# Optimisation de la loi d'épaisseur pour une coque mince de révolution

Jean-Marie Boisserie, Roland Glowinski

► To cite this version:

Jean-Marie Boisserie, Roland Glowinski. Optimisation de la loi d'épaisseur pour une coque mince de révolution. [Rapport de recherche] IRIA-RR-143, IRIA. 1975, pp.8. hal-04716080

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laboratoire de recherche
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Optimisation
de la loi d'épaisseur
pour une coque mince
de révolution

Roland
J.M. Boisserie, R. Glowinski

Rapport de Recherche n°143
Novembre 1975
OPTIMISATION DE LA LOI D'ÉPAISSEUR
POUR UNE COQUE MINCE DE RÉVOLUTION

J.M. Boisserie, R. Glowinski

RÉSUMÉ :

Le but de cet article est la description succinte de la méthode de résolution numérique d'un problème de conception optimale de coques minces de révolution. La méthode exposée peut s'appliquer à des problèmes plus compliqués.

ABSTRACT :

This paper describes briefly numerical methods for solving an optimum design problem for revolu-
lution thin shells. These methods could be applied to more complicated problems.
OPTIMISATION DE LA LOI

D'EPAISSEUR POUR UNE COQUE MINCE DE REVOLUTION

*

**

J.M.BOISSERIE , R.GLOWINSKI

# 1. INTRODUCTION .

Le but de cet article est de décrire succinctement la résolution
numérique d'un problème modèle d'optimisation de structure, la structure consi-
dérée étant une coque mince de révolution. L'approche retenue pour l'optimisa-
tion de cette structure est essentiellement basée sur la méthodologie du
contrôle optimal.

2. NOTATIONS.

Dans ce qui suit on utilisera les notations suivantes (illustrées par
la figure 1) :

$$
- \Sigma \text{ est la coque de révolution,}
$$

- *S* : méridienne moyenne,

- *e* : épaisseur de la coque mesurée sur la normale à la méridienne moyenne,

- $\vec{n}$ : vecteur unitaire de la normale extérieure à la méridienne moyenne,

$$
- P_i = P - \frac{\vec{n}}{2} e, \quad P_e = P + \frac{\vec{n}}{2} e, \quad |P_i P_e| = e.
$$

Les autres notations sont évidentes au vu de la figure 1.

<footnote>* E.D.F., Etudes et Recherches.</footnote>

<footnote>** Université PARIS VI et IRIA.</footnote>
<figure><img src="image_2.png" /></figure>

La composante normale des contraintes mécaniques étant négligée on désignera respectivement par $\sigma_s$ et $\sigma_\theta$ les contraintes méridiennes et angulaires. Plus précisement on considérera dans la suite le vecteur

$\sigma = \{\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4\}$ défini par

$$ (2.1) \quad \left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 = \sigma_s (P_e) , \quad \sigma_2 = \sigma_\theta (P_e) , \\ \\ \sigma_3 = \sigma_s (P_i) , \quad \sigma_4 = \sigma_\theta (P_i) . \end{array} \right. $$

Il faudra également considérer les vecteurs déplacement et déformation respectivement définis par

$$ (2.2) \quad u = \{u_1, u_2\}, $$

où $u_1$ est le déplacement méridien et $u_2$ le déplacement normal,

$$ (2.3) \quad \varepsilon = \{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4\} $$
où

$$
(2.4) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\epsilon_1 = \frac{du_1}{ds}, & \epsilon_2 = \displaystyle\frac{u_1 \sin \alpha + u_2 \cos \alpha}{r}, \\
\\
\epsilon_3 = - \frac{d^2 u_2}{ds^2}, & \epsilon_4 = - \displaystyle\frac{\sin \alpha}{r} \frac{du_2}{ds}
\end{array}
\right.
$$

3. POSITION DU PROBLEME D'OPTIMISATION.

On adopte la terminologie du contrôle optimal.

3.1. Fonction coût

Sous des conditions qui seront précisées dans la suite la fonctionnelle
j à *minimiser* est définie par

$$
(3.1) \quad j = \frac{1}{2} \int_S \sum_{i=1}^{4} \sigma_i^2 r(s) \, ds.
$$

3.2. Équations d'état.

Ce sont les équations de l'élasticité. Pour les décrire il est commode
d'introduire la fonctionnelle d'énergie de la coque Σ, soit sous forme varia-
tionnelle et avec des notations à peu près évidentes (on identifie les vecteurs
avec les matrices colonnes associées)

$$
(3.2) \quad \frac{1}{2} \int_S \epsilon^T(v) [D] \epsilon(v) r(s) ds - \int_S F.v r(s) ds,
$$

d'où, par dérivation, les équations de l'élasticité sous forme variationnelle

$$
(3.3) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\int_S \epsilon^T(u) [D] \epsilon(v) r(s) \, ds = \int_S F \cdot v r(s) \, ds \quad \forall v \in V_o \\
u \in V.
\end{array}
\right.
$$
Dans (3.2), (3.3.)

- $V_0$ est l'espace des fonctions tests, c'est à dire des déplacements compatibles avec les conditions aux limites imposées à $\Sigma$.

- $V$ est l'ensemble où l'on cherche la solution ; $V$ est entre autres défini par les conditions aux limites imposées.

- On a

$$ (3.4) \quad [D] = \frac{E e}{1 - v^2} [d] $$

où $E$ est le module de Young et $v$ le coefficient de Poisson et où

$$ (3.5.) [d] = \begin{bmatrix} 1 & v & o & o \\ v & 1 & o & o \\ o & o & \frac{e^2}{12} & \frac{v e^2}{12} \\ o & o & \frac{v e^2}{12} & \frac{e^2}{12} \end{bmatrix} $$

- $F$ est un vecteur représentatif des forces extérieures agissant sur $\Sigma$.

En terminologie du contrôle optimal, (3.3) est l'équation d'état du système. Lorsque $F$ est donné et $e$ connue le déplacement $u$ est calculable par résolution de (3.3) ; $\sigma$ est alors déterminé à partir de $u$ par

$$ (3.6) \quad \sigma = [MD][D] \quad \varepsilon, $$

où

$$ (3.7) [MD] = \begin{bmatrix} \frac{1}{e} & o & \frac{6}{e^2} & o \\ \frac{1}{e} & o & \frac{6}{e^2} & o \\ o & \frac{1}{e} & o & \frac{6}{e^2} \\ o & \frac{1}{e} & o & \frac{6}{e^2} \end{bmatrix} $$
Il est important de remarquer que $F$ étant donné, $j$ est en fait uniquement fonction de l'épaisseur $e$, via (3.3)-(3.7), on a également

$$ (3.8) \quad j(e) = J(u(e),e), $$

où $J$ est défini par

$$ (3.9.) \quad J(v,e) = \frac{1}{2} \int_S \varepsilon^{\mathrm{T}}(v) G(e) \varepsilon(v) r \, ds, $$

avec

$$ (3.10) \quad G(e) = [D(e)]^T [MD(e)]^T [MD(e)] [D(e)] . $$

### 3.3. Ensemble des épaisseurs admissibles.

Dans ce qui suit on a imposé à l'épaisseur $e$ la condition $e \in E_{ad}$, avec

$$ (3.11) \quad E_{ad} = \{ e \mid o < \alpha < e \le \beta, \left| \frac{de}{ds} \right| \le C, 2\pi \int_S e(s)r(s) \, ds = P \}. $$

La relation

$$ 2\pi \int_S e(s) r(s) \, ds = P $$

traduit le fait que le *poids* de la structure est imposé.

### 3.4. Formulation du problème d'optimisation.

On veut résoudre

$$ (3.12) \quad \begin{array}{ll} \underset{e \in E_{ad}}{\mathrm{Min}} & j(e), \\ & e \in E_{ad} \end{array} $$

la fonctionnelle $j$ étant fonction de l'épaisseur $e$ via (3.3)-(3.10).
# 4. PRINCIPES GENERAUX DE LA METHODE DE RESOLUTION NUMERIQUE.

## 4.1. Généralités.

Compte tenu du cadre forcément limité de cet article nous ne pouvons rentrer dans le détail des méthodes utilisées pour résoudre numériquement (3.12). Renvoyant à un article - à paraître ultérieurement - des auteurs pour une description plus précise des méthodes mentionnées ci-dessus, nous indiquerons simplement les grandes lignes de la résolution numérique de (3.12). On peut schématiquement distinguer les deux étapes ci-dessous.

### 1 Approximation

On approche le problème continu (3.12) par un problème en dimension finie. Pour cela il faut d'abord approcher $V, V_o, E_{ad}$ par, respectivement $V_h, V_{oh}, E_{ad}^h$, puis l'équation d'état (3.3.) par un système linéaire en dimension finie. On approche ensuite la fonction $J$, définie en (3.9), par $J_h$, d'où une approximation $j_h$ de $j$. Le problème d'optimisation approaché est alors défini par

$$ (4.1) \qquad \begin{array}{ll} \text{Min} & j_h(e_h) \\ e_h & \in E_{ad}^h \end{array} $$

### 2 Résolution itérative de (4.1).

Le problème approché (4.1) est un problème de programmation non linéaire (on utilise ici la terminologie classique de l'optimisation). Sa résolution va donc nécessiter l'utilisation d'une méthode itérative. On peut alors utiliser des méthodes de type gradient, soit d'une façon générale :

$$ (4.2) \qquad \text{On se donne } e_h^o \in E_{ad}^h, $$

puis

$$ (4.3) \quad \left\{ \begin{array}{ll} e_h^n & \text{étant connu on détermine le gradient } j_h(e_h^n) \\ & \\ \text{et par un procédé à définir on en déduit } e_h^{n+1}. & \end{array} \right. $$

Détaillons un peu plus ces deux étapes.
## 4.2. Approximation.

On a approché $u$ et $e$ par des approximations de type éléments finis (à une variable). De façon plus précise on a utilisé :

- pour $u_1$ une approximation globalement continue et affine par morceaux.

- pour $u_2$ une approximation globalement continue ainsi que sa dérivée première et cubique par morceaux.

- pour $e$ une approximation constante par morceaux.

Pour simplifier les calculs assez lourds auxquels on est conduit on a systématiquement utilisé l'intégration numérique pour évaluer les intégrales intervenant dans la formulation du problème approché (4.1).

## 4.3. Calcul du gradient $\nabla j_h(e)$.

Soit $e_h$, pour déterminer $\nabla j_h(e_h)$ on a utilisé la technique bien connue en contrôle optimal, de l'Hamiltonien et de l'état adjoint. On va décrire cette méthode en utilisant le formalisme plus simple du problème continu.

Pour calculer le gradient $\nabla j(e)$ de $j$ en $e$ on peut donc procéder comme suit :

On note $a(e; \cdot, \cdot, \cdot)$ la forme bilinéaire et symétrique définie par

$$a(e; u,v) = \int_S \varepsilon^T(u) [D(e)] \varepsilon(v) r(s) \, ds.$$

La relation (3.3.) peut alors s'écrire

$$ (4.4) \quad \begin{cases} a(e;u,v) = \displaystyle\int_S F.v \, r(s) \, ds \quad \forall v \in V_0, \\ u \in V. \end{cases} $$

On introduit ensuite l'Hamiltonien
$$H(v,e,q) = J(v,e) + a(e; v,q) - \int_S F \cdot v \, r(s) \, ds,$$

alors $e$ étant donné, on détermine $u, p, r$ par (4.4.)

et

$$ (4.5) \quad \left\{ \begin{array}{l} a(e;p,v) = -\left(\frac{\partial J}{\partial v}(u,e), v\right) \quad \forall v \in V_o, \\ p \in V_o \end{array} \right. $$

En théorie du contrôle (4.5) et $p$ sont généralement appelés l'équation d'état adjointe et le vecteur d'état adjoint.

Les fonctions $e, u, p$ étant connues on détermine alors $j'(e) = \frac{dj}{de}(e)$ par

$$(4.6) \quad \nabla_j (e) = \frac{dj}{de}(e) = \frac{\partial H}{\partial e}(u,e,p) = \frac{\partial J}{\partial e}(u,e) + \frac{\partial}{\partial e} a(e;u,p).$$

**REMARQUE IMPORTANTE** : Les fonctions $u$ et $p$ sont solutions de deux problèmes linéaires dont les "matrices sont identiques".

### 4.4. Résolution du problème approché par une méthode de FRANK-WOLFE.

Le problème approché (4.1) a été résolu par une méthode itérative de type FRANK-WOLFE par laquelle on tire efficacement parti du fait que $E_{ad}^h$ est défini par un ensemble de relations linéaires. L'algorithme est le suivant :

$$ (4.8) \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{On se donne } e_h^o \in E_{ad}^h \\ e_h^n \text{ étant connu on détermine } u_h^n \text{, puis } p_h^n \text{ ce qui permet} \\ \text{de calculer } \nabla_j h(e_h^n). \end{array} \right. $$

On détermine alors $e_h^{-n+1}$ comme solution du programme linéaire
$$ (4.9) \quad \left\{ \begin{array}{l} (\nabla_j h(e_h^n), \bar{e}_h^{n+1} - e_h^n) \le (\nabla_j h(e_h^n), e_h - \bar{e}_h^n) \quad \forall e_h \in E_{ad}^h \cap K_{hd}^n, \\ \bar{e}_h^{n+1} \in E_{ad}^h \cap K_{hd}^n \end{array} \right. $$

où

$$ K_{hd}^{n} = \{ e_h \mid \|e_h - \bar{e}_h^n\| \le d \} $$

(en pratique on peut faire varier d, d'où une suite $(d_n)$ n pour définir $K_{hd}^n$).

On définit enfin $e_h^{n+1}$ comme étant la solution du problème de minimisation *unidimensionnel*.

$$ (4.10) \quad \left\{ \begin{array}{l} j_h(e_h^{n+1}) \le j_h(e_h) \\ \forall e_h \in [e_h^n, \bar{e}_h^{n+1}] \end{array} \right. $$

pour lequel existent des méthodes de résolution efficaces (dichotomie, Fibonnaci etc...).

## 5. REMARQUES FINALES ET CONCLUSION.

La méthode décrite ci-dessus a été appliquée à la résolution d'un certain nombre d'exemples et a fonctionné de façon très satisfaisante. Nous renvoyons à l'article précité des auteurs pour une description des exemples ainsi traités et pour l'analyse des résultats numériques.

Il est bien évident par ailleurs que suivant les mêmes principes méthodologiques on peut résoudre des problèmes différents ou plus compliqués que ceux décrits dans cet article.