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# Une remarque sur l'invariant de Arf

Alexis Marin Bozonat

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Alexis Marin Bozonat. Une remarque sur l'invariant de Arf. 2014. hal-05138624

HAL Id: hal-05138624

https://hal.science/hal-05138624v1

Preprint submitted on 1 Jul 2025

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Une remarque sur l'invariant de Arf

par Alexis Marin

Résumé

Utilisant le «formalisme de Witt» décrit dans [2] on donne une construction, sans calcul de changement de base, de l'invariant de Arf des forme quadratiques en caractéristique 2.

Abstract

An alternative construction of the Arf-invariant of quadratic forms in characteristic 2.

1. CONOYAU D'ARTIN-SCHREIER ET EXTENSIONS RADICIELLES. — Soient $k$ un corps de caractéristique $p$ positive, $\Phi_k : k \to k, x \mapsto x^p$ et $\mathcal{P}_k$ ses Frobenius et Artin-Schreier (i.e. l'endomorphisme $\mathcal{P} = \Phi - \text{Id} : k \to k$ du groupe additif de $k$).

LEMME 0. — Une extension radicielle $\iota : k \subset K$ induit un isomorphisme

$$[\iota] : k/\mathcal{P}_k(k) \xrightarrow{\sim} K/\mathcal{P}_K(K)$$

Démonstration. — Soit $a$ dans $k$ avec $a = \mathcal{P}_K(x) = x^p - x$ où $x$ est dans $K$. Alors $x$ est dans $k$, puisque l'équation $X^p - X - a = 0$ est séparable, d'où l'injectivité.

Soit $x$ dans $K$ de hauteur $n$ sur $k$, ainsi $x^{p^n} = y$ est dans $k$, et $x = y - x^{p^n} + x^{p^{n-1}} + \dots - x^p + x = y - \mathcal{P}_K(x^{p^{n-1}} + \dots + x)$, d'où la surjectivité.

2. VOCABULAIRE DU FORMALISME DE WITT (Cf. [2]). — Une *forme quadratique* sur un corps $k$ est une application $q : V \to k$ définie sur un $k$-espace vectoriel $V$ de dimension finie et telle que $(x, y) \mapsto b(x, y) = q(x+y) - q(x) - q(y)$ est bilinéaire non dégénérée, la *forme bilinéaire de q*. Un $b$-Lagrangien de $b$ est un sous-espace $L$ de $V$ égal à son orthogonal. C'est un $q$-Lagrangien si de plus $q(L) = 0$. Une forme quadratique est *neutre* si elle a un $q$-Lagrangien. Le quotient du monoïde de somme orthogonale des formes quadratiques sur $k$ par le sous-monoïde des formes neutres est un groupe, le *groupe de Witt quadratique WQ*(k) du corps k.

3. FORMES QUADRATIQUES SUR UN CORPS PARFAIT DE CARACTÉRISTIQUE 2. Soit $q : V \to K$ une forme quadratique sur un corps parfait de caractéristique 2. On note $\sqrt{}$ l'inverse de $\Phi_K$. La forme bilinéaire $b$ de $q$ est alternée car $b(x, x) = 2q(x) = 0$ pour tout $x$ de $V$. Ayant une base symplectique (C.f. [3] I 3.5), cette forme a un $b$-Lagrangien, $L$. La fonction $\sqrt{q}$ est linéaire sur $L$ car pour $x, y$ de $L = L^\perp$ et $\lambda$ de $K$ on a : $\sqrt{q(x+y)} = \sqrt{q(x)} + b(x, y) + q(y) = \sqrt{q(x)} + q(y) = \sqrt{q(x)} + \sqrt{q(y)}$ et $\sqrt{q(\lambda x)} = \sqrt{\lambda^2 q(x)} = \lambda \sqrt{q(x)}$. Il y a donc dans $V$, car $b$ est non dégénérée, un vecteur de Wu $\omega$ de $L$, bien défini
modulo $L^{\perp} = L$ par la relation $b(\omega, l) = -\sqrt{q(l)}$ pour tout $l$ de $L$. Donc
$q(\omega + l) = q(\omega) + b(\omega, l) + q(l) = q(\omega) - \sqrt{q(l)} + \Phi(\sqrt{q(l)}) = q(\omega) + \mathcal{P}(\sqrt{q(l)}) :$

LEMME 1. — Quand $\omega + l$ parcourre la classe de $\omega$ modulo $L$ alors $q(\omega + l)$ est nul si $q$ est nulle sur $L$ et décrit une classe modulo $\mathcal{P}(K)$ sinon.

PROPOSITION. — La classe modulo $\mathcal{P}(K)$ de $q(\omega)$ ne dépend que de la classe de Witt de $q$ et $[q] \mapsto [q(\omega)]$ induit l’isomorphisme

$$
\mathrm{Parf} : WQ(K) \xrightarrow{\sim} K/\mathcal{P}(K)
$$

du groupe de Witt quadratique du corps $K$ sur le conoyau de son Artin-Schreier.

Démonstration. — Si $\omega$ est vecteur de Wu d’un $q$-Lagrangien alors $q(\omega) = 0$. De plus, si $\omega_i$, pour $i = 1,2$, sont vecteurs de Wu de $b$-Lagrangiens $L_i$ de formes quadratiques $q_i$, alors $\omega = \omega_1 + \omega_2$ est vecteur de Wu du $b$-Lagrangien $L_1 \oplus L_2$ de la somme orthogonale $q = q_1 \oplus q_2$ avec $q(\omega) = q_1(\omega) + q_2(\omega)$. Ainsi pour que Parf soit un morphisme bien défini sur le groupe de Witt quadratique il suffit, d'après le LEMME 1, de montrer que deux $b$-Lagrangiens $L_1$ et $L_2$ d'une forme quadratique $q$ ont un vecteur de Wu commun : Soit $\omega_i$ vecteur de Wu de $L_i$. Pour $l$ dans $L_1 \cap L_2$ on a $b(\omega_1 - \omega_2, l) = q(l) - q(l) = 0$. Ainsi $\omega_1 - \omega_2$, étant dans l'orthogonal $(L_1 \cap L_2)^\perp = L_1^\perp + L_2^\perp$, s'écrit $\omega_1 - \omega_2 = m_1 + m_2$ où $m_i$ est dans $L_i^\perp = L_i$. Le vecteur de Wu $\omega_1 - m_1 = \omega_2 + m_2$ convient.

Soit $q$ un représentant anisotrope du noyau de Parf. D'après le LEMME1 un $b$-Lagrangien $L$ a un vecteur de Wu $\omega$ avec $q(\omega) = 0$ donc $\omega = 0$ puisque $q$ est anisotrope. Ainsi $q(L) = 0$ donc $L = 0$ et $V = 0$, d'où l'injectivité.

Pour tout élément $\lambda$ de $K$, le $b$-Lagrangien $Ke$ de la forme quadratique $q_\lambda$
définie sur l'espace vectoriel de base $e, f$ par $q_\lambda(e) = 1, b_\lambda(e, f) = 1$ et $q_\lambda(f) = \lambda$
a $f$ comme vecteur de Wu et donc $\mathrm{Parf}(q) = [\lambda]$, d'où la surjectivité.

4. L'INVARIANT DE ARF. — Soit $k$ un corps de caractéristique 2 dont une clôture parfaite est notée $\iota : k \subset K$. D'après la PROPOSITION et le LEMME 0 il y a un morphisme de groupe Arf : $WQ(k) \to k/\mathcal{P}(k)$ rendant commutatif le diagramme :

$$
\begin{tikzcd}
WQ(k) \arrow[r, "\text{Arf}"] \arrow[d] & k/\mathcal{P}(k) \\
WQ(\iota) \arrow[d] & [\iota] \arrow[d] \\
WQ(K) \arrow[r, "\text{Parf}", "\sim"] & K/\mathcal{P}(K)
\end{tikzcd}
$$

Soit $q : V \to k$ une forme quadratique non dégénérée sur $k$. Sa forme bilinéaire $b$
a une base symplectique $e_1, f_1, \dots, e_n, f_n$. Alors, comme $b(e_i, e_j) = b(f_i, f_j) = 0$
et $b(e_i, f_j) = \delta_{ij}$ pour $i, j = 1, \dots, n$, l'élément $\omega = \sqrt{q(e_1)} f_1 + \dots + \sqrt{q(e_n)} f_n$
de $V \otimes K$ est vecteur de Wu du Lagrangien $K e_1 \oplus \dots \oplus K e_n$ de l'extension de $q$
à $K$ et $q(\omega) = q(e_1) q(f_1) + \dots + q(e_n) q(f_n)$. On retrouve et complète le

THÉORÈME DE ARF (C.f. [1] Satz 5, [3] Appendix 1). — La classe modulo $\mathcal{P}(k)$ de $q(e_1)q(f_1)+\cdots+q(e_n)q(f_n)$ ne dépend pas du choix de la base symplectique. C'est l'invariant de Arf. Arf $(q)$ de la forme quadratique $q$, un morphisme du groupe de Witt quadratique de $k$ sur le conoyau de son Artin-Schreier.

$$ \mathrm{Arf} : WQ(k) \to k/\mathcal{P}(k) \stackrel{\sim}{\hookrightarrow} WQ(K) $$

s'identifiant au passage au groupe de Witt quadratique de la clôture parfaite $K$.

Remerciements. — Manifestons notre sympathie à Monsieur Carreira dont les doigts habiles sont responsables de l'avenante frappe du manuscript.

Références

[1] C. Arf. — Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Characteristic 2., J. Reine Angew. Math. **183**, 148-167 (1941).

[2] J. Barge, J. Lannes, F. Latour et P. Vogel. — APPENDICE de Λ-Sphères, Ann. scient. Éc. Norm. Sup., **8**, fasc. 4, 494-505 (1974).

[3] J. Milnor et D. Husemoller. — Symmetric bilinear forms, Springer Verlag, (1973).

Metteur en scène et secrétaire : Alexis Marin Bozonat
courriel : alexis.charles.marin@gmail.com

Institut Fourier, UMR 5582, Laboratoire de Mathématiques Université Grenoble Alpes, CS 40700, 38058 Grenoble cedex 9, France