Recherche d'un modèle économique

Ph. Sentis

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Ph. Sentis. Recherche d'un modèle économique. Annales de l'ISUP, 1961, X (3), pp.187-212. hal-04092437

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# RECHERCHE D'UN MODÈLE ÉCONOMIQUE

Ph. SENTIS

(Service des Études Économiques et Financières)

## EXPOSE DU PROBLEME

Le Service des Etudes Economiques et Financières du Ministère des Finances est chargé de dresser des tableaux de comptes en vue de renseigner le Gouvernement sur l'état de l'économie française. Il dispose d'un certain nombre de renseignements d'ordre statistique et comptable qui lui permettent d'établir ces tableaux (appelés tableaux économiques d'ensemble) pour les années écoulées et de fournir des tableaux prévisionnels de la même forme pour les années à venir. Le travail qui consiste à déterminer le tableau économique de l'année suivante n'est pas un simple travail d'extrapolation. En effet, le Ministère possède sur l'évolution de certaines grandeurs économiques des renseignements plus précis que ne le seraient les chiffres obtenus par extrapolation.

Un tableau économique d'ensemble relatif à l'année n (que nous appellerons $E_n$ pour abréger) comporte environ une centaine de postes non vides. Nous appellerons $x(p, n)$ le chiffre qui figure au poste p du Tableau relatif à l'année n. Les $x(p, n)$ ne sont pas indépendants. Il résulte des principes de la comptabilité en partie double que l'on a entre eux une trentaine de relations de la forme :

$$ \sum_{p \in M} x(p, n) = \sum_{p' \in M'} x(p, n) \quad (R) $$

M et M' étant deux ensembles de postes.

De plus, comme nous allons le voir, des relations non comptables $R'$ sont utilisées pour le calcul de certains postes.

La méthode qui est utilisée actuellement pour calculer tous ces postes en obéissant aux contraintes indiquées et en utilisant tous les renseignements qui parviennent au Service (ce qui nécessite parfois certains arbitrages) exige un travail matériel important.
Le travail dont j'ai été chargé est le suivant : déterminer un modèle mathématique permettant de déduire le tableau $E_{n+1}$ des renseignements dont on dispose par un calcul simple ou mécanisable.

# REMARQUES METHODOLOGIQUES

## I

Pour être acceptable, le modèle doit donner les valeurs des $x$ ($p, n + 1$) en fonction des renseignements $y_i$ dont on dispose, et les fonctions ainsi définies doivent satisfaire identiquement aux relations R. De plus, il existe entre les différents postes des relations structurelles dues à des relations de cause à effet entre certaines grandeurs ou à la fixité de certains comportements, et que l'on suppose généralement linéaires.

On pourra les écrire sous la forme :

$$ \sum_{i} \alpha_{i} \times (p_{i}, n + 1) = 0. \qquad (R') $$

Certaines relations R' peuvent être connues à la suite d'un raisonnement (établissant par exemple la proportionnalité de la consommation intermédiaire à la production) et justifiées ensuite par des recoupements numériques, si les chiffres constatés coincident suffisamment avec ceux déduits de la théorie. En ce cas, la théorie est considérée comme vérifiée et son extrapolation à l'avenir comme légitime. Dans d'autres cas, la relation a été constatée sur les chiffres, mais il n'est pas possible d'en donner une démonstration rigoureuse à partir d'un raisonnement économique indiscutable. Alors se pose le problème suivant : Est-il légitime de prolonger dans l'avenir une liaison établie statistiquement si l'on n'a pu la justifier par un raisonnement établissant des relations de causalité ou de dépendance mutuelle entre les phénomènes observés ?

Une attitude prudente amène à répondre négativement à la question. En effet, il est facile de donner des exemples de phénomènes entre lesquels on avait cru constater une corrélation parce que l'on partait de statistiques insuffisantes, alors qu'une recherche plus poussée a fait constater une indépendance stochastique qui s'accordait avec ce que le raisonnement "par absence de raison suffisante" laissait prévoir.
Cependant refuser systématiquement toute liaison non justifiée par une théorie me semble être d'une prudence excessive. En génétique, de telles liaisons se sont révélées extrêmement profitables. En effet, on avait constaté statistiquement des corrélations entre certaines anomalies de la drosophile à une époque où aucune théorie biologique ne permettait de les expliquer ; et c'est à partir des recherches faites en vue d'expliquer ces corrélations, que la théorie des gènes s'est développée avant d'être vérifiée directement de façon expérimentale. Ici la découverte du facteur causal commun expliquant la liaison a été postérieure à la constatation statistique de la liaison.

Il me semble qu'il peut en être de même dans les recherches économiques. Si certaines liaisons sont statistiquement établies, il est souhaitable d'en rechercher les causes ; (d'autant plus que l'adaptation à des changements de structures sera facilitée par le fait que l'on possède une explication). Mais d'une part, la liaison ne pourra pas toujours être considérée comme une preuve du raisonnement qu'on en a induit, d'autre part, le fait de ne pas trouver d'explication causale valable n'est pas nécessairement une preuve de non validité de la liaison, ni un argument contre son extrapolation pour l'avenir. Il convient de ne pas être trop catégorique sur ce point délicat qui demande a être examiné dans chaque cas particulier.

## II

Le caractère du modèle sera fortement influencé par la nature des renseignements $y_i$. Théoriquement, la seule condition à exiger des $y_i$, c'est qu'ils soient indépendants. Donc il faut éviter d'utiliser un trop grand nombre de variables $y_i$, sans quoi, on aurait de grandes chances qu'elles ne soient pas indépendantes.

Si cependant, on restreint trop le nombre d'informations, le modèle obtenu manque de souplesse en ce sens que les tableaux économiques qu'il permettra de fabriquer auront des physionomies très semblables. Par exemple, dans un modèle ne comportant qu'un y tous les postes seraient déterminés par cet y. Si cela avait lieu, il ne serait même plus la peine de faire de comptes. (Un coup de téléphone à l'O. N. M. pour prévoir la production agricole et tout le reste serait déterminé).

Il existe donc un nombre optimum à déterminer de variables y. Pour le choix des y, deux optiques sont possibles.
Ou bien prendre pour y des grandeurs économiques bien ob-
servées connues en permanence, dont la prévision exacte est très
importante et sur l'évolution desquelles on possède donc des infor-
mations sérieuses, ou bien prendre pour y des grandeurs econo-
miques sur la valeur desquelles le gouvernement possède des moyens
d'action et dont, par conséquent, il peut fixer la valeur a priori.

Formulée ainsi, l'alternative présente un aspect caricatural.
Il ne peut pas exister de grandeur correspondant rigoureusement
aux définitions que je viens de donner et s'il en existait, il ne serait
pas possible de les utiliser pour un modèle raisonnable.

En effet, le succès de l'emploi des premières conduirait à pen-
ser que l'on pourrait déterminer les secondes quelle que soit la
politique du gouvernement, ce qui ne serait possible que si, contrai-
rement à la réalité, les décisions gouvernementales n'avaient aucune
influence sur l'économie.

Le succès de l'emploi des secondes signifierait au contraire
qu'il est possible de déterminer les premières, c'est-à-dire que le
gouvernement possèderait le moyen de déterminer selon sa vo-
lonté la totalité de l'économie nationale, ce qui n'est pas.

Donc là aussi, il y a un choix optimum à faire en prenant des
variables qui se réfèrent les unes à la première optique, les autres
à la seconde, de façon à réaliser un équilibre entre les deux.

III

On peut introduire, dans le modèle, en plus des informations
relatives à l'année n + 1 les renseignements que l'on possède con-
cernant les années antérieures. Certes, une partie de ceux-ci sont
introduits par l'intermédiaire des coefficients qui figurent dans
les formules R' et qui ont été déterminés en fonction de ces années
antérieures, mais on peut envisager de donner une importance plus
grande à l'année n en introduisant directement certains x (p, n) dans
les formules concurremment avec les x (p, n + 1). Cela semble à
première vue assez logique, puisque dans certains domaines, l'année
n + 1 est la conséquence et le prolongement de l'année n (dividendes,
investissements etc.) mais présente des inconvénients sérieux. D'une
part le nombre des y est augmenté ; d'autre part, ces renseignements
yh interviendront dans l'expression de certains x1, et non dans tous,
d'où une difficulté supplémentaire, quand il faut vérifier identique-
ment les relations R et R' lorsque ces relations ne contiennent
qu'un ou deux termes fonction de yh.
Cette difficulté n'est pas insurmontable mais il faut voir si les résultats obtenus par une complication supplémentaire du modèle méritent qu'on le fasse. Les essais que j'ai faits ne se sont pas révélés probants et j'ai laissé provisoirement de côté ce problème. D'ailleurs même si' les données relatives à l'année n ne sont pas introduites explicitement dans le modèle, elles le sont implicitement à la base de nos informations, car c'est en fonction de ces données que sont déterminés les renseignements que nous avons sur l'année n + 1.

De plus un modèle non explicitement récurrent est, on va le voir, plus facile à tester qu'un modèle explicitement récurrent. Si je désigne par E_n le tableau économique déduit des comptes tels qu'ils seraient faits en l'année n et par E'_n le tableau économique déduit du modèle, je dois considérer E_n et E'_n comme deux valeurs approchées d'un tableau de compte idéal E'_n qui décrirait exactement les phénomènes (E_n étant lui aussi entaché d'une certaine erreur). Le modèle sera considéré comme satisfaisant si l'écart entre E_n et E'_n est acceptable compte tenu des erreurs possibles. Mais cet écart est entaché non seulement par les erreurs que l'on peut commettre sur E_n mais encore des erreurs qui résultent pour E'_n du fait que l'on a utilisé des éléments (nécessairement approchés) de E_n pour le calculer.

Si le modèle est explicitement récurrent, il faut tenir compte aussi des erreurs possibles sur E'_{n-1} tel que l'on peut l'établir à l'année n. Ces erreurs sont moindres que celles que l'on peut faire sur E_n, mais ne sont pas nécessairement négligeables.

Les erreurs possibles ont essentiellement deux causes. D'une part, il existe une certaine imprécision sur les chiffres due à la nature même de la grandeur que l'on se propose de chiffrer, grandeur qu'il n'est pas toujours possible de définir et de mesurer avec précision. Même en nous supposant parfaitement informés, nous ne pourrions obtenir pour x (p, n) qu'un échantillon de la variable aléatoire x* (p, n) + ξ (p, n).

D'autre part, les informations qui nous permettent de définir les chiffres n'arrivent à notre connaissance qu'avec un certain retard et progressivement, ce qui fait qu'au cours du temps nous réduisons la marge d'incertitude de façon à l'amener a être égale à la marge minimale définie précédemment. Aussi nous pouvons écrire pour les comptes définitifs :

$$E_n = E_n^* + \eta_n \text{ déf.}$$
$\eta_n$ étant la différence poste à poste entre le tableau considéré comme définitif et le tableau idéal que nous cherchons à atteindre.

Pour les comptes prospectifs:

$$E_n = E_n^* + \eta_n + \epsilon_n$$

$\text{prév.}$

$\epsilon_n$ étant la différence poste à poste entre le Tableau projeté et le Tableau définitif.

En désignant l'écart entre $E_n$ et $E_n'$ par $|E_n, E_n'|$ et par $T(E_n)$, la transformation qui fait passer de $E_n$ à $E_n'$, on voit que le problème revient à comparer

$$| E_n, E_n' | = | E_n^* + \eta_n + \epsilon_n, T(E_n^* + \eta_n + \epsilon_n) |$$

$\text{prév.}$

avec

$$| E_n, E_n^* | = | E_n^* + \eta_n, T(E_n^*) |$$

$\text{déf.}$

qui représente en quelque sorte l'erreur incompressible.

IV

Nous avons vu que le problème consistait à déterminer une centaine de postes x en fonction de données $y_i$. Bien que, théoriquement, rien ne s'oppose à ce qu'un tel calcul soit tenté, il y a cependant avantage à réduire le nombre des postes et à remplacer le tableau $E_n$ par un tableau contracté $F_n$ ne comprenant plus qu'un petit nombre de postes, puis à résoudre le problème pour $F_n$, quitte à compléter le modèle par un ou plusieurs modèles annexes permettant de revenir de $F_n$ à $E_n$ ; Cette procédure relève du principe général de la division des difficultés, d'autres considérations nous poussent cependant à l'adopter.

En additionnant ensemble certains postes, d'une part on vérifie automatiquement certaine des relations $R$ ; d'autre part cela permet parfois de remplacer plusieurs relations par une seule. Le nombre d'identités que doivent vérifier les $x$ ($y$) est ainsi réduit par ces deux opérations et une des parties les plus lourdes est considérablement allégée.
Les erreurs portant sur les différents postes du tableau E_n ne sont pas indépendantes ; on peut avoir des erreurs proportionnelles dans le cas où les postes ont été obtenus en ventilant une même grandeur proportionnellement à des coefficients donnés ; on peut avoir des erreurs opposées lorsqu'il y a entre les deux postes un transfert d'une valeur mal connue. Or, on a intérêt à avoir des erreurs indépendantes, car le traitement simultané de plusieurs aléatoires n'est vraiment facile que dans le cas de variables indépendantes. Il y aura donc lieu d'additionner ensemble des variables dont on pense que leurs erreurs sont correlées.

En agrégeant ainsi plusieurs postes, le chiffre obtenu pour le total sera plus élevé que ceux qui figurent dans chacun des postes qui sont agrégés, de sorte que si une erreur accidentelle s'introduit dans un des termes, l'erreur relative sur le total est moins importante que celle sur le terme en question. Or, si du point de vue comptable ce sont les erreurs absolues qui entrent en jeu, du point de vue économique ce sont les erreurs relatives qui sont les plus importantes. Pour l'homogénéité du tableau, il convient que n'y figurent pas de tous petits postes.

## ETUDE MATHEMATIQUE DU PROBLEME

Je n'ai pas explicité les relations R' et j'ai fait l'hypothèse que le modèle était constitué par un ensemble de relations R'' linéaires choisies de façon à minimiser $|E_n, E'_n|$ pour l'ensemble des années pour lesquelles j'avais des comptes, après avoir choisi une définition convenable de l'écart entre E_n et E'_n.

Pour que le modèle soit déterminé de façon univoque, il faut que l'ensemble des relations R, R' et R'' constitue un ensemble de p-q relations indépendantes, p étant le nombre d'agrégats $x_p$, et q le nombre des agrégats que l'on a retenus comme $y_q$.

Dans ces conditions il est possible de résoudre le système par rapport aux $y_q$. En prenant par exemple $q = 3$, on aura :

$$x'_{p} = a_{p}^{1} y_{1} + a_{p}^{2} y_{2} + a_{p}^{3} y_{3}$$

Les $a_p^q$ ainsi obtenus sont indépendants du temps.

Si je détermine d'abord les relations R'' puis ensuite les $a_p^q$, les résultats obtenus seront entachés d'une marge d'erreur consi-
dérable du fait que les calculs de résolution répercutent avec un gros coefficient multiplicateur les erreurs sur les coefficients des R'''. De plus l'expression analytique des R'' ne sert à rien. Je pro- cèderai donc à une recherche directe des a''_p.

Le problème revient donc à "chercher des a''_p tels que |E_n, E'_n| soit maximal, compte tenu de ce que les relations R et R' doivent être satisfaites".

Je n'ai retenu aucune relation R' parce que les coefficients de ces relations étant approchés, leur détermination peut s'intégrer à l'intérieur du modèle et il y a lieu de les traiter comme des relations R'''. Dans ces conditions, il ne reste que les relations comptables R.

Pour chaque année le tableau E_n peut être mis sous la forme d'une liste de variables x (p,n), c'est-à-dire pour n fixé un vecteur X'' de composantes x''_p. Quand n varie l'ensemble de ces vecteurs forme une matrice X ; de même les variables Y peuvent être mises sous forme d'une liste, c'est-à-dire d'un vecteur Y'' de composantes Y''_q. Quand n varie l'ensemble de ces vecteurs forme une matrice Y.

Pour une année donnée, je peux former à partir du vecteur Y'' les expressions x_p = a'_p y_1 + ... a''_p y_q des x'_p d'un vecteur X''' et en reprenant la liste, j'aurai la relation matricielle X''' = A Y'',

A étant une matrice dont les coefficients sont les a''_p ; comme les a'_p sont indépendants de p, quand je prends successivement toutes les colonnes de la matrice Y, j'obtiens toutes les colonnes d'une matrice X' = A Y qui est la matrice formée par l'ensemble des tableaux E'_n.

Minimiser |E_n, E'_n| pour l'ensemble des n tableaux économiques revient donc à définir et à minimiser |X, A Y|.

Cherchons maintenant à exprimer que les relations R doivent être satisfaites ; elles peuvent s'écrire comme des fonctions liné- aires des x'_p donc, sous forme matricielle :

$$U X' = U A Y = 0$$

Les relations comptables devant être satisfaites identiquement quelles que soient les valeurs que puissent prendre ultérieurement les y, on peut écrire U A = 0. En effet, supposer que l'on ait U A ≠ 0 et U A Y = 0 reviendrait à dire que tous les vecteurs Y'' ont satisfait à U A Y = 0, c'est-à-dire qu'ils se sont trouvés dans
une variété linéaire de l'espace X, et que les vecteurs futurs satis-
feront à la même relation, donc seront des éléments de la même
variété.

Economiquement, cela revient à dire qu'il y a entre les yₚ une
relation linéaire si bien établie dans le passé que l'on doit consi-
dérer qu'elle s'étend à l'avenir. Or nous avons essayé en choisis-
sant les yₚ de faire en sorte que l'on ait des raisons économiques
de supposer le contraire. Si nous supposons que les y ont été
convenablement choisis nous devons écrire :

$$
U A = 0
$$

Mais ces relations comptables sont nécessairement vérifiées
dans les Tableaux du passé par les variables X_p^n et l'on a donc par
hypothèse U X^{(n)} = 0 quel que soit n donc :

$$
U X = 0
$$

ceci n'est pas une équation à satisfaire, mais une relation connue
entre les données.

Nous avons donc à déterminer A sachant que

|X, A Y| est minimum

et que

$$
U A = 0
$$

Le problème est déterminé quand on se donne la définition de
l'écart entre deux matrices.

I

Voyons maintenant si nous pouvons achever le calcul avec cer-
taines de ces définitions. L'idée la plus simple consiste à prendre
comme écart, la racine carrée de la moyenne des carrés des termes
de la différence des matrices.

Si l'on cherche la forme générale des matrices A qui satisfont
à U A = 0, on est amené à résoudre un système d'équations liné-
aires par rapport aux a_q. On peut le décomposer en autant de sous-
systèmes qu'il y a de colonnes C dans A et pour chaque colonne
écrire U C = 0. Le système U C est impossible ou indéterminé ;
comme nous avons vu qu'il y a des solutions (il suffit de faire
C = Xⁿ pour en avoir une) il est indéterminé. On peut alors le ré-
soudre en fonction d'un certain nombre de paramètres arbitraires.
La solution est nécessairement linéaire et homogène, on peut donc
l'écrire C = B C₁ où B est une matrice de coefficients constants.
Si l'on répète la même opération pour chaque colonne nous aurons
la même solution et par suite on peut écrire en alignant les co-
lonnes :

$$
A = B M
$$

où M est une matrice de coefficients arbitraires et B est une
matrice de coefficients constants. En substituant B M à A dans
X-A, nous sommes ramenés à chercher le minimum de la moyenne
des carrés des termes de la matrice :

$$
X - B M Y
$$

La solution est donnée par la formule

$$
M = (B'B)^{-1} B' X Y' (Y Y')^{-1}
$$

où B' et Y' sont respectivement les matrices transposées de B et Y.

A mon grand étonnement, je n'ai pas pu trouver dans la bi-
bliographie antérieure d'ouvrage où fut établie cette formule. Voici
donc une démonstration pour le cas où elle serait inédite :

Soit à minimiser :

$$
S = \sum_{p,n} (x^n - \sum_{q} b_p^h m_h^q y_q^n)^2
$$

En annulant les dérivées par rapport aux $m_h^n$ on trouve les relations

$$
\sum_{p,n} b_p^h (x_p^n - \sum_{q} b_p^h m_h^q y_q^n) y_q^n = 0
$$

ce qui peut s'écrire sous forme matricielle

$$
B' (X - B M Y) Y' = 0
$$

$$
B' B M Y Y' = B' X Y'
$$

En supposant que B'B et YY' ont des inverses, ce qui est en général
vrai quand :
$$h < p < q < n$$

on a la relation indiquée.

Contre ce choix de la définition de l'écart il y a cependant deux objections :

### 1/ - La structure des matrices à inverser.

En effet, il y a entre les différentes lignes de la matrice Y un certain parallélisme. Les termes ne restent pas rigoureusement proportionnels, car cela est exclu par hypothèse, mais ils ont une croissance semblable, (ne fut-ce qu'à cause de la hausse nominale des prix). En la multipliant par sa transposée, on obtiendra comme résultat une matrice dont le déterminant sera assez voisin de zéro ainsi que tous ses mineurs ; par conséquent la matrice inverse verra tous ses termes entachés d'une incertitude considérable puisqu'obtenus au moyen d'un calcul très voisin de $\frac{0}{0}$, les coefficients de la matrice C seront affectés d'erreurs dues à ce que la moindre imprécision sur les données aura été énormément amplifiée par la structure même du calcul.

### 2/ - Le calcul de l'écart acceptable.

Quand je me propose de tester le modèle obtenu en prenant comme définition de l'écart entre deux matrices la moyenne des carrés des termes de la différence de ces matrices, il vient :

$$| E_n, E_n^* | = \frac{1}{np} \sum_{np} \eta_p^{n^2}$$

Nous avons des raisons de supposer que les postes $x_p^n$ ne sont pas des variables aléatoires qui obéissent à une loi de Gauss. Des écarts trop importants sont impossibles, par contre des écarts moins importants sont presque aussi probables que des écarts faibles. La loi de probabilité est sans doute de la forme

$$\mathrm{Pr} \{ x_p < x_p^* (1 - K_p) \} = 0$$

$$\mathrm{Pr} \{ u < x_p < u + d u \} = f \left( \frac{U}{x_p} \right) \frac{d u}{x_p^*} x_p^* (1 - K_p) < u < x_p^* (1 + K_p)$$

$$\mathrm{Pr} \{ x_p^* (1 + K_p) < x_p \} = 0$$

$K_p$ étant l'erreur relative maximum et $x_p^*$ la valeur exacte de $x_p$. La
fonction f ressemble sans doute à une constante : densité de probabilité uniforme entre

$$x_p^* (1 - K_p) \quad \text{et} \quad x_p^* (1 + K_p)$$

Toutefois je n'ai aucun élément me permettant de vérifier cette hypothèse car cela supposerait que j'ai un nuage de points, autour du lieu de $x_p^*$. (Il faudrait connaître la loi de variation temporelle de $x_p^*$). Dans ces conditions, je ne peux que supposer l'existence et la continuité de $f$ entre $x_p^{*n}$ ($1 - K_p$) et $x_p^{*n}$ ($1 + K_p$). Cette hypothèse n'a rien d'exorbitant quand $K_p$ n'est pas trop petit.

(Par exemple une erreur de 10 % a une probabilité certainement nulle). Ce qui est intéressant c'est de déterminer la plus petite valeur de $K_p$ pour laquelle on peut faire cette hypothèse. En introduisant les variations $\eta_p^n$ et $\varepsilon_p^n$ précédemment définies ($\eta_p^n$ écart entre la valeur définitive et la valeur idéale du poste p de l'année n, $\varepsilon_p^n$ écart entre la valeur prévisionnelle et la valeur définitive du poste p de l'année n).

Nous pouvons écrire :

$$\eta^n = K \ x_p^{*n} \lambda_p$$

$$\varepsilon_p^n = K_p' \ x_p^{*n} \mu_p$$

$\lambda_p$ et $\mu_p$ étant des échantillons de variables aléatoires régies par des lois indépendantes de n. Nous désignons par $\lambda_q$ et $\mu_q$ les variables aléatoires correspondant aux $x_p$ qui sont des $y_q$. Ce que nous pensons savoir des erreurs peut s'exprimer en disant que $\lambda_p$ et $\nu_p$ ont une moyenne nulle, des écarts types égaux à $\sigma_p$ et $\sigma_p$ et qu'ils ont une probabilité nulle d'être supérieurs à 1 en valeur absole.

Nous savons que $\sigma_p < 1$ et que si f est constant $\sigma_p^2 = \frac{1}{3}$ ; mais nous ne savons pas qu'elle est la valeur de $\sigma_p$ dans le cas général, et nous ne pouvons même pas en donner une borne inférieure.

$$V_p = \frac{1}{n} \sum_n (x_p^n)^2$$

converge quand n augmente indéfiniment vers

$$\frac{1}{n} \left( \sum_n \left( x_p^{*n} \right)^2 \right) \left( 1 + K_p^2 \sigma_p^2 \right)$$
$K_p^2 \sigma_p^2$ est très inférieur à 1 %. Quand n n'est pas très grand si on prend $v_p = \frac{1}{n} \sum (x_p^{*n})^2$ on commet certainement une erreur bien supérieure du côté de la convergence et le signe de cette erreur ne nous est pas connu.

$$| E_n, E_n^* | \text{converge vers } \sum_p \frac{1}{p} K_p^2 \sigma_p^2 V_p$$

dans les mêmes conditions d'approximation.

De la même façon si nous formons :

$$W_p = \frac{1}{n} \sum_n (\epsilon_p^n)^2 \\ \left| E_n, E_n^{\text{prév.}} \right| = \frac{1}{p} \sum_p W_p^W$$

pour un nombre d'années suffisamment grand

$$\frac{1}{n} \sum_n (\epsilon_p^{n2})$$

converge vers :

$$\frac{(K_p)^2}{n} \sum_n (x_n^*)^2 \sigma_p^{n2} = V_p K_p^{n2} \sigma_p^{n2}$$

toujours avec la même approximation.

On peut avoir avec $W_p$ une estimation de $V_p K_p^{n2} \sigma_p^2$, donc de $K_p^{n2} \sigma_p^2$, mais on ignore si elle est par excès ou par défaut. Le raisonnement est encore valable si les $x_p$ sont des $Y_q$.

Si nous évaluons maintenant $|E_n, E_n^1|$ en nous plaçant dans le cas le plus favorable qui est celui ou $X^* = A Y^*$ il vient :

$$| E_n, E_n^1 | = \eta_p + \epsilon_p - A\eta_q - A\epsilon_q$$

en développant :

$$\sum_n \left[ \eta_p^n + \epsilon_p^n - \sum_q a_p^q (\eta_q^n + \epsilon_q^n) \right]^2 = S_p$$

nous avons une forme quadratique par rapport aux $\lambda$ et aux $v$. Par
raison de symétrie des calculs, les $\lambda$ et les $\mu$ de même indice ont le même coefficient. D'autre part les $\lambda$ et les $\mu$ étant supposés indépendants entre eux, les seuls termes ayant une espérance mathématique non nulle sont les termes carrés. L'espérance mathématique de S est donc de la forme :

$$S_p^* = d_p (K_p^2 \sigma_p^2 + K'_p \sigma'^2) \sum_n x_p^{*n} + \sum_q d_p^q (K_q^2 \sigma_q^2 + K'_q \sigma'^2) \sum_n (y_q^{*n})^2$$

$\frac{1}{n} S_p$ converge vers :

$$d_p V_p (K_p^2 \sigma_p^2 + K'_p \sigma'^2) + \sum_q d_p^q V_q (K_q^2 \sigma_q^2 + K'_q \sigma'^2)$$

toujours avec la même approximation. Puisque nous avons une estimation des $K'_p \sigma'_p$ et des $K'_q \sigma'_q$ nous pouvons avoir une estimation de :

$$d_p V_p K_p^2 \sigma_p^2 + \sum_q d_p^q V_q K_q^2 \sigma_q^2$$

et les $K_p \sigma_p$ en faisant une hypothèse sur les $K_q \sigma_q$ mais cette fois l'erreur que nous pouvons commettre sur les $K_p \sigma_p$ devient beaucoup plus grande car nous les obtenons par différence.

Nous risquons ainsi d'être conduits à nous exagérer l'erreur sur les comptes définitifs et à considérer comme acceptables des écarts entre le modèle et les comptes qui ne le seraient pas.

En effet

$$\begin{aligned} \left| E_n E'_n \right| &= \frac{1}{np} \sum_q S_p \\ &= \frac{1}{p} \sum_p d_p V_p (K_p^2 \sigma_p^2 + K'_p \sigma'^2) \\ &\quad + \frac{1}{q} \sum_q V_q (\sum_p d_p^q) (K_q^2 \sigma_q^2 + K'_q \sigma'^2) \end{aligned}$$

En posant $d_q = \sum_p d_p^q$ et en convenant qu'avec la notation $\sum_{p \Lambda q}$ les indices p peuvent être remplacés par des indices q
$$ \left| E_n - E_{n'}^1 \right| = \frac{1}{p} \sum_{p \in \Lambda^q} d_p V_p (K_p^2 \sigma_p^2 + K_{p'}^{12} \sigma_{p'}^{12}) $$

$$ \left| E_n - E_{n'}^1 \right| = \frac{1}{p} \sum_{p \in \Lambda^q} V_p K_p^2 \sigma_p^2 $$

$$ \frac{\left| E_n - E_{n'}^1 \right|}{\left| E_n, E_{n'}^* \right|} = \frac{\sum_{p \in \Lambda^q} d_p V_p (K_p^2 \sigma_p^2 + K_{p'}^{12} \sigma_{p'}^{12})}{\sum_{p} V_p K_p^2 \sigma_p^2} $$

L'absence de borne inférieure pour les $K_p \sigma_p$ ne nous permet pas de donner une approximation suffisante de ce rapport.

## II

Aussi j'ai cherché une définition de l'écart dans une autre direction qui consiste à essayer de le caractériser par les $K_p$ ou les $K'_p$; en effet si nous formons

$$ \gamma_p^n = \frac{\sum_{p \in \Lambda^q} d_p V_p (K_p^2 \sigma_p^2 + K_{p'}^{12} \sigma_{p'}^{12})}{\sum_{p} V_p K_p^2 \sigma_p^2} = K_p \lambda_p $$

$$ \gamma_p'^n = \frac{\sum_{p \in \Lambda^q} d_p V_p (K_p^2 \sigma_p^2 + K_{p'}^{12} \sigma_{p'}^{12})}{\sum_{p} V_p K_p^2 \sigma_p^2} = K'_p \lambda'_p $$

Ces expressions sont bornées supérieurement par $K_p$ et $K'_p$. Sup$_n$ $\gamma_p^n$ et Sup$_n$ $\gamma_p'^n$ convergent vers leurs bornes $K_p$ et $K'_p$.

En effet, si l'on désigne par $\pi < 1$ la probabilité pour que $1 - h < \lambda < p < 1$, la probabilité pour qu'aucune des $n$ valeurs ne soit supérieure à $1 - h$ en valeur absolue est $(1 - \pi)^n$, qui tend vers zéro quand $n$ augmente ;

$$ \text{Comme} \quad 1 - K_p < \frac{\sum_{p \in \Lambda^q} d_p V_p}{\sum_{p} V_p K_p^2 \sigma_p^2} < 1 + K_p $$
nous pouvons être assurés que

$$ \frac{(1 - h)}{1,1} K_p < g_p = \sup_n \left| \frac{x_p^n - x_p^{*n}}{\frac{D_{\text{éf.}}}{x_p^n}} \right| < \frac{K_p}{0,9} $$

De la même façon :

$$ \frac{(1 - h')}{1,1} K'_p < g'_p = \sup_n \frac{\frac{x_p^n}{\text{Prév.}} - \frac{x_p^n}{D_{\text{éf.}}}}{\frac{X_p^n}{D_{\text{éf.}}}} < \frac{K}{0,9} $$

Nous avons donc une borne inférieure et une borne supérieure des $K'_p$.

Si nous formons :

$$ g_p'' = \sup_n \frac{x_p^n - x_p'^n}{x_p^n} = \frac{x_p^n - x_p'^n}{x_p^n} $$

N étant une valeur déterminée de n. Il vient :

$$ \frac{x_p^n - x_p'^n}{x_p^n} = \frac{x_p^{*n}}{x_p^n} K_p \lambda_p + K'_p v_p - \sum_q a_p \frac{y_q^n}{x_p^{*n}} (K_q \lambda_q + K'_q v_q). $$

En bornant supérieurement - $a_p^q (K_q \lambda_q + v_q)$ et $\frac{x_p^{*n}}{x_p^n}$, on en tire une borne inférieure pour $K_p \lambda_p + K'_p v_p$ soit a.

D'où : $K_p \lambda_p + K'_p v_p > a$

et comme $\lambda_p$ et $v_p$ sont inférieurs à 1

$$ K_p + K'_p > a $$

En utilisant la borne supérieure de $K'_p$, nous tirons une borne inférieure de $K_p$ donc une borne inférieure de $g_p$.

M. Fourgeaud (et je l'en remercie vivement) m'a posé la question suivante :
En supposant :

1) que le Modèle soit parfait, c'est-à-dire qu'il existe une matrice $A^*$ telle que $X^* = A^* Y^*$,

2) que les variables y soient parfaitement connues, c'est-à-dire $Y = Y^*$,

3) et que les variables x obéissent à des lois de probabilité jouissant des propriétés indiquées, la matrice A qui minimise $X - A Y$ converge-t-elle presque sûrement vers $A^*$ ?

Je n'ai pas établi la convergence presque sûre mais seulement la convergence en probabilité. Voici la démonstration :

Si nous posons pour simplifier les notations :

$B$ = ligne de $(A^* - A)$ relative à $x_p$

$z_n$ = vecteur $y_q^n (x_p^n)^{-1}$

$$ \psi_n = 1 - x_p^{\psi_n} (x^n)^{-1} $$

il vient :

$$ \frac{x_p^n - A y^n}{x_p^n} = B z_n + \psi_n $$

Nous avons donc à étudier le problème :

La ligne B qui minimise

$$ \text{Sup}_n |B z_n + \psi_n| $$

converge-t-elle en probabilité vers zéro ?

Ou si l'on préfère :

la probabilité p que l'on ait simultanément :

$$ |B| > \varepsilon. \text{ Sup}_n |B z_n + \psi_n| \text{ minimum} $$

tend-elle vers zéro avec $\varepsilon$ ?

désignons par $E_1$ l'évènement $|B| > \varepsilon$, par $\bar{E}_1$ l'évènement contraire, par $E_2$ l'évènement $\text{Sup}_n |B z_n + \psi_n| \text{ minimal}$. Nous allons chercher à borner :
$$p = \text{Pr. } (E_1 \cup E_2) \qquad p = 1 - \text{Pr. } (\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2)$$

nous aurons :

$$p < 1 - \text{pr. } \{\bar{E}_1 \cap F\}$$

F étant un évènement qui implique $\bar{E}_2$ et $p < \text{Pr. } \{E_1 \cup \bar{F}\}$

$\bar{F}$ étant l'évènement contraire de F.

Or $E_2$ ne sera pas réalisé s'il existe un vecteur C tel que

$$\sup_n |B z_n + \psi_n| > \sup_n |C z_n + \psi_n|$$

et en particulier si cela a lieu pour $C = 0$

$$\sup_n |B z_n + \psi_n| < \sup_n |\psi_n|$$

et en particulier s'il existe une valeur $\theta$ de n telle que l'on ait
pour une valeur h donnée :

$$|B z_{\theta} + \psi_{\theta}| < |\psi_{\theta}| + h; \quad |\psi_{\theta}| < \sup_n |\psi_n| - h$$

Si l'on désigne par M le maximum des valeurs possibles pour $|\psi_n|$, ceci sera impliqué par les conditions :

$$B z_{\theta} \psi_{\theta} < 0, |B z_{\theta}| > h, |\psi_{\theta}| < M - h$$

désignons par $F_1, F_2, F_3$ les événements constitués respectivement par la satisfaction de ces inégalités, $\bar{F}_1, \bar{F}_2, \bar{F}_3$ les événements contraires.

L'événement :

$$F = F_1 \cup F_2 \cup F_3$$

implique l'événement $E_2$. On a donc :

$$P < \text{Pr. } \{E_1 \cup \bar{F}\}$$

$$\text{Or} \qquad E_1 \cup \bar{F} = (E \cup \bar{F}_1) \cap (E_1 \cup \bar{F}_2) \cap (E_1 \cup F_3)$$

$$\text{donc :} \qquad p < \text{Pr. } \{E \cup \bar{F}_1\} + p_r \{E \cup \bar{F}_2\} + \text{Pr. } \{E \cup \bar{F}_3\}$$
p tendra donc vers zéro si chacune de ces probabilités tend vers zéro.

$$ \text{Pr} \quad E \cup \bar{F}_1 \rightarrow 0 $$

$$ \text{Pr} \quad E \cup \bar{F}_2 \rightarrow 0 $$

$$ \text{Pr} \quad E \cup \bar{F}_3 \rightarrow 0 $$

La troisième condition signifie que la probabilité de trouver B tel que $|B| > \varepsilon$ sans pouvoir trouver de valeur $\ominus$ telle que $|\psi_\theta| > M - h$ tend vers zéro. Il est clair que cela a lieu pour une valeur de h non nulle.

La 1ère signifie que la probabilité de trouver B tel que $|B| > \varepsilon$, sans pouvoir trouver de valeur de $\ominus$ telle que $B_\theta z_\theta \psi_\theta < 0$, tend vers zéro.

Si cela n'avait pas lieu, cela signifierait qu'il existe une valeur de B pour laquelle $B z_\theta$ et $\psi_\theta$ auraient une probabilité non nulle de conserver constamment le même signe et cela impliquerait une dépendance entre les lois de $\ominus$ et de z, ce que nous pouvons rejeffer a priori.

La 2ème condition signifie que la possibilité de trouver B tel que $|B| > \varepsilon$ sans pouvoir trouver $\ominus$ tel que $|B z_\theta| > h$ tend vers zéro. Si cela n'avait pas lieu, cela signifierait que le vecteur z a une probabilité non nulle de rester perpendiculaire à un vecteur B donné non nul ; et par conséquent une certaine relation linéaire entre les coordonnées de z serait vérifiée avec une probabilité non nulle.

Nous avons ainsi un autre moyen de définir et de comparer les écarts entre matrices en prenant :

$$ g_p = \sup_n \frac{x_p^n - x_p^{1^n}}{x_p^n} \quad \text{pour un poste } x_p $$

et une fonction des $g_p$ assujettie a minimum quand tous les $g_p$ seront minimum, pour l'écart de 2 matrices.

Mais cette norme présente des inconvénients :

elle n'est pas symétrique en x et x',

elle ne se prête pas à un changement de coordonnées, car
$$U, V \neq (U + W), (V + W)$$

puisque :

$$\text{Sup}_n \frac{U_n - V_n}{U_n} \neq \text{Sup}_n \frac{U_n - V_n}{U_n + W_n} ;$$

elle utilise pour la détermination des coefficients les années où il y a les écarts les plus sensibles, mais on risque que ces années soient des années exceptionnelles où l'économie s'écarte de son comportement habituel. On peut diminuer l'importance de ce risque en introduisant la condition supplémentaire.

$$\sum_n (x_p^n - \sum_q a_p^q y_q^n) = 0$$

Il n'y a aucune raison que la matrice $A_0$ qui minimise $|X, A Y|$ satisfasse à l'équation $U A = 0$

### III

Mais si $U A_0$ est faible, il est vraisemblable que $A_0$ est peu différent de la matrice A, qui minimise $|X, A Y|$ tout en satisfaisant à $U A - O$ ce qui m'a suggéré une méthode d'approximation.

Je vais donner une interprétation des calculs à l'usage des lecteurs dont l'intuition est plus géométrique que numérique.

Je me place dans un espace $p$ dimensions qui est l'espace des $X^n$, tout vecteur $X^n$ y est représenté par un point et la matrice $X$ par un ensemble de points, (chacune de ces colonnes étant représentée par un point).

L'opération $A Y$ (où $Y$ est fixé) fait correspondre à une matrice $A$ une matrice de dimensions $p$ et $n$, qui comme la matrice $X$, peut se représenter par un ensemble de $n$ points. La matrice $X - A Y$ peut elle aussi être représentée par un ensemble $G$ de $n$ points. (Pour la commodité du langage et pour fixer l'imagination j'appellerais polygone gauche un tel ensemble de points, et sommet du polygone gauche chacun des $n$ points). Donc à toute matrice $A$ correspond un polygone gauche $G$, que j'appelle image de $A$.

Si un vecteur $X^{(n)}$ satisfait aux relations $U X^{(n)} = 0$ nous dirons qu'il est un élément de la variété $V$ d'équation $U X = 0$.
Si une matrice A satisfait à la relation $U A = 0$ il s'ensuit que $U (X - A Y) = 0$, et par conséquent chacun des vecteurs Z qui forment les colonnes de cette matrice satisfait à :

$$U Z = 0$$

Par conséquent tous les sommets du polygone gauche correspondent sont des éléments de la variété V.

Comme dans les figures je représente la variété V par un plan, je dirai pour fixer le langage et l'imagination qu'un polygone G dont tous les sommets sont situés dans V est un polygone plan P ; et j'énoncerai ainsi la propriété obtenue :

L'image d'une matrice A satisfaisant à $U A = 0$ est un polygone plan situé dans la variété V.

Le problème que je me propose de traiter est le suivant : Déterminer le plus petit polygone P revient à chercher la meilleure définition de l'expression "le plus petit". Nous avons vu que nous savions résoudre ce problème : si nous appellons "plus petit polygone P", celui pour lequel la moyenne des carrés des distances des sommets P à l'origine était minimale, mais nous avons rejeté cette définition qui présentait des inconvénients.

Si nous avions imposé de minimiser l'écart maximal, ceci revenait à découper l'espace au moyen d'hypercubes centrés à l'origine et à rechercher le plus petit hypercube contenant un P.

Comme nous avons imposé de minimiser l'erreur relative maximale nous sommes ramenés au problème précédent à condition d'effectuer une transformation linéaire sur les sommets de P, mais cette transformation linéaire ne concerne pas V de sorte que nous sortons du domaine plan et nous ne pouvons déterminer que le plus petit $G_0$ des G.

Toutefois, si $G_0$ est voisin de V, le plus petit des P sera voisin de $G_0$ ; en effet la transformation qui fait passer de A à son image G est continue ; quand A varie peu, G se déforme peu : Donc les polygones P, qui sont voisins de $G_0$, sont à peu près de la même taille, et le plus petit d'entre eux est aussi le plus petit des P, puisqu'il n'y a pas de polygone P plus petit que $G_0$. Soit $P_0$ le plus petit P.

Considérons les projections de $G_0$ sur V. Ce sont les polygones P.
J'appellerai $Z_o$ un sommet de $G_o$, $z_o$ sa projection sur V parallèlement à W ; je supposerai la projection W définie par un système de relation $U' x = 0$ tel que la matrice $(\begin{pmatrix} U \\ U' \end{pmatrix})$ soit inversible.

La matrice représentée par le système (supposé normé) des p vecteurs formés par les intersections $(p - 1)$ a $(p - 1)$ des variétés linéaires de base peut s'écrire sous la forme $(\alpha\beta)$ avec

$$ \begin{pmatrix} U \\ U' \end{pmatrix} (\alpha\beta) = 1. $$

$\alpha$ doit vérifier la condition $U\alpha = 1$. Réciproquement quand $\alpha$ varie $U\alpha = 1$ il est possible de trouver $U'$. Donc les projections W sont caractérisées par les matrices $\alpha$ qui satisfont la condition $U\alpha \neq 1$.

Le vecteur $Z_o - z_o$ peut s'écrire :

$$ (\alpha\beta) \begin{pmatrix} U \\ U' \end{pmatrix} (Z_o - z_o) $$

Il est parallèle à W s'il est de la forme :

$$ (\alpha O) \begin{pmatrix} U \\ U' \end{pmatrix} (Z_o - z_o) = \alpha U (Z_o - z_o) $$

Si $z_o$ est contenu dans $V : U z_o = 0$

$$ Z_o - z_o = \alpha U Z_o $$

$$ z_o = Z_o - \alpha U Z_o $$

Comme cette relation est vraie pour tous les sommets de $G_o$, je peux écrire la matrice représentée par l'ensemble $P'$ des projections des sommets de $G_o$ sous la forme :

$$ (X - A_o Y) - \alpha U (X - A_o Y) $$

mais comme $U X = 0$, ceci s'écrit également :

$$ X' - (A_o - \alpha U A_o) Y $$

Cette expression est de la forme $X - A_o Y$ par conséquent l'image $P'$ de cette matrice est un polygone $G_o$ qui est un polygone $P$ puisqu'il est contenu dans $V$.
En faisant varier nous avons la famille des P' projection de $G_o$ sur V. Le polygone $P_o$ sera en première approximation voisin du plus petit polygone P'. Mais comme il s'agit de déterminer un terme correctif _il est possible de changer_ la définition de l'écart.

Certes, il serait souhaitable de conserver comme définition du "plus petit" la même que celle qui nous a servi à définir $G_o$ ; mais nous savons qu'avec cette définition nous ne pouvons pas étudier une famille de polygones plans. D'autre part, comme il s'agit de polygones très voisins, il est vraisemblable que toutes les définitions du plus petit donneront des résultats très peu différents, ce que m'a conduit à définir le plus petit des P' comme étant celui pour lequel la moyenne des carrés des distances des sommets à l'origine est minimale.

## EXECUTION DES CALCULS

Dans la première phase des calculs, je fais abstraction de la condition $U A = 0$ et je traite séparément chacun des $x_p$.

Donc pour chaque $x_p$ il s'agit de déterminer des $a_p^q$ tels que :

$$g_p = \sup_n \left| \frac{x_p^n - \sum_q a_p^q y_q^n}{x_p^n} \right|$$

soit minimum, et satisfassent de plus à la condition :

$$\sum_n (x_p^n - \sum_q a_p^q y_q^n) = 0$$

Je satisfais aisément à cette condition en identifiant $x_p - \sum_q a_p^q y_q$ avec :

$$x_p - \frac{\sum_q x_p^n}{\sum_n y_1^n} y_1 + \sum_{q \neq 1} u_p^q \left( \frac{y_1}{\sum_n y_1^n} - \frac{y_q}{\sum_n y_q^n} \right)$$

qui la satisfait manifestement ; ceci me détermine les $a_p^q$ en fonction des $u_p^q$. En portant cette expression dans g, il vient :
$$g_p = \sup_n \left| b_p^n + \sum_{q \neq 1} u_p^q c_q^n \right|$$

On est donc ramené au problème : déterminer g et les $u_p^q$ de façon que g soit minimal et que :

$$\left| b_p^n + \sum_{q \neq 1} c_q^n u_p^q \right| \le g_p ;$$

problème que l'on peut résoudre par la théorie des programmes linéaires.

On doit déterminer les u, v, w, et g de façon a maximiser - g sous les conditions :

$$g_p - b_p^n - \sum C^n u_p^q = v_p^n \ge 0$$

$$b^n + \sum C_q^n u_p^q + g_p = w_p^n \ge 0$$

A partir des $u_p^q$ on peut alors déterminer les $a_p^q$ d'où la matrice $A_o$.

Dans la 2ème phase il s'agit de déterminer $\alpha$ satisfaisant $\alpha U\alpha = +1$ de façon à minimiser :

$$X - A_o Y + \alpha U A_o Y$$

par la méthode des moindres carrés. Posons pour simplifier l'écriture :

$$X - A_o Y = Z$$

$$U A_o Y = B.$$

$B' = \text{transposée de } B.$

Si je cherche à minimiser $Z + \alpha B$ en faisant abstraction de la condition $U\alpha = +1$ il vient :

$$\alpha = - Z B' (B B')^{-1}$$

or il se trouve que cette valeur satisfait à $U\alpha = +1$. En effet :

$$U\alpha = - U Z B' (B B')^{-1}$$

mais :
$$ - U Z = - U X + U A_o Y = + B $$

puisque :

$$ U X = 0 $$

et par conséquent :

$$ U\alpha = + B B' (B B')^{-1} = + 1 $$

Donc $\alpha$ convient et la matrice solution est :

$$ A = A_o + Z B' (B B')^{-1} U A_o $$

Si $B B'$ n'est pas inversible, ce qui sera le cas si le nombre de relations $R$ est supérieur au nombre de variables $y$, la matrice $\alpha$ est indéterminée. Toutefois on peut déterminer $\alpha U A_o$.

Posons :

$$ \alpha U A_o = \Delta $$

nous avons alors à minimiser :

$$ Z + \Delta Y $$

avec la condition :

$$ U\Delta = U A_o $$

en faisant abstraction de cette dernière condition et sous réserve que $Y Y'$ est inversible, condition qui est satisfaite si les variables $y$ sont indépendantes, on a :

$$ \Delta = - Z Y' (Y Y')^{-1} $$

la matrice ainsi obtenue vérifie la condition :

$$ U\Delta = U A_o $$

car

$$ U\Delta = - U Z Y' (Y Y')^{-1} $$

$$ - U Z = - U (X - A_o Y) $$

$$ = U A_o Y $$

$$ U\Delta = U A_o Y Y' (Y Y')^{-1} = U A_o $$
nous avons donc :

$$A = A_0 - \Delta.$$