# Sur les solutions des équations différentielles au sens de E. E. Wiktorowski

par A. TUROWICZ (Tyniec)

## § 1. Le but de la présente note est indiqué au commencement du § 2.

Dans la note [2] E. E. Wiktorowski considère un système d'équations différentielles ordinaires

$$ (1) \qquad y_i = f_i(x, y_1, \dots, y_n), \quad i = 1, \dots, n $$

et propose une définition de la solution généralisée du système (1). Les hypothèses suivantes y ont été admises: (cf. [2], p. 223-224):

(a) $f_i$ sont mesurables dans un domaine $G$ à $(n+1)$ dimensions. $G(x')$ désigne l'intersection de $G$ et du plan $x = x'$.

(b) $M_1(x) = \max\{\text{vrai } \max_{y \in G(x)} |f_i(x, y)|\}$ est sommable; $M(x) = M_1(x) + \gamma$ où $\gamma > 0$.

Soit $(x_0, y_0, \dots, y_{n_0}) \in G$. Le domaine $P$ est défini par les relations

$$ \begin{gathered} x \in X, \quad \text{où} \quad X = \langle x_0, x_0 + a \rangle, \quad a > 0 \\ |y_i - y_{i0}| \le \int_{x_0}^{x} M(t)dt, \quad i = 1, \dots, n \end{gathered} $$

et satisfait à la condition $P \subset G$.

Dans ces hypothèses, la suite finie des fonctions $u_1(x), \dots, u_n(x)$ est dite solution généralisée du système (1) si pour $i, j = 1, \dots, n$ les conditions suivantes sont satisfaites:

1. $u_i(x)$ sont absolument continues sur $X$;

2. $u_i(x_0) = y_{i0}$, $(x, u_1(x), \dots, u_n(x)) \in P$ pour chaque $x \in X$;

3. pour tout $\varepsilon > 0$ et tout ensemble $N$ tel que $N \subset G$ et mes $N = 0$, il existe un système de $n^2$ fonctions $\psi_{ij}(x)$ telles que

A) $(x, \psi_{1i}(x), \dots, \psi_{ni}(x)) \in G$,

B) $f_i(x, \psi_{1i}(x), \dots, \psi_{ni}(x))$ sont sommables sur $X$,

C) $|u_i(x) - \psi_{ij}(x)| < \varepsilon$ sur $X$,
D) $|u_i(x) - y_{i0} - \int_{x_0}^{x} f_i(t, \psi_{1i}(t), \dots, \psi_{ni}(t)) dt| < \varepsilon$ sur $X$,

E) $(x, \psi_{1i}(x), \dots, \psi_{ni}(x)) \notin N$ pour presque tout $x \in X$.

**§ 2.** Le but de la présente note est d'attirer l'attention sur le fait que la propriété d'une suite de fonctions $u_1(x), u_2(x), \dots, u_n(x)$ d'être une solution généralisée au sens de E. E. Wiktorowski n'est pas invariante relativement aux rotations dans l'espace $(x_1, \dots, x_n)$ pour $n \ge 2$. Autrement dit si:

$$ (2) \qquad u_i(x) = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} v_k(x), \quad i = 1, \dots, n $$

où $\mathcal{A} = (a_{ik})$ est une matrice réelle, orthogonale et

$$ (3) \qquad z'_j = g_j(x, z_1, \dots, z_n) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} f_i \left( x, \sum_{k=1}^{n} a_{1k} z_k, \dots, \sum_{k=1}^{n} a_{nk} z_k \right) $$

est le système des équations différentielles qu'on obtient du système (1) par la transformation (2):

$$ (4) \qquad y_i = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} z_k, \quad i = 1, \dots, n, $$

la suite finie $z_1, \dots, z_n$ n'est pas toujours une solution généralisée de (3) au sens de E. E. Wiktorowski.

Pour démontrer ce fait, nous posons $n = 2$ prenons pour système (1) celui des équations suivantes:

$$ (5) \qquad y_1' = 4 + 2 \operatorname{sgn} y_2, \quad y_2' = 2 - 4 \operatorname{sgn} y_2. $$

(Ce système a été étudié d'un autre point de vue par A. F. Filippow cf. [1].) G sera maintenant tout l'espace $(x, y_1, y_2)$, et nous poserons $x_0 = y_{10} = y_{20} = 0$. On a donc $X = \langle 0, a \rangle$, $a > 0$, et P est défini par les inégalités $x \in X$, $|y_i| \le 7x, i = 1, \dots, n$.

On démontrera que les fonctions

$$ (6) \qquad u_1(x) = 2x, \quad u_2(x) = 0 $$

forment une solution généralisée de (5).

En effet, pour $\varepsilon > 0$ on choisit les fonctions $\psi_{11}(x), \psi_{21}(x), \psi_{12}(x)$ satisfaisant aux conditions:

$$ (7) \qquad |2x - \psi_{11}(x)| < \varepsilon, \quad |2x - \psi_{12}(x)| < \varepsilon, \quad -\varepsilon < \psi_{21}(x) < 0. $$

Pour définir la fonction $\psi_{22}(x)$ on décompose l'intervalle $X$ en la somme des intervalles $X_1, \dots, X_{2p}$ où $X_j = \langle a_{j-1}, a_j \rangle$, $0 = a_0 < a_1 < a_2 < \dots < a_{2p} = a$; la fonction $\psi_{22}$ est soumise aux conditions:

$$ (8) \qquad \begin{cases} 0 < \psi_{22}(x) < \varepsilon & \text{pour } x \in X_{2j-1}, j = 1, \dots, p, \\ -\varepsilon < \psi_{22}(x) < 0 & \text{pour } x \in X_{2j}, j = 1, \dots, p \end{cases} $$
les nombres $\alpha_1, \dots, \alpha_{2p-1}$ étant déterminés de telle manière qu'on ait

$$ (9) \qquad \left| \int_0^x (2 - 4 \operatorname{sgn} \psi_{22}(t)) dt \right| < \varepsilon \quad \text{pour } x \in X. $$

Les inégalités (7), (8), (9) entraînent les inégalités 3°C) et 3°D). Pour démontrer qu'on peut choisir les fonctions $\psi_{ij}(x)$ en sorte que la condition 3°E) soit aussi satisfaite, désignons par $H$ l'ensemble défini par les inégalités: $x \in X$, $|2x - y_1| < \varepsilon, -\varepsilon < y_2 < 0$, et par $K$ l'ensemble $K = \bigcup_{i=1}^{2p} K_i$, où l'ensemble $K_i$ est défini par les inégalités:

$$ K_{2i-1}: \quad x \in X_{2i-1}, |2x - y_1| < \varepsilon, 0 < y_2 < \varepsilon, i = 1, \dots, p; $$

$$ K_{2i}: \quad x \in X_{2i}, |2x - y_1| < \varepsilon, -\varepsilon < y_2 < 0, i = 1, \dots, p. $$

Soient $H(x')$ et $K(x')$ les sections des ensembles $H$ et $K$ par le plan $x = x'$. D'après les conditions (7) et (8) le point $(x, \psi_{11}(x), \psi_{21}(x))$ doit être choisi dans $H(x)$, et le point $(x, \psi_{12}(x), \psi_{22}(x))$ dans $K(x)$. Pour un ensemble donné $N \subset G$, mes $N = 0$, on a mes $(H \cap N) = 0$, mes $(K \cap N) = 0$. Par conséquent les ensembles $H(x) \cap N$ et $K(x) \cap N$ sont de mesure nulle (plane) presque partout dans $X$. Mais, comme les mesures planes des ensembles $H(x)$ et $K(x)$ sont positives, il est possible de choisir les fonctions $\psi_{ij}(x)$ de telle manière que la condition 3°E) soit satisfaite. Le choix peut être arbitraire, aucune régularité des fonctions $\psi_{ij}(x)$ n'étant requise dans la définition de E. E. Wiktorowski, excepté la sommabilité des $f_i(x, \psi_{1i}, \dots, \psi_{ni})$ qui est évidente en vertu des conditions (7) et (8).

Maintenant les équations (5) et les solutions (6) seront soumises à la rotation:

$$ (10) \qquad \begin{aligned} y_1 &= \frac{1}{\sqrt{2}}(z_1 - z_2), & u_1(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}}(v_1(x) - v_2(x)), \\ y_2 &= \frac{1}{\sqrt{2}}(z_1 + z_2), & u_2(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}}(v_1(x) + v_2(x)). \end{aligned} $$

On aura

$$ (11) \qquad z_1' = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} \operatorname{sgn}(z_1 + z_2), \quad z_2' = -\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \operatorname{sgn}(z_1 - z_2), $$

$$ (12) \qquad v_1(x) = x\sqrt{2}, \quad v_2(x) = -x\sqrt{2}. $$

Pour que les fonctions (12) soient une solution généralisée de (11), il faudrait que pour tout $\varepsilon > 0$ existent des fonctions $\psi_{ij}(x)$ telles que les conditions 3° fussent satisfaites. On tire de 3°D):

$$ \left| V_1(x) - \int_0^x \left( 3\sqrt{2} - \sqrt{2} \operatorname{sgn} (\psi_{11}(t) + \psi_{21}(t)) \right) dt \right| < \varepsilon \quad \text{pour } x \in X, $$
c'est-à-dire:

$$ \left| 2x\sqrt{2} + \sqrt{2} \int_{0}^{x} \operatorname{sgn}(\psi_{11}(t) + \psi_{21}(t)) dt \right| < \varepsilon \quad \text{pour } x \in X. $$

Mais

$$ \left| 2x\sqrt{2} + \sqrt{2} \int_{0}^{x} \operatorname{sgn}(\psi_{11}(t) + \psi_{21}(t)) dt \right| \geq |2x\sqrt{2}| - \left| \sqrt{2} \int_{0}^{x} \operatorname{sgn}(\psi_{11}(t) + \psi_{21}(t)) dt \right| $$

pour $x \in X$ et en particulier pour $x = a$ on obtient $2a\sqrt{2} - a\sqrt{2} = a\sqrt{2} < \varepsilon$, ce qui est absurde.

## Travaux cités

[1] А. Ф. Филиппов (А. Ф. Filippow), Дифференциальное управление с разрывной правой частью, Matem. Sborn. 51 (93) (1960), p. 99-128.

[2] Е. Е. Викторовский (Е. Е. Wiktorowski), Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений, Matem. Sborn. 34 (76) (1954), p. 213-248.

INSTITUT MATHÉMATIQUE DE L'ACADÉMIE POLONAISE DES SCIENCES,
SECTION DE CRACOVIE

Reçu par la Rédaction le 7. 3. 1964

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