# Applications de la chirurgie holomorphe, notamment aux points paraboliques

Peter Haïssinsky

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Peter Haïssinsky. Applications de la chirurgie holomorphe, notamment aux points paraboliques. Mathématiques [math]. Paris XI. Université Paris Sud, 1998. Français. NNT: 1998PA112112. tel-04146039

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UNIVERSITÉ de PARIS-SUD

Centre d'ORSAY

THÈSE

présentée
pour obtenir

le titre de Docteur en Sciences

Spécialité : Mathématique

par

Peter HAÏSSINSKY

Sujet : Applications de la chirurgie holomorphe, notamment aux points paraboliques.

soutenue le 22 Mai 1998 devant la Commission d'examen

MM. ASTALA Kari
DOUADY Adrien

Mme FLEXOR Marguerite
HUBBARD John-Hamal
PETERSEN Carsten Lunde
SHISHIKURA Mitsuhiro
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
Résumé.

Cette thèse porte sur l'étude dynamique des fractions rationnelles sur la sphère de Riemann, et les méthodes employées proviennent essentiellement de la chirurgie quasi-conforme. Elle est organisée en cinq parties.

Dans le Chapitre 5 de la Partie II, on généralise la notion d'applications à allure polynomiale de A. Douady et J.H. Hubbard à celles de figuration et de silhouettes polynomiales. La principale différence est que l'application n'est plus forcément expansive à l'extérieur de l'ensemble de Julia. Par exemple, on admet des points paraboliques et des points critiques dans la classe externe de ces applications. Sous des hypothèses de finitude, on montre que l'on peut accoupler des polynômes à de telles classes externes. La démonstration utilise d'une part la chirurgie et d'autre part une généralisation du théorème d'intégration des formes de Beltrami dû à G. David. Le problème inverse, dit de redressement, est en fait plus difficile car les hypothèses du théorème d'intégration ne sont plus vérifiées. Pour une classe externe ne comportant que des points répulsifs, et éventuellement des points critiques strictement prépériodiques, on peut redresser l'application en un polynôme.

Dans la Partie III, on s'intéresse aux similitudes entre ensembles de Julia comportant un point parabolique et ensembles de Julia n'en comportant pas. On développe la déformation par pincement, introduite par P. Makienko, qui fait tendre des points attractifs et répulsifs en points paraboliques. Cette déformation permet de montrer que la dynamique d'un polynôme hyperbolique est semi-conjuguée à celle du polynôme limite, qui n'est plus hyperbolique. Il s'agit des premiers résultats positifs sur cette déformation. La démonstration repose sur une estimation de C.T. McMullen de la longueur extrémale de certaines familles de courbes. Inversement, le Chapitre 8 perturbe un polynôme géométriquement fini pour le rendre sous-hyperbolique, tout en gardant une conjugaison sur les ensembles de Julia.

La Partie IV est consacrée aux polynômes quadratiques et à la combinatoire de l'ensemble de Mandelbrot. Il existe déjà beaucoup de littérature sur le sujet. On introduit ici la notion de *grupoïde dilatant* qui permet de caractériser dynamiquement l'arbre de Hubbard. On en déduit que ses arêtes sont supportées sur des quasidroites de mesure de Hausdorff finie et non nulle. Le second chapitre donne une démonstration détaillée du Théorème de Modulation de A. Douady et J.H. Hubbard. Le dernier chapitre de cette partie est consacrée à "l'opération de modulation". On y trouve notamment une construction par chirurgie quasiconforme d'un polynôme modulé, à partir du centre d'une petite copie de M et d'un polynôme ayant un ensemble de Julia connexe.

La Partie V porte sur la chirurgie croisée. Étant donnés deux polynômes vérifiant une condition combinatoire, on définit leur croisement, qui est un polynôme de degré plus grand, dont l'ensemble de Julia ressemble à la superposition des deux autres ensembles au-dessus d'un point fixe. On fait une étude approfondie de cette opération : on montre que le croisement de deux polynômes au-dessus de deux points fixes répulsifs, ou d'un point répulsif et d'un point parabolique existe toujours. On donne une définition du croisement qui caractérise à conjugaison conforme près les polynômes résultants. On s'intéresse aussi à savoir comment reconnaître le croisement de deux polynômes. Le dernier chapitre traite de la dépendance par rapport à des paramètres.
Abstract.

This thesis deals with the iteration of rational maps on the Riemann sphere. Most of the techniques used herein come from quasiconformal surgery. It is divided into five parts.

The first original result is in Chapter 5 of Part II: the theory of polynomial-like mappings of A. Douady and J.H. Hubbard is generalized into polynomial figures. The main difference comes from the external class which is no longer assumed to be expanding: critical points and parabolic points are allowed. Under finiteness assumptions, we show that polynomials can be mated to such maps. The proof uses surgery and a generalization of the Measurable Riemann Mapping Theorem of G. David. The opposite procedure is more difficult, because the assumptions of G. David's theorem are no longer fulfilled. If an external class contains only prerepelling critical points (no parabolics), then the polynomial figure can be straightened to a real complex polynomial.

In Part III, we discuss analogies between Julia sets containing and not containing parabolic points. We first study the pinching deformation, introduced in this setting by P. Makienko, which transforms a pair of attracting and repelling points into a same parabolic point. This deformation shows the existence of a semi-conjugacy between hyperbolic polynomials and geometrically finite ones (obtained as limits of this perturbation). These are the first positive results on this deformation. The proof is based on an extremal length estimate of C.T. McMullen. Chapter 8 deals with the opposite problem: given a geometrically finite polynomial, we define a perturbation by sub-hyperbolic polynomials, such that all are conjugate to the former on their Julia sets.

Part IV is reserved to the study of the quadratic family and the Mandelbrot set. We introduce the notion of expanding groupoid which characterizes dynamically Hubbard trees. As a corollary, we show that their edges have finite Hausdorff measure and rest on quasilines. The second Chapter of this part is devoted to the proof of the Tuning Theorem of A. Douady and J.H. Hubbard. The last chapter is concerned with the study of the "tuning map". A quasiconformal construction of a tuned polynomial is given (starting with the center of a copy of $M$ and with any point having a connected Julia set).

The last part is devoted to intertwining. Given two polynomials with connected Julia sets and verifying a combinatorial assumption, one can define their intertwining to be a polynomial of a higher degree, such that its Julia set looks like the superposition of the former ones over respective fixed points. In the first chapter, we prove the existence of such maps, given the assumption that the fixed points are not both parabolic. We use the 'sector method' of B. Branner and A. Douady and also G. David's theorem. Using polynomial figures, we give a formal definition of intertwining such that conformal class of intertwining are well defined. Chapter 13 gives criteria for recognizing these special maps. The last chapter deals with families of intertwining.
Remerciements

Je tiens tout d'abord à remercier Adrien Douady pour avoir accepter de diriger mes recherches et de m'initier à cette tâche des plus passionnantes. Outre sa vision originale des mathématiques, j'ai aussi bénéficié de sa constante confiance. Ses incitations à rencontrer d'autres chercheurs, notamment étrangers, m'ont permis de me retrouver dans un milieu scientifique très chaleureux et stimulant. Pour cette indépendance que j'ai eue, qui m'a permis de travailler à mon rythme et parfois dans des directions de mon choix, je l'en remercie chaleureusement.

Tout au long de l'élaboration de ce travail, j'ai eu de nombreuses discussions très intéressantes avec Carsten L. Petersen. Il a accepté de rapporter mon travail, j'en suis très touché.

Je remercie Mitsuhiro Shishikura pour l'honneur qu'il me fait d'être rapporteur de ma thèse. Ses travaux m'ont inspiré une partie importante de mon travail.

Que Kari Astala reçoive ma gratitude pour avoir accepter d'être membre du jury. Je tiens tout particulièrement à le remercier de l'intérêt qu'il a porté à ce travail.

Je remercie Marguerite Flexor de faire partie du jury. Le temps qu'elle m'a accordé à relire les différentes versions de mon manuscrit m'a été des plus profitable. Je lui en suis très reconnaissant.

Je remercie aussi John H. Hubbard d'avoir accepté de participer à ce jury de thèse. Les nombreuses discussions que j'ai eues avec lui m'ont appris de belles mathématiques.

Tout au long de ce travail de recherche, j'ai eu beaucoup de plaisir à discuter et à apprendre des mathématiques avec Tan Lei. Ces compétences scientifiques m'ont beaucoup apporté. Je l'en remercie.

Le présent mémoire est le fruit d'un travail réalisé essentiellement à l'Ecole Normale Supérieure de Lyon où j'ai bénéficié de relations et de conditions de travail exceptionnelles. Je remercie Etienne Ghys, actuel directeur du laboratoire de mathématiques pures et appliquées, de m'avoir accueilli au laboratoire. Les constants encouragements du laboratoire m'ont notamment permis – dans les moments difficiles – de réduire mon isolement. J'aimerais plus particulièrement remercier Pascale Roesch pour toutes les discussions quotidiennes que nous avons eues. Il est difficile de remercier à leur juste valeur toutes les personnes qui m'ont soutenu : je n'ai cité que quelques noms, que les autres ne se sentent pas exclues !

Je remercie spécialement Virginia Gallardo et Sabrina Kadri à Lyon, et Martine Justin et Laurence Stephen à Orsay de m'avoir souvent plus qu'aidé à m'orienter dans les dédales de l'administration.

Et enfin, je tiens à remercier particulièrement tous les gens qui, à Lyon comme à Paris, ont eu à me supporter durant l'élaboration laborieuse de cette thèse.
# Introduction

Cette thèse porte sur l'étude dynamique des fractions rationnelles sur la sphère de Riemann, et en particulier des polynômes. L'accent est mis sur les applications de la chirurgie, notamment le fait qu'on obtient, en général, un modèle topologique des objets construits.

Étant donné un polynôme $P : C \to C$, on définit son ensemble de Julia rempli comme l'ensemble des points qui restent bornés par itération. À $z_0 \in C$ fixé, on associe la suite $(z_n)_{n\ge0}$ définie par $z_{n+1} = P(z_n) = P^n(z_0)$.

La chirurgie consiste à faire des découpages et des collages afin de construire de nouveaux polynômes en connaissant d'avance leurs propriétés dynamiques, comme la topologie de son ensemble de Julia.

Cette thèse est organisée en cinq parties.

Dans la première partie, on rappelle les principales propriétés de dynamique conforme à une variable, ainsi qu'un bref historique sur les applications de la chirurgie.

Les principaux outils de la chirurgie, notamment les applications quasiconformes et les applications à allure polynomiale ([DH2]), sont présentés dans la seconde partie. Le dernier chapitre développe la théorie de la figuration et des silhouettes polynomiales qui généralisent les applications à allure polynomiale. Il s'agit des premiers résultats originaux de cette thèse. La plupart des démonstrations utilisent la chirurgie et la méthode des secteurs, introduite par B. Branner et A. Douady ([BD]): elle consiste à changer des polynômes sur des secteurs situés à l'extérieur de leurs ensembles de Julia, pour ensuite pouvoir appliquer le théorème d'Ahlfors-Bers et obtenir un nouveau système dynamique holomorphe. Un autre point intéressant est l'usage du théorème de G. David sur les formes de Beltrami dégénérées (cf [Da]), ce qui constitue une première application de ce théorème. La figuration est utilisée dans les autres parties.

La troisième partie est consacrée à la dynamique liée à la présence de points paraboliques. Le but est d'exhiber les similitudes — locales et globales — engendrées par la présence d'un point parabolique ou d'une paire de points attractif et répulsif. La principale difficulté est la différence géométrique entre les ensembles de Julia. Elle interdit l'usage des applications quasiconformes et oblige à avoir recours à des objets plus singuliers. La déformation par pincement est une déformation qui pince un tore attractif en un cylindre $C/Z$ afin de transformer sur le plan dynamique un point attractif en un point parabolique. Cette déformation avait tout d'abord été introduite dans ce cadre par P. Makienko pour montrer que des composantes hyperboliques dans des espaces de fractions rationnelles
n'étaient pas compactes (voir [Mk1, Pi]). Elle était donc utilisée dans un sens négatif. Ici, on montre que cette déformation admet des limites que l'on contrôle bien, malgré des dégénérescences. Pour obtenir ce contrôle, on utilise une estimation de C.T. McMullen sur la longueur extrémale de courbes.

Dans le dernier paragraphe, on utilise à nouveau le théorème de G. David pour compléter nos résultats : on montre que l'on peut remplacer une paire attractif/répulsif par un point parabolique sans changer la topologie ni la dynamique de l'ensemble de Julia sous la seule condition qu'aucune orbite critique n'accumule le point répulsif. Le dernier chapitre traite du problème inverse. Étant donné un polynôme géométriquement fini, on définit un déploiement de ce polynôme en polynômes sous-hyperboliques ayant la même dynamique sur les ensembles de Julia. La preuve s'appuie sur les propriétés d'expansivité de ces applications.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1 Pincement vers le lapin gras.</figcaption></figure>

Dans la quatrième partie, nous nous tournons vers la famille quadratique, et nous nous intéressons surtout à la modulation. Celle-ci explique la présence de petites copies de l'ensemble de Mandelbrot M dans lui-même. Dans un premier temps, on étudie les propriétés combinatoires de M et ses liens avec les polynômes à ensemble postcritique fini. Pour ce faire, on introduit la notion de *grupoïde dilatant* qui caractérise l'arbre de Hubbard d'un polynôme quadratique. Ce grupoïde peut être "poussé" à d'autres paramètres plus "loin" et complété afin d'obtenir le grupoïde de ces autres arbres. Ce type d'objet a déjà été longuement étudié, et nous en profitons pour en déduire des propriétés géométriques de l'arbre de Hubbard. Le second chapitre donne une démonstration détaillée du Théorème de Modulation de A. Douady et J.H. Hubbard, d'après [Do3] où elle est esquissée. On complète ce résultat en montrant que l'on peut définir une silhouette polynomiale à la racine d'une composante hyperbolique non primitive dans laquelle figure de manière rigide le chou-fleur. Le dernier chapitre traite de l'opération de modulation induite par ce théorème. On montre notamment que la modulation remplace les composantes connexes de l'intérieur d'un ensemble de Julia par des petites copies du polynôme modulateur. On y trouve aussi une construction directe, par chirurgie quasiconforme, de cette opération, ce qui permet aussi d'aborder la modulation en degré supérieur.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 2 *M* et un *zoom*.</figcaption></figure>

La cinquième partie constitue une étude assez poussée d'un type particulier de chirurgie : la chirurgie croisée (voir aussi [EY] pour le degré trois). Étant donnés deux polynômes, on se propose de construire, modulo des hypothèses combinatoires, un nouveau polynôme tel que son ensemble de Julia ressemble à la superposition des deux précédents au-dessus d'un point. Ce polynôme est de degré plus grand que ceux de ses "ancêtres". Une fraction importante de cette dernière partie vise à montrer que cette construction est bien définie, et qu'elle peut s'effectuer par chirurgie. C'est l'occasion pour nous de montrer différentes techniques utilisables en chirurgie. On utilise comme dans le chapitre sur les silhouettes polynomiales la méthode des secteurs et le théorème de G. David. Malheureusement, les différents théorèmes d'intégration des formes de Beltrami ne permettent pas de montrer l'existence de polynômes dans tous les cas. Cependant, la notion de figuration rigidifie bien la situation. On construit aussi un modèle topologique du croisement de deux polynômes à l'aide de limites projectives de sphères. Cette méthode peut aussi être appliquée à d'autres chirurgies, par exemple à l'explosion d'ensemble de Julia (Partie II, Chapitre 5). On étudie enfin la dépendance de cette opération en fonction de paramètres.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 3 Exemple de croisement.</figcaption></figure>
Les figures sont numérotées de deux manières :

- les légendes en gras correspondent à des représentations d'ensembles de Julia dessinées à l'aide du logiciel "citool" pour les ensembles de Julia remplis et d'un logiciel de C.T. McMullen pour les autres ;

- les autres figures ont été tracées avec "xfig".
# Table des matières

Résumés i

Introduction v

I. Rappels de dynamique 1

1 Introduction à l'itération 3

1.1 Points périodiques 3

1.2 Domaines de Fatou 5

1.3 Ensemble de Julia 7

1.4 Dynamique de polynômes 7

2 La chirurgie, la déformation et leurs applications depuis 1981 11

II. Outils de la chirurgie et de la déformation 15

3 Rappels d'analyse complexe 17

4 Applications quasiconformes & espaces de Teichmüller 23

4.1 Applications quasiconformes: définition et principales propriétés 23

4.2 Extensions d'applications et problème de couture 25

4.2.1 Applications quasisymétriques et extension d'homéomorphismes réels 26

4.2.2 Prolongements d'applications conformes définies sur des secteurs 26

4.2.3 Problème de couture 29

4.3 Mouvements holomorphes 29

4.4 Espace de Teichmüller "classique" 30
<table><tr><td>4.5</td><td>Espace de Teichmüller d'une fraction rationnelle</td><td>31</td></tr></table>

5 Applications à allure polynomiale et figuration 35

<table><tr><td>5.1</td><td>Applications à allure polynomiale</td><td>35</td></tr></table>

<table><tr><td>5.2</td><td>Figuration souple</td><td>37</td></tr></table>

<table><tr><td>5.3</td><td>Figuration rigide</td><td>39</td></tr></table>

<table><tr><td>5.4</td><td>Silhouettes polynomiales et figuration rigide</td><td>40</td></tr></table>

<table><tr><td>5.5</td><td>Un exemple avec un point parabolique dans la classe externe</td><td>46</td></tr></table>

<table><tr><td>5.6</td><td>Accouplement de classes externes combinatoirement finies</td><td>51</td></tr></table>

<table><tr><td>5.6.1</td><td>Explosions d'ensembles de Julia</td><td>52</td></tr></table>

<table><tr><td>5.6.2</td><td>Démonstration du Théorème 2</td><td>56</td></tr></table>

III. Points paraboliques 59

6 Etude locale 61

<table><tr><td>6.1</td><td>Déploiement central</td><td>61</td></tr></table>

<table><tr><td>6.2</td><td>Déploiement parabolique</td><td>65</td></tr></table>

7 Pincement de polynômes 67

<table><tr><td>7.1</td><td>Pincement d'une paire attractif/répulsif</td><td>68</td></tr></table>

<table><tr><td>7.2</td><td>Déformation globale</td><td>72</td></tr></table>

<table><tr><td>7.2.1</td><td>Définition générale du pincement</td><td>72</td></tr></table>

<table><tr><td>7.2.2</td><td>Cas à allure monomiale</td><td>76</td></tr></table>

<table><tr><td>7.2.3</td><td>Pincement d'un polynôme hyperbolique</td><td>84</td></tr></table>

<table><tr><td>7.3</td><td>Points répulsif/attractif et point parabolique</td><td>87</td></tr></table>

8 Déformation J-équivalente de polynômes géométriquement finis 91

<table><tr><td>8.1</td><td>Construction d'un déploiement</td><td>92</td></tr></table>

<table><tr><td>8.2</td><td>Une propriété de continuité</td><td>94</td></tr></table>

<table><tr><td>8.3</td><td>Preuve du théorème</td><td>95</td></tr></table>
## Introduction

xi

# IV. Applications de la chirurgie à la famille quadratique

97

## 9 Polynômes hyperboliques et combinatoire de M

99

9.1 Propriétés de l'ensemble de Julia .................................... 99

9.2 Arbres de Hubbard et propriétés combinatoires .......................... 101

9.3 Chemins combinatoires dans M ............................................ 102

9.4 Groupoïdes .................................................................... 103

9.5 Sur la géométrie de l'arbre de Hubbard .................................... 112

## 10 Théorème de Modulation

115

10.1 Première construction .................................................... 116

10.2 W primitive .................................................................... 123

10.3 W non primitive ............................................................ 126

## 11 Opération de Modulation

131

11.1 Puzzle associé à une copie $M_{c_0}$ .................................... 132

11.2 Modèle topologique de la modulation .................................... 136

11.3 Construction par chirurgie quasiconforme ................................ 137

11.3.1 Cas primitif .................................................................... 137

11.3.2 Cas non primitif .................................................................... 140

11.4 Modulation de compacts du plan ............................................ 141

11.4.1 Introduction .................................................................... 141

11.4.2 Lemme et définition ............................................................ 142

11.5 Théorème 8 ........................................................................ 143

11.6 Corollaires ............................................................................ 144

11.7 Modulation généralisée ............................................................ 145

# V. Chirurgie croisée

147

## 12 Croisement de polynômes par chirurgie

151

12.1 Chirurgie croisée en degré deux: un exemple ................................ 151

12.1.1 Chirurgie topologique .................................................... 152

12.1.2 Passage à l'holomorphe .................................................... 153
<table><tbody><tr><td>12.2</td><td>Cas général (croisement répulsif)</td><td>157</td></tr><tr><td>12.3</td><td>Estimations de modules d'ouvertures</td><td>158</td></tr><tr><td>12.3.1</td><td>α non au bord de composante de Fatou bornée</td><td>158</td></tr><tr><td>12.3.2</td><td>α au bord de composante(s) de Fatou bornée(s)</td><td>159</td></tr><tr><td>12.3.3</td><td>α au bord de quasidisque(s)</td><td>160</td></tr><tr><td>12.3.4</td><td>Autres cas (α répulsif)</td><td>160</td></tr><tr><td>12.4</td><td>Croisement répulsif/parabolique</td><td>161</td></tr><tr><td>12.5</td><td>Propriétés et généralisations</td><td>162</td></tr><tr><td>13</td><td>Rigidité des croisements à combinatoire fixée</td><td>169</td></tr><tr><td>13.1</td><td>Cas répulsif</td><td>170</td></tr><tr><td>13.2</td><td>Cas parabolique</td><td>172</td></tr><tr><td>14</td><td>Croisement topologique</td><td>175</td></tr><tr><td>14.1</td><td>Limites projectives d'espaces topologiques</td><td>176</td></tr><tr><td>14.2</td><td>Construction de (Σ∞, F)</td><td>177</td></tr><tr><td>14.3</td><td>Propriétés</td><td>179</td></tr><tr><td>14.4</td><td>Classe topologique des croisements</td><td>180</td></tr><tr><td>14.5</td><td>Conséquence sur la connexité locale</td><td>183</td></tr><tr><td>15</td><td>Critère de dévissage</td><td>185</td></tr><tr><td>15.1</td><td>Partition associée à un polynôme</td><td>185</td></tr><tr><td>15.2</td><td>Condition nécessaire</td><td>186</td></tr><tr><td>15.3</td><td>Obtention de figurants</td><td>186</td></tr><tr><td>15.4</td><td>Figurants/figuré</td><td>187</td></tr><tr><td>16</td><td>Dépendance par rapport aux paramètres</td><td>191</td></tr><tr><td>16.1</td><td>Cas géométriquement fini</td><td>191</td></tr><tr><td>16.1.1</td><td>Motivation et exemples</td><td>191</td></tr><tr><td>16.1.2</td><td>Cas général</td><td>193</td></tr><tr><td>16.2</td><td>Sur les familles de croisements</td><td>193</td></tr><tr><td>16.3</td><td>Application au degré trois</td><td>195</td></tr></tbody></table>
# I. Rappels de dynamique

Dans cette partie, on rappelle les notions et théorèmes “classiques” de la théorie de l’itération de fractions rationnelles sur la sphère de Riemann. Le dernier chapitre donne un bref historique de l’usage de la chirurgie dans ce domaine.
# Chapitre 1

## Introduction à l'itération

Soit $f : \bar{C} \to \bar{C}$ une fraction rationnelle de degré $d \ge 2$. On s'intéresse à l'étude des itérés $(f^n)_{n \ge 0}$ de $f$ sur la sphère de Riemann. Soit $z \in \bar{C}$, on définit son orbite par $\text{orb}(z) = \{f^n(z)\}_{n \ge 0}$ et sa grande orbite par $\text{GO}(z) = \bigcup_{n,j \in \mathbb{N}} f^{-n}(\{f^j(z)\})$.

Lorsque l'on étudie l'itération de fonctions holomorphes, il suffit de se restreindre aux fonctions définies à conjugaison conforme près. En effet, étudier la dynamique d'une fonction $f: U' \to U$ ou $\varphi \circ f \circ \varphi^{-1}: V' \to V$, où $\varphi: U' \cup U \to V' \cup V$ est conforme, revient au même : les propriétés dynamiques restent les mêmes (($\varphi \circ f \circ \varphi^{-1})^n = \varphi \circ f^n \circ \varphi^{-1}$) et les invariants conformes sont conservés.

Un point $z \in \bar{C}$ est un point périodique de $f$ s'il existe un entier $n \ge 1$ tel que $f^n(z) = z$. La période de $z$ est le plus petit entier $k$ tel que $f^k(z) = z$. Son cycle est défini comme étant son orbite. Un point $z$ est prépériodique si son orbite est finie, autrement dit s'il existe $\ell \ge 0$, $k \ge 1$ tels que $f^{\ell+k}(z) = f^\ell(z)$. Le plus petit $\ell \ge 0$ qui vérifie cette relation est le temps cyclique ou la durée non cyclique de $z$. Ce dernier est strictement prépréodique si son temps cyclique est strictement positif.

On commencera d'abord par étudier les points périodiques, pour une fraction rationnelle donnée. Ensuite, on définira l'ensemble de Fatou et l'on précisera ses principales propriétés, ainsi que pour son complémentaire, l'ensemble de Julia. Cette décomposition correspond à la partition entre une dynamique “fluviale” (ensemble de Fatou) et une dynamique “chaotique” (ensemble de Julia). Le dernier paragraphe est consacré plus particulièrement aux polynômes et surtout à la famille quadratique.

Pour des introductions plus complètes, on peut se reporter par exemple à [CG, D01, Mi, S01].

### 1.1 Points périodiques

Soit $f : \bar{C} \to \bar{C}$ une fraction rationnelle de degré $d \ge 2$. On suppose que $0$ est un point $k$- périodique, et que sur un voisinage $\Omega$ de l'origine, $g(z) := f^k(z) = \lambda.z + o(z)$, $\lambda \in \mathbb{C}$. On appelle $\lambda = (f^k)'(0)$ le multiplicateur du cycle contenant $0$. On classifie les germes périodiques par leur multiplicateur.
**Points répulsifs et attractifs.** L'origine est un point répulsif si $|\lambda| > 1$ et attractif si $0 < |\lambda| < 1$.

D'après un théorème de G. Kœnigs, il existe une unique application conforme $\varphi : \Omega \to C$, telle que

$$ \begin{cases} \varphi(0) = 0, \\ \varphi'(0) = 1, \end{cases} \quad \text{et } \varphi \circ f^k(z) = \lambda \varphi(z) $$

pour $z$ assez de proche de 0. On dit que l'origine est linéarisable.

A un point attractif ou répulsif, on associe un tore en considérant

$$ (\Omega \setminus \{0\})/(f) \simeq C/(\operatorname{Log} \lambda Z \oplus 2i\pi Z). $$

**Points paraboliques.** Un point est parabolique si $\lambda$ est une racine de l'unité. Quitte à itérer $f$, on se ramène à un germe de la forme $g(z) = z + z^{\nu+1} + o(z^{\nu+1})$.

Un ouvert connexe $P_a \subset \Omega$ est un pétale attractif si $0 \in \partial P_a$, $g(\bar{P}_a) \subset P_a \cup \{0\}$ et si $\cap_{n \ge 0} g^n(\bar{P}_a) = \{0\}$. De même, un pétale répulsif est un ouvert connexe $P_r$ qui est un pétale attractif de $g^{-1}$.

D'après L. Leau et P. Fatou, il existe $\nu$ pétales attractifs disjoints et $\nu$ pétales répulsifs disjoints tels que leur réunion avec 0 est un voisinage de l'origine. Les pétales attractifs et répulsifs sont alternés, et un pétale ne peut intersecter au plus que deux pétales de type opposé. De plus, sur chaque pétale $P$, l'application $g$ est conjuguée à la translation $z \mapsto z+1$.

À chaque pétale, on associe la surface de Riemann $P/(g) \simeq C/Z$. On verra dans la Partie III d'autres propriétés des points paraboliques.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 1.1 - Point attractif et point parabolique.</figcaption></figure>
**Points super-attractifs.** Un point est super-attractif si $\lambda = 0$. À ce moment, l'application premier retour est de la forme $g(z) = z^k + o(z^k)$, $k \ge 2$.

D'après un théorème de Böttcher, il existe une unique application conforme $\varphi : \Omega \to C$, telle que

$$ \begin{cases} \varphi(0) = 0, \\ \varphi'(0) = 1, \end{cases} \quad \text{et } \varphi \circ g(z) = \varphi(z)^k $$

pour $z$ assez de proche de 0, appelée la coordonnée de Böttcher.

**Points de Siegel.** Supposons que $|\lambda| = 1$ et que $\lambda$ ne soit pas une racine de l'unité. Si $g$ est linéarisable, i.e. conjugué à la rotation rigide $z \mapsto \lambda z$, alors 0 est un point de Siegel.

D'après les travaux de C.L. Siegel, A.D. Brjuno et J.C. Yoccoz (voir [Yo]), on a une condition arithmétique optimale sur $\lambda$ pour savoir si n'importe quel germe est linéarisable.

**Points de Cremer.** Un point est dit de Cremer si $|\lambda| = 1$, $\lambda$ n'est pas une racine de l'unité et n'est pas linéarisable.

D'après un théorème de R. Perez-Marco (voir [PM]), pour tout voisinage $\Omega$ assez petit, il existe un unique compact $K$ connexe plein $(C \setminus K)$ connexe) totalement invariant $(g(K) = g^{-1}(K) = K)$ et $K \cap \partial\Omega \neq \emptyset$. Ce compact n'est pas localement connexe, et on l'appelle hérisson.

## 1.2 Domaines de Fatou

On rappelle qu'une famille $\mathcal{F}$ de fonctions méromorphes jouissant du même domaine de définition $U$ est normale, si, de toute suite, on peut extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de $U$ vers une application méromorphe.

**Définition.** Soit $f : \bar{C} \to \bar{C}$ une fraction rationnelle de degré $d \ge 2$. On appelle domaine de Fatou de $f$ l'ensemble des $z \in \bar{C}$ tels qu'il existe un voisinage $U_z$ de $z$ tel que la suite des itérés $(f|_{U_z})_{n \ge 0}$ soit normale.

Cet ensemble est un ouvert (éventuellement vide) totalement invariant de la sphère. Pour toute composante connexe $U$ du domaine de Fatou, $f(U)$ est une aussi composante connexe du domaine de Fatou et $f : U \to f(U)$ est propre.

**Domaines de Fatou associés à des points périodiques.**

**BASSIN D'ATTRACTION.** Si $\alpha$ est un point k-périodique attractif, on définit son bassin d'attraction $A(\alpha)$ comme étant l'ensemble des $z$ attirés par un point du cycle par $(f^{kn})_{n \ge 0}$. Son bassin immédiat $A^*(\alpha)$ est la réunion des composantes connexes de $A(\alpha)$ contenant le cycle.

Celui-ci contient toujours au moins un point critique. On note

$$ \hat{A}(\alpha) = A(\alpha) \setminus \text{GO}(\text{points attractifs et critiques}). $$

L'application $f : \hat{A}(\alpha) \to \hat{A}(\alpha)$ est un revêtement et son action est discrète.

À un bassin d'attraction, on associe la surface de Riemann quotient $\hat{A}(\alpha)/(f)$ qui est
isomorphe au tore attractif privé du nombre de grandes orbites (GO) distinctes de points critiques.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 1.2 - Classification des composantes de Fatou.</figcaption></figure>

**BASSIN PARABOLIQUE.** En complète analogie, si $\alpha$ est parabolique, on définit son bassin parabolique $A(\alpha)$ comme étant l'ensemble des $z$ attirés par le cycle, et son bassin immédiat $A^*(\alpha)$ comme la réunion des composantes connexes de $A(\alpha)$ ayant le cycle dans son bord.

Son bassin immédiat contient toujours au moins un point critique. On note

$$ \hat{A}(\alpha) = A(\alpha) \setminus \text{GO}(\text{critiques}). $$

L'application $f : \hat{A}(\alpha) \to \hat{A}(\alpha)$ est un revêtement et son action est discrète.

À un bassin parabolique, on associe la surface de Riemann quotient $\hat{A}(\alpha)/(f)$ qui est isomorphe au cylindre $C/Z$ privé du nombre de GO distinctes de points critiques.

**DISQUES DE SIEGEL.** Si $\alpha$ est un point de Siegel, on définit son disque de Siegel comme l'ouvert maximal contenant le cycle et tel que $f^k$ soit conformément conjuguée à une rotation. On considère $\Omega$, la réunion des composantes connexes de Fatou qui aboutissent en temps fini dans le disque de Siegel.

Sur les disques, la dynamique de $f$ induit un feuilletage de cercles R-analytiques centrés en $\alpha$.

**BASSIN SUPER-ATTRACTIF.** Si $\alpha$ est super-attractif, on prend les mêmes définitions que pour un point attractif. Seulement, l'action de $f$ sur $\hat{A}(\alpha)$ n'est plus discrète, mais induit comme dans le cas de Siegel un feuilletage par cercles R-analytiques immergés.
**Classification des composantes de Fatou d'une fraction rationnelle.** Suites aux travaux de P. Fatou, M. Herman, V.I. Arnol'd et D. Sullivan, on classifie les composantes de Fatou de la façon suivante.

* Toute composante est prépériodique.

* Soit $U$ une composante périodique. Alors, ou bien

(i) $U$ est le bassin d'attraction d'un point attractif ou super-attractif,

(ii) $U$ est un bassin parabolique,

(iii) $U$ est un disque de Siegel,

(iv) $U$ est un anneau de Herman : ouvert doublement connexe (anneau) sur lequel l'appli-cation premier retour est conjuguée à une rotation irrationnelle.

**Remarque.** Les polynômes peuvent être classés de la même manière, sauf que le cas (iv) ne peut pas se produire.

**Inégalité de Shishikura.** Soit $f$ une fraction rationnelle de degré $d \ge 2$. On note $n_a$ le nombre de cycles (super-)attractifs, $n_p$ le nombre de cycles de pétales paraboliques, $n_S$ le nombre de cycles de Siegel, $n_H$ le nombre d'anneaux de Herman, et $n_C$ le nombre de cycles de Cremer. Alors

$$n_a + n_p + n_S + 2n_H + n_C \le 2d - 2.$$

## 1.3 Ensemble de Julia

**Définition.** Soit $f$ une fraction rationnelle de degré $d \ge 2$. Son ensemble de Julia $J_f$ est le complémentaire du domaine de Fatou.

C'est un compact non vide uniformément parfait, i.e. s'il existe $0 < c < 1$ tel que pour tout $z_0 \in J_f$ et pour tout $r_0 > r > 0$, $(cr < |z - z_0| < r) \cap J_f \ne \emptyset$.

De plus il est totalement invariant par $f$, et, si $J_f \ne \bar{C}$, alors il est d'intérieur vide. Il contient les points répulsifs, les points paraboliques et les points de Cremer.

Pour tout $z \in \bar{C}$, l'ensemble de ses préimages $\bigcup_{n \ge 0} f^{-n}(z)$ non seulement s'accumulent sur $J_f$, mais aussi sont denses. De plus, pour tout ouvert $U$ tel que $U \cap J_f \ne \emptyset$, il existe $n \ge 1$ tel que $f^n(U) \supset J_f$.

Le résultat général le plus important est dû à P. Fatou et G. Julia : soit $f$ une fraction rationnelle de degré $d \ge 2$; alors

$$J_f = \overline{\{\text{points répulsifs}\}}.$$

## 1.4 Dynamique de polynômes

On se restreint à la famille quadratique, bien que de nombreux résultats restent vrais dans le cas de polynômes de degré plus élevé. La particularité des polynômes est l'existence
à l'infini d'un point super-attractif, de bassin connexe et dont le bord est son ensemble de Julia.

On considère la famille de polynômes

$$P_c: \begin{cases} C \to C \\ z \mapsto z^2 + c, \ c \in C. \end{cases}$$

On note $| K_c = \{z \in C, P_c^n(z) \notin \infty \} \text{ l'ensemble de Julia rempli, qui est compact plein, et} \\ J_c = \partial K_c \text{ l'ensemble de Julia de } P_c.$

On va énumérer les principaux résultats dont on aura besoin. Les démonstrations se trouvent dans [DH1], sauf mention différente.

**Proposition 1.4.1 (I, Chap.3, Prop.1)**

De deux choses l'une : $\begin{cases} \text{soit } 0 \in K_c \text{ et } K_c \text{ est connexe,} \\ \text{soit } K_c \text{ est un Cantor.} \end{cases}$

Exemples.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 4 Ensembles de Julia quadratiques.</figcaption></figure>

Pour tout $c$ dans $C$, on peut définir la coordonnée de Bōttcher $\varphi_c$ au voisinage de l'infini qui conjugue $P_c$ à $z \mapsto z^2$, $\varphi_c$ tangente à l'identité à l'infini. Si $K_c$ est connexe, alors $\varphi_c : C \setminus K_c \to C \setminus \bar{D}$.

On définit le potentiel de $P_c$ par $G_c = \log |\varphi_c|$. On prolonge $G_c$ à C comme suit :

- Pour $z \in C \setminus K_c$, on utilise la relation $G_c(P_c(z)) = 2G_c(z)$,

- Pour $z \in K_c$, on prolonge par continuité en posant $G_c(z) = 0$.

On définit les équipotentielles par $G_c^{-1}(\eta)$, $\eta > 0$; c'est un cercle topologique si $\eta > G_c(0)$. Le rayon externe $\mathcal{R}_c(\theta)$, où $\theta$ est compté en nombre de tours, est $\varphi_c^{-1}(\eta e^{2i\pi\theta})$, pour $\eta$ assez grand. On le prolonge tant qu'on ne "bute" pas sur un point précritique $\omega$ de $P_c$, i.e. $\text{Arg}\varphi_c(\omega) = \theta$. Pour tout $z$ de $\mathcal{R}_c(\theta)$, on dit que $z$ a pour argument $\theta$. Si $\lim_{\eta \to 0} \varphi_c^{-1}(\eta e^{2i\pi\theta})$ existe, alors $\mathcal{R}_c(\theta)$ aboutit.
Si $K_c$ est connexe et localement connexe, on peut définir le lacet de Carathéodory par l'application $\gamma_c : T \to \partial K_c$, fonction continue et surjective, qui à $\theta$ associe le point où $\mathcal{R}_c(\theta)$ aboutit.

**Proposition 1.4.2** (I, Chap.8, 2, Prop.2)

$\forall c \in C, \forall \theta \in Q/\mathbb{Z}, \mathcal{R}_c(\theta)$ aboutit ou bute sur un point précritique de $P_c$.

Soit $M = \{c \in C, \text{ tel que } K_c \text{ connexe} \} = \{c \in C, 0 \in K_c\}$, l'ensemble de Mandelbrot. $M$ est compact connexe et plein.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>**Figure 5** *L'ensemble M.*</figcaption></figure>

L'application

$$ \varphi: \begin{array}{ccc} C \times \text{voisinage de l'infini} & \to & C \\ (c, z) & \mapsto & \varphi_c(z) \end{array} $$

est holomorphe par rapport à $(c, z)$, partout où $\varphi_c$ est définie.

$\varphi$ induit l'uniformisante

$$ \varphi_M : C \setminus M \to C \setminus \bar{D}, \\ c \mapsto \varphi_c(c) $$

de potentiel $G_M = \log |\varphi_M|$.

On définit les équipotentielles et les rayons externes de $M$ de la même façon.

Pour $k \ge 1$ fixé, $\{c \in C \mid \exists \text{ k-cycle attractif pour } P_c\} \subset \mathring{M}$, et chaque composante est appelée composante hyperbolique de $M$ de période $k$.

**Remarque.** $\forall c \in C$, $P_c$ admet au plus un cycle non répulsif (car $\deg P_c = 2$).

Pour toute composante hyperbolique $W$, on a la représentation conforme $\rho_W : W \to \mathbb{D}$, qui à $c$ associe le multiplicateur du cycle attractif de $P_c$. L'application $\rho_W$ se prolonge continûment au bord ; on note $\rho_W^{-1}(0)$ le centre de $W$ et $\rho_W^{-1}(1)$ sa racine.
**Définitions.**

$D_0 = \{\text{centres des composantes hyperboliques}\} = \{c \in \mathbb{C}, 0 \text{ soit périodique}\}$;

$D_1 = \{\text{racines des composantes hyperboliques}\} = \{\text{points paraboliques}\};$

$D_2 = \{\text{points de Misiurewicz}\} = \{c \in \mathbb{C}, 0 \text{ soit strictement prépériodique}\}.$

**Proposition 1.4.3** (II, Chap.13, Th.1) $\forall\theta \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, $R_M(\theta)$ aboutit en $c \in \partial M$;

- $c \in D_1$ si $\theta$ est à dénominateur impair,

- $c \in D_2$ sinon.

**Proposition 1.4.4** (relations entre arguments dynamiques et arguments externes)

- (I, Chap.8, I, Cor.2) : Pour $c \notin M$, $Arg_c c = Arg_{Mc}$.

- ([Do5]): Pour $c \in D_0$, il existe $R_M(\theta_-)$ et $R_M(\theta_+)$ aboutissant à la racine de la composante de $c$. Ils aboutissent dans le plan dynamique à la racine de la composante de $\mathring{K}_c$ contenant $c$, en étant adjacents à cette composante.

- ([Do5]): Pour $c \in D_1$, il existe $R_M(\theta_-)$ et $R_M(\theta_+)$ aboutissant en $c$. Ils aboutissent dans le plan dynamique à la racine de la composante de $\mathring{K}_c$ contenant $c$, qui est un point parabolique, en étant adjacents à cette composante.

- (I, Chap.8, III, Th.2) : Pour $c \in D_2$, il existe $\theta_1, \dots, \theta_\nu$ tels que leurs rayons externes aboutissent en $c$ dans $M$. Ils y aboutissent aussi dans le plan dynamique, et ce sont les seuls.
# Chapitre 2

## La chirurgie, la déformation et leurs applications depuis 1981

**Théorie de la déformation.** La chirurgie fait ses premières apparitions dans l'étude dynamique des fractions rationnelles sur la sphère de Riemann pendant l'automne 1981. D. Sullivan montre qu'on peut utiliser une approche "à la Teichmüller" pour aborder l'étude de l'ensemble de Mandelbrot M. Il montre que, pour toute composante hyperbolique de M, l'application multiplicateur $\rho: W \to D$ est un revêtement, peut-être ramifié sur $\rho^{-1}(0)$. Pour cela, il compare l'espace des déformations d'un polynôme quadratique c ayant un point périodique attractif de multiplicateur non nul avec l'espace des modules d'un tore épointé associé à $\rho(c)$. Il construit ainsi, en changeant la structure complexe sur le plan dynamique de c, une section holomorphe au voisinage de chaque $\rho \in D^*$. Quelque temps plus tard, et inspirés par cette méthode, A. Douady et J.H. Hubbard comparent les paramètres de W avec la famille de produits de Blaschke $B_\lambda: D \to D$:

$$B_{\lambda}(z) = z \frac{z + \lambda}{1 + \bar{\lambda}z}$$

pour montrer que $\rho$ est en fait un isomorphisme (voir [Do1], [DH1]).

Cette analogie avec l'étude des groupes kleinéens conduit D. Sullivan à achever la classification des composantes de Fatou en montrant le théorème de non-errance, i.e. il montre que l'existence d'une composante errante donnerait lieu à un espace de déformation de dimension infinie, ce qui est impossible (voir [Su2] et [McS]). Enfin, il définit un espace de Teichmüller pour paramétrer les fractions rationnelles équivalentes à homéomorphismes quasiconformes près (voir [McS]).

Ces mêmes méthodes permettent à R. Mañé, P. Sad et D. Sullivan de décomposer toute famille analytique de fractions rationnelles en composantes structurellement stables et instables, où la réunion des composantes stables est un ouvert dense de l'espace des paramètres. De plus, ils montrent qu'il existe un ouvert, dense dans le précédent, tel que deux paramètres dans une même composante connexe sont quasiconformément conjugués (voir [MSS]), i.e. appartiennent à un même espace de Teichmüller. Les auteurs introduisent aussi dans cet article la notion de mouvement holomorphe qui sert à caractériser la stabilité.
**Applications à allure polynomiale.** En parallèle, A. Douady et J.H. Hubbard développent la théorie des applications à allure polynomiale qui met en évidence la présence locale d'une dynamique polynomiale (voir [DH2]). Étant donnée une application holomorphe propre $f: U' \to U$, où $U' \subset U$ sont des disques topologiques, il existe un polynôme $P$ et un homéomorphisme qui conjugue $f$ à $P$ (Théorème de Redressement). Ce résultat est montré en recollant sur $U \setminus U'$ la dynamique de $z \mapsto z^d$ à l'extérieur de $D$.

Une première application permet d'exhiber la nature d'auto-ressemblance de $M$. À chaque paramètre $c$ ayant un cycle super-attractif, on associe un voisinage compact $M_c \subset M$ qui soit homéomorphe à $M$. Si $c \neq c'$, ou bien $M_c$ et $M_{c'}$ sont disjoints, ou bien l'un est strictement contenu dans l'autre (Théorème de Modulation (A. Douady et J.H. Hubbard), voir [Do3] et Partie IV). Cette théorie est aujourd'hui centrale dans la renormalisation et la chirurgie.

**Chirurgie et Disques de Siegel.** L'application de la chirurgie à l'étude des disques de Siegel a débuté en 1983 par les travaux de E. Ghys ([Gh]), améliorés par M. Herman ([He]) et A. Douady ([Do4]). Il s'agit des premiers résultats sur la dynamique globale induite par la présence d'un disque de Siegel. Leurs constructions utilisent une hypothèse que l'on ne savait pas encore possible afin d'obtenir une fraction rationnelle et/ou un polynôme quadratique qui admet(tent) un disque de Siegel qui soit un quasidisque, et qui ne contient pas de point critique dans son bord. Seulement, il faut attendre 1986 pour que M. Herman montre que l'hypothèse de E. Ghys peut être satisfaite. En 1987, quelques années après avoir montré l'optimalité de la condition de Brjuno ([Br, Yo]), et en partant d'une idée de Y.S. Il'yashenko, J.C. Yoccoz montre l'universalité des polynômes quadratiques : à un nombre de rotation fixé, tout germe est linérarisable si et seulement si celui provenant de la famille quadratique l'est. Pour cela, il utilise la théorie des applications à allure polynomiale ([Yo]). La même année, M. Herman utilise des estimations de G. Świątek ([Sw]) et la construction par chirurgie pour montrer que le bord du disque de Siegel d'un polynôme quadratique diophantien d'exposant 2 est un quasicercle (toujours non publié). Ce n'est qu'en 1993-94 que l'on a un premier résultat topologique sur la dynamique globale de polynômes quadratiques admettant un disque de Siegel. C.L. Petersen montre en effet la connexité locale des ensembles de Julia quadratique "diophantien d'exposant 2" ([Pe2]). Là encore, la même chirurgie et les estimations de G. Świątek jouent un rôle prépondérant.

**La méthode des secteurs.** En 1986, B. Branner et A. Douady posent les premières pierres de ce que l'on peut appeler "la méthode des secteurs" (voir [BD]). Elle consiste, grosso modo, à découper des plans dynamiques de polynômes le long de rayons externes, les recoller différemment les uns aux autres, de manière à définir au voisinage des anciens ensembles de Julia remplis un revêtement ramifié, en recollant entre eux des itérés des polynômes de départ. En général, cette construction conduit à des discontinuités le long de rayons externes. Pour y remédier, on remplace l'application déjà obtenue par une extension continue définie sur un secteur voisinage du rayon. Modulo des lemmes techniques, on se ramène ainsi à une application à allure polynomiale qui, elle-même, est équivalente à un polynôme.

Par ce procédé, les auteurs construisent d'une part un homéomorphisme entre le membre 1/2 et le membre 1/3 de $M$, et entre le membre 1/2 de $M$ et un membre d'une famille cubique d'autre part. Cette méthode a été plus récemment utilisée par B. Branner
et N. Fagella pour exhiber des homéomorphismes entre membres de $M$ ayant même dénominateur (voir [BF]). Cette méthode des secteurs permet d'autres chirurgies comme la chirurgie croisée de polynômes (voir [EY] et Partie V) et l'explosion/implosion d'ensembles de Julia (voir Partie II, Chap. 5 et [Bi1]).

**La chirurgie formalisée et le principe de Shishikura.** Au milieu des années quatre-vingt, M. Shishikura formalise la notion de chirurgie en énonçant ce qu'il appelle le "lemme fondamental de la chirurgie", qui donne un critère de redressement des applications quasirégulières. Il utilise avec dextérité les techniques de découpe et de couture pour montrer une conjecture datant de P. Fatou sur le nombre maximal de points non répulsifs pour une fraction rationnelle de degré $d \ge 2$ (voir [Sh1]). Sa démonstration montre aussi qu'un nombre de rotation d'un disque de Siegel est aussi un nombre de rotation d'un anneau de Herman, et réciproquement. L'analogue pour les polynômes avait déjà été montré par A. Douady grâce à l'introduction des applications à allure polynomiale.

De son côté, C.T. McMullen définit un "lemme de recollement" qui permet de remplacer des dynamiques sur le complémentaire d'un compact invariant par une dynamique plus simple (voir [Mc1]). Il l'utilise pour montrer que, si $K$ est une composante connexe de l'ensemble de Julia d'une fraction rationnelle $f$ telle que $f(K) = K$, alors il existe une fraction rationnelle $g$, telle que l'action de $f$ sur $K$ soit quasiconformément conjuguée à celle de $g$ sur $J_g$.

**Équivalence combinatoire.** En 1982, W.P. Thurston démontre un théorème sur la cactérisation topologique des fractions rationnelles à ensemble postcritique fini. Étant donné un revêtement ramifié de degré $d \ge 2$ à ensemble postcritique fini, i.e. tel que l'orbite des points critiques soit finie, son critère nous permet de décider si ce revêtement ramifié est équivalent à une fraction rationnelle, ou non (voir [Th], [DH3] et [HS] pour les polynômes). Ce théorème permet un autre type de chirurgie : la fabrication de revêtements ramifiés à ensemble postcritique fini, n'ayant aucune autre régularité que la continuité. Ensuite, il faut vérifier le critère... Ce critère a subi d'importantes simplifications dans sa pratique, notamment à la suite des travaux de S. Levy, B. Wittner, M. Shishikura et Tan L., K. Pilgrim et Tan L., et A. Poirier (voir [Lev, Wt, STL, PTL, Po]).

Ce théorème a été rapidement appliqué dans le cas des chirurgies suivantes :

* **ACCOUPLEMENT DE POLYNÔMES:** Étant donnés deux polynômes $P$ et $Q$ d'ensemble de Julia connexe et localement connexe, on note $\gamma_P : T \to J_P$ (resp. $\gamma_Q : T \to J_Q$) le lacet de Carathéodory de $K_P$ (resp. $K_Q$). On considère $\Sigma = K_P \cup K_Q/\gamma_P(t) \sim \gamma_Q(-t)$, et on définit $F : \Sigma \to \Sigma$ par $P$ et $Q$. Lorsque $\Sigma$ est une sphère, une fraction rationnelle $f$ est un accouplement de $P$ et $Q$ si $f$ est topologiquement conjugué à $F$ et si $P$ et $Q$ figurent dans $f$. Tan L. montre que deux polynômes $z \mapsto z^d + c$, $d \ge 2$ à ensemble postcritique fini sont accouplables si et seulement si ils ne sont pas dans des membres conjugués (voir [TL1]).

* **CAPTURE:** Étant donné un polynôme à ensemble postcritique fini, la capture est une construction qui confond le point à l'infini avec deux points strictement pré périodiques répulsifs ayant la même image (voir [Wt]) et qui fabrique une fraction rationnelle.

À l'aide de ces deux chirurgies, Tan L. montre que la méthode de Newton appliquée à la famille de polynômes cubiques se décompose en accouplement ou capture (voir [TL2]).

Plus récemment, des généralisations du théorème de Thurston au cas géométriquement
fini (i.e. l'ensemble postcritique fini a un nombre fini de points d'accumulation) commen-
cent à être établies (voir [CJS] et communication personnelle de J.H. Hubbard pour les
polynômes, travail joint avec D. Schleicher). Leurs preuves conduisent à l'existence de
fractions rationnelles hyperboliques (sans point parabolique).

Retour aux applications à allure polynomiale. D. Sullivan interprète l'ensemble des classes externes d'une application à allure polynomiale comme l'espace de Teichmüller d'une lamination en surface de Riemann. Cette idée lui permet de montrer l'universalité de la renormalisation par doublement de période (voir [Su3, Su4] et [Ly2, Mc3] pour des développements).

Par ailleurs, M. Lyubich généralise la notion d'application à allure polynomiale en acceptant des domaines de définition non connexes (voir [Ly1]), ce qui lui permet de démontrer que certains ensembles de Julia sont de mesure nulle. Cette technique est aussi utilisée pour étudier la rigidité de polynômes quadratiques (voir [Ly3, Mc2]). L'étude de points fixes de renormalisation s'applique aussi à l'étude de disques de Siegel ([dF, Mc4]), et au problème d'ensembles de Julia de mesure positive ([SN, Bu]).
## II. Outils de la chirurgie et de la déformation

Cette partie est consacrée aux outils essentiels de la chirurgie et de la théorie de la déformation.

Dans le premier chapitre, on rappelle des théorèmes d'analyse complexe, notamment des résultats liés aux invariants conformes. Dans le chapitre suivant, on présente succinctement les applications quasiconformes et leurs usages dans les espaces de Teichmüller. Le dernier chapitre traite des applications à allure polynomiale, des silhouettes polynomiales et de la figuration. Ces objets permettent de caractériser des applications premier-retour par des polynômes. A part le chapitre sur la figuration, le reste est assez connu, donc il y a peu de démonstrations.

Les principaux résultats sur les silhouettes polynomiales (voir définition p. 40) sont les suivants :

**Proposition 1** *Soit $(U' \xrightarrow{f} U, K)$ une silhouette polynomiale. On suppose que sa classe externe marquée $h_f$ est de degré $d_f \ge 2$, topologiquement expansive, combinatoirement finie et sans point parabolique. Alors, il existe un unique polynôme $P$, à conjugaison affine près, qui figure de manière rigide dans $f$, et tel que leurs ensembles de Julia soient homéomorphes.*

**Théorème 2** *Soit $P$ un polynôme de degré $d \ge 2$ et d'ensemble de Julia connexe ; on note $\gamma_P : Q/Z \to J_P$ son lacet de Carathéodory ($J_P$ n'est pas supposé localement connexe). Soit $h : (S^1, X) \to (S^1, X)$ un revêtement R-analytique marqué topologiquement expansif et combinatoirement fini, et où $X$ est formé des orbites critiques et paraboliques de $h$.*

*On suppose qu'il existe un homéomorphisme $\chi : S^1 \to S^1$ qui conjugue $h$ à $z \mapsto z^d$ tel que :*

(a) pour tout $x \in X$, $\gamma_P \circ \chi(x)$ est un point pré périodique répulsif de $P$;

(b) les points paraboliques de $h$ correspondent à des points répulsifs de $P$ qui n'appartient pas à l'ensemble $\omega$-limite des points critiques.

Alors il existe une silhouette polynomiale $f : U' \to U$ de classe externe $h$ telle que $P$ y figure de manière rigide.
Les techniques utilisées sont essentiellement la méthode des secteurs et le théorème de G. David d'intégrations des formes de Beltrami. On introduit aussi l'explosion et l'implosion d'ensembles de Julia en un point strictement préperiodique qui sont des chirurgies qui créent et font disparaître des points critiques strictement préperiodiques de polynômes.
# Chapitre 3

## Rappels d'analyse complexe

**Applications conformes.** Soit $U \subset C$ un ouvert simplement connexe. D'après le théorème de Riemann de représentation conforme, il existe une unique application conforme $\varphi : D \to U$ à précomposition près par un automorphisme du disque. On s'intéresse à l'extensivité de $\varphi$ à $S^1$.

On définit la limite radiale de $\varphi$ en $\zeta \in S^1$ par la limite - si elle existe - de $\varphi(r\zeta)$ quand $r \to 1$. D'après un théorème de Fatou, cette limite existe pour presque tout $\zeta \in S^1$.

C. Carathéodory caractérise topologiquement les applications qui se prolongent au bord :

**Théorème 3.0.5 (C. Carathéodory)** Soit $\varphi : D \to U$ une application conforme. Alors,
(i) le bord de $U$ est localement connexe;

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

(ii) $\varphi$ se prolonge en $\bar{\varphi} : \bar{D} \to \bar{U}$ continue.

On conclut ce paragraphe par deux versions du théorème de distorsion de P. Köbe :

**Théorème 3.0.6 (P. Köbe)**

(i) Soit $f : D \to C$, une application univalente telle que $f(0) = 0$ et $f'(0) = 1$ ; alors,
$f(D) \supset \{|z| < 1/4\}$.

(ii) La famille des applications vérifiant (i) est compacte.

**Longueur extrémale.** D'après A. Beurling ([Ah2, Beu]), on définit la longueur extrémale d'une famille de courbes rectifiables $\Gamma$ du plan comme suit :

Considérons $\Omega$ un ouvert connexe contenant toutes les courbes de $\Gamma$, ainsi que toutes les métriques conformes $\rho(z)|dz|$ vivant sur $\Omega$, où $\rho : \Omega \to \mathbf{R}_+$ est une application mesurable, telle que

$$0 < \text{Aire}(\Omega, \rho) = \int_{\Omega} \rho^2(z) dxdy < \infty.$$

Posons

$$\text{pour } \gamma \in \Gamma, L(\gamma, \rho) = \int_{\gamma} \rho|dz|,$$
et

$$L(\Gamma, \rho) = \inf_{\gamma \in \Gamma} L(\gamma, \rho).$$

**Définition.** La longueur extrémale de $\Gamma$ dans $\Omega$ est :

$$\Lambda_{\Omega}(\Gamma) = \sup \frac{L^2(\gamma, \rho)}{\text{Aire}(\Omega, \rho)},$$

où le “sup” est pris sur toutes les métriques conformes pour lesquelles l’aire de $\Omega$ est finie et strictement positive.

• C'est un invariant conforme, i.e. si $f : \Omega \to \Omega'$ est une application conforme, $\Gamma' = \{f(\gamma), \gamma \in \Gamma\}$, alors $\Lambda_{\Omega'}(\Gamma') = \Lambda_{\Omega}(\Gamma)$.

• Elle est indépendante du domaine $\Omega$ contenant $\Gamma$.

On dit que $\rho$ est une *métrique extrémale* pour $\Gamma$ si elle réalise la longueur extrémale de $\Gamma$. Les métriques extrémales existent toujours dans le cas d'anneaux ou de quadrilatères - qui nous intéresse, ce qui est faux en général pour une famille quelconque de courbes. De plus, lorsqu'il en existe une, elle est unique à une normalisation près.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIG. 3.1 - Redressement d'un quadrilatère.</figcaption></figure>

**Définitions.** ▷ Un quadrilatère $Q$ est un domaine de Jordan avec 4 points marqués sur son bord. Ils divisent le bord en deux paires de côtés opposés $(\alpha, \alpha')$ et $(\beta, \beta')$ (voir Figure 3.1). On oriente $Q$ en choisissant une paire, e.g. $(\alpha, \alpha')$, et on note $Q(\alpha, \alpha')$. On définit le module de $Q(\alpha, \alpha')$ comme la longueur extrémale des courbes joignant $\alpha$ et $\alpha'$. Pour tout quadrilatère, il existe un rectangle $R = \{z \in \mathbb{C}, 0 < \text{Re}(z) < a, 0 < \text{Im}(z) < b, a, b > 0\}$, unique à homothétie près, conformément équivalent à $Q$ et tel que l'image de $\alpha$ soit le segment $[0, a]$. Alors, mod $Q(\alpha, \alpha') = b/a$. Si l'on transporte la métrique euclidienne de $R$ sur $Q$, elle définit une métrique extrémale pour $Q$.

▷ Un anneau $A$ est un ouvert doublement connexe du plan. On définit son module par la longueur extrémale des courbes joignant les deux composantes du bord. Un anneau est conforme à un unique ouvert de la forme $C/Z$ ($\approx C^*$), $H/Z$ ($\approx D^*$) ou $B_h/Z$, où $B_h = \{z \in \mathbb{C}, |\text{Im}(z)| < h\}$. Dans ce dernier cas, il est aussi conforme à un unique
anneau droit A = {1/r < |z| < r}, 0 < r < ∞, et son module est 2h dans le premier
modèle, et $\frac{\log r}{\pi}$ dans le second. Dans les autres cas, le module est infini (ils sont distingués
par leur revêtement universel). Tout anneau admet une métrique extrémale en tirant en
arrière la métrique euclidienne définit sur un des modèles précédents.

▷ On dira qu’un sous-anneau d’un anneau est essentiel si un générateur de son groupe fondamental est homotope à un générateur de l’anneau le contenant. On dira qu’un quadrilatère est essentiel dans un anneau si deux côtés opposés appartiennent à des composantes distinctes du bord de l’anneau. On s’intéressera alors au module induit par ces deux côtés.

Dans la suite, on s’intéressera tout particulièrement à la recherche de bornes sur des
modules d’anneaux. La manière la plus évidente de trouver une borne inférieure est d’ex-
hiber une métrique conforme ρ : pour toute famille de courbes rectifiables Γ, et pour toute
métrique conforme ρ admissible,

$$
\Lambda_{\Omega}(\Gamma) \geq \frac{L^2(\Gamma, \rho)}{\text{Aire}(\Omega, \rho)}.
$$

Les autres méthodes sont connues sous le nom d'Inégalités de Grötzsch énoncées dans
la proposition suivante (le premier point impliquant les autres, voir Figure 3.2) :

**Proposition 3.0.7** (i) *Soient* $(\Gamma_i)_{i \in I}$ *et* $\Gamma$ *des familles de courbes rectifiables telles que*
$\forall \gamma_i \in \Gamma_i$, et $\forall \gamma_j \in \Gamma_j$, $\gamma_i \cap \gamma_j = \emptyset$ si $i \neq j$.

- Si toute courbe $\gamma \in \Gamma$ contient une courbe de chaque $\Gamma_i$, $i \in I$, alors

$$
\Lambda(\Gamma) \geq \sum_{i \in I} \Lambda(\Gamma_i);
$$

- si toute courbe de $\cup_{i \in I} \Gamma_i$ contient une courbe de $\Gamma$, alors

$$
1/\Lambda(\Gamma) \geq \sum_{i \in I} 1/\Lambda(\Gamma_i).
$$

(ii) *Soit* $(A_i)_{i \in I}$ *une famille d'anneaux disjoints essentiels dans un anneau A, alors*

$$
\sum_{i \in I} \mod A_i \le \mod A.
$$

(iii) *Soit* $(Q_i)_{i \in I}$ *une famille de quadrilatères disjoints essentiels dans un anneau A, alors*

$$
\sum_{i \in I} \frac{1}{\mod Q_i} \le \frac{1}{\mod A}.
$$

**Géométrie hyperbolique.** Tournons-nous maintenant vers la géométrie hyperbolique. Une surface de Riemann est hyperbolique si son revêtement universel est isomorphe au demi-plan supérieur H (ou D). La métrique de Poincaré est l'unique métrique conforme complète de courbure constante $-1$. Par le lemme de Schwarz, on en déduit que toute application holomorphe est contractante pour cette métrique. Si une application est une isométrie locale en un seul point, alors c'est un revêtement (holomorphe). Dans un domaine borné simplement connexe hyperbolique du plan, le coefficient de la métrique hyperbolique en un point est comparable à l'inverse de la distance de ce point au bord.
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIG. 3.2 - Inégalités de Grötzsch.</figcaption></figure>

Pour toute surface de Riemann hyperbolique $X$, il existe un groupe $\Gamma \simeq \pi_1(X)$ qui agit proprement discontinûment et sans points fixes sur $H$ tel que $X \simeq H/\Gamma$.

Pour un anneau de module fini $B_\pi/Z_l$, on définit son équateur comme étant l'unique géodésique fermée de cet anneau. Elle se relève dans $B_\pi$ sur l'axe réel. De plus, sa longueur hyperbolique coïncide avec sa longueur euclidienne, i.e. $l$.

L'inclusion entre domaines hyperboliques est strictement contractante. De plus, sur tout compact d'un domaine hyperbolique du plan, les métriques de Poincaré et euclidienne sont équivalentes.

Il existe un très joli lien entre la distance hyperbolique de deux points dans un domaine simplement connexe et le module d'un anneau :

**Proposition 3.0.8 ([Do7]**). Soit $U$ une surface de Riemann simplement connexe hyperbolique et soient $z_1 \neq z_2 \in U$. On considère $\pi : A \to U$ le revêtement à deux feuillets de $U$ ramifié au-dessus de $z_1$ et $z_2$. Alors $A$ est un anneau dont le module ne dépend que de la distance de Poincaré entre $z_1$ et $z_2$. Plus précisément, il existe un homéomorphisme décroissant $M : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}_+^*$ tel que $\text{mod } A = M(d(z_1, z_2))$, avec

$$M(d) = \frac{\log 4/d}{\pi} + O(1/d^2)$$

au voisinage de zéro.

Cette estimation est le point de vue hyperbolique du problème de l'anneau extrémale de Grötzsch (cf [Ah1, LV])

**DÉMONSTRATION.** La formule de Riemann-Hurwitz permet de calculer le genre de $A$, et le résultat est 1. Comme $U$ n'est pas compact, c'est un anneau (voir Figure 3.3).

On note $d$ la métrique de Poincaré de $U$.

Pour toute paire $(w_1, w_2)$, $w_1 \neq w_2$, de $U$ telle que $d(w_1, w_2) = d(z_1, z_2)$, il existe un automorphisme de $U$ envoyant une paire sur l'autre, qui se relève en un isomorphisme entre leurs anneaux associés. Si $d(z_1, z_2) > d(w_1, w_2)$, alors il existe une application conforme
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIG. 3.3 - Revêtement à deux feuillets.</figcaption></figure>

φ : U → V où V est strictement inclus dans U et telle que φ(zᵢ) = wᵢ, i = 1, 2. Soient A_U l'anneau provenant du revêtement à deux feuillets de U ramifié au-dessus de w₁ et w₂, et ϖ : A_U → U la projection. Le domaine V se relève par ϖ en un anneau A_V homotope à A_U et strictement inclus dedans, donc mod A_U > mod A_V. L'application M est par conséquent strictement décroissante.

Montrons que M est surjective, ce qui impliquera que c'est un homéomorphisme. Soit m > 0 ; on note R = e^(im) et on considère l'anneau

$$
A_R = (1/R < |z| < R)
$$

de module *m*. Pour 0 < *a* < 1, $\phi_a(z) = (a/2)(z + 1/z)$ est un revêtement à deux feuillets ramifié au-dessus de $\pm a$, et les deux composantes de $\partial A_R$ ont pour image (commune) une ellipse de grand axe de longueur $aR + a/R$ et de petit axe de longueur $aR - a/R$. Soit $U$ la composante intérieure de cette ellipse, qui correspond à l'image de $A_R$ par $\phi_a$. Par construction,

$$
M(d(-a, a)) = m.
$$

Pour trouver l'estimation, on remarque que D(0, aR - a/R) ⊂ U ⊂ D(0, aR + a/R).
En comparant les distances de Poincaré de a à -a dans ces domaines, on trouve que
d(-a, a) = 4/R + O(1/R³) et donc que m = log R / π = (log 4 / d(-a,a)) / π + O(1/d(-a,a)²).

**Lemme 3.0.9 (Critère d'équicontinuité)** *Soit (U_n)_{n≥0} un système fondamental de voisinages-disques de l'origine dans le disque unité tel que A_n = D \ U_n soit un anneau; soit F une famille d'applications continues et injectives f : D → C telle que ∪_{f∈F} f(D) soit bornée. Si*

$$
\exists c > 0, \forall f \in \mathcal{F}, \forall n \ge 0, \mod f(A_n) \ge c. \mod A_n,
$$

alors $\mathcal{F}$ est équicontinue en zéro.

DÉMONSTRATION. Pour un ouvert U de C simplement connexe et x ≠ y des points de U, on note π_x^U : A_{x,y} → U le revêtement à deux feuillets ramifié au-dessus de x et y; si
$U = f(\mathbf{D}) (f \in \mathcal{F})$, on écrit $\pi_{x,y}^f$ pour $\pi_{x,y}^{f(\mathbf{D})}$. Il existe un disque $G = D(0, R)$ de rayon $R < \infty$ tel que $\cup_{f \in \mathcal{F}} f(\mathbf{D}) \subset G$. Notons $d_{\mathbf{D}}$, $d_G$ et $d_f$ les métriques de Poincaré de $\mathbf{D}$, $G$ et $f(\mathbf{D})$ respectivement. On pose $\alpha_n = d_{\mathbf{D}}(0, A_n)$.

Il existe $c' > 0$ tel que pour tous $x, y \in G$, $d_G(x, y) \geq c'|x - y|$.

Soit $\varepsilon > 0$ fixé. Il existe $m > 0$ tel que $\forall f \in \mathcal{F}$ et $\forall x, y \in f(\mathbf{D})$,

$$ \mod A_{x,y}^{f} \geq m \implies d_{f}(x, y) \leq c'\varepsilon. $$

Comme $\mod A_n \to \infty$, il existe $n_0$ tel que pour $n \geq n_0$, $\mod A_n > m/2c$. Soit $x \in \mathbf{D}$ tel que $d_{\mathbf{D}}(x, 0) < \alpha_{n_0}$; alors, pour tout $f \in \mathcal{F}$, l'anneau $f(A_{n_0})$ se relève dans $A_{0,x}^f$ en deux anneaux disjoints et essentiels; d'après les propositions 3.0.7 et 3.0.8, on en déduit que

$$ \mod A_{f(0), f(x)}^{f} \geq 2\mod f(A_{n_0}) \geq m $$

et $d_f(f(0), f(x)) < c'\varepsilon$.

Comme $f(\mathbf{D}) \subset G$, on a

$$ d_f(f(0), f(x)) \geq d_G(f(0), f(x)) \geq c'|f(0) - f(x)|, $$

et il s'ensuit que $|f(0) - f(x)| \leq \varepsilon$.

On a ainsi montré que

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists \alpha > 0, \forall f \in \mathcal{F}, |x| \leq \alpha \implies |f(x) - f(0)| \leq \varepsilon, $$

parce que le coefficient infinitésimale de $d_{\mathbf{D}}$ est plus grand que 1.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

**Proposition 3.0.10 ([Mc2])** Π existe trois fonctions $m$, $C_1$ et $C_2$ : $\mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}_+^*$ avec $m(\varepsilon) \to 0$ quand $\varepsilon \to 0$, $C_1(r) \to 0$ quand $r \to 0$ et $C_2(r) \to \infty$ quand $r \to \infty$, telles que : pour tout compact $K$ plein et connexe de $C$ de diamètre euclidien 1, et pour tout voisinage simplement connexe $D$ de $K$, on ait :

(i) $\mod(D \setminus K) \geq m(\mathrm{dist}(\partial D, K)) > 0$;

(ii) $C_1(\mod D \setminus K) \geq \mathrm{dist}(\partial D, K) \geq C_2(\mod D \setminus K)$.
# Chapitre 4

## Applications quasiconformes & espaces de Teichmüller

La théorie des applications quasiconformes a pris son essor à partir de la fin des années cinquante. Dans la suite, on rappellera les principaux résultats de la théorie, ainsi que des résultats moins communs qui nous seront utiles par la suite. Les références usuelles sont [Ah1, LV]. Ensuite, on introduit l'espace de Teichmüller d'une surface de Riemann d'une part, et d'une fraction rationnelle d'autre part (voir [McS]).

### 4.1 Applications quasiconformes : définition et principales propriétés

**Définition.** Soient $X, Y$ deux surfaces de Riemann, $\varphi : X \to Y$ un homéomorphisme respectant l'orientation et $K \ge 1$. L'application $\varphi$ est $K$-quasiconforme si les conditions suivantes sont vérifiées :

(i) $\varphi \in CH^1(X)$, i.e. $\varphi$ admet des dérivées au sens des distributions $\varphi_z$ et $\varphi_{\bar{z}}$ par rapport à $z$ et $\bar{z}$ qui sont dans $L_{\text{loc}}^2(X)$;

(ii) on définit la **forme de Beltrami** de $\varphi$

$$ \mu_{\varphi} = \frac{\varphi_{\bar{z}} d\bar{z}}{\varphi_z dz} $$

qui existe pp. et on demande

$$ \|\mu_{\varphi}\|_{\infty} \le \frac{K-1}{K+1}. $$

Une application est **quasirégulière** s'il s'agit de la composée d'un homéomorphisme quasiconforme et d'une fonction holomorphe.

La forme de Beltrami associée à $\varphi$, $\mu_{\varphi} = \varphi_{\bar{z}}/\varphi_z \frac{d\bar{z}}{dz}$ vit dans l'espace des $(-1, 1)$-différentielles à coefficient $L^{\infty}(X)$, ce qui signifie que si $c : Z \to X$ est un changement de carte (conforme) de $X$, alors

$$ \mu_{\varphi \circ c} = \mu_{\varphi} \circ c \frac{d\bar{c}}{c'c}. $$
**Théorème 4.1.1 (Propriétés)**

(i) Un homéomorphisme $\varphi : X \to Y$ est $K$-quasiconforme si et seulement si pour tout anneau $A$ de $X$, $\frac{1}{K} \mod A \le \mod f(A) \le K \mod A$.

(ii) Un homéomorphisme $\varphi$ est 1-quasiconforme si et seulement si $\varphi$ est conforme.

(iii) L'inverse d'une application $K$-quasiconforme est $K$-quasiconforme et la composée d'homéomorphismes $K_1$- et $K_2$-quasiconforme est $K_1K_2$-quasiconforme.

(iv) La famille des applications $f : D \to D$ $K$-quasiconformes telles que $f(0) = 0$ est compacte.

**Remarque.** Le disque unité et le plan complexe ne sont pas quasiconformément équivalents.

On interprète géométriquement une forme de Beltrami $\mu = \mu_{\varphi}(x) \frac{d\bar{\varphi}}{dx}$ en lui associant un champ mesurable d'ellipses infinitésimal, à homothétie strictement positive près, en presque tout point de $X$: pour presque tout $x \in X$, on considère sur $T_x X$ l'ellipse d'ecentricité $\frac{1 + |\mu_{\varphi}(x)|}{1 - |\mu_{\varphi}(x)|}$ faisant un angle $2\arg(\mu_{\varphi}(x))$ avec $R_+$. L'eccentricité de ces ellipses est bornée par $K$. L'homéomorphisme $\varphi$ transforme ce champ d'ellipses en un champ de cercles sur $Y$ (voir Figure 4.1). Un homéomorphisme quasiconforme $\varphi$ est holomorphe si et seulement si $\varphi^* : TY \to TX$ transforme le champ de cercles défini sur $TY$ en celui de $TX$. Par suite, on interprète le champ d'ellipses défini par $\mu_{\varphi}$ comme une autre structure complexe sur $X$. En particulier, si $f : X \to X$ est une application quasirégulière, telle que $f^*\mu_{\varphi} = \mu_{\varphi} \text{ pp.}$ (ou de façon équivalente laisse invariant le champ d'ellipses défini par $\varphi$), alors $g = \varphi \circ f \circ \varphi^{-1} : Y \to Y$ est holomorphe.

Inversement, à tout champ infinitésimal mesurable d'ellipses, on peut associer une forme de Beltrami $\mu$, ce qui définit une *structure presque-complexe*. La question naturelle est alors de savoir sous quelle(s) condition(s), $\mu$ est-elle *intégrable* (existe-t-il un homéomorphisme de forme de Beltrami $\mu$ pp.), ou de façon équivalente, est-ce que cette structure presque-complexe détermine une véritable structure complexe. Une réponse est fournie par le théorème de Morrey-Ahlfors-Bers :

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIG. 4.1 - Application quasiconforme.</figcaption></figure>

**Théorème 4.1.2** (i) Soit $\mu \in L^\infty(\bar{C})$ ; si $\|\mu\|_\infty < 1$ alors il existe un homéomorphisme quasiconforme $\varphi : \bar{C} \to \bar{C}$, unique à postcomposition près par une application de Möbius, tel que

$$ \varphi_{\bar{\tau}} = \mu\varphi_z \text{ pp.} $$
Autrement dit, si $\sigma$ est une structure presque-complexe définie presque partout sur $\bar{C}$, à ellipticité bornée, alors $\sigma$ est en fait une structure complexe sur $\bar{C}$. Il existe donc $\varphi : \bar{C} \to \bar{C}$ quasiconforme telle que $\varphi^*\sigma_0 = \sigma$ pp. où $\sigma_0$ désigne la structure complexe standard.

(ii) Soit $(\mu_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une famille de coefficients de Beltrami dépendant $C$-analytiquement de $\lambda$. Si les supports des $\mu_\lambda$ sont dans un compact fixe de $C$ et si les $\mu_\lambda$ sont uniformément bornés par une constante plus petite que 1, alors on peut résoudre l'équation de Beltrami de telle sorte que les solutions $\varphi_\lambda$ varient de façon $C$-analytique par rapport à $\lambda$ et que $\varphi_\lambda(z) = z + o(1)$ à l'infini.

**Exemple.** Soit $K \ge 1$. On considère la forme de Beltrami $\mu(z) = \frac{K-1}{K+1} \frac{dz}{dz}$. Son champ d'ellipses est porté par les horizontales, et l'eccentricité est constante (égale à $K$). L'application $\varphi : x + iy \mapsto x + iKy$ est une solution de l'équation de Beltrami.

**Définitions.** Un $K$-quasidisque (resp. quasicercle) est l'image du disque unité (resp. cercle unité) par un homéomorphisme $K$-quasiconforme de la sphère. De même, une quasidroite est l'image d'une droite par un homéomorphisme quasiconforme qui fixe l'infini.

Ces derniers ont la caractérisation géométrique suivante :

**Proposition 4.1.3 (Caractérisation des quasidroites)**

(i) Soit $L$ une $K$-quasidroite orientée, alors il existe $C(K) > 0$ tel que pour tout triplet ordonné $(z_1, z_2, z_3)$ de $L$,

$$ \left| \frac{z_2 - z_1}{z_1 - z_3} \right| \le C(K). $$

(ii) Réciproquement, soient $L$ une courbe de Jordan passant par l'infini et $C > 0$. Si pour tout triplet ordonné $(z_1, z_2, z_3)$ de $L$,

$$ \left| \frac{z_2 - z_1}{z_1 - z_3} \right| \le C, $$

alors $L$ est une $K(C)$-quasidroite.

Cette condition signifie que les composantes connexes du complémentaire n'ont pas de "presque-île".

## 4.2 Extensions d'applications et problème de couture

Depuis L.V. Ahlfors et A. Beurling, il existe des critères permettant de savoir sous quelle(s) condition(s), une application définie sur un sous-ensemble de $\bar{C}$ peut être prolongée en application quasiconforme globale. On commence par donner des résultats généraux, puis on se spécialise à des extensions sur des secteurs.
### 4.2.1 Applications quasisymétriques et extension d'homéomorphismes réels

**Définition.** Soit $M \ge 1$. Un homéomorphisme $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ est $M$-quasisymétrique si pour tout $x \in \mathbf{R}$ et tout $t > 0$,

$$1/M \le \frac{f(x+t) - f(x)}{f(x) - f(x-t)} \le M.$$

Ces homéomorphismes jouent un rôle particulier pour les applications quasiconformes puisque :

**Théorème 4.2.1 (L.V. Ahlfors et A. Beurling)**

(i) Soit $\varphi : \mathbf{C} \to \mathbf{C}$ une application $K$-quasiconforme qui fixe l'axe réel. Alors $\varphi : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ est $M(K)$-quasisymétrique.

(ii) Soit $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ un homéomorphisme $M$-quasisymétrique. Alors il existe une extension $\varphi : \mathbf{C} \to \mathbf{C}$, $K(M)$-quasiconforme telle que $\varphi|_{\mathbf{R}} = f$.

Plus généralement, ces auteurs ont montrés :

**Théorème 4.2.2** *Un domaine de Jordan du plan $U$ est un quasidisque si et seulement si pour tout homéomorphisme quasiconforme $\varphi : \mathbf{D} \to U$, il existe une extension $\phi : \bar{\mathbf{C}} \to \bar{\mathbf{C}}$ quasiconforme.*

Il existe en fait de très nombreuses caractérisations de quasidisques (voir [Ge]).

**Extension barycentrique.** On se donne un homéomorphisme $f : \mathbf{S}^1 \to \mathbf{S}^1$. A. Douady et C.J. Earle (voir [DE]) ont montré :

**Théorème 4.2.3** *On peut associer à chaque homéomorphisme qui préserve l'orientation $f : \mathbf{S}^1 \to \mathbf{S}^1$ une extension au disque $E(f) : \mathbf{D} \to \mathbf{D}$ qui soit un difféomorphisme $\mathbf{R}$-analytique et de manière conformément naturelle, i.e. telle que*

$$\text{pour tous } \gamma, \delta \in \text{Aut}(\mathbf{D}), E(\gamma \circ f \circ \delta) = \gamma \circ E(f) \circ \delta.$$

*De plus, si $f$ admet une extension quasiconforme alors $E(f)$ est quasiconforme et bi-Lipschitz relativement à la métrique de Poincaré du disque.*

### 4.2.2 Prolongements d'applications conformes définies sur des secteurs

Dans les différentes chirurgies sur les secteurs, on a besoin de prolonger des applications conformes de façon quasiconforme. L'existence de ces applications dépend de la géométrie du bord, ainsi que des singularités des applications définies au bord.
Ci-dessous sont données deux méthodes d'extension dont l'une provient de [BD] (voir aussi [BF, Wl]), qui utilise la dynamique au voisinage d'un point répulsif.

**Bandes $\sigma$-périodiques et difféomorphismes $C^1$-bornés.**

Ce paragraphe regroupe (sans démonstration) des lemmes techniques démontrés par B. Branner et A. Douady.

Soit $\sigma \in C$ avec $\text{Re}\sigma > 0$. On définit une bande $C^1$ $\sigma$-périodique $H$ comme un ensemble fermé de $C$ invariant par la translation $z \mapsto z + \sigma$, et bordé par deux courbes $\Gamma_+$ et $\Gamma_-$, de classe $C^1$. Une moitié gauche $H^<$ est la composante connexe de $H$ privé d'une courbe $C^1$ transverse à $\Gamma_+$ et $\Gamma_-$, stable par image inverse de la translation.

Soient $H_1$ et $H_2$ deux bandes $\sigma$-périodiques. Une application $h : H_1 \to H_2$ est $\sigma$-périodique si $h(z + \sigma) = h(z) + \sigma$.

**Lemme 4.2.4** *Π existe un homéomorphisme holomorphe $\sigma$-périodique entre les bandes si et seulement si les modules des anneaux $H_1/\sigma\mathbb{Z}$ et $H_2/\sigma\mathbb{Z}$ sont les mêmes.*

Soient $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ deux courbes $C^1$ $\sigma$-périodiques; on note $\Gamma_1^<$ et $\Gamma_2^<$ leur moitié gauche; un difféomorphisme $h : \Gamma_1^< \to \Gamma_2^<$ est $C^1$-borné si $|h(z) - z|$ et $|\log h'(z)|$ restent bornées quand $z$ tend vers $-\infty$.

**Lemme 4.2.5** *Soit $h : \Gamma_1^< \to \Gamma_2^<$ un difféomorphisme $\sigma$-périodique, alors $h$ est $C^1$-bornée.*

**Proposition 4.2.6** *Si $h : H_1^< \to H_2^<$ est holomorphe, $\sigma$-périodique et tels que les anneaux soient isomorphes, alors sa restriction au bord est de classe $C^1$ et est $C^1$-bornée.*

La réciproque de ce résultat est (sans condition sur les modules):

**Proposition 4.2.7** *En gardant les mêmes notations, si $\varphi_\pm : \Gamma_1^{\pm} \to \Gamma_2^{\pm}$ sont deux difféomorphismes $C^1$-bornées sur les bords des moitiés gauches de bandes $H_1$ et $H_2$ $\sigma$-périodiques et si $\varphi_0$ est un difféomorphisme entre les arcs tranverses définissant $H_1^<$ et $H_2^<$, alors il existe une application quasiconforme $\phi : H_1^< \to H_2^<$ prolongeant ces difféomorphismes.*

**Secteurs non périodiques.**

Soient $S_i$ (resp. $\hat{S}_i$), $i = 1, 2, 3$, des secteurs droits issus de l'origine d'angles $\alpha_i$ (resp. $\hat{\alpha}_i$) et intersectés à D tels que $\partial S_i \cap \partial S_{i+1}$ (resp. $\partial \hat{S}_i \cap \partial \hat{S}_{i+1}$), $i = 1, 2$, soient des segments.

**Proposition 4.2.8** *On considère $F_i : S_i \to \hat{S}_i$, $i = 1, 3$, deux applications conformes, respectant les bords. Si $\frac{\hat{\alpha}_2}{\alpha_3} = \frac{\hat{\alpha}_1}{\alpha_1}$, alors il existe $F_2 : S_2 \to \hat{S}_2$ quasiconforme prolongeant les applications $F_1$ et $F_3$.*

**DÉMONSTRATION.** On relève les secteurs $S_i$ (resp. $\hat{S}_i$) par $z \mapsto \exp 2i\pi z$ en des moitiés gauches de bandes horizontales $B_i$ (resp. $\hat{B}_i$) de hauteur $\alpha_i$ (resp. $\hat{\alpha}_i$).
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIG. 4.2 - Extension.</figcaption></figure>

Au voisinage de $-\infty$, les applications $F_i$, $i = 1,3$, sont de la forme $\frac{\dot{a}_1}{\alpha_3}z + C^{\text{ste}} + O(1/z)$.
L'existence de $F_2$ découle alors du lemme suivant :

**Lemme 4.2.9** Soient $h> 0$, $B_h := \{z \in \mathbb{C}, 0 < \text{Im } z < h \text{ et } \text{Re } z < 0\}$; soient $f_i : \mathbb{R}_- \to \mathbb{R}_-$, $i = 1,2$, deux difféomorphismes tels que $f_i(z) = az + b_i + O(1/z)$ à l'infini, avec $a > 0$.

$\forall (h, h') \in \mathbb{R}_+^2, \exists F : B_h \to B_{h'}, \text{quasiconforme telle que } \begin{cases} F_{|\mathbb{R}} = f_1, \\ F_{|\mathbb{R}+ih} = f_2 + ih'. \end{cases}$

**DÉMONSTRATION.** On définit

$$F: \quad B_h \to B_{h'} \\ x + iy \mapsto (1-y)f_1(x) + yf_2(x) + iyh'/h.$$

$F$ est un $\mathbb{C}^1$-difféomorphisme; regardons à l'infini :

$$F(x + iy) = ax + b_1 + y(b_2 - b_1 + yO(1/x) + iyh'/h.$$

On calcule les dérivées partielles, et on obtient :

$$2F_{\bar{z}} = a - h'/h + O(1/x) + i(b_2 - b_1 + O(1/x)),$$

$$2F_z = a + h'/h + O(1/x) - i(b_2 - b_1 + O(1/x));$$

d'où

$$\left| \frac{F_{\bar{z}}}{F_z} \right|^2 = \frac{[a - h'/h + O(1/x)]^2 + [b_2 - b_1 + O(1/x)]^2}{[a + h'/h + O(1/x)]^2 + [b_2 - b_1 + O(1/x)]^2}.$$

Cette quantité est strictement majorée par 1 au voisinage de l'infini, donc $F$ est quasiconforme à l'infini. Le complémentaire est compact, $F$ est un $\mathbb{C}^1$-difféomorphisme et respecte l'orientation, donc $F$ est quasiconforme.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>
### 4.2.3 Problème de couture

Il s'agit du problème suivant : soient $U, V$ des domaines de Jordan du plan. On suppose qu'il existe un homéomorphisme $c : \partial U \to \partial V$ qui renverse l'orientation. On note $X = \bar{U} \cup \bar{V}/(c)$ : c'est une sphère topologique.

**Question:** sous quelle(s) condition(s) $X$ hérite-t-elle de la structure complexe de $U$ et $V$ ? Autrement dit, on cherche s'il existe

$$ \begin{cases} F_U : U \to \bar{C} \text{ et} \\ F_V : V \to \bar{C} \end{cases} $$

des applications univalentes telles que $F_U(\bar{U}) \cup F_V(\bar{V}) = \bar{C}$, $F_U(U) \cap F_V(V) = \emptyset$ et pour $z \in \partial U$, $F_U(z) = F_V \circ c(z)$.

Soient $\varphi_U : D \to U$ et $\varphi_V : \bar{C} \setminus \bar{D} \to V$ deux uniformisantes de Riemann. On note $f : S^1 \to S^1$ l'application définie par $f(z) = \varphi_V^{-1} \circ c \circ \varphi_U(z)$, qui est bien définie par le Théorème de Carathéodory. C'est un homéomorphisme qui préserve l'orientation.

**Proposition 4.2.10** Si $f : S^1 \to S^1$ est quasisymétrique, alors le problème de couture a une solution, unique à postcomposition près par un automorphisme de $\bar{C}$.

**DÉMONSTRATION.** D'après le Théorème 4.2.1, l'application $f$ admet une extension quasiconforme $E(f) : D \to D$. On note $\mu = \mu_{E(f)}$ la forme de Beltrami associée à $E(f)^{-1}$ sur $D$ qu'on prolonge à $\bar{C}$ par zéro. D'après le Théorème 4.1.2, il existe une application $\phi : \bar{C} \to \bar{C}$ qui intègre $\mu$. On définit

$$ \begin{cases} F_U = \phi \circ E(f) \circ \varphi_U^{-1}, \\ F_V = \phi \circ \varphi_V^{-1}. \end{cases} $$

On note $\sigma_0$ la structure complexe standard et $\sigma = \phi^*\sigma_0$. Par définition, $E(f)^*\sigma = \sigma_0$. Vérifions que $F_U$ et $F_V$ sont bien holomorphes :

$$ \begin{cases} F_U^*\sigma_0 = \varphi_U^{-1} * E(f)^*\phi^*\sigma_0 = \varphi_U^*E(f)^*\sigma = \sigma_0, \\ F_V^*\sigma_0 = \varphi_V^{-1} * \phi^*\sigma_0 = \varphi_V^{-1} * \sigma_0 = \sigma_0. \end{cases} $$

De plus, pour $z \in \partial U$,

$$ F_U(z) = \phi \circ f \circ \varphi_U^{-1}(z) = \phi \circ \varphi_V^{-1} \circ c(z) = F_V \circ c(z). $$

Donc on peut recoller $U$ à $V$ par l'application de collage $c$. L'unicité provient du Théorème 4.1.2.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

## 4.3 Mouvements holomorphes

**Définition.** Un mouvement holomorphe d'un ensemble $A \subset \bar{C}$ au-dessus d'une variété complexe connexe munie d'un point base $(X, x_0)$ est une application $\iota : X \times A \to \bar{C}$ telle
que :

- pour chaque $a \in A$, $\iota(x_0, a) = a$,

- pour chaque $a \in A$, l'application $x \mapsto \iota(x, a)$ est holomorphe,

- pour chaque $x \in X$, l'application $\iota_x : a \mapsto \iota(x, a)$ est injective.

Cette notion a été introduite dans [MSS] pour expliciter un certain de type de régularité. Bien que la notion d'homéomorphisme quasiconforme ne transparaisse pas dans la définition d'un mouvement holomorphe, le premier résultat démontré est :

**Théorème 4.3.1 (λ-lemma, [MSS])** *Un mouvement holomorphe de A admet une unique extension en un mouvement holomorphe de $\bar{A}$. De plus, pour chaque paramètre, l'application de A admet un prolongement quasiconforme à la sphère.*

Ce résultat a eu de multiples améliorations, voir [BR, ST, Sł, Do6] dont la dernière est :

**Théorème 4.3.2 (Z. Słodkowski)** *Un mouvement holomorphe d'une partie de $\bar{C}$ au-dessus du disque unité se prolonge en un mouvement holomorphe de $\bar{C}$ au-dessus du disque unité.*

## 4.4 Espace de Teichmüller “classique”

Soit $X$ une surface de Riemann. L'espace de Teichmüller de $X$ paramètre l'ensemble des surfaces marquées $(Y, [\varphi])$ quasiconformément conjuguées à $X$ et de quelle façon, i.e. tout représentant de $[\varphi]$ est une application quasiconforme $\varphi : X \to Y$ et deux telles applications sont isotopes. Cet espace est le revêtement universel de l'ensemble des surfaces de Riemann quasiconformément équivalentes à $X$.

Pour un survol de la théorie, on peut se reporter à [Ber]. Ce qui suit est inspiré de [McS].

On a tout d'abord besoin de quelques préliminaires.

**Définitions.** Soit $X$ une surface de Riemann hyperbolique.

► $Def(X) = \{\mu \in L^\infty(X), \|\mu\|_\infty < 1\}$. C'est aussi l'ensemble des paires de classes d'équivalence $(\varphi, Y)$ où $\varphi : X \to Y$ est un homéomorphisme quasiconforme entre surfaces de Riemann, et deux paires $(\varphi, Y)$ et $(\psi, Z)$ sont équivalentes si $\varphi \circ \psi^{-1}$ est conforme.

► $QC(X)$ est l'ensemble des homéomorphismes quasiconformes $\omega : X \to X$. Ce groupe agit sur $Def(X)$ par $\omega.(\varphi, Y) = (\varphi \circ \omega^{-1}, Y)$.

► $QC_0(X)$ est un sous-groupe de $QC(X)$. Pour le définir, il faut d'abord définir le bord idéal de $X$: soit $\Gamma$ un groupe qui agit sur $H$ tel que $H/\Gamma \simeq X$. On note $\Omega(\Gamma) \subset \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ la partie où $\Gamma$ agit proprement discontinûment; alors, $\bar{X} = (H \cup \Omega)/\Gamma$ est une surface de Riemann à bord, dont l'intérieur est $X$ et le bord $\Omega/\Gamma$. Le bord idéal de $X$ est $\partial_\infty X = \Omega/\Gamma$. $QC_0(X)$ est alors le sous-groupe de $QC(X)$ dont les éléments sont isotopes à l'identité relativement à $\partial_\infty X$.
$QC_0(X)$ agit sur $Def(X)$ comme $QC(X)$. On définit enfin l'espace de Teichmüller de $X$:

$$Teich(X) = Def(X)/QC_0(X).$$

On définit aussi :

- le groupe modulaire $Mod(X) = QC(X)/QC_0(X)$ qui agit proprement discontinûment sur $Teich(X)$.

- l'espace des modules $R(X) = Teich(X)/Mod(X)$. Il s'obtient en ne conservant que la seconde coordonnée, i.e. il paramètre les surfaces de Riemann quasiconformément équivalentes à $X$.

On munit $Teich(X)$ de la métrique suivante :

$$d([\varphi, Y], [\psi, Z]) = \frac{1}{2} \log \inf \{K_{\varphi \circ \psi^{-1}}, (\varphi, \psi) \in [\varphi] \times [\psi]\}.$$

$Teich(X)$ est une variété complexe contractile, et de dimension finie si $X$ est une surface compacte privée d'un nombre fini de points.

## 4.5 Espace de Teichmüller d'une fraction rationnelle

On présente ici quelques résultats de [McS].

Soit $f: \bar{C} \to \bar{C}$ une fraction rationnelle de degré $d \ge 2$. On définit les espaces suivants :

► Espace des déformations de $f$. $Def(f) = \{\mu \in L^\infty(\bar{C}), \|\mu\|_\infty < 1, f^*\mu \frac{d\bar{z}}{\bar{z}} = \mu \frac{d\bar{z}}{\bar{z}}\}$;

► $QC(f) = \{\varphi : \bar{C} \xrightarrow{qc} \bar{C}, \varphi \circ f = f \circ \varphi\}$;

► $QC_0(f) = \{\varphi \in QC(f), \varphi \text{ isotope à l'identité dans } QC(f)\}$;

► Espace de Teichmüller de $f$. $QC_0(f)$ est un sous-groupe normal de $QC(f)$ qui agit sur $Def(f)$ comme suit: soient $\omega \in QC_0(f)$ et $\mu \in Def(f)$, on pose $\omega.\mu = \omega^*\mu$. On définit alors

$$Teich(f) = Def(f)/QC_0(f).$$

Cet espace est une variété complexe, contractile, de dimension finie. Il se décompose en un produit de sous-espaces liés aux différents cycles de composantes de Fatou de $f$ et d'éventuelle(s) champ(s) de droites $f$-invariants sur son ensemble de Julia $J_f$.

On définit aussi une distance sur $Teich(f)$, par

$$d([\varphi, g], [\psi, h]) = \frac{1}{2} \log \inf \{K_{\varphi \circ \psi^{-1}}, (\varphi, \psi) \in [\varphi] \times [\psi]\}.$$

► Groupe modulaire de $f$. $Mod(f) = QC(f)/QC_0(f)$. Il agit proprement discontinûment sur $Teich(f)$.

► Espace des modules de $f$. $R(f) = Teich(f)/Mod(f)$. La projection $Teich(f) \to R(f)$ consiste à faire abstraction du marquage.
**Théorème 4.5.1** L'espace de Teichmüller d'une fraction rationnelle $f$ de degré $d \ge 2$ est canoniquement isomorphe à une variété complexe de dimension inférieure à $2d - 2$, qui est le produit d'un polydisque et d'espaces de Teichmüller classiques de tores et de sphères épointés.

La décomposition de Teich($f$) se fait comme suit :

Pour toute composante de Fatou $\Omega$ de $f$, on note $\hat{\Omega}$ l'ouvert $\Omega$ privé des grandes orbites des points critiques et des points périodiques.

- Soit $\Omega$ une composante de Fatou attractive ou parabolique. L'action de $f$ sur $\hat{\Omega}$ est discrète (c'est un revêtement) et la composante de Teich($f$) associée à $\Omega$ est canoniquement isomorphe à l'espace de Teichmüller de $\hat{\Omega}/(f)$, qui est une surface de Riemann hyperbolique de type fini, à savoir : un tore avec un nombre fini (non nul) d'épointements (cas attractif) ou un cylindre bi-infini avec un nombre (non nul) d'épointements (cas parabolique).

- Soit $\Omega$ un domaine super-attractif ou un domaine de rotation (disque de Siegel ou anneau de Herman). L'action de $f$ sur $\Omega$ induit un feuilletage. Il induit un espace de Teichmüller isomorphe à celui d'un nombre fini d'anneaux ou de disques (hyperboliques) feuilletés, i.e. un polydisque.

- Enfin, si $J_f$ est de mesure positive, il est - pour le moment - possible que $f$ admette des champs de droites invariants qui donnent une composante de polydisque de dimension égale au nombre de composantes ergodiques de l'action de $f$ sur $J_f$.

**Corollaire 4.5.2** La dimension de Teich($f$) est donnée par

$$n = n_{CA} + n_{AH} + n_{CD} + n_{P},$$

où

▶ $n_{CA}$ est le nombre de classes d'équivalence de points critiques acycliques provenant de l'ensemble de Fatou,

▶ $n_{AH}$ est le nombre d'anneaux de Herman,

▶ $n_{CD}$ est le nombre de champ droites ergodiques sur $J_f$,

▶ $n_P$ est le nombre de cycles paraboliques.

**Corollaire 4.5.3** $\Pi$ existe une injection holomorphe naturelle d'orbifolds complexes

$$Teich(f)/\mathrm{Mod}(f) \hookrightarrow \mathrm{Rat}_d/\mathrm{Aut}(\bar{\mathbb{C}})$$

qui paramètre les fractions rationnelles g quasiconformément conjuguées à $f$.

**Familles C-analytiques de fractions rationnelles.** Soit $\Lambda$ une variété complexe. Une famille C-analytique de fractions rationnelles paramétrée par $\Lambda$ est une application holomorphe $f: \Lambda \times \bar{\mathbb{C}} \to \bar{\mathbb{C}}$, telle que pour tout $\lambda \in \Lambda$, $z \mapsto f_{\lambda}(z) = f(\lambda, z)$ est une fraction rationnelle.
Définitions.

▷ Une famille est quasiconformément constante si quelles que soient deux fractions rationnelles dans la même composante de $\Lambda$, elles sont quasiconformément conjuguées.

▷ Une famille a ses relations d'orbites critiques constantes si toute coïncidence $f_{\lambda}^{n}(c) = f_{\lambda}^{m}(c')$ entre deux itérés positifs de deux points critiques persiste sur un petit voisinage de $\lambda$.

▷ Une fraction rationnelle $f_{\lambda_0}$ est structurellement stable si les ensembles de Julia $J_{f_{\lambda}}$ forment un mouvement holomorphe compatible avec la dynamique, au-dessus d'un voisinage de $\lambda_0$, i.e. pour tout $z \in J_{f_{\lambda_0}}$,

$$ \iota_{\lambda} \circ f_{\lambda_0}(z) = f_{\lambda} \circ \iota_{\lambda}(z). $$

**Théorème 4.5.4 ([MSS]**)) Les paramètres structurellement stables sont ceux pour lesquels il existe un voisinage dans lequel le nombre de points attractifs est constant.

**Théorème 4.5.5 ([MSS]**)) Une famille analytique de fractions rationnelles $f_{\lambda}(z)$ dont les relations critiques sont constantes est quasiconformément constante.

Réciproquement, deux fractions rationnelles quasiconformément conjuguées sont contenus dans une famille connexe dont les relations d'orbites critiques sont constantes.

**Théorème 4.5.6 (Densité de la stabilité structurelle, [MSS]**)) Dans toute famille analytique de fractions rationnelles $f$, l'ensemble des classes quasiconformes ouvertes est dense.

En particulier, les fractions rationnelles structurellement stables forment un ouvert dense dans l'espace des fractions rationnelles de degré fixé $d \ge 2$.
# Chapitre 5

## Applications à allure polynomiale et figuration

Dans l'étude de l'itération de fonctions holomorphes $f : X \to X$, on cherche souvent à découper le plan dynamique afin d'isoler différents comportements. De cette manière, on se ramène à l'étude de l'application premier retour de Poincaré sur des domaines plus petits, de la forme $\mathcal{R}(f) : U' \to U$, avec $U' \cap U \neq \emptyset$.

La théorie des applications à allure polynomiale de A. Douady et J.H. Hubbard permet d'identifier quasiconformément une telle application à un polynôme lorsque $f$ est propre et que $U' \subset\subset U$ sont des disques topologiques (voir [DH2]). Seulement, par simulation numérique, on constate qu'il existe des applications de retour $\mathcal{R}(f)$ qui ne sont pas à allure polynomiale, mais qui semblent avoir un comportement topologiquement identique, au moins sur un compact connexe plein.

Le but de ce chapitre est, d'une part, de rappeler les principaux résultats de la théorie des applications à allure polynomiale ([DH2]) et, d'autre part, de généraliser certains points de cette théorie à une classe d'applications plus large. Pour cela, on définit d'abord ce que signifie, dans notre cadre, l'équivalence d'une application à un polynôme et, dans certains cas, comment, étant donnée une application holomorphe $f : U' \to U$, se ramener à un polynôme. Réciproquement, on montrera, sur la base d'hypothèses de finitude, comment définir des dynamiques polynomiales qui ne sont pas à allure polynomiale. Les principaux ingrédients utilisés seront la théorie de la chirurgie quasiconforme et une extension du théorème d'Ahlfors-Bers pour des formes de Beltrami de norme 1, due à G. David (cf [Da]).

Ces résultats et ces méthodes sont appliqués dans la Partie III Chap.6 § 2.3, Partie IV Chap.10 § 3 et Partie V Chap.12, § 1.3.

### 5.1 Applications à allure polynomiale

#### Définitions.

* Une application à allure polynomiale de degré $d \geq 2$ est la donnée d'un triplet $(U', U, f)$
où $U'$ et $U$ sont des disques topologiques tels que $U' \subset \subset U$ et tels qu'on ait $f: U' \to U$
holomorphe propre de degré $d$.

► $K(f) = \cap f^{-n}(U')$ est l'ensemble de Julia rempli ;

► $J(f) = \partial K_f$ est l'ensemble de Julia.

**Définition.** Deux applications à allure polynomiale ($U'$, $U$, $f$) et ($V'$, $V$, $g$) sont hybridement équivalentes s'il existe une application quasiconforme $\varphi: U \to V$ qui conjugue $f$ à $g$ et telle que $\partial\varphi = 0$ pp. sur $K(f)$. On note $f \sim_{hyb} g$.

Indépendamment des propositions suivantes, on peut montrer que de nombreuses pro-
priétés des ensembles de Julia (remplis) de polynômes se transposent dans ce cadre. Ils
sont d'ailleurs étroitement liés par le théorème suivant :

**Théorème 5.1.1 (Théorème de Redressement, [DH2]; I, Th.1)**

Soit $(U', U, f)$, une application à allure polynomiale de degré $d \ge 2$. Π existe un polynôme $P$ de degré $d$ tel que $P \sim_{hyb} f$.

De plus, si $K(f)$ est connexe, alors $P$ est unique à conjugaison affine près. En particulier, si $f$ est quadratique avec un ensemble de Julia connexe, alors il existe un unique $c \in M$ tel que $P_c \sim_{hyb} f$.

Afin de distinguer la dynamique sur le complémentaire de l'ensemble de Julia rempli d'une application à allure polynomiale, A. Douady et J.H. Hubbard introduisent les *classes externes* : à chaque application à allure polynomiale $f$, on associe un revêtement $h_f : \mathbf{S}^1 \to \mathbf{S}^1$, **R-analytique** de même degré, et fortement dilatant, i.e. il existe $n \ge 1$ et $\lambda > 1$, tels que pour tout $x \in \mathbf{S}^1$, $|(h_f^n)'(x)| \ge \lambda$.

Lorsque $K_f$ est connexe, sa classe externe est définie comme suit : on considère une
application conforme $\psi: U \setminus K_f \to A_R$, où $A_R$ est un anneau droit $\{1 < |z| < R\}$. Soit
$A' = \psi(U' \setminus K_f)$ ; c'est un anneau inclus dans $A_R$ dont un bord est $\mathbf{S}^1$. L'application $\psi$
conjugue $f$ à une application $h: A' \to A_R$. Comme $h(\mathbf{S}^1) = \mathbf{S}^1$, on applique le principe
de réflexion de Schwarz afin d'obtenir une application holomorphe $h_f: W' \to W$, où
$W' \subset \subset W$ sont des voisinages annulaires de $\mathbf{S}^1$. Sa restriction au cercle unité est la classe
externe de $f$. Cette application est bien définie à conjugaison conforme près et modulo
un invariant combinatoire si le degré de $f$ est strictement supérieur à deux.

La démonstration du Théorème de Redressement montre plus que l'équivalence à un polynôme. Elle montre qu'on peut accoupler n'importe quelle application à allure polynomiale à un revêtement R-analytique de S¹ fortement dilatant :

**Corollaire 5.1.2 ([DH2])** *Soient $(U' \xrightarrow{j} U)$ une application à allure polynomiale de degré $d \ge 2$, et $h: \mathbf{S}^1 \to \mathbf{S}^1$ un revêtement R-analytique fortement dilatant de même degré. Π existe une application à allure polynomiale $(V' \xrightarrow{g} V)$ hybridement équivalente à $f$ et de classe externe $h$.*

**Définition.** Soit $\Lambda$ une variété complexe et soit $f = (f_\lambda : U_\lambda' \to U_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une famille d'applications à allure polynomiale de degré $d \ge 2$. On pose $\mathcal{U} = \{(\lambda, z), z \in U_\lambda\}$, $\mathcal{U}' = \{(\lambda, z), z \in U_{\lambda'}\}$ et on définit $f(\lambda, z) = f_\lambda(z)$. Alors, $f$ est une famille analytique si les
conditions suivantes sont satisfaites :

(i) $\mathcal{U}'$ et $\mathcal{U}$ sont homéomorphes à $\Lambda \times D$ au-dessus de $\Lambda$,

(ii) la projection de $\overline{\mathcal{U}'} \subset \mathcal{U}$ dans $\Lambda$ est propre,

(iii) l'application $f: \mathcal{U}' \to \mathcal{U}$ est C-analytique et propre.

**Théorème 5.1.3 (dépendance par rapport aux paramètres, [DH2]; II, Th.2, Prop.14; IV, Prop.21)**

Soit $(f_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une famille analytique d'applications à allure polynomiale quadratiques.

(i) Π existe $\chi: \Lambda \to C$ continue telle que $\forall \lambda \in \Lambda$, $f_\lambda \sim_{\text{hyb}} P_{\chi(\lambda)}$.

(ii) On suppose que $\Lambda$ est homéomorphe à $D$. On définit $M_f = \{\lambda \in \Lambda, K(f_\lambda) \text{ connexe}\}$. Si $M_f \subset \subset \Lambda$, alors $\chi: M_f \to M$ est un revêtement ramifié de degré $d$ (fini) que l'on peut calculer en comptant le nombre de tours de $f_\lambda(\omega_\lambda) - \omega_\lambda$ ($\omega_\lambda$: point critique de $f_\lambda$) quand on parcourt une fois un lacet entourant $M_f$.

**Définitions.** (a) Sous les hypothèses de (ii), si $M_f$ est compact dans $\Lambda$ et le degré de $\chi$ est $d=1$, alors $\chi$ est un homéomorphisme et on dit que la famille est mandelbrotesque.

(b) Si $\chi: M_f \to M \setminus \{1/4\}$ est un homéomorphisme alors $f$ est dite semi-mandelbrotesque.

(c) Si $\chi$ est un homéomorphisme sur son image qui ne vérifie ni (a) ni (b), on dira que $f$ est sous-mandelbrotesque.

**Complément.** Si la famille est mandelbrotesque et si les domaines de définitions forment un mouvement holomorphe au-dessus de $\Lambda$, alors $\chi$ est quasiconforme. M. Lyubich a démontré que $\chi$ est quasiconforme sans l'hypothèse de mouvement holomorphe ([Ly2]). Ici, quasiconforme est au sens de Mañé-Sad-Sullivan : il existe une constante $H \ge 1$ telle que

$$ \limsup_{r \to 0} \frac{\sup \{d(\chi x, \chi y), d(x, y) = r \text{ et } x, y \in M_f\}}{\inf \{d(\chi x, \chi y), d(x, y) = r \text{ et } x, y \in M_f\}} \le H $$

**Remarque.** Dans le cas de familles de plus haut degré, on rencontre de nombreuses dis-continuités incompatibles avec des énoncés de ce type. Cependant, si la famille est struc-turellement stable, l'application de redressement varie holomorphiquement par rapport aux paramètres. Lorsque l'on considère des limites d'équivalences hybrides de distorsion bornée, on obtient une équivalence quasiconforme qui n'est pas en général une équiva-lence hybride. D'ailleurs, A. Douady et J.H. Hubbard ont montré que ce phénomène peut se produire dès le degré deux. En degré trois, ils donnent un exemple où l'application de redressement, fonction entre les paramètres, n'est pas continue.

## 5.2 Figuration souple

La notion de figuration apparaît la première fois dans [Do1].

**Définition.** Soient $P$ un polynôme avec $K(P)$ connexe et $f$ une fraction rationnelle, de degré $d_P$ et $d_f \ge 2$ respectivement;

▷ $P$ figure dans $f$ s'il existe $k \ge 1$ et $\phi: K(P) \to \bar{C}$, non constante, limite uniforme d'injections continues tels que $\phi \circ P = f^k \circ \phi$.
► la figuration est rigide s'il existe un voisinage $U$ de $K(P)$ dans $\bar{C}$ telle que :

(a) $\phi$ peut être choisie injective sur $U$;

(b) $\phi \in W^{1,p}(U)$ pour un $p > 1$;

(c) $\bar{\partial}\phi = 0$ pp. sur $K(P)$.

Une application est dans l'espace $W^{1,p}$ si elle est dans l'espace $L^2$ et admet une dérivée au sens des distributions dans l'espace $L^p$.

**Remarques.**

(i) On doit choisir une fonction non constante car sinon tout polynôme figure dans n'importe quelle fraction rationnelle : il suffit de l'envoyer sur un point fixe.

(ii) La semi-conjugaison implique que $\phi(\mathrm{Orb}_P(z)) = \mathrm{Orb}_{f_r}(\phi(z))$ : en particulier, $\#\mathrm{Orb}(z) \ge \#\mathrm{Orb}(\phi(z))/k$. Donc, si $z$ est périodique de période $\ell$ pour $P$, alors $\phi(z)$ est périodique de période divisant $k\ell$ pour $f$.

**Exemple.** Soit $P$ un polynôme de degré $d$ avec $K(P)$ connexe et localement connexe, alors $P_0 : z \mapsto z^d$ figure dans $P$.

En effet, il existe $\phi$ conjuguant $P_0$ à $P$ sur l'extérieur de leurs ensembles de Julia remplis, qui se prolonge par continuité à l'adhérence. On définit $\phi_r : \bar{D} \to C$ par $\phi_r(z) = \phi(1/(rz))$ pour $0 < r < 1$. Ces applications sont continues et injectives et lorsque $r$ tend vers 1, les applications $\phi_r$ tendent uniformément vers $\phi$.

**Proposition 5.2.1** *Si $P$ figure dans $f$, alors $\phi(J(P)) \subset J(f)$.*

**DÉMONSTRATION.** $\phi(J(P)) = \phi(\overline{\{\text{points répulsifs}\}}) \subset \overline{\phi(\{\text{points répulsifs}\})}.$

Donc, il reste à établir que si $z$ est répulsif pour $P$, alors $w = \phi(z)$ est dans $J(f)$ : si $w \notin J(f)$, soit $C(w)$ sa composante de Fatou ; $\phi^{-1}(C(w))$ est un voisinage de $z$ dans $K(P)$. Par suite, pour tout point $z'$ périodique répulsif dans $\phi^{-1}(C(w))$ de période première à celle de $z$, $\phi(z') = \phi(z)$ est fixe et $\phi(J(P)) = \phi(z)$, ce qui contredit la définition de $\phi$. ■

La notion de figuration se justifie, entre autres, par la proposition suivante :

**Proposition 5.2.2** (i) Soit $c_0 \in D_0$, i.e. $c_0$ est $k$-périodique par $P_{c_0} : z \mapsto z^2 + c_0$ dans $C$, et soit $c \in M$ ; alors $P_c$ figure dans $P_{c_0 \perp c}$.

(ii) Soit $f$ l'accouplement de deux polynômes $P_1$ et $P_2$ ; alors, $P_1$ et $P_2$ figurent dans $f$.

**DÉMONSTRATION.** (i) Dans la preuve du Théorème de Modulation (voir [Do3] et Partie IV), on montre qu'il existe $U' \subset \subset U$ tel que $P_{c_0 \perp c}^k \sim_{hyb} P_c$, pour tout $c \ne 1/4$, si $c_0$ est non primitif). De plus, si $c_0$ est non primitif, alors $P_{1/4}$ figure de manière rigide à la racine de la composante hyperbolique contenant $c_0$. C'est beaucoup plus fort que de figurer.

(ii) Cette proposition constitue un théorème de M. Rees (voir [Sh2] pour une démonstration).

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

**Remarque.** $P_{c_0}$ ne figure pas en général dans $P_{c_0 \perp c}^k$, comme nous le montre l'exemple suivant :
on prend $c_0 = 0$ et $c = -2$: on a $c_0 \perp c = c$.

Si $P_{c_0}$ figure dans $P_c$, alors il existe $\varphi : D \to [-2, 2]$ qui semi-conjugue les deux applications. Or, soit $z \in D$, $P_{c_0}^n(z) \to 0 \Rightarrow \varphi(P_{c_0}^n(z)) = P_c^n(\varphi(z)) \to \varphi(0)$. Mais, $\varphi(0)$ ne peut être que répulsif, donc $\varphi(D) = \varphi(0)$ et $\varphi$ est constante.

**Proposition 5.2.3** *Il existe des figurations telles que :*

- la nature d'un point périodique change par figuration,

- des points de $\mathring{K}(P)$ aient des points de $J(f)$ comme image,

- les images réciproques de points de $J_f$ soient des continua de $J(P)$,

- le degré local de $f$ soit strictement plus petit que celui de $P$.

**DÉMONSTRATION.** Nous allons construire deux exemples qui, combinés, établiront cette proposition.

**Déformation par pincements.** (voir Partie III, Chap.7) On considère $P : z \mapsto z^2 + \varepsilon$, $0 < \varepsilon < 1/4$. Son ensemble de Julia est un quasicercle. Le polynôme est fortement dilatant dans son voisinage. On va esquisser une déformation qui va le semi-conjuguer avec le chou-fleur $f : z \mapsto z^2 + 1/4$. Soit $\beta$ le point fixe répulsif de $P$. On considère dans son tore quotient un anneau dans la projection de $\mathring{K}(P)$, disjoint des grandes orbites critiques. Sur cet anneau on définit une suite de champs d'ellipses parallèles à l'équateur dont l'ellipticité tend vite vers l'infini et uniformément, quand on tend vers l'équateur. On relève cette suite sur le plan dynamique qu'on prolonge afin que chaque élément $\mu_n$ soit $P$-invariant, avec $\|\mu_n\|_{\infty} \nearrow 1^{-}$. On intègre cette suite par des applications quasiconformes $\varphi_n$, tangentes à l'identité à l'infini. On note $P_n = \varphi_n \circ P \circ \varphi_n^{-1}$. Chaque polynôme est une déformation quasiconforme de $P$, et est monique centré, dont la paire attractif/répulsif tend à être parabolique. Quitte à extraire une sous-suite, ces polynômes tendent donc vers $f$. Par des estimations sur les modules d'anneaux, on montre que la suite $(\varphi_n)$ converge uniformément sur tout compact (à une sous-suite extraite près) vers une application continue $\varphi$ telle que $\varphi \circ P = f \circ \varphi$. Tous les relevés de l'équateur sont écrasés par $\varphi$ sur $J(f)$.

Cet exemple vérifie les deux premiers points.

**Baisse du degré.** On part de $P : z \mapsto z^3$, et on va montrer que $P$ figure dans $f : z \mapsto z^2$. On définit l'application $\phi : e^{r+2i\pi t} \mapsto e^{\rho(r)+2i\pi\theta(t)}$ comme suit : soit $h : [0,1] \to [0,1]$ l'application en escalier de Lebesgue supportée sur l'ensemble de Cantor triadique. Elle est limite uniforme d'injections et semi-conjugue la multiplication par trois à la multiplication par deux. Donc, en notant $\theta$ l'application du cercle lui correspondant et $\rho$ son extension par périodicité, $\phi$ vérifie $\phi(z^3) = \phi(z)^2$.

## 5.3 Figuration rigide

On rappelle qu'une figuration $\varphi : K(P) \to \bar{C}$ est rigide s'il existe une extension de $\varphi$ à un voisinage $U$ de $K(P)$ telle que $\varphi$ est injective sur $U$, $\varphi \in W^{1,p}(U)$, $p > 1$, et telle que $\varphi$ vérifie $\bar{\partial}\varphi = 0$ pp. dans $K(P)$.
**Proposition 5.3.1** Si la figuration est rigide, alors $\phi(\mathring{K}(P)) \subset \overline{C\setminus J(f)}$. De plus, l'image d'un point superattractif, attractif, parabolique ou de Siegel est un point superattractif, attractif de même multiplicateur, parabolique ou de Siegel respectivement.

**Remarque.** Il manque malgré tout un énoncé d'unicité du type : si deux polynômes $f$ et $g$ sont de même degré et si l'un figure dans l'autre par une figuration rigide (avec $k = 1$), alors ce sont les mêmes, à conjugaison affine près. La difficulté principale pour utiliser un argument de *pull-back* est de s'assurer que l'on puisse appliquer le Lemme de Weil à l'application limite.

**DÉMONSTRATION.** Comme $\phi$ est continue injective, l'image d'un domaine normal (de Fatou) est aussi normale. De plus les points restent de même nature, par conjugaison topologique.

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

**Proposition 5.3.2** *Soit $(P, \varphi)$ une figuration rigide dans une fraction rationnelle $f$ avec $J_P$ connexe. Alors, $\text{Teich}(P)$ s'injecte dans $\text{Teich}(f)$.*

**DÉMONSTRATION.** Elle est fondée sur la décomposition dynamique de $\text{Teich}(P)$ afin de définir l'injection.

- Pour toute composante de Fatou bornée de $P$, l'application $\varphi$ est conforme, donc elle induit un isomorphisme entre les composantes de Teichmüller sous-jacentes. La composante de l'infini n'induit rien car $J(P)$ est connexe.

- Supposons que $P$ admette un champ de droites invariant $\mu$ sur $J_P$. Comme $\varphi$ est dans $W^{1,p}$ d'un voisinage de $J_P$, on en déduit d'une part que $\varphi(J_P)$ est de mesure positive, et d'autre part que $\varphi_*\mu$ est un champ de droites $f$-invariant sur $J_f$.

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

## 5.4 Silhouettes polynomiales et figuration rigide

**Définition.** Une *silhouette polynomiale* est la donnée d'un quadruplet $(f, U', U, K)$, où $U'$ et $U$ sont des disques topologiques d'intersection non vide et connexe, $f: U' \to U$ est une application holomorphe et $K$ est un compact plein de $U' \cap U$, qui contient tous les points critiques de $f$ et qui est invariant par $f$, i.e. $f(K) = K$. De plus, on demande que la restriction $f: K \to K$ soit un revêtement ramifié topologique de degré fini $d_f \ge 1$. Enfin, soit $z_0$ un point critique de $f$ sur $U \cap K$; ou bien il s'agit d'un point critique de $f|_K$ en tant que revêtement ramifié de $K$ de même multiplicité, ou bien non. En ce cas, le point $z_0$ est sur le bord de $K$ et on demande que sur un voisinage $V$ assez petit de $z_0$, $f|_K \cap V$ respecte l'ordre cyclique des composantes connexes de $K \setminus \{z_0\}$, i.e. si $L_1, L_2$ et $L_3$ sont des composantes connexes dans cet ordre, alors l'image de ces composantes sont aussi dans le même ordre.

En particulier $f$ a un nombre fini de points critiques. Un point critique de $f$ est inessentiel s'il n'est pas critique pour $f|_K$. Par exemple, si $f(z) = (3/2) - (3/2)z^2 + z^3$,
alors les points critiques sont 0 et 1 ; 0 tombe en une itération sur un point fixe répulsif (3/2) et 1 est fixe. Il n'est pas difficile de montrer que le segment [0, (3/2)[ est dans le bassin immédiat d'attraction $A^*(1)$ et que ces extrémités appartiennent au bord. On considère un voisinage $U'$ de ce bassin ainsi que son image $U = f(U')$. Le quadruplet $(f, U', U, \overline{A^*(1)})$ est une silhouette polynomiale pour laquelle 0 est un point critique inessentiel et 1 est un point critique essentiel.

**Exemples :**

- si $U' = U$, par l'uniformisante de Riemann, on se ramène à un produit de Blaschke défini sur le disque unité. Par suite, ou bien $d_f > 1$ et $K_f$ est un point attractif, ou bien $d_f = 1$ et $f$ est conjuguée à une rotation ; en ce cas, $K$ peut être n'importe quel compact invariant (plein).

- si $U \subset \subset U'$, $K_f$ est un point attractif d'après le lemme de Schwarz.

- si $U' \subset \subset U$ et si $f$ est de degré 1 alors $K_f$ est un point répulsif.

Dans la suite, on ne s'interesse qu'aux **silhouettes polynomiales** dont la restriction $f|_{K_f}$ est de degré $d_f \ge 2$.

Sous ces conditions, $(U' \cup U) \setminus K_f$ est un anneau de module fini que l'on transforme par une application conforme en un anneau de la forme $A = \{1 < |z| < R\}$, $R > 1$. On définit $\hat{U} = (U' \setminus f^{-1}(K_f))$; cet ensemble est un anneau privé d'un nombre fini de secteurs correspondant aux points critiques inessentiels. Soit $h$ le conjugué de $f$, bien défini sur l'image de $\hat{U}$, voisinage extérieur de $S^1$ privé d'un nombre fini de secteurs. En utilisant le principe de réflexion de Schwarz, on obtient un revêtement $h_f : S^1 \to S^1$ non ramifié de degré $d_f$, R-analytique sauf en un nombre fini de points. En gardant la terminologie de [DH2], on appelle $h_f$ la classe externe de $(f, U', U, K_f)$. Par extension, on appellera point critique de $h_f$ tout point de $S^1$ provenant d'un point critique inessentiel de $f$. On lui associe un sous-ensemble $X_{h_f}$ de $S^1$ correspondant aux orbites critiques et paraboliques de $h_f$. Cet ensemble est invariant par $h_f : h_f(X_{h_f}) \subset X_{h_f}$. La paire $(h_f, X_{h_f})$ sera appelée **classe externe marquée**. On montrera plus loin que, si $X_{h_f}$ est fini et les orbites critiques et paraboliques sont disjointes, on peut associer un revêtement R-analytique de $S^1$ dans lui-même, défini à application quasisymétrique près (voir Corollaire 5.4.3).

La classe externe marquée d'une silhouette polynomiale est définie à homéomorphisme R-analytique de $S^1$ près.

Si $f$ ne contient pas de point critique inessentiel alors $h_f$ est R-analytique ; si, de plus, $h_f$ est fortement dilatante, alors, quitte à réduire les domaines de définition $U'$ et $U$, $f$ est une application à allure polynomiale et il existe un polynôme, unique à application affine près, qui figure de manière rigide dans $f$ par une application quasiconforme (Théorème de redressement des applications à allure polynomiale 5.1.1). Le but est d'étendre ce résultat aux silhouettes polynomiales.

**Definition 1.** Un revêtement $h : S^1 \to S^1$ est **topologiquement expansif** si pour tout arc de cercle $I \subset S^1$, il existe $n \ge 1$ tel que $f^n(I) = S^1$.

**Definition 2.** Un revêtement $(h, X_h)$ R-analytique de $S^1$, où $X_h \subset S^1$ contient au moins les orbites critiques et paraboliques de $h$, et où $X_h$ vérifie $h(X_h) \subset X_h$, est appelé **revêtement marqué**. On dit qu'il est combinatoirement fini si $X_h$ est fini.
**Remarque.** Si $f$ est une silhouette polynomiale et si sa classe externe est topologiquement expansive, alors un point périodique de $h_f$ est soit répulsif soit parabolique (multiplicateur réel).

**Définition 3.** Deux revêtements marqués R-analytiques $(h_1, X_1)$ et $(h_2, X_2)$ de $S^1$ sont combinatoirement équivalents s'il existe deux homéomorphismes $\varphi$ et $\psi$ de $S^1$ qui respectent l'orientation, tels que $\varphi|_{X_1} = \psi|_{X_1}$, $\varphi(X_1) = \psi(X_1) = X_2$ et $\varphi \circ h_1 = h_2 \circ \psi$ sur $S^1$.

**Définitions 4.** Deux revêtements marqués R-analytiques $(h_1, X_1)$ et $(h_2, X_2)$ de $S^1$ sont topologiquement équivalents (resp. quasiconformément équivalents, conformément équivalents) s'il existe un homéomorphisme $\varphi : S^1 \to S^1$ qui préserve l'orientation (resp. homéomorphisme quasisymétrique, homéomorphisme R-analytique) qui conjugue $h_1$ à $h_2$ et tel que $\varphi(X_1) = X_2$.

**Proposition 5.4.1** Soient $(h_1, X_1)$ et $(h_2, X_2)$ deux revêtements R-analytiques marqués de $S^1$, topologiquement expansifs, combinatoirement finis et combinatoirement équivalents.

(1) Ils sont topologiquement équivalents.

(2) Si les points paraboliques se correspondent, alors la conjugaison est quasisymétrique.

(3) Pour chaque application, on considère une extension holomorphe $H_i : W_i' \to W_i$, où les domaines sont annulaires et symétriques par rapport au cercle unité. Si, d'une part les points paraboliques se correspondent de manière à préserver le nombre de pétales, et d'autre part les points critiques se correspondent de manière à conserver leur multiplicité, alors $H_1$ et $H_2$ sont quasiconformément équivalents au voisinage de $S^1$.

**Remarque.** La conclusion (1) reste vraie sous l'hypothèse que les revêtements sont topologiquement expansifs et de même degré. On propose ici une démonstration de (1) qui prépare celle des points (2) et (3).

Pour montrer cette proposition, nous allons utilisés des **secteurs invariants**, outil qui sera récurrent dans nos chirurgies.

**Secteurs invariants et modules d'ouverture.** Soit $h$ une fonction holomorphe au voisinage de zéro, qui vérifie $$ \begin{cases} h(0) = 0, \\ h'(0) = \lambda \text{ avec } |\lambda| > 1. \end{cases} $$

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIG. 5.1 - Tore associé à un germe répulsif.</figcaption></figure>

Dans un voisinage de 0 ouvert simplement connexe $\Delta$, on peut trouver une coordonnée linéarisante, i.e. un isomorphisme $\xi : \Delta \to \xi(\Delta) \subset \mathbb{C}$ tel que $\xi \circ h(z) = \lambda \cdot \xi(z)$, pour
$z \in h^{-1}(\Delta) \cap \Delta$. On note $T_h = (\Delta \setminus \{0\})/(h)$ le tore associé isomorphe au tore $C/(Zlog\lambda \oplus 2i\pi Z)$. On définit $\varpi : \Delta \setminus \{0\} \to T_h$ la projection canonique. Tout anneau $A \subset T_h$ tel que $S := \varpi^{-1}(A)$ est connexe définit un secteur $h$-invariant (Figure 5.1). Le module de $A$ est aussi appelé le module d'ouverture de $S$.

De la même manière, si $h$ est un germe parabolique alors on peut aussi définir des secteurs invariants et des modules d'ouvertures. En effet, au voisinage du point parabolique, on a des cylindres de Fatou-Ecalle (isomorphe à $C/Z$) dans lesquels on peut considérer des sous-anneaux de module fini dont le relevé est connexe.

**DÉMONSTRATION DE 5.4.1.** La première étape consiste à trouver des "voisinages" de $S^1$ pour lesquels les extensions $H_i$ seront propres et dilatantes. Il faut donc gérer les points paraboliques et les points critiques éventuels. Ensuite, nous construirons une partition dynamique qui nous permettra de définir une conjugaison partielle entre les $H_i$ qui se prolongera en conjugaison totale sur $S^1$.

La construction étant identique pour les deux applications, on oublie volontairement les indices. Soit $x_1, \dots, x_k$, un cycle marqué, i.e. dans $X_h$.

► S'il est répulsif, alors chaque point est accessible de $C \setminus S^1$ par deux secteurs symétriques $S_i$ $H^k$-invariant.

► S'il est parabolique, alors le cercle unité appartient localement à deux pétales répulsifs à cause de l'expansivité topologique de $h$. On considère, en chaque point, deux domaines symétriques bordés par des arcs invariants provenant de ces pétales, et qui forment un ouvert $S_i$ dont le bord n'intersecte $S^1$ qu'en $x_i$. Ils sont aussi $H^k$-invariants.

Quitte à rétrécir $W$, on peut supposer que toutes les images réciproques des $S_i$ le long de $S^1$ sont deux à deux disjointes.

Lorsqu'on rencontre un point critique, on obtient plusieurs secteurs du même côté de $S^1$ selon la multiplicité du point critique. On remplace ces secteurs par leur réunion de manière à n'en avoir qu'un seul, et telle que la partie du bord formé par les arcs issus du point critique sont ceux qui étaient adjacents à $S^1$. Ensuite, on considère toutes ses préimages qui restent disjointes deux à deux avec les autres secteurs.

**Lemme 5.4.2** *L'application $H$ est dilatante, i.e. il existe une métrique infinitésimale $\lambda$ définie sur un voisinage de $S^1$ privé des pétales attractifs telle que*

$$ \|T_x H\|_{\lambda} > 1 $$

pour tout $x$ de ce voisinage.

**DÉMONSTRATION.** Ceci découle de la construction de Douady et Hubbard d'une métrique dilatante pour les polynômes géométriquement finis (voir [DH1]).

**FIN DE LA DÉMONSTRATION DE 5.4.1.** Soient $V = W \setminus (\cup S_i)$ et $V' = W' \setminus (\cup S_i)$. On a $V' \subset V$ par le Lemme 5.4.2, et l'intersection des bords correspond aux bords invariants des secteurs.

On définit la partition suivante. Soit $\gamma_0$ le bord de $W$; on définit $\gamma_1 = H^{-1}(\gamma_0) \cap V$. Les courbes $\gamma_0$ et $\gamma_1$ bordent dans $V$ une réunion finie de quadrilatères $Q_0$. Par récurrence, on
définit $Q_n = H^{-1}(Q_{n-1})$. Le complémentaire $V \setminus (\cup Q_n)$ correspond aux images réciproques des secteurs $S_i$.

Ceci étant, si on a deux revêtements $h_1$ et $h_2$ combinatoirement équivalents, alors il existe une unique façon, compatible avec l'équivalence, de faire correspondre les différentes composantes connexes des $Q_n$.

On peut donc définir deux difféomorphismes $\psi_0 : \gamma_0^{h_1} \to \gamma_0^{h_2}$ et $\psi_1 : \gamma_1^{h_1} \to \gamma_1^{h_2}$ tels que $\psi_0 \circ H_1 = H_2 \circ \psi_1$. On prolonge ces deux applications quasiconformément à $Q_0$ en une application $\psi$. En utilisant les branches inverses des $H_i$ et la combinatoire imposée, on prolonge cette application en un homéomorphisme quasiconforme $\psi : V_1 \setminus (\cup H_1^{-n}(S_i)) \to V_2 \setminus (\cup H_2^{-n}(S_i))$ qui conjugue $H_1$ à $H_2$.

Sur chaque secteur $S_i$, on se donne une extension par un homéomorphisme que l'on prolonge à ses images réciproques par l'action des $H_i$. Cette extension n'est a priori pas quasiconforme ni compatible avec les dynamiques. Toutefois, au total, on obtient un homéomorphisme de $V_1$ sur $V_2$ qui conjugue $h_1$ à $h_2$, car $H_1$ et $H_2$ sont dilatantes. Ceci montre (1).

Si les points paraboliques se correspondent, il suffit de montrer que l'on peut trouver une extension quasiconforme sur les secteurs critiques ou périodiques. Pour les points répulsifs, il suffit de déterminer un difféomorphisme entre deux domaines fondamentaux des secteurs, puis de le tirer en arrière. Pour les points paraboliques, selon le nombre $\nu$ de pétales, les images réciproques d'un point s'accumulent sur le point parabolique à la vitesse $1/n^\nu$. Par suite, si on considère un quadrilatère bordé par deux sous-arcs fondamentaux du bord d'un secteur et deux arcs de cercle, on trouve un module de l'ordre de $\nu/n$. Donc, on peut trouver une extension dont la distorsion sera de l'ordre de $\max(\nu_1/\nu_2, \nu_2/\nu_1)$. Quant aux points critiques, si leur orbite est parabolique, alors le point critique a pour action d'augmenter le nombre de pétales donc on conclut de l'existence de l'extension quasiconforme comme ci-dessus; si son orbite est répulsive, alors son image par notre conjugaison est aussi un point prérépulsif, et on utilise les extensions de B. Branner et A. Douady (cf Proposition 4.2.6 et 4.2.7) qui seront quasiconformes : en effet, en passant au "log", les restrictions de $H$ sur les bords se comportent à l'infini comme des applications affines dont le coefficient de dilatation correspond à la multiplicité du point critique. La restriction d'une application quasiconforme au cercle est quasisymétrique. Ceci montre (2).

Maintenant, si les pétales se correspondent par l'équivalence, on peut déterminer une conjugaison quasiconforme entre secteurs paraboliques. De plus, si les points critiques se correspondent avec même multiplicité, alors les conjugaisons quasiconformes sur les cycles se relèvent au voisinage des points critiques.

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

**Proposition 1** *Soit $(U' \xrightarrow{f} U, K)$ une silhouette polynomiale. On suppose que sa classe externe marquée $h_f$ est de degré $d_f \ge 2$, topologiquement expansive, combinatoirement finie et sans point parabolique. Alors, il existe un unique polynôme $P$, à conjugaison affine près, qui figure de manière rigide dans $f$, et tel que leurs ensembles de Julia soient homéomorphes.*

**DÉMONSTRATION.** Pour montrer l'existence de $P$, on va procéder par chirurgie afin de
se ramener à une application à allure polynomiale de degré $d_f$. Tous les points critiques $\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n$ ont une orbite qui aboutit sur un cycle répulsif $\xi_i$, $1 \le i \le n$. Considérons un voisinage linéarisable $V$ de $\xi_i$ muni des $q_i$ accès du complémentaire de $K_f$. Lorsque l'on ramène $V$ au voisinage de $\omega_i$, on obtient un voisinage $W$ découpé en $q_i d'$ secteurs, où $d' > 1$ est la multiplicité de $\omega_i$. Par hypothèses, les secteurs de $W$ qui intersectent $K$ sont rangés dans le même ordre cyclique qu'au voisinage de $\xi_i$. On note $\tilde{T}$ la réunion de la fermeture des secteurs de $W$ qui intersectent $K$. À chaque bord invariant, on enlève un petit secteur (invariant) de telle sorte que $f$ soit injective sur la fermeture du nouveau domaine $T$ sur le voisinage de $\xi_i$ (voir Figure 5.2).

Soit $S$ le complémentaire de $T$ dans $W$ et notons $S$ la réunion des secteurs préimages de ceux de $S$ qui sont basés sur $K$. Si on rétrécit le domaine de définition de $f$, on peut s'arranger pour que ces secteurs soient deux à deux disjoints.

Le but est de remplacer $f|_S$ par une application $g$ localement injective. Puisque $f|_K$ respecte l'orientation, l'application $f^n : T \to V$ admet un prolongement topologique en un homéomorphisme local. De plus, le point $\omega_i$ étant prérépulsif, on peut prolonger $f|_{\partial S_i}$ à $S_i$ à valeur dans le secteur issu de $f(\omega_i)$ de manière quasiconforme (voir Chap.4).

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIG. 5.2 - Suppression d'un point critique.</figcaption></figure>

On obtient ainsi une nouvelle application $g : U' \to U$ quasirégulière de degré $d_f$ telle que $g|_K = f|_K$. On définit la structure presque-complexe suivante : sur les secteurs $S_i$, on tire en arrière la structure complexe standard. Comme leurs images réciproques sont deux à deux disjoints, on la déploie sur $U \cup U'$ en la tirant en arrière par $g^{n+1}$, c'est-à-dire que sur $g^{-n}(S_i)$, on pose $\sigma = (g^n)^*\sigma_0$, où $\sigma_0$ est la structure complexe standard. Sur le reste, on garde la structure standard. Comme $g$ n'est pas conforme uniquement sur les $S_i$, où elle est quasiconforme, on obtient une structure presque-complexe $g$-invariante d'eccentricité bornée. Par le théorème d'intégrabilité, on en déduit que $g$ est quasiconformément conjuguée à une application à allure polynomiale de degré $d_f$, elle-même équivalente à un polynôme $P$.

L'unicité provient du fait qu'on ne change pas $f$ sur $K_f$, et donc, toutes les étapes sont hybrides, et uniques car $K_f$ est connexe.

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

**Corollaire 5.4.3** Soit $f$ une silhouette polynomiale, combinatoirement finie, topologiquement expansive et telle que tous les points critiques soient prérépulsifs. On peut lui associer
une classe externe $h_f : S^1 \to S^1$ R-analytique, bien définie à conjugaison quasisymétrique près.

**DÉMONSTRATION.** La démonstration de la Proposition 1 permet de remplir les secteurs où les applications sont mal définies et qui, après chirurgie, donnent une classe externe R-analytique, avec les points paraboliques et les points critiques inessentiels marqués. D'après la Proposition 5.4.1, deux telles applications combinatoirement équivalentes sont quasiconformément conjuguées.

**Remarque.** Le revêtement marqué que l'on obtient par le Corollaire 5.4.3 n'est pas dans la même classe R-analytique que la classe externe de $f$, puisqu'on lisse les singularités induites par les points critiques inessentiels. Cependant, pour effectuer des chirurgies, la classe quasisymétrique d'une classe externe est suffisante.

## 5.5 Un exemple avec un point parabolique dans la classe externe

**Proposition 5.5.1** Le polynôme $P: z \mapsto z^2$ figure de manière rigide dans $f: z \mapsto z^2 + z$.

Le but est de montrer que l'application de Böttcher du complémentaire de $K(f)$ se prolonge en un homéomorphisme de $\bar{C}$ dans $W_{\text{loc}}^{1,2}(C)$. Pour cela, on va d'abord montrer comment procéder lorsqu'on ne considère qu'un cusp, et ensuite comment le prolonger au chou-fleur tout entier.

**Prolongement au voisinage d'un cusp.** On considère un secteur $S$ d'ouverture $2\theta$ issu de l'origine $(0 < \theta < \pi)$, muni de l'application $f: z \mapsto \lambda z$, $\lambda > 1$. On considère aussi l'application $z \mapsto z + 1$ au voisinage de l'infini définie sur le domaine des $z \in C$ tels que $\text{Re}(z) \le 0$ et $|\text{Im}(z)| \le \theta/\log \lambda$. Par l'inversion, on ramène cette application en

$$g: z \mapsto \frac{z}{1+z}$$

définie sur un cusp $C$ issu de l'origine. L'application $z \mapsto w = \log \lambda / \log z$ conjugue $f$ à $g$ de $S$ dans le cusp $C$.

On note $Q_n^f$ le quadrilatère bordé par les segments $[(1/\lambda^{n+1})e^{\pm i\theta}, (1/\lambda^n)e^{\pm i\theta}]$ et les arcs de cercles de rayon $1/\lambda^{n+1}$ et $1/\lambda^n$ contenu dans $D \setminus S$. Remarquons que $Q_n^f = f^{-n}(Q_0^f)$.

**Lemme 5.5.2** Il existe une extension $C^1$ par morceaux de cette application $w$ à un voisinage de l'origine en un homéomorphisme $\phi$ vivant, ainsi que son inverse, dans $W^{1,2}$.

Si $\psi$ est un homéomorphisme $C^1$ par morceaux (plus généralement ACL), alors étudier ses dérivées partielles définies pp. a un sens. En notant $\psi_{\bar{z}} = \frac{\partial}{\partial \bar{z}}\psi$, $\psi_z = \frac{\partial}{\partial z}\psi$ et $\mu_\psi = \psi_{\bar{z}}/\psi_z$, le jacobien d'un homéomorphisme $\psi \in W^{1,2}$ qui respecte l'orientation s'écrit

$$Jac(\psi) = |\psi_z|^2 - |\psi_{\bar{z}}|^2,$$
et son facteur de dilatation

$$K_{\psi} = \frac{(|\psi_z| + |\psi_{\bar{z}}|)^2}{Jac(\psi)}.$$

Il vient alors

$$\int |\psi_z|^2 \approx \int K_{\psi} \cdot Jac(\psi),$$

où $a \asymp b$ s'il existe $c > 1$ tel que $1/c \le (a/b) \le c$. De plus, si $\psi_z$ est dans $L^2$, il en est de même de $\psi_{\bar{z}}$.

**DÉMONSTRATION.** On pose

$$\phi: D \setminus \bar{S} \to D \setminus \bar{C} \\ \rho \cdot e^{it} \mapsto \frac{\log \lambda}{|\log \rho + i\theta|} \cdot \exp ia_{\rho}(t),$$

où $a_{\rho}(t)$ est une application affine en $t$.

L'application $\phi$ ainsi définie est un homéomorphisme (de $D\setminus S$ sur $D\setminus C$) qui transforme les cercles centrés à l'origine en cercles centrés à l'origine.

Notons $Q_n^g = \phi(Q_n^f)$ (cf Figure 5.3).

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIG. 5.3 - Extension locale.</figcaption></figure>

La dilatation de $\phi$ peut être calculée en évaluant le rapport des modules des quadrilateres. En effet, le champ d'ellipses associé est porté sur les demi-droites issues de l'origine et le rapport de dilatation est une fonction décroissante de la distance à l'origine : il n'y a donc pas de compensation.

On obtient

$$\left\{ \begin{array}{l} \mod Q_n^f \asymp 1 \text{ et } \mod Q_n^g \asymp \log(1 + 1/n) \asymp 1/n, \\ \text{sur } Q_n^f, K_{\phi} \asymp \frac{\mod Q_n^f}{\mod Q_n^g} \stackrel{def}{=} K_n \asymp n. \end{array} \right.$$

Le calcul suivant montre que $\phi$ et $\phi^{-1}$ sont dans $W^{1,2}$.

On calcule :

$$\left\{ \begin{array}{l} \|\phi_z\|_{L^2}^2 \asymp \int K_{\phi} \cdot Jac(\phi) \asymp \sum K_n \text{Aire } Q_n^g \asymp \sum 1/n^2 < \infty, \\ \|\phi_{\bar{z}}^{-1}\|_{L^2}^2 \asymp \sum K_n \text{Aire } Q_n^f \asymp \sum n/\lambda^{2n} < \infty. \end{array} \right.$$
Dans ce cas, on peut en fait donner une expression explicite de cette extension et calculer “à la main” les dérivées. C’est ce que nous nous proposons de faire maintenant.

AUTRE DÉMONSTRATION DE 5.5.2. Avant de se lancer dans les calculs, expliquons la stratégie que nous allons employer. Au lieu de définir directement l'extension du complémentaire de S dans celui de C, nous allons d'abord montrer que l'on peut remplacer ce dernier par le complémentaire d'un segment. Pour cela, on définit une application quasi-conforme $\varphi_1$ tangente à l'identité à l'origine qui effectue cette transformation (en fait, on travaille au voisinage de l'infini, i.e. on définit $\varphi_0$). Ensuite, il suffit de considérer une extension $\varphi_2$ pour laquelle la dérivée tangentielle est constante. Notre extension est alors $\phi = \varphi_1^{-1} \circ \varphi_2$.

Fixons les notations :

- posons $\aleph = \theta / \log \lambda$;

- on note $\Omega = \{z \in \bar{C}, |z| > 2\aleph\} \setminus \{\text{Re } z \le 0 \text{ et } |\text{Im}(z)| \le \aleph\}$;

- pour $\rho > 2\aleph$, on pose $\theta_{\rho} = \pi - \arcsin[\rho/\rho]$;

- on note aussi $\Omega' = \{(\rho, t) \in ]2\aleph, +\infty[\times [0, \infty) - \pi, \pi[, -\theta_{\rho} < t < \theta_{\rho}\}$;

- on définit l'application

$$a: \begin{array}{rcl} \Omega' & \to & \pi, \pi[ \\ (\rho, t) & \mapsto & \frac{t\pi}{\theta_{\rho}}; \end{array}$$

- on définit enfin

$$\varphi_0: \begin{array}{rcl} \Omega & \to & \{ |z| > \aleph\sqrt{2}\} \setminus \mathbf{R}_- \\ \rho \cdot e^{it} & \mapsto & \rho\sqrt{1 - (\aleph/\rho)^2} \cdot e^{ia(\rho,t)}. \end{array}$$

On considère $\varphi_1 : \{|z| < 1/2\aleph\} \setminus C \to \{|z| < 1/\sqrt{2}\aleph\} \setminus [-1/\sqrt{2}\aleph, 0]$ le conjugué de $\varphi_0$ par $z \mapsto 1/z$, i.e.

$$\varphi_1(\rho \cdot e^{it}) = \frac{\rho}{\sqrt{1 - (\rho\aleph)^2}} e^{-ia(1/\rho, -t)}.$$

Par suite, $\varphi_1(z) = z(1 + O(|z|^2)) \cdot \exp(i \cdot O(|z|^2))$ au voisinage de l'origine, et $\varphi_1$ est tangente à l'identité en zéro.

De plus, comme $\varphi_0$ commute avec $z \mapsto z + 1$ sur $\partial\Omega$, $\varphi_1$ commute avec $f$ sur $\partial C$. Il suffit donc maintenant de prolonger

$$\rho \mapsto \frac{\log \lambda}{|\log \rho + i\theta|} \cdot \exp(\pm i\theta)$$

$$\text{de } \{|z| < e^{2\theta}\} \setminus \bar{S} \text{ sur } \{|z| < 1/\aleph\sqrt{2}\} \setminus [-1/\aleph\sqrt{2}, 0].$$

À cet effet, on pose

$$\varphi_2(\rho \cdot e^{it}) = \frac{\log \lambda}{\log 1/\rho} \cdot \exp(i\pi \frac{t-\theta}{\pi-\theta}).$$

Il suffit maintenant de vérifier que $\varphi_2$ et $\phi := \varphi_1^{-1} \circ \varphi_2$ sont dans $W^{1,2}$.
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIG. 5.4 - Construction de $\phi$.</figcaption></figure>

En coordonnées polaires, on obtient

$$ egin{cases} \frac{\partial}{\partial z} \varphi_2 = (1/2) \cdot \left( \frac{\partial}{\partial \rho} \varphi_2 + i \rho \frac{\partial}{\partial t} \varphi_2 \right) & (\text{cost} + i \cdot \text{sint}), \\ \frac{\partial}{\partial z} \varphi_2 = (1/2) \cdot \left( \frac{\partial}{\partial \rho} \varphi_2 - i \rho \frac{\partial}{\partial t} \varphi_2 \right) & (\text{cost} - i \cdot \text{sint}). \end{cases} $$

Le calcul montre

$$ egin{cases} \left| \frac{\partial}{\partial z} \varphi_2 \right| = \frac{\log \lambda}{\rho \log 1/\rho} \left( \frac{1}{\log 1/\rho} + \frac{\pi}{\pi - \theta} \right), \\ J \alpha c \varphi_2 = \frac{\log^2 \lambda}{\rho^2 \log^3(1/\rho)} \cdot \frac{\pi}{\pi - \theta}, \\ K \varphi_2 = \log 1/\rho \cdot \frac{\pi}{\pi - \theta}. \end{cases} $$

Donc $\varphi_2 \in W^{1,2}$. Comme $\varphi_1$ est proche de l'identité en norme $C^1$, $\phi$ est aussi dans $W^{1,2}$. On trouve aussi que $\varphi_2^{-1}$ est un élément de $W^{1,2}$, donc $\phi^{-1}$ aussi, car

$$ |(\varphi_2^{-1})_z|^2 = \frac{\log^2 \lambda}{4\rho^4} \cdot \exp[-2(\log \lambda)/\rho](1 + O(\rho)). $$

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

**Complément 5.5.2.** Il existe une constante $C > 1$ telle que $\text{Aire}\{z \in \mathbb{D}, K_{\phi} > n\} < C/\lambda^{2n}$.

**Prolongement au voisinage de $J_f$**. Le but est d'essayer de se ramener au calcul précédent. Afin d'isoler les singularités, on définit une suite de domaines dans chaque ensemble de Julia rempli comme suit.

**Dans le disque.** Soit $0 < r < 1$. On considère un secteur $S_0 \subset \mathbb{D}$ issu de $1$, coupé par le cercle de rayon $r^2$, invariant par $P$, et symétrique par rapport à l'axe réel. Si l'angle de
ce secteur et $r$ sont bien choisis, alors toutes les préimages $S_n$ de $S_0$ sont deux à deux disjointes. On note $\gamma_0^P$ la courbe définie comme suit: elle part de 1 en suivant le bord de $S_0$ dans le demi-plan supérieur jusqu'au cercle de $r$, puis tourne autour du disque sur le cercle de rayon $r$ dans le sens trigonométrique et revient sur 1 par l'autre bord de $S_0$ (l'indice de cette courbe par rapport à l'origine est 1).

Posons $\gamma_n^P = P^{-n}(\gamma_0^P)$; on obtient ainsi une partition d'un voisinage intérieur de $S^1$ (voir Figure 7.11).

À n fixé, les courbes $\gamma_n^P$ et $\gamma_{n+1}^P$ bordent des quadrilatères $A_n^P$ et des secteurs $S_n$.

**Dans le chou-fleur.** Procédons à la même partition que ci-dessus. Notons $F: \mathring{K}_f \to C$ la coordonnée de Fatou attractive qui fixe l'origine, et rappelons qu'il s'agit d'un revêtement ramifié de degré infini ramifié au-dessus des entiers négatifs ou nuls qu'il satisfait l'équation fonctionnelle

$$F \circ f(z) = \tau \circ F(z),$$

où $\tau(z) = z + 1$. Soit $R > 0$ fixé. On considère l'ouvert $X_0$ du plan non borné et bordé par les demi-droites $]-\infty, 3/2] \times \{\pm R\}$ et le segment $\{3/2\} \times [-R, R]$.

On définit $T_0$ comme l'unique composante connexe de $F^{-1}(X_0)$ qui contient le point parabolique $1/2$ dans son bord. Notons $C_\pm$ les images réciproques de $]-\infty, 3/2] \times \{\pm R\}$. Notons enfin $P^\wedge$ la branche inverse de $P$ définie sur $\bar{T}_0$ qui ne fixe pas $1/2$. Posons $T_n = P^{-(n-1)} \circ P^\wedge(T_0)$. On note $\delta_0$ les deux composantes connexes de $F^{-1}(\{-1/2\} \times [-R, R])$ qui touchent à la fois les bords de $T_0$ et de $T_1$ et on pose $\delta_n = f^{-n}(\delta_0)$. Les courbes $\delta_0$ réunies avec les bords de $T_0$ et de $T_1$ bordent une composante connexe de leur complémentaire qui contient l'origine. On note ce quadrilatère $A_0^f$ et on pose $A_n^f = f^{-n}(A_0^f) \setminus (A_0^f \cup S_0)$. Ces quadrilatères ont la même géométrie que $A_n^P$. Les partitions de $K_P$ et $K_f$ sont naturellement combinatoirement équivalentes.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIG. 5.5 - Extension globale.</figcaption></figure>

On commence par définir une application $\varphi: S_0 \to T_0$, comme ci-dessus et telle que $\varphi_0(F^{-1}(1/2))$ soit l'extrémité de $C_+$ sur le cercle de rayon $r^2$. En particulier, $\varphi$ conjugue $P$ à $f$ des côtés de $S_0$ issus de 1 sur $F^{-1}([0, \infty) \times \pm 1/2] \cap \partial T_0)$.

Maintenant, on définit de manière à faire conjuguer $P$ à $f$. On prolonge quasiconformément $\varphi: A_1^P \to A_1^f$. Par un argument de *pull-back*, on prolonge cette application à
un voisinage de $J_P$ et $J_f$. Il est à noter que sur $\cup A_n^P$, l'application $\varphi$ est quasiconforme avec une constante $K$ uniformément majorée. Le défaut de quasiconformité ne se situe que dans les secteurs. On conclut par le Lemme suivant.

■

**Lemme 5.5.3** *L'application $\varphi_z \in L_{\text{loc}}^2$.*

**DÉMONSTRATION.**

$$ \|\varphi_z\|_{L^2}^2 \asymp K \cdot \text{Aire}(\cup A_n^f) + \sum_{S_n} \int_{S_n} K_{\varphi} \cdot \text{Jac}(\varphi). $$

Comme $P^n : S_n \to S_0$ est conforme,

$$ \int_{S_n} K_{\varphi} \cdot \text{Jac}(\varphi) = \int_{S_0} K_{\varphi}(P^{-n}) \cdot \text{Jac}(\varphi)(P^{-n}) |(P^{-n})'|^2; $$

or

$$ \text{Jac}(\varphi)(P^{-n})|(P^{-n})'|^2 = \text{Jac}(\varphi \circ P^{-n}) = \text{Jac}(f^{-n} \circ \varphi) = \text{Jac}(\varphi) |(f^{-n})'|^2; $$

donc

$$ \int_{S_n} K_{\varphi} \cdot \text{Jac}(\varphi) = \int_{S_0} K_{\varphi} \cdot \text{Jac}(\varphi) |(f^{-n})'|^2; $$

d'où

$$ \sum_{S_n} \int_{S_n} K_{\varphi} \cdot \text{Jac}(\varphi) \asymp \left( \int_{S_0} K_{\varphi} \cdot \text{Jac}(\varphi) \right) \cdot \sum_{n \ge 0} |(f^{-n})'(0)|^2, $$

par le Théorème de Kōbe.

De plus, $\sum_{n \ge 0} |(f^{-n})'(0)|^2 < \infty$, car, par le Théorème de Kōbe, cette somme est comparable à l'aire total des préimages du secteur qui sont deux à deux disjointes et dans un domaine borné; donc $\varphi \in W^{1,2}$. De même, on peut montrer que $\varphi^{-1} \in W^{1,2}$ aussi. On a donc une application dans $W_{\text{loc}}^{1,2}(C \setminus S^1)$. Mais d'après un théorème de P. Jones (cf [Jo]), si $K$ est le bord d'un domaine de John, alors il est effaçable pour les applications de $W^{1,2}$. On en déduit donc que $\varphi$ et $\varphi^{-1} \in W_{\text{loc}}^{1,2}(C)$, car $S^1$ et $J_f$ sont le bord de domaines de John.

■

## 5.6 Accouplement de classes externes combinatoirement finies

Nous nous proposons de montrer :

**Théorème 2** Soit $P$ un polynôme de degré $d \ge 2$ et d'ensemble de Julia connexe ; on note $\gamma_P : Q/Z \to J_P$ son lacet de Carathéodory. Soit $h : (S^1, X) \to (S^1, X)$ un revêtement R-analytique marqué topologiquement expansif et combinatoirement fini, et où $X$ est formé des orbites critiques et paraboliques de $h$.

On suppose qu'il existe un homéomorphisme $\chi : S^1 \to S^1$ qui conjugue $h$ à $z \mapsto z^d$ tel que :
(a) pour tout $x \in X$, $\gamma_P \circ \chi(x)$ est un point prépériodique répulsif de $P$;

(b) les points paraboliques de $h$ correspondent à des points répulsifs de $P$ qui n'appartient pas à l'ensemble $\omega$-limite des points critiques.

Alors il existe une silhouette polynomiale $f: U' \to U$ de classe externe $h$ telle que $P$ y figure de manière rigide. Plus précisément, $\chi$ induit un homéomorphisme entre les bouts premiers de $K(P)$ et $K(f)$ qui conjugue les actions de $f$ et $P$.

La preuve sera faite en deux temps : dans un premier temps, les points critiques seront rajoutés là où il en manque, puis on introduira les points paraboliques. Ainsi, on aura une silhouette polynomiale avec $h$ comme classe externe. On procède par chirurgie.

### 5.6.1 Explosions d'ensembles de Julia

Soit $P$ un polynôme de degré $d \ge 2$ et d'ensemble de Julia connexe, et soit $z_0$ un point strictement prérépulsif. On va montrer comment construire un polynôme $Q$ de degré $d' > d$ tel que $P$ figure dans $Q$ de manière rigide, et tel que $z_0$ soit un point critique de degré local $d' - d$. Pour cela, on va utiliser la méthode des secteurs. Il s'agit de faire l'opération inverse de la Proposition 1.

**Définition.** Soit $P$ un polynôme de degré $d \ge 2$ et d'ensemble de Julia connexe. Un polynôme $Q$ est une explosion de $P$ en un point $z_0 \in J_P$ apériodique si les conditions suivantes sont satisfaites :

(E1) $P$ figure de manière rigide dans $Q$ par $\varphi$,

(E2) $\deg(Q) = \deg(P) + (d_{\varphi(z_0)}Q - d_{z_0}P)$.

On montre :

**Théorème 5.6.1** Soit $P$ un polynôme de degré $d \ge 2$ et d'ensemble de Julia connexe, et soit $z_0$ un point strictement prérépulsif; alors, il existe une explosion de $P$ en $z_0$ de n'importe quel degré.

**DÉMONSTRATION DE 5.6.1.** Soient $U$ l'ensemble des $z \in \mathbb{C}$ de potentiel $s < \eta$, où $\eta > 0$ sera déterminée ultérieurement, et $U' = P^{-1}(U)$; ce sont des voisinages-disques de $K(P)$ tels que $(U' \xrightarrow{P} U)$ soit une application à allure polynomiale de degré $d$.

On considère le cycle répulsif $\xi$ qui deviendra postcritique. En utilisant la coordonnée de Böttcher de $P$, on définit un cycle de secteurs invariants tels que leurs préimages soient deux à deux disjointes dans $U$. Il s'agit de changer $P$ sur le secteur $S$ issu de $z_0$ pour le rendre critique du degré voulu. Supposons, pour simplifier l'exposition, qu'on ne veuille rendre $z_0$ que point critique simple, i.e. l'image de $S$ devra couvrir tout l'ensemble de Julia rempli $K_P$, et aussi que le temps cyclique de $z_0$ et sa période sont 1.

On commence par couper $S$ en 3 secteurs invariants $S_0$ et $S_\pm$. Pour obtenir une application quasirégulière rectifiable, il suffit que l'image de $S_0$ couvre $K_P$ et que l'application $y$ soit holomorphe ; les secteurs $S_\pm$ auront alors pour image $P(S)$. On note $\Xi = U \setminus P(S)$ ; c'est un secteur $P$-invariant.
En conjuguant par $P$, on peut définir un germe répulsif au voisinage de $z_0$, afin de définir un module d'ouverture pour $S$. Comme dans [BD], la construction sera possible si l'hypothèse de la proposition suivante est vérifiée:

**Proposition 5.6.2** Si $\text{mod}(S) > \text{mod}(\Xi)$ alors il existe $f_1 : U' \to U$ quasirégulière telle que $f_1|_{U'\setminus S} = P$ et $f_1$ est holomorphe sur $S_0$ vérifiant $f_1(S_0) \supset \Xi$.

Il restera à préciser sous quelle(s) condition(s), cette inégalité est satisfaite.

**DÉMONSTRATION.** On choisit $S_0$ de module égal à celui de $\Xi$. Au niveau des anneaux quotients, il existe une application conforme $\bar{\psi} : S_0/(\tilde{P}) \to \Xi/(P)$ qui transforme l'un en l'autre, où $\tilde{P}$ est le conjugué de $P$ au voisinage de $P(z_0)$ par la branche inverse de $P$ telle que $P^{-1}(P(z_0)) = z_0$. La restriction de cette application au bord ainsi que la restriction de $P$ au bord de $S$ admettent des extensions quasiconformes $\bar{\psi}_{\pm} : S_{\pm} \to P(S)/(P)$. Ces applications se relèvent en une application $F : S \to U$ quasirégulière d'après les propositions 4.2.6 et 4.2.7.

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIG. 5.6 - Définition de $F$.</figcaption></figure>

On définit donc $f_1 : U' \to U$ de la façon suivante :

$$ 
\begin{array}{ll}
\text{si } z \in S, & f_1(z) = F(z), \\
\text{si } z \notin S, & f_1(z) = P(z).
\end{array}
$$

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

**FIN DE LA DÉMONSTRATION DE 5.6.1.** Ensuite, on définit une structure presque-complexe invariante pour $f_1$ qui sera à ellipticité bornée car chaque point ne passe qu'une fois dans une zone non holomorphe, par construction. En l'intégrant par le Théorème d'Ahlfors-Bers, on obtient une application à allure polynomiale de degré $d + 1$ et enfin, par le Théorème de redressement 5.1.1, on obtient le polynôme $Q$. Il vient directement que $P$ figure dans $Q$ de manière rigide.
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure 6 Explosion du lapin en $\alpha'$.</figcaption></figure>

Si le module de $S_0$ est trop petit, on peut d'abord changer la classe externe de $P$ pour le rendre à allure polynomiale avec un secteur à l'extérieur de $K(P)$ aussi grand qu'on le veut (voir Proposition 5.6.3 ci-dessous).

Pour que $z_0$ soit un point critique de rang plus important, il suffit de découper $S$ en plus de secteurs.

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

Pour une construction plus détaillée, on peut se reporter à [Wl], où l'auteur traite un exemple d'explosion. Cette méthode des secteurs est aussi employée pour construire des croisements (voir Partie V).

**Proposition 5.6.3** Soient $(U' \xrightarrow{f} U)$, une application à allure polynomiale d'ensemble de Julia connexe, $\alpha$ un point fixe de nombre de rotation $p/q$, $S$ un secteur invariant issu de $\alpha$ dans $U \setminus K_f$, et $m > 0$ ; il existe $(\hat{U}' \xrightarrow{\hat{f}} \hat{U})$ hybridement équivalente à $f$ telle que $\mod S > m$.

**DÉMONSTRATION.** On considère $A \subset S/f^q$, un sous-anneau non dégénéré invariant par $f^q$ et homotope à $S/f^1$. Soit $B$ un anneau de module $\text{mod } A + m$. On considère $\circ : A \to B$, un homéomorphisme quasiconforme extrémal. Sa forme de Beltrami $\mu = \bar{\partial}\phi/\partial\phi$ se prolonge de façon $f$-invariante sur $(\text{vois}(\alpha) \setminus \{\alpha\})/(f^1)$ ou $C/\mathbb{Z}$ dans le cas parabolique. On pose $\mu = 0$ sur le complémentaire, et on la remonte dans $U$ pour en faire une forme $\tilde{\mu}$ $f$-invariante (avec $\mu = 0$ sur le complémentaire), cf Figure 5.7. Par le Théorème d'intégrabilité d'Ahlfors-Bers, $f$ est hybridement équivalente à une application à allure polynomiale $(\hat{U}' \xrightarrow{\hat{f}} \hat{U})$ telle que le module d'ouverture de l'image de $S$ soit plus grand que $m$.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

Lorsque l'on reste dans une même classe hybride, les modules d'ouverture liés aux ensembles de Julia remplis ne changent pas car la conjugante à un $\bar{\partial} = 0$ pp. :
<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIG. 5.7 - Changement de classe hybride.</figcaption></figure>

**Lemme 5.6.4** Soient $(U' \xrightarrow{f} U)$ et $(V' \xrightarrow{g} V)$ deux applications à allure polynomiale hybridement équivalentes par une application $K-qc \phi : U \to V$. On suppose que leurs ensembles de Julia sont connexes et on considère un secteur invariant issu d'un point k-répulsif $\alpha_f$ contenant une composante connexe $L$ de $K(P) \setminus \{\alpha_f\}$. Notons $m_f = \inf \mod S$, où l'infimum est pris sur les secteurs invariants contenant $L$ et $m_g = \inf \mod T$, où l'infimum est pris sur les secteurs invariants contenant $\phi(L)$. Alors $m_f = m_g$.

**DÉMONSTRATION.** On se place dans le tore quotient de $\alpha_f$ et on se fixe $\varepsilon > 0$. Soit $A$ un anneau non dégénéré contenant le projeté $\mathcal{L}$ de $L$ telle que $\mod\varphi(A) \le m_g + \varepsilon$ et $\text{Aire}(A \setminus \mathcal{L}) \le \varepsilon$. On note $\Gamma$ la famille de courbe joignant les bords de $A$. Soit $\rho(z)|dz|$ la métrique extrémale d'aire 1. On associe à $\varphi(A)$ la métrique

$$ \rho' = \frac{\rho}{|\varphi_z| - |\varphi_{\bar{z}}|} \circ \varphi^{-1}, $$

où les indices indiquent les dérivées partielles. Pour presque toutes courbes $\gamma \in \Gamma$,

$$ \int_{\varphi(\gamma)} \rho'(z) |dz| = \int_{\gamma} \frac{\|\nabla\varphi(z)\|}{|\varphi_z| - |\varphi_{\bar{z}}|} \rho(z) |dz| \ge \int_{\gamma} \rho(z) |dz|; $$

D'autre part,

$$ \int_{\varphi A} \rho'^2(z) dxdy = \text{Aire}(\mathcal{L}, \rho) + \int_{A \setminus \mathcal{L}} \rho^2(z) \text{Jac}\varphi(z) dxdy \le \text{Aire}(\mathcal{L}, \rho) + K \cdot \text{Aire}(A \setminus \mathcal{L}, \rho). $$

Par suite,

$$ \text{Aire}(\varphi A, \rho') \le \text{Aire}(A, \rho) + (K-1)\varepsilon $$

et

$$ \mod \varphi(A) \ge \frac{\mod A}{1 + (K - 1)\varepsilon}. $$

Il s'ensuit que

$$ m_g + \varepsilon \ge \frac{m_f}{1 + (K - 1)\varepsilon} $$

et $m_g \ge m_f$. Par symétrie, on obtient l'égalité.

<figure><img src="image_36.png" /></figure>
5.6.2 Démonstration du Théorème 2

Par le paragraphe ci-dessus, on peut supposer que l'on a déjà construit une silhouette
polynomiale $\hat{f} : \hat{U}' \to \hat{U}$ telle que P y figure de manière rigide par une application qua-
siconforme et telle que sa classe externe soit combinatoirement finie et combinatoirement
équivalente à h. L'ensemble $X_{h_j}$ contient les arguments des points critiques, mais ceux qui
correspondent aux points paraboliques de h sont encore répulsifs. D'après la Proposition
5.4.1, il existe un homéomorphisme $\phi : \mathbb{S}^1 \to \mathbb{S}^1$ tel que $\phi \circ h_j = h \circ \phi$, et on note $\hat{\phi}$
l'application conforme telle que $\hat{\phi} \circ \hat{f} = h_j \circ \hat{\phi}$.

En suivant la procédure du Paragraphe 5.5 (cf Lemmes 5.5.2 et 5.5.3), on peut définir
une extension de $\phi$ sur un petit voisinage de $\mathbb{S}^1$ telle que l'application soit quasiconforme
sauf sur une réunion de “secteurs” aboutissant aux points qui deviendront paraboliques.
Sur ces domaines, on considère la même extension que l'extension locale du Lemme 5.5.2.
On note $\mu$ la forme de Beltrami de cette extension ramenée par $\hat{\phi}$ sur un voisinage de
$K_j$. On la prolonge par zéro sur le reste. De plus, on définit $F : \hat{U}' \to \hat{U}$ en remplaçant
$\hat{f}$ à l'extérieur de $K_j$ par $(\phi \circ \hat{\phi})^{-1} \circ h \circ (\phi \circ \hat{\phi})$ ($h$ étant R-analytique se prolonge en
une application holomorphe sur un voisinage de $\mathbb{S}^1$). La forme de Beltrami $\mu$ est alors
$F$-invariante par construction.

Afin de terminer la construction, on va s'appuyer sur une généralisation du théorème
d'intégration des formes de Beltrami due à G. David ([Da]):

**Théorème 5.6.5 (G. David, [Da])** Soit $\mu$ une forme de Beltrami sur $C$. S'il existe des constantes $C, \alpha > 0$ et $K_0 \ge 1$ telles que, pour $K \ge K_0$, on ait

$$
\text{Aire}\{z \in C, K_{\mu}(z) > K\} < C \cdot \exp(-\alpha \cdot K),
$$

alors il existe un homéomorphisme ACL $\varphi : C \to C$, unique à postcomposition près par
une application conforme, tel que, pour tout $0 < p < 2$, $\varphi \in W_{\text{loc}}^{1,p}(C)$ et $\mu_{\varphi} = \mu$ pp.

Pour les propriétés des homéomorphismes ACL, on se reporter à [Ah1, LV].

D'après le Complément 5.5.2, on a obtenu, dans le domaine répulsif, une forme de
Beltrami telle que sa dilatation K vérifie $\text{Aire}(K \ge n) < C \cdot \exp(-n \log \lambda)$. Comme les
points que l'on cherche à rendre paraboliques sont répulsifs, il existe une conjugaison
holomorphe avec le germe répulsif du modèle. Par suite, le lieu des points tels que $K \asymp n$
se trouve dans un domaine fondamental pour l'action répulsive du point considéré, i.e. on
a bien une décroissance exponentielle.

Comme les points répulsifs qui doivent devenir paraboliques ne sont pas accumulés
par une orbite critique, il existe un voisinage $U$ de ces cycles tel que, pour tout $n \ge 1$,
les applications $P^n : P^{-n}(U) \to U$ soient de degré uniformément majoré. Considérons un
autre voisinage $W \subset U$ et $\Sigma$ la trace des secteurs dans $W$.

En utilisant $\hat{f}$ comme conjugante, on définit des germes répulsifs en chaque préimage
$y$ des cycles. On note $\Sigma_y$ les images réciproques de $\Sigma$ issues de $y$. Par distorsion bornée,
il existe $c > 1$ et $\lambda > 1$ tel que

$$
\text{pour tout } y, \text{ Aire} (\{z \in \Sigma_y, K_\mu(z) > n\}) \le c/\lambda^n.
$$
Du coup,

$$ \text{Aire}(\{z \in \mathbb{C}, K_{\mu}(z) > n\}) = \sum_{y} \text{Aire}(\{z \in \Sigma_y, K_{\mu}(z) > n\}) \le c \left( \sum_{y} \text{Aire} \Sigma_y \right) / \lambda^n \le C/\lambda^n. $$

Par le Théorème 5.6.5, il existe un homéomorphisme $\varphi : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ACL, $\varphi \in W_{\text{loc}}^{1,p}(\mathbb{C})$, tel que $\mu_{\varphi} = \mu_{\text{pp}}$. Notons

$$ \left\{ \begin{array}{l} U' = \varphi(\hat{U}'); \\ U = \varphi(\hat{U}); \\ K = \varphi(K_j); \\ f = \varphi \circ F \circ \varphi^{-1}. \end{array} \right. $$

Comme $F^*\mu = \mu_{\text{pp}}$, on en déduit que $\partial\bar{f} = 0_{\text{pp}}$. Pour montrer que $f$ est holomorphe, on considère un disque sur lequel $F$ est injective. On normalise $\varphi$ et $\varphi \circ F : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ et on définit une extension de $\varphi$ et de $\varphi \circ F$, par réflexion de manière à ce que ces applications soient localement quasiconformes à l'infini. Par suite, elles sont toutes les deux solutions de la même équation de Beltrami, qui vérifie les hypothèses du Théorème 5.6.5 : l'unicité du Théorème montre que ces applications diffèrent par une application conforme, i.e. $f$.

De plus, $P$ figure de manière rigide dans $(U', U, f, K)$, par construction. Sur $U \setminus K$, l'application $\varphi \circ (\phi \circ \hat{\phi})^{-1}$ est holomorphe – pour les mêmes raisons que $f$ – et conjugue $f$ à $h$.

■
### III. Points paraboliques

Cette partie est consacrée à une étude plus approfondie des points paraboliques. L'accent est mis sur les propriétés de continuité, en contraste avec les études habituelles (voir e.g. [La2]).

Le premier chapitre analyse deux modèles locaux de déploiements paraboliques. Le principal résultat est la mise en évidence d'une persistance des cylindres de Fatou-Ecalle sur un voisinage du point parabolique, ainsi que des applications de cornes.

Les autres chapitres portent sur les propriétés globales de polynômes ayant un point parabolique. Ils constituent une approche de la conjecture suivante :

**Conjecture.** Soit $P_0 : C \to C$ un polynôme de degré $d \ge 2$ et d'ensemble de Julia connexe, et soit $p/q \in Q$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux.

► Si $P_0$ admet un point attractif, alors il existe un chemin continu de polynômes $(P_t)_{t \ge 0}$ de même degré tel que $P_1$ ait un point parabolique de multiplicateur $e^{2i\pi(p/q)}$ à la place de l'ancien point attractif de $P_0$, et la dynamique de $P_0$ est semi-conjuguée à celle de $P_1$ sur leurs ensembles de Julia.

► Réciproquement, si $P_0$ admet un point parabolique de multiplicateur $e^{2i\pi(p/q)}$, alors il existe deux déploiements $(P_t)_{t \ge 0}$ qui perturbent le point parabolique en une paire attractif/répulsif :

- l'un induit un point attractif de même période et un (éventuellement plusieurs) cycle(s) $q$-périodique(s) répulsif(s) ; la dynamique de $P_1$ est alors semi-conjuguée à celle de $P_0$ ;

- l'autre induit un point périodique répulsif de nombre de rotation combinatoire $p/q$ et un (éventuellement plusieurs) cycle(s) attractif(s) ; les dynamiques de $P_0$ et $P_1$ sont conjuguées sur leurs ensembles de Julia (non remplis).

Les techniques développées (déformation par pincement et déploiement) permettent de montrer cette conjecture dans le cas de polynômes géométriquement finis. À l'aide du théorème de G. David, on peut effectuer une chirurgie qui remplace une paire attractif/répulsif par un point parabolique, si le point répulsif n'est pas accumulé par une orbite critique.
# Chapitre 6

## Etude locale

**Germe parabolique.** On considère un germe holomorphe $g : U \to V$ de la forme $g(z) = z + z^{\nu+1} + o(z^{\nu+1})$, $\nu \ge 1$.

On rappelle qu'un ouvert connexe $P_a \subset \Omega$ est un pétale attractif si $0 \in \partial P_a$, $g(\bar{P}_a) \subset P_a \cup \{0\}$ et si $\cap_{n \ge 0} g^n(\bar{P}_a) = \{0\}$. De même, un pétale répulsif est un ouvert connexe $P_r$ qui est un pétale attractif de $g^{-1}$.

D'après la Partie I, il existe $\nu$ pétales attractifs disjoints et $\nu$ pétales répulsifs disjoints tels que leur réunion avec $0$ est un voisinage de l'origine. Les pétales attractifs et répulsifs sont alternés, et un pétale ne peut intersecter au plus que deux pétales de type opposé. De plus, sur chaque pétale $P$, l'application $g$ est conjuguée à la translation $z \mapsto z+1$. La conjugante est appelée coordonnée de Fatou.

A chaque pétale, on associe la surface de Riemann $P/(g) \simeq C/Z$.

On considère aussi les applications de cornes (ou d'Ecalle), définies comme suit : pour certains points $z$ de $P_r$, il existe un itéré $g^n$ tel que $g^n(z) \in P_a$. Ceci définit, en passant au quotient, des applications conformes définies au voisinage des deux bouts des cylindres : $E : P_r/(g) \to P_a/(g)$.

Dans la suite, on s'intéresse à des perturbations de tels germes et on cherche à mettre en évidence une continuité dans la dynamique.

### 6.1 Déploiement central

On considère un déploiement de la forme $f_\lambda : z \mapsto (1-\lambda)z + z^{q+1} + h(z, \lambda)$ au voisinage de zéro de $f_0$, où $h(z, \lambda) = O(z^{q+2})$ est holomorphe et $\lambda$ est dans un voisinage $\Lambda$ de zéro. On note $\Lambda_1 = \{\lambda \in \Lambda, |\lambda| < \epsilon$ et $\arg\lambda$ proche de $\frac{\pi}{2}\}$.

$\epsilon$ est un point fixe parabolique de $f_0$.

**Théorème 6.1.1** *Pour $\epsilon > 0$ assez petit et $\lambda \in \Lambda_1$, $f_\lambda$ a une dynamique de batteur à œufs sur $\mathcal{V}$ ouverts disjoints $V_i$ tels que $0 \in \bigcap_{1 \le i \le q} \partial V_i$, ce qui se traduit par :*
(i) l'éclatement du point fixe parabolique en $(q+1)$ points fixes $A_{\lambda}^{i}$ et 0;

(ii) la présence de cylindres de Fatou-Ecalle d'extrémités 0 et $A_{\lambda}^{i}$ tels que $V_{i}/f_{\lambda} \simeq C/\mathbb{Z}$;

(iii) et la persistance des applications de cornes.

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIG. 6.1 - Implosion parabolique.</figcaption></figure>

**DÉMONSTRATION.** On considère un secteur ouvert $U$ de rayon $\eta$ et d'angle $1/q$ tour.

Par le changement de variable $\zeta = \alpha(z) = \frac{-1}{qz^q}$ défini de $U$ sur $\Omega \subset C \setminus \bar{D}_R$, on conjugue
$f_{\lambda}$ à $F_{\mu}: \zeta \mapsto (1+\mu)\zeta + 1 + h_1(\zeta, \mu)$ où $\frac{1}{(1-\lambda)^q} = 1+\mu$ et $h_1(\zeta, \mu) = O(1/\zeta^{1/q}, \mu)$.

• L'application $F_{\mu}$ admet un point fixe $B_{\mu} \sim \frac{-1}{\mu}$.

• L'orbite de $\zeta \in \Omega$ tourne autour de $B_{\mu}$ dans le sens positif, car $0 < \operatorname{Im} \frac{F_{\mu}(\zeta) - B_{\mu}}{\zeta - B_{\mu}} < 1$.

**Proposition 6.1.2** Soient $L$ et $L'$ deux demi-droites issues de $B_{\mu}$ contenues dans $\Omega$. On suppose que l'angle définissant la direction de $L$ est plus petite que celui de $L'$, et que le secteur orienté $\Omega_1 = (B_{\mu}, L, F_{\mu}(L'))$ est contenu dans $\Omega$,

$$ \text{alors, } \Omega_1/F_{\mu} \simeq C/\mathbb{Z}. $$

**DÉMONSTRATION.** On conjugue $F_{\mu}$ par $\beta_{\mu}: \zeta \mapsto w = \frac{\log(\zeta-B)-\log B}{\log(1+\mu)}$.

Cette application dépend analytiquement de $\mu$, et, en choisissant correctement une section du $\log$, les applications $\beta_{\mu}$ tendent vers l'identité quand $\mu$ tend vers zéro.

Par l'application $\beta_{\mu}$, $\Omega_1$ devient une bande quasiment verticale $B(\mathcal{L}, \Phi_{\mu}(\mathcal{L}))$ et $F_{\mu}$ devient

$$ \Phi_{\mu}: w \mapsto 1 + w + h_2(w, \mu) $$

où $h_2$ et $\frac{\partial h_2}{\partial w}$ tendent vers 0 quand $\eta$ et $\varepsilon$ tendent vers 0.

Pour $w \in \mathcal{L} = \beta(L)$, on définit $\chi_w : [w, w+1] \to [w, \Phi(w)]$ affine, ce qui induit un homéomorphisme $C^1\chi : B(\mathcal{L}, \tau(\mathcal{L})) \to B(\mathcal{L}, \Phi_{\mu}(\mathcal{L}))$ ($\tau$ désigne la translation de vecteur 1); en effet, pour $w, w' \in \mathcal{L}$, si $\operatorname{Im}(w - w') > 0$ alors $\operatorname{Im}\frac{\Phi(w) - \Phi(w')}{\Phi(w) - w} > 0$.
L'application $\chi$ est, de plus, quasiconforme car

$$ egin{cases} \chi = id + o(1), \\ D\chi = id + o(1). \end{cases} $$

Comme $B(\mathcal{L}, \tau(\mathcal{L}'))/(\tau) \simeq \mathbb{C}/\mathbb{Z}$, $B(\mathcal{L}, \Phi_\mu(\mathcal{L}'))/(\Phi_\mu) \simeq \mathbb{C}/\mathbb{Z}$ d'après l'inégalité de Grøtzsch.

Dans la carte $\beta_\mu$, une des applications de cornes est bien définie pour $\mathrm{Im}(z) \gg 1$.

■

**Remarque.** Même si on ne reste pas dans le secteur, on peut toujours définir des cylindres dépendant continûment du paramètre (voir proposition suivante).

Dans la suite, on prend $q = 1$, i.e. $f_\lambda(z) = (1 - \lambda)z + z^2 + h(z, \lambda)$ au voisinage de zéro de $f_0$, où $h(z, \lambda) = O(z^3)$ est holomorphe et $\lambda$ est appartient à un voisinage $\Lambda$ de zéro.

**Définition.** Pour $\lambda \in \Lambda_1$, un point $z$ est attiré par le batteur s'il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $f^{n_0}(z)$ soit dans le domaine de définition des cylindres $C_\lambda$. Ce point s'échappe s'il existe $n \ge n_0$ tel que $f^n(z)$ n'est pas dans le domaine de définition des applications de cornes $E_\lambda$.

**Proposition 6.1.3** Soit $\lambda_0 \in \Lambda_1$. Soient $C$ un cylindre associé à cette perturbation, et $D$ un domaine fondamental de $C$. Soit $\hat{\Lambda}$ un secteur issu de l'origine contenant $\Lambda \cap \bar{\mathbb{H}}$. Alors il existe un mouvement holomorphe $\iota : \hat{\Lambda} \times D \to C$ tel que $\iota(\lambda, D) = D_\lambda$ soit un domaine fondamental d'un cylindre $D_\lambda/(f_\lambda) \simeq C/\mathbb{Z}$.

De plus, quand $\lambda \to 0$, $D_\lambda$ tend vers un domaine fondamental d'un pétale de $f_0$ pour la métrique de Hausdorff sur les compacts.

**Remarque.** Le procédé employé pour obtenir ce mouvement holomorphe ne permet pas de le prolonger à $i\mathbb{R}_-$.

**DÉMONSTRATION.** D'après la preuve de la Proposition 6.1.2, il existe une carte multivaluée dans laquelle $f_\lambda$ s'écrit $\Phi_\mu(w) = 1 + w + h_2(w, \mu)$. Le domaine de définition est le plan privé d'un voisinage $D$ de l'origine et de ses translatés par $w \mapsto w + 2i\pi/\log(1 + \mu)$, dont on note $\hat{D}_\lambda$ la réunion.

Pour $\lambda_0$, on définit le domaine $D$ en prenant l'ouvert bordé par une droite verticale $L_{\lambda_0}$ et son image (cf Proposition 6.1.2). L'ouvert $\hat{D}_{\lambda_0}$ est alors contenu dans une bande horizontale $B_{\lambda_0}$. Lorsque $\lambda$ tourne autour de l'origine, la bande $B_\lambda$ contenant $\hat{D}_\lambda$ tourne autour de l'origine jusqu'à devenir verticale, lorsque $\lambda$ est réel, non nul.

On peut suivre $D_{\lambda_0}$ tant que $\mathrm{Im}\lambda \ge 0$, en suivant $L_\lambda$. Quand $\lambda \ne 0$ est réel, $D_\lambda$ est un domaine qui "traverse" $B_\lambda$, allant de droite à gauche ou de gauche à droite. Afin de garder des domaines fondamentaux, il faut que $L_\lambda$ et $\phi_\mu(L_\lambda)$ soient dis joints de $\hat{D}_\lambda$, i.e. la partie imaginaire des points de $L_\lambda$ doit donner une relation d'ordre totale, et qu'il n'y ait pas d'identification entre points du domaine.

À partir d'un certain moment, les domaines spiralent autour des points fixes attractif et répulsif.
<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIG. 6.2 - Mouvement des cylindres.</figcaption></figure>

Quand $\lambda$ continue son tour autour de l'origine, $B_\lambda$ continue de tourner et la pente de $L_\lambda$ tend vers zéro, ce qui rend impossible le prolongement de notre mouvement holomorphe.

Quand $\lambda \to 0$, la carte $\beta_\mu$ tend vers l'identité, et $\Phi_\mu$ tend vers le conjugué de $f_0$ par $z \mapsto -1/z$.

**Corollaire 6.1.4** *Soit $z : \Lambda \to C$ une application holomorphe telle que $z(0) \in \mathcal{P}_a$. Alors il existe un secteur $\Lambda_1' \subset \Lambda_1$, issu de zéro, tel que, $\forall \lambda \in \Lambda_1'$, $z(\lambda)$ est attiré par le batteur.*

**DÉMONSTRATION.** On note $\Lambda_1' = \{\lambda \in \Lambda_1, z(\lambda) \in \mathcal{P}_a\}$ : c'est un secteur. D'après le Théorème 6.1.1, $f_\lambda$ est conjugué à la translation de vecteur 1 sur $\mathcal{P}_a$. Comme $z(\lambda) \in \mathcal{P}_a$, il passe dans le batteur.

**Remarque.** Si $z(0)$ n'est pas dans le pétale répulsif, alors on peut s'arranger pour que $z(\lambda)$ s'échappe, quitte à rétrécir $\Lambda_1'$.

**Proposition 6.1.5** *Soit $\mathcal{D}$ un quadrilatère non dégénéré inclus dans un domaine fondamental du pétale répulsif de $f_0$, dont deux côtés opposés $\gamma$ et $\gamma'$ vérifient $f_0(\gamma') = \gamma$. On suppose en outre qu'aucun point de $\mathcal{D}$ n'est attiré par l'origine, autrement dit, les points s'échappent.*

*Alors il existe un mouvement holomorphe $\iota : \Lambda \times \mathcal{D} \to C$ tel que $f_\lambda(\iota_\lambda(\gamma')) = \iota_\lambda(\gamma)$.*

**DÉMONSTRATION.** Soit $\lambda \in \Lambda$, on pose $\gamma_\lambda' = f_\lambda^{-1}(\gamma)$. Comme $\mathcal{D}$ n'est pas dans l'intersection des pétales, $\gamma \cap \gamma' = \emptyset$. Par suite, il existe $\lambda_0 \in \mathbb{R}_+$ tel que, si $|\lambda| < \lambda_0$, alors $\gamma \cap \gamma_\lambda' = \emptyset$.

Donc $\iota : \Lambda \times (\gamma \cup \gamma_\lambda') \to C$ définie par $\begin{cases} \text{si } z \in \gamma, \ i_\lambda(z) = z \\ \text{si } z \in \gamma', \ i_\lambda(z) = f_\lambda^{-1} \circ f_0(z) \end{cases}$ est un mouvement holomorphe qu'on peut prolonger à $\mathcal{D}$ (théorème de Słodkowski).
## 6.2 Déploiement parabolique

On considère le déploiement de $g_0$ suivant :

$$g_{\lambda}: z \mapsto z + \lambda z^2 + z^3 + h(z, \lambda).$$

Le paramètre $\lambda$ appartient à un voisinage $\Lambda$ de zéro et $h(z, \lambda) = O(z^4\lambda)$.

Lorsque $\lambda = 0$, on obtient un polynôme cubique avec, au voisinage de l'origine, deux pétales attractifs. Le déploiement considéré n'éclate pas totalement le point parabolique : 0 reste parabolique, mais perd un pétale. Cependant, les propriétés de continuité mises en évidence dans la perturbation précédente restent globalement les mêmes.

Les points fixes de $g_\lambda$ sont l'origine (parabolique) et $\alpha_\lambda = -\lambda + O(\lambda^2)$ de multiplicateur $1 + \lambda^2 + O(\lambda^3)$.

On s'intéresse plus particulièrement à trois cas :

- $\lambda$ est dans un cône centré sur l'axe imaginaire, i.e. $\alpha_\lambda$ est attractif;

- $\lambda$ est dans un cône centré sur l'axe réel, i.e. $\alpha_\lambda$ est répulsif;

- $\lambda$ est dans un cône centré sur les premières bissectrices, et l'on verra qu'on aura affaire à une dynamique de batteur à œufs.

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIG. 6.3 - L'origine reste parabolique.</figcaption></figure>

### Premier cas.

On considère un premier changement de variable $\zeta = -1/(\lambda z)$ qui conjugue $g_\lambda$ à $F_\lambda(\zeta) = \zeta + 1 + (1 - 1/(2\lambda^2)).1/\zeta + h_1(\zeta, \lambda)$ avec $h_1(\zeta, \lambda) = O(1/\zeta^2)$. Au voisinage de l'infini,
on a une conjugaison avec une translation induisant une surface quotient isomorphe à H/Z.
Le second point fixe est $p_{\lambda} \sim 1/\lambda$.

Par un nouveau changement de variable en $\xi = \frac{\log(c-p_{\lambda})}{\log(1+\lambda^2)}$, on montre de même que $g_{\lambda}$ est conjuguée à une translation au voisinage de $\xi(p_{\lambda})$. Choisir un domaine fondamental pour avoir un cylindre bi-infini ($\sim C/Z$) implique l'introduction de spirales logarithmiques au voisinage du point attractif.

**Deuxième cas.** En passant à $g_{\lambda}^{-1}$, on se ramène au cas précédent.

**Troisième cas.**

Pour $z$ dans le rectangle défini par sa diagonale $[\alpha_{\lambda}, 0]$, on trouve

$$ \mathrm{Im} \frac{g_{\lambda}(z)-\alpha_{\lambda}}{z-\alpha_{\lambda}} > 0 \quad \text{et} \quad \mathrm{Im} \frac{g_{\lambda}(z)}{z} < 0, $$

i.e. les points passent au travers du segment avec leur partie réelle allant en décroissant.

En effet, dans la coordonnée

$$ w = \frac{\log \frac{\alpha_{\lambda} - z}{\alpha_{\lambda}}}{\log (1 + 2\lambda^2)}, $$

$g_{\lambda}$ est conjugué à $w \mapsto w + 1 + O(\lambda)$ sur un demi-plan $\mathrm{Im} z \ge C > 0$.

Au voisinage de l'origine, $z \mapsto w(z)$ est univalente. Il s'ensuit que $g_{\lambda}$ est localement conjugué à $w \mapsto w + (\lambda/w'(0))w^2 + O(w^3)$. Puisque

$$ \lambda/w'(0) \sim 2\lambda^4 < 0, $$

les axes sont à peu près horizontaux, orientés négativement. Par suite, la dynamique au voisinage de $\alpha_{\lambda}$ est une “extension” de l’application de corne de l’origine.

On en déduit que l'on peut définir aussi des cylindres bi-infinis, quotients d'une bande joignant $\alpha_{\lambda}$ à l'origine par $g_{\lambda}$.
# Chapitre 7

## Pincement de polynômes

Soit $f : C \to C$ un polynôme de degré $d \ge 2$ hyperbolique ([DH1]), i.e. tous ses points critiques sont attirés par un cycle attractif. On se propose de définir une déformation par pincement de ce polynôme afin de rendre un point attractif parabolique (voir aussi [Mk1-3], [Pi]). Cette déformation admet une limite $f_\infty$ polynomiale qui est semi-conjuguée à $f$. Ce type de déformation a tout d'abord été introduit par P. Makienko pour montrer, par l'absurde, que des composantes stables de fractions rationnelles hyperboliques de degré fixé n'étaient pas compactes.

La déformation par pincement consiste à déformer un tore attractif et un tore répulsif pour qu'ils deviennent des cylindres $C/Z$. Pour faire cela, on pince une courbe fermée simple non homotopiquement triviale sur les tores. En choisissant convenablement une normalisation, on montre que ces points sont attirés l'un vers l'autre et on finit par obtenir un point parabolique.

Dans la suite, il sera commode de considérer un polynôme avec un ensemble de Julia connexe.

Le plan des prochaines sections est le suivant :

- on définit la déformation par pincement localement et on montre que notre schéma fonctionne sur un modèle;

- on définit la déformation par pincement dans le cas général en s'inspirant de celle de P. Makienko et en utilisant la construction d'étoiles dans un bassin attractif due à C. Petersen ([Pe3]);

- on montre que pour les polynômes hyperboliques, les limites possibles du pincement sont bien contrôlées par le polynôme de départ ; on utilise à cet effet d'une part, que les bords des composantes connexes bornées de l'ensemble de Fatou sont des quasicercles, et d'autre part, un modèle due à C.T. McMullen qui estime le module de quadrilatères indépendamment de certaines déformations quasiconformes ;

- et enfin, dans la dernière section, on montre le théorème suivant, qui étend les résultats obtenus par pincement :

**Théorème 3** Soit $P$ un polynôme de degré $d \ge 2$ et d'ensemble de Julia connexe, ayant un point fixe $\alpha$ attractif et un point fixe répulsif $\beta$ dans le bord de son bassin immédiat, accessible depuis ce bassin, et tel que $\beta$ n'est dans l'ensemble $\omega$-limite d'aucun point cri-
tique. Alors il existe un polynôme $Q$ de même degré et un homéomorphisme $\chi : J_P \to J_Q$
qui conjugue $P$ à $Q$ et tel que $\beta$ soit devenu parabolique, le bassin de $\alpha$ étant devenu le
bassin de $\beta$.

Sa démonstration repose d'une part, sur une comparaison entre les dynamiques in-
duites par des points hyperboliques (attractifs et répulsifs) et par des points paraboliques,
et d'autre part, sur un théorème d'analyse de G. David d'intégration de formes de Beltrami
(voir [Da]).

7.1 Pincement d'une paire attractif/répulsif

Dans ce paragraphe, on montre comment, à partir de deux points fixes attractif et répulsif respectivement, on peut définir une déformation à l'aide de formes de Beltrami qui, à la limite, donne un germe parabolique.

**Remarque.** Dans la suite, toutes les figures sont dessinées dans une carte dans laquelle se trouvent les deux points fixes.

On définit un modèle de la manière suivante.

Notons les bandes

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathcal{B} = \mathbf{R} \times ]-\pi, \pi[; \\
\mathcal{B}_0 = \mathbf{R} \times ]-\pi/2, \pi/2[; \\
\mathcal{B}_+ = \mathbf{R} \times ]\pi/2, \pi[; \\
\mathcal{B}_- = \mathbf{R} \times ]-\pi, -\pi/2[.
\end{array}
\right.
$$

On définit alors l'application

$$
\begin{array}{rcl}
\mathcal{R} : & \mathcal{B} & \to \mathcal{C} \\
& x + iy \in \mathcal{B}_0 & \mapsto x + iy \\
& x + iy \in \mathcal{B}_+ & \mapsto x + i(\pi/2 + \operatorname{tg}(y - \pi/2)) \\
& x + iy \in \mathcal{B}_- & \mapsto x + i(-\pi/2 + \operatorname{tg}(y + \pi/2)).
\end{array}
$$

Cette application est localement quasiconforme et

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mu_{\mathcal{R}}(x + iy) = -\frac{\operatorname{tg}^2(y \mp \pi/2)}{2 + \operatorname{tg}^2(y \mp \pi/2)} \\
K_{\mathcal{R}}(x + iy) = 1 + \operatorname{tg}^2(y \mp \pi/2)
\end{array}
\right.
$$

sur $B_{\pm}$. Soit $\sigma > 0$; on note $\tau : z \mapsto z + \sigma$.

On considère alors exp : $\mathcal{B} \to \bar{\mathcal{C}}$ et on conjugue $\tau$ par exp afin d'obtenir $f(w) = e^{\sigma w}$ (modèle du pincement). Notons $\gamma = \exp(\mathbf{R} \times \{\pi\}) = \mathbf{R}_{-}$.

**Définition du pincement.** On définit d'abord sur $\mathcal{B}$ la famille de formes de Beltrami $(\nu_t)_{t \ge 0}$ suivante :

- si $|\mathrm{Im}z| < 2\arctan t$, on pose $\nu_t(z) = \mu_{\mathbb{R}}(z)$;

- si $\pi > |\mathrm{Im}z| \ge 2\arctan t$, on pose $\nu_t(z) = \mu_{\mathbb{R}}(2\arctan t)$.

De façon équivalente, on définit un champ d'ellipses constant sur les horizontales, tel
que le grand axe de chaque ellipse soit horizontale, le petit verticale, et leur rapport soit
$K_{\mathbb{R}}(z)$ sur ($|\mathrm{Im}z| \le 2\arctan t$) et sinon, constant à $K_{\mathbb{R}}(2\arctan t)$.
Cette famille est invariante par translations réelles, et définit un chemin dans l'espace de Teichmüller réduit de l'anneau $A = B/\tau$: soit $\bar{\mathbb{N}}_t : A \to A_t = \bar{\mathbb{N}}_t(A)$ une famille continue de solutions de l'équation de Beltrami. Le module de $A_t$ tend vers l'infini avec $t$, et $A_t$ tend vers $C/\sigma Z$ car une solution de $\nu_t$ est

$$ \mathbb{N}_t : B \to C \\ z \mapsto \mathbb{N}(z) \qquad \text{si } |\mathrm{Im}z| < 2\mathrm{arctg} t, \\ z \mapsto \mathrm{Re}z + \mathbb{N}(2\mathrm{arctg} t) + i \cdot K_{\mathbb{N}}(2\mathrm{arctg} t) \cdot (|\mathrm{Im}z| - 2\mathrm{arctg} t) \qquad \text{si } \pi > |\mathrm{Im}z| \ge 2\mathrm{arctg} t. $$

De plus, ces solutions commutent avec $\tau$.

On définit $(\mu_t)_{t \ge 0}$ en transportant par exp la famille $(\nu_t)_{t \ge 0}$.

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIG. 7.1 - Un pincement.</figcaption></figure>

Soit $\phi_t$ la solution de l'équation de Beltrami de $\mu_t$ qui fixe le triplet $(\infty, 1, e^\sigma)$. Soit $f_t$ le conjugué de $f$ par $\phi_t$. La famille $(f_t)_{t \ge 0}$ représente un pincement du germe $f$.

**Convergence du pincement.** Le but de cette fin de paragraphe est de montrer la proposition suivante:

**Proposition 7.1.1** *Les familles $(f_t)_{t \ge 0}$ et $(\phi_t)_{t \ge 0}$ admettent des limites $f_\infty$ et $\phi_\infty$ pour la convergence de la sphère munie de la métrique sphérique, qui vérifient les propriétés suivantes (voir Figure 7.1):*

- $f_\infty(z) = z + e^\sigma - 1$ est une translation,

- $\phi_\infty$ est localement quasiconforme de $\bar{C} \setminus \gamma$ sur $C$, et $\phi_\infty(\gamma) = \{\infty\}$,

- $f_\infty \circ \phi_\infty = \phi_\infty \circ f$.

La Figure 7.1 décrit le pincement si on suppose que e.g. $\alpha_t$ est le point infini et $\beta$ l'autre point fixe. Les domaines $U'$ et $U$ sont des voisinages de ces deux points et $f(U') = U$.

D'après le modèle, le multiplicateur de $\infty$ pour $f_t$ tend vers 1, donc il existe une suite extraite $(f_n)$ qui converge vers une translation $f_\infty$, i.e. $f_\infty(z) = z + (e^\sigma - 1)$ car $f_\infty(1) = e^\sigma$.

On considère une exhaustion de $\bar{C} \setminus \gamma$ par des compacts. Sur chaque compact, les $\phi_t$ sont uniformément quasiconformes et normalisées, donc, par un procédé diagonal, on peut extraire une suite qui converge sur tout compact de $\bar{C} \setminus \gamma$ vers une application injective localement quasiconforme $\phi_\infty$ qui conjugue $f$ à $f_\infty$.
<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIG. 7.2 - Définition d'un pincement.</figcaption></figure>
Afin de montrer que le diamètre de $\phi_t(\gamma)$ tend vers zéro, on se place dans $\mathcal{B}$. Notons $Q = ]-1, 1[ \times ]-\pi/4, \pi/4[$ et considérons $\mathcal{A} = \mathcal{B} \setminus \mathcal{Q}$.

**Lemme 7.1.2**

$$ \lim_{t \to \infty} \mathrm{mod}_{\nu_t} \mathcal{A} = \infty. $$

**DÉMONSTRATION.** En normalisant les $\aleph_t$ par des homothéties $h_t$ centrées à l'origine pour que $h_t \circ \aleph_t : \mathcal{B} \to \mathcal{B}$, il est clair que le diamètre de $Q_t = h_t \circ \aleph_t(\mathcal{Q})$ tend vers zéro avec $t$: $\mathrm{mod} \, \aleph_t(\mathcal{A}) \to \infty$.

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION DE 7.1.1.** D'après le Lemme 7.1.2, le module de $\phi_t(\exp(\mathcal{A}))$ tend vers l'infini, car $\varphi_t \circ \exp \circ \aleph_t^{-1} : \aleph_t(\mathcal{A}) \to \mathcal{C} \setminus \mathbf{R}_-$ est conforme; donc les $\phi_t$ sont équicontinues et tendent vers une application continue non constante $\phi_\infty$, et $\lim_{t \to \infty} \mathrm{diam} \, \phi_t(\gamma) = 0$. Cette application est injective sur le complémentaire car on peut séparer toute paire de points par un anneau disjoint de $\gamma$ qui aura un module minoré indépendemment de la déformation.

De plus, on a montré que de toute suite $t_n$, on peut extraire une sous-suite $(t_{n_k})$ telle que :

- $f_{t_{n_k}}$ a pour limite $f_\infty$;

- $\phi_{t_{n_k}}$ a une limite $\phi_\infty$;

- et $\phi_\infty \circ f = f_\infty \circ \phi_\infty$.

La dilatation de $\phi_t$ vaut $K_t = t^2/4 + o(1)$ pour $t \gg 1$. Pour tout $s > 0$, les applications $\phi_{t_{n+s}} \circ \phi_{t_n}^{-1}$ sont $K_{t_{n+s}}/K_{t_n}$-quasiconformes, donc équicontinues (car ce rapport tend vers 1, à $s$ fixé). Tout point d'accumulation de cette suite est donc holomorphe et fixe trois points : cette limite existe et est donc l'identité. Par suite, on peut rajouter des termes dans la suite de manière à ce que la différence $t_{n+1} - t_n$ soit bornée : si $\phi_{s_n}$ est une autre suite, on suppose que pour tout $n$, $t_n \le s_n < t_{n+1}$. D'après ce qui précède, $\phi_{t_n}^{-1} \circ \phi_{s_n} \to \mathrm{Id}$ donc $\phi_{s_n} \to \phi_\infty$.

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

**Remarque.** Le même type de construction peut se faire en remplaçant l'un des points hyperboliques (ou les deux) par des points paraboliques, de manière à garder un arc invariant les joignant. Il est intéressant de voir que la convergence est en norme continue, et non $C^1$. En effet, considérons un germe du type

$$ z \mapsto z + ibz^2 + z^3. $$

Lorsque $b \to 0$, $b > 0$, les orbites "issues" de l'origine partent toujours tangentiellement à l'axe réel, mais lorsque $b = 0$, ces orbites partent verticalement (voir ci-dessous).
<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>Figure 7 Pincement en un point parabolique.</figcaption></figure>

## 7.2 Déformation globale

### 7.2.1 Définition générale du pincement

Soit $f : \bar{C} \to \bar{C}$ une fraction rationnelle de degré $d \ge 2$. On suppose qu'il existe un point périodique $\alpha$ attractif, non critique. On se propose dans ce paragraphe de définir une déformation par pincement $f$ liée au point $\alpha$. Grosso modo, le pincement consiste à produire une collision entre points périodiques afin d'obtenir un point parabolique. Ensuite, on posera quelques questions au sujet de cette déformation, et on s'attachera à donner des éléments de réponse. Commençons par un modèle.

Modèle floral $p/q$. Considérons notre translation $\tau : \mathcal{B} \to \mathcal{B}$. On conjugue $\tau$ par

$$z \mapsto w = \frac{e^z}{e^z + 1}$$

afin d'obtenir une application de Möbius $w \mapsto \hat{f}(w)$ qui fixe 0 et 1. Pour tout $q \ge 1$ (entier) et tout $(p/q) \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, $p \wedge q = 1$, on peut relever de manière unique $\hat{f}$ au voisinage de $\bar{D}$ par l'application $\zeta \mapsto w = \zeta^q$ en $\hat{f}_{p/q}$ de manière à ce que $\hat{f}_{p/q}(1) = e^{2i\pi(p/q)}$. L'origine a pour multiplicateur $e^{\sigma/q} \cdot e^{2i\pi(p/q)}$ et 1 devient un cycle $q$-périodique de nombre de rotation $p/q$ et de multiplicateur $e^{-\sigma q}$. Quitte à renverser les rôles de $\pm\infty \subset \mathcal{B}$, l'origine est attractive ou répulsive.

On peut alors définir la déformation par pincement de $\hat{f}_{(p/q)}$ en transportant la famille $\nu_t$ du premier paragraphe.

**Étoiles d'un bassin attractif.** Soit $\Omega$ un domaine attractif simplement connexe d'une fraction rationnelle $f$. Nous donnons ici une description plutôt sommaire de la construction de ces étoiles. Pour des justifications, nous invitons le lecteur à se reporter à [Pe3].

Notons $\phi : \Omega \to \mathbb{D}$ sa représentation conforme qui envoie le point attractif $\alpha$ (de multiplicateur $\lambda$) sur l'origine et $B$ le produit de Blaschke conjugué à $f$. Si $\beta \in S^1$ est
un point *q*-périodique de *B*, on dit qu'il a pour nombre de rotation de Poincaré *p/q* si la restriction de *B* à ce cycle peut être prolongée en un homéomorphisme du cercle de nombre de rotation *p/q* (ceci n'est pas toujours le cas : voir [BS]). Pour chaque nombre de rotation rationnel, il existe au moins un cycle répulsif ayant ce nombre de rotation (voir entre autres [BS, Go]).

Soit $\kappa : D \to C$ l'application linéarisante de Königs qui semi-conjugue $B$ à $z \mapsto \lambda z$. Les points critiques de $\kappa$ sont les points précritiques de $B$. Si $L$ est une détermination de $\log \lambda$, l'application exp est un revêtement de $C^*$ et notre application linéaire se relève en la translation de vecteur $L$. Les points critiques de $\kappa$ différents de l'origine se relèvent en un demi réseau

$$ \Lambda = \{-nL + 2im\pi + \omega_j, (n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{Z}\} $$

où les $\omega_j$ (en nombre fini) sont des logarithmes des points critiques de $B$ qui ont une orbite infinie (dans D).

Considérons les droites passant par $\Lambda$ et parallèles à $q \cdot L - 2ip\pi$. Par exp, elles sont transformées en $kq(<\infty)$ spirales ou droites disjointes joignant 0 à l'infini et formant $k$ cycles par la multiplication par $\lambda$. Ces courbes contiennent donc l'image de tous les points précritiques de $B$ qui ne tombent pas sur l'origine. Notons $\hat{U}_j$ le complémentaire de ces courbes dans $C^*$ et $\tilde{U}_j$ des représentants dans le plan (par exp). Ceux-ci sont des bandes invariantes par la translation de vecteur $qL - 2ip\pi$. On considère enfin $\tilde{\gamma}_j$ les droites "centrales" de $\tilde{U}_j$. Posons $\hat{\gamma}_j = \exp \tilde{\gamma}_j$. Ces $kq$ courbes se regroupent en $k$ cycles. Par construction, ces cycles ont pour nombre de rotation $p/q$.

Nous pouvons enfin définir l'étoile associée à $(B, L)$. On note $U_j^B$ l'unique composante connexe de $\kappa^{-1}(\hat{U}_j)$ qui contient l'origine dans sa fermeture, et $\gamma_j^B$ les courbes leur correspondant.

**Définitions.** La $(L, p/q)$ étoile $\mathcal{E}_{L,p/q,B}$ associée à $B$ est l'intérieur de

$$ \bigcup_{0 \le j < kq} \bar{U}_j^B $$

L'ouvert $U_j^B$ est la $j$-ème bande et la courbe $\gamma_j^B$ sa vertèbre.

Par construction, cette étoile est un voisinage de l'origine, sur lequel $B$ est univalente ; de plus, elle est invariante par $B$ ($B(\mathcal{E}) = \mathcal{E}$). Les extrémités des vertèbres sur le cercle unité forment des cycles de nombre de rotation $p/q$.

**Remarque.** En degré deux, il n'existe qu'un seul cycle sur le cercle unité de nombre de rotation de Poincaré donné ; en revanche, dès le degré trois, L. Goldberg ([Go]) montre qu'il y en a toujours plus. Il n'est pas clair que l'on puisse définir une étoile par cycle.

Revenons maintenant à notre composante attractive initiale par $\varphi^{-1}$ :

**Définitions.** La $(L, p/q)$ étoile $\mathcal{E}_{L,p/q,f}$ associée à $(f, \alpha)$ est

$$ \mathcal{E}_{L,p/q,f} = \varphi^{-1} \mathcal{E}_{L,p/q,B} $$

On note aussi $U_j = \varphi^{-1} U_j^B$ la $j$-ème bande et $\gamma_j = \varphi^{-1} \gamma_j^B$ sa vertèbre.
En revanche, il n'est plus évident que les vertèbres aboutissent en des points périodiques. On définit alors le bout d'une vertèbre par $\overline{U_j} \setminus \Omega$. En ce qui nous concerne, on a le lemme suivant :

**Lemme 7.2.1 (C. Petersen)** Si $f^q$ est définie et holomorphe au voisinage d'un point "$x_j$" de chaque bout de l'étoile alors ces $x_j$ sont ces bouts, et forment des cycles. La période de ces points est ou bien 1, ou bien $q$.

En particulier, si $f$ est un polynôme et $\Omega$ est bornée alors il s'agit de cycles $q$-périodiques de nombre de rotation $p/q$.

**Définition du pincement de $f$**. Sans perte de généralité, supposons que $\alpha$ est un point fixe attractif.

À $p/q$ fixé, on considère une étoile $\mathcal{E} = \mathcal{E}_{L,p/q,f}$. D'après le Lemme 7.2.1, il existe un point $\beta$ au bout, $q$-répulsif ou parabolique au bord du bassin immédiat de $\alpha$. Il est de nombre de rotation 1 (en tant que point périodique), et de nombre de rotation de Poincaré $p/q$.

Dans la suite, on suppose que $\beta$ est répulsif.

Au niveau des tores quotients de ces deux cycles, la projection $\bar{\gamma}$ dans le tore $T_\beta$ (associé à $f^q$) de la vertèbre correspondante $\gamma$ est fermée, simple, située dans la trace de la composante de $\alpha$, et disjointe des grandes orbites critiques. Sur le tore $T_\alpha$ (associé à $f$), $\bar{\gamma}$ devient une courbe de nombre de rotation $p/q$, correspondant à l'ordre cyclique de l'orbite de $\beta$.

Considérons dans $T_\alpha$ un anneau d'équateur $\bar{\gamma}$ sur lequel on définit la même famille $(\bar{\mu}_t)_{t \ge 0}$ de formes de Beltrami que dans le cas du germe. On la prolonge par zéro sur le reste du tore. Cette famille est ensuite relevée dans le plan dynamique, puis prolongée par zéro sur le reste afin qu'elle soit $f$-invariante sur toute la sphère.

De manière équivalente, on définit cette déformation sur chaque "bande" feuilletée par les parallèles aux vertèbres. Ensuite, on prolonge par la dynamique sur le reste du bassin, et enfin par zéro ailleurs.

Soient $\varphi_t$ les solutions de l'équation de Beltrami ayant une normalisation fixée, et $f_t$ les conjuguées de $f$ par $\varphi_t$: ce sont des fractions rationnelles. La famille $(\varphi_t, f_t)_{t \ge 0}$ ainsi définie représente un pincement de $f$.

**Questions.**

- Quand cette déformation est-elle convergente ? à une sous-suite près ?

- Soit $f_\infty$ un point d'accumulation de $(f_t)_{t \ge 0}$ ; a-t-on une description dynamique explicite à partir de celle $f$ ?

**Proposition 7.2.2 (Pincement dans un bassin)**

Soit $(f_t)_{t \ge 0}$ un pincement de deux points fixes attractif et répulsif. On note $\Omega$ le bassin immédiat d'attraction de $\alpha$ et on suppose que $f_0$ n'admet qu'un point critique c dans ce bassin. On suppose que $(\varphi_t(\Omega), \varphi_t(c))$ admet un ouvert $(\Omega_\infty, c_\infty)$ comme limite pour la topologie de Carathéodory, et que $f_\infty$ est limite des $f_t$.
<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIG. 7.3 - Limite dans le quotient.</figcaption></figure>

Alors, il existe $\varphi_\infty : \Omega \to \Omega_\infty$ continue surjective de degré 1, dont les fibres sont soit un point, soit une composante connexe du relevé de $\bar{\gamma}$ dans le bassin. De plus, $\Omega_\infty$ est le bassin immédiat parabolique d'un point $\alpha_\infty$, limite de $\varphi_t(\alpha)$, pour $f_\infty$. Enfin, la relation $f_\infty \circ \varphi_\infty = \varphi_\infty \circ f$ est vérifiée dans le bassin.

**DÉMONSTRATION.** Soit $\alpha_t = \varphi_t(\alpha)$. Quitte à extraire une suite, ces points convergent vers un point $\alpha_\infty$, qui est parabolique d'après l'inégalité de Maskit (Proposition 7.2.3, à comparer avec l'inégalité de Pommerenke-Levin-Yoccoz, [Pe1]).

**Proposition 7.2.3 (Inégalité de Maskit, [Ms, Pi])** Soit $\lambda \in C^*$, $|\lambda| > 1$, et soit $T_\lambda$ le tore $C^*/(\lambda)$. La famille de cercles centrés à l'origine dans $C^*$ définit une classe d'homotopie $\gamma_1$ dans $T_\lambda$. Se fixer un autre générateur revient à se donner une détermination du logarithme de $\lambda$; soit $\gamma_2$ une autre courbe fermée simple, telle que $\langle \gamma_1, \gamma_2 \rangle \simeq \pi_1(T_\lambda)$. Soient $\delta \subset T_\lambda$ une courbe fermée simple homotope à $\gamma_1^{-p}\gamma_2^q$, et $A(\delta)$ un col de $\delta$ (voisinage annulaire d'équateur $\delta$), alors

$$ \frac{\log^2|\lambda| + (\arg(\lambda) - 2\pi p/q)^2}{2\pi \log|\lambda|} \le 1/\operatorname{mod} A(\delta). $$

En particulier, si $\mod A(\delta) \to \infty$, alors $\lambda \to \exp(2i\pi p/q)$.

Soit $\tilde{\gamma}$ le relevé dans $\Omega$ de $\bar{\gamma}$ : c'est un Cantor d'accès au bord de $\Omega$. Les applications $\varphi_t : (\Omega \setminus \tilde{\gamma}) \to C$ sont uniformément quasiconformes sur tout compact ; on peut donc extraire une suite $\varphi_{t_n}$ qui converge vers $\varphi_\infty : \Omega \setminus \tilde{\gamma} \to C$, continue injective (car le domaine image est bien défini).
De plus, comme $f_t \circ \varphi_t = \varphi_t \circ f$, on en déduit que $f_\infty \circ \varphi_\infty = \varphi_\infty \circ f$, et les points de $\varphi_\infty(\Omega \setminus \tilde{\gamma})$ sont tous dans le bassin immédiat de $\alpha_\infty$.

En fait, $\varphi_\infty : \Omega \setminus \tilde{\gamma} \to \Omega_\infty$ est surjective. En effet, cette application induit un homéomorphisme $\bar{\varphi}_\infty : T_\alpha \setminus \bar{\gamma} \to C/Z$, surface associée à $\alpha_\infty$, car, par définition du pincement, l'application $\tilde{N}_t$ coïncide avec $\varphi_t|_{T_\alpha \setminus \bar{\gamma}}$. Soit $w \in \Omega_\infty$. En appliquant $f_\infty$, on définit un chemin combinatoire de $w$ à $\alpha_\infty$ (voir Lemme 7.2.4 ci-dessous); soit $\bar{w} \in C/Z$ le projeté de $w$; on lui associe combinatoire donnée par $z$ (cf Lemme 7.2.4). Le point ainsi obtenu vérifie $\varphi_\infty(z) = w$.

Il ne reste plus qu'à montrer que $\varphi_\infty$ se prolonge bien au bassin tout entier. Soit $z \in \tilde{\gamma}$; on considère une suite $z_n$ dans $\Omega \setminus \tilde{\gamma}$. On considère les projetés $\bar{z}$ et $\bar{z}_n$ dans $T_\alpha$. La suite $\bar{z}_n$ tend vers $\bar{\gamma}$. Par suite, quand on lui applique $\bar{\varphi}_\infty$, la suite $\bar{w}_n = \bar{\varphi}_\infty(\bar{z}_n)$ tend vers l'infini dans $C/Z$, i.e. $w_n = \varphi_\infty(z_n)$ tend vers une préimage de $\alpha_\infty$ (voir Figure 7.3).

Ceci montre que $\varphi_\infty$ se prolonge continûment au bassin entier, en envoyant les composantes de $\tilde{\gamma}$ sur les préimages de $\alpha_\infty$.

**Lemme 7.2.4** *Il existe deux partitions $P$ et $P_\infty$ de $\Omega$ et $\Omega_\infty$ respectivement combinatoirement équivalentes.*

**DÉMONSTRATION.** D'une part, on construit $P$ en considérant les pièces bordés par la vertèbre et toutes ses préimages ainsi que $\tilde{\gamma}$. D'autre part, notons $F : \Omega_\infty \to C$ la coordonnée de Fatou attractive de $f_\infty$. On définit $P_\infty$ par les images réciproques de la droite horizontale qui contient les valeurs critiques de $F$. Ces partitions sont combinatoirement équivalentes car $F$ et $\log \kappa$ conjuguent $f_\infty$ et $f$ à des translations en envoyant leurs points critiques sur une orbite des translations.

## 7.2.2 Cas à allure monomiale

On considère maintenant un polynôme $f : z \mapsto z^d + c(\lambda)$, $0 < |\lambda| < 1$, où $c(\lambda)$ est une constante telle que $f$ admette un point fixe de multiplicateur $\lambda$; et on cherche à rendre ce point parabolique par pincement, tout en gardant le contrôle de la dynamique.

L'ensemble de Julia de $f$ est un quasicercle, et il existe une application quasiconforme $\chi : \bar{C} \to \bar{C}$ qui conjugue $f$ à $z \mapsto z^d$ au voisinage de leurs ensembles de Julia, i.e. $\chi(J_f) = S^1$.

Soit $\beta$ un point $q$-périodique répulsif, tel que l'orbite de son argument externe ait pour nombre de rotation $p/q$. On choisit $\lambda = (1/2)e^{2i\pi(p/q)}$. On considère le pincement défini sur un arc $f$-invariant joignant $0$ à $\beta$, ainsi que son orbite. On normalise les solutions des équations de Beltrami par $\varphi_t(0) = 0$, $\varphi_t(z) = z + O(1)$ au voisinage de l'infini.
<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIG. 7.4 - Support du pincement.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Figure 8 Pincement vers le lapin gras.</figcaption></figure>

Quitte à extraire une suite, la famille de polynômes $(f_t)_{t \ge 0}$ admet une limite $f_\infty$, qui est un polynôme monique; et d'après l'inégalité de Maskit, le point fixe tend à devenir parabolique de multiplicateur $e^{2i\pi(p/q)}$, i.e.

$$f_{\infty}(z) = z^d + c(e^{2i\pi(p/q)}).$$

Reste à examiner s'il y a convergence des applications $\varphi_t$. Soit $\tilde{\gamma}$ le relevé total de $\gamma \in T_0$ dans le bassin de l'origine. Chaque composante connexe de $\tilde{\gamma}$ est contractile. Le résultat principal de ce paragraphe est alors :

**Théorème 7.2.5** *Les applications $\varphi_t$ convergent uniformément vers une application $\varphi_\infty$, dont les fibres sont soit des points, soit une composante connexe de $\tilde{\gamma}$ et telle que*

$$\varphi_\infty \circ f = f_\infty \circ \varphi_\infty.$$

Comme dans la Proposition 7.2.2, pour tout $z \in \mathbb{C}$ qui n'est pas dans la fermeture de $\tilde{\gamma}$, le pincement a une dilatation localement bornée, donc, en utilisant par exemple le
<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIG. 7.5 - Modèle de McMullen.</figcaption></figure>

Lemme 3.0.9 de la Partie II, les théorèmes 4.1.1 et 4.1.2 d'Ahlfors-Bers, on montre que le pincement est équicontinu en z.

Pour montrer que les $\varphi_t$ sont équicontinues au voisinage de $J_f$, on va utiliser des estimations sur des modules d'anneaux obtenus sur le modèle $z \mapsto z^d$.

Pour conclure, un voisinage borné de $K_f$ reste dans un domaine borné indépendant des $\varphi_t$, d'après le théorème de Kōbe appliqué à l'infini. On pourra donc appliquer le théorème Arzela-Ascoli.

**Estimation sur un modèle.** On va montrer que l'on peut se ramener au modèle qui suit, proposé par C.T. McMullen, pour montrer la locale connexité de l'ensemble de Mandelbrot en certains points du bord (cf [Hu]).

Soit $R = ]0, 1[ \times ]0, 3/2[$. On définit une famille de sous-carrés $(Q_{i,j})_{\substack{i \in \mathbb{N} \\ 1 \le j \le 2^i}}$ par récurrence :

$$ - Q_0 = ]0, 1[ \times ]1/2, 3/2[; $$

- si, à $i \ge 0$ fixé, tous les $Q_{i,j}$, $1 \le j \le 2^i$, sont construits, on définit le rang supérieur $Q_{i+1,j}$ comme suit : on considère un carré $Q_{i,j_0}$ dont on découpe le côté horizontal le plus bas en trois. On recolle alors deux carrés $Q_{i+1,2j_0-1}$ et $Q_{i+1,2j_0}$, de côté (1/3) celui de $Q_{i,j}$, aux deux segments contenant un sommet de ce dernier. Les $Q_{i,j}$ ainsi définis s'accumulent sur l'axe réel en l'ensemble triadique de Cantor (voir Figure 7.5).

**Proposition 7.2.6 (C.T. McMullen)** Soit $\Gamma$ la famille de courbes joignant les côtés verticaux de $R$. Pour toute forme de Beltrami dont le support est disjoint de $\bigcup_{\substack{i \in \mathbb{N} \\ 1 \le j \le 2^i}} Q_{i,j}$,

$$ (3/2)\Lambda(\Gamma) \ge \Lambda_{\mu}(\Gamma) \ge \Lambda(\Gamma)/3. $$

**DÉMONSTRATION.** Comme $R$ est un rectangle, $\Lambda(\Gamma) = 2/3$.

Soit $\mu$ une forme de Beltrami supportée dans le complémentaire des $Q_{i,j}$.

Comme $Q_0$ est un carré qui joint les deux côtés verticaux et disjoint du support de $\mu$, d'après la Proposition 3.0.7 de la Partie II, il vient $\Lambda_{\mu}(\Gamma) \le \Lambda(Q_0) = 1$.
Pour obtenir une minoration indépendante de $\mu$, on va définir une métrique $\rho|dz|$ telle que $\text{supp } \mu \subset (\rho = 0)$ et $\Lambda(\Gamma, \rho) > 0$.

• Sur le bord de $R$ et des $Q_{i,j}$, on pose $\rho = +\infty$.

• Sur le complémentaire des $Q_{i,j}$, on pose $\rho = 0$.

• Sur $Q_{i,j}$, on pose $\rho|dz| = (3/2)^i|dz|$.

Évaluons $\Lambda(\Gamma, \rho)$:

- $\rho$ est bien admissible: $\text{Aire}(R, \rho) = \sum_{n \ge 0} 1/2^n = 2$.

- Remarquons que pour toute courbe horizontale $\gamma_h$, $L(\gamma_h, \rho) = 1$. Pour trouver la plus petite longueur, il suffit de se restreindre à deux niveaux $i$ et $i + 1$ à cause de l'autoressemblance du problème. On trouve alors $L(\Gamma, \rho) = 2/3$.

Au total, on obtient

$$ \Lambda_{\mu}(\Gamma) \geq \Lambda(\Gamma, \rho) = 2/9 = \Lambda(\Gamma)/3. $$

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

**Partition du bassin associée à une étoile.** Nous allons définir une partition en "rec-tangles" au voisinage du bord du bassin, qui nous servira à appliquer la Proposition 7.2.6.

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIG. 7.6 - $a_0$ et $\delta_0$.</figcaption></figure>

Dans la coordonnée log-linéarisante, on considère - dans une bande $\tilde{U}_j$ - deux droites parallèles au (et disjointes du) support du pincement qui l'encadrent. Ses relevés dans le bassin sont des accès qui aboutissent aux préimages de $\beta$ et qui passent par celles du point attractif. On extrait certains d'entre eux. Sur les $2q$ qui contiennent le point attractif $\alpha$, on considère seulement les deux dont la réunion sépare le support du pincement qui passe par $\alpha$ de la valeur critique. Cette courbe $\delta_0$ borde un domaine qui contient donc la valeur critique que l'on note $\hat{R}_0$. On considère alors un nouvel arc de cercle dans $\hat{R}_0$, disjointe du support, d'extrêmité un point par composante connexe de $\partial\hat{R}_0 \setminus \{\alpha\}$ et qui, réunie avec $\partial\hat{R}_0$ entoure une fois la valeur critique. On note $a_0$ la courbe de Jordan qui