Méthode des points extrémaux de résolution
du problème de Dirichlet dans l'espace

par J. GÓRSKI (Kraków)

1. Points extrémaux liés au problème. Soient $D$ un domaine non borné de l'espace à trois dimensions, contenant le point à l'infini en son intérieur, $F$ la frontière de $D$ et $f(Q)$ une fonction continue du point $Q$, définie sur $F$. Désignons par $\bar{d}(F)$ le diamètre transfini de l'ensemble $F$ au sens de Pólya-Szegő [1], par $\lambda > 0$ un paramètre réel et par $\omega_\lambda(P,Q)$ la fonction de deux points $P, Q$ variables sur $F$, définie par la formule

$$ \omega_{\lambda}(P, Q) = e^{\lambda(f(P) + f(Q)) - 1/PQ}, $$

où $PQ$ est la distance des points $P$ et $Q$. Lorsque $P=Q$, posons par définition $\omega_\lambda(P,Q)=0$. Nous supposerons dans la suite que $\bar{d}(F)>0$.

Soient $Q^{(n)}$ un système de $n+1$ points quelconques $Q_0, Q_1, \dots, Q_n$ situés sur $F$, et $v_{n\lambda}$ le maximum du produit

$$ V_{\lambda}(Q^{(n)}) = \prod_{0 \le j < k \le n} \omega_{\lambda}(Q_j, Q_k) $$

lorsque le système $Q^{(n)}$ varie sur $F$. Un système $P^{(n)}$ de points de $F$

$$ (1) \qquad P^{(n)} = \{P_0, P_1, \dots, P_n\}, $$

pour lesquels

$$ (2) \qquad v_{n\lambda} = V_{\lambda}(P^{(n)}) = \max_{Q^{(n)} \in F} V_{\lambda}(Q^{(n)}), $$

sera dit *n*-ième système extrémal de $F$ (ou système de points extrémaux) par rapport à la fonction génératrice $\omega_\lambda(P,Q)$.

On sait (voir [2]) que la suite $\{v_{n\lambda}^{2/n(n+1)}\}$ n'est pas croissante et, par suite, la limite

$$ \lim_{n \to \infty} [v_{n\lambda}]^{2/n(n+1)} = v_{\lambda}(F), $$

dite l'écart de l'ensemble $F$ par rapport à la fonction $\omega_\lambda(P,Q)$ existe. Il est clair que $v_\lambda(F) \ge 0$.

Posons

$$ D(Q^{(n)}) = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{0 \le j < k \le n} \frac{1}{Q_j Q_k}, $$

$$ S(Q^{(n)}) = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{0 \le j < k \le n} [f(Q_j) + f(Q_k)] $$

et désignons par $\sigma_\lambda(P^{(n)})$ la différence

$$ (4) \qquad \sigma_\lambda(P^{(n)}) = \lambda S(P^{(n)}) - D(P^{(n)}). $$

Puisque

$$ v_{n\lambda}^2 n^{(n+1)} = e^{\lambda S(P^{(n)}) - D(P^{(n)})} \to V_{\lambda}(F) \ge 0, $$

la suite (4) n'est pas croissante et tend vers une limite finie ou vers l'infini négatif. Nous allons prouver que la limite

$$ (5) \qquad \lim_{n \to \infty} \sigma_{\lambda}(P^{(n)}) = \sigma_{\lambda} $$

est finie.

En effet, soient $m$ le minimum de $f(Q)$ sur $F$ et $R^{(n)}$ un système de points de $F$ pour lesquels

$$ D(R^{(n)}) = \min_{Q^{(n)} \in F} D(Q^{(n)}). $$

On sait (voir [1]) que

$$ D(R^{(n)}) \to \frac{1}{\bar{d}(F)}. $$

D'autre part, d'après (2) et (3),

$$ \sigma_{\lambda}(P^{(n)}) \ge \sigma_{\lambda}(R^{(n)}) = \lambda S(R^{(n)}) - D(R^{(n)}), $$

donc, étant $S(R^{(n)}) \ge 2m$, on a

$$ \sigma_{\lambda}(P^{(n)}) \ge 2\lambda m - D(R^{(n)}), $$

d'où, en faisant tendre $n$ vers l'infini, on trouve

$$ \cdot \sigma_{\lambda} \ge 2\lambda m - \frac{1}{\bar{d}(F)}. $$

Comme $\bar{d}(F) > 0$, la limite $\sigma_\lambda$ est finie.

2. Propriétés de $\sigma_\lambda$. La position des points extrémaux (1) sur $F$ dépend de $n$ et de $\lambda$. Désignons par $\Delta$ un ensemble borélien quelconque de points de $F$; soit $\mu_{n\lambda}(\Delta)$ la fonction d'ensemble égale à 0 lorsque $\Delta$
ne contient aucun de points (1) et à $k/(n+1)$ lorsqu'il en contient $k$. Il est clair que, quel que soit $\Delta \in F$, on a $0 \le \mu_{n\lambda}(\Delta) \le 1$, donc les fonctions $\mu_{n\lambda}(\Delta)$ $n=1,2,\dots$, sont complètement additives, non négatives et uniformément bornées. Chaque $\mu_{n\lambda}(\Delta)$ représente une répartition de la masse unité sur la frontière $F$.

D'après un théorème de De la Vallée Poussin [3], de chaque suite illimitée de fonctions additives uniformément bornées on peut extraire une suite partielle convergente.

Soit $\{\mu_{n\lambda}\}$ une suite partielle de la suite $\{\mu_{n\lambda}(\Delta)\}$ tendant vers une limite et soit

$$ \lim_{k \to \infty} \mu_{n\lambda}(\Delta) = \mu_{\lambda}^{*}(\Delta) = \mu_{\lambda}^{*}. $$

Posons

$$ (5') \quad J(\mu_{\lambda}^{*}) = 2\lambda \int_{F} f(Q) \, d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q}) - \iint_{F} \frac{1}{PQ} \, d\mu_{\lambda}^{*}(\Delta_{P}) \, d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q}). $$

Je vais démontrer que

$$ (6) \qquad \sigma_{\lambda} \le J(\mu_{\lambda}^{*}). $$

Démonstration. Soit $N$ un nombre naturel quelconque. Désignons par $\frac{1}{[PQ]_N}$ la fonction définie comme il suit

$$ \frac{1}{[PQ]_N} = \begin{cases} \frac{1}{PQ} & \text{si } \frac{1}{PQ} < N, \\ N & \text{si } \frac{1}{PQ} \ge N. \end{cases} $$

Il est clair que

$$ (7) \quad \frac{1}{(n+1)^2} \sum_{\substack{j,k=0 \\ j \neq k}}^{n} \frac{1}{P_j P_k} \ge \frac{1}{(n+1)^2} \sum_{\substack{j,k=0 \\ j \neq k}}^{n} \frac{1}{[P_j P_k]_N} \\ = \frac{1}{(n+1)^2} \sum_{\substack{j=0 \\ j \neq 0}}^{n} \sum_{\substack{k=0 \\ k \neq 0}}^{n} \frac{1}{[P_j P_k]_N} - \frac{N}{n+1}. $$

Le premier terme du dernier membre peut être représenté par l'inte-grale

$$ \iint_F \frac{1}{[PQ]_N} d\mu_{n\lambda}(\Delta_P) d\bar{\mu}_{n\lambda}(\Delta_Q). $$

D'autre part, l'expression

$$ \frac{\lambda}{(n+1)^2} \sum_{\substack{j,k=0 \\ j \neq k}}^{n} [f(P_j) + f(P_k)] $$

est égale à

$$ \frac{\lambda}{n+1} \sum_{k=0}^{n} \left\{ \frac{1}{n+1} \sum_{\substack{j=0 \\ j \neq k}}^{n} [f(P_j) + f(P_k)] \right\} = \frac{\lambda}{n+1} \sum_{k=0}^{n} \left\{ \frac{1}{n+1} \sum_{\substack{j=0 \\ j \neq k}}^{n} f(P_j) + \frac{n-1}{n+1} f(P_k) \right\} \\ = \frac{\lambda}{n+1} \sum_{k=0}^{n} \left\{ \int_F f(P) \, d\bar{\mu}_{n\lambda}(\Delta_P) + \frac{n-1}{n+1} f(P_k) \right\} \\ = \lambda \int_F f(P) \, d\bar{\mu}_{n\lambda}(\Delta_P) + \frac{(n-1)\lambda}{n+1} \int_F f(P) \, d\bar{\mu}_{n\lambda}(\Delta_P), $$

donc

$$ (8) \quad \frac{\lambda}{(n+1)^2} \sum_{\substack{j,k=0 \\ j \neq k}}^{n} [f(P_j) + f(P_k)] = \frac{2n}{n+1} \lambda \int_F f(P) \, d\bar{\mu}_{n\lambda}(\Delta_P). $$

De (7) et (8), résulte l'inégalité

$$ \frac{1}{(n+1)^2} \left\{ \sum_{\substack{j,k=0 \\ j \neq k}}^{n} \frac{1}{P_j P_k} - \lambda \sum_{\substack{j,k=0 \\ j \neq k}}^{n} [f(P_j) + f(P_k)] \right\} \\ \ge \iint_F \frac{1}{[PQ]_N} d\bar{\mu}_{n\lambda}(\Delta_P) d\bar{\mu}_{n\lambda}(\Delta_Q) - \frac{N}{n+1} - \frac{2n}{n+1} \lambda \int_F f(P) \, d\bar{\mu}_{n\lambda}(\Delta_P). $$

Observons que le premier membre de cette inégalité est égal à

$$ -\frac{n}{n+1} \sigma_{\lambda}(P^{(n)}) $$

et faisons tendre $n$ vers l'infini par les valeurs $n_1, n_2, \dots$, en supposant que $N$ soit fixe. La répartition $\mu_{n\lambda}$ tend alors vers la limite $\mu_{\lambda}^*$, et, d'après (5), l'inégalité précédente donne

$$ \sigma_{\lambda} \le 2\lambda \int_F f(P) \, d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_P) - \iint_F \frac{1}{[PQ]_N} d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_P) \, d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_Q). $$

Lorsque $N \to \infty$, on obtient l'inégalité (6)

**5. Propriétés de $\sigma_{\lambda}$ (suite).** Je vais prouver maintenant que, quelle que soit la répartition $\tau(\Delta)$ de la masse unité sur $F$, on a l'inégalité

$$ (9) \qquad \sigma_{\lambda} \ge J(\tau). $$
Démonstration. Soit $Q^{(n)}$ un système de $n+1$ points $Q_0, Q_1, \dots, Q_n$ quelconques, situés sur $F$. D'après (2), (3) et (4), on a

$$ (10) \quad \left( \binom{n+1}{2} \right) \sigma_{\lambda}(P^{(n)}) \ge \lambda \sum_{0 \le j < k \le n} [f(Q_j) + f(Q_k)] - \sum_{0 \le j < k \le n} \frac{1}{Q_j Q_k}. $$

Fixons arbitrairement les points $Q_1, Q_2, \dots, Q_n$ sur la frontière $F$ et partageons $F$ en $s$ ensembles boréliens $\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_s$. Supposons tout d'abord que $Q_0 \in \Delta_1$ et multiplions l'inégalité (10) par $\tau(\Delta_1)$. Supposons ensuite que $Q_1 \in \Delta_2$ et multiplions l'inégalité (10) par $\tau(\Delta_2)$. Supposons enfin $Q_0$ appartienne à l'ensemble $\Delta_s$, multiplions l'inégalité (10) par $\tau(\Delta_s)$ et formons le somme de $s$ inégalités ainsi obtenues. Il est claire que

$$ \tau(\Delta_1) + \tau(\Delta_2) + \dots + \tau(\Delta_s) = 1. $$

Lorsque $s$ tend vers l'infini et le diamètre de tous les ensembles $\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_s$ tend vers zéro, on obtient l'inégalité

$$ (10_1) \quad \left( \binom{n+1}{2} \right) \sigma_{\lambda}(P^{(n)}) \ge n\lambda \int_{\mathbb{F}} f(Q) \, d\tau(\Delta_Q) \\ \qquad + n\lambda \sum_{j=1}^{n} f(Q_j) - \sum_{k=1}^{n} \int_{\mathbb{F}} \frac{1}{Q_k Q} \, d\tau(\Delta_Q) - \sum_{1 \le j < k \le n} \frac{1}{Q_j Q_k}, $$

dont le membre droit dépend des points $Q_1, Q_2, \dots, Q_n$. Fixons maintenant les points $Q_2, Q_3, \dots, Q_n$ et supposons que le point $Q_1$ appartienne successivement à $\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_s$. Multiplions l'inégalité (10<sub>1</sub>) par $\tau(\Delta_1)$ lorsque $Q_1 \in \Delta_1$, par $\tau(\Delta_2)$ lorsque $Q_1 \in \Delta_2$, \dots, et enfin par $\tau(\Delta_s)$ lorsque $Q_1 \in \Delta_s$, et formons la somme des $s$ inégalités ainsi obtenues. En passant à la limite lorsque $s \to \infty$ et le diamètre de tous les ensembles $\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_s$ tend vers zéro, on obtient l'inégalité

$$ (10_2) \quad \left( \binom{n+1}{2} \right) \sigma_{\lambda}(P^{(n)}) \ge 2n\lambda \int_{\mathbb{F}} f(Q) \, d\tau(\Delta_Q) - \iint_{\mathbb{F}} \frac{1}{PQ} \, d\tau(\Delta_P) \, d\tau(\Delta_Q) \\ \qquad - 2 \sum_{k=2}^{n} \int_{\mathbb{F}} \frac{1}{Q_k Q} \, d\tau(\Delta_Q) + n\lambda \sum_{j=2}^{n} f(Q_j) - 2 \sum_{1 \le j < k \le n} \frac{1}{Q_j Q_k}, $$

dont le membre droit ne dépend que des points $Q_2, Q_3, \dots, Q_n$. Supposons que, pour $0 \le r \le n-1$, on ait

$$ (10_3) \quad \left( \binom{n+1}{2} \right) \sigma_{\lambda}(P^{(n)}) \ge (r+1)n\lambda \int_{\mathbb{F}} f(Q) \, d\tau(\Delta_Q) + n\lambda \sum_{j=r+1}^{n} f(Q_j) \\ \qquad - \frac{r(r+1)}{2} \iint_{\mathbb{F}} \frac{1}{PQ} \, d\tau(\Delta_P) \, d\tau(\Delta_Q) - (r+1) \sum_{k=r+1}^{n} \int_{\mathbb{F}} \frac{1}{Q_k Q} \, d\tau(\Delta_Q) - \sum_{r+1 \le j < k \le n} \frac{1}{Q_j Q_k}, $$

et observons que cette inégalité se réduit à $(10_1)$ ou à $(10_2)$, lorsque $r=0$ ou $r=1$, et que le membre droit ne dépend que des points $Q_{r+1}, \dots, Q_n$. Par un procédé analogue aux deux précédents on déduit de l'inégalité (10<sub>s</sub>), la suivante

$$ (10_4) \quad \left( \binom{n+1}{2} \right) \sigma_{\lambda}(P^{(n)}) \ge (r+2)n\lambda \int_{\mathbb{F}} f(Q) \, d\tau(\Delta_Q) + n\lambda \sum_{j=r+2}^{n} f(Q_j) \\ - \frac{(r+1)(r+2)}{2} \iint_{\mathbb{F}} \frac{1}{PQ} \, d\tau(\Delta_P) \, d\tau(\Delta_Q) \\ - (r+2) \sum_{k=r+2}^{n} \int_{\mathbb{F}} \frac{1}{Q_k Q} \, d\tau(\Delta_Q) - \sum_{r+2 \le j < k \le n} \frac{1}{Q_j Q_k}. $$

L'inégalité (10<sub>s</sub>) pour $r=n-1$, se réduit à l'inégalité

$$ (10_5) \quad \left( \binom{n+1}{2} \right) \sigma_{\lambda}(P^{(n)}) \ge n^2 \lambda \int_{\mathbb{F}} f(Q) \, d\tau(\Delta_Q) + n \lambda f(Q_n) \\ - \frac{n(n-1)}{2} \iint_{\mathbb{F}} \frac{1}{PQ} \, d\tau(\Delta_P) \, d\tau(\Delta_Q) - n \int_{\mathbb{F}} \frac{1}{Q_n Q} \, d\tau(\Delta_Q), $$

dont le membre droit ne dépend que de $Q_n$. Multiplions (10<sub>s</sub>) par $\tau(\Delta_1)$ lorsque $Q_n \in \Delta_1$, par $\tau(\Delta_2)$ lorsque $Q_n \in \Delta_2$, \dots et enfin par $\tau(\Delta_s)$ lorsque $Q_n \in \Delta_s$, et formons la somme des $s$ inégalités ainsi obtenues. En passant comme plus haut à la limite, on obtient

$$ \left( \binom{n+1}{2} \right) \sigma_{\lambda}(P^{(n)}) \ge n(n+1)\lambda \int_{\mathbb{F}} f(Q) \, d\tau(\Delta_Q) - \frac{n(n+1)}{2} \iint_{\mathbb{F}} \frac{1}{PQ} \, d\tau(\Delta_P) \, d\tau(\Delta_Q). $$

Il suffit d'éviter les deux membres de cette inégalité par $\binom{n+1}{2}$ et de faire tendre $n$ vers l'infini pour obtenir l'inégalité (9). De (6) et (9), résulte l'égalité

$$ (11) \qquad \sigma_{\lambda} = J(\mu_{\lambda}^{*}), $$

et on voit d'après (9) que la distribution de la masse unité définie par la fonction $\mu_{\lambda}^*$ réalise la borne supérieure de l'expression $J(\tau)$, où $\tau(\Delta)$ est une distribution de la masse unité quelconque sur $F$. On a donc

$$ (12) \qquad J(\mu_{\lambda}^{*}) = \sup_{\tau} J(\tau). $$
**4. Introduction de la fonction $u_λ(P)$.** Désignons par $F_λ$ le noyau de la masse relatif à la distribution $\mu_λ^*$, c'est-à-dire l'ensemble de tous ceux points de $F'$, dont chaque entourage contient une masse non nulle. L'ensemble $F_λ$ est évidemment fermé. Désignons encore par $u_λ(P)$ la fonction du point $P$, définie par la formule

$$ (13) \qquad u_{\lambda}(P) = \int_{F'} \frac{1}{PQ} d\mu_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q}) - \lambda f(P). $$

**THÉORÈME 1.** *En tout point de $\vec{F}'$ sauf, au plus, dans un sous-ensemble de diamètre transfini nul, la fonction $u_λ(P)$ est constante.*

**Démonstration.** Posons

$$ \int_{F'} u_{\lambda}(P) d\mu_{\lambda}^{*}(\Delta_{P}) = \gamma_{\lambda}, $$

et soit $\varepsilon$ un nombre positif quelconque. La fonction $u_λ(P)$ ne peut être constamment $\leqslant \gamma_λ - \varepsilon$, car dans le cas contraire, on aurait

$$ \gamma_{\lambda} = \int_{F'} u_{\lambda}(P) d\mu_{\lambda}^{*}(\Delta_{P}) \leq \gamma_{\lambda} - \varepsilon. $$

Il existe donc un point $P_0 \in F_λ$, où $u_λ(P_0) > \gamma_λ - \varepsilon$. Observons que la fonction $u_λ(P)$ est semi-continue inférieurement, donc il existe un voisinage $V(P_0)$ du point $P_0$, dans lequel $u_λ(P) > \gamma_λ - \varepsilon$. Ceci étant, supposons que $u_λ(P)$ soit $\leqslant \gamma_λ - 2\varepsilon$ en tout point d'un ensemble $E \subset F_λ$ de diamètre transfini positif, et soit $m$ la masse contenue dans $V(P_0)$. Transportons cette masse à l'ensemble $E$ et répartissons la sur $E$ de manière que son potentiel soit borné. Dans ce but désignons par $\sigma(\Delta)$ la fonction d'ensemble définie comme il suit

$$ \begin{align*} \sigma(\Delta) &= -\mu_{\lambda}^{*}(\Delta) \quad \text{dans } V(P_0), \\ \sigma(\Delta) > 0 \quad \text{dans } E, \quad \sigma(E) &= \mu_{\lambda}^{*}[V(P_0)] = m, \\ \sigma(\Delta) &= 0 \quad \text{en dehors de } E + V(P_0) \end{align*} $$

et satisfaisant à la condition

$$ A = \int_{F'} \int_{PQ} \frac{1}{PQ} d\sigma(\Delta_P) d\sigma(\Delta_Q) < \infty. $$

La somme $\mu_λ^*(Δ) + σ(Δ)$ définit la nouvelle répartition de masse dans $F$. Pour tout nombre $\hbar$, $0 < \hbar \leqslant 1$, la fonction $\mu_λ^* + \hbar\sigma$ est non négative

et exprime une répartition de la masse unité dans $F$. D'après (5'), on a

$$ \begin{align*} \delta J &= J(\mu_{\lambda}^{*} + \hbar\sigma) - J(\mu_{\lambda}^{*}) = \int_{F'} \left[ - \int_{F} \frac{1}{PQ} (d\mu_{\lambda}^{*} + \hbar d\sigma) + 2\lambda f(P) \right] (d\mu_{\lambda}^{*} + \hbar d\sigma) \\ &\qquad - \int_{F'} \left[ - \int_{F} \frac{1}{PQ} d\mu_{\lambda}^{*} + 2\lambda f(P) \right] d\mu_{\lambda}^{*} \\ &= - \hbar^2 \int_{F'} \int_{PQ} d\sigma d\sigma + 2\hbar \left[ - \int_{F'} \int_{PQ} d\mu_{\lambda}^{*} d\sigma + \lambda \int_{F'} f(P) d\sigma \right] \\ &\geq - \hbar^2 A - 2\hbar(\gamma_{\lambda} - 2\varepsilon)m + 2\hbar(\gamma_{\lambda} - \varepsilon)m = - \hbar^2 A + 2\hbar m\varepsilon. \end{align*} $$

Pour $\hbar$ suffisamment petit, on a $\delta J > 0$ ce qui reste en contradiction avec (12).

Puisque $\varepsilon > 0$ est arbitrairement petit, on a $u_λ(P) \geqslant \gamma_λ$ en tout point de $F_λ$ à l'exception au plus d'un ensemble de diamètre transfini nul.

D'autre part, $u_λ(P)$ ne peut être $> \gamma_λ$ en aucun point $P \in F_λ$. En effet, si l'on avait en un point $P_1 \in F_λ$, $u_λ(P_1) > \gamma_λ$, l'inégalité $u_λ(P) > \gamma_λ$ serait satisfaite dans un entourage de $P_1$ et l'intégrale

$$ \int_{F'} u_{\lambda}(P) d\mu_{\lambda}^{*}(\Delta_{P}) $$

deviendrait $> \gamma_λ$, ce qui est impossible; donc $\gamma_λ$ est la borne supérieure de la fonction $u_λ(P)$ dans $F_λ$.

Nous allons calculer la valeur de la constante $\gamma_λ$. A cet effet désignons par $\bar{\mu}_λ$ la distribution d'équilibre de la masse unité sur $F_λ$, c'est-à-dire une distribution dont le potentiel est constant sur $F_λ$, à l'exception, au plus, d'un ensemble de diamètre transfini nul. Puisque $u_λ(P) = \gamma_λ$ dans $F_λ$, on a

$$ \begin{align*} \gamma_{\lambda} &= \int_{F_{\lambda}} u_{\lambda}(P) d\bar{\mu}_{\lambda}(\Delta_{P}) = \left\{ \int_{F_{\lambda}} \frac{1}{PQ} d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q}) - \lambda f(P) \right\} d\bar{\mu}_{\lambda}(\Delta_{P}) \\ &= \left\{ \int_{F_{\lambda}} \frac{1}{PQ} d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q}) \right\} d\bar{\mu}_{\lambda}(\Delta_{P}) - \lambda \int_{F_{\lambda}} f(P) d\bar{\mu}_{\lambda}(\Delta_{P}). \end{align*} $$

En appliquant le théorème de Tonelli

$$ \left\{ \int_{F_{\lambda}} \frac{1}{PQ} d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q}) \right\} d\bar{\mu}_{\lambda}(\Delta_{P}) = \left\{ \int_{F_{\lambda}} \left\{ \int_{F_{\lambda}} \frac{1}{PQ} d\bar{\mu}_{\lambda}(\Delta_{P}) \right\} d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{P}) \right\} d\bar{\mu}_{\lambda}(\Delta_{P}) $$
et le résultat connu ([4], p. 16)

$$ \int_{F_{\lambda}} \frac{1}{PQ} d\mu_{\lambda}(\Delta_{P}) = \text{const} = \frac{1}{d(F_{\lambda})}, $$

où $d(F_λ)$ est le diamètre transfini de l'ensemble $F_λ$, on trouve

$$ \int_{F_{\lambda}} \left\{ \int_{F_{\lambda}} \frac{1}{PQ} d\mu_{\lambda}^{*}(\Delta_{P}) \right\} d\bar{\mu}_{\lambda}(\Delta_{P}) = \int_{F_{\lambda}} \frac{1}{d(F_{\lambda})} d\mu_{\lambda}^{*}(\Delta_{P}) = \frac{1}{d(F_{\lambda})}, $$

et, par suite,

$$ \gamma_{\lambda} = \frac{1}{d(F_{\lambda})} - \lambda \int_{F} f(P) d\bar{\mu}_{\lambda}. $$

**5. Une propriété du noyau $F_λ$.** Désignons par $\rho(z_0, F_λ)$ la distance du point $z_0$ à l'ensemble $F_λ$ et soit $F_0$ un ensemble fermé ayant les propriétés suivantes:

$$ 1^{\circ} F_{0} \subset F, $$

$$ 2^{\circ} d(F_{0}) = d(F), $$

3º K étant une sphère quelconque dont le centre est situé sur $F_0$, le diamètre transfini du proudit $F_0K$ est positif.

Je vais prouver le

**THÉORÈME 2.** A chaque $\varepsilon>0$, on peut faire correspondre un nombre $\lambda(\varepsilon)$ tel que, pour tout point $z_0 \in F_0$ et tout $\lambda$, $0<\lambda<\lambda(\varepsilon)$, on ait

$$ \rho(z_0, F_\lambda) < \varepsilon. $$

Démonstration. Supposons qu'il existe un point $z_0 \in F_0$ tel que la distance $\rho(z_0, F_\lambda)$ ne tende pas vers zéro lorsque $\lambda \to 0$. Dans ce cas, tous les points de la suite triangulaire des points extrémaux

$$ \{P_0, P_1, \dots, P_n\} \qquad (n=1, 2, \dots), $$

où chaque $P_k$ dépend de $\lambda$ et de $n$, seraient situés sur une partie fermée $E$ de $F$ à une distance positive de $z_0$. Soit $M$ et $m$ la borne supérieure et inférieure de la fonction $f(P)$. Il résulte de (2) qu'on a

$$ \begin{align} v_{n\lambda} &= \exp \left\{ -\sum_{0 \le j < k \le n} \frac{1}{P_j P_k} + \lambda \sum_{0 \le j < k \le n} [f(P_j) + f(P_k)] \right\} \tag{13} \\ &\le \exp \left\{ Mn(n+1)\lambda - \min_{Q^{(n)} \in E} \sum_{0 \le j < k \le n} \frac{1}{Q_j Q_k} \right\}. \nonumber \end{align} $$

D'autre part

$$ \begin{align} v_{n\lambda} &= \max_{Q^{(n)} \in F} \left\{ \exp \left[ - \sum_{0 \le j < k \le n} \frac{1}{Q_j Q_k} + \lambda \sum_{0 \le j < k \le n} [f(Q_j) + f(Q_k)] \right] \right\} \tag{14} \\ &\ge \exp \left\{ mn(n+1)\lambda - \min_{Q^{(n)} \in F} \sum_{0 \le j < k \le n} \frac{1}{Q_j Q_k} \right\}. \nonumber \end{align} $$

D'après (13) et (14), on a

$$ n(n+1)[M-m]\lambda \ge \min_{Q^{(n)} \in E} \sum_{0 \le j < k \le n} \frac{1}{Q_j Q_k} - \min_{Q^{(n)} \in F} \sum_{0 \le j < k \le n} \frac{1}{Q_j Q_k}. $$

Divisons par $2/n(n+1)$ et passons à la limite quand $n \to \infty$. On obtient l'inégalité suivante

$$ 2(M-m)\lambda \ge \frac{1}{d(E)} - \frac{1}{d(F)} > 0, $$

d'où il résulte que $\lambda > 0$ ne peut être arbitrairement petit.

**6. Problème de Dirichlet pour le domaine $D_\lambda$.** Désignons par $D_\lambda$ le domaine non borné dont la frontière est l'ensemble $F_\lambda$ et soit $m_\lambda$ une masse répartie sur l'ensemble $F_\lambda$, dont le potentiel d'équilibre est égal à $\gamma_\lambda$ presque partout<fnref n="1" />) dans $F_\lambda$. On a $m_\lambda = \gamma_\lambda d(F_\lambda)$. Désignons par $\bar{\mu}_\lambda^*$ la répartition d'équilibre de la masse $m_\lambda$ sur $F_\lambda$ et formons la fonction

$$ \omega_{\lambda}(P) = \frac{1}{\lambda} \int_{F} \frac{d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q})}{PQ} - \frac{1}{\lambda} \int_{F} \frac{d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q})}{PQ}. $$

**THÉORÈME 3.** La fonction $\omega_\lambda(P)$ est la résolution du problème de Dirichlet généralisé pour le domaine $D_\lambda$ avec la valeur $f(P)$ sur $F_\lambda$ et $0$ à l'infini.

**Démonstration.** 1º Pour les points $P_0 \in F_\lambda$, on a presque partout

$$ (15) \qquad \omega_{\lambda}(P_0) = \frac{1}{\lambda} \int_{F} \frac{d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q})}{P_{0}Q} - \frac{1}{\lambda} \int_{F} \frac{d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q})}{P_{0}Q} = f(P_{0}) + \frac{\gamma_{\lambda}}{\lambda} - \frac{\gamma_{\lambda}}{\lambda} = f(P_{0}). $$

De la semi-continuité inférieure du potentiel engendré par la masse positive résulte l'inégalité suivante

$$ (16) \qquad \lim_{\substack{F \to P_0 \\ \lambda}} \frac{1}{F} \int_{F} \frac{d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q})}{PQ} \ge \frac{1}{\lambda} \int_{F} \frac{d\bar{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q})}{P_{0}Q}. $$

<footnote n="1">¹) Nous convenons de dire „presque partout“ au lieu de „à l’exception d’un ensemble de diamètre transfini nul“.</footnote>
D'autre part, on a dans tout l'espace

$$ \frac{1}{\lambda} \int_{\vec{F}} \frac{d\vec{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_{Q})}{PQ} \le \frac{\gamma_{\lambda}}{\lambda}, $$

donc

$$ (17) \qquad \overline{\lim}_{P \to P_0} \frac{1}{\lambda} \int_{\vec{F}} \frac{d\vec{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_Q)}{PQ} \le \frac{\gamma_{\lambda}}{\lambda}. $$

Il résulte de (15), (16) et (17) qu'on a

$$ (18) \quad \lim_{\vec{P} \to P_0} \omega(P) \ge \lim_{\vec{P} \to P_0} \frac{1}{\lambda} \int_{\vec{F}} \frac{d\vec{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_Q)}{PQ} - \lim_{\vec{P} \to P_0} \frac{1}{\lambda} \int_{\vec{F}} \frac{d\vec{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_Q)}{PQ} \ge f(P_0). $$

2ᵉ On a presque partout dans $F_{\lambda}$

$$ \lim_{P \to P_0 \in F_{\lambda}} \frac{1}{\lambda} \int_{\vec{F}} \frac{d\vec{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_Q)}{PQ} = \frac{\gamma_{\lambda}}{\lambda}. $$

D'autre part [4]

$$ \overline{\lim}_{P \to P_0 \in F_{\lambda}} \frac{1}{\lambda} \int_{\vec{F}} \frac{d\vec{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_Q)}{PQ} \ge \overline{\lim}_{P \to P_0 \in F_{\lambda}} \frac{1}{\lambda} \int_{\vec{F}} \frac{d\vec{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_Q)}{PQ}, $$

on a donc presque partout dans $F_{\lambda}$

$$ \overline{\lim}_{P \to P_0 \in F_{\lambda}} \omega_{\lambda}(P) \le \overline{\lim}_{P \to P_0 \in F_{\lambda}} \frac{1}{\lambda} \int_{\vec{F}} \frac{d\vec{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_Q)}{PQ} - \frac{\gamma_{\lambda}}{\lambda}. $$

Puisque

$$ \frac{1}{\lambda} \int_{\vec{F}} \frac{d\vec{\mu}_{\lambda}^{*}(\Delta_Q)}{PQ} \le f(P) + \frac{\gamma_{\lambda}}{\lambda}. $$

dans $F_{\lambda}$, on obtient l'inégalité

$$ (19) \qquad \lim_{P \to P_0 \in F_{\lambda}} \omega_{\lambda}(P) \le f(P_0). $$

De (18) et (19) il résulte que presque partout dans $F_{\lambda}$, on a

$$ (20) \qquad \lim_{P \to P_0 \in F_{\lambda}} \omega_{\lambda}(P) = f(P_0). $$

3ᵉ La fonction $\omega_{\lambda}(P)$ est harmonique en dehors de l'ensemble $F_{\lambda}$ et tend vers zéro quand $P \to \infty$. Lorsque $P \to P_0 \in F_{\lambda}$, $P_0 \in D_{\lambda}$, la limite (20) existe pour les points $P_0 \in F_{\lambda}$ presque partout. Par suite, $\omega_{\lambda}(P)$ est la solution du problème posé dans le théorème.

<footnote>[1] G. Pólya et G. Szegő, Über den transfiniten Durchmesser von ebenen und räumlichen Punktmengen, Journ. de Crelle 165 (1931), p. 4-49.</footnote>

<footnote>[2] F. Leja, Une généralisation de l'écart et du diamètre transfini d'un ensemble, Ann. Soc. Polon. de Math. 22 (1949), p. 35-42.</footnote>

<footnote>[3] C. De la Vallée Poussin, Extension de la méthode du balayage de Poincaré et problème de Dirichlet, Ann. de l'Inst. H. Poincaré 2 (1932), p. 169-232.</footnote>

<footnote>[4] O. Frostman, Potentiel d'équilibre et capacité des ensembles avec quelques applications à la théorie des fonctions, Meddel. f. Lunds Univ. Mat. Sem. 3, p. 1-118.</footnote>