# Finslerio struktūros atraminių pseudolinearų erdvė

J. Šinkūnas (VPU)

**Apibrėžimas.** Atraminių pseudolinearų erdvę $P_{n,v}$ [1], kurioje apibrėžtas skaliarinės funkcijos $F(x,V)$ laukas:

$$dF = F_{\alpha}\omega^{\alpha} + F_{A\alpha}\Theta^{A\alpha}, \quad (1)$$

$$(\alpha, \beta, \gamma, \dots = 1, 2, \dots, n; \ A, B, C, \dots = 1, 2, \dots, N),$$

pasižymintis savybe

$$F(x, \lambda V) = \lambda F(x, V), \quad (2)$$

vadinsime Finslerio struktūros atraminių pseudolinearų erdve ir žymėsime $\tilde{F}_{n,v}$.

Kai $h_{B\beta}^{A\alpha} = C_B^A \delta_{\beta}^{\alpha}$, $\tilde{F}_{n,v}$ yra Finslerio struktūros atraminių linearų erdvė [2].

Bendroji afininė sietis erdvėje $P_{n,v}$ apibrėžiama formomis

$$\tilde{\omega}_{\beta}^{\alpha} = \omega_{\beta}^{\alpha} + \Gamma_{\gamma\beta}^{\alpha} \omega^{\gamma} + C_{A\beta\gamma}^{\alpha} \Theta^{A\gamma}, \quad (3)$$

kur

$$\Gamma_{\gamma\beta}^{\alpha}(x, \lambda V) = \Gamma_{\gamma\beta}^{\alpha}(x, V), \quad C_{A\beta\epsilon}^{\alpha}(x, \lambda V) = \lambda^{-1}C_{A\beta\epsilon}^{\alpha}(x, V), \quad C_{A\beta\epsilon}^{\alpha}V^{A\epsilon} = 0, \quad (4)$$

Afininė sietis, apibrėžta (3) formulėmis, erdvėje $P_{n,v}$ indukuoja tiesinę sietį:

$$\tilde{\Theta}^{A\alpha} = \Pi_{B\epsilon}^{A\alpha} \Theta^{B\epsilon} + \Pi_{\epsilon}^{A\alpha} \omega^{\epsilon}, \quad (5)$$

kur

$$\Pi_{B\epsilon}^{A\alpha} = \delta_{B}^{A} \delta_{\epsilon}^{\alpha} + V^{C\gamma} \left( \delta_{C}^{A} C_{B\gamma\epsilon}^{\alpha} + \delta_{\gamma}^{\alpha} h_{C\tau}^{A\rho} C_{B\rho\epsilon}^{\tau} \right), \quad (6)$$

$$\Pi_{\epsilon}^{A\alpha} = V^{B\gamma} \left( \delta_{B}^{A} \Gamma_{\epsilon\gamma}^{\alpha} + \delta_{\gamma}^{\alpha} h_{B\tau}^{A\rho} \Gamma_{\epsilon\rho}^{\tau} \right). \quad (7)$$

Toliau nagrinėsime tik tokias afinines sietis, kurioms $\Pi_{B\epsilon}^{A\alpha} = \delta_{B}^{A} \delta_{\epsilon}^{\alpha}$.

(3) formulėse formas $\Theta^{A\gamma}$ pakeitę formomis $\tilde{\Theta}^{A\gamma}$, gauname:

$$\tilde{\omega}_{\beta}^{\alpha} = \omega_{\beta}^{\alpha} + \dot{\Gamma}_{\epsilon\beta}^{\alpha} \omega^{\epsilon} + C_{B\beta\epsilon}^{\alpha} \tilde{\Theta}^{B\epsilon}, \quad (8)$$

kur

$$\dot{\Gamma}_{\epsilon\beta}^{\alpha} = \Gamma_{\epsilon\beta}^{\alpha} - C_{B\beta\gamma}^{\alpha} \Pi_{\epsilon}^{B\gamma}. \quad (9)$$
Atraminišo pseudolinearė erdvės P<sub>n,v</sub> su bendraja afinine sietimi struktūrinės lygtys yra:

$$
d\omega^{\alpha} = \omega^{\epsilon} \wedge \tilde{\omega}_{\epsilon}^{\alpha} + R_{\epsilon\gamma}^{\alpha} \omega^{\gamma} \wedge \omega^{\epsilon} + C_{B\epsilon\gamma}^{\alpha} \tilde{\Theta}^{B\gamma} \wedge \omega^{\epsilon}, \quad (10)
$$

$$
d\tilde{\omega}_{\beta}^{\alpha} = \tilde{\omega}_{\beta}^{\alpha} \wedge \tilde{\omega}_{\gamma}^{\alpha} + \frac{1}{2} R_{\beta\gamma\epsilon}^{\alpha} \omega^{\epsilon} \wedge \omega^{\gamma} + \frac{1}{2} S_{AB\beta\gamma\epsilon}^{\alpha} \tilde{\Theta}^{B\gamma} \wedge \tilde{\Theta}^{A\epsilon} + P_{A\beta\epsilon\gamma}^{\alpha} \omega^{\gamma} \wedge \tilde{\Theta}^{A\epsilon}, \quad (11)
$$

$$
d\tilde{\Theta}^{A\alpha} = \tilde{\Theta}^{A\gamma} \wedge \tilde{\omega}_{\gamma}^{\alpha} + h_{B\tau}^{A\rho} \tilde{\Theta}^{B\alpha} \wedge \tilde{\omega}_{\rho}^{\tau} + \frac{1}{2} R_{\gamma\epsilon}^{A\alpha} \omega^{\epsilon} \wedge \omega^{\gamma} + \frac{1}{2} S_{BC\epsilon\gamma}^{A\alpha} \tilde{\Theta}^{C\gamma} \wedge \tilde{\Theta}^{B\epsilon} + P_{B\gamma\epsilon}^{A\alpha} \omega^{\gamma} \wedge \tilde{\Theta}^{B\epsilon}, (12)
$$

kur $R_{\gamma\epsilon}^{\alpha}$, $C_{A\gamma\epsilon}^{\alpha}$ yra erdvės P$_{n,v}$ sukinio tenzorius ir pseudolinearas, $R_{\epsilon\gamma\tau}^{\alpha}$, $S_{AB\epsilon\gamma\tau}^{\alpha}$, $P_{A\gamma\epsilon\tau}^{\alpha}$ - atitinkamai pirmasis, antrasis ir trečiasis kartano kreivumo pseudolinearai, o pseudolinearai $R_{\gamma\epsilon}^{A\alpha}$, $S_{BC\epsilon\gamma}^{A\alpha}$ ir $P_{B\gamma\epsilon}^{A\alpha}$ - atitinkamai pirmasis, antrasis ir trečiasis papildomo kreivumo pseudolinearai.

Invariantinės pirmos ir antros rūšies išvestinės, apibrėžtos afinine sietimi (8), yra (paprastumo dėlei, jos užrašytos dviejų indeksų pseudolinearui):

$$
\delta_{\varepsilon} T_{A\gamma} = T_{A\gamma,\varepsilon} - T_{AB\gamma\sigma} \Pi_{\varepsilon}^{B\sigma} - T_{A\sigma} \dot{\Gamma}_{\varepsilon\gamma}^{\sigma} - T_{B\gamma} h_{A\sigma}^{B\rho} \dot{\Gamma}_{\varepsilon\rho}^{\sigma}, \quad (13)
$$

$$
\delta_{B\epsilon} T_{A\gamma} = T_{AB\gamma\epsilon} - T_{A\sigma} C_{B\gamma\epsilon}^{\sigma} - T_{C\gamma} h_{A\sigma}^{C\rho} C_{B\rho\epsilon}^{\sigma}. \quad (14)
$$

Įrodysime, kad afininės sieties objektas ($\dot{\Gamma}_{\gamma\beta}^{\alpha}$, $C_{B\beta\gamma}^{\alpha}$) aprėpiamas funkcijos F
diferencialiniais tęsiniais.

Dalinai pratęse (1) lygti, gauname:

$$
\nabla F_{A\alpha} \equiv dF_{A\alpha} - F_{A\gamma}\omega_{\alpha}^{\gamma} - F_{B\alpha}\Theta_{A}^{B} = F_{A\alpha\beta}\omega^{\beta} + F_{AB\alpha\gamma}\Theta^{B\gamma}, \quad (15)
$$

$$
\nabla F_{A\alpha\beta} - F_{A\alpha}\omega_{\alpha\beta}^{\gamma} - F_{B\alpha}h_{A\rho}^{B\tau}\omega_{\tau\beta}^{\rho} - F_{AB\alpha\gamma}\Theta_{\beta}^{B\gamma} = F_{A\alpha\beta\gamma}\omega^{\gamma} + F_{AB\alpha\beta\gamma}\Theta^{B\gamma}, \quad (16)
$$

$$
\nabla F_{AB\alpha\beta} = F_{AB\alpha\beta\gamma} \omega^{\gamma} + F_{ABC\alpha\beta\gamma} \Theta^{C\gamma}, \quad (17)
$$

kur

$$
\begin{align}
F_{A\alpha\beta}(x, \lambda V) &= F_{A\alpha\beta}(x, V), \quad F_{AB\alpha\beta}(x, \lambda V) = \lambda^{-1} F_{AB\alpha\beta}(x, V), \quad F_{AB\alpha\beta}V^{B\beta} = 0, \nonumber \\
F_{A\alpha\beta\gamma}(x, \lambda V) &= F_{A\alpha\beta\gamma}(x, V), \quad F_{AB\alpha\beta\gamma}(x, \lambda V) = \lambda^{-1} F_{AB\alpha\beta\gamma}(x, V), \tag{18}
\end{align}
$$

$$
F_{ABC\alpha\beta\gamma}(x, \lambda V) = \lambda^{-2} F_{ABC\alpha\beta\gamma}(x, V), \quad F_{ABC\alpha\beta\gamma}V^{C\gamma} = F_{AB\alpha\beta}.
$$

Be to, $F_{AB\alpha\beta} = F_{BA\beta\alpha}$, $F_{ABC\alpha\beta\gamma}$ - simetriški pagal indeksų (A,α), (B,β) ir (C,γ) poras.

Nagrinėsime 3 atvejus: 1) N = n; 2) N > n; 3) N < n.

1 atvejis. Jeigu N = n, ieškosime tokios erdvės F̃<sub>n,v</sub> afininės srities, kuriai pseudoline-
aro F<sub>Aα</sub> pirmos ir antros rūšies invariantinės išvestinės būtų lygios nuliui, t.y.
$$ \delta_{\gamma} T_{A\alpha} = 0, \delta_{B\gamma} T_{A\alpha} = 0. \qquad (19) $$

(19) lygybes, pasinaudoję (8), (13) ir (14) lygybėmis, galima užrašyti šitaip:

$$ F_{A\alpha\gamma} - F_{A\epsilon} \Gamma^{\epsilon}_{\gamma\alpha} - F_{B\alpha} h^{B\rho}_{\ A\tau} \Gamma^{\tau}_{\gamma\rho} = 0, \qquad (19_1) $$

$$ F_{AB\alpha\gamma} - F_{A\epsilon} C^{\epsilon}_{B\alpha\gamma} - F_{C\alpha} h^{C\rho}_{\ A\tau} C^{\tau}_{B\rho\gamma} = 0. \qquad (19_2) $$

(19₁) ir (19₂) lygtis padauginę iš $F^{A\epsilon}$ (čia $F^{A\epsilon}F_{A\alpha} = \delta^{\epsilon}_{\alpha}$) ir sumuodami pagal A, gauname:

$$ F^{A\epsilon} F_{A\alpha\gamma} - \Gamma^{\epsilon}_{\gamma\alpha} - F^{A\epsilon} F_{B\alpha} h^{B\rho}_{\ A\tau} \Gamma^{\tau}_{\gamma\rho} = F^{A\epsilon} F_{A\alpha\gamma} - \Gamma^{\tau}_{\gamma\rho} (\delta^{\rho}_{\alpha} \delta^{\epsilon}_{\tau} + F^{A\epsilon} F_{B\alpha} h^{B\rho}_{\ A\tau}) = 0, \quad (19_1^\circ) $$

$$ F^{A\epsilon} F_{A B \alpha \gamma} - C^{\tau}_{B \rho \gamma} (\delta^{\rho}_{\alpha} \delta^{\epsilon}_{\tau} + F^{A\epsilon} F_{B\alpha} h^{B\rho}_{\ A\tau}) = 0. \qquad (19_2^\circ) $$

Jeigu

$$ \det \| H^{\epsilon\rho}_{\alpha\tau} \| \neq 0, \qquad (20) $$

kur

$$ H^{\epsilon\rho}_{\alpha\tau} = \delta^{\rho}_{\alpha} \delta^{\epsilon}_{\tau} + F^{A\epsilon} F_{B\alpha} h^{B\rho}_{\ A\tau}, \qquad (21) $$

tai egzistuoja toks atvirkštinis tenzorius $\tilde{H}^{\alpha\tau}_{\epsilon\mu}$, kad

$$ H^{\epsilon\rho}_{\alpha\mu} \tilde{H}^{\alpha\tau}_{\epsilon\mu} = \delta^{\rho}_{\epsilon} \delta^{\tau}_{\mu}. \qquad (22) $$

ir iš (19₁) (19₂) lygčių gauname:

$$ \Gamma^{\sigma}_{\gamma\tau} = F^{A\epsilon} F_{A\alpha\gamma} \tilde{H}^{\alpha\sigma}_{\epsilon\tau}, \qquad (23) $$

$$ C^{\sigma}_{B\gamma} = F^{A\epsilon} F_{A B \alpha \gamma} \tilde{H}^{\alpha\sigma}_{\epsilon\tau}. \qquad (24) $$

Taigi įrodème teoremat:

1. TEOREMA. Jeigu $N = n$ ir $\det \| H^{\epsilon\rho}_{\alpha\tau} \| \neq 0$, tai Finslerio struktūros atraminių pseudolinearų erdvės $\tilde{F}_{n,v}$ afininės sieties objektas ($\Gamma^{\alpha}_{\gamma\epsilon}$, $C^{\alpha}_{A\gamma\epsilon}$) aprėpiamas objektu (F, $F_{A\alpha}$, $F_{A\alpha\gamma}$, $F_{AB\alpha\gamma}$) pagal (23) ir (24) formules.

2. TEOREMA. (23) ir (24) formulėmis apibrėžta afininė sietis yra plokščia, t.y., pirmasis kartano kreivumo tenzorius, antrasis ir trečiasis kreivumo pseudolinearai lygūs nuliui.

Įrodymas. Iš (15) lygčių, remdamiesi (8), (9), (13) ir (14) formulėmis, gauname:
$$dF_{A\alpha} - F_{A\gamma} \tilde{\omega}_{\alpha}^{\gamma} - F_{B\alpha} h_{A\tau}^{B\epsilon} \tilde{\omega}_{\epsilon}^{\tau} = 0. \quad (25)$$

(25) lygybes diferencijuodami išoriniu būdu ir remdamiesi (10) ir (11) struktūrinėmis lygtimis, gauname:

$$\frac{1}{2} \{ F_{A\gamma} R_{\alpha\tau\epsilon}^{\gamma} + F_{B\alpha} h_{A\mu}^{B\rho} R_{\rho\tau\epsilon}^{\mu} \} \omega^{\epsilon} \wedge \omega^{\tau} + \{ F_{A\gamma} P_{B\alpha\epsilon}^{\gamma} + F_{C\alpha} h_{A\mu}^{C\rho} P_{B\rho\epsilon}^{\mu} \} \omega^{\tau} \wedge \tilde{\Theta}^{B\epsilon} \\ + \frac{1}{2} \{ F_{A\gamma} S_{BC\alpha\epsilon}^{\gamma} + F_{D\alpha} h_{A\mu}^{D\rho} S_{BC\rho\epsilon}^{\mu} \} \tilde{\Theta}^{B\epsilon} \wedge \tilde{\Theta}^{C\tau}. \quad (26)$$

Kadangi formos $\omega^\epsilon \wedge \omega^\tau$, $\omega^\tau \wedge \tilde{\Theta}^{B\epsilon}$ ir $\tilde{\Theta}^{B\epsilon} \wedge \tilde{\Theta}^{C\tau}$ tiesiškai nepriklausomos, tai iš (26) lygybių išplaukia:

$$F_{A\gamma} R_{\alpha\tau\epsilon}^{\gamma} + F_{B\alpha} h_{A\mu}^{B\rho} R_{\rho\tau\epsilon}^{\mu} = 0, \quad (27)$$

$$F_{A\gamma} P_{B\alpha\epsilon}^{\gamma} + F_{C\alpha} h_{A\mu}^{C\rho} P_{B\rho\epsilon}^{\mu} = 0, \quad (28)$$

$$F_{A\gamma} S_{BC\alpha\epsilon}^{\gamma} + F_{D\alpha} h_{A\mu}^{D\rho} S_{BC\rho\epsilon}^{\mu} = 0. \quad (29)$$

(27) lygybes padauginę iš $F^{A\sigma}$ ($F^{A\sigma}F_{A\epsilon} = \delta_{\epsilon}^{\sigma}$) ir susumavę pagal A, gauname:

$$R_{\rho\tau\epsilon}^{\sigma} H_{\alpha\sigma}^{\gamma\rho} = 0. \quad (30)$$

Iš (30) lygybių išplaukia, kad

$$R_{\rho\tau\epsilon}^{\sigma} = 0. \quad (31)$$

Analogiškai įrodoma, kad ir

$$P_{B\alpha\epsilon}^{\gamma} = S_{BC\alpha\epsilon}^{\gamma} = 0. \quad (32)$$

2 atvejis. Kai $N > n$, pseudolinearui $F_{A\alpha}$ negalima surasti atvirkštinio pseudolinearo. Šiuo atveju nagrinėsime dydžius $F^{A\alpha}$, apibrėžtus šitaip:

$$F^{A\alpha} = \frac{V^{A\alpha}}{F}. \quad (33)$$

Akivaizdu, kad

$$F^{A\alpha}(x, \lambda V) = F^{A\alpha}(x, V), \quad F_{A\beta\alpha\beta} F^{B\beta} = 0. \quad (34)$$

(19₁) ir (19₂) lygtis padauginę iš $F^{A\sigma}$ ir sumuodami pagal A, gauname:

$$F^{A\sigma} F_{A\alpha\gamma} - H_{\tau}^{\sigma} \Gamma_{\gamma\alpha}^{\tau} - F^{A\sigma} F_{B\alpha} h_{A\tau}^{B\rho} \Gamma_{\gamma\rho}^{\tau} = F^{A\sigma} F_{A\alpha\gamma} - \Gamma_{\gamma\rho}^{\tau} (H_{\tau}^{\sigma} \delta_{\alpha}^{\rho} + F^{A\sigma} F_{B\alpha} h_{A\tau}^{B\rho}) = 0 \quad (35)$$

$$F^{A\sigma} F_{A\beta\alpha\gamma} - C_{B\rho\gamma}^{\tau} (H_{\tau}^{\sigma} \delta_{\alpha}^{\rho} + F^{A\sigma} F_{B\alpha} h_{A\tau}^{B\rho}) = 0; \quad \text{čia } H_{\tau}^{\sigma} = F^{A\sigma} F_{A\tau}. \quad (36)$$
Jeigu tenzorius

$$E_{\tau\alpha}^{\rho\sigma} = H_{\tau}^{\sigma} \delta_{\alpha}^{\rho} + F^{A\sigma} F_{B\alpha} h_{\tau}^{B\rho} \quad (37)$$

turi atvirkštinį tenzorių $\tilde{E}_{\rho\gamma}^{\tau\epsilon}$, t.y. kai $\det \|E_{\tau\alpha}^{\rho\sigma}\| \neq 0$, ið (35) ir (36) lygčių gauname:

$$\Gamma_{\gamma\rho}^{\tau} = F^{A\sigma} F_{A\alpha\gamma} \tilde{E}_{\rho\sigma}^{\alpha\tau}, \quad (38)$$

$$C_{B\rho\gamma}^{\tau} = F^{A\sigma} F_{AB\alpha\gamma} \tilde{E}_{\rho\sigma}^{\alpha\tau}. \quad (39)$$

Taigi įrodėme teorematą:

3. **TEOREMA.** Jeigu $N > n$ ir $\det \|E_{\tau\alpha}^{\rho\sigma}\| \neq 0$, tai erdvės $\tilde{F}_{n,v}$ afininės sieties objektas $(\Gamma_{\gamma\epsilon}^{\alpha}, C_{A\gamma\epsilon}^{\alpha})$ aprėpiamas objektu $(F, F_{A\alpha}, F_{A\alpha\gamma}, F_{AB\alpha\gamma})$ pagal (38) ir (39) formules.

3. **atvejis.** Kai $N < n$, $\det \|E_{\tau\alpha}^{\rho\sigma}\| = 0$ ir aukščiau aprašytu būdu negalima rasti afininės sieties objekto. Šiuo atveju afininės sieties objektas turėtų būti aprėpiamas funkcijos $F$ aukštesniais diferencialiniais tęsiniais. Dar nepavyko gauti šio aprėpimo formulių.

## LITERATŪRA

[1] J. Šinkūnas, Pseudolinearinė sietis atraminių pseudolinearų erdvėje, LMD XXXVIII konferencijos darbai, Vilnius, 1997, 104-109.

[2] Ю. Шинкунас, О пространстве опорных линеаров финслеровой структуры. *Liet. Mat. Rink.* XII, 1 (1972), 221-227.

## Sur l'espace des pseudolinears de structure finslerienne

J. Šinkūnas

L'espace de pseudolinéars d'appuis $P_{n,v}$ [1], avec le champ de la fonction métrique $F(x,V)$ s'appelle l'espace de pseudolinéars d'appuis de structure finslérienne $\tilde{F}_{n,v}$. De la fonction $F$ et ses prolongements partiels on a reçu l'object de connexion affine et on a étudié quelques propriétés de cette connexion.