# La polarisation de la lumière, sa mesure, son observation et quelques applications en astronomie astrophysique

Jean-Marie Malherbe

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Jean-Marie Malherbe. La polarisation de la lumière, sa mesure, son observation et quelques applications en astronomie astrophysique. Licence. France. 2024, pp.80. hal-04801930

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# La polarisation de la lumière, sa mesure, son observation et quelques applications en astronomie astrophysique

Jean-Marie Malherbe

Astronome émérite, Observatoire de Paris

25 Novembre 2024

## Résumé

Ce document est destiné aux étudiants en physique à partir du niveau L3 ou M1. Il aborde la polarisation de la lumière, sa caractérisation, et décrit sa mesure, basée sur l'emploi des matrices de Jones (appliquées au champ électrique) ou de Müller (appliquées au vecteur de Stokes). On étudie la polarisation par réflexion vitreuse et métallique ainsi que la biréfringence des cristaux uniaxes et ses applications à la construction de polarimètres ou de filtres monochromatiques tels ceux de Lyot ou de Solc. On présente ensuite quelques applications astrophysiques, comme la polarisation par diffusion, la mesure des champs magnétiques à distance utilisant l'effet Zeeman, la biréfringence circulaire, la rotation et l'effet Faraday. Les démonstrations reposent sur l'électromagnétisme de niveau licence.

## Table des matières

Page

<table><tr><td>I - La polarisation de la lumière et sa caractérisation par les paramètres de Stokes</td><td>2</td></tr><tr><td>II - Les matrices de Jones pour le transport du vecteur champ électrique</td><td>5</td></tr><tr><td>III - Les matrices de Müller pour le transport du vecteur de Stokes</td><td>12</td></tr><tr><td>IV - Polarisation par réflexion vitreuse et métallique</td><td>16</td></tr><tr><td>V - Biréfringence</td><td>29</td></tr><tr><td>VI - Filtre de Lyot</td><td>44</td></tr><tr><td>VII - Filtre de Solc</td><td>51</td></tr><tr><td>VIII - Biréfringence circulaire naturelle et induite (effet Faraday)</td><td>56</td></tr><tr><td>IX - Polarisation par diffusion, effet Hanle</td><td>62</td></tr><tr><td>X - Mesure des champs magnétiques à distance, effet Zeeman</td><td>68</td></tr></table>

Pour un panorama exhaustif des applications astronomiques, se référer au livre en français de Jean-Louis Leroy, « la polarisation de la lumière et l'observation astronomique », Gordon and Breach éditeur, 1998
# I - La polarisation de la lumière et sa caractérisation par les paramètres de Stokes

Considérons une onde plane progressive harmonique (OPPH) se propageant le long de l'axe Oz et dont le champ électrique a pour vibration **E** ($E_x \cos(\omega t - kz)$, $E_y \cos(\omega t - kz + \phi)$, 0), dans le plan xOy. $E_x$ et $E_y$ sont les amplitudes (constantes) dans les directions Ox et Oy. $\omega$ est la pulsation de l'onde et k la norme du vecteur d'onde ($k = 2\pi/\lambda, \lambda$ longueur d'onde). $\phi$ est une phase. En notation complexe, on écrit **E** sous la forme ($E_x e^{i(\omega t - kz)}$, $E_y e^{i(\omega t - kz + \phi)}$, 0).

Lorsque la phase $\phi$ est une fonction aléatoire du temps (cas de la lumière naturelle), l'onde n'est pas polarisée, le vecteur **E** prenant une direction aléatoire du plan xOy.

Par contre, si la phase $\phi$ est constante, l'onde est polarisée.

La polarisation est linéaire si $\phi = 0$ (orientation fixe du vecteur **E**, selon une droite de coefficient directeur $E_y/E_x$).

Dans les autres cas, elle est elliptique, les axes de l'ellipse étant non colinéaires aux axes Ox, Oy. Cependant, si $\phi = \pm\pi/2$, la polarisation est elliptique et les axes de l'ellipse sont Ox et Oy, les demi axes étant de longueur $E_x$ et $E_y$. L'extrémité du vecteur **E** décrit l'ellipse en tournant à la vitesse angulaire ($\omega t - kz$). La polarisation devient circulaire si et seulement si $E_x = E_y = E_0$ (la norme du vecteur **E** est alors constante et vaut $E_0\sqrt{2}$). Elle est dans ce dernier cas particulier circulaire gauche si $\phi = -\pi/2$ et circulaire droite si $\phi = \pi/2$ (le sens de rotation du vecteur **E** étant respectivement le sens trigonométrique, vers la gauche, ou le sens horaire, vers la droite, dans le plan xOy).

Une polarisation circulaire est aussi la somme de deux polarisations linéaires de même amplitude selon Ox et Oy, mais déphasées de $\pm\pi/2$. Par exemple, ($E_0 e^{i(\omega t - kz)}$, 0, 0) + (0, $E_0 e^{i(\omega t - kz \pm \pi/2)}$, 0) est circulaire et somme de deux linéaires orthogonales. Et vice versa, une polarisation linéaire est la somme de deux circulaires. Par exemple $1/2$ [($E_0 \cos(\omega t - kz)$, $E_0 \sin(\omega t - kz)$, 0) + ($E_0 \cos(\omega t - kz)$, $-E_0 \sin(\omega t - kz)$, 0) est la somme d'une circulaire gauche et droite, égale à ($E_0 \cos(\omega t - kz)$, 0, 0) qui est linéaire selon Ox.

Une polarisation elliptique peut se décomposer en la somme de deux polarisations linéaires d'amplitudes différentes et déphasées de $\phi$, l'une selon Ox ($E_x e^{i(\omega t - kz)}$, 0, 0) et l'autre selon Oy (0, $E_y e^{i(\omega t - kz + \phi)}$, 0). Mais c'est aussi la somme d'une polarisation circulaire et d'une polarisation linéaire en phase. En effet, prenons la superposition de :

- une polarisation circulaire gauche de la forme ($E_0 e^{i(\omega t - kz)}$, $-i E_0 e^{i(\omega t - kz)}$, 0) avec $-i = e^{-i\pi/2}$

- une polarisation linéaire de la forme ($E_x e^{i(\omega t - kz)}$, $E_y e^{i(\omega t - kz)}$, 0)

La somme sécrit [($E_0 + E_x$) $e^{i(\omega t - kz)}$, ($E_y - i E_0$) $e^{i(\omega t - kz)}$, 0]

Or $E_y - i E_0 = (E_y^2 + E_0^2)^{1/2} e^{i\phi}$ où $\phi$ est l'argument du nombre complexe ; on en déduit que le champ résultant de la forme [($E_0 + E_x$) $e^{i(\omega t - kz)}$, ($E_y^2 + E_0^2)^{1/2} e^{i(\omega t - kz + i\phi)}$, 0] est bien une polarisation elliptique.

L'œil, les détecteurs numériques modernes CCD, CMOS ou encore la plaque photo, ne sont pas sensibles à la polarisation de la lumière, mais uniquement à son intensité moyenne (qui dépend du carré des amplitudes de **E**, soit de $E_x^2$ et de $E_y^2$, sachant que la moyenne sur une période d'un $\cos^2$ ou d'un $\sin^2$ est $1/2$). La fréquence des ondes lumineuses étant voisine de $10^{14}$ Hz, les détecteurs ne voient que la moyenne quadratique du champ sur un très grand nombre de périodes. Cependant, la polarisation des ondes contient une quantité d'informations sur les processus physiques d'émission ou de transfert de la lumière (par exemple l'analyse de la polarisation permet de mesurer à distance les champs magnétiques dans l'univers grâce à l'effet Zeeman). Les détecteurs étant insensibles à la
polarisation, on construit des **polarimètres** : ce sont des appareils utilisant des polariseurs, des lames à retard et des cristaux biréfringents qui vont permettre de moduler l'intensité lumineuse I par trois signaux quadratiques Q, U, V, appelés paramètres de Stokes, qui contiennent l'information sur la polarisation de l'onde. Dans la vie courante, de nombreux mécanismes polarisants existent, comme la diffusion, la réflexion métallique ou vitreuse ; certaines lumières naturelles sont polarisées comme celle du ciel bleu ou des écrans plats, mais nous n'en avons pas conscience : seul l'usage d'un polariseur peut nous révéler ces phénomènes.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>A. Linearly Polarized Light in the Vertical Direction</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>B. Linearly Polarized Light at 45 Degrees</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>C. Circularly Polarized Light</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>D. Elliptically Polarized Light</figcaption></figure>

Différents états de polarisation de la lumière

Les paramètres ou vecteur de Stokes

On introduit les paramètres ou vecteur de Stokes **S** = (I, Q, U, V) pour décrire l'état de polarisation d'un faisceau lumineux.

Soit Oz l'axe de propagation de la lumière. Le champ électrique est décrit par le vecteur **E** = (A e^(iωt), B e^(iωt), 0), où l'on a omis pour simplifier l'écriture le terme propagatif en e^−ikz.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

$$
\begin{gather*}
\mathbf{E} = (A e^{i\omega t}, B e^{i\omega t}, 0) \\
\text{A et B amplitudes complexes} \\
\text{constantes}
\end{gather*}
$$

A et B sont des quantités complexes, qui portent donc éventuellement un terme de phase.

Si $\mathbf{A} = k \mathbf{B}$ (k réel) on a une polarisation linéaire : $\mathbf{E}$ vibre selon une direction fixe du plan (xOy).
Si $A = \pm i B$, on a une polarisation circulaire droite ($B = i A$) ou gauche ($B = -i A$) : l'extrémité du vecteur **E** décrit un cercle vers la droite ou vers la gauche dans le plan (xOy).

Dans tous les autres cas, la polarisation est elliptique dans le plan (xOy), si A et B sont constants.

**Le vecteur de Stokes S = (I, Q, U, V)** sert a décrire l'état de polarisation de la lumière. Il est défini par :

$$
\begin{align*}
\mathbf{I} &= \mathbf{A} \mathbf{A}^* + \mathbf{B} \mathbf{B}^* \\
\mathbf{Q} &= \mathbf{A} \mathbf{A}^* - \mathbf{B} \mathbf{B}^* \\
\mathbf{U} &= \mathbf{A} \mathbf{B}^* + \mathbf{A}^* \mathbf{B} \\
\mathbf{V} &= i (\mathbf{A}^* \mathbf{B} - \mathbf{A} \mathbf{B}^*)
\end{align*}
$$

Où * désigne la quantité complexe conjuguée

$I^2 = Q^2 + U^2 + V^2$ seulement pour une lumière **totalement polarisée**

I est l'intensité lumineuse. Q et U servent à décrire la polarisation linéaire ; le taux de polarisation linéaire est $(Q^2 + U^2)^{1/2} / I$. Le paramètre V sert a décrire la polarisation circulaire dont le taux de polarisation est $V/I$. On a toujours $Q^2 + U^2 + V^2 \ll I^2$, sauf quand la lumière est totalement polarisée où l'on a l'égalité. Les polarimètres permettent de mesurer le vecteur de Stokes $\mathbf{S} = (I, Q, U, V)$. Mais il n'est pas possible de mesurer directement les composantes du vecteur **E** auxquels les détecteurs ne sont pas sensibles. En effet, le vecteur de Stokes est une quantité quadratique dont on mesure la valeur moyenne non nulle. Alors que les composantes de **E** sont de valeur moyenne nulle (fréquence de vibration de l'ordre de $10^{14}$ Hz pour la lumière visible). I et V sont invariants par rotation d'axe Oz.

**Polarisation linéaire** : si $\varphi$ est l'azimuth du vecteur **E** (angle avec l'axe Ox), alors $A = E \cos(\varphi)$ et $B = E \sin(\varphi)$, E étant le module du vecteur **E**, dans ce cas on obtient :

$$
\begin{align*}
\mathbf{I} &= \mathbf{E}^2 \\
\mathbf{Q} &= \mathbf{E}^2 \cos(2\varphi) \\
\mathbf{U} &= \mathbf{E}^2 \sin(2\varphi) \\
\mathbf{V} &= \mathbf{0}
\end{align*}
$$

La mesure de I permet de trouver l'amplitude du champ E ; la mesure de Q et U son azimuth φ. En particulier, on a φ = 1/2 arc tan (U/Q). Ici, (Q² + U²)¹/² / I = 1 car la lumière est totalement polarisée ; en général, ce n'est pas le cas, on a (Q² + U²)¹/² / I << 1.

**Polarisation circulaire** : si de même on pose $A = \pm iB = \pm iE/\sqrt{2}$, E étant le module du vecteur **E**, alors on obtient :

$$
\begin{align*}
\mathbf{I} &= \mathbf{E}^2 \\
\mathbf{Q} &= \mathbf{U} = \mathbf{0} \\
\mathbf{V} &= \pm \mathbf{E}^2
\end{align*}
$$

Ici, $|V|/I = 1$ car la lumière est totalement polarisée ; en général, ce n'est pas le cas, et $|V|/I \ll 1$.

L'ellipse de polarisation

Si $E = (A e^{i\omega t}, B e^{i\omega t}, 0)$, on peut représenter l'ellipse de polarisation du champ éléctrique en passant aux parties réelles.

Posons $A = |A| e^{i\phi_1} = a e^{i\phi_1}$ et que $B = |B| e^{i\phi_2} = b e^{i\phi_2}$ avec $a = |A|$ et $b = |B|$

En prenant les parties réelles, on trouve :

$E_x = a \cos(\omega t + \phi_1)$ et $E_y = b \cos(\omega t + \phi_2)$

On obtient en introduisant le déphasage $\phi = \phi_2 - \phi_1$ entre les deux composantes de **E** :

$$
\begin{align*}
\mathbf{I} &= \mathbf{A} \mathbf{A}^* + \mathbf{B} \mathbf{B}^* = a^2 + b^2 \\
\mathbf{Q} &= \mathbf{A} \mathbf{A}^* - \mathbf{B} \mathbf{B}^* = a^2 - b^2 \\
\mathbf{U} &= \mathbf{A} \mathbf{B}^* + \mathbf{A}^* \mathbf{B} = 2 a b \cos(\phi) \\
\mathbf{V} &= i (\mathbf{A}^* \mathbf{B} - \mathbf{A} \mathbf{B}^*) = - 2 a b \sin(\phi)
\end{align*}
$$

Inversement, $a^2 = \frac{1}{2} (I+Q)$, $b^2 = \frac{1}{2} (I-Q)$
Or $a^2 b^2 = \frac{1}{4} (I+Q)(I-Q) = \frac{1}{4} (I^2 - Q^2)$, d'où $\cos(\phi) = U / (I^2 - Q^2)^{1/2}$ et $\sin(\phi) = -V / (I^2 - Q^2)^{1/2}$

Ces deux formules ne sont valides que si la lumière est 100% polarisée ($I^2 = Q^2 + U^2 + V^2$).

La mesure de tous les paramètres de Stokes permet ainsi de remonter à la nature du champ électrique.

Si $\phi = 0$ la polarisation est linéaire.

Si $\phi \neq 0$ la polarisation est elliptique d'axes non confondus avec Ox et Oy

Si $\phi = \pm \pi/2$, la polarisation est elliptique d'axes Oy et Oy, et elle est de plus circulaire seulement lorsque $a = b (|A| = |B|)$.

## II – Les matrices de Jones pour le transport du champ électrique

Pour décrire la modification de la polarisation d'un faisceau à la traversée d'un dioptre ou d'un système optique, on peut utiliser la représentation de Jones quand on s'intéresse au champ électrique **E** ou à l'intensité lumineuse I (proportionnelle à la valeur quadratique moyenne du champ électrique sortant). Les matrices de Jones (2 x 2) multiplient l'amplitude complexe du champ électrique incident et transportent ainsi sa phase. Par contre, on utilisera les matrices de Müller (4 x 4) quand on aura besoin du vecteur de Stokes complet (I, Q, U V).

$E_{\text{out}} = J E_{\text{in}}$

Avec **E**<sub>in</sub> champ électrique incident et **E**<sub>out</sub> champ électrique sortant. $E_{\text{in}} = (E_{x\_in}, E_{y\_in})$ et $E_{\text{out}} = (E_{x\_out}, E_{y\_out})$. **J** est donc une matrice 2 x 2 à coefficients complexes.

Lorsqu'un système optique se compose de n éléments, numérotés dans l'ordre de traversée par la lumière, on écrit (attention, le produit des matrices n'est pas commutatif) :

$E_{\text{out}} = J_n J_{n-1} \dots J_2 J_1 E_{\text{in}}$

Matrice de Jones $P_{Ox}$ d'un polariseur d'axe Ox (projection de **E** sur l'axe Ox):

<table><tr><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td></tr></table>

Matrice de Jones $P_{Oy}$ d'un polariseur d'axe Oy (projection de **E** sur l'axe Oy):

<table><tr><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td></tr></table>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Effet d'un polariseur sur une lumière incidente (celle d'un écran plat d'ordinateur) polarisée linéairement (ici dans le sens Oy).

Polariseur vertical // Oy : passant
Polariseur horizontal // Ox : bloquant

Si angle $\alpha$ entre l'axe du polariseur et la polarisation incidente : $I = I_0 \cos^2\alpha$
($\alpha=0$, passant ; $\alpha=\pi/2$, bloquant)
Un polaroid est un film plastique étiré qui se comporte comme une grille de fils conducteurs serrés, rectilignes et parallèles. Le champ électrique orthogonal aux fils est transmis, le champ parallèle aux fils est réfléchi (comme en réflexion sur un métal parfait où $E_{\text{tangentiel}} = 0$). Ainsi, le polaroid possède un axe d'acceptance qui transmet uniquement la projection du champ électrique **E** dans sa direction. Le champ transmis par un polaroid est à polarisation purement linéaire.

Une lame à retard est l'élément de base pour construire un polarimètre, elle introduit un déphasage $\delta$ sur l'axe Oy (on dit aussi retardateur), sa la matrice de Jones **J**$_{δ}$ dans les axes xOy est :

<table><tr><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>e<sup>iδ</sup></td></tr></table>

Ainsi, une lame quart d'onde d'axes Ox et Oy (retard $\delta = \pi/2$) aura pour matrice :

<table><tr><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>i</td></tr></table>

Une lame trois quarts d'onde d'axes Ox et Oy (retard $\delta = 3\pi/2$ ou $\delta = -\pi/2$) aura pour matrice :

<table><tr><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>-i</td></tr></table>

Et une lame demi onde d'axes Ox et Oy (retard $\delta = \pi$) aura pour matrice :

<table><tr><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>-1</td></tr></table>

Matrice de Jones **R**$_{α}$ d'une rotation d'axe Oz, dans le plan xOy, d'angle $\alpha$ :

<table><tr><td>cos(α)</td><td>sin(α)</td></tr><tr><td>-sin(α)</td><td>cos(α)</td></tr></table>

La matrice de rotation est très utile, parce que souvent on connaît la matrice **J** d'un élément optique dans les axes Ox et Oy (par exemple les matrices de retard ou des polariseurs ci dessus) ; lorsque l'élément optique est tourné d'un angle $\alpha$ par rapport à ces axes, un changement de repère s'impose, on doit utiliser le produit **R**$_{-α}$ **J** **R**$_{α}$. Ainsi,

Un polariseur d'axe Ox tourné d'un angle $\alpha$ a pour matrice **R**$_{-α}$ **P**$_{ox}$ **R**$_{α}$ :

<table><tr><td>cos<sup>2</sup>(α)</td><td>sin(α) cos(α)</td></tr><tr><td>sin(α) cos(α)</td><td>sin<sup>2</sup>(α)</td></tr></table>

Deux polariseurs faisant entre eux un angle $\alpha$ ont pour matrice **R**$_{-α}$ **P**$_{ox}$ **R**$_{α}$ **P**$_{ox}$ :

<table><tr><td>cos<sup>2</sup>(α)</td><td>0</td></tr><tr><td>sin(α) cos(α)</td><td>0</td></tr></table>

Appliquée à un champ quelconque **E** ($E_x$, $E_y$), on obtient en sortie **E**$_{out}$ ($E_x \cos^2(\alpha)$, $E_x \sin(\alpha) \cos(\alpha)$) dont l'intensité lumineuse est $I = E_x^2 \cos^2(\alpha)$, c'est la loi de Malus.

Une lame à retard $\delta$ d'azimuth $\alpha$ aura pour matrice le produit **R**$_{-α}$ **J**$_{δ}$ **R**$_{α}$ :

<table><tr><td>cos<sup>2</sup>(α) + sin<sup>2</sup>(α) e<sup>iδ</sup></td><td>sin(α) cos(α) (1 - e<sup>iδ</sup>)</td></tr><tr><td>sin(α) cos(α) (1 - e<sup>iδ</sup>)</td><td>sin<sup>2</sup>(α) + cos<sup>2</sup>(α) e<sup>iδ</sup></td></tr></table>

Ainsi, une lame quart d'onde (retard $\delta = \pi/2$) d'azimuth $\alpha$ aura pour matrice :

<table><tr><td>cos<sup>2</sup>(α) + i sin<sup>2</sup>(α)</td><td>sin(α) cos(α) (1 - i)</td></tr><tr><td>sin(α) cos(α) (1 - i)</td><td>sin<sup>2</sup>(α) + i cos<sup>2</sup>(α)</td></tr></table>

Une lame trois quarts d'onde (retard $\delta = 3\pi/2$ ou $\delta = -\pi/2$) d'azimuth $\alpha$ aura pour matrice :

<table><tr><td>cos<sup>2</sup>(α) - i sin<sup>2</sup>(α)</td><td>sin(α) cos(α) (1 + i)</td></tr><tr><td>sin(α) cos(α) (1 + i)</td><td>sin<sup>2</sup>(α) - i cos<sup>2</sup>(α)</td></tr></table>
Et une lame demi onde (retard $\delta = \pi$) d'azimuth $\alpha$ aura pour matrice :

<table><tr><td>cos(2α)</td><td>sin(2α)</td></tr><tr><td>sin(2α)</td><td>- cos(2α)</td></tr></table>

Cas particulier d'une lame retardatrice d'azimuth $\alpha = \pi/4$

Dans beaucoup de cas, on travaille avec des lames à retard tournées de 45° dans le repère xOy.
Une lame à retard $\delta$ d'azimuth $\alpha = \pi/4$ aura pour matrice :

<table><tr><td>½ (1 + e<sup>iδ</sup>)</td><td>½ (1 - e<sup>iδ</sup>)</td></tr><tr><td>½ (1 - e<sup>iδ</sup>)</td><td>½ (1 + e<sup>iδ</sup>)</td></tr></table>

Qui s'écrit aussi sous la forme :

<table><tr><td>cos(δ/2)</td><td>-i sin(δ/2)</td><td rowspan="2">x e<sup>iδ/2</sup></td></tr><tr><td>-i sin(δ/2)</td><td>cos(δ/2)</td></tr></table>

Si on place une telle lame entre deux polariseurs parallèles d'axe Ox, on obtient la matrice :

<table><tr><td>cos(δ/2) e<sup>iδ/2</sup></td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td></tr></table>

Appliquée à un champ quelconque **E** (E<sub>x</sub>, E<sub>y</sub>), on a en sortie l'intensité lumineuse I = E<sub>x</sub><sup>2</sup> cos<sup>2</sup>(δ/2)

Si la lame est disposée entre deux polariseurs orthogonaux (axes Ox et Oy), on obtient la matrice :

<table><tr><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>-i sin(δ/2) e<sup>iδ/2</sup></td><td>0</td></tr></table>

Appliquée à un champ quelconque **E** (E<sub>x</sub>, E<sub>y</sub>), on a en sortie l'intensité lumineuse I = E<sub>x</sub><sup>2</sup> sin<sup>2</sup>(δ/2)
Dans ces deux cas, on obtient un spectre **cannelé**, à la base du filtre de Lyot (voir plus loin).

Une quart d'onde (retard $\delta = \pi/2$) s'écrit donc :

<table><tr><td>½ (1 + i)</td><td>½ (1 - i)</td></tr><tr><td>½ (1 - i)</td><td>½ (1 + i)</td></tr></table>

Une demi onde (retard $\delta = \pi$):

<table><tr><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td></tr></table>

Une trois quarts d'onde (retard $\delta = 3\pi/2$) s'écrit :

<table><tr><td>½ (1 - i)</td><td>½ (1 + i)</td></tr><tr><td>½ (1 + i)</td><td>½ (1 - i)</td></tr></table>

Cas particulier d'une lame retardatrice d'azimuth $\alpha = -\pi/4$

Une lame à retard $\delta$ d'azimuth $\alpha = -\pi/4$ aura pour matrice :

<table><tr><td>½ (1 + e<sup>iδ</sup>)</td><td>-½ (1 - e<sup>iδ</sup>)</td></tr><tr><td>-½ (1 - e<sup>iδ</sup>)</td><td>½ (1 + e<sup>iδ</sup>)</td></tr></table>

Qui s'écrit aussi sous la forme :

<table><tr><td>cos(δ/2)</td><td>i sin(δ/2)</td><td rowspan="2">x e<sup>iδ/2</sup></td></tr><tr><td>i sin(δ/2)</td><td>cos(δ/2)</td></tr></table>

Une quart d'onde (retard $\delta = \pi/2$) s'écrit donc :

<table><tr><td>½ (1 + i)</td><td>-½ (1 - i)</td></tr><tr><td>-½ (1 - i)</td><td>½ (1 + i)</td></tr></table>

Une demi onde (retard $\delta = \pi$):

<table><tr><td>0</td><td>-1</td></tr><tr><td>-1</td><td>0</td></tr></table>

Une trois quarts d'onde (retard $\delta = 3\pi/2$) s'écrit :

<table><tr><td>½ (1 - i)</td><td>-½ (1 + i)</td></tr><tr><td>-½ (1 + i)</td><td>½ (1 - i)</td></tr></table>
## II-1 - Une méthode de test ou de calibration des lames à retard

Intéressons nous à un montage constitué d'une lame à retard $δ$ d'azimuth $α$ entre deux polariseurs P1 et P2 ; ce système aura aura pour matrice de Jones le produit de cinq matrices élémentaires :

**Pox R-a Jδ Ra Pox** entre polariseurs parallèles ;

Si $E(E_x, E_y)$ est le champ incident, le champ sortant est $E_{\text{out}} = (\cos^2(\alpha) + \sin^2(2\alpha)) e^{i\delta} E_x, 0)$, dont l'intensité est donnée par la loi $I = I_0 [1 - \sin^2(2\alpha) \sin^2(\delta/2)]$

Ou bien

**Poy R-a Jδ Ra Pox** entre polariseurs croisés (axes d'acceptance orthogonaux) ;

Si $E(E_x, E_y)$ est le champ incident, le champ sortant est $E_{\text{out}} = (0, \cos(\alpha) \sin(\alpha) (1 - e^{i\delta}) E_x)$, dont l'intensité est donnée par la loi $I = I_0 \sin^2(2\alpha) \sin^2(\delta/2)$

*Positionnement des axes des lames*

P1 et P2 sont deux polariseurs linéaires croisés (axes d'acceptance à 90°), de sorte qu'il y a extinction totale en l'absence de tout élément optique entre les deux.

$α$ est l'azimuth de la lame ; $δ$ le retard ; on a en sortie $I = I_0 \sin^2(2α) \sin^2(δ/2)$

Il y a extinction, donc parallélisme des axes de la lame avec P1/P2, pour $α = 0$ modulo $π/2$

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

*Test de lames zéro et demi onde*

### Zéro onde (polariseurs P1 et P2 d'axes croisés)

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

### Demi onde (polariseurs P1 et P2 d'axes parallèles)

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

*Test par autocollimation de lames quart et trois quarts d'onde*

Un seul polariseur, la lame est traversée deux fois (retard doublé), elle équivaut à une demi onde.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Calibration d'un retard quelconque</figcaption></figure>

Entre polariseurs P1 et P2 d'axes parallèles

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Lorsqu'on tourne la lame à retard, l'intensité sortante varie modulo $\pi/2$ entre deux valeurs :

- un minimum $I_0 \cos^2(\delta/2)$ obtenu pour $\alpha = 0$ modulo $\pi/2$

- un maximum $I_0$ obtenu pour $\alpha = \pi/4$ modulo $\pi/2$

le contraste $(I_{max}-I_{min})/(I_{max}+I_{min})$ entre les deux vaut $\sin^2(\delta/2)/(2 - \sin^2(\delta/2))$, ce qui permet de remonter à $\sin^2(\delta/2)$. Le contraste vaut 1 pour une lame demi onde, 1/3 pour quart ou trois quarts onde, 0 pour une zéro onde. Il faut pour cela être capable de mesurer des intensités lumineuses, par exemple avec un appareil photo numérique (figure ci-dessous).

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Lame de mica de retard inconnu entre deux polariseurs parallèle, orientée au maximum d'intensité (à gauche) et au minimum (à droite). En conservant les mêmes conditions de prise de vue, on obtient un contraste au centre de la lame de 0.15, ce qui donne $|\sin(\delta/2)| = 0.5$</figcaption></figure>
## II-2 – Le rotateur de polarisation linéaire à lame demi onde

Injectons une polarisation linéaire selon Ox, de champ électrique E<sub>in</sub> (E<sub>0</sub>, 0), dans une lame demi onde d'azimuth α dont la matrice est (voir plus haut) :

<table><tr><td>cos(2α)</td><td>sin(2α)</td></tr><tr><td>sin(2α)</td><td>- cos(2α)</td></tr></table>

En sortie, on obtient le champ suivant : **E**<sub>out</sub> (E<sub>0</sub> cos(2α), E<sub>0</sub> sin(2α)). Il s'agit encore d'une polarisation linéaire ; mais quand on tourne la lame d'un angle α, **la direction de polarisation tourne de 2α**. Une lame demi onde est donc un rotateur de polarisation linéaire ; si α = π/4, la direction de polarisation tourne de 90°. En conséquence, une lame demi onde placée entre deux polariseurs d'axes parallèles, mais orientée à 45° de ces polariseurs, est bloquante (la direction du champ électrique ayant tourné de 90° se trouve orthogonale à l'axe du second polariseur). Par contre, entre deux polariseurs d'axes orthogonaux, toujours orientée à 45° de ces deux axes, la lame est passante (la direction du champ électrique ayant tourné de 90° se trouve dans l'axe du second polariseur). En utilisant une lame à cristaux liquides, dont la réponse est très rapide, on peut fabriquer ainsi des valves optiques à haute cadence (les cristaux liquides sont placés en sandwich entre deux fines électrodes transparentes auxquelles on applique un champ électrique extérieur, modifiant leur biréfringence, et permettant de basculer entre zéro onde et demi onde en moins d'une micro seconde).

## II-3 – Un déphaseur de polarisation circulaire

Un déphaseur introduit un déphasage identique sur les deux composantes du champ électrique. Etudions le système composé d'une lame demi onde d'azimuth α de matrice :

<table><tr><td>cos(2α)</td><td>sin(2α)</td></tr><tr><td>sin(2α)</td><td>- cos(2α)</td></tr></table>

Par exemple, si l'on applique cette matrice à un champ électrique polarisé circulairement à gauche, soit **E** (E<sub>0</sub>, -i E<sub>0</sub>), on obtient le champ sortant **E**<sub>out</sub> = (E<sub>0</sub>, i E<sub>0</sub>) e<sup>-i2α</sup>. C'est un champ polarisé circulairement à droite, mais déphasé de e<sup>-i2α</sup>. Selon la valeur de α, il est possible d'introduire un déphasage variable par simple rotation de la lame comprise entre 0 et 2π. Inversement, si la polarisation incidente est circulaire droite, la sortante sera circulaire gauche et déphasée de e<sup>i2α</sup>.

On constate au passage qu'une lame demi onde d'axe xOy de matrice ci contre (telle que α = 0) change une polarisation circulaire gauche en droite et vice versa, sans introduction de déphasage.

<table><tr><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>-1</td></tr></table>

## II-4 – Un déphaseur de polarisation linéaire

Etudions le système composé d'une lame quart onde d'axes xOy, puis d'une lame demi onde d'azimuth α et de nouveau d'une lame quart onde d'axes xOy. On doit effectuer le produit :

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>cos(2α)</td><td>sin(2α)</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>i</td><td>sin(2α)</td><td>- cos(2α)</td><td>0</td><td>i</td></tr></table>

Dont le résultat est

<table><tr><td>cos(2α)</td><td>i sin(2α)</td></tr><tr><td>i sin(2α)</td><td>cos(2α)</td></tr></table>

Si l'on applique cette matrice à un champ électrique polarisé linéairement à 45°, soit **E** (E<sub>0</sub>, E<sub>0</sub>), on obtient le champ sortant **E**<sub>out</sub> = (E<sub>0</sub>, E<sub>0</sub>) e<sup>i2α</sup>. On a donc un champ de même nature que le champ entrant (polarisation linéaire à 45°), mais déphasé de e<sup>i2α</sup>. Selon la valeur de α, il est possible d'introduire un
déphasage variable par simple rotation compris entre 0 et $2\pi$. La polarisation linéaire incidente peut être créée simplement par un polariseur dont l'axe sera à 45° de l'ensemble des 3 lames. Le fonctionnement s'explique facilement : la polarisation linéaire incidente à 45° est transformée en circulaire par la première quart onde ; un déphasage $e^{i2\alpha}$ est appliqué à la circulaire, qui est retransformée en linéaire par la seconde quart onde.

## II – 5 – Principe du polariseur circulaire

Il s'agit d'un assemblage collé d'un polariseur (traversé en premier par la lumière, donc délivrant une polarisation linéaire) suivi d'une lame quart onde (retard $\delta = \pi/2$), dont le but est de transformer la polarisation linéaire incidente en circulaire. Prenons par exemple un polarisaur d'axe Ox et désignons par $\alpha$ l'azimuth de la lame quart onde accolée ($\alpha = \pm \pi/4$). On doit effectuer, pour les deux valeurs de $\alpha$, les produits matriciels :

$$ \alpha = \pi/4 \quad \begin{array}{c|c} \frac{1}{2} (1 + i) & \frac{1}{2} (1 - i) \\ \frac{1}{2} (1 - i) & \frac{1}{2} (1 + i) \end{array} \quad \begin{array}{|c|c} \hline 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \hline \end{array} $$

qui, appliqué au champ électrique entrant ($E_x$, $E_y$) donnera le champ sortant :
$E_x/2 (1+i, 1-i) = \frac{1}{2} (1+i) (E_x, -i E_x)$
Il s'agit d'une polarisation circulaire gauche (Left Handed ou LH).

$$ \alpha = -\pi/4 \quad \begin{array}{c|c} \frac{1}{2} (1 + i) & -\frac{1}{2} (1 - i) \\ -\frac{1}{2} (1 - i) & \frac{1}{2} (1 + i) \end{array} \quad \begin{array}{|c|c} \hline 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \hline \end{array} $$

Ce produit matriciel, appliqué au champ électrique entrant ($E_x$, $E_y$) donnera le champ sortant :
$E_x/2 (1+i, -1+i) = \frac{1}{2} (1+i) (E_x, i E_x)$
Il s'agit d'une polarisation circulaire droite (Right Handed ou RH).

Avec une lame trois quarts d'onde (retard $\delta = -\pi/2$), on aurait :

$$ \alpha = \pi/4 \quad \begin{array}{c|c} \frac{1}{2} (1 - i) & \frac{1}{2} (1 + i) \\ \frac{1}{2} (1 + i) & \frac{1}{2} (1 - i) \end{array} \quad \begin{array}{|c|c} \hline 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \hline \end{array} $$

qui, appliqué au champ électrique entrant ($E_x$, $E_y$) donnera le champ sortant :
$E_x/2 (1-i, 1+i) = \frac{1}{2} (1-i) (E_x, i E_x)$
Il s'agit d'une polarisation circulaire droite (Right Handed ou RH).

$$ \alpha = -\pi/4 \quad \begin{array}{c|c} \frac{1}{2} (1 - i) & -\frac{1}{2} (1 + i) \\ -\frac{1}{2} (1 + i) & \frac{1}{2} (1 - i) \end{array} \quad \begin{array}{|c|c} \hline 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \hline \end{array} $$

qui, appliqué au champ électrique entrant ($E_x$, $E_y$) donnera le champ sortant :
$E_x/2 (1-i, -1-i) = \frac{1}{2} (1-i) (E_x, -i E_x)$
Il s'agit d'une polarisation circulaire gauche (Left Handed ou LH).

En résumé, on trouve des combinaisons équivalentes :

Polariseur // Ox + lame ($\delta = \pi/2$, $\alpha = \pi/4$) → circulaire gauche (LH)

Polariseur // Ox + lame ($\delta = \pi/2$, $\alpha = -\pi/4$) → circulaire droite (RH)

Polariseur // Ox + lame ($\delta = -\pi/2$, $\alpha = \pi/4$) → circulaire droite (RH)

Polariseur // Ox + lame ($\delta = -\pi/2$, $\alpha = -\pi/4$) → circulaire gauche (LH)

Inversement, supposons que nous ayons une polarisation circulaire gauche délivrant un champ de la forme $E$ ($E_0$, $-i E_0$) et que nous lui fassions traverser un polariseur circulaire inversé, c'est-à-dire dans lequel la lumière traverse en premier la lame quart d'onde, puis en second le polariseur.
Supposons également que la lame quart onde ait un azimuth $\alpha$ quelconque. On devra appliquer le produit matriciel $J_{\pi/2} R_{\alpha}$ au champ électrique incident $E$, soit la matrice :

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline 1 & 0 \\ \hline 0 & i \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|} \hline \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ \hline -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{array} \qquad = \qquad \begin{array}{|c|c|} \hline \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ \hline -i \sin(\alpha) & i \cos(\alpha) \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|} \hline \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ \hline -i \sin(\alpha) & i \cos(\alpha) \end{array} $$

Appliquée à $E$ ($E_0$, $-i E_0$), nous obtenons le champ sortant ($\cos(\alpha) - i \sin(\alpha) = e^{-i\alpha}$ est un facteur de phase multiplicatif et les deux composantes sont égales. On a donc affaire à une polarisation linéaire à $45^\circ$ des axes de la lame quart d'onde. Il en résulte en ce qui concerne le positionnement du polariseur de sortie, collé derrière la quart d'onde :

- si le polariseur est à $+45^\circ$ de la quart d'onde, alors le montage est passant, quelque soit $\alpha$

- si le polariseur est à $-45^\circ$ de la quart d'onde, alors le montage est bloquant, quelque soit $\alpha$

### Suggestion d'expérience avec deux polariseurs circulaires en série (dont le second est inversé) :

$LH + LH$ renversé = passant quelque soit l'angle $\alpha$ entre les deux

$LH + RH$ renversé = bloquant quelque soit l'angle $\alpha$ entre les deux

La figure ci-dessous illustre ce résultat qu'il est facile de reproduire expérimentalement avec des feuilles bon marché RH et LH à découper du commerce.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Le premier polariseur circulaire (carré, quart d'onde en second)) délivre une polarisation circulaire gauche (LH) ou droite (RH). Le second (rectangulaire) est inversé (quart onde en premier), il est passant ou bloquant quelle que soit son orientation (le tourner ne change rien).

## III – Les Matrices de Müller pour le transport du vecteur de Stokes

Elles constituent un outil efficace pour décrire la modification de la polarisation d'un faisceau à la traversée d'un d'un système optique. La matrice de Müller $M$ d'un dioptre est telle que :

$$S_{\text{out}} = M S_{\text{in}}$$

Avec $S_{\text{in}}$ vecteur de Stokes incident et $S_{\text{out}}$ vecteur de Stokes sortant. $S_{\text{in}} = (I_{\text{in}}, Q_{\text{in}}, U_{\text{in}}, V_{\text{in}})$ et $S_{\text{out}} = (I_{\text{out}}, Q_{\text{out}}, U_{\text{out}}, V_{\text{out}})$ sont calculés à partir des amplitudes complexes $A_{\text{in}}$ et $B_{\text{in}}$, $A_{\text{out}}$ et $B_{\text{out}}$ des champs électriques entrants et sortants. $M$ est une matrice 4 x 4 à coefficients **réels**. Contrairement aux matrices complexes de Jones, la phase du champ électrique échappe à ce formalisme qui travaille sur des quantités quadratiques. S'il y a n éléments optiques traversés numérotés dans l'ordre, on écrira :

$$S_{\text{out}} = M_n M_{n-1} \dots M_2 M_1 S_{\text{in}}$$

Pour donner la méthode, nous allons calculer la matrice de Müller d'un polariseur d'axe Ox.
## Matrice de Müller $P_{ox}$ d'un polariseur d'axe $Ox$

Soit $\mathbf{E} = (A e^{i\omega t}, B e^{i\omega t}, 0)$ le champ incident sur le polariseur. On lui associe les paramètres de Stokes :

$$I = AA^* + BB^*, Q = AA^* - BB^*, U = AB^* + A^*B \text{ et } V = I (A^*B - AB^*)$$

Le champ sortant du polariseur s'écrit $\mathbf{E}' = (A e^{i\omega t}, 0, 0)$ car la composante sur $Oy$ est nulle. On associe à ce champ $\mathbf{E}'$ les paramètres de Stokes :

$$I' = A'A^* + B'B^*, Q' = A'A^* - B'B^*, U' = A'B^* + A^*B \text{ et } V' = I (A^*B - A'B^*)$$

Dans cet exemple particulier, $A' = A$ et $B' = 0$. On en déduit :

$$I' = AA^*, Q' = AA^*, U' = 0 \text{ et } V' = 0$$

Comme $AA^* = \frac{1}{2}(I+Q)$, il vient :

$$I' = \frac{1}{2}(I+Q), Q' = \frac{1}{2}(I+Q), U' = 0 \text{ et } V' = 0$$

D'où l'on tire la matrice de Müller qui relie $S_{\text{out}} = (I', Q', U', V')$ à $S_{\text{in}} = (I, Q, U, V)$ en écrivant $S_{\text{out}} = P_{\text{ox}} S_{\text{in}} :$

<table><tr><td>1/2</td><td>1/2</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>1/2</td><td>1/2</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></table>

Avec la même méthode, on peut calculer les matrices de Müller des éléments optiques suivants.

## Matrice de Müller $P_{oy}$ d'un polariseur d'axe $Oy$

Un polariseur d'axe $Oy$ ne transmet que la composante du champ électrique projetée sur $Oy$ :

$$S_{\text{out}} = P_{oy} S_{\text{in}}$$

<table><tr><td>1/2</td><td>- 1/2</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>- 1/2</td><td>1/2</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></table>

## Matrice de Müller d'un séparateur de faisceau polarisant d'axes $Ox$ et $Oy$ :

Un séparateur est un cristal (spath, quartz) biréfringent d'axe optique non contenu dans le plan xOy, qui sort deux états de polarisation linéaires séparés spatialement et orthogonaux. Les deux faisceaux sortants sont **écartés** proportionnellement à l'épaisseur e du cristal, écart dans lequel interviennent aussi les indices de réfraction ordinaires et extraordinaires (on verra cela en détails dans le chapitre sur la biréfringence). Un séparateur étant ainsi équivalent à deux polariseurs orthogonaux, sa matrice de Müller sera :

<table><tr><td>1/2</td><td>± 1/2</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>± 1/2</td><td>1/2</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></table>

## Matrice de Müller $T_\delta$ d'un retardateur de retard $\delta$ d'axes $Ox$ et $Oy$

Un retardateur introduit un retard de phase entre les projections du vecteur champ électrique selon les deux axes $Ox$ et $Oy$, appelés aussi axe lent et rapide, de telle façon que (voir vecteur de Jones) :

$$E_{x, \text{out}} = E_{x, \text{in}} \text{ mais } E_{y, \text{out}} = E_{y, \text{in}} e^{i\delta}$$

Un retardateur est un élément biréfringent (cristal de spath, de quartz, de MgF2, cristal liquide) dont l'axe optique est orthogonal à la direction de propagation Oz donc contenu dans le plan xOy. Il
introduit un retard $\delta$ fonction de son épaisseur $e$ et de la différence $\Delta n$ des indices de réfraction ordinaires $n_o$ et extraordinaires $n_e$ (0.17 pour le spath, -0.01 pour le quartz) :

$$ \delta = (2 \pi / \lambda) (\Delta n e) $$

Lorsque $\delta = 0$, on a une simple lame à faces parallèles ($e^{i\delta} = 1$)

Lorsque $\delta = \pi/2$, on a une lame **quart d'onde** ($e^{i\delta} = i$)

Lorsque $\delta = \pi$, on a une lame **demi onde** ($e^{i\delta} = -1$)

Lorsque $\delta = 3\pi/2$, on a une lame **trois quarts d'onde** ($e^{i\delta} = -i$)

Attention ! $\Delta n$ est une fonction de $\lambda$, de sorte qu'une lame retardatrice n'est en général quart d'onde ou demi onde que pour une (lames ordinaires) ou deux valeurs (lames dites achromatiques) de $\lambda$ seulement. Dans le cas des cristaux liquides, le cristal est disposé entre 2 électrodes transparentes entre lesquelles on ajuste une différence de potentiel qui permet de faire varier $\delta$ de façon continue entre 0 et $2\pi$. On a alors un retardateur variable, qui peut devenir exactement quart ou demi onde pour n'importe quelle longueur d'onde. **Une lame quart d'onde sert à transformer une polarisation linéaire en polarisation circulaire, et vice versa.**

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>cos(δ)</td><td>sin(δ)</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>- sin(δ)</td><td>cos(δ)</td></tr></table>

Matrice de Müller $R_\alpha$ d'une rotation d'angle $\alpha$ et d'axe Oz (axe de propagation) :

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>cos(2α)</td><td>sin(2α)</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>- sin(2α)</td><td>cos(2α)</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr></table>

La matrice de rotation est nécessaire pour changer de repère dès qu'on tourne un élément optique dans le plan xOy. On remarque au passage une propriété intéressante des paramètres de Stokes I et V : ils sont invariants par rotation d'axe Oz. Par contre, les paramètres Q et U dépendent du repère de mesure puisque : $Q_{out} = \cos(2\alpha) Q_{in} + \sin(2\alpha) U_{in}$ et $U_{out} = -\sin(2\alpha) Q_{in} + \cos(2\alpha) U_{in}$

Matrice de Müller $P_\alpha$ d'un polariseur d'azimuth $\alpha$ avec l'axe Ox :

$$ P_{\alpha} = R_{-\alpha} P_{ox} R_{\alpha} $$

<table><tr><td>1/2</td><td>1/2 cos(2α)</td><td>1/2 sin(2α)</td><td>0</td></tr><tr><td>1/2 cos(2α)</td><td>1/2 cos²(2α)</td><td>1/2 cos(2α) sin(2α)</td><td>0</td></tr><tr><td>1/2 sin(2α)</td><td>1/2 sin(2α) cos(2α)</td><td>1/2 sin²(2α)</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></table>

Matrice de Müller $T_{\alpha,\delta}$ d'un retardateur $\delta$ et d'azimuth $\alpha$ avec l'axe Ox :

$$ T_{\alpha,\delta} = R_{-\alpha} T_{\delta} R_{\alpha} $$

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>cos²(2α) + sin²(2α)cos(δ)</td><td>sin(4α) sin²(δ/2)</td><td>-sin(2α) sin(δ)</td></tr><tr><td>0</td><td>sin(4α) sin²(δ/2)</td><td>sin²(2α) + cos²(2α) cos(δ)</td><td>cos(2α) sin(δ)</td></tr><tr><td>0</td><td>sin(2α) sin(δ)</td><td>-cos(2α) sin(δ)</td><td>cos(δ)</td></tr></table>
Pour $\alpha = \pi/4$

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>cos(δ)</td><td>0</td><td>- sin(δ)</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>sin(δ)</td><td>0</td><td>cos(δ)</td></tr></table>

et $\alpha = -\pi/4$

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>cos(δ)</td><td>0</td><td>sin(δ)</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>- sin(δ)</td><td>0</td><td>cos(δ)</td></tr></table>

Les valeurs $\alpha = \pi/4$ et $\alpha = -\pi/4$ sont d'utilisation très courante. Examinons quelques cas particuliers couramment employés de matrices à retard :

Quart onde, $\delta = \pi/2$, et dans l'ordre $\alpha = 0, \alpha = \pi/4$ et $\alpha = -\pi/4$ :

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>-1</td><td>0</td></tr></table>

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>-1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr></table>

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>-1</td><td>0</td><td>0</td></tr></table>

Demi onde, $\delta = \pi$, et dans l'ordre $\alpha = 0, \alpha = \pi/4$ et $\alpha = -\pi/4$ :

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>-1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>-1</td></tr></table>

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>-1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>-1</td></tr></table>

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>-1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>-1</td></tr></table>

Trois quarts onde, $\delta = 3\pi/2$, et dans l'ordre $\alpha = 0, \alpha = \pi/4$ et $\alpha = -\pi/4$ :

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>-1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr></table>

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>-1</td><td>0</td><td>0</td></tr></table>

<table><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>-1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr></table>

On remarque qu'il y a des combinaisons équivalentes : quart onde ($\delta = \pi/2, \alpha = \pi/4$) et trois quarts onde ($\delta = 3\pi/2, \alpha = -\pi/4$) ; quart onde ($\delta = \pi/2, \alpha = -\pi/4$) et trois quarts onde ($\delta = 3\pi/2, \alpha = \pi/4$).

### Combinaison en série de deux lames à retard $\delta_1$ et $\delta_2$, axes parallèles

La matrice correspondante est le produit $T_{\delta2} T_{\delta1} = T_{\delta1+\delta2}$, les retards sont additifs, $\delta = \delta_1 + \delta_2$.

### Combinaison en série de deux lames à retard $\delta_1$ et $\delta_2$, axes orthogonaux (ou croisés)

La matrice correspondante est le produit $R_{-\pi/2} T_{\delta2} R_{\pi/2} T_{\delta1} = T_{\delta1-\delta2}$, les retards sont soustractifs, $\delta = \delta_1 - \delta_2$.

Par exemple, deux lames quart onde en série, axes parallèles, sont équivalentes à une lame demi onde. Par contre, deux lames quart onde en série, axes orthogonaux, sont équivalentes à une lame zéro onde, donc sans effet. Voici quelques exemples d'expériences :

* Polariseur // + quart onde (45°) + quart onde (45°) + polariseur // → bloquant

* Polariseur // + quart onde (45°) + quart onde (45°) + polariseur ⊥ → passant

* Polariseur // + quart onde (45°) + quart onde (-45°) + polariseur // → passant

* Polariseur // + quart onde (45°) + quart onde (-45°) + polariseur ⊥ → bloquant
## Rotateur de polarisation linéaire

Ce dispositif est constitué d'un polariseur d'entrée, qui délivre une polarisation linéaire (par exemple selon l'axe Ox), puis d'une lame demi onde d'azimuth variable $\alpha$, qui tourne la polarisation de l'angle double $2\alpha$. On doit donc effectuer le produit matriciel $\mathbf{R}_{-\alpha} \mathbf{T}_{\pi} \mathbf{R}_{\alpha} \mathbf{P}_{0x}$ :

$1/2$

<table><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>cos(4α)</td><td>cos(4α)</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>sin(4α)</td><td>sin(4α)</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></table>

Voici deux exemples d'expériences de rotation de 90° :

* Polariseur // + demi onde (45°) + polariseur // → bloquant

* Polariseur // + demi onde (45°) + polariseur ⊥ → passant

## Polariseur circulaire

Ce dispositif est constitué d'un polariseur d'entrée, qui délivre une polarisation linéaire (par exemple selon l'axe Ox), puis d'une lame quart onde ou trois quarts onde d'azimuth $\alpha = \pi/4$, qui transforme la polarisation linéaire en circulaire. On doit donc effectuer les produits matriciels :

$\mathbf{R}_{-\pi/4} \mathbf{T}_{\pi/2} \mathbf{R}_{\pi/4} \mathbf{P}_{0x}$

ou

$\mathbf{R}_{-\pi/4} \mathbf{T}_{-\pi/2} \mathbf{R}_{\pi/4} \mathbf{P}_{0x}$ selon le retard introduit, ce qui donne :

Polariseur circulaire gauche (retard $\delta = \pi/2$, $\alpha = \pi/4$)

$1/2$

<table><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr></table>

Polariseur circulaire droit (retard $\delta = -\pi/2$, $\alpha = \pi/4$)

$1/2$

<table><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>-1</td><td>-1</td><td>0</td><td>0</td></tr></table>

En résumé, deux exemples d'expériences possibles :

* Polariseur // Ox + lame (retard $\delta = \pi/2$, $\alpha = \pi/4$) → circulaire gauche (LH)

* Polariseur // Ox + lame (retard $\delta = -\pi/2$, $\alpha = \pi/4$) → circulaire droite (RH)

# IV - Polarisation par réflexion

Les mécanismes de polarisation par réflexion vitreuse et métallique sont importants à savoir lorsqu'on souhaite construire un dispositif expérimental de mesures polarimétriques.

## IV - 1 – Polarisation par réflexion vitreuse : formules de Fresnel

Considérons une onde plane progressive harmonique (OPPH) se propageant dans un milieu d'indice $n_1$ et tombant sous incidence i sur un milieu diélectrique d'indice $n_2$. On considère tout d'abord une onde vibrant dans le plan d'incidence (le vecteur champ électrique $\mathbf{E}$ est dans le plan d'incidence, figure suivante à **gauche**) puis une onde vibrant perpendiculairement au plan d'incidence (le vecteur champ électrique $\mathbf{E}$ est orthogonal au plan d'incidence, figure suivante à **droite**).
<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Soient $E_i$, $B_i$ les champs incidents, $E_r$, $B_r$ les champs réfléchis et $E_t$, $B_t$ les champs transmis, en valeur algébrique. **E** et **B** sont reliés par la relation vectorielle $\mathbf{B} = \mathbf{k} \Lambda \mathbf{E} / \omega$ (OPPH), qui donne ici $\mathbf{B} = \mathbf{k} \mathbf{E} / \omega$, soit $\mathbf{B} = \mathbf{E} / v = \mathbf{E} n / C$, avec C vitesse de la lumière dans le vide et v vitesse de phase de l'onde dans le milieu d'indice n. On a donc : $\mathbf{B}_i = \mathbf{E}_i n_1 / C$, $\mathbf{B}_r = \mathbf{E}_r n_1 / C$, $\mathbf{B}_t = \mathbf{E}_t n_2 / C$.

Pour relier $i_1$ et $i_2$, on a dans les deux cas la loi de Descartes
$$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$$

## Vibration dans le plan d'incidence

On pose : $E_r = r_{//} E_i$ et $E_t = t_{//} E_i$

Où $r_{//}$ et $t_{//}$ sont les coefficients de réflexion et de transmission de la composante de l'onde parallèle au plan d'incidence.

En utilisant les lois de conservation de la composante tangentielle de **E** et de **B**, il vient :

$$ (E_i - E_r) \cos i_1 = E_t \cos i_2 \text{ et } B_i + B_r = B_t $$

on en dérive l'expression de $r_{//}$ et $t_{//}$ :

$$ r_{//} = (n_2 \cos i_1 - n_1 \cos i_2) / (n_2 \cos i_1 + n_1 \cos i_2) \text{ et } t_{//} = 2 n_1 \cos i_1 / (n_2 \cos i_1 + n_1 \cos i_2) $$

$$ \text{où } \cos i_2 = (1 - n_1^2 \sin^2 i_1 / n_2^2)^{1/2}, \text{ qui est réel si } n_1 \sin i_1 < n_2 \text{ ou imaginaire pur si } n_1 \sin i_1 > n_2 $$

$r_{//}$ peut être réel négatif, dans ce cas un déphasage $\pi$ existe à la réflexion, ou complexe si $\cos i_2$ est imaginaire, le déphasage étant alors égal à $\arg(r_{//})$.

On écrit la conservation de la composante normale du vecteur de Poynting $\mathbf{P} = \mathbf{E} \Lambda \mathbf{B} / \mu_0$ à l'interface. Elle traduit la nullité du flux global de $\mathbf{P}$, soit $\iint \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S} = 0$, sur une surface fermée à cheval sur l'interface, par exemple une surface cylindrique dont la hauteur tend vers zéro, $d\mathbf{S}$ étant le vecteur surface élémentaire (dirigé vers l'extérieur). Le vecteur $\mathbf{P}$ désigne la puissance transportée par unité de surface (W/m²). Dans le cadre des OPPH, le module moyen de $\mathbf{P}$ sur une période est donné par $\langle \mathbf{P} \rangle = 1/2 \text{Re}(\mathbf{E}\mathbf{B}^*)/\mu_0$, où Re désigne la partie réelle et * la quantité conjuguée. Sur l'interface, la relation $\iint \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S} = 0$ donne ainsi (sachant que $d\mathbf{S}$ est normal aux surfaces) :

$$ \langle \mathbf{P}_i \cos i_1 \rangle - \langle \mathbf{P}_r \cos i_1 \rangle = \langle \mathbf{P}_t \cos i_2 \rangle $$
**cas où $n_1 \sin i_1 < n_2$**

On a alors $\cos i_2 = (1 - n_1^2 \sin^2 i_1 / n_2^2)^{1/2}$

Dans le cas présent, E et B sont tous réels, donc $r_//$ et $t_//$ sont réels, il vient :

$$<P_i \cos i_1> = (1/2 E_i B_i / \mu_0) \cos i_1 = (1/2 E_i^2 n_1 / \mu_0 C) \cos i_1$$

$$<P_r \cos i_1> = (1/2 E_r B_r / \mu_0) \cos i_1 = (1/2 E_r^2 n_1 / \mu_0 C) \cos i_1 = (1/2 r_//^2 E_r^2 n_1 / \mu_0 C) \cos i_1$$

$$<P_t \cos i_2> = (1/2 E_t B_t / \mu_0) \cos i_2 = (1/2 E_t^2 n_2 / \mu_0 C) \cos i_2 = (1/2 t_//^2 E_t^2 n_2 / \mu_0 C) \cos i_2$$

D'où l'on tire $E_i^2 n_1 \cos i_1 - r_//^2 E_i^2 n_1 \cos i_1 = t_//^2 E_i^2 n_2 \cos i_2$

Et en divisant par $E_i^2 n_1 \cos i_1$, il vient :

$$\text{et } r_//^2 + t_//^2 (n_2 \cos i_2 / n_1 \cos i_1) = 1$$

Cette relation traduit la conservation de la puissance transportée par l'OPPH.

Les coefficients de réflexion R et de transmission T énergétiques tels que $R + T = 1$ sont donnés par
$$R = r_//^2$$

$$T = t_//^2 (n_2 \cos i_2 / n_1 \cos i_1)$$

**cas où $n_1 \sin i_1 > n_2$**

On est dans le cas de la réflexion totale, dans ce cas, $\cos i_2 = i (n_1^2 \sin^2 i_1 / n_2^2 - 1)^{1/2}$ est imaginaire pur, de ce fait E et B sont complexes (sauf $E_i$ et $B_i$ qui sont réels), et on a :

$$<P_i \cos i_1> = 1/2 \operatorname{Re}(E_i B_i^* \cos i_1) / \mu_0 = (1/2 E_i^2 n_1 / \mu_0 C) \cos i_1$$

$$\begin{align*} <P_r \cos i_1> &= 1/2 \operatorname{Re}(E_r B_r^* \cos i_1) / \mu_0 = 1/2 \operatorname{Re}(r_// E_i r_//^* E_i^*) \cos i_1 n_1 / \mu_0 C \\ &= (1/2 |r_//|^2 E_i^2 n_1 / \mu_0 C) \cos i_1 \end{align*}$$

$$\begin{align*} <P_t \cos i_2> &= 1/2 \operatorname{Re}(E_t B_t^* \cos i_2^*) / \mu_0 = (1/2 \operatorname{Re}(t_// E_i t_//^* E_i^* \cos i_2^*) n_2 / \mu_0 C \\ &= 1/2 |t_//|^2 E_i^2 \operatorname{Re}(\cos i_2^*) n_2 / \mu_0 C \end{align*}$$

= 0 car le cosinus est imaginaire pur (pas de puissance transmise)

La loi de conservation $<P_i \cos i_1> - <P_r \cos i_1> = <P_t \cos i_2>$ donne donc $<P_i> = <P_r>$, d'où l'on tire
$|r_//|^2 = 1$, que l'on peut vérifier directement à partir de la formule de Fresnel :

$$r_// = (n_2 \cos i_1 - n_1 \cos i_2) / (n_2 \cos i_1 + n_1 \cos i_2) \text{ où } \cos i_2 = i (n_1^2 \sin^2 i_1 / n_2^2 - 1)^{1/2}$$

**En incidence normale**, $i_1 = i_2 = 0$, on a dans tous les cas de figure :

$$r_// = (n_2 - n_1) / (n_2 + n_1) \quad \text{et} \quad t_// = 2 n_1 / (n_2 + n_1)$$

$$R = |r_//|^2 = (n_2 - n_1)^2 / (n_2 + n_1)^2 \quad \text{et} \quad T = |t_//|^2 n_2 / n_1 = 4 n_1 n_2 / (n_2 + n_1)^2$$

La réflexion peut s'accompagner d'un déphasage égal à $\pi$ si $n_2 < n_1$

Pour une interface air/verre, $n_1=1$ et $n_2=1.5$ donne $R = 0.04$ et $T = 0.96$

Pour une interface air/eau, $n_1=1$ et $n_2=1.33$ donne $R = 0.02$ et $T = 0.98$

**En incidence rasante**, on a $i_1 = \pi/2$, $r_// = -1$ et $t_// = 0$, la réflexion est totale avec déphasage $\pi$

## Vibration perpendiculaire au plan d'incidence

On pose : $E_r = r \perp E_i$ et $E_t = t \perp E_i$

Où $r \perp$ et $t \perp$ sont les coefficients de réflexion et de transmission de la composante de l'onde orthogonale au plan d'incidence.

En utilisant les lois de conservation de la composante tangentielle de **E** et de **B**, il vient :

$$(B_i - B_r) \cos i_1 = B_t \cos i_2 \text{ et } E_i + E_r = E_t$$

on en dérive l'expression de $r \perp$ et $t \perp$ :

$$r \perp = (n_1 \cos i_1 - n_2 \cos i_2) / (n_1 \cos i_1 + n_2 \cos i_2) \quad \text{et} \quad t \perp = 2 n_1 \cos i_1 / (n_1 \cos i_1 + n_2 \cos i_2)$$

et l'on a évidemment dans les deux cas la loi de Descartes $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$ pour relier $i_1$ à $i_2$.
### cas où $n_1 \sin i_1 < n_2$

Les relations de conservation de la puissance transportée par l'OPPH démontrées précédemment sont applicables, sans changement :

$$r \perp^2 + t \perp^2 (n_2 \cos i_2 / n_1 \cos i_1) = 1$$

Les coefficients de réflexion R et de transmission T énergétiques tels que $R + T = 1$ sont donnés par
$$R = r \perp^2$$

$$T = t \perp^2 (n_2 \cos i_2 / n_1 \cos i_1)$$

### cas où $n_1 \sin i_1 > n_2$

On est dans le cas de la réflexion totale, dans ce cas, $\cos i_2 = i (n_1^2 \sin^2 i_1 / n_2^2 - 1)^{1/2}$ est imaginaire pur, les résultats démontrés précédemment restent valides, et on a $|r \perp|^2 = 1$.

En incidence normale, $i_1 = i_2 = 0$, on a dans tous les cas de figure :

$$r \perp = (n_1 - n_2) / (n_1 + n_2) \quad \text{et} \quad t \perp = 2 n_1 / (n_1 + n_2)$$

$$R = |r \perp|^2 = (n_2 - n_1)^2 / (n_2 + n_1)^2 \quad \text{et} \quad T = |t \perp|^2 n_2 / n_1 = 4 n_1 n_2 / (n_2 + n_1)^2$$

La réflexion peut s'accompagner d'un déphasage égal à $\pi$ si $n_1 < n_2$

$$\text{Pour une interface air/verre, } n_1=1 \text{ et } n_2=1.5 \text{ donne } R = 0.04 \text{ et } T = 0.96$$

En incidence rasante, on a $i_1 = \pi/2$, $r \perp = -1$ et $t \perp = 0$, la réflexion est totale avec déphasage $\pi$

## L'incidence spéciale de Brewster lorsque E est dans le plan d'incidence

On montre facilement que $r \parallel 0$ lorsque $\tan i_1 = \tan i_B = n_2 / n_1$

Cette loi définit l'incidence de Brewster $i_B$ pour laquelle il n'y a pas réflexion de la composante $E_\parallel$, ce qui signifie que le rayon réfléchi est polarisé linéairement et orthogonalement au plan d'incidence. Sous cette incidence précise $i_1 = i_B$, on a :

$$r \parallel 0$$

$$r \perp = (n_1^2 - n_2^2) / (n_1^2 + n_2^2)$$

$$t \parallel = n_1 / n_2$$

$$t \perp = 2 n_1^2 / (n_1^2 + n_2^2)$$

$$\tan i_2 = n_1 / n_2$$

$$\sin i_B = n_2 / (n_1^2 + n_2^2)^{1/2} \qquad \cos i_B = n_1 / (n_1^2 + n_2^2)^{1/2}$$

$$\sin i_2 = \cos i_B = n_1 / (n_1^2 + n_2^2)^{1/2} \qquad \cos i_2 = \sin i_B = n_2 / (n_1^2 + n_2^2)^{1/2}$$

Pour l'interface air/verre, $n_1=1$, $n_2=1.5$, on a $i_B=56.3^\circ$, $i_2=33.7^\circ$

Pour l'interface verre/air, $n_1=1.5$, $n_2=1$, on a $i_B=33.7^\circ < i_1 = 41.8^\circ$ (angle limite), $i_2=56.3^\circ$

Dans ces deux cas sous incidence de Brewster, $R \parallel 0$, $R \perp = 0.15$

Pour l'interface air/eau, $n_1=1$, $n_2=1.33$, on a $i_B=53.1^\circ$, $i_2=36.9^\circ$

Pour l'interface eau/air, $n_1=1.33$, $n_2=1$, on a $i_B=36.9^\circ < i_1 = 48.8^\circ$ (angle limite), $i_2=53.1^\circ$

Dans ces deux cas sous incidence de Brewster, $R \parallel 0$, $R \perp = 0.08$

Lorsque $n_2 < n_1$, il y a réflexion totale lorsque $i > i_1 = \arcsin(n_2 / n_1)$, où $i_1$ est l'angle limite bien connu.

Il est facile de montrer que l'on a toujours $i_B < i_1$, ainsi l'incidence de Brewster existe toujours, quelque soit le changement de milieu ($n_2 < n_1$ ou $n_2 > n_1$).
Dans tous les cas, le fait que $r_\parallel \neq r_\perp$ implique une altération de l'état de polarisation de la lumière réfléchie par rapport à la lumière incidente, en particulier lorsque E se projette à la fois dans le plan d'incidence et orthogonalement à ce plan. A l'incidence de Brewster, le champ réfléchi est polarisé linéairement dans la direction perpendiculaire au plan d'incidence.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

coefficients de réflexion $|r_\parallel|^2$ — et $|r_\perp|^2$ ... pour un passage air $\rightarrow$ verre ($n = 1.0 \rightarrow 1.5$) en fonction de l'angle d'incidence ($r_\parallel$ s'annule pour l'incidence de Brewster de 56°), et déphasage entre $r_\parallel$ et $r_\perp$.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

coefficients de réflexion $|r_\parallel|^2$ — et $|r_\perp|^2$ ... pour un passage verre $\rightarrow$ air ($n = 1.5 \rightarrow 1.0$) en fonction de l'angle d'incidence ($r_\parallel$ s'annule pour l'incidence de Brewster de 34°), et déphasage entre $r_\parallel$ et $r_\perp$. Au-delà de l'incidence limite (42°), il y a réflexion totale, et l'on a $|r_\parallel|^2 = |r_\perp|^2 = 1$.
<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Polarisation partielle par réflexion vitreuse sur des fenêtres de toit vues à travers un polariseur. Après réflexion sous incidence proche de Brewster (56°), E// (direction verticale) est réduit, il reste essentiellement E⊥ (direction horizontale) ; à gauche, le polariseur orienté verticalement coupe E⊥, donc la majorité de la lumière réfléchie, tandis qu'à droite, il est horizontal et laisse passer E⊥.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Polarisation partielle par réflexion sur la surface de l'eau. Après réflexion sous incidence proche de Brewster (53°), E// (direction verticale) est réduit, il reste essentiellement E⊥ (direction horizontale). A gauche, le polariseur orienté horizontalement laisse passer E⊥ ; à droite, orienté verticalement, il coupe E⊥, donc la majorité de la lumière réfléchie, laissant ainsi apparaître les feuilles mortes sous l'eau.
IV - 2 – Polarisation par réflexion interne totale et rhomboèdres de Fresnel

Nous considérons maintenant un prisme de verre à réflexion totale (figure) d'indice n et d'angle au sommet φ plongé dans l'air (indice 1).

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

En réflexion totale, on a φ > i₁ où i₁ est l'angle limite donné par i₁ = arc sin (1/n) soit i₁ = 42° pour du verre.

Nous allons nous intéresser au déphasage δ entre les composantes *parallèles et perpendiculaires* au plan d'incidence du vecteur **E** (E// et E⊥) en utilisant les formules établies ci dessus pour r// et pour r⊥ sachant que *vectoriellement* on a :

$$
\mathbf{E} = \mathbf{E}_{\parallel} + \mathbf{E}_{\perp}
$$

Les formules précédemment établies sont valables en réflexion totale, y compris la loi de Descartes, mais en quantités complexes.

n sin i₁ = sin i₂ donne cos i₂ = i (n² sin²i₁ - 1)¹/², qu'on reporte dans les formules de Fresnel :

$$
r_{\parallel} = (\cos i_1 - i n (n^2 \sin^2 i_1 - 1)^{1/2}) / (\cos i_1 + i n (n^2 \sin^2 i_1 - 1)^{1/2}) \text{ avec } |r_{\parallel}| = 1
$$

$$
r_{\perp} = \frac{(n \cos i_1 - i (n^2 \sin^2 i_1 - 1)^{1/2})}{(n \cos i_1 + i (n^2 \sin^2 i_1 - 1)^{1/2})} \text{ avec } |r_{\perp}| = 1
$$

Le rapport r// / r⊥ a pour module 1 et s'écrit :

$$
r_{\parallel} / r_{\perp} = (n \sin^2 i_1 - i (n^2 \sin^2 i_1 - 1)^{1/2} \cos i_1) / (n \sin^2 i_1 + i (n^2 \sin^2 i_1 - 1)^{1/2} \cos i_1)
$$

que l'on peut mettre sous la forme $r_{\parallel} / r_{\perp} = e^{i\delta}$ où $\delta$ est le déphasage entre la composante parallèle et orthogonale au plan d'incidence du champ électrique introduit par la réflexion totale.

Il vient : $\tan(\delta/2) = - (n^2 \sin^2 i_1 - 1)^{1/2} \cos i_1 / (n \sin^2 i_1)$ avec $i_1 = \varphi$ angle du prisme

Remarque : la réflexion en incidence normale est telle que r// = (1-n) / (1+n) < 0 (déphasage π sur E//) et r⊥ = (n-1) / (1+n) = - r// > 0 (en phase sur E⊥), le déphasage résultant entre E// et E⊥ vaut π.

Exemple : φ = 45°  
δ = 2 arctan ((n² - 2)¹/² / n)  
si n = 1.5 (verre), on obtient δ = 37°. Chaque réflexion totale dans un prisme de verre d'angle 45°  
introduit donc un déphasage δ égal à 37° entre E// et E⊥

Le déphasage maximal δ en fonction de φ (figure ci dessous) est proche de 45°. On peut alors chercher pour quelles combinaisons de φ et de n il vaut exactement 45°. Dans ce cas, on doit résoudre l'équation :

$$
(n^2 \sin^2 \varphi - 1)^{1/2} \cos \varphi / (n \sin^2 \varphi) = \tan(\pi / 8) = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414
$$

Par exemple, pour φ = 45°, le retard δ vaut 45° pour un matériau d'indice n = 1.5537.
<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Déphasage $\delta$ en réflexion totale entre $E_\parallel$ et $E_\perp$ en fonction de l'angle du prisme $\varphi$ pour un milieu d'indice $n = 1.5$ (___), 1.55 (---) et 1.6 (-.-). $\delta$ est nul pour l'angle limite $i_l$ (environ 40°) de la réflexion totale et pour 90°. Seuls les retards de 45° sont intéressants pour la fabrication de rhomboèdres de retard $\pi/2$ (quart onde) ou $\pi$ (demi onde), et il y a deux angles $\varphi$ possibles.

## Les rhomboèdres de Fresnel

En utilisant **deux réflexions totales**, on voit qu'il est possible de fabriquer un élément optique introduisant un déphasage de $2 \times 45° = 90°$ ($\pi/2$), soit un dispositif quart d'onde. Pour avoir une lame demi onde, il suffit de mettre bout à bout deux rhomboèdres (**quatre réflexions**). Ceci présente en outre l'intérêt de compenser le décalage spatial entre le faisceau incident et le faisceau émergent.

La relation entre $\varphi$ et $n$ pour un déphasage de 45° lors d'une réflexion donne :

$$ \sin^2 \varphi = (1 + n^2 \pm [(1 + n^2)^2 - 8n^2(2-\sqrt{2})]^{1/2}) / (4n^2(2-\sqrt{2})) $$

et elle n'a de solutions que si $n$ est supérieur à un indice minimum limite donné par $n_l = (4-2\sqrt{2})^{1/2} + (3-2\sqrt{2})^{1/2} \approx 1.497$ (le verre est au dessus de cette limite).

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Lorsque la relation entre $\varphi$ et $n$ est vérifiée :

$$ (n^2 \sin^2 \varphi - 1)^{1/2} \cos \varphi / (n \sin^2 \varphi) = \tan(\pi/8) = \sqrt{2} - 1 $$

alors chaque réflexion introduit un déphasage de $\pi/4$, donc les deux réflexions donnent un total de $\pi/2$, on a réalisé une lame quart d'onde, ou rhomboèdre de Fresnel. Les deux composantes $E_\parallel$ et $E_\perp$ en sortent déphasées de $\pi/2$. Ces dispositifs présentent l'inconvénient du décalage spatial du faisceau.
<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Loi donnant l'angle du prisme φ en fonction de l'indice de réfraction n pour avoir un déphasage de π/4 = 45° lors d'une réflexion totale.

En dessous d'un indice de réfraction limite et égal à (4-2√2)¹/² + (3-2√2)¹/² ≈ 1.497 (flèche), il n'y a pas de solution pour φ. Les verres ont un indice supérieur à cette limite.

Un des avantages des rhomboèdres (deux réflexions internes) est de présenter très peu de chromatisme, c'est à dire que le déphasage δ obtenu pour une valeur de l'angle du prisme φ sera peu dépendant de la longueur d'onde de la lumière. Sur la figure ci-dessous, on constate que retard de phase δ varie entre 44.5° et 45.5° du bleu au rouge pour un angle de prisme φ de 55.5°, ce qui donnera des rhomboèdres quart d'onde précis délivrant un retard de phase double et égal à 90° ± 1° entre 400 nm et 700 nm de longueur d'onde.

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

Déphasage δ obtenu lors d'une réflexion totale pour du verre BK7 (indice moyen n = 1.52) en fonction de la longueur d'onde, du bleu au rouge. Angle φ = 55.5° — 47.5°
# IV-3 - Polarisation par réflexion métallique

## Effet de peau à la surface d'un conducteur et indice de réfraction complexe

Lorsqu'un métal est parfait (conductivité infinie), les champs sont nuls à l'intérieur (à cause de la loi d'Ohm, $\mathbf{j} = \gamma \mathbf{E}, \mathbf{j}$ fini, $\gamma$ infini entraine la nullité de $\mathbf{E}$). Il en résulte l'égalité vectorielle à la surface du conducteur : $\mathbf{E}_i + \mathbf{E}_r = \mathbf{0}$ (impliquant un déphasage de $\pi$ lors de la réflexion).

Dans la réalité, la conductivité est finie, et on doit décrire le champ à l'intérieur du conducteur. Avec $\mathbf{j} = \gamma \mathbf{E}$, l'équation de Maxwell Ampère devient:

$$ \text{rot } \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \mu_0 \gamma \mathbf{E} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$

De div $\mathbf{E} = 0$ (pas de charges), $\text{rot } \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$, et $\text{rot } \text{rot } \mathbf{E} = \text{grad } \text{div } \mathbf{E} - \Delta \mathbf{E}$

on obtient $\Delta \mathbf{E} = \mu_0 \gamma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$

Cette équation comporte un terme diffusif $\mu_0 \gamma \partial \mathbf{E}/\partial t$ et un terme propagatif $\mu_0 \varepsilon_0 \partial^2 \mathbf{E}/\partial t^2$. Recherchons une solution simple de type OPPH de pulsation $\omega$, propagative selon Oz, de la forme :
$$ \mathbf{E} = \mathbf{E}_0 e^{i(\omega t - kz)} ; \text{ on obtient l'équation suivante : } -k^2 \mathbf{E} = i \omega \mu_0 \gamma \mathbf{E} - \omega^2 \mu_0 \varepsilon_0 \mathbf{E} $$

La relation de dispersion s'écrit : $k^2 = \omega^2/C^2 - i \omega \mu_0 \gamma$

Le premier terme est négligeable devant le second si $\omega \ll \gamma/\varepsilon_0$. Pour l'argent, $\gamma = 6 \ 10^7 \text{ Sm}^{-1}$; $\varepsilon_0$ est la permittivité du vide ($8.8 \ 10^{-12} \text{ SI}$); il faut donc approximativement $\omega \ll 10^{19} \text{ rad/s}$ soit encore $v \ll 10^{18} \text{ Hz}$, ce qui est largement le cas de la lumière visible. On pourra donc écrire :

$$ k^2 = -i \omega \mu_0 \gamma = 1/2 (1 - i)^2 \omega \mu_0 \gamma $$

d'où $k = (1 - i) / \delta$, c'est un nombre complexe où $\delta$ est l'épaisseur de peau : $\delta = (2 / \omega\mu_0\gamma)^{1/2}$, qui représente la distance sur laquelle l'onde est absorbée (partie imaginaire de k). Pour une onde visible, $\delta$ vaut quelques nanomètres, ainsi l'épaisseur sur laquelle l'onde est absorbée est très fine.

Plus généralement, k est un nombre complexe de la forme $\mathbf{k} = (\omega/C) \mathbf{n}$ où $\mathbf{n} = \mathbf{n}_1 - i \mathbf{n}_2$ est l'indice de réfraction complexe du milieu. $\mathbf{n}_1$ est l'indice de dispersion et $\mathbf{n}_2$ l'indice d'absorption. En effet, l'onde est évanescente ; elle est dissipée par effet Joule sur une distance $\delta = C/(\omega n_2)$, et s'écrit :

$$ \mathbf{E} = \mathbf{E}_0 e^{-(\omega/C)n_2 z} e^{i(\omega t - (\omega/C)n_1 z)} $$

Le premier terme est l'absorption sur la distance $\delta$ ; le second est la propagation à la vitesse $C/n_1$.

## Réflexion métallique dans l'air

On peut conserver les mêmes lois qu'en réflexion vitreuse concernant les coefficients $r_\parallel$ et $r_\perp$, mais dans ce cas l'indice de réfraction n du métal est un nombre complexe ($n = n_1 - i n_2$), indiquant que l'onde transmise est évanescente dans la couche métallique.

$$ \text{Pour l'argent : } n = 0.20 - 3.44 i ; \text{ pour l'aluminium : } n = 1.44 - 5.23 i $$

A noter que ces indices varient étroitement avec l'état de l'argenture ou de l'alumínure !

$$ \mathbf{r}_\parallel = (\mathbf{n} \cos \mathbf{i}_1 - \cos \mathbf{i}_2) / (\mathbf{n} \cos \mathbf{i}_1 + \cos \mathbf{i}_2) $$

$$ \mathbf{r}_\perp = (\cos \mathbf{i}_1 - \mathbf{n} \cos \mathbf{i}_2) / (\cos \mathbf{i}_1 + \mathbf{n} \cos \mathbf{i}_2) $$
et sin i₁ = n sin i₂ (loi de Descartes)

En incidence normale, r// = (n-1) / (n +1) = - r⊥_et |r//|^2 = |r⊥|^2 = 0.94 pour l'argent et 0.83 pour l'aluminium. Il n'y a jamais réflexion totale.

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

coefficients de réflexion énergétiques |r//|^2 — et |r⊥|^2 — pour Al (gauche) et Ag (droite) en fonction de l'angle d'incidence

On constate, comme pour la réflexion vitreuse, que r// et r⊥ ne sont pas égaux, r// présente une dépression (mais sans annulation comme en réflexion vitreuse) impliquant une modification de l'état de polarisation de la lumière incidente lors de la réflexion.

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

Réflexion métallique et vitreuse vue à travers un polariseur vertical (à gauche) et horizontal (à droite). L'onde réfléchie, de prédominance à polarisation horizontale (en raison de la dépression de r//, à la fois en vitreux ou en métallique) est atténuée lorsque le polariseur est vertical (gauche).

Le calcul du déphasage entre les deux coefficients doit être fait numériquement en écrivant que :

$$
r_{//} = |r_{//}| e^{i\delta_{//}} \text{ et } r_{\perp} = |r_{\perp}| e^{i\delta_{\perp}} \text{ donc } r_{//} / r_{\perp} = |r_{//}| / |r_{\perp}| e^{i(\delta_{//} - \delta_{\perp})}
$$

D'où l'on tire δ = δ// - δ⊥ = arctan ( Im(r// / r⊥) / Re(r// / r⊥) ) avec Re et Im parties réelles et imaginaires.
La figure ci dessous montre la dépendance du déphasage δ entre composantes parallèle E// et
perpendiculaire E⊥ du champ électrique selon l'angle d'incidence.
<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Déphasage $\delta$ en degrés entre les composantes parallèle $E_\parallel$ et perpendiculaire $E_\perp$ du champ électrique, en fonction de l'angle d'incidence, pour l'aluminium (à gauche) et l'argent (à droite)

La figure ci-dessous présente l'effet d'une réflexion vitreuse et métallique sur une polarisation **circulaire** : celle-ci devient elliptique, et dans certains cas linéaire.

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

Gauche : excentricité $e$ de l'ellipse de polarisation pour la réflexion d'une lumière incidente à polarisation **circulaire** ($e = 0$), en fonction de l'angle d'incidence, pour le verre (___), l'aluminium (...) et l'argent (---). Dans le cas du verre, la polarisation sortante est linéaire ($e=1$) à l'incidence de Brewster (56°). En réflexion métallique, l'incidence de Brewster ($r_\parallel = 0$) n'existe pas, mais le déphasage induit par l'indice de réfraction complexe entre $r_\parallel$ et $r_\perp$ peut mettre en phase $E_\parallel$ et $E_\perp$, créant ainsi une polarisation linéaire pour les incidences élevées (75°).

Droite : les taux de polarisation de la lumière réfléchie, caractérisée par $V/I = \pm 1$ (___) quand la polarisation est **circulaire**, $(Q^2+U^2)^{1/2}/I = 1$ (---) lorsqu'elle est linéaire. Les courbes en noir, **rouge**, **bleu**, sont respectivement pour la réflexion sur le verre, l'aluminium et l'argent. Dans le cas du verre, on a $V/I=0$ à l'incidence de Brewster (56°), la polarisation est alors linéaire, c'est aussi le cas du métal en incidence très oblique (75°) lorsque $E_\parallel$ et $E_\perp$ deviennent en phase.
On constate donc que les réflexions n'ont pas d'influence en incidence normale, mais sont indésirables en incidence oblique, surtout lorsque l'angle d'incidence varie dans le temps, provoquant une déformation de l'ellipse de polarisation. C'est le cas des dispositifs à miroirs appelés coélostats ou sidérostats et utilisés en astronomie solaire pour capter les rayons lumineux et les diriger vers un laboratoire fixe. Ces dispositifs doivent être évités lorsqu'on souhaite observer la polarisation de la lumière des astres car ils l'altèrent, et ceci de manière dépendante du moment de l'observation. Les effets des réflexions métalliques sont modérés aux incidences faibles (< 20°), mais à 45° d'incidence, le taux de polarisation circulaire V/I perd déjà 10% de sa valeur au profit d'une polarisation linéaire parasite, ce qui impliquera une sous estimation de 10% sur la valeur d'un champ magnétique longitudinal mesuré sur V/I par effet Zeeman (explications plus loin). Aux fortes incidences (75°), la polarisation circulaire s'est totalement transformée en linéaire, toute mesure de champ magnétique Zeeman donnera alors des résultats erronés.

La figure suivante présente l'effet d'une réflexion métallique sur une polarisation **linéaire**, contenue pour moitié (par projection) dans le plan d'incidence et pour l'autre moitié orthogonale au plan d'incidence : celle-ci devient elliptique. Les effets des réflexions métalliques restent modérés aux incidences faibles (< 20°), mais à 45° d'incidence, le taux de polarisation linéaire ($Q^2+U^2)^{1/2}/I$ tombe à 90% au profit d'une polarisation circulaire parasite qui monte à 30%, ce qui impliquera une sous estimation de la valeur d'un champ magnétique transversal mesuré sur Q/I et U/I par effet Zeeman (détails donnés plus loin). Aux fortes incidences (75°), la polarisation linéaire initiale s'effondre au profit de la circulaire, toute mesure de champ magnétique Zeeman donnera dans ces conditions des résultats incorrects.

Ainsi, la réflexion métallique s'accompagne d'une fuite de V vers Q ou U lorsque la polarisation incidente est circulaire, ou d'une fuite de Q ou U vers V lorsqu'elle est linéaire. On parle de « cross talk » pour désigner ces phénomènes indésirables, qui incitent à éviter les réflexions en incidence oblique lorsqu'on veut faire des mesures polarimétriques de qualité, surtout lorsque l'incidence varie dans le temps. Pour cette raison, les télescopes dédiés à la polarisation pointent directement sur le ciel et disposent d'une symétrie cylindrique de faisceau évitant toute réflexion oblique jusqu'au polarimètre.

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Gauche : excentricité e de l'ellipse de polarisation pour la réflexion d'une lumière incidente à polarisation **linéaire** ($e = 1$), équiprojetée dans le plan d'incidence et orthogonalement à ce plan, en fonction de l'angle d'incidence, pour l'aluminium (...) et l'argent (---). Aux incidences élevées (75°), la polarisation est devenue elliptique. Droite : les taux de polarisation de la lumière réfléchie, caractérisée par $V/I = \pm 1$ (___) quand la polarisation est circulaire, $(Q^2+U^2)^{1/2}/I = 1$ (---) lorsqu'elle est linéaire. Les courbes en trait épais sont pour l'aluminium, et fin pour l'argent. En haut, le taux de polarisation linéaire $(Q^2+U^2)^{1/2}/I$ et en bas le taux de polarisation circulaire V/I. Aux incidences élevées (75°), le taux de polarisation linéaire s'effondre au profit du circulaire.
Enfin, la figure ci dessous présente l'effet d'une réflexion métallique à 45° d'incidence sur une polarisation linéaire d'azimuth variable (0 à 90°, de 0° dans le plan d'incidence à 90° orthogonale au plan d'incidence). La lumière incidente est telle que V/I = 0 et (Q²+U²)¹/²/I = 1. On voit l'apparition d'un signal V parasite ; U et Q restent peu affectés sous incidence de 45°, U change de signe à la réflexion (aux incidences supérieures à 45°, le signal V parasite monterait fortement, au détriment de Q et U). Ces effets pourraient être corrigés par calcul si l'on connaissait précisément l'indice de réfraction de la couche métallique, ce qui est improbable, car elle s'altère dans le temps.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Réflexion métallique d'une polarisation linéaire sous incidence de 45°. Les caractéristiques de la lumière réfléchie, en fonction de l'azimuth (0-90°) de la polarisation incidente (0° dans le plan incident, 90° orthogonalement à ce plan), sont caractérisés par les taux de polarisation V/I (___) pour la circulaire, Q/I (....) et U/I (- - -) pour la linéaire. Les courbes sont en **bleu** pour la lumière incidente (V/I = 0, (Q²+U²)¹/²/I = 1), et concernant la réfléchie, en **noir** pour Al et **rouge** pour Ag.

# V - Biréfringence

## V-1 – Notion d'indice de réfraction et interaction onde matière

Considérons l'interaction onde/matière par le biais d'un électron lié (masse m, charge -e), dans le cadre le plus simple possible de l'oscillateur harmonique :

$$m \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} + f \mathbf{r} = - e \mathbf{E}$$

ou **r** est la position de l'électron lié par la force de rappel -f **r**, **E** le champ électrique de l'onde de la forme $E_0 e^{i(\omega t - k \cdot r)}$. En cherchant, une solution harmonique pour **r**, on en déduit :

$$(-m \omega^2 + f) \mathbf{r} = - e \mathbf{E}$$

D'où $\mathbf{r} = -e/m \mathbf{E} / (\omega_0^2 - \omega^2)$ avec $\omega_0^2 = f/m$ pulsation de résonance de l'électron

La polarisation **P** du milieu est $\mathbf{P} = -N \mathbf{e} \mathbf{r}$, où N est le nombre d'électrons par unité de volume. Comme $\mathbf{P} = \varepsilon_0 \chi \mathbf{E}$, avec $\chi$ susceptibilité diélectrique, on obtient :

$\chi = \omega_p^2/(\omega_0^2 - \omega^2)$ où $\omega_p^2 = (N e^2 / \varepsilon_0 m)$ est la pulsation plasma électronique.
L'indice de réfraction n du milieu est lié à $\chi$ par la relation $n^2 = 1 + \chi$ ; la permittivité du milieu est donnée par $\epsilon = \epsilon_0 (1 + \chi)$ et la vitesse de phase de l'onde est $V = C/n = 1/(\mu_0 \epsilon)^{1/2}$ ; n s'écrit donc :

$$n^2 = 1 + \omega_p^2/(\omega_0^2 - \omega^2)$$

Plaçons nous dans l'hypothèse où $\omega \ll \omega_0$, de sorte qu'on puisse faire un développement limité de $n^2$ en $\omega/\omega_0$ ; il vient :

$$n^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 (1 + \omega^2/\omega_0^2) = 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + \omega_p^2\omega^2/\omega_0^4 = (1 + \omega_p^2/\omega_0^2) [1 + \omega_p^2\omega^2/(\omega_0^2(\omega_p^2+\omega_0^2))]$$

$$\text{d'où } n \approx (1 + \omega_p^2/\omega_0^2)^{1/2} \left[ 1 + \omega_p^2\omega^2/(2\omega_0^2(\omega_p^2+\omega_0^2)) \right] = (1 + \omega_p^2/\omega_0^2)^{1/2} + \omega_p^2\omega^2/(2\omega_0^3(\omega_p^2+\omega_0^2)^{1/2})$$

$$\text{L'indice de réfraction n se met donc sous la forme } n \approx n_0 + A \omega^2 \text{ où } A = \omega_p^2/(2\omega_0^3(\omega_p^2+\omega_0^2)^{1/2})$$

Sachant que longueur d'onde dans le vide et pulsation sont liés par la relation $\omega = 2 \pi C / \lambda$, on trouve finalement la loi de Cauchy $n \approx n_0 + B / \lambda^2$, où B est une constante.

En conclusion, l'indice de réfraction n est le reflet des **pulsations plasma** $\omega_p$ et de **résonance** $\omega_0$ des électrons liés au milieu transparent, donc de l'interaction onde/matière. Dans un milieu anisotrope, $\omega_0$ dépend des directions de l'espace, il y a biréfringence.

## V-2 - Equations de Maxwell dans un diélectrique

Hypothèse : densité de charge nulle ($\rho = 0$) et de densité de courant nulle ($j = 0$)

Avec $D = \epsilon E$, $\epsilon$ étant un scalaire ou une matrice, $D$ le vecteur déplacement électrique, les équations de Maxwell dans le diélectrique sont :

$$\text{Rot}(E) = - \partial B / \partial t \quad \text{div}(D) = 0 \quad \text{div}(B) = 0 \quad \text{rot}(B) = \mu_0 \partial D / \partial t$$

Dans le cas d'ondes planes, on a $\text{rot} = -i k \Lambda$, $\text{div} = -i k \cdot$, et $\partial/\partial t = i \omega$

On en déduit : $B = k \Lambda E / \omega$, $k \cdot B = 0$, $k \cdot D = 0$ et $D = -k \Lambda B / \mu_0 \omega$

Ce qui donne l'organisation suivante :

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

$P$ est le vecteur de Poynting et indique la direction du rayon lumineux.

$k$ est le vecteur d'onde et indique la direction de propagation de l'onde plane

$B$, $k$, $D$ forment un trièdre direct

$B$ et $E$ sont orthogonaux

$P$ et $k$ ne sont pas colinéaires comme dans le cas des milieux isotropes

De $D = -k \Lambda B / \mu_0 \omega$ et de $B = k \Lambda E / \omega$, on tire en posant $u = k / ||k||$ (vecteur unitaire selon $k$) :
$$
\mathbf{D} = (k^2 / \mu_0 \omega^2) (\mathbf{E} - (\mathbf{u} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{u})
$$

Si $v = \omega/k$ est la vitesse de phase de l'onde dans la direction **u** ou **k**, on a :

$$
\mathbf{D} = (1 / \mu_0 v^2) (\mathbf{E} - (\mathbf{u} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{u})
$$

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

$$
\begin{align*}
\mathbf{u} &= \mathbf{k} / \|\mathbf{k}\| \\
\mathbf{d} &= \mathbf{D} / \|\mathbf{D}\| \\
\mathbf{p} &= \mathbf{P} / \|\mathbf{P}\| \quad \text{avec } \mathbf{P} = \mathbf{E} \wedge \mathbf{B} / \mu_0
\end{align*}
$$

$$
\mathbf{E} = \mathbf{E}_{\parallel} + \mathbf{E}_{\perp} \text{ somme des projections} \\
\text{sur } \mathbf{k} \text{ et perpendiculaire à } \mathbf{k}
$$

$$
\mathbf{E} - (\mathbf{u} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{u} = \mathbf{E} - \mathbf{E}_{\parallel} = \mathbf{E}_{\perp}
$$

$$
\begin{align*}
\mathbf{D} &= (1 / \mu_0 v^2) (\mathbf{E} - (\mathbf{u} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{u}) \\
\mathbf{D} &= (1 / \mu_0 v^2) \mathbf{E}_{\perp}
\end{align*}
$$

En choisissant un repère orthonormé quelconque (w1, w2, k) dont le 3ème vecteur est k, on
peut écrire Dᵢ = (1 / μ₀v²) Eᵢ pour i = 1, 2 (D n'a pas de composante sur k). Comme Dᵢ = Σ εᵢⱼ Eⱼ
alors Eᵢ = Σ ε⁻¹ᵢⱼ Dⱼ où ε⁻¹ est la matrice inverse de ε. On en déduit Σ [ ε⁻¹ᵢⱼ - (1 / μ₀v²) δᵢⱼ ] Dⱼ = 0
pour i = 1, 2 où δᵢⱼ est le symbole de Kronecker.

Il s'agit d'une équation aux valeurs propres portant sur une matrice **symétrique** 2 x 2, dont les valeurs propres sont réelles et les vecteurs propres constituent une base **orthogonale**. Les **seules directions possibles pour le vecteur D sont deux polarisations linéaires orthogonales**.

V – 3 - Surface des indices ; construction de Descartes et direction des vecteurs d’onde k

C'est l'ensemble des points N(x, y, z) tels que le vecteur **ON** = n **u** où **u** = **k** / ||**k**||, n étant l'indice de réfraction n = C/v dans la direction **k**, v vitesse de phase dans la direction **k**. On montre pour un cristal **uniaxe** d'indice extraordinaire n_e et d'indice ordinaire n_o que :

$$
\begin{align*}
\mathbf{x}^2 + \mathbf{y}^2 + \mathbf{z}^2 &= \mathbf{n}_o^2 \text{ sphère de rayon } \mathbf{n}_o \text{ définissant la direction de propagation } \mathbf{k}_o \text{ de l'onde ordinaire.} \\
\text{et} \\
\mathbf{x}^2 / \mathbf{n}_o^2 + (\mathbf{y}^2 + \mathbf{z}^2) / \mathbf{n}_e^2 &= \mathbf{1} \text{ ellipsoïde de révolution autour de } \mathbf{O}x, \text{ de demi axes } \mathbf{n}_o \text{ et } \mathbf{n}_e \text{ et}
\end{align*}
$$

$$
\mathbf{x}^2 / \mathbf{n}_o^2 + (\mathbf{y}^2 + \mathbf{z}^2) / \mathbf{n}_e^2 = 1 \quad \text{ellipsoïde de révolution autour de } \mathbf{O}x, \text{ de demi axes } \mathbf{n}_o \text{ et } \mathbf{n}_e \text{ et} \\
\text{définissant la direction de propagation } \mathbf{k}_e \text{ de l'onde extraordinaire.}
$$

Dans un cristal **uniaxe**, l'axe optique est la direction de propagation **k** selon laquelle il n'y a qu'un
seul indice de réfraction (n₀) pour **D** orthogonal à **k**, donc une seule vitesse de phase, il n'y a alors
pas de biréfringence. La construction de Descartes permet la détermination des directions de
propagation (**k**); ces directions ne sont pas confondues avec celles des rayons lumineux (vecteur de
Poynting **P**). **La construction de Descartes basée sur la conservation de kx.**

Lorsque $i = 0$, en incidence normale, $\mathbf{k}_e$ et $\mathbf{k}_o$ sont confondus et $r_o = r_e = 0$.

Le calcul de l'indice de réfraction n* de l'onde extraordinaire n'est aisé que lorsque l'axe optique est
parallèle à Ox (φ = 0) ou parallèle à l'axe Oy (φ = π/2), voir figure page suivante.
Lorsque $\varphi = 0$ (axe optique // Ox), on trouve : $\mathbf{n}^* = (\mathbf{n}_e^2 + \sin^2\mathbf{i} (1 - \mathbf{n}_e^2/\mathbf{n}_o^2))^{1/2}$

Donc $\mathbf{n}^* = \mathbf{n}_e$ en incidence normale. Les lames retardatrices fonctionnent en incidence normale (quart d'onde, demi onde, ou de retard quelconque) et sont dans cette configuration $\varphi = 0$. Il y a alors deux rayons émergents **superposés** de polarisations orthogonales se propageant à la vitesse de phase $C/\mathbf{n}_o$ et $C/\mathbf{n}_e$, d'où le retard de phase $\delta = (2\pi / \lambda) (\mathbf{n}_o - \mathbf{n}_e)$ e, e étant l'épaisseur de la lame.

Lorsque $\varphi = \pi/2$ (axe optique // Oy), on trouve : $\mathbf{n}^* = (\mathbf{n}_o^2 + \sin^2\mathbf{i} (1 - \mathbf{n}_o^2/\mathbf{n}_e^2))^{1/2}$

Donc $\mathbf{n}^* = \mathbf{n}_o$ en incidence normale. Il y a alors dans ce cas un seul rayon émergent se propageant à la vitesse de phase $C/\mathbf{n}_o$ puisqu'il y a propagation parallèlement à l'axe optique.

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

## V-4 - Surface d'onde ; construction d'Huygens et direction des vecteurs de Poynting P

Le vecteur de Poynting **P** indique la direction de propagation de l'énergie, donc du rayon lumineux (**P** n'est pas colinéaire à **k**).

L'ensemble des points N(x, y, z) tels que le vecteur $\mathbf{ON} = n \mathbf{u} = C/v \mathbf{u}$ où $\mathbf{u} = \mathbf{k} / \|\mathbf{k}\|$ donnait la direction des vecteurs **k** ; maintenant, posons $\mathbf{OP} (x, y, z) = (1/n) \mathbf{p} = (v/C) \mathbf{p}$ où $\mathbf{p} = \mathbf{P} / \|\mathbf{P}\|$ avec v vitesse de phase dans la direction du rayon lumineux.

L'ensemble des points P(x, y, z), pour un cristal **uniaxe** est tel que :
$x^2 + y^2 + z^2 = 1 / n_o^2$ sphère de rayon $1/n_o$ définissant la direction $P_o$ du rayon ordinaire.
et

$x^2 n_o^2 + (y^2 + z^2) n_e^2 = 1$ ellipsoïde de révolution autour de Ox, de demi axes $1/n_o$ et $1/n_e$ et définissant la direction $P_e$ du rayon extraordinaire.

La construction d'Huygens est basée sur la construction des plans tangents aux surfaces d'onde et est présentée ci-dessous dans 3 cas, axe optique orthogonal au plan d'incidence, ou dans ce plan (avec deux cas, incidence normale ou oblique).

Uniaxial materials, at 590 nm [1]

<table><thead><tr><th>Material</th><th>n<sub>o</sub></th><th>n<sub>e</sub></th><th>Δn</th></tr></thead><tbody><tr><td>beryl Be<sub>3</sub>Al<sub>2</sub>(SiO<sub>3</sub>)<sub>6</sub></td><td>1.602</td><td>1.557</td><td>-0.045</td></tr><tr><td>calcite CaCO<sub>3</sub></td><td>1.658</td><td>1.486</td><td>-0.172</td></tr><tr><td>calomel Hg<sub>2</sub>Cl<sub>2</sub></td><td>1.973</td><td>2.656</td><td>+0.683</td></tr><tr><td>ice H<sub>2</sub>O</td><td>1.309</td><td>1.313</td><td>+0.014</td></tr><tr><td>lithium niobate LiNbO<sub>3</sub></td><td>2.272</td><td>2.187</td><td>-0.085</td></tr><tr><td>magnesium fluoride MgF<sub>2</sub></td><td>1.380</td><td>1.385</td><td>+0.006</td></tr><tr><td>quartz SiO<sub>2</sub></td><td>1.544</td><td>1.553</td><td>+0.009</td></tr><tr><td>ruby Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub></td><td>1.770</td><td>1.762</td><td>-0.008</td></tr><tr><td>rutile TiO<sub>2</sub></td><td>2.616</td><td>2.903</td><td>+0.287</td></tr><tr><td>peridot (Mg, Fe)<sub>2</sub>SiO<sub>4</sub></td><td>1.690</td><td>1.654</td><td>-0.036</td></tr><tr><td>sapphire Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub></td><td>1.768</td><td>1.760</td><td>-0.008</td></tr><tr><td>sodium nitrate NaNO<sub>3</sub></td><td>1.587</td><td>1.336</td><td>-0.251</td></tr><tr><td>tourmaline (complex silicate)</td><td>1.669</td><td>1.638</td><td>-0.031</td></tr><tr><td>zircon, high ZrSiO<sub>4</sub></td><td>1.960</td><td>2.015</td><td>+0.055</td></tr><tr><td>zircon, low ZrSiO<sub>4</sub></td><td>1.920</td><td>1.967</td><td>+0.047</td></tr></tbody></table>

Valeurs des indices de réfraction (à $\lambda = 590$ nm) ordinaires $n_o$ et extraordinaires $n_e$ pour quelques cristaux

En pratique, $n_o$ et $n_e$ dépendent de la longueur d'onde de la lumière. Par exemple :
indice ordinaire du spath ou calcite ($\lambda$ en microns):

$$n_o = ( 2.69705 + 0.0192064 / (\lambda^2 - 0.01820) - 0.0151624 \lambda^2 )^{1/2}$$

indice extraordinaire du spath ou calcite ($\lambda$ en microns):

$$n_e = ( 2.18438 + 0.0087309 / (\lambda^2 - 0.01018) - 0.0024411 \lambda^2 )^{1/2}$$

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

$n_o$ et $n_e$ en fonction de la longueur d'onde pour le spath ou calcite (les deux indices décroissent vers le rouge)

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

Biréfringence dans un cristal de calcite CaCO<sub>3</sub> (différence entre indice ordinaire et extraordinaire de 0.17, fort pouvoir biréfringent). Le dédoublement de l'image est formé par la superposition des rayons ordinaire (non dévié en incidence normale) et extraordinaire (dévié). La direction de séparation est indiquée par la flèche orange.
<figure><img src="image_36.png" /></figure>

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

Mise en évidence des deux polarisations linéaires orthogonales issues de la biréfringence de la calcite. A gauche, un polariseur d'axe Oy est superposé au cristal. Il éteint le rayon ordinaire ($E_o$ est selon Ox, orthononal la direction de séparation). A droite, il est orienté selon l'axe Ox, il éteint le rayon extraordinaire ($E_e$ est dans la direction de séparation, selon Oy).

LAME
BIREFRINGENTE
AXE OPTIQUE
ORTHOGONAL
AU PLAN
D'INCIDENCE

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

Construction d'Huygens $n_o > n_e > 1$ et axe optique orthogonal au plan d'incidence

cercle de rayon $1/n_o$ pour le rayon ordinaire

cercle de rayon $1/n_e$ pour le rayon extraordinaire

cercle de rayon $1/1$ pour le rayon incident dans l'air

indice $n_o$ pour le rayon ordinaire, $n_e$ pour le rayon extraordinaire

$E_o$ ordinaire orthogonal au plan (normale, axe optique), $E_e$ extraordinaire dans ce plan

$k_o, P_o$ et $k_e, P_e$ sont colinéaires et leurs directions sont données par les lois de Descartes

$$ \sin i = n_o \sin r_o = n_e \sin r_e $$
LAME
BIREFRINGENTE
AXE OPTIQUE
DANS LE PLAN
D'INCIDENCE

INCIDENCE
NORMALE

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Séparateur biréfringent d'épaisseur e, séparation d
axe optique dans le plan d'incidence, d'angle $\varphi$ avec Ox
Construction d'Huygens en incidence normale pour les vecteurs de Poynting P
indice $n_o$ pour le rayon ordinaire, $n_e$ pour le rayon extraordinaire
ellipse d'équation $X^2 n_o^2 + Y^2 n_e^2 = 1$ pour le rayon extraordinaire
(demi axes de longueur $1/n_o$ et $1/n_e$)
cercle de rayon $1/n_o$ pour le rayon ordinaire
cercle de rayon $1/1$ pour le rayon incident dans l'air
En sortie, $E_e$ est parallèle à la direction de séparation, $E_o$ y est orthogonal</figcaption></figure>
LAME
BIREFRINGENTE
AXE OPTIQUE
DANS LE PLAN
D'INCIDENCE

INCIDENCE
OBLIQUE

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

Séparateur biréfringent d'épaisseur *e*, séparation *d*
axe optique dans le plan d'incidence, d'angle $\varphi$ avec Ox

Construction d'Huygens en incidence oblique pour les vecteurs de Poynting **P**

indice $n_o$ pour le rayon ordinaire, $n_e$ pour le rayon extraordinaire

ellipse d'équation $X^2 n_o^2 + Y^2 n_e^2 = 1$ pour le rayon extraordinaire

(demi axes de longueur $1/n_o$ et $1/n_e$)

cercle de rayon $1/n_o$ pour le rayon ordinaire

cercle de rayon $1/1$ pour le rayon incident dans l'air

En sortie, $E_e$ est parallèle à la direction de séparation, $E_o$ y est orthogonal
<figure><img src="image_41.png" /></figure>

Direction des vecteurs **k** et **P** ordinaires et extraordinaires dans le cas de la calcite pour un axe optique orthogonal au plan d'incidence : **k** et **P** sont colinéaires. Les directions des vecteurs **k** et **P**, en fonction de l'angle d'incidence, sont données par la loi de Descartes de la réfraction pour les deux indices $n_o$ et $n_e$.

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

Direction des vecteurs **k** et **P** ordinaires et extraordinaires dans le cas de la calcite pour un axe optique dans le plan d'incidence (xOy) et selon Ox : **k** et **P** ne sont pas colinéaires pour le rayon extraordinaire. La direction de **k** et **P**, en fonction de l'angle d'incidence, est donnée par la loi de Descartes pour le rayon ordinaire. En incidence normale, tous les vecteurs **k** et **P** sont // Oy.
<figure><img src="image_43.png" /></figure>

Direction des vecteurs **k** et **P** ordinaires et extraordinaires dans le cas de la calcite pour un axe optique dans le plan d'incidence (xOy) à 48° de Ox : **k** et **P** ne sont pas colinéaires pour le rayon extraordinaire. La direction de **k** et **P**, en fonction de l'angle d'incidence, est donnée par la loi de Descartes pour le rayon ordinaire. En incidence normale, **ko**, **Po** et **ke** sont // Oy, mais **P**_e est incliné de 6°, inclinaison maximale pour la calcite lorsque l'axe est à 48° de Ox.

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

Direction des vecteurs **k** et **P** ordinaires et extraordinaires dans le cas de la calcite pour un axe optique dans le plan d'incidence (xOy) et selon Oy : **k** et **P** ne sont pas colinéaires pour le rayon extraordinaire. La direction de **k** et **P**, en fonction de l'angle d'incidence, est donnée par la loi de Descartes pour le rayon ordinaire. En incidence normale, tous les vecteurs **k** et **P** sont // Oy.
<figure><img src="image_45.png" /></figure>

Séparation en fraction de l'épaisseur (d/e) et en fonction de l'angle d'incidence, pour le spath, et pour différentes inclinaisons de l'axe optique dans le plan d'incidence : φ = 0 (axe Ox), 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90° (axe Oy).

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

Séparation en fraction de l'épaisseur (d/e) et en fonction de l'angle d'incidence, pour le quartz, et pour différentes inclinaisons de l'axe optique dans le plan d'incidence : φ = 0 (axe Ox), 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90° (axe Oy).

V – 5 – Propriétés du séparateur biréfringent en incidence normale

Le séparateur délivre deux faisceaux parallèles **linéairement polarisés et de polarisations orthogonales** (il est en ce sens équivalent à un ensemble de deux polariseurs perpendiculaires). On
utilise la construction d'Huyghens (figures précédentes) qui permet de construire les vecteurs de Poynting des rayons ordinaire **P**_o et extraordinaire **P**_e.

L'ellipse d'équation X² n₀² + Y² n_e² = 1 dans le repère (xOy) des axes va définir la position du rayon extraordinaire. Elle a pour équation dans ce repère (xOy) :

$$ (x \cos(\varphi) + y \sin(\varphi))^2 + (-x \sin(\varphi) + y \cos(\varphi))^2 = 1 \quad \text{car } X = x \cos(\varphi) + y \sin(\varphi) \text{ et } Y = -x \sin(\varphi) + y \cos(\varphi) $$

La position du point P_e de coordonnées (x, y) définit le rayon extraordinaire (OP_e = P_e vecteur de Poynting), à l'intersection de l'ellipse et du plan parallèle au front d'onde incident (représenté par les traits pointillés // Ox). Cette position est telle que la dérivée de y par rapport à x est nulle. En dérivant par rapport à x l'équation de l'ellipse, on trouve :

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{[n_e^2 \sin(\varphi) (-x \sin(\varphi) + y \cos(\varphi)) - n_o^2 \cos(\varphi) (x \cos(\varphi) + y \sin(\varphi))] / [n_o^2 \sin(\varphi) (x \cos(\varphi) + y \sin(\varphi)) + n_e^2 \cos(\varphi) (-x \sin(\varphi) + y \cos(\varphi))]}{[n_o^2 \sin(\varphi) (x \cos(\varphi) + y \sin(\varphi)) + n_e^2 \cos(\varphi) (-x \sin(\varphi) + y \cos(\varphi))]} $$

et $dy/dx = 0$ implique :

$$ n_e^2 \sin(\varphi) (-x \sin(\varphi) + y \cos(\varphi)) = n_o^2 \cos(\varphi) (x \cos(\varphi) + y \sin(\varphi)) $$

on en déduit une relation entre x et y :

$$ y = x \frac{[n_e^2 \sin^2(\varphi) + n_o^2 \cos^2(\varphi)]}{[(n_e^2 - n_o^2) \sin(\varphi) \cos(\varphi)]} $$

En reportant cette relation liant x et y dans l'équation de l'ellipse, on obtient les coordonnées de P_e :

$$ \left\{ \begin{array}{l} x_e = (n_o^2 - n_e^2) / [n_o n_e (n_e^2/\cos^2\varphi + n_o^2/\sin^2\varphi)^{1/2}] \\ \text{puis} \\ y_e = - (n_o^2 \cos^2\varphi + n_e^2 \sin^2\varphi)^{1/2} / n_o n_e \end{array} \right. $$

$$ \text{On en déduit que } \tan(r_e) = -x_e/y_e = d / e = \frac{\sin(2\varphi)}{\cos(2\varphi) + (n_o^2 + n_e^2) / (n_o^2 - n_e^2)} $$

où r_e est l'angle qui définit la direction du vecteur de Poynting **P**_e, e est l'épaisseur du séparateur et d la séparation obtenue entre les deux faisceaux émergents polarisés orthogonalement.

la séparation d est maximale, à e donné, lorsque la dérivée de tan(r_e) = d / e par rapport à φ est nulle. On obtient un angle φ_m donné par la relation :

$$ \cos(2\varphi_m) = \frac{(n_e^2 - n_o^2)}{(n_e^2 + n_o^2)} \quad (\cos(2\varphi_m) < 0 \text{ pour le spath}) $$

Pour le spath, φ_m = 48°, et pour le quartz, φ_m = 45°

$$ \text{Pour cette valeur de } \varphi_m, \text{ on a alors } \tan(r_m) = \frac{d_m}{e} = \frac{(n_o^2 - n_e^2)}{2n_e n_o} $$

Ce qui donne numériquement pour le spath $d_m / e \approx 0.11$ et $r_m \approx 6°$, et pour le quartz $d_m / e \approx -0.006$ (donc très faible) et $r_m \approx -0.3°$
<figure><img src="image_47.png" /></figure>

Séparation en fraction de l'épaisseur *d* / *e* = sin(2*φ*) / ( cos(2*φ*) + (n<sub>o</sub><sup>2</sup> + n<sub>e</sub><sup>2</sup>) / ( n<sub>o</sub><sup>2</sup> - n<sub>e</sub><sup>2</sup> ) )
en fonction de la position de l'axe optique φ pour le spath aux longueurs d'onde de 400 nm (trait continu), 550 nm (pointillés), 700 nm (tirets), 850 nm (points et tirets)

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

Séparation maximale en fraction de l'épaisseur *d*<sub>m</sub> / *e* = (n<sub>o</sub><sup>2</sup> - n<sub>e</sub><sup>2</sup>) / (2n<sub>e</sub>n<sub>o</sub>) en fonction de la longueur d'onde pour le spath

V – 6 - Lames à retard statiques et lames dites "achromatiques"

Les lames retardatrices sont des lames biréfringentes uniaxes utilisées en incidence normale
dont émergent deux rayons **superposés** de polarisation orthogonale (position de l'axe optique **φ** = 0).
Les deux vibrations perpendiculaires à Oz, dénommées axe rapide ou lent (directions Ox et Oy, S
pour slow, F pour Fast,), ont pour vitesses de phase respectives (si n<sub>O</sub> > n<sub>e</sub>) C/n<sub>O</sub> et C/n<sub>e</sub>. Elles
présentent donc un déphasage entre F et S égal à :

$$
\delta = (2\pi)/\lambda \Delta n e
$$

où Δn = n<sub>o</sub> – n<sub>e</sub> et e est l'épaisseur de la lame, λ est la longueur d'onde dans le vide.
On a une lame quart d'onde si $\delta = \pm\pi/2 + 2k\pi$, demi onde si $\delta = (2k+1)\pi$, onde si $\delta = 2k\pi$ (k entier). Une lame d'épaisseur $e = \lambda / 4\Delta n$ (quart onde) donne un retard $\pi/2$, et l'épaisseur $e = \lambda / 2\Delta n$ (demi onde) génère un retard $\pi$. On constate qu'une lame est quart d'onde pour une longueur d'onde $\lambda$ et ne le sera pas pour une autre. Elles présentent donc du chromatisme, compliqué par le fait que les indices de réfraction ordinaire et extraordinaire ne sont pas constants mais dépendent aussi de la longueur d'onde. Par exemple, on donne en fonction de la longueur d'onde exprimée en Å :

pour le quartz SiO₂ ($n_e > n_o$):

$$n_o = 1.526 + 77.324 / (\lambda - 1521.0)$$

$$n_e = 1.535 + 80.288 / (\lambda - 1514.1)$$

pour MgF₂ ($n_e > n_o$):

$$n_o' = 1.369 + 35.821 / (\lambda - 1492.5)$$

$$n_e' = 1.381 + 37.415 / (\lambda - 1494.7)$$

le retard $\delta = (2\pi/\lambda)$ ($n_e - n_o$) e diminue en fonction de la longueur d'onde comme le montrent les figures suivantes pour des lames "quart d'onde" (l'épaisseur e a été calculée pour un retard quart d'onde de $\delta = \pi/2$ à $\lambda = 5500$ Å).

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

Indices de réfraction ordinaire — et extraordinaire — pour le quartz (en haut) et pour le fluorure de magnésium (en bas) en fonction de la longueur d'onde en Å.

Les indices décroissent lorsque la longueur d'onde augmente, et il en est de même de leur différence $n_e - n_o$.

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

Retard $\delta = (2\pi/\lambda)$ ($n_e - n_o$) e pour une lame de quartz d'épaisseur $e = 14\mu$ — et pour une lame de MgF₂ d'épaisseur $e = 11\mu$ — en fonction de la longueur d'onde. L'épaisseur e a été calculée pour que $\delta = \pi/2 = 90°$ à $\lambda = 5500$ Å.

On remarque que le retard varie considérablement de 130° à 70° entre 4000 et 7000 Å. La lame présente donc un fort chromatisme.

Ainsi l'inconvénient des lames discutées ci dessus consiste en un fort chromatisme : dès que l'on s'écarte de $\lambda = 5500$ Å, le retard s'écarte très rapidement de $\pi/2$ et la lame n'est plus quart d'onde. Pour atténuer cet effet, on place en série une lame de quartz SiO₂ d'épaisseur $e$ et une lame de fluorure de magnésium MgF₂ d'épaisseur $e'$ orientées de telle sorte que l'axe Fast de la première lame soit
orthogonal à l'axe Fast de la seconde (lames dites croisées). Le retard global introduit par les deux lames est alors **soustractif** :

$$ \delta = (2 \pi / \lambda) (\Delta n e - \Delta n' e') \text{ avec } \Delta n = n_e - n_o \text{ pour le quartz et } \Delta n' = n_e' - n_o' \text{ pour MgF}_2 $$

Il est possible de calculer les épaisseurs e et e' pour que l'on ait une lame quart d'onde $\delta = \pi/2$ pour deux longueurs d'onde différentes, par exemple $\lambda_1 = 4500 \AA$ et $\lambda_2 = 6500 \AA$. On doit résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues e et e', épaisseurs de la lame de quartz et de la lame MgF$_2$ :

$$ \begin{cases} \Delta n(\lambda_1) e - \Delta n'(\lambda_1) e' = \lambda_1 / 4 \\ \Delta n(\lambda_2) e - \Delta n'(\lambda_2) e' = \lambda_2 / 4 \end{cases} $$

Après avoir calculé $\Delta n(\lambda_1)$, $\Delta n(\lambda_2)$, $\Delta n'(\lambda_1)$, $\Delta n'(\lambda_2)$, on tire e et e' (ici $e = 277 \mu$ et $e' = 228 \mu$), ce qui permet ensuite de représenter le retard global $\delta = (2 \pi / \lambda) (\Delta n e - \Delta n' e')$ en fonction de la longueur d'onde (figure ci dessous).

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

La combinaison en série de 2 lames croisées à différence de retard $\delta-\delta'$ en quartz ($\delta$) et en MgF$_2$ ($\delta'$) permet de réduire considérablement le chromatisme de l'ensemble. Cette fois ci, le retard résultant $\delta-\delta'$ ne varie plus qu'entre 84° et 94° entre 4000 et 7000 Å. On a réalisé une lame dite « achromatique », mais qui n'est pas encore parfaite.

## V-7 - Lames à retard $\delta$ variable à cristaux liquides

Ces lames retardatrices sont constituées d'un cristal liquide placé en sandwich entre deux électrodes transparentes auxquelles on applique une tension (condensateur plan transparent dont le diélectrique, constitué de cristaux liquides, manifeste une biréfringence en fonction de la tension appliquée, généralement de l'ordre de 10 V).

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

Courbe de retard en nm en fonction de la tension en mV appliquée aux électrodes
Un exemple de retard entre les axes "Fast" et "Slow" en fonction de la tension est représenté sur la figure ci dessus. Sous tension nulle, la biréfringence est maximale. Ces lames sont chromatiques. Si l'on prend une longueur d'onde de 400 nm, la figure montre qu'on a une lame quart d'onde pour 3500 mV et demi onde pour 2750 mV. Pour une longueur d'onde de 800 nm, on constate qu'on a une lame quart d'onde pour 2750 mV et demi onde pour 2000 mV. La lame se comporte comme une lame à faces parallèles (retard nul) pour 6750 mV. Pour un retard donné (par exemple quart d'onde), la tension à appliquer dépend de la longueur d'onde de la lumière.

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

Exemple de tension à appliquer pour un retard $\delta = \pi/2$ (quart d'onde, 1), $\pi$ (demi onde, 2), $3\pi/2$ (trois quarts d'onde, 3), $2\pi$ (onde, 4) et $5\pi/2$ (cinq quarts d'onde, 5), mettant en évidence le chromatisme des cristaux liquides en fonction de la longueur d'onde de la lumière.

# VI - Principes théoriques du filtre monochromatique de LYOT

Le filtre de LYOT est un filtre monochromatique polarisant dont la bande passante peut descendre à 0.1 Å, voire bien moins. Son principe est basé sur l'interférence de l'onde ordinaire et de l'onde extraordinaire à la sortie d'un cristal biréfringent uniaxe, comme le spath le quartz. Un filtre de LYOT est constitué de plusieurs étages, comportant chacun un cristal entre deux polariseurs linéaires, cristal dont les axes (rapide F et lent S) sont à 45° de l'axe des polariseurs. Chaque étage fournit un spectre cannelé. L'épaisseur de chaque étage est double du précédent de telle sorte qu'une cannelure sur deux s'éteint. La cannelure utile est ensuite isolée par un filtre interférentiel étroit de l'ordre de quelques Å de bande passante.

Un filtre de LYOT est thermostaté au dixième de degré, généralement autour de 45°C, pour que les propriétés optiques du matériau biréfringent (épaisseur) restent stables. Le chauffage actif de faible puissance est pulsé et assuré par un bobinage autour du filtre avec isolation thermique. Le refroidissement est passif. Une sonde de température est au contact des enroulements, et une autre mesure la température ambiante.

Certains filtres ont une bande passante accordable, c'est à dire qu'il est possible de déplacer la bande passante de quelques Å vers l'aile bleue ou l'aile rouge d'une raie spectrale avec une grande précision (pas de 0.1 Å). Dans ce cas, chaque bloc biréfringent est précédé d'une lame quart d'onde, dont les axes sont à 45°, comme on le verra plus loin. On fait varier la bande passante en introduisant un décalage angulaire entre chaque étage (rotation), proportionnel à son épaisseur. Ce dispositif implique une mécanique complexe et l'immersion des étages dans un bain d'huile transparent.
## VI - 1 - Un étage de LYOT de base

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

On se place en optique paraxiale sous incidence normale. La lame de spath introduit un retard de phase entre la vibration sur l'axe F (rapide) et sur l'axe S (lent) situés dans le plan (xOy) égal à $\delta = (2\pi/\lambda) \Delta n$ e, où $\Delta n = n_o - n_e$ est la différence entre les indices ordinaire et extraordinaire (pour le spath, $n_o = 1.658$ et $n_e = 1.486$ soit une différence de 0.172).

Désigons par $\mathbf{E} = (E_x, E_y)$ les composantes du vecteur champ électrique. On passe de $\mathbf{E}_{in}$ (champ entrant) à $\mathbf{E}_{out}$ (champ sortant) par la relation $\mathbf{E}_{out} = \mathbf{M}(\delta) \mathbf{E}_{in}$ où $\mathbf{M}$ est la matrice de Jones résultant du produit de 5 matrices élémentaires 2 x 2, soit $\mathbf{P}_{0x} \mathbf{R}_{-\pi/4} \mathbf{J}_{\delta} \mathbf{R}_{\pi/4} \mathbf{P}_{0x}$ (polariseur // Ox, rotation $\pi/4$, retard $\delta$, rotation $-\pi/4$, polariseur // Ox). On en déduit aisément que l'intensité émergente $I$ est reliée à l'intensité incidente $I_0$ par la relation :

$$I = I_0 \cos^2(\delta/2) \text{ où } \delta = (2\pi/\lambda) \Delta n e$$

On obtient un spectre cannelé. Dans le cas de polariseurs croisés, on aurait $I = I_0 \sin^2(\delta/2)$

## VI - 2 - Un filtre de LYOT de base

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

Considérons un filtre à n étages comme ci dessus. Il y a donc $n+1$ polariseurs d'axe // Ox dénommés $P_1, \dots, P_n$ et n blocs biréfringents dont les axes rapide F et lent S sont à 45° des polariseurs d'axe Ox (comme sur la figure de l'étage élémentaire). L'épaisseur des blocs de spath varie en puissance de 2, de telle sorte que les épaisseurs successives sont $e, 2e, 4e, 8e, 16e, \dots$ et $2^{n-1}e$.

L'intensité émergente $I$ est reliée à l'intensité incidente $I_0$ par un simple produit de la transmission de chaque étage, soit :

$$I = I_0 \cos^2(\delta/2) \cos^2(2(\delta/2)) \dots \cos^2(2^{n-1}(\delta/2)) \text{ où } \delta = (2\pi/\lambda) \Delta n e$$

L'usage des formules de trigonométrie permet de simplifier cette relation et on aboutit à :

$$I = I_0 \left[ \sin \left( 2^n \left( \frac{\delta}{2} \right) \right) \right] / \left( 2^n \sin \left( \frac{\delta}{2} \right) \right)^2 \text{ où } \delta = (2\pi/\lambda) \Delta n e$$
<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Spectre cannelé d'un filtre de LYOT en spath à n=5 étages, e=1.5 mm, 0.5 Å de bande passante</figcaption></figure>

Dans l'exemple ci-dessus, où la cannelure centrale est centrée sur la raie Hα, la distance intercannelure vaut 16 Å. On isole cette cannelure à l'ordre d'interférence k = 410 par un filtre interférentiel. Etudions maintenant les principales caractéristiques du filtre de Lyot.

### Position des maxima principaux (cannelures) :

Sin $(\delta/2) = 0$ soit $\delta = (2\pi/\lambda) \Delta n e = 2 k \pi$ avec k entier, appelé ordre d'interférence, d'où l'on tire
$$ \lambda_m = \Delta n e / k \quad (1) $$

La distance Dλ entre 2 cannelures successives est égale à (k grand) :

$$ D\lambda = \Delta n e / k^2 = \lambda_m^2 / \Delta n e \quad (2) $$

### Position des minima (zéros) :

Sin $(2^n (\delta/2)) = 0$ soit $\delta = (2\pi/\lambda) \Delta n e = 2 p \pi / 2^n$ avec p entier, d'où $\lambda = 2^n \Delta n e / p$

Largeur Δλ à mi hauteur des cannelures : elle est approximativement égale à la distance entre deux zéros consécutifs donnée par $|\Delta\delta| = 2 \pi / 2^n = \Delta\lambda (2\pi/\lambda_m^2) \Delta n e$, d'où l'on tire :

$$ \Delta\lambda = \lambda_m^2 / (2^n \Delta n e) \quad (3) $$

La finesse F du filtre est le rapport distance/largeur des cannelures ; elle vaut :

$$ F = D\lambda / \Delta\lambda = 2^n \quad (4) $$

La finesse est d'autant meilleure que n est grand. En pratique, on se fixe $\lambda_m$ (longueur d'onde centrale du filtre), la bande passante Δλ du filtre et le nombre d'étages n. L'épaisseur e est tirée de la relation 3 et l'ordre d'interférence k de la relation 1. La 2 fournit la distance Dλ entre cannelures.
Exemple de la figure précédente : n = 5, $\lambda_m$ = 6563 Å et $\Delta\lambda$ = 0.5 Å. Avec du spath, on obtient e = 1.5 mm et Dλ = 16 Å (finesse F = 32). Les 5 étages ont pour épaisseur 1.5, 3, 6, 12 et 24 mm. Avec du quartz, 20 fois moins biréfringent que le spath (|Δn| = 0.009 au lieu de 0.17), on aurait des épaisseurs 20 fois plus grandes pour le même résultat, ce qui ne conviendrait pas.

## VI – 3 – Etage de LYOT accordable en bande passante

Pour déplacer la bande passante vers l'aile bleue ou l'aile rouge d'une raie spectrale, on peut modifier la température du filtre de LYOT (ce qui agit sur l'épaisseur des lames). Mais ce processus thermique est très lent, donc impraticable, de sorte qu'il faut trouver une astuce.

### Première possibilité

Inclinons le polariseur d'entrée d'un angle $\alpha$ et plaçons devant la lame biréfringente une lame quart d'onde dont les axes F et S sont parallèles aux axes Ox et Oy, selon le schéma suivant :

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

La lame quart d'onde a pour effet de transformer la polarisation linéaire issue du polariseur en polarisation elliptique (circulaire si $\alpha$ = 45°). On passe de $E_{in}$ (champ entrant) à $E_{out}$ (champ sortant) par la relation $E_{out} = M(\alpha, \delta) E_{in}$ où M la matrice de Jones résultant du produit de 8 matrices élémentaires 2 x 2, soit $P_{Ox} R_{-\pi/4} J_{\delta} R_{\pi/4} J_{\pi/2} R_{-\alpha} P_{Ox} R_{\alpha}$ (rotation $\alpha$, polariseur // Ox, rotation $-\alpha$, retard $\pi/2$, rotation $\pi/4$, retard $\delta$ entre F et S, rotation $-\pi/4$, polariseur // Ox). On en déduit que l'intensité émergente I est reliée à l'intensité incidente $I_0$ par la relation :

$$I = I_0 \cos^2(\delta/2 + \alpha) \text{ où } \delta = (2\pi/\lambda) \Delta n \text{ e, } \Delta n = n_o - n_e$$

Si le polariseur de sortie est selon Oy, on obtient de la même façon $I = I_0 \sin^2(\delta/2 + \alpha)$

On constate donc que l'on a introduit un déphasage $\alpha$ par rapport à la formule de l'étage de LYOT de base $I = I_0 \cos^2(\delta/2)$. On obtient encore un spectre cannelé, et il sera aisé de déplacer les cannelures en faisant varier l'angle $\alpha$. D'un étage de LYOT au suivant, $\alpha$ aura un incrément proportionnel à l'épaisseur de l'étage, c'est à dire en puissance de 2, comme le retard $\delta$. D'un point de vue pratique, le polariseur d'entrée est fixé et c'est l'ensemble de l'étage de LYOT que l'on va mettre en rotation d'angle $\alpha$ à l'aide d'une mécanique motorisée.

### Seconde possibilité

On introduit une lame unique de cristal liquide à retard variable, dont les axes sont parallèles à ceux de la lame biréfringente. Les cristaux liquides peuvent constituer des lames biréfringentes dont la particularité est d'avoir un retard $\gamma$ variable entre 0 et $2\pi$, en fonction de la tension (0-20 Volts)
qu'on applique aux électrodes entre lesquelles ils sont placés. La tension nulle donne une
biréfringence maximale entre axes F et S.

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

Il n'y a aucun calcul à faire : les deux lames ont leurs axes parallèles, donc leurs retards $\delta$ et $\gamma$ sont additifs. L'intensité émergente $I$ est alors reliée à l'intensité incidente $I_0$ par la relation :

$$I = I_0 \cos^2\left(\frac{(\delta+\gamma)}{2}\right) \text{ où } \delta = (2\pi/\lambda) \Delta n \text{ e, } \Delta n = n_o - n_e \text{ et } \gamma \text{ variable électriquement de } 0 \text{ à } 2\pi$$

On déplace les cannelures en faisant varier le retard $\gamma$ du cristal liquide. D'un étage de LYOT au suivant, ces retards seront proportionnels à l'épaisseur de l'étage, c'est à dire en puissances de 2.

## VI-4 – Filtre de LYOT accordable en bande passante

Considérons maintenant un filtre à n étages construits en adoptant la première disposition décrite. Chaque étage (constitué d'une lame quart d'onde, d'une lame biréfringente, et d'un polariseur de sortie) est tourné par rapport au précédent d'un angle proportionnel à son épaisseur, c'est à dire en puissances de 2, dans le cas du filtre accordable classique.

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

Si l'étage 1 est tourné de $\alpha$, l'étage 2 sera tourné de $2\alpha$ par rapport à l'étage 1 et aura un azimuth de $\alpha + 2\alpha = 3\alpha$. L'étage 3 sera tourné de $4\alpha$ par rapport à l'étage 2 et aura un azimuth de $\alpha + 2\alpha + 4\alpha = 7\alpha$. L'étage 4 sera tourné de $8\alpha$ par rapport à l'étage 3 et aura un azimuth de $\alpha + 2\alpha + 4\alpha + 8\alpha = 15\alpha$ et ainsi de suite, $(2^n-1)\alpha$ pour l'étage n. Les azimuths se cumulent donc.

Un filtre à n étages aura pour intensité émergente :

$$I = I_0 \cos^2(\delta/2+\alpha) \cos^2(2(\delta/2+\alpha)) \cos^2(4(\delta/2+\alpha)) \dots \cos^2(2^{n-1}(\delta/2+\alpha)) \text{ où } \delta = (2\pi/\lambda) \Delta n \text{ e}$$
Un peu de trigonométrie permet de simplifier cette relation et on aboutit à :

$$I = I_0 \left[ \sin \left( 2^n \left( \frac{\delta}{2} + \alpha \right) \right) \right] / \left( 2^n \sin \left( \frac{\delta}{2} + \alpha \right) \right)^2 \quad \text{où } \delta = (2\pi/\lambda) \Delta n e$$

L'amplitude de déplacement de la bande passante par variation de $\alpha$ est d'une cannelure.

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

Filtre de LYOT pour la raie Hα à 5 étages d'épaisseur e, 2e, 4e, 8e et 16e avec e = 1.5 mm 5 positions de cannelures ont été représentées pour 5 positions angulaires différentes permettant de caler la bande passante du filtre sur Hα ± 1 Å, Hα ± 0.5 Å (······), Hα centre (—) avec une bande passante (largeur à mi hauteur) de 0.5 Å. En tireté noir (---) : la raie Hα. En tireté rouge (---) : la raie Hα au travers du filtre, cannelure en position centre raie.

On remarque sur le tracé ci dessus d'un filtre de LYOT idéal accordable à 5 étages que le pic central de la raie Hα est pollué par un signal indésirable issu des ailes (flèches rouges sur la figure, courbe en tireté rouge ---), dont le résultat sera une diminution du contraste. Il est possible de réduire ce phénomène parasite en utilisant un assemblage de 2 filtres entrelacés, comportant un filtre primaire composé d'étages d'épaisseur e, 2e, 4e... et un filtre secondaire composé d'étages d'épaisseur 1.5e, 3e, 6e... représentant l'ultime aboutissement de la technologie du filtre de LYOT.

## VI - 5 – Filtre de LYOT à entrelacement d'un filtre primaire et d'un filtre secondaire

Considérons un filtre à n étages d'épaisseur e, 2 e, 4 e... et un filtre à m étages d'épaisseur d, 2 d, 4 d... que l'on superpose par entrelacement des étages d'épaisseur e, d, 2 e, 2 d, 4 e.... L'intensité transmise est donnée par le produit des transmissions de chaque étage, soit :
$$I = I_0 \left[ \frac{\sin(2^n(\delta/2 + \alpha))}{2^n \sin(\delta/2 + \alpha)} \right]^2 \left[ \frac{\sin(2^m(\gamma/2 + \beta))}{2^m \sin(\gamma/2 + \beta)} \right]^2$$

$$où \delta = (2\pi/\lambda) \Delta n \text{ e et } \gamma = (2\pi/\lambda) \Delta n \text{ d}$$

On choisit $d$ et $\beta$ de telle sorte que $d = k$ e et $\beta = k \alpha$ où $k$ est un nombre réel tel que $d / e = \beta / \alpha$.

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Filtre à 5 étages (rouge) par entrelacement des étages d'un filtre primaire d'épaisseurs e, 2 e, 4 e et d'un filtre secondaire d'épaisseurs 1.5 e, 3 e (en noir ___ et ...), tous deux centrés sur la raie Hα</figcaption></figure>

Si **k** est une fraction rationnelle, alors les cannelures des 2 filtres se superposent. En prenant par exemple $k = 3/2$, on constate sur la figure ci dessus (flèches **noires**) que les maxima secondaires du premier filtre (e, 2 e, 4 e, e = 4.2 mm, trait continu noir —) sont éteints par les minima secondaires du second filtre (1.5 e, 3 e, pointillé noir ···). Le filtre résultant (produit des deux) est représenté par la courbe rouge (—), il n'y a plus aucun lobe secondaire dans les ailes proches des cannelures, ce qui donne un filtre très pur. Quelques lobes secondaires subsistent à mi distance des cannelures (flèches **rouges**), mais seront facilement éliminés par le filtre interférentiel étroit indispensable à la sélection de la cannelure centrale, seule utile. Le centrage fin en longueur d'onde se fait par rotation des étages du filtre, donc en variant $\alpha$ et $\beta$ sachant que $\beta = 1.5 \alpha$. La distance théorique entre cannelures est de 12 Å pour cet exemple.
# VII - Principes théoriques du filtre monochromatique de SOLC

Le filtre de SOLC est, comme le filtre de LYOT, un filtre monochromatique polarisant dont la bande passante peut descendre à moins de 0.5 Å. Son principe est basé sur l'interférence de l'onde ordinaire et de l'onde extraordinaire à la sortie d'un cristal biréfringent uniaxe, comme le spath. Un filtre de SOLC est constitué, contrairement au filtre de LYOT, d'un seul étage, mais comportant de nombreux cristaux accolés, entre deux polariseurs linéaires, cristaux dont les orientations (azimuth des axes rapide F et lent S) ont différentes distributions selon la formule du filtre. Un tel dispositif, qui fournit un spectre cannelé, est plus lumineux que le filtre de Lyot car il n'y a que deux polariseurs, mais les lobes secondaires sont plus marqués. Toutes les lames ont la même épaisseur. La cannelure utile est isolée par un filtre interférentiel d'environ 5 Å de bande passante. Un filtre de SOLC est thermostaté au dixième de degré, généralement autour de 40°C, pour que les propriétés optiques du matériau biréfringent (épaisseur) restent stables.

Certains filtres ont une bande passante accordable, c'est à dire qu'il est possible de déplacer la bande passante de quelques Å vers l'aile bleue ou l'aile rouge d'une raie spectrale avec une grande précision (pas de 0.1 Å). Dans ce cas, chaque bloc biréfringent de spath est suivi d'un ensemble lame quart d'onde fixe, demi onde rotative, quart d'onde fixe. On fait varier la bande passante en tournant chaque demi onde d'une même valeur angulaire. Ce dispositif implique une mécanique complexe, comme pour le filtre de LYOT.

## VII – 1 - Un filtre de SOLC à n lames d'azimuth alterné (α, -α, ...)

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

n lames de spath de même épaisseur e, même retard δ, d'azimuth alterné α, -α, α, -α, α,..., avec n entier quelconque (pair ou impair). F et S sont les axes rapide et lent qui désignent, dans le plan (xOy), les deux directions orthogonales (ordinaire et extraordinaire) du champ électrique E se propageant à la vitesse de phase C/n<sub>e</sub> et C/n<sub>o</sub>.

On se place en optique paraxiale sous incidence normale. Chaque lame biréfringente introduit un retard de phase entre la vibration projetée sur l'axe F (rapide) et sur l'axe S (lent) égal à δ = (2π/λ) Δn e, où Δn = n<sub>o</sub> - n<sub>e</sub> est la différence entre les indices ordinaire et extraordinaire (pour le spath, n<sub>o</sub> = 1.658, axe lent S, et n<sub>e</sub> = 1.486, axe rapide F, soit une différence de 0.172). Le retard introduit par chaque lame est identique. Les azimuths sont alternés en α, -α, α, -α, α, -α.... Mais il peut y avoir un nombre quelconque de lames (n entier pair ou impair), l'azimuth de la dernière lame est alors α (n impair) ou -α (n pair).

Désigons par **E** = (E<sub>x</sub>, E<sub>y</sub>) les composantes du vecteur champ électrique. On passe de **E**<sub>in</sub> (champ entrant dans une lame quelconque) à **E**<sub>out</sub> (champ sortant de cette même lame) par la relation **E**<sub>out</sub> = e<sup>iδ/2</sup> **M**(α, δ) **E**<sub>in</sub> où M est une matrice de Jones, produit de 3 matrices élémentaires **R**<sub>-α</sub> **J**<sub>δ</sub> **R**<sub>α</sub> (rotation α, retard δ, rotation -α) égale à :

<table><tr><td>cos(δ/2) - i sin(δ/2) cos(2α)</td><td>- i sin(δ/2) sin(2α)</td></tr><tr><td>- i sin(δ/2) sin(2α)</td><td>cos(δ/2) + i sin(δ/2) cos(2α)</td></tr></table>
Pour la première lame, on a $E_{in} = E_0 = (E_0, 0)$ dans $(xOy)$ à cause du polariseur selon $Ox$, et pour l'ensemble du filtre de SOLC à n lames, on doit effectuer le produit matriciel :

$E_{out} = M(\alpha, \delta) M(-\alpha, \delta) M(\alpha, \delta) M(-\alpha, \delta) \dots E_0$, soit n fois M en alternant $\alpha$ et $-\alpha$.

L'angle $\alpha$ est égal à une valeur bien précise : $\alpha = 45^{\circ} / n = \pi / (4 n)$

On ne conserve en sortie que $E_{y,out}$ (polariseur // Oy) et on calcule l'intensité sortante I par $I = E_{y,out} E_{y,out}^*$, où * désigne la quantité conjuguée.

Tous produits matriciels effectués, et après arrangement à l'aide des formules trigonométriques, on trouve que l'intensité émergente I est reliée à l'intensité incidente $I_0 = E_0^2$ par la relation analytique :

$$I = I_0 \left[ \left( \frac{\sin(n\psi)}{\sin(\psi)} \right) \cos(\psi) \tan(2\alpha) \right]^2$$

$$\text{où } \cos(\psi) = \sin(\delta/2) \cos(2\alpha) \text{ et } \delta = (2\pi/\lambda) \Delta n \text{ e}$$

On obtient un spectre cannelé.

### Position des cannelures :

$$\Psi = k \pi \text{ (k entier) d'où } \cos(\psi) = \sin(\delta/2) \cos(2\alpha) = \sin(\delta/2) \cos(\pi / (2 n)) = \pm 1$$

Supposons pour simplifier que n est grand.

$$\text{Alors } \cos(\pi / (2 n)) \approx 1 \text{ et } \sin(\delta/2) \approx \pm 1 \text{ entraîne } \delta/2 = (\pi/\lambda) \Delta n \text{ e} \approx k \pi + \pi / 2, \text{ k entier}$$

D'où l'on tire la position des cannelures :

$$\lambda \approx \frac{\Delta n e}{k + \frac{1}{2}}, \text{ pour k entier (appelé ordre d'interférence)}$$

La position des cannelures dépend uniquement de l'épaisseur e des lames. Leur distance vaut environ $\Delta n e / k^2$ (k grand).

## VII - 2 - Un filtre de SOLC à n lames d'azimuth en progression arithmétique

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

L'azimuth des lames est en progression arithmétique de raison $2\alpha$, les azimuths respectifs sont donc : $\alpha, 3\alpha, 5\alpha, 7\alpha, \dots(2n-1)\alpha$, pour n lames, n entier quelconque (pair ou impair).
Pour la première lame, on a encore $E_{in} = E_{0} = (E_{0}, 0)$, et pour l'ensemble du filtre de SOLC :

$E_{out} = M((2n-1)\alpha, \delta) \dots M(5\alpha, \delta) M(3\alpha, \delta) M(\alpha, \delta) E_{0}, n$ fois $M$ pour $(2n-1)\alpha, \dots, 5\alpha, 3\alpha, \alpha$

L'angle $\alpha$ est toujours égal à une valeur bien précise : $\alpha = 45^{\circ} / n = \pi / (4n)$

On ne conserve en sortie que $E_{x,out}$ (polariseur // Ox) et on calcule l'intensité sortante $I$ par $I = E_{x,out} E_{x,out}^*$, où * désigne la quantité conjuguée.

On trouve alors que l'intensité émergente $I$ est reliée à l'intensité incidente $I_0 = E_0^2$ par la même relation analytique que dans le cas précédent :

$$I = I_0 \left[ \frac{\sin(n\psi)}{\sin(\psi)} \cos(\psi) \tan(2\alpha) \right]^2$$

Mais où $\cos(\psi) = \cos(\delta/2) \cos(2\alpha)$, avec $\delta = (2\pi/\lambda) \Delta n$ e

On obtient un spectre cannelé décalé d'une demi cannelure par rapport au cas précédent, pour une même épaisseur e des lames.

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

Exemple obtenu avec $e = 2$ mm et 20 lames de spath ($n_0 = 1.658$ ; $n_e = 1.486$) pour un filtre centré sur $H\alpha$; la distance entre cannelures est de 12 Å et la largeur à mi hauteur de 0.5 Å.

La figure suivante compare le filtre de LYOT (___) et le filtre de SOLC (___) pour une même largeur à mi hauteur ; on constate que le filtre de SOLC présente des lobes secondaires deux fois plus intenses que le filtre de LYOT ; cependant, il sera en contrepartie plus lumineux car il n'utilise que deux polariseurs.
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>Comparaison filtre de Lyot / Solc pour une même largeur à mi hauteur</figcaption></figure>

## VII - 3 - Un filtre de SOLC accordable

Comme pour le filtre de LYOT, se pose le problème de pouvoir déplacer finement la bande passante du filtre vers l'aile bleue ou l'aile rouge de la raie spectrale qu'on veut observer.

### Première possibilité

On place derrière chaque lame biréfringente une lame quart d'onde d'axes // (x'Oy'), une lame demi onde d'azimuth variable $\beta$, et de nouveau une quart d'onde d'axes // (x'Oy'), selon le montage suivant (les axes Ox' et Oy' sont choisis à 45° des axes de la lame à retard $\delta$) :

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

Les quart d'onde transforment la polarisation linéaire incidente en circulaire pour la première et inversement pour la seconde. La demi onde agit en déphaseur de polarisation sur les deux composantes (angle $2\beta$). Dans le repère (x'Oy'), la matrice de transfert $M$ de la lame de spath devient :

<table><tr><td>cos(δ/2)</td><td>-i sin(δ/2)</td></tr><tr><td>-i sin(δ/2)</td><td>cos(δ/2)</td></tr></table>
Dans le repère (x'Oy'), la matrice de transfert M de l'ensemble quart d'onde, demi onde, quart d'onde est:

<table><tr><td>cos(2β)</td><td>i sin(2β)</td></tr><tr><td>i sin(2β)</td><td>cos(2β)</td></tr></table>

C'est une matrice identique à celle de la lame biréfringente de retard $δ/2$. L'ensemble quart d'onde, demi onde rotative, quart d'onde agit comme un retardateur de phase de $-2β$ ; le retard total sera donc de $(δ/2 - 2β)$, il suffit donc de changer dans la fonction de transfert du filtre $(δ/2)$ en $(δ/2 - 2β)$.

## Seconde possibilité

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

On remplace l'équipage quart d'onde, demi onde rotative, quart d'onde, par une lame à cristal liquide de retard variable $γ$ dont les axes sont parallèles à ceux de la lame biréfringente de retard $δ$. Le retard $γ$ peut varier électriquement entre 0 et $2π$. Ce montage introduit un retard global égal à $(δ + γ)$, il suffit donc de changer dans la fonction de transfert du filtre de SOLC $(δ/2)$ en $(δ + γ)/2$.

## VII - 4 - Un filtre de SOLC à deux étages

Le but est d'amener les lobes secondaires du premier filtre, assez forts, en face des zéros du second filtre. Nous avons pris à titre d'exemple un premier étage à $n = 10$ lames d'épaisseur $e = 2$ mm suivi d'un second étage de $p = 10$ lames également, mais d'épaisseur $d = 3/2$ e = 3 mm. La bande passante résultante de $0.5 Å$ est à peu près identique à celle d'un filtre à 20 étages d'épaisseur $e = 2$ mm, mais on a complètement éliminé les lobes secondaires comme le montre la figure page suivante.

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

Pour un filtre à 2 étages composé de lames d'azimuths alternés, on a le produit:

$$I = I_0 \left[ \left( \frac{\sin(n\psi)}{\sin(\psi)} \right) \cos(\psi) \tan(2\alpha) \right]^2 \left[ \left( \frac{\sin(p\phi)}{\sin(\phi)} \right) \cos(\phi) \tan(2\alpha) \right]^2$$
où $\cos(\psi) = \sin(\delta/2) \cos(2\alpha)$, $\delta = (2\pi/\lambda) \Delta n$ et $\cos(\varphi) = \sin(\varepsilon/2) \cos(2\alpha)$ et $\varepsilon = (2\pi/\lambda) \Delta n$ d

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

Filtre à 2 étages : n = 10 lames d'épaisseur e et p = 10 lames d'épaisseur d = 3/2 e.

Premier filtre : trait continu noir — ; second filtre : trait pointillé noir ----

Les lobes secondaires des 2 filtres sont en opposition de phase

Filtre résultant (produit des deux fonctions) : trait continu rouge —

VIII – Biréfringence circulaire, naturelle ou induite

Certaines substances organiques comme le glucose, ou certains cristaux comme le quartz, lorsqu'ils sont éclairés de façon particulière, ont pour propriété de présenter naturellement une biréfringence circulaire, c'est à dire 2 indices de réfraction, ou deux vitesses de phase, pour la propagation d'ondes polarisées circulairement à droite et à gauche. Sur une polarisation linéaire, il en résulte une rotation du plan de polarisation.

Cette même propriété rotatoire peut être induite par action d'un champ magnétique extérieur sur certains matériaux, comme le flint, ou sur un plasma. Il s'agit alors de l'effet Faraday.

VIII – 1 - Biréfringence circulaire naturelle, pouvoir rotatoire

<figure><img src="image_70.png" /></figure>
On considère une lame d’épaisseur $d$ dans laquelle se propage un rayon lumineux parallèle à son axe optique dans la direction $Oz$. La lame se comporte donc comme un milieu isotrope d’indice unique $n_0$ pour la biréfringence linéaire. Le champ électrique de l’onde est transverse en $e^{i(\omega t-k \cdot r)}$.

Dans un milieu **optiquement actif**, il n’y a plus linéarité entre le vecteur déplacement **D** et le champ électrique **E**. **D** dépend non seulement de **E** mais de sa variation spatiale $\partial E_i / \partial x_j = -i k_j E_i$ que l’on modélise simplement par l’apparition d’un terme proportionnel à $-i \mathbf{k} \Lambda \mathbf{E}$ puisque qu’une dérivée spatiale est en $-i \mathbf{k} \Lambda \mathbf{p}$ pour une onde plane OPPH avec $\mathbf{k} = 2\pi n / \lambda_0 \mathbf{e}_z$ ($\lambda_0$ longueur d’onde dans le vide, n indice de réfraction dans la direction $\mathbf{k}$). On a :

$$ \mathbf{D} = \varepsilon_0 (1 + \chi) \mathbf{E} \quad \text{où la susceptibilité électrique } \chi \text{ est une matrice, et d'autre part:} $$

$$ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \mathbf{E} + \varepsilon_0 g (-i \mathbf{k}/k_0) \Lambda \mathbf{E} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \mathbf{E} - i \varepsilon_0 g n \mathbf{e}_z \Lambda \mathbf{E} $$

$g$ est le facteur de giration (sans unité), $n$ l'indice de réfraction dans la direction de $\mathbf{k}$ et $\varepsilon_r = n_0^2$

Soit $\mathbf{E} = (E_x, E_y, 0)$, alors après avoir écrit le produit vectoriel sous forme matricielle, avec $\mathbf{1}_d$ matrice identité, on a :

$$ (\mathbf{1}_d + \chi) \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \end{bmatrix} = n_0^2 \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \end{bmatrix} - i g n \begin{bmatrix} -E_y \\ E_x \end{bmatrix} = n_0^2 \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \end{bmatrix} - i g n \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \end{bmatrix} $$

$$ D'\text{où } \chi = \mathbf{1}_d (n_0^2 - 1) - i g n \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

$$ \text{soit finalement } \chi = \begin{bmatrix} n_0^2 - 1 & i g n \\ -i g n & n_0^2 - 1 \end{bmatrix} $$

$\chi$ est donc une matrice hermitienne.

### Propriétés des matrices hermitiennes $H$ :

* $H^* = H$, où $'$ désigne la transposition et $*$ la conjugaison

* Les valeurs propres $v$ de $H$ sont réelles et données par l'équation det $(H - v \mathbf{1}_d) = 0$

* Les vecteurs propres $V_i$ associés à la valeur propre $v_i$ sont donnés par $(H - v_i \mathbf{1}_d) V_i = 0$

* Dans un espace hermitien, la norme d'un vecteur colonne $V$ est définie par $V^* V$ et le produit scalaire de deux vecteurs colonne $V_1$ et $V_2$ est défini par $V_1^* V_2$

* Il existe une base orthonormée de vecteurs propres $V_i$ complexes, tels que $V_i^* V_i = 1$ et $V_i^* V_j = 0$ (pour $i \neq j$). Dans cette base, $H$ est diagonale et composée de ses valeurs propres.

* Les matrices symétriques sont un cas particulier de matrices hermitiennes, à vecteurs propres réels.

En conséquence, $\chi$ possède deux valeurs propres réelles, $v_1 = n_0^2 - 1 + g n$ et $v_2 = n_0^2 - 1 - g n$

A ces valeurs propres correspondent deux indices de réfraction $n$ tels que $n^2 = 1 + \chi = n_0^2 \pm g n$, ce qui donne $n$ en fonction de $n_0$ et $g$, dans l'hypothèse où $g \ll n_0 : n \approx n_0 \pm g/2$

$$ \text{Valeur propre } v_1 = n_0^2 - 1 + g n = n^2 - 1 $$

$$ \text{Donne } n \approx n_0 + g/2 $$

L'équation aux vecteurs propres est $\begin{bmatrix} -g n & i g n \\ -i g n & -g n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \end{bmatrix} = 0$, d'où l'on tire :
$E_y = i E_x$, le champ électrique est de la forme $\mathbf{E}$ ($E_0$, $i E_0$), au facteur près en $e^{i(\omega t - k \cdot r)}$, c'est une polarisation circulaire droite en raison du déphasage $i = e^{i\pi/2}$ sur la composante selon $Oy$.

$$ \text{Valeur propre } v_2 = n_o^2 - 1 - g n = n^2 - 1 $$

$$ \text{Donne } n \approx n_o - g/2 $$

$$ \text{L'équation aux vecteurs propres est } \begin{bmatrix} g & n & i & g & n \\ -i & g & n & g & n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \end{bmatrix} = 0, \text{ d'où l'on tire :} $$

$E_y = -i E_x$, le champ électrique est du type $\mathbf{E}$ ($E_0$, $-i E_0$), au facteur près en $e^{i(\omega t - k \cdot r)}$, c'est une polarisation circulaire gauche en raison du déphasage $-i = e^{-i\pi/2}$ sur la composante selon $Oy$.

On a donc 2 polarisations circulaires se propageant à des vitesses de phase différentes $C/(n_o + g/2)$ et $C/(n_o - g/2)$ et, d'où la notion de **biréfringence circulaire naturelle** ($\Delta n = g$).

Les deux vecteurs propres complexes et tournants $\mathbf{E}_1 (1, i)/\sqrt{2} e^{i(\omega t - k \cdot r)}$ et $\mathbf{E}_2 (1, -i) /\sqrt{2} e^{i(\omega t - k \cdot r)}$ sont normés et orthogonaux au sens hermitien ($\mathbf{E}_1 * \mathbf{E}_1 = \mathbf{E}_2 * \mathbf{E}_2 = 1$ et $\mathbf{E}_1 * \mathbf{E}_2 = \mathbf{E}_2 * \mathbf{E}_1 = 0$).

Si maintenant la polarisation incidente est linéaire du type $\mathbf{E}$ ($E_0$, $0$), par exemple grâce à la présence du polariseur de la figure, on peut la décomposer en une somme de 2 polarisations circulaires gauche et droite, au facteur près en $e^{i(\omega t - k \cdot r)}$ :

$$ \mathbf{E} = \frac{1}{2} (E_0, -i E_0) + \frac{1}{2} (E_0, i E_0) $$

En sortie, la polarisation circulaire gauche est déphasée de $e^{-i\delta_1}$ où $\delta_1 = (2\pi/\lambda)$ (no + g/2) d, et la droite est déphasée de $e^{-i\delta_2}$ où $\delta_2 = (2\pi/\lambda)$ (no - g/2) d

Il vient $\mathbf{E}_{\text{out}} = \frac{1}{2} (E_0, -i E_0) e^{-i\delta_1} + \frac{1}{2} (E_0, i E_0) e^{-i\delta_2}$
$= \frac{1}{2} E_0 (e^{-i\delta_1} + e^{-i\delta_2}, -i e^{-i\delta_1} + i e^{-i\delta_2})$, puis après mise en facteur :

$$ \mathbf{E}_{\text{out}} = E_0 e^{-i(\delta_1 + \delta_2)/2} \begin{bmatrix} \cos(\delta_2 - \delta_1)/2 \\ \sin(\delta_2 - \delta_1)/2 \end{bmatrix} $$

Il s'agit encore d'une polarisation linéaire, mais tournée d'un angle :

$$ \varphi = (\delta_2 - \delta_1)/2 = - (\pi/\lambda) g d $$

dans le plan xOy de la figure, angle compté positivement dans le sens trigonométrique. C'est le pouvoir rotatoire. Avec la convention adoptée au départ ($\mathbf{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \mathbf{E} - i \varepsilon_0 g \mathbf{n} \Lambda \mathbf{E}$), on a :

- Si $g < 0$, alors $\varphi > 0$, la rotation a lieu vers la gauche (dans le plan xOy vu de Oz), le matériau est **lévogyre** (exemple : saccharose)

- Si $g > 0$, alors $\varphi < 0$, la rotation a lieu vers la droite, le matériau est **dextrogyre** (exemple : glucose)

Toutes les molécules chirales (de structure non superposable par effet miroir) présentent un pouvoir rotatoire. On a une rotation de $\pi$ si $d = \lambda / g$.

Pour le quartz, la biréfringence circulaire est de l'ordre de $\Delta n = g = 10^{-4}$ soit 100 fois plus faible que sa biréfringence linéaire (différence entre indice ordinaire et extraordinaire de 0.01) ; un cristal d'environ 5 mm d'épaisseur fera tourner la polarisation de 180° dans le visible.
VIII – 2 - Biréfringence circulaire induite par un champ magnétique externe (effet Faraday)

Lorsque certains matériaux sont soumis à un champ magnétique, ils présentent de la biréfringence circulaire induite. Pour traiter cet effet, on utilisera l'approximation de l'oscillateur harmonique soumis à un champ magnétique **B** d'axe Oz parallèle à la direction de propagation des ondes.

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

L'électron de masse m et charge -e obéit à l'équilibre des forces :

$$m \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = -e (E + d\mathbf{r}/dt \wedge \mathbf{B}) \quad (\text{force de Lorentz})$$

où **E** est le champ électrique (Eₓ, Eᵧ, 0) de l'onde électromagnétique et **B** (0, 0, B) le champ magnétique extérieur. Soir **r** (x, y, 0) la position de l'électron. Le champ électrique **E** de l'onde (une OPPH) variant en eᵢ(ωt·**k**·**r**), on cherche un déplacement **r** en eᵢ(ωt·**k**·**r**). La dérivée par rapport à t est un produit par i ω, la dérivée seconde par – ω². Il vient alors :

$$-m \omega^2 \mathbf{r} = -e E - i \omega e \mathbf{r} \wedge \mathbf{B}$$

Introduisons $\omega_g = eB/m$, la **pulsation gyromagnétique** dans le champ magnétique de module B.

$$- \omega^2 \mathbf{r} = -e/m \mathbf{E} - i \omega \omega_g \mathbf{r} \wedge \mathbf{e}_z$$

Le produit vectoriel s'écrit matriciellement, et en introduisant la matrice identité $\mathbf{1}$, on obtient :

$$- \omega^2 \mathbf{1} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \end{bmatrix} + i \omega \omega_g \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \end{bmatrix} = -e/m \mathbf{E}$$

$$\begin{bmatrix} -\omega^2 & i \omega \omega_g \\ -i \omega \omega_g & -\omega^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \end{bmatrix} = -e/m \mathbf{E}, \text{ ce qui fournit l'équation donnant } \mathbf{r} :$$

$$\begin{bmatrix} \omega & -i \omega_g \\ i \omega_g & \omega \end{bmatrix} \mathbf{r} = (e/m\omega) \mathbf{E}$$

Après inversion de la matrice, dont le déterminant $\omega^2 - \omega_g^2$ est supposé non nul, on trouve :

$$\mathbf{r} = \begin{bmatrix} \omega & i \omega_g \\ -i \omega_g & \omega \end{bmatrix} \frac{(e/m\omega)}{(\omega^2 - \omega_g^2)} \mathbf{E}$$

La polarisation **P** (moment dipolaire par unité de volume en C m⁻²) du milieu est donnée par :

$$\mathbf{P} = -N \mathbf{e} \mathbf{r}$$

où N est le nombre d'électrons par unité de volume.

Comme $\mathbf{P} = \varepsilon_0 \chi \mathbf{E}$, on en déduit la susceptibilité diélectrique du milieu $\chi$ :
$$ \chi = - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 - \omega_g^2} \begin{pmatrix} 1 & i \frac{\omega_g}{\omega} \\ -i \frac{\omega_g}{\omega} & 1 \end{pmatrix} $$

Où $\omega_p = (Ne^2/\epsilon_0m)^{1/2}$ désigne la pulsation plasma électronique. Cette matrice est hermitienne. Elle possède donc deux valeurs propres réelles, et deux vecteurs propres complexes et orthogonaux. Les deux valeurs propres sont :

$$ v = - (1 \pm \frac{\omega_g}{\omega}) \frac{\omega_p^2}{\omega^2 - \omega_g^2} = n^2 - 1 $$

définissant deux indices de réfraction donnés par $n^2 = 1 - (1 \pm \frac{\omega_g}{\omega}) \frac{\omega_p^2}{\omega^2 - \omega_g^2}$

$$ \text{Valeur propre } v_1 = - (1 - \frac{\omega_g}{\omega}) \frac{\omega_p^2}{\omega^2 - \omega_g^2} = n_1^2 - 1 $$

A cette valeur propre est associé le vecteur propre $(1, i)/\sqrt{2}$, au facteur près en $e^{i(\omega t - k \cdot r)}$, qui définit une polarisation circulaire droite en raison du déphasage $i = e^{-i\pi/2}$ sur la composante selon Oy.

$$ \text{Valeur propre } v_2 = - (1 + \frac{\omega_g}{\omega}) \frac{\omega_p^2}{\omega^2 - \omega_g^2} = n_2^2 - 1 $$

A cette valeur propre est associé le vecteur propre $(1, -i)/\sqrt{2}$, au facteur près en $e^{i(\omega t - k \cdot r)}$, qui définit une polarisation circulaire gauche en raison du déphasage $-i = e^{-i\pi/2}$ sur la composante Oy.

Les deux vecteurs propres complexes et tournants $E_1 (1, i)/\sqrt{2} e^{i(\omega t - k \cdot r)}$ et $E_2 (1, -i)/\sqrt{2} e^{i(\omega t - k \cdot r)}$ sont normés et orthogonaux au sens hermitien ($E_1 * E_1 = E_2 * E_2 = 1$ et $E_1 * E_2 = E_2 * E_1 = 0$).

Il y a donc deux indices de réfraction différents selon que l'onde est polarisée circulairement à gauche ou à droite : c'est la **biréfringence circulaire induite** par le champ magnétique.

$n_1^2 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega(\omega + \omega_g)}$ pour la polarisation circulaire droite

$n_2^2 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega(\omega - \omega_g)}$ pour la gauche

$$ n_1^2 - n_2^2 = 2 \frac{\omega_p^2 \omega_g}{\omega (\omega^2 - \omega_g^2)} $$

Or $n_1^2 - n_2^2 = (n_1 + n_2)(n_1 - n_2) \approx 2 (n_1 - n_2)$ car les deux indices sont voisins de l'unité

Donc $n_1 - n_2 \approx \frac{\omega_p^2 \omega_g}{\omega(\omega^2 - \omega_g^2)} \approx \frac{\omega_p^2 \omega_g}{\omega^3}$ car en général $\omega_g \ll \omega$

Si maintenant la polarisation incidente est linéaire du type $E$ ($E_0, 0$), grâce à la présence du polariseur de la figure, on peut la décomposer en une somme de 2 polarisations circulaires gauche et droite, au facteur près en $e^{i(\omega t - k \cdot r)}$ :

$$ E = \frac{1}{2} (E_0, -i E_0) + \frac{1}{2} (E_0, i E_0) $$

La polarisation circulaire gauche se propage à la vitesse de phase $C/n_1$, et la droite à la vitesse $C/n_2$.

En sortie, la polarisation circulaire gauche est déphasée de $e^{-i\delta1}$ où $\delta1 = (2\pi/\lambda)n_1$ d, et la droite est déphasée de $e^{-i\delta2}$ où $\delta2 = (2\pi/\lambda)n_2$ d

Il vient $E_{\text{out}} = \frac{1}{2} (E_0, -i E_0) e^{-i\delta1} + \frac{1}{2} (E_0, i E_0) e^{-i\delta2} = \frac{1}{2} E_0 (e^{-i\delta1} + e^{-i\delta2}, -i e^{-i\delta1} + i e^{-i\delta2})$, puis après mise en facteur :

$$ E_{\text{out}} = E_0 e^{-i(\delta1 + \delta2)/2} \begin{pmatrix} \cos(\delta2 - \delta1)/2 \\ \sin(\delta2 - \delta1)/2 \end{pmatrix} $$
Il s'agit encore d'une polarisation linéaire, mais tournée d'un angle $\varphi = (\delta2 - \delta1)/2 = (\pi/\lambda)$ ($n_1 - n_2$) dans le plan xOy de la figure, angle compté positivement dans le sens trigonométrique.

Exprimons la différence entre les deux indices de réfraction :

$$n_1 - n_2 = (N e^2 / \varepsilon_0 m) (e B / m) / \omega^3$$

$$\text{Comme } \omega = 2 \pi C / \lambda, \varphi = (\pi/\lambda) (N e^2 / \varepsilon_0 m) (e B / m) (\lambda / 2 \pi C)^3 d$$

$$\text{Et finalement } \varphi = (B d) N \lambda^2 e^3 / (8 \pi^2 C^3 \varepsilon_0 m^2)$$

$$\text{que l'on écrit sous la forme } \varphi = V B d$$

où V est la constante de Verdet : $V = N \lambda^2 e^3 / (8 \pi^2 C^3 \varepsilon_0 m^2)$, qui dépend de la densité électronique du plasma N et de la longueur d'onde d'observation $\lambda$.

Cette relation peut être utilisée pour mesurer le champ magnétique interstellaire B si la distance d et la densité électronique N du plasma sont connus. Cependant, comme on ne connaît pas l'azimuth $\varphi_{\text{source}}$ de la source de polarisation linéaire incidente, on procède en deux étapes :

Pour la longueur d'onde $\lambda_1$, on mesure $\varphi_1 - \varphi_{\text{source}} = B \lambda_1^2 (N d e^3) / (8 \pi^2 C^3 \varepsilon_0 m^2)$, et pour $\lambda_2$, on mesure $\varphi_2 - \varphi_{\text{source}} = B \lambda_2^2 (N d e^3) / (8 \pi^2 C^3 \varepsilon_0 m^2)$

Puis on élimine $\varphi_{\text{source}}$ par soustraction :

$$\varphi_1 - \varphi_2 = B (\lambda_1^2 - \lambda_2^2) (N d e^3) / (8 \pi^2 C^3 \varepsilon_0 m^2)$$

$\varphi_1 - \varphi_2$ étant la rotation de la polarisation entre les deux longueurs d'onde observées, ce qui fournit une estimation du champ magnétique B.

La figure ci-dessous montre un sondage de la rotation Faraday sur la voûte céleste.

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>Figure 3. Plot of 37,543 RM values over the sky north of $\delta = -40^\circ$. Red circles are positive rotation measure and blue circles are negative. The size of the circle scales linearly with magnitude of rotation measure.</figcaption></figure>

Sondage de la rotation Faraday (proportionnelle au champ magnétique) dans le milieu interstellaire en coordonnées galactiques (rouge >0, bleu <0). Champ longitudinal dans la direction d'observation.
# IX - Processus de diffusion de la lumière et polarisation associée ;
polarisation du ciel bleu; polarisation par diffusion résonante dans les raies

## IX - 1 - Polarisation du rayonnement continu

Il s'agit de la diffusion Rayleigh par les électrons liés aux atomes ou molécules de l'atmosphère. Pour décrire un électron lié de manière simplifiée, prenons un modèle d'oscillateur harmonique le long de l'axe Ox dans lequel l'électron (masse m, charge -e, position x) est lié à l'atome par la force – m $\omega_0^2$ x avec un amortissement – m $\gamma$ dx/dt et soumis à une force -e E $e^{i\omega t}$ qui représente l'onde lumineuse de pulsation $\omega$ :

$$m \frac{d^2x}{dt^2} = -m \omega_0^2 x - m \gamma \frac{dx}{dt} - e E_0 e^{i\omega t}$$

Son mouvement est obtenu en posant $x = X e^{i\omega t}$ d'où $X = (-e/m) E_0 / (\omega_0^2 - \omega^2 + i \gamma \omega)$

$$\text{et } |X|^2 = (e/m)^2 E_0^2 / [(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2]$$

Le coefficient d'amortissement $\gamma$ (unité s⁻¹) s'obtient en égalisant la puissance moyenne dissipée par la force de frottement :

$$\langle P_f \rangle = m \gamma \langle (dx/dt)^2 \rangle = \frac{1}{2} m \gamma (dx/dt) (dx/dt) * = \frac{1}{2} m \gamma |X|^2 \omega^2$$

à la puissance moyenne rayonnée par l'électron (théorie du rayonnement dipolaire électrique) :

$\langle P_{\text{ray}} \rangle = (1 / 6\pi\varepsilon_0 C^3) \langle (d^2p/dt^2)^2 \rangle$ où $p(t) = -e x(t)$ est le moment dipolaire de l'électron.

$$= (1 / 6\pi\varepsilon_0 C^3) e^2 \langle (d^2x/dt^2)^2 \rangle = \frac{1}{2} (e^2 / 6\pi\varepsilon_0 C^3) (d^2x/dt^2)(d^2x/dt^2)*$$

$$= e^2 / (12\pi\varepsilon_0 C^3) |X|^2 \omega^4$$

L'égalité $\langle P_f \rangle = \langle P_{\text{ray}} \rangle$ fournit $\gamma = e^2\omega^2/(6\pi\varepsilon_0 m C^3)$ en s⁻¹; l'amortissement dépend de la fréquence.

La section efficace $\sigma$ (en m²) d'interaction est définie comme le rapport de la puissance moyenne dissipée $\langle P_f \rangle$ (en W) à la moyenne du vecteur de Poynting $\langle P \rangle$ ou puissance de l'onde transportée par unité de surface (en W m⁻²). Celle-ci vaut $\langle P \rangle = C <\varepsilon_0 E^2/2 + B^2/2 \mu_0 \rangle$ avec $B = E/C$,

$$\text{ce qui donne avec } \langle E^2 \rangle = E_0^2/2 \text{ et } \langle B^2 \rangle = E_0^2/2 \text{ C}^2\text{: } \langle P \rangle = \frac{1}{2} C \varepsilon_0 E_0^2$$

La section efficace est donc définie par:

$$\sigma(\omega) = \langle P_f \rangle / \langle P \rangle = \frac{1}{2} m \gamma |X|^2 \omega^2 / [C \varepsilon_0 E_0^2/2] = [\frac{e^4}{6\pi\varepsilon_0^2 m^2 C^4}] \omega^4 / [(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2], \text{ et en fonction de la fréquence } v = \omega/2\pi$$

$$\sigma(v) = \langle P_f \rangle / \langle P \rangle = [\frac{e^4}{6\pi\varepsilon_0^2 m^2 C^4}] v^4 / [(v_0^2 - v^2)^2 + (\gamma/2\pi)^2 v^2]$$

Le terme $(\gamma/2\pi)^2 v^2$ est négligeable devant le terme en $(v_0^2 - v^2)^2$, car $\gamma/2\pi$, de l'ordre de $10^8$ s⁻¹, est négligeable devant $v_0$, de l'ordre de $3.75 \ 10^{15}$ s⁻¹ (domaine Ultra Violet), et v, de l'ordre de $6 \ 10^{14}$ s⁻¹ (domaine visible) sauf à la résonance pour laquelle on a exactement $v_0 = v$. Si l'on se situe loin de la résonance, on peut donc écrire:

$$\sigma(v) = \langle P_f \rangle / \langle P_t \rangle = [\frac{e^4}{6\pi\varepsilon_0^2 m^2 C^4}] v^4 / (v_0^2 - v^2)^2$$

## Diffusion Thomson

Il s'agit d'électrons libres pour lesquels $v_0$ est nul. Dans ce cas, $\sigma = \sigma_{\text{th}} = e^4/(6\pi\varepsilon_0^2 m^2 C^4) = 10^{-29} \text{ m}^2$
Diffusion Rayleigh

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

Lumière diffisée vers l'observateur

Dans ce cas, on obtient
$$ \sigma(v) = \sigma_{\text{th}} v^4 / [(v_0^2 - v^2)^2] $$

Comme nous avons v (visible) << v₀ (UV), ou λ >> λ₀, alors

$$ \sigma(v) \approx \sigma_{\text{th}} v^4 / v_0^4 = \sigma_{\text{th}} \lambda_0^4 / \lambda^4 $$

Cette relation explique le bleu du ciel dans l'atmosphère terrestre puisque la diffusion du bleu est environ 10 fois plus efficace que celle du rouge (facteur $\lambda_0^4 / \lambda^4$).

Distribution angulaire de la polarisation

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

La lumière du soleil est non polarisée dans le plan (xOy) orthogonal à la direction de propagation Oz.

Si $\alpha = \pi/2$, la lumière diffusée est polarisée selon Oy'//Oy.

La figure de droite représente la direction de polarisation de la lumière diffusée par la source située en M. Elle est orthoradiale lorsque $\alpha = \pi/2$.

La répartition angulaire de la polarisation est donnée par la loi : $P(\alpha) = \sin^2\alpha / (1 + \cos^2\alpha)$, ou taux de polarisation linéaire qui vaut 1 lorsque $\alpha = \pi/2$ (à 90° de la direction du soleil) et zéro lorsque $\alpha = 0$ ou $\pi$ (dans ou à l'opposé de la direction du soleil)

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Ciel en lumière naturelle (à gauche) et au travers d'un polariseur vertical (à droite), l'éclairage venant de la gauche</figcaption></figure>
<figure><img src="image_76.png" /></figure>

L'observateur en P observe
dans la direction **e**<sub>r</sub> le
rayonnement de deux
dipôles en M, l'un porté par **e**<sub>x</sub> et l'autre porté par **e**<sub>y</sub>

Pour démontrer cette formule, nous supposons que l'observateur observe en P dans la direction **e**<sub>r</sub> le rayonnement de deux dipôles situés en M, l'un porté par **e**<sub>x</sub> et l'autre porté par **e**<sub>y</sub>. En effet, l'onde incidente transversale de composantes E<sub>x</sub> et E<sub>y</sub> induit sur les deux axes l'apparition de deux dipôles de moment dipolaire p<sub>x</sub> = -e x(t) et p<sub>y</sub> = -e y(t) qui vibrent sans corrélation. x(t) et y(t) découlent des équations du mouvement simplifiées sur les deux axes:

$m \frac{d^2 x}{dt^2} = -e E_x$

$m \frac{d^2 y}{dt^2} = -e E_y$

La lumière incidente n'étant pas polarisée, on a les relations concernant ses paramètres de Stokes :
$$ \langle E_x^2 \rangle = \langle E_y^2 \rangle = I/2 $$

$\langle E_x E_y \rangle = 0$

donc $Q = U = V = 0$ ($E_x$ et $E_y$ sont décorrélés).

La théorie des potentiels retardés nous donne pour le champ électrique **E**<sub>1</sub> rayonné dans le plan (yOz) en P à la distance r = MP du dipôle p<sub>x</sub> porté par **e**<sub>x</sub> et situé en M :

$$ \mathbf{E}_1 = - \left[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} r \mathbf{C}^2 \right] \frac{d^2\mathbf{p}_x}{dt^2} \mathbf{e}_x $$

Comme $p_x = -e \dot{x}(t)$, on a $\frac{d^2p_x}{dt^2} = -e \frac{d^2x}{dt^2} = e^2/m E_x$

$$ \mathbf{E}_1 = - \left[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} r \mathbf{C}^2 \right] \frac{e^2}{m} \mathbf{E}_x \mathbf{e}_x $$

En ce qui concerne le champ électrique **E**<sub>2</sub> rayonné dans le plan (yOz) en P à la distance r = MP du dipôle p<sub>y</sub> porté par **e**<sub>y</sub> et situé en M :

$$ \mathbf{E}_2 = \left[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} r \mathbf{C}^2 \right] \frac{d^2\mathbf{p}_y}{dt^2} \sin\theta \mathbf{e}_0 $$

Comme $p_y = -e \dot{y}(t)$, on a $\frac{d^2p_y}{dt^2} = -e \frac{d^2y}{dt^2} = e^2/m E_y$

$$ \mathbf{E}_2 = - \left[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} r \mathbf{C}^2 \right] \frac{e^2}{m} \mathbf{E}_y \sin\theta \mathbf{e}_0 = - \left[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} r \mathbf{C}^2 \right] \frac{e^2}{m} \mathbf{E}_y \cos\alpha \mathbf{e}_0 $$

**E**<sub>1</sub> et **E**<sub>2</sub> sont décorrélés car proportionnels à E<sub>x</sub> et E<sub>y</sub> qui sont décorrélés. Le champ électrique total rayonné est transversal et s'écrit par superposition dans le repère orthonormé (e<sub>x</sub>, e<sub>y</sub>) :

$$ \mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2 = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} r \mathbf{C}^2\right) \frac{e^2}{m} \left[ - E_x, E_y \cos\alpha \right] = k \left[ - E_x, E_y \cos\alpha \right] \text{ où } k \text{ est le facteur multiplicatif égal à } \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} r \mathbf{C}^2\right) \frac{e^2}{m}. \text{ Sachant que pour la lumière incidente, } \langle E_x^2 \rangle = \langle E_y^2 \rangle = \frac{I}{2} \text{ et } \langle E_x E_y \rangle = 0, \text{ les paramètres de Stokes du champ rayonné total sont donnés par :} $$

$$ I_r = \langle E_1^2 \rangle + \langle E_2^2 \rangle = k^2 (\langle E_x^2 \rangle + \langle E_y^2 \rangle \cos^2\alpha) = k^2 (1 + \cos^2\alpha) \frac{I}{2} $$

$$ Q_r = \langle E_1^2 \rangle - \langle E_2^2 \rangle = k^2 (\langle E_x^2 \rangle - \langle E_y^2 \rangle \cos^2\alpha) = k^2 (1 - \cos^2\alpha) \frac{I}{2} = k^2 \sin^2\alpha \frac{I}{2} $$

$$ U_r = 2 \langle E_1 E_2 \rangle = -k^2 (\langle E_x E_y \rangle \cos\alpha) = 0 $$

$$ V_r = 0 $$

d'où le taux de polarisation linéaire $\frac{Q_r}{I_r} = \frac{\sin^2\alpha}{1 + \cos^2\alpha} = P(\alpha)$
Ce facteur P(α) est multiplicatif des sections efficaces σ(v) déterminées ci dessus. Dans la réalité, la lumière n'est jamais totalement polarisée lorsqu'on observe à 90° de la direction du soleil, et on mesurera un taux de polarisation bien inférieur à l'unité. En effet, il existe d'autres processus de diffusion, notamment par des particules présentes dans l'atmosphère : poussières, cristaux de glace (cirrus) et fines gouttelettes d'eau (nuages, brumes, brouillard). Elles sont très grandes devant la dimension atomique et la longueur d'onde de la lumière, dont le rayonnement ne peut plus être décrit par le modèle simple de l'électron lié ci dessus.

## IX - 2 - Un polarimètre simple pour mesurer les paramètres de Stokes I, Q, U, V

Considérons un polarimètre constitué d'un retardateur introduisant un déphasage δ et dont les axes font un angle α avec les axes Ox et Oy (azimuth α), suivi d'un polariseur P orienté selon l'axe Ox.

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

Le vecteur de Stokes à la sortie du polariseur de sortie est relié au vecteur de Stokes de la lumière incidente par la relation multiplicative de matrices de Müller :

$$S_{\text{out}} = P_{\text{ox}} R_{-\alpha} T_{\delta} R_{\alpha} S_{\text{in}}$$

Après avoir effectué le produit matriciel, on trouve que la première composante du vecteur $S_{\text{out}}$ est :

$$I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} + Q_{\text{in}} ( \cos^2(2\alpha) + \sin^2(2\alpha) \cos(\delta) ) + U_{\text{in}} \sin(4\alpha) \sin^2(\delta/2) - V_{\text{in}} \sin(\delta) \sin(2\alpha) ]$$

C'est la valeur de $I_{\text{out}}$ que le polarimètre permet de mesurer. Les coefficients **q**, **u**, **v** multiplicatifs de $Q_{\text{in}}$, $U_{\text{in}}$, $V_{\text{in}}$ dans cette formule sont tels que $\mathbf{q}^2 + \mathbf{u}^2 + \mathbf{v}^2 = \mathbf{1}$.

**Si δ = 0** (le retardateur est sans effet)

alors on obtient : $I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} + Q_{\text{in}} ]$

**Si δ = π/2** (lame quart d'onde)

On obtient : $I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} + Q_{\text{in}} \cos^2(2\alpha) + U_{\text{in}} \sin(2\alpha) \cos(2\alpha) - V_{\text{in}} \sin(2\alpha) ]$

On peut mesurer $I_{\text{in}}$ et $V_{\text{in}}$ par somme et différence à partir des deux valeurs de α suivantes :

$$\alpha = \pi/4 : \quad I_1 = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} - V_{\text{in}} ]$$

$$\alpha = 3\pi/4 : \quad I_2 = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} + V_{\text{in}} ] \rightarrow I_{\text{in}} = I_2 + I_1 \text{ et } V_{\text{in}} = I_2 - I_1$$

**Si δ = π** (lame demi onde)

On trouve : $I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} + Q_{\text{in}} \cos(4\alpha) + U_{\text{in}} \sin(4\alpha) ]$

On peut mesurer $I_{\text{in}}$, $Q_{\text{in}}$ et $U_{\text{in}}$ par somme et différence à partir des quatre valeurs de α suivantes :
$$ \alpha = 0 : \quad I_3 = \frac{1}{2} [ I_{in} + Q_{in} ] $$

$$ \alpha = \pi/4 : \quad I_4 = \frac{1}{2} [ I_{in} - Q_{in} ] \rightarrow I_{in} = I_3 + I_4 \text{ et } Q_{in} = I_3 - I_4 $$

$$ \alpha = \pi/8 : \quad I_5 = \frac{1}{2} [ I_{in} + U_{in} ] $$

$$ \alpha = 3\pi/8 : \quad I_6 = \frac{1}{2} [ I_{in} - U_{in} ] \rightarrow I_{in} = I_5 + I_6 \text{ et } U_{in} = I_5 - I_6 $$

Une expérience pour mesurer la polarisation linéaire du ciel bleu

Effectuer le montage suivant :

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

Effectuer 4 clichés avec les mêmes réglages (même diaphragme, même temps de pose) pour $\alpha = 0, \pi/4, \pi/8, 3\pi/8$. On obtient signaux $S_1, S_2, S_3, S_4$.

En déduire en combinant ces quatre signaux $S_1, S_2, S_3, S_4$ les quantités I, Q, U, puis les rapports Q/I et U/I et enfin le taux de polarisation linéaire $[(Q/I)^2 + (U/I)^2]^{1/2}$.

Tenter de trouver la direction de la polarisation par la relation $\tan(2\beta) = U/Q$. La direction de la polarisation trouvée devrait être orthoradiale par rapport au soleil.

IX - 3 - Dépolarisation induite (par un champ magnétique) du rayonnement de diffusion résonante dans certaines raies solaires (effet Hanle)

Lorsqu'on observe au bord du soleil, sur le disque légèrement en deça du limbe, la lumière recueillie est partiellement polarisée parce que le rayonnement issu de la photosphère est diffusé à environ 90° vers l'observateur par les atomes, et cette diffusion est plus importante dans le bleu. Ceci affecte non seulement le rayonnement continu, mais encore certaines raies dites de "diffusion résonante" (le photon absorbé est immédiatement réémis à 90° du rayonnement incident). Un bel exemple est celui de la raie du Strontium à 460.7 nm.

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

L'effet d'un champ magnétique sur la polarisation des raies de diffusion se caractérise par une dépolarisation des raies et une rotation du plan de polarisation : c'est l'effet Hanle. Celui-ci n'intervient que pour les champs magnétiques faibles, lorsque la fréquence de Larmor $v_L = eB / (4\pi m)$ est comparable à l'inverse de la durée de vie $\gamma$ des niveaux (m et e sont respectivement la masse
et la charge de l'électron). Le résultat (dont la démonstration est délicate et sort du cadre de ce document) dépend de la constante sans dimension :

$$H = 2\pi v_L / \gamma = e B / (2 \gamma m)$$

Les effets dépolarisants (nuls lorsque $H = 0$) ne sont mesurables que lorsque l'ordre de grandeur de $H$ est l'unité. Pour la valeur typique $\gamma = 5 \times 10^7 \text{ s}^{-1}$, la constante $H$ vaut 1 pour $B = 6$ Gauss $= 6 \times 10^{-4} \text{ T}$, on en déduit que l'effet Hanle est opérant seulement pour les champ faibles du soleil. On démontre les résultats suivants résumés par la figure ci-dessous où $p$ est le facteur dépolarisant ($0 < p < 1$) :

B // i

Dans ce cas : effet Hanle maximal

$I = I'$

$Q = -I'/((1+4H^2))$

$U = -I' \frac{2H}{(1+4H^2)}$

$p = (Q^2+U^2)^{1/2}/I = (1+4H^2)^{-1/2}$

$\alpha = \frac{1}{2} \arctan(2H)$

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

lumière
diffusée
I, Q, U, V

B // k

Dans ce cas : pas d'effet Hanle

$I = I', Q = -I', U = 0, p = (Q^2+U^2)^{1/2}/I = 1$

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

B // j

Dans ce cas :

$I = (I'/2) (3 - 1/(1+4H^2))$

$Q = (-I'/2) (1 + 1/(1+4H^2))$

$U = 0$

$p = (Q^2+U^2)^{1/2}/I = (1+2H^2)/(1+6H^2) > 1/3$

$\alpha = 0$

lumière incidente I'
non polarisée

En l'absence de champ magnétique ($H = 0$), la lumière est polarisée le long de **j**, c'est à dire parallèllement au bord solaire. En présence de champ magnétique, il y a de rotation du plan de polarisation d'un angle $\alpha$ tel que $\alpha = \frac{1}{2} \arctan(U/Q)$. Lorsque $H = 0$, on trouve $I = I'$, $Q = -I'$ (donc $|Q/I| = 1$), $U = 0$, et $\alpha = 0$. Il n'y a ni dépolarisation, ni rotation du plan de polarisation. Lorsque $H > 0$, il y a dépolarisation, $|Q/I| < 1$, et rotation du plan de polarisation. Si $H$ est fort, la dépolarisation est maximale lorsque le champ magnétique est orienté dans la direction de diffusion **i**.

L'effet Hanle est important pour le diagnostic des champs magnétiques faibles, par exemple dans les protubérances solaires au limbe sur le fond de ciel, où il permet de mesurer l'intensité du champ magnétique et son orientation.

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>Polarisation de résonance sur le disque à 10'' du bord solaire de la raie SrI 4607Å
La polarisation mesurée dépend du champ magnétique local (effet Hanle)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_83.png" /></figure>
# X - Effet Zeeman en théorie classique

L'effet Zeeman affecte les niveaux d'énergie et le rayonnement de l'atome lorsque celui-ci est plongé dans un champ magnétique. Dans ce chapitre, on prendra un modèle d'atome simplifié et assimilé à un oscillateur harmonique (électron) dont on étudiera les fréquences de giration dans le champ magnétique ainsi que le rayonnement dipolaire à grande distance. On utilisera ainsi les outils de l'électromagnétisme et de la mécanique classique, bien qu'une description complète et rigoureuse nécessite l'usage de la mécanique quantique. Nous verrons néanmoins que les principaux résultats peuvent être approchés par la théorie classique et que les caractéristiques du rayonnement (polarisation) peuvent être décrits par la théorie du rayonnement dipolaire électrique basée sur les potentiels retardés créés par l'électron à grande distance.

## X-1 - Mouvement de l'électron dans un champ magnétique

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

On choisit un champ magnétique uniforme et on oriente l'axe Oz tel que $\mathbf{B} = \mathbf{B} \mathbf{e}_z$

Le noyau de l'atome est en O et l'électron est situé à l'extrémité du vecteur $\mathbf{r}(x,y,z)$. Sa masse est m et sa charge -e. Il est soumis à une force de rappel - k $\mathbf{r}$ (oscillateur harmonique). On pose :

* $\omega_0^2 = k/m$ pulsation propre

et

* $\omega_g^2 = eB/m$ pulsation gyromagnétique

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron s'écrit vectoriellement en négligeant la force électrique devant la force magnétique, ainsi que tout frottement :

$$m \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = -k \mathbf{r} - e \frac{d\mathbf{r}}{dt} \wedge \mathbf{B} \mathbf{e}_z$$

En projection sur les axes, cette équation devient :

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^2 x + \omega_g \frac{dy}{dt} = 0 \quad (1)$$

$$\frac{d^2 y}{dt^2} + \omega_0^2 y - \omega_g \frac{dx}{dt} = 0 \quad (2)$$

$$\frac{d^2 z}{dt^2} + \omega_0^2 z = 0 \quad (3)$$

La 3ème équation donne par exemple $z(t)= z_0 \cos(\omega_0 t)$, qui représente une vibration linéairement polarisée selon l'axe Oz de pulsation $\omega_0$ dans la direction du champ magnétique.

Pour résoudre les deux premières équations, on pose $u = x + i y$ et on effectue (1) + i (2). Il vient :

$$\frac{d^2 u}{dt^2} + \omega_0^2 u - i \omega_g \frac{du}{dt} = 0$$

Posons $u(t) = u_0 e^{i\omega t}$, on obtient $u_0 e^{i\omega t} (-\omega^2 + \omega_0^2 + \omega \omega_g) = 0$
Nous recherchons les solutions de l'équation -ω² + ωω₀ + ω₀² = 0 telles que ω₀ << ω₀. On obtient alors les deux solutions :

ω = ω₀/2 + ω₀ > 0 et ω = ω₀/2 - ω₀ < 0 ce qui donne les deux solutions possibles pour u(t) :

$$
\begin{align*}
u_1 &= u_0 \left[ \cos(\omega_0 + \omega_g/2)t + i \sin(\omega_0 + \omega_g/2)t \right] \\
\text{et} \\
u_2 &= u_0 \left[ \cos((\omega_0 - \omega_g/2)t - i \sin((\omega_0 - \omega_g/2)t) \right]
\end{align*}
$$

$$
u_2 = u_0 \left[ \cos\left(\left(\omega_0 - \frac{\omega_g}{2}\right)t - i \sin\left(\left(\omega_0 - \frac{\omega_g}{2}\right)t\right)\right]
$$

ω_L = ω₀/2 s'appelle **pulsation de Larmor**.

En supposant que $u_0 = x_0$ (réel), on en déduit les deux vibrations suivantes selon la valeur de ω:

$$
\begin{cases}
x = x_0 \cos(\omega_0 + \omega_g/2)t \\
y = x_0 \sin((\omega_0 + \omega_g/2)t
\end{cases}
\quad \text{ou} \quad
\begin{cases}
x = x_0 \cos(\omega_0 - \omega_g/2)t \\
y = -x_0 \sin((\omega_0 - \omega_g/2)t
\end{cases}
$$

Ces vibrations décrivent un cercle, puisque (x² + y²) = cte, elles sont **polarisées circulairement** droite et gauche selon le sens de rotation du vecteur **r**(x,y,0) dans le plan perpendiculaire au champ magnétique. L'écart entre les deux pulsations étant Δω = ω₀, on en déduit l'écart en longueur d'onde sachant que λ = 2π/ω :

$$
\Delta\lambda = \frac{\lambda^2 \Delta\omega}{2\pi C} = \frac{\lambda^2 \omega_g}{2\pi C} = \left(\frac{e}{2\pi mC}\right) \lambda^2 B
$$

On note par convention $\Delta\lambda_B = (e / 4\pi mC) \lambda^2 B$ de sorte que l'écartement est $\Delta\lambda = 2 \Delta\lambda_B$

et numériquement $\Delta\lambda_B = 4.67 \ 10^{-13} \ \lambda^2 B$ avec B en Gauss ($1 \text{ G} = 10^{-4} \text{ T}$), $\lambda$ et $\Delta\lambda_B$ en Angström.
La mécanique quantique transforme cette expression en introduisant simplement un facteur
multiplicatif, le **facteur de Landé équivalent g*** de la transition (ce facteur est tabulé) :

$$
\Delta\lambda_B = (e / 4\pi mC) \textcolor{red}{g^* \lambda^2 B} = 4.67 \ 10^{-13} \textcolor{red}{g^* \lambda^2 B} \quad \text{avec B en Gauss, } \lambda \text{ et } \Delta\lambda_B \text{ en Angströms.}
$$

L'écart en énergie est ΔE = h Δω/2π = (h e/2πm) B = **2 μ<sub>B</sub> B**
où μ<sub>B</sub> = h e / 4πm est appelé magnéton de Bohr ou moment magnétique de l'électron.

On note que l'écart Δλ<sub>B</sub> est proportionnel au champ magnétique, ce qui permet de déduire sa valeur de la mesure de l'écartement en longueur d'onde des deux composantes Zeeman qui apparaissent sur les spectres des raies, là où il y a un champ magnétique observable.

X - 2 - Rayonnement dipolaire électrique

On a vu ci dessus que l'électron (assimilé à un oscillateur harmonique) en présence de champ magnétique dirigé selon **e**_z_ se comporte comme un dipôle de moment dipolaire :

$$
\mathbf{p} = \mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_0 = p_1 \cos(\omega_0 t) \mathbf{e}_z + p_0 [\cos(\omega t) \mathbf{e}_x + \sin(\omega t) \mathbf{e}_y]
$$

$\mathbf{p}_1 = p_1 \cos(\omega_0 t) \mathbf{e}_z$ est polarisé **linéairement** (ou orienté) selon $\mathbf{e}_z$ (la norme de $p_1$ varie)

$\mathbf{p}_0 = p_0 [\cos(\omega t) \mathbf{e}_x + \sin(\omega t) \mathbf{e}_y]$ est polarisé **circulairement** dans un plan orthogonal à $\mathbf{e}_z$ (la norme de $p_0$ est constante) avec $\omega = \omega_g/2 + \omega_0$ (polarisation gauche, $\mathbf{p}_0$ tourne vers la gauche) ou $\omega = \omega_g/2 - \omega_0$ (polarisation droite, $\mathbf{p}_0$ tourne vers la droite). Il y a donc 3 pulsations distinctes.
Le rayonnement dipolaire électrique s'obtient à grande distance r du dipôle et à l'instant t par la théorie des poteintels retardés qui considère l'état du dipôle à l'instant (t - r/C) pour tenir compte du temps de propagation à la vitesse de la lumière C.

Le potentiel vecteur à grande distance r de l'électron est avec $\mathbf{p} = -e \mathbf{r}$ :

$$ \mathbf{A} = (\mu_0 / 4\pi r) (-e \mathbf{dr}/dt) = (\mu_0 / 4\pi r) \frac{d\mathbf{p}(t-r/C)}{dt} $$

Le potentiel scalaire V à grande distance r de l'électron est déduit de la jauge de Lorentz :

$$ \text{div } \mathbf{A} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} = 0 $$

ce qui donne au premier ordre en 1/r (on écrit $\text{div}(\mathbf{p}/r) \approx (1/r) \text{div } \mathbf{p}$) :

$$ V = -1 / (4\pi \varepsilon_0 r) \text{div } \mathbf{p}(t-r/C) $$

d'où l'on tire les champs électriques et magnétiques rayonnées à grande distance par les relations

$$ \mathbf{B} = \text{rot}(\mathbf{A}) $$

$$ \mathbf{E} = - \text{grad}(V) - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} $$

On utilisera les formules d'analyse vectorielle connues. En particulier, si f est une fonction de l'espace et du temps, et si $\mathbf{u}$ est un vecteur de direction fixe dans l'espace :

$$ \text{div}(\mathbf{fu}) = f \text{ div } \mathbf{u} + \text{grad}(f) \cdot \mathbf{u} = \text{grad}(f) \cdot \mathbf{u} \quad (\text{si } \mathbf{u} \text{ fixe}) $$

$$ \text{rot}(\mathbf{fu}) = f \text{ rot } \mathbf{u} + \text{grad}(f) \wedge \mathbf{u} = \text{grad}(f) \wedge \mathbf{u} \quad (\text{si } \mathbf{u} \text{ fixe}) $$

a) Rayonnement sur Oz du dipôle $\mathbf{p}_1 = \mathbf{p}_1 \cos(\omega_0 t) \mathbf{e}_z$ dans la direction $\mathbf{OM} = z \mathbf{e}_z$

Sur Oz, avec des fonctions en $f(z,t) = \cos[\omega(t-z/C)]$, on aura besoin de $\partial f / \partial t = - \omega \sin[\omega(t-z/C)]$, et dans le gradient, de $\partial f / \partial z = \omega / C \sin[\omega(t-z/C)]$

On trouve $\mathbf{E} = \mathbf{B} = \mathbf{0}$ donc $\mathbf{P} = \mathbf{E} \wedge \mathbf{B} / \mu_0 = \mathbf{0}$, vecteur de Poynting nul.

Le dipôle $\mathbf{p}_1 = \mathbf{p}_1 \cos(\omega_0 t) \mathbf{e}_z$ ne rayonne donc pas sur l'axe Oz.

b) Rayonnement sur Oz du dipôle $\mathbf{p}_0 = \mathbf{p}_0 [\cos(\omega t) \mathbf{e}_x + \sin(\omega t) \mathbf{e}_y]$ dans la direction $\mathbf{OM} = z \mathbf{e}_z$

On trouve tous calculs faits: $V = 0$, donc

$$ \begin{aligned} \mathbf{E} &= - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = - \left(\frac{\mu_0}{4\pi z}\right) \frac{\partial^2 \mathbf{p}(t-r/C)}{\partial t^2} \\ &= \left(\frac{\mu_0 \omega^2}{4\pi z}\right) \mathbf{p}_0 \left[\cos\left(\omega\left(t-r/C\right)\right) \mathbf{e}_x + \sin\left(\omega\left(t-r/C\right)\right) \mathbf{e}_y\right] = \left(\frac{\mu_0 \omega^2}{4\pi z}\right) \mathbf{p}_0(t-r/C) \end{aligned} $$
dont la norme est constante. C'est une **polarisation circulaire** dans le plan xOy. $\mathbf{E} // \mathbf{p}_0$.

$$ \text{et } \mathbf{B} = \text{rot}(\mathbf{A}) = \left(\frac{\mu_0 \mathbf{p}_0 \omega^2}{4\pi z C}\right) [-\sin(\omega(t-r/C)) \mathbf{e}_x + \cos(\omega(t-r/C)) \mathbf{e}_y] = \left(\frac{\mu_0 \omega^2}{4\pi z C}\right) \mathbf{e}_z \wedge \mathbf{p}_0 $$
dont la norme est aussi constante. C'est une **polarisation circulaire** dans le plan xOy. $\mathbf{B} \perp \mathbf{p}_0$.

On a $\mathbf{B} = \mathbf{e}_z \wedge \mathbf{E} / C$, c'est la structure d'une onde plane. La polarisation est circulaire droite ou gauche (selon que $\omega = \omega_g/2 + \omega_0 > 0$ et $\omega = \omega_g/2 - \omega_0 < 0$) dans le plan xOy.

Le vecteur de Poynting est $\mathbf{P} = \mathbf{E} \wedge \mathbf{B} / \mu_0 = \mathbf{E}^2 / \mu_0 C \mathbf{e}_z$, sa norme est constante.

c) Rayonnement dans le plan xOy du dipôle $\mathbf{p}_1 = \mathbf{p}_1 \cos(\omega_0 t) \mathbf{e}_z$ dans la direction définie par $\mathbf{OM} = r \mathbf{e}_r$

Dans le plan xOy, en coordonnées polaires (r, θ), avec des fonctions en $f(r,t) = \cos[\omega(t-r/C)]$, on utilisera $\partial f / \partial t = - \omega \sin[\omega(t-r/C)]$, et dans le gradient, $\partial f / \partial r = \omega / C \sin[\omega(t-r/C)]$
On trouve tous calculs faits : $V = 0$, donc

$$ \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = - \left( \frac{\mu_0}{4\pi} z \right) \frac{\partial^2 \mathbf{p}(t-r/C)}{\partial t^2} = \left( \frac{\mu_0 \omega^2}{4\pi r} \right) p_1 \cos(\omega_0(t-r/C)) \mathbf{e}_z $$
C'est donc une polarisation **linéaire** selon l'axe Oz.

et $\mathbf{B} = \text{rot}(\mathbf{A}) = - \left( \frac{\mu_0 \omega^2}{4\pi r C} \right) p_1 \cos(\omega_0 (t-r/C)) \mathbf{e}_\theta$
C'est donc une polarisation **linéaire** orthoradiale dans le plan xOy.

On a $\mathbf{B} = \mathbf{e}_r \wedge \mathbf{E}/C$, c'est la structure d'une onde plane. Le vecteur de Poynting est $\mathbf{P} = \mathbf{E} \wedge \mathbf{B} / \mu_0 = \mu_0 (\omega^2 p_1 / 4\pi r C)^2 \cos^2(\omega(t-r/C)) \mathbf{e}_r$, $\mathbf{P}$ est radial, de valeur moyenne $1/2 \mu_0 (\omega^2 p_1 / 4\pi r C)^2$ ; la polarisation est linéaire pour les deux vibrations possibles $\omega = \omega_g/2 + \omega_0$ et $\omega = \omega_g/2 - \omega_0$.

d) Rayonnement dans le plan xOy du dipôle $\mathbf{p}_0 = p_0 [\cos(\omega t) \mathbf{e}_x + \sin(\omega t) \mathbf{e}_y]$ dans la direction définie par $\mathbf{OM} = r \mathbf{e}_r$

$$ \mathbf{E} = -\text{grad } V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = \left(\frac{\mu_0 \omega^2}{4\pi r}\right) p_0 \sin(\omega(t-r/C)-\theta) \mathbf{e}_\theta $$
C'est une polarisation **linéaire** orthoradiale.

$$ \mathbf{B} = \text{rot}(\mathbf{A}) = \left(\frac{\mu_0 \omega^2}{4\pi r}\right) p_0 \sin(\omega(t-r/C)-\theta) \mathbf{e}_z $$
C'est une polarisation **linéaire** selon l'axe Oz.

On a $\mathbf{B} = \mathbf{e}_r \wedge \mathbf{E}/C$, c'est la structure d'une onde plane. Le vecteur de Poynting est $\mathbf{P} = \mathbf{E} \wedge \mathbf{B} / \mu_0 = \mu_0 (\omega^2 p_0 / 4\pi r C)^2 \sin^2(\omega(t-r/C)-\theta) \mathbf{e}_r$, $\mathbf{P}$ est radial, de valeur moyenne $1/2 \mu_0 (\omega^2 p_0 / 4\pi r C)^2$ ; la polarisation est linéaire pour les deux vibrations possibles $\omega = \omega_g/2 + \omega_0$ et $\omega = \omega_g/2 - \omega_0$.

e) conclusion générale sur la polarisation du rayonnement dipolaire électrique

Le théorème de superposition permet de sommer les champs $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ associés aux dipôles $\mathbf{p}_0$ et $\mathbf{p}_1$ de l'électron plongé dans un champ magnétique $\mathbf{B} \mathbf{e}_z$ avec $\omega = \omega_g/2 + \omega_0$ ou $\omega = \omega_g/2 - \omega_0$.

<figure><img src="image_85.png" /></figure>

Observation selon l'axe Oz:
2 polarisations circulaires

- le dipôle $\mathbf{p}_1$ ne rayonne pas, les champs associés sont nuls

- le dipôle $\mathbf{p}_0$ donne deux polarisations circulaires droite ou gauche aux pulsations
  $\omega = \omega_g/2 + \omega_0 > 0$ ou $\omega = \omega_g/2 - \omega_0 < 0$

- $\mathbf{E}_0$ et $\mathbf{B}_0$ engendrés par $\mathbf{p}_0$ tournent dans le plan xOy (polarisation circulaire droite ou gauche)

- Le vecteur de Poynting est $\parallel \mathbf{Oz}$, dans la direction d'observation

$\mathbf{p}_1 = p_1 \cos(\omega_0 t) \mathbf{e}_z$ (direction fixe selon Oz)

et

$\mathbf{p}_0 = p_0 [\cos(\omega t) \mathbf{e}_x + \sin(\omega t) \mathbf{e}_y]$ ($\|\mathbf{p}_0\| = \text{cte}$, $\mathbf{p}_0$ tourne à la vitesse angulaire $\omega > 0$ ou $\omega < 0$ dans le plan xOy)
Quand le champ magnétique est dirigé vers l'observateur (champ **longitudinal** selon Oz), il y a donc 2 composantes polarisées circulairement dans un plan orthogonal (xOy) au champ dites **σ+ et σ-**.

Quand le champ (selon Oz) est orthogonal à la direction de l'observateur situé dans le plan xOy (champ **transversal**), il y a 3 composantes polarisées linéairement, la composante **π** et les deux composantes circulaires **σ+ et σ-** qui, vues par la tranche, donnent en réalité deux polarisations linéaires.

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

### Observation dans le plan xOy: 3 polarisations linéaires

- **p₁** donne la polarisation linéaire **E₁**, **B₁** à la pulsation **ω₀**

- **p₀** donne deux polarisations linéaires **E₀**, **B₀** aux deux pulsations

$$ \omega = \omega_g/2 + \omega_0 > 0 \text{ ou } \omega = \omega_g/2 - \omega_0 < 0 $$

- Dans les 3 cas, le vecteur de Poynting est porté par **e**_r donc radial, dans la direction de l'observateur

## X-3 - Paramètres de Stokes et polarisation

Pour une vibration **E** = (Eₓ cos(ωt-kz), Eᵧ cos(ωt-kz+φ), 0) = (E₁, E₂, 0), on peut utiliser la notation complexe des OPPH :

$$ \mathbf{E} = (E_x e^{i(\omega t - kz)}, E_y e^{i\phi} e^{i(\omega t - kz)}, 0) = (E_1, E_2, 0) $$

Le champ électrique est à polarisation linéaire si φ = 0, circulaire droite ou gauche si Eₓ = Eᵧ et φ = ±π/2. Les 4 paramètres de Stokes (* désigne la quantité conjuguée) associés sont les quantités quadratiques suivantes :

$$ \left\{ \begin{array}{l} I = E_1 E_1^* + E_2 E_2^* = E_x^2 + E_y^2 \quad \text{ou intensité lumineuse} \\ Q = E_1 E_1^* - E_2 E_2^* = E_x^2 - E_y^2 \\ U = E_1 E_2^* + E_2 E_1^* = 2 E_x E_y \cos(\phi) \\ V = i (E_2 E_1^* - E_1 E_2^*) = -2 E_x E_y \sin(\phi) \end{array} \right. $$

V caractérise la polarisation circulaire de la lumière ; Q et U la polarisation linéaire

**S** = (I, Q, U, V) constitue le vecteur de Stokes. Un polarimètre délivre une combinaison des paramètres de Stokes I, Q, U et V, quantités quadratiques mesurables permettant de remonter à la nature de la polarisation de la lumière.

## X-4 - Un polarimètre universel à lames fixes et retards variables pour l'effet Zeeman

Avec deux retardateurs variables d'azimuth fixe (retard δ₁, azimuth 0, et retard δ₂, azimuth π/4), il est possible de mesurer le vecteur de Stokes **S** sans aucune pièce mécanique en mouvement :
<figure><img src="image_87.png" /></figure>

$S_{\text{out}} = P_{\text{ox}} \quad R_{-\pi/4} \quad T_{\delta2} \quad R_{\pi/4} \quad T_{\delta1} \quad S_{\text{in}}$ pour le polariseur d'axe Ox
ou bien

$S_{\text{out}} = P_{\text{oy}} \quad R_{-\pi/4} \quad T_{\delta2} \quad R_{\pi/4} \quad T_{\delta1} \quad S_{\text{in}}$ pour le polariseur d'axe Oy

Les produits matriciels fournissent :

$$I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} \pm \{ Q_{\text{in}} \cos(\delta2) + \sin(\delta2) ( U_{\text{in}} \sin(\delta1) - V_{\text{in}} \cos(\delta1) ) \} ]$$

Signe + pour le polariseur d'axe Ox, signe – pour le polariseur d'axe Oy.

En supposant que le polariseur est positionné sur l'axe Ox, cette formule se réduit à :

$$\text{Avec } \delta1 = 0, \delta2 = 0, \quad I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} + Q_{\text{in}} ]$$

$$\text{Avec } \delta1 = 0, \delta2 = \pi, \quad I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} - Q_{\text{in}} ]$$

$$\text{Avec } \delta1 = 0, \delta2 = \pi/2, \quad I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} - V_{\text{in}} ]$$

$$\text{Avec } \delta1 = 0, \delta2 = 3\pi/2, \quad I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} + V_{\text{in}} ]$$

$$\text{Avec } \delta1 = \pi/2, \delta2 = \pi/2, \quad I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} + U_{\text{in}} ]$$

$$\text{Avec } \delta1 = \pi/2, \delta2 = 3\pi/2, \quad I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} - U_{\text{in}} ]$$

## X-5 - un polarimètre universel à lames tournantes et à retards fixes

Avec deux lames quart d'onde ($\delta1 = \delta2 = \pi/2$), mais d'azimuth variable mécaniquement $\alpha$ et $\beta$, il est possible de mesurer le vecteur de Stokes S :

<figure><img src="image_88.png" /></figure>
$S_{\text{out}} = P_{\text{ox}} R_{-\beta} T_{\pi/2} R_{\beta} R_{-\alpha} T_{\pi/2} R_{\alpha} S_{\text{in}}$ pour le polariseur d'axe Ox

Ou bien

$S_{\text{out}} = P_{\text{oy}} R_{-\beta} T_{\pi/2} R_{\beta} R_{-\alpha} T_{\pi/2} R_{\alpha} S_{\text{in}}$ pour le polariseur d'axe Oy

Le produit matriciel se simplifie avec $R_{\beta} R_{-\alpha} = R_{\beta-\alpha}$ et on obtient alors la formule compliquée :

$$I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} \pm \{ Q_{\text{in}} ( \cos(2(\beta-\alpha)) \cos(2\alpha) \cos(2\beta) - \sin(2\alpha) \sin(2\beta) ) + U_{\text{in}} ( \cos(2(\beta-\alpha)) \sin(2\alpha) \cos(2\beta) + \cos(2\alpha) \sin(2\beta) ) + V_{\text{in}} \sin(2(\beta-\alpha)) \cos(2\beta) \} ]$$

Avec le signe + pour le polariseur d'axe Ox, signe – pour le polariseur d'axe Oy.

Cette formule, pour $\alpha = \beta$, devient : $I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} \pm \{ Q_{\text{in}} \cos(4\alpha) + U_{\text{in}} \sin(4\alpha) \} ]$

On mesurera en prenant un polariseur d'axe Ox :

$$\alpha = \beta = 0, \quad I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} + Q_{\text{in}} ]$$

$$\alpha = \beta = \pi/8, \quad I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} + U_{\text{in}} ]$$

$$\alpha = \beta = \pi/4, \quad I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} - Q_{\text{in}} ]$$

$$\alpha = \beta = 3\pi/8, \quad I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} - U_{\text{in}} ]$$

$$\alpha = \pi/4, \beta = 0, \quad I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} - V_{\text{in}} ]$$

$$\alpha = \pi/4, \beta = \pi/2, \quad I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} + V_{\text{in}} ]$$

## X-6 – Pour aller plus loin : la démodulation temporelle

En règle générale, le retard de phase des lames cristallines (hormis les cristaux liquides) dépend de la longueur d'onde, c'est à dire qu'une lame quart d'onde, par exemple, n'est véritablement quart d'onde que pour une ou deux valeurs de la longueur d'onde. D'autre part, on souhaite souvent effectuer des observations simultanées de plusieurs raies spectrales, pour lesquelles les lames n'ont aucune chance d'être exactement quart ou demi onde. Avec deux lames de retard $\delta1$ et $\delta2$, dont la dépendance en longueur d'onde est une fonction connue, et d'azimuth variable mécaniquement $\alpha$ et $\beta$, il est possible de mesurer le vecteur de Stokes S par une technique appelée démodulation.

Le vecteur de Stokes d'un tel polarimètre est donné par le produit matriciel :

$$S_{\text{out}} = P R_{-\beta} T_{\delta2} R_{\beta} R_{-\alpha} T_{\delta1} R_{\alpha} S_{\text{in}}$$

Où P est la matrice d'un polariseur d'orientation fixe. La première composante de $S_{\text{out}}$ sera de la forme générale :

$$I_{\text{out}} = \frac{1}{2} [ I_{\text{in}} + q(\alpha, \beta, \delta1, \delta2) Q_{\text{in}} + u(\alpha, \beta, \delta1, \delta2) U_{\text{in}} + v(\alpha, \beta, \delta1, \delta2) V_{\text{in}} ]$$

$q, u, v$ sont des coefficients qui sont calculables en fonction de $\alpha, \beta, \delta1, \delta2$, ces deux derniers étant des fonctions connues de la longueur d'onde.

Si l'on effectue 4 mesures successives $B = (I_{\text{out}_1}, I_{\text{out}_2}, I_{\text{out}_3}, I_{\text{out}_4})$ pour 4 combinaisons différentes de $\alpha$ et $\beta$, on obtient un système linéaire de 4 équations à 4 inconnues $X = (I_{\text{in}}, Q_{\text{in}}, U_{\text{in}}, V_{\text{in}})$ du type :
$$AX = B \quad \text{où A est une matrice 4 x 4 dont les lignes s'écrivent sous la forme } (1, q_i, u_i, v_i) \text{ pour } 1 \le i \le 4, \text{ que l'on inverse ensuite : } X = A^{-1} B.$$
En règle générale, on effectue davantage de mesures successives que d'inconnues, à haute cadence, de sorte que la matrice **A** peut avoir plus de lignes que de colonnes. Dans ce cas, on résoud aux moindres carrés le système en recherchant la solution **X** qui minimise la quantité $N = ||\mathbf{A}\mathbf{X} - \mathbf{B}||^2$, ce qui s'écrit aussi pour n mesures, $n > 4$ :

$$N = \sum_{1 \le i \le n} [ I_{in} + q_i Q_{in} + u_i U_{in} + v_i V_{in} - I_{out_i} ]^2 \quad \text{minimal}$$

En écrivant que les dérivées partielles de cette quantité scalaire par rapport aux inconnues ($I_{in}$, $Q_{in}$, $U_{in}$, $V_{in}$) sont nulles ($\partial N/\partial I_{in} = 0$, $\partial N/\partial Q_{in} = 0$, $\partial N/\partial U_{in} = 0$, $\partial N/\partial V_{in} = 0$), il vient un système de 4 équations à 4 inconnues ($I_{in}$, $Q_{in}$, $U_{in}$, $V_{in}$):

$$\left\{
\begin{array}{l}
\sum_{1 \le i \le n} [ I_{in} + q_i Q_{in} + u_i U_{in} + v_i V_{in} - I_{out_i} ] = 0 \\
\sum_{1 \le i \le n} q_i [ I_{in} + q_i Q_{in} + u_i U_{in} + v_i V_{in} - I_{out_i} ] = 0 \\
\sum_{1 \le i \le n} u_i [ I_{in} + q_i Q_{in} + u_i U_{in} + v_i V_{in} - I_{out_i} ] = 0 \\
\sum_{1 \le i \le n} v_i [ I_{in} + q_i Q_{in} + u_i U_{in} + v_i V_{in} - I_{out_i} ] = 0
\end{array}
\right.$$

qui s'écrit aussi avec $\sum$ sur $1 \le i \le n$:

$$\left\{
\begin{array}{c}
n \\
\sum q_i \\
\sum u_i \\
\sum v_i \\
\sum q_i^2 \\
\sum q_i u_i \\
\sum u_i q_i \\
\sum u_i v_i \\
\sum v_i q_i \\
\sum v_i u_i \\
\sum v_i^2
\end{array}
\right\} \quad \left\{
\begin{array}{c}
I_{in} \\
Q_{in} \\
U_{in} \\
V_{in}
\end{array}
\right\} = \left\{
\begin{array}{c}
\sum I_{out_i} \\
\sum q_i I_{out_i} \\
\sum u_i I_{out_i} \\
\sum v_i I_{out_i}
\end{array}
\right\}$$

On s'est donc ramené à un système de la forme $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$ qu'on inverse, pour chaque raie observée, en mettant pour chacune la bonne valeur des coefficients $q_i$, $u_i$, $v_i$.

## X-7 - Mesure à distance du champ magnétique longitudinal par la méthode des déplacements en longueur d'onde des composantes Zeeman des raies spectrales

La méthode consiste à repérer l'écartement en longueur d'onde $2 \Delta\lambda_B = \lambda_1 - \lambda_2$ entre les deux profils $S_1 = I + V$ et $S_2 = I - V$ obtenus par un polarimètre et injectés dans un spectrographe (pour les décomposer en longueur d'onde).

<figure><img src="image_89.png" /></figure>
Dans l'effet Zeeman, les raies spectrales sont dédoublées sous forme de deux composantes S₁ et S₂ de polarisation circulaire droite et gauche et décalées en longueur d'onde de la valeur ±ΔλB. Chaque composante se repère en longueur d'onde par la position de la dépression centrale du profil correspondant (λ₁, λ₂).

La théorie de l'effet Zeeman nous donne $\Delta\lambda_B = (\lambda_2 - \lambda_1)/2 = 4.67 \times 10^{-13} \text{ B g* } \lambda_0^2$

où λ₀ est la longueur d'onde du centre de la raie et g* son facteur de Landé équivalent. On en déduit B champ magnétique projeté sur la ligne de visée (ou longitudinal), qui peut être négatif ou positif (B est en Gauss et λ₀ est en Å dans cette formule numérique).

## X-8 - Mesure à distance par effet Zeeman du champ magnétique longitudinal par la mesure du taux de polarisation circulaire des raies spectrales

La méthode consiste à déduire, par combinaison linéaire des deux signaux S₁ = I + V et S₂ = I - V obtenus par un polarimètre (méthodes décrites ci dessus) et injectés dans un spectrographe, les profils de Stokes I et V (en fonction de la longueur d'onde). En faisant un développement limité des signaux S₁ et S₂ (décalés respectivement de +ΔλB et de -ΔλB) en fonction de ΔλB, on obtient :

$$S_1(\lambda) = I_0(\lambda + \Delta\lambda_B) = I_0(\lambda) + \Delta\lambda_B \frac{dI_0}{d\lambda} = I_0(\lambda) + V(\lambda)$$

$$S_2(\lambda) = I_0(\lambda - \Delta\lambda_B) = I_0(\lambda) - \Delta\lambda_B \frac{dI_0}{d\lambda} = I_0(\lambda) - V(\lambda)$$

où I₀(λ) désigne le profil non perturbé par le champ magnétique, on en déduit que : $V(\lambda) = \Delta\lambda_B \frac{dI_0}{d\lambda}$
Comme $I_0(\lambda) = 1/2 (S_1(\lambda) + S_2(\lambda))$ et $V(\lambda) = 1/2 (S_1(\lambda) - S_2(\lambda))$, on a finalement :

$$\frac{V(\lambda)}{I_0(\lambda)} = \frac{(S_1(\lambda) - S_2(\lambda))}{(S_1(\lambda) + S_2(\lambda))} = \frac{\Delta\lambda_B \frac{dI_0}{d\lambda}}{I_0(\lambda)}$$

et numériquement, ce taux de polarisation circulaire devient :

$$\frac{V}{I_0(\lambda)} = \frac{4.67 \times 10^{-13} \text{ B g* } \lambda_0^2}{(1/I_0)} \frac{dI_0}{d\lambda}$$

formule dans laquelle B (champ longitudinal, positif ou négatif) est en Gauss (10⁻⁴ T) et la longueur d'onde en Å. λ₀ est la longueur d'onde du centre de la raie et g* son facteur de Landé équivalent, ce sont des valeurs caractéristiques tabulées de la raie.

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

Images spectrales I+V(λ, x) et I-V(λ, x), raies solaires FeI 6301 Å et 6302 Å mélangées avec des raies fines formées dans l'atmosphère terrestre

Pour estimer approximativement (1/I₀) (dI₀/dλ), on peut supposer que le profil non perturbé par le champ magnétique I₀(λ) peut se mettre sous la forme simple d'une gaussienne :
$$I_0(\lambda) = I_c (1 - r e^{-1/2 ((\lambda - \lambda_0)/\Delta\lambda)^2})$$

Avec r dépression centrale de la raie (nombre compris entre 0 et 1), Ic intensité du continu loin du centre de la raie, λ₀ longueur d'onde centrale de la raie, et 2 Δλ largeur de la raie aux points d'inflexion du profil. La dérivée de I₀ (λ) est maximale (ou minimale) aux points d'inflexion. En ces points particuliers où λ = λ₀ ± Δλ, on obtient :

$$\frac{dI_0}{d\lambda}(\lambda_0 \pm \Delta\lambda) = \pm (I_c r / \Delta\lambda) e^{-1/2}$$ et

$$I_0(\lambda_0 \pm \Delta\lambda) = I_c (1 - r e^{-1/2})$$

d'où $(1/I_0) \frac{dI_0}{d\lambda}(\lambda_0 \pm \Delta\lambda) = \pm r e^{-1/2} / ((1 - r e^{-1/2}) \Delta\lambda)$, et l'on en déduit

$$V/I (\lambda_0 \pm \Delta\lambda) = \pm 4.67 \ 10^{-13} \text{ B g* } \lambda_0^2 \left[ r e^{-1/2} / \left( \left(1 - r e^{-1/2}\right) \Delta\lambda \right) \right]$$

En mesurant la dépression centrale r = ΔI/Ic et Δλ (demi largeur aux points d'inflexion) sur les profils en intensité I₀(λ) ainsi que le rapport V/I au voisinage d'un des points d'inflexion, c'est à dire soit V/I(λ₀+Δλ), soit V/I(λ₀-Δλ), on peut en déduire une estimation du champ longitudinal B, valeur qui peut être positive ou négative selon que la polarité est Nord ou Sud, c'est à dire sortante ou entrante.

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

Profil I₀(λ) au point d'abscisse solaire x₀ pour deux raies du Fer observées. On étudie la raie de droite. On mesure sur ce graphique Δλ, Ic, ΔI et I(λ₀-Δλ).
<figure><img src="image_92.png" /></figure>

Un exemple de profil $V(\lambda)$ au point d'abscisse solaire $x_0$ pour les deux raies du Fer tracées sur la figure précédente. On étudie la raie de droite. On mesure sur ce graphique $V(\lambda_0 - \Delta\lambda)$.

Des facteurs de Landé $g^*$ pour des raies solaires intéressantes :

FeI $\lambda = 6301.5$ Å

$g^* = 1.67$

FeI $\lambda = 6302.5$ Å

$g^* = 2.50$

FeI $\lambda = 5247.1$ Å

$g^* = 2.00$

FeI $\lambda = 5247.6$ Å

$g^* = 2.50$

FeI $\lambda = 5250.2$ Å

$g^* = 3.00$

FeI $\lambda = 6336.8$ Å

$g^* = 2.00$

FeI $\lambda = 6173.3$ Å

$g^* = 2.50$

CaI $\lambda = 6103.0$ Å

$g^* = 2.00$

NaI $\lambda = 5896.0$ Å

$g^* = 1.33$

MgI $\lambda = 5173.0$ Å

$g^* = 1.75$

## X-9 - Mesure du champ magnétique longitudinal $B_\|$ et du champ magnétique transversal $B_\perp$ à partir des profils de Stokes dans l'approximation des champs faibles

<figure><img src="image_93.png" /></figure>

Champ longitudinal
$B_\| = B \cos \theta$

Champ transverse
$B_\perp = B \sin \theta$

$\varphi$ azimuth de $B_\perp$

La méthode que nous proposons se base sur l'approximation théorique des champs faibles. Dans cette approximation, la formule précédemment démontrée (développement limité) reste valide :

$$V(\lambda) = 4.67 \ 10^{-13} \text{ B}\| \text{g* } \lambda^2 \text{dI/d}\lambda = \Delta\lambda_B \text{dI/d}\lambda$$

d'où l'on peut déduire le champ longitudinal $B_\|$; d'autre part, on montre (plus difficile) que :
$$Q(\lambda) = - \frac{1}{4} (4.67 \ 10^{-13} \text{ g* } \lambda^2)^2 \text{B}_\perp^2 \cos(2\varphi) \frac{d^2I}{d\lambda^2} = \frac{1}{4} \Delta\lambda_B \text{B}_\perp^2 \cos(2\varphi) \frac{d^2I}{d\lambda^2}$$

$$U(\lambda) = - \frac{1}{4} (4.67 \ 10^{-13} \text{ g* } \lambda^2)^2 \text{B}_\perp^2 \sin(2\varphi) \frac{d^2I}{d\lambda^2} = \frac{1}{4} \Delta\lambda_B \text{B}_\perp^2 \sin(2\varphi) \frac{d^2I}{d\lambda^2}$$

D'où $(Q^2 + U^2)^{1/2} = \frac{1}{4} (4.67 \ 10^{-13} \text{ g* } \lambda^2)^2 \text{B}_\perp^2 \frac{d^2I}{d\lambda^2} = \frac{1}{4} \Delta\lambda_B \text{B}_\perp^2 \frac{d^2I}{d\lambda^2}$, qui est indépendant de $\varphi$, dont on peut en déduire le champ transversal $\text{B}_\perp$.

On remarque que :

- $U/Q = \tan(2\varphi)$ mais l'azimuth $\varphi$ est en réalité déterminé par $\sin(2\varphi)$ et $\cos(2\varphi)$ issus de $U$ et $Q$ avec une ambiguïté de 180° ($2\varphi$ est modulo $2\pi$, donc $\varphi$ est modulo $\pi$).

- $Q$ et $U$ sont des seconds ordres en $\Delta\lambda_B$ (donc faibles) alors que $V$ est un premier ordre. Attention : $B$ est en Gauss ($1\text{G} = 10^{-4} \text{T}$) et $\lambda$ en Å dans ces formules ; d'autre part, les dérivées $dI/d\lambda$ et $d^2I/d\lambda^2$ sont estimées hors perturbation par le champ magnétique.

Supposons encore que le profil non perturbé par le champ magnétique peut se mettre sous la forme d'une gaussienne :

$$I(\lambda) = I_c (1 - r e^{-1/2 ((\lambda - \lambda_0)/\Delta\lambda)^2})$$

Aux points d'inflexion, $(\lambda = \lambda_0 \pm \Delta\lambda)$, les formules démontrées précédemment sont conservées :

$$V/I (\lambda_0 \pm \Delta\lambda) = \pm 4.67 \ 10^{-13} \text{B// g* } \lambda_0^2 \left[ \frac{r e^{-1/2}/((1-r e^{-1/2})\Delta\lambda)}{\Delta\lambda} \right] = \pm \frac{\Delta\lambda \text{B//}}{\Delta\lambda} \left[ \frac{r e^{-1/2}}{1-r e^{-1/2}} \right]$$

En mesurant approximativement $r$ (dépression centrale) et $\Delta\lambda$, demi largeur aux points d'inflexion, sur les profils en intensité $I(\lambda)$ ainsi que $V/I$ aux pics $V$ (situés au voisinage des points d'inflexion en $\lambda_0 \pm \Delta\lambda$), on peut en déduire une estimation du champ longitudinal $B//$, valeur qui peut être positive ou négative selon que la polarité est Nord ou Sud.

Par exemple, si $B_// = 1000 \text{ G}$, $\lambda = 6000 \text{ Å}$, $g* = 1$, $r = 0.75$, $\Delta\lambda = 50 \text{ mÅ}$, on trouve $V/I \approx 0.25$

On peut employer la même méthode pour estimer le champ transverse $\text{B}_\perp$. La dérivée seconde de $I(\lambda)$ est maximale au centre de la raie. En ce point particulier où $\lambda = \lambda_0$, on obtient :

$$(Q^2 + U^2)^{1/2}/I (\lambda_0) = \frac{1}{4} (4.67 \ 10^{-13} \text{ g* } \lambda_0^2)^2 \text{B}_\perp^2 \left[ \frac{r}{\Delta\lambda^2(1-r)} \right] = \pm \frac{1}{4} \left( \frac{\Delta\lambda_B \text{B}_\perp}{\Delta\lambda} \right)^2 \left[ \frac{r}{1-r} \right]$$

Par exemple, si $\text{B}_\perp = 1000 \text{ G}$, $\lambda = 6000 \text{ Å}$, $g* = 1$, $r = 0.75$, $\Delta\lambda = 50 \text{ mÅ}$, on trouve $\Delta\lambda_B \text{B}_\perp = 17 \text{ mÅ}$ et $(Q^2 + U^2)^{1/2}/I \approx 0.10$

En mesurant approximativement $(Q^2 + U^2)^{1/2}/I$ au centre de la raie c'est à dire $(Q^2 + U^2)^{1/2}/I(\lambda_0)$, on peut en déduire une estimation du champ transverse $\text{B}_\perp$. Son azimuth sera donné par : $\varphi = \frac{1}{2} \arctan (U/Q)$ à 180° près.
<figure><img src="image_94.png" /></figure>

Exemple de profils de Stokes (trait continu) V/I(λ) dans une région active solaire, raie FeI 6173 Å. Les profils V(λ) sont antisymétriques par rapport à la longueur d'onde centrale (en trait pointillé, les deux composantes σ décalées, soit I+V et I-V)

<figure><img src="image_95.png" /></figure>

Exemples de profils de Stokes Q/I(λ) et U/I(λ) dans une région active solaire, raie FeI 6173 Å ; les profils Q(λ) et U(λ) sont symétriques par rapport à la longueur d'onde centrale (composante π).

<figure><img src="image_96.png" /></figure>

Exemple d'observations polarimétriques spectroscopiques des profils de Stokes I, Q, U, V permettant de reconstruire les champs magnétiques d'une tache solaire