# Liaisons unilatérales et chocs élastiques quelconques: un résultat d'existence

Mongi Mabrouk

► To cite this version:

Mongi Mabrouk. Liaisons unilatérales et chocs élastiques quelconques: un résultat d'existence. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics, 1998, 326 (11), 10.1016/S0764-4442(98)80193-6. hal-01364846

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Submitted on 13 Sep 2016

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# Liaisons unilatérales et chocs élastiques quelconques : un résultat d'existence

Mongi MABROUK

LMA, 24, rue de l'épitaphe, 25000 Besançon cedex, France
Courriel : mongi.mabrouk@univ-fcomte.fr

**Résumé.** Suivant J.J. Moreau [5], nous présentons un modèle variationnel unifié qui décrit l'évolution d'un système mécanique ayant un nombre fini de degrés de liberté, soumis à des liaisons unilatérales parfaites et subissant des chocs de coefficient de restitution quelconque. Dans le cas d'une seule contrainte $f(q) \le 0$, nous montrons un résultat d'existence sous la condition que $f$ est de classe $C^{1,3}$, avec $\beta > 1/2$.

**Unilateral constraints and arbitrary elastic shocks: an existence result**

**Abstract.** Following J.J. Moreau [5], we present a unified variational model, which governs the evolution of a mechanical system having a finite number of degrees of freedom, submitted to some perfect unilateral constraints, and experiencing shocks with arbitrary restitution coefficient. In the case of one single constraint $f(q) \le 0$, we prove an existence result, under the assumption that $f$ is of class $C^{1,3}$, with $\beta > 1/2$.

**Abridged English Version**

We consider a mechanical system with a finite number of degrees of freedom, having a configurations manifold $Q$ and a local coordinates system $q = (q_1, q_2, ..., q_N)$. Besides the bilateral constraints which have been used for the parametrization of $Q$, we consider a single perfect unilateral constraint $f(q) \le 0$, where $f$ is at least $C^1$, with $\nabla f \ne 0$ in a neighborhood of the hypersurface $f(q) = 0$ delimiting the closed domain $L \subset Q$. Let $E(q)$ (resp. $E'(q)$) be the tangent (resp. cotangent) space at $q$. To avoid unnecessary complications, we suppose that the kinetic energy reduces to $T(q, \dot{q}) = \frac{1}{2} \|\dot{q}\|^2$ which makes $Q$, at least locally, an open subset of $\mathbb{R}^N$ and $E(q) = E'(q) = \mathbb{R}^N$. For every $q$, let $V(q) = \{w \in E : w \cdot \nabla f(q) \le 0\}$ if $f(q) \ge 0$, and $V(q) = E$ if $f(q) < 0$, which is the tangent cone to $L$ at $q$ if $q \in L$. Here $V(q)$ is either $\mathbb{R}^N$ or a half-space. Let $N(q)$ be the polar cone

Note présentée par Philippe G. CIARLET.
of $V(q)$. The system is submitted to some continuous given forces $p(t, q(t)) \in E'(q)$ and to an unknown constraint force $R = -\lambda \nabla f(q)$, $\lambda \ge 0$ constant. Let $I = [0, T] \subset \mathbb{R}$. Then a generalized motion is a locally absolutely continuous map $q: I \to Q$ such that: i) the right and left velocities $\dot{q}^{\pm}$ exist everywhere, ii) on every subinterval of smooth motion we have: $p - \ddot{q} \in \partial I_{V(q)}(\dot{q})$ a.e., iii) if at an instant $t_s$, we have $\dot{q}^{-}(t_s) \neq \dot{q}^{+}(t_s)$, then a shock occurs and we have the jump relation: $\frac{1}{1+e}(\dot{q}^{+} + e\dot{q}^{-}) = \text{prox}(V(q), \dot{q}^{-})$, $\text{prox}(C, x)$ being the proximal point to $x$ in the convex set $C$.

**DEFINITION.** — A function $u$, locally of bounded variation on $I$ is said to be *e-averaged*, and denoted $\text{lbve-m}$, if and only if $u = \frac{u^{+} + eu^{-}}{1+e}$ everywhere.

We can then state our problem:

**PROBLEM P.** — Let $q_0 \in L$, $v_0 \in E$. To find $u$ in lbve-m($I, Q$) with $u^{-}(0) = v_0$ such that with $q(t) = q_0 + \int_0^t u(\tau) d\tau$ we have the following differential equation for real measures: $p(t, q(t))dt - du \in \partial I_{V(q(t))}(u(t))$.

From [1], we know that every solution $u$ of Problem $P$ is a generalized motion. In the present work, we prove the following existence result by using the numerical scheme (6)–(9).

**THEOREM.** — Assume $f \in C^{1,\beta}(Q, \mathbb{R})$, $\beta > 1/2$. Then:

(i) from the sequence $(v_n, q_n)$ of the numerical scheme, we can extract a subsequence which converges to a limit $(v, q)$ where $v$ is of bounded variation and $q(t) = q_0 + \int_0^t v(\tau) d\tau$;

(ii) the function $u = \frac{v^{+} + ev^{-}}{1+e}$ is a solution of Problem $P$.

The above result remains true if we assume that $p$ depends also on $\dot{q}$ (viscous damping for example) and is uniformly Lipshitzian in $q$ and $\dot{q}$.

# 1. Présentation

Dans ce travail, nous exposons et étudions un modèle variationnel unifié qui gouverne la dynamique des systèmes mécaniques à un nombre fini de degrés de liberté, soumis à des liaisons unilatérales parfaites. Ce modèle déjà mentionné par J.J. Moreau dans [5], s'applique en présence de chocs de nature quelconque, généralisant ainsi le cas du choc inélastique standard étudié initialement par J.J. Moreau [4]. Plus précisément, considérons un système mécanique à $N$ degrés de liberté. Soit $Q$ la variété des configurations et $q = (q_1, q_2, \dots, q_N)$ un système de coordonnées locales. En plus des liaisons bilatérales qui ont servi à choisir la paramétrisation, on suppose le système soumis à une liaison unilatérale parfaite, d'équation :

$$f(q) \le 0, \quad (1)$$

où $f$ est supposée de classe $C^1$ au moins, de gradient non nul au voisinage de l'hypersurface $f(q) = 0$ délimitant la région fermée régulière $L \subset Q$. Soit $E(q)$ (resp. $E'(q)$) l'espace tangent (resp. cotangent) en $q$ à $Q$. Afin d'éviter les complications purement techniques, nous supposons que l'énergie cinétique du système se réduit à $T(q, \dot{q}) = \frac{1}{2} \|\dot{q}\|_E^2$, i.e. $Q$ est un ouvert de $\mathbb{R}^N$, et $E(q) = E'(q) = \mathbb{R}^N$.

Soit $V(q) = \{w \in E : w \cdot \nabla f(q) \le 0\}$ si $f(q) \ge 0$, et $V(q) = E$ si $f(q) < 0$, appelé cône tangent à $L$ au point $q$ si $q \in L$. Ici $V(q)$ est soit l'espace entier, soit un demi-espace, et la condition de qualification $\text{Int}V(q) \neq \emptyset$ est satisfaite pour tout $q$. Soit $N(q) := \{r \in E : r \cdot w \le 0, \forall w \in V(q)\}$ le cône polaire à $V(q)$. Dans notre cas, $N(q)$ est la normale sortante à $L$ si $f(q) = 0$, et $\{0\}$ si
$f(q) < 0$. Si le mobile $t \mapsto q(t)$, décrivant l'évolution du système, reste dans la région $L$, on a :
$$v^+ \cdot \nabla f(q) \le 0, \text{ où } v^+ = \dot{q}^+ \text{ est la vitesse à droite de } q \text{ supposée exister. Autrement dit, } v^+ \in V(q).$$
On montre de même que si la vitesse à gauche $v^-$ existe, on a $v^- \in -V(q)$. Du point de vue de la dynamique, le système est soumis à des efforts donnés $p(t, q(t)) \in E'(q)$ continus et à des efforts de liaison représentés par le covecteur $R = -\lambda \nabla f(q)$, $\lambda$ constante positive. Le mouvement $q: I \subset \mathbb{R} \to Q$, où $I$ est un intervalle ouvert, est dit régulier si et seulement si $q$ est différentiable, et $\dot{q}$ est localement absolument continue. Si $I$ est un intervalle de mouvement régulier, les équations de Lagrange s'écrivent :

$$p - \ddot{q} \in \partial I_{V(q)}(\dot{q}) = N_{V(q)}(\dot{q}) \quad \text{p.p.} \qquad (2)$$

où $I_C$ est ici la fonction indicatrice du convexe $C$, égale à 0 sur $C$ et $+\infty$ sinon, et $\partial I_C(u)$ est son sous-différentiel au point $u$.

Si un intervalle de mouvement régulier se termine à $t_s$ avec $\dot{q}^-(t_s) \notin V(q(t_s))$, on a nécessairement un choc. Notons $\pi = \dot{q}^+(t_s) - \dot{q}^-(t_s)$ la percussion de liaison.

**DÉFINITION 1.** – Soit $0 \le e \le 1$. Un choc à l'instant $t_s$ est dit élastique de coefficient de restitution $e$ (inélastique standard si $e=0$) si et seulement si l'une des quatre conditions équivalentes suivantes a lieu : (i) $\frac{1}{1+e}(\dot{q}^+ + e\dot{q}^-) = \text{prox}(V(q), \dot{q}^-)$, (ii) $-\frac{\pi}{1+e} = \text{prox}(N(q), \dot{q}^-)$, (iii) $\frac{\pi}{1+e} \cdot (\dot{q}^+ + e\dot{q}^-) = 0$ ou (iv) $\frac{1}{2}\|\dot{q}^+\|_E^2 - \frac{1}{2}\|\dot{q}^-\|_E^2 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1-e}{1+e} \|\dot{q}^+ - \dot{q}^-\|_E^2$, avec $\text{prox}(C, x)$ désignant le point proximal de $x$ dans le convexe fermé $C$.

Pour $e=0$, on retrouve le choc inélastique (ou mou) étudié par J.J. Moreau [4] et P. Monteiro-Marques [2]. Suivant J.J. Moreau, nous appellerons mouvement généralisé toute application $q: I \subset \mathbb{R} \to Q$, localement absolument continue, ayant des dérivées à droite et à gauche $\dot{q}^{\pm}$ en tout point, vérifiant les équations du mouvement régulier sur tout sous-intervalle $I' \subset I$ où la dérivée $\dot{q}$ existe et est localement absolument continue, et vérifiant en tout point de discontinuité $t_s$ les conditions de choc.

**DÉFINITION 2.** – Une fonction $u$, localement à variation bornée sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$, est dite $e$-moyennée, et sera notée $\text{lvbe-m}$, si et seulement si $u = \frac{u^+ + eu^-}{1+e}$ en tout point de $I$.

On se pose alors le problème suivant :

**PROBLÈME P.** – Soient $q_0 \in L$ et $v_0 \in E$. Trouver $u \in \text{lvbe-m}(I, E)$, avec $u^-(0) = v_0$, de telle sorte qu'en posant $q(t) = q_0 + \int_0^t u(\tau)d\tau$, on ait l'inclusion différentielle au sens des mesures réelles :

$$p(t, q(t))dt - du \in \partial I_{V(q(t))}(u(t)) \qquad (3)$$

On montre alors (voir [1]) que toute solution du problème $P$ est un mouvement généralisé vérifiant une forme généralisée du théorème de l'énergie cinétique : $\forall t \in I : u(t) \cdot (p(t, q(t))t'_{\mu}(t) - u'_{\mu}(t)) = 0$, et est dissipative dans le sens : $\forall t \in I$, $\|u^+(t)\| \le \|u^-(t)\|$. Dans ce travail, nous étudions la question de l'existence de solutions pour le problème $P$. Pour cela, nous employons une technique de discrétisation analogue à celle utilisée par P. Monteiro-Marques dans [2]. Le résultat principal de cette Note est un théorème d'existence :

**THÉORÈME.** – Supposons $f \in C^{1,\beta}(Q, \mathbb{R})$, avec $\beta > 1/2$. Alors :

(i) de la suite $(v_n, q_n)$ du schéma numérique (6)-(9), on peut extraire une sous-suite convergeant vers une limite $(v, q)$ où $v$ est une fonction à variation bornée sur $[0, T]$ et $q(t) = q_0 + \int_0^t v(\tau)d\tau$;

(ii) la fonction $u = \frac{u^+ + eu^-}{1+e}$ est une solution du problème $P$.
## 2. Démonstration du théorème

Nous discrétisons la relation (3) sous la forme implicite :

$$ \frac{t_{i+1} - t_i}{1+e} p(t_{i+1}, q(t_{i+1})) - \frac{v_{i+1} - v_i}{1+e} \in \partial I_{V(q(t_{i+1}))} \left( \frac{v_{i+1} + ev_i}{1+e} \right), \quad (4) $$

équivalente à :

$$ \frac{v_{i+1} + ev_i}{1+e} = \text{prox} \left( V(q(t_{i+1})), v_i + \frac{t_{i+1} - t_i}{1+e} p(t_{i+1}, q(t_{i+1})) \right) \quad (5) $$

Nous allons esquisser la preuve de l'existence d'une solution locale, l'existence globale s'en déduisant facilement à partir des estimations a priori uniformes obtenues.

Soit $I' = [0, T']$ un sous-intervalle de $I = [0, T]$ à déterminer. On adopte un pas constant $h = \frac{T'}{n}$, donc les nœuds $t_i^n = ih = i \frac{T'}{n}$, en particulier $t_0^n = 0$, $t_n^n = T'$. Soit $v_0$ donné appartenant à $E$. Pour chaque $n$, on construit les suites approximantes finies $(v_i^n)$ et $(q_i^n)$ de $E$ :

$$ q_0^n = q_0, \quad (6) $$

$$ v_0^n = -cv_0 + (1+e)\text{prox}\left(V(q_0^n), v_0 + \frac{h}{1+e}p(t_0^n, q_0^n)\right). \quad (7) $$

et pour $i = 0, 1, \dots, n-1$ :

$$ q_{i+1}^n = q_i^n + hv_i^n, \quad (8) $$

$$ v_{i+1}^n = -cv_i^n + (1+e)\text{prox}\left(V(q_{i+1}^n), v_i + \frac{h}{1+e}p(t_{i+1}^n, q_{i+1}^n)\right). \quad (9) $$

On définit alors les fonctions en escalier approchantes :

$$ \begin{cases} v_n(t) = v_i'' & \text{si } t \in [t_i^n, t_{i+1}^n[, \quad 0 \le i \le n-1. \\ = v_n'' & \text{si } t = T'. \end{cases} $$

et
$$ q_n(t) = q_0 + \int_0^t v_n(\tau) d\tau. $$

### Étape 1. – On montre la majoration

$$ |v_i^n| \le R = |v_0| + 2T'M. $$

où $M = \sup\{p(t, q(t)); t \in [0, T], |q(t) - q_0| \le \delta\}$. L'application $q \mapsto V(q)$ étant semi-continue inférieurement, il existe $\delta > 0$ et une boule $B(a, r)$ tels que : $V(q) \supset B(a, r)$ pour $|q - q_0| \le \delta$. On choisit alors $T'$ par l'équation $T' = \frac{\delta}{R}$, d'où : $|q_i^n - q_0| \le \delta$ et $V(q_i^n) \supset B(a, r)$, $\forall n \in \mathbb{N}$, $\forall i \in \{0, \dots, n-1\}$.

### Étape 2. – Si $f \in C^{1,1/2}(Q, \mathbb{R})$, on a la majoration des mesures $dv_n$ :

$$ \sup_n \int_{[0,T')} |dv_n| < +\infty. $$
Par le théorème de Helly, la suite $(v_n)$ converge partout vers une fonction à variation bornée $v$. La suite $(q_n)$ converge alors uniformément vers la fonction $t \mapsto q(t) = q_0 + \int_0^t v(\tau)d\tau$ et vérifie la relation $f(q(t)) \le 0$.

Soit alors $u = \frac{v^+ + ev^-}{1 + e}$. Par construction, $u$ est lbve-m.

**Étape 3.** – Si $f \in C^{1,1/2}(Q, \mathbb{R})$, on montre que $u$ vérifie presque partout l'équation (2). Ceci se fait en démontrant la relation intégrale :

$$z \cdot (v(t) - v(s)) \ge \frac{1}{2}(|v(t)|^2 - |v(s)|^2) + \int_s^t (z - v(\tau)) \cdot p(\tau, q(\tau)) d\tau, \quad (10)$$

où $z \in V(y)$ pour tout $y$ appartenant à un voisinage de l'image $q([s, t])$, $s \le t \le T'$, et en passant à la limite par le théorème de Jeffery sur la dérivation des mesures.

**Étape 4.** – Si $f \in C^{1,\beta}(Q, \mathbb{R})$, $\beta > 1/2$, on montre que $u$ vérifie la relation de saut en tout point de discontinuité.

### 3. Conclusion

Les preuves des points sus-mentionnés sont très techniques et reposent sur des arguments analogues à ceux utilisés dans [2]. Le fait que $e$ soit non nul complique très sérieusement les démonstrations et nécessite plus de régularité pour $f$. Ceci peut s'interpréter comme une condition sur la courbure de la surface $f = 0$.

Pour $e = 0$ et $p = p(t, q(t))$, la condition $f \in C^1(Q, \mathbb{R})$ suffit, et nous retrouvons le résultat d'existence établi par M. Monteiro-Marques dans [2].

Si le système est soumis à des efforts dépendant aussi de la vitesse (amortissement visqueux par exemple) $p = p(t, q(t), \dot{q}(t))$, globalement continus, et lipschitziens par rapport à $q$ et $\dot{q}$, uniformément en $t$, le résultat d'existence demeure vrai. Seule l'étape 1 est à modifier substantiellement, les étapes 2, 3 et 4 ne subissant que des changements mineurs.

Les preuves détaillées de cette Note sont à paraître prochainement dans [1].

### Références bibliographiques

[1] Mabrouk M., On an unified variational model for the dynamics of unilateral constraints, Europ. J. Mech., (à paraître).

[2] Monteiro-Marques M.D.P., Chocs inélastiques standard : un résultat d'existence, Séminaire d'analyse convexe de Montpellier, exposé n° 4, 1985.

[3] Moreau J.J., Décomposition orthogonale d'un espace hilbertien selon deux cônes mutuellement polaires, C. R. Acad. Sci. Paris t. 255 (1962).

[4] Moreau J.J., Standard inelastic shocks and the dynamics of Unilateral constraints, In: Unilateral Problems in structural Analysis, Del Piero G., Maceri F. (Eds.), 1985.

[5] Moreau J.J., Unilateral contact and dry friction in finite freedom dynamics, Moreau J.J., Panagiotopoulos P.D. (Eds.), Nonsmooth mechanics and applications, Springer-Verlag, 1988, pp. 1-82.