# الفصل الثامن

## في بيان معرفة مقادير الأيام بلياليها وتعديليهما

[١] يطلق اليوم على اليوم بليلته وهو حقيقي ووسطي. فأما الحقيقي زمان واقع بين طلوع الشمس أو غروبها أو كونها في نصف النهار وبين عودها إلى ما جُعل مبدأ من الأمور الثلاثة بالحركة الأولى. ومقداره دورة من معدّل النهار مع ما يطلع منه مع القوس التي تقطعها الشمس ب移動ها الخاصة فيما بين المبدأ والمنتهى.

[٢] وتلك القوس، في النصف الأبعد أصغر، وفي النصف الأقرب أكبر. وما يطلع من المعدّل مع ما يطلع من فلك البروح تارة يكون أصغر وتارة يكون أكبر. وبسبب هذين الاختلافين تختلف مقادير الأيام بلياليها. ولقلة التفاوت، لا يُحسَّ ذلك الاختلاف في أيام قليلة كيوم أو يومين ويُحسُّ في أيام كثيرة.

[٣] وأهل الحساب لاضطرارهم إلى استعمال الأيام بلياليها متساوية المقدار لمعرفة حركات الأوساط وغيرها ممّا هم محتاجون، جعلوا تلك الزيادة مقدار حركة الشمس الوسطى في يوم بليلته، وسمّوا تلك الأيام الوسطي. وكلّ يوم منها مقدار دور من المعدّل مع وسط الشمس وهو اليوم الوسطي.

[٤] ويسمّى بالوسطي لاعتبار سيرها الوسطى فيه، كما سُميّ الأوّل بال حقيقي لاعتبار سيرها الحقيقي فيه وهو الحركة التقويمية. وهما قد يتساويان وقد يختلفان لأنّ مطالع حركتها التقويمية إما زائدة عليها وإما ناقصة منها، وعلى التقديرين فالتقويمية إما مساوية للحركة الوسطية كما في موضع الحركة الوسطي، أو زائدة عليها كما في النصف الحضيضي، أو ناقصة عنها كما في الأوّج. فالإقسام سته.

[٥] وهما يتساويان فيما يتساوي فيه المطالع والوسط وذلك عند تساوي زيادتهما على التقويم أو نقصانهما منه. وهذا التفاوت يسمّى تعديل الأيام بلياليها. وإنّما يُحسّ به في أيام كثيرة دون يوم أو يومين. وتحقيق كميّته محوج إلى معرفة غاية كلّ من الاختلافين.

[٦] أمّا التفاوت الذي بسبب سير الشمس، فثأربعة أمثال غاية اختلافها، وهي درجتان بالتقريب، لكون الحركة التقويمية في النصف الأوّج ناقصة عن الحركة الوسطية بضعف الغاية

[٧] وتعديليهما: وتعديلها [ج]. يطلق [ق]. اليوم على: ناقص [د، ج، ق]. فأما: ف [د، أ، ق].

[٨] دورة: ذروة [ق]. المبدأ: المبتدأ [ج]. ممّا هم محتاجون: فيما هم محتاجون إليه [د، ج].

[٩] د، ج، ق]. اختلافها: اختلافهما [ج، ارتفاعها [ق]. وهي: وهو [د، ج، وهما [ق].

[١٠] ك ١٠.٤ و. ٨ أ ٥٩ و. ١٥ ق ٥٩ و. ١٥ ك ١٠.٤ و. ٢٠ ج ٦٥ و.
de ce qu'on lui ajoute, et qu'il en est de même dans la moitié [passant] par le périgée. Il n'y a pas de contradiction entre le fait que l'arc en longitude soit supérieur à l'arc moyen – comme il arrive dans les orbes du Soleil – et le fait que le mouvement en longitude soit inférieur au mouvement moyen – comme nous venons de dire.

[7] L'écart dû à la coascension dépend des horizons, donc ça n'est pas la même chose pour toutes les contrées. Si l'on pose que les jours commencent quand le Soleil arrive à l'horizon, de sorte que l'origine est l'arrivée du Soleil à l'horizon est, alors on compte l'écart entre les degrés égaux et leur coascension par rapport au lieu [donné]. Si l'on pose que l'origine est l'arrivée du Soleil à l'horizon ouest, alors on compte l'écart entre les degrés égaux et la coascension [de l'arc] opposé, par rapport au lieu [donné]. Si l'on pose que l'origine est l'arrivée [du Soleil] au méridien, alors l'écart est le même pour tous les horizons, et les jours ont la même durée dans tous [les horizons] : on compte le déplacement et la coascension par rapport à l'équateur terrestre. Et c'est pourquoi le méridien a été choisi comme origine.

[8] Ci-dessus ²⁸¹, on a divisé l'orbe de l'écliptique en quatre. Parmi les quatre portions, il y en a deux qui ont chacune un équinoxe en son milieu et qui sont chacune supérieure à sa coascension. L'une va du milieu du Verseau au milieu du Taureau, l'autre va du milieu du Lion au milieu du Scorpion. L'excédent de chacune sur sa coascension par rapport à l'équateur terrestre est cinq degrés. Les deux autres portions ont chacune un solstice en son milieu et elles sont chacune inférieure à sa coascension. L'une va du milieu du Taureau au milieu du Lion, et l'autre va du milieu du Scorpion au milieu de Verseau. Le défaut de chacune à sa coascension par rapport à l'équateur terrestre est aussi cinq degrés.

[9] En combinant les deux écarts par excès et par défaut, cette variation fera la grandeur totale de l'écart entre les jours moyens et les jours vrais.

[10] On ne peut faire autrement que choisir un jour [de l'année] comme origine. Les autres jours lui seront rapportés, de sorte que midi de ce jour soit l'origine des jours moyens ainsi que des jours vrais. Quel que soit le jour de l'année choisi comme origine du temps, l'écart entre les jours moyens et les jours vrais écoulés depuis ce jour sera tantôt additif, tantôt soustractif; mais si l'on prend l'origine vers la fin du Verseau, alors les jours vrais seront toujours inférieurs au jours moyens; et si l'on prend l'origine vers le début du Scorpion, alors les jours
زائدة عليها، وفي النصف الحضيضي بمثل ذلك أيضًا. ولا منافاة بين أن تكون القوس التقويمية زائدة على القوس الوسطية كما مرّ في أفلاك الشمس وبين أن تكون الحركة التقويمية | ناقصة من الحركة الوسطية كما ذكر هنا.

[٧] | وأمّا التفاوت الذي يكون بسبب المطالع، فيختلف باختلاف الآفاق، ولم يكن في جميع البقاع | شيئًا واحدًا. إن جُعل مبادئ الأيام انتهاء الشمس إلى الأفق حتى أن جُعل المبدأ انتهاؤها إلى الأفق الشرقي كان بحسب التفاوت | بين درج السواء ومطالعها في ذلك الموضع.

وإن جُعل المبدأ انتهاؤها إلى الأفق | الغربيّ كان بحسب التفاوت بين درج السواء ومطالع نظيرها في ذلك الموضع. وإن جُعل المبدأ انتهاؤها إلى نصف النهار اتفق التفاوت في جميع الآفاق، وتساوت الأيام | فيها قدرًا: ويكون ذلك بحسب السير والمطالع بخط الاستواء. فلهذا اختاروا

١٠. المبدأ من نصف النهار.

[٨] وقد سبق أن فلك البروج ينفصل على أربع، تقطع قطعتان منها يتوسط كل واحدة منهما أحد الاعتدالين وتزيد على مطالعها، إحداهما من | أواسط الدلو إلى أواسط الثور والآخر من أواسط الأسد إلى أواسط العقرب، ومقدار زيادة كل واحدة منهما على مطالعها بخط الاستواء خمس درجات. وكل واحدة من القطعتين الآخرين يتوسطها أحد الانقلابين وتنقص عن | مطالعها،

١٠. إحداهما من أواسط الثور إلى أواسط الأسد والآخر من أواسط العقرب إلى أواسط الدلو. ومقدار نقصان كل واحدة منهما عن مطالعها | بخط الاستواء خمس درجات أيضًا.

[٩] وإذا تركب التفاوتان بالزيادة أو النقصان فالاختلاف جُعل مقدار التفاوت بين الأيام الوسطى والأيام الحقيقية جملة في السنة.

[١٠] ولا بدّ من فرض يوم مبدأ لِيُقاس عليه سائر الأيام، بحيث يكون نصف نهار ذلك |

٢٠. اليوم مبدأ الأيام الوسطى والحقيقية جميعًا. وأي يوم من السنة يُفرض مبدأ لزمان يكون التفاوت بين الأيام الوسطى والحقيقية الماضيين من ذلك اليوم زائدًا تارة وناقصًا أخرى؛ إلا إذا جُعل المبدأ أواخر الدلو فإن الأيام الحقيقية دائمًا ناقصة من الوسطى؛ وإلّا إذا جُعل أوائل العقرب فإن الأيام

١ ذلك: ناقص [ق]. ٣ هنا: هناك [ق]. ٥ شيئًا: سببا [ج]. ٦ ومطالعها: ومطالع نظيرها [ج، ق]، كتب أوّلا

”ومطالع نظيرها“ ثمّ صحيحة إلى ”مطالعها“ [د]. ٧ جُعل: كان [أ]، كان جعل [ق]. ٨-٧ إلى الأفق الغربي ... انتهاؤها:

في الهامش مع إشارة [د]. ٨ المبدأ: الميل [ق]. ١٠ المبدأ: المبدأ فيها [ج، د]. ١٤ الآخرين: الآخرين [ج].

١٤ مطالعها: مطالع [د، ج]. ١٥ الأسد: الاوسط [أ، ق]. ١٦ عن: من [أ، ق]. ١٧ أو النقصان: والنقصان [د، ج].

١٧ فالاختلاف: والاختلاف [أ، د، ج، ق]. ١٧ بين: من [د، ج، ق]. ١٩ لِيُقاس: القياس [ق]. ٢٠ لزمان: لزم أن

[ق]. ٢١ زائدًا ... وناقصًا: زائدة تارة وناقصة [د، ج].

٢٢ گ ١٠٥ و. ٤ ب ٥٨ و. ٥٠ د ٢٢ و. ٦ ١٠ ٩٤ و. ١٢ ت ٤٢ و. ١٤ گ ١٠٥ و. ١٦ ج ٦٥ و.

١٩ ٥ ٩٥ و.
vrais seront toujours supérieurs aux jours moyens. Les hommes de métier se sont accordés à choisir [l'origine] vers la fin du Verseau.

[Figure 27.]

[11] L'écart dû à l'anomalie solaire change à cause du mouvement de l'auge, mais seulement sur de longues durées.

[12] Ainsi s'achève l'explication de l'écart dans la grandeur des jours. L'explication de [leur] grandeur à un instant donné relève davantage des livres pratiques. Cet écart s'appelle équation des nychtémères. Au cours d'une révolution complète, [la durée totale des] jours vrais et [la durée totale des] jours moyens sont égales, et la considération précédente tombe.

## Neuvième section
### L'aurore et le crépuscule.

[1] L'aurore est l'illumination de l'horizon est à l'approche du Soleil, et le crépuscule est l'illumination de l'horizon ouest après que le Soleil s'y soit retiré. La cause de l'aurore est la suivante : pendant la nuit, de dessous la Terre, quand le Soleil approche l'horizon est, le cône d'ombre de la Terre (en quoi consiste la nuit) penche vers l'ouest. Plus il penche, plus le rayon de lumière à son bord s'approche de l'œil, du côté de l'est, jusqu'à être vu, petit à petit.

[2] Pour se le représenter, imaginons un triangle à angles aigus dont la base soit l'horizon et dont les côtés soient dans le plan du cône 282, qu'on imagine passant par le centre du Soleil, le centre de la Terre et le sommet du cône. Imaginons un autre triangle ayant un angle droit, dont la base soit entre l'horizon et le premier point vu de l'aurore (c'est-à-dire un point du côté du premier triangle), et dont les deux autres côtés soient issus de l'observateur, l'un des deux passant par une des extrémités de la base et l'autre par l'autre, l'une [des deux extrémités de la base] étant le point mentionné, et l'autre un point de l'horizon. Comme [le côté] issu de l'observateur et passant par le point [mentionné] est perpendiculaire [en ce point], alors [l'autre] côté [issu de l'observateur] vers l'horizon est plus long car c'est l'hypoténuse 283. Ainsi ce qu'on voit [en premier] de l'aurore est comme une droite située au dessus de l'horizon ; ce qui est plus proche de l'horizon est [encore] obscur. On appelle ce qui en est vu première aurore parce que cela apparaît en premier à l'aurore, et aurore trompeuse parce que cela [semble] être en contradiction avec l'obscurité de ce qui est plus proche encore du Soleil. [On l'appelle aussi queue du loup à cause du déploiement de son début et de la ponctualité de sa fin.

[Figure 28.]
الحقيقية زائدة على الوسطى حينئذ. واتفق أهل الصناعة على جعله أواخر الدلو.

[صورة ٢٧.]

[١١] ويتعيّر تفاوت اختلاف الشمس بسبب حركة الأوج، لكن في مدة طويلة.

[١٢] فهذا بيان التفاوت في مقادير الأيام. وبيان المقادير في كل وقت أليق بكتب العمل، ويُسمَّى هذا التفاوت تعديل الأيام بلياليها. وإذا تم الدور تساوت الأيام الحقيقية والوسطى، وسقط هذا الاعتبار.

| الفصل التاسع |

في الصبح والشفق

[١] الصبح استنارة الأفق الشرقي لإقبال الشمس عليه، والشفق استنارة الأفق الغربي بعد إدبار الشمس عنه. وسبب الصبح، أن الشمس إذا قربت بالليل من تحت الأرض إلى الأفق الشرقي، مال مخروط ظل الأرض الذي هو عبارة عن الليل نحو المغرب؛ وكلما زاد ميله زاد قُرب الشعاع المحيط به إلى البصر من جهة المشرق إلى أن يُرى قليلا | قليلا.

[٢] ولنتوهم لتصوّره مثلث حاد الزوايا، قاعدته على الأفق وضلعاه على سطح | المخروط من توهم مرور سطح يمر بمركزي الشمس والأرض وبسهم المخروط، ومثلث آخر، | إحدى زواياه قائمة، قاعدته بين الأفق وأوّل نقطة | ترى من الصبح، أعني نقطة من ضلع المثلث الأوّل، وضلعاه الآخرين خارجان من النظر، أحدهما إلى أحد طرفي قاعدته والآخر إلى الآخر، أحدهما النقطة المذكورة والآخر نقطة من الأفق. ولكن الضلع الخارج من النظر إلى النقطة عمودًا، كان الجارح منه إلى الأفق لكونه وتر قائمة أطول منه. وكذلك ما يُرى من الصبح كخط مستقيم فوق الأفق حين ما يقرب من الأفق مظلماً. ويُسمَّى ذلك المرئي منه بالصبح الأوّل لظهوره أوّلا بالصبح، الكاذب لتكيبيه ظلمة ما هو أقرب منه إلى الشمس، وبذنب السرحان لانتشار أوّله ودقة آخره. ٢٠

[صورة ٢٨.]

<footnote n="٩">٩ لإقبال: لاميال [ق]. ١٣ مثلث: مثلثا [د، ج]. ١٦ خارجان: حاز [ق]. ١٦ النظر: القطر [أ، د، ج، ق]. ١٦ أحد: ناقص [ق]. ١٧ النقطة: النقط [د، ج]. ١٨ إلى: ناقص [أ، د، ج، ق]. ١٨ الأفق لكونه: ناقصة [د، ج]. ١٨ وكذلك: ولذلك (؟) [أ].</footnote>

<footnote n="١٠">١٠ أ ٦٠، و، د ٦٢، ق ٦٠، و، ب ٥٨، ق ٥٥. ٧ ج ٦٦، و، ت ٤٣، و، گ ١٠٦. ١٢ ب ٥٩. ١٣ أ ٦٠. ١٤ ق ٦٠. ١٥ گ ١٠٦. ١٦</footnote>
[3] Ensuite, si le Soleil s'approche beaucoup de l'horizon, la lumière se développe à l'horizon comme une demi-disque, et l'aurore devient alors *franche*. L'horizon est s'emplit de clarté, la moitié du ciel est atteinte, et cette clarté ne cesse plus de croître jusqu'à ce que rougeoie l'horizon, que le Soleil se lève, et que le cône d'ombre se couche. Plus le Soleil monte, plus le cône s'abaisse, jusqu'à midi ; alors le Soleil commence à se diriger vers l'ouest, et l'ombre en vis-à-vis va vers l'est, jusqu'à ce que le Soleil arrive à l'horizon ouest, qu'il le fasse rougir, et que le cône [d'ombre] arrive à l'horizon est. Si le Soleil se couche et que se lève le cône d'ombre, alors le rougeoie-ment appelé crépuscule commence à décroître. À sa suite, la blancheur croît, jusqu'à ce que la blancheur soit complète et que la rougeur cesse, puis la blancheur commence à décroître, jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'une clarté de forme allongée, comme l'aurore trompeuse. Puis commence la nuit.

[4] Parce que les gens sont favorables à la quiétude et au sommeil à l'injonction du crépuscule, et au déploiement dans la satisfaction de leurs besoins le matin, ils se sont laissés distraire de [la tâche de] préciser l'injonction du crépuscule, et ils se sont occupés des conditions exactes de l'aurore ²⁸⁴.

[5] On a appris empiriquement que l'abaissement du Soleil sous l'horizon au commencement du lever de l'aurore et à la fin du coucher du crépuscule est de dix-huit degrés [mesurés] sur le cercle de hauteur passant par le centre du Soleil ; mais comme la coascension de [cet arc] est variable, la [durée] en heures entre le lever de l'aurore et le lever du Soleil est variable, de même que [la durée en heures] entre le coucher du Soleil et le coucher du crépuscule. À l'équateur terrestre, quand le Soleil est à l'un des deux équinoxes, cette grandeur de dix-huit degrés [équivaut] à une durée d'une heure et un cinquième d'heure. Quand le Soleil est à l'un des deux équinoxes, il n'y aucun lieu sur Terre où la durée de l'aurore ou du crépuscule soit inférieure à cela. À l'équateur terrestre, en deux positions [de l'écliptique] équidistantes d'un des deux équinoxes, les durées de l'aurore ou du crépuscule sont égales.

[6] La durée de l'aurore et du crépuscule dans le quatrième climat est deux heures quand le Soleil est vers le début du Cancer, et c'est environ une heure et un tiers d'heure quand il est vers le début du Capricorne.

[7] Aux lieux dont la latitude vaut 48;30, quand le Soleil est au solstice d'été, l'aurore est contiguë au crépuscule. Là où la latitude est encore supérieure, leur continuité [a lieu] selon que l'abaissement [maximal du Soleil] sous l'horizon est inférieur à cette grandeur, et alors le lever de l'aurore est avant le coucher du crépuscule ²⁸⁵.

[8] Là où la latitude [locale] est égale au complément de l'inclinaison [de l'écliptique], lorsque le Soleil atteint son point le plus haut à l'horizon au solstice
situé du côté opposé à la latitude, il ne se lève pas, et la durée [de l'aurore ou du cré-
puscule] est cinq heures et un tiers d'heure. Ce qui reste des vingt-quatre heures est
treize heures et un tiers : c'est la durée de l'obscurité. Le Soleil touche [aussi] l'hori-
zon [au solstice] situé du même côté que la latitude ; alors il ne disparaît pas, et il n'y
a donc ni aurore ni crépuscule à ces dates.

[9] Lorsque la latitude [locale] est 90 (où l'horizon est comme une meule), la durée de chacun est de 50 jours – de nos jours à nous.

[10] L'explication des grandeurs que nous avons mentionnées et de celles que nous n'avons pas mentionnées relève des livres pratiques.

Dixième section

Détermination des parties du jour, les heures,
et des multiples des jours, les mois et les années

[1] Il est bien connu que *l'arc diurne* est la moitié d'une circonférence de l'équa-
teur si l'équation est nulle, et qu'il faut y ajouter ou en retrancher le double de l'équa-
tion si elle n'est pas nulle. En vérité, [l'arc diurne devrait mesurer] combien tourne
l'équateur à partir de l'instant où s'est levé à l'horizon la moitié du corps du Soleil jus-
qu'à l'instant où s'est couché la moitié ; et selon cette interprétation, il est supérieur
à la grandeur ci-dessus, d'un excédent égal à la coascension de l'arc parcouru par le
Soleil le long de l'écliptique pendant ce jour par rapport à cette contrée. L'arc noc-
turne dépend [aussi] de ce qu'on vient de dire concernant l'arc diurne ; et l'équation
du jour voulue est la moitié de l'excédent de l'arc diurne sur une demi-circonférence
de l'équateur.

[2] Tantôt, on divise chacun des deux arcs en portions de quinze degrés, et on
appelle ces portions *heures équinoxiales* à cause du fait que leurs parts sont toujours
égales. Tantôt, [on les divise] en douze portions, et on appelle ces portions *heures
courbes* à cause du fait que leurs parts sont variables et dépendent de la variation des
deux temps<sup>286</sup> suivant qu'ils sont courts ou longs. Si les deux temps sont égaux, cha-
cun sera douze heures, équinoxiales et courbes. Si les deux temps diffèrent, alors le
nombre d'heures équinoxiales augmente et les parts des heures courbes augmentent,
car l'une est plus que l'autre.

[3] Dans l'esprit des astronomers, le début du jour et de l'arc diurne est au lever du Soleil, et c'est le point de vue naturel. Dans l'esprit de la loi, c'est au lever de l'aurore franche ; alors l'un dépasse l'autre, de la différence entre les deux levers. Le début de la nuit est au coucher du Soleil.
في خلاف جهة العرض، ولا تطلع، وتكون ساعات كلٌّ منهما خَمْسًا وثُلًّا. والبقى إلى تمام أربع وعشرین ساعة، وهو ثلاث عشرة وثُلث، يكون ساعات الظلمة. وفي جهة العرض، تماسَ الأفق، وحينئذ ولا يخفى فلا يكون فيها صبح ولا شفق في ذلك الوقت.

[٩] وحيث العرض ص، وهو الأفق الرحوي، يكون زمان كلّ منهما ت يوما من أيامنا.

[١٠] وبيان ما ذُكر من | المقادير وما لم يُذكر يتعلق بكتب العمل.

| الفصل العاشر |

| في معرفة أجزاء الأيام وهي الساعات، وما يتركب من الأيام وهي الشهور والسنون

[١] المشهور أنّ قوس النهار هي نصف الدور من المعدّل حيث | لا تعديل فيه، أو هو مع ضعفه | أو بدونه حيث وُجد فيه. وبالحقيقة هي ما يدور من المعدّل من وقت طلوع نصف جرم الشمس من الأفق إلى وقت غروب نصفه فيه، وهي بهذا التفسير أزيد من الأولى بقدر مطالع ما من تقطعه الشمس من منطقة البروج في ذلك اليوم لتلك البقعة. وقوس الليل بحسب ما ذُكر | من قوس النهار، والمراد من تعديل النهار* نصف فضله على نصف دور المعدّل.

[٢] وتقسم كلّ واحدةٍ من قوسي النهار والليل تارةً على خمس عشرة درجة وتُسمّى تلك الأقسام ساعات مستوية لاستواء أجزائها دائماً، وتارةً على اثنا عشر قسمًا وتُسمّى تلك الأقسام ١٠ ساعات مُعْوَجّة لاختلاف أجزائها بحسب اختلاف الملوين طولاً وقصرًا. وكلّما تساوى الملوان، كان كلّ منهما اثنتا عشرة ساعة مستوية ومعوجة. وكلّما اختلاف الملوان زاد عدد الساعات المستوية وأجزاء المعوجة، لأحدهما على الآخر.

[٣] ومبدأ النهار في عرف المنجمين والقوس والوضع الطبيعي من طلوع الشمس، وفي عرف الشرعة من طلوع الصبح الصادق، وهو زائد على الأوّل بما بين الطلوعين. ومبدأ الليل من غروبها.

<footnote n="١">١ وتكون: يكون [أ، ق]. ٢ تماس: بما بين [ق]. ٣ ولا: فلا [ق، ج]. ٤ ولا: فلا [ج]. ٥ وما لم: ولم [ق]. ٦ أجزاء: الأجزاء [ق]. ٧ الشهور: الشفق [ق]. ٨ هي: هو [ج]. ٩ هي: هو [د، ج]. ١٠ التفسير: التقدير [د، ج]. ١١ الأولى: الأوّل [د، ج، ق]. ١٢ درجة: قسمًا [أ، ج، د، ق]. ١٣ معوجة: كتب في الهامش مع إشارة "لعهّد زمانه" أو حوجه (؟) [ق]. ١٤ الملوين: الميلوين [أ]، المتلوين [د، ج]. ١٥ الملوان: الميلوان [أ]، المتلوان [د، ج]. ١٦ الملوان: الميلوان [أ]، المتلوان [ج]. ١٧ الشرعة: المتشعة [أ، د، ج، ق].</footnote>

<footnote n="٥">٥ ق ٦١ظ. ٦ ت ٤٤و، گ ١٠٨و. ٧ ٥٩و. ٨ ج ٦٧ظ. ٩ گ ١٠٨ظ. ١١ أ ٦١ظ.</footnote>

<footnote>* كُتب في هامش نسخة ق مع إشارة: "لعهّد النهار."</footnote>
[4] Chez certains astronomers le début du nychtémère est à midi, chez d'autres c'est à minuit, chez d'autres encore qui sont légistes c'est au début de la nuit, et chez d'autres c'est au début du jour ; [il dure] jusqu'au prochain [événement] semblable.

[5] Quand on conçoit le mois à partir des phases de la Lune selon sa position relative au Soleil, et selon que l'excès du mouvement de la Lune sur le mouvement du Soleil – en mouvements vrais – fait une circonférence, alors on le trouve difficilement, et il varie encore à cause de l'irrégularité des deux mouvements. Les observateurs disent que la période va d'un jour de conjonction au [suivant], ou bien d'une nuit de [première] visibilité du croissant à la [suivante], ou bien d'une autre phase [de la Lune] à la prochaine semblable, par convention. Les astronomers parlent de la différence entre les deux mouvements *moyens*, au sens où ils soustraient le Soleil moyen de la Lune moyenne, et ils trouvent ainsi que l'intervalle entre deux conjonctions est vingt-neuf jours et demi et une fraction. Puisque deux mois successifs réunis font cinquante-neuf jours, ils posent qu'un mois [sur deux] vaut trente jours et l'autre vingt-neuf jours. Ils ajoutent les fractions accumulées en sus de [chaque période de vingt-neuf jours et] demi, tous les trente ans, onze jours. Onze mois parmi les mois devant compter vingt-neuf jours, tous les trente ans, deviendront ainsi onze mois de trente [jours]. Ces jours s'appellent des jours *intercalaires* : un jour intercalaire est un jour constitué des fractions en sus des jours entiers d'une année, et ils ajoutent les jours intercalaires à [certains] mois.

[6] Autrement dit, ils posent que le premier mois de l'année (*muharram*) fait trente jours, que le deuxième fait vingt-neuf jours, et ainsi de suite jusqu'à la fin de l'année, mais *dū al-ḥiḍḍa* compte alors vingt-neuf jours et un cinquième et un sixième de jour, c'est-à-dire 0;22 jour, résultat de la multiplication par douze du 0;1; 50 en sus du demi-jour. [Ce mois] devient [un mois de] trente [jours] lors de l'année de l'intercalaire qui est l'année comptant le jour intercalaire, trentième jour de *dū al-ḥiḍḍa*, constitué des fractions [accumulées]. C'est ainsi que sont les mois lunaires ; on en tire les mois vrais et les mois moyens.

[7] L'année est le retour du Soleil en son lieu sur l'écliptique. Ce retour implique le retour des conditions de l'année selon les saisons. Ceci se produit en trois cent soixante-cinq jours un quart, et une fraction. [L'année] consiste
[٤] وأَوْلَ اليوم عند بعض الحساب من نصف النهار، وعند بعضهم من نصف الليل، وعند غيرهم من اهل الشرع | من أوّل الليل، وعند غيرهم من أوّل النهار | إلى مثله.

[٥] ولمَا كان الشهر مأخوذًا من تشکّلات القمر بحسب أوضاعه من الشمس، وصار فضل حركة القمر على حركة الشمس الحقيقيين دورًا، اختلف مع تعذّر وجدانه لاختلاف حركتيهما. فقال أهل الظاهر الدور من يوم الاجتماع إلى يومه، أو من ليلة رؤية الهلال إلى ليلتها، أو من تشکّل

آخر إلى مثله، بحسب ما يطلحون عليه. وقال | أهل | الحساب من الفضل ما بين الحركتين الوسطيين، بمعنى أنَّهم أسقطوا وسط | الشمس من وسط القمر فوجدا ما بين الاجتماعين تسعة وعشرين يومًا ونصفًا وكسرًا. ثمّ لَمَا كان مجموع كلّ شهرين متواليين | تسعة وخمسمين يومًا، جعلوا شهرًا من السنة ثلاثين وشهرًا تسعة وعشرين. وزادوا الكسور المجتمعة التي تزيد على نصف يوم، ١٠ في كلّ ثلاثين سنة، أحد عشر يومًا. فتصير أحد عشر شهرًا، ممَّا يجب أن يكون تسعة وعشرين يومًا في مدة ثلاثين سنة، أحد عشر ثلاثين. وتُسمَّى تلك الأيام كبائس: والكبيرة يوم مجتمع من الكسور الزائدة على الأيام التامة لسنة، ويزيدون الكبائس في الشهور.

[٦] على وجه آخر، وهو أن يجعلوا الشهر الأوّل من السنة وهو المحرّم ثلاثين يومًا، والثاني تسعة وعشرين يومًا، على هذا الترتيب إلى آخر | السنة، فصار ذو الحجة تسعة وعشرين يومًا ١٠ وخمس وسدس يوم، أعني اثنين | وعشرين دقيقة من يوم، وهي الحاصلة من ضرب | دقيقه وخمسمين ثانية الزائد على نصف يوم في اثنا عشر. فيصير ثلاثين في سنة الكبيسة، وهي ما فيها يوم الكبيسة وهو الثلاثون من ذي الحجة المجتمع من الكسر. وهذه الشهور قمرية، فمنها حقيقية، ومنها وسطية.

[٧] والسنة عودة الشمس إلى موضعها من فلك البروج، وهذه العودة تقتضي عودة حال السنة ٢٠ بحسب الفصول. ويحصل ذلك في ثلاث ماية وخمسة وستين يومًا وربع يوم إِلَّا كسرًا ما. ويتم

<footnote>١-٢٠ عند غيرهم ... أوّل الليل: ناقص [د]، في الهامش مع إشارة [ج]. ٣ الشهر: الشرع [ق]. ٩ شهرًا ... شهرًا: الشهر ... والشهر [أ، د، ق]. ١١ ثلاثين: أحد عشر [د، هامش ج]. ١١ أحد عشر ثلاثين: ثلاثين ثلاثين [أ، ج، د]، ثلاثين [ق]. ١٢ ويزيدون: ويزويدون [د]. ١٦ في: ناقص [ج، ق]. ١٧-١٨ فم منها حقيقية: ناقص [ق]. ١٩ عودة: عود [ج]. ١٩ من: في [ق]. ١٩ وهذه العودة تقتضي عودة: وهذا العود يقتضي عود [أ، د، ج، ق]. ٢٠ ويحصل: ويحسب (وكتب أيضًا "يحصل" في الهامش) [ج]. ٢٠ كسرًا ما: كسر [ج].</footnote>

<footnote>٢-٩٧٥ظ. ٢ ك ١٠.٩و. ٦ ب ٦٠ظ. ٦ د ٦٣ظ. ٧ ق ٦٢و. ٨ ج ٦٨و. ١٤ ك ١٠.٩ظ. ١٥ أ ٦٢و.</footnote>

<footnote>* انظر في تذكرة الطوسي، ص. ٣٠١: "وجوده متعدّر ومع تعذّر مختلف لاختلاف حركتيهما." كُتب في هامش نسخة ج: "هذا إنما هو زيادة على كط لا ن وهو الشهر القمرى فإنَّا إذا ضربنا كط ل في اثنا عشر حصل ند وإذا ضربنا آن في اثنا عشر حصل كتب هو الخمس والسدس."</footnote>
en douze mois parmi les mois lunaires, et onze jours, sans compter les fractions. Tantôt, les gens considèrent que l'année va d'un jour où le Soleil arrive à l'équinoxe de printemps jusqu'au [jour où il revient au] même point. Ils font commencer ses mois aux jours où il arrive en de semblables points de l'écliptique ; ou bien ils comptent trente jours pour chacun de ses mois mais ils ajoutent au dernier cinq ou six jours. Les cinq jours sont dits *volés* ou *supplémentaires*, et le sixième est dit *intercalaire* (comme on dit avec l'année). Leurs années sont des années *solaires vraies*, et leurs mois sont des mois solaires vrais, ou bien des mois conventionnels qu'ils font commencer à n'importe quel jour ne coïncidant peut-être avec aucune observation de la position du Soleil. Ils choisissent des mois aux alentours de trente jours parce que les mois lunaires sont proches de cela.

[8] Tantôt, les gens prennent la fraction en sus des trois cent soixante-cinq jours égale à un quart exactement : ils intercalent un jour tous les quatre ans. Tantôt ils l'éliminent complètement. Ces années sont des années solaires conventionnelles. S'ils prennent en considération les mois lunaires, ils rendent l'année solaire en ajoutant, tous les trois ans ou tous les deux ans, un mois à l'année pour rassembler les [intervalles] de onze jours – en négligeant la fraction conventionnellement.

[9] Un peuple pose que douze mois lunaires font une année, et ils l'appellent *année lunaire*. Chaque peuple a une origine à laquelle il rapporte toutes les années de son histoire. La connaissance détaillée de ceci relève des livres de pratique.

## Onzième section

### Les degrés de passage des astres au méridien, leurs levers, et leurs couchers

[1] Le *degré de passage* de l'astre est le [point] du cercle de l'écliptique qui traverse le méridien en même temps que l'astre le traverse, et le cercle de déclinaison [de l'astre] indique [ce point]. On a déjà montré que le degré de longitude est indiqué par le cercle de latitude ; donc si ces deux cercles sont confondus, comme il arrive lorsque l'astre est sur le cercle passant par les quatre pôles, ou bien si [l'astre] a une latitude nulle, alors [le degré de passage et le degré de longitude] coïncident. Ailleurs qu'en ces deux positions, ils diffèrent.

[2] La différence s'appelle *anomalie du passage*, et l'arc de l'équateur situé entre son intersection avec
باثنا عشر | شهرًا من الشهر القمرِيّة وأحد عشر يومًا غير شيء من الكسور. وربّما تُعتبر السنة من يوم تحلّ الشمس فيه نقطة الاعتدال الربيعيّ إلى تلك النقطة. ويأخذون شهرها من الأيام التي تحلّ فيها أمثال تلك النقطة من البروج؛ أو يعدون الشهر ثلاثين ثلاثين، ويزيدون في آخرها خمسة أيام أو ستة. وتُسمّى تلك الخمسة المسترقة ولواحق والسادس كبيسة على القول بالسنة. وسنو هؤلاء شمسية حقيقية، وشهرهم شمسية حقيقية أو اصطلاحية، وقد يعتبرونها من أي يوم يتفق من غير ملاحظة موضع الشمس. | ويطلحون على | شهر تدور حول الثلاثين لكون الشهر القمرية | قرية منه.

[٨] وربّما يأخذون الكسر الزائد على ثلاث ماية وخمسة وستين ربّعًا تامًا، ويكبسون في كل أربع سنين بيوم. وربّما يحذفونه مطلقاً، | وهذه السنون شمسية اصطلاحية. وإذا اعتبروا الشهر القمرية، جعلوا السنة شمسية وزادوا في كل ثلاث سنين أو في كل سنتين شهرًا في السنة لاجتماع الأحد عشر يومًا غير | الكسر المذكور على حسب اصطلاحهم عليه.

[٩] وجعل قوم كل اثنا عشر من الشهر القمرية سنة، وسمّوها سنين قمرية. ولكلّ قوم مبدأ ينسبون سني تاريخهم إليه. ومعرفة تفاصيل ذلك متعلقة بكتب العمل.

## الفصل الحادي عشر

١٥ في درجات ممرّ الكواكب بنصف النهار وطلوعها وغروبها

[١] درجة ممرّ الكوكب، هي ما يمرّ من دائرة فلك البروج بنصف النهار مع مرور الكوكب به، وتحدّها دائرة الميل. وقد تبيّن أن درجة الطول تحدّها دائرة العرض، فإن اتحّدت الدائريتان، كما إذا كان الكوكب على الدائرة المارة بالأقطاب الأربعة، أو كان عديم العرض، اتحّدت الدائريتان. وفي غير هذين الموضوعين تختلف الدائريتان.

٢٠ [٢] وفيما بين الدائريتين يُقال له اختلاف | الممرّ، والقوس من المعدّل التي بين تقاطعه مع

<footnote n="١">١ من: في [ق]. ٣ الشهر: الشهر [ج]. ٤ أيام: ناقص [أ]، في الهامش مع إشارة [د]. ٤ تلك: الخمسة [أ، ق].</footnote>

<footnote n="٤">٤ وسنو هؤلاء: وسنوها اولا [د، ج] (كتب ناسخ “وسني هؤلاء” أيضا في هامش نسخة ج). ٥ شمسية: سميت [ج].</footnote>

<footnote n="٥">٥ من: في [ق]. ٥ أي: أؤل [د، ج]. ٦ حول: ناقص [ق]. ٦ لكون: تكون [ج]. ٨ ربّعًا: كتب في الهامش</footnote>

<footnote>“ويجعلونه” مع إشارة إلى الموضوع قبل “ربّعًا” [هامش د]. ١٠ ثلاث: كتب أولاً “ثلاثين” ثمّ صحقه إلى “ثلاث” ولكن</footnote>

<footnote>كتب أيضًا “٣٠” في الهامش مع إشارة إلى موضعه [ج]. ١٠ سنتين: كتب في الهامش “٦٠” مع إشارة إلى هذا الموضع</footnote>

<footnote>[ج]. ١٠ في السنة: ناقص [د]، في الهامش مع إشارة [ج]. ١٥-١٦ وطلوعها ... بنصف النهار: ناقص بسبب قفزة لتشابه</footnote>

<footnote>الكلمات [ق]. ١٦ هي: هو [د، ج]. ١٦ فلك: ناعص [أ]، في الهامش مع إشارة [د]. ٢٠ التي: الذي [ق].</footnote>

<footnote n="١٠">١٠ ت ٤٤ظ. ٦ گ ١١٠ و. ٦ ق ٦٢ظ. ٧ ج ٦٨ظ. ٩ ٥ ب ٦١ و. ٢٠ أ ٦٢ظ.</footnote>
le cercle de latitude de l'astre et son intersection avec son cercle de déclinaison s'ap-
pelle équation du degré de passage. L'anomalie est maximale près commencements
du Bélier et de la Balance, et elle est minimale près des commencements du Cancer
et du Capricorne.

[3] Si le pôle de l'écliptique est sur le méridien, c'est-à-dire quand les deux points des solstices y sont aussi et quand les deux points des équinoxes sont à l'horizon, alors le passage de l'astre [au méridien] se fait en même temps que [celui du point indiquant] sa longitude, parce que le méridien est son cercle de latitude.

[4] Si celui des deux pôles [de l'écliptique] qui est visible est à l'est du méridien – ceci a lieu quand la moitié de l'écliptique centrée en l'équinoxe d'automne passe [par le méridien] et quand sa moitié sud se lève, si le pôle visible est au nord, ou bien quand la moitié de l'écliptique centrée en l'équinoxe de printemps passe [par le méridien] et quand sa moitié nord se lève, si le pôle visible est au sud – alors tout astre dont la latitude est du côté du pôle visible passe au méridien *après* son degré 287. En effet, son cercle de latitude issu du pôle le plus proche rencontre au méridien l'astre en premier, puis il rencontre son degré seulement après avoir traversé le méridien et être passé à l'ouest; [inversement], si son degré vient au méridien, l'astre est encore du côté est [du méridien]. [Dans les mêmes conditions], tout astre dont la latitude est du côté opposé au pôle visible passe au méridien *avant* son degré. En effet, le cercle de latitude en question rencontre le degré de l'astre (degré qui, lui, a été en premier au méridien), puis il rencontre l'astre seulement après avoir traversé le méridien et être passé à l'ouest.

[5] Si le pôle visible est à l'ouest – ceci a lieu quand la moitié de l'écliptique centrée en l'équinoxe de printemps passe [par le méridien] et quand sa moitié nord se lève, si le pôle visible est au nord, ou bien quand la moitié de l'écliptique centrée en l'équinoxe d'automne passe [par le méridien] et quand sa moitié sud se lève, si le pôle visible est au sud – alors tout astre dont la latitude est du côté du pôle visible passe au méridien *avant* son degré, et [tout astre] dont la latitude est du côté opposé passe [au méridien] *après* son degré, pour les mêmes raisons que dans le paragraphe précédent.

[6] Le degré du lever ou du coucher d'un astre est [le point] du cercle de l'éclip-
tique qui se lève ou qui se couche en même temps que cet astre. Si l'astre a une lati-
tude nulle, alors son degré de longitude est égal à son degré de lever et de coucher. Il
en est de même
دائرة عرض الكوكب | وبين تقاطعه مع دائرة ميله يُقال | لها تعديل درجة الممرّ. وأكثر الاختلاف بين الدرجتين إنّما يكون فيما يقرب من أول الحمل والميزان، وأقلّه فيما يقرب من أول السرطان والجدي.

[٣] فإذا كان قطب | فلك البروج على دائرة نصف النهار، وذلك يكون عند كون نقطتي الانقلابين أيضًا ونقطتي الاعتدالين على الأفق، فمرور الكواكب حينئذ يكون مع درجاتها الطويلة لأنّ دائرة نصف النهار تكون دائرة عرضها.

[٤] وإذا كان القطب الظاهر من قطبيه شرقيًا عن نصف النهار – وذلك يكون عند مرور النصف من فلك البروج الذي يتوسّطه الاعتدال الخريفيّ وطلوع النصف | الجنوبيّ منه إن كان القطب الظاهر شماليًا، أو عند مرور النصف الذي يتوسّطه الاعتدال الربيعيّ وطلوع النصف الشماليّ إن كان القطب الظاهر جنوبيًا – فالكواكب التي تكون عروضها في جهة القطب الظاهر تمرّ على ١٠ دوائر نصف النهار بعد درجاتها، لأنّ دوائر عروضها الخارجة من القطب الأقرب تلاقي الكواكب في نصف النهار أوّلا، ثمّ تلاقي درجاتها وقد مرّت وصارت غربيةً عن نصف النهار؛ وإذا وافت درجاتها نصف النهار كانت الكواكب شرقية البعد عنه. والكواكب التي تكون عروضها في خلاف جهة القطب الظاهر تمرّ | على نصف النهار قبل درجاتها، لأنّ دوائر العروض المذكورة تلاقي ١٥ درجة الكواكب الكائنة على نصف النهار أوّلا ثمّ تلاقي الكواكب وقد مرّت | وصارت غربيةً قبل ذلك.

[٥] وإذا كان القطب الظاهر غربيًا – ويكون ذلك عند مرور النصف من فلك | البروج الذي يتوسّطه الاعتدال الربيعيّ وطلوع النصف الشماليّ إن كان القطب | الظاهر شماليًا، أو عند مرور نصفه الذي يتوسّطه الاعتدال الخريفيّ وطلوع النصف الجنوبيّ إن كان القطب الظاهر جنوبيًا – فالكواكب التي تكون عروضها في جهة القطب الظاهر تمرّ قبل درجاتها والتي تكون عروضها في ٢٠ خلاف تلك الجهة تمرّ بعد درجاتها لِمَا ذُكر بعينه.

[٦] ودرجات طلوع الكواكب وغروبها وهي ما تطلع وتغرب من دائرة البروج مع الكواكب. فإن كانت الكواكب عديمة العرض، كانت درجة طولها هي درجة الطلوع والغروب. | وكذا إذا

<footnote n="٤">٤ قطب: قطبا [أ]. ٧ وإذا كان القطب الظاهر: مكرر [ج]. ٧ قطبيه: قطبه [أ، ق]. ٩ الربيعيّ: الخريفيّ [ق].</footnote>

<footnote n="٩">٩ الشماليّ: الجنوبيّ [ق]. ١٠ عروضها: عرضها [أ، ق]. ١٢ وافت: وافي [أ، د، ج، ق]. ١٤ نصف النهار: كتبوا</footnote>

<footnote>”دوائر“ قبله في هامش [د، ج]. ١٥ أوّلا: ناقص [ج]. ١٥ وصارت: ناقص [د]. ٢٠ قبل: بعد [د، ج]. ٢١ بعد:</footnote>

<footnote>قبل [د، ج]. ٢٢ ودرجات: ودرجة [أ، د، ق]. ٢٢ وهي ما: هي التي [ج، هي [د، وهي [ق]. ٢٣ العرض: العروض</footnote>

<footnote>[ق]. ٢٣ طولها: أطوالها [ج، د].</footnote>

<footnote n="١">١ د ٤٦و. ١گ ١١٠ظ. ٤٥ ٩٩٩و. ٨ ج ٦٩و. ١٤ ت ٥٤و. ١٥ گ ١١١و. ١٧ ب ٦١ظ. ١٨ ٥٩٩٥و. ٢٣ أ ٦٣و.</footnote>
d'un astre qui vient à l'horizon en même temps que le pôle de l'écliptique : l'horizon est alors son cercle de latitude puisqu'il passe par l'astre et par le pôle de l'écliptique.

[7] Si l'horizon est à latitude nulle, comme il arrive à l'équateur terrestre, alors le lever et le coucher d'un astre sont comme les passages au méridien pour les autres horizons. [Tout astre] qui vient à l'horizon en même temps que le pôle et le solstice se lève et se couche en même temps que son degré, comme on vient de le dire. [Tout astre] situé du côté du pôle visible de l'écliptique se lève avant son degré et se couche après. [Tout astre] situé du côté du pôle caché se lève après son degré et se couche avant. En effet, le cercle de latitude issu du pôle visible atteint l'astre situé du même côté, [quand l'astre est] à l'horizon, avant [d'atteindre] son degré de longitude ; et [il atteint] son degré de longitude, [quand celui-ci est] à l'horizon, avant [d'atteindre] l'astre situé du côté du pôle caché. Là, le pôle nord [de l'écliptique] est visible pendant le lever de la moitié centrée en l'équinoxe de printemps et pendant le passage de la moitié sud au méridien au dessus [de l'horizon]. Le pôle sud est visible pendant le lever de la moitié centrée en l'équinoxe d'automne et pendant le passage de la moitié nord au méridien.

[8] Dans les horizons inclinés, la règle du lever et du coucher des astres est comme nous l'avons décrite pour l'équateur terrestre. Quant au passage des moitiés de l'écliptique, il y a certes une différence. Il est possible qu'un des deux pôles [de l'écliptique] soit visible, et que [la partie] qui passe ou qui se lève soit un arc inférieur à une moitié, ou bien supérieur. La règle ci-dessus suit son cours, quand la latitude locale est supérieure à l'inclinaison [de l'écliptique], sans avoir à distinguer [de cas], parce qu'un des deux pôles de l'écliptique est alors toujours visible. La règle reste identique là où la latitude n'est pas supérieure : si celui des deux pôles de l'écliptique situé au nord est visible, alors la règle passe, mais s'il est caché, alors c'est la règle inverse. En effet, l'astre se lève alors après son degré et il se couche avant son degré si sa latitude est au nord, et inversement si sa latitude est au sud.

[9] Après réflexion, il ne vous échappera pas que le degré du lever de l'astre se lève de jour s'il est entre le Soleil et le point opposé [au Soleil], et qu'il se lève de nuit s'il est entre le point opposé et le Soleil. Le degré de coucher se couche de nuit s'il est entre ces deux-là, et il se couche de jour s'il est entre ces deux-ci. Parmi les astres situés sur un même grand cercle 288 coupé par la trajectoire diurne toujours visible maximale, ceux qui sont plus proches du pôle se lèvent avant ceux qui sont plus loins, et ils se couchent après ceux qui sont plus loins. C'est pourquoi l'écart entre les degrés de longitude et de lever est plus grand pour un astre proche du pôle que pour un astre loin [du pôle].
كانت الكواكب توافي الأفق مع قطب البروج لكون الأفق دائرة عرضها حينئذ لمرورها بالكواكب وقطب البروج.

[٧] فإن لم يكن للأفق عرض كما في خط الاستواء فطلوع الكواكب وغروبها فيه كمرورها على دائرة نصف النهار في سائر الآفاق. فما يوافي الأفق منها مع القطب والانقلاب يطلع | ويغرب مع درجته كما عُرف. وما يكون منها في جهة القطب الظاهر من فلك البروج يطلع قبل

دُرَجَتُهُ وَيَغِبُ بَعْدُهَا، وَالَّذِي فِي جَهَةِ القَطْبِ الْخَفِيِّ يُطَلِّعُ بَعدَ دُرَجَتِهِ | ويغيب قبلها، | لان دائرة العرض الخارجة من القطب الظاهر تنتهي إلى الكوكب الذي في جهته على الأفق قبل درجته وإلى الدرجة على الأفق قبل الكوكب الذي في جهة القطب الخفي. ويكون هناك القطب الشمالي ظاهرًا مدة طلوع النصف الذي يتوسّطه الاعتدال الربيعي ومرور النصف الجنوبي على نصف النهار ١٠ من فوق، | والقطب الجنوبي ظاهرًا مدة طلوع النصف الذي يتوسّطه الاعتدال الخريفي ومرور النصف الشمالي | على نصف النهار.

[٨] وفي الآفاق المائلة حكم طلوع الكواكب وغروبها كما وصفناه في خط الاستواء. وأما مرور الأنصاف من فلك البروج فإن ذلك يختلف. إذ ربما يكون أحد القطبين منه ظاهرًا، وتكون المارة والطالعة قوسًا أصغر من النصف أو أكبر. ويطرد حكمها المذكور فيما يزيد عرضه على الميل ١٠ الكلي، من غير اختلاف، لأن أحد قطبي البروج فيه أبدي الظهور. وكذلك الحكم فيما لا يزيد عرضه عليه لأن الشمالي من قطبي البروج إن كان ظاهرًا فالحكم كما مر وإن كان خفيًا كان الحكم بالعكس، لأن الكواكب تطلع بعد درجاتها وتغرب قبل درجاتها إن كانت شمالية العرض وبالعكس إن كانت جنوبية العرض.

[٩] ولا يخفى عليك بعد التأمل، أن درجة طلوع الكوكب | إن كانت بين الشمس ونظيرها، طلع نهارًا، وإن كانت بين نظيرها والشمس، طلع ليلا؛ وأن درجة غروبها، إن كانت فيما بين ٢٠ الأُولَى، غربت ليلاً، وإن كانت بين الآخرين غربت نهارًا. وإن أقرب الكواكب التي على عظيمة قاطعة لأعظم الأبدية الظهور من القطب الظاهر تطلع قبل أبعدها وتغرب بعد أبعدها. ولهذا يكون | التفاوت بين درجتي الطول والطلوع | للأقرب من القطب أكثر مما بين درجتي الأبعد منه.

<footnote n="٤">٤ دَائِرَةٌ: نَاقِصٌ [أ، ق]، في الهامش مع إشارة [د]. ١٤ الميل: تمام الميل [هامش د، هامش ج]. ٢٠ نهارًا: نهارها [أ].</footnote>

<footnote n="٢٢">٢٢ بعد: في الهامش مع إشارة [أ].</footnote>

<footnote n="٤">٤ ج ٦٩ظ. ٦ ق ٦٣ظ. ٦ گ ١١١ظ. ١٠ ٥٠١. ١١ د ٦٤ظ. ١٩ گ ١١٢و. ٢٣ أ ٦٣ظ. ٢٣ ج ٧٠و.</footnote>
## Douzième section

### Détermination du méridien du lieu et de l'azimut de la *qibla*

[1] On détermine la *ligne méridienne* en prenant le Soleil à deux hauteurs égales de part et d'autre de sa hauteur maximale ; on trace les deux directions de son ombre portées par un même gnomon sur un terrain plan ; puis on bissecte l'angle formé entre elles. Pour ce faire, on prend le sommet de l'angle comme centre, on trace un arc de cercle qui coupe les deux ombres, et on mène une droite entre leur milieu et le centre. Cette droite est dans le plan du cercle méridien et on l'appelle ligne méridienne. La ligne passant par le centre et perpendiculaire à cette ligne est dans le plan du cercle origine des azimuts, et on l'appelle ligne de l'est et de l'ouest.

[Figure 29.]

[2] Voici une autre méthode pour déterminer [la ligne méridienne]. On installe un gnomon sur un terrain extrêmement plan ; on y trace un cercle de rayon deux fois plus long que le gnomon ; on observe l'entrée de l'ombre du gnomon dans le cercle avant midi, puis sa sortie [du cercle] après [midi] ; on fait une marque à l'entrée et à la sortie, on mène une droite entre le milieu de l'arc joignant les extrémités des deux ombres et le centre ; c'est la ligne méridienne. La ligne qui lui est perpendiculaire et qui passe par le centre du cercle est la ligne de l'est et de l'ouest. Ces deux lignes font quatre quarts de cercle, et on découpe chaque quart en 90 subdivisions égales afin d'y lire les azimuts là où l'ombre tombe sur la circonférence : [le nombre] de ces subdivisions entre le point de l'est ou de l'ouest et l'ombre est un azimut. Ce cercle s'appelle cercle *indien*.

[Figure 30.]

[3] L'azimut de la *qibla* est l'intersection de l'horizon du lieu et du cercle azimutal passant par le zénith du lieu et par le zénith de La Mecque. La ligne menée entre ce point [d'intersection] et le centre de l'horizon est la ligne d'azimut de la *qibla* ; c'est la flèche 289 de l'arc [de cercle] compris entre les bases du *miḥrāb* qui est sur elle. Si l'orant en prière met cette flèche entre ses deux jambes en se prosternant dessus, alors il aura prié sur la circonférence d'un cercle à la surface de la Terre passant par la position de sa prosternation, ce qui est entre ses deux pieds et le centre de la Maison 290. Il aura donc fait face à la droite menée
entre la Maison et le point au dessus d'elle nommé zénith de La Mecque, parce qu'il fait face à la Maison, et que l'horizon de La Mecque est au dessous de l'horizon de l'orant sans néanmoins atteindre le nadir de la Maison.

[4] *L'arc de déviation* de la *qibla* est l'arc de l'horizon entre son point d'intersection avec le cercle azimutal et son point d'intersection avec le méridien ; il mesure combien l'orant doit se détourner de la direction d'un des quatre points [cardinaux] – le nord, le sud, l'est ou l'ouest – pour faire face à la Maison.

[5] Pour déterminer les azimuts [de la *qibla*], il faut déterminer la longitude de La Mecque, celle du lieu supposé, et leurs latitudes. En prenant comme origine les îles Canaries, la longitude de La Mecque vaut soixante-dix-sept parts et un sixième ; en prenant comme origine la côte de la mer, elle vaut soixante-sept parts et un sixième ; sa latitude vaut vingt et une parts et deux tiers. La Mecque est à l'est de chaque pays dont la longitude est inférieure à la longitude de La Mecque, et elle est à l'ouest de chaque pays dont la longitude est supérieure à sa longitude. Si leur deux longitudes sont égales, alors La Mecque est sur le méridien [du pays], vers le sud si sa latitude est inférieure à la latitude [locale], et vers le nord si sa latitude est supérieure à la latitude [locale]. Si leurs deux latitudes sont égales, alors le pays et La Mecque sont ensemble sous la même trajectoire diurne ; si la longitude [locale] est moindre que la longitude de La Mecque, alors La Mecque est à gauche du point où se lève l'équinoxe pour ce pays ; et si la longitude [locale] est supérieure à sa longitude, alors La Mecque est à droite du point où se couche l'équinoxe ; mais elle n'est pas au point est dans le premier cas, ni au point ouest dans le second cas. En aucun des deux cas elle n'est sur la ligne de l'est et de l'ouest.

[6] En effet, puisque leurs longitudes diffèrent, le cercle origine des azimuts de l'un [des deux pays] est tangent à la trajectoire diurne mentionnée en un point distinct du point que touche le cercle origine des azimuts de l'autre [pays] ; donc [la trajectoire diurne et l'horizon] se coupent en des points distincts des points est et ouest, et les lignes de l'est et de l'ouest [des deux pays] ne sont les mêmes. Certes, ce qu'on a cru est pourtant vrai dans les contrées de l'équateur terrestre, et quelle que soit la longitude ; car tous les zéniths y sont sur l'équateur, et [l'équateur] est donc le cercle origine des azimuts de toutes [ces contrées].

[7] Parmi les moyens les plus simples pour déterminer l'azimut de la *qibla* en différentes longitudes ou même en différentes longitudes et latitudes, en voici un. On observe le passage du Soleil au zénith des gens de La Mecque – c'est-à-dire quand il est là-bas à midi dans le huitième ou le septième degré des Gémeaux ou bien dans le vingt-troisième degré du Cancer. On prend l'écart entre les deux longitudes. On pose une heure pour chaque [portion] de quinze parts d'écart, et quatre minutes pour chaque part.
بين البيت والنقطة التي تسامته من فوق المسمّاة بسمت رأس مكة، لأنه قد استقبل البيت، لأن أفق مكة يكون تحت أفق المصلي، فلا يسامت نظره البيت حينئذ.

[٤] وقوس انحراف القبلة، قوس من الأفق بين نقطتي تقاطعه مع الدائرة السمتية | ونصف النهار، وهذا هو قدر ما يجب أن ينحرف المصلي عن مواجهة إحدى تلك النقط – أعني نقطة الشمال والجنوب والمشرق والمغرب – ليواجه البيت.

[٥] ولا بدّ لمعرفة السمتين من معرفة طول كل واحد من مكة والبلد المفروض وعرضه. وطول مكة من جزائر الخالدات سبعة وسبعون جزءًا وسدس جزء، ومن ساحل البحر سبعة وستون جزءًا وسدس جزء، وعرضها أحد وعشرون جزءًا وثلثًا | جزء. فكل بلد يكون طوله أقل من طول مكة فمكة شرقية عنه، وكل بلد يكون طوله أكثر من طول مكة فمكة غربية عنه. وإن تساوى طولاهما ١٠ فمكة على نصف نهاره، جنوبيّة عنه إن كان عرضها إقل من عرضه، وشمالية إن كان عرضها أكثر. وإن تساوى عرضاهما كان البلد مع مكة تحت مدار واحدٍ | يوميّ، فإن كان طوله أقل من طول مكة فمكة عن يسار مشرق اعتدال ذلك البلد، وإن كان طوله أكثر من طولها فمكة | عن يمين مغرب اعتداله؛ لا على نقطة المشرق على التقدير الأوّل، ولا على نقطة المغرب على التقدير الثاني، ولا على خط المشرق والمغرب على التقدير كما ظنّ.

[٦] إذ لاختلاف طوليهما، يماس أوّل السموت لأحدهما المدار | المذكور على نقطة غير النقطة التي يماسها أوّل السموت للآخر؛ فيتقاطعان على غير نقطتي المشرق والمغرب، فلا يكون خط مشرقهما ومغربهما واحدًا. نعم ما ظنّ إنما يصحّ في مساكن خط الاستواء، وإن اختلاف في الطول؛ لأنّ سمت | رؤوس الجميع هناك على المعدّل إذ هو أوّل سموتهم.

[٧] ومن أسهل طرق معرفة سمت القبلة عند اختلاف الطول أو عند اختلاف الطول والعرض ٢٠ معا، أن يُرصد زمان مرور الشمس بسمت رؤوس أهل مكة – وذلك عند كونها في الدرجة الثامنة والسابعة | من الجوزاء أو الدرجة الثالثة والعشرين من السرطان وقت أنصاف النهار هناك – ويُؤخذ التفاوت بين الطولين، ويُجعل كل خمسة عشر جزءًا من التفاوت ساعة وكل جزء أربع دقائق، فما

<footnote n="٤">٤ النقط: النقطة [د، ج]. ٥ ليواجه: فيواجه [أ، د]. ٦ وطول: فطول [ج]. ٧–٨ ومن ساحل البحر ... وسدس جزء:</footnote>

<footnote>ناقص [د]، كتب من يد آخر في الهامش [ج]. ٩ عنه، وكل بلد ... فمكة: ناقص [د]، عنه وإلاّ فهي [ج، هامش د].</footnote>

<footnote n="١٤">١٤ على التقدير: كتب "على التقديرتين" تحت السطر في الهامش [ج]. ١٠ معا: ناقص [أ]. ٢١ والسابعة: ناقص [أ].</footnote>

<footnote>كتب أوّلاً "والسَّرْمَن" (٢) ثمّ ضرب عليه بالقلم وكتب في الهامش مع إشارة "السابعة" [ج]. ٢١ أو الدرجة: و [أ، د].</footnote>

<footnote n="١١">١١ أنصاف: انتصاف [ج]. ٢٢ جزءًا: ناقص [د، ج].</footnote>

<footnote n="٣">٣ ب ٦٣ و. ٨ گ ١١٤ و. ١١ د ٦٥ وظ. ١٢ ٥١٠ وظ. ١٥ ج ٧١ وظ. ١٨ أ ٦٤ وظ. ٢١ گ ١١٤ وظ.</footnote>
Le total, ce sont des heures à compter de midi. Puis on fait une observation, le même jour, à cet instant avant midi si La Mecque est à l'est, après midi si elle est à l'ouest; alors l'azimut de l'ombre du gnomon à l'heure [où tu observes] est l'azimut de la qibla.

[8] On a besoin de retrancher l'arc de déviation aussi bien quand les deux [pays] different seulement en longitude que quand ils diffèrent en longitude et en latitude; mais quand il ne different qu'en latitude, alors l'azimut [de La Mecque] est sur la ligne méridienne, et l'orant fait donc face au point sud si la latitude de La Mecque est inférieure, et il fait face au point nord si sa latitude est supérieure. Dieu est le plus savant.

[9] Avec cette section s'achève la deuxième partie du livre « L'achèvement de l'en-quête et la correction des fondements ».

> Dieu fait réussir ce qui est juste, Il nous a donné suffisamment
> et Il a comblé de bienfaits celui qui s'en remet à Lui.
اجتمع يكون ساعات البُعد من نصف النهار، ثم يُرصد في ذلك اليوم ذلك الوقت قبل نصف
النهار إن كانت مكَّة شرقيّة وبعده إن كانت غربيّة، فسَمَّت ظلَّ المقياس في ساعتك سَمَّت القبلة.

[٨] ويحتاج فيه إلى استخراج قوس الانحراف سواء إن كان الاختلاف بينهما في الطول فقط أو في الطول والعرض. وعند اختلافهما في العرض | فقط يكون سَمَّتها على خطٍّ نصف النهار فيواجه المصلي نقطة الجنوب إن كان عرض مكَّة أقل ونقطة الشمال إن كان عرضها أكثر والله أعلم.

[٩] وبتمام هذا الفصل كملت المقالة الثانية من كتاب نهاية السول في تصحيح الأصول.

والله تعالى الموفق للصواب وهو حسبنا ونعم الوكيل.*

<footnote n="١">١ في: من (وكتب أيضًا “في” في الهامش) [ج]. ٤ وعند اختلافهما في العرض فقط: وعند اختلافهما في الطول فقط يكون سَمَّهما على خطٍّ المشرق والمغرب فيواجه المصلي نقطة المشرق إن كانت مكَّة أطول ونقطة المغرب إن كانت مكَّة أقل وعند اختلافهما في العرض فقط [ج، هامش د]. ٨ تعالى: ناقص [ج].</footnote>

<footnote n="٤">٤ ت ٤٧ و.</footnote>

<footnote>* أضيف إليه في نسخة د: “وصلَّى الله على سيدنا محمد وآله وصحبه وسلم، وحسبنا الله ونعم الوكيل.”</footnote>
60. Qui observe et indique l'heure de la prière.

61. *Taʿliq al-arsād*, ouvrage perdu d'Ibn al-Ṣāṭir.

62. « Ce qui en émane procède d'une manière unique » : c'est un attribut du mouvement dans la classification qui va suivre.

63. Les comètes appartiennent-elles au monde sublunaire ou bien aux cieux ? Dans son « Mémoire d'astronomie », al-Ṭūsī laisse entendre qu'il s'agit d'éther (al-Ṭūsī, 1993, II.1 [6]), bien qu'elles appartiennent au monde sublunaire (*ibid*., II.2 [5]). Elles seraient parfois emportées par le mouvement des cieux, à cause du fait qu'elles sont assez loin de la Terre (contrairement à la partie de l'air « adjacente à la Terre » qui se conforme au mouvement rectiligne, *ibid*., II.1 [6]). Cf. néanmoins Neuhäuser *et al.*, 2016.

64. Ce paragraphe laisse déjà entendre qu'il y a deux doctrines, l'une affirmant que le mouvement des astres est un mouvement simple volitif, l'autre que le mouvement des orbes est un mouvement simple naturel. D'autre part, c'est la première mention d'un mouvement « composé simple ».

65. Voir l'analyse de ces deux doctrines dans mon commentaire p. 7.

66. Sur le mouvement simple-composé, voir mon introduction p. 8.

67. Le mot *masā’il* renvoie aux *masā’il darūriyya* de la préface : d'où ma traduction.

68. Ibn al-Ṣāṭir fait ici allusion aux deux modèles équivalents proposés par Ptolémée pour le mouvement du Soleil : l'un faisait intervenir un excentrique (de centre fixe distinct du centre du monde et dans la direction de l'auge, elle-même fixée, cet excentrique était en rotation uniforme autour de son propre centre), et l'autre faisait intervenir un épicycle.

69. Allusion aux deuxième et troisième modèles de la Lune dans l'*Almageste*.

70. Allusion au point de prosneuse dans le troisième modèle de la Lune dans l'*Almageste*, mais cette critique concerne aussi son deuxième modèle.

71. Première occurrence du mot *dirwa* que l'on traduit par « apogée » : c'est une extrémité du diamètre de l'épicycle parallèle à la direction Terre – astre moyen. On traduit *awġ* par « auge » : c'est le point où le centre de l'épicycle est à distance maximale de la Terre. Voir la figure XXVII p. 247.

72. Littéralement, « accès et recès ».

73. Voir I.31.21.

74. Donc la parallaxe ne devrait pas être négligée dans l'observation du Soleil et des planètes inférieures (Lune, Mercure, Vénus).

75. « Un jour et une nuit » désigne ici un jour solaire. Un jour solaire est en effet un peu plus long qu'un jour tropique.

76. Ibn al-Ṣāṭir fait allusion ici à une première nomenclature. Il expliquera plus loin qu'une première nomenclature consiste à nommer les divisions du zodiaque selon les constellations (les « figures » formées par les étoiles, donc). La seconde nomenclature consiste à les nommer en partant du point vernal : la première division s'appellerait alors « Bélier » par pure convention, et elle ne longerait pas toujours la constellation du Bélier, à cause du mouvement de précession.

77. Le mot « signe » désigne désormais un arc de trente degrés de l'écliptique, et la locution « dans le sens des signes » indique l'ordre (conventionnel) des signes du zodiaque, c'est-à-dire d'ouest en est.

78. Ce grand cercle est le cercle méridien décrit dans le paragraphe suivant.

79. En général, je traduirai *mayl* par « inclinaison », sauf quand il s'agit justement de cette « première inclinaison » : je suivrai alors l'usage moderne en nommant cette coordonnée équatoriale « déclinaison ».
80. La coascension du degré de passage au méridien n'est autre que l'ascension droite de l'astre. Cf. I.8.1 où Ibn al-Ṣāṭir l'appelle maṭāliʿistiwāʾiyya. Remarquons que le terme couramment traduit par ascension ou coascension est toujours au pluriel en arabe, al-maṭāliʿ, litt. les ascensions.

81. Dans les modèles planétaires, la même expression « argument de latitude » désignera plutôt l'arc de l'écliptique entre le noeud et le degré de longitude de l'astre. Cf. I.9.34.

82. Est-ce pour autant qu'Ibn al-Ṣāṭir ne connaît pas la loxodromie ? Non, car il savait que, pour un pays à même latitude que La Mecque et situé à l'ouest, la direction de la qibla n'est pas le point est, et qu'elle est « à gauche » du point est (cf. II.12.6).

83. Pour cette traduction, voir al-Bīrūnī, 1985, note 1, p. 236.

84. *Al-ʾufūq al-ḥādiẓ, « l’horizon incident » : traduction littérale.*

85. Al-Qūhī (xᵉ siècle) a fait œuvre de pionnier en commençant son « Traité sur l'art de l'astro-labe » par un chapitre théorique sur les projections coniques et cylindriques ; la lecture de ce chapitre est facilitée par l'important commentaire contemporain d'Ibn Sahl. Les deux textes sont édités et traduits par R. Rashed (2005, p. 878-939 et 940-967). Dans son traité, al-Qūhī écrit que « la sphère se projette, sur des surfaces de genres divers, par rapport à diverses positions » (*wa-al-kura tatasaṭṭaḥu alā suṭūḥ muḥtalifa al-ʾağnās min mawāḍiʿa muḥtalifa*). Il affirme que l'image d'un cercle par une projection conique ou cylindrique sur un plan est une section conique. Une autre étude, contemporaine, de la projection conique des cercles d'une sphère sur un plan quelconque nous est donnée par al-Sāġānī (Abgrall, 2000). Dans le cas particulier de la projection stéréographique cher aux astronomistes, l'image d'un cercle est un cercle, et cette propriété était déjà utilisée par Ptolémée (Abgrall, 2015). L'image des muqantars et des cercles de hauteur dans le plan de l'équateur forme alors deux faisceaux de cercles conjugués.

86. Voir Schjellerup, 1874, p. 88. C'est le double amas ouvert NGC 884 – NGC 869.

87. Voir Schjellerup, 1874, p. 204 et 207. Selon Kunitzsch (Ptolémée, 1986-1991, t. III, p. 198), il s'agit de λ d'Orion et le caractère nébuleux attribué par Ptolémée à cette étoile n'est pas à mettre sur le compte de la proximité des trois étoiles λφ¹φ² car elles sont clairement séparables à l'œil nu.

88. Schjellerup (1874, p. 35 et 150) dit que c'est le « nez » (*naṭra*) du Lion ou son « museau » (*maḥṭa*). C'est l'amas ouvert M44, en fait situé dans le Cancer. Voir Kunitzsch, 1961, 201 p. 88 ; et Ptolémée, 1986-1991, t. I, n. 1 p. 92.

89. Voir Schjellerup, 1874, p. 173, où le « dard » s'appelle *al-ʾibra*, et p. 172 où il s'appelle *al-ḥuma*. Selon Kunitzsch (Ptolémée, 1986-1991, t. I, n. 6 p. 108), ce serait donc M7, visible à l'œil nu non loin du « dard » (le dard étant constitué des deux étoiles λ et ν du Scorpion).

90. Voir Schjellerup, 1874, p. 176 (8ᵉ étoile du Sagittaire, c'est-à-dire ν¹ et ν²).

91. C'est-à-dire sa vitesse.

92. C'est-à-dire relativement à un observateur situé sur Terre en un lieu dont la latitude locale serait donnée. Pour la définition du concept de climat, voir II.1.11.

93. Un exposé plus détaillé de cette thèse figure dans le commentaire d'al-Sayyid al-Ṣarīf al-Ğurğānī (1339-1413) au « Mémoire d'astronomie » d'al-Ṭūsī ; voir passage traduit par Ragep (al-Ṭūsī, 1993, p. 410).

94. Al-Ṭūsī utilise précisément cet argument dans son « Mémoire d'astronomie » (al-Ṭūsī, 1993, II.2, p. 108) : selon lui, il est alors impossible que le mouvement de précession des étoiles fixes (huitième orbe) ait mêmes pôles que le mouvement diurne (neuvième orbe).

95. Celui qui « pense que c'est impossible » fait donc une sorte de raisonnement par l'absurde : la possibilité du mouvement en question ne peut s'expliquer que par l'hypothèse de l'« adhérence », mais l'adhérence empêche le mouvement propre du contenu. L'hypothèse de l'adhérence semble se décliner en trois hypothèses rejetées tour à tour : il y a toujours adhérence ; des points tantôt s'at-
tachent, tantôt se séparent ; le contenu est collé au contenant et cela freine le mouvement.

96. Ibn al-Ṣā s'intéresse ici à la composition de trois mouvements concentriques : un mouvement propre, le mouvement d'un contenant, et le mouvement d'un autre contenant. Le Soleil est entraîné par un mouvement annuel ayant pour origine l'auge, dû au mouvement de l'« orbe parécliptique du Soleil ». Mais il est aussi entraîné par le mouvement diurne du neuvième orbe le contenant, et par le mouvement de l'auge. Le mouvement de l'auge doit être causé par le mouvement d'un autre orbe le contenant. Si cet orbe est le huitième (animé du mouvement de précession des fixes), alors les orbes intermédiaires (dont ceux de Jupiter et Saturne) doivent aussi être entraînés par ce mouvement comme par le mouvement diurne. Et sinon, alors il faut concevoir un autre orbe.

97. Le modèle du Soleil avec un épicycle, chez Ptolémée.

98. Ibn al-Ṣātir semble simplement répéter le raisonnement du paragraphe précédent. La structure de tout ce paragraphe et du précédent est confuse.

99. Justification des épicycles : bien qu'ils causent une certaine « composition », de toute façon les orbes ne sont jamais absolument « simples » (sauf le neuvième qui ne contient aucun astre...).

100. Si l'on utilise cette valeur pour calculer le Soleil moyen (Soleil moyen = centre + auge), les trois derniers rangs sexagésimaux diffèrent de la valeur donnée dans la suite du texte. On retiendra donc, comme valeur du mouvement du centre, 0;59,8,9,51,47 degrés par jour. Le manuscrit Ğ corrige d'ailleurs cette erreur (voir apparat critique dans l'arabe).

101. Soixante années persanes.

102. Le texte porte « épicycle », mais il faut bien lire « déférent ».

103. La distance moyenne est atteinte lorsque le Soleil est sur la ceinture du parécliptique, c'est-à-dire lorsque la distance au centre du monde est de 60 parts. La résolution d'une équation de degré 2 montre que cette distance est atteinte lorsque le centre est de 3 signes et 0;18,2,25,27,47,11 degrés.

104. Il suffit pour le voir de construire une table de l'équation du Soleil en fonction du centre, comme avait pu en construire Ibn al-Ṣātir. Si on construit une telle table pour des valeurs du centre variant de demi-degré en demi-degré, on constate que l'équation maximale est atteinte quand le centre est entre 96;30 et 97 degrés, et qu'elle est alors supérieure à 2;2,5,10. La comparaison des premières différences montre que l'équation du Soleil ne peut, sur cet intervalle, varier de plus de 0;0,0,38 degrés quand le centre varie de 0;30 degrés. L'équation maximale est donc inférieure à 2;2,5,48. Une table plus précise montrerait qu'elle est de 2;2,5,13. Voir aussi le graphe de l'équation du Soleil dans mon commentaire, fig. vii p. 215.

105. Ibn al-Ṣātir veut dire l'équinoxe de printemps. À cause du « deuxième mouvement » (le mouvement de précession), le Bélier se déplace par rapport à l'équinoxe de printemps...

106. Comme en I.0.18, allusion au modèle du Soleil de l'Almageste (soit avec un excentrique, soit, de manière strictement équivalente, avec un épicycle).

107. Un modèle du Soleil avec un excentrique.

108. Dans les modèles avec un excentrique, il faut bien faire attention à quel centre se rapporte chaque paramètre angulaire (par rapport au centre de l'excentrique, ou non). Chez Ibn al-Ṣātir la question ne se pose pas, car à chaque orbe ne correspond qu'un unique centre. Mieux encore, les paramètres centre, auge et Soleil moyen désigneront tous des angles mesurés le long de cercles concentriques ; c'est plus compliqué chez Ptolémée.

109. Addition sexagésimale avec retenues.

110. Il faut lire seulement : trois signes, c'est-à-dire 90°.

111. Il faut lire plutôt : neuf signes, c'est-à-dire 270°.

112. Notons $\alpha$ le diamètre apparent du Soleil (c'est un angle), et OS sa distance au centre du monde. À distance moyenne, $OS = 60$ et $\alpha = 0°32'32''$, or $\alpha \approx \sin \alpha$ est inversement proportionnel
à OS. On a donc, aux autres distances : $\alpha = \frac{0^{\circ}32'32'' \times 60}{\text{OS}}$.

113. *Almageste*, V.14.

114. Le mot *buht* que je traduis par « vitesse apparente » est utilisé pour chaque astre dans le même contexte et semble désigner la vitesse angulaire mesurée par rapport aux étoiles fixes, c'est-à-dire l'arc parcouru par l'astre le long d'un grand cercle du huitième orbe, par unité de temps. Il ne faut sûrement pas y voir un concept défini de manière rigoureuse. Cette grandeur est, grossièrement, inversement proportionnelle à OS ; elle est donc, grossièrement, proportionnelle au diamètre apparent de l'astre. Pour le Soleil, on s'en convainc aisément en pensant à un modèle (approximatif) avec un excentrique. Quant à l'origine de ce mot, voir Neugebauer, 1962, chap. 29, note 1 p. 57.

115. C'est-à-dire lors des quadratures.

116. Au signe près, j'ai noté cette équation $c_2(\alpha, 0)$ dans mon commentaire, et elle sera désignée comme « deuxième équation » en I.11.6-8 ci-dessous.

117. Dans mon commentaire, c'est ce que j'ai noté, au signe près, $\chi(2\bar{\eta})(c_2(\alpha, 180^\circ) - c_2(\alpha, 0))$.

118. Notée $c_1(2\bar{\eta})$ dans mon commentaire.

119. Notée $e_n(\bar{\lambda} - \lambda_{\bigcirc} + c_2)$ dans mon commentaire.

120. Ce coefficient est noté $\chi(2\bar{\eta})$ dans mon commentaire. Ceci est mieux expliqué en I.11.

121. « Ses dernières latitudes », c'est-à-dire les latitudes (nord et sud) maximales.

122. Les taches dues au relief à la surface de la Lune, comme on le sait depuis Galilée.

123. Le « cinq signes et 13;7,40,49,48,21 degrés », c'est la correction (modulo 360 comme les valeurs suivantes); le texte arabe (y compris l'édition page ci-contre) donne « deux signes et 7;40,49,48,21 ».

124. Une année lunaire compte exactement douze mois lunaires.

125. Avec les notations adoptées dans mon commentaire mathématique, le mois lunaire moyen est $360^\circ/\bar{\eta}$. On trouve bien la valeur donnée ici, jusqu'au cinquième rang sexagésimal, à partir des paramètres adoptés par Ibn al-Šāţir.

126. Le texte arabe (y compris l'édition ci-contre) dit « trois cinquièmes de soixantièmes de secondes », ce qui semble incohérent avec la valeur écrite en chiffres. Pourtant, en calculant l'année solaire avec un mouvement moyen par année persane de 359;45,40, on trouve 365 jours et 5;49,0,33,36 heures. Le 36 exprime donc bien « trois cinquièmes de soixantièmes de secondes », et l'erreur comise par le copiste serait alors d'avoir oublié trente-trois secondes. Mais la durée de l'année en jours donnée ensuite confirme le choix que nous avons fait (sinon, elle serait en effet 365;14,32,31,24).

127. Je n'ai pas compris cette phrase.

128. 'Aṭīr al-Dīn al-'Abharī.

129. Kūṣyār b. Labbān.

130. La règle est la même que pour le Soleil, voir note 112 *supra*.

131. Al-Šāţir donne donc trois valeurs du diamètre de l'ombre : 2;36, 2;42 et 2;40. La première, attribuée à Ptolémée, est rejetée sur la base d'observations.

132. Le « centre de la Lune » est donc ce qu'il a appelé précédemment (I.9.14 et I.9.33) l'« élongation double », c'est-à-dire la longueur de l'arc du rotateur entre le centre de la Lune et le point du rotateur où la distance (au centre de l'épicycle) est maximale. La description donnée à présent (« l'élongation entre le centre de l'épicycle et le point où la distance est maximale ») semble contre-dire le modèle d'Ibn al-Šāţir : c'est qu'elle se rapporte en fait au modèle de Ptolémée, où la variation du diamètre apparent de l'épicycle est causée par un excentrique (voir fig. xv p. 229).

133. Six signes = 180°.

134. C'est donc la « troisième variation » du chapitre 9, notée $c_1$ dans mon commentaire.
135. C'est, au signe près, $c_2(\alpha, 0)$ dans mon commentaire, i. e. la « première équation » du chapitre 9.

136. C'est ($c_2(\alpha, 180^\circ) - c_2(\alpha, 0)$) dans mon commentaire.

137. C'est $\chi$ dans mon commentaire, appelé « coefficient d'interpolation » (daqā'iq al-nisab) au chapitre 9.

138. Je traduirai toujours *al-ta'dīl al-muḥkam* par « équation ajustée ». Pour la Lune comme pour les autres astres, l'équation ajustée est celle calculée au moyen des transformations planes, après rabattement du plan de l'orbe incliné dans le plan de l'écliptique. Elle néglige donc l'effet des inclinaisons des orbes. Mais peut-être ce nom renvoie-t-il surtout au fait que cette équation est toujours calculée par interpolation.

139. C'est la « quatrième variation » du chapitre 9, notée $e_n$ dans mon commentaire.

140. Voir chapitre 8.

141. Son « sens », c'est-à-dire si elle est orientée vers le nord ou bien vers le sud.

142. *L'argument de latitude* est ici l'argument de latitude *par rapport à l'écliptique* (de même que Ibn al-Šāṭir a distingué précédemment la Lune vraie par rapport à la ceinture de l'orbe incliné et la Lune vraie par rapport à l'écliptique). La *latitude entière* est l'inclinaison de l'orbe incliné par rapport à l'écliptique, 5°. Voir commentaire mathématique, p. 226.

143. Au signe près, c'est $c_2(\alpha, 0)$ dans mon commentaire. À nouveau, Ibn al-Šāṭir a changé de numérotation. Il désigne ici par « deuxième équation » celle qu'il appelait « troisième équation » au début de ce chapitre, et « première équation » au chapitre neuf.

144. « À distance minimale » : il veut dire ici quand le rayon de l'épicycle apparent est maximal, c'est-à-dire que la Lune peut être au plus proche de la Terre.

145. Veut-il dire simplement que l'interpolation se fait ici par soustraction plutôt que par addition ?

146. Dans ce qui suit, Ibn al-Šāṭir semble expliquer comment construire, pour chaque valeur du centre, une « table unique » contenant l'équation de la Lune propre et toutes les valeurs de l'équation ajustée correspondant aux différentes valeurs de la Lune propre (mais l'explication reste sujette à interprétation). Il conçoit donc une sorte de tableau à double entrée pour représenter l'équation ajustée comme fonction de deux variables : le centre et la Lune propre. Chaque colonne de ce tableau est elle-même une table, et il explique dans le paragraphe suivant comment construire la colonne correspondant à un centre de 90°.

147. L'orbe portant la Lune, c'est-à-dire l'orbe rotateur.

148. Peut-être veut-il dire qu'il y aura de nombreuses colonnes dans ce tableau à double entrée : en effet, une colonne pour chaque valeur de l'élongation double.

149. L'orbe portant l'épicycle, c'est-à-dire l'orbe incliné.

150. Deux minutes et demi font un vingt-quatrième.

151. Immobile, au sein du référentiel constitué par l'orbe rotateur.

152. Le mot « apogée », dirwa, désigne l'extrémité d'un diamètre de l'épicycle parallèle à la direction Terre – centre de l'épicycle. La grandeur appelée « mouvement de l'astre propre » désigne le mouvement de rotation de l'épicycle sur lui-même *relativement à ce diamètre* ; mais le mouvement de l'épicycle *relativement à l'orbe rotateur*, excédent du mouvement propre sur le mouvement du centre, intéresse Ibn al-Šāṭir davantage.

153. Voir la figure XXVII p. 247 pour mieux saisir la terminologie adoptée par Ibn al-Šāṭir pour les planètes supérieures et en particulier pour Saturne. *L'apogée apparent* et *le périgée apparent* sont les points de l'épicycle alignés avec le centre du monde et le centre de l'épicycle.

154. Cf. I.23.4.
155. Ibn al-Ṣāṭir ne prend plus la peine de préciser « le point en face de l'équinoxe de printemps », c'est-à-dire le point de l'orbe incliné situé à la même distance du nœud que l'équinoxe de printemps sur l'écliptique (cf. modèle de la Lune).

156. Je traduis muqawwam al-kawkab ainsi que taqwīm al-kawkab par « astre vrai ».

157. Cette valeur est certainement corrompue : l'épaisseur de l'orbe incliné ne peut être inférieure à 26;40, diamètre de l'orbe déférent (voir paragraphe suivant).

158. Pour Saturne et pour les autres planètes, Kennedy et Roberts ont retrouvé les valeurs des auges à cette date par un calcul de précession au moyen des valeurs indiquées dans le Zīġ d'Ibn al-Ṣāṭir pour une autre date ; ceci confirme cette lecture, en particulier pour le chiffre 52 (voir Kennedy, Roberts, 1959, p. 232). D'autre part, la coïncidence des rangs fractionnaires des auges des cinq planètes pourrait s'expliquer par des données initiales arrondies au degré près pour l'année 1339 (cf. I.24.6).

159. Seulement pour les planètes supérieures (Saturne, Jupiter, Mars).

160. Ibn al-Ṣāṭir explique ainsi comment calculer la « troisième équation ajustée », c'est-à-dire l'équation due au mouvement de l'épicycle, en s'aidant des tables. Il doit y avoir trois colonnes numérotées C₂, C₃, C₄, ainsi qu'un multiplicateur λ. Il dit de calculer C₃ + λC₄ ou bien C₃ + λC₂, avec λ « additif » ou « soustractif ».

161. Plus précisément, cette droite coupe l'épicycle en un point qui est son « apogée apparent » et qui sert d'origine pour mesurer l'astre propre corrigé. Voir fig. XXVII p. 247.

162. Il y a une petite incohérence dans la valeur du mouvement de l'astre propre, au niveau du troisième rang sexagésimal : le 50 devrait être un 40 si on calcule le mouvement propre comme différence entre Soleil moyen et Mars moyen. Cela peut venir d'une confusion entre Mars moyen et son centre (le mouvement des auges est environ 0;0,0,10).

163. Modulo 360°.

164. Le rayon du rotateur serait donc 0;50. Mais les calculs des rayons des orbes solides donnés plus loin laissent penser qu'il doit être 0;55, c'est-à-dire un demi, un tiers et un demi-sixième de degré.

165. Cet orbe qu'Ibn al-Ṣāṭir avait appelé muḥīṭ est maintenant désigné du nom de ṣāmil. J'ai traduit ces deux termes par « englobant ».

166. Ces deux orbes (englobant et protecteur) constituent un couple d'al-Ṭūsī (voir mon commentaire).

167. Il faut comprendre ces distances extrêmes comme étant les distances extrêmes de Mercure au centre du monde quand Mercure est à l'auge ou au périgée, c'est-à-dire quand $\overline{k} = 0°$ ou 180°. Le rayon de l'épicycle apparent est alors minimal.

168. Ibn al-Ṣāṭir déroge ici à son habitude qui consiste à choisir un même « complément », tantôt ajouté, tantôt soutrait, pour obtenir les distances minimale et maximale au sein du système d'orbes d'une planète : en prenant un même complément de 0;8, on obtiendrait en effet une distance minimale de 31 et une distance minimale de 89, or il affirme que la distance maximale est ici 89;30. Ce ne peut pas être une simple erreur de copie, car cette valeur est utilisée dans un calcul en I.31.20.

169. Les valeurs suivantes ont probablement été calculées à partir des valeurs observées par an ou en vingt années persanes. On obtient alors, par division, presque exactement la valeur donnée par jour 3;6,24,10,1,38,27,48,29 : seul le huitième rang est erroné.

170. Notée $c_1(\overline{k})$ dans mon commentaire.

171. Ceci est erroné, il faut toujours ajouter quelque soit la valeur du centre (voir commentaire mathématique).

172. Notée $c_2(0, \alpha)$ dans mon commentaire.

173. C'est-à-dire à l'auge ou au périgée, en lesquels le couple d'al-Ṭūsī rend l'épicycle apparent moindre que le vrai.
<footnote n="174">174. Notée $c_2(180°, α)$ – $c_2(0, α)$ dans mon commentaire.</footnote>

<footnote n="175">175. Noté $χ(κ)$ dans mon commentaire.</footnote>

<footnote n="176">176. Pour toutes les planètes sauf Mercure, il s'agit simplement du rayon constant de l'épicycle.</footnote>

<footnote n="177">177. Cette manière « plus courante » conduirait aux tables auxquelles le chapitre I.14 fait implicitement référence. C'est ainsi que faisait Ptolémée.</footnote>

<footnote n="178">178. Pour décrire la mesure de l'angle dièdre entre les plans de deux grands cercles, on utilisait habituellement l'expression « inclinaison maximale » ; mais Ibn al-Šāṭir oubliera souvent le mot « maximum » pour parler simplement d'« inclinaison ».</footnote>

<footnote n="179">179. Dans ce paragraphe, ainsi qu'en I.24.20-22, I.25.2, I.25.6 et I.25.12-15, Ibn al-Šāṭir utilise le mot 'awġ pour désigner l'apogée d'un petit orbe, et non pas l'auge. Ici, il s'agit sans aucun doute de l'apogée moyen (*dirwa wustā*) de l'épicycle. Pour mieux comprendre, voir fig. XXVIII p. 249.</footnote>

<footnote n="180">180. Trois cercles : le déférent, le rotateur et l'épicycle.</footnote>

<footnote n="181">181. Ces valeurs et les suivantes sont tirées des tables de latitudes de l'Almageste (livre XIII). Les données de l'observation rapportées par Ptolémée sont respectivement : 2°, 3°, 1°, 2°, –, 4°20', 2°, 3°, 1°, 2°, –, 7° (Swerdlow, 2005, p. 45-46).</footnote>

<footnote n="182">182. S'agit-il d'une confusion ou d'un autre titre de la Nihāya al-‘idrāk de Quṭb al-Dīn, ou bien du titre d'un chapitre ?</footnote>

<footnote n="183">183. Cf. I.0.26 ; voir aussi note 348 p. 260 *infra*.</footnote>

<footnote n="184">184. Pour comprendre ce qui suit, voir les fig. 15 et 16 d'Ibn al-Šāṭir, et la fig. XXVIII de mon commentaire p. 249. Le modèle exposé dans les paragraphes 13 à 23 ci-dessous suppose que la relation entre l'orbe incliné et l'orbe déférent correspond au cas (a) de ma fig. IV p. 205 ; de même pour la relation entre l'orbe déférent et l'orbe rotateur.</footnote>

<footnote n="185">185. En fait, bien qu'ils deviennent parallèles, les deux plans ne sont jamais confondus. Ils le seraient si le rayon de la ceinture du déférent était nul, i. e. si le centre du rotateur était confondu avec le centre du déférent. Comme le rayon du déférent est petit devant le rayon de l'orbe incliné, cette hypothèse peut se justifier ; Ibn al-Šāṭir l'a aussi adoptée dans le paragraphe suivant et sur la figure 15.</footnote>

<footnote n="186">186. Pour transcrire les lettres *a lā b ĝ d h w z ṭ k m s ‘ ṣ q* utilisées dans les figures 15 et 16, on utilisera respectivement les lettres *A A’ B Ğ D H W Z Ṭ K M S O Ṣ Q*. Noter surtout le *A’* pour le *lām-‘alif lā*, et le *O* pour le *‘ayn*.</footnote>

<footnote n="187">187. Il faudrait plutôt dire « parallèle à la droite HṬ » . Voir fig. 16, où la position du point Ṭ est sans doute erronée.</footnote>

<footnote n="188">188. Ce paragraphe semble faire allusion à un modèle alternatif où les relations des orbes correspondraient plutôt au cas (b) de ma fig. IV p. 205.</footnote>

<footnote n="189">189. Ici, les manuscrits portent le mot « épicycle », cf. texte arabe. C'est pourtant le plan du rotateur qui doit subir l'inclinaison de 3°30' ; l'épicycle en hérite par composition.</footnote>

<footnote n="190">190. Il est difficile de donner un sens précis à ces deux valeurs. Peut-être 1°3' désigne-t-elle la latitude nord maximale atteinte par Vénus quand le centre de l'épicycle est à la queue : le diamètre de l'épicycle passant par son apogée est alors incliné de 2°30' par rapport au plan de l'écliptique, et on a 1°3' ≈ 2°30' × $\frac{43;33}{60 + 43;33}$. La valeur 8°40' semble en revanche être erronée, bien que les latitudes de Vénus puissent dépasser cette valeur dans le modèle fondé sur l'« amendement fait par les modernes ».</footnote>

<footnote n="191">191. Le raisonnement peu rigoureux d'Ibn al-Šāṭir est à peu près le suivant. Pour chaque astre, aussi bien que pour la Lune qu'il a traitée dans un chapitre antérieur, l'inclinaison de l'orbe incliné a peu d'influence sur le mouvement en longitude (l'équation du déplacement, qu'il sait calculer, est faible). Donc les inclinaisons des autres orbes auront *a fortiori* une influence négligeable sur les mouvements en longitude.</footnote>
192. L'objet de cette remarque est une coïncidence importante présente dans tous les modèles médiévaux ; ce sera un argument essentiel en faveur de l'héliocentrisme copernicien aux yeux de Kepler.

193. Cf. al-Bīrūnī qui parle d'ibtirāq (mot construit sur la même racine) dans le même contexte, cité par Rashed, 2017, p. 154.

194. Mesuré le long d'un cercle de hauteur, cet abaissement maximal du Soleil sous l'horizon s'appelle « arc de visibilité » dans les paragraphes suivants.

195. C'est-à-dire que l'ombre portée sur le disque lunaire semble progresser dans le sens rétrograde, d'est en ouest. Ibn al-Šāṭir ne semble pas vouloir préciser ici si l'assombrissement commence plutôt au sud-est de l'écliptique (quand la Lune est au nœud descendant) ou bien au nord-est (quand elle est au nœud ascendant).

196. Au milieu du 4ᵉ climat, 36°22′ N (voir II.1.16). En de tels lieux, la parallaxe doit être retranchée de la latitude réelle de la Lune.

197. La distance minimale Terre-Lune aux syzygies est de 53 rayons terrestres selon Ibn al-Šāṭir (voir I.31.19), or $\arcsin(1/53) \approx 64.52$ minutes d'arc.

198. La parasange est une unité de longueur. On va voir que : 1 parasange = 3 milles ; 1 mille = 4 000 coudées des modernes ; 1 coudée des modernes = 24 doigts (1 coudée des anciens = 32 doigts) ; 1 doigt = 6 grains d'orge. Dans ce paragraphe, Ibn al-Šāṭir compte en coudées des modernes.

199. Si la circonférence terrestre est de 8 000 parasanges, et que la coudée des modernes mesure 144 grains d'orge, alors on a bien : $\frac{1}{2} \times 144 \times \frac{7}{22} = \frac{198}{1000} \times \frac{1}{7} < \frac{1}{5} \times \frac{1}{7}$.

200. Coudées des anciens.

201. Coudée des anciens.

202. Ici, Ibn al-Šāṭir prend donc $\pi \approx 3 + \frac{1}{7}$.

203. Ces deux mesures de volume ne sont pas parfaitement exactes si l'on adopte les valeurs données ci-dessus pour la surface et le diamètre du globe. Si, comme pour les anciens, la longueur du méridien est 8 000 parasanges, on devrait avoir : volume de la Terre $= \frac{\text{surface} \times \text{diamètre}}{6} = 8639118457 + \frac{36+1/3}{121}$ parasanges cubes. Si la longueur du méridien est 6 800 parasanges, on devrait avoir un volume de $5035498622 + \frac{71+1/3}{121}$ parasanges cubes.

204. Autrement dit, la distance du Soleil et son diamètre apparent sont inversement proportionnels : $\frac{\text{diamètre apparent du Soleil}}{60} = \frac{0;32,32}{\text{distance du Soleil}}$.

205. Il y a erreur : $\frac{0;32,32}{0;30,18} = 0;64,25,20$. Hélas la valeur 0;62,30 sera utilisée dans la suite du texte.

206. Cette valeur est un peu supérieure à celle annoncée en I.9.8 et I.10.5 : si le diamètre de la Lune mesure 0;32,54 parts, son rayon mesure seulement $0;16,27 \times 0;58 = 0;15,54$ rayons terrestres. Mais cela ne remet pas en cause les dimensions du système d'orbes adopté par l'auteur pour la Lune, car, en I.9.31, il compte large en ajoutant 1 part à la distance maximale Terre-Lune (68 parts) et en retranchant 1 part de sa distance minimale (52 parts).

207. En effectuant ce calcul, on trouve que le rayon de l'ombre vaut $0;45,15,17,41,6$ rayon terrestre ; hélas, la suite révèle que Ibn al-Šāṭir a mené le calcul en supposant que le rayon de l'ombre est $0;45,30,19,41$.

208. On a en effet $45;30,19,41 + 16;39,29,42 = 62;9,49,23$, et $120 - 62;9,49,23 = 57;50,10,37$.
209. Ce calcul de la distance Terre-Soleil comprend donc deux erreurs : l'estimation du rayon de l'ombre et la valeur 0;62,30. Si l'on corrige ces deux erreurs, la distance moyenne du Soleil est 1 840 rayons terrestres. Mais il est peu sensé de vouloir « corriger » ainsi les erreurs de calcul de l'autre, car ce procédé pour calculer la distance Terre-Soleil est trop sensible à la précision des données de l'observation. Notons *u* le sinus du rayon apparent de la Lune à distance maximale, et C le « coefficient de l'ombre », $C = 2;43$. La distance Terre-Soleil lors de syzygies où les deux rayons apparents sont égaux est, selon Ibn al-Šāṭir : $\frac{63}{63(1 + C)u - 1}$. Comme le dénominateur (c'est ZY dans le texte) est de l'ordre de 0;2, on voit aisément qu'une erreur relative de 1 % sur *u* ou sur C conduit à une erreur relative de 30 % sur la distance Terre-Soleil !

210. Il y a une erreur de calcul ou de copie : on trouve 7;41,56 et non 7;42,53.

211. *Almageste*, V.14.

212. Est surtout en cause l'estimation de la distance Terre-Soleil. Selon al-ʻUrḍī, la distance minimale des orbes du Soleil vaut seulement $2 \times 577;2,30 = 1154;5$ rayons terrestres. Voir Goldstein, Swerdlow, 1970, p. 159.

213. $49140 \times \frac{74}{46} = 79051 + \frac{7}{23} \approx 79051 + \frac{7}{24} = 79051 + \frac{1}{6} + \frac{1}{8}$.

214. Al-ʻUrḍī compte parmi les « modernes » : voir Goldstein, Swerdlow (1970, p. 161-163 et n. 11 p. 170). Ces auteurs montrent qu'al-ʻUrḍī offre « une critique bien fondée des arguments de Ptolémée sur les diamètres apparents dans les Hypothèses planétaires ».

215. En parts telles que le rayon de l'orbe incliné de Mercure en compte 60, le rayon du globe planétaire est donc $0;2,24 \times 31/67 = 0;1,7$ parts. La provision de 0;8 parts admise en I.21.10 était donc amplement suffisante.

216. Erreur : l'unité est le rayon de la Terre, et non son diamètre. Le diamètre de Mercure est donc 0;4,48 rayon terrestre, son rayon est 0;2,24 rayon terrestre. L'auteur commet la même erreur pour les autres planètes (on s'abstiendra de le mentionner). Ce n'est pas une simple erreur textuelle puisqu'elle entache aussi le calcul des volumes des globes planétaires.

217. Ibn al-Šāṭir suit donc Ptolémée en supposant que Vénus mesure $\frac{1}{10}$ du diamètre du Soleil quand la planète est à *distance moyenne*. Al-ʻUrḍī avait remarqué que la planète à distance minimale aurait alors un diamètre jamais observé. Si on suit les distances calculées par Ibn al-Šāṭir, elle mesurerait en effet $\frac{1}{10} \times \frac{829}{193 + \frac{1}{3} + \frac{1}{10}} > \frac{2}{5}$ du diamètre du Soleil. Ibn al-Šāṭir attribuait le défaut d'observation à une illusion d'optique (voir plus loin, I.31.44).

218. En parts telles que le rayon de l'orbe incliné de Vénus en compte 60, le rayon de son globe planétaire est donc $0;23 \times \frac{14}{193;26} = 0;1,40$. La provision de 0;20 part admise en I.19.6 est donc amplement suffisante.

219. 8 032 est la moyenne entre la distance minimale du système d'orbes de Mars (1 890) et sa distance moyenne à la Terre $\frac{1890 + 26460}{2} = 14175$ rayons terrestres. Le raisonnement d'Ibn al-Šāṭir est le suivant. Si le diamètre de Mars mesurait $\frac{1}{20}$ du diamètre du Soleil quand Mars est à distance moyenne (14 175 rayons terrestres), la planète mesurerait, à distance minimale, $\frac{1}{20} \times \frac{14175}{1890} = 0,375 > \frac{1}{10}$ du diamètre apparent du Soleil, et elle paraîtrait alors plus grande que Vénus quand Vénus est à distance moyenne. Même quand Vénus est à distance minimale, Vénus mesure $\frac{1}{10} \times$
$$ \frac{829}{193 + \frac{1}{3} + \frac{1}{10}} \approx \frac{4}{10} $$ du diamètre apparent du Soleil. Mais, à l'observation, Mars semble toujours nettement plus petit que Vénus, donc Ibn al-Ṣāṭir considère que la mesure de Ptolémée se rapporte à une distance de 8 032 rayons terrestres, distance intermédiaire entre distance minimale et distance moyenne. Ce choix ne résoud pas entièrement le problème : sous cette hypothèse, Mars mesure, à distance minimale, $\frac{1}{20} \times \frac{8032}{1890} \approx 0,212$ fois le diamètre apparent du Soleil, et c'est encore supérieur au diamètre apparent de Vénus quand Vénus est à distance moyenne. Mais Ibn al-Ṣāṭir jugeait que les observations du diamètre apparent de Mars pouvaient subir, comme pour Vénus, l'effet d'une illusion optique (I.31.44).

220. En parts telles que le rayon de l'orbe incliné de Mars en compte 60, le rayon de son globe planétaire est donc $150 \times \frac{8}{1890} \approx 0,028$. La provision de 0;30 parts admise en I.17.6 suffit donc amplement.

221. En parts telles que le rayon de l'orbe incliné de Jupiter en compte 60, le rayon de son globe planétaire est donc $14;30 \times \frac{42}{28811} \approx 0,116$ part. La provision de 1 part (I.15.8) suffit amplement.

222. Erreur : à la fin du chapitre I.12, Ibn al-Ṣāṭir a montré que la distance minimale *atteinte* par Saturne, rapportée au rayon de la ceinture de son orbe incliné, est 50;5. En rayons terrestres, cela fait

donc : $$ \frac{49140 + 79051 + \frac{1}{6} + \frac{1}{8}}{2} \times 0,505 \approx 53502, \text{ et non } 49968. $$

223. En parts telles que le rayon de l'orbe incliné de Saturne en compte 60, le rayon de Saturne est donc $12;46 \times \frac{46}{49140} \approx 0,043$ part, ce qui est bien inférieur à la provision de 0;40 part faite en I.12.34.

224. Ibn al-Ṣāṭir peut avoir emprunté ces valeurs à al-‘Urdī (cf. Goldstein, Swerdlow, 1970, p. 167). Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī (1993, IV.7 [3]) procède plutôt de la manière suivante. Si les étoiles de 1er magnitude mesurent $\frac{1}{20}$, il considère que la différence entre les étoiles d'une magnitude donnée et celles de la magnitude suivante est $\frac{1}{6} \times \frac{1}{20}$; donc les étoiles de 6e magnitude mesureraient $\frac{1}{120}$, celles de 5e mesureraient $\frac{2}{120}$, ..., et celles de 2e mesureraient $\frac{5}{120}$. Sous cette hypothèse, ce serait donc les étoiles de 3e magnitude qui mesureraient $\frac{1}{30} = \frac{4}{120}$, contrairement à l'affirmation d'Hipparque, selon Ptolémée, que les étoiles les plus petites (donc, de 6e magnitude) mesurent $\frac{1}{30}$.

225. Pour ce début de phrase ici très lacunaire, cf. le texte même des « Hypothèses planétaires », dans la traduction de Régis Morelon : « ... cette variation est manifeste pour l'ensemble de ce qui apparaît et se voit à grande distance. Car de même que les distances elles-mêmes sont telles que leurs valeurs ne sont pas connues par ce que l'œil perçoit, et que l'intervalle situé entre les objets de tailles différentes n'est pas connu selon la proportionnalité de leurs distances, en raison de la façon dont le regard recueille et saisit ces distances, en les sous-estimant [et en les ramenant] à ce qu'il lui est plus facile de connaître... » (Morelon, 1993, p. 82).

226. Cf. l'édition critique de Morelon, 1993, l. 14 p. 83 – l. 4 p. 85 ; voir aussi Rashed, 1992.

227. Je suis ici Ragep qui traduit *hurāfāt al-ahkāmiyyān* par the fairy tales of the astrologers. Selon al-Ṭūsī, ces fables placent ces contrées « sous les cercles horaires au sud de l'équateur situés entre [les lieux] où descendent les deux luminaires » (al-Ṭūsī, 1993, p. 248) : faut-il comprendre qu'il s'agit de contrées situées entre 23°31' et 28°31' S ? (Ce sont les latitudes sud maximales respectives du Soleil et de la Lune selon les modèles d'Ibn al-Ṣāṭir.)

228. Le « Mémoire d'astronomie » d'al-Ṭūsī (1993, p. 248) : « sinon, pourquoi l'un des deux quarts nord serait-il approprié à l'habitation plutôt que l'autre, en dépit de leur situation égale par
rapport aux cieux ? »

229. Le golfe d'Aden où se trouve la ville de Berbera.

230. La mer Rouge.

231. Le golfe d'Oman.

232. La mer Baltique.

233. La mer Caspienne.

234. La mer d'Aral.

235. Les Hébrides, l'Islande ou la Norvège peut-être.

236. Cf. al-Ṭūsī, 1993, p. 251.

237. Début 12;40. Milieu 16;37,30.

238. Début 20;27. Milieu 24;40.

239. Début 27;30. Milieu 30;40.

240. Début 33;37,30. Milieu 36;22.

241. Début 38;54. Milieu 41;15.

242. Début 43;22,30. Milieu 45;21.

243. Début 47;12. Milieu 50;20.

244. Dans II.1.23-29, je laisse en italiques, translittérés comme j'ai pu, les toponymes que je n'ai pas su identifier.

245. La mer Rouge.

246. Sistan ?

247. Aujourd'hui Baniyas.

248. Apollonie.

249. Péluse.

250. Aujourd'hui Türkmenabat au Turkmenistan.

251. Aujourd'hui Diyarbakır en Turquie.

252. Tripoli du Liban.

253. La ville antique d'Amorium, aujourd'hui Hisarköy en Turquie.

254. Dans le Xinjiang.

255. Aujourd'hui Sayram, au Kazakhstan.

256. Aujourd'hui Istaravchan au Tadjikistan.

257. Silvan, en Turquie.

258. Au bord du lac de Van.

259. La mer Méditerranée.

260. La mer Caspienne.

261. D'après Kazimirski, nom générique donné aux peuples du Nord-Est de l'Europe.

262. Aujourd'hui Derbent en Russie.

263. Le second mouvement est le mouvement du huitième orbe, c'est-à-dire le mouvement de précession des fixes.

264. L'amplitude ortive d'un astre mesure donc, à l'horizon, l'arc entre le point où se lève les équinoxes et le point où se lève l'astre. L'amplitude occase est relative aux couchers.

265. Avicenne.

266. Al-Rāzī.

267. L'arc visible de l'une des deux trajectoire est égal à l'arc caché de l'autre, et inversement.

268. Le point est, à l'horizon.

269. Le point ouest, à l'horizon.
270. La hauteur négative, *al-inhiṭāt* que j’ai ailleurs traduit par « l’abaissement », désigne une hauteur mesurée le long d’un grand cercle perpendiculaire à l’horizon mais *sous* l’horizon.

271. C’est-à-dire au dessus de l’horizon.

272. C’est-à-dire sous l’horizon.

273. Le sens direct est ici le sens du mouvement diurne, c’est-à-dire d’est en ouest ; ce n’est donc pas le sens « des signes ».

274. Ceinture de l’écliptique et horizon.

275. La partie ayant survécu du traité d'Ibn al-Haytam sur « La configuration des mouvements des sept astres errants » concerne précisément cette question (voir Penchèvre, 2019, section 1.3, p. 145-148).

276. Ici, « trajectoire » ne désigne pas une trajectoire diurne bien qu'il s'agisse du même mot. C'est plutôt la trajectoire de l'étoile par rapport au référentiel attaché au neuvième orbe : il s'agit d'une trajectoire circulaire dans un plan parallèle à la ceinture de l'écliptique. Rappelons que pour Ibn al-Šaṭīr le mouvement de précession, *i. e.* le « deuxième mouvement », est le mouvement de rotation du huitième orbe – les étoiles fixes – autour d'un axe incliné par rapport à l'axe nord-sud au sein du référentiel attaché au neuvième orbe.

277. C’est-à-dire un arc de 60° adjacent à l’équinoxe le long de l’écliptique.

278. La coascension calculée à l'équateur terrestre, c'est-à-dire l'ascension droite.

279. Littéralement, le « jour avec sa nuit ».

280. C'est-à-dire la différence entre jour solaire et jour sidéral.

281. Voir II.7 ci-dessus.

282. Un plan médiateur du cône.

283. Parmi les directions situées dans le même cercle de hauteur que le Soleil, celle où l'observateur voit la clarté en premier est normale au cône d'ombre, car la distance à la surface du cône est minimale le long de la normale. C'est mieux expliqué chez al-Ṭūsī (1993, p. 294-297).

284. Peut-être est-ce là une manière d'expliquer l'absence de vocabulaire spécifique aux différentes phases du crépuscule, sur le modèle aurore trompeuse / aurore franche.

285. Pendant la période de l'année où l'abaissement maximal du Soleil sous l'horizon est inférieur à 18°, aurore et crépuscule seront contigus.

286. Les deux « temps » sont le jour et la nuit.

287. Le « degré » de l'astre marque ici l'intersection entre son cercle de latitude et le cercle de l'écliptique : c'est son « degré de longitude » (défini en I.4.9).

288. Sous-entendu, un cercle de latitude.

289. La flèche : la médiatrice de la corde d'un arc de cercle.

290. La maison sacrée, c'est-à-dire la Ka'ba.
FIGURES

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>[I.7.3. Figure 1:] Les orbes du Soleil figurés par les trajectoires des centres des sphères.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>[صورة ١:] صورة أفلاك الشمس على أنّها مدارات مراكز الأكر التامّة على حسب ما يتصوّر على البسيط [س ١٦ظ، أ ١١و، د ٢٨و، ج ١١ظ].</figcaption></figure>
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>[I.7.7. Figure 2:] Les orbes solides du Soleil qui sont des sphères solides entières.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>[صورة ٢:] صورة أفلاك الشمس المجسمة وهي كرات مجسمة تامة [س ١٧، أ ١١، د ٢٨ظ، ج ١٣و].</figcaption></figure>
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>[I.9.34. Figure 3:] Les orbes de la Lune figurés par les trajectoires des centres des sphères. Nous y avons représenté l'orbe de l'épicycle et le rotateur en huit positions : la conjonction, l'opposition, les quadratures et les octants.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>[صورة ٣:] وهذه صورة أفلاك القمر وهي مدارات مراكز الأكر التامة على حسب ما يتصوّر على البسيط لإقامة البراهين وحساب التعاديل على أثنا صوّرنا فلك التدوير والمدير في ثمانية أماكن وتلك الأماكن هي الاجتماع والاستقبال والتربيعين وفي أنصاف الأرباع ليسهل تصوّر ذلك في كل مكان [أ ١٦ظ، د ٣٢و، ج ١٨و].</figcaption></figure>
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>[I.9.34. Figure 4:] Les orbes solides de la Lune mus de mouvements simples uniformes en leurs centres. Le plan de la figure est le plan de l'orbe incliné : on a vu que le plan de l'orbe incliné est incliné par rapport au plan de l'écliptique ou du parécliptique d'une inclinaison égale à la latitude de la Lune.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>[صورة ٤:] وهذه صورة أفلاك القمر المجسّمة على أنها كرات تامّة متحرّكات حركات بسيطة مستوية عند مراكزها حسب ما يتصوّر في البسيط الذي هو سطح المائل وقد تقدم أن سطح المائل مائل عن سطح البروج أي الممثل ميلًا واحدًا نهايته مثل عرض القمر [أ ١٧ و، د ٣٢ظ، ج ١٩ و].</figcaption></figure>
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>[I.12.16. Figure 5:] Les orbes de Saturne, représentés dans le plan par les ceintures trajectoires des centres des orbes solides ou par les surfaces de ces ceintures.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>[صورة ٥:] صورة أفلاك زحل على ما يُرى في البسيط وهي مناطق مدارات مراكز الأفلاك المجسمة أو سطح تلك المناطق لسهولة التصوّر وإقامة البراهين [س ٣٨ظ، أ ٢٠ظ، د ٣٥و، ج ٢٢ظ].</figcaption></figure>
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>[I.12.35. Figure 6:] Les orbes de Saturne, sphères entières représentées dans le plan à l'auge, au périgée et aux deux élongations intermédiaires.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>[صورة ٦:] صورة أفلاك زحل على أنّها كرات تامّة على حسب ما يتصوّر على البسيط في الأوج والحضيض وفي البعدّين الأوسطين [س ٤١ظ، أ ٢١ظ، د ٣٦و، ج ٢٤و].</figcaption></figure>
[La figure 7 est identique à la figure 5.]

[I.15.3. Figure 7:] Les orbes de Jupiter représentés par les trajectoires des centres des sphères solides à l'auge, au périgée, et aux deux élongations intermédiaires.

[La figure 8 est identique à la figure 6.]

[I.15.6. Figure 8:] Configuration des orbes solides de Jupiter à l'auge, au périgée et aux deux élongations intermédiaires.

[La figure 9 est identique à la figure 5.]

[I.17.4. Figure 9:] Configuration des orbes de Mars représentés dans le plan par les trajectoires des centres des sphères solides à l'auge, au périgée et aux deux élongations intermédiaires.

[La figure 10 est identique à la figure 6.]

[I.17.6. Figure 10:] Configuration des orbes de Mars, sphères entières représentées dans le plan à l'auge, au périgée et aux deux élongations intermédiaires.

[La figure 11 est identique à la figure 5.]

[I.19.6. Figure 11:] Configuration des orbes de Vénus représentés par les trajectoires des centres des orbes solides à l'auge, au périgée et aux deux élongations intermédiaires.

[La figure 12 est identique à la figure 6.]

[I.19.7. Figure 12:] Configuration des orbes solides de Vénus, sphères entières représentées dans le plan à l'auge, au périgée et aux deux élongations intermédiaires.
[هذه الصورة هي كصورة ٥.]

[صورة ٧:] صورة أفلاك المشتري وهي مدارات مراكز الأكر المجسّمة على حسب ما يتصوّر على البسيط في الأوج والحضيض والبُعدَين الأوسطين [س ٤٣ظ، أ ٢٣و، د ٣٧و، ج ٢٥ظ].

[هذه الصورة هي كصورة ٦.]

[صورة ٨:] هيئة أفلاك المشتري المجسّمة على أنّها كرات تامّة على حسب ما يتشكل على البسيط في الأوج والحضيض والبُعدَين الأوسطين [س ٤٤ظ، أ ٢٣ظ، د ٣٧ظ، ج ٢٦و].

[هذه الصورة هي كصورة ٥.]

[صورة ٩:] هيئة أفلاك المريخ وهي مدارات مراكز الأكر المجسّمة على ما يتصوّر في البسيط في الأوج والحضيض والبُعدَين الأوسطين [س ٤٦ظ، أ ٢٥و، ناقص في نُسخ د، ج].

[هذه الصورة هي كصورة ٦.]

[صورة ١٠:] هيئة أفلاك المريخ المجسّمة وهي كرات تامّة على ما يتصوّر على البسيط في الأوج والحضيض والبُعدَين الأوسطين [س ٤٧ظ، أ ٢٥ظ، د ٣٨ظ، ج ٢٧ظ].

[هذه الصورة هي كصورة ٥.]

[صورة ١١:] صورة أفلاك الزهرة على أنّها مدارات مراكز الأفلاك المجسّمة على ما يتصوّر على البسيط في الأوج والحضيض والبُعدَين الأوسطين [س ٢٩ظ، أ ٢٧و، د ٤٠و، ج ٢٩ظ].

[هذه الصورة هي كصورة ٦.]

[صورة ١٢:] هيئة أفلاك الزهرة المجسّمة على ما يتوهّم في الفلك أنّها كرات تامّات على ما يتصوّر على البسيط في الأوج والحضيض والبُعدَين الأوسطين [س ٣٠و، أ ٢٧ظ، د ٤٠ظ، ج ٣٠و].
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>[I.21.7. Figure 13:] Configuration des orbes de Mercure représentés par les centres des sphères solides dans le plan.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>[صورة ١٣:] صورة أفلاك عطارد على أنها مراكز الأكر التامّة على حسب ما يتصوّر على البسيط [س ٣٢، أ ٢٩، د ٤١، ج ٣١].</figcaption></figure>
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>[I.21.8. Figure 14:] Configuration des orbes solides de Mercure, sphères entières représentées dans le plan à l'auge, au périgée et aux élongations intermédiaires.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>[صورة ١٤:] هيئة أفلاك عطارد المجسّمة وهي كرات تامّة على حسب ما يتصوّر على البسيط في الأوج والحضيض والبعدين الأوسطين [س ٣٣ و، أ ٢٩ظ، د ٤٢ و، ج ٣٢ و].</figcaption></figure>
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>[I.24.15. Figure 15]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>[I.24.23. Figure 16]</figcaption></figure>
<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>[صورة ١٥] [س. ٥٠، أ. ٣٣، د. ٤٤، ج. ٣٦]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>[صورة ١٦] [س. ٥٠، أ. ٣٣، د. ٤٤، ج. ٣٦]</figcaption></figure>
<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>[I.26.2. Figure 17]</figcaption></figure>

<caption>[I.31.5. Figure 18 :
La figure en forme de sapin.]</caption>
<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>[صورة ١٨: الشكل الصنوبري.]</figcaption></figure>

<caption>[س ٥٤، أ ٣٦، د ٤٦، ج ٣٩]</caption>
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>[II.1.20. Figure 19:] La figure des sept climats.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>[II.2.3. Figure 20]</figcaption></figure>
<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>[صورة ١٩:] صورة الأقليم السبعة [د ٥٤، ظ ٥، ج ٥٢].</figcaption></figure>

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>[صورة ٢٠:] أ ٥١، و ٥٦، د ٥٥، ج ٥٥</figcaption></figure>
<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>[II.3.4. Figure 21:] Figure des deux triangles quand on pose deux cercles de déclinaison.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>[II.3.6. Figure 22:] Figure des deux triangles quand on pose un seul cercle de déclinaison.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>[صورة ٢١:] صورة المثلثين على فرض دائرة الميل [أ ٥٢ظ، د ٥٧و، ج ٥٧و].</figcaption></figure>

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>[صورة ٢٢:] صورة المثلثين على فرض دائرة واحدة للميل [أ ٥٣و، د ٥٧و، ج ٥٧ظ].</figcaption></figure>
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>[II.5.4. Figure 23]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>[II.5.5. Figure 24]</figcaption></figure>
<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>[صورة ٢٣] أ ٥٥ظ، د ٥٩و، ج ٦٠ظ</figcaption></figure>

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>[صورة ٢٤] أ ٥٦و، د ٥٩ظ، ج ٦١و</figcaption></figure>
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>[II.5.6. Figure 25]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>[II.5.7. Figure 26]</figcaption></figure>
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>[صورة ٢٥] أ ٥٦ظ، د ٦٠و، ج ٦١ظ</figcaption></figure>

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>[صورة ٢٦] أ ٥٦ظ، د ٦٠و، ج ٦٢و</figcaption></figure>
<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>[II.8.10. Figure 27:] Les six divisions,
sous l'hypothèse que l'auge est à la fin des Gémeaux.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>صورة ٢٧: صورة القطع على أنّ الأوج في آخر الجوزاء [أ ٦٠ و، د ٦٢ و، ج ٦٥ و].</figcaption></figure>
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>[II.9.2. Figure 28:] La figure avec l'horizon, le triangle, la perpendiculaire, le Soleil et la Terre.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>[صورة ٢٨:] صورة الأفلاك والمثلث والعمود والشمس والأرض [أ ٦٠ظ، د ٦٢ظ، ج ٦٦ظ].</figcaption></figure>
<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>[II.12.1. Figure 29]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>[II.12.2. Figure 30]</figcaption></figure>
<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>[صورة ٢٩] أ ٦٣ظ، د ٦٥و، ج ٧٠و</figcaption></figure>

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>[صورة ٣٠] أ ٦٣ظ، د ٦٥و، ج ٧٠٥</figcaption></figure>
<figure><img src="image_63.png" /></figure>
# COMMENTAIRE MATHÉMATIQUE

## 1. LEMME D'AL- URūĪ ET COUPLE D'AL- TūSĪ

On démontre ici trois propositions concernant les rotations affines du plan. Elles nous seront utiles pour comparer entre eux les modèles planétaires.

**PROPOSITION 1.** Soient $P_1, P_2, P_3, P_4$ quatre points alignés et $\alpha \in [0, 2\pi]$. Si $\overrightarrow{P_1P_3} = \overrightarrow{P_2P_4}$, alors $R_{P_2,\alpha} = R_{P_1,\alpha}R_{P_3,-\alpha}R_{P_4,\alpha}$.

*Démonstration.* $R_{P_2,\alpha}R_{P_4,-\alpha}$ est une transformation affine directe dont l'application linéaire associée est l'identité, et c'est donc une translation. C'est la translation de vecteur :

$$ \overrightarrow{P_4R_{P_2,\alpha}(P_4)} = R_{\alpha}(\overrightarrow{P_2P_4}) - \overrightarrow{P_2P_4}, $$

où $R_{\alpha}$ désigne la rotation vectorielle d'angle $\alpha$. De même $R_{P_1,\alpha}R_{P_3,-\alpha}$ est une translation de vecteur :

$$ \overrightarrow{P_3R_{P_1,\alpha}(P_3)} = R_{\alpha}(\overrightarrow{P_1P_3}) - \overrightarrow{P_1P_3}, $$

mais $\overrightarrow{P_1P_3} = \overrightarrow{P_2P_4}$, donc $R_{P_1,\alpha}R_{P_3,-\alpha} = R_{P_2,\alpha}R_{P_4,-\alpha}$, q. e. d.

Si $P_2$ est situé entre $P_1$ et $P_3$, une conséquence de cette proposition était bien connue de Ptolémée. Si $P_1$ est le centre du monde, $P_2$ le centre d'un excentrique, et $P_4$ un astre à son apogée sur l'excentrique, on a :

$$ R_{P_2,\alpha}(P_4) = R_{P_1,\alpha}R_{P_3,-\alpha}(P_4). $$

Ceci montre que l'excentrique peut être remplacé par un modèle équivalent constitué d'un déférent de centre $P_1$ et d'un épicycle de centre $P_3$ (Almageste, III.3).

**PROPOSITION 2.** Soient $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ cinq points alignés, et $\alpha \in [0, 2\pi]$. Si $\overrightarrow{P_3P_4} = -\overrightarrow{P_1P_2}$ et $\overrightarrow{P_3P_5} = \overrightarrow{P_1P_2}$, alors

$$ R_{P_1,\alpha}R_{P_3,\alpha}R_{P_4,-\alpha} = R_{P_2,\alpha}R_{P_5,-\alpha}R_{P_3,2\alpha}R_{P_4,-\alpha}. $$

*Démonstration.* Comme $\overrightarrow{P_2P_5} = \overrightarrow{P_1P_3}$, d'après la proposition 1, on a :

$$ R_{P_1,\alpha} = R_{P_2,\alpha}R_{P_5,-\alpha}R_{P_3,\alpha}, $$

d'où le résultat escompté si l'on compose à droite avec $R_{P_3,\alpha}R_{P_4,-\alpha}$.

*Remarque.* $R_{P_5,-\alpha}R_{P_3,2\alpha}R_{P_4,-\alpha}$ est une translation parallèlement à la droite $(P_1P_2)$. En effet :

$$ (R_{P_5,-\alpha}R_{P_3,\alpha})(R_{P_3,\alpha}R_{P_4,-\alpha}) = t \xrightarrow{\overrightarrow{P_3R_{P_5,-\alpha}(P_3)}} t \xrightarrow{\overrightarrow{P_4R_{P_3,\alpha}(P_4)}} $$
mais

$$ \overrightarrow{P_3 R_{P_5, -\alpha}(P_3)} + \overrightarrow{P_4 R_{P_3, \alpha}(P_4)} = R_{-\alpha}(\overrightarrow{P_3 P_4}) + R_{\alpha}(\overrightarrow{P_3 P_4}) - 2\overrightarrow{P_3 P_4}, $$

or

$$ (R_{-\alpha}(\overrightarrow{P_3 P_4}) + R_{\alpha}(\overrightarrow{P_3 P_4}) - 2\overrightarrow{P_3 P_4}) \wedge \overrightarrow{P_3 P_4} = \|\overrightarrow{P_3 P_4}\|^2 (\sin \alpha + \sin(-\alpha)) = 0. $$

Cette composée de rotations apparaît dans les modèles planétaires utilisant un « couple d'al-Tūsī ».

**PROPOSITION 3.** Soit $P_1, P_2, P_3$ trois points alignés avec $\overrightarrow{P_1P_3} = -\overrightarrow{P_1P_2}$, alors $R_{P_3, -\alpha}R_{P_1, 2\alpha}R_{P_2, -\alpha} = R_{P_3, \alpha}R_{P_1, -2\alpha}R_{P_2, \alpha}$. En particulier, le sens de rotation des orbes d'un couple d'al-Tūsī n'importe pas.

*Démonstration.*

$$ R_{P_3, 2\alpha} R_{P_1, -2\alpha} = t_{\overrightarrow{P_1 R_{P_3, 2\alpha}(P_1)}} = t_{\overrightarrow{P_2 R_{P_1, 2\alpha}(P_2)}} = R_{P_1, 2\alpha} R_{P_2, -2\alpha}, $$

d'où le résultat.

## 2. PRÉLIMINAIRES

Je n'analyserai pas en détail ce qu'est un orbe pour Ibn al-Ṣā. Qu'il suffise de le concevoir comme un corps à symétrie sphérique. Chaque orbe est doté d'un centre. Le centre de certains orbes est aussi centre du monde. Enfin, et surtout, Ibn al-Ṣāetir utilise chaque orbe comme un référentiel solide en mouvement. Pour qu'un corps solide à symétrie sphérique puisse faire office de référentiel spatial, il faut distinguer un plan attaché à l'orbe et passant par son centre, et une direction dans ce plan. Dans tout ce qui suit, on représentera plus commodément chaque orbe par une sphère, un cercle et un point : à savoir, une sphère dont le centre est le centre de l'orbe, un grand cercle section de cette sphère par son plan, et un point de ce cercle situé dans la direction distinguée par rapport au centre.

Chaque orbe est mobile par rapport à l'orbe qui le porte (c'est-à-dire au sein du référentiel constitué par l'orbe qui le porte). Un seul mouvement est admis pour chaque orbe : un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe passant par son centre. Autrement dit, le centre de chaque orbe est immobile au sein de l'orbe qui le porte. Il n'y a aucune restriction quant à l'inclinaison de l'axe par rapport au plan de l'orbe : tel orbe a son axe perpendiculaire à son plan, tel autre a son axe perpendiculaire au plan de l'orbe qui le porte. Mais tous ces mouvements sont relatifs, et chaque orbe hérite aussi « par accident » (au sens aristotélicien du terme) du mouvement de l'orbe qui le porte, qui hérite lui-même du mouvement de l'orbe qui le porte, et ainsi
de suite. Le mouvement de chaque orbe est donc composé d'un mouvement propre de rotation uniforme par rapport à l'orbe qui le porte, et du mouvement absolu de l'orbe qui le porte. Seul le neuvième orbe, porté par aucun autre, n'est animé que de son mouvement propre de rotation uniforme.<fnref n="291" />

Ce cadre conceptuel donne lieu à trois combinaisons possibles, toutes présentes dans le texte d'Ibn al-Ṣāṭir. Je les décrirai au moyen des trois figures (a), (b) et (c) page 205. Dans chacune de ces trois figures il y a deux orbes représentés chacun par une sphère, un grand cercle de cette sphère et un point sur ce cercle. Le premier orbe dont le point est P porte le second dont le point est Q. Dans les figures (a) et (b), le point P de l'orbe portant est choisi par commodité au centre de l'orbe porté. Au contraire, dans la figure (c), les deux orbes ayant même centre O, il a fallu choisir un autre point : le point P est alors un point à l'intersection des plans des deux orbes. Dans tout ce paragraphe, on désignera chaque orbe par son point. L'orbe de P porte donc l'orbe de Q. Ainsi, le lieu occupé par l'orbe de Q est constant au sein du référentiel solide constitué par l'orbe de P. Mais l'orbe de Q est animé d'un mouvement de rotation uniforme sur lui-même, autour d'un axe représenté par un vecteur sur chaque figure. Peu importe ici le sens de cette rotation ; seule importe la direction de son axe, perpendiculaire au plan de l'orbe de P dans la figure (a), mais perpendiculaire au plan de l'orbe de Q dans les figures (b) et (c). La figure (a) présente cette particularité que la trajectoire du point Q au sein du référentiel constitué par l'orbe de P n'est pas dans le plan de l'orbe de Q : le point Q décrit un petit cercle parallèle au plan de l'orbe de P. Enfin, dans chacune des trois figures, l'orbe de P est lui-même animé d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe représenté par un vecteur d'origine O. Peu importe que ce vecteur soit perpendiculaire au plan de l'orbe de P – comme il l'est dans ces figures – ou non. Ce dernier mouvement entraîne le point P et aussi l'orbe de Q.

Chacune des planètes supérieures (Mars, Jupiter, Saturne) est portée par un système d'orbes : un « orbe parécliptique », un « orbe incliné », un « orbe déférent », un « orbe rotateur » et un « orbe de l'épicycle ». La figure (a) représente alors la relation entre l'orbe incliné (orbe de P) et l'orbe déférent (orbe de Q), ainsi que la relation entre l'orbe déférent (orbe de P) et l'orbe rotateur (orbe de Q). Pour Vénus, les orbes portent les mêmes noms, mais la figure (b) représente alors la relation entre l'orbe déférent (orbe de P) et l'orbe rotateur (orbe de Q), ainsi que la relation entre l'orbe rotateur (orbe de P) et l'orbe de l'épicycle (orbe de Q). Mercure compte

<footnote n="291">²⁹¹ Le mouvement du 9ᵉ orbe (orbe de l'équateur) se fait au sein d'un référentiel absolu. Ce dernier référentiel n'est attaché à aucun orbe mais Ibn al-Ṣāṭir le décrit clairement quand il dit : « Dans le plan de l'équateur on suppose qu'il y a un second cercle [...] ; à cause de l'immobilité de ce cercle, c'est par lui qu'on mesure les mouvements (I.3.2). » Cercle dont l'existence est seulement feinte, car par ailleurs, « dans les orbes, le repos est impossible » (I.0.10).</footnote>
davantage d'orbes sans toutefois introduire de combinaison nouvelle.

Pour chaque planète, la figure (c) représente la relation entre l'orbe parécliptique (orbe de P) et l'orbe incliné (orbe de Q) : le point P est alors l'un des nœuds. Mais cette figure représente aussi la relation entre le neuvième orbe (orbe de P) et le huitième, dit de l'écliptique (orbe de Q) : le point P est alors le point vernal.

### 3. PRÉCESSION DES ÉQUINOXES

Observons à nouveau la figure (c). Chez Ptolémée, les étoiles fixes sont attachées au dernier orbe et le mouvement relatif de cet orbe par rapport aux orbes inférieurs rend compte du mouvement de précession des équinoxes. Pour les astronomes arabes, depuis le *Traité sur l'année solaire* certainement dû aux Banū Mūsā<sup>292</sup> (IXe siècle), il existe un neuvième orbe au delà des étoiles fixes situées sur le huitième orbe, et c'est le mouvement relatif du huitième orbe par rapport au neuvième qui rend alors compte de la précession. Tous les orbes inférieurs des planètes, du Soleil et de la Lune héritent de ce mouvement comme les étoiles fixes (tandis que chez Ptolémée, le Soleil en était exempt<sup>293</sup>).

Chez Ibn al-Šāṭir, l'orbe parécliptique de chaque planète est un orbe dont le centre coïncide avec le centre du Monde, comme l'écliptique. L'orbe parécliptique reproduit, en plus petit, l'orbe de l'écliptique et il y est attaché en son centre. Le parécliptique est animé d'un petit mouvement de rotation sur lui-même, par rapport au référentiel constitué par l'orbe de l'écliptique ; mais comme l'axe de rotation du parécliptique coïncide avec l'axe de l'écliptique, et que la composée de deux rotations de même axe en est encore une, le parécliptique est aussi en rotation uniforme autour de son axe au sein du référentiel constitué par le neuvième orbe. Le mouvement de l'orbe de l'écliptique par rapport au neuvième est d'un degré toutes les soixante-dix années persanes. Le mouvement de l'orbe parécliptique par rapport au neuvième orbe est un peu plus rapide, comme l'avait vérifié al-Zarqālluh (XIe siècle) : il est d'un degré toutes les soixante années persanes, c'est-à-dire 0°1′ par année persane<sup>294</sup>.

<footnote n="292">292 Voir Tābit b. Qurra, 1987, p. XLVI-LXXV et 27-67.</footnote>

<footnote n="293">293 Voir Pedersen, 1974, p. 147. La Lune aussi en était exempte, puisque l'auge de son excentrique est constamment situé à $\bar{\eta}$ du Soleil moyen (voir fig. xv p. 229 *infra*) dans les 2e et 3e modèles de l'« *Almageste* ».</footnote>

<footnote n="294">294 Al-Zarqālluh (Azarquiel) avait observé que l'apogée solaire se meut d'un degré tous les 279 ans par rapport aux étoiles fixes, elles-mêmes étant animées du mouvement de précession (Rashed, 1997, p. 285-287). Or $\frac{1}{70} + \frac{1}{279} \approx \frac{1}{60}$.</footnote>
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIG. IV : Un orbe est un référentiel solide en mouvement</figcaption></figure>
4. UNITÉ DE TEMPS

Le temps absolu est mesuré par le mouvement du neuvième orbe, seul orbe dont
le mouvement propre est absolu (les mouvements propres des autres orbes sont re-
latifs à l'orbe qui les porte).

En un lieu donné, la durée entre deux culminations du Soleil (de midi à midi du lendemain) est approximativement constante.

Considérons deux unités possibles pour la mesure du temps :

- le *jour sidéral* : durée d'une rotation complète du ciel visible autour du pôle nord (temps de retour d'une étoile fixe en son lieu par rapport au pôle nord et à l'horizon);

- le *jour solaire* : durée entre deux culminations du Soleil (de midi à midi du lendemain).

Le neuvième orbe étant supposé mû d'un mouvement uniforme, le jour sidéral est de durée constante (sauf à tenir compte du mouvement de précession, le mouvement propre du huitième orbe, qui est infime). En revanche, la durée du jour solaire varie au fil des saisons, ce n'est donc pas une bonne unité. En effet, soit midi au Soleil. Un jour sidéral plus tard, le Soleil aura presque effectué une rotation complète d'est en ouest à cause du mouvement du neuvième orbe ; pas tout à fait cependant, à cause du mouvement des orbes du Soleil qui l'auront légèrement entraîné vers l'est, d'un peu moins qu'un degré. Il ne sera donc pas encore midi au Soleil : le jour sidéral est plus court que le jour solaire. Cet effet se fera sentir d'autant plus que l'angle entre l'écliptique et la trajectoire diurne du Soleil sera faible (ainsi la différence sera plus importante lors des solstices que lors des équinoxes). De toute façon, le mouvement du Soleil le long de l'écliptique n'est pas uniforme.

Tout calendrier civil adoptant pourtant le jour solaire comme unité, il est com-
mode de choisir comme unité astronomique un « jour solaire moyen » : durée entre
deux culminations, non plus du Soleil, mais d'un point imaginaire mû d'un mouve-
ment uniforme le long de l'équateur et faisant le tour du ciel exactement en même
temps que le Soleil <fnref n="295" />. C'est l'unité adoptée par Ibn al-Ṣā : le nychtémère, al-
yawm bi-laylatihi. Quand une date est donnée en temps civil (c'est-à-dire un cer-
tain nombre d'heures à compter de midi au Soleil), il faut la corriger en lui ajoutant
une certaine « équation du temps », taʻdīl al-ʻayām, qui s'annule lors de l'équinoxe
de printemps quand le Soleil et le point imaginaire coïncident sur l'équateur <fnref n="296" />.
L'heure est un vingt-quatrième de jour solaire moyen.

Soit $t_0$ la date d'un équinoxe de printemps, et $t$ un instant donné quelconque,

<footnote n="295">295 C'est-à-dire en une année tropique.</footnote>

<footnote n="296">²⁹⁶ En fait, comme on va le voir, le point imaginaire suit le Soleil *moyen* et il est donc situé un peu à l'ouest du Soleil au moment de l'équinoxe.</footnote>
dates exprimées en jours solaires moyens. Les mêmes dates exprimées en temps civil (jours solaires, et heures comptées à partir de midi au soleil) seront notées $\tau_0$ et $\tau$, et en jours sidéraux $T_0$ et $T$.

Le point imaginaire se déplace le long de l'équateur à la vitesse du Soleil moyen ; son ascension droite varie donc comme la longitude $\bar{\lambda}$ du Soleil moyen. À l'instant $t$, elle vaut $\bar{\lambda}(t)$.

De combien le Soleil s'est-il déplacé vers l'est depuis le dernier équinoxe de printemps ? C'est précisément son ascension droite $\alpha(t)$.

Le jour sidéral est plus court que le jour solaire, d'autant qu'il faut au mouvement diurne pour récupérer le déplacement du Soleil vers l'est. La vitesse du mouvement diurne est d'environ 15° par heure (elle est de 360° par jour sidéral, mais le jour sidéral compte un peu moins que 24 heures). On a donc :

$$ (T - T_0) - (\tau - \tau_0) \approx \frac{\alpha(t)}{15^\circ} \text{ heures.} $$

Il ne s'agit que d'une approximation, puisque pendant cette durée, le Soleil se déplace légèrement davantage vers l'est...

De même, le jour sidéral est plus court que le jour solaire moyen, d'autant qu'il faut au mouvement diurne pour récupérer le déplacement du point imaginaire vers l'est le long de l'équateur :

$$ (T - T_0) - (t - t_0) \approx \frac{\bar{\lambda}(t) - \bar{\lambda}(t_0)}{15^\circ} \text{ heures.} $$

Ibn al-Šāṭir donne $\bar{\lambda}(t_0) = -2°1′7″$. L'équation du temps est donc <fnref n="297" /> :

$$ E = (t - t_0) - (\tau - \tau_0) \approx \frac{-\bar{\lambda}(t) - 2°1′7″ + \alpha(t)}{15^\circ} \text{ heures.} $$

Chez Ibn al-Šāṭir, l'unité de temps est le jour solaire moyen, ou l'année persane de 365 jours solaires moyens. L'« Époque » (c'est-à-dire l'instant $t = 0$) est à midi du 24 décembre 1331. Il s'agit probablement d'une date en temps solaire moyen (les valeurs des paramètres à cette date ayant été obtenus par le calcul à partir d'observations antérieures <fnref n="298" />, un jour d'équinoxe de printemps). Le temps GMT (Greenwich mean time) est un temps solaire moyen mesurant comme précédemment le déplacement uniforme d'un point imaginaire le long de l'équateur, mais ce point ne coïncide

<footnote n="297">²⁹⁷ On adopte ici la convention française quant au signe de l'équation du temps E.</footnote>

<footnote n="298">²⁹⁸ Du propre aveu d'Ibn al-Šāṭir en I.8.1 : « Nous avons déjà posé que le jour où nous avons observé à la fois l'astre moyen et l'astre vrai est l'équinoxe de printemps, et nous lui rapportons tous les autres nychtémères. »</footnote>
pas avec le Soleil lors de l'équinoxe de printemps : l'équation du temps n'a donc pas
la même origine que chez Ibn al-Šāṭir, elle est d'environ 8 min à l'équinoxe de prin-
temps et elle s'annule vers le 15 avril. Il faut aussi tenir compte du décalage horaire à la
longitude de Damas, 36°18'23". L'Époque d'Ibn al-Šāṭir est donc, en temps GMT,
le 24 décembre 1331 à 12 h 8 min - $\frac{36°18'23"}{15°}$ ≈ 9 h 43 min.

Pourquoi Ibn al-Ṣāṭir choisit-il le 24 décembre 1331 comme Époque ? Le premier jour de la première année de l'ère de Yazdgard est le 12 juin 632 (date julienne). Sept cents années persanes plus tard (soit $700 \times 365 = 255\,500$ jours), on est le premier jour de l'année 701 de l'ère de Yazdgard, un mardi (yawm al-ṭalāṭā'), le 23 rabīʻ al-ʻawwal 732 de l'hégire (date julienne : 24 décembre 1331). Ibn al-Ṣāṭir avait alors 24 ans.

5. LE SOLEIL

5.1. *Figure initiale*

Soit (i, j, k) la base canonique de $\mathbb{R}^3$ qu'on identifiera à l'espace physique. Selon
Ibn al-Ṣāṭir, la trajectoire du Soleil est contenue dans le plan de l'écliptique (i, j).
Dans les modèles d'Ibn al-Ṣāṭir, on chercherait en vain une description mathéma-
tique du mouvement en termes de transformations ou de différences entre deux ins-
tants. L'objet de la description mathématique est ici l'opération transformant une
figure initiale (qui n'a d'existence qu'imaginaire) en une autre figure représentant la
configuration des astres à un instant donné. Mais pour décrire le mouvement des
astres, Ibn al-Ṣāṭir n'admet que des mouvements circulaires uniformes ou bien des
mouvements composés de mouvements circulaires uniformes : les seules opérations
autorisées seront donc des rotations spatiales dont les paramètres dépendent linéai-
rement de la variable temps.

Dans la figure initiale, les centres des orbes du Soleil sont tous alignés dans la
direction du vecteur j elle-même confondue avec la direction du point vernal. Le
point O est le centre du monde, P₁ est le centre de l'orbe total (al-falak al-śāmil <sup>299</sup>),
et P₂ le centre du parécliptique du Soleil. Ces trois points sont confondus O = P₁ =
P₂. Le point P₃ est le centre de l'orbe déférent, P₄ le centre de l'orbe rotateur, et P est

<footnote n="299">299 La dénomination des orbes du Soleil peut prêter à confusion. Pour décrire le mouvement en longueur des planètes, chacune possède deux orbes concentriques, parécliptique et orbe incliné. Le Soleil n'a pas d'orbe incliné ; son « orbe total » joue à peu près le rôle du parécliptique des autres planètes, et son « parécliptique », celui de l'orbe incliné. Mais pour le Soleil, ces deux orbes ayant même centre et même axe de rotation, on pourrait aussi bien les confondre en un orbe unique ; Ibn al-Ṣāṭir le savait, et il laisse planer une certaine ambiguïté, par exemple dans la fig. 2 p. 166 où le parécliptique semble contenir l'orbe total, tandis que son texte semble affirmer le contraire.</footnote>
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIG. V : Les orbes du Soleil, figure initiale</figcaption></figure>

le centre du Soleil, cet astre étant lui-même un corps sphérique. La figure v précise
la position de ces points <sup>300</sup>. Elle n'est pas à l'échelle. Je donne une représentation à
l'échelle et en perspective, fig. 1X, p. 216. Posons $\overrightarrow{OP_3} = 60 \text{ j}$, alors

$$
\overrightarrow{P_3P_4} = 4;37 \text{ j}
$$

$$
\overrightarrow{P_4P} = 2;30 \text{ j}
$$

où le point-virgule sépare partie entière et partie fractionnaire<sup>301</sup>.

<footnote n="300">300 Attention, ma figure v n'est pas présente dans le traité d'Ibn al-Ṣāṭir. Il a certes représenté les centres des orbes du Soleil dans cinq positions distinctes, fig. 1 p. 164 ; mais le Soleil y atteint son auge au commencement du Cancer (c'était à peu près le cas à l'époque d'Ibn al-Ṣāṭir), et non au point vernal. Dans mon commentaire, je préfère suivre l'usage adopté par Ibn al-Ṣāṭir pour d'autres planètes, car cet usage colle davantage avec l'architecture conceptuelle de l'ensemble. Enfin, dans les figures du commentaire, sauf mention explicite, je n'indiquerai jamais le vecteur k : il forme toujours un trièdre droit avec les deux autres vecteurs de base i et j.</footnote>

<footnote n="301">301 Toutes les valeurs numériques seront données en sexagésimal, et la virgule sert alors à séparer les rangs. Par exemple, 359;45,40 = 359 + $\frac{45}{60}$ + $\frac{40}{60^2}$.</footnote>
Insistons encore sur ce point déjà soulevé : *a priori* la figure initiale ne représente la position des orbes à aucun instant de l'histoire passée ou future du monde. La situation représentée peut se produire dans la réalité, s'il arrive que le Soleil soit à l'apogée de sa trajectoire à la traversée du point vernal, c'est-à-dire à l'équinoxe de printemps ; mais Ibn al-Šāṭir ne se pose même pas la question de savoir si le Soleil a jamais été à l'apogée de sa trajectoire à l'instant précis de l'équinoxe de printemps. Peu importe. Comme je l'ai dit, il faut appliquer au point P une suite de transformations géométriques pour obtenir la position du Soleil prédite ou observée à un instant donné.

## 5.2. Transformations géométriques

Les transformations appliquées au Soleil P sont des rotations dans le plan (i, j) paramétrées par deux angles $λ_a, \bar{\kappa}$ appelés *l'auge* et le *centre* $^{302}$. Voici la liste de ces transformations :

$$R_{P_4,k,2\bar{\kappa}}, \quad R_{P_3,k,-\bar{\kappa}}, \quad R_{P_2,k,\bar{\kappa}}, \quad R_{P_1,k,\lambda_a}$$

où $R_{Q,k,\theta}$ désigne la rotation de centre Q et d'angle $\theta$, le vecteur $k$ désignant la direction de l'axe de rotation, et le sens de rotation. La description d'Ibn al-Šāṭir ne laisse aucun doute quant à l'ordre dans lequel appliquer ces quatre transformations.

Pour obtenir la configuration des orbes à un instant donné, il faut donc appliquer ces rotations aux points $P_3, P_4, P$. L'image du point $P_3$ entraîné par les mouvements de l'orbe total et de l'orbe parécliptique est :

$$P'_3 = R_{P_1,k,\lambda_a} R_{P_2,k,\bar{\kappa}} (P_3).$$

Quant au point $P_4$, il est aussi entraîné par le mouvement de l'orbe déférent et devient :

$$P'_4 = R_{P_1,k,\lambda_a} R_{P_2,k,\bar{\kappa}} R_{P_3,k,-\bar{\kappa}} (P_4).$$

Enfin le point P, aussi entraîné par le mouvement de l'orbe rotateur, devient :

$$P' = R_{P_1,k,\lambda_a} R_{P_2,k,\bar{\kappa}} R_{P_3,k,-\bar{\kappa}} R_{P_4,k,2\bar{\kappa}} (P).$$

<footnote>$^{302}$ Ici comme ailleurs, mon choix de notations est dicté par la commodité dans les comparaisons futures avec les modèles d'autres auteurs. Je m'inspire beaucoup des travaux de Neugebauer et Swerdlow.</footnote>
### 5.3. Trajectoire

Dans le cadre théorique qu'on vient de décrire, l'on ne peut guère parler de trajectoire dans l'espace. Il y a bien toutefois une trajectoire dans l'ensemble des valeurs des paramètres :

$$ \lambda_a = \dot{\lambda}_a t + \lambda_a(0), \\ \bar{\kappa} = (\dot{\bar{\lambda}} - \dot{\lambda}_a)t + (\bar{\lambda}(0) - \lambda_a(0)). $$

On a :

$$ \bar{\lambda}(0) = 280;9,0, \quad \dot{\bar{\lambda}} = 359;45,40 \text{ par année persane,} \\ \lambda_a(0) = 89;52,3,1, \quad \dot{\lambda}_a = 0;1 \text{ par année persane.} $$

Si l'observation et la tradition délivrent une vitesse moyenne par année persane de 359;45,40 degrés, une simple division permet d'en déduire la vitesse par jour solaire moyen, par mois de trente jours, ou bien par heure équinoxiale. C'est dans cet ordre qu'a dû procéder Ibn al-Šātir, comme le révèle la précision absurde des valeurs données en I.7.7 :

$$ \begin{aligned} \dot{\bar{\lambda}} &= 0;59,8,19,43,33,41,55,4,6 \text{ par jour solaire moyen,} \\ &= 29;34,9,51,46,50,57,32 \text{ par mois de trente jours,} \\ &= 0;2,27,50,49,18,54,14,47 \text{ par heure équinoxiale.} \end{aligned} $$

On en déduit aussi (voir I.7.3) :

$$ \dot{\bar{\lambda}} - \dot{\lambda}_a = 0;59,8,9,51,47 \text{ par jour.} $$

### 5.4. Équation du Soleil

Le calcul de la position du point P' revient à résoudre deux triangles rectangles (cf. fig. VI p. 213) pour calculer l'angle $c(\bar{\kappa})$ traditionnellement appelé « équation du Soleil » :

$$ c(\bar{\kappa}) = (\overrightarrow{OP_3}, \overrightarrow{OP'}) = -\arcsin\left(\frac{P_3 P_4 \sin \bar{\kappa} - P_4 P \sin \bar{\kappa}}{OP'}\right) $$

où

$$ OP' = \sqrt{(P_3 P_4 \sin \bar{\kappa} - P_4 P \sin \bar{\kappa})^2 + (OP_3 + P_3 P_4 \cos \bar{\kappa} + P_4 P \cos \bar{\kappa})^2} $$

La longitude de P', depuis le point vernal, est alors :

$$ \lambda = (j, \overrightarrow{OP'}) = \lambda_a + \bar{\kappa} + c(\bar{\kappa}) $$
On remarque que :

$$c(360^{\circ} - \bar{\kappa}) = -c(\bar{\kappa})$$

On a tracé le graphe de l'équation du Soleil en fonction de $\bar{\kappa}$, voir fig. vii où l'on a aussi représenté à des fins de comparaison l'équation calculée suivant la méthode de Ptolémée<fnref n="303" /> :

$$c_{\text{Ptolémée}}(\bar{\kappa}) = -\arcsin\left(\frac{2;29,30 \sin \bar{\kappa}}{\sqrt{(2;29,30 \sin \bar{\kappa})^2 + (60 + 2;29,30 \cos \bar{\kappa})^2}}\right).$$

La figure vii montre aussi l'équation telle qu'aurait pu l'observer Ibn al-Šāţir en 1331, en retranchant à la longitude vraie observée<fnref n="304" /> le soleil moyen calculé avec les paramètres $\bar{\lambda}(0)$, $\bar{\lambda}$ mentionnés ci-dessus.

### 5.5. Application

On a vu qu'Ibn al-Šāţir donnait la longitude du Soleil moyen à $t = 0$: c'est $\bar{\lambda}(0) = 280^{\circ}9'0''$. Pour avoir la position exacte du Soleil le long de l'écliptique à cette date, il faut corriger cette valeur par l'équation du Soleil comme on l'explique dans la section précédente. On trouve $\lambda = 280^{\circ}33'31''$. À titre de comparaison, l'Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides de l'Observatoire de Paris donne $\lambda = 280^{\circ}29' \text{ le 24 décembre 1331 à 9 h 43 min.}$

### 5.6. Distances extrêmes et dimensions des orbes

Tandis que la figure v représentait, pour chaque orbe, la trajectoire circulaire de son centre au sein de l'orbe le portant, la figure viii est une section des corps à symétrie sphérique constituant les orbes : chaque cercle y représente le bord d'un orbe. Cette figure n'est pas à l'échelle, mais on y a écrit les dimensions des orbes, en unités telles que $OP_3 = 60$. Il est alors facile de calculer la distance maximale du Soleil à la Terre, $OP = 67;7$, et sa distance minimale, 52;53. Soit $r$ le rayon du globe solaire lui-même. On a :

$$\text{rayon du rotateur} = 2;30 + r$$

$$\text{rayon du déférent} = 4;37 + 2;30 + r = 7;7 + r$$

$$\text{rayon extérieur du parécliptique} = 60 + 7;7 + r = 67;7 + r$$

$$\text{rayon intérieur du parécliptique} = 60 - (7;7 + r) = 52;53 - r$$

L'épaisseur du parécliptique serait donc $14;14 + 2r$. Or Ibn al-Šāţir nous dit (I.7.9) :

<footnote n="303">³⁰³ Cf. Pedersen, 1974, p. 150.</footnote>

<footnote n="304">³⁰⁴ Comme je l'explique *supra*, p. 20, la longitude vraie observée est assimilée à la longitudue $\lambda_{\text{IMCCE}}$ calculée par le serveur d'éphémérides de l'IMCCE (Observatoire de Paris).</footnote>
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIG. VI : Le Soleil : transformations planes</figcaption></figure>
Son épaisseur est de quatorze degrés et trente-quatre minutes, plus un complément. Pour que [les orbes] soient mutuellement contigus quand on y plonge l'orbe déférent, nous prenons un complément d'un tiers de degré à l'extérieur et à l'extérieur, en parts telles que son rayon extérieur est soixante-sept parts et dix-sept minutes.

Une épaisseur de 14;34 inclut déjà un « complément » de 0;20 égal au diamètre supposé du globe solaire dans le chapitre I.7 ; mais cette valeur est provisoire, comme on le voit dans la conclusion de la première partie de la Nihāya. D'une part, l'observation permettra de déterminer le diamètre du globe solaire (voir I.31.12). D'autre part, il faudra prendre un « complément » suffisant pour que la partie concave de l'orbe du Soleil touche exactement la partie convexe du système d'orbes de Vénus (I.31.21). Enfin, l'épaisseur de 0;43 choisie pour l'orbe total dans le chapitre I.7 a aussi un certificate provisoire ; elle n'influe en rien sur la trajectoire décrite par le Soleil dans ce modèle ; et Ibn al-Šāṭir l'oubliera complètement dans sa conclusion.

Pour chaque astre, Ibn al-Šāṭir trace toujours deux figures, analogues des figures v et viii. Celle représentant les trajectoires des centres des orbes est très utile à la compréhension du modèle mathématique : elle permet de situer la position des centres des orbes et donc aussi la position de l'astre. L'autre figure, représentant les « orbes solides », relève davantage de l'astronomie physique et de la nature des orbes ; elle nous offre une image du monde par ses sections planes, et elle permet aussi d'en calculer les dimensions sous l'hypothèse que les systèmes d'orbes appartenant aux différents astres s'emboîtent les uns dans les autres sans qu'il n'y ait de vide.

### 5.7. Diamètre apparent

Le diamètre apparent du Soleil quand il est à distance moyenne (OP' = 60) est, selon Ibn al-Šāṭir, 0;32,32 degrés. À partir de cette observation et des distances extrêmes calculées précédemment, on trouve facilement le diamètre apparent à l'apogée :

$$ \frac{0;32,32 \times 60}{67;7} \approx 0;29,5 $$

et au périgée :

$$ \frac{0;32,32 \times 60}{52;53} \approx 0;36,55. $$

D'après Saliba <fnref n="305" />, Ibn al-Šāṭir est le premier auteur étudiant sérieusement la variation du diamètre apparent du Soleil, en lien avec la possibilité des éclipses annulaires que n'avait pas envisagées Ptolémée ; il y avait là motivation à offrir un nouveau modèle du Soleil. Des observations du diamètre apparent suffisent en effet à déterminer

<footnote n="305">³⁰⁵ Rashed, 1997, p. 103.</footnote>
<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>FIG. VII : L'équation du Soleil</figcaption></figure>
<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIG. VIII : Les orbes solides du Soleil</figcaption></figure>

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIG. IX : Une représentation moderne des orbes du Soleil (à gauche) et de la Lune (à droite), librement inspirée d'Ibn al-Šāṭir</figcaption></figure>
$OP_3 + P_3P_4 + P_4P$ et $OP_3 - P_3P_4 - P_4P$, d'où l'on tire $P_3P_4 + P_4P$, à un facteur d'échelle près permettant de choisir $OP_3 = 60$. Pour régler entièrement les paramètres du modèle, il suffirait enfin de déterminer $P_3P_4 - P_4P$. Saliba suggère qu'Ibn al-Šāṭir a pu le faire en observant l'équation maximale. Ibn al-Šāṭir mentionne des observations concernant le diamètre apparent du Soleil (en I.7.15 et I.31.3).

Sans remettre en cause l'analyse de Saliba, j'aimerais suggérer que ce scénario n'est pas le seul possible. Un premier ensemble d'observations aurait pu permettre de déterminer l'équation maximale ou bien l'équation dans les quadratures. On montre facilement que l'équation dans les quadratures vaut :

$$c(90^\circ) = - \arctan \left( \frac{P_3P_4 - P_4P}{OP_3} \right).$$

Quant à l'équation maximale $c_{max}$, on montre facilement qu'elle est atteinte lorsque 306

$$\cos \bar{\kappa} = - \frac{P_3P_4 + P_4P}{OP_3},$$

et on a alors :

$$(OP_3^2 - (P_3P_4 + P_4P)^2) \tan^2 c_{max} = (P_3P_4 - P_4P)^2.$$

Ibn al-Šāṭir aurait ensuite pu utiliser des observations concernant l'équation du Soleil dans les octants : il mentionne lui-même ces observations comme étant un argument en faveur de ses modèles 307. On montre facilement que :

$$\frac{P_3P_4 - P_4P}{OP_3} = - \left( \sqrt{2} + \frac{P_3P_4 + P_4P}{OP_3} \right) \tan c(45^\circ).$$

Finalement, les observations concernant le diamètre apparent auraient très bien pu n'être utilisées que comme test d'un modèle déjà achevé. Dans tous les cas, il reste à étudier *comment* de telles observations – diamètre apparent, équation maximale, équation dans les quadratures, dans les octants – ont pu être menées, et à quelle précision, avec les moyens de l'époque.

## 6. LA LUNE

La trajectoire de la Lune est contenue dans un plan incliné par rapport au plan de l'écliptique. Ibn al-Šāṭir conçoit donc un *orbe incliné*, dont le plan est immobile

<footnote n="306">306 On le voit en posant $z^{-1} = OP_3 + (P_3P_4 + P_4P) \cos \bar{\kappa}$. La grandeur $\tan^2 c(\bar{\kappa})$ à maximiser est un polynôme de degré 2 en $z$.</footnote>

<footnote n="307">307 Voir l'introduction d'Ibn al-Šāṭir, en I.0.18.</footnote>
au sein du référentiel constitué par l'orbe parécliptique de la Lune. Ce plan incliné coupe le plan du parécliptique suivant une droite, la direction des « nœuds ». Les nœuds sont deux points du parécliptique, diamétralement opposés, dans cette direction. Comme l'orbe parécliptique de la Lune entraîne l'orbe incliné dans son mouvement, alors les nœuds se déplacent de manière uniforme le long de l'écliptique, par rapport au point vernal.

Pour décrire le mouvement des points situés sur le plan de l'orbe incliné, Ibn al-Šāṭir utilise comme point de référence un point situé « en face du point vernal » : l'arc de l'orbe incliné compris entre ce point et le nœud ascendant est égal à l'arc de l'écliptique compris entre le point vernal et le nœud ascendant (voir figure x). Ibn al-Šāṭir devait en effet rabattre le plan de l'orbe incliné dans le plan de l'écliptique au moyen d'une rotation dont l'axe est la direction des nœuds. Le point « en face du point vernal » devient alors une origine naturelle pour les mesures angulaires.

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIG. X : Mouvement en latitude de la Lune</figcaption></figure>

## 6.1. *Figure initiale*

Soit $(i, j, k)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$. Dans la figure initiale, les plans des orbes sont tous rabattus dans le plan de l'écliptique $(i, j)$ par des rotations, les centres des orbes sont tous alignés dans la direction du vecteur $j$ elle-même confondue avec la direction du point vernal; enfin, la ligne des nœuds, à l'intersection des plans de l'orbe incliné et du parécliptique, est orientée dans la direction du vecteur $j$, le nœud ascendant étant du même côté que $j$. Le point O est le centre du Monde, $P_1$ le centre du parécliptique de la Lune, et $P_2$ le centre de son orbe incliné. Ces trois points sont confondus $O = P_1 = P_2$. Le point $P_3$ est le centre de l'orbe de l'épicycle, $P_4$ le
<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIG. XI : Les orbes de la Lune, figure initiale</figcaption></figure>

centre de l'orbe rotateur, et P le centre de la Lune, cet astre étant lui-même un corps sphérique. La figure XI précise la position de ces points, mais elle n'est pas à l'échelle. Bien qu'ils soient alignés, on remarque que les rayons vecteurs $\overrightarrow{P_nP_{n+1}}$ ne sont pas tous dans le même sens. On pose : $\overrightarrow{OP_3} = 60 \text{ j}$, alors

$$ \overrightarrow{P_3P_4} = 6;35 \text{ j} $$

$$ \overrightarrow{P_4P} = -1;25 \text{ j} $$

Il faut appliquer au point P une suite de transformations géométriques pour obtenir la position de la Lune prédite ou observée à un instant donné.

## 6.2. Transformations géométriques

Les transformations appliquées à la Lune P sont des rotations paramétrées par quatre angles : le nœud $(-\lambda_{\bigcirc\bigcirc})$, la Lune propre $\bar{\alpha}$, le centre de la Lune $2\bar{\eta}$, et l'argument de latitude 308 moyen $(\bar{\lambda} - \lambda_{\bigcirc\bigcirc})$. Enfin, $\bar{\lambda}$ désigne la Lune moyenne. Voici la liste des

<footnote n="308">308 Cette grandeur mesure un arc le long de l'orbe incliné entre le nœud ascendant et le centre de l'épicycle ; il ne faut donc pas la confondre avec une latitude.</footnote>
transformations géométriques utilisées <fnref n="309" />:

$$R_{P_4,k,2\bar{\eta}}, R_{P_3,k,-\bar{\alpha}}, R_{P_2,k,\bar{\lambda}-\lambda_{\bar{\Omega}}}, R_{P_2,j,5^\circ}, R_{P_1,k,\lambda_{\bar{\Omega}}}$$

La rotation dont l'axe est dans la direction du vecteur j a pour effet d'incliner le plan de l'orbe incliné par rapport au plan du parécliptique. La description d'Ibn al-Ṣāṭir ne laisse aucun doute quant à l'ordre dans lequel appliquer ces quatre transformations.

Pour obtenir la configuration des orbes à un instant donné, il faut donc appliquer ces rotations aux points $P_3, P_4, P$. L'image du point $P_3$ entraîné par les mouvements du parécliptique et de l'orbe incliné est :

$$R_{P_1,k,\lambda_{\bar{\Omega}}} R_{P_2,j,5^\circ} R_{P_2,k,\bar{\lambda}-\lambda_{\bar{\Omega}}} (P_3).$$

Quant au point $P_4$, il est aussi entraîné par le mouvement de l'orbe de l'épicycle et il devient :

$$R_{P_1,k,\lambda_{\bar{\Omega}}} R_{P_2,j,5^\circ} R_{P_2,k,\bar{\lambda}-\lambda_{\bar{\Omega}}} R_{P_3,k,-\bar{\alpha}} (P_4).$$

Enfin le point P, aussi entraîné par le mouvement de l'orbe rotateur, devient :

$$R_{P_1,k,\lambda_{\bar{\Omega}}} R_{P_2,j,5^\circ} R_{P_2,k,\bar{\lambda}-\lambda_{\bar{\Omega}}} R_{P_3,k,-\bar{\alpha}} R_{P_4,k,2\bar{\eta}} (P).$$

<footnote n="309">³⁰⁹ Il règne une légère ambiguïté concernant $\lambda_{\bar{\Omega}}$ dans le texte d'Ibn al-Ṣāṭir. Quant il décrit le mouvement du parécliptique de la Lune, qu'il dit être 0;3,10,38,27 par jour, il ajoute « en vérité, à proprement parler, ce mouvement est l'excédent du mouvement des nœuds sur le mouvement des étoiles fixes » (I.9.9). Est-ce à dire que la valeur donnée par Ibn al-Ṣāṭir est la différence entre le mouvement du parécliptique de la Lune et le mouvement des fixes (précession), tous deux relatifs au référentiel solide du neuvième orbe ? Ce serait donc leur somme algébrique puisque ces deux mouvements vont en sens contraires ; c'est l'interprétation que j'ai retenue dans mon commentaire mathématique. Dans ce cas, la rotation $R_{P_1,k,\lambda_{\bar{\Omega}}}$ rend en fait compte du mouvement des fixes et du mouvement du parécliptique ; le « nœud moyen » et le « mouvement du nœud moyen » désignent alors des grandeurs mesurées par rapport au référentiel solide du neuvième orbe et décrivant le mouvement du parécliptique au sein de ce référentiel. Ibn al-Ṣāṭir dit plus loin (I.9.33) que le nœud moyen est l'arc « entre le commencement du Bélier et le nœud ascendant, dans l'orbe parécliptique ». Si mon interprétation est juste, il faut donc penser qu'il commet un abus de langage en désignant le point vernal par la locution « commencement du Bélier », puisque le commencement du Bélier désigne un point de l'écliptique qui subit le mouvement de précession, et non un point du neuvième orbe. Mais mon interprétation est confortée par le sort analogue dévolu au mouvement des auges pour les autres astres. Par exemple, dans le modèle du Soleil vu ci-dessus, la grandeur $\lambda_a$ du mouvement de l'apogée (un degré toutes les soixante années persanes) est bien la somme du mouvement de précession (un degré toutes les soixante-dix années persanes) et du mouvement de l'orbe total. Cette interprétation est aussi confortée par la version primitive du ch. I.9 où Ibn al-Ṣāṭir dit que « le mouvement du nœud est, au fond, supérieur à 0;3,11 [≈ 0;3,10,38,27], de la grandeur du mouvement des fixes, par jour » : *fa-yakūn ḥaraka al-ġuzhar fī al-‘aṣl ‘aḳṭar min ṭalāṭ daqā’iq wa-‘iḥdā ‘ašra ṭāniya bi-qadr ḥaraka al-ṭawābit li-yawm* [ms. S f. 20v, ms. Q f. 13v].</footnote>
### 6.3. Trajectoire paramétrée

Le modèle de la Lune est couplé au mouvement du Soleil moyen dont on notera désormais $\dot{\bar{\lambda}}_{\odot}$ et $\bar{\lambda}_{\odot}(0)$ les paramètres notés précédemment $\dot{\bar{\lambda}}$ et $\bar{\lambda}(0)$, puisque ces derniers symboles concernent désormais la Lune moyenne. Pour la Lune, la trajet-toire dans l'ensemble des valeurs des paramètres est :

$$\lambda_{\odot} = \dot{\lambda}_{\odot} t + \lambda_{\odot}(0)$$

$$\bar{\lambda} - \lambda_{\odot} = (\dot{\bar{\lambda}} - \dot{\lambda}_{\odot})t + \bar{\lambda}(0) - \lambda_{\odot}(0)$$

$$\bar{\alpha} = \dot{\bar{\alpha}} t + \bar{\alpha}(0)$$

$$2\bar{\eta} = 2(\dot{\bar{\lambda}} - \dot{\lambda}_{\odot})t + 2(\bar{\lambda}(0) - \bar{\lambda}_{\odot}(0))$$

On a, d'après Ibn al-Šāṭir :

$$\bar{\lambda}_{\odot}(0) = 280;9,0, \quad \dot{\bar{\lambda}}_{\odot} = 0;59,8,19,43,33,41,55,4,6 \text{ par jour solaire moyen}$$

$$\bar{\lambda}(0) = 213;35,50, \quad \dot{\bar{\lambda}} = 13;10,35,1,13,53 \text{ par jour solaire moyen}$$

$$\bar{\alpha}(0) = 138;32,27, \quad \dot{\bar{\alpha}} = 13;3,53,56 \text{ par jour solaire moyen}$$

$$\lambda_{\odot}(0) = -275;7,35, \quad \dot{\lambda}_{\odot} = -0;3,10,38,27 \text{ par jour solaire moyen}$$

d'où $\dot{\bar{\lambda}} - \dot{\lambda}_{\odot} = 13;13,45,39,40$ par jour solaire moyen. On appelle « élongation moyenne » la grandeur $\bar{\eta} = \bar{\lambda} - \bar{\lambda}_{\odot}$.

### 6.4. Transformations planes

Si R et S sont deux rotations dans l'espace, il existe une rotation T telle que RS = TR, à savoir, la rotation de même angle que S et dont l'axe est l'image par R de l'axe de S. Appliquons cette relation de commutation à toutes les composées de rotations décrites p. 220 ci-dessus, de sorte à réécrire à droite toutes les rotations dont l'axe est dans la direction du vecteur k. Il suffit de remarquer que :

$$R_{P_1,k,\lambda_{\odot}} R_{P_2,j,5^\circ} = R_{P_2,u,5^\circ} R_{P_1,k,\lambda_{\odot}}$$

où le vecteur u est l'image de j par $R_{P_1,k,\lambda_{\odot}}$. L'image de P est donc :

$$R_{P_1,u,5^\circ}(P')$$
où

$$P' = R_{P_1,k,\lambda_{\delta\Omega}} R_{P_2,k,\bar{\lambda}-\lambda_{\delta\Omega}} R_{P_3,k,-\bar{\alpha}} R_{P_4,k,2\bar{\eta}} (P).$$

On introduit de même les points $P'_3$ et $P'_4$ suivants :

$$P'_3 = R_{P_1,k,\lambda_{\delta\Omega}} R_{P_2,k,\bar{\lambda}-\lambda_{\delta\Omega}} (P_3),$$

$$P'_4 = R_{P_1,k,\lambda_{\delta\Omega}} R_{P_2,k,\bar{\lambda}-\lambda_{\delta\Omega}} R_{P_3,k,-\bar{\alpha}} (P_4).$$

Tous ces points sont dans le plan de la figure initiale : calculer leurs positions relève entièrement de la géométrie plane.

### 6.5. Équations de la Lune

Le calcul de la position du point $P'$ revient à résoudre les triangles rectangles représentés sur la figure XII. On calcule d'abord l'angle $c_1 = -(\overrightarrow{P'_3P'_4}, \overrightarrow{P'_3P'})$ appelé « équation de la Lune propre » (I.9.24). C'est une fonction de $2\bar{\eta}$ :

$$c_1 = \arcsin \left( \frac{P_4 P \sin 2\bar{\eta}}{P'_3 P'} \right)$$

où $P'_3P'$ est le « rayon de l'épicycle apparent » :

$$P'_3P' = \sqrt{(P_3P_4 - P_4P \cos 2\bar{\eta})^2 + (P_4P \sin 2\bar{\eta})^2}.$$

On calcule ensuite une autre « équation » $c_2 = (\overrightarrow{OP'_3}, \overrightarrow{OP'})$ :

$$c_2 = \arcsin \left( \frac{P'_3 P' \sin(-\bar{\alpha} - c_1)}{OP'} \right)$$

où

$$OP' = \sqrt{(OP_3 + P'_3 P' \cos(\bar{\alpha} + c_1))^2 + (P'_3 P' \sin(\bar{\alpha} + c_1))^2}.$$

La position de $P'$ est alors donnée par $OP'$ et par l'angle suivant :

$$(j, \overrightarrow{OP'}) = \bar{\lambda} + c_2$$

La fonction $c_1$ est une fonction d'une seule variable, et $c_2$ est fonction des deux variables $\bar{\alpha}$ et $2\bar{\eta}$. Dans ce qui suit, $c_2$ sera plutôt conçue comme une fonction de $\alpha = \bar{\alpha} + c_1$ et de $2\bar{\eta}$, notée $c_2(\alpha, 2\bar{\eta})$. Plus précisément,

$$c_2(\alpha, 2\bar{\eta}) = \arcsin \left( \frac{P'_3 P' \sin(-\alpha)}{\sqrt{(OP_3 + P'_3 P' \cos \alpha)^2 + (P'_3 P' \sin \alpha)^2}} \right)$$
<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIG. XII : La Lune, transformations planes</figcaption></figure>
où $P'_3P'$ est la fonction de $2\bar{\eta}$ vue ci-dessus. Ces fonctions sont bien sûr $2\pi$-périodiques par rapport à chacune des variables, mais on remarque aussi que :

$$c_1(360^\circ - 2\bar{\eta}) = -c_1(2\bar{\eta})$$

$$c_2(360^\circ - \alpha, 360^\circ - 2\bar{\eta}) = -c_2(\alpha, 2\bar{\eta})$$

### 6.6. Fonction de deux variables et interpolation

Les valeurs de $c_1$ et $c_2$ devront être reportées dans des tables ; mais $c_2$ est fonction de deux variables, et il faudrait donc construire une table pour chaque valeur de $2\bar{\eta}$. Les astronomers, à partir de Ptolémée$^{310}$, utilisaient dans ce contexte une méthode d'interpolation visant à calculer une valeur approchée de $c_2$ au moyen d'un produit d'une fonction de $\alpha$ par une fonction de $2\bar{\eta}$. À $\alpha$ donné, Ibn al-Šāṭir interpole les valeurs de $c_2$ entre $c_2(\alpha, 0)$ et $c_2(\alpha, 180^\circ)$ au moyen de la formule suivante (qui n'est pas linéaire en $2\bar{\eta}$) :

$$c_2(\alpha, 2\bar{\eta}) \approx c_2(\alpha, 0) + \chi(2\bar{\eta})(c_2(\alpha, 180^\circ) - c_2(\alpha, 0)).$$

Le coefficient d'interpolation $\chi$ est défini par :

$$\chi(2\bar{\eta}) = \frac{\max|c_2(\cdot, 2\bar{\eta})| - \max|c_2(\cdot, 0)|}{\max|c_2(\cdot, 180^\circ)| - \max|c_2(\cdot, 0)|}.$$

Ce coefficient est fonction d'une seule variable, on peut donc le calculer pour une série de valeurs de $2\bar{\eta}$ et en faire une table. Pour ce faire, on remarque que le maximum $\max|c_2(\cdot, 2\bar{\eta})|$ est atteint quand $(\tan(c_2(\alpha, 2\bar{\eta})))^2$ est maximum. En posant $z^{-1} = \text{OP}_3 + P'_3P' \cos \alpha$, on montre que $(\tan(c_2(\alpha, 2\bar{\eta})))^2$ est un polynôme de degré 2 en $z$. On calcule facilement son maximum$^{311}$, il est atteint quand

$$\cos \alpha = - \frac{P'_3 P'}{\text{OP}_3},$$

$$|\sin \alpha| = \sqrt{1 - \left(\frac{P'_3 P'}{\text{OP}_3}\right)^2}.$$

On reporte ces valeurs dans $|c_2(\alpha, 2\bar{\eta})|$, et on trouve :

$$\max |c_2(\cdot, 2\bar{\eta})| = \arcsin \frac{P'_3 P'}{\text{OP}_3}.$$

<footnote>$^{310}$ Voir Pedersen, 1974, p. 84-89.</footnote>

<footnote>$^{311}$ Ibn al-Šāṭir procède géométriquement, en considérant une droite tangente à l'« épicycle apparent » qui est un cercle de rayon $P'_3P'.</footnote>
### 6.7. Trigonométrie sphérique

On va à présent calculer les coordonnées sphériques du point $R_{P_1,u,5°}(P')$ par rapport à l'écliptique. L'angle formé entre le vecteur $\mathbf{u}$ et la direction du point $P'$ vaut (modulo 360°) :

$$ (\mathbf{u}, \overrightarrow{OP'}) = (j, \overrightarrow{OP'}) - (j, \mathbf{u}) = \bar{\lambda} + c_2 - \lambda_{\Omega} $$

Les égalités suivantes seront aussi prises modulo 360°. Sur la figure XIII, on a représenté sur la sphère de l'écliptique le point B dans la direction du point $R_{P_1,u,5°}(P')$, et le point C dans la direction du vecteur $\mathbf{u}$. En particulier,

$$ (\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OB}) = \bar{\lambda} - \lambda_{\Omega} + c_2. $$

L'étude du triangle sphérique ABC donne :

$$ \tan(\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OA}) = \cos(5°) \tan(\bar{\lambda} - \lambda_{\Omega} + c_2). $$

La longitude du point $R_{P_1,u,5°}(P')$ par rapport à l'écliptique, en prenant la direction du point vernal, c'est-à-dire $j$, comme origine, est donc, quand $\bar{\lambda} - \lambda_{\Omega} + c_2 \in ]-90°, 90°[$ :

$$ (j, \overrightarrow{OA}) = (\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{OC}, j) = \arctan(\cos(5°) \tan(\bar{\lambda} - \lambda_{\Omega} + c_2)) + \lambda_{\Omega}. $$

Quand au contraire $\bar{\lambda} + \lambda_{\Omega} + c_2 \in ]90°, 270°[$, on a :

$$ (j, \overrightarrow{OA}) = 180° + \arctan(\cos(5°) \tan(\bar{\lambda} - \lambda_{\Omega} + c_2)) + \lambda_{\Omega}. $$

On rassemble ces deux cas dans la formule suivante, valable pour toutes les valeurs des paramètres :

$$ (j, \overrightarrow{OA}) = \bar{\lambda} + c_2 + e_n(\bar{\lambda} - \lambda_{\Omega} + c_2) $$

où l'« équation du déplacement <fnref n="312" /> » $e_n(x)$ est définie comme suit sur l'intervalle $[-90°, 270°[$, et ailleurs par périodicité :

$$ e_n(x) = \begin{cases} \arctan(\cos(5°) \tan x) - x, & \text{si } x \in ]-90°, 90°[ \\ 180° + \arctan(\cos(5°) \tan x) - x, & \text{si } x \in ]90°, 270°[ \\ 0°, & \text{si } x = \pm 90°. \end{cases} $$

<footnote n="312">³¹² Ta'dīl al-naql.</footnote>
<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIG. XIII : La Lune, coordonnées de R<sub>P<sub>1</sub>,u,5°</sub>(P')</figcaption></figure>

Enfin, la latitude de la Lune est :

$$ (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = \arcsin(\sin(5^\circ) \sin(\lambda - \lambda_{\odot} + c_2)). $$

On peut aussi l'obtenir ainsi (c'est la solution retenue par Ibn al-Šāṭir au ch. I.11) :

$$ (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = \arctan(\tan(5^\circ) \sin(\lambda - \lambda_{\odot} + c_2 + e_n(\lambda - \lambda_{\odot} + c_2))). $$

## 6.8. Critique des modèles antérieurs

Les critiques adressées par Ibn al-Šāṭir à ses prédécesseurs (I.0.19) concernent :

- l'usage d'un orbe *excentrique* ;

- la question de l'uniformité du mouvement de rotation d'un orbe excentrique par rapport à un axe passant par son centre ;
– « le fait que le rayon de l’épicycle suive un point autre que le centre de l’orbe qui le porte » (en particulier le point de *prosneuse* dans le troisième modèle de Ptolémée);

– la variation du *diamètre apparent* de la Lune, vu de la Terre;

– l’équation de la Lune dans les *octants*.

Pour mieux évaluer les critiques adressées par Ibn al-Ṣāṭir à ses prédécesseurs, et la précision de ses propres modèles et des observations dont il a pu les déduire, on procédera, pour chaque astre, au choix d’une période de référence commençant à l’Époque choisie par Ibn al-Ṣāṭir. Pour la Lune, on a choisi trente jours à partir du 24 décembre 1331. À des fins de comparaison, il faut remarquer que les paramètres des modèles planétaires exprimés en « mouvements moyens » ont toujours une valeur phénoménologique indépendante du modèle géométrique considéré. Par exemple pour la Lune, $\bar{\lambda}$ est la direction d’un point se mouvant uniformément sur l’écliptique et dont la vitesse est la vitesse moyenne de la Lune en longitude <fnref n="313" />. La longitude vraie $\lambda$ de la Lune oscille autour de $\bar{\lambda}$; en théorie, on peut donc déterminer $\bar{\lambda}$ statistiquement, indépendemment d’un quelconque modèle géométrique. Il est encore plus facile de calculer la vitesse moyenne $\bar{\bar{\lambda}}$: c’est l’inverse d’une période de retour aux mêmes longitudes. Les Babyloniens savaient déjà la calculer en moyennant sur un grand nombre de périodes.

Pour comparer les modèles géométriques d’Ibn al-Ṣāṭir et ceux de ses prédécesseurs, on pourra donc les utiliser pour calculer la trajectoire d’un même astre sur une même période de référence, en utilisant un même jeu de paramètres concernant les « mouvements moyens ». Les résultats d’une telle comparaison seront nécessairement partiels car aucun astre – pas même le Soleil si l’on tient compte du mouvement de l’auge – n’a un mouvement strictement périodique dans les modèles les plus élaborés.

Ainsi pour la Lune, la figure xiv compare le modèle d’Ibn al-Ṣāṭir et les deuxième et troisième modèles proposés par Ptolémée. On a tracé plusieurs graphes. Le premier représente l’équation de la Lune $c_2 + e_n(\bar{\lambda} - \lambda_{\Omega} + c_2)$ calculée au moyen du modèle d’Ibn al-Ṣāṭir ci-dessus, pendant trente jours à partir du 24 décembre 1331. Sur le même repère, on a aussi représenté l’équation telle que pouvait l’*observer* Ibn al-Ṣāṭir. Pour la connaître, à une date donnée, on calcule la longitude précise de la Lune au moyen d’outils modernes – éphémérides de l’IMCCE – puis on en retranche la Lune moyenne $\bar{\lambda} = \bar{\lambda}(0) + \bar{\lambda}t$ calculée avec les paramètres d’Ibn al-Ṣāṭir pour cette date. Enfin, toujours sur le même repère, on a représenté l’équation de la Lune calculée au moyen des deuxième et troisième modèles de Ptolémée dans l’*Almageste*.

<footnote n="313">³¹³ À ne pas confondre avec la vitesse instantanée, d'où la notation pour la vitesse moyenne $\bar{\lambda}$ qui est une constante, à ne pas confondre avec $\lambda$.</footnote>
<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIG. XIV : L'équation de la Lune en 1331, sur 30 jours</figcaption></figure>

Remarquons que le modèle décrit par Ptolémée dans les « Hypothèses planétaires » est identique au deuxième modèle de l'Almageste.

À des fins de référence, la figure XV rappelle les caractéristiques du troisième modèle de la Lune dans l'Almageste. Rappelons que le premier modèle de la Lune dans l'Almageste est le modèle « naïf » avec un épicycle pour rendre compte de la première anomalie lunaire. Le deuxième modèle de la Lune dans l'Almageste fait intervenir un excentrique dont le centre n'est pas fixe. Cet excentrique porte un point, le centre de l'épicycle, à vitesse angulaire constante par rapport au centre du monde. Le troisième modèle de la Lune précise que la direction à partir de laquelle est comptée le mouvement de la Lune propre, $\bar{\alpha}$ dans la figure XV, passe par le centre $P'_4$ de l'épicycle et par un point de « prosneuse » qui est distinct du centre $P'_3$ de l'excentrique et du centre du monde O.

La figure XIV montre que tous les modèles donnent des résultats corrects aux syzygies, i. e., pleine lune et nouvelle lune, indiquées en abscisse. D'ailleurs, c'est aussi le cas du premier modèle de Ptolémée – non représenté ici – puisqu'il est déduit des observations aux syzygies.

Le deuxième modèle de Ptolémée corrige le premier en tenant compte d'observations dans les quadratures, i. e., à mi-chemin entre les syzygies. Ce faisant, il ouvre
<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Centres : écliptique P₁, cercle concentrique dans le plan incliné P₂, excentrique P₃, épicycle P₄, la Lune P.</figcaption></figure>

$$ 
\begin{align*}
[O\Omega') &= R_{\lambda\Omega}[O\Omega), & [OD') &= R_{(O\Omega'),5^{\circ}} R_{\lambda\Omega} R_{-(2\bar{\eta}-(\bar{\lambda}_{\Omega}-\lambda_{\Omega}))}[OD) \\
[OP']_4 &= R_{(O\Omega'),5^{\circ}} R_{\lambda\Omega} R_{\bar{\lambda}_{\Omega}-\lambda_{\Omega}} [OP_4]
\end{align*}
$$

<caption>FIG. XV : Le troisième modèle de la Lune dans l'Almageste</caption>
le flanc à la première critique d'Ibn al-Ṣāṭir, puisqu'il utilise un excentrique. Mais il
encourt aussi son troisième reproche, puisque la direction de l'« apogée » de l'épi-
cycle, c'est-à-dire la direction à partir de laquelle est mesuré le mouvement de la Lune
propre le long de l'épicycle, passe par le centre de l'épicycle et le centre du monde, et
non par le centre de l'orbe excentrique portant le centre de l'épicycle. De plus, sur la
fig. xiv, le deuxième modèle de Ptolémée présente un défaut évident aux octants.

Dans son troisième modèle, Ptolémée corrige le deuxième modèle en supposant
que la direction de l'« apogée » de l'épicycle passe par le centre de l'épicycle et par
un autre point, qu'on désignera par la locution « point de prosneuse ». Ce point est
distinct du centre de l'excentrique et du centre du monde. Le modèle se prête donc
toujours aux critiques mentionnées ci-dessus, sauf concernant les octants. Étrange-
ment, en I.0.19, Ibn al-Ṣāṭir semble ignorer que Ptolémée a précisément utilisé des
observations dans les octants pour déduire son troisième modèle <fnref n="314" />. Comment est-
ce possible ? Peut-être n'avait-il qu'une connaissance indirecte de l' *Almageste*, par le
biais d'un des nombreux commentaires qui circulaient à l'époque, peut-être même
seulement par l'intermédiaire de la *Tadkira* (al-Ṭūsī, 1993), qu'il connaissait, et où
al-Ṭūsī expose le troisième modèle de Ptolémée en mentionnant des observations
dans les sextants <fnref n="315" /> (et non dans les octants).

On a aussi représenté les latitudes de la Lune prédites par le modèle d'Ibn al-Ṣāṭir pour les mêmes dates, voir fig. XVI. Ibn al-Ṣāṭir n'adresse aucune objection à ses pré-décesseurs concernant les latitudes de la Lune, et son modèle reproduit de très près les prédictions en latitude du troisième modèle de Ptolémée : à l'échelle de ce tracé, les deux courbes seraient indiscernables. Enfin, on a représenté la distance Terre-Lune à la figure XVII, où l'on voit le progrès radical accompli par Ibn al-Ṣāṭir. Le troisième modèle de Ptolémée <fnref n="316" /> prédit en effet des valeurs aberrantes pour la variation de la distance Terre-Lune, et donc aussi pour la variation du diamètre apparent de la Lune – il semble varier du simple au double selon ce modèle. Le modèle d'Ibn al-Ṣāṭir offre des prédictions correctes en ordre de grandeur.

6.9. *La Lune chez al-ʿUrdī*

Ibn al-Ṣāṭir adresse une critique plus circonstanciée à son prédécesseur Mu'ayyad
al-Din al-ʿUrdī (?-1266). Il écrit en effet (I.0.23) :

La position conjecturée par al-Mu'ayyad al-'Urḍī dans la configuration des orbes de
la Lune, concernant son inversion du sens du mouvement de l'excentrique et la variation

<footnote n="314">³¹⁴ *Almageste*, V.5 (Ptolémée, 1952, p. 149).</footnote>

<footnote n="315">³¹⁵ En revanche, al-ʻUrḍī, dans son *Kitāb al-hay'a* (Saliba, 1990), commente les observations de Pto-
lémée dans les octants. Mais Ibn al-Ṣāṭir a pu négliger cette partie du traité d’al-‘Urḍī après avoir
compris le défaut du modèle lunaire d’al-‘Urḍī – voir mon analyse ci-dessous.</footnote>

<footnote n="316">³¹⁶ Son deuxième modèle présente le même défaut.</footnote>
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIG. XVI : Latitudes de la Lune en 1331, sur 30 jours</figcaption></figure>

de l'apogée de l'épicycle qui suit un point autre que le centre de l'orbe portant l'épicycle,
est impossible.

Pour une fois, Ibn al-Ṣā ne critique pas l'usage même d'un excentrique ; le pro-
blème est ailleurs. On peut penser que le modèle en question est celui décrit par ʿUrḍī
dans son *Kitāb al-hayʾa* <fnref n="317" />.

Suivons la description donnée par al-ʻUrḍī :

Supposons que l'apogée de la Lune, le centre de son épicycle et le Soleil coïncident en
un point donné de l'écliptique, à un instant donné. Qu'ils se meuvent, chacun selon son
mouvement <fnref n="318" />.

On reconnaît la figure initiale que j’ai dessinée fig. XVIII, à gauche, où P₁ est le
centre de l’« orbe des nœuds », P₂ le centre de l’orbe incliné, P₃ le centre du déférent,
P₄ le centre de l’épicycle, et P la Lune. On a :

$$
P_2P_3 = 10;19, \quad P_3P_4 = 49;41, \quad P_4P = 5;15.
$$

Al-ʻUrḍī continue :

<footnote n="317">³¹⁷ Cf. l'édition critique du texte arabe par Saliba (Saliba, 1990), accompagnée d'une introduction en anglais où Saliba décrit le modèle d'al-ʻUrḍī, p. 50-55.</footnote>

<footnote n="318">³¹⁸ Saliba, 1990, p. 118.</footnote>
<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>FIG. XVII : Distance Terre-Lune en 1331, sur 30 jours</figcaption></figure>

Imaginons l'orbe des nœuds se mouvoir autour du centre du monde, sur ses pôles et sur son axe qui est l'axe de l'écliptique, en sens contraire aux signes, d'un mouvement uniforme égal à l'excès du mouvement en latitude sur le mouvement en longitude. Avec soi, il déplace aussi l'orbe incliné et tout ce qu'il contient [...].

Imaginons l'apogée se mouvoir, uniformément, autour de pôles situés à la surface de l'orbe incliné. L'axe de cet orbe rencontre l'axe de l'écliptique au centre du monde. Son mouvement par jour, dans le sens des signes, est 37;36,39,2 [= 2η + λ̄ - λ⊙] [...]

L'orbe déférent se meut aussi et emporte l'épicycle en sens contraire aux signes, avec un mouvement par jour égal au double de l'élongation. Si l'on soutrait du mouvement de l'apogée (dans le sens des signes) les mouvements du nœud et du déférent (en sens contraire), ce qui reste est le mouvement en longitude par jour <fnref n="319" />.

Autrement dit, on passe de la figure initiale à la figure à droite en appliquant une composée de rotations. Si l'on néglige l'inclinaison de l'orbe incliné, on obtient ainsi <fnref n="320" /> :

$$P' = R_{O,3\bar{\eta}+\bar{\lambda}_{\odot}} R_{P_3,-2\bar{\eta}} R_{P_4,-\bar{\alpha}}(P)$$

<footnote n="319">³¹⁹ Saliba, 1990, p. 118.</footnote>

<footnote n="320">³²⁰ On omettra de la notation, désormais, la direction de l'axe de rotation quand c'est k (perpendiculaire au plan de la figure).</footnote>
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIG. XVIII : La Lune dans le *Kitab al-hay'a d'al-Urḍī*</figcaption></figure>
et, en tenant compte de l'inclinaison de l'orbe incliné,

$$P' = R_{P_1, \lambda_{\delta\Omega}} R_{P_1, j, 5^\circ} R_{P_2, -\lambda_{\delta\Omega} + 3\bar{\eta} + \bar{\lambda}_{\circ}} R_{P_3, -2\bar{\eta}} R_{P_4, -\bar{\alpha}}(P).$$

En résolvant des triangles rectangles, il est alors facile de calculer la position de point P'. En particulier :

$$OP'_{4} = \sqrt{(P_{3}P_{4} \sin(2\bar{\eta}))^{2} + (P_{3}P_{4} \cos(2\bar{\eta}) + OP_{3})^{2}}$$ $$q = \arcsin\left(\frac{P'_{3}P'_{4} \sin(2\bar{\eta})}{OP'_{4}} \times \frac{OP_{3}}{P'_{3}P'_{4}}\right) = \arcsin\left(\frac{OP_{3} \sin(2\bar{\eta})}{OP'_{4}}\right)$$ $$OP' = \sqrt{(P_{4}P \sin(\bar{\alpha} + q))^{2} + (OP'_{4} + P_{4}P \cos(\bar{\alpha} + q))^{2}}$$

Si l'équation de la Lune était l'angle ($\overrightarrow{OP'_{4}}, \overrightarrow{OP'}$), elle serait donc égale à :

$$\arcsin\left(\frac{P_{4}P \sin(-\bar{\alpha} - q)}{OP'}\right).$$

Al-‘Urḍī s’estimait heureux du fait que cet arc est presque égal à l’équation de la Lune dans le troisième modèle de Ptolémée, et il l’avait vérifié, à une bonne précision, en particulier aux octants. Hélas, $P'_4$ n’est pas dans la direction de la Lune moyenne. Comme on voit sur la figure, l’équation de la Lune vaut donc :

$$\arcsin\left(\frac{P_{4}P \sin(-\bar{\alpha} - q)}{OP'}\right) + q$$

Étrangement, comme l’a remarqué Saliba, al-‘Urḍī se défend par anticipation contre d’éventuels contradicteurs :

Qu’on ne dise pas que ces grandeurs ne sont pas prises dans le même cercle ; parce qu’on les entend comme des mouvements moyens, ce sont des arcs de l’écliptique, semblables aux arcs de l’excentrique coupés par le centre de l’épicycle. C’est comme on a cou tume de faire avec le mouvement du Soleil le long de son excentrique, où l’élongation du centre par rapport à l’auge est approximativement égale à l’élongation par jour <fnref n="321" />.

On a donc le choix entre deux interprétations possibles :

- soit le modèle d’al-‘Urḍī n’est pas un modèle cinématique, mais seulement un dispositif de calcul visant à déterminer l’équation du troisième modèle de Ptolémée en n’utilisant que des rotations, en évitant donc les difficultés propres au point de prosneuse. Ce serait alors une sorte d’équatoire ;

<footnote n="321">³²¹ Mes italiques. Voir Saliba, 1990, p. 119, et la remarque de Saliba qui évite cependant de juger ce modèle, *ibid.*, p. 54.</footnote>
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>FIG. XIX : L'équation de la Lune selon al-'Urḍī.</figcaption></figure>

– soit il s’agit d’une erreur d’al-‘Urḍī, car l’équation de la Lune dans ce modèle est très loin de reproduire celle du modèle de Ptolémée (voir ma fig. xix, où la courbe en trait plein représente (OP′, OP) + q).

Comme al-‘Urḍī exprime par ailleurs clairement que son modèle doit remplacer celui de Ptolémée, la première interprétation me semble exclue.

Ibn al-Šāṭir avait sûrement vu l’erreur d’al-‘Urḍī. À la fin du paragraphe énumérant les critiques générales sur la Lune qu’Ibn al-Šāṭir adresse à ses prédécesseurs, celui-ci émet une mise en garde qui fait curieusement écho à la défense par anticipation d’al-‘Urḍī (I.0.19) :

> La localisation de l'astre moyen et du centre de l'astre dans un cercle semblable à l'orbe de l'écliptique est impossible car ils ne sont pas pris dans le même cercle, ni par rapport au même point.

Cette remarque était probablement adressée à al-‘Urḍī ou à un autre auteur, avant
ou après al-‘Urḍī, ayant commis une erreur analogue.

6.10. La Lune chez al-Ṭūsī et al-Šīrāzī

Décrivons à présent le modèle exposé par al-Ṭūsī dans sa Taḍkira fī ‘ilm al-hay’a.
On a seulement tracé la figure initiale, voir figure xx, à gauche, où P₁ est le centre du
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIG. XX : La Lune dans la *Tadkira* de Ţūsī</figcaption></figure>

parécliptique, P₂ le centre de l'orbe incliné, P₃ le centre d'un orbe déférent, P₄ le centre d'une « grande sphère », P₅ le centre d'une « petite sphère », P₆ le centre d'une « sphère englobante », P₇ le centre de l'« épicycle », et P la Lune <fnref n="322" />. On a :

$$P_3P_4 = 49;41, \quad P_4P_5 = P_5P_6 = \frac{10;19}{2}, \quad P_6P = 5;15.$$

Le couple « petite sphère » et « grande sphère » forme un dispositif que les historiens ont appelé « couple d'al-Ṭūsī ». Que les orbes tournent, et la position du point P devient :

$$P' = R_{P_1, \lambda_{\delta\Omega}} R_{P_1, j, 5^\circ} R_{P_2, -(\bar{\eta}-\bar{\lambda}_\odot+\lambda_{\delta\Omega})} R_{P_3, 2\bar{\eta}} R_{P_4, 2\bar{\eta}} R_{P_5, -4\bar{\eta}} R_{P_6, 2\bar{\eta}} R_{P_7, -\bar{\alpha}}(P).$$

Dans le référentiel de l'orbe incliné centré en P₂, la trajectoire du point P₆ ressemble à un cercle de rayon 49;41. J'ai représenté cette trajectoire ovale sur la fig. xx, en pointillés à droite, en adoptant pour P₃P₄, P₄P₅ et P₅P₆ les longueurs représentées sur la figure. Comme cette figure n'est pas à l'échelle – le rapport P₄P₅ : P₃P₄ est bien supérieur à $\frac{10;19}{2}$ : 49;41 pour la rendre plus lisible – alors mon ovale est beaucoup plus aplati que dans le modèle véritable. Al-Ṭūsī trace et étudie la ressemblance

<footnote n="322">³²² Comme le dit al-Ṭūsī, on pourrait remplacer le couple « orbe incliné » et « orbe déférent » par un orbe unique puisqu'ils ont même centre et même axe, mais il préfère garder deux orbes distincts. De même pour le couple « grande sphère » et « épicycle ».</footnote>
de cette trajectoire avec la ceinture de l'orbe excentrique du modèle de Ptolémée. Dans ses effets, ce modèle reproduit d'assez près le deuxième modèle de Ptolémée.

Afin de copier l'effet de la prosneuse, Ţūsī propose d'intercaler un autre couple d'orbes entre la « sphère englobante » et l'épicycle. Les historiens ont appelé ce dispositif un « couple d'al-Ṭūsī curviligne ». Il s'agit de deux sphères homocentriques, centrées en $P_7$. Leurs rayons n'importent pas à la description du mouvement. Dans la composée de rotations qu'on fait subir au point P, al-Ṭūsī introduit donc de nouvelles rotations agissant sur $R_{P_7, -\bar{\alpha}}(P)$. Les axes de ces rotations ne sont pas orthogonaux au plan de la figure initiale, et il faut ajouter des rotations pour les rabattre dans ce plan. La position du point P' devient :

$$P' = R_{P_1, \lambda_{\delta\Omega}} R_{P_1, j, 5^\circ} R_{P_2, -(\bar{\eta}-\bar{\lambda}_\odot+\lambda_{\delta\Omega})} R_{P_3, 2\bar{\eta}} R_{P_4, 2\bar{\eta}} R_{P_5, -4\bar{\eta}} R_{P_6, 2\bar{\eta}} \\ R_{P_7, j, 2\bar{\eta}} R_{P_7, i, \frac{c_3 \max}{2}} R_{P_7, j, -4\bar{\eta}} R_{P_7, i, -\frac{c_3 \max}{2}} R_{P_7, j, 2\bar{\eta}} R_{P_7, -\bar{\alpha}}(P).$$

On expliquera les rotations autour d'axes non orthogonaux au plan de la figure, de manière plus détaillée, quand on commentera l'usage qu'en fait Ibn al-Ṣāṭir pour les mouvements en latitude des planètes. Ici $c_3 \max = 13.9^\circ$ est l'inclinaison maximale de l'apogée moyen de l'épicycle due à la prosneuse, dans le troisième modèle de Ptolémée.

La solution de Ţūsī est très réussie, en cela qu'elle reproduit de très près la trajectoire prédite par le troisième modèle de Ptolémée, sans plus utiliser ni excentrique, ni point de prosneuse ; voir ma figure XXI. La critique que lui adresse Ibn al-Ṣāṭir peut donc nous surprendre (I.0.21) :

La position mentionnée par Naṣīr al-Ṭūsī dans la *Tadkira* sur l'élimination des doutes des orbes de la Lune est impossible parce qu'on y trouve l'excentrique et que le diamètre de l'épicycle suit un point autre que le centre de l'orbe portant l'épicycle.

J'y reviendrai.

Décrivons à présent le modèle de la Lune proposé par Quṭb al-Dīn al-Ṣīrāzī dans *Al-tuhfa al-śāhiyya* <fnref n="323" />. Voici ce que dit Ibn al-Ṣāṭir (I.0.25) :

La position mentionnée par Quṭb al-Dīn al-Ṣīrāzī dans la réforme de la configuration des orbes de la Lune est impossible car y demeurent l'excentrique et le point de prosneuse. L'argument qu'il a avancé (Dieu ait pitié de lui) pour permettre le point de prosneuse de la Lune est la plus impossible des impossibilités et c'est une image fausse. Il en est revenu dans la *Tuhfa* ; il y indique une autre manière, mais elle est aussi impossible.

<footnote n="323">³²³ J'ai consulté le manuscrit de la *Tuhfa* à la Bibliothèque nationale (BN Arabe MS 2516, livre 2, chapitres 10 f. 33r-44v, et 12 f. 50r-56r) en m'aidant de la description faite par Saliba (Rashed, 1997).</footnote>
<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>FIG. XXI : L'équation de la Lune selon Tūsī</figcaption></figure>
<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>FIG. XXII : La Lune dans la *Tuḥfa* de Šīrāzī</figcaption></figure>

Saliba (Rashed, 1997), suivant peut-être l'avis d'Ibn al-Šāṭir, pense que le modèle décrit dans la *Tuḥfa* est différent des modèles décrits dans deux autres textes d'al-Šīrāzī, les *Iḥtīyārāt*-i muẓaffarī et la *Nihāyat al-’idrāk*, qui exposeraient seulement des modèles plus anciens. Kaveh Farzad Niazi, auteur d'une thèse (2011) sur al-Šīrāzī, a fait une comparaison textuelle des trois ouvrages ; il affirme qu'un modèle semblable au modèle de la *Tuḥfa* est bien présent dans chacun des deux autres ouvrages, mais peut-être pas là où on l'attendrait <fnref n="324" />. Ceci m'a aussi été confirmé par Amir Mohammad Gamini (communication personnelle) qui prépare une édition critique des *Iḥtīyārāt*.

La figure initiale du modèle de la *Tuḥfa* est ma figure XXII. On y voit le centre P₁ d'un parécliptique appelé orbe des nœuds, le centre P₂ d'un orbe incliné, le centre P₃ d'un orbe excentrique, le centre P₄ d'un « orbe englobant », le centre P₅ d'un épicycle, et la Lune en P. Les distances sont :

$$P_2P_3 = \frac{10;19}{2} \qquad P_3P_4 = 49;41$$

$$P_4P_5 = \frac{10;19}{2} \qquad P_5P = 5;15$$

La position de la Lune est donnée par la composée de rotations suivante :

$$P' = R_{P_1, \lambda_{\bigodot}} R_{P_1, j, 5^\circ} R_{P_2, -(\bar{\eta}-\bar{\lambda}_{\odot}+\lambda_{\bigodot})} R_{P_3, 2\bar{\eta}} R_{P_4, 2\bar{\eta}} R_{P_5, -2\bar{\eta}-\bar{\alpha}}(P).$$

<footnote n="324">³²⁴ Niazi, 2011, p. 138-142.</footnote>
Ce modèle est inspiré des modèles d'al-Urdī pour les planètes supérieures, mais il
diffère substantiellement de son modèle pour la Lune. Au contraire, il est stricte-
ment équivalent au modèle d'al-Ṭūsī sans couple curviligne : les trajectoires prédites
sont égales.

*Démonstration.* Notons $P_i$ ($1 \le i \le 5$) les centres des orbes de Šīrāzī, et $\tilde{P}_i$ ($1 \le i \le 7$) les centres des orbes de Ṭūsī, avec $P_1 = P_2 = \tilde{P}_1 = \tilde{P}_2 = \tilde{P}_3$ et $P_4 = \tilde{P}_5$. On a alors :

$$
\begin{align*}
\overrightarrow{P_2 P_3} &= \overrightarrow{\tilde{P}_4 \tilde{P}_5} &= \frac{10;19}{2} j \\
\overrightarrow{P_3 P_4} &= \overrightarrow{\tilde{P}_3 \tilde{P}_4} &= 49;41 j \\
P_5 &= \tilde{P}_6 = \tilde{P}_7, \quad \overrightarrow{P_3 P_3} = \overrightarrow{P_4 \tilde{P}_4} &= -\overrightarrow{\tilde{P}_5 \tilde{P}_6}.
\end{align*}
$$

Cette dernière égalité permet d'appliquer la proposition 2, et on a alors :

$$
\begin{align*}
& R_{P_2, -(\bar{\eta}-\bar{\lambda}_\odot+\lambda_\odot)} R_{P_3, 2\bar{\eta}} R_{P_4, 2\bar{\eta}} R_{P_5, -2\bar{\eta}-\bar{\alpha}} \\
&= R_{\tilde{P}_2, -(\bar{\eta}-\tilde{\lambda}_\odot+\lambda_\odot)} (R_{P_3, 2\bar{\eta}} R_{P_4, 2\bar{\eta}} R_{\tilde{P}_6, -2\bar{\eta}}) R_{\tilde{P}_7, -\bar{\alpha}} \\
&= R_{\tilde{P}_2, -(\bar{\eta}-\tilde{\lambda}_\odot+\lambda_\odot)} R_{\tilde{P}_3, 2\bar{\eta}} (R_{\tilde{P}_4, -2\bar{\eta}} R_{\tilde{P}_5, 4\bar{\eta}} R_{\tilde{P}_6, -2\bar{\eta}}) R_{\tilde{P}_7, -\bar{\alpha}}.
\end{align*}
$$

En vertu de la proposition 3, ceci est aussi égal à :

$$
R_{\tilde{P}_2, -(\bar{\eta}-\bar{\lambda}_\odot+\lambda_\odot)} R_{\tilde{P}_3, 2\bar{\eta}} (R_{\tilde{P}_4, 2\bar{\eta}} R_{\tilde{P}_5, -4\bar{\eta}} R_{\tilde{P}_6, 2\bar{\eta}}) R_{\tilde{P}_7, -\bar{\alpha}} \quad \text{q. e. d.}
$$

Ce modèle produit des trajectoires très proches du deuxième modèle de Ptolé-
mée, et il ne reproduit donc pas les effets du point de prosneuse <fnref n="325" />. Dallal et Saliba
ont indiqué qu’un contemporain d’Ibn al-Ṣāṭir, Ṣadr al-Ṣarī’a (?-1347), a proposé un
amendement au modèle d’al-Ṣīrāzī pour reproduire les effets du point de prosneuse,
en ajoutant une petite sphère de rayon $\overrightarrow{P_6P} = 0;52$ j et de centre $P_6$ remplaçant le
point P dans la figure initiale xxii ; il faut alors ajouter une rotation à droite ³²⁶ :

$$
P' = R_{P_1, \lambda_\odot} R_{P_1, j, 5^\circ} R_{P_2, -(\bar{\eta}-\bar{\lambda}_\odot+\lambda_\odot)} R_{P_3, 2\bar{\eta}} R_{P_4, 2\bar{\eta}} R_{P_5, -2\bar{\eta}-\bar{\alpha}} R_{P_6, -2\bar{\eta}}(P).
$$

<footnote n="325">³²⁵ Ce modèle achevé décrit par al-Ṣīrāzī ne tient donc pas compte de la troisième anomalie lunaire. Saliba affirme que, même dans la *Tuhfa*, « Quṭb al-Dīn ne semble pas avoir réussi à répondre à la seconde objection » (celle du point de prosneuse) ; voir Rashed, 1997, p. 113. Il resterait cependant à identifier clairement, par une étude complète des trois ouvrages, « l’argument qu’[al-Ṣīrāzī] a avancé pour permettre le point de prosneuse » selon Ibn al-Ṣāṭir. Kennedy (1966, p. 376-7, réimpr. Kennedy, Ghanem, 1976, p. 104-5) mentionne un passage de la *Tuhfa* se concluant par l’affirmation que « le problème du point opposé [le point de prosneuse] est réglé » ; mais la figure correspondante est omise dans les deux manuscrits qu’il a consultés, et il avoue ne pas comprendre ce passage.</footnote>
<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>FIG. XXIII : La Lune selon al-Ṣīrāzī et Ṣadr al-Ṣarī'a</figcaption></figure>

Le modèle de Ṣadr al-Ṣarī'a a bien l'effet escompté, comme on peut le voir dans les octants sur ma figure XXIII.

## 6.11. Comment expliquer le reproche qu'Ibn al-Ṣāṭir adresse à al-Ṭūsī concernant la Lune ?

Tout d'abord, al-Ṭūsī rejette lui-même son propre modèle, à la fin du chapitre II.11 de la *Tadkira*, par une intéressante analyse du taux de variation de l'anomalie due à la prosneuse (chez Ptolémée) et au couple curviligne (chez lui) : il montre que son modèle n'a pas exactement les mêmes effets que le troisième modèle de Ptolémée. Est-il donc possible que la critique d'Ibn al-Ṣāṭir ne s'adresse pas au modèle présenté dans II.11, mais plutôt à la description du troisième modèle de Ptolémée faite par al-

<footnote n="326">³²⁶ Cf. Ṣadr al-Ṣarī'a, 1995, p. 373-379 et Rashed, 1997, p. 112-113. Dans Rashed, 1997, le sens de rotation de la petite sphère semble erroné. Dans Ṣadr al-Ṣarī'a, 1995, Dallal donne deux interprétations possibles du texte de Ṣadr al-Ṣarī'a : avec nos notations, soit $\overrightarrow{P_6P} = +0;52$ j et l'angle de rotation est $-2\eta$, soit $\overrightarrow{P_6P} = -0;52$ j et l'angle de rotation est $+2\eta$. La deuxième interprétation, bien qu'elle ressemble qualitativement au modèle d'Ibn al-Ṣāṭir, produit un résultat numériquement peu satisfaisant. C'est la première interprétation que j'ai donc retenue dans ma comparaison.</footnote>
Ṭūsī dans II.7 ? Mais c’est à al-Ṭūsī qu’Ibn al-Ṣāṭir adresse un reproche ; n’aurait-il pas compris qu’il s’agissait là d’un modèle dû à Ptolémée ?

Il me semble plus probable qu’Ibn al-Ṣāṭir ajoute à l’auto-critique d’al-Ṭūsī sur la prosneuse un second reproche plus général concernant le modèle présent dans II.11. Mais quel reproche ?

Bien qu’al-Ṭūsī n’utilise pas d’orbe excentrique, il conçoit une combinaison de mouvements épicycliques afin de donner au point P₆ une trajectoire *proche du cercle excentrique de Ptolémée dans le plan incliné* ; il prend d’ailleurs soin de le démontrer dans II.11. Al-Ṭūsī substitue donc à l’excentrique de Ptolémée un dispositif re-produisant la même trajectoire, par le truchement d’un artifice, le couple d’al-Ṭūsī, produisant un mouvement rectiligne oscillatoire. En tant qu’artifice produisant un mouvement *par essence* interdit dans les cieux, ce dispositif ne devrait-il pas être réjeté, au même titre qu’un point glissant à la circonférence d’un excentrique ? Hélas, Ibn al-Ṣāṭir lui-même utilise le couple de Ṭūsī dans certains modèles planétaires… Donc l’argument ne tient pas.

Voici donc la seule explication probable. Le refus des excentriques par Ibn al-Ṣāṭir n’est pas une objection de principe concernant seulement l’essence physique de l’excentrique ou les mouvements permis par l’astronomie physique. C’est un choix méthodologique dans l’analyse des données de l’observation. Ptolémée aurait commis une erreur dès son deuxième modèle lunaire, en changeant la configuration globale des orbes du premier et en intercalant un grand excentrique pour rendre compte d’une variation de l’amplitude maximale d’une petite anomalie lunaire aux quadratures. Et en effet, l’utilisation d’un excentrique a deux effets joints :

- produire cette variation d’amplitude de la petite anomalie lunaire ;

- induire un changement global dans la configuration des orbes, et en particulier dans la distance Terre-Lune.

Seul le premier effet était désirable. Ibn al-Ṣāṭir concevait certainement ses modèles en suivant une saine méthodologie : partir d’une estimation préalable des mouvements moyens et des distances, pour ensuite ajouter de petites corrections en adjoignant des épicycles de plus en plus petits perturbant peu les autres caractéristiques des modèles préalables. Il doit avoir expliqué cette méthode dans son ouvrage perdu sur les observations, *Ta'līq al-'arṣād*. Pour la Lune, la faible variation de la distance Terre-Lune doit compter parmi les faits primitifs que les corrections successives ne peuvent remettre en cause. Les figures xxiv et xxv comparent entre eux les « meilleurs » modèles lunaires à partir du troisième modèle de Ptolémée : celui de Quṭb al-Dīn al-Šīrāzī, celui d’al-Ṭūsī avec le couple curviligne, et celui d’Ibn al-Ṣāṭir. Pour ne pas alourdir ces figures, je n’ai pas représenté le troisième modèle de Ptolémée : on a vu que celui d’al-Ṭūsī en est très proche. À partir du deuxième modèle de Ptolémée, tous les modèles lunaires des prédécesseurs d’Ibn al-Ṣāṭir pro-
<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>FIG. XXIV : Équation de la Lune, meilleurs modèles jusqu'à Ibn al-Ṣāṭir</figcaption></figure>

duisaient des valeurs aberrantes de la distance Terre-Lune, y compris celui d'al-Ṭūsī,
alors même que celui-ci s'était débarrassé de l'excentrique de Ptolémée vis-à-vis
de l'astronomie physique. C'est qu'il fallait en fait repartir du premier modèle de
Ptolémée, et tout reconstruire à neuf.

6.12. Calibrage du modèle lunaire d'Ibn al-Ṣāṭir

Le chemin qu'Ibn al-Ṣāṭir a pu suivre pour déterminer les paramètres P<sub>2</sub>P<sub>3</sub>, P<sub>3</sub>P<sub>4</sub> et P<sub>4</sub>P est facile à reconstituer :

- on utilise trois éclipses pour calculer l'équation maximale $c_2$ aux syzygies comme l'avait fait Ptolémée. Cela donne

$$
\frac{P_3 P_4 - P_4 P_3}{P_2 P_3}.
$$

Ibn al-Ṣāṭir utilise $c_2 = 4;56$ comme équation maximale, valeur connue depuis long-
temps ;

- on utilise des observations précises donnant une équation maximale dans les
<figure><img src="image_85.png" /></figure>

temps solaire moyen en jours depuis le 24/12/1331 à 9 h 43 min GMT

<caption>FIG. XXV : Distance Terre-Lune dans les modèles les meilleurs pour les longitudes</caption>
<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>FIG. XXVI : Les orbes solides de la Lune</figcaption></figure>

quadratures égale à $c_2 = 7;40$, déjà connue de Ptolémée. On en déduit

$$ \frac{P_3P_4 + P_4P_3}{P_2P_3}; $$

– puis on vérifie que le modèle est satisfaisant dans les octants. Pour cela, Ibn al-Šāṭir a dû faire ses propres observations puisqu’il n’avait pas conscience de celles émises par Ptolémée. Enfin, on utilise le modèle pour calculer la distance Terre-Lune et on compare avec des observations anciennes ou récentes qu’Ibn al-Šāṭir semblait bien connaître<fnref n="327" />.

<footnote n="327">³²⁷ Voir I.10.5.</footnote>
# 7. PLANÈTES SUPÉRIEURES

## 7.1. Saturne : figure initiale

Dans la figure initiale, les plans des orbes de Saturne sont tous rabattus dans le plan de l'écliptique (i, j) par des rotations, les centres des orbes sont tous alignés dans la direction du vecteur j elle-même confondue avec la direction du point vernal ; enfin, la ligne des nœuds, à l'intersection des plans de l'orbe incliné et du parécliptique, est orientée dans la direction du vecteur $\mathbf{u} = \cos(50^\circ)i - \sin(50^\circ)j$ qui pointe vers le nœud ascendant. Le point O est le centre du Monde, $P_1$ le centre du parécliptique de Saturne, et $P_2$ le centre de son orbe incliné. Ces trois points sont confondus $O = P_1 = P_2$. Le point $P_3$ est le centre d'un orbe déférent (falak hāmil), $P_4$ le centre de l'orbe rotateur, $P_5$ le centre de l'orbe de l'épicycle, et P est le centre du corps sphérique de la planète. La figure xxvii précise la position de ces points, mais elle n'est pas à l'échelle. Posons : $\overrightarrow{OP_3} = 60$ j, alors

$$ \overrightarrow{P_3P_4} = 5;7,30 \text{ j} $$

$$ \overrightarrow{P_4P_5} = -1;42,30 \text{ j} $$

$$ \overrightarrow{P_5P} = 6;30 \text{ j} $$

Il faut appliquer au point P une suite de transformations géométriques pour obtenir la position de Saturne prédite ou observée à un instant donné.

## 7.2. Saturne : transformations géométriques

Les transformations appliquées à Saturne P sont des rotations paramétrées par trois angles : l'axe $\lambda_a$ est le centre moyen $\bar{\kappa}$, et l'astre propre $\bar{\alpha}$. L'astre moyen est $\bar{\lambda} = \lambda_a + \bar{\kappa}$, le nœud ascendant est $\lambda_{\odot} = \lambda_a - 140^\circ$, et l'argument de latitude est $\bar{\lambda} - \lambda_{\odot}$. Voici la liste des transformations géométriques utilisées pour produire les mouvements en longitude :

$$ R_{P_5, \bar{\alpha}-\bar{\kappa}}, \quad R_{P_4, 2\bar{\kappa}}, \quad R_{P_3, -\bar{\kappa}}, \quad R_{P_2, \bar{\kappa}}, \quad R_{P_1, \lambda_a} $$

Comme d'habitude, quand on omet la mention de l'axe de rotation, il s'agit par défaut de la direction du vecteur k.

Il faut se souvenir que la figure IV p. 205 cas (a) représente pour Saturne la relation entre l'orbe incliné et l'orbe déférent, ainsi que la relation entre l'orbe déférent et l'orbe rotateur. Il faut donc adjoindre des rotations visant à incliner les plans des orbes par rapport aux plans des orbes qui les portent :

$$ R_{P_4, v, -1^\circ}, \quad R_{P_3, u, -3^\circ 30^\circ}, \quad R_{P_2, u, 2^\circ 30^\circ} $$
<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>FIG. XXVII : Les orbes de Saturne, figure initiale et terminologie</figcaption></figure>
où v est entraîné par l'orbe rotateur de sorte à ce que sa direction coïncide avec la ligne des nœuds lorsque $\bar{\kappa} = (j, u) + 90^\circ$. Autrement dit :

$$R_{2((j,u)+90^\circ)}(v) = u.$$

Pour Saturne, on en déduit que :

$$v = R_{2(140^\circ - 90^\circ)}(u) = \cos(50^\circ)i + \sin(50^\circ)j.$$

La théorie des longitudes des chapitres 12 à 14 et la description donnée par Ibn al-Šāţir dans le chapitre 24 sur les latitudes des planètes supérieures ne laissent aucun doute quant à l'ordre dans lequel appliquer toutes ces transformations.

Pour obtenir la configuration des orbes à un instant donné, il faut donc appliquer toutes ces rotations aux points $P_3, P_4, P_5, P$. L'image du point $P_3$ entraîné par les mouvements de l'orbe parécliptique et de l'orbe incliné est :

$$R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, u, 2^\circ 30'} R_{P_2, \bar{\kappa}} R_{P_3, -\bar{\kappa}} R_{P_3, u, -3^\circ 30'} (P_4).$$

Quant au point $P_4$, il est aussi entraîné par le mouvement de l'orbe déférent et il devient :

$$R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, u, 2^\circ 30'} R_{P_2, \bar{\kappa}} R_{P_3, -\bar{\kappa}} R_{P_3, u, -3^\circ 30'} (P_4).$$

Le point $P_5$ est aussi entraîné par le mouvement de l'orbe rotateur et il devient :

$$R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, u, 2^\circ 30'} R_{P_2, \bar{\kappa}} R_{P_3, -\bar{\kappa}} R_{P_3, u, -3^\circ 30'} R_{P_4, 2\bar{\kappa}} R_{P_4, v, -1^\circ} (P_5).$$

Enfin le point P est aussi entraîné par l'orbe de l'épicycle dont le plan est confondu avec le plan de l'orbe rotateur, et il devient :

$$R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, u, 2^\circ 30'} R_{P_2, \bar{\kappa}} R_{P_3, -\bar{\kappa}} R_{P_3, u, -3^\circ 30'} R_{P_4, 2\bar{\kappa}} R_{P_4, v, -1^\circ} R_{P_5, \bar{\alpha} - \bar{\kappa}} (P).$$

La figure XXVIII montre l'effet des rotations inclinant les plans des orbes, pour trois positions. On a projeté orthogonalement sur le plan du parécliptique (figure du bas) et sur un plan orthogonal à la ligne des nœuds (figure du haut). On a seulement représenté les ceintures du déférent et du rotateur puisque la ceinture de l'épicycle est dans le plan de la ceinture du rotateur.

### 7.3. Saturne : trajectoire paramétrée

Le modèle de Saturne est couplé au modèle du Soleil en vertu de la relation suivante :

$$\bar{\alpha} = \bar{\lambda}_{\odot} - \lambda_a - \bar{\kappa}.$$
<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>FIG. XXVIII : Saturne, trois positions, projection orthogonale</figcaption></figure>

La trajectoire dans l'ensemble des valeurs des paramètres est :

$$ \lambda_a = \dot{\lambda}_a t + \lambda_a(0) $$

$$ \bar{\kappa} = \dot{\bar{\kappa}} t + \bar{\kappa}(0) $$

$$ \bar{\lambda}_{\odot} = \dot{\bar{\lambda}}_{\odot} t + \bar{\lambda}_{\odot}(0) $$

On rappelle que $\bar{\kappa} = \bar{\lambda} - \lambda_a$. On a, d'après Ibn al-Šāţir :

$$ \bar{\lambda}_{\odot}(0) = 280;9,0, \quad \dot{\bar{\lambda}}_{\odot} = 359;45,40 \text{ par année persane,} $$

$$ \bar{\lambda}(0) = 157;58,20, \quad \dot{\bar{\lambda}} = 12;13,40 \text{ par année persane,} $$

$$ \lambda_a(0) = 254;52, \quad \dot{\lambda}_a = 0;1 \text{ par année persane.} $$

### 7.4. Transformations planes

Si R et S sont deux rotations, il existe une rotation T telle que $RS = TR$, à voir, la rotation de même angle que S et dont l'axe est l'image par R de l'axe de S. Appliquons cette relation de commutation à toutes les composées de rotations décrites ci-dessus, de sorte à réécrire à droite toutes les rotations dont l'axe est dans la direction du vecteur $k$. Par exemple :

$$ R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, u, 2^\circ 30'} = R_{P_2, a, 2^\circ 30'} R_{P_1, \lambda_a} $$
où le vecteur $\mathbf{a}$ est l'image de $\mathbf{u}$ par $R_{P_1, \lambda_a}$. On fait de même avec les inclinaisons des plans des petits orbes. Il existe donc une composée de rotations $M$ telle que l'image du point $P$ soit :

$$MR_{P_2, \vec{a}, 2^\circ 30'} (P')$$

où

$$P' = R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, \vec{k}} R_{P_3, -\vec{k}} R_{P_4, 2\vec{k}} R_{P_5, \vec{a}-\vec{k}} (P).$$

On introduit de même les points $P'_3$, $P'_4$, $P'_5$ (voir figure XXVII) :

$$P'_3 = R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, \vec{k}} (P_3)$$

$$P'_4 = R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, \vec{k}} R_{P_3, -\vec{k}} (P_4)$$

$$P'_5 = R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, \vec{k}} R_{P_3, -\vec{k}} R_{P_4, 2\vec{k}} (P_5)$$

Tous ces points sont dans le plan de la figure initiale : calculer leurs positions relève entièrement de la géométrie plane.

### 7.5. Les équations de Saturne

Le calcul de la position du point $P'$ revient à résoudre quatre triangles rectangles. On calcule d'abord la première équation dite aussi « équation du centre » ; c'est l'angle $c_1 = (\overrightarrow{OP'_3}, \overrightarrow{OP'_5})$. On a :

$$c_1 = - \arcsin \left( \frac{P_3 P_4 \sin \vec{k} + P_4 P_5 \sin \vec{k}}{OP'_5} \right)$$

où

$$OP'_5 = \sqrt{(P_3 P_4 \sin \vec{k} + P_4 P_5 \sin \vec{k})^2 + (OP_3 + P_3 P_4 \cos \vec{k} - P_4 P_5 \cos \vec{k})^2}.$$

On calcule ensuite la deuxième équation $c_2 = (\overrightarrow{OP'_5}, \overrightarrow{OP'})$ :

$$c_2 = \arcsin \left( \frac{P_5 P \sin(\vec{a} - c_1)}{OP'} \right)$$

où

$$OP' = \sqrt{(P_5 P \sin(\vec{a} - c_1))^2 + (OP'_5 + P_5 P \cos(\vec{a} - c_1))^2}.$$

La position du point $P'$ est alors donnée par $OP'$ et par l'angle suivant :

$$(j, \overrightarrow{OP'}) = \lambda_a + \vec{k} + c_1 + c_2.$$
Dans ce qui suit, $c_1$ sera conçue comme une fonction de $\bar{\kappa}$ notée $c_1(\bar{\kappa})$, et $c_2$ comme une fonction de deux variables $\bar{\kappa}$ et $\alpha = \bar{\alpha} - c_1$, notée $c_2(\bar{\kappa}, \alpha)$. Plus précisément :

$$c_2(\bar{\kappa}, \alpha) = \arcsin\left(\frac{P_5 P \sin \alpha}{\sqrt{(P_5 P \sin \alpha)^2 + (OP'_5 + P_5 P \cos \alpha)^2}}\right)$$

où $OP'_5$ est la fonction de $\bar{\kappa}$ vue ci-dessus. On remarque que :

$$c_1(360^\circ - \bar{\kappa}) = -c_1(\bar{\kappa}),$$

$$c_2(360^\circ - \bar{\kappa}, 360^\circ - \alpha) = -c_2(\bar{\kappa}, \alpha).$$

### 7.6. Fonction de deux variables et interpolation

Les valeurs de $c_1$ et $c_2$ devront être reportées dans des tables. Comme pour la Lune, Ibn al-Šātir utilise à cet effet 328 la méthode ptoléméenne d'interpolation visant à calculer une valeur approchée de $c_2$ au moyen d'un produit d'une fonction de $\bar{\kappa}$ par une fonction de $\alpha$. À $\alpha$ donné, il interpole les valeurs de $c_2$ entre $c_2(0, \alpha)$ et $c_2(180^\circ, \alpha)$ au moyen de la formule suivante :

$$c_2(\bar{\kappa}, \alpha) \approx c_2(0, \alpha) + \chi(\bar{\kappa})(c_2(180^\circ, \alpha) - c_2(0, \alpha)).$$

Le coefficient d'interpolation $\chi$ est défini par :

$$\chi(\bar{\kappa}) = \frac{\max |c_2(\bar{\kappa}, \cdot)| - \max |c_2(0, \cdot)|}{\max |c_2(180^\circ, \cdot)| - \max |c_2(0, \cdot)|}.$$

Ce coefficient est fonction d'une seule variable ; on peut donc le calculer pour une série de valeurs de $\bar{\kappa}$ et en faire une table. Pour ce faire, on remarque que le maximum $\max |c_2(\bar{\kappa}, \cdot)|$ est atteint quand la droite (O, P') est tangente au cercle de l'orbe de l'épicycle. On a alors 329 :

$$\max |c_2(\bar{\kappa}, \cdot)| = \arcsin \frac{P_5 P}{OP'_5}.$$

<footnote n="328">328 Voir chapitre I.23.</footnote>

<footnote n="329">329 On le montre aisément par le calcul en posant $z^{-1} = OP'_5 + P_5 P \cos \alpha$ et en remarquant que la quantité $\tan^2 c_2$ à maximiser est alors un polynôme de degré 2 en $z$.</footnote>
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>FIG. XXIX : Saturne, inclinaison de l'orbe incliné</figcaption></figure>
### 7.7. Trigonométrie sphérique

On va à présent calculer les coordonnées sphériques du point $R_{P_2,a,2^\circ 30'}(P')$ par rapport à l'écliptique. L'angle formé entre le vecteur a et la direction du point P' vaut (modulo 360°) :

$$ (a, \vec{OP}') = \vec{k} + c_1 + c_2 + 140^\circ = \vec{\lambda} - \lambda_{\Omega} + c_1 + c_2 = \lambda - \lambda_{\Omega} $$

où $\lambda = \vec{\lambda} + c_1 + c_2$. Les égalités suivantes seront prises modulo 360°. Sur la fig. xxix, on représente sur la sphère de l'écliptique le point B dans la direction du point $R_{P_2,a,2^\circ 30'}(P')$ et le point C dans la direction du vecteur a. En particulier,

$$ (\vec{OC}, \vec{OB}) = \lambda - \lambda_{\Omega}. $$

L'étude du triangle sphérique ABC donne :

$$ \tan(\vec{OC}, \vec{OA}) = \cos(2^\circ 30') \tan(\lambda - \lambda_{\Omega}). $$

La longitude du point $R_{P_2,a,2^\circ 30'}(P')$ par rapport à l'écliptique, en prenant la direction du point vernal j comme origine, est donc, quand $\lambda - \lambda_{\Omega} \in ]-90^\circ, 90^\circ[$ :

$$ (j, \vec{OA}) = (\vec{OC}, \vec{OA}) - (\vec{OC}, j) = \arctan(\cos(2^\circ 30') \tan(\lambda - \lambda_{\Omega})) + \lambda_{\Omega}. $$

Quand au contraire $\lambda - \lambda_{\Omega} \in ]90^\circ, 270^\circ[$, on a :

$$ (j, \vec{OA}) = 180^\circ + \arctan(\cos(2^\circ 30') \tan(\lambda - \lambda_{\Omega})) + \lambda_{\Omega}. $$

On rassemble ces deux cas dans la formule suivante, valable pour toutes les valeurs des paramètres :

$$ (j, \vec{OA}) = \lambda + e_n(\lambda - \lambda_{\Omega}) $$

où l'« équation du déplacement » $e_n(x)$ est définie comme suit sur l'intervalle $[-90^\circ, 270^\circ]$, et ailleurs par périodicité :

$$ e_n(x) = \begin{cases} \arctan(\cos(2^\circ 30') \tan x) - x, & \text{si } x \in ]-90^\circ, 90^\circ[ \\ 180^\circ + \arctan(\cos(2^\circ 30') \tan x) - x, & \text{si } x \in ]90^\circ, 270^\circ[ \\ 0^\circ, & \text{si } x = \pm 90^\circ \end{cases} $$

Enfin, la latitude du point $R_{P_2,a,2^\circ 30'}(P')$ est :

$$ (\vec{OA}, \vec{OB}) = \arcsin(\sin(2^\circ 30') \sin(\lambda - \lambda_{\Omega})). $$
### 7.8. Les inclinaisons des petits orbes

Les rotations qui composent M ont leurs axes contenus dans le plan de l'orbe incliné OCB et sont d'angles petits (3°30' au plus). Elles auront peu d'effet sur la longitude de $R_{P_2,a,2°30'}(P')$. En revanche, l'effet de M et les inclinaisons des plans des petits orbes ont justement été introduits dans ce modèle afin de rendre compte des variations en latitude de Saturne. Hélas, les axes des rotations qui composent M ne passent pas par le point O, et de telles rotations sont difficiles à étudier en coordonnées sphériques<fnref n="330" />. Ibn al-Šāţir se contente ici d'une description qualitative de l'effet en latitude de M (voir chapitre 24).

### 7.9. Comparaisons

À la figure xxx je donne les latitudes de Saturne pendant quinze ans, à partir de l'Époque choisie par Ibn al-Šāţir, calculées de trois manières différentes : (1) par l'IMCCE de l'Observatoire de Paris, (2) en suivant la méthode strictement ptolé- mienne de l'Almageste mais avec les paramètres d'Ibn al-Šāţir à l'Époque et ses mou- vements moyens<fnref n="331" />, (3) au moyen du modèle complet d'Ibn al-Šāţir décrit par la composée de huit rotations appliquée au point P comme ci-dessus.

Ibn al-Šāţir indique que le nœud ascendant de Saturne est « à cinq parts du Lion » (I.24.6), donc à 125° du point vernal, en 1339 apr. J.-C., i. e. à $t = 8$ ans de l'Époque, quand l'auge de Saturne est à 254;52 + 8 × 0;1 = 255° du point vernal ; on aurait alors $\lambda_{\delta} = \lambda_a - 130°$ comme l'affirmait déjà Ptolémée dans les « Hypo- thèses planétaires » 1 200 ans auparavant (Morelon, 1993, p. 54). Cependant, un peu plus loin dans le même chapitre, Ibn al-Šāţir affirme que « le lieu de la der- nière latitude nord [...] précède le lieu de l'auge chez Saturne de cinquante parts » (I.24.21), autrement dit ($\lambda_{\delta} + 90°) - \lambda_a = -50°$, d'où $\lambda_{\delta} = \lambda_a - 140°$. Cette valeur, qui contredit la précédente, est celle donnée par Ptolémée dans l'Almageste. De toute façon<fnref n="332" /> les valeurs données par Ptolémée sont des estimations très grossières. Dans le commentaire ci-dessus, j'ai adopté la valeur de l'Almageste. Pire encore, l'élonga- tion nœud-auge n'est pas constante, et ceci explique le décalage important entre le tracé des latitudes selon Ibn al-Šāţir et la courbe de l'IMCCE sur la fig. xxx, près du nœud ascendant³³³. J'en concluons qu'Ibn al-Šāţir n'a pas cherché à corriger la

<footnote n="330">³³⁰ Ibn al-Haytam lui-même, dans un ouvrage inégalé sur l'astronomie mathématique, avait renoncé à une tâche semblable (voir infra, note 357 p. 267).</footnote>

<footnote n="331">³³¹ J'ai suivi l'interprétation des méthodes de Ptolémée donnée par Pedersen (1974) et Swerdlow (2005).</footnote>

<footnote n="332">³³² Comme l'explique Swerdlow (2005, p. 49), Ptolémée ne donne qu'une estimation très grossière de $\lambda_{\delta} + 90°$ dans l'Almageste (XIII.1), et il arrondit encore davantage pour obtenir les valeurs de ($\lambda_{\delta} + 90°) - \lambda_a$ données en XIII.6. Pour Saturne, Ptolémée part de $\lambda_{\delta} + 90° \approx 180°$ (XIII.1), puis il utilise $\lambda_a = 233°$ (XI.5) pour en déduire que ($\lambda_{\delta} + 90°) - \lambda_a \approx -50°$ (XIII.6).</footnote>
<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>FIG. XXX : Latitudes de Saturne sur quinze ans, à partir de l'Époque</figcaption></figure>