Remarque sur les nombres dérivés.

Par

Vojtěch Jarník (Praha).

§ 1. Résultats.

$f(t)$ étant une fonction, définie dans l'intervalle $[a, b]^{1)}$, désignons par $E(f; a, b)$ l'ensemble de toutes les valeurs $t \in [a, b)$ pour lesquelles

$$ \bar{f}^{+}(t) = \limsup_{h \to 0+} \frac{f(t+h) - f(t)}{h} < +\infty. $$

**Théorème 1.** Si la fonction $f(t)$ est continue dans $[a, b]$, l'ensemble $E(f; a, b)$ ne peut pas être dénombrable.

D'autre part, M. Mazurkiewicz<fnref n="2" />) a réussi de construire une fonction $f(t)$ de la première classe de Baire telle que $E(f; a, b)=0^{3)}$.

<footnote n="1">1) Il ne s'agit que des fonctions réelles et finies. Notations: $[a, b] = E(a \le t \le b)$, $[a, b) = E(a \le t < b)$ etc. Par les mots „ensemble dénombrable“ je comprends toujours un ensemble tout au plus dénombrable; de même pour „fonction de classe a“.$^3$ $Z_0 = \{0, 1, 2, \dots\}$ est l'ensemble de tous les nombres ordinaux, correspondant aux ensembles bien ordonnés dénombrables. Le signe „sup“ signifie la borne supérieure.</footnote>

<footnote n="2">2) Voir ce volume, pp. 9-10.</footnote>

<footnote n="3">3) Remarquons encore: si la fonction $f(t)$ est semi-continue supérieurement dans $[a, b]$, l'ensemble $E(f; a, b)$ est dense dans $[a, b]$. Démonstration: soit $a \le c < d \le b$; distinguons deux cas: 1. La fonction $f(t)$ est monotone dans $[c, d]$, alors $f'(t) \ne \pm \infty$ existe presque partout dans $[c, d]$, donc $E(f; c, d) \ne 0$. 2. La fonction $f(t)$ n'est pas monotone dans $[c, d]$. On sait que $f(t)$ atteint dans chaque sous-intervalle de $[c, d]$ sa valeur maximum. On ne peut pas avoir $f(x) = \text{Max } f(t)$ pour $\le x \le$ chaque $x \in [c, d]$, la fonction $f(t)$ n'étant pas monotone dans $[c, d]$. Il existe donc deux nombres $x, y$ ($c \le y < x \le d$) tels que $f(y) = \text{Max } f(t)$, d'où $\bar{f}^{+}(y) \le 0$, donc $E(f; c, d) \ne 0$.</footnote>
Mais les deux cas extrêmes (non dénombrable et vide) que nous avons signalés ne sont que des cas exceptionnels; nous allons démontrer que, pour la plupart des fonctions bornées, l'ensemble $E(f; a, b)$ est dénombrable et dense dans $[a, b]$.

Soit $C$ l'ensemble de toutes les fonctions $f=f(t)$, réelles et bornées dans $[0, 1]$. Pour $f \in C$, $g \in C$, nous définissons la distance $\rho(f, g)$ par la rélation

$$ \rho(f, g) = \sup_{0 \le t \le 1} |f(t) - g(t)|; $$

alors $C$ est un espace métrique complet. Soit $C_s$ l'ensemble de toutes les fonctions $f \in C$ qui sont semi-continues supérieurement dans $[0, 1]$; pour $\alpha \in \mathbb{Z}_0^-$ soit $C^\alpha$ l'ensemble de toutes les fonctions $f \in C$ qui sont de classe $\alpha$ de Baire dans $[0, 1]$; remarquons que la limite d'une suite uniformément convergente de fonctions de l'espace $C_s$ (resp. $C^\alpha$) est elle-même une fonction de l'espace $C_s$ (resp. $C^\alpha$); donc, les espaces $C_s$, $C^\alpha$ sont complets. Nous allons démontrer les théorèmes suivants<fnref n="4" />:

**Théorème 2.** Il existe un résiduel $H$ de l'espace $C$ tel que l'ensemble $E(f; 0, 1)$ soit dénombrable et dense dans $[0, 1]$ pour chaque $f \in H$.

**Théorème 3.** Soit $0 < \alpha \in \mathbb{Z}_0$; alors il existe un résiduel $H^\alpha$ de l'espace $C^\alpha$ tel que l'ensemble $E(f; 0, 1)$ soit dénombrable et dense dans $[0, 1]$ pour chaque $f \in H^\alpha$.

**Théorème 4.** Il existe un résiduel $H_s$ de l'espace $C_s$ tel que l'ensemble $E(f; 0, 1)$ soit dénombrable pour chaque $f \in H_s$<fnref n="5" />.

Au lieu de démontrer les théorèmes 2, 3, 4, nous allons démontrer le théorème suivant qui les contient évidemment comme des cas particuliers:

**Théorème 5.** Soit $D$ un sous-ensemble de l'espace $C$ qui jouit des propriétés suivantes:

$$ \text{1) Si } f \in D, g \in D, \text{ on a aussi } f+g \in D. $$

## Sur les nombres dérivés

2) $E$ étant un sous-ensemble dénombrable et fermé, d'ailleurs quelconque, de l'intervalle $[0, 1]$ et $a$ étant un nombre positif arbitraire, la fonction $h$, définie par les relations

$$ h(t) = 0 \text{ pour } t \in [0, 1] - E, \quad h(t) = a \text{ pour } t \in E, \\ \text{appartient à } D^6). $$

Alors il existe un rénduel $A$ de l'espace $D$ tel que l'ensemble $E(f; 0, 1)$ soit dénombrable et dense dans $[0, 1]$ pour chaque $f \in A$.

## § 2. Démonstration du théorème 1⁷).

Soit $f(t)$ une fonction continue dans $[a, b]$. Supposons que $E(f; a, b)$ soit dénombrable; nous en allons déduire une contradiction: nous allons démontrer que cette supposition entraîne la conséquence suivante: $N$ étant un nombre positif quelconque, on a

$$ f(b) - f(a) > \frac{1}{2} N(b - a) - 1, \\ \text{ce qui fournit la contradiction annoncée.} \\ \text{Soit donc } N > 0, \text{ soit } E(f; a, b) = \{c_1, c_2, c_3, \dots\} \text{ (donc } a \le c_1 < b). \\ \text{On peut faire correspondre à chaque nombre } c_i \text{ un nombre } d_i \text{ tel que} \\ c_i < d_i < b, \quad d_i - c_i < 2^{-t-1} (b-a), \quad |f(d_i) - f(c_i)| < 2^{-t}, \\ \text{d'où} \\ \sum (d_i - c_i) < \frac{1}{2} (b-a), \quad \sum |f(d_i) - f(c_i)| < 1. $$

A chaque nombre $t \in [a, b]$ nous allons faire correspondre un nombre $g(t) < b$ de la manière suivante:

$$ \text{1) Pour } t = c_i \text{ soit } g(t) = d_i. $$

2) Pour $t \in [a, b] - E(f; a, b)$ soit $g(t)$ un nombre qui satisfait aux relations suivantes:

$$ (1) \quad t < g(t) < b, \quad f(g(t)) - f(t) > N(g(t) - t). $$

Maintenant, à chaque $\alpha \in \mathbb{Z}_0$ nous allons faire correspondre un nombre réel $t_\alpha$ de la manière suivante: $t_0=a$; pour $a \le t_\alpha < b$ soit $t_{\alpha+1}=g(t_\alpha)$; pour $t_\alpha = b$ soit $t_{\alpha+1} = b$; enfin, si $\alpha$ est un nombre limite,

<footnote n="4">⁴) Soit $R$ un espace métrique; un ensemble $A \subset R$ soit appelé un résiduel de l'espace $R$, si l'ensemble $R-A$ est de première catégorie relativement à l'espace $R$. Si $R \neq 0$ est un espace complet, on sait que $R$ est de deuxième catégorie relativement à $R$, de sorte qu'aucun résiduel de l'espace $R$ ne peut pas être vide.</footnote>

<footnote n="5">⁵) D'après la remarque 4), l'ensemble $E(f; 0, 1)$ est dense dans $[0, 1]$ même pour chaque $f \in C_s$.</footnote>

<footnote n="6">⁶) On a alors $h \in C_s \subset C^1 \subset C^2 \subset \dots \subset C$, de sorte que les espaces $C_s$, $C^\alpha(0 < \alpha \in \mathbb{Z}_0)$, $C$ jouissent des propriétés 1, 2.</footnote>

<footnote n="7">⁷) Nous allons donner ici une démonstration directe de ce théorème, mais le théorème lui-même doit être regardé comme connu. En effet, supposons que $E(f; a, b)$ soit dénombrable; alors $f(t)$ (supposée continue) est monotone (voir p. ex. S. Saks, Théorie de l'intégrale, théorème 17, p. 137), donc dérivable presque partout, d'où la contradiction.</footnote>
soit $t_\alpha = \sup_{\beta < \alpha} t_\beta$. Il existe évidemment un nombre $\gamma \in \mathbb{Z}_0$ tel que l'on ait $t_\alpha < t_\gamma = b$ pour $0 \le \alpha < \gamma^s$; on a alors $\alpha \le t_\beta < t_\alpha < b$ pour $0 \le \beta < \alpha < \gamma$.

Nous allons démontrer: pour $0 \le \alpha \le \gamma$, on a

$$ (2) \quad f(t_\alpha) - f(a) \ge N(t_\alpha - a - \sum_{c_l < t_\alpha} (d_l - c_l)) - \sum_{c_l < t_\alpha} |f(d_l) - f(c_l)|. $$

Démonstration: pour $\alpha=0$, on obtient zéro aux deux membres de (2). Soit $0 < \beta \le \gamma$ et supposons la relation (2) remplie pour $0 \le \alpha < \beta$. Nous allons distinguer trois cas :

1) $\beta = \alpha + 1$, $t_\alpha \in [a, b) - E(f; a, b)$; on a d'après (1), (2)

$$ \begin{align*} f(t_{\alpha+1}) - f(a) &\ge N(t_{\alpha+1} - a - \sum_{c_l < t_\alpha} (d_l - c_l)) - \sum_{c_l < t_\alpha} |f(d_l) - f(c_l)| \\ &\ge N(t_{\alpha+1} - a - \sum_{c_l < t_{\alpha+1}} (d_l - c_l)) - \sum_{c_l < t_{\alpha+1}} |f(d_l) - f(c_l)|. \end{align*} $$

2) $\beta = \alpha + 1$, $t_\alpha = c_n$ (donc $t_{\alpha+1} = d_n$); on a d'après (2)

$$ \begin{align*} f(t_{\alpha+1}) - f(a) &\ge N(t_\alpha - a - \sum_{c_l < t_\alpha} (d_l - c_l)) - \sum_{c_l < t_\alpha} |f(d_l) - f(c_l)| - \\ &\phantom{{}\ge} |f(d_n) - f(c_n)| \\ &\ge N(t_{\alpha+1} - a - \sum_{c_l < t_{\alpha+1}} (d_l - c_l)) - \sum_{c_l < t_{\alpha+1}} |f(d_l) - f(c_l)|. \end{align*} $$

3) $\beta$ est un nombre limite; il existe donc une suite $\alpha_1 < \alpha_2 < \dots$ telle que $\beta = \lim_{n \to \infty} \alpha_n$.

On a d'après (2) (pour $\alpha = \alpha_n$), en remarquant que $t_{\alpha_n} < t_\beta$:

$$ f(t_{\alpha_n}) - f(a) \ge N t_{\alpha_n} - N \left(a + \sum_{c_l < t_\beta} (d_l - c_l) - \sum_{c_l < t_\beta} |f(d_l) - f(c_l)|\right). $$

d'autre part $\lim_{n \to \infty} t_{\alpha_n} = \sup_{n=1, 2, \dots} t_{\alpha_n} = \sup_{\alpha < \beta} t_\alpha = t_\beta$, d'où

$$ f(t_\beta) - f(a) = \lim_{n \to \infty} f(t_{\alpha_n}) - f(a) \ge N t_\beta - N \left( a + \sum_{c_l < t_\beta} (d_l - c_l) - \sum_{c_l < t_\beta} |f(d_l) - f(c_l)| \right). $$

Donc, la relation (2) est vraie pour $0 \le \alpha \le \gamma$; en y posant $\alpha = \gamma$, on obtient la relation cherchée:

$$ \begin{align*} f(b) - f(a) = f(t_\gamma) - f(a) &\ge N(b - a - \sum_{c_l < t_\gamma} (d_l - c_l) - \sum_{c_l < t_\gamma} |f(d_l) - f(c_l)|) > \frac{1}{2} N(b - a) - 1. \end{align*} $$

### § 3. Démonstration du théorème 5ème.

Soit D un sous-ensemble de C qui satisfait aux conditions 1., 2. du théorème 5ème. Pour $0 \le a < b \le 1$ soit $A(a; b)$ l'ensemble de toutes les fonctions $f \in D$ pour lesquelles l'ensemble $\mathcal{E}(f; a, b)$ n'est pas vide. Soit ensuite $n$ un nombre entier positif; soit $f \in D$. Nous désignons par $E_n(f)$ l'ensemble de toutes les valeurs $t \in [0, 1)$ qui jouissent de la propriété suivante: il n'existe aucune valeur $h$ telle que

$$ (3) \quad 0 < h < \frac{1}{n}, \quad t + h < 1, \quad \frac{f(t + h) - f(t)}{h} > n. $$

Soit enfin $A_n$ l'ensemble de toutes les fonctions $f \in D$ pour lesquelles l'ensemble $E_n(f)$ est dénombrable. Nous allons montrer tout d'abord que le théorème 5ème est une conséquence des lemmes suivants:

**Lemme 1.** *L'ensemble $D - A$ ($a; b$) est non dense $^9$).*

**Lemme 2.** *L'ensemble $D - A_n$ est non dense $^9$).*

Supposons, en effet, que les lemmes 1. et 2. soient vrais. Soit $[a_1, b_1]$, $[a_2, b_2]$, ... la suite de tous les sous-intervalles à extrémités rationnelles de l'intervale $[0, 1]$. Posons

$$ A = \prod_{n=1}^{\infty} A(a_n; b_n) \cdot \prod_{n=1}^{\infty} A_n; $$

<footnote>s) En effet, si l'on avait $t_\gamma < b$ pour chaque $\gamma \in \mathbb{Z}_0$, on aurait évidemment $t_\alpha < t_\beta$ pour $\alpha < \beta$; donc l'ensemble de tous les intervalles $(t_\alpha, t_{\alpha+1})$ ($\alpha \in \mathbb{Z}_0$) serait un ensemble non dénombrable d'intervalle disjoints, ce qui est impossible.</footnote>

<footnote>s) Relativement à l'espace D.</footnote>
alors A est un résiduel. Soit $f \in A$; soit $0 \le a < b \le 1$; il existe un nombre $n$ tel que $a < a_n < b_n < b$; à cause de $f \in A(a_n; b_n)$, l'ensemble $E(f; a_n b_n)$ n'est pas vide; donc l'ensemble $E(f; 0, 1)$ est dense dans $[0, 1]$. D'autre part, soit $t \in [0, 1) - \sum_{n=1}^{\infty} E_n(f)^{10})$; à tout $n$ (entier et positif) il correspond une valeur $h$ telle que les relations (3) soient satisfaites; donc $\bar{f}^+(t) = +\infty$.

Alors $E(f; 0, 1) \subset \sum_{n=1}^{\infty} E_n(f)$, donc l'ensemble $E(f; 0, 1)$ est dénombrable, c. q. f. d.

**Démonstration du lemme 1.** Soit $0 \le a < b \le 1$. Soit $K$ une sphère de l'espace $D$ avec le centre $f$ et le rayon $r$. Il faut démontrer l'existence d'une sphère $K' \subset K \cdot A(a, b)$. Choisissons un nombre $d$ tel que $a < d < b$ et tel que les inégalités $a < t < d$ entraînent l'inégalité

$$f(t) < \limsup_{\tau \to a^+} f(\tau) + \frac{r}{8}.$$

Chosissons ensuite un nombre $c$ tel que

$$a < c < d, \quad f(c) > \limsup_{\tau \to a^+} f(\tau) - \frac{r}{8}.$$

Posons $h(t) = 0$ pour $0 \le t \le 1$, $t \ne c$, $h(c) = \frac{1}{2}r$; d'après les propriétés 1., 2. de l'espace $D$ on a $f+h \in D$. Soit $K'$ la sphère de l'espace $D$ avec le centre $f+h$ et le rayon $\frac{1}{8}r$; donc $K' \subset K$.
D'autre part, soit $g \in K'$, donc $|g(t)-f(t)-h(t)| < \frac{1}{8}r$ pour $0 \le t \le 1$; on a donc

$$g(c) > \limsup_{\tau \to a^+} f(\tau) - \frac{r}{8} - \frac{r}{8} + \frac{r}{2},$$

tandis que pour $c < t < d$ on aura

$$g(t) < \limsup_{\tau \to a^+} f(\tau) + \frac{r}{8} + \frac{r}{8} < g(c),$$

d'où $\bar{g}^+(c) \le 0$, donc $g \in A(a; b)$.

On a donc $K' \subset K \cdot A(a; b)$, c. q. f. d.

**Démonstration du lemme 2.** Soit $n$ un nombre entier positif. Soit $K$ une sphère de l'espace $D$ avec le centre $f$ et le rayon $r$. Il faut démontrer l'existence d'une sphère $K' \subset K \cdot A_n$.

A chaque nombre $t \in [0, 1)$ nous ferons correspondre un nombre $\varphi(t)$ qui satisfait aux conditions suivantes:

$$\begin{align*}
\text{a) } 0 < \varphi(t) - t < \frac{1}{n}, \quad \varphi(t) - t < \frac{r}{8n}, \quad \varphi(t) < 1, \\
\text{f}(\varphi(t)) > \limsup_{\tau \to t^+} f(\tau) - \frac{r}{8},
\end{align*}$$

$$\text{b) les relations } t < x < \varphi(t) \text{ entraînent l'inégalité } f(x) < \limsup_{\tau \to t^+} f(\tau) + \frac{r}{8}.$$

A chaque nombre $\alpha \in Z_0$ nous faisons correspondre un nombre $t_\alpha$ par la définition suivante: $t_0=0$; pour $0 \le t_\alpha < 1$ soit $t_{\alpha+1} = \varphi(t_\alpha)$; pour $t_\alpha = 1$ soit $t_{\alpha+1} = 1$; enfin, si $\alpha$ est un nombre limite, soit $t_\alpha = \sup_{\beta < \alpha} t_\beta$. De la même manière comme dans la démonstration du théorème 1er on voit qu'il existe un nombre $\gamma \in Z_0$ tel que l'on ait $0 \le t_\alpha < t_\beta < t_\gamma = 1$ pour $0 \le \alpha < \beta < \gamma$.

Posons $E = \{t_0, t_1, t_2, \dots, t_\gamma\}$; donc $E$ est dénombrable. Soit $t \in [0, 1] - E$; on a $0 = t_0 < t < t_\gamma = 1$; il existe donc un nombre $\beta \in Z_0$ ($0 < \beta \le \gamma$) tel que l'on ait $t_\alpha < t < t_\beta$ pour $0 \le \alpha < \beta$. Le nombre $\beta$ ne peut pas être un nombre limite <fnref n="11" />); on a donc $t_{\beta-1} < t < t_\beta$, d'où $(t_{\beta-1}, t_\beta) \subset [0, 1] - E$. Donc: $[0, 1] - E$ est un ensemble ouvert, $E$ est un ensemble fermé. Posons $h(t) = 0$ pour $t \in [0, 1] - E$, $h(t_\beta) = \frac{r}{2}$ pour $0 \le \beta \le \gamma$. L'espace $D$ satisfaisant aux conditions 1. et 2. du théorème 5ème, on a $f+h \in D$.

Soit $K'$ la sphère de l'espace $D$ avec le centre $f+h$ et le rayon $\frac{1}{16}r$; donc $K' \subset K$. D'autre part, soit $g \in K'$, donc $|g(t) - f(t) - h(t)| < \frac{1}{16}r$ pour $0 \le t \le 1$. Soit $t \in [0, 1] - E$; nous avons vu qu'il existait alors un nombre $\beta \in Z_0$ ($0 < \beta \le \gamma$) tel que $t_{\beta-1} < t < t_\beta$.

<footnote n="10">¹⁰) $E_n(f)$ est dénombrable à cause de $f \in A_n$.</footnote>

<footnote n="11">¹¹) Si $\beta$ était un nombre limite, on aurait $t < t_\beta = \sup_{\alpha < \beta} t_\alpha$, donc $t < t_\alpha$ pour un certain nombre $\alpha < \beta$.</footnote>
En observant que $t_{\beta} = \varphi(t_{\beta-1})$, on a d'après les propriétés $a)$ et $b)$ de la fonction $\varphi(t)$:

$$ 
\begin{aligned}
t_{\beta} < 1, \quad 0 < t_{\beta} - t < t_{\beta} - t_{\beta-1} < \text{Min} \left( \frac{1}{n}, \frac{r}{8n} \right), \\
\frac{g(t_{\beta}) - g(t)}{t_{\beta} - t} > \frac{1}{t_{\beta} - t} \left( -\frac{r}{8} + f(t_{\beta}) - f(t) + h(t_{\beta}) - h(t) \right) \\
> \frac{8n}{r} \left( -\frac{r}{8} - \frac{r}{4} + \frac{r}{2} \right) = n;
\end{aligned}
$$

d'après la définition de $E_n(g)$ (voir (3)) on voit que $t \in [0, 1] - E_n(g)$; on a donc $E_n(g) \subset E$. L'ensemble $E_n(g)$ est donc dénombrable, c'est-à-dire $g \in A_n$. On a donc $K' \subset K \cdot A_n$, c. q. f. d.

## Sur les nombres dérivés.

Par

Stefan Mazurkiewicz (Warszawa).

Cette note contient la solution d'un problème posé par M. Jarník<fnref n="1" />).

Il existe pour $0 \le x < 1$ une fonction $f(x)$ continnue à droite (donc de classe 1) et telle que l'on a partout $\bar{f}^+(x) = +\infty$<fnref n="2" />).

Déterminons le système de points $\{c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k}\}$, $k=1, 2, \dots$, $n_l=1, 2, \dots$, $j_l=1, \dots, 2^{l(l-1)}$ de manière suivante:

$$ (1) \qquad c_{n_1}^1 = 1 - \frac{1}{2^{n_1-1}} $$

$$ (2) \quad c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_{k+1}} = c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k} + \left(1 - \frac{1}{2^{n_k+1-1}}\right) \frac{1}{2^{n_1+\dots+n_k+k(k-1)}} + \frac{j_{k+1}-1}{2^{n_1+\dots+n_k+k(k+1)}} $$

Evidemment $c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k} < c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k+1}$ si le premier nombre non nul de la suite: $n'_1 - n_1, j'_1 - j_1, \dots, n'_k - n_k, j'_k - j_k$ est positif. Pour un $k$ fixe les points $c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k}$ rangés d'après leur grandeur forment un ensemble bien ordonné; en désignant le suivant immédiat de $c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k}$ par $\varphi(c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k})$, on a:

$$ (3) \qquad \varphi(c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k}) = c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k+1} \quad \text{si } j_k < 2^{k(k-1)} $$

$$ (4) \qquad \varphi(c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k}) = c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_{k-1}+1} \quad \text{si } j_k = 2^{k(k-1)} $$

$$ (5) \qquad \varphi(c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k}) - c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k} = \frac{1}{2^{n_1+n_2+\dots+n_k+k(k-1)}} $$

$$ (6) \qquad c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k} \le c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k, j_{k+1}} < \varphi(c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k, j_{k+1}}) < \varphi(c_{n_1, \dots, n_k}^{j_1, \dots, j_k}) $$

<footnote n="1">¹) Comp. ce volume p. 1.</footnote>

<footnote n="2">²) $\bar{f}^+(x)$ désigne le nombre dérivé supérieur, droit de $f(x)$</footnote>