# Généralisation d'une formule de dérivation numérique
de V. N. Fadeeva

par D. V. IONESCU (Cluj)

1. V. N. Fadeeva [1] a donné la formule de dérivation numérique

$$ (1) \qquad \Delta^2 f(x_1) = \frac{h}{2} [f'(x_3) - f'(x_1)] + R $$

où les noeuds $x_1, x_2, x_3$ sont en progression arithmétique dont la raison est $h$, sans préciser le reste $R$, en affirmant seulement, qu'il est de l'ordre de $h^4$. V. N. Fadeeva a appliqué cette formule à l'intégration numérique de l'équation aux dérivées partielles de la chaleur.

Dans cette note [2], nous allons généraliser la formule de dérivation numérique (1), étudier son reste que nous mettrons sous la forme d'une intégrale définie, et faire quelques applications à l'intégration numérique des équations différentielles.

## § 1. La généralisation de la formule de V. N. Fadeeva

2. Considérons les noeuds $x_1, x_2, ..., x_n$ en progression arithmétique, dont la raison est $h$, et une fonction $f(x)$ de la classe $C^{n+1}$ sur l'intervalle $[x_1, x_n]$, ce qui veut dire que la fonction $f(x)$ et ses dérivées successives $f'(x), f''(x), ..., f^{(n+1)}(x)$ sont continues sur l'intervalle $[x_1, x_n]$. Nous voulons établir une formule de dérivation numérique de la forme

$$ (2) \qquad \Delta^{n-1} f(x_1) = A_1 f'(x_1) + A_2 f'(x_2) + \dots + A_n f'(x_n) + R, $$

où

$$ (3) \qquad \Delta^{n-1} f(x_1) = f(x_n) - C_{n-1}^1 f(x_{n-1}) + \dots + (-1)^{n-1} C_{n-1}^{n-1} f(x_1) $$

et où le reste $R$ doit être nul lorsque $f(x)$ est un polynôme quelconque de degré $n$.

A cet effet, nous attachons aux intervalles $[x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_{n-1}, x_n]$ les polynômes $\varphi_1(x), \varphi_2(x), ..., \varphi_{n-1}(x)$ intégrales des équations différentielles

$$ (4) \qquad \varphi_1^{(n)}(x) = 1, \quad \varphi_2^{(n)}(x) = -C_{n-2}^1, \quad \dots, \quad \varphi_{n-1}^{(n)}(x) = (-1)^{n-2} C_{n-2}^{n-2} $$
satisfaisant aux conditions aux limites

$$ \varphi_1^{(r)}(x_1) = 0 \quad (r = 0, 1, \dots, n-2), $$

$$ (5) \qquad \varphi_k^{(r)}(x_k) = \varphi_{k-1}^{(r)}(x_k) \quad (r = 0, 1, \dots, n-2; k = 2, 3, \dots, n-1), $$

$$ \varphi_{n-1}^{(r)}(x_n) = 0 \quad (r = 0, 1, \dots, n-2). $$

Dans ces conditions, nous avons

$$ \int_{x_1}^{x_2} \varphi_1^{(n+1)}(x)f(x)dx = 0, \quad \int_{x_2}^{x_3} \varphi_2^{(n+1)}(x)f(x)dx = 0, \dots, \quad \int_{x_{n-1}}^{x_n} \varphi_{n-1}^{(n+1)}(x)f(x)dx = 0, $$

et en appliquant la formule généralisée d'intégration par parties nous pouvons écrire

$$ [\varphi_1^{(n)} - \varphi_1^{(n-1)}f' + \dots + (-1)^n \varphi_1 f^{(n)}]_{x_1}^{x_2} = (-1)^n \int_{x_1}^{x_2} \varphi_1 f^{(n+1)} dx, $$

$$ [\varphi_2^{(n)} - \varphi_2^{(n-1)}f' + \dots + (-1)^n \varphi_2 f^{(n)}]_{x_2}^{x_3} = (-1)^n \int_{x_2}^{x_3} \varphi_2 f^{(n+1)} dx, $$

$$ [\varphi_{n-1}^{(n)} - \varphi_{n-1}^{(n-1)}f' + \dots + (-1)^n \varphi_{n-1} f^{(n)}]_{x_{n-1}}^{x_n} = (-1)^n \int_{x_{n-1}}^{x_n} \varphi_{n-1} f^{(n+1)} dx. $$

En ajoutant membre à membre ces équations, et en tenant compte des équations différentielles (4) et des conditions aux limites (5), nous obtenons la formule de dérivation numérique (2), avec

$$ A_1 = (-1)^{n-1} \varphi_1^{(n-1)}(x_1), $$

$$ (6) \qquad A_k = (-1)^{n-1} [\varphi_k^{(n-1)}(x_k) - \varphi_{k-1}^{(n-1)}(x_k)] \quad (k = 2, 3, \dots, n-1), $$

$$ A_n = -(-1)^{n-1} \varphi_{n-1}^{(n-1)}(x_n), $$

et

$$ (7) \qquad R = \int_{x_1}^{x_n} \varphi(x) f^{(n+1)}(x) dx, $$

où la fonction $\varphi(x)$ coïncide sur les intervalles $[x_1, x_2]$, $[x_2, x_3]$, ..., $[x_{n-1}, x_n]$ avec les polynômes $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$, ..., $\varphi_{n-1}(x)$.

Le problème de la formule de dérivation numérique (2) et de son reste R, se réduit ainsi à l'intégration de l'équation différentielle (4) avec les conditions aux limites (5).

**3. Les intégrales des équations différentielles (4) qui vérifient les conditions aux limites (5) relativement aux noeuds $x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ sont**
données par les formules

$$ \varphi_1(x) = \frac{(x-x_1)^n}{n!} + \lambda_1 \frac{(x-x_1)^{n-1}}{(n-1)!}, $$

$$ \varphi_2(x) = \frac{(x-x_1)^n}{n!} - C_{n-1}^{1} \frac{(x-x_2)^n}{n!} + \lambda_1 \frac{(x-x_1)^{n-1}}{(n-1)!} + \lambda_2 \frac{(x-x_2)^{n-1}}{(n-1)!}, $$

$$ (8) \qquad \varphi_{n-1}(x) = \frac{(x-x_1)^n}{n!} - C_{n-1}^1 \frac{(x-x_2)^n}{n!} + \dots + (-1)^{n-2} C_{n-1}^{n-2} \frac{(x-x_{n-1})^n}{n!} + \\ \qquad \qquad + \lambda_1 \frac{(x-x_1)^{n-1}}{(n-1)!} + \lambda_2 \frac{(x-x_2)^{n-1}}{(n-1)!} + \dots + \lambda_{n-1} \frac{(x-x_{n-1})^{n-1}}{(n-1)!}, $$

où $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n-1}$ sont des constantes arbitraires.

En écrivant que la fonction $\varphi_{n-1}(x)$ donnée par la dernière formule (8) satisfait aux conditions aux limites (5) du point $x_n$, et en tenant compte des formules bien connues [6]

$$ (n-1)^r - C_{n-1}^{1}(n-2)^r + \dots + (-1)^{n-2} C_{n-1}^{n-2} 1^r = 0 $$

pour $r = 1, 2, \dots, n-2$ et

$$ (n-1)^{n-1} - C_{n-1}^{1}(n-2)^{n-1} + \dots + (-1)^{n-2} C_{n-1}^{n-2} 1^{n-1} = (n-1)!, $$

$$ (n-1)^n - C_{n-1}^1 (n-2)^n + \dots + (-1)^{n-2} C_{n-1}^{n-2} 1^n = (n-1)! n(n-1)/2 $$

nous avons les équations suivantes

$$ (n-1)\lambda_1 + (n-2)\lambda_2 + \dots + 1\lambda_{n-1} = 0, $$

$$ (n-1)^2\lambda_1 + (n-2)^2\lambda_2 + \dots + 1^2\lambda_{n-1} = 0, $$

$$ (9) \qquad \begin{aligned} &(n-1)^{n-3}\lambda_1 + (n-2)^{n-3}\lambda_2 + \dots + 1^{n-3}\lambda_{n-1} = 0, \\ &(n-1)^{n-2}\lambda_1 + (n-2)^{n-2}\lambda_2 + \dots + 1^{n-2}\lambda_{n-1} = -(n-2)!h, \\ &(n-1)^{n-1}\lambda_1 + (n-2)^{n-1}\lambda_2 + \dots + 1^{n-1}\lambda_{n-1} = -(n-1)!(n-1)h/2 \end{aligned} $$

pour déterminer $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n-1}$.

On démontre que la solution du système d'équations linéaires (9) est donnée par les formules

$$ (10) \qquad \lambda_k = (-1)^k \frac{C_{n-2}^{k-1}}{2(n-k)} [n - (2k-1)]h $$

où $k = 1, 2, \dots, n-1$.

Donc la formule de dérivation numérique (2) existe et il nous reste à donner les coefficients $A_1, \dots, A_n$ de cette formule et d'étudier son reste.
4. D'après les formules (6), nous avons

$$
(11) \qquad A_k = (-1)^{n-1} \lambda_k
$$

pour $k = 1, 2, \dots, n-1$ et

$$
(12) \qquad A_n = (-1)^n (\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_{n-1}).
$$

On démontre que les coefficients $\lambda_k$ donnés par les formules (5) jouissent
de la propriété exprimée par la formule

$$
(13) \quad \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_k = (-1)^k \frac{(n-3)(n-4)\dots(n-k)(n-2k)}{2(k-1)!} h
$$

pour $k \ge 3$, d'où il résulte que

$$
(14) \qquad \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_{n-1} = (-1)^n \frac{h}{2}.
$$

Cela nous permet d'écrire les formules

$$
A_k = (-1)^{n+k-1} \frac{h}{2(n-1)} C_{n-1}^{k-1} (n-2k+1)
$$

pour $k = 1, 2, \dots, n$ d'où il résulte que la formule de dérivation nu-
mérique (2), prend la forme

$$
(15) \quad \Delta^{n-1} f(x_1) = (-1)^n \frac{h}{2(n-1)} \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} (n-2k+1) C_{n-1}^{k-1} f'(x_k) + R.
$$

On démontre facilement que dans la formule (2) ou (15) nous avons
$A_k = (-1)^n A_{n-k+1}$ et que si $n = 2p+1$, alors $A_{(n+1)/2} = 0$.

5. Les conditions aux limites (5), montrent que la fonction $\varphi(x)$ est continue dans l'intervalle $[x_1, x_n]$ ainsi que ses dérivées successives $\varphi'(x), \dots, \varphi^{(n-2)}(x)$. Nous allons démontrer que la dérivée $\varphi^{(n-2)}(x)$ a $n-2$ zéros dans l'intervalle $(x_1, x_n)$ qui sont les noeuds $x_2, x_3, \dots, x_{n-1}$.

Nous nous appuyrons sur l'observation suivante: la dérivée $\varphi_j^{(n-1)}(x)$
$a$ dans l'intervalle $[x_j, x_{j+1}]$ un seul zéro, le point $x = (x_j + x_{j+1})/2$.

En effet, d'après les formules (8), nous avons

$$
\varphi_j(x) = \frac{(x-x_1)^n}{n!} - C_{n-1}^1 \frac{(x-x_2)^n}{n!} + \dots + (-1)^{j-1} C_{n-1}^{j-1} \frac{(x-x_j)^n}{n!} + \\
\qquad + \lambda_1 \frac{(x-x_1)^{n-1}}{(n-1)!} + \lambda_2 \frac{(x-x_2)^{n-1}}{(n-1)!} + \dots + \lambda_j \frac{(x-x_j)^{n-1}}{(n-1)!}
$$

et il résulte que

$$
\varphi_j^{(n-1)}(x_j) + \varphi_j^{(n-1)}(x_{j+1}) = (E_j + E_{j-1})h + 2(\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_j),
$$
où

$$E_j = j - C_{n-1}^1(j-1) + \dots + (-1)^{j-1} C_{n-1}^{j-1} \cdot 1.$$

On voit facilement que

$$E_j = (-1)^{j-1} \frac{(n-3)(n-4)\dots(n-j-1)}{(j-1)!}$$

et tenant compte de la formule (14), on démontre sans difficultés, que

$$(16) \qquad \varphi_j^{(n-1)}(x_j) + \varphi_j^{(n-1)}(x_{j+1}) = 0.$$

La dérivée $\varphi_j^{(n-1)}(x)$ étant un polynôme du premier degré il résulte de la formule (16) que $x = (x_j + x_{j+1})/2$ est le zéro de $\varphi_j^{(n-1)}(x)$ dans l'intervalle $[x_j, x_{j+1}]$.

Les dérivées $\varphi_1^{(n-2)}(x)$, $\varphi_2^{(n-2)}(x)$, ..., $\varphi_{n-1}^{(n-2)}(x)$ étant des polynômes du second degré, les conditions aux limites (5) et la propriété précédente des dérivées $\varphi_1^{(n-1)}(x)$, $\varphi_2^{(n-1)}(x)$, ..., $\varphi_{n-1}^{(n-1)}(x)$ montrent que $x_2, x_3, \dots, x_{n-1}$ sont les zéros de $\varphi^{(n-2)}(x)$ dans l'intervalle $(x_1, x_n)$. Le nombre de ces zéros est $n-2$.

**6.** Nous allons démontrer maintenant que la fonction $\varphi(x)$ est négative dans l'intervalle $(x_1, x_n)$. Pour cela nous démontrerons d'abord que la fonction $\varphi(x)$, n'a qu'un seul extrêmum dans l'intervalle $(x_1, x_n)$.

Nous avons vu que la fonction $\varphi(x)$ est continue dans l'intervalle $[x_1, x_n]$ et qu'elle a des dérivées successives continues jusqu'à l'ordre $n-2$ et satisfait aux points $x_1, x_n$ aux conditions

$$\varphi(x_1) = 0, \quad \varphi'(x_1) = 0, \quad \dots, \quad \varphi^{(n-2)}(x_1) = 0,$$

$$\varphi(x_n) = 0, \quad \varphi'(x_n) = 0, \quad \dots, \quad \varphi^{(n-2)}(x_n) = 0.$$

Pour $n > 2$, le théorème de Rolle montre que la dérivée $\varphi'(x)$ a au moins un zéro dans l'intervalle $(x_1, x_n)$. Ce zéro est unique.

En effet, supposons que la dérivée $\varphi'(x)$ ait deux zéros dans l'intervalle $(x_1, x_n)$. En appliquant successivement le théorème de Rolle aux fonctions $\varphi'(x)$, $\varphi''(x)$, ..., $\varphi^{(n-3)}(x)$, on arrive à la conclusion que $\varphi''(x)$ doit avoir 3 zéros dans l'intervalle $(x_1, x_n)$, ..., que $\varphi^{(n-2)}(x)$ doit avoir $n-1$ zéros dans l'intervalle $(x_1, x_n)$, ce qui est impossible puisque nous avons démontré au nr. 5 que la dérivée $\varphi^{(n-2)}(x)$ a $n-2$ zéros dans l'intervalle $(x_1, x_n)$. Donc la fonction $\varphi(x)$ a un seul extrêmum dans l'intervalle $(x_1, x_n)$.

D'autre part la fonction $\varphi_1(x)$ donnée par la formule

$$\varphi_1(x) = \frac{(x-x_1)^n}{n!} - \frac{h}{2} \cdot \frac{(x-x_1)^{n-1}}{(n-1)!}$$

est nulle pour $x = x_1$ et est négative au voisinage de $x_1$. Il résulte alors que la fonction $\varphi(x)$ est négative dans l'intervalle $(x_1, x_n)$.
Les raisonnements précédents ne s'appliquent pas pour $n = 2$. Dans ce cas la formule (2) devient

$$f(x_2) - f(x_1) = \frac{x_2 - x_1}{2} [f'(x_1) + f'(x_2)] + \int_{x_1}^{x_2} \varphi(x) f'''(x) dx,$$

où $\varphi(x) = (x - x_1)(x - x_2)/2$ et l'on voit que aussi dans ce cas nous avons $\varphi(x) < 0$ dans l'intervalle $(x_1, x_2)$.

7. La fonction $\varphi(x)$ étant négative sur l'intervalle $(x_1, x_n)$, le reste $\mathbb{R}$ de la formule de dérivation numérique (15) peut s'écrire sous la forme

$$R = f^{(n+1)}(\xi) \int_{x_1}^{x_n} \varphi(x) dx,$$

où $\xi \in (x_1, x_n)$. L'intégrale du second membre se calcule par la formule (15) en remplaçant $f(x)$ par $(x-x_1)^2(x-x_2)\dots(x-x_n)/(n+1)!$ et l'on trouve finalement

$$(17) \qquad R = -f^{(n+1)}(\xi) \frac{h^{n+1}}{12}$$

d'où résulte l'évaluation

$$(18) \qquad |R| \le M_{n+1} \frac{h^{n+1}}{12},$$

où $M_{n+1}$ est une borne supérieure de $|f^{(n+1)}(x)|$ sur l'intervalle $(x_1, x_n)$.

## § 2. L'application de la formule de V. N. Fadeeva à l'intégration numérique des équations différentielles

### 8. Considérons l'équation différentielle

$$(19) \qquad y' = f(x, y)$$

et soit $y(x)$ l'intégrale qui satisfait à la condition initiale $y(x_0) = y_0$. Nous supposons que l'intégrale $y(x)$ existe sur l'intervalle $[x_0, x_0 + a]$ et que dans le rectangle $D$, défini par les inégalités

$$(20) \qquad 0 \le x - x_0 \le a, \quad |y - y_0| \le b$$

la fonction $f(x, y)$ est continue ainsi que ses dérivées partielles successives par rapport à $x$ et à $y$, jusqu'à l'ordre qui sera nécessaire pour les formules que nous avons en vue.

Dans ces conditions on déduit de l'équation différentielle (19) par des dérivaçons successives

$$(21) \qquad y'' = f_1(x, y), \quad y''' = f_2(x, y),$$

les fonctions $f_1(x, y)$, $f_2(x, y)$, ..., étant continues dans $D$.
Dans l'intervalle $[x_0, x_0+a]$ prenons les noeuds $x_0, x_1, ..., x_{2p}$ en progression arithmétique, dont la raison est $h$, et appliquons à l'intégrale $y(x)$ de l'équation différentielle (19) satisfaisant à la condition $y(x_0) = y_0$ et aux noeuds $x_0, x_1, ..., x_{2p}$, la formule de dérivation numérique (15). Nous aurons

$$ (22) \quad \begin{aligned} & [y(x_{2p}) + y(x_0)] - C_{2p}^1[y(x_{2p-1}) + y(x_1)] + \dots + \\ & \qquad + (-1)^{p-1} C_{2p}^{p-1}[y(x_{p+1}) + y(x_{p-1})] + (-1)^p C_{2p}^p y(x_p) \\ &= \frac{h}{4p} \{2p[y'(x_{2p}) - y'(x_0)] - (2p-2)C_{2p}^1[y'(x_{2p-1}) - y'(x_1)] + \dots + \\ & \qquad + (-1)^{p-1} 2C_{2p}^{p-1}[y'(x_{p+1}) - y'(x_{p-1})]\} + \int_{x_0}^{x_{2p}} \varphi(x)y^{(2p+2)}(x)dx. \end{aligned} $$

Si nous supposons que l'intégrale $y(x)$ a été calculée au préalable sur les noeuds $x_1, x_2, ..., x_{p-1}, x_{p+1}, ..., x_{2p}$ alors la formule (22) conduit à une formule d'intégration numérique pour le calcul de $y(x_p)$, à savoir

$$ (23) \quad y(x_p) = \frac{(-1)^{p-1}}{C_{2p}^p} \sum_{j=0}^{p-1} (-1)^j C_{2p}^j[y(x_{2p-j}) + y(x_j)] + \\ \qquad + \frac{(-1)^p h}{4p C_{2p}^p} \sum_{j=0}^{p-1} (-1)^j (2p-2j) C_{2p}^j \{f[x_{2p-j}, y(x_{2p-j})] - f[x_j, y(x_j)]\} + R_p, $$

où le reste $R_p$ est donné par la formule

$$ (24) \quad R_p = \frac{(-1)^p}{C_{2p}^p} \int_{x_0}^{x_{2p}} \varphi(x) f_{2p+1}[x, y(x)] dx. $$

En désignant par $F_{2p+1}$ une borne supérieure de $|f_{2p+1}(x, y)|$ dans le rectangle $D$, nous déduisons de la formule (24) une évaluation de la valeur absolue de $R_p$,

$$ (25) \quad |R_p| \le \frac{h^{2p+2}}{12C_{2p}^p} F_{2p+1}. $$

Par exemple, pour $p=1, 2$, nous avons les formules d'intégration numérique

$$ (26) \quad y(x_1) = \frac{y(x_0) + y(x_2)}{2} - \frac{h}{4} \{f[x_2, y(x_2)] - f[x_0, y(x_0)]\} + R_1 $$

avec

$$ (26') \quad |R_1| \le \frac{h^2}{24} F_3 $$
et

$$
(27) \quad y(x_2) = -\frac{1}{6}[y(x_4) - 4y(x_3) - 4y(x_1) + y(x_0)] + \\
\qquad + \frac{h}{12}\{f(x_4, y(x_4)) - 2f([x_3, y(x_3)] + 2f[x_1, y(x_1)] - f[x_0, y(x_0)])\} + R_2
$$

avec

$$
(27') \qquad |R_2| \le \frac{h^6}{72} F_5 .
$$

9. Dans le cas où le nombre des noeuds $x_0, x_1, ..., x_n$ est pair, la formule de dérivation numérique (15) conduit encore à des formules d'intégration numérique des équations différentielles (19), comme nous le montreons dans la suite.

Supposons $n=3$, et alors la formule (15) appliquée à la fonction $y(x)$ et aux noeuds $x_0, x_1, x_2, x_3$ est

$$
(28) \quad y(x_3) - 3y(x_2) + 3y(x_1) - y(x_0) \\
\qquad = \frac{h}{2} [y'(x_3) - y'(x_2) - y'(x_1) + y'(x_0)] + \int_{x_0}^{x_3} \varphi(x) y^{(5)}(x) dx .
$$

Nous avons vu (nr. 6) que dans cette formule la fonction $\varphi(x)$ est négative sur l'intervalle $(x_0, x_3)$ et que nous avons

$$
(29) \quad \int_{x_0}^{x_3} \varphi(x) dx = - \frac{h^5}{12} .
$$

Il convient d'ajouter à la formule (28), la formule qui consiste à repré-
senter la différence divisée $[x_0, x_0, x_1, x_1, x_3, x_3; y]$ de la fonction $y(x)$
sur les noeuds doubles $x_0, x_1, x_3$ par une intégrale définie [3]. Cette for-
mule est

$$
[x_0, x_0, x_1, x_1, x_3, x_3; y] = \int_{x_0}^{x_3} \psi(x) y^{(5)}(x) dx
$$

et tenant compte que $x_1 = x_0 + h, x_3 = x_0 + 3h$, cette formule peut encore
s'écrire

$$
(30) \quad 32y(x_0) - 27y(x_1) - 5y(x_3) \\
\qquad = -h[12y'(x_0) + 27y'(x_1) + 3y'(x_3)] + 108h^5 \int_{x_0}^{x_3} \psi(x)y^{(5)}(x)dx.
$$

Nous avons étudié la fonction $\psi(x)$ qui donne le reste de la formule (30)
[3]. Nous avons démontré qu'elle est positive sur l'intervalle $(x_0, x_3)$ et
que nous avons

$$
\int_{x_0}^{x_3} \psi(x) dx = \frac{1}{5!} .
$$
Si nous éliminons $y'(x_1)$ entre les équations (28) et (30), nous obtenons
la formule

$$
\begin{align*}
& 86y(x_0) - 189y(x_1) + 162y(x_2) - 59y(x_3) \\
&= h[-39y'(x_0) + 27y'(x_2) - 30y'(x_3)] + \int_{x_0}^{x_3} [108h^5\psi(x) - 54\varphi(x)]y^{(5)}(x)dx
\end{align*}
$$

et l'absence de $y'(x_1)$ dans le second membre nous conduit à la formule
d'intégration numérique de l'équation différentielle (19)

$$
(32) \quad y(x_1) = \frac{1}{189} [86y(x_0) + 162y(x_2) - 59y(x_3)] + \\
\qquad + \frac{h}{63} \{13f(x_0, y_0) - 9f[x_2, y(x_2)] + 10f[x_3, y(x_3)]\} + R,
$$

où le reste de cette formule est

$$
(33) \qquad R = \int_{x_0}^{x_3} \theta(x) f_4[x, y(x)] dx
$$

avec

$$
(34) \qquad \theta(x) = -\frac{1}{4}[4h^5\psi(x) - 2\varphi(x)] .
$$

D'après les propriétés des fonctions $\varphi(x)$, $\psi(x)$ la fonction $\theta(x)$ est
négative sur l'intervalle $(x_0, x_3)$ et nous avons

$$
\int_{x_0}^{x_3} \theta(x) dx = - \frac{h^5}{35},
$$

d'où il résulte l'évaluation de la valeur absolue du reste de la formule
d'intégration numérique (32)

$$
(35) \qquad |R| \le \frac{h^5}{35} F_4,
$$

où $F_4$ est une borne supérieure de $|f_4(x, y)|$ dans le rectangle $D$.

Donc, si l'intégrale de l'équation différentielle (19) a été calculée au
préalable sur les noeuds $x_2 = x_0 + 2h$, $x_3 = x_0 + 3h$ nous pouvons calculer
l'intégrale sur le noeud $x_1 = x_1 + h$ par la formule d'intégration numérique (32),
que nous avons déduit de la formule de dérivation numérique (28) de
V. N. Fadeeva.

10. Considérons encore le cas des noeuds $x_0, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, en progression arithmétique dont la raison est $h$. La formule de V. N. Fadeeva correspondante est

$$
\begin{align*}
& (36) \quad y(x_5) - 5y(x_4) + 10y(x_3) - 10y(x_2) + 5y(x_1) - y(x_0) \\
& = \frac{h}{2} [y'(x_5) - 3y'(x_4) + 2y'(x_3) + 2y'(x_2) - 3y'(x_1) + y'(x_0)] + \int_{x_0}^{x_5} \varphi(x)y^{(7)}(x)dx
\end{align*}
$$
et nous savons (nr. 6) que la fonction $\varphi(x)$ est négative sur l'intervalle $(x_0, x_5)$ et que nous avons

$$ (37) \qquad \int_{x_0}^{x_5} \varphi(x) dx = -\frac{h^5}{12}. $$

Nous pouvons ajouter à la formule (36), la formule qui représente la différence divisée de la fonction $y(x)$ sur les noeuds $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \xi_4$ considérés comme doubles par une intégrale définie

$$ (38) \qquad [\xi_1, \xi_1, \xi_2, \xi_2, \xi_3, \xi_3, \xi_4, \xi_4; y] = \int_{\xi_1}^{\xi_4} \psi(x)y^{(n)}(x)dx $$

que nous avons étudiée dans un autre travail [3]. Nous avons démontré que la fonction $\psi(x)$ est positive sur l'intervalle $[\xi_1, \xi_4]$ et que nous avons

$$ (39) \qquad \int_{\xi_1}^{\xi_4} \psi(x) dx = \frac{1}{7!}. $$

Pour obtenir des formules d'intégration numérique des équations différentielles (19), nous procédons comme au nr. 9

1º. En prenant $\xi_1 = x_0$, $\xi_2 = x_1$, $\xi_3 = x_2$, $\xi_4 = x_5$ et en éliminant $y'(x_1)$ entre l'équation (36) et l'équation (38), nous sommes conduits à la formule d'intégration numérique

$$ (40) \quad y(x_1) = \frac{1}{19125} \left[ \begin{aligned} & -4547y(x_5) + 22500y(x_4) - 45000y(x_3) + \\ & \qquad + 38000y(x_2) + 8172y(x_0) \end{aligned} \right] + \\ & + \frac{h}{1275} \left\{ \begin{aligned} & 152f[x_5, y(x_5)] - 450f[x_4, y(x_4)] + 300f[x_3, y(x_3)] + \\ & \qquad + 500f[x_2, y(x_2)] + 222f[x_0, y(x_0)] \end{aligned} \right\} + R_1, $$

où le reste $R_1$ est donné par la formule

$$ (41) \qquad R_1 = \int_{x_0}^{x_5} \theta_1(x) f_6[x, y(x)] dx $$

avec

$$ (42) \qquad \theta_1(x) = -\frac{1}{17} [96h^7\psi_1(x) - 4\varphi(x)]. $$

La fonction $\theta_1(x)$ est négative sur l'intervalle $(x_0, x_5)$ et nous avons

$$ (43) \qquad \int_{x_0}^{x_5} \theta_1(x) dx = -\frac{37}{19125} h^7. $$
Il résulte l'évaluation suivante de $|R_1|$

$$ (44) \qquad |R_1| \le \frac{37h^7}{19125} F_6 < 0,02073 F_6 h^7, $$

où $F_6$ est une borne supérieure de $|f_6(x, y)|$ dans le rectangle $D$.

2°. En prenant $\xi_1 = x_0$, $\xi_2 = x_1$, $\xi_3 = x_3$, $\xi_4 = x_5$ et en éliminant $y'(x_1)$ entre l'équation (36) et l'équation (38) nous sommes conduits à la formule d'intégration numérique

$$ (45) \quad y(x_1) = \frac{1}{25875} [10388y(x_0) + 45000y(x_2) - 47000y(x_3) + \\ \qquad \qquad \qquad \qquad + 22500y(x_4) - 5013y(x_5)] + \\ \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac{h}{1725} \{278f(x_0, y_0) + 300f[x_2, y(x_2)] + 500f[x_3, y(x_3)] - \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad - 450f(x_4, y(x_4)] + 168f[x_5, y(x_5)]\} + R_2, $$

où

$$ (46) \qquad R_2 = \int_{x_0}^{x_5} \theta_2(x) f_6[x, y(x)] dx $$

avec

$$ (47) \qquad \theta_2(x) = - \frac{1}{3} [384h^7 \psi_2(x) - 4\varphi(x)]. $$

La fonction $\theta_2(x)$ est négative sur l'intervalle $(x_0, x_5)$ et nous avons l'évaluation

$$ (48) \qquad |R_2| \le \frac{43h^7}{2415} F_6 < 0,01781 F_6 h^7. $$

3°. En prenant $\xi_1 = x_0$, $\xi_2 = x_1$, $\xi_3 = x_3$, $\xi_4 = x_5$ nous sommes conduits de la même manière à la formule d'intégration numérique de l'équations différentielle (19)

$$ (49) \quad y(x_1) = \frac{1}{3125} [1283y(x_0) + 5000y(x_2) - 5000y(x_3) + 3125y(x_4) - 1283y(x_5)] + \\ \qquad + \frac{h}{625} \{104f(x_0, y_0) + 100f[x_2, y(x_2)] + 100f[x_3, y(x_3)] + 104f[x_5, y(x_5)]\} + R_3, $$

où

$$ (50) \qquad R_3 = \int_{x_0}^{x_5} \theta_3(x) f_6[x, y(x)] dx $$

avec

$$ (51) \qquad \theta_3(x) = - \frac{1}{5} [864h^7 \psi_3(x) - 4\varphi(x)]. $$

La fonction $\theta_3(x)$ est négative sur l'intervalle $(x_0, x_5)$ et nous avons l'évaluation

$$ (52) \qquad |R_3| \le \frac{53h^7}{2625} F_6 < 0,0202 F_6 h^7. $$
En résumé si l'intégrale de l'équation différentielle (19) satisfaisant à la condition $y(x_0) = y_0$ a été calculée au préalable sur les noeuds $x_2, x_3, x_4, x_5$, alors nous pouvons calculer l'intégrale sur le noeud $x_1$ avec l'une des formules (40), ou (45), ou (49), les restes de ces formules qui sont évalués par les formules (44), (48), (52) étant de l'ordre de $h^7$.

11. On sait que si les noeuds $x_0, x_1, ..., x_6$ sont en progression arithmétique dont la raison est $h$, et si l'intégrale $y(x)$ de l'équation différentielle (19) a été calculée au préalable sur les noeuds $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, alors l'intégrale sur le noeud $x_6$ peut être calculée par la formule d'intégration numérique d'Adams

$$ (53) \quad \begin{aligned} y(x_6) = y(x_5) &+ h[g(x_5) + \frac{1}{2}\Delta^1 g(x_4) + \frac{1}{5^2}\Delta^2 g(x_3) + \\ & + \frac{3}{8}\Delta^3 g(x_2) + \frac{2}{2^2} \frac{5}{1}\Delta^4 g(x_1) + \frac{2}{3^3} \frac{5}{8}\Delta^5 g(x_0)] + R, \\ \text{où} \\ g(x) = f[x, y(x)]. \end{aligned} $$

Nous avons démontré [4] que le reste $R$ de cette formule peut être mis sous la forme d'une intégrale définie

$$ (54) \quad R = \int_{x_0}^{x_6} \varphi(x) f_6[x, y(x)] dx $$

et nous avons démontré que la fonction $\varphi(x)$ est positive sur l'intervalle $(x_0, x_6)$ et que $|R|$ a par suite l'évaluation suivante

$$ (55) \quad |R| \le \frac{19087}{64380} h^7 F_6 < 0,3156 F_6 h^7. $$

Ainsi le reste $R$ de la formule d'intégration numérique d'Adams est de l'ordre de $h^7$, ce qui est en accord avec un résultat de W. Tollnien [5]. Mais il est important que nous ayons préciser le coefficient de $h^7$ dans l'inégalité (55).

Les résultats du nr. 10, montrent que pour appliquer la formule d'Adams, il n'est pas nécessaire que l'intégrale $y(x)$ satisfaisant à la condition $y(x_0) = y_0$ soit calculée au préalable sur les 5 noeuds $x_1, ..., x_5$. Il suffit qu'elle soit calculée au préalable seulement sur les 4 noeuds $x_2, x_3, x_4, x_5$, car $y(x_1)$ peut être calculé par l'une des formules (40), (45), (49) avec des restes de l'ordre de $h^7$. $y(x_0)$ se calcule ensuite par la formule d'Adams avec un reste du même ordre, c'est à dire de l'ordre de $h^7$.

## Travaux cités

[1] V. N. Fadeeva, *La méthode des droites appliquée à quelques problèmes aux limites* (en russe), Труды Мат. ИН-та 28 (1949), pp. 73-103.

[2] D. V. Ionescu, *Généralisation d'une formule de dérivation numérique de V. N. Fadeeva*, Communication à la Société Mathématique Polonaise de Varsovie, Séance du 11 Novembre 1960.
[3] D. V. Ionescu, *Cuadraturi numerice*, Bucuresti 1957, cap. III, § 5.

[4] — Le reste dans la formule d'intégration numérique d'Adams (sous presse).

[5] W. Tollnnien, Über die Fehlerabschätzung bei Adamschen Verfahren zur Integration Gewöhnlicher Differential Gleichungen, Zeitschrift für ang. Math. und Mech. 18 (1938), pp. 83-90.

[6] P. Aubert, G. Papelier, *Exercices d'algèbre, d'analyse et de trigonométrie, II*, Paris 1920, p. 18, ex. 47, 48.

Reçu par la Rédaction le 1. 9. 1961