<table><caption>TABLE II. Polarities and lattice parameters of III-V and II-VI compounds.</caption><thead><tr><th></th><th>InSb</th><th>InAs</th><th>InP</th><th>GaSb</th><th>GaAs</th><th>CdS</th><th>CdSe</th><th>CdTe</th><th>ZnSe</th><th>ZnTe</th></tr></thead><tbody><tr><td>α<sub>p</sub><sup>a</sup></td><td>0.51</td><td>0.53</td><td>0.58</td><td>0.44</td><td>0.50</td><td>0.77</td><td>0.77</td><td>0.76</td><td>0.72</td><td>0.72</td></tr><tr><td>α<sup>b</sup><br>(a.u.)</td><td>12.242</td><td>11.406</td><td>11.090</td><td>11.561</td><td>10.684</td><td>11.047</td><td>11.489</td><td>12.246</td><td>10.710</td><td>11.510</td></tr></tbody></table>

$$ \langle \phi_c(\vec{0}) | p_x | \phi_v(\vec{0}) \rangle \approx \frac{(1 - \alpha_p^2)^{1/2} - S}{2(1 - S^2)} \frac{1}{N} \sum_j \left( \left\langle s^+ \left| \frac{\delta p^+}{\delta(x - x_j^+)} \right\rangle \right\rangle + \left\langle s^- \left| \frac{\delta p^-}{\delta(x - x_j^-)} \right\rangle \right\rangle \right). \quad (9) $$

The $p_x$ matrix element is the product of a decreasing function of the polarity $\alpha_p$, and of atomic matrix elements. Table II gives Harrison's values of $\alpha_p$ in III-V compounds; InP is the most ionic, GaSb the most covalent of the considered materials. S is taken constant: $S=0.5$. To express the variation of the atomic matrix elements from one compound to the other, from dimensional considerations we very crudely replace their sum by $\lambda\hbar/a$, where a is the lattice constant and $\lambda$ a constant.

On Fig. 2 we have plotted the estimated $P^2$:

$$ \begin{aligned} P_{\text{est}}^2 &= (2/m_0) |\langle\phi_c(\vec{0})| p_x |\phi_v(\vec{0})\rangle|^2 \\ &= \frac{2\hbar^2}{m_0} \left( \frac{(1 - \alpha_p^2)^{1/2} - S}{2(1 - S^2)} \right)^2 \frac{\lambda^2}{a^2} \end{aligned} \quad (10) $$

for the best-fit value $\lambda^2 = (1.04 \pm 0.07) \times 10^3$ as a function of our experimental determination $P_{\text{exp}}^2$. The linear variation between $P_{\text{est}}^2$ and $P_{\text{exp}}^2$ shows that our crude model explains correctly the decrease of $P^2$ with ionicity and lattice constant.

The above analysis applies without change to the zinc-blende-type II-VI compounds. In wurzite-type semiconductors, the effective masses and Landé factors are anisotropic (see Appendix). However, it is still possible to deduce $P^2$ from the experimental data of $g^*$, measured either by standard EPR$^{28,29}$ or by spin-flip Raman techniques.$^{30-33}$ A value of $P^2$ can then be determined in these materials: the values for CdS, CdSe, CdTe, ZnSe are listed in Table III.

The above estimation of $P^2$ from linear-combination of atomic orbitals wave functions is still possible. The fit with the same Eq. (10) requires an overlap integral S equal to 0.25: the increase in ionicity between III-V and II-VI compounds can justify this decrease of overlap of wave functions centered on neighboring sites.

From Fig. 3 and Eq. (10), we extrapolate in ZnTe a $P^2$ ranging from 22 to 27 eV. This corresponds to a $g^*$ between -0.1 and +0.3. It

seems then that the Raman spin-flip line observed$^{33}$ at $g^*=1.74$ cannot be due to conduction electrons. Though the fit is better in III-V compounds, the same elementary considerations account for the variations of $P^2$ with ionicity and cell dimension in III-V and II-VI semiconductors.

The only rigorous justification of the experimental values of $P^2$ would consist in determining $P^2$ from the exact wavefunctions of the different semiconductors. Bowers and Mahan,$^{34}$ in an empirical pseudopotential treatment, calculated the energy gaps and matrix elements in zinc-blende semiconductors. From their values of $m^*$ determined in a three-band model we deduce the $P^2$ they obtained from the pseudowave functions (see Table IV). Apart from InSb the sense of variation of these pseudopotential $P^2$ is the same as what we determine, but the predicted values are all underestimated. We note that the calculated band gaps are also only approximate. A possible explanation of these discrepancies is that core effects were neglected in the calculation.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIG. 2. Comparison of the $P^2$ calculated from Eq. (10) with its experimental determination in III-V compounds. The overlap term S is equal to 0.5.</figcaption></figure>

<footnote>a See Ref. 27.</footnote>

<footnote>b Listed in J. A. Van Vechten, Phys. Rev. 182, 891 (1969).</footnote>
<table><caption>TABLE III. Band parameters and calculated interband matrix elements for II-VI compounds.</caption><thead><tr><th></th><th>CdTe</th><th>ZnSe</th><th>ZnTe</th><th>CdS</th><th>CdSe</th></tr></thead><tbody><tr><td>E<sub>0</sub> (eV)</td><td>1.606<sup>a</sup></td><td>2.79<sup>g</sup></td><td>2.39<sup>j</sup></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Δ<sub>0</sub> (eV)</td><td>0.927<sup>b</sup></td><td>0.45<sup>g</sup></td><td>0.93<sup>g</sup></td><td>For datas</td><td></td></tr><tr><td>E(Γ<sup>c</sup><sub>5</sub>) - E(Γ<sup>c</sup><sub>8</sub>) (eV)</td><td>5.70<sup>c</sup></td><td>8.62<sup>c</sup></td><td>5.85<sup>c</sup></td><td></td><td></td></tr><tr><td>E(Γ<sup>c</sup><sub>7</sub>) - E(Γ<sup>c</sup><sub>8</sub>) (eV)</td><td>5.30<sup>d</sup></td><td>8.4<sup>d</sup></td><td>5.40<sup>d</sup></td><td>See Appendix<br>Table V</td><td></td></tr><tr><td>m*/m<sub>0</sub></td><td>0.090<sup>e</sup></td><td>0.17<sup>h</sup></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>g*</td><td>-0.74<sup>f</sup></td><td>1.18<sup>i</sup></td><td>1.74<sup>i</sup></td><td></td><td></td></tr><tr><td>P<sup>2</sup> (eV)</td><td>18.5±1</td><td>23±1</td><td></td><td>21±1</td><td>20±1</td></tr></tbody></table>

<sup>a</sup> B. Segall and D. Marple, in *Physics and Chemistry of II-VI Compounds*, edited by M. Aven and J. S. Prener (North-Holland, Amsterdam, 1967), p. 317.

<sup>b</sup> J. Camassel, D. Auvergne, and H. Mathieu, J. Phys. (Paris) 35, C 3-67 (1974).

<sup>c</sup> The spin-orbit splitting of the Γ<sup>c</sup><sub>5</sub> bands is taken as half of that of Γ<sup>c</sup><sub>8</sub> bands.

<sup>d</sup> F. Pollak, *Proceedings of the 1967 International Conference on II-VI Compounds*, Providence, edited by D. G. Thomas (Benjamin, New York, 1967), p. 552.

<sup>e</sup> C. W. Litton, K. J. Button, J. Waldman, D. R. Cohn, and B. Lax, Phys. Rev. B 13, 5392 (1976).

<sup>f</sup> See Ref. 31.

<sup>g</sup> J. P. Walter, M. L. Cohen, Y. Petroff, and M. Balkanski, Phys. Rev. B 1, 2661 (1970).

<sup>h</sup> D. T. Marple, J. Appl. Phys. 35, 1879 (1964).

<sup>i</sup> See Ref. 33, and text.

### III. APPLICATION TO III-V ALLOYS

#### A. Calculation of m* and g* in alloys

The expressions (1) and (2) of m* and g* can be used to predict m* and g* in alloys under appropriate assumptions, hereafter discussed, on the variations of P² and the band gaps with composition x.

In the virtual-crystal approximation a linear variation of certain parameters is assumed. The lattice constant a has been measured to vary linearly with x. It has been shown³⁵ that a linear variation of the ionic and homopolar gaps, approximately corresponding to a linear variation of ionicity³⁶ and of³⁷ αₚ, could fit the band gap variation. Thus, in expression (10) of P², a and αₚ are taken to be linear functions of x. The relative spread of their values in different III-V compounds being in general less than 10%, we shall assume a linear variation of P² with x, the values for x=0 or x=1 being taken from Table I. P'² is also supposed to vary linearly with x. C and C' are assumed to be constant in all materials: C = -2, C' = -2 × 10⁻². The experimental values of the energy gaps as a function of x are used in formulas (3) and (4). The energy gaps are well fitted by a parabolic law³⁸

$$E_0(x) = a + bx + cx^2,$$

where c is the bowing parameter. Unfortunately, the choice of the bowing parameter is critical, as small variations of c can seriously alter the

results. So, whenever possible, we use the electroreflectance measurement of c, which seems the most reliable: although this technique is usually performed at room temperature, it has been shown³⁹ that the bowing parameter remains the same at 300 and 80 K, and is thus temperature independent. In Figs. 4-6, which present the theoretical fit of the experimental measurements, we have indicated the uncertainty on the theoretical curve due to the scatter of c values given in the literature. The spin-orbit splitting Δ₀ has also a

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIG. 3. Comparison of the P² calculated from Eq. (10) with its experimental determination in II-VI compounds. The slope is the same as on Fig. 2, the overlap term S being equal to 0.25.</figcaption></figure>
<table><caption>TABLE IV. Interband matrix elements and band gaps from Bowers and Mahan.³⁴</caption><thead><tr><th></th><th>InSb</th><th>InAs</th><th>InP</th><th>GaSb</th><th>GaAs</th><th>ZnSe</th><th>ZnTe</th><th>CdTe</th></tr></thead><tbody><tr><td>P<sup>2</sup> (eV)</td><td>9.1</td><td>14.7</td><td>10.3</td><td>15.3</td><td>18.2</td><td>7.8</td><td>11.9</td><td>9.5</td></tr><tr><td>E<sub>0</sub> (eV)</td><td>0.16</td><td>0.24</td><td>1.1</td><td>0.26</td><td>0.97</td><td>2.6</td><td>2.0</td><td>1.6</td></tr></tbody></table>

quadratic dependence with composition. The bowing parameters are taken from the experiments of Berolo and Woolley.⁴⁰ Finally, we assume a linear variation of higher-lying band gaps as they are not always precisely known and anyway display small bowing parameters in the few cases which were measured.

## B. Comparison with experiments

We shall first focus our attention on *g* factors for which precise low-temperature measurements are available.⁹ Our *g*\* data have been fitted with $\vec{k} \cdot \vec{p}$ theory on Figs. 4 and 5. The bowing parameters of *E*₀ and Δ₀ for Ga₁-xAlₓAs are 0.26⁴¹ and 0.071,⁴⁰ respectively. The error due to the uncertainty on the bowing parameter of *E*₀ is indicated on the figure and is quite small, as the bowing itself is small in Ga₁-xAlₓAs. For Ga₁-xInₓAs, we take as bowing parameters 0.32³⁸ and 0.144.⁴⁰ The uncertainty on the theoretical curve of Fig. 5 is large due to the very different parameters given in the literature³⁸,⁴² and the sensitivity of *g*\* to the exact value of the bandgaps. The agreement can anyway be regarded as very satisfactory for these CESR measurements and justifies the applicability of unmodified $\vec{k} \cdot \vec{p}$ theory to alloys. The only other measurements of *g* factors in alloys are those of CdS₁-xSeₓ,²⁸ and GaIn₁-xSb.⁴³ In CdS₁-xSeₓ, Piper

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIG. 4. CESR measurement of the *g* factor in Ga₁-xAlₓAs. The curve is the prediction deduced from Eq. (2), when a linear variation of *P*² is assumed. The error flag on the theoretical curve comes from the scatter on the values of the bowing parameter.</figcaption></figure>

fitted *g*\* using a five-band approximation. The systematical misfit observed, an over-all displacement of the theoretical curve, is due to a wrong choice of *P*² in the pure compounds CdS and CdSe. The *g*\* data on GaₓIn₁-xSb present some discrepancy with our calculation, which is not really significant: the uncertainty on composition is 2% and the *g*\* were not corrected for electron concentration. This last correction should improve the fit with the experimental results.

The only effective masses measured at low temperature are those of Ga₁-xInₓAs through cyclotron resonance in high field.⁴⁴ The results are shown in Fig. 6 together with our calculation. Again, the uncertainty on the calculated curve is very large, but the measured points fall within the error flag. Let us remark that this data is not as significant as the *g*\* data for a test of the theory, as we are restrained to very small variations of the effective mass.

Effective masses were also determined at room temperature in Ga₁-xInₓAs,⁴⁵ Ga₁-xInₓSb,⁴⁶ and InAsₓSb₁-x⁴⁷ by different methods: Faraday rotation, magneto-thermoelectric power, and plasma reflectance. Some values were obtained by magnetoreflectance but seem less reliable. Several points complicate the analysis of these data:
(i) the results do not yield unambiguously the mass at the bottom of the conduction band; (ii) their interpretation requires the room-temperature effective-mass band gap, which is not even known

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIG. 5. CESR measurement of the *g* factor in Ga₁-xInₓAs.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_50.png" /></figure>

FIG. 6. Low-temperature effective mass in Ga<sub>1-x</sub>In<sub>x</sub>As measured by cyclotron resonance (Ref. 44). The curve is calculated from Eq. (1), assuming a linear variation of P<sup>2</sup>.

certainly in pure compounds. However, as these
data are at the basis of the previous modifications
proposed to k·p theory, we discuss them here.

The *m*\* data were analyzed in a three-band
k·p calculation and significant discrepancies were
observed. This is not surprising as we have shown
in pure compounds that a three-band calculation
can account approximately for *g*\*, but that *m*\* is
strongly influenced by Γ<sub>5</sub><sup>c</sup> bands. The three-band
determination of *m*\* overestimates the interaction
of Γ<sub>1</sub><sup>c</sup> with Γ<sub>5</sub><sup>v</sup>, leading to a systematically too
strong variation with composition. Our multiband
calculation gives correct relative variations of
*m*\*. To get an overall fit with these questionable
data<sup>48</sup> we adjust the effective-mass band gap for
the pure-compounds room-temperature effective
masses. Taking for *P*<sup>2</sup>, *P*'<sup>2</sup>, and the spin-orbit
splitting the low-temperature values we get a good
agreement, as is shown in Fig. 7 for InAs<sub>x</sub>Sb<sub>1-x</sub>.

Some modifications to the k·p theory arising
from the random potentials and strains existing
in alloys were proposed<sup>14</sup> to fit these room-tem-
perature effective masses, unexplained in a three-
band approximation. They decrease P<sup>2</sup> of about
20% for x = 0.5, which would increase g* in the
same proportion. These modifications would lead
to discrepancies with the experimental values of
g*. On the contrary our correct predictions show
that simple calculations of m* and g* are valid in
alloys. In other words, it means that the varia-
tions of m* and g* with composition are contained
in Eqs. (1) and (2) if we use there the measured
values of band gaps and spin-orbit splittings. The
influence of alloy disorder seems to be completely
taken into account through its influence on the
band gaps and spin-orbit splittings.

Any further study of the applicability of simple
k·p theory needs cleaner datas in alloys at low

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

FIG. 7. Room-temperature effective mass in In<sub>1-x</sub>As<sub>x</sub>Sb (Ref. 47). The theoretical curve from Eq. (1) was fitted for the pure-compounds effective masses.

temperature. In particular, it requires the
simultaneous measurement of the different band
gaps and effective mass or *g* factor in a given
sample. As remarked by Siggia, InAs<sub>1-x</sub>Sb<sub>x</sub>
should be a good candidate, as the large difference
in the lattice parameters of the pure compounds
should lead to a maximum effect of the random po-
tentials and strains. CESR should be possible
there.

IV. CONCLUSION

From the recent measurements of *m*\* and *g*\* in
III-V and II-VI semiconductors we have been able
to determine experimental values for the interband
matrix element *P*\* with a precision of a few per-
cent. The strong variation of *P*\* between different
materials is qualitatively explained by a simpli-
fied model which expresses the influences of ion-
icity and cell dimension. We predict the value of
*g*\* in ZnTe. An important computing effort is re-
quired to calculate precisely *P*\* in every semi-
conductor from its wave functions.

The precise *g*\* data at low temperature in
Ga<sub>1-x</sub>In<sub>x</sub>As and Ga<sub>1-x</sub>Al<sub>x</sub>As are well interpreted in
the framework of simple k·p theory, using the
correct values of *P*\*. The modifications of k·p
theory proposed to account for alloy disorder
would lead to discrepancies. Thus the effect of
alloying on *m*\* and *g*\* appears to be described
by taking the experimental values of band gaps and
spin-orbit splittings relative to the composition x.
A better accuracy on *m*\* and *g*\* and band param-
eters is required to improve the test of k·p theory
applied to alloys.

ACKNOWLEDGMENTS

We wish to thank Dr. G. Lampel for his constant
interest and many helpful discussions throughout
the present work.
<table><caption>TABLE V. Band parameters of CdS and CdSe.</caption><thead><tr><th></th><th>E<sub>A</sub> (eV)</th><th>E<sub>B</sub> (eV)</th><th>E<sub>C</sub> (eV)</th><th>E(Γ<sub>5</sub><sup>c</sup>) (eV)</th><th>Δ(Γ<sub>5</sub><sup>c</sup>)</th><th>m*/m<sub>0</sub></th><th>g*</th><th>P<sup>2</sup> (eV)</th></tr></thead><tbody><tr><td>CdS</td><td>2.582<sup>a</sup></td><td>2.598<sup>a</sup></td><td>2.671<sup>a</sup></td><td>6.3 ||<sup>c</sup><br>6.2⊥<sup>c</sup></td><td>0.035<sup>d</sup></td><td>0.18<sup>c</sup></td><td>1.79 ||<sup>g</sup><br>1.77⊥<sup>h</sup></td><td>21 ± 1</td></tr><tr><td>CdSe</td><td>1.87<sup>b</sup></td><td>1.895<sup>b</sup></td><td>2.342<sup>b</sup></td><td>6 ||<sup>c</sup><br>5.45⊥<sup>c</sup></td><td>0.21<sup>d</sup></td><td>0.120 ||<sup>f</sup><br>0.115⊥<sup>f</sup></td><td>0.68<sup>i</sup></td><td>20 ± 1</td></tr></tbody></table>

<sup>a</sup> D. G. Thomas and J. J. Hopfield, Phys. Rev. 116, 573 (1959).

<sup>b</sup> R. G. Wheeler and J. O. Dimmock, Phys. Rev. 125, 1805 (1962).

<sup>c</sup> See Ref. d of Table III. The origin of energies is the upper valence band.

<sup>d</sup> See Ref. c of Table III.

<sup>e</sup> See Ref. i of Table III.

<sup>f</sup> L. Eaves, R. A. Stradling, S. Askenazy, G. Carrère, J. Léotin, J. C. Portal, and J. P. Ulmet, J. Phys. C 5, L19 (1972).

<sup>g</sup> See Ref. 29.

<sup>h</sup> See Ref. 30.

<sup>i</sup> See Ref. 28.

## APPENDIX: EFFECTIVE MASSES AND LANDÉ FACTORS IN WURZITE-TYPE SEMICONDUCTORS

In a noncubic material, the effective mass and Landé factor are second-rank tensors, which can be calculated by $\vec{k} \cdot \vec{p}$ perturbation theory.⁴⁹ In wurzite-type materials, two principal masses and g factors can be defined, as

$$m_x^* = m_y^* = m_z^* = m_{\perp}^*, \quad m_z^* = m_{\parallel}^*,$$

$$g_x^* = g_y^* = g_z^* = g_{\perp}^*, \quad g_z^* = g_{\parallel}^*,$$

The directions x, y, z being the crystal axes. The anisotropies of $m^*$ and $g^*$ mainly come from the interaction of the conduction band with the upper valence bands, the wave functions of which, at $k=0$, are given by⁵⁰

$$A(\Gamma_9) \begin{cases} (1/\sqrt{2})(X+iY)\downarrow & (m_J = \frac{3}{2}), \\ (1/\sqrt{2})(X-iY)\downarrow & (m_J = -\frac{3}{2}), \end{cases}$$

$$B(\Gamma_7) \begin{cases} (1 - q_7^2)^{1/2} [(X+iY)/\sqrt{2}]\downarrow - q_7 Z\downarrow & (m_J = \frac{1}{2}), \\ (1 - q_7^2)^{1/2} [(X-iY)/\sqrt{2}]\downarrow + q_7 Z\downarrow & (m_J = -\frac{1}{2}), \end{cases}$$

$$C(\Gamma_7) \begin{cases} -q_7 [(X+iY)/\sqrt{2}]\downarrow - (1-q_7^2)^{1/2} Z\downarrow & (m_J = \frac{1}{2}), \\ -q_7 [(X-iY)/\sqrt{2}]\downarrow + (1-q_7^2)^{1/2} Z\downarrow & (m_J = -\frac{1}{2}). \end{cases}$$

The spins are quantized along z. The wave functions of a zinc-blende semiconductor are obtained for $q_7^2 = \frac{2}{3}$.

If we neglect the anisotropies due to the upper conduction bands, we get

$$\frac{m_0}{m_{\parallel}^*} - 1 = P^2 \left( \frac{q_7^2}{E_B} + \frac{1 - q_7^2}{E_C} \right) - \frac{P'^2}{E(\Gamma_5^c) - E_A} + C,$$

$$\frac{m_0}{m_{\perp}^*} - 1 = P^2 \left( \frac{1}{2E_A} + \frac{1 - q_7^2}{2E_B} + \frac{q_7^2}{2E_C} \right) - \frac{P'^2}{E(\Gamma_5^c) - E_A} + C,$$

$$\frac{g_{\parallel}^*}{g_0} - 1 = \frac{P^2}{2} \left( \frac{q_7^2}{E_C} + \frac{1 - q_7^2}{E_B} - \frac{1}{E_A} \right)$$

$$- \frac{P'^2}{3} \frac{\Delta(\Gamma_5^c)}{E(\Gamma_5^c) - E_A} + C,$$

and

$$\frac{g_{\perp}^*}{g_0} - 1 = \frac{P^2}{2} \left( \frac{1}{E_C} - \frac{1}{E_B} \right) [2q_7^2(1 - q_7^2)]^{1/2}$$

$$- \frac{P'^2}{3} \frac{\Delta(\Gamma_5^c)}{E(\Gamma_5^c) - E_A} + C.$$

The origin of energies is taken at the $\Gamma_7$ conduction band; A, B label the valence bands, C the spin-orbit split-off valence band. $\Gamma_5^c$ is the upper conduction band, the spin-orbit splitting of which is $\Delta(\Gamma_5^c)$.

We now compare these expressions with the experimental data in CdS and CdSe, presented in Table V. In CdS, Gutsche and Jahne calculated $q_7^2 \le 0.43$.⁵⁰ This value cannot explain the experimental anisotropy of the g factor: $g_{\perp}^* = 1.77$, $g_{\parallel}^* = 1.79$. On the contrary, we start from these measurements and assume that, as in III-V compounds, a good approximation is to consider that the g factors are only determined by the $P^2$ term. We deduce $q_7^2 \approx 0.31$, and $P^2 = 21.2$ eV. In CdSe, the two values $g_{\perp}$ and $g_{\parallel}$ are not known accurately enough. From $g^* = 0.68$, and⁵⁰ $q_7^2 = 0.6$, we deduce $P^2 = 20.3$ eV.
\*Equipe de Recherche du Centre National de la Recherche Scientifique.

¹J. M. Luttinger and W. Kohn, Phys. Rev. 97, 869 (1955).

²E. O. Kane, J. Phys. Chem. Solids 1, 249 (1957).

³L. M. Roth, B. Lax, and S. Zwerdling, Phys. Rev. 114, 90 (1959).

⁴M. Cardona and D. L. Greenaway, Phys. Rev. 131, 98 (1963).

⁵G. Bemski, Phys. Rev. Lett. 4, 62 (1960).

⁶J. Konopka, Phys. Lett. 26A, 29 (1967).

⁷W. Duncan and E. E. Schneider, Phys. Lett. 7, 23 (1963).

⁸C. Hermann and G. Lampel, Phys. Rev. Lett. 27, 373 (1971).

⁹C. Weisbuch and C. Hermann, preceding paper, Phys. Rev. B 15, 816 (1977).

¹⁰C. Weisbuch and C. Hermann, Solid State Commun. 16, 659 (1975).

¹¹M. Cardona, in *Semiconductors and Semimetals*, edited by R. K. Willardson and A. C. Beer (Academic, New York, 1967), Vol. 3, p. 125.

¹²P. Lawaetz, Phys. Rev. B 4, 3460 (1971).

¹³O. Berolo, J. C. Wooley, and J. A. Van Vechten, Phys. Rev. B 8, 3794 (1973).

¹⁴E. D. Siggia, Phys. Rev. B 10, 5147 (1974).

¹⁵G. Dresselhaus, A. F. Kip, and C. Kittel, Phys. Rev. 98, 368 (1955).

¹⁶G. K. Koster, J. O. Dimmock, R. G. Wheeler, and H. Statz, *Properties of the Thirty-Two Point Groups* (MIT, Cambridge, 1963).

¹⁷R. L. Aggarwal, Phys. Rev. B 2, 446 (1970).

¹⁸F. Herman and S. Skillman, *Atomic Structure Calculations* (Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1963).

¹⁹The uncertainty on $P^2$ in InP is larger because of the large scatter on the value of $\Delta_0$ ($0.102 < \Delta_0 < 0.11$ eV according to the authors) and $\delta(g^*-g_0)/(g^*-g_0) = 6 \times 10^{-2}$.

²⁰C. R. Pidgeon and R. N. Brown, Phys. Rev. 146, 575 (1966).

²¹H. Ehrenreich, J. Appl. Phys. Suppl. 32, 2155 (1961).

²²The early $g^*$ measurement of Duncan and Schneider (Ref. 7) being attributed the wrong sign, $P^2$ could not be determined correctly at that time.

²³See references in J. M. Chamberlain, P. E. Simmonds, and R. A. Stradling, J. Phys. C 4, L38 (1971).

²⁴J. M. Chamberlain, P. E. Simmonds, R. A. Stradling, and C. C. Bradley, in *Proceedings of the Eleventh Conference on the Physics of Semiconductors*, Warsaw, 1972, edited by M. Miasek (PWN-Polish Scientific, Warsaw, 1972), p. 1016.

²⁵D. J. Chadi, A. H. Clark, and R. D. Burnham, Phys. Rev. B 13, 4466 (1976).

²⁶G. Leman, Ann. Phys. (Paris) 7, 505 (1962); A. Willig, thèse (Université Paris XI, Orsay, 1976) (unpublished).

²⁷W. A. Harrison and S. Ciraci, Phys. Rev. B 10, 1516 (1974).

²⁸W. W. Piper, in *Proceedings of the International Conference on II-VI Compounds*, Providence, edited by D. G. Thomas (Benjamin, New York, 1967), p. 839.

²⁹R. F. Brunwin, B. C. Cavenett, J. J. Davies, and J. E. Nicholls, Solid State Commun. 18, 1283 (1976).

³⁰R. Romestain, S. Geschwind, G. E. Devlin, and P. A. Wolff, Phys. Rev. Lett. 33, 10 (1974); R. Romestain, S. Geschwind, and G. E. Devlin, Bull. Am. Phys. Soc. 18, 300 (1973).

³¹T. W. Walker, C. W. Litton, D. C. Reynolds, T. C. Collins, W. A. Wallace, J. H. Gorrell, and K. C. Jungling, in *Proceedings of the Eleventh International Conference on the Physics of Semiconductors*, Warsaw, 1972, edited by M. Miasek (PWN-Polish Scientific, Warsaw, 1972), p. 376.

³²P. A. Fleury and J. F. Scott, Phys. Rev. B 3, 1979 (1971); J. F. Scott, R. L. Hollis, D. L. Fox, C. A. Helms, R. W. Kinne, and J. F. Ryan, in *Proceedings of the Third International Conference on Light Scattering in Solids, Campinas*, 1975, edited by M. Balkanski (Flammarion, Paris, 1975), p. 224.

³³R. L. Hollis, J. F. Ryan, D. J. Toms, and J. F. Scott, Phys. Rev. Lett. 31, 1004 (1973).

³⁴R. L. Bowers and G. D. Mahan, Phys. Rev. 185, 1073 (1969).

³⁵J. A. Van Vechten and T. K. Bergstresser, Phys. Rev. B 1, 3351 (1970).

³⁶J. C. Phillips, Phys. Rev. Lett. 20, 550 (1968).

³⁷W. A. Harrison, Phys. Rev. B 8, 4487 (1973).

³⁸S. S. Vishnubhatla, B. Eyglunent, and J. C. Woolley, Can. J. Phys. 47, 1661 (1969).

³⁹D. Auvergne, J. Camassel, H. Mathieu, and A. Joullié, J. Phys. Chem. Solids 35, 1331 (1974).

⁴⁰O. Berolo and J. C. Woolley, in *Proceedings of the Eleventh International Conference on the Physics of Semiconductors*, Warsaw, edited by M. Miasek (PWN-Polish Scientific, Warsaw, 1972), p. 1420.

⁴¹O. Berolo and J. C. Woolley, Can. J. Phys. 49, 1335 (1971).

⁴²R. E. Nahory, M. A. Pollack, and J. C. De Winter, J. Appl. Phys. 40, 775 (1975), and references therein.

⁴³R. S. Title and T. S. Plaskett, J. Appl. Phys. 41, 334 (1970).

⁴⁴H. Fetterman, J. Waldman, and C. M. Wolfe, Solid State Commun. 11, 375 (1972).

⁴⁵D. J. E. De Mars and J. C. Woolley, Can. J. Phys. 51, 2369 (1973), and references therein.

⁴⁶M. J. Aubin, M. B. Thomas, E. H. Van Tongerloo, and J. C. Woolley, Can. J. Phys. 47, 631 (1969), and references therein.

⁴⁷M. B. Thomas and J. C. Woolley, Can. J. Phys. 49, 2052 (1971).

⁴⁸Compare, for instance, the pure-compounds values of GaAs and InAs in Ref. 45 with those of R. A. Stradling and R. A. Wood, J. Phys. C 3, L94 (1970).

⁴⁹Y. Yafet, in *Solid State Physics*, edited by F. Seitz and D. Turnbull (Academic, New York, 1963), Vol. 14, p. 1.

⁵⁰E. Gutsche and E. Jahne, Phys. Status Solidi 19, 823 (1967).
<figure><img src="image_52.png" /></figure>
DETERMINATION OF THE SIGN OF CONDUCTION ELECTRONS g-FACTORS
IN GaAs and III-V ALLOYS

C. Weisbuch

Laboratoire de Physique de la Matière Condensée,
Ecole Polytechnique, 91120 Palaiseau, France

**Abstract** : The sign of the g-factors of conduction electrons in semiconductors can be determined by measuring the sign of the effective nuclear field due to nuclei polarized in a known direction. Two methods are evidenced here to measure the sign of this field : The shift of the Conduction Electron Spin Resonance line and the oblique Hanle effect of polarized electrons.

Under excitation with circularly polarized light, the nuclei of semiconductors may become dynamically polarized by interacting with spin-polarized conduction electrons.¹ These polarized nuclei exert on the electrons an effective nuclear field¹,²,³

$$ \vec{B}_N = \frac{2\mu_0 g_o}{3 g^*} \hbar \sum_i \gamma_i \vec{I}_i |\psi(r_i)|^2 \quad (1) $$

i labels the lattice nuclei ; $|\psi(r_i)|^2$ is the modulus of the electronic wavefunction at the nucleus i, $\gamma_i$ the nuclear gyromagnetic factor ; $g_o$ and $g^*$ are the free electron and conduction electron g-factors. Due to the summation, $\vec{B}_N$ lies along the average nuclear spin $\langle \vec{I} \rangle$.

As a result of both the dynamic polarization and the establishment of a nuclear spin

temperature,³ $\langle \vec{I} \rangle$ is aligned on the external field, parallel to the projection of the mean electronic spin $\langle \vec{S} \rangle$, which in turn is opposite to the angular momentum of the exciting light in

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Fig. 1 : Experimental geometry⁴</figcaption></figure>
III-V compounds¹ (fig. 1). The direction of the nuclear field $\vec{B}_N$ is then determined by the sign of $g^*$ (all $\gamma_i>0$ for the nuclei in GaAlAs and GaInAs) and the polarization of the exciting light.

The most direct measure of $\vec{B}_N$ uses the shift of the Conduction Electron Spin Resonance (CESR) line, optically detected by measuring the resonant change in circular polarization of the luminescence light induced by an r.f. irradiation.¹ The resonant decrease occurs when the condition $\hbar\omega_0 = |g^*\mu_B(\vec{B}_{\text{ext}} + \vec{B}_N)|$ is fulfilled. In GaAs, the resonance line could not be observed under steady-state conditions, because the nuclear field seems to be

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

too inhomogenous. It is nevertheless possible to record the variation of the shifts of the CESR line while $\vec{B}_N$ relaxes to zero (fig. 2) : After having attained their equilibrium polarization with a fixed exciting light polarization, the nuclei are relaxed to zero polarization as the circular polarization of the exciting light is rapidly modulated from time $t_o$ on (modulation period<<nuclear spin relaxation time). We conclude from fig. 2 that $g^*(\text{GaAs})<0$.

Another technique¹ to measure $\vec{B}_N$, which can be applied to very small values of $g^*$, is the oblique Hanle effect.⁵ An oblique magnetic field depolarizes the electrons and consequently the recombination light according to the formula⁵
$$ \mathcal{P}(\vec{B}_{\text{ext}}) = \mathcal{P}(0) \left[ \frac{\sin^2 \theta}{1 + \gamma^2 T_{1*}^2 |\vec{B}_{\text{ext}} + \vec{B}_N|^2} + \cos^2 \theta \right] \quad (2) $$

where $\mathcal{P}(0)$ is the circular polarization of light when no magnetic field acts on the electrons, and $\gamma = \frac{g^*\mu_B}{\hbar}$; $T_{1*}^{-1} = T_1^{-1} + \tau^{-1}$, where $T_1$ and $\tau$ are respectively the spin relaxation time and lifetime of the electrons. The main feature of $\mathcal{P}(\vec{B}_{\text{ext}})$ is a bump around $\vec{B}_{\text{ext}} = -\vec{B}_N$ where the influences of the external and nuclear fields cancel, as shown in fig. 3. For fixed $\theta$ and $\langle \vec{I} \rangle$, the nuclear field changes sign with $g^*$: GaAs and $Ga_{1-x}In_xAs$ alloys are measured to have negative $g^*$'s. $Ga_{1-x}Al_xAs$ alloys have negative $g^*$'s up to $x=0.12$, and positive ones for $x>0.12$. This is theoretically justified$^6$ by the increase of the bandgap energy with $x$.

When $g^*$ is $\approx 0$, the nuclear field becomes infinite. This is evidenced in fig. 4b, where $\vec{B}_{\text{ext}}=1.5$ kG cannot compensate $\vec{B}_N$ in $Ga_{0.88}Al_{0.12}As$. From the onset of a bump at higher field and $\vec{B}_N>1.5$ kG, we deduce $0<g^*<0.05$ in that crystal.

For crystals with different $g^*$ factors, varying from negative to positive values such as in

$Ga_{1-x}Al_xAs$ alloys, the bump shown in fig. 3 would shift towards the right, being rejected at infinity for $g^*=0$, and would come back from the left side for increasing positive values.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Fig. 3: Oblique Hanle curves for different samples. $\vec{B}_{\text{ext}}$ is oriented like shown in fig. 1; $\theta \approx 85^\circ$. The spike around $\vec{B}_{\text{ext}}=0$ is due to the destruction of the nuclear polarization by nuclear spin-spin interaction.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Fig. 4 : Oblique Hanle curve for g\*\alpha\text{O}. (a) : no nuclear field present (exciting beam with modulated polarization) (b) : nuclear field present.</figcaption></figure>

The divergence of $\vec{B}_N$ is illustrative of the difference between effective g-factors $g^*$ and $g_o$. The interaction of conduction electrons with externally applied fields, taking into account the change in band structure, is described by $g^*$. In fig. 3a, an externally applied field cannot depolarize the electrons when $g^*\neq g_o$. On the contrary, the interaction of the electrons with polarized nuclei is still sufficient to depolarize the electrons, because the hyperfine interaction depends on $g_o$ and not on $g^*$. This is due to the short-range character of the hyperfine interaction.⁷ The expression of the hyperfine interaction in terms of a diverging effective nuclear field is however physically meaningful as we have a number of experimental situations permitting to compare it with external magnetic fields.

It is a pleasure to thank G. Lampel, V. Safarov and B. Sapoval for useful discussions.

References :

(1) B. Sapoval, this conference, and references therein.

(2) M. Guéron, Phys. Rev. 135A, 200 (1964).

(3) D. Paget, G. Lampel, B. Sapoval and V.I. Safarov, this conference and to be published.

(4) This drawing is simplified : Due to Hanle effect, $\langle \vec{s} \rangle$ does not lie in the figure plane; This cannot change the sign of $\langle \vec{i} \rangle$ as the projection of $\langle \vec{s} \rangle$ on $B_{ext}$ does not change sign (D. Paget, Thèse 3ème cycle, Paris (unpublished)).

(5) M.I. D'yakonov, V.I. Perel', V.L. Berkovits and V.I. Safarov Sov. Phys. JETP 40, 950 (1975).

(6) C. Hermann and C. Weisbuch, to be published.

(7) Y. Yafet, J. Phys. Chem. Solids 21, 99 (1961).
## CHAPITRE VIII

### RECOMBINAISON DEPENDANT DU SPIN ET POMPAGE OPTIQUE DANS LES SEMICONDUCTEURS

Reproduction d'une communication présentée au "Colloque sur les propriétés optiques des semiconducteurs à grande bande interdite" Montpellier 1973.

Journal de Physique 35, C3-21 (1974).
<figure><img src="image_57.png" /></figure>
RECOMBINAISON DÉPENDANT DU SPIN ET POMPAGE OPTIQUE
DANS LES SEMICONDUCTEURS

C. WEISBUCH

Laboratoire de Physique de la Matière Condensée (*)
Ecole Polytechnique, 17, rue Descartes, 75005 Paris, France

**Résumé.** — On observe une recombinaison dépendant du spin dans $Ga_{0.6}Al_{0.4}As$ à 77 K sur l'intensité de la raie de photoluminescence des paires donneur-accepteur. Le temps de vie augmente de 2,3 quand les électrons photoexcités et les centres de recombinaison ont leurs spins orientés par pompage optique en lumière polarisée circulairement. L'orientation optique et la recombinaison dépendant du spin conduisent à une polarisation électronique de spin égale à 70 % en régime permanent.

**Abstract.** — Spin dependent recombination is observed in $Ga_{0.6}Al_{0.4}As$ at 77 K on the intensity of the donor-acceptor pairs photoluminescence. The lifetime is enhanced by a factor 2.3 when photocreated electrons and recombination centers are spin polarized by optical pumping with circularly polarized light. Optical orientation and spin dependent recombination lead to a steady-state electronic spin polarization as large as 70 %.

**1. Introduction.** — L'étude des processus de recombinaison des porteurs photoexcités dans les semiconducteurs a montré que les processus de désexcitation non radiatifs l'emportent dans la plupart des cas sur les processus radiatifs pour déterminer le temps de vie. Parmi les processus non radiatifs, la capture par des impuretés dont le niveau d'énergie est situé profondément dans la bande interdite est souvent très efficace [1]. Ces impuretés, dont la nature chimique est le plus souvent inconnue, peuvent être paramagnétiques et donc posséder un spin non nul dû à un électron externe. Si on décompose la recombinaison d'un électron de conduction en deux étapes, capture d'un électron par l'impureté puis descente de cet électron dans la bande de valence (ou dans un autre langage capture d'un trou par le centre), on voit que les centres de recombinaison comprennent dans l'état intermédiaire deux électrons. Les niveaux d'énergie de cet état à deux électrons peuvent, comme dans l'atome d'hélium, être divisés en deux groupes : les niveaux de spin total nul (niveaux singulets) et les niveaux de spin total égal à un (niveaux triplets). D'après le principe de Pauli, le niveau fondamental singulet est situé nettement plus bas en énergie que le niveau fondamental triplet. Les probabilités de capture par les centres vont donc être très différentes suivant que les spins des deux électrons sont parallèles (recombinaison triplet) ou antiparallèles (recombinaison singulet) pour deux raisons :

— Les probabilités de capture font intervenir des éléments de matrice dépendant de la fonction d'onde

de l'état intermédiaire. Celle-ci est beaucoup plus localisée pour l'état singulet (état fortement lié) que pour l'état triplet.

— Les deux niveaux singulet et triplet fondamentaux ayant des énergies très différentes, leurs cinétiques d'occupation ne seront pas identiques. Il peut même arriver que l'état singulet agisse effectivement comme un centre de recombinaison alors que l'état triplet, correspondant à des états situés moins profondément dans la bande interdite, n'agit que comme piège, les électrons capturés pouvant être réexcités thermiquement dans la bande de conduction avant la capture d'un trou (voir Fig. 1).

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>FIG. 1. — Niveaux d'énergie d'un électron se recombinant sur un centre de recombinaison paramagnétique suivant que son spin est parallèle (triplet) ou antiparallèle (singulet) au spin de l'électron du centre. (On a représenté le niveau triplet agissant uniquement comme un piège à électrons et non pas comme intermédiaire de recombinaison.)</figcaption></figure>

<footnote>(*) Equipe de recherche du Centre National de la Recherche Scientifique.</footnote>
On comprend alors que si par un moyen quelconque on peut orienter les spins des électrons libres et des centres dans une direction privilégiée, on diminue le nombre de situations de recombinaison singulet par rapport à une situation où les électrons sont désorientés. La recombinaison singulet étant beaucoup plus probable que la recombinaison triplet, la probabilité totale de recombinaison des porteurs photoexcités diminue et leur temps de vie augmente. La première mise en évidence de cet effet est due à Lepine [2], [3] qui a montré que, dans le silicium, la recombinaison de surface est due à la capture par des centres paramagnétiques de surface. L'orientation de spin était produite par orientation thermique des spins des centres et des électrons photoexcités dans un champ magnétique statique.

L'expérience décrite ici a été réalisée dans le composé ternaire $Ga_{0.6}Al_{0.4}As$ en orientant optiquement les porteurs par de la lumière polarisée circulairement [4], [5], ceux-ci transférant ensuite leur orientation aux électrons des centres. On peut observer que l'intensité de la photoluminescence à 77 K augmente d'un facteur 2,3 lorsque la polarisation de la lumière excitatrice est changée de linéaire à circulaire, passant ainsi d'électrons photocréés non polarisés à des électrons polarisés. La mesure simultanée du degré de polarisation de la lumière de luminescence donne la connaissance de la polarisation des électrons se recombiinant. Comme la recombinaison dépendant du spin empêche les électrons de spin parallèle à celui des centres de disparaître, il y a accumulation de tels électrons. Nous avons observé cet effet d'accumulation puisque la polarisation électronique observée en régime permanent est de 70 % alors que la polarisation des électrons à leur instant de création, due au transfert de moment cinétique de la lumière au cristal, est au plus égale à 50 % d'après les règles de sélection sur l'absorption optique.

## 2. Analyse théorique.
Nous faisons les hypothèses simplificatrices suivantes sur le processus de recombinaison des électrons photoexcités [6] :

- le temps de vie est déterminé par la recombinaison sur des centres (d'origine inconnue) qui sont paramagnétiques avant la capture d'un électron ;

- cette recombinaison est complètement interdite quand les spins de l'électron et du centre sont parallèles ;

- les centres paramagnétiques, qui ne sont pas polarisés en l'absence de lumière, deviennent polarisés par interaction avec les électrons polarisés. Un mécanisme possible est le suivant : un centre paramagnétique peut seulement capturer un électron de spin antiparallèle au sien, alors que celui qui est relâché dans la bande de valence a l'une ou l'autre orientation de spin puisque les deux électrons de l'état intermédiaire sont équivalents.

Dans ces conditions, les électrons de spin + ou - ont des temps de vie $\tau_+$ et $\tau_-$ inversement proportionnels aux densités de centres $N_-$ et $N_+$ de spins opposés. (L'axe de quantification est choisi le long de la direction de propagation de la lumière excitatrice qui est aussi la direction dans laquelle les électrons sont orientés) :

$$ \tau_{\pm} = \left( \frac{N_{+} + N_{-}}{2N_{\mp}} \right) \tau_{0} \quad (1) $$

$\tau_0$ étant le temps de vie des porteurs en l'absence de polarisation de spin.

On peut écrire les équations d'évolution suivantes pour les densités électroniques $n_\pm$ de spin + ou - sous l'influence de lumière excitatrice :

$$ \frac{\partial n_{\pm}}{\partial t} = g_{\pm} - \frac{n_{\pm}}{\tau_{\pm}} - \frac{(n_{\pm} - n_{\mp})}{2 T_{1}} \quad (2) $$

$T_1$ est le temps de relaxation de spin des électrons photoexcités. $g_+$ et $g_-$ sont les taux de création d'électrons de spin + ou - sous l'action de la lumière.

On peut montrer à partir des règles de sélection [4], [5] pour les transitions interbandes dans les semi-conducteurs de type III-V que seules importent les symétries des bandes de valence et de conduction pour déterminer le rapport $g_+/g_-$. Pour une polarisation polarisée circulairement de type $\sigma_+$, $g_+/g_- = \frac{1}{2}$ [5]. Pour une excitation linéaire ou naturelle, $g_+/g_- = 1$.

On peut définir une polarisation électronique à l'instant de la création par

$$ P_i = \frac{g_+ - g_-}{g_+ + g_-} = -0,5 \text{ ou } 0 $$

suivant que la polarisation de la lumière incidente est circulaire $\sigma_+$ ou linéaire.

La solution des équations d'évolution en régime permanent donne la densité $n = n_+ + n_-$ et la polarisation $p = \frac{n_+ - n_-}{n_+ + n_-}$ des électrons photoexcités :

$$ n = g\tau_0 \left(1 + \frac{T_1}{T_1 + \tau_0} p_i P\right) \left(1 - \frac{T_1}{T_1 + \tau_0} P^2\right)^{-1} \quad (3) $$

$$ p = \frac{T_1}{T_1 + \tau_0} (p_i + P) \left(1 + \frac{T_1}{T_1 + \tau_0} p_i P\right)^{-1} \quad (4) $$

$P = \frac{N_+ - N_-}{N_+ + N_-}$ est la polarisation des centres paramagnétiques.

La formule (3) montre que la densité des électrons photoexcités ne dépend de la polarisation de la lumière excitatrice que si les centres paramagnétiques sont polarisés ($P \neq 0$). Au contraire, la polarisation $p$ des électrons photocréés, tout en dépendant de la polarisation de la lumière excitatrice, peut aussi être non nulle en l'absence de polarisation des centres. La polarisation $p = \frac{T_1}{T_1 + \tau_0} p_i$ obtenue lorsque $P = 0$ est la polarisation habituelle observée dans les expériences de pompage optique [5].
### 3. Résultats expérimentaux.
— 3.1 INTENSITÉ ET POLARISATION DE LA LUMINESCENCE.
L'expérience est réalisée sur un échantillon de $Ga_{0.6}Al_{0.4}As$ de type p dopé au germanium de 50 µ d'épaisseur épitaxié sur un substrat de GaAs. La bande interdite pour une telle composition est de 2,03 eV à 77 K. L'excitation, d'énergie 1,92 eV, est produite par un laser krypton Spectra-Physics. Les électrons sont excités, par cette lumière d'énergie inférieure à la bande interdite, à partir de niveaux accepteurs, sans doute le germanium. Comme la symétrie des fonctions d'onde des niveaux accepteurs est, dans l'approximation de la théorie de la masse effective, la même que celle de la bande de valence supérieure, la polarisation initiale des électrons est la même que si les transitions étaient interbandes et vaut $p_i = -0,5$.

La figure 2 montre l'intensité de la raie de luminescence de paires donneur-accepteur [7] suivant l'état de polarisation de la lumière excitatrice. On peut calculer le rapport des intensités de luminescence $L_F(\text{circ})/L_F(\text{lin})$, $L_F(\text{circ})$ et $L_F(\text{lin})$ étant les intensités de luminescence lorsque l'excitation est polarisée circulairement ou linéairement. D'après (4), on trouve :

$$ \frac{L_F(\text{circ})}{L_F(\text{lin})} = \frac{n(\text{circ})}{n(\text{lin})} = \left(1 + \frac{T_1}{T_1 + \tau_0} p_i P\right) \times \left(1 - \frac{T_1}{T_1 + \tau_0} P^2\right)^{-1} \quad (5) $$

La valeur mesurée d'après la figure est 2,3.

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>FIG. 2. — Raie de photoluminescence de paires donneur-accepteur dans $Ga_{0.6}Al_{0.4}As$ de type p à 77 K. $L_F(\text{circ})$ et $L_F(\text{lin})$ sont obtenues avec des excitations polarisées circulairement ou linéairement à nombre de photons incidents constant.</figcaption></figure>

La polarisation électronique peut être calculée à partir de l'analyse de la polarisation de la lumière de recombinaison. Le degré de polarisation circulaire de cette lumière est défini par

$$ \rho = \frac{L_F(\sigma_+) - L_F(\sigma_-)}{L_F(\sigma_+) + L_F(\sigma_-)} $$

où $L_F(\sigma_+)$ et $L_F(\sigma_-)$ sont les intensités de ses deux composantes circulaires $\sigma_+$ et $\sigma_-$. On peut montrer que si on suppose que les trous ne sont pas polarisés [8], $\rho$ est lié à la polarisation électronique par la relation [5]

$$ \rho = -0,5 p. \quad (6) $$

La mesure de $\rho$ dans les conditions de recombinaison dépendant du spin donne $\rho = 0,35 \pm 0,02$ soit $p = 70 \pm 4\%$. Il faut remarquer que cette valeur est plus grande que la valeur que l'on peut obtenir s'il n'y a pas de recombinaison dépendant du spin,

$$ p = \frac{T_1}{T_1 + \tau_0} p_i, \text{ qui vaut au plus } 50\% $$

### 3.2 EFFET D'UN CHAMP MAGNÉTIQUE TRANSVERSE.
Il est bien connu [5] qu'un champ magnétique transverse dépolarise la luminescence à cause de la précession des spins électroniques qu'il produit. La figure 3 montre l'effet d'un champ magnétique transverse sur l'intensité de la recombinaison dépendant du spin et sur la polarisation électronique. On voit que la recombinaison dépendant du spin tend vers zéro dans un champ de l'ordre de 100 G alors que la polarisation électronique tend vers la valeur 40 %. A plus haut champ, vers 1 kG, cette polarisation résiduelle disparaît aussi. On peut interpréter ces deux résultats de la façon suivante : dans un champ transverse de 100 G, les centres de recombinaison sont dépolarisés, $P = 0$. Alors $n = g\tau_0$ et

$$ p = \frac{T_1}{T_1 + \tau_0} p_i $$

L'excès de polarisation provenant de l'accumulation due à la recombinaison dépendant du spin a disparu et il ne reste que la polarisation électronique habituelle résultant de l'orientation optique. Dans le champ de 1 kG, on dépolarise aussi les porteurs libres

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>FIG. 3. — Effet d'un champ magnétique transverse sur la recombinaison dépendant du spin $L_F(\text{circ})/L_F(\text{lin})$ (a) et sur la polarisation de spin p des électrons recombinants (b).</figcaption></figure>
et la polarisation s'annule complètement. La largeur de la courbe de dépolarisation en champ magnétique transverse est inversement proportionnelle au temps d'évolution de la polarisation $T_{1e}$ défini par [5]

$$ \frac{1}{T_{1e}} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{\tau} $$

La largeur de la courbe de dépolarisation de la recombinaison dépendant du spin étant plus faible que celle des électrons libres, le temps $T_{1e}$ des centres est plus long que celui des électrons libres. On voit clairement qu'il y a deux espèces de spins polarisés évoluant avec des temps différents.

### 3.3 DÉPENDANCE DE LA RECOMBINAISON DÉPENDANT DU SPIN AVEC L'INTENSITÉ DE LA LUMIÈRE EXCITATRICE.

— La recombinaison dépendant du spin n'apparaît que si le transfert de polarisation des électrons libres aux centres de recombinaison est important : les électrons libres sont un mécanisme de relaxation des centres, mais il existe d'autres mécanismes de relaxation pour ces centres. Le transfert de polarisation est grand si le temps de relaxation dû aux électrons est plus court que le temps résultant de tous les autres processus de relaxation. Comme le temps de relaxation dû aux électrons libres est inversement proportionnel au nombre d'électrons se recombinant par unité de temps sur un centre, il est inversement proportionnel à l'intensité de la lumière. A basse intensité, les électrons ne se recombineront pas assez vite sur chaque centre pour que celui-ci ait une polarisation différente de sa polarisation thermodynamique qui est nulle en l'absence de champ magnétique. Il n'y a donc pas d'effet de recombinaison dépendant du spin. A haute intensité, les électrons recombinants relaxent très vite les centres et ceux-ci ont, en régime permanent, la même polarisation que les électrons se recombinant. La figure 4 montre la dépendance du rapport $L_F(\text{circ})/L_F(\text{lin})$ en fonction de la lumière excitatrice. On peut aussi observer qu'à basse intensité la polarisation électronique vaut 40 %, valeur compatible avec $P = 0$.

### 4. Discussion.
— Le rapport $\frac{T_1}{T_1 + \tau_0}$ peut être déterminé à partir de la valeur limite de $p$ à basse intensité ou dans le champ transverse dépolarisant les centres. Comme $p = 40\%$ dans ces conditions, le rapport $\frac{T_1}{T_1 + \tau_0}$ vaut 0,8. Si on reporte cette valeur dans les expressions de $p$ et $L_F(\text{circ})/L_F(\text{lin})$ à forte intensité, on trouve que les résultats sont expliqués de manière consistante si on suppose que $P=p=70\%$, ce qui justifie les hypothèses que nous avons faites sur le processus de recombinaison.

On peut obtenir un ordre de grandeur de la densité des centres de recombinaison et de leur section efficace de capture : le point d'infléchissement de la

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIG. 4. — Changement de la recombinaison dépendant du spin $L_F(\text{circ})/L_F(\text{lin})$ en fonction de l'intensité de la lumière excitatrice.</figcaption></figure>

figure 4 à 25 mW indique la densité électronique pour laquelle les centres sont aussi efficacement relaxés par les électrons libres que par toutes les autres causes de relaxation. Comme la largeur de dépolarisation des centres est de 100 G, leur temps de relaxation est $5 \times 10^{-10}$ s si on suppose que leur facteur de Landé est 2. Ce temps vaut $(n\sigma v)^{-1}$ où $\sigma$ est la section efficace de capture des électrons photocréés par les centres et $v$ la vitesse des porteurs libres. La tache sur l'échantillon étant de l'ordre de $10^{-3}$ cm$^2$, la profondeur de pénétration 10 µ et le temps de vie des porteurs libres de l'ordre de $10^{-10}$ s d'après leur largeur de dépolarisation, on a $n \sim 2 \times 10^{13}$ cm$^{-3}$. Avec $v = 2,5 \times 10^7$ cm.s$^{-1}$, on déduit $\sigma = 4 \times 10^{-12}$ cm$^2$. Comme $1/\tau_0 = N\sigma v$, on trouve comme densité de centres $N = 10^{14}$ cm$^{-3}$. Les deux valeurs de $N$ et $\sigma$ trouvées ici sont de l'ordre de celles qui ont été observées dans les semiconducteurs par d'autres méthodes [9].

### 5. Conclusion.
— Cette expérience montre que la recombinaison dépendant du spin peut être un effet facilement détectable : ici la photoluminescence varie d'un facteur 2,3 en variant simplement la polarisation de la lumière excitatrice. On trouve que cet effet peut se produire suivant des conditions différentes, l'orientation étant produite par un champ magnétique ou optiquement. Remarquons qu'il est possible d'imaginer des situations composites où l'orientation des porteurs libres serait créée uniquement et celle des centres par un champ magnétique longitudinal. Ceci nous amène à penser que l'effet de recombinaison dépendant du spin doit pouvoir être observé dans un grand nombre de semiconducteurs : il suffit que la recombinaison fasse intervenir de façon suffisamment importante des centres de recombinaison paramagnétiques.

### Remerciements.
— Les échantillons nous ont été aimablement fournis par MM. Lebailly et Lefevre de la Radiotechnique-Compelec, Caen. Nous avons eu de nombreuses discussions avec G. Lampel et nous le remercions pour l'aide efficace qu'il nous a apportée.
Bibliographie

[1] SHOCKLEY, W. and READ, W. T., *Phys. Rev.* **87** (1952) 835.

[2] LEPINE, D., *Phys. Rev.* **B** **6** (1972) 436.

[3] Pour une revue des effets de spin dans les semiconducteurs, voir SOLOMON, I., *Proceedings of the XIth International Conference on the Physics of Semiconductors*, Warsaw (1972), p. 27.

[4] LAMPEL, G., *Phys. Rev. Lett.* **20** (1968) 491.

[5] PARSONS, R. R., *Phys. Rev. Lett.* **23** (1969) 1152.

[6] Nous avons supposé ici que la recombinaison est due à des centres de recombinaison d'électrons. Le cas où le centre capture d'abord un trou se transpose de manière tout à fait symétrique.

[7] ALFEROV, Z. I., GARBUZOV, D. Z., NINUA, O. A. and TROFIM, V. G., *Sov. Phys. Semiconductors* **5** (1971) 987.

[8] La polarisation des trous peut être négligée pour deux raisons : du fait de la structure de la bande de valence, leur temps de relaxation est sans doute beaucoup plus court que celui des électrons [5]. D'autre part, dans cet échantillon fortement dopé ($p > 10^{17} \text{ cm}^{-3}$) le nombre de trous photocréés est négligeable par rapport aux trous d'équilibre qui ne sont pas polarisés.

[9] HORNBECK, J. A. and HAYNES, J. R., *Phys. Rev.* **97** (1955) 311.

DISCUSSION

D. BIMBERG. — In some of the semiconductors you and your colleagues investigated it is possible to see in the same recombination spectrum both free electron to neutral acceptor and bound electron (donor) to neutral acceptor lines-at least if they are of high purity as for example GaAs or InP. Comparing the polarisation of the two lines after optical pumping one should get detailed information about the capture processes of free electrons by donors. Did you perform such experiments, and if, what are the results ?

C. WEISBUCH. — L'effet observable dépend du dopage de l'échantillon. Pour un échantillon n, les électrons participant à la recombinaison des paires donneur-accepteur sont le plus souvent des électrons qui n'ont pas été photocréés. Dans ce cas, ils ne sont pas polarisés. Ce n'est que si ces électrons s'échangent

avec les électrons de conduction qu'il apparaît une polarisation. Cet effet, dépendant de l'intensité excitatrice, a été observé par Safarov et Ekimov.

Pour un échantillon p, les électrons des donneurs se recombinant sont bien des électrons photocréés et une polarisation devrait être observable indépendamment de l'intensité excitatrice mais nous ne l'avons pas regardée. Il serait aussi intéressant d'observer le piégeage des électrons de conduction non thermalisés et de comparer leur polarisation à celle des électrons de conduction thermalisés en bas de bande.

C. MARTI. — Avez-vous une idée de la différence d'énergie entre niveaux singulet et triplet de vos centres ?

C. WEISBUCH. — Non.
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CONCLUSION

Cette étude du pompage optique dans les composés III-V purs se décompose en deux parties : le pompage optique proprement dit et les "retombées". Au stade actuel, il semble que le côté "retombées" soit le plus fructueux :

- l'analyse des facteurs de Landé des corps purs donne une détermination expérimentale précise des éléments de matrice interbandes ;

- les résultats des alliages montrent que la théorie $\vec{k} \cdot \vec{p}$ s'y applique, à la précision des mesures près, ce qui était contesté jusqu'à maintenant ;

- la recombinaison dépendant du spin est mise en évidence dans $Ga_{0,6}Al_{0,4}As$ et conduit à de grands effets (facteur 2,3 sur l'intensité de la luminescence). Eventuellement, cet effet pourrait conduire à une source d'électrons polarisés dans le vide de polarisation supérieure à 50% ;

- l'étude de la thermalisation des électrons chauds nous a permis d'observer une oscillation de la température effective des électrons de conduction, oscillation qui module les temps de vie, densités d'électrons et d'excitons... dans le cristal. Nous avons pu ainsi expliquer le phénomène de photoconductivité oscillante.

La compréhension du pompage optique de l'exciton libre est certainement moins avancée que celle de ces "retombées". On peut attribuer cette insuffisance à la compréhension incomplète de la fluorescence des polaritons dans un semiconducteur : l'explication de toute expérience de pompage optique nécessite comme préalable la connaissance complète du cycle photon → excitation du cristal → fluorescence. Nous avons vu que la thermalisation et la fluorescence sont à peu près comprises qualitativement mais le pompage optique requiert une compréhension bien plus profonde pour expliquer quantitativement les résultats et l'existence de polarisation en-dessous de $E_T$. Nous pouvons cependant nous interroger sur la possibilité même de progrès dans cette voie : on doit déterminer de manière précise les paramètres donnant la dispersion des polaritons. Or ces paramètres ne sont acces-
sibles expérimentalement (optiquement) que dans un très faible inter-
valle énergétique autour de $E_T$, où les raies (d'absorption, de diffu-
sion Brillouin) sont élargies par les mécanismes de collisions. La
mesure précise de ces paramètres dont on a tant besoin n'est donc
peut-être pas même possible. Du côté de la théorie, la situation
n'est pas meilleure à cause de la complexité du problème posé : struc-
ture mélangée des niveaux, possibilité de nombreux mécanismes de colli-
sions et de relaxation, dépendance spatiale du problème. Il nous semble
en conclusion que le pompage optique de l'exciton libre est un problème
trop difficile à l'heure actuelle vu nos connaissances et qu'il faut
repartir en arrière : on devra d'abord mieux comprendre la fluores-
cence des polaritons avant d'entreprendre le cas plus délicat du
pompage optique de ces polaritons.
# APPENDICE

## RELAXATION DE SPIN DES TROUS

La bande de valence supérieure comporte deux bandes de trous, lourds et légers. Pour simplifier, on ne considère que la relaxation dans la bande de trous lourds, puisque 90% environ de trous se trouvent dans cette bande. Considérons donc un trou lourd initialement orienté suivant la direction $k_z$ et se propageant dans cette même direction ; son état est $|3/2 \ 3/2>$. Introduisant les taux de collisions avec ou sans changement de spin $W_{3/2 \to m'}$, on peut définir une probabilité de relaxation du moment cinétique de trou après collision par

$$ w = \frac{W_{3/2 \to 1/2} + W_{3/2 \to -1/2} + W_{3/2 \to -3/2}}{\sum W_{3/2 \to m}} \quad (A1) $$

Le temps de relaxation de spin est alors relié au temps de relaxation de la quantité de mouvement par

$$ T_1 = \frac{1}{w} \tau_p \quad (A2) $$

On peut effectuer le calcul des $W_{mm'}$, d'après la théorie des collisions dans l'approximation de Born. Remarquons d'abord que, d'après Kane, les états de valence diagonalisant l'hamiltonien $\vec{k} \cdot \vec{p}$ sont, en négligeant tout couplage interbande, les fonctions se transformant par rotation de l'espace comme un moment cinétique $\vec{J} = 3/2$. Les fonctions d'ondes de trou lourd dans une direction $\vec{k}'$ faisant l'angle $\theta, \psi$ avec $\vec{k}_z$ sont donc données par

$$ |3/2, 3/2\rangle_k = \sum_{m'} d_{3/2m'}^{3/2} (\theta) |3/2 m'\rangle_{k_z} \quad (A3) $$

où les $d_{3/2m'}^{3/2} (\theta)$ sont les éléments de matrice de l'opérateur rotation du moment cinétique $\vec{J} = 3/2$. La dépendance en $\psi$ n'est pas explicitée ici puisque le problème de diffusion a la symétrie axiale autour de $k_z$.
La fonction d'onde diffusée par un potentiel V est, dans l'approximation de Born

$$|\psi\rangle = |\psi_{\text{inc}}\rangle + \sum_{n'k'} \frac{|\psi_{n'k'}\rangle\langle\psi_{n'k'}|V|\psi_{\text{inc}}\rangle}{E_i - E_{n'k'} + i\alpha} \quad (\text{A4})$$

$|\psi_{\text{inc}}\rangle$ est la fonction d'onde incidente, V le potentiel diffuseur et la quantité $i\alpha$ assure la convergence des intégrales.

Décomposant suivant les deux bandes de trous, désignées par les indices 1 et 2 (trous lourds et trous légers), il vient

$$|\psi\rangle = |\psi_{\text{inc}}\rangle + \sum_{k'} \frac{|\psi_{1k'}\rangle\langle\psi_{1k'}|V|\psi_{1k_z}\rangle}{E_{1k_z} - E_{1k'} + i\alpha} + \sum_{k'} \frac{|\psi_{2k'}\rangle\langle\psi_{2k'}|V|\psi_{1k_z}\rangle}{E_{1k_z} - E_{2k'} + i\alpha} \quad (\text{A5})$$

Les éléments de matrice sont de la forme

$$\int u_{1\vec{k}'}(\vec{r}) e^{-i\vec{k}'\cdot\vec{r}} V(\vec{r}) u_{1\vec{k}}(\vec{r}) e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} d^3\vec{r}$$

Comme l'a montré Ehrenreich,⁶³ du fait de la périodicité des $u_{nk} \to$ et pour un potentiel lentement variable à l'échelle atomique, cette intégrale vaut

$$\langle u_{1\vec{k}'} | u_{1\vec{k}} \rangle \int e^{-i(\vec{k}' - \vec{k}) \cdot \vec{r}} V(\vec{r}) d^3\vec{r}$$

Dans l'expression (A5), la seule différence avec la probabilité de diffusion d'ondes planes est la présence de termes de la forme $\langle u_{nk} \to | u_{n'k'} \to \rangle$ lentement variables en $\theta$ par rapport aux termes $e^{i\vec{k} \cdot \vec{r}}$. Utilisant les calculs habituels des amplitudes de diffusion, la fonction d'onde diffusée s'écrit :

$$|\psi\rangle = |\psi_{1k_z}\rangle + \sum_{k'} \frac{e^{-i\vec{k}_1 r}}{r} f_1(\theta) |u_{1\vec{k}'}\rangle\langle u_{1\vec{k}'}|u_{1k_z}\rangle \\ + \sum_{k'} \frac{e^{-i\vec{k}_2 r}}{r} f_2(\theta) |u_{2\vec{k}'}\rangle\langle u_{2\vec{k}'}|u_{1k_z}\rangle \quad (\text{A6})$$

Les quantités $f_{1,2}(\theta)$ sont les amplitudes de diffusion d'ondes planes par le potentiel diffuseur V. La section efficace de diffusion est
habituellement donnée par

$$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2 $$

On voit qu'il se rajoute ici une dépendance angulaire due à la partie périodique de la fonction d'onde.

D'après (A3), les $\langle u_{1K}^\dagger, |u_{1k_z} \rangle$ sont donnés par les éléments de matrice $d_{3/2m}^{3/2}(\theta)$. On peut d'autre part exprimer les $|u_{nk}^\dagger, \rangle$ en fonction des $|u_{k_z} \rangle$ ; la fonction d'onde est alors, après avoir effectué la moyenne sur les angles

$$ \psi = \psi_{\text{inc}} + \frac{e^{-ik_1 r}}{r} \left[ a u_{3/2}^{k_z} + b u_{1/2}^{k_z} + c u_{-1/2}^{k_z} + d u_{-3/2}^{k_z} \right] \\ + \frac{e^{-ik_2 r}}{r} \left[ e u_{3/2}^{k_z} + f u_{1/2}^{k_z} + g u_{-1/2}^{k_z} + h u_{-3/2}^{k_z} \right] \quad \text{(A7)} $$

Avec par exemple :

$$ a = \int_{4\pi} \left[ d_{3/2}^{3/2}(\theta) d_{3/2}^{3/2}(-\theta) + d_{3/2}^{3/2}(-3/2, \theta) d_{-3/2}^{3/2}(-\theta) \right] f_1(\theta) \frac{d\Omega}{4\pi} $$

$$ b = \int_{4\pi} \left[ d_{3/2}^{3/2}(\theta) d_{3/2}^{3/2}(-\theta) + d_{3/2}^{3/2}(-3/2, \theta) d_{-3/2}^{3/2}(-\theta) \right] f_2(\theta) \frac{d\Omega}{4\pi} $$

etc...

Si la bande de valence est complètement dégénérée, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'une sorte de trous correspondant à une bande quatre fois dégénérée, $k_1$ et $k_2$ sont égaux. On peut alors regrouper les termes. Le coefficient de $u_{3/2}$ vaut alors

$$ a + e = \sum_{m'} d_{3/2m}^{3/2}(\theta) d_{m'3/2}^{3/2}(-\theta) = 1 $$

tous les autres coefficients valant zéro. La fonction d'onde vaut alors

$$ \psi = \psi_{\text{inc}} + \frac{e^{-ikr}}{r} f(\theta) u_{3/2}(r) $$

Il n'y a pas de relaxation de spin. Ceci est d'ailleurs vrai quel que soit le spin de départ d'après la relation
$$ \sum_{m'} d_{mm'}^{\delta}(\theta) d_{m'm}^{\delta'}(-\theta) = \delta_{mm} $$

Ce résultat n'est pas surprenant : le potentiel perturbateur conservant le moment cinétique, juste après la collision, le trou est dans l'état $|3/2 \ 3/2\rangle_z$. Cet état est combinaison linéaire des quatre états de base dégénérés. C'est donc un état propre du système et la fonction d'onde est stationnaire.

Si la bande de valence n'est pas dégénérée, les deux parties de l'amplitude diffusée vont se déphaser. Dans le cas de collisions peu fréquentes, les phases entre les deux amplitudes sont aléatoires et tout se passe comme si le trou diffusé était dans un des deux états, lourd ou léger avec une probabilité donnée par le carré de l'amplitude de diffusion. Si on suppose une diffusion isotrope et indépendante de la bande de trou vers laquelle a lieu la diffusion (c'est-à-dire $f_1(\theta) = f_2(\theta)$ et on néglige les effets de densités d'états) on trouve

$$ W_{3/2 \to 3/2} = \int_{4\pi} d_{3/2}^{3/2} d_{3/2}^{3/2}(\theta) d_{3/2}^{3/2} d_{3/2}^{3/2}(\theta) + d_{3/2}^{3/2} d_{-3/2}^{3/2}(\theta) d_{-3/2}^{3/2} d_{-3/2}^{3/2}(\theta) $$

La somme de toutes les probabilités valant 1, il vient

$$ w = 1 - W_{3/2 \to 3/2} = 1/2 $$

Le temps de relaxation est donc

$$ T_1 \approx 2 \tau_p $$

Si les collisions sont très fréquentes, il y a peu de déphasage possible entre les différentes amplitudes diffusées et peu de relaxation de spin. Ceci est analogue à un rétrécissement par le mouvement. Le déphasage entre deux chocs est $\delta\psi = (k_1 - k_2)\lambda \approx k_1\lambda$ où $\lambda$ est le libre parcours moyen entre chocs. On en déduit

$$ T_1 \approx (k_1 \lambda)^2 \frac{1}{\tau_p} $$

- Pour des trous,

$$ k_1 \lambda \approx k_1 v_p \tau_p = \frac{\hbar^2 k^2}{m_{hh}^2} \tau_p = 2 \omega_{cin} \tau_p $$
Pour 10°K, $\omega_{\text{cin}} \sim 2.10^{12}$. Si $\tau_p \sim 10^{-12}$ s, $2 \omega_{\text{cin}} \tau_p \sim 4$

Il n'y a pas de rétrécissement par le mouvement et $T_1 \sim 2 \tau_p$.

- Pour des excitons, les variations de K sont de l'ordre de K/2 d'après les courbes de dispersion, soit $\delta\psi \sim \frac{K\lambda}{2} \sim \omega_{\text{cin}} \tau_p$.

Pour $\omega_{\text{cin}} \sim 0,1 \text{ meV} \equiv 10^{11} \text{ s}^{-1}$, il n'y a pas de rétrécissement par le mouvement si $\tau_p > 10^{-11} \text{ s}$. Par contre, si les collisions sont plus fréquentes que $10^{11} \text{ s}^{-1}$, il y a rétrécissement par le mouvement et

$$T_1 \sim (\omega_{\text{cin}} \tau_p)^2 \frac{1}{\tau_p} = \omega_{\text{cin}}^2 \tau_p$$
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TABLE DES NOTATIONS ET PRINCIPAUX PARAMETRES

$a_K^+, a_K^-$ : opérateur de création (annihilation) de photon p. 34

A° : accepteur neutre p. 13

$b_K^+, b_K^-$ : opérateur de création (annihilation) d'exciton p. 34

C : différence entre les potentiels de déformation des bandes de valence et de conduction. $C_{GaAs} = 9,6$ eV p. 49

$C_1, C_2$ : potentiel de déformation de la bande de valence (conduction). $C_1^2 + C_2^2 \sim 50$ (eV)$^2$ p. 26

D : profondeur d'excitation p. 44

D° : donneur neutre p. 16

$E_o$ : bande interdite. $E_o = 1,5197$ eV p. 5

$E_A$ : énergie d'ionisation de l'accepteur. $E_A \sim 30$ meV p. 14

$E_c$ : énergie cinétique p. 32

$E_D$ : énergie d'ionisation d'un donneur. $E_D = 5,9$ meV p. 70

$E(K)$ : énergie d'un exciton p. 30

$E_L$ : énergie de l'exciton longitudinal p. 36

$E_T$ : énergie de l'exciton transverse $E_T = 1,515$ eV p. 34

$E_{LT}$ : "splitting" longitudinal-transverse. $E_{LT} \sim 0,1$ meV p. 37

$f(E)$ : fonction de distribution des électrons p. 14

$f(E, x, \theta)$ : fonction de distribution des polaritons p. 42

g : taux de création d'électrons p. 26

g* : facteur de Landé des électrons de conduction. $g* = -0,44$ p. 2

$I, I_{exc}$ : intensité d'excitation p. 27

$J, J'$ : moment cinétique, opérateur moment cinétique p. 8

$\vec{k}$ : vecteur d'onde d'électron p. 6

$\vec{k}$ : vecteur d'onde d'exciton, de polariton p. 30
$k_B$ : constante de Boltzmann p. 26

$L_+$, $L_-$: intensité de composantes circulaires de la lumière de recombinaison p. 7

$m$ : projection du moment cinétique p. 5

$M$ : masse de l'exciton. $M \approx 0,3 m_o$ p. 26

$m_A$ : masse réduite de l'accepteur p. 14

$m^*$ : masse effective de l'électron de conduction. $m^* = 0,00665 m_o$ p. 14

$m_h$, $m_{lh}$, $m_{hh}$ : masse de trou (moyen, léger, lourd) $m_h = 0,3 m_o$ ; $m_{lh} = 0,087 m_o$ ; $m_{hh} = 0,475 m_o$ p. 29,30

$n$, $n_+$, $n_-$ : densité électronique (totale, avec l'un ou l'autre spin) p. 6

$N_A$, $N_D$ : densité d'accepteur, de donneur p. 1

$n(E)$, $n(K)$ : indice du milieu p. 41

$n_x$ : densité d'excitons p. 77

$p$ : densité de trous p. 25

$P$ : polarisation électronique p. 6

$\mathcal{P}$ : polarisation de la lumière de recombinaison p. 7

$P(B)$ : polarisation électronique en fonction du champ p. 7

$P(E)$ : probabilité de recombinaison d'un électron d'énergie cinétique E sur un accepteur neutre p. 14

$R(K)$ : coefficient de réflexion d'un polariton de vecteur d'onde K p. 41

$R_{mm's}$ : matrice de rotation de spin 1/2 p. 54

$T_1$, $T_2$ : temps de relaxation de spin longitudinal (transverse) p. 6

$T_{1*}$ : temps de magnétisation longitudinal p. 6

$T_e$ : température électronique effective p. 27

$T(K)$ : coefficient de transmission d'un polariton de vecteur d'onde K p. 41

$u$ : vitesse du son. $u_{LA}(100) = 4,8 \cdot 10^3 \text{ ms}^{-1}$ p. 26
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>v<sub>g</sub> (E)</td>
      <td>vitesse de groupe d'un polariton d'énergie E</td>
      <td>p. 42</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>v<sub>ex</sub></td>
      <td>vitesse de groupe d'un exciton</td>
      <td>p. 42</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>W<sub>11</sub> (E)</td>
      <td>probabilité de transition intrabranche de polaritons inférieurs</td>
      <td>p. 49</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>α(E)</td>
      <td>coefficient d'absorption des polaritons</td>
      <td>p. 44</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>β</td>
      <td>polarisabilité de l'exciton</td>
      <td>p. 34</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>γ</td>
      <td>rapport gyromagnétique électronique</td>
      <td>p. 7</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>γ<sub>f</sub></td>
      <td>coefficient de formation des excitons</td>
      <td>p. 21,25</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Δ</td>
      <td>interaction d'échange de l'exciton</td>
      <td>p. 31</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Δ<sub>o</sub></td>
      <td>splitting spin-orbite de la bande de valence, Δ<sub>o</sub> = 0,341 eV</td>
      <td>p. 5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ΔE</td>
      <td>énergie cinétique de création des photoélectrons</td>
      <td>p. 66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ε</td>
      <td>constante diélectrique. ε = 12,56</td>
      <td>p. 16</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>θ<sub>ab</sub></td>
      <td>coefficient de transfert de polarisation</td>
      <td>p. 21</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>μ</td>
      <td>masse réduite de l'exciton (aussi mobilité électronique p. 81)</td>
      <td>p. 26</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>μ<sub>B</sub></td>
      <td>magnéton de Bohr</td>
      <td>p. 7</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ρ</td>
      <td>densité du cristal. ρ = 5,36.10<sup>3</sup> kg m<sup>-3</sup></td>
      <td>p. 26</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ρ(E)</td>
      <td>densité d'états</td>
      <td>p. 14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>σ</td>
      <td>conductivité</td>
      <td>p. 81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>σ+, σ_</td>
      <td>état de polarisation circulaire de la lumière</td>
      <td>p. 5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>τ</td>
      <td>temps de vie électronique</td>
      <td>p. 6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>τ<sub>o</sub></td>
      <td>temps de vie des électrons en dehors de la formation d'exciton</td>
      <td>p. 24</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>τ(E)</td>
      <td>temps de vie des polaritons d'énergie E</td>
      <td>p. 47</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>τ<sub>ε</sub> (E)</td>
      <td>temps de thermalisation du polariton à l'énergie E</td>
      <td>p. 55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>τ<sub>f</sub></td>
      <td>temps de formation de l'exciton</td>
      <td>p. 21</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>τ<sub>p</sub></td>
      <td>temps de relaxation de la quantité de mouvement</td>
      <td>p. 7</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ħω<sub>LO</sub></td>
      <td>énergie du phonon LO. ħω<sub>LO</sub> = 36,74 meV</td>
      <td>p. 67</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<figure><img src="image_64.png" /></figure>
REFERENCES

1. Voir par exemple C. Cohen-Tannoudji and A. Kastler, Progress in Optics, Vol. 5, E. Wolf, ed. (North Holland, Amsterdam, 1966).

2. G. Lampel, Phys. Rev. Letters 10, 491 (1968).

3. G. Fishman, Thèse d'Etat, Université Paris XI (1974), voir aussi
G. Fishman, C. Hermann et G. Lampel, J. Phys. 35, C3-13 (1974).

4. a - D. Paget, Thèse de 3ème Cycle, Université Paris XI (1975).
b - réf. 2.

c - D. Paget, G. Lampel, B. Sapoval and V.I. Safarov, Phys. Rev. B15, 5780 (1977).

d - V.A. Novikov and V.G. Fleisher, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 71, 778 (1976) [Sov. Phys.-JETP 44, 410 (1977)] et références citées.

5. C. Hermann and G. Lampel, Phys. Rev. Letters 27, 373 (1971).

6. D.J. Lépine, Phys. Rev. B6, 436 (1972).

7. C. Hermann, Thèse d'Etat, Université Paris XI ; Annales de Physique, t.2, pp. 5-51 (1977).

8. a - A. Bonnot, Thèse d'Etat, Université Paris VII (1972).

b - R. Planel, Thèse d'Etat, Université Paris VII (1977).

9. a - G. Lampel, Thèse d'Etat, Université de Paris Orsay (1968).

b - G. Lampel, Proceedings of the IXth International Conference on the Physics of Semiconductors, Moscou 1968 (Nauka, Leningrad, 1968) p. 1139.

10. R.R. Parsons, Phys. Rev. Letters 23, 1152 (1969).

11. M.I. Dyakonov and V.I. Perel, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 60, 1954 (1971) [Sov. Phys.-JETP 33, 1053 (1971)].

12. G. Fishman and C. Hermann, Phys. Stat. Solidi (b) 63, 307 (1974).

13. a - Pour une revue complète voir A.W. Williams and H.B. Bebb, Semiconductors and Semimetals, Vol. 8, ed. R.K. Willardson and A.C. Beer (Academic Press, New-York, 1972).

b - A.M. White, P.J. Dean, D.J. Ashen, J.B. Mullin, M. Webb, B. Day and P.D. Greene, J. Phys. C5, 1727 (1972) p. 353.
c - D.D. Sell, S.E. Stokowski, R. Dingle and J.V. DiLorenzo, Phys. Rev. B7, 4568 (1973).

14. W.P. Dumke, Phys. Rev. 132, 1998 (1963).

15. J.A. Rossi, C.M. Wolfe, G.C. Stillman and J.O. Dimmock, Solid State Commun. 8, 2021 (1970).

16. C. Benoît à la Guillaume and P. Lavallard, Phys. Stat. Solidi (b) 70, K143 (1975).

17. a - E.H. Bogardus and H.B. Bebb, Phys. Rev. 176, 993 (1968).

b - R. Ulbrich and B. Moreth, Solid State Commun. 14, 331 (1974).

18. A.M. White, J. Phys. C6, 1971 (1973).

19. M. Ducloy et M. Dumont, J. de Phys. 31, 419 (1970).

20. R. Ulbrich

a - Phys. Rev. Letters 27, 1512 (1971).

b - Dissertation, Goethe Universität, Frankfurt (1972).

c - Communication personnelle.

21. R. Ulbrich, Phys. Rev. B8, 5719 (1973).

22. J. Barrau, M. Heckmann, J. Collet and M. Brousseau, J. Phys. Chem. Solids 34, 1567 (1973).

23. a - R.G. Ulbrich and C. Weisbuch, Phys. Rev. Letters 38, 865 (1977).

b - C. Weisbuch and R.G. Ulbrich, Phys. Rev. Letters 39, 654 (1977).

24. J.O. Dimmock, ibid. 13a, Vol. 3 (1967) p. 259.

25. J.M. Luttinger, Phys. Rev. 102, 1030 (1956).

26. a - E.O. Kane, Phys. Rev. B11, 3850 (1975).

b - M. Altaralli and N.O. Lipari, Phys. Rev. B15, 4898 (1977).

27. G.E. Pikus and G.L. Bir, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 60, 195 (1971) [Sov. Phys.-JETP 33, 108 (1971)].

28. M. Suffczynski, L. Swierkowski and W. Wardzynski, J. Phys. C8, L52 (1975).

29. a - E.O. Kane, communication personnelle (1977).

b - M.A. Gilleo, P.T. Bailey and D.E. Hill, J. Lumin. 1/2, 562 (1970).
c - G. Fishman and G. Lampel, Phys. Rev. B16, 820 (1977).

30. J.J. Hopfield, Phys. Rev. 112, 1555 (1958).

31. C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 5th edition
(J. Wiley, New-York, 1976) Chap. 10.

32. J.J. Hopfield, Phys. Rev. 182, 945 (1969).

33. O.S. Ziniets and V.I. Sugakov, Fiz. Tver. Tela 11, 243 (1969) [Sov. Phys.- Solid State 11, 197 (1969)].

34. D.E. Hill, Solid State Commun. 11, 1187 (1972).

35. D.D. Sell, Phys. Rev. B6, 3750 (1972).

36. Y. Toyozawa, Prog. Theor. Phys. Suppl. 12, 111 (1959).

37. J.J. Hopfield, Proceedings of the International Conference on the Physics of Semiconductors, Kyoto (1966) ; J. Phys. Soc. Japan 21, Suppl. (1966) p. 77.

38. a - W.C. Tait and R.L. Weiher, Phys. Rev. 166, 769 (1968).

b - W.C. Tait and R.L. Weiher, Phys. Rev. 178, 1404 (1969).

39. C. Benoît à la Guillaume, A. Bonnot and J.M. Debever, Phys. Rev. Lett. 24, 1235 (1970).

40. A. Bonnot and C. Benoît à la Guillaume in Polaritons, Proceedings of the Taormina Conference on the Structure of Matter, Taormina 1972, E. Burstein and F. de Martini ed. (Pergamon, London, 1975) p. 197.

A. Bonnot and C. Benoît à la Guillaume, non publié.

41. H. Sumi, J. Phys. Soc. Japan 41, 526 (1976).

42. G.S. Agarwal, D.N. Pattanayak and E. Wolf, Phys. Rev. B10, 1447 (1974).

43. C. Weisbuch and G. Lampel, Proceedings of the XIth International Conference on the Physics of Semiconductors, Varsovie (1972) p. 1327.

44. G. Fishman, C. Hermann, G. Lampel et C. Weisbuch, J. Phys. 35, C3-7, (1974).

45. A. Donzel and C. Weisbuch, Optics Comm. 17, 153 (1976).
46. A. Bonnot, R. Planel and C. Benoît à la Guillaume, Phys. Rev. B9, 690 (1974).

47. K. Matsuda, M. Hirooka and S. Sumakawa, Prog. Theor. Phys. 54, 79 (1975).

48. a - C. Benoît à la Guillaume, J.M. Debever and F. Salvan, Phys. Rev. 177, 567 (1969).

b - E. Göbel, H. Herzog, M.H. Pilkuhn and K.H. Zschauer, Solid State Comm. 13, 719 (1973).

c - T. Morya and T. Kushida, J. Phys. Soc. Japan 41, 849 (1976).

49. Pour une revue, voir par exemple P.G. Harper, J.W. Hodby and R.A. Stradling, Rep. Prog. Phys. 36, 1 (1973).

50. a - M.A. Habegger and H.Y. Fan, Phys. Rev. Letters 16, 99 (1964).

b - H.Y. Fan, ibid 9b, P. 135.

51. a - P.J. Dean, Phys. Rev. 168, 889 (1968).

b - B. Moreth, Diplomarbeit, Goethe Universität, Frankfurt (1973).

52. Voir par exemple R. Planel, C. Benoît à la Guillaume and A. Bonnot, Phys. Stat. Solidi (b) 58, 251 (1973) et références citées.

53. S. Permogorov, Phys. Stat. Solidi (b) 68, 9 (1975).

54. a - R.G. Ulbrich, Proceedings of the XIIIth International Conference on the Physics of Semiconductors, Rome 1976 (North-Holland, Amsterdam, 1976) p. 1226.

b - R.G. Ulbrich, Proceedings of the International Conference on Hot Electrons, Denton (1977), à paraître.

55. C.J. Hearn, Proc. Phys. Soc. 86, 881 (1965).

56. A.I. Larkin, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 37, 264 (1959) [Sov. Phys.-JETP 37(10), 186 (1960)].

57. E.M. Conwell in High Field Transport in Semiconductors, Solid State Physics Suppl. 9 (Academic Press, New-York, 1967).

58. J. Shah, C. Lin, R.F. Leheny and A.E. Di Giovanni, Solid State Comm. 18, 487 (1976).

59. V.L. Komolov and I.N. Yassievitch, Fiz. Tekh. Poluprovodn. 8, 1125 (1974) [Sov. Phys.-Semicond. 8, 732 (1974)] et références citées.
60. D. Bimberg and H.J. Queisser, ibid. **43**, P. 157.

61. a - R.E. Nahory, Phys. Rev. **178**, 1293 (1969).

b - R.W. Shaw, Phys. Rev. **B3**, 3283 (1971).

62. H.J. Stocker and H. Kaplan, Phys. Rev. **150**, 619 (1966).

63. H. Ehrenreich, J. Phys. Chem. Solids **2**, 131 (1957) ; **9**, 129 (1959).
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REMERCIEMENTS

Cette étude a été réalisée au Laboratoire de Physique de la
Matière Condensée de l'Ecole Polytechnique sous la direction de
I. Solomon, puis B. Sapoval, que je remercie pour l'intérêt qu'ils ont
porté à ce travail.

J'ai eu la chance de travailler dans l'atmosphère amicale et
enrichissante du groupe de pompage optique, animé par Georges Lampel.
Après avoir été un initiateur exemplaire, il a toujours été un guide et
ami sûr, critique et efficace. Une partie importante de ce travail a
été réalisée en commun avec mes collègues et amis opticiens Claudine
Hermann, Guy Fishman et Daniel Paget : qu'ils sachent combien cette
collaboration m'a été utile et agréable. De façon plus générale l'am-
biance amicale et l'esprit d'équipe régnant entre les membres du
laboratoire constitue une aide efficace sur tous les plans.

Notre groupe a été hébergé pendant plusieurs années par le
Laboratoire de C. Benoît à la Guillaume au sein du Groupe de Physique
des Solides de l'Ecole Normale Supérieure. Je tiens à remercier
l'ensemble du laboratoire, chercheurs et techniciens, qui, par son
accueil et son esprit coopératif, a su nous intégrer et nous faire
profiter de ses connaissances dans le domaine de l'optique des solides
où nous débutions. Plus particulièrement, j'ai bénéficié de nombreuses
discussions fructueuses avec C. Benoît à la Guillaume, M. Voos et
R. Planel.

Les expériences récentes ont été effectuées avec Rainer Ulbrich
de l'Université de Dortmund (R.F.A.). Je tiens à lui exprimer combien
cette collaboration a été plaisante et enrichissante pour moi.

A l'Université Paris VII, les conseils et l'amitié d'Alain Omont
ont été un précieux stimulant, tant sur le plan psychologique que sur
celui de l'enseignement même.

Ce travail doit évidemment beaucoup à l'aide des techniciens et
administratifs du laboratoire P.M.C., ainsi qu'à ceux du laboratoire
de C. Benoît à la Guillaume pendant la durée de notre hébergement à
la Halle-aux-Vins. Qu'ils trouvent ici l'expression de ma profonde
gratitude.

Les expériences décrites dans ce mémoire n'auraient jamais été
possibles sans le soutien désintéressé des "fabricants" de cristaux.
De nombreuses personnes nous ont ainsi procuré des cristaux d'une
qualité souvent exceptionnelle : A.M. White et P.J. Dean (RSRE, Malvern),
J. Lebailly (RTC, Caen), L. Hollan et J. Hallais (LEP, Limeil-
Brévannes), K.H. Zchauer (Siemens, Munich), E. Bauser (Darmstadt).

Les figures ont été exécutées par E. Müller; Mr Arbousse a
réalisé la page de garde de ce mémoire. La frappe en a été assurée
par J. Fournier avec sa gentillesse et sa compétence habituelles.
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