ANNALES
POLONICI MATHEMATICI
XXXI (1976)

# Sur la méthode des différences finies pour un système d'équations différentielles non linéaires paraboliques sans dérivées mixtes avec une condition aux limites du type de Neumann

par MARIAN MALEC (Kraków)

**Résumé.** Dans la note on considère le schéma explicite des différences finies pour un système du type parabolique

$$ \frac{\partial u_i}{\partial t} = f_i \left( t, x_1, \dots, x_p, u_1, \dots, u_n, \frac{\partial u_i}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial u_i}{\partial x_p}, \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_1^2}, \dots, \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_p^2} \right) \quad (i = 1, \dots, n) $$

les dérivées dans la direction normale au bord de l'ensemble analysé étant des fonctions voulues des variables $t, x_1, \dots, x_p$. On obtient le schéma explicite mentionné en remplaçant dans le système différentiel les dérivées par rapport à $t$ par les différences ascendantes et les autres dérivées par les différences centrales respectives. On a montré que de tels schémas de différences sont convergents et on a estimé l'erreur de la méthode proposée.

1. Dans la présente note nous considérons le schéma explicite des différences finies pour un système du type parabolique

$$ (1.1) \quad \frac{\partial u_i}{\partial t} = f_i \left( t, x_1, \dots, x_p, u_1, \dots, u_n, \frac{\partial u_i}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial u_i}{\partial x_p}, \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_1^2}, \dots, \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_p^2} \right) \quad (i = 1, \dots, n) $$

les dérivées dans la direction normale au bord de l'ensemble analysé $E$ (voir (2.1)) étant des fonctions voulues des variables $t$ et $x$ (voir (2.4)). On obtient le schéma explicite mentionné en remplaçant dans le système (1.1) les dérivées par rapport à $t$ par les différences ascendantes et les autres dérivées par des différences centrales respectives. On a montré que de tels schémas de différences finies sont convergents et on a estimé l'erreur de la méthode proposée (théorème 1).

Il est à noter qu'un pareil résultat a été déjà obtenu par Malec (¹), mais seulement pour le cas tout particulier où $n = 1$. Le résultat obtenu

<footnote>(¹) M. Malec, *Sur la méthode des différences finies pour une équation différentielle partielle non-linéaire parabolique sans dérivées mixtes avec la condition aux limites du type de Neumann*, Bull. Acad. Polon. Sci., Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 12 (1974), p. 495-501.</footnote>
dans la présente étude est donc une généralisation de celui présenté dans le travail cité.

## 2. Dans toute cette note nous admettons que

1º les fonctions scalaires $f_i(t, x, u, q, w)$, $i = 1, ..., n$, $x = (x_1, ..., x_p)$, $u = (u_1, ..., u_n)$, $q = (q_1, ..., q_p)$, $w = (w_1, ..., w_p)$ sont de classe $C^1$ dans l'ensemble $D = E \times \mathbb{R}^{n+2p}$ où

$$ (2.1) \qquad E = \{(t, x): t \in [0, \tau], x \in [0, \sigma]^p, \tau > 0, \sigma > 0\}; $$

2º il existe des constantes $L, \Gamma, g, G$ telles que les inégalités

$$ (2.2) \qquad \left| \frac{\partial f_i}{\partial u_\lambda} \right| \le L, \quad \left| \frac{\partial f_i}{\partial q_j} \right| \le \Gamma, \quad 0 < g \le \frac{\partial f_i}{\partial w_j} \le G $$

sont vérifiées pour $(t, x, u, q, w) \in D$ ($i = 1, ..., n$, $\lambda = 1, ..., n$, $j = 1, ..., p$);

3º les fonctions scalaires $u_i(t, x)$ ($i = 1, ..., n$) sont de classe $C^2$ dans l'ensemble et $E$ vérifient le système

$$ (2.3) \qquad \frac{\partial u_i}{\partial t} = f_i \left( t, x, u, \frac{\partial u_i}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial u_i}{\partial x_p}, \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_1^2}, \dots, \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_p^2} \right) \quad (i = 1, \dots, n) $$

ainsi que les conditions aux limites

$$ u_i(0, x) = \varphi_{i0}(x), \quad x_j \in (0, \sigma), $$

$$ (2.4) \qquad \frac{\partial u_i}{\partial w_j} = \varphi_{ij}(t, x), \quad w_j = 0, \quad i = 1, \dots, n, \ j = 1, \dots, p. $$

$$ \frac{\partial u_i}{\partial w_j} = \psi_{ij}(t, x), \quad w_j = \sigma, $$

## 3. Considérons dans l'ensemble $E$ un système de points nodaux dont les coordonnées sont égales à

$$ (3.1) \qquad t^\mu = \mu \cdot k, \quad x_j^\nu = \nu \cdot h $$

où $\mu = 0, 1, ..., N_1$, $\nu = 0, 1, ..., N$, $j = 1, ..., p$, $0 < k = \tau/N_1, 0 < \tau = \sigma/N$, $N_1$ et $N$ sont des nombres naturels.

Désignons la suite des indices $(\mu, m_1, ..., m_p)$ du point nodal (3.1) par

$$ (3.2) \qquad M = (\mu, m) \quad \text{où} \quad m = (m_1, ..., m_p) $$

et les coordonnées du point nodal (3.1) par

$$ (3.3) \qquad (t^\mu, x^m) \quad \text{où} \quad x^m = (x_1^m, ..., x_p^m). $$
Introduisons les ensembles des multi-indices suivants

$$
(3.4) \quad Z = \{ \mathcal{M} = (\mu, m) : 0 \le \mu \le N_1, 0 \le m_j \le N \ (j = 1, \dots, p) \},
$$

$$
(3.5) \quad Z^+ = \{ \mathcal{M} = (\mu, m) : 0 \le \mu \le N_1, -1 \le m_j \le N+1 \ (j = 1, \dots, p) \},
$$

où $m_j$ ($j=1, \dots, p$) et $\mu$ sont les nombres entiers.

Nous envisagerons également les nodaux générés par les suites des
indices suivantes

$$
(3.6) \quad j(\mathcal{M}) = (\mu, j(m)), \quad -j(\mathcal{M}) = (\mu, -j(m)), \quad +\mathcal{M} = (\mu+1, m)
$$

où

$$
\begin{equation} \tag{3.7}
\begin{aligned}
j(m) &= (m_1, \dots, m_{j-1}, m_j+1, m_{j+1}, \dots, m_p) && (j = 1, \dots, p). \\
-j(m) &= (m_1, \dots, m_{j-1}, m_j-1, m_{j+1}, \dots, m_p)
\end{aligned}
\end{equation}
$$

Supposons ensuite qu’à chaque point nodal (3.1) généré par le multi-
indice $\mathcal{M} \in Z$ corresponde un système de nombres $v_i^M$ ($i=1, \dots, n$) et
admettons que

$$
\begin{equation} \tag{3.8}
\begin{aligned}
v_i^{-j(M)} &= v_i^{j(M)} - 2h\varphi_{ij}(t^\mu, x^m) && \text{pour } \mu = 0, 1, \dots, N_1 \text{ et } m_j = 0, \\
v_i^{j(M)} &= v_i^{-j(M)} + 2h\psi_{ij}(t^\mu, x^m) && \text{pour } \mu = 0, 1, \dots, N_1 \text{ et } m_j = N
\end{aligned}
\quad (i = 1, \dots, n, \ j = 1, \dots, p)
\end{equation}
$$

où $v_i^M = (v_1^M, \dots, v_n^M)$. Il est à remarquer qu'en vertu de (3.8) les grandes $v_i^M$ sont définies pour tous les éléments $\mathcal{M}$ de l'ensemble $Z^+$.

On introduit les notations suivantes

$$
(3.9) \qquad v_i^{M-} = \frac{1}{k} (v_i^{+M} - v_i^M),
$$

$$
(3.10) \quad v_i^{Mj} = \frac{1}{2h} (v_i^{j(M)} - v_i^{-j(M)}), \quad v_i^{Mjj} = \frac{1}{h^2} (v_i^{j(M)} - 2v_i^M + v_i^{-j(M)}),
$$

$$
(3.11) \quad v_i^{MI} = (v_i^{M1}, \dots, v_i^{MP}), \quad v_i^{MII} = (v_i^{M11}, \dots, v_i^{MPx}).
$$

Dans la suite nous supposerons que les nombres $v_i^M$ ($i = 1, \dots, n$, $M \in Z^+$) satisfont non seulement aux égalités (3.8), mais aussi à la con-
dition

$$
(3.12) \quad v_i^M = \phi_{i0}(w^m) \quad \text{pour } M = (0, m) \text{ et } M \in Z
$$

ainsi qu'aux équations aux différences finies

$$
(3.13) \quad v_i^{M-} = f_i(t^\mu, x^m, v^M, v_i^{M\bar{I}}, v_i^{M\bar{I}I}) \quad (\mu = 0, 1, \dots, N_1-1, M \in Z).
$$

4. Désignons par $u^M = (u_1^M, \dots, u_n^M)$ la valeur de la solution $u(t, x)$
$= (u_1(t, x), \dots, u_n(t, x))$ du problème (2.3), (2.4) au point nodal $(t^\mu, x^m) \in E$
et posons

$$
\begin{align*}
u_i^{-j(M)} &= u_i^{j(M)} - 2h\varphi_{ij}(t^\mu, x^m), \quad m_j = 0, \\
(4.1) \qquad u_i^{j(M)} &= u_i^{-j(M)} + 2h\psi_{ij}(t^\mu, x^m), \quad m_j = N \\
&\qquad (i = 1, \dots, n, j = 1, \dots, p, M \in \mathbb{Z}).
\end{align*}
$$

Donc les grandeurs $u^M$ sont définies pour tout $M \in \mathbb{Z}^+$ et satisfont
aux conditions aux limites (voir (2.4))

$$
\begin{align*}
u_i^M &= \varphi_{i0}(x^m), && \mu = 0, \\
(4.2) \qquad u_i^{Mj} &= \varphi_{ij}(t^\mu, x^m), && m_j = 0, \\
                 u_i^{Mj} &= \psi_{ij}(t^\mu, x^m), && m_j = N, \\
&\qquad (i = 1, \dots, n, j = 1, \dots, p, M \in \mathbb{Z})
\end{align*}
$$

LEMME 1. Si les hypothèses du section 2 sont satisfaites et les pas h et k
vérifient les inégalités

$$
(4.3) \qquad \frac{g}{h} - \frac{\Gamma}{2} \ge 0, \quad \frac{2pG}{h^2} - \frac{1}{k} \le 0,
$$

il vient

$$
(4.4) \qquad u_i^{M-} = f_i(t^\mu, x^m, u^M, u_i^{MI}, u_i^{III}) + \eta_i^M,
$$

pour $i = 1, \dots, n, \mu = 0, 1, \dots, N_1 - 1, M \in \mathbb{Z}$ et

$$
(4.5) \quad \lim_{h \to 0} \varepsilon(h, k) = 0 \quad \text{où } \varepsilon(h, k) = \max_i \varepsilon_i(h, k), \varepsilon_i(h, k) = \max_M |\eta_i^M|.
$$

Démonstration. Comme les termes du second membre de (2.3)
sont de classe O¹ et la solution u(t, x) est de classe O², les formules (4.4)
et (4.5) sont évidentes pour ceux des multi-indices M = (μ, m) ∈ Z pour
lesquels 1 ≤ m_j ≤ N - 1 (j = 1, ..., p).

Supposons que pour un certain $j: 1 \le j \le p$ on ait $m_j = 0$. Alors, en partant de (4.2) et (2.4) on arrive à

$$
(4.6) \qquad u_i^{Mj} = \varphi_{ij}(t^\mu, x^m) = \frac{\partial u_i}{\partial x_j}(t^\mu, x^m), \quad m_j = 0.
$$

En utilisant la formule de Taylor nous pouvons écrire

$$
(4.7) \qquad u_i(P) = u_i(Q) + x_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j}(Q) + \frac{1}{2} x_j^2 \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j^2}(Q) + o(x_j^2)
$$

$$
\text{où } P = (t, x_1, \dots, x_p), \quad Q = (t, x_1, \dots, x_{j-1}, 0, x_{j+1}, \dots, x_p).
$$

Des relations (4.6) et (4.7) on obtient

$$
(4.8) \quad \left[ \frac{2}{x_j^2} (u_i(P) - u_i(Q)) - \frac{2}{x_j} \varphi_{ij}(Q) \right] - \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j^2}(Q) = \frac{2}{x_j^2} o(x_j^2) \to 0
$$
si $w_j \to 0$, ou encore

$$ (4.9) \qquad \frac{1}{h^2} [u_i^{j(M)} - 2u_i^M + u_i^{-j(M)}] - \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j^2} (t^\mu, x^m) \to 0 $$

si $m_j = 0$ et $h \to 0$.

Maintenant on constate aisément que les relations (4.6), (4.9) et (4.3) impliquent les formules (4.4) et (4.5) puisque les fonctions $f_i$ sont de classe $C^1$.

On prouve d'une façon tout à fait analogue que les relations (4.4) et (4.5) sont également valables si pour un $j: 1 \le j \le p$ on a $m_j = N$.

**5. LEMME 2.** Si les nombres $R^\mu$ ($\mu = 0, 1, ...$) satisfont aux inégalités aux différences finies

$$ (5.1) \qquad R^{\mu-} \le K \cdot R^\mu + \varepsilon \quad (\mu = 0, 1, ...) $$

et à la condition $R^0 = 0$ où $R^{\mu-} = \frac{1}{k} (R^{\mu+1} - R^\mu) (\mu = 0, 1, ...)$ et $0 < k = \text{const, } 0 < K = \text{const, } 0 \le \varepsilon$, alors

$$ (5.2) \qquad R^\mu \le \frac{\varepsilon}{K} (e^{Kk\mu} - 1) \quad (\mu = 0, 1, ...) $$

Le lemme 2 est facile à démontrer par récurrence.

**6. LEMME 3.** Si les hypothèses du lemme 1 sont satisfaites, les nombres $v_i^M$ sont définis par (3.8), (3.12), (3.13) et les nombres $u_i^M$ vérifient les relations (4.1), (4.2) et (4.4) ainsi que

$$ (6.1) \qquad \begin{gathered} r_i^M = u_i^M - v_i^M, \quad \dot{s}_i = \max_m r_i^M, \quad z_i = \min_m r_i^M \\ \text{pour } M = (\mu, m) \in \mathbb{Z} \quad (i = 1, \dots, n) \end{gathered} $$
$\text{alors } s_i^0 = z_i^0 = 0$ et

$$ (6.2) \qquad s_i^{\mu-} \le L \sum_{j=1}^{n} |r_j^A(i)| + \varepsilon_i(h, k), \quad z_i^{\mu-} \ge -L \sum_{j=1}^{n} |r_j^C(i)| - \varepsilon_i(h, k) $$

pour $i = 1, \dots, n, \mu = 0, 1, \dots, N_1-1$ où $\varepsilon_i(h, k)$ est défini par la formule (4.5), $A(i)$ et $C(i)$ sont des multi-indices de l'ensemble $\mathbb{Z}$.

**Démonstration.** Les conditions $s_i^0 = z_i^0 = 0 (i = 1, \dots, n)$ résultent directement de la définition (6.1) ainsi que de (3.12) et (4.2).

Nous prouverons la première des inégalités (6.2). Supposons que

$$ (6.3) \qquad \begin{gathered} s_i^{\mu+1} = r_i^{+A(i)}, \quad A(i) = (\mu, a(i)) \in \mathbb{Z}, \\ s_i^{\mu} = r_i^{+C(i)}, \quad B(i) \in \mathbb{Z}. \end{gathered} $$
De la définition $s_i^{\mu-} = \frac{1}{k}(s_i^{\mu+1} - s_i^{\mu})$ ainsi qu'à partir de (6.3) nous avons

$$ (6.4) \qquad s_i^{\mu-} = \frac{1}{k} (r_i^{A(i)} - r_i^{\bar{A}(i)}) + \frac{1}{k} (r_i^{\bar{A}(i)} - r_i^{A(i)}). $$

Il résulte de (4.4), (3.13) et de la définition (3.9) que

$$ \begin{aligned} (6.5) \quad s_i^{\mu-} &= (u_i^{A(i)} - v_i^{A(i)}) + \frac{1}{k} (r_i^{A(i)} - r_i^{\bar{A}(i)}) \\ &= \eta_i^{A(i)} + f_i(t^\mu, w^{a(i)}, u^{A(i)}, u_i^{A(i)I}, u_i^{A(i)II}) \\ &\quad - f_i(t^\mu, w^{a(i)}, v^{A(i)}, v_i^{A(i)I}, v_i^{A(i)II}) + \frac{1}{k} (r_i^{A(i)} - r_i^{\bar{A}(i)}). \end{aligned} $$

En appliquent le théorème de la moyenne au second membre de (6.5) et en groupant convenablement les termes nous arriverons à

$$ \begin{aligned} (6.6) \quad s_i^{\mu-} ={}& \eta_i^{A(i)} + \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f_i}{\partial u_j} (-) r_j^{A(i)} + \\ & + \sum_{j=1}^{p} \left[ \frac{\partial f_i}{\partial w_j} (-) \frac{1}{h^2} + \frac{\partial f_i}{\partial q_j} (-) \frac{1}{2h} \right] (r_i^{j(A(i))} - r_i^{\bar{B}(i)}) + \\ & + \sum_{j=1}^{p} \left[ \frac{\partial f_i}{\partial w_j} (-) \frac{1}{h^2} - \frac{\partial f_i}{\partial q_j} (-) \frac{1}{2h} \right] \cdot (r_i^{-j(A(i))} - r_i^{\bar{B}(i)}) + \\ & + \left( \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f_i}{\partial w_j} (-) \frac{2}{h^2} - \frac{1}{k} \right) (r_i^{\bar{B}(i)} - r_i^{A(i)}) \end{aligned} $$

où les dérivées sont prises en des points convenables ($-$).

Notons que de l'inégalité (4.3) il découle

$$ \begin{aligned} (6.7) \quad \frac{\partial f_i}{\partial w_j} (-) \frac{1}{h^2} + \frac{\partial f_i}{\partial q_j} (-) \frac{1}{2h} &\ge \frac{g}{h^2} - \frac{\Gamma}{2h} = \frac{1}{h} \left( \frac{g}{h} - \frac{\Gamma}{2} \right) \ge 0, \\ \frac{\partial f_i}{\partial w_j} (-) \frac{1}{h^2} - \frac{\partial f_i}{\partial q_j} (-) \frac{1}{2h} &\ge \frac{g}{h^2} - \frac{\Gamma}{2h} = \frac{1}{h} \left( \frac{g}{h} - \frac{\Gamma}{2} \right) \ge 0 \end{aligned} $$

alors que (6.3), (3.8), (4.1) entraînent

$$ (6.8) \quad r_i^{j(A(i))} - r_i^{\bar{B}(i)} \le 0, \quad r_i^{-j(A(i))} - r_i^{\bar{B}(i)} \le 0, \quad r_i^{\bar{B}(i)} - r_i^{A(i)} \ge 0. $$

Donc

$$ (6.9) \quad s_i^{\mu-} \le \eta_i^{A(i)} + \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f_i}{\partial u_j} (-) r_j^{A(i)} \le L \sum_{j=1}^{n} |r_j^{A(i)}| + \varepsilon_i(h) $$

(voir (2.2), (4.3) et (4.5)).
La démonstration de la seconde inégalité (6.2) se fait d'une façon tout à fait analogue.

La démonstration du lemme 3 est achevée.

7. LEMME 4. Si les hypothèses du lemme 3 sont satisfaites, alors

$$
(7.1) \quad \left( \max_m |r_i^M| \right)^{-} \le \max(s_i^{\mu-}, -z_i^{\mu-}) \quad \text{pour } M \in \mathbb{Z} \text{ et } i = 1, \dots, n \\
\text{(voir (3.4))}.
$$

Démonstration. Il n'est pas difficile de montrer que

$$
\begin{align*}
(7.2) \quad \max_m |r_i^M| &= \max_m (\max(r_i^M, -r_i^M)) = \max_m (\max_m r_i^M, \max_m (-r_i^M)) \\
&= \max_m (s_i^\mu, -\min_m r_i^M) = \max_m (s_i^\mu, -z_i^\mu).
\end{align*}
$$

De (7.2) résulte que

$$
(7.3) \quad \left( \max_m |r_i^M| \right)^{-} = \left( \max(s_i^\mu, -z_i^\mu) \right)^{-} \le \max(s_i^{\mu-}, -z_i^{\mu-}).
$$

De cette façon la démonstration du lemme 4 est terminée.

8. LEMME 5. Si les hypothèses du lemme 3 sont satisfaites et

$$
(8.1) \qquad R^{\mu} = \max_{i} \max_{m} |r_{i}^{M}| \quad \text{pour } M \in \mathbb{Z}
$$

alors $R^0 = 0$ et

$$
(8.2) \quad R^{\mu-} \le nLR^{\mu} + \epsilon(h, k) \quad (\mu = 0, 1, \dots, N_1-1)
$$

où $\epsilon(h, k)$ est défini par le formule (4.5).

Démonstration. La condition $R^0 = 0$ est évidente (voir (3.12) et (4.2)).

Il s'agit de démontrer (8.2). A partir de (8.1) et du lemme 4 il s'ensuit
que

$$
(8.3) \quad R^{\mu-} = \max_i \left( \max_m |r_i^M| \right)^{-} \le \max_i \left( \max(s_i^{\mu-}, -z_i^{\mu-}) \right)
$$

Mais les nombres $s_i^{\mu-}$ et $z_i^{\mu-}$ vérifient les inégalités (6.2), donc

$$
\begin{align*}
(8.4) \quad R^{\mu-} &\le \max_i \left[ \max \left( L \sum_{j=1}^n |r_j^A(t_j)| + \epsilon_i(h) \right) , L \sum_{j=1}^n |r_j^C(t_j)| + \epsilon_i(h) \right] \\
&\le nLR^{\mu} + \epsilon(h) \quad \text{pour } \mu = 0, 1, \dots, N_1-1
\end{align*}
$$

(voir (8.1) et (4.5)) ce qui achève la démonstration du lemme 5.

9. THÉORÈME 1. Si les hypothèses du lemme 3 (section 6) sont satisfaites, alors
1º l'erreur de la méthode des différences finies (3.12), (3.13) peut être estimée de la façon suivante

$$ (9.1) \qquad |r_i^M| \le \frac{\epsilon(h, k)}{nL} (e^{Lkn\mu} - 1) \quad (i = 1, \dots, n, M \in \mathbb{Z}) $$

(voir (3.4)) où $\epsilon(h, k)$ est défini par la formule (4.5);

2º la méthode des différences finies (3.12), (3.13) est convergente, c'est-à-dire

$$ (9.2) \qquad \lim_{h \to 0} r_i^M = 0 \quad (i = 1, \dots, n, M \in \mathbb{Z}). $$

Démonstration. Comme (9.2) résulte de (9.1) il suffit alors de montrer (9.1).

On obtient des lemmes 5 et 2

$$ (9.3) \qquad R^\mu \le \frac{\epsilon(h, k)}{nL} (e^{Lkn\mu} - 1) \quad (\mu = 0, 1, \dots, N_1). $$

Mais de la définition (8.1) découle $|r_i^M| \le R^\mu$ ($i = 1, \dots, n, M \in \mathbb{Z}$), donc

$$ (9.4) \qquad |r_i^M| \le \frac{\epsilon(h, k)}{nL} (e^{Lkn\mu} - 1) \quad (i = 1, \dots, n, M \in \mathbb{Z}). $$

Ainsi, la démonstration du théorème 1 est achevée.

Reçu par la Rédaction le 13. 3. 1973