# Convection avec chauffage interne : applications aux corps planétaires

Angela Frandas Limare

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## To cite this version:

Angela Frandas Limare. Convection avec chauffage interne : applications aux corps planétaires. Géo-physique [physics.geo-ph]. Université de Paris, 2020. tel-04064660

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UNIVERSITÉ DE PARIS

MÉMOIRE PRÉSENTÉ POUR OBTENIR L'HABILITATION À
DIRIGER DES RECHERCHES

CONVECTION AVEC CHAUFFAGE INTERNE :
APPLICATIONS AUX CORPS PLANÉTAIRES

Angela Frandas Limare

Soutenance par visioconférence le 2 Juin 2020

Composition du jury :

<table><tr><td>Marianne Greff</td><td>IPGP</td><td>Examineur</td></tr><tr><td>Claude Jaupart</td><td>IPGP</td><td>Président du jury</td></tr><tr><td>Stéphane Labrosse</td><td>ENS Lyon</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td>Michael Le Bars</td><td>IRPHE Marseille</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td>Stéphane Popinet</td><td>Institut Jean Le Rond<br>∂'Alembert</td><td>Examineur</td></tr><tr><td>Barbara Romanowicz</td><td>Université de Berkeley,<br>Collège de France, IPGP</td><td>Rapporteur</td></tr></table>
# Table des matières

<table><tr><td>Trajectoire professionnelle</td><td>1</td></tr><tr><td>1 Importance du chauffage interne</td><td>7</td></tr><tr><td>2 Convection à chauffage interne dans un fluide homogène</td><td>11</td></tr><tr><td>2.1 Nombres sans dimension</td><td>11</td></tr><tr><td>2.2 Prototype expérimental et expériences de convection</td><td>12</td></tr><tr><td>2.3 Simulations numériques</td><td>14</td></tr><tr><td>2.4 Caractérisation de la couche limite thermique</td><td>14</td></tr><tr><td>2.5 Caractéristiques des instabilités froides</td><td>19</td></tr><tr><td>2.6 Travaux en cours et perspectives</td><td>23</td></tr><tr><td>3 Convection à chauffage interne dans un milieu hétérogène</td><td>24</td></tr><tr><td>3.1 Nombres sans dimension contrôlant la convection hétérogène avec chauffage interne</td><td>25</td></tr><tr><td>3.2 Regimes de convection</td><td>26</td></tr><tr><td>3.3 Structure thermique et progression du melange</td><td>29</td></tr><tr><td>3.4 Lois d'échelle</td><td>31</td></tr><tr><td>3.5 Implications pour la Terre</td><td>34</td></tr><tr><td>3.6 Travaux en cours et perspectives : Terre primitive et hétérogénéités du manteau</td><td>36</td></tr><tr><td>4 Regime transitoire dans un système convectif à chauffage interne</td><td>42</td></tr><tr><td>4.1 Modèle parametrisé pour l'évolution thermique d'un système convectif à chauffage interne</td><td>42</td></tr><tr><td>4.2 Evolution thermique d'un planetesimal au cours de l'accretion : Application aux météorites de Fe</td><td>44</td></tr><tr><td>4.3 Travaux en cours et perspectives</td><td>49</td></tr><tr><td>En guise de conclusion</td><td>52</td></tr><tr><td>Remerciements</td><td>53</td></tr><tr><td>Bibliographie</td><td>54</td></tr><tr><td>Annexes</td><td>62</td></tr><tr><td>Curriculum Vitae</td><td>62</td></tr><tr><td>Liste des publications à l'IPGP (2007-2020)</td><td>64</td></tr><tr><td>Liste des publications avant IPGP (1992-2006)</td><td>67</td></tr><tr><td>Sélection d'articles</td><td>69</td></tr></table>
# Trajectoire professionnelle

## Période avant mon arrivée à l'IPGP

Mon entière expérience professionnelle a alternée entre des activités d'ingénierie et de recherche.

Ma formation initiale est d'ingénieur en Physique Technologique de l'Université de Bucarest (1990). Mon école d'ingénieur fourni une formation généraliste en Physique les 3 premières années suivi par une spécialisation de 2 ans ; dans mon cas Physique et Technologie des matériaux. Cette spécialisation s'achève par un stage de recherche que j'ai réalisé dans l'Institut National pour la Physique des Lasers, du Plasma et de la Radiation de Bucarest.

Au début de ma thèse j'ai également suivi un cours post universitaire de 6 mois en Italie à l'Université libre de Nuoro, dans le domaine des Technologies optiques (lasers, interférométrie, métrologie optique).

J'ai un doctorat en Physique (1996) de l'Université de Cluj-Napoca, Roumanie dans la thématique des méthodes photothermiques. Le principe des méthodes photothermiques consiste à produire au sein d'un échantillon un champ de température non-stationnaire, sous l'effet d'une excitation optique modulé ou pulsé. Cette perturbation peut être détectée par une grande variété de techniques : la radiométrie photothermique, l'effet mirage, par des ondes acoustiques, ou par un détecteur pyroélectrique placé dans la proximité de l'échantillon, comme c'était le cas dans ma thèse. La réponse photothermique dépend d'un certain nombre de paramètres : ceux liés à l'interaction de la lumière : absorption, diffusion, fluorescence, rendement de conversion nonradiatif ; et dépend également des paramètres liés aux transferts thermiques : conductivité, diffusivité thermique, coefficient d'échange convectif. Nous avons proposé, développé et validé plusieurs configurations de mesure et dispositifs expérimentaux spectroscopiques et calorimétriques.

A partir de 1996 j'ai occupé un poste de chercheur à l'Institut de Technologie Isotopique et Moléculaire, Cluj-Napoca, Roumanie. Ce type de poste en Roumanie correspond à la fonction de chargé de recherche en France. J'ai été embauché tout de suite après mon diplôme d'ingénieur et j'y suis restée pendant ma thèse et après. Ma mission consistait à valoriser dans le cadre de contrats privés, nationaux et européens les nouvelles techniques photothermiques d'analyse non-destructive. Mon groupe de travail ayant noué des collaborations avec divers organismes de recherche européens, j'ai été amenée à effectuer plusieurs missions de recherche à l'étranger notamment aux Pays Bas et en France, dans des projets de recherche pluridisciplinaires en biophysique, pour la caractérisation des produits agro-alimentaires et des emballages biodégradables.

En 1999, pour des raisons personnelles, j'ai donné ma démission de l'institut Roumain et je me suis installée en France. Mes premières expériences professionnelles ont été des contrats courts dans le domaine de la recherche.

Pendant 2 ans (2000-2002) j'ai occupé le poste de chef de projet à L'Institut Français du Textile et de l'Habillement direction Troyes; il s'agissait d'un projet régional réalisé en collaboration avec le Laboratoire d'Energétique et d'Optique de l'Université de Reims où se trouvait par ailleurs mon lieu de travail. Le projet s'inscrivait dans un thème général de caractérisation objective du confort. Expérimentalement nous avons pu déterminer les propriétés radiatives et thermiques des matériaux textiles et les corréler avec l'hydrophilie du polymère de base et les caractéristiques du fil et du maillage.

De 2002 à 2004 j'ai travaillé en tant que chercheur contractuel à l'Université de Reims dans une UMR INRA dans l'équipe : "Emballage et matériaux d'origine agricole". La première année, ma mission consistait à mettre en oeuvre des nouvelles approches expérimentales pour l'étude des propriétés mécaniques et de surface des fibres. Cette étude a été réalisée en amont de l'emploi de ces fibres végétales en tant que renforts dans des matériaux composites, une des
thématiques du labo étant le développement de matériaux de synthèse et issus de l'agroindus-
trie. La deuxième année j'ai bénéficié d'un financement privé dans un projet de recherche qui
a impliqué le Centre Technique du Papier de Grenoble et le papetier StoraEnso. Ma mission a
consisté dans l'identification des mécanismes mis en jeux pour la diminution d'énergie lors du
défibrage des copeaux de bois traités par un procédé bio-mimétique. La stratégie employée,
utilisant la plastification sélective des différentes classes de macromolécules, nous a donné
acès aux modifications de la mobilité des polymères dans la paroi végétale.

Dans cette période une certaine mutation s'est opérée dans mon profil professionnel. Si au
départ j'ai été employée en tant que chercheur, concevant, proposant et réalisant mes propres
projets de recherche, par la suite je suis intervenue dans des projets de recherche en tant que
participant et pas de chef de projet. Cela n'a pas rendu mon travail moins intéressant parce
que il s'agissait de relever un certain nombre de verrous conceptuels et expérimentaux. J'ai
montré que je pouvais, du fait de mes connaissances et mon expérience professionnelle, non
seulement comprendre la complexité du sujet de ces études, mais que j'avais les compétences
techniques pour mettre en oeuvre des nouvelles approches expérimentales et de protocoles de
mesures adaptés. Mon profil est devenu plutôt celui d'un ingénieur.

Période à l'IPGP : Participation aux projets de l'équipe

J'ai pu par la suite valoriser ce type de compétences transversales en occupant un poste
d'ingénieur de recherche en conception et développement en expérimentation à l'Institut de
Physique du Globe de Paris dans l'Equipe de Dynamique de Fluides Géologiques. Cette
équipe a été crée par Claude Jaupart dans le but de comprendre la dynamique de la Terre et
des planètes du Système Solaire à travers les outils de la mécanique des fluides. Depuis mon
arrivée à l'IPGP en 2004, mon travail en tant qu'ingénieur de recherche dans ce laboratoire
suppose non seulement la compréhension du contexte géologique des phénomènes étudiés,
mais également la transcription du problème géologique en problème physique le décrivant de
manière pertinente. Cette transcription se fait en étroite collaboration avec les chercheurs du
laboratoire, mon rôle étant de concevoir en amont le dispositif expérimental et la méthodologie
de mesure dont je définis la précision en fonction des spécifications.

Certains de mes développements expérimentaux ont ouvert la voie à des nouveaux sujets
de recherche inaccessibles jusque là, car les technologies pour les produire et pour les mettre
en évidence n'existait pas. L'originalité de mon travail se retrouve dans les 2 brevets, les
26 publications (dont 5 d'instrumentation, 9 de physique et 12 de géophysique) et 3 cha-
pitres de livre (dont une contribution dans le prestigieux Treatise on Geophysics (Davaille
and Limare, 2015)). J'ai également participé à des conférences (27) dont 6 orales invitées et
4 séminaires invités. Les invitations (conférences orales et séminaires) ont été motivées par
l'intérêt suscité par les nouveaux développements expérimentaux dans l'étude de la convec-
tion. Ces développements ont été obtenus par la technologie unique au monde basée sur
l'absorption de micro-ondes que j'ai mise au point.

Dans ce document, j'ai choisi de ne pas présenter en detail tous mes travaux, bien que
toutes ces activités ont nourri ma réflexion intellectuelle, scientifique et expérimentale. Je
donne dans ce chapitre introductif juste un aperçu de l'étendue de mon activité à l'IPGP.
Ensuite je développerai l'activité scientifique dans le domaine de recherche dans lequel j'ai eu
les résultats les plus significatifs.

Expériences de convection, panaches

Une des mes principales missions à mon arrivée à l'Institut de Physique du Globe a été
la mise en place d'une étude comparative aussi exhaustive que possible des différentes tech-
niques de visualisation de la convection et en particulier des panaches. Il s'agissait d'une
collaboration avec Anne Davaille et ses étudiants et post-docs de l'époque (Judith Vatteville, Sophie Androvandi, Floriane Touitou, Ichiro Kumagai). Le volcanisme intra-plaque comme par exemple celui des iles de La Réunion ou Hawaii est interprété comme la conséquence de la montée des panaches thermiques ayant leur origine à la base du manteau terrestre. Ces panaches constituent un moyen unique d'échantillonnage de l'intérieur profond de la terre. Pour déchiffrer les informations portées à la surface par les panaches, il est nécessaire de comprendre leur dynamique. Les études concernant les panaches ont été focalisées à la fois sur des caractéristiques mesurées expérimentalement comme le volume et la vitesse de la tête du panache, ou sur la distribution de température et de vitesse dans le conduit déterminées théoriquement. Les divers dispositifs expérimentaux utilisant différentes techniques (distribution de colorant, ombroscopie, interférométrie, technique des isothermes utilisant des cristaux liquides) ont conduit à des lois d'échelle et des explications divergentes concernant l'entrainement de matière dans la tête et dans le conduit. Il était devenu essentiel d'appréhender l'influence des différentes méthodes expérimentales sur la définition de l'objet "panache" pour la compréhension de sa dynamique. J'ai réalisé plusieurs dispositifs expérimentaux intégrant l'interférométrie différentielle, la technique des isothermes utilisant des cristaux liquides, shadowgraph et Particle Image Velocimetry, fluorescence ; et j'ai contribué à plusieurs publications (Vatteville et al., 2009; Davaille et al., 2011; Androvandi et al., 2011; Davaille and Limare, 2015; Farnetani et al., 2018).

## Mesure du flux de chaleur

Claude Jaupart (et ses collaborateurs et étudiants) s'est consacré pendant des nombreuses années à l'étude de la structure thermique des continents, avec un triple objectif : 1) caractériser l'état thermique des vieux continents, 2) étudier l'effet thermique des continents sur le manteau et ses conséquences pour le régime convectif de la Terre et 3) déterminer la composition globale de la croûte continentale par le biais de la production de chaleur radiogénique. Toutes ces études reposent sur une bonne connaissance de la distribution du flux de chaleur à la surface terrestre et ont conduit à des campagnes de mesures systématiques sur le continent Nord-Américain. Pour la mesure de la conductivité des roches nous utilisons un appareil dit "à barres divisées" qui permet de déterminer la conductivité thermique des échantillons avec la plus grande précision (≈2% environ). Comme il n'existe pas d'appareil commercial qui répond aux spécifications données (grande précision ; mesure sous compression pour reproduire les conditions in situ des roches qui proviennent d'une grande profondeur), il fallait le réaliser à façon. J'ai été le responsable de la réalisation de cet appareil ; j'ai rédigé un cahier de charges en vue d'une réalisation en interne (atelier mécanique) de la partie mécanique du dispositif : des colonnes aux mors de la machine de compression, isolation thermique, fixation et positionnement de précision des capteurs de température, circuit hydraulique. J'ai également renouvelé l'instrumentation et conçu le programme de pilotage. Dans le cadre du même projet, j'ai participé à une mission de terrain de mesure du flux de chaleur au Canada, dont les données ont été utilisées lors de la thèse de Florence Lévy et donné lieu à une publication à laquelle je suis co-auteur (Lévy et al., 2010).

## Dynamique et stabilité de la lithosphère continentale

La lithosphère continentale est le résidu solide d'événements passés de fusion partielle ; elle est moins dense et plus visqueuse que le manteau de convection sous-jacent et surtout elle concentre une grande partie des éléments radiogéniques. Refroidie par le haut, la lithosphère continentale peut devenir instable en fonction de son épaisseur et du contraste de densité avec le manteau. Lors de la thèse de Loic Fourel et Laura Milelli nous avons mis au point une méthode expérimentale pour l'étude des instabilités continentales. Cette étude a permis
de determiner les principaux régimes de convection et d'établir des lois d'échelle pour leur caractéristiques, ce qui a conduit à trouver un cadre d'interprétation au volcanisme de la ligne de Cameroon et a donné lieu entre autres à une publication à laquelle je suis co-auteur (Fourel et al., 2013).

## Volcanologie physique

Le groupe de Volcanologie physique de notre équipe (Claude Jaupart, Steve Tait, Edouard Kaminski, Guillaume Carrazzo, Sylvie Vergniolle) propose une modélisation numérique et analogique de la dynamique des éruptions volcaniques, afin de mieux les catégoriser, les comprendre, et les prévoir dans une optique d'évaluation du risque. Cette approche s'appuie fortement sur le laboratoire de mécanique des fluides (conception des expériences et visualisation) et les études de terrain.

Dans le projet "Refroidissement d'un écoulement gravitaire", sujet de thèse de Fanny Garel (encadrée par Edouard Kaminski et Steve Tait) j'ai utilisé mes compétences en thermographie infrarouge acquises pendant ma thèse et mes premières expériences professionnelles. Nous avons étudié l'influence des paramètres du fluide, effet du vent et de la solidification et appliqué nos résultats aux coulées de lave et leur monitorage thermique satellitaires (Garel et al., 2012, 2013, 2014, 2016).

Pour le projet "Propagation des dykes dans un édifice volcanique de laboratoire ; application aux volcans tel que le Piton de la Fournaise" : j'ai coordonné la fabrication des différentes versions du dispositif expérimental et du système d'injection des dykes et j'ai notamment mis au point une méthode de calcul du champ de contraintes à partir des franges de biréfringence ce qui nous a permis de le relier à la propagation des dykes et à l'altitude des éruptions (collaboration Steve Tait, stagiaire L3 Emeline Pasquet).

Les grandes éruptions volcaniques explosives produisent des colonnes d'éruption qui peuvent atteindre des altitudes de plusieurs dizaines de kilomètres. Au niveau de flottabilité neutre le panache s'étale comme une "ombrelle". Nous avons développé une expérience analogique où le panache turbulent est produit par de l'eau salée (donc plus dense) envoyé dans une cuve remplie d'un mélange eau/sel produisant une distribution linéaire de densité. Le panache turbulent s'étale lorsque sa densité atteint celle de l'eau, produisant l'analogue d'une ombrelle volcanique 'tête en bas'. Nous avons caractérisé l'entrainement et le mélange et mesuré la vitesse d'étalement de l'ombrelle, par des méthodes optiques de fluorescence, ombroscopie et vélocimétrie (collaboration avec Steve Tait et Edouard Kaminski et stagiaires Master : Manon Robbe-Saule, Cyril Sturz).

## Géomorphologie

Le groupe de géomorphologie de notre équipe tente de comprendre comment se façonnent les paysages naturels, à la surface de notre planète et des autres planètes telluriques du Système Solaire. La thématique principale est l'étude de la dynamique des rivières, et l'approche est analogique. Il s'agit de reconstituer des rivières en modèle réduit, et de mesurer quantitativement les propriétés de leur morphologie et de leur dynamique. Ensuite les géomorphologues proposent des scénarios de mise à l'échelle des résultats de laboratoire vers les conditions propres aux systèmes naturels.

Pour déterminer le relief et le niveau d'eau dans une expérience de rivière de laboratoire, j'ai mis au point une méthode optique basée sur une technique de projection (Limare et al., 2011). J'ai optimisé le dispositif expérimental (projecteur de franges, introduction de filtres polarisants pour éviter les réflexions dues à la présence de l'eau), le traitement d'images (fréquence spatiale de projection et filtres spatiales utilisés dans le traitement d'images) et j'ai programmé une nouvelle procédure de dé-modulation tenant compte de la présence de
l'eau. Ceci nous a permis d'étudier l'évolution temporelle et spatiale des rivières (Tal et al., 2012; Reitz et al., 2014) et la formation de canyons sous-marines par incision produite par les courants gravitaires (Weill et al., 2014). De plus, la même méthode est actuellement utilisée dans les travaux de thèse de Alexandra Morand pour la détermination de la déformation de la surface dans une expérience de volcanologie physique illustrant la mise en place des chambres magmatiques.

Dans le cadre de l'observatoire de l'érosion aux Antilles (OBsErA, directeur Eric Lajeunesse), j'ai assumé la responsabilité du développement instrumental entre 2009-2014. Les premières missions de terrain ont montré que l'essentiel de l'érosion mécanique en zone tropicale se concentre pendant les crues éclairs provoquées par les cyclones et les tempêtes tropicales. Il est de ce fait nécessaire de mesurer directement le flux d'érosion pendant une crue. Ce type de mesure est évidemment très difficile pour deux raisons : 1) ces crues de courte durée sont relativement imprévisibles et 2) la mesure dans une rivière en crue est un exercice dangereux. Cela nous a conduit à nous lancer dans le développement de nouvelles méthodes de mesures permettant de contourner ces difficultés. J'ai été la responsable de projet et coordonateur d'une équipe technique pour l'adaptation d'un instrument mesurant les suspensions solides dans l'eau à une utilisation autonome, en station, sur une rivière en milieu tropical. J'ai effectué plusieurs missions de terrain pour installation et maintenance de stations de monitorage du transport de rivières (Capesterre et Bras-David en Guadeloupe) (Lajeunesse et al., 2011).

J'ai également participé au projet financé par la ville de Paris "Dynamique de l'écoulement et du transport de sédiments dans la Seine à Paris, conséquences pour la pollution et la navigation fluviale" (PI François Métivier). Nous avons équipé un Zodiac et ensuite un radeau d'une station complexe contenant un instrument mesurant la vitesse d'écoulement par effet Doppler, un bathymètre, un GPS, et un instrument basé sur la diffusion de la lumière pour mesurer la distribution de taille des particules transportés. Cette étude nous a permis de d'explorer de nouvelles voies et de développer de nouvelles mesures qui permettent de mieux comprendre la dynamique d'un fleuve anthropisé et l'importance des différents paramètres de contrôle (thèse H. Chauvet) (Chauvet et al., 2011, 2014).

# Période à l'IPGP : Axe de recherche en tant que PI

## Expériences de convection à chauffage interne

Plutôt que de faire une presentation exhaustive de mes travaux, je présenterai dans la suite de ce document uniquement les travaux pour lesquels je pense avoir eu un rôle moteur. Ces dernières années mon activité scientifique s'est focalisée principalement sur les expériences de convection à chauffage interne.

J'ai été l'investigateur principal d'une ANR (TERRA-MWH 2012-2015), en collaboration avec des chercheurs de l'INCDTIM, Cluj-Napoca, Roumanie, dont le but était de développer un nouveau système de chauffage par micro-ondes permettant de reproduire en laboratoire les processus de chauffage par désintégration radioactive, pour des expériences de convection dans le manteau de la Terre. Ce projet de recherche, ayant des nombreuses ramifications, se déroule encore et a bénéficié de plusieurs financements du program Tellus/PNP de l'INSU-CNRS. Il a impliqué plusieurs chercheurs de l'IPGP (Claude Jaupart, Edouard Kaminski et Cinzia Farnetani), post-docs et étudiants (Erika di Giuseppe, Loic Fourel, Kenny Vilella, Balthasar Kenda, Marouchka Froment, Anies Zeboujd, Cyril Sturz) et trois chercheurs de l'institut Roumain, spécialistes en microondes, électronique et propriétés des matériaux (Emanoil Surducan, Vasile Surducan, Camelia Neamtu).

Le premier objectif de notre projet (détaillé dans le Chapitre 2) a consisté à mettre au point un générateur de microondes, contrôlé à partir d'un système embarqué permettant sa mise en œuvre dans des expériences de convection. Pour mettre en œuvre cet objectif,
nous avons trouvé un compromis satisfaisant entre la gestion des caractéristiques requises pour les fluides expérimentaux (densité et viscosité), la nécessité d'obtenir de zones ou des couches de forte absorption en microondes et les impératifs de transparence indispensables à la visualisation des mouvements et structures thermiques du fluide. Cette première partie du projet a donné lieu à deux brevets (Limare et al., 2015b; Surducan et al., 2015), 1 article d'instrumentation (Surducan et al., 2014) et 4 actes de congrès avec comité de lecture (Limare et al., 2013; Surducan et al., 2013; Limare et al., 2015a; Surducan et al., 2015). Ensuite nous avons consacré nos efforts à valider les résultats expérimentaux à travers des résultats numériques (thèse de Kenny Vilella, soutenue en 2015) obtenus dans les mêmes conditions que les conditions expérimentale : même dépendance des paramètres du fluide en fonction de la temperature, même géométrie, mêmes domaines de nombres sans dimensions. Cette validation (Limare et al., 2015c), et ensuite la determination exhaustive des lois d'échelle qui gouvernent la convection avec chauffage interne homogène (Vilella et al., 2018), nous ont permis d'avancer vers la seconde série d'objectifs : l'application des techniques précédentes aux expériences de convection dédiées aux systèmes mantelligues.

Les caractéristiques de la convection terrestre restent débattues car les observations disponibles ne sont pas discriminantes. Les modèles requièrent ainsi la présence d'hétérogénéités qui persistent sur des milliards d'années, mais dont les caractéristiques physiques restent à définir. Notre but a été d'identifier les grandes familles de régimes convectifs attendus en fonction des propriétés des fluides mis en jeu, tels que la densité, la viscosité, et la teneur en éléments radioactifs (Fourel et al., 2017; Limare et al., 2019a). Une originalité importante de ces études (détaillées dans le Chapitre 3) est de traiter le couplage entre mélange chimique et hétérogénéité spatio-temporelle du chauffage interne, couplage trop complexe pour être actuellement étudié par des modèles numériques.

Une application directe de la prise en compte du chauffage interne dans la convection mantelligue est l'étude du refroidissement de la Terre et des autres planètes telluriques, car le refroidissement séculaire et le chauffage interne produits par les éléments radiogéniques ont les mêmes caractéristiques du point de vue de la dynamique de la convection. Nous avons démontré que les lois d'échelle obtenues en conditions statistiquement stationnaires peuvent être utilisées pour determiner l'evolution thermique transitoire des systèmes chauffés en volume (Limare et al., 2019b) et nous avons utilisé ces résultats couplés à des observations d'âge et de température de formation des météorites de Fe pour proposer un modèle d'accretion pour leurs corps parents (Kaminski et al., 2019), qui sera présenté dans le Chapitre 4.

Une liste complète de mes publications (avant et pendant la période IPGP) se trouve à la fin de ce document.
# 1 Importance du chauffage interne

Dans les études des planètes telluriques et des corps planétaires, l'ensemble de connaisances acquises pour la convection de type Rayleigh-Bénard n'est pas suffisant, car les mouvements intérieurs sont en grande partie générés par des sources de chaleur internes au lieu de la chaleur fournie à la base. Les sources de chaleur comprennent les éléments radioactifs à longue période ainsi que les contributions du refroidissement séculaire et du chauffage des marées, bien que ce dernier ne soit dominant que dans certains corps planétaires tels que les satellites de glace de Saturne et de Jupiter (Hussmann et al., 2010; Schubert et al., 2010). Malgré leur pertinence pour l'évolution planétaire, les études des systèmes convectifs à chauffage interne sont en retard par rapport à celles obtenues dans des configurations Rayleigh-Bénard (Goluskin, 2016). De plus, de tels systèmes sont particulièrement intéressants du point de vue théorique et physique car ils impliquent une seule couche limite thermique instable qui n'est pas affectée par les mouvements générés à l'autre limite.

La convection thermique à l'état solide, à la base de la dynamique interne des manteaux planétaires, est générée à la fois par chauffage interne et le chauffage à la base du manteau. Le chauffage interne est dû à la désintégration radioactive de $^{238}$U, $^{235}$U, $^{232}$Th et $^{40}$K distribués à travers le manteau. Le refroidissement séculaire du manteau peut également être approché comme une source de chaleur volumétrique. Pour les planètes terrestres, de refroidissement et la solidification du noyau riche en fer est la principale source de chauffage par le bas, et le flux de chaleur à l'extérieur du noyau, transporté par la convection thermique, contrôle l'intensité du champ magnétique et la vitesse de solidification du noyau.

La Terre a la particularité de disposer de la tectonique de plaques. En surface, elle perd de la chaleur notamment aux dorsales, comme l'indique la carte de flux de chaleur dans la Figure 1. Cette carte combine des mesures de terrain pour les terres émergées à des résultats issus de la modélisation du refroidissement du plancher océanique (Jaupart and Mareschal, 2011). Actuellement la Terre perd 29 TW à travers les plaques océaniques, 14 TW sur l'ensemble des continents et 3 TW par les volcans de type point chaud, pour un total de $46 \pm 3$ TW.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Carte de flux de chaleur pour la Terre actuelle (Jaupart and Mareschal, 2011).</figcaption></figure>

Les différents composants du bilan énergétique de la Terre (Figure 2) montrent que les sources de chaleur qui participent à la convection ont des incertitudes plus grandes que l'incertitude sur le bilan total. Elles sont estimées en faisant appel à des différents modèles d'accretion/formation pour la teneur en éléments radioactifs et à des modèles de dynamo pour
le refroidissement du noyau et la cristallisation de la graine. Le refroidissement séculaire est beaucoup plus important que la chaleur dégagée par la désintégration des éléments radioactifs, ce qui implique que la Terre se refroidit actuellement à un taux global d'environ $110 \text{ K Gyr}^{-1}$ (16 TW) (Jaupart et al., 2015).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Bilan énergétique de la Terre actuelle (Jaupart et al., 2015).</figcaption></figure>

L'extrapolation de ce budget dans le temps présente de nombreuses incertitudes. La température source des basaltes, qui représente une bonne moyenne de la température potentielle du manteau, montre un refroidissement séculaire du manteau qui se situe entre 50 et $100 \text{ K Gyr}^{-1}$ (7-14 TW) au cours du temps, (Figure 3), donc globalement plus faible que celui estimé actuellement. Ces données semblent indiquer que la température potentielle du manteau a pu présenter un maximum vers 3 Ga.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Température source des basaltes en fonction de l'age. Figure d'après Jaupart et al. (2015), à partir des données de Herzberg et al. (2010).</figcaption></figure>

De plus, la source de chaleur produite par désintégration radioactive était ≈ 5 fois plus grande au début de la Terre (Figure 4). Cette valeur doit être revue à la baisse (≈ 4) avec une valeur moyenne de K/U re-évaluée (Gale et al., 2013). Une grande proportion de cette source (entre 1/3 et 1/2) a été extraite graduellement dans les continents et ne participe plus à la convection mantellique.
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Les sources de chaleur radiogéniques de la Terre en fonction de l’age (Arevalo et al., 2009).</figcaption></figure>

Nous pouvons néanmoins conclure que sur l'age de la Terre la convection mantellique a été dominée par des sources de chaleur distribuées dans le volume, et que la proportion de chauffage par le bas est de second ordre. A l'interface noyau/manteau, la condition aux limites ne peut être considérée ni isotherme ni a flux de chaleur constant à cause du couplage du refroidissement du noyau au refroidissement du manteau. Ce couplage est difficile à résoudre et il a imposé à l'interface noyau/manteau des valeurs de température et de flux de chaleur qui ont changé au cours du temps.

Dans ce mémoire, la méthode expérimentale proposée, basée sur le chauffage par microondes ansi que les simulations numériques ont été réalisées dans une configuration dans laquelle le chauffage par le bas a été négligé (condition aux limites de la surface basse adiabatique). Cette approximation a été considérée comme une étape nécessaire avant de traiter une configuration plus réaliste impliquant un chauffage mixte. Nous allons voir dans les chapitres suivants que la présence d'une source de chaleur volumique change fondamentalement la forme de la convection : introduit une asymétrie entre le bas et le haut du fluide, confère une importance plus grande à la couche limite thermique du haut et change toutes les caractéristiques (température, nombre d'instabilités, vitesse) de la convection avec des lois d'échelle qui sont différentes par rapport à la convection Rayleigh-Benard.

Une autre conséquence de la croissance continentale en dehors de l'extraction d'une partie des éléments radioactifs du manteau est le changement dans les conditions aux limites en surface. Alors que des mouvements de surface se produisent dans le domaine océanique, une situation qui peut être approchée par une surface libre, les continents se comportent plutôt comme des frontières rigides. On peut donc s'attendre à un changement progressif du comportement de la limite supérieure au cours du temps, de celui d'une surface libre au début à celui d'une surface rigide plus tard. Notre planète sœur Vénus, par exemple, ne permet pas actuellement les mouvements de surface (Turcotte, 1995). Expérimentalement, nous pouvons réaliser uniquement la condition rigide, car le fluide doit être contenu. Numériquement il est plus facile de modifier ces conditions. Nous avons pu quantifier l'effet de cette condition aux limites (rigide et respectivement vitesses libres) sur les coefficients des lois d'échelle en utilisant le code STAG3D (Tackley, 1993).

Le manteau terrestre est chimiquement hétérogène (Hofmann, 2003; Gale et al., 2013) et comprend probablement un matériau primordial qui n'a pas été affecté par la fusion partielle et l'appauvrissement en éléments radioactifs. Cela implique que les sources de chaleur internes du manteau ne sont pas distribuées uniformément (Kellogg et al., 1999; Turcotte et al., 2001; Javoy and Kaminski, 2014). Un premier type de matériau mantéllique est la conséquence de la fusion en dessous des rides océaniques et dans les zones de subduction, qui génère une
lithosphère océanique appauvrie et une croûte continentale enrichie, un processus qui a été actif au cours de la majeure partie de l'histoire de la Terre. Un deuxième type de matériau mantéllique peut être hérité des premiers processus planétaires. La façon dont il a été généré reste encore mal connue. Les mécanismes de formation comportent la sédimentation des phases de fer et la cristallisation de l'océan de magma primordiale (Labrosse et al., 2007), qui ont eu lieu sur une grande plage de température et pression ce qui a probablement déterminé une composition initiale dépendante de profondeur (Labrosse et al., 2015; Caracas et al., 2019).

Les processus à l'oeuvre au début de la Terre ont été en grande partie effacés par l'évolution ultérieure due à la convection mantellique. Cependant, certaines traces peuvent persister dans la Terre profonde, comme en témoigne la sismologie. Les vitesses des ondes sismiques sont anormalement basses dans deux grandes régions nommées large low-shear-velocity provinces (LLSVPs) et peuvent être difficilement expliquées par des anomalies purement thermiques (Lekic et al., 2012; Cottaar and Lekic, 2016; Garnero et al., 2016). Les caractéristiques sismiques des zones à vitesse de propagation ultra-basse (Ultra Low Velocity Zones ULVZ) peuvent être expliquées par la présence de matériau riche en Fe (Wicks et al., 2010) ou partiellement fondu (Yuan and Romanowicz, 2017). Pour determiner les conditions de survie de tels reservoirs il convient de determiner l'efficacité du melange lors de la convection. A partir de deux couches de matériaux différents, le mélange a lieu par deux processus différents, le repliement d'un fluide sur l'autre et l'arrachement des fins filaments à l'interface (Olson and Kincaid, 1991). Ce dernier processus fonctionne à très petite échelle et présente un grand défi pour les simulations numériques, comme le démontre par exemple Van Keken et al. (1997); Zhong et al. (2008); Deschamps and Tackley (2008, 2009); Puckett et al. (2018), d'où le rôle essentiel de l'approche expérimentale.

Des études quantitatives en laboratoire ont été effectuées dans des installations de type Rayleigh-Bénard avec des températures fixes ou des flux de chaleur fixes en haut et en bas de la cuve (Richter and McKenzie, 1981; Olson, 1984; Olson and Kincaid, 1991; Davaille, 1999b,a). Ces études révèlent une richesse de phénomènes comme par exemple des mouvement oscillatoires des panaches, ou le renversement des couches. Elles ont aussi montré que la topographie formée dans la couche inférieure agît comme points d'ancrages des panaches aux mêmes emplacements et ce pour des intervalles de temps très longs avec des implications importantes pour la convection du manteau (Jellinek and Manga, 2002; Davaille et al., 2002). L'ingrédient nécessaire pour aboutir à une image plus complète du manteau est le chauffage interne qui n'a jamais été exploré par manque de technologie adaptée.

Il n'y a pas de doute que la présence de sources de chaleur distribuées dans le volume a joué un rôle important dans l'evolution thermique de la Terre. Leur distribution a des consequences sur l'écoulement et l'écoulement modifie la distribution des sources de chaleur. La convection induit le mélange, de sorte que la forme de l'écoulement, la distribution des sources de chaleur et la structure thermique évoluent continuellement. Un tel système est particulièrement difficile à étudier. Ces phénomènes ont été étudiés en laboratoire à l'aide de notre nouveau montage expérimental basé sur les micro-ondes pour la convection à chauffage interne. Cette méthode offre une perspective radicalement nouvelle dans l'étude de la convection : le chauffage sélectif de différentes zones par le control des propriétés d'absorption des fluides utilisés. Cela représente l'analogue d'une convection hétérogène en présence de résevoirs chimiquement différents contenant une concentration différente d'éléments radioactifs. Nos expériences n'incluent pas d'analogue pour le noyau, ce qui implique qu'elles doivent être considérées comme exploratoires.
## 2 Convection à chauffage interne dans un fluide homogène

L'évolution thermique des planètes terrestres est contrôlée par le refroidissement séculaire et la chaleur dégagée par la désintégration des éléments radioactifs tels que ($^{238}$U, $^{235}$U, $^{232}$Th et $^{40}$K), deux processus qui sont équivalents du point de vue de la dynamique de convection. Peu d'études ont été consacrées aux caractéristiques intrinsèques de cette forme de convection, dominée par des instabilités issues d'une seule couche limite thermique se trouvant à la surface haute du système, et caractérisée par une structure thermique intérieure non isentropique.

Les études de laboratoire ont été affectées par des difficultés techniques considérables. Généralement, la source de chaleur interne a été générée par effet Joule. Ces travaux ont été limités à des solutions aqueuses, i.e. nombre de Prandtl ($Pr$) petit (Tritton and Zarraga, 1967; Kulacki and Goldstein, 1972), alors que le $Pr$ du manteau peut être considéré comme infini. Il a été démontré que la convection thermique dans une couche de fluide chauffée uniformément dans le volume et maintenue entre deux frontières horizontales isothermes est équivalente à la convection thermique dans une couche dont chacune des températures des deux frontières horizontales décroit à un taux constant dans le temps (Krishnamurti, 1968a,b; Weinstein and Olson, 1990). Cette technique est plus simple que la technique électrolytique et permet de mimer un système chauffé par le bas et dans le volume. Toutefois, cet expédient ne peut pas être appliqué à des liquides dont la viscosité depend de la température et ne peut pas produire de nombres de Rayleigh ($Ra$) élevés, appropriés pour la convection planétaire.

Pour surmonter ces limites, nous avons proposé une nouvelle méthode expérimentale pour générer un chauffage interne par absorption par micro-ondes (MW). Ce prototype offre la possibilité d'atteindre des nombres $Ra$ et $Pr$ élevés, pertinents pour la convection planétaire. Nous avons utilisé des techniques non invasives pour déterminer en même temps la température et le champ de vitesse. Ce travail expérimental a impliqué une chercheuse post-doc, Erika di Giuseppe. Nous avons validé avec succès les résultats expérimentaux en effectuant simulations numériques en géométrie cartésienne 3D qui reproduisent les conditions expérimentales (Vilella, 2015). Nous avons établi des lois d'échelle reliant les caractéristiques clés de la couche limite thermique, à savoir son épaisseur et sa différence de température, au nombre de Rayleigh-Roberts pour les conditions limites rigides et 'vitesses libres'. Ces résultats se trouvent dans le premier papier reproduit en annexe (Limare et al., 2015c).

### 2.1 Nombres sans dimension

La convection avec chauffage par le bas et refroidissement par le haut (convection Rayleigh-Bénard) est caractérisée par deux nombres sans dimensions : le nombre de Rayleigh et le nombre de Prandtl.

Le nombre de Rayleigh, $Ra$, définit la vigueur de la convection et représente le rapport entre les forces de flottabilité et les forces de dissipation thermique et visqueuse :

$$Ra = \frac{\rho g \alpha \Delta T h^3}{\kappa \mu}, \qquad (1)$$

où $\Delta T$ est la différence de température entre le bas et le haut de la couche, $\rho$ est la densité, $\alpha$ est l'expansivité thermique, $\kappa$ est la diffusivité thermique, $\mu$ est la viscosité et $h$ est l'épaisseur de la couche. La convection démarre quand $Ra$ dépasse une valeur critique (Chandrasekhar, 1961).

Le nombre de Prandtl, $Pr$, représente le rapport entre la diffusivité de la quantité de mouvement et la diffusivité thermique :

$$Pr = \frac{\nu}{\kappa}, \qquad (2)$$
où $\nu = \mu/\rho$ est la viscosité cinématique. Quand $Pr \gg 1$, l'effet de l'inertie est beaucoup plus faible que l'effet de la viscosité et le mouvement s'arrête quand la source de chaleur disparait. Pour le manteaux des planètes terrestres $Pr > 10^{23}$.

Dans un système chauffé dans le volume, l'échelle de température est imposée pas la chaleur interne :

$$ \Delta T_H = \frac{Hh^2}{\lambda}, \qquad (3) $$

où $H$ est la chaleur générée par unité de volume. Le nombre de Rayleigh-Roberts résultant (Roberts, 1967) est :

$$ Ra_H = \frac{\rho g \alpha H h^5}{\lambda \kappa \mu}. \qquad (4) $$

La prédiction du comportement des systèmes naturels complexes tels que les manteaux planétaires nécessite la détermination de lois d'échelle dérivées des principes physiques fondamentaux qui ont été testées sur des résultats expérimentaux ou numériques. Ces lois d'échelle s'appliquent aux systèmes naturels uniquement si la similarité dynamique est respectée, c'est-à-dire dans les mêmes conditions aux limites (mécanique, thermique, facteur de forme), pour la même rhéologie et pour les mêmes équilibres entre les divers effets physiques décrits par les nombres sans dimension.

## 2.2 Prototype expérimental et expériences de convection

Les principales exigences de nos expériences de convection avec chauffage interne dans des fluides visqueux ont été :

i. chauffage continu et uniforme d'un volume important de fluide (4500 cm³) sur une durée importante (jusqu'à 10h),

ii. puissance de micro-ondes absorbée constante et stable,

iii. condition isotherme pour la frontière supérieure, controlé par un bain thermostaté,

iv. condition adiabatique pour la frontière inférieure,

v. balayage de la cuve avec un plan laser vertical et prise d'images pour la détermination à distance des champs 2D de température et de vitesse du fluide transparent du point de vue optique,

vi. exposition de l'opérateur aux radiations MW dans des limites sûres.

Un four à micro-ondes commercial (Whirlpool AMW 848IX, volume de la cavité 40 l) a été drastiquement modifié pour répondre à nos attentes (Figure 5). Le four a été dépouillé des ses éléments originaux, excepté le magnetron et son alimentation. Un système original de guide d'onde + homogénéisateur breveté (Limare et al., 2015b) a été monté à l'intérieur de la cavité. Les diverses ouvertures dans les parois ont été équipées des protections anti-fuite de radiation (filtres MW). La puissance de sortie du magnetron a été suivie, et ses variations compensées, par un système de retroaction également breveté (Surducan et al., 2015). Les circuits de MW ont été spécialement conçus pour assurer un chauffage constant et uniform dans l'échantillon contenu dans une cuve transparente à la radiation visible et couverte d'un échangeur thermique métallique, dont la température est imposée par un bain thermostaté. Un système de refroidissement maintient à température constante tous les éléments assurant la propagation de la radiation MW.

La qualité (uniformité et stabilité) du chauffage a été testée dans un gel (agar-agar) prenant la place de l'échantillon fluide dans la cuve et en évitant le contacte avec l'échangeur thermique. Les mesures effectuées avec une camera thermique FLIR sur les surfaces supérieure et inférieure de la galette de gel sortie de la cuve indiquent une variabilité latérale de quelque % et une stabilité dans le temps de l'ordre de 1% (Surducan et al., 2014).
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Prototype expérimental. (Limare et al., 2019a)</figcaption></figure>

Les fluides utilisés dans nos expériences de convection ont été obtenus par le melange d'eau distillée à une très faible quantité (<1%) de hydroxyethylcellulose (Natrosol) qui permet de varier la viscosité sur plusieurs ordres de grandeur en fonction de sa concentration. La rhéologie du fluide a été caractérisée à l'aide d'un rhéomètre Thermo Scientific Haake RS600, la densité et l'expansivité thermique ont été mesurées à l'aide d'un densimètre Anton Paar DMA 5000 et la diffusivité thermique par la méthode photo-pyroélectrique (Dadarlat and Neamtu, 2009). Nous avons effectué 30 expériences, pour lesquels le nombre de Prandtl (300 < Pr < 30000) est suffisamment grand pour assurer la prépondérance des effets visqueux sur l'inertie et un nombre de Rayleigh-Roberts compris entre $5×10^4$ et $2×10^7$. Les propriétés du fluide dépendent de la température : sur la plage des conditions expérimentales, la réduction de viscosité est de maximum 0.15 par rapport à la valeur à la température de surface $T_0$, le coefficient d'expansion thermique augmente d'un facteur de 5.2 maximum, alors que la variation de température de la diffusivité thermique est négligeable.

Pendant les expériences, le fluide en convection est balayé par un plan laser le long de la moitié de la cuve. La lumière diffusée est collectée par une camera CCD E-lite (1.4 Mpixels, 17 Hz) de LaVision qui permet la mesure du champ de température et de vitesse sans perturber l'écoulement. Pour la mesure du champ de température nous avons ensemencé le fluid avec 6 cristaux liquides thermochromatiques dont la sensibilité varie entre 19.3 °C and 36.6 °C. Chaque type de cristal liquide produit un trait lumineux (isotherme) sous un éclairage monochromatique (laser). La température de surface a été choisie de sorte à ce que la couche limite thermique soit bien résolue pour permettre le calcul du flux de température en surface $\phi$, et donc la source de chaleur dans le volume, car à l'état stationnaire $\phi=H \times h$.

Pour la mesure du champ de vitesse nous avons ajouté une faible quantité de billes creuses micrométriques qui se comportent comme des traceurs passifs. Le champ de vitesse 2D a été calculé par la cross-correlation d'images successives. Ensuite, nous avons déterminé les motifs de convection (planforms) par l'interpolation 3D des champs de vitesse verticale 2D à des différents positions du plan laser.

La Figure 6 montre l'image d'une section à travers le fluide pour une experience à $Ra_H=3.0×10^5$. La structure thermique révélée par les isothermes indique la formation d'une série d'instabilités froides qui se détachent de la couche limite thermique supérieure. Le champ de vitesse correspondant montre des instabilités froides associées à des courants descendants localisés, et des larges zones de courant de retour sans contraste de température.
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 6 – Image laser de la structure thermique d'une section verticale à travers la cuve (a) et champs de vitesse associé (b) pour une experience avec Ra<sub>H</sub> =3×10<sup>5</sup>. (Limare et al., 2015c)</figcaption></figure>

Nos résultats expérimentaux ont été comparés à des simulations numériques conduites en géométrie cartésienne 3D, fournissant ainsi la première validation d'études expérimentales et numériques de systèmes visqueux convectifs chauffés dans le volume, présentée en détail dans l'article reproduit en annexe (Limare et al., 2015c).

## 2.3 Simulations numériques

Pour valider les résultats expérimentaux et pour étendre l'espace des paramètres, nous avons réalisé lors de la thèse de Kenny Vilella, des simulations numériques en géométrie 3D en utilisant le code STAG3D développé par Tackley (1993). Ce code résout les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie, dans la limite de Pr infini. La première série de simulations a eu comme but de reproduire les conditions expérimentales, en particulier les conditions aux limites mécaniques (surfaces rigides), le facteur d'aspect de la cuve et la dépendance de la température des propriétés du fluide.

La Figure 7 montre les motifs de convection obtenus à partir de la section horizontale à mi-hauteur du champ 3D de la vitesse verticale. Trois motifs de convection sont clairement identifiés : pour Ra<sub>H</sub> <10<sup>5</sup> les deux méthodes indiquent la présence d'un motif qui ne dépend pas du temps avec des courants descendants avec des rayons en étoile (Figure 7a,d). Pour Ra<sub>H</sub> > 10<sup>6</sup> les deux méthodes indiquent un motif dépendant du temps avec des panaches descendants (Figure 7c,f), alors que pour Ra<sub>H</sub> intermédiaire nous remarquons des courants descendants sous forme de panneaux plongeants (Figure 7b,e). En dehors de ce premier set de simulations, nous avons réalisé un deuxième set dans lequel les conditions aux limites étaient également de type surfaces rigides, mais pour lequel les propriétés physiques du fluide ne dépendaient pas de température. Et finalement, dans un troisième set de simulations numériques, nous avons exploré l'effet de la condition aux limites de type vitesses libres (free-slip). Toutes ces données se trouvent dans (Limare et al., 2015c), reproduit en annexe.

## 2.4 Caractérisation de la couche limite thermique

La Figure 8a montre le profil vertical de la température moyenne à l'état stationnaire. La structure thermique de la couche convective peut être séparée en deux zones : une couche limite thermique supérieure et une zone interne qui convecte.

### 2.4.1 Lois d'échelle pour la couche limite thermique

L'analyse dimensionnelle pour la condition Boussinesq montre que la température de la couche limite thermique adimensionnée $\Delta T_{TBL}/\Delta T_H$ suit une loi de puissance en fonction
<figure><img src="image_9.png" /></figure>

FIGURE 7 – Motifs de convection obtenus à partir de la section horizontale à mi-hauteur du champ de vitesse verticale : movements descendants (bleu) et ascendants (rouge). Panneaux du haut : résultats expérimentaux ; panneaux du bas : simulations numériques. (a,d) : Ra$_H$=6×10$^4$, (b,e) : Ra$_H$=1.5×10$^5$, (c,f) : Ra$_H$=10$^6$. Les dimensions latérales sont en mm. Le code des couleurs est ajusté à ± valeur moyenne quadratique. (Limare et al., 2015c)

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

FIGURE 8 – Résultats numériques obtenus pour Ra$_H$ =3×10$^5$. (a) Profil vertical de la température moyenne. (b) Profil vertical du flux conductif (courbe bleue), chaleur générée par chauffage interne (rouge) et flux convectif (verte). $\delta_{TBL}$ représente la profondeur où le flux convectif est maximum. $\Delta T_{TBL}$ correspond à $z = \delta_{TBL}$. (Limare et al., 2015c)
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 9 - Panneaux du haut : Temperature (a) et épaisseur (b) adimensionnées en fonction du RaH : données expérimentales (cercles pleins) et numériques (carrés vides) obtenues pour des conditions aux limites rigides et la même dépendance de la température des paramètres du fluide. Panneaux du bas : Simulations numériques pour la température (c) et épaisseur (d) adimensionnées en fonction du RaH. Les droites représentent les meilleurs ajustements avec $\beta = -1/4$. (Limare et al., 2015c)</figcaption></figure>

de RaH :

$$ \frac{\Delta T_{TBL}}{\Delta T_H} = C_T Ra_H^\beta \qquad (5) $$

avec l'exposant $\beta = -1/4$ et $C_T$ un coefficient de proportionnalité, (Grossmann and Lohse, 2000). Nous pouvons déterminer la loi d'échelle pour l'épaisseur de la couche limite thermique de deux manières. La première est d'utiliser le contraste de température et le flux convectif, $\phi \sim \lambda \Delta T_{TBL} / \delta_{TBL}$, qui conduit à la même loi d'échelle que pour le contraste de température. La seconde est de se baser sur les caractéristiques du profil de flux convectif et de définir l'épaisseur de la couche limite thermique comme étant la profondeur où le flux convectif devient maximum. Cette deuxième méthode a l'avantage de nous permettre de tester de manière indépendante que le profil de flux convectif change avec $Ra_H$ de manière cohérente. Cela conduit à la loi d'échelle suivante pour l'épaisseur de la couche limite thermique :

$$ \frac{\delta_{TBL}}{h} = C_\delta Ra_H^\beta \qquad (6) $$

où $C_\delta$ est un coefficient de proportionnalité.

Les Figures 9 a, b montrent la température et l'épaisseur de la couche limite thermique adimensionnées en fonction du $Ra_H$. Les données expérimentales sont représentées par des cercles pleins et les données numériques par des carrés vides. Ces résultats sont cohérents sur une gamme large de $Ra_H$, malgré la dispersion plus grande des résultats expérimentales
<table><caption>TABLE 1 – Valeurs des pré-facteurs des lois d’échelle pour la couche limite thermique avec β=-1/4. (Limare et al., 2015c)</caption><thead><tr><th>Conditions</th><th>C<sub>T</sub></th><th>C<sub>δ</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>numérique : vitesses libres, α=α<sub>0</sub>, μ=μ<sub>0</sub></td><td>2.49</td><td>5.90</td></tr><tr><td>numérique : rigide, α=α<sub>0</sub>, μ=μ<sub>0</sub></td><td>3.41</td><td>7.08</td></tr><tr><td>numérique : rigide, α=f(T), μ=f(T)</td><td>3.58</td><td>7.50</td></tr><tr><td>expérimentale : rigide, α=f(T), μ=f(T)</td><td>3.56</td><td>7.36</td></tr></tbody></table>

(en partie due aux erreurs inhérentes à l'interpolation des valeurs discrètes de température pour obtenir le champ de température). Nous remarquons également que même si les lois d'échelle ont été obtenues pour la condition Boussinesq qui n'est pas entièrement satisfaite dans les expériences, ces lois capturent bien la tendance de variation des données. Pour β=-1/4 nous estimons les valeurs d'ajustement suivantes pour les coefficients : $C_T = 3.56$, $C_δ = 7.36$ pour les données expérimentales, et des valeurs similaires ($C_T = 3.58$, $C_δ = 7.50$) pour les simulations numériques (Table 1).

La question suivante est de savoir si ces coefficients sont affectés par les conditions aux limites : surfaces ‘rigides’ ou de type ‘vitesses libres’ et par la condition Boussinesq. Les Figures 9 c, d montrent les trois sets de simulations numériques : conditions aux limites rigides et paramètres du fluide dépendants de la température (carrés vides), conditions aux limites rigides et paramètres du fluid constants (carrées pleins) et conditions aux limites vitesses libres et paramètres du fluid constants (triangles pleins).

Pour des conditions aux limites rigides, l'utilisation des paramètres constants pour le fluide réduit la dispersion des données et les meilleurs ajustements sont obtenus pour $C_T = 3.41$, $C_δ = 7.08$ (Table 1). La différence la plus notable se trouve entre les conditions aux limites rigides et vitesses libres : la température adimensionnée est toujours plus petite pour condition vitesses libres (free-slip) et le coefficient d'ajustement est de $C_T = 2.49$, en accord avec Parmentier and Sotin (2000). Autrement dit, $C_T$ pour la condition vitesses libres est 37 % inférieure à la valeur obtenue pour la condition rigide, et $C_δ = 5.90$ est de 22 % inférieure. Nous remarquons également que les lois d'échelle sont valables pour des valeurs très faibles de $Ra_H \sim 6 \times 10^4$, pour lesquelles la convection est indépendante de temps, jusqu'à la plus grande valeur explorée ($Ra_H = 10^9$).

### 2.4.2 Application planétaire : température potentielle du manteau pour la Terre et Vénus

Ces lois d'échelle peuvent être utilisées pour estimer la température potentielle du manteau dans les planètes telluriques dominées par la convection à chauffage interne. Nous sommes conscients que notre analyse ignore la dépendance des propriétés du manteau en fonction de la profondeur et de la température, mais il est intéressant de vérifier si ces lois l'échelle sont pertinentes pour la Terre et Vénus. Ces deux planètes telluriques partagent de nombreuses similarités, mais les conditions aux limites mécaniques diffèrent, car il n'y a pas de tectonique des plaques active sur Vénus.

Pour la Terre, la quantité totale de chaleur qui génère la convection est connue : $Q = 38 \pm 2$ TW (Jaupart et al., 2015). En utilisant les paramètres de la Table 2 nous obtenons $Ra_H = 3 \times 10^9$ et $\Delta T_H = 10^5$ K. $\Delta T_{TBL}$ est calculée selon l'équation (5) pour les valeurs de $C_T$ déterminées précédemment, les valeurs de $C_T$ basses (condition vitesses libres) sont plus adaptées à la lithosphere océanique pendant que les valeurs hautes $C_T$ (condition rigide) s'appliquent aux continents. La Figure 10 illustre la dependence de la température potentielle en fonction du coefficient $C_T$ indiquant une tendance croissante de free-slip à rigid. Les rectangles repré-
<table><caption>TABLE 2 – Les paramètres utilisés dans l'estimation pour la Terre et Venus. (Limare et al., 2015c)</caption><thead><tr><th>Paramètres</th><th>Terre</th><th>Venus</th></tr></thead><tbody><tr><td>Coefficient d'expansion thermique (K<sup>-1</sup>)</td><td>3 × 10<sup>-5</sup></td><td>3 × 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>Conductivité thermique (W K<sup>-1</sup> m<sup>-1</sup>)</td><td>3</td><td>3</td></tr><tr><td>Diffusivité thermique (m<sup>2</sup> s<sup>-1</sup>)</td><td>10<sup>-6</sup></td><td>10<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>Densité moyenne du manteau (kg m<sup>-3</sup>)</td><td>4000</td><td>3500</td></tr><tr><td>Viscosité (Pa s)</td><td>10<sup>21</sup></td><td>10<sup>21</sup></td></tr><tr><td>Acceleration gravitationnelle (m s<sup>-2</sup>)</td><td>9.81</td><td>8.87</td></tr><tr><td>Température de surface (°C)</td><td>0</td><td>462</td></tr><tr><td>Profondeur du manteau (km)</td><td>2890</td><td>2932</td></tr><tr><td>Chauffage radioactive de la partie silicatée (TW)</td><td>19</td><td>16</td></tr><tr><td>Chauffage radioactive de la croute (TW)</td><td>8</td><td>(?)</td></tr><tr><td>Chauffage radioactive du manteau (TW)</td><td>9-17</td><td>(?)</td></tr><tr><td>Refroidissement séculaire actuel (TW)</td><td>1-29</td><td>(?)</td></tr><tr><td>Flux de chaleur provenant du noyau (TW)</td><td>5-17</td><td>3-14</td></tr><tr><td>Chaleur totale Q (TW)</td><td>38±2</td><td>3-30</td></tr></tbody></table>

sentent les estimations des températures potentielles océaniques (1280-1450 °C) (McKenzie and Bickle (1988); Putirka et al. (2007); Jaupart et al. (2007)) et en dessous des continents (1450-1550 °C) (Jaupart and Mareschal, 2011). Ces deux domaines de température se superposent bien sur nos estimations, prouvant que une loi d'échelle simple est capable de décrire l'état thermique actuel de la Terre.

La Figure 10 illustre la dependence de la température potentielle en fonction du coefficient $C_T$ indiquant une tendance croissante de free-slip (vitesses libres) à rigide. Les rectangles représentent les estimations des températures potentielles océaniques (1280-1450 °C) (McKenzie and Bickle (1988); Putirka et al. (2007); Jaupart et al. (2007)) et en dessous des continents (1450-1550 °C) (Jaupart and Mareschal, 2011). Ces deux domaines de température se superposent bien sur nos estimations, prouvant qu'une loi d'échelle simple est capable de décrire l'état thermique actuel de la Terre.

La condition limite de surface sur Vénus peut alterner entre ‘rigide’, comme aujourd’hui, et ‘vitesses libres’ pendant de courtes périodes de resurfaçage (Turcotte, 1995; Armann and Tackley, 2012). Contrairement à la Terre, la source de chaleur totale du manteau est mal contrainte (3-30 TW, Table 2). La source de chaleur radiogénique de la partie silicatée, calculée à partir de celle de la Terre est de 16 TW (Smrekar and Sotin, 2012). La partie se trouvant dans la croute reste inconnue; bien que les 5 mesures réalisées par les missions Vega et Venera aient indiqué des concentrations en éléments radioactifs similaires à celles trouvées dans les basaltes de rides ou des îles volcaniques océaniques (Turcotte, 1995). Cela implique une teneur en éléments radioactifs non-négligeable générant une quantité de chaleur qui ne contribue pas à la convection mantéllique. La source de chaleur venant du noyau estimée par Nimmo (2002) est de 1.2-3.7 TW. Elle pourrait être beaucoup plus grande (3-14 TW), si recalculée avec les nouvelles données de conductivité thermique proposées par Gomi et al. (2013).

Etant donné ces incertitudes, nous avons calculé la température potentielle de Vénus sur un domaine très large de sources de chaleur qui contribue à la convection : 3-30 TW (Figure 10b). Pour une condition limite de surface rigide ($C_T$= 3.4, ligne pleine, noire), la température potentielle est plus importante ($C_T$= 2.5, ligne tiretée, noire). Une température potentielle haute pourrait signifier une quantité non négligeable de roche partiellement fondue en dessous de la couche limite thermique. Pour vérifier cette hypothèse, nous avons calculé la température de solidus pour la peridotite sèche à la pression correspondante à la profondeur de la
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 10 – (a) Estimation de la température potentielle de la Terre à partir des lois d’échelle, en fonction du coefficient $C_T$. La ligne continue a été obtenue pour une chaleur totale de $Q = 38$ TW, et les lignes tiretées pour $Q = 38 \pm 2$ TW. Les rectangles représentent les estimations des températures potentielles océanique et continentale (McKenzie and Bickle, 1988; Putirka et al., 2007; Jaupart et al., 2007; Jaupart and Mareschal, 2011). (b) Estimation de la température potentielle de Venus à partir de la loi d’échelle pour des conditions aux limites rigides (ligne continue) et free-slip (ligne tiretée), en function de la source totale de chaleur du manteau. Les courbes en rouge représentent la température de solidus à une pression correspondante à la profondeur de la couche limite thermique : rigide (ligne continue) and free-slip (ligne tiretée). (Limare et al., 2015c)</figcaption></figure>

couche limite thermique. L’équation (6) donne une profondeur de la couche limite thermique de l’ordre de 5-140 km pour la condition de surface de type vitesses libres et 90-170 km pour une condition rigide. Les températures solidus correspondantes sont indiquées en rouges dans la Figure 10b. Dans le cas ‘vitesses libres’ la fusion partielle apparaît pour une source de chaleur mantellique >19 TW, alors que pour le cas ‘rigide’, la fusion partielle commencerait à partir de >14 TW. Cela voudrait dire qu’un changement de condition en surface de ‘vitesses libres’ à ‘rigide’ favoriserait l’apparition de la fusion partielle, car l’augmentation de la température potentielle est plus forte que l’augmentation de la température du solidus produite par l’épaississement de la couche limite thermique.

## 2.5 Caractéristiques des instabilités froides

Dans un fluide chauffé dans le volume, les instabilités froides se présentent sous forme d’entités discrètes caractérisées par un écart important de température par rapport à la température moyenne. La description complète des différents motifs de convection, ainsi que la procédure automatique mise en place pour la detection des instabilités froides sont données dans le deuxième papier reproduit en annexe (Vilella et al., 2018).

Nous nous concentrons donc sur ces instabilités froides pour décrire la convection et déterminer certaines de leurs caractéristiques, tels que le nombre moyen par unité de surface (N), la section transversale horizontale($A_i$), la température moyenne ($\Delta T_i$) et la vitesse verticale ($W_i$). Les valeurs ont été adimensionnées en utilisant $h^2$ pour l’aire, $Hh^2/\lambda$ pour la température et $\kappa/h$ pour la vitesse et montrées dans la Figure 11.

Pour faciliter les comparaisons et pour évaluer les sensibilités des paramètres en fonction
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 11 – Dependence : (a) du nombre d'instabilités per unité d'aire (Nh²), (b) de leur aire moyenne (Aᵢ/h²), (c) de leur contraste de température (ΔTᵢλ/Hh²), (d) de leur vitesse verticale moyenne (Wᵢh/κ) à mi-hauteur en fonction du nombre de Rayleigh-Roberts (RaH). Résultats pour condition ‘vituesses libres’ (rouge) et ‘rigide’ (noir). Les lignes représentent les meilleurs ajustements avec les lois puissance prédites par l’analyse dimensionnelle de la Section 2.5.1. Les paramètres de fit correspondants se trouvent dans la Table 3. (Vilella et al., 2018)</figcaption></figure>

de RaH, nous avons déterminé des lois puissance de type :

$$N = C_N(1/h^2)Ra_H^{\beta_N}, \qquad (7)$$

$$A_i = C_A h^2 Ra_H^{\beta_A}, \qquad (8)$$

$$\Delta T_i = C_T(Hh^2/\lambda)Ra_H^{\beta_T}, \qquad (9)$$

$$W_i = C_W(\kappa/h)Ra_H^{\beta_W}, \qquad (10)$$

où C_N, C_A, C_T et C_W sont des constantes de proportionnalité et β_N, β_A, β_T et β_W les exposants des lois puissance. Les valeurs pour ces coefficients dans le régime qui depend du temps (RaH grand) se trouvent dans la Table 3. Dans la section suivante nous allons utiliser des arguments simples d'analyse dimensionnelle pour determiner les exposants.

### 2.5.1 Lois d'échelle

Cette analyse s'applique uniquement au régime dépendant du temps. Nous supposons que l'anomalie de température des instabilités froides ΔTᵢ est proportionnelle à la température de
la couche limite thermique, $\Delta T_{TBL} \sim (Hh^2/\lambda)Ra_H^{-1/4}$ (5). Ceci implique $\beta_T = -1/4$, valeur proche de celle déterminée empiriquement (Table 3, Figure 11c).

Nous considérons que chaque panache transporte la chaleur venant d'une aire élémentaire $\Delta S$ inversement proportionnelle au nombre d'instabilités par unité de surface

$$Q = q\Delta S = Hh\Delta S \sim \frac{Hh}{N}, \qquad (11)$$

où $q = Hh$ est le flux de chaleur à travers la surface supérieure. Les instabilités froides sont définies par l'anomalie de température $\Delta T_i$ par rapport à la moyenne et par leur aire caractéristique $A_i$ :

$$W_i \sim \frac{\rho g \alpha \Delta T_i A_i}{\mu}. \qquad (12)$$

La conservation de l'énergie implique

$$Q \sim \rho C_p W_i \Delta T_i A_i, \qquad (13)$$

où $C_p$ est la chaleur spécifique. En combinant (12) et (13), nous obtenons

$$W_i \sim \left( \frac{\kappa \rho g \alpha Q}{\mu \lambda} \right)^{1/2}, \qquad (14)$$

est la vitesse dans le conduit d'un panache laminaire (Batchelor, 1954). Nous remarquons que cette échelle de vitesse ne dépend ni de l'anomalie de température ni de son aire. En introduisant (11) dans l'échelle de vitesse (14) et les lois puissance pour $N$ (7) et $W_i$ (10), nous obtenons

$$2\beta_W = 1 - \beta_N. \qquad (15)$$

De la même façon, en substituant (11) dans (13), nous obtenons

$$0 = \beta_N + \beta_A + \beta_T + \beta_W \qquad (16)$$

Ces deux relations sont vérifiées par les valeurs de la Table 3 en tenant compte des incertitudes. Dans le régime laminaire, l'aire d'une instabilité froide est donnée par l'équilibre entre l'advection de chaleur verticale et la diffusion horizontale :

$$A_i \sim \frac{\kappa z}{W_i}, \qquad (17)$$

où $z$ est la distance par rapport à la source, prise ici comme la distance à la couche limite thermique. Pour la vitesse à mi-hauteur ($z=h/2$), $A_i \sim \frac{\kappa h}{W_i}$, et donc $\beta_A = -\beta_W$. En utilisant (16), nous pouvons déduire que $\beta_T = -\beta_N$. Les deux relations sont bien vérifiées par les données dans la Table 3.

En substituant $\beta_T = -1/4$, nous obtenons $\beta_W = 3/8$, $\beta_A = -3/8$ et $\beta_N = 1/4$. Ces exposants nous permettent d'obtenir d'excellents ajustements pour les constantes de proportionnalité (Table 3).

### 2.5.2 Implications pour la convection dans des corps planétaires

Nos simulations numériques montrent l'effet important des conditions aux limites mécaniques sur les caractéristiques des instabilités froides : pour un régime donné et un $Ra_H$ donné, les panaches sont nettement plus froids, plus étroits et plus distancés si la condition aux limites est de type ‘vitesses libres’ plutôt que ‘rigide’. Les quatre lois d'échelle déterminées ci-dessus, avec les lois d'échelle pour la température et l'épaisseur de la couche limite thermique (Section 2.4.1) et pour la température moyenne et la température en bas de la
<table><caption>TABLE 3 – Paramètres de fit des lois puissance pour les paramètres caractéristiques des instabilités froides en fonction du nombre Rayleigh-Roberts (Ra<sub>H</sub>), pour Ra<sub>H</sub> ≥ 6.8 × 10<sup>5</sup>. (Vilella et al., 2018)</caption><thead><tr><th>Propriété</th><th>Conditions aux limites</th><th>Exposant libre</th><th>Exposant fixe</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Nh<sup>2</sup></td><td>free slip</td><td>0.0410(±0.0060) Ra<sub>H</sub><sup>0.244(±0.009)</sup></td><td>0.0375(±0.0008) Ra<sub>H</sub><sup>1/4</sup></td></tr><tr><td>rigid</td><td>0.0226(±0.0047) Ra<sub>H</sub><sup>0.309(±0.012)</sup></td><td>0.0598(±0.0060) Ra<sub>H</sub><sup>1/4</sup></td></tr><tr><td rowspan="2">A<sub>i</sub>/h<sup>2</sup></td><td>free slip</td><td>7.594(±1.864) Ra<sub>H</sub><sup>-0.343(±0.015)</sup></td><td>12.73(±0.763) Ra<sub>H</sub><sup>-3/8</sup></td></tr><tr><td>rigid</td><td>8.772(±3.719) Ra<sub>H</sub><sup>-0.328(±0.025)</sup></td><td>19.19(±1.770) Ra<sub>H</sub><sup>-3/8</sup></td></tr><tr><td rowspan="2">ΔT<sub>i</sub>λ/Hh<sup>2</sup></td><td>free slip</td><td>3.407(±0.137) Ra<sub>H</sub><sup>-0.242(±0.002)</sup></td><td>3.875(±0.053) Ra<sub>H</sub><sup>-1/4</sup></td></tr><tr><td>rigid</td><td>4.604(±0.154) Ra<sub>H</sub><sup>-0.231(±0.002)</sup></td><td>6.294(±0.199) Ra<sub>H</sub><sup>-1/4</sup></td></tr><tr><td rowspan="2">W<sub>i</sub>h/κ</td><td>free slip</td><td>1.319(±0.073) Ra<sub>H</sub><sup>0.370(±0.003)</sup></td><td>1.216(±0.013) Ra<sub>H</sub><sup>3/8</sup></td></tr><tr><td>rigid</td><td>1.504(±0.116) Ra<sub>H</sub><sup>0.331(±0.005)</sup></td><td>0.732(±0.053) Ra<sub>H</sub><sup>3/8</sup></td></tr></tbody></table>

couche (Vilella et al., 2018), nous permettent de determiner toutes les caractéristiques de la convection si Ra<sub>H</sub> est connu.

Pour les applications géophysiques / planétologiques, cependant, cela peut ne pas être applicable, en partie parce que le calcul du nombre de Rayleigh-Roberts comporte de nombreuses incertitudes et en partie parce que d'autres facteurs entrent en jeu, telles que de grandes variations des propriétés physiques en fonction de la température et de la pression et de la présence de continents et d'océans à la surface de la Terre. Il peut donc être plus utile d'adopter une perspective différente. Toutes les variables d'intérêt forment ici un ensemble cohérent, de sorte que la connaissance de l'une d'entre elles conduit à des estimations pour toutes les autres.

Dans les planètes telluriques avec un manteau solide, il est plus facile d'obtenir des informations sur la structure de la couche limite supérieure que sur les caractéristiques de l'écoulement en profondeur. Par rapport à la convection Rayleigh-Bénard, la présence des sources de chaleur internes impliquent une relation différente entre les instabilités froides et la couche limite thermique. Dans la convection Rayleigh-Bénard pour des valeurs importantes de Ra (≈ 10<sup>5</sup>), la vitesse vericale moyenne W<sub>RB</sub> et l'épaisseur de la couche limite thermique δ<sub>RB</sub> varient comme (κ/h)Ra<sup>2/3</sup> et hRa<sup>-1/3</sup>, respectivement (Turcotte and Oxburgh, 1967; Galsa and Lenkey, 2007). Il faut noter que ces relations pourraient ne pas être valables si Ra > 10<sup>7</sup> (e.g., Zhong, 2005). Nous pouvons déduire que :

$$W_{RB} \sim \frac{\kappa}{h} \left( \frac{\delta_{RB}}{h} \right)^{-2}. \qquad (18)$$

Dans une couche chauffée dans le volume nous obtenons :

$$W_i \sim \frac{\kappa}{d} \left( \frac{\delta}{h} \right)^{-3/2}. \qquad (19)$$

Autrement, nous pourrions établir des relations entre la vitesse et la différence de température à travers la couche limite car il peut être plus facile d'obtenir des contraintes de température que d'épaisseur dans certains cas. Le point clé est toutefois le même : la relation entre les panaches froids et la structure de la couche limite est fondamentalement différente pour les systèmes de Rayleigh-Bénard et les systèmes à chauffage interne.
## 2.6 Travaux en cours et perspectives

### Refroidissement et cristallisation d'un l'océan de magma

Ces travaux concernent la thèse de Cyril Sturtz démarrée en 2018, que je co-encadre avec Edouard Kaminski et Steve Tait. À la fin de l'accrétion, la température des planètes rocheuses est suffisamment élevée pour que leur manteau soit en grande partie fondu, formant ainsi un océan de magma homogène. En raison du refroidissement convectif rapide, l'océan de magma se solidifiera rapidement, produisant des cristaux de silicate en suspension dans une phase liquide de silicate. Le but ici est d'étudier expérimentalement le comportement d'un tel mélange, en particulier pour comprendre comment les cristaux influencent la convection, sont entraînés par convection et éventuellement re-déposés si le rapport relatif de densité change. Nous nous plaçons donc dans une configuration de convection avec chauffage interne, car elle présente des caractéristiques similaires au refroidissement séculaire, et très différentes de la convection Rayleigh-Bénard comme nous l'avons vu dans la section précédente.

Nous nous concentrons d'abord sur la configuration où les cristaux sont initialement plus légers que le fluide (Figure 12a), formant une couche flottante de particules au-dessus de l'océan de magma liquide, comme cela peut être le cas lors de la formation de la croûte anorthosite lunaire (Warren, 1985). Lors du chauffage et du démarrage de la convection, les particules sont mises en suspension dans le fluide (Figure 12b). Lorsque la masse volumique des particules dans le volume excède celle du fluide, il peut y avoir dépôt en bas de la cuve (Figure 12c). Pour interpreter les données de mise en suspension des particules et leur éventuel depot nous allons determiner les caractéristiques de la convection à partir des mesures de température et de vitesse en situ, et proposer une approche théorique basée sur un bilan d'énergie (Solomatov and Stevenson, 1993; Lavorel and Le Bars, 2009).

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 12 – Exemple d'image d'un plan laser prise lors d'une expérience de convection avec chauffage interne à trois instants de temps différents : (a) état initiale d'un fluide isotherme chargé en particules plus légères que le fluide, (b) état intermédiaire où les particules sont mises en suspension par la convection dans le fluide, (c) avec la progression du chauffage, la masse volumique des particules dans le volume excède celle du fluide ; il y a dépôt en bas de la cuve. (Travaux de thèse Cyril Sturtz)</figcaption></figure>
## 3 Convection à chauffage interne dans un milieu hétérogène

A présent, les mouvements de convection dans le manteau s'organisent sur deux échelles spatiales radicalement différentes. Le motif de convection dominant est formé par des zones de subduction qui s'étendent sur des grandes longueurs en bordure des plaques océaniques, où la lithosphere océanique s'enfonce dans le manteau. Ces panneaux plongeants sont associés à des vitesses sismiques positives et peuvent être suivis jusqu'à des fortes profondeurs dans le manteau (van der Hilst and Kárason, 1999). L'écoulement de retour a lieu au niveau des dorsales et n'est pas associé à une anomalie sismique profonde, indiquant que l'écoulement est de nature passive (Ritsema et al., 2011). Ce sont des caractéristiques de la convection avec chauffage interne et refroidissement par le haut dominée par des instabilités provenant d'une seule couche limite thermique en surface (Roberts, 1967; Kulacki and Goldstein, 1972; Parmentier et al., 1994; Goluskin, 2016; Vilella et al., 2018). Dans la Terre il y a également un nombre de panaches qui alimentent les volcans intraplaque de type 'points chauds'. Certains de ces points chauds se trouvent au dessus des anomalies sismiques negatives qui s'étendent jusqu'à la limite noyau/manteau (Montelli et al., 2006; French and Romanowicz, 2015), alors que d'autres points chauds ont comme origine les bords de ces grandes structures (Torsvik et al., 2006; Deschamps et al., 2012a; Garnero et al., 2016; Li et al., 2017). Les vitesses des ondes sismiques sont anormalement basses dans deux grandes régions nommées large low-shear-velocity provinces (LLSVPs) et peuvent être difficilement expliquées par des anomalies purement thermiques (Lekic et al., 2012; Cottaar and Lekic, 2016; Garnero et al., 2016).

Le manteau terrestre est chimiquement hétérogène (Hofmann, 2003; Gale et al., 2013) car la croûte continentale a été extraite du manteau, ce qui a laissé un résidu qualifié d'appauvri. La croûte continentale étant un concentré d'uranium, de thorium et de potassium, l'appauvrissement du manteau reflète plutôt l'impact de la formation de la croûte sur le manteau. Un deuxième type de matériau mantéllique peut être hérité des premiers processus planétaires et proviendrait de la cristallisation de l'océan de magma primordiale (Labrosse et al., 2007). Cela suppose que les sources de chaleur internes du manteau ne sont pas distribuées uniformément (Kellogg et al., 1999; Turcotte et al., 2001; Javoy and Kaminski, 2014).

La présence de matériel primordial avec une production de chaleur supérieure à la moyenne en bas du manteau constitue une source de chaleur capable de générer des panaches. Ainsi, les panaches de manteau peuvent être dûs à la chaleur provenant du noyau ainsi qu'à la chaleur produite dans un réservoir basal. La discrimination entre ces deux contributions est importante car elles dépendent des paramètres différents et ne sont pas susceptibles de suivre la même évolution dans le temps. Le flux de chaleur qui sort du noyau dépend du couplage thermique avec le manteau et a probablement changé avec le temps. Sur une planète initialement bien mélangée thermiquement, par exemple, ce flux de chaleur aurait été nul au départ.

La présence de sources de chaleur distribuées dans le volume a joué un rôle important dans l'évolution thermique de la Terre. Leur distribution influence l'écoulement et l'écoulement modifie la distribution des sources de chaleur. La convection induit le mélange, de sorte que la forme de l'écoulement, la distribution des sources de chaleur et la structure thermique évoluent continuellement. Le mélange a lieu par deux processus différents, le repliement d'un fluide sur l'autre et l'arrachement des fins filaments à l'interface (Olson and Kincaid, 1991). Ce dernier processus fonctionne à très petite échelle et présente un grand défi pour les simulations numériques, comme le démontre par exemple Van Keken et al. (1997); Zhong et al. (2008); Deschamps and Tackley (2008, 2009); Puckett et al. (2018). Ces phénomènes ont été étudiés en laboratoire à l'aide de notre nouveau montage expérimental basé sur les micro-ondes pour la convection à chauffage interne. Cette étude a impliqué un post-doc (Loic Fourel) et une stagiaire L3 de ENS Cachan (Marouchka Froment).
## 3.1 Nombres sans dimension contrôlant la convection hétérogène avec chauffage interne

Nous avons suivi l'évolution de la convection et du mélange dans un fluide initialement stratifié constitué de deux couches de propriétés physiques et sources de chaleur différentes, situées au-dessus d'une base adiabatique. Par analogie au manteau terrestre, la couche supérieure est plus épaisse et appauvrie en sources de chaleur par rapport à la couche inférieure. La surface supérieure est maintenue à une température constante. Les deux fluides ont des coefficients de dilatation thermique, des conductivités thermiques et des capacités thermiques identiques, comme dans le manteau terrestre, où les petites variations de composition existantes n'ont vraisemblablement pas d'impact significatif sur ces propriétés. En revanche, les valeurs de viscosité et les taux de production de chaleur interne dans les matériaux du manteau sont très sensibles à la présence des fluides (eau, fusion partielle) et d'éléments radioactifs, respectivement. Les propriétés rhéologiques des roches du manteau dépendent également de la pression, de la contrainte, de la taille des grains et de la composition minérale, mais ces effets seront ignorés ici pour des raisons de simplicité. Nous considérons donc deux fluides qui diffèrent par leurs densités intrinsèques, leurs viscosités et leurs taux de production de chaleur. Les nombres sans dimensions pour le système global sont ceux définis dans la section précédente : le nombre de Rayleigh-Roberts Ra<sub>H</sub> (4) et le nombre de Prandtl Pr (2) qui peut être considéré comme infini. Le système bi-couche est caractérisé par quelques nombres sans dimensions supplémentaires.

Les indices 1 et 2 se réfèrent à la couche inférieure et supérieure, respectivement. Les équations d'état sont :

$$ \rho_i = \rho_{io} [1 - \alpha (T - T_o)], \quad (20) $$

où $i = 1, 2$ correspondent à chaque fluide. La température de référence $T_o$ est celle de la surface supérieure, et sera considérée 0. Chaque fluide occupe une épaisseur $h_1$ et $h_2$, avec $h = h_1 + h_2$. Nous définissons le rapport d'épaisseur $a = h_1/h$ qui est donc la fraction volumique du fluide d'en bas et qui représente une variable de contrôle, même si la structure stratifiée à été altérée par la convection et le mélange. Les taux de production de chaleur sont $H_1$ et $H_2$ et la production de chaleur totale satisfait l'équation :

$$ Hh = H_1h_1 + H_2h_2. \quad (21) $$

Nous définissons le rapport d'enrichissement :

$$ F = \frac{H_1}{H}. \quad (22) $$

et le rapport de viscosités :

$$ \gamma = \frac{\mu_1}{\mu_2}. \quad (23) $$

Le dernier nombre sans dimension qui caractérise le système est le nombre de flottabilité (i.e. le rapport entre l'anomalie de masse volumique de nature chimique qui stabilise le système et l'anomalie de masse volumique thermique qui tend à déstabiliser le système). Nous allons considerer $(\rho_{1o} - \rho_{2o})$ qui est la différence de masse volumique intrinsèque causée par la différence de composition, par rapport à la différence de masse volumique qui dépend de température et de composition, et nous définissons le nombre de flottabilité $B$ :

$$ B = \frac{\rho_{1o} - \rho_{2o}}{\rho\alpha\Delta T} = \frac{\Delta\rho}{\rho\alpha\Delta T}, \quad (24) $$

où $\Delta T$ est l'échelle de température pour le contraste de température entre les deux couches. Par rapport à la convection Rayleigh-Bénard, cette échelle de température n'est pas fixée
et change avec la progression du melange. L'échelle de température pour le contraste de température est déterminée à l'état d'équilibre en conduction :

$$ \Delta T = \overline{\Delta T_1} - \overline{\Delta T_2} = \frac{1}{6} \Delta T_H (1 - a + 2aF), \qquad (25) $$

et depend de l'échelle de température imposée par le chauffage interne global $\Delta T_H$ (3), le rapport d'épaisseur $a$ et le facteur d'enrichissement $F$. En pratique, ce contraste de température est différent de celui qui s'établit lorsque le système entre en convection ; un contraste de température 'effectif' ($T_{12}$) lequel, nous allons voir, est lié à $\Delta T$ (Table 5).

Nous nous appuyons sur notre nouvelle configuration expérimentale spécialement conçue pour étudier la convection due aux sources de chaleur internes (Figure 5) dans laquelle nous avons implémenté de nouvelles techniques de mesure spécialement dédiées à l'étude de la convection hétérogène. La description complète de chacune de ces techniques et des précisions associées se trouvent dans Fourel et al. (2017). Nous avons effectué 38 expériences dans lesquelles nous avons varié de manière indépendante les nombres sans dimension qui caractérisent le système convectif hétérogène. Ceci a été possible par la fabrication in situ des fluides expérimentaux, car nous maîtrisons le contrôle indépendant de chacune des propriétés du fluide : densité, viscosité, absorption de radiation MW (Surducan et al., 2013; Surducan et al., 2015; Fourel et al., 2017). La description complète des propriétés des fluides et des autres conditions expérimentales se trouvent dans Limare et al. (2019a), et dans l'annexe de ce document.

## 3.2 Regimes de convection

La topographie de l'interface qui sépare les deux fluides constitue un marqueur naturel de la structure de l'écoulement et présente un intérêt particulier pour la comparaison avec les images tomographiques du manteau terrestre. La déformation de l'interface est à la fois une conséquence et un moteur des mouvements de convection en raison de la source de chaleur importante confinée dans le fluide inférieur.

Au départ, l'interface est bien définie car elle se caractérise par un changement abrupt de composition. A mesure que le temps passe, un mélange des deux fluides est généré à l'interface, qui devient donc de plus en plus floue. Nous avons détecté l'interface entre les deux fluides en imposant une valeur seuil dans la composition. Etant donné le fort gradient, la position de l'interface est peu sensible à la valeur exacte du seuil. La topographie de l'interface est définie comme la distribution de la hauteur de l'interface et la statistique de cette distribution indique l'existence de deux regime de convection différents. Pour des faibles contrastes de densité, l'interface n'agit pas comme une barrière et se déforme passivement, de sorte que les deux fluides subissent des mouvements de convection à l'échelle de la cuve entière (régime de "dômes"). Pour les valeurs élevées du contraste de densité, l'interface est peu déformée mais le mélange a lieu en raison du cisaillement et de l'arrachement de fins filaments du fluide inférieur (régime dit 'stratifié'). En principe, il convient de faire la différence entre le mélange et le brassage, bien qu'ils fassent partie du même processus dans des fluides miscibles. Les filaments de fluide entraînés sont étirés et amincies, jusqu'à un point où la diffusion devient effective et élimine les différences de composition. Le mélange s'applique à toute cette séquence et le brassage décrit le processus intermédiaire consistant à générer de petites portions d'un fluide transportées par l'autre. Le brassage conduit à des fluides qui sont hétérogènes à échelle locale, mais homogènes à grandes échelles.

### 3.2.1 Le régime stratifié

Le régime stratifié est observé pour des fluides occupant la couche du bas globalement plus denses que dans le régimes de dômes. La morphologie de l'interface présente des rides
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 13 – Instantanée de la structure de convection à trois moments différents t=40 min (a), 100 min (b) et 160 min (c) pour l'expérience # 7 dans le régime stratifié. La figure du milieu montre la topographie de l'interface ; le zones grises précisent les endroits où la couche d'en bas est réduite à zero. Les figures du haut et du bas montrent les distributions de la vitesse verticale moyennée au-dessus et en-dessous de l'interface. Les dimensions spatiale sont en mm (Limare et al., 2019a).</figcaption></figure>

qui sont dues à des courants convergents alimentant les remontées dans le fluide supérieur. Ces rides entourent des bassins, lesquels se creusent graduellement jusqu'à atteindre le bas de la cuve et qui sont associés à des courants descendants.

La figure 13 montre trois instantanés qui indiquent la topographie de la couche inférieure ainsi que la distribution horizontale du champ de vitesse verticale moyenne dans chaque couche pour l'expérience # 7 ($Ra_H=6 \times 10^5$, $B_{cond}=1.1$). Nous avons étudié la statistique de la topographie par la fonction de densité de probabilité (PDF) et la fonction cumulative de densité de probabilité (CDF) (Figure 15a). Afin de caractériser les distributions de la topographie nous avons utilisé la fonction de probabilité Gamma :

$$f(x, k, \theta) = \frac{x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^k} \qquad (26)$$

où Γ est la fonction gamma, θ un facteur d'échelle et k un paramètre. Pour chaque pas de temps nous avons déterminé le paramètre k de la distribution. A t=0min, on s'attend à ce que la distribution cumulative (CDF) soit une fonction échelon, correspondant à une interface parfaitement plate entre les deux couches. La distribution est donc 'normale', qui est le cas limite de la distribution Gamma correspondante à des grandes valeurs de k. Au fur et à mesure que la convection se développe et que la morphologie devient de plus en plus marquée, la distribution change et le paramètre k décroît progressivement d'une valeur initiale de 150 à 10 (t = 40min), puis à 4.5 (t = 100min). Aux temps longs, la distribution est proche d'une distribution 'exponentielle', ce qui est un cas limite de la distribution Gamma pour k = 1 (k=1.2 à t=160min).

### 3.2.2 Le régime de dômes

Nous illustrons les caractéristiques du régime du dôme (Figure 14) à l'aide de l'expérience # 4 ($Ra_H= 10^5$, $B_{cond}=0.8$). Dans ce régime, des grandes structures se développent progressivement sous forme de dômes qui finissent par atteindre le haut de la cuve. En s'élevant à travers la cuve, ces structures perdent de la chaleur mais ne tombent pas aussi facilement
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 14 – Instantanée de la structure de convection à trois moments différents (a) 30 min (b) 60 min and (c) 90 min pour l'expérience # 4 dans le régime de dômes. La figure du milieu montre la topographie de l'interface ; le zones grises précisent les endroits où la couche d'en bas est réduite à zero. Les figures du haut et du bas montrent les distributions de la vitesse verticale moyennée au-dessus et en-dessous de l'interface. Les dimensions spatiale sont en mm (Fourel et al., 2017).</figcaption></figure>

comme dans les expériences de Rayleigh-Bénard de Davaille (1999b); Davaille et al. (2003); Le Bars and Davaille (2004a,b). Ces structures sont constituées d'un fluide avec un taux de production de chaleur supérieur à la moyenne, ce qui maintient une différence de température avec le fluide environnant.

La convection se développe d'abord dans la couche supérieure (Figure 14a, panneau du haut) et agit pour déformer la couche inférieure. A l'intérieur des grands dômes se développe une circulation interne avec un courant ascendant central entouré d'un courant descendant périphérique (visible dans le panneau inférieure de la Figure 14b). Cela contraste avec l'écoulement dans le cas homogène, caractérisée par des courants descendants de faible taille et surtout par un écoulement de retour diffus (Vilella et al., 2018). Ici, les courants ascendants de la couche supérieure sont moins diffus, plus focalisés, et localisés aux bords des dômes (Figure 14 b et c).

La Figure 15b montre la fonction cumulative de densité de probabilité de la topographie qui commence comme une fonction échelon et tend vers une fonction linéaire couvrant l'ensemble de hauteurs. Ces changements reflètent la croissance constante des dômes qui s'étendent sur toute l'épaisseur du réservoir. Nous avons à nouveau ajusté les distributions avec des distributions Gamma, mais les coefficients de correlations des ajustements sont inférieurs à ceux déterminés pour le cas stratifié. Aux temps longs, la distribution est clairement 'uniforme'. Ceci contraste avec le régime stratifié, pour lequel la distribution de hauteur n'est jamais proche de l'uniforme.

Nous avons utilisé la statistique de la topographie pour discriminer entre les deux types de régimes, et les résultats sont présentés dans la Figure 16. Le seuil en *B* séparant les deux régimes varie d'un facteur de seulement 2 sur la large gamme de nombres Rayleigh-Roberts (5 ordres de grandeur). Nous montrons les résultats pour les deux définitions différentes du nombre de flottabilité, mais la valeur $B_{cond}$ n'est probablement pas appropriée car elle repose sur une configuration statique et un régime thermique en conduction. Lorsque la valeur $B_{cond}$ est utilisée, le seuil de flottabilité diminue avec l'augmentation du nombre de Rayleigh-Roberts. Ceci est contre intuitif, car on s'attend à ce que des contrastes de densité intrinsèque
<figure><img src="image_17.png" /></figure>

FIGURE 15 – La fonction de distribution cumulative pour l’expérience # 7 dans le régime stratifié (a), pour l’expérience # 4 dans le régime de dômes (b). Les couleurs correspondent à la progression de la convection de vert à bleu, rouge et noir. Le pas de temps est de 10 min pour l’expérience # 7 et de 5 min pour l’expérience # 4 (Limare et al., 2019a).

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

FIGURE 16 – Diagramme de régimes dans l'espace (Ra<sub>H</sub>, B). Le facteur de flottabilité B est calculé avec l'échelle de température conductive B<sub>cond</sub>=Δρ/(αραΔT) dans (a) et avec le contraste maximum de température B<sub>eff</sub>=Δρ/(ραT<sub>12max</sub>) dans (b). Les symboles triangles et carrés représentent les expériences dans le régime de dômes et stratifié, respectivement. Notez que l'expérience de dômes qui se trouve aux milieu des expériences stratifiées pour B = B<sub>cond</sub> se déplace sur la frontière entre les deux régimes si B = B<sub>eff</sub> (Limare et al., 2019a).

de plus en plus importants soient nécessaires pour stabiliser la couche inférieure lorsque la convection devient de plus en plus puissante. Si on utilise B<sub>eff</sub>, (Figure 16 b) cette anomalie disparait, la frontière entre les deux régimes est caractérisée par les valeurs du nombre de flottabilité dans une plage de 3 à 5, croissante avec B. Une autre remarque importante est que le diagramme de régimes ne depend pas des autres nombres sans dimension excepté B, ce qui rend ce résultat très robuste.

3.3 Structure thermique et progression du melange

L'évolution dans le temps des profils verticaux de température pour l'expérience #21 (Ra<sub>H</sub> = 1.3×10<sup>6</sup>, B<sub>cond</sub>=0.9) est montrée dans la Figure 17, les couleurs indiquent l'évolution dans le temps (de vert à bleu, rouge et noir). L'ajout d'une couche basale plus dense avec une production de chaleur supérieure à la moyenne pourrait s'apparenter à un chauffage par le bas, comme l'indique la présence apparente d'une couche limite thermique épaisse à la base. Ceci n'est pas dû au chauffage par le bas, mais à la couche inférieure fortement déformée.
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 17 - Profils verticaux de la température moyennée horizontalement en fonction du temps pour l'expérience #21. Les profils sont pris toutes les 10 min du vert (0 min) au bleu, rouge et noir (180 min). Les profils tendent vers celui obtenu dans un fluide homogène à l'état stationnaire, avec une petite stratification thermique sous-adiabatique dans le volume. (Limare et al., 2019a)</figcaption></figure>

Nous avons suivi l'évolution temporelle de la convection en utilisant le flux de chaleur en surface $\phi$ et la température moyenne dans le réservoir $\langle T \rangle$ (Figure 18). Les deux variables tendent vers des valeurs stables, notées $\phi_\infty$ et $T_{vol}$, sur une période bien définie, oscillant autour de valeurs constantes, indiquant que le système a atteint un état quasi stationnaire.

À l'état d'équilibre, le flux de chaleur intégré en surface est égal à la quantité totale de chaleur libérée à l'intérieur du réservoir. L'évolution thermique transitoire de l'ensemble du fluide est régie par l'équation du bilan thermique :

$$ \rho c_p h \frac{d\langle T \rangle}{dt} = Hh - \phi, \qquad (27) $$

où $\langle T \rangle$ et $\phi$ sont la température moyennée dans le volume et le flux en surface, respectivement. Cette équation peut également être réécrite comme une équation du flux de chaleur, qui évacue la chaleur produite dans le volume ainsi que la chaleur extraite par le refroidissement séculaire (qui apparaît comme $-\rho c_p \frac{d\langle T \rangle}{dt}$). En normalisant l'équation de conservation de l'énergie par la valeur à l'état stationnaire $T_{vol}$, nous obtenons l'échelle de temps suivante :

$$ \tau = C \frac{h^2}{\kappa} Ra_H^\beta = C \tau_c Ra_H^\beta, \qquad (28) $$

où $\tau_c = h^2/\kappa$ et le temps diffusif correspondant à la hauteur totale du fluide. Toutes ces échelles conduisent à :

$$ \frac{d\langle T^* \rangle}{dt} = 1 - \langle T^* \rangle^{\frac{1}{1+\beta}}, \qquad (29) $$

où $\langle T^* \rangle = \langle T \rangle / T_{vol}$ est la température interne adimensionnée.

En intégrant cette équation, nous trouvons que les valeurs calculées du flux de chaleur et de la température moyenne sont très proches des valeurs mesurées (courbes rouges dans Figure 18). L'évolution de la température et du flux en surface ressemblent à des exponentielles, comme le prouvent les courbes noires dans Figure 18. Ceci nous a permis la constante de temps $\tau_e$ pour chaque expérience.

Nous avons constaté que la structure thermique évolue sur une autre échelle de temps que celle du mélange. Comme indiqué ci-dessus, toutes les expériences aboutissent à une
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 18 – Le flux de chaleur adimensionné (a) et la température moyenne dans le volume (b) en fonction du temps adimensionné par le temps conductif correspondant à la hauteur de la cuve, $τ_c=h^2/κ$, pour l'expérience #21. Les points représentent les données expérimentales, les lignes noires les fits exponentiels et les lignes rouges tiretés, les calculs selon (27, 29).</figcaption></figure>

structure thermique à l'état d'équilibre identique à celle d'un réservoir homogène. Cela ne signifie pas que les deux fluides sont vraiment mélangés au sens chimique, de sorte qu'il n'y a pas de variations de composition à l'échelle locale. Afin de déterminer l'évolution du mélange, nous nous sommes concentrés sur le fluide inférieur et avons mesuré deux variables différentes. L'une est le volume de fluide inférieur séparé du fluide supérieur par une interface bien définie, comme indiqué ci-dessus, et l'autre est la surface occupée par le fluide inférieur à la base du réservoir. Cette dernière permet de suivre la disparition progressive d'une couche inférieure indépendamment du changement de volume, ce qui convient à la Terre car le volume de départ du matériau primordial à la base du manteau est mal contraint. Le volume et la surface du fluide inférieur diminuent continuellement pendant une expérience (Figures 19 a, b). Le mélange / brassage ne commence pas à l'instant $t = 0$ car il faut une différence de température finie entre les couches pour l'initier. Nous avons suivi les changements de structure thermique en fonction du temps en utilisant quatre valeurs de température différentes : les températures moyennes des fluides supérieurs et inférieurs $T_1$ et $T_2$, leur différence $T_{12}$, et la température moyenne en volume pour l'ensemble du réservoir (Figures 19 c, d, e, f, respectivement).

Le volume (Figure 19 a) et la surface (Figure 19 b) du fluide inférieur commencent à s'écarter de leur valeur initiale et vont à zéro à peu près aux mêmes moments. Le début du mélange à un taux significatif est lié aux changements de pente dans les évolutions temporelles de la température moyenne du fluide inférieur $T_1$ (Figure 19 c) et de la différence de température entre les deux fluides $T_{12}$ (Figure 19 e). Les deux températures atteignent leur maximum à peu près au même moment où le mélange progresse. Au fur et à mesure que le fluide supérieur englobe des portions du fluide inférieur, il se réchauffe progressivement. La légère augmentation de la $T_2$ indique l'augmentation de la source interne de chaleur. La progression du mélange est clairement illustrée par un contraste thermique décroissant entre les deux fluides. Comme on pouvait s'y attendre, la différence de température diminue jusqu'à zéro, de la même manière que le volume et la surface du fluide inférieur. Au fur et à mesure que le mélange progresse, la quantité de fluide inférieur diminue progressivement, ce qui favorise l'équilibre thermique avec le fluide supérieur.

## 3.4 Lois d'échelle

Nous avons montré que à l'état stationnaire la température moyenne dans le volume $T_{vol}$ de la cuve et la température qui caractérise la couche limite thermique $\Delta T_{TBL}$, suivent des
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FIGURE 19 – Evolution dans le temps du volume du fluide d’en bas normalisé à sa valeur initiale $V_0$ (a), de l’aire occupée par le fluide d’en bas normalisée à sa valeur initiale $A_0$ (b), la température moyenne du fluide d’en bas $T_1$ (c), et d’en haut $T_2$ (d), le contraste de température moyen entre les deux couches $T_{12}$ (e) et la température moyenne dans le volume entier $\langle T \rangle$ (f) pour l’expérience#21. $t_0$ représente le temp de démarrage du mélange et $t_{end}$ marque la fin d’une couche bien définie en bas de la cuve.
<table><caption>TABLE 4 – Paramètres de fit pour la température moyenne adimensionnée ($T_{vol}/\Delta T_H$) à l'état stationnaire, pour des valeurs élevées du nombre de Rayleigh-Roberts ($Ra_H \ge 10^5$) pour des expériences de laboratoire hétérogènes et homogènes et pour des données numériques (Vilella et al., 2018).</caption><thead><tr><th>Grandeur</th><th>Conditions</th><th>Exposant libre</th><th>Exposant fixé à -1/4</th></tr></thead><tbody><tr><td>T<sub>vol</sub>/ΔT<sub>H</sub></td><td>heterogeneous</td><td>3.27(±1.44) Ra<sub>H</sub><sup>-0.245(±0.037)</sup></td><td>3.51(±0.18) Ra<sub>H</sub><sup>-1/4</sup></td></tr><tr><td>T<sub>vol</sub>/ΔT<sub>H</sub></td><td>homogeneous</td><td>2.07(±1.44) Ra<sub>H</sub><sup>-0.216(±0.036)</sup></td><td>3.38(±0.16) Ra<sub>H</sub><sup>-1/4</sup></td></tr><tr><td>T<sub>vol</sub>/ΔT<sub>H</sub></td><td>numerical, Boussinesq</td><td>/</td><td>3.20(±0.11) Ra<sub>H</sub><sup>-1/4</sup></td></tr></tbody></table>

<table><caption>TABLE 5 – Paramètres de fit pour les lois d'échelle empiriques liant le contraste maximum de température entre les deux couches $T_{12max}$ et le temps d'apparition de ce maximum $\tau_{12max}$ au nombre de Rayleigh-Roberts ($Ra_H \ge 10^5$).</caption><thead><tr><th>Variable</th><th>Exposant libre</th><th>Exposant fixé à -1/4</th></tr></thead><tbody><tr><td>T<sub>12max</sub>/ΔT</td><td>4.86(±4.14) Ra<sub>H</sub><sup>-0.200(±0.043)</sup></td><td>10.05(±0.93) Ra<sub>H</sub><sup>-1/4</sup></td></tr><tr><td>τ<sub>12max</sub>/τ<sub>c</sub></td><td>3.87(±2.17) Ra<sub>H</sub><sup>-0.227(±0.064)</sup></td><td>5.12(±1.15) Ra<sub>H</sub><sup>-1/4</sup></td></tr></tbody></table>

lois d'échelle de type $Ra_H^{-1/4}$, donc sont proportionnelles entre elles.

$$ \frac{T_{vol}}{\Delta T_H} = C Ra_H^{\beta}, \qquad (30) $$

Dans l'état stationnaire, le flux de chaleur convectif en surface évacue toute la chaleur libérée dans la couche. Donc l'équation 30 peut être exprimée comme un équation pour le flux $\phi_\infty$ :

$$ \phi_\infty = \left(\frac{\lambda}{Ch}\right)^{\frac{1}{1+\beta}} \left(\frac{g\alpha\rho h^4}{k\kappa\mu}\right)^{-\frac{\beta}{1+\beta}} T_{vol}^{\frac{1}{1+\beta}}. \qquad (31) $$

Si $\beta = -1/4$, le flux de chaleur en surface $\phi_\infty \propto \Delta T_{TBL}^{\frac{4}{3}}$, ce qui représente la loi bien connue (dite la loi en '4/3') de (Townsend, 1964).

Les paramètres de la loi d'échelle pour la température moyenne sont présentés dans la Table 4.

La constante de temps pour une evolution exponentielle de la température (ligne noire dans Figure 18b) suit également une loi d'échelle avec exposant $-1/4 : \tau_e/\tau_c = 3.00(\pm0.23) Ra_H^{-1/4}$.

Les lois d'échelle pour la température moyenne dans le volume et la constante de temps de son evolution sont les mêmes, en tenant compte des incertitudes, pour les deux cas (homogène et hétérogène). L'implication importante pour les études planétaires est que l'évolution thermique globale d'une planète et sa vitesse de refroidissement à long terme (généralement appelée "refroidissement séculaire") ne sont pas sensibles à la répartition exacte de ses sources de chaleur internes.

Nous avons déterminé l'amplitude maximale du contraste de température $T_{12max}$ et le temps auquel ce maximum a lieu $\tau_{12max}$. Nous avons adimensionné ces valeurs à l'échelle de température conductive $\Delta T$ et au temps conductif $\tau_c$, respectivement. Ces données suivent des lois d'échelle en fonction du nombre de Rayleigh-Robert global $Ra_H$, et les coefficients déterminés par fit se trouvent dans la Table 5. Les exposants ont des valeurs proches de $-1/4$ comme celles obtenues pour la température dans le cas homogène.

Une comparaison entre les deux constantes de temps ($\tau_{12max} \approx 5.1 Ra_H^{-1/4}$ pendant que $\tau_e = 3.0 Ra_H^{-1/4}$) nous apporte une information importante sur l'évolution thermique du
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 20 - Le temps de mélange expérimental en fonction de celui théorique $t_{mixIH}$ calculé à partir de l'équation (32) avec $C_{IH}=0.08$.</figcaption></figure>

système. Au moment où le contraste de température atteint son maximum, la température moyenne $\langle T \rangle$ est à 18% de sa valeur finale. Le système est thermiquement proche de l'état stationnaire, mais le mélange est loin d'être complet. A ce moment, par exemple, le volume du fluide d'en bas est encore à 70% (pour l'exemple illustré par les Figures 19).

Le mélange s'effectue principalement par entraînement de fins filaments d'un fluide dans l'autre, ce qui se produit à l'interface entre les deux fluides. Ainsi, nous pouvons appliquer le même raisonnement que Davaille (1999b), qui a dérivé une relation pour le taux d'entraînement d'une couche plus dense sur la base d'une loi d'échelle pour la contrainte de cisaillement appliquée à l'interface entre deux couches de fluide de convection.

Davaille (1999a) a utilisé comme échelle de température la différence de température entre le bas et le haut du reservoir, qui reste constante lors de la convection Rayleigh-Bénard. Nous ne pouvons pas suivre le même raisonnement car le contraste thermique entre les deux couches change dans le temps et tend vers zéro. Nous avons utilisé le maximum de différence de température et nous obtenons :

$$t_{mixIH} = h_1 \frac{B_{eff}^2}{C_{IH}} \frac{\gamma}{\kappa} \left(1 + \frac{\gamma}{B_{eff}}\right) \left(\frac{\kappa \mu_2}{\alpha \rho g T_{12max}}\right)^{1/3}. \quad (32)$$

Les résultats sont montrés dans la Figure 20 et indiquent un bon accord sur plus de 2 ordres de grandeur pour une constante expérimentale de $C_{IH} = 0.08 \pm 0.01$. Les données montrent une certaine dispersion, qui n'est pas liée ni au régime de convection (i.e. dômes ou stratifié) ni au contraste de viscosité.

Deux expressions asymptotiques montrent l'influence du contraste de viscosité sur le processus de mélange. Si $\gamma \gg 1$ :

$$t_{mixIH} \sim \gamma T_{12max}^{-\frac{4}{3}}. \quad (33)$$

Si $\gamma \ll 1$, le temps de mélange ne depend plus du contraste de viscosité :

$$t_{mixIH} \sim T_{12max}^{-\frac{7}{3}}. \quad (34)$$

## 3.5 Implications pour la Terre

Aujourd'hui, après 4,5 milliards d'années d'évolution, le manteau supérieur est composé de différents composants mélangés en proportions variables entre deux compositions extrêmes,
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 21 - La variation dans le temps du volume (a) et de la température moyenne (b) d'un reservoir enrichi ($h_1$=600km, $F$=3, $\gamma$=10 et $\Delta\rho_0/\rho$=2%)</figcaption></figure>

appelées pour des raisons de commodité, ‘enrichi’ et ‘appauvri’, respectivement. Ici, ‘enrichi’ n’est qu’un terme relatif défini par rapport à ‘appauvri’ (c’est-à-dire qu’il n’implique pas nécessairement enrichi par rapport à la composition de départ). Les composants enrichis sont apportés par des panaches mantelliques provenant de grandes profondeurs.

Nos expériences montrent que, à partir d'un réservoir à deux couches, le fluide supérieur devient un mélange de deux fluides différents sans changements détectables à grande échelle, sauf pour les zones résiduelles de fluide inférieur à la base de la cuve qui s'érodent lentement sous l'effet de panaches.

Ces panaches sont constitués de deux composants : le fluide supérieur, qui est devenu un mélange des fluides inférieur et supérieur initiaux, et le fluide inférieur initial pur (ou faiblement dilué). Traduit en langage géochimique, ces panaches sont donc enrichis par rapport au fluide environnant, mais ils ne sont pas constitués d'un composant primordial pur. A tout moment, ils ne sont pas fabriqués avec exactement les mêmes proportions des deux composants et n'ont donc pas la même composition. Ceci est cohérent avec les données géochimiques, et met en évidence la contribution essentielle des panaches du manteau, qui échantillonnent les matériaux du manteau profond.

Une question importante consiste à savoir si le matériau primordial du manteau peut survivre sur l'âge de la Terre. Cela dépend de nombreuses propriétés physiques qui ne sont pas connues avec précision, telles que la densité intrinsèque du manteau primordial. Comme le temps de mélange dépend principalement des processus à l'interface entre les deux matériaux, indépendamment du mode de chauffage, notre étude ne peut rien ajouter aux analyses précédentes (Davaille et al., 2002) qui ont conclu que le matériau primordial peut en effet survivre pendant des milliards d'années à la base du manteau. Nos résultats conduisent à la même conclusion si les contrastes de viscosité et de densité sont suffisamment importants. La Figure 21 montre comment le volume d'un reservoir enrichi et sa température moyenne évoluent avec le temps pour $h_1$=600km, facteur d'enrichissement $F$=3, rapport de viscosité $\gamma$=10, et un contraste de densité $\Delta\rho_0/\rho$=1%. Les autres paramètres sont : $\alpha$=2 · 10⁻⁵ K⁻¹, $\rho$ = 4300 kgm⁻³, $\mu$ = 10²¹ Pa s. Le nombre de Rayleigh-Roberts correspondant est $Ra_H$=10⁸ et $B_{eff}$=1.2, impitant un régime de dômes. Dans ce calcul, la principale différence avec la configuration du modèle Rayleigh-Bénard est que les échelles de temps et de température ne dépendent pas d'une différence de température fixée arbitrairement entre le haut et le bas du réservoir : elles sont déduites de la quantité totale et de la répartition de la production de chaleur.

Une deuxième question est de savoir si un flux thermique basal est nécessaire pour générer des panaches profonds. Celle-ci est associée à une question subsidiaire : le flux thermique basal
a-t-il toujours été aussi fort qu'aujourd'hui ? Le chauffage du manteau par le bas dépend du refroidissement du noyau, lequel dépend à son tour de l'évolution séculaire du système couplé noyau-manteau. Ainsi, la réponse à la question subsidiaire nécessite un modèle thermique complet de la Terre, qui se trouve en dehors de cette étude. Nous avons cependant montré que les panaches profonds du manteau possédant les caractéristiques requises peuvent être générés par un matériau de manteau inférieur enrichi sans chaleur provenant du noyau.

Les résultats des simulations numériques de l'évolution thermique couplée du manteau/noyau de la Terre sont sensibles à la présence d'une couche basale primordiale initiale et nécessite une telle couche pour reproduire la taille actuelle de la graine (Nakagawa and Tackley, 2005; Nakagawa and Tackley, 2014). Ces études ne prennent pas en compte la production interne de chaleur, et ne visent pas à estimer le mélange. Nos expériences n'incluent pas d'analogue pour le noyau et ont pour but d'illustrer l'éventail des possibilités pour l'évolution du manteau terrestre à travers le temps. Elles montrent que la présence d'une couche basale enrichie conduit à une élévation de la température à la limite manteau/noyau, suivie d'une lente diminution à mesure que le mélange progresse. Pour une application à la Terre, il faut spécifier les conditions initiales, qui sont malheureusement affectées par des grandes incertitudes. Cependant, il est clair que une production de chaleur anormalement élevée dans le manteau inférieur réduit inévitablement le refroidissement du noyau, ce qui pose un problème pour le fonctionnement de la géodynamo.

## 3.6 Travaux en cours et perspectives : Terre primitive et hétérogénéités du manteau

### 3.6.1 Etude numérique du mélange

Alors que le chauffage interne par radioactivité représente la plus grande source de chaleur dans la Terre, il reste peu étudié par rapport au chauffage par le bas. Le chauffage par le bas est en effet une condition aux limites bien définie et plus facile à contrôler, à la fois dans les modèles numériques et analogiques. Inversement, le chauffage interne représente une caractéristique complexe du système convectif en raison de sa variabilité spatiale et temporelle. Au cours du temps, alors que le corps convectif se refroidit par convection, les éléments radioactifs se désintègrent et imposent une deuxième échelle de temps à l'évolution du système. De plus, dans un système chimiquement hétérogène comme la Terre, les éléments radioactifs sont redistribués au cours du temps en fonction du degré de mélange entre les différents réservoirs mantelligues, et contrôlent en retour la dynamique de ces réservoirs.

Les méthodes numériques permettant de prendre en compte de tels couplages spatio-temporelles entre évolution chimique et thermique sont particulièrement complexes (Van Kenken et al., 1997; Zhong et al., 2008; Tackley, 2012; Puckett et al., 2018; Samuel, 2018). En revanche, elles donnent accès à une plus grande flexibilité pour imposer certaines conditions (conditions aux limites, transitions de phase, rhéologies spéciales...).

Dans cette étude nous allons utiliser le logiciel libre Basilisk développé à l'Institut ∂'Alembert, qui permet de résoudre des équations différentielles en volume fini (Popinet, 2003). Nous nous proposons de réaliser une modélisation numérique des mouvements de convection en présence d'une hétérogénéité caractérisée par un taux de production de chaleur dans le volume différent de celui du fluide environnent et étudier la dynamique du mélange. La validation du code se fera en comparant ces simulations aux résultats expérimentaux (Limare et al., 2019a). Cette étape est essentielle avant de compléxifier le modèle numérique afin donner un cadre géodynamique à l'interpretation des observations géophysiques.

En collaboration avec Stéphane Popinet de l'Institut ∂'Alembert nous avons proposé un sujet de stage M2, qui éventuellement pourrait devenir un sujet de thèse. Cette étude a démarré avec le stage de Alexandre Vierron, M1, effectué au printemps/été 2019 et qui,
dans un premier temps, a utilisé l'algorithme Volume-of-Fluid (VOF) dans une configuration hétérogène Rayleigh-Bénard 2D. VOF permet le suivi de l'interface entre les deux fluides à chaque pas de temps, tout en conservant le volume sans diffusion. En revanche, la méthode VOF ne nous a pas permis de caractériser le mélange, car la fraction entrainée est dépendante du maillage. Dans ce type d'algorithme, il manque un paramètre physique pour dimensionner la taille des gouttes afin de la rendre insensible du maillage. Il est donc essentiel d'introduire la diffusion chimique qui va régir la taille de ces gouttes mais cela aura une conséquence bien identifiée : la discrétisation de l'équation d'advection-diffusion va produire une diffusion numérique. Il est donc nécessaire de trouver un moyen qui nous permettrait de compenser les effets de la diffusion numérique et donc de caractériser le mélange.

### 3.6.2 Terre primitive

Nous avons demandé un financement Labex de type Frontier : "Multidisciplinary investigation of the deep Earth" (avec J Badro, J Aubert, M Landeau, B Romanowicz, H Samuel, J Siebert, F Moynier, J Wong et C-E Boukaré). Dans ce projet j'interviendrai en particulier dans trois directions :

#### Solidification de l'océan de magma : mais où sont les radiogéniques ?

Les processus à l'oeuvre au début de la Terre ont été en grande partie efficaces par l'évolution ultérieure due à la convection mantellique. Cependant, certaines traces peuvent persister dans la Terre profonde, comme en témoigne la sismologie. Les caractéristiques sismiques des zones à vitesse de propagation ultra-basse (Ultra Low Velocity Zones ULVZ) peuvent être expliquées par la présence de matériau riche en Fe (Wicks et al., 2010) ou partiellement fondu (Yuan and Romanowicz, 2017).

Labrosse et al. (2007) ont proposé que le manteau cristallise à partir d'une certaine profondeur, à la fois vers le haut et vers le bas, avec deux océans magmatiques coexistant dans la Terre primitive, un en surface, et un au fond du manteau, nommé basal magma ocean (BMO). Des modèles récents combinant des calculs *ab initio* de la densité des cristaux et de la phase liquide à des nouveaux résultats de coefficients de partition HT-HP semblent indiquer que le BMO s'étendait probablement sur une grande profondeur du manteau, qu'il était enrichi en Fe et qu'il contenait la totalité des éléments fortement incompatibles tel que les radiogéniques (Labrosse et al., 2015; Caracas et al., 2019).

Dans cette partie de projet il s'agit d'une collaboration avec Charles-Edouard Boukaré et James Badro. Nous allons utiliser les résultats de compositions lors de la cristallisation d'un BMO obtenus par le code qui minimise l'énergie libre Gibbs développé par Boukaré et al. (2015). Ce calcul de la composition en fonction de la profondeur se base sur une série d'hypothèses :

i. Lors de la cristallisation d'un océan de magma basal (BMO), les éléments radioactifs (U, Th et K) vont préférentiellement dans Ca-Bridgmanite (Ca-Bm) et pas dans (Mg,Fe)-Bm où dans la ferropericlase (Corgne and Wood, 2005).

ii. Ca-Bm précipite lorsque le BMO est saturé en Ca.

iii. Le BMO convecte fortement et est chimiquement homogène. Le manteau solide à sa surface est immobile (sur cette échelle de temps) et stratifié chimiquement.

Les coefficients de partition des radiogéniques entre la phase liquide et les solides à l'équilibre seront mieux constraints par des nouvelles données expérimentales que James Badro et ses collaborateurs proposent de mesurer à HT-HP.

Dans ce cadre, il se formerait à la base du manteau une couche dense, riche en Fe et extrêmement enrichie en radiogéniques. Un tel réservoir enrichi aurait un effet important à la
limite noyau-manteau. Sa température va augmenter, ce qui réduira considérablement l'am-
pleur du refroidissement du noyau et empêchera éventuellement son refroidissement pendant
un certain temps. Il pourrait même refondre une partie du manteau. Nous allons investiguer
les consequences d'un tel reservoir en appliquant les lois d'échelle déterminées dans les expé-
riences de convection alimentées par les paramètres (densité et distribution en radiogéniques)
issus du modèle de composition.

Dégazage de l'océan de magma en collaboration avec Henry Samuel

En utilisant des considérations de dynamique des fluides, nous caractériserons l'efficacité du dégazage des océans magma en fonction des paramètres déterminants. Ces études seront réalisées à l'aide d'un code développé par Samuel (2012) dans les domaines 2D et 3D. Le code prend en compte les effets à la fois inertiels et visqueux, ainsi que les fortes variations des propriétés des fluides, et suit avec précision l'évolution de la composition chimique (Samuel, 2018). Ces simulations numériques seront complétées par des modèles analogiques que je vais developer au laboratoire. Nous allons utiliser des particules magnétiques enrobées dans un plastique creux qui les rendra passives dans l'écoulement et qui seront retirés du fluide par un électroaimant au fur et à mesure qu'elles approchent la surface. Nous allons étudier cet analogue du dégazage en fonction de la vigueur de la convection et la profondeur sur laquelle il a lieu.

Les impacts géants en collaboration avec Maylis Landeau

La Terre s'est formée par des collisions à haute énergie entre des embryons planétaires. Chaque impact induit des ondes de choc qui peuvent fondre les embryons en collision. Dans ce projet, nous utiliserons des expériences analogiques pour étudier la dynamique de ces collisions formant la Terre (Landeau et al., 2014). Grâce à la radioactivité éteinte, nous savons que les impacteurs qui ont construit la Terre ont été formés d'un noyau métallique, entouré d'un manteau de silicate. Cependant, nous ne pouvons pas savoir si les silicates, ajoutés à chaque impact, sont complètement mélangés au manteau terrestre ou s'ils produisent des couches stratifiées. Une première stratification du manteau pourrait affecter la dynamique actuelle de la Terre. En outre, cela pourrait expliquer la présence des hétérogénéités primordiales du manteau suggérées par des observations géochimiques récentes (Mukhopadhyay, 2012; Rizo et al., 2016; Mundl et al., 2017) et reliées aux LLSVPs (Williams et al., 2019). Soit ces hétérogénéités ont survécu au grand impact qui a formé la Lune, soit elles ont été apportées par des impacts ultérieurs.

Avec Maylis Landeau, nouvellement recrutée à l'IPGP, nous allons monter un dispositif expérimental modélisant les impacts dans la formation des planètes. Pour atteindre le régime des impacts planétaires, nous devons utiliser des vitesses d'impact de plusieurs mètres par seconde. Nous venons de recevoir un financement conséquent de la part de l'institut pour le démarrage de cette étude (Appel d'offre interne à l'IPGP, porteur Maylis Landeau).

3.6.3 Evolution des structures convectives et de leurs marqueurs en surface

Nous avons constitué en janvier 2019 un petit groupe (qui s'inscrit dans les préoccupations du Thème transversal Terre Profonde) pour discuter de ces questions (avec Catherine Chauvel, Cinzia Farnetani, Marianne Greff, Jean Besse, Julia Ricci).

Jean Besse et Marianne Greff disposent d'un nouveau modèle combinant paléomagnétisme et modèle de points chauds depuis 300 Ma (De Gouveia, 2017; De Gouveia et al., 2019), qui permet de décrire la position des plaques par rapport aux structures mantelligues actuelles (très fiable sur les 130 derniers millions d'années avec une résolution qui se dégrade ensuite). Ces structures semblent à première vue n'être qu'une vision instantanée effectuée à partir d'observations par la tomographie sismique ou la gravimétrie, mais elles sont avant tout le
résultat de la convection terrestre sur de très grandes échelles de temps. Nous pouvons donc les étudier en tentant de les relier à des objets ou processus de surface, en particulier via les subductions marquées par la répartition du volcanisme calco-alcalin, ou par le volcanisme intraplaque, lié aux points chauds, y compris sous la lithosphère continentale.

Ce nouveau modèle brise la supposition généralement avancée que les panaches ont une evolution qui démarre avec l'arrivée d'une 'tête' et qui donnerait naissance à une LIP, suivi d'un conduit qui produirait une série plus où moins longue de points-chauds. Leur hypothèse se base sur le fait que certains panaches vivent longtemps pour pouvoir produire plusieurs événements de 'Continental Flood Basalts' (CFB) et des longue traces de points chauds. Nous avons décidé d'étudier (pour la première fois) l'évolution géochimique au cours du temps de deux points chauds majeurs, Réunion et Islande en utilisant toutes les données disponibles dans les bases de données de géochimie (e.g. majeurs, traces, volatils, isotope, âges). Nous pouvons suivre en effet la trajectoire de ces deux points chauds dans leurs parcours océaniques, mais aussi dans leurs parcours sous-continental (Dekkan, Panjals pour la Réunion, Ellesmere, Traps de Sibérie pour l'Islande). Nous allons essayer de donner un cadre d'interprétation des données géochimiques en utilisant les résultats obtenus expérimentalement.

Une structure de convection organisée sous forme des panaches dont l'origine se trouve à la verticale ou sur le pourtour des zones caractérisées par une hétérogénéité de nature compositionnelle, traduit plutôt le comportement d'un système convectif à chauffage interne hétérogène comme nous l'avons observé expérimentalement (Figure 22). Les panneaux du haut représentent la topographie de la couche, plus dense et caractérisée par une production de chaleur interne plus importante, pour une expérience dans le régime de dômes. Les panneaux du bas représentent une section à travers la cuve pour y=90mm et montrent 4 champs : la composition, la température, la densité (calculée à partir des champs de composition et de temperature) et la vitesse verticale. Le contour noir représente le seuil de détection de la topographie et il est reporté sur chaque panneaux individuel, pour matérialiser la différence de composition. Le contour jaune qui se trouve sur les panneaux représentant la densité correspond à une densité neutre (égale à la moyenne dans le volume) et sert à indiquer les zones de flottabilité positive et négative. Nous remarquons que le champs de température est plus diffus que le champs de composition, car le fluide qui génère de la chaleur (en bas de la cuve) réchauffe aussi le fluide environnant. Les dômes restent globalement plus lourds que le liquide environnant, sauf pour une petite zone dans leur tête; ils sont plus chauds que le fluide environnant et donc entourés d'une zone de densité faible produite par le chauffage produit par la couche hétérogène : c'est cette zone qui a une flottabilité positive. Les courants descendants ont évidemment une flottabilité négative. Pour application à la Terre, ceci est en accord avec les données de tomographie de marée (Lau et al., 2017), qui semblent indiquer qu'il y a une zone à la base des LLSVPs globalement plus dense. Cette distribution de densité si particulière peut avoir une grande influence lorsqu'on calcule le moment d'inertie de la Terre (Greff-Lefftz and Besse, 2012).

Dans cet exemple, les courants ascendants qui donneraient une signature en surface sont positionnés toujours au même endroit (x=100 mm pour cette section particulière dans la cuve correspondante à y = 90mm), mais leur flux de flottabilité et leur composition changent dans le temps (Figure 23). Dans cet exemple le flux de flottabilité en dessous de la surface (0 < z < 10mm, x=100 mm) présente une variation épisodique avec des maxima à environ t = 55 min, 75min et 85min. A t=35min (Figure 22 b), la vitesse verticale dans cette zone (0 < z < 10mm, x=100mm) est positive, mais l'excess de température est quasi nul, donc le flux de flottabilité en surface est nul. La composition est caractérisée par une valeur entre 0 et 1 qui chacune correspond à un des deux fluides 'pures' de l'expérience. La composition vue en surface changerait d'une composition proche du fluide 'appauvri' (0 pour t < 40 min) à un mélange de différentes proportions relatives des deux fluides, de plus en plus 'enrichi' (valeurs entre 0 et 1 pour t ≥ 40 min).
'DOME' REGIME: example (Exp 4: RaH=10⁵, B=0.8, γ=2, a=0.3, F=2.6)

Topography of the lower layer

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Cross-section: Composition, temperature, density contrast and velocity

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

FIGURE 22 – Exemple d'expérience dans le régime de dômes #4 : sequence de la topographie (panneaux hauts) et d'une section à travers la cuve (panneaux bas) où sont montrés les champs de composition, température, densité et vitesse verticale, à trois moments de temps : t = 35 min (a), t = 55 min (b), t = 85 min (c). (Limare et al., 2019a)
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 23 – Le flux de flottabilité (i) et la composition (ii) proche de la surface ($0 < z < 10$ mm, $x = 100$ mm), dans un plan correspondant à $y = 90$ mm pour une expérience dans le régime de domes, en fonction du temps. Les lettres (a), (b), (c) correspondent aux instants de temps illustrés dans la Figure 22.</figcaption></figure>
# 4 Regime transitoire dans un système convectif à chauffage interne

L'intérêt pour la convection avec chauffage interne est lié au fait que la principale source de chaleur dans le manteau des planètes telluriques est la désintégration des isotopes radioactifs tels que $^{238}$U, $^{235}$U, $^{232}$Th et $^{40}$K. De même, dans le cas des petits corps planétaires formés tôt dans l'histoire du système solaire, le chauffage radioactif par les isotopes des courte période tels que $^{26}$Al et $^{60}$Fe est une source de chaleur importante qui doit être considérée dans les modèles d'évolution thermique. L'échelle de temps sur laquelle a lieu la désintégration impose son pas sur l'évolution thermique du système. Cette étude a commencé par le stage M1 de Balthasar Kenda, pendant lequel nous avons effectué la plus part des expériences de laboratoire et mis au point le modèle parametrisé du comportement transitoire d'un système avec chauffage interne (Limare et al., 2019b). En collaboration avec Marc Chaussidon pour les aspects cosmochimiques, nous sommes parvenus avec Edouard Kaminski à un model d'accretion des météorites de Fe à partir de leur evolution thermique (Kaminski et al., 2019).

## 4.1 Modèle parametrisé pour l'évolution thermique d'un système convectif à chauffage interne

Les lois d'échelle à l'état stationnaire fournissent des informations importantes sur le comportement physique du système convectif. Une question importante reste cependant leur capacité à décrire également l'évolution thermique lors du régime transitoire. Pour étudier l'évolution thermique d'un fluide convectif chauffé dans le volume, nous avons effectué une série expériences analogiques avec différents fluides et avec des puissances de chauffage volumique et des températures initiales différentes (Table 1 dans Limare et al. (2019b)). Le fluide a été initialement porté à la température de surface $T_0$, imposée par le bain thermostaté. Ensuite nous avons démarré le chauffage interne par absorption de microondes à une puissance donnée. La température a été mesurée à des différentes positions du plan laser dans la cuve par deux méthodes : expériences 1-9 par la technique des isothermes (Davaille and Limare, 2015) et expériences 10-11 par la technique de fluorescence (LIF) (Fourel et al., 2017).

Les cartes 2D de température ont été utilisées pour la determination par interpolation du champs 3D dans le volume. Nous avons ensuite déterminé le profils verticaux de température et calculé le flux de chaleur en surface $Q_s$ et la température moyenne $T$ à chaque instant de temps (Figure 24 a, b). Les deux variables tendent vers des valeurs stables, notées $Q_{s\infty}$ et $T_{\infty}$, sur une période bien définie, oscillant autour de valeurs constantes, indiquant que le système a atteint un état quasi stationnaire.

Dans la convection avec chauffage interne, la température moyenne à l'état stationnaire suit la loi d'échelle :

$$T_{\infty}/T_{H} = cRa_{H}^{\beta}, \qquad (35)$$

avec $c$ et $\beta$ des constantes sans dimension. Les résultats expérimentaux conduisent à une valeur de $\beta=-1/4$ à l'état stationnaire (Limare et al., 2015c), en accord avec la théorie (Vilella and Kaminski, 2017). Mais, en principe, cette loi est valable pour la température de la couche limite thermique. Il s'avère que aussi bien la température de la couche limite thermique que la température interne varient comme $Ra_{H}^{-1/4}$ et sont donc proportionnelles (Vilella et al., 2018). Ceci est même valable pour une distribution hétérogène de sources de chaleur, comme nous l'avons montré dans la Section 3 (Limare et al., 2019a). Nous confirmons que cette loi d'échelle est valable sur toute la gamme de $Ra_H$ avec $c=3.45\pm0.15$ (Limare et al., 2019b).

Pendant la phase transitoire nous remplaçons $H$ par le chauffage effectif :

$$H^* = H - \rho C_p \frac{dT}{dt}. \qquad (36)$$
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 24 – L'evolution dans le temps de la température interne (a) et du flux en surface (b). Les points représentent les valeurs expérimentales et le ligne les prédicitions théoriques données par les équations 39 et 40 avec β=-1/4. Le temps a été adimensionné par le temps conductif t_c = h²/κ. (Limare et al., 2019b)</figcaption></figure>

Cette hypothèse est utilisée souvent dans des modèles paramétrisés (Jaupart and Mareschal, 2011), mais ici nous la testons expérimentalement. A partir de cette hypothèse nous proposons de substituer simplement $H^*$ dans l'équation (35) :

$$T/T_{H^*} = cRa_{H^*}^{-\beta}, \qquad (37)$$

where

$$T_{H^*} = H^*h^2/k, \qquad (38)$$

est l'échelle de température interne calculée avec le chauffage effectif $H^*$.

Une série de manipulations mènent à l'équation différentielle ordinaire pour la température interne T suivante :

$$\frac{dT}{dt} = \frac{H}{\rho C_p} - \frac{1}{\rho C_p} \left(\frac{h^2 c}{\lambda}\right)^{\frac{1}{1+\beta}} \left(\frac{\rho g \alpha h^5}{k \kappa \mu}\right)^{\frac{-\beta}{1+\beta}} T^{\frac{1}{1+\beta}}. \qquad (39)$$

La solution de l'équation (39) avec $\beta=-1/4$ est obtenue à travers une intégration de type Runge-Kutta de 4<sup>th</sup> ordre integration avec les mêmes paramètre que ceux expérimentaux, et aucun autre paramètre supplémentaire.

A partir de la forme différentielle de l'équation de conservation de l'énergie (27) nous obtenons une expression pour le flux en surface :

$$Q_s = \left( \frac{\lambda T}{ch} \right)^{\frac{1}{1+\beta}} \left( \frac{\rho g \alpha h^4}{\lambda \kappa \mu} \right)^{\frac{-\beta}{1+\beta}}. \qquad (40)$$

L'accord entre les données (points) et le modèle (lignes) dans les Figures 24 a et b confirme que l'évolution séculaire de la température moyenne interne est totalement équivalente à une contribution supplémentaire au chauffage interne.

Nous appliquerons ces résultats théoriques validés expérimentalement aux systèmes où l'évolution séculaire de la température interne est également liée à l'évolution temporelle du taux de chauffage interne comme dans le cas d'un planetesimal lorsque le chauffage par dés-intégration des éléments radioactifs de courte durée de vie tel que <sup>26</sup>Al, était actif (Kaminski et al., 2019).
## 4.2 Evolution thermique d'un planetesimal au cours de l'accretion : Application aux météorites de Fe

Des informations sur l'accrétion de planétésimaux dans le disque peuvent être obtenues à partir des observations astronomiques (Delbo' et al., 2017) ainsi que par l'étude de fragments météoritiques qui ont échantillonné les premières étapes de l'évolution du disque au cours de laquelle les planétésimaux se sont formés (Kruijer et al., 2014). Les âges déterminés à partir du chronomètre Hf/W des météorites de Fe indiquent que ces planétésimaux pourraient s'être formés au cours du premier million d'années (Myr) du système solaire (Birnstiel et al., 2016). En revanche, la présence dans les météorites chondritiques d'inclusions riches en Ca, Al (CAI) et de chondrules couvrant les 4 premiers Myr du système solaire montrent que leurs corps parent ont fini leur accrétion bien plus tard (Villeneuve et al., 2009). Les premiers principes qui sous-tendent ces différents temps d'accretion restent encore inaccessibles.

Une façon de comprendre l'histoire d'accrétion des planétésimaux consiste à étudier leur évolution thermique, fortement contrôlée par leur taille : la production d'énergie interne varie avec le volume (qui dépend de la troisième puissance du rayon) et la perte de chaleur avec la surface (et donc proportionnelle au carré du rayon). Les modèles précédents ont considéré notamment les pertes de chaleur par conduction (Ghosh et al., 2003). Cependant, il a été démontré que la convection induite par la fusion pouvait se produire à ≈1 Myr après l'accrétion du planétésimal (Hevey and Sanders, 2006). A notre connaissance, la récente étude de Lichtenberg et al. (2016) est la seule à modéliser explicitement la convection dans les planétésimaux, cependant, cette étude considère l'accrétion instantanée et n'aborde pas la question de l'évolution thermique du planétésimal en voie de l'accrétion. Nous nous sommes proposé de le faire dans la présente étude en utilisant des lois d'échelle pour l'évolution thermique transitoire d'un corps de convection chauffé dans le volume validées par des expériences en laboratoire.

### 4.2.1 Conservation de l'énergie

Notre modèle d'évolution thermique d'un planétésimal en voie d'accretion se base sur la conservation de l'énergie donnée par l'équilibre entre l'énergie interne fournie par la désintégration de $^{26}$Al H(t) et les pertes de chaleur en surface Qs :

$$ \rho C_p \frac{4}{3} \pi \frac{dR^3(t)T(t)}{dt} = \frac{4}{3} \pi R^3(t)H(t) - 4\pi R^2(t)Q_s(t) + E_{int}, \quad (41) $$

où $E_{int}=E_{lat}+E_a$ est un term correspondant à l'absorption de la chaleur latente de fusion ($E_{lat}$) ou apporté par des impacts ($E_a$). Pour une loi d'accrétion donnée, $R(t)$, l'évolution de la température $T(t)$ peut être calculée à partir de l'équation du bilan d'énergie (41) si le flux de chaleur de surface $Q_s(t)$ est connu. Inversement, et de manière équivalente, si l'enregistrement thermique $T(t)$ est connu, l'équation (41) peut être inversée pour obtenir la courbe d'accrétion $R(t)$. Dans le régime purement conductif $Q_s(t)$ est connu analytiquement (Carslaw and Jaeger, 1959). Dans un régime convectif, la détermination de $Q_s(t)$ nécessite soit la résolution numérique de l'ensemble des équations dans le fluide convectif ou l'utilisation d'une loi d'échelle reliant le flux de chaleur en surface aux propriétés du fluide, au taux de chauffage interne et à la géométrie du système; une approche nous allons suivre.

### 4.2.2 Informations apportées par les météorites de Fe

L'âge des météorites de Fe déduite à partir de la désintégration $^{182}$Hf-$^{182}$W ($t_{1/2}$=8.9 Myr) peut être considéré comme le temps de formation de leur noyau, ou plus généralement le temps de différenciation métal-silicate et de ségrégation des métaux (Lee and Halliday, 1997; Kruijer et al., 2014), car le Hf est fortement lithophile et W siderophile. Les données
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 25 - L'évolution thermique des corps parents des météorites de Fe : T(t) = T_∞[1 - exp(-t/τ)], avec T_∞=1524°C et τ=0.424 Myr. Les points rouges représentent les corps parents "non-carbonés" (i.e. formés près du soleil) et les points bleus les corps parents "carbonés" (i.e. formés au delà de l'orbite de Jupiter) (Kruijer et al., 2014; Budde et al., 2016). (Kaminski et al., 2019).</figcaption></figure>

pour cinq groupes de météorites de Fe (IIAB, IID, IIIAB, IVA, IVB) fournissent des âges qui s'étendent de 0.7±0.3 Myr après les CAIs pour IIAB jusqu'à 3.1±0.8 Myr après les CAIs pour IIB (Kruijer et al., 2014). Comme dans le Supplementary Material de Kruijer et al. (2014) (www.sciencemag.org/content/344/6188/1150/suppl/DC1) nous considérons que le metal en fusion reste en contact avec la matrice de silicate jusqu'à la fusion totale de l'alliage FeS. Dans cette hypothèse, la température enregistrée correspond à la température de liquidus fixée par la teneur en soufre et l'âge du chronomètre Hf-W au moment où cette température est atteinte.

La Figure 25 montre que toutes les données de température/âge de formation peuvent être ajustées par une fonction exponentielle $T(t) = T_{\infty}[1 - \exp(-t/\tau)]$. Nous avons utilisé un algorithme de type Levenberg-Marquardt qui prend en compte les incertitudes sur les deux grandeurs, et nous avons obtenu $T_{\infty}=1524^{\circ}\text{C}$ et $\tau=0.424$ Myr. Nous allons utiliser cette evolution exponentielle $T(t)$ pour déterminer la courbe d'accretion $R(t)$ commune de ces corps parents en utilisant l'équation (41).

### 4.2.3 Adaptation des lois d'échelle à l'évolution thermique d'un planetesimal

Pour résoudre l'équation (41) nous avons besoin du flux en surface $Q_s$ qui prend des expressions différentes en fonction du mode d'échange thermique conductif ou convectif. Nous allons considerer la possibilité des corps parents à entrer en convection. Pour traiter la convection allons adapter les lois d'échelle déterminées expérimentalement en géométrie cartésienne à la géométrie sphérique en introduisant un facteur 1/3 dans l'équation (40) comme établi par Deschamps et al. (2012b) et remplacer la hauteur de la couche $h$ par le rayon $R$. Nous allons utiliser une viscosité qui dépend de la température et du taux de fusion partielle :

$$ \mu = \mu_0 f(\phi^{\text{melt}}) \exp \left( \frac{E_{\text{act}}}{R_g T} - \frac{E_{\text{act}}}{R_g T_0} \right), \quad (42) $$

où $\mu_0$ est la viscosité de référence à $T_0=1000^{\circ}\text{C}$, $R_g$ constante universelle des gaz parfaits, $E_{\text{act}}$ l'énergie d'activation, et $f(\phi^{\text{melt}})$, une fonction défini ecomme

$$ f(\phi^{\text{melt}}) = \exp(-\sigma_{\text{sil}}\phi_{\text{sil}}^{\text{melt}}) \exp(-\sigma_{\text{Fe}}\phi_{\text{Fe}}^{\text{melt}}), \quad (43) $$
qui depend des taux de fusion partielle : $\phi_{Fe}^{melt}$ et $\phi_{sil}^{melt}$.

Lorsque la viscosité dépend fortement de la température, nous devons tenir compte de la présence d'un couvercle stagnant à la surface du système qui englobe la plus grande partie du contraste de viscosité (Davaille and Jaupart, 1993).

$$ \Delta T_{visc}(T) = -2.21 \frac{\mu(T)}{d\mu/dT(T)}. \qquad (44) $$

Au sein du couvercle stagnant le transfert de chaleur se fait uniquement par conduction. Cette couche, d'épaisseur $\delta_{lid}=\lambda \Delta T_{visc}/Q_s$, ne participe pas à la convection. Nous allons remplacer $R$ par $R - \delta_{lid}$ et $T$ par $T - \Delta T_{visc}$ dans l'équation (40).

### 4.2.4 Accretion instantanée

Dans un premier temps nous avons considéré, comme dans les modèles précédents, une accrétion instantanée et un modèle thermique purement conductif. Pour être cohérents avec les vitesse de refroidissement métallographiques, nous avons considéré des corps de rayon 300km et fait varier le temps d'accrétion. Nous considérons une température constante de 0 °C à la surface du planétésimal. Les résultats affichés dans l'encadré de la Figure 26 impliquent que les corps parents de météorites de Fe non carbonées se soit formés plus tôt (environ 0.5 Myr après la formation de CAI) que ceux des météorites carbonées (environ 1 Myr après la formation des CAI). Les modèles de conduction prédisent des températures extrêmes, supérieures à celles du liquidus des phases métal et silicate, d'où la fusion et la différenciation totales des météorites de Fe non carbonées. L'augmentation de la température et l'apparition de la fusion diminuent la viscosité (42) et augmentent la valeur du nombre de Rayleigh-Roberts dans le planetesimal (4).

Nous avons calculé le temps de démarrage de la convection à partir des lois d'échelle expérimentales et numériques (Davaille and Jaupart, 1993; Choblet and Sotin, 2000) :

$$ t_0 = \frac{1}{\pi} \frac{R^2}{\kappa} \left( \frac{Ra_{H,cr}}{Ra_H} \right)^{-2/3} \left( \frac{T}{\Delta T_{visc}} \right)^{8/3}. \qquad (45) $$

Le temps de démarrage évolue dans le temps car la température, donc la viscosité du planetesimal change dans le temps. Nous considérons que la convection démarre lorsque l'âge du corps devient supérieur à $t_0$, et nous obtenons $\approx 0.2$ Myr. Cette valeur peut être considérée comme une limite supérieure, car la convection peut démarrer par une instabilité Rayleigh-Taylor s'il y a fusion et segregation du metal. L'évolution thermique dans le cas de l'accretion instantanée, en tenant compte de la convection, est présentée dans la Figure 26. La convection augmente le transfert de chaleur dans le corps et entraîne des températures internes moyennes nettement plus froides que dans le cas purement conducteur. Mais nous arrivons aux mêmes conclusions que dans le cas conductif : les corps parents des météorites de Fe non-carbonées se sont formés plus tôt et sont arrivés à des températures importantes conduisant à leur fusion totale et différentiation complète.

### 4.2.5 Accrétion continue

Nous utilisons la courbe universelle d'évolution de la température interne proposée dans la Figure 25 pour inverser le bilan d'énergie exprimé dans l'équation (41), en fonction du régime (conductif ou convectif) pour obtenir la courbe d'accretion. Dans ce cas $E_{int}=E_{lat}$ car $E_a$ peut être considéré 0 dans le cas d'accretion par des petits galets (pebble accretion). Le seul paramètre libre est le rayon initial, $R_0$, du nucléé accrété dans la première phase d'accretion considérée très rapide. Dans la première partie de l'accretion, le transfert de chaleur se fait uniquement par conduction. Pour commencer nous considérons uniquement la conduction
<figure><img src="image_34.png" /></figure>

FIGURE 26 – Evolution de la température interne moyenne pour un corps de rayon égale à 300km en fonction du temps d'accretion instantanée, pour deux valeurs de la viscosité de référence $\mu_0$. Les points rouges représentent les corps parents "non-carbonés" et les points bleus les corps parents "carbonés". Comparées aux températures obtenues dans un modèle purement conductif (la figure insérée, dont les couleurs représentent les mêmes temps d'accretion), les températures moyennes sont beaucoup plus basses lorsque nous prenons en compte la convection. Ceci est due à une efficacité de transfert de chaleur plus importante dans le régime convectif que dans le régime conductif. (Kaminski et al., 2019).

et nous utilisons la solution analytique calculée par Carslaw and Jaeger (1959) pour obtenir $R(t)$ (courbes en pointillées dans la Figure 27). Ensuite nous calculons le temps de démarrage de la convection conformément à l'équation (45) à chaque moment. Nous considérons que la convection démarre lorsque l'âge du planetesimal dépasse le temps de démarrage.

La Figure 27 montre deux exemples d'accrétion issus de l'inversion de l'évolution de la température lorsque le transfert de chaleur se fait par convection. L'allure des courbes ressemblent à celles obtenus par conduction (notamment parce que dans la première partie le transfert se fait toujours par conduction jusqu'au démarrage de la convection). Cependant, comme la convection correspond à un transfert de chaleur plus efficace, il n'est pas possible dans ce régime d'atteindre le plateau thermique observé à des temps long pour les courbes en pointillés. Dans certains cas, il est même nécessaire que le rayon du corps diminue afin de contrebalancer refroidissement par convection. Ceci est dû au fait que l'énergie interne varie avec le volume (proportionnelle au rayon au cube) et que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à la surface (proportionnelle au rayon au carré). Cet effet est plus important pour des faibles valeurs du rayon initial (refroidissement / chaleur interne ~1/R). Cette diminution de rayon peut correspondre soit à l'érosion, soit au frittage en fin d'accrétion du fait du compactage du planétesimal suite à la fusion partielle.

Les vitesses de refroidissement métallographiques ont été utilisées pour déduire la taille des corps parents des météorites de Fe. Celles-ci correspondent à la dernière phase de refroidissement (conductive) d'une poche métallique (ou d'un noyau) une fois celle-ci solidifiée. La taille des planétésimaux a été estimée sur la base de deux hypothèses : soit en considérant le noyau dépourvu de son manteau, soit le refroidissement du noyau toujours entouré par son manteau. Ces données sont placées sur la Figure 27, et bien que associées à des fortes incertitudes, elles indiquent un bon accord global.

Vu l'aspect similaire des courbes d'accrétion, nous les avons adimensionnées et nous les
<figure><img src="image_35.png" /></figure>

FIGURE 27 – Les courbes d’accretion issues du modèle d’accretion continue. Les points rouges représentent les rayons typiques des corps parents “non-carbonés” et les points bleus les corps parents “carbonés”. Le temps est donnée par l’âge Hf-W. Les courbes vertes et magenta correspondent à un rayon initial de 35 km et 90 km, respectivement. Les courbes en pointillées sont données par la solution purement conductive, les courbes tiretées et les courbes continues prennent en compte la convection et utilisent une viscosité de référence de $\mu_0$ of $10^{19}$ et $10^{18}$ Pa s, respectivement. Les étoiles indiquent le démarrage de la convection pour une viscosité de référence de $10^{18}$ Pa s. (Kaminski et al., 2019).

avons reportées sur la Figure 28. Toutes les solutions acceptables, issues de l'inversion de la même évolution thermique, semblent partager le même type d'évolution de leur taille, indiqué par le trait blanc, tireté dans la Figure 28. A partir de cette courbe universelle, nous pouvons décrire l'accrétion des corps parents de météorites de Fe de la façon suivante : (i) une phase quasi-instantanée d'accrétion du nucléé de rayon $35 \le R_0 \le 90$ km, suivie de (ii) une phase plus lente qui atteint un plateau dans $\approx 3$ Myr et (iii) une phase de frittage due à la compaction du planétésimal consecutive à la fusion partielle.

La différence la plus importante de notre approche par rapport aux modèles d'accrétion instantanée est le fait que l'apport continu de matière froide fait que l'élévation de température dans le planétesimal due au chauffage interne est beaucoup plus modérée. Cela peut avoir comme consequence une différentiation partielle du corps parent. Certains des météorites de Fe seraient donc des poches de Fe fondu et pas le vestige d'un noyau métallique.

Il faut aussi souligner que la convection n'est pas nécessaire à notre modèle. Tout de même, en considérant les paramètres physiques nominaux des corps planétaires, la convection démarrait autour de 1Myr pendant l'accrétion. De plus, quel que soit le mode de refroidissement (conduction ou convection) dans le corps parent, il existe toujours un couvercle stagnant visqueux et froid de quelques kilomètres qui reste complètement indifférencié.

D'autre part, la présence d'un couvercle stagnant peut également retarder le refroidissement du planétésimal, même si le refroidissement se produit par convection. Si un tel planétésimal est différencié, le noyau métallique peut alors développer une dynamo pendant une durée de temps non négligeable.
<figure><img src="image_36.png" /></figure>

FIGURE 28 – Courbe universelle d’accrétion (courbe épaisse, colorée) comparée à une loi d’accretion paramétrisée (courbe blanche, tirétée) $(R(t)/R_\infty)^3 = 1 - (1 - [R_0/R_\infty]^3) \exp(-[t/t_a]^b)$, où $t_a = 1.39 \pm 0.15$ Myr est l’échelle de temps de l’accrétion, $b=1.45 \pm 0.15$ est un paramètre de forme et $R_0$ et $R_\infty$ sont les rayons initial et final, respectivement. La couleur de la courbe d’accrétion est liée à la température moyenne interne du corps à un temps donné. (Kaminski et al., 2019).

## 4.3 Travaux en cours et perspectives

### L’asteroide Vesta

L’asteroide Vesta est le seul exemple intact connu de protoplanète différentiée. Il se trouve dans la ceinture principale d’astéroides, située entre Mars et Jupiter, présente un diamètre moyen de 530 km, et est considéré comme étant le corps parent à l’origine des météorites HED (Howardites-Eucrites-Diogénites) (McSween et al., 2013). Il contient un manteau riche en olivine et une croûte de diogénite (riche en orthopyroxène) dans sa partie inférieure et d’eucrite basaltique dans sa partie supérieure. L’age des diogenites (1.5 Ma) et des eucrites (4-5 Ma) après les CAIs (Luu and Elliott, 2018) sont si différents qu’ils n’ont pas trouvé une explication satisfaisante. Deux hypothèses sont généralement avancées (1) le fait que Vesta ne peut pas être la source des meteorites HED car sa solidification totale aurait du avoir lieu dans un temps si réduit (2-3Ma) que cela impliquerait un diamètre de seulement 100km (Schiller et al., 2011), et (2) une abondance sous-canonique de $^{26}$Al (Schiller et al., 2015).

Notre modèle pourrait permettre de réconcilier la solidification dans un temps si réduit d’un corps de taille beaucoup plus grande, mais dont la taille augmente graduellement dans le temps. L’apport de matière froide en surface diminue la température globale, sans que l’on soit obligé de faire appel à une taille trop petite ou à une abondance sous-canonique.

### Competition refroidissement séculaire/ chauffage radiogénique

Le refroidissement de la Terre au cours des temps géologiques est depuis longtemps une question clé, à l'origine d'une controverse célèbre entre physiciens et géologues sur la de-
termination de l'age de la Terre à partir d'un modèle thermique (England et al., 2007). Le problème moderne est, étant donné le grand âge de la Terre, de proposer un modèle thermique et dynamique tenant compte de l'état thermique actuel à travers une grande variété d'observables (provenant de la sismologie, géodésie, géochimie). Ces observables indiquent un manteau inférieur très hétérogène, compatible avec les restes d'une couche primordiale, considérablement déformée par la convection. Les résultats que nous avons obtenus dans le cas hétérogène suggèrent que de telles conditions ne sont pas susceptibles d'ajouter beaucoup d'inertie thermique au manteau dans son ensemble.

La formation des continents concentre à la surface de la Terre une grande partie des éléments radioactifs (entre 1/3 et la 1/2 de la quantité totale selon Jaupart et al. (2015)), qui ne participe plus en tant que source de chaleur à la convection mantéllique. De plus, les continents changent les conditions aux limites mécaniques (de 'vitesses libres' à 'rigide'), or nous avons remarqué leur très grande influence sur tous les paramètres caractéristiques de la convection, et donc sur la capacité du système convectif à évacuer la chaleur.

Nous avons aussi prouvé que la convection produite par le refroidissement séculaire est équivalente à la convection à chauffage interne, et que en général, le comportement transitoire d'un sytème convectif chauffé dans le volume peut être décrit par les lois d'échelle obtenues à l'état stationnaire si on ajoute le terme de refroidissement séculaire à la chaleur interne.

Le refroidissement séculaire sur la plus grande partie de l'histoire de la Terre peut être déterminé à partir des température de fusion des basaltes (Herzberg et al., 2010) et correspond à des valeurs très modérées, comprises entre 50 et 100 K Gyr⁻¹ (Jaupart et al., 2015) sur les 3 derniers Gyr (Figure 3).

La condition initiale du démarrage de la convection à l'état solide dans le manteau terrestre est mal contrainte. Le flux de chaleur venant du noyau est mal connu, et il a varié sur l'âge de la Terre, car il dépend du couplage avec le manteau.

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>b</figcaption></figure>

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>c</figcaption></figure>

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

FIGURE 29 – (a) Le profil vertical de température dans le temps pour une expérience de refroidissement séculaire combiné avec chauffage interne. Les profils vont de vert (0 min) à bleu, rouge et noir (50 min). (b) Le flux de chaleur en surface. (c) La température en haut (courbe bleue) et en bas (courbe rouge) de la cuve.

Le projet en cours a démarré à l'initiative de Claude Jaupart pour mieux comprendre l'evolution du régime convectif de la Terre. Nous avons réalisé une série de 34 expériences dans lesquelles nous avons varié de manière systématique les deux sources motrices de la convection mantéllique les plus importantes tout au moins pour le début de la convection : le refroidissement séculaire et la source de chauffage interne. Bien que les caractéristiques de la convection sont semblables pour les deux cas, l'effet sur la température moyenne interne est différente, le refroidissement séculaire tend à la diminuer dans le temps, alors que le chauffage
interne produit une augmentation. Nous allons caractériser la dynamique de compétition entre ces deux sources. La Figure 29 montre un exemple dans lequel un fluide initialement à température ambiante a subi un refroidissement brutal de sa surface supérieure et un chauffage à un taux prescrit et constant. Nous mesurons les profils verticaux de température dans le temps et déterminons le flux en surface. Pour cet exemple nous remarquons que les variations de température (partout dans le volume y compris en bas de la cuve) et du flux en surface ne sont pas monotones.

Comme dans l'expérience, le comportement transitoire de refroidissement séculaire est susceptible d'avoir influencé longtemps l'évolution thermique de la Terre, avant que le chauffage interne ne fasse une contribution mesurable d'élévation de température.
En guise de conclusion

J’espère avoir donné dans ce mémoire un aperçu de mon approche scientifique. Elle s’inscrit totalement dans celle de l’équipe de Dynamique des Fluides Géologiques. Cela implique généralement d’isoler un phénomène, et de l’étudier en fonction de ses différents paramètres de contrôle. Je suis une physicienne qui combine des connaissances de thermique, optique, science des matériaux, rhéologie et instrumentation pour mettre en oeuvre des expériences de mécanique de fluides innovantes et pertinentes pour la dynamique de la Terre et des corps planétaires. Je m’efforce de comprendre le contexte géologique à travers les observations géophysiques et géochimiques et également par des collaborations avec d’autres membres de l’équipe, de notre institut et d’autres institutions de recherche. Je suis consciente que les simulations numériques ont un potentiel énorme. Pour cette raison j’ai toujours essayé de nouer de collaborations avec des chercheurs spécialistes du numérique dans le but d’harmoniser nos démarches et pour exploiter leur caractère souvent complémentaire.

L’équipe de Dynamique des Fluides Géologiques constitue, dans le cadre plus large de l’IPGP, un environnement de travail privilégié. L’ingénieur-chercheur que je suis devenue 15 ans plus tard est en partie le fruit de mes interactions avec cet environnement. Je remercie d’abord à Claude Jaupart et Anne Davaille qui m’ont fait confiance en me faisant entrer dans cette équipe et surtout en m’accordant une liberté totale. Je remercie aux géomorphologues (Eric Lajeunesse, François Métivier et Olivier Devauchelle) pour les joies de devenir potamologue en leur agréable compagnie et pour m’avoir donné l’occasion entre autres de participer à leur activité de terrain, ce qui a constitué pour moi une importante experience scientifique et technique. J’ai plus tard eu le plaisir de travailler avec Edouard Kaminski et Steve Tait, d’abord en intervenant sur leurs projets de volcanologie physique et ensuite en collaborant sur une problématique liée aux océans de magma et le refroidissement des chambres magmatiques. Et finalement ma plus grande satisfaction vient du projet que j’ai détaillé dans ce mémoire, lié aux aspects de la convection avec chauffage interne, qui n’aurait jamais pu avoir lieu sans le concours de Claude Jaupart, Edouard Kaminski et Cinzia Farnetani. Ce projet m’a amené à interagir avec un grand nombre de chercheurs de notre institut. Je rappelle ici uniquement mes collaborations les plus abouties (Marc Chaussidon, Catherine Chauvel, Jean Besse, Marianne Greff) et celles qui sont en train de démarrer (Henry Samuel, Maylis Landeau).

La formation des stagiaires, étudiants, post-docs et visiteurs fait partie de mon quotidien d’ingénieur responsable de l’expérimentation de l’équipe. A cela s’ajoute l’encadrement plus approfondi des étudiants et post-docs sur des projets pour lesquels je détiens l’expertise scientifique. Cela concerne en premier lieu tous les projets en relation avec la convection. Cette interaction avec les étudiants et les chercheurs en devenir a toujours été très stimulante et enrichissante. Je rappelle ici une liste de grande qualité, bien que non-exhaustive : Judith Vatteville, Emmanuella Bouche, Sophie Androvandi, Ichiro Kumagai, Loic Fourel, Michal Tal, Meredith Reitz, Samuel Paillat, Fanny Garel, Maylis Landeau, Hugo Chauvet, Pauline Delorme, Pierre Weill, Adrien Guerin, Thomas Duvernay, Maude Geissmann, Kenny Vilella, Erika di Giuseppe, Balthasar Kenda, Alberto Roman, Marouchka Froment, Manon Robbe-Saule, Cyril Sturz, Alexandre Vierron.

J’ai eu la chance de travailler avec des collègues ingénieurs et techniciens extrêmement créatifs qui m’ont beaucoup apporté sur plan professionnel et humain : Gérard Bienfait, Yves Gamblin, Antonio Vieira e Silva, Ramon Vazquez, Abdelhak Souilah.

Je leur suis à tous, collègues, collaborateurs, étudiants, très reconnaissante.
Remerciements

J'adresse ma profonde gratitude aux membres du jury pour m'avoir fait l'honneur d'accepter d'en faire partie. Je remercie mes rapporteurs : Barbara Romanowicz, Stéphane Labrosse et Michael Le Bars qui ont pris le temps de lire et évaluer mon mémoire dans la période chargée de fin d'année, mes examinateurs : Stéphane Popinet et Marianne Greff et le président du jury Claude Jaupart. Je leur suis particulièrement reconnaissante d'avoir gardé la patience devant tant de reports et incertitudes administratives dus à la mise en place de la nouvelle Université de Paris et à la crise sanitaire.

Dans ces conditions compliquées j'ai été pleinement soutenue et accompagnée par la direction de l'IPGP, en particulier François Métivier et Marc Chaussidon, par le président du conseil scientifique Yann Klinger et par Zarie Rouas qui, avec son efficacité désormais légèreaire, a remédié aux nombreuses difficultés administratives. Je leur remercie de leur aide précieuse et de leur bienveillance.
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Vatteville, J., Van Keken, P. E., Limare, A., Davaille, A., 2009. Starting laminar plumes: Comparison of laboratory and numerical modeling. Geochemistry, Geophysics, Geosystems 10 (12).

Vilella, K., 2015. Modélisation théorique et numérique de la convection thermique, applications aux manteaux planétaires. Ph.D. thesis, Institut de Physique du Globe de Paris, Universié Sorbonne Paris Cité.

Vilella, K., Kaminski, E., 2017. Fully determined scaling laws for volumetrically heated convective systems, a tool for assessing habitability of exoplanets. Physics of the Earth and Planetary Interiors 266, 18-28.

Vilella, K., Limare, A., Jaupart, C., Farnetani, C., Fourel, L., Kaminski, E., 2018. Fundamentals of laminar free convection in internally heated fluids at values of the Rayleigh-Roberts number up to 10⁹. Journal of Fluid Mechanics 846, 966-998.

Villeneuve, J., Chaussidon, M., Libourel, G., 2009. Homogeneous distribution of Al-26 in the solar system from the Mg isotopic composition of chondrules. Science 325, 985-988.

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Weill, P., Lajeunesse, E., Devauchelle, O., Métiver, F., Limare, A., Chauveau, B., Mouazé, D., 2014. Experimental investigation on self-channelized erosive gravity currents. Journal of Sedimentary Research 84 (6), 487-498.

Weinstein, S. A., Olson, P., 1990. Planforms in thermal convection with internal heat sources at large Rayleigh and Prandtl numbers. Geophys. Res. Lett. 17, 239-242.

Wicks, J., Jackson, J., Sturhahn, W., 2010. Very low sound velocities in iron-rich (Mg, Fe) O: Implications for the core-mantle boundary region. Geophysical Research Letters 37 (15).

Williams, C. D., Mukhopadhyay, S., Rudolph, M. L., Romanowicz, B., 2019. Primitive helium is sourced from seismically slow regions in the lowermost mantle. Geochemistry, Geophysics, Geosystems.
Yuan, K., Romanowicz, B., 2017. Seismic evidence for partial melting at the root of major hot spot plumes. Science 357 (6349), 393–397.

Zhong, S., 2005. Dynamics of thermal plumes in three-dimensional isoviscous thermal convection. Geophysical Journal International 162, 289–300.

Zhong, S., McNamara, A., Tan, E., Moresi, L., Gurnis, M., 2008. A benchmark study on mantle convection in a 3-d spherical shell using citcoms. Geochemistry, Geophysics, Geo-systems 9 (10).
# Annexes

## Curriculum Vitae

### Angela Limare, née Frandas

### Ingénieur de Recherche

Née le 17/07/1967 à Medias, Roumanie
Nationalité Roumaine et Française, mariée
Laboratoire de Dynamique des Fluides Géologiques
Institut de Physique du Globe de Paris
1 rue Jussieu, 75238 Paris cedex 05, France
Tél : +33 183957421, e-mail : limare@ipgp.fr

## Cursus universitaire

1996 Doctorat : Caractérisation optique et thermique des matériaux par la méthode photopyroélectrique, spécialité : Physique, Université Cluj-Napoca, Roumanie

1993 Cours de spécialisation en Technologies Optiques (7 mois), AILUN-Nuoro, Italie

1985 - 1990 Ingénieur en Physique Technologique (Bucarest) Formation généraliste en Physique (3 ans) + Spécialisation en Physique et Technologie des Matériaux (2 ans).
Stage de recherche de 6 mois en dernière année à l'Institut National pour la Physique des Lasers, du Plasma et de la Radiation. Mémoire : Ablation laser des polymères en utilisant un laser à excimère (KrF)

## Parcours professionnel

2004 - présent Ingénieur de recherche à l'institut de Physique du Globe de Paris (IRHC depuis 2019)

2003 - 2004 Ingénieur au Centre Technique du Papier Grenoble, détachée à l'INRA Reims

2002 - 2003 Chercheur contractuel à l'Université de Reims

2000 - 2002 Chef de projet à l'Institut Français du Textile et de l'Habillement - Troyes, détachée à l'Université de Reims

1990 - 1999 Ingénieur, ensuite Chercheur (1996-1999) à l'Institut de Technologie Isotopique et Moléculaire - Cluj Napoca - Roumanie

### Séjours à l'étranger

4 missions (de 3 à 5 mois chacune, de 1993 à 1996) au Centre for Plant Breeding and Reproduction Research - Wageningen, Pays Bas ;

1 mission (3 mois -1997) à l'Université Agricole Wageningen, Pays Bas ; - projet Européen COPERNICUS

Chercheur invité (1 an 1998) + maître de conférences invité (1 mois 1999) dans le cadre d'un Accord de coopération avec l'Université de Reims.

## Thèmes de recherche

- Etude expérimentale de la convection mantéllique.

- Méthodes expérimentales de volcanologie physique et géomorphologie physique.
Responsable de projet

ANR TERRA-MWH (2012-2015) : Expériences de convection avec chauffage interne
généré par microondes-applications à la dynamique terrestre.

INSU-PNP (2017), Stability and Evolution of Continental Lithosphere

Séminaires invités

2017 Institut ∂'Alembert, Sorbonne Université

2017 IRPHE, Marseille

2018 FAST, Université Paris Sud

2019 Center for Earth Evolution and Dynamics, Oslo

Présentations invités

2013 PIM Cluj-Napoca Roumanie

2015 AGU, San Francisco

2016 CMG, Paris

2018 ‘Kitchen Science’ : Analogue experiments for geosciences, Tokyo

2019 ‘Evolving Earth’ workshop at IPGP

2019 PIM Cluj-Napoca Roumanie

2019 ‘Kitchen Science’ : Analogue experiments for geosciences, Tokyo

Encadrement

2012 Erika di Giuseppe - post-doc ANR TERRA-MWH

2014 Loic Fourel - post-doc ANR TERRA-MWH

2014 Balthasar Kenda M1 STEP (avec Edouard Kaminski)

2015 Maude Geissmann L3 ENS Paris (avec Cinzia Farnetani)

2016 Thomas Duvernay M1 STEP (avec Cinzia Farnetani)

2017 Marouchka Froment L3 ENS Cachan (avec Edouard Kaminski)

2018 Anies Zeboujd L2 STEP (avec Claude Jaupart)

2018 - en cours Cyril Sturtz, Thèse IPGP (avec Edouard Kaminski et Steve Tait)

2019 Alexandre Vierron, M1 Mécanique de Fluides de Sorbonne Université (avec Sté-
phane Popinet de l'Institut ∂'Alembert)
# Liste des publications à l'IPGP (2007-2020)

## Chapitres de livre

1. A. Davaille, *A. Limare*, Laboratory studies of mantle convection in Treatise on Geophysics, volume editor D. Bercovici, editor G. Schubert, Elsevier, first edition 2007, second edition 2015.

2. Tal, M., W. Kim, E. Lajeunesse, *A. Limare*, F. Métiver, and P. Frey, The use of imagery in flume experiments, in Fluvial Remote Sensing for Science and Management, Eds. Patrice Carbonneau and Hervé Piegay, John Wiley & Sons Ltd., West Sussex, 2012, 299-321

3. F. Garel, E. Kaminski, S. Tait, *A. Limare*, A fluid dynamics perspective on the interpretation of the surface thermal signal of lava flows, in Detecting, Modelling and Responding to Effusive Eruptions, Geological Society, London, Special Publications 426, SP426. 6, 2015.

## Articles

1. Vatteville J., P. van Keken, *A. Limare*, A. Davaille, Starting laminar plumes: comparison of laboratory and numerical modeling, Geochem. Geophys. Geosyst., 10, Q12013, doi:10.1029/2009GC002739, 2009.

2. Lévy F., C. Jaupart, J.-C. Mareschal, G. Bienfait, *A. Limare*, Low heat flux and large variation of lithospheric thickness in the Canadian Shield, Journal of Geophysical Research, DOI:10.1029/2009JB006470, 2010.

3. Davaille A., *A. Limare*, F. Touitou, I. Kumagai, J. Vatteville, Anatomy of a laminar starting thermal plume at high Prandtl number, Experiments in Fluids, DOI:10.1007/s00348-010-0924-y, 2010.

4. Androvandi S., A. Davaille, *A. Limare*, A. Foucquier, C. Marais, At least three scales of convection in a mantle with strongly temperature-dependent viscosity, Physics of the Earth and Planetary Interiors 188, 132-141, 2011.

5. *A. Limare*, M. Tal, M. D. Reitz, E. Lajeunesse, F. Métivier, Optical method for measuring bed topography and flow depth in an experimental flume, Solid Earth, 2, 143-154, doi:10.5194/se-2-143-2011, 2011.

6. H. Chauvet, F. Metivier, *A. Limare*, Cavitation bubbles: a tracer for turbulent mixing in large rivers, River, Coastal and Estuarine Morphodynamics, RCEM2011, 2011 Tsinghua University Press, Beijing

7. E. Lajeunesse, C. Delacourt, P. Allemand, *A. Limare*, C. Dessert, J. Ammann, P. Grandjean, Monitoring riverine sediment fluxes during floods: new tools and methods, RCEM2011, 2011 Tsinghua University Press, Beijing

8. Garel F., E. Kaminski, S. Tait, *A. Limare*, An experimental study of the surface thermal signature of hot subaerial isoviscous gravity currents: Implications for thermal monitoring of lava flows and domes, Journal of Geophysical Research 117, B02205, doi:10.1029/2011JB008698, 2012.

9. Fourel, L., L. Milelli, C. Jaupart, *A. Limare*, Generation of continental rifts, basins, and swells by lithosphere instabilities, Journal of Geophysical Research 118, 3080-3100, doi:10.1002/jgrb.50218, 2013.

10. Garel F., E. Kaminski, S. Tait, *A. Limare*, The influence of wind on the estimation of lava effusion rate from thermal remote-sensing, J. Volcanol. Geotherm. Res., 264, 223-230, doi:10.1016/jvolgeores.2013.08.005, 2013.
11. E. Surducan, C. Neamtu, V. Surducan, A. Limare and E. Di Giuseppe, Microwaves Heating in a Specific Experimental Configuration, AIP Conf. Proc. 1565, 161 (2013); doi:10.1063/1.4833718

12. A. Limare, E. Surducan, V. Surducan, C. Neamtu, E. di Giuseppe, K. Vilella, C. G. Farnetani, E. Kaminski and C. Jaupart, Microwave-based laboratory experiments for internally-heated mantle convection, AIP Conf. Proc. 1565, 14 (2013); doi:10.1063/1.4833687

13. Chauvet H., O. Devauchelle, F. Métivier, E. Lajeunesse, A. Limare, Recirculation cells in a wide channel, Physics of Fluids, 26(1), doi:10.1063/1.4862442, 2014.

14. Garel F., E. Kaminski, S. Tait, A. Limare, An analogue study of the influence of solidification on the advance and surface thermal signature of lava flows, Earth and Planetary Science Letters, 396:46-55, 2014.

15. M.D. Reitz, D.J. Jerolmack, E. Lajeunesse, A. Limare, O. Devauchelle, F. Métivier, Dif- fusive evolution of experimental braided rivers, Physical Review E, DOI: 10.1103/Phys- RevE.89.052809, 2014.

16. P. Weill, E. Lajeunesse, O. Devauchelle, F. Métivier, A. Limare, B. Chauveau, and D. Mouazé, Experimental investigation on self-channelized erosive gravity currents, Journal of Sedimentary Research 84, 487-498, 2014.

17. E. Surducan, V. Surducan, A. Limare, C. Neamtu, E. Di Giuseppe, Microwave heating device for internal heating convection experiments, applied to Earth's mantle dynamics, Review of Scientific Instruments 85, 124702, doi:10.1063/1.4902323, 2014.

18. A. Limare, K. Vilella, E. Di Giuseppe, C.G. Farnetani, E. Kaminski, E. Surducan, V. Surducan, C. Neamtu, L. Fourel, C. Jaupart, Microwave-heating laboratory experiments for planetary mantle convection, Journal of Fluid Mechanics, 777, 50-67, 2015.

19. A. Limare, L. Fourel, E. Surducan, C. Neamtu, V. Surducan, K. Vilella, C. G. Farnetani, E. Kaminski and C. Jaupart, Microwave-based, internally-heated convection : New perspectives for the heterogeneous case, AIP Conference Proceedings 1700, 040001 (2015); doi:10.1063/1.4938436

20. E. Surducan, C. Neamtu, M. Ienciu, V. Surducan, A. Limare, and L. Fourel, Dielectric properties measurement method in the microwave frequencies range for nonpolar/polar liquid mixtures characterization, AIP Conference Proceedings 1700, 050008 (2015); doi:10.1063/1.4938446.

21. L. Fourel, A. Limare, C. Jaupart, E. Surducan, C.G. Farnetani, E. C. Kaminski, C. Neamtu, V. Surducan, The Earth's mantle in a microwave oven : thermal convection driven by a heterogeneous distribution of heat sources, Experiments in Fluids, 58:90, 2017.

22. C. G. Farnetani, A. W. Hofmann, T. Duvernay, A. Limare, Dynamics of rheological heterogeneities in mantle plumes, Earth and Planetary Science Letters 499, 74-82, 2018.

23. K. Vilella, A. Limare, C. Jaupart, C.G. Farnetani, L. Fourel and E. Kaminski, Funda- mentals of laminar free convection in internally heated fluids at values of the Rayleigh Roberts number up to 10⁹, Journal of Fluid Mechanics vol. 846, pp. 966-998, 2018.

24. A. Limare, C. Jaupart, E. Kaminski, L. Fourel, C. G. Farnetani, Convection in an internally-heated stratified heterogeneous reservoir, Journal of Fluid Mechanics, 870, 67-105, 2019.

25. E. Kaminski, A. Limare, B. Kenda, M. Chaussidon, Early accretion of planetesimals unraveled by the thermal evolution of the parent bodies of magmatic iron meteorites, Earth and Planetary Science Letters, in revision, 2019.