L'ensemble des points où la fonction continue $|f_n(x) - f_{n+p}(x)|$ surpasse $\frac{1}{k}$ étant ouvert ainsi qu'une somme dénombrable de tels ensembles, nous en déduisons que l'ensemble $M$ est un $(G_{\delta\sigma})$. Le théorème cité de MM. Hahn et Sierpiński affirme que pour un ensemble arbitraire de ce type il existe une suite de fonctions continues dont il est l'ensemble des points de divergence.

Nous appelerons *oscillation limite* d'une suite infinie de nombres

$u_1, u_2, u_3, \dots$

la différence entre la plus grande et la plus petite limite de cette suite

$$ \Omega = \overline{\lim} u_n - \underline{\lim} u_n. $$

D'une manière analogue, étant donnée une suite de fonctions $f_n(x)$, nous appelerons *oscillation limite de cette suite* la fonction

$$ \Omega(x) = \overline{\lim} f_n(x) - \underline{\lim} f_n(x). $$

La fonction $\Omega(x)$ est non négative; dans les points de convergence $\Omega(x) = 0$.

L'oscillation limite peut avoir aussi en certains points la valeur infinie positive, si l'une au moins des limites extrêmes est infinie, (quant à la soustration des infinités, nous conviendrons avec M. Baire d'appliquer les règles suivantes:

$$ \begin{aligned} +\infty - (-\infty) &= +\infty - a = a - (-\infty) = +\infty; \\ +\infty - (+\infty) &= 0. \end{aligned} $$

Analysons la structure de la fonction $\Omega(x)$ dans la cas où les $f_n(x)$ sont continues.

Pour définir $\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ nous pouvons procéder de la manière suivante. Désignons par

$$ f_n^{(m)}(x) = \max [f_n(x), f_{n+1}(x), \dots, f_{n+m}(x)]; $$

cette fonction est continue.

Considérons la limite de la suite non décroissante des fonctions continues

$$ F_n(x) = \lim_{m \to \infty} f_n^{(m)}(x); $$

c'est une fonction de la classe I, sémicontinue inférieurement, c'est-à-dire du type $l$ de M. Young (l. c.).

## Sur les suites des fonctions continues.

Par

W. Stepanoff (Moscou).

M. Hausdorff<fnref n="1" />) a démontré que l'ensemble des points de convergence d'une suite de fonctions continues est un $(F_{\delta\sigma})$; par suite l'ensemble des points de divergence, comme complémentaire à un ensemble $(F_{\delta\sigma})$, est un $(G_{\delta\sigma})$. C'est MM. Hahn <fnref n="2" />) et Sierpiński <fnref n="3" />) qui ont trouvé indépendamment ce résultat plus précis: chaque ensemble $(F_{\delta\sigma})$ peut être régarde comme l'ensemble des points de convergence d'une suite de fonctions continues.

Dans le présent article je démontre le théorème suivant:

Toute fonction non négative du type $ul^4)$ peut être représentée comme l'oscillation limite d'une suite de fonction continues.

La construction que je propose donne en particulier le résultat de MM. Hahn et Sierpiński, en le généralisant pour l'espace à un nombre quelconque de dimensions.

Soit

$$ f_1(x), f_2(x), f_3(x), \dots $$

une suite infinie de fonctions continues, $x$ étant un point variable dans l'espace à $n$ dimensions. L'ensemble des points de divergence de cette suite peut être représenté par l'expression:

$$ M = \sum_{k=1}^{\infty} \prod_{n=1}^{\infty} \sum_{p=1}^{\infty} E \left\{ \left| f_n(x) - f_{n+p}(x) \right| > \frac{1}{k} \right\}. $$

<footnote n="1">1) F. Hausdorff. Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig und Berlin 1914, Kap. IX, § 6.</footnote>

<footnote n="2">2) H. Hahn: Archiv. d. Math. u. Phys. III Reihe 28 p. 34 ss.</footnote>

<footnote n="3">3) Fundamenta Mathematicae, t. II, p. 41 ss.</footnote>

<footnote n="4">4) W. H. Joung: On functions and their associated sets of points. Proceedings of Lond. Math. Soc. 1913.</footnote>
La suite $F_n(x)$ est non croissante; nous aurons

$$ \overline{\lim}_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} F_n(x). $$

Nous avons défini $\overline{\lim}_{n \to \infty} f_n(x)$ comme la limite d'une suite non croissante de fonctions sémi-continues inférieurement; pas suite c'est une fonction de la classe $\leqslant 2$ et du type *ul* de M. Young.

$F(x)$ est déterminée par le même procédé, si nous posons

$$ (1) f_{n, n+m}(x) = \max |f_n(x), f_{n+1}(x), \dots, f_{n+m}(x)| - \min [f_n(x), \dots, f_{n+m}(x)]. $$

On pourrait déduire des raisonnements de M. Young que l'ensemble $E\{\Omega(x) \geq \alpha\}$ ($\alpha$ est un nombre positif quelconque) est un $(G_\delta)$; nous le démontrerons directement. On trouve aisément:

$$ E\{\Omega(x) \geq \alpha\} = \bigoplus_{k=1}^{\infty} \bigoplus_{n=1}^{\infty} \sum_{m=-1}^{\infty} E\{f_{n, n+m}(x) > \alpha - \frac{1}{k}\}. $$

où $f_{n, n+m}$ est définie par l'équation (1).

L'ensemble sous le signe de la somme est un $(G)$; la somme des $(G)$ est aussi un $(G)$; le produit des $(G)$ est un $(G_\delta)$, enfin, le produit des $(G_\delta)$ est un $(G_\delta)$. Nous obtenons ce résultat

L'ensemble des points où l'oscillation limite d'une suite de fonctions continues est $\geq \alpha$, constitue un $(G_\delta)^1)$.

Remarquons qu'un ensemble $(G_\delta)$ partout dense est de la seconde catégorie. Donc si la suite des fonctions continues possède l'oscillation limite $\geq \alpha$ dans un ensemble partout dense, cette oscillation est $\geq \alpha$ dans un certain ensemble de la deuxième catégorie. Pour cette raison il n'existe, en particulier, aucune suite de fonctions continues qui divergerait seulement aux points d'un ensemble dénombrable partout dense.

Je vais démontrer qu'un ensemble quelconque $H$ du type $(G_\delta)$ étant donné, on peut construire une suite infinie de fonctions continues ayant pour points de divergence seuls les points de cet ensemble; en tout point de cet ensemble l'oscillation limite sera égale à un nombre donné (p. ex. à l'unité); dans le complémentaire de $H$ la suite convergera.

L'ensemble $H$ étant donné <fnref n="1" />), nous supposons donnés aussi les ensembles ouverts $G_\delta$ dont celui-ci constitue la partie commune:

$$ G_1, G_2, \dots \\ H = \bigoplus_{n=1}^{\infty} G_n. $$

Nous pouvons supposer que chaque ensemble suivant dans cette suite est contenu dans le précédent; s'il n'était pas été ainsi, nous aurions substitué le système donné par le suivant:

$$ G_1 = G_1; \quad \tilde{G}_2 = \tilde{G}_1 \cdot G_2; \quad \tilde{G}_3 = \tilde{G}_2 \cdot \tilde{G}_3; \dots \quad \tilde{G}_n = \tilde{G}_{n-1} \cdot G_n; \dots $$

Donc nous avons

$$ G_1 \supset G_2 \supset G_3 \supset \dots \supset G_n \supset \dots $$

Les complémentaires aux ensembles ouverts sont fermés. Nous les désignerons

$$ CG_1 = F_1, \quad CG_2 = F_2, \dots, CG_n = F_n, \dots $$

Il est évident que

$$ F_1 \subset F_2 \subset F_3 \subset \dots \subset F_n \subset \dots $$

Désignons aussi $CH = K$, $K$ est un $(F_\sigma)$.

Nous allons construire pour chaque ensemble $G_k$, une suite infinie des fonctions continues $f_n^k(x)$ ($n=1, 2, 3, \dots$) jouissant des propriétés suivantes:

Pour construire de telles fonctions décomposons les $G_k$ en sommes d'ensembles

$$ \begin{align*} G_1 &= E_1^1 + E_2^1 + \dots + E_n^1 + \dots \\ G_2 &= E_1^2 + E_2^2 + \dots + E_n^2 + \dots \\ \vdots & \vdots \\ G_k &= E_1^k + E_2^k + \dots + E_n^k + \dots \end{align*} $$

<footnote n="1">1) Dans le raisonnement précédent si nous prenons $k$ à la place de $\alpha - \frac{1}{k}$, nous voyons que l'ensemble $E\{\Omega(x) = \infty\}$ est lui aussi un $(G_\delta)$.</footnote>

<footnote n="1">1. Si $x \subset F_n$ on a $f_n^k(x) = 0$, ($n=1, 2, \dots$);</footnote>

<footnote n="2">2. $0 \leqslant f_n^k(x) \leqslant 1$ pour tous les $x$;</footnote>

<footnote n="3">3. si $x \subset G_k$, il existe un indice $n$ pour lequel on a $f_n^k(x) = 1$;</footnote>

<footnote n="4">4. pour chaque $x$ et $k$ il existe au plus deux indices $n$ tels que $f_n^k(x) \neq 0$.</footnote>

<footnote n="1">1) On peut aussi considérer des fonctions définies dans un intervalle, ce qui exige de légères modifications de l'ouïre raisonnement.</footnote>
où les $E_n^k$ sont définis comme il suit:

1) Si $F_k$ est vide, l'ensemble $E_n^k$ est le somme de deux intervalles fermés: $(-n, -n+1)$ et $(n-1, n)$.

2) Si $F_k = C G_k$ n'est pas vide, $E_1^k$ désigne l'ensemble des points de $G_k$, dont la distance de $F_k$ est $\ge 1/2$; $E_n^k$, pour $n>1$, désigne l'ensemble des points de $G_k$, dont la distance de $F_k$ est $\le 1/n$ et $\ge 1/(n+1)$.

Chaque ensemble $E_n^k$, s'il n'est pas vide, se compose de segments (finis ou non) ou de points isolés.

Nous définissons la fonction $f_n^k(x)$ de la manière suivante:

$f_n^k(x) = 1$ sur l'ensemble $E_n^k$; de deux côtés de chaque ségment (ou point) $f_n^k(x)$ varie linéairement de 1 jusqu'à 0 sur les segments de longueur $\frac{1}{2n(n+1)}$; dans tous les autres points de l'axe $x$ nous posons $f_n^k(x) = 0$ $^1$) Si $E_n^k$ est vide, posons $f_n^k(x) = 0$ partout. La suite $f_1^k(x), f_2^k(x), \dots$ possède les propriétés $1^o, 2^o, 3^o, 4^o$ énoncées plus haut.

Nous pouvons construire maintenant la suite de fonctions qui ne diverge que dans $H$, ayant en chaque points de cet ensemble l'oscillation limite égale à 1. Ordonnons la suite double des fonctions $f_n^k(x)$ en une suite simple par la méthode des diagonales, c'est-à-dire nous poserons :

$$f_1^k(x) = f_1(x); f_2^k(x) = f_2(x). f_3^k(x) = f_3(x); f_4^k(x) = f_4(x), f_5^k(x) = f_5(x)... \\ \text{en général } f_n^k(x) = f_{\frac{(n+k-1)(n+k-2)}{2}+k}(x).$$

La suite $f_n(x)$ a la propriété énoncée: elle converge vers 0 dans $K$ et elle diverge dans $H$ ayant en tout point de ce dernier l'oscillation limite $= 1$.

En effet, soit $x \subset H$. Cela signifie, que $x \subset G_1$, $x \subset G_2, \dots, x \subset G_k$.

Dans la suite $f_n^k(x)$ ($n=1, 2, 3, \dots$) deux fonctions au plus ont au point $x$ la valeur différente de zéro, cette valeur étant l'unite pour une fonction. Dans la suite double une infinité de fonctions a la valeur 0 et une infinité la valeur 1; nulle valeur ne surpasse l'unité. Donc l'oscillation limite au point $x$ est égale à 1.

Soit en second lieu $x \subset K$; alors $x$ n'appartient qu'à un nombre fini d'ensembles $G_k$, soit $G_1, G_2, \dots, G_k$ ($l \ge 0$). Dans chaque de $l$ premières lignes du Tableau double il ne se trouve que deux fonctions au plus dont la valeur au point $x$ est différente de zéro; donc le tableau entier en contient un nombre fini, donc la suite converge en ce point vers 0.

Nous allons établir maintenant le théorème suivant:

Étant donnée une fonction quelconque non négative $F(x)$ du type $ul$ de M. Young (c'est à dire la limite d'une suite non croissante de limites de suites non décroissantes de fonctions continues), il est possible de construire une suite de fonctions continues telle, que $F(x)$ exprime l'oscillation limite de cette suite.

Montrons d'abord que l'ensemble des points où $F(x) \ge \alpha$ est un $(G_\delta)$. $F(x)$ comme fonction du type $ul$ est la limite d'une suite non croissante de fonctions $F_k$ sémi-continues inférieurement. Pour une telle fonction l'ensemble $E\{F_k(x) \le \alpha\}$ est fermé, l'ensemble où $F_k(x) > \alpha$, est ouvert, $(G)$; l'ensemble

$$E\{F_k(x) \ge \alpha\} = \prod_{p=1}^{\infty} E\{F_k(x) > \frac{1}{p}\},$$

c'est à dire, il est un $(G_\delta)$; enfin

$$E\{F(x) \ge \alpha\} = \prod_{k=1}^{\infty} E\{F_k(x) \ge \alpha\}$$

étant un produit de $(G_\delta)$, est lui aussi un $(G_\delta)$.

Toute fonction est complètement déterminée par la connaissance des ensembles de points $E\{F(x) \ge \alpha_k\}$, $\alpha_k$ formant un ensemble dénombrable partout de use de nombres, p. ex. l'ensemble de tous les nombres rationnels. En effet, $\alpha$ étant un nombre irrationnel et $\alpha_{k_1}, \alpha_{k_2}, \alpha_{k_3}, \dots$ une suite croissante de nombres rationnels ayant pour

<footnote n="1">¹) Dans l'espace limité, à un nombre quelconque de dimensions $E_n^k$ se comporte de continus ou de points; nous désignerons par $C_n^k$ la frontière de $E_n^k$, par $\tilde{C}_n^k$ l'ensemble des points dont la distance de $C_n^k$ est égale à $\frac{1}{2n(n+1)}$ et nous définirons $f_n^k(x)$ de la manière suivante: $f_n^k(x) = 1$ dans $E_n^k$; $f_n^k(x)$ varie d'une manière continue de 1 à 0 entre $C_n^k$ et $\tilde{C}_n^k$, c'est-à-dire, pour les points $x$ dont la distance de $E_n^k$ est $\le \frac{1}{2n(n+1)}$. En désignant par $d$ la distance de $x$ à $C_n^k$ et par $d'$ la distance de $x$ à $C_n^k$, nous pouvons p. ex. poser dans ce domaine: $f_n^k(x) = \frac{d'}{d+d'}$; enfin $f_n^k(x) = 0$, si la distance de $x$ à $E_n^k$ est $\ge \frac{1}{2n(n+1)}$.</footnote>
limite $\alpha$, nous déterminerons sans ambiguïté l'ensemble où $F(x) \ge \alpha$ par la formule

$$E\{F(x) \ge \alpha\} = \prod_{k=1}^{\infty} E\{F(x) \ge \alpha_n\}.$$

Donc, soit $F(x)$ la fonction non négative donnée. du type ul. Soient $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_k, \dots$ tous les nombres positifs rationnels rangés dans une suite simple. Désignons par $H_k$ l'ensemble des points où $F(x) \ge \alpha_k$. Il est évident que $H_k \subset H^1$ si $\alpha_k > \alpha_i$. Nous supposons donné avec chaque ensemble $H^k$ un système déterminé d'ensembles ouverts, dont $H^k$ est la partie commune: soit

$$G_1^k, G_2^k, \dots, G_n^k, \dots$$

D'après une remarque faite plus haut nous povons supposer toujours que l'on a $G_n^k \supset G_{n+1}^k$ ($n=1, 2, 3, \dots$).

Je vais montrer qu'il est possible de substituer aux ensembles $G_n^k$ d'autres jouissant pour tout $n$ de la propriété suivante: $G_n^k \subset G_n^i$ pour $\alpha_k > \alpha_i$, les $H^k$ correspondants restants sans changements. Nous opérons de la manière suivante.

La première ligne dans notre tableau d'ensembles à double entrée $\{G_n^k\}$ reste sans changement: $\tilde{G}_n^1 = G_n^1$ ($n=1, 2, 3, \dots$).

Admettons que $j$ premières lignes sont déjà transformées ($j \ge 1$); montrons quels ensembles nous placerons à la $j+1$me ligne.

Trois cas sont à distinguer:

1.°. Soit $\alpha_{j+1} > \alpha_k$ ($k=1, 2, \dots, j$) et soit $\alpha_i$ le plus grand des nombres $\alpha_k$; nous poserons:

$$\tilde{G}_n^{j+1} = G_n^{j+1} \cdot \tilde{G}_n^i.$$

Montrons que dans ce cas le produit des $G_n^{j+1}$ donne le même ensemble $G_0^{j+1}$. En effet

$$\prod_n \tilde{G}_n^{j+1} = \prod_n G_n^{j+1} \cdot \prod_n \tilde{G}_n^i = H^{j+1} \cdot H^i = H^{j+1} \quad \text{car } H^{j+1} \subset H^i.$$

2.°. $\alpha_{j+1} < \alpha_k$ ($k=1, 2, \dots, j$); soit $\alpha_i$ le plus petit des nombres $\alpha_k$. Je pose: $\tilde{G}_n^{j+1} = G_n^{j+1} + \tilde{G}_n^i$. J'affirme que dans ce cas nous avons aussi $\Pi \tilde{G}_n^{j+1} = H^{j+1}$.

En efiet soit $x \subset H^{j+1}$, alors $x \subset G_n^{j+1}$ ($n=1, 2, 3, \dots$), $x \subset \tilde{G}_n^{j+1}$ pour tout $n$, donc $x \subset \Pi \tilde{G}_n^{j+1}$.

D'autre part, si $x \subset CH^{j+1}$, alors $x \subset CH^i$; donc il existe un nombre $N_1$ tel que $x \subset CG_n^{j+1}$ pour $n > N_1$, et il existe un nombre $N_2$ tel que pour $n > N_2$ on a $x \subset C\tilde{G}_n^i$; en désignant par $N$ le plus grand des nombres $N_1$ et $N_2$ nous avons: $x \subset C\tilde{G}_n^{j+1}$ pour $n > N$, donc $x \subset C(\Pi \tilde{G}_n^{j+1})$.

3.°. $\alpha_{j+1}$ est compris entre le plus grand et le plus petit des nombres $\alpha_k$ ($k=1, 2, \dots, j$). Soient les deux nombres $\alpha_p$ et $\alpha_q$ immédiatement voisins de $\alpha_{j+1}$ parmis les $\alpha_k$, de sorte que $\alpha_p < \alpha_{j+1} < \alpha_q$. Dans ce cas nous définissons $\tilde{G}_n^{j+1} = G_n^{j+1} \cdot \tilde{G}_n^p + \tilde{G}_n^q$ ($n=1, 2, 3, \dots$). En tenant compte que dans le cas actuel $H^p \supset H^{j+1} \supset H^q$, nous prouverons par des raisonnements analogues aux précédents que dans ce cas nous avons aussi $\Pi \tilde{G}_n^{j+1} = H^{j+1}$.

Ainsi nous pouvons supposer toujours les ensembles $G_n^k$ donnés d'une telle manière que $G_n^k \subset G_n^i$ dès que $\alpha_k > \alpha_i$.

Après ces préparatifs nous pouvons construire la suite énoncée des fonctions. Dans ce but nous choisissons dans le tableau double $\{G_n^2\}$ la suite suivante:

$$G_1^1, G_2^1, G_3^1, G_3^2, G_3^3, \dots, G_n^1, G_n^2, \dots, G_n^n, G_{n+1}^1, \dots$$

que nous désignerons parfois simplement par

$$\dot{g}_1, \dot{g}_2, \dots, g_m, \dots$$

Pour tout ensemble $g_m$ ($= G_1^k$) nous construirons par le procédé décrit plus haut la suite infinie des fonctions continues $f_n^m(x)$ ($n=1, 2, 3, \dots$) jouissant des propriétés suivantes: toutes ces fonctions sont nulles en dehors de $g_m$; elles sont $\ge 0$ et $\le \alpha_k$; en chaque point de $g_m$ deux au plus de ces fonctions sont différentes de 0 et l'une au moins prend la valeur $\alpha_k$.

Rangeons la suite double $f_n^m(x)$ en une suite simple en posant

$$f_1^1(x) = f_1(x); \quad f_2^1(x) = f_2(x), \quad f_3^1(x) = f_3(x), \dots$$

et en général

$$f_n^m(x) = f_{1/n(n+1-1)(n+1-2)+m}(x).$$

La suite $f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x), \dots$ possède la propriété énoncée: son oscillation limite en un point $x$ est $\ge \alpha_k$ si $x \subset H^k$ et est $< \alpha_k$ si $x \subset CH^k$.

En effet, soit en premier lieu $x \subset H^k$, alors $x \subset G_1^k, G_2^k, G_3^k, \dots$; de cette ligne une infinité d'ensembles fait part la suite $\{g_m\}$,
à savoir les ensembles $G_{k}^{*}, G_{k+1}^{*}, \dots; m_{1}, m_{2}, \dots$ soient leurs places dans la suite $g_{m}$. Dans la suite des fonctions $f_{n}^{*}(x)$ ($n=1, 2, 3, \dots$) une au moins prend au point $x$ la valeur $\alpha_{k}$ et un nombre infini prend la valeur 0. Donc dans la suite $f_{n}(x)$ il se trouve une infinité de fonctions avec la valeur $\alpha_{k}$ au point $x$ (l'indice $i$ prenant les valeurs 1, 2, 3, ...) et une infinité avec la valeur 0, donc $\Omega(x) \geq \alpha_{k}$.

Soit en second lieu le point $x$ n'appartenant pas à $H^k$; cela s'applique pour $F(x) = \alpha < \alpha_k$. Prenons un nombre rationnel $\alpha_r$ satisfaisant aux inégalités $\alpha < \alpha_r < \alpha_k$. Il s'ensuit de la définition des ensembles $H^l$ que $x$ n'appartient ni à $H^r$ ni à l'ensemble quelconque $H^l$ pour $\alpha_i > \alpha_r$; $x$ n'appartenant pas à $H_r$ il s'ensuit qu'il n'appartient pas à $H^r$ pour $n > N$, où $N$ est un nombre suffisamment grand. Grace à la construction des ensembles $G$ aux deux indices, $x$ n'appartient non plus a aucun ensemble $G_n^*$ pour $n > N$ et $\alpha_i > \alpha_r$. Il n'entre dans le système $g_m$ qu'un nombre fini d'ensembles $G_n^*$ avec $n \leq N$, donc $x$ ne peut appartenir qu'à un nombre fini d'ensembles $G_n^*$ avec $\alpha_i > \alpha_r$. Dans chaque ligne des fonctions $f$ à deux indices, correspondant à un tel $G_n^*$, ces fonctions prennent deux fois au plus des valeurs $> 0$ et $\leq \alpha_i$. Donc un nombre fini de fonctions $f_n(x)$ a au point $x$ la valeur $> \alpha_r$. Par suite $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \Omega(x) \leq \alpha_r < \alpha_k$.

Le théorème est démontré.

Il s'ensuit en particulier de notre construction qu'une fonction arbitraire du type *ul* non négative peut être représentée comme la limite supérieure d'une suite infinie de fonctions continues.

Nous pouvons prendre en particulier une fonction $F(x)$ du type *ul* de sorte que l'ensemble $E\{F(x) > 0\} = \sum_{n} E\{F'(x) > \alpha_{k}\}$ soit un ensemble $G_{\delta\sigma}$ arbitraire; le complémentaire de cet ensemble est un $(F_{\delta\sigma})$ arbitraire. La suite $f_n(x)$ converge dans ce dernier, et nous revenons au théorème de MM. Hahn et Sierpiński, généralisé pour un nombre quelconque de dimensions.

## Note de M. Otton Nikodym (à Cracovie).

La méthode développée ci-dessus par M. Stepanoff permet de démontrer le théorème suivant:

Quelle que soit la fonction $F(x)$ finie ou non du type *ul* de

M. Young il existe une suite de fonctions finies et continues telle que sa limite supérieure est identique à $F(x)^{1}$).

En effet, soient $\alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \dots$ tous les nombres rationnels rangés dans une suite (sans répétitions). Posons $\alpha_1 = +\infty$, $\alpha_2 = -\infty$ et envisageons les ensembles :

$$H^k = E\{F(x) \geq \alpha_k\}, \quad (k=1, 2, \dots)$$

où $F(x)$ est une fonction donnée d'avance, finie<fnref n="2" />) et du type *ul*. On a $H^1=0$ (ensemble vide), $H^2=1$ (ensemble de tous les points, où l'on considère les fonctions). $H^k$ étant un $(G_\delta)$, il existe une suite d'ensembles ouverts $G_1^k \supset G_2^k \supset \dots$, telle que $H^k = \bigcap_{\lambda=1}^{\infty} G_\lambda^k$, $(k=1, 2, \dots)$.

En imitant le procédé de M. Stepanoff, définissons :

$$\tilde{G}_{\lambda}^{1} \xrightarrow{\overline{\overline{\lambda}}} G_{\lambda}^{1}, \quad G_{\lambda}^{2} \xrightarrow{\overline{\overline{\lambda}}} G_{\lambda}^{2}, \quad (\lambda = 1, 2, \dots);$$

les ensembles $\tilde{G}_{\lambda}^{1}$ étant supposés définis pour $i \leqslant j$, où $j \geqslant 2$ et pour $\lambda = 1, 2, \dots$, définissons les ensembles $G_{\lambda}^{j+1}$ comme il suit: Soient $\alpha_p$ et $\alpha_q$, où $p \leqslant j$, $q \leqslant j$, ceux de nombres $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_j$ qui sont immédiatement voisins de $\alpha_{j+1}$ de sorte qu'on ait: $\alpha_p < \alpha_{j+1} < \alpha_q$.

Posons :

$$\tilde{G}_{\lambda}^{j+1} = \overline{\overline{G_{\lambda}^{j}}} + \tilde{G}_{\lambda}^{j}.$$

On trouve :

$$1^{\circ} \quad H^k = \prod_{\lambda=1}^{\infty} \tilde{G}_{\lambda}^{k}, \quad (k=1, 2, \dots)$$

$$2^{\circ} \quad \tilde{G}_{1}^{k} \supset \tilde{G}_{2}^{k} \supset \dots, \quad (k=1, 2, \dots)$$

$$3^{\circ} \quad \text{si } \alpha_s < \alpha_t, \text{ on a } \tilde{G}_{\lambda}^{s} \supset \tilde{G}_{\lambda}^{t}, \quad (\lambda = 1, 2, \dots)$$

Désignons par :

$g_1, g_2, g_3, g_4, g_5, g_6, \dots$

les ensembles,

$$\tilde{G}_{1}^{2+1}, \tilde{G}_{2}^{2+1}, \tilde{G}_{3}^{2+1}, \tilde{G}_{4}^{2+1}, \tilde{G}_{5}^{2+1}, \tilde{G}_{6}^{2+1}, \dots$$

<footnote n="1">1) On n'envisage ici que des fonctions réelles d'une variable réelle $x$ définies dans l'ensemble de tous les nombres réels, mais le point de vue peut être pris plus général.</footnote>

<footnote n="2">2) On voit aisément qu'il suffit de démontrer le théorème pour le cas où $F(x)$ est supposé fini.</footnote>
L'ensemble $g_m$, ($m=1, 2, ...$) étant ouvert, on y peut, comme chez M. Stepanoff (p. 267 et 268), faire correspondre une suite infinie de fonctions continues $f_1^m(x), f_2^m(x), ..., $ jouissant des propriétés suivantes:

1) si $x \in C_g_m$, on a $f_2^m(x) = 0$ pour $\lambda = 1, 2, ...$,

2) $x \in g_m$, il existe au moins un indice $l$, pour lequel $f_2^m(x) = 1$,

3) $0 \le f_2^m(x) \le 1$ toujours,

4) quelque soit $m$ et $x$, il existe au plus deux indices $\lambda$, tels que $f_2^m(x) \ne 0$.

Rangeons les fonctions $f_2^m(x)$ dans une suite simple :

$$f_1^m(x), f_2^m(x), f_3^m(x), f_4^m(x), f_5^m(x), f_6^m(x), \dots$$

lequelle sera désignée que voici:

$$f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x), f_5(x), f_6(x), \dots$$

et formons une suite nouvelle de la manière suivante: si $f_2^m(x)$ désigne la fonction $f_2^m(x)$ et si $g_m$ désigne l'ensemble $\tilde{G}_m$, posons:

$$h_2(x) = \overline{\overline{\overline{\overline{\alpha_k}}}} + \alpha_k + \lambda, f_2^m(x) - \lambda - \alpha_k.$$

On démontre, comme chez M. Stepanoff, que

$$\lim_{\lambda \to \infty} h_2(x) = F(x).$$

La limite inférieure est toujours $-\infty$.

## Sur les suites des fonctions continues.

Par

G. Goldowsky (Moscou).

M. Stepanoff a démontré qu'une fonction non négative $F(x)$ quelconque de type ul, peut être considérée comme limite supérieure d'une suite simple de fonctions continues.

M. O. Nikodym ayant généralisé ce théorème pour le cas d'une fonction non bornée inférieurement, a posé la question suivante:

Étant données deux fonctions $F(x)$ et $G(x)$, $F(x) \ge G(x)$, respectivement de type ul et lu, existe-t-il une suite simple de fonctions continues

$$\text{telle que} \quad f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x), \dots, \\ \limsup_{n \to \infty} f_n(x) = F'(x); \quad \liminf_{n \to \infty} f_n(x) = G(x).$$

J'en donnerai ici une solution affirmative.

I. Démontrons d'abord un lemme préliminaire.

**Lemme.** Quelles que soient deux fonctions $F(x)$ et $G(x)$, $F(x) \ge G(x)$, respectivement du type ul et lu, il existe toujours une suite simple de fonctions continues

$$\text{telle que} \quad h_1(x), h_2(x), \dots, h_n(x), \dots \\ F(x) \ge \limsup h_n(x) \ge \liminf h_n(x) \ge G(x).$$

**Démonstration:** $F(x)$ est la limite d'une suite non croissante de fonctions $\varphi_i(x)$ de type $l$: $\lim_{i \to \infty} \varphi_i(x) = F(x)$; $\varphi_i(x) \ge \varphi_{i+1}(x)$.

$G(x)$ est la limite d'une suite non décroissante de fonctions $\psi_i(x)$ de type $u$: $\lim_{i \to \infty} \psi_i(x) = G(x)$; $\psi_i(x) \le \psi_{i+1}(x)$.