ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL

ALI BENHISSI

La clôture algébrique du corps des séries formelles

*Annales mathématiques Blaise Pascal*, tome 2, n° 2 (1995), p. 1-14

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# LA CLÔTURE ALGÉBRIQUE DU CORPS DES SÉRIES FORMELLES

Ali Benhissi

## § 0. Introduction :

Soient $K$ un corps commutatif et $K((T))$ le corps des séries formelles.
Si $K$ est de caractéristique nulle, le théorème de Puiseux, lorsque $K$ est algébriquement clos et
un résultat démontré par P. Ribenboim et L. Van Den Dries [8] dans le cas général, donnent
une description simple de la clôture algébrique de $K((T))$.

Dans [5] et [6], F.J. Rayner généralise le théorème de Puiseux pour le corps des séries formelles généralisées et étudie le cas de plusieurs variables. Le lecteur trouve dans l'exposé de B.Diarra [4], des démonstrations détaillées des résultats de Rayner, illustrés par des exemples.

L'objet de ce travail est la construction d'une clôture algébrique $\overline{K((T))}$ de $K((T))$ lorsque $K$ est de caractéristique p non nulle. Supposons pour simplifier que $K$ est algébriquement clos.
On met en évidence certains corps algébriquement clos contenant $K((T))$ à savoir $K((T^Q))$ et $K((T^{Q,P}))$. Mais ces corps contiennent des éléments transcendants sur $K((T))$.

On montre que cette clôture dépend uniquement de la décomposition de certains polynômes de la forme : $X^p - X -a$, et qu'elle peut être obtenue à partir de $K((T^\infty))$ comme limite d'une suite strictement croissante d'extensions galoisiennes construites l'une à partir de l'autre par adjonction des racines des polynômes du type précédent. On démontre que les corps $\overline{K((T))}$ et $K((T^Q))$ sont isomorphes et que $\overline{K((T))}$ et $K$ sont aussi isomorphes dès que $|K|^{\aleph_0} = |K|$.

Par construction de séries de $K((T^{Q,P}))$ algébriques sur $K((T))$ et d'autres séries transcendantes sur $K((T))$ et ayant mêmes supports que les précédentes, on montre que $\overline{K((T))}$ ne peut pas s'exprimer uniquement en termes de support, qu'un analogue du théorème de Puiseux ne peut pas exister lorsque la caractéristique de $K$ est non nulle et qu'il n'existe pas de description simple de $\overline{K((T))}$.
On s'est efforcé d'illustrer notre travail de nombreux exemples.

## §1. Préliminaires :

Si $K$ est un corps, on désigne par $K((T^Q))$ le corps des séries formelles à supports bien ordonnés dans $\mathbb{Q}$. Si $K$ est algébriquement clos, il en est de même de $K((T^Q))$.

On distingue en particulier le corps $K((T^{1/\infty})) = \cup K((T^n))$ des séries de Puiseux.

On a : $K((T^n)) = K((T)) (T^n)$. Ce qui montre que $K((T^\infty))$ est une extension algébrique de $K((T))$.

En caractéristique p non nulle, le corps $K((T^{1/p}))$ n'est pas algébriquement clos, comme le montre les exemples suivants.
**1.1. Exemples :**

a) La série : $f = \sum_{i=1}^{\infty} T^i p^i$ satisfait l'équation : $f^p - f - T^{-1} = 0, (n \in \mathbb{N}^*)$.

b) La série : $f = \sum_{i=1}^{\infty} T^{\frac{-n}{mp^i}}$ satisfait l'équation : $f^p - f - T^{\frac{-n}{m}} = 0, (m, n \in \mathbb{N}^*)$.

c) La série : $\sum_{i=0}^{\infty} T^{i} p^{i}$ satisfait l'équation : $f^p - T^p - 1 = 0$.

d) Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose : $\rho_n = \frac{p^{n+1} - 1}{(p-1)p^{n+1}}$, la série : $f = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n T^{\rho_n}$ vérifie l'équation : $f^p + Tf - T = 0$.

**1.2. Lemme :**

Si $L/K$ est une extension de degré fini, alors $[L((T)) : K((T))] = [L : K]$.

**Démonstration :**

Une base du $K$-espace vectoriel $L$ est aussi une base du $K((T))$-espace vectoriel $L((T))$.

**1.3. Lemme :**

Soit $(K,v)$ un corps valué hensélien, de corps résiduel $\Lambda$ algébriquement clos et de même caractéristique que $K$, et de groupe de valeurs $G$ divisible.

Alors toute extension finie de $K$ est de degré égal à une puissance de l'exposant caractéristique $p$ de $K$ (ou $\Lambda$).

En particulier, si $K$ est de caractéristique nulle, il est alors algébriquement clos.

**Démonstration :**

Soit $M$ une extension finie de $K$.

Si $p=1$, alors $K$ est de caractéristique nulle et l'extension $M/K$ est séparable.

Si $p \neq 1$, alors il existe un sous-corps $N$ de $M$ contenant $K$ tel que : l'extension $N/K$ soit séparable et l'extension $M/N$ soit purement inséparable. L'extension $M/N$ est de degré égal à une puissance de $p$. Il suffit donc de montrer la propriété pour l'extension $N/K$.

On se ramène ainsi à une extension séparable qu'on note $M/K$. Soit $L$ la clôture galoisienne de cette extension. Il suffit de montrer la propriété pour l'extension $L/K$. Posons $[L:K] = n$.

Soient $\tilde{v}$ un prolongement quelconque de $v$ à $L$, $\tilde{\Lambda}$ son corps résiduel, $\tilde{G}$ son groupe de valeurs et $g$ le nombre de prolongements non équivalents de $v$ à $L$. Posons : $f = [\tilde{\Lambda} : \tilde{\Lambda}]$ et $e = [\tilde{G} : G]$. D'après [11] cor. du th. 25 page 78, le produit efg divise $n$ et le quotient $n/efg$ est une puissance de $p$. Comme $(K,v)$ est hensélien : $g=1$, comme $\Lambda$ est algébriquement clos : $f=1$ et comme $G$ est divisible alors : $e=1$. D'où le résultat.

**1.4. Remarque :**

Le lemme est encore vrai si on remplace l'hypothèse : $\Lambda$ algébriquement clos par toute
extension finie de $\Lambda$ est de degré égal à une puissance de $p$.

## § 2. Exemples :

Dans [5], Rayner a montré que si $K$ est un corps algébriquement clos de caractéristique $p$ non nulle, alors il existe dans $K((T^q))$ un sous-corps propre algébriquement clos contenant $K((T))$.

Ce corps est noté $K((T^{\mathbb{Q},p}))$ et est formé par les séries formelles de la forme :

$$f(T) = \sum_{u \in \mathbb{Q}} a_u T^{\frac{s_*}{mp^*}}, \text{ où } m \in \mathbb{N}^*, n_u \in \mathbb{N}, s_u \in \mathbb{Z}.$$

Remarquons que les exemples 1.1 appartiennent à $K((T^{\mathbb{Q},p}))$.

### 2.1. Proposition (D.STEFANESCU [9] et [10]) :

Soient $K$ un corps commutatif de caractéristique $p$ non nulle, $s \in \mathbb{Z}^*$ tels que

$$(s,p) = 1, i_0 \in \mathbb{Z}, m \in \mathbb{N}^* \text{ et } f = \sum_{i: i_0}^{\infty} a_i T^{\frac{s}{mp^i}} \text{ une série de } K((T^{\mathbb{Q},p})).$$

Alors $f$ est algébrique sur $K((T))$ si et seulement si il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que le système linéaire homogène à $(n+1)$ indéterminées et une infinité d'équations :

$$\sum_{t: 0}^{n} a_{i+t}^{p^t} Y_t = 0, \quad i \ge \max(1, i_0) \quad (*)$$

admette au moins une solution non triviale dans $K$.

### 2.2. Exemples :

Soit $K$ un corps commutatif de caractéristique $p$ non nulle. On va construire à l'aide de cette proposition, des séries de $K((T^{\mathbb{Q},p}))$ transcendantes sur $K((T))$.

Soient $s$ dans $\mathbb{Z}^*$ et $m$ dans $\mathbb{N}^*$.

1) Soient $v$ une application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ telle que :

$$\lim_{i \to +\infty} (v(i) - v(i-1)) = +\infty \text{ et } (a_{v(i)})_{i \in \mathbb{N}} \text{ une suite d'éléments non nuls de } K.$$

$$\text{Alors la série : } f(T) = \sum_{i: 0}^{\infty} a_{v(i)} T^{\frac{s}{mp^{v(i)}}} \text{ de } K((T^{\mathbb{Q},p})) \text{ est transcendante sur } K((T)).$$

$$\text{En effet : on peut mettre } f(T) \text{ sous la forme : } f(T) = \sum_{i: 0}^{\infty} a_i T^{\frac{s}{mp^i}} \text{ avec } a_i = 0 \text{ si } i \in v(\mathbb{N}).$$

Supposons que $f(T)$ soit algébrique sur $K((T))$.

$$\text{Alors il existe } n \text{ dans } \mathbb{N}^* \text{ tel que le système : } \sum_{t: 0}^{n} a_{i+t}^{p^t} Y_t = 0 \quad (i \in \mathbb{N}^*) \quad (*) ,$$

de la proposition précédente, admette une solution non triviale dans $K : Y_0 = c_0, \dots, Y_n = c_n$
On peut supposer que $c_n$ n'est pas nul.

Comme : $\lim (v(i) - v(i-1)) = +\infty$, il existe m dans $\mathbb{N}^*$ tel que : $n < v(m) - v(m-1)$.

On pose : $i = v(m) - n$ : entier naturel non nul.

On a : $v(m-1) < v(m) - n = i < i+1 < \dots < i+n-1 < i+n = v(m)$.

Donc : $a_i = a_{i+1} = \dots = a_{i+n-1} = 0$, alors que : $a_{i+n} = a_{v(m)}$ n'est pas nul.

Le système (*) donne : $0 < c_0 + \dots + 0^{p_i^{n-1}} < c_{n-1} + a_{i+n}^n < c_n = 0$, ou encore : $a_{v(m)}^n < c_n = 0$, ce qui n'est pas possible. Donc $f(T)$ est transcendante sur $K((T))$.

Donnons les exemples suivants :

$$ \alpha) v(i) = qi! \quad \text{où } q \in \mathbb{N}^* : f(T) = \sum_{i=0}^{\infty} a_{qi}! T^{\frac{s}{mp^i}} $$

$$ \beta) v(i) = i^r \quad \text{où } r \ge 2 : f(T) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i T^{\frac{s}{mp^r}} $$

$$ \gamma) v(i) = r^i \quad \text{où } r \ge 2 : f(T) = \sum_{i=0}^{\infty} a_r T^{\frac{s}{mp^r}} $$

L'exemple $\alpha$ généralise le lemme 1.1. a) de [9].

Remarquons que les hypothèses sur $v$ peuvent être affaiblies de la façon suivante : $v$ est une application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ telle que :

Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, il existe $m$ dans $\mathbb{N}$ vérifiant : $n < v(m) - v(m-1)$. (i.e. $(v(i))_{i \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite extraite notée $(v(m_i))_{i \in \mathbb{N}}$ vérifiant : $\lim (v(m_i) - v(m_{i-1})) = +\infty$).

2) Soient $k$ un corps commutatif de caractéristique $p$ non nulle, $(X_i)_{i \in \mathbb{N}}$ une suite d'indéterminées sur $k$ et $K$ une clôture algébrique de $k$ $(X_i)_{i \in \mathbb{N}}$ : corps des fractions rationnelles en ces indéterminées sur $k$.

Alors la série : $f(T) = \sum_{i=1}^{\infty} X_i T^{\frac{s}{mp^i}}$ de $K((T^{\mathbb{Q},P}))$ est transcendante sur $K((T))$.

En effet : supposons que $f(T)$ soit algébrique sur $K((T))$.

Alors il existe $n$ dans $\mathbb{N}^*$ tel que le système : $\sum_{i=0}^{n} X_{i+1}^{p_i} Y_i = 0$ $(i \in \mathbb{N}^*)$ $(*)$,

à une infinité d'équations et un nombre fini : $Y_0, \dots, Y_n$ d'inconnues admette une solution non triviale dans $K$.

Prenons successivement les indices : $i=1, i=n+2, i=2n+3, \dots, i=n^2+n+1$.

On passe d'une valeur à l'autre en ajoutant $n+1$.

On obtient le sous-système de (*) formé de $(n+1)$ équations et $(n+1)$ inconnues : $Y_0, \dots, Y_n$.

Ce système doit admettre une solution non triviale dans $K$.
$$ = X^{1+2p+3p^2+...+(n+1)p^n} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ X & X^p & X^p \\ X^2 & X^{2p} & X^{2p^2} \end{array} \begin{array}{c} \dots \\ \vdots \\ \dots \\ X^n & X^{np} & X^{np^2} \dots X^{np^n} \end{array} \right| $$

$$ = X^{1+2p+3p^2+...+(n+1)p^n} \cdot V(X, X^p, \dots, X^{p^n}) $$

où $V(X, X^p, \dots, X^{p^n})$ désigne le déterminant de Vondermonde.

$$ \text{D'où : } P(X) = X^{1+2p+3p^2+...+(n+1)p^n} \quad \text{II} \quad \sum_{0 \le i < j \le n} (X^{p_i} - X^{p_j}) \neq 0. $$

On remarque que le déterminant du sous-système précédent est égal à $P(x)$. Comme ce système admet une solution non triviale dans $K$, alors $P(x) = 0$. D'où $x$ est algébrique sur $\mathbb{F}_p$.

## 2.3. Remarques :

a) Soient $K$ un corps algébriquement clos de caractéristique $p$ non nulle et $\overline{K((T))}$ la clôture algébrique de $K((T))$ contenue dans $K((T^{\mathbb{Q},p}))$. Alors on a les inclusions strictes suivantes :
$$ K((T)) \subset K((T^{\frac{1}{p}})) \subset \overline{K((T))} \subset K((T^{\mathbb{Q},p})) $$

b) Soit $K$ un corps algébriquement clos. Lorsque $K$ est de caractéristique nulle, le théorème de Puiseux montre que la clôture algébrique de $K((T))$ s'exprime uniquement en termes de supports i.e.deux séries de même support sont toutes les deux algébriques ou toutes les deux transcendantes sur $K((T))$. Par contre lorsque $K$ est de caractéristique $p$ non nulle, les exemples (3) et (4) précédents montrent l'existence de deux séries de même support l'une algébrique et l'autre transcendante sur $K((T))$.

# § 3. Construction de la clôture algébrique de $K((T))$.

## 3.1. Théorème :

Soient $K$ un corps algébriquement clos et $\overline{K((T))}$ une clôture algébrique de $K((T))$ contenue dans $K((T^{\mathbb{Q}}))$. Alors :

1) Les corps $\overline{K((T))}$ et $K((T^{\mathbb{Q}}))$ sont isomorphes. Les deux corps ne peuvent pas être isomorphes en tant que corps valués munis de la valuation usuelle des séries formelles.

En caractéristique nulle, l'isomorphisme précédent s'écrit : $\overline{K((T))} = K((T^{\frac{1}{p}})) \cong K((T^{\mathbb{Q}}))$.

2) Les trois corps : $K$, $\overline{K((T))}$ et $K((T^{\mathbb{Q}}))$ sont isomorphes si et seulement si :
$$ (\text{card } K)^{\aleph_0} = \text{card } K. $$
**Démonstration :**

On a : $(\text{card } K)^{\aleph_0} = (\text{card } K)^{\text{card } \emptyset} = \text{card}(K^{\emptyset}) \ge \text{card } K((T^{\emptyset})) \ge \text{card } \overline{K((T))} \ge \\
\text{card } K((T)) = (\text{card } K)^{\aleph_0}$. D'où : $\text{card } K((T^{\emptyset})) = \text{card } \overline{K((T))} = (\text{card } K)^{\aleph_0} > \aleph_0$.

Soit $P = \begin{cases} \emptyset & \text{si la caractéristique de K est nulle.} \\ \mathbb{F}_p & \text{si la caractéristique de K est p non nulle.} \end{cases}$

1) Les corps $\overline{K((T))}$ et $K((T^{\emptyset}))$ sont algébriquement clos contenant strictement P.

Soit $B$ (resp. $B'$) une base de transcendance de $\overline{K((T))}$ (resp. $K((T^{\emptyset}))$) sur $P$.

D'après [2] chapitre 4, exercice 2 page 104, on a :

$\text{card } \overline{K((T))} = (\text{card } P) (\text{card } B)$ et $\text{card } K((T^{\emptyset})) = (\text{card } P) (\text{card } B')$,

ou encore : $(\text{card } K)^{\aleph_0} = \max(\aleph_0, \text{card } B)$ et $(\text{card } K)^{\aleph_0} = \max(\aleph_0, \text{card } B')$.

Donc : $\text{card } B = \text{card } B' = (\text{card } K)^{\aleph_0}$.

D'après [2] ch. 4, prop. 1, p. 108, on a isomorphisme entre les corps $\overline{K((T))}$ et $K((T^{\emptyset}))$.

D'après [3], cor. 12.7, p.95, le corps $K((T^{\emptyset}))$ est maximalement complet pour sa valuation

1/ usuelle $v$. D'autre part : $K((T^{\aleph_0}))$ est inclus dans $\overline{K((T))}$, donc le groupe de valeurs et le corps résiduel de $v$ sur $\overline{K((T))}$ sont $\emptyset$ et $K$ : identiques à ceux de $v$ sur $K((T^{\emptyset}))$.

Le corps $\overline{K((T))}$ est strictement inclus dans $K((T^{\emptyset}))$ à cause du théorème de Puiseux en caractéristique nulle et à cause des exemples 2. 2, en caractéristique non nulle.

Donc $K((T^{\emptyset}))$ est une extension immédiate propre de $\overline{K((T))}$, et par suite $\overline{K((T))}$ n'est pas maximalement complet. Ainsi $(K((T^{\emptyset}),v)$ et $(\overline{K((T))},v)$ ne peuvent pas être isomorphes.

En caractéristique nulle, grâce au théorème de Puiseux, on a : $\overline{K((T))} = K((T^{\aleph_0}))$.

2) Si les 3 corps sont isomorphes, alors :

$$\text{card } K = \text{card } \overline{K((T))} = \text{card } K((T^{\emptyset})) = (\text{card } K)^{\aleph_0}$$

Inversement, supposons : $(\text{card } K)^{\aleph_0} = \text{card } K$.

Les corps $K$ et $\overline{K((T))}$ sont algébriquement clos.

On a : $\text{card } K = (\text{card } K)^{\aleph_0} = \text{card } \overline{K((T))}$. Donc : $\text{card } K > \aleph_0$. Le corps $P$ est strictement inclus dans $K$.

Soit $B$ (resp. $B'$) une base de transcendance de $K$ (resp. $\overline{K((T))}$) sur $P$.

On a : $\text{card } K = (\text{card } P) (\text{card } B)$ et card $\overline{K((T))} = (\text{card } P) (\text{card } B')$,
ou encore : $\text{card } K = \max(\aleph_0, \text{card } B)$ et $\text{card } K = \max(\aleph_0, \text{card } B')$.

Donc : $\text{card } B = \text{card } B' = \text{card } K$. Les corps $K$ et $\overline{K((T))}$ sont isomorphes.

### 3.2. Théorème :

Soit $E$ un corps parfait de caractéristique $p$ non nulle et qui n'est pas algébriquement clos. On suppose que toute extension finie de $E$ est de degré égal à une puissance de $p$.
Soit $\Omega$ un surcorps de $E$ algébriquement clos. On définit la suite strictement croissante $(E_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de sous-corps de $\Omega$ par : $E_0 = E$, et pour tout entier $n \ge 1$, $E_n = E_{n-1} (\mathcal{P}^{-1}(E_{n-1}))$ où $\mathcal{P} : \Omega \to \Omega$ est l'opérateur d'Artin - Schreier.

$$x \longrightarrow x^p-x$$

Alors pour tout entier $n \ge 1$, le corps $E_n$ n'est pas une clôture algébrique de $E$, par contre

$$\bar{E} = \bigcup_{n:0}^{\infty} E_n \quad \text{est une clôture algébrique de } E.$$

## Démonstration :

Par récurrence : L'extension $E_1/E$ est galoisienne comme étant le corps de racines de famille de polynômes séparables et irréductibles : $X^p - X$-a de $E[X]$.

Si $\alpha$ est une racine de l'un des polynômes précédents et $\sigma$ un élément de $\text{Gal}(E_1/E)$, alors il existe $i \in \{0,...,p-1\}$ tels que : $\sigma(\alpha) = \alpha+i$, donc $\sigma^p(\alpha) = \alpha+pi = \alpha$.

Ainsi l'ordre de tout élément $\sigma$ de $\text{Gal}(E_1/E)$ est 1 ou p.

Supposons que $E_1$ soit une clôture algébrique de $E$. Puisque $E$ admet une extension cyclique de degré $p$, d'après le [7] p119, pour tout $m$ dans $\mathbb{N}^*$, $E$ admet une extension cyclique $F_m$ de degré $p^m$ contenue dans $E_1$.

Soit $\sigma_m$ un générateur du groupe cyclique : $\text{Gal}(F_m/E)$. Alors $\sigma_m$ est d'ordre $p^m$.

D'après [1] exercice 19 page 194, l'homomorphisme $\sigma_m$ de $F_m$ dans $E_1$, admet un prolongement $\tilde{\sigma}_m$ en un $\text{E-automorphisme de } E_1$. Donc $\tilde{\sigma}_m$ appartient à $\text{Gal}(E_1/E)$, il est donc d'ordre 1 ou p. Par suite l'ordre de $\sigma_m$ est au plus p. D'où une contradiction avec le fait que $\sigma_m$ est d'ordre $p^m$. On conclut que $E_1$ n'est pas une clôture algébrique de E.
On fait l'hypothèse de récurrence suivante : $E_n$ n'est pas une clôture algébrique de E. Il existe un polynôme irréductible $f(X)$ de $E[X]$ qui n'est pas complètement scindé dans $E_n$. Soit $F$ dans $\Omega$ le corps de racines de $f(X)$ sur $E$. Alors $F$ n'est pas contenu dans $E_n$. L'extension $F/E$ est galoisienne car le corps $E$ est parfait. Cette extension est finie. Elle est donc de degré égal à une puissance de $p$. Le groupe : $G = \text{Gal}(F/E)$ est un $p$-groupe. D'après un résultat de [7] page 52, il existe une chaîne de sous-groupes normaux de $G$ :

$$\{\text{id}\} = G_m \subset \dots \subset G_1 \subset G_0 = G \text{ telle que l'indice : } [G_i : G_{i+1}] = p.$$

En utilisant la correspondance galoisienne, on peut trouver une chaîne d'extensions :

$E = F_0 \subset F_1 \subset \dots \subset F_m = F$ telle que l'extension $F_{i+1}/F_i$ soit cyclique de degré $p$.

$F_{i+1}$ est donc le corps de racines d'un polynôme irréductible de la forme :

$$f_i(X) = X^p - X - a_i \text{ de } F_i[X], \text{ d'après [7] th 1, p 107.}$$
Par construction, on a : $F_1 \subset E_1$ ; $F_2 \subset E_2$ ; ... ; $F_m \subset E_m$.

On a donc : $F_1 \subset E_1 \subset E_n$ mais on ne peut pas avoir : $F_m \subset E_n$ car sinon on aura : $F \subset E_n$, ce
qui n'est pas possible.

Soit i dans $\{1, \dots, m-1\}$ le plus grand indice tel que : $F_i \subset E_n$ et $F_{i+1} \not\subset E_n$.

On a : $f_i(X) = X^P - X - a_i \in F_i[X] \subset E_n[X]$, mais le corps $F_{i+1}$ des racines de $f_i(X)$ sur $F_i$ n'est pas contenu dans $E_n$. Donc d'après [7] th.1, p.107 le polynôme $f_i(X)$ est irréductible sur $E_n$.

D'après ce même théorème, le corps $E_n$ admet une extension cyclique de degré p et par suite
des extensions cycliques ayant pour degrés toutes les puissances de p.

Puisque $E_{n+1}$ est obtenu par adjonction à $E_n$ des racines des polynômes : $X^P - X - a$ de $E_n[X]$ on montre d'une façon analogue au cas $n=1$ que $E_{n+1}$ n'est pas une clôture algébrique de $E_n$.
Donc $E_{n+1}$ n'est pas une clôture algébrique de $E$.

D'autre part, par construction, le corps $\overline{E}$ est algébrique sur $E$.

Soient $f(X)$ un polynôme de $E[X]$ et $F$ son corps de racines de $E$. Alors l'extension $F/E$ est
galoisienne car $E$ est parfait, et son degré est une puissance de $p$ par hypothèse.

Comme précédemment, on se ramène à construire une chaîne d'extensions cycliques de degré p toutes contenues dans $\overline{E}$.

Ainsi $F$ est inclus dans $\overline{E}$, et par suite $\overline{E}$ est une clôture algébrique de $E$.

### 3.3. Corollaire :

Soit $K$ un corps de caractéristique $p$ non nulle et de clôture algébrique $\overline{K}$.

$$
\text{On pose : } E = \bigcup_{\substack{K \subset L \subset \overline{K}, n \in \mathbb{N} \\ \text{fini}}} L^{\frac{1}{p^n}}((T^{\frac{1}{\infty}}))
$$

Alors la clôture algébrique de $K((T))$ contenue dans $\overline{K}((T^\mathbb{Q}))$ est égale à

$$
\overline{E} = \bigcup_{n:0}^{\infty} E_n, \text{ où } E_0 = E \text{ et pour } n \ge 1, E_n = E_{n-1} (\mathcal{P}^{-1}(E_{n-1})), \text{ avec } \mathcal{P} \text{ l'opérateur} \\
\text{d'Artin-Schreier du corps } \overline{K}((T^\mathbb{Q})).
$$

### Démonstration :

Le corps $E$ est algébrique sur $K((T))$. En effet, pour tout corps $L$ et tout entier naturel non nul $n$, le corps $L^{\mathcal{P}^n}((T^{\frac{1}{\infty}}))$ est algébrique sur $L((T^{\frac{1}{\infty}}))$ car si $f(T) = \sum_{i \ge 0} a_i T^{\frac{i}{m}}$ est une série de

$L^{\mathcal{P}^n}((T^{\frac{1}{\infty}}))$, alors pour tout $i \ge i_0$, l'élément $a_i^{\mathcal{P}^n}$ appartient à $L$ et par conséquent :

$$
(f(T))^{\mathcal{P}^n} = \sum_{i \ge i_0} a_i^{\mathcal{P}^n} T^{\frac{i}{m}} \text{ appartient à } L((T^{\frac{1}{\infty}})).
$$
Le corps $L((T^{1/n}))$ est algébrique sur $L((T))$. Si de plus $L$ est une extension de degré fini de $K$, alors d'après le lemme 1.2, le corps $L((T))$ est algébrique sur $K((T))$.

On conclut que $E$ est algébrique sur $K((T))$ et par suite une clôture algébrique de $E$ est aussi une clôture algébrique de $K((T))$.

Le corps $E$ est parfait car si $f(T) = \sum_{i \ge i_0} a_i T^{\frac{i}{m}}$ est une série de $L^{\frac{1}{p^s}}((T^{1/n}))$,

alors $(f(T))^{\frac{1}{p}} = \sum_{i \ge i_0} a_i^{\frac{1}{p}} T^{\frac{i}{mp}}$ est une série de $L^{\frac{1}{p^{s+1}}}((T^{1/n}))$.

Le polynôme : $X^p - X - T^1$ engendre sur $E$ une extension cyclique de degré $p$ car ses racines

n'appartiennent pas au surcorps : $\overline{K}((T^{1/n}))$ de $E$.

Pour montrer que les degrés des extensions finies de $E$ sont des puissances de $p$, il suffit de vérifier que $E$ satisfait les conditions du lemme 1.3. Le corps $E$ est hensélien pour sa valuation naturelle comme extension algébrique du corps hensélien $K((T))$.

Le corps résiduel est $\overline{K}$ et le groupe de valeurs est $\mathbb{Q}$.

On conclut par le théorème précédent.

# § 4.Construction de la clôture séparable de $K((T))$.

## 4.1.Théorème :

Soit $K$ un corps de caractéristique $p$ non nulle, de clôture algébrique $\overline{K}$ et de clôture séparable $K_0$. On pose : $K_1 = K((T)) (K_0 ; T^{1/n}, n \in \mathbb{N}^*, (n,p) = 1)$ et pour $n \ge 2$

$K_n = K_{n-1}(\mathcal{P}^{-1}(K_{n-1}))$, où $\mathcal{P}$ est l'opérateur d'Artin-Schreier du corps $\overline{K}((T^Q))$.

Alors $\tilde{K} = \bigcup_{n:1}^{\infty} K_n$ est la clôture séparable de $K((T))$.

## Démonstration :

Il est clair que $\tilde{K}$ contient les racines des polynômes de la forme $X^p - X - a$, où $a \in \tilde{K}$ et que l'extension : $\tilde{K} / K((T))$ est algébrique.

i) Par définition, l'extension $K_0/K$ est séparable et à fortiori les éléments de $K_0$ sont aussi séparables sur $K((T))$.

ii) Pour tout entier naturel $n$ premier avec $p$, le polynôme : $X^n - T$ est séparable sur $K((T))$, donc $T^{\frac{1}{n}}$ est séparable sur $K((T))$.

iii) Les polynômes $X^p - X - a$ sont séparables sur leurs corps de base et par transitivité de la séparabilité, l'extension $\tilde{K} / K((T))$ est séparable.

D'autres part $\tilde{K}$ est une extension algébrique du corps valué hensélien $K((T))$, il est donc hensélien pour sa valuation naturelle.

Il est clair que le corps résiduel $R$ de $\tilde{K}$ est tel que $K_0 \subset R \subset \overline{K}$. Comme l'extension $\overline{K} / K_0$ est purement inséparable, il en est de même de l'extension $\overline{K} / R$. Donc le degré de toute
extension finie de R est une puissance de p.

Montrons que le groupe de valeurs $G$ de $\tilde{K}$ est $\mathbb{Q}$. Il suffit de montrer que $G$ contient $1/m$ pour tout $m$ dans $\mathbb{N}^*$.

Si $m$ est premier avec $p$, alors $1/m$ appartient à $G$ par hypothèse.

On va montrer par récurrence, que tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, le corps $\tilde{K}$ contient une série $f_n(T)$ de valuation $-1/p^n$.

La série $f_1(T) = \sum_{i=1}^{\infty} T^{\frac{-1}{p^i}}$ appartient à $\tilde{K}$ comme racine du polynôme : $X^P - X - T^{-1}$.

La série $f_2(T) = \sum_{i=2}^{\infty} (i-1) T^{\frac{-1}{p^i}}$ est racine du polynôme : $X^P - X - f_1(T)$.

Elle appartient donc à $\tilde{K}$.

Supposons que $f_n(T)$ est construite dans $\tilde{K}$ de valuation : $-1/p^n$.

Soit $g(T)$ une racine du polynôme : $P(X) = X^P - X - f_n(T)$ dans $\tilde{K}$.

Notons c le terme constant de $g(T)$. Comme $f_n(T)$ est sans terme constant, alors $c^P - c = 0$.

On pose $f_{n+1}(T) = g(T) - c$ : une série de valuation non nulle.

On vérifie que $f_{n+1}(T)$ est racine de $P(X)$. Elle appartient donc à $\tilde{K}$.

On a : $f_{n+1}^P(T) - f_{n+1}(T) = f_n(T)$. Donc : $\min\{p v(f_{n+1}), v(f_{n+1})\} = -1/p^n$.

D'où : $p v(f_{n+1}) = -1/p^n$, puis $v(f_{n+1}) = -1/p^{n+1}$.

Ainsi pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, le rationnel : $1/p^n$ appartient à $G$. Reste donc à vérifier que si $m$ et $n$ sont dans $\mathbb{N}^*$ tels que $m$ et $p$ sont premiers entre eux alors $1/np^n$ appartient à $G$.

Or comme $m$ et $p^n$ sont premiers entre eux, il existe $u$ et $v$ dans $\mathbb{Z}$ tels que : $um + vp^n = 1$.

Donc : $\frac{1}{mp^n} = \frac{um+vp^n}{mp^n} = u\frac{1}{p^n} + v\frac{1}{m}$, qui est un élément de $G$.

Ainsi $G = \mathbb{Q}$ : c'est un groupe divisible.

D'après la remarque 1.4, toute extension finie de $\tilde{K}$ est de degré égal à une puissance de $p$.

Montrons que les éléments de $\overline{K}((T^{\mathbb{Q}}))$ algébriques et séparables sur $K((T))$ appartiennent à $\tilde{K}$. Un tel élément est racine d'un polynôme séparable $f(X)$ de $K((T))$ [X]. Le corps des racines $F$ de $f(X)$ sur $\tilde{K}$ est une extension galoisienne de degré égal à une puissance de $p$.

Comme dans le théorème 3.2, en utilisant le p-groupe Gal($F/\tilde{K}$), on se ramène à une chaîne d'extensions cycliques de degré $p$. Il suffit de décomposer les polynômes : $X^p - X - f(T)$ où $f(T)$ est une série de $\tilde{K}$. Or ceci est vrai. Donc $F$ est inclus dans $\tilde{K}$.
## 4. 2. Remarque :

Le corps $\tilde{K}$ n'est pas une clôture algébrique de $K((T))$ car les polynômes irréductibles et non séparables : $X^p - T$ de $K((T))$ [X] ne peuvent pas admettre de racine dans l'extension séparable $\tilde{K}$ de $K((T))$.

Remarquons que la clôture algébrique $\overline{K((T))}$ de $K((T))$ peut être obtenue à partir de $\tilde{K}$ par extraction des racines $p^n$ ème pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$.

Si la série : $f(T) = \sum_{s \in S} a_s T^s$ appartient à $\tilde{K}$, alors sa racine $p^n$ ème est la série :

$$g(T) = \sum_{s \in S} a_s \frac{1}{T^{p^s}}.$$

On a la décomposition suivante :

$$ \begin{array}{l} \overline{K((T))} \\ | \quad \text{extension purement inséparable} \\ \tilde{K} \\ | \quad \text{extension séparable} \\ K((T)) \end{array} $$

# Références

[1] A. BIGARD ; M.CRESTEY ; J. GRAPPY : Problèmes d'algèbre générale. Dunod, Paris, 1971.

[2] N. BOURBAKI : Algèbre, ch. 4 et 5, Hermann 1973.

[3] W. BRANDAL : Commutative rings whose finitely generated modules decompose ; lecture notes in mathematics 723.

[4] B.DIARRA : Corps de Puiseux généralisés (d'après F.J. Rayner) ; séminaire d'Algèbre - Clermont-Ferrand 1981-82 (non publié).

[5] F. J. RAYNER : An algebraically closed field, Glasgow Mathematical Journal vol.9, Part 2, (1968) pp146-151.

[6] F. J. RAYNER : Algebraically closed fields analogous to fields of Puiseux series ; Journal of the London Math. Soc., vol.8, n°3, 1974, p. 504 - 506.

[7] P. RIBENBOIM : L'arithmétique des corps, Hermann 1972.
[8] P. RIBENBOIM ; L.VAN DEN DRIES : The absolute galois group of a rational function field in characteristic zero is a semi-direct product, Canad. Math. Bull. Vol 27 (3), 1984, pp 313 - 315.

[9] D. STEFANESCU : A method to obtain algebraic elements over K((T)) in positive characteristic, Bull. Math. de la Soc.Sci. Math. de la R. S. de Roumanie, Tome 26 (74), n°1, 1982, pp 77-91.

[10] D. STEFANESCU: On meromorphic formal power series, Bull. Math. de la Soc. Sci. Math. de la R. S. de Roumanie, Tome 27 (75), n°2, 1983, pp 170-178.

[11] O. ZARISKI; P. SAMUEL : Commutative Algebra vol II, 1960, Springer Verlag.

Ali BENHISSI

Département de Mathématiques
Faculté des Sciences
5000 Monastir - TUNISIE