$$
\underline{\underline{L}}_c = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} L_p & 0 \\ 0 & L_p \end{bmatrix} & \underline{\underline{O}}_{2,2} & \underline{\underline{O}}_{2,1} \\ \underline{\underline{O}}_{2,2} & \begin{bmatrix} L_s & 0 \\ 0 & L_s \end{bmatrix} & \underline{\underline{O}}_{2,1} \\ \underline{\underline{O}}_{1,2} & \underline{\underline{O}}_{1,2} & L_0 \end{bmatrix}
$$

$$
\text{Où : } L_p = L + 2M_1 \cos\frac{2\pi}{5} + 2M_2 \cos\frac{4\pi}{5}, L_s = L + 2M_1 \cos\frac{6\pi}{5} + 2M_2 \cos\frac{8\pi}{5}
$$

et $L_0 = L + 2M_1 + 2M_2$

L'expression de la puissance électrique dans ce nouveau repère est :

$$
P_e = \underline{\underline{E}}_c \cdot \underline{\underline{i}}_c = P_{ep} + P_{es} + P_{e0} \quad (5.17)
$$

Où $P_{ep}$, $P_{es}$ et $P_{e0}$ sont les puissances développées respectivement par la machine principale, la machine secondaire et la machine homopolaire. Les expressions de ces puissances sont :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
P_{ep} = E_{\alpha p} i_{\alpha p} + E_{\beta p} i_{\beta p} \\
P_{es} = E_{\alpha s} i_{\alpha s} + E_{\beta s} i_{\beta s} \\
P_{e0} = E_{0} i_{0}
\end{array}
\right.
\qquad (5.18)
$$

Dans ce nouveau repère, de Concordia, les signaux sont quasiment sinusoïdaux. Ce qui se traduit par le calcul de régulateurs particuliers adaptés à des références et des perturbations sinusoïdales. Pour pouvoir utiliser des régulateurs de type PID, ou équivalent, il s'avère nécessaire d'appliquer une nouvelle transformation pour travailler dans un repère tournant où les différentes grandeurs deviennent « continues ». C'est la transformation de Park. Comme indiqué précédemment, l'harmonique principal dans la machine principale est le fondamental, et celui de la machine secondaire est l'harmonique de rang 3. Cela se traduit par une transformation $\underline{\underline{P}}(-\theta)$ pour la machine principale et $\underline{\underline{P}}(-3\theta)$ pour la machine secondaire, comme le montre la figure ci-dessous :

<figure><img src="image_105.png" /></figure>

<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>Figure 5.12 : Repère de Park pour chaque plan</figcaption></figure>

Ainsi, la matrice de passage du repère de Concordia vers le repère de Park est :
$$
\underline{\underline{\mathbf{P}}}_5(-\theta) = \begin{bmatrix} \underline{\underline{\mathbf{P}}}(-\theta) & \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{2,2} & \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{2,1} \\ \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{2,2} & \underline{\underline{\mathbf{P}}}(-3\theta) & \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{2,1} \\ \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{1,2} & \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{1,2} & 1 \end{bmatrix} \qquad (5.19)
$$

Le modèle de la machine dans le repère de Park est :

$$
\underline{\underline{E}}_{pa} = \underline{\underline{R}}_{pa} \underline{\underline{i}}_{pa} + \underline{\underline{L}}_{c} \frac{d\underline{\underline{i}}_{pa}}{dt} + \underline{\underline{V}}_{pa} \quad (5.20)
$$

$$
Où \underline{\underline{E}}_{pa} = \underline{\underline{\mathbf{P}}}_5(-\theta)\underline{\underline{E}}_c = [E_{dp} \ E_{qp} \ E_{ds} \ E_{qs} \ E_0]^T,
$$

$$
\underline{\underline{V}}_{pa} = \underline{\underline{\mathbf{P}}}_5(-\theta) \underline{\underline{V}}_{c} = [V_{dp} \ V_{qp} \ V_{ds} \ V_{qs} \ V_0]^T,
$$

$$
\underline{\underline{i}}_{pa} = \underline{\underline{\mathbf{P}}}_5(-\theta) \underline{\underline{i}}_{c} = [i_{dp} \ i_{qp} \ i_{ds} \ i_{qs} \ i_0]^T \text{ et}
$$

$$
\underline{\underline{\mathbf{R}}}_{pa} = \underline{\underline{\mathbf{R}}} + \underline{\underline{\mathbf{P}}}_5(-\theta) \underline{\underline{\mathbf{L}}}_c \frac{d\underline{\underline{\mathbf{P}}}_5(\theta)}{dt} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} R_s & -\omega L_p \\ \omega L_p & R_s \end{bmatrix} & \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{2,2} & \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{2,1} \\ \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{2,2} & \begin{bmatrix} R_s & -3\omega L_s \\ 3\omega L_s & R_s \end{bmatrix} & \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{2,1} \\ \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{1,2} & \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{1,2} & R_s \end{bmatrix}
$$

L'expression de la puissance électrique dans ce repère de Park est :

$$
P_e = \underline{\underline{E}}_{pa} \cdot \underline{\underline{i}}_{pa} = P_{ep} + P_{es} + P_{e0} \quad (5.21)
$$

Où les expressions de $P_{ep}$, $P_{es}$ et $P_{e0}$ sont :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
P_{ep} = E_{dp}i_{dp} + E_{qp}i_{qp} \\
P_{es} = E_{ds}i_{ds} + E_{qs}i_{qs} \\
P_{e0} = E_{0}i_{0}
\end{array}
\right.
\qquad (5.22)
$$

Ainsi, nous aboutissons à 3 machines complétement découplées. Les modèles de Park des machines principale et secondaire sont équivalentes aux modèles de deux machines triphasées indépendantes électriquement, dont l'une est entrainée à la vitesse Ω et l'autre à la vitesse 3Ω.

V.3.2.2. Modélisation de la GSAP pentaphasée associée à un convertisseur AC-DC commandé par MLI

Cette partie porte sur le développement du modèle dynamique de l'association génératrice
GSAP – redresseur MLI pentaphasé en vue de sa simulation. La charge, composée d'un
ensemble onduleur – filtre – réseau, est représentée soit par une source de courant (ou par une
résistance équivalente) si la tension du bus DC est contrôlée en amont, par l'intermédiaire du
redresseur : c'est ce qu'on appelle le mode V-f, ou par une source de tension si cette tension est
contrôlée en aval, par l'intermédiaire de l'onduleur, c'est ce qu'on appelle le mode P-Q. Le
schéma de principe est illustré ci-après :
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>Figure 5.13 : Synoptique de l'ensemble génératrice – redresseur MLI pentaphasé</figcaption></figure>

a- Modèle dynamique instantané de l'ensemble GSAP pentaphasée
- redresseur MLI

Les interrupteurs du redresseur sont considérés idéaux. L'état de conduction de chaque bras x, noté Sx (x = a, b, c, d, e), prend la valeur 1 si c'est l'interrupteur du haut qui conduit ou -1 si c'est l'interrupteur du bas qui conduit (hypothèse : le bras n'a qu'un seul interrupteur qui conduit). Ainsi, les états de conduction des bras du redresseur peuvent être regroupés dans le vecteur :

$$
\underline{S}_{T5} = [S_a \ S_b \ S_c \ S_d \ S_e]^T \qquad (5.23)
$$

Soient O le point milieu du bus continu (ce point peut être réel ou fictif) et N le point neutre de la génératrice (ce point peut être accessible ou non).

Les tensions aux bornes de chaque phase peuvent s'exprimer comme suit :

$$
\underline{V} = \begin{bmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \\ V_d \\ V_e \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} V_{ao} \\ V_{bo} \\ V_{co} \\ V_{do} \\ V_{eo} \end{bmatrix}}_{\underline{V_o}} - \underbrace{\begin{bmatrix} V_{NO} \\ V_{NO} \\ V_{NO} \\ V_{NO} \\ V_{NO} \end{bmatrix}}_{\underline{V_{NO}}} \qquad (5.24)
$$

Si le neutre de la machine est isolé et la FEM homopolaire est nulle, $V_a + V_b + V_c + V_d + V_e = 0$, alors la tension $V_{NO}$ s'exprime sous la forme : $V_{NO} = \frac{1}{5}(V_{ao} + V_{bo} + V_{co} + V_{do} + V_{eo})$ ; En injectant cette équation dans (5.24) on aboutit à :

$$
\underline{V} = \frac{1}{5} \underbrace{\begin{bmatrix} 4 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 4 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 4 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 & 4 \end{bmatrix}}_{\underline{T_{T5}}} \underline{V}_o \qquad (5.25)
$$

D'un autre côté les tensions $V_{xO}$, $x = a, b, c, d, e$, peuvent prendre alternativement $+\frac{V_{dc}}{2}$ ou $-\frac{V_{dc}}{2}$ en fonction de l'état de conduction des interrupteurs. L'expression de ces tensions est :

$$
\underline{V}_o = \underline{S}_{T5} \frac{V_{dc}}{2} \qquad (5.26)
$$
A partir des équations (5.25) et (5.26) on peut exprimer la relation entre les tensions aux bornes de chaque phase en fonction de la tension du bus DC :

$$
\underline{V} = \underline{T}_{T5} \underline{S}_{T5} \frac{V_{dc}}{2} \qquad (5.27)
$$

Dans le cas où le neutre de la machine est isolé mais la FEM homopolaire n’est pas nulle alors $V_a + V_b + V_c + V_d + V_e = E_a + E_b + E_c + E_d + E_e$. Dans ce cas $V_{NO} = \frac{1}{5}(V_{ao} + V_{bo} + V_{co} + V_{do} + V_{eo}) - \frac{1}{5}(E_a + E_b + E_c + E_d + E_e)$. L’équation (5.27) devient :

$$
\underline{V} = \underline{T}_{T5} \underline{S}_{T5} \frac{V_{dc}}{2} + \frac{1}{5} \underline{1}_{5,5} \underline{E} \qquad (5.28)
$$

Où **1**<sub>m,n</sub> est une matrice m x n dont tous les coefficients sont égaux à 1. La relation qui
relie les courants de phase au courant du bus continu peut être obtenue en se basant sur le
principe de la conservation des puissances : **V**.**i** = **V**<sub>dc</sub>I<sub>dc</sub>, à partir de l'équation (5.27) on
obtient :

$$
I_{dc} = \frac{1}{2} \left( \underline{T}_{T5} \underline{S}_{T5} \right)^{T} \underline{i} \qquad (5.29)
$$

Si le neutre de la machine n'est pas connecté on a alors la relation i_a + i_b + i_c + i_d + i_e = 0. On démontre que l'équation (5.29) peut-être réécrite sous la forme :

$$
I_{dc} = \frac{1}{2} \underline{S}_{T5} \underline{T} \underline{i} \qquad (5.30)
$$

En mode P-Q, la loi de variation de la tension du bus continu est :

$$
C_{dc} \frac{dV_{dc}}{dt} = I_{dc} - I_{ch} \qquad (5.31)
$$

Le modèle dynamique global de l'ensemble génératrice – redresseur MLI pentaphasé est
obtenu en combinant les équations (5.13) et (5.23) et en y adjoignant les équations (5.30) et
(5.31). Ce qui permet d'obtenir le système d'équations :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\underline{\underline{E}} = \underline{\underline{R}} \underline{\underline{i}} + \underline{\underline{L}} \frac{di}{dt} + \underline{\underline{T}}_{T5} \underline{\underline{S}}_{T5} \frac{V_{dc}}{2} \\
C_{dc} \frac{dV_{dc}}{dt} = \frac{1}{2} \underline{\underline{S}}_{T5} \underline{\underline{T}} \underline{\underline{i}} - I_{ch}
\end{array}
\right.
\qquad (5.32)
$$

La représentation d'état, sous forme descripteur, de l'ensemble GSAP – redresseur est :

$$
\left[ \begin{array}{c} \underline{\underline{L}} \\ \underline{\underline{O}}_{1,5} \end{array} \right] \frac{d}{dt} \left[ \underline{\underline{i}} \atop V_{dc} \right] = \left[ \begin{array}{cc} -\underline{\underline{R}} & -\frac{1}{2}\underline{\underline{T}}_{T5}\underline{\underline{S}}_{T5} \\ \frac{1}{2}\underline{\underline{S}}_{T5}^{T} & 0 \end{array} \right] \left[ \underline{\underline{i}} \atop V_{dc} \right] + \left[ \underline{\underline{I}}_{5,5} \atop 0 \right] \underline{\underline{E}} - \left[ \underline{\underline{O}}_{5,1} \atop 1 \right] I_{ch} \quad (5.33)
$$

Si le neutre de la machine est isolé mais la FEM homopolaire n’est pas nulle, le modèle
de l’ensemble génératrice – redresseur MLI pentaphasé est :

$$
\left[ \begin{array}{cc} \underline{\underline{L}} & \underline{\underline{O}}_{1,5} \\ \underline{\underline{O}}_{5,1} & C_{dc} \end{array} \right] \frac{d}{dt} \left[ \begin{array}{c} \underline{\underline{i}} \\ V_{dc} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} -\underline{\underline{R}} & -\frac{1}{2}\underline{\underline{T}}_{T5}\underline{\underline{S}}_{T5} \\ \frac{1}{2}\underline{\underline{S}}_{T5}^{T} & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \underline{\underline{i}} \\ V_{dc} \end{array} \right] + \left[ \underline{\underline{I}}_{T5} \atop 0 \right] \underline{\underline{E}} - \left[ \underline{\underline{O}}_{5,1} \atop 1 \right] I_{ch} \quad (5.34)
$$
Le schéma-bloc pour la simulation de l'ensemble génératrice – redresseur MLI pentaphasé est :

<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>Figure 5.14 : Schéma-bloc de l'ensemble génératrice – redresseur MLI pentaphasé</figcaption></figure>

**b- Modèle dynamique continu équivalent de l'ensemble GSAP pentaphasé – redresseur MLI pentaphasé**

Dans le simulateur représenté par le schéma de la figure 5.14 $\underline{S}_{T5}$ sera généré par un bloc MLI qui compare les tensions $V_x, x = a, b, c, d, e, $ à la tension de la porteuse dont l'amplitude est égale à $\frac{V_{dc}}{2}$. Comme cette partie est consommatrice du temps de calcul on peut remplacer $\underline{S}_{T5}$ par sa valeur moyenne $\langle \underline{S}_{T5} \rangle$ obtenue directement par la division des tensions $V_x, x = a, b, c, d, e, $ par l'amplitude de la porteuse $\frac{V_{dc}}{2}$. En effet, comme la période de la MLI est très petite, par rapport aux constantes de temps du système, et que le système est un système dynamique, et non statique, tous les harmoniques du signal MLI $\underline{S}_{T5}$ sont filtrés par le système sauf sa valeur moyenne $\langle \underline{S}_{T5} \rangle$.

La figure 5.15 montre les résultats de simulation du modèle instantané, avec $\underline{S}_{T5}$, et du modèle moyen, avec $\langle \underline{S}_{T5} \rangle$. La fréquence de la porteuse est égale à 5 kHz. La tension de commande considérée est composée d'un fondamental et d'un harmonique de rang 3 dont l'amplitude est égale à 0.3 fois celle du fondamental. Nous pouvons remarquer une concordance entre les résultats issus des deux simulateurs.

<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>Figure 5.15 : Simulation de l'ensemble génératrice – redresseur MLI pentaphasé [Dieng 2014]</figcaption></figure>
### V.3.2.3. Modèle de la génératrice pentaphasée associée à un redresseur Vienna

Dans cette partie nous remplaçons le redresseur MLI par un redresseur Vienna pentaphasé comme le montre la figure 5.16. Comme précédemment la charge est assimilée soit à une source de courant soit à une source de tension.

<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>Figure 5.16 : Synoptique de l'ensemble génératrice – redresseur Vienna pentaphasé</figcaption></figure>

Contrairement au redresseur MLI classique le modèle du redresseur Vienna est plus complexe, car il dépend de l'état de conduction de chaque diode. Mais comme on le verra dans le paragraphe V.4 portant sur la commande, étant donné que la stratégie de commande adoptée impose, en mode normal, la colinéarité des vecteurs FEM $\underline{E}$ et courant $\underline{i}$, cela se traduit par la non nécessité de tenir compte des états de conduction des différentes diodes.

Dans ce cas nous avons démontré [Dieng 2014] que la tension $V_{xO}$, $x = a, b, c, d, e$, d'un seul bras s'écrit :

$$V_{xO} = (1 - S'_{x}) \frac{V_{dc}}{2} \operatorname{sgn}(i_{x}) \qquad (5.35)$$

Où $S'_{x} = 1$ si l'interrupteur correspondant au bras est fermée ou $S'_{x} = 0$ s'il est ouvert.

Ainsi, en regroupant toutes les tensions $V_{xO}$, $x = a, b, c, d, e$, dans un seul vecteur on obtient :

$$\begin{bmatrix} V_{ao} \\ V_{bo} \\ V_{co} \\ V_{do} \\ V_{eo} \end{bmatrix} = \underline{S}_{TV5} \frac{V_{dc}}{2} \qquad (5.36)$$

$$\text{Où } \underline{S}_{TV5} = \begin{bmatrix} (1 - S'_{a})\operatorname{sgn}(i_{a}) \\ (1 - S'_{b})\operatorname{sgn}(i_{b}) \\ (1 - S'_{c})\operatorname{sgn}(i_{c}) \\ (1 - S'_{d})\operatorname{sgn}(i_{d}) \\ (1 - S'_{e})\operatorname{sgn}(i_{e}) \end{bmatrix}$$
L'équation (5.25) étant valable quel que soit le redresseur considéré, alors l'expression
des tensions de phase de la génératrice est :

$$
\underline{V} = \underline{T}_{T5} \underline{S}_{TV5} \frac{V_{dc}}{2} \qquad (5.37)
$$

Si le neutre est isolé est que la FEM homopolaire n'est pas nulle, l'expression des tensions
de phase est :

$$
\underline{V} = \underline{T}_{T5} \underline{S}_{TV5} \frac{V_{dc}}{2} + \frac{1}{5} \underline{1}_{5,5} \underline{E} \quad (5.38)
$$

Dans le cas où le neutre est relié au point milieu du bus continu on obtient :

$$
\underline{V} = \underline{S}_{TV5} \frac{V_{dc}}{2} \qquad (5.39)
$$

De même que dans le cas du redresseur MLI, en vue de réduire les temps de calcul, $\underline{S}_{TV5}$ est remplacé par sa valeur moyenne $\langle \underline{S}_{TV5} \rangle$ obtenue directement par la division des tensions $V_x$, $x = a, b, c, d, e$, par l'amplitude de la porteuse $\frac{V_{dc}}{2}$.

Le modèle électrique de la génératrice – redresseur Vienna pentaphasé est :

$$
\underline{E} = \underline{R} \underline{i} + \underline{L} \frac{di}{dt} + \underline{T}_{T5} \underline{S}_{TV5} \frac{V_{dc}}{2} \quad (5.40)
$$

Dans le cas où le neutre est isolé et que la FEM homopolaire n'est pas nulle l'équation (5.40) devient :

$$
\left( \underline{I}_{5,5} - \frac{1}{5} \underline{\mathbf{1}}_{5,5} \right) \underline{E} = \underline{R} \underline{i} + \underline{L} \frac{di}{dt} + \underline{T}_{T5} \underline{S}_{TV5} \frac{V_{dc}}{2} \quad (5.41)
$$

Le modèle d'état s'obtient en inversant dans (5.40) ou (5.41) la matrice inductance $\underline{L}$.

Les courbes de simulations sont tracées dans le paragraphe V.4, car nous avons besoin de
synthétiser un régulateur pour pouvoir simuler ce système.

V.3.2.4. Modèle de la génératrice pentaphasée associée à un
redresseur MLI ou Vienna en mode dégradé

Dans ce sous-paragraphe l'étude sera portée sur l'ouverture de la phase e, mais rien
n'empêche de généraliser la méthode à n'importe quelle autre phase puisque le système
présente une symétrie circulaire. De plus, si le mode de défaut est plutôt un cours circuit d'un
interrupteur, il est d'usage que le système de protection fasse ouvrir le bras correspondant à
l'interrupteur en défaut, ce qui nous amène au problème initial d'ouverture de phase.

La figure ci-après présente les ensembles génératrice – redresseur MLI ou Vienna pentaphasés dans le cas où la phase e est ouverte.
<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>Figure 5.17 : Topologie des ensembles génératrice – redresseur MLI ou Vienna pentaphasés avec ouverture de la phase e [Dieng 2014]</figcaption></figure>

Dans ce cas de figure nous perdons un état du système, le courant $i_e$. L'équation (5.13) devient :

$$ \underline{\underline{E}} = \underline{\underline{R}} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \\ i_c \\ i_d \\ 0 \end{bmatrix} + \underline{\underline{L}} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \\ i_c \\ i_d \\ 0 \end{bmatrix} + \underline{\underline{V}} \qquad (5.42) $$

En posant $\underline{\underline{i}}_D^e = [i_a \ i_b \ i_c \ i_d]^T$, $\underline{\underline{V}}_D^e = [V_a \ V_b \ V_c \ V_d]^T$

et $\underline{\underline{E}}_D^e = [E_a \ E_b \ E_c \ E_d]^T$ l'équation (5.42) se réécrit comme suit :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \underline{\underline{E}}_D^e = \underline{\underline{R}}_D^e \underline{\underline{i}}_D^e + \underline{\underline{L}}_D^e \frac{d\underline{\underline{i}}_D^e}{dt} + \underline{\underline{V}}_D^e \\ E_e - V_e = [M_1 \ M_2 \ M_2 \ M_1] \frac{d\underline{\underline{i}}_D^e}{dt} \end{array} \right. \qquad (5.43) $$

$$ \text{Où : } \underline{\underline{L}}_D^e = \begin{bmatrix} L & M_1 & M_2 & M_2 \\ M_1 & L & M_1 & M_2 \\ M_2 & M_1 & L & M_1 \\ M_2 & M_2 & M_1 & L \end{bmatrix} \text{ et } \underline{\underline{R}}_D^e = R_s \underline{\underline{I}}_{4,4} $$

Dans le cas du redresseur MLI, le neutre étant isolé, nous obtenons $V_a + V_b + V_c + V_d + V_e = E_a + E_b + E_c + E_d + E_e$.

Les tensions aux bornes des phases saines s'expriment :

$$ \underline{\underline{V}}_D^e = \begin{bmatrix} V_{ao} \\ V_{bo} \\ V_{co} \\ V_{do} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} V_{NO} \\ V_{NO} \\ V_{NO} \\ V_{NO} \end{bmatrix} \qquad (5.44) $$

En additionnant les termes de l'équation ci-avant on aboutit à $V_{NO} = \frac{1}{4}(V_{ao} + V_{bo} + V_{co} + V_{do}) - \frac{1}{4}(E_a + E_b + E_c + E_d + E_e - V_e)$. En réinjectant cette équation dans (5.44) nous obtenons :
$$
\underline{V}_D^{e-} = \frac{1}{4} \underbrace{\begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 3 \end{bmatrix}}_{\underline{T_{T4}}} \underline{V}_{OD}^{e-} + \frac{1}{4} \underline{\mathbf{1}}_{4,4} \underline{E}_D^{e-} + \frac{1}{4} \underline{\mathbf{1}}_{4,1} (E_e - V_e) \quad (5.45)
$$

Pour les mêmes raisons que dans le cas sain nous aboutissons à la relation :

$$
\underline{V}_{OD}^{e-} = \underline{S}_{T4} \frac{V_{dc}}{2} \qquad (5.46)
$$

Où $\underline{S}_{T4} = [S_a \ S_b \ S_c \ S_d]^T$. En remplaçant dans (5.45) l'expression de $E_e - V_e$, trouvée dans (5.43), et l'expression de $\underline{V}_{OD}^{e-}$, donnée par (5.46), on obtient :

$$
\underline{V}_D^{e-} = \underline{T}_{T4} \underline{S}_{T4} \frac{V_{dc}}{2} - \frac{1}{4} \underline{\mathbf{1}}_{4,4} \underline{E}_D^{e-} + \frac{1}{4} \underline{\mathbf{1}}_{4,1} [M_1 \ M_2 \ M_2 \ M_1] \frac{d\underline{i}_D^{e-}}{dt} \quad (5.47)
$$

Ainsi le modèle de l'ensemble génératrice – redresseur MLI en mode défaut (phase e ouverte) est :

$$
\underline{E}'_{\underline{D}} = \underline{R}_{\underline{D}}^{e-} \underline{i}_{\underline{D}}^{e-} + \underline{L}'_{\underline{D}} \frac{d\underline{i}_{\underline{D}}^{e-}}{dt} + \underline{T}_{\underline{T4}} \underline{S}_{\underline{T4}} \frac{V_{dc}}{2} \quad (5.48)
$$

$$
\text{Avec : } \underline{E}'_{\underline{D}}^{e-} = \underline{T}_{\underline{T4}} \underline{E}_{\underline{D}}^{e-}, \quad \underline{L}'_{\underline{D}} = \begin{bmatrix} L + \frac{1}{4}M_1 & M_1 + \frac{1}{4}M_2 & \frac{5}{4}M_2 & M_2 + \frac{1}{4}M_1 \\ \frac{5}{4}M_1 & L + \frac{1}{4}M_2 & M_1 + \frac{1}{4}M_2 & M_2 + \frac{1}{4}M_1 \\ M_2 + \frac{1}{4}M_1 & M_1 + \frac{1}{4}M_2 & L + \frac{1}{4}M_2 & \frac{5}{4}M_1 \\ M_2 + \frac{1}{4}M_1 & \frac{5}{4}M_2 & M_1 + \frac{1}{4}M_2 & L + \frac{1}{4}M_1 \end{bmatrix}
$$

Le modèle d'état de l'ensemble génératrice – redresseur MLI s'obtient après inversion de
la matrice $\underline{\underline{L}}'_{\underline{D}}^{e-}$. La puissance électrique en mode dégradé est :

$$
P_e = \underline{E}'_{\underline{D}} e^{-} \cdot \underline{i}_{\underline{D}} e^{-} \qquad (5.49)
$$

En adoptant la même démarche, le modèle de l'ensemble génératrice – redresseur Vienna,
dans le cas où le neutre de la génératrice est relié au point milieu du bus continu, est :

$$
\underline{E}_D^{e-} = \underline{R}_D^{e-} \cdot \underline{i}_D^{e-} + \underline{L}_D^{e-} \cdot \frac{d\underline{i}_D^{e-}}{dt} + \underline{S}_{TV4} \frac{V_{dc}}{2} \quad (5.50)
$$

$$
\text{Où } \underline{S}_{TV4} = \begin{bmatrix} (1 - S'_{a})\operatorname{sgn}(i_a) \\ (1 - S'_{b})\operatorname{sgn}(i_b) \\ (1 - S'_{c})\operatorname{sgn}(i_c) \\ (1 - S'_{d})\operatorname{sgn}(i_d) \end{bmatrix}
$$

La puissance électrique en mode dégradé est :

$$
P_e = \underline{E}_D^{e-} \cdot \underline{i}_D^{e-} \qquad (5.51)
$$
V.4. Stratégie de commande d'un ensemble génératrice
synchrone pentaphasée à FEM non sinusoïdale –
redresseur, en mode sain et en mode dégradé

Dans le paragraphe V.3 nous avons présenté des modèles d’une génératrice pentaphasée associée à des redresseurs MLI ou Vienna (figure 5.9 dont je rappelle une version schématisée dans la figure ci-après). Le schéma de gauche correspond au cas où la régulation de la tension du bus DC est assurée par le redresseur (mode V-f). Alors que le schéma de droite correspond au cas où c’est l’onduleur connecté au réseau qui assure la régulation de la tension du bus DC (mode P-Q). Ces modèles sont développés en mode sain et en mode dégradé. Dans cette partie nous allons présenter la stratégie de commande adoptée ainsi qu’un régulateur à hautes performances dynamiques nécessaire pour le suivi des consignes variables imposées par la stratégie de commande. Ce régulateur est un PI fractionnaire : PI<sup>α</sup>.

<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>Figure 5.18 : Synoptique de l’ensemble génératrice – redresseur pentaphasé</figcaption></figure>

V.4.1. Prototype expérimental

Au sein de notre laboratoire IREENA, un prototype de machine synchrone pentaphasée à
aimants permanents a été développé. Les paramètres de ce prototype sont :

- La résistance statorique : R<sub>s</sub> = 0.54Ω.

- L'inductance statorique : L = 3.3 mH.

- La mutuelle inductance entre deux phases adjacentes : M₁ = 0.93 mH.

- La mutuelle inductance entre deux phases non adjacentes : M₂ = -2.4 mH.

- Quant au relevé expérimental de la FEM de la phase a à la vitesse Ω = 1000 tr/min est présenté sur la figure ci-après.
<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>Figure 5.19 : Relevé expérimental de la FEM à 1000tr/min [Dieng 2014].</figcaption></figure>

L'analyse spectrale de cette FEM (figure 5.19) est présentée sur le tableau ci-après.

<table><caption>Tableau 5.2 : Analyse spectrale de la FEM de la machine pentaphasée</caption><tr><td>Harmoniques</td><td>1</td><td>3</td><td>5</td><td>7</td><td>9</td></tr><tr><td>Amplitude</td><td>100%</td><td>30%</td><td>14%</td><td>3%</td><td>0.7%</td></tr></table>

Comme indiqué dans le tableau 5.1 du paragraphe V.3, le fondamental et l'harmonique 9 se projettent sur le plan principal, les harmoniques 3 et 7 sur le plan secondaire et l'harmonique 5 sur le plan homopolaire.

Dans le plan principal le fondamental est dominant. Donc, nous pouvons négliger l'harmonique 9. Alors, que dans le plan secondaire le rapport entre l'harmonique 7 et l'harmonique 3 est égale à 10%. Donc, il ne doit pas être négligé si l'on veut réduire les ondulations de couple. En effet, même si on projette ces FEM dans le référentiel de Park, nous remarquons que les FEM de la machine secondaire ne sont pas constantes, contrairement à celles de la machine principale, comme le montre la figure ci-après.

<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>Figure 5.20 : Relevé de la FEM dans le référentiel de Park [Dieng 2014].</figcaption></figure>

### V.4.2. Stratégie de commande de la génératrice pentaphasée à FEM non sinusoïdale en mode sain

Le but est d'optimiser le fonctionnement de l'ensemble génératrice -redresseur. Pour cela, l'objectif est de maximiser la puissance transmise par la génératrice vers la charge. Ce qui revient à minimiser les pertes Joule (nous négligeons les pertes induites par le convertisseur). A vitesse constante, la maximisation de la puissance est équivalente à la maximisation du couple. Il faut donc maximiser le couple tout en veillant à ce qu'il ne soit pas ondulant à cause de la présence des harmoniques dans la FEM.
Au paragraphe V.3 nous avons calculé les expressions de la puissance électrique en fonction des FEM et des courants (équations (5.14), (5.17) et (5.21)) dans les différents référentiels (canonique, Concordia et Park). L'expression générale de la puissance électromagnétique est :

$$P_e = \begin{cases} \underline{\underline{\mathbf{E}}} \cdot \underline{\underline{i}} & : \text{dans la base canonique a, b, c, d, e} \\ \underline{\underline{\mathbf{E}}}_c \cdot \underline{\underline{i}}_c & : \text{dans le référentiel de Concordia} \\ \underline{\underline{\mathbf{E}}}_{pa} \cdot \underline{\underline{i}}_{pa} & : \text{dans le référentiel de Park} \end{cases} \qquad (5.52)$$

$$\text{Où : } \underline{\underline{\mathbf{E}}} = [E_a \ E_b \ E_c \ E_d \ E_e]^T \text{ et } \underline{\underline{i}} = [i_a \ i_b \ i_c \ i_d \ i_e]^T,$$

$$\underline{\underline{\mathbf{E}}}_c = [E_{\alpha p} \ E_{\beta p} \ E_{\alpha s} \ E_{\beta s} \ E_0]^T \text{ et } \underline{\underline{i}}_c = [i_{\alpha p} \ i_{\beta p} \ i_{\alpha s} \ i_{\beta s} \ i_0]^T,$$

$$\underline{\underline{\mathbf{E}}}_{pa} = [E_{dp} \ E_{qp} \ E_{ds} \ E_{qs} \ E_0]^T \text{ et } \underline{\underline{i}}_{pa} = [i_{dp} \ i_{qp} \ i_{ds} \ i_{qs} \ i_0]^T$$

L'expression du couple est :

$$\Gamma_e = \frac{1}{\Omega} P_e \qquad (5.53)$$

A partir des équations (5.52), minimiser les pertes Joule revient à imposer les vecteurs FEM et courants colinéaires. Dans les différents référentiels ceci se traduit par la génération des courants de références de telle sorte que :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \underline{i}_{ref} = \alpha \underline{\underline{\mathbf{E}}} & : \text{dans la base canonique} \\ \underline{i}_{c\_ref} = \alpha_c \underline{\underline{\mathbf{E}}}_c & : \text{dans le référentiel de Concordia} \\ \underline{i}_{pa\_ref} = \alpha_{pa} \underline{\underline{\mathbf{E}}}_{pa} & : \text{dans le référentiel de Park} \end{array} \right. \qquad (5.54)$$

En combinant les équations (5.52), (5.53) et (5.54) nous aboutissons aux références de courants ci-après :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \underline{i}_{ref} = \Omega \Gamma_{e\_ref} (\underline{\underline{\mathbf{E}}}^T \underline{\underline{\mathbf{E}}})^{-1} \underline{\underline{\mathbf{E}}} & : \text{dans la base canonique} \\ \underline{i}_{c\_ref} = \Omega \Gamma_{e\_ref} (\underline{\underline{\mathbf{E}}}_c^T \underline{\underline{\mathbf{E}}}_c)^{-1} \underline{\underline{\mathbf{E}}}_c & : \text{dans le référentiel de Concordia} \\ \underline{i}_{pa\_ref} = \Omega \Gamma_{e\_ref} (\underline{\underline{\mathbf{E}}}_{pa}^T \underline{\underline{\mathbf{E}}}_{pa})^{-1} \underline{\underline{\mathbf{E}}}_{pa} & : \text{dans le référentiel de Park} \end{array} \right. \qquad (5.55)$$

Dans la base canonique, dans le cas où le neutre de la génératrice est isolé et que la FEM homopolaire n'est pas nulle, les expressions des références de courants deviennent :

$$\underline{i}'_{ref} = \Omega \Gamma_{e\_ref} (\underline{\underline{\mathbf{E}}}^T \underline{\underline{\mathbf{E}}})^{-1} \underline{\underline{\mathbf{E}}} \qquad (5.56)$$

Où : $\underline{\underline{\mathbf{E}}} = \underline{\underline{T}}_{T5} \underline{\underline{\mathbf{E}}} \text{ (où } \underline{\underline{T}}_{T5} \text{ est la matrice de transformation utilisée dans le paragraphe V.3).}$

Dans les bases de Concordia et de Park, si le neutre de la machine est isolé et que la FEM homopolaire n'est pas exploitée, l'expression des références de courants deviennent :

$$\left\{ \begin{array}{ll} \underline{i}'_{c\_ref} = \Omega \Gamma_{e\_ref} (\underline{\underline{\mathbf{E}}}'^T \underline{\underline{\mathbf{E}}}'_c)^{-1} \underline{\underline{\mathbf{E}}}'_c & : \text{dans le référentiel de Concordia} \\ \underline{i}'_{pa\_ref} = \Omega \Gamma_{e\_ref} (\underline{\underline{\mathbf{E}}}'^T \underline{\underline{\mathbf{E}}}'_{pa})^{-1} \underline{\underline{\mathbf{E}}}'_{pa} & : \text{dans le référentiel de Park} \end{array} \right. \qquad (5.57)$$

$$\text{Où : } \underline{\underline{\mathbf{E}}}'_c = [E_{\alpha p} \ E_{\beta p} \ E_{\alpha s} \ E_{\beta s}]^T \text{ et } \underline{\underline{i}}'_c = [i_{\alpha p} \ i_{\beta p} \ i_{\alpha s} \ i_{\beta s}]^T,$$
$$
\underline{\underline{E}}'_{pa} = [E_{dp} \ E_{qp} \ E_{ds} \ E_{qs}]^T \text{ et } \underline{\underline{i}}'_{pa} = [i_{dp} \ i_{qp} \ i_{ds} \ i_{qs}]^T
$$

Remarque : dans les expressions des références de courants, le vecteur FEM est tabulé en fonction de l'angle électrique θ.

Exemple d'application : Si nous reprenons le tracé des FEM exprimée dans le référentiel de Park et présenté sur la figure 5.20, et que nous n'exploitons pas l'harmonique 7 ainsi que la FEM homopolaire, les références de courants dans Park sont alors :

$$
\left\{
\begin{aligned}
i_{dp\_ref} &= 0 \\
i_{qp\_ref} &= \frac{E_{qp}}{E_{qp}^2+E_{qs}^2} \Omega \Gamma_{e\_ref} \\
i_{ds\_ref} &= 0 \\
i_{qs\_ref} &= \frac{E_{qs}}{E_{qp}^2+E_{qs}^2} \Omega \Gamma_{e\_ref}
\end{aligned}
\right.
\qquad (5.58)
$$

Remarque : Cette stratégie a été développée pour des applications en fonctionnement moteur d'une machine pentaphasée à FEM non sinusoïdale [Sari 2012, Dieng 2012b].

Dans le cas de notre machine, au vu du tableau 5.2, le rapport entre les FEM Eqs et Eqp est égale au rapport entre l'harmonique 3 et le fondamental (en ayant négligé les harmoniques 7 et 9). Soit alors rf ce rapport :

$$
r_f = \frac{E_{qs}}{E_{qp}} = 0.3 \tag{5.59}
$$

En injectant ce rapport dans les références de courants (5.58) nous obtenons les nouvelles expressions des références de courants ci-après :

$$
\left\{
\begin{aligned}
i_{dp\_ref} &= 0 \\
i_{qp\_ref} &= \frac{1}{E_{qp}(1+r_f^2)} \Omega \Gamma_{e\_ref} \\
i_{ds\_ref} &= 0 \\
i_{qs\_ref} &= r_f i_{qp\_ref}
\end{aligned}
\right.
\qquad (5.60)
$$

En imposant ces références de courant constantes, le couple électromagnétique sera ondulatoire à cause de l'harmonique 7 qui introduit une perturbation.

Reamarque : Cette démarche qui nous a permis d'aboutir aux références de courant données par (5.60) peut être appliquée pour l'obtention des références de courant dans les repères de Concordia ou canonique.

Dans le repère de Park, la stratégie de commande à couple constant impose l'introduction de l'harmonique de rang 7 de la FEM. Dans ce cas, les références des courants dans la machine secondaire ne sont plus constantes mais variables. De même, si la commande a lieu dans les référentiels canoniques ou de Concordia, les FEM ne sont naturellement pas constantes, que ça soit dans la machine principale ou dans la machine secondaire. Pour toutes ces raisons, il est nécessaire d'utiliser des régulateurs à très hautes performances dynamiques. Pour notre application, notre choix s'est porté sur le PI fractionnaire : PI<sup>α</sup>, ainsi que le régulateur non-linéaire MRC (Modulateur Régulateur de Courant) [Le Claire 1999, Olivier 2006, Liang 2016b]. Le MRC est un régulateur auto-oscillant qui a été développé à l'IREENA par J.C Le
Claire. C'est un régulateur à très haute performances dynamiques réalisé à base de composants d'électronique analogique. Son principe met en jeu deux fonctions de base : la régulation de courant en basse fréquence et le contrôle de la fréquence de commutation en hautes fréquences. Pour plus d'information sur le régulateur MRC se référer aux travaux exposés dans [Dieng 2014, Liang 2016b].

Le schéma de principe de la régulation est présenté dans la figure ci-après.

<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>Figure 5.21 : Structure de la commande dans le référentiel de Park.</figcaption></figure>

Cette structure est la même quel que soit le référentiel dans lequel on travaille.

V.4.3. Régulateur PI fractionnaire : PI$^{\alpha}$

A. Oustaloup [Oustaloup 1991] a été le premier à utiliser des régulateurs d'ordre fractionnaire pour la commande des systèmes via son régulateur CRONE (Commande Robuste d'Ordre Non Entier). Dans [Podlubny 1999] nous trouvons une présentation du régulateur PID fractionnaire : PI<sup>α</sup>D<sup>β</sup>. Podlubny montre que les performances dynamiques de ce régulateur sont nettement meilleures que celles des régulateurs PID traditionnels. En effet, par construction, le PI<sup>α</sup>D<sup>β</sup> est un filtre linéaire de dimension infinie. La fonction de transfert d'un tel PID est :

$$
C(p) = K_p + \frac{K_i}{p^{\alpha}} + K_d p^{\beta} \tag{5.61}
$$

Où $\alpha, \beta \in \mathbb{Q}$

Le dérivateur fractionnaire d'ordre $\beta$ d'une fonction $f(t)$ est défini comme :

$$
(D^{\beta} f)(t) = \frac{d^{\beta}}{dt^{\beta}} f(t) \tag{5.62}
$$

Quant à l'intégrateur fractionnaire d'ordre $\alpha$ d'une fonction $f(t)$ est défini comme :

$$
(I^{\alpha} f)(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{t} (\tau - t)^{\alpha-1} f(\tau) d\tau \quad (5.63)
$$

Où $\Gamma(\alpha)$ est la fonction gamma. Elle étend la notion de factoriel aux nombres réels.

Pour l'implémentation pratique de ce type de régulateur il faut définir une bande de
fréquence de fonctionnement et l'approximer par des transferts linéaires d'ordre entier. Par
exemple, dans le cas d'une application hydrolienne, il suffit de définir une bande de fréquence
qui couvre toutes les vitesses de rotations de la turbine en fonction de la vitesse des courants
marins. Il existe plusieurs dizaines de méthodes d'approximation de l'opérateur d'ordre
fractionnaire. Parmi celles-ci nous pouvons citer : La méthode d'approximation de Charef
[Charef 1992, Charef 2006] ; la méthode d'approximation d'Oustaloup [Oustaloup 1999, Arab
Tehrani 2010] ; la méthode de Matsuda [Ladaci 2007, Djouambi 2008] ; la méthode de Carlson
[Ladaci 2007, Djouambi 2008], ...

V.4.3.1. Approximation de Charef

Pour notre étude, nous avons retenu l'approximation de Charef. Soit à approximer une
fonction de transfert d'ordre fractionnaire suivante :

$$
G(p) = \frac{k}{p^{\alpha}} \tag{5.64}
$$

Le tracé de Bode de cette fonction est une droite de pente –20α dB/décade, pour le
module, et une droite horizontale à –90α°, pour la phase.

L'idée proposée par Charef est d'approximer la pente -20α dB/décade par une alternance d'asymptotes de -20 dB/décade et de 0 dB/décade sur une bande de fréquences [ωb, ωh], comme le montre la figure ci-après.

<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>Figure 5.22 : Approximation d'une pente de -20α dB/décade par la méthode de Charef</figcaption></figure>

Cette alternance d'asymptotes correspond à une alternance de pôles et de zéros tels que
$p_0 < z_0 < \cdots < z_{n-1} < p_n$, ce qui donne la fonction de transfert approximante suivante :

$$
G(p) = \frac{k}{p^\alpha} \approx k \frac{\prod_{i=0}^{n-1} \left(1 - \frac{p}{z_i}\right)}{\prod_{i=0}^{n} \left(1 - \frac{p}{p_i}\right)} \quad (5.65)
$$

Pour limiter l'ordre du transfert approximant ci-avant on définit une erreur maximale ε en dB entre la courbe de pente -20α dB/décade et la courbe bleue, en zigzag, de la figure 5.22. Plus cette erreur est grande moins l'ordre du transfert est grand et vice versa. Pour plus de développements mathématiques se référer à [Charef 1992, Charef 2006, Dieng 2014].

V.4.3.2. Synthèse du PI<sup>α</sup> sur un système du 1<sup>er</sup> ordre :

Nous avons proposé une méthode de synthèse d'un PI fractionnaire pour un système du premier ordre. Soit un système représenté par le transfert du premier ordre ci-après.

$$
H(p) = \frac{k}{1 + \tau p} \tag{5.66}
$$
Le but est la synthèse d'un régulateur PI fractionnaire ci-après.

$$
C(p) = K_p + \frac{K_i}{p^{\alpha}} \tag{5.67}
$$

Ainsi, nous avons 3 paramètres à synthétiser : Kp, Ki et α.

Pour ce faire, la méthode que nous proposons consiste à synthétiser ce régulateur de telle
sorte que dans la bande de fréquences [ωb, ωh] le transfert en boucle ouverte G(p) = C(p)H(p)
soit approximé par la fonction de transfert idéale de Bode ci-après.

$$
T(p) = \frac{A_k}{p^\beta} \tag{5.68}
$$

Avec 1 < β < 2. β est calculé en fonction de la marge de phase désirée φm que l'on veut
imposer au transfert de Bode idéal :

$$
\beta = 2 \left( 1 - \frac{\varphi_m}{\pi} \right) \tag{5.69}
$$

Les paramètres Kp et Ki sont d'abord synthétisés en fixant α à 1, en utilisant les méthodes
classiques de synthèse (technique de placement de pôles, méthode de l'optimum symétrique,
...).

Il faut s'assurer que l'effet intégral soit effectif dans la bande de fréquences [ωb, ωh]. Ce
qui est équivalent à vérifier que Kp/Ki ≫ ωh. Si pendant la synthèse de Kp et Ki, cette condition
est assurée, alors il n'y a plus rien à faire. Si non, il faut augmenter Kp et/ou diminuer Ki pour
s'assurer de cette contrainte.

Finalement, dans cette bande de fréquences le correcteur peut-être approximé par :

$$
C(p) = K_p + \frac{K_i}{p^{\alpha}} \approx \frac{K_i}{p^{\alpha}} \tag{5.70}
$$

Si dans cette bande l'ordre de H(p) est égale à 0 alors le transfert de boucle est :

$$
G(p) = C(p)H(p) \approx \frac{kK_i}{p^{\alpha}} \quad (5.71)
$$

En identifiant ce transfert au transfert de Bode idéal nous déduisons : α = β.

Si au contraire, dans cette bande de fréquences, l'ordre de H(p) est 1 alors le transfert de
boucle est :

$$
G(p) = C(p)H(p) \approx \frac{kK_i}{\tau p^{\alpha+1}} \quad (5.72)
$$

En identifiant ce transfert au transfert de Bode idéal nous déduisons : α = β − 1.

Remarque : Dans [Dieng 2014] nous avons proposé aussi une méthode de synthèse du PI
fractionnaire se basant sur une méta-heuristique (les essais de particules) dont la fonction
objective est construire à base du gain et de la phase du transfert en boucle fermée dans la
bande de fréquences désirée (gain=1 et phase≈0).
V.4.4. Régulation de l'ensemble génératrice - redresseur pentaphasé en mode sain par un PI$^{\alpha}$ - mode P-Q

Dans cette partie nous allons appliquer la commande par régulateur PI fractionnaire à l'ensemble génératrice – redresseur MLI ou Vienna pentaphasé. Ce régulateur sera dans un premier temps appliqué dans le référentiel de Park, puis dans Concordia, et enfin dans le référentiel canonique. Dans [Dieng 2014], avant de l'appliquer à l'ensemble génératrice – redresseur pentaphasé, nous l'avons appliqué avec succès à un redresseur monophasé MLI et Vienna.

Dans le cas de l'ensemble génératrice – redresseur, la synthèse du régulateur est indépendante du type de redresseur utilisé, MLI ou Vienna. En effet, vu du côté génératrice, le redresseur est assimilé à un simple gain (unitaire en général), du fait que les dynamiques du redresseur sont très rapides.

V.4.4.1. Contrôle dans le référentiel de Park :

Le modèle de Park (5.20) de la génératrice synchrone à aimants permanents développé dans le paragraphe V.3 montre des termes de couplage au sein de chaque machine : $-\omega L_p i_{qp}$ et $\omega L_p i_{dp}$ pour la machine principale et $-3\omega L_s i_{qs}$ et $3\omega L_s i_{ds}$ pour la machine secondaire. Néanmoins, les deux machines sont découplées naturellement. Les effets du couplage entre les axes $d$ et $q$ peuvent-être éliminés en insérant des termes qui viennent les compenser ($\omega L_p i_{qp}$ et $-\omega L_p i_{dp}$ pour la machine principale et $3\omega L_s i_{qs}$ et $-3\omega L_s i_{ds}$ pour la machine secondaire). Ce qui simplifie grandement le modèle en courant de la machine. Les modèles en courant obtenus pour les machines principale, secondaire et homopolaire sont :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
H_p(p) = \frac{i_{dp}(p)}{V_{dp}(p)} = \frac{i_{qp}(p)}{V_{qp}(p)} = \frac{1/R_s}{1 + \frac{L_p}{R_s} p} \quad \text{: machine principale} \\
\\
H_s(p) = \frac{i_{ds}(p)}{V_{ds}(p)} = \frac{i_{qs}(p)}{V_{qs}(p)} = \frac{1/R_s}{1 + \frac{L_s}{R_s} p} \quad \text{: machine secondaire} \\
\\
H_0(p) = \frac{i_0(p)}{V_0(p)} = \frac{1/R_s}{1 + \frac{L_0}{R_s} p} \quad \text{: machine homopolaire}
\end{array}
\right.
\qquad (5.73)
$$

La vitesse angulaire électrique considérée pour les prochaines simulations est de $\omega_e = 100\pi$ rad/s. A partir de cette vitesse nous fixons la bande de fréquence à $[\omega_e, 10\omega_e]$. Nous avons été jusqu'à $10\omega_e$, car en ayant adopté la stratégie de commande qui a abouti aux références de courants (5.55) et à cause de la présence de l'harmonique de rang 7, ce dernier se traduit par une oscillation des courants de références $i_{qp\_ref}$, $i_{ds\_ref}$ et $i_{qs\_ref}$ à $10\omega_e$.

Dans cette bande de fréquence l'ordre des transferts (5.73) est égale à 1 ; donc $\alpha = \beta - 1$. Comme nous nous sommes fixés une marge de phase désirée à 45°, alors nous aboutissons à $\alpha = 0.5$.

Pour le calcul des gains K<sub>p</sub> et K<sub>i</sub> nous avons utilisé la technique de placement de pôles.
La dynamique imposée en boucle fermée est celle d'un système du 2<sup>nd</sup> ordre avec un coefficient
d'amortissement de ξ = 0.707 et d'une pulsation naturelle ω<sub>n</sub> = 10ω<sub>e</sub> pour pouvoir suivre les
variations de référence à cette fréquence. Ce qui nous a permis d'obtenir les valeurs des gains
suivants : K<sub>p</sub> = 22 et K<sub>i</sub> = 48100.
Avec l'approximation de Charef, en fixant une erreur $\varepsilon = 2dB$, nous aboutissons à un transfert d'ordre $n + 1 = 9$. Avec une erreur $\varepsilon$ de seulement $1dB$ on obtient un transfert d'ordre $n + 1 = 15$.

La même démarche a été adoptée pour le calcul des régulateurs de courant des machines secondaire et homopolaire.

Les simulations dont les courbes sont présentées sur la figure ci-après ont été réalisées avec le neutre de la machine isolé et avec un redresseur MLI. Nous avons simulé le cas où la tension du bus DC est régulé côté réseau (schéma de droite de la figure 5.18). Comme nous pouvons le voir, les courants de référence $i_{qp\_ref}$, $i_{ds\_ref}$ et $i_{qs\_ref}$ ne sont pas constants ($i_{dp\_ref}$ est nul). Nous remarquons une oscillation avec une pulsation de $10\omega_e$ car la référence de couple a été maintenue constante. Grâce aux régulateurs $PI^\alpha$ les courants suivent les références sans déphasage.

<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>Figure 5.23 : Allure des courants $i_{qp}$, $i_{ds}$ et $i_{qs}$ et du couple $\Gamma$ en utilisant des régulateurs $PI^\alpha$ [Dieng 2014].</figcaption></figure>

### V.4.4.2. Contrôle dans le référentiel de Concordia :

Nous avons simulé dans les mêmes conditions que précédemment : le redresseur MLI et la tension du bus DC régulée par l'onduleur connecté au réseau. Comme les paramètres des inductances et des résistances n'ont pas changé par rapport au référentiel de Park alors les paramètres des régulateurs calculés précédemment restent inchangés.

Dans les courbes des figures ci-après nous comparons les résultats obtenus avec le régulateur $PI^\alpha$ aux résultats obtenus avec le régulateur PI classique. Nous avons utilisé les mêmes valeurs de $K_p$ et de $K_i$ pour les deux régulateurs. Nous remarquons que la régulation des courants de la machine principale est quasiment identique que ça soit en utilisant le régulateur $PI^\alpha$ ou le régulateur PI. Même si nous pouvons remarquer un léger déphasage dans le cas de l'utilisation du régulateur PI.
<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>Figure 5.24 : Allure des courants $i_{ap}$ et $i_{bp}$ en utilisant des régulateurs $PI^{\alpha}$ (courbes de gauche) et $PI$ (courbes de droite) [Dieng 2014].</figcaption></figure>

Sur la figure ci-après nous présentons le résultat de régulation des courants dans la machine secondaire. Nous remarquons que contrairement aux résultats obtenus pour la machine principale, la régulation est médiocre avec le régulateur classique $PI$. Dans le cas de l'utilisation du régulateur fractionnaire le déphasage est quasiment inexistant.

<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>Figure 5.25 : Allure des courants $i_{as}$ et $i_{bs}$ en utilisant des régulateurs $PI^{\alpha}$ (courbes de gauche) et $PI$ (courbes de droite) [Dieng 2014].</figcaption></figure>

Cette mauvaise régulation des courants par l'intermédiaire du régulateur $PI$ se traduit par une mauvaise régulation du couple. En effet, sur la figure ci-après, contrairement à la régulation par le $PI^{\alpha}$ (courbe de gauche) le couple n'est pas régulé à sa valeur de référence $(5N.m)$ (courbe de droite). De plus, nous remarquons une ondulation de couple.
<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>Figure 5.26 : Allure du couple $\Gamma$ e en utilisant des régulateurs $PI^\alpha$ (à gauche) et $PI$ (à droite) [Dieng 2014].</figcaption></figure>

### V.4.4.3. Contrôle dans le référentiel Canonique :

Comme nous venons de le voir dans le repère de Park ou de Concordia, l'utilisation du régulateur fractionnaire $PI^\alpha$ permet de suivre des références non constantes. D'où l'idée de contrôler directement le système dans la base canonique $a, b, c, d, e$.

Contrairement à la régulation dans les référentiels de Park et de Concordia, où les modèles sont complétement découplés, dans la base canonique toutes les grandeurs sont couplées. Donc, en plus de suivre des consignes variables, le régulateur fractionnaire aura à rejeter l'influence mutuelle des autres variables comme s'il s'agissait de perturbations.

Dans la base canonique nous maintenons les paramètres du régulateur fractionnaire calculés précédemment. Nous présentons les résultats de simulation dans le cas de l'utilisation d'un redresseur MLI ainsi que dans le cas de l'utilisation d'un redresseur Vienna.

Sur la figure ci-après nous présentons les résultats de régulation des courants de ligne dans le cas de l'utilisation d'un redresseur MLI (à gauche) et d'un redresseur Vienna (à droite). Nous remarquons dans les deux cas le bon suivi de références non constantes.

<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>Figure 5.27 : Allure du courant de phase $i_a$ en utilisant des régulateurs $PI^\alpha$ : Redresseur MLI à gauche ; Redresseur Vienna à droite [Dieng 2014].</figcaption></figure>

L'allure du couple est présentée sur la figure ci-après. A gauche le système est composé du redresseur MLI et à droite il est composé du redresseur Vienna. Nous pouvons remarquer, dans les deux cas, une bonne régulation du couple à sa référence $5 \text{ N.m.}$.
<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>Figure 5.28 : Allure du couple Γ en utilisant des régulateurs PI<sup>α</sup> : Redresseur MLI à gauche ; Redresseur Vienna à droite [Dieng 2014].</figcaption></figure>

### V.4.5. Régulation de l'ensemble générateur – redresseur pentaphasé en mode sain par un MRC – mode V-f

En mode de fonctionnement V-f la partie aval du bus DC peut-être modélisée soit par une source de courant, soit une charge résistive. C'est au contrôle de l'ensemble génératrice – redresseur de réguler la tension du bus DC. Pour ce faire, le schéma de commande sera composé de deux boucles :

* Une boucle externe réalisant la régulation de tension du bus DC – assurée par un régulateur PI classique.

* Une boucle interne de courant dans le référentiel canonique – assurée par des MRC.

Le schéma ci-après montre cette stratégie de commande.

<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>Figure 5.29 : Stratégie de commande de l'ensemble génératrice – redresseur pentaphasé en mode V-f.</figcaption></figure>

La stratégie de contrôle adoptée nous impose d'introduire le modèle de la tension $V_{dc}$ du bus DC. Pour ce faire, nous passons par les puissances véhiculées dans le système.

La puissance électromagnétique $P_e$ de la génératrice est donnée par l'équation (5.52). En négligeant les différentes pertes, cette puissance se décompose en une puissance $P_{dc}$ absorbée (stockée !) par le condensateur du bus DC et une puissance absorbée $P_{ch}$ par la charge. L'équation de puissance est donnée par :

$$P_e \approx P_{dc} + P_{ch} \qquad (5.74)$$
Ce qui nous permet d'obtenir le modèle en tension, du bus DC, ci-après :

$$CV_{dc} \frac{dV_{dc}}{dt} \approx \Gamma_e \Omega - P_{ch} \qquad (5.75)$$

Nous obtenons ainsi un modèle non-linéaire. Comme la tension de référence du bus DC est constante, nous avons le choix entre le fait de linéariser ce modèle autour de la valeur de référence ou construire un modèle où $U_{2dc} = V_{dc}^2$ est la grandeur à réguler. Réguler $V_{dc}$ à une référence constante revient à réguler $U_{2dc}$ à une référence constante. Ainsi, l'équation (5.75) devient une équation linéaire en $U_{2dc}$ :

$$\frac{c}{2} \frac{dU_{2dc}}{dt} \approx \Omega \Gamma_e - P_{ch} \qquad (5.76)$$

Le modèle obtenu est du 1er ordre. Le signal de commande est le couple électromagnétique $\Gamma_e$. Le signal à commander est $U_{2dc}$. Quant à $P_{ch}$, il représente une perturbation sur l'entrée. Ainsi, un simple PI suffit à réguler $U_{2dc}$.

Ainsi, le régulateur de tension PI génère une référence de couple $\Gamma_{e\_ref}$ et grâce à l'équation (5.56) les références de courants $\dot{i}_{ref}$ sont générées. Les régulateurs MRC vont faire en sorte que les courants $\dot{i}$ dans le référentiel canonique suivent les références.

Cette stratégie de commande a été implantée sur les bancs d'essais logiciel et expérimental (réel).

### V.4.5.1. Cas du redresseur MLI :

Dans un premier temps nous allons utiliser un redresseur MLI. Les courbes ci-après nous présentent l'allure des courants de ligne ainsi que leurs références. A gauche, les résultats obtenus en simulation et à droite ceux obtenus sur le banc réel. Nous pouvons remarquer un parfait suivi des références.

<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>Figure 5.30 : Redresseur MLI : Courant de phase $i_a$ : Simulation à gauche ; Réel à droite. [Dieng 2014].</figcaption></figure>

La tension du bus DC est régulée à 385 V. La figure ci-après présente les résultats de régulation de cette tension en simulation, à gauche, et réelle, à droite. Nous pouvons remarquer une bonne régulation de cette tension.
<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>Figure 5.31 : Redresseur MLI : Tension du bus DC $V_{dc}$ : Simulation à gauche ; Réelle à droite
[Dieng 2014].</figcaption></figure>

La figure ci-après montre que, sur le banc réel, la FEM est en phase avec le courant de phase.

<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>Figure 5.32 : Mise en phase de la FEM et du courant de phase [Dieng 2014].</figcaption></figure>

### V.4.5.2. Cas du redresseur Vienna :

Cette fois-ci nous remplaçons le redresseur MLI par le redresseur Vienna. La courbe ci-après présente les résultats de la régulation de courant (à gauche, les résultats de simulation, et à droite les résultats réels). Nous pouvons remarquer le parfait suivi de consigne dans les deux cas. Le gain du capteur de courant utilisé sur la banc réel a un gain de 0.29 V/A.

<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>Figure 5.33 : Redresseur Vienna : Courant de phase $i_a$ : Simulation à gauche ; Réel à droite.
[Dieng 2014].</figcaption></figure>

L'évolution de la tension du bus DC est présentée sur la figure ci-après (simulation à gauche, réelle à droite).
<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>Figure 5.34 : Redresseur Vienna :Tension du bus DC $V_{dc}$ : Simulation à gauche ; Réelle à droite [Dieng 2014].</figcaption></figure>

### V.4.6. Stratégie de commande de la génératrice pentaphasée à FEM non sinusoïdale en mode défaut

Comme expliqué précédemment le mode défaut considéré est l'ouverture d'une ou plusieurs phases. Comme dans le cas de la stratégie de commande en mode sain, pour minimiser les pertes joules en mode défaut nous imposons le vecteur référence de courants de telle sorte qu'il soit colinéaire au vecteur FEM.

Pour rappel l'expression de la puissance électromagnétique est donnée par les équations (5.49), dans le cas d'un redresseur MLI, et (5.51), dans le cas d'un redresseur Vienna. De façon générique, l'expression de la puissance électromagnétique, dans le cas où la phase e est ouverte, est :

$$P_e = \underline{\underline{E}}_D^{e-} \cdot \underline{\underline{i}}_D^{e-} \qquad (5.77)$$

Avec la même démarche que celle adoptée dans le cas sain, qui nous a permis d'obtenir les références de courant (5.55) ou (5.56) et (5.57), nous aboutissons, en mode dégradé, à l'expression du vecteur des courants de références, dans le référentiel canonique, de la forme :

$$\underline{\underline{i}}_{D\_ref}^{e-} = \Omega \Gamma_{e\_ref} (\underline{\underline{E}}_{D}^{e-} \underline{\underline{T}} \underline{\underline{E}}_{D}^{e-})^{-1} \underline{\underline{E}}_{D}^{e-} \qquad (5.78)$$

En mode défaut, dans le cas où nous maintenons les références de courant calculées en mode sain, le couple sera ondulatoire comme le montre les courbes de la figure ci-après.

<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>Figure 5.35 : Couple électromagnétique en mode défaut : Simulation à gauche ; Réel à droite [Dieng 2014].</figcaption></figure>
### V.4.7. Régulation de l'ensemble génératrice - redresseur pentaphasé en mode défaut par un MRC - mode V-f

Nous présentons ici les résultats obtenus, en simulation et sur le banc réel, en adoptant la stratégie de commande développée ci-avant. Nous commençons par le cas de l'utilisation d'un redresseur MLI et nous finissons par le redresseur Vienna.

#### V.4.7.1. Cas du redresseur MLI :

Dans le cas de l'utilisation d'un redresseur MLI, le neutre de la machine est isolé. La figure ci-après présente les courants de phase obtenus en simulation et sur le banc réel. Nous pouvons remarquer la bonne concordance entre les références et les signaux simulés (courbes de gauche) ou réels (courbes de droite).

<figure><img src="image_130.png" /></figure>

<figure><img src="image_131.png" /></figure>

<figure><img src="image_132.png" /></figure>
<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>Figure 5.36 : Redresseur MLI : Courants de phases : Simulés à gauche ; Réels à droite. [Dieng 2014].</figcaption></figure>

Le bon suivi de ces références a permis de réduire considérablement les ondulations de
couple, comme le montre la figure ci-après en comparaison avec les courbes de la figure 5.35.

<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>Figure 5.37 : Redresseur MLI : Couple électromagnétique en mode défaut : Simulé à gauche ; Réel à droite [Dieng 2014].</figcaption></figure>

V.4.7.2. Cas du redresseur Vienna :

Contrairement au cas précédent, dans le cas de l'utilisation du redresseur Vienna le neutre
de la machine est relié au point milieu du bus DC. Ce qui se traduit par des références de
courants différentes de celles obtenues avec le redresseur MLI, ainsi qu'un courant homopolaire
non nul. Les courbes de la figure ci-après présentent les courants de phase ainsi que le courant
homopolaire (simulations à gauche et réelles à droite). Nous pouvons remarquer le bon suivi
des références.

<figure><img src="image_135.png" /></figure>
<figure><img src="image_136.png" /><figcaption>Figure 5.38 : Redresseur Vienna : Courants de phases et homopolaire : Simulés à gauche ; Réels à droite. [Dieng 2014].</figcaption></figure>

Comme le régulateur MRC a permis le bon suivi des références, les ondulations de couple sont drastiquement réduites comme le montre la figure ci-après.
<figure><img src="image_137.png" /><figcaption>Figure 5.39 : Redresseur Vienna : Couple électromagnétique en mode défaut : Simulé à gauche ; Réel à droite [Dieng 2014].</figcaption></figure>

## V.5. Conclusion

Dans la première partie de ce chapitre nous nous sommes intéressés à la modélisation et la commande d'un ensemble GSAP – redresseur MLI triphasé classique. L'utilisation de la modélisation par l'approche d'état standard en introduisant des perturbations fictives et l'utilisation des techniques de commandes optimales ont permis de robustifier le contrôle de la tension du bus DC par l'intermédiaire du redresseur MLI. Cette approche peut être généralisée à des ensembles génératrice – redresseur multi-phasés ou multi-étoiles.

Dans la deuxième partie de ce chapitre une approche de modélisation de la génératrice pentaphasée basée sur la théorie de Fortescue a été mise en place. Nous avons développé le modèle de la génératrice pentaphasée en mode sain et en mode dégradé. Une fois ces modèles obtenus, nous avons proposé une démarche pour l'associer soit à un redresseur MLI ou un redresseur Vienna pentaphasé pour obtenir le modèle global et ainsi construire le banc de simulation logiciel. Nous avons comparé par simulation le modèle au sens des valeurs moyennes des grandeurs électriques par rapport au modèle au sens des valeurs instantanées. Sur les différentes courbes de la figure 5.15 nous pouvons que remarquer la correspondance entre les différentes simulations.

La troisième et dernière partie a porté sur la commande de l'ensemble GSAP à FEM non sinusoïdale – redresseur pentaphasé (MLI ou Vienna). Du fait de l'existence de l'harmonique de rang 7 les références de courant ne sont plus toutes constantes dans le repère de Park de la machine secondaire. Ce qui a nécessité l'utilisation des régulateurs à très hautes performances dynamiques tel le régulateur fractionnaire PI<sup>α</sup> ou le régulateur auto-oscillant MRC. Les différentes courbes obtenues à partir du banc de simulation et/ou du banc réel ont montré les très bonnes performances des stratégies de commande proposées (colinéarité des vecteurs courants et FEM). Les techniques de contrôle utilisant le régulateur MRC ont été implantées avec succès sur le banc réel. Malheureusement, le système de développement DSpace que nous avons en notre possession ne nous a pas permis d'implanter sur le banc réel les régulateurs fractionnaires PI<sup>α</sup>. En effet, la carte DSpace était incapable à faire fonctionner en même temps 5 régulateurs d'ordre 9 pour contrôler les cinq courants en plus d'un régulateur PI classique pour la régulation de la tension du bus DC. Pour l'implantation de ces régulateurs fractionnaires, il faudrait trouver d'autres méthodes d'approximation qui réduiraient l'ordre des fonctions de
transfert, ou essayer d'implanter les régulateurs sur des systèmes très rapides tels les FPGA.
Cette deuxième et troisième partie ont été développées dans le cadre de thèse de Doctorat de
Abdoulaye Dieng [Dieng 2014].
# Conclusion Générale et Perspectives
Dans ce mémoire de HDR, j'ai présenté mes travaux dans le domaine de la modélisation et de la commande des systèmes électriques. Ma démarche a été de développer en premier lieu des modèles fins en vue de la construction de banc de simulation logiciel. Puis, de simplifier ces modèles pour obtenir des modèles de commande en vue de la synthèse des lois de commande.

Cette démarche a été appliquée avec succès dans le cas de l'étude des réseaux électriques embarqués (ou des sites isolés) ainsi que dans le cas des systèmes de conversion des énergies soutenables.

Ainsi, une méthodologie de modélisation d'un réseau électrique embarqué (multi-sources multi-charges) a été proposée pour simuler les différentes topologies du réseau, connexion et déconnexion des charges, ainsi que l'étude de la désynchronisation des alternateurs entre eux. Les différentes courbes des différents signaux électriques ont permis de confirmer la véracité du simulateur logiciel par rapport à un banc réel.

Pour faire la comparaison entre le simulateur et le banc réel nous avons été amenés à proposer des méthodes d'identification des modèles des alternateurs ainsi que ceux des machines asynchrones. Ainsi, nous avons utilisé les tests SSFR associés aux techniques d'optimisation par essais de particules pour identifier les paramètres des alternateurs à rotor bobiné, où le rotor est modélisé par une boite noire. Quant à l'identification des paramètres du modèle de la machine asynchrone nous avons proposé une méthode basée sur les algorithmes génétiques pour lesquels nous avons proposé des algorithmes originaux de pression de sélection en vue d'accélérer la convergence de l'algorithme vers l'optimum global. Ces différentes techniques ont été appliquées avec succès pour l'identification des paramètres d'une machine synchrone à rotor bobiné et d'une machine asynchrone de 3kW chacune.

Pour réguler la fréquence et la tension du réseau nous avons comparé différentes lois de commande : PI, RST à paramètres fixes, RST à paramètres variables, Commande LQ à paramètres variables. La synthèse de ces lois a été faite sur la base de modèles simplifiés, modèles de commande, obtenus soit par une simplification des modèles fins, obtenus précédemment, basée sur la méthode des perturbations singulières, soit par l'identification d'un modèle comportemental de l'alternateur. Quand les charges sont de type RL, des régulateurs RST à paramètres fixes s'avèrent suffisant. Par contre, si la charge est de type RLC, il convient d'utiliser une stratégie de commande anticipative basée sur la commande LQ à paramètres variables pour répondre au cahier des charges quand une commutation a lieu.

Le dernier chapitre a porté sur la conversion des énergies soutenables. Dans ce cas nous nous sommes intéressés aux chaînes tolérantes aux défauts. Après avoir étudié une génératrice triphasée classique à aimants permanents associée à un redresseur MLI, nous avons étudié des génératrices synchrones à aimants permanents pentaphasées associées à des redresseurs tolérants aux défauts, tel que le redresseur Vienna qui utilise peu de composants actifs. Nous avons proposé des méthodes de modélisation basées sur la transformation de Fortescue. Nous avons ainsi développé des modèles en mode sain et en mode défaut. Du fait que la génératrice est à FEM non sinusoïdale, les références de courant ne sont pas constantes et ce quel que soit le repère choisi. Ce qui a nécessité l'utilisation de commande à très hautes performances dynamiques tel que le régulateur fractionnaire PIα ou le régulateur auto-oscillant MRC. Les différentes courbes obtenues à partir du banc de simulation et/ou du banc réel ont montré les très bonnes performances des stratégies de commande proposées.
L'expertise acquise lors de l'étude des réseaux embarqués et de la conversion des énergies soutenables nous encourage à investiguer dans deux directions différentes mais complémentaires :

- Modélisation et commande des ensembles génératrice – redresseur multi-phasés ou multi-étoiles tolérants aux défauts.

- Modélisation et optimisation des micro-grid.

### a- Ensembles génératrice – redresseur multi-phasés ou multi-étoiles tolérants aux défauts

Dans le chapitre V nous nous sommes intéressés à l'étude de la conversion des énergies soutenables de type courant marin en faisant appel à des ensembles génératrices – convertisseurs tolérants aux défauts. En effet, un défaut dans un élément d'une chaîne classique triphasée de conversion d'énergie peut à lui seul engendrer la perte de contrôle partielle ou totale du convertisseur. Afin d'accroître la fiabilité de la chaîne de conversion d'énergie et de garantir la production d'énergie, les solutions que nous proposons sont basées sur l'utilisation des génératrices pentaphasées associées à des convertisseurs statiques utilisant le minimum de composants actifs. Nous avons ainsi proposé l'utilisation des redresseurs Vienna qui utilisent deux fois moins de composants actifs qu'un redresseur classique. Nous avons développé des méthodes de modélisation de ce type d'ensemble en mode sain ainsi qu'en mode défauts.

Les résultats auxquels nous avons abouti nous ouvrent plusieurs voies de prospection et de développement :

* Recherche de nouvelle architecture et modélisation dynamique : L'amélioration de la sûreté de fonctionnement de la chaîne de production d'énergie, nécessite alors d'envisager une structure fiable de conversion de l'énergie mécanique en énergie électrique, tolérante aux défauts et assurant la continuité de l'énergie produite en permettant le fonctionnement en mode dégradé. L'accroissement du nombre de phases du générateur électromécanique et l'insertion d'un convertisseur statique d'électronique de puissance tolérant aux défauts (minimisation du nombre de composants actifs) permet d'une part d'accroître la disponibilité du système de production d'énergie, d'autre part de segmenter la puissance qui sera véhiculée par le convertisseur statique. Nous allons généraliser l'étude faite au chapitre V, sur les génératrices pentaphasées, aux génératrices multi-phases et/ou multi-étoiles. Le but est de trouver des techniques génériques de modélisation dynamique de ces génératrices en mode sain ainsi qu'en mode défauts. De plus, il est important d'étudier l'impact du nombre de phase sur la quantité et la qualité de l'énergie produite en fonction du nombre de phase en défauts. Nous allons aussi investiguer les redresseurs utilisant le minimum de composants actifs. Une des solutions que nous sommes en train d'explorer est composée d'un redresseur à diodes associé à un convertisseur boost comme la montre la figure ci-après. Sur le schéma nous remarquons 3 boost en parallèle pour une segmentation de la puissance. De plus, ceci permet d'augmenter la fiabilité de la solution ; si un boost tombe en panne il en reste deux autres en marche. Les trois boost ne sont pas commandés en phase mais déphasés de $T_h/3$ ($T_h$ est la période de hachage) pour diminuer les ondulations de courant. La figure 6.2 compare les ondulations de courant dans le cas de l'utilisation d'un seul ou de trois boost. Nous remarquons que les ondulations de courant sont moindres dans le cas de l'utilisation de 3 boost.
<figure><img src="image_138.png" /><figcaption>Figure 6.1 : Ensemble génératrice pentaphasée – redresseur à diode – convertisseur Boost</figcaption></figure>

<figure><img src="image_139.png" /><figcaption>Figure 6.2 : Ondulation de courant avec un seul ou trois boost</figcaption></figure>

* **Stratégie de commande** : Une fois que l'ensemble génératrice-redresseur est défini, il faut élaborer des stratégies de commande en vue d'optimiser la chaîne de conversion tout en veillant à la qualité d'énergie. Malgré l'aspect aléatoire de la source d'énergie primaire, le rendement de la chaîne de conversion d'énergie doit être optimal et l'énergie électrique produite doit être de bonne qualité. Il faut alors définir un critère à optimiser : minimisation des pertes Joule ; minimisation des ondulations de la tension du bus DC ; ... Ces stratégies doivent être mises en place que ça soit dans le cas d'un fonctionnement en mode sain ou en mode défaut. Ceci exige de développer au préalable des méthodes de simplification de modèle dynamique, en vue de l'obtention des modèles de commande adéquats et ainsi faciliter la synthétise des régulateurs robustes assurant le suivi des consignes et s'adaptant à la topologie variable de l'ensemble génératrice-redresseur. Concernant la régulation proprement dite, le profil spécifique des références des courants, la nécessité de se reconfigurer en temps réel et la complexité à établir des modèles dynamiques continus équivalents quelle que soit la topologie (fonctionnement normal ou dégradé) nous poussent à continuer à investiguer les régulateurs robustes à hautes performances dynamiques. Telle que la commande $H_\infty$ ou la commande d'état standard associée aux techniques LTR (Loop Transfer Recovery).

* **Détection et localisation de défauts** : Un autre aspect important à traiter, pour ces chaînes de conversion d'énergie tolérantes aux défauts, est la détection des défauts et la reconfiguration des algorithmes de commande du mode normal en mode dégradé. Les techniques de détection qui seront explorées sont celles basées sur les modèles, principalement les techniques de génération de résidus à base d'observateurs à entrées inconnues ainsi que celles à base d'équations de parités.
Pour que les résidus soient insensibles aux perturbations il serait judicieux de faire appel soit à des techniques de calcul du gain de l'observateur de telle sorte que les directions propres des résidus soient orthogonales à la distribution des perturbations, soit à des techniques de synthèse robustes (H∞, ...) afin de borner l'influence de ces perturbations sur une certaine plage de fréquence.

L'autre voie est la réduction du nombre de mesure donc du nombre de capteur nécessaire à la détection et la localisation des défauts. Pour des raisons de coût évident il est nécessaire de réduire le nombre de capteur. Par exemple, pour détecter l'ouverture d'une phase il suffirait d'utiliser un capteur de courant sur chaque phase. Sauf que dans ce cas il faudrait autant de capteur que de phases dans la machine ; 9 capteurs de courant pour une machine trois étoiles. Or, il s'avère que l'utilisation d'un seul ou de deux capteurs, bien positionnés, pourrait être suffisante à la détection et la localisation de la faute. Sur l'exemple du schéma de la figure 6.1 en plaçant un seul capteur (mesure du courant $I_L$ ou de la tension $U_{cp}$ du bus DC) et en faisant son analyse fréquentielle il nous a été possible de détecter et de localiser un défaut. Dès qu'un défaut apparaît (ouverture d'une phase ou d'une diode du redresseur) des oscillations apparaissent sur le courant $I_L$ et sur la tension $U_{cp}$ comme le montre la figure 6.3 (le défaut arrive à l'instant 400 ms). En faisant l'analyse fréquentielle de leurs fondamentales nous remarquons une certaine signature des défauts. La figure 6.4 montre les signatures des défauts d'ouverture d'une phase ou d'une diode sur la tension $U_{cp}$.

<figure><img src="image_140.png" /><figcaption>Figure 6.3 : Oscillation de la tension $U_{cp}$ lors de l'occurrence d'un défaut.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_141.png" /><figcaption>Figure 6.4 : Signature d'un défaut d'ouverture d'une phsae ou d'une diode sur la tension $U_{cp}$.</figcaption></figure>

Au vue des signatures présentées sur la figure ci-avant il est important de mettre en place de techniques de reconnaissance des formes (approche bayesienne, ...) pour établir des règles de décision pour localiser les défauts.

Nous avons amorcé une collaboration avec deux universités algériennes (Université de Bejaia et Université de M'sila), dans le cadre du PHC Tassili, et une autre avec l'Ecole Supérieure Polytechnique de l'Université de Dakar sur la thématique de chaînes de conversion
d'énergies soutenables tolérantes aux défauts. A terme, le but est de développer un consortium
international regroupant plusieurs partenaires universitaires.

b- Micro-grid

La qualité de l'énergie d'un réseau électrique est une des préoccupations majeures des producteurs et des consommateurs. Cela se traduit par une bonne régulation du niveau de tension, de fréquence et de puissance ainsi qu'une bonne qualité du courant électrique pour assurer les services systèmes pour un bon fonctionnement du réseau. De manière classique, la régulation du réseau électrique est réalisée au niveau des groupes de productions. Or, de nombreux composants des réseaux électriques intelligents, smart-grid [Hadjsaid 2013], comme les charges contrôlables et les batteries sont capables d'offrir les services de régulation [Saez-de-Ibarra 2016, Belila 2017, Tabart 2017]. Un bâtiment doté de sources de production et de capacités de stockages associées à des possibilités de gestion de charges locales ou de gestion de la charge globale du bâtiment au point de connexion réseau, peut devenir un acteur clé dans un réseau électrique intelligent. On assiste ainsi à un changement de paradigme où l'on passe d'un réseau pensé et conçu de manière unidirectionnelle, producteur → consommateur, donc radial, vers un réseau maillé composé de plusieurs micro-grid qui sont vus autant comme producteurs décentralisés (distributed generation) [Ackermann 2001, El-Khattam 2004, Pepermans 2005, Peças Lopes 2007, Hajar 2016, Hajar 2016b, Amicarelli 2017], composés essentiellement de photovoltaïques, microcentrale hydraulique ..., que comme consommateurs. Ainsi, la gestion du nouveau réseau se voit complétement bouleversée et doit donc introduire plus d'intelligence. Dans le cadre du smart-grid, de nouveaux acteurs sont apparus sur les marchés de la régulation.

Contexte français et mondial :

La commission de l'énergie Californienne (CAISO's) a présenté le stockage comme étant au moins deux fois plus efficace qu'une turbine à gaz pour les besoins de régulation du réseau [Kema 2010]. La CAISO's a défini des ressources autres que les générateurs tels que les volants d'inertie et les batteries pour faire des offres dans le marché. Enbala Power networks, Ontario, propose le rééquilibrage du réseau par action sur les charges de leur réseau.

De même, des études pour le compte du parlement européen ont présenté le stockage comme une opportunité pour améliorer l’intégration des énergies renouvelables à travers la participation aux besoins standards d’équilibre du réseau [ITRE 2015].

Le contexte français est également en pleine mutation grâce à des lois telles que : TECV (2015), NOTRe (2015), MAPTAM (2014) qui confirment l’aspect décentralisé de la gestion de l’énergie avec une forte incitation vers les bâtiments à énergie positive et une intégration massive du renouvelable avec une forte implication des collectivités locales.

Contexte scientifique :

Un bâtiment doté de sources de production et de capacités de stockages associées à des
possibilités de gestion de charges locales ou de gestion de la charge globale du bâtiment au
point de connexion réseau, peut devenir un acteur clé dans un réseau électrique intelligent.

Au-delà des régulations classiques de type fréquence ou du rééquilibrage du réseau, de nombreuses possibilités de services réseau s'offrent à ce type de micro réseau associé à un bâtiment. En effet, l'écrittage du pic ou le support du réseau en cas de défaut font partie des services qui peuvent être offerts par des systèmes communicants et dotés d'une capacité de
flexibilité suffisante. Les systèmes auxquels nous nous intéressons sont constitués de sources d'énergies diverses : photovoltaïque, éolien, des charges contrôlables et non contrôlables et du stockage de type stationnaire ou mobile (véhicules électriques) comme le schématise la figure ci-après.

<figure><img src="image_142.png" /><figcaption>Figure 6.5 : Représentation schématique d'un micro-grid.</figcaption></figure>

Dans la bibliographie, diverses études sont menées pour optimiser la gestion de charges et/ou les échanges de puissance au sein du système sous le couvert d'un service réseau donné [Braun 2007, Tran-Quoc 2007, Logenthiran 2011, Nagata 2012, Farhad 2014, Amicarelli 2016, Mohammed 2016, Morais 2016, Fernandes 2016, Fernandes 2016b].

Cependant, lorsqu'un système a pour but de permettre une autoconsommation du renouvelable local associée à des possibilités de services réseaux, diverses problématiques se posent. Pour commencer, le dimensionnement du système lié à des fonctions préétablies et des services réseau éventuels :

- La production du renouvelable par rapport aux conditions météorologiques et leurs prévisions

- Les profils de consommations locaux

- La criticité des charges locales

- Les sollicitations du réseau global, par exemple l'énergie échangée avec le réseau pour de la régulation de fréquence up et down.

- La profitabilité du service en tenant compte de la rémunération du marché de régulation et le coût du service incluant les investissements et le vieillissement des batteries par exemple.

De plus, selon les objectifs fixés au système tels que favoriser la consommation locale, pallier l'intermittence des énergies renouvelables du réseau global, ou assurer le gain économique, la commande du système aura besoin d'être adaptée. Ainsi, la commande du système doit prendre en compte :

- Les prévisions de production,

- Les prévisions de consommation,
- Les requêtes du réseau global, qui peuvent être la diminution de consommation au point de connexion réseau, l'absorption de puissance ou la réinjection de puissance et ceci selon le service à rendre.

Or, d'une part, l'avenir laisse présager d'une demande qui sera certainement fluctuante selon les services. En effet, la situation géographique du réseau électrique, la pénétration du renouvelable et la maturité des solutions smart-grid mèneront à des situations très différentes par rapport aux besoins du réseau et à la rentabilité des services. De plus, la situation du réseau se modifiera dans le temps et fera que des services qui étaient rentables aujourd'hui ne le seront plus à moyen ou long terme.

Et d'autre part, il est nécessaire de s'assurer que ce comportement dynamique de contrôle du réseau au niveau d'un micro réseau ou d'un réseau ne détériorera pas la qualité de la tension et que les systèmes proposés assureront une intégration du renouvelable assurant une gestion optimale de leur intermittence et évitant les problèmes tels que les variations de tension, les déséquilibres de tension ou les harmoniques.

La commande du système Energie Soutenable – Stockage – Charges doit être une loi capable d'analyser les différentes informations afin de décider du meilleur scénario possible : besoin des charges locales, demande du réseau (assurer les services systèmes), état de production, état de stockage, prévisions météorologiques, profitabilité...

Les différents services qui peuvent être envisagés avec ce système sont les suivants :

* **Régulation de fréquence** : Le marché de régulation de la fréquence s'ouvre à différents types d'acteurs dont les stockages. Les conditions peuvent changer en fonction de la maturité de la mise en place de solutions smart-grid à différents niveaux du réseau. Aujourd'hui, les marchés de la régulation sont assez disparates dans le monde [Nguyen 2013]. Généralement il existe deux types de rémunération :
  * **Le prix capacitaire** : $P_{cap}$ correspond à la rémunération liée à la disponibilité pour d'éventuelles requêtes d'injection sur le réseau (100% pour les batteries stationnaires). En effet, à chaque fois que la batterie est disponible, une prime est distribuée même si il n'y a aucune demande du réseau. La rémunération dépend de la capacité de la batterie.
  * **Le prix de l'électricité** : $P_{el}$ correspond au prix de l'électricité du marché à un instant t (€/kWh).

Dans certains marchés, la facturation est également basée sur les performances des systèmes de gestion de la stabilité. En effet, les prix différent si on peut assurer une régulation rapide (5 min) ou une régulation lente (10 min) [Kempton 2005, Han 2012, Guille 2009].

Aujourd'hui en France, la régulation primaire ne présente qu'un seul type de rémunération de type capacitaire [Han 2012]. La régulation de fréquence secondaire comprend une rémunération capacitaire ainsi qu'une rémunération correspondant au prix de l'électricité. Cependant, ces conditions ont de fortes chances de changer avec la mutation du réseau électrique vers un réseau smart-grid comme cela a été le cas aux USA ou en Angleterre.

* **Ecrêtage de la courbe de consommation (Peak Shaving)** : Afin d'éviter des investissements trop importants en infrastructure liés à l'augmentation des pics de consommation, le stockage d'énergie apparaît comme une alternative intéressante.
En effet, le développement des technologies de stockage a un impact essentiel sur la profitabilité et la viabilité de ce service. Une infrastructure avec des possibilités de stockage d'énergie peut injecter de l'énergie vers le réseau durant les heures de pointe ou à minima diminuer sa consommation.

Dans certains marchés de l'électricité, la gestion de charge en mode iloté tout comme l'injection au réseau sont des services rémunérés [Peterson 2010].

* Sources d'énergie pour les cas d'urgence (uninterruptible power source) : Dans le cas d'une faiblesse sur le réseau, l'infrastructure de stockage peut injecter de l'énergie lors d'une requête d'urgence sur un micro-réseau iloté ou dans un bâtiment. Elle peut aussi subvenir aux besoins de charges critiques dans le micro-réseau qui fonctionnera en iloté jusqu'au moment où l'état du réseau sera revenu à la normale. En tant que source de stockage, les batteries stationnaires sont un bon choix pour les sites possédant des charges critiques (hôpitaux, Datacenter, bâtiments institutionnels...).

* Sources locales de production d'énergie renouvelable au service d'un bâtiment considéré comme un micro réseau : Des études proposent l'utilisation de sources d'énergies renouvelables pour les bâtiments tels que les Datacenter dans le but de réduire la consommation d'énergies issues de sources polluantes [Nguyen 2013, Goiri 2011].

De nombreuses études présentent des solutions d'ordonnancement pour adapter la consommation à la production du renouvelable. Par ailleurs, cette utilisation conjointe du photovoltaïque et du réseau dépend fortement de la situation géographique du site, des conditions météorologiques et de la charge.

Quel que soit le type de bâtiment, Il est également possible de programmer les charges en fonction de la balance besoins/production. La modélisation des besoins et des profils énergétiques permet de connaitre la disponibilité de la part d'énergie renouvelable dans les différents bâtiments. Ces informations permettent la génération et l'envoi de requêtes montantes ou descendantes sur le réseau [Bird 2014, Chen 2012].

Ainsi, le consomm'acteur est rémunéré pour chaque service. Néanmoins, le fonctionnement du marché de la régulation et les structures de paiement sont différents d'un pays à l'autre.

## Verrous scientifiques et technologiques :

Le projet portera sur la modélisation, la simulation et la commande d'un smart micro-grid. Ce dernier est constitué de sources d'énergies diverses : photovoltaïque, éolien, piles à combustibles, des charges contrôlables et non contrôlables et du stockage de type stationnaire ou dans les batteries de véhicules électriques exploitant ainsi le concept du Vehicle to Grid (V2G). Il est essentiel d'offrir au domaine du smart-grid des outils de simulation adaptés. En effet, la simulation développée doit permettre d'appréhender finement le comportement du micro réseau en régimes transitoire et permanent, l'étude de la stabilité du réseau, et permettre de tester des méthodologies de contrôle du micro-grid. Elle doit prendre en compte la qualité de la tension en testant les stratégies de régulation de tension ou de fréquence au niveau de l'électronique de puissance pour permettre le fonctionnement en iloté. De même la simulation doit permettre de tester l'algorithme de contrôle permettant d'optimiser les opérations de stockage, d'effacement, d'ilotage ou de service système. Au travers de ses besoins se profilent une stratégie de modélisation et de simulation à deux niveaux où une simulation macroscopique
fournit les données de tests d'une simulation plus fine permettant d'appréhender des
performances électriques relatives à la qualité de la tension : creux, pics, harmoniques... En
perspective, les aspects de co-simulation ; électrique – technologies de l'information des micro-
grid poussent à la réflexion sur les contraintes de ces deux domaines ainsi qu'à l'élaboration
d'algorithmes de commande adaptés [Hopkinson 2006, Liberatore 2011, Konnerth 2012,
Schierz 2012, Lin 2012, Haroun 2015, Hossain 2016, Montenegro 2016, Montenegro 2017].

Dans ce cadre, la commande globale du système nécessitera une modélisation adaptée qui permettra de formuler le ou les problèmes associés à l'optimisation du fonctionnement du système. La stratégie de commande sera basée sur l'approche multi-niveaux. Des réductions d'ordre des modèles obtenus dans la partie simulation seront nécessaires pour synthétiser des lois de commande adaptées. La commande globale sera réalisée sous une approche multi agents où l'algorithme de l'agent principal permettra une optimisation selon différents critères : coût, support du renouvelable, autoconsommation (ilotage) ou garantie de services système au réseau global tel que la régulation de fréquence primaire. Il devra également prendre en compte le temps d'exécution de l'algorithme d'optimisation qui pourra être déterministe ou non déterministe [Soares 2012, Fernandes 2011, Hassan 2005, Faria 2013] et qui devra relever le défi d'atteinte rapide et efficace de l'objectif et ceci dans un contexte à différent niveaux : bâtiment seul, puis bâtiment comme acteur du micro réseau ou du réseau. Dans ce cadre, les perspectives de recherches seront sur la voie de l'optimisation multi-objectifs et ceci en maintenant le focus sur la qualité de la tension. La commande devra aussi s'intéresser aux situations de fonctionnement normales, critiques et de crise. Elle devra prendre en considération les évolutions normatives en cours sur les aspects micro-grid en Europe.

L'algorithme d'optimisation sera évalué par rapport à différents objectifs :

- Les besoins des charges locales,

- L'économie d'énergie au point de connexion réseau,

- L'optimisation de l'utilisation du renouvelable,

- Le choix du service réseau le plus judicieux,

- La satisfaction des requêtes du réseau,

- La profitabilité.

Il devra assurer le compromis entre ces différents objectifs tout en assurant la qualité de
la tension.

En attendant la réalisation de la plateforme multi-sources au sein de notre laboratoire, les
simulations seront validées dans un premier temps sur la base d'un démonstrateur développé
par l'ICAM de Nantes, développé dans le cadre du projet européen ITEA2 FUSE-IT. Dans un
second temps, elles seront portées sur le démonstrateur, grandeur nature, développé chez
GECAD, un laboratoire de l'Institut Polytechnique de Porto. Mon souhait est de développer
une collaboration forte avec le laboratoire GECAD dans cette thématique du micro-grid. J'ai
intégré le Professeure Zita VALE, Directrice du laboratoire GECAD, dans le comité de suivi
de la thèse de Remy VINCENT (Doctorant qui a commencé sa thèse en décembre 2016) qui
porte sur le micro-grid. L'intitulé de la thèse est : Commande et optimisation d'un smart micro-
grid en vue de services réseaux assurant la qualité de la tension. Je compte aussi me rapprocher
du laboratoire G2ELab de Grenoble pour profiter de leur expertise acquise sur le projet du
réseau électrique GreenLys sur l'effacement des consommations.
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