# Viscoélasticité et viscoplasticité (matériaux standard généralisés)

M.L.M. François

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M.L.M. François. Viscoélasticité et viscoplasticité (matériaux standard généralisés). Licence. Module XMS3PE713 Comportements dissipatifs Cours IV/VI Viscoélasticité et viscoplasticité, Nantes, France. 2025, pp.52. hal-05457087

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Submitted on 13 Jan 2026

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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# Module XMS3PE713 Comportements dissipatifs Cours IV/VI Viscoélasticité et viscoplasticité

## M2 de Mécanique, parcours Mécanique et Fiabilité des Structures

Faculté des Sciences et techniques, Nantes Université

Version du 25 novembre 2025
## Objectifs de ce cours

* Connaître les aspects physiques de la viscoélasticité

* Savoir résoudre un problème viscoélastique en utilisant des transformées de Legendre-Fenchel

* Connaître les aspects physiques de la viscoplasticité

* Savoir résoudre un problème viscoplastique et maîtriser son formalisme TPI

* Connaitre les méthodes d'intégration en temps
## Plan

1

1.1 Notion de viscosité

1.1.1 Caractéristiques

1.2 Le fluage

1.3 La relaxation

1.4 Essai vibratoire

1.5 Modules complexes

2

2. Viscoélasticité linéaire

3

3. Résolution d'un problème viscoélastique linéaire

4

4. Autres approches en viscoélasticité

5

5. Viscoplasticité

6

6. Lois de viscoplasticité 1D

7

7. Modèles de viscoplasticité 3D

8

Bibliographie
# 1 Notion de viscosité

## 1.1 Caractéristiques

* La viscosité est une dépendance à la vitesse de déformation $\epsilon(t)^{1.2}$

* La viscosité pure est un comportement de fluide. La viscoélasticité et la viscoplasticité sont à la frontière des fluides et des solides.

* ils concernent les bitumes, les polymères, les métaux à haute température mais aussi la plus part des matériaux solides à des degrés moindres

* les effets visqueux sont favorisés par la température

<footnote n="1">1. En plasticité, on avait seulement une dépendance à l'ordre des événement</footnote>

<footnote n="2">2. Le vieillissement correspond à une dépendance à la translation en temps $\epsilon(t - \tau)$, par exemple un essai fait sur un matériau vieilli un an peut donner des résultats différents</footnote>
* La viscosité s'accompagne de dissipation d'énergie

* Exemple : une lame viscoélastique en vibration libres a une amplitude qui décrot exponentiellement

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

* Un problème pratique posé par la viscosité :

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Fluage d'un PMMA utilisé en orthopédie
## 1.2 Le fluage

### Définition

Le fluage est la réponse en déformation $\varepsilon(t)$ à une contrainte constante

$$ \sigma = \sigma^0 H(t) $$

Le second principe impose que la fonction $\varepsilon(t)$ est croissante.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>
1.3 La relaxation

Définition

La relaxation est la réponse en contrainte σ(t) à une déformation constante

$$
\epsilon = \epsilon^0 H(t)
$$

Le second principe impose que la fonction σ(t) est décroissante.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
1.4 Essai vibratoire

Définition

Un essai vibratoire consiste à imposer une déformation alternée :

$$
\epsilon = \epsilon^0 \cos(\omega t)
$$

et à mesurer la contrainte alternée qui en résulte

$$
\sigma = \sigma^0 \cos(\omega t + \varphi)
$$

Le second principe impose que le déphasage $\varphi$ est positif.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure – Mesure vibratoire sur un échantillon d'épicéa réticulé en gamme audio. M. François, projet BQR « Piano » de l'UPMC (2004)</figcaption></figure>
1.5 Modules complexes

En relation avec les essais vibratoires, et de la manière utilisée pour
l'électricité, on écrit la visco-élasticité linéaire ³ 1D en complexe.

* Déformation $\epsilon = \text{Re}(\epsilon^*)$ avec :

$$
\epsilon^* = \epsilon^0 \exp(i\omega t)
$$

* Contrainte $\sigma = \text{Re}(\epsilon^*)$ avec :

$$
\sigma^* = \sigma^0 \exp(i(\omega t + \varphi))
$$

* On en déduit la loi de Young en complexe :

$$
\sigma^* = E^* \epsilon^*
$$

* où $E^*$ est le module complexe avec :

$$
E^* = E^0 \exp(i\varphi)
$$

où $\varphi = 0$ dans le cas élastique et $\varphi > 0$ dans le cas visqueux.
# Plan

1. 1 Notion de viscosité

2. 2 Viscoélasticité linéaire
   * 2.1 Généralités
   * 2.2 Modèle rhéologique 1D de viscosité
   * 2.3 Modèle viscoélastique de Kelvin-Voigt
   * 2.4 Modèle viscoélastique de Maxwell
   * 2.5 Autres modèles rhéologiques

3. 3 Résolution d'un problème viscoélastique linéaire

4. 4 Autres approches en viscoélasticité

5. 5 Viscoplasticité

6. 6 Lois de viscoplasticité 1D

7. 7 Modèles de viscoplasticité 3D

8. Bibliographie
2 Viscoélasticité linéaire

2.1 Généralités

* La viscoélasticité correspond à la superposition d'un comportement de solide élastique et d'un comportement de fluide visqueux

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

* Il n'y a pas de déformation plastique ou permanente, en l'absence de contraintes, on revient à l'état initial

* Les polymères, les bitumes sont fortement viscoélastiques

* La viscoélasticité linéaire est telle que
## 2.2 Modèle rhéologique 1D de viscosité

* Le modèle rhéologique de la viscosité est l'amortisseur.

* Le comportement macroscopique de ce composant :

$$F = kV$$

où F est la force sur la tige et V la vitesse de la tige

* est porté à l'échelle locale :

$$\sigma = \eta\dot{\varepsilon}$$

où η est le module de viscosité et $\dot{\varepsilon}$ la vitesse de déformation. 4

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

<footnote n="4">4. on est proche de la loi Newton de fluides visqueux $\tau = \mu\dot{\gamma}$ exprimée en cisaillement.</footnote>
## 2.3 Modèle viscoélastique de Kelvin-Voigt

* Ressort et amortisseur en parallèle

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

* Relation de comportement :

$$ \sigma = \sigma^e + \sigma^v $$

$$ \sigma^e = E\epsilon $$

$$ \sigma^v = \eta\dot{\epsilon} $$

$$ \sigma = E\epsilon + \eta\dot{\epsilon} $$

une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
Réponse au fluage<fnref n="5" />

$$\sigma = \sigma^0 H(t)$$

$$\epsilon = \frac{\sigma^0}{E} \left( 1 - \exp \left( -\frac{Et}{\eta} \right) \right) H(t)$$

Réponse à la relaxation

$$\epsilon = \epsilon^0 H(t)$$

$$\sigma = E\epsilon^0 H(t) + \eta\epsilon^0\delta(t)$$

Réponse en vibration

$$E^0 = \sqrt{E^2 + \eta^2\omega^2}$$

$$\tan(\varphi) = \frac{\eta\omega}{E}$$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

<footnote n="5">5. On dit que ce modèle de Kelvin-Voigt est « solide à l'infini » (des temps)</footnote>
## 2.4 Modèle viscoélastique de Maxwell

* Ressort et amortisseur en série

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

* Relation de comportement :

$$ \epsilon = \epsilon^e + \epsilon^v $$

$$ \sigma = E\epsilon^e $$

$$ \sigma = \eta\epsilon^v $$

$$ \dot{\epsilon} = \frac{\dot{\sigma}}{E} + \frac{\sigma}{\eta} $$

une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
Réponse au fluage⁶

$$\sigma = \sigma^0 H(t)$$

$$\varepsilon = \sigma^0 \left( \frac{1}{E} + \frac{t}{\eta} \right) H(t)$$

Réponse à la relaxation

$$\varepsilon = \varepsilon^0 H(t)$$

$$\sigma = E \varepsilon^0 \exp \left( -\frac{Et}{\eta} \right) H(t)$$

Réponse en vibration

$$E^0 = \frac{E\eta\omega}{\sqrt{E^2 + \eta^2\omega^2}}$$

$$\tan(\varphi) = \frac{E}{\eta\omega}$$

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

6. On dit que ce modèle de Maxwell est « fluide à l'infini » (des temps)
## 2.5 Autres modèles rhéologiques

* Des modèles rhéologiques plus complexes sont formés d'assemblages de ressorts et d'amortisseurs.

* Les coefficients peuvent être éventuellement non constants

* Exemple : le modèle de Huet et Sayegh, développé par l'Université Gustave Eiffel (ex. Ponts et Chaussées) pour les enrobés bitumineux.

<figure><img src="image_20.png" /></figure>
# Plan

1. 1 Notion de viscosité

2. 2 Viscoélasticité linéaire

3. 3 Résolution d'un problème viscoélastique linéaire

* 3.1 Fonction de fluage

* 3.2 Fonction de relaxation

* 3.3 Réponse en fluage échelonné

* 3.4 Réponse à une contrainte quelconque

* 3.5 Relation de comportement 3D isotrope

* 3.6 Transformée de Laplace-Carson

* 3.7 Stratégie de résolution par transformée de L.C.

4. 4 Autres approches en viscoélasticité

5. 5 Viscoplasticité

6. 6 Lois de viscoplasticité 1D

7. 7 Modèles de viscoplasticité 3D

8. Bibliographie
# 3 Résolution d'un problème viscoélastique linéaire

## 3.1 Fonction de fluage

En viscoélasticité linéaire, la fonction de fluage $J$

est définie par :

$$ \sigma = \sigma^0 H(t) $$

$$ \varepsilon = \sigma^0 J(t) $$

où, implicitement :

$$ J(t) = j(t) H(t) $$

où $j$ est une fonction et $H$ la distribution de Heaviside. On peut la voir comme la réponse en fluage à un échelon unitaire $\sigma = H(t)$.

Par ex., pour le modèle de Kelvin-Voigt :

$$ j(t) = \frac{1}{E} \left( 1 - \exp \left( -\frac{Et}{\eta} \right) \right) $$
## 3.2 Fonction de relaxation

En viscoélasticité linéaire, la fonction de relaxation $R$

est définie par :

$$ \varepsilon = \varepsilon^0 H(t) $$

$$ \sigma = \varepsilon^0 R(t) $$

où, implicitement :

$$ R(t) = r(t) H(t) $$

où $j$ est une fonction et $H$ la distribution de Heaviside. On peut la voir comme la réponse en relaxation à un échelon unitaire $\varepsilon = H(t)$.

Par ex., pour l'élasticité linéaire :

$$ r = E $$

pour le modèle de Maxwell :

$$ r = E \exp \left( -\frac{Et}{\eta} \right) $$
3.3 Réponse en fluage échelonné

● Supposons un fluage avec deux niveaux :

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

* Le modèle étant linéaire, la réponse est somme de la réponse au premier échelon et de la réponse au second échelon :

$$
\begin{align*}
\varepsilon &= J(t)\sigma^0 + \Delta\varepsilon \\
\Delta\varepsilon &= J(t - t_q)\Delta\sigma^q
\end{align*}
$$
## 3.4 Réponse à une contrainte quelconque

* On suppose maintenant un chargement connu $\sigma(t)$ quelconque

* Reprenons l'expression précédente pour un saut différentiel de contrainte $d\sigma$ à un instant $\tau$ :

$$d\varepsilon = J(t - \tau)d\sigma$$

* Toujours à cause de la linéarité, la déformation est somme de ces petits sauts, depuis le début des temps :

$$\begin{aligned} \varepsilon(t) &= \int_{-\infty}^{t} J(t - \tau)d\sigma \\ &= \int_{-\infty}^{t} J(t - \tau)\frac{d\sigma}{d\tau}(\tau)d\tau \end{aligned}$$

* Remarque : pour un saut unique $\sigma(t) = \Delta\sigma^q H(t - t_q)$ :

$$\begin{aligned} \varepsilon(t) &= \int_{-\infty}^{t} J(t - \tau)\Delta\sigma^q \delta(t - t_q) d\tau \\ &= J(t - t_q)\Delta\sigma^q \end{aligned}$$
Définition : intégrale héréditaire de Volterra :

$$f * g(t) \stackrel{\text{def}}{=} \int_{-\infty}^{t} f(t - \tau)g(\tau)d\tau$$

C'est une forme de produit de convolution.

Pour toute fonction de contrainte $\sigma(t)$, la déformation vaut :

$$\varepsilon(t) = J * \dot{\sigma} \qquad (\text{EPST})$$

où J est la fonction de fluage.

La preuve est similaire pour la relaxation :

Pour toute fonction de déformation $\varepsilon(t)$, la contrainte vaut :

$$\sigma(t) = R * \dot{\varepsilon} \qquad (\text{SIGT})$$

où R est la fonction de relaxation.
Les fonctions de fluage et de relaxation ne sont évidemment pas indépendantes.

* Injectons la définition de la relaxation :

$$ \varepsilon = \varepsilon^0 H(t) $$

$$ \sigma = \varepsilon^0 R(t) $$

* dans la relation de convolution :

$$ \varepsilon = J * \dot{\sigma} $$

$$ \varepsilon^0 H(t) = J * \varepsilon^0 \dot{R}(t) $$

* La relation en fluage se traite de manière similaire. On en déduit :

## Lien entre fonctions de fluage et de relaxation

$$ J * \dot{R} = H \qquad (JRH) $$

$$ R * \dot{J} = H \qquad (RJH) $$
## 3.5 Relation de comportement 3D isotrope

Les fonctions de fluage et de relaxation ne sont évidemment pas indépendantes.

* Le passage d'élastique à viscoélastique en 1D est :

$$ \epsilon = \frac{1}{E} \sigma $$

$$ \epsilon = J * \dot{\sigma} $$

* De manière cohérente, on adapte la loi 3D élastique isotrope :

$$ \epsilon = \frac{1 + \nu}{E} \sigma - \frac{\nu}{E} \operatorname{trace}(\sigma)I $$

en supposant le coefficient de Poisson $\nu$ inchangé⁷ et l'on en déduit

### La loi viscoélastique linéaire 3D isotrope

$$ \epsilon = (1 + \nu)J * \dot{\sigma} - \nu J * \operatorname{trace}(\dot{\sigma})I \quad (\text{VL3D}) $$

## 7. choix admis justifié par l'expérience
## 3.6 Transformée de Laplace-Carson

### Transformée de Laplace-Carson

$$f^{+}(p) = p \int_{0}^{\infty} f(t) \exp(-pt) dt$$

où $t = 0$ est le début du chargement $^a$. Propriété :

$$(\dot{f} * g)^{+} = f^{+} g^{+}$$

a. Comme $f(t < 0) = 0$ l'intégrale sur $]-\infty, \infty[$ est égale

* Transformée des lois viscoélastique 1D (EPST), (SIGT) :

$$\varepsilon^{+} = J^{+} \sigma^{+}$$

$$\sigma^{+} = R^{+} \varepsilon^{+}$$

* Depuis $H^{+} = 1$, transformée des propriétés (JRH) et (RJH) :

$$J^{+} R^{+} = 1$$

* Transformée de la loi de viscoélasticité 3D (VL3D)

$$\boldsymbol{\varepsilon} = (1 + \nu) \boldsymbol{J}^{+} \boldsymbol{\sigma}^{+} - \nu \boldsymbol{J}^{+} \operatorname{trace}(\dot{\boldsymbol{\sigma}}^{+}) \mathbf{I}$$
3.7 Stratégie de résolution par transformée de L.C.

* Soit un problème viscoélastique linéaire composé d'une géométrie, de chargements $u^d(t)$ C.A. et $f^d(t)$ S.A. pour tout $t$ et de la fonction de fluage du matériau $J(t)$

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

* On passe chargement et fonction de fluage dans l'espace de Laplace

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

où $J^+$ est le module d'Young du matériau et le coefficient de Poisson $\nu$ est conservé.
* On résout le problème élastique linéaire avec une méthode de son choix (analytique, numérique, éléments finis...)<fnref n="8" /> où en déduit :

$$ 
\begin{aligned}
\mathbf{u}^+(M, \mathbf{u}^{d+}, \mathbf{f}^{d+}, J^+) \\
\sigma^+(M, \mathbf{u}^{d+}, \mathbf{f}^{d+}, J^+) \\
\varepsilon^+(M, \mathbf{u}^{d+}, \mathbf{f}^{d+}, J^+)
\end{aligned}
 $$

où M est le point considéré.

* Les grandeurs d'intérêt sont obtenues par transformée de Laplace-Carson inverse<fnref n="9" />, notée $\ll - \gg$.

$$ 
\begin{aligned}
\mathbf{u}(M, \mathbf{u}^d(t), \mathbf{f}^d(t), J(t)) &= [\mathbf{u}^+]^- \\
\sigma(M, \mathbf{u}^d(t), \mathbf{f}^d(t), J(t)) &= [\sigma^+]^- \\
\varepsilon(M, \mathbf{u}^d(t), \mathbf{f}^d(t), J(t)) &= [\varepsilon^+]^- 
\end{aligned}
 $$

<footnote n="8">8. La géométrie est un jeu de constantes, identique dans les deux espaces</footnote>

<footnote n="9">9. On s'aide à l'aide de tables transformées</footnote>
# Plan

1. 1. Notion de viscosité

2. 2. Viscoélasticité linéaire

3. 3. Résolution d'un problème viscoélastique linéaire

4. 4. Autres approches en viscoélasticité
   4.1. Viscoélasticité isotrope basée sur la décomposition de Kelvin

5. 5. Viscoplasticité

6. 6. Lois de viscoplasticité 1D

7. 7. Modèles de viscoplasticité 3D

8. Bibliographie
# 4 Autres approches en viscoélasticité

## 4.1 Viscoélasticité isotrope basée sur la décomposition de Kelvin

* Voici une généralisation de la loi de Kelvin-Voigt, solide à l'infini :

$$ \boldsymbol{\sigma} = 2\mu\boldsymbol{\varepsilon}^D + 3K\boldsymbol{\varepsilon}^H + 2\tilde{\mu}\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^D + 3\bar{K}\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^H $$

* et une généralisation de la loi de Maxwell, fluide à l'infini :

$$ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2\mu}\boldsymbol{\sigma}^D + \frac{1}{3K}\boldsymbol{\sigma}^H + \frac{1}{2\tilde{\mu}}\dot{\boldsymbol{\sigma}}^D + \frac{1}{3\bar{K}}\dot{\boldsymbol{\sigma}}^H $$

* La viscosité étant généralement indépendante de la partie hydrostatique, les termes en $3\bar{K}$ ou en $3\tilde{K}$ pourraient être supprimés. Une approche similaire anisotrope est parfaitement envisageable.
## Plan

1. 1 Notion de viscosité

2. 2 Viscoélasticité linéaire

3. 3 Résolution d'un problème viscoélastique linéaire

4. 4 Autres approches en viscoélasticité

5. 5 Viscoplasticité
   5.1 Présentation

6. 6 Lois de viscoplasticité 1D

7. 7 Modèles de viscoplasticité 3D

8. Bibliographie
# 5 Viscoplasticité

## 5.1 Présentation

### La viscoplasticité

correspond à l'existence d'une déformation plastique (permanente) dépendante du temps $\epsilon^P(t)$

* La partie élasticité, toujours présente, est généralement supposée indépendante du temps.

* La visco-plasticité concerne différent matériaux dont :

* les métaux pour $T > T_f/3$ (°K).

* certaines matières plastiques

* les bétons au jeune âge

* les roches

* ...

* C'est un effet sur le temps long, le temps caractéristiques pouvant aller de quelques heures à quelques années voire l'âge de la terre pour les couches géologiques.
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Rupture d'une aube par fluage</figcaption></figure>

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Fluage d'une plaque de marbre (Flickr)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Rupture par fluage d'un réservoir (CEA)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Salle d'essais de fluage de roches (LCPC)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Les trois régimes de fluage (M. R. Kabiri, ENSMP)</figcaption></figure>

Le fluage des métaux comporte trois phases :

* fluage primaire : décroissance rapide de la vitesse de fluage $\dot{\epsilon}^P$

* fluage secondaire : vitesse constante

* fluage tertiaire : ré-augmentation de la vitesse jusqu'à rupture

Les modèles décrivent surtout le fluage secondaire, le plus important.
## Plan

1. 1 Notion de viscosité

2. 2 Viscoélasticité linéaire

3. 3 Résolution d'un problème viscoélastique linéaire

4. 4 Autres approches en viscoélasticité

5. 5 Viscoplasticité

6. 6 Lois de viscoplasticité 1D
● 6.1 Loi de Norton (1929) ou d'Odqvist (1934)

● 6.2 Dépendance en température

7. 7 Modèles de viscoplasticité 3D

8. Bibliographie
# 6 Lois de viscoplasticité 1D

## 6.1 Loi de Norton (1929) ou d'Odqvist (1934)

Lois adaptées au fluage secondaire, car $\dot{\epsilon}^P$ = cste si $\sigma$ = cste. Elles sont souvent présentées<fnref n="10" /> avec $\epsilon \simeq \epsilon^P$, en négligeant la partie élastique.

* **Loi de fluage de Norton :**

$$ \dot{\epsilon}^P = \left( \frac{\sigma}{\sigma^0} \right)^n $$

Pour $n = 1$ on retrouve un modèle de Maxwell, en déformation plastique.

* **Loi de Norton-Bailey :**

$$ \sigma = K(\epsilon^P)^{\frac{1}{m}}(\dot{\epsilon}^P)^{\frac{1}{n}} $$

où les coefficients dépendent en général de la température.

<footnote n="10">10. par ex. sur Wikipedia</footnote>
## 6.2 Dépendance en température

* Si l'on considère que la plasticité est un phénomène thermiquement activé, on précise la dépendance en température :

$$ \sigma = K(\varepsilon^p)^{\frac{1}{m}} \left( \dot{\varepsilon}^p \exp \left( \frac{\Delta H}{kT} \right) \right)^{\frac{1}{n}} $$

où $\Delta H$ est l'enthalpie d'activation, $K$ une constante et $k$ une constate, souvent le $R$ des gaz parfaits

* Modèle de Johnson-Cook [1983, 85] :

$$ \sigma = (\sigma^0 + K^0(\varepsilon^p)^n)(1 + K^1 \log(\dot{\varepsilon}/\varepsilon^0))(1 - (T^*)^m) \\ T^* = \frac{T - T^0}{T^m - T^0} $$

où $T^m$ est la température de fusion. Il existe de nombreuses variantes de ces modèles, adaptées à différentes classes de matériaux.
## Plan

1. 1 Notion de viscosité

2. 2 Viscoélasticité linéaire

3. 3 Résolution d'un problème viscoélastique linéaire

4. 4 Autres approches en viscoélasticité

5. 5 Viscoplasticité

6. 6 Lois de viscoplasticité 1D

7. 7 Modèles de viscoplasticité 3D

● 7.1 Généralités

● 7.2 Loi de Norton-Hoff

● 7.3 Loi d'Odqvist avec seuil

● 7.4 Loi d'écrouissage-viscosité additive

● 7.5 Modèle viscoplastique de Lemaitre-Chaboche

8. Bibliographie
# 7 Modèles de viscoplasticité 3D

## 7.1 Généralités

* Partition des déformations (identique à la plasticité)

$$ \boldsymbol{\epsilon} = \boldsymbol{\epsilon}^e + \boldsymbol{\epsilon}^P $$

où le tenseur des déformations plastiques $\boldsymbol{\epsilon}^P$ est déviatorique.

* Loi d'élasticité

$$ \boldsymbol{\sigma} = 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) + 3K\boldsymbol{\epsilon}^H $$

* Variables d'état et variables associées dissipatives :

<table><tr><td>V<sup>k</sup></td><td>ε<sup>P</sup></td></tr><tr><td>A<sup>k</sup></td><td>σ<sup>D</sup></td></tr></table>

* Contrairement à la plasticité, la viscoplasticité demande de définir le flux $\dot{\boldsymbol{\epsilon}}^P$ (s<sup>-1</sup>), ce qui ne requiert qu'un potentiel de dissipation (et non un pseudo-potentiel), voir la partie 4.1 du cours de TPI.
## 7.2 Loi de Norton-Hoff

C'est une généralisation 3D et TPI de la loi de Norton.

* Potentiel de dissipation :

$$F = \frac{\sigma^0}{n+1} \left( \frac{\|\boldsymbol{\sigma}^D\|}{\sigma^0} \right)^{n+1}$$

* Le flux en dérive, par rapport à la force thermodynamique $\boldsymbol{\sigma}^D$ :

$$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^P = \frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{\sigma}^D}$$

$$\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^P = \left( \frac{\|\boldsymbol{\sigma}^D\|}{\sigma^0} \right)^n \mathbf{N}$$

$$\mathbf{N} = \frac{\boldsymbol{\sigma}^D}{\|\boldsymbol{\sigma}^D\|}$$

* l'écoulement est normal aux iso-Von Mises (iso-||$\boldsymbol{\sigma}^D$||)

* il n'y a pas de surface seuil, la viscosité existe même pour de petites contraintes
## 7.3 Loi d'Odqvist avec seuil

* Un seuil en contrainte $\sigma^y$ est introduit :

$$F = \frac{\sigma^0}{n+1} \left( \frac{\sigma^v}{\sigma^0} \right)^{n+1}$$ $$\sigma^v = \langle \|\boldsymbol{\sigma}^D\| - \sigma^y \rangle^+$$

avec la partie positive $\langle x \rangle^+ = xH(x)$ et $\sigma^v$ la contrainte visqueuse.

* Selon la TPI :

$$\dot{\boldsymbol{\epsilon}}^P = \frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{\sigma}^D} = \frac{\partial F}{\partial \sigma^v} \frac{\partial \sigma^v}{\partial \boldsymbol{\sigma}^D}$$ $$\dot{\boldsymbol{\epsilon}}^P = \left( \frac{\sigma^v}{\sigma^0} \right)^n \boldsymbol{N}$$ $$\boldsymbol{N} = \frac{\boldsymbol{\sigma}^D}{\|\boldsymbol{\sigma}^D\|}$$

* le domaine d'élasticité est $\|\boldsymbol{\sigma}^D\| < \sigma^y$. Contrairement à la plasticité, il n'est pas entrainé lors des transformations visqueuses
* La déformation plastique cumulée :

$$dp = \|d\epsilon^P\| \\ \implies \dot{p} = \left(\frac{\sigma^v}{\sigma^0}\right)^n$$

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

vitesse de fluage $\dot{p}$ en fonction de $\|\sigma^D\|/\sigma^0$ pour $\sigma^y = \sigma^0$ et $n = 2,3$
La dissipation thermique :

$$
\begin{align*}
\dot{q}^i &= A_k \dot{V}_k \\
&= \boldsymbol{\sigma}^D : \boldsymbol{\varepsilon}^P \\
&= \|\boldsymbol{\sigma}^D\| \mathbf{N} : \mathbf{N} \left( \frac{\langle\|\boldsymbol{\sigma}^D\| - \boldsymbol{\sigma}^y\rangle^+}{\sigma^0} \right)^n \\
&= \|\boldsymbol{\sigma}^D\| \left( \frac{\langle\|\boldsymbol{\sigma}^D\| - \boldsymbol{\sigma}^y\rangle^+}{\sigma^0} \right)^n
\end{align*}
$$
## 7.4 Loi d'écrouissage-viscosité additive

* On rajoute au modèle précédent un écrouissage isotrope R :

<table><tr><td>V<sup>k</sup></td><td>ε<sup>D</sup></td><td>r</td></tr><tr><td>A<sup>k</sup></td><td>σ<sup>D</sup></td><td>R</td></tr></table>

* Le potentiel de dissipation inclue la fonction de charge :

$$F = \frac{\sigma^0}{n+1} \left(\frac{\sigma^v}{\sigma^0}\right)^{n+1} \\ \sigma^v = \langle \|\boldsymbol{\sigma}^D\| - R - \sigma^y \rangle^+$$

* La vitesse de déformation plastique :

$$\dot{\boldsymbol{\epsilon}}^p = \frac{\partial F}{\partial \boldsymbol{\sigma}^D} = \frac{\partial F}{\partial \sigma^v} \frac{\partial \sigma^v}{\partial \boldsymbol{\sigma}^D} \\ \dot{\boldsymbol{\epsilon}}^p = \left(\frac{\sigma^v}{\sigma^0}\right)^n \mathbf{N} \\ \mathbf{N} = \frac{\boldsymbol{\sigma}^D}{\|\boldsymbol{\sigma}^D\|}$$
* L'autre variable interne $r$ :

$$ \dot{r} = - \frac{\partial F}{\partial R} = \frac{\partial F}{\partial \sigma^v} \frac{\partial \sigma^v}{\partial R} $$

$$ \dot{r} = \left( \frac{\sigma^v}{\sigma^0} \right)^n $$

* correspond déformation plastique cumulée $p$ :

$$ dp = \| d\epsilon^P \| $$

$$ \Rightarrow \dot{p} = \left( \frac{\sigma^v}{\sigma^0} \right)^n $$

$$ p = r $$

Ces modèles, et les nombreux autres qui en sont dérivés, décrivent l'effet de vitesse de déformation (contenue dans $\epsilon^P$) sur les essais de traction<fnref n="11" />. L'écrouissage isotrope retenu est souvent en loi puissance $R = k p^{1/m}$.

<footnote n="11">11. La contrainte augmente avec la vitesse de déformation</footnote>
## 7.5 Modèle viscoplastique de Lemaitre-Chaboche

Ce modèle décrit le comportement visco-plastique endommageable des matériaux à haute température. Il s'agit d'un modèle industriel, très prédictif, mais complexe.

Il est présenté ici dans sa version COMSOL Multiphysics¹². Ce logiciel donne en particulier les valeurs pour l'Inconel IN 100, un superalliage base nickel utilisé dans l'aéronautique et pour les machines thermiques.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Aubage en Inconel (site superalloyparts.com)
Le modèle utilise cette fois les écrouissages isotropes et cinématiques non linéaire vus au modèle complet en cours de plasticité.

* Parties classiques du modèle sont :

$$ \boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\varepsilon}^e + \boldsymbol{\varepsilon}^P $$

$$ \boldsymbol{\sigma} = 2\mu(\boldsymbol{\varepsilon}^D - \boldsymbol{\varepsilon}^P) + 3K\boldsymbol{\varepsilon}^H $$

* Contrainte visqueuse (ou fonction de charge)

$$ \boldsymbol{\sigma}^v = \left\langle \left\| \boldsymbol{\sigma}^D - \sum_I \mathbf{X}^I \right\| - R - \boldsymbol{\sigma}^y \right\rangle^+ $$

* La normalité :

$$ \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^P = \mathbf{N}\dot{\boldsymbol{\rho}} $$

$$ \mathbf{N} = \frac{\boldsymbol{\sigma}^D - \sum_I \mathbf{X}^I}{\|\boldsymbol{\sigma}^D - \sum_I \mathbf{X}^I\|} $$
* Vitesse de déformation plastique (idem modèle précédent)

$$ \dot{p} = \left( \frac{\sigma^v}{\sigma^0} \right)^n $$

* Loi d'évolution des écrouissages cinématiques non linéaire

$$ \dot{\mathbf{X}}^I = (C^I \mathbf{N} - \gamma^I \mathbf{X}^I) \dot{p} $$

* avec une dépendance à la plasticité cumulée :

$$ \gamma^I = \gamma^{Is} + (\gamma^{I0} - \gamma^{Is}) \exp(-\beta^I p) $$

* Loi d'évolution de l'écrouissage isotrope en exponentielle saturante

$$ R = \sigma^s (1 - \exp(-\beta p)) $$
La réponse de ce modèle est particulièrement prédictive.

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Modèle de Lemaitre-Chaboche sur des cycles décentrés (à g.) et sur un rochet (à d.) sur un Inconel IN 100 (doc. COMSOL)

Il faut cependant prévoir une campagne d'essai couteuse si l'on souhaite
modéliser de nouveaux matériaux.
# Plan

1. 1 Notion de viscosité

2. 2 Viscoélasticité linéaire

3. 3 Résolution d'un problème viscoélastique linéaire

4. 4 Autres approches en viscoélasticité

5. 5 Viscoplasticité

6. 6 Lois de viscoplasticité 1D

7. 7 Modèles de viscoplasticité 3D

8. Bibliographie
# Bibliographie

Pour la viscoélasticité linéaire :

* J. Salençon, *Viscoélasticité pour le calcul des structures*, Ed. de l'École Polytechnique, 2009.

Pour la transformée de Laplace-Carson :

* wikipedia / Calcul opérationnel

Pour la viscoplasticité :

* http://sitasido.ec-lyon.fr

* J. Lemaitre et J.L. Chaboche, *Mécanique des matériaux solides*, Dunod, 1988.

* Lemaitre, J. A course on damage mechanics, Springer, 1996.