dégénéré donné, sont des sous-variétés de dimension 3. Les tranches d'univers de ce type qui ne contiennent pas le point à l'infini dans leur adhérence relativement à $\Omega \cup \{\infty\}$, sont des variétés fermées de dimension 3 dont chaque composante conexe peut être décrite à l'aide des huit géométries de Thurston [23]. L'ensemble des points critiques est discret, ce sont les points dont la valeur d'état est irrégulière. Si on note $\Omega \leq \alpha$, le passé de $\Omega_\alpha$, c'est à dire, $\Omega \leq \alpha = \Phi^{-1}([)-\infty; \alpha])$, le présent est le bord du passé, alors on peut reconstruire l'univers à l'aide des deux théorèmes suivants,

**Theorem 21.** Si $[\alpha, \beta]$ ne contient aucun état irrégulier alors la portion d'univers $\Phi^{-1}([\alpha, \beta])$ est difféomorphe à $\Omega_\alpha \times [\alpha, \beta]$. Le passé détermine entièrement le futur. En particulier, le présent $\Omega_\alpha$ est difféomorphe au présent $\Omega_\beta$.

**Theorem 22.** Si $p$ est un événement critique d'indice $\lambda$, et s'il existe une petite variation $\varepsilon > 0$ d'état pour laquelle $\Omega \leq \Phi(p) \cup \{\varepsilon\}$ ne contient que $p$ comme point singulier, alors $\Omega \leq \Phi(p) \cup \{\varepsilon\}$ est obtenue par chirurgie de type $(\lambda, n - \lambda)$ à partir du passé $\Omega \leq \Phi(p) - \{\varepsilon\}$.

*Proof.* C'est le théorème de chirurgie de Milnor-Smale [17] et [5]. □

**Remark 39.** On rappelle la construction des chirurgies de type $(\lambda, n - \lambda)$. Si $N$ est une variété de dimension $n$, de bord non vide $\partial N \neq \emptyset$ et $\varphi$ est un plongement de $S^{\lambda-1} \times D^{n-\lambda}$ dans $\partial N$, on pose $\chi(N, \varphi) = \frac{N \cup D^n}{\sim}$, $\cup$ est l'union disjointe de $N$ et $D^n$ et $\sim$ représente la relation d'équivalence suivante

$$x \in \partial N \sim y \in \partial D^n = S^{\lambda-1} \times D^{n-\lambda} \cup D^{\lambda} \times S^{n-\lambda-1}$$

si et seulement si $\varphi(x) = y$. L'espace $\chi(N, \varphi)$ est une $C^\infty$-variété obtenue par chirurgie de type $(\lambda, n - \lambda)$ à partir de la variété à bord $N$ [14].

On peut construire des états de Morse pour lesquels chaque présent ne contient au plus qu'un événement singulier. Ainsi, pour étudier la géométrie de l'univers, par rapport à cet état, il suffit d'analyser la géométrie du passé et reconstruire par chirurgie, à partir de ce passé, le futur local de notre univers.

Si on veut décrire de façon déterministe chaque événement, on peut plonger $\Omega$ dans $\mathbb{R}^p$ avec $n \leq p \leq 2n + 1$, c'est le théorème de plongement de Withney. Il suffit de décrire au plus 9 états $\{\Phi_j\}$ tels que $\Phi = (\Phi_1, \Phi_2, \dots, \Phi_9)$ soit un plongement. Pour un déterminisme local, il suffit d'immerger l'univers dans $\mathbb{R}^p$, les théorèmes de Gromov-Smale [10] de la théorie des immersions permettent de limiter le nombre d'états suivant la nature topologique de l'univers $\Omega$. Dans l'hypothèse non déterministe, il y a donc, un principe d'incertitude sur la localisation d'un événement.

**5.4. L'univers $\Omega$ comme $(\mathcal{G}, \mathbb{R}^4)$-variété.** Soient $\varphi, \psi : \mathbb{R}^4 \to \Omega$, deux cartes de $\Omega$ telles que $\varphi(\mathbb{R}^4) \cap \psi(\mathbb{R}^4) \neq \emptyset$, le changement de carte est donné par

$$\lambda : \varphi^{-1}(\varphi(\mathbb{R}^4) \cap \psi(\mathbb{R}^4)) \subset \mathbb{R}^4 \to \psi^{-1}(\varphi(\mathbb{R}^4) \cap \psi(\mathbb{R}^4)) \subset \mathbb{R}^4$$

où $\lambda = \psi^{-1}\varphi|_{\varphi^{-1}(\varphi(\mathbb{R}^4) \cap \psi(\mathbb{R}^4))}$. Sur un $C^\infty$-variété $\Omega$, l'unique structure analytique induite par la $C^\infty$-structure, permet de choisir des cartes analytiques $\varphi : \mathbb{R}^4 \to \Omega$. Le changement de carte $\lambda$ est analytique sur l'ouvert $\varphi^{-1}(\varphi(\mathbb{R}^4) \cap \psi(\mathbb{R}^4))$.

**Definition 36.** Les cartes $\varphi$ et $\psi$ sont "analytiquement compatibles" si et seulement si le changement de carte $\lambda$ est la trace d'un difféomorphisme analytique $\Lambda$ de $\mathbb{R}^4$.
**Remark 40.** *Ce prolongement analytique est unique d'après le théorème d'unicité analytique [11].*

Un *m*-uplet de cartes $(\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_m)$ est stable si $\varphi_j$ et $\varphi_{j+1}$ sont "analytiquement compatibles" pour tout $j = 1, \dots, m-1$. Soit

$$ \phi_j = \varphi_j^{-1} : U_j = \varphi_j(\mathbb{R}^4) \to \mathbb{R}^4, $$

pour $j = 1, \dots, m$ et

$$ \lambda_j = \phi_j \circ \phi_{j+1}^{-1} = \varphi_j^{-1} \circ \varphi_{j+1} : \phi_{j+1}(U_j \cap U_{j+1}) \to \phi_j(U_j \cap U_{j+1}) $$

alors l'ajustement de carte $\phi_1$ est donné par $\Lambda_1 \circ \Lambda_2 \circ \cdots \circ \Lambda_{m-1} \circ \phi_m$ où $\Lambda_j$ est l'unique extension analytique de $\lambda_j$. Si on pose

$$ \Lambda = \Lambda_1 \circ \Lambda_2 \circ \cdots \circ \Lambda_{m-1}, $$

alors l'ajustement de carte dans $\phi_1$ est $\Lambda \circ \phi_m$ et l'ajustement dans $\phi_m$ est $\Lambda^{-1} \circ \phi_1$.

Dans ce qui suit on suppose que tous les changements de cartes analytiques sont les traces des éléments d'un sous-groupe $\mathcal{G}$ du groupe des isométries analytiques de l'univers de Minkowski, c'est-à-dire, $\Omega$ est une $(\mathcal{G}, \mathbb{R}^4)$-variété. Les sous-groupes $\mathcal{G}$ du groupe des isométries analytiques de l'univers de Minkowski, à savoir $\mathbb{R}^4$, muni de la métrique $ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$ (on normalise en prenant $c = 1$), qui opèrent transitivement sur $\mathbb{R}^4$ permettent de construire l'application développante pour un événement fixé $\omega \in \Omega$ et une carte $\psi$ de la $(\mathcal{G}, \mathbb{R}^4)$-variété $\Omega$ avec, $\psi(o) = \omega$, $o \in \mathbb{R}^4$. Cette application est notée $D: \tilde{\Omega} \to \mathbb{R}^4$, $D$ est un difféomorphisme si et seulement si la métrique induite sur l'univers $\Omega$ par la métrique de Minkowski fait de $\Omega$ un espace métrique complet. Dans cette situation, l'univers $\Omega$ est entièrement décrit par son groupe d'holonomie $\Gamma \subset \mathcal{G}$, qui est isomorphe à $\pi_1(\Omega)$.

**Theorem 23.** *Avec les hypothèses précédentes, le revêtement universel de $\Omega$ est difféomorphe à $\mathbb{R}^4$ et $\Omega$ est difféomorphe à $\Gamma\backslash\mathbb{R}^4$.*

*Proof.* $\mathcal{G}$ opère analytiquement et transitivement, avec stabilisateur compacte en chaque point de $\mathbb{R}^4$ muni de la métrique de Minkowski. Avec ces hypothèses, $\Omega$ est $(\mathcal{G}, \mathbb{R}^4)$-complète. Le revêtement universel de $\Omega$ est $\mathbb{R}^4$. On a le difféomorphisme de $\Omega$ sur $\Gamma\backslash\mathbb{R}^4$. $\square$

Le choix du groupe $\mathcal{G}$ est entièrement décrit par la nature ondulatoire de l'univers. A chaque changement de cartes de $\varphi$ à $\psi$, on définit un élément $\Lambda$ du groupe structurel $\mathcal{G}$. Une onde $\Psi$ sur l'univers $\Omega$ est une application $\Psi: \Omega \to \mathbb{C}$ qui vérifie pour toute carte $\varphi: \mathbb{R}^4 \to \Omega$ la propriété $\int_{\mathbb{R}^4} |\Psi \circ \varphi|^2 dxdt < +\infty$, on note $\|\Psi \circ \varphi\|^2$ cette intégrale.

Soit $\Phi_\Lambda: L^2(\mathbb{R}^4) \to L^2(\mathbb{R}^4)$, l'application définie par $\Phi_\Lambda(\alpha) = \alpha \circ \Lambda$, où $\Lambda$ est l'unique extension du changement de carte de $\varphi$ à $\psi$. Si on prend une onde $\Psi$ de l'univers $\Omega$, on a $\Phi_\Lambda(\Psi \circ \psi) = \Psi \circ \varphi$. L'application est une bijection de $L^2(\mathbb{R}^4)$, l'hypothèse que l'on fait est la suivante, qui est une hypothèse naturelle si on se réfère aux principes quantiques, $\Phi_\Lambda$ est une transformation de Wigner, c'est-à-dire,

$$ |\langle \Phi_{\Lambda} \alpha, \Phi_{\Lambda} \beta \rangle| = |\langle \alpha, \beta \rangle| $$

pour tout $\alpha$ et $\beta$ dans $L^2(\mathbb{R}^4)$.

**Theorem 24.** *Il existe une application $\theta: L^2(\mathbb{R}^4) \to \mathbb{S}^1$ et une application*

$$ L: L^2(\mathbb{R}^4) \to L^2(\mathbb{R}^4) $$
telles que, $\Phi_{\Lambda}(\alpha) = \theta(\alpha) L(\alpha)$, avec $L$ est unitaire ou $L$ est antiunitaire.

*Proof.* C'est le théorème de Wigner[26]. □

$\mathcal{G}$ est un groupe, donc $\mathcal{G} = \{\Lambda : \Phi_{\Lambda} = \theta \times L, |\theta| = 1 \text{ et } L \in \mathcal{U}(L^2(\mathbb{R}^4)) \}$. $L$ ne peut pas être antiunitaire. Les applications de $\mathcal{G}$ sont les isométries de l'espace de Minkowski pour lesquelles l'opérateur $\Phi_{\Lambda}$ conserve le produit hermitique de $L^2(\mathbb{R}^4)$. Il faut vérifier que ce groupe $\mathcal{G}$ opère transitivement sur $\mathbb{R}^4$. Le groupe de Poincaré propre $\mathcal{L}_0 \times \mathbb{R}^4$ est contenu dans le groupe $\mathcal{G}$ et $\mathcal{L}_0 \times \mathbb{R}^4$ opère transitivement sur $\mathbb{R}^4$. Pour une isométrie $\Lambda \in \mathcal{SO}(3, 1) \times \mathbb{R}^4$,

$$ \|\Phi_{\Lambda}\alpha\|^2 = \int_{\mathbb{R}^4} |\alpha \circ \Lambda(x, t)|^2 dxdt, $$

le Jacobien est $J_{\Lambda}(x,t) = \left| \det \vec{\Lambda}(x,t) \right| = 1$. En particulier,

$$ \|\Phi_{\Lambda}\alpha\|^2 = \int_{\mathbb{R}^4} |\alpha \circ \Lambda(x,t)|^2 J_{\Lambda}(x,t) dxdt = \int_{\mathbb{R}^4} |\alpha(x,t)|^2 dxdt = \|\alpha\|^2, $$

par changement de variable. On rappelle que le produit semi-direct est décrit par $(\Lambda, x)(\Lambda', x') = (\Lambda\Lambda', x + \Lambda x')$ et $\mathcal{L}_0$ correspond à la composante connexe de $\mathcal{SO}(3, 1)$, contenant $I_4$.

**Remark 41.** L'univers de Poincaré-Minkowski-Einstein (PME) est obtenu pour le groupe de Poincaré $\mathcal{G} = \mathcal{SO}(3, 1) \times \mathbb{R}^4$.

**5.5. Une généralisation de la $(\mathcal{G}, \mathbb{R}^4)$-structure de $\Omega$.** $\mathcal{G}$ désigne toujours un sous-groupe de difféomorphismes analytiques de $\mathbb{R}^4$. On note $\mathcal{A}$, l'atlas des cartes analytiques de l'univers $\Omega$. Une sous-famille $\mathcal{F}$ de $\mathcal{A}$ a la propriété de $\mathcal{G}$-extension sur $\mathbb{R}^4$, si pour tout couple de cartes $(\varphi, \psi) \in \mathcal{F}^2$, tel que $\varphi(\mathbb{R}^4) \cap \psi(\mathbb{R}^4) \neq \emptyset$, le changement de carte $\lambda$ a une extension sur $\mathbb{R}^4$ appartenant à $\mathcal{G}$. Dans tout ce qui suit $\mathcal{F}$ est une famille de cartes ayant la propriété de $\mathcal{G}$-extension sur $\mathbb{R}^4$, on pose $\Omega_{\mathcal{F}} = \cup_{\varphi \in \mathcal{F}} \varphi(\mathbb{R}^4)$, alors $\Omega_{\mathcal{F}}$ est un ouvert de $\Omega$, non nécessairement connexe, qui a la structure de $(\mathcal{G}, \mathbb{R}^4)$-variété pour l'atlas engendré par $\mathcal{F}$. La famille $\{\Omega_{\mathcal{F}}\}$ où $\mathcal{F}$ parcourt l'ensemble des parties $\mathcal{A}$, ayant la propriété de $\mathcal{G}$-extension sur $\mathbb{R}^4$, forme un recouvrement d'ouverts de $\Omega$.

Les familles réduites à une carte, ont la propriété de $\mathcal{G}$-extension sur $\mathbb{R}^4$, c'est le cas trivial. Une famille $\mathcal{F}$ de $\mathcal{A}$, ayant la propriété de $\mathcal{G}$-extension sur $\mathbb{R}^4$, est maximale si pour toute carte $\psi \in \mathcal{A} \setminus \mathcal{F}$, $\mathcal{F} \cup \{\psi\}$ n'a pas la propriété de $\mathcal{G}$-extension sur $\mathbb{R}^4$. On suppose, par la suite, que $\mathcal{F}$ est maximale. La variété ouverte $\Omega_{\mathcal{F}}$ a une structure de $(\mathcal{H}, \mathbb{R}^4)$-variété, où $\mathcal{H}$ est le sous-groupe de $\mathcal{G}$, engendré par l'ensemble des $\mathcal{G}$-extensions des changements de cartes appartenant à $\mathcal{F}$.

**Theorem 25.** Il existe un homomorphisme $\Phi : \pi_1(\Omega_{\mathcal{F}}) \to \mathcal{H}$, appelée l'holonomie de $\Omega_{\mathcal{F}}$ et une application continue $\Phi$-équivariante $(D\gamma = \Phi(\gamma) \circ D$ pour $\gamma \in \pi_1(\Omega_{\mathcal{F}}))$, $D : \tilde{\Omega}_{\mathcal{F}} \to \mathbb{R}^4$, appelé le développement de $\Omega_{\mathcal{F}}$, qui est un isomorphisme local.

Le couple $(\Phi, D)$ est unique dans le sens suivant: Pour tout isomorphisme local $D' : \tilde{\Omega}_{\mathcal{F}} \to \mathbb{R}^4$, il existe $h \in \mathcal{H}$ tel que $D' = h \circ D$, $D'$ est $\Phi$-équivariante pour l'homorphisme $\Phi$ conjugué de $\Phi$ par $h$, c'est-à-dire, $\Phi' : \pi_1(\Omega_{\mathcal{F}}) \to \mathcal{H}$ et $\Phi'(\gamma) = h\Phi(\gamma) h^{-1}$.
**Remark 42.** On identifie le revêtement universel à $\pi_1(\Omega_F)$ et la projection $\pi : \tilde{\Omega}_F \to \Omega_F$, s'identifie à $\pi(\gamma) = \gamma_a(1)$ avec $\gamma = [\gamma_a]$ et $\gamma_a(0) = a$. Le groupe d'holonomie est $\Gamma = \Phi(\Omega_F)$.

**Theorem 26.** *Si $\mathcal{H}$ est un sous-groupe d'isomorphismes de Lorentz et $\Omega_F$ est complet pour la métrique héritée de la métrique de Minkowski, alors $\Omega_F$ est isomorphe à $\Gamma\backslash\mathbb{R}^4$.*

*Proof.* C'est un théorème de Thurston [23]. □

On peut représenter l'univers $\Omega$, comme une union de sous-univers difféomorphes à $\Gamma\backslash\mathbb{R}^4$, ayant même point à l'infini dans leur compactification d'Alexandroff. Dans cette représentation l'univers est entièrement décrit par une famille de sous-groupes du groupe des isométries de l'univers de Minkowski. Cette représentation est mathématiquement intéressante mais physiquement pas satisfaisante car si on se situe dans une partie de l'univers de la forme $\Gamma\backslash\mathbb{R}^4$, on ne peut pas accéder analytiquement à une autre partie de l'univers dont le groupe d'holonomie est différent de $\Gamma$.

## 6. COMPLEXIFICATION DES DIMENSIONS EN PHYSIQUE

### 6.1. Complexification des fibrés hilbertiens réels.
On veut complexifié les fibrés hilbertiens réels. Un fibré hilbertien réel est un fibré

$$ \zeta = (E, \pi, \Omega, \mathcal{H}) $$

dont la fibre $\mathcal{H}$ est espace de hilbert réel et la base est l'univers $\Omega$. Chaque fibre $E_\omega(\zeta)$ est muni d'un produit scalaire

$$ \langle \bullet | \bullet \rangle_\omega $$

pour lequel l'application

$$ \omega \to \langle s(\omega) | t(\omega) \rangle_\omega $$

est $C^\infty$ pour toutes sections $s$ et $t$ de $\Gamma(\zeta)$.

Le complexifié de $\zeta$

$$ \zeta \otimes \mathbb{C} \approx \zeta \times \zeta \approx \zeta + i\zeta $$

où le produit par un complexe est défini par

$$ (\lambda + i\mu)(x, t) = (\lambda x - \mu t, \lambda t + \mu x) $$

pour toutes sections $x$ et $t$ de $\Gamma(\zeta)$ et toutes $C^\infty$-applications $\lambda, \mu : \Omega \to \mathbb{R}$.
L'opération de conjugaison est une section de $\text{Hom}(\zeta \otimes \mathbb{C})$ définie par

$$ \overline{(x, t)} = (x, -t), \quad x \text{ et } t \in \Gamma(\zeta) $$

et l'endomorphisme de fibré définissant la structure complexe est

$$ J(x, t) = (-t, x). $$

On pose

$$ s = x + it, $$

où $x$ et $t$ sont des sections de $\Gamma(\zeta)$ par l'identification $x = (x, \mathbf{o})$ et $t = (\mathbf{o}, t)$ où $\mathbf{o}$ représente la section nulle de $\zeta$.

**Definition 37.** *Une section $s = x + it$ de $\Gamma(\zeta \otimes \mathbb{C})$ est un complexification de la section réelle $x$.*
**Definition 38.** Une section complexe $s \in \Gamma(\zeta \otimes \mathbb{C})$ est une $\varphi$-section sur $O$ si

$$ \varphi \otimes t = x \text{ sur } O. $$

Cela revient à dire qu'il existe une section locale $\varphi$ de $\operatorname{Hom}(\zeta)$ définie sur $O$ telle que pour tout $\omega \in O$

$$ \varphi(\omega) : E_{\omega}(\zeta) \to E_{\omega}(\zeta), \quad \varphi(\omega)(t(\omega)) = x(\omega). $$

L'application est un paramétrage qui donne la variation de la section espace $x$ par rapport à la section temps $t$. On peut comparer cet opérateur au paramétrage d'une courbe. Une section $d$-dimensionnelle sur $O \subset \Omega$ est une section locale $(s_1, s_2, \dots, s_d)$ de $\Gamma(\zeta \otimes \mathbb{C})^d$, telle que

$$ \{s_1(\omega), s_2(\omega), \dots, s_d(\omega)\} $$

est une famille libre de $E_\omega(\zeta) \otimes \mathbb{C}$, pour tout $\omega$ appartenant à un ouvert $O$. Si $s \in \operatorname{Vect}\{s_1, s_2, \dots, s_d\}$ alors

$$ s = z^{\mu}s_{\mu}, \quad z^{\mu} \in \mathbb{C} $$

que l'on peut écrire sous la forme

$$ s = x + it $$

avec

$$ x = \operatorname{Re}(z^{\mu}) \mathcal{R}(s_{\mu}) - \operatorname{Im}(z^{\mu}) \mathcal{I}(s_{\mu}), $$

est une section espace et

$$ t = \operatorname{Im}(z^{\mu}) \mathcal{R}(s_{\mu}) + \operatorname{Re}(z^{\mu}) \mathcal{I}(s_{\mu}) $$

est une section temps où

$$ s_{\mu} = \mathcal{R}(s_{\mu}) + i\mathcal{I}(s_{\mu}). $$

**Definition 39.** Soit $s'$ une autre section de $\operatorname{Vect}\{s_1, s_2, \dots, s_d\}$

$$ s' = x' + it', $$

un $\{\varphi, \psi\}$-déplacement sur $O$ de $s'$ par rapport à $s$ est la donnée de deux sections locales $\varphi$ et $\psi$ sur $O$ de $\operatorname{Hom}(\zeta)$ telles que la condition suivante est réalisée

$$ x' = \mathbf{o} \implies x = \varphi \otimes t \text{ et } x = \mathbf{o} \implies x' = \psi \otimes t' $$

où $\mathbf{o}$ est la section nulle et

$$ (\varphi \otimes t)(\omega) = \varphi(\omega)(t(\omega)), \quad \forall \omega \in O. $$

On dit que les sections $s'$ et $s$ sont en déplacement uniforme sur $O$, l'une par rapport à l'autre, s'il existe un $\{\varphi, \psi\}$-déplacement sur un ouvert $O$ de $\Omega$, de $s'$ par rapport à $s$ tel que

$$ \psi = -\varphi, $$

où $\varphi$ est une section locale de $\operatorname{GL}(\zeta)$ définies sur l'ouvert $O$, c'est-à-dire que sur chaque fibre $E_\omega(\zeta), \varphi(\omega) \in \operatorname{GL}(E_\omega(\zeta))$.

**Remark 43.** $\varphi$ est la vitesse de $s'$ par rapport à $s$.

Dans tout cette partie, on impose une condition d'analytivité des déplacements uniformes, dans le sens suivant, toutes les tranformations considérées sont analytiques par rapport à la vitesse $\varphi$.
**Theorem 27.** Si $s$ et $s'$ sont en déplacement uniforme dans un fibré $\zeta$ qui vérifie les principes de relativité sur chaque fibre de $\zeta$, alors

$$ egin{cases} x' = (\mathbf{1} - c^{-2}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}}(x - \varphi t) \\ t' = (\mathbf{1} - c^{-2}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}}(t - c^{-1}\varphi x) \end{cases}, $$

où $c$ est la norme maximale des vitesses $\varphi$ et $\mathbf{1}$ est la section identique de $\operatorname{Hom}(\zeta)$.

*Proof.* Si on prend une famille libre de sections $\{s_1, s_2, \dots, s_d\}$ sur un ouvert $O$ de trivialisation de $\zeta$, une section $s = x + it$ de $\zeta \otimes \mathbb{C}$ s'écrit

$$ x = x^{\mu} s_{\mu} \text{ et } t = t^{\mu} s_{\mu} $$

on pose

$$ \mathbf{x} = \mathrm{Tr}(x^1, x^2, \dots, x^d) \text{ et } \mathbf{t} = \mathrm{Tr}(t^1, t^2, \dots, t^d). $$

On veut calculer $\mathbf{x}'$ et $\mathbf{t}'$ en fonction de $\mathbf{x}$ et $\mathbf{t}$, on impose que les propriétés de l'espace-temps d'Einstein s'étendent aux fibres complexifiées du fibré $\zeta \otimes \mathbb{C}$. On note encore, $\varphi$ et $\psi$ les matrices des endomorphismes $\varphi$ et $\psi$ dans $\{s_1, s_2, \dots, s_d\}$. Si l'homogénéité de l'espace-temps reste vraie sur le complexifié de $\zeta$, cela permet d'écrire

$$ \begin{pmatrix} \mathbf{x}' \\ \mathbf{t}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{11} & \mathbf{a}_{12} \\ \mathbf{a}_{21} & \mathbf{a}_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{t} \end{pmatrix}, $$

avec $\mathbf{a}_{ij} \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R})$ et

$$ \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{11} & \mathbf{a}_{12} \\ \mathbf{a}_{21} & \mathbf{a}_{22} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \mathbf{x}' \\ \mathbf{t}' \end{pmatrix}. $$

La première condition implique que $\mathbf{a}_{ij} \in \mathrm{GL}(\mathbb{R}^d)$ et

$$ \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{11} & \mathbf{a}_{12} \\ \mathbf{a}_{21} & \mathbf{a}_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} (\mathbf{a}_{11} - \mathbf{a}_{12}\mathbf{a}_{22}^{-1}\mathbf{a}_{21})^{-1} & -(\mathbf{a}_{11} - \mathbf{a}_{12}\mathbf{a}_{22}^{-1}\mathbf{a}_{21})^{-1}\mathbf{a}_{12}\mathbf{a}_{22}^{-1} \\ -(\mathbf{a}_{22} - \mathbf{a}_{21}\mathbf{a}_{11}^{-1}\mathbf{a}_{12})^{-1}\mathbf{a}_{21}\mathbf{a}_{11}^{-1} & (\mathbf{a}_{22} - \mathbf{a}_{21}\mathbf{a}_{11}^{-1}\mathbf{a}_{12})^{-1} \end{pmatrix}. $$

La relation

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x}' = \mathbf{a}_{11}\mathbf{x} + \mathbf{a}_{12}\mathbf{t} \\ \mathbf{t}' = \mathbf{a}_{21}\mathbf{x} + \mathbf{a}_{22}\mathbf{t} \end{array} \right. . \qquad (6.1) $$

permet décrire, si $\mathbf{x}' = \mathbf{o}$

$$ \mathbf{x} = \varphi \mathbf{t} \text{ et } (\mathbf{a}_{11}\varphi + \mathbf{a}_{12}) \mathbf{t} = \mathbf{o} $$

pour tout $\mathbf{t} \in \mathcal{M}_{d,1}(\mathbb{R})$.

$$ \mathbf{a}_{12} = -\mathbf{a}_{11}\varphi \text{ et } \mathbf{x}' = \mathbf{a}_{11}(\mathbf{x} - \varphi\mathbf{t}). $$

Si $\mathbf{x} = \mathbf{o}$ alors $\mathbf{x}' = \psi\mathbf{t}'$ et $\mathbf{x}' = -\mathbf{a}_{11}\varphi\mathbf{t}$, $\mathbf{t}' = \mathbf{a}_{22}\mathbf{t}$. On en déduit que

$$ -\mathbf{a}_{11}\varphi\mathbf{t} = \psi\mathbf{a}_{22}\mathbf{t} $$

pour tout $\mathbf{t} \in \mathcal{M}_{d,1}(\mathbb{R})$ et

$$ -\mathbf{a}_{11}\varphi = \psi\mathbf{a}_{22}. $$

On a

$$ -\psi^{-1}\mathbf{a}_{11}\varphi = \mathbf{a}_{22}. $$

En particulier si $\varphi$ commute avec $\mathbf{a}_{11}$, on a

$$ -\psi^{-1}\varphi\mathbf{a}_{11} = \mathbf{a}_{22} $$
et

$$ \mathbf{a}_{11} = \mathbf{a}_{22}. $$

L'hypothèse, "$\varphi$ commute avec $\mathbf{a}_{11}$" est vraie car la matrice $\mathbf{a}_{11}$ ne dépend que de $\varphi$ et donc, en utilisant le caractère analytique des déplacements, il existe une fonction $f$ de classe $C^\infty$, que l'on peut supposer développable en série entière, de rayon de convergence $R > 0$, notée $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$, pour laquelle si $\|\varphi\| < R$,

$$ \mathbf{a}_{11} = f(\varphi) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \varphi^n. $$

On pose, $\mathbf{a} = \mathbf{a}_{11}$ et $\mathbf{b} = -\mathbf{a}^{-1}\mathbf{a}_{12}$. Le système 6.1 s'écrit

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x}' = \mathbf{a}(\mathbf{x} - \varphi\mathbf{t}) \\ \mathbf{t}' = \mathbf{a}(\mathbf{t} - \mathbf{b}\mathbf{x}) \end{array} \right. . $$

Si on prend trois sections $s$, $s'$ et $s''$ en déplacement uniforme de matrices vitesse $\varphi$ de $s'$ par rapport à $s$, $\varphi'$ de $s''$ par rapport à $s'$ et $\varphi''$ de $s''$ par rapport à $s$ alors,

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x}' = \mathbf{a}(\mathbf{x} - \varphi\mathbf{t}) \\ \mathbf{t}' = \mathbf{a}(\mathbf{t} - \mathbf{b}\mathbf{x}) \end{array} \right. , \quad \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x}'' = \mathbf{a}'(\mathbf{x}' - \varphi'\mathbf{t}') \\ \mathbf{t}'' = \mathbf{a}'(\mathbf{t}' - \mathbf{b}'\mathbf{x}') \end{array} \right. $$

et

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x}'' = \mathbf{a}''(\mathbf{x} - \varphi''\mathbf{t}) \\ \mathbf{t}'' = \mathbf{a}''(\mathbf{t} - \mathbf{b}''\mathbf{x}) \end{array} \right. , $$

en combinant

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x}'' = \mathbf{a}'(\mathbf{a}(\mathbf{x} - \varphi\mathbf{t}) - \varphi'\mathbf{a}(\mathbf{t} - \mathbf{b}\mathbf{x})) \\ = \mathbf{a}'\mathbf{a}((\mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\varphi'\mathbf{a}\mathbf{b})\mathbf{x} - (\varphi + \mathbf{a}^{-1}\varphi'\mathbf{b})\mathbf{t}) \\ \mathbf{t}'' = \mathbf{a}'(\mathbf{a}(\mathbf{t} - \mathbf{b}\mathbf{x}) - \mathbf{b}'\mathbf{a}(\mathbf{x} - \varphi\mathbf{t})) \\ = \mathbf{a}'\mathbf{a}((\mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\mathbf{b}'\mathbf{a}\varphi)\mathbf{t} - (\mathbf{b} + \mathbf{a}^{-1}\mathbf{b}'\mathbf{a})\mathbf{x}) \end{array} \right. . $$

Si $\|\mathbf{a}^{-1}\varphi'\mathbf{a}\mathbf{b}\| < 1$ et $\|\mathbf{a}^{-1}\mathbf{b}'\mathbf{a}\varphi\| < 1$, on peut inverser

$$ \mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\varphi'\mathbf{a}\mathbf{b} \text{ et } \mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\mathbf{b}'\mathbf{a}\varphi, $$

alors

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x}'' = \mathbf{a}'\mathbf{a}(\mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\varphi'\mathbf{a}\mathbf{b}) \left(\mathbf{x} - (\mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\varphi'\mathbf{a}\mathbf{b})^{-1}(\varphi + \mathbf{a}^{-1}\varphi'\mathbf{b})\mathbf{t}\right) \\ \mathbf{t}'' = \mathbf{a}'\mathbf{a}(\mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\mathbf{b}'\mathbf{a}\varphi) \left(\mathbf{t} - (\mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\mathbf{b}'\mathbf{a}\varphi)^{-1}(\mathbf{b} + \mathbf{a}^{-1}\mathbf{b}'\mathbf{a})\mathbf{x}\right) \end{array} \right. . $$

Le principe de relativité implique que

$$ \mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\varphi'\mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\mathbf{b}'\mathbf{a}\varphi, $$

c'est-à-dire, $\varphi'\mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{b}'\mathbf{a}\varphi$. Si $\mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{b}\mathbf{a}$ alors $\varphi'\mathbf{b} = \mathbf{b}'\varphi$. Les matrices $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont des matrices fonctions développables en série entière de $\varphi$, elles commutent. On pose $\mathbf{k} = \mathbf{b}'(\varphi')^{-1} = \mathbf{b}^{-1}\varphi$, cette matrice est indépendante du choix des matrices vitesse $\varphi'$ et $\varphi$. On peut écrire

$$ \varphi'' = (\mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\varphi'\mathbf{a}\mathbf{b})^{-1} (\varphi + \mathbf{a}^{-1}\varphi'\mathbf{b}), $$

$$ \mathbf{b}'' = (\mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\mathbf{b}'\mathbf{a}\varphi)^{-1} (\mathbf{b} + \mathbf{a}^{-1}\mathbf{b}'\mathbf{a}) $$

et

$$ \mathbf{a}'' = \mathbf{a}'\mathbf{a}(\mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\varphi'\mathbf{a}\mathbf{b}) = \mathbf{a}'\mathbf{a}(\mathbf{I}_d + \mathbf{a}^{-1}\mathbf{b}'\mathbf{a}\varphi) $$
et avec $\mathbf{b} = \mathbf{k}\varphi$, $\mathbf{b}' = \mathbf{k}\varphi'$ et $\mathbf{b}'' = \mathbf{k}\varphi''$.

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x}' = \mathbf{a}_{+} (\mathbf{x} - \varphi \mathbf{t}) \\ \mathbf{t}' = \mathbf{a}_{+} (\mathbf{t} - \mathbf{k}\varphi \mathbf{x}) \end{array} \right. , $$

où $\mathbf{a}_{+} = \mathbf{a}(\varphi)$. La section $s$ a pour matrice vitesse $-\varphi$ par rapport à $s'$, on en déduit

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x} = \mathbf{a}_{-} (\mathbf{x}' + \varphi \mathbf{t}') \\ \mathbf{t} = \mathbf{a}_{-} (\mathbf{t}' + \mathbf{k}\varphi \mathbf{x}') \end{array} \right. , $$

avec $\mathbf{a}_{-} = \mathbf{a}(-\varphi)$. Si le postulat d'isotropie reste vrai cela implique que $\mathbf{a}_{+} = \mathbf{a}_{-} = \mathbf{a}$.

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x} = \mathbf{a} (\mathbf{x}' + \varphi \mathbf{t}') = \mathbf{a} (\mathbf{a} (\mathbf{x} - \varphi \mathbf{t}) + \varphi \mathbf{a} (\mathbf{t} - \mathbf{k}\varphi \mathbf{x})) \\ \qquad = \mathbf{a}^2 (\mathbf{I}_d - \mathbf{a}^{-1} \varphi \mathbf{a} \mathbf{k} \varphi) \mathbf{x} \\ \mathbf{t} = \mathbf{a} (\mathbf{t}' + \mathbf{k}\varphi \mathbf{x}') = \mathbf{a} (\mathbf{a} (\mathbf{t} - \mathbf{k}\varphi \mathbf{x}) + \mathbf{k}\varphi \mathbf{a} (\mathbf{x} - \varphi \mathbf{t})) \\ \qquad = \mathbf{a}^2 ((\mathbf{I}_d - \mathbf{a}^{-1} \mathbf{k}\varphi \mathbf{a} \varphi) \mathbf{t} - (\mathbf{k}\varphi - \mathbf{a}^{-1} \mathbf{k}\varphi \mathbf{a}) \mathbf{x}) \end{array} \right. . $$

On a $\mathbf{a}^2 (\mathbf{I}_d - \mathbf{a}^{-1} \varphi \mathbf{a} \mathbf{k} \varphi) = \mathbf{I}_d$, $\mathbf{k}\varphi - \mathbf{a}^{-1} \mathbf{k}\varphi \mathbf{a} = \mathbf{O}_d$ et $\mathbf{a}^2 (\mathbf{I}_d - \mathbf{a}^{-1} \mathbf{k}\varphi \mathbf{a} \varphi) = \mathbf{I}_d$. Donc,

$$ \mathbf{a}^2 = (\mathbf{I}_d - \varphi \mathbf{k} \varphi)^{-1} = (\mathbf{I}_d - \mathbf{k} \varphi^2)^{-1} $$

et $\mathbf{k}\varphi = \varphi \mathbf{k}$ quelque soit $\varphi \in \text{Gl}(\mathbb{R}^d)$, elle est donc de la forme $\mathbf{k} = \lambda \mathbf{I}_d$,

$$ \mathbf{a}^2 = (\mathbf{I}_d - \lambda \varphi^2)^{-1} . $$

Pour que $\mathbf{I}_d - \lambda \varphi^2$ soit inversible, il faut et il suffit que $\|\varphi\| < \frac{1}{\sqrt{|\lambda|}}$.

Si $m$ est une matrice quelconque, on appelle racine carrée de $m$, une matrice $n$ si elle existe qui vérifie $n^2 = m$ et on pose $n = m^{\frac{1}{2}}$. On en déduit

$$ \mathbf{a} = \pm (\mathbf{I}_d - \mathbf{k}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}}, $$

or si $\varphi = \mathbf{O}_d$, $\mathbf{a} = \mathbf{I}_d$ alors $\mathbf{a} = (\mathbf{I}_d - \mathbf{k}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}}$. De plus $\lambda > 0$, sinon $\lambda = 0$, $\mathbf{a} = \mathbf{I}_d$,

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{x}' = \mathbf{x} - \varphi \mathbf{t} \\ \mathbf{t}' = \mathbf{t} \end{array} \right. , $$

on retombe sur des transformations du type Galilée étendues au fibré complexe, qui sont incompatibles sur chaque fibre réelle avec les fondements de l'électromagnétisme et si $\lambda < 0$, supposons que $\varphi' = \mu' \mathbf{I}_d$, $\varphi = \mu \mathbf{I}_d$, alors $\varphi'' = \frac{\mu+\mu'}{1-|\lambda|\mu\mu'} \mathbf{I}_d$, pour $\mu > 0$, $\mu' > 0$ et $\mu\mu' < -\frac{1}{k}$, $\frac{\mu+\mu'}{1+\lambda\mu\mu'} < 0$, ce qui est impossible. Nécessairement, $\lambda > 0$, on pose $c = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$, c'est la "constante" de la lumière qui est une valeur limite pour la norme des matrices vitesse.

La matrice de changement de coordonnées s'écrit dans $\mathbb{R}^{2d}$

$$ \mathbf{Q} = \begin{pmatrix} (\mathbf{I}_d - c^{-2}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}} & - (\mathbf{I}_d - c^{-2}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}} \varphi \\ -c^2 (\mathbf{I}_d - c^{-2}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}} \varphi & (\mathbf{I}_d - c^{-2}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}} \end{pmatrix} . $$

Remarquons que si $f(x) = (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}$ avec

$$ a_0 = 1 \text{ et } a_n = \frac{1}{n!} \prod_{k=0}^{n-1} \left( k + \frac{1}{2} \right), \quad n \ge 1 $$
pour $\|x\| < 1$ et

$$ \mathbf{a} = (\mathbf{I}_d - c^{-2}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n c^{-2n} \varphi^{2n} $$

pour $\|\varphi\| < c$. De plus, la matrice **Q** existe même si $\varphi$, n'est pas inversible. Il suffit que $\|\varphi\| < c$ pour que **Q** soit définie. Si $s' = x' + it'$ et $s = x + it$ sont des sections de $\zeta$, en déplacement uniforme, de vitesse $\varphi$ telle que $\|\varphi\| < c$ alors

$$ \left\{ \begin{array}{l} x' = (\mathbf{1} - c^{-2}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}} (x - \varphi t) \\ t' = (\mathbf{1} - c^{-2}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}} (t - c^{-1}\varphi x) \end{array} \right. , $$

où $c$ est une constante positive pour laquelle la matrice vitesse de la section lumière est $\mathbf{c}\mathbf{1}$ où $\mathbf{1}$ est la section identique. $\square$

On en déduit

$$ \begin{aligned} s' &= (\mathbf{1} - c^{-2}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}} (s - \varphi (t + ic^{-1}x)) \\ &= (\mathbf{1} - c^{-2}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}} (s - ic^{-1}\varphi (x - ict)). \end{aligned} $$

Si on normalise $c$ à 1,

$$ s' = (\mathbf{1} - \varphi^2)^{-\frac{1}{2}} (s - i\varphi\bar{s}). $$

La quantité de mouvement de la section $s$ peut être définie par la section

$$ \mathbf{p} = \varphi \otimes s, $$

où

$$ \mathbf{p}(\omega) = (\varphi \otimes s)(\omega) = \varphi(\omega)(s(\omega)), \omega \in \Omega. $$

**Remark 44.** 1) Par analogie à la relativité restreinte classique, la section $\mathcal{E}$ correspondant à l'énergie d'une section $s$ par rapport à la section $s_0$ s'écrit

$$ \mathcal{E} = c^2 s, $$

où $s = (\mathbf{1} - c^{-2}\varphi^2)^{-\frac{1}{2}} (s_0 - ic^{-1}\varphi(x_0 - ict_0))$ et $c$ est la norme maximale des vitesses $\varphi$.

2) On suppose que le fibré $\zeta$ hilbertien réel est un fibré relativiste, dans le sens suivant, la propriété d'homogénéité, le principe de relativité et le postulat d'isotropie sur chaque fibre réelle $E_\omega(\zeta)$ sont vérifiés et qu'ils s'étendent à la fibre complexifiée

$$ E_\omega(\zeta) \otimes \mathbb{C}. $$

3) Si $\varphi$ définit une structure $\pm$-presque complexe sur $\zeta$, c'est-à-dire

$$ \varphi^2 = \pm \mathbf{1}, $$

$\varphi^2 = \mathbf{1}$ la structure est dite presque réelle et $\varphi^2 = -\mathbf{1}$ la structure est dite presque complexe, alors tous les changements de coordonnées analytiques dans le repère $\{s_1, s_2, \dots, s_d\}$ de $\zeta$, de $s$ à $s'$ en déplacement uniforme et de vitesse $\varphi$ sont de la forme

$$ \left\{ \begin{array}{l} x' = (1 \mp c^{-2})^{-\frac{1}{2}} (x - \varphi t) \\ t' = (1 \mp c^{-2})^{-\frac{1}{2}} (t - c^{-1}\varphi x) \end{array} \right. $$

et

$$ s' = (1 \mp c^{-2})^{-\frac{1}{2}} (s - ic^{-1}\varphi(x - ict)), $$
si $c$ est normalisé à 1, dans le cas presque complexe on a

$$s' = \frac{1}{\sqrt{2}} (s - i\varphi\bar{s})$$

où $\bar{s}$ est le conjugué de $s$.

**6.2. Les champs en corde du complexifié du fibré tangent.** Dans ce qui suit, on munit l'univers $\Omega$ d'une métrique riemanienne $g$. Le fibré $\zeta = (T\Omega, \pi, \Omega, \mathbb{R}^4)$ muni de la métrique $g$ est un fibré hermitien réel, les sections sont les champs de $\Omega$. Si

$$X + iT \text{ et } X' + iT'$$

sont en déplacement uniforme de vitesse $V$, alors

$$\begin{cases} X' = (\mathbf{I} - c^{-2}V^2)^{-\frac{1}{2}} (X - VT) \\ T' = (\mathbf{I} - c^{-2}V^2)^{-\frac{1}{2}} (T - c^{-1}VX) \end{cases}$$

où $\mathbf{I}$ est la section identique de GL($\zeta$) et $V$ est une section de GL($\zeta$). La quantité de mouvement d'un champ complexe

$$Z = X + iT$$

est

$$P = Vm$$

où $m$ est une section de $\zeta$, dite section de masse. La quantité

$$\sqrt{g(m, m)}$$

représente la masse du champ complexe $Z$. Le champ $Z'$ en déplacement uniforme de vitesse $V$ est

$$\begin{aligned} Z' &= (\mathbf{I} - c^{-2}V^2)^{-\frac{1}{2}} (Z - ic^{-1}V(X - icT)) \\ &= (\mathbf{I} - c^{-2}V^2)^{-\frac{1}{2}} \left( Z - iV \frac{(1-c)Z + (1+c)\bar{Z}}{2c} \right). \end{aligned}$$

Un champ en corde est un champ complexe local

$$Z = X + iT$$

pour lequel

$$\mathrm{Vect}\{X, T\} = 2$$

et

$$\mathcal{L}_T (X) = \alpha X + \beta T$$

pour deux $C^\infty$-applications $\alpha$ et $\beta$ définies localement. La fonction d'onde associée est

$$\theta = \alpha + i\beta,$$

on peut consulter [3] pour une représentation géométrique de ces champs.

**Lemma 5.** Si $Z = X + iT$ et $Z' = X' + iT$ sont des champs en corde de champ imaginaire $T$ alors $Z'' = (X + X') + iT$ et $Z = \lambda X + iT$ sont des champs en corde.
*Proof.* On a

$$ 
\begin{aligned}
[T, \lambda X] &= \lambda [T, X] + L_T(\lambda) X \\
&= \lambda \beta T + (\lambda \alpha + L_T(\lambda)) X
\end{aligned}
$$

si

$$ [T, X] = \alpha X + \beta T. $$

□

**Remark 45.** La fonction d'onde associée au champ en corde $Z = \lambda X + iT$ est

$$ \lambda\alpha + L_T(\lambda) + i\lambda\beta = L_T(\lambda) + \lambda(\alpha + i\beta), $$

si la fonction d'onde du champ en corde $X + iT$ est $\phi$ alors la fonction d'onde du champ en corde $\lambda X + iT$ est

$$ \psi = L_T(\lambda) + \lambda\phi, $$

où $L_T$ est la dérivée de Lie le long du champ $T$.

Si $X \in \Gamma^\infty(\Omega)$ alors en coordonnées locales $X = X^\mu \partial_\mu$, où $X^\mu : V \to \mathbb{R}$ est une $C^\infty$-application. Si $T = T^\mu \partial_\mu$ alors $[T, X] = L^\nu \partial_\nu$ avec,

$$ L^\nu = T^\mu (\partial_\mu X^\nu) - X^\mu (\partial_\mu T^\nu). $$

On cherche à déterminer les champs $X$ tels que

$$ \mathcal{L}_T (X) = [T, X] = \alpha X + \beta T, $$

où $\alpha$ et $\beta$ sont des $C^\infty$-applications définies sur un ouvert $\mathcal{V}$ et $T$ est un champ fixé non nul sur $\mathcal{V}$. Localement, on a

$$ T^\mu (\partial_\mu X^\nu) - X^\mu (\partial_\mu T^\nu) = \alpha \delta_{\mu\nu} X^\mu + \beta \delta_{\mu\nu} T^\mu, \quad (6.2) $$

pour tout $\nu = 0, 1, 2, 3$.

Si $\{\partial_\nu\}$ est le "local frame" associé à la carte $\mathcal{V}$, les champs $X = X^\nu \partial_\nu$ pour lesquels

$$ X + i\partial_\sigma $$

est un champ en corde sont les champs qui vérifient le système d'équations différentielles

$$ \alpha \delta_{\sigma\nu} + \beta X^\nu + \partial_\sigma X^\nu = 0, \quad \nu = 0, 1, 2, 3. $$

Pour un champ $T$, le théorème de redressement permet de construire une carte $\varphi$ pour laquelle le "local frame" associé vérifie

$$ T = \partial_0 \text{ et } T\varphi(\partial_0) = \frac{\partial}{\partial t}. $$

Un champ local $X$ s'écrit dans cette carte

$$ X = X^\mu \partial_\mu, $$

le champ complexe

$$ X + iT $$

est un champ en corde si et seulement si il existe deux $C^\infty$-applications $\alpha$ et $\beta$ définies sur la carte $\varphi$ telles que

$$ \alpha \delta_{0\nu} + \beta X^\nu + \partial_0 X^\nu = 0, \quad \nu = 0, 1, 2, 3. $$

On peut écrire ce système sous la forme

$$ \beta X^0 + \partial_T X^0 + \alpha = 0 $$
$$ \beta X^{\nu} + \partial_{T} X^{\nu} = 0, \nu = 1, 2, 3 $$

avec

$$ X = X^{0}T + X^{\nu}\partial_{\nu}. $$

L'existence de solution s'obtient en transportant ce système dans $\mathbb{R}^4$ par l'isomorphisme de carte $T\varphi : T\mathcal{V} \to T\mathbb{R}^4$, ce système s'écrit

$$ \frac{\partial \mathbf{X}^{\nu}}{\partial t} + \beta_{\varphi} \mathbf{X}^{\nu} + \alpha_{\varphi} \delta_{0\nu} = 0 $$

avec

$$ \beta_{\varphi} = \beta \circ \varphi^{-1}, \alpha_{\varphi} = \alpha \circ \varphi^{-1} \text{ et } \mathbf{X}^{\nu} = X^{\nu} \circ \varphi^{-1}. $$

On a

$$ \mathbf{X}^{\nu} = k_{\nu} \exp \left( - \int \beta_{\varphi} dt \right) $$

avec

$$ k_{\nu} = -\delta_{0\nu} \int \alpha_{\varphi} \exp \left( - \int \beta_{\varphi} dt \right) dt + C_{\nu} $$

où $C_{\nu}$ est une fonction indépendante de $t$, elle ne dépend que de $x, y, z$. On en déduit le théorème suivant. Ce théorème permet de déterminer le champ en corde à partir de sa fonction d'onde.

**Theorem 28.** Les champs $X$ pour lesquels $X + iT$ est un champ en corde pour $T \neq 0$ dans une carte

$$ \varphi : \mathcal{V} \to \mathbb{R}^4 $$

dont le "local frame" associé $\{\partial_{\nu}, \nu = 0, 1, 2, 3\}$ vérifie

$$ T = \partial_0 $$

avec

$$ T\varphi \otimes \partial_0 = \frac{\partial}{\partial t} $$

et dont la fonction d'onde associée sur $\mathcal{V}$ est

$$ \theta = \alpha + i\beta, $$

sont de la forme

$$ X^{\nu} \partial_{\nu} $$

où

$$ X^{\nu} = X^{\nu} \circ \varphi $$

et

$$ \mathbf{X}^{\nu} = k_{\nu} \exp \left( - \int \beta_{\varphi} dt \right) $$

avec

$$ k_{\nu} = -\delta_{0\nu} \int \alpha_{\varphi} \exp \left( - \int \beta_{\varphi} dt \right) dt + C_{\nu}, \quad C_{\nu} = C_{\nu}(x, y, z), $$

et

$$ \alpha_{\varphi} = \alpha \circ \varphi^{-1}, \beta_{\varphi} = \beta \circ \varphi^{-1}. $$
Supposons que sur l'univers $\Omega$ existe une structure $\pm$-presque complexe $J$, si le champ complexe

$$X + iT$$

est en déplacement uniforme par rapport à

$$X_0 + iT_0$$

alors on a

$$ \begin{cases} X = (1 \mp c^{-2})^{-\frac{1}{2}} (X_0 - JT_0) \\ T = (1 \mp c^{-2})^{-\frac{1}{2}} (T_0 - c^{-1}JX_0) \end{cases} . $$

**Proposition 18.** *Avec les hypothèses précédentes, si*

$$X_0 + iT_0$$

est un champ en corde alors

$$X + iT$$

est un champ en corde.

*Proof.* On a

$$ \dim(\mathrm{Vect}\{X, JT\}) = \dim(\mathrm{Vect}\{X_0, JT_0\}) = 2 $$

et

$$ \begin{align*} [X, JT] &= (1 \mp c^{-2})^{-\frac{1}{2}} [X_0 - JT_0, JT_0 + c^{-1}X_0] \\ &= (1 \mp c^{-2})^{-\frac{1}{2}} (1 + c^{-1}) [X_0, JT_0] \\ &= (1 \mp c^{-2})^{-\frac{1}{2}} (1 + c^{-1}) (\alpha X_0 + \beta JT_0) \\ &= (1 \mp c^{-2})^{-\frac{1}{2}} (1 + c^{-1}) (\alpha + \beta) X + (1 \pm c^{-2})^{-\frac{1}{2}} (1 + c^{-1}) (\beta - c^{-1}\alpha) JT. \end{align*} $$

**Remark 46.** Si la fonction d'onde de $X_0 + iT_0$ est $\alpha + i\beta$ alors la fonction d'onde de $X + iT$ est

$$ (1 \mp c^{-2})^{-\frac{1}{2}} (1 + c^{-1}) ((\alpha + \beta) + i (\beta - c^{-1}\alpha)) $$

si le champ $X + iT$ est en déplacement uniforme le long de la structure $\pm$-complexe, de vitesse $J$.

### 6.3. Complexification des dimensions.
L'idée de la complexification est de coupler à chaque dimension d'espace une dimension temps et à chaque dimension temps une dimension d'espace de telle façon que les couples espace-temps s'identifient à une dimension complexe, dont la partie réelle représente une dimension espace et la partie imaginaire une dimension temps. On plonge l'univers $\Omega$ dans une variété $\Lambda$, de dimension $2n$ avec $n \ge 4$ et on identifie $\Omega$ à son image dans $\Lambda$. En chaque événement $\omega \in \Omega$, il existe une carte $U$ de $\omega$ dans $\Lambda$, notée $\Phi$ telle que

$$ \Phi (\Omega \cap U) \subset \{(x, 0, y, 0, z, 0, 0, t, 0, \dots, 0) : x, y, z, t \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{R}^{2n} = \mathbb{C}^n, $$

où l'identification de $\mathbb{R}^{2n}$ à $\mathbb{C}^n$ est donnée par

$$ \theta (x_0, y_0, x_1, y_1, \dots, x_{n-1}, y_{n-1}) = (x_0 + iy_0, x_1 + iy_1, \dots, x_{n-1} + iy_{n-1}). $$

Le triplet $(x, y, z)$ représente les dimensions spatiales et $t$ la dimension temps, avec le plongement précédent on en déduit que $x, y$ et $z$ sont les parties réelles de dimensions complexes et $t$ est la partie imaginaire d'une dimension complexe.
Supposons que la variété $\Lambda$ soit munie d'une structure presque réelle $J$, c'est-à-dire, d'une section de $\operatorname{Hom}(\zeta)$ telle que

$$J^2 = 1$$

où

$$\zeta = (T\Lambda, \pi, \Lambda)$$

est le fibré tangent à $\Lambda$, l'espace total $T\Lambda$ se scinde en deux sous-fibrés

$$T\Lambda = T^+\Lambda \oplus T^-\Lambda$$

où $T^+\Lambda$ est le sous-fibré propre associé à la valeur propre 1 et $T^-\Lambda$ est le sous-fibré propre associé à la valeur propre $-1$. Les champs de $\Lambda$ à valeurs dans $T^+\Lambda$, respectivement $T^-\Lambda$, sont les champs espace, respectivement les champs temps de $\Lambda$. On a

$$\dim T^+\Lambda = \dim T^-\Lambda = n.$$

Tout champ $X$ de $\Lambda$ se décompose de façon unique sous la forme

$$X = X^+ + X^-$$

où

$$X^+ = \frac{1}{2}(X + JX)$$

est un champ espace et

$$X^- = \frac{1}{2}(X - JX)$$

est un champ temps. Si $J$ est intégrable, on peut feuilleter $\Lambda$ en deux feuilletages d'espace et de temps, notés respectivement

$$\mathcal{F}^+ \text{ et } \mathcal{F}^-,$$

chaque feuille $\mathbf{F}^+ \in \mathcal{F}^+$ et $\mathbf{F}^- \in \mathcal{F}^-$ ont pour espace tangent en $\lambda \in \mathbf{F}^+ \cap \mathbf{F}^-$, respectivement, $T_\lambda^+\Lambda$ et $T_\lambda^-\Lambda$ munis de leur structure d'espace vectorielle réelle. Ces feuilles sont transversales. On munit $\Lambda$ d'une métrique riemannienne $g$. Cette métrique riemannienne $g$ induit une métrique pseudo-riemannienne $h$ ayant pour forme quadratique

$$\mathbf{Q}_h (X^+ + X^-) = \mathbf{Q}_g (X^+) - \mathbf{Q}_g (X^-),$$

pour tout $X^+ \in \Gamma^\infty(T^+\Lambda)$ et $X^- \in \Gamma^\infty(T^-\Lambda)$.

Si on munit $\Lambda$ d'une métrique riemannienne $g$ pour laquelle

$$J \in \operatorname{SO}(T\Lambda, g), g(J \otimes X, J \otimes Y) = g(X, Y)$$

alors $\Gamma^\infty(T^+\Lambda)$ et $T \in \Gamma^\infty(T^-\Lambda)$ sont orthogonaux pour la métrique $g$. Pour la pseudo-métrique $h$, un champ espace $X$ vérifie $\mathbf{Q}_h(X) \ge 0$ et un champ temps $\mathbf{Q}_h(T) \le 0$. Pour la pseudo-métrique $h$, les feuilles espace et les feuilles temps se coupent orthogonalement,

$$\begin{align*} h(X^+, X^-) &= \frac{1}{2} (\mathbf{Q}_h(X^+ + X^-) - \mathbf{Q}_h(X^+) - \mathbf{Q}_h(X^-)) \\ &= \frac{1}{2} (\mathbf{Q}_g(X^+) - \mathbf{Q}_g(X^-) - \mathbf{Q}_g(X^+) + \mathbf{Q}_g(X^-)) = 0. \end{align*}$$

Les feuilles espace et temps se coupent orthogonalement pour la pseudo-métrique $h$ sans l'hypothèse $J \in \operatorname{SO}(T\Lambda, g)$. Cette pseudo-métrique induit une métrique de Lorentz sur l'univers $\Omega$ si la dimension des feuilles espace est 3 et 1 pour les feuilles temps. On peut donc définir un champ chronologique stable local sur $\Omega$.
Si $\omega \in \Omega \subset \Lambda$, $T_\omega \Omega$ s'identifie à un sous-espace vectoriel de $T_\omega \Lambda$. Le scindage

$$T_{\omega}\Lambda = T_{\omega}^{+}\Lambda \oplus T_{\omega}^{-}\Lambda$$

induit un scindage

$$T_{\omega}\Omega = T_{\omega}^{+}\Omega \oplus T_{\omega}^{-}\Omega.$$

Si $\zeta^{\pm} = (\cup_{\omega \in \Omega} T_{\omega}^{\pm} \Omega, \pi, \Omega)$ sont des sous-fibrés de $\zeta = (T\Omega, \pi, \Omega)$ alors ils sont complètement intégrables. Les champs $X^{\pm}$ et $Y^{\pm}$ de $\Gamma^{\infty}(\zeta^{\pm})$ vérifient

$$[X^{\pm}, Y^{\pm}] \in \Gamma^{\infty}(\zeta^{\pm})$$

grâce à l'intégrabilité de la structure presque réelle $J$. Chaque événement $\omega$ ap-
partient à une feuille espace et une feuille temps de $\Omega$, une feuille espace est une
sous variété $\mathbf{F}^{+} \subset \Omega$ telle que $T(\mathbf{F}^{+}) \subset T^{+}\Lambda$ et une feuille temps $\mathbf{F}^{-} \subset \Omega$ est une
sous-variété de $\Omega$ vérifiant $T(\mathbf{F}^{-}) \subset T^{-}\Lambda$. On peut feuilleter en espace et en temps
le voisinage d'un événement avec

$$\dim(\mathbf{F}^{+}) + \dim(\mathbf{F}^{-}) = 4.$$

Lorsque $\dim(\mathbf{F}^{+}) = 3$ et $\dim(\mathbf{F}^{-}) = 1$, on est dans l'espace relativiste d'Einstein, dans cette situation on a un champ chronologique stable $T$.

**Definition 40.** Une structure presque complexe $K$ sur $\Lambda$ est instable pour $J$ si

$$K(T^{+}\Lambda) \subset T^{-}\Lambda \text{ et } K(T^{+}\Lambda) \subset T^{-}\Lambda,$$

si le crochet de Poisson vérifie

$$\{K, J\} = 0$$

alors $K$ est instable pour $J$. On dit que $K$ est stable si

$$[K, J] = 0$$

alors

$$K(T^{+}\Lambda) \subset T^{+}\Lambda \text{ et } K(T^{-}\Lambda) \subset T^{-}\Lambda.$$

Pour une structure presque complexe $K$, une condition nécessaire et suffisante pour que $K$ induise une structure complexe sur $\Lambda$ est que le tenseur de Nijenhuis

$$\mathcal{N}(X, Y) = [X, Y] + K[KX, Y] + K[X, KY] - [KX, KY]$$

soit identiquement nul, c'est le théorème de Newlander-Nirenberg [15]. On pose
pour un champ $X$,

$$X = X^{+} + X^{-}$$

$X^{+} \in T^{+}\Lambda$ et $X^{-} \in T^{-}\Lambda$, pour une structure presque complexe $K$ vérifiant

$$K(X^{+}) = -X^{-}, K(X^{-}) = X^{+},$$

$K$ définit une structure presque complexe instable sur $\Lambda$. On peut calculer le tenseur de Nijenhuis,

$$\mathcal{N}(X^{+}, Y^{+}) = [X^{+}, Y^{+}] - K[X^{-}, Y^{+}] - K[X^{+}, Y^{-}] - [X^{-}, Y^{-}]$$

$$\mathcal{N}(X^{-}, Y^{-}) = [X^{-}, Y^{-}] + K[X^{+}, Y^{-}] + K[X^{+}, Y^{-}] - [X^{+}, Y^{-}]$$

$$\begin{align*}
\mathcal{N}(X^{+}, Y^{-}) &= [X^{+}, Y^{-}] - [X^{-}, Y^{-}]^{+} - [X^{+}, Y^{+}]^{-} + [X^{-}, Y^{+}] \\
&= [X^{+}, Y^{-}] + [X^{-}, Y^{+}]
\end{align*}$$
et

$$
\begin{align*}
\mathcal{N}(X^{-}, Y^{+}) &= [X^{-}, Y^{+}] - [X^{+}, Y^{+}]^{-} - [X^{-}, Y^{-}]^{+} + [X^{+}, Y^{-}] \\
&= [X^{-}, Y^{+}] + [X^{+}, Y^{-}]
\end{align*}
$$

car $J$ est intégrable, en sommant

$$
\mathcal{N}(X, Y) = 2 ([X^{+}, Y^{-}] + [X^{-}, Y^{+}])
$$

que l'on peut écrire en posant

$$
X^{+} = \frac{1}{2}(X + JX) \text{ et } X^{-} = \frac{1}{2}(X - JX)
$$

$$
\mathcal{N}(X, Y) = \frac{1}{2} ([X, Y] - [JX, JY]).
$$

Si $K$ est intégrable on a

$$
[JX, JY] = [X, Y].
$$

**Theorem 29.** Une structure presque réelle $J$, qui est intégrable induit une structure holomorphe sur $\Lambda$ si

$$
[JX, JY] = [X, Y], \tag{6.3}
$$

pour tous les champs X et Y de Λ.

**Remark 47.** 1) La structure holomorphe définie est la complexification des dimensions de Λ,

2) L'équation 6.3 est équivalente à

$$
[JX, Y] = [X, JY],
$$

on dit que la structure presque réelle $J$ sur $\Lambda$, commute dans le crochet de Lie.

On peut élargir la notion de complexification des dimensions de l'univers Ω, en
le plongeant dans un univers Λ sur lequel il existe une section J de Hom (TΛ)
diagonalisable, c'est-à-dire, pour laquelle il existe des C∞-applications

$$
\zeta_{\nu} : \Lambda \to \mathbb{R}, \nu = 1, \dots, k
$$

telles que

$$
\mathcal{T}^{\nu} \Lambda = (\cup_{\lambda \in \Lambda} \ker (J(\lambda) - \zeta_{\nu}(\lambda) \mathrm{Id}_{T_{\lambda} \Lambda}), \pi_{\nu}, \Lambda)
$$

est un sous-fibré de

$$
\mathcal{T}\Lambda = (T\Lambda, \pi, \Lambda)
$$

avec $\mathcal{T}\Lambda$ est la somme de Whitney des $\mathcal{T}^{\nu}\Lambda$,

$$
\mathcal{T}\Lambda = \bigoplus_{\nu=1}^{k} \mathcal{T}^{\nu}\Lambda.
$$

**Definition 41.** $J$ est intégrable si pour tous champs $X, Y \in \Gamma(\mathcal{T}^\nu \Lambda)$ alors $[X, Y] \in \Gamma(\mathcal{T}^\nu \Lambda)$ pour tous les indices $\nu = 1, \dots, k$.

On peut définir une famille de feuilletages {$\mathcal{F}_\nu$} locaux, deux à deux transversaux de $\Lambda$ qui induisent des feuilletages locaux de $\Omega$ au voisinage de $\omega$ car

$$
\omega \to T_{\omega} \Omega \cap \mathcal{T}_{\omega}^{\nu} \Lambda
$$

est complètement intégrable sous les hypothèses $J$ intégrable et

$$
T^{\nu} \Omega = \bigcup_{\omega \in \Omega} T_{\omega} \Omega \cap \mathcal{T}_{\omega}^{\nu} \Lambda
$$

est un sous-fibré de $T\Omega$.
**Definition 42.** Une structure presque complexe K est $\sigma$-stable s'il existe une per-mutation $\sigma$ de $\{1, 2, \dots, k\}$ telle que

$$K(\mathcal{T}^{\nu}\Lambda) \subset \mathcal{T}^{\sigma(\nu)}\Lambda,$$

pour tout $\nu \in \{1, 2, \dots, k\}$.

Soit $K$, la section des endomorphismes de $T\Lambda$ définie par

$$(K \circ p_{\nu}) \otimes X = (-1)^{\nu} p_{\sigma(\nu)} \otimes X,$$

où $p_{\nu}$ est la section des projections sur $\mathcal{T}^{\nu}\Lambda$ parallèlement à

$$\mathcal{T}^1\Lambda \oplus \mathcal{T}^2\Lambda \oplus \dots \oplus \widehat{\mathcal{T}^\nu\Lambda} \oplus \dots \oplus \mathcal{T}^k\Lambda.$$

La section $K$ est une structure presque complexe si

$$\sigma(\nu) + \nu \equiv 1 \pmod{2}$$

pour tout $\nu \in \{1, 2, \dots, k\}$. On suppose que $K$ est une structure presque complexe et on calcule le tenseur de Nijenhuis. Si on pose

$$X_{\nu} = p_{\nu} \otimes X$$

on a

$$\mathcal{N}(X_{\nu}, Y_{\mu}) = [X_{\nu}, Y_{\mu}] + (-1)^{\nu} K [X_{\sigma(\nu)}, Y_{\mu}] \\ + (-1)^{\mu} K [X_{\nu}, Y_{\sigma(\mu)}] + (-1)^{\nu+\mu+1} [X_{\sigma(\nu)}, Y_{\sigma(\mu)}]$$

en sommant

$$\begin{align*}
\mathcal{N}(X, Y) &= \sum_{\nu, \mu=1}^{k} [X_{\nu}, Y_{\mu}] + \sum_{\nu, \mu=1}^{k} (-1)^{\nu} K [X_{\sigma(\nu)}, Y_{\mu}] \\
&\quad + \sum_{\nu, \mu=1}^{k} (-1)^{\mu} K [X_{\nu}, Y_{\sigma(\mu)}] + \sum_{\nu, \mu=1}^{k} (-1)^{\nu+\mu+1} [X_{\sigma(\nu)}, Y_{\sigma(\mu)}] \\
&= \sum_{\nu, \mu=1}^{k} ((-1)^{\nu} K [X_{\sigma(\nu)}, Y_{\mu}] + (-1)^{\mu} K [X_{\nu}, Y_{\sigma(\mu)}]) \\
&= K \left( \sum_{\nu, \mu=1}^{k} ((-1)^{\nu} [X_{\sigma(\nu)}, Y_{\mu}] + (-1)^{\mu} [X_{\nu}, Y_{\sigma(\mu)}]) \right),
\end{align*}$$

en prenant pour convention $X_{\tau} = X_{\rho}$ si $\tau \equiv \rho \pmod{k}$. Le tenseur de Nijenhuis est nul si et seulement si

$$\sum_{\nu, \mu=1}^{k} ((-1)^{\nu} [X_{\sigma(\nu)}, Y_{\mu}] + (-1)^{\mu} [X_{\nu}, Y_{\sigma(\mu)}]) = 0$$

en utilisant les projections $p_{\nu}$

$$\sum_{\nu, \mu=1}^{k} ((-1)^{\nu} [p_{\sigma(\nu)} \otimes X, p_{\mu} \otimes Y] + (-1)^{\mu} [p_{\nu} \otimes X, p_{\sigma(\mu)} \otimes Y]) = 0,$$

on a plusieurs structures complexes sur $\Lambda$ qui préservent la section des endomorphismes diagonalisables de $\operatorname{Hom}(T\Lambda)$.
**Theorem 30.** Si $J$ est une section d'endomorphismes diagonalisables de $\operatorname{Hom}(T\Lambda)$ et soit $\sigma$ une permutation de $\{1, 2, \dots, k\}$, où $k$ est le nombre de fonctions propres de $J$, telle que

$$ \sigma(\nu) + \nu \equiv 1 \pmod{2} $$

et $J$ est intégrable alors $J$ induit une structure complexe sur $\Lambda$ si et seulement si le tenseur

$$ \mathcal{T}(X, Y) = \sum_{\nu, \mu=1}^{k} ((-1)^{\nu} [p_{\sigma(\nu)} \otimes X, p_{\mu} \otimes Y] + (-1)^{\mu} [p_{\nu} \otimes X, p_{\sigma(\mu)} \otimes Y]) $$

est identiquement nul où $p_ν$ est la section des projections sur $\mathcal{T}^ν\Lambda$ parallèlement à

$$ \mathcal{T}^1\Lambda \oplus \mathcal{T}^2\Lambda \oplus \dots \oplus \widehat{\mathcal{T}^\nu\Lambda} \oplus \dots \oplus \mathcal{T}^k\Lambda. $$

**Remark 48.** Ces notions peuvent s'étendre aux structures de fibré réel

$$ \zeta = (E, \pi, \Lambda, \mathcal{H}) $$

dont la fibre $\mathcal{H}$ est un espace de vectoriel réel de dimension finie. On note $\mathcal{R}(\zeta)$ l'ensemble des structures presque réelles $J$ de $\zeta$, c'est-à-dire, les sections d'endomorphismes du fibré $\zeta$ pour lesquelles

$$ J^2 = \mathbf{1}. $$

On a

$$ \dim \zeta = 2n, $$

et si $s \in \zeta$

$$ s_+ = \frac{1}{2} (s + J \otimes s) \in \Gamma(\operatorname{Ker}(J - \mathbf{1})) \text{ et } s_- = \frac{1}{2} (s - J \otimes s) \in \Gamma(\operatorname{Ker}(J + \mathbf{1})) $$

où $\mathbf{1}(\lambda) = \operatorname{Id}_{E_\lambda(\zeta)}$ et $\operatorname{Ker}(J \pm \mathbf{1})$ sont les fibrés associés aux valeurs propres $\mp 1$. Chaque section s s'écrit

$$ s = s_+ + s_- $$

et l'application de conjugaison

$$ \mathcal{Q} : s_+ \to s_- $$

est un isomorphisme sur chaque fibre de $E_\lambda(\operatorname{Ker}(J - \mathbf{1}))$ sur $E_\lambda(\operatorname{Ker}(J + \mathbf{1}))$.

## 7. LES ÉQUATIONS DE DIRAC-EINSTEIN

Si on veut définir l'espace-temps $\Omega$, on le définit comme une variété réelle de dimension 4, munie d'une métrique Lorentzienne $g$ pour laquelle l'équation relativiste est vérifiée. En relativité, les points de cette variété $\Omega$ décrivent l'univers des événements. En physique quantique, les particules sont définies comme des ondes $\psi(x, t)$. Le principe de quantification de l'univers $\Omega$ est de définir une géométrie qui permet de lier les notions d'événements et de particules. Dans la théorie relativiste, on identifie les particules aux événements de l'univers. Si on oublie ce procédé d'identification comme cela a été développé en théorie des cordes, les principes d'unification se simplifient. On n'identifie plus, l'univers des particules à son support qui est l'univers relativiste d'Einstein $\Omega$. On veut quantifier, non pas l'univers $\Omega$ décrit par la physique relativiste d'Einstein, mais géométriser l'univers des états des particules décrit par la mécanique quantique. La description des particules en physique quantique est donnée par une onde

$$ \psi = \psi(t, x, y, z), \qquad (7.1) $$
où $(x, y, z)$ est un point de l'espace et $t$ représente le temps, telle que

$$ \int |\psi(t, x, y, z)|^2 dxdydz = 1. \qquad (7.2) $$

Cette présentation a le désavantage de faire intervenir l'espace-temps dans sa description. On s'intéresse aux relations liant le "contenant" formé par l'univers relativiste d'Einstein $\Omega$ au "contenu" formé par l'univers des particules. Comme en gravitation quantique à boucles, on ne veut pas augmenter la dimension de $\Omega$ comme cela est fait en théorie des cordes. Pour cela, on remarque que les équations 7.1 et 7.2, ne définissent pas un élément d'un espace de Hilbert, mais une section d'un fibré hibertien. On pose

$$ \zeta = (E(\zeta), \pi_{\zeta}, \Omega, \mathcal{H}) $$

ce fibré, $\Omega$ représente l'univers des événements, $\mathcal{H}$ est un espace hermitien séparable et l'espace total $E = E(\zeta)$ représente l'univers des états des particules, les sections de ce fibré $\Gamma^\infty(\Omega)$ représentent l'univers des particules.

**7.1. La connexion $\nabla_{E,\Omega}$ et l'équation d'évolution.** L'idée de cette section est de déterminer les relations qui lient les univers $E$ et $\Omega$ et les équations d'évolution et d'état des sections. En physique relativiste, le fibré considéré est le fibré tangent

$$ \xi_{\Omega} = (T\Omega, \pi_{\Omega}, \Omega, \mathbb{R}^4) $$

en complexifiant ce fibré, on définit une structure de fibré hermitien sur

$$ \xi_{\Omega} \otimes \mathbb{C} $$

lorsque $\Omega$ est muni d'une métrique riemannienne $g$, le produit hermitien est

$$ \langle X + iY | X' + iY' \rangle = g(X, X') + ig(Y, X') - ig(X, Y') + g(Y, Y') \quad (7.3) $$

quelque soit les champs réels $X, Y, X'$ et $Y'$. La connexion de Levi-Civita $\nabla_g$ complexifiée est définie par

$$ \nabla = \nabla_g + i\nabla_g, $$

on va procéder de façon analogue sur le fibré $\zeta$. On admet l'existence d'une connexion généralisée qui permet de définir un lien entre particule et événement. Dans la suite, on note $\nabla = \nabla_{E,\Omega}$, cette connexion généralisée. On rappelle qu'une connexion généralisée est la donnée d'une $C^\infty$-application $\tau$

$$ \tau : p \in E(\zeta) \to \tau(p) \subset T_p(E(\zeta)), $$

et d'un isomorphisme $\phi(p)$ de $\tau(p)$ sur $T_p(\Omega)$ tels que $\phi$ est une $C^\infty$-application. La variété $E(\zeta)$ est hilbertienne, on peut définir le fibré tangent

$$ \xi_{E(\zeta)} = (TE(\zeta), \pi_{E(\zeta)}, E(\zeta), \mathbb{R}^4 \times \mathcal{H}). $$

Cette application $\phi$ est $C^\infty$ dans le sens suivant, il existe une famille libre $\{X_\mu\}$ de 4 champs de $E(\zeta)$ définis sur un ouvert de trivialisation de $\xi_{E(\zeta)}$ telle que

$$ \tau(p) = \mathrm{Vect}\{X_\mu(p)\} $$

et l'application $\phi$ est $C^\infty$ si pour tout champ $X$ de $E(\zeta)$

$$ \phi \otimes X, \phi \otimes X(p) = \phi(p)(X(p)) $$

est une $C^\infty$-application comme application de variétés de Banach [5]. On peut, ainsi, définir un sous-fibré

$$ \xi_{\tau}(E(\zeta)) = (\cup_{p \in E(\zeta)} \tau(p), \pi_{E(\zeta)}|_{\cup_{p \in E(\zeta)} \tau(p)}, E(\zeta), \mathbb{R}^4) $$
et l'isomorphisme de fibré $\phi$,

$$ \phi : \xi_{\tau}(E(\zeta)) \to \xi_{\Omega}. $$

Pour un approfondissement de ces notions, on peut consulter [6]. Comment définir la connexion $\nabla$? Le fibré $\zeta$ est muni d'un produit hermitien $C^{\infty}$, c'est-à-dire, que pour toutes sections $s$ et $t \in \Gamma^{\infty}(\zeta)$, l'application

$$ \omega \in \Omega \to \langle s(\omega) | t(\omega) \rangle_{\omega} $$

est $C^{\infty}$. On s'intéresse aux produits hermitiens qui sont parallèles aux connexions [2]. Le produit scalaire hermitien $\langle \bullet | \bullet \rangle$ est parallèle à la connexion $\nabla$ si et seulement si pour tout champ $X$ de $\Omega$ et pour toutes sections $s$ et $t$ de $\Gamma(\zeta)$

$$ X. \langle s | t \rangle = \langle \nabla_X s | t \rangle + \langle s | \nabla_X t \rangle, \qquad (7.4) $$

où $X$. $\langle s | t \rangle$ est la dérivée de Lie le long du champ $X$ de la $C^{\infty}$-application

$$ \omega \to \langle s(\omega) | t(\omega) \rangle_{\omega}. $$

Toutes les connexions considérées sont des connexions parallèles au produit hermitien. En mécanique quantique, l'évolution d'un système est donnée par l'équation de Schrödinger

$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi + V\psi, \qquad (7.5) $$

où $\Delta$ est le Laplacien et en physique relativiste l'équation d'évolution est décrite par l'équation d'Einstein. Dans le cas quantique on est sur le fibré trivial

$$ \xi = (\mathbb{R}^4 \times \mathbb{C}, \pi, \mathbb{R}^4, \mathbb{C}) $$

et dans le cas relativiste on est sur le fibré des (2,0)-tenseurs. On veut définir à partir de la connexion $\nabla$, une équation d'évolution equivalente à 7.5 et à l'équation relativiste d'Einstein. L'équation 7.5 est une relation qui lie la dérivée de l'onde par rapport au temps $t$ à un opérateur $H + V$. Peut-on définir un procédé permettant d'écrire ces équations de façon intrinsèque pour des choix convenables de fibré?.
Pour cela, on doit définir l'opérateur $H + V$, la courbure et la notion de dérivée d'une section par rapport à un champ de $\Omega$. Les deux équations précédentes nous permettent de définir l'équation d'évolution des fibrés hermitiens. Pour la dérivée, l'opérateur $\nabla_T$ est un opérateur acceptable, reste à définir le champ local $T$ et l'opérateur $H$ pour lequel

$$ Hs = \lambda \nabla_T s. $$

Pour l'opérateur $H$, l'équation relativiste, nous permet de construire cet opérateur comme suit. On se fixe une section de Dirac $\gamma$ de $E$. L'univers $\Omega$ est muni d'une métrique de Lorentz $g$, dont la matrice dans le local frame $\{\partial_{\mu}, \mu = 0, 1, 2, 3\}$ est $(g_{\mu\nu})$ et $(g^{\mu\nu})$ est sa matrice inverse, on fait l'hypothèse

$$ (\gamma^{\mu\nu}) = (g^{\mu\nu}), $$

Cette métrique peut être définie par la matrice de Poisson $(\gamma^{\mu\nu})^{-1}$, en faisant l'hypothèse que localement $(\gamma^{\mu\nu})$ est inversible et que $(\gamma_{\mu\nu}) = (\gamma^{\mu\nu})^{-1}$ est la matrice d'une métrique de Lorentz $g_{\gamma}$ sur l'ouvert $U$, afin de pouvoir définir la notion de champ chronologique local $T$ et d'équation d'évolution le long de ce champ. Ensuite, on définit la section $H$ de $\text{End} \Gamma(\zeta)$ par

$$ H_2(s)(\omega) = \gamma_2(\omega)(R^{\nabla s}(\omega)) $$
notée

$$H_2 = \gamma_2 \otimes R^\nabla$$

où $R^\nabla$ est la courbure de la connexion $\nabla$ et $\gamma_2$ est l'extension de rang 2 de la section de Dirac $\gamma$. L'équation d'état est donnée par

$$H_2(s) = \lambda s,$$

où $\lambda$ est une fonction propre $C^\infty$ définie sur une carte $U$ de $\Omega$ et $H$ est l'opérateur qui correspond à l'Hamiltonien défini dans l'équation de Schrödinger. L'équation d'évolution d'une section locale $s$ définie sur $U$, le long d'un champ chronologique $T$, non nécessairement stable, d'un système soumis à aucune observation est

$$Hs = i\lambda\nabla_T s, \qquad (7.6)$$

si le fibré est complexe ou

$$Hs = \lambda \nabla_T s, \qquad (7.7)$$

si le fibré est réel. Le fibré

$$\zeta = (E, \pi, \Omega, \mathcal{H})$$

est un fibré vectoriel réel ou complexe, de fibre $\mathcal{H}$, dont la base est l'univers $\Omega$ qui est une $C^\infty$-variété de dimension 4, il est muni d'une connexion

$$\nabla : \Gamma(E) \to \Gamma(\Lambda^1\Omega \otimes E),$$

que l'on peut noter

$$\nabla : \Gamma^\infty(\xi_\Omega) \times \Gamma^\infty(\zeta) \to \Gamma^\infty(\zeta), \quad \nabla(X, s) = \nabla_X s,$$

où

$$\xi_\Omega = (T\Omega, \pi, \Omega)$$

est le fibré tangent sur $\Omega$. On utilisera l'une ou l'autre des présentations, on peut consulter [6] pour la comparaison entre ces deux définitions. On rappelle que, si on pose $\Delta_j^k$ l'opérateur

$$\Delta_j^k = (\gamma_j^{\nu\sigma} \gamma_\sigma^{\mu k} - \gamma_j^{\mu\sigma} \gamma_\sigma^{\nu k}) \partial_\mu \partial_\nu,$$

et

$$\Upsilon_\alpha^k = (\gamma_j^{\nu\sigma} \gamma_\sigma^{\mu k} - \gamma_j^{\mu\sigma} \gamma_\sigma^{\nu k}) (\partial_\mu \Gamma_{\alpha\nu}^j - \Gamma_{\alpha\mu}^\beta \Gamma_{\beta\nu}^j)$$

alors

$$\gamma_2 \otimes R^\nabla (s^\alpha e_\alpha) = (\Delta_\tau^k + \Upsilon_\tau^k) s^\tau e_k.$$

Pour un champ chronologique $T = t^\rho \partial_\rho$, les équations 7.6 et 7.7 s'écrivent localement, on obtient le système d'équations

$$(\Delta_{\tau}^{k} + \Upsilon_{\tau}^{k}) s^{\tau} = \chi (t^{\rho} \partial_{\rho} s^{k} + t^{\rho} s^{\alpha} \Gamma_{\rho \alpha}^{k}). \qquad (7.8)$$

**Remark 49.** Si la connexion est plate, l'équation d'évolution se ramène à l'équation triviale, ce système d'équations est

$$t^\rho \partial_\rho s^\tau = 0, \forall \tau.$$

Dans l'écriture standard, on pose

$$\nabla e_\alpha = \Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} d^\nu \otimes e_\beta$$

à la place de

$$\nabla e_\alpha = \Gamma_{\alpha\nu}^{\beta} d^\nu \otimes e_\beta,$$

cette présentation est algébriquement plus appropriée.
7.2. **La connexion de Dirac.** L'équation d'évolution n'est pas une équation de Dirac-Einstein de rang 2 car l'équation développée de Dirac

$$ \begin{pmatrix} i \frac{\partial}{\partial t} - m & 0 & i \frac{\partial}{\partial z} & i \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} \\ 0 & i \frac{\partial}{\partial t} - m & i \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} & i \frac{\partial}{\partial z} \\ i \frac{\partial}{\partial z} & i \frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial y} & -i \frac{\partial}{\partial t} - m & 0 \\ i \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} & i \frac{\partial}{\partial z} & 0 & -i \frac{\partial}{\partial t} - m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi^0 \\ \psi^1 \\ \psi^2 \\ \psi^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad (7.9) $$

où $\psi$ est une section du fibré

$$ \xi_D = (\mathbb{R}^4 \times \mathbb{C}^4, \pi, \mathbb{R}^4, \mathbb{C}^4), $$

ne fait apparaître que des opérateurs de rang 1. Pour répondre à la question, on passe sur une équation d'état de rang 1, d'opérateur

$$ H = \gamma \otimes \nabla. $$

Pour cet opérateur, il n'existe pas d'équation d'évolution, à l'exception des particules de masse nulle. Seule l'équation des états de rang 1, d'opérateur $H$ peu- vent décrire l'équation 7.9. On se restreint donc, à l'image d'une carte, où plus précisément à $\mathbb{R}^4$ et par un recouvrement localement fini, on définit la connexion sur $\Omega$. Dans $\mathbb{R}^4$, soit

$$ \left\{ \partial_0 = \frac{\partial}{\partial t}, \partial_1 = \frac{\partial}{\partial x}, \partial_2 = \frac{\partial}{\partial y}, \partial_3 = \frac{\partial}{\partial z} \right\} $$

les champs de vecteurs sur $\mathbb{R}^4$ linéairement indépendants associés et

$$ \{d^{\nu}, \nu = 0, 1, 2, 3\}, $$

la base duale. L'équation de Dirac-Einstein au rang 1 est

$$ \gamma_{\beta}^{\nu\sigma} (\partial_{\nu} \psi^{\beta} + \psi^{\alpha} \Gamma_{\alpha\nu}^{\beta}) = -i\lambda\psi^{\sigma} \quad \text{pour tout } \sigma = 0, 1, 2, 3. \quad (7.10) $$

Les matrices de Dirac $\gamma^{\mu}$, $0 \le \mu \le 3$, sont des matrices carrées d'ordre 4 dont les coefficients sont des applications $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^4$, à valeurs complexes. On note

$$ (D_{\nu}\psi)^{\beta} = \partial_{\nu}\psi^{\beta} + \psi^{\alpha}\Gamma_{\alpha\nu}^{\beta}, $$

$D_{\nu}$ est la section locale de End($E$) définie par, $D_{\nu} = L_{\nu} + \Gamma_{\nu}$, où $\Gamma_{\nu}$ est la section locale de End($E$) dont la matrice, dans le "local frame", est $(\Gamma_{\nu})^{\beta}_{\alpha} = \Gamma^{\beta}_{\alpha\nu}$ et $L_{\nu}$ est l'endomorphisme de Lie le long du champ $\partial_{\nu} = \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}$ défini par,

$$ L_{\nu} \psi = (\partial_{\nu} \psi^0, \partial_{\nu} \psi^1, \partial_{\nu} \psi^2, \partial_{\nu} \psi^3), \quad \psi = (\psi^0, \psi^1, \psi^2, \psi^3) $$

alors

$$ \gamma_{\beta}^{\nu\sigma} (D_{\nu}\psi)^{\beta} = -i\lambda\psi^{\sigma}, $$

l'équation précédente s'écrit

$$ \gamma^{\nu} D_{\nu} (\psi) = -i\lambda\psi. $$

Utilisons l'équation 7.10 et comparons à 7.9,

$$ \gamma_{\beta}^{\nu k} (\partial_{\nu} \psi^{\beta} + \psi^{\alpha} \Gamma_{\alpha\nu}^{\beta}) + i\lambda \psi^{k} = 0, \quad k = 0, 1, 2, 3 $$

$$ \gamma_{\beta}^{\nu k} \partial_{\nu} \psi^{\beta} + \psi^{\alpha} \gamma_{\beta}^{\nu k} \Gamma_{\alpha\nu}^{\beta} + i\lambda \psi^{k} = 0 $$

$$ (\gamma_{j}^{\nu k} \partial_{\nu} + \gamma_{\beta}^{\nu k} \Gamma_{j\nu}^{\beta}) \psi^{j} + i\lambda\psi^{k} = 0 $$
si on prend pour $(\gamma^\nu)_j^k = \gamma_j^{\nu k}$, on retombe sur l'équation 7.9 pour des coefficients de Christoffel $\Gamma_{j\nu}^\beta$ qui sont calculables comme suit. La matrice associée s'écrit

$$ \begin{pmatrix} i\gamma_0^{\nu 0}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 0}\Gamma_{0\nu}^\beta - \lambda & i\gamma_1^{\nu 0}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 0}\Gamma_{11}^\beta & i\gamma_2^{\nu 0}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 0}\Gamma_{2\nu}^\beta & i\gamma_3^{\nu 0}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 0}\Gamma_{3\nu}^\beta \\ i\gamma_0^{\nu 1}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 1}\Gamma_{0\nu}^\beta & i\gamma_1^{\nu 1}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 1}\Gamma_{1\nu}^\beta - \lambda & i\gamma_2^{\nu 1}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 1}\Gamma_{2\nu}^\beta & i\gamma_3^{\nu 1}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 1}\Gamma_{3\nu}^\beta \\ i\gamma_0^{\nu 2}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 2}\Gamma_{0\nu}^\beta & i\gamma_1^{\nu 2}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 2}\Gamma_{1\nu}^\beta & i\gamma_2^{\nu 2}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 2}\Gamma_{2\nu}^\beta - \lambda & i\gamma_3^{\nu 2}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 2}\Gamma_{3\nu}^\beta \\ i\gamma_0^{\nu 3}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 3}\Gamma_{0\nu}^\beta & i\gamma_1^{\nu 3}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 3}\Gamma_{1\nu}^\beta & i\gamma_2^{\nu 3}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 3}\Gamma_{2\nu}^\beta & i\gamma_3^{\nu 3}\partial_\nu + i\gamma_\beta^{\nu 3}\Gamma_{3\nu}^\beta - \lambda \end{pmatrix}, $$

on en déduit que $\lambda = m$, et que les matrices $\gamma^\nu$ définies par $(\gamma^\nu)_\beta^\alpha = \gamma_\beta^{\nu\alpha}$ sont les matrices de Dirac. On a

$$ \begin{pmatrix} i\partial_0 + i\Gamma_{00}^0 - m & 0 & i\partial_3 - i\Gamma_{23}^2 & i\partial_1 + \partial_2 - i\Gamma_{31}^3 + \Gamma_{32}^3 \\ 0 & i\partial_0 + i\Gamma_{10}^1 - m & i\partial_1 - \partial_2 + i\Gamma_{21}^2 - \Gamma_{22}^2 & -i\partial_3 - i\Gamma_{33}^3 \\ -i\partial_3 - i\Gamma_{03}^0 & -i\partial_1 - \partial_2 - i\Gamma_{11}^1 - \Gamma_{12}^1 & -i\partial_0 - \Gamma_{20}^2 - m & 0 \\ -i\partial_1 + \partial_2 - i\Gamma_{01}^0 - \Gamma_{02}^0 & i\partial_3 + \Gamma_{13}^1 & 0 & -i\partial_0 - i\Gamma_{30}^3 - m \end{pmatrix}, $$

les relations sur les coefficients de Christoffel de la connexion de Dirac sont

$$ \Gamma_{00}^0 = \Gamma_{23}^2 = \Gamma_{10}^1 = \Gamma_{33}^3 = \Gamma_{03}^0 = \Gamma_{20}^2 = \Gamma_{13}^1 = \Gamma_{30}^3 = 0 \quad (7.11) $$

et

$$ \Gamma_{32}^3 = i\Gamma_{31}^3, \Gamma_{22}^2 = i\Gamma_{21}^2, \Gamma_{12}^1 = -i\Gamma_{11}^1, \Gamma_{02}^0 = -i\Gamma_{01}^0. \quad (7.12) $$

**Theorem 31.** Les symboles de Christoffel de la connexion de Dirac sur $\mathbb{R}^4$ vérifient

$$ \begin{align*} \Gamma_{00}^0 &= \Gamma_{23}^2 = \Gamma_{10}^1 = \Gamma_{33}^3 = \Gamma_{03}^0 = \Gamma_{20}^2 = \Gamma_{13}^1 = \Gamma_{30}^3 = 0, \\ \Gamma_{32}^3 &= i\Gamma_{31}^3, \Gamma_{22}^2 = i\Gamma_{21}^2, \Gamma_{12}^1 = -i\Gamma_{11}^1, \Gamma_{02}^0 = -i\Gamma_{01}^0, \\ \Gamma_{\mu\nu}^\tau &= \Gamma_{\nu\mu}^\tau. \end{align*} $$

On peut construire une connexion de Dirac sur l'univers $\Omega$, en prenant un re-couvrement localement fini et une partition de l'unité $\{\lambda^U\}$ subordonnée à ce re-couvrement. Si $\nabla_U$ est une connexion de Dirac induite par la carte alors

$$ \nabla = \lambda^U \nabla_U $$

est une connexion définie sur l'univers $\Omega$. Cette connexion est définie sur le fibré tangent de l'univers $\Omega$.

**Remark 50.** La connexion de Dirac est indépendante du choix de la particule de masse m, c'est donc, une connexion intrinsèque sur les champs complexes. Les équations 7.11 et 7.12 permettent de définir un grand nombre de choix possibles pour la connexion de Dirac.

**7.3. L'équation relativiste d'Einstein.** En utilisant les équations 1.6, 1.7 et 1.8, aux (2,0)-tenseurs, l'équation d'évolution au rang 2 s'écrit

$$ \Delta_{j_1 j_2}^{k_1 k_2} g_{k_1 k_2} + \left( \Upsilon_{j_1 j_2}^{k_1 k_2} + t^\rho \Gamma_{\rho j_1 j_2}^{k_1 k_2} \right) g_{k_1 k_2} = \lambda t^\rho \partial_\rho g_{j_1 j_2}, \quad \forall (j_1, j_2) $$

où

$$ \Delta_{j_1 j_2}^{k_1 k_2} = (\gamma_{j_1 j_2}^{\nu \sigma_1 \sigma_2} \gamma_{\sigma_1 \sigma_2}^{\mu k_1 k_2} - \gamma_{j_1 j_2}^{\mu \sigma_1 \sigma_2} \gamma_{\sigma_1 \sigma_2}^{\nu k_1 k_2}) \partial_{\mu} \partial_{\nu}, $$

et

$$ \Upsilon_{\alpha_1 \alpha_2}^{k_1 k_2} = (\gamma_{j_1 j_2}^{\nu \sigma_1 \sigma_2} \gamma_{\sigma}^{\mu k_1 k_2} - \gamma_{j_1 j_2}^{\mu \sigma_1 \sigma_2} \gamma_{\sigma_1 \sigma_2}^{\nu k_1 k_2}) (\partial_{\mu} \Gamma_{\alpha_1 \alpha_2 \nu}^{j_1 j_2} - \Gamma_{\alpha_1 \alpha_2 \mu}^{\beta_1 \beta_2} \Gamma_{\beta_1 \beta_2 \nu}^{j_1 j_2}) g_{k_1 k_2}, $$
$\lambda$ est une fonction propre de l'opérateur $H_2$ défini par

$$H_2 (g_{j_1 j_2} d^{j_1} \otimes d^{j_2}) = (\Delta_{j_1 j_2}^{k_1 k_2} + \Upsilon_{j_1 j_2}^{k_1 k_2}) g_{k_1 k_2} d^{j_1} \otimes d^{j_2},$$

on en déduit,

**Remark 51.** *L'équation relativiste d'Einstein n'est pas de même nature que les équations d'évolution de rang 1 et 2.*

L'équation de Dirac permet de définir la connexion et l'équation d'Einstein permet de définir la section de Dirac associée à cette connexion afin de décrire les équations d'état et d'évolution. Dans le cas des champs, si on prend une section relativiste

$$\gamma \in \Gamma (\operatorname{Hom}(\wedge^1 \Omega \otimes T\Omega, T\Omega))$$

alors la métrique $g_\gamma$ permet de définir sa connexion de Levi-Civita $\nabla_\gamma$, l'équation d'état de Dirac est définie par

$$\gamma \otimes \nabla_{\gamma} (X) = \lambda X, \quad X \in \Gamma^{\infty}(\Omega) \qquad (7.13)$$

où $\lambda$ est une fonction propre de $\gamma \otimes \nabla_{\gamma}$ associée à l'opérateur $\gamma \otimes \nabla_{\gamma}$.

**Remark 52.** *Existe-t-il une section de Dirac $\gamma$ pour laquelle l'équation relativiste est vérifiée?*

On se place sur une carte de trivialisation du fibré tangent, pour le "local frame" associé et le "local frame" dual, noté $\{\partial_\mu\}$ et $\{d^\nu\}$

$$\gamma^\nu (\partial_\mu) = \gamma (d^\nu \otimes \partial_\mu) = \gamma_\beta^{\nu\sigma} \partial_\sigma,$$

la matrice dans le "local frame" est encore noté $\gamma^\nu$ avec $(\gamma^\nu)_\beta^\sigma = \gamma_\beta^{\nu\sigma}$. Le tenseur de Poisson s'écrit

$$\gamma^{\mu\nu} = \frac{1}{4} \operatorname{Trace} (\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}) = \frac{1}{4} \gamma_{\beta}^{\mu\sigma} \gamma_{\sigma}^{\nu\beta},$$

si la matrice $(\gamma^{\mu\nu})$ est inversible, on la note $(\gamma_{\mu\nu})$, alors

$$\gamma_{\mu\nu} = \frac{1}{4} \gamma_{\mu i} \gamma_{\nu j} \gamma_{\beta}^{j\sigma} \gamma_{\sigma}^{i\beta} = \frac{1}{4} \gamma_{\mu\sigma}^{\beta} \gamma_{\nu\beta}^{\sigma} = \frac{1}{4} \operatorname{Trace} (\gamma_{\mu} \gamma_{\nu}),$$

avec $\gamma_{\alpha\beta}^{\sigma} = \gamma_{\alpha\tau} \gamma_{\beta}^{\tau\sigma}$. L'équation d'Einstein

$$R_{\mu\nu} - \left(\frac{1}{2}R + \Lambda\right) \gamma_{\mu\nu} - \kappa T_{\mu\nu} = 0$$

s'écrit, en posant

$$\begin{gathered} R_{\mu\nu\beta}^{\alpha} = (\nabla_{\beta}, \nabla_{\nu})_{\mu}^{\alpha} \\ ([\nabla_{\alpha}, \nabla_{\nu}])_{\mu}^{\alpha} + \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2}R + \Lambda\right) (\gamma_{\mu})_{\tau}^{\alpha} (\gamma_{\nu})_{\alpha}^{\tau} + \kappa T_{\mu\nu} = 0, \quad \kappa = \frac{8\pi G}{c^4} \qquad (7.14) \end{gathered}$$

ces équations lient la connexion $\nabla$ de la métrique $\gamma_{\mu\nu}$ aux coefficients de $\gamma$. On définit les matrices $R_{\nu\tau}$ et $T_{\nu\tau}$ par

$$(R_{\nu\tau})_{\alpha}^{\beta} = R_{\nu\alpha\tau}^{\beta} \text{ et } (T_{\nu\tau})_{\alpha}^{\beta} = T_{\nu\alpha\tau}^{\beta},$$

où $T_{\nu\alpha\tau}^{\beta}$ est un tenseur de type (3, 1) tel que le contracté est le tenseur d'énergie-impulsion

$$T_{\nu\alpha\tau}^{\alpha} = T_{\nu\tau} \qquad (7.15)$$
alors l'équation 7.14 s'écrit

$$ \mathrm{Trace} \left( \mathcal{R}_{\nu\tau} - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} R + \Lambda \right) \gamma_{\nu} \gamma_{\tau} - \kappa \mathcal{T}_{\nu\tau} \right) = 0, \qquad (7.16) $$

pour toute matrice $\mathcal{T}_{\nu\tau}$ de trace égale au tenseur d'énergie-impulsion $T_{\mu\nu}$. On a la propriété suivante,

**Proposition 19.** La trace de la matrice

$$ \mathcal{R}_{\nu\tau} - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} R + \Lambda \right) \gamma_{\nu} \gamma_{\tau} - \kappa \mathcal{T}_{\nu\tau} $$

est nulle, où

$$ (\mathcal{R}_{\nu\tau})_{\alpha}^{\beta} = R_{\nu\alpha\tau}^{\beta} \quad \text{et} \quad (\mathcal{T}_{\nu\tau})_{\alpha}^{\beta} = T_{\nu\alpha\tau}^{\beta} \quad \text{avec} \quad (\mathcal{T}_{\nu\tau})_{\alpha}^{\alpha} = T_{\nu\tau}. $$

**Remark 53.** Si on change la matrice $\mathcal{T}_{\nu\tau}$ en gardant sa trace égale à $T_{\nu\tau}$, l'équation 7.16 reste vraie.

7.4. **Le principe de moindre action sur les fibrés d'états.** Dans le chapitre précédent on a remarqué que la nature de l'équation relativiste d'Einstein ne pouvait être déduite des équations d'état et d'évolution. On est amené à définir la notion de moindre action sur un fibré d'état réel ou complexe

$$ \zeta = (E, \pi, \Omega, \mathcal{H}) $$

où $\zeta$ est muni d'un produit scalaire hermitien sur chaque fibre $E_\omega(\zeta)$, noté

$$ \langle \bullet | \bullet \rangle_{\omega} $$

tel que pour toutes sections $s$ et $t$ de $\Gamma(\zeta)$ formé des sections telle que l'application

$$ \omega \in \Omega \rightarrow \langle s(\omega) | t(\omega) \rangle_{\omega} $$

est mesurable comme application de $\Omega$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On note

$$ \mathcal{L}^2(\zeta, \mu) = \left\{ s \in \Gamma(\zeta) : \int_{\Omega} \langle s(\omega) | s(\omega) \rangle_{\omega} \mu(\omega) < \infty \right\} $$

et si $\mathcal{O}$ est le sous-espace vectoriel formé par les sections nulles $\mu$ presque partout, l'espace $\mathcal{L}^2(\zeta, \mu)$ est

$$ L^2(\zeta, \mu) = \frac{\mathcal{L}^2(\zeta, \mu)}{\mathcal{O}}. $$

**Proposition 20.** $L^2(\zeta, \mu)$ est un espace de Hilbert pour le produit hermitien

$$ \langle s | t \rangle = \int_{\Omega} \langle s(\omega) | t(\omega) \rangle \mu(\omega). $$

On introduit l'espace vectoriel des sections test, défini par

$$ \mathcal{D}(\zeta) = \{s \in \Gamma(\zeta) : \mathrm{supp}(s) \text{ est compact}\}, $$

avec

$$ \mathrm{supp}(s) = \mathrm{Adh}\{\omega : s(\omega) \neq o_{\omega}\}. $$

On rappelle qu'une distribution $\mathcal{D}$ est une forme linéaire continue sur $\mathcal{D}(\zeta)$. L'ensemble des distributions sur $\zeta$ est noté $\mathcal{D}'(\zeta)$. Pour une section $s \in \Gamma(\zeta)$, localement intégrable, c'est-à-dire, une section $s$ telle que pour tout compact $K$ de $\Omega$

$$ \int_K \langle s(\omega | s(\omega)) \rangle \mu(\omega) < +\infty, $$
la distribution associée à la section s est,

$$D_s(t) = \langle D_s, t \rangle = \int_{\Omega} \langle s | t \rangle \mu. \qquad (7.17)$$

**Proposition 21.** $D_s = o$ si et seulement si $s = o$ µ-presque partout.

On a une inclusion naturelle de $\frac{\Gamma_{\text{loc}}(\zeta)}{\mathcal{O}}$ dans $\mathcal{D}'(\zeta)$ où $\Gamma_{\text{loc}}(\zeta)$ est l'ensemble des sections localement intégrables. On a

$$L^2(\zeta, \mu) \subset \frac{\Gamma_{\text{loc}}(\zeta)}{\mathcal{O}},$$

et un plongement naturel de $L^2(\zeta, \mu)$ dans $\mathcal{D}'(\zeta)$. On identifiera $L^2(\zeta, \mu)$ et son image dans $\mathcal{D}'(\zeta)$.

**Remark 54.** Si 7.17 est vérifiée, on dit que la distribution est régulière et on identifie $D_s$ à $s$. Dans cette situation, on note $\langle D_s, t \rangle = \langle s | t \rangle_{\Omega}$ et on a $D_{\lambda s} = \bar{\lambda} D_s$, $\lambda \in \mathbb{C}$.

On rappelle que pour toutes les connexions choisies, le produit scalaire hermitien $\langle \bullet | \bullet \rangle$ est parallèle à la connexion $\nabla$, c'est-à-dire, que pour tout champ $X$ de $\Omega$ et pour toutes sections $s$ et $t$ de $\Gamma^{\infty}(\zeta)$

$$X. \langle s | t \rangle = \langle \nabla_X s | t \rangle + \langle s | \nabla_X t \rangle,$$

où $X. \langle s | t \rangle$ est la dérivée de Lie le long du champ $X$ de la $C^{\infty}$-application

$$\omega \rightarrow \langle s(\omega) | t(\omega) \rangle_{\omega}.$$

**Theorem 32.** Si le produit scalaire $\langle \bullet | \bullet \rangle$ est parallèle à la connexion $\nabla$ alors

$$\langle \nabla_X s, t \rangle = - \langle s | \operatorname{div}(X) t + \nabla_X t \rangle_{\mu},$$

pour toute section test $t$ et toute section $s \in \Gamma^{\infty}(\zeta)$.

*Proof.* Il suffit de vérifier que dans les hypothèses du théorème

$$I = \int_{\Omega} L_X(f) \mu = - \int_{\Omega} f \operatorname{div}(X) \mu$$

pour toute $C^{\infty}$-fonction $f$ à support compact avec $L_X(f)$ est la dérivée de Lie le long du champ $X$ de $f$. On peut se ramener à une carte en utilisant une partition de l'unité associé à un recouvrement de cartes $U$. Dans le local frame $\{\partial_{\nu}\}$ associé à la carte $U$, de dual $\{d^{\nu}\}$ la forme volume $\mu$ s'écrit

$$\mu = \theta d^1 \wedge d^2 \wedge d^3 \wedge d^4$$

avec $\theta$ fonction de classe $C^{\infty}$, non nulle, sur $U$. On a, si $X = X^{\nu} \partial_{\nu}$

$$I = \int_{U} X^{\nu} (\partial_{\nu} f) \theta d^{1} \wedge d^{2} \wedge d^{3} \wedge d^{4}$$

et

$$I = \int_{U} \partial_{\nu} (X^{\nu} f \theta) d^{1} \wedge d^{2} \wedge d^{3} \wedge d^{4} - \int_{U} f \partial_{\nu} (X^{\nu} \theta) d^{1} \wedge d^{2} \wedge d^{3} \wedge d^{4}.$$

La fonction $f$ est à support compact dans $U$, donc

$$\int_{U} \partial_{\nu} (X^{\nu} f \theta) d^{1} \wedge d^{2} \wedge d^{3} \wedge d^{4} = 0.$$
Ensuite on écrit

$$
\begin{align*}
& \int_U f \partial_\nu (X^\nu \theta) d^1 \wedge d^2 \wedge d^3 \wedge d^4 \\
&= \int_U f (\theta \partial_\nu X^\nu + d\theta(X)) d^1 \wedge d^2 \wedge d^3 \wedge d^4 \\
&= \int_U f \left( \partial_\nu X^\nu + \frac{d\theta(X)}{\theta} \right) \mu
\end{align*}
$$

On en déduit $I = - \int_U f \operatorname{div}(X) \mu \operatorname{car} \operatorname{div}(X) = \partial_\nu X^\nu + \frac{d\theta(X)}{\theta}$ dans le local frame $\{\partial_\nu\}$. $\square$

Ce théorème permet d'étendre la notion de dérivée covariante d'une section $s$
localement intégrable quelconque, au sens des distributions le long du champ $X$,
notée encore $\nabla_X s$ par

$$
\nabla_X s = \nabla_X D_s,
$$

où $\nabla_X s \in \mathcal{D}'(\zeta)$. On se donne une famille de champs de $\Omega$

$$
\mathcal{F} = \{\partial_j\}_{j \in \{1, \dots, q\}},
$$

et pour tout $k$-uplets tels que

$$
\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_k) \in \mathbb{N}^k \text{ et } \nu = (\nu_1, \dots, \nu_k) \text{ avec } \nu_j \neq \nu_{j+1} \text{ et } \nu_j \in \{1, \dots, q\}
$$

on définit les opérateurs

$$
\nabla_{\nu}^{\alpha} = \nabla_{\nu_1}^{\alpha_1} \circ \cdots \circ \nabla_{\nu_k}^{\alpha_k} \quad \text{où} \quad \nabla_{\nu}^{\alpha} = \nabla_{\partial_j}^{\alpha} \circ \cdots \circ \nabla_{\partial_k}^{\alpha}
$$

la composition se fait sur $\alpha$ opérateurs égaux à $\nabla_{\partial_j}$, avec $\nabla_{\nu}^{0} = \text{Id}$ et les dérivées covariantes sont prises au sens des distributions. L'espace de Sobolev $W_{\mathcal{F}}^{m,2}(\zeta)$ est le complété de

$$
\{ s \in L^2(\zeta, \mu) : \nabla_{\nu}^{\alpha} s \in L^2(\zeta, \mu), |\alpha| \le m \}
$$

pour la norme

$$
\|s\|_{\mathcal{F}}^{m,2} = \left( \sum_{|\alpha| \le m} \| \nabla_{\nu}^{\alpha} s \|_{2}^{2} \right)^{\frac{1}{2}}
$$

On définit une densité Lagrangienne de rang $n \ge 1$ par une application au moins de classe $C^n$

$$
\mathcal{L} : L^2(\zeta, \mu)^n \to \mathbb{R},
$$

si $n = \infty$ on pose

$$
L^2(\zeta, \mu)^{(\infty)} = \left\{ (s_0, \dots, s_n, \dots) \in L^2(\zeta, \mu)^{\infty} : \sum_{n=0}^{\infty} \|s_n\|_2^2 < \infty \right\}.
$$

On munit $\zeta$ d'une connexion $\nabla$ pour laquelle le produit hermitien est parallèle à cette connexion, l'action le long du champ $T$ est l'application

$$
S_T : W_{\{T\}}^{n,2}(\zeta) \to \mathbb{R}
$$

avec

$$
S_T(s) = \int_{\Omega} \mathcal{L} (\nabla_n^T s(\omega)) \mu(\omega), \qquad (7.18)
$$

et

$$
\nabla^T s = (\nabla_{T}^{0}s, \nabla_{T}s, \nabla_{T}^{2}s, \dots, \nabla_{T}^{n-1}s)
$$
la dérivée covariante $\nabla_T s$ est définie au sens des distributions pour une section $s \in W_{\{T\}}^{n,2}(\zeta)$ et $\nabla_T^0 s = s$.

L'action est un opérateur sur l'espace vectoriel des sections de $\zeta$, on note dom $(S_T)$ son domaine de définition qui est formé des sections $s$ telles que l'intégrale 7.18 est convergente. L'action de rang $n$ est donnée par une densité

$$ \mathcal{L}: L^2(\zeta, \mu)^n \to \mathbb{R}, $$

et

$$ S_T(s) = \int_{\Omega} \mathcal{L} (\nabla_n^T s(\omega)) \mu(\omega), $$

avec

$$ \nabla_n^T s = (\nabla_T^0 s, \nabla_T^1 s, \nabla_T^2 s, \dots, \nabla_T^{n-1} s) \in L^2(\zeta, \mu)^n. $$

On peut définir l'action le long d'une famille $\mathcal{F}$ de champs $T_\nu$, en prenant pour action

$$ S_{\mathcal{F}}(s) = \int_{\Omega} \mathcal{L} (\nabla^{\mathcal{F}} s(\omega)) \mu(\omega) $$

avec

$$ \nabla^{\mathcal{F}} s = (\nabla_{\mathcal{F}}^0 s, \nabla_{\mathcal{F}}^{n_1} s, \nabla_{\mathcal{F}}^{n_2} s, \dots, \nabla_{\mathcal{F}}^{n_{k-1}} s) \in L^2(\zeta, \mu)^k, $$

$\{n_j\}$ est une suite croissante d'entiers telle que $n_0 = 0$ et les $\nabla_{\mathcal{F}}^n$ décrivent des opérateurs de la forme

$$ \nabla_{T_{\nu_1}}^{p_1} \circ \dots \circ \nabla_{T_{\nu_k}}^{p_k}, \quad n = p_1 + \dots + p_k $$

avec $s = \nabla_{\mathcal{F}}^0 s$.

Comment décrire l'équation de Euler-Lagrange? On cherche l'opérateur $\mathcal{L}$ qui minimise l'action sur $W_{\{T\}}^{n,2}(\zeta)$ muni du produit

$$ \langle s | t \rangle = \int_{\Omega} \langle s(\omega) | t(\omega) \rangle_{\omega} \mu(\omega). $$

Les espaces

$L^2(\zeta, \mu)^{(\infty)}$ et $L^2(\zeta, \mu)^n$

sont des variétés de Banach, et pour ces structures $\mathcal{L}$ est de classe $C^\infty$. On choisit une carte

$$ \varphi: \mathbb{R}^4 \to U \subset \Omega $$

pour laquelle le "local frame", noté $\{\partial_0, \partial_1, \partial_2, \partial_3\}$ vérifie

$$ T = \partial_0 = T\varphi^{-1}\left(\frac{d}{dt}\right), $$

le théorème de redressement d'un champ donne l'existence d'une telle carte. Si $\zeta$ est de dimension finie, on peut supposer que sur $U$, il existe une base de sections $\{s_0, \dots, s_m\}$ de

$$ L_K^2(\zeta, \mu) = \{s \in L^2(\zeta, \mu) : \text{supp}(s) \subset K \subset U\} $$

où $K$ est un compacte de $\Omega$ contenu dans $U$. On a pour des sections

$$ s \in L_K^2(\zeta, \mu) \cap W_{\{T\}}^{n,2}(\zeta) \text{ avec } s = s^\mu e_\mu $$

en utilisant le théorème du redressement d'un champ $T$,

$$ \nabla_T s = \nabla_0 s = (\partial_0 s^\mu) e_\mu + s^\mu \Gamma_{0\mu}^\nu e_\nu = (\partial_0 s^\nu + s^\mu \Gamma_{0\mu}^\nu) e_\nu $$
$$
\begin{align*}
\nabla_0^2 s &= \partial_0 (\partial_0 s^\nu + s^\mu \Gamma_{0\mu}^\nu) e_\nu + (\partial_0 s^\nu + s^\mu \Gamma_{0\mu}^\nu) \Gamma_{0\nu}^\tau e_\tau \\
&= (\partial_0 (\partial_0 s^\tau + s^\mu \Gamma_{0\mu}^\tau) + (\partial_0 s^\nu + s^\mu \Gamma_{0\mu}^\nu) \Gamma_{0\nu}^\tau) e_\tau,
\end{align*}
$$

$\Gamma_{0\nu}^{\tau}$ représente les coefficients de Christoffel de la connexion $\nabla$ donnée sur le fibré $\zeta$. On pose,

$$
\nabla_0^k s = \mathbf{S}^{k\nu} (s^0, \dots, s^m) e_\nu
$$

on obtient la récurrence

$$
\mathbf{S}^{(k+1)\nu} (s^0, \dots, s^m) = \partial_0 \mathbf{S}^{k\nu} (s^0, \dots, s^m) + \mathbf{S}^{k\mu} (s^0, \dots, s^m) \Gamma_{0\mu}^{\nu}
$$

et

$$
\begin{align*}
\mathcal{K}(s^0, \dots, s^m) \\
&= \mathcal{L} \left( \mathbf{S}^{0\nu} (s^0, \dots, s^m) e_\nu, \mathbf{S}^{1\nu} (s^0, \dots, s^m) e_\nu, \dots, \mathbf{S}^{(n-1)\nu} (s^0, \dots, s^m) e_\nu \right)
\end{align*}
$$

$\mathcal{K}$ est une fonction définie sur $V \subset \mathbb{R}^{\dim(\zeta)}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$,

$$
V = (s^0, \dots, s^m)^{-1} (U).
$$

On cherche les densités de Lagrange $\mathcal{L}$ pour lesquelles la matrice Hessienne de $\mathcal{K}$, notée Hess $\mathcal{K}$, est définie positive sur $V$. On peut se ramener à une base locale, notée encore $\{e_\nu\}$ pour laquelle

$$
\frac{\partial^2 \mathcal{K} (s^0, \dots, s^m)}{\partial s^i \partial s^j} = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq j \\ \lambda_i^2 & \text{si } i = j \end{cases},
$$

où $\lambda_i$ est une $\mathcal{C}^\infty$-application sur $U$, non nulle. On en déduit que, si on pose

$$
\mathbf{S}^{\alpha} = \mathbf{S}^{\alpha\nu} (s^0, \dots, s^m) e_{\nu}
$$

on a

$$
\frac{\partial^2 \mathcal{L} (\mathbf{S}^0, \mathbf{S}^1, \dots, \mathbf{S}^{n-1})}{\partial s^i \partial s^j} = \sum_{\alpha, \beta} \frac{\partial^2 \mathcal{L} (\mathbf{S}^0, \mathbf{S}^1, \dots, \mathbf{S}^{n-1})}{\partial \mathbf{S}^\beta \partial \mathbf{S}^\alpha} \frac{\partial \mathbf{S}^\beta}{\partial s^i} \frac{\partial \mathbf{S}^\alpha}{\partial s^j} + \sum_\alpha \frac{\partial \mathcal{L} (\mathbf{S}^0, \mathbf{S}^1, \dots, \mathbf{S}^{n-1})}{\partial \mathbf{S}^\alpha} \frac{\partial^2 \mathbf{S}^\alpha}{\partial s^i \partial s^j},
$$

et

**Theorem 33.** Il existe une base locale $\{e_\nu\}$ et une famille de $\mathcal{C}^\infty$-applications $\{\lambda_\nu\}$, non nulles sur $U$, pour lesquelles la densité Lagrangienne $\mathcal{L}$ vérifie le principe de moindre action si

$$
\mathbf{S}^{\alpha} = \mathbf{S}^{\alpha\nu} (s^0, \dots, s^m) e_{\nu}
$$

alors

$$
\mathbf{S}^{(k+1)\nu} (s^0, \dots, s^m) = \partial_0 \mathbf{S}^{k\nu} (s^0, \dots, s^m) + \mathbf{S}^{k\mu} (s^0, \dots, s^m) \Gamma_{0\mu}^{\nu},
$$

$\Gamma_{0\mu}^{\nu}$ sont les coefficients de Christoffel de la connexion $\nabla$ dans la base $\{e_\nu\}$ et

$$
\sum_{\alpha, \beta} \frac{\partial^2 \mathcal{L} (\mathbf{S}^0, \mathbf{S}^1, \dots, \mathbf{S}^{n-1})}{\partial \mathbf{S}^\beta \partial \mathbf{S}^\alpha} \frac{\partial \mathbf{S}^\beta}{\partial s^i} \frac{\partial \mathbf{S}^\alpha}{\partial s^j} + \sum_{\alpha} \frac{\partial \mathcal{L} (\mathbf{S}^0, \mathbf{S}^1, \dots, \mathbf{S}^{n-1})}{\partial \mathbf{S}^\alpha} \frac{\partial^2 \mathbf{S}^\alpha}{\partial s^i \partial s^j} = \lambda_i \lambda_j \delta_{ij}. \qquad (7.19)
$$
**Remark 55.**

$$ 
\begin{gather*}
\mathbf{S}^{\alpha+1} = \partial_0 \mathbf{S}^{\alpha} + \Gamma_0 (\mathbf{S}^{\alpha}), \quad \Gamma_0 (\mathbf{S}^{\alpha}) = \mathbf{S}^{\alpha\mu} (s^0, \dots, s^m) \Gamma_{0\mu}^{\nu} e_{\nu} \\
\Gamma_0 (\mathbf{S}^{\alpha}) = \Gamma_0^{\nu} (\mathbf{S}^{\alpha}) e_{\nu}
\end{gather*}
$$

où $\Gamma_0^{\nu}$ est la forme différentielle

$$ \Gamma_0^{\nu} = \Gamma_{0\mu}^{\nu} d^{\mu}, $$

pour $\mathbf{S}^0 = \mathbf{S}$ alors

$$ \mathbf{S}^1 = \partial_0 \mathbf{S} + \Gamma_0 (\mathbf{S}) $$

et

$$ \mathbf{S}^2 = \partial_0^2 \mathbf{S} + \{\partial_0, \Gamma_0\} \mathbf{S} + \Gamma_0^2 \mathbf{S}. $$

La connexion d'Einstein sur le fibré des (2,0)-tenseurs sur $\Omega$, d'espace total $\Lambda^2(\Omega)$, est une connexion $\nabla$ pour laquelle la $C^\infty$-application définie pour au moins un champ $T$, vérifie

$$ \mathcal{L} \circ \nabla_2^T (g) = K \sqrt{-\det g} R, \qquad (7.20) $$

où $R$ est la courbure scalaire de $g$, $\det g$ est le déterminant de la métrique Lorentzienne $g$ et $K$ est une constante.

**Remark 56.** On est amené à faire une hypothèse plus forte si on veut calculer la connexion d'Einstein, on va supposer que pour tout champ $T$, l'équation 7.20 est vraie.

Si le champ $T$ est un champ chronologique de $g$, on dit que $g$ est munit d'une orientation temporelle. L'équation 7.20 s'écrit

$$ \mathcal{L}(g, \nabla_T(g), \nabla_T^2(g)) = K \sqrt{-\det g} R $$

$$ \mathcal{L}(g, \partial_T g + \Gamma_0(g), \partial_T^2 g + \{\partial_T, \Gamma_T\} g + \Gamma_T^2(g)) = K \sqrt{-\det g} R $$

l'opérateur $\partial_T$ est défini par

$$ \partial_T s = \partial_T (s_{\mu\nu}) d^{\mu\nu} $$

et $\Gamma_T$ est défini par

$$ \Gamma_T(s) = s_{\mu\nu} \nabla_T (d^\mu \otimes d^\nu). \qquad (7.21) $$

Si on pose

$$ \mathcal{K}(g) = \mathcal{L}(g, \partial_T g + \Gamma_0(g), \partial_T^2 g + \{\partial_T, \Gamma_T\} g + \Gamma_T^2(g)) $$

la matrice Hessienne de $\mathcal{K}$ dans la base

$$ \{d^\mu \otimes d^\nu\} $$

notée

$\text{Hess}(\mathcal{K})$

est définie positive. On regarde l'équation 7.21, on admet que pour tout champ $T$,

$$ \mathcal{L}(g, \nabla_T(g), \nabla_T^2(g)) $$

minimalise l'action, les coefficients de Christoffel de la connexion $\nabla$ dans le "local frame" sont donnés par

$$ \nabla_{\partial_{\tau}} (d^{\mu} \otimes d^{\nu}) = \Gamma^{\mu\nu}_{\tau\alpha\beta} d^{\alpha} \otimes d^{\beta}, $$

si la connexion $\nabla$ est définie par une connexion initiale sur $\Omega$ alors en utilisant ??

$$ \Gamma^{\sigma\tau}_{\beta\gamma\nu} = -(\Gamma^{\sigma}_{\beta\gamma} + \Gamma^{\tau}_{\beta\gamma}), $$
$\Gamma_{\sigma\beta}^{\mu}$ représentent les symboles de la connexion initale $\nabla_{initial}$.

**Remark 57.** La connexion de Dirac, notée $\nabla_{dirac}$, est une connexion définie sur le fibré tangent $T\Omega \otimes \mathbb{C}$. On peut faire l'hypothèse suivante, si le complexifié de la connexion $\nabla$ définie sur le fibré d'espace total $T^{2,0}\Omega$ est définie à partir d'une connexion initale $\nabla_{initial}$ qui est une connexion définie sur le fibré tangent complexifié d'espace total $T\Omega \otimes \mathbb{C}$ alors

$$ \nabla_{dirac} = \nabla_{initial}. $$

Cette hypothèse, si elle s'avère exacte permet, en "un certain sens", de relier les théories physiques quantique et relativiste. Pour formuler cette hypothèse de façon imagée, on peut dire que le complexifié de la connexion d'Einstein est le carré tensoriel de la connexion duale de Dirac. Symboliquement,

$$ \nabla_{einstein} \oplus i \nabla_{einstein} = \nabla_{dirac}^{* \otimes 2}. $$

Une fois que l'on a fait cette hypothèse, on a des sections de Dirac $\{\gamma^{\nu}\}$ associées à l'équation de Dirac 7.9. On peut étendre ces sections de Dirac sur $T^{2,0}\Omega$, elles vérifient les équations ?? et sont de la forme

$$ \tilde{\gamma}^d = (\gamma^d)^* \otimes (\gamma^d)^*, $$

$\tilde{\gamma}$ représente la section de Dirac étendue aux (2,0)-tenseurs de la section de Dirac $\gamma$. On a

$$ \Gamma_{\beta\gamma\nu}^{\sigma\tau} = -(\Gamma_{\beta\gamma}^{\sigma} + \Gamma_{\beta\nu}^{\tau}), $$

et

$$ \gamma_{\rho\sigma}^{\mu\nu\tau} = \gamma_{\rho}^{\mu\nu} \gamma_{\sigma}^{\mu\tau}, $$

le hamiltonien de rang 1 s'écrit

$$ H_1 (g_{\sigma\rho} d^{\sigma} \otimes d^{\rho}) = \gamma_{\rho}^{\mu\nu} \gamma_{\sigma}^{\mu\tau} (\partial_{\mu} g_{\nu\tau} - g_{\alpha\beta} (\Gamma_{\mu\nu}^{\alpha} + \Gamma_{\mu\tau}^{\beta})) d^{\sigma} \otimes d^{\rho} \quad (7.22) $$

et le Hamiltonien de rang 2 s'écrit

$$ H_2 (g_{j_1 j_2} d^{j_1} \otimes d^{j_2}) = (\Delta_{j_1 j_2}^{k_1 k_2} + \Upsilon_{j_1 j_2}^{k_1 k_2}) g_{k_1 k_2} d^{j_1} \otimes d^{j_2} $$

où

$$
\begin{align*}
\Delta_{j_1 j_2}^{k_1 k_2} &= (\gamma_{j_1 j_2}^{\nu \sigma_1 \sigma_2} \gamma_{\sigma_1 \sigma_2}^{\mu k_1 k_2} - \gamma_{j_1 j_2}^{\mu \sigma_1 \sigma_2} \gamma_{\sigma_1 \sigma_2}^{\nu k_1 k_2}) \partial_{\mu} \partial_{\nu} \\
&= (\gamma_{j_1}^{\nu \sigma_1} \gamma_{j_2}^{\nu \sigma_2} \gamma_{\sigma_1}^{\mu k_1} \gamma_{\sigma_2}^{\mu k_2} - \gamma_{j_1}^{\mu \sigma_1} \gamma_{j_2}^{\mu \sigma_2} \gamma_{\sigma_1}^{\nu k_1} \gamma_{\sigma_2}^{\nu k_2}) \partial_{\mu} \partial_{\nu} \\
&= ([\gamma_{j_1}^{\nu \sigma_1} \gamma_{\sigma_1}^{\mu k_1}] [\gamma_{j_2}^{\nu \sigma_2} \gamma_{\sigma_2}^{\mu k_2}] - [\gamma_{j_1}^{\mu \sigma_1} \gamma_{\sigma_1}^{\nu k_1}] [\gamma_{j_2}^{\nu \sigma_2} \gamma_{\sigma_2}^{\mu k_2}]) \partial_{\mu} \partial_{\nu} \\
&= ((\gamma^{\nu} \gamma^{\mu})_{j_1}^{k_1} (\gamma^{\nu} \gamma^{\mu})_{j_2}^{k_2} - (\gamma^{\mu} \gamma^{\nu})_{j_1}^{k_1} (\gamma^{\mu} \gamma^{\nu})_{j_2}^{k_2}) \partial_{\mu} \partial_{\nu} \\
&= \begin{vmatrix} (\gamma^{\nu} \gamma^{\mu})_{j_1}^{k_1} & (\gamma^{\mu} \gamma^{\nu})_{j_2}^{k_2} \\ (\gamma^{\mu} \gamma^{\nu})_{j_1}^{k_1} & (\gamma^{\nu} \gamma^{\mu})_{j_2}^{k_2} \end{vmatrix} \partial_{\mu} \partial_{\nu} \\
&\qquad (\gamma^{\nu})_{\beta}^{\alpha} = \gamma^{\nu \alpha}
\end{align*}
$$

et

$$ \Upsilon_{\alpha_1 \alpha_2}^{k_1 k_2} = (\gamma_{j_1}^{\nu \sigma_1} \gamma_{j_2}^{\nu \sigma_2} \gamma_{\sigma_1}^{\mu k_1} \gamma_{\sigma_2}^{\mu k_2} - \gamma_{j_1}^{\mu \sigma_1} \gamma_{j_2}^{\mu \sigma_2} \gamma_{\sigma_1}^{\nu k_1} \gamma_{\sigma_2}^{\nu k_2}) (\partial_{\mu} \Gamma_{\alpha_1 \alpha_2 \nu}^{j_1 j_2} - \Gamma_{\alpha_1 \alpha_2 \mu}^{\beta_1 \beta_2} \Gamma_{\beta_1 \beta_2 \nu}^{j_1 j_2}), $$

avec

$$
\begin{align*}
\Gamma_{\alpha_1 \alpha_2 \mu}^{\beta_1 \beta_2} \Gamma_{\beta_1 \beta_2 \nu}^{j_1 j_2} &= (\Gamma_{\alpha_1 \alpha_2}^{\beta_1} + \Gamma_{\alpha_1 \mu}^{\beta_2}) (\Gamma_{\beta_1 \beta_2}^{j_1} + \Gamma_{\beta_1 \nu}^{j_2}), \\
\partial_{\mu} \Gamma_{\alpha_1 \alpha_2 \nu}^{j_1 j_2} &= -\partial_{\mu} \Gamma_{\alpha_1 \alpha_2}^{j_1} - \partial_{\mu} \Gamma_{\alpha_1 \nu}^{j_2},
\end{align*}
$$
et

$$ \Upsilon_{\alpha_1 \alpha_2}^{k_1 k_2} = \begin{vmatrix} (\gamma^\nu \gamma^\mu)^{k_1}_{j_1} & (\gamma^\mu \gamma^\nu)^{k_2}_{j_2} \\ (\gamma^\mu \gamma^\nu)^{k_1}_{j_1} & (\gamma^\nu \gamma^\mu)^{k_2}_{j_2} \end{vmatrix} \begin{pmatrix} -\partial_\mu \Gamma^j_{\alpha_1 \alpha_2} & -\partial_\mu \Gamma^j_{\alpha_1 \nu} \\ (\Gamma^\beta_{\alpha_1 \alpha_2} + \Gamma^\beta_{\alpha_1 \mu}) & (\Gamma^j_{\beta_1 \beta_2} + \Gamma^j_{\beta_1 \nu}) \end{pmatrix} $$

$$ \begin{aligned} H_2 (g_{j_1 j_2} d^{j_1} \otimes d^{j_2}) &= \begin{vmatrix} (\gamma^\nu \gamma^\mu)^{k_1}_{j_1} & (\gamma^\mu \gamma^\nu)^{k_2}_{j_2} \\ (\gamma^\mu \gamma^\nu)^{k_1}_{j_1} & (\gamma^\nu \gamma^\mu)^{k_2}_{j_2} \end{vmatrix} \\ & \quad \times \begin{pmatrix} 1 - \partial_\mu \Gamma^j_{\alpha_1 \alpha_2} - \partial_\mu \Gamma^j_{\alpha_1 \nu} \\ + (\Gamma^\beta_{\alpha_1 \alpha_2} + \Gamma^\beta_{\alpha_1 \mu}) (\Gamma^j_{\beta_1 \beta_2} + \Gamma^j_{\beta_1 \nu}) \end{pmatrix} g_{k_1 k_2} d^{j_1} \otimes d^{j_2} \\ &= H^{k_1 k_2}_{j_1 j_2} g_{k_1 k_2} d^{j_1} \otimes d^{j_2}. \end{aligned} \quad (7.23) $$

On peut définir à l'aide de ces Halmitoniens des équations d'état et d'évolution de rang 1 et 2. Cette équation permet de définir à partir d'une connexion de Dirac, une connexion d'Einstein pour laquelle le principe de moindre action relativiste est vrai. Les sections de Dirac $\gamma$ associées à la connexion $\nabla_{\text{dirac}}$ s'étendent en des sections de Dirac $\tilde{\gamma}$ sur le fibré des (2,0)-tenseurs d'espace total $\Lambda^2\Omega$, les hamiltoniens de rang 1 et 2 définis par

$$ H_1 = \tilde{\gamma} \otimes \nabla^{*\otimes 2}_{\text{dirac}} \text{ et } H_2 = \tilde{\gamma} \otimes R^{\nabla^{*\otimes 2}} $$

permettent de définir des équations d'évolution et d'états de rang 1 et 2.

La courbure scalaire $R$ d'une métrique Lorentzienne $g$ est de la forme

$$ R = \frac{\mathcal{L}(g, \partial_T g + \Gamma_T(g), \partial_T^2 g + \{\partial_T, \Gamma_T\} g + \Gamma_T^2(g))}{K\sqrt{-\det g}}, \quad K = -\frac{c^3}{4\pi G} \quad (7.24) $$

où $\mathcal{L}$ est une densité Lagrangienne de rang 2 sur le fibré des (2,0)-tenseurs et $T$ est un champ local sur $U \subset \Omega$. On en déduit que pour une courbure scalaire fixée $R$ localement sur $U$, l'application de $\Gamma^\infty(U) \times \mathcal{M}_{\text{Lorentz}}$ à valeurs dans $C^\infty(U, \mathbb{R})$

$$ (T, g) \to \mathcal{R}(T, g) = \frac{\mathcal{L}(g, \partial_T g + \Gamma_T(g), \partial_T^2 g + \{\partial_T, \Gamma_T\} g + \Gamma_T^2(g))}{K\sqrt{-\det g}}, $$

où $\mathcal{M}_{\text{Lorentz}}$ est l'ensemble des métriques de Lorentz, est constante comme fonction des champs, pour la métrique de Lorentz $g$ fixée qui lui est associée. Les métriques de Lorentz qui vérifie le principe de moindre action, sont les métriques $g$ telles que

$$ \frac{\partial \mathcal{R}(T, g)}{\partial T} = 0. $$

Cela permet de définir les métriques de Lorentz $g$, de courbure scalaire $R$ fixée dont la connexion d'Einstein est le carré tensoriel du dual de la connexion de Dirac. Si on veut que la courbure scalaire $R$ soit constante, on est ramené au problème de Yamabe [16].

## 8. CONCLUSION

On a voulu, dans cet article, écrire de façon unitaire l'équation relativiste de Dirac et l'équation relativiste d'Einstein. On remarque que les solutions de l'équation relativiste d'Einstein sont dans les sections du fibré $T^{2,0}\Omega$ et celles de l'équation de Dirac sont dans les sections du complexifié du fibré tangent $T\Omega$, on est amené à construire la notion d'opérateurs de Dirac-Einstein de rang $n$ et les notions d'équation
d'état et d'évolution pour ces opérateurs. Cela nous permet de déterminer une relation entre l'équation relativiste d'Einstein et l'équation relativiste de Dirac.

Si on s'intéresse à une seule particule, on a un procédé de quantification simple que l'on a appelé la (∇, γ)-quantification et dans le cas d'une infinité de particules, on a construit les fibrés de Bose-Fock et de Fermi-Fock associés au fibré des états. Cette construction permet de quantifier la connexion ∇ définie sur le fibré des états, ainsi que les endomorphismes de Dirac γ^d.

Les champs de divergence nulle et les champs en cordes permettent de quantifier les énergies. Pour étudier ces champs, on peut traiter le problème de façon analytique à l'aide de la théorie spectrale de Von Neumann pour l'opérateur défini par la dérivée de Lie le long du champ à étudier, l'autre méthode est géométrique et fait appel à la théorie des surfaces fermées. Quand on étudie la physique des particules de l'univers, une question primordiale s'impose, peut-on modéliser géométriquement cet univers. Je pense que la réponse à cette représentation est loin d'être élucidée, mais on peut imaginer plusieurs représentations locales complémentaires en étudiant l'état, par exemple, entropique de l'univers. Ainsi, on peut définir une notion de chronologie entropique indépendante de la notion de temps et qui permet de modéler l'univers par chirurgies successives. L'étude des points à l'infini de l'univers peut-être analysée en feuilletant localement l'univers, les points à l'infini sont des points de compression de ces feuilles espaces qui font disparaître la notion de temps. Pour les lacets à l'infini et les surfaces fermées à l'infini on va faire disparaître des dimensions d'espace supplémentaires.

Par la suite, je me suis intéressé à la complexification des dimensions. Cette approche a été, déjà développée par certains auteurs mais la construction proposée est nouvelle. Cette complexification permet de donner une représentation symétrique entre la notion de temps et d'espace, le temps est la partie imaginaire d'une dimension complexe et les dimensions espaces sont les parties réelles de ces dimensions complexes. Les problèmes posés par la physique m'ont permis de développer plusieurs théories mathématiques, par exemple, la notion de distribution dans les fibrés des états dont le produit hermitien est parallèle à la connexion. D'autres exemples, la notion de moindre action le long d'un champ, la quantification des fibrés hermitiens et la notion d'espace de Sobolev dans les fibrés hermitiens, etc....

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