borde un voisinage de la valeur critique. On définit alors par récurrence $\delta_n = f^{-1}(\delta_{n-1})$ et $a_n = f^{-1}(a_{n-1})$. La courbe $a_1$ borde donc un voisinage de zéro.

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIG. 7.7 - Rectangles.</figcaption></figure>

Chaque composante connexe de $\delta_n$ borde un “rectangle” $\hat{R}_{n,j}$ qui ne contient pas 0. Ces rectangles, pour $n \ge 1$, sont tous isomorphes deux à deux. La composante connexe du complémentaire de $\cup \delta_n$ qui contient le point critique est naturellement découpée par les $a_n$ en quadrilatères $\hat{Q}_{n,j}$. Ceux-ci sont transformés les uns dans les autres par $f^q$ (qui agit comme un revêtement de degré $d$ sur cette composante). Cette dernière assertion provient de la combinatoire de $z \mapsto z^d + c(e^{2i\pi(p/q)})$, et notamment de la restriction de l’itéée $q$ème au bassin immédiat contenant l’origine.

**Définition.** Un rectangle est visible d'un point s'il existe un chemin qui ne coupe aucune vertèbre qui lie ce point au rectangle.

L'ensemble des rectangles visibles du point critique a une structure similaire à celle de la Proposition 7.2.6. Pour rendre plus précise cette idée, nous allons construire un homéomorphisme quasiconforme $\chi$ d'un voisinage du bord du bassin sur un voisinage de l'axe réel qui va conjuguer $f^q$ à $z \mapsto d^q.z$ (l'axe réel est considéré comme le revêtement universel de $S^1$).

Enfin, on considère aussi le bord $a_0'$ d'un disque centré à l'origine relativement compact dans le complémentaire de toutes les courbes définies ci-dessus (donc disjointe).

**Redressement de la partition.** Notre application $f$ est conjuguée à $z \mapsto z^d$ de $J(f)$ sur $S^1$ et cette conjugaison n'est bien définie qu'à un invariant combinatoire près appartenant à $\mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$. On se fixe une fois pour toute cet invariant de manière à pouvoir considérer sans ambiguité des représentants d'un point du cercle sur $\mathbb{R}$ (en considérant par exemple la coordonnée de Böttcher de l'infini). Dans ce paragraphe, nous ne nous intéressons qu'à la partie visible de l'origine.

Sur le demi-plan inférieur, on définit donc $\chi$ par le log de la coordonnée de Böttcher
(à une constante près). Sur le demi-plan supérieur, on définit $d$ rectangles $R_{1,j}$ basés sur $\mathbb{R}$ de hauteur $h > 0$ et dont la partie sur le bord a ses extrémités en les mêmes arguments que ceux de $\hat{R}_1$. On peut alors définir $\chi$ en transformant $\partial\hat{R}_1$ sur $\partial R_1$ de manière $C^1$. De même, on transforme $a_1$ sur la droite de hauteur $h$. On définit alors $\chi$ par un argument de *pull-back* sur les bords. Au bout de la qième étape, on peut prolonger quasiconformément $\chi$ sur la bande $h/d^q < \operatorname{Im} z < h$, qui est visible. On continue ensuite en tirant en arrière par $f^q$ et $z \mapsto d^q z$. On se fixe une extension sur les rectangles que l'on prolonge aussi par la dynamique. Enfin, on prolonge $\chi$ de l'anneau bordé par $a_0'$ et $a_1$ sur la bande $h < \operatorname{Im} z < d^q h$.

On obtient bien un homéomorphisme car les dynamiques sont fortement dilatantes. Cette application est de surcroît quasiconforme parce qu'on n'impose qu'un nombre fini d'extensions au début de sa construction.

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIG. 7.8 - Définition de l'application.</figcaption></figure>

**Equicontinuité du pincement au voisinage de $J_f$**. Par l'application $\chi$ définie ci-dessus, on se ramène à l'étude de modules d'anneaux pour des points de $S^1$, ou de manière équivalente sur $\mathbb{R}$. Ces estimations pourront être transportées au voisinage de $J_f$ par $\chi$, où elles seront distordues d'un facteur uniforme. Le but est de trouver au voisinage de chaque $x \in S^1$, une suite d'anneaux emboîtés dont la somme des modules est divergente, et qui le reste pour la déformation envisagée.

On commence par définir une métrique conforme $\rho$ au voisinage de $S^1$, pour montrer que la déformation n'écrase pas un voisinage du point fixe (cf Proposition 7.2.6). Cette métrique nous servira par la suite à minorer des modules d'anneaux.

Un domaine fondamental se situe dans une bande verticale de largeur 1. Le support du pincement a une structure auto-similaire induite par la multiplication par $d^q$. Par construction, chaque composante connexe du pincement est incluse dans un rectangle $R_{i,j}$ (avec $d.R_{i+1,j} \in \{R_{i,j}\}$) basé sur $\mathbb{R}$, de bord des préimages de $\beta$. Les plus grands rectangles correspondent au cycle de $\beta$ et à ses premières préimages par $f^q$; soit $h$ sa hauteur. On considère une première droite horizontale $\gamma_0$ de hauteur $d^q h$ au-dessus de ce rectangle, et $\gamma_1$ une droite parallèle qui contient un côté. On note $A_0$ le quadrilatère ainsi défini. On lui associe la métrique extrémale $\rho_0$ telle que la plus petite courbe joignant les côtés verticaux ait longueur 1. On note $\eta = h(1 - 1/d^q)$.

Par translation de $1/d$, on obtient les $(d-1)$ rectangles provenant des premières pré-
images du cycle. Le prochain retour de ces rectangles est pour l'itéré $q$<sup>ième</sup>; il en apparaît $d^2$, et sont de hauteur $h/d^q$. On note $A_1$ la bande située entre $hd^{-q}$ et $h$. Elle intersecte le complémentaire des rectangles en $d$ quadrilatères longueur de chaque quadrilatère. La longueur par rapport à $\rho_1$ d'une courbe horizontale de $A_1$ est 1, et l'aire de $A_1$: $\eta/(\ell d)$.

De proche en proche, on considère la bande $A_n$ comprise entre $h/d^{qn}$ et $h/d^{q(n-1)}$. Son intersection avec le complémentaire des rectangles est formée de $d^n$ quadrilatères de même module que $Q_{1,1}$. Sur chacun d'eux, on définit la métrique

$$ \rho_n = d^{q(n-1)-n}/\ell|dz|. $$

On vérifie que la longueur d'une courbe horizontale est encore 1. L'aire de $A_n$ est alors $\eta/(\ell d^n)$.

On définit alors $\rho$ comme étant $\rho_n$ sur chaque quadrilatère $Q_{n,j}$, 0 ailleurs. L'aire totale est finie, puisqu'on somme une suite géométrique. De plus, la longueur de toute courbe joignant deux côtés verticaux est uniformément minorée (cf 7.2.6). Ainsi, on obtient que le module d'un anneau dans le bassin contenant le support de la déformation est uniformément majoré par la métrique $\rho$ (il s'agit de la longueur extrémale conjuguée).

Pour montrer l'équicontinuité de la déformation sur $J_f$, nous allons construire au voisinage de chaque $z \in J_f$, un anneau entourant $z$ qui aura un module uniformément minoré par rapport au pincement. Ensuite, nous pourrons extraire un sous-recouvrement fini des intérieurs de ces anneaux et utiliser la dynamique auto-similaire pour définir une suite d'anneaux emboîtés de module minoré au voisinage de chaque point.

Les anneaux que nous allons définir auront, dans les deux premiers cas, des bords vérifiant les propriétés suivantes :

- chaque composante décrit un rectangle, symétriques par rapport à $R$,

- elle intersecte $R$ le long du bord de rectangles $R_{i,j}$ sans les contenir.

Nous distinguons trois cas :

► **PREMIER CAS.** En un nombre fini d'itération, le point $z$ est visible du point critique et n'est pas une préimage de $\beta$.

Pour cet itéré, le bord extérieur de l'anneau est constitué de verticales longeant les bords de $R_1$ les plus proches (sans les contenir) et les bords horizontaux sont de hauteur $h$. Les segments verticaux du bord intérieur longent des préimages visibles de $R_1$ et sont à la hauteur $h/d$.

Pour évaluer le module de cet anneau, il suffit de couper l'anneau en quatre rectangles qui isolent l'axe réel. Sur le voisinage de l'axe réel, on considère la métrique $\rho$ ci-dessus (prolongée par réflexion de Schwarz). Sur le reste, on considère des métriques extrémales. L'estimation obtenue pour le module de l'anneau est strictement positive et indépendante du pincement.

On tire en arrière cet anneau par $f^{-n}$ pour avoir la même estimation au voisinage de $z$.

► **DEUXIÈME CAS.** En un nombre fini d'itération, le point $z$ est dans un rectangle $R_1$ différent de celui qui contient $\alpha$ dans son bord et n'est pas une préimage de $\beta$.
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>FIG. 7.9 - Anneau autour de $x$.</figcaption></figure>

Pour cet itéré, on considère alors l'anneau de bord intérieur ce rectangle et comme
bord extérieur les bords les plus proches de $R_1$. On conclut comme dans le premier cas.

► **TROISIÈME CAS.** Le point $z$ est une préimage de $\beta$.

On définit un anneau $A$ comme suit, au voisinage de $\beta$: le bord intérieur est constitué des vertèbres qui contiennent $\alpha$. Le bord extérieur contient les bords verticaux de $R_1$ les plus proches.

**Lemme 7.2.7** mod $\varphi_t(A) \to \infty$ quand $t \to \infty$.

DÉMONSTRATION. Le modèle floral vient naturellement avec une étoile, qui est quasicon-
formément équivalente à celle de $f$ (et qui conjugue les dynamiques). Cette application
peut être porlongée de manière à conjuguer les dynamiques sur un voisinage des points
périodiques. Il existe donc une application quasirégulière qui transforme notre anneau (ou
un sous-anneau) en l'anneau $A$ du modèle – i.e. la bande $B$ privé d'un rectangle $Q$ –
tel que les rectangles visibles soient de hauteur inférieur à celle de $Q$. On considère une
exhaustion de $A$ en anneaux $P_n$ de même composante de bord intérieur, et de bord exté-
rieur celui de $A$ tronqué à distance euclidienne $n$ de $Q$. Notons $h_t$ la distance euclidienne
de $Q$ à $\aleph_t(\pm i\pi)$.

À $n$ et $t$ fixé, on définit la métrique $\rho_n(t)$ provenant :

- d'une part, de la métrique euclidienne de $\aleph_t(B_\pm)$ (avec les notations du paragraphe précédent);

- d'autre part, de la métrique de la Proposition 7.2.6, normalisée de manière avoir même infimum sur la longueur des courbes, soit $h_t$.

Par suite,

$$
\mod A_t \ge \frac{h_t^2}{c.h_t n + n} \asymp \frac{h_t}{n(c + 1/h_t)}.
$$

Si on choisit une suite $t_n$ telle que $n \asymp \sqrt{h_{t_n}}$, alors on montre que

$$
\lim_{t \to \infty} \mod A_t = \infty .
$$
Comme les anneaux sont homéomorphes par une application quasiconforme de dilatation bornée,

$$ \lim_{t \to \infty} \mathrm{mod} \varphi_t(A) = \infty. $$

■

**DÉMONSTRATION DE 7.2.5:** D'après ce qui précède, la famille est équicontinue en tout point relativement métrique sphérique et un voisinage de $J_f$ reste borné par la déformation (par Köbe appliqué à donc d'après le théorème d'Ascoli, on peut extraire une suite convergente vers une application $\varphi_\infty$ continue. Comme pour tout $t \ge 0$, $\varphi_t \circ f = f_t \circ \varphi_t$, on obtient à la limite $\varphi_\infty \circ f = f_\infty \circ \varphi_\infty$.

On a vu que si deux points étaient dans la même composante de $\tilde{\gamma}$, alors le module d'un anneau les entourant tendait la déformation. Maintenant, si deux points ne sont pas dans une même composante de $\tilde{\gamma}$, alors on peut trouver un anneau les séparant de module uniformément minorée par rapport au suffit de remarquer que

L'unicité de la limite s'établit comme dans la Proposition 7.1.1.

■

**Remarque.** Si le pincement se situe en un point fixe répulsif $\beta$, alors $J_f$ est une courbe de Jordan et $\varphi_\infty$ est un homéomorphisme restreint aux ensembles de Julia.

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure 9 Pincement vers le chou-fleur.</figcaption></figure>

### 7.2.3 Pincement d'un polynôme hyperbolique

Soit $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ un polynôme monique centré hyperbolique, i.e. tous les points critiques sont attirés par un cycle (super-)attractif. On suppose qu'il existe un cycle attractif $\alpha$ non critique et que son ensemble de Julia est connexe. On se propose de montrer

**Théorème 7.2.8** Le pincement du cycle $\alpha$ est bien défini : il existe $\varphi_\infty : \bar{\mathbb{C}} \to \bar{\mathbb{C}}$ qui semi-conjugue $f$ à un polynôme $f_\infty$ pour lequel $\alpha$ est devenu parabolique.
On considère un pincement du point $\alpha$ avec un cycle $\beta$ $q$-périodique de nombre de rotation combinatoire $p/q$. Comme dans le cas à allure monomiale, on commence par extraire une suite de $(f_t)$ qui converge vers un polynôme $f_\infty$. Par continuité, les cycles (super-)attractifs pour lesquels le multiplicateur n'est pas changé subsistent, ainsi que les points critiques attirés vers ces points. En revanche, le cycle $\alpha$ tend à devenir parabolique de nombre de rotation $p/q$.

Pour obtenir des estimations, on utilise le fait que le bord de chaque composante de l'intérieur est un quasicercle, que l'on peut redresser pour utiliser le même type d'estimations que précédemment. Le problème essentiel sera de recoller les métriques entre elles en s'assurant de ne pas faire chuter la longueur des courbes. Dans un premier temps, on va exhiber une métrique sur un voisinage annulaire de $S^1$ qui donnera une majoration du module de l'anneau indépendante du pincement. À cette fin, on définit d'abord un "bon" redressement du bassin attractif.

► Afin d'imiter ce qui précède, on va d'abord cerner le support de la déformation. Si $U$ est une composante connexe de l'intérieur de $K_f$, un membre de $U$ est la fermeture d'une composante connexe de $K_f \setminus \bar{U}$, attaché à $\partial U$ par sa racine; son sillage est l'ouvert bordé par les rayons aboutissant à la racine contenant tous les membres de même racine. Étant donnée $U$, le support de la déformation se trouve soit dans $U$, soit dans ses membres.

► Dans le paragraphe précédent, on a utilisé une application $\chi$ quasiconforme transformant le bassin $A^*(\alpha)$ en disque, et incluant l'image du support du bassin dans une réunion infinie $K$ de rectangles auto-similaires par la multiplication par $d'$ (en coordonnée logarithmique), où $d'$ est le degré de $f$ restreint au bassin. Dans la suite, on se place toujours au voisinage de $[0, 1] \times [-\eta, \eta]$ pour redresser $A^*(\alpha)$. Notons $\bar{K}$ l'ensemble conjugué. La première étape est de prolonger quasiconformément cette application à un voisinage du bord du bassin de manière à ce que ou bien le membre est dans $\bar{K}$ ou bien il en est disjoint (à quelques exceptions près), en gardant l'auto-similitude. Les membres (et les sillages donc) sont engendrés par un nombre fini de cycles répulsifs du bord de $A^*(\alpha)$. L'image par $\chi$ de ces points est donnée : soit tout le cycle est dans $K$, soit un point sur $q$ est visible du point $\alpha$ (i.e. il existe une courbe de $A^*(\alpha)$ joignant $\alpha$ à ce point, tout en restant disjoint du support $\tilde{\gamma}$). Sur l'axe réel, on considère un secteur vertical en chacun de ces points, de même hauteur que le plus grand rectangle de $\bar{K}$ et de pente que l'on précisera. À chaque préimage, on trace un secteur de taille $d'$ fois plus petite, et ainsi de suite... Si la pente est suffisamment faible, alors les secteurs des points invisibles sont inclus dans $\bar{K}$, et ceux des points visibles sont disjoints deux à deux. S'il existe un membre dans le cycle $\beta$, alors, seule une moitié du secteur est visible.

On coupe ce dessin par des courbes de hauteurs $(1/d')^n$ qui découpent le complémentaire de tous les secteurs en quadrilatères, comme le complémentaire des sillages est découpé en quadrilatères par les équipotentielles de hauteur $\eta/d^{m_q}$. En définissant l'extension de $\chi$ quadrilatère par quadrilatère, on construit ainsi une application quasiconforme qui conjugue $f$ à $z \mapsto d'z$, car on a un nombre fini de quadrilatères de modules différents. On prolonge ensuite des sillages aux secteurs de manière régulière.

► Maintenant, on a une "bonne géométrie" qui permet de définir une métrique conforme $\rho$ nulle sur $\bar{K}$ et les secteurs telle que la longueur extrémale des courbes joignant les côtés verticaux soit minorée (cf Propositions 7.2.6 et 7.2.5). Par la réflexion de Schwarz,
on prolonge cette métrique à un voisinage de $[0,1]$ et le module total est aussi minoré indépendamment de la déformation.

► Comme $K_f$ est connexe et localement connexe, pour chaque point $x \in J_f$ qui n'est pas dans la grande orbite de $\beta$, il existe un anneau $A_x$ dont la composante intéreure du complémentaire contient $x$, et qui vérifie les conditions suivantes :

- l'anneau "rempli" est disjoint de l'ensemble postcritique de $f$;

- dans $C \setminus K_f$, le bord est une réunion de rayons externes pré périodiques et d'équipotentielles ; si le bord contient le bord d'un sillage, alors celui-ci ne sera pas dans l'anneau, et si une racine est dans l'anneau, alors celui-ci le contient entièrement (jusqu'à $\eta > 0$ fini);

- si l'anneau traverse une préimage de $A^*(\alpha)$, alors le bord est disjoint de l'intérieur des rectangles, et aucune composante de $\bar{\gamma}$ ne joint les deux côtés opposés du quadrilatère induit;

- le bord de l'anneau coupe $J_f$ en un nombre fini de points (pré périodiques).

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>FIG. 7.10 - Anneau autour de $x$.</figcaption></figure>

Étant donné un tel anneau $A$, on le redresse localement afin d'obtenir au voisinage de $J_f \cap A$ les domaines définies ci-dessus. Par suite, le module de l'anneau est uniformément minoré, car les métriques se recollent correctement.

Pour le cycle $\beta$ et ses préimages, on peut définir un anneau, dont le bord intérieur est la composante connexe de $\bar{\gamma}$ contenant le cycle et le bord extérieur vérifie les propriétés ci-dessus, et effecuter les mêmes calculs que dans le Lemme 7.2.7 pour montrer que son module diverge avec $t$.

**DÉMONSTRATION DE 7.2.8.** En chaque point de $J_f$, il existe un anneau dont le module est uniformément minoré; on extrait un sous-recouvrement fini induit par l'intérieur des anneaux $A_1, \dots, A_n$: pour chaque point, on peut trouver une suite d'anneaux emboîtés isomorphes aux $A_i$, de module uniformément minoré, par rapport à la déformation et à $x \in J_f$. Par suite, la famille des $(\varphi_t)$ est équicontinue, et on peut extraire une sous-suite convergente. On conclut comme le Théorème 7.2.5.

<figure><img src="image_56.png" /></figure>
## 7.3 Points répulsif/attractif et point parabolique

Le but de ce paragraphe est de montrer le théorème suivant :

**Théorème 3** Soit $P$ un polynôme de degré $d \ge 2$ d'ensemble de Julia connexe ayant un point fixe $\alpha$ attractif et un point fixe répulsif $\beta$ dans le bord de son bassin immédiat, accessible depuis ce bassin et tel que $\beta$ n'est dans l'ensemble $\omega$-limite d'aucun point critique. Alors il existe un polynôme $Q$ de même degré et un homéomorphisme $\chi : C \to C$ qui conjugue $P$ à $Q$ sur leurs ensembles de Julia et tel que $\beta$ soit devenu parabolique, le bassin de $\alpha$ étant devenu le bassin de $\beta$.

**Complément 3.** Si $\beta$ n'est pas dans l'ensemble postcritique de $P$, alors $\chi, \chi^{-1} \in W_{\text{loc}}^{1,2}(C)$.

**Remarque.** Ce théorème n'a aucune hypothèse de connexité locale.

Commençons par un Lemme préparatoire.

Considérons les deux produits de Blaschke

$$B_{\text{par}}(z) = \frac{z^d + a}{1 + az^d}, \quad a = (d-1)/(d+1), \text{ et}$$ $$B(z) = \frac{z^d + b}{1 + bz^d}, \quad 0 < b < a.$$

Ces deux applications fixent le disque unité $D$ ; l'application $B$ admet un point fixe attractif $\alpha$ (dans $]0, 1[$) qui attire tout point de $D$ ainsi qu'un point fixe répulsif (1), et $B_{\text{par}}$ admet un point parabolique (1) qui attire aussi tout point de $D$. On note $\rho_B = B'(1)$.

**Lemme 7.3.1** *Π existe un homéomorphisme $\phi : D \to D$, $C^1$ par morceaux, et un secteur $S_B \subset D$ de sommet 1, voisinage de $\alpha$, tels que :*

(i) pour tout $z \in D \setminus S_B$, $\phi \circ B(z) = B_{\text{par}} \circ \phi(z)$,

(ii) $\phi : D \setminus \cup B^{-n}(S_B) \to \phi(D \setminus \cup B^{-n}(S_B))$ est quasiconforme,

(iii) il existe $C > 0$ tel que $\text{Aire}\{z \in S_B, K_\phi > n\} \le C/\rho_B^{2n}$.

**DÉMONSTRATION.** Considérons la dynamique de $B_{\text{par}}$. On conjugue cette application au voisinage du point parabolique par $z \mapsto \zeta = 1/(z-1)^2$ afin d'avoir une coordonnée de Fatou approchée : le produit de Blaschke est conjugué à une application proche d'une translation réelle positive au voisinage de l'infini, définie à l'extérieur d'un disque ($|\zeta| < R$). On considère le domaine bordé par deux "demi-droites" invariantes issues de $(2R) \pm i2R$ et allant vers $-\infty$ et un segment verticale joignant $(2R) + 2Ri$ à $(2R) - 2Ri$, qui contient $3R$. Ce domaine contient son image par la quasi-translation. On note $S_{\text{par}}$ son image par $\zeta \mapsto z = 1+(1/\zeta)^{1/2}$ dans $D$. Quitte à translater le domaine de départ, on peut supposer que la valeur critique de $B_{\text{par}}$ appartienne au bord vertical.

De la même manière, on construit un ouvert simplement connexe à bord lisse, joignant 1 au point attractif $\alpha$, et positivement invariant. On note $S_0$ ce domaine réuni avec un disque linéarisable de $\alpha$ contenant la valeur critique de $B$ au bord. L'image de $S_0$ est contenue dans $S_0$. Par suite, $\phi$ conjugue $B$ à $B_{\text{par}}$ sauf sur le secteur $S_B = S_0 \cup Q_0$ contenant $\alpha$, où il vérifie (iii) d'après le Complément 5.5.2. ■
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIG. 7.11 - Définition de $\phi$.</figcaption></figure>

On va utiliser le Théorème 5.6.5 de la Partie II de G. David d’intégration des formes de Beltrami (Partie II, Chapitre 5).

DÉMONSTRATION DE 3. Procédons par chirurgie. Soit $\Omega$ le bassin immédiat du point $\alpha$. Quitte à perturber un peu $P$ ou à faire une chirurgie à l’intérieur de $\Omega$, on peut supposer qu’il n’y a qu’un seul point critique dans $\Omega$ et que $\alpha$ n’est pas super-attractif. On considère l’uniformisante de Riemann $\varphi_{\Omega}$ de $\Omega$ sur le disque unité D, qui conjugue $P$ à un produit de Blaschke $B_{\Omega} = B$.

On applique le Lemme 7.3.1 à $B$.

Notons $\hat{B}$ le conjugué de $B_{par}$ par $\phi$. L’application $\hat{B}$ coïncide donc avec $B_{\Omega}$ sauf sur le secteur $S_{\Omega}$. On définit sur $\Omega$ l’application $F = \varphi_{\Omega}^{-1} \circ \hat{B} \circ \varphi_{\Omega}$ qui coïncide avec $P$ sauf sur l’image du secteur $S_{\Omega}$. Posons

$$G(z) = \begin{cases} F(z) & \text{pour } z \in \Omega \\ P(z) & \text{pour } z \notin \Omega. \end{cases}$$

L’application $G$ est donc continue, et même ACL puisque $F$ et $P$ ne sont différents que sur un secteur.

Soit $\hat{\mu}$ la forme de Beltrami induite par $\phi$; elle est invariante par $\hat{B}$. On définit sur le plan de $P$ la forme de Beltrami $\mu$ comme suit :

- sur le bassin immédiat attractif, on pose $\mu = \varphi_{\Omega}^{*}\hat{\mu}$,

- sur le reste du bassin, on tire en arrière $\mu$,

- sur le compémentaire, on pose $\mu = 0$.

L’application $G$ laisse $\mu$ invariante par définition.

La forme de Beltrami $\mu$ vérifie les hypothèses de décroissance exponentielle du Théorème 5.6.5 d’après le Lemme 7.3.2 ci-après.

Donc il existe une application $\varphi$ qui intègre $\mu$ et qui conjugue $G$ à une application $\hat{P}$, holomorphe pp. sur le plan. Cette application est en fait holomorphe (cf la démonstration de 2). De plus, $\hat{P}$ a un point parabolique en $\varphi(\beta)$. Par la normalisation, on obtient le
polynôme $Q$ de l'énoncé.

■

**Lemme 7.3.2 La forme de Beltrami vérifie les hypothèses du Théorème 5.6.5.**

**DÉMONSTRATION.** Π existe un voisinage linéarisable $V$ simplement connexe de $\beta$ tel que la trace de l'ensemble postcritique dans $V$ soit contenue dans $\{\beta\}$. Notons $U = P^{-1}(V) \subset \subset V$. Notons aussi $\Sigma_{\beta}$ la trace de $\varphi_{\Omega}^{-1}(S_{\Omega})$ dans $U$. Posons $\rho = |P'(\beta)|$ et $K_{\mu}$ la dilatation de $\mu$; par le théorème de distorsion de Kōbe,

$$ \text{Aire}\{z \in \Sigma_{\beta}, K_{\mu} > n\} \asymp (1/\rho^{2n}) \text{Aire} \Sigma_{\beta}. $$

Si, pour $y \in C$, $f^n(y) = \beta$, on définit $\Sigma_y$ comme la réunion des composantes connexes de $P^{-n}(\Sigma_{\beta})$ ayant $y$ dans son bord. À $y$, on associe le produit $\nu(y)$ des degrés locaux de $P$ le long de l'orbite de $y$ (y compris). Si l'application $P^n$ est un difféomorphisme local, alors on peut transporter par conjugaison le germe répulsif en $\beta$ au voisinage de $y$ sans augmenter la distorsion et sans changer le multiplicateur. En revanche, si $\nu(y) > 1$, alors on obtient par le même procédé un germe répulsif dont le module de son multiplicateur est $\rho^{1/\nu(y)}$, et le module de l'anneau provenant de $V \setminus U$ devient (mod $V \setminus U)/\nu(y)$. Au total, tous ces mutliplicateurs sont minorés par une constante $\lambda > 1$, et la distorsion est uniforme. Par distorsion bornée, il existe donc une constante $C > 0$ telle que

$$ \text{Aire}\{z \in \Sigma_y, K_{\mu} > n\} \leq (C/\lambda^{2n}) \text{Aire} \Sigma_y, $$

pour toute préimage $y$ de $\beta$.

On en déduit que pour $n$ assez grand,

$$ \text{Aire}\{z \in C, K_{\mu} > n\} = \sum_{p \ge 0} \sum_{f_p y = \beta} \text{Aire}\{z \in \Sigma_y, K_{\mu} > n\} \le \sum_{p \ge 0} \sum_{f_p y = \beta} (C/\lambda^{2n}) \text{Aire} \Sigma_y. $$

Par suite,

$$ \text{Aire}\{z \in C, K_{\mu} > n\} \le (C/\lambda^{2n}) \text{Aire} \bigcup_{p \ge 0, P^p(y) = \beta} \Sigma_y, $$

qui est finie car ces domaines sont deux à deux disjoints et contenus dans un domaine borné. D'où l'estimation sur $K_{\mu}$. ■

**DÉMONSTRATION DU COMPLÉMENT 3.** La démonstration est la même que celle de la Proposition 5.5.1 de la Partie II. Commençons par estimer la norme $L^2$ de $\varphi_z$ sur $\Sigma_{\beta}$. D'après le Lemme 5.5.2,

$$ \int_{\Sigma_{\beta}} |\varphi_z|^2 < \infty. $$

On utilise maintenant le théorème de Kōbe pour estimer la norme sur un voisinage $\Omega$ de $K(P)$:

$$ \|\varphi_z\|_{L^2}^2 = \text{Aire}(\Omega \setminus \cup \Sigma_y) + \sum_{P^n y = \beta} \int_{\Sigma_y} K_{\varphi} \cdot \text{Jac}(\varphi). $$

Comme $P^n : \Sigma_y \to \Sigma_{\beta}$ est conforme,

$$ \int_{\Sigma_y} K_{\varphi} \cdot \text{Jac}(\varphi) = \int_{\Sigma_{\beta}} K_{\varphi} \cdot \text{Jac}(\varphi) |(Q^{-n})'|^2; $$
donc

$$ \sum_{P^n y = \beta} \int_{\Sigma_y} K_{\varphi} \cdot Jac(\varphi) \asymp \left( \int_{\Sigma_{\beta}} K_{\varphi} \cdot Jac(\varphi) \right) \cdot \sum_{n \ge 0} |(Q^{-n})'(0)|^2. $$

De plus, $\sum_{n \ge 0} |(Q^{-n})'(0)|^2 < \infty$, car, cette somme est comparable à l'aire totale des préimages du secteur qui sont deux à deux disjointes et dans un domaine borné; donc $\varphi \in W^{1,2}$. De même, on montre que $\varphi^{-1} \in W^{1,2}$ aussi. ■
# Chapitre 8

## Déformation J-équivalente de polynômes géométriquement finis

Soit $f : C \to C$ un polynôme de degré $d \ge 2$, ayant tous ses points périodiques indifférents paraboliques. On cherche un déploiement $f_η$, paramétré par un segment, de polynômes sous-hyperboliques (sans points indifférents) ayant des ensembles de Julia homéomorphes à celui de $f$.

Plus précisément,

**Définition.** Un polynôme de degré $d \ge 2$ est dit géométriquement fini si l'une des conditions équivalentes suivantes est satisfaite :

(i) l'ensemble postcritique est fini sur l'ensemble de Julia,

(ii) tout point critique est soit prépériodique, soit attiré par un cycle attractif ou parabolique.

En particulier, tous ses cycles indifférents sont paraboliques. On rappelle que l'ensemble de Julia connexe d'un polynôme géométriquement fini est toujours localement connexe. Il s'ensuit qu'il existe un lacet de Carathéodory $\gamma : T \to J_f$ continu surjectif tel que $\gamma(d.t) = f(\gamma(t))$.

Voici l'énoncé principal de ce chapitre :

**Théorème 4** Soit $f : C \to C$ un polynôme de degré $d \ge 2$ géométriquement fini et d'ensemble de Julia connexe (et localement connexe). Il existe $\eta_0 > 0$ et une perturbation $(f_η)_{η \in [0, \eta_0]}$ de polynômes sous-hyperboliques pour $η > 0$, avec $f_0 = f$, telle que : il existe un homéomorphisme $\chi_η : J_η \to J_f$ tel que $\chi_η \circ \gamma_η = \gamma_f$ et donc qui conjugue $f_η$ à $f$.

**Complément.** Les polynômes $f_η$, $η > 0$, figurent dans $f$ par une application injective.

Notre moyen sera de montrer que les classes d'équivalence induites par les lacets de Carathéodory pour tous ces polynômes sont les mêmes.

Le fil de la démonstration est donc le suivant :

- définir une perturbation ad hoc à l'aide des applications à allure polynomiale;
- montrer une propriété de stabilité en contrôlant les orbites critiques;

- en déduire que les classes d'équivalence sont les mêmes pour définir l'homéomorphisme $\chi$ par l'identité sur $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$.

Dans la suite, on supposera toujours que les polynômes sont géométriquement finis.

## 8.1 Construction d'un déploiement

Soit $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ un polynôme de degré $d$ d'ensemble de Julia connexe. Sans perte de généralité, on peut supposer que les cycles attractifs soient en fait superattractifs, qu'il n'y a qu'une seule grande orbite critique dans chaque cycle de Fatou, voire même que deux points critiques dans une même composante sont confondus.

**Proposition 8.1.1** *Il existe un polynôme R (de degré élevé) tel que, pour $\eta > 0$ assez petit, $f_\eta = f + \eta R$ vérifie les propriétés suivantes :*

(i) toutes les orbites critiques prépériodiques de $f$ sont des orbites prépériodiques de $f_\eta$,

(ii) tout cycle parabolique ayant $p$ cycles de pétales devient un cycle répulsif et s'éclate en $p$ cycles attractifs.

**DÉMONSTRATION.** On considère un polynôme $R$ qui vérifie les conditions suivantes :

(a) les orbites critiques finies $\{f^n(c)\}_{n\ge 0}$ sont des racines de $R$ de multiplicité plus grande que celle de $c$ en tant que point critique de $f$,

(b) pour chaque cycle parabolique $\{x_i\}_{1\le i\le n}$, $x_i$ est racine simple et $\sum_{1\le i\le n} \frac{R'(x_i)}{f'(x_i)} = 1$,

(c) une condition linéaire sur les dérivées d'ordre supérieur de $R$ aux cycles paraboliques qui sera précisée ultérieurement.

Soit $\{x_i\}_{0\le i<k}$ un cycle parabolique. C'est encore un cycle périodique de même période. Calculons, pour $\eta > 0$, son multiplicateur : $(f_\eta^k)'(x_0) = \prod_{1\le i\le k} (f'(x_i) + \eta R'(x_i))$. En passant au “log”, on obtient :

$$ \log |(f_{\eta}^{k})'(x_{0})| = \sum_{1 \le i \le k} \log |(f'(x_{i}))| + \sum_{1 \le i \le k} \log \left| 1 + \eta \frac{R'(x_{i})}{f'(x_{i})} \right| = \eta \sum_{1 \le i \le k} \frac{R'(x_{i})}{f'(x_{i})} + O(\eta^{2}) > 0. $$

Donc le cycle est devenu répulsif.

Pour simplifier les notations, on suppose que

$$ \begin{cases} x_0 = 0, \\ f^k(z) = \lambda_q z + o(z), \text{ où } \lambda_q = 1, \\ f^{kq}(z) = z + z^{\nu+1} + o(z^{\nu+1}), \text{ où } \nu \in \mathbb{N}^*, \\ R(z) = (z - x_i)R'(x_i) + v_i(z) \text{ au voisinage de } x_i. \end{cases} $$

La condition (c) exprimera le fait que le développement de $f_\eta^{kq}$ au voisinage de $x_0$ sera du type

$$ f_{\eta}^{kq}(z) = f^{kq}(z) + \eta z + \eta \hat{h}(z, \eta) \text{ où } \hat{h}(z, \eta) = o(z^{\nu+1}) + O(\eta). $$
On considère deux fonctions $g$ et $u$ telles que

$$ egin{cases} g(z) = x_i + h(z), \text{où } h(z) = O(z), \\ u(z) = O(z). \end{cases} $$

On a donc

$$ egin{aligned} f_{\eta}(g(z) + \eta u(z)) &= f(g(z) + \eta u(z)) + \eta R'(x_i)h(z) + \eta v_i(g(z)) + o(\eta), \\ f_{\eta}(g(z) + \eta u(z)) &= f \circ g(z) + \eta f'(g(z))u(z) + \eta R'(x_i)h(z) + \eta v_i(g(z)) + o(\eta). \end{aligned} $$

Posons

$$ egin{cases} f_{\eta}^{i} = f^{i} + \eta u_{i}(z) + o(\eta), \\ g = f^{i}. \end{cases} $$

On trouve que

$$ u_{i+1}(z) = f'(f^{i}(z))u(z) + v_{i}(f^{i}(z)) + R'(x_{i})(f^{i}(z) - x_{i}). $$

La condition (c) sénonce ainsi

$$ u_{kq}(z) = z + o(z^{\nu+1}). $$

On constate que (c) conduit à un système linéaire en les dérivées successives de $R$ en chaque point de chaque cycle parabolique; ce système a une infinité de solutions. Par suite, **un tel polynôme R existe.**

Vérifions maintenant que, pour $\eta > 0$ assez petit, on a bien création de $\nu/q$ cycles attractifs : lorsque $\eta$ est non nul, on a création de $\nu$ points fixes de $f_{\eta}^{kq}$, qui sont en fait classés en $q$-cycles de $f_{\eta}^k$ (d'après le principe de l'argument). En faisant un changement de variable en $\zeta = \frac{1}{\nu z^q}$, on obtient que le point fixe crée de $f_{\eta}^{kq}$ appartient à un pétale attractif de $f^{kq}$ (cf la démonstration du Théorème 6.1.1) : on en déduit que son multiplicateur est attractif.

La condition (i) est satisfaite grâce à (a).

■

Pour $\eta \in D$, on pose $f_{\eta} = f + \eta R$. Le résultat en vue est :

**Proposition 8.1.2** *Il existe $\eta_0 > 0$, un ouvert $S \supset ]0, \eta_0]$, des ouverts $(U'_\eta, U)_{\eta \in S}$, tels que $(U'_\eta \xrightarrow{f_\eta} U)_{\eta \in S}$ soit une famille analytique d'applications à allure polynomiale de degré $d$. De plus, les cycles paraboliques ont été perturbés en un cycle répulsif, et en cycles attractifs (en nombre égal à celui des cycles de pétales).*

**DÉMONSTRATION.** On note $U$ un disque bordé par une équipotentielle de $f$ de très grande valeur, et pour tout $\eta \in D$, $U'_\eta = f_\eta^{-1}(U)$. L'image par $f$ de $\partial U'$ fait $d$ fois le tour de $\partial U$, donc si $\eta$ est assez petit, il en sera de même pour le déploiement : du coup, $(U'_\eta \xrightarrow{f_\eta} U)_{|\eta|<\eta_0}$ est une famille analytique d'applications à allure polynomiale de degré $d$ (voir [DH2] et Partie II, Chapitre 5).

Le reste est prouvée par la Proposition 8.1.1.

■
## 8.2 Une propriété de continuité

D'après la théorie des applications à allure polynomiale, il existe $\phi_η : \bar{C} \xrightarrow{q.c.} \bar{C}$, tangente à l'identité à l'infini et conjuguant $f_η$ à un polynôme $P_η$ de degré $d$.

**Lemme 8.2.1** *La dépendance des $\phi_\eta$ est continue sur un voisinage complexe de l'origine, et on a $\phi_0 = \text{id}^{\text{té}}$.*

**DÉMONSTRATION.** Reprenons la démonstration du théorème de redressement de Douady-Hubbard dans notre cas.

Soit $\psi_f : C \setminus K_f \to C \setminus D$ la coordonnée de Böttcher de $f$; on a $\psi_f(\partial U) = (|z| = R)$.
On définit $\tau_\eta : \partial U'_\eta \to (|z| = R^{1/d})$ par $\psi_f \circ f_\eta = (\tau_\eta)^d$, pour $\eta$ appartenant à un
voisinage de l'origine. On normalise $\tau_\eta$ de façon que $\eta \mapsto \tau_\eta^{-1}$ soit continue et que $\tau_0 = \psi_f$.
On relève $(\psi_f|_{\partial U}, \tau_\eta)$ dans les revêtements universels de $U \setminus U'_\eta$ et $(R^{1/d} < |z| < R)$,
normalisé à $D$, de telle sorte qu'on ait toujours une dépendance continue par rapport à
$\eta$; on considère alors l'extension de Douady-Earle ([DE]) qui, par conforme naturalité,
descend en $\Psi_\eta : U \setminus U'_\eta \to (R^{1/d} < |z| < R)$, prolongeant $(\psi_f|_{\partial U}, \tau_\eta)$, et continue en
fonction de $\eta$. On a alors $\Psi_0 = \psi_f$. Soient $\mu_0$ la forme de Beltrami induite par la structure
complexe standard, et $\mu_\eta = \Psi_\eta^*\mu_0$; alors $\|\mu_\eta - \mu_0\|_\infty$ tend vers zéro avec $\eta$. On prolonge les
$\mu_\eta$ à $\bar{C}$ par $f_\eta^*\mu_\eta$, et sinon par $\mu_0$. On a donc une famille analytique de formes de Beltrami
uniformément bornée et à support dans un compact fixe. Il s'ensuit que, pour tout $\eta$, il
existe une unique application quasiconforme $\phi_\eta : \bar{C} \to \bar{C}$ qui intègre $\mu_\eta$ et qui est tangente
à l'identité à l'infini. De plus, les constantes de dilatation tendent vers 1 quand $\eta$ tend
vers zéro. Par unicité, on a $\phi_0 = \text{id}^{\text{té}}$. Par construction, $\phi_\eta$ conjugue $f_\eta$ à un polynôme
$P_\eta$, avec $P_0 = f$.

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

**Corollaire 8.2.2** *La famille {$P_\eta$}$_{\eta \in S}$ est structurellement stable.*

**DÉMONSTRATION.** Nous allons montrer que le nombre de cycle attractif est constant sur $S$, ce qui montrera le Corollaire d'après le Théorème 4.5.4. Pour cela, il suffit de vérifier que les points critiques qui étaient attirés par un cycle parabolique le sont maintenant par un cycle attractif qu'il a crée. En effet, un cycle attractif attire toujours un point critique; mais comme ceux de $P_\eta$ sont tous occupés, on en déduit qu'il ne peut s'en créer. D'autre part, d'après la Proposition 8.1.2, aucun ne disparaît.

D'après le Lemme 8.2.1, on peut étudier $f_\eta$ plutôt que $P_\eta$. Considérons un point critique $c$ et un point $k$-périodique parabolique $\alpha$ tel que $f^{kn}(c) \to \alpha$. Si celui-ci est de nombre de rotation $p/q$, alors $f^{kqn}(c)$ appartient à un même pétale attractif pour $n$ assez grand. Lorsque l'on fait la perturbation, les points de ce pétale sont attirés par le nouveau cycle crée situé dans ce pétale.

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

On note $\rho_\eta$ l'inverse de $\phi_\eta$.
On note $\varphi_\eta$ la coordonnée de Böttcher de $P_\eta$, bien définie à l'infini, et $\psi_\eta$ son inverse.

**Proposition 8.2.3** La fonction $\eta \mapsto \psi_\eta$ est continue en zéro.

**DÉMONSTRATION.** - Pour tout $\eta > 0$, $\psi_\eta(z) = z + o(1)$ à l'infini, donc ces applications sont localement uniformément bornées et on peut extraire une suite $\eta_n \to 0$ telle que $\psi_{\eta_n} \to \hat{\psi}$ uniformément sur tout compact. $\hat{\psi}$ est un isomorphisme, car $\psi(z) = z + o(1)$.

- De plus, comme $\phi_\eta$ est $K_\eta$-quasiconforme, avec $K_\eta \to 1$, il en est de même pour les inverses $\rho_{\eta_n}$. Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que cette suite converge uniformément sur tout compact : sa limite est l'identité.

Or

$$ \forall \eta, f_{\eta} \circ \rho_{\eta} \circ \psi_{\eta}(z) = \rho_{\eta} \circ \psi_{\eta}(z^{d}). $$

En passant à la limite, on obtient $f \circ \hat{\psi}(z) = \hat{\psi}(z^d)$. Comme $\hat{\psi}$ est tangente à l'identité à l'infini, il s'agit de la coordonnée de Böttcher de $f$.

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

## 8.3 Preuve du théorème

On suppose maintenant que $f$ est géométriquement fini de degré $d$. Le déploiement associé est composé de polynômes sous-hyperboliques ayant des ensembles de Julia connexes et localement connexes. D'après le paragraphe ci-dessus, les coordonnées de Böttcher sont continues en $\eta = 0$.

Pour chaque $\eta$, on définit la relation d'équivalence $\sim_\eta$ suivante sur $T = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$:

$$ t \sim_{\eta} t' \iff \gamma_{\eta}(t) = \gamma_{\eta}(t') $$

où $\gamma_\eta$ est le lacet de Carathéodory de $P_\eta$. Selon [Do5], l'ensemble de Julia $P_\eta$ est homéomorphe au quotient $T/\sim_\eta$.

Nous allons montrer que ces classes d'équivalence sont toutes les mêmes : on en déduira alors que les dynamiques sur les ensembles de Julia sont topologiquement conjuguées.

Comme tous les polynômes sont géométriquement finis il suffit de le vérifier sur les cycles de $J_f$.

Si le cycle est répulsif, alors tout rayon qui aboutit à un point de ce cycle continue à y aboutir pour $\eta$ assez petit en vertu de la Proposition 8.3.1 ci-dessous, et donc sur $S$ par stabilité structurelle.

**Proposition 8.3.1 ([DH1])** Soient $f$ un polynôme et $\theta \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. On suppose que $R_f(\theta)$ aboutit à un point prépériodique répulsif $z_0 \in J_f$ et qu'aucun $f^i(z_0)$ n'est un point critique de $f$ pour aucune valeur de $i \ge 0$. Π existe alors un voisinage $U$ de $f$ tel que :
$$ \forall g \in U, \gamma_g(\theta) = z(g) \text{ et l'application} $$

$$ \begin{array}{ccc} U \times \mathbb{R}_+ & \to & \mathbb{C} \\ (g, s) & \mapsto & \psi_g(s, \theta) \end{array} $$
est continue, holomorphe en g.

S'il s'agit d'un cycle parabolique, comme les rayons sont périodiques et qu'il n'y a création dans $S$ que d'un seul cycle répulsif, ces rayons aboutissent en ces points.

■

**Remarque.** Ce résultat peut également être formulé de la façon suivante : tout polynôme géométriquement fini est accessible par des polynômes de même degré, sous-hyperboliques, avec ensembles de Julia structurellement stables. De plus, la dynamique de l'ensemble de Julia des polynômes sous-hyperboliques est conjuguée à celle du polynôme limite.
IV. Applications de la chirurgie à la
famille quadratique

Cette partie est consacrée à la famille quadratique et à l'ensemble de Mandelbrot.

Le premier chapitre rappelle les propriétés combinatoires des polynômes hyperboliques et le lien avec M. Le pont entre les deux est effectué grâce aux groupoïdes dilatants (voir la définition 103) qui caractérisent dynamiquement les arbres de Hubbard. On en déduit des propriétés géométriques.

Théorème 5 Soit $c \in D_0$, $c \neq 0$, primitif; on note $K = H_c \cap J_c$, où $H_c$ est l'arbre de Hubbard du polynôme $P_c$. K est un ensemble de Cantor dont le complémentaire est un domaine de John. Sa dimension de Hausdorff est dans $[0,2[$, et sa mesure associée est finie et non nulle. En particulier, toute "arête" de cette arbre est supportée par une quasidroite.

Dans cette partie, nous donnons également deux démonstration du Théorème de Modulation de A. Douady et J.H. Hubbard, qui explique la présence de petites copies de M dans lui-même.

Théorème 6 de Modulation (A. Douady & J.H. Hubbard)

(a) Si W est une composante primitive de M de période k, on peut trouver un voisinage Λ de W, et deux familles d'ouverts $(U_c', U_c)_{c \in \Lambda}$ tels que les $f_c = (U_c' \xrightarrow{P_c^k} U_c)$ forment une famille mandelbrotesque.

(b) Si W n'est pas primitive, on peut seulement construire Λ, les U_c' et les U_c de façon que Λ soit un voisinage de W \ {c_1}, racine de W, et que χ induise un homéomorphisme de M_f sur M \ {1/4}. De plus, P_{1/4} figure de manière rigide dans P_{c_1}.

Corollaire 7 Si W est primitive, la petite copie de M est quasiconforme à M. Sinon, tout compact de la copie privée de la racine est quasiconforme à un compact de M.
Ici, il faut entendre "quasiconforme" au sens de Mañé-Sad-Sullivan.

La première démonstration, au Chapitre 10, détaille la démonstration de [Do3]. La seconde, au Chapitre 11, utilise la chirurgie. La première permet de montrer la continuité, et par suite la présence de copies quasiconformes de $M$ dans lui-même. La seconde construit directement le polynôme modulé à partir du centre de la copie et du "modulateur". Cette construction, modulo un lemme technique, devrait pouvoir être généralisée à des polynômes de degré supérieur. Le reste du Chapitre 11 s'intéresse à l'opération de modulation. On caractérise topologiquement l'ensemble de Julia d'un polynôme modulé à partir du centre et du modulateur :

**Théorème 8** *L'opération de modulation agit sur les ensembles de Julia remplis comme suit :* $K_{c_0 \perp c}$ est homéomorphe à $K_{c_0}$ dans lequel on a remplacé les composantes connexes de l'intérieur par des "copies" de $K_c$.
# Chapitre 9

## Polynômes hyperboliques et
combinatoire de M

### 9.1 Propriétés de l'ensemble de Julia

Soit $c \in D_0$; on rappelle que l'origine est $k$-périodique et qu'en conséquence son ensemble de Julia est connexe. De plus, il existe une métrique conforme $\rho(z)|dz|$ définie sur un voisinage $U$ de $J_c$ telle que $P_c$ soit fortement dilatante :

$$ \exists \lambda > 1, \forall z \in P_c^{-1}(U), \|T_z P_c\| > \lambda. $$

On en déduit que son ensemble de Julia est aussi localement connexe et de mesure nulle.

D'après le théorème de Carathéodory, la coordonnée de Böttcher de $P_c$ se prolonge en $\psi: C \setminus D \to C \setminus \check{K}_c$.

L'origine est un point super-attractif; on note $U_0$ la composante connexe de $\check{K}_c$ qui le contient. Il existe une unique application conforme $\varphi: U_0 \to D$ qui conjugue $P_c^k$ à $z \mapsto z^2$. Les cercles centrés en 0 et les rayons forment deux feuilletages de $D$ qu'on transporte sur $U_0$, puis sur toutes ses préimages par images réciproques.

De plus, comme $K_c$ est plein, pour toute paire de points distincts $(x, y)$ de $K_c$, il existe une unique composante connexe $C_{x,y}$ de $K_c \setminus \{x, y\}$ qui admet $x$ et $y$ dans son bord.

**Quasi-autosimilitude.** Du fait que la dynamique est hyperbolique au voisinage de $J_c$, $c \in D_0$, il suffit d'étudier $J_c$ à de grandes échelles. Plus précisément, $J_c$ est quasi-autosimilaire.

**Définitions.** Soit $K \subset C$ un compact.

► $K$ est autosimilaire s'il existe un rayon $r_0 > 0$ tel que pour tout $x \in K$, pour $r > 0$ assez petit, il existe une application affine $\gamma: D(x,r) \to D(\gamma(x),r')$ telle que

$$ \begin{cases} \gamma(D(x, r) \cap K) \subset K, \\ r' \ge r_0. \end{cases} $$

► $K$ est $k$-quasi-autosimilaire, $k \ge 1$, s'il existe un rayon $r_0 > 0$ tel que pour tout $x \in K$,
pour $r > 0$ assez petit, il existe une application continue injective $\gamma : D(x, r) \to \mathbb{C}$ telle que

$$ egin{cases} 
\gamma(D(x,r) \cap K) \subset K; \\
\forall z_1, z_2, z_3, z_4 \in D(x,r), (1/k) \cdot \frac{|z_1 - z_2|}{|z_3 - z_4|} \le \frac{|\gamma(z_1) - \gamma(z_2)|}{|\gamma(z_3) - \gamma(z_4)|} \le k \cdot \frac{|z_1 - z_2|}{|z_3 - z_4|}; \\
\gamma(D(x,r)) \supset D(y,r_0) \text{ pour un certain } y \in \gamma(D(x,r)).
\end{cases} $$

L'application $\gamma$ est une $k$-quasi-isométrie et on mesure sa distorsion par $\log k$.

**Proposition 9.1.1 ([Su1])** Si $c \in D_0$ alors $J_c$ est quasi-autosimilaire pour tout $k$ proche de 1.

**DÉMONSTRATION.** Comme $c$ est périodique, l'orbite critique est finie et dans l'intérieur de $K_c$. Par suite, pour tout $x \in J_c$, il existe $r_x > r_x' > 0$ tels que $D(x, r_x)$ soit disjoint de l'orbite critique. On extrait un sous-recouvrement fini $\{D(x_i, r_i')\}$ de $J_c$. Du coup, $\{D(x_i, r_i)\}$ est aussi un recouvrement fini de $J_c$ qui contient le précédent.

Comme les $D_i$ sont disjoints de l'ensemble postcritique, toutes les branches inverses de $P_c^n$ sont bien définies pour tout $n \ge 1$ ; et comme $P_c$ est fortement dilatante au voisinage de $J_c$, ces branches inverses contractent exponentiellement vite les distances.

Les branches inverses de $P_c$ permettent de construire une suite de recouvrements telle que le diamètre du plus grand ouvert décroît exponentiellement vite.

De plus, par le Théorème 3.0.6 de Kōbe, il existe un $k \ge 1$ qui ne dépend que du minimum de $r_i/r_i'$ tel que $P_c^{-n}$ soit une $k$-quasi-isométrie. Notons que pour diminuer la valeur de $k$, il faut aussi diminuer $r_0$ de plus en plus, et donc considérer des recouvrements ayant de plus en plus d'éléments.

**Dimension de Hausdorff.** Soit $K \subset \mathbb{C}$ un compact du plan. Pour $0 \le \alpha \le 2$, on définit $H_\alpha(K)$ la $\alpha$-mesure de Hausdorff de $K$, comme suit : soit $\delta > 0$, on définit

$$ H_{\alpha}^{\delta}(K) = \inf \{ \sum r_j^{\alpha}, K \subset \cup D(x_j, r_j) \text{ et } r_j \le \delta \}, $$

et

$$ H_{\alpha}(K) = \lim_{\delta \to 0} H_{\alpha}^{\delta}(K). $$

Cette limite existe dans $[0, \infty]$. Soient $\delta > 0$ et $0 \le \alpha < \beta \le 2$, alors $\delta^{\beta-\alpha} H_{\alpha}^{\delta}(K) \ge H_{\beta}^{\delta}(K)$, et donc

$$ \text{si } H_{\alpha}(K) < \infty \text{ alors } H_{\beta}(K) = 0. $$

Par suite, la dimension de Hausdorff de $K$ est

$$ \dim_H(K) = \inf \{ \alpha > 0, H_\alpha(K) = 0 \}. $$

**Théorème 9.1.2 ([Su1])** Soit $c \in D_0 \setminus \{0\}$. La dimension de Hausdorff $\alpha$ de $J_{c_0}$ vérifie $1 < \alpha < 2$. De plus, sa mesure de Hausdorff associée est finie non nulle.
## 9.2 Arbres de Hubbard et propriétés combinatoires

Un point $z \in J_c$ (resp. une composante connexe $U$ de $\mathring{K}_c$) sépare $x$ de $y$ s'ils ne sont pas dans la même composante connexe de $K_c \setminus \{z\}$ (resp. $K_c \setminus \bar{U}$).

Pour chaque composante connexe $U$ de $\mathring{K}_c$, on définit une projection $\pi_U : K_c \to \bar{U}$ définie comme suit ([Do5]):

- si $x \in \bar{U}$, alors $\pi_U(x) = x$,

- sinon, il existe un unique $y \in \partial U$ qui sépare $x$ du centre de $U$, et on note $\pi_U(x) = y$.

Ceci nous permet de définir des arcs réglementaires dans $K_c$ :

L'arc réglementaire $[x, y]_c$ est formé :

- des points qui séparent $x$ de $y$,

- dans chaque composante qui sépare $x$ et $y$, de l'arc obtenu en reliant $\pi_U(x)$ à $\pi_U(y)$ dans $\bar{U}$ suivant les rayons.

On obtient ainsi un arc topologique plongé dans le plan.

**Définition.** L'arbre de Hubbard $H_c$ d'un polynôme quadratique super-attractif $P_c$ est l'enveloppe réglementaire de l'orbite critique dans $K_c$, i.e. la réunion de tous les arcs réglementaires joignant deux points de l'orbite critique. On lui adjoint le bassin immédiat du cycle afin d'obtenir un arbre décoré.

L'arbre augmenté $\hat{H}_c$ est $H_c \cup [\gamma_c(0), \gamma_c(1/2)]_c$.

Ces arbres capturent toute l'information dynamique et combinatoire de $P_c$ sur $K_c$. Rappelons que A. Poirier donne un critère, fondé sur le théorème de caractérisation topologique des fractions rationnelles de Thurston, qui permet de savoir si un arbre abstrait plongé dans le plan est réalisable par un polynôme à ensemble postcritique fini (voir [Po]). Le cas des arbres quadratiques avait été résolu par J.H. Hubbard. De plus, A. Douady et J.H. Hubbard avaient aussi montré qu'on pouvait reconstruire l'ensemble de Julia en prenant une limite projective des préimages de l'arbre de Hubbard.

Dans la suite de ce paragraphe, nous énumérons des propriétés combinatoires dont les démonstrations se trouvent dans [DH1, La1, TL1].

► L'arbre de Hubbard est invariant par $P_c$ et $P_c$ est injective sur la fermeture des composantes connexes de $H_c \setminus \{0\}$.

► La valeur critique $c$ est une extrêmité de $H_c$.

► Soit $U$ une composante connexe du bassin immédiat de l'orbite critique. Son bord contient exactement un point périodique $y$ dont la période divise $k$ dans $H_c$. Si $y$ est $k$-périodique, alors il existe exactement deux rayons externes de période $k$ qui y aboutissent, et dont les orbites sont disjointes. Sinon, tous les rayons externes qui aboutissent en $y$ appartiennent au même cycle et sont de période $k$.

► On note $\theta_-(c)$ et $\theta_+(c)$, $0 < \theta_-(c) < \theta_+(c) < 1$, les arguments des rayons qui aboutissent au point périodique de la composante connexe $U_1$ qui contient $c$, et qui sont adjacents à $U_1$. Ce sont les arguments de $H_c$.

► Les points $\beta = \gamma_c(0)$ et sa préimage $\beta'$ sont des extrêmités de $\hat{H}_c$ et n'admettent qu'un
rayon.

On pose

$$
\begin{cases}
I_i(c) = [\theta_+/2 + (i-1)/2, \theta_-/2 + i/2], \quad J_i(c) = \{z \in J_c, \arg_c z \subset I_i(c)\}, \\
\hat{I}_i(c) = [\theta_-/2 + i/2, \theta_+/2 + i/2], \quad \hat{J}_i(c) = \{z \in J_c, \arg_c z \subset \hat{I}_i(c)\},
\end{cases}
\quad i = 0, 1.
$$

► Si un point $z \neq 0 \in J_c$ a un argument dans $I_i(c)$ (resp. $\hat{I}_i$), alors $z \in J_i(c)$ (resp. $z \in \hat{J}_i(c)$).

$$
\bigtriangledown \hat{J}_i(c) \cap H_c = \emptyset.
$$

► Soit $z \in J_c$ un point périodique. L'orbite de tout rayon par $t \mapsto 2t$ qui aboutit en $z$ est périodique et est contenue dans un demi-cercle.

► $P_c$ admet deux points fixes : $\beta = \gamma_c(0)$ et $\alpha$ qui admet au moins deux rayons externes.

► On note $PJ_c = \{z \in J_c \text{ périodique, } \#\arg_c(z) \ge 2\}$. $PJ_c \subset H_c$ et tout point $z$ de $PJ_c$ a au moins un point de son orbite dans $[\alpha_c, \alpha_c']$ et aucun dans $\gamma_c()\theta_-, \theta_+[$).

► On rappelle que deux rayons sont équivalents s'ils aboutissent au même point. Deux rayons d'argument $t_1$ et $t_2$ sont équivalents si et seulement si pour tout $n \ge 0$, il existe $i=1,2$ tel que $2^n t_1$ et $2^n t_2$ soient dans le même $I_i(c)$ ou $\hat{I}_i(c)$. Si ces rayons sont périodiques et différents, alors ils sont équivalents si et seulement si pour tout $n \ge 0$, il existe $i$ tel que $2^n t_1$ et $2^n t_2$ soient dans le même $I_i(c)$.

9.3 Chemins combinatoires dans M

Ce paragraphe rassemble des résultats portant sur les liens qui existent entre la combi-
natoire d'arbres de Hubbard de polynômes et la combinatoire dans M. Ceux-ci permettent
de définir, pour tout c ∈ D₀, un chemin combinatoire de l'origine à c qui définit l'arbre
associé à c.

Membres et sillages. Soit W une composante hyperbolique de M. Dans cette composante, il existe un point attractif α_c de période k ≥ 1. L'application c ∈ W ↦ α_c est holomorphe et se prolonge continûment au bord. Sur le bord, la fonction multiplicateur se prolonge aussi continûment en un homéomorphisme de ∂W dans S¹. La racine de W correspond à l'unique c₁ ∈ ∂W tel que (P̂<sub>c₁</sub><sup>k</sup>)'(α<sub>c₁</sub>) = 1. Il existe deux rayons d'argument 0 < θ<sub>-</sub> < θ<sub>+</sub> < 1 qui aboutissent en c₁ dans M ; ces rayons sont les mêmes que ceux associés au centre de W. On dit que W est primitive si α<sub>c₁</sub> n'est pas de période plus petite que k.

En effectuant un pincement du point $\alpha$ avec un cycle $kq$-répulsif, de nombre de rotation $p/q$ (voir Partie III, Chapitre 7), on montre que $\alpha$ devient le point d'aboutissement de $q$ rayons. Le $p/q$-sillage $S_W(p/q)$ de $W$ correspond, dans le plan des paramètres, à l'ouvert ne contenant pas l'origine bordé par les rayons qui aboutissent au paramètre $c_{p/q} \in \partial W$ tel que le multiplicateur de $\alpha_c$ soit $e^{2i\pi(p/q)}$.

Dans le plan dynamique, le déploiement défini au Chapitre 8 de la Partie III et le théorème des fonctions implicites montrent que ces rayons continuent à aboutir en $\alpha_c$ tant
que c reste dans le sillage. On définit le *p/q*-membre de W par $M_W(p/q) = S_W(p/q) \cap M$. J.C. Yoccoz a montré que, pour toute composante hyperbolique $W$, $M_W(0) \setminus \bar{W}$ est composé de la réunion de tous les $p/q$-membres de $W$, $0 < p/q < 1$ (voir [Hu]). De plus, le diamètre de ses membres est un $O(1/q)$.

**Relation d'ordre.** On définit une relation d'ordre partielle sur $D_0$ en utilisant les arguments associés. On rappelle que les arguments associés $(\theta_-(c), \theta_+(c))$ correspondent aux rayons qui aboutissent à la racine de la composante connexe contenant $c$ en y étant adjacent. On pose $m(c) = [\theta_-(c), \theta_+(c)]$. Soient $c \neq c'$ dans $D_0$. Ou bien $m(c) \cap m(c') = \emptyset$, ou bien l'un est contenu dans l'autre. On définit ainsi la relation d'ordre

$$c < c' \iff \dot{m}(c) \supset m(c').$$

Si $c < c'$, alors pour tout $z \in PJ_c$, il existe un unique $z' \in PJ_c$ tel que $arg_c(z) = arg_c(z')$. En fait, par le théorème des fonctions implicites, il existe même une application holomorphe $\lambda \mapsto z(\lambda) \in PJ_\lambda$ telle que $z(c) = z$ et $z(c') = z'$ définie sur un voisinage connexe de $c$ et $c'$. Le domaine de définition de cette application (qui conserve les mêmes rayons d'aboutissement) est de la forme $S_W(0) \setminus \bar{W}$ pour une composante hyperbolique $W$.

**Remarque.** Si $c$ est strictement prépériodique ($c \in D_2$), on peut aussi lui associer des rayons externes et étendre la relation d'ordre. Si l'orbite de $c$ est disjointe de $\gamma_c(0)$, alors on lui associe le plus petit et le plus grand argument dont le rayon aboutit en $c$, et $m(c)$ l'intervalle entre ces points. Sinon, il existe un seul rayon (dyadique) qui aboutit en $c$, et $m(c)$ est réduit au singleton formé par cet angle.

**Chemins combinatoires.** Soit $c' \in D_0$. Son chemin combinatoire $ch(c')$ est l'ensemble des $c \in D_0 \cup D_2$ plus petits que $c'$. C'est un ensemble totalement ordonné dont l'élément minimal est l'origine et l'élément maximal est $c'$. Il y a des points remarquables dans $ch(c')$, à savoir les points de bifurcation de $ch(c')$. Il s'agit des points $\hat{c}$ tels qu'il existe $z \in PJ_{\hat{c}}$ avec $\#arg_{\hat{c}}(z) \ge 3$, et pour tout $c < \hat{c}$ ces arguments ont des points d'aboutissement disjoints. Les points de bifurcation appartiennent à $D_0$ et ils sont en nombre fini si $c'$ est primitif.

De plus, si $c_1, c_2, \dots, c_\nu$ sont les points de bifurcation (ordonnés) de $ch(c')$, alors $k(c_1) < k(c_2) < \dots < k(c_\nu)$, où $k(c)$ est la période de $c \in D_0$.

## 9.4 Groupoïdes

Un groupoïde dilatant (ou plus simplement grupoïde) $\Gamma$ est une collection finie $\{U_i, \gamma_i\}_{1 \le i \le n}$ où les $U_i$ sont des quasidisques ouverts du plan, deux à deux disjoints, et $\gamma_i : U_i \to V_i$ est une application conforme telle que $U_i \subset V_i$. Si $i \neq j$, ou bien $U_i \subset V_j$ ou bien $U_i \cap V_j = \emptyset$. À $\Gamma$ on associe une application éventuellement multivaluée

$$f_{\Gamma}: \bigcup \bar{U}_i \to \mathbb{C} \\ z \in \bar{U}_i \mapsto \gamma_i(z).$$
Pour chaque $i$, $\gamma_i$ admet un point fixe $\alpha_i$ parabolique ou répulsif dans $\overline{U}_i$. L'ensemble limite $\Lambda(\Gamma)$ d'un groupoïde est l'ensemble des $z \in \cup \overline{U}_i$ qui peuvent être itérés une infinité de fois par $f_\Gamma$ :

$$ \Lambda(\Gamma) = \{z \in \cup \overline{U}_i, \forall k \ge 0, \exists i_1, \dots, i_k \text{ tels que } f_\Gamma^k(z) \in \cup \overline{U}_i\}. $$

Autrement dit, $\Lambda(\Gamma) = \cap_{n \ge 0} f_\Gamma^{-n}(\cup \overline{U}_i)$. C'est un ensemble compact qui vérifie $f_\Gamma^{-1}(\Lambda(\Gamma)) = \Lambda(\Gamma)$.

Dans la suite, on fera en outre les hypothèses techniques suivantes :

- les points fixes $\alpha_i$ sont tous répulsifs;

- les applications $\gamma_i$ admettent un prolongement univalent à un domaine $W_i$ contenant $\overline{U}_i$;

- pour tous $i \neq j$, $\#(\overline{U}_i \cap \overline{U}_j) \leq 1$;

- pour tout $i$, $\gamma_i((\partial U_i \cap \partial V_i) \setminus \Lambda(\Gamma)) \cap (\cup_{j \neq i} \overline{U}_j) = \emptyset$;

- si $U_i \cap V_j = \emptyset$, alors $\overline{U}_i \cap \overline{V}_j$ a au plus un point ; ce point est alors un point fixe pour un $\gamma_k$ et $U_k \subset V_j$;

- $\overline{C} \setminus (\cup \overline{U}_i)$ est un domaine de John ; cette condition ne nous servira qu'ultérieurement.

**Proposition 9.4.1** *Soit $\Gamma$ un groupoïde engendré par $n$ applications. Il existe un sous-ensemble $X_\Gamma$ de l'espace des suites infinies d'un alphabet à $n$ éléments, une application continue $\chi : X_\Gamma \to \Lambda(\Gamma)$ surjective qui semi-conjugue le décalage à gauche sur $X_\Gamma$ à l'application $f_\Gamma : \Lambda(\Gamma) \to \Lambda(\Gamma)$ associée.*

On rappelle que deux suites sont proches si elles ont beaucoup de leurs premiers éléments en commun.

**DÉMONSTRATION.** Commençons par définir une matrice de transition $T = (a_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ de la manière suivante : si $U_j \subset V_i$ alors $a_{i,j} = 1$, et sinon $a_{i,j} = 0$.

On définit $X_\Gamma$ comme étant l'ensemble des suites $(i_j)_{j \ge 1}$ de $\{1, \dots, n\}^N$ telles que $a_{i_j, i_{j+1}} = 1$ pour tout $j \ge 1$.

On définit $\chi : X_\Gamma \to \mathbb{C}$ comme suit.

Soit $(i_j)_{j \ge 0} \in X_\Gamma$. Pour tout $j \ge 1$, on construit une suite décroissante de compacts connexes. On note $K_{i_1} = \overline{U}_{i_1}$ et

$$ K_{i_1 i_2 \dots i_{k+1}} = \gamma_{i_1}^{-1}(K_{i_2 \dots i_n}). $$

Comme les points fixes sont répulsifs, le diamètre de $K_{i_2 \dots i_n}$ tend vers zéro, et on pose :

$$ \chi(i_j) = \cap_{j \ge 1} K_{i_1 i_2 \dots i_j}. $$

Cette application est continue car si deux suites sont proches, alors elles ont les mêmes premiers termes et leurs images sont dans un même compact $K_{i_1 \dots i_k}$ dont le diamètre tend vers zéro uniformément avec $k$.

Si $z \in K_{i_1 i_2 \dots i_k}$, alors $\gamma_{i_1}(z) \in K_{i_2 i_3 \dots i_k} \subset \overline{U}_{i_2}$. Par suite, l'image $z$ d'un point de $X_\Gamma$ peut être itéré une infinité de fois et $z \in \Lambda(\Gamma)$.
Il reste à vérifier que $\chi$ est surjective. Soit $z \in \Lambda(\Gamma)$; le point $z$ peut donc être itéré une infinité de fois: on lui associe cet itinéraire: ou bien $z$ est un point fixe $\alpha_i$ et on lui associe la suite constante $i$; ou bien, il est dans un $\overline{U}_{i_1}$. Son image $z_1 = \gamma_{i_1}(z)$ est aussi dans un $\overline{U}_{i_2}$, et ainsi de suite... on obtient donc une suite de $X_\Gamma$.

Il est clair que cette application conjugue $f_\Gamma$ au sous-décalage à gauche définie par $T$, i.e. les suites admissibles.

**Défaut d'injectivité.** Soient deux suites $(i_k)_{k \ge 1}$ et $(j_k)_{k \ge 1}$ qui ont même image $z$ par $\chi$. Soit $k_0$ le plus petit entier tel que $i_k \ne j_k$. Ceci implique que

$$ \zeta = \gamma_{i_{k_0}} \circ \gamma_{i_{k_0-1}} \circ \dots \circ \gamma_{i_1}(z) \in \overline{U}_{i_{k_0}} \cap \overline{U}_{j_{k_0}}. $$

Le point $\zeta$ admet plusieurs itinéraires, selon que l'on commence par $\gamma_{i_{k_0}}$ ou $\gamma_{j_{k_0}}$.

On note $S$ l'ensemble des $z$ qui appartiennent à plusieurs $\overline{U}_i$, et $I(z)$ l'ensemble des itinéraires de $z$. On considère la relation d'équivalence suivante sur les suites :

$$ (i_k)_{k \ge 1} \asymp (j_k)_{k \ge 1} \text{ si } \exists 1 \le k_0 \le \infty \text{ tel que } \begin{cases} \text{Pour } k \le k_0, i_k = j_k, \\ \exists z \in S, (i_k)_{k>k_0}, (j_k)_{k>k_0} \in I(z). \end{cases} $$

Par suite, $\Lambda(\Gamma)$ est homéomorphe à $X_\Gamma/\asymp$.

**Décomposition d'un groupoïde.** À un groupoïde $\Gamma$, on associe un automate fini qui reconnaît les orbites inverses d'éléments de $\Lambda(\Gamma)$. On définit la relation d'équivalence $\sim$ sur $\{1, ..., n\}$ par $i \sim j$ si pour tout $k \in \{1, ..., n\}$, soit $V_k \supset (U_j \cup U_i)$, soit $V_k \cap (U_j \cup U_i) = \emptyset$. On note $[i]$ la classe d'équivalence de $i$.

Rappelons qu'un automate fini est la donnée d'un quintuplet $\mathcal{A} = (Q, \Sigma, \delta, Q_I, Q_F)$ tel que :

- $Q$ est un ensemble fini appelé l'ensemble des états;

- $\Sigma$ est un alphabet;

- $\delta: Q \times \Sigma \to P(Q)$ est la fonction de transition de l'automate;

- $Q_I \subset Q$ l'ensemble des états initiaux;

- $Q_F \subset Q$ l'ensemble des états terminaux.

Le langage reconnu est l'ensemble des mots $m = a_1a_2...a_n$ de $\Sigma$ tels qu'il existe $q_0, q_1, ..., q_n \in Q$ vérifiant $q_i \in \delta(q_{i-1}, a_i)$, $q_0 \in Q_I$ et $q_n \in Q_F$. À un automate fini, on associe le graphe $G(\mathcal{A})$ orienté et étiqueté suivant :

- l'ensemble des sommets du graphe est l'ensemble des états; on symbolise un état initial par une flèche rentrante, et un état final par une flèche sortante;

- l'ensemble $\mathcal{A}$ des arêtes du graphe représente la fonction de transition, i.e.

$$ (q, a, q') \in \mathcal{A} \Leftrightarrow q' \in \delta(q, a). $$

On définit l'automate suivant :

- les états sont les classes d'équivalence de $\sim$ ci-dessus;

- chaque état admet un état initial et un état final;

- les transitions sont les éléments de $\{1, ..., n\}$; il existe une transition de $[i]$ à $[j]$, s'il
existe $k \in [j]$ tel que $V_k$ contienne $U_i$, autrement dit si $a_{k,i} = 1$; en particulier, pour tout $j \in [i]$, $j$ est une transition de $[i]$ à lui-même.

Ces liens nous permettent de décomposer des groupoïdes en sous-groupoïdes dits irréductibles.

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIG. 9.1 - Groupoïde.</figcaption></figure>

**Définitions.** Un groupoïde est élémentaire s'il ne contient qu'un seul état. Un groupoïde est irréductible si pour tout couple d'états ($[i]$, $[j]$), il existe une suite de transitions reliant $[i]$ à $[j]$.

**Lemme 9.4.2** *Pour tout groupoïde Γ, il existe une unique décomposition en sous-groupoïdes Γ = Γ₁ ∪ Γ₂ ∪ ... ∪ Γm irréductibles.*

**DÉMONSTRATION.** On définit la relation suivante entre états : $[i] \approx [j]$, s'il existe des transitions de $[i]$ à $[j]$ et vice-versa. C'est une relation d'équivalence, dont les classes d'équivalences sont des groupoïdes irréductibles.

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

**Définitions.** Étant donnés un groupoïde $\Gamma$ et sa décomposition en groupoïdes irréductibles, on définit la relation d'ordre partielle par $\Gamma_1 < \Gamma_2$ s'il existe une suite de transitions de tout $i \in \Gamma_1$ à un élément de $\Gamma_2$. Deux sous-groupoïdes sont indépendants s'il n'existe pas de relations entre eux.

Pour éviter des cas sans intérêt, un groupoïde est dit *trivial* si tous les états sont indépendants et chacun ne contient qu'un seul élément. En effet, un groupoïde irréductible et non trivial est topologiquement mélangeant, i.e. pour tous ouverts $U, V$ qui intersectent $\Lambda(\Gamma)$, il existe un ouvert $U' \subset U$ et $i_1, ..., i_k$, tels que $f_{\Gamma}^k(U') \cap V \neq \emptyset$.

Cette relation permet de hiérarchiser les sous-groupoïdes irréductibles de la décomposition d'un groupoïde Γ. Si deux sous-groupoïdes sont indépendants, alors ils n'influenceront pas l'un l'autre. En revanche, si on a une relation entre deux sous-groupoïdes, alors l'ensemble limite du plus petit se retrouvera dans le second.
<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIG. 9.2 - Exemple de groupe.</figcaption></figure>

**Groupeïdes élémentaires.** Commençons par du vocabulaire.

**Définitions.** Une *p-chaîne* est un *p-uplet* $(i_1, \dots, i_p)$ tel que $\overline{U}_{i_1} \cap \overline{U}_{i_1+1} \neq \emptyset$, $1 \le j \le p-1$. On note $\{z_j\} = \overline{U}_{i_1} \cap \overline{U}_{i_1+1}$. Une *p-chaîne* est complète si pour tout $1 \le j \le p-1$, $\gamma_{i_j}(z_j)$ et $\gamma_{i_{j+1}}(z_j)$ sont dans $\{\alpha_{i_1}, \alpha_{i_p}\}$ ou un autre $z_j$.

**Lemme 9.4.3** *Soit $\Gamma$ une chaîne non triviale. Alors, $\Lambda(\Gamma)$ est connexe si et seulement si $\Gamma$ est une chaîne complète. Sinon, $\Lambda(\Gamma)$ est un ensemble de Cantor (compact, totalement discontinu et sans point isolé).*

**DÉMONSTRATION.** Notons $K_0 = \cup \overline{U}_i$ et $K_n = f_\Gamma^{-n}(K_0)$. Par définition, $\Lambda(\Gamma)$ est l'intersection des $K_n$.

- Si $\Gamma$ est complet, alors pour tout $n \ge 0$, $K_n$ est connexe.

- Sinon, il existe $j$ tel que $\gamma_j(z_j) \notin \{\alpha_{i_1}, \alpha_{i_p}\}$, ni un autre $z_j$. Par suite, $V_j \setminus K_0$ admet une composante connexe $\Omega$ telle que son bord contienne $\gamma_j(z_j)$. Sa préimage par $\gamma_j$ nous donne un ouvert qui peut être prolongé pour séparer $K_1$ en deux. Comme $\Gamma$ est topologiquement mélangeant, on peut séparer n'importe quelle paire de points distincts de $\Lambda(\Gamma)$.

**Définitions.** Un arbre est une réunion connexe de chaînes. Il est complet si pour tout $z_{i,j}$ dans l'intersection $\overline{U}_i \cap \overline{U}_j$, $\gamma_i(z_{i,j})$ est soit un point fixe $\alpha_k$, soit un autre $z_{i,j}$.

On montre comme le Lemme 9.4.3 :

**Proposition 9.4.4** *Soit $\Gamma$ un groupeïde élémentaire non trivial. $\Lambda(\Gamma)$ est connexe si et seulement si $\Gamma$ est un arbre complet. Sinon, $\Lambda(\Gamma)$ est un ensemble de Cantor.*

**Groupeïdes irréductibles.** On adapte le paragraphe ci-dessus aux groupeïdes irréductibles non triviaux.

**Définitions.** Une *G-chaîne* est un *p-uplet* $(i_1, \dots, i_p)$ tel que $\overline{U}_{i_1} \cap \overline{U}_{i_1+1} \neq \emptyset$, $1 \le j \le p-1$. On note $\{z_j\} = \overline{U}_{i_1} \cap \overline{U}_{i_1+1}$. Une *G-chaîne* est complète si pour tout $1 \le j \le p-1$, $\gamma_{i_j}(z_j)$ et $\gamma_{i_{j+1}}(z_j)$ sont dans $\{\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_p}, z_1, \dots, z_{p-1}\}$.
Un G-arbre est une réunion connexe de G-chaînes. Il est complet si pour tout point de l'intersection de deux $U_i$, ses images sont soit des points fixes, soit d'autres $z_{i,j}$.

**Proposition 9.4.5** *Soit $\Gamma$ un grupoïde irréductible non trivial. Si $\Gamma$ est un G-arbre complet, alors $\Lambda(\Gamma)$ est connexe. S'il existe pas de sous-arbre complet, alors $\Lambda(\Gamma)$ est un ensemble de Cantor.*

**DÉMONSTRATION.** $\Gamma$ est un G-arbre complet si et seulement si $K_1$ est connexe. Par suite, on obtient une suite décroissante de compacts connexes non vides de limite $\Lambda(\Gamma)$. S'il existe un sous-arbre complet, alors le sous-grupoïde formé de cet arbre donne une composante connexe de $\Lambda(\Gamma)$ non triviale. Sinon, à l'instar du Lemme 9.4.3, il s'agit d'un ensemble de Cantor.

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

**Théorème 9.4.6** *Soit $\Gamma$ un grupoïde non trivial. Alors, ou bien*

(i) $\Gamma$ est un G-arbre complet et $\Lambda(\Gamma)$ est connexe;

(ii) $\Gamma$ ne contient pas de sous-arbre complet et $\Lambda(\Gamma)$ est un ensemble de Cantor;

(iii) $\Lambda(\Gamma)$ a une infinité de composantes connexes.

**DÉMONSTRATION.** (i) Si $\Gamma$ est un arbre complet, alors les $K_n$ forment une suite décroissantes de compacts connexes. En effet, $K_0$ est connexe par hypothèse ; si $K_n$ est connexe, alors $K_{n+1} \cap \bar{U}_i$ est aussi connexe, et si $\bar{U}_i \cap \bar{U}_j \neq \emptyset$, alors le point d'intersection est aussi dans $K_{n+1}$, donc $K_{n+1}$ est connexe.

(ii) Si $\Gamma$ contient un sous-arbre complet, alors d'après (i), le grupoïde associé a un ensemble limite connexe contenu dans $\Lambda(\Gamma)$. Sinon, soient $z \neq w$ dans $\Lambda(\Gamma)$. Quitte à les itérer par les mêmes applications, on peut supposer qu'ils sont dans des $\bar{U}_i$ disjoints. S'ils ne sont pas dans une chaîne commune, alors ils ne sont pas dans la même composante connexe de $\Lambda(\Gamma)$. Sinon, il existe un point d'intersection dans la chaîne dont l'une de ses images n'est pas dans $\Lambda(\Gamma)$. On ramène alors une séparatrice locale, que l'on prolonge.

(iii) D'après (ii), si $\Gamma$ contient un sous-arbre complet, alors $\Lambda(\Gamma)$ n'est pas un ensemble de Cantor. De même, si ce n'est pas un arbre complet, alors il n'est pas connexe ; et en tirant en arrière les séparatrices, on montre que $\Lambda(\Gamma)$ admet une infinité de composantes connexes.

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

**Ensemble limite et domaine de John.** Le but de ce paragraphe est de montrer le résultat suivant :

**Théorème 9.4.7** *Le complémentaire de l'ensemble limite d'un grupoïde est un domaine de John centré à l'infini.*

Un domaine de John centré à l'infini $\Omega$ est un ouvert connexe de $\bar{C}$ contenant $\infty$ tel qu'il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $z_0 \in \Omega$, il existe une courbe $\gamma_{z_0} \subset \Omega$ joignant $z_0$ à l'infini telle que pour tout $z \in \gamma_{z_0}$,

$$d(z, \partial\Omega) \geq \varepsilon|z - z_0|.$$
Pour montrer le Théorème 9.4.7, on va d'abord donner une caractérisation de $\Omega$ à partir de décompositions de Whitney (cf [St]).

**Définition.** Soient $\Omega$ un ouvert connexe contenant l'infini et $K = \bar{C} \setminus \Omega$. Une décomposition de Whitney au bord $W$ est une collection dénombrable de domaines de Jordan qui vérifient les conditions suivantes.

(W1) Il existe $C_0 > 1$ tel que pour tout $Q \in W$, $\frac{\mathrm{diam}(Q)}{r(Q)} \le C_0$, où $r(Q)$ est le rayon du plus grand disque contenu dans $Q$.

(W2) Il existe $0 < c_1 < c_2$ telles que pour tout $Q \in W$,

$$c_1 \le \frac{\mathrm{dist}(Q, K)}{\mathrm{diam}(Q)} \le c_2.$$

(W3) Si $Q \ne Q'$, alors $Q \cap Q' = \emptyset$ et $\Omega \setminus \cup_{Q \in W} \bar{Q}$ est un domaine de Jordan contenant l'infini.

**Remarque.** En considérant des cubes dyadiques, i.e. de la forme $Q = [\frac{i}{2^k}, \frac{i+1}{2^k}] \times [\frac{j}{2^k}, \frac{j+1}{2^k}]$, on peut toujours définir une décomposition de Whitney au bord tel que

$$1 \le \frac{\mathrm{dist}(Q, K)}{\mathrm{diam}(Q)} \le 4.$$

On peut montrer que si $z \in Q$, alors

$$\frac{c_1}{1+c_2} d(z, K) \le \mathrm{diam} Q \le c_2(1+c_2)d(z, K).$$

Soit $\lambda > 1$; on considère

$$W_n(\lambda) = \{Q \in W, \exists z \in Q, \lambda^{-n} \le d(z, K) \le \lambda^{1-n}\}$$

et

$$Q_n(\lambda) = \mathrm{int} \cup_{Q \in W_n(\lambda)} \bar{Q};$$

pour tout $n \ge 0$, $Q_n(\lambda)$ sépare $K$ de l'infini.

Si $\gamma$ est une courbe qui traverse $Q_n(\lambda)$, on pose

$$e_n(\lambda, \gamma) = \#\{Q \in W_n(\lambda), \gamma \cap Q \ne \emptyset\}.$$

On définit l'épaisseur de $W$ à l'échelle $\lambda^{-n}$ par

$$e_n(\lambda) = \sup_{z \in K} \min e_n(\lambda, \gamma_z),$$

où le “min” est pris sur toutes les courbes joignant $z$ à l'infini.

**Proposition 9.4.8** *Les conditions suivantes sont équivalentes :*

(i) $\Omega$ est un domaine de John centré à l'infini;

(ii) pour toute décomposition de Whitney au bord, et pour tout $\lambda > 1$, la suite $(e_n(\lambda))$ est bornée;

(iii) il existe une décomposition de Whitney au bord et il existe $\lambda > 1$ tels que $Q_n(\lambda)$ soit d'épaisseur uniformément bornée.
DÉMONSTRATION. (i)⇒(ii) : soit $C > 0$ une grande constante ; si $e_n(\lambda) < C$, alors c'est fini. Sinon, soit $z$ sur le bord intérieur de $Q_n(\lambda)$. Il existe un arc $\gamma_z$ joignant $z$ à l'infini tel que pour tout $w \in \gamma_z$, $d(w, K) \ge \varepsilon|z - w|$. On considère le premier point $w$ de $\gamma_z$ qui est sur le bord extérieur de $Q_n(\lambda)$. Si $C$ est assez grande, alors

$$|w - z| \ge c' \cdot e_n(\lambda) \cdot \min_r(Q) \ge c' \cdot e_n(\lambda) \frac{\min \operatorname{diam} Q}{C_0},$$

où $c' > 0$ est une constante indépendante de $n$. Mais, (diam $Q$) $c_1(1 + c_2) \ge \lambda^{-n}$, donc

$$|w - z| \ge c' \cdot e_n(\lambda) \frac{\lambda^{-n}}{C_0(1 + c_2)c_1}.$$

De plus, comme $d(w, K) \le \lambda^{1-n}$, on en déduit

$$\frac{\lambda C_0(1 + c_2)c_1}{c' \cdot \varepsilon} \ge e_n(\lambda).$$

(iii)⇒(i) : supposons que $e_n(\lambda) < C$ pour tout $n \ge 0$. Soit $z \in Q_{n_1}(\lambda)$ ; il existe un arc $\gamma_z$ joignant $z$ à l'infini qui minimise le nombre de $Q$ traversés. Si $w \in \gamma_z \cap Q_{n_0}(\lambda)$, alors

$$|z - w| \le \sum_{n_0 \le n \le n_1} e_n(\lambda) \operatorname{diam} Q \le C' \lambda^{-n_0}.$$

De plus, $d(w, K) \ge \lambda^{-n_0}/c_2$, donc $\Omega$ est John.

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

DÉMONSTRATION DE 9.4.7. Soit $\Gamma$ un groupoïde ; au voisinage des points de $S$ dans $\bar{C} \setminus (\cup U_i)$, on considère une décomposition de Whitney au bord (qui vérifie les propriétés de la Proposition 9.4.8 par hypothèses). Ailleurs, on considère un nombre fini de courbes qui, réunies avec $G$, découpent $D_R \setminus (\cup U_i)$ en un nombre fini de domaine de Jordan, où $D_R$ est un disque de grand rayon.

Par la dynamique, on propage cette partition au voisinage de $\Lambda(\Gamma)$. Par le théorème de Kōbe, on en déduit que la forme de ces pièces est uniformément bornée. Il s'agit donc d'une décomposition de Whitney au bord de $\Omega = \bar{C} \setminus \Lambda(\Gamma)$.

Pour $\lambda$, le plus petit multiplicateur des points fixes de $\gamma_i$, on vérifie que $e_n(\lambda)$ est uniformément borné (en utilisant encore le théorème de Kōbe et l'expansivité des points fixes). Par suite, on conclut par la Proposition 9.4.8 que $\Omega$ est un domaine de John.

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

**Proposition 9.4.9 (Linéarisation simultanée)** Soit $\Gamma$ un groupoïde formé d'une réunion disjointe de $G$-chaînes. On suppose qu'il existe une courbe $\gamma$ qui passe une et une seule fois dans chaque $\bar{U}_i$ et contient tous les points de $\Lambda(\Gamma) \cap G$. Alors, il existe $\hat{\Gamma}$ quasiconformément conjugué à $\Gamma$, formé d'homothéties centrées sur $\mathbb{R}$.

DÉMONSTRATION. Soit $U_k$ l'ouvert borné bordé par

$$[0, 1+i] \cup [1+i, k+i] \cup [k+i, k+1] \cup [k+1, k-i] \cup [k-i, 1-i] \cup [1-i, 0],$$
où $k > 1$.

À l'aide de $\gamma$, on construit deux suites finies d'ouverts $\hat{U}_i$ et $\hat{V}_i$, homothétiques de $U_k$, qui vérifient les mêmes propriétés combinatoires que $U_i$ et $V_i$. On s'arrange pour que $\hat{U}_i$ et $\hat{V}_i$ soient homothétiques du même $U_k$.

On note $\hat{\gamma}_i : \hat{U}_i \to \hat{V}_i$ l'unique application affine qui coïncide avec l'orientation de $\Gamma$. On définit alors une application de $G$ dans $\hat{G}$ qui commute avec la dynamique. On considère une extension quasiconforme (qui existe à cause l'hypothèse sur $cK_0$) que l'on prolonge par la dynamique. À la limite, on obtient une conjugaison quasiconforme entre $\Gamma$ et $\hat{\Gamma}$.

■

On déduit de cette proposition ou du Théorème 9.4.7 le corollaire suivant.

**Corollaire 9.4.10** Si $\Gamma$ vérifie les hypothèses de la Proposition 9.4.9, alors $\Lambda(\Gamma)$ est supporté par une quasidroite.

**Dimension de Hausdorff.** Ce paragraphe est consacré à montrer le résultat suivant :

**Théorème 9.4.11** *Soit $\Gamma$ un groupoïde irréductible et non trivale. La dimension de Hausdorff $\alpha$ de $\Lambda(\Gamma)$ vérifie $0 < \alpha < 2$. Son $\alpha$-mesure associée est finie et non nulle.*

**DÉMONSTRATION.** Soit $\Gamma$ un groupoïde irréductible et non trivale. On note $\alpha = \dim_H \Lambda(\Gamma)$. Comme tous les points fixes sont répulsifs et en nombre fini, il existe $\lambda > 1$ tel que pour tout $1 \le i \le n$ et tout $z \in \Lambda(\Gamma) \cap \bar{U}_i$, $|\gamma_i'(z)| \ge \lambda$.

Soit en appliquant le formalisme thermodynamique à $X_\Gamma$ définie à la Proposition 9.4.1 (voir [Bow, Ru]), soit en utilisant les mesures conformes ([Su1, Mc5]), on montre qu'il existe une unique mesure de probabilité $\mu_\Gamma$ sur $\Lambda(\Gamma)$, proportionnelle à la $\alpha$-mesure de Hausdorff, et telle que pour tout ensemble mesurable $E$ où $f_\Gamma$ est injective,

$$ \int_{f_\Gamma(E)} d\mu_\Gamma = \int_E |f_\Gamma'|^\alpha d\mu_\Gamma. $$

Le fait que toutes les dimensions dans $]0, 2[$ soient admises provient de la famille suivante :

soit $Q =]0, 1^2$; pour $0 < \alpha < 1/2$, on définit $Q_1^\alpha =]0, \alpha^2[$, $Q_2^\alpha =]0, \alpha[ \times ]1 - \alpha, 1[$, $Q_3^\alpha = ]1 - \alpha, 1[ \times ]0, \alpha[$ et $Q_4^\alpha =]1 - \alpha, 1^2[$. On considère l'unique application affine $\gamma_i^\alpha : Q_1^\alpha \to Q$ qui fixe le coin. L'ensemble limite est un ensemble de Cantor, et sa dimension de Hausdorff peut être calculée explicitement :

$$ \dim_H \Lambda(\Gamma) = \frac{\log 4}{\log 1/\alpha}. $$

Si la dimension est deux, alors $\Lambda(\Gamma)$ est de mesure positive. Soit $x \in \Lambda(\Gamma)$, un point de densité, i.e. il existe une suite $(r_n)$ tendant vers zéro telle que $\lim_{\substack{H_2(D(x,r_n)) \\ r_n}} = 1$. Quitte à remplacer ces disques par des composantes connexes de $\hat{K}_p$, on peut les gonfler
<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIG. 9.3 - $\dim_H \Lambda(\Gamma) = \log 4 / \log(1/\alpha)$.</figcaption></figure>

par $f_\Gamma$ pour avoir des ouverts de taille définie. En prenant une limite de ces ouverts, on obtient un ouvert contenu dans $\Lambda(\Gamma)$. Or, ceci est impossible, parce que l'on peut gonfler une composante connexe de cet ouvert jusqu'à ne plus être contenue dans un seul $U_i$, et la forme des $U_i$ ne peut pas le supporter, par hypothèses.

Puisque $\Gamma$ n'est pas trivial, $\Lambda(\Gamma)$ admet une infinité de points et $\alpha > 0$.

■

## 9.5 Sur la géométrie de l'arbre de Hubbard

L'objectif de ce paragraphe est de montrer le théorème suivant :

**Théorème 5** Soit $c \in D_0$, $c \neq 0$, primitif; on note $K = H_c \cap J_c$. K est un ensemble de Cantor dont le complémentaire est un domaine de John. Sa dimension de Hausdorff est dans $[0,2[$, et sa mesure associée est finie et non nulle. En particulier, toute "arête" de cette arbre est supportée par une quasidroite.

En utilisant les résultats de [CJY], on sait déjà que $K$ est John. Le paragraphe précé-
dent nous fournira une autre démonstration.

**Caractérisation dynamique de l'arbre de Hubbard.** Soit $c \in D_0$. À partir du chemin combinatoire de $c$, nous allons construire un groupoïde $\Gamma$ dont l'ensemble limite sera exactement la trace de l'arbre de Hubbard augmenté de $c$ sur $J_c$.

Un paramètre $c$ sera dit *irréductible* si les seules applications à allure quadratique *simple* que l'on puisse définir comme restriction d'un itéré $P_c^n$ sont $P_c$ et $z \mapsto z^2$. L'appli-cation à allure polynomiale $f$ est *simple* si son ensemble de Julia disconnecte celui de $K_c$ aux préimages de l'unique point fixe extrémale de $f$.

On suppose donc dans la suite que $c$ est irréductible, et on extrait de son chemin combinatoire les points de bifurcation irréductibles ($c_0, c_1, \dots, c_\nu$), avec $c_0 = 0$ et $c_\nu = c$. L'origine est $k_i$-périodique pour $c_i$.

En coordonnée log-Böttcher, on définit des arcs $L_{\pm}(\theta) = \{(s, t) \in \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}, s = \pm(t - \theta)\}$. Les domaines que nous allons construire seront tous bordés par de tels arcs et par des équipotentialles. Plus précisément, un ouvert bordé par $z, w \in J_c$ préprépulsifs
est le domaine contenant la composante connexe $C_{z,w}$ de $K_c \setminus \{z, w\}$ ayant ces points au bord, et dont le bord de ce domaine est une réunion de deux arcs d'équipotentielles et de quatre courbes $L_{\pm}(\theta)$; les arguments sont ceux de $z$ et $w$ qui sont adjacents à $C_{w,z}$. On se fixe $\eta > 0$; lorsque sera construit un domaine d'arrivée $V_i$, on choisira toujours l'équipotentielle de hauteur $\eta$.

Dans un premier temps, on construit un groupoïde qui caractérisera $[\beta', \beta]_c$. Ensuite, on l'étendra à l'arbre.

► Le point $c_1$ est un satellite de l'origine. Dans sa dynamique, on a deux points fixes $\beta$ d'argument nul, et $\alpha$ de nombre de rotation combinatoire $p/q$.

On construit $V_\beta$ le domaine bordé par $\alpha' = -\alpha$ et $\beta$. On considère sa préimage par $P_{c_1}$ contenue dans $V_\beta$: on obtient $\gamma_\beta : U_\beta \to V_\beta$. On considère l'application symétrique $\gamma_{\beta'}$ par $z \mapsto -z$, ce qui nous fait $\hat{\Gamma}_1 = \{\gamma_\beta, \gamma_{\beta'}\}$. À chaque application, on considèrera toujours son application symétrique.

► On considère maintenant $c_2$. Comme $c_2$ est dans le sillage de $c_1$, on peut pousser par un mouvement holomorphe $\hat{\Gamma}_1$ dans le plan dynamique de $c_2$. Comme $c_2$ est irréductible, il existe une préimage $(q+1)$ième $\alpha_{q+1}$ de $\alpha$ qui sépare $\alpha$ de l'origine. Par suite $U_\alpha$ est le domaine bordé par $\alpha$ et $\alpha_{q+1}$, muni de l'application $\gamma_\alpha = P_{c_2}^q$. On définit aussi son symétrique.

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIG. 9.4 - Caractérisation dynamique de l'arbre de Hubbard.</figcaption></figure>

De plus, il existe un point $k_2$- périodique $\beta(2)$ au bord de la composante contenant 0. Ce point sépare $\alpha$ ou $\alpha'$ de l'origine. S'il s'agit du point $\alpha$, on considère $V_{\beta(2)}$ bordé par $\alpha$ et $\beta(2)$ (et sinon bordé par $\alpha'$ et $\beta(2)$). On définit alors $\gamma_{\beta(2)} = P_{c_2}^{k_2} : U_{\beta(2)} \to V_{\beta(2)}$, où $\beta(2) \in \partial U_{\beta(2)}$.

Si les domaines $U_i$ ainsi définis forment une chaîne discontinue seulement en $\beta(2)$ et son symétrique, alors on passe au paramètre suivant. Sinon, on regarde l'application de premier retour sur l'arête centrale des domaines non encore définis. Cette application s'obtient pour un nombre borné d'itérés. L'image de cette application ne contient pas forcément le domaine de départ, ni son symétrique (voir remarque ci-dessous). Le bord
de ces nouveaux domaines sont des préimages des points marqués précédents. Ceci nous définit $\hat{\Gamma}_2$.

**Remarque.** Par rapport à l'étude du paragraphe précédent, on considère ici des groupoïdes pour lesquels il existe des applications sans point fixes, i.e. la matrice de transition peut avoir des coefficients nuls sur la diagonale. Cependant, le point important est l'existence d'une métrique pour laquelle $f_Γ$ est fortement dilatante; et tous les résultats du dernier paragraphe se généralisent à ce cadre.

► Supposons qu'on ait construit un grupoïde $\hat{\Gamma}_n$ dont l'ensemble limite est $[\beta, \beta')_{c_n} \cap J_{c_n}$. On suppose aussi que les domaines sont du type ci-dessus, et que chaque chaîne est bordée soit par une préimage de $\beta(n)$, soit par $\beta$ ou $\beta'$.

Construisons $\hat{\Gamma}_{n+1}$. On commence par pousser $\hat{\Gamma}_n$ au plan dynamique de $c_{n+1}$. Ensuite, le point $c_{n+1}$ nous donne l'existence de deux points fixes $\alpha(n)$ de période $k_n$ et de nombre de rotation $p_n/q_n$, et $\beta(n+1)$ au bord de la composante contenant l'origine. L'origine sépare le point $\alpha(n)$ de $\beta(n)$, donc on considère un domaine $V_{\beta(n)'}$ bordé par $\beta(n)$ et $\alpha'(n)$. On construit aussi un domaine $V_{\alpha(n)}$ bordé par $\alpha(n)$ pour l'itéré $q_n k_n^{\text{ième}}$, et son symétrique, comme pour $c_2$. On complète aussi par l'application de premier retour si nécessaire.

Comme les applications sont toutes des itérés de $P_c$, $\Lambda(\Gamma) \subset K_c$. Si on considère un point de l'arête, ses itérés restent toujours dedans (propriété de l'arbre de Hubbard), sauf s'il tombe dans la composante de l'origine (où il ne peut plus être itéré, par construction). Soit $z \in K_c \cap (\cup \bar{U}_i)$ qui n'est pas sur l'arête; on note $\hat{z}$ le projeté de $z$ sur l'arête : c'est une préimage d'un point marqué. Un itéré de $\hat{z}$ va donc être au bord d'un $\bar{U}_i$; mais comme tous les points fixes sont de nombre de rotation 1 ou 1/2 et le bord de chaque domaine intersecte l'ensemble de Julia uniquement sur l'arête, l'image du point $z$ ne sera pas sur l'arête, et donc plus dans un $\bar{U}_i$. Donc $z \notin \Lambda(\Gamma)$.

Afin de définir le grupoïde engendrant l'arbre de Hubbard, il suffit de considérer les premières branches inverses de l'arête le long du cycle critique. S'il n'y a pas d'applications définissant un sous-ensemble de l'arbre, qui n'est pas dans le bassin de l'origine, alors on conjugue les applications de $\hat{\Gamma}$ par la branche inverse.

**DÉMONSTRATION DE 9.4.11.** Une fois que l'on a défini un grupoïde caractérisant l'arbre de Hubbard de l'application, il suffit d'appliquer les résultats obtenus dans le paragraphe précédent : Théorèmes 9.4.6, 9.4.7, 9.4.11 et le Corollaire 9.4.10.

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

**Remarque.** L'arbre de Hubbard d'un polynôme quadratique peut être de dimension arbitrairement proche de 2. En effet, dans [Sh3], l'auteur définit des grupoïdes ayant des ensembles limites aussi proches de 2 que voulu. La construction de ces ensembles peut être effectuée de façon à être un sous-ensemble d'un arbre de Hubbard.
# Chapitre 10

## Théorème de Modulation

Le but de ce chapitre est de donner la démonstration du Théorème de Modulation d'après A. Douady (cf [Do3] où elle est esquissée).

On considère la famille de polynômes

$$P_c: \begin{array}{rcl} C & \to & C \\ z & \mapsto & z^2 + c, \end{array} \quad c \in C.$$

On note $| K_c = \{z \in C, P_c^n(z) \not\to \infty\} \text{ l'ensemble de Julia rempli, qui est compact plein,}$
$J_c = \partial K_c \text{ l'ensemble de Julia de } P_c.$

### Théorème 6 de Modulation (A. Douady & J.H. Hubbard)

(a) Si $W$ est une composante primitive de $M$ de période $k$, on peut trouver un voisinage $\Lambda$ de $\bar{W}$, et deux familles d'ouverts $(U_c', U_c)_{c \in \Lambda}$ tels que les $f_c = (U_c' \xrightarrow{P_c^k} U_c)$ forment une famille mandelbrotesque.

(b) Si $W$ n'est pas primitive, on peut seulement construire $\Lambda$, les $U_c'$ et les $U_c$ de façon que $\Lambda$ soit un voisinage de $\bar{W} \setminus \{c_1\}$, racine de $W$, et que $\chi$ induise un homéomorphisme de $M_f$ sur $M \setminus \{1/4\}$. De plus, $P_{1/4}$ figure de manière rigide dans $P_{c_1}$.

Rappelons que "quasiconforme" est à prendre au sens de Mañé-Sad-Sullivan.

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>Figure 10 M et un zoom.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIG. 10.1 - $K_{c_0}$.</figcaption></figure>

**Corollaire 7** Si $W$ est primitive, la petite copie de $M$ est quasiconforme à $M$. Sinon, tout compact de la copie privée de la racine est quasiconforme à un compact de $M$.

La démonstration consiste à construire des ouverts $U_c'$ et $U_c$ afin que les $P_c^k$ soient des applications à allure polynomiale quadratiques. Ensuite, on applique la théorie des applications à allure polynomiale qui est bien adaptée si $W$ est primitive. Dans le cas non primitif, on n'obtient pas $M_f \subset \Lambda$ une étude plus détaillée est nécessaire.

## 10.1 Première construction

Soit $W$ une composante de période $k$, de centre $c_0$ et de racine $c_1$. On suppose que $c_0 \neq 0$ et $c_1 \neq 1/4$. Dans ces conditions, il existe deux rayons externes $R_M(\theta_1)$ et $R_M(\theta_2)$, $\theta_1 < \theta_2$, qui aboutissent en $c_1$ (Figure 10.2). D'après la Proposition 1.4.4 de la Partie I, $R_{c_0}(\theta_1)$ et $R_{c_0}(\theta_2)$ aboutissent en $y_1$, $k$-périodique, racine de la composante connexe $U_1$ de $K_{c_0}$ contenant $c_0$ (Figure 10.1).

Soit $\eta > 0$. On appelle $A$ l'ouvert délimité par $R_{c_0}(\theta_1) \cup \{y_1\} \cup R_{c_0}(\theta_2) \cup (G_c = \eta)$ et contenant $U_1$. $U_1$ étant $k$-périodique, on note $A'$ la composante connexe de $P_{c_0}^{-k}(A)$ contenant $U_1$.

**Proposition 10.1.1** $A'$ est délimité par quatre rayons externes $\theta_1, \theta_2, \theta_1', \theta_2'$ et l'équipootentielle de niveau $\eta' = \eta/2^k$. De plus, $A' \subset A$ et $P_{c_0}^k : A' \to A$ est propre de degré deux.

**DÉMONSTRATION.** On pose $U_i = P_{c_0}^{i-1}(U_1)$; tant que $1 \le i \le k-1$, $P_{c_0}|_{U_i} : U_i \to U_{i+1}$ est conjugué à l'identité sur $D$, car $U_i$ ne contient pas de point critique. En revanche, $P_{c_0}|_{U_k=U_0} : U_0 \to U_1$ est conjugué à $z \mapsto z^2$ dans $D$, qui se prolonge au bord. Le point $y_1$
a donc deux préimages, $y_1'$ d'argument interne $1/2$ et lui-même. Comme son argument est dyadique, il existe un filament issu de $y_1'$ et il existe $\theta_1' > \theta_2'$ tels que leurs rayons aboutissent en $y_1'$ et tels que $$ \begin{cases} 2^k \theta_1' = \theta_1 \pmod 1, \\ 2^k \theta_2' = \theta_2 \pmod 1. \end{cases} $$

On définit $A_1'$ selon l'énoncé. On a:

$$ P_{c_0}^k (\partial A_1') = \partial A \\ U_1 \subset P_{c_0}^k (A_1') \\ P_{c_0}^k (A_1') \subset A \quad \Longrightarrow \quad A' = A_1' \text{ et } P_{c_0}^k : A' \to A \text{ est propre car c'est un polynôme.} $$

Comme $A$ est connexe, $P_{c_0}^k|_{A'}$ a un degré qui est le même que $P_{c_0}^k|_{U_1}$, i.e. 2.

■

**Proposition 10.1.2** *Π existe un ouvert Λ₁, voisinage de $\overline{W} \setminus \{c_1\}$, tel que pour tout $c \in \Lambda_1$, $\mathcal{R}_c(\theta_s)$ (resp. $\mathcal{R}(\theta_s')$), $s = 1, 2$, aboutissent en un même point $y_1(c)$ k-périodique (resp. $y_1'(c)$, préimage de $y_1(c)$ par $P_c^k$), ce qui permet de construire $P_c^k : A'(c) \to A(c)$ propre de degré deux.*

Commençons par un lemme :

**Lemme 10.1.3** *Pour $c$ dans $M$ ou tel que $\text{Arg}_{Mc} \in ]\theta_1, \theta_2[$, $\mathcal{R}_c(\theta_s)$ (resp. $\mathcal{R}(\theta_s')$), $s = 1, 2$, aboutissent en un point $y_s(c)$ (resp. $y_s'(c)$).*

**DÉMONSTRATION.** En vertu de la Proposition 1.4.2 de la Partie I, il suffit de vérifier que les rayons ne butent pas sur un point précritique de $P_c$.

- Si $c \in M$, comme $K_c$ est connexe, la grande orbite de $c$ est dans $K_c$ et tout rayon rationnel aboutit.

- Si $c \notin M$, supposons que $\mathcal{R}_c(\theta_s)$ bute sur un point précritique qui est une préimage de $c$. Cela signifie que $\theta = \text{arg}_{Mc}$ est dans le cycle de $\theta_s$.

Soit $H_{c_0}$, l'arbre de Hubbard de $P_{c_0}$. D'après [DH1], $c_0$ est une extrémité de $H_{c_0}$. Par suite, l'orbite de $\theta_s$, $s = 1, 2$, évite l'intervalle $]\theta_1, \theta_2[$ et $\theta$ ne peut être dans le cycle de $\theta_s$.

Donc $\mathcal{R}_c(\theta_1)$ et $\mathcal{R}_c(\theta_2)$ aboutissent.

Si $\mathcal{R}_c(\theta_s')$ bute, il en est de même pour $\mathcal{R}_c(\theta_s)$. En effet, étant une préimage de $c$, le point d'argument $\theta_s$ et de potentiel égal à celui du point précritique de $\theta_s'$ est aussi précritique. Or, $\mathcal{R}_c(\theta_s)$ aboutit : il en est donc de même pour $\mathcal{R}_c(\theta_s')$.

■

**DÉMONSTRATION DE 10.1.2.**

On considère $\Lambda_1$ l'ouvert délimité par les rayons $\mathcal{R}_M(\theta_1)$, $\mathcal{R}_M(\theta_2)$ et une équipotentielle $\eta_1 < \eta$ contenant $W$ (voir Figure 10.2).

Pour $c_0$, on a $P_{c_0}^k(y_1) = y_1$ et $(P_{c_0}^k)'(y_1) \neq 1$, car il n'y a qu'un cycle non répulsif dans $K_{c_0}$ : celui de 0. Par le théorème des fonctions implicites, on peut définir $c \mapsto y_1(c)$ au voisinage de $c_0$, C-analytique, telle que $$ \begin{cases} P_c^k(y_1(c)) = y_1(c), \\ y_1(c_0) = y_1. \end{cases} $$

D'autre part, par le Lemme 10.1.3, on sait que $\mathcal{R}_c(\theta_s)$, $s = 1, 2$, aboutissent pour $c$ dans $\Lambda_1$. Par suite, on peut définir, pour $c$ dans $\Lambda_1$, $\Gamma_s(c) = \lim_{\varphi_c^{-1}((1/n)e^{2i\pi\theta_s})} \text{comme}$
<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIG. 10.2 - $\Lambda_1$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIG. 10.3 - $A_1'(c)$.</figcaption></figure>

limite de fonctions C-analytiques. $\Gamma_s$ vérifie $$ \begin{cases} \Gamma_s(c_0) = y_1 \text{ et} \\ P_c^k(\Gamma_s(c)) = \Gamma_s(c). \end{cases} $$ Donc, par l'unicité du théorème des fonctions implicites, on a $$ \begin{cases} \Gamma_s = y_1, s = 1, 2 \\ c \text{ au voisinage de } c_0; \end{cases} $$ et par prolongement analytique, on a égalité sur tout $\Lambda_1$.

Soit $A(c)$, $c \in \Lambda_1$, l'ouvert délimité par $\mathcal{R}_c(\theta_1) \cup \{y_1(c)\} \cup \mathcal{R}_c(\theta_2) \cup \{G_c = \eta\}$ et contenant $c$. On note $A'(c)$ la composante connexe de $P_c^{-k}(A(c))$ ayant $y_1(c)$ et $y_1'(c)$ dans sa fermeture. Soit $A_1'(c)$ l'ouvert défini comme $A_1$ dans $K_{c_0}$ (voir Figure 10.3).
$$P_c^k(\partial A_1'(c)) = \partial A(c), \text{ donc } A_1'(c) = A'(c).$$

Pour tout $c \in \Lambda_1$, $P_c^k : A' \to A$ est holomorphe propre, donc admet un degré $(A(c) \text{ connexe})$ que l'on définit par $d(c) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\partial A'(c)} \frac{(P_c^k)'(z)}{P_c^k(z)-c} dz$ qui est holomorphe à valeur entière, donc constante sur $\Lambda_1$ connexe : $d(c) = d(c_0) = 2$.

<figure><img src="image_75.png" /></figure>
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIG. 10.4 - Λ₂.</figcaption></figure>

**Remarque.** La Proposition 10.1.2 présente une grande analogie avec la Proposition 8.3.1.

**Lemme 10.1.4** *Dans le plan des paramètres, R<sub>M</sub>(θ₁') et R<sub>M</sub>(θ₂') aboutissent en c₂, point de Misiurewicz (qui correspondra à la fin de la copie de M commençant en W).*

**DÉMONSTRATION.** D'après la Proposition 1.4.3 de la Partie I, R<sub>M</sub>(θ₁') aboutit en c₂ ∈ D₂.
En effet, θ₁ et θ₂ étant k-périodiques s'écrivent sous la forme p<sub>s</sub>/(2<sup>k</sup> - 1), s = 1, 2; par
conséquent θ<sub>s</sub>' = p<sub>s</sub>/(2<sup>k</sup>(2<sup>k</sup> - 1)). Dans K<sub>c₂</sub>, R<sub>c₂</sub>(θ₁') aboutit en c₂ (voir Proposition 1.4.4,
Partie I). Or, c₂ ∈ Λ₁, donc R<sub>c₂</sub>(θ₁) et R<sub>c₂</sub>(θ₂) aboutissent en P<sub>c₂</sub><sup>k</sup>(c₂); on en déduit que
R<sub>c₂</sub>(θ₂') aboutit en c₂, car P<sub>c₂</sub><sup>k</sup> est localement un isomorphisme. En utilisant encore la
Proposition 1.4.4, on en déduit que R<sub>M</sub>(θ₂') aboutit aussi en c₂.
■

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

Jusqu'ici, on a défini une famille (A'(c) $\xrightarrow{P_c^k} A(c))_{c \in \Lambda_2}$ holomorphe propre de degré deux. Ses éléments ne sont pas à allure polynomiale car $A'(c)$ n'est pas relativement compact dans $A(c)$. Il est donc nécessaire de changer un peu leurs définitions, ce que nous ferons en deux temps :

On fixe $\epsilon_0 > 0$ et on définit dans le plan des paramètres :

$$
- L_M(\theta_1) := \{c \in \Lambda_2, \arg_M(c) = \theta_1 + \epsilon_0 G_M^2(c)\},
$$

$$
- L_M(\theta_2) := \{c \in \Lambda_2, \arg_M(c) = \theta_2 - \epsilon_0 G_M^2(c)\},
$$

- $\Lambda_2 \subset \Lambda_1$, l'ouvert contenant $W$ et délimité par $L_M(\theta_1)$ et $L_M(\theta_2)$.

**Lemme 10.1.5** *Soit* $0 < \varepsilon < \varepsilon_0$; *pour tout c dans* $\Lambda_2$,

$$
\begin{cases}
L(\theta_1) = \{\arg_c(z) = \theta_1 + \epsilon G_c^2(z), 0 < G_c(z) < \eta\} \\
L(\theta_2) = \{\arg_c(z) = \theta_2 - \epsilon G_c^2(z), 0 < G_c(z) < \eta\}
\end{cases}
\quad (\subset A(c)) \text{ sont bien définies jusqu'en}
$$
$y_1(c)$.
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIG. 10.5 - Position des $L(\theta_s)$, $\Omega'$ et $\Omega$, $s = 1,2$ dans $A(c)$.</figcaption></figure>

### DÉMONSTRATION.
Si $c \in \Lambda_2 \cap M$, il n'y a pas de problème.

Soit donc $c \in \Lambda_2 \setminus M$ ; $L(\theta_1)$ est mal définie si et seulement si il existe une préimage $\omega$ de $c$ dont l'argument $t$ est dans $]\theta_1, \theta_2 + \varepsilon\eta^2[$ et le potentiel $s$ est plus grand que $\sqrt{\frac{t-\theta_1}{e}}$.
Dans le plan dynamique de $P_{c_0}$, il revient au même de considérer $z_0 = \psi_{c_0} \circ \varphi_M(c)$ et d'étudier l'existence d'une préimage $w_0 = \psi_{c_0}(e^{s+2i\pi t})$ de $z_0$ par $P_{c_0}$ telle que $0 < s < \eta'$ et $\theta_1 < t < \theta_1 + \varepsilon s^2$.

Soit $\Omega' = \{z = \psi_{c_0}(e^{s+2i\pi t}), 0 < s < \eta'$ et $\theta_1 < t < \theta_1 + \varepsilon s^2\}$; il suffit de montrer que l'orbite d'un point de $\Omega'$ ne tombe jamais dans le domaine de définition de $z_0$, à savoir $B = \{\psi_{c_0}(e^{s+2i\pi t}), 0 < s < \eta_1 \text{ et } \theta_1 + \varepsilon_0 s^2 < t < \theta_2 - \varepsilon s^2\}$.

On a $\Omega' \cap B = \emptyset$. L'application de premier retour est donnée par $P_{c_0}^k$ car $\Omega' \subset A'(c)$. On note $\Omega = P_{c_0}^k(\Omega') = \{z = \psi_{c_0}(e^{s+2i\pi t}), 0 < s < \eta \text{ et } \theta_1 < t < \theta_1 + \varepsilon s^2/2^k\}$; étant donné que $\Omega \cap A'(c) \subset \Omega'$ et $\Omega \cap B = \emptyset$ (voir Figure 10.5), $L(\theta_1)$ est bien définie. Il en est de même pour $L(\theta_2)$.

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

On a choisi $\varepsilon$ de telle sorte que $L(\theta_s)$ ne contienne pas de valeurs postcritiques. $L(\theta_s)$ étant dans $A'(c)$, admet deux préimages lisses par $P_c^k$, l'une $L'(\theta_s)$ aboutissant en $y_1(c)$, l'autre $L(\theta_s')$ en $y_1'(c)$.

Soit $z \in L'(\theta_s)$ : $2^k \text{Arg}_c z = \theta_s \pm \varepsilon 2^{2k} G_c^2(z)$.

* $\text{Arg}_c z > \theta_1 + \varepsilon G_c^2(z)$ et $L'(\theta_1)$ est au-dessus de $L(\theta_1)$.

* $\text{Arg}_c z < \theta_2 - \varepsilon G_c^2(z)$ et $L'(\theta_2)$ est au-dessous de $L(\theta_2)$.

On note $\begin{cases} A_2(c) & \text{l'ouvert contenant } y_1'(c) \text{ limité par } L(\theta_s), s = 1,2 \text{ et } \{G_c = \eta\}, \\ A_2'(c) = P_c^{-k}(A_1(c) \cap A'(c)) & \text{limité par } L(\theta_s'), L'(\theta_s), s = 1,2 \text{ et } \{G_c = \eta'\}, \end{cases}$ (voir Figure 10.6).

On a $A_2'(c) \subset A_2(c)$. Maintenant, $\forall c \in \Lambda_2$, $\partial A_2'(c)$ et $\partial A_2(c)$ n'ont que $y_1(c)$ en commun et $P_c^k : A_2'(c) \to A_2(c)$ est holomorphe propre de degré deux.

### Second temps

**Lemme 10.1.6** $\forall c \in \Lambda_2$, $y_1(c)$ est répulsif. Soit $\Delta_1(c_0)$ un voisinage linéarisable de $y_1$ et soit $s > 0$ assez petit pour que $z_t = \psi_{c_0}(e^{s+2i\pi\theta_t})$ appartienne à $\Delta_1(c_0)$, $t = 1,2$.

Alors il existe un mouvement holomorphe $\iota_\Delta : \Lambda_2 \times \Delta_1(c_0) \to C$ tel que $\iota_c(z_t) = \psi_c(e^{s+2i\pi\theta_t})$,
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIG. 10.6 - $A_2'(c) \subset A_2(c)$.</figcaption></figure>

et tel que $\Delta_1(c) = \iota(c, \Delta_{c_0})$ soit un domaine linéarisable de $y_1(c)$.

DÉMONSTRATION. D'après [DH1], on sait que $|(P_c^k)'(y_1(c))| \ge 1$. On définit donc

$$ \rho : \Lambda_2 \to C \setminus D \\ c \mapsto (P_c^k)'(y_1(c)) $$

holomorphe.

$\rho$ étant ouverte, on a $\rho : \Lambda_2 \to C \setminus \bar{D}$.

Soit $c \in \Lambda_2$. On considère un domaine linéarisable $V_c$ de $y_1(c)$ assez grand pour qu'il contienne $z_t(c) = \psi_c(e^{2i\pi\theta_t})$, $t = 1, 2$. Il existe une détermination du logarithme telle que $(V_c \setminus \{y_1(c)\})/(P_c^k) \simeq C/\log \rho(c)Z \oplus 2i\pi Z$. On note $\pi_c$ la projection du voisinage dans ce tore, et $\bar{z}_t(c) = \pi_c(z_t(c))$; on définit aussi $\omega_c$ la projection de $C$ dans le tore tel que $\omega_c(0) = \bar{z}_1(c)$, et $Q_c$ le bord du parallèlogramme de sommets $(0, 2i\pi, \log \rho(c), 2i\pi + \log \rho(c))$, qui est un domaine fondamental du tore. On note $\tilde{z}_2(c)$ le relevé de $\bar{z}_2(c)$ dans ce domaine.

On considère $H_c : Q_{c_0} \cup \{\tilde{z}_2\} \to Q_c \cup \{\tilde{z}_2(c)\}$, tel que $H_c(\tilde{z}_2) = \tilde{z}_2(c)$ et $H_c(u \log \rho(c_0) + v2i\pi) = u \log \rho(c) + v2i\pi$ pour $u \log \rho(c_0) + v2i\pi \in Q_c$. C'est un mouvement holomorphe au-dessus de $\Lambda_2$ qu'on prolonge au parallèlogramme, puis au plan par l'action des groupes d'automorphismes des deux tores. Ce mouvement holomorphe descend en un mouvement holomorphe $j_\Delta$ des tores qui suit $\bar{z}_t(c)$, $t = 1, 2$. On le relève en $\iota_\Delta : \Lambda_2 \times \Delta_1(c_0) \to C$ par $\iota_\Delta(c, z) = \pi_c^{-1} \circ j_\Delta(c, \pi_{c_0}(z))$ où $\pi_c^{-1}$ est la branche telle que $\pi_c^{-1}(\bar{z}_1(c)) = z_1(c)$.

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

Le point $y_1(c)$ étant répulsif, il existe un petit disque $\Delta_1'(c)$ centré en $y_1(c)$ tel que $\Delta_1'(c) \subset P_c^k(\Delta_1'(c)) = \Delta_1(c)$. On note $\Delta_2'$ la composante connexe de $P_c^{-k}(\Delta_1'(c))$ contenant $y_1'(c)$. On prend $\Delta_1'(c)$ assez petit pour que $\Delta_2'(c) \subset A_2(c)$.

Posons $\begin{cases} U_c' = A_2'(c) \cup \Delta_1'(c) \cup \Delta_2'(c), \\ U_c = A_2(c) \cup \Delta_1(c). \end{cases}$ (voir Figure 10.7).

On a $U_c' \subset U_c$. Donc, pour $c$ dans $\Lambda_2$, $f_c = (P_c^k : U_c' \to U_c)$ est une application à allure polynomiale quadratique.
<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>FIG. 10.7 - $U_c' \subsetneq U_c$.</figcaption></figure>

On a même mieux :

On note $U_1 = \{(c, z), c \in \Lambda_3, z \in U_c\}$, $U_1' = \{(c, z), c \in \Lambda_3, z \in U_{c'}\}$ et
$f : U_1' \to U_1$
$(c, z) \mapsto (c, f_c(z))$.

**Proposition 10.1.7** *f est une famille analytique.*

DÉMONSTRATION. Ceci résulte de l'existence de mouvements holomorphes des ouverts $U_c$ et $U_{c'}$.

En effet, on définit $\iota : \Lambda_2 \times (\partial U_{c_0} \cup \partial U_{c_0'}) \to \mathbb{C}$ par
$$
\begin{cases}
z \in (\partial A_2 \cup \partial A_2'), & \iota(\lambda, z) = \psi_c \circ \varphi_{c_0}(z), \\
z \in \partial \Delta_1, & \iota(\lambda, z) = \iota_{\Delta}(\lambda, z), \\
z \in (\partial \Delta_1' \cup \partial \Delta_2'), & \iota(\lambda, z) = P_c^{-1} \circ \iota(c, P_{c_0}(z)).
\end{cases}
$$

Par le théorème de Słodkowski, ce mouvement holomorphe se prolonge à C, i.e. on a
$\iota : \Lambda_2 \times U_{c_0} \to C$ tel que $\left\{ \begin{array}{l} \iota(c, U_{c_0}) = U_c, \\ \iota(c, U_{c_0'}) = U_{c'} \end{array} \right.$

Vérifions maintenant que *f* est une famille analytique :

(i) $U_{c_0}$ et $U_{c_0}'$ sont simplement connexes; donc les mouvements holomorphes associés montrent que $U_1$ et $U_1'$ sont homéomorphes au-dessus de $\Lambda_2$ à $\Lambda_2 \times D$.

(ii) On a $\partial U_1' \cap U_1 = \{(c, z) \in \Lambda_2 \times \mathbb{C}, z \in \partial U_c'\}$; il s'ensuit qu'un compact $L$ de $\Lambda_2$ se relève dans $\bar{U}_1'$ en $\mathcal{L} = \{(c, z) \in L \times \mathbb{C}, z \in \bar{U}_c'\}$, qui est compact.

(iii) *f* est polynomiale et $f^{-1}(U_1) = U_1'$.

Si on suppose *W* primitive, on peut agrandir $\Lambda_2$ au voisinage de $c_1$ pour avoir une
famille mandelbrotesque. Dans le sous-paragraphe suivant, on termine la preuve pour *W*
primitive et dans le dernier (sous-paragraphe) on traite le cas *W* non primitive.

<figure><img src="image_83.png" /></figure>
## 10.2 W primitive

D'après la Proposition 1.4.4 de la Partie I, $\mathcal{R}_{c_1}(\theta_1)$ et $\mathcal{R}_{c_1}(\theta_2)$ aboutissent au même point $y_1(c_1)$ parabolique de vraie période $k$, qui est la limite de $y_1(c)$ quand $c$ tend vers $c_1$ ; on construit de la même façon $A_2'(c_1)$ et $A_2(c_1)$. Comme $c_1$ est la racine de W primitive, $y_1(c_1)$ n'a qu'un seul pétale répulsif dont l'axe est contenu dans $C \setminus A_2'(c_1)$. On peut donc agrandir $A_1'(c_1)$ à l'aide de disques $\Delta_1'(c_1)$ et $\Delta_2'(c_1)$ centrés en $y_1(c_1)$ et $y_1'(c_1)$ respectivement, et $A_1(c_1)$ avec $\Delta_1(c_1)$ centré en $y_1(c_1)$ de telle sorte que $P_{c_1}^k : U_{c_1}' = A_2'(c_1) \cup \Delta_1'(c_1) \cup \Delta_2'(c_1) \to U_{c_1} = A_2(c_1) \cup \Delta_1(c_1)$ soit une application à allure polynomiale de degré deux (cf Fig. 10.8).

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>FIG. 10.8 - $U_{c_1}' \subsetneq U_{c_1}$.</figcaption></figure>

Il s'agit maintenant de prolonger cette famille au voisinage de $c_1$. Le théorème suivant est démontré dans le Chapitre 6 de la Partie III :

**Théorème 10.2.1** *Quand on est dans un voisinage de $c_1$ dans le plan des paramètres du type de la Figure 10.9, la dynamique devient une dynamique de "batteur à œufs" :*
- dédoublement du point parabolique $y_1(c_1)$ en $y_1$, $y_2$ répulsifs,
- présence de cylindres de Fatou-Ecalle d'extrémités $y_1$ et $y_2$, sur lesquels $f_c$ est conjuguée à $z \mapsto z+1$ sur $C/\mathbb{Z}$. Si $c$ est assez proche de $c_1$, $c$ est attiré par le "batteur" (voir Figure 10.10).

Pour $c \in \mathcal{R}_M(\theta_s)$, $s = 1, 2$, on ne peut pas faire la même construction que précédemment car $\mathcal{R}_c(\theta_s)$ bute sur un point précritique. Cependant, $\{G_c = \eta\}$ (pour $c \in \Delta_1$) coupe $\mathcal{R}_c(\theta_s)$, car $G_c(\omega_c) < G_c(c) < \eta$ et l'on définit $U_c$ comme étant l'ouvert contenant $y_1$ et $y_2$ et limité par $\{G_c = \eta\}$ avec le bord d'un relevé du cylindre. Soit $U_c'$ la composante connexe de $P_c^{-k}(U_c)$ contenant aussi $y_1$ et $y_2$ (voir Fig. 10.11). $U_c'$ est limité par $\{G_c = \eta'\}$ et l'autre bord du cylindre. On a $U_c' \subset \subset U_c$ car $P_c^{-k}$ est strictement contractante sur $C \setminus K_c$ et sur le cylindre.

On a donc défini $P_c^k : U_c' \to U_c$, application à allure polynomiale de degré deux, $c \in \Delta_1$.
<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>FIG. 10.9 - Déploiement parabolique.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>FIG. 10.10 - "Batteur à œufs".</figcaption></figure>

On pose $\Lambda = \Lambda_2 \cup \Delta_1$ (voir Figure 10.12).

Finalement, on a construit une famille $(U_c' \xrightarrow{f_c} U_c)_{c \in \Lambda}$ d'applications à allure polynomiale quadratiques. Il faut donc vérifier qu'on peut appliquer la théorie exposée dans [DH2], i.e. montrer que cette famille est analytique.

On note $\mathcal{U} = \{(c, z), c \in \Lambda, z \in U_c\}$, $\mathcal{U}' = \{(c, z), c \in \Lambda, z \in U_c'\}$ et

$$f: \mathcal{U}' \to \mathcal{U} \\ (c, z) \mapsto (c, f_c(z)).$$

On va changer un peu la définition des ouverts pour obtenir des mouvements holomorphes de $U_c'$ et $U_c$ :

Dans un premier temps, on va montrer que $\iota_\Delta$ (cf Lemme 10.1.6) admet un prolongement à $\Delta_1$, afin d'obtenir un mouvement holomorphe pour les $\partial U_c$, $c \in \Lambda$; ensuite, on le prolongera à $U_c$. On considère $\gamma \subset \partial\Delta_1(c_1)$ d'extrémités $\psi_{c_1}(e^{s+2i\pi\theta_1})$ et $\psi_{c_1}(e^{s+2i\pi\theta_2})$. Soit $\gamma' = P_{c_1}^{-1}(\gamma)$. D'après la Proposition 6.1.5 (voir Partie III), il existe un mouvement holomorphe au-dessus d'un voisinage de $c_1$ du quadrilatère $(\gamma', \gamma)$ tel que l'image pour chaque $c$ soit un quadrilatère dont les côtés images de $\gamma'$ et $\gamma$ se correspondent par $P_c$. Quitte à composer à gauche par une application holomorphe de $(c, z)$, affine à $c$ fixé, on peut supposer que l'image de $\psi_{c_1}(e^{s+2i\pi\theta_1})$ est $\psi_c(e^{s+2i\pi\theta_1})$ et que celle de $\psi_{c_1}(e^{s+2i\pi\theta_2})$ est
<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>FIG. 10.11 - $U'_c \subset U_c, c \in \Lambda \setminus M_{c_0}$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>FIG. 10.12 - Λ.</figcaption></figure>

$$ \psi_c(e^{s+2i\pi\theta_2}). $$

On définit $U_c$ bordé par $A_2(c)$ et $\iota(c, \gamma)$. Ceci induit donc une famille analytique (voir Proposition 10.1.7).

D'après la Proposition 5.1.3 de la Partie II, on peut définir $\chi : \Lambda \to C$ telle que $f_c \sim_{hyb} P_{\chi(c)}$, $\chi$ continue sur $\Lambda$ et analytique sur $\mathring{M}_{c_0}$ où $M_{c_0} = \{c \in \Lambda, K(f_c) \text{ connexe}\}$.

Montrons que $M_{c_0}$ est un compact de $\Lambda$ :

► $M_{c_0}$ est fermé dans $\Lambda$ car $M_{c_0} = \bigcap_{n \ge 0} \{c \in \Lambda, f^n(c, c) \in \bar{U}'\}$.

► Afin de montrer que $M_{c_0} \subset \Lambda$, on va montrer que pour tout $c$ assez proche de $\partial\Lambda$, $K(f_c)$ est un Cantor.

- Si $c \in \Delta_1$, alors d'après le Théorème 10.2.1, $c$ (valeur critique de $f_c$) est attiré par le batteur et s'échappe, donc $K(f_c)$ est un Cantor.

- Le reste de $\partial\Lambda$ est dans $C \setminus M$, donc pour un point $c$ proche, $K_c$ est un Cantor et comme
$K(f_c) \subset K_c$, on en déduit que $K(f_c)$ est un Cantor.

Donc, $M_{c_0} \subset \subset \Lambda$.

**Remarque.** $\chi(c_1) = 1/4$.

En effet, soit $c \in W$ ; il existe $\tilde{\varphi}_c$ tel que $f_c \sim_{hyb} P_{\chi(c)}$ et il existe $z_a(c) \in U_c'$ fixe attractif tel que $f_c'(z_a(c)) = \rho_W(c)$. Soit $U$ un voisinage relativement compact dans le bassin immédiat de $z_a(c)$ : $\tilde{\varphi}_c : U \to \tilde{\varphi}_c(U)$ est biholomorphe. Donc, $\tilde{\varphi}_c(z_a(c))$ est un point fixe de $P_{\chi(c)}$ et $P_{\chi(c)}'(\tilde{\varphi}_c(z_a(c))) = f_c'(z_a(c))$.

Par suite, on a

$$ \chi: \begin{array}{rcl} W & \to & W_0 \\ c & \mapsto & \rho_{W_0}^{-1} \circ \rho_W(c), \end{array} $$

et comme $\chi$ est continue, $\chi(c_1) = 1/4$.

D'après la Proposition 5.1.3 de la Partie II, $\chi : M_{c_0} \to M$ a un degré $d$ égal au nombre de tours de $f_c(\omega_c) - \omega_c = c - \omega_c$ quand $c$ parcourt une fois un lacet qui tourne (une fois) autour de $M_{c_0}$.

Les figures suivantes illustrent les positions du vecteur $c - \omega_c$ quand $c$ parcourt $\partial\Lambda$ : voir Figures 10.13.

<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>FIG. 10.13 - Degré de $\chi$.</figcaption></figure>

Par suite, $d = 1$ et la famille est mandelbrotesque.

## 10.3 W non primitive

On choisit $\Lambda = \Lambda_2$ (voir Figure 10.14). D'après la Proposition 10.1.7, $(f_c)_{c \in \Lambda}$ est une famille analytique d'applications à allure polynomiale. D'après la Proposition 5.1.3 de la Partie II, il existe $\chi : \Lambda \to \mathbb{C}$ continue telle que $\forall c \in \Lambda$, $f_c \sim_{hyb} P_{\chi(c)}$.

**Lemme 10.3.1** *Pour $c \in M_{c_0}$, on a $\lim_{c \to c_1} \chi(c) = 1/4$.*

**Remarque.** Par la construction de $\Lambda$, l'adhérence dans $\mathbb{C}$ de $M_{c_0}$ est $c_1$.
<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>FIG. 10.14 - Λ.</figcaption></figure>

DÉMONSTRATION. On commence par montrer que $\chi|_W = \rho_{\bar{W}_0}^{-1} \circ \rho_W$. Il s'ensuit que le lemme est vrai sur W, et même sur $\bar{W}$.

On considère une suite $(c_n)$ de $M_{c_0}$ de limite $c_1$. Par un corollaire des inégalités de Yoccoz (voir e.g. [Hu]), les $\chi(c_n)$ appartiennent à des membres de diamètres tendant vers zéro, i.e. ils ont même limites que les racines de ces membres, à savoir 1/4.

■

D'après le Théorème 4 de [DH2], $\chi$ restreint à $M_{c_0}$ est un revêtement ramifié de degré $\delta \ge 1$. D'après la remarque ci-dessus, on peut considérer un lacet basé à la racine $c_1$ qui fait une fois le tour de $M_{c_0}$ dans $\Lambda \cup \{c_1\}$. En adaptant la Proposition 5.1.3, on montre que le degré de $\chi$ est égal au nombre de tours de $(c - \omega_c)$ quand $c$ parcourt une fois ce lacet (l'extension de $\chi$ à la racine est encore un revêtement ramifié). Comme dans le cas primitif, lorsque l'on parcourt ce lacet, $c - \omega_c$ parcourt à la limite un seul tour. Par conséquent, $\chi$ prend au plus une valeur par point : c'est donc un homéomorphisme. On en déduit que $(f_c)_{c \in \Lambda}$ est une famille semi-mandelbrotesque. De plus, $\chi$ se prolonge continûment à $M$ tout entier en posant $\chi(c_1) = 1/4$.

Bien qu'on ne puisse pas définir d'application à allure polynomiale à la racine $c_1$, on a cependant la

**Proposition 10.3.2** *Le polynôme $P_{1/4}$ figure de manière rigide dans $P_{c_1}$.*

DÉMONSTRATION. D'après [CJY], les composantes connexes de $\mathring{K}_{c_1}$ sont des quasidisques. On note $U_1$ celle qui contient $c_1$. Il existe deux ouverts $U_{c_1}'$ et $U_{c_1}$ contenant $\bar{U}_1$ tels que $(P_{c_1}^k, U_{c_1}', U_{c_1}, \bar{U}_1)$ soit une silhouette quadratique. Sa classe externe n'admet qu'un point marqué, à savoir un point fixe parabolique.

Soit $\varphi : U_1 \to D$ une application conforme tel que
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\varphi(y_1(c_1)) & = 1, \\
\varphi(\omega_{c_1}) & = 0.
\end{array}
\right.
$$
Cette application conjugue $P_{c_1}^k$ à

$$B : z \mapsto \frac{z^2 + 3}{1 + 3z^2}.$$

Comme $U_1$ est un quasidisque, $\varphi$ se prolonge quasiconformément à $\bar{C}$, et il ne reste plus qu'à montrer que $P_{1/4}$ figure dans $B$. Pour cela, on procède à la même décomposition que dans la démonstration de la Proposition 5.5.1 de la Partie II.

Notons $S_0$ un secteur invariant issu du chou-fleur, que l'on découpe en domaines fondamentaux $D_n$, et soit $T_0$ un secteur issu de $B$ correspondant à $S_0$. On note $S_n$ l'image réciproque de $S_0$ issu de $P_{1/4}^{-n}(1/2)$. Sur une réunion de quadrilatères, on construit une application quasiconforme $\psi$ par *pull-back*. Sur les secteurs restant, on prolonge par des arcs de cercles.

La restriction de $\psi$ à un domaine $D_n$ a une eccentricité $K_\psi \asymp |\log \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}|^{-1} \asymp n$. Pour conclure, montrons :

**Lemme 10.3.3** On a $\psi \in W^{1,\nu}$ pour tout $\nu \in ]1,2[$.

**DÉMONSTRATION.**

$$\|\psi\|_{L^2} \asymp \int (K_\psi Jac\psi)^{\nu/2} = \sum_n \int_{S_n} (K_\psi Jac\psi)^{\nu/2} + C.$$

Or

$$\int_{S_n} (K_\psi Jac\psi)^{\nu/2} = \int_{S_0} (K_\psi(P^{-n}) Jac\psi(P^{-n}))^{\nu/2} |(P^{-n})'|^2 = \int_{S_0} (K_\psi Jac\psi)^{\nu/2} |(B^{-n})'|^\nu |(P^{-n})'|^{2-\nu} \\ \text{car } Jac\psi(P^{-n})|(P^{-n})'|^2 = Jac\psi|(B^{-n})'|^2.$$

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>FIG. 10.15 - Estimation des distances.</figcaption></figure>
Notons $\alpha \in ]1, 2[$ la dimension de Hausdorff de $J_P$ et soit $p \in ]1, \frac{\alpha}{\alpha+\nu-2}[$. Par le théorème de Kōbe et l'inégalité de Hölder,

$$
\begin{aligned}
\|\psi\|_{L^\nu} &\le C \int_{S_0} (K_\psi Jac\psi)^{\nu/2} \sum |(B^{-n})'(1)|^\nu |(P^{-n})'(1/2)|^{2-\nu} \\
&\le C \int_{S_0} (K_\psi Jac\psi)^{\nu/2} \left( \sum |(B^{-n})'(1)|^{p\nu} \right)^{1/p} \left( \sum |(P^{-n})'(1/2)|^{\frac{2-\nu}{1-1/p}} \right)^{1-1/p} .
\end{aligned}
$$

D'après [Mc5], comme $p\nu > 1$ et $\frac{2-\nu}{1-1/p} > \alpha$, les deux sommes sont finies. De plus,

$$
\int_{S_0} (K_{\psi} Jac \psi)^{\nu/2} \leq C \sum_n n^{\nu/2} (\text{Aire } D_n)^{1-\nu/2} \left( \int_{D_n} Jac \psi \right)^{\nu/2} .
$$

On trouve

$$
\int_{S_0} (K_\psi Jac \psi)^{\nu/2} \leq C \sum_n (1/n)^{4-(3/2)\nu} < \infty.
$$

Par suite, l'application est dans $W^{1,\nu}$ et $P_{1/4}$ figure de manière rigide dans $B$.

<figure><img src="image_92.png" /></figure>

**Remarque.** Réciproquement, $\psi^{-1} \in W^{1,2} \operatorname{car} \|\psi\|_{L^2}^2 \asymp \int K_\psi Jac\psi \asymp \sum n \int_{\psi(D_n)} Jac\psi^{-1} \asymp \sum 1/n^3 < \infty$.
# Chapitre 11

## Opération de Modulation

Soient $c_0 \in D_0$ de période $k \ge 1$, et $W$ sa composante hyperbolique. On considère $\chi_{c_0} : M_{c_0} \to M$. Si $W$ n'est pas primitive, on prolonge $\chi_{c_0}$ par continuité en posant $\chi_{c_0}(c_1) = 1/4$.

On définit alors

$$c_0 \perp . : \begin{array}{rcl} M & \to & M_{c_0} \\ c & \mapsto & c_0 \perp c = \chi^{-1}(c). \end{array}$$

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>**Figure 11** *Deux ensembles de Julia de la même copie.*</figcaption></figure>
<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>Figure 12 Modulateur et zoom d'un polynôme modulé.</figcaption></figure>

Dans ce chapitre, nous allons analyser l'opération de modulation afin d'obtenir des
liens de caractère topologique ou/et combinatoire entre les différents ensembles de Julia.
Le théorème principal est le suivant :

**Théorème 8** *L'opération de modulation agit sur les ensembles de Julia remplis comme suit :* $K_{c_0 \perp c}$ est homéomorphe à $K_{c_0}$ dans lequel on a remplacé les composantes connexes de l'intérieur par des “copies” de $K_c$.

Pour sa démonstration, on va construire $\chi^{-1}$ par chirurgie. Par ailleurs, on va définir un modèle topologique du compact obtenu en remplaçant des composantes connexes de l'intérieur par d'autre(s) compact(s). Ceci permettra de généraliser la notion de modulation.

Une fois le théorème démontré, on énoncera quelques corollaires immédiats.

Le but est de comprendre la combinatoire et la géométrie de l'ensemble de Julia modulé
à partir de celles de l'ensemble de départ et de $c_0$. A cette fin, on va étudier des puzzles
associés à la copie $M_{c_0}$ isolant les petits ensembles de Julia ; du coup, on pourra définir un
modèle topologique du modulé (polynôme topologique sur une sphère) ainsi qu'un modèle
combinatoire de l'ensemble de Julia.

Du chapitre précédent, on n'utilise essentiellement que la construction de l'applica-
tion à allure polynomiale faite pour les centres des copies, et, dans la première section,
l'existence de ces copies.

11.1 Puzzle associé à une copie $M_{c_0}$

La copie $M_{c_0}$ de $M$ diffère essentiellement de $M$ en ce que les rayons dyadiques qui aboutissaient de manière unique à un point de $M$, ne sont plus les seuls qui aboutissent dans la copie. Plus précisément :

Définition. Soit $\hat{D}_2 = \{c \in M_{c_0}, \exists n \ge 1, P_c^n(c) = y_1(c)\}$.
Cet ensemble comprend exactement les paramètres de $M_{c0}$ qui représentent les points d'aboutissement des rayons dyadiques dans M.

Commençons par une proposition préliminaire, qui va nous permettre de définir les puzzles :

**Proposition 11.1.1** *Π existe Λ∞ ⊂ C tel que :*

(i) $Λ_∞ ∩ M = M_{c0} \setminus (\hat{D}_2 ∪ \{c_1\})$;

(ii) $∀z_0 ∈ P_{c0}^{-n}(y_1), ∃!z : Λ_∞ → C \text{ holomorphe telle que}$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
P_c^n(z(c)) = y_1(c) \text{ avec } z(c_0) = z_0, \\
\exists! (t_1, t_2) \text{ préimages de } \theta_1 \text{ et } \theta_2 \text{ par } 2^{nk} \text{ telles que } \gamma_c(t_1) = \gamma_c(t_2) = z(c);
\end{array}
\right.
$$

(iii) si $c \in \hat{D}_2$, alors il existe $n_0 \ge 0$ tel que la propriété (ii) soit vraie pour $n \le n_0$ ; sinon,
pour $n > n_0$, il existe exactement deux couples préimages de $(\theta_1, \theta_2)$ qui vérifient (ii).

Le principe de la démonstration consiste à construire une suite décroissante d'ouverts $(\Lambda_n)_{n \ge 0}$ vérifiant (ii) et (iii) jusqu'au rang $(n+1)k$, et dont $\Lambda_\infty$ sera l'intersection.

DÉMONSTRATION.

► Soit $\Lambda_0$ l'ouvert contenant $c_0$ délimité par $R_M(\theta_1) \cup \{c_1\} \cup R_M(\theta_2)$ et l'équipotentielle ($G_M = \eta$), $\eta > 0$. D'après la Proposition 10.1.2, on sait que l'application de $\Lambda_0$, $y_1$: $c \mapsto y_1(c)$ est bien définie et vérifie les propriétés (ii) et (iii). De plus, $R_c(\theta_1')$ et $R_c(\theta_2')$ aboutissent au même point pour $c \in \Lambda_0$. Par conséquent, on peut appliquer la Proposition 8.3.1 à tout point $z_0$ tel que $P_{c0}^i(z_0) = y_1$, $k \ge i \ge 0$, car, sinon, on aurait deux points précritiques sur lesquels $R_c(\theta_1')$ et $R_c(\theta_2')$ buteraient.

► Soit $\Lambda_1 \subset \Lambda_0$ contenant $c_0$ et bordé par $R_M(\theta_1') \cup \{c_2\} \cup R_M(\theta_2')$ (cf Lemme 10.1.4). Soit $A_1$ l'ouvert correspondant dans le plan de $P_{c0}$. On note $A_1'$ la composante connexe de $P_{c0}^{-k}(A_1)$ contenue dans $A_1$. Alors, $A_1' \xrightarrow{P_{c0}^k} A_1$ est un revêtement quadratique. On note $y_2$ et $y_2'$ les images réciproques de $y_1'$ par cette application. Il existe $t_1, t_2, t_1', t_2'$ des rayons qui aboutissent à $y_2$ et $y_2'$ respectivement. Ils y aboutissent aussi pour tout $c$ dans $\Lambda_1$. En effet, si l'un d'eux, e.g. $t$, butait, alors, comme $c$ est dans $\Lambda_1$, cela impliquerait que $c$ serait d'argument $2^k t$ ou $2^{2k} t$, ce qui est impossible puisque ces rayons ne sont pas dans $A_1$. De ce fait, les rayons préimages intermédiaires aboutissent aussi, et on conclut par la Proposition 8.3.1. Cependant, ces rayons aboutissent tous les quatre au même point pour $c_2 = \gamma_M(\theta_1')$. De plus, par la Proposition 1.4.4 de la Partie I, on sait que $R_M(t_1)$ et $R_M(t_2)$ (respectivement $R_M(t_1')$ et $R_M(t_2')$) aboutissent en un même point de $\hat{D}_2$ dans le plan des paramètres. Ceci nous permet de construire $\Lambda_2$.

► On suppose $\Lambda_n$ construit. Soit $A_n (= A_{n-1}')$ l'ouvert correspondant dans le plan dynamique de $c_0$. On note $A_n'$ la composante connexe de $P_{c0}^{-k}(A_n)$ contenue dans $A_n$. On considère $y_n \in \partial A_n \cap P_{c0}^{-kn}(y_1)$. Ce point a deux rayons préimages de $\theta_1$ et $\theta_2$ qui y aboutissent. Soient $y_{n+1}$ et $y_{n+1}'$ ses images réciproques par $A_n' \xrightarrow{P_{c0}^k} A_n$. Elles ont chacun deux rayons $(t_1, t_2)$ et $(t_1', t_2')$ qui y aboutissent. Elles aboutissent aussi à un même point pour tout $c$ dans $\Lambda_n$. Sinon, $c$ serait d'argument un itéré $k$ième de ces rayons. Or, ces rayons ne sont pas dans $\Lambda_n$ (cf ci-dessus). On montre de la même façon que les rayons intermédiaires aboutissent eux aussi, en vertu de la Proposition 8.3.1. De plus, $\gamma_M(t_1) = \gamma_M(t_2)$
et $\gamma_M(t_1') = \gamma_M(t_2')$, ce qui permet de construire $\Lambda_{n+1}$ comme ouvert de $\Lambda_n$ contenant $c_0$ et bordé par $R_M(t_1) \cup \{\gamma_M(t_1)\} \cup R_M(t_2)$ et $R_M(t_1') \cup \{\gamma_M(t_1')\} \cup R_M(t_2')$ (et les autres rayons provenant des autres préimages).

On note $\Lambda_\infty = \cap_{n\ge 0}\Lambda_n$. La vérification des points de la proposition est directe.

La seule différence combinatoire entre $c_0$ et un point de $\hat{D}_2$ concerne les points précriminaires du polynôme de Misiurewicz : le nombre de rayons qui aboutissent est double.

De plus, $P_{c_1}$ et $P_{c_0}$ sont topologiquement conjugués sur leurs ensembles de Julia, donc ce résultat vaut aussi pour $c_1$.

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Figure 13 Puzzles associés.</figcaption></figure>

**Définitions.** En suivant l'idée des puzzles de Branner-Hubbard et Yoccoz (voir [BH], [Hu]), on considère la suite de partitions définies comme suit, pour $c \in \Lambda_\infty$ :

- on fixe $\eta > 0$ et on pose $\Gamma_0 = \cup_{0 \le n \le k} (R_c(2^n\theta_1) \cup \{P_c^n(y_1)\} \cup R_c(2^n\theta_2)) \cup (G_c = \eta)$, dont la partition définit le puzzle de niveau 0, noté $P_0$; la fermeture des composantes connexes bornées du complémentaire sont les pièces de $P_0$. On définit par récurrence $\Gamma_n = P_c^{-1}(\Gamma_{n-1})$, qui induit le puzzle $P_n$ de niveau $n$. $P_c$ envoie une pièce de $P_n$ sur une pièce de $P_{n-1}$.

- un bout $x = (X_0 \supset X_1 \supset \dots)$ est une suite décroissante de pièces telle que $\forall n \ge 0$, $X_n \in P_n$. $P_c$ agit sur les bouts. On note $\mathcal{E}_P$ l'ensemble des bouts.

- on définit enfin l'impression du bout $x$ par $I(x) = \cap X_n$, compact connexe.

On munit $P_n$ de la métrique suivante : soient $P, Q \in P_n$ ; si $P = Q$, on pose $d_n(P, Q) = 0$. Sinon, il existe une chaîne $P_0, P_1, \dots, P_k$ telle que $P_0 = P, P_k = Q$ et $P \cup P_i$ est connexe ; on pose alors $d_n(P, Q) = \min\{k, \text{ tel que } P_0, P_1, \dots, P_k \text{ soit un chemin de } P \text{ à } Q\}$.

On munit alors $\mathcal{E}_P$ de la topologie produit, qui en fait un espace compact, et dont une métrique est, pour $x = (X_0 \supset X_1 \supset \dots)$ et $y = (Y_0 \supset Y_1 \supset \dots)$, $d(x, y) = \sum_{n \ge 0} \frac{d_n(X_n, Y_n)}{2^n |P_n|}$.

À tout $z \in K_c$ qui n'est pas dans la grande orbite de $y_1(c)$, on associe le bout $N(z) = (X_0 \supset X_1 \supset \dots)$ tel que $\forall n \ge 0$, $z \in X_n$. Cette application est continue et vérifie $z \in I \circ N(z)$.
La Proposition 11.1.1 entraîne le résultat suivant :

- $\forall n \ge 0,$

$$
\begin{array}{rcl}
\iota_n : & \Lambda_n \times \bigcup_{0 \le p \le n} \Gamma_p(c_0) & \to C \\
& (c, z) \mapsto \psi_c \circ \varphi_{c_0}(z)
\end{array}
$$

est un mouvement holomorphe de point base $c_0$ tel que $\iota_n(\Gamma_p(c_0)) = \Gamma_p(c)$.

- ces mouvements holomorphes induisent un homéomorphisme $\iota_c : \mathcal{E}_p(c_0) \to \mathcal{E}_p(c)$ (c'est en fait une isométrie) conjugant $P_{c_0}$ à $P_c$.

**Proposition 11.1.2** *Soit $c \in M_{c_0} \setminus \hat{D}_2$, alors pour tout bout $x$ de $P_c$, soit $I(x)$ est un point, soit $I(x)$ est homéomorphe à $K_{x_{c_0}(c)}$*

**Remarque.** Si $c \in \hat{D}_2$, alors l'impression de tout bout est un point. D'une part, les rayons aboutissant aux points précritiques vont morceler les petites copies du Julia ; d'autre part, comme le polynôme est sous-hyperbolique, il existe une métrique telle que $P_c$ soit forte- ment dilatante, et par conséquent les pièces ont un diamètre qui décroît exponentiellement ($\mathring{K}_c = \emptyset$).

**DÉMONSTRATION.** ▷ On commence par examiner le cas de $c_0$ et on note $c = (C_0 \supset C_1 \supset \dots)$ le bout contenant la point critique. D'après la preuve du Théorème de Modulation, on a $I(c) = \bar{U}_0$, adhérence de la composante de Fatou contenant l'origine.

On considère maintenant un bout $x$ qui n'est pas dans l'orbite de $c$, i.e. $\forall n \ge 0$, $\exists p \ge 0$
tel que $P_{c_0}^n(\mathring{X}_{p+n}) \cap C_p = \emptyset$. La méthode consiste à rechercher s'il existe une sous-suite
$(X_{n_k})$ telle que $(X_{n_k+1} \setminus X_{n_k})$ soit un anneau non dégénéré. Si c'est le cas, des estimations
sur les modules d'anneaux (voir [BH], [Hu]) permettent de conclure que l'impression est
un point.

Comme le bout critique est périodique ($P_{c_0}^k(C_{k+n}) = C_n$), on en déduit l'existence de $m$ tel
que pour tout $n$, $P_{c_0}^n(X_{m+n}) \neq C_m$, i.e. on en déduit que $x$ ne devient pas arbitrairement
proche du bout critique, sinon il devrait être périodique, et donc critique. Par conséquent,
il existe ($n_p$) telle que $P_{c_0}^{n_p}(X_{m+n_p}) \neq C_m$ et $P_{c_0}^{n_p}(X_{n_p}) = C_0$. L'anneau $C_0 \setminus P_{c_0}^{n_p}(X_{n_p+m})$
est non dégénéré, donc $X_{n_p} \setminus X_{n_p+m}$ est lui-même non dégénéré. Comme on a un nombre
fini d'anneaux à la profondeur $m$, que le bout $x$ passe un nombre fini de fois vers le point
critique, d'une part les anneaux $C_0 \setminus P_{c_0}^{n_p}(X_{n_p+m})$ sont de module uniformément minoré,
et d'autre part l'application retour-inverse à $x$ est de degré majoré, donc l'impression est
un point.

Cette preuve est une adaptation directe de résultats des articles cités en référence.

▷ Soit $c \in M_{c_0} \setminus \hat{D}_2$. Le transport des pièces par les $\iota_n$ nous assure d'une part que les partitions sont identiques, avec la même action sur les bouts et, d'autre part, que les anneaux non dégénérés s'envoient sur des anneaux non dégénérés.

<figure><img src="image_96.png" /></figure>

**Remarque.** La propriété fondamentale qui a été utilisée est ce qu'on appelle dans la littérature, le cas hors-critique (off critical). Elle correspond au fait que le bout considéré n'est pas une préimage d'un bout contenant un point critique. Cette démonstration est donc valable en tout degré, dès qu'on examine un bout hors-critique.
**Corollaire 11.1.3** *Pour tout $c$ dans $M_{c_0}$, l'ensemble de Julia $J_c$ est localement connexe en tout point qui n'appartient pas à une petite copie.*

**Corollaire 11.1.4** *Si $c \in M_{c_0} \setminus \hat{D}_2$, on note $S_c = \{z \in K_c, \text{ tel que } \{z\} \text{ soit l'impression d'un bout}\}$; alors, $P_{c_0}$ et $P_c$ sont conjugués de $S_{c_0}$ sur $S_c$.*

**Remarque.** Si $c \in \hat{D}_2$, alors on a à faire à une semi-conjugaison de $\mathcal{E}_P(c)$ dans $\mathcal{E}_P(c_0)$, injective au-dessus de $S_{c_0}$.

## 11.2 Modèle topologique de la modulation

► Soit $c_0 \in D_0(k)$, $k > 1$. On définit des voisinages $U_{c_0}' \subset U_{c_0}$ de la composante de Fatou contenant $c_0$, comme cela a été fait dans la démonstration du Théorème de Modulation. On considère le puzzle associé, bordé par une équipotentielle pour que la première pièce $X_1'$ contenant la valeur critique soit contenue dans $U_{c_0}$. On note $X_0 = P_{c_0}^{-1}(X_1')$, $X_i = P_{c_0}^{-(k-i)}(X_0)$, $i > 0$, entourant une composante du cycle, et $h_{c_0}$ la classe externe de $P_{c_0}^k : U_{c_0}' \to U_{c_0}$.

► Soit $c \in M$, $c \neq 1/4$; on considère son accouplement avec $h_{c_0}$, et on obtient $f_c : U_{c'} \to U_c$. Il existe donc une application $\psi_1 : U_{c_0} \setminus K(P_{c_0}^k) \to U_c \setminus K(f_c)$ conforme qui conjugue les applications. Pour $1 < i \le k$, on définit $\psi_i = \psi_1 \circ P_{c_0}^{i-1}$. Par suite, $\partial X_0$ est dans le domaine de $\psi_k$. On note $X_0(c)$ la pièce bordée par $\psi_k(\partial X_0)$. Le bord de ces deux pièces sont des quasicercles, car s'ils ne sont pas R-analytiques en un point, ce point est prérépulsif, donc l'application y est quasisymétrique.

On prolonge $\psi_k|_{\partial X_0}$ par l'extension barycentrique en $\varphi : X_0 \to X_0(c)$ qui est quasiconforme.

► On définit $\mu_0 = \frac{\varphi_{\bar{z}}}{\varphi_z}$ sur $X_0$ qu'on prolonge par $P_{c_0}^*$ sur le cycle et par zéro ailleurs. Soit $\phi_0$ l'unique solution de cette équation, tangente à l'identité à l'infini. On pose $C_0 = \phi : \bar{C} \setminus (\cup X_i) \to \bar{C}$ et $C_i : X_0(c) \to \bar{C}$ par $C_i = \phi \circ P_{c_0}^{-i+1} \circ \varphi^{-1}$. Ces applications sont conformes, et montrent que

$$ \Sigma_0 = (\bar{C} \setminus (\cup X_i)) \cup (\cup X_i(c))/(\psi_i|_{\partial X_i(c)}) $$

est une sphère conforme qui hérite des structures complexes de chaque composante.

► On définit $F_0 : \Sigma_0 \to \Sigma_0$ comme suit :
* si $z \in \bar{C} \setminus P_{c_0}^{-1}(\cup X_i)$, $F_0(z) = P_{c_0}(z)$,
* si $z \in X_0(c)$, $F_0(z) = f_c : X_0(c) \to X_1(c)$,
* si $z \in X_i(c)$, $F_0(z) = \text{id}^{\text{té}} : X_i(c) \to X_{i+1}(c)$,
* si $z \in \cup P_{c_0}^{-1}(X_i)$, $F_0(z) = \varphi \circ P_{c_0}^{n_z} \in X_i(c)$.

Cette application est un revêtement ramifié quadratique quasirégulier.

► On définit sur $\Sigma_0$ la forme $\mu_1 = \frac{(F_0)_{\bar{z}}}{(F_0)_z}$. Comme elle est intégrable, on peut définir la sphère $\Sigma_1$ comme étant $\Sigma_0$ où $P_{c_0}^{-1}(\cup X_i)$ a été remplacé par des copies de $X_0(c)$. De plus,
on définit $\pi_1 : \Sigma_1 \to \Sigma_0$ comme étant l'identité, là où il n'y a pas de changement, et sinon, par $F_0^{-1} \circ \varphi^{-1}$. Cette application est un homéomorphisme quasiconforme et on pose $F_1 = \pi_1^{-1} \circ F_0 \circ \pi_1$, qui est aussi quasirégulière.

▷ De proche en proche, on définit $\Sigma_n, \pi_n : \Sigma_n \to \Sigma_{n-1}$ comme étant l'identité, là où il n'y a pas de changement, et sinon, par $F_{n-1}^{-1} \circ \varphi^{-1}$. Cette application est un homéomorphisme quasiconforme et on pose $F_n = \pi_n^{-1} \circ F_{n-1} \circ \pi_n : \Sigma_n \to \Sigma_n$.

On pose

$$ \Sigma_{\infty} = \lim_{\leftarrow} (\Sigma_n, \pi_n) \text{ et } F_{\infty} : \Sigma_{\infty} \to \Sigma_{\infty} \\ (z_n)_{n \ge 0} \mapsto (F_n(z_n))_{n \ge 0}. $$

$F_{\infty} : \Sigma_{\infty} \to \Sigma_{\infty}$ est un revêtement ramifié quadratique représentant le modulé de $c_0$ par c.

**Remarque.** Quand $c = 1/4$, on peut effectuer la même construction topologique — ce qu’on perdra est la quasiconformité des applications. Cependant, il est possible de montrer que les applications $\pi_n$ sont, à chaque étape, des $\mu$-homéomorphismes au sens de G. David (voir [Da]).

## 11.3 Construction par chirurgie quasiconforme

Soit $c_0 \in D_0$ le centre d'une composante hyperbolique de période $k$. On se propose de construire à partir de la dynamique de $c_0$ n'importe lequel de ses modulés. Une conséquence immédiate sera :

**Corollaire 11.3.1** Si $\hat{c} = c_0 \perp c$ et $F$ est le modulé topologique de $c_0$ par $c$ défini ci-dessus, alors $P_{\hat{c}}$ et $F$ sont topologiquement conjugués.

Dans la suite, on distinguera le cas primitif du cas non primitif afin de pouvoir construire le modulé de $c_0$ par $1/4$ dans le cas primitif.

### 11.3.1 Cas primitif

On suppose ici que $c_0$ est primitif.

On considère d'abord le plan du centre $c_0$. Rappelons qu'il existe $f_{c_0} : U_{c_0}' \to U_{c_0}$, application à allure polynomiale hybridement équivalente à $z \mapsto z^2$ au voisinage de l'origine. On choisit $U_{c_0}$ pour que $\partial U_{c_0} \cap K_{c_0}$ consiste exactement en deux points $x_1$ et $x_2$ strictement prérépulsifs.

On définit le pseudo-cycle de $P_{c_0}$ comme étant l'ouvert $\cup_{1 \le n \le k} P_{c_0}^n(U_{c_0}')$ (et de façon équivalente pour $F_0$ et $P_{\hat{c}}$, $\hat{c} \in M_{c_0}$). Quitte à choisir $U_{c_0}'$ assez petit, le pseudo-cycle aura $k$ composantes connexes et sera disjoint de sa préimage.

Nous serons aussi amené à utiliser le domaine $X$ suivant. Soit $V$ une composante de la préimage du pseudo-cycle, disjoint du pseudo-cycle. C'est un quasidisque dont l'adhérence
est disjointe de l'ensemble postcritique de $P_{c_0}$. On peut alors considérer l'ensemble $I(V)$ des branches inverses de $P_{c_0}$ à valeurs dans $U_{c_0}$, et $X \subset U_{c_0}$ la réunion des images.

**Construction d'un modulé.** On suit d'abord la construction du modèle topologique.

► Soit $c \in M$. On considère $f_c : U_c' \to U_c$ l'application à allure polynomiale hybridement équivalente à $P_c$ de même classe externe que $f_{c_0}$. Il existe une application conforme, $\psi_0 : U_c \setminus K_c \to U \setminus \bar{U}_0$, qui conjugue $f_c$ à $f_{c_0}$.

► On définit $\Sigma_0$ comme étant la sphère de Riemann pour laquelle on a remplacé le cycle de $\bar{U}_0$ par des copies de $K_c$. Plus précisément, on définit une application de collage $\psi$ du pseudo-cycle sur $U_c$ en précomposant par un itéré de $P_{c_0}$ l'équivalence externe $\psi_0$. Enfin, on note

$$ \Sigma_0 = (\bar{C} \setminus \bigcup_{n \ge 0} P_{c_0}^n (\bar{U}_0)) \cup (\bigcup U_c(i))/(\psi). $$

On définit alors $F_0 : \Sigma_0 \to \Sigma_0$ comme suit :

- si $z \in \bar{C} \setminus P_{c_0}^{-1}(\text{pseudo-cycle}) \cup (\text{pseudo-cycle})$, alors $F_0(z) = P_{c_0}(z)$,

- si $z \in U_c'(0)$, alors $F_0(z) = f_c(z) \in U_c(1)$,

- si $z \in U_c(i)$, $1 \le i \le k-1$, alors $F_0(z) = z \in U_c(i+1) \mod k$,

- sinon, on considère l'extension barycentrique de Douady et Earle de $\psi \circ P_{c_0}$ définie sur le bord de la préimage du pseudo-cycle de $P_{c_0}$. $F_0$ est un revêtement ramifié quadratique quasirégulier, dès que $U_{c_0}$ et $U_c$ sont des quasidisques.

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>FIG. 11.1 - Construction de la modulation.</figcaption></figure>

**Théorème 11.3.2** Soit $\hat{c} = c_0 \perp c$. $F_0$ est isotope à une application $\hat{F}$ qui est quasi-conformément conjuguée à $P_{\hat{c}}$. L'isotopie peut être choisie de façon telle qu'elle fixe le complémentaire de la préimage du pseudo-cycle.

La preuve comprend deux étapes : la première consiste à montrer que si l'extension quasiconforme considérée dans la construction de $F_0$ était convenablement choisie, alors $F_0$ serait quasiconformément à un polynôme quadratique. Ensuite, sachant d'une part que la dynamique “globale” de $\hat{F}$ est celle de $c_0$ et que celle-ci ressemble à celle de $\hat{c}$, et d'autre part que la dynamique “locale” de $\hat{F}$ est celle de $c$, i.e. proche de celle de $\hat{c}$, on construit une équivalence combinatoire (et quasiconforme) entre $\hat{F}$ et $\hat{c}$, qui est promue en conjugaison conforme.
DÉMONSTRATION. On travaille dans $\Sigma_0$ et on note $\hat{X} = U_c \setminus X$. Les composantes de $X$ s'accumulent sur $\partial U_c$ en deux points $x_1$ et $x_2$ (correspondant à l'intersection de ce bord avec $K_{c_0}$) et dans un secteur. Soit $V$ une préimage du pseudo-cycle, i.e. l'ensemble des points où $F_0$ n'est pas holomorphe. Il existe $k > 0$ tel que $F_0^k(V) = U_c$, et on note $y_i = F_0^{-k}(x_i)$, $x_i = 1, 2$.

**Proposition 11.3.3** *Il existe une application quasirégulière $\hat{F}$ isotope à $F_0$, dont le support de la forme de Beltrami associée soit dans $\hat{F}^{-1}(\hat{X})$.*

DÉMONSTRATION. On considère $g : \partial U_c \to \partial V$ l'inverse de $F_0^k$. On se propose de prolonger $g$ afin que son extension soit holomorphe sur $X$. Vue la géométrie de $X$, on peut partager $U_c$ en trois quasidisques tels que l'un contienne $X$ et dont le bord n'intersecte $\partial U_c$ qu'aux deux points $x_1$ et $x_2$.

Soit $h : U_c \to V$ une application conforme telle que $h(x_i) = y_i$, $i = 1, 2$. On restreint cette application au quasidisque contenant $X$, et on la prolonge quasiconformément à $U_c$, de manière à respecter $g$. L'isotopie provient du lemme suivant (voir aussi [EM]).

<figure><img src="image_98.png" /></figure>

**Lemme 11.3.4** *Soient $f, g : H \to H$ deux applications quasiconformes telles que $f|_R = g|_R$. Alors $f$ et $g$ sont isotopes relativement à $R$.*

DÉMONSTRATION. On note $\omega_1 = g^{-1} \circ f : H \to H$ qui vérifie $\omega_1 = \text{id}^{\text{té}}$ sur $R$. Soit $\mu$ la forme de Beltrami associée à $\omega_1$ sur $H$, que l'on prolonge à $C$ par la conjugaison complexe $z \mapsto \bar{z}$. On définit $\mu_t = t\mu$, $0 \le t \le 1$. D'après le Théorème 4.1.2 de la Partie II, il existe $h_t : C \to C$ qui intègre $\mu_t$, continue en $t$ et qui fixe $H$. On considère l'extension barycentrique $\alpha_t$ de $h_t^{-1}$ restreinte à $R$, et l'on pose $\omega_t = \alpha_t \circ h_t$ sur $H$. Ces applications nous définissent l'isotopie.

<figure><img src="image_99.png" /></figure>

Au total, on a modifié $F_0^k$ sur $V$ pour qu'il devienne holomorphe sur $\hat{F}^{-1}(X)$. Soit $\hat{F} : \Sigma_0 \to \Sigma_0$ le revêtement ramifié ainsi obtenu. Par le procédé usuel de chirurgie, nous pouvons alors trouver une forme de Beltrami $\hat{F}$-invariante et intégrable au sens d'Ahlfors et Bers. En effet, l'isotopie permet de s'assurer qu'en tirant la forme de Beltrami en arrière, sa norme infinie sera la même que celle associée à $\hat{F}$. On obtient donc un polynôme quadratique $P_c$. Il reste à vérifier que $c' = \hat{c}$.

Cette seconde étape se déroule en deux temps. On commence par montrer que $\hat{F}$ et $\hat{c}$ sont combinatoirement et quasiconformément équivalents, i.e. il existe deux homéomorphismes quasiconformes $\phi_0, \phi_1 : \Sigma_0 \to \bar{C}$, isotopes relativement à leurs ensembles postcritiques, tels que $\hat{F} \circ \phi_0 = \phi_1 \circ P_{\hat{c}}$. Ensuite, par un argument de *pull-back*, cette équivalence est promue en conjugaison holomorphe.

On note $X_1$ le complémentaire de la réunion de toutes les préimages de $\hat{X}$ et du cycle des petits Julia. On considère $\psi_0 : X_1 \cup \bigcup K_c(i) (\subset \Sigma_0) \to \bar{C}$ définie par la composée des coordonnées de Böttcher de $c_0$ et $\hat{c}$. Cette application se prolonge au bord de $X_1$, sauf peut-être sur les petits Julia, de manière quasisymétrique. On considère alors une
extension quasiconforme à $\Sigma_0$ privé du pseudo-cycle. On s'arrange pour que $\psi_1$ conjugue $F_0$ et $P_{\hat{c}}^k$ sur $U_c \setminus K_c$.

D'autre part, $f_c$ et $P_{\hat{c}}^k$ sont hybridement équivalentes au voisinage de l'origine : il existe $\chi : U_c \to U_{\hat{c}}$ quasiconforme qui réalise cette équivalence, et qui coïncide avec $\psi_0$ au bord de $U_c$.

Il s'agit maintenant de recoller quasiconformément ces deux applications le long du cycle des petits Julia. En reprenant la preuve du Lemme 1 de [DH2], on montre que $\chi^{-1} \circ \psi_0$ tend vers l'identité quand on tend vers $K_c(0)$. Par suite, en utilisant le Lemme 2 de [DH2], on en déduit que $\psi_0$ se prolonge quasiconformément au travers de $K_c(0)$ par $\chi$. Cette application induit une équivalence combinatoire entre $\hat{F}$ et $P_{\hat{c}}$, qui est uniformément quasiconforme et de $\bar{\partial} = 0$ pp. sur $\bigcup K_c(i)$.

Cette équivalence peut être promue en une conjugaison quasiconforme (cf appendice de [Mc4]) et finalement conforme entre $\hat{c}$ et $c'$. En effet, en définissant $\phi_n$ telle que $\hat{F} \circ \phi_{n-1} = \phi_n \circ P_{\hat{c}}$, $\phi_n$ prenant les mêmes valeurs que $\phi_0$ sur l'ensemble postcritique, on obtient une suite normale d'applications quasiconformes dont la dilatation tend vers 1 en norme $L^1$. Quitte à extraire une sous-suite, on obtient une limite 1-quasiconforme i.e. conforme.

■

**Remarque.** Cette démonstration ne peut se généraliser que dans la mesure où il existe une application conforme entre $U_{c_0}$ et $U_c$ qui respecte les points d'accumulation sur le bord de $X$ et qui admet un prolongement quasiconforme.

### 11.3.2 Cas non primitif

Soit $c_0 \in D_0(k)$ non primitif. La principale différence avec le cas précédent est qu'on ne peut plus choisir des voisinages disjoints de l'orbite critique tels que l'application retour soit à allure polynomiale. De ce fait, la construction de la sphère est changée. On note $\alpha_{c_0}$ le point fixe de nombre de rotation $p/k$.

Soit $c \in M \setminus \{1/4\}$. On considère aussi $f_c : U_c' \to U_c$ l'accouplement du polynôme quadratique $P_c$ avec la classe externe de $f_{c_0}$. Soit $P_{c_0}$ l'ouvert borné simplement connexe bordé par une équipotentielle $\eta > 0$ et les rayons aboutissant aux points $\beta$ et $\beta'$ de la petite copie du disque contenant l'origine. Soit $\psi_0$ l'équivalence externe entre $f_{c_0}$ et $f_c$. On note $P_c$ l'ouvert borné de $U_c$ bordé par $\psi(\partial P_{c_0})$. Comme $c$ est différent de $1/4$, $P_c$ est un quasidisque (dont la constante de dilatation tend vers l'infini quand $\beta_c$ tend à être parabolique). Via $P_{c_0}$, on peut définir un recollement quasisymétrique de $k$ copies de $P_c$, afin de remplacer les composantes de Fatou contenant l'orbite de l'origine (cf le modèle topologique). On obtient donc une sphère conforme $\Sigma$, munie d'une application $F_0 : \Sigma \to \Sigma$ bien définie (et holomorphe) sauf sur la préimage du pseudo-cycle de $P_{c_0}$. Comme précédemment, le but est de prolonger cette application quasiconformément afin que chaque point ne passe qu'une fois dans une zone non conforme. On remarque que, comme dans le cas primitif, les images réciproques du pseudo-cycle s'accumulent en deux points du bord de la pièce critique, et ce, dans un secteur. Par conséquent, le reste de la construction ne change pas.

**Remarque.** Le nombre de rotation de $\alpha$ et le multiplicateur du point fixe $\beta_c$ de $P_c$ influent
énormément sur la dilatation des différentes applications quasiconformes considérées.

## 11.4 Modulation de compacts du plan

Soient $K \subset C$ un compact connexe, localement connexe, plein, d'intérieur non vide et $L \subset C$ compact connexe, plein. On se propose de définir $K_L$ comme étant $K$ auquel on a remplacé les composantes connexes de son intérieur par des copies de $L$ (Figure 11.2).

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>FIG. 11.2 - Modulation de compacts.</figcaption></figure>

### 11.4.1 Introduction

D'après [DH1, Do5], si $K$ est compact, connexe, localement connexe et plein, $\mathring{K}$ a au plus un nombre dénombrable de composantes connexes $\{U_i\}_{i \in \mathbb{N}} = \pi_0(\mathring{K})$ ; chacune est un domaine de Jordan, et l'intersection des fermetures de deux d'entre elles contient au plus un point. Pour chaque $U_i$, on choisit un centre $x_i$. On considère aussi des uniformisantes $\varphi_i : D \to U_i$ telles que $\varphi(0) = x_i$ et $\varphi'(0) > 0$. Ceci nous permet de définir des arcs réglementaires (cf Chap. 9).

► Pour chaque $U \in \pi_0(\mathring{K})$, on définit $\pi_U : K \to \bar{U}$ continue surjective par :

- si $x \in \bar{U}$, $\pi_U(x) = x$,

- sinon, $\exists! y \in \bar{U} \text{ tq } \begin{cases} y \in [x, x_U]_K \\ ]x, y[ \cap U = \emptyset \end{cases} \text{ et on pose } \pi_U(x) = y.$

$\pi_U$ est localement constante sur $K \setminus \bar{U}$.

► On définit sur $K$ la relation d'équivalence $\sim$ engendrée par :

$$x \sim y \Leftrightarrow x = y \text{ ou } \exists U \in \pi_0(\mathring{K}) \text{ tq } x, y \in \bar{U},$$

ce qui induit $g : K \to K$. $\stackrel{\text{def}}{\rightleftharpoons}$ $K/\sim$ continue surjective pour la topologie quotient. Les fibres sont soit des points, soit des réunions connexes de fermetures de composantes de $\mathring{K}$ ; en particulier, les fibres sont connexes.

On définit l'application continue

$$\varphi : K \to K \times \Pi \bar{U}_i \\ x \to (g(x), (\pi_i(x))).$$
$\varphi$ est injective : soient $x \neq y$,

- si $]x, y[_{K \cap \mathring{K}} = \emptyset$ alors $g(x) \neq g(y)$;

- si $]x, y[_{K \cap \pi_0(\mathring{K})} \neq \emptyset$, alors soit il existe $U$ telle que $x, y \in \bar{U}$ et $x = \pi_U(x) \neq \pi_U(y) = y$ ;
soit il existe $U$ telle que $]x, y[_{K \setminus \bar{U}}$ n'est pas connexe, donc $x_U \in ]x, y[_{K}$ et $\pi_U(x) \neq \pi_U(y)$.

Par suite, on peut plonger $K$ dans $K \times \Pi \bar{U}_i$ à l'aide de $\varphi$ :

$\varphi(K) = \tilde{K} = \{(\xi, \xi_i) \in K \times \Pi \bar{U}_i, \xi_i = \pi_i(g^{-1}(\xi)) \text{ si } g(U_i) \neq \xi, \text{ et sinon} \\ \exists k \text{ tq } g(U_k) = \xi \text{ et } \xi_i = \pi_i(x_k) \text{ pour } i \neq k\}.$

**Remarque.** Si $x \in \bar{U} \cap \bar{V}$, alors on peut aussi bien choisir $x_U$ que $x_V$ comme centre.

Ce modèle de $K$ fournit une façon de définir $K_L$ dans $K \times \Pi L_i$ tel que les $L_i$ soient des copies de $L$.

## 11.4.2 Lemme et définition

Pour chaque composante $U$ de l'intérieur de $K$, on considère $\gamma_U : T \to \partial U$ l'extension de $\varphi_i$ au bord, qui est un homéomorphisme.

Soit $L \subset C$ un compact connexe plein, on considère son lacet de Carathéodory $\gamma_L$, bien défini pp. (d'après P. Fatou).

Pour chaque composante $U$, on suppose que l'application

$$ \psi_U : \pi_U(K \setminus \bar{U}) \to \partial L \\ z \mapsto \gamma_L \circ \gamma_U^{-1}(z) $$

est bien définie.

**Lemme 11.4.1** On pose $K_L = \{(\xi, \xi_i) \in K \times \Pi L_i, \xi_i = \psi_i \pi_i(g^{-1}(\xi)) \text{ si } g(U_i) \neq \xi, \text{ et sinon} \\ \exists k \text{ tq } g(U_k) = \xi \text{ et } \xi_i = \psi_i \pi_i(x_k) \text{ pour } i \neq k\}$.

Alors $K_L$ est compact et on l'appelle "K modulé par L".

**DÉMONSTRATION.** $K \times \Pi L_i$ étant un espace métrique compact, il suffit de vérifier que $K_L$ est fermé par les suites : soit $\xi^n = (\xi^n, (\xi_i^n)_{i \ge 0})$, $n \ge 0$, une suite de $K_L$ convergeant vers $\xi^\infty = (\xi^\infty, (\xi_i^\infty)_{i \ge 0})$.

On définit $\Omega := \cup_{i \ge 0} \{g(x_i)\}$, qui correspond aux classes d'équivalence ayant plus d'un élément.

À chaque $n \ge 0$, on associe un point $y_n \in K$ comme suit : ou bien $\xi^n \notin \Omega$, et on pose $y_n = g^{-1}(\xi^n)$ ; ou bien $\xi^n \in \Omega$, alors il existe $k_n$ tel que $g(x_{k_n}) = \xi^n$ et pour tout $i \neq k_n$, $\xi_i^n = \psi_i \pi_i(x_{k_n})$, et dans ce cas on pose $y_n = x_{k_n}$.

On extrait une sous-suite $(y_{n_k})$ convergeant vers $y_\infty \in K$. En particulier, $\xi^n = g(y_n) \to g(y_\infty) = \xi^\infty$.

On considère les deux cas suivants :

**premier cas :** $g(y_\infty) \notin \Omega$. Comme $g$ est continue, la suite $y_n$ est convergente. Pour chaque $i$, il existe un voisinage connexe de $y_\infty$ disjoint de $\bar{U}_i$. Par suite, pour $n$ assez grand, $\pi_i(y_n) = \pi_i(y_\infty)$ et $\xi_i^\infty = \psi_i \pi_i(y_\infty)$.
Donc $\tilde{\xi}^{\infty} \in K_L$.

second cas : $g(y_\infty) \in \Omega$.

On note $\mathcal{U} = \{U \text{ composante connexe de } \mathring{K} \text{ telle que } U \cap]y_\infty, y_n[ \neq \emptyset \text{ pour une infinit\'e de } n \text{ ou } y_n = y_\infty\}$.

L'ensemble $\mathcal{U}$ est contenu dans $\{U, y_\infty \in \bar{U}\}$.

· Supposons que $\mathcal{U} = \emptyset$. Il existe $x_k$ tel que $g(x_k) = g(y_\infty)$ et pour $i \neq k$, $\xi_i^\infty = \psi_i \pi_i(x_k)$. Soit $U$ une composante connexe telle que $y_\infty \in \bar{U}$; pour $n$ assez grand, $y_n$ est dans un voisinage connexe de $y_\infty$ disjoint de $U$, donc $\pi_U(y_n) = \pi_U(y_\infty) = y_\infty$ et $\xi_{\bar{U}}^\infty = \psi_U \circ \pi_U(x_k)$.

· Supposons que $\mathcal{U} = \{U\}$. Pour tout $U_i \neq U$, $\pi_i(x_U) = \pi_i(y_\infty)$ car $y_\infty \in \bar{U}$; par suite, d'après ci-dessus, $\xi_i^\infty = \psi_i \circ \pi_i(x_U)$.

· Sinon, on choisit $U$ dans $\mathcal{U}$. Pour tout $V \notin \mathcal{U}$, on montre que $\xi_V^\infty = \psi_V \circ \pi_V(x_U)$ comme ci-dessus. Soit $V \in \mathcal{U}$ différente de $U$; on considère la sous-suite maximale $(y_{n_k})$ telle que $U \cap]y_\infty, y_{n_k}[ \neq \emptyset$ ou $y_{n_k} = y_\infty$. Par conséquent, $\pi_V(y_\infty) = \pi_V(y_{n_k})$ et comme $\xi_V^n \to \xi_V^\infty$, on en déduit que $\psi_V \pi_V(y_\infty) = \xi_V^\infty$.

■

**Remarque.** $K_L$ est bien le modèle que l'on cherchait en ce sens qu'on peut définir les injections suivantes :

$$ \begin{array}{rcl} \varpi : & K \setminus (\cup_{i \ge 0} \bar{U}_i) & \to K_L \\ & x & \mapsto (g(x), \psi_i \pi_i(x)) \end{array} $$

(voir Figure 11.2)

$$ \varpi_i : L \to K_L \\ x \mapsto g(U_i), \quad \left. \begin{array}{l} \psi_j \pi_j(x_i)), \text{ pour } j \neq i \\ x \in L_i \end{array} \right. $$

et $K_L = (\cup \varpi_i(L)) \cup \varpi(K \setminus (\cup_{i \ge 0} \bar{U}_i))$.

## 11.5 Théorème 8

Soit $c_0 \in D_0 \cap W$ de période $k$ et soit $c \in M$ ; on note $\tilde{c} = c_0 \perp c$, $K_{c_0}$, $K_c$, $K_{\tilde{c}}$ les ensembles de Julia remplis de $c_0$, $c$, $\tilde{c}$ respectivement.

Alors, $K_{\tilde{c}} \approx K_{c_0} K_c$.

**DÉMONSTRATION.** D'après le Corollaire 11.3.1, il suffit de le montrer pour la modulation topologique.

Par construction, $K_F$ est $K_{c_0}$ dans lequel on a remplacé les composantes connexes de l'intérieur par des petites copies de $K(f_c)$.

On définit $\tilde{g} : K_{\tilde{c}} \to K_{c_0}$ par :
$$ \begin{array}{l} \text{si } x \in K_c(i), \tilde{g}(x) = g(x_i) \\ \text{si } x \in K_{c_0}, \tilde{g}(x) = g(x) \end{array} \quad \Big| \quad \Rightarrow \tilde{g} \text{ est continue surjective.} $$

et $\tilde{\varphi} : K_F \to K_{c_0}K_c$ par

$$ \text{si } x \in K_{c_0}, \quad \left| \begin{array}{l} \xi = \tilde{g}(x), \\ \xi_j = \psi_j \pi_j(x); \end{array} \right. \quad \text{et si } x \in K_c(i), \quad \left| \begin{array}{l} \xi = \tilde{g}(x), \\ \xi_i = x, \\ \forall j \neq i, \xi_j = \psi_j \pi_j(x_i). \end{array} \right. $$

Montrons que $\tilde{\varphi}$ est un homéomorphisme.

► Continuité: il s'agit d'une adaptation de la démonstration du Lemme 11.4.1. On considère une suite $(x_n)$ de $K_\bar{c}$ convergente. On lui associe une suite $(y_n)$ de $K_{c_0}$ en s'appuyant sur la Proposition 11.1.1, puis on procède au même type de discussion, selon la position d'un point d'accumulation de $(y_n)$.

► Surjectivité: soit $\tilde{\xi} = (\xi, \xi_i) \in K_{c_0}K_c$;

· si $\xi \notin \{g(U_i)\}_{i}$, $\tilde{g}$ est injective et $\tilde{g}^{-1}(\xi)$ répond à la question.

· si $\xi = g(U_j)$, $\exists k$ tel que $g(U_k) = \xi$ et $\xi_i = \psi_i\pi_i(x_k), i \neq k$; d'où $\tilde{\varphi}(\xi_k) = \tilde{\xi}$ avec $\xi_k \in K_c(k)$.

► Injectivité: soient $x, y$ tels que $\tilde{\varphi}(x) = \tilde{\varphi}(y) = (\xi, \xi_i)$;

· si $\xi \notin \{g(U_i)\}_{i}$, alors $x, y \in K_c \setminus (\cup K_c(i))$ où $\tilde{g}$ est injective sur $K_{c_0} \setminus \{g(U_i)\}_{i}$; d'où $x = y$.

· sinon, $\exists k_x, k_y$ tels que $\begin{cases} x = \tilde{\varphi}(x)_{k_x} \in K_c(k_x), \\ y = \tilde{\varphi}(y)_{k_y} \in K_c(k_y). \end{cases}$

- Si $k_x = k_y$, $x = \tilde{\varphi}(x)_{k_x} = \tilde{\varphi}(y)_{k_y} = y$.

- sinon si $y \notin K_c(k_x)$, $\begin{cases} x = \psi_{k_x} \pi_{k_x}(y), \\ y = \psi_{k_y} \pi_{k_y}(x). \end{cases}$

Or, $\tilde{g}^{-1}(\xi)$ est connexe, donc il existe $j$ tel que $U_j \cap x, y_{[K_{c_0} \neq \emptyset}} \neq \emptyset$ d'où $\psi_j \pi_j(x) \neq \psi_j \pi_j(y)$ : il y a donc contradiction.

■

## 11.6 Corollaires

**Corollaire 11.6.1** Soient $c_0 \in D_0$, $c \in D_0 \cup D_2$; on note $\tilde{c} = c_0 \perp c$, $H_{c_0}$, $H_c$, $H_{\tilde{c}}$ les arbres de Hubbard de $c_0$, $c, \tilde{c}$ respectivement. $H_{\tilde{c}}$ s'obtient en remplaçant les composantes connexes de $H_{c_0}^\circ$ par $H_c$ en recollant par $\beta, \beta'$. Les points marqués sont alors déterminés comme suit:

- $x_0 = 0$;

- si $x_i \in H_c(j)$ est défini, $\begin{cases} j \neq 0, & x_{i+1} = x_i \text{ dans } H_c(j+1), \\ j = 0, & x_{i+1} = P_c(x_i) \text{ dans } H_c(1). \end{cases}$

**Corollaire 11.6.2** Soient $c_0 \in D_0$, $c \in D_2$; on note $\tilde{c} = c_0 \perp c$; $c$ a des arguments externes $t_1, \dots, t_\nu$ dans $M$. Les arguments externes de $\tilde{c}$ dans $M$ sont les arguments dans $K_{c_0}$ des points de $\partial U_1$ d'arguments internes $t_1, \dots, t_\nu$.

**DÉMONSTRATION.** Soit $\mathcal{R}_M(t)$ aboutissant à $\tilde{c}$, alors $\mathcal{R}_{\tilde{c}}(t)$ aboutit aussi à $\tilde{c}$ ($\tilde{c} \in D_2$).
Or, $t \in \gamma_{\tilde{c}}^{-1}(\tilde{c}) = \gamma_{c_0}^{-1}(\gamma_{U_1}(\gamma_c^{-1}(c)))$ par construction car $\gamma_{U_1} = \gamma_c$ sur $\Sigma$.

On conclut du fait que
$$
\left|
\begin{array}{l}
\gamma_c^{-1}(c) = \gamma_M^{-1}(c), \\
\gamma_{\tilde{c}}^{-1}(\tilde{c}) = \gamma_M^{-1}(\tilde{c}).
\end{array}
\right.
$$

■

**Corollaire 11.6.3** Soient $c_0 \in D_0$, $c \in D_1$ ; on note $\tilde{c} = c_0 \perp c$ ; c a deux arguments externes $t_1$ et $t_2$ dans M. Les arguments externes de $\tilde{c}$ dans M sont les arguments dans $K_{c_0}$ des points de $\partial U_1$ d'arguments internes $t_1$ et $t_2$.

DÉMONSTRATION. On suppose que $\mathcal{R}_M(t)$ aboutit à $\tilde{c}$, alors $\mathcal{R}_{\tilde{c}}(t)$ aboutit à $y_1(\tilde{c})$.
Or, $t \in \gamma_{\tilde{c}}^{-1}(y_1(\tilde{c})) = \gamma_{c_0}^{-1}(\gamma_{U_1}(\gamma_c^{-1}(y_1(c)))))$ par construction car $\gamma_{U_1} = \gamma_c$ sur $\Sigma$.

On conclut du fait que
$$
\left|
\begin{array}{l}
\gamma_c^{-1}(y_1(c)) \supset \gamma_M^{-1}(c), \\
\gamma_{\tilde{c}}^{-1}(y_1(\tilde{c}) \supset \gamma_M^{-1}(\tilde{c}).
\end{array}
\right.
$$

■

**Définition.** Soient $\begin{array}{l} \theta_1 < \theta_2 \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \\ t \in \mathcal{T} \end{array}$ qu'on décompose en base deux :

$$
\begin{array}{l}
\theta_i = 0 \cdot \overline{u_1^i \dots u_k^i}, \quad i = 1, 2 \text{ et} \\
t = 0 \cdot t_1 \dots t_n \dots;
\end{array}
$$

alors $(\theta_1, \theta_2) \perp t := u_1^{t_1} \dots u_k^{t_1} u_1^{t_2} \dots u_k^{t_2} u_1^{t_3} \dots$

**Théorème 11.6.4** Soient $c_0 \in D_0$, $c \in D_1 \cup D_2$ ; on note $\tilde{c} = c_0 \perp c$ ; soit $t$ un argument externe de $c$ dans $M$, alors il lui correspond un argument externe $\tilde{t}$ de $\tilde{c}$ dans $M$, à savoir $\tilde{t} = (\theta_1, \theta_2) \perp t$.

**Lemme 11.6.5** *Soit $z \in \partial U_1$ d'argument interne $t$ ; $\mathcal{R}_{c_0}(\theta_1)$, $\mathcal{R}_{c_0}(\theta_2)$ adjacents à $U_1$ en $y_1$, alors $\text{Arg}_{c_0} z = (\theta_1, \theta_2) \perp t$.*

La preuve du lemme est incluse dans la démonstration de la Proposition 1, Section 7 de [Do2]. Le théorème est un corollaire immédiat de ce qui précède.

**Remarque.** Étant donné qu’en base deux, les nombres dyadiques ont deux écritures, on obtient deux valeurs de $\tilde{t}$. Ceci est dû au fait que M s’étend au-delà de $M_{c_0}$ en $\tilde{c}$ (présence de filament(s)).

11.7 Modulation généralisée

L'objet de ce paragraphe est de définir la modulation dans un contexte plus général,
comme une opération inverse de la renormalisation.

Considérons une fraction rationnelle $f : \overline{\mathbb{C}} \rightarrow \overline{\mathbb{C}}$ de degré $d \ge 2$. On suppose que son ensemble de Julia $J_f$ est connexe localement connexe. On suppose en outre que $f$ admet un cycle attractif $\xi_0, \dots, \xi_k$ tel que tous les points critiques de son bassin d'attraction
soient localisés dans une seule composante connexe (qu'on demande simplement connexe). La fraction rationnelle restreinte au bassin immédiat de ce cycle est de degré $1 < d' < d$.

Dans ces conditions, on peut définir une modulation, dans un premier temps topologique, de $f$ comme suit : soit $P$ un polynôme de degré $d'$ d'ensemble de Julia connexe. On note $C_\infty$, le plan compactifié par un cercle à l'infini. On peut construire un modèle topologique de $f \perp P$ en identifiant les points selon les arguments. On contracte alors les rayons. Si les composantes connexes du cycle de $f$ admettent des courbes de Jordan comme bord (comme les polynômes), on obtient toujours une sphère et l'existence d'un modulé devient équivalente à ce que le modèle topologique soit conjugué à une fraction rationnelle sur $\bar{C}$. Dans un cadre plus général, le recollement n'est pas toujours une sphère : en effet, il existe une classe importante d'exemples déjà étudiés qui montre différentes possibilités. Il s'agit de l'accouplement de polynômes (voir [TL1], [Do3], [Sh2] et [STL]). On considère deux polynômes de même degré d'ensembles de Julia connexes et localement connexes. L'infini est un point fixe superattractif vérifiant les bonnes hypothèses pour le remplacer par l'autre ensemble de Julia. Si les polynômes sont dans des membres conjugués de $M$ ([TL1]), alors le recollement ne donne pas une sphère, sinon, les polynômes sont accouplables. En degré supérieur ([STL]), il ne suffit pas d'avoir une sphère pour s'assurer du résultat.

Dans le cas de polynômes, on peut définir une modulation topologique comme dans le Paragraphe 2. Si on peut définir une application à allure polynomiale au voisinage du bassin attractif de $f$, alors la réalisation du modulé (par un polynôme complexe) ne semble être liée qu'à l'existence d'une application conforme qui préserve un nombre fini de points.
# V. Chirurgie croisée

Soient deux polynômes $P$ et $Q$ de degrés $d_P$ et $d_Q \ge 2$ respectivement, ayant chacun un point fixe $\alpha_P$ et $\alpha_Q$; on se propose de fabriquer par chirurgie un polynôme

$$R = P \times_Q Q$$

de degré $d = d_P + d_Q - 1$, tel que son ensemble de Julia soit un croisement de ceux de $P$ et $Q$.

## Exemple 1.

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>FIG. 11.3 - $K(P)$, $K(Q)$, $K(P \times_Q Q)$.</figcaption></figure>

**Définition.** Un polynôme $P$ ayant un ensemble de Julia connexe figure de manière rigide dans une fraction rationnelle $f$ (voir Chap. 5 de la Partie II) s'il existe une application $\varphi: U \to C$ définie sur un voisinage de $K(P)$, continue, telle que :

- $\varphi \in W^{1,p}(U), p > 1,$

- $\partial\varphi = 0$ pp. sur $K(P),$

- $\varphi|_{K(P)}$ est injective, préserve l'orientation et satisfait $\varphi \circ P = f \circ \varphi$ sur $K(P).$
Soient deux polynômes $P$ et $Q$ de degrés $d_P, d_Q \ge 2$, ayant leur ensemble de Julia connexe; on note $\alpha_P$ (resp. $\alpha_Q$) un point fixe répulsif ou parabolique de $P$ (resp. $Q$).

**Définition.** Un polynôme $(R, \alpha)$ réalise le croisement de $(P, \alpha_P)$ et $(Q, \alpha_Q)$ si les conditions suivantes sont satisfaites :

(C1) les polynômes $P$ et $Q$ figurent de manière rigide dans $R$ par $\varphi_P$ et $\varphi_Q$ respective-ment,

(C2) $\varphi_P(K(P)) \cap \varphi_Q(K(Q)) = \{\alpha\}$ et le noyau $N_R = \varphi_P(K(P)) \cup \varphi_Q(K(Q))$ est homéo-morphe à $K(P) \cup K(Q)/\alpha_P \sim \alpha_Q$,

(C3) les degrés sont reliés par la formule $d_R = d_P + d_Q - 1$.

Le premier résultat est un théorème d'existence :

**Théorème 9** (i) Si $\alpha_P$ et $\alpha_Q$ sont répulsifs et ont même nombre de rotation, alors un croisement de $P$ et $Q$ est réalisable par chirurgie quasiconforme.

(ii) Si $\alpha_P$ est répulsif sans appartenir à l'ensemble $\omega$-limite d'un point critique de $P$, si $\alpha_Q$ est parabolique et qu'ils ont même nombre de rotation, alors leur croisement est réalisable.

(iii) Le croisement de polynômes géométriquement finis est toujours réalisable en des points fixes ayant même nombre de rotation.

La preuve de ce théorème utilise de façon essentielle la méthode des secteurs de [BD], tout en remarquant que l'on dispose de plus de souplesse en travaillant sur des applications à allure polynomiale (cf Chapitre 5 de la Partie II).

Le croisement est bien compris lorsqu'il se situe en un point répulsif; lorsqu'il est parabolique, les outils sont moins développés, bien que la plupart des résultats obtenus dans le cas répulsif restent sans doute valables. Pour établir le point (ii), on montre qu'on peut utiliser le théorème de G. David qui étend le théorème d'intégrabilité d'Ahlfors-Bers.

À partir de la définition des croisements, on montre que les points fixes $\alpha, \alpha_P$ et $\alpha_Q$ ont tous même nombre de rotation $p/q$ et qu'on peut associer un invariant combinatoire $\kappa$ au croisement $R$. Cet invariant caractérise $R$ :

**Théorème 10** *Le croisement de deux polynômes est unique, à combinatoire fixée et à conjugaison affine près.*

Étant donné que le Théorème 9 n'assure pas l'existence de tout croisement, on gé- néralise la notion de croisement en construisant un modèle topologique du croisement de deux polynômes complexes. Cette construction est calquée sur celle d'un ensemble de Julia d'un polynôme sous-hyperbolique à partir de son arbre de Hubbard (voir [DH1]).

Les hypothèses faites sur $P$ et $Q$ en introduction de la définition d'un croisement sont maintenues dans la suite.

**Définition.** Un revêtement ramifié $f : \bar{C} \to \bar{C}$ est un polynôme topologique si $f^{-1}(\{\infty\}) = \{\infty\}$.

**Définition.** Soient $f : \bar{C} \to \bar{C}$ un polynôme topologique de degré $d \ge 3$, et $\alpha$ un point fixe de $f$ ; $(f, \alpha)$ réalise un croisement topologique de $(P, \alpha_P)$ et $(Q, \alpha_Q)$ si les conditions
suivantes sont satisfaites :

(CT1) il existe deux applications continues $\varphi_P : U_P \to \mathbb{C}$ et $\varphi_Q : U_Q \to \mathbb{C}$, injectives sur $K(P)$ et $K(Q)$ respectivement et qui conjuguent $P$ à $f$ sur $K(P)$ et $Q$ sur $K(Q)$ respectivement;

(CT2) $\varphi_P(K(P)) \cap \varphi_Q(K(Q)) = \{\alpha\}$ et le noyau $N_f = \varphi_P(K(P)) \cup \varphi_Q(K(Q))$ est homéomorphe à $K(P) \cup K(Q)/\alpha_P \sim \alpha_Q$;

(CT3) les degrés sont reliés par la formule $d_f = d_P + d_Q - 1$;

(CT4) l'ensemble $K(f) = \bigcup_{n \ge 0} f^{-n}(N_f)$ est un compact plein de $\mathbb{C}$ et $\bar{\mathbb{C}} \setminus K(f) = \{z \in \bar{\mathbb{C}}, f^n(z) \to \infty\}$;

(CT5) il existe une suite $(\eta_n)_{n \ge 0}$ de nombres positifs tendant vers zéro telle que pour toute composante $L$ de $K(f) \setminus f^{-n}(N_f)$, diam $L \le \eta_n$.

On établit alors le

**Théorème 11** (i) Le croisement topologique de deux polynômes complexes est toujours réalisable dès qu'il est effectué en des points fixes de même nombre de rotation.

(ii) Si $R$ est un croisement (holomorphe) de deux polynômes $P$ et $Q$, alors il est topologiquement conjugué à son modèle topologique.

(iii) Le croisement topologique de deux polynômes complexes est unique, à combinatoire fixée et à conjugaison topologique près sur $K(f)$.

Un corollaire du premier point sera :

**Corollaire 12** Soit $R = P_1 \times_P P_2$. Alors $K(R)$ est localement connexe si et seulement si $K(P_1)$ et $K(P_2)$ le sont.

Inversement, soit $R$ un polynôme de degré $d \ge 3$ dont l'ensemble de Julia est connexe et qui possède un point fixe avec plusieurs cycles de rayons qui aboutissent à $\alpha$. On cherche à reconnaître si $R$ réalise le croisement de polynômes complexes. On fabrique une suite emboîtée de partitions de $K(R)$, dont le but est d'isoler différentes dynamiques de $R$. Ces partitions jouent le même rôle que les puzzles de Branner-Hubbard-Yoccoz (voir [BH], [Hu]). Ceci nous permet de repérer les croisements :

**Théorème 13** (i) Si $R$ réalise un croisement, alors il existe plusieurs cycles de rayons aboutissant à $\alpha$ et tous les points critiques se trouvent dans $\tilde{Q}(0)$ (domaine du plan défini dynamiquement).

(ii) Si $\alpha$ est répulsif, la condition (i) est nécessaire et suffisante.

On considère une famille analytique $(P_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ de polynômes ayant un point fixe répulsif de nombre de rotation fixé. Supposons que $\Lambda$ soit de dimension complexe 1. On effectue leur croisement avec un polynôme fixe $Q$ et on étudie la dépendance des croisements obtenus par rapport aux paramètres, dans l'espace $Pol_d(C)/Aut(C)$ des polynômes de degré fixé et à automorphisme du plan près.

**Théorème 14** L'opération de croisement est continue si, pour chaque polynôme $P_\lambda$, ses déformations quasiconformes se trouvent dans $\Lambda$, et si les croisements se font sur des points répulsifs.
**Remarque.** Les phénomènes d'implosions paraboliques étudiés par P. Lavaurs dans sa thèse excluent, en général, une dépendance continue lorsque le croisement se fait en un point parabolique et qu'on a plusieurs paramètres. En particulier, et de façon indépendante, A. Epstein et M. Yampolsky ([EY]) montrent, en exploitant ces discontinuités, que le lieu de connexité des polynômes cubiques n'est pas localement connexe.

La suite de cette partie est organisée de la manière suivante :

- Dans le premier chapitre, on présente la construction des croisements par la méthode des secteurs et quelques unes de leurs propriétés sont établies. On en déduit les points (i) et (ii) du Théorème 9.

- Dans le chapitre suivant, on démontre que les croisements sont essentiellement uniques (Théorème 10).

- Ensuite, on définit le croisement topologique de deux polynômes et on montre le Théorème 11. On en déduit aussi le Corollaire 12.

- Le chapitre suivant est consacré au problème inverse : quand est-ce qu'un polynôme est un croisement ? Et montre le Théorème 13.

- Le dernier chapitre traite de la dépendance des croisements par rapport à des paramètres, établit le Théorème 14 et complète la preuve du Théorème 9.
# Chapitre 12

## Croisement de polynômes par chirurgie

Ce chapitre est organisé de la manière suivante.

- Dans la section 1, on traite un exemple afin d'analyser l'enchaînement des différentes étapes qui interviennent dans la construction d'un croisement, et ce en vue de la démonstration du Théorème 9.

- Le cas général de l'existence de croisements en un point répulsif est traité dans la section 2.

- La section 3 montre comment effectuer la même chirurgie en utilisant la géométrie des ensembles de Julia, lorqu'elle n'est pas trop mauvaise. Ces méthodes peuvent être, et sont appliquées dans d'autres chirurgies (voir e.g. [BD, BF, Wl]).

- La partie (ii) du Théorème 9 est démontré dans la section 4.

- Enfin, on établit quelques propriétés immédiates des croisements en fonction des polynômes croisés.

### 12.1 Chirurgie croisée en degré deux : un exemple

On considère les polynômes quadratiques suivants : $f : z \mapsto z^2$ et $g : z \mapsto z^2 - 1$. Ces deux polynômes ont un ensemble de Julia connexe et localement connexe ($K_f$ est le disque unité fermé). On note $\beta_f$ (resp. $\beta_g$) le point répulsif d'argument zéro de $f$ (resp. $g$). Ces deux points fixes ont pour nombre de rotation 1. Nous allons procéder au croisement de $f$ et $g$ en $\beta$.

Pour ce faire, nous procéderons par étape :

- nous construirons un revêtement ramifié de degré trois $F : V' \to V$ qui intègre la dynamique de $f$ et $g$;

- nous établirons une condition suffisante pour que $F$ soit quasiconformément conjugué à une application à allure polynomiale de degré trois $\tilde{F} : W' \to W$, à l'aide du Théorème de Morrey-Ahlfors-Bers d'intégration des structures presque-complexes;

- en fait, on peut toujours s'arranger pour que cette condition soit vérifiée;

- par la théorie des applications à allure polynomiale de A. Douady et J.H. Hubbard, nous
montrerons que cette application est hybridement conjuguée à un polynôme cubique $R$, au voisinage de son ensemble de Julia rempli. Ce polynôme réalise le croisement de $f$ et $g$.

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Figure 14 Croisement du disque et de la basilique.</figcaption></figure>

### 12.1.1 Chirurgie topologique

On commence par définir des voisinages des ensembles de Julia remplis $K_f$ et $K_g$, à l'aide de leurs potentiels respectifs $G_f$ et $G_g$. Soit $\eta > 0$, on note

$$ egin{cases} U_f = (G_f < \eta), U'_f = f^{-1}(U_f) = (G_f < \eta/2), \\ U_g = (G_g < \eta), U'_g = g^{-1}(U_g) = (G_g < \eta/2). \end{cases} $$

► Les rayons d'argument nul $\mathcal{R}_f(0)$ et $\mathcal{R}_g(0)$ de $f$ et de $g$ sont tous deux des intervalles de $\mathbb{R}$. En considérant par exemple une branche inverse de $z \mapsto (z - \beta_f)^2$ (resp. $z \mapsto (z - \beta_g)^2$) définie sur $\mathbb{C} \setminus \mathcal{R}_f(0)$ (resp. $\mathbb{C} \setminus \mathcal{R}_g(0)$), on éclate $\mathcal{R}_f(0)$ (resp. $\mathcal{R}_g(0)$) en deux rayons $\mathcal{R}_f^{\pm}$ (resp. $\mathcal{R}_g^{\pm}$). On considère l'espace topologique $V$ obtenu à partir de $U'_f \cup U'_g$ en recollant $\mathcal{R}_f^{+}$ à $\mathcal{R}_g^{-}$ (resp. $\mathcal{R}_f^{-}$ à $\mathcal{R}_g^{+}$) de la manière suivante: un point de $\mathcal{R}_f^{+}$ est identifié à un point de $\mathcal{R}_g^{-}$ s'ils ont même potentiel. En fait, $V$ est muni d'une structure de surface de Riemann simplement connexe. De même, on considère $V'$ obtenu de la même manière en recollant $U'_f$ à $U'_g$ (cf Figure 12.1).

► Soit $\tilde{F}: V' \to V$ défini de la façon suivante:

$$ - \text{si } z \in U'_f, \quad \tilde{F}(z) = f(z), $$

$$ - \text{si } z \in U'_g, \quad \tilde{F}(z) = g(z). $$

On remarque que $f^{-1}(U'_f \setminus \mathcal{R}_f(0)) = U'_f \setminus (\mathcal{R}_f(0) \cup \mathcal{R}_f(1/2))$ et $g^{-1}(U'_g \setminus \mathcal{R}_g(0)) = U'_g \setminus (\mathcal{R}_g(0) \cup \mathcal{R}_g(1/2))$. Par suite, $\tilde{F}$ est bien défini (même holomorphe) sur $V' \setminus (\mathcal{R}_f(1/2) \cup \mathcal{R}_g(1/2) \cup \mathcal{R}_f^{\pm} \cup \mathcal{R}_g^{\pm})$.

- Le recollement au voisinage de $\beta = \beta_f = \beta_g$ est tel que $\tilde{F}$ se prolonge holomorphiquement au voisinage de $\beta$, qui devient un point fixe répulsif de $\tilde{F}$.

- En revanche, $\tilde{F}$ ne se prolonge même pas continûment au travers des rayons $\mathcal{R}_{f,g}(1/2)$. En effet, si $z$ est un point d'argument plus petit que $1/2$ pour $f$, alors, quand $z$ tend vers
<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>FIG. 12.1 - Construction de V.</figcaption></figure>

le rayon $1/2$, $f(z)$ tend vers le rayon $\mathcal{R}_f^-(0)$ et si $z$ est d'argument plus grand que $1/2$ pour $f$, alors, quand $z$ tend vers le rayon $1/2$, $f(z)$ tend vers le rayon $\mathcal{R}_f^+(0)$. Le phénomène est le même pour $g$.

► Soit $F : V' \setminus (S' \cup S'') \to V$ une restriction de $\tilde{F}$, où $S'$ et $S''$ sont des secteurs centrés en $\mathcal{R}_f(1/2)$ et $\mathcal{R}_g(1/2)$.

La suite consiste à montrer que $F$ se prolonge convenablement et est conjugué à un polynôme cubique. Pour cela, nous utiliserons les notions de secteurs invariants et de modules d'ouverture (cf Chapitre 5 de la Partie II). La fin de la construction est effectuée dans le prochain paragraphe.

## 12.1.2 Passage à l'holomorphe

Avant de continuer la construction, nous allons décrire des secteurs invariants canoni-QUANTITÉS ET PRINCIPALES RÉSULTATS

**Secteurs invariants et polynômes.** On suppose que $h$ est un polynôme de degré $d \ge 2$ d'ensemble de Julia rempli $K(h)$ connexe et que $\alpha$ est un point $k$-répulsif ou parabolique de $h$. On note $0 < t_1 < t_2 < \dots < t_\nu < 1$ les rayons externes qui aboutissent à $\alpha$.

**Secteur $S_a(\theta)$ centré en $\mathcal{R}(\theta)$ aboutissant en $\gamma(\theta) \in \partial K(h)$**

Soient $\varphi : C \setminus K(h) \to C \setminus \bar{D}$ la coordonnée de Böttcher de $K(h)$, et $\psi = \log \circ \varphi : C \setminus K(h) \xrightarrow{\sim} \{z \in C, \mathrm{Re}(z) > 0\}$. L'application $\psi$ conjugue $h$ à $z \mapsto dz$.

Pour $a > 0$, on pose $\tilde{S}_a(\theta) = \{(s, t) \in \mathbb{R}_+ \times 2\pi\mathbb{R}, |t - \theta| < as\}$ et $S_a(\theta) = \psi^{-1}(\tilde{S}_a(\theta))$.

**Proposition 12.1.1** *Pour tout $a > 0$, les secteurs $S_a(t_i)$ définissent des secteurs $f^{k\nu}$-invariants et*

$$ \mathrm{mod}(S_a(t_i)) = \frac{2\arctan(a)}{k\nu \log d} $$

**DÉMONSTRATION.** La relation $kvt_i = t_i \mod 2\pi\mathbb{Z}$ implique $\tilde{S}_a(t_i) = \tilde{S}_a(kvt_i) \mod 2i\pi\mathbb{Z}$ et $h^{k\nu}(S_a(t_i)) = S_a(t_i)$.
Pour calculer le module de ces secteurs, on considère le domaine fondamental A (Figure 12.2) délimité par deux segments et deux arcs de cercles. Après le changement de variable par $z \mapsto \log(z - t_i)$, le domaine A devient un rectangle de module

$$ \frac{2 \arctan a}{k v \log d} $$

■

<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>FIG. 12.2 - Module d'ouverture.</figcaption></figure>

**Remarque.** Si $a$ est fixé, les secteurs $S_a(t_i)$ ont même module d'ouverture quel que soit $i$.

Si $\alpha$ n'est pas une valeur postcritique de $h$ et si $\alpha' \in h^{-n}(\{\alpha\})$, on peut définir des secteurs invariants au voisinage de $\alpha'$ de la manière suivante : comme le point n'est pas critique, le polynôme $h^n$ induit un difféomorphisme local de $\alpha'$ sur $\alpha$. Si on pose $\tilde{h} = h^{-n} \circ h^{k\nu} \circ h^n$ au voisinage de $\alpha'$, $\alpha'$ est un point fixe répulsif pour $\tilde{h}$ de même multiplicateur que $\alpha$. Par suite, on peut définir des secteurs $\tilde{h}$-invariants au voisinage des rayons aboutissant à $\alpha'$ de même module que leurs homologues au voisinage de $\alpha$, grâce à la conjugaison holomorphe.

Si $\alpha$ est une valeur critique (plus généralement postcritique), $h$ est alors un revêtement ramifié au-dessus de $\alpha$. Chaque secteur invariant de $\alpha$ se relève en plusieurs copies de secteurs de sa (ses) préimage(s) de même module. L'application reste tout de même un isomorphisme entre ces secteurs.

On a construit un revêtement ramifié $F : (V' \setminus (S' \cup S'')) \to V$, où $S'$ (resp. $S'')$ est un secteur $\tilde{f}$- (resp. $\tilde{g}$-) invariant centré sur $R_f(1/2)$ (resp. $R_g(1/2)$). Les applications $\tilde{f}$ et $\tilde{g}$ sont définies comme des conjuguées de $f$ et $g$ restreints à des voisinages linéarisables de $\beta_f$ et $\beta_g$; ici, on trouve $\tilde{f} = -f$ et $\tilde{g} = -g$.

**Plan du passage au monde holomorphe.** La stratégie est la suivante :

- on montre que l'on peut construire une extension de $F$ quasirégulière. On note $\mu$ la forme de Beltrami induite par $F$;

- on définit la suite $\mu_n = (F^n)^*\mu$; on montre qu'elle est convergente dans $L^\infty$ et que sa norme est plus petite que 1. Pour cela, il suffit de s'assurer qu'un point ne passe au plus qu'une fois dans une zone où $F$ n'est pas holomorphe. A cette fin, on va faire en sorte pour que $F$ soit holomorphe au voisinage des points qui devraient être dans l'ensemble
de Julia de $F$, ce qui montrera même que la forme de Beltrami limite aura même norme que $\mu$;

- par le Théorème 4.1.2 de la Partie II, on en déduit que $F$ est quasiconformément conjugué à une application à allure polynomiale $\tilde{F} : W' \to W$, et que la conjugaison est de $\tilde{\partial} = 0$ pp. sur $K(\tilde{F})$;

- par le Théorème 5.1.1 de la Partie II, on obtient un polynôme cubique $R$ et une conjugaison avec $F$ : on peut alors vérifier que $R$ est un croisement de $f$ et $g$.

**Prolongement sur S'.** L'image des bords de $S'$ par $F$ est bien définie et borde un secteur $S$ $F$-invariant dans un voisinage $\Delta$ du point répulsif $\beta$ et contenant une composante connexe de $K_g \cap \Delta$. On le coupe en trois secteurs invariants $S_-$, $S_+$ et $\Xi$ tels que $\Xi$ contienne $K_g$ (voir Figure 12.3).

<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>FIG. 12.3 - Extension sur des secteurs.</figcaption></figure>

La proposition suivante est la clef de voûte de cette construction (voir [BD]):

**Proposition 12.1.2** *Si $\text{mod}(S(t')) > \text{mod}(\Xi)$ alors il existe $f_1 : V_1' = (V' \setminus S'') \to V \text{ quasirégulière telle que } f_1|_{V_1' \setminus S'} = F \text{ et } f_1 \text{ est holomorphe sur un voisinage } S_1 \text{ de } \mathcal{R}_f(1/2) \setminus \{\beta\} \text{ vérifiant } f_1(S_1) \supset \Xi.$*

**DÉMONSTRATION.** Soit $\tilde{\xi} : S' \to \tilde{\xi}(S')$ la coordonnée log-Böttcher de $\tilde{f}$ au voisinage de $\beta_f'$ conjugant $\tilde{f}$ à $z \mapsto 2z$. Cette application induit un isomorphisme entre $S'/(\tilde{f})$ et un cylindre droit $A$ de module égal à $\text{mod } S'$. On note $B$ le sous-anneau droit de $A$ de module $\text{mod}(\Xi)$ centré en l'image de $\mathcal{R}_f(1/2)$ dans $A$, qui induit deux sous-anneaux $B_-$ et $B_+$ tels que $A = B_- \cup B \cup B_+$ (Figure 12.4). Soient $\tilde{\psi} : B \tilde{\to} \Xi'/(F)$ un isomorphisme conforme, et $\tilde{\psi}_{\pm} : B_{\pm} \tilde{\to} S_{\pm}/(F)$ des applications quasiconformes telles que $\tilde{\psi}_{\pm|_{\partial B}} = \tilde{\psi}|_{\partial B}$ et $\tilde{\psi}_{\pm} = F$ sur les composantes du bord de $A$.

L'existence de ces fonctions résultent des sous-lemmes de [BD] de leur Lemme 5 (voir §2, Chap. 4, Partie II). Soit $\psi : S' \to S$ un relèvement de $\tilde{\psi}$ tel que $F^{-n}\psi(\tilde{f}^n(z)) = \psi(z)$ pour $z$ et $\tilde{f}^n(z)$ dans $S'$.

L'application $\psi$ est en particulier holomorphe au voisinage de $\mathcal{R}_f(1/2)$.
<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>FIG. 12.4 - Définition de $f$.</figcaption></figure>

Soit $f_1 : V_1' \to V$ définie par

$$ \begin{cases} f_1|_{S'} = \psi, \\ f_1|_{V_1' \setminus S'} = F. \end{cases} $$

L'application $f_1$ est quasirégulière, holomorphe sur $V_1' \setminus S'$ et au voisinage de $R_f(1/2) \setminus \{\beta_f'\}$. ■

**Réalisation de la condition suffisante.** D'après la Proposition 5.6.3 de la Partie II la condition portant sur les modules d'ouvertures pour les deux secteurs $S'$ et $S''$ peut être réalisée simultanément. En fin de compte, on a construit une application $F : V' \to V$ quasirégulière, holomorphe sur $V' \setminus (S' \cup S'')$ et au voisinage de $R_f(1/2) \setminus \{\beta_f'\}$ et $R_g(1/2) \setminus \{\beta_g'\}$.

**Réalisation du croisement.** Nous allons modifier la structure complexe sur $V$ pour rendre $F$ holomorphe.

À partir de la la structure complexe standard $\sigma_0$, on définit la structure presque-complexe $\sigma$ de la façon suivante :

$$ \cdot \text{ sur } V' \setminus \bigcup F^{-n}(S' \cup S''), \sigma := \sigma_0; $$

$$ \cdot \text{ sur } F^{-n}(S'), \sigma := F^{n+1} * \sigma_0. $$

En restreignant un peu $V'$, on peut faire en sorte que toutes les préimages des secteurs $S_\pm'$ et $S_\pm''$ soient disjointes deux à deux. Pour cela, il faut s'assurer d'une part que ces secteurs peuvent être disjoints pour chaque polynôme $f$ et $g$, et d'autre part, lorsque l'un rerentre dans $S' \cup S''$, il se trouve dans le relevé de l'anneau centrale (où $\bar{\psi}$ est holomorphe).

Par suite, $\sigma$ est à ellipticité bornée car chaque point ne passe au plus qu'une fois dans une région dans laquelle $F$ n'est pas holomorphe. Par conséquent, $\sigma$ définit une structure complexe (Théorème d'Ahlfors-Bers) pour laquelle $F$ est holomorphe ($F^*\sigma = \sigma \text{ pp.}$). On note $\hat{F} : W' \to W$ l'application holomorphe ainsi obtenue. Comme $V' \subset \subset F(V')$ par
construction, $\hat{F}: W' \to \hat{F}(W')$ est une application à allure polynomiale hybridement équivalente à un polynôme $R$ (cf Théorème de Redressement 5.1.1).

La construction ci-dessus permet de vérifier que $R$ est le croisement de $f$ et $g$ en $\beta$.

## 12.2 Cas général (croisement répulsif)

On se donne $(U'_f \xrightarrow{f} U_f)$ et $(U'_g \xrightarrow{g} U_g)$ deux applications à allure polynomiale de degré $d_f \ge 2$ et $d_g \ge 2$ ayant leurs ensembles de Julia connexes. On suppose que $f$ (resp. $g$) possède un point fixe répulsif $\alpha_f$ (resp. $\alpha_g$) de nombre de rotation $p/q$. On va construire par chirurgie quasiconforme le croisement de $f$ et $g$ en $\alpha_f = \alpha_g$.

**Première étape.** On considère d'abord les tores quotients $T_f = (\Delta_f \setminus \{\alpha_f\})/(f^q)$ et $T_g = (\Delta_g \setminus \{\alpha_g\})/(g^q)$ de $\alpha_f$ et $\alpha_g$ respectivement, où $\Delta_f$ et $\Delta_g$ sont des voisinages linéarisables. On note $\pi_f: \Delta_f \setminus \{\alpha_f\} \to T_f$ et $\pi_g: \Delta_g \setminus \{\alpha_g\} \to T_g$ les projections. Les applications $f$ et $g$ agissent sur les tores comme une rotation d'angle $2\pi(p/q)$. Pour $f$ (resp. $g$), on considère un accès de $U_f \setminus K_f$ (resp. $U_g \setminus K_g$) à $\alpha_f$ (resp. $\alpha_g$). Dans sa classe, il contient au moins un arc invariant $\gamma_f$ (resp. $\gamma_g$) $q$-périodique. L'orbite de son projeté $\pi_f(\gamma_f)$ (resp. $\pi_g(\gamma_g)$) découpe le tore quotient en $q$ composantes connexes. Dans chaque composante, on conmsidère $m = \inf(\text{mod } A)$, où $A \subset T$ est un anneau contenant la trace de $\pi_f(K_f)$ (resp. $\pi_g(K_g)$). Ils sont tous égaux, car les anneaux sont permutés par l'action holomorphe de $f$ (resp. $g$); on note $m_f$ et $m_g$ ces nombres. De même, on note $\hat{m}_f$ et $\hat{m}_g$ les modules d'ouvertures des secteurs invariants maximaux qui accèdent à $\alpha_f$ et $\alpha_g$ respectivement, par l'extérieur de $K(f)$ et $K(g)$.

D'après la Proposition 5.6.3 de la Partie II, on peut supposer que

$$ \hat{m}_g > m_f \text{ et } \hat{m}_f > m_g. $$

Ayant ainsi choisi les représentants de $f$ et de $g$, nous allons construire le premier revêtement ramifié $(V' \xrightarrow{F} V)$.

On note $\gamma_f$ et $\gamma_g$ les accès invariants aux points $\alpha_f$ et $\alpha_g$, et $\gamma_*(i)$ le ième itéré de $\gamma_*$. A l'instar de la section précédente, on éclate chaque "rayon" en deux rayons $\gamma_*(i)^\pm$, $0 \le i < q$. D'autre part, les actions de $f$ et de $g$ sont uniformément quasisymétriquement conjugués sur les arcs au voisinage des points répulsifs. Ces applications permettent le recollement de $\gamma_f^+(i)$ à $\gamma_g^-(i)$ et de $\gamma_f^-(i+1)$ à $\gamma_g^+(i)$, avec $i \in \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. On obtient ainsi une surface de Riemann $V$ isomorphe à $D$. On peut alors définir $F: V' \to V$ par des restrictions de $f$ et $g$, sauf sur les préimages des $\gamma_*(i)$, où le prolongement ne peut pas être continu.

**Seconde étape.** Il s'agit maintenant de changer $F$ sur des secteurs voisinages des discontinuités pour rendre $F$ quasirégulière et laissant invariant une structure presque-complexe intégrable.

Soit $\gamma'_f$ une préimage de $\gamma_f$. Si les classes externes ont été bien choisies, nous trouverons un secteur $S'$, voisinage de $\gamma'_f$ tel que, d'une part, ses préimages soient toutes deux à deux
distinctes et, d'autre part, mod $S' > m_g$. On applique alors la Proposition 12.1.2 qui définit $F : V' \to V$ (on traite de la même manière toutes les discontinuités).

**Troisième étape.** On note $\sigma_0$ la structure complexe standard, et on définit la structure presque-complexe $\sigma$ de la façon suivante :

$$ \cdot \text{ sur } V \setminus \bigcup F^{-n}(S'), \sigma := \sigma_0, $$

$$ \cdot \text{ sur } F^{-n}(S'), \sigma := F^{n+1} * \sigma_0. $$

Comme précédemment, $\sigma$ est à ellipticité bornée car chaque point ne passe au plus qu'une fois dans une région dans laquelle $F$ n'est pas holomorphe. Il s'ensuit que $\sigma$ définit une structure complexe (Théorème d'Ahlfors-Bers) pour laquelle $F$ est holomorphe. Comme $V' \subset \subset F(V')$ par construction, $\hat{F} : W' \to \hat{F}(W')$ est une application à allure polynomiale hybridement équivalente à un polynôme $R$ (Théorème de Redressement).

On vérifie enfin que $R$ est le croisement de $f$ et $g$ en $\alpha$.

## 12.3 Estimations de modules d'ouvertures

Dans cette section, on va montrer qu'on peut effectuer cette chirurgie dans certains cas particuliers, sans avoir à passer au préalable à des applications à allure polynomiale pour avoir l'estimation de la Proposition 12.1.2.

### 12.3.1 $\alpha$ non au bord de composante de Fatou bornée

**Proposition 12.3.1** Si $\alpha$ n'est pas dans l'adhérence d'une composante de Fatou bornée et périodique, en choisissant $\alpha$ assez grand, on obtient $\text{mod}(\Xi') < \text{mod}(S(t'))$.

La preuve s'appuie sur le lemme suivant :

**Lemme 12.3.2** Si $\alpha$ n'est pas dans l'adhérence d'une composante de Fatou bornée et périodique, alors $\forall \theta \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}, \forall V$ (voisinage de $\alpha$), $\exists x \in J(f) \cap V$ tel que $\gamma(\theta)$ et $\alpha$ ne sont pas dans la même composante connexe de $J(f) \setminus \{x\}$.

**DÉMONSTRATION.** On va montrer la contraposée: si $\exists \theta \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}, \exists V \text{ voisinage de } \alpha$, tels que $\forall x \in J(f) \cap V, \gamma(\theta)$ et $\alpha$ sont dans la même composante connexe de $J(f) \setminus \{x\}$, alors $\alpha$ est dans l'adhérence d'une composante de Fatou bornée et périodique.

$$ \text{On note } \begin{cases} A_1 = \{z \in f^{-n}(\alpha), \gamma^{-1}(\{z\}) \cap [t_1, \theta] \neq \emptyset\}, \\ A_2 = \{z \in f^{-n}(\alpha), \gamma^{-1}(\{z\}) \cap [\theta, t_2] \neq \emptyset\}. \end{cases} $$

Montrons que $\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 = \{\alpha, \gamma(\theta)\}$.

En effet, si $x$ est un point de l'intersection et s'il était différent de $\alpha$ et $\gamma(\theta)$, il séparerait ces deux points, car des rayons éloignés de $\theta$ s'accumuleraient sur $x$ par deux accès différents.

Par suite, il existe un arc $l$ joignant $\alpha$ à $\gamma(\theta)$ tel que $\mathcal{R}(\theta) \cup l$ sépare $A_1$ de $A_2$. Or, comme $\bar{A}_1 \cup \bar{A}_2 = J(f) \cap V$, on en déduit $l \subset \bar{K}(f)$ et donc $\alpha$ appartient à l'adhérence
d'une composante de Fatou bornée qui est périodique, car $\alpha$ est fixé et admet un nombre fini d'accès.

**DÉMONSTRATION DE 12.3.1.** Par le lemme ci-dessus, il existe $y_1^n(s)$, $y_2^n(s) \notin K(f)$ tels que $\arg(y_1^n) < \theta < \arg(y_2^n)$ et $y_i^n(s) \underset{s\to 0}{\longrightarrow} x^n$ où $x^n \to \alpha$.

Si on choisit $a$ assez grand, alors, à $s$ fixé, les points $y_i^n$ appartiennent aux secteurs $S(t_i)$ respectivement (quitte à réduire $\eta$, pour qu'ils n'aient pas de point commun). On note $\omega$ la projection sur le quotient ; $\omega(y_i^n)$ tend vers $\omega(x^n)$. L'anneau induit par $\Xi'$ est entre ces points et son équateur se situe dans une classe d'homotopie fixe de lacets du tore.

On se donne une métrique euclidienne telle que les géodésiques dans cette classe soient de longueur 1. On note $\delta$ la distance entre $\omega(y_1^n)$ et $\omega(y_2^n)$. L'équateur de $\Xi'/(F^q)$ a une longueur euclidienne supérieure à 1 et passe à une distance $\le \delta/2$ des points $\omega(y_1^n)$ et $\omega(y_2^n)$. Par le Théorème du quart de Koebe, on montre que $\text{mod}(\Xi') \le \frac{\pi}{\log(1/\delta)}$. Par conséquent, le module de $\Xi'$ tend vers zéro quand $s$ tend vers zéro, alors que celui de $S(t')$ est croissant : on peut faire en sorte que l'inégalité sur les modules soit satisfaite.

## 12.3.2 $\alpha$ au bord de composante(s) de Fatou bornée(s)

**Proposition 12.3.3** Si $\alpha$ est répulsif et au bord d'une composante de Fatou bornée, on $a \mod(\Xi') < \text{mod}(S(t'))$ si $|q \log f^q'(\alpha) - 2i\pi p| \ge \frac{\log d \sin \theta}{q}$, où $\theta$ est l'angle orienté entre les vecteurs $2i\pi$ et $\log(f^q)'(\alpha) - 2i\pi p/q$.

**DÉMONSTRATION.** En reprenant les même notations que précédemment, on peut décomposer le tore $T_\alpha$ induit par $\alpha$ en $2q$ anneaux dont une moitié est relevée dans $K(f)$ et l'autre moitié dans son complémentaire. On note $\Xi_1, \dots, \Xi_q$ les premiers, et $S(t_1), \dots, S(t_q)$ les seconds.

Ces derniers correspondent à la limite des secteurs $S_a(t_i)$ quand $a$ va à l'infini et sont donc tous de même module, à savoir $\frac{\pi}{q \log(d)}$.
De même, les $\Xi_i$ se correspondent par $f$, donc ont tous même module.

En éclatant le tore $T_\alpha$, on obtient un cylindre de module $x := \frac{2\pi \sin \theta}{q|q \log f^q'(\alpha) - 2i\pi p|}$ (voir [Pe1]). Dans ce système de coordonnées, la somme de tous les modules doit être inférieure ou égale à celui-ci, d'après l'inégalité de Grøtzsch ; on peut donc majorer $\text{mod} \Xi \le \frac{x}{q} - \text{mod} S(t)$. Ce qui nous intéresse ici est le signe de la différence de $\text{mod} S(t) - \text{mod} \Xi$.

En rassemblant les différents résultats, on obtient l'inégalité cherchée.
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>FIG. 12.5 - Chirurgie avec un quasidisque.</figcaption></figure>

### 12.3.3 $\alpha$ au bord de quasidisque(s)

On suppose maintenant que $\alpha_g$ est au bord d'une composante de Fatou bornée qui est un quasidisque $U$ périodique. On va modifier un peu la construction afin d'obtenir un revêtement ramifié équivalent à un polynôme.

$\Sigma$ est définie de la même façon que dans la section précédente, mais la manière de définir $F$ sur les secteurs préimages de $\alpha_f$ sera revue.

$U$ étant un quasidisque, il existe $\psi_U : \bar{C} \to \bar{C}$ quasiconforme envoyant $U$ sur $D$, holomorphe sur le complémentaire. On considère aussi $\psi_1 : \bar{C} \setminus D \to \bar{C} \setminus K(f)$, la coordonnée de Böttcher de $f$. Comme précédemment, on considère trois secteurs droits issus d'une préimage de $\alpha_f$, et on définit dans le secteur du milieu une "langue" faisant un angle plus petit. D'autre part, dans la coordonnée $\psi_U$, on définit aussi trois secteurs issus de $\alpha_g$, celui du milieu faisant le tour du disque (voir Fig. 12.5).

On définit $F$ holomorphe sur les secteurs du milieu, envoyant la préimage de $\alpha_f$ sur $\alpha_g$ (et équipotentielle sur équipotentielle). Si les angles de ces secteurs sont bien proportionnés (voir Proposition 4.2.8 de la Partie II), alors on peut prolonger quasiconformément $F$ de la langue sur $D$. De même, on prolonge $F$ quasiconformément sur les deux secteurs de façon à ce que $F$ se recolle avec $P_1$. Le reste de la chirurgie est standard, et on obtient le croisement voulu.

### 12.3.4 Autres cas ($\alpha$ répulsif)

**Lemme 12.3.4** Soient $f$ un polynôme d'ensemble de Julia connexe et $\alpha$ un point fixe répulsif au bord d'une composante de Fatou $\Omega$ fixe, de bord localement connexe en $\alpha$; alors il existe un quasidisque $U \subset \Omega$ tel que $\partial U \cap \partial \Omega = \{\alpha\}$.

**DÉMONSTRATION.** On note $\rho$ le multiplicateur de $\alpha$. On définit alors un logarithme sur un voisinage linéarisable de $\alpha$, en prenant un rayon externe fixé par $f$. Dans la coordonnée
log-linéarisante, la trace du bord du bassin $\Omega$ est invariante au voisinage de $-\infty$ par la translation de vecteur $\log\rho$. Comme il admet un domaine fondamental compact, $\Omega$ est d'une épaisseur consistante et on peut y inclure un sous-domaine fondamental qui soit un quasidisque de bord lisse disjoint de $\partial\Omega$. On prolonge ce domaine par la translation de vecteur $\log\rho$. On ramène ce domaine sur un voisinage de $\alpha$ par notre carte, que l'on note $U$. C'est un secteur invariant issu de $\alpha$. Ce domaine est un quasidique car il est invariant par un germe répulsif.

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$U$ étant un quasidisque, il existe $\psi_U : \bar{C} \to \bar{C}$ quasiconforme envoyant $U$ sur $D$, holomorphe sur le complémentaire. On considère aussi $\psi_1 : \bar{C} \setminus D \to \bar{C} \setminus K(f)$, la coordonnée de Böttcher de $f$. Comme précédemment, on considère trois secteurs droits issus d'une préimage de $\alpha_f$, et on ajoute dans celui du milieu une "langue" faisant un angle plus petit. La construction reste donc la même, excepté qu'on a remplacé le bassin par un quasidique inclus dans le bassin.

On a montré :

**Proposition 12.3.5** Lorsque $\alpha$ est au bord d'une composante de Fatou dans laquelle il existe un quasidisque dont le bord ne contient que $\alpha$ de $J$, le croisement est constructible par chirurgie.

## 12.4 Croisement répulsif/parabolique

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes de degré supérieur à deux, d'ensembles de Julia connexes, et tels que $P$ (resp. $Q$) ait un point fixe $\alpha_P$ parabolique (resp. $\alpha_Q$ répulsif) de même nombre de rotation $p/q$, alors :

**Théorème 12.4.1** Si $\alpha_Q$ n'est pas dans l'ensemble $\omega$-limite d'un point critique de $P$ alors leur croisement est réalisable par chirurgie.

<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>**Figure 15** Exemple de croisement répulsif/parabolique.</figcaption></figure>
ESQUISSE DE LA DÉMONSTRATION. On procède en deux étapes : dans un premier temps, on s'arrange pour récupérer une bonne géométrie, puis, on effectue la chirurgie comme dans le cas purement répulsif.

Ainsi, la première étape consiste, à l'aide du Théorème 2 de la Partie II, à définir une silhouette polynomiale $\hat{Q}$ qui remplace le point répulsif $\alpha_Q$ par un point parabolique de même nombre de rotation telle que $Q$ y figure de façon rigide.

Ensuite, on suit exactement la méthode des paragraphes précédents pour :

- construire une nouvelle surface de Riemann, croisement de voisinages de $K_P$ et $K_Q$;

- définir une nouvelle dynamique quasirégulière qui lisse les singularités;

- jouer sur les modules d'ouverture des points paraboliques afin de prolonger sur les secteurs le revêtement ramifié par une application conforme, dans le domaine de l'image qui comprend du Julia rempli ; remarquons que l'une des extensions holomorphes du secteur du milieu se fait sans estimation sur les modules. En effet, pour toute paire de cusps $R$-analytiques, il existe une application conforme d'un voisinage de l'un qu'il le transforme en l'autre;

- définir une structure presque-complexe invariante et intégrable afin d'obtenir une application à allure polynomiale puis un polynôme réalisant le croisement de $P$ et $Q$ en $\alpha_P = \alpha_Q$.

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## 12.5 Propriétés et généralisations

Le but de cette section est d'établir les premières propriétés des croisements et de procéder aux généralisations naturelles de cette opération.

**Propriétés.** Soit $(R, \alpha)$ le croisement de deux polynômes $(P, \alpha_P)$ et $(Q, \alpha_Q)$ de degré $d_P$ et $d_Q \ge 2$ respectivement et ayant leur ensemble de Julia connexe. On note $N_R = \varphi_P(K(P)) \cup \varphi_Q(K(Q))$ le noyau de $R$.

**Proposition 12.5.1** *Le compact $K(R)$ est connexe.*

DÉMONSTRATION. D'après un théorème de Fatou et Julia, $K(R)$ est connexe si et seulement si tous ses points critiques sont dans $K(R)$. Les ensembles de Julia de $P$ et $Q$ sont tous les deux connexes, donc contiennent $d_P - 1$ et $d_Q - 1$ points critiques comptés avec multiplicité. Par la figuration, tous ces points critiques sont aussi critiques pour $R$, et sont dans $K(R)$. Or, d'après la condition (C3) de la définition d'un croisement, $R$ admet exactement $d_P+d_Q-2$ points critiques comptés avec multiplicité : tous les points critiques de $R$ sont dans $K(R)$, et $K(R)$ est connexe.

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**Proposition 12.5.2** (Nature des points fixes)

(i) Le point $\alpha$ est un point fixe de $R$ répulsif si $\alpha_P$ et $\alpha_Q$ le sont ; sinon c'est un point parabolique.