# Histoire de la raison statistique : le moment bayésien

Alain Desrosières

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Alain Desrosières. Histoire de la raison statistique: le moment bayésien. Courrier des Statistiques, 2001, 100, pp.5-7. hal-05441662

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# Histoire de la raison statistique

## Le moment bayésien

> Cet article est extrait d'un ouvrage d'Alain Desrosières intitulé « La politique des grands nombres : histoire de la raison statistique », publié en 1993 par les éditions La Découverte et réédité en 2000 au format poche par le même éditeur dans la collection « Sciences humaines et sociales ».

Le problème de l'équité, définie par l'égalité des espérances, domine les travaux des fondateurs des probabilités, comme la Logique de Port Royal qui en fait un large usage<fnref n="1" />. Le point de vue fréquentiste, implicite dans les jeux de hasard, conduit Jacques Bernoulli (1654-1705) à la première démonstration de la loi des grands nombres, publiée après sa mort en 1713 : la fréquence d'appariation d'un phénomène ayant une probabilité donnée tend vers cette probabilité quand le nombre des essais est multiplié. Puis, en 1738, Abraham de Moivre (1667-1754) complète cette démonstration en calculant la probabilité pour que cette fréquence soit dans un intervalle aussi petit qu'on le souhaite, après un nombre suffisant de tirages, et explicite au passage pour la première fois la future « loi normale », en s'appuyant sur la formule asymptotique de Stirling pour $n!$ (factorielle $n = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$).

Les résultats précédents permettent de déduire d'une cause connue (la composition d'une urne) des effets attendus, c'est-à-dire des probabilités d'observer des fréquences. Mais le problème inverse est posé souvent, dans tous les cas où on souhaite dire quelque chose sur des causes (inconnues) à partir d'événements observés. C'est à répondre à cette question que s'attachèrent

Bayes (1702-1761), puis Laplace (1749-1827), dans des termes qui continuent à susciter des débats.

Le problème de la « probabilité inverse », ainsi posé par Bayes et Laplace, va jouer (jusqu'aujourd'hui) un rôle crucial dans l'histoire de l'usage des probabilités et des statistiques dans les diverses sciences. Il se trouve en effet à la charnière entre un point de vue objectiviste (la science dévoile, ou approche au plus près un réel caché : le contenu de l'urne), et un point de vue constructiviste (la science construit des objets, des modèles, avec des critères et des outils les dotant d'une relative stabilité). Or, la démarche consistant à inférer des causes à partir d'événements enregistrés est bien susceptible de ces deux lectures : des causes révélées ou construites.

Les formalisations bayésiennes visent à estimer des raisons de croire, compte tenu d'expériences préalables, en vue d'évaluer une situation concrète et de prendre une décision. Le texte de Bayes, publié en 1764 sous le titre Essai en vue de résoudre un problème de la doctrine des chances, s'ouvre par une phrase qui, en posant le problème inverse de celui de Bernoulli et De Moivre, utilise les mots d'une façon qui aujourd'hui semble étrange (la « chance d'une

probabilité »), mais dont l'ambiguïté peut aider à comprendre ce qui était alors cherché : « Étant donné le nombre de fois qu'un événement inconnu s'est réalisé ou non, on cherche la chance que la probabilité de sa réalisation lors d'une seule épreuve soit comprise entre deux degrés quelconques de probabilité que l'on puisse assigner. »

Les mots « probabilité » et « chance » sont ensuite définis dans les termes de la théorie des espérances, c'est-à-dire par un rapport de valeurs à estimer pour qu'un pari soit juste : « La probabilité d'un événement est le rapport entre la valeur à laquelle l'espérance attachée à sa réalisation devrait être estimée (at which an expectation depending on the happening of the event ought to be computed), et la valeur de la chose espérée s'il se réalise. Par chance, j'entends la même chose que par probabilité. »

<footnote n="1">1. Ce problème d'équité se pose pratiquement au moment des partages, quand une affaire ou un jeu sont interrompus : comment répartir les profits ou les mises ? C'est à partir d'une telle question adressée par le chevalier de Méré à Blaise Pascal (1623-1662) que celui-ci a posé les bases du calcul des probabilités. Mais cette question d'apparence anodine sur l'activité futile d'un joueur est en fait liée à des discussions anciennes sur le problème de la justice des conventions fondant les contrats aléatoires.</footnote>
Aussi, les mots *chance* et *probabilité* sont déclarés signifier la même chose, ce qui ne clarifie pas la première phrase. Cependant le raisonnement qui suit montre que le mot « chance » est employé comme « raison de croire » en vue d'une décision, tandis que le mot « probabilité » a un sens objectif, du type « composition de l'urne ». Il s'agit donc bien de la « probabilité » que la composition (rapport entre les nombres de boules noires et blanches) de cette urne inconnue soit dans un intervalle donné, c'est-à-dire d'une « probabilité de cause », qui, de même que la « probabilité » de culpabilité d'un accusé, ne peut être interprétée qu'en termes de « degré de certitude » nécessaire à un choix. La seule façon de donner un sens formalisé à cette « probabilité de cause » serait de supposer que l'urne elle-même a été tirée parmi un grand nombre d'urnes de compositions différentes, mais cela renvoie à la question de la distribution de ces compositions, c'est-à-dire à une « probabilité a priori » : c'est précisément sur ce point que la procédure bayésienne sera le plus critiquée.

En créant la notion de « probabilité conditionnelle », cette procédure introduit l'irréversibilité du temps (A puis B) dans la formulation, et c'est de là que naît son ambivalence<fnref n="2" />. En effet, le raisonnement peut être construit à partir de la double égalité :

$$P(A \text{ et } B) = P(A \text{ si } B) \times P(B) \\ = P(B \text{ si } A) \times P(A)$$

On en déduit :

$$P(A \text{ si } B) = P(B \text{ si } A) \times [P(A) / P(B)]$$

Cela, transposé au problème de la probabilité d'une cause $H_i$ (parmi un ensemble de $n$ causes possibles, mutuellement exclusives) pour un événement $E$, peut être écrit, avec des notations plus modernes :

$$P(H_i | E) = P(E \cap H_i) / P(E) \\ = [P(E | H_i) \cdot P(H_i)] / \sum_i P(E | H_i) \cdot P(H_i)$$

Cette formule a été explicitée par Laplace en 1774 dans une longue phrase, aujourd'hui difficile à lire (cette difficulté peut être comparée à celle, d'un autre ordre, de la formule mathématique qui précède) :

> « Si un événement peut être produit par un nombre n de causes différentes, les probabilités de l'existence de ces causes prises de l'événement sont entre elles comme les probabilités de l'événement prises de ces causes, et la probabilité de l'existence de chacune d'elles est égale à la probabilité de l'événement prise de cette cause, divisée par la somme de toutes les probabilités de l'événement prises de chacune de ces causes. » [Laplace, 1774, *Mémoire sur la probabilité des causes par les événements*, n° 2, in: *Œuvres complètes*, t. VIII, p. 28.]

Mais le point important de la démonstration fournie par Bayes est que la symétrie de la double égalité définissant les probabilités conditionnelles $P(A \text{ si } B)$ et $P(B \text{ si } A)$ n'existe pas pour lui, et que les deux égalités y sont démontrées séparément et indépendamment l'une de l'autre, à travers deux « propositions » distinctes. Ces raisonnements sont fondés sur des augmentations d'espérances de gain, introduites par la survenue d'un premier événement $A$. Chaque démonstration est le récit d'une séquence d'événements hypothétiques, et de leurs conséquences en termes de gains. Mais ces récits ne peuvent arriver à une conclusion que si on se donne des probabilités a priori des causes, c'est-à-dire ici les $P(H_i)$, avant même toute connaissance partielle. Les hypothèses d'équiprobabilité de telles causes a priori ont été maintes fois contestées, à l'aide d'exemples montrant que ces « égales » probabilités peuvent être choisies de diverses façons et sont donc de pures conventions.

La tension et la fécondité des procédures bayésiennes proviennent de l'ambivalence de l'écriture initiale : la double égalité de départ est formellement symétrique, mais logiquement dissymétrique, puisque le

temps y intervient, que les événements sont *connus* alors que les causes sont *inférées* à partir d'eux. Cette ambivalence était d'ailleurs inscrite dans l'appareillage que Bayes avait imaginé pour supporter son propos. En effet, l'exemple de l'urne était inadéquat, car il était difficile de construire une série d'événements impliquant *d'abord* un tirage d'urnes, puis un tirage de boules : la dissymétrie était trop forte. Bayes propose donc les lancements successifs de deux boules sur une table de billard carrée, de manière que les densités de probabilité de leurs points d'arrêt sur le tapis vert soient uniformes. La boule A est d'abord lancée, puis, après son immobilisation, une droite verticale est tracée à travers son point d'arrêt, partageant le carré en deux rectangles $P$ et $Q$. Puis, la boule $B$ étant lancée, est étudiée la probabilité qu'elle s'arrête dans le rectangle $Q$. On a donc une séquence de deux événements, et on peut calculer des probabilités liées et conditionnelles, en maintenant à la fois leurs caractères symétrique (géométriquement) et dissymétrique (temporellement).

La démarche d'inférence bayésienne peut être lue dans la perspective, suivie dans cet ouvrage, de construction de classes d'équivalence, de taxinomie et de codage. En effet, la notion de causalité qu'elle postule implique que des causes semblables puissent entraîner des conséquences semblables, c'est-à-dire que puissent être pensées des catégories de causes et d'effets, et que des événements futurs puissent être reliés à des observations passées de façon à en circonscrire l'incertitude. Elle s'oppose ainsi à une attitude de scepticisme nominaliste, fort répandue dans la philosophie du XVIIIe siècle (par exemple, chez Berkeley), pour laquelle rien ne peut être assimilé à rien, et aucune représentation générale n'est possible. En cela, elle se rattache à la philosophie de Hume, qui décrit la connaissance humaine comme le produit de l'accumulation de « coups de crayon », creusant des « cannelures dans le cerveau » auxquelles chaque expérience supplémentaire confère une

<footnote n="2">2. Cléro J.-P., « Un instrument de mesure des croyances - La règle de Bayes », *Histoire & Mesure*, 1988, III-4, pp. 491-513.</footnote>
« vivacité additionnelle » : cette idée d'addition liée à un savoir nouveau est très présente dans le texte de Bayes.

Par là, elle est aussi le fait des sciences de l'indice, que Ginzburg<fnref n="3" /> oppose aux sciences galiléennes. Alors que ces dernières traitent simultanément une grande masse d'informations par des méthodes mathématiques et statistiques pour en inférer des lois générales, les premières partent de traits singuliers pour construire des histoires, ou attribuer des cas à des familles de causes. C'est la démarche de l'histoire, du policier, du médecin qui pose un diagnostic à partir de symptômes. Ainsi le codage des « causes de décès », par traitement des déclara-tions médicales dans les bulletins de décès en utilisant la Classification internationale des maladies (CIM), a pu être décrit par Anne Fagot-Largeault<fnref n="4" /> comme une procédure bayésienne, en ce qu'elle implique à la fois des symptômes singuliers (les événements) et le degré de diffusion, déjà connu, d'une maladie (la probabilité a priori). Dans ce cas, où ont été analysées finement la genèse et l'évolution de la CIM (la nomenclature),

le codage des causes de décès apparaît comme une convention. En effet, la cause jugée intéressante à décrire statistiquement est, parmi la suite des événements antécédents, celui qui n'est ni trop antérieur (son influence serait indirecte, faible et diluée), ni trop immédiatement lié à la mort (dont il serait synonyme : le cœur ne bat plus), mais une catégorie, intermédiaire entre les deux précédentes, dont l'effet est d'augmenter significativement la probabilité de mort, sans toutefois la rendre certaine, et dont il est supposé qu'on pourra agir sur elle, soit par la prévention, soit par des thérapeutiques appropriées, afin de diminuer cette probabilité. Cette analyse du diagnostic médical et du codage d'un bulletin de décès (extraite de la thèse d'Anne Fagot-Largeault) est doublement typique de la démarche bayésienne, d'une part, par les conventions définissant la causalité par une catégorisation d'événements dont la connaissance implique des variations de probabilités et, d'autre part, par le traitement du moment du codage, vu comme une décision intégrant à la fois des événements singuliers et des probabilités a priori.

Le moment bayésien est donc un épisode essentiel de l'histoire des probabilités, en ce qu'il est à l'origine d'une notion de probabilité inverse, ou de probabilité des causes, qui ne signifie rien dans une théorie axiomatique pure des probabilités (comme

celle de Kolmogorov), mais qui prend tout son sens dans l'analyse de maints comportements de décision et de construction pratique de classes d'équivalence, qui constitue l'étape clé de l'activité statistique. Il se trouve aussi que ce moment du codage et ses contraintes propres sont parfois oubliés quand, ensuite, les tableaux statistiques sont traités et interprétés, de même que le bayésianisme a été longtemps refoulé de la pensée statistique.

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Remerciements à l'auteur et à son éditeur, qui nous ont aimablement autorisé à reproduire un extrait de cet ouvrage à l'intention des lecteurs du Courrier.

<footnote n="3">3. Ginzburg C., « Signes, traces, pistes. Racines d'un paradigme de l'indice », *Le Débat*, n° 6, novembre 1980, pp. 3-44.</footnote>

<footnote n="4">4. Fagot-Largeault A., *Les Causes de la mort. Histoire naturelle et facteur de risque*, Vrin, Paris, 1989.</footnote>