# Modèles intertemporels d’évaluation d’actifs financiers : une évaluation sur données françaises de longue période

Nicolas Nalpas

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Nicolas Nalpas. Modèles intertemporels d’évaluation d’actifs financiers: une évaluation sur données françaises de longue période. 2000. halshs-03718540

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MSE

Modèles intertemporels d'évaluation d'actifs financiers :
une évaluation sur données françaises de longue période

Nicolas NALPAS

2000.32
Modèles intertemporels d’évaluation d’actifs financiers :
une évaluation sur données françaises de longue période

Nicolas NALPAS*,**

TEAM, CNRS ESA 8059 et Université de Paris I Panthéon-Sorbonne

<footnote>* Maison des Sciences Economiques, 106-112 Boulevard de l'hôpital, 75647 Paris Cedex 13.
Mél : nalpas@univ-paris1.fr, Tél. : 0144078271, Fax : 0144078270.</footnote>

<footnote>** L'auteur tient à remercier, Pierre Villa et Pédro Arbulu pour leurs précieux conseils quant à la construction de la base de données, et Thierry Chauveau ainsi que Thierry Michel pour leurs commentaires sur des versions préliminaires de cet article. Je remercie également pour leurs suggestions les participants, du séminaire TEAM de l'université de Paris I, et des colloques, du GDR Economie Monétaire et Financière à Toulouse (1998), T2M à Montréal (1999), de l'European Meetings of the Econometric Society à Saint-Jacques de Compostelle (1999), et du Money Macro Finance Research Group à Oxford (1999). Les erreurs ou omissions éventuelles restent cependant sous la seule responsabilité de l'auteur.</footnote>
Résumé

Cet article se propose d'évaluer l'existence des énigmes de la prime de risque et du taux sans risque sur données françaises de 1897 à 1996. Nous vérifions tout d'abord l'inaptitude du modèle standard d'évaluation d'actifs basé sur la consommation à reproduire la prime de risque historique pour des valeurs raisonnables du coefficient d'aversion relative pour le risque. Pour ce faire, nous utilisons les trois pricipales méthodologies utilisées dans la littérature, ce qui nous permet, par ailleurs, d'en explorer les complémentarités. Au travers de l'analyse du modèle standard, nous montrons que le modèle avec formation d'habitudes de consommation possède des caractéristiques susceptibles d'expliquer les chroniques de consommation et de rendements d'actifs sur la période étudiée. Toutefois, il ne parvient pas tout à fait à résoudre les énigmes notamment à cause du lien que nous mettons en exergue entre le paramètre d'habitude et l'aversion relative pour le risque.

Mots-clefs

C-CAPM, Enigme de la prime de risque, Formation des habitudes.

Abstract

We examine the existence of an equity premium puzzle in France adopting a long annual data set. To do so, we first investigate the ability of the standard C-CAPM model to account for high equity premia with realistic values for the relative risk aversion coefficient. Employing the three main methods used in the literature for this purpose, we observe that they are complementary each other. We also find that the habit formation model displays some interesting characteristics in explaining the behavior of French consumption and asset returns. Nevertheless, it does not completely succeed because of the underlying positive link between risk aversion and habit persistence.

Keywords

C-CAPM, Equity Premium Puzzle, Habit formation.

Classification JEL : C13, E21, G12.
# 1. Introduction :

Dans les modèles d’évaluation d’actifs, la stratégie de placement de l’individu dépend de la distribution des rendements des actifs composant son portefeuille ; celle-ci influançant la manière dont il va pondérer les différents actifs. Les modèles statiques, et notamment le modèle d’évaluation des actifs financiers (ou CAPM), permettent de répondre à cette problématique.

Toutefois, ces modèles d’équilibre partiel ne permettent pas de comprendre comment se réalise l’arbitrage consommation-épargne de notre individu, et donc de connaître le montant de son investissement sur les différents marchés financiers, ainsi que la durée de ses placements. Pour satisfaire cette ambition, il convient d’ajouter la dimension temporelle à ces modèles. On obtient alors un modèle intertemporel d’évaluation d’actifs financiers dont le plus connu est denommé : modèle d’évaluation d’actifs financiers basé sur la consommation (ou dans la suite C-CAPM<fnref n="1" />).

Dans ce dernier modèle, l’arbitrage entre les différents actifs se limite traditionnellement à la comparaison du rendement d’un actif risqué, représenté traditionnellement par un indice action<fnref n="2" />, et du rendement d’un actif qualifié de sans risque que l’on approxime par le rendement des bons d’état de court-terme<fnref n="3" />. La différence entre ces deux rendements est appelée dans la littérature la prime de risque (ou « Equity Premium »). C’est donc le niveau de cette prime de risque ainsi que les préférences de notre consommateur qui scelleront en définitive la pondération des deux actifs dans le portefeuille de notre individu.

La prime de risque est donc censée représenter l’excès de rémunération exigé par les investisseurs pour détenir des actifs risqués en lieu et place d’actifs sans risque.

En 1985, dans un célèbre article, Mehra et Prescott rendent compte d’une prime de risque<fnref n="4" /> annuelle moyenne de 6.18 % sur le marché américain entre 1889 et 1978. Un tel écart de rendement ne devrait pas laisser indifférent un individu rationnel. Prenons un exemple<fnref n="5" /> concret pour matérialiser ce qu’un tel niveau de prime de risque peut induire sur la

<footnote n="1">¹Pour Consumption-based Capital Asset Pricing Model.</footnote>

<footnote n="2">²On choisira en général un indice suffisamment large pour être qualifié de représentatif du marché que l'on considère.</footnote>

<footnote n="3">³On prendra une obligation d'état plutôt qu'une obligation privée car le risque de défaut de la première est considéré comme nul, si toutefois on se place un pays de l'O.C.D.E. ; on considérera un titre à court-terme plutôt qu'un titre à long terme pour limiter le plus possible le risque de perte en capital représenté par l'inflation.</footnote>

<footnote n="4">⁴En effet, le rendement réel annuel moyen sur des Treasaury Bill à 3 mois s'établit à 0.8% alors que dans le même temps, le rendement de l'indice Standard and Poor's 500 s'élève à 6.98 %, de telle sorte que la prime de risque moyenne est de 6.18%.</footnote>

<footnote n="5">⁵Inspirée d'une idée de Siegel et Thaler (1997).</footnote>
performance des deux portefeuilles extrêmes (e. de deux portefeuilles composés à 100 % de l'un ou l'autre des deux actifs considérés) :

En 1889, supposez qu’un de vos ailleurs ait eu quelques économies à placer (par exemple mille dollars<fnref n="6" />), afin de vous constituer un capital pour votre majorité. Faisons l’hypothèse en outre, qu’il anticipe rationnellement votre majorité en 1978.

D'un naturel prudent, et s'inquiétant de la volatilité des cours sur le marché des actions, il décide d'investir les mille dollars dans l'achat de bons du trésor américain à trois mois. En 1978, retirant ses fonds, il aurait gagné en termes réels à peu près 2050 USD, soit à peu de chose près deux fois la mise initiale pour un investissement sur 90 années. Imaginons maintenant qu'il ait décidé à l'époque d'investir la somme dans l'achat d'un portefeuille d'actions (par exemple dans le portefeuille équi-pondéré S&P 500 composé de 500 entreprises côtées sur le NYSE). Avec cette stratégie, vous auriez reçu en 1978 un capital évalué en termes réels de plus de 433 000 USD, soit plus de 211 fois le capital hérité du placement précédent et plus de 433 fois la mise initiale.

Ainsi sur longue période, la prime de risque observée apparaît très importante, à tel point que Mehra et Prescott (1985) ont parlé d'énigme de la prime de risque (ou « Equity Premium Puzzle »). Cette énigme se réfère à l'apparente inaptitude des modèles intertemporels standard d'évaluation d'actifs à expliquer la prime de risque moyenne observée sur les données américaines : Mehra et Prescott ont ainsi montré, en calibrant un modèle d'équilibre général avec agent représentatif sur les données américaines, que ce dernier ne parvenait à reproduire la prime de risque historique qu'au prix d'un coefficient d'aversion pour le risque anormalement élevé (proche de 40). De telles valeurs pour ce coefficient sont généralement considérées comme non représentatives du comportement de l'agent (C.f. infra).

En outre, l'acceptation de ce niveau d'aversion pour le risque, comme une description correcte de son comportement vis à vis du risque, conduit à une autre énigme dite du taux sans risque (ou « Risk Free Rate Puzzle ») mise en lumière par Weil (1989).

Ces énigmes, outre leurs implications en économie financière, n'en demeurent pas moins un challenge pour la macroéconomie toute entière. En effet, l'échec des modèles standard dans l'explication du niveau de la prime de risque vient remettre en cause la

<footnote n="6">⁶ USD dans la suite.</footnote>

<footnote n="7">⁷ Du type C-CAPM.</footnote>
modélisation adoptée dans bon nombre d'articles de macroéconomie<fnref n="8" /> dont les spécifications concernant la représentation du comportement du consommateur sont similaires.

Depuis 1985, une vaste littérature s'est développée afin de tenter de résoudre l'énigme de la prime de risque. Elle s'articule autour de trois axes principaux de recherche; chacun d'entre eux tentant de lever une des trois hypothèses majeures qui sous-tendent les résultats obtenus par Mehra et Prescott, à savoir :

- la compléture des marchés;

- un agent représentatif muni de préférences séparables et iso-élastiques;

- l'absence de coûts de transaction.

Toutefois, comme le souligne Kocherlakota (1996), aucune des tentatives jusqu'ici entreprises ne semblent avoir complètement résolu les énigmes sur le marché américain. Néanmoins, les contributions s'articulant autour de la généralisation des préférences du consommateur représentatif ont nettement été plus fécondes, notamment parce qu'elles permettent de garder un cadre d'analyse semblable<fnref n="9" /> à celui proposé par Mehra et Prescott : Abel (1990), Constantinides (1990), Epstein et Zin (1990) et Weil (1989), et plus récemment, Campbell et Cochrane (1999) et Chauveau et Nalpas (1999), exposent les différentes formes de représentation des préférences qui ont été utilisées par la littérature pour résoudre les énigmes.

De toutes ces représentations des préférences, l'idée que le consommateur incorpore une propriété d'habitudes de consommation apparaît sans doute comme la plus séduisante en termes d'interprétation économique.

En effet, avec des préférences standard additives et séparables, l'utilité d'un agent à la date *t* est indépendante de toute la chronique de ses consommations passées. Formalisant des propositions datant d'un demi-siècle formulées par Duesenberry (1949), la formation d'habitudes de consommation permet de faire dépendre l'utilité marginale du consommateur représentatif de sa consommation passée. Ainsi, la satisfaction d'un agent à un moment donné dépend non pas uniquement de sa consommation présente, mais du surplus de sa consommation par rapport à un niveau auquel il aura été habitué par le passé.

Enfin, jusqu'à présent la quasi-totalité des études sur l'énigme de la prime de risque a porté sur des données américaines. Seuls quelques auteurs se sont attachés à valider ces résultats dans d'autres pays : Lund et Engsted (1996) testent un C-CAPM sur données

<footnote n="8">⁸ On peut citer, par exemple, la macroéconomie des cycles réels et la problématique de Lucas (1987) sur le coût en bien-être des fluctuations économiques.</footnote>

<footnote n="9">⁹ Une économie avec marchés complets sans frictions et agent représentatif.</footnote>
allemandes, anglaises, danoises et suédoises ; Hamori (1992) travaille sur le Japon, tandis que Bufman et Leiderman (1990) explorent des données israéliennes. Seuls Epaulard et Pommeret (1999) et Allais et Nalpas (1999) ont travaillé sur des données françaises mais sur des durées relativement courtes (d'un quart de siècle à moins d'un demi-siècle).

Notre premier objectif sera donc d'examiner sur longue période, à l'instar de Mehra et Prescott (1985), la présence éventuelle d'une énigme de la prime de risque sur le marché français, ce qui n'a jamais encore été entrepris à notre connaissance.

En outre, les méthodes empiriques d'analyse sont multiples et font appel à des
logiques ou à des hypothèses différentes (C.f. infra). Notre travail visera donc à réunir dans
une seule et même étude l'éventail des techniques<fnref n="10" /> qui ont été utilisées par la littérature; ceci
nous permettant en outre d'en explorer les complémentarités.

Nous appliquons ensuite ces techniques sur un modèle avec préférences standard.
Nous montrons au travers de son analyse, que le modèle avec formation d'habitudes possède
des caractéristiques intrinsèques capables d'améliorer les résultats obtenus, ce que nous
vérifions en lui appliquant les mêmes méthodes d'investigation.

La suite de cet article est donc organisée de la manière suivante. Dans une première
partie, nous présentons le cadre général des modèles que nous étudions ainsi que les données
que nous utilisons. Nous nous attachons ensuite dans une seconde partie, après avoir décrit les
trois méthodes utilisées, à mesurer la capacité du modèle standard à produire des primes de
risque élevées. La partie suivante s'y emploie de la même manière en retenant cette fois-ci le
modèle avec formation d'habitudes. Enfin, la dernière partie sert de conclusion et présente
quelques extensions possibles.

2. Le Cadre d'analyse :

2.1. Les données :

Les données que nous utilisons dans cet article se composent de séries sur la période
allant de 1897 jusqu'à 1996. Notre étude portera cependant sur une période plus courte,
puisque nous excluons de notre base, les données des années 1939 à 1948 pour lesquelles
nous ne disposons pas de mesure de la consommation des ménages. Toutefois, les séries que
nous aurions pu recueillir sur ces années, qui correspondent soit à des années de guerre, soit à
des années de rationnement, ne seraient de toute façon pas représentative du modèle que nous

<footnote n="10">¹⁰ La calibration de Mehra et Prescott (1985), l'estimation économétrique par les GMM d'Hansen (1982) et la</footnote>
étudions<fnref n="11" />; ceci justifiant l'utilisation d'une base de données tronquée. En Annexe A, nous trouvons la description complète de la base constituée.

<table><caption>Tableau 1</caption><thead><tr><th colspan="3">Résumé statistique des données françaises 1897-1996 (en %)</th></tr></thead><tbody><tr><th colspan="3">Moyennes sur l'échantillon</th></tr><tr><td>R<sub>t</sub><sup>e</sup></td><td colspan="2">5,58</td></tr><tr><td>R<sub>t</sub><sup>f</sup></td><td colspan="2">-1,29</td></tr><tr><td>C<sub>t</sub>/C<sub>t-1</sub></td><td colspan="2">1,93</td></tr><tr><th colspan="3">Matrice de variance covariance</th></tr><tr><td></td><td>R<sub>t</sub><sup>e</sup></td><td>R<sub>t</sub><sup>f</sup></td><td>C<sub>t</sub>/C<sub>t-1</sub></td></tr><tr><td>R<sub>t</sub><sup>e</sup></td><td>2,6543</td><td></td><td></td></tr><tr><td>R<sub>t</sub><sup>f</sup></td><td>0,1837</td><td>0,4009</td><td></td></tr><tr><td>C<sub>t</sub>/C<sub>t-1</sub></td><td>0,1215</td><td>-0,0203</td><td>0,2064</td></tr></tbody><tfoot><tr><td colspan="4">C<sub>t</sub>/C<sub>t-1</sub> représente le taux de croissance réel de la consommation par tête.</td></tr><tr><td colspan="4">R<sup>f</sup> est le rendement réel des bons du trésor de court-terme</td></tr><tr><td colspan="4">R<sup>e</sup> est le rendement réel des actions</td></tr></tfoot></table>

## 2.2. Le modèle :

Le C-CAPM<fnref n="12" /> introduit par Lucas (1978) constitue le cadre classique pour l'évaluation d'actifs dans un cadre dynamique. Le nécessaire dépassement de l'analyse statique représenté par la célèbre équation du MEDAF de Sharpe (1964), provient de la constatation suivante : si les marchés financiers jouent un rôle déterminant sur le niveau de la consommation, de par notamment leurs effets induits sur le partage du revenu, la consommation elle-même exerce aussi des effets rétroactifs importants sur les marchés financiers, puisqu'elle induit le montant alloué aux différents placements.

Nous considérons un marché financier où l'on échange seulement deux types d'actifs : un actif sans risque *f* et un actif risqué<fnref n="13" /> *e*. D'autre part, nous supposons l'existence d'un agent qui répartit sa richesse entre consommation et épargne ; cette dernière étant placée sur le marché financier dans les deux actifs qui le composent. L'agent représentatif cherche alors à maximiser l'espérance actualisée de son utilité intertemporelle, soit :

<footnote>méthode mixte proposée par Hansen et Jaganathan (1991).</footnote>

<footnote n="11">¹¹ Celui-ci repose en effet sur la maximisation de l'espérance de l'utilité que l'agent retire de sa consommation et présuppose donc, que celui-ci peut consommer autant qu'il le désire.</footnote>

<footnote n="12">¹² Breeden (1979) le transposera dans une formulation en temps continu.</footnote>

<footnote n="13">¹³ Comme nous l'avons précisé en introduction, l'actif risqué s'apparente à une action alors que l'actif sans</footnote>
$$
\max_{C_t} E_0 \left[ \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U(C_t) \right] \text{ avec } 0 < \beta < 1 \qquad (2.1)
$$

où $C_t$ représente sa consommation, $\beta$, sa préférence pour le présent, $E_0[\cdot]$ désigne l'espérance conditionnelle à l'information connue à la date $0$, et $U: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ est une fonction d'utilité croissante concave.

Par ailleurs sa contrainte budgétaire s'écrit :

$$
C_t = (y_t + p_t^e) e_{t-1} - p_t^e e_t + f_{t-1} - p_t^f f_t
$$

où $y_t$ est le dividende attaché à l'action à la période $t$, $p_t^e$ et $p_t^f$ sont respectivement les prix de l'action et de l'actif sans risque à la période $t$, et enfin $e_t$ respectivement $f_t$ sont les quantités d'actions et d'actifs sans risque détenues à la période $t$.

En notant $W_t$ la richesse de l'agent à la date $t$, nous pouvons réécrire la contrainte budgétaire de l'agent sous forme de deux équations comme suit :

$$
\begin{cases}
W_t = C_t + p_t^e e_t + p_t^f f_t \\
W_{t+1} = (y_{t+1} + p_{t+1}^e) e_t + p_{t+1}^f f_t
\end{cases}
$$

En remarquant que $W_t$ joue le rôle d'une variable d'état et que les variables de contrôle sont $e_t$ et $f_t$, nous pouvons en déduire l'équation de Bellman de ce problème, soit :

$$
V_t(W_t) = \max_{e_t, f_t} \{u(W_t - p_t^e e_t - p_t^f f_t) + \beta E_t[V_{t+1}(W_{t+1})]\}
$$

Les conditions du premier ordre du programme (2.1), plus connues sous le nom
d'équations d'Euler<sup>14</sup>, s'écrivent :

$$
p_t^e U'(C_t) = E_t \left[ \beta U'(C_{t+1}) (p_{t+1}^e + y_{t+1}) \right] \quad (2.2)
$$

$$
p_t^f U'(C_t) = E_t[\beta U'(C_{t+1})] \quad (2.3)
$$

Ces équations peuvent aussi s'interpréter en rendement et être mises sous la forme de
conditions de moment. On obtient dans ce cas :

$$
E_t \left[ \beta \frac{U'(C_{t+1})}{U'(C_t)} (1 + r_{t+1}^e) \right] = 1 \qquad (2.4)
$$

$$
E_t \left[ \frac{U'(C_{t+1})}{U'(C_t)} (r_{t+1}^e - r_{t+1}^f) \right] = 0 \qquad (2.5)
$$

<footnote>risque est représenté par une obligation d'état de court-terme.</footnote>

<footnote n="14"><sup>14</sup> La solution de ce programme est donnée en Annexe B.</footnote>
Sous cette forme, ces équations peuvent s'interpréter de la manière suivante :
l'équation (2.4) résume l'arbitrage entre consommation et épargne alors que l'équation (2.5)
exprime l'arbitrage dans le placement entre actif risqué et actif sans risque.

D'autre part, le terme $\beta \frac{U'(C_{t+1})}{U'(C_t)}$ est appelé dans la littérature facteur d'actualisation
stochastique ou « pricing kernel ». Comme nous le verrons dans les deux parties suivantes de
cet article, suivant les représentations des préférences adoptées, ce terme peut recouvrer
différentes formes.

On remarque, en outre, que la mesure du risque attaché à la détention d'un titre dans le
cadre du C-CAPM repose non plus sur la covariance de son rendement avec celui du
portefeuille de marché<fnref n="15" />, mais sur la covariance de son rendement avec la consommation de
l'agent représentatif. Aussi, si cette covariance est élevée, la vente du titre réduira par là
même le risque auquel l'agent est exposé. L'équilibre est alors atteint lorsqu'il est équivalent
pour l'agent de vendre son titre, afin de réduire son risque, ou de le garder en portefeuille.

Le tableau 1 contient les principales statistiques descriptives pour les trois variables
impliquées dans le C-CAPM de Lucas. L'observation de ces statistiques fournit alors une
explication simple de l'excès de rendement des actions par rapport aux bons du trésor :
puisque la covariance entre le rendement des actions et le taux de croissance de la
consommation est bien plus importante que celle qui lie le taux de croissance de la
consommation avec le taux de rendement des bons du trésor, les actions apparaissent comme
plus risquées aux yeux de l'agent représentatif. Ce dernier réclame donc une rémunération
plus élevée pour détenir des actions, ce qui se traduit par une prime de risque positive. Par
conséquent, les données françaises ne semblent pas contredire les enseignements issus de la
théorie.

La prime de risque est toutefois plus élevée que celle que l'on observe sur données
américaines puisqu'elle s'établit à 6.87% au lieu de 6.18% aux USA. Elle ne semble pas être
dépendante de la période d'étude puisqu'Allais et Nalpas (1999) et Epaulard et Pommeret
(1999) rendent compte aussi pour la France d'une prime de risque moyenne supérieure à 6%.
Ce qui différencie aussi les données françaises des données américaines est la présence de
taux de rendement réel annuel moyen négatif pour les obligations d'état de court terme. Ce
phénomène principalement dû à la période continue de forte inflation entre 1955 et 1984
explique largement la plus forte prime de risque observée sur le marché français<fnref n="16" />.

<footnote n="15">¹⁵ Comme cela l'est dans le CAPM.</footnote>

<footnote n="16">¹⁶ Puisque le taux de rendement réel annuel moyen sur actions américaines dépasse de plus de 1% celui des</footnote>
## 2.3. Les méthodes d'investigation :

Pour établir l'éventuelle présence d'une énigme de la prime de risque, nous appliquerons les trois principales méthodologies proposées par la littérature. L'intérêt de l'utilisation de la pluralité des méthodes provient des jeux d'hypothèses différents auxquels elles font appel, ce qui permet ainsi d'en explorer les complémentarités.

Leur point de départ reste tout de même commun : il s'agit de savoir si il existe un jeu de paramètres “acceptable” représentant les préférences du consommateur qui permettent d'expliquer les chroniques de consommation et de rendements d'actifs sur longue période.

Le C-CAPM offre trois degrés de liberté pour dépeindre les préférences de notre consommateur représentatif : son aversion relative pour le risque, son taux de préférence pour le présent et éventuellement<fnref n="18" /> l'élasticité de substitution intertemporelle de sa consommation.

La théorie économique sur le comportement du consommateur ainsi que ses différentes validations empiriques ont apposé des normes réalistes sur ces paramètres. Arrow (1970), compilant plusieurs études, indique que l'aversion relative pour le risque du consommateur moyen est une fonction constante de sa richesse initiale et que son niveau est proche de l'unité. Sur des données de marché, Friend et Blume (1975) estiment ce coefficient aux alentours de 2. Mehra et Prescott (1985) citent d'autres études qui confortent l'hypothèse d'un coefficient peu différent de 1. En tout état de cause, seuls des coefficients d'aversion relative pour le risque inférieurs à 10 peuvent être considérés comme correspondant aux préférences dans le risque de l'agent représentatif.

Pour s'en convaincre, imaginez vous dans la situation où vous faites face à une loterie qui peut vous faire gagner ou perdre w % de votre richesse initiale avec une probabilité d'occurrence 1/2 L'équation suivante permet de calculer la proportion p de votre richesse que vous abandonneriez pour éviter de participer à cette loterie.

$$p = 1 - \left[ \frac{1}{2} (1-w)^{1-\alpha} + \frac{1}{2} (1+w)^{1-\alpha} \right]^{\frac{1}{1-\alpha}} \text{ avec } \alpha \neq 1 \qquad (2.6)$$

Considèrons que 25 % de votre richesse est en jeu dans cette loterie, si votre aversion relative pour le risque α valait 2, la relation (2.6) indique que vous seriez prêt à payer l'équivalent de 6.25 % du total de votre richesse pour ne pas participer à cette loterie ; si elle était de 10, c'est plus de 19 % de votre richesse que vous abandonneriez ; enfin, si votre aversion atteignait les 30, c'est alors plus de 23 % de votre richesse que vous céderiez.

<footnote>actions françaises.</footnote>

<footnote n="17">¹⁷ Au regard des normes que l'économie expérimentale a jusqu'ici fixées.</footnote>

<footnote n="18">¹⁸ Nous préciserons plus tard dans quel cadre ce paramètre joue pleinement son rôle.</footnote>
Si il est déjà peu vraisemblable de croire que le consommateur moyen soit prêt à payer 19 % de sa richesse pour éviter une loterie équiprobable qui peut lui faire gagner ou perdre 25 % de celle-ci, il est par contre complètement irréaliste de penser qu'il soit disposer à aller jusqu'à 23 % et plus. C'est pourquoi, il est "raisonnable" de penser qu'une aversion relative inférieure à 10 soit représentative du comportement dans le risque de notre consommateur.

Quant au taux d'escompte psychologique de ce dernier, il existe un large consensus parmi les économistes pour penser que ce coefficient est inférieur à 1, et qu'il traduit ainsi une préférence pour le présent.

Les méthodes que nous allons employer afin d'évaluer la pertinence du C-CAPM sont de trois ordres. La première, initiée par Mehra et Prescott (1985), s'apparente à un exercice de calibration à la Kydland Prescott (1982) : il s'agit de vérifier si le modèle C-CAPM intertemporel contraint par un processus de consommation est en mesure de produire des couples (taux d'intérêt, prime de risque) proches de ceux historiquement observés sur la période 1897-1996. La seconde, introduite par Hansen et Jagannathan (1991), se place au niveau de l'équilibre partiel que constitue les conditions du premier ordre du programme du consommateur représentatif. Nous cherchons alors à savoir, si la volatilité du taux marginal de substitution intertemporel induit par les préférences du consommateur est assez élevée pour franchir la frontière moyenne-variance déduite à partir des rendements des actifs financiers sur la période considérée. La troisième méthode, proposée par Hansen (1982), est économétrique. Elle vise, directement à partir des équations d'Euler, à estimer les paramètres représentant les préférences du consommateur.

### 3. Préférences standard et Primes de risque :

Dans cette partie, à l'instar de Mehra et Prescott (1985), nous supposons que notre agent possède des préférences iso-élastiques séparables. Sa fonction d'utilité est donc de type CRRA, c'est à dire à aversion relative pour le risque constante.

Nous considérons la fonction d'utilité suivante : $U(C_t) = \frac{c_t^{1-\alpha} - 1}{1-\alpha}$. On remarque d'une part, que cette fonction tend vers la fonction logarithme quand $\alpha$ tend vers 1 et d'autre part qu' $\alpha$ représente l'aversion relative pour le risque de l'agent.

Le programme (2.1) se réécrit donc de la manière suivante :
$$
\begin{gather*}
\max_{c_t} E_0 \left[ \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t \frac{c_t^{1-\alpha} - 1}{1-\alpha} \right] \\
\text{s.c.: } c_t = (y_t + p_t^e) e_{t-1} - p_t^e e_t + f_{t-1} - p_t^f f_t
\end{gather*}
$$

Le facteur d'actualisation stochastique, qui est aussi le taux marginal de substitution intertemporel (TMSI dans la suite) de notre consommater, étant donné par $\beta^{\left(c_{t+1}/c_t\right)^{-\alpha}}$, les conditions d'Euler (2.4) et (2.5) se reecrivent de la façon suivante :

$$
E_t \left[ \beta \left( \frac{c_{t+1}}{c_t} \right)^{-\alpha} (1 + r_{t+1}^e) \right] = 1 \qquad (3.1)
$$

$$
E_t \left[ \left( \frac{c_{t+1}}{c_t} \right)^{-\alpha} (r_{t+1}^e - r_{t+1}^f) \right] = 0 \qquad (3.2)
$$

**3.1. La calibration du modèle standard :**

Dans cette section, nous considérons un modèle dérivé de celui que nous avons présenté en section 2 ; soit une économie d'échange dans laquelle vit un grand nombre d'agents cherchant à maximiser l'espérance actualisée de l'utilité de leur consommation. Le seul bien durable est constitué par un ensemble “d'arbres” que l'on prendra égal au nombre d'agents. Chaque arbre rapporte en début de période à son propriétaire, un dividende que l'on peut assimiler à un “fruit” de montant $d_t$. Le dividende est supposé non stockable. Dans cette économie chaque agent naît doté d'un arbre et de son dividende associé.

L'hypothèse de marché complet justifie dans une économie de ce type d'utiliser le paradigme de l'agent représentatif<fnref n="19" />. Cette dernière peut donc se réduire à une économie à un seul bien de consommation périssable produit par une unique unité de production. Il existe, par ailleurs deux actifs, une action, dont le rendement est aléatoire, et, un actif sans risque dont le rendement est certain. A chaque période, l'entreprise (ou l'arbre) distribue aux actionnaires un dividende qui correspond à l'extrant de la firme, tandis que l'actif sans risque donne droit à son propriétaire à une unité de bien de consommation à la période suivante.

Puisque le bien de consommation est supposé non stockable et que l'utilité marginale est croissante, le dividende à l'équilibre, est égal à la consommation. L'existence de l'équilibre dans une telle économie entraîne donc les égalités suivantes :

<footnote n="19">¹⁹ Voir Constantinides (1982) pour une demonstration.</footnote>
$$c_t = y_t, e_t = 1 \text{ et } f_t = 0 \quad \forall t.$$

Puisqu'il n'y a qu'une seule action, la rentabilité de cette dernière est égale ici à la rentabilité de l'indice de marché.

D'autre part Mehra et Prescott supposent que le taux de croissance de l'économie<fnref n="20" /> suit une chaîne de Markov stationnaire ergodique. On écrit alors :

$$y_{t+1} = x_{t+1} y_t \quad \text{où } x_{t+1} \in \{\lambda_1, \dots, \lambda_n\} \text{ est le taux de croissance de la production avec :}$$

$$\text{Prob}(x_{t+1} = \lambda_j / x_t = \lambda_i) = \phi_{ij}$$

Cette hypothèse permet d'évaluer sans difficulté l'espérance conditionnelle présente dans les équations (3.1) et (3.2), puisque la prévision des niveaux des variables en $t+1$ ne dépend plus alors que des niveaux observés en $t$. Elles peuvent alors se réécrire de la manière suivante :

$$p^e(c, i) = \beta \sum_{j=1}^{n} \phi_{ij}(\lambda_j c)^{-\alpha} [p^e(\lambda_j c, j) + \lambda_j c]^{\alpha} \quad (3.3)$$

$$p^f(c, i) = \beta \sum_{j=1}^{n} \phi_{ij}(\lambda_j c)^{-\alpha} c^{\alpha} = \beta \sum_{j=1}^{n} \phi_{ij}(\lambda_j)^{-\alpha} \quad (3.4)$$

Dès lors, on peut calculer les rentabilités de l'action et de l'actif sans risque dans cette économie puisque si l'on dénote l'état courant par le couple $(c,i)$, l'état suivant sera $(\lambda_j c, j)$, et la rendement de l'action entre les deux périodes est donné par :

$$r_{ij}^e = \frac{p^e(\lambda_j c, j) + \lambda_j c - p^e(c, i)}{p^e(c, i)} \quad (3.5)$$

Ainsi, le rendement attendu de l'action si l'état courant de l'économie est $i$ est :

$$R_i^e = \sum_{j=1}^{n} \phi_{ij} r_{ij}^e \quad (3.6)$$

Le rendement certain de l'actif sans risque quand l'état courant est $i$ est donné par :

$$R_i^f = \frac{1}{p_i^f} - 1 \quad (3.7)$$

La chaîne de Markov étant supposée ergodique, il existe donc, comme le montre Hamilton (1994), un vecteur de probabilité stationnaire sur $i \in \mathbb{R}^n$, tel que $\pi$ soit solution du système d'équations suivant :

<footnote n="20">²⁰ Avec nos hypothèses, il correspond aussi au taux de croissance de la consommation.</footnote>
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\pi = \phi^T \pi \\
\text{avec} \\
\sum_{i=1}^{n} \pi_i = 1 \text{ et } \phi^T = \{\phi_{ji}\}
\end{array}
\right.
$$

Nous pouvons, dès lors, calculer les rendements espérés sur le titre risqué et l’actif
sans risque. Ils s’obtiennent comme suit :

$$
R^e = \sum_{i=1}^{n} \pi_i R_i^e \quad \text{et} \quad R^f = \sum_{i=1}^{n} \pi_i R_i^f \qquad (3.8)
$$

La prime de risque se déduit alors simplement par la relation : PR = R<sup>e</sup> - R<sup>f</sup>

La calibration se compose de deux types de paramètres : d'une part les paramètres définissant les préférences<fnref n="21" /> de l'agent représentatif (α,β), et d'autre part les paramètres correspondant à la technologie <fnref n="22" /> de l'économie ({φ<sub>ij</sub>} et λ<sub>j</sub>).

Nous nous restreignons dans la suite à une chaîne de Markov à 2 états. En effet, comme l'ont montré Mehra et Prescott (1985), l'adoption d'une chaîne à quatre ou huit états ne modifie que très marginalement les résultats. De plus l'interprétation d'une forme à deux états est bien plus directe, puisque dans ce cas l'économie ne comprend que deux phases : une phase d'expansion (dans le bon état de la nature) et une phase de récession (dans le mauvais état de la nature).

Dans la suite, $\lambda_1$ représente le taux de croissance dans le bon état de la nature tandis que $\lambda_2$ correspond à celui du mauvais état de la nature. En notant $\mu$ le taux de croissance annuel moyen de l'économie et $\delta$ l'écart-type de ce taux, on peut modéliser le taux de croissance de notre économie dans les deux états de la nature par les expressions suivantes :

$$
\lambda_1 = 1 + \mu + \delta \quad \text{et} \quad \lambda_2 = 1 + \mu - \delta
$$

Par ailleurs, les probabilités de transition d'un état à un autre sont donnés par :

$$
\phi_{12} = \phi_{22} = \phi \quad \text{et} \quad \phi_{12} = \phi_{21} = 1 - \phi
$$

La probabilité de transition d'une matrice à deux états se calcule très simplement lorsque l'on considère un processus autorégressif d'ordre 1 (AR(1)) puisqu'elle ne dépend alors que de l'autocorrélation du premier ordre du dit processus. L'Annexe C fournit les éléments qui permettent de la calculer.

<footnote n="21"><sup>21</sup> Soit son aversion relative pour le risque et son taux de préférence pour le présent.</footnote>

<footnote n="22"><sup>22</sup> Soit la probabilité de passer d'un état à un autre, et le taux de croissance de la consommation dans l'état que l'on considère.</footnote>
Nous appliquons la méthode de Box et Jenkins (1976) afin d'identifier le type de processus stationnaire<fnref n="23" /> que suit le taux de croissance de la consommation réelle par tête en France sur la période 1897-1996. Les résultats confortent l'hypothèse d'un AR(1).

Dès lors nous sommes en mesure de calibrer notre économie : les valeurs attribuées aux paramètres sont choisies de telle sorte que le taux de croissance moyen de la consommation réelle par tête μ, l'écart-type de ce taux δ et son autocorrélation du premier ordre correspondent aux valeurs observées en France pour la période 1897-1996, soit respectivement 0.0193, 0.0454 et -0.054. Le tableau 1 (C.f. supra) résume une partie de ces statistiques.

Nous affectons donc les valeurs suivantes aux paramètres :

$$ \mu=0.0193, \delta=0.0457, \text{ et } \phi=0.473 $$

Nous cherchons alors les équilibres (taux sans risque ; prime de risque) en faisant varier les paramètres représentant les préférences du consommateur représentatif<fnref n="24" /> (α, β). Comme nous l'avons précédemment discuté, les intervalles de fluctuation de ce couple de paramètres sont restreints respectivement à [0 ; 10] et [0 ; 1].

De plus, à l'instar de Mehra et Prescott, nous ne représentons que les points d'équilibre obtenus pour des valeurs du taux sans risque inférieures à 4%; ceci provient du très faible<fnref n="25" /> rendement réel constaté sur les bons du trésor de court-terme.

Comme le montre le graphique 1, sur la période 1897-1996, le C-CAPM avec une fonction d'utilité séparable et additive permet de produire une prime de risque maximum de 0.56%, alors que la prime historique moyenne vaut 6.87%. Il apparaît donc clairement que les primes de risque observées sur le marché français ne peuvent être expliquées dans le cadre des modèles de type C-CAPM avec fonction d'utilité séparable et additive. En se référant aux termes employés par Mehra et Prescott, nous pouvons conclure qu'il existe bien une énigme de la prime de risque dans le cas de la France.

Le graphique 2 permet quant à lui de visualiser la sensibilité, d'une part à l'aversion relative pour le risque, et d'autre part au taux d'escompte psychologique, des primes de risque et du taux de rendement de l'actif sans risque.

<footnote n="23">²³ Nous avons aussi procédé, à l'aide des tests de Dickey et Fuller (1979), à l'examen de la stationnarité de la série de consommation par tête en niveau et vérifié que cette dernière est I(1); nous avons considéré alors à l'instar de Mehra et Prescott, le taux de croissance de la consommation par tête.</footnote>

<footnote n="24">²⁴ Son aversion relative pour le risque et son taux de préférence pour le présent.</footnote>

<footnote n="25">²⁵ Il est même négatif dans le cas de la France.</footnote>
Graphique 1 : Primes de risque simulées

Le cas de la France (1897-1996) : $\alpha \in [0;10]$, $\beta \in [0;1]$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Graphique 2 :
Primes de risque et taux sans risque
en fonction des paramètres
représentant les préférences du consommateur

<figure><img src="image_4.png" /></figure>
Ce graphique permet de bien comprendre les différents effets symétriques qui ont cours dans le modèle. Pour obtenir de fortes primes de risque, nous devrions considérer que le consommateur représentatif est très averse au risque. Nous remarquons bien que seul le paramètre d'aversion relative pour le risque joue un role dans la détermination de la prime de risque, et qu'il existe bien une relation croissante entre ce dernier et la prime de risque<fnref n="26" /> qui en découle. Nous observons également qu'à mesure qu'il croît, le taux de rendement de l'actif sans risque à l'équilibre<fnref n="27" /> augmente.

Cette caractéristique mise en exergue par Weil (1989) donne lieu à ce que ce dernier a appelé l'énigme du taux sans risque (ou « Risk-free rate puzzle »). Une manière duale de considérer cette énigme consiste à étudier les données du tableau 1 : nous remarquons que le taux de croissance de la consommation a avoisiné les 2% par an. Un tel processus d'accumulation nécessite un taux d'épargne élevé, alors même que le rendement de l'actif sans risque s'est révélé négatif sur la période (-1.29%), ce qui apparaît paradoxal.

L'origine de cette dernière énigme provient de ce que dans le modèle décrit dans cette section, il existe une relation inverse entre deux notions qui ont des implications fort différentes sur la représentation du comportement de l'agent représentatif : à savoir, son aversion relative pour le risque, $α$, qui traduit le désir de l'agent d'avoir un niveau de consommation plus ou moins similaire selon les différents états de la nature qui se realisent, et, l'élasticité de substitution intertemporelle de sa consommation $1/α$ qui correspond à sa disposition à différer sa consommation dans le temps.

Aussi, plus $α$ est petit, et plus l'utilité marginale de l'agent baisse lentement avec l'augmentation de sa consommation et plus il est prêt à différer sa consommation dans le temps pour tirer parti des écarts entre son taux de préférence pour le présent et le rendement que lui procure son épargne. C'est bien ce que nous observons sur le graphique 2 : à savoir que les plus bas taux sans risque d'équilibre sont obtenus avec les coefficients d'aversion relative pour le risque les plus petits.

Il apparaît donc difficile d'obtenir en même temps une prime de risque élevée et un taux sans risque faible, c'est pourquoi ces deux énigmes sont si connexes. Aussi, toute résolution de l'énigme de la prime de risque passe par la résolution simultanée de celle du taux sans risque.

<footnote n="26">²⁶ Ce qui apparaît conforme à la théorie, puisqu'un consommateur plus averse au risque demandera une rémunération plus forte pour un risque donné.</footnote>

<footnote n="27">²⁷ En réalité, cette relation n'est pas monotone, mais seule la première partie de la courbe présente un certain</footnote>
Toutefois, le graphique 2 laisse entrevoir une possible solution à l'énigme du taux sans risque, si l'on suppose que le consommateur possède une préférence pour le futur. Ceci permettrait alors de contraindre l'agent à épargner, et ainsi à réduire, toutes choses égales par ailleurs, le taux de rendement de l'actif sans risque à l'équilibre, quand bien même l'élasticité de substitution intertemporelle de sa consommation serait importante.

Même si Kocherlakota (1990) a montré qu'il peut exister un equilibre concurrentiel avec des $\beta$ strictement supérieurs à l'unité, il est peu "raisonnable" de penser que dans une économie en croissance régulière, de telles préférences pour le futur soient représentatives du comportement du consommateur "moyen".

Néanmoins, l'adoption de préférences présentant une caractéristique de formation d'habitudes de consommation pourrait s'avérer intéressante, puisque, dans un tel cadre, il est très couteux en terme d'utilité pour l'agent de voir sa consommation baisser entre deux périodes. Il serait donc alors largement incité à épargner pour pallier de telles éventualités, et ce, même en considérant des taux de rendement faibles.

## 3.2. Les frontières d'Hansen et Jagannathan :

L'analyse de Mehra et Prescott a pour caractéristique de représenter une économie en équilibre général. Outre les hypothèses sur l'existence de marchés complets et sans frictions, nous avons du supposer que le taux de croissance de la consommation était parfaitement corrélaté avec celui suivi par les dividendes. Afin d'évaluer la portée d'une telle hypothèse, nous suivons dans cette sous-section une analyse en équilibre partiel proposée initialement par Hansen et Jagannathan (1991).

Nous nous placons dorénavant uniquement du côté de l'équilibre du consommateur représenté par les équations d'Euler (3.1) et (3.2).

En prenant l'espérance inconditionnelle de l'équation (3.1), nous obtenons :

$$ 
\begin{aligned}
& E\left[\beta\left(\frac{c_{t+1}}{c_t}\right)^{-\alpha}(1+r_{t+1}^e)\right] = E\left[\beta\left(\frac{c_{t+1}}{c_t}\right)^{-\alpha}\right]E\left[1+r_{t+1}^e\right] + \text{cov}\left(\beta\left(\frac{c_{t+1}}{c_t}\right)^{-\alpha}, (1+r_{t+1}^e)\right) && (3.6) \\
&= 1
\end{aligned}
$$

Ce qui peut se réécrire en introduisant un actif sans risque qui est donc de covariance nulle avec le facteur d'actualisation stochastique :

$$ E[r_{t+1}^e - r_{t+1}^f] = -E[1 + r_{t+1}^f] \text{cov} \left( \beta \left( \frac{c_t}{c_{t+1}} \right)^\alpha, r_{t+1}^e \right) \quad (3.7) $$

interet, puisqu'elle correspond aux coefficients d'aversion relative pour le risque admissibles.
L'espérance de la prime de risque est donc d'autant plus grande que la covariance entre le facteur d'actualisation stochastique et le rendement de l'actif risqué est négative.

A $\beta$ donné, lorsque le facteur d'actualisation stochastique est élevé, cela signifie que la conjoncture économique est mauvaise<sup>28</sup>. Une covariance négative avec l'actif risqué signifie donc que lorsque l'économie est en dépression, les actifs risqués ont des rendements faibles. Ils ne jouent alors en aucun cas un rôle d'assurance contre le risque : leur détention réclame donc une prime de risque élevée.

Ce cadre nous permet de jeter un nouveau regard sur l'énigme de la prime de risque. Le rendement des actions étant assez volatils (C.f. Tableau 1), il faudrait que le facteur d'actualisation stochastique soit lui aussi très volatil et anticorrélé pour que la covariance soit assez grande pour produire une prime de risque importante. La construction de la frontière d'Hansen et Jagannathan permet justement de répondre à cette question en déterminant quelle doit être la variance minimale d'un candidat « Pricing Kernel» étant donné un ensemble de rendements d'actifs de marché.

En notant par $m_t = \beta \left( \frac{c_t}{c_{t-1}} \right)^{-\alpha}$ notre candidat « pricing kernel », $P$ la matrice des prix d'actifs, $X$ la matrice des paiements, et $\Sigma$ la matrice de variances-covariances de ces derniers, l'Annexe D nous donne l'équation de la frontière recherchée, soit :

$$ \sigma^2(m) \geq (P - E(m)E(X))' \Sigma^{-1} (P - E(m)E(X)) \quad (3.8) $$

Celle-ci possède une forme hyperbolique dans le plan $\{E(m), \sigma(m)\}$. Dans le cas que nous considérons, $X$ contient les rendements de notre indice action et des bons du trésor à court-terme. Nous représentons sur le graphique 3, d'une part les couples (moyenne, écart-type) de notre candidat<sup>29</sup> « Pricing Kernel» sur la période 1897-1996 en supposant<sup>30</sup> que $\beta = 1$ et suivant différentes valeurs du paramètre $\alpha$, et, d'autre part la frontière de variance minimale d'Hansen et Jagannathan.

<footnote n="28"><sup>28</sup> Puisque l'aversion relative pour le risque $\alpha$ est un paramètre positif.</footnote>

<footnote n="29"><sup>29</sup> Comme nous l'avions déjà remarqué (C.f. supra), sous cette forme, le facteur d'actualisation stochastique représente aussi le taux marginale de substitution intertemporel (TMSI) de notre consommateur.</footnote>

<footnote n="30"><sup>30</sup> Supposer que le facteur d'escompte psychologique est unitaire n'aurait pas une grande influence, puisque serait seulement opérée une translation des deux courbes sur la gauche ou sur la droite, suivant que l'on prenne un $\beta$ inférieur ou supérieur à 1.</footnote>
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Graphique 3:
Frontière de Hansen et Jagannathan pour la fonction d'utilité additive</figcaption></figure>

Le graphique 3 semble indiquer que la fonction d'utilité séparable et additive permet de respecter le critère d'Hansen et Jagannathan pour une aversion relative pour le risque supérieure ou égale à 12. La présence d'une énigme de la prime de risque se confirme mais semble en tout cas plus ténue qu'au travers de l'analyse offerte par Mehra et Prescott.

Toutefois, le critère d'Hansen et Jagannathan est par construction très sensible à la volatilité du processus suivi par le taux de croissance de la consommation. En effet, si nous enlevons de notre échantillon les quatre années qui correspondent à la première guerre mondiale, il faut alors une aversion relative pour le risque au moins égale à 25 pour que l'écart-type du taux marginal de substitution intertemporel du consommateur atteigne la frontière de variance<fnref n="31" /> minimale.

En effet, à mesure que $\alpha$ croît, toute variation importante du taux de croissance de la consommation induit une variation importante de l'écart-type du TMSI du consommateur représentatif. Ainsi, en 1914 puis en 1915, la consommation chute par deux fois de près de 14%, ce qui contribue pour ces deux seules années à augmenter<fnref n="32" /> l'écart-type du TMSI de plus de 66 % alors que dans le même temps sa moyenne n'a augmenté que d'un peu plus de 8%.

<footnote n="31">³¹ On devrait d'ailleurs parler de fontière d'écart-type minimal ; mais nous gardons ici la terminologie employée dans la littérature.</footnote>

<footnote n="32">³² Pour $\alpha = 10$.</footnote>
Il semble donc que nos résultats similaires à ceux obtenus par Cochrane et Hansen (1992) corroborent le constat de la présence d'une énigme de la prime de risque sur données françaises.

Cependant, l'analyse d'Hansen et Jagannathan nous permet d'affiner notre jugement au regard des méthodes qui pourraient permettre la levée de ces énigmes. L'examen approfondi de l'équation (3.7) et des statistiques du tableau 1 nous indiquent que l'énigme de la prime de risque provient pour une bonne part de ce que dans le GCAPM avec préférence iso-élastique et séparable, le TMSI n'est pas assez volatil pour produire une covariance suffisamment négative avec le rendement des actions, et ce, d'autant moins que l'agent est faiblement averse au risque.

Le recours à des préférences incorporant une propriété d'habitudes de consommation pourrait s'avérer fructueux car avec une telle spécification, l'agent représentatif devient plus sensible aux variations de sa consommation<fnref n="33" />. Or c'est bien sur ce dernier point que la méthode d'Hansen et Jagannathan souligne la faiblesse du modèle standard; à savoir sa capacité à générer un TMSI suffisamment volatil.

### 3.3. L'estimation GMM des équations d'Euler :

Jusqu'ici nous n'avons pas utilisé l'outil économétrique. L'idee est alors, étant donné les séries temporelles de rendement d'actifs et de consommation, d'estimer les paramètres représentant les préférences du consommateur à partir des équations (3.1) et (3.2), et d'obtenir par là même des intervalles de confiance<fnref n="34" />.

Nous pouvons réécrire ces deux dernières équations afin de faire apparaître de pures conditions de moment :

$$E_t[u_{1t}] = 0 \text{ avec } u_{1t} = \beta \left( \frac{c_{t+1}}{c_t} \right)^{-\alpha} (1 + r_{t+1}^e) - 1 \quad (3.9)$$

$$E_t[u_{2t}] = 0 \text{ avec } u_{2t} = \left( \frac{c_{t+1}}{c_t} \right)^{-\alpha} (r_{t+1}^e - r_{t+1}^f) \quad (3.10)$$

Ecrites sous cette forme, nous sommes incités à appliquer des techniques d'estimation classiques tels que les moindres carrés ordinaires (MCO) ou les moindres carrés généralisés (MCG). Toutefois, nous serions contraints au préalable de linéariser notre modèle. Etant

<footnote n="33">³³ La propriété de formation d'habitudes revient à normer la consommation de l'agent, et donc induit mécaniquement une augmentation de l'écart-type de cette dernière.</footnote>

<footnote n="34">³⁴ Ce qui n'est pas possible à partir des techniques utlisées précédemment.</footnote>
donné le caractère volatil du rendement des actions, la nature non-linéaire des équations (3.9) et (3.10) peut avoir des conséquences importantes sur les estimations. De même une estimation par le Maximum de Vraisemblance nous imposerait une hypothèse sur la distribution des résidus<fnref n="35" /> $u_{1t}$ et $u_{2t}$.

Toutefois Hansen, en 1982, a introduit une méthode dite des moments généralisés (GMM dans la suite) qui permet, directement à partir des conditions de moment (3.9) et (3.10) d'estimer les paramètres de préférence de l'agent sans hypothèse quant à la distribution des résidus $u_{1t}$ et $u_{2t}$. Elle est devenue la méthode de référence pour l'estimation des modèles intertemporels en finance.

Dans le modèle que nous considérons, nous avons deux paramètres à estimer $(\alpha, \beta)$ et pour ce faire, deux conditions de moment<fnref n="36" /> (3.9) et (3.10). Se restreindre à ces deux seules conditions de moment comme le montre Hansen (1982) conduit à une absence de critère quant à la bonne spécification *a priori* du modèle. Il est toutefois très facile de trouver des instruments pour construire de nouvelles conditions de moment et ainsi obtenir un système sur-identifié comme souhaité. En effet, d'après (3.9) et (3.10) $u_{1t}$ et $u_{2t}$ sont aussi orthogonaux à toute l'information passée. Nous sommes alors en mesure de pouvoir construire autant de conditions d'orthogonalité qu'il existe d'instruments possibles. La méthode des moments généralisés consiste alors à touver le couple de paramètres $(\alpha_0, \beta_0)$ qui minimise une fonction objectif composée des contreparties empiriques des conditions d'orthogonalité décrites ci-dessus. Comme le montre Hansen (1982), les estimateurs GMM obtenus sont efficaces et asymptotiquement normaux. De plus, l'obtention de plus de deux conditions d'orthogonalité nous permet de construire un test du Khi-2, proposé par Hansen (1982), de validation *ex post* du modèle<fnref n="37" />.

Avec le premier jeu d'instruments (Inst1), composé de la constante et des consommations retardées, nous retrouvons une partie des interprétations de la section 3.1. Pour mettre en adéquation le modèle et les données, il faut supposer une relativement forte aversion pour le risque et une préférence pour le futur<fnref n="38" /> de l'agent représentatif. Les résultats obtenus avec le second jeu d'instruments (Inst2) sont moins facilement interprétables, puisque

<footnote n="35">³⁵ Sous cette forme, la littérature interprète $u_{1t}$ et $u_{2t}$ comme des résidus en référence aux conditions de moment que l'on obtient avec les MCO.</footnote>

<footnote n="36">³⁶ De sorte que l'on obtient un système juste identifié.</footnote>

<footnote n="37">³⁷ Puisque celles-ci doivent être toujours verifiées pour les valeurs $(\alpha_0, \beta_0)$ des paramètres si le modèle est bien spécifié.</footnote>

<footnote n="38">³⁸ Nous avons précisé dans la section 3.1. que cette propriété pouvait se modéliser sous la forme d'une</footnote>
l'on serait tenté de rejeter l'hypothèse de concavité de la fonction d'utilité. Toutefois, il faut bien noter que quel que soit le jeu d'instruments considéré, le test de Hansen rejette le modèle.

<table><caption>Tableau 2
Estimation GMM des paramètres pour la fonction d'utilité séparable</caption><thead><tr><th></th><th>β</th><th>α</th><th>χ<sup>2</sup></th><th>P-margi.</th></tr></thead><tbody><tr><td>Inst1</td><td>1.082<sup>***</sup><br>(0.051)</td><td>8.892<sup>**</sup><br>(3.696)</td><td>11.52</td><td>0.021</td></tr><tr><td>Inst2</td><td>0.957<sup>***</sup><br>(0.022)</td><td>-2.607<sup>***</sup><br>(0.939)</td><td>19.14</td><td>0.004</td></tr></tbody></table>

Inst1={1, c<sub>t</sub>/c<sub>t-1</sub>, c<sub>t-1</sub>/c<sub>t-2</sub>};

Inst2={1, c<sub>t</sub>/c<sub>t-1</sub>, r<sup>c</sup><sub>t-1</sub>, r<sup>1</sup><sub>t-1</sub>}.

Entre parenthèses sont donnés les écart-types.

** significatif au seuil de 5%.

*** significatif au seuil de 1%.

Avec les résultats des estimations GMM présentés dans le tableau 2, nous nous confrontons aux limites de cette méthode qui fait montre d'un manque évident de robustesse devant le choix des instruments<fnref n="39" />, comme l'ont démontré Neely et Whiteman (1996) et Pagan et Robertson (1997).

Néanmoins, le fait que le test de Hansen mous pousse à rejeter le modèle et ce quel que soit le jeu d'instruments choisi, nous conforte dans l'idée que les préférences standard ne permettent pas d'expliquer le comportement des séries de consommation et de rendements d'actifs sur la période considérée.

Au terme de cette analyse du modèle standard, deux constats peuvent être tirés. D'une part, les trois techniques empiriques successivement utilisées nous ont confirmé l'existence d'une énigme de la prime de risque sur données françaises, et d'autre part elles nous ont convaincu de l'intérêt d'un recours à une formulation des préférences incorporant une propriété de formation d'habitudes de consommation. Ce sont les conséquences de la prise en compte d'une telle propriété sur l'énigme de la prime de risque, que nous étudions dans la section suivante.

<footnote>préférence pour le présent et d'une fonction d'utilité avec habitudes de consommation.</footnote>

<footnote n="39">³⁹ Nous avons bien-sûr essayé de multiple jeux d'instruments sans jamais parvenir à obtenir un test de Hansen positif.</footnote>
# 4. Formation d'habitudes et énigme de la prime de risque :

## 4.1. De l'intérêt théorique d'un recours à ce type de préférence :

L'idée sous-jacente aux modèles qui généralisent les préférences de l'agent représentatif est de les rendre non séparables<fnref n="40" />. En effet, comme nous l'avons remarqué, la modélisation<fnref n="41" /> proposée par Mehra et Prescott introduit un lien « artificiel » entre le coefficient d'aversion relative pour le risque et l'élasticité de substitution intertemporelle du consommateur. Or, ces deux notions recouvrent des implications tout à fait différentes et sont à la source des primes de risque particulièrement peu élevées obtenues par ces auteurs (C.f. *supra*). L'introduction de non-séparabilité dans la fonction d'utilité permet notamment de briser ce lien, et a pour principale conséquence d'offrir un degré de liberté supplémentaire au modélisateur, ce qui doit lui permettre de produire des primes de risque théoriques plus importantes.

La méthode que nous allons étudier repose sur l'introduction dans la fonction d'utilité de l'agent d'une propriété de formation d'habitudes de consommation. Comme nous l'avons précisé en introduction, ce type de préférence offre l'avantage d'avoir une interprétation économique reconnue largement comme une correcte représentation des préférences du consommateur.

L'application de cette formulation a donné lieu à de nombreuses contributions appliquées à la résolution de l'énigme de la prime de risque. Constantinides (1990) est le premier auteur à s'être consacré à cette tâche. Même si ce dernier conclut à la résolution de l'énigme, certains éléments tendent à tempérer cette affirmation. En effet celui-ci ne s'intéresse, d'une part pas aux moments d'ordre 2 du taux sans risque; et d'autre part il considère une fonction d'utilité indirecte dont la propriété principale est d'attribuer une dimension temporelle au coefficient d'aversion relative pour le risque<fnref n="42" />.

Sur le plan théorique, l'autre contribution majeure a été apportée par Campbell et Cochrane (1999), qui demontrent la capacité du modèle avec formation d'habitudes à expliquer les caractéristiques majeures des séries de rendements des actifs financiers américains, dont la prime de risque et le taux sans risque. Leur analyse s'appuie cependant sur l'introduction d'un degré de liberté supplémentaire par rapport au modèle originel, puiqu'ils supposent que le paramètre représentant les habitudes est variable dans le temps.

<footnote n="40">⁴⁰ Dans la dimension temps et/ou celle de l'espace des états de la nature.</footnote>

<footnote n="41">⁴¹ Fonction d'utilité additive et séparable à aversion relative constante.</footnote>

<footnote n="42">⁴² Alors que Mehra et Prescott (1985) considèrent un coefficient d'aversion relative pour le risque atemporel.</footnote>
Sur le plan empirique, Cochrane et Hansen (1992) et Ferson et Constantinides (1991) mettent en exergue, sur données américaines, la supériorité du modèle avec formation d'habitudes par rapport au modèle standard dans l'explication de la chronique de la consommation et de la prime de risque.

Le modèle que nous allons étudier dans cette section correspond exactement à celui
utilisé par Mehra et Prescott (1985) à la seule exception que nous considérons dorénavant que
l'agent représentatif possède une fonction d'utilité incorporant une propriété d'habitude de
consommation. Celle-ci prendra la forme classique suivante :

$$
U(c_t, c_{t-1}) = \frac{(c_t - hc_{t-1})^{1-\alpha}}{1-\alpha}, \text{ avec } 0 \le \alpha < \infty, \text{ et } h \ge 0 \quad (4.1)
$$

Lorsque $h=0$, cette fonction d'utilité redevient séparable et additive avec un
coefficient d'aversion relative pour le risque constant $\alpha$. Toutes choses égales par ailleurs,
avec une telle spécification, plus élevée est la consommation de l'agent représentatif en $t-1$,
plus forte est l'utilité marginale de sa consommation à la date $t$.

Les conditions d'Euler, issues du programme de maximisation de l'agent, se trouvent
modifiées car le taux marginal de substitution intertemporel de notre consommateur
représentatif s'écrit dorénavant :

$$
TMSI_{t+1,t} = \beta \frac{(c_{t+1} - hc_t)^{-\alpha} - \beta h E_{t+1} (c_{t+2} - hc_{t+1})^{-\alpha}}{(c_t - hc_{t-1})^{-\alpha} - \beta h E_t (c_{t+1} - hc_t)^{-\alpha}} \quad (4.2)
$$

Les équations d'Euler (2.4) et (2.5) deviennent alors :

$$
E_t \left[ \beta \frac{(c_{t+1} - hc_t)^{-\alpha} - \beta h E_{t+1} \left[ \left( (c_{t+2} - hc_{t+1})^{-\alpha} \right) \right]}{(c_t - hc_{t-1})^{-\alpha} - \beta h E_t \left[ \left( (c_{t+1} - hc_t)^{-\alpha} \right) \right]} (1 + r_{t+1}^e) \right] = 1 \quad (4.3)
$$

$$
E_t \left[ \frac{(c_{t+1} - hc_t)^{-\alpha} - \beta h E_{t+1} \left[ \left( (c_{t+2} - hc_{t+1})^{-\alpha} \right) \right]}{(c_t - hc_{t-1})^{-\alpha} - \beta h E_t \left[ \left( (c_{t+1} - hc_t)^{-\alpha} \right) \right]} (r_{t+1}^e - r_{t+1}^f) \right] = 0 \quad (4.4)
$$

4.2. La calibration du modèle avec formation d'habitudes :

Nous suivons ici la même analyse que dans la section 3.1.. La propriété de Markov
nous permet comme dans le cas précédent d'évaluer les espérances conditionnelles des
equations (4.3) et (4.4). En effet, en reprenant les mêmes notations que précédemment, si
l'état courant de l'économie est (c,i), alors l'état précédent est (c/λᵢ, i), l'état suivant s'écrit
(λⱼc, j), et l'état qui le succède est déterminé par (λᵢλⱼc, k). Les équations (3.3) et (3.4) se
réécrivent alors de la manière suivante :
$$p^e(c, i) = \beta \sum_{j=1}^{n} \phi_{ij} \frac{(\lambda_j c - hc)^{-\alpha} - \beta h \sum_{k=1}^{n} \phi_{jk} (\lambda_k \lambda_j c - h\lambda_j c)^{-\alpha}}{\left(c - \frac{hc}{\lambda_i}\right)^{-\alpha} - \beta h \sum_{k=1}^{n} \phi_{ik} (\lambda_k c - hc)^{-\alpha}} [p^e(\lambda_j c, j) + \lambda_j c] \quad (4.5)$$

$$p^f(c, i) = \beta \sum_{j=1}^{n} \phi_{ij} \frac{(\lambda_j c - hc)^{-\alpha} - \beta h \sum_{k=1}^{n} \phi_{jk} (\lambda_k \lambda_j c - h\lambda_j c)^{-\alpha}}{\left(c - \frac{hc}{\lambda_i}\right)^{-\alpha} - \beta h \sum_{k=1}^{n} \phi_{ik} (\lambda_k c - hc)^{-\alpha}} \quad (4.6)$$

Nous pouvons dès lors calculer les rentabilités des deux actifs ainsi que la prime de risque induite en appliquant les formules (3.5) à (3.8).

Afin de pouvoir comparer les résultats, nous respectons les critères imposées par Mehra et Precott (1985). Ainsi, nous imposons une restriction sur la valeur maximum du taux de rendement de l'actif sans risque et sur les intervalles, à l'intérieur desquels, nous faisons varier le couple $(\alpha, \beta)$. Nous posons, d'une part, que ce rendement soit inférieur à 4%, et, d'autre part, que ces deux grandeurs appartiennent respectivement aux intervalles $[0; 10]$ et $[0.1; 1]$.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Graphique 4 : Primes de risque simulées
Le cas de la France (1897-1996) : $\alpha \in [0;10]$, $\beta \in [0;1]$, $h = 0.3$</figcaption></figure>
Le graphique 4 qui représente les primes de risque simulées à partir du modèle avec formation d'habitudes<fnref n="43" /> semblerait nous indiquer la résolution des énigmes, puisqu'il serait possible d'obtenir en même temps de fortes primes de risque (supérieures à 20 %) et de faibles taux sans risque (inférieurs à-1.5 %).

Toutefois, il convient auparavant de s'interroger sur le concept d'aversion pour le risque dans ce modèle. En considerant la fonction d'utilité (4.1) et en applicant la formule <fnref n="44" /> de Pratt (1964), nous obtenons l'expression suivante du coefficient d'aversion relative pour le risque (CARR) :

$$CARR_t = \frac{\alpha \left\{ \left(1 - h\lambda_t^{-1}\right)^{-\alpha-1} + \beta h^2 E_t \left[ \left(\lambda_{t+1} - h\right)^{-\alpha-1} \right] \right\}}{\left(1 - h\lambda_t^{-1}\right)^{-\alpha} - \beta h E_t \left[ \left(\lambda_{t+1} - h\right)^{-\alpha} \right]} \quad \text{avec } \lambda_t = \frac{c_t}{c_{t-1}} \quad (4.7)$$

D'après (4.7), nous pouvons montrer qu'il existe une relation croissante⁴⁵ entre l'aversion pour le risque et le niveau du paramètre d'habitude (h). Aussi, le graphique précédent qui représente les primes de risque simulées pour α inférieur ou égal à 10, ne correspondrait plus aux spécifications de Mehra et Prescott, puisque l'aversion pour le risque y serait supérieure à 10.

De plus, le modèle utilisé par Mehra et Prescott suppose une aversion pour le risque constante. Or l'équation (4.7) nous indique que le coefficient d'aversion relative pour le risque est dépendant du temps dans une représentation avec habitudes.

Toutefois, grâce à l'hypothèse selon laquelle le taux de croissance de la consommation suit un chaîne de Markov à deux états, nous allons pouvoir le rendre atemporel.

En remarquant qu'il est homogène de degré 0 en c, et en gardant les notations précédentes, nous avons, si l'état courant de l'économie est (c,i) :

$$CARR_i = \alpha \frac{\left(1 - \frac{h}{\lambda_i}\right)^{-(\alpha+1)} + \beta h^2 \sum_{j=1}^{n} \phi_{ij} (\lambda_j - h)^{(\alpha+1)}}{\left(1 - \frac{h}{\lambda_i}\right)^{-\alpha} - \beta h \sum_{j=1}^{n} \phi_{ij} (\lambda_j c - h)^{\alpha}} \quad \text{avec } i = 1,2 \text{ et } n=2 \quad (4.8)$$

Le coefficient d'aversion pour le risque atemporel dans le cas des préférences décrites ci-dessus s'écrit :

$$CARR = \sum_{i=1}^{n} \pi_i CAAR_i$$

<footnote n="43">⁴³ Le paramètre d'habitude h étant fixé à 0.3.</footnote>

<footnote n="44">⁴⁴ $CARR = -c \frac{u''(c)}{u'(c)}$</footnote>
Le graphique 5 reprend strictement les mêmes spécifications que le précédent mais en imposant cette fois-ci non plus que ce soit $\alpha$ mais que ce soit CARR qui soit inférieur à 10.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Graphique 5 : Primes de risque simulées
Le cas de la France (1897-1996) : $CARR \in [0;10], \beta \in [0;1], h = 0.3$</figcaption></figure>

Sur la période 1897-1996, le C-CAPM avec une fonction d'utilité incorporant une propriété d'habitudes de consommation permet de produire une prime de risque maximum de 6.09 % (avec $\beta = 1$ et $CARR \approx 10$), soit une valeur très proche de la prime historique moyenne observée sur la période 1897-1996 (6.87 %).

Néanmoins, trois remarques s'imposent à ce stade de l'analyse. D'une part, le modèle permet de produire des primes élevées sous deux conditions particulièrement restrictives : pas de préférence pour le présent<fnref n="46" /> et un coefficient d'aversion relative pour le risque proche de 10. Or, ces deux caractéristiques sont largement considérées comme non représentatives du comportement moyen du consommateur. Ainsi, Lucas (1994) estime que seuls les modèles présentant des aversions relatives inférieures à 2.5 pourront prétendre avoir résolu l'énigme de la prime de risque.

Il est à noter par ailleurs, que le niveau de la prime de risque obtenu n'est pas indépendant du niveau du coefficient d'habitude retenu, puisque comme nous l'avons

<footnote n="45">⁴⁵ On peut montrer que cette relation est convexe.</footnote>

<footnote n="46">⁴⁶ En imposant que $\beta$ soit strictement inférieur à 1, la prime de risque maximum simulée redescend à 3.6 %.</footnote>
remarqué : plus le paramètre représentant la propriété d'habitude est élevé, plus le coefficient d'aversion relative pour le risque du consommateur l'est aussi. Or, nous savons que la prime de risque croît avec l'aversion pour le risque. Le modèle avec habitudes serait donc d'autant plus performant par rapport au modèle standard que la prime de risque augmente plus vite que l'aversion pour le risque quand on accroît le paramètre d'habitude.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Graphique 6: Primes de risque et aversion pour le risque en fonction du niveau de la formation d'habitudes</figcaption></figure>

Le graphique<sup>47</sup> 6 permet de trancher cette question. La courbe qui lie la prime de risque au paramètre d'habitude apparaît plus convexe que celle qui lie l'aversion pour le risque avec ce dernier. Aussi, même si la prime de risque croît plus vite que l'aversion pour le risque pour des valeurs croissantes du paramètre d'habitude, l'écart ne devient réellement significatif que pour des valeurs très élevées<sup>48</sup> de ce paramètre (>0.7) et donc à des niveaux ou l'aversion pour le risque est manifestement pas représentative du comportement du

<footnote n="47"><sup>47</sup> Nous avons fixé ici respectivement les valeurs 2 et 0.99 pour les deux autres paramètres du modèle (α et β). Nous avons bien entendu vérifié que la configuration des deux courbes n'était pas sensible aux choix de ces paramètres.</footnote>

<footnote n="48"><sup>48</sup> Même si il n'existe pas d'études empiriques qui témoignent de ce que devrait être le niveau de ce paramètre, il est plus raisonnable de penser que celui-ci est tout de même assez faible, c'est pourquoi nous avons choisi une représentation sur le graphique 4 avec $h=0.3$.</footnote>
consommateur. Ainsi, la modulation du paramètre d'habitude n'améliorerait pas significativement le résultat obtenu pour $h=0.3$ sur le graphique 4.

Le degré de liberté supplémentaire offert par le paramètre d'habitude ne semble donc pas être suffisant pour résoudre les énigmes, d'autant plus que le bon modèle devrait être en mesure de produire des taux sans risque négatifs pour prétendre répondre aux problèmes soulevés par les deux énigmes puisque le proxy observé du taux sans risque a un rendement très négatif sur la période 1897-1996. Or, le modèle avec habitudes ne semble pas en mesure d'y arriver. Au contraire, les primes de risque simulées les plus élevées (>3%) sont associées à des taux sans risque relativement importants (>3.5%).

Ainsi, même si il demeure inconstestable que le modèle avec habitudes de consommation offre une meilleure représentation des comportements des agents, il ne peut pas prétendre résoudre à la fois l'énigme de la prime de risque et celle du taux sans risque.

Il convient donc afin de compléter l'analyse, et d'examiner l'aptitude de ce modèle à concilier la volatilité du TMSI de l'agent et les variances des rentabilités des actifs observées. Ceci fait l'objet de la sous-section suivante.

### 4.3. Volatilité du TMSI et formation d'habitudes :

Afin de dériver les frontières de Hansen et Jagannathan (1991) sous l'hypothèse d'un consommateur avec préférences incorporant une propriété d'habitudes de consommation, nous cherchons le facteur d'actualisation stochastique (qui est aussi le TMSI) induit par de telles préférences. En l'écritant sous forme de taux de croissance, l'équation (4.2) devient :

$$m_{t+1} = \beta (\lambda_t)^{-\alpha} \frac{(\lambda_{t+1} - h)^{-\alpha} - \beta h (\lambda_{t+1})^{-\alpha} E_{t+1}[(\lambda_{t+2} - h)^{-\alpha}]}{(\lambda_t - h)^{-\alpha} - \beta h (\lambda_t)^{-\alpha} E_t[(\lambda_{t+1} - h)^{-\alpha}]} \quad \text{avec } \lambda_t = \frac{c_t}{c_{t-1}} \quad (4.9)$$

Le problème soulevé par une telle équation provient de l'évaluation des deux espérances conditionnelles qui la composent. L'hypothèse simplificatrice d'un processus iid pour le taux de croissance de la consommation conduit à remplacer les espérances conditionnelles par leurs contreparties inconditionnelles.

Le graphique suivant représente les couples (moyenne, écart-type) de ce candidat « Pricing Kernel » pour différentes valeurs du coefficient d'habitudes ($h$).
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Graphique 7:
Frontière de Hansen et Jagannathan
pour la fonction d'utilité avec formations d'habitudes</figcaption></figure>

Comme le laissait entendre la sous-section précédente, de grandes valeurs pour le paramètre d'habitude n'améliorent pas les implications quantitatives du modèle puisque pour $h$ supérieur à 0.5, l'écart-type du TMSI du consommateur représentatif n'atteint jamais la borne inférieure de la frontière d'Hansen et Jagannathan. Toutefois, il semble bien comme nous le pressentions (C.f. *supra*) que le modèle avec habitudes de consommation génère des TMSI suffisamment volatils pour des valeurs relativement faibles du paramètre $\alpha$. Ainsi pour $\alpha = 4$ et $h = 0.4$, l'écart-type du TMSI de l'agent représentatif rempli les conditions d'Hansen et Jagannathan.

Toutefois, il faut garder à l'esprit que les résultats issus de cette méthode sont particulièrement sensibles à l'écart-type du processus de consommation. Or ce dernier est particulièrement important sur la période qui précède la seconde guerre mondiale puisqu'il est 4 fois supérieurs à celui observé entre 1959-1996. Ainsi, si l'on considère cette même base sur la période *post* seconde guerre mondiale, un tel coefficient d'habitude se révèle trop faible pour permettre au TMSI d'atteindre la frontière d'Hansen et Jagannathan. Il faudrait en effet considérer une aversion relative pour le risque de 75 et un coefficient d'habitude de 0.5 pour
permettre au TMSI d'y arriver. Il semble donc vraisemblable que ce soit l'excessive variance de la consommation avant la seconde guerre mondiale qui soit à l'origine de ces constatations.

A cela s'ajoute comme l'a montré la sous-section précédente que l'aversion relative pour le risque est bien supérieure à la valeur du paramètre α qui est présenté ici.

Il semblerait toutefois, que la proposition de Campbell et Cochrane (1999) soit néanmoins intéressante, puisqu'elle permet un ajustement du paramètre d'habitude en fonction des périodes, ou l'on oberse ou non une forte volatilité de la consommation.

Il nous reste, avant de trancher définitivement sur l'apport de la modélisation du phénomène d'habitude dans la résolution de l'énigme de la prime de risque, l'examen des estimations économétriques, ce que nous entreprenons dans la sous-section suivante :

### 4.4. Estimation du modèle avec habitudes :

Les conditons d'orthogonalité qui vont servir à estimer le modèle sont modifiées afin de prendre en compte l'incorporation d'habitudes de condommation dans les préférences de l'agent. Nous suivons l'analyse de Ogaki (1993), et nous avons :

$$E_t[u_{it}] = 0 \text{ avec } u_{it} = \frac{[\beta(S_{t+1}^{-\alpha} + \beta h S_{t+2}^{-\alpha})(1+r_{t+1}^i) - (S_t^{-\alpha} + \beta h S_{t+1}^{-\alpha})]}{S_t^{-\alpha}[1+\beta h]} \text{ et } i=e, f \text{ et}$$

$$S_{t+1} = \left( \frac{c_{t+1} + hc_t}{c_t + hc_{t-1}} \right)^{-\alpha}$$

Avec cette formulation, nous pouvons remarquer, d'une part que le résidu est normé par le terme $S_t^{-\alpha}[1+\beta h]$ afin d'éviter les problèmes de stationnarité, et que le paramètre $h$ exprimera bien la propriété de formation des habitudes si il est estimé négativement.

Le tableau 3 nous donne les résultats de l'estimation GMM du modèle avec formation d'habitudes<fnref n="49" />.

Les estimateurs obtenus sont tous significatifs. De plus le test de Hansen nous indique que les données ne rejettent pas le modèle ainsi formulé. L'estimation du facteur d'escompte très légèrement supérieur à 1 semblerait indiquer que l'agent représentatif n'a pas de préférences pour le présent. Celle du paramètre $\alpha$ est inférieure à celle du modèle avec préférences standard ce qui témoigne de la meilleure adéquation du modèle avec formation d'habitudes aux données. Toutefois, l'estimation positive du paramètre $h$ laisse apparaître une propriété de durabilité de la consommation et non une propriété d'habitude comme attendu.

<footnote n="49">⁴⁹ Nous présentons les résultats qu'avec un seul jeu d'instruments car c'est le seul sur lequel l'algorithme de minimisation ait convergé.</footnote>
Tableau 3

<table><caption>Estimation GMM des paramètres pour la fonction d'utilité avec habitudes de consommation</caption><thead><tr><th></th><th>β</th><th>α</th><th>h</th><th>χ<sup>2</sup></th><th>P-margi.</th></tr></thead><tbody><tr><td>Inst1</td><td>1.004<sup>***</sup><br>(0.021)</td><td>4.893<sup>***</sup><br>(1.290)</td><td>0.151<sup>*</sup><br>(0.077)</td><td>1.76</td><td>0.62</td></tr></tbody></table>

Inst1={1, c₁/cᵢ-1, rᵢᶜᵢ-1, rᵢᵗᵢ-1}.

Entre parenthèses sont donnes les ecart-types.

* significatif au seuil de 10%.

*** significatif au seuil de 1 %.

Toutefois, il faut garder à l'esprit que nous avons eu connu beaucoup de difficultés à faire converger l'algorithme de minimisation qui requiert ici l'estimation des trois paramètres en même temps, c'est pourquoi nous devons interpréter ces résultats avec une grande circonspection. Au delà de la critique formulée à l'encontre des GMM dans la section précédente, il faut sans doute ne retenir que l'acceptation du modèle avec formations d'habitudes par le test d'Hansen.

## 5. Conclusion :

Mehra et Prescott (1985) ont été les premiers auteurs à mettre exergue l'existence d'une énigme de la rime de risque sur données americaines. Notre premier objectif a été de faire le point sur l'existence de cette énigme au regard des données françaises sur longue periode.

Pour ce faire, nous avons adopté les trois principales approches proposées par la littérature: la calibration à la Kydland Prescott (1982), la construction de la frontière de variance minimale d'Hansen et Jagannathan (1991) et l'estimation GMM des paramètres définissant les préférences du consommateur à partir des équations d'Euler, d'après Hansen (1982). Nous avons pu, en outre, montrer que ces approches étaient complémentaires pour discuter de la présence ou l'absence d'une énigme de la prime de risque, alors que jusqu'à présent toutes les études ne s'interessaient qu'à l'une ou l'autre de ces trois méthodologies.

Nous avons confronté ces trois méthodes à deux spécifications différentes des préférences du consommateur: nous avons considéré tout d'abord une représentation des préférences avec une fonction d'utilité puissance séparable et additive, celle-là même qui avait été étudiée par Mehra et Prescott (1985). Les résultats obtenus nous ont conforté dans
l'idée que l'introduction d'un paramètre d'habitude pourrait aider à résoudre les énigmes constatées avec les préférences standard.

Nous avons, de plus, justifié l'intérêt du recours à ce second type de préférences par la possibilité, d'une part d'introduire de la non-separabilité dans les préférences de l'agent, et, d'autre part d'obtenir un degré de liberté supplémentaire dans la modélisation.

Si l'adoption de cette propriété d'habitudes a permis d'atténuer la portée initiale des énigmes de la prime de risque et du taux sans risque, elle n'a cependant pas pu complètement les résoudre. Cette incertitude provient du fait que le paramètre d'habitude ne permet pas tout à fait d'obtenir ce degré de liberté supplémentaire souhaité. En effet, nous avons montré qu'au delà de son influence positive sur la prime de risque, il contribueait à augmenter l'aversion relative pour le risque du consommateur représentatif.

Il est tout de même à noter que les préférences avec habitudes de consommation ne sont pas remises en cause par notre analyse sur données françaises, puisqu'elles ont permis une bien meilleure adéquation du modèle théorique aux données. Ceci témoignerait donc en faveur d'une plus large utilisation de ce type de modélisation des préférences en macroéconomie.

Il demeure néanmoins, que pour permettre au paramètre d'habitude de pleinement jouer son rôle, il conviendrait de pouvoir le laisser fluctuer au cours du temps en fonction des différents états dans lesquels se trouve l'économie comme le propose Campbell et Cochrane (1999). Il serait alors intéressant de confronter les données françaises à ce type de modélisations. Enfin, il faudrait pouvoir confirmer les constats formulés dans cette article en étudiant des séries de périodicité différentes.
# Annexe A

## Descriptif des données utilisées

Les séries macroéconomiques nécessaires à la simulation et à l'estimation du C-CAPM sont :

- la Consommation réelle par tête annuelle ;

- le déflateur de la consommation ;

- Indice de prix annuel des actions françaises ;

- le taux de dividende annuel pour cet indice ;

- le rendement nominal de la dette publique à court terme.

- Nous calculons le taux de croissance réelle de la consommation à partir des séries suivantes : nous disposons sur la période 1896-1938 (Villa, 1994) et 1949-1996 (INSEE), de deux séries de consommation annuelle finale des ménages par tête, l'une à prix courant, l'autre au prix de 1980. Le rapport des deux nous donne le déflateur de la consommation finale des ménages base 1 1980.

Nous utilisons ce déflateur pour calculer les rendements réels des séries financières dont les descriptifs exacts sont les suivants :

1) Indice actions : 1896-1918, indice en fin d'année (décembre) établi par Arbulu (1998); de 1919 à 1993, indice en fin d'année (décembre) établi par l'INSEE et publié dans le bulletin mensuel de l'INSEE (BMS); de 1994 à 1996, indice en fin d'année (décembre) établi par la SBF, soit le SBF250 et publié dans le BMS de l'INSEE.

Le taux de dividende (moyen annuel) de l'indice actions de l'échantillon (1896-1918) est calculé par Arbulu (1998); de 1919 à 1965, nous considérons celui publié dans l'annuaire statistique de la France Résumé Rétrospectif 1966 de l'INSEE; de 1966 à 1996, il est extrait du BMS de l'INSEE.

2) Le taux sans risque moyen annuel est constitué des supports suivants: de 1896 à 1914 par des bons du trésor; de 1915 à 1926 par des bons de la Défense Nationale (BDN). Ces taux portent sur des actifs à 3 mois et sont extraits du Journal Officiel (Côte Officielle) des agents de change (CAC). Pour 1927, nous considérons le taux du BDN à 1 an; de 1928 à 1939 ceux à 2 ans; de 1940 à 1947, les bons d'armement à 6 mois; ces taux sont extrait de la côte officielle. De 1948 à 1971, les taux d'émission des bons du trésor à 1 an; de 1972 à 1975, les taux de
rendement des bons à l'adjudication; de 1976 à 1986, les bons à intérêts progressifs à 3 mois; et de 1987-1996 les taux moyens des bons du trésor à 13 semaines (TMB). Ces taux sont extrait du BMS de l'INSEE.

Annexe B

Le programme de l’agent représentatif dans le cadre C-CAPM de Lucas (1978)

On cherche : $\max_{c_t} E_0\left[\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U(c_t)\right]$, avec $0 < \beta < 1$ sous la contrainte budgétaire :

$$
C_t = (y_t + p_t^e) e_{t-1} - p_t^e e_t + f_{t-1} - p_t^f f_t = y_t e_{t-1} + p_t^e (e_{t-1} - e_t) + f_{t-1} - p_t^f f_t
$$

Soit $W_t$ la richesse de l’agent à la date $t$, on a $W_t = C_t + p_t^e e_t + p_t^f f_t$. A la date $t+1$, on aura $W_{t+1} = (y_{t+1} + p_{t+1}^e) e_t + p_{t+1}^f f_t$. En remarquant que $W_t$ joue le rôle d’une variable d’état et que les contrôles sont $e_t$ et $f_t$, on peut écrire l’équation de Bellman de ce problème, soit :

$$
V_t(W_t) = \max_{e_t, f_t} \{u(W_t - p_t^e e_t - p_t^f f_t) + \beta E_t[V_{t+1}(W_{t+1})]\}
$$

Les conditions du premier ordres sont :

$$
\text{i) } p_t^e u'(W_t - p_t^e e_t - p_t^f f_t) = \beta E_t \left[ (y_{t+1} + p_{t+1}^e) V'_{t+1}(W_{t+1}) \right] \quad (\text{B.1})
$$

$$
\text{ii) } p_t^f u'(W_t - p_t^e e_t - p_t^f f_t) = \beta E_t [p_{t+1}^f V'_{t+1}(W_{t+1})] \quad (\text{B.2})
$$

Exprimons la condition de Benveniste Scheinkman :

$$
V'(W_t) = u'(W_t - p_t^e e_t - p_t^f f_t) \tag{B.S.}
$$

En remplaçant cette condition (B.S) dans (B.1) et (B.2), on obtient les conditions
d'Euler traditionnelles, soit :

$$
p_t^e U'(C_t) = \beta E_t U'(C_{t+1}) (y_{t+1} + p_{t+1}^e)
$$

et

$$
p_t^f U'(C_t) = \beta E_t p_{t+1}^f U'(C_{t+1})
$$

Or, le rendement d'un actif sans risque est certain, donc $p_{t+1}^f = 1$, la deuxième condition se réécrit donc de la manière suivante :

$$
p_t^f U'(C_t) = \beta E_t U'(C_{t+1})
$$
# Annexe C

## Calcul de la probabilité de transition dans une chaîne de Markov

Le rappel suivant suit l'exposé d'Hamilton (1994) et montre comment une chaîne de Markov à 2 états peut se représenter comme une processus autorégressif d'ordre 1 (AR(1)).

Soit $\xi_t$ le premier élément du vecteur $\xi_t$ ; c'est-à-dire que $\xi_t$ est une variable aléatoire qui est égal à 1 quand $s_t = 1$ et égal à 0 dans les autres cas. Pour la chaîne à 2 états, le second élément de $\xi_t$ s'écrit alors $1-\xi_{1,t}$. Nous pouvons donc écrire :

$$ \begin{bmatrix} \xi_{1,t+1} \\ 1-\xi_{1,t+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{11} & 1-p_{22} \\ 1-p_{11} & p_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \xi_{1t} \\ 1-\xi_{1t} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_{1,t+1} \\ v_{2,t+1} \end{bmatrix} \quad (C.1) $$

Si on extrait la première ligne de (C.1), on obtient :

$$ \xi_{1,t+1} = (1-p_{22}) + (-1+p_{11}+p_{22})\xi_{1,t} + v_{1,t+1} \quad (C.2) $$

En utilisant (C.2), nous disposons d'une méthode pour calculer les probabilités dans la matrice de transition $\phi$ et $1-\phi$, étant donné l'autocorrélation d'ordre 1 du processus de la consommation, en effet :

$$ \operatorname{cov}(\xi_{1,t+1}, \xi_{1,t}) = \operatorname{cov}((1-p_{22}) + (-1+p_{11}+p_{22})\xi_{1,t} + v_{1,t+1}, \xi_{1,t}) = (-1+p_{11}+p_{22})\operatorname{cov}(\xi_{1,t}, \xi_{1,t}) $$

Ceci implique donc que $corr(\xi_{1,t+1}, \xi_{1,t}) = (-1 + p_{11} + p_{22}) = (-1 + 2\phi)$. Nous identifions ensuite $\phi$ de la manière suivante :

$$ \phi = \frac{1 + corr(C_{t+1}, C_t)}{2} $$

Par exemple, dans le cas de Mehra Prescott (1985), nous avons $corr(C_{t+1}, C_t) = -0.14$, donc $\phi=0.43$.
# Annexe D

## Dérivation de la frontière de Hansen et Jagannathan

Considérons un facteur d'actualisation stochastique et notons le $m$. En notant $\mathbf{P}$ la matrice de prix d'actifs financiers, et $\mathbf{X}$ la matrice des paiements de ces actifs, nous pouvons écrire d'après (2.2) et (2.3) :

$$ \mathbf{P} = E(m\mathbf{X}) \qquad (D.1) $$

Considérons maintenant la régression de $m$ sur la matrice des paiements, nous avons:

$$ m_t = E(m) + (X_t - E(X))'\beta + \varepsilon_t \qquad (D2) $$

En combinant (D.2) et (D.4), nous obtenons :

$$ \mathbf{P} = E(m\mathbf{X}) = E(m)E(\mathbf{X}) + \mathbf{\Sigma}\beta \quad \text{avec} \quad \mathbf{\Sigma} = \text{cov}(\mathbf{X}, \mathbf{X}') $$

Nous pouvons en déduire alors directement :

$$ \beta = \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{P} - E(m)E(\mathbf{X})) $$

La propriété de non corrélation des résidus posée par l'équation (D.2) nous permet d'écrire la variance du candidat « Pricing Kernel » :

$$ \sigma^2(m) = \sigma^2\left( (X_t - E(X))' \beta \right) + \sigma^2(\varepsilon) \qquad (D.3) $$

Comme

$\sigma^2(\varepsilon)$ est positif, nous pouvons déduire de (D.3), la frontière de variance minimum que doit respecter un candidat « Pricing Kernel», soit :

$$ \sigma^2(m) \geq (\mathbf{P} - E(m)E(\mathbf{X}))' \mathbf{\Sigma}^{-1} (\mathbf{P} - E(m)E(\mathbf{X})) $$
Références :

Abel A.B., (1990), Asset Pricing under Habit Formation and Catching up with the Joneses, American Economic Review, 80, pp. 38-42.

Allais O. et N. Nalpas, (1999), The Equity Premium Puzzle: An Evaluation of the French Case, Paper and Proceedings of the European Meetings of the Econometric Society, Santiago de Compostela, Spain.

Arrow K.J., (1970), Essays in the Theory of Risk-Bearing, North-Holland, Amsterdam.

Arbulu, P., (1998), Le marché parisien des actions au XIXe siècle : performance et efficience d'un marché émergent, Thèse de doctorat, Université d'Orléans.

Box G.E.P. et G.M. Jenkins, (1976), Times Series Analysis, Forecasting and Control, San Francisco, Holden Day.

Bufman G. et L. Leiderman, (1990), Consumption and Asset Returns Under Non-Expected Utility, Economics Letters, 34, pp. 231-235.

Chauveau T. et N. Nalpas, (1999), Risk Weigthed Utility Theory as a Solution to the Equity Premium Puzzle, Cahiers de la MSE, n°1999-20, Université de Paris I Panthéon-Sorbonne.

Cochrane J.H. et J.Y. Campbell, (1999), By Force of Habit: A Consumption-Based Explanation of Aggregate Stock Market Behavior, Journal of Political Economy, 107, pp. 205-251.

Cochrane J.H. et L.P. Hansen, (1992), Asset pricing explorations for macroeconomics, NBER Macroeconomics Annual, Eds. O. Blanchard et S. fisher, MIT Press, pp. 115-182.

Dickey D. et W.A. Fuller, (1979), Distribution of the Estimators for Time Series Regressions with a Unit Root, Journal of the American Statistical Association, 74, pp. 427-431.

Constantinides G.M., (1982), Intertemporal Asset Pricing zith Heterogeneous Consumers and without Demand Aggregation, Journal of Business, 55, pp. 253-67.

Constantinides G.M., (1990), Habit Formation: A Resolution of the Equity Premium Puzzle, Journal of Political Economy, 98, pp. 519-43.

Duesenberry J.S., (1949), Income, Saving, and the Theory of Consumer Behavior, Harvard University Press, Cambridge MA.

Epaulard A. et A. Pommeret, (1999), Préférences des agents et prime de risque : une application aux données françaises, Actes du Colloque Théorie et Méthodes de la Macroéconomie, Montréal, Canada.

Epstein L.G. et S.E. Zin, (1990), First Order Risk Aversion and the Equity Premium Puzzle, Journal of Monetary Economics, 26, pp. 387-407.

Ferson W. et G. Constantinides, (1991), Habit persistence and durability in aggregate consumption, Journal of Financial Economics, 29, pp.199-240.

Friend I. et M.E. Blume, (1975), The demand for risky assets, American Economic Review, 65, pp. 900-922.

Hamilton J.D., (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press.

Hamori S., (1992), Test of C-CAPM for Japan : 1980-1988, Economics letters, 38, pp. 67-72.

Hansen L.P., (1982), Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimator, Econometrica, 50, pp. 1029-1054.

Hansen L.P. et R. Jagannathan, (1991), Implications of Security Market Data for Models of Dynamic Economies, Journal of Political Economy, 99, pp. 225-262.

Kocherlakota N., (1990), On the ‘Discount’ Factor in Growth Economies, Journal of Monetary Economics, 25, pp. 43-47.

Kocherlakota N., (1996), The Equity Premium: Its's Still a Puzzle, Journal of Economic Literature, 34, pp. 43-71.
Kydland F.E. et E.C. Prescott, (1982), Time to Build and Aggregate Fluctuations, Econometrica, 50, pp. 1345-1370.

Lucas D., (1994), Asset Pricing with Undiversifiable Risk and Short Sales Contraints: Deepening the Equity Premium Puzzle, Journal of Monetary Economics, 34, pp. 325-342.

Lucas R.E., (1978), Asset Prices in an Exchange Economy, Econometrica, 46, pp. 1429-1445.

Lucas R.E., (1987), Models of business cycles, New-York, Blaxkwell.

Lund J. et T. Engsted, (1996), GMM and present value tests of the G-CAPM: evidence from the Danish, German, Swedish and UK stock markets, Journal of International money and Finance, 15, pp. 497-521.

Mehra R. et E.C. Prescott, (1985), The Equity Premium: A Puzzle, Journal of Monetary Economics, 15, pp. 145-161.

Ogaki M., (1993), Generalized Method of Moments: Econometric Applications, in G.S. Maddala, C.R. Rao et H.D. Vinod (eds.), Handbook of Statistics Vol. 11, Amsterdam, Elsevier Science, pp. 455-488.

Nelly C.J. et C.H. Whiteman, (1996), Identification Failure in the Intertemporal Consumption CAPM, Discussion Paper, Federal Reserve Bank of St. Louis.

Pagan A.R. et J. Robertson, (1997), GMM and its Problems, mimeo, Australian National University.

Pratt J., (1964), Risk Aversion in the Small and in the Large, Econometrica, 49, pp. 621-638.

Sharpe W., (1964), Capital Asset Prices: a Theory of Market Equilibrium under condition of Risk, Journal of Finance, 19, pp. 425-442.

Siegel J.J. et R.H. Thaller, (1997), Anomalies: The Equity Premium Puzzle, Journal of Economic Perspectives, 11, pp. 191-200.

Villa P., (1994), Un siècle de données macroéconomiques, INSEE Résultats.

Weil P., (1989), The Equity Premium Puzzle and the Risk-Free Rate Puzzle, Journal of Monetary Economics, 24, pp. 401-421.