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# Construire une coque mince connaissant ses deux formes fondamentales

Danielle Fortuné, Claude Vallée

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Danielle Fortuné, Claude Vallée. Construire une coque mince connaissant ses deux formes fondamentales. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01507582

HAL Id: hal-01507582

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Submitted on 13 Apr 2017

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# Construire une coque mince connaissant ses 2 formes fondamentales

## Exemple d'intégration pour deux formes fondamentales sphériques compatibles

Danielle Fortuné - Claude Vallée

Laboratoire de Mécanique des Solides UMR CNRS 6610
SP2MI-Téléport 2-Boulevard Marie et Pierre Curie-BP30179
Futuroscope Chasseneuil Cedex-86962-France

## RESUME

Il est possible de reconstituer les équations paramétrées d'une surface qui initialement était caractérisée par ses 2 formes fondamentales. C'est ce qu'affirme le Théorème de Bonnet. Nous allons le prouver en utilisant comme point de départ la décomposition polaire droite et les équations de compatibilités qui en découlent. Ce choix n'est pas anodin car il fait apparaître un découplage des équations de compatibilité et cette nouvelle mise en scène introduit des expressions qui dépendent explicitement des deux formes fondamentales. L'obtention de la surface nécessite deux intégrations successives et les étapes d'intégrations à effectuer en sont simplifiées. Une illustration de cette démarche est présentée sur le cas de 2 formes fondamentales sphériques compatibles

## ABSTRACT

According to Bonnet's theorem, it is possible to reconstruct the parametric equations of the surface initially characterised by its two fundamental forms. Starting from the right polar decomposition and the induced compatibility equations the previous theorem was reformulated. This choice is not innocent since it shows a decoupling of the compatibility equations and this new methodology introduce expressions depending on the two fundamental forms. The attainment of the surface requires two successive integrations and the integration steps are thus simplified. An illustration of this approach is presented in the case of two compatible spheric fundamental forms.

**MOTS-CLES :** Coques Minces, Formes fondamentales, Equations de compatibilités.

**KEYWORDS :** Thin shells, Fundamental forms, Compatibility equations.
# 1. Introduction

Nous développons ici une méthode d’intégration permettant d’exhiber les équations paramétrées de la surface moyenne d’une coque en partant de ses deux formes fondamentales. Cette reconstitution de la surface est énoncée dans le théorème de Bonnet (Muller P., Ossadzow C., 1999). Des travaux s’intéressent à cette question, par exemple, (Ciarlet G.P., Larsonneur F., 2002), (Fokas A.S., et al, 2000). Cette méthode s’appuie sur la théorie que les auteurs ont développée dans l’article (Vallée C., Fortuné D., 1996) à partir de la décomposition polaire.

# 2. Décomposition polaire droite et ses équations de compatibilités

## 2.1. Décomposition polaire

Les développements présentés dans cette partie sont extraits de (Vallée C., Fortuné D., 1996). Considérons une coque mince S paramétrée par **u** et **v**. On note $\theta$ la transformation qui, à **u** et **v**, fait correspondre un point x de la surface S :

$$x = \theta(\mathbf{u}, \mathbf{v}).$$

On note **F** l’ensemble des dérivées partielles de $\theta$ par rapport à **u** et **v**, soit :

$$\mathbf{F} = \left[ \frac{\partial \theta}{\partial \mathbf{u}} \quad \frac{\partial \theta}{\partial \mathbf{v}} \right],$$

La normale unitaire en x à la surface ainsi qu’au plan tangent est notée **N**.

Soient **a** et **b** les deux formes fondamentales caractérisant S. La première forme fondamentale **a** est symétrique et définie positive : **a** = $\mathbf{F}^T\mathbf{F}$ où $\mathbf{F}^T$ est la transposée de $\mathbf{F}$. La deuxième forme fondamentale s’écrit : $\mathbf{b} = - \mathbf{F}^T \left[ \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \mathbf{u}} \quad \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \mathbf{v}} \right]$.

La première forme fondamentale **a** admet une racine carrée symétrique positive notée $\mathbf{a}^{1/2}$. Elle est utilisée pour construire une décomposition polaire de $\mathbf{F}$. Il existe $\mathbf{\Omega}$, élément de $\text{SO}^3$, tel que :

$$\mathbf{F} = \mathbf{\Omega} [U V] \qquad [1]$$

$$U = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{a}^{1/2} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \text{et} \quad V = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{a}^{1/2} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \qquad [2]$$
## 2.2. Equations de compatibilités

Les variations de la rotation $\Omega$ par rapport à chacun des paramètres $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ mettent en évidence, les propriétés d'antisymétries de $\Omega^T \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{u}}$ et $\Omega^T \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{v}}$, propriétés que l'on traduit par l'existence de 2 vecteurs $\mathbf{Y}$ et $\mathbf{Z}$ réalisant

$$ \Omega^T \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{u}} = \mathbf{j}(\mathbf{Y}) \quad \text{et} \quad \Omega^T \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{v}} = \mathbf{j}(\mathbf{Z}) \qquad [3] $$

où l'on a noté, pour tout vecteur $\mathbf{w}$ : $\mathbf{j}(\mathbf{Y})\mathbf{w} = \mathbf{Y} \wedge \mathbf{w}$ et $\mathbf{j}(\mathbf{Z})\mathbf{w} = \mathbf{Z} \wedge \mathbf{w}$.

Il a été démontré (Vallée C., Fortuné D., 1996) que l'existence de $\Omega$ ainsi que l'intégration de [1] permettant d'atteindre la surface $S$ sont soumis aux équations de compatibilité connues pour les surfaces sous le nom des équations de Gauss-Codazzi- Mainardi. L'utilisation de la décomposition polaire leurs donnent la forme condensée suivante :

$$ - \text{pour l'intégrabilité de [3]:} \qquad \frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial \mathbf{v}} - \frac{\partial \mathbf{Z}}{\partial \mathbf{u}} = \mathbf{Y} \wedge \mathbf{Z} \qquad [4] $$

$$ - \text{pour l'intégrabilité de [1]:} \qquad \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial \mathbf{v}} - \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \mathbf{u}} = \mathbf{Y} \wedge \mathbf{V} - \mathbf{Z} \wedge \mathbf{U} \qquad [5] $$

On rappelle que les deux vecteurs $\mathbf{U}$ et $\mathbf{V}$ sont directement déduits de $\mathbf{a}^{1/2}$. Les vecteurs $\mathbf{Y}$ et $\mathbf{Z}$ sont complètement définis par le respect de [5], ils ne dépendent explicitement que de $\mathbf{b}$, de $\mathbf{a}^{1/2}$ et des dérivées partielles de $\mathbf{a}^{1/2}$.

## 2.3. Remarques

Ces développements déduits de la décomposition polaire ont de multiples avantages. Ils mettent en évidence une base orthonormée associée à la surface dont les vecteurs sont définis grâce à la rotation $\Omega$. Ils évitent les coefficients de Christoffel par la connaissance des dérivées partielles de $\Omega$. Ils sont à la base de développements en cours donnant un rôle privilégié aux 2 formes fondamentales.

## 3. Etapes successives aboutissant à la construction de la surface S à partir de la donnée de ses 2 formes fondamentales

A partir $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$, le déroulement des différentes étapes pour caractériser $S$ se déclinent de la façon suivante :

- Construction des 2 vecteurs $\mathbf{U}$ et $\mathbf{V}$ par l'utilisation de la formule [2].
- Construction des 2 vecteurs **Y** et **Z** traduisant la compatibilité [5].

- Vérification de la compatibilité définie par la relation [4].

- Intégration du système [3] afin d'extraire $\Omega$.

- Intégration du système [1] pour l'obtention de $\mathbf{x} = \theta(\mathbf{u}, \mathbf{v})$.

## 4. Application à deux formes fondamentales sphériques a et b compatibles

Considérons les 2 formes fondamentales :

$$ \mathbf{a} = \left( \frac{4\mathbf{R}^2}{4\mathbf{R}^2 + \mathbf{u}^2 + \mathbf{v}^2} \right)^2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \mathbf{b} = -4\mathbf{R} \frac{4\mathbf{R}^2}{(4\mathbf{R}^2 + \mathbf{u}^2 + \mathbf{v}^2)^2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$

où **R** est une constante homogène à une longueur.

### 4.1. Construction des vecteurs U, V, Y, Z.

A partir de $\mathbf{a}^{1/2}$, nous fabriquons les vecteurs **U** et **V**

$$ \mathbf{U} = \frac{4\mathbf{R}^2}{4\mathbf{R}^2 + \mathbf{u}^2 + \mathbf{v}^2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^\mathrm{T} \quad \text{et} \quad \mathbf{V} = \frac{4\mathbf{R}^2}{4\mathbf{R}^2 + \mathbf{u}^2 + \mathbf{v}^2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}^\mathrm{T} $$

Le respect de la compatibilité [5] nous permet de définir les vecteurs **Y** et **Z**.

$$ \mathbf{Y} = \frac{1}{4\mathbf{R}^2 + \mathbf{u}^2 + \mathbf{v}^2} \begin{bmatrix} 0 & 4\mathbf{R} & 2\mathbf{v} \end{bmatrix}^\mathrm{T} \quad \text{et} \quad \mathbf{Z} = \frac{1}{4\mathbf{R}^2 + \mathbf{u}^2 + \mathbf{v}^2} \begin{bmatrix} -4\mathbf{R} & 0 & -2\mathbf{u} \end{bmatrix}^\mathrm{T} $$

La condition de compatibilité [4] est satisfaite.

### 4.3. *Intégration du système précédent par application du Théorème de Frobenius.*

Cette étape est de loin la plus délicate à effectuer car si l'on est assuré de l'existence de $\Omega$, puisque les conditions de compatibilités sont satisfaites, il faut extraire $\Omega$ du système aux dérivées partielles [3]. Le théorème de Frobenius (Dieudonné J, 1960) nous indique la marche à suivre.

L'idée est de remplacer le système aux dérivées partielles à résoudre par un système différentiel dépendant d'un seul paramètre $\lambda$. Nous transformons les
paramètres **u** et **v** par homothétie en $\lambda$**u** et $\lambda$**v**. Le système à traiter devient alors un système différentiel relatif à $\lambda$ qui prend la forme :

$$ \frac{d\Omega}{d\lambda} = \Omega(\lambda)j(uY(\lambda) + vZ(\lambda)) \quad [6] $$

Cette transformation permet de mettre [6] sous une forme différentielle intégrable, la solution du système initial étant obtenue pour $\lambda = 1$.

$$ \frac{d\Omega}{d\lambda} = \frac{4R}{4R^2 + \lambda^2(u^2 + v^2)} \Omega(\lambda) j([-v \quad u \quad 0]^T) $$

Un nouveau changement de paramètre $\mu(\lambda)$ aboutit au système différentiel :

$$ \frac{d\Omega}{d\mu} = \Omega(\mu) j([-v \quad u \quad 0]^T) \quad [7] $$

La solution obtenue $\Omega$ est clairement une rotation qui est seulement concernée par $\mu(1)$. Quel est ce paramètre $\mu$ ? Il nous a permis de remplacer $\frac{4R}{4R^2 + \lambda^2(u^2 + v^2)} d\lambda$ par $d\mu$. Le dernier calcul à effectuer est donc

$$ \mu(1) = \int_{\lambda=0}^{\lambda=1} \frac{4R}{4R^2 + \lambda^2(u^2 + v^2)} d\lambda = \frac{2}{\sqrt{u^2 + v^2}} \operatorname{Arctan}(\frac{\sqrt{u^2 + v^2}}{2R}) $$

Si on pose $\psi$ tel que, $\tan \frac{\psi}{2} = \frac{\sqrt{u^2 + v^2}}{2R}$, alors :

$$ \Omega = \Omega_0 (\cos \psi I + (1 - \cos \psi) \frac{1}{u^2 + v^2} \begin{bmatrix} -v \\ u \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -v \\ u \\ 0 \end{bmatrix}^T + \sin \psi j(\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} -v \\ u \\ 0 \end{bmatrix})) $$

Il vient alors l'expression de la rotation $\Omega$ sous la forme :

$$ \Omega(u, v) = \frac{1}{4R^2 + u^2 + v^2} \Omega_0 \begin{bmatrix} 4R^2 - u^2 + v^2 & -2uv & 4Ru \\ -2uv & 4R^2 + u^2 - v^2 & 4Rv \\ -4Ru & -4Rv & 4R^2 - u^2 - v^2 \end{bmatrix} $$

Pour la suite, nous prendrons $\Omega_0 = I$.
4.5. **Intégration du système [1] pour l'obtention de x = θ(u, v).**

L' intégration de F = Ω[U V] permet d' expliciter les équations paramétrées de S

$$
x(u, v) = \frac{R}{4R^2 + u^2 + v^2} \begin{bmatrix} 4Ru & 4Rv & 4R^2 - u^2 - v^2 \end{bmatrix}^T .
$$

On reconnaît la représentation stéréographique d'une surface sphérique de rayon R.
Le résultat est acquis à une rotation et une translation constantes près.

**5. Conclusions et perspectives**

Il est ainsi démontré que l’utilisation de la décomposition polaire et de la mise en œuvre qui en découle est un élément essentiel permettant la reconstruction de la surface à partir de ses 2 formes fondamentales. Ces résultats nous incitent à développer des travaux sur les coques épaisses dont la surface moyenne est S et pour lesquels un point x de la coque est défini par les équations paramétriques

$$
x(u, v, x_3) = \theta(u, v) + x_3 N(u, v).
$$

Les compatibilités (3D) relatives à cette coque épaisse sont uniquement liées aux
équations de compatibilités imposées aux caractéristiques de la surface moyenne
donc, là encore, directement lié à **a** et **b**. En gardant ce cadre, nous pouvons
envisager d'énoncer un principe des travaux virtuels spécifiques aux coques.

**6. Bibliographie**

Ciarlet G.P, Larsonneur F.,« On the recovery of a surface with prescribed first and second fundamental forms », *J. Math. Pure Appl.*, Vol. 81, pp 167-185, 2002.

Dieudonné J., Foundations of Modern Analysis, Academic Press, New York, 1960

Fokas A.S.,Gel'fand I.M., Finkel F.,Liu Q.M.,« A formula for constructing infinitely many surfaces on Lie algebras and intégrable equations », *Selecta Math., New Series*, Vol. 6, n°4, pp 347-375, 2000.

Muller P., Ossadzow C, Introduction aux coques minces élastiques, Paris : Hermès 1999.

Vallée C., Fortuné D., « Compatibility equations in shell theory », *Int. J. Engng Sci.*, Vol. 34 n°5, pp. 495-499, 1996.