(ii) Les points $\alpha_P$ et $\alpha_Q$ ont même nombre de rotation que $\alpha$.

(iii) Le point $\alpha$ a autant d'accès de l'infini que $\alpha_P$ et $\alpha_Q$ réunis.

**DÉMONSTRATION.** La figuration implique immédiatement que $\alpha$ est un point fixe de $R$.

Soient $p_P/q_P$ le nombre de rotation de $\alpha_P$ et $\Delta_P$ un petit voisinage de $\alpha_P$. On note $L$ l'intersection d'une composante connexe de $K(P) \setminus \{\alpha_P\}$ avec $\Delta_P$, qui soit connexe (si $\Delta$ est bien choisi). Ce compact est un "accès" à $\alpha_P$ $q_P$-périodique qui admet pour nombre de rotation $p_P/q_P$. Par suite, l'image par la figuration de $L$ est aussi $q_P$-périodique, et comme la figuration respecte l'orientation, on obtient un nombre de rotation pour $\alpha$ égal à $p_P/q_P$. Ceci prouve (ii).

Si $\alpha_P$ est parabolique, alors il existe une composante $q_P$-périodique $\Omega$ de $\mathring{K}(P)$ adiacente à $\alpha_P$ telle que $\mathring{\Omega} := \Omega \setminus \{\text{grande orbite des points critiques}\}$ soit conforme à $C/\mathbb{Z}$ avec un nombre fini de points marqués. Comme la figuration est univalente sur $\mathring{K}(P)$, $\varphi_P(\mathring{\Omega})/(R^{q_P})$ est aussi du même type conforme, donc $\alpha$ est aussi parabolique.
D'autre part, si $\alpha_P$ et $\alpha_Q$ sont tous les deux répulsifs, la limite sur le nombre de points critiques de $R$ impliquent que $\alpha$ ne peut être parabolique. Par suite, comme $\alpha$ admet un nombre de rotation, il est répulsif. Ceci prouve (i).

La condition (C2) du croisement et ce qui précède impliquent que $\alpha$ a au moins autant d'accès que $\alpha_P$ et $\alpha_Q$ réunis. Supposons que $\alpha$ ait plus d'accès. Il existerait alors une composante connexe $L$ de $K(R) \setminus \{\alpha\}$ disjointe de $\varphi_P(K(P)) \cup \varphi_Q(K(Q))$. Soit $\zeta \in L$ une préimage de $\alpha$. Comme $K(R)$ est connexe et plein, le Lemme 12.5.3 ci-après conduit à une contradiction. On obtient (iii).

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

**Lemme 12.5.3** Soit $\zeta \in C$ une préimage de $\alpha$ qui n'est pas dans le noyau de $R$, il existe un nombre fini de préimages du noyau $(N_0)_{0 \le i \le n}$ telles que $\zeta \in N_n$ et que $\bigcup_{0 \le i \le n} N_i$ soit connexe.

**DÉMONSTRATION.** On pose $K_0 = N_R = \varphi_P(K(P)) \cup \varphi_Q(K(Q))$, et pour $n \ge 1$, $K_n = R^{-n}(K_0)$. Montrons par récurrence sur $n$ que $K_n$ est connexe et contient $R^{-(n+1)}(\{\alpha\})$.

• $K_0$ est connexe par définition car $K_0 \approx K(P) \cup K(Q)/(\alpha_P \sim \alpha_Q)$, et par suite de la condition (C3), il contient $R^{-1}(\{\alpha\})$.

• si $K_n$ est connexe, comme il contient $R^{-n-1}(\alpha)$, $K_{n+1}$ est composé de $K_n$ et de copies de $K_0$ recollées sur les points de $R^{-n-1}(\alpha)$. Donc $K_{n+1}$ est connexe. De plus, il contient aussi $R^{-(n+2)}(\{\alpha\})$.

<figure><img src="image_110.png" /></figure>

**Proposition 12.5.4** Si $\alpha$ est répulsif, alors il existe $U_*' \subset \subset U_*$, $*$ = $f,g$, voisinages de $\phi_*(K(\ast))$ tels que $(U_*' \xrightarrow{R} U_*) \sim_{hyb} *$.

**DÉMONSTRATION.** On considère les rayons externes aboutissant à $\alpha$ bordant $\phi_*(K(\ast))$ qu'on referme par une équipotentielle $\eta$. On note la composante intérieure $A_*$. Comme $\alpha$
<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>FIG. 12.6 - Application à allure polynomiale.</figcaption></figure>

est répulsif, il existe $\Delta$, voisinage de $\alpha$, sur lequel $R$ est linéarisable. On pose $U_* = A_* \cup \Delta$ et $U_*'$ la composante de $R^{-1}(U_*)$ contenant $\alpha$. Quitte à prendre $\eta > 0$ assez petit, on obtient : $U_*' \subset \subset U_*$ et $R : U_*' \to U_*$ définit une application à allure polynomiale de degré $d_*$. On note $K_* = \cap R^{-n}(U_*')$ (voir Figure 12.6).

D'après le Théorème de Redressement 5.1.1, cette application est hybridement équivalente à un polynôme $\hat{f}$ de même degré que $f$. Comme $f$ figure dans $\hat{f}$, $J_f \subset J_{f'}$ est totalement invariant et minimal, donc $f = \hat{f}$.

■

**Remarque.** La condition nécessaire et suffisante de l'hybride équivalence est qu'on puisse définir une application à allure polynomiale au voisinage de $\phi_i(K(P_i))$: c'est possible aussi si $\alpha_i$ est le seul point fixe parabolique, en considérant des cylindres de Fatou-Ecalle sur les pétales répulsifs.

**Invariant combinatoire $\kappa$.** D'après la Proposition 12.5.2, on peut associer à tout croisement une donnée combinatoire symbolisée dans la suite par $\kappa$.

On suppose toujours que $(R, \alpha)$ est un croisement de $(P, \alpha_P)$ et $(Q, \alpha_Q)$ d'ensemble de Julia connexe et on note $p/q$ leur nombre de rotation. On considère l'ensemble $(L_i^P)_{1 \le i \le \nu_P}$ (resp. $(L_i^Q)_{1 \le i \le \nu_Q}$, $(L_i^R)_{1 \le i \le \nu_R}$) des composantes connexes de $K(P) \setminus \{\alpha_P\}$ (resp. $K(Q) \setminus \{\alpha_Q\}$, $K(R) \setminus \{\alpha\}$) numérotées dans l'ordre cyclique, qui sont en nombre fini et forment localement des cycles de même période. On définit une application $\kappa : \{L_i^P \text{ et } L_j^Q, 1 \le i \le \nu_P, 1 \le j \le \nu_Q\} \to \{L_k^R, 1 \le k \le \nu_R\}$ par $\kappa(L_i^P) = L_k^R$ si $\varphi_P(L_i^P) \subset L_k^R$ et $\kappa(L_j^Q) = L_k^R$ si $\varphi_Q(L_j^Q) \subset L_k^R$. D'après la Proposition 12.5.2, $\nu_R = \nu_P + \nu_Q$ et $\kappa$ est une bijection qui ne dépend pas des diverses numérotations possibles.
L'application $\kappa$ représente un invariant combinatoire de $R$ vu comme croisement de $P$ et $Q$. On verra dans le paragraphe suivant qu'il caractérise $R$.

**Exemple:** On considère les polynômes quadratiques représentant le lapin maigre et le lapin gras :

<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>Figure 16 Lapin “usuel” et lapin “gras”.</figcaption></figure>

On veut croiser ces polynômes entre eux pour obtenir un polynôme de degré trois et de nombre de rotation $1/3$. On voit sur la figure suivante que l’on peut définir trois polynômes non conjugués, selon le décalage que l’on impose entre les quartiers lors de la construction de $\Sigma_0$.

<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>Figure 17 Trois types de croisements pour les lapins !</figcaption></figure>

**Proposition 12.5.5** *Soir R le croisement de deux polynômes P et Q. On note $N_R$ le noyau de R. Alors X = K(R) \ (∪R⁻ⁿ(N_R)) est de mesure nulle.*

**DÉMONSTRATION.** Il est clair que $X \subset J_R$. Montrons qu'aucun point de X n'est un point de densité de X.
Soit $z \in X$ et notons $z_n = R^n(z)$. Il existe $\varepsilon_0 > 0$ et une sous-suite $n_k$ tel que $d(z_{n_k}, N_R) > \varepsilon_0$. En effet, soit $\psi$ l'uniformisante de $\bar{C} \setminus N_R$ sur $\bar{C} \setminus \bar{D}$. Le polynôme $R$ est conjugué à une application $h$, sauf sur des secteurs issus des préimages de $\alpha$. Par réflexion de Schwarz, on obtient une application holomorphe au voisinage de $S^1$ privé d'un nombre fini de points. Il est clair que si l'orbite de $\psi(z)$ ne rentre pas dans les secteurs dans lesquels $h$ n'est pas défini, alors le point s'échappe. Sinon, l'itéré de $z$ se trouve dans un domaine dilatant pour la dynamique de $R$: domaine linéarisable de $\alpha$ si celui-ci est répulsif ou pétale répulsif s'il est parabolique.

Pour chaque $k \ge 0$, il existe $r_k > 0$ tel que la famille de courbes homotopes au cercle de centre $z_{n_k}$ et de rayon $r_k$ dans $\bar{C} \setminus (\text{Post}(R) \cup D(z_{n_k}, r_k))$ ait une longueur extrémale $m > 0$, où $m$ est une constante à déterminer. Ces rayons sont uniformément minorés par un $\rho > 0$ car les $z_{n_k}$ sont loin des orbites critiques. Par suite, d'après le théorème de Kōbe, il existe $c_m > 1$ tel que pour tout $k \ge 0$, on ait

$$ \frac{\text{Aire}(X \cap R^{-n_k}(D(z_{n_k}, r_k)))}{\text{diam}^2 R^{-n_k}(D(z_{n_k}, r_k))} \le c_m \frac{\text{Aire}(X \cap D(z_{n_k}, r_k))}{r_k^2}, $$

car $X$ est totalement invariant. On a $c(m) \to 1$ quand $m \to 0$.

Comme les disques sont disjoints de l'ensemble postcritique et de domaines de rotation, on a

$$ \text{diam } R^{-n_k}(D(z_{n_k}, r_k)) \to 0. $$

De plus, les rayons $r_k$ étant minorés et comme $X \subset J_R$, il existe $\varepsilon_1 > 0$ tel que, quitte à extraire une sous-suite,

$$ \frac{\text{Aire}(X \cap D(z_{n_k}, r_k))}{r_k^2} \le 1 - \varepsilon_1. $$

Sinon, $J_R$ aurait de l'intérieur.

Par conséquent,

$$ \liminf \frac{\text{Aire} X \cap D(z, r)}{r^2} \le c_m \liminf \frac{\text{Aire} X \cap D(z_{n_k}, r_k)}{r_k^2} \le c_m (1 - \varepsilon_1). $$

Si $m$ est assez petit, alors on montre que $z$ n'est pas un point de densité de $X$.

<figure><img src="image_114.png" /></figure>

**Déformation quasiconforme de croisements.** Dans le Chapitre 4 de la Partie II, on a rappelé les principales propriétés des espaces de Teichmüller de fractions rationnelles. Ici, on montre :

**Proposition 12.5.6** *Soit $R$ le croisement de deux polynômes $P$ et $Q$ de degré $\ge 2$. Alors,*

$$ \mathrm{Teich}(R) \simeq \mathrm{Teich}(P) \times \mathrm{Teich}(Q). $$

**DÉMONSTRATION.** Comme $P$ et $Q$ figurent dans $R$, on sait immédiatement que les différents espaces s'injectent dans $\mathrm{Teich}(R)$. Pour montrer la surjectivité, il suffit de remarquer que tous les modules sont liés aux points critiques, et comme ceux-ci sont dans le noyau
$N_R$, ils proviennent nécessairement de $P$ ou (exclusif) de $Q$. De plus, il ne peut y avoir création de champ de droites invariants d'après la Proposition 12.5.5.

■

## Dynamique de $R$:

À partir de ces propositions, on peut analyser la dynamique de $R$ comme suit :

- Dans $\bar{C} \setminus K(R)$, $R$ est conjugué à $z \mapsto z^{d_R}$.

Dans $K(R)$, on peut distinguer deux parties, en fonction de la figuration des polynômes de départ; on pose $N_R = \phi_P(K(P)) \cup \phi_Q(K(Q))$. De plus, en notant $J_R = \partial N_R$, on a $J_R \subset J(R)$.

- Dans $\phi_P(K(P))$ (resp. $\phi_Q(K(Q))$), on retrouve la dynamique de $P$ (resp. de $Q$) par la figuration.

- Dans $K(R) \setminus N_R$, $R$ agit comme un revêtement de degré $d_R - 1$ sur $K(R)$, et donc, localement $K(R)$ est isomorphe à $N_R$.

## Généralisations.

### ▶ Cas non connexe

Il existe dans le sillage de $M$ de $p/q$ des points pour lesquels $q$ rayons aboutissent à $\alpha$ et ses préimages avec même nombre de rotation $p/q$. La construction de $F$ se fait de la même façon et on obtient alors un polynôme de degré trois dont l'un des points s'échappe à l'infini et l'autre reste dans un domaine borné. On retrouve alors le fait que les composantes connexes de $K(R)$ sont soit des points, soit quasiconformes à un ensemble de Julia de degré deux ([BH]).

Ce résultat reste valable quel que soit le degré du polynôme.

### ▶ Cas $\alpha_g$ périodique

Le résultat ressemble un peu à la modulation : on suppose $\alpha_f$ fixe et $\alpha_g$ périodique de même nombre de rotation $p/q$. On coupe les rayons qui aboutissent à ces points, ainsi qu'au cycle de $\alpha_g$, et on insère des copies de $K(f)$ dans $K(g)$ en respectant la dynamique locale de $g$ sur le cycle de $\alpha_g$. Puis, on définit localement la dynamique du croisement comme étant $g$ sur $K(g)$, $f$ de la copie en $\alpha_g$ sur celle en $g(\alpha_g)$, et l'identité sur le reste. Par les méthodes de chirurgie, on obtient un polynôme $R$ vérifiant les propriétés voulues.

### ▶ Cas de plusieurs polynômes

On peut croiser plusieurs polynômes $P_1, P_2, \dots, P_m$ ayant chacun un point fixe répulsif $\alpha_i$ de même nombre de rotation $p/q$, un par un ou tous à la fois, en utilisant la même méthode. Le point important est de respecter l'ordre cycle au voisinage du point répulsif où s'effectue le croisement. Il en résulte un polynôme de degré $\sum(d_i - 1) + 1$ muni d'un point fixe de nombre de rotation $p/q$.
# Chapitre 13

## Rigidité des croisements à
combinatoire fixée

L'objet de ce paragraphe est de montrer que, quand il existe, le croisement de deux polynômes est essentiellement unique.

Rappelons qu'un polynôme $P$ de degré $d \ge 2$ ayant un ensemble de Julia connexe figure de manière rigide dans une fraction rationnelle $f$ (voir Chap. 5, Partie II) s'il existe une application $\varphi : U \to C$ définie sur un voisinage de $K(P)$, continue injective, telle que :

- $\varphi \in W^{1,p}(U), p > 1,$

- $\bar{\partial}\varphi = 0$ pp. sur $K(P),$

- $\varphi|_{K(P)}$ préserve l'orientation, et $\varphi \circ P = f \circ \varphi$ sur $K(P).$

Soient deux polynômes $P$ et $Q$ de degré $d_P, d_Q \ge 2$, ayant leur ensemble de Julia connexe ; on note $\alpha_P$ (resp. $\alpha_Q$) un point fixe répulsif ou parabolique de $P$ (resp. $Q$).

**Définition.** On dit qu'un polynôme $(R, \alpha)$ réalise le croisement de $(P, \alpha_P)$ et $(Q, \alpha_Q)$ si les conditions suivantes sont satisfaites :

(C1) les polynômes $P$ et $Q$ figurent de manière rigide dans $R$ par $\varphi_P$ et $\varphi_Q$ respective-ment,

(C2) $\varphi_P(K(P)) \cap \varphi_Q(K(Q)) = \{\alpha\}$ et le noyau $N_R = \varphi_P(K(P)) \cup \varphi_Q(K(Q))$ est homéo-morphe à $K(P) \cup K(Q)/\alpha_P \sim \alpha_Q,$

(C3) les degrés sont reliés par la formule $d_R = d_P + d_Q - 1$.

On a vu qu'alors $\alpha, \alpha_P$ et $\alpha_Q$ étaient des points fixes répulsif(s) ou parabolique(s) de même nombre de rotation $p/q$ (cf Prop. 12.5.2). On considère l'ensemble $(L_i^P)_{1 \le i \le \nu_P}$ (resp. $(L_i^Q)_{1 \le i \le \nu_Q}$, $(L_i^R)_{1 \le i \le \nu_R}$) des composantes connexes de $K(P) \setminus \{\alpha_P\}$ (resp. $K(Q) \setminus \{\alpha_Q\}, K(R) \setminus \{\alpha\}$) numérotées dans l'ordre cyclique, qui sont en nombre finis et forment localement des cycles de même période. L'application $\kappa : \{L_i^P, L_j^Q, 1 \le i \le \nu_P, 1 \le j \le \nu_Q\} \to \{L_k^R, 1 \le k \le \nu_R\}$ définie par $\kappa(L_i^P) = L_k^R$ si $\varphi_P(L_i^P) \subset L_k^R$ et $\kappa(L_j^Q) = L_k^R$ si $\varphi_Q(L_j^Q) \subset L_k^R$, est une bijection.

**Définition.** Étant donnés deux croisements $(R_1, \alpha_1, \kappa_1)$ et $(R_2, \alpha_2, \kappa_2)$ de $(P, \alpha_P)$ et $(Q, \alpha_Q)$, on dit que $\kappa_1 \sim \kappa_2$, si $\kappa_1 \circ \kappa_2^{-1}$ agit comme une permutation circulaire dans $Z/(\nu_P + \nu_Q)Z$.
Le résultat principal de ce chapitre peut alors s'énoncer comme suit :

**Théorème 14** Soient $(R_1, \alpha_1, \kappa_1)$ et $(R_2, \alpha_2, \kappa_2)$ deux croisements de $(P, \alpha_P)$ et $(Q, \alpha_Q)$. Si $\kappa_1 \sim \kappa_2$, alors $R_1$ et $R_2$ sont conformément conjugués.

La preuve s'effectue en deux temps, que le point de croisement soit répulsif ou paraboline. La première étape consiste à construire une application quasiconforme qui conjugue les polynômes croisés au voisinage de leur noyau respectif, afin d'obtenir une équivalence combinatoire quasiconforme entre ces polynômes. Ensuite, cette équivalence est promue en une conjugaison quasiconforme qui s'avère être isotope à une conjugaison holomorphe.

Bien que le déroulement de la preuve soit le même, on distinguera dans la suite le cas “répulsif” du cas “parabolique”. On considère $R_1$ et $R_2$ deux polynômes de même degré réalisant le croisement en un point $\alpha_i$ de deux autres polynômes $P$ et $Q$. On suppose que la combinatoire des croisements est la même, c'est-à-dire que les rayons de $P$ et $Q$ sont recollés de la même manière pour $R_1$ et $R_2$, autrement dit $\kappa_1 \sim \kappa_2$.

## 13.1 Cas répulsif

Si $\alpha_i$, $i = 1, 2$, sont répulsifs, alors les points fixes $\alpha_P$ et $\alpha_Q$ sont aussi répulsifs, et pour $i = 1, 2$, il existe des quasidisques $U_i' \subset U_i$, $V_i' \subset V_i$, des applications quasiconformes $\varphi_i : U_i \to C$ et $\psi_i : V_i \to C$ qui conjuguent hybridement les restrictions de $R_i$ à $P$ et $Q$ respectivement (voir Figure 13.1).

En considérant $\varphi := \varphi_2 \circ \varphi_1^{-1}$ et $\psi := \psi_2 \circ \psi_1^{-1}$, on obtient deux conjugaisons locales entre $R_1$ et $R_2$ au voisinage de leur ensemble postcritique. Cependant, bien qu'elles coïncident en $\alpha_1$, ce n'est sans doute pas le cas sur son voisinage. Mais, le fait que $\kappa_1 \sim \kappa_2$ fera qu'il sera possible de considérer des restrictions disjointes de ces applications afin de trouver une extension quasiconforme au voisinage de $\alpha_1$.

Nos conjugaisons descendent en des homéomorphismes quasiconformes $\bar{\varphi}$ et $\bar{\psi}$ respectivement entre les tores $T_1$ et $T_2$ associés aux points fixes $\alpha_1$ et $\alpha_2$ (voir Figure 13.2). La trace des ensembles de Julia de $P$ et $Q$ sont inclus – dans $T_1$ – dans des réunions d'anneaux disjoints $A_{P,1}$ et $A_{Q,1}$. On note

$$ \begin{cases} \bar{\varphi}(A_{P,1}) = A_{P,2}, \\ \bar{\psi}(A_{Q,1}) = A_{Q,2}. \end{cases} $$

Quitte à les restreindre, on peut supposer que $\bar{\varphi}(A_{1,P}) = A_{2,P}$ est disjoint de $A_{2,Q}$, $\bar{\psi}(A_{1,Q}) = A_{2,Q}$ est disjoint de $A_{2,P}$, et qu'ils sont à bord quasisymétrique (i.e. des quasi-cercles). L'équivalence combinatoire de $\kappa_1$ et $\kappa_2$ se traduit par :

► $\bar{\varphi}(A_{Q,1})$ est homotope à $\bar{\psi}(A_{Q,1}) = A_{Q,2}$ relativement à $A_{P,1}$ et $\bar{\varphi}(A_{P,1}) = A_{P,2}$, et

► $\bar{\psi}(A_{P,1})$ est homotope à $\bar{\varphi}(A_{P,1}) = A_{P,2}$ relativement à $A_{Q,1}$ et $\bar{\psi}(A_{Q,1}) = A_{Q,2}$, composante par composante.

On définit un homéomorphisme quasiconforme $\bar{\chi} : T_1 \to T_2$ de la façon suivante :

- sur $A_{P,1}$, on pose $\bar{\chi} = \bar{\varphi}$,

- sur $A_{Q,1}$, on pose $\bar{\chi} = \bar{\psi}$,
<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>FIG. 13.1 - Notation.</figcaption></figure>

- sur le complémentaire, qui est constitué de $v_P + v_Q$ anneaux disjoints à bord quasismétrique, on considère une extension quasiconforme de ces applications.

Par la combinatoire, on en déduit que $\bar{\chi}(\varphi_1(K(P))) = \varphi_2(K(P))$ et $\bar{\chi}(\psi_1(K(Q))) = \psi_2(K(Q))$. D'après les Propositions 4.2.6 et 4.2.7 de la Partie II, cette application se relève en une application quasiconforme d'un voisinage de $\alpha_1$ sur un voisinage de $\alpha_2$ qui conjugue $R_1$ à $R_2$. Quitte à diminuer $U_1$ et $V_1$, on peut supposer que toutes les images réciproques des domaines sujets à l'extension sont deux à deux disjointes. En utilisant les branches inverses de $R_1$ et $R_2$, on peut changer les applications $\varphi$ et $\psi$ par des conjugués de $\chi$ afin d'obtenir une application quasiconforme définie sur des voisinages des noyaux de $R_1$ et $R_2$ et de $\bar{\partial}$ nul pp. sur $N_{R_1}$.

<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>FIG. 13.2 - Applications entre tores.</figcaption></figure>
On définit $\chi_0 : C \to C$ comme étant une extension quasiconforme au plan de $\chi$, et $\chi_1$ par $R_2^{-1} \circ \chi_0 \circ R_1$ qui coïncide avec $\chi_0$ au voisinage des ensembles postcritiques. Les applications $\chi_0$ et $\chi_1$ ont même constante de quasiconformité. Ceci marque la fin de la première étape.

On définit la suite $(\chi_n)_{n \ge 0}$ d'homéomorphismes quasiconformes par récurrence de telle sorte que $\chi_n$ coïncide avec $\chi_0$ au voisinage des ensembles postcritiques, et que le diagramme suivant soit commutatif :

$$ \begin{array}{ccc} \bar{C} & \xrightarrow{\chi_{n-1}} & \bar{C} \\ R_1 \uparrow & & \uparrow R_2 \\ \bar{C} & \xrightarrow{\chi_n} & \bar{C} \end{array} $$

Ces applications, ayant une dilatation uniformément majorée, admettent une sous-suite convergente vers une application quasiconforme $\chi_\infty : \bar{C} \to \bar{C}$, qui coïncide avec $\chi_0$ au voisinage des noyaux. Comme les ensembles de Julia de $R_1$ et $R_2$ sont connexes, par isotopie, on peut se ramener à une application conforme sur les bassins de l'infini. Mais alors, d'après la Proposition 12.5.5, cette conjugaison quasiconforme est de $\partial\bar{D}$ nul pp. sur $\bar{C}$ : c'est une conjugaison conforme.

## 13.2 Cas parabolique

Pour pouvoir effectuer la même démonstration que ci-dessus, il faut d'abord s'assurer qu'on a des conjugaisons quasiconformes au voisinages des copies de $K(P)$ et de $K(Q)$, même en l'absence d'applications à allure polynomiale sur les plans de $R_1$ et $R_2$.

Supposons que $\alpha_q$ soit parabolique, ce qui implique qu'aucune restriction de $R_i$ sur un voisinage de $K(P)$ n'est à allure polynomiale. On considère l'uniformisante $\phi_i : \bar{C} \setminus K(P) \to \bar{C} \setminus \bar{D}$. Elle conjugue $R_i$ à un revêtement ramifié $h_i$ sur un voisinage extérieur de $S^1$. Par le principe de réflexion de Schwarz, cette application s'étend sur un vrai voisinage annulaire de $S^1$ en une application C-analytique, qui fixe le cercle unité. Cette application a tous ses points périodiques sur le cercle. De plus, ils sont tous répulsifs, sauf un q-cycle de nombre de rotation combinatoire $p/q$ qui est parabolique.

On considère un lacet $\gamma_0$ situé à l'extérieur de $\bar{D}$ qui appartient au domaine de $h_i$ et tangent uniquement aux points du cycle parabolique et sinon disjoint du cercle unité (Figure 13.3). Par images réciproques de $h_i$, on définit une suite $\gamma_n$ de lacets tangents à $S^1$ uniquement sur les $n$ premières préimages du cycle parabolique et sinon qui sont deux à deux disjoints.

On obtient une image similaire à la fois pour $h_1$ et pour $h_2$. On construit alors une application quasiconforme entre les domaines bordés par $\gamma_0$ et $\gamma_1$, qui conjugue $h_1$ à $h_2$ sur le bord et qui est lipschitzienne. On considère aussi l'application obtenue par la réflexion. En utilisant les dynamiques de $h_1$ et $h_2$, on construit une conjugaison quasiconforme $\hat{\chi}$ entre $h_1$ et $h_2$ au voisinage de $S^1$. Cette construction est une adaptation de la preuve de la Proposition 6.8 de [Mc1].

On considère la forme de Beltrami $\mu$ induite par $\hat{\chi}$ ramenée dans le plan dynamique de $R_1$. On la prolonge par 0 sur $K(P)$ et on l'intègre : on obtient une application propre
<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>FIG. 13.3 - Action de $h_i$ au voisinage de $S^1$.</figcaption></figure>

$\hat{P} : \hat{\mathcal{L}}' \to \hat{\mathcal{L}}$, hybridement équivalente à $R_1$. En suivant la preuve du Théorème de Redressement des applications à allure polynomiale (voir [DH2]), on montre que $\hat{P}$ est conformement conjugué à une restriction de $R_2$ (unicité du couple classe interne - classe externe).

Une fois les conjugaisons locales obtenues, le reste de la preuve se déroule comme dans le cas répulsif.

<figure><img src="image_118.png" /></figure>
# Chapitre 14

## Croisement topologique

Bien qu'il ne semble pas y avoir de véritables obstructions, la chirurgie quasiconforme ne semble pas permettre de montrer l'existence de croisements en des points paraboliques. On va relâcher un peu la définition d'un croisement afin de pouvoir définir une bonne classe topologique dans tous les cas. Cette nouvelle approche permettra, dans un prochain chapitre, de montrer l'existence de croisements pour des polynômes géométriquement finis, i.e. ayant leur ensemble postcritique fini sur leur ensemble de Julia (non rempli).

On se donne deux polynômes $P$ et $Q$ d'ensemble de Julia connexe et ayant chacun un point fixe $\alpha_P$ et $\alpha_Q$ de même nombre de rotation $p/q$.

**Définition.** Soient $f : \bar{C} \to \bar{C}$ un polynôme topologique de degré $d \ge 3$ et $\alpha$ un point fixe de $f$ ; ($f, \alpha$) réalise un croisement topologique de ($P, \alpha_P$) et ($Q, \alpha_Q$) si les conditions suivantes sont satisfaites :

(CT1) il existe deux applications continues $\varphi_P : U_P \to C$ et $\varphi_Q : U_Q \to C$, injectives sur $K(P)$ et $K(Q)$ respectivement, et qui conjuguent $P$ et $Q$ à $f$ sur $K(P)$ et $K(Q)$ respectivement;

(CT2) $\varphi_P(K(P)) \cap \varphi_Q(K(Q)) = \{\alpha\}$ et le noyau $N_f = \varphi_P(K(P)) \cup \varphi_Q(K(Q))$ est homéomorphe à $K(P) \cup K(Q)/\alpha_P \sim \alpha_Q$;

(CT3) les degrés sont reliés par la formule $d_f = d_P + d_Q - 1$;

(CT4) l'ensemble $K(f) = \bigcup_{n \ge 0} f^{-n}(N_f)$ est un compact plein de $C$ et $\bar{C} \setminus K(f) = \{z \in \bar{C}, f^n(z) \to \infty\}$;

(CT5) il existe une suite $(\eta_n)_{n \ge 0}$ de nombre positifs tendant vers zéro telle que pour toute composante $L$ de $K(f) \setminus f^{-n}(N_f)$, $\text{diam } L \le \eta_n$.

On montre alors

**Théorème 11**

(i) Le croisement topologique de deux polynômes complexes est toujours réalisable dès qu'il est effectué en des points fixes de même nombre de rotation.

(ii) Si $R$ est un croisement (holomorphe) de deux polynômes $P$ et $Q$, alors il est topologiquement conjugué à son modèle topologique.

(iii) Le croisement topologique de deux polynômes complexes est unique à combinatoire fixée et à conjugaison topologique près sur $K(f)$.
Le plan de ce chapitre est le suivant.

- On rappelle brièvement quelques propriétés des limites projectives d'espaces topologiques qui nous permettront de construire ce modèle.

- On construit explicitement ce modèle, ce qui démontrera le point (i).

- On analyse le revêtement ramifié obtenu en fonction des polynômes P et Q.

- Ensuite, on vérifie que ce modèle est bien conjugué au croisement holomorphe quand il existe (point (ii)).

- On montre alors que la définition du croisement topologique est bien définie à homéomorphisme près (point (iii)).

- Enfin, la construction topologique du croisement permet aussi d'obtenir quelques résultats sur la connexité locale des polynômes impliqués.

## 14.1 Limites projectives d'espaces topologiques

**Définition.** Soit {$X_n, \pi_n$}, une suite d'espaces topologiques, munis d'applications $\pi_n : X_n \to X_{n-1}$, continues surjectives : on définit alors la limite projective de ce système par

$$X_{\infty} = \lim_{\leftarrow} (X_n, \pi_n) = \{\{x_n\} \in \Pi X_n, \forall n, \pi_n(x_n) = x_{n-1}\}.$$

On munit $X_\infty$ de la topologie induite par la topologie produit.

**Proposition 14.1.1** (i) Si $X_n$ est compact pour tout $n$, alors $X_\infty$ est compact.

(ii) Si, pour tout $n$, $X_n$ est compact connexe, alors $X_\infty$ est compact connexe.

(iii) Si, pour tout $n$, $X_n$ est compact connexe et localement connexe et $\pi_n$ est à fibres connexes, alors $X_\infty$ est compact, connexe et localement connexe.

**DÉMONSTRATION.** (i) $X_\infty$ est inclus dans $\Pi X_n$, qui est compact par le Théorème de Tychonoff : il suffit de vérifier que $X_\infty$ est fermé, ce qui le cas (continuité des $\pi_n$).

(ii) On suppose dans un premier temps que les compacts sont connexes. Montrons que la limite projective s'écrit comme intersection décroissante de compacts connexes non vide dans $\Pi X_n$.

On pose $Y_n = \{(x_i) \in \Pi X_i \text{ telle que pour } 0 < i \le n, \pi_i(x_i) = x_{i-1}\}$. On a $Y_n \approx \Pi_{i \ge n} X_i$ qui est compact connexe non vide et $\cap Y_n = X_\infty$.

**Remarque.** Il suffit de supposer les $X_n$ connexes à partir d'un certain rang.

(iii) Dans un second temps, on suppose de plus que les $X_n$ sont localement connexes et que les projections sont à fibres connexes.

On se donne $V = \Pi V_i$, un voisinage dans $\Pi X_i$ de $x \in X_\infty$. Montrons qu'il existe un voisinage connexe de $X_\infty$ inclus dans $V$ :

$$\exists U_0 \subset V_0 \cap X_0 \text{ voisinage connexe compact de } x_0.$$

D'une part $\pi_1^{-1}(U_0)$ est compact connexe et c'est un voisinage de $x_1$, et d'autre part
$$
\left|
\begin{array}{l}
\exists U_1 \subset V_1 \cap \pi_1^{-1}(U_0), \\
U_1 \text{ voisinage compact connexe de } x_1,
\end{array}
\right.
$$

tel que $\pi_1 : U_1 \to U_0$ soit surjective.

De proche en proche, on construit

$$
\left|
\begin{array}{l}
U_n \subset V_n \text{ connexe compact,} \\
U_n \text{ voisinage de } x_n,
\end{array}
\right.
\quad \text{tel que } \pi_n : U_n \to U_{n-1} \text{ surjective.}
$$

On note $U = \lim_{\leftarrow} (U_n, \pi_n) : U$ est compact connexe voisinage de $x$ dans $X_\infty$ inclus dans la trace de $V$.

<figure><img src="image_119.png" /></figure>

**Proposition 14.1.2** *Soit ${S_n}_{n \ge 0}$, une suite de surfaces de Riemann homéomorphes à $S^2$. On suppose que $\forall n \ge 1$, $\exists \pi_n : S_n \to S_{n-1}$ continue surjective, et à fibres contractiles. Alors, $S = \lim_{\leftarrow} (S_n, \pi_n)$ est homéomorphe à $S^2$.*

DÉMONSTRATION. voir [Mo].

14.2 Construction de ($\Sigma_{\infty}$, $F$)

On considère, pour simplifier un peu les notations, deux polynômes quadratiques $P_1$
et $P_2$ ayant chacun un point fixe répulsif ou parabolique, de même nombre de rotation
$p/q$ (et avec ensembles de Julia connexes).

On va définir le système dynamique par récurrence sur $n$, en construisant, à chaque rang, (i)
une surface $\Sigma_n$, (ii) deux applications $\pi_n$, $F_n : \Sigma_n \to \Sigma_{n-1}$ et (iii) un compact $K_n \subset \Sigma_n$.

$\alpha_i$ admet $q$ rayons externes $\mathcal{R}_i(t_1^i)$, ..., $\mathcal{R}_i(t_q^i)$ avec $0 < t_1^i < t_2^i < \dots < t_q^i < 1$. On note
$Q_j^i(0)$, $i = 1, 2$, $j = 1, \dots, q$, le quartier ouvert bordé par $\mathcal{R}_i(t_1^j) \cup \mathcal{R}_i(t_2^j)$, avec $q+1=1$, et ne contenant aucun des rayons précités (voir Figure 14.1). Par $P_i^{-n}$, on définit une suite
de pavages $Q^i(n)$ de plus en plus fins de la sphère en quartiers de sommets l'infini et une préimage de $\alpha_i$, ou l'infini lui-même.

On note $\tilde{Q}_j^i(n)$, $Q_j^i(n)$ dont on a ôté les quartiers de rang plus grand : $\tilde{Q}_j^i(n) = \overline{Q_j^i(n)} \setminus \cup_{p>n} Q_j^{i'}(p)$.

▷ $\Sigma_0$ est définie en éclatant les rayons externes des points fixes $\alpha_1$ et $\alpha_2$, et en identifiant les points de même potentiel : on obtient ainsi une surface homéomorphe à $\bar{C}$.

On définit $F_0 : \Sigma_0 \to \Sigma_0$ par $F_0|_{Q^i(0)} = P_i$. Cette application est bien définie et continue sauf sur les rayons aboutissant à $P_i^{-1}(\alpha) - \{\alpha\}$.

On pose $K_0 = K(P_1) \cup K(P_2) \approx (K(P_1) \cup K(P_2))/(\alpha_1 \sim \alpha_2)$.

▷ On éclate les rayons qui aboutissent à $\alpha_i'$ (préimage de $\alpha_i$) dans $\Sigma_0$ et on recolle une copie de $Q^{1-i}(0)$ de telle sorte que les voisinages de $\alpha$ et $\alpha_i'$ soient homéomorphes. Si $s_0$ et $s_1$ sont les potentiels dans $Q^i(0)$ et $Q^{1-i}(1)$ respectivement, on identifie sur les bords $s_0$ à $s_1/2$.
<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>FIG. 14.1 - Partition de $\bar{C}$.</figcaption></figure>

- On obtient ainsi une surface $\Sigma_1$ homéomorphe à $\bar{C}$.

- Définissons $\pi_1 : \Sigma_1 \to \Sigma_0$ continue surjective par

$$ \left\{ \begin{array}{l} \pi_1 |_{\bar{Q}(0)} = id, \\ \pi_1 |_{\bar{Q}(1)} (s_1, \theta) = (s_0, t_1), \end{array} \right. $$

où $t_1$ est l'angle qu'on a éclaté pour insérer ce quartier.

De plus, $\pi_1 |_{\bar{Q}(0)}$ est injective sauf sur les rayons éclatés, donc on peut parler de $\Sigma_0 \subset \Sigma_1$.

- Définissons $F_1 : \Sigma_1 \to \Sigma_0$ continue surjective par $\left\{ \begin{array}{l} F_1 |_{\Sigma_0} = F_0, \\ F_1 |_{\bar{Q}(1)} = id : \bar{Q}_j^i(1) \to \bar{Q}_j^i(0). \end{array} \right.$
Cette application définit un revêtement ramifié de degré 3.

- On pose $K_1 = F_1^{-1}(K_0) \approx K_0 \cup (\cup K(P_i))/(\alpha_i' \sim \alpha_i)$.

$\pi_1 : K_1 \to K_0$ est surjective.

► Supposons $(\Sigma_{n-1}, \pi_{n-1}, F_{n-1}, K_{n-1})$ construit pour un $n > 0$ fixé.

$F_{n-1}^{-n}(\{\alpha\})$ est composé de $3^n$ points dont $2.3^{n-1}$ sont nouveaux. Soit $\alpha_n$ l'un d'eux. Il existe un unique $i$ tel que $\alpha_n \in Q^i$. Il y a $q$ rayons qui y aboutissent. On les éclate en deux pour y insérer une copie de $Q^{1-i}(0)$ de telle sorte que les voisinages de $F_{n-1}(\alpha_n)$ et $\alpha_n$ soient homéomorphes. Ces nouveaux quartiers font partie de $Q(n) = Q^i(n) \cup Q^{1-i}(n)$. On les recolle de la façon suivante: si on doit coller $Q(n)$ à $Q(n-p)$, $0 < p \le n$, on paramètre les rayons par leur potentiel; si $s_n$ et $s_{n-p}$ sont des potentiels qui vivent dans $Q(n)$ et $Q(n-p)$ respectivement, alors on identifie sur les bords $s_n/2^n$ à $s_{n-p}/2^{n-p}$.

- Cette procédure conduit à une surface $\Sigma_n$ homéomorphe à $S^2$.

- Définissons $\pi_n : \Sigma_n \to \Sigma_{n-1}$ continue surjective par

$$ \left\{ \begin{array}{l} \pi_n |_{\Sigma_{n-1}} = id, \\ \pi_n |_{\bar{Q}(n)} (s_n, \theta) = (s_{n-p}, t_n), \end{array} \right. $$
où $t_n$ est l'angle qui a été éclaté pour insérer ce quartier.

De plus, $\pi_n|_{\Sigma_{n-1}}$ est injective sauf sur les rayons éclatés, donc on peut parler de $\Sigma_{n-1} \subset \Sigma_n$.

- Définissons $F_n : \Sigma_n \to \Sigma_{n-1}$ continue surjective par $\begin{cases} F_n|_{\Sigma_{n-1}} = F_{n-1}, \\ F_n|_{\overline{\mathbb{Q}}(n)} = \text{id} : \overline{\mathbb{Q}}_j^i(n) \to \overline{\mathbb{Q}}_j^i(n-1). \end{cases}$

Cette application définit un revêtement ramifié de degré 3.

De plus, on a la relation suivante : $\pi_{n-1} \circ F_n = F_{n-1} \circ \pi_n$.

- On pose $K_n = F_{n-1}^{-1}(K_{n-1}) \approx K_{n-1} \cup (\cup K(P_i))/(\alpha_n \sim \alpha_i)$.

$\pi_n : K_n \to K_{n-1}$ est surjective.

On pose $\Sigma_\infty = \lim (\Sigma_n, \pi_n)$.

D'après la Proposition 14.1.2, $\Sigma_\infty$ est homéomorphe à $S^2$.

On définit $\begin{cases} F : \Sigma_\infty \to \Sigma_\infty \text{ par } F(\{x_n\}_{n\ge0}) = \{F_{n+1}(x_{n+1})\} \\ K = \lim_{\underset{\sim}{\Sigma_\infty}} (K_n, \pi_n) \subset \Sigma_\infty \end{cases}$

L'application $F$ est bien définie car $\pi_{n-1} \circ F_n = F_{n-1} \circ \pi_n$. De même, l'existence de $K$ provient de ce que $\pi_n : K_n \to K_{n-1}$ est continue surjective.

$F$ est donc un revêtement ramifié de degré trois.

**Proposition 14.2.1** *L'application $F : \Sigma_\infty \to \Sigma_\infty$ est un croisement topologique en $\alpha$ des $P_i$ en $\alpha_i$.*

**DÉMONSTRATION.** Les conditions (CT1), (CT2) et (CT3) sont automatiquement satisfaites par construction. La condition (CT5) peut être vérifiée comme suit. On considère sur $\Sigma_0$ la métrique induite par la métrique sphérique sur chaque partie. Si on dispose d'une métrique sur $\Sigma_{n-1}$, alors on la reporte sur $\Sigma_n$ là où $\Sigma_{n-1}$ est bien définie, et sur chaque portion rajoutée, on considère la métrique sphérique divisée par $2^n$.

Le dernier point résulte de la Proposition 14.3.1.

<figure><img src="image_121.png" /></figure>

On peut étendre cette définition à des polynômes de degrés différents en lissant les discontinuités apparues au voisinage des rayons de $\alpha$ du fait de la différence de degré : on se ramène ainsi à une application $F : \Sigma_0 \setminus \text{rayons aboutissant en } F^{-1}(\alpha) \to \Sigma_0$.

## 14.3 Propriétés

**Proposition 14.3.1** *On note $K(F) = \{x \in \Sigma_\infty, F^p(x) \not\to \infty\}$. Alors $K(F) = K$.*

**DÉMONSTRATION.**

- On a $F(K) \subset K$ par définition, donc $K \subset K(F)$.

- Réciproquement, soit $x = \{x_n\} \in \Sigma_\infty \setminus K$.

∀n, $x_n \notin K_n : \exists n_0 \le n$ tel que $x_n \in \tilde{Q}(n_0) \Rightarrow F_n^{n_0}(x_n) \in \tilde{Q}(0) \setminus K_0$.

Par suite, $\forall p, (F^{p+1}(x))_0$ est de potentiel double que $(F^p(x))_0$, donc $F^p(x) \to \infty$.

<figure><img src="image_122.png" /></figure>
**Proposition 14.3.2** *Le compact K(F) est localement connexe si et seulement si K(P₁) et K(P₂) le sont.*

DÉMONSTRATION.

· Si $K(F)$ est localement connexe, alors $K(P_1)$ et $K(P_2)$ le sont aussi car ils s'injectent dans $K(F)$ par la figuration, et donc leurs bords sont inclus dans celui de $K(F)$.

· Réciproquement, on suppose que $K(P_1)$ et $K(P_2)$ sont localement connexes. Dans ce cas, $K_0$ est aussi localement connexe, et on peut montrer que $\forall n > 0$, $K_n$ est localement connexe. $K(F)$ étant la limite projective des $K_n$ qui sont compacts connexes et localement connexes, il s'ensuit qu'il est aussi localement connexe.

<figure><img src="image_123.png" /></figure>

**Invariant combinatoire.** Comme le cas de croisements holomorphes, on peut associer à un croisement topologique une application $\kappa$ qui conserve l'ordre dans lequel les composantes de $K(P_1) \setminus \{\alpha_1\}$ et $K(P_2) \setminus \{\alpha_2\}$ au voisinage de $\alpha$ sont alternées.

**14.4 Classe topologique des croisements**

On se donne $(f, \alpha_f, \kappa_f)$ et $(g, \alpha_g, \kappa_g)$, deux revêtements ramifiés sur la sphère de Riemann qui vérifient la définition du croisement topologique de $(P, \alpha_P)$ et $(Q, \alpha_Q)$. Montrons que

**Proposition 14.4.1** *Si $\kappa_f \sim \kappa_g$, alors il existe $\varphi : K_f \to K_g$, homéomorphisme qui conjugue $f$ et $g$.*

On commencera par montrer que l'existence d'un croisement implique une conjugaison avec son croisement topologique. On verra que la démonstration ne fait intervenir que les conditions (CT1) – (CT5), ce qui démontrera la Proposition 14.4.1.

**Proposition 14.4.2** *Soit $R = P_1 \times_P P_2$, on note* $| \begin{array}{l} K_0 = \phi_1(K(P_1)) \cup \phi_2(K(P_2)), \\ K_n = R^{-n}(K_0). \end{array}$

Alors, $\forall n > 0$, $\exists \pi_n : K_n \to K_{n-1}$ continue surjective et à fibres connexes tel que $K(R)$ soit homéomorphe à $\lim (K_n, \pi_n)$.

On commence par un lemme :

**Lemme 14.4.3** *Sous les hypothèses de la Proposition 14.4.2, $(K_n)_{n \ge 0}$ est une suite croissante de compacts connexes de $K(R)$.*

La preuve de 14.4.3 est contenue dans celle du Lemme 12.5.3.
DÉMONSTRATION (14.4.2). On a déjà vu que les $K_n$ étaient connexes (Lemme 14.4.3).
On définit $\pi_n : K_n \to K_{n-1}$ par

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\pi_n|_{K_{n-1}} = id, \\
\\
\pi_n|_{K_n \setminus K_{n-1}} = \alpha_n \text{ où } \alpha_n \in P^{-n}(\alpha) \setminus P^{-n+1}(\alpha), \\
\text{la composante connexe de } z \text{ dans } K_n \setminus \{\alpha_n\} \text{ n'intersecte pas } K_{n-1}.
\end{array}
\right.
$$

La fonction $\pi_n$ vérifie les propriétés requises et on pose $K = \lim_{\leftarrow} (K_n, \pi_n)$.

Remarque. La définition des $\pi_n$ se généralise à $K(R)$ tout entier, et ce, de la façon suivante : pour $z \in K(R) \setminus K_{n-1}$, on pose $\pi_n(z) = \alpha_p \in R^{-p}(\alpha) \cap K_{n-1}$ tel que $\alpha_p$ sépare $z$ de $K_{n-1}$ et où $p$ est choisi minimal.

On définit

$$
\begin{array}{rcl}
\varpi : & K(R) & \to K \\
& x & \mapsto \{\pi_n(x)\}.
\end{array}
$$

► $\varpi$ est continue. Ceci découle du lemme suivant :

**Lemme 14.4.4** *Les applications* $\pi_n : K(R) \to K_{n-1}$ *sont continues.*

DÉMONSTRATION. Pour $n \ge 1$, posons $L_n = \overline{K(R) \setminus K_{n-1}}$ et appelons $L_n(z)$ la composante connexe de $L_n$ contenant $z$. $\pi_n$ est localement constante sur $L_n$. Considérons une suite $\{z_p\}$ de $K(R)$ convergeant vers $z$. Supposons que $\pi_n(z_p)$ ne converge pas vers $\pi(z)$. Alors, quitte à extraire une sous-suite, on peut se ramener à l'un des trois cas suivants : soit la suite est incluse dans une composante connexe de $L_n$, soit elle est dans $K_{n-1}$, soit chaque élément est dans une composante connexe différente de $L_n$. On va aboutir à une contradiction en montrant que, dans ces trois cas, la suite converge vers $\pi_n(z)$.

Dans le premier cas, on a $z \in L_n(z_p)$ car $L_n(z_p)$ est compact, et comme l'application $y$ est constante, on a la continuité. Dans le second cas, $z \in K_{n-1}$ et $\pi_n(z_p) = z_p \to z = \pi_n(z)$. Enfin, dans le dernier cas, on montre que $diam(L_n(z_p)) \to 0$ car ils se déduisent tous d'un nombre fini de compacts par isomorphisme, et ils ne sont pas contenus dans un domaine de rotation (voir Proposition 14.4.6). Par suite, $|z_p - \pi_n(z_p)| \to 0$, et on est ramené au cas précédent.

► Pour montrer l'injectivité, on a besoin du lemme suivant :

**Lemme 14.4.5** $\forall z \in K(R)$, $\pi_n(z) \underset{n \to \infty}{\to} z$.

L'injectivité est alors immédiate car la suite ne converge qu'en un seul point.

► Pour la surjectivité, on considère $i_n : K_n \to K$ telle que
$$
\left\{
\begin{array}{l}
y_p = y, \quad n < p, \\
y_p = \pi_p^n(y).
\end{array}
\right.
$$

On a $\pi_n \circ i_n = \text{id}_{K_n}$ et $\cup i_n(K_n)$ est dense dans $K$.

En effet, si $x = \{x_n\}$, $i_n(x_n) \to x$.
Par suite, $\omega(K(R)) \supset \bigcup i_n(K_n)$ qui est dense et $\omega(K(R))$ est fermé, d'où la surjectivité.

On a donc montré la proposition modulo le Lemme 14.4.5.

<figure><img src="image_124.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION DE 14.4.5.** Si $z \in \bigcup K_n$, alors la suite est constante à partir d'un certain rang.

Supposons maintenant que $z$ soit dans l'adhérence. On note $L_n(z)$ la composante connexe de $z$ dans $K(R) \setminus K_{n-1}$ avec le point $\{\pi_n(z)\}$, ce qui le rend compact. La suite $\{L_n(z)\}$ est une suite décroissante de compacts connexes, donc $\cap L_n(z)$ est un compact connexe. Il reste à montrer que c'est $\{z\}$, i.e. les diamètres de $L_n(z)$ tendent vers zéro. Ceci provient d'un résultat de Yin ([TLY]). En effet, pour chaque $n$, $L_n$ provient d'un nombre fini de composantes connexes de $L_1$ par des itérés de $R$ qui sont des homéomorphismes. De plus, ils ne sont pas dans un domaine de rotation, car ils évitent $K_0$.

<figure><img src="image_125.png" /></figure>

La proposition suivante nous fournit la propriété (CT5) pour les croisements complexes.

**Proposition 14.4.6 (Yin, [TLY])** Soient $f$ une fraction rationnelle et $K$ un compact disjoint de la fermeture de l'ensemble postcritique de $f$. Si $f^n$ envoie $K_n$ sur $K$ par un homéomorphisme pour $n \ge 1$, alors soit (a) $\text{diam } K_n \to 0$, soit (b) $K$ est contenu dans un domaine de rotation périodique de $f$.

**Corollaire 14.4.7** On note $R$ le croisement de $P_1$ et $P_2$. Le croisement topologique de $P_1$ et $P_2$ est conjugué à $R$.

**DÉMONSTRATION.** En effet, on peut conjuguer $R$ avec son modèle de limite projective qui, par construction, est lui-même conjugué au croisement topologique.

<figure><img src="image_126.png" /></figure>

**Proposition 14.4.8** $K(R)$ est localement connexe si et seulement si $K(P_1)$ et $K(P_2)$ le sont eux-mêmes.

**DÉMONSTRATION.** Si $K(R)$ est localement connexe, alors les $K(P_i)$ le sont car ils y figurent par une injection.

Réciproquement, on montre de proche en proche que la suite $\{K_n\}$ est composée de compacts connexes et localement connexes. Par suite, leur limite projective vérifie les mêmes propriétés (voir Proposition 14.1.1), ainsi que $K(R)$ qui lui est homéomorphe (Proposition 14.4.2).

<figure><img src="image_127.png" /></figure>
## 14.5 Conséquence sur la connexité locale

On suppose dans ce paragraphe que $K(R)$ est localement connexe, ce qui implique que les $K(P_i)$ le sont aussi.

### Modèle du disque pincé

Tous les ensembles de Julia étant localement connexes, on peut les représenter par leur disque pincé (voir [Do5]). En fait, il existe un algorithme pour obtenir celui de $R$ à partir des deux autres.

**Exemple.** Reprenons notre premier exemple : nous avons montré que le croisement est réalisable, et que son ensemble de Julia est localement connexe car il s'agit d'un polynôme à ensemble postcritique fini.

<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>FIGURE : CROISEMENT DE DISQUES PINCÉS.</figcaption></figure>

Pour chaque $i = 1, 2$, on partitionne $\bar{D}/\sim_i$ en $q + 1$ parties selon les géodésiques de Poincaré reliant $t_j^i$ à $t_{j+1}^i$ du tore $T$. On remplace $[\alpha_i]$ par l'enveloppe convexe (par rapport à la métrique de Poincaré) de $2q$ points de $T$. Cette partie correspond à $[\alpha]$. Les parties de $\bar{D}/\sim_i$ sont mises alternativement dans le complémentaire : ceci correspond au compact $K_0$.

Pour chaque préimage de $\alpha$, on réitère le processus en remplaçant sa classe par l'enveloppe convexe de $2q$ points. On remet les classes d'équivalence dans le complémentaire (une sur deux) et on remplit le reste par les relations d'équivalence de l'autre polynôme, et ainsi de suite...

Plus précisément, en fixant la combinatoire sur les polynômes, on peut trouver un algorithme donnant le nouvel argument externe d'un point de la figuration, en considérant ses développements en base $d_f$ et $d_R$.

On a bien toutes les classes d'équivalence de $R$, car en considérant la multiplication de l'angle par $\deg(R)$ sur $T$, les classes sont de taille croissante et, pour un certain rang, elles seraient trop grandes pour ne pas être l'une de celles de départ.

### Arbres de Hubbard

On suppose maintenant que les polynômes sont à ensemble postcritique fini, et sont donc munis d'arbres de Hubbard.
L'arbre de Hubbard de $R$ s'obtient à partir des autres en les croisant sur $\alpha$, la dynamique étant celle induite par les polynômes de départ sur chaque sous-arbre.

**Remarque.** En définissant une dynamique sur l'arbre croisé, il est possible de montrer directement l'existence d'un polynôme complexe ayant le même arbre (voir [Po]).

**Exemple.**

<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>FIG. 14.2 - Croisement d'arbres de Hubbard.</figcaption></figure>

**Remarque.** Il existe une généralisation du Théorème de Thurston ([CJS]) qui fournit un critère pour savoir si un revêtement ramifié de la sphère dont l'ensemble postcritique a un nombre fini de points d'accumulation est Thurston-équivalent à une fraction rationnelle. Seulement, la preuve du théorème montre plutôt l'existence d'une fraction rationnelle sous-hyperbolique équivalente, ce qui ne nous intéresse pas ici.
# Chapitre 15

## Critère de dévissage

Dans ce chapitre, nous allons chercher à suivre un chemin inverse de celui suivit dans les chapitres précédents : on se donne un polynôme $R$ (avec $K(R)$ connexe) et on étudie l'existence d'autres polynômes dont il serait le croisement. Il est nécessaire de supposer que $R$ admet un point fixe $\alpha$ de nombre de rotation $p/q$ avec $m$ cycles de rayons. Il s'agit alors de trouver des polynômes figurant dans $R$ de façon distincte et d'examiner si leur croisement définit $R$. En fait, on montrera que ce critère constitue une condition nécessaire pour être un croisement, et qu'il constitue aussi une condition suffisante dans le cas où le point de croisement est répulsif.

### 15.1 Partition associée à un polynôme

Étant donné un polynôme $R$, on lui associe une suite de partitions de $\overline{C}$ de la façon suivante :

► Les $mq$ rayons aboutissant à $\alpha$ induisent une partition $Q(0)$ dont les éléments font partie alternativement de $Q^1(0)$, $Q^2(0)$, ..., $Q^m(0)$. On notera $\Sigma_0$ la sphère de Riemann munie de cette partition.

► On suppose que $Q(k)$, $\Sigma_k$, ... sont définies pour $0 \le k < n$ et on notera $\alpha_k$ une vraie préimage $k$-ième générique de $\alpha$. On construit $Q(n)$ comme suit. On considère $\alpha_n \in \mathbb{R}^{-1}(\{\alpha_{n-1}\})$ ; il existe $k$ et $i$ tels que $\alpha_n \in Q^i(k)$.

- Si c'est le seul point à être dans cette composante connexe, alors on considère les rayons préimages de ceux de $\alpha_{n-1}$ aboutissant à $\alpha_n$: ils subdivisent $Q^i(k)$ en “quartiers” dont un seul contient une préimage de $\alpha$ de rang $< n$. On lui attribue le même nom (i.e. $Q^i(k)$). Puis, on note les autres parties alternativement $Q^{i+1}(n)$, $Q^{i+2}(n)$, ..., $Q^{i-1}(n)$, $Q^i(k)$, ..., dans l'ordre cyclique.

- S'il y a plusieurs $\alpha_n$ dans la même composante connexe de $Q^i(k)$, on définit la relation d'ordre partiel suivante : on dit que $\alpha_n' < \alpha_n$ s'il existe deux rayons aboutissant en $\alpha_n$ séparant $\alpha_n'$ de $\alpha$ (on peut aussi poser que $\alpha_k < \alpha_k'$ avec $k \ne k'$). On commence alors à numéroter les éléments maximaux comme dans le premier cas, et on poursuit de proche
en proche cette numérotation dans l'ordre décroissant des $\alpha_n$.

Ces partitions respectent la dynamique de $R$ en ce sens que :

$$R : Q(n) (\subset \Sigma_n) \rightarrow Q(n-1) (\subset \Sigma_{n-1}) \text{ si } n \geq 1.$$

$$R : Q^i(k) \rightarrow Q^i(k-1) \text{ si } k \geq 1.$$

$$R : Q^i(0) \rightarrow Q^i(0).$$

**Remarque.** Cette partition est fondée sur les mêmes idées que les puzzles de Branner-Hubbard-Yoccoz (voir [BH, Hu]).

## 15.2 Condition nécessaire

**Proposition 15.2.1** *Soit $R$ un polynôme de degré $d_R \geq 3$. Si $R$ réalise un croisement, alors tous les points critiques se trouvent dans $\tilde{Q}(0)$, où*

$$\tilde{Q}(0) = \bigcap_{n \geq 0} \bigcup_{1 \leq i \leq m} \overline{Q^i(0)} (\subset \Sigma_n).$$

**DÉMONSTRATION.** Par construction, $\tilde{Q}(0)$ contient le noyau $N_R$ qui, lui, contient tous les points critiques. ■

## 15.3 Obtention de figurants

Pour trouver des candidats à un croisement, une méthode consiste à faire des collages $R$-analytiques le long des rayons aboutissant sur $\alpha_k$: on part de $\Sigma_0$ et on recolle les rayons adjacents qui bordent les parties qui ne sont pas dans $Q^i(0)$, en identifiant les potentiels égaux. On obtient $\Sigma_0^i$. De proche en proche, on recolle sur $\Sigma_n$ les rayons d'ordre plus élevé en faisant disparaître les $Q^j(k)$, $j \neq i$ pour former une suite de sphères de Riemann $\Sigma_n^i$ que l'on peut munir de projections $\pi_n$. En notant $\Sigma^i = \lim_{\rightarrow} (\Sigma_n^i, \pi_n)$, ou bien la limite inductive est dégénérée et $R$ est semi-conjugué à une dilatation, ou bien c'est une sphère et alors $R$ est semi-conjugué à un polynôme $P_i$ topologique qui figure dans $R$.

Le projeté de $\alpha$ est alors un point fixe de nombre de rotation $p/q$.

Si $\alpha$ est parabolique, il est difficile de montrer que nos polynômes topologiques sont effectivement de vrais polynômes complexes. En revanche, si $\alpha$ est répulsif, on peut trouver des restrictions de $R$ qui soient des applications à allure polynomiale au voisinage de $\alpha$, ces applications étant conjuguées aux polynômes topologiques des quotients ci-dessus.

On se fixe un $i$ et on considère la restriction $R: Q^i(1) \rightarrow Q^i(0)$. C'est un revêtement ramifié de degré fini, qui n'est pas à allure polynomiale. Pour le rendre à allure polynomiale, il faut changer un peu la définition des domaines de $R$. On commence par couper ces domaines par des équipotentialles pour les rendre bornés (et $R$ reste toujours propre). En suivant la démonstration du Théorème de Modulation (voir Chap. 10 de la Partie IV), on remplace les bouts de rayons par des branches quadratiques en coordonnée
log-Böttcher du type ${\{ (s,t) \in [0,\eta] \times T, s^2 = t \}},$ pour que ces domaines ne contiennent plus que $\alpha$ dans leur bord commun. Soient $A'_i$ et $A_i$ ces domaines (tels que $R: A'_i \to A_i$, $A'_i \subset A_i$ et $\partial A_i \cap \partial A'_i = \{\alpha\}$). Ceci étant, comme $\alpha$ est répulsif, on considère un petit disque linéarisable $\Delta$ au voisinage de $\alpha$ et on note $\Delta'$, l'image réciproque de $\Delta$ contenant $\alpha$. On a $\Delta' \subset \subset \Delta$ et si on note $U_i = A_i \cup \Delta$, $U'_i$, la composante de $R^{-1}(U_i)$ contenant $A'_i$, alors $(U'_i \xrightarrow{R} U_i)$ est une application à allure polynomiale hybridement équivalente à un polynôme $P_i$. Si son ensemble de Julia n'est pas connexe, alors $R$ ne peut pas être un croisement.

On peut alors construire la même limite inductive pour l'application à allure polynomiale, ce qui montre que ces objets sont les mêmes (cas connexe).

## 15.4 Figurants/figuré

Le paragraphe précédent définit des polynômes $P_1, \dots, P_m$ figurant dans $R$ à des "endroits différents", en tout cas lorsque $\alpha$ est répulsif. On supposera dans la suite que leurs ensembles de Julia sont connexes.

On cherche maintenant à savoir sous quelle(s) condition(s) $R$ est le croisement de ces polynômes ou, dans des cas moins favorables, sous quelle(s) condition(s) des croisements de ces polynômes figurent dans $R$. On peut aussi se demander si $K(R)$ est homéomorphe à un croisement de polynômes.

Rappelons les propriétés des croisements :

- les $P_i$ figurent de manière rigide par des $\phi_i$ dans $R$;

- $\cup \phi_i(K(P_i)) \approx \cup K(P_i)/\alpha_i \sim \alpha_j$ et $\cap \phi_i(K(P_i)) = \{\alpha\}$.

Il ne reste donc qu'une condition sur les degrés, pour être sûr d'avoir à faire à un croisement : il faut $\sum (\deg P_i - 1) = \deg R - 1$, i.e., pour chaque point critique, la suite constante figure dans une des limites inductives données précédemment, autrement dit, que tous les points critiques appartiennent à $\cap_{n \ge 0} (\overline{Q^i(0)} \subset \Sigma_n)$.

**Corollaire 15.4.1** *Les conditions suivantes sont suffisantes.*

(i) Soient $R$ un polynôme de degré $d_R \ge 3$ muni de sa partition en $\alpha$ et $(P_i)_{1 \le i \le m}$ des polynômes figurant en $\alpha$. Si la relation d'ordre sur les préimages de $\alpha$ ne classe que des points de rang différent, alors $R$ est un croisement.

(ii) Soit $R$ un polynôme de degré $d_R \ge 3$, $R^{\text{on}}$ n'est jamais un croisement.

**Remarque.** Il ne s'agit pas d'équivalence (voir l'exemple ci-dessous).

**DÉMONSTRATION.** (i) Supposons qu'il existe $k, i$ ($k > 0$) tels qu'une composante connexe de $Q^i(k)$ contienne un point critique. Alors, $R|_{Q^i(k)}$ est un revêtement ramifié de degré au moins deux. $R$ se prolonge continûment au bord, et donc son bord contient au moins deux préimages de chaque point du bord de $R(Q^i(k))$; par suite, il contient deux préimages de $\alpha$ de même rang, qui sont forcément ordonnés.

Supposons maintenant que tous les points critiques soient dans $\tilde{Q}(0)$. Si $R$ n'est pas un
croisement alors il existe un point critique parasite $\omega$ de $R$ sur $\partial N_R$. Ce point appartient à la figuration d'un seul polynôme $P$ de la décomposition.

Or, la décomposition est construite de telle sorte que si $\omega$ est un point critique de degré $d_\omega \ge 2$, sur $\partial N_R$, alors :

- soit, à chaque étape, $\omega$ est dans l'intérieur de $Q(0)$, et alors à la limite, chaque pièce dans un voisinage admet $d_\omega - 1$ pièces symétriques par rapport à $\omega$ de même rang, et $R_{\tilde{Q}(0)}$ restreint à un voisinage de $\omega$ est de degré $d_\omega$;

- soit, à partir d'un certain rang, $\omega$ est au bord d'une pièce : c'est une préimage de $\alpha$. De même, la numérotation des pièces est telle que $R_{\tilde{Q}(0)}$ restreint à un voisinage de $\omega$ est de degré $d_\omega$.

(ii) On considère deux cycles de rayons q-périodiques aboutissant à $\alpha$. Chacun d'eux est contenu dans $1/d^{\text{ième}}$ de tour (sinon, ces cycles n'auraient pas de nombre de rotation). Ils découpent le cercle (et le disque) en $2q$ composantes connexes dont la plus grande est de longueur (de diamètre) $\ge 1-2/d$. On la note $I_1^1$, et on numérote les autres alternativement $I_2^1, I_2^2, \dots$ Il existe un point critique dans $I^2$ (ou dans une composante connexe bordée par $I^2$). Ses images réciproques sont équiréparties sur le cercle (et on en a a priori $d$), donc il y en a au moins une dans $I_1^1$. Par suite, elle est séparée de $I^2$, i.e. de $Q^2(0)$, et comme elle est un point critique de $R^n$, $n > 1$, $R^n$ ne peut être un croisement.

**Proposition 15.4.2** *Soient $P_1$ et $P_2$ figurant dans $R$ tels qu'il n'y ait pas de points critiques dans $Q^{1,2}(k)$, $k > 0$. Alors $P_1 \times_P P_2$ figure dans $R$.*

**DÉMONSTRATION.** On note $| \begin{array}{l} K_0 = \phi_1(K(P_1)) \cup \phi_2(K(P_2)), \\ K_n \in \pi_0(R^{-n}(K_0)) \text{ contenant } K_{n-1}. \end{array}$

On définit $\pi_n : \overline{UK_n} \to K_{n-1}$ comme dans la Prop. 14.4.2. Les $\pi_n$ sont continues surjectives et à fibres contractiles. Comme il n'y a pas de points critiques mal placés, par une preuve analogue à 14.4.2, on peut montrer d'une part que $R$ défini sur $\lim (K_n, \pi_n)$ est conjugué au croisement $P_1 \times_P P_2$ sur son ensemble de Julia et, d'autre part, qu'il est aussi conjugué à lui-même sur $\overline{UK_n}$.

**Conjecture.** $K(R) \approx K(\chi P_i)$ ssi aucune des $\Sigma^i$ n'est dégénérée.

**Conclusion.** $R$ réalise un croisement ssi tous les points critiques sont dans $\tilde{Q}(0)$.

**Exemple.** Soit c super-attractif de période 4 et de nombre de rotation $1/4$. On considère $R = P_c^2$, polynôme de degré 4 (voir figure ci-dessous). La chirugie montre que $P_{-1}$ figure deux fois dans $R$. Cependant, si $R$ était le croisement de $-1$ par lui-même, il serait de degré 3, et non 4. On remarque que l'un des points critiques n'est pas dans $\tilde{Q}(0)$.

En définitive, si $R$ réalisait un croisement, il s'agirait de $P_{-1} \times P_{-1}$, ce qui n'est pas le cas.
<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>Figure 18 Auto-croisement de la basislique et le lapin à 3 oreilles.</figcaption></figure>
# Chapitre 16

## Dépendance par rapport aux paramètres

### 16.1 Cas géométriquement fini

Dans ce paragraphe, nous allons montrer qu'en déformant continûment des croisements de polynômes sous-hyperboliques, on peut obtenir des polynômes géométriquement finis (i.e. les orbites critiques sont finies sur l'ensemble de Julia - non rempli).

#### 16.1.1 Motivation et exemples

La chirurgie semble être difficile dans le cas parabolique, mais il est facile de construire des exemples de polynômes de degré trois qui sont des croisements de polynômes quadra-tiques paraboliques.

**Exemple 1:** On considère le polynôme $P : z \mapsto z^3 + \frac{4}{3}z + \frac{2i}{27}$. Il admet deux points fixes (2i/3, superattractif, et -i/6, parabolique). Le point parabolique n'admet qu'un seul pétale attractif et, de plus, il est situé au bord de la composante superattractive de Fatou. On peut montrer que les polynômes $z \mapsto z^2$ et $z \mapsto z^2 + 1/4$ figurent dans P sur chacun des domaines périodiques de $K(P)$. De plus, tous les points critiques de P se trouvent dans ces composantes, donc P réalise le croisement de ces deux polynômes (voir figure ci-dessous).
<figure><img src="image_131.png" /><figcaption>Figure 19 Croisement du disque et du choufleur.</figcaption></figure>

On note $P_0 : z \mapsto z^3 + \frac{3}{2}z$. On montre de façon similaire que $P_0$ réalise le croisement de $z \mapsto z^2$ avec lui-même.

Ces deux polynômes appartiennent à la famille $R_a : z \mapsto z^3 - 3a^2z + 2a^3 + a$ pour $a = 2i/3$ et $i/\sqrt{2}$ respectivement. Faisons varier $a$ entre ces deux valeurs. Pour $a > 2/3$, $R_a$ admet trois points fixes dont un superattractif ($a$), un répulsif et un attractif. Le point répulsif est au bord des deux bassins et réalise le croisement de $z \mapsto z^2$ et $z \mapsto z^2 + c$, $c \in [0, 1/4]$. En effet, pour chaque valeur de $a$, il existe un unique polynôme quadratique qui est hybridement équivalent à $R_a$. Lorsque $c$ tend vers $1/4$, $a$ tend vers $2i/3$ et les ensembles de Julia étant structurellement stables ne changent pas. Par conséquent, à la limite, on retrouve le croisement de 0 avec $1/4$ (à comparer avec le Chap. 7 de la Partie III).

**Exemple 2** : On considère $z \mapsto z^3 + z$. Ce polynôme admet un seul point fixe parabolique de multiplicateur 1. Les points critiques sont tous deux attirés par ce point dans des pétales différents : $1/4$ figure deux fois dans ce polynôme (qui réalise son croisement avec lui-même).

En considérant le déploiement $Q_a : z \mapsto z^3 + az$, pour $a$ variant de $3/2$ à 1, on obtient des polynômes ayant deux points fixes attractifs dont les bassins sont adjacents au point fixe répulsif. $Q_a$ réalise alors le croisement carré d'un polynôme de la grande cardioïde. Quand $a$ s'approche de 1, les points fixes attractifs deviennent de moins en moins attractifs et finissent par se confondre, et l'on obtient le croisement carré de $1/4$.

<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>Figure 20 Croisement du chou-fleur avec lui-même.</figcaption></figure>
16.1.2 Cas général

Soient P et Q deux polynômes géométriquement finis. En les déformant un peu, on peut les approcher par des polynômes sous-hyperboliques ($P_\mu$)$_{\mu \in ]0,\mu_0]}$ et ($Q_\nu$)$_{\nu \in ]0,\nu_0]}$ respectivement (cf Théorème 4 de la Partie III). On peut effectuer leur croisement pour obtenir une famille continue {$R_{\mu,\nu}$}. En appliquant le Théorème 2 de la Partie III, on obtient le croisement voulu.

16.2 Sur les familles de croisements

On considère $\tilde{\Lambda}$ et $\tilde{M}$ deux surfaces de Riemann simplement connexes, $(P_\lambda)_{\lambda \in \tilde{\Lambda}}$ et $(Q_\mu)_{\mu \in \tilde{M}}$ deux familles analytiques de polynômes de degré fixé, définies à Aut($C$) près. Si un point répulsif appartient à un ensemble de Julia non connexe, on dira qu'il a pour nombre de rotation $p/q$ s'il a un cycle de $q$ rayons qui aboutit en ce point et si l'application de premier retour au voisinage de ce point fait permuter les rayons par une rotation combinatoire d'angle $p/q$.

On note alors $$ \Lambda \in \pi_0(\{\lambda \in \tilde{\Lambda}, \exists \alpha_\lambda \text{ fixe répulsif pour } P_\lambda \text{ et de nombre de rotation } p/q\}), M \in \pi_0(\{\mu \in \tilde{M}, \exists \alpha_\mu \text{ fixe répulsif pour } Q_\mu \text{ et de nombre de rotation } p/q\}), $$

et $$ \begin{cases} C_\Lambda = \{\lambda \in \Lambda, K(P_\lambda) \text{ soit connexe}\}, \\ C_M = \{\mu \in M, K(Q_\mu) \text{ soit connexe}\}. \end{cases} $$

On suppose que ces derniers sont relativement compacts dans leur espace ambiant respectif.

On définit $R_{\lambda,\mu}$ le croisement de $P_\lambda$ et $Q_\mu$, $(\lambda,\mu) \in C_\Lambda \times C_M$. En chaque point l'application qui, à un polynôme associe un point répulsif, est holomorphe et unique, et les croisements sont faits en respectant la combinatoire. De plus, $R_{\lambda,\mu}$ vit dans un espace de polynômes de degré fixé et à Aut($C$) près.

Le résultat le plus général qu'on puisse obtenir est sans doute le suivant :

**Proposition 16.2.1** (i) Si $(\lambda_\infty, \mu_\infty)$ sont dans des composantes stables de $\Lambda$ et $M$ respectivement, alors le croisement est holomorphe au voisinage de $(\lambda_\infty, \mu_\infty)$.

(ii) Sinon, tout point d'accumulation $R$ de $R_{\lambda,\mu}$ quand $(\lambda,\mu) \to (\lambda_\infty, \mu_\infty)$ est le croisement de polynômes $P$ et $Q$ quasiconformément conjugués à $P_{\lambda_\infty}$ et $Q_{\mu_\infty}$ respectivement.

Soit $(\lambda_\infty, \mu_\infty) \in C_\Lambda \times C_M$ et $(\lambda_n, \mu_n)$ une suite de $C_\Lambda \times C_M$ convergeant vers $(\lambda_\infty, \mu_\infty)$. Soit $R$ un point d'accumulation de $R_n$.

► DÉMONSTRATION DE (i) : On note $X$ et $Y$ les composantes stables de $P_{\lambda_\infty}$ et $Q_{\mu_\infty}$ respectivement. On considère tout d'abord $X'$ (resp. $Y'$) l'ouvert dense de polynômes ayant mêmes relations critiques au sens de [MSS] (voir aussi Chap. 4, Partie II). Chaque composante de $X'$ (resp. $Y'$) est paramétrée par une variété holomorphe. Comme chaque espace est de dimension 1, et comme les $X \setminus X'$ (resp. $Y \setminus Y'$) représentent une singularité effaçable pour les applications conformes, on obtient des paramétrages sur $X$ et $Y$ holomorphes. En ce qui concerne l'espace des croisements, on peut décomposer l'espace
des déformations de $R_{\lambda_{\infty}, \mu_{\infty}}$ en produit provenant de $P_{\lambda_{\infty}}$ et $Q_{\mu_{\infty}}$ (cf Proposition 12.5.6) : on obtient ainsi des paramétrages holomorphes avec des bases communes, ce qui permet d'obtenir, par composition, la dépendance holomorphe.

▷ DÉMONSTRATION DE (ii) : Cette preuve suit la méthode employée par B. Branner et N. Fagella pour démontrer la continuité de chirurgies dans [BF].

D'après la construction des croisements, les dilatations des applications quasiconformes dépendent essentiellement de la nature des points fixes $\alpha_{\lambda}$ et $\alpha_{\mu}$. En effet, sur un voisinage de $(\lambda_{\infty}, \mu_{\infty})$, les différents modules d'ouverture des ensembles de Julia remplis sont uniformément majorés, on peut donc trouver deux classes externes pour lesquelles la construction du croisement pourra être effectuée sur un voisinage produit de $(\lambda_{\infty}, \mu_{\infty})$.

Il résulte du choix des classes externes que celui des extensions peut être fait de telle sorte que les dilatations soient uniformément majorées.

$$ \forall n, \exists \begin{cases} \varphi_n : \text{vois}(K(P_n)) \to \mathbb{C}, \quad \varphi_n \circ P_n = R_n \circ \varphi_n, \\ \psi_n : \text{vois}(K(Q_n)) \to \mathbb{C}, \quad \psi_n \circ Q_n = R_n \circ \psi_n. \end{cases} $$

On peut alors appliquer les résultats de compacité des applications quasiconformes de dilatatations uniformément majorées, en normalisant les polynômes (e.g. monique centré). En passant à la limite dans les semi-conjugaisons, on montre que $R$ est le croisement de deux polynômes $P$ et $Q$ quasiconformément conjugués à $P_{\lambda_{\infty}}$ et $Q_{\mu_{\infty}}$.

■

**Remarque.** Pour s'assurer de la continuité, il faut vérifier que la conjugaison peut être promue en application conforme, ce qui est rarement vrai, voir par exemple le Chap. III de [DH2].

**Proposition 16.2.2 (Conditions suffisantes pour la continuité)**

(a) En plus des hypothèses faites dans l'introduction de ce paragraphe précédant la Proposition 16.2.1, on suppose que pour chaque famille de polynômes $P_{\lambda}$ et $Q_{\mu}$, les espaces de modules associés soient contenus dans $\Lambda$ et $M$ respectivement. Alors les croisements varient continûment.

(b) On suppose qu'il existe une application holomorphe $\mu(\lambda)$ et une famille analytique de polynômes $(R_{\nu})_{\nu \in N}$ telles que les croisements $R_{\lambda, \mu(\lambda)}$ soient contenus dans $N$ ; si $N$ est de dimension complexe 1 alors $\lambda \mapsto R_{\lambda, \mu(\lambda)}$ est continue.

(c) Si $Q$ est fixé, et $(P_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ vérifie (a), alors le croisement est continu.

**DÉMONSTRATION.** (a) D'après la Proposition 16.2.1, il suffit de vérifier la continuité pour des polynômes instables. En effet, si l'un des polynômes est stable, e.g. $P_{\lambda_{\infty}}$, on peut définir une composante holomorphe (de dimension 1), et il suffit de montrer que la seconde application à allure polynomiale de $R$ est hybride équivalente à $Q_{\mu_{\infty}}$. Ceci découle du fait que $Q_{\infty}$ est instable, donc unique dans $C_M$, et quasiconformément conjugué à une restriction de $R$. Si les deux sont instables, l'argument ci-dessus permet aussi de conclure.

(b) De même, pour les composantes stables de $R_{\nu}$, on peut définir une application holomorphe (cf Proposition 16.2.1). Pour les autres polynômes, il suffit de remarquer que si $R_{\lambda_{\infty}, \mu_{\infty}}$ est instable dans $N$, alors toute conjugaison quasiconforme avec un polynôme limite dans $N$ implique que ces polynômes sont affinement conjugués.
(c) Il suffit de vérifier que $Q$ est toujours dans la dynamique du croisement, ce qui est le cas puisque la conjugaison est hybride et que la base, i.e. $K_Q$, ne change pas.

**Proposition 16.2.3** On suppose qu'il existe $\lambda_0 \in \partial\Lambda \cap \bar{C}_\Lambda$ géométriquement fini, et on fixe $\mu \in C_M$ pour que $Q_\mu$ soit aussi géométriquement fini. Alors l'application $\lambda \mapsto R_{\lambda,\mu}$ est continue en $\lambda_0$ et vaut $R_{\lambda_0,\mu}$.

**DÉMONSTRATION.** D'après le Théorème 4 de la Partie III, on peut déformer $P_{\lambda_0}$ dans $C_\Lambda$ de façon J-équivalente. On note $W$ cette composante stable. Elle est naturellement paramétrée par le multiplicateur du cycle attractif créé. Par suite, les bifurcations de $W$ n'ont lieu qu'en des points paraboliques. A l'aide de l'inégalité de Pommerenke-Levin-Yoccoz (voir [Pel]), on en déduit que le diamètre des membres attachés à $W$ tend vers zéro quand $\lambda$ tend vers $\lambda_0$ (voir [Hu] pour le cas de l'ensemble de Mandelbrot).

On détermine le croisement de $P_{\lambda_0}$ par $Q_\mu$, en prenant la limite de $R_{\lambda,\mu}$ pour $\lambda \in W$. Le multiplicateur paramètre aussi $(R_{\lambda,\mu})_{\lambda \in W}$, donc les bifurcations sont du même type que celles de $W$, et le diamètre des membres tend vers zéro quand on tend vers $R_{\lambda_0,\mu}$. La continuité induite par les multiplicateurs sur $W$ se prolonge à $C_\lambda$, car les membres de $W$ et de son image se correspondent, et les limites de suites dans les membres de $W$ se ramènent à celles de suites sur $\bar{W}$.

**Remarque.** Si on choisit $\mu$ tel qu'il ait des propriétés similaires à $\lambda_0$, on pourra établir l'existence de leur croisement, mais on n'aura peu de chance d'obtenir la continuité par rapport aux deux variables (voir les contre-exemples de [DH2]).

## 16.3 Application au degré trois

Soit $P_c : z \mapsto z^2 + c$, $c \in C$, la famille quadratique. On considère le croisement de $P_0$ avec $P_c$, $c \in M$.

Pour fixer les notations, on considère les polynômes de degré 3 ayant un point fixe superattractif. On a à faire à la famille $Q_a : z \mapsto z^3 - 3a^2z + 2a^3 + a$. On note $C_0(3) = \{a \in C, K(Q_a) \text{ connexe}\}$. Il s'agit de la famille étudiée par Faught dans sa thèse ([F]).

**Proposition 16.3.1** *L'ensemble M s'injecte deux fois dans $C_0(3)$ par croisements.*

**DÉMONSTRATION.** On note $\varphi_0$ l'application induite par les croisements. Il est clair que $\varphi_0$ est injective, car deux valeurs différentes de $c$ conduisent à des polynômes différents.

Si on cherche pour quelle(s) valeur(s) de $a$, $Q_a$ admet deux points fixes superattractifs, on obtient exactement deux valeurs opposées : $\pm i$. En effet, on peut remarquer que $Q_a$ et $Q_{-a}$ sont conjugués par $z \mapsto -z$. Par conséquent, en fixant un point base, on peut obtenir deux fonctions $\varphi_0$.
En appliquant la Proposition 16.2.2, on en déduit que $\varphi_0$ est continue sur $M\setminus\{1/4\}$, et par la Proposition 16.2.3, $\varphi_0$ admet un prolongement continu à M en un homéomorphisme.

■

En fait, la Proposition 16.2.2 permet de montrer que tant que l'on considère des croisements en des points répulsifs, on a une dépendance continue par rapport aux paramètres, et $\varphi_0$ se prolonge en une injection continue $\varphi$ de $M\setminus\{1/4\} \times M\setminus\{1/4\}$ dans l'ensemble des polynômes cubiques à ensemble de Julia connexe.
On note $\varphi_c$ la restriction de $\varphi$, i.e. des croisements de $P_c$ par $M\setminus\{1/4\}$ ; si $c$ est géométriquement fini alors $\varphi_c$ se prolonge à M.

On peut aussi étudier $\varphi_{1/4}$, définie sur les polynômes géométriquement finis ; cette application est à valeur dans la famille $z \mapsto z+bz^2+z^3$. Bien que l'on puisse “voir” qu’il y a bien deux copies de M sur le plan des paramètres qui doivent correspondre aux croisements en $\beta$, il est difficile de définir un homéomorphisme, parce que la trace du second polynôme dans le croisement n’est pas à allure polynomiale : la manière de reconnaître les croisements ne semble pas impliquer la continuité par rapport aux paramètres. ■

**Remarque.** On peut aussi montrer que pour tout membre $M_{p/q}$ de $M$, $M_{p/q} \setminus \{racine\} \times M_{p/q} \setminus \{racine\}$ s’injecte par croisements au-dessus du point fixe répulsif de nombre de rotation $p/q$ (voir aussi [EY]).
Bibliographie

[Ah1] L. Ahlfors, *Lectures on quasiconformal mappings*, Van Nostrand, 1966.

[Ah2] L. Ahlfors, *Conformal invariants*, McGraw-Hill, 1973.

[Ber] L. Bers, *Finite-dimensional Teichmüller spaces and generalizations*, Bull. of the AMS, vol. 5, pp. 131-172, 1981.

[BR] L. Bers & H.L. Royden, *Holomorphic families of injections*, Acta Math., vol. 157, pp. 259-286, 1986.

[Beu] A. Beurling, *Collected works*, Birkhäuser, 1989.

[Bi1] B. Bielefeld, *Changing the order of critical points of polynomials using quasiconformal surgery*, Ph.D. Thesis, Cornell University, 1989.

[Bi2] B. Bielefeld (editor), *Conformal dynamics problem list*, preprint IMS at Stony Brook, 1990.

[Bow] R. Bowen, *Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms*, Lecture Notes in Math. No. 470, 1975.

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