# Analyse temporelle de structures linéaires et non linéaires par une variante enrichie de la transformation de Karhunen-Loève

Mohamed Lamjed Bouazizi, Riadh Majed, Noureddine Bouhaddi

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Mohamed Lamjed Bouazizi, Riadh Majed, Noureddine Bouhaddi. Analyse temporelle de structures linéaires et non linéaires par une variante enrichie de la transformation de Karhunen-Loève. 17e Congrès Français de Mécanique, 2005, Troyes, France. hal-00020003

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Submitted on 28 Apr 2023

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# Analyse temporelle de structures linéaires et non linéaires par une variante enrichie de la transformation de Karhunen-Loève

Mohamed Lamjed BOUAZIZI<fnref n="1" />,*, Riadh MAJED<fnref n="1" />, Noureddine BOUHADDI<fnref n="2" />

## Résumé :

Une méthode de condensation robuste adaptée aux modèles linéaires et non linéaires est proposée dans le domaine temporel. Elle est basée sur l'exploitation d'une méthode de condensation de Karhunen-loève (K-L) étendue et combinée avec un schéma d'intégration inconditionnellement stable de New-Mark (N-M). Cette méthode de condensation permet d'obtenir à faible coût de calcul des réponses linéaires et non linéaires avec une prédiction satisfaisante.

## Abstract:

A robust condensation method adapted to the linear and non-linear models is developed in the time domain. This method is based on the exploitation of the K-L condensed method and combined with the New-Mark integration method. This dynamic condensation conducts to low calculation costs of the linear and non-linear responses with a good prediction.

## Mots clefs :

Condensation robuste; transformation de Karhunen-Loève enrichie; Schéma de New-Mark; non-linéarités localisées; Réponse temporelle.

## 1 Introduction

Un modèle linéaire est souvent insuffisant pour décrire correctement le comportement dynamique des structures réelles. Il est donc indispensable de considérer des modèles de structures non linéaires qui permettent de décrire ce comportement réel. Ces non-linéarités ont plusieurs origines (géométrique, comportement, non linéarité aux jonctions dues aux glissements entre les structures assemblées,...). Dans cette étude, on s'intéresse aux non-linéarités localisées. Par ailleurs dans le cas non linéaire, l'estimation d'une solution stationnaire ne peut être envisagée qu'à travers un algorithme itératif. Pour ce type de structures, les méthodes de condensation dynamiques sont très utile surtout dans le cas des structures industrielles de grande taille et contenant des non-linéarités réparties. Les méthodes de condensation classique sont insuffisantes. Par conséquent, toute la difficulté consiste à développer une procédure adaptée aux structures non linéaires à travers la recherche d'une base de condensation optimale. Dans la littérature, plusieurs stratégies ont été proposées dans ce sens en vue de résoudre ces problèmes :

- Une méthode de condensation basée sur l'exploitation d'une transformation relative au modèle linéaire associé [1-3]. Cette méthode conduit à des résultats inexact surtout quand les non-linéarités sont en nombre et de niveaux forts.

- Une deuxième méthode basée sur la réactualisation de la base de condensation de chaque composante à travers un calcul des vecteurs propres [4], nécessite un coût de calcul élevé.

- Une troisième méthode qui consiste à exploiter les méthodes de linéarisation équivalente ou la méthode de balance harmonique [5], elle est efficace dans le domaine fréquentiel. Mais, elle repose sur la résolution d'un algorithme itératif qui peut être coûteux.

Dans ce papier, on propose une méthode de condensation robuste dans le domaine temporel adaptée aux modèles linéaires avec modifications structurales (assoupissement fort) et aux modèles non linéaires (une ou plusieurs non linéarités localisées). Ainsi, l'étude proposée comporte deux parties :

- La première partie concerne le développement de la transformation K-L linéaire dans le domaine temporel combiné avec un schéma d'intégration de N-M inconditionnellement stable. Cette étude

<footnote n="1">¹ Institut Préparatoire aux Études d'Ingénieur de Nabeul Campus Universitaire, 8000 M'erezga, Nabeul - Tunisie.
lamjed.bouazizi@ipein.rnu.tn ; majed.riadh@ipein.rnu.tn</footnote>

<footnote n="2">² Institut FEMTO ST UMR 6174, Laboratoire de Mécanique Appliquée R. Chaléat,
Université de Franche-Comté, 24 chemin de l'Epitaphe 25000 Besançon - France.
noureddine.bouhaddi@univ-fcomte.fr</footnote>

<footnote>(*) Auteur pour la correspondance : Tel +216 98 91 34 72- Fax +216 72 22 01 81
Adresse E-mail : lamjed.bouazizi@ipein.rnu.tn</footnote>
consiste à construire une base de condensation initiale $T_{K-L}^0$, enrichie par des résidus statiques $\Delta T_{K-L}^l$ dus aux modifications structurales.

- Dans la deuxième partie, on propose une extension de la transformation $T_{K-L}^0$ aux structures non linéaires. Dans ce cas, les non-linéarités seront considérées comme une famille de structures localement modifiées. Par conséquent, le modèle initial condensé par K-L est enrichie par $\Delta K_{K-L}^l$. La résolution temporelle est effectuée par un algorithme itératif implicite en vue de prédire le comportement dynamique non linéaire.

# 2 Condensation par K-L enrichie des structures linéaires modifiées

## 2.1 Formulation de la transformation K-L et K-L enrichie

### a) Transformation K-L standard

La procédure de K-L [6] consiste à sélectionner une série de modes optimaux $[\phi_1(x), \phi_2(x), \dots, \phi_N(x)]$ à partir d'une série de réponses temporelles échantillonnées, $y(x, t)$, de chaque sous structure (SS). Ces modes optimaux $\phi_k(x)$ (appelés aussi Proper Orthogonal Modes (POMs)) sont obtenus à travers l'exploitation de la méthode d'échantillonnage « snapshots » développée par Kim T.[7] dans le domaine temporel. Cette méthode permet alors d'exprimer les POMs $\phi_k(x)$ comme suit:

$$ \phi_k(x) = \sum_{j}^{N} \alpha_{j,k} y_k(t) \qquad (1) $$

où : $\alpha_{j,k}$ sont les vecteurs propres du problème aux valeurs propres suivant:

$$ C A_k = \lambda_k A_k \quad (k = 1, \dots, N) \qquad (2) $$

$$ A_k = [\alpha_{1,k}, \alpha_{2,k}, \dots, \alpha_{N,k}]^T $$

C est la matrice de covariance symétrique de taille $(N, N)$ dont le terme général s'écrit :

$$ c_{jk} = \frac{1}{N} y_j^T(t) y_k(t) \quad (j, k = 1, \dots, N) \qquad (3) $$

Les réponses $y_j(t)$ sont obtenues à partir de l'équation de mouvement (4) de la sous structure (SS) soumise aux forces de jonctions $\{f_j(t)\}$:

$$ [M] \{\ddot{y}(t)\} + [K] \{y(t)\} = \begin{Bmatrix} f_j(t) \\ 0 \end{Bmatrix} \qquad (4) $$

Ces forces de jonctions sont déterminées à partir de la technique « Single-Composite-Input S.C.I. method » [8] sont définies pour chaque échantillon $t_n$ comme suit :

$$ \{f_j(t)\}^T = \{[\sin(\Omega_1 t_n)], \dots, [\sin(\Omega_j t_n)]\} \qquad (5) $$

Les fréquences $(\Omega_1, \Omega_2, \dots, \Omega_j)$ sont choisis uniformément distribuées dans la bande fréquentielle $(0, \Omega)$ tel que $t_n \neq \frac{2\pi}{\Omega_k} (n, k = 1, \dots, j)$. Ainsi, la substitution des vecteurs propres de (2) dans (1) permettent de générer les fonctions propres $(\phi_1(x), \phi_2(x), \dots, \phi_N(x))$ qui seront classées suivant un ordre décroissant des amplitudes des valeurs propres $(\lambda_1 > \lambda_2 > \dots > \lambda_N)$. Ces fonctions propres satisfont les relations d'orthonormalité suivantes :

$$ (\phi_n, \phi_k) = \begin{cases} 1 & (n = k) \\ 0 & (n \neq k) \end{cases} \qquad (6) $$
La transformation $T_{K-L}^0$ construite à partir de la série $\phi_k(x)$, constitue la base tronquée standard de K-L:

$$T_{K-L}^{0} = [\phi_{1}, \dots, \phi_{M}] \quad M \ll N \qquad (7)$$

b) Transformation K-L enrichie

Pour des structures mécaniques modifiées, on peut calculer les résidus statiques linéaires associés aux forces
de modifications pour chaque sous structure qui subit des modifications structurales :

$$\Delta T_{K-L}^{nl} = K^{-1}F_{\Delta}^{K} = K^{-1}K^{Zone}B \qquad (8)$$

où : B représente la base K-L tronquée de la sous-structure modifiée et $K^{Zone} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & K^{Zone} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ est la matrice de raideur «creuse» de la zone modifiée. La nouvelle base étendue de K-L prend la forme:

$$T_{K-L}^{e} = [T_{K-L}^{0} \quad \Delta T_{K-L}^{nl}] \qquad (9)$$

2.2 Résolution du problème linéaire condensé par la méthode N-M

Le schéma de N-M consiste à approximer les vecteurs condensés de déplacement et de vitesse par les
expressions suivantes :

$$\{y_{n+1}^c\} = \{y_n^c\} + h\{\dot{y}_n^c\} + h^2\left(\left(\frac{1}{2} - \beta\right)\{\ddot{y}_n^c\} - \beta\{\ddot{y}_{n+1}^c\}\right) \qquad (10)$$

$$\{\dot{y}_{n+1}^c\} = \{\dot{y}_n^c\} + h\{(1 - \gamma)\{\ddot{y}_n^c\} + \gamma\{\ddot{y}_{n+1}^c\}\} \qquad (11)$$

La précision et la stabilité du schéma de N-M dépend des paramètres $\beta$ et $\gamma$ ($\beta = \frac{1}{4}$ ; $\gamma = \frac{1}{2}$).

$$L'\text{équation d'équilibre s'écrit à l'instant } t_{n+1}: [M]\{\ddot{y}_{n+1}^c\} + [B]\{\dot{y}_{n+1}^c\} + [K]\{y_{n+1}^c\} = \{f_{ext}^{ext}\} \qquad (12)$$

3 Réponses non linéaires des modèles condensés par K-L

Dans le cas non-linéaire, les équations régissant les réponses non-linéaires condensées à l'instant $t_{n+1}$ peuvent être mises sous la forme suivante :

$$[M^c]\{\ddot{y}_{n+1}^c\} + [B^c]\{\dot{y}_{n+1}^c\} + [K^c]\{y_{n+1}^c\} + \{f_{nl}^c(y_{n+1})\} = \{f_{ext}^c(y_{n+1}, t)\} \qquad (13)$$

L'expression de la force non linéaire localisée condensée qui dépend du déplacement de la jonction est :

$$\{f_{nl}^c(y_{n+1})\} = \gamma \{y_{n+1}^c(t)\}^3 = [\Delta K_c^{nl}] \{y_{n+1}^c\} \qquad (14)$$

où : $\gamma$ est le coefficient de la non linéarité de raideur en (N/m³) et $\Delta K_c^{nl} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k^{nl} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.

L'équation (15) permet alors de définir le vecteur des résidus $r(y_{n+1}^c)$ :

$$r(y_{n+1}^c) = [M^c]\{\ddot{y}_{n+1}^c(t)\} + \{f(y_{n+1}^c, \dot{y}_{n+1}^c)\} - \{f_{ext}^c\} = 0 \qquad (15)$$

Soit $\{y_{n+1}^c\}^k$ une approximation de la solution $\{y_{n+1}^c\}$ obtenue à l'itération k, l'équation résiduelle peut s'écrire avec une précision satisfaisante comme suit :

$$r(y_{n+1}^c)^{k+1} - r(y_{n+1}^c)^k = [S(y_{n+1}^c)^k] \cdot \{(y_{n+1}^c)^{k+1} - (y_{n+1}^c)^k\} \qquad (16)$$

$$\text{où : } [S(y_{n+1}^c)^k] = \left[ \frac{\partial r}{\partial y} \right]_{\{y_{n+1}^c\}^k}$$
Le système condensé non linéaire et le système de référence sont résolus de manière itérative par la méthode de Newton-Raphson.

## 4 Simulation numérique

La figure (1) illustre l'exemple d'une poutre constituée par 3 tronçons dont les extrémités des jonctions de chaque couple sont assemblées par un ressort linéaire de raideur "k", un amortisseur linéaire "c" et un ressort raideur non linéaire "γ" (non linéarité du type Duffing). Les caractéristiques mécaniques, géométriques et non linéaires de la poutre sont :

<table><thead><tr><th>ρ</th><th>E</th><th>υ</th><th>k</th><th>c</th><th>S</th><th>γ<sub>1</sub></th><th>γ<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>7800</td><td>2.1 × 10<sup>11</sup> N / m<sup>2</sup></td><td>0.3</td><td>10<sup>2</sup> N / m</td><td>1 Ns / m</td><td>0.05 × 0.1 m<sup>2</sup></td><td>10<sup>9</sup> N / m<sup>3</sup></td><td>10<sup>9</sup> N / m<sup>3</sup></td></tr></tbody></table>

La poutre est discrétisée par des éléments de poutre 2D (soit 34 nœuds et 2 ddl / nœud $(U_y, \theta_z)$). Le système complet comporte 68 ddl répartis en 24 ddl internes de $SS_1$, 18 ddl internes de $SS_2$, 18 ddl internes de $SS_3$ et 8 ddl de jonctions (4 ddl par ligne de jonction). Cette poutre est excitée par une force extérieure de 7000 N au ddl n°7 « $Nf$», le ddl d'observation est « $No$» (n°49).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – Poutre en flexion simple à 3 SS. $N_f$: Nœud d'excitation ; $N_o$: Nœud d'observation</figcaption></figure>

Pour $SS_1$ à 26 ddl, on considère 20 échantillons "snapshots", la base est alors tronquée aux 8 premières fonctions propres. Pour $SS_2$ à 22 ddl, on sélectionne 15 échantillons, la base est alors tronquée aux 7 premières fonctions propres. De même, on sélectionne 10 échantillons pour $SS_3$ à 20 ddl, la base est alors tronquée aux 5 premières fonctions propres. Ainsi, le modèle condensé obtenu est à 20 ddl.

### 4.1 Interprétation des résultats

#### 4.1.1 Cas linéaire

Les réponses condensées du système linéaire modifié sont issues du modèle condensé par K-L. La condensation est obtenue en sélectionnant les premiers POMs par une décomposition POD enrichie par des résidus statiques représentant les forces de modifications. La deuxième SS est assouplie fortement en multipliant le module d'Young initial $E_0$ par $10^{-4}$. Par conséquent, la base initiale de $SS_2$ sera alors enrichie par 5 résidus statiques conduisant ainsi à une bonne prédiction. La figure 2 représentant le MAC entre les 8 premiers vecteurs propres des modèles non condensés initiaux et modifiés, illustre le niveau élevé de la modification appliquée. La figure 3 illustre le MAC entre les vecteurs propres issus du modèle modifié condensé et celui du modèle modifié de référence.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – Modèle initial/modèle modifié</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 3 – Base K-L enrichie.</figcaption></figure>
Les figures 4 et 5 précisent respectivement les courbes de déplacement et de vitesse fonction du temps à la position d'excitation "Nf". La bonne cohérence entre les réponses de référence et condensée pour une modification importante, montre la robustesse de la transformation K-L.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 4 – Déplacement du modèle modifié</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 5 – Vitesse du modèle modifié</figcaption></figure>

4.1.2 Cas non linéaire

Les figures (6 – 9) illustrent les courbes de déplacements et de phases au même point « No » (ddl n°49) du modèle non linéaire de référence et condensé enrichie respectivement pour un choix convenable des coefficients non linéaires ( $\gamma_1 = \gamma_2 = 10^9 N / m^3$) (fig. 6 et fig. 7) et ($\gamma_1=10^9N/m^3$ ; $\gamma_2=10^{14}N/m^3$) (fig. 8 et fig. 9).

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 6 – Déplacements issus du modèle non linéaire.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIG. 7 – Diagramme de Phase (modèle non linéaire)</figcaption></figure>

On note une parfaite cohérence entre les réponses et les diagrammes de phases non linéaires (fig. 6 et 7), grâce à l'enrichissement itératif de la transformation K-L initiale par des résidus non linéaires (choix des coefficients non linéaires).

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIG. 8 – Déplacements issus du modèle non linéaire.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIG. 9 – Diagramme de Phase (modèle non linéaire)</figcaption></figure>

Les figures 8-9 illustrent respectivement la variation du déplacement en fonction du temps et le diagramme de phase pour le modèle non linéaire condensé par la transformation K-L enrichie ainsi que le modèle de
référence. On constate que le choix et le dosage des coefficients de non linéarités ont une incidence sur la qualité de la condensation enrichie K-L.

Le nombre d'itération est limité à 4 pour un pas de temps choisi égale à 0.009s. La figure 10 illustre l'évolution de la précision de convergence en fonction du temps en « s », qui se limite à 10⁻⁵.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIG. 10 – Evolution de la précision de convergence en fonction du temps</figcaption></figure>

## 5 Conclusion

En dynamique linéaire, la procédure d'extraction d'une base optimale K-L à partir des réponses temporelles peut être très efficace dans le contexte d'optimisation. En effet, pour éviter des analyses répétitives du modèle complet à chaque niveau de modification, il est nécessaire d'enrichir la base initiale de façon optimale par des résidus statiques dus aux forces de modifications structurales. Cette extension permet alors d'obtenir une base robuste. Les réponses obtenues sont en bonne cohérence avec celles du modèle de référence.

En dynamique non linéaire, l'enrichissement de la base de condensation K-L par des vecteurs résiduels représentant les modifications non linéaires conduit à des résultats fiables. En effet, les réponses non linéaires condensées sont en accord avec la référence même pour de fortes non-linéarités localisées.

Les travaux en cours concernent l'application de cette méthode à des structures assemblées de type plaques et l'extension de l'approche proposée à la sous-structuration dynamique.

## Références

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[2] Kuran B., Özgüven H. N. 1996 Journal of sound and vibration 189 (3), 315-339. A modal superposition method for non linear structures.

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[5] Ostachowitz W. 1989 journal of sound and vibration, 131, 465-473. The harmonic balance method for determining the vibration parameters in damped dynamic systems.

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[7] Kim T. 2002 AIAA-2002-1226 Dynamics specialists conference. Component mode synthesis method based on optimal modal analysis.

[8] Kim T. 2001 AIAA-2001-1380 Dynamics specialists conference. An efficient response-based modal analysis for dynamic systems with multiple inputs.