Man beweist, dass die Bedingung des Satzes hinreichend ist, wörtlich so, wie bei Montel<fnref n="3" />) (Montel selbst setzt voraus, dass der verbotene Wert $a$ nur von $\bar{D}_1$, nicht aber von der Funktion $U$ abhängig ist).

Die Notwendigkeit der Bedingung beweist man wie folgt. Wenn die Bedingungen des Satzes nicht erfüllt sind, so gibt es ein $\bar{D}_1$ derart, dass für jedes $M>0$ ein $U_M \in E$ existiert, welches auf $\bar{D}_1$ alle Werte $a$ mit $|a|<M$ annimmt. Wählt man $M_n \to +\infty$, so kann die Folge $U_{M_n}$ offenbar keine konvergente Teilfolge enthalten.

# Sur la représentation paramétrique régulière des ensembles analytiques.

Par

Motokiti Kondô (Sapporo, Japon).

Pour un ensemble linéaire $N$, appelons régulière (dans $N$) toute fonction $f(t)$ définie dans $N$ qui ne prend de valeurs égales pour des points distincts, c. à d. telle que, pour deux points $t_1=t_2$ de $N$, on a toujours $f(t_1)=f(t_2)$.

Nous dirons qu'un ensemble linéaire $E$ admet une représentation paramétrique régulière sur $N$, si $E$ est l'ensemble des valeurs d'une fonction $x=f(t)$ définie dans $N$, continue et régulière dans cet ensemble. M. N. Lusin a démontré le théorème suivant<fnref n="1" />):

Tout ensemble mesurable (B) indénombrable admet une représentation paramétrique régulière sur l'ensemble de tous les nombres irrationnels, quand on néglige une infinité dénombrable de points de cet ensemble.

M. Sierpiński a posé le problème suivant: existe-t-il un ensemble linéaire $N$ tel que tout ensemble analytique indénombrable admette une représentation paramétrique régulière sur $N$ ? <fnref n="2" />).

Nous allons résoudre affirmativement ce problème<fnref n="3" />). Plus précisément:

<footnote n="3">³) I.c. Fund. Math. **25** (1935), 390.</footnote>

<footnote n="1">¹) N. Lusin, *Leçons sur les ensembles analytiques*, Paris 1930, p. 114.</footnote>

<footnote n="2">²) Fund. Math. **26** (1936), p. 334.</footnote>

<footnote n="3">³) Pour une autre méthode de résoudre ce problème, voir M. Kondô, *Sur la représentation paramétrique des ensembles*, Proc. Imp. Acad. Japan **14** (1937), p. 59.</footnote>
P étant un ensemble plan quelconque, soit $H^{(x)}$ l'ensemble
de tous les points de P dont $x$ est la projection sur l'axe OX.

Soit $H$ le crible binaire<fnref n="4" />) de M. H. Lebesgue et $N$ l'ensemble (de Lebesgue) de tous les points binairement irrationnels $x$ tels que $H^{(x)}$ est bien ordonné par rapport à la direction positive de l'axe OY. L'ensemble $H^{(x)}$ n'est bien ordonné par rapport à la direction positive de l'axe OY pour aucun point

$$x=\frac{1}{2^{n_1}}+\frac{1}{2^{n_2}}+...+\frac{1}{2^{n_k}}.$$

Nous allons établir ce

**Théorème.** Tout ensemble analytique indénombrable admet une représentation paramétrique régulière sur l'ensemble de Lebesgue $N$, quand on néglige une infinité dénombrable de points de cet ensemble.

L'ensemble $N$ augmenté de l'ensemble de tous les nombres naturels est un complémentaire analytique $N^*$ tel que tout ensemble analytique indénombrable admet une représentation paramétrique régulière sur $N^*$.

**Remarque.** L'ensemble $N$, qui donne (selon le théorème) une représentation paramétrique régulière, est, comme on sait, un complémentaire analytique. Or, on ne peut remplacer dans l'énoncé du théorème l'ensemble $N$ par aucun ensemble analytique.

En effet, l'ensemble $E$ de tous les nombres irrationnels étant mesurable (B) et indénombrable, il existerait dans le cas contraire une fonction régulière $f(t)$ continue dans l'ensemble analytique $N$ et telle que $E$ serait l'ensemble des valeurs de cette fonction. Considérons la fonction inverse $f^{-1}(x)$, uniforme et définie dans $E$. Pour tous les nombres rationnels $r$, les ensembles de points $t$ de $N$ qui remplissent la condition $t>r$ (ou $t\le r$) sont analytiques, et $f(t)$ est continue dans ces ensembles. Par conséquent, les ensembles de points $x$ de $E$ pour lesquels $f^{-1}(x)>r$ (ou $f^{-1}(x)\le r$) sont analytiques. Comme ces deux ensembles sont complémentaires l'un à l'autre, les ensembles $\text{Ens}\{f^{-1}(x)>r\}$ et $\text{Ens}\{f^{-1}(x)\le r\}$ sont mesurables (B). D'après le théorème de M. H. Lebesgue, la fonction $f^{-1}(x)$ serait donc mesurable (B). Comme l'image biunivoque de $E$ par rapport à $f^{-1}(x)$, l'ensemble $N$ serait aussi mesurable (B). Par suite, tout ensemble non dénombrable analytique admettrait une représentation paramétrique régulière sur un ensemble mesurable (B), ce qui contredit un théorème de M. N. Lusin<fnref n="5" />), c. q. f. d.

Pour démontrer le théorème, nous préciserons la définition de l'ensemble de Lebesgue, en la modifiant un peu. Nous désignerons par $R^*$ et appellerons *domaine fondamental* l'ensemble de tous les nombres de l'intervalle fermé $[0,1]$ dont le développement

$$x=\frac{\theta_1}{2}+...+\frac{\theta_n}{2^n}+... \quad (\theta_n=0 \text{ ou } 1; n=1,2,...)$$

contient toujours une infinité de chiffres 1. Soit $\sigma$ une suite infinie de nombres rationnels distincts deux à deux: $s_1, s_2, ..., s_n, ...$ Menons sur le plan $R(x, y)$ par le point $s_k$ de l'axe OY la parallèle à l'axe OX et considérons sur cette parallèle les segments fermés

$$\frac{2i-1}{2^k} \le x \le \frac{i}{2^{k-1}} \quad \text{où} \quad i=1, ..., 2^{k-1}.$$

Alors, en faisant varier $k$ ($k=1,2,...$), nous obtenons un ensemble de segments fermés. Désignons-le par $H_\sigma$.

Appelons ensemble de Lebesgue de type $(\sigma)$ et désignons par $N_\sigma$ le complémentaire de l'ensemble crible au moyen du crible $H_\sigma$, c. à d. l'ensemble des points $x$ du domaine fondamental $R^*$ pour lesquels l'ensemble linéaire $H_\sigma^{(x)}$ est bien ordonné dans la direction positive de l'axe OY. L'ensemble $N_\sigma$ est un complémentaire analytique non mesurable (B) quand l'ensemble $D$ de nombres rationnels de la suite $\sigma$ contient une partie dense en soi. Dans la suite, nous supposerons que l'ensemble $D$ est semblable au point de vue de l'ordre à l'ensemble $R$ de tous les nombres rationnels, c. à d. qu'il existe une fonction biunivoque $\chi(t)$ qui transforme $D$ en $R$ de manière que $\chi(t_1)<\chi(t_2)$ pour deux points $t_1<t_2$ de $D$.

**Lemme 1.** Quels que soient deux ensembles $N_\sigma^{(k)}$ ($k=1,2$) de Lebesgue de type $(\sigma_k)$, il existe une fonction biunivoque et bicontinue $\Phi(t)$ qui transforme $R^*$ en lui-même de la manière que $N_{\sigma_2}^{(2)}=\Phi(N_{\sigma_1}^{(1)})$.

**Démonstration.** Soient $\sigma_k=\{r_{kn}\}$ ($k=1,2; n=1,2,...$) deux suites de nombres rationnels telles que les ensembles $D_k$ de $r_{kn}$ ($n=1,2,...$) soient semblables par leur ordre à l'ensemble $R$ de tous les nombres rationnels. On peut alors définir une fonction biunivoque $\chi(t)$ qui transforme $D_1$ en $D_2$ de manière que $\chi(t_1)<\chi(t_2)$ pour tout couple de points $t_1<t_2$ de $D_1$.

<footnote n="4">4) N. Lusin, loc. cit., p. 199.</footnote>

<footnote n="5">5) N. Lusin, loc. cit., p. 166.</footnote>
Désignons par $\varphi(x)$ une fonction de nombre naturel telle que $\chi(r_{1n})=r_{2\varphi(n)}$, et considérons la fonction

$$ \Phi(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{\varphi(n_k)}} \quad \text{pour} \quad x = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n_k}} \quad (n_1 < n_2 < \dots), $$

définie sur $\mathbb{R}^*$. On voit sans peine que $\Phi(x)$ transforme $\mathbb{R}^*$ en lui-même d'une façon biunivoque.

Pour démontrer que $\Phi(x)$ est bicontinue sur $\mathbb{R}^*$, considérons d'abord un point $x_0 = \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-n_0 k}$ de $\mathbb{R}^*$ et une suite $\{x_j = \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-n_j k}\}$ ($j=1,2,\dots$) de points de $\mathbb{R}^*$ qui converge vers $x_0$. Étant donné un nombre naturel $M$, prenons un nombre naturel $\nu$ tel qu'on ait $\varphi(n) > M$ pour $n > n_{0\nu}$. Puisque $x_j$ converge vers $x_0$, il existe un nombre naturel $M_0$ tel que $n_{jk} = n_{0k}$ ($k=1,2,\dots,\nu$) pour $j > M_0$. Nous avons alors

$$ |\Phi(x_0) - \Phi(x_j)| = \left| \left( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{\varphi(n_0 k)}} - \frac{1}{2^{\varphi(n_j k)}} \right) \right| \le \sum_{k=\nu+1}^{\infty} \left( \frac{1}{2^{\varphi(n_0 k)}} + \frac{1}{2^{\varphi(n_j k)}} \right) $$

pour tout $j > M_0$. Or, $n_{jk} > n_{0\nu}$ pour $k > \nu$, $j=0$ ou $j > M_0$, de sorte que $\varphi(n_{jk}) > M$ pour les mêmes valeurs d'indices, et $\varphi(n_{jk})$ sont distincts deux à deux pour tout j naturel. Par suite

$$ |\Phi(x_0) - \Phi(x_j)| \le \sum_{k=M+1}^{\infty} \left(\frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^k}\right) = \frac{1}{2^{M+1}}, $$

ce qui montre que $\Phi(x)$ est continue au point $x_0$. Par conséquent, selon la définition de $x_0$, $\Phi(x)$ est continue dans $\mathbb{R}^*$. On montre d'une façon analogue que la fonction inverse $\Phi^{-1}(x)$ est aussi continue sur $\mathbb{R}^*$. Donc, $\Phi(x)$ transforme $\mathbb{R}^*$ en lui-même topologiquement.

Enfin, on a pour tout point $x$ de $\mathbb{R}^*$

$$ (1) \qquad \chi(H_{\sigma_1}^{(x)}) = H_{\sigma_2}^{(\Phi(x))}. $$

En effet, si $x = \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-n_k}$, l'ensemble $H_{\sigma_1}^{(x)}$ est formé de nombres rationnels $r_{1n_k}(k=1,2,\dots)$. Puisque $\Phi(x) = \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-\varphi(n_k)}$, l'ensemble $H_{\sigma_2}^{(\Phi(x))}$ est celui des nombres rationnels $r_{2\varphi(n_k)}(k=1,2,\dots)$. Mais,

$$ \chi(r_{1n_k}) = r_{2\varphi(n_k)} \quad (k=1,2,\dots), $$

ce qui entraîne l'égalité (1). Or, $\chi(H_{\sigma_1}^{(x)})$ et $H_{\sigma_1}^{(x)}$ étant simultanément bien ordonnés ou non dans la direction positive de l'axe OY, nous avons selon (1) $\Phi(N_{\sigma_1}^{(1)}) = N_{\sigma_2}^{(2)}$, c. q. f. d.

**Lemme 2.** Soient $N$ un ensemble de Lebesgue de type $(\sigma)$ et $U$ un sous-ensemble ouvert de $\mathbb{R}^*$. Alors $N$ et $\mathbb{U}$ sont homéomorphes.

Démonstration. Considérons d'abord le cas où $U$ est un intervalle de Baire $I = (n_1, n_2, \dots, n_k)^6)$ de $\mathbb{R}^*$. Par une transformation bicontinue et biunivoque $\Phi(x)$ qui transforme $I$ en $\mathbb{R}^*$ de façon que le point $x = \sum_{i=1}^{\infty} 2^{-n_i} I_i$ de $I$ est transformé en $\Phi(x) = 2^{n_k} \sum_{i=1}^{\infty} 2^{-n_k + i}$, $\mathbb{N}$ est transformé en ensemble de Lebesgue de type $(\sigma^*)$ où $\sigma^* = \{r_{k+n}\}, n=1,2,\dots\}$ D'après le lemme 1, l'ensemble de Lebesgue de type $(\sigma^*)$ est homéomorphe à $N$. Par suite, $N$ et $\mathbb{N}$ sont homéomorphes.

Considérons le cas général. Comme ensemble ouvert, $U$ est décomposable en une suite infinie d'intervalles de Baire de $\mathbb{R}^*$ disjoints deux à deux. En désignant ces intervalles par $I_k (k=1,2,\dots)$, nous avons $\mathbb{U} = \sum_{k=1}^{\infty} I_k N$. Or, pour les intervalles de Baire $(k)$ de $\mathbb{R}^*$, où $k=1,2,\dots$, on a $N = \sum_{k=1}^{\infty} (k)N$ et $I_k N$ sont homéomorphes à $(k)N$. Donc $\mathbb{U}$ est homéomorphe à $N$, c. q. f. d.

**Lemme 3.** Soient $E$ un ensemble analytique contenu dans l'ensemble $R_0$ de tous les nombres irrationnels de l'intervalle $[0,1]$ et $\sigma = \{r_{n_j}\}, n=1,2,\dots$, une suite de nombres rationnels telle que l'ensemble de tous les nombres de $\sigma$ est semblable au sens d'ordre à l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres rationnels. Il existe dans le plan $\mathbb{R}(x,y)$ un crible $H$ tel que les conditions suivantes soient remplies:

1. $E$ est l'ensemble cribleé au moyen du crible $H$.

2. $H$ est un ensemble composé d'une infinité dénombrable d'intervalle de Baire $I_n (n=1,2,\dots)$, chaque $I_n$ étant situé sur la parallèle à l'axe OX qui passe par le point $r_n$ de l'axe OY.

3. la longueur de $I_n$ converge vers 0 pour $n \to \infty$.

4. quel que soit le point $x$ de $R_0$, $H^{(x)}$ contient une infinité dénombrable de nombres rationnels.

<footnote n="6">6) Nous entendons par intervalle de Baire $(n_1, n_2, \dots, n_k)$ de $\mathbb{R}^*$ l'ensemble de tous les nombres $x = \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-n_k}$ de $\mathbb{R}^*$ tels que $n_i = m_i (i=1,2,\dots, k)$ et $\max(n_1, \dots, n_k) < m_{k+1} < m_{k+2} < \dots$. Nous pouvons toujours supposer que $n_1 < n_2 < \dots < n_k$.</footnote>
Le crible $H$ satisfait alors aux conditions suivantes:

5º pour deux points distincts $x_i$ ($i=1,2$) de $R_0$, on a $H^{(x_i)} \neq H^{(x_2)}$.

6º quel que soit le point $x$ de $R_0$, $D-H^{(x)}$ (où $D$ désigne l'ensemble de tous les nombres rationnels de la suite $\sigma$) contient une infinité dénombrable de nombres rationnels.

Nous appelons $H$ crible du type $(\sigma)$ de $E$.

Démonstration. Soit $S$ un sous-ensemble de $D$ formé d'une suite infinie bien ordonnée selon la grandeur croissante. Soient $s_n$ ($n=1,2,...$) les nombres de $S$. L'ensemble $D-S$ étant semblable au sens d'ordre à l'ensemble $R$ de tous les nombres rationnels, il existe d'après MM. N. Lusin et W. Sierpiński<fnref n="7" />) un crible $\Gamma$ formé d'intervalles de Baire $I_l$ tels que $r_l \in D-S$ et situés respectivement sur les droites $y=r_l$, la longueur de $I_l$ tendant vers 0 avec $i$ et l'ensemble $E$ étant l'ensemble criblé au moyen de $\Gamma$.

Pour obtenir le crible $H$, rangeons, pour chaque $n$ naturel, tous les intervalles de Baire d'ordre $n$ en une suite infinie $\{\Delta_k^{(n)}\}$ où $k=1,2,...$ et désignons, pour $r_k \in S$ tels que $r_k=s_2^l(2^{j-1})$, par $I_k$ l'intervalle de Baire $\Delta_j^{(l)}$, situé sur la droite $y=r_k$. L'ensemble $H=\Gamma+\sum_{l=1}^{\infty} I_l$ remplit alors les conditions 1º-4º, et par conséquent 5º-6º, du lemme 3. En effet, pour tout point $x$ de $R_0$, on a $H^{(x)}=\Gamma^{(x)}+(H-\Gamma)^{(x)}$. Or, d'après la définition de $H$, $(H-\Gamma)^{(x)}$ est contenu dans $S$ et $S$ est bien ordonné selon la grandeur croissante; les deux ensembles $H^{(x)}$ et $\Gamma^{(x)}$ sont donc simultanément bien ordonnés ou non selon la grandeur croissante. Par suite, $H$ est un crible qui définit l'ensemble $E$.

D'autre part, le crible $H$ est, par définition formé d'intervalles de Baire $I_l$, situés sur les droites $y=r_l$ respectivement et dont la longueur tend vers 0 avec $i$.

Enfin, pour chaque point $x$ de $R_0$, l'ensemble $(H-\Gamma)^{(x)}$ contient, d'après la définition de $H-\Gamma$, une infinité dénombrable de $s_i$. L'ensemble $H^{(x)}$ contient donc une infinité dénombrable de nombres rationnels et il en est de même de $D-H^{(x)}$.

Considérons $H^{(x_1)}$ et $H^{(x_2)}$ pour deux points distincts $x_l$ ($i=1,2$) de $R_0$. Comme la longueur de $I_l$ tend vers 0 avec $i$, un intervalle $I_l$ d'indice $i$ assez grand et qui coupe la droite $x=x_1$, ne coupe pas la droite $x=x_2$. On a donc $H^{(x_1)} \neq H^{(x_2)}$, c. q. f. d.

## Représentation paramétrique

Envisageons à présent le crible $H_\sigma$, qui définit l'ensemble de Lebesgue de type $(\sigma)$. Quel que soit le point $x$ de $R_0$, il existe un et un seul point $x^*$ de $R^*$ tel que $H^{(x)}=H_\sigma^{(x^*)}$. Grâce à cette correspondance, on peut définir une fonction $\varphi(x)$ sur $R_0$ telle qu'on ait $x^*=\varphi(x)$. On peut alors démontrer le

**Lemme 4.** $\varphi(x)$ transforme biunivoquement $R_0$ en un sous-ensemble $M$ fermé dans $R^*$, et la fonction inverse $\varphi^{-1}(x)$ est continue sur $M$.

Démonstration. Comme $\varphi(x_1)=\varphi(x_2)$ pour deux points distincts $x_1$ et $x_2$ de $R_0$, la fonction $\varphi(x)$ transforme $R_0$ en $M$ biunivoquement.

Pour montrer que $M$ est fermé dans $R^*$, soit $\{x_n\}$ où $x_n=\sum_{k=1}^{\infty} 2^{-v_k^{(n)}}$, $n=1,2,...$, une suite de points de $M$ qui converge vers un point $x_0=\sum_{k=1}^{\infty} 2^{-v_k^{(0)}}$ de $R^*$. Etant donné un nombre naturel $k$, il existe pour la suite finie $v_1^{(0)}, v_2^{(0)},..., v_k^{(0)}$ de nombres naturels un $N_0$ naturel tel que pour $n>N_0$

$$ (2) \qquad v_l^{(0)}=v_l^{(n)} \qquad (i=1,2,...,k). $$

$H_\sigma^{(x_n)}$ contient les nombres rationnels $r_{v_l^{(n)}}$ et $H_\sigma^{(x_n)}=H^{(\varphi^{-1}(x_n))}$ ($n=1,2,...$). Selon (2), on a $r_{v_l^{(0)}} \in H^{(\varphi^{-1}(x_n))}$ pour $i=1,2,...,k$ et $n>N_0$. Par conséquent, $J_l$ désignant la projection (sur l'axe $0X$) de l'intervalle de $H$ situé sur la parallèle $y=r_{v_l^{(0)}}$ à l'axe $0X$, il vient

$$ (3) \qquad \varphi^{-1}(x_n) \in \prod_{l=1}^{k} J_l \qquad (n>N_0). $$

Or, pour tout $k$ naturel, on a $\prod_{l=1}^{k} J_l \neq 0$ où $J_n$ est l'intervalle de Baire dont la longueur tend vers 0 avec $n \to \infty$. Par suite, $\prod_{l=1}^{\infty} J_l$ contient un et un seul point; désignons-le par $x^*$. En vertu de (3), $\varphi^{-1}(x_n)$ converge vers $x^*$ pour $n \to \infty$, c. à d. $\lim_{n \to \infty} \varphi^{-1}(x_n)=x^*$. D'autre part, comme $x^*$ est un point de $J_l$, on a $r_{v_l^{(0)}} \in H^{(x^*)}$ pour $i=1,2,...$

Or, $H^{(x^*)}$ ne contient que les ponts $r_{v_l^{(0)}}$. En effet, soient $r_v$ un point de $H^{(x^*)}$ et $J$ la projection (sur l'axe $0X$) de l'intervalle de $H$ situé sur la parallèle $y=r_v$ à l'axe $0X$. Comme $J$ est l'intervalle

<footnote n="7">⁷) N. Lusin et W. Sierpiński, *Sur un ensemble non mesurable* (B), Journ. de Math. 2 (1923), § 7, p. 65-68.</footnote>
ouvert de $R_0$ qui contient $x^*$ et $\lim_{n \to \infty} \varphi^{-1}(x_n) = x^*$, il existe un $N_1$ naturel tel qu'on a $\varphi^{-1}(x_n) \in J$ pour $n > N_1$. Comme $H_{\sigma}^{(x_n)} = H^{(\varphi^{-1}(x_n))}$ pour tout $n$ naturel, nous avons $r_v \in H_{\sigma}^{(x_n)}$ pour $n > N_1$. Par suite, on peut choisir un $k_n$ naturel de manière que $v_{k_n}^{(n)} = v$ pour $n > N_1$. On voit sans peine que $k_n \le v_{k_n}^{(n)}$. On a donc $k_n \le v_{k_n}^{(n)} = v$ pour $n > N_1$, de sorte qu'il existe un $k_0$ naturel tel que l'égalité $k_0=k_n$ est réalisée pour une infinité dénombrable des $n$ et on peut supposer, sans restreindre la généralité, que $k_0=k_n$ pour $n > N_1$, c. à d. que $v_{k_0}^{(n)} = v$ pour $n > N_1$. Comme $\lim_{n \to \infty} v_{k_0}^{(n)} = v_{k_0}^{(0)}$, il vient $v_{k_0}^{(0)} = v$, ce qui montre que $H^{(x^*)}$ ne contient que les points $r_v^{(0)}$ ($i=1,2,...$), c. à d. que $H^{(x^*)} = H_{\sigma}^{(x_0)}$.

Par conséquent, $x_0$ est un point de $M$ et $\varphi^{-1}(x_0) = x^* = \lim_{n \to \infty} \varphi^{-1}(x_n)$. Donc, $M$ est fermé dans $R^*$ et $\varphi^{-1}(x)$ est continue sur $M$, c. q. f. d.

**Lemme 5.** Dans tout ensemble analytique $E$ condensé en soi, il existe une suite dénombrable d'ensembles $F_{\sigma}$, disjoints deux à deux et condensés dans $E$.

**Démonstration.** Soit $\{p_n\}$ ($n=1,2,...$) une partie dénombrable de $E$, dense dans $E$. Soit $i$ un indice donné. Le point $p_i$, comme un point de $E$, est un point de condensation de $E$. Nous allons déterminer par l'induction complète la suite d'ensembles parfaits (non vides) $F_j^{(i)}$ satisfaisant aux conditions suivantes:

1. $F_j^{(i)}$ est contenu dans $EI_{i,j}$, où $I_{i,j}$ désigne l'intervalle fermé $[p_i - \frac{1}{j}, p_i + \frac{1}{j}]$, et non-dense dans cet ensemble.

2. $F_j^{(i)}$ sont disjoints deux à deux.

Définissons d'abord $F_i^{(i)}$. Le point $p_i$ étant un point de condensation de $E$, l'ensemble $I_{1,1}E$ est un ensemble analytique indénombrable. Il y existe donc un sous-ensemble parfait non-dense dans $E$. Désignons-le par $F_i^{(i)}$.

Supposons maintenant que nous avons déjà défini les ensembles $F_j^{(i)}$ pour $i+j \le n$ ($n \ge 2$) et que les conditions 1.0 et 2.0 sont satisfaites. Considérons les intervalles $I_{n,1}, I_{n-1,2}, ..., I_{1,n}$. Puisque les ensembles $F_j^{(i)}$ où $i+j \le n$ sont non-denses dans $E$, l'ensemble $\sum_{i+j \le n} F_j^{(i)}$ l'est également. Or, $E$ étant condensé en soi, il existe dans les ensembles $(I_n, \cup_{i+1} \cup \sum_{i+j \le n} F_j^{(i)}) E$ respectivement des ensembles parfaits disjoints $F_{n-i}^{(i+1)}$ ($i=0,1,2,...,n-1$) non-denses dans $E$.

Les ensembles $F_j^{(i)}$ sont ainsi définis par l'induction complète pour $i+j=2,3,...$. Posons

$$E_n = \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} F_{2^{n-1}(2k-1)}^{(i)} \quad (n=1,2,...).$$

Je dis que les ensembles $E_n$ (qui sont évidemment des $F_{\sigma}$ contenus dans $E$ et disjoints deux à deux) sont partout condensés dans $E$. Soient $n$ un nombre naturel donné, $p$ un point arbitraire de $E$ et $I$ un intervalle quelconque contenant $p$. Les points $\{p_n\}$ formant une partie dense de $E$, il existe un point $p_i$ et, pour un $k$ naturel assez grand, un intervalle $I_{i,2^{n-1}(2k-1)}$ contenus dans $I$. Alors, d'après 1.0, on a $F_{2^{n-1}(2k-1)}^{(i)} \subset I$, d'où (selon la définition de $E_n$) $F_{2^{n-1}(2k-1)}^{(i)} \subset I E_n$. L'ensemble $F_{2^{n-1}(2k-1)}^{(i)}$ étant parfait et non vide, donc indénombrable, et $I$ étant un intervalle arbitraire contenant $p$, le point $p$ est donc le point de condensation de $E_n$, c. q. f. d.

**Lemme 6.** $E$ étant un ensemble analytique linéaire condensé en soi, il existe un complémentaire analytique $Z$ contenu dans $R_0$ et tel que:

1.0 $E$ admet une représentation paramétrique régulière sur $Z$ quand on néglige au plus une infinité dénombrable de points de $Z$.

2.0 quels que soient le point $p$ de $Z$ et l'intervalle ouvert $I$ contenant $p$, il existe un sous-ensemble parfait $P$ de $Z$ tel que $P \subset I Z$.

**Démonstration.** Soit $T$ un ensemble dénombrable de nombres irrationnels, dense dans $R_0$. L'ensemble analytique linéaire $E$ étant condensé en soi, $ER_0$ en est aussi un. Il existe donc dans $E$, d'après le lemme 5, une suite dénombrable $\{E_n\}$ ($n=1,2,...$) d'ensembles $F_{\sigma}$ disjoints deux à deux et condensés dans $E$.

Posons $E^*=ER_0 - \sum_{n=1}^{\infty} E_n$. Puisque $R_0-T$ est homéomorphe à $R_0$ (et que $E^*$ est un ensemble analytique, il existe dans le plan $R(x,y)$, d'après le théorème de M. S. Mazurkiewicz 8), un complémentaire analytique $Z_0$ tel que $E^*$ est la projection uniforme de $Z_0$ sur l'axe $OX$ et que la projection de $Z_0$ sur l'axe $OY$ est contenue dans $R_0-T$.

<footnote n="8">8) Voir N. Lusin, loc. cit., p. 284.</footnote>
En désignant par $t_n$ ($n=1,2,...$) les points de $T$, posons

$$Z_1 = Z_0 + \sum_{n=1}^{\infty} E_n \times (t_n).$$

L'ensemble $Z_1$ ainsi défini est un complémentaire analytique et on a

$$\text{Proj}_{0x} Z_1 = \text{Proj}_{0x} Z_0 + \sum_{n=1}^{\infty} E_n = E^* + \sum_{n=1}^{\infty} E_n = ER_0.$$

De plus, cette projection étant uniforme, l'ensemble analytique $E$ admet une représentation paramétrique régulière sur $Z_1$ quand on néglige au plus une infinité dénombrable de points. Or, comme on sait, il existe une transformation $\varphi(t)$ qui transforme l'ensemble $R_0 \times R_0$, c. à d., l'ensemble de tous les points irrationnels du carré $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, en $R_0$ par homéomorphie. D'après la définition de $Z_1$, tous les points de $Z_1$ sont irrationnels; $Z_1$ est donc transformé par l'homéomorphie $\varphi(t)$ en un ensemble $Z$ contenu dans $R_0$. L'ensemble $Z$ est donc un complémentaire analytique tel que $Z_1$, et par suite $E$, admet une représentation paramétrique régulière sur $Z$ quand on néglige au plus une infinité dénombrable de points.

On voit de même que $Z$ remplit la condition 2º du lemme 6. Soient $p_0$ un point de $Z$ et $I$ un intervalle ouvert contenant $p_0$. D'après la définition de $\varphi^{-1}(t)$, $IR_0$ est transformé en un ensemble $U$ ouvert dans $R_0 \times R_0$ et qui contient le point $\varphi^{-1}(p_0)=(x_0,y_0)$. L'ensemble $T$ étant dense dans $R_0$, il existe un point $t_n$ tel que l'on a $|y_0-t_n|<\varepsilon$ pour un $\varepsilon>0$ donné. On peut choisir donc dans $T$ un point $t_{n_0}$ de manière que $(x_0,t_{n_0}) \in U$. Le point $x_0$, comme projection de $\varphi^{-1}(p_0)$ sur l'axe $0X$, est un point de $E$, donc un point de condensation de $E_{n_0}$; par conséquent $(x_0,t_{n_0})$ est un point de condensation de $(E_{n_0} \times (t_{n_0}))U$. Or, $(E_{n_0} \times (t_{n_0}))U$, en tant qu'un $F_\sigma$, contient un ensemble parfait $P$. D'après la définition de $\varphi(t)$, il existe donc dans l'intervalle $I$ un sous-ensemble parfait de $Z$, à savoir l'ensemble $\varphi(P)$, c. q. f. d.

**Démonstration du théorème.** Soit $E$ un ensemble analytique linéaire indénombrable. Alors, l'ensemble $E_0$ de tous les points de condensation de $E$ qui sont contenus dans $E$ est analytique et chaque point de $E_0$ est aussi un point de condensation de cet ensemble. D'après le lemme 6, $E_0$ admet donc une représentation paramétrique régulière sur un complémentaire analytique qui remplit les

conditions du lemme 6 quand on néglige une infinité dénombrable de points. Or, $E-E_0$ est au plus dénombrable; pour démontrer le théorème, il suffit donc de montrer que tout complémentaire analytique $F$ qui satisfait aux conditions du lemme 6 est une image continue biunivoque de l'ensemble de Lebesgue, en négligeant une infinité dénombrable de points.

Selon les conditions du lemme 6:

1.° $F$ est contenu dans $R_0$,

2.° quel que soit le point $x$ de $F$ et le voisinage $U$ de $x$, il existe un sous-ensemble parfait $P \subset U$ de $F$.

Soit $\sigma=\{r_n\} (n=1,2,...)$ une suite de nombres rationnels telle que l'ensemble des $r_n$ est semblable au sens d'ordre à l'ensemble $R$ de tous les nombres rationnels. Par une démonstration analogue à celle du lemme 5, on établit l'existence d'une suite double d'ensembles parfaits $\{D_j^0\} (i,j=1,2,...)$, disjoints deux à deux, contenus dans $F$ et tels que pour chaque $i=1,2,...$ l'ensemble $\sum_{j=1}^{\infty} D_j^0$ est condensé dans $F$, de sorte que chaque point de $F$ est un point de condensation de $\sum_{j=1}^{\infty} D_j^0$. Tout ensemble parfait étant somme d'un ensemble homéomorphe à $R^*$ et d'un ensemble au plus dénombrable, il en résulte l'existence des ensembles $\{F_{ij}\} (i,j=1,2,...)$ satisfaisant aux conditions:

1.° $F_{ij}$ sont homéomorphes à $R^*$ et disjoints deux à deux,

2.° chaque point de $F$ est un point de condensation de $\sum_{j=1}^{\infty} F_{ij}$ pour tout nombre naturel $i$.

Par une transformation biunivoque et bicontinue qui transforme $R^*$ en $F_{ij}$, l'ensemble de Lebesgue $N_\sigma$ est transformé en un sous-ensemble $N_{ij}$ de $F_{ij}$. Posons:

$$M_{ij} = F_{ij} - N_{ij}, \quad M = \sum_{i,j=1}^{\infty} M_{ij}, \quad F_1 = F - \sum_{i,j=1}^{\infty} F_{ij}.$$

Alors

$$F = (F_1 + M) + \sum_{i,j=1}^{\infty} N_{ij}.$$

Puisque $F_1$ est un complémentaire analytique et $M$ est un ensemble analytique, il existe, selon le théorème précité de M. S. Mazurkiewicz, un complémentaire analytique $G$ de $R_0$ tel que $F_1+M$ est l'image continue biunivoque de $G$. Comme $R_0-G$ est analy-
tique, il existe selon le lemme 3 un crible $H$ de type $\sigma$ qui définit $R_0-G$ et qui satisfait aux conditions du lemme 3. Désignons par $H_\sigma$ le crible qui définit l'ensemble $N_\sigma$ de Lebensgue de type $(\sigma)$. Alors, pour chaque point $x$ de $R_0$, il existe un et un seul point $x^*$ de $R^*$ pour lequel $H^{(x)}=H^{(x^*)}$. Grâce à cette correspondance, on peut définir une fonction $\varphi(x)$ sur $R_0$ telle que $x^*=\varphi(x)$. D'après le lemme 4, $\varphi(x)$ transforme biunivoquement $R_0$ en un sous-ensemble fermé $Q$ de $R^*$, et $G$ en $QN_\sigma$. Or, d'après le lemme 4, la fonction inverse $\varphi^{-1}(x)$ est continue sur $Q$; donc $QN_\sigma$ est transformé par $\varphi^{-1}(x)$ d'une façon biunivoque et continue en $G$. L'ensemble $F_1+M$ étant une image continue biunivoque de $G$, on peut définir une fonction continue $\chi(x)$ qui transforme biunivoquement $QN_\sigma$ en $F_1+M$:

$$ \chi(QN_\sigma)=F_1+M. $$

Maintenant, nous allons prolonger $\chi(x)$ d'une façon continue sur $N_\sigma$.

Comme $R^*-Q$ est ouvert dans $R^*$ et $N_\sigma$ est un sous-ensemble de $R^*$, l'ensemble $N_\sigma-Q$ est ouvert dans $N_\sigma$. Donc, $N_\sigma-Q$ est somme d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d'intervallees <fnref n="9" />) de $N_\sigma$ contigus à $QN_\sigma$ et n'empiétant pas l'un sur l'autre. En les désignant par $I_n=(a_n,b_n)$ (où $a_n<b_n$ et $n=1,2,...$), on a donc $N_\sigma-Q=\Sigma I_n$ et chaque $a_n(b_n)$ peut être supposé égal à la borne supérieure (inférieure) des nombres $x\le a_n$ ($x\ge b_n$) de $N_\sigma Q$ si de tels nombres $x$ existent, et à 0 (à 1) en cas contraire. Puisque $N_\sigma$ est contenu dans l'intervalle $[0,1]$, on peut supposer en même temps que les intervalles $I_n$ sont contenus dans l'intervalle $[0,1]$, c. à d. que $0\le a_n<b_n\le 1$.

Nous allons définir à présent deux nombres $A_n$ et $B_n$ pour tout intervalle $I_n$.

Considérons d'abord le cas où $0<a_n<b_n<1$. Pour tout entier $k>0$, les intervalles $[a_n-1/k, a_n]$ et $[b_n, b_n+1/k]$ de $N_\sigma$ contiennent des points de $N_\sigma Q$. On peut donc considérer les bornes supérieures de $\chi(x)$ sur les $[a_n-1/k, a_n]$ et $[b_n, b_n+1/k]$ de $N_\sigma$ (pour $x\in N_\sigma Q$). En désignant ces bornes supérieures par $A_n^{(k)}$ et $B_n^{(k)}$ respectivement, posons:

$$ A_n=\lim_{k \to \infty} A_n^{(k)} \quad \text{et} \quad B_n=\lim_{k \to \infty} B_n^{(k)}. $$

Considérons ensuite le cas où $0=a_n<b_n<1$. Comme pour tout entier $k>0$ l'intervalle $[b_n, b_n+1/k]$ de $N_\sigma$ contient des points de $N_\sigma Q$, on peut définir les nombres $B_n^{(k)}$ de la même façon que plus haut. Posons alors $A_n=B_n=\lim_{k \to \infty} B_n^{(k)}$.

Enfin, dans le cas où $0<a_n<b_n=1$, on définira les nombres $A_n^{(k)}$ comme dans le premier cas et posera $B_n=A_n=\lim_{k \to \infty} A_n^{(k)}$.

Etant donnée une suite $\{\varepsilon_n\}$ ($n=1,2,...$) de nombres positifs convergeant vers 0, envisageons les intervalles ouverts

$$ J_n = (\min(A_n, B_n) - \varepsilon_n, \max(A_n, B_n) + \varepsilon_n) \quad (n=1,2,...). $$

On voit que $J_n = \sum_{k=1}^{\infty} N_{nk}$ est non vide. En effet, d'après la définition de $A_n$ et $B_n$, on a $J_n\chi(N_\sigma Q)\ne 0$; comme $\chi(N_\sigma Q)=F_1+M\subset F$, on a donc aussi $J_nF\ne 0$. Il en résulte selon la propriété 2º de l'ensemble $F$ que $J_n\sum_{k=1}^{\infty} F_{nk}\ne 0$. Par suite, il existe un $k_0$ naturel tel que $J_nF_{nk_0}\ne 0$ et, d'après le lemme 2, l'ensemble $F_{nk_0}$ étant homéomorphe à $R^*$ et $N_{nk_0}$ étant le sous-ensemble de $F_{nk_0}$ obtenu de $N_\sigma$ par cette homéomorphie, on a $J_nN_{nk_0}\ne 0$. Par conséquent,

$$ J_n \sum_{k=1}^{\infty} N_{nk} \neq 0. $$

D'ailleurs, $J_n\sum_{k=1}^{\infty} N_{nk}$ est une image biunivoque et continue de $N_\sigma$. En effet, on peut décomposer $R^*$ en un nombre fini aussi bien qu'en une infinité dénombrable d'ensembles ouverts dans $R^*$ et deux à deux disjoints, donc séparés; d'après le lemme 2, la partie de $N_\sigma$ située dans un quelconque de ces ensembles est homéomorphe à $N_\sigma$, donc, d'après le même lemme 2, homéomorphe aussi à chaque sommande non vide de $\sum_{k=1}^{\infty} J_n N_{nk}$. Or, les ensembles $N_{nk}$ étant disjoints deux à deux, $J_n\sum_{k=1}^{\infty} N_{nk}$ est donc une image biunivoque et continue de $N_\sigma$.

Selon le lemme 2, $I_n N_\sigma$ est homéomorphe à $N_\sigma$; il existe donc une transformation biunivoque et continue qui transforme $I_n N_\sigma$ en $J_n\sum_{k=1}^{\infty} N_{nk}$. Or, il existe une fonction $\varphi_n(x)$ continue et biunivoque sur $I_n N_\sigma$ telle que:

$$ \varphi_n(I_n N_\sigma) = J_n \sum_{k=1}^{\infty} N_{nk} - (A_n) - (B_n), \quad \lim_{x \to a_n+0} \varphi_n(x) = A_n, \quad \lim_{x \to b_n-0} \varphi_n(x) = B_n. $$

<footnote n="9">⁹) Nous entendons ici par $(a,b)$ et $[a,b]$ les intervalles de $N_\sigma$, qui sont les ensembles des nombres $x$ de $N_\sigma$ tels que $a<x<b$ et $a<x<b$ respectivement.</footnote>
En effet, soit $p_k$ un nombre réel étranger à $R^*$ et situé entre $c_{k+1}$ et $c_k$, où $c_k=a_n+\frac{b_n-a_n}{2^k}$ ($k=1,2,...$); soit $q_k$ un nombre réel étranger à $R^*$ et situé entre $\bar{d}_k$ et $\bar{d}_{k+1}$, où $\bar{d}_k=b_n-\frac{b_n-a_n}{2^k}$ ($k=1,2,...$).

Alors, on a:

$$a_n<\dots<p_k<\dots<p_2<p_1<q_1<q_2<\dots<q_k<\dots<b_n,$$

$$\lim_{k \to \infty} p_k = a_n \quad \text{et} \quad \lim_{k \to \infty} q_k = b_n.$$

En désignant par $L_{2l+1}$ l'intervalle $(p_{l+1}, p_l)$, par $L_{2l}$ l'intervalle $(q_l, q_{l+1})$ et par $L_1$ l'intervalle $(p_1, q_1)$, nous obtenons $I_n N_\sigma = \sum_{k=1}^\infty L_k N_\sigma$ et, d'après le lemme 2, chaque $L_k N_\sigma$ est homéomorphe à $N_\sigma$.

Distinguons maintenant deux cas:

**Premier cas:** $A_n \neq B_n$. Supposons par exemple que $A_n < B_n$. De la même manière que nous avons établi l'inégalité $J_n \sum_{k=1}^\infty N_{nk} \neq 0$, on peut montrer que, pour chaque intervalle $J$ contenant $A_n$ ou $B_n$, on a $J \sum_{k=1}^\infty N_{nk} \neq 0$. L'ensemble $N_{nk}$, comme homéomorphede $N_\sigma$, étant d'après le lemme 2 dense en soi, $\sum_{k=1}^\infty N_{nk}$ l'est aussi et il existe par conséquent deux suites monotones de points distincts $u_1, u_2, \dots$ et $v_1, v_2, \dots$ appartenant à $J_n \sum_{k=1}^\infty N_{nk}$ qui convergent vers $A_n$ et $B_n$ respectivement. Nous pouvons supposer que $u_l < \frac{A_n + B_n}{2}$ et $v_l > \frac{A_n + B_n}{2}$.

Soient $s_l$ un nombre binairement rationnel étranger à $R^*$ et situé entre $u_l$ et $u_{l+1}$, et $t_l$ un nombre binairement rationnel étranger à $R^*$ et situé entre $v_l$ et $v_{l+1}$. En désignant par $P_{2l-1}$ l'intervalle aux extrémités $s_l, s_{l+1}$ et par $P_{2l}$ l'intervalle aux extrémités $t_l, t_{l+1}$, les ensembles $P_l$ sont disjoints et $P_l \sum_{k=1}^\infty N_{nk} \neq 0$ pour $i=1,2,\dots$, puisque $u_{l+1} \in P_{2l-1} \sum_{k=1}^\infty N_{nk}$ et $v_{l+1} \in P_{2l} \sum_{k=1}^\infty N_{nk}$. On démontre (comme auparavant pour l'ensemble $J_n \sum_{k=1}^\infty N_{nk}$) que $P_l \sum_{k=1}^\infty N_{nk}$ est alors une image biunivoque et continue de $N_\sigma$, donc aussi de $L_{l+2} N_\sigma$ pour $i$ impair et de $L_l N_\sigma$ pour $i$ pair.

L'ensemble $J_n \sum_{k=1}^\infty N_{nk} - (A_n) - B_n - \sum_{l=1}^\infty (P_l \sum_{k=1}^\infty N_{nk})$ n'est pas vide, puisque $u_1$ et $v_1$ lui appartiennent. On démontre sans peine que $J_n \sum_{k=1}^\infty N_{nk} - (A_n) - (B_n) - \sum_{l=1}^\infty P_l (\sum_{k=1}^\infty N_{nk})$ est un ensemble ouvert par rapport à $\sum_{k=1}^\infty N_{nk}$; on peut donc montrer comme auparavant que cet ensemble est une image biunivoque et continue de $N_\sigma$ et par suite de $L_1 N_\sigma$.

En désignant par $\varphi_n(x)$ une fonction continue définie sur $I_n N_\sigma$ qui transforme biunivoquement à la fois $N_\sigma L_{2l+1}$ en $P_{2l-1} \sum_{k=1}^\infty N_{nk}$, $N_\sigma L_{2l}$ en $P_{2l} \sum_{k=1}^\infty N_{nk}$ et $L_1 N_\sigma$ en $J_n \sum_{k=1}^\infty N_{nk} - (A_n) - (B_n) - \sum_{l=1}^\infty P_l (\sum_{k=1}^\infty N_{nk})$, nous obtenons une fonction biunivoque et continue sur $I_n N_\sigma$ qui transforme $I_n N_\sigma$ en l'ensemble $J_n \sum_{k=1}^\infty N_{nk} - (A_n) - (B_n)$ et telle que:

$$\lim_{\substack{x \to a_n+0 \\ x \in I_n N_\sigma}} \varphi_n(x) = A_n \quad \text{et} \quad \lim_{\substack{x \to b_n-0 \\ x \in I_n N_\sigma}} \varphi_n(x) = B_n.$$

**Deuxième cas:** $A_n = B_n$. En conservant les significations précédentes de $\{u_l\}$ et $\{s_l\}$ (la condition $u_l < \frac{A_n + B_n}{2}$ étant maintenant superflue), désignons par $P_{2l-1}$ l'intervalle aux extrémités $s_{2l-1}, s_{2l}$ et par $P_{2l}$ l'intervalle aux extrémités $s_{2l}, s_{2l+1}$. Alors $\varphi_n(x)$ est une fonction continue définie sur $I_n N_\sigma$ qui établit une corespondance biunivoque entre $N_\sigma L_{l+1}$ et $P_l \sum_{k=1}^\infty N_{nk}$, de même qu'entre $N_\sigma L_1$ et $J_n \sum_{k=1}^\infty N_{nk} - (A_n) - \sum_{l=1}^\infty P_l (\sum_{k=1}^\infty N_{nk}) = J_n \sum_{k=1}^\infty N_{nk} - (A_n) - (B_n) - \sum_{l=1}^\infty P_l \sum_{k=1}^\infty N_{nk}$ simultanément.

La fonction $\varphi_n(x)$, comme biunivoque et continue sur chacun des ensembles $L_l N_\sigma$, separés deux à deux, est continue sur $I_n N_\sigma = \sum_{l=1}^\infty L_l N_\sigma$ et, les ensembles $P_l$ et $J_n \sum_{k=1}^\infty N_{nk} - (A_n) - \sum_{l=1}^\infty P_l \sum_{k=1}^\infty N_{nk}$
étant deux à deux disjoints, elle est biunivoque sur $I_n N_σ$. Les points $s_i$ convergeant vers $A_n$, on a $\lim_{\substack{x \to a_n+0 \\ x \in I_n N_σ}} \varphi_n(x) = \lim_{\substack{x \to b_n-0 \\ x \in I_n N_σ}} \varphi_n(x) = A_n$ et

$$ \varphi_n(I_n N_σ) = J_n \sum_{k=1}^{\infty} N_{nk} - (A_n) = J_n \sum_{k=1}^{\infty} N_{nk} - (A_n) - (B_n). $$

Posons $\chi(x)=\varphi_n(x)$ sur $I_n N_σ$. Alors $\chi(x)$ prend des valeurs distinctes sur des points distincts de $N_σ$. Nous allons montrer que $\chi(x)$ est continue sur $N_σ$.

Soit $x_0$ un point de $N_σ$. Lorsque $x_0$ appartient à l'intervalle $I_n N_σ$, on a $\chi(x)=\varphi_n(x)$ sur $I_n N_σ$ d'après la définition de $\chi(x)$, et $\varphi_n(x)$ est continue sur $I_n N_σ$. La fonction $\chi(x)$ est donc continue en tout point $x_0$ de $I_n N_σ$.

Soit maintenant $x_0$ un point de $QN_σ$. Trois cas sont alors à distinguer:

I. $x_0$ est un point isolé de $QN_σ$,

II. $x_0$ est un point d'accumulation de $QN_σ$ de deux côtés,

III. $x_0$ est un point d'accumulation de $QN_σ$ seulement d'un côté.

Dans le cas I, il existe deux intervalles $I_{n_1}$ et $I_{n_2}$ tels que $b_{n_1}=a_{n_2}=x_0$. Il résulte de la définition des nombres $A_n$ et $B_n$ que l'on a alors $B_{n_1}=\chi(x_0)=A_{n_2}$; la continuité de $\chi(x)$ au point $x_0$ résulte des formules:

$$ \lim_{x \to x_0-0} \chi(x) = \lim_{x \to b_{n_1}-0} \chi(x) = \lim_{x \to b_{n_1}-0} \varphi_{n_1}(x) = B_{n_1}. $$

$$ \lim_{x \to x_0+0} \chi(x) = \lim_{x \to a_{n_2}+0} \chi(x) = \lim_{x \to a_{n_2}+0} \varphi_{n_2}(x) = A_{n_2}. $$

Dans le cas II, la fonction $\chi(x)$ étant continue sur $QN_σ$ et le point $x_0$ appartenant à $QN_σ$, comme il n'est l'extrémité d'aucun intervalle $I_n$ et comme $\varepsilon_n \to 0$, on peut déterminer: d'abord un intervalle $J=(x_0-\alpha, x_0+\alpha)$ de manière que

1º l'oscillation de $\chi(x)$ sur $JQN_σ$ soit $<\varepsilon$ pour un $\varepsilon>0$ donné,

2º $\varepsilon_n \ge \varepsilon$ entraîne $I_n J=0$,

et puis un intervalle $J'=(x_0-\beta, x_0+\beta)$ tel que

1º $\beta < \alpha$,

2º la condition $I_n J' \ne 0$, où $I_n=(a_n, b_n)$, entraîne

$$ x_0 - \alpha < a_n < b_n < x_0 + \alpha. $$

Supposons maintenant que $x \in J'N_σ$ et $x_0+x$. Si $x \in QN_σ$, la condition 1º entraîne $|\chi(x)-\chi(x_0)|<\varepsilon$ (puisqu'on a d'après 1º $J' \subset J$). Supposons donc que $x \in N_σ-Q$. Alors, il existe un intervalle $I_{n_0}=(a_{n_0}, b_{n_0})$ tel que $x \in I_{n_0}$. D'après la définition de $I_{n_0}$, on a $J' I_{n_0} \ne 0$, ce qui donne d'après 2º $x_0-\alpha < a_{n_0} < b_{n_0} < x_0+\alpha$. Selon la définition de $A_n$, $B_n$ et $\chi(x)$, les nombres $|A_{n_0}-B_{n_0}|$, $|A_{n_0}-\chi(x_0)|$ ne dépassent pas l'oscillation de $\chi(x)$ sur $JQN_σ$; la condition 1º entraîne donc $|A_{n_0}-B_{n_0}|<\varepsilon$ et $|A_{n_0}-\chi(x_0)|<\varepsilon$. Or, puisque la valeur de $\varphi_{n_0}(x)$, où $x \in I_{n_0}N_σ$, appartient à l'intervalle

$$ J_{n_0} = (\min(A_{n_0}, B_{n_0}) - \varepsilon_{n_0}, \max(A_{n_0}, B_{n_0}) + \varepsilon_{n_0}), $$

on a

$$ \min(A_{n_0}, B_{n_0}) - \varepsilon_{n_0} < \varphi_{n_0}(x) < \max(A_{n_0}, B_{n_0}) + \varepsilon_{n_0}, $$

ce qui donne $|(A_{n_0}-\varphi_{n_0}(x))| < |A_{n_0}-B_{n_0}| + \varepsilon_{n_0}$. Nous avons donc

$$ \begin{aligned} |\chi(x) - \chi(x_0)| &= |\varphi_{n_0}(x) - \chi(x_0)| \le |\varphi_{n_0}(x) - A_{n_0}| + |A_{n_0} - \chi(x_0)| < \\ &< |A_{n_0} - B_{n_0}| + \varepsilon_{n_0} + |A_{n_0} - \chi(x_0)| < 2\varepsilon + \varepsilon_{n_0}. \end{aligned} $$

Par conséquent, la condition 2º entraîne dans le cas considéré l'inégalité $|\chi(x)-\chi(x_0)|<3\varepsilon$, de sorte que la continuité de $\chi(x)$ au point $x_0$ est dans ce cas établie.

Dans le cas III, où le point $x_0$ est un point accumulation p. ex. du côté gauche et isolé du côté droit, on démontre la continuité du côté droit comme dans le cas I, et du côté gauche comme dans le cas II.

Ainsi, dans tout les cas $\chi(x)$ est continue au point $x_0$, et par suite en tout point de $N_σ$.

Ceci établi, considérons l'ensemble $\chi(N_σ)$. Selon la définition de $\chi(x)$, nous avons

$$ \begin{aligned} \chi(N_\sigma) &= \chi(QN_c) + \sum_{i=1}^{\infty} \chi(I_n N_\sigma) = F_1 + M + \sum_{n=1}^{\infty} (J_n \sum_{k=1}^{\infty} N_{nk} - (A_n) - (B_n)) = \\ &= F - \sum_{n,k=1}^{\infty} (N_{nk} - J_n) - \sum_{n=1}^{\infty} (J_n \sum_{k=1}^{\infty} N_{nk}) ((A_n) + (B_n)). \end{aligned} $$

Par conséquent

$$ F = \chi(N_\sigma) + \sum_{n,k=1}^{\infty} (N_{nk} - J_n) + \sum_{n=1}^{\infty} (J_n \sum_{k=1}^{\infty} N_{nk}) ((A_n) + (B_n)). $$

Or, $\chi(N_σ)$ et $N_{nk}-J_n(n,k=1,2,...)$ sont disjoints deux à deux et, d'après le lemme 2, $N_{nk}-J_n$ est homéomorphe à $N_σ$, quand on néglige au plus deux points (les points extrêmes de $J_n$). Donc, en
négligeant au plus une infinité dénombrable de points, l'ensemble $F$ est somme au plus d'une infinité dénombrable d'ensembles deux à deux disjoints qui sont des images biunivoques et continues de $N_a$. Par conséquent, selon le lemme 2, $F$ est une image biunivoque et continue de $N_a$, quand on néglige au plus une infinité dénombrable de points, c. q. f. d.

Je tiens à remercier, en terminant, Mlle S. Braun de diverses remarques et corrections qu'elle m'a prêtées pendant la rédaction de cette Note.

Institut Mathématique
de l'Université Impériale de Hokkaidō,
Sapporo, Japon.

# Algebraische Fassung des Maßproblems.

Von
Alfred Tarski (Warszawa).

Das geometrische Maßproblem besteht bekanntlich im Folgenden: es soll in einem gegebenen Punktmengensystem $S$ eine Maßfunktion definiert werden, d. h. eine Funktion $f$, die jeder, Menge $X$ des Systems eine nichtnegative reelle Zahl $f(X)$, das sog. Maß, eindeutig zuordnet, wobei die als Eichmenge (Einheit des Maßes) gewählte Punktmenge $E$ das Maß 1 erhält, zwei kongruente Punktmengen das gleiche Maß haben und schließlich das Maß der Summe zweier elementfremder Mengen gleich der Summe der Maße der beiden Summanden ist (von der Ausdehnung der letzten Forderung auf abzählbar viele Summanden wird hier abgesehen) ¹).

In der vorliegenden Arbeit will ich eine möglichst allgemeine und abstrakte Fassung des Maßproblems skizzieren. In dieser Fassung gewinnen Begriffe und Ergebnisse einen algebraischen Character: es wird ein System von beliebigen Dingen betrachtet, für dessen Elemente eine stets ausführbare, kommutative und assoziative binäre Operation, die Addition, definiert ist; es wird gefragt, ob es einen Homomorphismus gibt, der dieses System auf eine Menge von nichtnegativen Zahlen abbildet, und zwar auf eine Menge, die mindestens eine von 0 verschiedene endliche Zahl enthält ²). Es zeigt sich, daß die Möglichkeit, einen solchen Homomorphismus aufzustellen, ausschließlich von der Beschaffenheit des als Einheit gewählten Elements abhängt; eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür besteht in der sog. Normalität dieses Elements. Dieser Fundamentalsatz gründet sich auf gewisse Begriffe und Sätze, die an und für sich interessant zu sein scheinen und Verallgemeinerungen von gewissen geometrischen Begriffsbildungen darstellen (z. B. die Begriffe des inneren und des äußeren Maßes). Alle diese Ergebnisse sind in § 1 enthalten.