# Utilisation de Cast3M pour l'enseignement de la mécanique des fluides

Stephane Gounand, Gilles Bernard-Michel, Sergey Kudriakov

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Stephane Gounand, Gilles Bernard-Michel, Sergey Kudriakov. Utilisation de Cast3M pour l'enseignement de la mécanique des fluides. Club Cast3M 2012, Nov 2012, Montrouge, France. hal-04104524

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# Utilisation de Cast3M pour l'enseignement de la mécanique des fluides

Stéphane Gounand, Gilles Bernard-Michel, Sergey Kudriakov

CEA-Saclay, Commissariat à l'Énergie Atomique et aux Énergies Alternatives
(stephane.gounand@cea.fr)

30 novembre 2012

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
## Historique

Cours MF307 puis B2-1 **Initiation à la simulation numérique en mécanique des fluides** donné à l'ENSTA (3e année) depuis 1997 sous l'impulsion de Henri Paillère et Frédéric Dabbene.

### Équipe enseignante :

* **1997-2000** Henri Paillère, Frédéric Dabbène ;

* **2000-2005** HP, FD, Gilles Bernard-Michel, Alberto Beccantini ;

* **2005...** Gilles Bernard-Michel, Sergey Kudriakov et Stéphane Gounand.
## Organisation du cours

1. **Cours Magistral** : 10 x 1h30 ;

2. **Séance de Travaux Dirigés** : 10 x 2h00 ;

3. **Projets** : 6 x 3h30 + soutenance orale (30 min) + rapport écrit ;

4. Conclusion.
Cours Magistral (I)

1. **Gilles Bernard-Michel** : Introduction, équations de Navier-Stokes, nature des EDP, principales méthodes de discrétisation, notions de convergence;

2. **Stéphane Gounand** : Introduction à la méthode des **éléments finis** en mécanique des fluides **incompressibles**;

3. **Sergey Kudriakov** : mécanique des fluides compressibles et à faible nombre de Mach (quasi-incompressible), applications : risque hydrogène dans les centrales nucléaires.
Cours Magistral (II)

Équations de bilan (qdm, masse, énergie) à résoudre

$$ \frac{\partial u}{\partial t} + (\nabla u) \cdot u = -\nabla p^* + \nu \Delta u + s_u $$

$$ \nabla \cdot u = 0 $$

$$ \frac{\partial T}{\partial t} + u \cdot \nabla T = \alpha \Delta T + s_T $$
Cours Magistral (III)

1. Méthode variationnelle : $\alpha \Delta T = 0$

2. Méthode des éléments finis : $\int_{\Omega} \text{EDP} N_i d\Omega = 0$

3. **Convection-diffusion et décentrement** : $u \cdot \nabla T - \alpha \Delta T = 0$

4. Discrétisation en temps : $\frac{\partial T}{\partial t} - \alpha \Delta T = 0$

5. Non linéarité : $u \cdot \nabla u - \alpha \Delta u = 0$

6. Problème de Stokes : $\left\{ \begin{array}{l} -\nu \Delta u = -\nabla p^* \\ \nabla \cdot u = 0 \end{array} \right.$

7. Conditions aux limites et conservation : multiplicateurs de Lagrange

8. Algorithme de résolution : procédure EXEC
Cours Magistral : convection et décentrement (IV)

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Problème de convection pure 2D :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
u \cdot \nabla T = 0 \quad \text{sur } \Omega = [0, L] \times [0, L] \\
T|_{y=0} = f(x) \\
T|_{x=0} = f(0)
\end{array}
\right.
$$
Cours Magistral : convection et décentrement (V)

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Convection pure, $f(x) \approx \tanh(x)$, discrétisation éléments finis $Q_1$.
Cours Magistral : convection et décentrement (VI)

En 1D sur maillage régulier, éléments finis $P_1$, au nœud $i$ :

<table><thead><tr><th></th><th></th><th>ordre en espace</th></tr></thead><tbody><tr><td>EDP</td><td>u · ∇T</td><td></td></tr><tr><td>Différences finies centrées</td><td>u <sup>T<sub>i+1</sub> - T<sub>i-1</sub></sup> / (2Δx)</td><td>2</td></tr><tr><td>Différences finies décentrées amont</td><td>u <sup>T<sub>i</sub> - T<sub>i-1</sub></sup> / Δx</td><td>1</td></tr><tr><td>Éléments finis</td><td>u <sup>T<sub>i+1</sub> - T<sub>i-1</sub></sup> / 2</td><td>2</td></tr><tr><td>EDP</td><td>-αΔT</td><td></td></tr><tr><td>Différences finies centrées</td><td>-α <sup>T<sub>i+1</sub> - 2T<sub>i</sub> + T<sub>i-1</sub></sup> / (Δx<sup>2</sup>)</td><td>2</td></tr><tr><td>Éléments finis</td><td>-α <sup>T<sub>i+1</sub> - 2T<sub>i</sub> + T<sub>i-1</sub></sup> / Δx</td><td>2</td></tr></tbody></table>
Cours Magistral : convection et décentrement (VII)

Différence entre discrétisation centrée et décentrée

$$ \left[ u \frac{\partial T}{\partial x} \right]_{\text{décentrée}} - \left[ u \frac{\partial T}{\partial x} \right]_{\text{centrée}} = - \left[ \frac{\Delta x |u|}{2} \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \right]_{\text{centrée}} $$

Méthode de diffusion artificielle

$$ u \cdot \nabla T + \operatorname{div} \frac{h |u|}{2} \nabla T = 0 $$
Cours Magistral : convection et décentrement (VIII)

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Convection pure, $f(x) \propto \tanh(x)$, éléments finis $Q_1$ + diffusion artificielle scalaire $\frac{h|u|}{2}$
Cours Magistral : convection et décentrement (IX)

Méthode de diffusion artificielle tensorielle ou décentrement amont ou SUPG

$$u \cdot \nabla T + \operatorname{div} \frac{h |u| u \otimes u}{2 |u|^2} \nabla T = 0$$
Cours Magistral : convection et décentrement (X)

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Convection pure, $f(x) \propto \tanh(x)$, EF $Q_1$ + diffusion artificielle tensorielle $\frac{h|u|u \otimes u}{2|u|^2}$
Cours Magistral (XI)

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Convection pure, $f(x) \propto \text{Heavyside}(x)$, EF $Q_1 + \text{diffusion artificielle tensorielle} \frac{h|u|}{2} \frac{u \otimes u}{|u|^2}$
# Cours Magistral : conclusion (XII)

## Utilisation de Cast3M :

- faire le lien entre le cours théorique et les travaux dirigés avec de petits exemples interactifs;

- jeux de données exemple bientôt disponibles sur http://www-cast3m.cea.fr/.

## Mise en œuvre des jeux de données exemple :

- inspirée de la procédure EXPLORER;

- utilisation de l'opérateur 'MENU';

- autres possibilités d'interaction avec 'SAISIE'.
# Travaux Dirigés (I)

Interactions entre les trois points suivants facilitées par Cast3M :

**Rédiger des jeux de données complets** : maillage, description du problème, résolution du problème, post-traitement;

**Choisir correctement les paramètres de la résolution** : analyse phénoménologique (adimensionalnement), maillage, pas de temps $\Delta t$, tolérance sur la résolution des non linéarités, décentrement;

**Évaluer la pertinence de la solution numérique obtenue** : convergence en maillage, vérification des bilans.
Travaux Dirigés (II)

Codes commerciaux en mécanique des fluides :

+ Robustesse;

+ Nombre de mailles;

– Précision des solutions ?

-> inciter les élèves à avoir un regard critique.
# Travaux Dirigés (III)

## Principales difficultés rencontrées par les élèves à l'utilisation de Cast3M :

- pas de priorité entre opérateurs, surtout mathématiques;

- ordre des opérandes 1./ CHPOINT;

- angles en degrés $⇒ ( 'SIN ' )' ≠ 'COS ' ;

- notion de CHPOINT discrets et diffus (variables intensives et extensives);

- messages d'erreur lors de l'oubli de ' ou ;

- lecture des notices;

Lorsque l'operateur - calcule la différence entre un CHPOINT et un FLOTTANT, il soustrait à toutes les valeurs du CHPOINT la valeur du FLOTTANT. La différence entre un FLOTTANT et un CHPOINT donne le Même résultat au signe pres.

- utilisation de l'interactivité pour dédebugger.
Projets (I)

**Projets réalisés en binôme avec l'aide des encadrants.**

À partir d'une publication (article) issue d'un journal scientifique à comité de lecture présentant
des travaux expérimentaux et/ou numériques :

- reproduire (ou pas) les principaux résultats ;

- critiquer (éventuellement) l'article ;

- présenter les résultats obtenus par oral (soutenance 30 min) et par écrit (rapport).

Souvent, il s'agit d'écoulements de convection naturelle en cavité 2D. Peu de turbulence (conver-
gence des modèles ?).
Projets : Mélange chaotique (II)

- Omari, K. E. and Guer, Y. L. (2010). Alternate rotating walls for thermal chaotic mixing. *International Journal of Heat and Mass Transfer*, 53(1-3):123-134

- réalisé par Cyril Becquart et Ronan Lacire (2009-2010);

- mélange chaotique d'un fluide visqueux (Re = 2) et très peu conducteur de la chaleur (Pe = 10⁴).

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Projets : Mélange chaotique (III)

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Projets : Jet horizontal (IV)

- ARAKERI, J. H., DAS, D., and SRINIVASAN, J. (2000). Bifurcation in a buoyant horizontal laminar jet. *Journal of Fluid Mechanics*, 412:61-73

- réalisé par Marion Duclercq et Bastien Chapuis (2006-2007)

- injection horizontale d'eau pure dans une cuve d'eau salée.

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Projets : Jet horizontal (V)

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Projets : Jet horizontal (VI)

Réalisation du projet :

- Opérateur 'TRIA' pour le maillage initial;

- Opérateur 'RAFT' pour le raffinement automatique;

- Opérateur 'PROI' pour la projection d'un champ d'un maillage sur un autre;

- Critère de raffinement heuristique (concentration > 0.6);

- Génération du champ de taille voulu à l'aide d'un Laplacien.

Post-traitement :

- Opérateur 'PLUS' pour tracer le champ de vitesses à côté du champ scalaire.
# Projets : réalisation d'une animation (VII)

## Shell-script pstogif :

- modification du fichier Postscript généré par Cast3M : fond noir, fontes, épaisseur des traits ;

- Ghostscript (gs) : rastérisation = conversion vectoriel .ps vers pixel .png ;

- Conversion .png vers (.gif) ;

- Création de l'animation avec StationNIER.

## Format GIF animé :

+ universalité (lecture par tout navigateur Internet) ;

+ compression sans pertes ;

- 256 couleurs ;

- problèmes de copyright.
Conclusion

**Cast3M :**

→ Utilisation pour illustrer en direct les notions du cours et générer les figures du polycopié;

→ Outil interactif et exploratoire "boîte blanche" pour les Travaux Dirigés;

→ Outil d'investigation scientifique pour les projets.

**Documentation** sur http://www-cast3m.cea.fr/onglets Doc Compléments et Doc Supports de cours :

**Cours** Dabbene, F. and Paillère, H. (2000). Initiation à la simulation numérique en mécanique des fluides : éléments d'analyse numérique. Technical Report SEMT/LTMF/RT/00-015/A, CEA;

**Travaux Dirigés** Dabbene, F. (2003). Tutorial Cast3M pour la mécanique des fluides. Technical Report SFME/LTMF/RT/03-035/A, CEA;

**Cours EF + sources LATEX** Gounand, S. (2012). Introduction à la méthode des éléments finis en mécanique des fluides incompressibles. Publication DM2S, CEA.