# Les fonctions extrêmes de la classe de Fréchet à 3 dimensions

Giorgio Dall'Aglio

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## To cite this version:

Giorgio Dall'Aglio. Les fonctions extrêmes de la classe de Fréchet à 3 dimensions. Annales de l'ISUP, 1960, IX (2), pp.175-188. hal-04092837

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Submitted on 9 May 2023

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# LES FONCTIONS EXTRÊMES DE LA CLASSE DE FRÉCHET A 3 DIMENSIONS

Giorgio DALL'AGLIO

Comme on le sait, la classe de Fréchet des fonctions de répartition double possède une fonction maximum et une fonction minimum, mais en passant à trois et à plus de trois dimensions, on a toujours la fonction maximum, tandis que la fonction minimum de la classe n'existe pas, en général.

Cette note va présenter quelques considérations sur le changement de structure qui, dans le passage de deux à plus de deux variables, fait perdre cette caractéristique importante. De plus, elle donnera une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe dans la classe de Fréchet à trois dimensions une fonction de répartition minimum.

## I - PRELIMINAIRES -

Etant données deux fonctions de répartition simple $\Phi_1(x)$ et $\Phi_2(y)$ on appelle classe de Fréchet $\Gamma(\Phi_1, \Phi_2)$ associée aux deux fonctions données la classe des fonctions de répartition double $\Phi(x, y)$ qui admettent $\Phi_1(x)$ et $\Phi_2(y)$ comme fonctions de répartition marginales. On a ainsi :

$$ \lim_{x \to +\infty} \Phi(x, y) = \Phi_2(y) \quad \text{et} \quad \lim_{y \to +\infty} \Phi(x, y) = \Phi_1(x) \qquad (1) $$

Les fonctions $\Phi(xy)$ de $\Gamma(\Phi_1, \Phi_2)$ satisfont aux conditions

$$ \max[\Phi_1(x) + \Phi_2(y) - 1, 0] \le \Phi(x, y) \le \min[\Phi_1(x), \Phi_2(y)] \quad (2) $$

et les deux fonctions obtenues en plaçant le signe d'égalité respectivement à gauche et à droite
$$ \Phi^{(0)}(x, y) = \max[\Phi_1(x) + \Phi_2(y) - 1, 0], \quad \Phi^{(1)}(x, y) = \min[\Phi_1(x), \Phi_2(y)] \quad (3) $$

sont encore des fonctions de répartition, et représentent la fonction minimum et la fonction maximum de la classe de Fréchet(1).

En passant à trois variables, on définit encore comme classe de Fréchet $\Gamma(\Phi_1, \Phi_2, \Phi_3)$ la classe des fonctions de répartition triple $\Phi(x, y, z)$ qui possèdent $\Phi_1(x)$, $\Phi_2(y)$ et $\Phi_3(z)$ comme fonctions de répartition marinales, telles que l'on ait :

$$ \lim_{\substack{x \to +\infty \\ y \to +\infty}} \Phi(x, y, z) = \Phi_3(z), \quad \lim_{\substack{x \to +\infty \\ z \to +\infty}} \Phi(x, y, z) = \Phi_2(y), \quad \lim_{\substack{y \to +\infty \\ z \to +\infty}} \Phi(x, y, z) = \Phi_1(x) \quad (4) $$

Elles satisfont aux limites :

$$ \max[\Phi_1(x) + \Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 2, 0] \le \Phi(x, y, z) \le \min[\Phi_1(x), \Phi_2(y), \Phi_3(z)] \quad (5) $$

La fonction

$$ \Phi^{(1)}(x, y, z) = \min[\Phi_1(x), \Phi_2(y), \Phi_3(z)] \quad (6) $$

est une fonction de la classe $\Gamma(\Phi_1, \Phi_2, \Phi_3)$ tandis que la fonction

$$ \Phi^{(0)}(x, y, z) = \max[\Phi_1(x) + \Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 2, 0] \quad (7) $$

n'est pas en général une fonction de répartition. En conséquence, la classe $\Gamma(\Phi_1, \Phi_2, \Phi_3)$ a toujours une fonction maximum, mais n'a pas en général de fonction minimum (en ce sens qu'en chaque point elle est inférieure ou égale à toutes les fonctions de la classe)(2).

On voit donc qu'en passant de deux à trois dimensions, la classe de Fréchet perd l'une de ses propriétés, celle d'avoir une fonction minimum. Nous nous proposons d'examiner sur la base de quelles considérations on peut justifier un tel changement de caractéristiques.

## II - CARACTERISTIQUES DES FONCTIONS EXTREMES DANS LE CAS DE DEUX ET DE TROIS DIMENSIONS -

Pour mettre au clair les propriétés des fonctions de répartition maximum et minimum dans la classe de Fréchet à deux dimensions, rappelons-nous que la première rend maximum la corrélation entre

<footnote>(1) M. Fréchet: "Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données" Annales Univ. Lyon, (1951).</footnote>

<footnote>(2) R. Féron: "Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données, cas de l'espace à trois dimensions". Publ. Inst. Stat. Univ. Paris, vol.V, fasc.I (1956).</footnote>
les deux variables, et la seconde au contraire la rend minimum (c'est-
à-dire grande en valeur absolue, mais négative).

Ces deux résultats sont, en fait, conséquence l'un de l'autre,
parce que de la fonction maximum on passe à la fonction minimum et
vice versa, par un changement de signe sur l'une des variables. Cette
propriété - déjà implicite dans l'œuvre de Salvemini pour ce qui regarde
les tableaux de "cograduazione et contrograduazione"(1) - se démontre
immédiatement en revenant à la définition des fonctions de répartition.

Dans ce but, considérons à côté des variables aléatoires X et Y
la variable aléatoire U = -X dont la fonction de répartition est:
Ψ₁(u) = 1 - Φ₁(-u⁺).

A la fonction de répartition Φ⁽¹⁾(x, y) maximum dans la classe
Γ(Φ₁, Φ₂) correspond alors la fonction :

$$
\begin{align*}
\Psi(u, y) &= \operatorname{Prob}\{U < u, Y < y\} = \operatorname{Prob}\{-X < u, Y < y\} = \\
&= \operatorname{Prob}\{X > -u, Y < y\} = \operatorname{Prob}\{Y < y\} - \operatorname{Prob}\{X \le -u, Y < y\} = \\
&= \Phi_2(y) - \Phi^{(1)}(-u^+, y) = \Phi_2(y) - \min[\Phi_1(-u^+), \Phi_2(y)] = \\
&= \Phi_2(y) - \min[1 - \Psi_1(u), \Phi_2(y)] = \Phi_2(y) + \max[\Psi_1(u) - 1, \Phi_2(y)] = \\
&= \max[\Psi_1(u) + \Phi_2(y) - 1, 0] = \Psi^{(0)}(u, y)
\end{align*}
$$

c'est-à-dire la fonction de répartition minimum dans la classe Γ(Ψ₁, Φ₂).

Il est alors évident que, si la première fournit la corrélation ma-
mimum entre y et x, la seconde donnera la corrélation minimum entre
y et u = -x.

En passant au cas de trois dimensions, la fonction maximum
Φ⁽¹⁾(x, y, z) a comme fonctions de répartition double marginales les
trois fonctions maximums Φ⁽¹⁾(x, y), Φ⁽¹⁾(x, z) et Φ⁽¹⁾(y, z). Ainsi, il
leur correspond la corrélation maximum entre les trois variables pri-
ses deux à deux. D'une façon analogue, à la fonction minimum Φ⁽⁰⁾(x,y,z) ,
si elle existait, devrait correspondre la corrélation négative maxi-
mum entre les variables prises deux à deux.

Mais la coexistence des trois corrélations maximums négatives est difficile à admettre, d'un point de vue intuitif. On serait porté à penser le contraire, que si deux variables x et y ont toutes les deux la corrélation négative maximum par rapport à une troisième variable z, elles doivent avoir entre elles la corrélation positive maximum.

(1) En fait, les tableaux de "cograduazione e contrograduazione" s'obtiennent par le même procédé, mais en partant de deux sommets contigüs. T. Salvemini: "Sugli indici di omofilia". Atti I Riunione della Soc. Ital. di Statistica (1939).
Cela, comme nous le verrons par la suite, n'est pas vrai en général, mais il est vrai sous certaines conditions assez larges. Une condition suffisante est que la fonction de répartition $\Phi_3(z)$ prenne toutes les valeurs $1 - \Phi_1(x)$ ou toutes les valeurs $1 - \Phi_3(z)$; ce qui arrive nécessairement, par exemple, si la fonction $\Phi_3(z)$ est continue.

De ces considérations résulte clairement l'impossibilité qu'il existe en général une fonction minimum dans la classe de Fréchet à trois dimensions. D'autre part, le procédé utilisé pour les fonctions de répartition double, de changer le signe de l'une des variables, conduit ici à des résultats différents. En effet étant données trois variables corrélés positivement deux à deux, si on change le signe de l'une d'elles, celle-ci sera alors corrélée négativement à chacune des deux autres. Mais ces dernières continueront à être corrélées positivement entre elles. On n'arrivera donc jamais par ce procédé, à passer d'une fonction de répartition maximum à une fonction de répartition minimum pour la classe de Fréchet des fonctions de répartition triple, même dans les cas où cette dernière existe.

### III - LE POINT DE VUE DE LA DISPERSION -

Aux considérations développées jusqu'à présent, on peut en ajouter d'autres qui se rapportent à la question d'un point de vue différent. Dans ce but, rappelons d'abord quelques résultats relatifs aux moments de $\Phi(x, y)$ par rapport à une droite du plan.

Le moment d'ordre r par rapport à la droite $y = x$ est la moyenne de la puissance r ième de la distance d'un point aléatoire à la même droite, c'est-à-dire :

$$M_r[\Phi] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} |y - x|^r d\Phi(x, y) \quad (r \ge 1) \quad (8)$$

Il prend la valeur minimum dans la classe de Fréchet pour la fonction maximum $\Phi^{(1)}(x, y)$ et la valeur maximum pour la fonction minimum $\Phi^{(0)}(x, y)$. Les résultats s'intervertissent si l'on considère le moment $M_r'[\Phi]$ par rapport à la droite (orthogonale à la première) $y = -x$ :

$$M_r'[\Phi] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} |y + x|^r d\Phi(x, y) \quad (r \ge 1) \quad (9)$$

En effet, il prend la valeur minimum pour $\Phi(x, y) = \Phi^{(0)}(x, y)$ et la valeur maximum pour $\Phi(x, y) = \Phi^{(1)}(x, y)^{(1)}$.

<footnote>(1) G. Dall'Aglio: "Sugli estremi dei momenti delle funzioni di ripartizione doppia". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Scienze, S. III, vol. X, fasc. 1-2 (1956).</footnote>
Ce changement de rôle des fonctions extrêmes trouve son explanation dans le fait connu par ailleurs que l'une dérive de l'autre par un changement de signe dans l'une des variables.

Maintenant, les moments $M_1[\Phi]$ et $M_1[\Phi]$ peuvent être considérés comme des mesures de dispersion, relativement à la droite $y = x$ et à la droite $y = -x$. Avec cette interprétation, les résultats obtenus précédemment peuvent s'exprimer sous une autre forme :

a) La fonction minimum $\Phi^{(0)}(x, y)$ caractérise la distribution qui, pour une même distribution marginale, a la dispersion maximum par rapport à la droite $y = x$ et la dispersion minimum (ou, en d'autres termes, la concentration maximum) par rapport à la droite $y = -x$;

b) La fonction maximum $\Phi^{(1)}(x, y)$ au contraire, correspond à la distribution dont la dispersion est minimum par rapport à la droite $y = x$ et maximum par rapport à la droite $y = -x$.

Les deux fonctions extrêmes ont donc de ce point de vue le même rôle, à condition de changer la droite $y = x$ avec la droite $y = -x$.

0000000

Il est évident que ces résultats ne peuvent pas être conservés lorsque l'on passe à la fonction de répartition triple. En effet, dans l'espace à trois dimensions, l'espace linéaire orthogonal à une droite n'est plus une droite, mais un plan; et alors la fonction maximum de la classe de Fréchet et la fonction minimum, si elle existe, ont par rapport aux effets de la dispersion une signification essentiellement différente.

Adoptons encore comme mesure de la dispersion les moments, relativement à la droite $r$ d'équation : $x = y = z$ et relativement au plan $\pi$ qui lui est orthogonal, d'équation $x + y + z = 0$; et, pour la simplicité des calculs limitons-nous alors à l'étude des moments du second ordre.

La distance $d_1$ d'un point $(x, y, z)$ à la droite $r$, est donnée par un calcul facile par :

$$ 
\begin{aligned}
d_1^2 &= \left( \frac{2x - y - z}{3} \right)^2 + \left( \frac{-x + 2y - z}{3} \right)^2 + \left( \frac{-x - y + 2z}{3} \right)^2 = \\
&= \frac{1}{3} (2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz) = \frac{1}{3} [(x-y)^2 + (x-z)^2 + (y-z)^2]
\end{aligned}
$$
et alors le moment d'ordre 2 relativement à la droite r que nous continuerons de représenter par $M_2[\Phi]$ est donné par la relation

$$M_2[\Phi] = E(d_1^2) = \frac{1}{3} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (x - y)^2 d\Phi_{12}(x, y) + \\ + \frac{1}{3} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (x - z)^2 d\Phi_{13}(x, z) + \frac{1}{3} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (y - z)^2 d\Phi_{23}(y, z) \quad (10)$$

la distance $d_2$ au plan $\pi$ est donnée par :

$$ \begin{aligned} d_2^2 &= \frac{1}{3} (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz) = \\ &= x^2 + y^2 + z^2 - \frac{1}{3} (2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz) = \\ &= x^2 + y^2 + z^2 - d_1^2 \end{aligned} $$

donc, pour le moment d'ordre 2, $M'_2[\Phi]$, relativement au plan $\pi$ on a :

$$M'_2[\Phi] = E(d_2^2) = E(x^2) + E(y^2) + E(z^2) - E(d_1^2) = k - M_2[\Phi] \quad (11)$$

où nous désignons par $k$ la somme des trois termes qui ne dépendent pas de l'association des trois variables, mais seulement des fonctions de répartition simple.

En conclusion, si nous voulons mesurer la dispersion par les moments d'ordre 2, nous obtenons encore ce résultat qu'à la dispersion maximum par rapport à la droite r correspond la dispersion minimum, ou la concentration maximum, par rapport au plan.

Par la relation (10), on voit immédiatement que le minimum de la dispersion par rapport à la droite r s'obtient par l'intermédiaire de la fonction de répartition maximum $\Phi^{(1)}(x, y, z)$ qui rend maximums les trois fonctions de répartition double marginales et donc rend silmultanément minimums les trois termes à droite.

A la concentration maximum par rapport à la droite $x = y = z$, correspond aussi la concentration maximum sur les trois plans de coordonnées par rapport aux projections de la même droite.

De la même manière, si la fonction minimum existe, on a sur les trois plans de coordonnées, la concentration maximum relativement aux droites $x=-y$, $x=-z$, $y=-z$. On devrait avoir en conséquence, dans l'espace à trois dimensions, la concentration maximum par rapport à la droite qui aurait comme projections sur les trois plans de
coordonnées les trois droites données. Une telle droite, sauf dans des
cas limites, n'existe pas, puisque des deux premières équations ré-
sulte, contrairement à la troisième, y = z.

En substance, toujours en se reportant aux moments du second
ordre, à la fonction maximum correspond la concentration maximum
par rapport à une droite, et à la fonction minimum la concentration
maximum par rapport à un plan. A cette différence essentielle on peut
rattacher les diverses propriétés d'existence des deux fonctions.

IV - EXISTENCE DE LA FONCTION MINIMUM -

Des considérations faites précédemment, il résulte que l'exis-
tence d'une fonction minimum doit être liée à des conditions très par-
ticulières. Pour préciser de telles conditions, il est opportun de se
reporter à quelques résultats sur la compatibilité des fonctions de ré-
partition double(1).

Trois fonctions de répartition double Φ₁₂(x, y), Φ₁₃(x, z), et
Φ₂³(y, z) sont dites compatibles s'il existe une fonction de répartition
triple qui les admette comme fonctions de répartition double margi-
nales. Fixons arbitrairement deux fonctions de répartition double
ξ₁₂(x, y) et Φ₁₃(x, z) satisfaisantes à la condition :

$$
\lim_{y \to \infty} \Phi_{12}(x, y) = \lim_{z \to \infty} \Phi_{13}(x, z) \quad (12)
$$

les fonctions de répartition double Φ₂³(y, z) compatibles avec elles
forment une classe C [Φ₁₂Φ₁₃]. Une telle classe, qui peut être réduite
à un seul élément mais n'est jamais vide, est un sous-ensemble de la
classe de Fréchet Γ(Φ₂Φ₃), et a une fonction minimum Φ*₂³(y, z) et une
fonction maximum Φ**₂³(y, z) qui peuvent coïncider.

Dans le cas particulier où les fonctions Φ₁₂(x, y) et Φ₁₃(x, z) sont
toutes les deux minimums dans la classe de Fréchet, c'est-à-dire
quand on a :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Phi_{12}(x, y) = \Phi_{12}^{(0)}(x, y) = \max[\Phi_1(x) + \Phi_2(y) - 1, 0] \\
\Phi_{13}(x, z) = \Phi_{13}^{(0)}(x, z) = \max[\Phi_1(x) + \Phi_3(z) - 1, 0]
\end{array}
\right.
\qquad (13)
$$

la fonction maximum de C [Φ<sub>12</sub><sup>(0)</sup>Φ<sub>13</sub><sup>(0)</sup>] coïncide avec la fonction Φ<sub>23</sub><sup>(1)</sup>(y, z) :

$$
\Phi_{23}^{**}(y, z) = \Phi_{23}^{(1)}(y, z) = \min[\Phi_{2}(y), \Phi_{3}(z)]
$$

la fonction minimum Φ'₂₃(y, z), au contraire, aux points (x, y) pour les-
quels existe une valeur x̄, telle qu'il soit :
$$ \Phi_1(\bar{x}) < \begin{cases} 1 - \Phi_2(y) \\ 1 - \Phi_3(z) \end{cases} < \Phi_1(\bar{x}^+) \quad (14) $$

est donnée par :

$$ \Phi_{23}^*(y, z) = \max[\Phi_1(\bar{x}) + \Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1, 1 - \Phi_1(\bar{x}^+)] \quad (15) $$

tandis qu'aux points où la relation (14) n'est pas satisfaite, elle coïnci-
de avec $\Phi_{23}^{**}(y, z)$; c'est-à-dire :

$$ \Phi_{23}^* = \min[\Phi_2(y), \Phi_3(z)] \quad (16) $$

Les résultats rappelés ci-dessus nous permettent d'établir un théorème sur la compatibilité des trois fonctions de répartition minimums. Nous représentons par $x_1$ la limite inférieure des valeurs de x pour lesquelles $\Phi_1(x) > 0$, c'est-à-dire qu'on a, pour $\epsilon > 0$, $\Phi_1(x_1) = \Phi_1(x_1^+) = 0$; $\Phi_1(x_1 + \epsilon) > 0$. Nous désignerons ensuite par $x_2$ la limite supérieure des valeurs de x pour lesquelles $\Phi_1(x) < 1$, c'est-à-dire qu'on a, pour $\epsilon > 0$: $\Phi_1(x_2 - \epsilon) < 1$; $\Phi_1(x_2^+) = 1$.

En raison des caractéristiques des fonctions de répartition, $x_1$ et $x_2$ existent toujours, pouvant au plus devenir, respectivement, $+\infty$ et $-\infty$ cas dans lequel pour x fini on aura $0 < \Phi_1(x) < 1$.

De la même manière, nous définissons les valeurs $y_1$, $\text{et } y_2$, $z_1$ et $z_2$.

Nous démontrons alors le théorème suivant :

## THEOREME I -

Pour que trois fonctions de répartition double minimums soient compatibles, il est nécessaire et suffisant que soit vérifiée une des deux relations :

$$ \Phi_1(x_1^+) + \Phi_2(y_1^+) + \Phi_3(z_1^+) \ge 2 \quad (17) $$

ou

$$ \Phi_1(x_2) + \Phi_2(y_2) + \Phi_3(z_2) \le 1 \quad (18) $$

Soient trois fonctions de répartition double minimums compatibles. Après avoir choisi de façon arbitraire deux des plans de coordonnées, par exemple $(x, y)$ et $(x, z)$, et après avoir rendu minimums les fonctions de répartition relatives $\Phi_{12}(x, y)$ et $\Phi_{13}(x, z)$, la fonction :

Note (1) de la page précédente.

<footnote>(1) Dall'Aglio: "Sulla compatibilità delle funzioni di ri partizione doppia". Rendiconti di Matematica, vol. 18; fasc. 3-4 (1959); en particulier le théorème IX.</footnote>
$$ \Phi_{23}^{(0)}(y, z) = \max[\Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1, 0] \quad (19) $$

doit appartenir à la classe $C[\Phi_{12}^{(0)} \Phi_{13}^{0}]$ et par conséquent coïncider avec la fonction minimum de $C[\Phi_{12}^{(0)} \Phi_{13}^{(0)}]$. Donc, pour démontrer le théorème, il suffit de démontrer que la validité des relations (17) ou (18) est une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction $\Phi_{23}^{(0)}(y, z)$ (donnée par la relation (19)) coïncide avec $\Phi_{23}^{*}(y, z)$ (donnée par la relation (15) ou par la relation (16), selon que (14) soit réalisée ou non).

Démontrons d'abord que la condition est nécessaire.

Si l'une des deux fonctions $\Phi_2(y)$ et $\Phi_3(z)$ est égale à 0 ou 1, la relation (16) coïncide avec la relation (19). Nous devrons donc nous occuper seulement des points $(y, z)$ pour lesquels on a :

$$ 0 < \Phi_2(y) < 1 \quad \text{et} \quad 0 < \Phi_3(z) < 1 \quad (20) $$

En ces points, on a toujours : $\max[\Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1, 0] < \min[\Phi_2(y), \Phi_3(z)]$ et pour qu'on puisse obtenir l'égalité entre $\Phi_{23}^{(0)}(y, z)$ et $\Phi_{23}^{*}(y, z)$, cette dernière fonction doit prendre la forme (15); on doit avoir, donc :

$$ \max[\Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1, 0] = \max[\Phi_1(\bar{x}) + \Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1, 1 - \Phi_1(x^+)] \quad (21) $$

il est nécessaire qu'on ait $\Phi_1(\bar{x}) = 0$ ou bien $\Phi_1(\bar{x}^+) = 1$. En effet si $\Phi_1(\bar{x}^+) \neq 1$, le second membre de la relation (21) est différent de 0; alors le premier membre doit l'être aussi et sera égal à $\Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1$. En outre pour avoir l'égalité, il est nécessaire que :

$$ \Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1 \ge \Phi_1(\bar{x}) + \Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1, \quad \text{ou} \quad \Phi_1(\bar{x}) = 0 $$

En d'autres termes, $\bar{x}$ doit être égal à $x_1$ ou à $x_2$. Dans le premier cas, on a $\Phi_1(\bar{x}) = \Phi_1(x_1) = 0$, $\Phi_1(\bar{x}^+) = \Phi_1(x_1^+) < 1$ (autrement la variable $x$ prend la seule valeur $x_1$), et alors en raison de l'égalité (21), on doit avoir : $\Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1 \ge 1 - \Phi_1(x_1^+)$ c'est-à-dire :

$$ \Phi_1(x_1^+) + \Phi_2(y) + \Phi_3(z) \ge 2 \quad (22) $$

Dans le second cas, on obtient de la même manière :

$$ \Phi_1(x_2) + \Phi_2(y) + \Phi_3(z) \le 1 \quad (23) $$

Alors, pour qu'on ait partout $\Phi_{23}^{(0)}(y, z) = \Phi_{23}^{*}(y, z)$, en tout point $(x, y)$ satisfaisant à la relation (20), on doit avoir les relations (22) ou (23). Mais celles-ci ne peuvent exister simultanément en deux
points différents; en effet, s'il y avait :

$$ \Phi_2(y') + \Phi_3(z') \le 1 - \Phi_1(x_2), \quad \Phi_2(y'') + \Phi_3(z'') \ge 2 - \Phi_1(x_1^+) $$

on aurait :

$$ \begin{cases} \Phi_1(y') + \Phi_3(z'') < \Phi_2(y') + \Phi_3(z') + 1 \le 2 - \Phi_1(x_2) \le 2 - \Phi_1(x_1^+) \\ \Phi_2(y') + \Phi_3(z'') > \Phi_2(y'') + \Phi_3(z'') - 1 \ge 1 - \Phi_1(x_1^+) \ge 1 - \Phi_1(x_2) \end{cases} $$

et donc au point $(y', z'')$, on n'aurait ni la relation (22) ni la relation (23); mais on aurait : $\Phi_{23}^{(0)}(y', z'') \ne \Phi_{23}^*(y', z'')$.

En conclusion, pour qu'en tout point on ait la relation (21) ou, ce qui est la même chose, pour qu'on ait partout : $\Phi_{23}^{(0)}(y, z) = \Phi_{23}^*(y, z)$ ou bien on doit avoir la relation (22) pour tous les points satisfaisant à la relation (20), et on obtient alors la relation (17); ou bien pour les mêmes points on doit avoir la relation (23) et on obtient (18).

Nous avons ainsi démontré que la condition est nécessaire; démontrer qu'elle est suffisante est immédiat.

Limitons-nous encore à la considération des points $(y, z)$ pour lesquels s'applique la relation (20), pour les autres points l'égalité étant toujours vérifiée. Si la relation (17) est vérifiée, aucun des trois termes du premier membre ne pouvant être égal à 1 (sinon on aurait une variable qui prendrait une seule valeur), on aura en tout point : $\Phi_1(x_1^+) + \Phi_2(y) - 1 \ge 1 - \Phi_3(z_1^+) > 0$ et $\Phi_1(x_1^+) + \Phi_3(z) - 1 \ge 1 - \Phi_2(y_1^+) > 0$ et donc la relation (14) s'applique avec $\bar{x} = x_1$. La fonction $\Phi_{23}^*(y, z)$ pour la relation (15) devient alors : $\Phi_{23}^*(y, z) = \max[\Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1, 1 - \Phi_1(x_1^*)]$; mais en raison de (17) : $\Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1 \ge 1 - \Phi_1(x_1^*) > 0$ et alors :

$$ \begin{aligned} \Phi_{23}^*(y, z) &= \max[\Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1, 1 - \Phi_1(x_1^*)] = \Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1 = \\ &= \max[\Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 1, 0] = \Phi_{23}^{(0)}(y, z) \end{aligned} $$

Le raisonnement est analogue si on a la relation (18). Le théorème est ainsi démontré.

○○○○○○○

Nous pouvons maintenant démontrer facilement le critère suivant pour l'existence d'une fonction minimum.
## THEOREME II -

Pour que dans la classe de Fréchet à trois dimensions $\Gamma(\Phi_1, \Phi_2, \Phi_3)$ existe une fonction minimum il est nécessaire et suffisant que soit vérifiée une des deux relations (17) ou (18).

Pour démontrer que c'est une condition nécessaire, nous nous reportons au théorème I. S'il existe une fonction minimum $\Phi^{(0)}(x, y, z)$, ses trois fonctions de répartition double marginales doivent être nécessairement minimums dans les classes respectives de Fréchet. Supposons en effet qu'elles ne le soient pas, et que l'on ait, par exemple, en un point $(x, y) : \lim_{z \to \infty} \Phi^{(0)}(x, y, z) > \Phi^{(0)}_{12}(x, y).

Considérons alors la fonction $\Phi'(x, y, z) = \Phi^{(0)'}_{12}(x, y)\Phi_3(z)$; elle appartient à la classe $\Gamma(\Phi_1, \Phi_2, \Phi_3)$. Pour une valeur de z assez grande, on a : $\Phi^{(0)'}(xyz) > \Phi^{(0)'}_{12}(x, y) \geq \Phi^{(0)'}_{12}(x, y) \Phi_3(z) = \Phi'(x, y, z)$. C'est contraire à l'hypothèse que la fonction $\Phi^{(0)'}(x, y, z)$ soit minimum dans la classe $\Gamma(\Phi_1, \Phi_2, \Phi_3)$.

Alors, pour que dans la classe $\Gamma(\Phi_1, \Phi_2, \Phi_3)$ existe une fonction minimum, il est nécessaire que les trois fonctions de répartition double minimums soient compatibles, et donc, en raison du théorème I, que soit vérifiée la relation (17) ou (18).

Il est opportun de remarquer que les conditions (17) et (18) sont strictement reliées par la symétrie que nous avons déjà notée. Si, en effet, on change simultanément de signe les trois variables, les fonctions de répartition double marginales minimums se transforment en fonctions qui sont encore minimums, et alors la fonction de répartition triple minimum se transforme en une fonction minimum. D'autre part, à cause des propriétés des fonctions de répartition simple, la relation (17) se transforme en (18) et vice versa. En effet, après avoir posé : $u = -x, v = -y, w = -z$ les fonctions de répartition de u, v, et w sont données par :

$$ \Psi_1(u^+) = 1 - \Phi_1(-u); $$

$$ \Psi_2(v^+) = 1 - \Phi_2(-v); $$

$$ \Psi_3(w^+) = 1 - \Phi_3(-w); $$

On a en outre : $u_1 = -x_2; v_1 = -y_2; w_1 = -z_2$ et donc par (18) : $1 - \Psi_1(u_1^+) + 1 - \Psi_2(v_1^+) + 1 - \Psi_3(w_1^+) \leq 1$, c'est-à-dire la relation (17) pour les variables u, v, w.

Nous pouvons donc, dans cette seconde partie de la démonstration nous limiter à l'étude de la relation (17) : une fois la démonstration faite avec elle, il en résultera que la condition suffisante sera démontrée avec un changement de variables pour la relation (18).
Montrons maintenant que, si l'on admet (17) la classe $\Gamma(\Phi_1, \Phi_2, \Phi_3)$ contient la fonction $\Phi^{(0)}(x, y, z)$ définie par la relation (7)

$$ \Phi^{(0)}(x, y, z) = \max[\Phi_1(x) + \Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 2, 0] \quad (24) $$

Alors pour la relation (5) elle sera la fonction minimum de $\Gamma(\Phi_1, \Phi_2, \Phi_3)$.

Il est évident que la fonction (24) a comme fonctions de répartition simple marginales $\Phi_1(x)$, $\Phi_2(y)$, $\Phi_3(z)$. En outre pour n'importe laquelle des trois variables tendant vers $-\infty$ la fonction tend vers 0. Il suffit donc de démontrer que sa variation triple ne peut jamais être négative.

Deux points étant fixés, $(x', y', z')$ et $(x'', y'', z'')$, avec $x' < x'', y' < y'', z' < z''$, une telle variation triple est :

$$ \begin{aligned} \Delta^{(3)} \Phi^{(0)}(x, y, z) = & \max[\Phi_1(x'') + \Phi_2(y'') + \Phi_3(z'') - 2, 0] - \\ & \max[\Phi_1(x'') + \Phi_2(y'') + \Phi_3(z') - 2, 0] - \\ & \max[\Phi_1(x'') + \Phi_2(y') + \Phi_3(z'') - 2, 0] - \\ & \max[\Phi_1(x') + \Phi_2(y'') + \Phi_3(z'') - 2, 0] + \\ & \max[\Phi_1(x'') + \Phi_2(y') + \Phi_3(z') - 2, 0] + \\ & \max[\Phi_1(x') + \Phi_2(y'') + \Phi_3(z') - 2, 0] + \\ & \max[\Phi_1(x') + \Phi_2(y') + \Phi_3(z'') - 2, 0] - \\ & \max[\Phi_1(x') + \Phi_2(y') + \Phi_3(z') - 2, 0] \end{aligned} \quad (25) $$

En se basant sur (17), en chaque point $(x, y, z)$ avec $\Phi_1(x') > 0$, $\Phi_2(y') > 0$, $\Phi_3(z') > 0$, on a : $\Phi_1(x) + \Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 2 \ge 0$ et en un tel point il en résulte :

$$ \max[\Phi_1(x) + \Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 2, 0] = \Phi_1(x) + \Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 2; \quad (26) $$

tandis que si l'une au moins des trois variables s'annule, il en découle :

$$ \max[\Phi_1(x) + \Phi_2(y) + \Phi_3(z) - 2, 0] = 0 $$

Donc, si $\Phi_1(x'') = 0$, on doit avoir encore : $\Phi_1(x') = 0$ et tous les termes du second membre de la relation (25) s'annulent, et il reste : $\Delta^{(3)}\Phi^{(0)}(x, y, z) = 0$. On peut dire la même chose pour $\Phi_2(y'')$ et $\Phi_3(z'')$. Supposons alors ces trois valeurs différentes de 0, et considérons $\tilde{\Phi}_1(x')$
$\Phi_2(y')$ et $\Phi_3(z')$. Si ces trois valeurs sont différentes de 0, pour tous les termes du second membre de (25) on a la relation (26), et la somme est nulle; si l'une d'entr' elles est nulle, les quatre termes qui le contiennent, au second membre de la relation (25), s'annulent, tandis que les autres prennent la forme (26), en donnant encore une somme nulle.

Si, d'ailleurs, deux des trois valeurs sont nulles, par exemple $\Phi_1(x')$ et $\Phi_2(y')$, au second membre de (25) seulement les deux premiers termes prennent la forme (26) et on a : $\Delta^{[3]}\Phi^{(0)}(x,y,z) = \Phi_3(z'') - \Phi_3(z') \ge 0$; finalement si les trois valeurs sont toutes nulles, on a :

$$ \Delta^{[3]}\Phi^{(0)}(x, y, z) = \Phi_1(x'') + \Phi_2(y'') + \Phi_3(z'') - 2 \ge 0 $$

On a ainsi démontré que la relation (17) est une condition suffisante.

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Examinons brièvement les caractéristiques d'une fonction de répartition minimum. Nous pouvons, en raison des considérations déjà faites nous limiter à une seule des deux conditions, par exemple, à la condition (17).

Sous une telle condition, comme on le voit par le développement de la démonstration, la variation triple peut être différente de 0 seulement quand $\Phi_1(x'')$, $\Phi_2(y'')$, $\Phi_3(z'')$ diffèrent de 0, et aux moins deux des trois valeurs $\Phi_1(x')$, $\Phi_2(y')$, $\Phi_3(z')$ sont nulles.

Mais en raison de la définition de $x_1$, la condition $\Phi_1(x) = 0$ est équivalente à $x < x_1$; il en est de même de $y_1$ et $z_1$; donc si les trois valeurs sont nulles on a :

$$ x' \le x_1 < x''; \quad y' \le y_1 < y''; \quad z' \le z_1 < z'' $$

Si, au contraire, sont nulles deux d'entre elles, par exemple les deux premières on a :

$$ x' \le x_1 < x''; \quad y' \le y_1 < y''; \quad z_1 < z' < z'' $$

Dans le premier cas, l'intervalle tridimensionnel sur lequel est calculée la variation contient le point $(x, y, z)$; dans le second cas, au contraire, il contient une partie de la demi-droite d'équation : $x = x_1$, $y = y_1$ avec des valeurs de $z$ plus grandes que $z_1$.

En général, en tenant encore compte de la relation (18), nous
pouvons conclure que la fonction minimum dans la classe de Fréchet à trois dimensions, quand elle existe, correspond à une distribution dont le support appartient aux trois demi-droites issues du point $(x_1, y_1, z_1)$ et parallèles aux axes de coordonnées et de même sens, ou à une distribution dont le support appartient aux trois demi-droites issues du point $(x_2, y_2, z_2)$ et parallèles et de sens opposé aux axes de coordonnées.

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