# Prédictions de chroniques piézométriques de l'aquifère de la nappe de Beauce (Région Centre, France) par un modèle de réseau de neurones influencé par la physique (PINNs)

Pascal Audigane, Etienne Lehembre, Hugo Breuillard, Thi-Bich-Hanh Dao, Vincent Nguyen, Christel Vrain

► To cite this version:

Pascal Audigane, Etienne Lehembre, Hugo Breuillard, Thi-Bich-Hanh Dao, Vincent Nguyen, et al. Prédictions de chroniques piézométriques de l'aquifère de la nappe de Beauce (Région Centre, France) par un modèle de réseau de neurones influencé par la physique (PINNs). Eau et Intelligence Artificielle, SHF, Mar 2026, Grenoble, France. hal-05508635

HAL Id: hal-05508635

https://brgm.hal.science/hal-05508635v1

Submitted on 13 Feb 2026

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC BY 4.0 - Attribution - International License
Prédictions de chroniques piézométriques de l'aquifère de la nappe de Beauce (Région Centre, France) par un modèle de réseau de neurones influencé par la physique (PINNs)

Pascal Audigane<sup>a</sup>, Etienne Lehembre<sup>b</sup>, Hugo Breuillard<sup>a</sup>, Thi-Bich-Hanh Dao<sup>b</sup>, Vincent Nguyen<sup>b</sup>, Christelle Vrain<sup>b</sup>,

<sup>a</sup> BRGM, Bureau de Recherches Géologiques et Minières, 3 Av. Claude Guillemin, BP6009, 45100, Orléans
p.audigane@brgm.fr; h.breuillard@brgm.fr

<sup>b</sup> Université d'Orléans, INSA Centre Val de Loire, LIFO EA 4022, France
etienne.lehembre@univ-orleans.fr; thi-bich-hanh dao@univ-orleans.fr

Mots-clés : eaux souterraines, réseau PINNs, prévisions

# 1 Introduction - La nappe de Beauce

Les eaux souterraines contribuent de façon substantielle sur le territoire national à la production d'eau potable (près de 70%) ainsi que les usages à la fois agricoles (près de 40% pour l'irrigation) et industriels (environ 20% pour des processus industriels). Être capable de prédire l'évolution à court et moyen terme de la ressource (prévision saisonnière) et ce dans un contexte de changement climatique prégnant ainsi qu'un accroissement constant de la pression anthropique, devient un enjeu crucial. Nous proposons dans cette étude une approche originale qui utilise un réseau de neurones à l'apprentissage contraint par des équations physiques issues d'un modèle de simulation globale dédiée à la prévision des piézométries [5].

Les calcaires de Beauce constituent une entité morphologique qui correspond à un bassin de sédimentation où les formations terriaires sont principalement constituées de calcaires lacustres qui se prolongent, au sud, vers la Sologne, tandis que vers le nord, ils s'intercalent avec les formations marines et littorales du Bassin parisien [1]. Le réservoir des calcaires de Beauce peut atteindre 190 m de puissance sous Pithiviers. Il est limité par un réseau hydrographique constitué de la Loire au Sud, du Loin et de la Seine sur les limites est et nord-est, du Loir et de l'Eure sur les bordures ouest et nord-ouest (Figure 1 gauche).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – La nappe de Beauce et les piézomètres sélectionnés</figcaption></figure>
La nappe de Beauce contient un réseau de surveillance piézométrique constitué de plus de 70 ouvrages offrant un suivi spatiotemporel du niveau de la nappe à différentes profondeurs, diverses fréquences d'échantillonage et de qualité parfois disparate. Un travail de 'clustering' a permis de sélectionner un ensemble de 12 piézomètres représentatifs des cinq comportements majeurs identifiés sur la piézométrie de la nappe (Figure 1 droite). Ces comportements se tra-duisent par des cyclicités et fréquences variables reliées à des interactions hydrogéologiques distinctes (change nappe rivière avec la Loire, drainance latérale ou verticale avec des formations sédimentaires, influence des pompages...). Les cycles saisonniers annuels sont gouvernés par des hivers pluvieux qui rechargent les nappes et des étés secs qui contribuent à la vidange (baisse des niveaux piézométriques). On notera sur la nappe de Beauce un comportement dit inertiel, plus lent, avec des cycles variant entre 12 et 15 ans. La durée des données jugées de qualité continue couvre la période 1995-2018.

## 2 Le modèle GARDENIA

Le modèle GARDENIA repose sur un concept de simplification des processus d'écoulement de la pluie vers la nappe au travers d'un bilan hydrique qui répartit les flux liés à l'évapotranspiration, au ruissellement, à l'infiltration au travers de la zone saturée, et enfin à la recharge vers la nappe. Le ruissellement et l'écoulement de la nappe convergent vers un cours d'eau unique considéré comme le point d'exutoire de l'hydrosystème (Figure 2). Les fonctions de transferts d'un réservoir à l'autre sont régies par des lois de vidange exponentielle particulière à chaque réservoir. Ces lois, décrites par des paramètres dimensionnels du modèle (capacité de rétention du sol, temps de demie-vie, seuil de débordement...), schématisent de façon globale la complexité réelle du système hydrologique, et ne peuvent être déduites à priori des caractéristiques physiographiques du bassin versant; ces paramètres doivent être déterminés par calibration (minimisation d'une fonction objective). On cherche dans cette étude à prédire la chronique de

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – Principes des flux entre réservoirs dans GARDENIA</figcaption></figure>

la dernière année des données disponibles, soit l'année 2018, en utilisant les informations des années antérieures depuis 1995. Le modèle GARDENIA optimise les différents paramètres de calage de son modèle par optimisation et peut ensuite fournir un ensemble de modèles pour l'année 2018, en utilisant les informations journalières de toutes les pluies passées. Il peut ainsi reproduire pour chaque jour d'une année (ici 2018), 23 niveaux d'eaux probables correspondant aux années 1995 à 2017 et fournir les quantiles de non dépassement associés (10%, 20%, 50% 80%, 90%, ainsi que le scénario sans pluie 'no rain').
## 3 Le réseau de neurones récurrent influencé par la physique

**Architecture du Physics Informed Recurrent Neural Network (PIRNN).** L'architecture du réseau de neurones "physics informed" [3] que nous proposons repose sur deux blocs : le Backcast et le Forecast. Le bloc Backcast a pour but de prédire les variables physiques nécessaires aux équations utilisées dans Gardénia, tandis que le bloc Forecast a pour but de prédire le niveau d'eau de la nappe ainsi que les variables physiques dans le futur. Ainsi, les prédicitions effectuées par le modèle prennent en compte la dynamique hydrologique des données utilisées pour la prédiction. De ce fait, notre modèle est entraîné sur les données des piézomètres, tout en considérant les équations physiques utilisées dans Gardénia.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 3 – Architecture du Physics Informed Recurrent Neural Network</figcaption></figure>

Dans la figure 3, $x_{t-w:t}$ est l'historique - composé du niveau d'eau, de la pluie et de l'évapotranspiration - utilisé pour la prédiction. La prédiction $\hat{U}_{t-w:t}$ est composée des niveaux du réservoir sol et du réservoir de transfert qui sont nécessaires pour calculer les équations de Gardénia sur l'historique. Le paramètre $\hat{C}$ est composé des constantes de demi-vie du réservoir de transfert et du réservoir principal, du niveau maximum du réservoir sol et du facteur d'équilibre entre le ruissellement et la percolation. $f_p(x_{t-w:t}, \hat{U}_{t-w:t}, \hat{C})$ correspond au calcul des équations de Gardénia sur l'historique. Ici, le modèle fusionne les résultats des équations avec les prédicitions du Backcast, les constantes et l'historique afin de fournir au Forecast un historique contenant des variables physiques décrivant la série temporelle. Enfin, $[\hat{y}_{t:t+p}, \hat{U}_{t:t+p}]$ est la prédiction du modèle dans des futurs niveaux d'eau de la nappe $\hat{y}_{t:t+p}$ et des futurs niveaux des réservoirs sol et de transfert $\hat{U}_{t:t+p}$. Dans nos travaux, $t$ correspond à un point dans le temps, $w$ est la taille de l'historique et $p$ est la taille de la prédiction en nombre de mois. Chaque bloc repose sur le modèle encodeur - processeur - décodeur où le processeur est un Recurrent Neural Network (RNN) [2] et les encodeurs - décodeurs sont des MultiLayer Perceptrons (MLP) [4]. Ainsi, notre architecture est non seulement entraînée à prédire l'évolution future du niveau d'eau de la nappe phréatique, mais aussi à prédire les variables et constantes non-observables nécessaires aux équations de Gardénia.

**Fonction de perte du PIRNN.** Afin de guider l'apprentissage vers une prédiction respectant à la fois les données et les règles physiques souhaitées, nous entraînons le modèle avec une fonction de perte multi-objectifs $\mathcal{L}$.

$$ \mathcal{L} = \alpha \mathcal{L}_{\text{data}} + \beta \mathcal{L}_{\text{phy}} + \gamma \mathcal{L}_{\text{border}} \quad (1) $$

Où $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont des facteurs permettant d'équilibrer la fonction de perte pour favoriser la convergence du modèle. Ainsi, la fonction de perte peut être découpée en trois parties : 1) $\mathcal{L}_{\text{data}}$ la fonction de perte de la prédiction du niveau d'eau entraînant le bloc Forecast, 2) $\mathcal{L}_{\text{phy}}$ la fonction de perte physique entraînant le bloc Forecast, le bloc backcast et les constantes, et 3) $\mathcal{L}_{\text{border}}$ la fonction de perte de bordure qui pousse les constantes à se retrouver dans des limites prédéfinies.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 4 – MAE (couleur) de chaque modèle (axe y) pour chaque piézomètre (axe x).</figcaption></figure>

# 4 Résultats et conclusion

**Comparaison du modèle physique et des modèles centrés sur les données.** Dans cet article, nous choisissons de comparer notre modèle PIRNN à Gardénia, NHITS - un modèle de référence en machine learning - et un RNN classique. La figure 4 indique la *Mean Average Error* (MAE) du niveau d'eau en mètres pour chaque modèle et chaque série temporelle piézométrique. Parmi les douze piézomètres, Gardénia possède la meilleurs MAE sur quatre d'entre eux, NHITS sur trois d'entre eux et PIRNN sur cinq d'entre eux. Cependant, NHITS présente les meilleurs résultats en moyenne. Les puits 02923X0007_F, 02936X2005_PFAEP et 03983X0267_PZ3 semblent être les plus difficiles à modéliser pour Gardénia, alors que PIRNN arrive à réduire l'erreur absolue moyenne en dessous du mètre pour deux d'entre eux.

**Conclusion.** Bien que Gardénia reste pertinent en thermes de performance et au vu de sa capacité à proposer différents scénarios, il est intéressant de noter que PIRNN - un modèle hybride apprenant la dynamique des données et un modèle physique - arrive à surpasser Gardénia sur les piézomètres les plus difficiles à modéliser.

# Références

[1] N. Desprez and C. Megnien. *Atlas hydrogéologique de la Beauce*. BRGM, Service géologique régional du bassin de Paris, 1975.

[2] S. Hochreiter and J. Schmidhuber. Long Short-Term Memory. *Neural Computation*, 1997.

[3] M. Raissi, P. Perdikaris, and G.E. Karniadakis. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. *Journal of Computational Physics*, 2019.

[4] F. Rosenblatt. The perceptron: A probabilistic model for information storage and organization in the brain. *Psychological Review*, 65(6), 1958.

[5] D. Thiery. Forecast of changes in piezometric levels by a lumped hydrological model. *Journal of Hydrology*, 97(1-2), 1988.