– [E] (inaudible)

1

– [P] Oui c'est R privé de zéro, <u>alors on a p't être intérêt à l'écrire comme réunion d'intervalle</u>

2

3

4

<table><tr><td>R* =</td><td>Si x∈I, alors -x∈I<br/>x∈[-3;3] ⇔ -3≤x≤3</td><td>I = [0; 2]<br/>x = 1,2</td></tr></table>

5

C'est à dire l'écrire moins l'infini, zéro ouvert union zéro plus l'infini.

6

7

<table><tr><td>R* = ]-∞; 0[ ∪ ]0; +∞[</td><td>Si x∈I, alors -x∈I<br/>x∈[-3; 3] ⇔ -3≤x≤3</td><td>I = [0; 2]<br/>x = 1,2</td></tr></table>

8

Alors qu'est-ce que vous en pensez de cette propriété là, elle va être vérifiée ou <u>pas</u> (il encadre la définition de l'intervalle symétrique)

9

10

11

<table><tr><td>R* = ]-∞; 0[ ∪ ]0; +∞[</td><td>Si x∈I, alors -x∈I<br/>x∈[-3; 3] ⇔ -3≤x≤3</td><td>I = [0; 2]<br/>x = 1,2</td></tr></table>

12

quand on prend R* ? (...)

13

Vous n'avez pas d'opinion ? (...)

14

– [E] Oui, elle, ça marche.

15

– [P] Oui, alors pourquoi elle est vérifiée ?

16

– [E=] Parce que un réel, il peut être, là, négatif que quand l'opposé il est pas négatif...

17

18

– [P] Oui, alors toi tu dis, oui c'est une bonne idée, à chaque fois qu'on va prendre un réel dans un intervalle, son opposé il va se trouver dans l'autre. Oui on peut dire aussi que si x est différent de zéro, parce que appartenir à R* c'est être différent de zéro, -x, bah sera différent de zéro, l'opposé, mais c'est vrai que chaque fois qu'on va prendre un réel dans l'un des intervalles son opposé va être dans l'autre (il montre les intervalles ]-∞; 0[ et ]0; +∞[).

19

20

21

22

23

24

Donc ça va être vérifié.

25

Bah maintenant au lieu de retirer zéro, bah je vais retirer 1 (il écrit)

26
1

<table><tr><td>R* = ]-∞; 0[ ∪ ]0; +∞[<br>R \ {1}</td><td><table><tr><td>Si x∈I, alors -x∈I</td></tr></table><br>x∈[-3; 3] ⇔ -3≤x≤3</td><td>I = [0; 2]<br>x = 1,2</td></tr></table>

2

3

Maintenant je retire 1. Alors, a-t-on un ensemble symétrique par rapport à zéro ou pas ? (...)

4

5

Alors y a deux manières d'écrire ça. Ou bien j'écris comme la réunion des intervalles (il écrit =)

6

<table><tr><td>R* = ]-∞; 0[ ∪ ]0; +∞[<br>R \ {1} =</td><td><table><tr><td>Si x∈I, alors -x∈I</td></tr></table><br>x∈[-3; 3] ⇔ -3≤x≤3</td><td>I = [0; 2]<br>x = 1,2</td></tr></table>

7

8

Ou bien je dis que x est différent de 1, ça signifie que x différent de 1 (il montre R \ {1} puis transforme le signe = en ⇔)

9

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11

<table><tr><td>R* = ]-∞; 0[ ∪ ]0; +∞[<br>R \ {1} ⇔</td><td><table><tr><td>Si x∈I, alors -x∈I</td></tr></table><br>x∈[-3; 3] ⇔ -3≤x≤3</td><td>I = [0; 2]<br>x = 1,2</td></tr></table>

12

13

Alors ça signifie, dire que (il efface le signe ⇔)

14

<table><tr><td>R* = ]-∞; 0[ ∪ ]0; +∞[<br>R \ {1} ☞</td><td><table><tr><td>Si x∈I, alors -x∈I</td></tr></table><br>x∈[-3; 3] ⇔ -3≤x≤3</td><td>I = [0; 2]<br>x = 1,2</td></tr></table>

15

16

Enfin on va plutôt dire x élément de R moins 1 ;

17

<table><tr><td>R* = ]-∞; 0[ ∪ ]0; +∞[<br>x∈R \ {1} signifie</td><td><table><tr><td>Si x∈I, alors -x∈I</td></tr></table><br>x∈[-3; 3] ⇔ -3≤x≤3</td><td>I = [0; 2]<br>x = 1,2</td></tr></table>

18

19

alors signifie ;

20

<table><tr><td>R* = ]-∞; 0[ ∪ ]0; +∞[<br>x∈R \ {1} signifie</td><td><table><tr><td>Si x∈I, alors -x∈I</td></tr></table><br>x∈[-3; 3] ⇔ -3≤x≤3</td><td>I = [0; 2]<br>x = 1,2</td></tr></table>

21
alors j'écris en français mais c'est toujours le même signe d'équivalence hein,
signifie quoi ? Oui bien *x* différent de 1 ;

<table><tr><td>R* = ]-∞; 0[ ∪ ]0; +∞[</td><td>Si x∈I, alors -x∈I</td><td>I = [0; 2]</td></tr><tr><td>x∈R \ {1} signifie x≠1</td><td>x∈[-3; 3] ⇔ -3≤x≤3</td><td>x = 1,2</td></tr></table>

c'est encore plus facile, qu'est-ce qu'on peut dire de $-x$ ? (...)

Bon on va pas l'écrire comme ça. (Il efface $x≠1$)

<table><tr><td>R* = ]-∞; 0[ ∪ ]0; +∞[</td><td>Si x∈I, alors -x∈I</td><td>I = [0; 2]</td></tr><tr><td>x∈R \ {1} signifie x≠1</td><td>x∈[-3; 3] ⇔ -3≤x≤3</td><td>x = 1,2</td></tr></table>

Alors on va écrire que $x$ appartient à moins l'infini 1 union 1 plus l'infini et puis on va effacer l'autre parce que ça se chevauche.

<table><tr><td>R* = ]-∞; 0[ ∪ ]0; +∞[</td><td>Si x∈I, alors -x∈I</td><td>I = [0; 2]</td></tr><tr><td>x∈R \ {1} signifie x≠1</td><td>x∈[-3; 3] ⇔ -3≤x≤3<br/>-3<x≤3<br/>-x∈[-3; 3]<br/>-3<x≤-3<br/>-x∈[-3; 3]</td><td>x = 1,2</td></tr><tr><td></td><td></td><td>-x = -1,2 ∉ I</td></tr></table>

Voilà ! (il écrit ensuite)

<table><tr><td>R* = ]-∞; 0[ ∪ ]0; +∞[</td><td>Si x∈I, alors -x∈I</td><td>I = [0; 2]</td></tr><tr><td>x∈R \ {1} signifie x ∈] -∞ ; 1[ ∪ ]1; +∞[</td><td></td><td>x = 1,2</td></tr><tr><td></td><td></td><td>-x = -1,2 ∉ I</td></tr></table>

Alors, il a pas plus de succès écrit comme ça !? Alors allons y (il donne trois de petits coups de craies sur le tableau sous le 1 de l'intervalle ] -∞ ; 1[ ).

Quand je prends un réel qui appartient à cet intervalle... à cet ensemble là, soit à un intervalle soit à un autre, qu'est-ce que l'on peut dire de son opposé ? Est-ce qu'il est toujours dedans ? (...) Oui ?

- [E] On prend -1...
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

- [P] Ah si j'prends -1 est-ce qu'il est là dedans ? (il montre les deux intervalles réunis) Oui pourquoi ? Il va se trouver là -1 (il dessine une flèche pour indiquer la position de -1)

et il est plus petit que 1 (il écrit -1 sous la flèche)

R* = ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ Si x∈I, alors -x∈I
x∈R \ {1} signifie x∈] -∞ ; 1[∪]1 ; +∞[ x = 1,2
↑ -x = -1,2 ∉ I
-1

et l'opposé de -1...

- [E] C'est 1

- [P] Et bah c'est 1 donc il n'appartient pas (il donne un petit coup de craie sur le 1 de l'intervalle ]1 ; +∞[ ) à cet ensemble R privé de 1 (de loin, il montre le début de la ligne).
Transcription de la bande vidéo de
la classe de seconde B

– [P] Alors le sens de variation des fonctions, d'abord on part d'un intervalle.
Vous voyez c'est très important. On a pris un intervalle inclus dans l'ensemble de
définition. Bon, alors, on va étudier le sens de variation de cette fonction sur, donc, un
intervalle inclus dans l'ensemble de définition. Alors qu'est ce ça veut dire qu'une
fonction est croissante sur I ? Bah normalement vous le savez quand même déjà parce
que vous avez étudié les fonctions affines. Est-ce que vous vous souvenez de ça là, du
cours de troisième, qu'est ce que ça peut être une fonction croissante sur un intervalle ?

– [E] Bah, le coefficient directeur est positif.

– [P] Ah le coefficient directeur, c'est à condition que tu aies donc...

– [E=] l'équation...

– [P] l'équation d'une droite alors. Quand t'as l'équation d'une droite, tu avais
ta fonction affine, oui c'est vrai, quand ton coefficient directeur était positif mais est-ce
que tu vois ce que ça signifie ça ? (...) Non ? C'est la chanson qui t'est restée ?

– [E=] Oui...

– [P] Coefficient directeur positif fonction croissante. Bon bah c'est vrai hein.
Oui c'est...

– [E] C'est aussi par rapport à l'image et à l'antécédent, ça veut dire que plus
l'image croît plus l'antécédent croît parce que x a un sens...

– [P] Ah. Tu veux dire...

– [E=] Plus l'un est grand l'autre est grand.

– [P] Bon les images croissent dans le même sens que les antécédents. Et bah
justement ça tombe bien c'est la définition... (rires d'élèves) On dira tout simplement
qu'une fonction est croissante quand les images de deux réels quelconques de
l'intervalle, ben, sont rangées dans le même ordre que les antécédents. Alors euh, même
ordre ça veut dire quoi ? *Si x est plus petit que x*'

si $x < x'$
qu'est-ce que $x$ et $x'$ (il montre $x$ et $x'$) deux réels de notre intervalle hein ?
quelconques :

$$ 
\begin{array}{l}
x \in I \quad x' \in I \\
\text{si } x < x'
\end{array}
$$

et si je les prends rangés dans l'ordre $x$ plus petit que $x'$ (il montre l'inégalité alors, ben, même ordre ça veut dire que $f$ de $x$ est inférieur ou égal à $f$ de $x'$ (il insiste sur « ou égal »).

$$ 
\begin{array}{l}
x \in I \quad x' \in I \\
\text{si } x < x' \text{ alors } f(x) \leq f(x')
\end{array}
$$

Alors vous n'avez pas tellement le moyen de le savoir que la relation d'ordre c'est inférieur ou égal. Bah parce que vous verrez ça plus tard, on fait plus ça au lycée. La relation d'ordre c'est inférieur ou égal (il entoure le signe de l'inégalité).

$$ 
\begin{array}{l}
x \in I \quad x' \in I \\
\text{si } x < x' \text{ alors } f(x) \leq f(x')
\end{array}
$$

C'est pas inférieur strictement hein. $f$ de $x$, donc, inférieur ou égal à $f$ de $x'$ (il montre l'inégalité), on dit que $f$ est croissante sur $I$ et le symbole, aussi, c'est une flèche qui monte, croissante sur $I$.

$$ 
\begin{array}{l}
x \in I \quad x' \in I \\
\text{si } x < x' \text{ alors } f(x) \leq f(x') \text{ \textit{f est croissante sur I}}
\end{array}
$$

ça va en montant (il fait un geste montant en suivant la flèche).

Alors pourquoi en montant ? Bah c'est quand on regarde la représentation graphique : si on prend $x$ plus petit que $x'$, comme l'axe des abscisses est orienté dans le sens gauche droite qu'est-ce qu'on pourrait dire des images si $f$ de $x$ est plus petit que $f$
de x', ça veut dire que le point de coordonnées x, f de x (il montre l'inégalité des images)...

– [E] Sera plus bas...

– [P] Oui, va être en dessous du point de coordonnées x' f de x' et ça, ça va être, et x va varier dans tout l'intervalle alors on a l'impression que la courbe monte, ou plutôt ne redescend pas, et pourquoi c'est pas pareil ?

– [E] Ça stagne...

– [E] Ça peut rester au même niveau.

– [P] Ah bah voilà ! **il peut y avoir tout un intervalle sur lequel la fonction est constante voilà** (il trace la courbe)

si $x < x'$ alors $f(x) \leq f(x')$ fest croissante sur $I \rightarrow$

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

et ben là si j'ai une représentation graphique sur cet intervalle là, qu'a à peu près cette tête là hein (il trace les pointillés)

si $x < x'$ alors $f(x) \leq f(x')$ fest croissante sur $I \rightarrow$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

bon bah alors pour parler de représentation graphique bah il faut qu'y ait un repère parce que sinon ça n'a pas de sens hein, bah on va prendre n'importe quoi, il y a pas de formule là mais il faut quand même des repères alors sur cet intervalle petit a
1. petit b (il trace les axes de coordonnées et, en rouge, les vecteurs du repère puis, toujours en rouge, il écrit $\vec{i}, \vec{j}, a$, et $b$)

3

si $x < x'$ alors $f(x) \le f(x')$ f est croissante sur $I \rightarrow$

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

4

5

on peut dire que la fonction est croissante (il suit du doigt la courbe de gauche à droite).

6

7

8

9

Elle est croissante mais il y a tout un sous-intervalle, vous voyez, celui-là entre $c$ et $d$ (il trace les pointillés en blanc et écrit $c$ et $d$)

10

si $x < x'$ alors $f(x) \le f(x')$ f est croissante sur $I \rightarrow$

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

11

12

et bien entre ces deux valeurs (il indique $c$ et $d$)

13

et bien la fonction est constante (il repasse la partie horizontale de la courbe), voilà !

14

Cette constante c'est elle là. (il trace les pointillés horizontaux)

15

si $x < x'$ alors $f(x) \le f(x')$ f est croissante sur $I \rightarrow$

16
<figure><img src="image_15.png" /></figure>

ici au tableau ce serait à peu près quoi ?

- [E] Trois

- [P] Oui, oui c'est cela oui, environ (il regarde la courbe au tableau).

Alors là, on a l'exemple d'une fonction croissante sur I, (il montre la courbe).

Alors c'est assez rare d'ailleurs d'avoir des courbes de ce style là c'est à dire avec une fonction qui est constante sur une partie de l'intervalle comme ça, la plupart du temps, ça va être strictement rangé dans le même ordre (il montre le signe inférieur ou égal entouré)

c'est à dire que là je vais pouvoir retirer ce signe d'égalité. (il barre en rouge la deuxième barre du signe ≤ comme indiqué : ce que nous noterons ⊑)

Et à ce moment là, si on a toujours $f$ de $x$ plus petit que $f$ de $x'$ (il montre l'inégalité des images rendue stricte) on dira que la fonction est strictement croissante tout simplement. Ce sera presque toujours le cas : fonction strictement croissante. Alors y a pas vraiment de signe pour ça, la flèche qui monte c'est croissant (il montre la flèche qui monte après croissante sur l). Bah strictement croissante on l'écrit en français hein, c'est pas interdit. Donc sur I, hein, on est toujours croissant sur un intervalle. Alors ça peut être un très grand intervalle, c'est ce qui vous est arrivé l'année dernière avec les fonctions affines. Et oui elles étaient, ces fonctions elles pouvaient très bien être croissante sur R tout entier et d'ailleurs elles pouvaient aussi être décroissantes sur R tout entier ou alors constantes, sur R. Oh c'était pas drôle hein, c'était monotone, les fonctions affines, toujours le même sens de variation ! Bah au moins ce sera plus intéressant cette année !

Alors après, ah oui au fait, pourquoi j'ai pas mis égal là, pourquoi j'me suis pas amusé à prendre $x$ égal à $x'$ ? (il montre le signe inférieur strict de « si $x < x'$»)

- [E ensemble confus] Ça aurait été...égalité...
[P] Ah bah oui ! À ce moment là j'aurai toujours f de x égal f de x', ça j'peux
prédire le résultat. C'est pas intéressant, non. C'qu'est intéressant c'est de regarder
comment sont rangées les images de deux réels distincts, ça c'est bien vrai.

Alors on continue. Un p'tit exemple. On a déjà vu tout à l'heure les fonctions
affines à coefficients directeurs positifs ; bon, on va en reprendre un pour se remettre en
mémoire. (il écrit)

si $x < x'$ alors $f(x) \leq f(x')$ f est croissante sur $I \rightarrow$

ex1

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Oh j'sais pas si j'en ai pris un là ! (il regarde ses notes sur son bureau) Ça
c'était le cours d'l'année dernière, bah non, y en a pas, on n'avait pas pris de fonction
affine, et ben ça fait rien, on va en r'prendre quand même une aujourd'hui.

Alors, un exemple de fonction affine à coefficient directeur positif (...) Un peu
d'imagination (...) Alors, une main levée ou plusieurs (...)

[E] (Cécile lève la main et attend).

[P] Oh bah c'est pas toujours Cécile !

[E ensemble] Bah si ! (rires)

[P] Et ben alors tu vas être filmée tout le temps...

[E] Alors j'arrête de parler (rire)...

[P] Allez, va-s-y !

[E=] y égal, par exemple, enfin y égal 4x plus 7...

[P] alors ça c'est l'équation de la droite, la fonction...

[E=] f de x égal...

[P] Ah...

[E=] donc f de x égal...
– [P] t’es en train de donner un nombre (*il prend un air mystérieux*). Alors essaie d’arranger ça. Justement on avait bien insisté sur les généralités en disant attention, attention, la fonction c’est f, f de x c’est l’image du réel x par la fonction.

– [E=] f égal, euh...

– [P] Bah dis donc t’as pas d’chance, ils veulent pas t’aider hein. Ils te laissent
te dépatouiller toute seule !

– [E] Oui, f associe à x, 4x...

– [P] Ah bah là ça va mieux. Ou alors tu dis la fonction f définie par l'image d'un réel quelconque f de x égal, et tu pourrais dire c'que t'as dit tout à l'heure.

Alors ben tiens on va l'appeler g pour changer

exl g :

parce que sinon on est esclave de la notation hein, on a bien dit faut changer !
Alors à x on fait correspondre quoi déjà ? (...)

– [E ensemble] brouhaha...

– [P] Ah c’est 4x + 7 qui l’emporte alors

$x \in I \quad x' \in I$

si $x < x'$ alors $f(x) \stackrel{\{\}}{=} f(x')$

**exl** $g: x \longrightarrow 4x + 7$

Alors, cette fonction elle est définie sur R et elle est croissante sur R ça c'est un souvenir de l'année dernière, bah on va le montrer (il montre la définition de g).

Alors qu'est-ce qu'il faut faire pour ça ? Prendre deux réels donc *parce que I là (il montre les I de la définition)* c'est tout R

si $x < x'$ alors $f(x) \stackrel{\{\}}{=} f(x')$

**exl** $g: x \longrightarrow 4x + 7$

$I = R$

On prend deux réels. Qu'est-ce qu'on peut choisir comme ordre là ? Bah c'qu'on veut parce c'qu'il faut c'est regarder si les images sont rangées dans le même ordre ou
1 pas donc j'peux les prendre dans l'ordre que j'veux. Bon, ben, on va pas innover hein, puisque dans la définition on a dit (il montre $x<x'$) qu'on choisissait l'ordre $x$ plus petit
2 que $x'$ bon bah on va garder $x$ plus petit que $x'$ ; alors c'est quoi $x$ et $x'$ ? (...)

4 Et bah c'est deux réels quelconques hein ! Et ben oui, c'est deux réels quelconques ; simplement ils sont pas si quelconques que ça parce qu'ils sont rangés dans l'ordre $x$ plus petit que $x'$, c'est tout. <u>Donc $x$ et $x'$ réels quelconques rangés dans l'ordre</u>

8

$$I = R$$
$$x \text{ et } x' \text{ réels}$$

9

<u>tels que $x$ plus petit que $x'$</u>

10

$$\underline{\text{ex1}} \quad g : x \longrightarrow 4x + 7$$

$$I = R$$
$$x \text{ et } x' \text{ réels tq } x < x'$$

11

Et qu'est-ce que j'veux comparer ?

12

– [E] f de $x$ et f de $x'$.

13

– [P] Oui mais la fonction on l'a appelée $g$, vous voyez qu'il faut faire attention.

14

On veut comparer $g$ de $x$ et $g$ de $x'$.

15

Alors comment on peut faire pour passer de là à là (il montre $x < x'$ et $4x + 7$)

16

Je sais que $x$ est plus petit que $x'$ et j'aimerais bien savoir dans quel ordre sont rangés $g$ de $x$ et $g$ de $x'$.

17

18

Ah bah tiens, elle est toute seule dans la classe là aujourd'hui ! Alors tu fais quoi ?

19

20

– [E] On multiplie.

21

– [P] On multiplie quoi par quoi ?

22

– [E=] Bah, $x$ et $x'$ par 4...

23

– [P] par 4, alors multiplions par 4, quand on multiplie donc par un nombre positif on change pas l'ordre, d'accord donc si $x$ est plus petit que $x'$ (il montre $x$ et $x'$) on en déduit que <u>4x plus petit que ? 4x'</u>

24

25

26

27

28
$$ \begin{gathered} x \text{ et } x' \text{ réels tq } x < x' \\ 4x < 4x' \end{gathered} $$

– [E= et d'autres] 4x'

– [E=] et 4x + 7...

– [P] et bah oui, on a le droit d'ajouter n'importe quoi hein, pourquoi pas 7. **Et on arrive à quoi alors ?**

– [E=] 4x + 7 inférieur à...

$$ \begin{gathered} x \text{ et } x' \text{ réels tq } x < x' \\ 4x < 4x' \\ 4x + 7 < 4x' + 7 \end{gathered} $$

– [P] Oui et qu’est ce qu’on trouve ?

– [E= et d'autres] f de x ; g de x

– [P] Ben g de x **vous voyez comme vous êtes esclaves de la notation là hein !**

$$ \begin{gathered} 4x + 7 < 4x' + 7 \\ g(x) < g(x') \end{gathered} $$

On l'avait pourtant dit, il faut changer de nom tout le temps, bien faire attention.

$$ \begin{gathered} 4x + 7 < 4x' + 7 \\ g(x) < g(x') \end{gathered} $$

Et qu’est-ce que ça veut dire ?

– [E] Elle est croissante...

– [P] Strictement même, la fonction est strictement croissante sur R, si on ne dit pas sur quel intervalle elle est croissante et ben on n'a pas tout dit hein ! Croissante toute seule ça m'intéresse pas, ça suffit pas, c'est toujours sur quel intervalle elle est croissante, strictement (il montre < de g(x)<g(x')).

Alors vous l'savez bien vous que cette droite là, bah elle va en haut donc, et c'est vrai qu'le coefficient directeur, 4, positif (il montre le 4 de 4x + 7)
1

2

Rappel de la totalité du tableau :

$x \in I \quad x' \in I$

$\text{si } x < x' \text{ alors } f(x) \leq f(x') \quad \text{f est croissante sur } I \rightarrow$

$\underline{\text{ex}}_1 \ g : x \longrightarrow 4x + 7$

$I = R$

$x \text{ et } x' \text{ réels tq } x < x'$

$4x < 4x'$

$4x + 7 < 4x' + 7$

$g(x) < g(x')$

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

3

4
<figure><img src="image_18.png" /></figure>
# Épisodes et scènes des deux séances

## PREMIÈRE SÉANCE

Épisode I (p. B, l. 6-15): Définition d'un intervalle symétrique

Épisode II (p. B, l. 16-22): L'exemple de R

Épisode III (p. B, l. 23-24): L'exemple de R*

Épisode IV (p. B, l. 25 - p.D, l.14): L'exemple de [-3 ; 3]

<table><tr><td>scène I</td><td>p. B, l. 25-27</td></tr><tr><td>scène II</td><td>p. C, l.1-4</td></tr><tr><td>scène III</td><td>p. C, l. 5-11</td></tr><tr><td>scène IV</td><td>p. C, l.12-15</td></tr><tr><td>scène V</td><td>p. C, l. 16-17</td></tr><tr><td>scène VI</td><td>p. C, l. 18-26</td></tr><tr><td>scène VII</td><td>p. D, l. 1-5</td></tr><tr><td>scène VIII</td><td>p. D, l. 6-7</td></tr><tr><td>scène IX</td><td>p. D, l. 8-10</td></tr><tr><td>scène X</td><td>p. D, l. 11-14</td></tr></table>

Épisode V (p. D, l. 15-p. F, l. 18): L'exemple de [-3 ; 3]

<table><tr><td>scène I</td><td>p. D, l. 15-18</td></tr><tr><td>scène II</td><td>p. D, l. 19-22</td></tr><tr><td>scène III</td><td>p. D, l.23 - p. E, l. 7</td></tr><tr><td>scène IV</td><td>p. E, l. 8-16</td></tr><tr><td>scène V</td><td>p. E, l. 17-23</td></tr><tr><td>scène VI</td><td>p. E, l.24 - p. F, l. 1</td></tr><tr><td>scène VII</td><td>p. F, l. 2-5</td></tr><tr><td>scène VIII</td><td>p. F, l. 6-8</td></tr><tr><td>scène IX</td><td>p. F, l. 9-13</td></tr><tr><td>scène X</td><td>p. F, l.14-18</td></tr></table>
## Épisode VI (p. F, l. 19 - p. G, l. 17-22) : L'exemple de [0 ; 2]

<table><tr><td>scène I</td><td>p. F, l. 19-22</td></tr><tr><td>scène II</td><td>p. F, l. 23 - p. G, l. 2</td></tr><tr><td>scène III</td><td>p. G, l. 3-5</td></tr><tr><td>scène IV</td><td>p. G, l. 6-9</td></tr><tr><td>scène V</td><td>p. G, l. 9-12</td></tr><tr><td>scène VI</td><td>p. G, l. 13-16</td></tr><tr><td>scène VII</td><td>p. G, l. 17-22</td></tr></table>

## Épisode VII (p. G, l. 23 - p. H, l. 25) : L'exemple de R*

<table><tr><td>scène I</td><td>p. G, l. 23 - p. H, l. 5</td></tr><tr><td>scène II</td><td>p. H, l. 6-8</td></tr><tr><td>scène III</td><td>p. H, l. 9-12</td></tr><tr><td>scène IV</td><td>p. H, l. 13-25</td></tr></table>

## Épisode VIII (p. H, l. 26 - p. K, l. 7) : L'exemple de R \ {1}

<table><tr><td>scène I</td><td>p. H, l. 26 - p. I, l. 2</td></tr><tr><td>scène II</td><td>p. I, l. 3-8</td></tr><tr><td>scène III</td><td>p. I, l. 9-12</td></tr><tr><td>scène IV</td><td>p. I, l. 13-21</td></tr><tr><td>scène V</td><td>p. I, l. 21 - p. J, l. 4</td></tr><tr><td>scène VI</td><td>p. J, l. 5-12</td></tr><tr><td>scène VII</td><td>p. J, l. 13-14</td></tr><tr><td>scène VIII</td><td>p. J, l. 15-16</td></tr><tr><td>scène IX</td><td>p. J, l. 17 - p. K, l. 6</td></tr><tr><td>scène X</td><td>p. K, l. 7-11</td></tr></table>
# DEUXÈME SÉANCE

## Épisode I (p. L, l. 5-20) : Coefficient directeur d'une fonction affine

## Épisode II (p. L, l. 21 - p. M, l. 21) : Définition d'une fonction croissante

<table><tr><td>scène I</td><td>p. L, l. 21 - p. M, l. 1</td></tr><tr><td>scène II</td><td>p. M, l. 2-5</td></tr><tr><td>scène III</td><td>p. M, l. 6-10</td></tr><tr><td>scène IV</td><td>p. M, l. 11-15</td></tr><tr><td>scène V</td><td>p. M, l. 15-20</td></tr><tr><td>scène VI</td><td>p. M, l. 21</td></tr></table>

## Épisode III (p. M, l. 22 - p. P., l. 5) : Représention graphique

<table><tr><td>scène I</td><td>p. M, l. 22 - p. N, l. 6</td></tr><tr><td>scène II</td><td>p. N, l. 7-12</td></tr><tr><td>scène III</td><td>p. N, l. 13-16</td></tr><tr><td>scène IV</td><td>p. N, l. 17- p. O, 4</td></tr><tr><td>scène V</td><td>p. O, l. 5-11</td></tr><tr><td>scène VI</td><td>p. O, l. 12</td></tr><tr><td>scène VII</td><td>p. O, l. 13-14</td></tr><tr><td>scène VIII</td><td>p. O, l. 15 - p. PK, l. 1</td></tr><tr><td>scène IX</td><td>p. P, l. 2-5</td></tr></table>

## Épisode IV (p. P, l. 6-23) : Fonction strictement croissante

<table><tr><td>scène I</td><td>p. P, l. 6-9</td></tr><tr><td>scène II</td><td>p. P, l. 10-11</td></tr><tr><td>scène III</td><td>p. P, l. 12-23</td></tr></table>

## Épisode V (p. P, l. 24 - p. Q, l. 3) : Remarque sur la définition

## Épisode VI (p. Q, l. 4 - p. R, l. 9) : Comment désigner une fonction

<table><tr><td>scène I</td><td>p. Q, l. 4-11</td></tr><tr><td>scène II</td><td>p. Q, l. 12 - p. R, l. 9</td></tr></table>
Épisode VII (p. R, l. 10 - p. T, l. 24) : Exemple de fonction affine

<table><tr><td>scène I</td><td>p. R, l. 10-12</td></tr><tr><td>scène II</td><td>p. R, l. 13-18</td></tr><tr><td>scène III</td><td>p. R, l. 19-20</td></tr><tr><td>scène IV</td><td>p. R, l. 21-24</td></tr><tr><td>scène V</td><td>p. R, l. 25 - p. S, l. 3</td></tr><tr><td>scène VI</td><td>p. S, l. 4-9</td></tr><tr><td>scène VII</td><td>p. S, l. 10-11</td></tr><tr><td>scène VIII</td><td>p. S, l. 12-16</td></tr><tr><td>scène IX</td><td>p. S, l. 17 - p. T, l. 1</td></tr><tr><td>scène X</td><td>p. T, l. 2-8</td></tr><tr><td>scène XI</td><td>p. T, l. 9-16</td></tr><tr><td>scène XII</td><td>p. T, l. 17-22</td></tr><tr><td>scène XIII</td><td>p. T, l. 23-24</td></tr></table>
# Grille de recueil de données

IDENTIFICATION DE LA SÉANCE :

## I. Le tableau de l'enseignant. (analyse par séance)

### A ♦ quantité inscrite par séance (mesurée en nombre de tableaux)

1 ☐ $0 \le nombre \le 1$

2 ☐ $1 < nombre \le 2$

3 ☐ $2 < nombre \le 3$

4 ☐ $3 < nombre \le 4$

### B ♦ où commence-t-il à écrire ?

1 ☐ en haut à gauche

2 ☐ en haut au centre

3 ☐ en haut d'une autre colonne

4 ☐ ailleurs

### C ♦ organisation générale du tableau

1 ☐ « brouillon »

2 ☐ en colonnes linéaires

3 ☐ en colonnes fonctionnelles

### D ♦ rythme d'effaçage.

1 ☐ pour faire de la place

2 ☐ à la fin de chaque épisode

### E ♦ mode d'effaçage

1 ☐ complet

2 ☐ partiel « brouillon »

3 ☐ partiel organisé avec recopiage éventuel de parties selectionnées
IDENTIFICATION DE L'ÉPISODE :

IDENTIFICATION DE LA SCÈNE :

## II. Le contenu du tableau.

A ♦ En regard du savoir à enseigner (analyse par épisode)

1 ☐ complet

2 ☐ partiel

B ♦ Fonction de ce qui est écrit ou montré (analyse par scène)

1 ☐ étiqueter

2 ☐ organiser

3 ☐ soutenir la mémoire de travail de la classe

4 ☐ informer ou rappeler une connaissance ou un résultat

5 ☐ proposer un travail, une question ou un résultat

6 ☐ illustrer

7 ☐ simplifier

8 ☐ indiquer une méthode, un conseil ou une mise en garde

## III. L'apparence du tableau :

ce qu'un élève y voit, ce que le professeur y montre. (analyse par scène)

A ♦ autonomie de ce qui est écrit (montré)

1 ☐ autonome

2 ☐ incomplet mais la partie présente a une entité autonome

3 ☐ aucune partie autonome

B ♦ choix de ce qui est montré

1 ☐ une globalité

2 ☐ une partie d'une globalité

3 ☐ un élément d'une globalité

C ♦ langage de ce qui est écrit (montré)

1 ☐ français courant

2 ☐ mathématique

3 ☐ graphique

4 ☐ schéma

5 ☐ icône

6 ☐ autre

D ♦ présentation de ce qui est écrit (montré)

1 ☐ soulignement

2 ☐ encadrement

3 ☐ couleur

4 ☐ icônes
## IV La gestion du tableau et celle de la classe. (analyse par scène)

### A • type d'écriture

1 ☐ linéaire (écrit dans le sens de la lecture orale linéaire)

2 ☐ dynamique (écrit selon un ordre différent de celui de la lecture orale linéaire)

### B • ce qui est écrit (montré) et ce qui est (a été ou sera) dit

1 ☐ non dit

2 ☐ dit avant seulement

3 ☐ dit durant seulement

4 ☐ dit après seulement

5 ☐ dit avant et durant pas après

6 ☐ dit avant, durant et après

7 ☐ dit durant et après pas avant

8 ☐ dit avant et après pas pendant

### C • transformation dit - écrit (montré)

1 ☐ ce qui est dit est identique à ce qui est écrit (montré)

2 ☐ ce qui est dit est analogue (même sens et fonction) à ce qui est écrit (montré)

3 ☐ ce qui est dit est différent de ce qui est écrit (montré)

### D • quelle est la consigne explicite par rapport à ce qui est écrit ?

1 ☐ aucune

2 ☐ lire et comprendre

3 ☐ critiquer

4 ☐ recopier

### E • organisation de la classe par rapport à l'acte d'écrire ou de montrer au tableau

- qui propose ?

1 ☐ le professeur

2 ☐ un ou des élèves

- qui décide ?

3 ☐ le professeur

4 ☐ un ou des élèves

- qui exécute ?

5 ☐ le professeur

6 ☐ un ou des élèves

### F • organisation de la classe par rapport à ce qui doit être écrit ou montré

- qui propose ?

1 ☐ le professeur

2 ☐ un ou des élèves

- qui décide ?

3 ☐ le professeur

4 ☐ un ou des élèves

### G • rôle de chacun quand un élève est au tableau

- du professeur

- de l'élève au tableau

- des autres élèves
# Tableau des résultats bruts (première séance)

<table><caption>résultats obtenus par la grille d'observation du tableau</caption><tbody><tr><td>II B</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>6,97</td></tr><tr><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2,32</td></tr><tr><td>4</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>53,4</td></tr><tr><td>5</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>23,2</td></tr><tr><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>7</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>8</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>13,9</td></tr><tr><td>III A</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>41,8</td></tr><tr><td>2</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>48,8</td></tr><tr><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>6,97</td></tr><tr><td>III B</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>16,2</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>11,6</td></tr><tr><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>16,2</td></tr><tr><td>III C</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>4,65</td></tr><tr><td>2</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>93</td></tr><tr><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2,32</td></tr><tr><td>5</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>III D</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2,32</td></tr><tr><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>18,6</td></tr><tr><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>IV A</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>44,1</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>20,9</td></tr><tr><td>IV B</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>13,9</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>11,6</td></tr><tr><td>3</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>48,8</td></tr><tr><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>5</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>11,6</td></tr><tr><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>9,3</td></tr><tr><td>7</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2,32</td></tr><tr><td>8</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2,32</td></tr><tr><td>IV C</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>13,9</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>27,9</td></tr><tr><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>46,5</td></tr><tr><td>IV D</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>100</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>IV E</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>100</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>100</td></tr><tr><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>5</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>100</td></tr><tr><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr><tr><td>IV F</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>74,4</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>25,5</td></tr><tr><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>100</td></tr><tr><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>0</td></tr></tbody></table>
# Résultats des comparaisons effectuées

## Comparaison des deux séances

Pour l'analyse scène par scène, l'étude porte sur le premier quart d'heure

<table><thead><tr><th></th><th>A</th><th>B</th><th>A</th><th>B</th></tr><tr><th></th><th>% abs</th><th>% abs</th><th>% rel</th><th>% rel</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="5"><strong>Le tableau de l'enseignant</strong></td></tr><tr><td colspan="5">A. Quantité inscrite par séance (mesurée en nombre de tableaux)</td></tr><tr><td>1 0 ≤ nombre ≤ 1</td><td></td><td>x</td><td>x</td><td></td></tr><tr><td>2 1 &lt; nombre ≤ 2</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>3 2 &lt; nombre ≤ 3</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4 3 &lt; nombre ≤ 4</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="5">B. Où commence-t-il à écrire ?</td></tr><tr><td>1 en haut à gauche</td><td></td><td>x</td><td>x</td><td></td></tr><tr><td>2 en haut au centre</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>3 en haut d'une autre colonne</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4 ailleurs</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="5">C. Organisation générale du tableau</td></tr><tr><td>1 « brouillon »</td><td></td><td></td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>2 en colonnes linéaires</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>3 en colonnes fonctionnelles</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="5">D. Rythme d'effaçage</td></tr><tr><td>1 pour faire de la place</td><td></td><td>x</td><td>x</td><td></td></tr><tr><td>2 à la fin de chaque épisode</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="5">E. Mode d'effaçage</td></tr><tr><td>1 complet</td><td></td><td></td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>2 partiel « brouillon »</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>3 partiel organisé</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="5"><strong>Le contenu du tableau</strong></td></tr><tr><td colspan="5">A. En regard du savoir à enseigner</td></tr><tr><td></td><td>100</td><td>100</td><td>100</td><td>100</td></tr><tr><td>1 complet</td><td>50</td><td>100</td><td>50</td><td>100</td></tr><tr><td>2 partiel</td><td>50</td><td>0</td><td>50</td><td>0</td></tr><tr><td colspan="5">B. Fonction de ce qui est écrit ou montré</td></tr><tr><td>1 étiqueter</td><td>0</td><td>6,2</td><td>0</td><td>6,2</td></tr><tr><td>2 organiser</td><td>7</td><td>0</td><td>7</td><td>0</td></tr><tr><td>3 soutenir la mémoire de travail de la classe</td><td>2,3</td><td>0</td><td>2,3</td><td>0</td></tr><tr><td>4 informer ou rappeler une connaissance ou un résultat</td><td>53,4</td><td>66,6</td><td>53,4</td><td>66,6</td></tr><tr><td>5 proposer un travail, une question ou un résultat</td><td>23,4</td><td>12,1</td><td>23,4</td><td>12,1</td></tr><tr><td>6 illustrer</td><td>0</td><td>15,1</td><td>0</td><td>15,1</td></tr><tr><td>7 simplifier</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>8 indiquer une méthode, un conseil ou une mise en garde</td><td>13,9</td><td>0</td><td>13,9</td><td>0</td></tr><tr><td colspan="5"><strong>L'apparence du tableau</strong></td></tr><tr><td colspan="5">A. Autonomie de ce qui est écrit (montré)</td></tr><tr><td></td><td>97,6</td><td>100</td><td>100</td><td>100</td></tr><tr><td>1 autonome</td><td>41,8</td><td>66,7</td><td>42,8</td><td>66,7</td></tr><tr><td>2 incomplet mais la partie présente a une entité autonome</td><td>48,8</td><td>33,3</td><td>50</td><td>33,3</td></tr><tr><td>3 aucune partie autonome</td><td>7</td><td>0</td><td>7,2</td><td>0</td></tr><tr><td colspan="5">B. Choix de ce qui est montré</td></tr><tr><td></td><td>44</td><td>60,5</td><td>100</td><td>100</td></tr><tr><td>1 une globalité</td><td>16,2</td><td>3</td><td>36,8</td><td>5</td></tr><tr><td>2 une partie d'une globalité</td><td>11,6</td><td>24,2</td><td>26,4</td><td>40</td></tr><tr><td>3 un élément d'une globalité</td><td>16,2</td><td>33,3</td><td>36,8</td><td>55</td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th></th><th>100</th><th>106</th><th>100</th><th>100</th></tr></thead><tbody><tr><td>C. Langage de ce qui est écrit</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1 français courant</td><td>4,7</td><td>6,1</td><td>4,7</td><td>5,8</td></tr><tr><td>2 mathématique</td><td>93</td><td>57,5</td><td>93</td><td>54,2</td></tr><tr><td>3 graphique</td><td>0</td><td>24,2</td><td>0</td><td>22,8</td></tr><tr><td>4 schéma</td><td>2,3</td><td>0</td><td>2,3</td><td>0</td></tr><tr><td>5 icône</td><td>0</td><td>9,1</td><td>0</td><td>8,6</td></tr><tr><td>6 autre</td><td>0</td><td>9,1</td><td>0</td><td>8,6</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>20,9</th><th>24,4</th><th>100</th><th>100</th></tr></thead><tbody><tr><td>D. Présentation de ce qui est écrit</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1 soulignement</td><td>0</td><td>6,1</td><td>0</td><td>25</td></tr><tr><td>2 encadrement</td><td>2,3</td><td>6,1</td><td>11</td><td>25</td></tr><tr><td>3 couleur</td><td>18,6</td><td>6,1</td><td>89</td><td>25</td></tr><tr><td>4 icônes</td><td>0</td><td>6,1</td><td>0</td><td>25</td></tr></tbody></table>

La gestion du tableau et celle de la classe.

<table><thead><tr><th></th><th>65</th><th>63,5</th><th>100</th><th>100</th></tr></thead><tbody><tr><td>A. Type d'écriture</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1 linéaire</td><td>44,1</td><td>36,3</td><td>67,8</td><td>57,2</td></tr><tr><td>2 dynamique</td><td>20,9</td><td>27,2</td><td>32,2</td><td>42,8</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>100</th><th>96,9</th><th>100</th><th>100</th></tr></thead><tbody><tr><td>B. Ce qui est écrit (montré) et ce qui est (a été ou sera) dit</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1 non dit</td><td>13,9</td><td>9,1</td><td>13,9</td><td>9,4</td></tr><tr><td>2 dit avant seulement</td><td>11,6</td><td>6,1</td><td>11,6</td><td>6,3</td></tr><tr><td>3 dit durant seulement</td><td>48,8</td><td>63,6</td><td>48,8</td><td>65,6</td></tr><tr><td>4 dit après seulement</td><td>0</td><td>3</td><td>0</td><td>3,1</td></tr><tr><td>5 dit avant et durant pas après</td><td>11,6</td><td>9,1</td><td>11,6</td><td>9,4</td></tr><tr><td>6 dit avant, durant et après</td><td>9,3</td><td>3</td><td>9,3</td><td>3,1</td></tr><tr><td>7 dit durant et après mais pas avant</td><td>2,4</td><td>3</td><td>2,4</td><td>3,1</td></tr><tr><td>8 dit avant et après mais pas pendant</td><td>2,4</td><td>0</td><td>2,4</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>88,3</th><th>90,7</th><th>100</th><th>100</th></tr></thead><tbody><tr><td>C. Transformation dit - écrit (montré)</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1 ce qui est dit est identique à ce qui est écrit (montré)</td><td>13,9</td><td>18,1</td><td>15,7</td><td>20</td></tr><tr><td>2 ce qui est dit est analogue à ce qui est écrit (montré)</td><td>27,9</td><td>24,2</td><td>31,6</td><td>26,7</td></tr><tr><td>3 ce qui est dit est différent de ce qui est écrit (montré)</td><td>46,5</td><td>48,4</td><td>52,7</td><td>53,3</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>100</th><th>100</th><th>100</th><th>100</th></tr></thead><tbody><tr><td>D. Quelle consigne par rapport à ce qui est écrit</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1 aucune</td><td>100</td><td>100</td><td>100</td><td>100</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>100</th><th>100</th><th>100</th><th>100</th></tr></thead><tbody><tr><td>E. Organisation de la classe par rapport à l'acte d'écrire</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>– qui propose ?</td><td>1 le professeur</td><td>100</td><td>100</td><td>100</td></tr><tr><td></td><td>2 un ou des élèves</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>– qui décide ?</td><td>3 le professeur</td><td>100</td><td>100</td><td>100</td></tr><tr><td></td><td>4 un ou des élèves</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>– qui exécute ?</td><td>5 le professeur</td><td>100</td><td>100</td><td>100</td></tr><tr><td></td><td>6 un ou des élèves</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>74,5</th><th>93,9</th><th>74,5</th><th>83,8</th></tr></thead><tbody><tr><td>F. Organisation de la classe par rapport à ce qui doit être écrit</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>– qui propose ?</td><td>1 le professeur</td><td>74,5</td><td>93,9</td><td>83,8</td></tr><tr><td></td><td>2 un ou des élèves</td><td>25,5</td><td>18,1</td><td>16,2</td></tr><tr><td>– qui décide ?</td><td>3 le professeur</td><td>100</td><td>100</td><td>100</td></tr><tr><td></td><td>4 un ou des élèves</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>
# Comparaison de deux épisodes

## Classe A Épisode I: Définition d'un intervalle symétrique

## Classe B Épisode II: Définition d'une fonction croissante

<table><thead><tr><th></th><th>A</th><th>B</th></tr></thead></table>

## Le contenu du tableau

<table><thead><tr><th colspan="3">Fonction de ce qui est écrit ou montré</th></tr></thead></table>

1 étiqueter 0 16

4 informer ou rappeler une connaissance ou un résultat 100 84

## L'apparence du tableau

<table><thead><tr><th colspan="3">A. autonomie de ce qui est écrit (montré)</th></tr></thead></table>

1 autonome 0 67

2 incomplet mais la partie présente a une entité autonome 100 33

<table><thead><tr><th colspan="3">B. choix de ce qui est montré</th></tr></thead></table>

2 une partie d'une globalité 0 20

3 un élément d'une globalité 0 80

## La gestion du tableau et celle de la classe

<table><thead><tr><th colspan="3">A. type d'écriture</th></tr></thead></table>

1 linéaire 100 60

2 dynamique 0 40

<table><thead><tr><th colspan="3">B. ce qui est écrit (montré) et ce qui est (a été ou sera) dit</th></tr></thead></table>

3 dit durant seulement 100 68

6 dit avant, durant et après 0 16

7 dit durant et après mais pas avant 0 16

<table><thead><tr><th colspan="3">C. transformation dit - écrit (montré)</th></tr></thead></table>

1 ce qui est dit est identique à ce qui est écrit (montré) 100 50

2 ce qui est dit est analogue à ce qui est écrit (montré) 0 17

3 ce qui est dit est différent de ce qui est écrit (montré) 0 33

<table><thead><tr><th colspan="3">F. organisation de la classe : qui propose ?</th></tr></thead></table>

1 le professeur seul 100 100
# Comparaison de deux épisodes

Classe A Épisode III : Exemple d'intervalle symétrique : [-3 ; 3]

Classe B Épisode VII : Exemple d'application croissante ($x \mapsto 4x+7$)

<table><thead><tr><th></th><th>A</th><th>B</th></tr></thead></table>

## Le contenu du tableau

<table><caption>Fonction de ce qui est écrit ou montré</caption><tbody><tr><td>2</td><td>organiser</td><td>20</td><td>0</td></tr><tr><td>3</td><td>soutenir la mémoire de travail de la classe</td><td>10</td><td>0</td></tr><tr><td>4</td><td>informer ou rappeler une connaissance ou un résultat</td><td>40</td><td>85</td></tr><tr><td>5</td><td>proposer un travail, une question ou un résultat</td><td>20</td><td>15</td></tr><tr><td>8</td><td>indiquer une méthode, un conseil ou une mise en garde</td><td>10</td><td>0</td></tr></tbody></table>

## L'apparence du tableau

<table><caption>A. autonomie de ce qui est écrit (montré)</caption><tbody><tr><td>1</td><td>autonome</td><td>70</td><td>54</td></tr><tr><td>2</td><td>incomplet mais la partie présente a une entité autonome</td><td>30</td><td>56</td></tr></tbody></table>

<table><caption>B. choix de ce qui est montré</caption><tbody><tr><td>1</td><td>une globalité</td><td>67</td><td>14</td></tr><tr><td>2</td><td>une partie d'une globalité</td><td>0</td><td>57</td></tr><tr><td>3</td><td>un élément d'une globalité</td><td>33</td><td>29</td></tr></tbody></table>

## La gestion du tableau et celle de la classe.

<table><caption>A. type d'écriture</caption><tbody><tr><td>1</td><td>linéaire</td><td>67</td><td>100</td></tr><tr><td>2</td><td>dynamique</td><td>33</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><caption>B. ce qui est écrit (montré) et ce qui est (a été ou sera) dit</caption><tbody><tr><td>1</td><td>non dit</td><td>10</td><td>8</td></tr><tr><td>2</td><td>dit avant seulement</td><td>30</td><td>17</td></tr><tr><td>3</td><td>dit durant seulement</td><td>30</td><td>58</td></tr><tr><td>4</td><td>dit après seulement</td><td>0</td><td>8</td></tr><tr><td>5</td><td>dit avant et durant pas après</td><td>10</td><td>8</td></tr><tr><td>6</td><td>dit avant, durant et après</td><td>20</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><caption>C. transformation dit - écrit (montré)</caption><tbody><tr><td>1</td><td>ce qui est dit est identique à ce qui est écrit (montré)</td><td>0</td><td>25</td></tr><tr><td>2</td><td>ce qui est dit est analogue à ce qui est écrit (montré)</td><td>20</td><td>17</td></tr><tr><td>3</td><td>ce qui est dit est différent de ce qui est écrit (montré)</td><td>80</td><td>58</td></tr></tbody></table>

<table><caption>F. organisation de la classe : qui propose ?</caption><tbody><tr><td>1</td><td>le professeur</td><td>70</td><td>70</td></tr><tr><td>2</td><td>un ou des élèves</td><td>30</td><td>30</td></tr></tbody></table>
Comparaison des scènes suivant la fonction de ce qui est écrit au tableau

Utilisation du tableau pour des apports mathématique (Math): pour informer ou proposer

Utilisation du tableau pour des apports métémathématiques (Méta) : pour organiser, illustrer, simplifier...

<table><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">classe A</th><th colspan="2">classe B</th></tr><tr><th>Méta</th><th>Math</th><th>Méta</th><th>Math</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>14</td><td>86</td><td>21</td><td>79</td></tr></tbody></table>

L'apparence du tableau

<table><caption>A. autonomie de ce qui est écrit (montré)</caption><tbody><tr><td>1 autonome</td><td>50</td><td>42</td><td>57</td><td>69</td></tr><tr><td>2 incomplet mais la partie présente a une entité autonome</td><td>50</td><td>50</td><td>43</td><td>31</td></tr><tr><td>3 aucune partie autonome</td><td>0</td><td>8</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>B. choix de ce qui est montré</th><th>83</th><th>32</th><th>43</th><th>65</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 une globalité</td><td>33</td><td>38</td><td>0</td><td>6</td></tr><tr><td>2 une partie d'une globalité</td><td>17</td><td>31</td><td>67</td><td>35</td></tr><tr><td>3 un élément d'une globalité</td><td>50</td><td>31</td><td>33</td><td>59</td></tr></tbody></table>

La gestion du tableau et celle de la classe.

<table><thead><tr><th>A. type d'écriture</th><th>17</th><th>76</th><th>86</th><th>58</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 linéaire</td><td>100</td><td>70</td><td>14</td><td>73</td></tr><tr><td>2 dynamique</td><td>0</td><td>30</td><td>86</td><td>26</td></tr></tbody></table>

<table><caption>B. ce qui est écrit (montré) et ce qui est (a été ou sera) dit</caption><tbody><tr><td>1 non dit</td><td>17</td><td>14</td><td>14</td><td>8</td></tr><tr><td>2 dit avant seulement</td><td>0</td><td>14</td><td>0</td><td>8</td></tr><tr><td>3 dit durant seulement</td><td>66</td><td>46</td><td>44</td><td>68</td></tr><tr><td>4 dit après seulement</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>4</td></tr><tr><td>5 dit avant et durant pas après</td><td>0</td><td>14</td><td>14</td><td>8</td></tr><tr><td>6 dit avant, durant et après</td><td>17</td><td>8</td><td>14</td><td>0</td></tr><tr><td>7 dit durant et après mais pas avant</td><td>0</td><td>2</td><td>14</td><td>4</td></tr><tr><td>8 dit avant et après mais pas pendant</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><caption>C. transformation dit - écrit (montré)</caption><tbody><tr><td>1 ce qui est dit est identique à ce qui est écrit (montré)</td><td>0</td><td>18</td><td>0</td><td>25</td></tr><tr><td>2 ce qui est dit est analogue à ce qui est écrit (montré)</td><td>20</td><td>33</td><td>33</td><td>25</td></tr><tr><td>3 ce qui est dit est différent de ce qui est écrit (montré)</td><td>80</td><td>49</td><td>67</td><td>50</td></tr></tbody></table>

<table><caption>F. organisation de la classe : qui propose ?</caption><tbody><tr><td>1 le professeur</td><td>100</td><td>70</td><td>86</td><td>96</td></tr><tr><td>2 un ou des élèves</td><td>0</td><td>30</td><td>14</td><td>19</td></tr></tbody></table>
## Comparaison des scènes où un élève est à l'origine de ce qui est écrit ou montré

Ces scènes représentent 25% des scènes de la séance avec la classe de seconde A et 18% des scènes de la séance avec la classe de seconde B.

<table><thead><tr><th></th><th>A</th><th>B</th></tr></thead></table>

### Le contenu du tableau

<table><thead><tr><th colspan="3">Fonction de ce qui est écrit ou montré</th></tr></thead><tbody><tr><td>4 informer ou rappeler une connaissance ou un résultat</td><td>100</td><td>83</td></tr><tr><td>6 illustrer</td><td>0</td><td>17</td></tr></tbody></table>

### L'apparence du tableau

<table><thead><tr><th colspan="3">A. autonomie de ce qui est écrit (montré)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 autonome</td><td>56</td><td>17</td></tr><tr><td>2 incomplet mais la partie présente a une entité autonome</td><td>36</td><td>83</td></tr><tr><td>3 aucune partie autonome</td><td>18</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th colspan="3">B. choix de ce qui est montré</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 une globalité</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>2 une partie d'une globalité</td><td>50</td><td>50</td></tr><tr><td>3 un élément d'une globalité</td><td>50</td><td>50</td></tr></tbody></table>

### La gestion du tableau et celle de la classe.

<table><thead><tr><th colspan="3">A. type d'écriture</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 linéaire</td><td>63</td><td>80</td></tr><tr><td>2 dynamique</td><td>37</td><td>20</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th colspan="3">B. ce qui est écrit (montré) et ce qui est (a été ou sera) dit</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 non dit</td><td>18</td><td>0</td></tr><tr><td>2 dit avant seulement</td><td>18</td><td>40</td></tr><tr><td>3 dit durant seulement</td><td>44</td><td>60</td></tr><tr><td>6 dit avant, durant et après</td><td>18</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th colspan="3">C. transformation dit - écrit (montré)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 ce qui est dit est identique à ce qui est écrit (montré)</td><td>11</td><td>0</td></tr><tr><td>2 ce qui est dit est analogue à ce qui est écrit (montré)</td><td>67</td><td>33</td></tr><tr><td>3 ce qui est dit est différent de ce qui est écrit (montré)</td><td>22</td><td>67</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th colspan="3">F. organisation de la classe : qui propose ?</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 le professeur</td><td>0</td><td>67</td></tr><tr><td>2 un ou des élèves</td><td>100</td><td>100</td></tr></tbody></table>
Bibliographie

ALTET M., BRESSOUX P., BRU M., LAMBERT C. (1994), *Une étude exploratoire des pratiques d'enseignement en classe de CE2*, Les dossiers d'éducation et formations n°44, Ministère de l'Éducation nationale Direction de l'Évaluation et de la Prospective.

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CHEVALLARD Y. (1990), « Dimension instrumentale, dimension sémiotique de l'activité mathématique », *I.M.A.G*. n°122, Université Joseph Fourier-Grenoble I.

CHIOCCA C.M., JOSSE E., ROBERT A. (1992), *Analyse du discours des enseignants*, Cahier de DIDIREM n° 16, Université Paris 7.

POSTIC M. et DE KETELE J-M. (1988), *Observer des situations éducatives*, Paris, PUF.

RABARDEL P. (1995), *Les hommes et les technologies : approche cognitive des instruments*, A. Colin, Paris.

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ROBERT A. (1996), « IUFM : Réflexion sur la formation professionnelle initiale des futurs enseignants de mathématiques des lycées et collèges », *Repères-IREM* n°23.

TOCHON F. V. (1993), *L'enseignant expert*, Nathan, Paris.

VALIRON (1947), *Théorie des fonctions*, Masson, Paris.
Notre site WEB

http://iremp7.math.jussieu.fr

IREM Université Paris7
Case 7018
2 Place Jussieu
75251 Paris cedex 05
TITRE :

DEA de didactique des disciplines. Didactique des mathématiques
Le tableau noir : un outil pour la classe de mathématiques

AUTEUR :

Roditi Eric

Editeur : IREM
Université PARIS 7-Denis Diderot
Directeur responsable de la
publication : R. CORI
Case 7018 - 2 Place Jussieu
75251 PARIS Cedex 05
Dépôt légal : 1997
ISBN : 2-86612-129-5