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BLAISE PASCAL

TOUSSAINT JOSEPH RABEHERIMANANA

Grandes déviations et loi fonctionnelle du logarithme itéré
pour les processus de diffusions avec réflexion

Volume 14, n° 1 (2007), p. 61-76.

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# Grandes déviations et loi fonctionnelle du logarithme itéré pour les processus de diffusions avec réflexion

TOUSSAINT JOSEPH RABEHERIMANANA

## Résumé

Dans cet article, nous démontrons une loi fonctionnelle du logarithme itéré pour les diffusions avec réflexion à la frontière d'un ouvert régulier $D_0$ de $\mathbb{R}^n$ semblable à la loi de Strassen [5] pour le brownien et de Baldi [2] pour les diffusions en utilisant la technique de grandes déviations.

## Diffusion process with reflecting boundary

### Abstract

Let $D_0$ a regular open set in $\mathbb{R}^n$. We prove in this paper a functionnal iterated logarithm law for $D_0$-valued diffusion process with reflecting boundary conditions, extending the results of Strassen [5] and Baldi [2] when $\partial D_0 = \emptyset$, using large deviations principle.

## 1. Introduction

Dans cet article nous étendons, dans le cas des processus de diffusions avec réflexion, les résultats de Strassen [5] pour le brownien et de Baldi [2] pour les diffusions concernant une loi fonctionnelle du logarithme itéré. Plus précisément, nous déterminons l'ensemble-limite, pour $u \to +\infty$ de la famille $\{z_u\}$ où

$$dz_u(t) = \tilde{b}^u(z_u(t))dt + \frac{1}{\sqrt{Lu}}\tilde{\sigma}^u(z_u(t))dB_t^{(u)} + \gamma(z_u(t))1_{\partial D_0}(z_u(t))dA_t^{u,x};$$

$$A_0^{u,x} = 0, z_u(0) = x \in D_0,$$

<footnote>Mots-clés: Grandes déviations, diffusions avec réflexion, loi fonctionnelle du logarithme itéré.</footnote>

<footnote>Classification math.: 60F17 (60F10).</footnote>
$D_0$ ouvert régulier de $\mathbb{R}^n$, $(\gamma(x), x \in \partial D_0)$ un champ de vecteurs non tangents sur $\partial D_0$, frontière de $D_0$, $A_t^{u,x}$ un processus croissant continu, ne croissant que sur $\{s; z_u(s) \in \partial \bar{D}_0\}$ et vérifiant

$$A_t^{u,x} = \int_0^t 1_{\partial D_0}(z_u(s))\gamma(z_u(s))dA_s^{u,x}.$$

Comme dans [3] et [5], notre résultat est démontré essentiellement en utilisant les résultats de grandes déviations pour les processus de réflexion (c.f [1] et [4]). Notre méthode consiste à étendre les résultats de Baldi [2] pour un certain processus non restreint dont les coefficients sont des fonctionnelles non anticipatives. Et par la continuité de $(\Gamma, \Xi)$ (voir définition (2.4)), nous en déduisons notre résultat pour le demi-espace. Le résultat pour un ouvert plus général s'obtient par localisation et recollement (c.f Anderson & Orey [1] et Doss & Priouret [4]).

Dans la section 2, nous rappelons les résultats de grandes déviations d'Anderson & Orey [1] et Doss & Priouret [4] pour les diffusions avec réflexion. Ces résultats sont utilisés dans la section 3 pour démontrer notre résultat principal, théorème 3.7.

**Remerciements** : *Nous tenons à exprimer toute notre reconnaissance au referee*

## 2. Petites perturbations de systèmes dynamiques avec réflexion à la frontière

Dans ce paragaphe, nous présentons les résultats de grandes déviations pour les systèmes dynamiques avec réflexion (c.f. Anderson & Orey [1] et Doss & Priouret [4])

Soient $D_0$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $(\gamma(x), x \in \partial D_0)$ un champ de vecteurs non tangents sur $\partial D_0$, frontière de $D_0$. On considère la solution $(X^\epsilon, A^\epsilon)$ de l'équation :

$$X_t^\epsilon = x + \epsilon \int_0^t \sigma_\epsilon(X_x^\epsilon) dB_s + \int_0^t b_\epsilon(X_s^\epsilon) ds + \int_0^t 1_{\partial D_0}(X_s^\epsilon) \gamma(X_s^\epsilon) dA_s^\epsilon \quad (2.1)$$

avec $X_t^\epsilon \in D$ fermeture de $D_0$, $A_t^\epsilon$ un processus croissant continu ne croissant que sur $\{s, A_s^\epsilon \in \partial D_0\}$ et $B = (B_t)_{t \in [0,1]}$ un mouvement brownien
issu de 0 à valeurs dans $\mathbb{R}^d$, défini sur $(\Omega, F, (F_t)_{t \in [0,1]}, P)$.
Nous supposons que les applications qui à

$$ \begin{cases} x \in \mathbb{R}^n \rightarrow \sigma_{\varepsilon}(x) \in \mathbb{R}^n \otimes \mathbb{R}^d \text{ et} \\ x \in \mathbb{R}^n \rightarrow b_{\varepsilon}(x) \in \mathbb{R}^n \end{cases} \qquad (2.2) $$

sont lipschitziennes et bornées et que $b_{\varepsilon}$ (resp. $\sigma_{\varepsilon}$) converge uniformément vers $b$ (resp. $\sigma$) lorsque $\varepsilon$ tend vers 0.

## 2.1. Cas du demi-espace $\mathbb{R}^{n,+}$

Dans ce paragraphe, on prend pour $D_0$

$$ \mathbb{R}^{n,+} \stackrel{\text{déf}}{=} \{ x \in \mathbb{R}^n, x = (x^1, \dots, x^n) \text{avec } x^1 > 0 \} $$

On considère la solution $(X^{\varepsilon}, A^{\varepsilon})$ de l'équation

$$ \begin{gathered} X_t^{\varepsilon} = x + \varepsilon \int_0^t \sigma_{\varepsilon}(X_s^{\varepsilon}) dB_s + \int_0^t b_{\varepsilon}(X_s^{\varepsilon}) ds + e_1 A_t^{\varepsilon}; \quad (2.3) \\ (X_t^{\varepsilon})^1 \ge 0, \quad e_1 = (1, 0, \dots, 0) \end{gathered} $$

et $A_t^{\varepsilon}$ un processus croissant continu vérifiant $A_t^{\varepsilon} = \int_0^t 1_{(x^1=0)}(X_s^{\varepsilon})dA_s^{\varepsilon}$

Sous les conditions (2.2), la solution $(X^{\varepsilon}, A^{\varepsilon})$ de (2.3) existe et est unique. Suivant les idées d'Anderson & Orey [1], on a

$X_t^{\varepsilon} = \Gamma Y_t^{\varepsilon}$ et $A_t^{\varepsilon} = \Xi Y_t^{\varepsilon}$, où $\Gamma$ et $\Xi$ sont définies par les formules

pour chaque $\omega = (\omega^1, \dots, \omega^n) \in C([0, 1], \mathbb{R}^n)$

$$ \Xi\omega = \varpi^1, \Gamma\omega = (\omega^1+\varpi^1, \omega^2, \dots, \omega^n) \text{ où } \varpi^1(t) = -\inf_{s \le t} (\omega^1(s) \wedge 0) \quad (2.4) $$

et $Y_t^{\varepsilon}$ est solution d'un certain processus non restreint,

$$ Y_t^{\varepsilon} = x + \varepsilon \int_0^t \sigma_{\varepsilon,s} \circ Y^{\varepsilon} dB_s + \int_0^t b_{\varepsilon,s} \circ Y^{\varepsilon} ds \qquad (2.5) $$

Les entrées $\sigma_{\varepsilon,s}$ et $\sigma_{\varepsilon}$ (resp. $b_{\varepsilon}$ et $b_{\varepsilon,s}$) sont reliées par les formules

$$ \sigma_{\varepsilon,s} \circ Y = \sigma_{\varepsilon}(\Gamma_s Y) (\text{resp. } b_{\varepsilon,s} \circ Y = b_{\varepsilon}(\Gamma_s Y)) $$

De plus, on a $\|\Gamma\eta - \Gamma\theta\| \le 2 \cdot \|\eta - \theta\|$

Notons $H^1$ l'espace des fonctions absolument continues de $[0, 1]$ dans $\mathbb{R}^d$ avec une dérivée de carrée sommable. C'est un espace d'Hilbert muni du produit scalaire $(f, g) = \int_0^1 \dot{f}_s \cdot \dot{g}_s ds$ Définissons une application

$$ \begin{aligned} S_x : H^1 : & \rightarrow C_x([0, 1], \mathbb{R}^n) \\ f & \rightarrow g = S_x(f) \end{aligned} $$
$g = S_x(f)$ si, et seulement si, $g$ est solution de:

$$g_t = x + \int_0^t \sigma_s \circ g \dot{f}_s ds + \int_0^t b_s \circ g ds$$

Définissons une fonctionnelle d'action sur $C_x([0, 1], \mathbb{R}^n)$ par la formule:

$$\left\{ \begin{array}{l} I(g) = \inf \left\{ \frac{1}{2} \|f\|_{H^1}^2 \text{ lorsque } g = S_x(f) \right\} \\ \inf \{\emptyset\} = +\infty \end{array} \right. \qquad (2.6)$$

Nous avons alors les résultats suivants (c.f.[1] et [4])

**Théorème 2.1.** Soit $a > 0$. Supposons vérifiée la condition (2.2). Alors $\forall \rho > 0, R > 0$, il existe $\varepsilon_0 > 0$, $\alpha_0 > 0$ tel que $\forall f \in H^1$ vérifiant $\frac{1}{2} \|f\|_{H^1}^2 \le a$; si $g = S_x(f)$, alors

$$P(d(Y^{\varepsilon}, g) > \rho; d(\varepsilon B, f) < \alpha) \le \exp - \frac{R}{\varepsilon^2}.$$

**Théorème 2.2.** Considérons le processus $Y^\varepsilon = (Y_t^\varepsilon)_{t \in [0,1]}$ solution de (2.5). Notons $P^\varepsilon$ la loi de $Y^\varepsilon$. Alors $P^\varepsilon$ satisfait à un principe de grandes déviations avec la fonctionnelle d'action $I$ définie par (2.6). De plus, nous avons les estimations suivantes
$\forall A \subset C_x([0,1], \mathbb{R}^n)$

$$\begin{aligned} - \inf \{I(g), g \in A^\circ\} &\le \liminf_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^2 \ln P^\varepsilon(A) \le \limsup_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^2 \ln P^\varepsilon(A) \\ &\le - \inf \{I(g), g \in \bar{A}\} \end{aligned}$$

où $A^\circ(\text{resp. } \bar{A})$ désigne l'intérieur de $A$ (resp. l'adhérence de $A$).

Définissons les fonctionnelles d'action sur $C_{x,0}([0,1], \mathbb{R}^{n,+} \times \mathbb{R})$ et $C_x([0,1], \mathbb{R}^{n,+})$

$$\left\{ \begin{array}{l} \bar{I}^+(\psi, \phi) = \inf \{I(\theta), \text{ lorsqu'il existe } \theta \in C_x([0,1], \mathbb{R}^n) \\ \text{telle que } \psi = \Gamma\theta \text{ et } \varphi = \Xi\theta\} \\ \inf \{\emptyset\} = +\infty \end{array} \right. \qquad (2.7)$$

où $\Gamma$, $\Xi$ et $I$ sont définies par (2.4) et (2.6)

$$\left\{ \begin{array}{l} I^+(\psi) = \inf \{I(\theta), \text{ lorsqu'il existe } \theta \in C_x([0,1], \mathbb{R}^n) \text{ telle que } \psi = \Gamma\theta \} \\ \inf \{\emptyset\} = +\infty \end{array} \right. \qquad (2.8)$$

**Théorème 2.3.** 1) Considérons le couple $(X^\varepsilon, A^\varepsilon)$ solution de (2.3). Notons $\bar{Q}_\varepsilon$ la loi de $(X^\varepsilon, A^\varepsilon)$, $\bar{Q}_\varepsilon \in M_1(C_{x,0}([0,1], \mathbb{R}^{n,+} \times \mathbb{R}))$. Alors $\bar{Q}_\varepsilon$ satisfait à un principe de grandes déviations avec la fonctionnelle
d'action $\bar{I}^+$ définie dans (2.7) De plus, nous avons les estimations suivantes

$$
\forall A \subset C_{x,0}([0,1], \mathbb{R}^{n,+} \times \mathbb{R})
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
- \inf \{ \bar{I}^+(\psi, \varphi), (\psi, \varphi) \in A^\circ \} \le \liminf_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^2 \ln \bar{Q}_\varepsilon(A) \\
\le \limsup_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^2 \ln \bar{Q}_\varepsilon(A) \le - \inf \{ \bar{I}^+(\psi, \varphi), (\psi, \varphi) \in \bar{A} \}
\end{array}
\right.
$$

où $A^\circ$ (resp. $\bar{A}$) désigne l'intérieur de $A$ (resp. l'adhérence de $A$).

2) Considérons $X^\varepsilon$ solution de (2.3).

Notons $Q_\varepsilon$ la loi de $X^\varepsilon, Q_\varepsilon \in M_1(C_x([0,1], \mathbb{R}^{n,+}))$, espace des mesures
de probabilités sur $C_{x,0}([0,1], \mathbb{R}^{n,+})$. Alors $Q_\varepsilon$ satisfait à un principe
de grandes déviations avec la fonctionnelle d'action définie dans (2.8)

De plus, nous avons les estimations suivantes $\forall A \subset C_x([0,1], \mathbb{R}^{n,+})$.

$$
\left\{
\begin{array}{l}
- \inf \{ I^+(\psi), \psi \in A^\circ \} \le \liminf_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^2 \ln Q_\varepsilon(A) \\
\le \limsup_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^2 \ln Q_\varepsilon(A) \le - \inf \{ I^+(\psi), \psi \in \bar{A} \}
\end{array}
\right.
$$

où $A^\circ$ (resp. $\bar{A}$) désigne l'intérieur de $A$ (resp. l'adhérence de $A$).

Nous renvoyons le lecteur à [1] et [4] pour une écriture explicite de $I^+$
et $\bar{I}^+$.

2.2. Cas d'un ouvert régulier de ℝⁿ

Soit $D_0$ un ouvert connexe régulier de $\mathbb{R}^n$. Notons D l'adhérence de $D_0$.
Supposons que D a une frontière régulière $\partial D$ sur laquelle est défini un
champ de vecteurs réguliers $\gamma$ orienté vers l'intérieur $D_0$. Alors il existe
un couple $(X_t^\varepsilon, A_t^\varepsilon)$ de processus $F_t$-adapté, solution de (2.1) où les entrées
vérifient (2.2).

La construction se fait par localisation (c.f. [1] et [4], i.e. on se place
dans une carte locale pour réduire le problème (2.1) à un problème sur le
demi-espace ou $\mathbb{R}^n$ tout entier et on recolle ensuite).

Dans toute la suite, nous considèrerons $\cup = \{U^0, U^1, \dots, \}$ une famille
finie ou dénombrable de sous-ensembles ouverts relativement compacts de
D qui recouvrent $D_0$ et telle qu’à chaque $U \in \cup$ est associé un système de
coordonnées

$$
\mu : \bigcup \to \mathbb{R}^n \text{ qui à x associe } \mu(x) = (\mu^1(x), \dots, \mu^n(x)).
$$
Nous supposons vérifiées les conditions suivantes :

$$ (2.9) $$

i) $U^0 \subset D_0$ et le système de coordonnées correspondantes est le système de coordonnées usuelles. Si $U = U^k, k > 0$, dans ce cas $U$ coupe $\partial D$ et

$$ U \cap \partial D = \{x \in U; \mu^1(x) = 0\}, U \cap D_0 = \{x \in U; \mu^1(x) > 0\} $$

ii) Il existe $\rho > 0$ et pour chaque $x \in U$, il existe un entier positif $k(x)$ tel que si $y \in D$ vérifie $d(x, y) \le \rho$ alors $y \in U^k(x)$.

Considérons l'équation (2.1). Si $X_t^{\varepsilon,x} \in U^k$ et si $\mu$ est le système de coordonnées associées à $U^k$, alors $\mu(X_t^{\varepsilon,x})$, grâce à la formule d'Ito, satisfait à une équation comme dans (2.1) avec de nouveaux coefficients $\sigma_{\varepsilon,k}, b_{\varepsilon,k}$ et un champ de vecteurs $\gamma_k$ sur la frontière de $\mathbb{R}^{n,+}$.

iii) Les entrées $\sigma_{\varepsilon,k}$ et $b_{\varepsilon,k}$ satisfont à la condition (2.2)

iv) $\gamma_k(0, y^2, \dots, y^n) = e_1$ pour $(0, y^2, \dots, y^n) \in \text{Im}\mu$

v) Il existe $c > 0$ tel que $\forall U^k$, la fonction coordonnée associée satisfait

$$ \frac{1}{c} |\mu(x) - \mu(y)| \le |x - y| \le c. |\mu(x) - \mu(y)| $$

**Théorème 2.4.** *Considérons le couple $(X^\varepsilon, A^\varepsilon)$ solution de (2.1) (resp. $X^\varepsilon$). Supposons que la condition (2.2) est vérifiée. Alors les asser-
tions du théorème 2.3 sont valables.*

## 3. Loi fonctionnelle du logarithme itéré pour les processus de réflexion

### 3.1. Cas du demi-espace

Nous rappelons d'abord la définition d'un système de contractions centrées en un point. Soit $U$ un ouvert fixé de $\mathbb{R}^n$.

(3.1)

Définition [2]. Une famille $\Theta = (\Theta_\alpha)_{\alpha \in \mathbb{R}^+}$ de transformation bijectives continues de $U$ vers $U$ est appelée un système de contractions centrées en $x$ si

a) $\Theta_\alpha(x) = x$,

b) si $\alpha \ge \beta$, alors on a $|\Theta_\alpha(y) - \Theta_\alpha(z)| \le |\Theta_\beta(y) - \Theta_\beta(z)| \quad \forall (y, z) \in U^2$
c) $\Theta_1 = \text{Id}_U$ et $\Theta_\alpha^{-1} = \Theta_{\alpha^{-1}}$. De plus, pour tous compacts K de U et $\varepsilon$ positif, il existe $\delta > 0$ tel que si $|\alpha\beta - 1| < \delta$, alors
$$|\Theta_\alpha \circ \Theta_\beta(y) - (y)| < \varepsilon \quad \forall y \in K$$

Soient maintenant $\tilde{\sigma}$ un $n \times d$- champ de matrices et $\tilde{b}$ un champ de vecteurs sur U. Posons $\tilde{a} = \tilde{\sigma}^t \tilde{\sigma}$ et considérons l'opérateur différentiel du second ordre sur U

$$\tilde{L} = \frac{1}{2} \sum \tilde{a}_{ij} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} + \sum \tilde{b}_i \frac{\partial}{\partial x_i} \quad (3.2)$$

Posons $L(t) = \ln \ln t$ et $\phi(t) = \sqrt{t \ln \ln t}$

$$\left\{ \begin{array}{l} \tilde{b}^{\alpha}(y) = \alpha(\tilde{L}\Theta_{\phi(\alpha)}) \circ \Theta_{\phi(\alpha)}^{-1}(y) \\ \tilde{\sigma}^{\alpha}(y) = \phi(\alpha)(\nabla\Theta_{\phi(\alpha)})(\Theta_{\phi(\alpha)}^{-1}(y)).\tilde{\sigma}(\Theta_{\phi(\alpha)}^{-1}(y)), \end{array} \right. \quad (3.3)$$

où $\Theta$ est un système de contractions centrées en x.

Hypothèse: Nous dirons que le triplet $(b, \sigma, \Theta)$ satisfait (3.4)

l'hypothèse (3.4) si $\Theta_\alpha$ est 2 fois différentiable $\forall \alpha > 0$ et il existe un $n \times d$- champ de matrices $\sigma$ et un champ de vecteurs b sur U tel que

$$\lim_{\alpha \to +\infty} \tilde{b}^{\alpha}(y) = b(y), \quad \lim_{\alpha \to +\infty} \tilde{\sigma}^{\alpha}(y) = \sigma(y)$$

uniformément sur les sous-ensembles compacts de U. De plus si $b_\varepsilon = \tilde{b}^{1/\varepsilon}$ et $\sigma_\varepsilon = \tilde{\sigma}^{1/\varepsilon}$ alors les entrées $b_\varepsilon$ et $\sigma_\varepsilon$ satisfont à la condition (2.2).

Nous dirons que $\tilde{\sigma}$ est adapté au système de contractions $\Theta$ si $\tilde{\sigma}^\alpha = \tilde{\sigma}$ pour tout $\alpha > 0$. Dans ce cas, il suffit que l'application qui à x associe $\tilde{\sigma}(x)$ soit lipschitzienne sur tous les compacts.

Pour tout $u > 0$, $B^{(u)}$ désignera le mouvement brownien

$$B_t^{(u)} = \frac{1}{\sqrt{u}} B_{ut}.$$

Considérons la diffusion y, solution de l'équation différentielle stochastique

$$dy_t = \tilde{b}(y_t)dt + \tilde{\sigma}(y_t)dB_t; y_0 = x \text{ et posons pour tout } u>0$$

$$y_t^u = y_{ut} \text{ et } z_u(t) = \Theta_{\phi(u)}(y_t^u).$$
Par la formule d'Ito et par changement de temps $z_u$ est solution de

$$ * dz_u(t) = \tilde{b}^u(z_u(t))dt + \frac{1}{\sqrt{Lu}} \tilde{\sigma}^u(z_u(t))dB_t^{(u)}; z_u(0) = x $$

Sous l'hypothèse (3.4), nous voulons trouver l'ensemble-limite de la famille $\{z_u\}$ qui satisfait * sur $\{x; x^1 > 0\}$ pour $u \to +\infty$ p.s. et qui est instantanément réfléchie selon $e_1$ en atteignant la frontière $\{x; x^1 = 0\}$. Alors $z_u$ est solution de

$$ dz_u(t) = \tilde{b}^u(z_u(t))dt + \frac{1}{\sqrt{Lu}} \tilde{\sigma}^u(z_u(t))dB_t^{(u)} + e_1 dA_t^{u,x}; \quad z_u(0) = x, \quad A_0^{u,x} = 0, \qquad (3.5) $$

avec $A_t^{u,x}$ un processus croissant continu, ne croissant que sur

$$ \{s; x^1(z_u(s)) = 0\} $$

vérifiant

$$ A_t^{u,x} = \int_0^t 1_{(x^1=0)}(z_u(s))dA_s^{u,s}. $$

Sous l'hypothèse (3.4), nous pouvons appliquer les résultats de la section 2 à $(b_{1/u}, \sigma_{1/u}) = (\tilde{b}^u, \tilde{\sigma}^u)$ et nous avons :

$$ (3.6) $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} - \inf \{ \bar{I}^+(\psi, \varphi), (\psi, \varphi) \in A^\circ \} \le \liminf_{u \to +\infty} \frac{1}{Lu} \ln P \{(z_u, A^u) \in A\} \\ \le \limsup_{u \to +\infty} \frac{1}{Lu} \ln P \{(z_u, A^u) \in A\} \le - \inf \{ \bar{I}^+(\psi, \varphi), (\psi, \varphi) \in \bar{A} \} \\ \\ - \inf \{ I^+(\psi), \psi \in A^\circ \} \le \liminf_{u \to +\infty} \frac{1}{Lu} \ln P \{ z_u \in A \} \\ \le \limsup_{u \to +\infty} \frac{1}{Lu} \ln P \{(z_u \in A)\} \le - \inf \{ I^+(\psi), \psi \in \bar{A} \} \end{array} \right. $$

**Théorème 3.1.** a) Sous l'hypothèse 3.4' (voir la démonstration ci-dessous), la famille $\{(z_u, A^u)\}_u$ est relativement compacte; de plus $\bar{C}^+ = \{g; \bar{I}^+(g) \le 1\}$ est l'ensemble-limite pour $u \to +\infty$ p.s..

b) Sous la même hypothèse, la famille $\{z_u\}_u$ est relativement compacte; de plus $C^+ = \{g; I^+(g) \le 1\}$ est l'ensemble-limite pour $u \to +\infty$ p.s..

Supposons que $U = \mathbb{R}^n$, $\tilde{b} = 0$, $\tilde{\sigma} = \mathrm{Id}$, $\Theta_\alpha(y) = \alpha^{-1}y$. Dans ce cas, $z_u(t) = \frac{1}{\sqrt{Lu}} B_t^{(u)} + e_1 A_t^{u,x}$; $A_0^{u,x} = 0$. Le théorème 3.1 est alors une extension au brownien réfléchi de la loi de Strassen [5].
*Démonstration.* Suivant les idées d'Anderson & Orey [1]

$$ (z_u, A^u)(t) = (\Gamma_t, \Xi_t)V_u, $$

où $V_u$ est solution de

$$ dV_u(t) = \tilde{b}^u(\Gamma_t V_u)dt + \frac{1}{\sqrt{Lu}}\tilde{\sigma}^u(\Gamma_t V_u)dB_t^{(u)}; \quad V_u(0) = x \quad (3.7) $$

D'autre part, considérons $(y_t, A_t)$ solution de

$$ dy_t = \tilde{b}(y_t)dt + \tilde{\sigma}(y_t)dB_t + e_1dA_t; y_0 = x, A_0 = 0 \quad \text{alors} \quad (3.8) $$

$(y_t, A_t) = (\Gamma_t, \Xi_t)Y$ avec

$$ dY_t = \tilde{b}(\Gamma_t Y)dt + \tilde{\sigma}(\Gamma_t Y)dB_t; Y_0 = x \quad (3.9) $$

Posons

$$ Y_t^u = Y_{ut} \qquad \text{Alors du fait que} \quad (3.10) $$

$$ \bar{V}_u(t) = \Theta_{\phi(u)}(Y_t^u). $$

$$ \left\{ \begin{aligned} (\Gamma_{ut}Y)^1 &= (Y_t^u)^1 - \inf_{0 \le s \le ut} ((Y_s)^1 \wedge 0) \\ &= (Y_t^u)^1 - \inf_{0 \le v \le t} ((Y_v^u)^1 \wedge 0) \\ &= (\Gamma_t Y^u)^1 \end{aligned} \right. \quad (3.11) $$

$Y^u$ est solution de :

$$ dY_t^u = u\tilde{b}(\Gamma_t Y^u)dt + \sqrt{u}\tilde{\sigma}(\Gamma_t Y^u)dB_t^{(u)}; \quad Y_0^u = x \quad (3.12) $$

$\bar{V}_u$ est solution de :

$$ d\bar{V}_u(t) = \tilde{b}^u \circ \bar{V}_u dt + \frac{1}{\sqrt{Lu}} \tilde{\sigma}_t^u \circ \bar{V}_u dB_t^{(u)}; \quad \bar{V}_u(0) = x \quad \text{en posant} $$

$$ \tilde{L}_t = \frac{1}{2} \sum \tilde{a}_{ij,t} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} + \sum \tilde{b}_{i,t} \frac{\partial}{\partial x_i} $$

$$ \tilde{b}_t^\alpha \circ y = \alpha(\tilde{L}_t \Theta_{\phi(\alpha)}) \circ \Theta_{\phi(\alpha)}^{-1}(y) $$

$$ \tilde{\sigma}_t^\alpha \circ y = \phi(\alpha)(\nabla \theta_{\phi(\alpha)}).\tilde{\sigma}_t \circ \Theta_{\phi(\alpha)}^{-1}(y) $$

Hypothèse (3.4'). En plus de l'hypothèse (3.4), nous supposons que

$$ \tilde{b}_t^\alpha \circ y = \tilde{b}^\alpha(\Gamma_t y) $$

$$ \tilde{\sigma}_t^\alpha \circ y = \tilde{\sigma}^\alpha(\Gamma_t y) \quad \forall y \in C(U) $$

Sous cette hypothèse, on a $V_u = \bar{V}_u$ p.s.(3.3) et l'hypothèse (3.4) im-
pliquent que

$$ \lim_{\alpha \to \infty} \tilde{b}_t^\alpha \circ y = b_t \circ y $$
$$ \lim_{\alpha \to \infty} \tilde{\sigma}_t^{\alpha} \circ y = \sigma_t \circ y $$

uniformément sur les compacts de C(U).

Nous pouvons alors appliquer les résultats du théorème 2.2 à

$$ (b_{1/u,t}, \sigma_{1/u,t}) = (\tilde{b}_t^u, \tilde{\sigma}_t^u) $$

et nous avons

$$ \left\{ \begin{array}{l} - \inf \{ I(\psi), \psi \in A^{\circ} \} \le \liminf_{u \to \infty} \frac{1}{Lu} \ln P \{(V_u \in A)\} \\ \le \limsup_{u \to +\infty} \frac{1}{Lu} \ln P \{(V_u \in A)\} \le - \inf \{ I(\psi), \psi \in \bar{A} \} \end{array} \right. $$

Le théorème 3.1 résultera alors du théorèmes 3.2.

**Théorème 3.2.** *Sous l'hypothèse (3.1), la famille $\{V_u\}_u$ est relativement compacte; de plus $C = \{g; I(g) \le 1\}$ est l'ensemble-limite de $V_u$ pour $u \to +\infty \cdot p.s..*

*Démonstration.* On suivra la preuve introduite dans Baldi [2]. Ce théorème résultera des 2 propositions suivantes :

**Proposition 3.3.** $\forall \varepsilon > 0, \exists p.s. \text{ un réel positif } u_0 = u_0(\omega) \text{ tel que} \\ \forall u > u_0(\omega) \ d(V_u(\omega), C) < \varepsilon$

**Proposition 3.4.** *Soit $g \in C$ tel que $I(g) < 1$. Alors $\forall \varepsilon > 0 \exists c_{\varepsilon} > 1$ tel que $\forall c > c_{\varepsilon} P \{d(V_{cj}, g)\varepsilon \text{ infiniment souvent}\} = 1$*

*Démonstration.* Résulte du théorème 2.1, cf Baldi [2].

*Démonstration de la proposition 3.3.* Si $c > 1$, par l'inégalité du triangle

$$ \begin{align*} d(V_u, C) &\le d(V_u, \Theta_{\varphi(u)} \circ \theta_{\varphi(c_j)}^{-1}(V_{cj})) \\ &\quad + d(V_{cj}, \Theta_{\varphi(u)} \circ \theta_{\varphi(c_j)}^{-1}(V_{cj})) + d(V_{cj}, C) \\ &= I_1 + I_2 + I_3 \end{align*} $$

où j est tel que $c^{j-1} \le u \le c^j$.

La majoration de $I_2$ et $I_3$ résultera du lemme suivant

**Lemme 3.5.** $\forall c > 1 \text{ et } \forall \varepsilon > 0, \exists \text{ p.s. un entier positif } j_0 = j_0(\omega) \text{ tel que} \\ \forall j > j_0(w) \ d(V_{cj}, C) < \varepsilon.$

*Démonstration.* Posons $C'_{\varepsilon} = \{g; d(g, C) \ge \varepsilon\}$. Par le théorème 2.2, $\exists \delta > 0 \text{ tel que } I(C'_{\varepsilon}) > 1 + 2\delta$ et
$$
\limsup_{u \to +\infty} \frac{1}{Lu} \ln P \{(V_u \in C_{\varepsilon}')\} \le -(1 + 2\delta), \text{ donc pour j assez grand}
$$

$$
P(V_{c_j} \in C_{\varepsilon}') \leq \exp \left[ -(1 + \delta) \cdot L(c_j) \right] \leq \frac{const}{j^{1+\delta}}.
$$

Et on applique le lemme de Borel-Cantelli pour conclure car le membre
de droite est sommable.

∃ alors j₀ tel que ∀j > j₀, I₃ < ε/₃.

∃ j₁ tel que ∀j > j₁, I₂ < ε/3 en utilisant ce lemme et le c) de la définition
(3.1) du système des contractions si c > 1.

Il reste à démontrer que $I_1 < \varepsilon/3$ pour j assez grand et $c > 1$.

$\forall j \in \mathbb{N}$ et $c>1$, posons

$$
\begin{align*}
\chi_j &= \sup_{c^{j-1} \le u \le c^j} d(V_u, \theta_{\phi(u)} \circ \theta_{\phi(c^j)}^{-1} (V_{c^j})) \\
&= \sup_{c^{j-1} \le u \le c^j} d(\theta_{\phi(u)}(Y^u), \theta_{\phi(u)}(Y^{c^j}))
\end{align*}
$$

**Lemme 3.6.** $\forall\varepsilon > 0$, $\exists c_{\varepsilon} > 1$ tel que

si $1 < c < c_{\varepsilon}$, $P\{\exists j_0 = j_0(\omega) \text{ tel que } \chi_j < \varepsilon \text{ dès que } j > j_0\} = 1$

Démonstration. Nous devons prouver que

$$
P \left\{ \limsup_{j \to +\infty} (\chi_j \ge \varepsilon) \right\} = 0
$$

Par le lemme 3.5, ∃K > 0 telle que pour presque tout ω ,∃ j₀(ω) tel
que ||Vnj (ω)|| ≤ K ∀j > j₀(ω). Il reste alors à prouver seulement que :

$$
P \left\{ \limsup_{j \to \infty} (\chi_j \ge \varepsilon, \|V_{cj}(\omega)\| \le K) \right\} = 0
$$

Comme dans [2], nous avons

$$
\{ \chi_j \ge \varepsilon \| V_{c_j}(\omega) \| \le K \}
$$

$$
\subset \left\{ \sup_{c^{j-1} \le u \le c^j} \left| \Theta_{\phi(c^{j-1})} \circ \Theta_{\phi(c^j)}^{-1} (V_{c^j}(t)) - \Theta_{\phi(c^{j-1})} \circ \Theta_{\phi(c^j)}^{-1} (V_{c^j}(s)) \right| > \varepsilon ; \right. \\
\qquad \left. \|V_{c^j}(\omega)\| \le K \right\}
$$
Mais $\forall \delta > 0$ et pour j assez grand

$$ \frac{\phi(c^j)}{\phi(c^{j-1})} = \sqrt{c} \cdot \sqrt{\frac{\ln \ln c^j}{\ln \ln c^{j-1}}} \le \sqrt{c} \cdot (1 + \delta) $$

en appliquant le c) de la définition (3.1),
si c assez petit

$$ \begin{aligned} & \{\chi_j \ge \varepsilon, \|V_{cj}\| \le K\} \\ & \subset \left\{ \sup_{\substack{0 \le s \le 1 \\ s/c \le t \le s}} |V_{cj}(t) - V_{cj}(s)| \ge \varepsilon/2; \|V_{cj}\| \le K \right\}, \text{où} \\ & \qquad = \{V_{cj} \in A_\varepsilon\} \\ & A_\varepsilon = \left\{ \sup_{\substack{0 \le s \le 1 \\ s/c \le t \le s}} |g(t) - g(s)| \ge \varepsilon/2; \|g\| \le K \right\} \end{aligned} $$

Ainsi, nous avons seulement besoin d'une borne inférieure pour $P\{\chi_j \ge \varepsilon, \|V_{cj}(\omega)\| \le K\}$ en utilisant les résultats du théorème 2.2 car $A_\varepsilon$ est fermé.

Soit $g \in A_\varepsilon$ et $f \in H^1$ telles que $g = S_x(f)$ i.e.

$$ \dot{g}_t = b_t(g) + \sigma_t(g) \dot{f}_t; \quad g_0 = x, $$

Alors il existe $s,t \in [0,1]$ avec $0 \le s \le 1$, $s/c \le t \le s$

$$ \frac{\varepsilon}{4} = \left| \int_t^s \dot{g}_\nu d\nu \right| \le \int_t^s |b_\nu(g)| d\nu + \int_t^s \left| \sigma_\nu(g) \dot{f}_\nu \right| d\nu $$

De la définition même de $A_\varepsilon$ et de $b_t = b \circ \Gamma_t$ (resp. $\sigma_t = \sigma \circ \Gamma_t$), il existe une constante $m$ telle que si nous supposons $c \le 2$, grâce à l'inégalité de Holder

$$ \begin{aligned} \frac{\varepsilon}{4} &\le m \cdot |t-s| + m \cdot |t-s|^{\frac{1}{2}} \cdot \|f\|_{H^1} \quad \text{D'où} \\ \|f\|_{H^1} &\ge |t-s|^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{m} \left( \frac{\varepsilon}{4} - m \cdot |t-s| \right) \end{aligned} $$

Ce qui implique qu'il existe $c_\varepsilon > 1$ tel que, si $1 < c < c_\varepsilon$, $\frac{1}{2} \|f\|_{H^1}^2 > 2$, alors $I(A_\varepsilon) \ge 2$ et pour j assez grand, par le théorème 2.2,

$$ P\{\chi_j \ge \varepsilon, \|V_{cj}\| \le K\} \le \exp\left[-\frac{3}{2}L(c^j)\right] = \frac{const}{j^{\frac{3}{2}}} $$

On applique le lemme de Borel- Cantelli pour conclure.
### 3.2. Cas d'un ouvert de $\mathbb{R}^n$

Considérons la diffusion avec réflexion, solution de :

$$ egin{cases} dz_u(t) = \tilde{b}^u(z_u(t))dt + \frac{1}{\sqrt{Lu}}\tilde{\sigma}^u(z_u(t))dB_t^{(u)} + 1_{\partial D}(z_u(t))\gamma(z_u(t))dA_t^{u,x}; \\ z_u(0) = x, A_0^{u,x} = 0 \end{cases} \quad (3.13) $$

$\tilde{b}^u$ et $\tilde{\sigma}^u$ sont définies par (3.3)

$\gamma(x)$ un champ de vecteurs non tangents sur la frontière de $D_0$,

$A_t^{u,x}$ un processus croissant continu, ne croissant que sur $\{s; z_u(s) \in \partial D_0\}$ vérifiant

$$ A_t^{u,x} = \int_0^t 1_{\partial D}(z_u(s))dA_s^{u,x} $$

Dans ce paragraphe, nous déterminerons l'ensemble-limite de la famille $\{z_u\}$ pour $u \to \infty$ p.s..

**Théorème 3.7.** Même hypothèse que le théorème 3.1. Les assertions du théorème 3.1 sont encore valables pour la famille $\{z_u\}$ pour $u \to +\infty$ p.s.

Par localisation et recollement.

Définissons par induction :

$$ S_1(u) = \inf_{t \ge 0} \{z_u(t) \in B_{\rho}(x)^c\} \text{ et } S_1 = \max_u S_1(u) \wedge 1, $$

puis pour tout entier $m \ge 2$ :

$$ S_m(u) = \inf_{t \ge S_{m-1}(u)} \{z_u(t) \in B_{\rho}(z_u(S_{m-1}(u)))^c\} \text{ et } S_m = \max_u S_m(u) \wedge 1, $$

où le réel $\rho$ est défini dans 2.9 ii).

Définissons aussi un opérateur $\Delta_T : C([0, 1], D) \to C([0, T], D)$ par la formule

$$ \Delta_T f(t) = f(tT) $$

- Si $0 \le t \le S_1$, considérons un système de coordonnées $(\mu, U^{k(x)})$

- Si $k(x)=0$, la frontière ne joue aucun rôle. Comme $z_u(t) = \Delta_{S_1} z_u(v)$, par le théorème 2.2 de Baldi [2], la famille $\{z_u\}$ est relativement compacte et l'ensemble-limite est $C_{S_1} = \Delta_{S_1} C'$ où

$$ C' = \left\{ \begin{array}{ll} g, & \text{lorsqu'il existe } f \in H^1 \text{ vérifiant } \frac{1}{2} \|f\|_{H^1}^2 \le 1 \\ telle que } \dot{g}_t = b(g_t) + \sigma(g_t) \dot{f}_t; & g_0 = x \text{ et } t \in [0, 1] \end{array} \right\} \quad (3.14) $$
- Si $k(x) > 0$, c'est un problème dans le demi-espace.
Posons $\bar{z}_u(t) = \mu(z_u(t))$. En utilisant (2.9) et grâce au théorème 3.1, la famille $\{\bar{z}_u\}$ est relativement compacte et l'ensemble-limite est $\bar{C}_{S_1}^+ = \Delta_{S_1} C^+$. $\mu$ étant continue et grâce au théorème 3.1, la famille $\{\bar{z}_u\}$ est relativement compacte et l'ensemble-limite est $C_{S_1}^+ = \mu^{-1}(\Delta_{S_1} C^+)$.

On réitère le procédé.

- Si $S_{m-1} \le t < S_m$, considérons un système de coordonnées $(\mu, U^{k(z_u(S_{m-1}))})$.

- Si $k(z_u(S_{m-1})) = 0$, la frontière ne joue aucun rôle.
Comme $z_u(t) = \tau_{S_{m-1}S_m} \Delta_{S_{m-1}S_m} z_u(\nu)$ où $S_{m-1}S_m = S_m - S_{m-1}$ et $\tau$ l'opérateur de translation défini par $\forall \eta \in C(D), t > 0 \tau_t(\eta)$ désigne l'élément de $C(D)$ défini par $\tau_t\eta(s) = \eta_{t+s}$ par le théorème 2.2 de Baldi [2], la famille $\{z_u\}$ est relativement compacte et l'ensemble-limite est $C_{S_{m-1}S_m} = \tau_{S_{m-1}} \Delta_{S_{m-1}S_m} C'$ où $C'$ est donné par (3.14).

- Si $k(z_u(S_{m-1})) > 0$, c'est un problème dans le demi-espace.
Posons $\bar{z}_u(t) = \mu(z_u(t))$. En utilisant (2.9) et grâce au théorème 3.1, la famille $\{\bar{z}_u\}$ est relativement compacte et l'ensemble-limite est $\bar{C}_{S_{m-1}S_m}^+ = \tau_{S_{m-1}} \Delta_{S_{m-1}S_m} C^+$. Puisque $\mu$ est continue, la famille $\{\bar{z}_u\}$ est relativement compacte en vertu du théorème 3.1, et l'ensemble-limite est

$$C_{S_{m-1}S_m}^{+} = \mu^{-1}(\tau_{S_{m-1}} \Delta_{S_{m-1}S_m} C^{+})$$

Il suffit de recoller et d'utiliser la propriété d'additivité de la fonctionnelle d'action pour avoir l'assertion, voir [1].

Signalons le fait que si $\partial D_0 = \emptyset$, on retrouve les résultats de Baldi [2].

*Exemple 3.8.*

$$\text{Posons } \tilde{\sigma}(y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2y^2 & -2y^1 \end{pmatrix},$$

$\tilde{\sigma}$ est adapté au système de contractions

$$\Theta_{\alpha} : (y^1, y^2, y^3) \rightarrow (\alpha^{-1}y^1, \alpha^{-1}y^2, \alpha^{-2}y^3)$$
Considérons la diffusion dans le demi-espace, solution de

$$ \begin{pmatrix} dz_u^1(t) \\ dz_u^2(t) \\ dz_u^3(t) \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\ln \ln u}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2z_u^2(t) & -2z_u^1(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dB_t^{u,1} \\ dB_t^{u,2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} A_t^{u,x} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{avec } A_t^{u,x} $$

un processus croissant continu, ne croissant que sur $\{s; x^1(z_u(s)) = 0\}$ vérifiant

$$ A_t^{u,x} = \int_0^t 1_{(x^1=0)}(z_u(s)) dA_s^{u,x} $$

Sous forme explicite, on a :

$$ \begin{pmatrix} dz_u^1(t) \\ dz_u^2(t) \\ dz_u^3(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{dB_t^{u,1}}{\sqrt{\ln \ln u}} + dA_t^{u,x} \\ \frac{dB_t^{u,2}}{\sqrt{\ln \ln u}} \\ 2\left(\frac{B_t^{u,2} dB_t^{u,1}}{\ln \ln u} - \frac{B_t^{u,1} dB_t^{u,2}}{\ln \ln u} - A_t^{u,x} \cdot \frac{dB_t^{u,2}}{\sqrt{\ln \ln u}}\right) \end{pmatrix} $$

Considérons le processus non restreint, solution de :

$$ \begin{pmatrix} dV_u^1(t) \\ dV_u^2(t) \\ dV_u^3(t) \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\ln \ln u}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2.V_u^2(t) & -2(V_u^1(t) + \bar{V}_u^1(t)) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dB_t^{u,1} \\ dB_t^{u,2} \end{pmatrix} $$

L'hypothèse (3.1) est vérifiée. Alors le théorème 3.2 dit que la famille $\{V_u\}_u$ est relativement compacte; de plus

$$ \begin{aligned} C &= \{\phi; I(\phi) \le 1\} \\ &= \left\{ (\phi^1, \phi^2, \phi^3); \phi = S_x(f) \text{ avec } \frac{1}{2} \|f^2\|_{H^1} \le 1 \right\} \text{ est l'ensemble-limite} \\ \text{de la famille } \{V_u\} \text{ pour } u \to +\infty \text{ p.s. est donc solution de} \end{aligned} $$

$$ \begin{pmatrix} d\phi^1(t) \\ d\phi^2(t) \\ d\phi^3(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} df_t^1 \\ df_t^2 \\ 2(f_t^2 df_t^1 - (f_t^1 - \inf_{0 \le s \le t} (f_s^1 \wedge 0)) df_t^2) \end{pmatrix} $$

Le théorème 3.1 affirme que la famille $\{z_u\}_u$ est relativement compacte; de plus $C^+ = \{g; I^+(g) \le 1\}$ est l'ensemble-limite pour $u \to +\infty$ p.s.
Références

[1] R. ANDERSON & S. OREY – « Small random pertubations of dynamical systems with reflecting boundary », *Nagoya Math.J* **60** (1976), p. 189–216.

[2] P. BALDI – « Large deviations and functionnal iterated logarithm law for diffusion processes », *Probab.Th Fields* **71** (1986), p. 435–453.

[3] D. DEUSCHEL & D. STROOCK – *Large deviations*, Academic Press, Inc.(London)L.T.D, 1989.

[4] H. DOSS & P. PRIOURET – « Petites perturbations de systèmes dynamiques avec réflexion », in *Seminar on probability, XVII*, Lecture Notes in Math., vol. 986, Springer, Berlin, 1983, p. 353–370.

[5] V. STRASSEN – « An invariance principle for the law of the iterated logarithm », *Z. Wahrscheinlichkeistheor Verw.Geb.(3)* (1965), p. 211–226.

TOUSSAINT JOSEPH RABEHERIMANANA
Département de Mathématique et Informatique
B.P.906, Ankatso
101, Antananarivo
MADAGASCAR
rabeherimanana.toussaint@caramail.com