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BLAISE PASCAL

GEORGES GRAS

Approche p-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels

Volume 24, n° 2 (2017), p. 235-291.

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© Annales mathématiques Blaise Pascal, 2017, Certains droits réservés.

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Publication éditée par le laboratoire de mathématiques Blaise Pascal
de l'université Clermont Auvergne, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
# Approche $p$-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels

GEORGES GRAS

## Résumé

Soit $k$ un corps de nombres totalement réel et soit $k_\infty$ sa $\mathbb{Z}_p$-extension cyclotomique pour un premier $p > 2$. Nous donnons (Théorème 3.4) une condition suffisante de nullité des invariants d'Iwasawa $\lambda, \mu$, lorsque $p$ est totalement décomposé dans $k$, et nous obtenons d'importantes tables de corps quadratiques et $p$ pour lesquels on peut conclure que $\lambda = \mu = 0$. Nous montrons que le nombre de $p$-classes ambiges de $k_n$ ($n$-ième étage dans $k_\infty$) est égal à l'ordre du groupe de torsion $\mathcal{T}_k$ du groupe de Galois de la pro-$p$-extension Abélienne $p$-ramifiée maximale de $k$ (Théorème 4.7), pour tout $n \ge e$, où $p^e$ est l'exposant de $U_k^*/\mathbb{E}_k$ (en termes d'unités locales et globales). Puis nous établissons des analogues de la formule de Chevalley en utilisant une famille $(\Lambda_i^n)_{0 \le i \le m_n}$ de sous-groupes de $k^\times$ contenant $\mathbb{E}_k$, dans lesquels tout $x$ est norme d'un idéal de $k_n$. Cette famille est attachée à la filtration classique du $p$-groupe des classes de $k_n$ définissant l'algorithme de calcul de son ordre en $m_n$ pas. À partir de cela, nous montrons (Théorème 6.3) que $m_n \ge (\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu)/v_p(\mathcal{T}_k)$ et que la condition $m_n = O(1)$ (i.e., $\lambda = \mu = 0$) dépend essentiellement des valuations $p$-adiques des $\frac{x^{p-1}-1}{p}$, $x \in \Lambda_i^n$, pour $p \mid p$, de sorte que la conjecture de Greenberg est fortement dépendante de « quotients de Fermat » dans $k^\times$. Des heuristiques et statistiques sur ces quotients de Fermat (Sections 6, 7, 8) montrent qu'ils suivent des lois de probabilités naturelles, liées à $\mathcal{T}_k$ quel que soit $n$, suggérant que $\lambda = \mu = 0$ (Heuristiques 7.5, 7.6, 7.10).

Ceci impliquerait que, pour une preuve de la conjecture de Greenberg, certains résultats $p$-adiques profonds (probablement inaccessibles actuellement), ayant une certaine analogie avec la conjecture de Leopoldt, sont nécessaires avant toute référence à la seule théorie d'Iwasawa algébrique.

Je remercie J-F. Jaulent, T. Nguyen Quang Do et C. Maire pour plusieurs échanges, commentaires et indications (techniques et bibliographiques). Je remercie vivement le rapporteur pour ses suggestions et son analyse approfondie de l'article sur ses différents aspects.

**Mots-clés:** Greenberg's conjecture, Iwasawa's theory, $p$-class groups, class field theory, Fermat quotients, $p$-adic regulators, Leopoldt's conjecture.

*Classification Mathématique* (2010): 11R23, 11R29, 11R37, 11Y40.
*p*-adic approach of Greenberg’s conjecture
for totally real fields

Abstract

Let $k$ be a totally real number field ant let $k_\infty$ be its cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension for a prime $p > 2$. We give (Theorem 3.4) a sufficient condition of nullity of the Iwasawa invariants $\lambda, \mu$, when $p$ totally splits in $k$, and we obtain important tables of quadratic fields and $p$ for which we can conclude that $\lambda = \mu = 0$. We show that the number of ambiguous $p$-classes of $k_n$ (nth stage in $k_\infty$) is equal to the order of the torsion group $\mathcal{T}_k$, of the Galois group of the maximal Abelian $p$-ramified pro-$p$-extension of $k$ (Theorem 4.7), for all $n \ge e$, where $p^e$ is the exponent of $U_k^*/\bar{E}_k$ (in terms of local and global units). Then we establish analogs of Chevalley’s formula using a family $(\Lambda_i^n)_{0 \le i \le m_n}$ of subgroups of $k^\times$ containing $E_k$, in which any $x$ is norm of an ideal of $\bar{k}_n$. This family is attached to the classical filtration of the $p$-class group of $k_n$ defining the algorithm of computation of its order in $m_n$ steps. From this, we prove (Theorem 6.3) that $m_n \ge (\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu)/v_p(\#\mathcal{T}_k)$ and that the condition $m_n = O(1)$ (i.e., $\lambda = \mu = 0$) essentially depends on the $p$-adic valuations of the $\frac{x^{p-1}-1}{p}$, $x \in \Lambda_i^n$, for $p \nmid p$, so that Greenberg’s conjecture is strongly related to “Fermat quotients” in $k^\times$. Heuristics and statistical analysis of these Fermat quotients (Sections 6, 7, 8) show that they follow natural probabilities, linked to $\mathcal{T}_k$ whatever $n$, suggesting that $\lambda = \mu = 0$ (Heuristics 7.5, 7.6, 7.10).

This would imply that, for a proof of Greenberg’s conjecture, some deep $p$-adic results (probably out of reach now), having some analogy with Leopoldt’s conjecture, are necessary before referring to the sole algebraic Iwasawa theory.

# 1. Introduction

Nous appelons *Conjecture de Greenberg pour les corps de nombres totalement réels* $k$, le fait que les invariants d'Iwasawa $\lambda_p(k)$ et $\mu_p(k)$, associés à la limite projective des $p$-groupes de classes d'idéaux dans la $p$-tour cyclotomique $k_\infty$, sont nuls (quel que soit le nombre premier $p$). Comme la nullité de $\lambda_p(k)$ et $\mu_p(k)$ implique celle relative aux sous-corps de $k$, nous supposerons $k/\mathbb{Q}$ Galoisienne réelle.

Le corps $k$ et le nombre premier $p$ étant fixés, on désigne par $\lambda, \mu, \nu$ les invariants d'Iwasawa pour $k$ et $p$.

Dans l'approche classique, la décomposition de $p$ dans $k/\mathbb{Q}$ joue un rôle important. En effet, soient $d := [k : \mathbb{Q}]$ et $t \mid d$ le nombre d'idéaux premiers au-dessus de $p$ dans $k$; par exemple, si dans un premier temps on ne s'intéresse qu'à la trivialité du $p$-groupe des classes $\mathcal{O}_{k_n}$ du $n$-ième étage
CONJECTURE DE GREENBERG

$k_n$ de $k_\infty$, celle-ci est, en supposant implicitement $p$ totalement ramifié dans $k_\infty/k$, équivalente à la trivialité de chacun des deux facteurs de la formule des classes ambiges de Chevalley qui s'écrit dans ce cas :

$$ \#\mathcal{O}_{k_n}^{G_n} = \#\mathcal{O}_k \cdot \frac{p^{n \cdot (t-1)}}{(E_k : E_k \cap \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times))}, \quad (1.1) $$

où $G_n = \text{Gal}(k_n/k)$, $\mathcal{O}_k$ est le $p$-groupe des classes de $k$, et $E_k$ son groupe des unités. Chaque facteur joue alors un rôle spécifique pour la conjecture ; en ce qui concerne le facteur normique, on a les faits suivants :

(i) Le cas $t = 1$ implique $E_k \subset \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times)$ (formule du produit des symboles de restes normiques) et les invariants $\lambda$ et $\mu$ dépendent essentiellement du comportement du $p$-groupe des classes de $k$ par extension des idéaux dans la tour [21, Thm. 1, §4].

(ii) Le cas $t = d$ montrera que, sous la conjecture de Leopoldt, le facteur $\frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(E_k : E_k \cap \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times))}$ a, pour tout $n \gg 0$, même valuation $p$-adique que le régulateur $p$-adique normalisé $R_k$ de $k$ (Théorème 4.7).

(iii) Si $1 < t < d$, l'étude se ramène grosso modo aux cas précédents, ce que l'on peut illustrer au moyen du cas Abélien réel de degré $d$ étranger à $p$, par découpage semi-simple (selon les caractères $p$-adiques de $\text{Gal}(k/\mathbb{Q})$, comme dans [14, 24, 25, 51]). Si $k'$ est le corps de décomposition de $p$ dans $k$, alors $\#\mathcal{O}_k \cdot \frac{p^{n \cdot (t-1)}}{(E_k : E_k \cap \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times))}$ s'écrit comme produit de

$$ \#\mathcal{O}_{k'} \cdot \frac{p^{n \cdot (t-1)}}{(E_{k'} : E_{k'} \cap \mathbb{N}_{k'_n/k'}(k'_n^\times))} \quad \text{par} \quad \#\mathcal{O}_k^* \cdot \frac{1}{(E_k^* : E_k^* \cap \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times))} = \#\mathcal{O}_k^*, $$

où l'on a posé $E_k = E_{k'} \oplus E_k^*$ (à un indice près étranger à $p$), où $E_k^*$ est le sous-groupe des unités de norme 1 sur $k'$. Autrement dit, pour tout $n$ on a $E_k^* \subset \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times)$ et on est ramené au cas totalement décomposé pour $k'$. Cependant, s'il existe un $p$-groupe de classes relatives $\mathcal{O}_k^*$ dans $k/k'$, la question est analogue, en relatif, au cas non décomposé $t = 1$.
## 2. Conjecture de Greenberg (cas $p$ totalement décomposé)

Soit $k$ un corps de nombres Galoisien réel de degré $d$ et soit $p > 2$ un nombre premier totalement décomposé dans $k$. Soit $\mathbb{Q}_{\infty}$ la $\mathbb{Z}_p$-extension cyclotomique de $\mathbb{Q}$ et $k_{\infty} := k \mathbb{Q}_{\infty}$ celle de $k$; puisque $p$ est non ramifié dans $k/\mathbb{Q}$, on a $k \cap \mathbb{Q}_{\infty} = \mathbb{Q}$ et totale ramification de $p$ dans $k_{\infty}/k$.

On désigne par $K = k_n \subset k_{\infty}$ l'extension de degré $p^n$ de $k$ et par $G = G_n$ son groupe de Galois. Soient $\mathcal{O}_k$ et $\mathcal{O}_K$ (resp. $\mathcal{O}_k^{S_k}$ et $\mathcal{O}_K^{S_K}$) les $p$-groupes des classes de $k$ et $K$ (resp. les $S_k$ et $S_K$-groupes des classes de $k$ et $K$) où $S_k$ et $S_K$ sont les ensembles des $p$-places de $k$ et $K$ (on a $\#S_k = \#S_K = d$).

On a $\mathcal{O}_k^{S_k} := \mathcal{O}_k/\mathcal{O}_k(S_k)$ où $\mathcal{O}_k(S_k)$ est le sous-groupe de $\mathcal{O}_k$ engendré par les $p$-classes des éléments de $S_k$ (idem pour $\mathcal{O}_K^{S_K}$).

**Théorème 2.1** ([21, Thm. 2, §4]). Sous les hypothèses et notations précedentes, et sous la conjecture de Leopoldt pour $p$ dans $k$, les invariants $\lambda_p(k)$ et $\mu_p(k)$ d'Iwasawa sont nuls si et seulement si pour tout $n \gg 0$, on a $\mathcal{O}_K^G = \mathcal{O}_K(S_K)$ (i.e., le sous-groupe de $\mathcal{O}_K$ formé des $p$-classes ambiges est égal au sous-groupe engendré par les $p$-classes des idéaux premiers de $K$ au-dessus de $p$).

Dans cet énoncé interviennent le $p$-groupe des classes ambiges $\mathcal{O}_K^G$ et le groupe $\mathcal{O}_K(S_K)$ qui est un sous-groupe du $p$-groupe des classes du groupe des idéaux invariants $I_K^G$; on a l'isomorphisme classique :

$$ \mathcal{O}_K^G/\mathcal{O}_K(I_K^G) \simeq E_k \cap \mathbb{N}_{K/k}(K^\times)/\mathbb{N}_{K/k}(E_K), \quad (2.1) $$

où $E_k$ et $E_K$ sont les groupes des unités de $k$ et $K$. Or seul $E_k \cap \mathbb{N}_{K/k}(K^\times)$, donné par le corps de classes local, est accessible en pratique, $\mathbb{N}_{K/k}(E_K)$ étant un invariant arithmétique non trivial associé à l'extension $K/k$, en relation avec les problèmes de capitulation de classes d'idéaux, ce qui explique la difficulté du calcul de $\lambda$ et $\mu$ en termes d'unités globales (éventuellement comparées aux unités cyclotomiques du cadre Abélien comme dans [33] pour le cas non décomposé). On a par ailleurs $\mathcal{O}_K(I_K^G) = \mathcal{O}_K(S_K) \cdot j_{K/k}(\mathcal{O}_k)$, où $j_{K/k}$ est l'extension des classes de $k$ à $K$, et la relation $\mathcal{O}_K^G = \mathcal{O}_K(S_K)$ implique de plus $j_{K/k}(\mathcal{O}_k) \subseteq \mathcal{O}_K(S_K)$.

**Remarque 2.2.** Si $\mathcal{O}_{k_n}^{G_n} = 1 \forall n \gg 0$, la conjecture de Greenberg est vraie sous la forme $\lambda = \mu = \nu = 0$ et réciproquement; or $\mathcal{O}_{k_n}^{G_n} = 1 \forall n \gg 0$ équivaut à $\#\mathcal{O}_k = 1 \& (E_k : E_k \cap \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times)) = p^{n \cdot (d-1)} \forall n \gg 0$ (cf. (1.1)).
CONJECTURE DE GREENBERG

La Proposition 4.6 montrera que $(E_k : E_k \cap N_{k_n/k}(k_n^\times)) = p^{n \cdot (d-1)}$ pour un $n \ge 1$ équivaut à $(E_k : E_k \cap N_{k_1/k}(k_1^\times)) = p^{d-1}$, et ainsi $\mathcal{O}_{k_n}^{G_n} = 1 \forall n \gg 0$ équivaut à $\mathcal{O}_{k_1}^{G_1} = 1$ qui est effectif en pratique. Or la condition normique sur les unités a lieu si et seulement si le régulateur p-adique normalisé $R_k$ de $k$ (au sens de [19, §5]) est une unité p-adique (Théorème 4.7(ii)). Il en résulte que la condition $\lambda = \mu = \nu = 0$ équivaut (sous la conjecture de Leopoldt pour $p$ dans $k$) à la nullité du groupe de torsion $\mathcal{T}_k$ de Gal$(H_k^{\text{pr}}/k)$, où $H_k^{\text{pr}}$ est la pro-p-extension Abélienne p-ramifiée maximale de $k$ (en effet, dans ce cas, $\mathcal{T}_k = \mathcal{O}_k \cdot R_k$), ce qui équivaut à la p-rationalité de $k$ (notion définie dans [16, §IV.3], [20], [32], [35]).

### 3. Condition suffisante de nullité de $\lambda$ et $\mu$

Nous avons démontré dans [13], [15], et repris récemment dans [18, Thm. 3.6], le résultat suivant valable en toute généralité, ici énoncé dans le cas « $T = \emptyset$ » qui correspond aux groupes de classes au sens classique (l'énoncé n'utilisant que la ramification des places finies et l'éventuelle complexification des places à l'infini on doit utiliser le sens restreint) ; on désigne par $I_K$ et $P_K$ le groupe des idéaux de $K$ et son sous-groupe des idéaux principaux (au sens restreint) :

**Théorème 3.1.** Soit $K/k$ une extension cyclique de corps de nombres, de groupe de Galois $G$. Soient $\mathcal{O}_K$ et $\mathcal{O}_k$ les groupes des classes au sens restreint de $K$ et $k$ respectivement. Soit $e_q$ l'indice de ramification dans $K/k$ d'un idéal premier $q$.

Alors pour tout sous-$G$-module $\mathcal{H}$ de $\mathcal{O}_K$ et tout sous-groupe $\mathcal{I}$ de $I_K$ tel que $\mathcal{I} \cdot P_K / P_K = \mathcal{H}$, on a :

$$ \#(\mathcal{O}_K/\mathcal{H})^G = \frac{\#\mathcal{O}_k \cdot \prod_q e_q}{[K:k] \cdot \#N_{K/k}(\mathcal{H}) \cdot (\Lambda : \Lambda \cap N_{K/k}(K^\times))}, $$

où $N_{K/k}$ est la norme arithmétique et $\Lambda := \{x \in k^\times, (x) \in N_{K/k}(\mathcal{I})\}$.

**Corollaire 3.2.** Si $\mathcal{H} = \mathcal{O}_K(S_K)$, où $S_K$ est un ensemble fini quelconque d'idéaux premiers de $K$, on obtient :

$$ \#\mathcal{O}_K^{S_K G} = \frac{\#\mathcal{O}_k \cdot \prod_q e_q}{[K:k] \cdot \#\mathcal{O}_k(\mathrm{NS}_K) \cdot (E_k^{\mathrm{NS}_K} : E_k^{\mathrm{NS}_K} \cap N_{K/k}(K^\times))}, $$
où $N = N_{K/k}$ et $E_k^{NS_K} = \{x \in E_k^{S_k}, v_q(x) \equiv 0 \pmod{f_q} \forall q \in S_k\}$, où $S_k$ est l'ensemble des idéaux premiers de $k$ au-dessous de ceux de $S_K$, $v_q$ la valuation $q$-adique, et $f_q$ le degré résiduel de $q$ dans $K/k$.

Jaulent a obtenu dans [28, p. 177] l'autre écriture :

$$ \#\mathcal{O}_K^{S_K G} = \frac{\#\mathcal{O}_k^{S_k} \cdot \prod_{q \notin S_k} e_q \cdot \prod_{q \in S_k} e_q f_q}{[K:k] \cdot (E_k^{S_k} : E_k^{S_k} \cap N_{K/k}(K^\times))} $$

Utiliser la relation $E_k^{S_k} \cap N_{K/k}(K^\times) = E_k^{NS_K} \cap N_{K/k}(K^\times)$ et la suite exacte $1 \to E_k^{S_k}/E_k^{NS_K} \to \langle S_k \rangle_{\mathbb{Z}}/\langle N_{K/k}S_K \rangle_{\mathbb{Z}} \to \mathcal{O}_k(S_k)/\mathcal{O}_k(N_{K/k}S_K) \to 1$ pour comparer les deux expressions.

Remarques 3.3.

(i) La relation du Théorème 3.1 (et ses analogues) se met sous la forme du produit de deux entiers :

$$ \#(\mathcal{O}_K/\mathcal{H})^G = \frac{[H_k : K \cap H_k]}{\#N_{K/k}(\mathcal{H})} \cdot \frac{[K : K \cap H_k]^{-1} \cdot \prod_q e_q}{(\Lambda : \Lambda \cap N_{K/k}(K^\times))}, $$

où $H_k$ est le corps de classes de Hilbert de $k$ ; si $K \cap H_k = k$, alors le premier facteur est égal à $\frac{\#\mathcal{O}_k}{\#N_{K/k}(\mathcal{H})}$ et le second à $\frac{[K:k]^{-1} \cdot \prod_q e_q}{(\Lambda : \Lambda \cap N_{K/k}(K^\times))}$.

(ii) Pour $K = k_n \subset k_\infty$, $G = G_n = \text{Gal}(k_n/k)$, on obtient les formules :

$$ \#(\mathcal{O}_K/\mathcal{H})^G = \frac{\#\mathcal{O}_k}{\#N_{K/k}(\mathcal{H})} \cdot \frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(\Lambda : \Lambda \cap N_{K/k}(K^\times))}, \\ \#\mathcal{O}_K^{S_K G} = \#\mathcal{O}_k^{S_k} \cdot \frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(E_k^{S_k} : E_k^{S_k} \cap N_{K/k}(K^\times))}. $$

On peut énoncer, en désignant maintenant par $\mathcal{O}$ les $p$-groupes de classes, la condition seulement suffisante suivante, en rapport avec les résultats évoqués dans la Remarque 2.2 :

**Théorème 3.4.** Soit $k$ Galoisien réel et soit $p > 2$ totalement décomposé dans $k$ ; on suppose que $p$ vérifie la conjecture de Leopoldt dans $k$. Soit $k_1$, de degré $p$ sur $k$, le premier étage de la $\mathbb{Z}_p$-extension cyclotomique de $k$.
CONJECTURE DE GREENBERG

Alors une condition suffisante pour que $\lambda = \mu = 0$ est que les deux conditions suivantes soient réalisées, où $S_k$ est l'ensemble des idéaux premiers de $k$ au-dessus de $p$ et $E_k^{S_k}$ le groupe des $S_k$-unités de $k$ :

(i) $\mathcal{L}_k^{S_k} = 1$ (i.e., $S_k$ engendre le $p$-groupe des classes de $k$),

(ii) $(E_k^{S_k} : E_k^{S_k} \cap N_{k_1/k}(k_1^\times)) = p^{d-1}$, où $d = [k : \mathbb{Q}]$.

*Démonstration.* Soit $n \ge 1$ et considérons $K := k_n$, $G := G_n$. On a la suite exacte de $G$-modules $1 \to \mathcal{L}_K(S_K) \to \mathcal{L}_K \to \mathcal{L}_K^{S_K} \to 1$, qui conduit à :

$$1 \to \mathcal{L}_K(S_K)^G \to \mathcal{L}_K^G \to \mathcal{L}_K^{S_K G} \to \mathrm{H}^1(G, \mathcal{L}_K(S_K)).$$

Comme $p$ est totalement ramifié dans $k_\infty/k$, $\mathcal{L}_K(S_K)^G = \mathcal{L}_K(S_K)$ et finalement on obtient :

$$1 \to \mathcal{L}_K^G / \mathcal{L}_K(S_K) \to \mathcal{L}_K^{S_K G} = (\mathcal{L}_K / \mathcal{L}_K(S_K))^G \to \mathrm{H}^1(G, \mathcal{L}_K(S_K)),$$

qui fait que la condition $\mathcal{L}_K^{S_K G} = 1$ pour tout $n \gg 0$ implique la conjecture de Greenberg (Théorème 2.1); cette condition est équivalente (cf. Remarque 3.3(ii)) à la réunion de la condition (i) et de la condition $(E_k^{S_k} : E_k^{S_k} \cap N_{K/k}(K^\times)) = p^{n(d-1)}$. D'après la Proposition 4.6, il suffira qu'elle soit satisfaite pour $K = k_1$ pour qu'elle le soit pour tout $n \ge 1$. $\square$

*Remarques 3.5.*

(i) On a $\mathrm{H}^1(G, \mathcal{L}_K(S_K)) = \nu \mathcal{L}_K(S_K)$ où $\nu := \nu_n$ est la norme algébrique pour $G$; par conséquent, si $N_{K/k}$ est la norme arithmétique (ici surjective) et $j_{K/k}$ l'extension des classes, on a $\nu = j_{K/k} \circ N_{K/k}$.

On a $\mathrm{H}^1(G, \mathcal{L}_K(S_K)) = 0$ si et seulement si $\nu$ est injective sur $\mathcal{L}_K(S_K)$, donc (comme $\nu(\mathcal{L}_K(S_K)) = j_{K/k}(\mathcal{L}_k(S_k))$ car $N_{K/k}(S_K) = S_k$) si et seulement si on a l'isomorphisme $\nu : \mathcal{L}_K(S_K) \cong j_{K/k}(\mathcal{L}_k(S_k)) \subseteq \mathcal{L}_K(S_K)$ qui indique que $\mathcal{L}_K(S_K) = j_{K/k}(\mathcal{L}_k(S_k))$; or $j_{K/k}(\mathcal{L}_k(S_k)) = \mathcal{L}_K(S_K)^{p^n}$ puisque si $\mathfrak{p} \in S_k$, on a $j_{K/k}(\mathfrak{p}) = \mathfrak{P}^{p^n}$, $\mathfrak{P} | \mathfrak{p}$ dans $K$, d'où $\mathcal{L}_K(S_K) = \mathcal{L}_K(S_K)^{p^n}$ et $\mathcal{L}_K(S_K) = 1$.

On a donc $\mathrm{H}^1(G, \mathcal{L}_K(S_K)) = 0$ si et seulement si $\mathcal{L}_K(S_K) = 1$.

(ii) Si $\lambda = \mu = 0$, $\mathcal{L}_K(S_K)$ est borné dans la tour et on a $j_{K/k}(\mathcal{L}_k(S_k)) = \mathcal{L}_K(S_K)^{p^n} = 1$ pour $n \gg 0$ (capitulation de $\mathcal{L}_k(S_k)$ dans $k_\infty$). De même il y a, pour tout $n$, capitulation de $\mathcal{L}_K(S_K)$ dans $k_\infty$.
## 4. Symboles de restes normiques

Par commodité, rappelons (cf. [16, §II.4.4.3]) une méthode de calcul des symboles de restes normiques de Hasse $(\frac{x, k_n/k}{p}) \in G_n := \text{Gal}(k_n/k)$, dans le cas particulier d'un corps de nombres Galoisien $k$ avec $k_n \subset k_\infty$ de degré $p^n$ sur $k$, et relativement à un idéal premier $\mathfrak{p} \mid p$ de $k$ pour $p > 2$ totalement décomposé dans $k/\mathbb{Q}$.

Dans ce cas, le conducteur de $k_n/k$ divise $(p^{n+1})$ car on a, localement, $1 + p^{n+1} \alpha_0 = (1 + p \alpha'_0)^{p^n} = N_{k_n/k}(1 + p \alpha'_0)$, où $\alpha_0, \alpha'_0$ sont des $p$-entiers du produit des $p$-complétés de $k$. Le conducteur de $\mathbb{Q}_n$ est $p^{n+1}$ ($n \ge 1$).

Les calculs en question sont liés à la théorie des genres dont nous rappelons d'abord l'essentiel.

### 4.1. Suite exacte des genres pour les sous-corps de $k_\infty/k$

On désigne par $H_k$ et $H_K$ les $p$-corps de classes de Hilbert de $k$ et $K := k_n$. Les groupes d'inertie $I_p(K/k)$ des $\mathfrak{p}$ $\mid p$ dans $K/k$ sont égaux à $G := G_n$.

On considère l'application $\omega := \omega_n$ qui associe à $x \in E_k$ la famille des symboles de Hasse $(\frac{x, K/k}{\mathfrak{p}}) \in G, \mathfrak{p} \mid p$.

On obtient alors la suite exacte des genres interprétant la formule du produit des symboles de Hasse d'une unité (voir, e.g., [16, Prop. IV.4.5.1] pour $T = S = \emptyset$) :

$$ 
\begin{aligned}
1 \to E_k/E_k \cap N_{K/k}(K^\times) \xrightarrow{\omega} \Omega(K/k) &\subseteq \bigoplus_{\mathfrak{p}|p} I_{\mathfrak{p}}(K/k) \\
&\xrightarrow{\pi} \text{Gal}(H_{K/k}/KH_k) \to 1,
\end{aligned} 
\quad (4.1) $$

où $\Omega(K/k) := \{(s_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{p}} \in \bigoplus_{\mathfrak{p}|p} I_{\mathfrak{p}}(K/k), \prod_{\mathfrak{p}|p} s_{\mathfrak{p}} = 1\} \simeq (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{d-1}$ et où $H_{K/k}$ est le $p$-corps des genres de $K$ défini comme la sous-extension maximale de $H_K$, Abélienne sur $k$, selon le schéma suivant, $H_{K/k}$ étant fixé par l'image, par l'application d'Artin, de $\mathcal{O}_K^{1-\sigma}$, où $\sigma := \sigma_n$ est un générateur de $G$ (en effet, le groupe des commutateurs $[\Gamma, \Gamma]$ de $\Gamma = \text{Gal}(H_K/k)$ est
CONJECTURE DE GREENBERG

Gal$(H_K/K)^{1-\sigma}$, $\Gamma$/Gal$(H_K/K)$ étant cyclique) :

$$
\[
K = k_n \mathrel{\substack{\longrightarrow \\ \longleftarrow}} KH_k \frac{\prod_{\mathfrak{p}|p} s'_\mathfrak{p}}{H_k} H_{K/k} \xrightarrow{\approx \alpha_K^{1-\sigma}} H_K
\]
\[
G = G_n \mathrel{\substack{\longrightarrow \\ \longleftarrow}} H_k \quad \left( \langle I_p(H_{K/k}/k) \rangle_{\mathfrak{p}|p} \right)
\]
$$

L'image de $\omega$ est contenue dans $\Omega(K/k)$ et l'application $\pi := \pi_n$ est
ainsi définie : à $(s_\mathfrak{p})_\mathfrak{p} \in \bigoplus_{\mathfrak{p}|p} I_\mathfrak{p}(K/k)$, $\pi$ associe le produit $\prod_{\mathfrak{p}|p} s'_\mathfrak{p}$ des
relèvements $s'_\mathfrak{p}$ des $s_\mathfrak{p}$ dans les groupes d'inertie $I_\mathfrak{p}(H_{K/k}/k)$ qui engendrent
Gal$(H_{K/k}/H_k)$ ; il résulte de la formule du produit que si $(s_\mathfrak{p})_\mathfrak{p}$ est dans
$\Omega(K/k)$, $\prod_{\mathfrak{p}|p} s'_\mathfrak{p}$ fixe à la fois $H_k$ et $K$, donc $KH_k$.

On a ainsi $\pi(\Omega(K/k)) = \text{Gal}(H_{K/k}/KH_k)$ et $\text{Ker}(\pi) = \omega(E_k)$.

On a, comme attendu, $[H_{K/k} : K] = \frac{\#\mathcal{A}_K}{\#\mathcal{A}_K^{1-\sigma}} = \#\mathcal{C}_K^G$. On montrera que
ce degré $[H_{K/k} : K]$ (et donc $\#\mathcal{C}_K^G$) est constant à partir du rang $n = e$
(i.e., $[K : \mathbb{Q}] \ge p^e$) donné par l'exposant $p^e$ du groupe de torsion de
Gal$(H_k^{\text{pr}}/H_k)$, où $H_k^{\text{pr}}$ est la pro-$p$-extension Abélienne $p$-ramifiée maxi-
male de $k$, et que ce degré est égal à $\#\mathcal{T}_k$, où $\mathcal{T}_k$ est le groupe de torsion
de Gal$(H_k^{\text{pr}}/k)$ (cf. Théorèmes 4.7 et 4.8).

4.2. Calcul effectif des symboles $(\frac{x, k_n/k}{p})$, $n \ge 1$

Soit $x \in k^\times$ et soit $\mathfrak{p} \mid p$ un idéal premier de $k$ au-dessus de $p$ ($x$ n'est pas supposé étranger à $\mathfrak{p}$). Soit $x'_\mathfrak{p} \in k^\times$ (appelé un $\mathfrak{p}$-associé de $x$ relativement à $k_n/k$; on ne fait provisoirement aucune hypothèse sur la décomposition de $p$ et si $\mathfrak{p} \mid p$ est unique, $x$ est son propre associé) tel que (théorème des restes chinois) :

$$
(i) x'_{\mathfrak{p}} x^{-1} \equiv 1 \pmod{\mathfrak{p}^{n+1}},
$$

$$
\text{(ii) } x'_{\mathfrak{p}} \equiv 1 \pmod{\mathfrak{p}^{n+1}}, \text{ pour tout } \mathfrak{p}' \mid p, \mathfrak{p}' \neq \mathfrak{p}.
$$

Par la formule du produit, on a $(\frac{x'_p, k_n/k}{p}) = \prod_{\mathfrak{q}, \mathfrak{q} \neq \mathfrak{p}} (\frac{x'_\mathfrak{p}, k_n/k}{\mathfrak{q}})^{-1}$, et
comme $(\frac{x, k_n/k}{p}) = (\frac{x'_\mathfrak{p}, k_n/k}{p})$ d'après (i) et la définition du $\mathfrak{p}$-conducteur
de $k_n/k$, $(\frac{x, k_n/k}{p}) = \prod_{\mathfrak{q}, \mathfrak{q} \neq \mathfrak{p}} (\frac{x'_\mathfrak{p}, k_n/k}{\mathfrak{q}})^{-1}$. Calculons les symboles de ce
produit :
• si $\mathfrak{q} = \mathfrak{p}' \mid p, \mathfrak{p}' \neq \mathfrak{p}, x_{\mathfrak{p}}' \equiv 1 \pmod{\mathfrak{p}^{n+1}}$ et on a $\left(\frac{x_{\mathfrak{p}}', k_n/k}{\mathfrak{p}'}\right) = 1$,

• si $\mathfrak{q} \nmid p, \mathfrak{q}$ est non ramifié et dans ce cas, $\left(\frac{x_{\mathfrak{p}}', k_n/k}{\mathfrak{q}}\right) = \left(\frac{k_n/k}{\mathfrak{q}}\right)^{v_{\mathfrak{q}}(x_{\mathfrak{p}}')}$ (où $\left(\frac{k_n/k}{\mathfrak{q}}\right)$ est le symbole de Frobenius de $\mathfrak{q}$ et $v_{\mathfrak{q}}$ la valuation $\mathfrak{q}$-adique).

Finalement, $\left(\frac{x, k_n/k}{p}\right) = \prod_{\mathfrak{q} \nmid p} \left(\frac{k_n/k}{\mathfrak{q}}\right)^{-v_{\mathfrak{q}}(x_{\mathfrak{p}}')}$. Posons $\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x) = \prod_{\mathfrak{q} \nmid p} \mathfrak{q}^{v_{\mathfrak{q}}(x_{\mathfrak{p}}')}$ ($\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x)$ est étranger à $p$), alors on a $(x_{\mathfrak{p}}') =: \mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(x_{\mathfrak{p}}')} \mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x) = \mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(x)} \mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x)$, et on a obtenu $\left(\frac{x, k_n/k}{p}\right) = \left(\frac{k_n/k}{\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x)}\right)^{-1}$ (inverse du symbole d'Artin de $\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x)$). On vérifie que $(\frac{k_n/k}{\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x)})$ ne dépend pas du choix de $x_{\mathfrak{p}}'$. Si $v_{\mathfrak{p}}(x) = 0$, alors $\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x) = (x_{\mathfrak{p}}')$. En dépit des notations, $(x_{\mathfrak{p}}')$ et $\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x)$ dépendent de $n \ge 1$.

D'après le théorème de relèvement normique dans $k/\mathbb{Q}$, l'image canonique de $(\frac{k_n/k}{\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x)}) \in G_n$ dans Gal($\mathbb{Q}_n/\mathbb{Q}$) $\simeq \{a \in (\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z})^\times, a \equiv 1 \pmod{p}\}$, isomorphe à $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$, est le symbole d'Artin $(\frac{\mathbb{Q}_n/\mathbb{Q}}{N_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x))})$ qui caractérise $(\frac{k_n/k}{\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x)})$ par relèvement, et où $N_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x)) > 0$ (norme absolue).

**Définition 4.1.**

(i) Si $x \in k^\times$ est étranger à $p$, on définit les coefficients $\delta_{\mathfrak{p}}(x)$, $\mathfrak{p} \mid p$, par la relation : $(x^{p-1} - 1) = p \cdot \prod_{\mathfrak{p} \mid p} \mathfrak{p}^{\delta_{\mathfrak{p}}(x)} \cdot \mathfrak{b}_{\mathfrak{p}}, \mathfrak{b}_{\mathfrak{p}}$ étranger à $p$.

(ii) Si $x \in k^\times$ n'est pas étranger à $p$, on définit les coefficients $\delta_{\mathfrak{p}}(x)$ par les relations : $((x \cdot p^{-v_{\mathfrak{p}}(x)})^{p-1} - 1) = \mathfrak{p} \cdot \mathfrak{p}^{\delta_{\mathfrak{p}}(x)} \cdot \mathfrak{b}_{\mathfrak{p}}, \mathfrak{b}_{\mathfrak{p}}$ étranger à $\mathfrak{p}, \mathfrak{p} \mid p$.

Ces définitions peuvent s'exprimer en termes de valuations logarithmiques conduisant aux groupes de classes logarithmiques introduits par Jaulent (cf. [30] ainsi que [3] pour les aspects numériques, et [16, §III.5] pour des généralités logarithmiques et cyclotomiques liées à la conjecture de Gross). Jaulent ([31, Thm. 7]) montre que la conjecture de Greenberg équivaut à la capitulation du $p$-groupe des classes logarithmiques de $k$ dans $k_\infty$.

On suppose désormais $p$ totalement décomposé dans $k$.
CONJECTURE DE GREENBERG

**Lemme 4.2.** Soit $x \in k^\times$ étranger à $p$ et soit $\mathfrak{p} \mid p$ fixé. Soit $\mathfrak{a}_p(x) = (x'_p)$, où $x'_p$ est un $\mathfrak{p}$-associé de $x$ relativement à $k_n/k$. Alors $N_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a}_p(x)) \equiv x \pmod{\mathfrak{p}^{n+1}}$ et, pour tout $n \ge \delta_p(x)$, $\frac{1}{p} \cdot \log(N_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a}_p(x))) \equiv \alpha_p(x) \cdot p^{\delta_p(x)} \pmod{p^n}$, $\alpha_p(x) \in \mathbb{Z}_p^\times$.

*Démonstration.* On peut écrire (i) et (ii) définissant $x'_p$, sous la forme :

$$ (i') \quad x'_{\mathfrak{p}} x^{-1} \equiv 1 \pmod{\mathfrak{p}^{n+1}}, $$

$$ (ii') \quad x'_{\mathfrak{p}} \equiv 1 \pmod{\tau^{-1}\mathfrak{p}^{n+1}}, \text{ pour tout } \tau \in \text{Gal}(k/\mathbb{Q}), \tau \neq 1. $$

On a $N_{k/\mathbb{Q}}(x'_p) = \prod_{\tau \in \text{Gal}(k/\mathbb{Q})} (\tau x'_p) = x'_p \cdot \prod_{\tau \neq 1} (\tau x'_p)$ qui conduit à :

$$ N_{k/\mathbb{Q}}(x'_p) \equiv x \pmod{\mathfrak{p}^{n+1}}. $$

Donc, pour $n > \delta_p(x)$, il vient en élevant la congruence ci-dessus à la puissance $p-1$ :

$$ v_{\mathfrak{p}}(N_{k/\mathbb{Q}}(x'_{\mathfrak{p}})^{p-1} - 1) = v_{\mathfrak{p}}(x^{p-1} - 1) = \delta_{\mathfrak{p}}(x) + 1; $$

mais comme $N_{k/\mathbb{Q}}(x'_p)$ est rationnel, on a $v_{\mathfrak{p}}(N_{k/\mathbb{Q}}(x'_p)^{p-1} - 1) = \delta_{\mathfrak{p}}(x) + 1$, d'où le lemme en prenant le « logarithme normalisé » $\frac{1}{p} \cdot \log$ (ce qui donne 0 modulo $p^n$ si $n \le \delta_{\mathfrak{p}}(x)$). $\square$

Le cas $v_{\mathfrak{p}}(x) \neq 0$ se traite comme suit et couvre tous les cas :

**Lemme 4.3.** Soient $\mathfrak{p} \mid p$ fixé et $x'_p$ un $\mathfrak{p}$-associé de $x$ relativement à $k_n/k$; soit $\mathfrak{a}_p(x) = (x'_p) \cdot \mathfrak{p}^{-v_{\mathfrak{p}}(x)}$. Alors on a $N_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a}_p(x)) \equiv x \cdot p^{-v_{\mathfrak{p}}(x)} \pmod{\mathfrak{p}^{n+1}}$, et on a, pour tout $n \ge \delta_{\mathfrak{p}}(x)$, $\frac{1}{p} \cdot \log(N_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a}_p(x))) \equiv \alpha_{\mathfrak{p}}(x) \cdot p^{\delta_{\mathfrak{p}}(x)} \pmod{p^n}$, $\alpha_{\mathfrak{p}}(x) \in \mathbb{Z}_p^\times$.

*Démonstration.* On a $N_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a}_p(x)) = N_{k/\mathbb{Q}}(x'_p) \cdot p^{-v_{\mathfrak{p}}(x)}$; on est ramené au calcul précédent via (i'), (ii'), où l'on aura $N_{k/\mathbb{Q}}(x'_p) x^{-1} \equiv 1 \pmod{\mathfrak{p}^{n+1}}$. D'où $N_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a}_p(x)) \equiv x \cdot p^{-v_{\mathfrak{p}}(x)} \pmod{\mathfrak{p}^{n+1}}$ qui conduit, pour $n > \delta_{\mathfrak{p}}(x)$, à :

$$ v_{\mathfrak{p}}(N_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x))^{p-1} - 1) = v_{\mathfrak{p}}((x \cdot p^{-v_{\mathfrak{p}}(x)})^{p-1} - 1) = \delta_{\mathfrak{p}}(x) + 1, $$

et à une conclusion analogue pour l'expression du logarithme. $\square$

Vu comme élément de $\{a \in (\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z})^\times, a \equiv 1 \pmod{p}\}$, l'automorphisme $(\mathbb{Q}_n/\mathbb{Q} / N_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a}_p(x)))$ est représenté sous forme additive par le logarithme
normalisé $\frac{1}{p} \cdot \log \text{ de } N_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x)) > 0$. On identifie cet automorphisme à :

$$ \frac{1}{p} \cdot \log(\mathrm{N}_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}}(x))) := \alpha_{\mathfrak{p}}(x) \cdot p^{\delta_{\mathfrak{p}}(x)} \pmod{p^n}, \quad \alpha_{\mathfrak{p}}(x) \in \mathbb{Z}_{\mathfrak{p}}^{\times}. $$

On peut énoncer en résumé :

**Théorème 4.4.** Soit $k$ Galoisien réel et soit $p > 2$ un nombre premier totalement décomposé dans $k$. Soit $k_{\infty}$ la $\mathbb{Z}_p$-extension cyclotomique de $k$ et, pour tout $n \ge 0$, soit $k_n$ le sous-corps de $k_{\infty}$ de degré $p^n$ sur $k$.

Soit $x \in k^\times$ et soient $\delta_p(x) \ge 0$, pour tout $\mathfrak{p} \mid p$, les entiers définis par $\delta_p(x) + 1 := v_p((x p^{-v_p(x)})^{p-1} - 1)$ (cf. Définition 4.1) :

(i) Alors $x$ est norme locale en $\mathfrak{p} \mid p$ dans $k_n/k$ si et seulement si $\delta_{\mathfrak{p}}(x) \ge n$.

(ii) Soit $x'_{\mathfrak{p}}$ un $\mathfrak{p}$-associé de $x$ relativement au calcul du symbole $(\frac{x, k_n/k}{\mathfrak{p}})$. Si $\delta_{\mathfrak{p}}(x) \le n$, l'ordre et l'image de $(\frac{x, k_n/k}{\mathfrak{p}})$ dans $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}_n/\mathbb{Q})$ sont $p^{n-\delta_{\mathfrak{p}}(x)}$ et $\frac{1}{p} \cdot \log(\mathrm{N}_{k/\mathbb{Q}}((x'_{\mathfrak{p}}) \cdot p^{-v_{\mathfrak{p}}(x)})) =: \alpha_{\mathfrak{p}}(x) \cdot p^{\delta_{\mathfrak{p}}(x)} \pmod{p^n}$, $\alpha_{\mathfrak{p}}(x) \in \mathbb{Z}_{\mathfrak{p}}^{\times}$.

(iii) On a $\delta_{\mathfrak{p}}(\tau x) = \delta_{\tau^{-1}\mathfrak{p}}(x)$ pour tout $\mathfrak{p} \mid p$ et $\tau \in \mathrm{Gal}(k/\mathbb{Q})$.

Soit $\mathcal{N}_k^n$ le sous-groupe des $x \in k^\times$ partout normes locales dans $k_n/k$ en dehors de $p$. D'après l'étude et le calcul effectif des symboles de Hasse vus précédemment, on peut identifier $\omega_n$ (cf. §4.1), qui à $x \in \mathcal{N}_k^n$ associe la famille des symboles de Hasse $((\frac{x, k_n/k}{\mathfrak{p}}))_{\mathfrak{p}|p}$ dans $\Omega(k_n/k)$, à l'application :

$$ \omega'_n : \mathcal{N}_k^n \to \prod_{\mathfrak{p}|p} \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z} \\ x \mapsto (\alpha_{\mathfrak{p}}(x) \cdot p^{\delta_{\mathfrak{p}}(x)} \pmod{p^n})_{\mathfrak{p}|p} $$

dont l'image est dans l'ensemble des $(\alpha_{\mathfrak{p}} \cdot p^{\delta_{\mathfrak{p}}})_{\mathfrak{p}|p} \in \prod_{\mathfrak{p}|p} \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}$ vérifiant la relation $\sum_{\mathfrak{p}|p} \alpha_{\mathfrak{p}} \cdot p^{\delta_{\mathfrak{p}}} \equiv 0 \pmod{p^n}$ (formule du produit sur les $p$-places).

**Corollaire 4.5.** Si $x \in k^\times$ est partout norme locale en dehors de $p$ dans $k_n/k$ (i.e., $(x)$ norme d'un idéal de $k_n$), il est alors partout norme locale (donc norme globale dans $k_n/k$) si et seulement si $\delta_{\mathfrak{p}}(x) \ge n$ pour tout $\mathfrak{p} \mid p$ (sauf un en raison de la formule du produit).
CONJECTURE DE GREENBERG

D'un point de vue heuristique on a, a priori, $\delta_p(x) \ge r$ avec la probabilité $\frac{1}{p^r}$, de sorte qu'en général $(\frac{x, k_n/k}{p}) = (\frac{k_n/k}{a_p(x)})^{-1}$ est un générateur de $G_n$, ce qui est très favorable pour la conjecture de Greenberg comme le montre, par exemple, le Théorème 3.4 où le point (ii) est satisfait dès que l'on a suffisamment de $S_k$-unités dont les symboles engendrent $G_1$. Cependant, le cas de $x \in k^\times$ partout norme locale en dehors de $p$ dans $k_n/k$ montre que les $\delta_p(x)$ ne sont pas indépendants en raison de la formule du produit (considérée comme unique); pour $x$ étranger à $p$, ceci implique $N_{k/\mathbb{Q}}(x)^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^{n+1}}$, car le symbole d'Artin de $N_{k/\mathbb{Q}}(x)$ dans $\mathbb{Q}_n/\mathbb{Q}$ est égal à 1.

**Proposition 4.6.**

(i) Soit $\Lambda$ un sous-groupe de $k^\times$ tel que tout $x \in \Lambda$ soit partout norme locale en dehors de $p$ dans $k_n/k$, pour $n \ge 1$ donné (i.e., $(x)$ norme d'un idéal de $k_n$). On suppose que $(\Lambda : \Lambda \cap N_{k_1/k}(k_1^\times)) = p^{d-1}$; alors on a $(\Lambda : \Lambda \cap N_{k_n/k}(k_n^\times)) = p^{n \cdot (d-1)}$.

(ii) Si $\Lambda$ est un sous-groupe de $E_k^{S_k}$, on a $(\Lambda : \Lambda \cap N_{k_n/k}(k_n^\times)) = p^{n \cdot (d-1)}$ pour tout $n \ge 1$ dès que ceci est vrai pour $n=1$.

*Démonstration.* L'hypothèse signifie $\omega_1(\Lambda) = \Omega(k_1/k)$ (cf. §4.1). Il existe donc des éléments $x_j \in \Lambda$, $1 \le j \le d-1$, tels que :

$$ \Omega(k_1/k) = \bigoplus_{j=1}^{d-1} \langle \omega_1(x_j) \rangle; $$

les $\omega_1(x_j)$ sont les images canoniques des $\omega_\infty(x_j) := ((\frac{x_j, k_\infty/k}{p}))_{p|p}$ (par restriction des symboles de Hasse) qui constituent une $\mathbb{Z}_p$-base topologique d'un sous-$\mathbb{Z}_p$-module (de dimension $d-1$) de $\text{Gal}(k_\infty/k)^d \simeq \mathbb{Z}_p^d$ car toute relation $\prod_{j=1}^{d-1} \omega_\infty(x_j)^{a_j} = 1$, $a_j \in \mathbb{Z}_p$ non tous divisibles par $p$, conduit par restriction à une relation non triviale au niveau $n=1$.

Au niveau $n$, $\omega_n(\Lambda) = \bigoplus_{j=1}^{d-1} \langle \omega_n(x_j) \rangle$ d'ordre $p^{n \cdot (d-1)}$. Mais pour $m > n$, les $x \in \Lambda$ ne sont plus nécessairement normes locales en dehors de $p$ dans $k_m/k$ et donc $\omega_m(x)$ n'est plus nécessairement dans $\Omega(k_m/k)$.

Pour $\Lambda \subseteq E_k^{S_k}$, la condition de normes locales en dehors de $p$ dans $k_n/k$ est satisfaite pour tout $n$ et dans ce cas, les $\omega_\infty(x_j)$ engendrent $\Omega(k_\infty/k)$. $\square$
### 4.3. Groupe de torsion de la $p$-ramification Abélienne

Soit $\mathcal{T}_k$ le groupe de torsion du groupe de Galois de la pro-$p$-extension Abélienne $p$-ramifiée maximale $H_k^{pr}$ de $k$.

On a, en désignant par $U_k := \prod_{\mathfrak{p}|p} U_{\mathfrak{p}}$ (où $U_{\mathfrak{p}} = 1 + \mathfrak{p}$) le groupe des unités locales principales de $k$, et par $\bar{E}_k$ l'adhérence de $E_k$ dans $U_k$ ou plus précisément l'image dans $U_k$ de $E_k \otimes \mathbb{Z}_p$, la suite exacte classique :

$$1 \to \operatorname{tor}_{\mathbb{Z}_p}(U_k/\bar{E}_k) \to \mathcal{T}_k \to \mathcal{O}_k \to 1,$$

puisqu'ici $H_k \cap k_\infty = k$. En appliquant la formule analytique donnant $\#\mathcal{T}_k$ dans le cas réel sous la conjecture de Leopoldt (cf. [6, Appendix], [41], [16, Rem. III.2.6.5 (i)]), en tenant compte du fait que $p$ est totalement décomposé dans $k$, que $\frac{1}{p} \prod_{\mathfrak{p}|p} N_{k/\mathbb{Q}}(\mathfrak{p}) = p^{d-1}$, et que le régulateur $p$-adique normalisé $R_k$ est le régulateur $p$-adique classique divisé par $p^{d-1}$, on a $\#\operatorname{tor}_{\mathbb{Z}_p}(U_k/\bar{E}_k) \sim R_k$ (voir aussi [19]).

Par abus, nous écrirons que ce régulateur $R_k$ est égal à $p^{v_p(R_k)}$ bien qu'il soit (sous la conjecture de Leopoldt) un élément non nul de $\mathbb{Z}_p$ défini à une unité $p$-adique près. Posons $U_k^* := \{u \in U_k, N_{k/\mathbb{Q}}(u) = 1\}$. De fait, on a

$$\operatorname{tor}_{\mathbb{Z}_p}(U_k/\bar{E}_k) = U_k^*/\bar{E}_k,$$

car si $u^p \in \bar{E}_k$, alors $N_{k/\mathbb{Q}}(u) = 1$ puisque $N_{k/\mathbb{Q}}(\bar{E}_k) = \{1\}$ et que $U_k$ est sans $p$-torsion; enfin, $U_k^*$ est un $\mathbb{Z}_p$-module libre de rang $d-1$ dans lequel $\bar{E}_k$ est d'indice fini (conjecture de Leopoldt). D'où finalement :

$$\#\mathcal{T}_k = \#\mathcal{O}_k \cdot \#(U_k^*/\bar{E}_k) \quad \& \quad \#(U_k^*/\bar{E}_k) = R_k. \qquad (4.2)$$

**Théorème 4.7.** Soit $k$ Galoisien réel de degré $d$ dans lequel $p > 2$ est totalement décomposé. On suppose que la conjecture de Leopoldt est vraie pour $p$ dans $k$. Soit $\mathcal{T}_k$ le groupe de torsion du groupe de Galois de la pro-$p$-extension Abélienne $p$-ramifiée maximale $H_k^{pr}$ de $k$ et soit $p^e$ l'exposant de $U_k^*/\bar{E}_k$.

(i) Pour tout $n$, il existe une injection $\psi_n$ de $E_k \cap N_{k_n/k}(k_n^\times)/E_k^{p^n}$ dans $U_k^*/\bar{E}_k$ ; par conséquent $\frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(E_k : E_k \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))}$ divise $R_k$ et il en résulte que $\#\mathcal{O}_{k_n}^{G_n} = \#\mathcal{O}_k \cdot \frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(E_k : E_k \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))}$ divise $\#\mathcal{T}_k$ (cf. Relation (4.2)).

(ii) Pour tout $n \ge e$, l'application $\psi_n$ est surjective, et alors les divisibilités précédentes sont des égalités. En particulier on a $\#\mathcal{O}_{k_n}^{G_n} =$
CONJECTURE DE GREENBERG

\#T_k et la suite exacte

$$1 \to E_k^{p^n} \to E_k \cap N_{k_n/k}(k_n^\times) \xrightarrow{\psi_n} U_k^* / \overline{E}_k \to 1.$$

(iii) Si l'on peut trouver $n_0 \ge e$ tel que le critère de Greenberg soit vérifié en $n_0$ (i.e., $\mathcal{L}_{k_{n_0}}^{G_{n_0}} = \mathcal{L}_{k_{n_0}}(S_{k_{n_0}})$, alors il est vérifié pour tout $n \ge n_0$ et il en résulte que $\lambda = \mu = 0$.

Démonstration. Nous supposerons dans la suite que tout nombre étranger à $p$ est de fait congru à 1 modulo $p$ (quitte à l'élever à la puissance $p-1$). Soit $\varepsilon \in E_k \cap N_{k_n/k}(k_n^\times)$; par conséquent on a $\delta_p(\varepsilon) \ge n$ pour tout $p \mid p$ (Corollaire 4.5). Donc $\varepsilon = u^{p^n}$, où $u \in U_k^*$ est unique.

(α) (définition de $\psi_n$). Soit $\psi_n$ l'application qui à $\varepsilon \in E_k \cap N_{k_n/k}(k_n^\times)$ associe la classe de $u$ dans $U_k^* / \overline{E}_k$. L'application $\psi_n$ est bien définie.

(β) (calcul de Ker($\psi_n$)). Si $u_0 \in \overline{E}_k$, alors $\varepsilon \in (\overline{E}_k)^{p^n}$ est arbitrairement proche d'un élément de $E_k^{p^n}$; en effet, $\varepsilon = \varepsilon_N^{p^n} \cdot u_N$, $\varepsilon'_N \in E_k$, $u_N \to 1$ dans $E_k$ pour $N \to \infty$ (e.g., $u_N \equiv 1 \pmod{p^{N+1}}$), d'où $u_N \in E_k^{p^n}$ (conjecture de Leopoldt [16, Thm. III.3.6.2(iv)] en lien avec la constante de Kummer-Leopoldt [1], [19]); d'où $\varepsilon \in E_k^{p^n}$ et Ker($\psi_n$) = $E_k^{p^n}$. À ce stade, puisque $(E_k : E_k^{p^n}) = p^{n \cdot (d-1)}$, on obtient pour tout $n$ les divisibilités du (i).

(γ) (surjectivité pour $n \ge e$). Soit $u \in U_k^*$ et écrivons que $u^{p^e} \in \overline{E}_k$; pour tout $N \gg 0$, il existe $\varepsilon'_N \in E_k$ tel que $u^{p^e} = \varepsilon'_N \cdot u_N$, $u_N \to 1$. D'où $u_N = u_1^{p^N} = (u_1^{p^e})^{p^{N-e}}$, $u_1 \in U_k^*$ et $u_1^{p^e} := \bar{\varepsilon} \in \overline{E}_k$ par définition de $e$. Donc $u_N = \bar{\varepsilon}^{p^e}$ pour $N \gg 0$, auquel cas $u^{p^e} = \varepsilon'_N \cdot \bar{\varepsilon}^{p^e}$; par conséquent il existe $u' = u \cdot \bar{\varepsilon}'^{-1}$ dans la classe de $u'$ donc de $u$ modulo $\overline{E}_k$ tel que $u'^{p^e} = \varepsilon'_N$. Posons $\varepsilon := \varepsilon_N^{p^{n-e}} = u'^{p^n}$ (car $n \ge e$); étant partout norme locale, $\varepsilon \in N_{k_n/k}(k_n^\times)$ et $\psi_n(\varepsilon)$ est la classe de $u$ modulo $\overline{E}_k$.

D'où la surjectivité de $\psi_n$, puis $\frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(E_k : E_k \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))} = \#(U_k^* / \overline{E}_k) = R_k$, et finalement $\#\mathcal{L}_{k_n}^{G_{k_n}} = \#T_k$.

(δ) (calcul direct de l'ordre pour $n \ge e$). Puisque $p^e$ annule $U_k^* / \overline{E}_k$, on a pour $n \ge e$, $U_k^* / \overline{E}_k = U_k^* / U_k^{*p^n} \overline{E}_k$ et la suite exacte :

$$1 \to \overline{E}_k / \overline{E}_k \cap U_k^{*p^n} \to U_k^* / U_k^{*p^n} \to U_k^* / U_k^{*p^n} \overline{E}_k \to 1.$$
On a $\overline{E}_k/\overline{E}_k \cap U_k^{*p^n} = E_k/E_k \cap U_k^{*p^n}$; or $E_k \cap U_k^{*p^n} = E_k/E_k \cap N_{k_n/k}(k_n^\times)$; d'où le résultat puisque $\#(U_k^*/U_k^{*p^n}) = p^{n\cdot(d-1)}$.

(ε) (effectivité du critère de Greenberg). Posons $M_1^n := \mathcal{L}_{k_n}^{G_n}$ pour tout $n \ge 0$; alors $\#M_1^n = \#\mathcal{T}_k$ pour tout $n \ge e$. Soit $n \ge n_0$ et posons $M_1' := \mathcal{L}_{k_n}(S_{k_n}) \subseteq M_1^n$; par la norme $N' := N_{k_n/k_{n_0}}$ il vient $N'(M_1') = M_1^{n_0}$, car $N'(S_{k_n}) = S_{k_{n_0}}$. En raison des ordres, il en résulte que $N'$ induit un isomorphisme $M_1' \simeq M_1^{n_0}$, d'où $M_1' = M_1^n = \mathcal{L}_{k_n}(S_{k_n})$ pour tout $n \ge n_0$, d'où $\lambda = \mu = 0$ (Théorème 2.1). $\square$

**Théorème 4.8.** Soit $k$ Galoisien réel de degré $d$ dans lequel $p > 2$ est totalement décomposé. On suppose que la conjecture de Leopoldt est vraie pour $p$ dans $k$. Soit $\mathcal{T}_k$ le groupe de torsion du groupe de Galois de la pro-$p$-extension Abélienne $p$-ramifiée maximale $H_k^{\text{pr}}$ de $k$ et soit $p^e$ l'exposant de $U_k^*/\overline{E}_k$. Soit $H_{k_n/k}$ le $p$-corps des genres de $k_n$ (cf. §4.1).

(i) On a $[H_{k_n/k} : k_n] = \#\mathcal{T}_k$, pour tout $n \ge e$.

(ii) On a $k_\infty H_{k_\infty/k} = H_k^{\text{pr}}$ et l'extension $H_k^{\text{pr}}/k_\infty$ est non ramifiée.(1)

(iii) Soit $\Lambda \supseteq E_k$ un sous-groupe de $k^\times$ tel que tout $x \in \Lambda$ soit norme locale dans $k_n/k$ en dehors de $p$, pour un entier $n \ge 0$ donné (i.e., (x) norme d'un idéal de $k_n$). Alors $\frac{p^{n\cdot(d-1)}}{(\Lambda:\Lambda \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))}$ divise $R_k$.

Pour $E_k \subseteq \Lambda \subseteq E_k^{S_k}$, cette divisibilité a lieu pour tout $n$.

**Démonstration.** Considérons les $p$-corps des genres $H_{k_e/k}$ et $H_{k_n/k}$; on a $H_{k_e/k}k_n \subseteq H_{k_n/k}$ en raison de la totale ramification de $p$ dans $k_\infty/k$ et de l'Abélianité de $H_{k_e/k}k_n/k$. D'où la valeur stationnaire du degré $[H_{k_n/k} : k_n]$ puisque $[H_{k_n/k} : k_n] = \#\mathcal{L}_{k_n}^{G_n}$ et que $\#\mathcal{L}_{k_n}^{G_n} = \#\mathcal{T}_k$ pour tout $n \ge e$ d'après le Théorème 4.7 (ii). D'où (i) et par conséquent (ii).

Montrons maintenant (iii). On a les injections canoniques

$$E_k/E_k \cap N_{k_n/k}(k_n^\times) \hookrightarrow \Lambda/\Lambda \cap N_{k_n/k}(k_n^\times) \hookrightarrow \Omega(k_n/k) \simeq (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{d-1},$$

car les symboles de Hasse en $p$ (pour $k_n/k$) des $x \in \Lambda$ vérifient la formule du produit par hypothèse.

<footnote>(1) Ce résultat est démontré dans [47, Thm. 1.1, Lem. 2.3] par introduction du corps des genres. Voir aussi les approches de [31] et [37].</footnote>
CONJECTURE DE GREENBERG

Donc $\frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(\Lambda : \Lambda \cap \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times))}$ divise $\frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(E_k : E_k \cap \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times))}$, lequel divise $R_k$ (Théorème 4.7(i)). $\square$

Remarque 4.9. La théorie des genres dit que l'image par $\pi_n$ de $\Omega(k_n/k)$ est $\text{Gal}(H_{k_n/k}/k_n H_k)$ et que le noyau de $\pi_n$ est $\omega_n(E_k) \subseteq \Omega(k_n/k)$, où $\omega_n(\varepsilon) = ((\varepsilon, k_n/k))_{\mathfrak{p}|p}$ pour tout $\varepsilon \in E_k$ et $\#\omega_n(E_k) = (E_k : E_k \cap \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times))$; en introduisant le sous-groupe $\mathcal{N}_k^n$ des $x \in k^\times$ partout norme locale dans $k_n/k$ en dehors de $p$, on a $\Omega(k_n/k) = \omega_n(\mathcal{N}_k^n) \simeq (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^{d-1}$, et $\pi_n(\Omega(k_n/k)) = \pi_n \circ \omega_n(\mathcal{N}_k^n) = \text{Gal}(H_{k_n/k}/k_n H_k)$. Ainsi, pour tout $n \ge 0$ fixé, l'application :

$$ \theta_n := \pi_n \circ \omega_n : \mathcal{N}_k^n \xrightarrow{\omega_n} \Omega(k_n/k) \xrightarrow{\pi_n} \text{Gal}(H_{k_n/k}/k_n H_k) $$

est surjective de $\mathcal{N}_k^n$ sur $\text{Gal}(H_{k_n/k}/k_n H_k)$ et de noyau $E_k \cdot \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times)$.

Par conséquent, l'image par $\theta_n$ d'un sous-groupe $\Lambda$ de $\mathcal{N}_k^n$ contenant $E_k$ est un sous-groupe de $\text{Gal}(H_{k_n/k}/k_n H_k)$ isomorphe à $\omega_n(\Lambda)/\omega_n(E_k)$, où $\#\omega_n(\Lambda) = (\Lambda : \Lambda \cap \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times))$. Autrement dit, on a la suite exacte :

$$ 1 \to E_k/E_k \cap \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times) \xrightarrow{\theta_n} \Lambda/\Lambda \cap \mathbb{N}_{k_n/k}(k_n^\times) \xrightarrow{\theta_n} \theta_n(\Lambda) \subseteq \text{Gal}(H_{k_n/k}/k_n H_k) \to 1. $$

L'image par $\pi_n$ d'un sous-groupe de $\bigoplus_{\mathfrak{p}|p} I_{\mathfrak{p}}(k_n/k)$, non contenu dans $\Omega(k_n/k)$, n'est pas nécessairement dans $\text{Gal}(H_{k_n/k}/k_n H_k)$ par absence de la formule du produit sur les $p$-places.

**Théorème 4.10.** Soit $\mathcal{N}_k^n$, pour $n \ge 0$ fixé, le sous-groupe des $x \in k^\times$ partout norme locale en dehors de $p$ dans $k_n/k$ (i.e., $(x)$ norme d'un idéal de $k_n$) et soit $\theta_n := \pi_n \circ \omega_n$ (cf. §4.1 et Remarque 4.9).

(i) Pour tout sous-groupe $\Lambda$ de $\mathcal{N}_k^n$ contenant $E_k$, $\theta_n(\Lambda)$ est isomorphe à un sous-groupe de $\text{Gal}(H_{k_n/k}/k_n H_k)$, lequel est isomorphe à un quotient de $\text{Gal}(H_k^{\text{pr}}/k_\infty H_k) \simeq U_k^* / \bar{E}_k \subseteq \mathcal{T}_k$ et $\#\theta_n(\Lambda)$ divise $R_k$. Pour $r \le n$, $\#\theta_r(\Lambda)$ divise $\#\theta_n(\Lambda)$.

(ii) Si $n \ge e$, où $p^e$ est l'exposant de $U_k^* / \bar{E}_k$, alors $\theta_n(\Lambda) \simeq \theta_e(\Lambda)$.

(iii) Si $E_k \subseteq \Lambda \subseteq E_k^{S_k}$, alors les $\#\theta_n(\Lambda)$ forment une $n$-suite croissante (stationnaire à partir de $n = e$) de diviseurs de $R_k$.
*Démonstration.* Soit $r \le n$. Comme $H_{k_r/k} \subseteq H_{k_n/k}$, pour $\mathfrak{p} \mid p$, les symboles $(\frac{x, H_{k_r/k}/H_k}{\mathfrak{p}})$ sont les restrictions des $(\frac{x, H_{k_n/k}/H_k}{\mathfrak{p}})$, et l'image de $\theta_n(x) = \prod_{\mathfrak{p}|p} (\frac{x, H_{k_n/k}/H_k}{\mathfrak{p}})$ dans la surjection canonique :

$$ \mathrm{Gal}(H_{k_n/k}/k_n H_k) \to \mathrm{Gal}(H_{k_r/k}/k_r H_k) $$

est $\theta_r(x)$, et par conséquent on a une surjection $\theta_n(\Lambda) \to \theta_r(\Lambda)$, d'où la relation entre les ordres. Si $n \ge e$, la surjection devient l'isomorphisme :

$$ \mathrm{Gal}(H_{k_n/k}/k_n H_k) \simeq \mathrm{Gal}(H_{k_e/k}/k_e H_k) $$

du Théorème 4.8(i), et $\theta_n(\Lambda)$ est isomorphe à $\theta_e(\Lambda)$ d'où le résultat.

Si $E_k \subseteq \Lambda \subseteq E_k^{S_k}$, ce qui précède est valable quel que soit $n$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

*Remarques 4.11.*

(i) Certains résultats de théorie d'Iwasawa donnent des isomorphismes au niveau infini mettant en jeu le groupe $\mathcal{T}_k$ (cf. [34, Lem. 4.7], [46], [47], [40], [2, Lem. 3.1]), mais en réalité, il y a régularisation à un niveau fini explicite ne dépendant que du régulateur p-adique de $k$.

(ii) Si $\mathcal{T}_k = 1$ (i.e., $k$ est $p$-rationnel, [16, §IV.3], [20], [32], [35]), on a évidemment $\lambda = \mu = \nu = 0$ ; ceci s'applique par exemple au corps cubique étudié dans [48] pour $p = 5$.

On trouvera dans [17] une étude détaillée des régulateurs $p$-adiques qui représentent le facteur crucial puisque $\mathcal{C}_k$ est non trivial uniquement pour un nombre fini de $p$ tandis que c'est seulement conjecturé pour $R_k$.

(iii) On a $\mathcal{T}_k = 1$ si et seulement si $\mathcal{C}_k = R_k = 1$, et alors (sous la conjecture de Leopoldt dans la tour), la formule de points fixes donnant $\#\mathcal{T}_{k_n}^{G_n}$ ([16, Thm. IV.3.3, §IV(b)], [35]) conduit à $\mathcal{T}_{k_n} = 1$ car $k_n/k$ est « $p$-primitivement ramifiée » ($p$-rationalité dans la tour). D'où $\mathcal{C}_{k_n} = 1$ et $R_{k_n} = 1$ pour tout $n \ge 0$.

(iv) Soit $p^e$ l'exposant de $\mathcal{T}_k$. Soit $I_k$ le groupe des idéaux de $k$ étrangers à $p$ et, pour $n \ge \tilde{e}$, soit :

$$ \tilde{E}_k^n := \{x \in k^\times, (x) \in I_k^{p^n}\}. $$
CONJECTURE DE GREENBERG

Alors on peut établir (en utilisant les techniques du §7.4.2) une
suite exacte de la forme :

$$
1 \to \{x \in k^\times, x \text{ étranger à } p\}^{p^n} \to \tilde{E}_k^n \cap \mathrm{N}_{k_n/k}(k_n^\times) \xrightarrow{\tilde{\psi}_n} \mathcal{T}_k \to 1.
$$

Remarques 4.12.

(i) Une $S_k$-unité est norme locale en dehors de $p$ dans $k_n/k$ pour tout $n \ge 0$, tandis que pour $x \notin E_k^{S_k}$ ceci n'est pas possible ; en effet, supposons $(x)$ norme d'un idéal $\mathfrak{A}$ de $k_n$, pour tout $n$, et posons :

$$
(x) = \mathrm{N}_{k_n/k}(\mathfrak{A}) = \mathfrak{A} \cdot \prod_{\mathfrak{p}|p} \mathfrak{p}^{c_{\mathfrak{p}}},
$$

a étranger à p, c_p ≥ 0; si l^c_l est la composante l-primaire de a
pour l'idéal premier l, pour un idéal premier L | l de k_n, il existe
τ_n ∈ Z[G_n] tel que :

$$
\mathcal{I}^{c_l} = \mathbf{N}_{k_n/k}(\mathcal{L}^{\tau_n}) = \mathcal{I}^{f_l^n \cdot \tau_n(1)},
$$

où $f_l^n$ est le degré résiduel de $l$ dans $k_n/k$ et $\tau_n(1) \in \mathbb{Z}$ est l'image de $\tau_n$ par l'application d'augmentation. Les $f_l^n$ étant strictement croissants pour $n \gg 0$, ceci est impossible sauf si $\tau_n(1) = 0$, auquel cas $c_l = 0$ et $x$ est une $S_k$-unité.

Par conséquent, si $x \notin E_k^{S_k}$, il n'y a pas de formule du produit
portant uniquement sur les $p$-places dans $k_n/k$ pour $n$ au-delà
d'une certaine valeur dépendant des degrés résiduels des $l \mid (x)$
dans $k_\infty/k$.

(ii) Le cadre de la conjecture de Greenberg et l'introduction de la filtration des groupes de classes $\mathcal{O}\ell_{k_n}$ par les $\ell\ell_{k_n}(\mathcal{I}_i^n)$ ($\mathcal{I}_i^n$ étrangers à $p$) qui sont les sous-groupes des classes annulées par $(1-\sigma_n)^i$, $0 \le i \le m_n-1$, mettra en jeu les groupes $\Lambda_i^n = \{x \in k^\times, (x) \in \mathrm{N}_{k_n/k}(\mathcal{I}_i^n)\}$ et le calcul des $(\Lambda_i^n : \Lambda_i^n \cap \mathrm{N}_{k_n/k}(k_n^\times))$. Ceci fait l'objet de la Section 6.

Donc $\Lambda_i^n$ ne contiendra pas de $S_k$-unités autres que les unités et l'aspect algorithmique se ramènera à l'étude des $x \in \Lambda_i^n$ et de leurs symboles normiques donnés par leurs quotients de Fermat en les $\mathfrak{p} \mid p$, ce qui constitue une approche différente de la conjecture de Greenberg.
## 5. Aspects numériques – Cas des corps quadratiques réels

Soient $\mathfrak{p}_1$ et $\mathfrak{p}_2$ les deux idéaux premiers de $k = \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ au-dessus de $p$ et $S_k$ leur ensemble. Les $S_k$-unités génératrices modulo les unités sont données par $\pi_1$ et sa $\mathbb{Q}$-conjuguée $\pi_2$, et sont telles que $(\pi_j) = \mathfrak{p}_j^{h_0}$ où $h_0$ est l'ordre de la classe des $\mathfrak{p}_j$, $j = 1, 2$.

**Lemme 5.1.** Soit $\alpha \in k^\times$ étranger à $p$ tel que $N_{k/\mathbb{Q}}(\alpha)^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^{n+1}}$, pour $n \ge 1$; alors on a (cf. **Définition 4.1**) $\delta_{\mathfrak{p}_1}(\alpha) = \delta_{\mathfrak{p}_2}(\alpha)$ ou bien $\delta_{\mathfrak{p}_1}(\alpha) \ge n$ & $\delta_{\mathfrak{p}_2}(\alpha) \ge n$. Donc si $\alpha^{p-1} \not\equiv 1 \pmod{p^{n+1}}$, on a $\alpha^{p-1} = 1 + p \cdot \delta_{\mathfrak{p}_1}(\alpha) \cdot \beta$, avec $\delta_{\mathfrak{p}}(\alpha) < n$ et $\beta$ étranger à $p$.

**Démonstration.** Soient $\omega_j \in k^\times$, $j = 1, 2$, deux nombres conjugués tels que $v_{\mathfrak{p}_j}(\omega_j) = 1$ et $\omega_1 \cdot \omega_2 = p\beta'$, avec $\beta'$ étranger à $p$, et posons $\alpha^{p-1} =: \alpha_1^{p-1} = 1 + p \cdot \omega_1^{\delta_{\mathfrak{p}_1}(\alpha)} \omega_2^{\delta_{\mathfrak{p}_2}(\alpha)} \cdot \beta_1, \beta_1$ étranger à $p$, et soit $\alpha_2$ le conjugué de $\alpha_1$. On a $N_{k/\mathbb{Q}}(\alpha)^{p-1} = (\alpha_1 \cdot \alpha_2)^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^{n+1}}$; donc on obtient :

$$ \omega_1^{\delta_{\mathfrak{p}_1}(\alpha)} \cdot \omega_2^{\delta_{\mathfrak{p}_2}(\alpha)} \cdot \beta_1 + \omega_2^{\delta_{\mathfrak{p}_1}(\alpha)} \cdot \omega_1^{\delta_{\mathfrak{p}_2}(\alpha)} \cdot \beta_2 + p^{1+\delta_{\mathfrak{p}_1}(\alpha)+\delta_{\mathfrak{p}_2}(\alpha)} \cdot \beta_1 \beta_2 \beta'' \equiv 0 \pmod{p^n}; $$

si $\delta_{\mathfrak{p}_1}(\alpha) < n$ ou $\delta_{\mathfrak{p}_2}(\alpha) < n$, il vient nécessairement $\delta_{\mathfrak{p}_1}(\alpha) = \delta_{\mathfrak{p}_2}(\alpha)$. $\square$

**Remarque 5.2.** Dans cette situation, pour les corps quadratiques, les $\delta_{\mathfrak{p}}(\alpha)$ seront notés $\delta_{\mathfrak{p}}(\alpha)$. Ceci vaut pour un $\alpha \in k^\times$ étranger à $p$ et partout norme locale en dehors de $p$ dans $k_n/k$ (i.e., norme d'un idéal de $k_n$); en effet, le conducteur de $\mathbb{Q}_n/\mathbb{Q}$ étant $p^{n+1}$, on a $N_{k/\mathbb{Q}}(\alpha)^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^{n+1}}$.

Pour une unité $\varepsilon$ de $k$, on a (indépendamment de $n$) $\varepsilon^{p-1} = 1 + p \cdot \delta_{\mathfrak{p}}(\varepsilon) \cdot \beta$, $\delta_{\mathfrak{p}}(\varepsilon) \ge 0$, avec $\beta$ étranger à $p$.

### 5.1. Calcul pratique des symboles normiques des $S_k$-unités

Pour le calcul des $(\frac{\pi_j, k_n/k}{\mathfrak{p}_1})$ et $(\frac{\pi_j, k_n/k}{\mathfrak{p}_2})$, $j = 1, 2$, on remarque que les $\pi_j$ sont normes locales en dehors de $p$ et que la formule du produit permet de ne calculer que les $(\frac{\pi_j, k_n/k}{\mathfrak{p}_1})$ par exemple; mais l'action de $\text{Gal}(k/\mathbb{Q}) =$: $\{1, \tau\}$ montre que $(\frac{\tau(\pi_j), k_n/k}{\tau(\mathfrak{p}_1)}) = \tau(\frac{\pi_j, k_n/k}{\mathfrak{p}_1})\tau^{-1} = (\frac{\pi_j, k_n/k}{\mathfrak{p}_1})$.

On est donc ramené au seul calcul de $(\frac{\pi_2, k_n/k}{\mathfrak{p}_1})$ avec $\pi_2$ étranger à $\mathfrak{p}_1$. On a à résoudre le système de congruences définissant un $\mathfrak{p}_1$-associé $x'$ de
CONJECTURE DE GREENBERG

$x = \pi_2$ (pour $n > \delta_{\mathfrak{p}_1}(\pi_2)$):

$$ 
\begin{aligned}
x' &\equiv \pi_2 \pmod{\pi_1^{n+1}}, \\
x' &\equiv 1 \pmod{\pi_2^{n+1}},
\end{aligned} 
\qquad (5.1) 
$$

On détermine une « relation de Bézout » $U_1 \cdot \pi_1^{n+1} + U_2 \cdot \pi_2^{n+1} = 1$, où $U_1, U_2 \in Z_{k,(p)}$ (anneau des $p$-entiers de $k$), ce qui conduit à la solution $x' = U_1 \cdot \pi_1^{n+1} + U_2 \cdot \pi_2^{n+1} \cdot \pi_2 \pmod{p^{n+1}}$. On a $\mathfrak{a}_{\mathfrak{p}_1}(x) = (x')$ dont on prend la norme dans $k/\mathbb{Z}$ pour caractériser le symbole d'Artin pour $k_n/k$; son ordre, dans $(\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z})^\times$, est de la forme $p^{n-\delta_{\mathfrak{p}_1}(\pi_2)}$.

Le cas de $\varepsilon$ est identique à partir du $\mathfrak{p}_1$-associé $x'' = U_1 \cdot \pi_1^{n+1} + U_2 \cdot \pi_2^{n+1} \cdot \varepsilon \pmod{p^{n+1}}$.

## 5.2. Programmes PARI

Le programme ci-dessous (d'après [49]) fournit les informations suivantes : $m, h$ = nombre de classes de $k$, $\varepsilon = u + v\sqrt{m}$ = unité fondamentale de $k$, $u, v \in \mathbb{Z}$ ou $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$, $S_k = \{\pi_1, \pi_2\}$, $z_\pi = p^{-\delta_{\mathfrak{p}_1}(\pi_2)}$ et $z_\varepsilon = p^{-\delta_{\mathfrak{p}}(\varepsilon)}$, et aussi $n_\pi$ et $n_\varepsilon$ qui figurent les symboles de Hasse de $\pi_2$ et $\varepsilon$ dans $\Omega(k_n/k)$.

D'après le Théorème 3.4, la conjecture de Greenberg est vérifiée dès que $\ell_k(S_k) = \ell_k$ et que l'un au moins des nombres $z_\pi$ ou $z_\varepsilon$ est égal à 1 (i.e., $\delta_{\mathfrak{p}_1}(\pi_2) = 0$ ou $\delta_{\mathfrak{p}}(\varepsilon) = 0$) car le symbole de Hasse correspondant engendre $G_n$ pour tout $n$ et de fait on a $\Omega(k_n/k) \simeq G_n$ (si $z_\varepsilon = 1$, c'est que le régulateur normalisé $R_k \sim \frac{1}{p} \log(\varepsilon)$ est égal à 1). En pratique le programme utilise un $n$ de l'ordre de 8 qui suffit largement dans tous les résultats numériques obtenus pour avoir les valeurs exactes de $z_\pi$ et $z_\varepsilon$, mais d'après la Proposition 4.6, il suffit de prendre $n_0 = 1$ (donc $n = n_0 + 1 = 2$ et des calculs modulo $p^2$ seulement) pour obtenir tous les cas où le test est positif (i.e., $z_\pi = 1$ ou $z_\varepsilon = 1$).

Les mentions « PROBLÈME-NORMIQUE » (resp. « PROBLÈME-CLASSES ») signifient $z_\pi < 1 \& z_\varepsilon < 1$ (resp. $\ell_k(S_k) \neq \ell_k$). On a $p \ge 3$.

```
{for(j=2, 10, p=prime(j); m=1; n0=8; n=n0+1; while(m<10^4, m=m+1;
if(core(m)==m & kronecker(m, p)==1, y=x; Q=x^2-m; K=bnfinit(Q,1);
M=m; t=Mod(m,4); if(t!=1, M=4*m); E=quadunit(M);
h=qfbclassno(M); e1=component(E,2); e2=component(E,3);
if(t==1, e2=e2/2; e1=e1+e2); E=e1+e2*x; print(" ");
print("m = ", m, " h = ",h, " E = ",E);
Su=bnfsunit(K,idealprimedec(K,p));
pi1=component(component(Su,1),1);
```
pi2=component(pi1,2)*x-component(pi1,1);
print("p = ",p," S = ",pi1," ",pi2); Pi1= pi1^n; Pi2= pi2^n;
Z=bezout(Pi1,Pi2); U1=component(Z,1); U2=component(Z,2);
P=y^2-Mod(m,p^n); Y=Mod(y,P); x=Y;
A1=eval(U1); A2= eval(U2); B1= eval(Pi1); B2= eval(Pi2);
b1= eval(pi1); b2= eval(pi2); e=eval(E);
XPpi=Mod(A1*B1+A2*B2*b2,P); XPe=Mod(A1*B1+A2*B2*e,P);
hs=norm(Mod(pi1,Q)); h0=valuation(hs,p);
delta=valuation(h,p)-valuation(h0,p);
npi=norm(XPpi)^(p-1); ne=norm(XPe)^(p-1);
zpi=znorder(npi)/p^n0; ze=znorder(ne)/p^n0;
if(zpi+ze <1, print("PROBLEME-NORMIQUE"));
if Contents
Donnons l'extrait suivant pour $30007 \le m \le 30097$, $m \equiv 1 \pmod 3$, et $p=3$ (la dernière colonne donne la structure du 3-groupe des classes du premier étage $k_1$ de la $\mathbb{Z}_3$-extension cyclotomique de $k$) :

<table><thead><tr><th>m</th><th>h</th><th>z<sub>π</sub></th><th>z<sub>ε</sub></th><th>Cl<sub>k<sub>1</sub></sub></th><th>m</th><th>h</th><th>z<sub>π</sub></th><th>z<sub>ε</sub></th><th>Cl<sub>k<sub>1</sub></sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>30001</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>30055</td><td>2</td><td>1/27</td><td>1/27</td><td>Z/3Z</td></tr><tr><td>30007</td><td>2</td><td>1/9</td><td>1/3</td><td>Z/3Z x Z/3Z</td><td>30058</td><td>4</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>30010</td><td>8</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>30061</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>30013</td><td>1</td><td>1/3</td><td>1</td><td>1</td><td>30067</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>30019</td><td>4</td><td>1</td><td>1/3</td><td>Z/3Z</td><td>30070</td><td>4</td><td>1</td><td>1/3</td><td>Z/3Z</td></tr><tr><td>30022</td><td>4</td><td>1/3</td><td>1</td><td>1</td><td>30073</td><td>4</td><td>1</td><td>1/27</td><td>Z/3Z</td></tr><tr><td>30031</td><td>2</td><td>1/3</td><td>1/3</td><td>Z/9Z x Z/3Z</td><td>30079</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>30034</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>30085</td><td>2</td><td>1/3</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>30043</td><td>18</td><td>1</td><td>1</td><td>Z/9Z</td><td>30091</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>30046</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>30094</td><td>8</td><td>1</td><td>1/3</td><td>Z/3Z</td></tr><tr><td>30049</td><td>1</td><td>1</td><td>1/3</td><td>Z/3Z</td><td>30097</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Si le nombre de classes est divisible par $p$, il faut vérifier si le $p$-groupe des classes de $k$ est engendré par les idéaux premiers au-dessus de $p$, sinon la conclusion n'est pas valable. Pour cela le programme retient l'ordre $h_0$ de la classe de $p_1$ pour lequel $p_1^{h_0} = (\pi_1)$; si les valuations $p$-adiques de $h_0$ et du nombre de classes $h$ sont égales, ceci veut dire que $Cl_k$ est cyclique et engendré par la $p$-classe de $p_1$. Par exemple, dans le cas de $m = 30043$ où $h = 18$, la $S_k$-unité génératrice est $317 + 2\sqrt{m}$, de norme $3^9$, et par conséquent la classe de $p_1$, d'ordre $h_0 = 9$, est génératrice de $Cl_k$.

Selon le choix par PARI d'une $S_k$-unité fondamentale modulo $E_k$, la valeur de $z_\pi$ n'est pas intrinsèque, mais le test normique est invariant.
CONJECTURE DE GREENBERG

La méthode est extrêmement simple et le programme très rapide pour n'importe quel *p*; pour les 22794 valeurs de *m* inférieures à 10⁵, on a 19993 valeurs pour lesquelles on peut conclure que $\lambda_3 = \mu_3 = 0$. Mais dès que *p* est un peu grand le test est presque toujours positif et montre que $\lambda_p = \mu_p = 0$.

Pour chaque $p$, $3 \le p \le 541$, on obtient le tableau ci-après selon le programme de comptage ci-dessous indiquant successivement le nombre $C_1$ de $m \le 10^4$ (tels que $p$ soit décomposé dans $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$, le nombre $C_2$ de cas donnant $\lambda_p = \mu_p = 0$, et $C_1 - C_2$ (cas non résolus) :

```R
{for(j=2, 100, C1=0; C2=0; m=1; p=prime(j); n0=1; n=n0+1;
  while(m<10^4, m=m+1; if(core(m)==m & kronecker(m,p)==1, C1=C1+1;
    y=x; Q=x^2-m; K=bnfinit(Q,1); M=m; t=Mod(m,4); if(t!=1,M=4*m);
    E=quadunit(M); h=qfbclassno(M); e1=component(E,2); e2=component(E,3);
    if(t==1, e2=e2/2; e1=e1+e2); E=e1+e2*x; Su=bnfsunit(K,idealprimedec(K,p));
    pi1=component(component(Su,1),1); pi2=component(pi1,2)*x-component(pi1,1);
    Pi1=pi1^n; Pi2=pi2^n; Z=bezout(Pi1, Pi2);
    U1=component(Z,1); U2=component(Z,2); P=y^2-Mod(m,p^n);
    Y=Mod(y,P); x=Y; A1=eval(U1); A2=eval(U2);
    B1=eval(Pi1); B2=eval(Pi2); b1=eval(pi1); b2=eval(pi2);
    e=eval(E); XPpi=Mod(A1*B1+A2*B2*B2,P); XPe=Mod(A1*B1+A2*B2*e,P);
    hs=norm(Mod(pi1,Q)); h0=valuation(hs, p);
    delta=valuation(h,p)-valuation(h0,p);
    npi=norm(XPpi)^(p-1); ne=norm(XPe)^(p-1);
    zpi=znorder(npi)/p^n0; ze=znorder(ne)/p^n0;
    if(zpi+ze>1&delta==0, C2=C2+1); x=y)); print(p,", ",C1,"",C2,"",C1-C2))}
```

<table><thead><tr><th>p</th><th>C<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>C<sub>1</sub> - C<sub>2</sub></th><th>p</th><th>C<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>C<sub>1</sub> - C<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>2279</td><td>2042</td><td>237</td><td>43</td><td>2971</td><td>2971</td><td>0</td></tr><tr><td>5</td><td>2534</td><td>2459</td><td>75</td><td>47</td><td>2971</td><td>2971</td><td>0</td></tr><tr><td>7</td><td>2660</td><td>2599</td><td>61</td><td>53</td><td>2983</td><td>2982</td><td>1</td></tr><tr><td>11</td><td>2781</td><td>2759</td><td>22</td><td>59</td><td>2986</td><td>2984</td><td>2</td></tr><tr><td>13</td><td>2822</td><td>2808</td><td>14</td><td>61</td><td>2988</td><td>2988</td><td>0</td></tr><tr><td>17</td><td>2873</td><td>2860</td><td>13</td><td>67</td><td>2993</td><td>2993</td><td>0</td></tr><tr><td>19</td><td>2886</td><td>2877</td><td>9</td><td>71</td><td>2994</td><td>2994</td><td>0</td></tr><tr><td>23</td><td>2908</td><td>2904</td><td>4</td><td>73</td><td>3001</td><td>3001</td><td>0</td></tr><tr><td>29</td><td>2936</td><td>2931</td><td>5</td><td>79</td><td>3001</td><td>3000</td><td>1</td></tr><tr><td>31</td><td>2944</td><td>2939</td><td>5</td><td>83</td><td>3002</td><td>3002</td><td>0</td></tr><tr><td>37</td><td>2960</td><td>2958</td><td>2</td><td>89</td><td>3008</td><td>3007</td><td>1</td></tr><tr><td>41</td><td>2968</td><td>2967</td><td>1</td><td>97</td><td>3011</td><td>3011</td><td>0</td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th>p</th><th>C<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>C<sub>1</sub> - C<sub>2</sub></th><th>p</th><th>C<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>C<sub>1</sub> - C<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>101</td><td>3010</td><td>3009</td><td>1</td><td>193</td><td>3023</td><td>3022</td><td>1</td></tr><tr><td>103</td><td>3005</td><td>3004</td><td>1</td><td>197</td><td>3029</td><td>3028</td><td>1</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>149</td><td>3020</td><td>3019</td><td>1</td><td>211</td><td>3027</td><td>3026</td><td>1</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr></tbody></table>

Les nombres $p, 223 \le p \le 541$, ou absents du tableau, donnent $\lambda_p = \mu_p = 0$ pour tous les $m \le 10^4$ tels que $p$ soit décomposé dans $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$.

Dans [45] il y a deux exemples plus délicats (pour $p = 3$) :

(i) $m = 2659, h = 3, \varepsilon = 63190881\sqrt{m} + 3258468890, \pi_1 = -2\sqrt{m} + 103$ qui dans notre table est indiqué avec $z_\pi = \frac{1}{3}$ et $z_\varepsilon = \frac{1}{32}$ ($\mathcal{A}_k$ est engendré par $S_k$). Il faut alors d'autres calculs explicites dans la tour pour démontrer que $\lambda_3 = \mu_3 = 0$ (cf. [12], [10], [24], [25] utilisant soit le « Spiegelungssatz » dans $k(j)$ ($j^3 = 1, j \ne 1$), soit les unités cyclotomiques).

(ii) $m = 12007, h = 3, \varepsilon = 65199591367431507\sqrt{m} + 7144340241111277688, \pi_1 = 429331\sqrt{m} + 47044570, \text{avec } z_\pi = \frac{1}{36}$ et $z_\varepsilon = \frac{1}{32}$ ($\mathcal{A}_k$ est engendré par $S_k$). Dans ce cas, la vérification utilise les fonctions $L$ p-adiques, de nombreux arguments et aussi [24], [25].

Voir d'autres raisonnements dans [3], [5], [9], [10], [12], [11], [26], [33] (cas $p = 3$ non décomposé), [34], [39] (cas $p = 2$), [46], [47] (pour des corps cubiques totalement réels et $p = 3$), et bien d'autres.

Pour une table assez complète ($p = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$), prière de se connecter à https://www.dropbox.com/s/tcqfp41plz13u60/R.

Il y a identité des valeurs de $\delta_{p_1}(\pi_2)$ et $\delta_p(\varepsilon)$, pour $p = 3$, avec celles de la table de [12].

Le programme suivant calcule la structure des groupes des classes de $k$ et de $k_1$ pour $p = 3$ et $b \le m \le B, m \equiv 1 \pmod 3$ :

```
{b=10^6; B=b+10^3; b=b-component(Mod(b,3),2)+1; m=b;
while(m<B, m=m+3; if(core(m)==m, K=bnfinit(x^2-m,1);
h=bnrinit(K,1); h=component(h,5);
R=component polcompositum(x^3-3*x+1,x^2-m),1);
H=bnrinit(bnfinit(R,1),1); H=component(H,5);
print("m = ",m," h = ",h," structure = ", H))}
```
CONJECTURE DE GREENBERG

Ce qui donne les quelques exemples suivants avec $\mathcal{L}_{k_1} \neq 1$ (sous la forme $[\#\mathcal{L}_{k_1}, [\text{structure}]]$) :

<table><thead><tr><th>m</th><th>\mathcal{L}_k</th><th>\mathcal{L}_{k_1}</th><th>m</th><th>\mathcal{L}_k</th><th>\mathcal{L}_{k_1}</th></tr></thead><tbody><tr><td>1000003</td><td>[3, [3]]</td><td>[27, [3, 3, 3]]</td><td>1000126</td><td>[2, [2]]</td><td>[24, [6, 2, 2]]</td></tr><tr><td>1000018</td><td>[4, [4]]</td><td>[12, [12]]</td><td>1000135</td><td>[4, [2, 2]]</td><td>[12, [6, 2]]</td></tr><tr><td>1000042</td><td>[36, [18, 2]]</td><td>[36, [18, 2]]</td><td>1000147</td><td>[30, [30]]</td><td>[90, [30, 3]]</td></tr><tr><td>1000051</td><td>[4, [2, 2]]</td><td>[12, [6, 2]]</td><td>1000159</td><td>[1]</td><td>[3, [3]]</td></tr><tr><td>1000093</td><td>[12, [6, 2]]</td><td>[48, [6, 2, 2, 2]]</td><td>1000177</td><td>[1]</td><td>[12, [6, 2]]</td></tr><tr><td>1000099</td><td>[1]</td><td>[3, [3]]</td><td>1000189</td><td>[1]</td><td>[9, [3, 3]]</td></tr><tr><td>1000102</td><td>[2, [2]]</td><td>[18, [6, 3]]</td><td>1000198</td><td>[12, [12]]</td><td>[36, [36]]</td></tr><tr><td>(......)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>100000006</td><td>[12, [12]]</td><td>[36, [36]]</td><td>100000027</td><td>[6, [6]]</td><td>[72, [18, 2, 2]]</td></tr></tbody></table>

## 6. Filtration des $\mathcal{L}_{k_n}$ – Définition des groupes de nombres $\Lambda_i^n$

On revient au cas général d'un corps de nombres Galoisien réel $k$ de degré $d$ et où $p > 2$ est un nombre premier totalement décomposé dans $k$. On suppose que la conjecture de Leopoldt est vérifiée pour $p$ dans $k$.

Dans cette section nous reprenons l'analyse de la conjecture de Greenberg sous la forme directe du « calcul » du $p$-groupe des classes de $k_n$ selon l'algorithme défini dans [18], et en utilisant des idéaux étrangers à $p$ pour représenter les classes.

### 6.1. Introduction de la filtration des $\mathcal{L}_{k_n}$

Si l'on pose pour simplifier $M^n := \mathcal{L}_{k_n}$, $k_n \subset k_\infty$ de degré $p^n$ sur $k$ et de groupe de Galois $G_n =: \langle \sigma_n \rangle$, il existe une filtration ainsi définie :

**Définition 6.1.** Pour $n \ge 1$ fixé, $(M_i^n)_{i \ge 0}$ est la $i$-suite croissante de sous-$G_n$-modules de $M^n$ définie (avec $M_0^n := 1$) par $M_{i+1}^n/M_i^n := (M^n/M_i^n)^{G_n}$, pour $0 \le i \le m_n - 1$, où $m_n$ est le plus petit entier $i$ tel que $M_i^n = M^n$.

**Remarques 6.2.**

(i) Pour $i = 0$, on obtient $M_1^n = (M^n)^{G_n}$.

(ii) On a $M_{i+1}^n = \{c \in M^n, c^{1-\sigma_n} \in M_i^n\}$; ainsi :

$$M_i^n = \{c \in M^n, c^{(1-\sigma_n)^i} = 1\}.$$
(iii) Pour $n$ fixé, la $i$-suite des $\#(M_{i+1}^n/M_i^n)$, $0 \le i \le m_n$, est décroissante vers 1 et majorée par $\#M_1^n$ en raison des injections :

$$M_{i+1}^n/M_i^n \hookrightarrow M_i^n/M_{i-1}^n \hookrightarrow \dots \hookrightarrow M_2^n/M_1^n \hookrightarrow M_1^n$$

définies par l'opération de $1 - \sigma_n$.

Ensuite, pour les sous-$G_n$-modules $M_i^n := \mathcal{L}_{k_n}(\mathcal{I}_i^n)$ de $M^n$ (où l'on peut toujours supposer que $\mathcal{I}_i^n \subseteq \mathcal{I}_{i+1}^n$), on a la formule générale du Théorème 3.1 qui devient dans notre cas particulier :

$$\#(M_{i+1}^n/M_i^n) = \frac{\#\mathcal{L}_k}{\#N_{k_n/k}(M_i^n)} \cdot \frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(\Lambda_i^n : \Lambda_i^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))}, \quad (6.1)$$

où $\Lambda_i^n := \{x \in k^\times, (x) \in N_{k_n/k}(\mathcal{I}_i^n)\}$ contient $E_k$, et où tout $x \in \Lambda_i^n$ est par nature norme locale en dehors de $p$ dans $k_n/k$. On a alors :

$$\#M^n = \prod_{i=0}^{m_n-1} \#(M_{i+1}^n/M_i^n). \quad (6.2)$$

Pour $n$ fixé, les $M_i^n$ et $N_{k_n/k}(M_i^n)$ définissent des $i$-suites croissantes de sous-groupes de $\mathcal{L}_{k_n}$ et $\mathcal{L}_k$ respectivement. On obtient que les $i$-suites d'entiers $(i \ge 0)$ :

$$\frac{\#\mathcal{L}_k}{\#N_{k_n/k}(M_i^n)} \quad \text{et} \quad \frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(\Lambda_i^n : \Lambda_i^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))},$$

sont respectivement des $i$-suites décroissantes vers 1 de diviseurs de $\#\mathcal{L}_k$ et de $R_k$ (Théorème 4.8(iii)), en raison, pour la seconde, des injections :

$$E_k/E_k \cap N_{k_n/k}(k_n^\times) \hookrightarrow \dots \hookrightarrow \Lambda_i^n/\Lambda_i^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times) \\ \qquad \hookrightarrow \Lambda_{i+1}^n/\Lambda_{i+1}^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times) \hookrightarrow \dots$$

les $\#(M_{i+1}^n/M_i^n)$ divisant $\#\mathcal{T}_k = \#\mathcal{L}_k \cdot R_k$ et décroissant vers 1. Donc on a au rang final $i = m_n$, en utilisant ce qui précède pour $M_{m_n}^n = \mathcal{L}_{k_n}$, les relations $N_{k_n/k}(M_{m_n}^n) = \mathcal{L}_k$ et $(\Lambda_{m_n}^n : \Lambda_{m_n}^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times)) = p^{n \cdot (d-1)}$, ce qui explique que $\#\mathcal{L}_{k_n}$ dépend essentiellement du nombre de pas $m_n$ :

**Théorème 6.3.** Soit $k$ Galoisien réel dans lequel $p > 2$ est totalement décomposé et vérifie la conjecture de Leopoldt. Soit $\mathcal{T}_k$ le groupe de torsion du groupe de Galois de la pro-p-extension Abélienne p-ramifiée maximale de $k$ (cf. §4.3).
CONJECTURE DE GREENBERG

Soit $N_{Iw} \ge 0$ tel que la formule d'Iwasawa $\#\mathcal{O}_{k_n} = p^{\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu}$ soit valable pour tout $n \ge N_{Iw}$.

(i) On a les inégalités $m_n \le \lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu \le v_p(\#\mathcal{T}_k) \cdot m_n$ pour tout $n \ge N_{Iw}$, où $v_p$ désigne la valuation p-adique. Si $\mathcal{T}_k = 1$, alors $\lambda = \mu = \nu = 0$.

(ii) Si $\mathcal{T}_k \ne 1$, alors $m_n = c(n) \cdot (\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu)$, $\frac{1}{v_p(\#\mathcal{T}_k)} \le c(n) \le 1$, avec en particulier l'inégalité principale sur le nombre de pas $m_n$ de l'algorithme :

$$m_n \ge \frac{1}{v_p(\#\mathcal{T}_k)} (\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu), \text{ pour tout } n \ge N_{Iw}.$$

*Démonstration.* Comme $\#(M_{i+1}^n/M_i^n) \ge p$ pour $0 \le i \le m_n-1$, on obtient $\#\mathcal{O}_{k_n} = \#M^n \ge p^{m_n}$ en utilisant l'expression (6.2) ; on en déduit l'inégalité triviale $m_n \le \lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu$. Ensuite, d'après le fait que $\#(M_{i+1}^n/M_i^n) | \#\mathcal{T}_k$, on a $\#(M_{i+1}^n/M_i^n) \le \#\mathcal{T}_k$ pour $0 \le i \le m_n - 1$ ; d'où $\#\mathcal{O}_{k_n} \le (\#\mathcal{T}_k)^{m_n}$ à nouveau par (6.2), ce qui achève la démonstration. $\square$

*Remarque 6.4.* Une heuristique raisonnable est que $m_n$ reste, pour tout $n$, d'une valeur moyenne fonction de $\text{Gal}(k/\mathbb{Q})$ et de $\mathcal{T}_k$ et non de $n$. Or, pour tout $n \gg 0$, les $\#(M_{i+1}^n/M_i^n)$ forment, à partir de $\#M_1^n$, une i-suite décroissante vers 1 d'entiers divisant $\#\mathcal{T}_k$ ; une telle suite ne peut avoir, pour $\lambda$ ou $\mu$ non nuls, au moins $\frac{1}{v_p(\#\mathcal{T}_k)} (\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu)$ termes non triviaux sauf à établir un lien de type particulier avec les normes d'idéaux $\mathfrak{A}_i \in \mathcal{I}_i^n$ utilisés dans la tour, ce qui philosophiquement semble exclu, à notre avis, car ceci implique l'existence, pour $n \to \infty$, d'au moins un diviseur $t_n \ne 1$ de $\#\mathcal{T}_k$ tel que $\#(M_{i+1}^n/M_i^n) = t_n$ pour $O(1) \cdot (\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu)$ valeurs consécutives de $i \in [1, m_n]$.

En faisant l'hypothèse très faible que la probabilité de $\#(M_{i+1}^n/M_i^n) \ge p$ pour $m_n = O(n)$ pas consécutifs de l'algorithme est de la forme $\frac{1}{p^{f(n)}}$, où $f(n) \to \infty$ avec $n$, on peut admettre, sur un plan heuristique assez évident, qu'à partir d'un certain $n \gg N_{Iw}$, ceci n'est plus vraisemblable, auquel cas c'est l'existence même de la formule d'Iwasawa qui suggère la nullité de $\lambda$ et $\mu$ et l'existence de $i_0$ assez grand tel que $\#(M_{i_0+1}^n/M_{i_0}^n) = 1$ pour tout $n \gg 0$ (i.e., $m_n \le i_0$ pour tout $n$). Nous approfondirons cet aspect, concernant l'existence de $i_0$, en examinant séparément les deux facteurs :

$$\frac{\#\mathcal{O}_k}{\#N_{k_n/k}(M_i^n)} \quad \& \quad \frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(\Lambda_i^n : \Lambda_i^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))},$$
qui ne sont pas de la même nature, et en énonçant les Heuristiques 7.5 et 7.6, puis nous donnerons des justifications probabilistes très naturelles (§7.4.2) et des statistiques numériques (Section 8).

À cet effet, rappelons l'algorithme numérique qui permet de passer de $\Lambda_i^n$ à $\Lambda_{i+1}^n$, et qui détermine le nombre de pas $m_n$, pour analyser les phénomènes en jeu, car dès qu'un $x \in \Lambda_{i+1}^n$ se rajoute aux éléments de $\Lambda_i^n$, ses $\delta_p(x)$, $p \mid p$, ont une grande probabilité d'être nuls ou au moins inférieurs aux précédents, ce qui donne la *i*-suite des $\frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(\Lambda_i^n : \Lambda_i^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))}$ rapidement décroissante vers 1.

## 6.2. Algorithme de calcul des $\Lambda_i^n$

On omet l'indice $n$ qui est fixé et on se place dans l'extension $K \subset k_\infty$ de degré $p^n$ et de groupe de Galois $G =: \langle\sigma\rangle$ d'ordre $p^n$. On désigne pour simplifier par $N$ la norme arithmétique $N_{K/k}$ et on pose $M := \mathcal{O}_K$.

(i) Pour le calcul de $M_1 = M^G$ à partir de $M_0 = 1$ et $\mathcal{I}_0 = 1$, on a
$$ \#M_1 = \#\mathcal{O}_K \cdot \frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(\Lambda_0 : \Lambda_0 \cap N(K^\times))} \text{ avec } \Lambda_0 = \{x_0 \in k^\times, (x_0) \in N(1)\} = E_k. $$

On considère les $x_0 \in \Lambda_0$ qui sont normes d'un élément $y_1 \in K^\times$. Donc $(x_0) = N(y_1) = (1)$, ce qui conduit à l'existence de $\mathfrak{A}_1 \in I_K$ tel que $\mathfrak{A}_1^{1-\sigma} = (y_1)$, où $\mathfrak{A}_1$ est défini à un idéal invariant près; donc ici, puisque les idéaux premiers de $K$ au-dessus de $p$ sont invariants, on peut prendre $\mathfrak{A}_1$ étranger à $p$. On a $\mathcal{O}_K(\mathfrak{A}_1) \in M_1$. Réciproquement, si $\mathcal{O}_K(\mathfrak{A}'_1) \in M_1$, $\mathfrak{A}'_1$ choisi étranger à $p$ dans sa classe, il existe $y'_1 \in K^\times$ tel que $\mathfrak{A}'_1^{1-\sigma} = (y'_1)$, donnant $N(y'_1) = x'_0 \in \Lambda_0 \cap N(K^\times)$. Ainsi $y'_1$ est étranger à $p$.

Les classes de ces idéaux $\mathfrak{A}_1$ engendrent $M_1$ et on pose :

$$ \mathcal{I}_1 = \langle \mathfrak{A}'_1, \dots, \mathfrak{A}'_{1^r} \rangle. $$

Ceci suppose que l'on a résolu suffisamment d'équations normes pour engendrer $M_1$. Par exemple, le cas $x_0 = y_1 = 1$ conduit normalement à inclure dans $\mathcal{I}_1$ des idéaux ambigues représentant les classes de $k$ et les idéaux $\mathfrak{P}$ de $K$ au-dessus de $p$; en effet, $\mathfrak{A}_1$ est défini à un idéal invariant près, ce qui peut changer la classe car $\mathfrak{A}_1$ peut être principal et non $\mathfrak{A}_1 \cdot \mathfrak{P}$; mais on peut toujours représenter la classe de $\mathfrak{P}$ par un idéal $\mathfrak{A}'$ de $K$ étranger à $p$. On
CONJECTURE DE GREENBERG

obtient $N(M_1)$ comme sous-groupe de $\mathcal{O}_k$, à partir de $N(\mathcal{I}_1) = \langle N(\mathfrak{A}_1^1), \dots, N(\mathfrak{A}_1^{r_1}) \rangle$; alors il vient $\Lambda_1 = \{x_1 \in k^\times, (x_1) \in N(\mathcal{I}_1)\}$ et, toujours au niveau $n$ fixé :

$$ \#(M_2/M_1) = \frac{\#\mathcal{O}_k}{\#N(M_1)} \times \frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(\Lambda_1 : \Lambda_1 \cap N(K^\times))}. $$

On vérifie qu'en dépit de la non unicité de $\mathcal{I}_1$, le groupe $\Lambda_1$ est unique modulo $N(K^\times)$.

(ii) Pour le calcul de $\mathcal{I}_2$, on considère les éléments $x_1$ de $\Lambda_1$ qui sont normes d'un $y_2 \in K^\times$ (de fait on se limite aux $x_1$ représentant $\Lambda_1 \cap N(K^\times)$ modulo $E_k \cap N(K^\times)$); alors $(x_1) = N(y_2) = N(\mathfrak{B}_1)$, $\mathfrak{B}_1 \in \mathcal{I}_1$, donc il existe $\mathfrak{A}_2 \in I_K$ tel que $\mathfrak{A}_2^{1-\sigma} \cdot \mathfrak{B}_1 = (y_2)$, avec $\mathfrak{A}_2$ choisi étranger à $p$. On a $\mathcal{O}_K(\mathfrak{A}_2)^{1-\sigma} \in M_1$. Inversement, si $\mathcal{O}_K(\mathfrak{A}_2') \in M_2$, $\mathfrak{A}_2'$ étranger à $p$, il existe $y_2' \in K^\times$ tel que $\mathfrak{A}_2'^{1-\sigma} \cdot \mathfrak{B}_1' = (y_2')$, avec $\mathfrak{B}_1' \in \mathcal{I}_1$, d'où $N(\mathfrak{B}_1') = N(y_2') =: (x_1')$, $x_1' \in \Lambda_1 \cap N(K^\times)$.

Ces idéaux de la forme $\mathfrak{A}_2^1, \dots, \mathfrak{A}_2^{r_2}$, sont ajoutés à $\mathcal{I}_1$ pour former :

$$ \mathcal{I}_2 = \langle \mathfrak{A}_1^1, \dots, \mathfrak{A}_1^{r_1} ; \mathfrak{A}_2^1, \dots, \mathfrak{A}_2^{r_2} \rangle, $$

d'où $N(\mathcal{I}_2)$ et $\Lambda_2 = \{x_2 \in k^\times, (x_2) \in N(\mathcal{I}_2)\}$, etc. On obtient donc des groupes $\Lambda_i$, étrangers à $p$, uniques modulo $N(K^\times)$, tels que :

$$ E_k \subseteq \Lambda_1 \subseteq \dots \subseteq \Lambda_i \subseteq \dots. $$

On suppose implicitement que chaque $\mathcal{I}_i$ est formé d'idéaux étran-
gers à $p$. Dans le cas $\mathcal{O}_k = 1$, les groupes $\Lambda_i$ sont engendrés par
les unités $\varepsilon \in E_k$ et les $\alpha_i^j$ générateurs des $N(\mathfrak{A}_i^j)$, ce qui simplifie
l'expression de $\Lambda_i$.

Cette description n'a pas lieu d'être effective dans la tour $k_\infty$, mais
elle montre comment se déterminent les éléments $x_i$ des $\Lambda_i$ dont
on rappelle que tout repose sur leurs **p**-quotients de Fermat, pour
**p** | **p**, à partir de l'écriture $x_i^{p-1} = 1 + p \cdot \beta(x_i)$, conduisant à
$\delta_\mathfrak{p}(x_i) = v_\mathfrak{p}(\beta(x_i)) \ge 0$.

Une heuristique classique est que, pour **p** fixé, les $\delta_\mathfrak{p}(x)$, $x \in k^\times$, sont aléatoires et indépendants. Cependant, il est nécessaire de préciser cet aspect pour le cas des idéaux $\mathfrak{A}_i$ de $K$ constituant les groupes $\mathcal{I}_i$ pour lesquels $N_{K/k}(\mathcal{I}_i)$ conduit aux nombres $x_i$.
Nous montrerons au §7.4.2 et dans la Section 8 ce qu'il en est
au plan probabiliste en utilisant des programmes établissant des
statistiques très convaincantes, tenant compte de la formule du
produit.

Auparavant, examinons de façon plus numérique un cas non trivial,
mais le plus simple possible, en supposant la conjecture fausse.

6.3. La *i*-suite des $\Lambda_i^n$ sous les hypothèses $\mathcal{L}_k = 1 \& \lambda \ge 1$

Pour fixer les idées, supposons que $k$ est un corps quadratique réel, que $p > 2$ est décomposé, que $\mathcal{L}_k = 1$, que $\delta_p(\varepsilon) \ge 1$, et que (en posant pour simplifier $\mathfrak{p}_1 =: \mathfrak{p}$ et $\pi_2 =: \pi$) on a $\delta_p(\pi) \ge 1$ (cf. Section 5).

Par exemple, $m = 103$, $\varepsilon = 22419\sqrt{103} + 227528$, $\pi = \sqrt{103} + 10$, pour lesquels $k$ est principal, $\delta_p(\varepsilon) = 1$ et $\delta_p(\pi) = 1$ ; ainsi la condition suffisante du Théorème 3.4 n’est pas vérifiée. On a donc $\#\mathcal{T}_k = R_k = p$ et la relation de divisibilité du Théorème 4.7 (i) pour tout $n$.

Soit $n$ fixé pour lequel la formule d'Iwasawa est applicable, posons à
nouveau $K := k_n$, $M := \mathcal{L}_K$, et supposons par exemple $\lambda = 1$ ($\mu = 0$,
$\nu \in \mathbb{Z}$); on a donc au niveau $n$, $\#M = p^{n+\nu}$ et puisque $\delta_p(\varepsilon) = 1$ :

$$
\#M_1 = \frac{p^n}{(\Lambda_0 : \Lambda_0 \cap \mathbb{N}_{K/k}(K^\times))} = p, \quad \text{avec } \Lambda_0 = E_k.
$$

On a $\mathcal{I}_1 = \langle \mathfrak{A}_1 \rangle$ obtenu de la façon suivante : pour une puissance convective $\varepsilon'$ de l’unité fondamentale $\varepsilon$ (de fait, sous l’hypothèse faite, nécessairement $\varepsilon' = \varepsilon^{p^{n-1}}$), on a $\varepsilon' = N(y_1)$, $y_1 \in K^\times$, d’où $(y_1) = \mathfrak{A}_1^{1-\sigma}$ avec $\mathfrak{A}_1$ étranger à $p$ tel que la classe de $\mathfrak{A}_1$ soit d’ordre $p$ puisque $M_1$ est d’ordre $p$.

Posons $\mathfrak{A}_1^p = (z_1)$, $z_1 \in K^\times$, et $N_{K/k}(\mathfrak{A}_1) = (\alpha_1)$, $\alpha_1 \in k^\times$; on obtient
$\alpha_1^p = N_{K/k}(z_1) \cdot \eta_1 \text{ où } \eta_1 \text{ est une unité de } k$. Soit alors $\omega = \omega_n$ l'application
qui à $x \in k^\times$ associe dans $\Omega(K/k) \simeq \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ la famille des symboles
de restes normiques dans $K/k$. On obtient $\omega(\eta_1) = \omega(\alpha_1^p) = \omega(\alpha_1)^p \in$
$\Omega(K/k)^p$; or, en raison de l'hypothèse $\delta_p(\varepsilon) = 1$, on a $\omega(\eta_1) \in \Omega(K/k)^p$,
et par conséquent $\omega(\alpha_1)$, donc $\delta_p(\alpha_1)$, peut a priori prendre toute valeur
de façon équiprobable dans $\Omega(K/k)$ (sans la condition $\omega(\eta_1) \in \Omega(K/k)^p$,
l'algorithme se serait arrêté avant, la relation $\omega(\eta_1) = \omega(\alpha_1^p)$ étant alors
absurde). On a donc obtenu $N_{K/k}(\mathcal{I}_1) = \langle N_{K/k}(\mathfrak{A}_1) \rangle = \langle (\alpha_1) \rangle$, d'où :

$$
\#(M_2/M_1) = \frac{p^n}{(\Lambda_1 : \Lambda_1 \cap \mathbb{N}_{K/k}(K^\times))} = 1 \text{ ou } p, \text{ avec } \Lambda_1 = \langle \varepsilon, \alpha_1 \rangle.
$$
CONJECTURE DE GREENBERG

Puisque $\delta_p(\varepsilon) = 1$, l'algorithme ne peut se terminer par $M = M_1$ que si $\delta_p(\alpha_1)$ est nul ; sinon l'algorithme se poursuit, et en supposant $\delta_p(\alpha_1) \ge 1$, il faut prendre un élément convenable de $\Lambda_1$, de la forme $\alpha_1^u \cdot \varepsilon^v$, $u, v \in \mathbb{Z}$, comme norme de $y_2$ dans $K/k$ et on obtient, puisque $N_{K/k}(\mathfrak{A}_1) = (\alpha_1)$, une relation de la forme $\mathfrak{A}_2^{1-\sigma} \mathfrak{A}_1^u = (y_2)$ dans $K$ pour définir $\mathcal{I}_2$.

Mais $M_2/M_1$ est annulé par $p$, et en supposant $M_2 \neq M_1$, on aura $\mathfrak{A}_2^p = \mathfrak{A}_1^w \cdot (z_2)$, $w \in \mathbb{Z}$, $z_2 \in K^\times$, d'où $N_{K/k}(\mathfrak{A}_2^p) = (\alpha_1^w) N_{K/k}(z_2)$ qui conduit, en posant $(\alpha_2) = N_{K/k}(\mathfrak{A}_2)$, à $\omega(\alpha_2)^p = \omega(\alpha_1^w \cdot \eta_2)$ pour une unité $\eta_2$ de $k$; or $\omega(\alpha_1)$ et $\omega(\eta_2)$ sont dans $\Omega(K/k)^p$. Comme précédemment, $\omega(\alpha_2)$ n'est soumis a priori à aucune obstruction pour conduire éventuellement à $\delta_p(\alpha_2) = 0$.

L'algorithme pour $K$ se poursuit avec des calculs analogues et on obtient :

$$ \omega(\alpha_1^p) \in \omega(\Lambda_0), \omega(\alpha_2^p) \in \omega(\Lambda_1), \dots, \omega(\alpha_{i+1}^p) \in \omega(\Lambda_i), \dots \quad (6.3) $$

où $\Lambda_i = \langle \varepsilon, \alpha_1, \dots, \alpha_i \rangle$ et où les $\#\omega(\Lambda_i) = (\Lambda_i : \Lambda_i \cap N_{K/k}(K^\times))$ forment une $i$-suite croissante minorée par $p^{n-1}$ puisque $\#(M_{i+1}/M_i) = \frac{p^n}{\#\omega(\Lambda_i)} = p$ pour $0 \le i \le m_n - 1$, donc stationnaire à la valeur $p^{n-1}$ dès l'indice 0; les relations $\omega(\alpha_{i+1}^p) \in \omega(\Lambda_i)$ permettent, statistiquement, une « décroissance » des $\delta_p(\alpha_i)$, ce qui semble contradictoire avec un nombre de pas $m_n \ge n + \nu$ découlant de l'hypothèse $\lambda = 1$, $v_p(\#\mathcal{T}_k) = 1$ (cf. Théorème 6.3).

Une autre façon d'aborder ces questions heuristiques est la suivante (avec les mêmes hypothèses que ci-dessus) :

Représentons la classe de $\mathfrak{A}$ dans $K$ par un idéal premier $\mathcal{L}$ de $K$; on a $N_{K/k}(\mathcal{L}) = \mathfrak{l}^{f^n} =: (\beta)^{f^n} =: (\alpha)$ où $\mathfrak{l} = (\beta)$ est l'idéal premier de $k$ en-dessous de $\mathcal{L}$ et $f^n$ son degré résiduel dans $K/k$ (autrement dit, $\alpha = \beta^{f^n}\eta, \eta \in E_k$). Or la condition normique $\delta_p(\alpha) = 0$ ne peut avoir lieu que si $f^n = 1$ (i.e., $\mathfrak{l}$ totalement décomposé dans $K/k$), puisque $\delta_p(\eta) \ge 1$ par hypothèse sur $\delta_p(\varepsilon)$; ainsi $\delta_p(\alpha) = 0$ implique, pour $\ell$ en-dessous de $\mathfrak{l}$, $\ell^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^{n+1}}$. Mais on montrera au §8.1 au moyen du théorème de Tchebotarev qu'une classe de $k_n$ est toujours (donc nécessairement) représentable par un $\mathcal{L}$ totalement décomposé dans $K/k$.

On a donc, sous l'hypothèse $\#\mathcal{T}_k = R_k = p \& \lambda = 1$, $\#(M_{i+1}/M_i) = p$ pour $O(n)$ pas, alors que l'on peut conjecturer que $M = M_{O(1)}$ pour $n \to \infty$.
Le troisième programme du §5.2, donne pour $m = 103$ :

$\mathcal{O}_{k_1} \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ (i.e., $M_2 \neq M_1$ au premier étage).

Le $S_{k_1}$-groupe des classes de $k_1$ est d'ordre 3, ce qui donne $\#\mathcal{O}_{k_1}(S_{k_1}) = 3$, et le point (iii) du Théorème 4.7 pour $n_0 = e = 1$ conduit à $\lambda = \mu = 0$; pour ce calcul, rajouter au programme :

L=bnfinit(R,1); Su=bnfsunit(L,idealprimedec(L,p));
print(component(component(Su,5),1))

Par des méthodes de type « Spiegelungssatz » on montre aussi que $\lambda = 0$ (cf. [2], [5], [12]). On peut vérifier que $\mathcal{O}_{k_2} \simeq \mathcal{O}_{k_3} \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

La section suivante est l'étude, à *i* fixé, de la *n*-suite $\#M_i^n$.

7. Heuristiques sur les propriétés des filtrations dans $k_{\infty}/k$

Ici, contrairement aux études précédentes, on fixe l'étape *i* des algorithmes et on considère les *n*-suites des groupes $M_i^n := \mathcal{O}_{k_n}(\mathcal{I}_i^n)$ et $\Lambda_i^n$. On étudie alors les entiers $\#(M_{i+1}^n/M_i^n)$ pour $i \ge 0$ fixé et $n \to \infty$ à partir de leurs deux facteurs donnés par la Formule (6.1).

7.1. Approche générale

On a, pour tout $n \ge 0$, le diagramme suivant où les normes $N_{k_{n+1}/k_n}$ définies sur $M^{n+1}$ et $(M^{n+1})^{(1-\sigma_{n+1})^i}$, sont surjectives, mais non celle définie sur $M_i^{n+1}$ (qui peut être ni injective ni surjective) :

$$
\begin{array}{rcl@{\hspace{1em}}ccl@{\hspace{1em}}ccl}
1 & \to & M_i^{n+1} & \longrightarrow & M^{n+1} & \xrightarrow{(1-\sigma_{n+1})^i} & (M^{n+1})^{(1-\sigma_{n+1})^i} & \to & 1 \\
& \downarrow & & & \downarrow & & \downarrow & & \\
& & N_{k_{n+1}/k_n} & & & N_{k_{n+1}/k_n} & & \\
1 & \to & M_i^n & \longrightarrow & M^n & \xrightarrow{(1-\sigma_n)^i} & (M^n)^{(1-\sigma_n)^i} & \to & 1.
\end{array}
$$

$$
1 \to M_i^n \to \mathcal{M}^n \xrightarrow{(1-\sigma_n)^i} (\mathcal{M}^n)^{(1-\sigma_n)^i} \to 1.
$$

On a $N_{k_{n+1}/k_n}(M_i^{n+1}) \subseteq M_i^n$; donc, pour tout idéal $\mathfrak{A}^{n+1} \in \mathcal{I}_i^{n+1}$, on peut écrire $N_{k_{n+1}/k_n}(\mathfrak{A}^{n+1}) = (\alpha^n)\mathfrak{A}^n$, où $\alpha^n \in k_n^\times$ et $\mathfrak{A}^n \in \mathcal{I}_i^n$, auquel cas, en modifiant $\mathcal{I}_i^n$ modulo des idéaux principaux de $k_n$, on peut supposer $N_{k_{n+1}/k_n}(\mathcal{I}_i^{n+1}) \subseteq \mathcal{I}_i^n$ et par conséquent $N_{k_{n+1}/k}(\mathcal{I}_i^{n+1}) \subseteq N_{k_n/k}(\mathcal{I}_i^n)$; ceci revient à modifier $\Lambda_i^n = \{x \in k^\times, (x) \in N_{k_n/k}(\mathcal{I}_i^n)\}$ modulo des normes
CONJECTURE DE GREENBERG

d'éléments de $k_n^\times$ ce qui laisse invariant $(\Lambda_i^n : \Lambda_i^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))$. On peut
alors supposer que, pour tout $h \ge 1$, on a :

$$
E_k \subseteq \Lambda_i^{n+h} \subseteq \dots \subseteq \Lambda_i^{n+1} \subseteq \Lambda_i^n. \qquad (7.1)
$$

**Lemme 7.1.** *Pour tout $i \ge 0$ fixé, les $\#(M_{i+1}^n/M_i^n)$ forment une $n$-suite croissante stationnaire de diviseurs de $\#\mathcal{T}_k$, et les $\#M_i^n$ définissent une $n$-suite croissante stationnaire d'entiers.*

Démonstration. Considérons pour $i \ge 0$ fixé la $n$-suite définie par :

$$
\#(M_{i+1}^n / M_i^n) = \frac{\#\mathcal{C}_k}{\#N_{k_n/k}(M_i^n)} \cdot \frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(\Lambda_i^n : \Lambda_i^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))}. \quad (7.2)
$$

Comme $N_{k_{n+1}/k}(M_i^{n+1}) \subseteq N_{k_n/k}(M_i^n)$, la $n$-suite $\frac{\#\alpha_k}{\#N_{k_n/k}(M_i^n)} =: p_i^n$ est croissante stationnaire à une valeur maximale notée $p_i^{c_n^\infty} | \#\mathcal{C}_k$.

Le second facteur $\frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(\Lambda_i^n : \Lambda_i^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))} = \frac{p^{n \cdot (d-1)}}{\#\omega_n(\Lambda_i^n)} =: p_i^{\rho_n^0}$ définit une $n$-suite croissante d'entiers. En effet, on a $p_i^{\rho_n^{n+1}} - \rho_n^0 = p^{d-1} \cdot \frac{\#\omega_n(\Lambda_i^n)}{\#\omega_{n+1}(\Lambda_i^{n+1})}$, et comme on peut supposer que l'on a $\Lambda_i^{n+1} \subseteq \Lambda_i^n$ (cf. Relation (7.1)), alors $\#\omega_{n+1}(\Lambda_i^{n+1}) \le \#\omega_{n+1}(\Lambda_i^n)$ puis $p_i^{\rho_n^{n+1}} - \rho_n^0 \ge p^{d-1} \cdot \frac{\#\omega_n(\Lambda_i^n)}{\#\omega_{n+1}(\Lambda_i^{n+1})}$; dans la restriction des symboles de Hasse $\Omega(k_{n+1}/k) \to \Omega(k_n/k)$ (dont le noyau est d'ordre $p^{d-1}$), l'image de $\omega_{n+1}(\Lambda_i^n)$ est $\omega_n(\Lambda_i^n)$, d'où le résultat pour la $n$-suite $p_i^{\rho_n^0}$, stationnaire à une valeur maximale $p_i^{\rho_n^\infty} | R_k$ (Théorèmes 4.7, 4.10), et au total le premier point du lemme en résulte pour la $n$-suite $\#(M_{i+1}^n/M_i^n)$ ; on a $\lim_{n\to\infty} \#(M_{i+1}^n/M_i^n) = p_i^{c_n^\infty} \cdot p_i^{\rho_n^\infty} | \mathcal{T}_k$.

Enfin, si l'on suppose, par récurrence, que la $n$-suite $\#M_i^n$ est croissante stationnaire, la propriété en résulte pour la $n$-suite $\#M_{i+1}^n$. $\square$

**Lemme 7.2.** *Les $i$-suites $p_i^{c_n^\infty}$, $p_i^{\rho_n^\infty}$, et $\lim_{n \to \infty} \#(M_{i+1}^n/M_i^n) = p_i^{c_n^\infty} \cdot p_i^{\rho_n^\infty}$ sont décroissantes stationnaires, respectivement vers un diviseur de $\#\mathcal{C}_k$, $R_k$, et $\#\mathcal{T}_k$.*

Démonstration. Provient facilement de l'expression des deux facteurs de (7.2) pour $n$ pris assez grand (voir aussi la Remarque 6.2(iii)). $\square$

**Corollaire 7.3.** *Il existe $i_{\min} \ge 0$ et des constantes $c \ge 0$ et $\rho \ge 0$ telles*
*que $c_i^\infty = c$ et $\rho_i^\infty = \rho$ pour tout $i \ge i_{\min}$.*

Mais la $i$-suite $p_i^{c_n^\infty} \cdot p_i^{\rho_n^\infty}$ n’est pas nécessairement de limite 1; en effet,
on a seulement que $\lim_{i \to \infty} (p_i^{c_n^\infty} \cdot p_i^{\rho_n^\infty}) = p^{c+\rho}$ divise $\#\mathcal{T}_k$ et il convient
d'examiner chacun des deux facteurs. Auparavant, donnons la définition suivante :

**Définition 7.4.** On dira que le processus limite sur $i$ est fini (ce qui équivaut à $\lambda = \mu = 0$) s'il existe $i_0 \in \mathbb{N}$ tel que $p^{c_{i_0}^\infty} \cdot p^{\rho_{i_0}^\infty} = 1$.

Dans ce cas on a donc $i_0 = i_{\min}$, $c = \rho = 0$, et pour tout $n \gg 0$, $\#M^n$ est une constante notée $p^\nu$, indépendante de $n$.

## 7.2. Comportement heuristique de $\omega_n(\Lambda_i^n) \subseteq \Omega(k_n/k)$, $n \to \infty$

Le processus limite sur $i$ peut être infini (i.e., $p^{\rho_i^\infty} \neq 1 \forall i \ge 0$, ou encore $\rho > 0$) si pour tout $i$ il existe $n \gg 0$ tel que $\omega_n(\Lambda_i^n) \subseteq \Omega(k_n/k)$ ou encore $(\Lambda_i^n : \Lambda_i^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times)) < p^{n \cdot (d-1)}$. Il existerait $n_1 \gg 0$ tel que pour $n \ge n_1$, $\frac{p^{n \cdot (d-1)}}{\omega_n(\Lambda_i^n)} = p^\rho \neq 1$, pour $i_{\min} \le i \le m_n - 1$ (Corollaire 7.3). Ceci signifie que sous l'hypothèse $\lambda \ge 1$ ou $\mu \ge 1$, l'algorithme au niveau $n$ devrait comporter $m_n = O(\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n)$ « i-étapes » successives (cf. Théorème 6.3), avec $\omega_n(\Lambda_i^n) \subseteq \Omega(k_n/k)$, et ceci pour $n$ arbitrairement grand. Par conséquent la finitude du processus limite dans ce cas ne peut provenir que de l'heuristique suivante, en raison des propriétés des quotients de Fermat (nous y reviendrons au §7.4.2 au moyen d'une justification globale) :

**Heuristique 7.5.** On considère les groupes $\Lambda_i^n$ associés à l'ensemble des algorithmes de détermination des sous-groupes $M_i^n$, $0 \le i \le m_n$, des filtrations des $M^n := \mathcal{L}_{k_n}$, $n \ge 0$. Alors il existe $i_1$ assez grand, indépendant de $n$, tel que $\frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(\Lambda_{i_1}^n : \Lambda_{i_1}^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))} = 1$ pour $n \to \infty$.

## 7.3. Comportement heuristique de $N_{k_n/k}(M_i^n) \subseteq \mathcal{L}_k$, $n \to \infty$

Lorsque $\mathcal{L}_k \neq 1$, la non finitude du processus limite sur $i$ peut provenir du fait que pour tout $i \in \mathbb{N}$ il existe $n \gg 0$ tel que $N_{k_n/k}(M_i^n) \subseteq \mathcal{L}_k$ (i.e., $p^{c_i^\infty} \neq 1$, ou encore $c > 0$). Comme pour l'Heuristique 7.5, il existerait $n_2 \gg 0$ tel que pour $n \ge n_2$, $\frac{\#\mathcal{A}_k}{\#N_{k_n/k}(M_i^n)} = p^c \neq 1$, pour $i_{\min} \le i \le m_n - 1$, et une conclusion analogue sur le nombre d'étapes $m_n$.

Or on peut se baser sur l'heuristique naturelle suivante stipulant que les classes des idéaux de $k$ de la forme $N_{k_n/k}(\mathfrak{A})$ (ou $N_{k_n/k}(\mathcal{L})$ avec $\mathcal{L}$
CONJECTURE DE GREENBERG

premier totalement décomposé dans $k_n/k$) sont aléatoires, indépendantes, et se répartissent dans le groupe fini $\mathcal{O}_k$ selon les probabilités standard dans la mesure où $N_{k_n/k}(\mathcal{O}_{k_n}) = \mathcal{O}_k$ (voir de même le §7.4.2 pour des justifications précises à ce sujet) :

**Heuristique 7.6.** On considère les groupes $N_{k_n/k}(M_i^n)$ associés à l'ensemble des algorithmes de calcul des sous-groupes $M_i^n$, $0 \le i \le m_n$, des filtrations des $M^n := \mathcal{O}_{k_n}$, $n \ge 0$. Alors il existe $i_2$, assez grand, indépendant de $n$, tel que $N_{k_n/k}(M_{i_2}^n) = \mathcal{O}_k$ pour $n \to \infty$.

*Remarque 7.7.* Dans le cas où $p$ est non décomposé dans le corps totalement réel $k$ et en supposant $k_\infty/k$ totalement ramifiée en l'unique $p \mid p$, le critère de Greenberg est que $\lambda = \mu = 0$ si et seulement si $\mathcal{O}_k$ capitule dans un $k_{n_0}$ [21, Thm. 1] (critère indépendant de la conjecture de Leopoldt). On a dans ce cas, pour tout $n \ge 0$ et tout $i$, $0 \le i \le m_n - 1$ :

$$ \#(M_{i+1}^n/M_i^n) = \frac{\#\mathcal{O}_k}{\#N_{k_n/k}(M_i^n)}, $$

le « facteur normique » étant trivial en raison de la formule du produit.

La $i$-suite des $\Lambda_i^n$ ($n$ fixé) est alors telle que tout $x_i \in \Lambda_i^n$ est de la forme $N_{k_n/k}(y_i)$, $y_i \in k_n^\times$, et $(x_i) = N_{k_n/k}(\mathfrak{B}_i)$ pour un idéal $\mathfrak{B}_i$ de $\mathcal{I}_i^n$ de sorte qu'il existe $\mathfrak{A}_{i+1}$ étranger à $p$ de $k_n$ tel que $\mathfrak{A}_{i+1}^{1-\sigma_n} \cdot (y_i) = \mathfrak{B}_i$; d'où $N_{k_n/k}(\mathfrak{A}_{i+1})$ dont la classe dans $N_{k_n/k}(M_{i+1}^n) \supseteq N_{k_n/k}(M_i^n)$ assure la croissance de la $i$-suite $\#N_{k_n/k}(M_i^n) \mid \#\mathcal{O}_k$.

L'algorithme est donc identique et définit, pour chaque $n \gg 0$, la $i$-suite croissante des diviseurs $\#N_{k_n/k}(M_i^n)$ de $\#\mathcal{O}_k$ pour laquelle, sous l'hypothèse $\lambda \ge 1$ ou $\mu \ge 1$, l'algorithme devrait comporter un palier de $O(\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n)$ « $i$-étapes » consécutives pour lesquelles $N_{k_n/k}(M_i^n) \subsetneq \mathcal{O}_k$, ce qui est totalement irréaliste lorsque $n \to \infty$ comme expliqué au point précédent, ce qui sera analysé au §7.4.2.

Ce premier cas de la conjecture de Greenberg est donc susceptible de l'Heuristique 7.6 précédente affirmant l'existence de $i_2$ assez grand tel que $N_{k_n/k}(M_{i_2}^n) = \mathcal{O}_k$ pour $n \to \infty$. Comme expliqué dans l'Introduction, le principe « algorithmique » adopté couvre grosso modo la totalité de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels.
## 7.4. Principales propriétés $p$-adiques dans $k_\infty/k$

On a les propriétés locales et globales suivantes qui confortent l'absence d'obstruction dans les considérations et heuristiques probabilistes précé-dentes sur les propriétés normiques des nombres et idéaux dans $k_\infty/k$; le §7.4.2 montrera, de façon essentielle, que l'analyse probabiliste dans la tour est de fait de « type fini » et ne concerne que l'invariant $\mathcal{T}_k$.

### 7.4.1. Propriétés locales dans $k_\infty/k$

On considère les $d$ normes locales dans $k_n/k$, en les $\mathfrak{p} \mid \mathfrak{p}, n \ge 0$ fixé; on désigne par $\mathfrak{p}_n$ l'idéal premier de $k_n$ au-dessus de $\mathfrak{p}$. La proposition suivante est une formulation exclusivement locale des calculs de la Section 4 :

**Proposition 7.8.** Soit $\pi_n$ (resp. $\pi_{n+h}$) une uniformisante du complété $\overline{k}_n$ de $k_n$ en $\mathfrak{p}_n \mid \mathfrak{p}$ (resp. de celui de $k_{n+h}$ en $\mathfrak{p}_{n+h} \mid \mathfrak{p}$).

(i) Pour tout $h \ge 1$ et toute unité locale $\alpha_{n+h}$ de $\overline{k}_{n+h}$, il existe une unité locale $\alpha_n$ de $\overline{k}_n$ telle que l'on ait $N_{\overline{k}_{n+h}/\overline{k}_n}(1+\alpha_{n+h} \cdot \pi_{n+h}) = 1 + \alpha_n \cdot \pi_n$.

(ii) Pour tout $h \ge 1$, il existe une unité locale $\beta_n$ de $\overline{k}_n$ telle que l'on ait $(1 + \alpha_{n+h} \cdot \pi_{n+h})^{p^h} = 1 + \beta_n \cdot \pi_n$.

(iii) Soient $U_{\overline{\mathfrak{p}}_n}$ et $U_{\mathfrak{p}}$ les groupes d'unités locales principales de $\overline{k}_n$ et $\overline{k}$. Alors l'indice de $N_{\overline{k}_n/\overline{k}}(U_{\overline{\mathfrak{p}}_n})$ dans $U_{\mathfrak{p}}$ est égal à $p^n$.

*Démonstration.* Utiliser [43, Ch. V, §3, Lem. 5 & Ch. V, §3, Lem. 4] pour le premier point. Le second est immédiat et le dernier est la théorie du corps de classes local dans l'extension totalement ramifiée $\overline{k}_n/\overline{k}$. $\square$

### 7.4.2. Propriétés globales en $p$-ramification Abélienne dans $k_\infty/k$

On considère (sous la conjecture de Leopoldt pour $p$ dans $k_\infty$) le schéma suivant où l'on pose $K = k_n$ pour simplifier et où $H_k^{\text{pr}}$ et $H_K^{\text{pr}}$ sont les pro-$p$-extensions Abéliennes $p$-ramifiées maximales de $k$ et $K$; on désigne par $F$ une extension de $k$, contenant le $p$-corps de classes de Hilbert $H_k$
CONJECTURE DE GREENBERG

de $k$, telle que $H_k^{pr}$ soit le composé direct de $F$ et $k_\infty$ sur $k$ :

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

On considère les symboles d'Artin $(\frac{H_k^{pr}}{k})$ et $(\frac{H_K^{pr}}{K})$ sur $I_k := I_k \otimes \mathbb{Z}_p$ et $I_K := I_K \otimes \mathbb{Z}_p$, où $I_k$ et $I_K$ sont les groupes des idéaux étrangers à $p$ de $k$ et $K$. Leurs images sont respectivement les groupes de Galois $A_k$ et $A_K$; les noyaux de ces symboles d'Artin sont les groupes d'idéaux principaux infinitésimaux $P_{k,\infty} \subset I_k$ et $P_{K,\infty} \subset I_K$, où $P_{k,\infty}$ est l'ensemble des idéaux $(x_\infty)$ où $x_\infty \in k^\times \otimes \mathbb{Z}_p$ est d'image triviale dans $U_k$, et de même avec $K$ (cf. [16, Thm. III.2.4, Prop. III.2.4.1], [29, §2]).

Les groupes $\mathcal{T}_k$ et $\mathcal{T}_K$ sont les groupes de torsion respectifs de $A_k$ et $A_K$.

L'application $N_{K/k}$ sur $\mathcal{I}_K$ induit la restriction $A_K \to A_k$ qui s'ex-
prime par la suite exacte suivante, où $\Gamma_\infty = \text{Gal}(H_k^{\text{pr}}/F)$ et où $N_{K/k}(A_K)$
est d'indice $p^n$ dans $A_k$ :

$$
1 \to \mathcal{C}_K \to \mathcal{A}_K \to N_{K/k}(\mathcal{A}_K) = \Gamma_\infty^{p^n} \oplus \mathcal{T}_k \to 1.
$$

Il en résulte que si $\mathfrak{A} \in I_K$ (idéal ordinaire vu dans $\mathcal{I}_K$), $N_{K/k}(\mathfrak{A})$ peut
s'écrire, modulo des idéaux principaux infinitésimaux, sous la forme :

$$
N_{K/k}(\mathfrak{A}) = \mathfrak{a}^{p^n} \cdot \mathfrak{t}, \quad \text{avec } \mathfrak{a}, \mathfrak{t} \in \mathcal{I}_k, \quad \left( \frac{H_k^{\text{pr}}/k}{\mathfrak{a}} \right) \in \Gamma_{\infty} \& \left( \frac{H_k^{\text{pr}}/k}{\mathfrak{t}} \right) \in \mathcal{T}_k.
$$

Pour $n \gg 0$, $\mathfrak{a}^{p^n}$ est $p$-principal de la forme $(\alpha)$, avec $\alpha \equiv 1 \pmod{p^{n'}}$
où $n' \to \infty$ avec $n$; pour la détermination des $\delta_p(x)$ pour $x \in k^\times$ de la
forme $(x) = N_{K/k}(\mathfrak{A})$, on aura $(x) = (\alpha(x)) \cdot \mathfrak{t}(x)$ où le nombre $\alpha(x)$ est
« négligeable » quant à ses $\delta_p(\alpha(x))$, et les $\delta_p(x)$ ne dépendront que de
$\mathfrak{t}(x)$ modulo $\delta_p(E_k)$; on peut ainsi dire que les groupes $N_{K/k}(\mathcal{I}_i^n)$ sont
CONJECTURE DE GREENBERG

Puisque $\#\mathcal{L}_{k_n}^{G_n} = \#\mathcal{T}_k$ pour $n \ge e$ (Théorème 4.7(ii)), ceci devient :

$\mathcal{L}_{k_n}(S_{k_n}) = 1$ pour tout $n \implies k$ est $p$-rationnel (i.e., $\lambda = \mu = \nu = 0$).

Si l'on suppose $k$ non $p$-rationnel (e.g., $p = 3$, $k = \mathbb{Q}(\sqrt{103})$ où $\mathcal{L}_k = 1$ et $R_k = 3$), alors nécessairement $\mathcal{L}_{k_n}(S_{k_n}) \ne 1$ pour tout $n \gg 0$. (2)

D'après la Remarque 3.5(ii), on a $H^1(G_n, \mathcal{L}_{k_n}(S_{k_n})) = 0$ si et seulement si $\mathcal{L}_{k_n}(S_{k_n}) = 1$, donc si et seulement si $\mathcal{L}_{k_n}^{G_n} = \mathcal{L}_{k_n}^{S_{k_n}G_n}$ (autrement dit, dans ce cas, la condition suffisante du Théorème 3.4 est aussi nécessaire).

Dans le cadre de l'algorithmme déterminant, au niveau $n$, les $i$-suites $M_i^n$ et $\Lambda_i^n$, la condition $\mathcal{L}_{k_n}(S_{k_n}) = 1$ ne modifie en rien les aspects probabilistes du §7.4.2 précédent, puisqu'on ne travaille qu'avec des idéaux étrangers à $p$ pour représenter les classes de $k_n$, calculer leurs normes dans $\mathcal{L}_k$ et les quotients de Fermat des $x \in \Lambda_i^n$; la conjecture faible ne semble pas être de nature différente de celle de la conjecture générale.

## 7.6. Heuristique finale

Les Heuristiques 7.5, 7.6, et les arguments du §7.4.2 se résumeraient par l'existence de $i_0$ assez grand, indépendant de $n$, tel que pour tout $n \gg 0$, $\mathcal{L}_{k_n}$ soit atteint au $i_0$-ième pas au plus (i.e., $m_n \le i_0$); ceci est alors équivalent à $\#\mathcal{L}_{k_n} = p^\nu$ pour tout $n \gg 0$. Pour $0 \le i \le i_0$, on a donc une suite de diviseurs successifs de $\#\mathcal{T}_k$, de la forme :

$$ \{t_0 = \#\mathcal{T}_k, \dots, t_i, \dots, (t_{m_n} = \dots = t_{i_0}) = 1\}, $$

définis, pour chaque $i \ge 0$ fixé, comme $\max_{n \to \infty} (\#(M_{i+1}^n/M_i^n))$ (cf. §7.1).

On peut donc proposer l'heuristique probabiliste suivante (précisant les fondements $p$-adiques de la conjecture de Greenberg), reposant sur les heuristiques ci-dessus et en notant que, grosso modo, l'existence de chacune des $m_n = O(1) \cdot (\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu)$ étapes de l'algorithme a une probabilité fonction de celles des $\delta_p$ à avoir une valeur « non triviale » (un cas emblématique simple étant celui des $\#(M_{i+1}^n/M_i^n) = p$ pour tout $i$ pour un corps quadratique; dans le cas général, la formule proposée en (iii) est seulement un ordre de grandeur largement suffisant pour conclure) :

<footnote>(2) Noter que les $\mathcal{L}_{k_{n+h}}(S_{k_{n+h}})$ se surjectent (par la norme) sur $\mathcal{L}_{k_n}(S_{k_n})$, ce qui fait que si l'un des groupes est nul à un étage $n_0 \gg 0$, ils sont tous nuls pour $n \le n_0$.</footnote>
**Heuristique 7.10.** Soit $k$ un corps de nombres totalement réel et soit $p > 2$ totalement décomposé dans $k/\mathbb{Q}$. Soit $\mathcal{T}_k$ le groupe de torsion du groupe de Galois de la pro-p-extension Abélienne p-ramifiée maximale de $k$ ; on suppose $\mathcal{T}_k \neq 1$. On considère l’algorithme associé à la filtration de $\mathcal{O}_{\mathcal{L}_{k_n}}$, $n \ge 1$ fixé, et la $i$-suite des groupes $\Lambda_i^n$, $1 \le i \le m_n$, pour laquelle on a $m_n \ge \frac{1}{v_p(\#\mathcal{T}_k)} (\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu)$ (Théorème 6.3). Alors :

(i) La probabilité que, pour un $x \in \Lambda_i^n$, on ait $\delta_p(x) \ge r$ (resp. $\delta_p(x) = 0$), pour tout $\mathfrak{p} \mid p$, est $\frac{1}{p^{r(d-1)}}$ (resp. $1 - \frac{1}{p^{d-1}}$).

(ii) Soit $c \in \mathcal{O}_{k_n}$. La probabilité que, pour un idéal $\mathfrak{A}$ de $k_n$ étranger à $p$, la $p$-classe de $N_{k_n/k}(\mathfrak{A})$ soit égale à $c$, est $\frac{1}{\#\mathcal{O}_{k_n}}$.

(iii) Pour $\lambda$ ou $\mu$ non nuls, la probabilité d'avoir $\#\mathcal{O}_{\mathcal{L}_{k_n}} = p^{\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu}$ est au plus en $\frac{1}{p^{\overline{O(1)} \cdot (\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n)}}$, lorsque $n \to \infty$.

## 7.7. Perspectives

Cette heuristique (même imparfaite) montre la légitimité de la conjecture de Greenberg mais aussi que la $n$-suite des $\#\mathcal{O}_{\mathcal{L}_{k_n}}$ est probablement très rapidement stationnaire, ce qui est plutôt un élément favorable pour une approche plus analytique. Il semble en effet difficile de trouver des arguments théoriques qui « obligeraient » les classes des normes $N_{k_n/k}(\mathfrak{A})$ d'idéaux aléatoires $\mathfrak{A}$ de $k_n$ à ne pas se répartir uniformément dans $\mathcal{O}_{\mathcal{L}_k}$, ou les $\delta_p(x)$ des quotients de Fermat des $x \in k^\times$ à ne pas suivre des lois binomiales reposant sur la probabilité de nullité en $1 - \frac{1}{p}$ (voire encore plus proches de 1 comme nous l'avons longuement analysé dans [14] et [17] pour les nombres algébriques en général). Voir à ce sujet [23] qui établit déjà la répartition uniforme des quotients de Fermat des entiers rationnels et qui est probablement générale.

Cette question risque de rester sans réponse, d'autant plus qu'un éminent mathématicien français m'avait conforté en affirmant, dans un échange au sujet des quotients de Fermat des rationnels (Janvier 2012) :

> « Or vous savez bien que c'est la pire des situations : quand quelque chose est aléatoire (par exemple un quotient de Fermat) on est souvent complètement désarmé pour le démontrer ».
CONJECTURE DE GREENBERG

Ceci explique la difficulté rencontrée en « théorie d'Iwasawa algébrique » concernant le « calcul » des invariants $\lambda, \mu, \nu$ de la limite projective des $\mathcal{O}_{k_n}$ pour le cas totalement réel en l'absence d'une conjecture très ambi- tieuse qui gouvernerait beaucoup de problèmes arithmétiques analogues où interviennent de tels objets $p$-adiques « aléatoires », d'autant plus que tout ce qui précède repose sur la conjecture de Leopoldt ; or celle-ci re- vient à dire grosso modo que la probabilité, pour le régulateur $R_k$, d'être divisible par $p^n$ est en $\frac{1}{p^{f(n)}}$, $f(n) \to \infty$ si $n \to \infty$, c'est-à-dire analogue à celle de l'Heuristique 7.10(iii), et que $R_k = 0$ est « presque sûrement » impossible.

On peut donc se demander si une aproche de type transcendance $p$- adique ne serait pas mieux adaptée puisque c'est l'une des voies démon- trant quelques cas non triviaux de la conjecture de Leopoldt.

Tout ceci est aussi lié à un point de vue différent qui est celui de fixer le corps $k$ et de faire tendre $p$ vers l'infini, auquel cas un cadre conjectural $p$-adique analogue [17, §7] conduirait à la $p$-rationalité de $k$ pour tout premier $p \gg 0$, donc à la conjecture de Greenberg pour laquelle on aurait $\lambda_p = \mu_p = \nu_p = 0$ indépendamment de toute technique d'Iwasawa.

8. Statistiques sur les $\delta_p(x)$ et les classes des $N_{k_n/k}(\mathfrak{A})$

Le point essentiel est le comportement, pour $n$ fixé, des « quotients de Fermat » $p^{\delta_p(x_i)}$ (Définition 4.1), pour les $x_i \in \Lambda_i^n$ tels que $(x_i) \in N_{k_n/k}(\mathcal{I}_i^n)$ ainsi que les classes des idéaux $N_{k_n/k}(\mathfrak{A}_i)$ où les $\mathfrak{A}_i \in \mathcal{I}_i^n$ représentent les classe de $M_i^n$.

L'étape de l'algorithme calculant le $(i+1)$-ième sous-groupe $M_{i+1}^n$ de la filtration repose sur les $x_i = N_{k_n/k}(y_i) \in \Lambda_i^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times)$, tels que $(x_i) = N_{k_n/k}(\mathfrak{B}_i)$, $\mathfrak{B}_i \in \mathcal{I}_i^n$, ce qui conduit à $\mathfrak{A}_{i+1}^{1-\sigma_n} \cdot \mathfrak{B}_i = (y_i)$, $\mathfrak{A}_{i+1}$ étranger à $p$ dont on prend la norme, etc.

On a alors $\omega_n(\Lambda_{m_n}^n) = \Omega(k_n/k)$ et $N_{k_n/k}(M_{m_n}^n) = \mathcal{O}_k$, pour le nombre de pas $m_n$ de l'algorithme.

D'après le Théorème 6.3, en supposant par exemple $\mathcal{T}_k \neq 1$ et $\mathcal{O}_k = 1$, l'hypothèse $\lambda$ ou $\mu \ge 1$ doit conduire à au moins $\frac{1}{\nu_p(\#\mathcal{T}_k)}(\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n + \nu)$ valeurs consécutives de l'indice $i$ pour lesquelles tous les $x_i$ sont tels que $\delta_p(x_i) \ge 1$ pour certains $p \mid p$ de telle sorte que $\omega_n(\Lambda_i^n) \subsetneq \Omega(k_n/k)$; ceci rend indispensable la confrontation avec l'expérimentation numérique.
Pour cela on commence par un cadre simple, mais non trivial, utilisant
des idéaux $\mathfrak{A}_i$ premiers, dans le cas $\mathcal{O}_k = 1$. Ensuite, on aura à exami-
ner le facteur « classes » et le facteur « normique » dans l'expression de
$M_{i+1}^n/M_i^n$.

8.1. Représentation des classes par des idéaux premiers $\mathcal{L}_i$

D'après le théorème de Tchebotarev, pour tout $c \in \mathcal{O}_{k_n}$ il existe une infinité de nombres premiers $\ell$ tels que, pour un idéal premier convenable $\mathcal{L}' \mid \ell$ dans $H_{k_n}$ (le $p$-corps de classes de Hilbert de $k_n$), $(\frac{H_{k_n}/\mathcal{Q}}{\mathcal{L}'})$ soit l'élément de $\text{Gal}(H_{k_n}/k_n)$ correspondant à $c$ par le corps de classes ; comme $H_{k_n}/k_n$ est Abélienne, ce Frobenius ne dépend que de l'idéal premier $\mathcal{L}$ de $k_n$ au-dessous de $\mathcal{L}'$. L'image de $(\frac{H_{k_n}/k_n}{\mathcal{L}})$ dans $\text{Gal}(H_{k_n}/k_n)$ est encore $c$ et est représentée par $\mathcal{L}$ totalement décomposé dans $k_n/\mathcal{Q}$.

Autrement dit, lorsque par exemple $k$ est principal, en se limitant à
des idéaux premiers $\mathcal{L}$ totalement décomposés dans $k_n/\mathcal{Q}$ et en considé-
rant $\mathcal{l} = (\alpha)$ pour l'idéal premier $\mathcal{l} = N_{k_n/k}(\mathcal{L})$ de $k$ en-dessous de $\mathcal{L}$, on
peut effectuer des statistiques sur les valeurs prises par les $\delta_p(\alpha)$ indé-
pendamment de tout contexte conjecture de Greenberg puisque les $\mathcal{L}_i$ de
l'algorithme seront aléatoirement certains $\mathcal{L}$ particuliers.

On reprend ici les même hypothèse simplificatrices faites au §6.3, où le
corps $k = \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ est principal et les entiers $\delta_p(\varepsilon)$ et $\delta_p(\pi)$ non nuls, de
sorte que la condition suffisante du Théorème 3.1 ne s'applique pas (en
réalité, les résultats n'en dépendent pas.

Le nombre $\alpha$ tel que $N_{k_n/k}(\mathcal{L}) = \mathcal{l} = (\alpha)$ est un entier de $k$ (unique à une unité près) de norme $\ell = \mathcal{l} \cap \mathbb{Z}$ sur $\mathbb{Q}$, où $\ell^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^{n+1}}$. On a $\alpha^{p-1} = 1 + p \cdot p^{\delta_p(\alpha)} \cdot \beta$, $\beta$ étranger à $p$ si $\delta_p(\alpha) < n$.

Le choix par PARI de $\alpha$ modulo $E_k$ influe de façon marginale sur les
statistiques (voir ci-après un cas sans équivoque avec $\delta_3(\varepsilon) = 6$). Ceci vaut
pour tous les résultats de cette section où le « choix » de $\alpha$ intervient.

(i) Dans l'expérimentation numérique, pour $p=3$, on prend $n$ assez grand de sorte que l'on compte dans $C_r$ les nombres premiers $\ell \equiv \pm 1 \pmod{3^{n+1}}$ pour lesquels $\delta_p(\alpha) = r$, où $r$ varie de 0 à $n-1$ au plus, et on compare le résultat aux probabilités naturelles $\frac{2}{3}, \frac{2}{3^2}, \dots, \frac{2}{3^r}, \dots$

`{p=3; m=103; n=12; B=10^13; M=p^(n+1); Q=x^2-m;`
CONJECTURE DE GREENBERG

K=bnfinit(Q,1); C0=0; C1=0; C2=0; C3=0; C4=0; C5=0; NL=0;
for(t=-1, 0, L=2*t+1; while(L<B, L=L+2*M;
    if(isprime(L)==1 & kronecker(m,L)==1, NL=NL+1;
    Su=bnfsunit(K, idealprimedec(K,L));
    A=component(component(Su,1),1);
    AA=(Mod(A,Q)^2-1)/3; v=valuation(AA,3);
    if(v==0, C0=C0+1); if(v==1, C1=C1+1); if(v==2, C2=C2+1);
    if(v==3, C3=C3+1); if(v==4, C4=C4+1); if(v>=5, C5=C5+1)));
    print(p," ",m," ",n," ",B);
    print(NL," ",C0," ",C1," ",C2," ",C3," ",C4," ",C5);
    print(C0/NL+0.0," ",C1/NL+0.0," ",C2/NL+0.0," ",C3/NL+0.0," ",
    C4/NL+0.0," ",C5/NL+0.0); print(" ");
    S=0.0; for(j=1,8, S=S+(p-1.0)/p^(5+j));
    print(2./3," ",2./9," ",2./27," ",2./81," ",2./243," ", S)}

On obtient la remarquable confirmation du fait que les $\delta_p(\alpha)$ se répartissent de façon indépendante de la condition $\ell \equiv \pm 1 \pmod{3^{n+1}}$, quel que soit $n$. On considère l'exemple ci-dessous pour lequel $\delta_p(\varepsilon) = \delta_p(\pi) = 1 : p = 3, m = 103, n = 12, \ell \equiv \pm 1 \pmod{3^{13}}, 1 < \ell < 10^{13}$.

Il y a alors $N_L = 325644$ nombres premiers $\ell$ dans l'intervalle, dont respectivement $C_0 = 217122$, $C_1 = 72353$, $C_2 = 24174$, $C_3 = 8043$, $C_4 = 2620$, $C_5 = 1332$, sont tels que $\delta_p(\alpha) = 0, 1, 2, 3, 4, \ge 5$.

<table><thead><tr><th>proportions</th><th>probabilités</th></tr></thead><tbody><tr><td>$C_0 = 0.6667465084$</td><td>$\frac{2}{3} = 0.6666666666$</td></tr><tr><td>$C_1 = 0.2221843485$</td><td>$\frac{2}{3^2} = 0.2222222222$</td></tr><tr><td>$C_2 = 0.0742344400$</td><td>$\frac{2}{3^3} = 0.0740740740$</td></tr><tr><td>$C_3 = 0.0246987507$</td><td>$\frac{2}{3^4} = 0.0246913580$</td></tr><tr><td>$C_4 = 0.0080455958$</td><td>$\frac{2}{3^5} = 0.0082304526$</td></tr><tr><td>$C_5 = 0.0040903563$</td><td>$\sum_{j \ge 6} \frac{2}{3^j} = 0.0041152264$</td></tr></tbody></table>

Le même calcul pour $m = 2149$, où $\delta_p(\varepsilon) = \delta_p(\pi) = 3$, conduit à des résultats similaires : $N_L = 325538$, $C_0 = 216955$, $C_1 = 72406$, $C_2 = 24145$, $C_3 = 8063$, $C_4 = 2667$, $C_5 = 1302$ (première proportion 0.6664506140).

L'exemple suivant pour lequel $\delta_3(\varepsilon) = 6$ est donc tel que $\delta_3(\alpha)$ est indépendant du représentant modulo $E_k$ donné par PARI, au moins pour $r \le 5$ ($m = 1213$, $n = 12$, $B = 10^{13}$) : $N_L = 325778$, $C_0 = 217298$, $C_1 = 72322$, $C_2 = 24144$, $C_3 = 8075$, $C_4 =$
2621, $C_5 = 1318$, avec les proportions $0.6670125054$, $0.2219978021$, $0.0741118184$, $0.0247868180$, $0.0080453560$, $0.0040456998$.

En prenant $m = 397$, $n = 100$, $B = 10^5$, et $\ell \equiv \pm 1 \pmod{3^{101}}$, on obtient les valeurs très stables : $N_L = 7947$, $C_0 = 5305$, $C_1 = 1702$, $C_2 = 646$, $C_3 = 207$, $C_4 = 55$, $C_5 = 32$, et la proportion $0.6675475022$ de $\delta_p(\alpha) = 0$.

(ii) Dans le cas général, on suppose toujours $p$ décomposé dans $k$ et $\mathcal{L}_k = 1$. Le programme est un peu plus complexe car on souhaite obtenir tous les $\ell$ vérifiant la condition $\ell^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^{n+1}}$ (on utilise les puissances $\ell^k$, $1 \le k \le p-1$, d'une racine primitive $(p-1)$-ième de l'unité $\rho \pmod{p^{n+1}}$).

$$
\begin{align*}
& \{p=7; m=44853; n=5; B=10^2; M=p^{(n+1)}; Q=x^2-m; K=\text{bnfinit}(Q,1); \\
& \text{ro=znprimroot}(M)^{(p^n)}; C0=0; C1=0; C2=0; C3=0; C4=0; C5=0; NL=0; \\
& \text{for}(k=1, p-1, R=\text{Mod}(ro,M)^k; L=\text{component}(R,2); \\
& \quad \text{while}(L<B, L=L+M; \text{if}(\text{isprime}(L)==1 \text{ & kronecker}(m,L)==1, NL=NL+1; \\
& \quad \quad \text{Su=bnfsunit}(K,\text{idealprimedec}(K,L)); A=\text{component}(\text{component}(Su,1),1); \\
& \quad \quad \text{AA}=(\text{Mod}(A,Q)^{(p-1)-1})/p; v=\text{valuation}(AA,p); \\
& \quad \quad \text{if}(v==0, C0=C0+1); \text{if}(v==1, C1=C1+1); \text{if}(v==2, C2=C2+1); \\
& \quad \quad \text{if}(v==3, C3=C3+1); \text{if}(v==4, C4=C4+1); \text{if}(v==5, C5=C5+1))); \\
& \quad \text{print}(p, " ", m, " ", n, " ", B); \\
& \quad \text{print}(NL, " ", C0, " ", C1, " ", C2, " ", C3, " ", C4, " ", C5); \\
& \quad \text{print}(C0/NL+0.0, " ", C1/NL+0.0, " ", C2/NL+0.0, " ", C3/NL+0.0, " ", \\
& \quad \quad C4/NL+0.0, " ", C5/NL+0.0); S=0.0; \text{for}(j=1,10, S=S+(p-1.0)/p^{(5+j)}); \\
& \quad \text{print}((p-1.0)/p, " ", (p-1.0)/p^2, " ", (p-1.0)/p^3, " ", \\
& \quad \quad (p-1.0)/p^4, " ", (p-1.0)/p^5, " ", S)}
\end{align*}
$$

On considère l'exemple pour lequel $\delta_p(\varepsilon) = \delta_p(\pi) = 1 : p = 7$, $m = 44853$, $n = 5$, $\ell^{p-1} \equiv 1 \pmod{7^6}$, $1 < \ell < 10^{12}$. On a alors $N_L = 1118955$, $C_0 = 959051$, $C_1 = 137487$, $C_2 = 19118$, $C_3 = 2842$, $C_4 = 388$, $C_5 = 69$.

<table>
  <thead>
    <tr>
      <th>proportions</th>
      <th>probabilités</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>C<sub>0</sub> = 0.8570952361</td>
      <td>6/7 = 0.8571428571</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>C<sub>1</sub> = 0.1228708929</td>
      <td>6/7<sup>2</sup> = 0.1224489795</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>C<sub>2</sub> = 0.0170855843</td>
      <td>6/7<sup>3</sup> = 0.0174927113</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>C<sub>3</sub> = 0.0025398697</td>
      <td>6/7<sup>4</sup> = 0.0024989587</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>C<sub>4</sub> = 0.0003467521</td>
      <td>6/7<sup>5</sup> = 0.0003569941</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>C<sub>5</sub> = 0.0000616646</td>
      <td>&sum;<sub>j&ge;6</sub> 6/7<sup>j</sup> = 0.0000059499</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
CONJECTURE DE GREENBERG

On considère enfin le cas suivant pour lequel $\delta_p(\varepsilon) = \delta_p(\pi) = 1$ :
$p = 29$, $m = 683$, $n = 5$, $\ell^{p-1} \equiv 1 \pmod{29^6}$, $1 < \ell < 10^{15}$.
$N_L = 728880$, $C_0 = 703535$, $C_1 = 24450$, $C_2 = 857$, $C_3 = 38$, $C_4 = C_5 = 0$.

<table><thead><tr><th>proportions</th><th>probabilités</th></tr></thead><tbody><tr><td>$C_0 = 0.9652274722$</td><td>$\frac{28}{29} = 0.9655172413$</td></tr><tr><td>$C_1 = 0.0335446163$</td><td>$\frac{28}{29^2} = 0.0332936979$</td></tr><tr><td>$C_2 = 0.0011757765$</td><td>$\frac{28}{29^3} = 0.0011480585$</td></tr><tr><td>$C_3 = 0.0000521347$</td><td>$\frac{28}{29^4} = 0.0000395882$</td></tr><tr><td>$C_4 = 0$</td><td>$\frac{28}{29^5} = 0.0000013651$</td></tr><tr><td>$C_5 = 0$</td><td>$\sum_{j \ge 6} \frac{28}{29^j} = 0.0000000488$</td></tr></tbody></table>

(iii) Les groupes $\Lambda_i^n = \{x \in k^\times, (x) \in N_{k_n/k}(\mathcal{I}_i^n)\}$ des exemples pré-
cédents sont de la forme $\Lambda_i^n = \langle \varepsilon, \alpha_1, \dots, \alpha_i \rangle$ pour $1 \le i \le m_n$
(§6.3), et la probabilité d'avoir $m_n$ générateurs (outre $\varepsilon$) suit une
loi binomiale *indépendamment de la valeur de n* $\to \infty$, ce qui
suggère une probabilité nulle d'avoir $\lambda$ ou $\mu \ge 1$, c'est-à-dire
$m_n = O(\lambda \cdot n + \mu \cdot p^n)$ (Théorème 6.3).

(iv) Exemple avec le sous-corps cubique $K$ de $\mathbb{Q}(\mu_7)$ défini par le po-
lynôme $Q = x^3 + x^2 - 2x - 1$, $p = 13$, $n = 3$, $\ell^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^4}$,
$1 < \ell < 10^{12}$. Pour avoir les $\ell$ décomposés dans $k$, le programme
factorise $Q$ modulo $\ell$ et teste le nombre de facteurs $d$ (principe qui
permet de varier $Q$ facilement).

```
{p=13; n=3; B=10^12; M=p^(n+1); Q=x^3+x^2-2*x-1; K=bnfinit(Q,1);
ro=znprimroot(M)^(p^n); C0=0; C1=0; C2=0; C3=0; NL=0;
for(k=1, p-1, R=Mod(ro,M)^k; L=component(R,2); while(L<B, L=L+M;
if(isprime(L)==1, QL=x^3+x^2-2*x-Mod(1,L); F=factor(QL);
d=component matsize(F),1); if(d==3, NL=NL+1;
Su=bnfsunit(K,idealprimedec(K,L)); A=component(component(Su,1),1);
AA =(Mod(A,Q)^(p-1)-1)/p; v=valuation(AA,p);
if(v==0, C0=C0+1); if(v==1, C1=C1+1); if(v==2, C2=C2+1);
if(v==3, C3=C3+1)))); print(p, " ",n, " ",B);
print(NL, " ",C0, " ",C1, " ",C2, " ",C3);
print(C0/NL+0.0, " ",C1/NL+0.0, " ",C2/NL+0.0, " ",C3/NL+0.0);
print((p^2-1.0)/p^2, " ", (p^2-1.0)/p^4, " ",
       (p^2-1.0)/p^6, " ", (p^2-1.0)/p^8)}
```

Il y a alors $N_L = 5707184$ nombres $\ell$ dans l'intervalle, dont $C_0 = 5673504$, $C_1 = 33487$, $C_2 = 192$, $C_3 = 1$, sont tels que $\delta_p(\alpha) =$
0, 1, 2, 3.

<table><thead><tr><th></th><th>proportions</th><th>probabilités</th></tr></thead><tbody><tr><td>$C_0 = 0.9940986658$</td><td>$\frac{p^2-1}{p^2} = 0.9940828402$</td><td></td></tr><tr><td>$C_1 = 0.0058675171$</td><td>$\frac{p^2-1}{p^4} = 0.0058821469$</td><td></td></tr><tr><td>$C_2 = 0.0000336418$</td><td>$\frac{p^2-1}{p^6} = 0.0000348056$</td><td></td></tr><tr><td>$C_3 = 0.0000001752$</td><td>$\frac{p^2-1}{p^8} = 0.0000002059$</td><td></td></tr></tbody></table>

## 8.2. Statistiques sur $m_n$

Rappelons, pour l'algorithme, que si $x_i = N_{k_n/k}(y_i) \in \Lambda_i^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times)$, où $(x_i) = N_{k_n/k}(\mathfrak{B}_i) \in N_{k_n/k}(\mathcal{I}_i^n)$, la relation $\mathfrak{A}_{i+1}^{1-\sigma_n} \cdot \mathfrak{B}_i = (y_i)$ fournit le nouvel $\mathfrak{A}_{i+1}$ dont on calcule $N_{k_n/k}(\mathfrak{A}_{i+1})$ pour constituer $\Lambda_{i+1}^n$, puis les $\delta_p(x_{i+1})$, etc. Considérons alors un corps quadratique $k$ et le $n$-ième étage de $k_\infty$ pour lequel on souhaite tester l'indépendance des $\delta_p(x_i) \ge 0$, $x_i \in \Lambda_i^n$, obtenus successivement par l'algorithme de calcul de $\mathcal{O}_{k_n}$ pour $1 \le i \le m_n$ et de même celle des classes des $N_{k_n/k}(\mathfrak{A}_i)$ dans $\mathcal{O}_{k_n}$.

Comme la recherche numérique, par programme PARI, des idéaux $\mathfrak{A}_i$ et des $x_i \in \Lambda_i^n$ tels que $(x_i) = N_{k_n/k}(\mathfrak{B}_i)$, est particulièrement difficile on procède de façon indirecte par le biais du calcul de $m_n$ ($n = 1$ en pratique) à partir de celui de $\mathcal{O}_{k_n}$.

Pour étudier les deux facteurs de $(M_{i+1}^n/M_i^n)$ on considère séparément les cas $\mathcal{O}_k = 1$ et $\delta_p(\varepsilon) = 0$ qui permettent des statistiques respectivement sur :

$$ \frac{p^{n \cdot (d-1)}}{(\Lambda_i^n : \Lambda_i^n \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))} \quad \text{et} \quad \frac{\#\mathcal{O}_k}{\#N_{k_n/k}(M_i^n)}. $$

### 8.2.1. Calcul de $m_n$ dans le cas $\mathcal{O}_k = 1 \& \delta_p(\varepsilon) = 1$, $k$ quadratique

On se place dans les conditions pour lesquelles le nombre de classes ambiges dans $k_n/k$ est égal à $p$, donc avec la seule hypothèse :

$$ (E_k : E_k \cap N_{k_n/k}(k_n^\times)) = p^{n-1}, $$

qui équivaut au fait que $\delta_p(\varepsilon) = 1$. Il en résulte qu'il est équivalent de faire des statistiques sur l'ordre de $\mathcal{O}_{k_n}$ lorsque $k = \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ varie, ce que PARI effectue assez rapidement ; en effet, on a la filtration correspondante
CONJECTURE DE GREENBERG

$(M_i^n)_{i \ge 0}$, de $M^n = \mathcal{L}_{k_n}$, telle que $\#(M_{i+1}^n/M_i^n) = p$ pour $0 \le i \le m_n - 1$, et telle que $\mathcal{L}_{k_n} = \prod_{i=0}^{m_n-1} \#(M_{i+1}^n/M_i^n) = p^{m_n}$.

On a $M^n = M_1^n$ si et seulement si $M_2^n = M_1^n$, ce qui est équivalent à $\delta_p(\alpha_1) = 0$, de probabilité $1 - \frac{1}{p}$ et qui ne dépend pas du représentant $\alpha_1$ modulo $\langle \varepsilon \rangle$.

Ensuite, on a $M^n = M_2^n$ si et seulement si $M_2^n \neq M_1^n$ et $M_3^n = M_2^n$, équivalent à $\delta_p(\alpha_1) \ge 1$ et $\delta_p(\alpha_2) = 0$, de probabilité $(1 - \frac{1}{p}) \cdot \frac{1}{p}$, etc.

*Remarque 8.1.* Noter que puisque $N_{k/\mathbb{Q}}(\varepsilon) = 1$, la condition $R_k \equiv 0 \pmod p$ est équivalente à $\delta_p(\varepsilon) \ge 1$ et est donc de probabilité $\frac{1}{p}$, alors que pour $x \in k^\times$ arbitraire, la condition $\delta_p(x) \ge 1$ pour tout $\mathfrak{p} \mid p$ est de probabilité $\frac{1}{p^2}$ (cf. Lemme 5.1 et Remarque 5.2).

Plus généralement, si $\alpha = 1+p \cdot p^r \cdot \beta$, $0 \le r < n$, est tel que $N_{k/\mathbb{Q}}(\alpha) \equiv 1 \pmod{p^{n+1}}$, ce qui est le cas si $(\alpha)$ est norme d'un idéal de $k_n$, on a la relation exceptionnelle $\beta + \beta' + p^{r+1} \cdot \beta \beta' = u \cdot p^{n-r}$ qui reflète la formule du produit et modifie la probabilité de p-divisibilité de $\beta$ en $\frac{1}{p}$ au lieu de $\frac{1}{p^2}$ puisque $p \mid \beta$ équivaut à $p \mid \beta'$, d'où les probabilités pour les $\delta_p(\alpha_i)$.

Si $\alpha$ est une unité $\varepsilon$, on a $\beta' + \beta \cdot \varepsilon' = 0$ qui rend la propriété ci-dessus vraie pour tout $n$.

Les deux programmes suivants ($k = \mathbb{Q}(\sqrt{7})$, $p = 3$) justifient à nouveau le phénomène, pour $y \in k^\times$, selon la proximité p-adique de $N_{k/\mathbb{Q}}(y)$ avec 1 :

(i) On impose que la norme de l'élément aléatoire $y$ soit assez proche de 1 (on peut remplacer 9 par toute puissance de 3 plus grande) :

```
{m=7; Q=x^2-m; X=Mod(x,Q); N=10^6; NY=0.0; NYO=0.0; B=10^7;
for(k=1, B, a(random(N)); b(random(N); Y=a*X+b; n=norm(Y);
if(Mod(n^2, 9)==1, NY=NY+1; Z=(Y^2-1)/3; z=norm(Z);
if(valuation(z,3)==0, NYO=NYO+1)))); print(NYO/NY)}
```

Densité de $\delta_p(y) = 0$ obtenue : $0.6667709837 \sim \frac{2}{3}$.

(ii) Aucune condition de norme locale en dehors de $p$ pour $y$ :

```
{m=7; Q=x^2-m; X=Mod(x, Q); pi1=X-2; pi2=X+2;
N=10^5; NY=0.0; NYO=0.0;
B=10^7; for(k=1, B, a(random(N)); b(random(N); Y=a*X+b; n=norm(Y);
if(Mod(n, 3!=0, NY=NY+1; Z=(Y^2-1)/3; Z1=Z*pi1; Z2=Z*pi2;
v1=valuation(component(Z1,2),3); v2=valuation(component(Z2,2),3);
v=min(v1, v2); if(v==0, NYO=NYO+1))); print(NYO/NY)}
```
Densité de min($\delta_p(y)$, $\delta_{p'}(y)$) = 0 obtenue : 0.8889293692 $\sim \frac{8}{9}$.

Dans le cas $n = 1$, il suffit de supposer $R_k = p$, donc que $k$ est tel que $\delta_p(\varepsilon) \ge 1$. Autrement dit, $\varepsilon$ est partout norme locale et n'intervient pas dans les raisonnements. L'indépendance des $\alpha_i$ est alors mesurée par les probabilités $\frac{p-1}{p^h}$ d'avoir $\#\mathcal{L}_{k_1} = p^h$, $h \ge 1$ (même raisonnement que dans le cas précédent).

Le programme ci-dessous (écrit pour $n = 1$) est valable pour $p \ge 3$, mais pour $p > 3$, le temps de calcul devient prohibitif; pour $n > 1$ remplacer $\text{polsubcyclo}(p^2, p)$ par $\text{polsubcyclo}(p^{n+1}, p^n)$.

```R
{p=3; Cyclo=polsubcyclo(p^2, p); C1=0; C2=0; C3=0; C4=0; CM=0;
b=1; B=3*10^5; m=b; while(m<b+B, m=m+1;
  if(core(m)==m & kronecker(m, p)==1, Q=x^2-m; M=m; t=Mod(m,4);
  if(t!=1, M=4*m); h=qfbclassno(M); if(valuation(h,p)==0, E=quadunit(M);
  e1=component(E,2); e2=component(E,3); if(t==1, e2=e2/2; e1=e1+e2);
  E=Mod(e1+e2*x, Q); EE=component(E^(p-1)-1,2);
  ve=valuation(EE, p)-1; if(ve>=1, CM=CM+1;
  P=polcompositum(Cyclo, Q); R=component(P,1); K=bnfinit(R, 1);
  H=bnrinit(K,1); G=component(component(H,5),1); w=valuation(G,p);
  if(w==1, C1=C1+1); if(w==2, C2=C2+1);
  if(w==3, C3=C3+1); if(w>=4, C4=C4+1))));
  print(CM, "", C1, "", C2, "", C3, "", C4);
  print(C1/CM+0.0, " ", C2/CM+0.0, " ",
        C3/CM+0.0, "", C4/CM+0.0); S=0.0; for(j=0, 8, S=S+(p^2-1)/p^(8+2*j));
  print((p^2-1.0)/p^2, "", (p^2-1.0)/p^4, "", (p^2-1.0)/p^6, "", S)}
```

Pour $p = 3$ et $B = 3 \cdot 10^5$ on obtient les valeurs numériques $C_M = 18928$, $C_1 = 16857$, $C_2 = 1814$, $C_3 = 221$, $C_4 = 36$ et le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>proportions</th><th>probabilités</th></tr></thead><tbody><tr><td>C<sub>1</sub>/C<sub>M</sub> = 0.8905853761</td><td>8/9 = 0.888888888</td></tr><tr><td>C<sub>2</sub>/C<sub>M</sub> = 0.0958368554</td><td>8/9<sup>2</sup> = 0.0987654320</td></tr><tr><td>C<sub>3</sub>/C<sub>M</sub> = 0.0116758241</td><td>8/9<sup>3</sup> = 0.0109739368</td></tr><tr><td>C<sub>4</sub>/C<sub>M</sub> = 0.0019019442</td><td>&Sigma;<sub>j&ge;0</sub> 8/(9<sup>j</sup>) = 0.0013717421</td></tr></tbody></table>

*Remarque 8.2.* La différence de nature entre d'une part les résultats numériques obtenus ici sur le comportement « fictif » des $\delta_p(\alpha_i)$ déduit du calcul effectif de $\#\mathcal{L}_{k_n}$, et d'autre part les expérimentations du §8.1 sur la représentation des classes par des idéaux premiers $\mathcal{L}$ décomposés dans $k_n/\mathbb{Q}$, provient des faits suivants :
CONJECTURE DE GREENBERG

Dans l'écriture $\varepsilon = N_{k_n/k}(y_1)$ qui conduit à $(y_1) = \mathfrak{A}_1^{1-\sigma}$, comme $\mathfrak{A}_1$ est défini modulo les idéaux invariants, l'algorithme (non unique) reste valable si l'on prend $\mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}'_1 \cdot \mathfrak{P}_1$, où $\mathfrak{A}'_1$ est étranger à $p$ et où $\mathfrak{P}_1 \in \langle S_{k_n} \rangle$ est arbitraire; on a alors $N_{k_n/k}(\mathfrak{A}_1) = N_{k_n/k}(\mathfrak{A}'_1) \cdot N_{k_n/k}(\mathfrak{P}_1) = (\alpha_1)$ avec $\alpha_1 = \alpha'_1 \cdot \eta_1$, où $\eta_1$ est une $S_k$-unité arbitraire.

Or $\#(M_2^n/M_1^n) = \frac{p^n}{(\Lambda_1:\Lambda_1 \cap N_{k_n/k}(k_n^\times))}$, où $\Lambda_1 = \langle \varepsilon, \alpha_1 \rangle$, et la condition $M^n = M_1^n$ a lieu si et seulement si $M_2^n = M_1^n$, soit $\delta_p(\alpha_1) = 0$; si la $S_k$-unité $\eta_1$ est non norme dans $k_n/k$, quel que soit $\alpha'_1$ on peut faire en sorte que $\alpha_1 = \alpha'_1 \cdot \eta_1$ soit norme, auquel cas on a au contraire $M_2^n \neq M_1^n$.

Autrement dit, cette statistique, dénombrant les $k$ tels que $M^n = M_{m_n}^n$, $m_n \ge 1$, par l'algorithme utilisant des idéaux étrangers à $p$, élimine ceux dont les $S_k$-unités sont normes; ceci se propage pour chaque $M_i^n$, mais on évite ainsi le calcul des $S_k$-unités non unités et de leurs symboles de Hasse.

On montre, pour $n=1$, que l'on passe d'une statistique à l'autre en multipliant par $\frac{p+1}{p^r}$, $r \ge 1$, celle relative aux idéaux premiers $\mathcal{L}$ totalement décomposés dans $k_1/\mathbb{Q}$; les vraies densités sont celles obtenues via la représentation « fictive » des classes de $k_1$ par les idéaux $\mathcal{L}$ (densité des corps $k$ tels que $\#\mathcal{L}_{k_1} = \#\mathcal{L}_{k_1}^{G_1} = p$, égale à $\frac{p-1}{p}$).

### 8.2.2. Calcul de $m_n$ dans le cas $\#\mathcal{L}_k = p \& \delta_p(\varepsilon) = 0$, $k$ quadratique

Lorsque $\delta_p(\varepsilon) = 0$, on a $\omega_n(\varepsilon)$ d'ordre $p^n$, d'où $\omega_n(\Lambda_i^n) = p^n$ pour tout $i$ et tout $n$, et on obtient :

$$ \#(M_{i+1}^n/M_i^n) = \frac{\#\mathcal{L}_k}{\#N_{k_n/k}(M_i^n)} = \frac{p}{\#N_{k_n/k}(M_i^n)}. $$

On se limite au cas $p=3$, $n=1$ et pour des corps $k$ de nombre de classes 3. On a $\#\mathcal{L}_{k_1} = p^w$, $w \ge 1$, puisque $\#\mathcal{L}_k = p$, et le groupe des classes ambiges, d'ordre $p$, est engendré par les classes des idéaux invariants (cf. Relation (2.1)), donc par la classe de $(\mathfrak{a})$ (étendu à $k_1$ de $\mathfrak{a}$ tel que $\mathfrak{c}\mathcal{l}_k(\mathfrak{a}) \neq 1$), et celle de $\mathfrak{p}_1 \mid \mathfrak{p}$ dans $k_1$.

On a alors $N_{k_1/k}(M_1^n) = \langle \mathfrak{c}\mathcal{l}_k(\mathfrak{a}^p), \mathfrak{c}\mathcal{l}_k(\mathfrak{p}) \rangle = \langle \mathfrak{c}\mathcal{l}_k(\mathfrak{p}) \rangle$ d'ordre $p$ (i.e., $w=1$) si et seulement si $\mathfrak{p}$ est non principal.

Le programme fournit $C_r := \#\{k = \mathbb{Q}(\sqrt{m}), w=r\}$, pour les $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ vérifiant les hypothèses précédentes et pour un intervalle donné pour $m$. On pourrait aussi prendre des $m$ aléatoires.

$\{p=3; n=1; b=10^3; B=10^6; \text{Cyclo}=\text{polsubcyclo}(p^{\lfloor n+1 \rfloor}, p^{\lfloor n \rfloor})\}$
G. GRAS

C1=0; C2=0; C3=0; C4=0; Cm=0.0; m=b;
while(m<B, m=m+1; if(core(m)==m & kronecker(m,p)==1, Q=x^2-m;
M=m; t=Mod(m,4); if(t!=1, M=4*m); h=qfbclassno(M);
if(valuation(h,p)==1, E=quadunit(M);
e1=component(E,2); e2=component(E,3);
if(t==1, e2=e2/2; e1=e1+e2); E=Mod(e1+e2*x, Q);
E=component(E^(p-1)-1,2);
ve=valuation(E,p)-1; if(ve==0, Cm=Cm+1;
P=polcompositum(Cyclo,Q);
R=component(P,1); K=bnfinit(R,1); H=bnrinit(K,1);
H=component(component(H,5),1); w=valuation(H,p);
if(w==1, C1=C1+1); if(w==2, C2=C2+1);
if(w==3, C3=C3+1); if(w>=4, C4=C4+1))));
print(C1/Cm, ",",C2/Cm, ",",C3/Cm, ",",C4/Cm)}

On obtient les résultats numériques suivants pour $p = 3$, $10^3 < m < 10^6$: $C_M = 8508$, $C_1 = 6362$, $C_2 = 1944$, $C_3 = 178$, $C_4 = 24$, et le tableau :

<table><thead><tr><th>proportions</th><th>probabilités</th></tr></thead><tbody><tr><td>$\frac{C_1}{C_M} = 0.7477668077$</td><td>$\frac{8}{11} = 0.72727272$</td></tr><tr><td>$\frac{C_2}{C_M} = 0.2284908321$</td><td>$\frac{8}{3.11} = 0.24242424$</td></tr><tr><td>$\frac{C_3}{C_M} = 0.0209214856$</td><td>$\frac{8}{3^{3.11}} = 0.02693602$</td></tr><tr><td>$\frac{C_4}{C_M} = 0.0028208744$</td><td>$\frac{8}{11} \sum_{j \ge 0} \frac{p-1}{p^{5+2j}} = 0.00336702$</td></tr></tbody></table>

La probabilité pour $\mathfrak{p} \mid p$ d'être non principal (i.e., $r = 1$) est difficile à établir car contrairement aux heuristiques générales, $c\ell_k(\mathfrak{p})$ n'est pas « aléatoire ». Un programme indépendant testant la principalité de $\mathfrak{p}$ (sans hypothèse sur $\varepsilon$ mais pour des $m$ beaucoup plus grands que dans le programme ci-dessus) donne une proportion de l'ordre de $O(1) \cdot \frac{p^2-1}{p^2+p-1}$. Ensuite on aurait des probabilités en $O(1) \cdot \frac{p^2-1}{p^2+p-1} \cdot \frac{1}{p^{2 \cdot (r-1)-1}}$ pour tout $r \ge 2$.

## 9. Conclusion

Cette étude (qui a, au moins pour la première partie, des points généralisant les approches de [9], [10], [11], [12], [21], [24], [25], [26], [45], [46], [47]) montre que la question de la conjecture de Greenberg (pour les corps totalement réels) est essentiellement $p$-adique et sans doute moins « théorie d'Iwasawa algébrique » qu'admis généralement.

En outre, il s'agit probablement d'une question liée au seul invariant $\lambda$ dans la mesure où la nullité de $\mu$ peut être admise plus facilement pour
CONJECTURE DE GREENBERG

les corps totalement réels (voire démontrée, comme dans le cas Abélien) car, d'après l'étude de [22] dans un cadre très général :

Both in Iwasawa's work, and in the present one, the size of the $\mu$-invariant appears to be intimately related to the existence of primes that split completely in the tower.

Le cas $\mu \neq 0$ serait donc lié à l'existence d'idéaux premiers totalement décomposés dans la $\mathbb{Z}_p$-extension de $k$ considérée (premiers exemples de telles $\mathbb{Z}_p$-extensions dûs, entre autres, à Iwasawa [27], Serre [42, §4.5], Cuoco [7]), ce qui est évidemment impossible pour la $\mathbb{Z}_p$-extension cyclotomique (cf. Section 8.1 sur l'utilisation des idéaux premiers pour représenter les classes dans $k_\infty$).

Le cas des corps $k$ Abéliens réels peut être de nature plus particulière en raison des « formules analytiques $p$-adiques » du nombre de classes introduisant les unités cyclotomiques et conduisant, avec des hypothèses « ad hoc », à de nombreux travaux spécifiques (voir [8], [2], [4], [33], [36], [38] et leurs références), bien que nous pensions que la version fonctions $L$ $p$-adiques classique (au sens de [44], [50]) ne soit qu'une traduction analytique de l'aspect « modules sur l'algèbre d'Iwasawa », et n'apporte pas d'information supplémentaire au niveau « diophantien $p$-adique ».

Si le passage à la limite (algébrique ou analytique $p$-adique) est au demeurant plus concis et structurant que les calculs aux niveaux finis, ceux-ci sont nécessaires pour localiser les profonds phénomènes arithmétiques sous-jacents. En effet, du seul point de vue théorie d'Iwasawa, le problème porte sur la détermination du quotient de Herbrand :

$$q(\mathcal{X}_k) := \#(\mathcal{X}_k^G)/\#(\mathcal{X}_k^{G'})$$

de $\mathcal{X}_k := \lim_{n \to \infty} \mathcal{O}_{k_n}$ (pour la norme arithmétique), où $\mathcal{X}_k^G$ (resp. $\mathcal{X}_k^{G'}$) est le noyau (resp. le conoyau) de l'opération de $1 - \sigma$ sur $\mathcal{X}_k$, où $\sigma$ est un générateur topologique de $G := \text{Gal}(k_\infty/k)$ (voir [31, §1.1] et [37, §3] pour quelques rappels sous des approches différentes). La pseudo-nullité de $\mathcal{X}_k$ (i.e., $\lambda = \mu = 0$) est équivalente à $q(\mathcal{X}_k) = 1$.

Si la détermination de $\mathcal{X}_k$ équivaut grosso modo aux résultats du §4.3, c'est-à-dire à la théorie du corps de classes global, la détermination de $\mathcal{X}_k^G$ semble non triviale et probablement liée aux considérations $p$-adiques précédentes où l'on rencontre manifestement des problèmes de type « quotients de Fermat » de nombres algébriques dont les heuristiques impliquent que les conjectures énoncées sont très raisonnables.
Pour conclure, nous nous proposons de faire quelques remarques sur les groupes $\mathcal{T}_{k_n}$ sous la conjecture de Leopoldt pour $p$ dans $k_{\infty}$, quelle que soit la décomposition de $p$ dans le corps totalement réel $k$, ce qui nous paraît plus canonique en raison de la spécificité de ces groupes de torsion associés à la $p$-ramification Abélienne et plus susceptibles d'une approche essentiellement $p$-adique de la conjecture de Greenberg pour laquelle il serait utile de tester numériquement l'Hypothèse 7.9.

Pour tout $n \gg 0$, on a encore $\#\mathcal{T}_{k_n} = \#\mathcal{O}_{k_n} \cdot \#(U_{k_n}^* / \bar{E}_{k_n})$, avec des notations analogues à celles du §4.3, où les $\mathbb{Z}_p$-modules $U_{k_n}^*$ et $\bar{E}_{k_n}$ sont $\mathbb{Z}_p$-libres de $\mathbb{Z}_p$-rangs $d \cdot p^n - 1$.

On peut également noter $R_{k_n} := \#(U_{k_n}^* / \bar{E}_{k_n})$ le régulateur convenablement normalisé de $k_n$.

Il resterait à étudier la formule d'Iwasawa $\#\mathcal{T}_{k_n} := p^{\tilde{\lambda} \cdot n + \tilde{\nu}}$ (en supposant pour simplifier que $\tilde{\mu} = 0$) telle que $p^{\tilde{\lambda}} = \frac{\#\mathcal{T}_{k_{n+1}}}{\#\mathcal{T}_{k_n}}$ pour tout $n \gg 0$; sous la conjecture de Greenberg pour $k$, on a $\#\mathcal{O}_{k_{n+1}} = \#\mathcal{O}_{k_n} = p^{\nu}$, pour tout $n \gg 0$, auquel cas $p^{\tilde{\lambda}} = \frac{R_{k_{n+1}}}{R_{k_n}}$.

On a $\tilde{\lambda} = 0$ si et seulement si $\mathcal{T}_k = 1$ (i.e., $k$ est $p$-rationnel) pour les raisons suivantes : les « transferts » $j_{k_{n+h}/k_n} : \mathcal{T}_{k_n} \to \mathcal{T}_{k_{n+h}}$ sont injectifs pour tous $n, h$ (en raison de la conjecture de Leopoldt pour $p$ dans la tour) [16, Thm. IV.2.1]; on a en particulier la formule de points fixes $(k_{n+h}/k_n$ étant triviallement $p$-primitivement ramifiée, [16, Thm. IV.3.3]), $\mathcal{T}_{k_{n+h}}^{\text{Gal}(k_{n+h}/k_n)} = j_{k_{n+h}/k_n}(\mathcal{T}_{k_n}) \simeq \mathcal{T}_{k_n}$.

Considérons alors $\nu_{k_{n+1}/k_n} := j_{k_{n+1}/k_n} \circ N_{k_{n+1}/k_n}$ ; si $\tilde{\lambda} = 0$, on a $\mathcal{T}_{k_{n+1}} = j_{k_{n+1}/k_n}(\mathcal{T}_{k_n})$ et puisque l'on a $N_{k_{n+1}/k_n} \circ j_{k_{n+1}/k_n} = p$, on obtient, à partir de l'égalité précédente (la norme arithmétique est surjective, cf. Schéma du §7.4.2), $\mathcal{T}_{k_n} = \mathcal{T}_{k_n}^p$, d'où $\mathcal{T}_{k_n} = 1$, et comme $\mathcal{T}_{k_n}^{G_n} \simeq \mathcal{T}_k$, on a $\mathcal{T}_k = 1$. Réciproque évidente. On notera que $\tilde{\lambda} = 0$ implique $\tilde{\nu} = 0$.

Ainsi $\tilde{\lambda} = 0$ est équivalent à $\mathcal{O}_{k_n} = R_{k_n} = 1$ pour tout $n$ ($p$-rationalité dans la tour), ce qui peut suggérer que $\tilde{\lambda}$ est davantage accessible puisque $\#\mathcal{T}_{k_n}$ est essentiellement donné par le résidu de la fonction zêta $p$-adique de $k_n$ (cf. [6], [41], [50]), ce qui permet, comme dans [5], [24], [25], d'en déduire des cas de nullité de $\lambda$ lorsque $\tilde{\lambda} \ge 1$.

On remarque que $\frac{\#\mathcal{T}_{k_n}}{\#\mathcal{T}_k} = \#(\mathcal{T}_{k_n} / \mathcal{T}_{k_n}^{G_n})$ et que le calcul de $(\mathcal{T}_{k_n} / \mathcal{T}_{k_n}^{G_n})^{G_n}$ serait le second pas de l'algorithme définissant la filtration habituelle dans
CONJECTURE DE GREENBERG

le cadre différent de la *p*-ramification Abélienne qui, à notre connaissance,
n'a pas été étudié.

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GEORGES GRAS
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