# Une condition de contact locale de type "mortar" implémentable dans un code éléments finis industriel

Guillaume Drouet, Patrick Hild, Mickaël Abbas

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Guillaume Drouet, Patrick Hild, Mickaël Abbas. Une condition de contact locale de type "mortar" implémentable dans un code éléments finis industriel. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01515055

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Submitted on 27 Apr 2017

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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## 2 La méthode "Local Average Contact" (LAC) définition et résultats mathématiques :

### 2.1 Formulation forte du problème de contact unilatéral entre deux objets déformables

On cherche le champ de déplacement $u = (u_1, u_2)$ : $\overline{\Omega^1} \times \overline{\Omega^2} \rightarrow \mathbb{R}^d$ ($d = 2$ ou $d = 3$) tel que (1)–(8) soient satisfaites :

$$ - \operatorname{div} \sigma(u_{\ell}) = f_{\ell} \quad \text{dans } \Omega^{\ell}, \quad (1) $$

$$ \sigma(u_{\ell}) = \mathcal{A}\varepsilon(u_{\ell}) \quad \text{dans } \Omega^{\ell}, \quad (2) $$

$$ \sigma(u_{\ell})n_{\ell} = F_{\ell} \quad \text{sur } \Gamma_{N}^{\ell}, \quad (3) $$

$$ u_{\ell} = 0 \quad \text{sur } \Gamma_{D}^{\ell}, \quad (4) $$

$$ [u_N] \le 0, \quad \text{sur } \Gamma_C, \quad (5) $$

$$ \sigma_N \le 0, \quad \text{sur } \Gamma_C, \quad (6) $$

$$ \sigma_N[u_N] = 0 \quad \text{sur } \Gamma_C, \quad (7) $$

$$ \sigma_{\tau} = 0. \quad \text{sur } \Gamma_C. \quad (8) $$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Les équations (1) à (4) correspondent au problème considéré où $\mathcal{A}$ est un tenseur de quatrième ordre elliptique, symétrique et à composantes dans $L^\infty$ provenant de la loi de comportement associée au solide $\Omega^\ell$ avec condition de Dirichlet sur le bord $\Gamma_D^\ell$ et condition de Neumann sur le bord $\Gamma_N^\ell$. A ces équations, on ajoute les conditions de contact sur $\Gamma_C$, à savoir une condition de non interpénétration pour le saut de déplacement $[u_N]$ (5), une condition de signe pour la pression normale $\sigma_N$ la zone de contact (6) et une condition de complémentarité entre ces deux derniers champs (7). La dernière équation vient du fait que l'on considère le contact sans frottement dans ce travail.

### 2.2 Inéquations variationnelles discrètes associées

L'inéquation variationnelle discrète est la suivante,

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u^h = (u_1^h, u_2^h) \in K^h \text{ tel que :} \\ \qquad a(u^h, v^h - u^h) \ge l(v^h - u^h), \quad \forall v^h \in K^h, \end{array} \right. $$

où

$$ a(u, v) = \sum_{\ell=1}^{2} \int_{\Omega^{\ell}} \mathcal{A}_{\ell} \varepsilon(u_{\ell}) : \varepsilon(v_{\ell}) d\Omega^{\ell}, \\ l(v) = \sum_{\ell=1}^{2} \int_{\Omega^{\ell}} f_{\ell} \cdot v_{\ell} d\Omega^{\ell} + \int_{\Gamma_{N}^{\ell}} F_{\ell} \cdot v_{\ell} d\Gamma^{\ell}. $$

Pour définir une méthode, on doit choisir les espaces d'approximation $V^h$, ainsi que $K^h \subset V^h$, le cône convexe discret des déplacements admissibles.

Soit $\mathcal{T}_\ell^h$ une triangulation ou tétrahédralisation régulière de $\Omega^\ell \subset \mathbb{R}^d$, où $d = 2, 3$, on définit alors

$$ V_{\ell}^{h} = \{ v_{\ell}^{h} \in (C(\overline{\Omega}^{\ell}))^{d} : v_{\ell}^{h}|_{T} \in (P_{k}(T))^{d}, \forall T \in \mathcal{T}_{\ell}^{h}, v_{\ell}^{h} = 0 \text{ sur } \Gamma_{D}^{\ell} \}, $$

où $k = 1, 2$, désigne le degré des éléments. L'espace d'approximation est alors,

$$ V^h = V_1^h \times V_2^h. $$

La méthode LAC consiste à choisir $K^h$ défini comme suit,

$$ K^h = \{ v^h \in V^h : \int_{T^m} [v_N^h] d\Gamma \le 0 \quad \forall T^m \in T^M \}, $$

où $T^M$ est un macro-maillage d'éléments $T^m$ qui sont des unions d'éléments d'un des maillages traces $\mathcal{T}_\ell^h \cap \Gamma_C$ et $[v_N^h]$ est le saut de déplacement normal discret au travers de l'interface de contact $\Gamma_C$.
## 2.3 Résultats mathématiques

**Hypothèse 1** Pour tout macro-élément $T^m \in T^M$, il existe un degré de liberté $x_i$ de $V_1^h$ tel que $\text{supp}(\phi_i) \subset T^m$, où $\phi_i$ est la fonction de base associée à $x_i$.

**Remarque 1** On note qu'il existe une taille minimum pour les macro-mailles permettant à la fois de satisfaire l'hypothèse 1 et de garantir la localité de la méthode. On note aussi que le choix du maillage trace support pour définir le macro-maillage est libre, ici on a choisi le maillage 1.

**Théorème 1** Soient $u$ et $u^h$ les solutions des problèmes de contact continu et discret (LAC). On suppose que $u \in (H^s(\Omega^1))^d \times (H^s(\Omega^2))^d$ avec $d = 2, 3$ et $3/2 < s \le 2$ ($3/2 < s < 5/2$ si $k = 2$). Si l'hypothèse 1 est satisfaite alors il existe une constante $C > 0$ indépendante de $h_1, h_2$ (où $h_1$ et $h_2$ sont les paramètres de discrétisation du solide 1 et du solide 2 respectivement) et $u$ telle que

$$ \|u - u^h\|_{1,\Omega^1,\Omega^2} \le C(h_1 + h_2)^{s-1} \|u\|_{s,\Omega^1,\Omega^2}. $$

## 3 Résultats numériques

La définition de la méthode LAC a rendu possible l'implémentation de la méthode sous **Code_Aster** pour tous les types d'éléments couramment utilisés (éléments linéaires et quadratiques en 2D et 3D). De plus, la méthode a montré sa capacité à gérer l'incompatibilité des maillages de manière optimale en passant le patch test de Taylor dans ce cas (peu importe le type d'élément utilisé), voir Figure 1. On note que l'on passe ce patch test à $10^{-9}$ près, la solution analytique en pression et en $\sigma_{zz}$ étant de -25 MPa.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Patch test de Taylor. A gauche : Champ de déplacement selon Z, à droite en haut : Lagrangien de contact et en bas champ de contrainte $\sigma_{zz}$.</figcaption></figure>

Cette nouvelle méthode est aussi robuste et permet de réaliser des simulations en grandes déformations, comme on peut le voir dans le test du demi anneau écrasé sur un bloc mou en 3D, figure 2.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Ecrasement d’un anneau élastique sur un bloc élastique en quasi-statique 3D (pas de "char- gement" : 0/30, 6/30, 12/30, 18/30, 24/30, 30/30).</figcaption></figure>

# 4 Conclusion

On a introduit une méthode de type "mortar" implémentable de manière générique dans un code de niveau industriel. Les résultats numériques et mathématiques obtenus sont très encourageants et motivent la poursuite des travaux sur cette approche. Plusieurs pistes de recherche peuvent être envisagées comme l'extension de la méthode au cas dynamique et au frottement ainsi que la parallélisation de l'algorithme.

# Références

[1] F. Ben Belgacem, P. Hild and P. Laborde, *Extension of the mortar finite element method to a variational inequality modeling unilateral contact*, Math. Models Methods Appl. Sci. 9, 287–303, 1999.

[2] C. Bernardi, Y. Maday and A. T. Patera, *A new nonconforming approach to domain decomposition : the mortar element method*, Collège de France Seminar, H. Brezis, J.-L. Lions, Pitman, 13–51, 1994.

[3] G. Drouet, Ph.D. thesis, University of Toulouse III, France, en préparation.

[4] P. Hild, *Numerical implementation of two nonconforming finite element methods for unilateral contact*, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 184, 99–123, 2000.

[5] S. Hüeber and B. Wohlmuth, *A primal-dual active set strategy for non-linear multi body contact problems*, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 194, 3147–3166, 2005.

[6] T. Laursen, *Computational contact and impact mechanics*, Springer-Verlag, 2002.

[7] A. Popp, B. I. Wohlmuth, M. W. Gee, W. A. Wall, *Dual quadratic mortar finite element methods for 3D finite deformation contact*. SIAM J. Sci. Comput. 34, no. 4, B421–B446, 2012.

[8] M. A. Puso and T. Laursen, *A mortar segment-to-segment contact method for large deformation solid mechanics*, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 193, 601–629, 2004.

[9] M. A. Puso, T. Laursen and J. Solberg, *A mortar segment-to-segment contact method for quadratic elements and large deformations*, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 197, 555–566, 2008.

[10] P. Wriggers, *Computational contact mechanics*, Wiley. 2002.