# Simulation du comportement mécanique d'un composite
à architecture tridimensionnelle

Manh Ha, Ludovic Cauvin, Alain Rassineux

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Manh Ha, Ludovic Cauvin, Alain Rassineux. Simulation du comportement mécanique d'un composite
à architecture tridimensionnelle. 11e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2013,
Giens, France. hal-01717840

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# Simulation du comportement mécanique d'un composite à architecture tridimensionnelle.

Manh Hung Ha¹, Ludovic Cauvin², Alain Rassineux³*

1 Laboratoire Roberval, UMR CNRS/UTC 7337, Université de Technologie de Compiègne, manh-hung.ha@utc.fr

2 Laboratoire Roberval, UMR CNRS/UTC 7337, Université de Technologie de Compiègne, ludovic.cauvin@utc.fr

3 Laboratoire Roberval, UMR CNRS/UTC 7337, Université de Technologie de Compiègne, alain rassineux@utc.fr

* Auteur correspondant

**Résumé** — Nous proposons une approche permettant de caractériser les propriétés mécaniques de structures composites tissés interlock et en particulier de résoudre les problèmes liés à la création de ces géométries complexes et leur discrétisation. Une fois le modèle maillé obtenu et les conditions de périodicités définies, les propriétés mécaniques effectives sont obtenues par homogénéisation. Deux exemples de tissages complexes ont été traités automatiquement.

**Mots clés** — Composites, maillage, homogénéisation

## 1. Introduction

Les travaux présentés se placent dans le cadre de l'étude des propriétés mécaniques des architectures à renforcement tridimensionnel dans les structures composites menées à l'Université de Technologie de Compiègne [1][2]. Une des difficultés des approches méso-macro réside dans la manière de reproduire de façon fidèle la géométrie de ces architectures aux formes très complexes et d'obtenir en particulier un Volume Elémentaire Représentatif (VER) duquel on peut déduire par calcul éléments finis les propriétés mécaniques par homogénéisation. L'objectif est de disposer d'une méthodologie permettant de caractériser puis d'optimiser les propriétés mécaniques d'une large gamme de tissages noyés dans de la résine. Les composites tissés étudiés sont les composites 2.5D interlock. Le croisement des mèches de chaîne et des mèches de trame dans les trois directions autorise un nombre important d'architecture et donc peut conférer au composite résultant un potentiel structural élevé. En revanche, cette pluralité des formes engendre des difficultés de mise en œuvre essentiellement géométriques et des difficultés de maillage bien connues : interpénétration et contact des mèches, maillage de fines couches de résines aux interfaces, détermination en tout point de l'orientation des fibres. Pour traiter ces problèmes par éléments finis, une discrétisation par voxels [3][4] apporte une solution souple mais n'offre qu'une approximation sommaire de la géométrie. Les autres approches [5] reposent sur la gestion du contact par des modèles spécifiques (multifill [6]), des modèles géométriques limitant les intersections [7] ou encore sur des outils de corrections des interpénétrations [8]. Nous proposons une approche qui consiste à créer un modèle géométrique des mèches limitant ou contrôlant les intersections et les contacts, à définir un VER périodique, à mailler ce VER en tétraèdres avec des maillages conformes aux interfaces puis à utiliser des techniques d'homogénéisation pour obtenir les propriétés mécaniques. Les résultats sont confrontés à ceux d'autre modélisation, issus de la littérature [9].

## 2. Maillage d'un VER

Ces travaux concernent l'obtention d'un modèle de simulation numérique de matériaux composite tissés 2.5D interlock [1-12]. Un des enjeux scientifiques consiste à optimiser ces architectures en jouant en particulier sur les entrelacements entre mèches de chaîne et de trame afin de conférer à la structure une résistance accrue dans les 3 directions. Dès lors que l'on envisage d'optimiser le tissage de ces structures, il convient de concevoir une méthodologie robuste pour obtenir des modèles éléments finis pour divers paramètres géométrique des tissages.
Créer ou récupérer une géométrie constitue le premier pas vers la résolution du problème. Il convient ensuite d'être capable de mailler cette dernière. Dans ce type de problème, il s'agit d'un réel point de blocage d'où l'intérêt de ces travaux. Les mèches sont en contact. Nous avons choisi de traiter le problème en réalisant un maillage conforme aux interfaces entre surface, ce qui bien entendu sous entend que l'on a détecté les contacts ou intersections. Les principales difficultés souvent mises en avant et à juste titre sont :

* de créer un maillage conforme aux interfaces entre surfaces ;

* de mailler la résine (avoir « raisonnablement » de la place) et par conséquent il convient d'éviter les éléments surfaciques trop proches. En effet, au niveau des zones de contact, les surfaces sont tangentes et « écrasées ». Même si on réalise un maillage conforme aux interfaces, le risque est d'obtenir dans le meilleur des cas des éléments très aplatis au voisinage de la zone de contact. Il est plus probable que le mailleur ne parvienne pas à mailler dans ces zones compte tenu des problèmes de précisions liés à l'aplatissement de la géométrie. Il semble utile de rappeler que l'on doit non seulement mailler les mèches mais aussi le complémentaire par rapport à la boite du VER.

L'approche se voulant automatique, les maillages sont nécessairement réalisés en tétraèdres[13]. Une solution peu réaliste peut consister à éloigner les surfaces en contact pour « faire passer » de la résine. On conviendra qu'afin de réaliser un maillage, les surfaces doivent être raisonnablement éloignées autour du contour interface entre les surfaces. En outre à cet endroit, la taille de maille locale doit être de l'ordre de grandeur de l'espacement entre les surfaces afin de remplir cet espace avec des éléments non allongés. En d'autres termes, il faut réaliser un maillage adaptatif au voisinage de la zone de contact et la taille de maille autour du contour d'intersection doit être un paramètre utilisateur. Elle correspond au volume maximal de résine que l'on souhaite mettre dans cette zone. Une brève synthèse des différentes étapes de la construction du maillage est proposée.

## 2.1 Création de la géométrie.

On crée une géométrie "réaliste" qui minimise les intersections entre mèches : Le matériau est composé de couches à base de tissus. Les tissus sont constitués de fils unidirectionnels croisés dans le cas présent à 90° afin de simplifier le discours. On peut ainsi se définir un réseau de mèches de trame le long duquel les mèches de chaînes vont onduler.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 1: Réseau de trames et chemins des mèches de chaînes dans une trame décalée</figcaption></figure>

Dans un premier temps, nous avons défini un modèle analytique définissant les chemins des mèches le long de la trame de type profil elliptique à section constante normalement à une courbe. Le trajet des mèches dans la trame est défini par la position au dessus ou en dessous des sections [7-12]. Le modèle géométrique proposé limite les intersections entre mèches, autorise les contacts et permet un contrôle de l'espace inter-mèches pour la résine (Fig 2.) Les zones de contact sont identifiées analytiquement.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 2. Gestion de l'espace inter-mèche au niveau des contacts</figcaption></figure>
## 2.2 Maillage adapté

On réalise un maillage dans l'espace des paramètres de la surface des mèches. Dans cet espace, le maillage initial de chaque mèche est une grille de dimension $L^e \times L^f$ où $L^e$ désigne la longueur de l'ellipse (son périmètre) et $L^f$ la longueur de la fibre neutre. Le maillage s'effectue donc dans l'espace $[0, L^f] \times [0, L^e]$. L'idée consiste à découper récursivement le maillage régulier initial en découpant les cellules contenant des points en contact ou proches d'autres mèches, ou des points proches des faces du VER pouvant alors créer des éléments de résine plats si l'on ne découpe pas. Chaque élément de la grille initiale constitue un arbre quaternaire. En fonction du statut des points de la cellule (contact ou interpénétration, autre), il est possible de définir au niveau de la cellule la position de la frontière, à l'image de la méthode des marching cubes [14]. Des règles de découpage sont définies. Le niveau ultime de finesse du maillage est défini a priori.

La figure 3 montre l'adaptation de la grille d'une mèche. Les zones raffinées correspondent à des contacts entre mèche ou à la proximité avec une face du VER

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 3. Grille d'arbres quaternaires 3D. Préparation au maillage d'une mèche</figcaption></figure>

Pour obtenir un maillage conforme aux interfaces, on décide que les mèches de chaînes héritent (par projection) des intersections créées sur les mèches de trame. Le maillage final des surfaces est obtenu en remaillant les points de la grille adaptative.

## 2.3 Création de la boîte du VER

Le maillage de l'ensemble des mèches et de leur zone de contact a été effectué. Les mèches ont été relimitées afin d'assurer les conditions de symétrie et périodicité du VER. La dernière étape avant le remaillage tridimensionnel consiste à créer les faces du VER (Fig.4).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 4. Relimitation des mèches et construction de la "boîte" du VER</figcaption></figure>

## 2.4 Maillage volumique

Le maillage est réalisé en tétraèdres à 4 et 10 nœuds. Compte tenu des formes extrêmement complexes et de la proximité inévitable des surfaces des mèches, il n'est guère toujours possible d'éloigner ces dernières les unes des autres sans dégrader la géométrie. L'adaptation du maillage est une solution permettant de contrôler la distance inter-mèche au niveau de l'interface.

Les fibres des mèches des tissages étudiées ont un comportement orthotrope. Par conséquent, il est bien entendu essentiel de connaître en tout point les orientations des fibres. Etant donné un point dans une mèche (test effectué à de nombreuses reprises lors de la détection des intersections), on détermine par minimisation le paramètre u sur la fibre neutre et le vecteur tangent à la courbe donne la direction demandée. Dans la pratique, on définit un matériau pour une plage d'orientation. En d'autre termes, le nombre de matériaux étant limité, on peut définir un nombre a priori de matériaux ou choisir de créer un matériau tous les 1° par exemple. Les figures 5 illustrent cette détermination sur un VER complexe.
A gauche l'ensemble des matériaux est représenté. La figure de droite montre les matériaux dont l'orientation est proche de 0°.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 5. Détermination des directions d'orthotropes</figcaption></figure>

### 3. Détermination des propriétés homogénéisées

Afin de valider la méthodologie de construction et de maillage du VER présentée précédemment (voir section 2), deux composites interlocks traités par Hallal et al. [9] seront considérés. Il s'agit d'un Interlock de type 1 (H2) et d'un Interlock de type 4 (69). Nous disposons ainsi pour ces deux matériaux composites de résultats de modélisation en régime élastique (voir tableau 3). Dans le cas de l'Interlock H2, il s'agit d'un modèle d'environ 300000 éléments, 33000 nœuds et donc 99000 degrés de liberté (ddl). Pour l'Interlock 69, le modèle compte environ 70000 éléments, 70000 nœuds soit donc 210000 ddl.

En appliquant notre méthodologie de maillage, on obtient pour chacun des matériaux considérés (Interlock H2 et Interlock 69) deux VER, le premier constitué d'éléments T4 et le second d'éléments T10. Ainsi pour chacun des cas, l'influence du degré de la fonction de forme considérée (linéaire ou quadratique) pourra être évaluée. Pour l'Interlock H2, le VER est constitué de 140000 éléments (77000 ddl en considérant des éléments T4 et 580000 ddl avec des éléments T10). Dans le cas de l'Interlock 69, le VER est constitué de 93000 éléments (51000 ddl en considérant des éléments T4 et 380000 ddl avec des éléments T10). La figure 6 illustre le maillage du VER de l'Interlock H2 et la figure 7 celui de l'Interlock 69.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 6. Maillage de l'Interlock H2: Maillage du VER(a), Résine(b), Mèches de chaînes et de trames(c)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Fig. 7. Maillage de l'Interlock 69: Maillage du VER(a), Résine(b), Mèches de chaînes et de trames(c)</figcaption></figure>

Etant donné la périodicité des composites considérés, la détermination des propriétés homogénéisées du VER nécessite la prise en compte de condition de périodicité avant la simulation de différents trajets de chargement.

### 3.1. Périodicité du VER et détermination des propriétés homogénéisées.

La géométrie des matériaux étudiés impose la définition de conditions de périodicité sur les contours du VER [15-17]. Celles-ci sont ici appliquées sur ABAQUS via la fonction *equation*. Telles quelles sont décrites par hallal et al. [9], neuf équations de contrainte doivent être imposées entre toutes les paires de nœuds périodiques des différentes faces du VER (sauf sur les arêtes et les sommets).

Dans les deux cas considérés ici (Interlock H2 et 69), le composite est supposé orthotrope. Son tenseur de souplesse S s'écrit à partir de $E_i$, $v_{ij}$ et $G_{ij}$ qui sont les constantes élastiques du matériau orthotrope, soient respectivement les modules de Young, les coefficients de Poisson et les modules de cisaillement dans les directions i et j considérées.

Ces constantes élastiques sont déterminées en simulant sur le VER 6 trajets de chargements : 3 essais de traction (suivant x, y et z) et 3 essais de cisaillement (suivant les plans xy, xz et yz).

En supposant que les 6 faces du VER sont positionnées respectivement dans le repère global d'ABAQUS en $x_{min}$, $x_{max}$, $y_{min}$, $y_{max}$, $z_{min}$ et $z_{max}$, on peut écrire, en fonction d'un déplacement U choisi arbitrairement et dans le cas de l'essai de traction suivant x ou de l'essai de cisaillement dans le plan xy, les 9 équations régissant les déplacements ($u_1$, $u_2$ et $u_3$ suivant x, y et z respectivement) de chacun des nœuds des faces de VER:

* **Traction suivant x.**

➤ Sur les plans $x = x_{min}$ et $x = x_{max}$ :

$$u_1(x_{min}, y, z) = 0; \quad u_1(x_{max}, y, z) = U; \qquad (1)$$

$$u_2(x_{max}, y, z) - u_2(x_{min}, y, z) = 0; \qquad (2)$$

$$u_3(x_{max}, y, z) - u_3(x_{min}, y, z) = 0. \qquad (3)$$

➤ Sur les plans $y = y_{min}$ et $y = y_{max}$ :

$$u_1(x, y_{max}, z) - u_1(x, y_{min}, z) = 0; \qquad (4)$$

$$u_2(x, y_{max}, z) - u_2(x, y_{min}, z) = 0; \qquad (5)$$

$$u_3(x, y_{max}, z) - u_3(x, y_{min}, z) = 0. \qquad (6)$$

➤ Sur les plans $z = z_{min}$ et $z = z_{max}$ :

$$u_1(x, y, z_{max}) - u_1(x, y, z_{min}) = 0; \qquad (7)$$
$$u_2(x, y, z_{\max}) - u_2(x, y, z_{\min}) = 0; \qquad (8)$$

$$u_3(x, y, z_{\max}) - u_3(x, y, z_{\min}) = 0. \qquad (9)$$

Le module de Young $E_x$ est ensuite calculé à partir de l'équation suivante:

$$E_x = \frac{F_x \cdot (x_{\max} - x_{\min})}{(y_{\max} - y_{\min}) \cdot (y_{\max} - y_{\min}) \cdot U} \qquad (10)$$

où $F_x$ est la force appliquée durant l'essai de traction sur la face $x = x_{\max}$.

De manière analogue, avec des essais de traction suivant y et z, les modules de Young $E_y$ et $E_z$ peuvent être calculés.

Une fois les trois modules de Young du composite orthotrope connus, on détermine les trois coefficients de Poisson tels que la relation $\varepsilon = S : \sigma$ soit vérifiée.

### Cisaillement suivant xy.

* Sur les plans $x = x_{\min}$ et $x = x_{\max}$ :

$$u_1(x_{\max}, y, z) - u_1(x_{\min}, y, z) = 0; \qquad (11)$$

$$u_2(x_{\max}, y, z) - u_2(x_{\min}, y, z) = 0; \qquad (12)$$

$$u_3(x_{\max}, y, z) - u_3(x_{\min}, y, z) = 0. \qquad (13)$$

* Sur les plans $y = y_{\min}$ et $y = y_{\max}$ :

$$u_1(x, y_{\min}, z) = 0; \quad u_1(x, y_{\max}, z) = U; \qquad (14)$$

$$u_2(x, y_{\max}, z) - u_2(x, y_{\min}, z) = 0; \qquad (15)$$

$$u_3(x, y_{\max}, z) - u_3(x, y_{\min}, z) = 0. \qquad (16)$$

* Sur les plans $z = z_{\min}$ et $z = z_{\max}$ :

$$u_1(x, y, z_{\max}) - u_1(x, y, z_{\min}) = 0; \qquad (17)$$

$$u_2(x, y, z_{\max}) - u_2(x, y, z_{\min}) = 0; \qquad (18)$$

$$u_3(x, y, z_{\max}) - u_3(x, y, z_{\min}) = 0. \qquad (19)$$

Le module de cisaillement $G_{xy}$ est alors calculé à partir de l'équation suivante :

$$G_{xy} = \frac{F_x \cdot (y_{\max} - y_{\min})}{(y_{\max} - y_{\min}) \cdot (y_{\max} - y_{\min}) \cdot U} \qquad (20)$$

où $F_x$ est la force appliquée durant l'essai de cisaillement sur la face $y = y_{\max}$.

Les 2 autres modules de cisaillement $G_{yz}$ et $G_{zx}$ sont obtenus de manière analogue.

## 3.2. Résultat des simulations numériques.

Dans le cas des composites Interlock, c'est la matrice (appelée aussi résine) qui assure la liaison entre les mèches. Dans le cas des matériaux étudiés ici (Interlock H2 et 69), la matrice est en époxy. Celle-ci sera supposée isotrope, ces propriétés élastiques sont indiquées le tableau 1.

<table><caption>Tableau 1 : Propriétés mécaniques de l'époxy.</caption><thead><tr><td>Module de Young E<sup>m</sup> (Mpa)</td><td>Coefficient de Poisson v<sup>m</sup></td><td>Module de cisaillement G<sup>m</sup> (Mpa)</td></tr></thead><tbody><tr><td>2890</td><td>0.35</td><td>1070</td></tr></tbody></table>

La désignation des mèches (fibres dans de la résine) utilisées dans notre cas est 'T300J' (fournies par la société SNECMA [1]). Les fibres de ces mèches sont en carbone et la résine en époxy. Le comportement mécanique des fibres de Carbone est supposé orthotrope, les 9 constantes élastiques
définissant son comportement sont données dans le tableau 2. Le comportement de la matrice epoxy sera supposé le même que pour la matrice epoxy de l'Interlock.

<table><caption>Tableau 2. Propriétés mécaniques des fibres carbones</caption><thead><tr><th>E<sub>11</sub><br>(Mpa)</th><th>E<sub>22</sub><br>(Mpa)</th><th>E<sub>33</sub><br>(Mpa)</th><th>G<sub>12</sub><br>(Mpa)</th><th>G<sub>13</sub><br>(Mpa)</th><th>G<sub>23</sub><br>(Mpa)</th><th>v<sub>12</sub></th><th>v<sub>13</sub></th><th>v<sub>23</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>230000</td><td>15000</td><td>15000</td><td>50000</td><td>50000</td><td>5769</td><td>0.278</td><td>0.278</td><td>0.3</td></tr></tbody></table>

Afin de pouvoir comparer les résultats de nos prédictions à ceux obtenus par Hallal et al. [9], le comportement mécanique des mèches de chaîne et des mèches de trame est déterminé à partir du modèle de Chamis [17] :

$$ 
\begin{aligned}
E_{11} &= V^f E_{11}^f + V^m E^m \\
E_{22} &= \frac{E^m}{1 - \sqrt{V^f (1 - E^m / E_{22}^f)}} \\
v_{12} &= V^f v_{12}^f + V^m v^m \\
G_{12} &= \frac{G^m}{1 - \sqrt{V^f (1 - G^m / G_{12}^f)}} \\
G_{23} &= \frac{G^m}{1 - \sqrt{V^f (1 - G^m / G_{23}^f)}}
\end{aligned} 
\qquad (21) $$

V<sup>f</sup>: fraction volumique des fibres de carbone dans les mèches.

V<sup>m</sup>: fraction volumique de la résine epoxy dans les mèches.

Tel qu'indiqué dans Hallal et al., les fractions volumiques de fibres dans les mèches de chaîne et dans les mèches de trame sont prises égales à 0,6 pour les deux composites interlocks considérés.

Les propriétés mécaniques des mèches et de la résine constituant les 2 composites interlocks étudiés connues, en simulant les 6 trajets de chargement précédemment décrit, on détermine les propriétés mécaniques homogénéisées des 2 composites. Les confrontations entre les prédictions de ces VER et les résultats de simulations obtenus par Hallal et al. sont récapitulées dans les tableaux 3 et 4.

<table><caption>Tableau 3 : Comparaison des prédictions à celles obtenues par Hallal et al. pour l'interlock H2.</caption><thead><tr><th>Interlock H2</th><th>Type d'éléments</th><th>Ex (MPa)</th><th>Ey (MPa)</th><th>Ez (MPa)</th><th>Gxy (MPa)</th><th>Gxz (MPa)</th><th>Gyz (MPa)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Hallal et al. [7]</td><td>T4+H8</td><td>25.93</td><td>54.82</td><td>7.87</td><td>3.22</td><td>2.94</td><td>2.24</td></tr><tr><td rowspan="2">Simulation numérique sur le VER</td><td>T4</td><td>26.4</td><td>57.1</td><td>7.2</td><td>2.9</td><td>2.7</td><td>2.3</td></tr><tr><td>T10</td><td>24.6</td><td>57</td><td>7.1</td><td>2.81</td><td>2.6</td><td>2.27</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau 4 : Comparaison des prédictions à celles obtenues par Hallal et al. pour l'interlock 69.</caption><thead><tr><th>Interlock 69</th><th>Type d'éléments</th><th>Ex (MPa)</th><th>Ey (MPa)</th><th>Ez (MPa)</th><th>Gxy (MPa)</th><th>Gxz (MPa)</th><th>Gyz (MPa)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Ali Hallal et al [7]</td><td>T4+H8</td><td>28.98</td><td>37.23</td><td>8.99</td><td>3.41</td><td>4.81</td><td>2.16</td></tr><tr><td rowspan="2">Simulation numérique sur le VER</td><td>T4</td><td>21.4</td><td>32.45</td><td>8.44</td><td>2.61</td><td>3.43</td><td>2.15</td></tr><tr><td>T10</td><td>20.8</td><td>32.8</td><td>8.09</td><td>2.8</td><td>3.6</td><td>2.3</td></tr></tbody></table>

Que l'on considère une fonction d'interpolation quadratique ou linéaire, les simulations menées sur les VER fournissent des résultats équivalents, l'écart relatif maximal étant de 7% sur le calcul de $G_{xy}$ dans le cas de l'interlock 69. Le nombre de ddl avec des éléments T10 étant nettement supérieur à celui obtenu avec des éléments T4, le compromis précision/temps de calcul semble suffisamment bon avec des éléments T4.
Comparativement aux résultats obtenus par Hallal et al. on note toutefois un écart relatif de l'ordre de 30% dans le cas de l'Interlock 69 (maximale sur $G_{xz}$ : 28.7%) et un écart relatif de l'ordre de 10% dans le cas de l'Interlock H2 (maximal sur $G_{xy}$).

## 4. Conclusion

Une approche innovante de maillage de VER de composite Interlock a été développée. Celle-ci permet de limiter le nombre de degrés de liberté du VER par l'utilisation d'un maillage adaptatif raffiné uniquement à proximité des contacts entre mèches. La mise en œuvre de cette méthodologie à deux composites Interlock issus de la littérature a permis la confrontation de nos résultats de simulations à ceux menées sur VER à grand nombre de ddl. Il apparaît que le compromis obtenu sur la précision comparativement au gain en temps de calcul doit encore être validé notamment par confrontation à des données expérimentales.

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