PROCEEDINGS OF SEVENTH CONFERENCE

ON

COASTAL ENGINEERING

THE HAGUE, NETHERLANDS

AUGUST 1960

Edited by

J. W. JOHNSON

Professor of Hydraulic Engineering

UNIVERSITY OF CALIFORNIA

BERKELEY

VOLUME 2

PUBLISHED BY

COUNCIL ON WAVE RESEARCH
THE ENGINEERING FOUNDATION

1961
COPYRIGHTED 1961

COUNCIL ON WAVE RESEARCH
Building 159
Richmond Field Station
University of California
Richmond, California

Lithographed in the United States of America
The National Press, Palo Alto, California
# CONTENTS

## VOLUME 1

ACKNOWLEDGMENTS.................. iii

## PART 1

### WAVE THEORY AND MEASUREMENTS

CHAPTER 1
WIND WAVES AND SWELL.................. 1
R. L Wiegel

CHAPTER 2
THE QUALITY OF TABULATED DECK LOG
SWELL OBSERVATIONS.................. 41
Marvin D. Burkhart and Clifford H Cline

CHAPTER 3
WAVE RECORDING ON THE IJSSELMEER........ 53
P W Roest

CHAPTER 4
THE USE OF RADAR IN HYDRODYNAMIC SURVEYING.... 59
H. M. Oudshoorn

CHAPTER 5
AN INSTRUMENTATION SYSTEM FOR WAVE
MEASUREMENTS, RECORDING AND ANALYSIS........ 77
H G. Farmer and D. D. Ketchum

CHAPTER 6
SPLASHNIK—THE TAYLOR MODEL BASIN
DISPOSABLE WAVE BUOY.................. 100
Wilbur Marks

CHAPTER 7
WAVE HEIGHT MEASURING EQUIPMENT........ 114
E. H. Boiten

CHAPTER 8
ETUDE THEORIQUE DE L'EXPLOITATION
DES ENREGISTREMENTS DE HOULE.................. 126
P. Caseau

CHAPTER 9
A THEORY FOR WAVES OF FINITE HEIGHT........ 146
Charles L Bretschneider

CHAPTER 10
FIFTH ORDER GRAVITY WAVE THEORY........ 184
Lars Skjelbreia and James Hendrickson
# CONTENTS

## PART 2

### BEACH AND SHORELINE PROCESSES

CHAPTER 11
THEORETICAL FORMS OF SHORELINES.................. 197
W. Grijm

CHAPTER 12
WAVE EFFECT ON THE COAST FORMATION
AND EROSION.................................................. 203
Walenty Jarocki

CHAPTER 13
MOUVEMENTS DES MATERIAUX DE FOND SOUS
L'ACTION DE LA HOULE.................. 211
P Lhermitte

CHAPTER 14
THE RELATIONSHIP BETWEEN WAVE ACTION AND
BEACH PROFILE CHARACTERISTICS.................. 262
P. H. Kemp

CHAPTER 15
RESEARCH ON WAVE ACTION ON
LAKE SHORES AND UNLINED SLOPES
OF ARTIFICIAL EARTH STRUCTURES.................. 278
A. A. Pichoughkin

CHAPTER 16
EXPERIMENTAL RESEARCH IN FORMATION BY WAVES
OF STABLE PROFILES OF UPSTREAM FACES OF
EARTH DAMS AND RESERVOIR SHORES.................. 282
I J Popov

CHAPTER 17
ESSAI D'ANALYSE DES PHENOMENES INTERVENANT
DANS LA FORMATION D'UN ESTUAIRE.................. 294
M. Banal

CHAPTER 18
ETUDE SUR MODELE DU TRANSPORT LITTORAL
CONDITIONS DE SIMILITUDE................................ 307
J. Valembois

CHAPTER 19
SCALE EFFECTS IN MODELS WITH
LITTORAL SAND-DRIFT.................. 318
R. Reinalda

CHAPTER 20
LITTORAL TRANSPORT IN THE GREAT LAKES.................. 326
L Bajorunas
CONTENTS

CHAPTER 21
SEDIMENT MOVEMENT AT INDIAN PORTS.................. 342
Madhav Manohar

CHAPTER 22
SUR L'EVALUATION DE CERTAINES CARACTERISTIQUES
DU TRANSPORT LITTORAL A LA BASE
DES DONNEES METEOROLOGIQUES.................. 375
Pawel Slomianko

CHAPTER 23
STABILITY OF COASTAL INLETS.................. 386
P. Bruun and F. Gerritsen

CHAPTER 24
THE USE OF FLUORESCENT TRACERS FOR
THE MEASUREMENT OF LITTORAL DRIFT.................. 418
R. C. H. Russell

CHAPTER 25
USE OF A RADIO-ACTIVE TRACER FOR
THE MEASUREMENT OF SEDIMENT
TRANSPORT IN THE NETHERLANDS.................. 445
J. N. Svasek and H. Engel

CHAPTER 26
REJET DE MATERIAUX A LA MER PAR
REFOULEMENT HYDRAULIQUE RISQUES
DE POLLUTION DES PLAGES.................. 455
Louis Greslou

VOLUME 2

PART 3

TIDES, TIDAL FLOW, AND STORM SURGES

CHAPTER 27
DETERMINATION DES DENIVELLATIONS ET
DES COURANTS DE MAREE.................. 485
F. Gohin

CHAPTER 28
ESTUARINE CURRENTS AND TIDAL STREAMS.................. 510
Roderick Agnew

CHAPTER 29
A STUDY OF DIFFUSION IN AN ESTUARY.................. 536
W. E. Maloney and C. H Chne
CONTENTS

CHAPTER 30
HURRICANE TIDE PREDICTION FOR NEW YORK BAY. ... 548
Basil W. Wilson

CHAPTER 31
HURRICANE STORM SURGE CONSIDERED AS
A RESONANCE PHENOMENON. ... 585
G. Abraham

CHAPTER 32
INVESTIGATIONS OF THE TIDES AND STORM SURGES
FOR THE DELTAWORKS IN THE SOUTHWESTERN
PART OF THE NETHERLANDS. ... 603
J. J Dronkers

CHAPTER 33
ON THE USE OF FREQUENCY CURVES
OF STORMFLOODS. ... 617
P. J. Wemelsfelder

PART 4
DYNAMIC ACTION OF WAVES

CHAPTER 34
ON THE STABILITY OF RUBBLE-MOUND BREAKWATERS 633
José Joaquim Reis de Carvalho e Daniel Vera-Cruz

CHAPTER 35
EXPERIMENTAL STUDIES OF SPECIALLY SHAPED
CONCRETE BLOCKS FOR ABSORBING WAVE ENERGY 659
Shoshichiro Nagai

CHAPTER 36
EXPERIMENTAL DATA ON THE OVERTOPPING
OF SEAWALLS BY WAVES. ... 674
A. Paape

CHAPTER 37
DETERMINATION OF THE WAVE ATTACK ANTICIPATED
UPON A STRUCTURE FROM LABORATORY
AND FIELD OBSERVATIONS. ... 682
W. A. Venis

CHAPTER 38
LA PRESSION DES VAGUES CONTRE LA PAROI ABRUPTE 695
M. E. Plakida

CHAPTER 39
THE CLAMP-ON WAVE FORCE METER. ... 701
Lars Skjelbreia
# CONTENTS

CHAPTER 40
MODEL TESTS ON THE MOTION
OF MOORED SHIPS PLACED ON LONG WAVES.................. 723
F. A. Kilner

CHAPTER 41
THE DYNAMICS OF A SUBMERGED MOORED SPHERE
IN OSCILLATORY WAVES........................................ 746
Donald R F Harleman and William C Shapiro

CHAPTER 42
MODEL INVESTIGATIONS OF WIND-WAVE FORCES............ 766
J. E. Prins

CHAPTER 43
MODEL STUDY OF AN ISOLATED LIGHTHOUSE
PLATFORM AT SEA (PRINCE SHOAL, QUEBEC)............ 778
G. E. Jarlan

## PART 5
COASTAL ENGINEERING PROBLEMS

CHAPTER 44
SAND TRANSFER, BEACH CONTROL,
AND INLET IMPROVEMENTS, FIRE ISLAND INLET
TO JONES BEACH, NEW YORK ........................ 785
Thorndike Saville

CHAPTER 45
ISLAND HARBOURS AND THEIR INFLUENCE
ON ADJACENT SHORES........................................ 808
Leon Shirdan

CHAPTER 46
SAFETY OF SEA-WALLS........................................ 817
Ir T Edelman

CHAPTER 47
MODERN DESIGN AND CONSTRUCTION OF DAMS
AND DIKES BUILT WITH THE USE OF ASPHALT......... 819
Baron W F Van Asbeck

CHAPTER 48
THE DEVELOPMENT OF COAST PROFILES ON
A RECEDING COAST PROTECTED BY GROYNES... 836
Torben Sorensen

CHAPTER 49
BEACH-REHABILITATION BY USE OF BEACH FILLS
AND FURTHER PLANS FOR THE PROTECTION
OF THE ISLAND OF NORDERNEY.................. 847
Johann Kramer
CONTENTS

CHAPTER 50

<table><tr><td>SHORELINE ADVANCEMENT BY SEA WALL<br/>AND GROYNES AT COCHIN</td><td>860</td></tr><tr><td>M. G. Hiranandani and C. V Gole</td><td></td></tr></table>

CHAPTER 51

<table><tr><td>LA DEFENSE ET LE MAINTIEN DES PLAGES BELGES<br/>ENTRE ZEEBRUGGE ET LA FRONTIERE<br/>NEERLANDAISE</td><td>872</td></tr><tr><td>J. E L. Verschave</td><td></td></tr></table>

CHAPTER 52

<table><tr><td>THE DIKES OF THE POLDERS IN THE IJSSELMER</td><td>893</td></tr><tr><td>M Klasema and C H. de Jong</td><td></td></tr></table>

CHAPTER 53

<table><tr><td>COASTAL PROTECTION WORKS AND RELATED<br/>PROBLEMS IN JAPAN</td><td>904</td></tr><tr><td>Masashi Hom-ma and Kiyoshi Horikawa</td><td></td></tr></table>

CHAPTER 54

<table><tr><td>A BRIEF OUTLINE OF THE ISE-WAN TYPHOON</td><td>931</td></tr><tr><td>Hiroji Otao</td><td></td></tr></table>

CHAPTER 55

<table><tr><td>INVESTIGATION OF DESTROYED STRUCTURES AND<br/>THE RECONSTRUCTION PROGRAM;<br/>ISE-WAN TYPHOON</td><td>942</td></tr><tr><td>Senri Tsuruta</td><td></td></tr></table>

CHAPTER 56

<table><tr><td>WAVES ON THE PACIFIC COAST AND ON THE COAST<br/>OF ISE BAY CAUSED BY THE ISE-WAN TYPHOON</td><td>949</td></tr><tr><td>Takesh1 Ijima, Shoji Sato and H1sashi Aono</td><td></td></tr></table>

CHAPTER 57

<table><tr><td>THE DAMAGES OF COASTAL DIKES AND RIVER LEVEES<br/>AND THEIR RESTORATION</td><td>964</td></tr><tr><td>Masanobu Hosoi, Yasuteru Tominaga and Hiroshi Mitsui</td><td></td></tr></table>

CHAPTER 58

<table><tr><td>ON THE EFFECT OF CONFIGURATIONS OF THE COAST<br/>ON THE STORM SURGES IN THE ISE BAY</td><td>987</td></tr><tr><td>Kiyoshi Tanaka and Akira Murota</td><td></td></tr></table>

CHAPTER 59

<table><tr><td>A SYSTEM OF RADIO-LOCATION USED IN<br/>THE DELTA AREA</td><td>994</td></tr><tr><td>R. H. J. Morra</td><td></td></tr></table>
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>VEERE-GAT DAM</figcaption></figure>

PART 3
TIDES, TIDAL FLOW, AND STORM SURGES

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>HARINGVLIET SLUICE</figcaption></figure>
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# DETERMINATION DES DENIVELLATIONS ET DES COURANTS DE MAREE

Par F. GOHIN - Inqénieur à SOGREAH - GRENOBLE

## I - INTRODUCTION

### I.1 HISTORIQUE

Les premiers résultats positifs obtenus dans la prévision des amplitudes de la marée dans les ports datent de plusieurs siècles ; depuis fort longtemps les courants de marée dans les mers côtières sont familiers aux navigateurs.

Rappelons simplement qu'encore de nos jours, la prévision des marnages (différence de niveau entre pleine et basse mer) et des phases (décalages de la pleine mer par rapport au passage de la lune au méridien) s'appuie sur l'analyse harmonique des enregistrements de marégraphes. Cette analyse diffère de celle de FOURIER: les périodes des différentes composantes ne sont pas des sous-multiples entiers d'une même période élémentaire, mais ont des valeurs connues avec toute la précision désirée. La composante principale, dans nos régions européennes du moins, représente la marée qui serait dûe à une lune fictive tournant à distance constante de la terre et à vitesse constante dans le plan de l'équateur (marée dite $M_2$).

Depuis la fin du siècle dernier des recherches très nombreuses ont été faites parmi lesquelles il faut citer celles de POINCARE (méthode théorique de détermination des amplitudes et courants), HARRIS (tracé des lignes cotidales - c'est-à-dire équiphases - de la marée $M_2$), HANSEN (détermination des dénivellations et courants en Mer du Nord), DOODSON (détermination des lignes cotidales et équiamplitudes dans les mers bordant la GRANDE BRETAGNE).

### I.2 DEFINITIONS et HYPOTHESES

Depuis la dernière querre l'apparition des machines à calculer permet d'aborder le calcul des amplitudes et des courants (Vantrots). Il faut cependant bien saisir dès l'abord que tout calcul numérique pratique suppose le problème largement schématisé et simplifié.

Imaginons un observateur, disposant d'appareils parfaits et parfaitement appropriés, situé en un point géographiquement fixe - latitude $\phi$, longitude $G$ - de la mer. Cet observateur constatera que par rapport à lui l'eau se déplace verticalement et horizontalement ; nous admettrons que cet observateur est capable d'éliminer ceux de ces mouvements qui n'ont pas pour période la période de la marée semi-diurne lunaire - ou toute autre période - de la force génératrice.
Nous noterons :

$h$ : la profondeur de la mer en un point M (φ, G)

$ζ$ : la dénivellation (variation du niveau de l'eau autour de la valeur moyenne h)

$∇$ : le courant : vecteur vitesse de l'eau situé dans le plan local tangent en M à la terre.

Il est clair que $ζ$ et $\nabla V$ sont des fonctions du temps t et du point M ; pour préciser nous les noterons $ζ_M(t)$ et $∇_M(t)$ - cf. figure 1.

Ces définitions étant posées, nous admettrons - sans en discuter le bien-fondé, les hypothèses simplificatrices suivantes :

a/ - la terre est sphérique, la pesanteur est constante,

b/ - les vitesses et accélérations verticales sont négligeables. De plus, de la surface au fond, en tous points d'une verticale, les vitesses horizontales sont identiques.

c/ - la force d'inertie spatiale - expression du type $\overline{\overline{V \text{ grad } V}}$ est négligeable.

## I.3 PRINCIPES DE L'ETUDE

Imaginons-nous provisoirement mis en face du problème suivant :

- déterminer les dérivations et les courants de marée dûe à la composante $M_2$, dans l'Océan Indien.

Nous appellerons «domaine maritime» l'océan donné, et «solution ($ζ, \overline{\overline{V}}$) du problème posé» l'ensemble de toutes les fonctions $ζ_M(t)$ et de tous les hodographes $V_M(t)$ de période $T_M$.

Dans les méthodes classiques on résoud le problème comme suit (cf. pqr exemple HANSEN) :

a/ - on introduit certaines hypothèses simplificatrices permettant de linéariser les équations.

b/ - on admet a priori que la solution stable est une fonction sinusoidale du temps.

c/ - on ramène éventuellement le nombre d'inconnues pour chaque point M à deux - par exemple amplitude et phase de la dérivellation.

d/ - on résoud un système d'équations linéaires à 2 v inconnues (v est le
DETERMINATION DES DENIVELLATIONS ET DES COURANTS DE MAREE

nombre des points M).

La solution est obtenue sous la forme simple et claire suivante :

$$
\text{dénivellation } \zeta_M(t) = \text{sinusoïde définie par } \begin{cases} \text{son amplitude ou «marnage»} \\ \text{sa phase} \end{cases}
$$

$$
\begin{align*}
\text{courant } \vec{V}_M(t) &= \text{ellipse définie par} \begin{cases} \text{l'azimut du grand axe} \\ \text{la longueur du grand axe} \\ \text{l'excentricité} \\ \text{le sens de parcours} \end{cases}
\end{align*}
$$

ceci pour les v points M.

Mais le temps de calcul est proportionnel à (2v)³ au moins et devient prohibi-
tif dès que v dépasse quelques dizaines.

Pour éviter cet écueil majeur, nous avons été amenés à utiliser une méthode
nouvelle particulièrement bien adaptée au calcul électronique.

Dans cette méthode, soulignons-le :

a/ - aucune hypothèse particulière n'est faite pour linéariser les équations -
on sait que les frottements en particulier s'écartent de la loi linéaire.

b/ - aucune discrimination, du moins en principe, n'est faite entre les composantes de la marée : la force génératrice dûe à l'attraction des astres pouvant être prise en compte directement. Cependant nous nous sommes limités dans tout le travail présenté ici à l'étude de la seule composante M₂ afin d'aborder le problème posé et d'en présenter les solutions de la façon la plus claire possible.

La méthode employée consiste essentiellement à reproduire sur un véritable «modèle mathématique» - dont nous donnons ci-dessous la description - l'évolution du mouvement dans un océan à partir d'un état origine arbitraire - état de repos par exemple où toutes les dénivellations et tous les courants sont nuls.

Les équations dynamiques et de continuité permettent de suivre pas à pas l'évolution du phénomène sans qu'il soit besoin de résoudre un système d'équations simul-tané.

Ce procédé reproduit toute une phase transitoire qu'il faut laisser s'écouler
avant d'obtenir le régime permanent définitif cherché, sous la forme pratique suivante :

$$
\begin{align*}
\text{en } M_1 \quad \begin{cases} \zeta_{M_1}(t_0), \zeta_{M_1}(t_0+T), \dots, \zeta_{M_1}(t_0+mT), \dots \zeta_{M_1}(t_0+\bar{t}) = \zeta_{M_1}(t_0) \\ \bar{V}_{M_1}(t_0), \bar{V}_{M_1}(t_0+T), \dots, \bar{V}_{M_1}(t_0+mT), \dots \bar{V}_{M_1}(t_0+\bar{\bar{t}}) = \bar{V}_{M_1}(t_0) \end{cases}
\end{align*}
$$
$$
\text{en M} \left\{ \begin{array}{l} \text{--} \quad , \quad \bar{v}_M(t_0+mT), \quad \text{--} \\ \text{--} \quad , \quad \bar{v}_M(t_0+mT), \quad \text{--} \end{array} \right.
$$

$$
\text{en } M_v \left\{
\begin{array}{l}
\bar{v}_{M_v}(t_0), \quad \bar{v}_{M_v}(t_0+T), \quad \dots, \quad \bar{v}_{M_v}(t_0+mT), \quad \dots, \quad \bar{v}_{M_v}(t_0+\zeta) = \bar{v}_{M_v}(t_0) \\
\\
\bar{v}_{M_v}(t_0), \quad \bar{v}_{M_v}(t_0+T), \quad \dots, \quad \bar{v}_{M_v}(t_0+mT), \quad \dots, \quad \bar{v}_{M_v}(t_0+\zeta) = \bar{v}_{M_v}(t_0)
\end{array}
\right.
$$

c'est-à-dire en bref que pour les v points du domaine nous obtiendrons la solution
$\bar{v}_M(t)$, $V_M(t)$, à des instants séparés d'une durée fixe, que nous appellerons «pas de
temps» et noterons $T$.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 1 -
Courbe type de la dénivellation</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
## II - BASES THEORIQUES

### II.1 CANEVAS DES POINTS DE CALCUL

Nous appellerons «point de calcul» l'un quelconque des points M où nous recherchons la solution élémentaire ($\nabla, \nabla_M$ du problème posé.

Nous indiquerons ici brièvement comment s'effectue la mise en place sur la carte des points M.

Imaginons très provisoirement que la terre soit parfaitement plane, et le domaine sans frontière définie. nous tracerons alors sur la carte un double réseau de droites orthogonales équidistantes. (damier) orientées les unes vers le haut de la feuille (cf. figure 2), nous les appellerons (Sud/Nord) les autres vers la droite, nous les appellerons (Ouest/Est). L'intersection de la ligne (Sud/Nord), et de la ligne (Ouest/Est), détermine le point de calcul $M_{ij}$. Omettons l'indice de position pour noter M le point courant du canevas ; ce point est «entouré» de quatre points que nous noterons : au Nord : $M_n$, à l'Est : $M_e$, au Sud : $M_s$, à l'Ouest : $M_w$.

Le tracé de nos lignes est tel que, quel que soit M, $MM_n = MM_e = MM_s = MM_w = L$.

Nous appellerons «pas d'espace» cette longueur L. c'est une donnée fondamentale du canevas.

Prolongeons notre dessin en faisant apparaître le point $M_{ne}$ : le polygone $MM_nM_{ne}M_e$ est un carré.

Nous appellerons «contour relatif à M» un polygone, formé par une ligne brisée constituée de segments tels que $M_nM_{ne}$, tel que M soit à l'intérieur ou sur ce contour.

Serrons de plus près et progressivement la réalité :

a/ - le domaine est limité - soit par des côtes, soit par des hauts fonds, soit arbitrairement par un segment joignant deux ports - il est clair que les lignes de notre damier ne peuvent suivre de près la frontière du domaine : par endroits le damier sortira du domaine, par endroits au contraire la frontière sera extérieure au damier.

Transformons, par une transformation conforme, le réseau de droites orthogonales en un réseau de coordonnées curvilignes orthogonales : dès lors, le pourtour extérieur du
réseau pourra serrer de très près la frontière.

b/ - la terre est sphérique :

La transformation conforme est valable pour la sphère : les coordonnées curvilignes sont des arcs de grands ou petits cercles. Notons que le pas d'espace est alors variable.

c/ - la œte est découpée, les fonds sont variables :

Nous modifierons le pas d'espace obtenu par la transformation conforme de telle sorte que le tracé des œtes soit suivi d'aussi près que possible. Nous nous efforcerons également de lier ce pas d'espace à la profondeur locale de l'Océan - Cf. ci-dessous paragraphe II.4.

Le réseau de coordonnées curvilignes obtenues forme un ensemble de carreaux. Nous continuerons à appeler (Sud/Nord) et (Ouest/Est) les lignes de coordonnées. Nous numéroterons ces lignes - par des nombres entiers - à partir d'une origine arbitraire : le point M - de coordonnées géographiques φ, G - a pour coordonnées «réseau» les nombres x et y. (Cf. Fig. 3)

La quasi totalité des points M est située à l'intérieur ou sur la frontière du domaine et le tracé répond aux conditions suivantes :

a/ - Les lignes des réseaux sont orthogonales.

b/ - Le canevas couvre par un nombre limité de petits carreaux curvilignes le domaine donné.

c/ - Le pas d'espace L varie lentement (ou pas) et régulièrement d'un point à un autre.

Notons $M_v$ l'un quelconque des points de calcul entourant M (c'est-à-dire $M_n$ ou $M_e$ ou $M_s$ ou $M_w$), nous poserons $L$ = valeur moyenne des $MM_v$.

Nous appellerons profondeur moyenne locale h la valeur moyenne des sondes portées sur la carte dans un contour relatif à un point M donné.

En tout point M on repèrera ou l'on déterminera :

- La latitude .................................... φ

- La longitude .................................... G

- Le pas d'espace local ......................... L

- La profondeur .................................... h

- L'angle α de la tangente orientée s/n par rapport au Nord vrai.
## II.2 EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PROBLEME

Nous utiliserons les deux équations fondamentales suivantes :

- l'équation de continuité

- l'équation dynamique

L'écriture de ces équations est trop connue pour qu'il soit besoin de s'y arrêter longuement. Nous nous bornerons à préciser ici nos simplifications et nos notations.

### a - Equation de continuité

Soit (C) un contour, relatif à M, d'aire s. En tout point à l'intérieur de (C) les dérivations, au même instant t, ne sont pas exactement les mêmes - si petit que soit s - . Nous noterons $\bar{\zeta}$ la valeur moyenne de ces dérivations à l'instant t, nous admettrons que $\bar{\zeta}$ est la dérivation en un certain point M situé à l'intérieur de (C).

Soit N un point de (C) où nous connaissons : la dérivation $\zeta_N$, la profondeur $h_N$, la composante $V_1$ de la vitesse sur la normale intérieure (cf figure 4).

L'équation de continuité s'écrit :

$$s \frac{\partial \bar{\zeta}}{\partial t} = \int_{(c)} (h_N + \zeta_N) V_1 \, dl$$

Nous poserons :

$$\oint_{\perp} = \int_{(c)} h_N V_{\perp N} \, dl$$

Nous noterons enfin $\bar{h}$ la valeur moyenne des sondes portées sur h carte dans la zone limitée par (C).

Assimilant $(\frac{\partial \bar{\zeta}}{\partial t})_N$ à $\frac{\partial \bar{\zeta}}{\partial h}$ nous écrirons l'équation de continuité sous la forme :

$$s \frac{\partial \bar{\zeta}}{\partial t} = \left(1 + \frac{\bar{\zeta}}{h}\right) \oint_{\perp} \quad (1)$$

Précisons comment nous obtenons la vitesse $V_\perp$ implicitement contenue dans (1) :
1/ - Cas général

$V_↓$ est inconnue. L'équation dynamique est alors utilisée pour le déterminer.

2/ - Cas «batteurs»

Dans un modèle hydraulique la marée pourrait être engendrée par un batteur : la vitesse $u_↓$ normale au plan du batteur serait une donnée.

Par analogie, nous appellerons «batteur» tout élément du contour où $V_↓ = u_↓$ est donnée.

3/ - Cas «absorbeurs»

Dans un modèle hydraulique il est d'usage courant d'utiliser des dispositifs propres à éliminer les mouvements parasites dûs aux réflexions sur les parois. Ces dispositifs absorbent une certaine fraction de l'énergie transportée par l'onde incidente.

Par analogie nous appellerons «absorbeur» tout élément du contour où une fraction de l'énergie est absorbée. Les absorbeurs que nous utiliserons seront définis par la relation :

$$V_{\downarrow N} = -k \sqrt{\frac{\rho}{h_N}} \zeta_N$$

où $k$ est un facteur constant arbitraire ou non - cette expression correspond bien à une absorption d'énergie.

b - Equation dynamique

Avec les simplifications indiquées (cf paragraphe 1.2), l'équation dynamique s'écrit :

$$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = - \vec{g} \text{ grad } \vec{\zeta} - 2 \vec{\Omega} \wedge \vec{v} + \vec{F} - \vec{R}$$

où : $\vec{\Omega}$ est le vecteur instantané de rotation terrestre porté par la ligne des pôles.

$\vec{F}$ la «force génératrice de la marée»

$\vec{R}$ la force de frottement.

Tous les vecteurs considérés sont situés dans le plan horizon local et il est commode d'introduire l'écriture complexe (cf figure 5).

$$\frac{\partial v}{\partial t} = - \vec{g} \text{ grad } \vec{\zeta} - j\omega v + \vec{F} - \vec{R}$$
<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
dans cette écriture V représente le vecteur $\vec{V}$, jV représente le vecteur $-\vec{jV}$ déduit du vecteur $\vec{V}$ par une rotation de 90° dans le sens de la rose des vents.

Explicitons très succinctement les quatre quantités du deuxième membre :

1/ - De même que nous avons noté $M_{ij}$ le point de calcul intersection de la ligne (s/n)$_j$ et de la ligne (w/e)$_j$, appelons $x, y$ le point intersection des lignes fictives (s/n)$_x$ et (w/e)$_y$. Dans tout le domaine la dénivellation à un instant $t$, est une fonction $\zeta(x, y)$ où $x$ et $y$ sont des nombres purs :

$$ \text{grad } \vec{\zeta} = \left[ \frac{\partial \zeta}{\partial x} + j \frac{\partial \bar{\zeta}}{\partial y} \right] \frac{1}{2L} $$

2/ - Le vecteur instantané de rotation terrestre $\vec{\Omega}$ a pour intensité :

$$ \Omega = \frac{2\pi}{24 \times 3600} \text{sec}^{-1} $$

Sa composante sur la direction zénithale locale est :

$$ \frac{\omega}{2} = \Omega \sin \varphi $$

3/ - Il est d'usage de décomposer la force génératrice de la marée en termes sinusoïdaux représentés par un indice $k$. Chaque composante - il faudrait dire plutôt chaque «marée indicielle» - est caractérisée par :

- sa période $\tau_k$

- son coefficient $C_k$

dont les valeurs sont déterminées par les lois de la mécanique céleste. En projetant la force correspondante sur les axes curvilignes locaux on obtient en utilisant des notations exponentielles usuelles :

$$ F_k = X_k + jY_k = C_k \left[ A_{xk} e^{i \left( \frac{2\pi t}{\tau_k} + \alpha_{xk} \right)} + j A_{yk} e^{i \left( \frac{2\pi t}{\tau_k} + \alpha_{yk} \right)} \right] $$

où $C_k$ et $\tau_k$ sont des quantités tabulées (cf par exemple «Admiralty anual of Tides»

où $A_{xk}, \alpha_{xk}, A_{yk}, \alpha_{yk}$ sont des constantes pour un lieu donné et un groupe de composantes bien défini, constantes obtenues par un calcul simple de trigonométrie sphérique.
DETERMINATION DES DENIVELLATIONS ET DES COURANTS DE MAREE

Dans ce qui suit nous ne considérerons qu'une composante $M_2$ correspondant
rappelons-le à une lune fictive tournant à vitesse et distance constantes dans le plan de
l'équateur. Pour alléger l'écriture nous omettrons l'indice k et poserons :

$F = X + jY$

4/ - Il est d'usage courant d'utiliser pour la force de frottement l'expression :

$$
R = f [h + \zeta]^{-n} |V| V
$$

où n est un exposant dépendant de la loi choisie

f est un coefficient dépendant de la loi choisie et de la nature du
fond.

Nous introduisons le débit complexe D = LhV et écrirons finalement l'équa-
tion dynamique sous la forme :

$$
\frac{\partial D}{\partial t} = - \frac{gh}{2} \left[ \frac{\partial \zeta}{\partial x} + j \frac{\partial \zeta}{\partial w} \right] - j\omega D + Lh (X + jY) - \frac{f |D| D}{Lh (h + \zeta)^n} \quad (2)
$$

II.3 EQUATIONS PRATIQUES DU PROBLEME

Rappelons que nous cherchons une solution ($\zeta, \bar{v}$) formée par l'ensemble des :

$$
\zeta_M (t_o + mT), \quad \bar{v}_M (t_o + mT)
$$

$$
\text{pour } m = 0,1, \ldots, \ldots \quad \frac{\zeta}{T}
$$

$$
M = M_1, \dots, M_v
$$

Nous avons indiqué comment déterminer les points de calcul et souligné l'importance du «pas d'espace» local L, et du pas de temps T.

Les équations différentielles (1) et (2) doivent être mises sous forme de
différences finies.

a - Equation de continuité

Le contour (C) est formé par une ligne brisée fermée, constituée par des élé-
ments de segments des réseaux (s/n), (w/e).

Le point de calcul M est :

à l'intérieur de (C) si M est à l'intérieur du champ de calcul,
sur le contour (C) si M est sur la frontière.

Le point $\bar{M}$ est par définition un point fictif à l'intérieur de (C) où la dénivellation est à chaque instant la dérivellation moyenne $\bar{\zeta}$ du domaine d'aire s limité par (C).

Nous calculerons $\bar{\zeta}$ à des instants multiples pairs, par exemple, de T par

$$s \frac{\bar{\zeta}_{2m+2} - \bar{\zeta}_{2m}}{2T} = \left[ 1 + \frac{\bar{\zeta}_{2m+2} + \bar{\zeta}_{2m}}{2\bar{\pi}} \right] \mathcal{O}_{1} 2m+1$$

Pour passer de $\bar{\zeta}$ à la dérivellation cherchée $\zeta$ nous utilisons des formules de lissage que nous ne préciserons pas ici.

b - Equation dynamique

Nous poserons $LhV = D = P + jQ$ et calculerons le débit aux temps multiples impairs de T. Après quelques simplifications il vient :

$$ 
\begin{aligned}
\frac{(P+jQ)_{2m+1} - (P+jQ)_{2m-1}}{2T} = & - \frac{gh}{2} [\Delta_x \zeta + j \Delta_y \zeta]_{2m} \\
& + \frac{\omega}{2} [(Q-jP)_{2m+1} + (Q+jP)_{2m-1}] \\
& + Lh [X+Y]_{2m} \\
& - \frac{f \sqrt{p^2 + Q^2}}{2Lh [h+\zeta_{2m}]} [(P+jQ)_{2m+1} + (P+jQ)_{2m-1}]
\end{aligned}
\quad (2') $$

Nous n'expliciterons pas ici les expressions précises en différences finies des $\Delta_x \zeta$, $\Delta_y \zeta$, et $\zeta$ ; bornons-nous à indiquer que nous utilisons des formules de lissage.

En définitive partant du temps $m = 0$ et supposant par exemple que tous les $\zeta_M(0)$ et tous les $\bar{V}_M(0)$ (sauf naturellement les vitesses éventuellement données) sont nulles, on applique la force astronomique et l'on calcule tous les $V_{M1}$ ($m = 1$), ....
$\bar{V}_{Mv}$ ($m = 1$) par (2'). Puis par (1') tous les $\zeta_{M1}$ ($m = 2$), .... $\zeta_{Mv}$ ($m = 2$), etc ...
DETERMINATION DES DENIVELLATIONS ET DES COURANTS DE MAREE

à partir d'un certain temps on peut admettre que le régime stable est obtenu : la période suivante fournit alors la solution cherchée sous la forme :

$$
(\tau, \dot{\tau}) = \text{ensemble des } \zeta_M(m), \dot{\tau}_M(m)
$$

II.4 CARACTERES DU MODELE MATHEMATIQUE

Nous entendons par «Modèle mathématique» l'ensemble des éléments nécessaires
à l'étude c'est-à-dire :

1/ - Les données déduites du tracé du canevas, de la carte et des documents spécialisés.

2/ - Le programme de calcul, c'est-à-dire la séquence des ordres de calcul, permettant de résoudre le système des équations (1') et (2').

L'exploitation de ce modèle s'effectue à l'aide d'une machine à calculer.

a - Condition de stabilité du modèle

Seule en définitive la solution stable nous intéresse ; cette solution ne peut
être obtenue qu'après extinction du régime transitoire. Pour que cette extinction ait lieu
il faut qu'existe une certaine relation entre les pas de temps T et L.

( x le numéro d'ordre d'une des lignes (s/n)

soient

( y le numéro d'ordre d'une des lignes (w/e).

Prenons le système (1) + (2) sous la forme très simplifiée suivante :

$$
s \frac{\partial \zeta}{\partial t} = 0)_1
$$

$$
\frac{\partial D}{\partial t} = - gh \operatorname{grad} \zeta - j\omega D
$$

La solution stable, si elle existe, est de la forme :

$$
\zeta = z e^{\alpha xL + \beta yL + \gamma mT}
$$

$$
D = LhV = P, + jQ = (p+jq) e^{\alpha xL + \beta yL + \gamma mT}
$$

où $\alpha, \beta, \gamma$ sont des nombres imaginaires purs.
DETERMINATION DES DENIVELLATIONS ET DES COURANTS DE MAREE

en posant $\alpha = ia \quad \beta = ib \quad \gamma = ic$ il vient :

$$1 - [1 + (\omega T)^2] \cos^2 \text{CT} = \frac{ghT^2}{L^2} [\sin^2 aL + \sin^2 bL]$$

cette relation entraîne immédiatement :

$$\frac{ghT^2}{L^2} [\sin^2 aL + \sin^2 bL] \le 1$$

Par conséquent, et dans le cas très simplifié où le système (1') + (2') se ramènerait au système (1") + (2"); la condition de stabilité, - cette condition est en fait une condition nécessaire - a, b, c, réels, s'écrit :

$$T \le \frac{L}{\sqrt{2gh}}$$

En pratique le système employé est (1') + (2') et non (1") + (2"); d'autre part on utilise des formules de lissage ; finalement l'expression ci-dessus n'est qu'une indication.

On remarque que L et h sont variables d'un point de calcul à un autre, par conséquent seule la valeur minimum

$$(\frac{L}{\sqrt{h}})_{\text{mini}} \quad \text{du rapport} \quad \frac{L}{\sqrt{h}}$$

est à considérer.

b. Temps de calcul

Soient : $v$ le nombre des points de calcul, $\overline{L^2}$ la valeur moyenne du carré du step d'espace, $\Sigma$ l'aire du champ de calcul.

$$\text{On a approximativement : } v = \frac{\Sigma}{\overline{L^2}}$$

Soit : $\overline{\tau}$ le temps de calcul moyen d'un point-résolution du système (1') + (2'); à la durée nature $2T$ correspond le temps de calcul $v\overline{\tau}$, par conséquent le temps de calcul $\theta$ correspond à une période $\tau$ :

$$\theta = v\overline{\tau} \cdot \frac{\tau}{2T} = \Sigma \tau \cdot \frac{\overline{\tau}}{2} \cdot \frac{1}{\overline{L^2}} \cdot \frac{1}{(Lh^{-1/2})_{\text{mini}}}$$
donc :

$$ \theta \text{ est proportionnel à } \frac{\sum \overline{\zeta \tau} \sqrt{h_{\max i}}}{[\overline{L^2}]^{3/2}} $$

ou encore puisque la surface moyenne $\overline{s}$ est proportionnel à $\overline{L^2}$ :

$$ \frac{\overline{\zeta}}{\overline{L}} \text{ est proportionnel à } \sum \sqrt{h_{\max i}} \cdot \overline{\tau} \cdot \frac{1}{(\overline{s})^{3/2}} $$

dans cette expression on distinguera :

- Le facteur $\sum \sqrt{h_{\max i}}$ : donnée du problème

- Le facteur $(\overline{s})^{3/2}$ : dépendant du tracé du réseau

- Le facteur $\overline{\tau}$ : dépendant de l'écriture du programme de calcul et de la machine utilisée.

Admettons par exemple que nous disposons d'un modèle mathématique établi pour l'Atlantique Nord et comportant en particulier 200 points environ. La célérité relative du calcul $\frac{\theta}{\overline{\zeta}}$ est, disons de 1/25, la durée du régime transitoire est $\approx \overline{\zeta}$.

Le temps de calcul total - régime transitoire + régime permanent - est :

$$ \theta = \frac{1}{25} \times 10 \times 12,5 \approx 5 \text{ heures} $$

Admettons que nous voulions étudier la marée semi-diurne sur le globe terrestre entier et utilisons un canevas ayant le même pas d'espace moyen. La surface $\Sigma'$ est très approximativement 10 fois supérieure : le nombre de points $v'$ sera d'environ 2.000.

La durée du régime transitoire pourra être, disons de l'ordre de 50 $\zeta$ et par suite le temps de calcul sera d'environ :

$$ \theta' = \frac{2.000}{200} \cdot \frac{50}{10} = 25 \text{ heures} $$

Revenons alors aux méthodes de résolution classiques - recherche directe de la solution d'un système d'équations simultanées.

Pour 200 points de calcul il y a 400 inconnues. La résolution d'un système de 400 équations à 400 inconnues exige par exemple 50 heures de calcul

La résolution d'un système de 4000 équations à 4000 inconnues exige au moins :

$$ \left(\frac{4000}{400}\right)^3 \times 50 = 50.000 \text{ heures} $$
# DETERMINATION DES DENIVELLATIONS ET DES COURANTS DE MAREE

La comparaison des deux valeurs :

50.000 heures : méthode classique

250 heures : méthode décrite ici

est parlante d'elle-même.

Sans même supposer que nous disposions d'une machine à calculer du tout dernier modèle, il est possible d'envisager par la méthode proposée d'obtenir les dérivations et amplitudes de la marée $M_2$, et des autres composantes essentielles. C'est là une oeuvre de longue haleine certes ... mais c'est possible.

NB - Nous comptons effectivement effectuer ce calcul pour l'ensemble des mers du globe.

## c - Comparaison d'un modèle mathématique et d'un modèle hydraulique

Il n'est pas possible dans le cadre limité de cet exposé d'établir une comparaison précise entre un modèle mathématique et un modèle hydraulique destinés à étudier le même problème. Une telle comparaison demanderait d'ailleurs à être très nuancée, car selon que l'on donne la priorité à tel ou tel point de vue les éléments à comparer diffèrent.

Bornons-nous à quelques indications :

**1er point** : Il est clair que plus un modèle hydraulique est à grande échelle, mieux le terrain sera représenté et plus le modèle sera fidèle. Un certain rapprochement peut être fait entre l'échelle d'un modèle hydraulique et le pas d'espace d'un modèle mathématique : toutes choses égales d'ailleurs, la précision des résultats et le prix de réalisation de ces modèles croissent soit avec l'échelle, soit avec le nombre de points.

**2ème point** : Sur un modèle hydraulique la disposition des organes produisant (batteur) et contrôlant (absorbeurs, éléments rugueux) la marée doit être effectuée avec soin. De même sur un modèle mathématique le choix de l'emplacement des batteurs et des absorbeurs, le choix de loi précise de frottement doivent être étudiés soigneusement.

**3ème point** : Sur un modèle hydraulique, on ne peut modifier notablement certaines parties (batteur par exemple) sans dépense importante. Sur un modèle mathématique au contraire les modifications sont en général peu coûteuses.

**4ème point** : Lorsque l'on veut étudier des domaines de grandes dimensions (océans) le modèle hydraulique est nécessairement surclassé par le modèle mathématique : seul ce dernier peut tenir compte de la distribution des forces - force de Coriolis et force génératrice particulièrement - et de la topographie sphérique de la terre.

Pour des domaines de quelques centaines ou dizaines de kilomètres (mers littorales) les modèles physiques doivent être réalisés sur plaque tournante pour prendre en compte la force de Coriolis. Le coût de la réalisation est alors très élevé ; l'échelle, donc la fidélité, est limitée.

Par contre pour des domaines de quelques kilomètres (bales) les études peuvent s'exécuter sur des modèles hydrauliques fixes qui sont alors vraisemblablement toujours supérieurs aux modèles mathématiques.
### III - APPLICATIONS

Nous avons effectué, et nous poursuivons actuellement, différentes études de marée. Nous rendrons compte, ici partiellement de deux d'entre elles :

en premier lieu de l'étude de la reproduction sur modèle mathématique de la marée semi-diurne lunaire $M_2$ en Manche.

en second lieu du calcul des amplitudes-intensités et phases- de la marée semi-diurne lunaire en Atlantique Nord.

Dans l'un et l'autre cas nous avons utilisé une machine à calculer électronique IBM 650.

Nota - Nous comptons effectuer la détermination des dérivations et des courants de maree à la surface du globe - par la méthode préconisée - à l'aide d'une machine à calculer d'un modèle plus perfectionné.-

#### III.1 ETUDE DE LA MAREE SEMI-DIURNE LUNAIRE EN MANCHE

Ce modèle a été utilisé pour des études de la SEUM, qui a bien voulu nous permettre de divulguer certains des résultats obtenus pour leur compte.

L'on sait qu'en Manche la composante principale de la force génératrice de la marée est le terme dit " $M_2$ " de période 12 H. 24 mn. L'action de cette force sur la surface de La Manche est négligeable vis-à-vis de son action sur la surface de l'Atlantique.

Nota - En fait on a cherché à reproduire une marée ayant période 12 h. 24 mn et pour amplitude l'amplitude de la marée de vive-eau moyenne.

##### III.1.1 Tracé du canevas

Les côtes bordant La Manche sont très découpées, les fonds sont très variables : le canevas des points de calcul doit être à mailles serrées, le rapport $L/\sqrt{gh}$ donc le pas de temps, sera faible et le temps relatif de calcul $\theta/\zeta$ important.

Pour établir le canevas des points de calcul, nous avons adopté pour base l'île de JERSEY : pour que cette île figure dans le modèle mathématique le pas d'espace local doit être de l'ordre de $10^4$ mètres. Il atteint la moitié de cette valeur dans la région de St-MALO et le quadruple aux limites Ouest-et-Est.

Les profondeurs faibles du Golfe de St-MALO, nous ont conduit à adopter finalement pour le pas de temps la valeur :

$T = 250$ sec
# DETERMINATION DES DENIVELLATIONS ET DES COURANTS DE MAREE

Dans ces conditions, le nombre des points de calcul est en gros de 200 et le rapport $\theta/\zeta$ est de l'ordre de 1/6.

## III.1.2 Forme des équations

a/ - La marée est engendrée par un «batteur» situé sur la ligne Ouessant/Land's End : nous nous sommes donné les courants $u_⊥$, normaux à la ligne indiquée, d'après les indications contenues dans le document N° 426 A du Service Hydrographique de la Marine Française.

b/ - Nous avons admis qu'au Pas de Calais le courant était en phase avec la dénivellation. Les documents maritimes nous ont conduit à adopter :

$$k = - \frac{v_⊥}{\zeta \sqrt{g/h}} = 0,5$$

c/ - Nous avons admis comme loi de frottement :

$$|R| = 2,75 \cdot 10^{-3} \frac{|v|^2}{h}$$

en nous basant sur l'expression utilisée par le Dr HANSEN en Mer du Nord.

d/ - Dans l'essai, dont il est ici rendu compte, nous avons admis que $\zeta/h \ll 1$ : cette hypothèse exclue toute dissymétrie entre les dénivellations positives et négatives.

## III.1.3 Résultats obtenus

Les résultats obtenus sont représentés sur les plans 1 et 2 joints.

Le plan N° 1 représente les amplitudes et phases calculées par le modèle. Il est à rapprocher du plan N° 1 bis représentant les amplitudes et cotidates établies par Mr. DOODSON. En fait la seule comparaison probante consiste à rapprocher les résultats obtenus par le calcul et les résultats mesurés. Le plan N° 1 ter condense cette comparaison.

Le plan N° 2 représente quelques ellipses de courant.

Nous sommes conduits à penser que des modifications de détail permettraient d'améliorer la concordance entre les résultats de calcul et les mesures. Parmi ces améliorations citons :

a/ - La prise en compte du terme correctif $\zeta/h$ - dans l'équation de continuité et dans l'expression de la force de frottement.
Marée semi-diurne lunaire

Résultats calculés

---X----- Catidale . différence en heures entre les instants de la PM locale et de la PM BREST

--- 3 Marnage en mètres

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Ce plan est à rapprocher de Pl 1 bis ci-après
En fait la seule comparaison prouvante est à
établir entre les amplitudes calculées et les
amplitudes mesurées dans les ports
On se reportera à Pl 1 ter

Plate 1

Marée semi-diurne lunaire

Lignes cotidales selon Doodson et Corkon (1931)

--- 150 Catidale : Déférence entre l'heure de la PM et l'heure de passage de la lune au méridien de Greenwich

14 Marnage en pieds de la Marée M2

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Plate 1 bis
Marée semi-diurne lunaire

Comparaison Marnages Modèle / Nature
pour différents ports de la Manche

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Plate 1 ter</figcaption></figure>

Marée semi-diurne lunaire

Résultats calculés

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Hodographe calculé

Hodographe mesure

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

- Il est à noter que la précision dans les mesures de courant est de ± 10° en direction, ± 0,3 maud en intensité : les différences entre les hodograpbes calculés et mesure sont de l'ordre de l'error de mesure.

<caption>Plate 2</caption>
Marée semi-diurne lunaire

Réseau des points de calcul

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Plate 3</figcaption></figure>

Marée semi-diurne lunaire

Résultats calculés et Amplitudes mesurées

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Plate 4</figcaption></figure>
Marée semi-diurne lunaire

- Cotidales selon HARRIS -

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Plate 4 bis

Marée semi-diurne lunaire

Comparaison des marnages mesurés et calculés
pour différents ports de l'Atlantique Nord

x : Marnage mesuré dans le port indiqué

✓ : Marnage calculé à la limite du plateau continental

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Plate 4 ter
b/ - La prise en compte de l'estuaire de la Seine.

En outre on pourrait envisager d'augmenter le nombre de points de calcul pour inclure expressément dans le modèle certains détails géographiques importants (fles de Wight, de Guernesey, etc ...).

### III.2 ETUDE DE LA MAREE SEMI-DIURNE EN ATLANTIQUE NORD

Cette étude a été effectuée dans le cadre des recherches générales de la SOGREAH ; les résultats obtenus montrent que l'on peut espérer arriver à déterminer les lignes cotidales et équiamplitudes de toutes les composantes importantes de la marée réelle sur l'ensemble des océans.

#### III.2.1 Tracé du canevas

Le domaine considéré a été borné :

- au Nord par la ligne Angmassalik (Groenland) / Erest

- au Sud par la ligne Dakar / Pernambouc.

Nous nous sommes limités, à 200 points de calcul : la valeur moyenne $\overline{L}$ du pas d'espace est d'environ 450 kilomètres, et le pas de temps $T = 750$ sec.

#### III.2.2 Forme des équations

L'expérience nous a montré qu'il fallait en raison de la valeur élevée du pas d'espace, améliorer les écritures aux différences finies des équations dénamique et de continuité : en particulier le point $\overline{M}$ de chaque contour (C) doit être précisé.

La marée est engendrée :

a/ - par un batteur situé sur la limite Sud : les mesures de courants faisant défau nous nous sommes donné les dénivellations le long de la ligne Dakar / Pernambouc.

b/ - par l'action de la force génératrice dans le domaine.

Les fonds étant de plusieurs kilomètres la force de frottement est négligeable : pour obtenir une solution stable nous avons introduit des absorbeurs sur certaines portions de la frontière du modèle -(limite Nord, détroit de Davis, Banc de Terre Neuve, Petites Antilles).

#### III.2.3 Résultats obtenus

Nous présentons ici :

a/ - Le tracé des points de calcul (plan N° 3). On remarquera en particulier :
DETERMINATION DES DENIVELLATIONS ET DES COURANTS DE MAREE

1 - que le tracé est assez souple pour bien suivre le bord du plateau continental, sans qu'il soit nécessaire de courber exagérément les lignes du réseau.

2 - que, (la déformation des longueurs dûe à la projection mercator le masque),
le pas d'espace est près de deux fois plus élevé au Sud - grands fonds du Sud Quest de
l'Atlantique Nord - qu'au Nord : ceci permet de conserver au rapport L / √2gh une
valeur sinon constante du moins comprise entre deux limites voisines.

b/ - Le tracé des cotidales et des courbes «équi-amplitudes» (plan N° 4).

Ce plan est à rapprocher du plan N° 4 bis représentant les cotidales établies par Harris. On remarquera que les cotidales calculées sont proches de celles de Harris au voisinage des côtes. Par contre on ne manquera pas de constater la différence du tracé au centre de l'Atlantique Nord. Nous estimons pour notre part que cette différence souligne la valeur du modèle mathématique.

Les courbes de Harris ne suffisent pas pour apprécier la validité du modèle. Afin de compléter la comparaison nous présentons sur le plan N° 4 ter un rapprochement entre les amplitudes mesurées et les amplitudes calculées dans certains ports. Cette comparaison peut sembler peu satisfaisante. En fait il faut bien saisir que :

1 - Le modèle est systématiquement limité au bord du plateau continental, et ne peut par suite représenter les amplitudes dans les ports situés sur un large plateau continental (Brest, Pasaquamody).

2 - La côte est schématisée et l'influence de détails - Floride par exemple - n'est pas sensible sur le modèle.

De toutes manières il est possible de prolonger le modèle sur le plateau continental par un canevas à mailles fines. On peut aussi étudier pour telle mer littorale, tel golfe, un nouveau modèle dont les conditions à la limite « haute mer » seraient données par le modèle de l'Atlantique Nord.

CONCLUSION

Les machines à calculer électroniques modernes permettent de réaliser et
d'exploiter des modèles mathématiques adaptés à la détermination des dérivations et
des courants de marée dans un domaine maritime quelconque. Cette détermination
s'effectue non pas brutalement - c'est-à-dire en recherchant directement les solutions
sinusoïdales - mais en suivant de près la propagation des ondes - c'est-à-dire en serrant
la réalité physique.

Pour un domaine restreint, où la force génératrice de la marée est négligeable,
des modèles hydrauliques peuvent être réalisés, mais souvent le modèle mathématique
constituera une approche efficace et sûre du projet définitif de modèle hydraulique. Il
permettra en particulier de prévoir l'implantation des batteurs, des absorbeurs et évitera
en grande partie les tâtonnements et les réglages. Après réalisation du modèle hydrauli-
que, le modèle mathématique permettra de contrôler les résultats, de prévoir les modifica-
tions, bref guidera et assurera l'exploitation du premier.

Pour un domaine vaste où l'action locale de la force génératrice de la marée est prépondérante nous estimons que seul un modèle mathématique peut être conçu - ce modèle donnera, rappelons-le pour finir, non seulement les dérivations - sur lesquelles HARRIS et DOODSON ont déjà donné des résultats d'importance majeure - mais aussi les courants.