# Sur la determination du spectre de l'inverse d'une fonction aléatoire et ses applications

R. Fortet

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

## To cite this version:

R. Fortet. Sur la determination du spectre de l'inverse d'une fonction aléatoire et ses applications. Annales de l'ISUP, 1957, VI (3), pp.227-240. hal-04093693

HAL Id: hal-04093693

https://hal.science/hal-04093693

Submitted on 10 May 2023

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
# SUR LA DÉTERMINATION DU SPECTRE DE L'INVERSE D'UNE FONCTION ALÉATOIRE ET SES APPLICATIONS

par

R. FORTET

## I - INTRODUCTION

### 1. REMARQUES GÉNÉRALES

Dans ce mémoire, nous considérerons des variables ou des fonctions aléatoires ou non, mais toujours réelles.

X étant une variable aléatoire, on a assez peu étudié (1) la variable aléatoire Z inverse de X, c'est-à-dire définie par :

$$Z = \frac{1}{X};$$

il y a pour cela deux raisons :

α) L'inverse d'une variable aléatoire ne se présente pas très fréquem- ment dans les applications;

β) En général, la valeur 0 est une valeur possible de X, et pour cette valeur le rapport $Z = \frac{1}{X}$ n'a pas de sens, ou si l'on veut est infini.

A propos de α), observons qu'il y a tout de même quelques problèmes intéressants où l'inverse d'une quantité aléatoire s'introduit naturellement; nous en étudierons un exemple par la suite, exemple qui est précisément à l'origine de ce travail.

A propos de β), il est clair que si $Pr(X = 0) > 0$, il y a une probabi- lité positive pour que $Z = \infty$; dans l'usage habituel, on réserve l'appellation de variable aléatoire aux nombres aléatoires qui ont une probabilité nulle d'être infinis; alors Z n'est pas une véritable variable aléatoire. Mais si $Pr(X = 0) = 0$, alors Z est une véritable variable aléatoire. Pour fixer

<footnote>(1) Cf. par exemple J.H. Curtiss [1], R. Feron et C. Fourgeaud [1].</footnote>
les idées, et aborder tout de suite le cas le plus intéressant, supposons que la fonction de répartition $F(x)$ de $X$ possède une densité $f(x)$ continue, dérivable à dérivée bornée dans tout intervalle fini, et telle que :

$$f(0) \neq 0;$$

alors la fonction de répartition $H(Z)$ de $Z$ possède une densité

$$h(Z) = f\left(\frac{1}{Z}\right) \cdot \frac{1}{Z^2}$$

mais $Z$ n'a pas d'espérance mathématique et par suite n'a pas de moments en général. En effet $E(Z)$ existe si et seulement si $E(|Z|)$ existe, c'est-à-dire si :

$$\int_{-\infty}^{+\infty} |Z| h(Z) \, dZ = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|Z|} f\left(\frac{1}{Z}\right) \, dZ = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|x|} f(x) \, dx < +\infty$$

ce qui précisément n'a pas lieu sous les hypothèses faites.

Si $E(Z)$ existait, elle serait représentée par les intégrales équivalentes :

$$\int_{-\infty}^{+\infty} Z h(Z) \, dZ = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{Z} f\left(\frac{1}{Z}\right) \, dZ = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x} f(x) \, dx \quad (1,1)$$

ces intégrales ne sont pas absolument convergentes; mais elles convergent en valeur principale (v.p.) au sens de Cauchy; rappelons par exemple que :

$$v.p. \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x} f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{|x|>\epsilon} \frac{1}{x} f(x) \, dx;$$

l'introduction de ce mode de convergence équivaut à considérer $\frac{1}{x}$ dans (1,1) non comme une fonction, mais comme la distribution $v.p. (\frac{1}{x})$ au sens de L. Schwartz.

Sous la seule condition que :

$$\lim_{x \to \pm\infty} \log |x| f(x) = 0, \quad (1,2)$$

condition que nous supposerons réalisée, on sait que :

$$v.p. \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x} f(x) \, dx = - \int_{-\infty}^{+\infty} \log |x| f(x) \, dx. \quad (1,3)$$

Dans ce mémoire, nous définirons l'espérance mathématique de l'inverse $Z = 1/X$ d'une variable aléatoire $X$ par (1,3); nous adoptons ainsi une définition de l'espérance mathématique plus large que la définition habituelle; on sait que cet élargissement, auquel on avait pensé depuis longtemps, présente de sérieux inconvénients sur lesquels nous ne reviendrons pas (cf. M. Frechet [1], p. 228). Mais il faut observer que nous
n'acceptons ici cet élargissement que pour un problème particulier, pour
lequel en fait les inconvénients en question ne se présenteront pas.

D'ailleurs, et par rapport à d'éventuelles applications concrètes,
nous pouvons justifier (1,3) en considérant la situation suivante : X est
formé par le hasard, $\frac{1}{X} = Z$ est calculé par un dispositif que nous appelle-
rons la "machine". Si le hasard fournit pour X la valeur 0 ou même
seulement une valeur très petite, la machine, en fait, ne donnera pas la
valeur exacte de $Z = \frac{1}{X}$, valeur éventuellement infinie ou dépourvue de
sens, mais une valeur "corrigée" $Z^* = \emptyset(X)$ dont la valeur précise importe
peu, mais dont nous pouvons supposer, sans exclure apparemment de cas
pratiquement intéressants, qu'elle reste bornée par un nombre détermi-
né M :

$$
| Z^* = \emptyset (X) | \leq M ;
$$

en d'autres termes, nous pouvons admettre qu'il existe un certain seuil
ε (ε petit) et que la variable ayant un sens physique est, non pas Z, mais
Z* définie de la façon suivante :

$$
\text{si } |X| > \varepsilon, \quad Z^* = Z = \frac{1}{X};
$$

$$
\text{si } |X| \le \varepsilon, \quad Z^* = \emptyset(X) \quad \text{avec } |\emptyset(X)| < M;
$$

or $Z^*$ est bornée, donc a une espérance mathématique :

$$
E(Z^*) = \int_{|x|>\varepsilon} \frac{1}{x} f(x) \, dx + \int_{|x|\le\varepsilon} \emptyset(x) f(x) \, dx;
$$

or si le produit $\epsilon M$ est petit, cette espérance mathématique se confond pratiquement avec (1,3).

2. CAS DE X LAPLACIENNE

A titre d'exemple, supposons que X soit une variable aléatoire lapla-
cienne, d'espérance mathématique m, et d'écart moyen quadratique σ ;
d'après (1,3), E(Z = 1/X) est donnée par :

$$
E \left( Z = \frac{1}{X} \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} \log |x| \left( \frac{x-m}{\sigma} \right) e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)^2} d\left(\frac{x}{\sigma}\right),
$$

ou, en posant :

$x = m + \sigma y:$

$$
E \left( Z = \frac{1}{X} \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} \log |m + \sigma y| \, y e^{-\frac{y^2}{2}} \, dy; \quad (2,1)
$$
on peut transformer (2,1) en posant :

$$
\begin{align*}
\varphi(m, \sigma, y) &= \int_0^y u \log |m + \sigma u| du \\
&= -\frac{1}{4}(y^2 - 2 \frac{m}{\sigma} y) + \frac{1}{2}(y^2 - \frac{m^2}{\sigma^2}) \log |m + \sigma y| + \frac{1}{2} \frac{m^2}{\sigma^2} \log |m|
\end{align*}
$$

une intégration par partie donne :

$$
E(Z = \frac{1}{X}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(m, \sigma, y) y e^{-\frac{y^2}{2}} dy; \quad (2,2)
$$

posons :

$$
E(Z = \frac{1}{X}) = \mathcal{M}(m, \sigma) ;
$$

une dérivation légitime sous le signe $\int$ dans (2,2) donne :

$$
\begin{align*}
\frac{\delta}{\delta m} \mathcal{M}(m, \sigma) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\delta}{\delta m} \varphi(m, \sigma, y) y e^{-\frac{y^2}{2}} dy \\
&= -\frac{m}{\sqrt{2\pi}\sigma^3} \int_{-\infty}^{+\infty} \log |m + \sigma y| y e^{-\frac{y^2}{2}} dy + \frac{1}{\sigma^2} \\
&= -\frac{m}{\sigma^2} \mathcal{M}(m, \sigma) + \frac{1}{\sigma^2},
\end{align*}
$$

de sorte que $\mathcal{M}(m, \sigma)$ comme fonction de $m$, satisfait à l'équation différentielle :

$$
\sigma^2 \frac{\partial}{\partial m} \mathcal{M}(m, \sigma) + m \mathcal{M}(m, \sigma) = 1; \quad (2,3)
$$

d'ailleurs évidemment, pour $\sigma \neq 0$, $\mathcal{M}(0, \sigma) = 0$; l'intégration de (2,3), en posant :

$$
\Lambda(a) = e^{-\frac{a^2}{2}} \int_{0}^{a} e^{u^2} \, du, \qquad (2,4)
$$

donne :

$$
\mathcal{M}(m, \sigma) = \frac{1}{\sigma} \Lambda\left(\frac{m}{\sigma}\right). \qquad (2,5)
$$

La fonction Λ ( a ) est définie explicitement par (2,4), ou encore par :

$$
\Lambda(o) = 0, \frac{d}{da} \Lambda(a) + a \Lambda(a) = 1;
$$

nous poserons :

$$
\Lambda^{(o)}(a) = \Lambda(a), \quad \Lambda^{(k)}(a) = \frac{d^k}{da^k} \Lambda(a);
$$
on a :

$$ \Lambda^{(1)} + a \Lambda^{(0)} = 1 \qquad (2,6) $$

et par dérivation :

$$ \Lambda^{(k+1)} + a \Lambda^{(k)} + k \Lambda^{(k-1)} = 0 \quad \text{pour } k \ge 1. \qquad (2,7) $$

Si l'on définit les polynômes de Hermite $H_k(a)$ ($k = 0,1,2,...$) par :

$$ e^{-\frac{a^2}{2}} H_k(a) = \frac{d^k}{da^k} \left( e^{-\frac{a^2}{2}} \right), \quad (k = 0,1,2,...) $$

on a :

$$ H_{k+1} + a H_k + k H_{k-1} = 0 \quad \text{pour } k \ge 1 \qquad (2,8) $$

ce qui est précisément la relation (2,7); mais les "conditions initiales" sont pour les $H_k: H_0(a) = 1$, $H(a) = -a$.

Mais les $\Lambda^{(k)}(a)$ ne sont pas des polynômes, ce sont des fonctions entières de $a$; on a en particulier, d'après (2,6), le développement :

$$ \Lambda^{(0)}(a) = \Lambda(a) = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \lambda_{2k+1} a^{2k+1}, \qquad (2,9) $$

à rayon de convergence infini, avec :

$$ \lambda_{2k+1} = \frac{1}{1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (2k+1)} = \frac{2^k k!}{(2k+1)!} \qquad (2,10) $$

Si l'on pose :

$$ A_k = \underset{\left|a\right| \le 1}{\text{p.p.b.s.}} \Lambda^{(k)}(a) \quad (k = 0,1,2,...), $$

une étude élémentaire à partir de (2,4), (2,6) et (2,7) montre que :

$$ A_0 \le 1, \quad A_1 \le 1, \quad \text{et d'une façon générale :} $$

$$ A_k \le A B^{\sqrt{k}} (k!)^{\frac{1}{2}}, \qquad (2,11) $$

où A et B sont deux certaines constantes positives.

Toutefois la limite (2,11) est probablement loin d'être la meilleure possible.

## II - SPECTRE DE L'INVERSE D'UNE FONCTION ALÉATOIRE

### 3. POSITION DU PROBLÈME

Soit $X(t)$ une fonction aléatoire, réelle pour fixer les idées, du temps $t$ ($-\infty < t < +\infty$); soit :

$$ Z(t) = \frac{1}{X(t)} $$
la fonction inverse de X(t) et proposons-nous de déterminer les propriétés spectrales de Y(t), et d'abord de calculer sa covariance :

$$ \Gamma(t, \tau) = E[Z(t) Z(\tau)] = E\left[\frac{1}{X(t) X(\tau)}\right]. \quad (3,1) $$

Conformément à l'idée indiquée au paragraphe 1, nous imaginons que X(t) est fournie par le hasard, et qu'à chaque instant t une "machine" calcule non pas exactement l'inverse Z(t) de X(t), mais plus précisément un nombre Z*(t) = Ø[X(t)], la fonction bien définie Ø(x) étant telle que :

$$ \mathcal{F}(x) = \frac{1}{x} \qquad \text{si } |x| > \varepsilon; $$

$$ |\mathcal{F}(x)| \le M \qquad \text{si } |x| \le \varepsilon; $$

ε étant un nombre positif petit et M un nombre déterminé indépendant de ε;
en posant :

$$ \Gamma_{\varepsilon}(t, \tau) = E[Z^{*}(t) Z^{*}(\tau)], $$

nous définirons exactement Γ(t, τ) par

$$ \Gamma(t, \tau) = \lim_{\varepsilon \to 0} \Gamma_{\varepsilon}(t, \tau), $$

si cette limite existe.

**Exemple :**

Supposons que X(t) soit une fonction aléatoire laplacienne; posons :
a = E[X(t)], b = E[X(τ)], U = X(t) - a, V = X(τ) - b supposons que
E(U²) = E(V²) = 1; il serait facile de traiter de la même façon le cas où

$$ E(U^2) \text{ et } E(V^2) $$

sont quelconques; enfin nous poserons E(UV)=r; on sait que |r| ≤ 1; nous supposerons que |r|<1, et reviendrons ensuite sur le cas |r| = 1. Alors le couple (U,V) a pour densité de probabilité :

$$ \frac{1}{2\pi \sqrt{1-r^2}} \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-r^2)} \left[ u^2 + v^2 - 2ruv \right] \right\} $$

de sorte que :

$$ \begin{align*} \Gamma_{\varepsilon}(t, \tau) &= \frac{1}{2\pi \sqrt{1-r^2}} \iint_{|a+u|>|b+v|>\varepsilon} \exp\left\{-\frac{1}{2(1-r^2)}[u^2+v^2-2ruv]\right\} \, du \, dv \\ &\quad + \frac{1}{2\pi \sqrt{1-r^2}} \iint_{\mathcal{D}} \mathcal{F}(a+u) \mathcal{F}(b+v) \, du \, dv \\ &\quad \exp\left\{-\frac{1}{2(1-r^2)}[u^2+v^2-2ruv]\right\} \, du \, dv \tag{3,2} \end{align*} $$
en désignant par $\mathcal{D}$ la partie du plan $(u,v)$ sur laquelle soit $|a+u| \ge \varepsilon$, soit $|b+v| \ge \varepsilon$; il est clair que si $\varepsilon \to 0$ la deuxième intégrale de (3,2) tend vers 0. Désignons alors par

$$ \mu_{\varepsilon} (a, b, r) $$

la première intégrale de (3,2). On a :

$$ \mu_{\varepsilon} (a, b, r) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{|a+u|>\varepsilon} \frac{e^{-\frac{u^2}{2}} \, du}{a+u} \int_{|b+v|>\varepsilon} \frac{e^{-\frac{1}{2}(1-r^2)(v-ru)^2}}{\sqrt{2\pi}(1-r^2)(b+v)} \, dv \quad (3,3) $$

par un procédé analogue à celui qui donne (1,3), on peut dans (3,3) d'abord intégrer en $v$, et par partie ; puis on intègre en $u$ et par partie ; on en tire sans difficulté que pour

$$ \varepsilon \to 0, \qquad \mu_{\varepsilon} (a, b, r) $$

à une limite donnée par :

$$ \lim_{\varepsilon \to 0} \mu_{\varepsilon} (a, b, r) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{(u^2+v^2-2uv)^2}{2(1-r^2)}} \log (a+u) \log (b+v)}{2\pi \sqrt{1-r^2}} \left[ \frac{(1+r^2)uv - r(u^2+v^2)}{1-r^2} + r \right] \, du \, dv $$

Nous appellerons $\mu(a, b, r)$ cette intégrale. Il en résulte que $\Gamma(t, \tau)$ existe, et plus précisément que :

$$ \Gamma(t, \tau) = \mu(a, b, r). $$

Mais il est intéressant d'obtenir d'autres déterminations ou expressions de $\Gamma(t, \tau)$ ou $\mu(a, b, r)$. On remarque d'abord que, d'après (3,3) et (3,4) les dérivées partielles :

$$ \frac{\partial}{\partial r} \mu_{\varepsilon} (a, b, r) \quad \text{et} \quad \frac{\partial}{\partial r} \mu (a, b, r) $$

existent et peuvent se calculer en dérivant (3,3) et (3,4) sous le signe $\int$; on constate ainsi que :

$$ \frac{\partial}{\partial r} \mu (a, b, r) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\partial}{\partial r} \mu_{\varepsilon} (a, b, r) ; $$

et que $\frac{\partial}{\partial r} \mu_{\varepsilon}$ et $\mu_{\varepsilon}$ sont liées par une relation linéaire qui, par passage à la limite pour $\varepsilon \to 0$, donne la relation suivante entre $\mu$ et $\frac{\partial \mu}{\partial r}$:

$$ \frac{\partial \mu}{\partial r} = \frac{r(1-r^2) + (1+r^2)ab - r(a^2+b^2)}{(1-r^2)^2} \mu + \frac{1}{1-r^2} \left( + \frac{rb-a}{(1-r^2)^2} \Lambda(a) + \frac{ra-b}{(1-r^2)^2} \Lambda(b) \right) \quad (3,5) $$
Comme pour $r = 0$ on a évidemment

$$ \mu (a, b, 0) = \Lambda(a) \Lambda(b) \quad (3,6) $$

on peut calculer $\mu(a,b,r)$ par intégration de (3,5), ce qui donne l'expression suivante :

$$ \mu (a,b,r) = \frac{\exp \left\{ - \frac{a^2 + b^2 - 2 r a b}{2(1-r^2)} \right\}}{\sqrt{1-r^2}} \times \\ \left[ \Lambda(a) \Lambda(b) e^{\frac{a^2+b^2}{2}} + \int_0^r H(r) dr \right] \quad (3,7) $$

où $H(r)$ désigne la fonction :

$$ H(r) = \left[ \frac{1}{\sqrt{1-r^2}} + \frac{br-a}{(1-r^2)^{\frac{3}{2}}} \Lambda(a) + \frac{ar-b}{(1-r^2)^{\frac{3}{2}}} \Lambda(b) \right] \times \\ \exp \left\{ + \frac{a^2 + b^2 - 2 r a b}{2(1-r^2)} \right\} \quad (3,8) $$

### Cas $|r| = 1$ :

Si $|r| = 1$, les formules précédentes sont dépourvues de sens, si $r = \pm 1$, cela signifie que $V = \pm U$, presque certainement; alors

$$ \Gamma_{\varepsilon}(t, \tau) $$

est donné par l'intégrale simple :

$$ \text{v.p.} \quad \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{u^2}{2}} du}{(a+u)(b\pm u)} \quad (3,9) $$

qui a un sens en général et s'évalue facilement; toutefois (3,9) n'a pas de sens si :

$$ r = 1 \text{ et } b = a; \quad \text{ou si } r = -1 \text{ et } b = -a. $$

### Développement de $\mu(a, b, r)$ :

$\mu(a,b,r)$ est une fonction holomorphe de $r$ pour $|r| < 1$; $\mu(a,b,r)$ peut donc être développé en série entière de puissance de $r$ :

$$ \mu (a,b,r) = M_0 + M_1 r + M_1 r^2 + \dots + M_K r^K + \dots; \quad (3,10) $$

on peut calculer les coefficients $M_K$ en portant le développement (3,10) dans (3,5) et en identifiant; il vient :

$$ \begin{align*} M_0 &= \Lambda(a) \Lambda(b) \\ M_1 &= a b M_0 + [1 - a \Lambda(a) - b \Lambda(b)] \\ 2 M_2 &= a b M_1 + (1 - a^2 - b^2) M_0 + [b \Lambda(a) + a \Lambda(b)] \\ 3 M_3 &= a b M_2 + (3 - a^2 - b^2) M_1 + a b M_0 - 1 \end{align*} $$
et d'une façon générale pour $k \ge 3$ :

$$ (k+1) M_{k+1} = a b M_k + (2k-1-a^2-b^2) M_{k-1} + a b M_{k-2} - (k-2) M_{k-3} \quad (3,11) $$

On vérifie facilement que :

$$ M_1 = \frac{1}{1!} \Lambda^{(1)}(a) \Lambda^{(1)}(b), \quad M_2 = \frac{1}{2!} \Lambda^{(2)}(a) \Lambda^{(2)}(b), \quad M_3 = \frac{1}{3!} \Lambda^{(3)}(a) \Lambda^{(3)}(b); $$

alors, compte tenu de (2,7), on prouve que, d'une façon générale, les nombres :

$$ M_k = \frac{1}{k!} \Lambda^{(k)}(a) \Lambda^{(k)}(b) $$

vérifient (3,11), de sorte que :

$$ \mu (a,b,r) = \sum_{K=0} \frac{\Lambda^{(K)}(a) \Lambda^{(K)}(b)}{k!} r^K . \quad (3,12) $$

Cas particulier $a = b = 0$ :

Si $a = b = 0$, (3,7) et (3,8) donnent :

$$ \mu (0,0,r) = \frac{\arcsin r}{\sqrt{1-r^2}}, \quad (-\frac{\pi}{2} \le \arcsin r \le +\frac{\pi}{2}) \quad (3,13) $$

et par suite :

$$ M_{2K} = 0, \quad M_{2K+1} = \frac{2^{2K} (k!)^2}{(2k+1)!} \sim \frac{1}{\sqrt{k}} \quad \text{pour } k \to +\infty \quad (3,14) $$

### III - ÉTUDE D'UN CAS PARTICULIER

4. Supposons que $X(t)$ soit de la forme :

$$ X(t) = \rho \cos \Omega t + U(t), $$

où $\rho$ et $\Omega$ sont des nombres > 0 non aléatoires, où $U(t)$ est une fonction aléatoire laplacienne stationnaire, avec

$$ E[U(t)] = 0, \quad E[|U(t)|^2] = 1, \quad E[U(t) \overline{U(t-h)}] = r(h); $$

nous supposerons que $U(t)$ admet une densité spectrale $f(\omega)$; on sait que :

$$ r(h) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega h} f(\omega) d\omega \quad (4,1) $$

et aussi que :

$$ f(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega h} r(h) dh \quad (4,2) $$

Soit maintenant $Y(t)$ une fonction aléatoire laplacienne de même loi que $U(t)$, mais indépendante de $U(t)$; et soit à déterminer la densité spec-
tale $g_\epsilon(\omega)$ de $Y(t) Z^*(t)$; car c'est évidemment cette détermination qui a proprement un sens physique. En vertu d'une théorie générale classique (cf. Blanc-Lapierre et Fortet [1], Chap. VIII et IX), $g_\epsilon(\omega)$ est donné par la formule suivante :

$$g_{\epsilon}(\omega) = \frac{1}{2\pi T} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{0}^{T} r(h) \Gamma_{\epsilon}(t,t-h) e^{-i\omega h} \, dh \, dt, \quad (4,3)$$

où on a posé : $T = \frac{2\pi}{\Omega}$. Il sera évidemment naturel d'adopter comme valeur approximative de $g_\epsilon(\omega)$ la valeur :

$$g(\omega) = \frac{1}{2\pi T} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{0}^{T} r(h) \Gamma(t,t-h) e^{-i\omega h} \, dh \, dt \quad (4,4)$$

mais il faut pour cela que l'intégrale (4,4) ait un sens, et, qu'elle soit la limite de (4,3). Or cela n'a pas forcément lieu.

Mais supposons, pour fixer les idées, que :

$$r(h) = e^{-\Omega_0 |h|} \quad (4,5)$$

où $\Omega_0$ est un nombre positif quelconque, ce qui correspond à :

$$f(\omega) = \frac{\Omega_0}{\Omega_0^2 + \omega^2} \quad (4,6)$$

En se reportant au paragraphe 3, on peut voir facilement que, dans le domaine :

$$|r| < 1 - \alpha \quad (\alpha > 0 \text{ quelconque}), \quad |a| \text{ et } |b| < N$$

(N > 0 quelconque), $\mu_\epsilon(a,b,r)$ et $\mu(a,b,r)$ sont bornées uniformément en $a, b, r$. Par suite, quel que soit $\eta > 0$, l'intégrale :

$$\frac{1}{2\pi T} \int_{|h|>\eta} \int_{0}^{T} \Gamma(t,t-h) r(h) e^{-i\omega h} \, dh \, dt$$

a un sens, et est la limite, pour $\varepsilon \to 0$, de l'intégrale :

$$\frac{1}{2\pi T} \int_{|h|>\eta} \int_{0}^{T} \Gamma_{\epsilon}(t,t-h) r(h) e^{-i\omega h} \, dh \, dt$$

Posons :

$$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \Gamma(t,t-h) \, dt = K(h) \quad (4,7)$$

et considérons le développement en série de Fourier de $\Lambda^{(k)}(\rho \cos \Omega t)$, soit :

$$\Lambda^{(k)}(\rho \cos \Omega t) = \sum_{l=-\infty}^{+\infty} f_{k,l} e^{i\Omega l t},$$
pour tout $r < 1$, donc pour tout $h \neq 0$, et pour $\rho \leq 1$, la série

$$ \mu (\rho \cos \Omega t, \rho \cos \Omega (t-h), r) $$

$$ = \sum_{k=0} \frac{\Lambda^{(k)}(\rho \cos \Omega t) \Lambda^{(k)}(\rho \cos \Omega (t-h))}{k!} r^k \quad (4,8) $$

est convergente, uniformément en $t$, d'après (2,11); on peut donc calculer $K(h)$ en portant dans (4,7) le développement (4,8) et en intégrant terme à terme; on trouve ainsi :

$$ K(h) = \sum_{k=0} \left( \sum_{l=-\infty}^{+\infty} |f_{K,S}|^2 e^{i\Omega sh} \right) \frac{r^k(h)}{k!} \quad (4,9) $$

or :

$$ \sum_{t=-\infty}^{+\infty} |f_{K,t,s}|^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \Lambda^{(k)}(\rho \cos \Omega t)^2 dt ; $$

on a donc :

$$ \begin{aligned} |K(h)| & \le \sum_{k=0} \left[ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \Lambda^{(k)}(\rho \cos \Omega t)^2 dt \right] \frac{r^k(h)}{k!} \\ & \le \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left\{ \sum_{k=0}^{+\infty} \Lambda^{(k)}(\rho \cos \Omega t)^2 \frac{r^k(h)}{k!} \right\} dt \\ & \le \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \mu \left[ \rho \cos \Omega t, \rho \cos \Omega t, r(h) \right] dt \end{aligned} $$

Or d'après (3,8), $\mu (\rho \cos \Omega t, \rho \cos \Omega t, r(h))$ admet une majoration du type :

$$ | \mu (\rho \cos \Omega t, \rho \cos \Omega t, r(h)) | \le \frac{A}{\sqrt{h}} , $$

où A est une constante indépendante de $h$ et de $t$; on a donc pour $|K(h)|$ une majoration du même type. L'intégrale :

$$ \frac{1}{2\pi} \int_{|h|<\eta} K(h) r(h) e^{-i\omega h} dh $$

a donc un sens.

Posons de même :

$$ K_{\varepsilon}(h) = \frac{1}{T} \int_{0}^{t} \mu_{\varepsilon} \left[ \rho \cos \Omega t, \rho \cos \Omega (t-h), r \right] dt ; $$
pour $r < 1$, $\mu_{\epsilon}(a,b,r)$, d'après son expression dans (3,2), est développable en série entière de r :

$$ \mu_{\epsilon}(a,b,r) = \sum_{K=0} M_{\epsilon,K} r^K ; $$

on montre facilement (par récurrence, en étudiant les dérivées successives de $\mu_{\epsilon}$ par rapport à r pour $r = 0$) que $M_{\epsilon,1K}$ se met sous la forme :

$$ M_{\epsilon,K} = \frac{\mu_K(a) \mu_K(b)}{K!} , $$

où $\mu_K(a)$ est une certaine fonction de a. On peut alors, en procédant à peu près comme ci-dessus pour K(h), obtenir une majoration de $|K_{\epsilon}(h)|$ de la forme $\frac{A}{\sqrt{h}}$, avec A indépendant de $\epsilon$, je ne reproduis pas la démonstration qui est longue. Ceci permet d'achever la démonstration comme quoi :

$$ \lim_{\epsilon \to 0} g_{\epsilon}(\omega) = g(\omega) $$

## 5. CALCUL DE $g(\omega)$ :

On peut calculer $g(\omega)$ d'après (4,9) : on trouve :

$$ g(\omega) = \sum_{K=0,s} \frac{|f_{K,s}|^2}{k! \cdot k^2 \Omega_0^2 + (\omega - \Omega_s)^2} \quad (5,1) $$

L'usage de cette formule exige le calcul préalable des $f_{K,s}$; il suffit de connaître d'ailleurs les $f_{0,s}$; en effet, de (3,6) on tire facilement :

$$ f_{1,0} = 1 - \frac{\rho}{2} (f_{0,1} + f_{0,-1}) $$

$$ f_{1,s} = -\frac{\rho}{2} (f_{0,s+1} + f_{0,s-1}) \quad \text{pour } s \neq 0; $$

et de (2,7) on tire en général pour $k > 1$ :

$$ f_{K+1,s} = -k f_{K-1,s} - \frac{\rho}{2} (f_{K,s+1} + f_{K,s-1}) $$

Quant aux $f_{0,s}$, on remarque que :

$$ f_{0,s} = 0 \quad \text{si s est pair} $$

$$ f_{0,-s} = f_{0,s} ; $$

$$ f_{0,1} = \frac{1 - e^{-\frac{\rho^2}{2}}}{\rho} ; $$

on peut alors obtenir tous les $f_{0,s}$ par la formule de récurrence :

$$ 4 s f_{0,s} = \rho^2 (f_{0,s+2} - f_{0,s-2}) . $$

Mais l'utilisation de la série (5,1), dont la convergence est très lente, n'est pas très pratique.
Si $\rho$ est petit, on peut procéder de la façon suivante : on remarque que $\mu(\rho \cos \Omega t, \rho \cos \Omega(t-h), r)$ peut se développer en série entière de puis-sance de $\rho^2$, sous la forme :

$$ \mu(\rho \cos \Omega t, \rho \cos \Omega(t-h), r) = \mu_0 + \mu_1 \rho^2 + \dots + \mu_k \rho^{2k} + \dots $$

en posant $\cos \Omega t = x$, $\cos \Omega(t-h) = y$, les $\mu_k$, qui dépendent de r, mais aussi en général de x et y, sont définis par :

$$ \mu_0 = \frac{\arcsin r}{\sqrt{1-r^2}} \\ \frac{\partial}{\partial r} \mu_{k+1} = \frac{(1+r^2)xy - r(x^2+y^2)}{(1-r^2)^2} \mu_k + \frac{rb-x}{(1-r^2)} (-1)^k \lambda_{2k+1} x^{2k+1} \\ + \frac{rx-y}{(1-r^2)^2} (-1)^k \lambda_{2k+1} y^{2k+1} $$

où les $\lambda_{2k+1}$ sont donnés par $(2,10)$. On peut assez facilement calculer les premiers $\mu_k$, et en particulier $\mu_1$; on a alors

$$ g(\omega) = \sum_{k=0} g_k(\omega) \rho^{2k}, $$

en posant :

$$ g_k(\omega) = \frac{1}{2\pi T} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{0}^{T} \mu_k[\rho \cos \Omega t, \rho \cos \Omega(t-h), r(h)] e^{-i\omega h} dh dt; $$

On trouve ainsi, pour $\omega = 0$, par exemple :

$$ g_o(0) = \frac{1}{\Omega_o \pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\theta}{\sin \theta} d\theta $$

Des calculs numériques ont été effectivement conduits avec cette méthode.

## REMARQUES

1°) Il apparaît que le comportement de $r(h)$ pour $h \to 0$ joue un rôle important, en liaison avec la singularité de $\mu(a,b,r)$ pour $r=1$; ceci s'explique de la façon suivante : dans l'étude de

$$ \frac{1}{\rho \cos \Omega t + U(t)}, $$

le point critique est l'existence et la répartition des valeurs de t pour les quelles : $\rho \cos \Omega t + U(t) = 0$; or il est connu que cette répartition est en relation avec le comportement de $r(h)$ pour $h \to 0$.
2°) Une théorie mathématique générale des fonctions aléatoires du type $\frac{1}{X(t)}$ où $X(t)$ est aléatoire doit pouvoir être obtenue à partir de la notion de "distribution aléatoire" de Gelfand; cette question est actuellement examinée par M. Lavendhomme; toutefois il apparaît immédiatement qu'en général $\frac{1}{X(t)}$, comme "distribution aléatoire", est partiellement indéterminée : de sorte que dans le problème actuel la notion de distribution aléatoire semble moins bien adaptée aux applications que le point de vue direct adopté ci-dessus.

BIBLIOGRAPHIE

M. FRECHET [1] : Généralités sur les probabilités, variables aléatoires, Paris 1936, Gauthier-Villars, édit.

A. BLANC-LAPIERRE et R. FORTET [1] : Théorie des fonctions aléatoires, Paris 1953, Masson édit.

J.H. CURTISS [1] : On the distribution of the quotient of two chance variables, Journ. Am. Math. Soc., 12, 1941.

R. FERON et C. FOURGEAUD [1] : Sur le rapport de deux variables aléatoires, Pub. Inst. Stat., Univ. Paris, 1, 1952, p. 50.