ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL

MESSAOUD HANNACHI

Géométrie asymptotique des courbes algébriques

*Annales mathématiques Blaise Pascal*, tome 6, n° 2 (1999), p. 21-28

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# Géométrie asymptotique des courbes algébriques

Messaoud HANNACHI

**Résumé** : L'objet de cet article est de reprendre une question très classique - l'étude des branches infinies d'une courbe algébrique - en utilisant les possibilités qu'offre l'analyse non standard pour explorer le halo d'un point illimité. On commence par donner une décomposition d'un vecteur $\vec{V}$ illimité de $\mathbb{C}^n$ muni de la topologie usuelle, on fait dire (selon une approche typique de l'A N S) à chaque point à l'infini toute la géométrie asymptotique de la branche sur laquelle il est assis.

**Abstract** : The purpose of this paper is to take up a very classic matter : the study of infinit branches of an algebraic curve using the possibilities offered by non-standard analysis to explore the halo of a point at infinity. We first give the decomposition of an unlimited point of $\mathbb{C}^n$. Then, according to a typical method of non-standard analysis , we make every point at infinity express all the asymptotic geometry of the branch witch it belongs.

On commence par rappeler le théorème de décomposition de Goze

Soit $\vec{V}$ un vecteur de $\mathbb{C}^n$ limité et soit $\vec{V}_0$ son ombre. Il existe une base standard $\vec{V}_1, \vec{V}_2, ..., \vec{V}_n$ et n infinitésimaux $\varepsilon_1, \varepsilon_2, ..., \varepsilon_n$ tels que

$$ \vec{V} = \vec{V}_0 + \varepsilon_1 \vec{V}_1 + \varepsilon_2 \vec{V}_2 + ... + \varepsilon_1 \varepsilon_2 ... \varepsilon_n \vec{V}_n. $$
**Théorème 1 :** Soit $n$ un entier standard. Pour tout $\vec{V}$ de $\mathbb{C}^n$ illimité, il existe une base standard $\vec{V}_1, \vec{V}_2, \dots, \vec{V}_n, n - 1$ infinitésimaux $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_{n-1}$ et $\omega \cong \infty$ tels que

$$ \vec{V} = \omega \vec{V}_1 + \omega \varepsilon_1 \vec{V}_2 + \dots + \omega \varepsilon_1 \varepsilon_2 \dots \varepsilon_{n-1} \vec{V}_n. $$

**Démonstration :** Soit $\vec{V} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ où l'une au moins des coordonnées est illimitée. Soit $\omega = \max_{i \in \{1, 2, \dots, n\}} |a_i|$; ainsi les $\frac{a_i}{\omega}$ sont limités et admettent chacun une ombre :

$$ \alpha_i = 0 \left( \frac{a_i}{\omega} \right) $$

On a donc les relations : $a_i = \omega\alpha_i + \omega\varepsilon_i$, avec $\alpha_i$ standard et $\varepsilon_i \cong 0$.

Considérons les vecteurs :

$$ \vec{V}_1 = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) \text{ et } \vec{W}_1 = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n). $$

Le vecteur $\vec{V}_1$ est standard et le vecteur $\vec{W}_1 \in \text{hal}(0)$. Ils vérifient la relation :

$$ \vec{V} = \omega \vec{V}_1 + \omega \vec{W}_1. $$

Si $\vec{W}_1$ est nul, on obtient une décomposition de longueur 1 et le procédé s'arrête.

Si $\vec{W}_1$ est non nul, alors les deux vecteurs $\vec{V}_1$ et $\vec{W}_1$ sont linéairement indépendants; en effet si l'on considère une combinaison linéaire : $a\vec{V}_1 + b\vec{W}_1 = 0$, $\exists i_0$ tel que $\omega = |a_{i_0}|$, ce qui implique $\alpha_{i_0} = e^{i\theta}$ et $\varepsilon_{i_0} = 0$, donc $a = 0$.

D'autre part $\vec{W}_1$ étant non nul, il existe un indice $j$ tel que $\varepsilon_j \neq 0$, d'où $b = 0$.

$\vec{W}_1$ appartient alors à l'hyperplan $\mathbb{C}^{n-1}$, d'après la décomposition de Goze, il existe une base standard $\vec{V}_2, \vec{V}_3, \dots, \vec{V}_n$ et $n - 1$ infinitésimaux $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_{n-1}$ tels que

$$ \vec{W}_1 = \varepsilon_1 \vec{V}_2 + \varepsilon_1 \varepsilon_2 \vec{V}_3 + \dots + \varepsilon_1 \varepsilon_2 \dots \varepsilon_{n-1} \vec{V}_n. $$

Finalement, on a : $\vec{V} = \omega \vec{V}_1 + \omega \varepsilon_1 \vec{V}_2 + \dots + \omega \varepsilon_1 \varepsilon_2 \dots \varepsilon_{n-1} \vec{V}_n$.

Si on se place dans $\mathbb{R}^2$, on a alors une démonstration beaucoup plus simple.

**Proposition :** *Soit un vecteur illimité $\vec{V}$ de $\mathbb{R}^2$, il existe une base standard $(\vec{V}_1, \vec{V}_2)$ orthonormale, $\omega \cong \infty$, et $\varepsilon \cong 0$, tels que $\vec{V} = \omega \vec{V}_1 + \omega \varepsilon \vec{V}_2$.*

**Démonstration :** Soit $\vec{OM} = \vec{V}$ un vecteur illimité $\vec{V}$ de $\mathbb{R}^2$ muni d'un repère cartésien, d'après le principe du tiers exclu, on a alors seulement deux possibilités :

- M se trouve dans une droite $\Delta_0$ standard passant par l'origine des axes; dans ce cas on peut écrire : $\vec{OM} = \omega \vec{V}_1$ où $\vec{V}_1$ est un vecteur unitaire porté par $\Delta_0$.
- M se trouve sur une droite $\Delta'$ non standard passant par l'origine des axes ; soit $\Delta_0$ l'ombre de $\Delta'$ et $\alpha$ l'angle des deux droites $\Delta_0$ et $\Delta'(\alpha)$ est nécessairement un infinitésimal), on a ainsi : $\vec{OM} = \omega\vec{V}_1 + \omega\varepsilon\vec{V}_2$, où $\vec{V}_1$ est un vecteur unitaire porté par $\Delta_0$, $\vec{V}_2$ un vecteur qui forme avec $\vec{V}_1$ une base orthonormale standard, et $\varepsilon = \operatorname{tg}(\alpha)$.

**Remarque :** On utilisera dorénavant une décomposition orthonormale.

**Rappel :** Soit $C$ une courbe définie paramétriquement par $r(t) = (x(t), y(t))$ pour $t \in I \subset \mathbb{R}$.

On dit que $C$ présente une branche infinie pour $t = 0$ ($t \in I^0$), si on a $\lim_{t \to 0} (|x(t)| + |y(t)|) = +\infty$.

Dans ce cas, on fait l'hypothèse suivante : *il existe un entier $m > 0$ tel que la fonction $t \to t^m r(t)$ se prolonge en une fonction $C^\infty$ sur $I$.*

On désigne par $p$ le plus petit des entiers $m$ vérifiant cette condition et par $f(t)$ le prolongement correspondant de la fonction : $t \to t^p r(t)$.

Pour tout entier $n > 0$, on a :

$$f(t) = f(0) + tf'(0) + \cdots + \frac{t^{p+n}}{(p+n)!} f^{p+n}(0) + o(t^{p+n})$$

d'où en posant

$$\vec{V}_j = \frac{1}{(p+j)!} f^{(p+j)}(0) \text{ pour } j \ge -p$$

$$r(t) = \sum_{j=-p}^{n} t^j \vec{V}_j + o(t^n) = t^{-p} \vec{V}_{-p} + \cdots + t^n \vec{V}_n + o(t^n).$$

La direction définie par le vecteur $\vec{V}_{-p}$ est appelée direction asymptotique relative à la valeur 0 du paramètre [9].

**Lemme :** Soient $C$ une courbe algébrique et $M$ un point illimité de $C$. On suppose que $M$ s'écrit $M = \omega\vec{V}_1 + \omega\varepsilon\vec{V}_2$ où $(\vec{V}_1, \vec{V}_2)$ est une base standard orthonormale, $\omega \cong \infty$ et $\varepsilon \cong 0$; le vecteur $\vec{V}_1$ définit une direction asymptotique.

**Démonstration :**

Soit $C$ la courbe définie par $f(x, y) = 0$ où $f \in \mathbb{R}[x, y]$ est un polynôme standard à deux variables réelles de degré $n$. On suppose que $C$ ne contient aucune droite.

Soit : $f = f_m + f_{m+1} + \cdots + f_n$, où $f_k$ est le terme homogène de degré $k$ avec :
$$f_k(x, y) = \sum_{i+j=k} a_{ij} x^i y^j. \qquad (i)$$

Soit $M$ un point illimité de $\mathbb{R}^2$; d'après le théorème 1 ce point admet la décomposition orthonormale suivante

$$M = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \omega \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \omega \varepsilon \begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$$

($\omega \cong \infty$ et $\varepsilon \cong 0$). $M \in C$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation

$$\omega^n \sum_{i+j=n} a_{ij} (a + \varepsilon b)^i (b - \varepsilon a)^j + \dots + \omega^m \sum_{i+j=m} a_{ij} (a + \varepsilon b)^i (b - \varepsilon a)^j = 0.$$

Après division par $\omega^n$ et par passage à l'ombre, on obtient : $f_n(a, b) = 0$. D'après un résultat classique, les vecteurs réels $\vec{V}_1$ solutions sont les directions asymptotiques réelles de la courbe $C$.

**Remarque :** Si le cône des directions asymptotiques réelles est vide, la courbe $C$ n'a pas de point à l'infini réel; on a alors une courbe fermée, les branches infinies complexes correspondantes sont, du point de vue réel, des branches mortes.

A chaque vecteur du cône des directions asymptotiques de la courbe $C$, il peut correspondre une ou plusieurs branches infinies.

**Théorème 2 :** Soient $C$ une courbe algébrique et $M$ un point illimité de $C$.

En reprenant les notations du lemme, on suppose que $M$ s'écrit $M = \omega \vec{V}_1 + \omega \varepsilon \vec{V}_2$. Pour que $C$ ait une asymptote de direction $\vec{V}_1$, il faut et il suffit que $\omega \varepsilon$ soit limité.

**Démonstration :**

⇒ Si $\omega \varepsilon$ est un réel limité, on a $^0(\omega \varepsilon) = \alpha$, soit $\omega \varepsilon = \alpha + \varepsilon_1$, $\alpha$ est un réel standard et $\varepsilon_1 \approx 0$

Sachant que :

$$M = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \omega \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \omega \varepsilon \begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega a + b\alpha + b\varepsilon_1 \\ \omega b - a\alpha - a\varepsilon_1 \end{pmatrix}$$

on a la relation : $ay - bx = -\alpha - \varepsilon_1$.

Ainsi le point $M$ illimité est situé sur une droite $\Delta$ d'équation : $ay - bx = -\alpha - \varepsilon_1$. Cette droite $\Delta$ a pour ombre la droite $^0\Delta$ d'équation : $ay - bx + \alpha = 0$ ; cqfd.

⇔ La courbe $C$ a comme asymptote la droite $\Omega$ standard d'équation :

$$ay - bx + c = 0, \quad (\sqrt{a^2 + b^2} = 1).$$

Soit $M = (\lambda, \eta)$ un point illimité situé sur l'une des branches de la courbe $C$ asymptotique à $\Omega$; on a : $d(M, \Omega) \cong 0$.
Sachant que $d(M, \Omega) = |a\eta - b\lambda + c|$, on utilise la décomposition orthonormale de $M$;
on a :

$$M = \begin{pmatrix} \lambda \\ \eta \end{pmatrix} = \omega \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} + \omega\varepsilon \begin{pmatrix} \beta \\ -\alpha \end{pmatrix}.$$

En remplaçant les coordonnées de $M$ par leurs valeurs, on obtient :

$$d(M, \Omega) = |a\eta - b\lambda + c| = |\omega(a\beta - b\alpha) - \omega\varepsilon(a\alpha + b\beta) + c| \cong 0.$$

Ce qui nous donne : $a\beta - b\alpha = 0$; donc le vecteur $\vec{V}_1 = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$ est une direction asymptotique à la courbe $C$, avec : $-\omega\varepsilon + c \cong 0$; donc $\omega\varepsilon$ est un réel limité et $^0(\omega\varepsilon) = c$, cqfd.

**Exemple** : Soit la cubique nodale $C$ d'équation : $x^3 - x^2y + y^2 = 0$.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Utilisons la décomposition d'un point illimité $M_\omega$

$$M_{\omega} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \omega \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \omega\varepsilon \begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega(a + \varepsilon b) \\ \omega(b - \varepsilon a) \end{pmatrix}.$$

$M_\omega \in C$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de $C$, d'où :

$$\omega^3(a + \varepsilon b)^3 - \omega^3(a + \varepsilon b)^2(b - \varepsilon a) + \omega^2(b - \varepsilon a)^2 = 0.$$

Après division par $\omega^3$ et passage à l'ombre, on obtient : $a^3 - a^2b = 0$; ainsi on a deux solutions : $a = 0$ et $a = b$.

Ce qui nous donne deux vecteurs dans le cône des directions asymptotiques :

$$\vec{V}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{V}'_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

*Etude dans la direction asymptotique* $\vec{V}_1$ :
On a la décomposition suivante du point à l'infini $M_\omega = \begin{pmatrix} \omega\epsilon \\ \omega \end{pmatrix}$.

En reportant ces valeurs dans l'équation de la courbe $C$, on a :

$$\omega^3\epsilon^3 - \omega^3\epsilon^2 + \omega^2 = 0$$

Après division par $\omega^2$, on a : $\omega\epsilon^3 - \omega\epsilon^2 + 1 = 0$ (1)

d'où : $\omega\epsilon = -\frac{1}{\epsilon(\epsilon - 1)}$;

on a alors $M_\omega = \begin{pmatrix} \omega\epsilon \\ \omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\epsilon - \epsilon^2} \\ \frac{1}{\epsilon^2 - \epsilon^3} \end{pmatrix}$.

L'utilisation du principe de permanence de Cauchy nous donne une paramétrisation rationnelle de la cubique :

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{t - t^2} \\ \frac{1}{t^2 - t^3} \end{pmatrix}.$$

D'autre part, le passage à l'ombre nous donne : $\omega\epsilon^2 = 1$, $\omega\epsilon$ est illimité, la cubique n'a pas de droite asymptote de direction $\vec{V}_1$ ; on se propose de déterminer la courbe asymptote.
Posons : $\omega\epsilon^2 = 1 + \epsilon'$, $\epsilon'$ infinitésimal ; l'équation (1) devient :

$$\epsilon + \epsilon\epsilon' - \epsilon' = 0. \qquad (2)$$

Divisons par $\epsilon$, on obtient : $1 + \epsilon - \frac{\epsilon'}{\epsilon} = 0$. Le passage à l'ombre nous donne :

$$0 \left( \frac{\epsilon'}{\epsilon} \right) = 1.$$

Posons de nouveau : $\epsilon' = \epsilon(1 + \epsilon'')$, $\epsilon''$ infinitésimal, on obtient une nouvelle équation : $\epsilon\epsilon'' - \epsilon - \epsilon'' = 0$, en divisant par $\epsilon$ et par passage à l'ombre, on obtient $\left(\frac{0}{\epsilon}\right) = -1$, on peut donc écrire : $\epsilon' = -\epsilon(1 + \epsilon''')$, $\epsilon''$ infinitésimal.

Ce qui nous donne : $\omega\epsilon^2 = 1 + \epsilon - \epsilon^2 - \epsilon^2\epsilon''$.

Finalement, cette procédure typiquement non standard nous donne l'expression des coordonnées du point M comme suit :

$$M_{\omega} = \begin{pmatrix} \omega\epsilon \\ \omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\epsilon} + 1 - \epsilon - \epsilon\epsilon'' \\ \frac{1}{\epsilon^2} + \frac{1}{\epsilon} - 1 - \epsilon'' \end{pmatrix}.$$
Comme $\varepsilon$ et $\varepsilon'''$ sont des infinitésimaux, on peut écrire : $M_\omega \approx M = \begin{pmatrix} \frac{1}{\varepsilon} + 1 \\ \frac{1}{\varepsilon^2} + \frac{1}{\varepsilon} - 1 \end{pmatrix}$.

L'utilisation du principe de permanence nous donne alors les équations paramétriques de la courbe asymptote à la courbe $C : \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t+1 \\ t^2 + t - 1 \end{pmatrix}$.

**Remarque :** Le paramétrage obtenu n'est évidemment pas unique; en changeant de représentation de la décomposition associée à $M$, on trouve un autre paramétrage que l'on qualifiera d'équivalent. Contrairement à l'étude classique des courbes algébriques, on n'a pas à se préoccuper de l'existence de tels développements, ils apparaissent naturellement.

*Etude dans la direction asymptotique $\vec{V}_1$ :*

Dans ce cas, le point illimité $M_\omega$ admet la décomposition :

$$M_\omega = \frac{\omega}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon \\ 1 - \varepsilon \end{pmatrix}.$$

En reportant ces valeurs dans l'équation de la courbe, et après simplification on a :

$$\sqrt{2\omega\varepsilon(1+\varepsilon)^2 + (1-\varepsilon)^2} = 0. \quad (3)$$

Le passage à l'ombre nous donne : $^0(\omega\varepsilon) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, donc $\omega\varepsilon$ est un réel limité; on a alors une asymptote oblique d'équation : $\frac{y}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}} = -^0(\omega\varepsilon)$, soit $y = x + 1$.

De l'équation (3), on obtient $\omega = -\frac{(1-\varepsilon)^2}{\sqrt{2\varepsilon(1+\varepsilon)^2}}$,

ce qui nous permet d'écrire les coordonnées du point à l'infini comme suit :

$$M_\omega = \begin{pmatrix} -\frac{(1-\varepsilon)^2}{2\varepsilon(1+\varepsilon)} \\ -\frac{(1-\varepsilon)^3}{2\varepsilon(1+\varepsilon)^2} \end{pmatrix}.$$

Le principe de permanence nous donne une paramétrisation rationnelle de la cubique :

$$\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{(1-t)^3}{t(1+t)^2} \\ -\frac{(1-t)^2}{t(1+t)} \end{pmatrix}.$$
Bibliographie

[1] F. DIENER et G. REEB, *Cours d'analyse non standard*, Hermann, Paris 1989.

[2] M. GOZE, *Etude locale des courbes algébriques*, IRMA Strasbourg 1982.

[3] M. GOZE et R. LUTZ, *Non standard analysis: A practical guide with applications*, Lecture Notes in Maths., Springer-Verlag 88 (1981).

[4] M. HANNACHI, *Invariants métriques associés aux points singuliers d'une courbe réelle*, IRMA, Strasbourg, (1985).

[5] M. HANNACHI, *Courbure généralisée ou finesse des courbes planes*, Actes de l'école d'été OPU (Alger) CNRS (Paris) 1987, 181-185.

[6] M. HANNACHI, *Invariants métriques associés à une courbe réelle*, Magrhreb Mathematica Rewiew, Vol.1 N°2 (1992), 161-166.

[7] M. HANNACHI, *Invariants métriques associés à une courbe réelle dans $\mathbb{R}^n$*, Magrhreb Mathematica Rewiew, Vol.3 N°1 (1994), 65-68.

[8] M. HANNACHI, *Invariants métriques associés aux points singuliers, à distance finie ou infinie, d'une courbe réelle*, Thèse de doctorat d'état, Sétif 1996.

[9] J. LELONG-FERRAND et J.M. ARNAUDIES, *Cours de mathématiques (tome 3)*, Dunod Université, Paris 1977.

Institut de Mathématiques

Université Ferhat Abbas, Sétif

1900 Algérie