[1] J. G.-Mikusiński, *Sur les fondements du calcul opératoire*, Studia Mathematica 11 (1949), p. 41-70.

[2] — *Sur les fonctions exponentielles du calcul opératoire*, Studia Mathematica 12 (1951), p. 208-224.

*(Reçu par la Rédaction le 10. 6. 1951)*

## Sur les séries de puissances dans le calcul opératoire

par

C. RYLL-NARDZEWSKI (Wrocław).

### 1. Soit

$$ (1) \qquad \Phi(z) = a_1 z + a_2 z^2 + \dots $$

une série à rayon de convergence positif. Si $f=\{f(t)\}$ est une fonction (complexe de variable réelle) continue pour $t \ge 0$, la série

$$ (2) \qquad \Phi(f\lambda) = a_1 f\lambda + a_2 f^2 \lambda^2 + \dots, $$

considérée comme une série d'opérateurs, est uniformément convergente dans tout cercle $|\lambda| \le \rho^1$.

Nous démontrerons ici deux théorèmes plus généraux.

### 2. Soit $\Omega_0$ la classe des fonctions $f$ (complexes de variable réelle $t \ge 0$) qui sont sommables dans tout intervalle fini $0 \le t \le k$. Nous allons considérer $\Omega_0$ comme un espace du type $B_0^2$), en posant

$$ \|f\|_k = \int_0^k |f(t)| dt \quad \text{pour } k=1,2,\dots $$

La pseudonorme $\|f\|_k$ jouit des propriétés suivantes:

$$ 1^\circ \quad \|fg\|_k \le \|f\|_k \cdot \|g\|_k^3; $$

$$ 2^\circ \quad \text{si } |g(t)| \le M \text{ pour } 0 \le t \le k, \text{ on a} $$

$$ \|g\|_k \le \frac{1}{\nu!} (kM)^\nu \quad \text{pour } \nu=1,2,\dots $$

<footnote n="1">1) Voir J. G.-Mikusiński, *Sur les fondements du calcul opératoire*, Studia Math. 11 (1950), p. 63, § 21.</footnote>

<footnote n="2">2) Voir S. Mazur et W. Orlicz, *Sur les espaces métriques linéaires (I)*, Studia Math. 10 (1948), p. 184-208.</footnote>

<footnote n="3">3) Nous employons la notation de Mikusiński: $|g| = \left\{ \int_0^t f(t-\tau)g(\dot{\tau}) d\tau \right\}^\nu$.</footnote>
**Lemme 1.** Si $f \in \Omega_0$, on a

$$ \lim_{n \to \infty} \|f^n\|_k = 0 $$

pour tout $k$ naturel.

**Démonstration.** Fixons $k$ arbitrairement. Cela posé, on peut décomposer $f(t)$ en deux fonctions

$$ f=g+h, $$

de manière que $|g(t)|\le M$ pour $0\le t\le k$ ($M$ constant) et que $\|h\|_k\le 1/3$.

On a

$$ f^n = \sum_{\nu=0}^{n} \binom{n}{\nu} g^{\nu} h^{n-\nu}, $$

d'où, en vertu de 1° et 2°,

$$ \|f^n\|_k \le \sum_{\nu=0}^{n} \binom{n}{\nu} \frac{1}{\nu!} (kM)^{\nu} \frac{1}{3^{n-\nu}} < \sum_{\nu=0}^{n} 2^n \frac{(3kM)^\nu}{\nu!} \cdot \frac{1}{3^n} < \left(\frac{2}{3}\right)^n e^{3kM}. $$

**Théorème 1.** Si (1) a le rayon de convergence positif, la série (2), où $f \in \Omega_0$, converge (au sens de la métrique introduite) uniformément dans tout cercle $|\lambda|\le\rho$, c'est-à-dire on a

$$ \|\alpha_n f\lambda + \dots + \alpha_n f^n \lambda^n - \Phi(f\lambda)\|_k \le \varepsilon_{nk} \quad \text{pour } |\lambda|\le\rho, $$

$$ \text{où } \lim_{n \to \infty} \varepsilon_{nk} = 0 \text{ pour } k=1,2,\dots $$

**Démonstration.** En vertu de l'hypothèse sur la convergence de (1), il existe un nombre $A$, tel que

$$ |a_n| \le A^n \quad \text{pour } n=1,2,\dots; $$

on a donc

$$ \|\alpha_n f^n \lambda^n\|_k \le \frac{1}{2^n} \|(2A f \rho)^n\|_k \quad \text{pour } |\lambda| \le \rho, $$

d'où le théorème.

**Corollaire 1.** Si (1) a le rayon de convergence positif, la série (2), où $f \in \Omega_0$, converge au sens opératoire uniformément dans tout cercle $|\lambda|\le\rho$.

**3.** Une fonction $f$ (complexe de variable réelle $t$) est dite de variation $V$ dans l'intervalle $J$, lorsque

$$ V = \sup_{\nu=1}^{n} |f(t_\nu) - f(t_{\nu-1})|, $$

où $t_0, \dots, t_n$ est une suite finie croissante de nombres de $J$.

Soit $V_0$ la classe des fonctions $f$ (complexes de variable réelle $t \ge 0$) qui sont

(i) nulles au point $t=0$,

(ii) continues à gauche,

(iii) à variation bornée dans tout intervalle fini.

La variation de $f \in V_0$ dans l'intervalle $\langle 0, t \rangle$ sera désignée par $\text{Var}_t(f)$. On a les formules, pour tout $t \ge 0$,

$$ \text{Var}_t(\lambda f) = |\lambda| \text{Var}_t(f) \quad (\lambda \text{ complexe}), $$

$$ \begin{array}{l} \text{Var}_t(f+g) \le \text{Var}_t(f) + \text{Var}_t(g), \\ \sup_{0 \le \tau < t} |f(\tau)| \le \text{Var}_t(f). \end{array} $$

Si $f, g \in V_0$ posons généralement

$$ f*g = \int_{\langle 0, \rho \rangle} f(t-\tau) dg(\tau), $$

où l'intégrale est entendue au sens de Lebesgue-Stieltjes.

La fonction $f*g$ jouit évidemment des propriétés (i) et (iii). De plus, on a, en vertu du théorème de Lebesgue sur l'intégration des suites,

$$ \lim_{t_n \to t^-} \int_{\langle 0, t_n \rangle} f(t_n - \tau) dg(\tau) = \int_{\langle 0, \tau \rangle} f(t - \tau) dg(\tau), $$

car $f$ est continue à gauche. D'où la propriété (ii). On voit donc que $f*g \in V_0$.

Nous démontrerons que

$$ \text{Var}_t(f*g) \le \text{Var}_t(f) \cdot \text{Var}_t(g). $$

En effet, si $0 \le t_0 < t_1 < \dots < t_n < t$, on a

$$ \left| \int_{\langle t_{\nu-1}, t_{\nu} \rangle} f(t-\tau) dg(\tau) \right| \le \sup_{\langle t_{\nu-1}, t_{\nu} \rangle} |f(t-\tau)| [\text{Var}_{t_{\nu}}(g) - \text{Var}_{t_{\nu-1}}(g)] $$

pour $\nu=1,2,\dots,n$.

En sommant les $n$ inégalités précédentes, on trouve facilement

$$ \text{Var}_t(f*g) \le \sup_{\langle 0, \tau \rangle} |f(\tau)| \cdot \text{Var}_t(g), $$

d'où la proposition, en vertu de (3).
On a encore les formules suivantes:

$$
(5) \qquad f*g=g*f,
$$

$$
(6) \qquad f*(g*h) = (f*g)*h.
$$

Ces formules s'obtiennent aisément au moyen du calcul opé-
ratoire. En effet, faisons correspondre l'opérateur

$$
s\left\{\int_{0}^{t} f(\tau) d\tau\right\}
$$

à toute fonction $f \in V_0$; cette correspondance est biunivoque. On a

$$
(7) \qquad fg = l \cdot (f * g);
$$

ce qui équivaut à l'égalité

$$
\int_0^t f(t-\tau) g(\tau) d\tau = \int_0^t dt \int_{\sum_{\delta} t} f(t-\tau) dg(\tau).
$$

La formule (5) résulte aussitôt de (7). La formule (6) résulte
de l'égalité

$$
l^2[f*(g*h)] = fgh = l^2[(f*g)*h],
$$

qui est une conséquence de (7).

Adoptons la notation suivante:

$$
f_{*}^{1}=f \quad \text{et} \quad f_{*}^{n}=f_{*} f_{*}^{n-1} \quad \text{pour } n=2,3, \ldots
$$

Lemme 2. Si $f \in V_0$ et $f(0+) < 1$, on a

$$
(8) \qquad \lim \operatorname{Var}_t (f_*^n) = 0
$$

pour tout $t \ge 0$.

Démonstration. Soit $\delta$ un nombre positif, tel que

$$
\mathrm{Var}_t(f) \le \Theta < 1 \quad \text{pour } 0 \le t \le \delta.
$$

Posons

$f=g+h,$

où

$$
g(t) = \begin{cases} f(t) & \text{pour } 0 \le t \le \delta, \\ f(\delta) & \text{pour } \delta < t < \infty. \end{cases}
$$

On a évidemment $\mathrm{Var}_t(g) \le \Theta$ pour tout $t \ge 0$, d'où, en vertu de (4),

$$
\mathrm{Var}_t(g_*^n) \le \Theta^n \quad \text{pour tout } t \ge 0.
$$

On a encore $h(t)=0$ pour $0 \le t \le \delta$, d'où

$$
h_{*}^{n}(t)=0
$$

dans l'intervalle $0 \le t \le n\delta$.

Cela étant, on peut écrire

$$
\mathrm{Var}_{t_0}(f_{*}^{n}) \le \sum_{\nu=0}^{n} \binom{n}{\nu} \mathrm{Var}_{t_0}(g_{*}^{n-\nu}) \mathrm{Var}_{t_0}(h_{*}^{\nu}).
$$

Si $n \ge n_0 > t/\delta$, il s'ensuit

$$
\mathrm{Var}_t(f_*^n) \le \sum_{\nu=1}^{n_0} \binom{n}{\nu} \Theta^{n-\nu} \mathrm{Var}_t(h_*^\nu),
$$

d'où (8).

Théorème 2. Si le rayon de convergence R de (1) est positif, la série

$$
(9) \qquad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \lambda^n g_*^n,
$$

où $g \in V_0$, converge uniformément dans tout domaine

$$
0 \le t \le t_0, \quad |\lambda| \le q < \frac{R}{|g(0+)|}.
$$

La somme de cette série est encore une fonction de V₀.

Démonstration. Soit $|g(0+)| < \beta < R/q$. En vertu du lemme 2, on a

$$
\mathrm{Var}_{t_0} \left( \frac{g}{\beta} \right)_*^n \le M \quad \text{pour } n=1,2,\dots
$$

Donc, en vertu de (3),

$$
|a_n \lambda^n g_*^n| \le \mathrm{Var}_{t_0} (a_n \lambda^n g_*^n) \le |a_n (\lambda\beta)^n| |M| \le M |a_n (\beta q)^n|
$$

pour $0 \le t \le t_0$, d'où le théorème.

4. Pour adapter le théorème précédent à la théorie des opérateurs, considérons la classe des opérateurs $d=sg$, où $g \in V_0$; ces opérateurs seront dits *densités*<fnref n="4" />). En particulier, tout nombre et toute fonction $f \in \mathcal{L}_0$ est une densité.

<footnote n="4">⁴) Cette notion correspond à celle de distribution de masse de Laurent-Schwarz, cette masse étant distribuée sur la demi-droite $t \ge 0$.</footnote>
Si $d_1=sg_1$ et $d_2=sg_2$ sont deux densités, leur somme et leur produit le sont encore:

$$d_1+d_2=s(g_1+g_2), \quad d_1d_2=s(g_1*g_2).$$

Remarquons encore que $d=sg$ ($g \in V_0$) entraîne
$$ (10) \qquad d^n=sg^n.$$

**Théorème 3.** Si le rayon de convergence $R$ de (1) est positif, le rayon de convergence de la série (2), où $f=sg$ est une densité, et il est $R/|g(0+)|$. Cette dernière série converge uniformément dans tout cercle $|\lambda|\le\rho<R/|g(0+)|$.

**Démonstration du théorème 3 (partie 1).** En multipliant (2) par $l$ on obtient, en vertu de (10), la série (9). D'où la convergence uniforme pour $|\lambda|\le\rho$.

Corollaire 2. Si $f=sg$ est une densité et si $g(0+)=0$, alors $1/f$ est encore une densité et l'on a $1/f=sg_1$, où $g(0+)=g_1(0+)=1$.

**Démonstration.** On peut écrire $f=g(0+)+sg_0$, où $g_0$ est encore une fonction de $V_0$, telle que $g_0(0+)=0$. On a donc

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{g(0+) + sg_0} = \frac{1}{g(0+) - \frac{sg_0}{g(0+)^2} + \frac{(sg_0)^2}{g(0+)^3} - \dots}, $$

ce qui rend la proposition évidente, en vertu des théorèmes 2 et 3.

Corollaire 3. Si $f=sg$ est une densité et si $|g(0+)|>1$, la suite $f^{n_k}$ est divergente (au sens opératoire), pourvu que $\lim_{k \to \infty} n_k = \infty$.

**Démonstration.** En vertu du corollaire 2 et du lemme 2, on trouve facilement $\lim_{k \to \infty} (1/f)^{n_k}=0$. Or, on a $f^{n_k}(1/f)^{n_k}=1$, la suite $f^{n_k}$ ne peut donc pas converger.

**Démonstration du théorème 3 (partie 2).** Si $|\lambda|>p>R/|g(0+)|$, on a
$$ (11) \qquad |\alpha_{n_k}||pg(0+)|^{n_k}>m>0 $$

pour une suite d'indices $n_k$, convenablement choisie. On peut écrire

$$ \alpha_{n_k} \lambda^{n_k} f^{n_k} = \alpha_{n_k} [pg(0+)]^{n_k} \cdot \left( \frac{\lambda f}{pg(0+)} \right)^{n_k}. $$

Or, la densité $\lambda f/pg(0+)$ satisfait à l'hypothèse du corollaire 3, donc la suite $\alpha_{n_k} \lambda^{n_k} f^{n_k}$ diverge, en vertu de (11). Par conséquent la série (2) ne peut pas converger.

**Remarque.** Le corollaire 1 du théorème 1 peut être aussi déduit du théorème 3. En effet, toute fonction $f \in L_0$ est une densité $f=sg$, où $g$ est une fonction absolument continue et nulle pour $t=0$.

(Reçu par la Rédaction le 10. 6. 1951)