherche didactique. » (Balacheff, 1988, p. 580 sqq.).

L'introduction du mot « preuve » dans le discours institutionnel, voire sa banalisation, a contribué à l'évolution de la problématique : une preuve dans la classe de mathématique n'est plus nécessairement une démonstration mais une argumentation à la fois adaptée au niveau de développement et d'apprentissage des élèves, et acceptable au regard des mathématiques – ou plutôt à celui des mathématiciens qui accorderaient leurs exigences aux contraintes de ce niveau.

La nouvelle question est donc celle de l'enseignabilité de la preuve dans la classe de mathématique. Les institutions répondent positivement en la mettant non au rang des connaissances mais à celui des compétences. Cependant les difficultés et les échecs sont importants. Si le problème de l'acquisition du raisonnement mathématique, ainsi que les programmes désignent cette compétence, est mieux compris et sa complexité est mieux analysée, en revanche il reste ouvert au point que la question de son enseignabilité est encore posée : "The critical issues of how students come to acquire these competencies and whether these competencies can be taught remain important open research questions." (Weber et Harel, 2018, p. 7).

Dans le mouvement du projet d'enseigner la démonstration à celui d'enseigner la preuve, d'une certaine façon passant de la technique au sens, une problématique est devenue dominante : reproduire la façon de travailler des mathématiciens. Je perçois dans cette approche le risque de privilégier la mise en scène de comportements sans interroger assez leurs significations et ainsi de perdre de vue ce qui est à l'origine du procès particulier de preuve en mathématique.

Travailler comme les mathématiciens° c'est rencontrer leurs objets et entrer dans les problématiques que ceux-ci imposent : *les mathématiciens° font ce qu'ils font parce que leurs objets sont ce qu'ils sont.* Nous
didactique. Réduire le maître à un sujet rationnel, en interaction avec un milieu objectif, ne me semble pas valable. L'analogie avec la théorie des jeux s'arrête là où le travail du maître commence. » (Margolinas, 1992, p. 120). Trois décennies plus tard, parce que les recherches, quelles que soient les approches, apportent suffisamment d'indications, je pense que nous pouvons reconsidérer cette position et revenir sur le problème qu'il nous faut résoudre, aussi bien dans le cadre théorique de l'IBL que dans celui de la TSD.

L'enseignant° peut être un participant° de la situation de preuve, s'iel occupe dans cette situation une position de mathématicien°, non comme partenaire du jeu mais comme arbitre. Iel a, dans les termes de la TSD, une place comme élément du milieu dans sa dimension sociale. L'arbitre peut avoir à juger des conflits, il contribue alors à les nommer et à les comprendre. Un conflit que les élèves ne peuvent régler au sein du jeu, peut être tranché de façon « objective » en s'appuyant sur la référence mathématique et en l'expliquant. Cet arbitrage est un moteur de l'évolution de la norme sociomathématique.

# 6. Conclusion : les élèves, les mathématiques, l'enseignant

En 1988, Gilbert Arsac posait la question : « La démonstration, telle qu'elle est dans les mathématiques, est-elle enseignable ? » (Arsac, 1988, p. 276). Il ne répondait pas mais constatait les positions divergentes entre des mathématiciens qui tendaient à classer la démonstration parmi les savoirs non scolarisables et des didacticiens qui s'élèvent « avec force contre cette idée » (cf. section 4). Pour ma part, je retenais à l'époque que « la construction de situations qui permettraient des débats sur la preuve, et pas seulement des débats de preuve, la détermination de leurs caractéristiques et de leurs contraintes sont des problèmes ouverts pour la recherche didactique. » (Balacheff, 1988, p. 580 sqq.).

L'introduction du mot « preuve » dans le discours institutionnel, voire sa banalisation, a contribué à l'évolution de la problématique : une preuve dans la classe de mathématique n'est plus nécessairement une démonstration mais une argumentation à la fois adaptée au niveau de développement et d'apprentissage des élèves, et acceptable au regard des mathématiques – ou plutôt à celui des mathématiciens qui accorderaient leurs exigences aux contraintes de ce niveau.

La nouvelle question est donc celle de l'enseignabilité de la preuve dans la classe de mathématique. Les institutions répondent positivement en la mettant non au rang des connaissances mais à celui des compétences. Cependant les difficultés et les échecs sont importants. Si le problème de l'acquisition du raisonnement mathématique, ainsi que les programmes désignent cette compétence, est mieux compris et sa complexité est mieux analysée, en revanche il reste ouvert au point que la question de son enseignabilité est encore posée : "The critical issues of how students come to acquire these competencies and whether these competencies can be taught remain important open research questions." (Weber et Harel, 2018, p. 7).

Dans le mouvement du projet d'enseigner la démonstration à celui d'enseigner la preuve, d'une certaine façon passant de la technique au sens, une problématique est devenue dominante : reproduire la façon de travailler des mathématiciens. Je perçois dans cette approche le risque de privilégier la mise en scène de comportements sans interroger assez leurs significations et ainsi de perdre de vue ce qui est à l'origine du procès particulier de preuve en mathématique.

Travailler comme les mathématiciens° c'est rencontrer leurs objets et entrer dans les problématiques que ceux-ci imposent : les mathématiciens° font ce qu'ils font parce que leurs objets sont ce qu'ils sont. Nous
nous accorderons sûrement sur le fait que ce travail a pour finalité la production de connaissances – des théorèmes – et que ces connaissances sont de nature théorique. Dans cette activité, la preuve (démonstration) a deux fonctions fondatrices : elle permet la certification d'une nouvelle connaissance qui acquiert le statut de savoir lorsque son énoncé et sa preuve sont publiés, et elle réalise la mise en relation avec les savoirs existants. *La démonstration est un constructeur des mathématiques*.

Homologue et non transposition de la démonstration, les caractéristiques de l'*argumentation mathématique*, et ce qu'elles impliquent pour la construction des connaissances, permettront qu'elle ait la même fonction fondatrice dans la classe que la démonstration dans la communauté mathématicienne. Pour cela, une condition nécessaire est que le mot ne désigne pas l'engagement dans la construction dynamique d'arguments qui concourent à soutenir la validité d'un énoncé, mais désigne le texte qui objective cette construction, permettant la reconnaissance et l'inscription pérenne de l'argumentation mathématique dans la mémoire de la classe.

Au plan sociomathématique, les élèves et l'enseignant° sont engagés dans un processus de mathématisation d'une pensée déjà mathématique, celle qui permet d'entrer dans la situation de preuve. Ils font des mathématiques. L'enseignant°, arbitre du jeu, est dans la position du mathématicien°. Il reprendra sa position institutionnelle dans la phase d'institutionnalisation qui marque la clôture de la situation de preuve par l'accord collectif sur la validité de l'énoncé et de sa preuve dans le contexte explicite de la base de connaissances partagée à ce moment de l'histoire commune.

Des notes de Guy Brousseau (1984), préalables à un cours lors de l'école d'été de didactique des mathématiques sous le titre « Le rôle du maitre et l'institutionnalisation », invitent à poursuivre la réflexion dans cette direction dans le cadre de la TSD. Il écrit :

> Une situation d'action fait évoluer l'élève vers un changement de point de vue ; une situation de formulation fait évoluer vers un changement de code, de langage ; une situation de preuve fait évoluer l'élève vers un changement de la théorie qui permet de produire des théorèmes.

On notera l'expressions « situation de preuve » pour ce qui sera plus tard ancré dans la TSD par l'expression « situation de validation ». Il poursuit :

> Si on s'arrête là, le rôle du maitre c'est de proposer des situations à l'élève, il ne formule pas le savoir, donne seulement la consigne, avec plus ou moins de renseignements pour motiver l'élève et lui faire comprendre à quoi on joue. On a fait marcher ça et puis dans les classes il y avait beaucoup de phénomènes qui échappaient à l'analyse, le maitre avait besoin de parler avec les élèves, de raconter ce qui s'était passé. C'est comme ça que s'est imposé le concept d'institutionnalisation. Les élèves ne pouvaient pas continuer s'il ne se passait pas 'quelque chose'. On ne pouvait pas entrer dans de nouvelles situations si on ne s'accordait pas sur ce qui s'était passé dans les séquences précédentes. Le modèle quasi-isolé est totalement insuffisant, le maitre fait partie de la situation. Pourquoi ?

Le modèle quasi-isolé est celui qui guide les travaux évoqués dans ce cours. Le rôle de l'enseignant° n'est pas ignoré, c'est sa problématisation qui est en question. Les observations rapportées et analysées s'en tiennent pour l'essentiel aux tensions et aux limitations induites par le postulat d'autonomie des élèves et son corollaire, la neutralité de l'enseignant°. Le cours de Brousseau lors de l'école d'été de 1984 a en fait porté sur les paradoxes didactiques (Brousseau, 1986/1998, p. 72-80) qui sous-tendent les dilemmes et tensions au sein des situations. En particulier ceux, les plus fréquents, dont l'origine est la tension entre la responsabilité professionnelle et la responsabilité mathématique. L'équilibre de cette relation est fragilisé par la montée d'un flux d'incertitudes au moment de clore la situation. L'un des
nous accorderons sûrement sur le fait que ce travail a pour finalité la production de connaissances – des théorèmes – et que ces connaissances sont de nature théorique. Dans cette activité, la preuve (démonstration) a deux fonctions fondatrices : elle permet la certification d'une nouvelle connaissance qui acquiert le statut de savoir lorsque son énoncé et sa preuve sont publiés, et elle réalise la mise en relation avec les savoirs existants. *La démonstration est un constructeur des mathématiques*.

Homologue et non transposition de la démonstration, les caractéristiques de l'*argumentation mathématique*, et ce qu'elles impliquent pour la construction des connaissances, permettront qu'elle ait la même fonction fondatrice dans la classe que la démonstration dans la communauté mathématicienne. Pour cela, une condition nécessaire est que le mot ne désigne pas l'engagement dans la construction dynamique d'arguments qui concourent à soutenir la validité d'un énoncé, mais désigne le texte qui objective cette construction, permettant la reconnaissance et l'inscription pérenne de l'argumentation mathématique dans la mémoire de la classe.

Au plan sociomathématique, les élèves et l'enseignant° sont engagés dans un processus de mathématisation d'une pensée déjà mathématique, celle qui permet d'entrer dans la situation de preuve. Ils font des mathématiques. L'enseignant°, arbitre du jeu, est dans la position du mathématicien°. Il reprendra sa position institutionnelle dans la phase d'institutionnalisation qui marque la clôture de la situation de preuve par l'accord collectif sur la validité de l'énoncé et de sa preuve dans le contexte explicite de la base de connaissances partagée à ce moment de l'histoire commune.

Des notes de Guy Brousseau (1984), préalables à un cours lors de l'école d'été de didactique des mathématiques sous le titre « Le rôle du maitre et l'institutionnalisation », invitent à poursuivre la réflexion dans cette direction dans le cadre de la TSD. Il écrit :

> Une situation d'action fait évoluer l'élève vers un changement de point de vue ; une situation de formulation fait évoluer vers un changement de code, de langage ; une situation de preuve fait évoluer l'élève vers un changement de la théorie qui permet de produire des théorèmes.

On notera l'expressions « situation de preuve » pour ce qui sera plus tard ancré dans la TSD par l'expression « situation de validation ». Il poursuit :

> Si on s'arrête là, le rôle du maitre c'est de proposer des situations à l'élève, il ne formule pas le savoir, donne seulement la consigne, avec plus ou moins de renseignements pour motiver l'élève et lui faire comprendre à quoi on joue. On a fait marcher ça et puis dans les classes il y avait beaucoup de phénomènes qui échappaient à l'analyse, le maitre avait besoin de parler avec les élèves, de raconter ce qui s'était passé. C'est comme ça que s'est imposé le concept d'institutionnalisation. Les élèves ne pouvaient pas continuer s'il ne se passait pas 'quelque chose'. On ne pouvait pas entrer dans de nouvelles situations si on ne s'accordait pas sur ce qui s'était passé dans les séquences précédentes. Le modèle quasi-isolé est totalement insuffisant, le maitre fait partie de la situation. Pourquoi ?

Le modèle quasi-isolé est celui qui guide les travaux évoqués dans ce cours. Le rôle de l'enseignant° n'est pas ignoré, c'est sa problématisation qui est en question. Les observations rapportées et analysées s'en tiennent pour l'essentiel aux tensions et aux limitations induites par le postulat d'autonomie des élèves et son corollaire, la neutralité de l'enseignant°. Le cours de Brousseau lors de l'école d'été de 1984 a en fait porté sur les paradoxes didactiques (Brousseau, 1986/1998, p. 72-80) qui sous-tendent les dilemmes et tensions au sein des situations. En particulier ceux, les plus fréquents, dont l'origine est la tension entre la responsabilité professionnelle et la responsabilité mathématique. L'équilibre de cette relation est fragilisé par la montée d'un flux d'incertitudes au moment de clore la situation. L'un des
résultats de la TSD est d'avoir énoncé et validé des principes d'ingénierie des situations quasi-isolées qui réduisent les paradoxes, les tensions et les dilemmes qui en résultent. Les processus de dévolution et d'institutionnalisation permettent de contrôler l'écart entre les situations effectives et le modèle adidactique sous-jacent<fnref n="52" />.

Gilbert Arsac (1988, p. 42) concluait sa synthèse de l'état de la recherche par le constat « [d'une recherche] plus orientée vers des propositions de remédiations à un état de choses jugé mauvais que vers une analyse poussée de la situation telle qu'elle est et a été et ne prend guère en compte d'autres questionnements possibles concernant ce qu'on pourrait appeler le contrôle de la transposition. » L'orientation ne me parait pas avoir significativement évolué, elle a au contraire affirmé son caractère de recherche pour l'innovation, en reprenant l'expression de Paolo Boero. En revanche, la compréhension de la complexité de l'enseignement de la preuve s'est précisée avec une convergence objective des travaux bien qu'ils se soient développés de façons indépendantes. Ainsi a-t-on compris que la neutralité de l'enseignant° ne signifie pas son absence.

À l'écoute de la classe, l'enseignant°-mathématicien° a besoin d'instruments pour donner une légitimité à des activités des élèves bien qu'ils aient utilisé des définitions ou des symboles non canoniques, ou qu'ils aient produit une preuve non congrue à une démonstration (Herbst et al., 2009, p. 42). Ces instruments sont à construire. Certains d'entre eux sont préfigurés par les projets mais pas au point, par exemple, d'être introduits dans la formation comme des savoirs professionnels documentés pour un usage dans la classe. Décrire, valider et documenter ces instruments et les savoirs associés est un problème ouvert. Une priorité pour les programmes de recherche à venir serait d'avancer au moins sur le cas des tâches suivantes :

- Au cours de la situation de preuve, l'enseignant°-mathématicien° doit :

- faire expliciter les accords et désaccords, ou les désigner ;

- apporter des contrexemples ou contradictions factuels ;

- formaliser l'enregistrement des preuves et la chronique de leur construction ;

- enregistrer et mettre à jour la base de connaissances, la tenir à disposition ;

- gérer et garantir la mémoire de la classe, enregistrer la jurisprudence.

- À l'issue du débat probatoire, l'enseignant°-mathématicien° prend acte du consensus sur l'évaluation et la validation de la preuve, et institutionnalise les critères de preuve qu'ils aient été formulés et partagés par les élèves ou qu'iel les ait énoncés pour trancher un conflit avéré et nommé.

Enfin, pour tous les travaux, le temps est à l'évidence une contrainte ou au moins une variable déterminante. Dans tous les cas, ses exigences et sa gestion ne permettent pas d'envisager un enseignement qui reposerait de façon systématique sur des situations de preuve. En revanche, utilisées de façon limitée avec pour finalité la création ou la mise à jour des normes sociomathématiques, ces situations constitueront un corpus de références pour donner une signification pragmatique et fondamentale à l'argumentation mathématique, précurseur de la démonstration.

<footnote n="52">⁵² Ce contrôle n'est pas absolu, les protagonistes sont des êtres humains, la situation implique de nombreux déterminant contextuels et sociaux dont les modèles didactiques ne peuvent intégrer la complexité (au sens des sciences de la complexité).</footnote>
résultats de la TSD est d'avoir énoncé et validé des principes d'ingénierie des situations quasi-isolées qui réduisent les paradoxes, les tensions et les dilemmes qui en résultent. Les processus de dévolution et d'institutionnalisation permettent de contrôler l'écart entre les situations effectives et le modèle adidactique sous-jacent<fnref n="52" />.

Gilbert Arsac (1988, p. 42) concluait sa synthèse de l'état de la recherche par le constat « [d'une recherche] plus orientée vers des propositions de remédiations à un état de choses jugé mauvais que vers une analyse poussée de la situation telle qu'elle est et a été et ne prend guère en compte d'autres questionnements possibles concernant ce qu'on pourrait appeler le contrôle de la transposition. » L'orientation ne me parait pas avoir significativement évolué, elle a au contraire affirmé son caractère de recherche pour l'innovation, en reprenant l'expression de Paolo Boero. En revanche, la compréhension de la complexité de l'enseignement de la preuve s'est précisée avec une convergence objective des travaux bien qu'ils se soient développés de façons indépendantes. Ainsi a-t-on compris que la neutralité de l'enseignant° ne signifie pas son absence.

À l'écoute de la classe, l'enseignant°-mathématicien° a besoin d'instruments pour donner une légitimité à des activités des élèves bien qu'ils aient utilisé des définitions ou des symboles non canoniques, ou qu'ils aient produit une preuve non congrue à une démonstration (Herbst et al., 2009, p. 42). Ces instruments sont à construire. Certains d'entre eux sont préfigurés par les projets mais pas au point, par exemple, d'être introduits dans la formation comme des savoirs professionnels documentés pour un usage dans la classe. Décrire, valider et documenter ces instruments et les savoirs associés est un problème ouvert. Une priorité pour les programmes de recherche à venir serait d'avancer au moins sur le cas des tâches suivantes :

- Au cours de la situation de preuve, l'enseignant°-mathématicien° doit :

- faire expliciter les accords et désaccords, ou les désigner ;

- apporter des contrexemples ou contradictions factuels ;

- formaliser l'enregistrement des preuves et la chronique de leur construction ;

- enregistrer et mettre à jour la base de connaissances, la tenir à disposition ;

- gérer et garantir la mémoire de la classe, enregistrer la jurisprudence.

- À l'issue du débat probatoire, l'enseignant°-mathématicien° prend acte du consensus sur l'évaluation et la validation de la preuve, et institutionnalise les critères de preuve qu'ils aient été formulés et partagés par les élèves ou qu'iel les ait énoncés pour trancher un conflit avéré et nommé.

Enfin, pour tous les travaux, le temps est à l'évidence une contrainte ou au moins une variable déterminante. Dans tous les cas, ses exigences et sa gestion ne permettent pas d'envisager un enseignement qui reposerait de façon systématique sur des situations de preuve. En revanche, utilisées de façon limitée avec pour finalité la création ou la mise à jour des normes sociomathématiques, ces situations constitueront un corpus de références pour donner une signification pragmatique et fondamentale à l'argumentation mathématique, précurseur de la démonstration.

<footnote n="52">⁵² Ce contrôle n'est pas absolu, les protagonistes sont des êtres humains, la situation implique de nombreux déterminant contextuels et sociaux dont les modèles didactiques ne peuvent intégrer la complexité (au sens des sciences de la complexité).</footnote>
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Je remercie Janine Rogalski et Cécile Ouvrier-Buffet pour leurs relectures précises et leurs suggestions sur ce texte, ainsi que Maria Alessandra Mariotti et Patricio Herbst pour les nombreux échanges au cours des années à propos des thèmes abordés dans ce cours.
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