$$
Où : \underline{\mathbf{T}}_4(\theta_p^{c_i}) = \begin{bmatrix} \underline{\mathbf{P}}(\theta_p^{c_i}) & \underline{\mathbf{O}}_{2,2} \\ \underline{\mathbf{O}}_{2,2} & \underline{\mathbf{I}}_{2,2} \end{bmatrix}
$$

$$
\theta_p^{c_i} = \theta_{c_i} - \theta_p :
$$

$\underline{\mathbf{V}}_p^{c_i}$ et $\underline{\mathbf{i}}_p^{c_i}$ sont respectivement les vecteurs tension et courant du moteur asynchrone « i » exprimés dans le repère principal « $d_p, q_p$ ».

Dans le repère principal l'équation (2.29) devient :

$$
\underline{V}_p^{c_i} = \underline{\underline{\mathbf{R}}}_p^{c_i} \cdot \underline{\underline{\mathbf{i}}}_p^{c_i} + \underline{\underline{\mathbf{L}}}_p^{c_i} \cdot \frac{d\underline{\underline{\mathbf{i}}}_p^{c_i}}{dt} \quad (2.31)
$$

$$
\text{Avec : } \underline{\underline{V}}_p^{c_i} = \left[ \underline{\underline{V}}_{S_p}^{c_i} \right] \text{ et } \underline{\underline{i}}_p^{c_i} = \left[ \underline{\underline{i}}_{S_p}^{c_i} \right]
$$

Les expressions des matrices résistance et inductance, exprimées dans le repère principal,
sont :

$$
\underline{\underline{\mathbf{R}}}_p^{c_i} = \underline{\underline{\mathbf{T}}}_4(\theta_p^{c_i}) \cdot (\underline{\underline{\mathbf{R}}}_i^{c_i} \cdot \underline{\underline{\mathbf{T}}}_4(-\theta_p^{c_i}) - \omega_p^{c_i} \underline{\underline{\mathbf{L}}}_i^{c_i} \cdot \dot{\underline{\underline{\mathbf{T}}}}_4(-\theta_p^{c_i})) \\
\text{et } \underline{\underline{\mathbf{L}}}_p^{c_i} = \underline{\underline{\mathbf{T}}}_4(\theta_p^{c_i}) \cdot \underline{\underline{\mathbf{L}}}_i^{c_i} \cdot \underline{\underline{\mathbf{T}}}_4(-\theta_p^{c_i})
$$

où $\dot{\underline{\underline{\mathbf{T}}}}_4(t) = \begin{bmatrix} \underline{\underline{\dot{\mathbf{P}}}}(t) & \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{2,2} \\ \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{2,2} & \underline{\underline{\mathbf{O}}}_{2,2} \end{bmatrix}$ et et $\omega_p^{c_i} = \omega_{c_i} - \omega_p = \dot{\theta}_{c_i} - \dot{\theta}_p$ : Différence des pulsations des champs tournants entre le moteur asynchrone « i » et l'alternateur principal. Comme le modèle de Park (2.29) du moteur asynchrone est exprimé dans son propre repère lié au champ statorique alors $\omega_p^{c_i} = \omega_{c_i} - \omega_p = \omega_{s_i} - \omega_p$.

$$
Ce qui donne : \underline{\underline{\mathbf{R}}}_p^{c_i} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{\mathbf{R}}}_{ss_p}^{c_i} & \underline{\underline{\mathbf{R}}}_{sr_p}^{c_i} \\ \underline{\underline{\mathbf{R}}}_{rs_p}^{c_i} & \underline{\underline{\mathbf{R}}}_{rr_i}^{c_i} \end{bmatrix} \text{ et } \underline{\underline{\mathbf{L}}}_p^{c_i} = \begin{bmatrix} L_s^{c_i} \underline{\underline{\mathbf{I}}}_{2,2} & M^{c_i} \underline{\underline{\mathbf{P}}} (\theta_p^{c_i}) \\ M^{c_i} \underline{\underline{\mathbf{P}}} (-\theta_p^{c_i}) & L_r^{c_i} \underline{\underline{\mathbf{I}}}_{2,2} \end{bmatrix}
$$

Où :

$$
\underline{\underline{\mathbf{R}}}_{ss_p}^{c_i} = \begin{bmatrix} R_s^{c_i} & -\omega_p L_s^{c_i} \\ \omega_p L_s^{c_i} & R_s^{c_i} \end{bmatrix}, \underline{\underline{\mathbf{R}}}_{sr_p}^{c_i} = \omega_{s_i} \begin{bmatrix} -M^{c_i} \sin(\theta_p^{c_i}) & -M^{c_i} \cos(\theta_p^{c_i}) \\ M^{c_i} \cos(\theta_p^{c_i}) & -M^{c_i} \sin(\theta_p^{c_i}) \end{bmatrix} \\
\text{et } \underline{\underline{\mathbf{R}}}_{rs_p}^{c_i} = (\omega_{r_i} - \omega_p^{c_i}) \begin{bmatrix} M^{c_i} \sin(\theta_p^{c_i}) & -M^{c_i} \cos(\theta_p^{c_i}) \\ M^{c_i} \cos(\theta_p^{c_i}) & M^{c_i} \sin(\theta_p^{c_i}) \end{bmatrix}
$$

II.3.3.3. Modèle d'une charge passive (RL, RLC et PQ)

a- Charge passive RLC

Le schéma électrique d'une charge linéaire RLC triphasée série est :
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 2.18 : Charge RLC triphasée</figcaption></figure>

Le modèle de Park de cette charge RLC exprimé dans le repère principal est [Abdeljalil 2006] :

$$
\underline{\mathbf{V}}_{p}^{c_{i}}=\underline{\mathbf{R}}_{p}^{c_{i}} \cdot \underline{\mathbf{u}}_{p}^{c_{i}}+\underline{\mathbf{L}}_{p}^{c_{i}} \cdot \frac{d \underline{\mathbf{u}}_{p}^{c_{i}}}{d t} \qquad (2.32)
$$

Où : $\underline{\mathbf{V}}_{p}^{c_i} = \begin{bmatrix} \underline{\mathbf{V}}_{s_p}^{c_i} \\ \underline{\mathbf{O}}_{2,1} \end{bmatrix}$ : Vecteur tensions généralisé d'une charge RLC exprimé dans le repère principal.

$$
\underline{\mathbf{u}} \underline{\mathbf{i}}_{p}^{c i} = \begin{bmatrix} \underline{\mathbf{i}}_{s p}^{c i} \\ \underline{\mathbf{u}}_{p}^{c i} \end{bmatrix} : \text{Vecteur courants dans l'inductance et tensions aux bornes de la capacité.}
$$

$\underline{\mathbf{u}}_{p}^{c_i} = \begin{bmatrix} U_{d_p}^{c_i} \\ U_{q_p}^{c_i} \end{bmatrix}$ : Vecteur tensions aux bornes de la capacité C exprimé dans le repère principal.

$$
\underline{\mathbf{i}}_{s p}^{c i} = \begin{bmatrix} \underline{i}_{d p}^{c i} \\ \underline{i}_{q p}^{c i} \end{bmatrix} : \text{Vecteur courants de la charge « i » exprimé dans le repère principal.}
$$

$$
\underline{\mathbf{R}}_{p}^{c i}=\left[\underline{\mathbf{R}}_{1 p}^{c i} \underline{\mathbf{I}}_{2,2} \underline{\mathbf{I}}_{2,2}\right] \text { et } \underline{\mathbf{L}}_{p}^{c i}=\left[\underline{\mathbf{L}}_{2 p}^{c i} \underline{\mathbf{I}}_{2,2} \underline{\mathbf{I}}_{2,2} \underline{\mathbf{O}}_{2,2} \underline{\mathbf{O}}_{2,2} \underline{\mathbf{C}}^{c i} \underline{\mathbf{I}}_{2,2}\right]
$$

$$
\underline{\mathbf{R}}_{1 p}^{c i}=\left[\begin{array}{cc}
R^{c i} & -\omega_{p} L^{c i} \\
\omega_{p} L^{c i} & R^{c i}
\end{array}\right], \underline{\mathbf{R}}_{2 p}^{c i}=\left[\begin{array}{cc}
0 & -\omega_{p} C^{c i} \\
\omega_{p} C^{c i} & 0
\end{array}\right]
$$

$R^{c_i}$ : Valeur de la résistance de la ième charge.

$L^{c_i}$ : Valeur de l'inductance de la ième charge.

$C^{c_i}$ : Valeur de la capacité de la ième charge.

Remarques : 1. le modèle d'une charge RL//C triphasée où la capacité est en parallèle avec R et L est donné dans [Kvieska 2010].

2. Le modèle d'une charge RL s'obtient à partir du modèle de la charge RLC en enlevant les deux dernières lignes et les deux dernières colonnes de l'équation matricielle (2.32).
b- **Charge PQ**

Un réseau embarqué est un système qui peut être assez complexe de par sa composition. Un certain nombre de charges actives ou passives peuvent être mal connues ou difficiles à modéliser. Dans ce cas, on peut modéliser leurs fonctionnements, en régime permanent, à partir de leurs puissances actives et réactives (PQ) ([Allen 2000, Babazadeh 2002]). Elles peuvent être représentées par des charges RL ou RC équivalentes. La résistance R représente la puissance active, et l'inductance L ou la capacité C représentent la puissance réactive. Cette modélisation est appliquée aux charges linéaires ainsi qu'aux charges non linéaires.

Dans le cas où la puissance réactive est consommée, la charge RL équivalente est :

$$
R^{c_i} = \frac{P_{c_i} V_{eff0}^2}{P_{c_i}^2 + Q_{c_i}^2} \text{ et } L^{c_i} = \frac{Q_{c_i} V_{eff0}^2}{\omega_0 (P_{c_i}^2 + Q_{c_i}^2)}
$$

Dans le cas où la puissance réactive est fournie, la charge RC équivalente :

$$
R^{c_i} = \frac{P_{c_i} V_{eff0}^2}{P_{c_i}^2 + Q_{c_i}^2} \text{ et } C^{c_i} = \frac{P_{c_i}^2 + Q_{c_i}^2}{\omega_0 |Q_{c_i}| V_{eff0}^2}
$$

Où : P<sub>c<sub>i</sub></sub> : Puissance active consommée par la i<sup>ème</sup> charge.

$Q_{c_i}$ : Puissance réactive consommée ou fournie par la ième charge.

$V_{eff0}$ : Valeur efficace nominale de la tension du réseau.

$\omega_0$ : Pulsation nominale des grandeurs électriques du réseau.

Une fois ces résistances, inductances et/ou capacités calculées on construit le modèle en
se basant sur le modèle (2.32).

II.3.3.4. Modèle de ligne

La longueur des câbles électriques dans un réseau embarqué dépasse allégrement la
centaine de kilomètre, voir même le millier de kilomètre. Par exemple dans le bateau Queen
Mary la longueur totale des lignes est de 2500 km. Il est, alors, incongru de négliger leur effet
sur le comportement dynamique des réseaux électriques. Ils sont généralement schématisés
[Lagonotte 2000, Escanné 1999] comme suit :

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 2.19 : Modèle simplifié d'une ligne électrique</figcaption></figure>
Avec $R^{li} = r \Delta x$ qui représente les pertes Joule des lignes, $L^{li} = l \Delta x$ qui représente l'énergie magnétique emmagasinée dans les lignes et $C^{li} = c \Delta x$ qui modélise l'isolation des câbles.

$\Delta x$ est un élément de longueur. r, l et c sont des caractéristiques du câble électrique.

Remarque : L'effet capacitif $C^{li}$ est généralement négligé dans le cas des réseaux embarqués. En effet, cet effet n'intervient de façon notable que sur des lignes de très grande longueur soumises à de très hautes tensions.

En négligeant l'effet capacitif la résistance $R^{li}$ et l'inductance $L^{li}$ des lignes se trouvent en série avec la résistance $R_{s_i}$ et l'inductance $L_{s_i}$ des phases de l'alternateur. Pour intégrer l'effet des lignes dans le modèle du réseau il suffit, alors, de remplacer dans le modèle de Park de la ième génératrice les valeurs de la résistance $R_s^{a_i}$ par $R_s^{a_i} + R^{li}$ et des inductances $L_d^{a_i}$ et $L_q^{a_i}$ par $L_d^{a_i} + L^{li}$ et $L_q^{a_i} + L^{li}$ [Abdeljalil 2006].

Le schéma de principe est le suivant :

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 2.20 : Schéma de l'axe « d » de l'alternateur « i » associé à sa ligne électrique</figcaption></figure>

## II.3.4. Construction du modèle global du réseau

### II.3.4.1. Cas général

Une fois tous les modèles des éléments du réseau exprimés dans le même repère principal nous utilisons les lois des mailles (2.23) et des nœuds (2.24) en accord avec le schéma de la figure 2.16. Ces relations permettent de faire disparaître du vecteur d'entrée toutes les tensions statoriques et du vecteur d'état les courants de la charge « $c_i$ » choisie (c.f. paragraphe II.2.4). Le vecteur d'état du réseau global est obtenu en concatenant les vecteurs d'état de chaque composant du réseau ; exit les courants de la charge « $c_i$ ». On réorganise le vecteur d'état en faisant d'abord apparaitre toutes les grandeurs statoriques du réseau avant les grandeurs rotoriques :

$$ \underline{X}_r = [\dots \underline{i}_{s_p}^{aj} \dots \underline{i}_{s_p}^{ck} \dots \underline{u}_p^{ck} \dots \underline{i}_{r_j}^{aj} \dots \underline{i}_{r_l}^{c_l} \dots]^T \quad \text{où } k \neq i \quad (i \text{ est l'indice de la charge simple utilisée dans l'équation (2.23)}). $$

Le vecteur d'entrée du réseau global avant la prise en compte de l'équation (2.23) est :

$$ \underline{U} = [\dots -\underline{V}_{s_p}^{a_i T} \dots \underline{V}_{s_p}^{c_i T} \dots \underline{V}_{r_i}^{a_i T} \dots \underline{O}_{1,2} \dots]^T $$

Le vecteur d'entrée après l'intégration de l'équation (2.23) :
$$
\underline{V}_r = [\dots \ \underline{\mathbf{O}}_{1,2} \ \dots \ \underline{\mathbf{O}}_{1,2} \ \dots \ \underline{\mathbf{V}}_{r_i}^{a_i T} \ \dots \ \underline{\mathbf{O}}_{1,2} \ \dots]^T
$$

Où : $\underline{\mathbf{V}}_{r_i}^{a_i} = \begin{bmatrix} V_{f_i}^{a_i} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ dans le cas du modèle classique (2.1) ou $\underline{\mathbf{V}}_{r_i}^{a_i} = \begin{bmatrix} \underline{\mathbf{B}}_f V_{f_i}^{a_i} \\ \underline{\mathbf{0}} \end{bmatrix}$ dans le cas du modèle avec boite noire (2.6).

Le modèle global du réseau est sous la forme :

$$
\underline{V}_r = \underline{\underline{\mathbf{R}}}_r \cdot \underline{\underline{\mathbf{X}}}_r + \underline{\underline{\mathbf{L}}}_r \cdot \frac{d\underline{\underline{\mathbf{X}}}_r}{dt} \quad (2.33)
$$

Le modèle (2.33) décrit un système descripteur. L'obtention du modèle d'état à partir de ce système nécessite l'inversion de la matrice « inductance » $\underline{\underline{\mathbf{L}}}_r$. Quelle que soit la dimension de cette dernière, sa forme particulière nous ramène à chaque fois à l'inversion des matrices 2x2. En effet, la matrice est sous la forme :

$$
\underline{\underline{\mathbf{L}}}_r = \begin{bmatrix} \underline{\underline{\mathbf{A}}}_L & \underline{\underline{\mathbf{B}}}_L \\ \underline{\underline{\mathbf{B}}}_L^t & \underline{\underline{\mathbf{C}}}_L \end{bmatrix}
$$

où $\underline{\underline{\mathbf{A}}}_L$ et $\underline{\underline{\mathbf{C}}}_L$ sont deux matrices carrées inversibles. $\underline{\underline{\mathbf{B}}}_L$ est une matrice quelconque.

L'inverse de $\underline{\underline{\mathbf{L}}}_r$ est :

$$
\underline{\underline{\mathbf{L}}}_r^{-1} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{\mathbf{L}}}_{inv1} & \underline{\underline{\mathbf{L}}}_{inv2} \\ \underline{\underline{\mathbf{L}}}_{inv3} & \underline{\underline{\mathbf{L}}}_{inv4} \end{bmatrix}
$$

Où $\underline{\underline{\mathbf{L}}}_{inv1} = (\underline{\underline{\mathbf{A}}}_L - \underline{\underline{\mathbf{B}}}_L \underline{\underline{\mathbf{C}}}_L^{-1} \underline{\underline{\mathbf{B}}}_L^t)^{-1}$, $\underline{\underline{\mathbf{L}}}_{inv2} = -\underline{\underline{\mathbf{L}}}_{inv1} \underline{\underline{\mathbf{B}}}_L \underline{\underline{\mathbf{C}}}_L^{-1}$, $\underline{\underline{\mathbf{L}}}_{inv3} = -\underline{\underline{\mathbf{C}}}_L^{-1} \underline{\underline{\mathbf{B}}}_L^t \underline{\underline{\mathbf{L}}}_{inv1}$ et
$\underline{\underline{\mathbf{L}}}_{inv4} = \underline{\underline{\mathbf{C}}}_L^{-1} - \underline{\underline{\mathbf{L}}}_{inv3} \underline{\underline{\mathbf{B}}}_L \underline{\underline{\mathbf{C}}}_L^{-1}$

Donc, l'inversion de $\underline{\underline{\mathbf{L}}}_r$ se ramène à des inversions de matrices de dimension plus réduite
$\underline{\underline{\mathbf{A}}}_L - \underline{\underline{\mathbf{B}}}_L \underline{\underline{\mathbf{C}}}_L^{-1} \underline{\underline{\mathbf{B}}}_L^t$ et $\underline{\underline{\mathbf{C}}}_L$. Ces deux dernières matrices ont la même forme que celle de $\underline{\underline{\mathbf{L}}}_r$, ce qui
fait que leurs inversions fait appel à des inversions de matrice de dimension plus réduite. Ainsi
de suite jusqu'arriver à l'inversion de matrices de dimension 2x2.

Ainsi, le modèle d'état du réseau électrique embarqué est :

$$
\dot{\underline{\underline{\mathbf{X}}}}_r = \underline{\underline{\underline{\mathbf{A}}}} \cdot \underline{\underline{\underline{\mathbf{X}}}}_r + \underline{\underline{\underline{\mathbf{B}}}} \cdot \underline{\underline{\underline{\mathbf{V}}}}_r \quad (2.34)
$$

$$
\text{Où } \underline{\underline{\mathbf{A}}} = -\underline{\underline{\mathbf{L}}}_r^{-1} \underline{\underline{\mathbf{R}}}_r \text{ et } \underline{\underline{\mathbf{B}}} = \underline{\underline{\mathbf{L}}}_r^{-1}
$$

Finalement le schéma de principe du simulateur est :
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure 2.21 : Schéma de principe du simulateur du réseau électrique</figcaption></figure>

Sur le schéma de la figure 2.21 nous remarquons que les paramètres d'une charge (valeurs de la résistance, de l'inductance, ...) sont en entrée du système. En effet, du fait que la matrice $\underline{L}_r$, dépendante des pulsations $\omega_i$, doit être inverser en ligne, rien ne nous empêche de faire évoluer les paramètres des charges en ligne pour simuler des connexions et des déconnexions de charges. Ainsi, les conditions de commutation de charges considérées sont parfaitement connues et maîtrisées. Le simulateur ainsi construit permet de respecter les deux conditions de simulations : continuité des variables d'état pendant les changements de charge ; structure du modèle inchangée, même pendant la commutation de charge.

### II.3.4.2. Application à un réseau simplifié

Pour mettre en application la méthode de modélisation proposée ci-avant et conforté les résultats de simulation à ceux d'un banc expérimental, nous proposons d'étudier un réseau composé de deux alternateurs, couplés électriquement, débitant sur une charge RL, comme le montre le schéma ci-après [Amelon 2010] :

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure 2.22 : Synoptique de la partie puissance du banc expérimental [Amelon 2010]</figcaption></figure>

Le modèle utilisé pour la représentation des alternateurs est celui de la boite noire (2.6).
Les mesures expérimentales ont été effectuées sur un banc de 3kW. La figure 2.23 présente les vitesses de rotations des deux alternateurs. On peut remarquer que les vitesses ne se stabilisent pas. Ces vitesses oscillent à une fréquence de 1.6 Hz. En effet, les deux machines sont désynchronisées (essai en désynchronisation).

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 2.23 : Evolution des vitesses des deux alternateurs [Amelon 2010]</figcaption></figure>

La figure 2.24 présente les courants d'excitation mesurés et simulés des deux alternateurs.

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 2.24 : Comparaison entre courants d'excitations mesurés (noir) et simulés (gris) [Amelon 2010]</figcaption></figure>

Sur cette figure 2.24, nous pouvons remarquer une certaine concordance entre les résultats de simulation et le banc réel. Les quelques différences entre ces courants sont dus principalement aux saturations de fer qui n'ont pas été pris en compte dans le simulateur.

La figure 2.25, extraite de la thèse de L. Abdeljalil [Abdeljalil 2006], représente la désynchronisation entre les deux alternateurs. La charge considérée, ici, est de type résistive.
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 2.25 : Comparaison entre la tension de phase « a » du réseau : expérimentale (discontinue) et simulation (continue) [Abdeljalil 2006]</figcaption></figure>

Les résultats montrent la présence d'une modulatrice due à la désynchronisation des deux alternateurs. La fréquence de cette modulatrice est de 6.67 Hz. Cette valeur correspond à la valeur théorique [Abdeljalil 2006]. En effet, la fréquence de la modulatrice est égale à la différence des deux fréquences. Comme la machine 1 tourne à 1400 tr/min et que la machine 2 tourne à 1600 tr/min et comme toutes les deux sont à 2 paires de pôles, alors la différence entre les deux fréquences est égale à 6.67 Hz.

Dans [Abdeljalil 2006] nous avons appliqué cette technique de modélisation à des réseaux mono alternateur + Lignes + Charge RLC, des réseaux double alternateurs + Lignes + Charles RL, et des réseaux double alternateurs + Lignes + Moteur asynchrone + Charge RL. Dans [Amelon 2010] nous l'avons appliqué à la modélisation des réseaux double alternateurs (avec boite noire) + Charge RL, des réseaux mono alternateur + Redresseur + Charge RL, et des réseaux mono alternateur + Redresseur + Charge RLC. Dans [Kvieska 2010] nous l'avons appliqué à la modélisation d'un réseau mono alternateur + Charge RL et réseau mono alternateur + Charge RLC pour obtenir des modèles du réseau sous forme LPV.
II.4. Conclusion

Dans cette partie nous avons développé, dans la première partie, des approches de
modélisation des alternateurs où le rotor est représenté par une boite noire. Cette dernière peut
être représentée sous forme soit d'une fonction de transfert soit d'un modèle d'état. L'ordre du
modèle est fixé par l'opérateur en fonction de la finesse de la concordance entre le modèle et
les résultats pratiques. En effet, si l'ordre augmente le modèle représente plus fidèlement
l'alternateur, par contre le nombre de paramètres à identifier est plus important et surtout les
temps de simulation sont plus importants. Il est nécessaire de faire un compromis entre la
finesse de la représentation et le temps de simulation. Dans cette partie nous avons proposé une
méthode de simplification du modèle d'un alternateur associé à un redresseur sans perte de
finesse. Cette partie a été développée dans le cadre de thèse de Doctorat de Nicolas Amelon
[Amelon 2010].

Dans la deuxième partie nous avons proposé une méthodologie de modélisation d'un réseau embarqué multi-sources multi-charges. La méthodologie se base sur la construction des modèles de chaque élément du réseau dans un repère principal, puis tous les modèles sont concatenés dans un modèle global tout en s'assurant d'externaliser les grandeurs variables pour simuler les variations des charges en fonction du temps. Cette méthodologie nous permet ainsi de simuler l'effet de la désynchronisation des alternateurs entre eux. Cette partie a été développée dans le cadre de la thèse de Lamya Abdeljalil [Abdeljalil 2006].
Chapitre III. Identification
paramétrique des modèles
dynamiques de machine synchrone
et asynchrone
III.1.Introduction

L'utilisation des modèles dynamiques, développés dans le chapitre II, nécessite la
connaissance des différents paramètres qui y apparaissent. Leurs identifications fait l'objet d'un
nombre important de publications [Accetta 2014, Abdelhadi 2005, Chich-Hsing 2005, Toliyat
2003, Gastli 1999, Marcus 1997, De Kock 1994, ...] pour les machines asynchrones et
[Kyriakides 2003, Dedene 2003, Clerc 2002, Melgoza 2001, Verbeeck 1999, Keyhani 1994,
Keyhani 1989, IEEE 1987, Karayaka 2003, ...] pour les machines synchrones. Autant les
machines synchrones à aimants permanents ne posent pas beaucoup de problème pour
l'obtention de ces paramètres électriques autant il est fastidieux de le faire pour les machines
synchrones à rotor bobiné. Les paramètres qui posent le plus de problème sont ceux associés
aux amortisseurs, d'où l'idée de développer une modélisation par boite noire (voir le chapitre
II) pour modéliser le comportement dynamique du rotor. Quant à la machine asynchrone à cage
le challenge est d'identifier les paramètres en faisant le moins d'essais possibles et avec la
meilleure précision possible.

Nos contributions dans cette partie ont porté aussi bien sur l'identification des paramètres
des machines synchrones que sur ceux des machines asynchrones. Nous avons développé une
méthode d'identification des paramètres d'une machine synchrone à rotor bobiné basée sur la
combinaison des tests SSFR (StandStill Frequency Response) [IEEE 1980, IEEE 1987] et la
méthode d'optimisation par essaim de particules. Quant aux paramètres du modèle de la
machine asynchrone nous avons adapté l'algorithme génétique en l'appliquant aux mesures
issues d'un unique essai. Nous avons proposé quatre algorithmes génétiques originaux qui se
différentient l'un de l'autre par la technique de choix de la pression de sélection.

Ce chapitre est articulé comme suit : après une présentation succincte des algorithmes d'optimisation utilisés (les moindres carrés, les essais de particules et les algorithmes génétiques), nous les avons ensuite utilisés pour l'identification des paramètres d'une machine synchrone à rotor bobiné. Nous terminons le chapitre sur l'identification des paramètres des machines asynchrones.

III.2. Algorithmes d'optimisation utilisés

Dans cette partie nous allons présenter succinctement les principaux algorithmes d'optimisation utilisés pour comprendre le choix fait sur la forme des fonctions objectives utilisées pour l'identification paramétriques des machines synchrones et asynchrones.

Les algorithmes utilisés sont : les moindres carrés ordinaires ; les essais de particules ;
les algorithmes génétiques.
### III.2.1. Les moindres carrés ordinaires

L'algorithmes des moindres carrés ordinaires (utilisation de la régression linéaire basée sur les prédicteurs) est assez simple à mettre en œuvre si les erreurs de mesure s'expriment de façon linéaire en fonction des paramètres à identifier comme le montre l'équation ci-dessous :

$$ \epsilon_k = y_k - c_k^T \underline{\theta} \qquad (3.1) $$

Où : $y_k$ est la sortie mesurée à l'instant $t_k$, $c_k$ est le vecteur de régression composé des mesures accessibles (les sorties mesurées passées et les entrées du système) et $\underline{\theta}$ est le vecteur des paramètres à identifier. $k$ correspond à l'instant de discrétisation $t_k$.

La fonction objective à minimiser, est la somme des carrés des erreurs de mesure $\epsilon_k$, s'exprime de façon quadratique en fonctions de $\underline{\theta}$ :

$$ I = \sum_{k=1}^{n_p} \epsilon_k^2 = (\underline{Y} - \underline{c} \underline{\theta})^T (\underline{Y} - \underline{c} \underline{\theta}) \qquad (3.2) $$

Où $\underline{c} = [\underline{c}_1 \cdots \underline{c}_{n_p}]^T$ et $\underline{Y} = [\underline{y}_1 \cdots \underline{y}_{n_p}]^T$, $n_p$ : nombre d'échantillons.

Le résultat des moindres carrés ordinaires est obtenu en calculant le vecteur $\underline{\theta}$ qui minimise la fonction objective $I$; donc le vecteur qui annule $\frac{\partial I}{\partial \underline{\theta}}$. Le résultat de cette minimisation est :

$$ \underline{\theta}_{opt} = (\underline{c}^T \underline{c})^{-1} \underline{c}^T \underline{Y} \qquad (3.3) $$

Cet estimateur est assez simple à mettre en œuvre. Par contre, il est biaisé. Il existe un certain nombre de variante de cet estimateur pour annuler le biais (Les moindres carrées généralisés, variable instrumentale, ...).

### III.2.2. Les essais de particules

L'algorithmes des essais de particules a été proposé en 1995 par James Kennedy et Russel Eberhart [Kennedy 1995]. Cet algorithme est classé parmi les algorithmes stochastiques itératifs. Il permet de déterminer l'optimal d'une fonction objective non linéaire.

L'algorithmes reproduit le comportement social d'un groupe collaboratif d'individus à la recherche de nourriture. Dès lors qu'un individu trouve de la nourriture, il est rejoint par le voisinage. Donc, chaque individu optimise ses chances de survie en observant le voisin et en suivant une tendance qu'il modère par ses propres vécus. C'est ainsi que les graines attirent en quelques heures un groupe d'oiseaux.

Dans notre application, la nourriture est représentée par le faible coût de la fonction objective et les positions des individus représentent les valeurs des paramètres du modèle à identifier.

Les individus sont générés initialement de façon aléatoire pour occuper le maximum d'espace dans l'hyper-espace des solutions possibles. L'algorithmes fonctionne sur le principe
que les individus (les particules) se déplacent en se souvenant de leurs meilleures positions (celles avec un faible coût de la fonction objective) et en connaissant la meilleure position de son voisinage. Pendant qu'une particule se déplace, sa vitesse est ajustée en fonction de ces deux paramètres.

Ainsi une particule est caractérisée par :

- Son numéro, permettant de l'identifier : *i*,

- Sa position : *x*<sub>*i*</sub>,

- Sa vitesse : *v*<sub>*i*</sub>,

- La valeur de sa meilleure solution personnelle : *p*<sub>*i*</sub>.

- La position de la meilleure solution de son voisinage : *g*<sub>*i*</sub>,

- La valeur de la meilleure solution de son voisinage.

Quant à l'essaim de particules il est caractérisé par :

- Le nombre de particules : *n*<sub>*p*</sub>,

- L'inertie d'une particule : Ψ, (L'inertie définie la capacité d'exploration de chaque particule ; une valeur de Ψ supérieure à 1 favorise l'exploration global ; lorsque Ψ est inférieure à 1 les particules se focalisent principalement sur l'exploration de leur voisinage). Ψ peut varier avec le nombre d'itération. Au démarrage, elle est prisee grande pour une exploration globale. Puis, pour affiner l'exploration, Ψ est réduite.

- La vitesse maximale de la particule,

- La taille du voisinage d'une particule,

- Les coefficients de confiance qui pondèrent sa tendance à retourner vers sa meilleure solution ou vers la meilleure solution de son voisinage : γ<sub>1,2</sub>. Généralement, ce coefficient est défini de façon aléatoire entre 0 et 1.

Ainsi, à l'itération *k* + 1, la vitesse et la position de la particule *i* sont définies comme suit :

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
v_i(k+1) = \Psi(k)v_i(k) + \gamma_1(i)(p_i - x_i(k)) + \gamma_2(i)(g_i - x_i(k)) \\
x_i(k+1) = x_i(k) + v_i(k+1)
\end{cases}
\tag{3.4}
\end{equation}
$$

Le voisinage peut-être défini de différentes manières : voisinage en étoile ; voisinage en
anneau ; voisinage centrale [Amelon 2010].

III.2.3. Algorithmes Génétiques

L'algorithmme génétique a été proposé par J.H. Holland est son équipe dans les années 60,
ce qui a fait l'objet de la publication d'un livre en 1975 [Holland 1975]. Comme pour
l'algorithmme des essais de particules, cet algorithmme génétique appartient à la classe des
algorithmes stochastiques itératifs. Il permet de déterminer l'optimal d'une fonction non
linéaire.

Cet algorithme s'inspire de l'évolution naturelle des espèces. Une population est composée de plusieurs individus de même espèce. Un individu est défini génétique par un chromosome. L'algorithme fait évoluer cette population en utilisant les mécanismes de sélection, de croisement et de mutation, pour la faire converger vers une « meilleure espèce ». Cette notion de meilleure espèce est quantifiée par un critère de performance basée sur une
erreur entre les données mesurées et simulées. A chaque itération (génération) une nouvelle population est créée en combinant la population précédente. Les gènes d'un individu sont les valeurs numériques des différents paramètres du modèle à identifier.

L'algorithme génétique peut-être schématisé comme tel :

1- Génération de la population initiale : Dans cette étape les individus sont générés de façon aléatoire de telle sorte qu'ils occupent le maximum d'espace.

2- Evaluation des individus : La fonction objective est calculée pour chaque individu.

3- Sélection : Une sélection est faite en désignant les individus les plus adaptés (qui ont les meilleures fonctions objectives) à se reproduire.

4- Croisement (enjambement, hybridation) : Les individus combinent une partie de leurs gènes pour donner une nouvelle génération d'individu. C'est grâce à cet enjambement que la population évolue vers l'optimum.

5- Mutations : De façon aléatoire, après le croisement, un gène de quelques individus est substitué. Ces mutations font éviter à l'algorithme une convergence prématurée vers un minimum local.

De façon graphique l'algorithme génétique peut être schématisé comme le montre la figure ci-dessous :

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure 3.1 : Algorithme génétique</figcaption></figure>

Ainsi, l'étape de sélection occupe une position particulière dans l'algorithme génétique. C'est elle qui façonne l'évolution dans l'espace de recherche. Il existe plusieurs mécanismes de sélection dans la littérature [Boudissa 2012, Sivaraj 2011, Goldberg 1991, Baker 1985]. La méthode de sélection a une incidence importante sur les convergences vers les optimums
locaux. La sélection doit assurer la diversité dans la population pendant la période de recherche de l'optimum. Pour se faire, on classe les individus du meilleur au pire en fonction de leur fitness. Le fitness $f_i$ de l'individu $i$ est une fonction à valeur réelle positive. Si l'individu $i$ est meilleur que l'individu $j$ alors $f_i > f_j$. Le fitness d'un individu se calcule directement à partir de la fonction objective à optimiser. Elle peut-être la valeur de cette fonction objective ou une fonction de cette fonction objective. Puis, on affecte aux meilleurs individus une probabilité de croisement plus importante que pour les pires. On parle de Pression de Sélection (SP). Cette pression de sélection est le rapport entre le fitness que le meilleur individu soit sélectionné pour un croisement par rapport à la moyenne de sélection global. Plus cette pression est grande plus l'algorithme converge rapidement mais avec un grand risque de convergence prématuré, car la population ne sera pas très diversifiée, le meilleur individu imposera ces attributs génétiques. Plus cette pression est faible, plus l'algorithme est lent mais plus la population est diversifiée.

Nous avons proposé quatre algorithmes génétiques originaux qui se différencient l'un de l'autre par la technique de choix de la pression de sélection. Pour les quatre techniques proposées l'idée est de proposer un SP qui évolue en fonction de la génération. Pour les premières générations, le choix de SP est de permettre d'obtenir des populations très diversifiées pour explorer le maximum de l'espace paramétrique, donc le SP est faible. Plus le nombre de génération augmente plus SP doit être plus important pour donner plus de poids aux meilleurs individus et ainsi accéléré la convergence. Les quatre techniques proposées sont basées sur un classement exponentiel. Ce qui différencie les quatre techniques est la méthode d'interpolation. La première technique utilise une interpolation suivant une loi arithmétique (GA-AL). Les 3 autres utilisent une interpolation équidistante suivant une ligne verticale (GA-EV), une ligne horizontale (GA-EH) ou une ligne inclinée –fonction linéaire– (GA-LF).

Après la création d'une nouvelle génération, chaque individu se voit évaluer ; la fonction objective est calculée pour chaque individu et c'est la valeur de cette fonction qui permet l'évaluation de l'individu. A partir de cette évaluation nous classons les individus du meilleur au pire : « 1 » correspond au meilleur des individus et « N » au pire des individus (N est aussi le nombre d'individus dans la population). Nous utilisons ensuite le classement exponentiel ci-après pour définir le fitness d'un individu :

$$f_i = \left(1 - \frac{i-1}{N-1}\right)^{\alpha} + \beta \qquad (3.5)$$

Où $i$ représente le rang de l'individu, $\beta$ une constante choisie par l'opérateur et $\alpha$ un exposant qui permet soit de diminuer rapidement le fitness (si $\alpha$ est supérieur à 1), soit plus lentement (si $\alpha$ est inférieur à 1). Dans le 1er cas on obtient un SP fort, alors que dans le second cas on obtient un SP faible. La figure ci-après présente l'évolution du fitness en fonction de classement des individus.
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure 3.2 : Evolution du fitness</figcaption></figure>

La pression de sélection est calculée comme suit :

$$SP = \frac{f_1}{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f_i} \qquad (3.6)$$

Pour les premières générations nous utilisons la fonction fitness correspondant à un α faible (la courbe d'en haut de la figure 3.2). Plus l'ordre des générations augmente plus la fonction fitness se rapproche à celle correspondant à un α fort (la courbe d'en bas de la figure 3.2). La différence entre les quatre techniques que nous avons proposées est la façon de générer la fonction fitness au cours des générations pour aller de la courbe d'en haut vers la courbe d'en bas de la figure 3.2. Nous allons, ainsi, générer des faisceaux de courbes par interpolation en utilisant quatre techniques différentes.

La première technique GA-AL, les faisceaux de courbes sont générés en utilisant une interpolation de SP par une loi arithmétique. En notant le $SP_1$ la pression de sélection obtenue par la première fonction fitness correspondant à $α_1$ (la courbe d'en haut sur la figure 3.2) et $SP_f$ la pression de sélection obtenue par la deuxième fonction fitness correspondant à $α_f$ (la courbe d'en bas sur la figure 3.2), les autres courbes sont obtenus en faisant l'interpolation suivante :

$$SP_i = SP_1 + \frac{i-1}{n_c-1} (SP_f - SP_1) \qquad (3.7)$$

Où $n_c$ est le nombre de courbes à générer.

Nous obtenons ainsi le faisceau de courbes présenté sur la figure 3.4 a-.

La figure ci-après permet de schématiser la façon dont l'interpolation a été faite par les méthodes de l'interpolation équidistante (GA-EV, GA-EH et GA-LF) :
<figure><img src="image_31.png" /></figure>

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 3.3 : Techniques de génération des faisceaux de courbes de la fonction fitness</figcaption></figure>

Les résultats des faisceaux générés sont présentés sur la figure ci-après.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>Figure 3.4 : Les faisceaux de courbes de la fonction fitness générés par les trois méthodes GA-EV, GA-EH et GA-LF</figcaption></figure>
III.3. Identification de la machine synchrone

Les paramètres des équations modélisant le stator sont identifiés en utilisant les
techniques classiques, à savoir : essai à vide ; essai en court-circuit ; essai en glissement.

Quant aux paramètres en rapport avec le rotor, leurs identifications sont basées sur l'exploitation des tests SSFR. Un algorithme d'essais de particules est utilisé comme technique d'optimisation pour l'estimation des paramètres.

Traditionnellement, pour l'identification les paramètres des équations rotoriques, des tests tournants sont mis en place. Cette technique est simple et rapide à mettre en place. En revanche, elle ne permet pas d'identifier des modèles d'ordre élevé. De plus, la machine subit un stress mécanique.

Les tests SSFR se font à l'arrêt de la machine. D'où son intérêt. En effet, en effectuant des tests à l'arrêt la machine ne subit pas de stress mécanique. De plus, les tests peuvent-être réalisés sur site. Le principe fondamental de ces tests est de considérer la machine comme étant un réseau d'impédance. Cela se traduit par une non limitation de l'ordre des modèles associés à la machine pour une identification plus fine des phénomènes physiques en jeu dans le rotor de la machine. On pourrait même, si nécessaire, développer des modèles d'ordre fractionnaire.

Du fait que les tests sont faits à vitesse nulle, le couplage entre les axes *d* et *q*, du repère de Park, disparait. En effet, les termes de couplage ($\omega\phi_d$ et $-\omega\phi_q$) s'annulent avec la vitesse de rotation $\omega$ du champ.

Le dernier avantage de l'utilisation des tests SSFR est que les axes *d* et *q* ainsi que l'enroulement d'excitation sont complétement identifiables.

Un des inconvénients majeurs des tests SSFR est le fait que, la machine étant à l'arrêt, certains harmoniques d'espace, qui apparaissent avec la rotation de la machine, ne sont pas pris en compte.

III.3.1. Fonctions de transfert accessibles par les tests SSFR

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>Figure 3.5 : Représentation de la machine synchrone via les tests SSFR [Amelon 2010]</figcaption></figure>

Dans les tests SSFR la machine est représentée par un quadripôle suivant l'axe *d* et par un dipôle suivant l'axe *q*, comme le montre le schéma de la figure 3.5.
L'axe *d* étant représenté par un quadripôle cela implique qu'il peut être modélisé par trois transferts, qui seront nommés :

$$
- Z_d(p) = \left. \frac{V_d(p)}{I_d(p)} \right|_{V_f=0} \quad \text{: impédance opérationnelle d'axe d.}
$$

$$
\begin{gather*}
- G(p) = \left. \frac{V_d(p)}{pV_f(p)} \right|_{I_f=0} \quad \text{: Fonction de transfert entre le stator, en circuit ouvert, et} \\
\text{l'excitation. Ce transfert peut-être obtenu comme étant le rapport entre le courant} \\
\text{statorique et le courant d'excitation avec l'enroulement d'excitation en court-circuit.} \\
pG(p) = \left. \frac{I_f(p)}{I_d(p)} \right|_{V_f=0} .
\end{gather*}
$$

$$
- Z_{afo}(p) = \left. \frac{V_f(p)}{I_d(p)} \right|_{I_f=0} : \text{Rapport entre la tension d'excitation et le courant statorique d'axe d, avec l'enroulement d'excitation en circuit ouvert.}
$$

Quant à l'axe *q*, du fait qu'il est représenté par un dipôle, il est modélisé par un seul transfert :

$$
- Z_q(p) = \frac{V_q(p)}{I_q(p)} : \text{impédance opérationnelle d'axe q.}
$$

Pour accéder aux fonctions de transferts de l'axe *d* l'angle électrique *θ* de la machine est fixé à 0. Quant à la fonction de transfert suivant l'axe *q*, l'angle *θ* de la machine est fixé à $\frac{\pi}{2}$.

Une fois ces quatre transferts identifiés nous pouvons reconstruire la matrice et la fonction admittance (2.4) qui correspondent au schéma du rotor par circuit équivalent et boite noire présenté sur la figure 2.3. Les relations entre ces quatre transferts et les éléments de la matrice et de la fonction admittances sont [Amelon 2010] :

$$
\left\{
\begin{aligned}
y_{11}(p) &= -\frac{1}{L_{md}p} + \frac{1}{Z_d(p)-R_s-L_l p} \\
y_{12}(p) &= \frac{pG(p)}{Z_d(p)-R_s-L_l p} \\
y_{22}(p) &= -\frac{pG(p)}{Z_{afo}(p)} + \frac{(pG(p))^2}{Z_d(p)-R_s-L_l p} \\
y_q(p) &= -\frac{1}{L_{mq}p} + \frac{1}{Z_q(p)-R_s-L_l p}
\end{aligned}
\right.
\qquad (3.8)
$$

III.3.2. Algorithme d'identification

L'identification des quatre fonctions de transfert, présentées ci-avant, est basée sur l'analyse des réponses fréquentielles à des signaux d'excitation riches en fréquence. Il est utile d'utiliser les FFT pour extraire l'amplitude et la phase des différentes fonctions de transfert pour différentes valeurs de fréquence. Les signaux d'excitation $i_d(t)$ et $i_q(t)$ sont générés de la manière suivante :

$$
i_x(t) = \sum_{k=1}^{N} I_m \sin(2\pi f_k t) \quad (3.9)
$$

Où $x \in \{d, q\}$ ; $N$ est le nombre de fréquences considérées ; $f_k$ est une fréquence que l'on fait varier de 0.1Hz jusqu'à un peu moins de 1kHz. Ces limites sont fixées par des
considérations pratiques. En dessous de 0.1Hz les réponses fréquentielles restent constantes. Au-delà de 1kHz le rapport signal/bruit devient trop faible pour que les mesures soient exploitées. $I_m$ est choisi de telle sorte que l'amplitude maximale des signaux $i_d(t)$ et $i_q(t)$ ne dépasse pas les valeurs nominales ; d'ailleurs on pourrait plutôt introduire $I_{mk}$ pour l'adapter à chaque fréquence.

Un exemple de la forme des signaux obtenus à partir de l'équation (3.9) est présenté sur la figure 3.6.

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Figure 3.6 : La forme des courants d'excitation</figcaption></figure>

Chacun des quatre transferts à identifier est construit comme suit :

$$Z(p) = K \frac{(p+z_1)\cdots(p+z_m)}{(p+p_1)\cdots(p+p_n)} \qquad (3.10)$$

Où l'ordre $n$ et le nombre de zéro $m$ sont fixés à partir soit de l'analyse de la réponse fréquentielle (tracé de Bode), soit de façon itérative en commençant par des valeurs faibles de $n$ et de $m$ que l'on fera augmenter d'une itération si l'erreur entre les mesures et les sorties du modèle est importante. Le critère d'optimisation (fonction objective) $I$ est adapté à l'algorithme d'optimisation utilisé. Dans le cas de l'algorithme des essais de particules le critère est fixé comme suit :

$$I_i = \sum_{k=1}^{n_p} (E_{g_i}(k) + E_{\varphi_i}(k)) \qquad (3.11)$$

L'indice $i$ correspond au ième individu de l'essaim de particules. $E_{g_i}$ et $E_{\varphi_i}$ expriment l'erreur sur le gain et la phase du transfert identifié, respectivement. Les expressions mathématiques de $E_{g_i}$ et $E_{\varphi_i}$ sont données dans [Amelon 2010].

L'algorithme d'identification est le suivant :
<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>Figure 3.7 : Algorithme d'identification</figcaption></figure>

### III.3.3. Application à l'identification des paramètres de la MS

La puissance de la machine synchrone à rotor bobiné à identifier est de 3kW. Ses caractéristiques principales sont :

- Puissance : 3kW

- Vitesse/Fréquence : 1500 tr/min & 50 Hz

- Tension stator : 230/400 V

- Courant stator : 4.4/7.6 A

- Tension rotor : 20 V

- Courant rotor : 6.5 A

L'identification classique des paramètres statoriques a permis d'obtenir :

- La résistance de l'enroulement statorique : $R_s = 2.81\Omega$

- La résistance de l'enroulement d'excitation : $R_f = 3.02\Omega$

- L'inductance magnétisante non saturée d'axe $d : L_{md} = 0.242H$

- L'inductance magnétisante non saturée d'axe $q : L_{mq} = 0.073H$

- L'inductance de fuite statorique : $L_l = 0.028H$

Ainsi l'induction suivant l'axe $d$ est : $L_d = L_{md} + L_l = 0.27H$ ; l'inductance suivant l'axe $q$ est : $L_q = L_{mq} + L_l = 0.101H$.

Les schémas utilisés pour l'identification des 4 transferts sont donnés dans la figure ci-après [Amelon 2010] :
<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>Figure 3.8 : Schéma de configurations pour les tests SSFR</figcaption></figure>

La source de courant utilisée est composée du régulateur de courant MRC proposé dans [Le Claire 1999] et d'une carte dspace pour générer les consignes de courant à l'image des signaux présentés sur la figure 3.6. De plus la carte dspace associée à un ordinateur permet l'acquisition des différents signaux nécessaires à l'identification des différents transferts.

Les réponses fréquentielles obtenues sont présentées ci-après :

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>Figure 3.9 : Réponses fréquentielles obtenues par les tests SSFR</figcaption></figure>

Après identification, les transferts optimaux obtenus par essais de particules sont :
$$
\left\{
\begin{aligned}
Z_d(p) &= 0.0197 \frac{(p+231.3)(p+5.51)}{p+8.79} \\
pG(p) &= 0.551 \frac{(p+205.1)(p+0.106)}{(p+180.6)(p+4.27)} \\
Z_{afo}(p) &= 181.6 \frac{(p+154.4)(p+0.088)}{(p+1445)(p+49.5)} \\
Z_q(p) &= 0.0283 \frac{(p+340.2)(p+15.56)}{p+48.5}
\end{aligned}
\right.
\qquad (3.12)
$$

En superposant les réponses fréquentielles des transferts ci-avant avec les mesures pratiques nous obtenons les courbes de la figure ci-après. Nous pouvons remarquer la concordance entre les relevés pratiques et le tracé des réponses fréquentielles des transferts identifiés.

En remplaçant les transferts (3.12) dans (3.8) et en simplifiant on obtient les coefficients
de la matrice et de la fonction admittance comme suit :

$$
\left\{
\begin{aligned}
y_{11}(p) &= 557.5 \frac{p+3.86}{(p+2.1)(p+1220)} \approx 0.457 \frac{p+3.86}{p+2.1} \\
y_{12}(p) &= 74.8 \frac{p+12.56}{(p+6.13)(p+211.8)} \approx 0.353 \frac{p+12.56}{p+6.13} \\
y_{22}(p) &= \frac{11849}{(p+190.8)^2} \\
y_q(p) &= \frac{3319.6}{p+12280}
\end{aligned}
\right.
\qquad (3.13)
$$

Une fois ces coefficients identifiés nous construisons le modèle d'état de l'alternateur en
utilisant le modèle (2.6).

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>Figure 3.10 : Comparaison des réponses fréquentielles mesurées et identifiées</figcaption></figure>
### III.3.4. Validation du modèle comportemental

Afin de valider le modèle d'état identifié de la MS nous réalisons le banc de simulation présenté dans la figure ci-après.

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>Figure 3.11 : Banc d'essai expérimental [Amelon 2010]</figcaption></figure>

Pour apprécier la pertinence du modèle identifié, les essais ont été réalisés à vitesse et tension d'excitation variables comme le montre la figure ci-après.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>Figure 3.12 : Banc d'essai expérimental [Amelon 2010]</figcaption></figure>

Les figures ci-dessous montrent l'évolution des courants d'excitation (figure 3.13), des courants de ligne (figure 3.14) et des valeurs efficaces des courants de lignes (figure 3.15) des bancs expérimental et simulé. Nous remarquons la bonne concordance de ces différents courants. Ce qui permet de conclure sur la pertinence du modèle identifié.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>Figure 3.13 : Comparaison du courant d'excitation [Amelon 2010]</figcaption></figure>
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Figure 3.14 : Comparaison du courant de ligne [Amelon 2010]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>Figure 3.15 : Comparaison de la valeur efficace du courant de ligne [Amelon 2010]</figcaption></figure>

### III.4. Identification de la machine asynchrone

Le but ici est de remplacer les méthodes d'identification classiques, qui sont composées de plusieurs essais (essai a rotor bloqué, ...), donc laborieuses, par des techniques modernes d'identification. Nous proposons une méthode d'identification où un seul essai suffit pour l'identification de l'ensemble des paramètres électromagnétiques et mécaniques de la machine. Nous trouvons dans la littérature plusieurs auteurs ayant proposé des techniques d'identification basées sur l'erreur de sortie [Accetta 2014, Boudissa 2012, Abdelhadi 2005, Chich-Hsing 2005, Toliyat 2003, Baghli 1999, Gastli 1999, Marcus 1997, Khenfer 1995, De Kock 1994]. Ces différentes techniques diffèrent les unes des autres par la nature des signaux entrées-sorties considérés, le choix du modèle de la MAS, la nature de l'essai et la méthode d'optimisation utilisée.

La méthode que nous allons exposer ici est basée sur la minimisation des erreurs de sortie obtenues à partir du courant de la machine réelle et celui de son modèle. Une seule mesure du courant de démarrage et de la tension d'excitation correspondante suffit à l'identification de l'ensemble des paramètres. L'algorithme génétique, présenté précédemment, a été mis en œuvre pour l'identification paramétrique.
### III.4.1. Modèle d'état de la MAS

Dans le chapitre II nous avons présenté le modèle de Park de la MAS (2.29). Nous allons faire un changement de variable d'état où nous remplaçons les courants rotoriques $i_{dr}$ et $i_{qr}$ par $i'_{dr} = \frac{L_r}{M} i_{dr}$ et $i'_{qr} = \frac{L_r}{M} i_{qr}$ [Caron 1995, Chatelain 1983]. Le modèle d'état ainsi obtenu est :

$$ \dot{\underline{x}} = \underline{Ax} + \underline{Bu} \qquad (3.14) $$

$$ \text{Où } \underline{x} = [i_{ds} \ i_{qs} \ i'_{dr} \ i'_{qr}]^T, \ \underline{u} = [V_{ds} \ V_{qs}]^T $$

$$ \underline{A} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sigma\tau_s} & \frac{1-\sigma}{\sigma}\omega & \frac{1-\sigma}{\sigma\tau_r} & \frac{1-\sigma}{\sigma}\omega \\ -\frac{1-\sigma}{\sigma}\omega & -\frac{1}{\sigma\tau_s} & -\frac{1-\sigma}{\sigma}\omega & \frac{1-\sigma}{\sigma\tau_r} \\ \frac{1}{\sigma\tau_s} & -\frac{1}{\sigma}\omega & -\frac{1}{\sigma\tau_r} & -\frac{1}{\sigma}\omega \\ \frac{1}{\sigma}\omega & \frac{1}{\sigma\tau_s} & \frac{1}{\sigma}\omega & -\frac{1}{\sigma\tau_r} \end{bmatrix} \quad \text{et} \quad \underline{B} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sigma L_s} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sigma L_s} \\ -\frac{1}{\sigma L_s} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{\sigma L_s} \end{bmatrix} $$

L'équation mécanique est :

$$ \dot{\Omega} = \frac{1}{J}(1 - \sigma)L_s(i_{qs}i'_{dr} - i_{ds}i'_{qr}) - \frac{f}{J}\Omega \qquad (3.15) $$

Où : $\sigma = 1 - \frac{M^2}{L_s L_r}$ : coefficient de dispersion de Blondel ; $\tau_s = \frac{L_s}{R_s}$ : constante de temps statorique et $\tau_r = \frac{L_r}{R_r}$ : constante de temps rotorique ; $\omega = p\Omega$, $\Omega$ est la vitesse mécanique et $p$ le nombre de paires de pôles ; $J$ et $f$ sont respectivement l'inertie et le coefficient de frottements visqueux de la MAS.

Le vecteur de paramètres à identifier est :

$$ \underline{\theta} = [\sigma \ \tau_r \ \tau_s \ L_s \ J \ f]^T \qquad (3.16) $$

La fonction objective à minimiser est :

$$ I_i = \sum_{k=1}^{N} \epsilon_i^2(t_k) \qquad (3.17) $$

Où $\epsilon_i(t_k) = i_{im}(t_k) - i_{is}(t_k)$ ; $i_{im}(t_k)$ et $i_{is}(t_k)$ sont respectivement les courants mesurés et simulés. L'indice $i$ correspond au ième individu.

### III.4.2. Application des algorithmes génétiques pour l'identification de la MAS

Nous avons appliqué l'algorithme génétique à l'identification des paramètres d'une machine asynchrone de 1.5 kW à 4 paires de pôles et alimentée sous 220/380 V. Pour cela, nous l'avons excitée avec une tension triphasée équilibrée. La machine est en fonctionnement moteur et elle est non chargée. Nous avons mesuré le courant de ligne pendant le régime transitoire comme montré sur la figure ci-après.
<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Figure 3.16 : Tension et courant de ligne mesurés.</figcaption></figure>

Les valeurs des paramètres obtenus en utilisant les quatre techniques SP sont présentées dans le tableau ci-après.

<table><caption>Tableau 3.1 : Resultats de l'estimation paramétrique</caption><thead><tr><th>Paramètres</th><th>GA-AL</th><th>GA-EV</th><th>GA-EH</th><th>GA-LF</th></tr></thead><tbody><tr><td>σ</td><td>0.069</td><td>0.069</td><td>0.069</td><td>0.069</td></tr><tr><td>τ<sub>r</sub>(ms)</td><td>135</td><td>135</td><td>135</td><td>135</td></tr><tr><td>L<sub>s</sub>(mH)</td><td>190</td><td>190</td><td>190</td><td>190</td></tr><tr><td>τ<sub>s</sub>(ms)</td><td>87</td><td>87</td><td>87</td><td>87</td></tr><tr><td>J(kg.m<sup>2</sup>)</td><td>0.035</td><td>0.035</td><td>0.035</td><td>0.035</td></tr><tr><td>f(N.m.s/rad)</td><td>0.009</td><td>0.009</td><td>0.009</td><td>0.009</td></tr><tr><td>Nombre d'itérations</td><td>546</td><td>227</td><td>505</td><td>308</td></tr><tr><td>Temps de calcul (s)</td><td>8873</td><td>3474</td><td>9954</td><td>6006</td></tr></tbody></table>

Les quatre algorithmes convergent vers les mêmes valeurs des paramètres. Par contre l'algorithme GA-EV converge plus rapidement.

Sur la figure ci-après nous avons tracé le courant mesuré ainsi que le courant du modèle simulé. Nous pouvons remarquer la bonne concordance entre les deux courants.

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Figure 3.17 : Comparaison des courants de lignes mesuré et simulé.</figcaption></figure>
Dans le but de montrer la convergence des paramètres, la figure ci-après montre l'évolution des paramètres en fonction du nombre d'itération. Nous pouvons remarquer la rapidité de convergence de la méthode GA-EV par rapport aux autres méthodes.

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure 3.18 : Evolution des paramètres en fonction du nombre d'itération.</figcaption></figure>

### III.4.3. Application des moindres carrés pour l'identification des paramètres électromagnétiques de la MAS

La commande vectorielle des machines asynchrones nécessite, pour un certain nombre d'applications, la seule connaissance de ses paramètres électromagnétiques. Essentiellement, dans le cas des entrainements ou l'inertie et le frottement sont amenés à changer drastiquement pendant la manipulation.

Pour identifier ses paramètres il suffit de faire un seul essai à vitesse nulle (rotor bloqué). A partir du modèle de Park de la MAS (2.29) on obtient l'équation linéaire, par rapport aux paramètres, ci-après :

$$y_k = \underline{c}_k^T \underline{\theta} \qquad (3.18)$$

$$\text{Où : } y_k = V_{ds}(t_k), \underline{c}_k^T = [i_{ds}(t_k) \quad -V_{ds}^{(1)}(t_k) \quad i_{ds}^{(1)}(t_k) \quad i_{ds}^{(2)}(t_k)]$$

$$\text{et } \underline{\theta}^T = [R_s \quad \tau_r \quad R_s\tau_r + L_s \quad \sigma L_s\tau_r]$$

Les mesures accessibles sont : la tension $V_{ds}$ et le courant $i_{ds}$. Or, dans l'équation (3.18) nous notons la présence des dérivées de la tension et du courant. La solution serait d'utiliser soit des différentiateurs numériques [Zehetner 2007, Mboup 2007, Dridi 2010, Jaballah 2012] soit d'autres techniques évitant le calcul des dérivées de grandeurs bruitées. Ces dernières techniques pourrait-être le passage par la forme discrète (utilisation d'un BOZ) de l'équation
(3.18) [Aït-Ahmed 1999] soit l'utilisation des filtres particuliers pour reporter le calcul de la dérivée sur l'expression du filtre [Aït-Ahmed 1999, Tali-Maamar 2001].

Dans [Tali-Maamar 2001] nous avons utilisé, entre autre, le produit linéaire de fonction. Le produit linéaire entre deux fonctions est défini comme :

$$
\langle f | \Phi \rangle |_{t_f} = \int_0^{t_f} f(t) \Phi(t) dt \qquad (3.19)
$$

En choisissant $\Phi(t)$ tel que $\Phi^{(i)}(0) = \Phi^{(i)}(t_f) = 0$ on démontre que :

$$
\langle f^{(i)} | \Phi \rangle |_{t_f} = (-1)^i \langle f | \Phi^{(i)} \rangle \quad (3.20)
$$

Nous remarquons dans l'équation ci-avant que nous avons déporté le calcul de la dérivée de $f$ sur celui de $\Phi$. Comme $\Phi$ est une fonction explicite choisie par nous-même, le calcul de sa dérivée est alors explicite et n'est entachée par aucun bruit. L'équation (3.18) devient alors :

$$
y_{lp_k} = c_{lp_k}^T \underline{\theta} \qquad (3.21)
$$

Où : $y_{lp_k} = \langle V_{ds} | \Phi_k \rangle |_{t_k}$,

$$
\underline{c}_{lp_k}^T = \left[ \langle i_{ds} | \Phi_k \rangle |_{t_k} \quad \langle V_{ds} | \Phi_k^{(1)} \rangle |_{t_k} - \langle i_{ds} | \Phi_k^{(1)} \rangle |_{t_k} \quad \langle i_{ds} | \Phi_k^{(2)} \rangle |_{t_k} \right]
$$

Il suffit d'appliquer le résultat des Moindres Carrés (MC) (3.3) pour obtenir les paramètres optimaux.

Dans le cas de l'identification de la MAS nous avons choisi la fonction $\Phi_k(t)$ sous la forme d'un polynôme en $t$ de degré 4. Le tableau ci-après donne les résultats de l'identification d'une machine asynchrone à cage d'écureuil de 300 W.

<table><caption>Tableau 3.2 : Resultats de l'estimation paramétrique par la méthode des MC</caption>
  <thead>
    <tr>
      <th>Paramètres</th>
      <th>Valeurs numériques</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>L<sub>s</sub>(&Omega;)</td>
      <td>32.2</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>L<sub>s</sub>(mH)</td>
      <td>651</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>&tau;<sub>r</sub>(ms)</td>
      <td>34.6</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>&sigma;</td>
      <td>0.214</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

La courbe d'excitation et celles des réponses en courant (mesurée et simulée) sont présentées sur la figure ci-après.

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure 3.19 : Tension $V_{ds}$ et courant $i_{ds}$ (mesurés et simulés).</figcaption></figure>
La tension Vgs a été choisie sous la forme présentée sur la figure 3.19 pour exciter tous
les modes du modèle et ainsi obtenir une meilleure identification paramétrique.

III.5. Conclusion

Dans la première partie du chapitre nous avons appliqué avec succès la méthode d'identification se basant sur les tests SSFR et la méthode d'optimisation par essaim de particules sur une machine synchrone de 3kW. Ceci permet de valider l'approche de modélisation proposée dans le chapitre II. Le modèle du rotor est représenté par une fonction de transfert d'ordre quelconque. L'ordre du transfert permet d'affiner la modélisation des phénomènes particuliers ayant lieu dans le rotor. Cette partie a été développée dans le cadre de thèse de Doctorat de Nicolas Amelon [Amelon 2010].

Dans la seconde partie du chapitre nous avons utilisé, pour l'identification d'une machine asynchrone de 3 kW, un algorithme génétique se basant sur quatre méthodes originales, que nous avons proposées, pour le choix de la pression de sélection (SP). La méthode proposée permet d'obtenir les paramètres électromagnétiques et mécaniques à partir d'un seul essai. Dans le cas où seuls les paramètres électromagnétiques sont nécessaires, la méthode des moindres carrés s'avère suffisante.
# Chapitre IV. Commande des génératrices synchrones à rotor bobiné
IV.1. Introduction

Cette partie du rapport présente nos recherches sur la problématique de la commande des générateurs dans un réseau électrique embarqué. Dans les réseaux embarqués, qui sont de puissance de court-circuit finie en opposition au réseau terrestre de type RTE qui est considéré de puissance de court-circuit infini, la grandeur à réguler est la tension efficace en sortie de l'alternateur à rotor bobiné. Cette régulation doit tenir compte du management des puissances active et réactive fournit aux charges.

Pour choisir le type le correcteur adapté, il est important de faire d'abord une analyse comportementale du réseau embarqué en fonction des différentes charges possibles. Cette analyse nous permet de classifier un certain nombre de charges. Ceci nous conduit à obtenir des modèles de comportement du réseau qui nous permettent de fixer la structure du correcteur et ainsi synthétiser ses paramètres.

Les modèles obtenus pour la synthèse des correcteurs peuvent-être d'ordre très réduits par rapport aux modèles obtenus en vue de la simulation au chapitre II. Ces modèles sont appelés modèles en vue de la commande. Ces derniers peuvent-être obtenus soit par la simplification des modèles en vue de la simulation, dans ce cas les paramètres des modèles réduits sont fonctions de ceux des modèles complets ; soit par l'identification directe des paramètres des modèles réduits sans connaissance des paramètres des modèles complets. Ces deux approches ont des avantages et des inconvénients. La première approche permet d'obtenir des paramètres ayant un sens physique, mais son inconvénient est la nécessité d'identifier un nombre important de paramètres liés au modèle complet non linéaire du système. Quant à la seconde approche, comme le nombre de paramètres est réduit, leur identification est plus aisée, mais généralement ces paramètres n'ont aucune signification physique.

La maitrise de ce type de réseau nécessite le développement d'algorithmes de commande robuste plus ou moins élaborés en fonction de la constitution du réseau. Les correcteurs du type PID classique ne tiennent pas compte de la variabilité de la charge au cours du temps. Nous avons fait appel à des commandes de type RST avec placement de pôles robustes ainsi qu'à une commande optimale à paramètres variant. La synthèse de ces correcteurs se basera sur les modèles simplifiés (modèles de commande). Une fois les correcteurs synthétisés, ils seront appliqués aux modèles complets, modèles en vue de la simulation qui sont la base des bancs d'essais logiciels.

Une démarche pragmatique de commande des systèmes non linéaires est de considérer un certain nombre de points de fonctionnement bien choisis du système ; de calculer un modèle linéaire en ces points ; de faire pour chacun d'eux la synthèse d'un régulateur linéaire fixe ; la commande finale s'obtient ensuite par interpolation, séquencement de gain, ... Validée en pratique, la stabilité des boucles ainsi réalisées n'est pourtant prouvée que dans de rares cas.

Une autre démarche consiste à déduire du système non linéaire un modèle Linéaire à Paramètre Variants (LPV) et à mettre en œuvre les techniques d'optimisation sous contraintes LMI (inégalités matricielles affines) qui permettent de déduire directement un régulateur LPV assurant la stabilité du modèle LPV. Mais dans ce cas, la méthode est souvent conservative, principalement pour deux raisons. D'une part le modèle LPV couvre des comportements plus
larges que nécessaires. D'autre part, les résultats classiques de synthèse font appel à l'optimisation sous contraintes LMI à paramètres fixes. Même si des résultats très récents utilisent l'optimisation sous contraintes LMI à paramètres variants, ils restent encore restrictifs.

Des études précédentes [Abdeljalil 2006, Kvieska 2010] nous montrent que dans le cas d'un réseau embarqué utilisant des générateurs à rotor bobiné reliés à des charges de type RL l'utilisation des régulateurs linéaires de type PI est largement suffisante. Dans [Abdeljalil 2006] nous avons proposé leurs versions à gains programmés ainsi que celles de type adaptatif pour maintenir les mêmes performances quelles que soit les variations de charges connectées au réseau embarqué. Par contre, si la charge n'est plus de type RL, mais de type RLC ou non linéaire un régulateur PI s'avère insuffisant. En effet, dans [Kvieska 2010] nous avons proposé un régulateur optimal de type anticipatif pour pouvoir contrôler le niveau de tension lors d'un changement de charge.

Nos contributions dans cette partie portent aussi bien sur l'analyse des réseaux en vue de l'obtention des modèles réduits, que sur le développement de stratégies spécifiques pour la commande robuste des alternateurs dans les différents contextes.

Ce chapitre est articulé comme suit : après une analyse et une modélisation en vue de la commande, nous présentons les différentes stratégies adaptées ainsi que les correcteurs retenus pour y répondre.

## IV.2. Modélisation en vue de la commande

### IV.2.1. Analyse dynamique du réseau embarqué

En vue de la commande, la charge d'un réseau embarqué peut être définie par ses puissances active et réactive [Allen 200, Babazadeh 2002]. Cette modélisation est appliquée dans le cas d'une charge linéaire ou non linéaire (propulsion, ...) limitée à son fondamental. On parle ainsi de charge « PQ ». Elle peut être représentée soit par une charge « RL », « RC » ou « RLC ». Cette dernière est intéressante dans le sens où elle permet de modéliser des charges très riches en dynamique. La résistance « R » représente la puissance active et l'inductance « L » et la capacité « C » la puissance réactive.

Le changement de charge se traduit par la variation des valeurs de « RLC », ce qui a pour conséquence une variation importante des dynamiques du système. La loi de commande doit être capable de répondre à toutes ces variations.

Si pour la majorité des charges, qui sont représentées par une charge « RL », la synthèse de lois de commande ne pose pas de difficultés particulières, il en va autrement quand la charge est de type « RLC ». Le système présente des modes oscillants peu amortis et peu commandables. Il est donc, important de comprendre le comportement des différents types de charge « RLC » et de pouvoir les classifier en se basant sur leurs réponses dynamiques. Ce qui permettra de proposer des lois de commande à gains programmés basées non pas sur la charge, mais sur un groupe de comportement dynamique.
Deux analyses de la commutation de la charge sont proposées. Une analyse qualitative, que nous avons appelée distance de charge [Kvieska 2010], permet d'informer rapidement si une commutation de charge se « déroulera » dans de bonnes conditions ou pas. Une analyse quantitative qui permet d'estimer la variation de la tension de sortie pendant la commutation de charge.

IV.2.1.1. Modèle du réseau étudié

Comme expliqué précédemment, la charge du réseau embarqué est modélisée par une
charge linéaire RL//C. L'alternateur est une machine synchrone à rotor bobiné dont le modèle
est rappelé dans le chapitre II. Le schéma de l'alternateur couplé à cette charge RL//C est
présenté dans la figure ci-après.

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure 4.1 : Alternateur couplé à une charge RL//C</figcaption></figure>

Les tensions V_a, V_b et V_c de la MS sont représentées dans le repère de Park par les tensions V_d et V_q. Comme chaque phase se subdivise en deux branches, alors les courants i_a1, i_b1 et i_c1 se projettent dans le repère de Park en i_d1 et i_q1, et les courants i_a2, i_b2 et i_c2 se projettent en i_d2 et i_q2.

Le modèle d'état d'un tel système est [Kvieska 2010] :

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\underline{\underline{\mathbf{E}}}_{\text{sys}}(\omega, R^c, L^c, C^c)\dot{\underline{\underline{\mathbf{x}}}} &= \underline{\underline{\underline{\mathbf{A}}}}_{\text{sys}}(\omega, R^c, L^c, C^c)\underline{\underline{\underline{\mathbf{x}}}} + \underline{\underline{\underline{\mathbf{B}}}}_{\text{sys}}\mathbf{u} \\
\mathbf{y} &= g(\underline{\underline{\mathbf{x}}})
\end{aligned}
\right.
\tag{4.1}
\end{equation}
$$

$$
Où : \underline{\underline{\mathbf{x}}} = [i_{d1} \ i_{q1} \ i_{d2} \ i_{q2} \ i_f \ i_D \ i_Q \ V_d \ V_q]^T \text{ et } \mathbf{u} = V_f
$$

$$
\underline{\underline{\underline{\mathbf{E}}}}_{\text{sys}}(\omega, R^c, L^c, C^c) = - \begin{bmatrix} \underline{\underline{\underline{\mathbf{L}}}}_{ss} & \underline{\underline{\underline{\mathbf{L}}}}_{sr} & \underline{\underline{\underline{\mathbf{O}}}}_{4,2} \\ \underline{\underline{\underline{\mathbf{L}}}}_{rs} & \underline{\underline{\underline{\mathbf{L}}}}_{rr} & \underline{\underline{\underline{\mathbf{O}}}}_{3,2} \\ \underline{\underline{\underline{\mathbf{O}}}}_{2,4} & \underline{\underline{\underline{\mathbf{O}}}}_{2,3} & \underline{\underline{\underline{\mathbf{L}}}}_{cc} \end{bmatrix}, \quad \underline{\underline{\underline{\mathbf{A}}}}_{\text{sys}}(\omega, R^c, L^c, C^c) = \begin{bmatrix} \underline{\underline{\underline{\mathbf{R}}}}_{ss} & \underline{\underline{\underline{\mathbf{R}}}}_{sr} & \underline{\underline{\underline{\mathbf{R}}}}_{sc} \\ \underline{\underline{\underline{\mathbf{R}}}}_{rs} & \underline{\underline{\underline{\mathbf{R}}}}_{rr} & \underline{\underline{\underline{\mathbf{R}}}}_{rc} \\ \underline{\underline{\underline{\mathbf{R}}}}_{rs} & \underline{\underline{\underline{\mathbf{O}}}}_{2,3} & \underline{\underline{\underline{\mathbf{R}}}}_{cc} \end{bmatrix} \\
\text{et } \underline{\underline{\underline{\mathbf{B}}}}_{\text{sys}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T
$$

$$
\underline{\underline{\underline{\mathbf{L}}}}_{ss} = \begin{bmatrix} L_d & L_d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & L_q & L_q \\ M_{fd} & M_{fd} & 0 & 0 \\ M_{dD} & M_{dD} & 0 & 0 \end{bmatrix}, \underline{\underline{\underline{\mathbf{L}}}}_{sr} = \begin{bmatrix} M_{fd} & M_{dD} & 0 \\ 0 & 0 & M_{qQ} \\ L_f & M_{fD} & 0 \\ M_{fD} & L_D & 0 \end{bmatrix}, \underline{\underline{\underline{\mathbf{L}}}}_{rs} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & M_{qQ} & M_{qQ} \\ L^c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & L^c & 0 \end{bmatrix}
$$
$$
\underline{\underline{L}}_{rr} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & L_Q \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \text{ et } \underline{\underline{L}}_{cc} = C^c \underline{\underline{I}}_{2,2}
$$

$$
\underline{\underline{R}}_{ss} = \begin{bmatrix} R_s & R_s & -\omega L_q & -\omega L_q \\ \omega L_d & \omega L_d & R_s & R_s \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \underline{\underline{R}}_{sr} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -\omega M_{qQ} \\ \omega M_{fd} & \omega M_{dD} & 0 \\ R_f & 0 & 0 \\ 0 & R_D & 0 \end{bmatrix},
$$

$$
\underline{\underline{R}}_{sc} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \underline{\underline{R}}_{rs} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ R^c & 0 & -\omega L^c & 0 \\ \omega L^c & 0 & R^c & 0 \end{bmatrix}, \underline{\underline{R}}_{rr} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & R_Q \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \underline{\underline{R}}_{rc} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},
$$

$$
\underline{\underline{R}}_{rs} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \text{ et } \underline{\underline{R}}_{cc} = \begin{bmatrix} 0 & -\omega C^c \\ \omega C^c & 0 \end{bmatrix}
$$

L'équation de sortie est :

$$
y = g(\underline{x}) = V_{eff} = \sqrt{\frac{V_d^2 + V_q^2}{3}} \quad (4.2)
$$

Nous remarquons que dans le modèle du système (4.1) l'équation sur l'état est linéaire
alors que la seule non linéarité porte sur l'équation de sortie. Ceci va nous encourager dans les
paragraphes qui vont suivre à proposer des commandes linéaires basées sur le retour d'état.

IV.2.1.2. Classifications des charges

Le système représenté par le modèle (4.1) est d'ordre 9. Son comportement dynamique
dépendra principalement des valeurs prises par la charge RL//C. Une classification des charges
est alors proposée en fonction des caractéristiques dynamique du signal de sortie du système.
Pour ce faire, une étude basée sur l'analyse des valeurs propres du système ainsi que sur les
valeurs singulières de Hankel [Moore 1981, Laub 1987] permet de réduire le modèle et
d'analyser la nature des modes présents dans le système.

Nous avons proposé une technique de maillage de l'espace 3-D définie par les valeurs
prise par R<sup>c</sup>, L<sup>c</sup> et C<sup>c</sup> [Kvieska 2010] tout en veillant à ce que le facteur de puissance FP soit
supérieur ou égale à 0.8. Cela nous a conduit à l'analyse automatique d'environ 54.000 charges
différentes. Parmi ces charges, 14000 sont des charges RL (système d'ordre 5).

A partir de notre analyse cinq groupes de comportement dynamique ont été définis (voir
la figure ci-après). Ces groupes ne sont pas disjoints et certains sont même des sous-ensemble
d'un autre. Les cinq groupes sont :

* Charges instables (0.23 % des charges considérées).

* Charges avec des dynamiques dominantes (85%).

* Charges avec des dynamiques du 1<sup>er</sup> ordre (qui est un sous-ensemble du groupe ci-avant ; 68%).

* Charges avec des modes peu amortis (71%).
* Charges avec des modes peu amortis et peu commandable (qui est un sous-ensemble du groupe ci-avant ; 13%).

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure 4.2 : Distribution des charges dans les différents groupes [Kvieska 2010]</figcaption></figure>

Parmi ces 5 groupes, les charges qui posent le plus de problème sont celles qui sont peu amortis et peu commandables. En effet, du faite de leur faible amortissement des oscillations de très grandes amplitudes apparaissent lors des commutations de charges et du faite de leur faible commandabilité il faudrait une commande de très forte amplitude pour contenir ces dépassements, ce qui n'est pas possible physiquement à cause des saturations sur le signal de commande.

La figure ci-après montre deux exemples de commutation (la commutation a lieu à l'instant 30s). La première concerne une commutation « douce » où les modes oscillants sont très peu excités (courbe de gauche). Le régime permanent étant de 508 V, la tension maximale après commutation est de 526 V. Sur la seconde courbe les modes oscillants sont très excités, ce qui se traduit par une commutation très oscillante (courbe de droite). On peut remarquer que la tension maximale après commutation dépasse les 32 kV. Pourtant, la charge après commutation est la même dans les deux cas de figure. Il n'y a que les charges avant commutation qui sont différentes dans les deux cas.

Pour réaliser ces simulations les paramètres utilisés sont :

Paramètres de la génératrice : Puissance nominale 2.4 MW, Tension de sortie Nominale 880 V, Tension de phase nominale 508 V, Courant de sortie Nominale 1875 A, $R_s = 3.56$ mΩ, $R_f = 0.155$ Ω, $L_d = 2.24$ mH, $L_q = 1.23$ mH, $L_f = 457.9$ mH, $M_{fd} = 29.48$ mH, $M_{dD} = 1.9$ mH, $M_{qQ} = 0.97$ mH, $M_{fD} = 25.27$ mH, $L_D = 1.9$ mH, $L_Q = 0.97$ mH, $R_D = 31.78$ mΩ et $R_Q = 46.19$ mΩ.

Paramètres des charges : Charge « 1 » avant commutation (celle qui correspond à la courbe de gauche de la figure 4.3) : $R^c = 3.6$ Ω, $L^c = 9$ mH et $C^c = 76.27$ μF. Cette charge consomme 5.5% de la puissance active nominale. Charge « 2 » avant commutation (celle qui correspond à la courbe de droite de la figure 4.3) : $R^c = 0.01$ Ω, $L^c = 0.2$ mH et $C^c = 44.33$ mF. Cette charge consomme 79.7% de la puissance active nominale. Charge « 3 » après commutation (nous avons utilisé la même charge pour les deux simulations) : $R^c = 0.3$ Ω, $L^c = 0.99$ mH et $C^c = 10.22$ μF. Cette charge consomme 0.0001% de la puissance active nominale
(elle représente un circuit ouvert). Cette charge après commutation appartient au groupe des « modes peu amortis et peu commandables » de la figure 4.2.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Figure 4.3 : Deux cas de commutation de charges</figcaption></figure>

#### IV.2.1.3. Analyse qualitative

L'analyse qualitative de la commutation de charge, liée au calcul de la *distance de charge*, est un indicateur qui va nous permettre de savoir si une commutation entre deux charges différentes se passera dans de bonnes conditions ou pas (comme le cas des deux commutations présentées dans la figure 4.3). Cet indicateur doit pouvoir être calculé rapidement avant chaque commutation.

La réponse d'un système dynamique est la somme de deux réponses : la réponse libre qui est fonction de ses seules conditions initiales ; et la réponse forcée qui est fonction du signal de commande. Lors, d'une commutation de charge, la réponse du système va donc dépendre du signal de commande (réponse forcée), mais aussi de son état juste avant la commutation (réponse libre). Comme le montre les deux réponses de la figure 4.3 l'état juste avant la commutation peut influencer énormément le comportement dynamique du système. En effet, dans les deux cas de figure la réponse forcée après commutation est la même pour les deux commutations (puisque la charge après commutation est identique aux deux cas). Ce qui différencie les deux cas est l'état final du système juste avant la commutation. Cet état devient l'état initial juste après la commutation.

L'idée sous-jacente de la *distance de charge* est de se dire que si les conditions initiales du système après commutation étaient égales aux états en régime permanent, alors il n'y aura aucun transitoire<fnref n="3" />. Par contre si les conditions initiales sont très éloignées des valeurs de l'état en régime permanent, alors le système présentera un transitoire avec un comportement potentiellement indésirable.

<footnote n="3">³ Cela sous-entend que le système est stable (naturellement ou par régulateur)</footnote>
**Définition de Distance de Charge :** Soit $\underline{\mathbf{x}}_{rp1}$ et $\underline{\mathbf{x}}_{rp2}$ les états du système en régime permanent de la charge 1 et 2 respectivement. La distance de charge entre deux charges 1 et 2 est définie comme :

$$D_{21} = \|\underline{\mathbf{x}}_{rp2} - \underline{\mathbf{x}}_{rp1}\|_{2}$$

Où $\|\cdot\|_2$ est la norme euclidienne du vecteur.

Cette distance peut-être normalisée, par exemple en la divisant par l'état $\underline{\mathbf{x}}_{rpn}$ du système en régime permanent pour une charge nominale, $\frac{\|\underline{\mathbf{x}}_{rp2} - \underline{\mathbf{x}}_{rp1}\|_2}{\|\underline{\mathbf{x}}_{rpn}\|_2}$. Comme il existe une infinité de charges différentes qui permettent d'atteindre cette valeur nominale, alors il n'y a aucune nécessité de la normaliser. L'état du système en régime permanent s'obtient à partir de l'équation d'état (4.1) :

$$\underline{\mathbf{x}}_{rp} = -\underline{\mathbf{A}}_{\text{sys}}^{-1}(\omega, R^c, L^c, C^c)\underline{\mathbf{B}}_{\text{sys}}\mathbf{u} \quad (4.3)$$

Cette distance de charge a son utilité quand la charge après commutation appartient au groupe « modes peu amortis et peu commandables ». En effet, dans le cas où tous les modes sont commandables alors il existe une loi de commande réaliste physiquement qui permet de réduire les oscillations après commutation.

Dans l'exemple de la figure 4.3 la distance de charge, dans le cas de courbe de gauche, est égale à 199, alors qu'elle est de 18483 dans le cas de la courbe de droite.

#### IV.2.1.4. Analyse quantitative

Cette distance de charge nous permet d'indiquer rapidement, dans le cas d'une charge à risque, si la commutation se déroulera dans de bonnes conditions ou pas. Par contre cette distance de charge ne nous indiquera aucune valeur sur les amplitudes des oscillations ainsi que sur la durée de ces oscillations avant de converger vers son régime permanent. Or, les normes internationales fixent l'amplitude ainsi que la durée des oscillations. Par exemple dans [NATO 1994], lors d'une commutation de charge la tension de sortie peut varier entre ± 20% pendant une durée n'excédant pas 2s. Au bout de cette durée elle doit rester dans une bande de ± 5%. Elle peut même atteindre 800% de sa valeur nominale à la condition qu'elle rentre dans le gabarit précédent au bout de 1ms.

Il est donc important de quantifier l'amplitude de ces oscillations pour pouvoir proposer des régulateurs qui puissent répondre à ce cahier de charges. Nous avons développé [Kvieska 2010] une fonction d'estimation qui, pour une valeur donnée des états $\underline{\mathbf{x}}_0$ juste avant la commutation, mesure l'amplitude des oscillations après la commutation.

Cette fonction sera notée $\Delta V_{max}(\underline{\mathbf{x}}_0, \Delta t_s)$. Elle dépend de l'état final juste avant la commutation et elle est calculée à l'instant $\Delta t_s$ après la commutation comme le montre la figure 4.4. Par exemple, dans le cas de la norme définie dans [NATO 1994] $\Delta t_s$ est fixée à 1ms. Du fait que le système est stable, naturellement ou au travers d'un régulateur, les modes sont tous amortis ce qui fait qu'au-delà de cet intervalle $\Delta t_s$ la déviation de la tension de sortie sera inférieur à $\Delta V_{max}(\underline{\mathbf{x}}_0, \Delta t_s)$. Cette fonction est calculée à partir de la réponse libre. Elle n'est
donc fonction que de l'état initial $\underline{x}_0$ et non de la loi de commande. Cette fonction se calcule de façon analytique sans avoir recours à une simulation. Ce qui la rend très intéressante dans le cadre d'une commande à gain programmé qui adaptera les paramètres du régulateur pour que la déviation de la tension de sortie reste en accord avec le gabarit fixé par le cahier des charges.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Figure 4.4 : Schématisation de la fonction quantitative</figcaption></figure>

Le calcul de cette fonction qualitative conduit à l'expression mathématique ci-après :

$$ \Delta V_{max}(\underline{x}_0, \Delta t_s) = \sqrt{\frac{1}{3(x_{rp_8}^2 + x_{rp_9}^2)}} [x_{rp_8} \quad x_{rp_9}] \begin{bmatrix} (e^{\underline{At}})_{env_8;} \\ (e^{\underline{At}})_{env_9;} \end{bmatrix} (\underline{x}_0 - \underline{x}_{rp}) \quad (4.4) $$

Où $(e^{\underline{At}})_{env,k_i}$ est la k-ième ligne de $(e^{\underline{At}})_{env}$ et $\underline{A}$ est la matrice d'état du système et s'obtient à partir de l'équation (4.1) : $\underline{A} = \underline{E}_{sys}^{-1}(\omega, R^c, L^c, C^c)$ $\underline{A}_{sys}(\omega, R^c, L^c, C^c)$. Enfin, $(e^{\underline{At}})_{env}$ est l'enveloppe extérieure des différentes modes.

On démontre que la décomposition modale de $e^{\underline{At}}$ est :

$$ e^{\underline{At}} = \sum_{i=1}^{q_1} e^{\lambda_i t} \underline{v}_i \underline{w}_i^T + \sum_{i=1}^{q_2} 2e^{\lambda_i t} \underline{M}_i \cos(\beta_i t + \varphi_i) $$

L'enveloppe extérieure est :

$$ (e^{\underline{At}})_{env} = \sum_{i=1}^{q_1} e^{\lambda_i t} \underline{v}_i \underline{w}_i^T + \sum_{i=1}^{q_2} 2e^{\lambda_i t} \underline{M}_i $$

$q_1$ : le nombre de modes non oscillants de $\underline{A}$. $q_2$ : le nombre de modes oscillants de $\underline{A}$.

$\lambda_i$ les valeurs propres réelles de $\underline{A}$.

$\alpha_i$ et $\beta_i$ sont respectivement les parties réelle et imaginaire de la ième valeur propre complexe de $\underline{A}$.

$\underline{v}_i$ et $\underline{w}_i$ sont respectivement les vecteurs propres à droite et à gauche associés à $\lambda_i$, de composantes $v_{ik}$ et $w_{ik}$ respectivement, avec $k = 1, ..., 9$.
$\underline{\underline{M}}_i$ est une matrice dont l'élément $(k,l)$ est : $(\underline{\underline{M}}_i)_{k,l} = \sqrt{a_{kl}^2 + b_{kl}^2}$, où $a_{kl}$ et $b_{kl}$ sont tels que : $v_{ik}w_{il} = a_{kl} + jb_{kl}$ (Pour tous les développements mathématiques se référer à la thèse de Doctorat de P. Kvieska [Kvieska 2010]).

La figure ci-dessous montre une certaine corrélation entre la notion de distance de charge et la fonction quantitative $\Delta V_{max}(\underline{x}_0, \Delta t_s)$ pour un certain nombre de commutation de charge dans le cas des charges peu commandables et peu amortis.

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>Figure 4.5 : Correlation entre la distance de charge et la fonction quantitavive</figcaption></figure>

D'après la figure ci-avant, la distance de charge suffit à déterminer si la commutation se passerait bien ou pas. Dans le cas où la distance de charge indique une commutation à risque, on peut alors calculer la fonction quantitative pour connaitre l'amplitude de la variation de la tension autour de sa valeur nominale. On peut alors proposer une stratégie de commande qui permet de respecter le cahier des charges.

## IV.2.2. Modèles de commande

Dans cette partie nous mettons l'action sur l'obtention de modèles en vue de la commande des seuls générateurs synchrones à rotor bobiné. Concernant l'ensemble générateur triphasé ou pentaphasé à aimants permanents – redresseur MLI, les modèles de commande et de simulation étant le même, ils ne feront pas l'objet d'un sous-paragraphe particulier. Ils seront présentés au moment de l'étude de leur commande (voir le chapitre V).

Comme nous l'avons souligné dans le paragraphe III.2.1 le modèle d'état (4.1) d'un réseau embarqué, constitué d'un générateur synchrone à rotor bobiné et d'une charge équivalente de type RL//C, est d'ordre 9 (dans le cas d'une charge équivalente de type RL, l'ordre du modèle d'état est seulement de 5). Son équation de sortie (4.2) est non linéaire. A ce modèle il faudrait rajouter le modèle de la partie régulation de fréquence, représentant les turbines ou les groupes diésel, qui est d'au moins d'ordre 1. Mais, comme nous le verrons plus tard, la constante de temps mécanique étant, en général, très grande devant les constantes de temps électriques, alors les deux modèles sont considérés découplés naturellement. La synthèse des deux régulateurs se fera indépendamment l'un de l'autre. La modélisation et la commande des turbines ou des groupes diesels ne fera pas l'objet de ce rapport. Il faudrait se référer à
[Abdeljalil 2010] pour voir les techniques de commande que nous avons proposées. Ces techniques de commande se basent sur des modèles de turbines proposés dans [IEEE 1974] et [Kundur 1993].

Le modèle d'état (4.1) étant linéaire, sans tenir compte de l'équation de sortie, il est alors possible de synthétiser un régulateur par retour d'état. Cette synthèse peut être faite directement sur le modèle complet (d'ordre 9). Ce régulateur peut être à « gains programmables » à la condition de connaitre à tout instant la charge (par mesure directe ou par estimation). Dans ce cas le modèle de commande sera le même que le modèle de simulation [Kvieska 2010], comme nous le verrons dans le sous-paragraphe qui portera sur la commande de ces systèmes.

Si nous souhaitons synthétiser des régulateurs dans le domaine fréquentiel, de type PI ou RST, il et alors primordial de linéariser le modèle entrée/sortie et surtout réduire l'ordre du système en tenant compte de l'étude faite sur l'analyse dynamique du sous paragraphe III.2.1.

Dans [Abdeljalil 2006] nous avons proposé deux techniques pour l'obtention de modèles de commande simplifiés. La première approche est dite comportementale où nous avons à identifier des modèles du 1er ou du 2nd ordre en fonction des sorties à commander. Quant à la seconde approche, elle basée sur la simplification de modèle par la technique des perturbations singulières. Sans perte de généralité ces deux techniques ont été appliquées au simulateur composé d'un alternateur associé à une charge de type « PQ » remplacée par son équivalent en charge « RL ».

Le modèle du simulateur (basé sur le modèle (2.33) obtenu à partir de la combinaison des équations (2.27), (2.28) et (2.32)) est :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\left[ \frac{\underline{\underline{O}}_{2,1}}{\underline{\underline{V}}_r} \right] = \left[ \frac{\underline{\underline{R}}_{ss}}{\underline{\underline{R}}_{sr}} \quad \frac{\underline{\underline{R}}_{sr}}{\underline{\underline{R}}_{rr}} \right] \cdot \left[ \underline{\underline{i}}_s \quad \underline{\underline{i}}_r \right] + \left[ \frac{\underline{\underline{L}}_{ss}}{\underline{\underline{L}}_{sr}} \quad \frac{\underline{\underline{L}}_{sr}}{\underline{\underline{L}}_{rr}} \right] \cdot \frac{d}{dt} \left[ \underline{\underline{i}}_s \quad \underline{\underline{i}}_r \right] \\[1em]
\underline{\underline{V}}_s = \begin{bmatrix} R^c & -\omega L^c \\ \omega L^c & R^c \end{bmatrix} \underline{\underline{i}}_s + \begin{bmatrix} L^c & 0 \\ 0 & L^c \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \underline{\underline{i}}_s \\[1em]
\frac{d\omega}{dt} = \frac{p^2 P_m}{J \omega} - \frac{p^2}{J} \left( (L_d i_d + M_{fd} i_f + M_{dD} i_D) i_q - (L_q i_q + M_{qQ} i_Q) i_d \right) - \frac{f}{J} \omega
\end{array}
\right.
\quad (4.5)
$$

L'équation de sortie est :

$$
\underline{Y} = \begin{bmatrix} V_{eff} \\ \omega \end{bmatrix} = \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{V_d^2 + V_q^2} \right] \qquad (4.6)
$$

$$
Où : \underline{V}_s = \begin{bmatrix} V_d \\ V_q \end{bmatrix}, \underline{V}_r = \begin{bmatrix} V_f \\ 0 \end{bmatrix}, \underline{i}_s = \begin{bmatrix} i_d \\ i_q \end{bmatrix}, \underline{i}_r = \begin{bmatrix} i_f \\ i_D \\ i_Q \end{bmatrix},
$$

$$
\underline{\underline{R}}_{ss} = \begin{bmatrix} R_{sT} & -\omega L_{qT} \\ \omega L_{dT} & R_{sT} \end{bmatrix}, \underline{\underline{R}}_{sr} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -\omega M_{qq} \\ \omega M_{fd} & \omega M_{dD} & 0 \end{bmatrix} \text{ et } \underline{\underline{R}}_{rr} = \begin{bmatrix} R_f & 0 & 0 \\ 0 & R_D & 0 \\ 0 & 0 & R_Q \end{bmatrix}
$$

$$
\underline{\underline{L}}_{ss} = \begin{bmatrix} L_{dT} & 0 \\ 0 & L_{qT} \end{bmatrix}, \underline{\underline{L}}_{sr} = \begin{bmatrix} M_{fd} & M_{dD} & 0 \\ 0 & 0 & M_{qQ} \end{bmatrix} \text{ et } \underline{\underline{L}}_{rr} = \begin{bmatrix} L_f & M_{fD} & 0 \\ M_{fD} & L_D & 0 \\ 0 & 0 & L_Q \end{bmatrix}
$$
$$
R_{sT} = R_s + R^c, L_{dT} = L_d + L^c \text{ et } L_{qT} = L_q + L^c
$$

Pour rappel Pm est la puissance mécanique fournie par l'entraînement mécanique (turbine,
diesel, ...).

Remarque : En vue d'alléger l'écriture tous les indices et les exposants utilisés dans le chapitre
II.2 ont été supprimées dans les équations (4.5) et (4.6).

IV.2.2.1. Modélisation Comportementale

Le schéma de régulation de la tension efficace de sortie V<sub>eff</sub> est de type cascade. La boucle externe porte naturellement sur la tension V<sub>eff</sub>, mais la boucle interne porte sur la régulation du courant de l'excitatrice i<sub>f</sub>. Cette technique permet d'assurer le maintien du courant d'excitation dans les limites physiques acceptables de l'alternateur. Le signal de commande est la tension V<sub>f</sub> de l'excitatrice. Le schéma ci-après montre cette stratégie de commande.

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>Figure 4.6 : Régulation de la tension efficace de la MS à rotor bobiné</figcaption></figure>

D'après la figure ci-avant les transferts à identifier sont ceux entre Vf et if ainsi qu'entre
Vf et Veff. L'identification comportementale consiste à exciter l'alternateur par un signal Vf
suffisamment riche en fréquences et en fonction de l'analyse des réponses de Veff et if un
modèle comportemental est proposé et des méthodes d'estimation paramétrique sont
appliquées. Il est important de rappeler que dans la partie « Alternateur » du schéma de la figure
4.6 des perturbations sous la forme de variation de charge doivent être prises en compte. Ces
perturbations peuvent avoir un effet non négligeable sur le modèle obtenu après l'identification
comportementale. Le choix s'est porté sur l'identification de l'alternateur à vide. Les
perturbations sont alors rejetées en utilisant des régulateurs robustes. Cette approche par
identification comportementale ne nécessite pas l'étape fastidieuse de l'identification des
paramètres physiques de l'alternateur. Quelques essais très simples à vide suffisent pour obtenir
les modèles de commande.

La procédure d'identification mise en place est comme suit :

1. Excitation de l'alternateur à vide par un échelon de tension V<sub>f</sub>.

2. Mesure et analyse des signaux de sorties V<sub>eff</sub> et i<sub>f</sub>.

3. Identification des fonctions de transfert par la méthode des moindres carrées basées sur l'erreur de sortie.

4. Eventuelle simplifications de ces fonctions de transfert.

Pour illustrer la méthode, des essais sont réalisés sur le simulateur représenté par les équations (4.5) et (4.6).

La figure ci-après présente les courbes de réponses de *i*<sub>*f*</sub> en fonction d'un échelon *V*<sub>*f*</sub>.
<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>Figure 4.7 : Réponses simulée et identifiée de $i_f$ à un échelon de $V_f = 0.3pu$ (a), et l'erreur relative (b) [Abdeljalil 2006]</figcaption></figure>

Les grandeurs sont présentées en valeurs normalisées (« pu » : per unit). Sur cette figure 4.7 (a) on peut remarquer que le courant démarre de zéro avec une dérivée non nulle ; il accroît rapidement jusqu'à environ 0.23 pu ; puis l'accroissement ralentit pour tendre vers une valeur finale d'environ 0.31 pu. Ce type de réponse est la signature d'une fonction de transfert de degré relatif 1 avec un zéro proche d'un pôle lent sans être plus petit que le pôle lent en valeur absolue. Le transfert peut être alors de la forme :

$$G_{V_f \to i_f}(p) = \frac{i_f(p)}{V_f(p)} = \frac{K_1(p-z_1)}{(p-p_1)(p-p_2)} \quad (4.7)$$

Après estimation paramétrique (nous avons utilisé les fonctions d'identification de la toolbox identification de Matlab) nous obtenons les valeurs suivantes :

$$K_1 = 8.21, z_1 = -0.167, p_1 = -0.119 \text{ et } p_2 = -1.78$$

Sur la figure 4.7 (a) sont superposées la réponse du simulateur et celle du modèle (4.7). Nous pouvons constater la concordance entre les deux courbes. Ce qui est confirmé par la courbe représentant l'erreur relative entre les deux courants (figure 4.7 (b)). L'erreur relative ne dépasse pas 0.065%.

Sur la figure ci-après nous avons refait les simulations pour un échelon $V_f$ de 1 pu. La figure 4.8 (a) représente les courbes de réponses du simulateur et de la fonction de transfert (4.7) identifiée précédemment (avec l'échelon de 0.3 pu). L'erreur relative maximale est de 13%. Comme nous le verrons plus loin dans ce chapitre les correcteurs robustes choisis ne seront pas déstabilisés par ces erreurs.

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Figure 4.8 : Réponses simulée et identifiée de $i_f$ à un échelon de $V_f = 1pu$ (a), et l'erreur relative (b) [Abdeljalil 2006]</figcaption></figure>
Le schéma de régulation de la figure 4.6 montre que la fonction de transfert nécessaire pour la synthèse du régulateur de $V_{eff}$ est $G_{i_f\_ref\_\to V_{eff}}(p) = \frac{V_{eff}(p)}{i_f\_ref(p)}$, ce qui sous-entend que son identification nécessite d'abord la synthèse du régulateur de $i_f$. Or, pratiquement, il est plus aisé d'identifier d'abord les transferts de l'alternateur avant de lui adjoindre la partie commande. De ce fait, le transfert $G_{i_f\_ref\_\to V_{eff}}(p)$ peut être obtenu par la combinaison suivante :

$$G_{i_f\_ref\_\to V_{eff}}(p) = G_{i_f\_ref\_\to i_f}(p)G_{i_f\_ref\_\to V_{eff}}(p) = G_{i_f\_ref\_\to i_f}(p)G_{i_f\_ref\_\to V_{eff}}(p)G_{V_{f}\_\to V_{eff}}(p) \quad (4.8)$$

Pendant l'étape d'identification il suffit d'identifier seulement le transfert $G_{V_{f}\_\to V_{eff}}(p)$ en plus du transfert $G_{V_{f}\_\to i_f}(p)$ identifié précédemment. Le transfert $G_{i_f\_ref\_\to i_f}(p)$ ne sera calculé qu'une fois arriver à l'étape synthèse des régulateurs.

Nous procédons de la même manière que précédemment pour l'identification du transfert $G_{V_{f}\_\to V_{eff}}(p)$. A savoir, nous appliquons un échelon d'entrée $V_f$, puis une analyse de la courbe de réponse $V_{eff}$ est analysée pour fixer la forme du transfert avant d'appliquer des méthodes des moindres carrés pour estimer les paramètre du transfert.

La figure ci-après présente les courbes de réponses de $V_{eff}$ en fonction d'un échelon $V_f$.

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Figure 4.9 : Réponses simulée et identifiée de $V_{eff}$ à un échelon de $V_f = 0.3pu$ (a), et l'erreur relative (b) [Abdeljalil 2006]</figcaption></figure>

La courbe de la figure 4.9 (a) est la réponse type d'un transfert du 1er ordre. Le transfert peut être alors de la forme :

$$G_{V_f \to V_{eff}}(p) = \frac{V_{eff}(p)}{V_f(p)} = \frac{K_2}{p - p_3} \quad (4.9)$$

L'estimation paramétrique nous permet d'obtenir : $K_2 = 4.2$ et $p_3 = -0.122$.

La comparaison de la tension efficace obtenue par le simulateur et celle obtenue par le transfert (4.9) est faite sur la figure 4.9 (a). Nous pouvons remarquer la concordance entre les deux courbes. Ce qui est corroboré par la courbe de l'erreur relative (figure 4.9 (b)) où elle ne dépasse pas les 2.5%.

Il est maintenant possible de calculer le transfert entre $i_f$ et $V_{eff}$ :

$$G_{i_f \to V_{eff}}(p) = G_{i_f \to V_f}(p)G_{V_f \to V_{eff}}(p) = \frac{K_2(p - p_1)(p - p_2)}{K_1(p - z_1)(p - p_3)} \quad (4.10)$$
Nous remarquons que les pôles $p_1 = -0.119$ et $p_3 = -0.12$ sont assez proche. Il est alors naturel de simplifier le transfert $G_{i_f \to V_{eff}}(p)$ en vue de simplifier plus tard l'ordre des régulateurs à synthétiser.

Après une simplification manuel nous aboutissons à :

$$G_{i_f \to V_{eff}}(p) = G_{i_f \to V_f}(p) G_{V_f \to V_{eff}}(p) = \frac{K_2 p_1 (p-p_2)}{K_1 p_3 (p-z_1)} \quad (4.11)$$

Les courbes ci-après montrent la comparaison entre les réponses des transferts (4.10) et (4.11). L'erreur relative maximale entre ces deux réponses n'excède pas les 2.5%.

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>Figure 4.10 : Comparaison des réponses indicielles des transferts (4.10) et (4.11) [Abdeljalil 2006]</figcaption></figure>

### IV.2.2.2. Simplification du modèle par la méthode des perturbations singulières

Contrairement à la méthode présentée ci-avant, qui ne nécessite aucune connaissance du modèle du réseau pour l'obtention des modèles de commande, dans ce sous-paragraphe nous présentons une méthode systématique pour l'obtention de modèle linéaire de commande en partant du modèle de l'alternateur associé à une charge de type « PQ ». Cette méthode se base sur la méthode des perturbations singulières pour séparer les modes lents et rapides et ainsi simplifier les ordres des modèles.

La procédure de modélisation est :

1. Simplification du modèle représenté par les équations (4.5) et (4.6).

2. Linéarisation du modèle simplifié autour du point de fonctionnement.

3. Séparation des modes lents et rapides.

4. Etablissement des différents transferts.

#### a- Simplification du modèle

En régime établi les courants des amortisseurs $i_D$ et $i_Q$ sont nuls. Par conséquent nous éliminons dans le modèle du système (4.5) les lignes et les colonnes correspondantes à ces courants. Ce qui nous permet d'aboutir au modèle :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} V_f = \begin{bmatrix} R_{sT} & -\omega L_{qT} & 0 \\ \omega L_{dT} & R_{sT} & \omega M_{fd} \\ 0 & 0 & R_f \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d \\ i_q \\ i_f \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} L_{dT} & 0 & M_{fd} \\ 0 & L_{qT} & 0 \\ M_{fd} & 0 & L_f \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} i_d \\ i_q \\ i_f \end{bmatrix} \\
\\
\underline{V}_s = \begin{bmatrix} R^c & -\omega L^c \\ \omega L^c & R^c \end{bmatrix} \underline{i}_s + \begin{bmatrix} L^c & 0 \\ 0 & L^c \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \underline{i}_s \\
\\
\frac{d\omega}{dt} = \frac{p^2 P_m}{J \omega} - \frac{p^2}{J} \left( (L_d - L_q)i_d i_q + M_{fd} i_f i_q \right) - \frac{f}{J} \omega
\end{array}
\right.
\qquad (4.12)
$$

$R^c$ et $L^c$ sont les valeurs de la résistance et de l'inductance équivalentes d'une charge « PQ » (voir l'équation du paragraphe II.3.3.3.b).

Ainsi, le modèle d'état réduit du système est :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{d\underline{x}_e}{dt} = \underline{\underline{A}}_{sys\_r}(\omega)\underline{x}_e + \underline{\underline{B}}_{sys\_r}V_f \\
\\
\frac{d\omega}{dt} = f(\underline{x}_e, \omega, P_m) \\
\\
\underline{\underline{V}}_s = \underline{\underline{C}}_{sys\_r}(\omega)\underline{x}_e + \underline{\underline{D}}_{sys\_r}V_f
\end{array}
\right.
\qquad (4.13)
$$

L'équation de sortie (4.6) reste inchangée et est de la forme :

$$
\underline{Y} = \begin{bmatrix} V_{eff} \\ \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g(\underline{x}_e, \omega, V_f) \end{bmatrix} \qquad (4.14)
$$

$$
Où : \underline{x}_e = \begin{bmatrix} i_d \\ i_q \\ i_f \end{bmatrix}, \underline{\underline{A}}_{sys\_r}(\omega) = \begin{bmatrix} -\frac{R_{sT}L_f}{A} & \frac{\omega L_{qT}L_f}{A} & \frac{R_f M_{fd}}{A} \\ -\frac{\omega L_{dT}}{L_{qT}} & -\frac{R_{sT}}{L_{qT}} & -\frac{\omega M_{fd}}{L_{qT}} \\ \frac{R_{sT}M_{fd}}{A} & -\frac{\omega L_{qT}M_{fd}}{A} & -\frac{R_f L_{dT}}{A} \end{bmatrix}, \underline{\underline{B}}_{sys\_r} = \begin{bmatrix} -\frac{M_{fd}}{A} \\ 0 \\ \frac{L_{dT}}{A} \end{bmatrix},
$$

$$
\underline{\underline{C}}_{sys\_r}(\omega) = \begin{bmatrix} R^c - L^c \frac{R_{sT}L_f}{A} & -\omega L^c \left(1 - \frac{L_{qT}L_f}{A}\right) & L^c \frac{R_f M_{fd}}{A} \\ \omega L^c \left(1 - \frac{L_{dT}}{L_{qT}}\right) & R^c - L^c \frac{R_{sT}}{L_{qT}} & -\omega L^c \frac{M_{fd}}{L_{qT}} \end{bmatrix} \text{ et } \underline{\underline{D}}_{sys\_r} = \begin{bmatrix} -L^c \frac{M_{fd}}{A} \\ 0 \end{bmatrix}
$$

$$
f(\underline{x}_e, \omega, P_m) = \frac{p^2 P_m}{J \omega} - \frac{p^2}{J} \left( (L_d - L_q)i_d i_q + M_{fd} i_f i_q \right) - \frac{f}{J} \omega
$$

$$
g(\underline{x}_e, \omega, V_f) = \frac{1}{\sqrt{3}} \|\underline{V}_s\|
$$

$$
A = L_{dT} L_f - M_{fd}^2
$$

Notons que dans l'équation d'état (4.13) le vecteur d'entrée est composé de la tension d'excitation $V_f$ et de la puissance mécanique $P_m$.

b- Linéarisation autour d'un point de fonctionnement

Soient $\underline{x}_{e0}$, $\omega_0$, $V_{f0}$, $P_{m0}$ et $V_{eff0}$ les valeurs des différentes grandeurs en un point d'équilibre du système. Soient $\tilde{\underline{x}}_e$, $\tilde{\omega}$, $\tilde{V}_f$, $\tilde{P}_m$ et $\tilde{V}_{eff}$ des petites variations des différentes grandeurs autour du point d'équilibre. Nous avons alors les relations : $\underline{x}_e = \underline{x}_{e0} + \tilde{\underline{x}}_e$, $\omega = \omega_0 + \tilde{\omega}$, $V_f = V_{f0} + \tilde{V}_f$, $P_m = P_{m0} + \tilde{P}_m$ et $V_{eff} = V_{eff0} + \tilde{V}_{eff}$.
Le point d'équilibre est alors :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
i_{q0} = -V_{eff0}R_{sT}\sqrt{\frac{3}{\omega_0^2(R^cL_{qT}-R_{sT}L^c)^2+(\omega_0^2 L_{qT}L^c+R_{sT}R^c)^2}} \\
i_{d0} = \omega_0 \frac{L_{qT}}{R_{sT}} i_{q0} \\
i_{f0} = -\frac{1}{\omega_0 M_{fd}}(\omega_0^2 \frac{L_{dT}L_{qT}}{R_{sT}} + R_{sT}) i_{q0} \\
V_{f0} = R_f i_{f0} \\
0 = p^2 P_{m0} + \omega_0^2 (p^2 \frac{L_{qT}^2}{R_{sT}} i_{q0}^2 - f) + p^2 R_{sT} i_{q0}^2 \\
\underline{V}_{s0} = \begin{bmatrix} \omega_0 \frac{R^c L_{qT} - R_{sT} L^c}{R_{sT}} \\ \omega_0^2 \frac{L^c L_{qT}}{R_{sT}} + R^c \end{bmatrix} i_{q0} \\
V_{eff0} = \frac{1}{\sqrt{3}} \|\underline{V}_{s0}\|
\end{array}
\right.
\qquad (4.15)
$$

Le modèle d'état du système linéarisé autour du point de fonctionnement est :

$$
\left\{
\begin{aligned}
\frac{d\tilde{\underline{x}}_e}{dt} &= \underline{\underline{A}}_{e1}\tilde{\underline{x}}_e + \underline{\underline{A}}_{e2}\tilde{\omega} + \underline{\underline{B}}_{sys_r}\tilde{V}_f \\
\frac{d\tilde{\omega}}{dt} &= \underline{\underline{A}}_{\omega1}\tilde{\underline{x}}_e + \underline{\underline{A}}_{\omega2}\tilde{\omega} + \underline{\underline{B}}_{\omega}\tilde{P}_m \\
\underline{\underline{V}}_s &= \underline{\underline{C}}_{v1}\tilde{\underline{x}}_e + \underline{\underline{C}}_{v2}\tilde{\omega} + \underline{\underline{D}}_{sys_r}\tilde{V}_f
\end{aligned}
\right.
\qquad (4.16)
$$

L'équation de sortie est :

$$
\tilde{\underline{Y}} = \begin{bmatrix} \tilde{V}_{eff} \\ \tilde{\omega} \end{bmatrix} = \underline{\underline{C}}_{y1} \tilde{\underline{x}}_e + \underline{\underline{C}}_{y2} \tilde{\omega} + \underline{\underline{D}}_{y} \tilde{V}_f \quad (4.17)
$$

Avec : $\underline{\underline{A}}_{e1} = \underline{\underline{A}}_{sys\_r}(\omega_0)$, $\underline{\underline{A}}_{e2} = \frac{d\underline{\underline{A}}_{sys\_r}}{d\omega}(\omega_0)\underline{\underline{x}}_{e0}$,

$$
\underline{\underline{A}}_{\omega 1} = \frac{\partial f}{\partial \underline{x}_e^T} (\underline{x}_{e0}, \omega_0, P_{m0}), \underline{\underline{A}}_{\omega 2} = \frac{\partial f}{\partial \omega} (\underline{x}_{e0}, \omega_0, P_{m0}), \underline{\underline{B}}_{\omega} = \frac{\partial f}{\partial P_m} (\underline{x}_{e0}, \omega_0, P_{m0})
$$

$$
\underline{\underline{C}}_{y1} = \begin{bmatrix} \frac{\partial g}{\partial \underline{x}_e^T} (\underline{x}_{e0}, \omega_0, V_{f0}) \\ \underline{\underline{0}}_{1,3} \end{bmatrix}, \underline{\underline{C}}_{y2} = \begin{bmatrix} \frac{\partial g}{\partial \omega} (\underline{x}_{e0}, \omega_0, V_{f0}) \\ 1 \end{bmatrix}, \underline{\underline{D}}_{y} = \begin{bmatrix} \frac{\partial g}{\partial V_f} (\underline{x}_{e0}, \omega_0, V_{f0}) \\ 0 \end{bmatrix}
$$

$$
\underline{\underline{C}}_{v1} = \underline{\underline{C}}_{sys\_r}(\omega_0), \underline{\underline{C}}_{v2} = \frac{d\underline{\underline{C}}_{sys\_r}}{d\omega}(\omega_0)\underline{\underline{x}}_{e0}
$$

c- Séparation des modes lents et rapides et réduction de modèle

Le modèle d'état (4.16) réduit et linéarisé du système est composé de deux ensembles de
variables d'état. Le premier, $\tilde{\underline{x}}_e$, a des dynamiques très rapides par rapport au deuxième $\tilde{\omega}$.
L'approche traditionnelle, comme sous-entendu en IV.2.2.1, consiste à séparer manuellement
les deux sous-ensembles. Cela consiste à synthétiser un régulateur pour le sous-ensemble $\tilde{\underline{x}}_e$,
dynamiques rapides, en ne tenant pas compte de la dynamique lente $\tilde{\omega}$. Ensuite, synthétiser un
régulateur pour l'autre sous-ensemble $\tilde{\omega}$, dynamique lente, en supposant que $\tilde{\underline{x}}_e$ est déjà en
régime permanent. Or, du fait des dynamiques rapides de $\tilde{\underline{x}}_e$, une variation même lente de $\tilde{\omega}$
aura des effets qui sont non négligeables sur le premier sous-ensemble. D'où la nécessité de
tenir compte de ces effets, en faisant appel à la méthode des perturbations singulières, [Cao
2002, Fossard 2004, Khalil 2001, Kocotovic 1986, Subbaram Naidu 2002], pour séparer plus
finement ces deux sous-ensembles. Cette technique consiste à séparer les variables d'état rapide
$\tilde{\mathbf{x}}_e$ en deux composantes $\tilde{\mathbf{x}}_{el}$ et $\tilde{\mathbf{x}}_{er}: \tilde{\mathbf{x}}_e = \tilde{\mathbf{x}}_{el} + \tilde{\mathbf{x}}_{er}$. La première composante $\tilde{\mathbf{x}}_{el}$ est lente et
dépend spécifiquement de la variable d'état lente $\tilde{\omega}$. Dans ce cas le signal de commande « lent »
est $\tilde{P}_m$, $\tilde{V}_f$ est considéré nul. Quant à la seconde $\tilde{\mathbf{x}}_{er}$ elle est rapide et elle ne dépend que de sa
propre dynamique. Dans ce cas le signal de commande « rapide » est $\tilde{V}_f$, $\tilde{P}_m$ est considéré nul.
La variable d'état lente $\tilde{\omega}$ ne se compose que de sa propre dynamique lente. Nous négligeons
sa réaction par rapport aux variations rapides de $\tilde{\mathbf{x}}_e : \tilde{\omega} = \tilde{\omega}_l$.

Pour ce faire, nous réécrivons le modèle d'état (4.16) sous la forme :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \epsilon \frac{d\tilde{\mathbf{x}}_e}{dt} = f_e(\tilde{\mathbf{x}}_e, \tilde{\omega}, \tilde{V}_f) = \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e1}\tilde{\mathbf{x}}_e + \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e2}\tilde{\omega} + \underline{\underline{\mathbf{B}}}_{sys,r}\tilde{V}_f \\[1em]
\displaystyle \frac{d\tilde{\omega}}{dt} = f_\omega(\tilde{\mathbf{x}}_e, \tilde{\omega}, \tilde{P}_m) = \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{\omega1}\tilde{\mathbf{x}}_e + \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{\omega2}\tilde{\omega} + \underline{\underline{\mathbf{B}}}_{\omega}\tilde{P}_m
\end{array}
\right.
\qquad (4.18)
$$

$\epsilon$ n'a qu'une valeur qualitative, même si dans notre cas une valeur numérique puisse lui être attribuée (voir [Abdeljalil 2006, De Leon Morales 2001a, Sauer 1988]). $\epsilon$ va servir à séparer les modes lents et rapides et à simplifier le modèle. D'ailleurs même s'il existe des modèles de systèmes où il est difficile de définir clairement une valeur numérique de $\epsilon$, sachant qu'il existe des dynamiques lentes et rapides, il est possible d'introduire de façon formelle $\epsilon$ en le multipliant aux dérivées des variables à dynamiques rapides. On parle de perturbations singulières forcées [Fossard 2004].

Dans [Abdeljalil 2006] la valeur formelle de ε est :

$$
\epsilon = \frac{\sqrt{AL_f}}{R_f L_{dT} \sqrt{J\omega_0}} \qquad (4.19)
$$

D'ailleurs, en traçant l'évolution de ε en fonction des puissances active *P* et réactive *Q* variant de 0 à 1.5 *pu*, figure 4.11, nous pouvons remarquer qu'il ne dépasse jamais 0.06.

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>Figure 4.11 : Evolution de ε en fonction des puissances active et réactive [Abdeljalil 2006]</figcaption></figure>

Pour notre application la valeur de ε n'a qu'une valeur qualitative. Pour obtenir les composantes lentes nous faisons tendre ε vers 0, le modèle (4.19) s'écrit :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\underline{\underline{0}}_{3,1} = f_e(\underline{\underline{\mathbf{x}}}_e, \tilde{\omega}, \tilde{V}_f) = \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e1}\underline{\underline{\mathbf{x}}}_{el} + \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e2}\tilde{\omega}_l \\
\frac{d\tilde{\omega}_l}{dt} = f_\omega(\underline{\underline{\mathbf{x}}}_e, \tilde{\omega}, \tilde{P}_m) = \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{\omega1}\underline{\underline{\mathbf{x}}}_{el} + \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{\omega2}\tilde{\omega}_l + \underline{\underline{\mathbf{B}}}_{\omega}\tilde{P}_m
\end{array}
\right.
\qquad (4.20)
$$
L'équation algébrique du système (4.20) nous permet de calculer $\tilde{\mathbf{x}}_{el}$ en fonction de $\tilde{\omega}_l$
pour le réinjecter dans l'équation différentielle du système (4.20) et ainsi calculer $\tilde{\omega}_l$. En effet,
$\underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e1}$ étant inversible, det $\underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e1} = -\frac{R_f}{AL_{qT}}(R_{sT}^2 + \omega_0^2 L_{dT} L_{qT}) \neq 0$, l'expression de $\tilde{\mathbf{x}}_{el}$ est :

$$
\tilde{\mathbf{x}}_{el} = f_{el}(\tilde{\omega}_l) = -\underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e1}^{-1} \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e2} \tilde{\omega}_l \quad (4.21)
$$

Où $\tilde{\omega}_l$ s'obtient en remplaçant l'expression de $\tilde{\mathbf{x}}_{el}$ dans l'équation différentielle du système (4.20) :

$$
\frac{d\tilde{\omega}_l}{dt} = f_{\omega l}(\tilde{\omega}_l, \tilde{P}_m) = \left( \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{\omega 2} - \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{\omega 1} \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e1}^{-1} \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e2} \right) \tilde{\omega}_l + \underline{\underline{\mathbf{B}}}_{\omega} \tilde{P}_m \quad (4.22)
$$

Les solutions des équations (4.21) et (4.22) sont appelées solutions lentes, réduites ou extérieures.

Il nous reste qu’à calculer la composante rapide $\tilde{\mathbf{x}}_{er}$ des dynamiques rapides. A partir de la relation $\tilde{\mathbf{x}}_{e} = \tilde{\mathbf{x}}_{el} + \tilde{\mathbf{x}}_{er}$ nous déduisons :

$$
\frac{d\tilde{\mathbf{x}}_e}{dt} = \frac{\partial f_{el}}{\partial \tilde{\omega}_l}(\tilde{\omega}_l) \frac{d\tilde{\omega}_l}{dt} + \frac{d\tilde{\mathbf{x}}_{er}}{dt} \quad (4.23)
$$

En remplaçant l'équation ci-avant dans (4.18) $\tilde{\mathbf{x}}_e$ par $\tilde{\mathbf{x}}_{el} + \tilde{\mathbf{x}}_{er}$ et en utilisant les résultats obtenus dans (4.21) et (4.22) nous aboutissons à :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \varepsilon \frac{d\tilde{\mathbf{x}}_{er}}{dt} = f_e(f_{el}(\tilde{\omega}_l) + \tilde{\mathbf{x}}_{er}, \tilde{\omega}_l, \tilde{V}_f) - \varepsilon \frac{\partial f_{el}}{\partial \tilde{\omega}_l}(\tilde{\omega}_l) \frac{d\tilde{\omega}_l}{dt} \\[1em]
\displaystyle \frac{d\tilde{\omega}_l}{dt} = f_{\omega}(f_{el}(\tilde{\omega}_l) + \tilde{\mathbf{x}}_{er}, \tilde{\omega}_l, \tilde{P}_m)
\end{array}
\right.
\qquad (4.24)
$$

Nous changeons d'échelle de temps en posant $\tau = \frac{t}{\epsilon}$, ce qui permet de réécrire l'équation (4.24) sous la forme :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d\tilde{\mathbf{x}}_{er}}{d\tau} = f_e(f_{el}(\tilde{\omega}_l) + \tilde{\mathbf{x}}_{er}, \tilde{\omega}_l, \tilde{V}_f) - \frac{\partial f_{el}}{\partial \tilde{\omega}_l}(\tilde{\omega}_l) \frac{d\tilde{\omega}_l}{d\tau} \\[1em]
\displaystyle \frac{d\tilde{\omega}_l}{d\tau} = \varepsilon f_{\omega}(f_{el}(\tilde{\omega}_l) + \tilde{\mathbf{x}}_{er}, \tilde{\omega}_l, \tilde{P}_m)
\end{array}
\right.
\qquad (4.25)
$$

Quand $\epsilon \to 0$, on obtient :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d\tilde{\mathbf{x}}_{er}}{d\tau} = f_e(f_{el}(\tilde{\omega}_l) + \tilde{\mathbf{x}}_{er}, \tilde{\omega}_l, \tilde{V}_f) \\
\displaystyle \frac{d\tilde{\omega}_l}{d\tau} = 0
\end{array}
\right.
$$

Ce qui revient à :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d\tilde{\mathbf{x}}_{er}}{d\tau} = f_{er}(\tilde{\mathbf{x}}_{er}, \tilde{V}_f) = \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e1}\tilde{\mathbf{x}}_{er} + \underline{\underline{\mathbf{B}}}_{sys\_r}\tilde{V}_f \\[1em]
\displaystyle \frac{d\tilde{\omega}_l}{d\tau} = 0
\end{array}
\right.
\qquad (4.26)
$$

La solution du système (4.26) est appelée solution dans la couche limite.
En résumé, nous avons réduit la représentation d'état du système (4.5) pour la mettre sous la forme :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{d\tilde{\omega}_l}{dt} = f_{\omega l}(\tilde{\omega}_l, \tilde{P}_m) = (\underline{\underline{\mathbf{A}}}_{\omega 2} - \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{\omega 1}\underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e1} - \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e2}) \tilde{\omega}_l + \underline{\underline{\mathbf{B}}}_{\omega} \tilde{P}_m \\
\\
\frac{d\tilde{\mathbf{x}}_{er}}{d\tau} = f_{er}(\tilde{\mathbf{x}}_{er}, \tilde{V}_f) = \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e1} \tilde{\mathbf{x}}_{er} + \underline{\underline{\mathbf{B}}}_{\text{sys}_r} \tilde{V}_f \\
\\
\underline{\underline{\mathbf{x}}}_{el} = f_{el}(\tilde{\omega}_l) = -\underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e1}^{-1} \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e2} \tilde{\omega}_l \\
\\
\underline{\underline{\mathbf{x}}}_e = \underline{\underline{\mathbf{x}}}_{el} + \underline{\underline{\mathbf{x}}}_{er} \\
\\
\tilde{\omega} = \tilde{\omega}_l
\end{array}
\right.
\qquad (4.27)
$$

L'équation de sortie (4.17) se réécrit comme suit :

$$
\tilde{\mathbf{Y}} = \begin{bmatrix} \tilde{V}_{eff} \\ \tilde{\omega}_l \end{bmatrix} = \underbrace{\underline{\underline{\mathbf{C}}} \underline{\underline{\mathbf{x}}}_{er} + \underline{\underline{\mathbf{D}}} \tilde{V}_f}_{\tilde{\mathbf{Y}}_r} + \underbrace{\left( \underline{\underline{\mathbf{C}}}_{y2} - \underline{\underline{\mathbf{C}}}_{y1} \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e1}^{-1} \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{e2} \right) \tilde{\omega}_l}_{\tilde{\mathbf{Y}}_l} \quad (4.28)
$$

Où : $\tilde{\mathbf{Y}}_r = \begin{bmatrix} \tilde{V}_{eff\_r} \\ 0 \end{bmatrix}$ et $\tilde{\mathbf{Y}}_l = \begin{bmatrix} \tilde{V}_{eff\_l} \\ \tilde{\omega}_l \end{bmatrix}$. $\tilde{V}_{eff\_r}$ est la composante rapide de $\tilde{V}_{eff}$ et ne dépend que de l'entrée $\tilde{V}_f$. $\tilde{V}_{eff\_l}$ est la composante de $\tilde{V}_{eff}$ qui dépend de $\tilde{\omega}_l$.

d- Etablissement des différents transferts

A partir du système d'équations (4.27) et (4.28) nous pouvons calculer les différents transferts entre $\tilde{V}_f$ et $i_f$ ainsi qu'entre $\tilde{V}_f$ et $\tilde{V}_{eff}$. De la même manière, rien n'empêche de calculer le transfert entre $\tilde{P}_m$ et $\tilde{\omega}_l$.

Le transfert entre $\tilde{V}_f$ et $\tilde{i}_f$ s'obtient :

$$
G_{\tilde{V}_f \to \tilde{i}_f}(p) = \frac{\tilde{i}_f(p)}{\tilde{V}_f(p)} = \underline{\underline{\mathbf{C}}}_{\tilde{i}_f} \left( \underline{\underline{p}}_{\underline{3},3} \underline{\underline{\mathbf{I}}} - \underline{\underline{\mathbf{A}}}_{\underline{e}1} \right)^{-1} \underline{\underline{\mathbf{B}}}_{\underline{\underline{\text{sys}}}_r} \quad (4.29)
$$

Où : $\underline{\underline{\mathbf{C}}}_{\mathit{if}} = [0 \ 0 \ 1]$

Le transfert $G_{\tilde{V}_f \to \tilde{i}_f}(p)$ est sous la forme :

$$
G_{\tilde{V}_f \to \tilde{i}_f}(p) = \frac{b_2 p^2 + b_1 p + b_0}{a_3 p^3 + a_2 p^2 + a_1 p + a_0} \quad (4.30)
$$

Sur la figure ci-après nous présentons le module des pôles et des zéros de $G_{\tilde{V}_f \to \tilde{i}_f}(p)$, en faisant varier les puissances actives *P* et réactives *Q* de 0.1 à 0.7 *pu* sur la figure de gauche et de 0.7 à 1.4 *pu* sur la figure de droite.
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>Figure 4.12 : Evolution du module des pôles et des zéros de $G_{\tilde{V}_f \to \tilde{I}_f}(p)$ en fonction de $P$ et de $Q$</figcaption></figure>

Le module du pôle lent varie entre 0.5 et 1.8, alors que celui des 2 pôles rapides, qui sont complexes conjugués, évolue entre 325 et 570. Quant aux modules des zéros rapides, ils évoluent entre 315 et 437.

En conclusion, nous pouvons simplifier le transfert $G_{\tilde{V}_f \to \tilde{I}_f}(p)$ pour le mettre sous la forme d'un premier ordre :

$$G_{\tilde{V}_f \to \tilde{I}_f}(p) = \frac{K_{if}}{1 + \tau_{if} p} \qquad (4.31)$$

Le transfert entre $\tilde{V}_f$ et $\tilde{V}_{eff}$ est égale au transfert entre $\tilde{V}_f$ et $\tilde{V}_{eff_r}$. Il s'exprime alors :

$$G_{\tilde{V}_f \to \tilde{V}_{eff}}(p) = \frac{\tilde{V}_{eff}(p)}{\tilde{V}_f(p)} = \frac{\tilde{V}_{eff_r}(p)}{\tilde{V}_f(p)} = \underline{C}_{\tilde{V}_{eff}} \left( \underline{C}_{=y1} \left( p \underline{I}_{=3,3} - \underline{A}_{=e1} \right)^{-1} \underline{B}_{=sys_r} + \underline{D}_{=y} \right) \quad (4.32)$$

$$Où : \underline{C}_{\tilde{V}_{eff}} = [1 \ 0]$$

Le transfert $G_{\tilde{V}_f \to \tilde{V}_{eff}}(p)$ est sous la forme :

$$G_{\tilde{V}_f \to \tilde{V}_{eff}}(p) = \frac{b_3 p^3 + b_2 p^2 + b_1 p + b_0}{a_3 p^3 + a_2 p^2 + a_1 p + a_0} \qquad (4.33)$$

Sur les figures ci-après nous présentons le module des pôles et des zéros de $G_{\tilde{V}_f \to \tilde{V}_{eff}}(p)$, en faisant varier les puissances active et réactive de 0.1 à 0.7 pu sur la figure de gauche et de 0.7 à 1.4 pu sur la figure de droite. Sur la figure 4.13 nous présentons le module du pôle lent, comparé au module du zéro lent. Nous constatons qu'ils sont de même ordre de grandeur. Le module du pôle lent varie entre 0.5 et 1.8, alors que celui du zéro lent varie entre 0.75 et 1.85.

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>Figure 4.13 : Evolution du module des pôle et zéro lents de $G_{\tilde{V}_f \to \tilde{V}_{eff}}(p)$ en fonction de $P$ et de $Q$</figcaption></figure>
Quant à la figure 4.14 nous comparons le module des 2 pôles rapides, qui sont complexes conjugués, ainsi que celui des 2 zéros rapides, qui sont aussi complexes conjugués, au module du pôle lent (de $G_{\tilde{V}_f \to \tilde{V}_{eff}}(p)$). Les modules des pôles et les zéros rapides varient entre 325 et 570.

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>Figure 4.14 : Comparaison du module du pôle lent à ceux des pôles et des zéros rapides de $G_{\tilde{V}_f \to \tilde{V}_{eff}}(p)$ en fonction de P et de Q</figcaption></figure>

A partir des deux figures ci-avant nous pouvons simplifier la fonction de transfert $G_{\tilde{V}_f \to \tilde{V}_{eff}}(p)$ sous la forme :

$$G_{\tilde{V}_f \to \tilde{V}_{eff}}(p) = \frac{K_{veff}(1+\tau'_{veff}p)}{1+\tau_{veff}p} \qquad (4.34)$$

Sur les figures qui suivent nous comparons la réponse des différents modèles à ceux obtenus par le simulateur complet. En partant d'une pleine charge, à l'instant 20s une variation de charge (de 5% pour la figure 4.15 et de 10% pour la figure 4.16) est appliquée au simulateur et aux modèles. Quant à la figure 4.17, la charge de départ est une demi-charge et la variation est de 10%. Sur la figure 4.15 l'erreur relative maximale est de 1.3% sur $V_{eff}$ et de 0.3% sur $i_f$. Concernant la figure suivante, l'erreur relative maximale est de 2.5% sur $V_{eff}$ et de 0.5% sur $i_f$. Quant à la dernière figure, l'erreur relative maximale est de 2.8% sur $V_{eff}$ et de 1% sur $i_f$.

Ces résultats nous confortent dans l'idée de l'utilisation des transferts obtenus ci-avant pour la synthèse des différents régulateurs.

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>Figure 4.15 : Comparaison réponses du simulateur et des fonctions de transfert pour 5% de variation en partant d'une pleine charge [Abdeljalil 2006]</figcaption></figure>
<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Figure 4.16 : Comparaison réponses du simulateur et des fonctions de transfert pour 10% de variation en partant d'une pleine charge [Abdeljalil 2006]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Figure 4.17 : Comparaison réponses du simulateur et des fonctions de transfert pour 10% de variation en partant d'une demi-charge [Abdeljalil 2006]</figcaption></figure>
# IV.3. Lois de commande

## IV.3.1. Introduction

Cette partie est décomposée en deux sous-parties. La première concerne un réseau embarqué composé d'une ou de deux génératrices synchrones à rotor bobiné et d'une charge RL équivalente. Nous allons étudier l'influence de la variation de la charge sur le comportement dynamique du système. Pour le contrôle de la tension, nous allons comparer les performances de différents types de régulateurs synthétisés sur les modèles simplifiés : PI, RST ainsi que leurs équivalents à gains programmés ou adaptatifs.

Quant à la seconde partie, le réseau embarqué considéré est spécifique à ceux des navires. Dans notre étude, nous simplifions le réseau en considérant une seule génératrice synchrone à rotor bobiné équivalente et une charge RLC équivalente variable. Ce type de charge permet de simuler le transitoire d'un nombre non négligeable de charges réelles composant un réseau embarqué. La charge varie de façon « brutale » pour simuler la connexion ou la déconnexion d'une ou plusieurs charges du réseau. Pour un meilleur contrôle du niveau de tension du réseau nous avons développé une commande optimale anticipative qui permet de répondre au gabarit de tension imposé par la norme NATO [NATO 1994].

## IV.3.2. Génératrices synchrones à rotor bobiné – charge RL :
 régulateurs RST

L'utilisation d'une génératrice à rotor bobiné nous dispense de l'utilisation d'un étage de convertisseurs statiques pour la connecter sur le bus alternatif (AC). Le schéma de principe d'un tel réseau est présenté sur la figure ci-après. Grâce à ce banc nous pouvons tester le cas d'un réseau embarqué où un seul générateur est en fonction ainsi que celui où deux générateurs sont fonctionnels. La régulation de la fréquence du réseau est assurée par la régulation de la vitesse des turbines.

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>Figure 4.18 : Schéma de principe de la simulation du réseau.</figcaption></figure>
Pour valider les résultats de simulation obtenus nous avons réalisé un banc d'essais expérimental (figure 4.19) composé de deux génératrices synchrones à rotor bobiné entrainées par des moteurs à courant continu. Elles sont connectées sur le bus AC via un synchro-coupleur. Ce banc permet de tester le couplage et le découplage des alternateurs, la variation de la charge et/ou la désynchronisation des alternateurs. La description du banc complet est présentée dans [Abdeljalil 2006].

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>Figure 4.19 : Banc d'essai expérimental [Abdeljalil 2006].</figcaption></figure>

Nous utilisons trois régulateurs différents pour réguler la fréquence et la tension. Un régulateur de vitesse pour la turbine permet de réguler la fréquence du signal électrique. Quant à la tension efficace en sortie de l'alternateur elle est assurée par un double régulateur en cascade : une boucle interne de courant qui l'empêche de prendre des valeurs qui risquent d'endommager l'alternateur ; une boucle externe de la tension efficace qui assure sa régulation. Le schéma de principe de cette régulation est présenté sur la figure ci-après :

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>Figure 4.20 : Schéma de principe du contrôle de la tension en sortie de l'alternateur.</figcaption></figure>
IV.3.2.1. Utilisation de régulateur RST à paramètres fixes

Les régulateurs de fréquence, de tension et de courant utilisés ici sont de type RST. Néanmoins, les résultats de simulation avec des régulateurs de type PI sont présentés dans [Abdeljalil 2006].

Le régulateur RST est un régulateur de type linéaire avec une représentation polynomiale. C'est un régulateur à deux degrés de liberté. En effet, nous pouvons fixer la boucle de retour (feedback) qui gère la régulation (rejet de perturbation, stabilisation, ...) indépendamment de l'action « feedforward » qui gère la poursuite de la consigne. La technique de synthèse du régulateur RST est basée sur le placement de pôles robuste [De Larminat 2002, De Larminat 2009]. Le schéma de principe de l'implantation du régulateur RST avec une action anti-saturation est présenté sur la figure ci-après.

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>Figure 4.21 : Structure du régulateur RST.</figcaption></figure>

Avec la technique de placement de pôles proposée dans [De Larminat 2009] on est assuré d'obtenir une stabilité robuste. Pour robustifier les performances on ajoute un intégrateur dans $S(p) = p S'(p)$ et ainsi obtenir des régulateurs strictement propres.

Le placement des pôles s'obtient à partir des pôles et des zéros du système à contrôler. Si $n$ est l'ordre du système à contrôler, il faut alors placer $n$ pôles de commande et $n + 1$ pôles de filtrages. Ce placement est facilité par l'utilisation de deux horizons : l'horizon de commande $T_c$ et l'horizon de filtrage $T_f$. Grâce à l'horizon de commande on peut construire la dynamique de commande désirée $C(p)$ (polynôme de degré $n$), et la dynamique de filtrage $F(p)$ (polynôme de degré $n + 1$) grâce à l'horizon de filtrage. La dynamique globale du système en boucle fermée est alors : $D(p) = C(p)F(p)$. Les polynômes $S(p)$ et $R(p)$ sont calculés en résolvant l'équation de Bezout :

$$A(p)S(p) + B(p)R(p) = D(p) \qquad (4.35)$$

Où $B(p)$ et $A(p)$ sont respectivement les polynômes du numérateur et du dénominateur de la fonction de transfert du système à contrôler.

L'équation (4.35) a une solution unique à la condition que les degrés de $S(p)$ et de $R(p)$ soient égaux respectivement à $n + 1$ et $n$.

Cette technique est équivalente, dans l'approche d'état, à une commande par retour d'état observé. La partie observateur est équivalente au filtrage et la partie retour d'état est équivalente à la commande. Ainsi, pour rendre le régulateur RST robuste, il faut, en plus du placement de pôles robustes, que le rapport entre les horizons $T_c$ et $T_f$ soient très important. Si $T_f$ est très petit
devant $T_c$ l'approche est alors équivalente à un LTR (Loop Transfer Recovery) primal (LTR en entrée). Si c'est le contraire, $T_c$ est très petit devant $T_f$, c'est alors équivalent à un LTR dual (LTR en sortie).

Les trois régulateurs de la figure 4.20, régulateur de fréquence, de tension et de courant, sont calculés en utilisant le correcteur RST avec le placement de pôles robuste. Ils sont calculés en se basant sur les modèles simplifiés obtenus dans le paragraphe IV.2.2 (modèles en vue de la commande). Dans ce paragraphe nous avons obtenu des modèles comportementaux ainsi que des modèles obtenus à partir de la simplification par perturbations singulières. Nous avons ainsi obtenus plusieurs régulateurs RST :

- un régulateur (Régulateur A) basé sur le modèle comportemental (Equations (4.7) et (4.11))

- un régulateur (Régulateur B) basé sur le modèle par perturbation singulière (Equations (4.31), (4.34)) calculé pour $P = 1$ pu et $Q = 1$ pu.

- un régulateur (Régulateur C) basé sur le modèle par perturbation singulière (Equations (4.31), (4.34)) calculé pour $P = 0.5$ pu et $Q = 0.5$ pu.

- un régulateur (Régulateur D) basé sur le modèle par perturbation singulière (Equations (4.31), (4.34)) calculé pour $P = 0.25$ pu et $Q = 0.25$ pu.

Pour comparer les performances de ces quatre régulateurs nous avons utilisé le simulateur élémentaire composé d'une turbine, d'une génératrice synchrone à rotor bobiné et d'une charge RL variable. Les variations de la charge suivent le profil suivant :

- Pour $0s \le t < 10s$, $P = 0.5$ pu et $Q = 0.5$ pu.

- Pour $10s \le t < 20s$, $P = 0.75$ pu et $Q = 0.75$ pu.

- Pour $20s \le t < 30s$, $P = 1$ pu et $Q = 1$ pu.

- Pour $30s \le t < 40s$, $P = 0.53$ pu et $Q = 0.75$ pu.

- Pour $40s \le t < 50s$, $P = 0.5$ pu et $Q = 0.5$ pu.

- Pour $50s \le t < 60s$, $P = 0.25$ pu et $Q = 0.25$ pu.

Une fois les régulateurs synthétisés à partir des modèles simplifiés, ils sont mis en service sur le simulateur complet (modèle non simplifié). La figure ci-après présente des zooms de tension efficace pris aux instants de variation de la charge. En régime permanent, la tension efficace $V_{eff}$ est égale à 1 pu. Nous pouvons remarquer que quel que soit le régulateur considéré la tension ne s'éloigne pas plus de 1.5% autour de la tension nominale (La norme fixée, pour les réseaux embarqués de bateau, dans [NATO 1994] impose ±5% autour de la valeur nominale pendant le fonctionnement normale et ±20% pendant un fort impact de charge ; dans ce dernier cas la tension efficace doit revenir à ±5% au bout d'au plus 2s).
<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>Figure 4.22 : Evolution de la tension efficace pour différents régulateurs RST à paramètres fixes [Abdeljalil 2006].</figcaption></figure>

Il est primordial de vérifier que la tension d'excitation et le courant d'excitation, qui sont des conséquences de la commande, restent dans des intervalles acceptables. La figure ci-après montre l'évolution de la tension $V_f$ et du courant $i_f$. Nous pouvons remarquer que quel que soit le régulateur considéré le courant ne dépasse pas le courant nominal (1 pu). Les contraintes technologiques de la machine nous imposent à ne pas dépasser de plus de 20% le courant nominal pendant un laps de temps important. Quant à la tension, elle fait quelques pics à 30% de la valeur nominale pendant les instants de variation de charge. Ces variations sont acceptables du fait que la durée de ces pics est très limitée (inférieure à 0.3s). Au démarrage la tension d'excitation $V_f$ est égale à 1.3 pu (nous avons fixé pour $V_f$ une saturation haute à 1.3 pu et une saturation basse à 0 pu) et le courant $i_f$ atteint les 1.1 pu. Il ne faut pas en tenir compte car la simulation démarre avec des conditions initiales nulles tout en ayant une charge initiale non nulle. Or, dans la pratique, il faut que la génératrice atteigne sa tension nominale à vide avant de la charger.

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Figure 4.23 : Evolution du courant et de la tension d'excitation pour différents régulateurs RST à paramètres fixes [Abdeljalil 2006].</figcaption></figure>

Notons enfin que les puissances active *P* et réactive *Q* suivent parfaitement les puissances imposées par la charge ; comme le montre la figure ci-après.
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Figure 4.24 : Evolution des puissances active *P* et réactive *Q* pour différents régulateurs RST à paramètres fixes [Abdeljalil 2006].</figcaption></figure>

#### IV.3.2.2. Utilisation de régulateur RST à paramètres variants

La modélisation LPV (Linéaires à Paramètres Variants) est un puissant outil pour le traitement de la commande des systèmes non-linéaires par des techniques linéaires. La modélisation sous forme LPV fournit une procédure de synthèse systématique pour les contrôleurs à gains programmés. Les techniques à gains programmés ont connu une croissance continue depuis le début des années 90 [Ibrahim 1989, Shamma 1990, Rugh 2000, Leith 2000, Yu 2004, Clément 2005, Giarre 2006, Wu 2006, Scherer 2007, Lee 2007, Poussot-Vassal 2008, Segura 2009, De Hillerin 2011]. L'approche par gains programmés consiste à synthétiser un régulateur dont les paramètres évoluent en fonction de l'évolution des paramètres du modèle LPV. Le régulateur à gains programmés a une entrée supplémentaire par rapport aux régulateurs classiques. Cette entrée représente les états du système : la vitesse du vent pour le pilotage d'un avion, l'état de la houle pour le navire, les puissances active et réactive pour les réseaux électriques, ... La méthodologie de la synthèse d'un régulateur à gains programmés est présentée dans [Rugh 2000] :

- Obtention d'un modèle LPV du système.

- Synthèse de régulateurs linéaires pour chaque système LPV obtenu à l'étape précédente.

- Calcul d'un régulateur global : le régulateur à gains programmés.

La commande LPV est apparue pour corriger les limitations des commandes à gains programmés. En effet, ces dernières commandes perdaient leurs performances quand les paramètres variants varient trop rapidement. D'où les travaux sur la commande LPV de [Packard 1994, Apkarian 1995, Scherer 1996, Scorletti 1998, Apkarian 1998, Wu 2006, Biannic 2010, Ravzan Luzi 2014]. Les principaux avantages de ces techniques sont [Rugh 2000] :

- L'utilisation d'outils linéaires pour des problèmes non-linéaires.

- Le peu de conditions imposés aux modèles. Elles peuvent être utilisées en cas d'absence complète d'un modèle analytique, avec seulement des données relevées sur le comportement du système. Dans ce cas il n'y aura pas de preuve de stabilité et des simulations seront nécessaires.

- La synthèse garde l'intuition linéaire.

- La complexité numérique est souvent moins importante que celle du cas non-linéaire.

Pour notre application, l'utilisation de la technique de perturbations singulières nous a permis d'obtenir des modèles simplifiés du système s'exprimant de façon explicite en fonction de la charge (ses puissances active *P* et réactive *Q*); donc un modèle LPV. Il est naturel de se
demander si, au lieu d'utiliser des régulateurs à paramètres constants, il n'est pas judicieux d'utiliser des régulateurs adaptatifs ou à gain programmés. En effet, il est aisé d'estimer à tout instant les puissances active et réactive de la charge. Ce qui va nous permettre d'adapter facilement les paramètres des différents régulateurs en temps réel.

Les équations (4.29) et (4.32) nous ont permis d'obtenir des modèles LVP du réseau embarqué. Le vecteur de paramètres variants est composé des valeurs de la charge équivalente ($R^c, L^c$) qui s'expriment en fonction des puissances active et réactive.

De manière générique nous avons obtenu des fonctions de transfert de la forme $G(p, \underline{\theta})$. Où $\underline{\theta}$ est le vecteur de paramètres variants ($\underline{\theta} = [R^c \ L^c]^T$ ou $\underline{\theta} = [P \ Q]^T$).

Le régulateur RST sous forme LPV obtenu est représenté sur le schéma ci-après :

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>Figure 4.25 : Structure du régulateur RST sous forme LPV.</figcaption></figure>

Où $S(p, \underline{\theta})$ et $R(p, \underline{\theta})$ sont obtenu à partir de la résolution de l'équation de Bezout :

$$A(p, \underline{\theta})S(p, \underline{\theta}) + B(p, \underline{\theta})R(p, \underline{\theta}) = D(p) \quad (4.36)$$

Avec $A(p, \underline{\theta})$ et $B(p, \underline{\theta})$ respectivement le dénominateur et le numérateur du transfert $G(p, \underline{\theta})$ du système.

Grâce à l'équation (4.36) on peut voir que le régulateur RST s'adapte aux variations paramétriques du modèle pour maintenir une dynamique $D(p)$ constante. La synthèse du régulateur peut se faire à chaque pas de calcul. Ce qui est très gourmand en temps de calcul. Nous pouvons réduire les temps de calcul en utilisant des tables (mapping) qui évite la résolution de l'équation de Bezout (4.36) à chaque pas de calcul. Nous avons effectué, hors ligne, un échantillonnage fin suivant les puissances active $P$ et réactive $Q$ puis nous avons calculé les paramètres du régulateur pour chaque couple de $(P, Q)$ que nous avons sauvegardé dans un tableau. Pendant la régulation, les paramètres du régulateur sont directement obtenus à partir de la lecture du tableau en fonction des puissances active et réactive calculées en temps réel. Dans [Abdeljalil 2006] nous avons montré que les paramètres évoluent de façon continue (non chaotique) en fonction de $(P, Q)$. Il nous apparaît nécessaire, en vue de réduire encore les temps de calcul, d'augmenter le pas d'échantillonnage de $(P, Q)$ et obtenir ainsi un nombre très réduit de zones où les paramètres du régulateur sont constants tant que le couple $(P, Q)$ reste dans la zone correspondante. Pour notre application, nous avons subdivisé les puissances active et réactive en quatre intervalles, ce qui donne un nombre de 16 zones ; donc de 16 jeux de paramètres. Les intervalles utilisés sont comme suit :
$$ I_{P1} = I_{Q1} = [10^{-5} pu, 0.25 pu[, \quad I_{P2} = I_{Q2} = [0.25 pu, 0.5 pu[, \quad I_{P3} = I_{Q3} = [0.5 pu, 0.75 pu[, \quad I_{P3} = I_{Q4} = [0.75 pu, 1 pu[. $$

Le régulateur à paramètres variants issu de l'échantillonnage fin est noté Régulateur E. Celui issu de l'échantillonnage grossier (6 zones) est noté Régulateur F.

Nous avons testé ces deux régulateurs sur le même simulateur que celui sur lequel nous avons testé les quatre précédents régulateurs (Régulateurs A à D). Nous affichons sur les mêmes graphes le résultat de régulation des Régulateurs A, E et F. La figure ci-après présente l'évolution de la tension efficace $V_{eff}$. Nous pouvons remarquer la bonne régulation de la tension efficace. La tension efficace ne sort pas de la bande des ± 2%.

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Figure 4.26 : Evolution de la tension efficace pour différents régulateurs RST à paramètres variants [Abdeljalil 2006].</figcaption></figure>

Les évolutions des puissances active et réactive sont présentées dans la figure ci-après. Quant aux variations de la tension d'excitation (signal de commande) $V_f$ elles sont présentées sur la figure 4.28.

<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Figure 4.27 : Evolution des puissances active P et réactive Q pour différents régulateurs RST à paramètres variants [Abdeljalil 2006].</figcaption></figure>
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Figure 4.28 : Evolution de la tension d'excitation $V_f$ pour différents régulateurs RST à paramètres fixes [Abdeljalil 2006].</figcaption></figure>

Des tests ont été menés sur un banc composé de deux génératrices synchrones à rotor bobiné entrainées par des moteurs à courant continu. Les régulateurs utilisés sont les RST à paramètres fixes. Les caractéristiques de ces machines sont :

- Génératrice :

- Puissance : 3000 W

- Vitesse / fréquence : 1500 tr.min⁻¹ / 50 Hz

- Tension statorique : 230/400 V AC

- Courant statorique : 4.4/7.6 A

- Tension d'excitation : 20 V DC

- Courant d'excitation : 6.5 A

- Résistance statorique : $R_s$ = 2.8 Ω

- Résistance rotorique : $R_f$ = 4.8 Ω

- Inductance statorique suivant l'axe $d$ : $L_d$ = 0.2 H

- Inductance statorique suivant l'axe $q$ : $L_q$ = 0.1 H

- Inductance rotorique : $L_f$ = 0.68 H

- Mutuelle inductance entre le rotor et le stator : $M_{fd}$ = 0.38 H

- Moteur MCC :

- Puissance : 3000 W

- Vitesse : 1500 tr.min⁻¹

- Tension induit : 220 V DC

- Courant induit : 13 A

- Tension inducteur : 175 V DC

- Courant inducteur : 0.85 A

- Résistance induit : $R_{ind}$ = 2.304 Ω

- Inductance induit : $L_{ind}$ = 92.1 mH

- Inertie de l'ensemble génératrice+MCC : $J$ = 25.5 $10^{-3}$ kg.m²
- Coefficient de frottement total : $f_v = 4.88 \times 10^{-3} \text{ N.m/rad/s}$

- Couple de frottement sec : $C_s = 0.62 \text{ N.m}$

Dans un premier temps les tests sont effectués sur une seule génératrice débitant sur une charge RL. La tension efficace est régulée à 100 V. Quant à la charge, l'inductance est constante et est égale à 0.2 H. Par contre la résistance est variable :

- Une variation de la résistance de 36 Ω à 72 Ω a lieu à $t = 1.52 \text{ s}$.

- Une autre variation de la résistance de 72 Ω à 36 Ω a lieu à $t = 5.82 \text{ s}$.

Les courbes de la figure ci-dessous présentent les variations de la tension efficace simulée et mesurée sur le banc réel.

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Figure 4.29 : Tensions efficaces simulée (noir) et mesurée (vert) [Abdeljalil 2006].</figcaption></figure>

Les courants efficaces simulés et mesurés dans la charge sont présentés dans la figure ci-après.

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>Figure 4.30 : Courants efficaces simulé (noir) et mesuré (bleu) dans la charge [Abdeljalil 2006].</figcaption></figure>

Sur les deux courbes ci-avant nous pouvons remarquer une certaine correspondance entre les grandeurs mesurées et celles simulées.

### IV.3.3. Réseau composé de deux génératrices synchrones alimentant une charge RL

Les mêmes régulateurs RST à paramètres fixes ont été appliqués aux deux bancs, du fait qu'ils sont identiques. Les deux génératrices sont connectées, via un synchrocouleur, à une charge résistive variable. En plus des boucles de régulations nous avons rajouté un bloc de gestion de puissance active. Ce bloc permet de gérer la répartition de puissance entre les deux alternateurs. Sans ce bloc de gestion de puissance rien ne garantit une répartition choisie entre les deux alternateurs. Pour ce faire, la répartition de puissance entre les deux alternateurs se fait
selon leurs caractéristiques de statisme respectives [Kundur 1993] comme indiqué sur la courbe ci-après.

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Figure 4.31 : Caractéristiques de statisme pour deux alternateurs différents.</figcaption></figure>

Pour assurer la répartition de puissance active, un complément de référence de pulsation doit être rajouté au schéma de régulation de la vitesse présenté sur la figure 4.20. Le nouveau schéma est :

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Figure 4.32 : Schéma de principe du contrôle de la tension pour un alternateur avec le bloc répartition de puissance.</figcaption></figure>

$$Où : K_p = -\frac{p^2}{2f_v\omega_{ref}} \text{ [Abdeljalil 2006].}$$

Une fois ce bloc réalisé, les tests ont été effectués dans les conditions suivantes : La tension efficace du réseau est régulée à 90 V avec une fréquence de 50 Hz. La répartition des puissances actives est comme suit : $P_1 = 0.4 P_{ch}$ et $P_2 = 0.6 P_{ch}$ ($P_{ch}$ la puissance consommée par la charge). Les régulateurs RST de tension efficace ont été calculés pour rejeter les perturbations en 0.55 s. La charge résistive varie comme suit : à l'instant $t = 8$ s elle passe de 21 Ω à 36 Ω et à l'instant $t = 13.5$ s elle passe de 36 Ω à 21 Ω.

La figure ci-après montre l'évolution de la tension efficace des deux alternateurs. Nous remarquons que les deux tensions sont quasiment superposées.
<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>Figure 4.33 : Evolution des tensions efficaces des deux alternateurs [Abdeljalil 2006].</figcaption></figure>

L'évolution des tensions d'excitation des deux alternateurs est représentée sur la figure ci-après. Du fait que le niveau de puissance active demandé est différent pour les deux alternateurs cela se traduit par une différence entre ces deux tensions.

<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>Figure 4.34 : Evolution des deux tensions d'excitation des deux alternateurs [Abdeljalil 2006].</figcaption></figure>

La figure ci-après présente la comparaison entre des puissances actives des deux alternateurs ainsi que les puissances de références demandées.

<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>Figure 4.35 : Evolution des deux puissances des deux alternateurs [Abdeljalil 2006].</figcaption></figure>
#### IV.3.4. Commande anticipative d'une génératrice synchrone à rotor bobiné - charge RLC

Cette fois-ci le réseau est composé d'une génératrice synchrone à rotor bobiné connectée à une charge RLC variable. Dans le paragraphe IV.2.1 nous avons vu que, lors d'une commutation de charge, des modes oscillants du système peuvent être excités plus ou moins fortement. Ce qui se traduit soit par une commutation douce ou une commutation très oscillante qui voit l'amplitude de la tension efficace prendre des valeurs trop importantes pendant le régime transitoire.

Dans cette partie nous proposons une commande anticipative à paramètres variant. L'idée principale de cette commande est de préparer le système avant une commutation de charge. Ainsi, au moment de la commutation de charge, le système se trouve dans un état plus favorable à la commutation. Cette commande nécessite alors une information supplémentaire lui indiquant qu'il y aura commutation de charge. Dans un réseau électrique embarqué d'un navire, les « grosses » charges, celles qui risquent d'exciter les modes oscillants, sont connues et leur connexion ou déconnexion au réseau est décidé à l'avance. C'est le cas des moteurs électriques de impulsions, les moteurs d'étrave ...

Pour rappel, les normes définies pour la tension d'un navire dans [NATO 1994] imposent à ce que la tension efficace reste dans une bande de ±5% autour de la valeur nominale pendant le fonctionnement normal. Lors de la commutation, la tension peut fluctuer de ±20% autour de sa valeur nominale, et ce pour une durée qui ne devrait pas excéder les 2 s. Au bout de ce temps, la tension efficace doit revenir dans la bande de ±5% (figure 4.36).

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>Figure 4.36 : Tension efficace pour une commutation ayant lieu à $t = 1$ s [Kvieska 2010].</figcaption></figure>

Cette commande anticipative est synthétisée en se basant sur la commande optimale. Deux régulateurs sont calculés pour chaque commutation : le premier sert à amener le système vers un état favorable pour la commutation juste avant que la commutation n'ait lieu ; le second, qui intervient au moment de la commutation, sert à ramener la tension efficace à sa valeur nominale. Ceci est schématisé sur la figure ci-avant. Donc, avant la commutation, on s'autorise à éloigner la tension efficace de sa valeur nominale tout en restant dans la bande des ±20%. Pendant cette période qui dure 1s, c'est le 1er contrôleur qui rentre en jeu. Au moment de la commutation le 2nd régulateur va faire en sorte que la tension efficace revienne à sa valeur nominale en moins de 1s.

Les deux régulateurs ont la même structure mais de paramètres différents. En effet, comme nous le verrons après, les paramètres du régulateur dépendent des états initiaux et finaux
du système ainsi que des caractéristiques de la charge. Comme ces états ne sont pas les mêmes avant et après la commutation, il en résulte des paramètres différents entre les deux régulateurs.

#### IV.3.4.1. Topologie de la commande

La topologie de la commande choisie est présentée sur la figure ci-après.

<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>Figure 4.37 : Topologie de la commande utilisée.</figcaption></figure>

Le bloc « feedforward » est constitué, comme le montre le schéma de la figure ci-dessous, du modèle global du réseau avec son contrôleur optimal. Le signal de commande de ce modèle est utilisé pour commander le réseau réel. Pour assurer une certaine robustesse en performances et en stabilité, dans le cas où il y a une erreur de modèle et/ou d'une présence de perturbation sur le réseau, un block « feedback », composé d'un simple régulateur PI, est rajouté.

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>Figure 4.38 : Topologie du bloc feedforward.</figcaption></figure>

Le modèle du réseau, utilisé dans le schéma de la figure ci-avant, est celui développé dans le paragraphe IV.2.1, à savoir l'équation d'état (4.1) et l'équation de sortie (4.2).

#### IV.3.4.2. La loi de commande

Le gain $F$ du retour d'état est calculé à partir de la résolution de l'équation différentielle de Riccati ci-après :

$$ -\dot{\underline{S}} = \underline{SA} + \underline{A}^T \underline{S} - \underline{SBR}^{-1} \underline{B}^T \underline{S} + \underline{Q} \quad (4.37) $$

Remarque : Dans [Kvieska 2010] nous avons vérifié que La paire $(\underline{A}, \underline{B})$ est commandable ainsi que la paire $(\underline{M}, \underline{A})$ est observable, où $\underline{M}$ est tel que : $\underline{Q} = \underline{M}^T \underline{M}$. Ce qui permet de s'assurer que l'équation (4.37) ait une solution.
L'expression du gain du retour d'état est :

$$ \underline{\underline{F}} = -\underline{\underline{R}}^{-1}\underline{\underline{B}}^{T}\underline{\underline{S}}(t) \qquad (4.38) $$

La loi de commande présentée sur la figure ci-avant est :

$$ V_{f\_m} = \underline{\underline{F}}\underline{\underline{x}} + V_{f\_l} \qquad (4.39) $$

Où le terme $V_{f\_l}$ est calculé hors ligne, à partir de l'équation ci-après :

$$ V_{f\_l} = -\underline{\underline{F}}\underline{\underline{x}}_d - \underline{\underline{R}}^{-1}\underline{\underline{B}}^{T}\underline{\underline{K}}(t) + u_c \qquad (4.40) $$

Où $\underline{\underline{K}}(t)$ est solution de l'équation différentielle :

$$ \dot{\underline{\underline{K}}} = -\underline{\underline{S}}\underline{\underline{A}}\underline{\underline{x}}_d - \underline{\underline{Q}}\underline{\underline{x}}_d + \underline{\underline{Q}}\underline{\underline{x}}_c - \underline{\underline{S}}\underline{\underline{B}}u_c - \underline{\underline{A}}^{T}\underline{\underline{K}} + \underline{\underline{S}}\underline{\underline{B}}\underline{\underline{R}}^{-1}\underline{\underline{B}}^{T}\underline{\underline{K}} \qquad (4.41) $$

Les matrices $\underline{\underline{A}}$ et $\underline{\underline{B}}$ sont respectivement les matrices d'état et de commande du modèle du réseau (à partir de l'équation (4.1) on a alors les expressions : $\underline{\underline{A}} = \underline{\underline{E}}_{sys}^{-1}\underline{\underline{A}}_{sys}$ et $\underline{\underline{B}} = \underline{\underline{E}}_{sys}^{-1}\underline{\underline{B}}_{sys}$) Les matrices $\underline{\underline{Q}}$ et $\underline{\underline{R}}$ sont les matrices de pondération qui interviennent dans le critère à horizon fini à minimiser :

$$ J = \phi(\underline{\underline{x}}(T), \underline{\underline{x}}_d, T) + \int_0^T L(\underline{\underline{x}}, u, \underline{\underline{x}}_c, u_c, T)dt \qquad (4.42) $$

$$ \text{Avec : } \phi(\underline{\underline{x}}(T), \underline{\underline{x}}_d, T) = \frac{1}{2}(\underline{\underline{x}}(T) - \underline{\underline{x}}_d)^T \underline{\underline{S}}(T)(\underline{\underline{x}}(T) - \underline{\underline{x}}_d) $$

$$ \text{Et } L(\underline{\underline{x}}, u, \underline{\underline{x}}_c, u_c, T) = \frac{1}{2} \left( (\underline{\underline{x}} - \underline{\underline{x}}_c)^T \underline{\underline{Q}} (\underline{\underline{x}} - \underline{\underline{x}}_c) + (u - u_c)^T \underline{\underline{R}} (u - u_c) \right) $$

Remarque : les calculs qui ont mené aux résultats obtenus ci-avant sont développés dans [Kvieska 2010].

Nous remarquons dans les équations ci-avant qu'en plus des matrices traditionnelles $\underline{\underline{Q}}, \underline{\underline{R}}$ et $\underline{\underline{S}}(T)$ il y a de nouveaux paramètres de synthèse qui sont introduit : $\underline{\underline{x}}_d, \underline{\underline{x}}_c$ et $u_c$. Nous avons en tout 6 matrices/vecteurs à fixer. Le choix des trois premiers est un problème classique pour la commande optimale. Quant aux trois derniers leur choix dépend de la commande, si elle a lieu avant ou après la commutation. Pour ce faire on définit en tout trois états du système :

* L'état en régime permanent avant la commutation : $\underline{\underline{x}}_{rp}^{av}$ : cet état correspond à celui qui permet d'obtenir la tension efficace désirée.

* L'état intermédiaire avant la commutation : $\underline{\underline{x}}_{int}^{av}$ : cet état est l'état optimal dont doit se trouver le système au moment de la commutation pour qu'elle est lieu dans de bonnes conditions. Son calcul sera explicité dans les paragraphes à suivre.

* L'état en régime permanent après la commutation : $\underline{\underline{x}}_{rp}^{ap}$ : cet état correspond à celui qui permet d'obtenir la tension efficace désirée.

Ainsi, le choix des paramètres de synthèse $\underline{\underline{x}}_d, \underline{\underline{x}}_c$ et $u_c$ se fait comme suit :
* Avant la commutation : $\underline{x}_d = \underline{x}_{int}^{av}$, $\underline{x}_c = \underline{x}_{rp}^{av}$ et $u_c$ est égale au signal de commande en régime permanent qui assure que la tension efficace est égale à la référence $V_{eff\_ref}$.

* Après la commutation : $\underline{x}_d = \underline{x}_c = \underline{x}_{rp}^{ap}$ et $u_c$ est égale au signal de commande en régime permanent qui assure que la tension efficace est égale à la référence $V_{eff\_ref}$.

#### IV.3.4.3. Calcul du point intermédiaire

Dans le paragraphe IV.2.1 nous avons montré que la commutation de charge peut se traduire par une très grande oscillation pendant la période transitoire. Ce qui risque d'endommager le système. Cette oscillation dépend de l'état dans lequel se trouve le système juste avant la commutation. Cet état devient l'état initial du système après la commutation. Nous avons réussi à quantifier l'amplitude de l'oscillation grâce à l'équation (4.4) : $\Delta V_{max}(\underline{x}_0, \Delta t_s)$. $\underline{x}_0$ est l'état initial du système après la commutation.

L'état intermédiaire $\underline{x}_{int}^{av}$ avant la commutation devient l'état initial après la commutation. Donc, nous devons s'assurer que cet état vérifie :

$$ \Delta V_{max}(\underline{x}_{int}^{av}, \Delta t_s) \le 20\% V_{eff\_ref} \qquad (4.43) $$

Dans l'espace des états, en général, il y a une infinité de solution à ce problème. D'où, l'idée d'introduire la minimisation d'un critère basé sur l'énergie de la commande nécessaire pour amener le système de l'état $\underline{x}_{rp}^{av}$ à $\underline{x}_{int}^{av}$ avant la commutation.

Dans [Lewis 1986] la commande à énergie minimale qui permet à un système de passer d'un état initiale $\underline{x}_0$ à un état final $\underline{x}_d$ en un laps de temps fini $T$ est :

$$ u^*(t, \underline{x}_0, \underline{x}_d) = \underline{R}^{-1} \underline{B}^T e^{\underline{A}^T(T-t)} \underline{W}_c^{-1}(T) (\underline{x}_d - e^{\underline{A}^T} \underline{x}_0) \qquad (4.44) $$

Où $\underline{W}_c(T)$ est le grammien partiel de commandabilité défini comme :

$$ \underline{W}_c(T) = \int_0^T e^{\underline{A}^T(T-t)} \underline{B} \underline{R}^{-1} \underline{B}^T e^{\underline{A}^T(T-t)} dt \qquad (4.45) $$

Comme la paire $(\underline{A}, \underline{B})$ est commandable alors $\underline{W}_c(T)$ est inversible.

Finalement le calcul de $\underline{x}_{int}^{av}$ revient à minimiser l'équation (4.44) sous la contrainte donnée par la relation (4.43) :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \inf_{\underline{x}_{int}^{av}} (u^*(t, \underline{x}_{rp}^{av}, \underline{x}_{int}^{av})) \\ \Delta V_{max}(\underline{x}_{int}^{av}, \Delta t_s) \le 20\% V_{eff\_ref} \end{array} \right. \qquad (4.46) $$
#### IV.3.4.4. Stabilité du système avec cette stratégie de commande

La commande optimale est une commande stable et robuste [Lewis 1986]. Dans [Kvieska 2010] la démonstration a été faite même dans le cas d'un système LPV. Pour assurer la stabilité du réseau avec ce type de stratégie de commande sur toute la période de commutation nous énonçons la règle suivante à vérifier :

1. Le système doit être à l'équilibre au début de la période transitoire.

2. Une seule commutation de charge se produit par période transitoire.

3. Le système reste avec la même charge tant que l'équilibre n'est pas atteint.

#### IV.3.4.5. Application de la stratégie de commande au réseau

Nous avons testé cette stratégie sur quelques exemples de commutation de charge. Les paramètres de l'alternateur sont ceux donnés dans le chapitre IV.2.1. La tension efficace de référence est de 508 V.

Le premier exemple permet une commutation entre deux charges qui consomment 64% de la puissance active. La première charge a un facteur de puissance de 0.84. Quant à la seconde charge, elle est très inductive, avec un facteur de puissance de 0.4. Elle permet de simuler le démarrage d'un moteur asynchrone par exemple.

Les valeurs numériques des charges utilisées sont comme suit :

* Avant la commutation : $R^c = 0.3 \, \Omega$, $L^c = 0.8 \, \text{mH}$ et $C^c = 1.2 \, \text{mF}$.

* Après la commutation : $R^c = 0.07 \, \Omega$, $L^c = 0.56 \, \text{mH}$ et $C^c = 1.2 \, \text{mF}$.

Sur la figure ci-après nous avons présenté les réponses du système dans le cas où la stratégie n'est pas mise en place (en bleu) ainsi que dans le cas où la stratégie est mise en place (en rouge). Nous remarquons que dans le cas où la stratégie n'est pas mise en place la tension efficace sort de la bande des ±20%. Alors que dans le cas où la stratégie est mise en place, la tension ne quitte jamais cette bande.

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>Figure 4.39 : Réponse de la tension efficace sans et avec la stratégie de commande anticipative dans le cas de l'exemple 1 [Kvieska 2010].</figcaption></figure>

Dans le deuxième exemple nous simulons la connexion d'une « grosse » charge. La première charge ne consomme que 26% de la puissance active avec un facteur de puissance de 0.84. Quant à la deuxième charge, elle consomme 99% de la puissance active avec le même facteur de charge 0.84.
Les valeurs numériques des charges utilisées sont comme suit :

* Avant la commutation : $R^c = 0.03 \, \Omega$, $L^c = 0.6 \, \text{mH}$ et $C^c = 14.77 \, \text{mF}$.

* Après la commutation : $R^c = 0.03 \, \Omega$, $L^c = 0.3 \, \text{mH}$ et $C^c = 24.36 \, \text{mF}$.

Comme pour l'exemple précédent, dans le cas où la commande anticipative est utilisée, la tension efficace respecte le gabarit qui lui a été imposé. Ce qui n'est pas le cas si elle n'est pas utilisée. Les résultats de simulation sont présentés sur la figure ci-après.

<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>Figure 4.40 : Réponse de la tension efficace sans et avec la stratégie de commande anticipative dans le cas de l'exemple 2 [Kvieska 2010].</figcaption></figure>

## IV.4. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons dans un premier temps fait l'analyse du comportement dynamique d'un réseau simplifié et ramené à une seule génératrice et une seule charge équivalente RLC. Nous avons ainsi introduit la notion de distance de charge qui permet de déterminer si la commutation de charge (changement des valeurs de la charge RLC équivalent) se passerait bien ou pas. Dans le cas où la distance de charge indique une commutation à risque, on peut alors calculer une fonction quantitative pour connaitre l'amplitude de la variation de la tension autour de sa valeur nominale. Ceci peut nous aider à proposer une stratégie de commande qui permet de respecter le cahier des charges. Cette partie a été développée dans le cadre de thèse de Doctorat de Pedro Kvieska [Kvieska 2010].

Dans un second temps, nous avons proposé deux méthodes pour la simplification du modèle du réseau. La première méthode, de type comportementale, a le double avantage d'obtenir des transferts assez simples ne nécessitant pas une identification fastidieuse des paramètres physiques de l'alternateur. De plus, un essai simple suffit pour fixer les deux transferts ($G_{V_f \to i_f}(p)$ et $G_{V_f \to V_{eff}}(p)$). Par contre, l'identification étant faite à vide le modèle obtenu n'est précis que dans cet état. Ce qui a pour conséquence l'obligation de synthétise de régulateurs robustes pour assurer les bons asservissements dans tout le domaine de fonctionnement de l'alternateur.

Contrairement aux modèles obtenus par l'approche de modélisation de type comportementale, ceux obtenus par la deuxième méthode, méthode des perturbations singulières, sont adaptés à tous types de charges. On peut même les utiliser dans une approche
LPV dont le paramètre est la valeur de la charge, le couple (P, Q). En contrepartie, ces derniers modèles nécessitent l'identification de l'ensemble des paramètres de la génératrice en dehors des paramètres des amortisseurs.

Les deux approches de simplification de modèle nous permettent d'obtenir des transferts $G_{V_f \to i_f}(p)$ et $G_{V_f \to v_{eff}}(p)$ d'ordre 1, voir 2. Ces modèles sont alors utilisés pour la synthèse de régulateurs d'ordre réduit : des régulateurs PI ou RST d'ordre 1 à paramètres variants. Cette partie, portant sur l'obtention des modèles de commande, a été développée dans le cadre de thèse de Doctorat de Lamya Abdeljalil [Abdeljalil 2006].

Les résultats de régulation de la tension efficace d'un réseau élémentaire, constitué d'une génératrice synchrone à rotor bobiné et d'une charge RL variable, nous ont montré que les différents régulateurs, RST à paramètres fixes et RST à paramètres variants, donnent approximativement les mêmes performances. Dans ce cas, il est tout à fait naturel de privilégier le régulateur à paramètres fixes, qui est moins gourmand en temps de calcul.

Dans le cas de la régulation de la tension efficace du réseau du banc constitué de deux alternateurs, les régulateurs utilisés (pour la fréquence, le courant et la tension) sont des régulateurs RST à paramètres fixes. Un bloc supplémentaire de répartition des puissances actives a été rajouté pour maitriser les puissances fournies par les deux alternateurs. Cette partie a été développée dans le cadre de thèse de Doctorat de Lamya Abdeljalil [Abdeljalil 2006].

Dans la dernière partie, lorsque la charge est de type RLC, il est impératif d'utiliser un régulateur robuste à paramètres variants car les commutations de charges peuvent introduire des oscillations de tensions de grandes amplitudes. La loi de commande choisie est une commande optimale à paramètres variants. Nous avons proposé de mettre en place une commande dite « anticipative ». Elle permet de changer de point de fonctionnement avant qu'une commutation de charge ne se produise, pour adoucir le comportement dynamique une fois la commutation se produit. Deux exemples illustrent parfaitement que lorsque la stratégie de commande anticipative est mise en place les performances en boucle fermée sont largement améliorées. Ce type de commande peut-être facilement applicable à de « grosses » charges, tels que les moteurs de impulsions de bateaux, les moteurs d'étraves, ... La connexion de ces charges est décidée à l'avance, donc un signal peut-être envoyé juste avant la connexion de la charge pour préparer la transition comme expliqué précédemment. Dans [Kvieska 2010] nous avons démontré la robustesse de ce type de commande et nous l'avons testé sur quelques exemples.
# Chapitre V. Modélisation et commande des génératrices synchrones à aimants permanents dans les réseaux exploitant les énergies soutenables
## V.1. Introduction

Ce dernier chapitre porte sur les applications en rapport avec la conversion électrique des énergies soutenables et plus spécialement les hydroliennes.

Une chaîne de conversion d'énergies soutenables en énergie électrique est composée essentiellement de trois parties. La première partie consiste en la captation de l'énergie primaire. Cette partie se traduit en sortie de chaîne par un mouvement de rotation assurée en général par une turbine [Boyette 2006, Ruellan 2007, Andreica 2009, Benelghali 2009, Boström 2011, Dansoko 2014, Chen 2014, Karayaka 2016]. La deuxième partie est l'ensemble « Génératrice – convertisseur ». Le convertisseur peut-être du type back-to-back, constitué d'un redresseur et d'un onduleur [Andreica 2009, Abdelli 2007, Mirecki 2005]. Ce type de topologie est une réponse au paradoxe qui veut qu'en entrée on ait une fréquence variable et qu'en sortie une fréquence constante. La dernière partie est la charge. La charge est généralement constituée d'un filtre LCL [Leclercq 2004, Davigny 2007] connecté à un réseau de puissance infinie (de type réseau terrestre EDF) ou un réseau de puissance finie de type iloté. Dans certains cas la charge peut être vue comme étant l'association « Onduleur – Filtre LCL – Réseau électrique ». Dans ce cas la deuxième partie est constituée seulement de l'association Génératrice – Redresseur. Suivant l'application, et en vue d'assurer les services systèmes, il peut y avoir parfois un ou plusieurs systèmes de stockages [Leclercq 2004, Davigny 2007, Croci 2013]. Notre étude portera sur la deuxième partie de la chaîne de conversion d'énergie.

Pour ce type d'application la génératrice synchrone à aimant permanent (GSAP) est préférée à celle à rotor bobiné. Comme indiqué plus haut, il faut alors lui associer un convertisseur (redresseur + onduleur) pour contrôler la tension à envoyer sur le réseau. Dans cette étude nous nous sommes intéressés au contrôle de la tension du bus DC qui se trouve entre le redresseur et l'onduleur. La bonne régulation de cette tension continue permet une bonne régulation de la tension alternative en sortie de l'onduleur.

Dans un premier temps nous présentons la modélisation et la commande d'une GSAP triphasé associée à un redresseur MLI. Pour assurer un contrôle robuste de cet ensemble GSAP – redresseur MLI nous avons adapté la commande par contrôle d'état standard.

Quant à la deuxième partie, elle porte sur la modélisation d'un ensemble génératrice – redresseur pentaphasé en mode sain ou dégradé. Nous introduisons un redresseur tolérant aux défauts : le redresseur Vienna. En effet, le but est de proposer un ensemble tolérant aux défauts ; donc amené à fonctionner en mode défauts. Nous avons, ainsi, développé des modèles en mode sain ainsi qu'en mode défaut. Cette modélisation nous permet d'obtenir un banc de simulation logiciel pour l'ensemble du système.

Nous terminons cette partie par le contrôle des génératrices synchrones à aimants permanents pentaphasées dans le cadre de la conversion de l'énergie des courants marins [Dieng 2014]. Ces génératrices étant amenées à fonctionner en mode défauts. La nature fortement non linéaire du système et les profils spécifiques des consignes de courants imposées par la stratégie de commande nous incite à l'utilisation de régulateurs robustes à hautes performances dynamiques tels que : le régulateur linéaire PI fractionnaire ou le régulateur non-linéaire MRC (Modulateur régulateur de Courant).
## V.2. Modélisation et Commande d'un ensemble GSAP –
redresseur MLI triphasé

Le schéma de principe de l'ensemble GSAP – redresseur MLI est présenté sur la figure ci-après :

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>Figure 5.1 : Schéma de principe de l'ensemble GSAP – redresseur MLI</figcaption></figure>

Le système est composé d'une génératrice synchrone à aimants permanents, d'un redresseur MLI et d'une capacité de filtrage. Le transfert d'énergie vers le réseau est modélisé par une source de courant commandable. Cette source est vue comme une perturbation par le régulateur.

### V.2.1. Modèle de l'ensemble GSAP- redresseur MLI

Le modèle de Park de la GSAP est :

$$ egin{cases} v_d = -R_s i_d + \omega L_q i_q - L_d \frac{di_d}{dt} \\ v_q = -R_s i_q - \omega L_d i_d - L_q \frac{di_q}{dt} + \varphi \omega \end{cases} \quad (5.1) $$

Où $\varphi$ est le flux efficace de l'aimant permanent vu du côté stator. Nous considérons que la régulation de vitesse de la partie mécanique est parfaite ; donc la vitesse $\omega$ est constante.

L'équation au niveau du bus DC :

$$ I_{dc} = C \frac{dV_{dc}}{dt} + I_{ch} \quad (5.2) $$

L'équation de liaison entre la GSAP et le bus DC passe par la puissance électrique :

$$ P_e = ((L_q - L_d)i_d i_q + \varphi i_q) \omega = V_{dc} I_{dc} \quad (5.3) $$
L'équation (5.1) montre que les deux axes d et q sont couplés. Nous utilisons alors
l'algorithme de découplage ci-après :

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
u_d = v_d - \omega L_q i_q \\
u_q = v_q + \omega L_d i_d - \varphi \omega
\end{cases}
\tag{5.4}
\end{equation}
$$

La commande vectorielle de la GSAP impose à ce que le courant $i_d$ soit fixé à $i_{d\_ref} = 0$ pour réduire les pertes par effet Joule.

En combinant les équations (5.1) jusqu'à (5.4) nous aboutissons au modèle d'état de
l'ensemble GSAP + redresseur MLI suivant :

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\dot{\underline{x}}_1 &= \underline{A}_{11} \underline{x}_1 + \underline{B}_1 \underline{u} + \underline{D}_1 l_{ch} \\
\underline{y}_1 &= \underline{C}_1 \underline{x}_1
\end{aligned}
\right.
\tag{5.5}
\end{equation}
$$

Où le vecteur d'état **x**₁ = [iₐ iq Vdc]ᵀ, le vecteur de commande **u** = [uₐ uq]ᵀ et le
vecteur de sortie **y**₁ = [iₐ Vdc]ᵀ.

Les matrices du modèle d'état sont :

$$
\underline{A}_{11} = \begin{bmatrix} -\frac{R_s}{L_d} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{R_s}{L_q} & 0 \\ 0 & \frac{1}{C} \frac{\varphi\omega}{V_{dc\_ref}} & 0 \end{bmatrix}, \quad \underline{B}_1 = \begin{bmatrix} -\frac{1}{L_d} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{L_q} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \underline{D}_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{1}{C} \end{bmatrix}, \quad \text{et} \quad \underline{C}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
$$

V.2.2. Contrôle d'état standard

Nous utilisons l'approche d'état standard proposée par P. De Larminat [De Larminat
2000, De Larminat 2009]. Nous construisons le modèle d'état global auquel nous adjoignions
le modèle des entrées exogènes (références et perturbations). Puis nous synthétisons un
régulateur par retour d'état observé. Nous « robustifions » le régulateur en utilisant la technique
LTR (Loop Transfer Recovery – Recouvrement du transfert de boucle).

Le schéma de principe du contrôle d'état standard est représenté dans la figure ci-après.

<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>Figure 5.2 : Schéma de principe du contrôle d'état standard</figcaption></figure>

La construction du modèle d'état standard du système passe par l'introduction dans (5.5) des modèles du courant de référence i<sub>d_ref</sub> (di<sub>d_ref</sub>/dt = 0), de la tension de référence V<sub>dc_ref</sub>
$(dV_{dc\_ref}/dt = 0)$ et de la perturbation $I_{ch}$ $(dI_{ch}/dt = 0)$. Or, si on s'arrête seulement à ses trois grandeurs la robustesse en performances ne sera pas assurée. En effet, la dimension de l'exo-système est égale à 3 ($[I_{ch} \ i_{d\_ref} \ V_{dc\_ref}]$) alors que le nombre de sorties mesurées est de quatre ($[i_d \ V_{dc} \ i_{d\_ref} \ V_{dc\_ref}]$). La première idée est de rajouter une perturbation fictive $i_{dp}$, constante $(di_{dp}/dt = 0)$, sur $i_d$ (principe de duplication suffisante). Ainsi, la dimension de l'exo-système sera égale à 4 ($[i_{dp} \ I_{ch} \ i_{d\_ref} \ V_{dc\_ref}]$). Sauf que le sous-système constitué du système à commander et des perturbations n'est pas observable (en effet à partir de la 3ème ligne du modèle d'état (5.5) $I_{ch}$ et $I_q$, agissant comme des perturbations au même endroit sur $V_{dc}$, ne pourraient pas être observées séparemment). D'où l'idée d'utiliser la mesure de $i_q$ comme information supplémentaire et d'introduire une perturbation fictive $i_{qp}$, constante $(di_{qp}/dt = 0)$, sur $i_q$ pour qu'il y ait égalité entre la dimension de l'exo-système ($[i_{dp} \ i_{qp} \ I_{ch} \ i_{d\_ref} \ V_{dc\_ref}]$) et des sorties mesurées ($[i_d \ i_q \ V_{dc} \ i_{d\_ref} \ V_{dc\_ref}]$).

Le modèle d'état standard final est :

$$ \left\{ \begin{aligned} \underline{\dot{x}}_{std} &= \underline{\underline{A}}_{std} \underline{x}_{std} + \underline{\underline{B}}_{std} \underline{u} \\ \underline{e} &= \underline{\underline{c}}_{std} \underline{x}_{std} \\ \underline{y}_{std} &= \underline{\underline{c}}_{y\_std} \underline{x}_{std} \end{aligned} \right. \qquad (5.6) $$

Où le vecteur d'état $\underline{x}_{std} = [i_d \ i_q \ V_{dc} \ i_{dp} \ i_{qp} \ I_{ch} \ i_{d\_ref} \ V_{dc\_ref}]^T$, le vecteur de sortie $\underline{y}_{std} = [i_d \ i_q \ V_{dc} \ i_{d\_ref} \ V_{dc\_ref}]^T$, et le vecteur d'erreur $\underline{e} = [i_{d\_ref} - i_d \ \bar{V}_{dc\_ref} - V_{dc}]^T$.

La dimension du système est $n_1 = 3$. La dimension de l'exo-système $n_2 = 5$. La dimension du vecteur de commande $m = 2$. La dimension du vecteur d'erreur $q = 2$.

Les matrices du modèle d'état standard sont :

$$ \underline{\underline{A}}_{std} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{A}}_{11} & \underline{\underline{A}}_{12} \\ \underline{\underline{0}}_{53} & \underline{\underline{A}}_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{A}}_{11sp} & \underline{\underline{0}}_{62} \\ \underline{\underline{0}}_{26} & \underline{\underline{A}}_{22r} \end{bmatrix}, \underline{\underline{B}}_{std} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{B}}_{1} \\ \underline{\underline{0}}_{52} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{B}}_{1sp} \\ \underline{\underline{0}}_{22} \end{bmatrix}, \underline{\underline{C}}_{e\_std} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{C}}_{e1} & \underline{\underline{C}}_{e2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{C}}_{e1sp} & \underline{\underline{C}}_{e2r} \end{bmatrix} $$

$$ \text{Et } \underline{\underline{C}}_{y\_std} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{C}}_{y1} & \underline{\underline{C}}_{y2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{C}}_{y1sp} & \underline{\underline{0}}_{32} \\ \underline{\underline{0}}_{26} & \underline{\underline{C}}_{y2r} \end{bmatrix} $$

Avec :

$$ \underline{\underline{C}}_{e1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \underline{\underline{C}}_{e2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \underline{\underline{C}}_{y1sp} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \underline{\underline{C}}_{y2r} = \underline{\underline{I}}_{2}, $$

$$ \underline{\underline{A}}_{12} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{L_d} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{L_q} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{C} & 0 & 0 \end{bmatrix}, \underline{\underline{A}}_{22} = \underline{\underline{0}}_{55}, \underline{\underline{A}}_{22r} = \underline{\underline{0}}_{22}, $$
$$ \underline{\underline{A}}_{11sp} = \begin{bmatrix} -\frac{R_s}{L_d} & 0 & 0 & -\frac{1}{L_d} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{R_s}{L_q} & 0 & 0 & -\frac{1}{L_q} & 0 \\ 0 & \frac{1}{C} \frac{\varphi\omega}{V_{dc\_ref}} & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{C} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Pour s'assurer de l'existence d'un régulateur par retour d'état observé il faut vérifier 8 conditions :

1. La paire $(\underline{\underline{c}}_{y1sp}, \underline{\underline{A}}_{11sp})$ est observable. En effet, le déterminant de la matrice d'observabilité : $\det O(\underline{\underline{c}}_{y1sp}, \underline{\underline{A}}_{11sp}) = -\frac{1}{L_d L_q C} \neq 0$.

2. La paire $(\underline{\underline{c}}_{y2r}, \underline{\underline{A}}_{22r})$ est observable. En effet, le déterminant de la matrice d'observabilité : $\det O(\underline{\underline{c}}_{y2r}, \underline{\underline{A}}_{22r}) = 1 \neq 0$.

3. La paire $(\underline{\underline{A}}_{11}, \underline{\underline{B}}_1)$ est commandable. En effet, le déterminant de la matrice de commandabilité : $\det C(\underline{\underline{A}}_{11}, \underline{\underline{B}}_1) = -\frac{\varphi\omega}{C L_d L_q^2 V_{dc\_ref}} \neq 0$.

4. La paire $(\underline{\underline{c}}_{e1}, \underline{\underline{A}}_{11})$ n'a pas de mode inobservable sur l'axe imaginaire. En effet, le déterminant de la matrice d'observabilité : $\det O(\underline{\underline{c}}_{e1}, \underline{\underline{A}}_{11}) = \frac{1}{C} \frac{\varphi\omega}{V_{dc\_ref}} \neq 0$

5. $\underline{\underline{A}}_{22}$ est instable.

6. $\underline{\underline{c}}_{e\_std}$ est de rang plein 2.

7. $m = q = 2$.

8. Equation RPIS<fnref n="4" /> : $\begin{cases} -\underline{\underline{A}}_{11} \underline{\underline{T}}_a + \underline{\underline{T}}_a \underline{\underline{A}}_{22} + \underline{\underline{A}}_{12} = -\underline{\underline{B}}_1 \underline{\underline{F}}_a \\ -\underline{\underline{C}}_{e1} \underline{\underline{T}}_a + \underline{\underline{C}}_{e2} = 0 \end{cases}$ avec $\underline{\underline{T}}_a \in \mathbb{R}^{3 \times 5}, \underline{\underline{F}}_a \in \mathbb{R}^{2 \times 5}$.

$$ \text{La solution est } \underline{\underline{T}}_a = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{V_{dc\_ref}}{\varphi\omega} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \underline{\underline{F}}_a = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & -R_s & 0 \\ 0 & -1 & -\frac{R_s V_{dc\_ref}}{\varphi\omega} & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Est-ce qu'on aura une robustesse en poursuite ?

L'erreur $\underline{\underline{e}}$ est une combinaison linéaire des sorties mesurées. En effet, $\underline{\underline{e}} = [-1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0]$ $\underline{\underline{y}}$. Les dynamiques des références et des perturbations sont connues sans erreurs. L'exo-système est de dimension 5, ce qui est égal au nombre de sortie mesurées. Ayant vérifié ces trois conditions alors le système sera robuste en poursuite.

<footnote n="4">⁴ Regulator Problem with Internal Stability</footnote>
Une fois toutes ces conditions vérifiées, le contrôleur est synthétisé. Le contrôleur est composé d'un observateur et d'une commande par retour d'état comme le montre le schéma présenté sur la figure ci-après.

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Figure 5.3 : Schéma du contrôleur : observateur + retour d'état</figcaption></figure>

### V.2.2.1. Calcul de l'observateur :

La matrice $K \in \mathbb{R}^{8 \times 5}$ de l'observateur est de la forme : $\underline{\underline{K}} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{K}}_{sp} & 0 \\ 0 & \underline{\underline{K}}_{r} \end{bmatrix}$. Où $\underline{\underline{K}}_{sp} \in \mathbb{R}^{6 \times 3}$ est le gain de l'observateur du système avec les perturbations. $\underline{\underline{K}}_{r} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ est le gain de l'observateur des références ; l'observateur des références joue le rôle d'un filtre.

$\underline{\underline{K}}_{sp}$ et $\underline{\underline{K}}_{r}$ sont calculés par la résolution de l'équation de Riccati (fonction « are » ou « lqr » sous matlab). Pour le calcul de $\underline{\underline{K}}_{sp}$ nous fixons les deux matrices de synthèse $\underline{\underline{Q}}_{osp} \in \mathbb{R}^{6 \times 6}$ et $\underline{\underline{R}}_{osp} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ comme suit :

$$ \underline{\underline{Q}}_{osp} = \left[ \frac{1}{T_o} \int_{0}^{T_o} e^{\underline{\underline{A}}_{11sp}^{T}} \underline{\underline{K}}_{y1sp}^{T} \underline{\underline{Q}}_{p} \underline{\underline{C}}_{y1sp} e^{\underline{\underline{A}}_{11sp}^{T}} \right]^{-1} \quad \text{et} \quad \underline{\underline{R}}_{osp} = \underline{\underline{I}}_{3} $$

Dans l'expression de $\underline{\underline{Q}}_{osp}$ on peut reconnaitre un grammien partiel d'observabilité, mais que nous avons modifié en introduisant une matrice de pondération $\underline{\underline{Q}}_{p} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$. Cette matrice permet la pondération entre les variables d'état rapide (les courants dans la machine) et la variable d'état lente (la tension aux bornes de la capacité). $T_o$ est l'horizon de l'observateur. Il permet de fixer la dynamique de l'observateur.

Concernant le calcul de $\underline{\underline{K}}_{r}$ nous fixons les deux matrices de synthèse $\underline{\underline{Q}}_{or} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ et $\underline{\underline{R}}_{or} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ comme suit :

$$ \underline{\underline{Q}}_{or} = \text{diag}[q_1 \ q_2] \text{ et } \underline{\underline{R}}_{or} = \underline{\underline{I}}_{2} $$

### V.2.2.2. Calcul du gain par routeur d'état :

Le gain du retour d'état est donné par : $\underline{\underline{F}} = \begin{bmatrix} \underline{\underline{F}}_1 & \underline{\underline{F}}_1 \underline{\underline{T}}_a + \underline{\underline{F}}_a \end{bmatrix}$ avec $\underline{\underline{F}}_1$ tel que la matrice d'état $\underline{\underline{A}}_{11} + \underline{\underline{B}}_{u1} \underline{\underline{F}}_1$ soit stable.
$\underline{F}_1 \in \mathbb{R}^{2 \times 3}$ est calculé par la résolution de l'équation de Riccati en fixant les matrices
$\underline{Q}_c = \frac{1}{T_c} \underline{C}_{e1}^T \underline{S}_c \underline{C}_{e1}$. Où $\underline{S}_c = \text{diag}[s_1 \ s_2]$ et $\underline{R}_c = \underline{I}_2$. $T_c$ est l'horizon de commande. Il
permet de fixer la dynamique de la commande par retour d'état. Pour robustifier le régulateur
on utilise la technique LTR dual en fixant $T_o$ et en diminuant $T_c$ pour qu'il soit très petit devant $T_o$.

V.2.3. Simulation

Les paramètres de la GSAP sont les suivants :

$R_s = 17.5 \Omega$, $L_d = L_q = L_c = 53 \text{ mH}$, $C = 2.2 \text{ mF}$, $p = 1$, $\omega = 100\pi \text{ rad/s}$, $\varphi = 0.363 \text{ Wb}$.

La tension de référence du bus DC est : $V_{dc\_ref} = 200 \text{ V}$

Le courant de charge $I_{ch}$ initialement à 0.6 A passe à 0.75 A à l'instant 0.5 s.

La tension de référence est fixée à $V_{dc\_ref} = 200 \text{ V}$.

Les courbes de la figure 5.4 montre l'évolution de la tension $V_{dc}$ ; celles de la figure 5.5 les courants $i_d$ et $i_q$. On remarque qu'au moment de l'impact de charge à l'instant 0.5 s la tension $V_{dc}$ chute de moins de 1 V, soit inférieur à 0.5% avant de revenir à sa tension de référence. $i_q$ est maintenu à zéro même au moment de l'impact de charge.

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>Figure 5.4 : Evolution de la tension $V_{dc}$ du bus DC</figcaption></figure>

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>Figure 5.5 : Evolution des courants $i_d$ et $i_q$</figcaption></figure>
V.3. Ensembles génératrice – convertisseur tolérants
aux défauts

V.3.1. Introduction aux chaînes tolérantes aux défauts

Dans le cas de l'exploitation des sources d'énergies soutenables, éolienne et surtout marine, la difficulté d'accès au site impose l'utilisation de chaînes de conversions robustes et tolérantes aux défauts. Pour assurer la continuité des services, il est impératif que la chaîne de conversion continue à fonctionner même en cas de survenance de défauts, ceci même si la chaîne ne pourra pas véhiculer le maximum d'énergie. La réponse à cette problématique peut être soit la mise en œuvre de structures redondantes soit des chaînes tolérantes aux défauts. L'architecture la plus usitée dans les applications éoliennes et hydroliennes est l'association d'une génératrice et d'un redresseur MLI triphasé. Pour rendre cette association tolérante aux défauts, des auteurs ont proposé, soit d'utiliser un accès au point milieu du bus continu [Fu 1993, Welchko 2004, Ribeiro 2004, Yeh 2007, Dieng 2014]. Dans ce cas, on isole la phase de la génératrice ou le bras du convertisseur en défaut puis un circuit à base de triac connecte le point milieu du bus continu au point neutre de la génératrice. La stratégie de commande doit alors être adaptée pour réussir à récupérer environ 50% d'énergie par rapport au fonctionnement en mode normal. La figure 5.6 présente deux structures qui exploitent ce mode de fonctionnement en défauts.

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>Figure 5.6 : Structures avec accès au point milieu du bus continu [Dieng 2014]</figcaption></figure>

La deuxième stratégie est basée sur la non exploitation du point milieu du bus continu. Dans ce cas, un quatrième bras est rajouté au convertisseur. Quand un défaut survient dans un bras, une stratégie d'isolement de ce dernier est mise en place par différentes techniques [Bolognani 2000, Ribeiro 2004, Richardeau 2007, Naidu 2010, Estima 2011, Errabelli 2012, Dieng 2014]. Puis le 4ème bras vient remplacer le bras en défaut ou sera connecté au neutre de la machine si c'est une phase de la machine qui est en défaut. La figure 5.7 présente quelques structures basées sur ces stratégies.
<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Figure 5.7 : Structures sans accès au point milieu du bus continu [Dieng 2014]</figcaption></figure>

L'autre piste pour fiabiliser les structures de conversion est la réduction du nombre de composants actifs de puissance commandables, qui sont les éléments les plus vulnérables de la chaîne. En effet, des études, présentées dans [Schwab 2003, Flieller 2011], montrent que les interrupteurs de puissance commandables présentent les taux de défaillances les plus élevés. Une topologie de redresseur minimisant le nombre d'interrupteurs de puissance commandables est proposée dans [Kolar 1996, Kolar 1997] et elle a fait l'objet d'une étude dans [Kolar 1999, Pathak 2003, Qiao 2003, Nesrine 2007, Hang 2014]. Cette structure, présentée sur la figure 5.8, est un redresseur unidirectionnel et porte le nom de Vienna. Le nombre de composants commandables a été réduit de moitié en comparaison à un redresseur MLI triphasée classique.

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>Figure 5.8 : Redresseur Vienna triphasée [Dieng 2014]</figcaption></figure>

Ce redresseur Vienna présente beaucoup d'avantages. Ils sont énumérés dans [Dieng 2013] :

* réduction du nombre de composants actifs de puissance,
* très bon rendement,

* réduction du niveau d'harmoniques de courant grâce à la présence des trois niveaux de tension en comparaison avec les convertisseurs à deux niveaux et de la taille des filtres et des interférences électromagnétiques,

* réduction du stress sur les composants actifs de puissance,

* réduction des pertes par conduction,

* pertes par commutation réduites d'un facteur de 6 par comparaison avec le redresseur MLI classique (pour des fréquences de découpage inférieures à 50 kHz),

* présence du point milieu du bus continu permettant de diviser la tension de blocage des composants actifs de puissance par 2,

* maximisation du facteur de puissance à l'entrée de 0.997 et réduction du THD < 5%,

* haute fiabilité contre les erreurs de commande et les risques de court-circuit due à la configuration de sa topologie.

Une autre structure de redresseur minimisant le nombre d'interrupteurs de puissance commandables est l'association d'un redresseur à diodes et d'un boost. Cette structure a fait l'objet d'études dans [Tan 2004, Haque 2008, Haque 2010, Liang 2011, Qiu 2011]. Contrairement à la structure Vienna cette dernière structure présente des performances moindres : facteur de puissance médiocre, THD élevé, taux d'ondulation de couple et de puissance élevée, ... ; ce qui affecte le rendement de la génératrice.

Du côté génératrice une des solutions pour la rendre tolérante aux défauts et la multiplication du nombre de phases. On obtient ainsi des machines polyphasées ou multi-étoiles [Zhao 1996, Toliyat 1998, Terrien 2000, Martin 2003, Benkhoris 2004, Merabtene 2005, Robert-Dehault 2005, Semail 2005, Semail 2005b, Shamsi 2006, Semail 2009, Crevits 2010, Benelghali 2011, Pham 2016]. Ce type de génératrice possède de nombreux avantages par rapport aux génératrices triphasées : redondance parallèle de la structure qui permet d'accroître sa fiabilité, segmentation de la puissance (diminution du stress des composants de puissance et longévité des isolants), grande qualité du couple, ...

Pour toutes les raisons citées ci-avant, nous avons porté notre choix sur l'association d'une génératrice – redresseur pentaphasé. Le redresseur peut être du type Vienna ou MLI comme le montre la figure 5.9.

Sur la figure ci-après les schémas de gauche font référence au cas où le neutre de la machine n'est pas connecté au point milieu du redresseur. Alors que sur les schémas de droite les deux points sont connectés.

Dans les prochains sous-paragraphes, je vais présenter nos travaux sur la modélisation de l'ensemble génératrice – redresseur pentaphasé en mode sain et en mode défaut.
<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>Figure 5.9 : Association génératrice – redresseur pentaphasé en fonctionnement normal [Dieng 2014]</figcaption></figure>

## V.3.2. Modélisation dynamique de l'ensemble génératrice – redresseur pentaphasé

Le but de ce paragraphe est de présenter une approche de modélisation dynamique des ensembles génératrice – redresseur en vue de leurs simulations. Le simulateur construit sur cette base va constituer un outil d'analyse de ce type d'association. L'autre objectif est de faciliter l'obtention des modèles en vue de la commande. En effet, les stratégies de commande seront basées sur les références de courants exprimées dans des référentiels adaptés à l'optimisation de l'ensemble génératrice – redresseur en mode sain ou en mode défaut.

### V.3.2.1. Modèle dynamique de la génératrice pentaphasée à aimants permanents

Une machine est dite polyphasée si elle possède un nombre premier de phases régulièrement réparties. Le déphasage entre deux phases successives est égal à $2\pi/n$, où n est le nombre de phases. Les hypothèses de travail sur la génératrice synchrone pentaphasée à aimants permanents (GSAP pentaphasée) sont : pôles lisses ; amortisseurs négligés ; saturation négligée ; limitation au premier harmonique de chaque espace. Nous nous intéressons à une GSAP pentaphasée à FEM non sinusoïdale. En effet, cette machine est privilégiée à la machine à répartition sinusoïdale lorsqu'elle est associée à un convertisseur de commande par modulation de largeurs d'impulsions (MLI) [Robert-Dehault 2005]. Tous les harmoniques de la FEM sont exploités pour le transfert d'énergie.

Le modèle dynamique recherché de la GSAP pentaphasée doit être adapté à l'étude du fonctionnement de cette dernière en mode défaut. D'où l'utilisation de la transformation de Fortescue [Fortescue 1918]. La transformation de Fortescue, appelée aussi la méthode des composantes symétriques, est adaptée à l'analyse des systèmes électriques déséquilibrés.
Fortescue a défini une base de diagonalisation en dimension $n$, valable à une machine à enroulements régulièrement répartis. Comme il utilise des grandeurs complexes, alors la base est définie dans un espace hermitien. Un système à $n$ phases sera décomposé en $n-1$ systèmes symétriques (tous les vecteurs ont la même norme mais déphasés entre eux) et un système homopolaire (tous les vecteurs ont la même norme et sont en phase).

On définit alors la notion de système direct et de système inverse (indirect) où un observateur voit les $n$ phases défilées dans l'ordre ($p_1, p_2, ..., p_n$), dans le cas direct, ou dans l'ordre inverse ($p_1, p_n, ..., p_2$) dans le cas indirect.

On définit le nombre complexe $a = e^{j\frac{2\pi}{n}}$. Soit une grandeur électrique quelconque $x(t) = x_0 \sin(\omega t + \varphi)$. Pour un système direct, elle s'écrira :

$$ \underline{\mathbf{X}}_d(t) = x(t) \begin{bmatrix} 1 \\ a^{-1} \\ \vdots \\ a^{-(n-1)} \end{bmatrix} \qquad (5.7) $$

A cette écriture on lui préfère :

$$ \underline{\mathbf{X}}_d(t) = x(t) \underbrace{\begin{bmatrix} 1 \\ a^{(n-1)} \\ \vdots \\ a^1 \end{bmatrix}}_{e_{n-1}} \qquad (5.8) $$

En effet, $a^{(n-i)} = a^{-i}$.

Pour un système inverse :

$$ \underline{\mathbf{X}}_i(t) = x(t) \underbrace{\begin{bmatrix} 1 \\ a^1 \\ \vdots \\ a^{(n-1)} \end{bmatrix}}_{e_1} \qquad (5.9) $$

On obtient ainsi deux vecteurs orthogonaux, au sens hermitien, $\underline{\mathbf{X}}_d(t)$ et $\underline{\mathbf{X}}_i(t)$. Il est possible de les « normer » en les multipliant par $\sqrt{\frac{1}{n}}$.

Pour compléter la base il faut rajouter $(n-2)$ vecteurs orthogonaux, au sens hermitien, pour aboutir à la matrice de transformation :

$$ \underline{\mathbf{M}}_n = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & a^1 & \cdots & a^{(i-1)} & \cdots & a^{(n-1)} \\ 1 & a^2 & \cdots & a^{2(i-1)} & \cdots & a^{(n-2)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \underbrace{a^{(n-1)}}_{e_1} & \cdots & \underbrace{a^{(n-1)(i-1)}}_{e_i} & \cdots & \underbrace{a^1}_{e_{n-1}} \end{bmatrix} \qquad (5.10) $$

Remarque : On démontre que $a^{k(n-1)} = a^{(n-k)}$.
Cette matrice $\underline{M}_n$ est orthogonale au sens hermitien.

En appliquant cette transformation de Fortescue à une GSAP pentaphasée, la matrice $\underline{M}_n$ devient :

$$ \underline{M}_5 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^1 & a^2 & a^3 & a^4 \\ 1 & a^2 & a^4 & a^1 & a^3 \\ 1 & a^3 & a^1 & a^4 & a^2 \\ 1 & a^4 & a^3 & a^2 & a^1 \end{bmatrix} \qquad (5.11) $$

A partir de cette matrice on en déduit trois sous-espaces orthogonaux :

* Un sous-espace, appelé **plan principal**, composé de la 2ème (système inverse) et de la dernière colonne (système direct). Dans le plan principal le déphasage entre deux composantes successives est de $\frac{2\pi}{5}$.

* Un sous-espace, appelé **plan secondaire**, composé de la 3ème (système inverse) et de la 4ème colonne (système direct). Dans le plan principal le déphasage entre deux composantes successives est de $3\frac{2\pi}{5}$.

* Un sous-espace, appelé **plan homopolaire**, composé de la 1ère colonne.

Du fait que la FEM n'est pas sinusoidale, les grandeurs électriques seront composées d'un fondamental et d'harmoniques de rang supérieur. Il est important de voir comment se projettent ces harmoniques dans cette nouvelle base. Nous allons alors les classifier en fonction des sous-espaces dans lesquels ils se projettent.

Soit $x_h(t) = x_{h0} \sin(h\omega t + \varphi_h)$ l'harmonique de rang $h$ de la grandeur électrique $x(t)$. En tenant compte du sens direct, l'expression de la projection de $x_h(t)$ est définie :

$$ \underline{X}_h(t) = x_h(t) \begin{bmatrix} 1 \\ a^{4h} \\ a^{3h} \\ a^{2h} \\ a^h \end{bmatrix} \qquad (5.12) $$

A partir de cette expression on déduit la répartition des harmoniques d'une grandeur électrique de la machine pentaphasée présentée dans le tableau ci-après :

<table><caption>Tableau 5.1 : Répartition des harmoniques d'une grandeur électrique de la machine pentaphasée</caption><thead><tr><th>Sous-espace</th><th>Plan principal</th><th>Plan secondaire</th><th>Plan homopolaire</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rang de l'harmonique</td><td>1, 4, 6, 9, ...</td><td>3, 2, 7, 8, ...</td><td>5, 10, 15, ...</td></tr></tbody></table>

Le tableau 5.1 montre que dans le plan principal un système sinusoidal est porté par le fondamental (les autres harmonique, 4, 6, 9 ..., sont soit inexistants soit négligeables) et que dans le plan secondaire le système sinusoidal est porté par l'harmonique de rang 3 (les autres harmoniques, 2, 7, 8, ..., sont soit inexistants soit négligeables).

Une fois la base de projection est définie, nous exprimons le modèle de la génératrice pentaphasée dans cette base. Dans cette base, la matrice d'inductance sera diagonalisée. Ce qui
se traduit par le fait que la génératrice sera équivalente à 3 sous-machines pentaphasées fictives découplées magnétiquement mais couplées mécaniquement. Ces trois machines sont appelées : machine principale, de pulsation $\omega$ ($\omega = p\Omega$, où $p$ est le nombre de paires de pôles et $\Omega$ est la vitesse mécanique du rotor) ; machine secondaire, de pulsation $3\omega$ ; machine homopolaire de pulsation $5\omega$. La pulsation $h\omega$ de chaque machine est due au rang de l'harmonique d'espace dominant dans le plan considéré. La répartition des phases dans les plans principal et secondaire est illustrée ci-dessous :

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Figure 5.10 : Répartition des phases dans les plans principal et secondaire</figcaption></figure>

Ainsi, le modèle électrique de la génératrice est :

$$ \underline{\underline{\mathbf{E}}} = \underline{\underline{\mathbf{R}}} \underline{\underline{\mathbf{i}}} + \underline{\underline{\mathbf{L}}} \frac{\underline{\underline{\mathbf{d}}}}{\underline{\underline{\mathbf{t}}}} + \underline{\underline{\mathbf{V}}} \qquad (5.13) $$

Où $\underline{\underline{\mathbf{E}}}$ est le vecteur FEM, $\underline{\underline{\mathbf{V}}}$ le vecteur tension et $\underline{\underline{\mathbf{i}}}$ le vecteur courant. $\underline{\underline{\mathbf{L}}}$ est la matrice inductance et $\underline{\underline{\mathbf{R}}}$ la matrice résistance. L'expression de ces différents vecteurs et matrices sont :

$$ \text{et } \underline{\underline{\mathbf{i}}} = [i_a \ i_b \ i_c \ i_d \ i_e]^T $$

$$ \underline{\underline{\mathbf{R}}} = R_s \underline{\underline{\mathbf{I}}}_{5,5}, \underline{\underline{\mathbf{L}}} = \begin{bmatrix} L & M_1 & M_2 & M_2 & M_1 \\ M_1 & L & M_1 & M_2 & M_2 \\ M_2 & M_1 & L & M_1 & M_2 \\ M_2 & M_2 & M_1 & L & M_1 \\ M_1 & M_2 & M_2 & M_1 & L \end{bmatrix}, R_s \text{ et } L \text{ sont respectivement la résistance et} $$

l'inductance de chaque phase, $M_1$ est la mutuelle inductance entre deux phases adjacentes et $M_2$ est la mutuelle inductance entre deux phases non adjacentes.

L'expression de la puissance électrique est :

$$ P_e = \underline{\underline{\mathbf{E}}} \cdot \underline{\underline{\mathbf{i}}} = E_a i_a + E_b i_b + E_c i_c + E_d i_d + E_e i_e \qquad (5.14) $$

Le modèle électrique (5.13) est intéressant du point de vue simulation, mais il est difficile d'y synthétiser une loi de commande. D'où l'intérêt de travailler dans une base où la matrice $\underline{\underline{\mathbf{L}}}$ est sous forme diagonale. Ce qui permet d'obtenir des variables d'état découplées. Pour ce faire, nous définissons un repère diphasé fixe $(\alpha_p, \beta_p)$, de Concordia, où se projette la machine principale et un autre, toujours fixe $(\alpha_s, \beta_s)$, où se projette la machine secondaire ; comme le montre la figure ci-après :
<figure><img src="image_103.png" /></figure>

<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>Figure 5.11 : Repère de Concordia pour chaque plan</figcaption></figure>

En projetant les grandeurs électriques dans chaque plan on obtient les deux matrices de passage suivantes :

$$
\underline{\underline{\mathcal{C}}}_p = \begin{bmatrix} 1 & \cos \frac{2\pi}{5} & \cos \frac{4\pi}{5} & \cos \frac{6\pi}{5} & \cos \frac{8\pi}{5} \\ 0 & \sin \frac{2\pi}{5} & \sin \frac{4\pi}{5} & \sin \frac{6\pi}{5} & \sin \frac{8\pi}{5} \end{bmatrix},
$$

$$
\underline{\underline{\mathcal{C}}}_s = \begin{bmatrix} 1 & \cos \frac{6\pi}{5} & \cos \frac{2\pi}{5} & \cos \frac{8\pi}{5} & \cos \frac{4\pi}{5} \\ 0 & \sin \frac{6\pi}{5} & \sin \frac{2\pi}{5} & \sin \frac{8\pi}{5} & \sin \frac{4\pi}{5} \end{bmatrix}.
$$

En concaténant ces deux matrices et en tenant compte de l'homopolaire on aboutit à la
matrice de passage globale suivante :

$$
\underline{\underline{\mathcal{C}}}_5 = \sqrt{\frac{2}{5}} \begin{bmatrix} 1 & \cos\frac{2\pi}{5} & \cos\frac{4\pi}{5} & \cos\frac{6\pi}{5} & \cos\frac{8\pi}{5} \\ 0 & \sin\frac{2\pi}{5} & \sin\frac{4\pi}{5} & \sin\frac{6\pi}{5} & \sin\frac{8\pi}{5} \\ 1 & \cos\frac{6\pi}{5} & \cos\frac{2\pi}{5} & \cos\frac{8\pi}{5} & \cos\frac{4\pi}{5} \\ 0 & \sin\frac{6\pi}{5} & \sin\frac{2\pi}{5} & \sin\frac{8\pi}{5} & \sin\frac{4\pi}{5} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \quad (5.15)
$$

Le coefficient $\sqrt{\frac{2}{5}}$ permet de rendre la matrice $\underline{\underline{\mathcal{C}}}_5$ orthonormée. Ce qui fait que sa matrice inverse n'est autre que sa matrice transposée.

Le modèle de la machine dans le repère de Concordia est :

$$
\underline{\underline{\mathcal{E}}}_c = \underline{\underline{\mathcal{R}}} \underline{\underline{\mathbf{i}}}_c + \underline{\underline{\mathcal{L}}}_c \frac{di_c}{dt} + \underline{\underline{\mathcal{V}}}_c \quad (5.16)
$$

$$
\text{Où } \underline{\underline{\mathcal{E}}}_c = \underline{\underline{\mathcal{C}}}_5 \underline{\underline{\mathcal{E}}} = [E_{\alpha p} \ E_{\beta p} \ E_{\alpha s} \ E_{\beta s} \ E_0]^T,
$$

$$
\underline{\underline{V}}_c = \underline{\underline{\mathcal{C}}}_5 \underline{\underline{V}} = [V_{\alpha p} \ V_{\beta p} \ V_{\alpha s} \ V_{\beta s} \ V_0]^T,
$$

$$
\underline{\underline{\mathbf{i}}}_c = \underline{\underline{\mathcal{C}}}_5 \underline{\underline{\mathbf{i}}} = [i_{\alpha p} \ i_{\beta p} \ i_{\alpha s} \ i_{\beta s} \ i_0]^T \text{ et}
$$