# L'esprit humain est-il bayésien ?

Thomas Amossé, Yann-Vaï Andrieux, Lara Muller

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Thomas Amossé, Yann-Vaï Andrieux, Lara Muller. L'esprit humain est-il bayésien?. Courrier des Statistiques, 2001, 100, pp.25-28. hal-05442243

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# L'esprit humain est-il bayésien ?

Depuis les travaux pionniers de Jean Piaget et Bärbel Inhelder<fnref n="1" />, de nombreuses études de psychologie expérimentale ont tenté de déterminer si notre manière de raisonner suivait les règles du calcul des probabilités. Cette question, toujours controversée, a connu de nombreux développements, tant théoriques qu'empiriques.

Dans les années 1960, Ward Edwards et son équipe conduisent une série d'expériences visant à déterminer si la prise de décision en environnement incertain répond à une logique bayésienne. Ce programme de recherche original fait se rencontrer deux disciplines, la psychologie expérimentale et la théorie des probabilités, à un moment particulier de leur histoire : d'une part l'approche bayésienne connaît un regain d'intérêt après l'âge d'or de la statistique classique de Ronald Fisher et Jerzy Neyman ; d'autre part, une nouvelle branche de la psychologie expérimentale se développe dans le cadre de la révolution cognitive.

Les travaux de W. Edwards furent complétés par ceux de Daniel Kahneman et Amos Tversky (1973). Ces deux psychologues présentent une synthèse de la question dans leur ouvrage *Judgement Under Uncertainty* publié en 1982 (Cambridge University Press). Leurs résultats seront sévèrement critiqués, notamment par les psychologues évolutionnistes Gerd Gigerenzer et Ulrich Hoffrage (1995).

## Une question issue de la révolution cognitive

Au sortir de la seconde guerre mondiale, l'émergence de la cybernétique a modifié en profondeur des disci-

plines telles que la linguistique, la philosophie de la connaissance et la psychologie. Le courant « computationniste », né de la rencontre du précepte vieux de plus trois siècles « penser, c'est calculer »<fnref n="2" /> et des développements récents de l'informationique, est un des piliers de cette révolution, appelée cognitive.

Pour les spécialistes de psychologie cognitive, la pensée humaine est envisagée selon le modèle de l'ordinateur : les idées sont décrites sous forme d'une suite d'opérations logiques, une sorte d'algèbre de la pensée. Dans ce modèle, le sujet reçoit des informations de son environnement, les interprète, puis effectue des opérations qui lui permettent de résoudre des problèmes. Les expériences de psychologie cognitive entendent précisément identifier la logique de ces opérations.

C'est dans cette perspective que D. Kahneman et A. Tversky ont conduit des expériences permettant de déterminer si, en environnement incertain, nous nous comportions comme des statisticiens bayésiens.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Le Penseur de Rodin</figcaption></figure>

## Retour sur le théorème de Bayes

Le théorème de Bayes<fnref n="3" /> se déduit de la loi de composition des probabilités, un des axiomes fondamentaux de la théorie des probabilités. Si A et B sont deux événements, cette loi indique que la probabilité P(A, B) d'observer à la fois A et B s'écrit

$$P(A, B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$

où P(A/B) est la probabilité d'observer A sachant que B a été observé et P(B/A) la probabilité d'observer B sachant que A a été observé.

Le théorème de Bayes n'est autre qu'une écriture particulière de cette double égalité. Il permet de calculer la probabilité qu'une cause $H_i$ (parmi un ensemble de n causes possibles et mutuellement exclusives $H_1, ..., H_n$) soit à l'origine de la réalisation d'un événement E observé. Cette probabilité s'écrit en effet

$$P(H_i/E) = \frac{P(E/H_i) \cdot P(H_i)}{\sum_i P(E/H_i) \cdot P(H_i)} \quad (1)$$

où P(Hᵢ) est la probabilité a priori de la cause Hᵢ et P(E/Hᵢ) la probabilité d'observer E sachant qu'il résulte de Hᵢ.

<footnote n="1">1. La genèse de l'idée de hasard, Presses universitaires de France, 1951.</footnote>

<footnote n="2">2. Cette formule due à Gottfried Leibniz (1646-1716) et Thomas Hobbes (1588-1679) est restée dans le domaine spéculatif jusqu'aux premiers travaux de cybernétique.</footnote>

<footnote n="3">3. Thomas Bayes (1702-1761), révérend et mathématicien anglais, auteur de *An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances* (publié en 1763).</footnote>
## Étudier la prise en compte de l'information a priori et des données de l'observation

Dans le cadre précédent, le calcul rigoureux de la probabilité que l'événement observé E résulte de $H_i$ suppose donc que l'on prenne en compte à la fois les données de l'observation et les probabilités a priori, c'est-à-dire les informations préalables à l'observation, qu'elles s'appuient sur une expérience passée ou reflètent des préjugés.

Le fait d'intégrer ou non les informations a priori peut conduire à des résultats très différents. Voici un exemple classique emprunté au domaine médical. Supposons qu'une maladie atteigne une personne sur 1 000 et qu'il existe un test de dépistage fiable à 99 % : doit-on s'inquiéter d'un résultat positif au test de dépistage ? Dans le cadre présenté ci-dessus, l'événement E observé n'est autre que le résultat positif du test, $H_1$ (respectivement $H_2$) représente le fait d'être malade (respectivement de ne pas l'être).

Si l'on ne prend pas en compte l'information a priori que constitue la faible prévalence de la maladie au sein de la population $[P(H_1) = 0,001]$, on sera des plus inquiets. En effet, on ne se fiera dans ce cas qu'au degré de fiabilité du test $[P(E / H_2) = 0,01]$ et la probabilité d'être malade vaudra 0,99.

Si à l'inverse on utilise l'ensemble de l'information disponible, c'est-à-dire le résultat du test de dépistage et la prévalence de la maladie, et que l'on suit un raisonnement bayésien correct, on sera nettement plus serein. En effet, la probabilité d'être malade si le test est positif s'obtient en appliquant la formule (1) et vaut environ 0,1. Afin de mieux comprendre ce résultat, raisonnons de manière intuitive : en espérance, sur une population

de 1 000 personnes dont une seule est effectivement malade, une dizaine de tests seront positifs. Sur cette population, la probabilité a posteriori d'être malade est donc d'environ 1 sur 10, la probabilité a priori d'être malade n'ayant été que partiellement infléchie par le résultat positif du test de dépistage.

Dans leurs expériences, les psychologues étudient précisément la manière dont nous prenons en compte l'information a priori dans la résolution de problèmes probatistes. Voici trois des expériences les plus connues concernant cette question ; elles s'adressaient à des étudiants.

### L'expérience des urnes et des jetons (C.R. Peterson et L.R. Beach, 1967)

**Problème posé :** « On considère deux urnes contenant toutes deux un très grand nombre de jetons rouges et bleus. Dans la première, appelée $U_1$, 70 % des jetons sont rouges et 30 % sont bleus. Dans la seconde, $U_2$, les proportions sont inverses. L'une de ces deux urnes est désignée de manière aléatoire, toutes deux ayant a priori la même probabilité ($\pi_1 = \pi_2 = 1/2$) d'être désignée. On tire ensuite un échantillon de 12 jetons dans cette urne. Sachant que cet échantillon est composé de 8 jetons rouges et 4 jetons bleus, quelle est la probabilité qu'il provienne de $U_1$ ? »

**Solution théorique :** La probabilité d'obtenir (dans un ordre spécifique) 8 jetons rouges et 4 jetons bleus est égale à $p_1 = 0,7^8 \times \binom{8}{4} \times 3^4$ si le tirage a lieu dans $U_1$. De la même manière, la probabilité d'obtenir (dans un ordre spécifique) 8 jetons rouges et 4 jetons bleus est égale à $p_2 = 0,3^8 \times 0,7^4$ si le tirage a lieu dans $U_2$. Compte tenu du théorème de Bayes, la probabilité que l'échantillon provienne de l'urne $U_1$ est égale à

$$ \frac{\pi_1 p_1}{\pi_1 p_1 + \pi_2 p_2} = 0,97 $$

**Résultat de l'expérience :** La réponse moyenne n'est que de 0,75. En moyenne, la prise en compte des données de l'expérience ($p_1$ et $p_2$) dans l'évaluation de la probabilité a posteriori se révèle donc insuffisante. Peterson et Beach interprètent cette sous-estimation comme résultant d'erreurs systématiques dans le calcul de $p_1$ et $p_2$. Edwards considère pour sa part qu'elle reflète une tendance « conservatrice » de l'esprit qui prendrait trop fortement en compte la probabilité a priori. D'autres de ses expériences viennent à l'appui de cette conclusion.

### L'expérience des ingénieurs et des avocats (D. Kahneman et A. Tversky, 1973)

**Problème posé :** « Un comité de psychologues a interrogé et soumis à des tests de personnalité un échantillon de 30 ingénieurs et 70 avocats menant une carrière professionnelle couronnée de succès. Les informations recueillies ont permis ensuite de rédiger une description concise de chacun des 30 ingénieurs et 70 avocats. Vous trouverez sur les formulaires qui vous seront remis cinq descriptions choisies au hasard parmi les cent disponibles. Pour chacune d'entre elles, veuillez indiquer par un nombre compris entre un et cent la probabilité que la personne correspondante soit un ingénieur. »

L'expérience est ensuite répétée avec un deuxième groupe en inversant, dans l'énoncé, les proportions d'ingénieurs et d'avocats, mais sans changer les descriptions.

**Exemples de profils proposés<fnref n="4" /> :**

- Jack est âgé de quarante-cinq ans. Il est marié et père de quatre enfants. De tendance plutôt conservatrice, il est prudent et ambitieux. Peu intéressé par la vie politique et les débats de société, il consacre la plupart de son temps libre à ses nombreux loisirs, parmi lesquels figurent la menuserie, la voile et les énigmes mathématiques.

<footnote n="4">4. Le premier profil renvoie à un ingénieur ; à l'inverse, le second ne contient que des informations neutres quant à la distinction entre ingénieurs et avocats.</footnote>
- Dick, âgé de trente ans, est marié et n'a pas d'enfant. Très doué et motivé, il est promis à une brillante carrière. Ses collègues l'apprécient.

**Résultat de l'expérience** : Les étudiants du premier groupe donnent des estimations proches de ceux du deuxième groupe. Si le théorème de Bayes était correctement appliqué, la différence des proportions d'ingénieurs et d'avocats indiquées aux deux groupes (information a priori) devrait pourtant conduire à des résultats très différents. Dans cette expérience, l'information a priori est donc négligée par les étudiants, même pour le profil neutre de Dick, ce qui contredit la dimension « conservatrice » de l'esprit mise en évidence par Edwards. Kahneman et Tversky confirment cette conclusion par d'autres expériences, comme celles des taxis verts et des taxis bleus, dont la première version date de 1972.

## L'expérience des taxis verts et des taxis bleus
(D. Kahneman et A. Tversky, 1980)

**Problème posé** : « Un taxi est impliqué dans un accident avec délit de fuite dans une ville ne comptant que deux compagnies, les taxis verts et les taxis bleus. Les premiers représentent 85 % de l'effectif total des taxis, les seconds 15 %. Un témoin de l'accident déclare que le taxi en question était bleu. Son aptitude à identifier correctement la couleur d'un taxi vert ou bleu est ensuite testée dans les mêmes conditions de visibilité qu'au moment de l'accident. Il apparaît qu'il identifie correctement la couleur du taxi dans 80 % des cas, et se trompe dans 20 % des cas. Quelle est la probabilité que le taxi impliqué dans l'accident soit effectivement bleu ? »

Dans une deuxième version de l'énoncé, la définition des probabilités a priori est modifiée comme suit : « 85 % des accidents sont provoqués par des taxis verts, 15 % par des taxis bleus. »

**Solution du problème** : La probabilité a priori que le taxi soit bleu est $\pi_1 = 0,15$, celle que le taxi soit vert est $\pi_2 = 0,85$. Compte tenu du degré de fiabilité du témoignage, la probabilité que le taxi ait été vu bleu s'il est bleu est $p_1 = 0,8$ et la probabilité que le taxi ait été vu bleu s'il est vert est $p_2 = 0,2$. La probabilité a posteriori que le taxi soit bleu sachant qu'il a été vu bleu est donc égale à

$$ \frac{\pi_1 p_1}{\pi_1 p_1 + \pi_2 p_2} = 0,41 $$

**Résultat de l'expérience** : les étudiants situent la probabilité recherchée autour de 0,8. S'ils étaient « conservateurs », ils devraient trouver des résultats proches de 0,15. Kahneman et Tversky en concluent que, là encore, les étudiants ne font pas le lien entre l'information a priori et la probabilité qu'il leur est demandé d'évaluer.

## « Heuristics and Biases »

Ces trois expériences montrent que la manière dont nous évaluons des probabilités ne résulte pas d'une application rigoureuse du théorème de Bayes : en effet, Edwards a dans un premier temps mis en évidence un certain « conservatisme » de l'esprit ; Kahneman et Tversky ont montré à l'inverse que l'information a priori était le plus souvent négligée. D'après ces expériences, notre manière de raisonner en environnement incertain conduirait donc à des erreurs systématiques.

Dans le chapitre « Heuristics and Biases » de *Judgement Under Uncertainty*, Kahneman et Tversky présentent des mécanismes heuristiques qui seraient à l'origine des biais dans notre façon d'évaluer les probabilités. Ils établissent à ce propos une analogie avec la façon dont nous évaluons la distance à un objet éloigné, distance qui sera généralement surestimée si les conditions de visibilité sont mauvaises ou au contraire sous-estimée si les contours de l'objet en question sont clairement discernables.

Pour les deux psychologues, les résultats de l'expérience des avocats et des ingénieurs témoignent d'une préférence pour les raisonnements utilisant des stéréotypes ou des points de repère. Ils affirment que les étudiants négligent l'information a priori parce qu'ils préfèrent s'appuyer sur la seule description des profils, même lorsqu'ils n'apportent que peu d'informations par rapport au problème posé (cf. le profil de Dick). Cette interprétation ne permettant pas d'expliquer les résultats de l'expérience des taxis verts et bleus, ils avancent par ailleurs l'hypothèse selon laquelle il existerait différentes formes d'informations a priori, certaines étant jugées causales, d'autres non.

## Apports de la psychologie évolutionniste

Dans leur ouvrage *Cognition as Intuitive Statistics* (Erlbaum, 1987), Gerd Gigerenzer et David J. Murray critiquent la pauvreté du cadre expérimental et la fragilité des interprétations de Kahneman et Tversky. Ils regrettent également que les résultats ne s'appuient que sur l'écart de la réponse moyenne à la solution bayésienne et déplorent l'absence de description analytique des mécanismes mentaux mis en œuvre par les sujets dans la résolution des problèmes.

Le psychologue évolutionniste Gigerenzer ne se limite pas à une critique méthodologique des expériences de Kahneman et Tversky. Avec Leda Cosmides et John Tooby<fnref n="5" />, il défend l'hypothèse « fréquentiste » selon laquelle nos raisonnements inductifs seraient cohérents avec la théorie du calcul des probabilités dans la mesure où les informations seraient présentées sous forme de fréquence (3 personnes sur 20) et non de pourcentage (15 %). De nombreuses expériences réalisées

<footnote n="5">5. « Are humans good intuitive statisticians after all ? Rethinking some conclusions from the literature on judgment under uncertainty », *Cognition*, 1996.</footnote>
depuis le milieu des années 1980 sont venues confirmer cette hypothèse.

Pour Gigerenzer, les erreurs systématiques d'évaluation de probabilités ne seraient qu'une « illusion cognitive » liée à la formulation probabiliste des expériences. En d'autres termes, nous serions bien meilleurs statisticiens « fréquentistes » que probabilistes.

## Nécessité d'une sociologie du raisonnement bayésien

Près de deux siècles après les travaux de Laplace<fnref n="6" />, la psychologie expérimentale s'est intéressée à l'estimation subjective des probabilités. Malgré les limites de leurs travaux, Edwards, Kahneman et Tversky ont eu le mérite de faire passer le théorème de Bayes du statut de règle formelle à celui d'hypothèse heuristique en psychologie cognitive.

La thèse « fréquentiste », bien qu'encore controversée, apporte un éclai-

rage nouveau au caractère contreintuitif des règles du calcul des probabilités en général et du théorème de Bayes en particulier. Les psychologues évolutionnistes interprètent la sensible amélioration de nos performances cognitives dans le cadre fréquentiste en se référant aux informations dont disposaient nos ancêtres chasseurs-cueilleurs pour prendre leurs décisions. On peut également penser, dans une perspective davantage sociologique, que notre manière

de prendre des décisions en environnement incertain est le résultat d'un apprentissage social.

La médecine, la justice ou encore la finance sont autant de domaines où les raisonnements probabilistes utilisant le théorème de Bayes sont essentiels. Comme l'a observé Anne Fagot-Largeault<fnref n="7" />, les médecins ont recours de manière intuitive au schéma bayésien pour établir leurs diagnostics à partir des symptômes observés et d'informations a priori concernant les pathologies supposées. Alors que se construit sous forme de bibliothèques de cas une information statistique de plus en plus riche dans des domaines tels que la médecine ou la justice, la maîtrise du raisonnement bayésien devient de plus en plus nécessaire. La connaissance tant psychologique que sociologique concernant cette question n'en est que plus précieuse.

Thomas AMOSSÉ,
Yann-Vaï ANDRIEUX,
Lara MULLER

Au moment de la rédaction de cet article, les trois auteurs étaient étudiants à l'Ensae, École nationale de la statistique et de l'administration économique.

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<footnote n="6">6. Cf. « Des illusions dans l'estimation des probabilités », in *Théorie analytique des probabilités* (première édition : 1812).</footnote>

<footnote n="7">7. « Calcul des chances et diagnostic médi-cal », *Traverses*, n° 24, 1982.</footnote>