# Recueil de fiches pédagogiques du réseau MAPS

David Sheeren, Nicolas Becu, Marion Amalric, Arnaud Banos, Nathalie Corson, Nicolas Marilleau

► To cite this version:

David Sheeren, Nicolas Becu, Marion Amalric, Arnaud Banos, Nathalie Corson, et al. Recueil de fiches pédagogiques du réseau MAPS : Travaux 2009-2014 du collectif MAPS : modélisation multi-agents appliquée aux phénomènes spatialisés. École thématique. Modélisation multi-Agents appliquée aux Phénomènes Spatialisés 2009 - 2014, France. 2014, 258 p. hal-01094421

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Submitted on 12 Dec 2014

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# Recueil de fiches pédagogiques du réseau MAPS

## Modélisation multi-Agents appliquée aux Phénomènes Spatialisés
2009 - 2014

## Collectif MAPS
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Remerciements

Au CNRS, en particulier aux services de Formation Permanente des DR 08 (Centre Limousin Poitou-
Charentes) et 01 (Paris A) et au Réseau National des Systèmes Complexes (GIS RNSC) qui ont soutenu de
manière indéfectible le collectif puis le réseau thématique MAPS depuis ses débuts.

A tous les établissements et tous les laboratoires qui ont apporté un soutien lors des différents évènements organisés par le réseau MAPS : les UMR CITERES, DYNAFOR, Géographie-Cités, IDEES, IRIT, LETG, PACTE, PRODIG, L'UMI UMMISCO ; l'IRD, l'INRA (réseau MODELISAD) ; ainsi que le LabEx DynamiTe, l'ANR MIRO, le GDRE S4, ESSA, l'ISC-PIF.

A toutes les personnes qui ont aidé ce réseau, à tous les participants des événements MAPS et à la Maps
Team.
# Sommaire

<table><tr><td>Introduction</td><td>1</td></tr><tr><td>Mode d'emploi</td><td>3</td></tr><tr><td>Bestiole, sauvegarde de la biodiversité et jeux de rôles</td><td>5</td></tr><tr><td>Christaller, organisation spatiale d'un système de villes à partir de principes économiques</td><td>31</td></tr><tr><td>EpiSim, étude de la propagation des épidémies à différentes échelles</td><td>47</td></tr><tr><td>Irius, évolution de la mosaïque paysagère selon trois niveaux d'influence</td><td>69</td></tr><tr><td>Iznogoud, dynamiques d'opinions et de vote dans un micro-monde en deux dimensions</td><td>87</td></tr><tr><td>MicMac, épidémie dans un réseau de villes, systèmes d'équations différentielles et réseaux</td><td>107</td></tr><tr><td>Proie-Prédateur, effet des interactions locales sur le comportement global de populations</td><td>137</td></tr><tr><td>Résilience, cycles successifs d'apparition/disparation de structures d'un système</td><td>173</td></tr><tr><td>Sisbio, logiques d'évolutions spatiales de structures agricoles</td><td>195</td></tr><tr><td>Von Thünen, organisation de l'espace agricole autour d'un marché</td><td>219</td></tr></table>
# INTRODUCTION

Le réseau thématique MAPS « Modélisation multi-Agent appliquée aux Phénomènes Spatialisés » propose depuis 2009 des évènements scientifiques ayant pour but de diffuser les pratiques de modélisations multi-agents au sein des Sciences de l'Homme et de la Société (SHS). Ce collectif pluridisciplinaire de chercheurs, d'enseignants-chercheurs et de doctorants est labellisé en tant que « réseau thématique » par le Réseau National des Systèmes Complexes (GIS RNSC) et bénéficie du soutien du CNRS au titre de la Formation Permanente.

Le réseau est né de la nécessité de favoriser de fortes interactions entre les chercheurs de tous niveaux autour de la modélisation multi-agents appliquée aux phénomènes spatialisés, tant du point de vue théorique que pratique. Il compte près d'une centaine de membres à ce jour.

En cinq années, sept événements MAPS de nature différente ont eu lieu : écoles thématiques (MAPS 1 et MAPS 5), conférences (MAPS 2 et MAPS 6) et ateliers-chercheurs (MAPS 3, 4 et 7). Chacun de ces événements a permis à des scientifiques issus de nombreuses disciplines (géographie, aménagement, écologie, agronomie, économie, sociologie, statistiques, informatique, mathématiques) et de niveaux de compétences variés (du débutant au modélisateur confirmé) de travailler en groupe restreint autour d'un modèle spécifique. Le souci du collectif MAPS a toujours été de permettre aux scientifiques d'aboutir à une certaine autonomie en matière de modélisation, notamment en sensibilisant chacun aux différentes étapes de la modélisation : ontologie du modèle, conceptualisation, implémentation dans une plateforme de simulation, exploration des paramètres, analyses de sensibilité, interprétation des résultats, diffusion. Chaque événement a donc visé à apporter une compréhension des concepts et de la démarche de modélisation aux apprenants, avec une mise en application des différentes étapes du processus sur un modèle imaginé durant chaque événement. La question modélisée a ainsi été définie par chacun des groupes constitués et affinée chemin faisant.

Ce souci de la diffusion d'un certain savoir-faire, a toujours reposé sur la volonté de pouvoir diffuser les productions et les acquis du réseau MAPS. Les modèles réalisés lors des écoles thématiques se devaient d'être accessibles en ligne, de même que les cours, Travaux Pratiques et conférences. La qualité de la production de chaque groupe de travail et ce souci de la diffusion ont amené le collectif à concevoir la restitution des travaux d'ateliers-chercheurs et d'écoles thématiques sous la forme de « fiches pédagogiques ».

L'objectif de ces fiches est de permettre la diffusion de travaux scientifiques qui sont de nature diverse. Dans certains cas, ce sont des modèles « classiques » d'analyse spatiale qui sont explorés, décortiqués et implémentés (Christaller, Von Thünen, Résilience) ; dans d'autres, ce sont des cas particuliers qui sont abordés, faisant référence à des thématiques largement étudiées par les SHS (EpiSim sur l'épidémiologie ; Irius, en écologie). D'autres modèles abordés sont des modèles didactiques, dont les particularités consistent à appréhender un phénomène connu (Sisbio et Iznogoug, les comportements adaptatifs ; Bestiole, la simulation participative). Enfin, certaines
fiches développent des réflexions sur les démarches de modélisation en elles-mêmes, et par exemple le couplage entre les niveaux macro et micro (MicMac ; Proie-Prédateur).

Ces fiches pédagogiques, en accès libre, sont destinées aux communautés éducatives et universitaires et en particulier aux enseignants qui souhaiteraient faire découvrir la modélisation à leurs étudiants, mais aussi à ceux qui envisagent d'approfondir certains aspects avec un public plus averti. Elles sont également destinées à tous les curieux qui souhaiteraient découvrir ce que la modélisation apporte aux SHS, du point de vue heuristique et du point de vue opérationnel. Enfin, elles sont aussi des supports pour toutes les personnes qui souhaiteraient diffuser les réflexions scientifiques sur la modélisation et la simulation qui ont présidé à la rédaction de ces fiches.

L'objectif pédagogique d'une fiche est soit l'explicitation d'un concept thématique, soit d'ordre méthodologique en lien avec la modélisation multi-agents spatialisée (soit les deux à la fois). Le tableau ci-dessous présente les modèles en fonction de leur classification thématique, des concepts de modélisation abordés et du niveau technique de modélisation requis (code couleur).

<table><thead><tr><th></th><th>Couplage macro/micro</th><th>Réseau</th><th>Comportement adaptatif</th><th>Simulation Participative</th></tr></thead><tbody><tr><th>Géographie et analyse spatiale</th><td>MicMac</td><td>Christaller<br>MicMac</td><td>Christaller<br>Résilience<br>Sisbio<br>Von Thünen</td><td>Bestiole</td></tr><tr><th>Écologie</th><td>Proie-Prédateur<br>MicMac<br>EpiSim</td><td>Irius<br>EpiSim<br>MicMac</td><td>Résilience<br>Irius<br>Bestiole<br>Sisbio</td><td>Bestiole</td></tr><tr><th>Épidémiologie</th><td>MicMac<br>EpiSim</td><td>MicMac<br>EpiSim</td><td></td><td></td></tr><tr><th>Sciences politiques</th><td></td><td></td><td>Iznogoud</td><td></td></tr></tbody></table>

Niveau technique de modélisation :

* Débutant

* Intermédiaire

* Avancé

Pour toute question sur une fiche, un modèle, ou leur intégration dans un environnement pédagogique, n'hésitez pas à contacter le collectif MAPS via son site internet.
## MODE D'EMPLOI

Chaque fiche, créée lors d'un travail de groupe par les participants d'une session MAPS, est associée à un modèle. Chaque fiche et modèle explorent un aspect particulier du champ des systèmes complexes associé aux phénomènes spatialisés et illustrent un concept thématique ou un point méthodologique. Les fiches et les modèles peuvent également être téléchargés à partir de différentes pages dédiées à chaque projet sur le site internet de MAPS : http://maps.hypotheses.org

Ces fiches pédagogiques proposent, à travers divers domaines thématiques (la géographie, l'écologie, l'épidémiologie, ou les sciences politiques, entre autres), d'explorer, de mieux appréhender, voire de mettre en application, différents points méthodologiques et techniques autour de la modélisation multi-agents spatialisée : le couplage macro/micro, le fonctionnement en réseau, le comportement adaptatif, ou encore la simulation participative.

Le temps à prévoir pour une session d'enseignement est précisé pour chaque fiche (séances de Travaux Dirigés). Il peut également s'agir d'une séance de démonstration dans des manifestations de divulgation scientifique.

Les modèles développés sont tous implémentés dans une plateforme spécifique, qui est relativement facile d'appréhension et libre de droit : « NetLogo ». Chaque modèle fonctionne avec la version 5.0 de NetLogo (ou une version plus récente).

### Comment installer la plateforme sur votre ordinateur (Mac, PC, ou Linux) :

**Allez sur site http://ccl.northwestern.edu/netlogo/ et téléchargez le logiciel gratuitement.

**Pour lancer le modèle, double-cliquez sur le fichier du modèle (fichier nlogo) disponible en ligne sur le site de MAPS.
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# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle Bestiole

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Mai 2014

MAPS 4

**Domaines d'application** : écologie, géographie, biodiversité et infrastructures.

**Spécificités pédagogiques** : jeu de rôle hubnet, gestion participative autour des services écosystémiques, intégration et gestion de données SIG.

**Niveau du public visé** : Débutant

**Nom du modèle correspondant** : Bestiole

**Version de NetLogo nécessaire** : NetLogo 5.02

**Auteurs** : Brice Anselme (UMR PRODIG, Paris), Elise Beck (Pacte, Grenoble), Nicolas Marilleau (UMMISCO/IRD, Paris), Frédéric Rousseaux (UMR LIENSS, La Rochelle), Clara Schmitt (Géographie-Cités, Paris), Clémence Vannier (UMR LETG, Nantes)

## Modèle Bestiole

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Tableau de bord de l'agriculteur en début de partie.</figcaption></figure>
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TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>A. DÉFINITION DU MODÈLE</td><td>9</td></tr><tr><td>B. CONTEXTUALISATION DU MODÈLE</td><td>10</td></tr><tr><td>C. FONCTIONNEMENT DU MODÈLE</td><td>10</td></tr><tr><td>Modèle d'utilisation du sol</td><td>11</td></tr><tr><td>Modèle biologique des Collemboles</td><td>12</td></tr><tr><td>Les acteurs du jeu de rôle</td><td>15</td></tr><tr><td>Déroulement du jeu</td><td>16</td></tr><tr><td>D. CONCLUSION</td><td>17</td></tr><tr><td>E. BIBLIOGRAPHIE</td><td>17</td></tr><tr><td>ANNEXES</td><td>19</td></tr><tr><td>Contexte</td><td>19</td></tr><tr><td>Fiche Maître du jeu</td><td>20</td></tr><tr><td>Fiche aménageur</td><td>22</td></tr><tr><td>Fiche Forestier</td><td>24</td></tr><tr><td>Fiche Agriculteur</td><td>27</td></tr></table>
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Bestiole est un jeu de rôle informatisé, orienté sur la gestion de la biodiversité. L'objectif pédagogique est d'amener chacun des joueurs (qui jouent différents rôles d'acteurs du territoire) à mettre en place des stratégies de coopération afin d'optimiser leurs revenus, tout en protégeant la biodiversité.

La spécificité de Bestiole est d'être un jeu en réseau. Il repose sur la technologie client-serveur Hubnet qui utilise NetLogo pour des simulations participatives. Tous les ordinateurs sont reliés entre eux via un hub et chaque participant utilise une application client pour se connecter et interagir avec le serveur HubNet. Chacun peut ainsi agir de manière individuelle à partir de sa machine et entre en interaction avec l'ensemble des autres participants pour faire évoluer le système.

## A. Définition du modèle

Le modèle suscité a pour objectif d'amener différents acteurs du territoire à coopérer autour d'une problématique de sauvegarde de la biodiversité. Chaque acteur (agriculteur, forestier, aménageur) a pour objectif d'augmenter ses revenus à l'aide d'actions propres à son rôle (cultiver, aménager, couper...). Les revenus sont basés sur :

1. les résultats de ces actions

2. l'obtention d'un bonus/malus lié à un état de biodiversité, mesuré pour chacun des acteurs.

Cet état de biodiversité est un indicateur construit à partir de l'observation de la répartition d'une espèce remarquable : le collembole. Cet animal est un indicateur particulièrement intéressant de la biodiversité ; il contribue à la dissémination et à la régulation de la microflore du sol (bactéries, champignons) et joue un rôle majeur dans la circulation des nutriments (azote, phosphore, potassium, etc.), assurant ainsi la mise à disposition d'éléments essentiels pour la nutrition des végétaux. Il est identifié, à ce titre, comme un animal rendant un service écosystémique important. Ces animaux sont particulièrement sensibles aux modifications d'occupation du sol.

Dans ce contexte, le modèle se penche sur l'impact des actions et des stratégies des différents acteurs sur cet indicateur. Il pose la question suivante :
<table><tr><td><strong>Fiche pédagogique</strong><br>Collectif MAPS</td><td><strong>Modèle Bestiole</strong><br>Mai 2014<br>MAPS 4</td></tr><tr><td><img src="map_image.png" alt="A map with various symbols: a turtle, a tortoise, and a map with green vegetation."></td><td><img src="insect_image.png" alt="A yellow and black aphid with a black head and white body, on a green leaf.</td></tr></table>

Comment une stratégie de coopération peut participer ou non à conserver, voire améliorer, un service écosystémique ?

## B. Contextualisation du modèle

Les approches participatives apparaissent de plus en plus intéressantes lors de la mise en place d'outils de gestion de ressources partagées. Dans ce cadre, la modélisation multi-agents apporte un support intéressant à la simulation du niveau de biodiversité et à l'interaction entre les acteurs qui impactent par leurs actions l'usage du sol.

## C. Fonctionnement du modèle

Le modèle est basé sur plusieurs dynamiques (ou sous-modèles) : un modèle d'utilisation du sol visant à représenter l'évolution des différents types de surfaces au sein du territoire (surfaces en forêt / friche / culture / bâti) ; un modèle biologique, décrivant la croissance et la dispersion des différentes espèces de collemboles ; un modèle social, explicitant les actions réalisées par les acteurs du jeu de rôle. Les trois modèles sont interdépendants et s'inscrivent dans un processus récursif (fig. 1).

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>**Figure 1.** Interactions entre les différents niveaux du modèle</figcaption></figure>
<table><tr><td><strong>Fiche pédagogique</strong><br>Collectif MAPS</td><td><strong>Modèle Bestiole</strong></td><td>Mai 2014</td></tr><tr><td></td><td></td><td>MAPS 4</td></tr><tr><td><img src="map_image.png" alt="A map with various symbols: a tortoise, a turtle, and a map with a black area in the center."></td><td><img src="insect_image.png" alt="A yellow and black insect with a black head, wings, and a tail."></td><td></td></tr></table>

## Modèle d'utilisation du sol

Le territoire est composé de 5 types d'occupation du sol différents : forêt, friche/jachère, cultures, bâti imperméable à la diffusion des collemboles (habitat ou routes classiques), bâti perméable (routes à "collemboducs"*). La végétation peut prendre plusieurs états successifs en fonction :

* des actions anthropiques effectuées sur le milieu (couper, mettre en culture, etc.)

* de la dynamique naturelle de la végétation (ex : une friche se transforme progressivement en forêt, conséquence de l'abandon des usages du sol).

Des aléas naturels (feu, inondation) peuvent également provoquer le passage d'un état à un autre (fig. 2).

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>**Figure 2.** Dynamique de la végétation</figcaption></figure>

<footnote>* A l'instar des crapauducs, le collemboduc est un passage faunistique passant sous une route, qui permet aux collemboles de passer d'un champ à un autre en évitant d'être aplati par une voiture.</footnote>
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## Modèle biologique des Collemboles

Trois espèces de collemboles évoluent sur l'espace considéré : les collG (espèce généraliste qui s'adapte à tous les milieux, à l'exception des routes et bâtis), les collA (collembole à préférence agricole) et les collF (collemboles à préférence forestière). Elles sont caractérisées par des taux de croissance différents et des espaces de vie privilégiés (Tab. I).

<table><caption>**Tableau 1.** Adaptabilité des espèces de Collemboles en fonction du milieu (++ très forte adaptabilité, + forte adaptabilité, adaptabilité moyenne, - peu ou pas d'adaptabilité)</caption><thead><tr><th></th><th>Forêt</th><th>Friche/<br>jachère</th><th>Agricole</th><th>Bâti imp.</th><th>Bâti perm.</th></tr></thead><tbody><tr><th>Coll G</th><td>.</td><td>.</td><td>.</td><td>-</td><td>.</td></tr><tr><th>Coll A</th><td>-</td><td>+</td><td>++</td><td>-</td><td>.</td></tr><tr><th>Coll F</th><td>++</td><td>+</td><td>-</td><td>-</td><td>.</td></tr></tbody></table>

## Évolution des populations de Collemboles

La fonction de croissance des collemboles est une adaptation de la fonction de croissance logistique de Verhulst (Verhulst, 1838), de manière à signifier une compétition inter-spécifique sur une parcelle. Elle s'exprime de la manière suivante :

$$Y(a, t+1) = Y(a, t) + r \cdot Y(a, t) \cdot \left[ \frac{1 - \sum_i Y(i, t)}{K} \right]$$

$$Y(b, t+1) = Y(b, t) + r \cdot Y(b, t) \cdot \left[ \frac{1 - \sum_i Y(i, t)}{K} \right]$$

$$Y(c, t+1) = Y(c, t) + r \cdot Y(c, t) \cdot \left[ \frac{1 - \sum_i Y(i, t)}{K} \right]$$
<table><tr><td><strong>Fiche pédagogique</strong><br>Collectif MAPS</td><td><strong>Modèle Bestiole</strong><br>Mai 2014<br>MAPS 4</td></tr><tr><td><img src="map_image.png" alt="A map with various symbols: tortoises, turtles, and maps"></td><td><img src="insect_image.png" alt="A yellow and black insect with a black head and legs, and a white body with black spots on its wings"></td></tr></table>

Y est la taille de la population à un instant $t$,

a, b, c population de Collemboles généraliste, agricole, forestière respectivement,

r est le taux de croissance d'une population donnée (cf. tableau II),

K est la capacité maximale d'accueil (ou capacité de charge) d'une unité de paysage.

La taille de la population d'une espèce de Collembole donnée (a, b ou c) dépend du taux de croissance (Tab. II) de cette espèce à un instant $t$ et du nombre d'individus total par rapport à la capacité d'accueil de l'unité paysagère considérée.

<table><caption>**Tableau 2.** Fonction de croissance des Collemboles selon l'espèce et le type d'utilisation du sol</caption><thead><tr><th></th><th>Forêt</th><th>Friche/Jachère</th><th>Agricole (P/C)</th><th>Bâti imp.</th><th>Bâti perm.</th></tr></thead><tbody><tr><th>Coll G</th><td>0.2</td><td>0.2</td><td>0.2</td><td>0</td><td>0.2</td></tr><tr><th>Coll A</th><td>0</td><td>0.35</td><td>0.5</td><td>0</td><td>0.2</td></tr><tr><th>Coll F</th><td>0.5</td><td>0.35</td><td>0</td><td>0</td><td>0.2</td></tr></tbody></table>

## Evaluation de la biodiversité au sein du modèle

Dans le modèle, l'évaluation de l'état de la biodiversité s'effectue à partir de l'indice de diversité de Hill (1973) qui associe les indices de Shannon-Weaver (Frontier, 1983) et de Simpson (1949), et qui s'exprime de la manière suivante :

$$Hill = (1/\lambda)/e^{H'}$$

$\lambda$ : indice de Simpson (sensible aux espèces abondantes).

$e^{H'}$ : exponentiel de l'indice de Shannon-Weaver (sensible aux espèces rares).

où $\lambda$ s'exprime de la manière suivante :
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle Bestiole

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Mai 2014

MAPS 4

$$ \lambda = \sum \frac{N_i(N_i-1)}{N(N-1)} $$

*Ni* : nombre d'individus de l'espèce donnée.

*N* : nombre total d'individus.

et où *H'* (indice de Shannon-Weaver) s'exprime de la manière suivante :

$$ H' = - \sum \left( \frac{N_i}{N} * \ln\left(\frac{N_i}{N}\right) \right) $$

*Ni* : Nombre d'individus d'une espèce donnée

*i* : allant de 1 à *S*

*N* : Nombre total d'individus

L'indice de Shannon-Weaver (*H*') est compris entre 0 et 1. Il est maximal quand les espèces ont des abondances identiques dans le peuplement et il est minimal quand une seule espèce domine tout le peuplement.

L'indice de Simpson (λ) mesure la probabilité que deux individus sélectionnés au hasard appartiennent à la même espèce. Il est de 0 pour indiquer le maximum de diversité, et de 1 pour indiquer le minimum de diversité.

L'indice de Hill est une mesure de l'abondance proportionnelle. Il permet d'obtenir une vue précise de la diversité observée. L'inverse de Simpson (1/λ) permet la mesure du nombre effectif d'individus très abondants, et l'exponentielle de Shannon-Weaver (e^λ) permet de mesurer le nombre effectif d'individus abondants et des espèces rares.

Plus l'indice de Hill s'approche de la valeur 1, et plus la diversité est faible.

Afin de faciliter l'interprétation, on utilisera l'indice 1-Hill, où la diversité maximale sera représentée par la valeur 1, et la diversité minimale par la valeur 0 (Grall, Hily, 2003).
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle Bestiole

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Mai 2014

MAPS 4

## Les acteurs du jeu de rôle

Le jeu mobilise trois types d'acteurs différents (agriculteur, aménageur, forestier) et un animateur. Les acteurs agissent sur l'espace et font évoluer la biodiversité en fonction de leurs stratégies de gestion, certaines étant plus favorables à la biodiversité, d'autres ayant tendance à faire diminuer celle-ci.

Rappelons que chaque acteur (agriculteur, forestier, aménageur) a pour objectif d'augmenter ses revenus à l'aide d'actions propres à son rôle (cultiver, aménager, couper...). Les revenus des acteurs sont basés sur ces actions et présentés dans le tableau III.

1. Les actions possibles de l'agriculteur sont : acheter, vendre une/des parcelles, mettre en culture, mettre en friche.

2. Les actions possibles du forestier sont : acheter, vendre une/des parcelles, couper une parcelle de forêt, planter une parcelle.

3. Les actions possibles de l'aménageur sont : acheter une/des portions de parcelles. Une fois qu'il a suffisamment de portions achetées pour rejoindre un bord de la carte au hameau central, il peut entreprendre la construction de sa route. L'aménageur peut réaliser deux types de routes : des routes classiques ou à collemboducs.

Enfin, l'aménageur peut convoquer les autres acteurs pour une réunion de négociation.

<table><thead><tr><th></th><th>Situation financière initiale</th><th>Dépenses</th><th>Coût d'une action</th><th>Recettes</th><th>Coût</th></tr></thead><tbody><tr><td>Agriculteur</td><td>100</td><td>- achat d'une parcelle<br>- mise en culture d'une parcelle</td><td>-50<br>-10</td><td>- vente d'une parcelle<br>- mise en culture<br>- mise en friche<br>- maintien d'une parcelle en culture</td><td>+50<br>+5<br>0<br>0</td></tr><tr><td>Forestier</td><td>100</td><td>- achat d'une parcelle<br>- planter une parcelle de</td><td>-50<br>-10</td><td>- vente d'une parcelle<br>- coupe d'une parcelle</td><td>+50<br>+25</td></tr></tbody></table>
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle Bestiole

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Mai 2014

MAPS 4

<table><caption>**Tableau 3.** Récapitulatif des possibilités financières de chaque joueur
(Situation financière initiale, recettes et dépenses possibles)</caption><tr><td></td><td>forêt</td><td></td><td>de forêt (tous les 15 ans)<br/>- maintien d'une friche<br/>- maintien d'une forêt</td><td>0<br/>0</td></tr><tr><td>Aménageur</td><td>1000</td><td>- achat d'une portion de parcelle<br/>- construction d'une route classique<br/>- construction d'une route Collemboduc</td><td>- Impôt de route classique<br/>- Impôt de route Collemboduc</td><td>+5<br/>/patch<br/>+5<br/>/patch</td></tr></table>

## Déroulement du jeu

Le jeu de rôle se déroule de la manière suivante :

1. Un rôle est attribué de manière aléatoire à chaque joueur au début du jeu.

2. Chaque joueur bénéficie d'une cagnotte variable en fonction du rôle (cf. tableau III) ainsi que d'une fiche décrivant son rôle, ses objectifs et ses connaissances.

3. Le jeu se déroule par tour. Un tour correspond à cinq années. A chaque tour, les joueurs peuvent effectuer un maximum de cinq actions. Ces actions sont variables en fonction du rôle.

4. A la fin de chaque tour, le total des entrées/sorties financières est disponible sur le compte de chaque acteur.

5. Comme l'objectif du jeu est de converger vers une coopération entre joueur, il n'y a pas de vainqueur ou de perdant à titre individuel. Le jeu s'arrête au bout de *n* tours, *n* étant fixé par le maître du jeu entre 5 et 10 tours de préférence.

Les fiches-joueurs sont en annexe.
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## D. Conclusion

Le jeu de rôle Bestiole permet d'explorer pédagogiquement les effets d'un aménagement sur la biodiversité.

Il permet à la fois de sensibiliser les étudiants/usagers à la protection d'une espèce vulnérable et à la conservation de son habitat et favorise les échanges entre acteurs et usagers du territoire dans la prise de décision collective.

L'approche participative dans une perspective de conservation de la biodiversité et de l'amélioration des services écosystémiques peut être considérée comme un processus favorable à l'intégration du modèle social.

## E. Bibliographie

Grall J., Hily C., 2003, *Traitement des données stationnelles (faune)*, fiche technique, 10 p., ftp://ftp.ifremer.fr/ifremer/delao/gt_benthos_dce/FT10-2003-01.pdf

Frontier S. 1983. "L'échantillonnage de la diversité spécifique", In *Statégie d'échantillonnage en écologie*, Frontier et Masson édit., Paris (Coll. D'Ecologie), XVIII + 494 p.

Hill M.O., 1973, "Diversity and evenness : a unifying notation and its consequences", *Ecology*, 54(2), 427-432.

Simpson E. H., 1949, "Measurement of diversity", *Nature*, 163, 688-688.

Verhulst P.F., 1838, "Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement", in *Correspondance mathématique et physique*, n°10, p.113-121
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# Annexes

## Contexte

Le Morvan est un espace à forte dominance agricole, dans lequel cohabitent agriculteurs, forestiers et aménageurs. Ces acteurs ont chacun des activités leur permettant d'atteindre un objectif économique (revenu). Celui-ci peut être modulé par un système de bonus/malus lié à des actions favorisant ou pénalisant le maintien d'un niveau de biodiversité élevé.

Les collemboles - 2200 espèces en Europe - très présents dans cette zone, sont un indicateur intéressant de la biodiversité. Ils contribuent à la dissémination et à la régulation de la microflore du sol (bactéries, champignons) et jouent un rôle majeur dans la circulation des nutriments (azote, phosphore, potassium, etc.), assurant ainsi la mise à disposition d'éléments essentiels pour la nutrition des végétaux. En l'absence de ces animaux, un grand nombre d'éléments resterait immobilisé au sein de la biomasse microbienne.

Dans la région du Morvan cohabitent trois espèces de collemboles. Chacune de ces espèces a ses propres caractéristiques. Par exemple, certains collemboles spécialisés s'épanouissent dans les milieux correspondants mais périclitent dans d'autres milieux, au contraire des collemboles généralistes. Elles ont aussi chacune, une mortalité et un taux de reproduction propre.

La modification brusque d'une unité paysagère a des impacts négatifs immédiats et importants sur les colonies de collemboles. Ces modifications sont la résultante d'actions d'agriculteurs, d'aménageurs ou de forestiers.

Chaque acteur doit donc être capable de gérer en parallèle son activité principale, qui génère son revenu, et un niveau de biodiversité intéressant ; ce dernier générant un bonus ou un malus sur son revenu en fonction du résultat.

Si la génération du revenu est liée à l'action individuelle des joueurs, la génération du bonus/malus écologique résulte pour beaucoup d'actions collectives afin de limiter au plus les modifications trop brusques des unités paysagères ou de maintenir un niveau de diversité paysagère qui favorise les collemboles dans les différents milieux.
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## Fiche Maître du jeu

### Objectifs du maître du jeu

Le maître du jeu est responsable du déroulement du jeu de rôle. Il lance les tours lorsque chacun des acteurs a réalisé 5 actions et définit les paramètres nécessaires au bon déroulement du jeu. Il explique les règles aux différents participants du jeu. Le maître du jeu doit avoir une bonne connaissance de la modélisation multi-agents et de la plateforme NetLogo, mais aussi des dynamiques en jeu (végétation, collemboles) et les règles et actions de chacun des acteurs, pour que le jeu se déroule dans de bonnes conditions.

### Actions

L'interface du maître du jeu lui permet d'agir sur un certain nombre de paramètres. Par ailleurs, il sait à qui appartiennent les parcelles du territoire modélisé.

### Informations

Le maître du jeu a la connaissance de toutes les règles du jeu, ce qui n'est pas le cas de l'ensemble des acteurs (par exemple, l'agriculteur sait que l'espèce de collemboles à préférence agricole se développe plus favorablement sur des parcelles en culture, alors que le forestier ne le sait pas). Le maître du jeu reçoit l'ensemble des fiches.

Un tour de jeu représente 5 années (5 itérations du modèle, une itération représentant une année). Pendant un tour, chaque acteur a la possibilité de faire 5 actions.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

## Modèle Bestiole

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Mai 2014

MAPS 4

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Capture d'écran du tableau de bord du maitre du jeu</figcaption></figure>

1. Bouton de SETUP, permet d'initialiser le jeu

2. Chargement du jeu, les données géographiques et les données de la simulation sont chargées

3. Lancement du jeu

4. Permet de lancer un nouveau tour, lorsque les participants ont chacun utilisé l'ensemble de leurs actions

5. Permet de voir le nombre de tours restant (5 tours par participants)

6. Permet au GM de faire varier un ensemble de dépenses

7. Permet au GM de faire varier un ensemble de recettes

8. Permet au GM de personnaliser le nombre d'actions par tour

9. Permet de définir le nombre d'agriculteurs

10. Permet d'augmenter ou réduire le crédit de l'aménageur
<figure><img src="image_34.png" /></figure>

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

## Fiche aménageur

<table><thead><tr><td>Objectifs communs</td><td>Objectifs de l'aménageur</td></tr></thead><tbody><tr><td>Maintenir un bon niveau global de biodiversité. Si celui-ci est atteint, l'aménageur perçoit une prime. Sinon, il doit payer une amende.</td><td>Cet agent a pour objectif un revenu bonifié. Ce qui relève du revenu est lié à des stratégies personnelles, ce qui relève du bonus/malus est lié à des stratégies collectives. Son revenu est lié à une rente qui est fonction du nombre de patches "route" ou "routes à collemboduc"</td></tr></tbody></table>

### Actions

A chaque tour de jeu, chaque acteur peut réaliser 5 actions (correspondant à 5 clics de souris). L'aménageur peut :

1. Construire des routes meurtrières ou à collemboducs

2. Acheter des parcelles

Le curseur "taille-crayon" permet de définir la taille des parcelles à modifier.

L'aménageur doit préalablement acheter des parcelles entre le village et un bord du modèle avant de pouvoir construire des routes.

En plus des actions suscitées, directement liées à la simulation, l'aménageur peut, s'il le souhaite, provoquer des réunions entre acteurs.

### Informations

Au début de la partie, chaque acteur possède une somme d'argent (en collemboyards).

L'indicateur de biodiversité de l'aménageur dépend de l'abondance et de la diversité de collemboles décomptés sur l'ensemble des parcelles du territoire étudié.
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

## Modèle Bestiole

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

Mai 2014

MAPS 4

<table><thead><tr><td>Situation financière initiale</td><td>Dépenses</td><td>Coût d'une action</td><td>Recettes</td><td>Coût</td></tr></thead><tbody><tr><td>1000</td><td>-achat d'une portion de parcelle<br/>-construction d'une route classique<br/>-construction d'une route Collemboduc</td><td>-50<br/>-50<br/>-70</td><td>-Impôt de route classique<br/>-Impôt de route Collemboduc</td><td>+5/patch<br/>+5/patch</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>Tableau de bord de l'aménageur en début de partie.</figcaption></figure>

1. Votre rôle

2. Le nombre d'action qu'il vous reste à effectuer

3. Votre budget

4. La liste des actions que vous pouvez effectuer
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

## Modèle Bestiole

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

Mai 2014

MAPS 4

5. Votre vue du territoire

6. Les informations que transmet le maitre de jeu

7. Si vous ne souhaitez pas effectuer l'ensemble de vos actions (les 5 à la fois)

8. Permet de sélectionner l'ensemble d'une parcelle lorsque le Switch est sur ON

9. La taille de votre crayon, qui vous permet d'effectuer des actions et les localiser dans la vue

## Fiche Forestier

<table><thead><tr><td>Objectifs communs</td><td>Objectifs du forestier</td></tr></thead><tbody><tr><td>Maintenir un bon niveau global de biodiversité. Si celui-ci est atteint pour ses parcelles, le forestier perçoit une prime. Sinon, il doit payer une amende.</td><td>Comme les autres acteurs, cet agent a pour objectif un revenu bonifié. Ce qui relève du revenu est lié à des stratégies personnelles, ce qui relève du bonus/malus est lié à des stratégies collectives.</td></tr></tbody></table>

### Actions

A chaque tour de jeu, chaque acteur peut réaliser 5 actions (correspondant à 5 clics de souris). Le forestier peut :

1. Planter

2. Couper et planter

3. Couper et mettre en friche

4. Vendre une parcelle

5. Acheter une parcelle

Le curseur "taille-crayon" permet de définir la taille des parcelles à modifier.

### Informations

Au début de la partie, chaque acteur possède une somme d'argent (en collemboyards).
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

## Modèle Bestiole

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

Mai 2014

MAPS 4

Connaissances sur les espèces spécialistes du milieu forestier : les collemboles "forestières" (CollF) se développent préférentiellement en milieu forestier (forêt). Ils peuvent néanmoins être rencontrés sur les parcelles de friche et jachère et sur les routes avec collemboducs<fnref n="1" />.

Une friche devient une forêt en 3 tours de jeu (soit 15 ans), une forêt ne peut donc être coupée qu'au bout de 3 tours.

L'indicateur de biodiversité du forestier dépend de l'abondance et de la diversité de collemboles décomptés sur les différentes parcelles lui appartenant.

<table><thead><tr><td>Situation financière initiale</td><td>Dépenses</td><td>Coût d'une action</td><td>Recettes</td><td>Coût</td></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">100</td><td rowspan="2">-achat d'une parcelle</td><td rowspan="2">-50</td><td>-vente d'une parcelle</td><td>+50</td></tr><tr><td>-coupe d'une parcelle de forêt (tous les 15 ans)</td><td>+25</td></tr><tr><td rowspan="2">-planter une parcelle de forêt</td><td rowspan="2">-10</td><td>-maintien d'une friche</td><td>0</td></tr><tr><td>-maintien d'une forêt</td><td>0</td></tr></tbody></table>

<footnote n="1">¹ Le collemboduc est un système facilitant le passage de collemboles d'une rive à l'autre de la route.</footnote>
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

## Modèle Bestiole

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

Mai 2014

MAPS 4

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>Tableau de bord du forestier en début de partie</figcaption></figure>

<table><tr><td>1</td><td>Votre rôle</td></tr><tr><td>2</td><td>Le nombre d'action qu'il vous reste à effectuer</td></tr><tr><td>3</td><td>Votre budget</td></tr><tr><td>4</td><td>La liste des actions que vous pouvez effectuer</td></tr><tr><td>5</td><td>Votre vue du territoire</td></tr><tr><td>6</td><td>Les informations que transmet le maitre de jeu</td></tr><tr><td>7</td><td>Si vous ne souhaitez pas effectuer l'ensemble de vos actions (les 5 à la fois)</td></tr><tr><td>8</td><td>Permet de sélectionner l'ensemble d'une parcelle lorsque le Switch est sur ON</td></tr><tr><td>9</td><td>La taille de votre crayon, qui vous permet d'effectuer des actions et les localiser dans la vue</td></tr></table>
<figure><img src="image_46.png" /></figure>

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

## Fiche Agriculteur

<table><thead><tr><td>Objectifs communs</td><td>Objectifs de l'agriculteur</td></tr></thead><tbody><tr><td>Maintenir un bon niveau global de biodiversité. Si celui-ci est atteint pour ses parcelles, l'agriculteur perçoit une prime. Sinon, il doit payer une amende.</td><td>Cet agent a pour objectif de maximiser son revenu. Ce qui relève du revenu est lié à des stratégies personnelles, ce qui relève du bonus/malus est lié à des stratégies collectives. Son revenu est corrélé à la mise en culture de ses parcelles : une parcelle cultivée apporte une rente à chaque tour.</td></tr></tbody></table>

### Actions

A chaque tour de jeu, chaque acteur peut réaliser 5 actions (correspondant à 5 clics de souris). L'agriculteur peut :

1. Mettre en culture des parcelles

2. Mettre en friche des parcelles

3. Vendre des parcelles

4. Acheter des parcelles

Le curseur "taille-crayon" permet de définir la taille des parcelles à modifier.

### Informations

Connaissances sur les espèces spécialistes du milieu agricole : les collemboles "agricoles" (CollA) se développent préférentiellement en milieu agricole (cultures). Ils peuvent néanmoins être rencontrés sur les parcelles en friche et jachère et sur les routes avec collemboducs (système facilitant le passage de collemboles d'une rive à l'autre de la route).

L'indicateur de biodiversité de l'agriculteur dépend de l'abondance et de la diversité de collemboles décomptés sur les différentes parcelles lui appartenant.

<table><thead><tr><td>Situation financière initiale</td><td>Dépenses</td><td>Coût d'une action</td><td>Recettes</td><td>Coût</td></tr></thead><tbody><tr><td>1000</td><td>-achat d'une parcelle<br/>-mise en culture d'une parcelle</td><td>-50<br/>-10</td><td>-vente d'une parcelle<br/>-mise en culture<br/>-mise en friche<br/>-maintien d'une parcelle en culture</td><td>+50<br/>+5<br/>0<br/>0</td></tr></tbody></table>
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

## Modèle Bestiole

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

Mai 2014

MAPS 4

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Tableau de bord de l'agriculteur en début de partie.</figcaption></figure>

<table><tr><td>1</td><td>Votre rôle</td></tr><tr><td>2</td><td>Le nombre d'action qu'il vous reste à effectuer</td></tr><tr><td>3</td><td>Votre budget</td></tr></table>
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

## Modèle Bestiole

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

Mai 2014

MAPS 4

<table><tr><td>4</td><td>La liste des actions que vous pouvez effectuer</td></tr><tr><td>5</td><td>Votre vue du territoire</td></tr><tr><td>6</td><td>Les informations que transmet le maitre de jeu</td></tr><tr><td>7</td><td>Si vous ne souhaitez pas effectuer l'ensemble de vos actions (les 5 à la fois)</td></tr><tr><td>8</td><td>Permet de sélectionner l'ensemble d'une parcelle lorsque le Switch est sur ON</td></tr><tr><td>9</td><td>La taille de votre crayon, qui vous permet d'effectuer des actions et les localiser dans la vue</td></tr></table>
<figure><img src="image_53.png" /></figure>
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

## Modèle Christaller

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

Mars 2014

MAPS 3

**Domaine d'application** : Géographie, Géographie urbaine, Analyse spatiale

**Spécificité pédagogique** : Implémentation informatique d'un modèle de base de l'enseignement en géographie et économie régionale, mais décrit sous une forme discursive essentiellement

**Niveau du public visé** : Débutant

**Niveau thématique** : Facile

**Nom du modèle correspondant** : living Christaller

**Version NetLogo nécessaire** : Netlogo 5.0.4

**Auteurs** : Arnaud Banos (Géographie-Cités, Paris), Diego Moreno (UMR ESPACE, Nice), Cyril Pivano (PRODIG, CNRS, Paris), Patrick Taillandier (UMR IDEES, Paris)

**Publication** : Banos Arnaud, Moreno Diego, Pivano Cyril, Taillandier Patrick, 2011, Christaller, still alive !, Cybergeo, http://cybergeo.revues.org/24878

## Le « modèle » de Christaller

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

1

<footnote n="1">¹ Walter Christaller, Die zentralen Orte in Süddeutschland. Eine ökonomisch-geographische Untersuchung über die Gesetzmäßigkeit der Verbreitung und Entwicklung der Siedlungen mit städtischen Funktionen, Darmstadt, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1933</footnote>
<figure><img src="image_57.png" /></figure>
<figure><img src="image_58.png" /></figure>

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>A.</td><td>DESCRIPTION DU MODÈLE (THÉORIE DES LIEUX CENTRAUX)</td><td>35</td></tr><tr><td>B.</td><td>CONTEXTUALISATION ET IMPLÉMENTATION DU MODÈLE</td><td>37</td></tr><tr><td></td><td>Contextualisation</td><td>37</td></tr><tr><td></td><td>Implémentation</td><td>38</td></tr><tr><td>C.</td><td>FNCTIONNEMENT DU MODÈLE</td><td>39</td></tr><tr><td></td><td>Procédures d'initialisation</td><td>39</td></tr><tr><td></td><td>Procédures itérées par le modèle</td><td>40</td></tr><tr><td></td><td>Affectation des consommateurs aux producteurs</td><td>40</td></tr><tr><td></td><td>Evaluation de la satisfaction des producteurs</td><td>41</td></tr><tr><td></td><td>Relocalisation</td><td>42</td></tr><tr><td>D.</td><td>EXPLORATION DU MODÈLE</td><td>43</td></tr><tr><td></td><td>La variable d'ajustement (Adjustement factor)</td><td>43</td></tr><tr><td></td><td>Distance ou prix</td><td>43</td></tr><tr><td>E.</td><td>APPORTS DU MODÈLE</td><td>44</td></tr><tr><td>F.</td><td>BIBLIOGRAPHIE</td><td>45</td></tr></table>
<figure><img src="image_60.png" /></figure>
<figure><img src="image_61.png" /></figure>

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

La théorie des lieux centraux de Christaller est la première tentative d'explication systématique de l'organisation spatiale d'un système de villes à partir de principes économiques. Il cherche à démontrer qu'il existe une relation entre la localisation des villes et leur position dans la hiérarchie.

## A. Description du modèle (théorie des lieux centraux)

Le modèle de Christaller s'inscrit dans la théorie des lieux centraux (Central Places Theory) développée par le géographe allemand Walter Christaller au début du XXème siècle. Cette théorie vise à expliquer certaines régularités observées par Christaller quant à la taille, au nombre et à la localisation des villes. Les villes (définies comme des lieux centraux) sont vues comme pourvoyeuses de biens et services aux campagnes environnantes. Afin de démontrer les régularités observées (notamment en termes de localisation), Christaller fixe un nombre de lieux centraux et de niveaux hiérarchiques, selon les termes suivants :

$$N_t = K^t$$

Avec $N_t$ le nombre de lieux centraux de niveau hiérarchique $t$, et $K$ le nombre de niveaux hiérarchiques. Ainsi, dans un système de hiérarchie 3, on trouvera 3 lieux centraux de niveaux 1, 9 lieux centraux de niveau 2 et 27 lieux centraux de niveau 3.

Sur cette base, Christaller pose les principes suivants :

1. L'espace géographique est homogène (isotrope)

2. La population et les ressources sont uniformément distribuées

3. Les consommateurs sont identiques et maximisateurs

4. Les prix sont fixés et aucun producteur ne peut réaliser de marge excédentaire (concurrence parfaite)

5. Les coûts de transport des biens urbains sont à charge du consommateur rural

6. Il existe des économies d'échelles dans la production (i.e. le coût de production de certains produits décroît avec la quantité produite)
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

## Modèle Christaller

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

Mars 2014

MAPS 3

7. Un lieu central de niveau t produit également des biens de niveau inférieur (dans un système de profondeur 3 ($k = 3$) les lieux de niveau 1 produiront ainsi des biens de niveau 1, 2 et 3, tandis que les lieux de niveaux 2 ne produiront que des biens de niveau 2 et 3 et les lieux à la base de la hiérarchie ne produiront que des biens de niveau 3).

Lieu de niveau 1

Produit des biens et des services
de niveau 1 à k

Lieu de niveau 2

Produit des biens et des services
de niveau 2 à k

Lieu de niveau k

Produit des biens et des services
de niveau k

Ces principes simples ont des conséquences directes importantes.

Ainsi, les principes 3, 4 et 5 impliquent que les consommateurs vont minimiser les coûts de transport et privilégier les lieux centraux les plus proches.

En ajoutant le principe 6 (existence d'économies d'échelles), on obtient un nombre limité de producteurs ravitaillant les consommateurs les plus proches. L'ajout des principes 1 et 2 entraîne alors que ces producteurs seront régulièrement espacés. Christaller montre alors que l'hexagone est la figure géométrique permettant de couvrir l'espace de manière optimale, afin que toute la population soit desservie.
<figure><img src="image_65.png" /></figure>

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

On notera que, dans ce système, la situation de concurrence parfaite est obtenue lorsque l'espace est desservi par un nombre maximum de lieux centraux, offrant des biens centraux identiques à des prix identiques et à des populations localisées dans des territoires hexagonaux de taille identique<fnref n="2" />.

## B. Contextualisation et implémentation du modèle

### Contextualisation

La théorie des lieux centraux a eu un grand retentissement dans l'étude de l'organisation spatiale des territoires. Les travaux de Christaller ont connu de nombreuses réinterprétations, dont la plus connue est celle de Lösch (1954). Ils ont été aussi l'objet de nombreuses critiques :

**Le modèle de Christaller n'est pas un modèle.**

En effet, Christaller n'a jamais utilisé le mot modèle pour décrire sa théorie. Cependant, cette théorie représente une explication d'une répartition théorique à partir de lois économiques, et cela est en soi un modèle. La démonstration géométrique de son schéma n'est pas complète, mais ce schéma se base sur des principes clairement énoncés.

<footnote n="1">1 http://uprav ff.cuni.cz/?q=system/files/christaller.pdf</footnote>

<footnote n="2">2 Christaller a par ailleurs discuté un certain nombre d'autres principes dont nous ne parlerons pas ici.</footnote>
<figure><img src="image_68.png" /></figure>

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

## La répartition proposée par Christaller ne se retrouve pas dans la réalité.

Christaller a montré que la répartition théorique se rapprochait de la répartition réelle des villes du sud de l'Allemagne. Certaines études ont montré que cette répartition se retrouve dans d'autres régions du monde (Moindrot, 1977). Christaller a expliqué l'éloignement de la répartition réelle par rapport à la répartition théorique par des facteurs qui n'ont pas été pris en compte dans sa théorie, comme la répartition inégale de la densité de population dans le territoire.

## Dans la réalité, les villes ne se déplacent pas.

Les villes ne se déplacent pas, mais les lieux centraux peuvent émerger ou décliner en fonction de leur position relative. De nos jours, les structures de production peuvent se relocaliser de manière à satisfaire la demande et augmenter leur part de marché, même si d'autres facteurs comme la diminution des coûts de production (non pris en compte par Christaller) peuvent prendre le dessus.

## Dans la réalité les prix sont différents d'un producteur à un autre.

L'hypothèse d'un marché parfait est le principe fondamental dans le modèle de Christaller, mais il est possible de relâcher cette hypothèse.

## Implémentation

Dans l'implémentation proposée, nous simulons l'émergence de lieux centraux à partir du comportement de deux types d'agents : les consommateurs et les producteurs. Les consommateurs cherchent à satisfaire leurs besoins en s'approvisionnant d'un bien auprès du producteur le plus proche, tandis que les producteurs se relocalisent afin de se rapprocher d'une quantité de consommateurs suffisante pour assurer leur part de marché. L'algorithme général est le suivant (Figure 1) :
<figure><img src="image_70.png" /></figure>

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>Figure 3. Algorithme général du modèle</figcaption></figure>

## C. Fonctionnement du modèle

### Procédures d'initialisation

Le bouton « Setup » crée des agents représentant des consommateurs et les répartit régulièrement dans l'espace de simulation. Les producteurs sont ensuite créés, en fonction des 3 niveaux hiérarchiques définis par Christaller. Les centres de productions sont tous positionnés aléatoirement au moment de leur création.
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

## Modèle Christaller

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

Mars 2014

MAPS 3

Les producteurs sont créés en respectant la règle liant l'effectif et le nombre de niveau dans la hiérarchie ($N_t = K^t$). Le nombre de producteurs de chaque niveau est fixé à 27 pour les producteurs de niveau 3 (en rouge), à 9 pour les producteurs de niveau 2 (en jaune) et à 3 pour les producteurs de niveau 1 (en vert).

## Procédures itérées par le modèle

Une itération du modèle se compose de trois étapes. Premièrement, chaque consommateur choisit le centre de production qui se trouve le plus proche, et ce pour chacun des niveaux. A l'issue de cette phase d'affectation, chaque producteur détermine s'il est satisfait de sa localisation ou non. En cas d'insatisfaction, le centre de production se déplace. La simulation prend fin lorsque tous les centres de production sont satisfaits (équilibre).

### Affectation des consommateurs aux producteurs.

Dans la théorie de Christaller, chacun des consommateurs d'un bien choisit le producteur le plus proche parmi tous les sites de production existants. Dans cette implémentation, ce choix se traduit par la création d'un lien entre chaque consommateur et le producteur le plus proche. Ces liens peuvent être affichés ou dissimulés selon le niveau hiérarchique à observer via le panel « Links ».

Rappelons qu'une des règles de ce modèle est celle de la concurrence parfaite. Les prix des biens et des services sont identiques selon les producteurs. Cette implémentation propose de relâcher également cette hypothèse. Une série de curseurs intitulée « *Distance or Price* » permet de changer le comportement des consommateurs. Lorsqu'ils sont réglés à 0, ils privilégient la distance. Paramétrés à 1, ils privilégient le prix. Les prix pratiqués par les producteurs sont alors directement calculés dans la routine comme l'inverse du nombre de leurs consommateurs.

Les consommateurs choisissent le producteur minimisant ce rapport.

Distance au producteur le plus proche

<footnote>(Taille du monde × (1- paramètre calibrant la préférence)) + (prix du service 1 × paramètre calibrant la préférence)</footnote>
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

## Modèle Christaller

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

Mars 2014

MAPS 3

La distance au producteur le plus proche est pondérée par la taille du monde. Celle-ci est également pondérée par l'utilisateur à l'aide des deux expressions en gras. Remarquons qu'ils contiennent le même paramètre. De cette manière, si l'un est élevé (le maximum est 1) le deuxième ne peut l'être également : si le paramètre est à 0 alors le premier membre est égal à 1 et le résultat du deuxième est 0. Ainsi la distance la plus proche est simplement pondérée par la taille du monde.

A l'inverse, un paramétrage à 1 donne pour le premier membre 0 et 1 pour le deuxième (N.B. le prix du service est l'inverse du nombre de consommateurs et peut donc être inférieur à 1). Dans ce cas, la taille du monde est égale à 0 et la distance est pondérée par le prix des biens. En somme, un paramètre calibrant la préférence à zéro implique une préférence pour minimiser la distance et un paramètre à 1 donne une préférence pour le prix.

## Evaluation de la satisfaction des producteurs

Afin d'évaluer la satisfaction des centres de productions, nous suivons à la lettre l'hypothèse 4 : les prix sont fixes et aucun producteur ne réalise de marge excédentaire. Comme nous venons de le voir dans la partie précédente, il faut néanmoins que les paramètres de préférences des individus soient à zéro. Les centres de production sont donc satisfaits dès lors qu'ils ont une part de marché au moins équivalente à celle des autres centres de même niveau. Ainsi, dans le cas où dix centres de production se partageraient un marché de consommation, chacun d'entre eux devrait attirer au moins 10% de la clientèle pour être satisfait. Le seuil de satisfaction S est donc défini par :

$$S = (1 / P_i + a),$$

avec $P_i$ le nombre total de centres producteurs du bien $i$ et $a$ une variable d'ajustement. L'ajout du paramètre $a$ permet, en relâchant légèrement la contrainte d'équi-répartition des consommateurs, d'accélérer la convergence vers un équilibre.

La part de marché d'un producteur est définie par :

$$m_i = c_i / C$$

avec $c_i$ le nombre de consommateurs du producteur $i$ et $C$ le nombre total de consommateurs.

Ainsi, un producteur est satisfait si et seulement si sa part de marché est supérieure au seuil de satisfaction ($m_i > S$).
<table><tr><td><strong>Fiche pédagogique</strong><br>Collectif MAPS</td><td><strong>Modèle Christaller</strong><br> maps</td><td>Mars 2014<br>MAPS 3</td></tr></table>

Si tous les producteurs sont satisfaits, la stabilité est atteinte et le modèle s'arrête. Sinon les producteurs insatisfaits se relocalisent.

## Relocalisation

Cette étape consiste à trouver une meilleure configuration spatiale pour les agents producteurs. Rappelons que cette étape est absente du modèle initial qui est fondamentalement statique. Dans notre modèle, chaque centre de production insatisfait se déplace suivant la règle suivante : si le centre ne se trouve pas déjà au barycentre de son aire de marché (moyenne en *x* et *y* des coordonnées des consommateurs correspondant à son bien de plus haut niveau), il se déplace vers celui-ci afin de se rapprocher de ses consommateurs actuels. S'il se trouve déjà sur celui-ci, il se déplace en direction du centre de production de même niveau qui possède le plus de consommateurs, afin de lui « prendre » des consommateurs. Cette dernière règle permet de sortir d'optimums locaux qui peuvent apparaître lorsque tous les centres se trouvent au barycentre de leur clientèle. Le producteur se déplace d'une distance aléatoire comprise entre 0 et un paramètre D défini par l'utilisateur dans le panel « *Max Distance of relocation* ».
Plus la distance est grande plus le producteur est à même de trouver le producteur ayant le plus de consommateurs.

Le modèle se stabilise lorsque tous les centres de production sont satisfaits.

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>**Figure 4.** Implémentation du modèle de Christaller à base d'agents sur Netlogo 4.1.3</figcaption></figure>
<figure><img src="image_78.png" /></figure>

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

## D. Exploration du modèle

L'exploration du modèle est relativement simple quant au nombre de paramètres à manipuler. La fonction d'ajustement et le choix de considérer la distance ou le prix suffisent néanmoins à observer des phénomènes bien distincts. L'exercice suggéré permet de mieux comprendre l'impact de ces paramètres sur les formes de peuplement obtenues.

### La variable d'ajustement (Adjustement factor)

Ce paramètre influe sur la satisfaction des producteurs, basée sur une distribution uniforme des consommateurs. La variable d'ajustement permet d'assouplir cette contrainte et facilite la convergence vers un équilibre. Elle est définie de la manière suivante :

$$S = 1 / (P_i + a)$$

Ainsi plus la variable d'ajustement est grande plus le ratio sera petit et par conséquent plus le seuil de satisfaction sera facile à atteindre et donc l'équilibre.

### Distance ou prix

Ce critère influe sur le choix des consommateurs. Un critère fixé à 0 représente au mieux l'hypothèse de concurrence parfaite. Les individus choisissent alors les producteurs les plus proches. Un paramétrage à 1 implique au contraire que les consommateurs choisissent le producteur ayant le prix le plus faible. Nous avons choisi de déterminer les prix comme l'inverse du nombre de consommateurs afin d'inclure un principe d'économie d'échelle. Ainsi, à 0 nous retrouvons des formes christallériennes et à 1 nous observons une structure fortement centralisée. Il se met en place une boucle de rétroaction positive. Une fois qu'un producteur met en place des économies d'échelle et baisse son prix alors à chaque itération une partie des consommateurs s'oriente vers celui-ci. Ce qui permet au producteur de baisser à nouveau son prix. Cet effet de centralisation créé un groupe de producteurs mécontents de leur part de marché, amenés à se mouvoir pour attirer une nouvelle clientèle. Pour bien observer l'effet de centralisation il est donc utile de faire apparaître les liens (links) entre producteurs et consommateurs.
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

## Modèle Christaller

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

Mars 2014

MAPS 3

Toujours à l'aide de ce paramètre nous pouvons examiner un phénomène de persistance. Une fois que nous avons obtenu une structure centralisée si nous abaissons plus ou moins la variable l'effet de centralisation ne disparait pas. Nous invitons le lecteur à lancer le modèle avec le paramétrage suivant :

* $Distance_Price_Service1 = 0$

* $maximum_distance_1 = 4$

* $adjustement_factor = 0$

Ensuite, positionnons à 1 le curseur $Distance_Price_Service1$ en cours de simulation. Nous obtenons une structure centralisée. Maintenant, fixons le paramètre à 0,1. La structure reste inchangée, il y a phénomène de persistance. En revanche, si nous abaissons la variable à 0 alors il émerge de nouveau une structure christallérienne. Nous invitons le lecteur à observer de nouveau ce point de rupture en modifiant le $Maximum Distance_1$.

Enfin, une fois compris le fonctionnement de ce paramètre il est intéressant de mettre en place d'autres niveaux de service et d'observer leurs interactions avec les différents paramétrages à tester.

## E. Apports du modèle

Le but du modèle Living Christaller est celui d'illustrer les hypothèses qui fondent la Théorie des Lieux Centraux, notamment ceux du Principe de Marché. Il peut donc être utilisé en complément d'une explication de l'organisation christallérienne de l'espace.

Il est conseillé d'expliquer les principes énoncés dans la partie A de la fiche, puis de permettre à l'étudiant d'explorer le modèle, comme décrit dans la partie D de la fiche.

La partie B de la fiche peut être utilisée pour ouvrir un débat sur la pertinence du modèle de Christaller de nos jours. La présentation des critiques portées sur le modèle devrait permettre à l'étudiant d'adopter une posture critique sur les modèles d'organisation de l'espace. La discussion peut aussi conduire à la proposition de modifications ou d'améliorations du modèle christallérien, afin d'inciter les étudiants à suivre leur propre démarche de modélisation.
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F. Bibliographie

Batty M., 2006, "Hierarchy in cities and city systems", in Pumain D. (Ed.) *Hierarchy in Natural and Social Sciences*, Methodos Series, Volume 3, Springer Netherlands, p. 143-168.

Beckmann M. J., 1958, "City Hierarchies and the Distribution of City Size", In *Economic Development and Cultural Change*, 6, p. 243-248.

Beckmann M. J., McPherson J. C., 1970, "City size distribution in the Central Place hierarchy: an alternative approach", *Journal of Regional Science*, 10, p. 243-248.

Christaller W., 1980, *Le località centrali della Germania meridionale. Un'indagine economico-geografica sulla regolarità della distribuzione e dello sviluppo degli insediamenti con funzioni urbane*, Franco Angeli Editore, Milano, Italia.

Haggett P., Cliff A. D., Frey A., 1977, *Locational Analysis in Human Geography 1: Locational Methods*, Edward Arnold (Publishers) Ltd, London.

Haggett P., Cliff A. D., Frey A., 1977, *Locational Analysis in Human Geography 2: Locational Models*, Edward Arnold (Publishers) Ltd, London.

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Lösch A., 1954, *The economics of location*, Yale University Press, New Haven, CT.

Michlakis M., Nicolas G., 1986, *Le cadavre exquis de la centralité: l'adieu à l'hexagone régulier, Eratosthène-Sphragide 1*, Lausanne, p. 38-87.

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<figure><img src="image_85.png" /></figure>

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Sonis M., 1986, *A Contribution to the central place Theory: Super-imposed Hierarchies, Structural Stability, Structural Changes and Catastrophies in central place Hierarchical Dynamics*, in R. Funck and A. Kuklinsky (Eds), "Space-Structure-Economy: A Tribute to Alfred Lösch", Karlsrhue Papers in Economic Policy Research, p. 159-176.

Sonis M., 2005, *Central Place Theory after Christaller and Lösch: Some further explorations*, Act of 45th Congress of the Regional Science Association, 23-27 August 2005, Vrije Universiteit Amsterdam, p. 1-30.

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Wilson A. G., 1978, "Spatial interaction and settlement structure: towards an explicit central place theory", in *Spatial interaction theory and planning models, North Holland*, Amsterdam, p. 137-156.
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle EpiSim

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Mai 2014

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**Domaine d'application** : écologie, épidémiologie

**Spécificité pédagogique** : comparaison *macro* (modèle mathématique)/*micro* (multi-agents) ;
*Network extension* de Netlogo

**Niveau du public visé** : niveau intermédiaire à avancé

**Nom du modèle correspondant** : EpiSim

**Version NetLogo nécessaire** : NetLogo 5.0.4

**Auteurs** : Eric Daudé (IDEES, Rouen), Vincent Laperrière (ESPACE, Aix Marseille), Rémi Lemoy (LET, Lyon), Sébastien Rey (Géographie-Cités, CNRS, Paris), Paul Salze (LIVE, Strasbourg)

## EpiSim : simulation d'épidémies

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TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>A. DESCRIPTION DU MODÈLE MATHÉMATIQUE SIR</td><td>50</td></tr><tr><td>B. CONTEXTUALISATION DU MODÈLE</td><td>52</td></tr><tr><td>C. IMPLÉMENTATION ET EXPLORATION DU MODÈLE DISTRIBUÉ EPISIM</td><td>54</td></tr><tr><td>Etape 1 : Le modèle distribué SIR a-spatial</td><td>54</td></tr><tr><td>Etape 2 : Le modèle distribué SIR spatial avec voisinage local</td><td>55</td></tr><tr><td>Etape 2bis : Le modèle distribué SIR spatial avec voisinage local et contacts individuels explicites</td><td>56</td></tr><tr><td>Etape 3 : Influence de la structure des contacts sur le développement épidémique</td><td>59</td></tr><tr><td>D. MANIPULATION DU MODÈLE</td><td>63</td></tr><tr><td>Etape 0 : Le modèle mathématique SIR</td><td>64</td></tr><tr><td>Etape 1 : Le modèle distribué SIR a-spatial</td><td>64</td></tr><tr><td>Etape 2 : Le modèle distribué SIR spatial avec voisinage local</td><td>65</td></tr><tr><td>Etape 2bis : Le modèle distribué SIR spatial avec voisinage local et contacts individuels explicites</td><td>65</td></tr><tr><td>Etape 3 : Le modèle distribué avec contacts inter-individuels spécifiés d'après un réseau de contacts potentiels</td><td>66</td></tr><tr><td>E. BIBLIOGRAPHIE</td><td>68</td></tr></table>
<table><tr><td><strong>Fiche pédagogique</strong><br>Collectif MAPS<br><br><img src="map_image.png" alt="A map with various symbols: a circle, a square, a triangle, and a oval. The circle has a line segment connecting it to the square, which has a line segment connecting it to the triangle, and the triangle has a line segment connecting it to the oval."></td><td><strong>Modèle EpiSim</strong><br><br><img src="sim_image.png" alt="A green monster with a凶恶的笑容, 右手持一个病毒状物, 右脚一只脚露出了皮肤, 右腿 partially covered by a mask. The monster has sharp teeth and afangs. The background has a gradient color from white to black from top to bottom."></td><td>Mai 2014<br>MAPS 3</td></tr></table>

Dans le domaine des épidémies, les premiers travaux de modélisation datent du début du 20ème siècle. Il s'agit alors de mettre en équations les connaissances acquises sur la propagation des épidémies et d'étudier analytiquement le comportement de ces modèles. Le modèle SIR (*Susceptible-Infected-Recovered*) proposé par Kermack-McKendrick (1927) est l'un des premiers modèles qui vise à explorer la question relative à l'apparition, la diffusion et l'arrêt d'une épidémie au sein d'une population. Ce modèle repose sur la répartition d'une population en trois catégories qui représentent le statut épidémique des individus (S, I et R). Le modèle décrit par un système d'équations différentielles (1)<fnref n="1" /> les flux d'incidence (qui représentent le nombre de nouveaux cas dans un pas de temps) et de guérison qui font varier les populations S, I et R (Figure 5).

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>**Figure 5.** Schéma simplifié du modèle de Kermack-McKendrick (1927)</figcaption></figure>

Eloge de la parcimonie, cette catégorie de modèles permet d'explorer la question des seuils en termes de densités de populations initiales S, I et R à partir desquelles une maladie peut se développer, ces valeurs seuils étant fonction des paramètres qui régissent l'incidence de la maladie et la guérison. La connaissance de ces seuils peut permettre une intervention ciblée pour la préservation des populations. Quelle proportion de la population faut-il vacciner pour qu'une épidémie ne se propage pas ? Quel est l'impact du taux de transmission sur l'incidence globale ?

Une des limites souvent évoquée de ce modèle est la non prise en compte de l'espace. En effet dans le cas d'une maladie transmissible comme la grippe ou la méningite, le caractère localisé des contacts interpersonnels favorisent la transmission du virus (contacts S-I) et sont un élément important de la dynamique du processus de diffusion. Le modèle classique ne tient pas compte de cette hétérogénéité des contacts locaux, il s'appuie sur un contact moyen au sein de la population par l'intermédiaire d'un paramètre global qui décrit le taux de contagion (hypothèse dite de *population mixing*, chaque individu interagit avec tout le monde). Le passage du modèle agrégé à sa version distribuée tente de dépasser cette limite. Nous présentons dans un premier temps un

<footnote n="1">1 Cf. équation page suivante.</footnote>
<figure><img src="image_92.png" /></figure>

<figure><img src="image_93.png" /></figure>

modèle épidémiologique agrégé puis développons dans la suite les étapes d'évolution de ce
modèle vers un modèle de simulation individu-centré (Bian, 2004² ; Dunham, 2005).

## A. Description du modèle mathématique SIR

Le modèle est décrit par le système d'équations différentielles suivant (Keeling & Rohani, 2008) :

$$ (1) \begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta \frac{SI}{N} \\ \frac{dI}{dt} = \beta \frac{SI}{N} - \alpha I \\ \frac{dR}{dt} = \alpha I \end{cases} $$

Le nombre d'individus infectés *I* augmente avec le flux d'incidence, qui est lié à la force de l'infection. Cette force de l'infection dépend d'un taux de contacts adéquats (suffisants) pour la transmission *b*, supposant que la probabilité de transmission de la maladie lors d'un contact est égale à un. *bI/N* représente le nombre moyen de contacts qu'un susceptible entretient avec des infectés par unité de temps. Le nombre d'individus contaminés décroit avec le départ d'une partie de cette sous-population vers la catégorie *recovered* ou remis, en fonction d'un taux de guérison *α* par unité de temps. La valeur (1/*α*) représente la période infectieuse moyenne (Hethcote, 2005).

Un indicateur fondamental pour décrire la dynamique d'un tel système est le taux de reproduction de base $R_0$, qui indique le nombre moyen d'infections secondaires causées par un individu infecté plongé dans une population totalement saine ($S-1 \approx N$). Pour une épidémie caractérisée par une période infectieuse moyenne de $1/\alpha$ et un taux de transmission *b*, le taux de reproduction de base est égal à $b/\alpha$, multiplié par la proportion de susceptibles dans la population initiale (quasiment égale à un). L'indicateur $R_0$ varie entre 0 et l'infini, avec une valeur de déclenchement de l'épidémie autour de 1 (Choisy *et al.*, 2007). Plus précisément une maladie infectieuse avec un $R_0$ donné ne se propagera que si la fraction de population susceptible est supérieure à $1/R_0$. Cette connaissance permet de rechercher un effet d'immunité de groupe, c'est-à-dire la proportion d'individus qu'il faut vacciner pour éviter la propagation de la maladie. Dans une population isolée, ou sur une courte période, une maladie avec un $R_0$ donné ne se diffuse que

<footnote n="2">2 Les références entre parenthèses sont à retrouver dans la bibliographie, en fin de fiche.</footnote>
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle EpiSim

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si la proportion de susceptibles dépasse $1/R_0$. Réduire la proportion de la population susceptible $S$ en dessous de cette valeur permet d'éviter la propagation. Ainsi si $V$ est la proportion de la population vaccinée, $V$ doit être supérieur à $1-(1/R_0)$ pour que la diffusion ne se réalise pas.

La **Figure 6** représente le portrait de phase du modèle mathématique : chaque trajectoire représente la variation des proportions de susceptibles et d'infectés pour une simulation avec des valeurs différentes de ces deux proportions à l'initialisation. On y retrouve la valeur seuil $1/R_0$ pour la proportion de susceptibles initiale en-dessous de laquelle la proportion d'infectés ne peut que diminuer.

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>**Figure 6.** Portrait de phase du modèle mathématique SIR</figcaption></figure>
<figure><img src="image_97.png" /></figure>

<figure><img src="image_98.png" /></figure>

## B. Contextualisation du modèle

De nombreuses études s'appuient sur le modèle SIR afin de caractériser le développement d'une épidémie dans une population. Ce modèle est particulièrement adapté pour reproduire des épidémies infantiles telles que la rougeole et la rubéole ou des maladies fortement contagieuses telles que la grippe (Figure 7).

<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Fig. 19.3. Influenza epidemic data (●) for a boys boarding school as reported in British Medical Journal, 4th March 1978. The continuous curves for the infectives (I) and susceptibles (S) were obtained from a best fit numerical solution of the SIR system (19.1)-(19.3): parameter values N = 763, S₀ = 762, I₀ = 1, ρ = 202, r = 2.18 × 10⁻³/day. The conditions for an epidemic to occur, namely S₀ > ρ is clearly satisfied and the epidemic is severe since R/ρ is not small.</figcaption></figure>

<caption>**Figure 7.** Résultat du modèle mathématique SIR appliqué à la grippe dans une école anglaise</caption>

Des variantes à ce modèle SIR existent pour coller au plus près d'épidémies spécifiques. Il est possible de rajouter des compartiments (E pour exposed, D pour Death, M pour immunité provisoire...) ou de « doubler » le modèle pour prendre en compte le genre par exemple. La multiplication des compartiments permet de jouer sur des règles de transmission différenciées notamment. Enfin dans le cadre d'épidémies vectorielles, de nouvelles populations peuvent être ajoutées (puces, rats, moustiques, bactéries...).
# Fiche pédagogique

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## Modèle EpiSim

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**Dénégation** : Dans la réalité, la taille de la population n'est pas fixe mais varie avec les migrations notamment, ou sur le long terme avec les décès et naissances.

**Réponse** : Ce modèle caractérise des périodes épidémiques courtes, de quelques jours à quelques semaines, pour lesquelles les variations démographiques sont négligeables au regard du phénomène. Dans un contexte endémique, ces dynamiques de population peuvent être intégrées dans le modèle.

**Dans ce modèle tout le monde se comporte de la même manière et chacun est susceptible d'interagir avec tout le monde. Ceci n'est pas très réaliste !**

Effectivement ce modèle postule que les variabilités interindividuelles ne sont qu'un bruit que la loi des grands nombres permet de lisser. Par ailleurs le taux de contact qui factorise selon les auteurs des données environnementales, sociales et/ou spatiales masque en fait l'absence de prise en compte de l'hétérogénéité des interactions interindividuelles. Cette limite sera par la suite contournée, nous allons en effet changer le niveau de modélisation, en passant à un niveau individuel.

**Le modèle ne prend pas en compte l'espace, or celui-ci agit sur la nature des contacts entre les personnes, qui se distribuent de manière hétérogène !**

C'est une des raisons qui va nous conduire dans un premier temps à intégrer des interactions non plus globales mais locales entre les individus de la population.
<table><tr><td><strong>Fiche pédagogique</strong><br>Collectif MAPS</td><td><strong>Modèle EpiSim</strong></td><td>Mai 2014</td></tr><tr><td><img src="" alt=" maps "></td><td><img src="" alt=" un modèle EpiSim "></td><td>MAPS 3</td></tr></table>

# C. Implémentation et Exploration du modèle distribué EpiSim

Sont détaillées dans cette section les différentes étapes de création d'un modèle multi-agents distribué, à partir de la version de base (étape 0) du modèle mathématique. Nous invitons le lecteur et utilisateur du modèle à se référer en parallèle à la section D de cette fiche, qui précise pour chacune des étapes les manipulations à effectuer sur l'interface graphique du modèle.

## Etape 1 : Le modèle distribué SIR a-spatial

Une première étape dans la démarche de modélisation consiste à développer le modèle mathématique agrégé dans un formalisme multi-agents tout en conservant les hypothèses fondamentales du premier. Le passage d'un formalisme à l'autre impose de distribuer le modèle SIR à l'échelle de l'individu. Chaque agent est décrit selon son statut épidémiologique (*state*) à un instant donné, celui-ci évoluant selon : $S \rightarrow I \rightarrow R$ (Figure 8).

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>**Figure 8.** Diagramme de classes du modèle multi-agents</figcaption></figure>

Dans cette première étape, même si les agents sont situés dans l'espace, celui-ci n'agit pas comme une contrainte aux interactions, les agents interagissent avec tout le monde en fonction du taux de contact $\beta$, on dira que le graphe d'interaction est trivial. Chaque agent dispose de deux fonctions de transitions telles que :

$$P(S \rightarrow I) = \beta * I / N \text{ avec } \beta = 1.66 \qquad (2)$$

$$P(I \rightarrow R) = \alpha = 0.44 \qquad (3)$$
# Fiche pédagogique

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<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>**Figure 9.** Comparaison de la version 0 (modèle mathématique) et de la version 1 (modèle distribué a-spatial) du modèle SIR</figcaption></figure>

Avec un nombre moyen de contact égal à 1.66 et une probabilité de guérison égale à 0.45, la **Figure 9** montre qu'il existe une parfaite adéquation entre le modèle agrégé a-spatial et le modèle distribué a-spatial.

## Etape 2 : Le modèle distribué SIR spatial avec voisinage local

Dans une seconde version du modèle, les probabilités individuelles de transition sont calculées en fonction du voisinage local (rayon = 3) des agents (distance euclidienne autour de l'agent), mais les agents ont une mobilité sans limite dans le domaine, à chaque unité de temps.

$$P(S \to I) = \beta * I_{\text{local}} / N_{\text{local}} \text{ avec } \beta = 1.66 \quad (4)$$

$$P(I \to R) = \alpha = 0.44 \quad (5)$$
<table><tr><td style="vertical-align: top; padding-right: 20px;"><strong>Fiche pédagogique</strong><br>Collectif MAPS<br><br><img src="map_image.png" alt="A map with various shapes and colors, representing different locations. The size of the shapes corresponds to the number of agents. The colors represent different MAPs. The map is divided into regions indicated by the labels 'maps' and 'maps2'."></td><td style="vertical-align: top;"><strong>Modèle EpiSim</strong><br><br><img src="episim_image.png" alt="A green monster with a variety of facial expressions and different body poses. The monster has sharp teeth, a large mouth, and a pair of sharp claws on its hands. The background is a blue field with some white spots."></td><td style="vertical-align: top; padding-left: 20px;"><div>Mai 2014</div><div>MAPS 3</div></td></tr></table>

## Etape 2bis : Le modèle distribué SIR spatial avec voisinage local et contacts interindividuels explicites

Nous choisissons enfin une approche totalement distribuée et comportementale, notée 2b sur les courbes de la **Figure 10**. Chaque agent « S » a un nombre de contacts *n* défini selon une loi de poisson de moyenne 1.66. Il rencontre effectivement *n* agents dans son voisinage V. Si l'état de l'un de ses *n* voisins est « I », alors $S \rightarrow I$.

$$P(S \rightarrow I) = 1 \text{ si } \sum_{V} I \geq 1 \qquad (6)$$

$$P(I \rightarrow R) = \alpha = 0.44 \qquad (7)$$

<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>**Figure 10.** Comparaison de la version 2 et de la version 2bis du modèle distribué</figcaption></figure>

Comme on l'a vu avec la **Figure 9**, la version 2 exhibe un comportement similaire au modèle *macro*. La version 2bis en revanche s'éloigne de ce comportement global, les taux de contamination étant moins élevés que dans le premier. La prise en compte du déplacement des agents, ainsi que le caractère localisé et contraint de leurs contacts agit sur la transmission du virus et « diminue » l'efficacité de sa propagation.
Fiche pédagogique

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Sur la base de la version 2bis du modèle, la **Figure 11** ci-après décrit le comportement du modèle lorsque varient à la fois le rayon d'interaction des agents et la mobilité des agents.

<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>**Figure 11.** Conséquences de la mobilité et de l'augmentation du rayon de voisinage sur les trajectoires prises par le système</figcaption></figure>

Que l'on peut schématiser par le graphique suivant :
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<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>**Figure 12.** Schématisation des conséquences de la mobilité et de l'augmentation du rayon de voisinage sur la dynamique modélisée</figcaption></figure>

La **Figure 12** basée sur la version 2bis du modèle montre sous quelles conditions paramétriques les taux d'incidence des 2 modèles sont équivalents. Il y a accord entre le modèle SIR standard, c'est-à-dire a-spatial, et le modèle multi-agents, quand la dynamique du modèle multi-agents tend justement vers une dynamique a-spatiale, où les contraintes spatiales n'existent pas. C'est ce qui se passe lorsque le voisinage des agents est sans limite, c'est-à-dire lorsque chaque agent interagit avec tous les autres. C'est également le cas lorsque le voisinage est non nul et que la mobilité est maximale. En effet, dans ce dernier cas, les déplacements aléatoires de tous les agents à chaque itération conduisent également à une probabilité d'interaction de chaque agent avec tous. D'autre part, quand la mobilité est très réduite, les agents ne se déplacent pas et la propagation de l'épidémie, lorsque le voisinage a une taille intermédiaire (c'est-à-dire ni nulle ni maximale), ressemble à la dynamique des modèles de feu de forêt (Langlois & Daudé, 2007).
<figure><img src="image_113.png" /></figure>

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## Etape 3 : Influence de la structure des contacts sur le développement épidémique

Dans la version spatiale du modèle présentée précédemment (étape 2), les individus sont répartis aléatoirement dans l'espace. Les contacts s'effectuent au hasard, globalement ou localement, selon les contraintes spatiales imposées lors de la mise en place de l'expérience. Aucune structure de contacts potentiels n'est donc définie *a priori* (il serait possible de reconstruire *a posteriori* le graphe des contacts qui se produisent effectivement au cours de la simulation pour en étudier la topologie).

Dans une nouvelle étape (étape 3 « réseau ») de la modélisation, on se propose donc de maîtriser en entrée du modèle la structure des contacts potentiels, et donc les graphes d'interaction entre les agents. Chaque individu est représenté par un nœud, et ses contacts potentiels sont représentés par un ensemble de liaisons, qui constituent son voisinage (son réseau de contacts potentiels). Au cours de la simulation, il réalise des contacts avec des individus choisis parmi ce voisinage, mais le nombre de contacts est limité par le paramètre *nombre moyen de contacts* issu de l'étape 2 du modèle (fixé à 1.66, distribution selon une loi de Poisson). Nous testons différents graphes afin d'étudier le rôle de leurs typologies sur la diffusion d'une épidémie (Fig. 9, 10, 11) :

1. **Graphe régulier** : graphe dans lequel tous les sommets ont le même nombre *k* de voisins, on parle de graphe *k*-régulier.

2. **Graphe aléatoire à distribution des degrés fixée** : le nombre d'arêtes est défini préalablement pour obtenir une distribution des degrés voulue, puis chaque arrête connecte deux sommets pris au hasard.

3. **Graphe small world** (petit monde), vu comme un intermédiaire entre le graphe régulier et le graphe aléatoire. Pour le générer, on part d'un graphe régulier et on réaffecte aléatoirement un pourcentage donné d'arêtes.

4. **Graphe scale free** (invariant d'échelle) c'est-à-dire hiérarchisé ou en étoile, qui présente une distribution très hétérogène du nombre *k* de voisins des nœuds, égal à une loi de puissance.
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<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>**Figure 13.** Exemple de graphe *scale free* pour 1500 nœuds et 1502 liens</figcaption></figure>

<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>**Figure 14.** Exemples de réseaux réguliers (à gauche) et aléatoires (à droite) pour 30 nœuds et 60 liens. Les nœuds sont arbitrairement disposés en cercle.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>**Figure 15.** Exemple de réseau *small world*, pour 1500 nœuds et 3000 liens, intermédiaire entre un réseau régulier et un réseau aléatoire</figcaption></figure>
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Ces graphes peuvent être caractérisés selon différents indicateurs topologiques globaux (tableau 1), tels que :

1. **Degré moyen K** : ou nombre moyen de liens incidents à un nœud.

2. **Coefficient d'agglomération C ou clustering coefficient** : mesure la tendance du réseau à présenter des clusters, c'est-à-dire des groupements de nœuds fortement liés entre eux et mal reliés au réseau global.

3. **Moyenne des plus courts chemins L** : moyenne des distances les plus courtes permettant de relier un nœud à n'importe quel autre nœud du graphe.

<table><caption>**Tableau 4.** Synthèse des différents types de graphes considérés dans le modèle EpiSim et de leurs indicateurs topologiques associés</caption><thead><tr><th>Graphes</th><th>régulier</th><th>aléatoire</th><th>small world</th><th>scale free</th><th>clusterisé</th></tr></thead><tbody><tr><th>K</th><td>Selon spécification (4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12)</td><td>Selon spécification (4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12)</td><td>Selon spécification (4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12)</td><td>Faible (distribution selon loi de puissance)</td><td>Selon spécification</td></tr><tr><th>C</th><td>Elevé</td><td>Faible</td><td>Elevé</td><td>Nul</td><td>Elevé</td></tr><tr><th>L</th><td>Elevé</td><td>Faible</td><td>Faible</td><td>Faible</td><td>Faible</td></tr></tbody></table>

Nous présentons les résultats de simulations réalisées à partir d'un réseau clusterisé avec 3 valeurs paramétriques testées pour le *degré-k* (6, 8 et 12), qui correspondent à des valeurs (élevé, moyen, faible) pour *L*. Ainsi lorsque le réseau choisi possède un degré-k élevé, le coefficient d'agglomération *C* est élevé, et la moyenne des distances les plus courtes *L* tend à diminuer. Au contraire, plus le réseau présente un degré *k* faible, plus la moyenne des distances les plus courtes tend à augmenter.

Plusieurs indicateurs en sortie sont calculés : la proportion, dans la population totale, des individus contaminés au pic de contamination (MaxI) ; l'intervalle inter-quartiles (IIQ) qui nous
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fournit une indication quant à la durée de l'épidémie ; le pourcentage cumulé d'infectés au terme de l'épidémie (Recovered). D'une manière générale, les simulations montrent que plus le réseau est connecté, plus l'épidémie est rapide et importante.

Nous étudions ensuite l'influence du paramètre $R_0$ (égal au ratio du produit de la probabilité d'infection et du nombre moyen de contacts sur la probabilité de guérison) sur les mêmes indicateurs en sortie, toujours en faisant varier le paramètre de degré-k.

Les simulations (Figure 16) montrent un décalage temporel important selon le paramètre de degré-k : l'épidémie "décolle" plus rapidement lorsque la connectivité augmente, à valeur $R_0$ équivalente. Par ailleurs la valeur seuil du $R_0$ pour obtenir une épidémie "fulgurante" (hyper-rapide qui touche tout le monde en très peu de temps) est d'autant plus faible que la connectivité est forte. On note également que la valeur du $R_0$ nécessaire pour que l'épidémie touche la quasi-totalité de la population peut être inférieure à 1 lorsque le réseau est fortement connecté.

<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>**Figure 16.** Influence du taux de reproduction de base $R_0$ sur le développement épidémique pour un ensemble de simulations réalisées sur la base d'un réseau clusterisé spécifié selon trois valeurs différentes de degré (6, 8 et 12)</figcaption></figure>
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## D. Manipulation du modèle EpiSim

Les différentes versions du modèle présentées ici sont calibrées par rapport aux données de la grippe reportées dans le British Medical Journal daté du 4 mars 1978. Les paramètres de référence correspondants et les conditions initiales du modèle sont donnés dans le tableau 2.

<table><caption>**Tableau 5.** Paramètres et conditions initiales du modèle EpiSim</caption><thead><tr><td>Paramètre/ condition initiale</td><td>Dénomination EpiSim</td><td>Valeur de référence</td><td>Remarque</td></tr></thead><tbody><tr><td>Taux de contact</td><td>« nbre-moyen- contacts »</td><td>1.66</td><td>nombre moyen de contacts par individu et par unité de temps, choisis parmi un voisinage local ou dans la population totale selon la version du modèle. Dans la version « réseau », le voisinage d'un individu, qui désigne les contacts potentiels, est défini par le degré du nœud correspondant. Si la taille du voisinage est inférieure à « nbre-moyen- contacts », alors ce paramètre prend la valeur de la taille du voisinage</td></tr><tr><td>Probabilité d'infection lors d'un contact S-I</td><td>« pInfection »</td><td>1</td><td>cette probabilité est par défaut fixée à 1 comme le plus souvent considéré dans le modèle mathématique</td></tr><tr><td>Probabilité de guérison / période infectieuse</td><td>« pGuerison »</td><td>0.45 / 2.22</td><td>Si le chooseur « Guérison » est sur « probabilité », alors il s'agit d'une probabilité individuelle de guérison, (à l'instar du taux de guérison considéré dans le modèle mathématique). S'il est sur « temps fixe », alors il s'agit d'une période infectieuse identique pour tous les individus. S'il est sur « temps aléatoire », alors les périodes infectieuses individuelles sont différenciées selon une distribution Poisson de moyenne donnée par la valeur de référence</td></tr><tr><td>Taux de reproduction de base</td><td>R<sub>0</sub></td><td>3.7</td><td>Le taux de reproduction de base est estimé d'après la formulation mathématique suivante : R<sub>0</sub> = nbre-moyen-contacts* pInfection/ pGuerison</td></tr><tr><td>Population initiale</td><td>« number-of-nodes »</td><td>1000</td><td></td></tr><tr><td>Nombre d'infectés initial</td><td>« nbre_inf_INI »</td><td>1</td><td></td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_127.png" /></figure>

<figure><img src="image_128.png" /></figure>

## Etape 0 : Le modèle mathématique SIR

<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>**Figure 17.** Interface du modèle mathématique EpiMath</figcaption></figure>

1. Ouvrir le modèle Epimath.nlogo avec Netlogo 5.0.1. N.B : les populations (s,i,r) sont exprimées en proportions (n = 1)

2. Initialiser le modèle et lancer une simulation. Le modèle est paramétré tel qu'il permette de reproduire l'épidémie de grippe reportée dans le British Medical Journal daté du 4 mars 1978.

3. Vous pouvez explorer le comportement du modèle mathématique en faisant varier le taux de contact infectieux ou le taux de guérison, en recherchant des valeurs de $R_0$ proche de 1, etc.

4. Les résultats de ce modèle agrégé sont ensuite comparés aux résultats du modèle distribué (étape suivante), sous les mêmes conditions paramétriques.

## Etape 1 : Le modèle distribué SIR a-spatial

1. Ouvrir le modèle EpiSim.nlogo avec Netlogo 5.0.1.

2. Choisir « none » pour le sélecteur « network » (les agents ne sont pas structuré en réseau), « implicit » pour le sélecteur « interactions » (chaque agents agit potentiellement avec tous
<table><tr><td style="vertical-align:top; padding-right: 20px;">
  <h2>Fiche pédagogique</h2>
  <p>Collectif MAPS</p>
  <p><img src="map_image.png" alt="A map with various symbols: a person, a car, a ball, and trees. The person has a hat."></p>
</td><td style="vertical-align:top;">
  <h2>Modèle EpiSim</h2>
  <p><img src="episim_image.png" alt="A cartoon virus-like creature with a green body and a white head. It has a mouth andfangs. On its back is written "MAPS 3"."></p>
</td><td style="vertical-align:top;">
  <p>Mai 2014</p>
  <p>MAPS 3</p>
</td></tr></table>

les agents de son voisinage) et « global » pour le sélecteur « neighbourhood » (le voisinage de chaque agent est infini). Le choix on/off pour l'interrupteur « IndividualStatic? » n'est pas important à cette étape.

3. Initialiser (bouton setup) puis lancer (bouton go) une simulation.

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>Figure 18. Interface du modèle multi-agents distribué EpiSim</figcaption></figure>

## Etape 2 : Le modèle distribué SIR spatial avec voisinage local

1. Sélectionner « Local » pour le sélecteur « neighbourhood » (le voisinage de chacun des agents est contraint à une certaine distance de lui-même), mettre le curseur « radius » à 3 (la contrainte de voisinage est défini à 3 cellules autour de l'agent) et mettre en position « off » l'interrupteur « IndividualStatic? » (les agents sont mobiles, ils peuvent se déplacer dans tout le domaine).

2. Initialiser (bouton setup) puis lancer (bouton go) une simulation.
<figure><img src="image_131.png" /></figure>

<figure><img src="image_132.png" /></figure>

## Etape 2bis : Le modèle distribué SIR spatial avec voisinage local et contacts interindividuels explicites

1. Sélectionner « explicit » pour le sélecteur « interactions » (l'agent n'interagit au cours d'une itération qu'avec les agents qui sont dans son voisinage tel que définit précédemment par « neighbourhood » et par « radius »).

2. Initialiser (bouton *setup*) puis lancer (bouton *go*) une simulation.

3. Tester l'influence de la portée du voisinage local et de la mobilité en modifiant le curseur « radius » et en modifiant la position *on/off* de l'interrupteur « IndividualStatic ? ».

## Etape 3 : le modèle distribué avec contacts inter-individuels spécifiés d'après un réseau de contacts potentiels

Sélectionner un type de réseau à l'aide du sélecteur « network » :

1. Sélectionner un type de réseau à l'aide du *choose* « network » :

2. Pour créer un **réseau régulier**, sélectionner « small world 4, 6, 8 ou 12 » selon le degré (nombre de voisins moyen) souhaité et déplacer le slider « %rewired » à 0%.

3. Pour créer un **réseau aléatoire**, sélectionner « small world 4, 6, 8 ou 12 » selon le degré (nombre de voisins moyen) souhaité et déplacer le slider « %rewired » à 100%.

4. Pour créer un **réseau de type small world**, sélectionner « small world 4, 6, 8 ou 12 » selon le degré (nombre de voisins moyen) souhaité et déplacer le slider « %rewired » à 10%.

5. Pour créer un **réseau de type clusterisé**, sélectionner « clustered » puis déplacer le slider « average-node-degree » à la valeur souhaitée.

6. Pour créer un **réseau de type scale free**, sélectionner « scale free ». N.B : le degré moyen du réseau « scale free » n'est pas maîtrisable

Ensuite il faut définir le nombre de nœuds et initialiser le modèle :
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle EpiSim

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7. Spécifier un nombre de nœuds (représentant la taille de la population), par défaut cette valeur est fixée à 1000.

8. Initialiser (bouton setup). Les variables décrivant la topologie (« average-degree », « clustering-coefficient », « average-path-length » sont alors calculées. Puis, lancer (bouton go) une simulation.

Proposition pour explorer le comportement du modèle :

9. Tester l'influence de la topologie du réseau, du réseau régulier au réseau aléatoire en passant par les réseaux « small world » et clusterisé pour un degré moyen fixé.

10. Tester l'influence du degré moyen, pour une topologie fixée.

## E. Conclusion

S'inscrivant dans le cadre thématique de l'étude de la diffusion des épidémies, l'intérêt pédagogique de cette fiche est de présenter les différentes étapes permettant de passer d'un modèle mathématique agrégé (macro) aux propriétés connues à un modèle informatique distribué (micro). L'objectif d'un tel changement d'échelle de modélisation est d'aller vers plus de réalisme quant aux hypothèses posées a priori et sur lesquelles reposent les différents modèles. Il s'agit en particulier de questionner le mécanisme de transmission d'épidémies par contact direct qui nécessite la coprésence de plusieurs individus. Dans cette optique, on passera ainsi successivement d'un modèle complètement a-spatial à un modèle où les contacts ont lieu dans un espace géographique isotropique, pour aboutir finalement à l'idée d'une diffusion basée sur des réseaux de contacts potentiels.

Plutôt que de chercher à explorer l'ensemble de l'espace des paramètres afin de cerner le fonctionnement du modèle, les quelques résultats présentés dans cette fiche visent essentiellement à montrer que si le passage du modèle macro au micro permet de s'appuyer sur des hypothèses de plus en plus réalistes, il s'accompagne cependant : i) d'un accroissement du nombre de paramètres qui complique d'autant la compréhension de leurs rôles et influences respectifs, et ii) de la nécessité de poser d'autres hypothèses, entre autre quant aux structures de contacts, dont le réalisme peut également être questionné.
<figure><img src="image_135.png" /></figure>

<figure><img src="image_136.png" /></figure>

F. Bibliographie

Bian, L., 2004, "A conceptual framework for an individual-based spatially explicit epidemiological model." *Environment and Planning B: Planning and Design* 31: 381-395.

Choisy, M., J. F. Guégan, et al., 2007, "Mathematical modeling of infectious diseases dynamics", in *Encyclopedia of Infectious Diseases: Modern Approaches*. M. Tibayrenc (éd.) Chichester, USA, Wiley & Sons Ltd. : 379-404.

Dunham, J. B., 2005, "An agent-based spatially explicit epidemiological model in MASON", *Journal of Artificial Societies and Social Simulation* 9(1).

Hethcote, H. W., 2005, "The basic epidemiology model", in *Mathematical understanding of infectious disease dynamics*. S. Ma et Y. Xia (éd.) National University of Singapore, Institute for Mathematical Sciences, Lecture Notes Series 16: 2-62.

Keeling, M., Rohani, R., 2008, *Modeling infectious diseases in human and animals*. Princeton University Press, p. 368.

Kermack, W. O., McKendrick, A. G., 1927, "A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics", Proc. Roy. Soc. Lond. A 115, 700-721.

Langlois, P., Daudé, E., 2007, "Concepts et modélisations de la diffusion géographique" *Cybergeo: European Journal of Geography* [En ligne], Systèmes, Modélisation, Géostatistiques, document 364, mis en ligne le 09 mars 2007, consulté le 04 avril 2014. URL : http://cybergeo.revues.org/2898 ; DOI : 10.4000/cybergeo.2898.
# Fiche pédagogique

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<figure><img src="image_137.png" /><figcaption>Modèle Irius</figcaption></figure>

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**Domaine d'application** : Géographie, Réseaux d'influence

**Spécificité pédagogique** : Approche pédagogique et incrémentale permettant d'explorer par la simulation l'effet des réseaux d'influence sur la structure spatiale d'un paysage d'agents spatialisés minimaliste

**Niveau du public visé** : Intermédiaire

**Niveau thématique** : Débutant

**Nom du modèle correspondant** : IRIUS

**Version NetLogo nécessaire** : Netlogo 5.0.5

**Auteurs** : Nicolas Becu (UMR LIENSs, La Rochelle), Sébastien Caillault (UMR ESO, Angers), Thomas Houet (UMR GEODE, Toulouse), François Miahle (UMR EVS, Lyon)

**Publication** : Caillault, S., Mialhe, F., Vannier, C., Delmotte, S., Kêdowidé, C., Amblard, F., Etienne, M., Becu, N., Gautreau, P., Houet, T., 2013. Influence of incentive networks on landscape changes: A simple agent-based simulation approach. Environmental Modelling & Software 45, 64-73.

## Modèle Irius

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TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td><b><u>A. CONTEXTUALISATION DU MODÈLE</u></b></td><td>73</td></tr><tr><td><u>Objectif du modèle</u></td><td>73</td></tr><tr><td><u>À quoi correspondent les échelles globale, locale et intermédiaire des trois réseaux ?</u></td><td>73</td></tr><tr><td><u>Questions à explorer avec le modèle IRIUS</u></td><td>74</td></tr><tr><td><b><u>B. DÉFINITION ET FONCTIONNEMENT DU MODÈLE</u></b></td><td>75</td></tr><tr><td><u>Élément de base du modèle</u></td><td>75</td></tr><tr><td><b><u>C. EXPLORATION DU MODÈLE</u></b></td><td>78</td></tr><tr><td><u>Exercice 1. Tester l'influence des contraintes agronomiques</u></td><td>79</td></tr><tr><td><u>Exercice 2 - Appréhender la variabilité des simulations</u></td><td>79</td></tr><tr><td><u>Exercice 3 - Tester l'effet des réseaux un à un</u></td><td>80</td></tr><tr><td><u>Exercice 4 - Tester l'effet des interactions entre les réseaux.</u></td><td></td></tr><tr><td><u>Une approche comparative</u></td><td>81</td></tr><tr><td><u>Exercice 5 - Exploration de l'espace des paramètres (indicateurs spatiaux)</u></td><td>82</td></tr><tr><td><b><u>D. CONCLUSION ET PERSPECTIVES</u></b></td><td>83</td></tr><tr><td><b><u>E. BIBLIOGRAPHIE</u></b></td><td>84</td></tr></table>
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# A. Contextualisation du modèle

## Objectif du modèle

Les changements d'occupation du sol sont le résultat des pratiques effectuées en fonction des critères environnementaux. Ils résultent des activités et des interactions de divers acteurs agissant à différents niveaux et qui influencent constamment la structure et la composition du paysage (Valbuena et al. 2010). Dans le domaine agricole plus spécifiquement, l'évolution du paysage est soumise à des influences provenant de niveaux d'organisation allant de l'économie globale, des réglementations internationales, des caractéristiques pédo-climatiques d'une région, aux choix sociaux et pratiques individuelles de l'échelle locale (Veldkamp & al. 2001).

Le modèle IRIUS est un modèle théorique qui permet d'explorer l'effet croisé de trois réseaux (niveaux) d'influence – appartenant à des échelles distinctes (locale, globale et intermédiaire) sur les choix individuels de mise en culture des agriculteurs et donc, à l'échelle d'une région agricole, sur l'évolution de la mosaïque paysagère.

## À quoi correspondent les échelles globale, locale et intermédiaire des trois réseaux ?

Pour illustrer l'échelle globale dont il est question dans ce modèle, il faut par exemple réfléchir au fait qu'actuellement l'augmentation du nombre de produits agricoles est intégrée dans des réseaux de distribution et que les processus qui aboutissent à un produit fini se produisent au sein d'une économie mondiale (Gereffi et Korzeniewicz 1994). Ce réseau mondial provoque des changements de production et les pratiques en réponse aux demandes sociales, environnementales et économiques des différentes parties prenantes à différentes échelles.

En parallèle, les facteurs locaux influent et déterminent la diffusion par contagion des innovations agricoles (Daudé 2004). À un niveau intermédiaire – régional ou national – des variables existent à l'image des syndicats qui peuvent également influencer la décision des agriculteurs sur leur utilisation des terres. Ces décisions agricoles sont alors le résultat des représentations internes et les croyances des agriculteurs qui peuvent évoluer avec l'information donnée et diffusée par d'autres agriculteurs, institutions, associations et autres réseaux (Wauters et al. 2010). Ainsi, la plupart des changements de type d'utilisation des terres et de couvert végétal se produisent à
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l'échelle de la ferme où ces forces motrices se déroulent (Kristensen et al., 2001 ; Baudry et Thenail 2004).

Ainsi, les trois réseaux dont l'influence croisée est étudiée dans IRIUS correspondent à : un réseau de gouvernance globale incitant les agriculteurs à adopter certains usages du sol, un réseau social intermédiaire dans lequel les agriculteurs partagent leurs pratiques et s'influencent les uns les autres et un réseau local où les agriculteurs cherchent à imiter ce que font les voisins.

## Questions à explorer avec le modèle IRIUS

Chacun des trois types de réseaux, prit individuellement, possède une influence spécifique sur l'évolution de la mosaïque paysagère.

1. Le réseau de voisinage tend à faire émerger des formes spatiales locales (rendant compte de phénomènes d'imitation et donc d'autocorrélation spatiale). De plus, avec le temps cet effet local se diffuse et provoque une homogénéisation progressive de la mosaïque paysagère.

2. Le réseau socio-économique, tel qu'il est défini, s'inscrit dans l'espace de manière aléatoire, ce qui tend à constituer un paysage très morcelé.

3. Le réseau global qui envoie une information unique tend à provoquer une uniformisation du paysage.

**Questions** : Lorsque l'on superpose les réseaux par deux ou les trois ensembles, l'un d'eux tend-il à exercer une influence dominante sur les autres ?

Lorsque l'on superpose les réseaux ensemble, obtient-on un type de paysage différent de ceux obtenus par chacun des réseaux prit individuellement ?

Lorsque l'on superpose les deux mêmes types de réseaux plusieurs fois, obtient-on à chaque fois le même type de paysage ?
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## B. Définition et fonctionnement du modèle

Le modèle IRIUS représente un mode de fonctionnement du monde agricole et de son influence sur le paysage extrêmement minimaliste. Il ne représente qu'une partie de la relation agriculture-paysage ; à savoir les choix de culture. L'hypothèse générale du modèle IRIUS est que la mosaïque paysagère évolue en fonction des choix de culture qui sont eux-mêmes dépendants d'une part de contraintes culturales et d'autre part d'informations que les agriculteurs reçoivent de réseaux aux organisations spatiales différentes. Une deuxième hypothèse est posée et considère que les contraintes culturales atténuent la vitesse et l'ampleur de l'influence spécifique des réseaux sur l'évolution de la mosaïque paysagère. En d'autres termes, le mode de fonctionnement agricole tendrait à temporiser les changements brusques liés aux multiples incitations que reçoivent les agriculteurs.

Sur la base de ces hypothèses, le modèle IRIUS est construit comme suit.

### Éléments de base du modèle

Le modèle est constitué d'une grille d'une dimension 25x25 cellules. Chaque cellule représente une ferme et son agriculteur. Une ferme cultive un type de culture (occupation du sol) à chaque pas de temps (année). Il existe trois types de culture : culture 1 (jaune), culture 2 (vert) et culture 3 (marron). Les fermes débutent la simulation avec une culture choisie aléatoirement parmi les trois. Le paysage est donc initialement totalement morcelé (on parle aussi de paysage fragmenté). Puis, au fur et à mesure de l'avancement de la simulation, les agriculteurs vont pouvoir changer de culture ou pas.

### Paramètres de changement du paysage

La décision de changer de culture repose sur deux éléments :

#### Les contraintes culturales

Dans le modèle IRIUS, ces contraintes se résument à un seul paramètre lié aux successions culturales. Il s'agit de la durée (nombre de pas de temps) maximale durant laquelle l'agriculteur est obligé de changer de culture. Ce paramètre est égal à 5. Il représente le fait que dans la réalité, au bout d'environ 5 ans, les contraintes agronomiques liées au fait de continuer à cultiver la
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## Modèle Irius

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même culture sur une même parcelle sont tellement élevées (appauvrissement du sol en certains nutriments, repousse systématique de mauvaises herbes spécifiques à la culture,...) qu'il faut renouveler le système et donc changer de culture. Dans le modèle, l'agriculteur pourra alors décider de changer de culture ou pas avant ces 5 pas de temps, mais par contre s'il atteint ces 5 pas de temps, il sera obligé de changer de culture.

## L'influence des réseaux

À chaque pas de temps, les agriculteurs reçoivent des incitations de la part des différents réseaux qu'ils compilent dans une « liste de recommandations ». Ensuite, une nouvelle liste est créée à partir de la durée pendant laquelle l'occupation du sol est restée en place, listant les possibilités de transitions possibles (liste des possibilités). Par exemple, un agriculteur ayant implanté 5 fois la même culture 2 verra la liste des possibilités composée de cultures 1 et 3. La figure 1 résume la mise en œuvre des sous-modèles décris ci-après.

- Le réseau global tend à favoriser l'occupation du sol minoritaire à l'échelle de la mosaïque paysagère dans son ensemble, dans le but de tendre vers plus de diversité paysagère (Deke 2008). Les proportions d'occupation des sols sont calculées à chaque pas de temps. Ce type de réseau recommande ensuite aux agriculteurs d'implanter la culture minoritaire. Si deux occupations du sol sont égales et minoritaires, il ne fournit aucune recommandation.

- Le réseau local (de voisinage) vise à reproduire un comportement observé chez les agriculteurs et consistant à reproduire les pratiques dominantes des agriculteurs voisins (Deffuant, 2002; Kaufmann et al. 2009). Pour chaque exploitation agricole, les proportions des occupations du sol présentes dans le voisinage direct (les huit cellules voisines de la cellule/exploitation considérée) sont calculées. Dans le cas où deux occupations du sol sont égales et dominantes, alors aucune recommandation n'est délivrée.

- Le réseau social (socio-économique) promeut une pratique collective similaire, illustrée ici à travers l'adoption de l'occupation dominante mise en œuvre par ses membres. Plusieurs réseaux sociaux cohabitent à l'échelle du paysage, les agriculteurs étant rattachés à l'un de ces réseaux de façon aléatoire et équiprobable (même nombre d'agriculteurs par réseau). Cela reproduit par exemple l'impact de la diffusion d'une innovation technologique (Saltiel et al., 1994) ou bien l'adhésion à un syndicat agricole. Pour chaque groupe d'agriculteurs, la proportion d'occupation des sols est calculée et celle qui est dominante, est recommandée. Si, pour un groupe, deux occupations du sol sont égales et dominantes, alors ce réseau n'émet pas de recommandation.
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- La décision de l'agriculteur est décrite en détail dans la figure 1 et fonctionne telle que : Si la liste de recommandation contient une occupation du sol dominante, qui est également présente dans la liste des possibilités, alors l'agriculteur adopte ce type d'occupation du sol. Si la liste de recommandations ne contient aucune recommandation ou bien qu'aucune occupation du sol recommandée ne domine, une de celles présentent dans la liste des possibilités est choisie aléatoirement.

<figure><img src="image_154.png" /><figcaption>**Figure 19.** Diagramme d'activité de la décision de changement d'occupation du sol faite par chacun des agriculteurs</figcaption></figure>
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## Indicateurs pour suivre l'évolution du paysage

L'évaluation de l'influence des réseaux sur les dynamiques paysagères (Gustafson, 1998) est réalisée à travers l'évolution d'indices de fragmentation et d'hétérogénéité du paysage (O'Neill et al. 1988; Burel and Baudry, 2003). Le patron paysager est considéré ici à travers le prisme de l'évolution combinée de ces deux indicateurs. Une valeur moyenne de fragmentation et d'hétérogénéité est calculée pour chaque scénario à partir des 40 simulations réalisées pour les tests de sensibilité. Pour évaluer et caractériser l'influence respective et combinée des réseaux sur le paysage, des valeurs standardisées de ces indicateurs sont utilisées. Cela permet de rendre les scénarios comparables entre eux. Un autre indicateur (l'occurrence moyenne pour chaque type d'occupation des sols) est calculé pour contrôler l'aptitude du modèle à simuler les changements d'occupation des sols.

Nous allons à présent voir comment on peut utiliser le modèle IRIUS pour explorer l'influence croisée des trois types de réseau sur la structure, la composition et la fragmentation du paysage.

## C. Exploration du modèle

Le modèle IRIUS est un modèle de simulation, ce qui signifie que la simulation débute par une situation initiale (bouton *Setup*), puis qu'on lance la simulation (bouton *Go*). À chaque fois que l'utilisateur veut relancer une simulation, il faut cliquer sur *Setup*, puis sur *Go*. Lorsque le bouton *Go* est activé (il apparaît en noir), le temps avance automatiquement (*ticks* ou « pas de temps ») et la mosaïque paysagère évolue en fonction des règles du modèle (voir Partie B) et du réglage des paramètres du modèle. Par défaut une simulation dure 100 pas de temps.

Pour comprendre le modèle et l'influence des interactions avec l'environnement et les réseaux sociaux, il est possible d'effectuer une série de manipulations.
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## Modèle Irius

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## Exercice 1. Tester l'influence des contraintes agronomiques -

**Objectif** : Illustrer le fonctionnement dynamique d'un système multi-agents.

Cet exercice permet de discuter de cette interaction « primordiale » entre les agents et leur environnement. Dans le cas du modèle IRIUS, l'environnement peut être rapproché de la baisse de fertilité des sols et des pratiques que les agriculteurs mettent en œuvre sur leur territoire.

**Réglage des paramètres** : Global_network *On* ; Social_network *On* ; Local_network *On*.

**Manipulation** : Lancer une fois la simulation avec le paramètre agronomic_constraints? sur *On*, et une nouvelle fois avec le paramètre agronomic_constraints? sur *Off*.

Qu'observez-vous ?

**Réponse** : Sans contraintes agronomiques, soit les agriculteurs cultivent la même culture tout le temps, soit ils permutent leurs cultures selon un rythme relativement stable.

Cette manipulation permet de montrer comment passer d'un système exclusivement basé sur les communications entre agents à un système où les décisions des agents interagissent avec l'environnement.

## Exercice 2 - Appréhender la variabilité des simulations

**Objectif** : Illustrer la stochasticité présente dans un modèle dynamique.

**Réglage des paramètres** : agronomic_constraints? *On*, Global_network *On*, Social_network *On*, Local_network *On*.

**Manipulation** : Lancer 10 fois la simulation et faites une impression écran de la mosaïque paysagère obtenue à la fin de la simulation (100 pas de temps) à l'aide d'un clic droit sur la vue du « monde ».

Qu'observez-vous ?

**Réponse** : Les sorties ne sont pas toutes identiques malgré des paramètres identiques à l'initialisation.
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## Modèle Irius

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Cet exercice doit inviter les étudiants à réfléchir sur les processus stochastiques présents dans ce modèle.

Dans certains cas le paysage obtenu est très hétérogène (cas 1) et dans d'autres il est très homogène (cas 2).

<figure><img src="image_161.png" /><figcaption>Cas 1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_162.png" /><figcaption>Cas 2</figcaption></figure>

## Exercice 3 - Tester l'effet des réseaux un à un

**Objectif** : Présenter les effets de réseaux de natures différentes sur la mosaïque paysagère.

**Réglage des paramètres** : Le but est de faire varier ces paramètres. Durant ces manipulations vous garderez toujours le paramètre agronomic_constraints? sur *On*.

**Manipulations** : Exécuter ces trois scénarios (a, b, c)

a) Global_network *On*; Social_network *Off*; Local_network *Off*

b) Global_network *Off*; Social_network *On*; Local_network *Off*

c) Global_network *Off*; Social_network *Off*; Local_network *On*

**Réponse** : Il est possible d'observer pour :

a) le réseau global est très simple, il agit sur l'ensemble des agents en les forçant à utiliser la culture minoritaire en fonction de l'état de la mosaïque à l'itération précédente. C'est pourquoi il y a un effet « flash » puisque les cultures « changent de manière cyclique » dans leur globalité
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pour répondre à l'impulsion de proposer une culture minoritaire et même absente dans ce cas d'un seul réseau activé.

b) lorsque le réseau social est activé, les résultats sont plus aléatoires à première vue. Les agents interagissent avec leur réseau (5 agents) qui est disposé de manière aléatoire dans l'espace. Cette disposition à l'initialisation (dispersion plus ou moins grande) va alors influencer la dynamique de la mosaïque paysagère.

c) lorsque seul le réseau de voisinage est activé, on voit apparaître des effets de propagation par effet de voisinage entre des grandes étendues d'une même culture. Dans certains cas, l'une de ces grandes étendues grossit tellement qu'elle finit par occuper tout le paysage. Dans d'autres, la simulation aboutie à un équilibre entre plusieurs grandes étendues de cultures homogènes.

## Exercice 4 - Tester l'effet des interactions entre les réseaux. Une approche comparative

**Objectif** : Présenter l'effet de la superposition de deux réseaux sur la mosaïque paysagère. Le but est de comprendre comment deux réseaux aux effets différents se combinent. Dans le cas n°1, on teste la superposition des réseaux global et local. Dans le cas n°2 on teste la superposition des réseaux global et social

**Cas n°1 - Réglage des paramètres** : agronomic_constraints? On, Social_network Off

**Manipulations** : Exécutez et comparez ces scénarios

* Uniquement le Global -> Global_network On et Local_network Off

* Uniquement le Local -> Global_network Off et Local_network On

* Les deux en même temps -> Global_network On et Local_network On

**Réponse** : L'effet du réseau global (effet « flash ») se superpose à l'effet de diffusion par voisinage du réseau local. On obtient une mosaïque constituée de grands espaces homogènes (comme lorsqu'il n'y a que le réseau Local) mais qui est déstructuré (effet « flash ») tous les 5 à 7 pas de temps environ. Les effets des deux réseaux s'additionnent donc.
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Toutefois, lorsque les deux réseaux sont activés, la mosaïque ne tend jamais vers un paysage totalement homogène (la proportion de chacune des occupations du sol ne dépasse jamais 60%) ; alors que s'il n'y a que le réseau Local, le paysage peut devenir quasiment homogène.

### Cas n°2 - Réglage des paramètres : agronomic_constraints? On, Local_network Off

**Manipulations** : Exécutez et comparez ces scénarios

- Uniquement le Global -> Global_network On et Social_network Off

- Uniquement le Social-> Global_network Off et Social_network On

- Les deux en même temps -> Global_network On et Social_network On

**Réponse** : Dans ce cas, et au regard de la réponse du cas n°1, les deux réseaux ne se combinent pas tout au long de la simulation. En effet, après plus d'une dizaine de pas de temps (env. 50), où seules les cultures changent mais pas la structure (pattern), la mosaïque paysagère se transforme petit à petit et devient alors complètement dominée par les effets du réseau global avec l'apparition de l'effet « flash » caractéristique. Autrement dit, les effets du réseau social s'estompent progressivement face à ceux du réseau global.

Ce scénario démontre alors que la superposition des réseaux n'aboutit pas nécessairement à une « addition prévisible » des réseaux et dévoile que ces interactions entre réseaux sont fortement dépendantes de la nature même de ces réseaux (configuration spatiale).

### Exercice 5 - Exploration de l'espace des paramètres (indicateurs spatiaux)

Le modèle IRIUS illustre également l'utilisation d'indicateurs quantitatifs exprimant l'organisation du paysage.

L'indicateur de Shannon exprime la diversité des classes d'occupation du sol (I-Shannon). Plus cet indicateur est élevé, plus la diversité des classes d'occupation du sol est importante.

L'indicateur de fragmentation, exprime quant à lui, la structuration spatiale de la mosaïque paysagère. En effet, il permet de calculer le nombre de patchs qui existent dans la mosaïque paysagère. La notion de patch, issue de l'écologie du paysage, est ici définie comme un ensemble
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle Irius

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Mai 2014

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de cellules contiguës ayant la même occupation du sol. Plus l'indicateur est élevé, plus la fragmentation du paysage est importante.

## Manipulations :

Testez différents scénarios selon votre choix, avec un ou plusieurs réseaux activés (gardez agronomic_constraint sur *On*) et regardez leur influence sur les valeurs de l'indicateur de Shannon et l'indicateur de fragmentation.

# D. Conclusion et perspectives

Le modèle IRIUS, a pour objectif central d'appréhender le potentiel des systèmes multi-agents pour étudier les dynamiques des paysages. Dans le cadre pédagogique, certains choix importants de simplifications ont ainsi été faits. Il s'agit d'un modèle théorique, les exemples donnés (agriculteur, syndicat, marché mondial) sont présents pour faire comprendre le sens du modèle. Il serait délicat et non pertinent de présenter ce modèle comme un modèle appliqué pouvant être utilisé concrètement à l'image de modèles d'aide à la décision, notamment. Il peut d'ailleurs être remarqué que ce modèle propose de relier des outils de simulations (processus, informatique) à des outils davantage tournés vers l'analyse spatiale (structures, écologie du paysage,...).

Dans le cadre des limites mentionnées ci-dessus, ce modèle permet explicitement d'aborder différentes notions. Tout d'abord, il propose une **application concrète des interactions homme/environnement** au sens large, avec notamment la relation qui relie les choix de l'agriculteur en fonction de paramètres « sociaux » (messages de réseaux) et de contraintes environnementales (contraintes agronomiques). De plus, il permet d'appréhender les propriétés des systèmes complexes tout en les relativisant grâce à la diversité des scénarios possibles. En effet, certaines **structures de la mosaïque paysagère produites sont le résultat d'interactions locales (émergence)** mais dans d'autres cas, le modèle prend davantage la forme d'un système centralisé (effet « flash » du réseau global). Le modèle IRIUS permet au final d'**étudier la superposition de réseaux agissant à différentes échelles** et comment les interactions produisent (ou non) des structures non prévisibles à l'échelle paysagère.
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E. Bibliographie

Baudry J., Thenail C., 2004, *Interaction between farming systems, riparian zones, and landscape patterns: a case study in western France*. Landscape and Urban Planning 67, 121-129.

Burel F., Baudry J., 2003, *Landscape Ecology: Concepts, Methods, and Applications*, vol. XVI. Science Publishers, Enfield.

Daudé E., 2004, "Contributions of multi-agent systems for diffusion processes studies". *Cybergeo*, 255, 1-16. http://www.cybergeo.eu/index3835.html

Deffuant G., Amblard F., Weisbuch G., Faure T., 2002, "How can extremism prevail? A study based on the relative agreement interaction model". *Journal of Artificial Societies and Social Simulation* 5(4).

Deke O., 2008, *Environmental policy instruments for conserving global biodiversity*. Springer Verlag, Berlin Heidelberg.

Gereffi G., Korzeniewicz M. 1994. *Commodity chains and global capitalism*, Westport, Connecticut, Praeger.

Gustafson E.J., 1998, *Quantifying landscape spatial pattern: what is the state of the art? Ecosystems* 1, 143-156.

Kaufmann P., Stagl S., Franks D.W., 2009, *Simulating the diffusion of organic farming practices in two New EU Member States*. *Ecological Economics* 68(10), 2580-2593.

Kristensen S.P., Thenail C., Kristensen L., 2001, "Farmers' involvement in landscape activities: An analysis of the relationship between farm location, farm characteristics and landscape changes in two study areas in Jutland, Denmark". *Journal of Environmental Management* 61, 301-318.

O'Neill R.V., Gardner R.H., Turner M.G., 1992, *A hierarchical neutral model for landscape analysis*. *Landscape Ecology* 7, 55-61.

Saltiel J., Bauder J.W., Palakovitch S., 1994, "Adoption of sustainable agricultural practices: diffusion, farm structure, and profitability". *Rural sociology* 59(2), 333-349.
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<figure><img src="image_172.png" /></figure>

Valbuena D., Verburg P., Bregt A.K., Ligtenberg A., 2010, "An agent-based approach to model land-use change at a regional scale". *Landscape Ecology* 25(2), 185-199, http://dx.doi.org/10.1007/s10980-009-9380-6

Veldkamp A., Kok K., De Koning G.H.J., Schoorl J.M., Sonneveld M.P.W., Verburg P., 2001, "Multi-scale system approaches in agronomic research at the landscape level". *Soil Tillage Resource* 58, 129-140.

Wauters E., Bielders C., Poesen J., Govers G., Mathijs E., 2010, *Adoption of soil conservation practices in Belgium: an examination of the theory of planned behaviour in the agri-environmental domain*. Land-use Policy 27, 86-94.
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# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle Iznogoud

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**Domaine d'application** : Géographie, Sciences Politiques

**Spécificité pédagogique** : Développement d'un modèle simple sous Netlogo, exploration de comportements d'un système complexe, pilotage d'un système complexe.

**Niveau du public visé** : Débutant (avec quelques notions d'algorithmique) pour partie développement du modèle, Débutant sans notions spécifiques d'algorithmique pour l'exploration du modèle (type public lycéen), Informaticien pour l'implémentation de nouvelles stratégies.

**Nom du modèle correspondant** : Iznogoud

**Version NetLogo pour le modèle** : 5.0

**Auteurs** : Frédéric Amblard (IRIT, Toulouse), Thomas Louail (IRIT, Toulouse), Romain Reulier (LETG, Caen), Paul Salze (LIVE, Strasbourg), Patrick Taillandier (UMR IDEES, Rouen)

## Modèle Iznogoud

IZNOGoud
PRESIDENT

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TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>A. DÉFINITION DU MODÈLE</td><td>91</td></tr><tr><td>B. CONTEXTUALISATION DU MODÈLE</td><td>91</td></tr><tr><td>C. CONSTRUCTION DU MODÈLE SQUELETTE</td><td>92</td></tr><tr><td>Fonctionnement</td><td>92</td></tr><tr><td>Implémentation</td><td>96</td></tr><tr><td>Paramètres et indicateurs</td><td>97</td></tr><tr><td>D. EXPLORATION</td><td>99</td></tr><tr><td>Manipulation du modèle</td><td>99</td></tr><tr><td>Exploration de l'espace des paramètres</td><td>104</td></tr><tr><td>E. CONCLUSION</td><td>105</td></tr><tr><td>F. PERSPECTIVES</td><td>105</td></tr><tr><td>G. BIBLIOGRAPHIE</td><td>106</td></tr></table>
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Dans le cadre de cette fiche pédagogique, nous proposons à l'apprenant d'implémenter un modèle lié à la dynamique de vote, d'en comprendre le fonctionnement puis d'agir sur celui-ci (aspect pilotage de système complexe). L'objectif est ici de présenter un exemple d'utilisation de la simulation multi-agents dans le cadre de problématiques socio-politiques et d'aborder des aspects différents (implémentation, étude, pilotage) avec différents types de publics potentiels.

### A. Définition du modèle

Ce modèle permet de simuler des dynamiques d'opinions et de vote dans un micro-monde simplifié. Le monde est un espace d'opinions en deux dimensions (par exemple l'écologie et la crise économique). Sur ces deux axes d'opinions, continus et linéaires, sont positionnés des agents mobiles (leurs opinions évoluent dynamiquement). Deux types d'agents sont représentés :

1. des électeurs ou votants

2. des candidats

A chaque pas de temps, un électeur choisit aléatoirement dans son voisinage d'opinions un autre agent (soit un autre électeur, soit un candidat) qui va influer sur ses opinions et donc conduire à son déplacement dans l'espace des opinions.

Ce cadre extrêmement simplifié est un point de départ qui permet de tester différentes stratégies concurrentes qu'appliqueront les candidats pour tenter de capter un maximum d'électeurs en vue de gagner l'élection (cf. Perspectives.). Il permet également de raisonner sur des cas simples et en testant différentes valeurs de paramètres, d'en comprendre l'incidence sur les dynamiques collectives de votes générées par le modèle.

### B. Contextualisation du modèle

Ce modèle est inspiré des modèles simples de vote et de dynamiques d'opinions de la littérature (Weisbuch et al., 2001 ; Deffuant et al., 2003 ; Jager et Amblard, 2005). Il ne représente aucun type particulier d'élection. Les stratégies de déplacement des agents sont suffisamment génériques pour pouvoir modéliser une large gamme d'élections et de stratégies électorales. Plus généralement, ce type de modèle est issu de la *Spatial Voting Theory* (Enelow, 1984 ; Zakharov, 2008) qui modélise le débat politique en situant les positions des individus dans un espace d'enjeux. Contrairement à ce dernier courant, les modèles d'opinions présentés ici sont dynamiques et ont vocation à décrire le fonctionnement et l'évolution d'un système social complexe dans l'objectif de travailler à sa compréhension.
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Les deux axes d'opinions (les deux dimensions) représentent ici de manière synthétique des sujets d'intérêts sociétaux par rapport auxquels les candidats vont se positionner. Pour des raisons de parcimonie et de simplification de la visualisation, dans cette version seulement deux axes sont considérés. Dans les faits, un modèle de dynamiques de vote pourrait en considérer beaucoup plus.

## C. Construction du modèle squelette

### Fonctionnement

Dans un premier temps, on considère que seuls les électeurs se déplacent. La question de la mobilité des candidats est introduite ultérieurement, en tant qu'activité exploratoire optionnelle. C'est en fonction des règles d'interactions et d'influences entre agents qu'est obtenu le résultat de l'élection. (NB : dans la suite lorsque nous parlons d'espace, il s'agira de l'espace des opinions (en 2D) et non pas d'un espace géographique. De la même façon lorsque nous parlons de distance, il s'agit d'une distance euclidienne dans cet espace des opinions et non pas d'une distance géographique). La dynamique générale du modèle est décrite **Figure 20**.
# Fiche pédagogique

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## Modèle Iznogoud

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<figure><img src="image_187.png" /><figcaption>**Figure 20.** Description de la dynamique générale du modèle</figcaption></figure>

Le modèle comporte 5 paramètres qui permettent de moduler le déplacement des électeurs :

1. *PoidsCandidats (%)* permet de fixer l'influence relative des candidats par rapport aux électeurs lorsqu'un électeur détermine s'il va être influencé par un candidat (avec la probabilité *PoidsCandidats*) ou un électeur (avec la probabilité *1 - PoidsCandidats*).

2. *Seuil_Attraction_Candidats* (en unité de distance, i.e. nombre de cases) correspond à la distance maximale à laquelle un candidat peut influer un électeur et « l'attirer » vers lui.

3. *Seuil_Repulsion_Candidats* (en unité de distance, i.e. nombre de cases) correspond à la distance à partir de laquelle un candidat devient répulsif pour un électeur. L'électeur se déplace alors dans la direction opposée à celle de ce candidat.

4. *Seuil_Attraction_Electeurs* (en unité de distance, i.e. nombre de cases) correspond à la distance maximale à laquelle un autre électeur peut influer un autre électeur et l'attirer vers lui.
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle Iznogoud

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5. *Distance_Parcourue* (en unité de distance, i.e. nombre de cases) qui correspond au nombre de pas qui seront parcourus par un électeur en direction (ou dans la direction inverse en cas de répulsion) d'un candidat/électeur dont il est sous l'influence.

A chaque pas de temps, un agent électeur choisit une action à réaliser parmi deux : déplacement en direction d'un électeur ou déplacement par rapport à un candidat (Figure 21). Le choix de l'une des deux actions résulte d'un tirage aléatoire dépendant du paramètre *Poids_candidat* : plus ce dernier a une valeur élevée, plus un agent électeur a de chances d'être influencé par un candidat (et donc d'exécuter l'action *Déplacement par rapport à un candidat*); plus ce paramètre a une valeur faible, plus l'agent électeur a de chances d'être influencé par un autre électeur (et donc d'exécuter l'action *Déplacement en direction d'un électeur*).

<figure><img src="image_190.png" /><figcaption>**Figure 21.** Description de la dynamique des électeurs</figcaption></figure>

Les agents électeurs disposent de deux actions :

1. **Déplacement en direction d'un électeur** (Figure 22) : l'agent électeur subit l'influence d'un autre agent électeur (agent attracteur) qui a des opinions proches (distance entre les deux électeurs inférieure au paramètre *Seuil_Attraction_Electeurs*). L'agent électeur se déplace en conséquence (d'une distance égale au paramètre *Distance_Parcourue*) en direction de l'agent électeur attracteur.
Fiche pédagogique

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Modèle Iznogoud

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<figure><img src="image_193.png" /><figcaption>**Figure 22.** Action de déplacement en direction d'un agent électeur des agents électeurs</figcaption></figure>

2. Déplacement par rapport à un candidat ( ) : l'agent électeur réagit par rapport à un agent candidat (choisi aléatoirement). Si cet agent candidat a des opinions proches de l'agent électeur (distance entre les deux agents inférieure au paramètre *Seuil_Attraction_Candidats*). L'agent électeur se déplace en direction de l'agent candidat (d'une distance égale au paramètre *Distance_Parcourue*). Si au contraire, l'agent candidat a des opinions très éloignées de l'agent électeur (distance entre les deux agents supérieur au paramètre *Seuil_Repulsion_Candidats*), l'agent électeur se déplace dans la direction opposée de l'agent candidat (d'une distance égale au paramètre *Distance_Parcourue*).
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<figure><img src="image_196.png" /><figcaption>**Figure 4.** Action de déplacement par rapport à un agent candidat des agents électeurs : (a) l'agent candidat se trouve près de l'agent électeur influencé ; (b) l'agent candidat se trouve loin de l'agent électeur influencé</figcaption></figure>

## Implémentation

**Exercice optionnel** : il s'agit de coder progressivement différents aspects du modèle selon les étapes suivantes :

1. Générer une population d'agents votants positionnés aléatoirement (suivant une loi uniforme) dans l'espace des opinions.

2. Implémenter la fonction d'influence entre agents électeurs en fonction du seuil d'influence.

3. Générer une population d'agents candidats positionnés aléatoirement (suivant une loi uniforme) dans l'espace des opinions.

4. Implémenter la fonction d'influence entre agents électeur et agents candidats (attraction et répulsion).

5. Implémenter la procédure qui permet de déterminer à chaque itération pour chaque agent électeur s'il est influencé par un autre électeur ou par un candidat.
<figure><img src="image_197.png" /></figure>

<figure><img src="image_198.png" /></figure>

## Paramètres et indicateurs

La figure 5 présente l'interface du modèle implémenté. Elle permet à l'utilisateur de contrôler certains paramètres :

1. *Nombre d'électeurs* : nombre d'électeurs générés à l'initialisation

2. *Nombre de candidats* : nombre de candidats générés à l'initialisation

3. *Distribution des électeurs* : distribution spatiale des électeurs générés à l'initialisation. Deux options peuvent être choisies : *Uniforme* (répartition aléatoire uniforme dans l'espace) ou *Normale* (répartition suivant une loi normale : plus d'électeurs au centre que sur les extrémités de l'espace).

4. *Distribution des candidats* : distribution spatiale des candidats à l'initialisation. Quatre options peuvent être choisies : Aléatoire, Polygone (avec pour centroïde le point {0,0} situé au centre de l'espace), Ligne (suivant l'axe x) et Diagonale (suivant la diagonale bas-gauche -> haut-droite).

5. *Poids Candidats* : voir partie précédente

6. *Seuil d'attraction Candidats* : voir partie précédente

7. *Seuil d'attraction Electeurs* : voir partie précédente

8. *Distance Parcourue* : voir partie précédente

9. *Stratégie Candidats* : ce paramètre est positionné sur *Fixe* dans la première phase d'exploration du modèle. La seconde phase d'exploration permet éventuellement d'ajouter d'autres stratégies de déplacement des candidats. Six options peuvent être choisies : *Fixe* (les candidats ne se déplacent pas dans l'espace des opinions), *Faire les marchés* (déplacement en direction de l'un des électeurs se trouvant dans son rayon d'attraction), *Distinction* (déplacement dans la direction opposée de l'un des candidats), *Se rapprocher du meilleur* (déplacement en direction du candidat ayant le plus d'électeurs), *Groupe* (déplacement en direction du plus d'électeurs le plus important), et *Aléatoire* (choix aléatoire d'une stratégie parmi les stratégies précédentes)

L'interface propose également une carte permettant de suivre en temps réel l'évolution du système, en particulier le placement de chaque candidat (cercle) et de chaque électeur (triangle de petite taille). Ce dernier prend la couleur du candidat pour lequel il souhaite voter (si aucun candidat, couleur blanche). Plus un candidat compte d'intentions de vote, plus sa taille augmente.
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Enfin l'interface propose différent graphiques permettant de suivre l'évolution du système :

1. Diagramme de répartition des votants par candidat

2. Entropie : indice de Shannon permettant de caractériser l'aspect plus ou moins égalitaire de la répartition des électeurs par candidats : varie entre 0 (répartition égalitaire) et 1 (répartition inégalitaire)

3. Plus proche voisin (moyenne) : ratio *R* entre (a) la valeur moyenne de la distance au plus proche voisin chez les électeurs et (b) ce qu'elle serait dans une distribution aléatoire. *R=0* : distribution concentrée. *R=1* : distribution aléatoire. *R>1* : tend vers une couverture de plus en plus homogène de l'espace.

4. Volatilité des candidats : distance entre la position au temps *t* d'un candidat et sa position de départ.

5. Richesse du débat public : moyenne des distances entre les candidats pris deux à deux pondérées par le plus petit nombre de votants d'entre les deux candidats. Indice large : beaucoup de distance ; indice faible : proximité des candidats.

<figure><img src="image_201.png" /><figcaption>Figure 24. Interface du modèle</figcaption></figure>
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## D. Exploration

### Manipulation du modèle

#### Exercice 1

Paramètres testés

Nombre candidat : 1

Nombre électeurs : 4000

Distribution électeurs : Unifome

Distribution Candidats : Ligne

Seuil_Attraction_Candidats : 50

Seuil_Attraction_Electeurs : 30

Seuil_Répulsion_Candidats : 80

Poids Candidats : 50

Distance parcourue : 10

Stratégie candidats : Fixe

Nombres de ticks :

0

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1

<figure><img src="image_205.png" /></figure>

5

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15

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Explications

Exemple simplifié du principe d'attractivité, de répulsion et mise en évidence de l'espace de neutralité. À l'initiation, le candidat, en jaune, est au centre de l'espace des opinions tandis que
# Fiche pédagogique

## Collectif MAPS

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## Modèle Iznogoud

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4000 électeurs sont répartis aléatoirement. Dès les premières itérations, les électeurs situés à moins de 50 cases du candidat convergent vers le candidat (attractivité) et dans le même temps ceux situés à plus de 80 cases tendent à s'éloigner du candidat (répulsion). Se forme alors un espace de neutralité, les électeurs qui s'y trouvent ne sont pas suffisamment indifférents aux propositions du candidat pour s'en éloigner mais dans le même temps pas assez convaincus pour le rejoindre. Ils restent ainsi dans un « no man's land d'opinion ».

## Exercice 2

### Paramètres testés

- Nombre candidat : 1

- Nombre électeurs : 4000

- Distribution électeurs : Unifome

- Distribution Candidats : Ligne

- Seuil_Attraction_Candidats : 80

- Seuil_Attraction_Electeurs : 30

- Seuil_Répulsion_Candidats : 200

- Poids Candidats : 50

- Distance parcourue : 10

- Stratégie candidats : Fixe

Nombres de ticks :

0

<figure><img src="image_210.png" /></figure>

1

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5

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15

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# Fiche pédagogique

## Collectif MAPS

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## Modèle Iznogoud

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### Explications

Exemple d'attractivité des opinions partagées par le candidat et son « cercle » d'électeurs. Absence de répulsion. La configuration initiale est la même que celle de l'exercice précédent à la différence du seuil de répulsion qui est nul et le seuil d'attraction des candidats qui est plus grand. Comme pour l'exercice précédent, les électeurs situés à moins de 80 cases convergent vers le candidat au centre de l'espace. En revanche, le seuil de répulsion étant supérieur à la taille de l'environnement, on n'observe pas de répulsion des électeurs.

### Exercice 3

#### Paramètres testés

- Nombre candidat : 5

- Nombre électeurs : 4000

- Distribution électeurs : Normale

- Distribution Candidats : Ligne

- Seuil_Attraction_Candidats : 50

- Seuil_Attraction_Electeurs : 30

- Seuil_Répulsion_Candidats : 120

- Poids Candidats : 50

- Distance parcourue : 10

- Stratégie candidats : Fixe

Nombres de ticks :

0

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1

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5

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15

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# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle Iznogoud

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### Explications

Convergence des électeurs vers les candidats situés proches du centre de l'espace d'opinion (forte attractivité) par opposition aux candidats extrêmes dont la répulsion (rejet politique) repoussent les votants vers le centre.

### Exercice 4

#### Paramètres testés

- Nombre candidat : 5

- Nombre électeurs : 4000

- Distribution électeurs : Normale

- Distribution Candidats : Polygone

- Seuil_Attraction_Candidats : 20

- Seuil_Attraction_Electeurs : 30

- Seuil_Répulsion_Candidats : 150

- Poids Candidats : 50

- Distance parcourue : 10

- Stratégie candidats : Fixe

Nombres de ticks :

0

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1

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5

<figure><img src="image_224.png" /></figure>

15

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# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle Iznogoud

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### Explications

Exemple de candidats dont les capacités d'attraction et de répulsion sont très faibles. Les électeurs sont plus attirés par les autres électeurs que par les candidats, ce qui entraine, l'émergence d'un grand groupe d'électeurs au centre qui restent neutres. L'élection passionne peu.

### Exercice 5 (suivi d'un votant)

#### Paramètres testés

- Nombre candidat : 5

- Nombre électeurs : 1000

- Distribution électeurs : Uniforme

- Distribution Candidats : Ligne

- Seuil_Attraction_Candidats : 100

- Seuil_Attraction_Electeurs : 0

- Seuil_Répulsion_Candidats : 200

- Poids Candidats : 100

- Distance parcourue : 100

- Stratégie candidats : Fixe

Nombres de ticks :

0

<figure><img src="image_228.png" /></figure>

1

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5

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15

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### Explications

Exemple d'un espace d'opinion, largement débattu entre votants et sur lequel les votants ont une très grande mobilité. Les débats au cours de cette élection passionnent les votants qui n'hésitent pas à changer plusieurs fois de candidats.
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## Exploration de l'espace des paramètres

### Exercice 1

Prendre les valeurs des paramètres suivantes :

- Nombre candidat : 10

- Nombre électeurs : 1000

- Distribution électeurs : Uniforme

- Distribution Candidats : Ligne

- Seuil_Attraction_Candidats : 0

- Seuil_Attraction_Electeurs : 0

- Seuil_Répulsion_Candidats : 200

- Poids Candidats : 100

- Distance parcourue : 100

- Stratégie candidats : Fixe

Faire alors varier la valeur de *Seuil_Répulsion_Candidats* de sa valeur max à 0. Regarder alors l'évolution de la distribution finale des électeurs. Qu'observe-t-on ? Comment expliquer ce phénomène ? Cela semble-t-il un comportement acceptable (justifiable) du modèle ?

### Exercice 2

Implémenter les différentes stratégies de déplacement des candidats (optionnel):

1. Fixe (les candidats ne se déplacent pas dans l'espace des opinions),

2. Faire les marchés (déplacement en direction de l'un des électeurs se trouvant dans son rayon d'attraction),

3. Distinction (déplacement dans la direction opposée de l'un des candidats),

4. Se rapprocher du meilleur (déplacement en direction du candidat ayant le plus d'électeurs)

5. Groupe (déplacement en direction du plus d'électeurs le plus important),

6. Aléatoire (choix aléatoire d'une stratégie parmi les stratégies précédentes)

Reprendre les paramètres de l'un des exercices précédents et tester les différentes stratégies des candidats. Comparer les résultats d'élections obtenus : observe-ton des différences ? Que peut-on
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en conclure quant au rôle des autres paramètres ? Certaines stratégies semblent-elles globalement plus avantageuses que d'autres en fonction de la position initiale des candidats ?

## E. Conclusion

### Ce qu'il faut retenir du modèle

L'idée clé de ce modèle est celle d'un positionnement multidimensionnel d'électeurs et de candidats qui partagent un espace d'opinions. On retiendra que les dynamiques collectives de vote observées résultent ici de la mobilité de ces deux populations et des interactions qu'elles entretiennent.

### Les apports didactiques

Introduction à la physique sociale : les agents s'influencent d'une manière ou d'une autre en fonction des distances qui les séparent (attraction-répulsion).

Codage d'un modèle simple et introduction à l'analyse de sensibilité (incidence des paramètres sur les résultats du modèle).

## F. Perspectives

Cette version de base pose plusieurs questions et permet d'ouvrir sur différentes activités d'extension du modèle :

1. Les comportements (d'électeurs et de candidats) implémentés vous-semblent-ils réalistes / justifiables ? Si oui, à quel type d'élections vous paraissent-ils le mieux s'appliquer ? Si non, quelles stratégies de déplacement faudrait-il leur substituer ? Comment pourrait-on raffiner celles déjà implémentés pour les rendre plus réalistes ?

2. Peut-on imaginer d'autres indicateurs dynamiques permettant de caractériser les configurations générées par le modèle ?

3. Si l'on convient que chaque pas de temps (tick) représente une semaine, instaurer une élection annuelle. Peut-on imaginer de multiples procédures de vote ? On pourra commencer par une élection à un tour et vote exclusif : chaque électeur vote pour le candidat le plus proche.
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4. Ajouter des perturbations au régime “normal” : injection de faits divers, rumeurs, influence additionnelle de certains électeurs (*mass medias*, instituts de sondages,...) et évaluer leur incidence sur la dynamique.

## G. Bibliographie

Clark P. J., Evans F. C., “Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in Populations “. *Ecology*, 35, no. 4 (1954): 445-453.

Deffuant G., Amblard F., Weisbuch G., Faure T., “How can extremism can prevail? A study based on the relative agreement interaction model”, *Journal of Artificial Societies and Social Simulation*, vol.5, n°4, 2002.

Enelow J.M., Hinich M.J., *The spatial theory of voting, an introduction*, Cambridge University Press, 198

Jager W., Amblard F., “Uniformity, bipolarization and pluriformity captured as generic stylized behaviour with an agent-based simulation model of attitude change”, *Computational and Mathematical Organization Theory*, vol.10, n°4, p.295-303, 2005.

Weisbuch G., Deffuant G., Amblard F., Nadal J.-P., “Meet, discuss and segregate !”, *Complexity*, vol.7, n°3, p.55-63, 2002.

Zakharov.A.V, 2008. *Spatial voting theory: A review of literature*. 91p.
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle MicMac

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Mai 2014

MAPS 4

**Domaine d'application** : mathématiques, informatique, épidémiologie, géographie

**Spécificité pédagogique** : Intégration de systèmes d'équations différentielles ordinaires et manipulation de réseaux dans Netlogo, couplage de modèles micro et macro, modélisation à différentes échelles

**Niveau du public visé** : Avancé

**Nom du modèle correspondant** : MicMac

**Version NetLogo nécessaire** : Netlogo 4.1.3

**Auteurs** : Arnaud Banos (Géographie-Cités, Paris), Nathalie Corson (LMAH, Le Havre), Benoit Gaudou (IRIT, Toulouse), Vincent Laperrière (UMR ESPACE, Aix en Provence), Sebastien Rey Coyrehourcq (Géographie-Cités, Paris)

# MicMac

## Modélisation agrégative d'une épidémie
dans un réseau de villes

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TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>A. DÉFINITION DU MODÈLE</td><td>111</td></tr><tr><td>B. CONTEXTUALISATION DU MODÈLE</td><td>111</td></tr><tr><td>Un nœud, une ville, trois équations</td><td>112</td></tr><tr><td>Une arête, un axe de transport, des agents mobiles (avions)</td><td>117</td></tr><tr><td>Le réseau, couplage des deux modèles précédents</td><td>117</td></tr><tr><td>Les stratégies de contrôle d'une épidémie</td><td>117</td></tr><tr><td>C. FONCTIONNEMENT DU MODÈLE</td><td>118</td></tr><tr><td>Diagramme de classes et diagramme d'activité</td><td>118</td></tr><tr><td>Le fonctionnement général du modèle</td><td>119</td></tr><tr><td>D. INTERFACE DU MODÈLE</td><td>125</td></tr><tr><td>Les entrées</td><td>125</td></tr><tr><td>Le calage</td><td>129</td></tr><tr><td>Les sorties</td><td>130</td></tr><tr><td>E. MANIPULATION DU MODÈLE</td><td>133</td></tr><tr><td>Installation</td><td>133</td></tr><tr><td>Découverte du modèle</td><td>133</td></tr><tr><td>Effets des stratégies de contrôle</td><td>134</td></tr><tr><td>F. CONCLUSION</td><td>134</td></tr><tr><td>G. BIBLIOGRAPHIE</td><td>135</td></tr></table>
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## A. Définition du modèle

MicMac est un modèle de propagation interurbaine de maladies infectieuses via le trafic aérien. La dynamique de l'épidémie est modélisée au sein de chaque ville selon le schéma SIR classique, qui spécifie les règles de transition entre les classes de populations Susceptibles, Infectées et Retirées. Les villes, qui émettent des flux d'individus se déplaçant en groupes vers d'autres villes, forment un réseau de villes considérées comme une métapopulation. Lors du déplacement en avion, un processus de contagion de type SIR intervient également. Ces différentes dynamiques (SIR sur les nœuds, mobilité, contagion pendant la mobilité) sont toutes synchronisées, applicables à différentes maladies à transmission inter-humaine directe et un indicateur d'erreur a été implémenté, permettant de vérifier la préservation des quantités gérées. Par ailleurs, des stratégies d'adaptation à l'épidémie ont été ajoutées, complexifiant ainsi la dynamique d'ensemble. Ces stratégies s'appliquent au niveau des nœuds (quarantaine), des avions (distribution de masques) ou des passagers (choix des destinations, décision de ne pas voyager en cas de symptômes). L'objectif est d'étudier à travers les simulations l'impact de la mise en place de ces différentes stratégies visant à contrôler les déplacements sur la dynamique épidémique globale. On cherchera quelle est la stratégie ou la combinaison de stratégies qui permettent de minimiser le pic épidémique et la durée de l'épidémie tout en minimisant les pertes de trafic qui représentent un coût économique.

## B. Contextualisation du modèle

Le choix d'un modèle *micro* ou *macro* pour un problème donné dépend de la problématique étudiée, de l'échelle de description, des résultats attendus, de la puissance de calcul disponible, etc.

*La modélisation individu-centrée* est de faible niveau d'abstraction. Elle est basée sur des règles données à chaque individu et permet un niveau de détail important, avec un nombre de paramètres qui peut devenir très grand. Le comportement des agents est évalué à chaque pas de temps, les interactions des individus entre eux et avec leur environnement sont prises en compte. L'utilisation de modèles individu-centrés peut donc nécessiter une grande puissance de calcul si le nombre d'agents impliqué est important. De tels modèles ne permettent que peu d'analyse analytique et les résultats sont obtenus par simulation.
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle MicMac

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Mai 2014

MAPS 4

La modélisation agrégative est d'un niveau d'abstraction plus élevé, elle ne prend pas en compte les individus mais des populations entières, dont l'évolution est décrite par des équations différentielles qui moyennent les différences individuelles et globalisent les interactions entre individus. Un modèle agrégatif ne peut donc contenir un nombre trop élevé de paramètres et de variables, ni ne peut être appliqué à une population de petite taille. Ce type de modélisation permet par contre une étude analytique et, si l'on opte pour la simulation numérique, une exploration de l'espace des paramètres du modèle plus rapide.

Nous verrons que deux grandes difficultés sont soulevées :

1. Le temps : une représentation du temps commune à ces deux catégories de modèles doit être définie.

2. Le passage du continu au discret : les transitions entre modèles doivent être gérées de manière à assurer une préservation permanente des stocks de population.

L'équipe MicMac de MAPS4 a proposé une combinaison de ces deux approches de modélisation pour la simulation d'un même phénomène : la propagation d'une épidémie au sein d'une population structurée. L'idée ici est d'utiliser simultanément les deux types de modélisation pour les différentes composantes du modèle.

## Un nœud, une ville, trois équations

### 1. Le Modèle SIR

Au début du XXe siècle, W.O. Kermack (médecin de santé publique) et A.G. MacKendrick (biochimiste) ont publié un modèle simple de la propagation des épidémies par contact direct (voir [1]). Ils ont confronté leur modèle avec les données réelles de la diffusion de la peste de Bombay entre 1905 et 1906.

Pour leur modèle, ils ont considéré que les individus d'une population peuvent être répartis dans 3 groupes :

- Le groupe des individus Sains et susceptibles d'être infectés (S)

- Le groupe des individus Infectés (I)

- Le groupe des individus Remis et immunisés (R)
<table><tr><td style="vertical-align:top; padding-right: 20px;">
  <strong>Fiche pédagogique</strong><br>
  Collectif MAPS
  <div style="text-align:center; margin-top: 10px; margin-bottom: 5px;">
    <img src="map_image.png" alt="A map with various shapes and colors, representing different individuals. The red circle stands out from the others.">
    <span style="float:right;">maps</span>
  </div>
</td><td style="vertical-align:top;">
  <strong>Modèle MicMac</strong><br>
  MicMac.png
</td><td style="vertical-align:top;">
  Mai 2014<br>
  MAPS 4
</td>
</tr></table>

Un individu initialement sain (appartenant au compartiment S) va s'infecter (et donc entrer dans le compartiment I) avec un taux de contagion proportionnel, avec un taux $\theta$, proportionnel à la quantité d'individus infectés dans la population totale (I). Ce taux $\theta I$ est le taux de contagion. De plus, les individus infectés guérissent avec un taux $\alpha$ et passent alors dans le compartiment R (cf. Figure 25). Ce taux $\alpha$ est le taux de guérison.

<figure><img src="image_249.png" /><figcaption>**Figure 25.** Modèle compartimental de propagation de l'épidémie. Un individu initialement sain (appartenant au compartiment S) va s'infecter (et donc entrer dans le compartiment I) avec un taux de contagion proportionnel (avec un taux $\theta$) à la quantité d'individus</figcaption></figure>

La formulation mathématique de ce problème donne l'évolution du nombre d'individus au cours du temps $dS/dt$, $dI/dt$, $dR/dt$ dans chacun des compartiments S, I, R résultant des entrées et sorties. Ce modèle est un système de 3 équations différentielles ordinaires (EDO), déterministe, autonome (le temps n'apparaît pas explicitement), d'ordre 1 (seule la dérivée première apparaît), non linéaire (par la présence du terme $IS$).

$$ egin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta IS \\ \frac{dI}{dt} = \beta IS - \alpha I \\ \frac{dR}{dt} = \alpha I \end{cases} $$
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle MicMac

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Mai 2014

MAPS 4

## 2. Étude (rapide) du modèle SIR

Afin de s'intéresser à la dynamique de propagation d'une épidémie dans une ville du réseau, on peut étudier ce modèle à l'aide d'outils théoriques et/ou numériques.

Notons que la démographie n'étant pas prise en compte, la population reste constante :

$$N = S(t) + I(t) + R(t).$$

De plus, il s'agit de population donc les quantités $S(t)$, $I(t)$ et $R(t)$ sont positives $S(t) \ge 0$, $I(t) \ge 0$ et $R(t) \ge 0$.

Il existe des outils mathématiques pour montrer que ce système, muni des conditions initiales $S(0)$, $I(0)$ et $R(0)$, admet des solutions qui restent positives et bornées.

Par ailleurs, on peut montrer que le nombre d'infectés augmente si la variation du nombre de $I$ est positive, donc si $\beta IS - \alpha I > 0$, ou encore, si $(\beta S - \alpha)I > 0$ i.e. si $I > 0$ et $(\beta/\alpha)S > 1$.

Ainsi, pour $(\beta/\alpha)S > 1$, chaque individu infecté contaminera plus d'un individu et la maladie se propagera à un nombre toujours grandissant d'individus. Il en sera ainsi jusqu'à ce que le nombre de susceptibles $S$, soit tel que $(\beta/\alpha)S < 1$.

Il est souvent difficile d'obtenir une expression analytique de la solution d'un tel problème. On peut cependant approximer la solution à l'aide de méthodes numériques d'intégration. La méthode proposée par défaut dans NetLogo est la méthode d'Euler. Cette méthode, proposée en 1768 par Leonhard Euler, est une méthode à un pas, et l'erreur est donc proportionnelle, asymptotiquement, au pas d'intégration. Parmi les méthodes développées par la suite, il existe par exemple les méthodes de Runge-Kutta, proposées en 1901 par les mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta. La méthode de Runge Kutta 4 permet d'obtenir une bonne approximation des solutions de ce type de système. C'est donc cette méthode d'intégration numérique que nous utilisons pour obtenir des approximations des solutions de ce système.

La dynamique épidémique de chacun des nœuds-ville de notre réseau de villes étant représentée par un modèle SIR, ceux-ci doivent être intégrés numériquement simultanément. La méthode de Runge-Kutta 4 a donc été externalisée pour des raisons de vitesse de calcul.
<figure><img src="image_252.png" /></figure>

Le principal paramètre de la méthode de Runge-Kutta est son pas d'intégration. Plus ce pas est petit et plus la trajectoire obtenue est précise, plus la simulation est coûteuse.

<figure><img src="image_253.png" /><figcaption>**Figure 26.** Capture d'écran de trajectoires obtenues par la méthode numérique de RK4 appliquée au modèle SIR. La valeur des paramètres $\alpha$ et $\beta$, la population totale ($SInit$, $IInit$ et $RInit$) à l'instant $t = 0$ sont choisies par l'utilisateur</figcaption></figure>

Sur la figure 2, le graphique « Évolution de S, I et R » montre l'évolution du nombre de susceptibles, d'infectés et d'immunisés au cours du temps. On appelle ces graphiques les séries temporelles. Les 3 présentés en bas de la figure montrent les projections du portrait de phase sur les plans (S,I), (I,R), et (R,S). Ils permettent de voir l'évolution du nombre d'infectés en fonction du nombre de susceptibles, l'évolution du nombre d'immunisés en fonction du nombre d'infectés, et enfin l'évolution du nombre de susceptible en fonction du nombre d'immunisés. Ici, $\alpha = 0.1$, $\beta = 0.001$, $IInit = 2$, $SInit = 1450$ et $RInit = 0$. On constate sur les séries temporelles qu'au cours du temps un certain nombre d'individus sains deviendront infectés. En effet, au début de la
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simulation, la courbe représentant le nombre de susceptibles décroît et celle individus infectés croît jusqu'à atteindre son maximum. Les infectés deviennent ensuite immunisés, d'où une croissance importante de la courbe représentant le nombre d'individus immunisés. La dynamique atteint son équilibre lorsque tous les infectés sont guéris. Le modèle atteint à ce moment son équilibre et aucune de ces quantités n'évolue ensuite. La première figure de droite montre que le nombre d'individus infectés croît avec le nombre d'individus susceptibles jusqu'à atteindre son maximum. Une fois ce maximum atteint, le nombre d'infectés commence à décroître. On peut lire de la même façon les 2 autres graphiques. Enfin, il est possible de faire apparaître le nombre maximum d'infectés ainsi que le temps auquel ce maximum est atteint.

<figure><img src="image_255.png" /><figcaption>**Figure 27.** Capture d'écran de trajectoires obtenues par la méthode numérique de RK4 appliquée au modèle SIR. Ici, $\alpha = 0.2$, $\beta=0.0001$, $SInit=10000$, $IInit=1$, $RInit = 0$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_256.png" /></figure>

<figure><img src="image_257.png" /></figure>

## Une arête, un axe de transport, des agents mobiles (avions)

Sachant que dans chaque nœud, l'épidémie se propage suivant un modèle SIR, on connaît, à tout moment, le nombre des individus de chaque ville qui sont sains, infectés ou remis.

L'idée est alors de choisir des individus de chaque ville (nombre entier) pour les faire circuler vers une autre ville. Ces individus circulent en avion le long des arêtes à bord d'agents avions. L'état viral des individus du groupe de voyageurs est choisi uniformément dans chacun des stocks S, I et R de la ville de départ. Les individus choisis de cette façon sont donc extraits de leur ville de départ et vont parcourir les arêtes en avion. Dans ces agents avion, les agents sont soumis au même modèle SIR que dans chacune des villes.

## Le réseau, couplage des deux modèles précédents

Il s'agit ici de considérer le couplage entre les deux modèles précédents.

Chaque nœud a une dynamique épidémique qui suit un modèle SIR. Des individus peuvent sortir de la ville et parcourir les arêtes pour rejoindre d'autres villes, à bord d'agents avions. Durant les vols, la propagation peut se poursuivre, toujours suivant le modèle SIR. Ainsi, il faut actualiser le nombre d'individus dans chacun des compartiments de toutes les villes a chaque pas de temps afin de ne plus prendre en compte, dans le système dynamique, les individus qui ont quitté la ville, et ceux qui y sont entrés.

## Les stratégies de contrôle d'une épidémie

En cas de propagation d'épidémie au sein d'un tel réseau, le modèle prévoit 4 stratégies de contrôle possible, à l'échelle de la ville ou de l'individu :

1. **Quarantaine** : Une ville *i* est mise en quarantaine si : $I_i/(S_i + I_i + R_i) > \tau_1$ où $\tau_1$ représente un seuil compris entre 0 et 1. En cas de mise en quarantaine d'une ville, plus personne n'entre ou ne sort de la ville.

2. **Évitement** : Les agents évitent de choisir comme destination une ville *i* si : $I_i/(S_i + I_i + R_i) > \tau_2$ où $\tau_2$ représente un seuil compris entre 0 et 1. Ces villes continuent à émettre des vols.
<table><tr><td><strong>Fiche pédagogique</strong><br>Collectif MAPS</td><td><strong>Modèle MicMac</strong></td><td>Mai 2014</td></tr><tr><td></td><td></td><td>MAPS 4</td></tr><tr><td><img src="map_image.png" alt="Map of airports with red highlighted areas indicating the location of airports with the highest density of agents"></td><td></td><td></td></tr></table>

3. **Culture du risque** : Les agents infectés évitent de voyager, selon une probabilité fixée par le paramètre *pcr* : $0 < pcr < 1$.

4. **Protection** : Les compagnies aériennes fournissent des protections aux passagers : le paramètre de transmission dans les avions beta est multiplié par un facteur $\gamma$ tel que $0 < \gamma < 1$.

## C. Fonctionnement du modèle

<figure><img src="image_258.png" /><figcaption>Figure 28. Diagramme de classes du modèle</figcaption></figure>

La structure spatiale du modèle est représentée sous la forme d'un réseau défini par deux classes d'objets : des nœuds (Node, un breed Netlogo) et des arêtes (Edge, un type particulier de link en Netlogo). Chaque Node, représentant une ville et son aéroport, est caractérisé par sa sous-population vue comme 3 stock de Sains (S_node), infectés (I_node) et guéris (R_node). Du point de vue de la mobilité, il est caractérisé par les deux booléens : in-airport, signifiant que la ville peut (resp. ne peut pas) recevoir d'avions et out-airport signifiant que la ville peut (resp. ne peut pas) émettre d'avions. Lorsque la ville est en quarantaine les deux paramètres sont à 0 (i.e. pas d'entrées, pas de sorties), tandis que lorsqu'elle est à éviter, out-airport vaut 1 et in-airport vaut 0. Le paramètre tagged? contient la valeur du tick auquel le nœud a été infecté, stock-to-flight contient
# Fiche pédagogique

## Collectif MAPS

<figure><img src="image_259.png" /></figure>

## Modèle MicMac

<figure><img src="image_260.png" /></figure>

Mai 2014

MAPS 4

Le nombre de personnes qui sont près à quitter la ville. Le Node connaît également tous les autres Nodes auxquels il est relié par un Edge.

Lorsque des individus quittent une ville, des agents *MobileGroup* sont créés. Ils sont également caractérisés par leurs 3 stocks d'individus (*S_group*, *I_group*, *R_group*), ainsi que leur Node destination (*next_node*). La vitesse de déplacement (*speed*) est calculée à l'issue de la phase de calage. Les autres attributs servent pour des calculs internes (par exemple, *S_groupInit* est utilisé pour calculer les contaminations qui ont lieu lors des voyages, tandis que *theoric_passengers* est utilisé pour évaluer la perte de trafic liée à la stratégie 3).

Enfin les villes sont reliées entre elles par les arrêtes du graphe (Edge). Un Edge ne contient donc que les 2 Nodes qu'il relie. Les liens ne sont pas orientés.

On peut remarquer que les patchs de Netlogo ne sont pas utilisés dans notre modèle.

## Le fonctionnement général du modèle

### 1. Enchaînement des procédures au cours d'un pas de temps

#### Main loop

Cette boucle, qui gère l'ensemble du programme, est active tant que l'évaluation de la condition suivante est fausse : l'épidémie a été enclenchée, et le rapport entre la population totale d'infectés *I* et la population totale *N*=*S*+*I*+*R* est inférieur au paramètre epsilon.

<figure><img src="image_261.png" /></figure>

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# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle MicMac

<figure><img src="image_264.png" /></figure>

Mai 2014

MAPS 4

### Update-node-airport

La procédure est appelée à chaque pas de temps pour recalculer la gestion des entrées et sorties des aéroports, qui est amenée à varier en fonction des deux premières stratégies.

Pour chaque nœud, on teste si la stratégie 1 est active, si c'est le cas, on calcule si la proportion des infectés sur ce nœud dépasse le seuil *theta1* défini par l'utilisateur dans l'interface. Si c'est le cas, on entre en quarantaine, l'entrée et la sortie de l'aéroport est fermé, sinon les deux sont rouverts, s'ils ne étaient pas déjà (sortie de quarantaine).

Dans un deuxième temps, on teste de la même façon si la stratégie 2 est active. Si c'est le cas, on calcule la proportion d'infectés. Si la valeur de ce calcul est supérieure à la variable *theta2* définissant le seuil à partir duquel l'aéroport passe en stratégie d'évitement, alors l'aéroport voit ses entrées fermées au trafic extérieur.

### compute-SIR-Nodes

Une procédure qui met à jour les stocks *S_node*, *I_node* et *R_node* de chacun des nœuds, suivant les équations d'un système dynamique classique SIR. L'intégration numérique se fait en utilisant la méthode RK4, externalisée dans un plug-in écrit en Scala (pour des raisons de performance). Les conditions initiales de la méthode numérique sont réinitialisées à chaque pas de simulation pour tenir compte des arrivées et des départs.

### compute-SIR-mobilegroup

Pour garder une cohérence entre l'évolution de l'épidémie dans les villes et dans les avions, les stocks des avions sont également mis à jour en utilisant le même système d'équations SIR et la même méthode d'approximation (RK4) avec le même pas d'intégration. Nous tenons donc compte de la contamination qui peut avoir lieu lors d'un voyage en avion.

### identify-infected

Cette procédure teste pour chacun des nœuds s'il existe des infectés, et met à jour la couleur en fonction de ce résultat.
# Fiche pédagogique

## Collectif MAPS

<figure><img src="image_265.png" /></figure>

## Modèle MicMac

<figure><img src="image_266.png" /></figure>

Mai 2014

MAPS 4

<figure><img src="image_267.png" /></figure>

### update-world

Pour chaque aéroport, on gère un stock de population (*stock-to-flight*) qui représente la population prête à partir de ce nœud. Ce stock est incrémenté à chaque pas de simulation en fonction du taux de mobilité *mobility-rate-node* défini par l'utilisateur dans l'interface, ce paramètre représentant la proportion de la population du nœud qui va partir à chaque pas de simulation.

Puis pour chacun des aéroports, si ce stock est suffisant pour remplir un avion, on fait quitter l'aéroport à ces personnes : on calcule le nombre de personnes qui part (*pop-to-fly*), puis on génère autant d'avions que nécessaire pour faire partir tous ces individus.

<figure><img src="image_268.png" /></figure>

Dans cet exemple, après discrétisation du stock réel *stock-to-flight* calculé en fonction du taux de mobilité sur chaque nœud, le stock de population équivalent *pop-to-fly* permet de générer trois avions pleins de trente personnes, et la population restante (résiduelle) permet de générer un avion de plus petite taille.
# Fiche pédagogique

## Collectif MAPS

<figure><img src="image_269.png" /></figure>

## Modèle MicMac

<figure><img src="image_270.png" /></figure>

Mai 2014

MAPS 4

Le résidu de population restant après discrétisation est conservé pour le tour suivant, via l'attribut permanent du nœud *stock-to-flight*.

Dans le cas particulier où le stock de personnes disponibles au départ est inférieur (20 personnes) à la taille d'avion fixé par l'utilisateur (30 personnes), alors aucun avion n'est créé, ce qui explique la condition de la boucle 100p de la procédure *update-world* : « for each airport with at least one full airplane ».

<figure><img src="image_271.png" /></figure>

La population qui monte dans chaque avion est fonction d'un tirage à la proportionnelle (via une loterie) basé sur les individus présents dans les états S, I, et R (réalisé dans la procédure *attribute-pop-to-airplane*).

On recherche une destination pour l'avion sauf si l'aéroport est fermé, auquel cas les gens ne partent pas, et la population de l'avion est comptabilisée comme étant perdue. Dans un deuxième temps, on essaye d'attribuer une destination à l'avion en tirant un aéroport au hasard parmi les aéroports voisins. Si l'aéroport choisi n'est pas accessible (en quarantaine ou objet d'une procédure d'évitement), on incrémente la perte de trafic entrant dans la ville du nombre de personnes de l'avion. Ensuite, si la redistribution du trafic est activée, on tire une nouvelle destination ; dans le cas contraire, le trafic est perdu, comptabilisé par la procédure « lost airplane passenger ».

Si l'avion n'est pas plein du fait de la stratégie 3 (individuelle), alors on comptabilise comme population perdue la différence entre la taille de l'avion théorique et la population réellement présente dans l'avion.

<figure><img src="image_272.png" /><figcaption>Move-airplane</figcaption></figure>
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

<figure><img src="image_273.png" /></figure>

## Modèle MicMac

<figure><img src="image_274.png" /></figure>

Mai 2014

MAPS 4

Pour chaque avion, à chaque pas de simulation, si le nœud d'arrivée n'est pas atteint alors on continue à avancer, sinon c'est signe que l'aéroport terminus est atteint, et que la population de l'avion doit être réintégrée à la population du nœud, en respectant les stocks S, I et R de celui-ci.

### People-leaving-airport

Le tirage au sort des individus et leur affectation dans l'avion est fonction d'une loterie (*compute-people-state*), le passage d'un stock continu d'individus, à une population discrète se fait lors de cette procédure. Le nœud est mis à jour en fonction des individus partants réellement, et tient compte du choix individuel de la stratégie 3 et du seuil fixé (*pcr*) par l'utilisateur.

## 2. Condition d'arrêt du modèle

Une simulation s'arrête lorsque l'on considère que l'épidémie est finie, c'est à dire lorsque les trois conditions suivantes sont satisfaites (résumé dans la figure ci-dessous) :

<figure><img src="image_275.png" /></figure>

- Une épidémie a eu lieu (i.e. a commencé): *Epidémie* == *Vrai*.

- Toute la population de susceptibles a été infectée et est passée dans la classe des retirés : $I/(S+I+R) < epsilon$.

- Le maximum de l'épidémie a déjà été atteint ($gTime-I-Value-max < ticks - 1$)
<table><tr><td><strong>Fiche pédagogique</strong><br>Collectif MAPS</td><td><strong>Modèle MicMac</strong></td><td>Mai 2014</td></tr><tr><td></td><td></td><td>MAPS 4</td></tr><tr><td>maps</td><td></td><td></td></tr></table>

<figure><img src="image_276.png" /><figcaption>Figure 29. Illustration de la condition d'arrêt</figcaption></figure>

### 3. Calage du modèle (temps et espace)

En début de simulation, un modèle SIR est intégré sur un nœud de référence, avec les valeurs de paramètres entrées par l'utilisateur. Ce nœud contient la population totale du modèle, et on utilise la même condition d'arrêt pour le calage que pour la simulation (en particulier le fait que la proportion d'infectés soit sous le *Epsilon-stop*). Le nombre d'itérations de la méthode de RK4 nécessaires pour atteindre cette condition d'arrêt est calculé et on établit le rapport entre la durée de l'épidémie fixée par l'utilisateur et le nombre d'itérations de RK4, afin de déterminer la *durée* d'un pas de temps. L'espace étant incorporé dans le modèle par la structure de réseau, cette opération préalable permet de déduire la taille des arêtes mais également de déterminer les vitesses de déplacement et par conséquent les temps de transport.
<figure><img src="image_277.png" /></figure>

<figure><img src="image_278.png" /></figure>

## D. Interface du modèle

### Les entrées

#### 1. Initialisation basique

L'initialisation basique du modèle nécessite 2 étapes :

1. (1) Création du réseau (bouton (1) Setup Network)

2. (2) Initialisation des agents mobiles ((2) Setup Mobile agents)

L'étape suivante est d'infecter un nœud en cliquant sur (3) Infect one node randomly.

Enfin, le modèle peut être exécuté en cliquant sur le bouton (4) main-loop.

(1) setup Network

(2) Setup Mobile Agents

(3) Infect one node randomly

(4) main-loop

#### 2. Initialisation avancée

Le modèle MicMac contient de nombreux paramètres qui peuvent être modifiés pour configurer le modèle.

Avant de créer le réseau et d'initialiser les agents, l'utilisateur doit choisir les paramètres de la maladie, la taille des nœuds, le pas d'intégration et les stratégies à tester.

#### Paramétrage de la maladie

L'utilisateur peut configurer les paramètres suivants du modèle SIR régissant la dynamique de la maladie choisie : *alpha* est le taux de guérison, qui peut être considéré comme l'inverse de la période moyenne d'infectiosité, tandis que *beta* est le taux de contagion dans les villes. Le paramètre *beta-airplane* est le taux de contagion à l'intérieur des avions.
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle MicMac

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Mai 2014

MAPS 4

***************************

* Disease parameters

***************************

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Le paramètre *h* fixe le pas d'intégration de la méthode d'intégration numérique (RK4). Plus *h* est petit, plus la simulation sera précise, mais aussi plus elle sera longue. On considère que *h* doit être au minimum de $10^{-2}$. Si les paramètres du système dynamique sont très petits, *h* doit être du même ordre. Par exemple si *beta* vaut $10^{-3}$, *h* doit également valoir au minimum $10^{-3}$.

Ce modèle laisse la possibilité à l'utilisateur de choisir la valeur du pas d'intégration.

RK4 integration step (at least 10^-2, to 10^-4)

0.01

**Remarque :**

Il est important de noter que le modèle (et en particulier la méthode d'intégration RK4) ne fonctionne que dans certaines plages de valeurs possibles. En particulier, un pas d'intégration trop grand produira des résultats incohérents dans l'application de la méthode d'intégration (avec pour possible conséquence des populations négatives...). Mais un pas trop petit rendrait la simulation trop longue. Nous avons choisi de laisser libre l'utilisateur de changer les valeurs de *h*, *alpha*, *beta* et de la population initiale. Un message d'erreur apparaîtra dans la console si une erreur apparaît dans les calculs.

## Paramétrage de la mobilité

Comme les trajets durent plusieurs pas de temps, nous considérons que la dynamique infectieuse a aussi lieu lors de ces voyages. Elle est régie par un système dynamique de type SIR avec comme paramètres *alpha* et *beta-airplane*.
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle MicMac

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Mai 2014

MAPS 4

Un des paramètres les plus importants du modèle est le taux de mobilité (mobility-rate). Il détermine le nombre d'individus qui doivent quitter un nœud à chaque pas de temps<fnref n="1" />. Ce paramètre sera utilisé à chaque pas de temps.

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## Création du réseau

L'utilisateur du modèle peut tout d'abord choisir le type de réseau qu'il veut créer :

1. **chain**: tous les nœuds sont reliés en chaîne (un nœud est relié à 2 nœuds, sauf les 2 extrémités).

2. **Random**: un réseau aléatoire créé ainsi : les nœuds sont générés aléatoirement dans l'espace, puis les nœuds proches (de distance inférieure au paramètre *radius-random-network*) sont reliés par un lien.

3. **Complete**: tous les nœuds sont reliés à tous les autres nœuds (sauf à eux-mêmes).

4. **Smallworld**: le réseau généré est de type *small-world* (petit monde), intermédiaire entre un réseau aléatoire et un réseau régulier [3].

5. **Scale-free**: le réseau généré est de type *scale-free* (invariant d'échelle), dont les degrés (nombres de liens entrants et sortants des nœuds) suivent une loi de puissance [4].

<footnote n="1">¹ A titre d'exemple, on estime qu'au niveau mondial environ 5 milliards de personnes prennent l'avion par an (sur une population de 7 milliards de personnes). Ce qui fait un taux de mobilité de 0.7142 personnes/an, soit 0.0019569 personnes/jour. Pour avoir une simulation avec un taux proche du taux réel, il faudra ramener ce taux à la durée d'un pas de temps de simulation (calculé lors du calibrage).</footnote>
# Fiche pédagogique

## Collectif MAPS

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## Modèle MicMac

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MAPS 4

6. *US Air* : ce réseau est importé des données réelles du trafic aérien aux Etats-Unis.

Dans les 5 premiers types de réseaux, le slider *number-nodes* permet de fixer le nombre de nœuds du réseau.

Il est également possible de préciser le rayon des réseaux aléatoires ainsi que la probabilité de réaffectation aléatoire des liens dans les réseaux *small world*.

<figure><img src="image_287.png" /></figure>

## Mise en place des stratégies

L'utilisateur peut choisir d'activer ou non les différentes stratégies présentées.

De plus, dans le cas de la quarantaine et de l'évritement, l'utilisateur peut choisir les seuils de proportion d'infectés au-delà desquels la stratégie est mise en place. Dans le cas de la culture du risque, il peut choisir le taux de réduction de la mobilité des infectés, et dans le cas de la protection individuelle, le taux de réduction de la contagion.
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle MicMac

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MAPS 4

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## Remarques :

1. Un *switch* permet de fixer (ou non) la graine aléatoire afin, notamment, de réduire l'impact de la stochasticité lors des simulations de plans d'expérience par exemple.

<figure><img src="image_291.png" /></figure>

2. La condition d'arrêt de la simulation est également réglable par l'utilisateur et correspond au taux d'infectés dans la population globale en dessous duquel on peut considérer que l'épidémie est terminée.

End simulation criteria :
$I_{\text{total}} / (\text{Stotal} + I_{\text{total}} + R_{\text{total}}) < \text{Epsilon-stop}$

<figure><img src="image_292.png" /></figure>

## Le calage

Rappelons qu'en début de simulation, le modèle est calé dans le temps et l'espace. À cette fin, l'utilisateur doit préciser la durée de l'épidémie en nombre de jours (*Duration-Epidemics-days*). La taille du territoire (*TerritorySize-km*) permet d'en déduire la distance des trajets et donc la durée des vols rapportée au pas de temps de l'intégration. Le paramètre *Epsilon-stop* est également utilisé
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle MicMac

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MAPS 4

pour caractériser la condition de fin du calage. Enfin, ce calage étant effectué sur un nœud de référence, il faut fixer la taille de la population sur ce nœud (*Population-At-Calibrage-Node*). Pour que le calage soit cohérent avec la simulation, il faut que *Population-At-Calibrage-Node* soit égal à la population totale (nombre de nœuds * population d'un nœud).

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## Les sorties

### 1. Variables de sortie dynamiques mises en graphiques (séries temporelles)

- *SIR Global* (nodes + airplanes) : montre l'évolution dans le temps du nombre de sains, d'infectés et de guéris dans la population globale structurée (répartie dans le réseau comprenant les villes du réseau et les liaisons aériennes).

- *SIR nodes (only)* : montre l'évolution dans le temps du nombre de sains, d'infectés et de guéris dans l'ensemble des villes du réseau (sans la population mobile entre les villes).

- *SIR Chosen city* : montre l'évolution dans le temps du nombre de sains, d'infectés et de guéris dans une ville du réseau (sélectionnée par l'utilisateur).

- *SIR Test node* : montre l'évolution dans le temps du nombre de sains, d'infectés et de guéris dans la population globale non structurée (on se ramène alors au modèle SIR classique, non métapopulationnel).
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle MicMac

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MAPS 4

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- *Error plot* : mesure l'écart entre la population initiale dans le réseau et la population à chaque instant. En effet, comme le modèle ne permet ni la mort, ni la naissance d'individus, le nombre d'individus total doit rester constant. Cette sortie permet donc de nous assurer que le passage d'une quantité continue de population à une quantité discrète au moment de l'entrée dans les avions et inversement à la sortie des avions n'a pas d'influence sur le nombre total de personnes circulant dans le réseau. On calcule la différence entre le nombre d'agents en transit ajouté au nombre d'agents dans les nœuds, et la population totale à l'initialisation. On s'assure alors que cette différence, l'erreur, est inférieure à l'erreur engendrée par les approximations de la méthode d'intégration numérique utilisée. Cette erreur, pour la méthode de RK4, est liée au pas d'intégration $h$. Elle est de l'ordre de $h^4$.

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# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle MicMac

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MAPS 4

## 2. Variables résumées calculées en fin de simulation :

***************************
* Indicators at the end of the epidemy
***************************

<table><tr><td>Max #Infected</td></tr><tr><td>64850</td></tr><tr><td>Time Max #Infected</td></tr><tr><td>1851</td></tr></table>

<table><tr><td>Taux people infected (%)</td><td>Taux global Traffic reduction (%)</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>Duration of epidemy</td><td>Time to reach every node</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td></tr></table>

- *Max #Infected et Time Max #Infected* : donne le nombre maximum de personnes infectées simultanément et le pas de temps associé.

- *duration of epidemic* : temps (en nombre de pas de temps) qu'il faut pour que la proportion d'infectés dans la population soit inférieure à epsilon.

- *Taux people infected (%)* : donne le pourcentage d'infectés dans la population totale.

- *Time to reach every node* : donne le temps écoulé avant que tous les nœuds soient atteints.

- *Taux global Traffic reduction (%)* : donne le pourcentage total de réduction du trafic en fin de simulation.

## 3. Remarque sur le calcul du Taux global Traffic reduction (%)

Dans le modèle, deux réductions de trafic sont calculées, la réduction du trafic au niveau global et la réduction du trafic entrant de chaque ville. A propos de la réduction du trafic global, il provient des individus qui ne sont pas partis (à cause de la stratégie 3) et de tous les vols qui ne sont pas partis dans le cas où une ville est en quarantaine ou dans le cas où une ville qui n'est pas en quarantaine n'a pas de voisins à qui envoyer des avions (cas où tous les voisins sont en quarantaine (stratégie 1) et/ou à éviter (stratégie 2)). Dans le cas où *redistribution?* est sur *off* (pas de redistribution des vols), lorsque la destination d'un vol est choisie vers une ville à éviter (ou en quarantaine) alors cet avion est annulé (i.e. *perdu*) et le nombre de personnes devant partir est ajouté à la perte de trafic.
# Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle MicMac

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Mai 2014

MAPS 4

## E. Manipulation du modèle

### Installation

Le modèle MicMac utilise un plug-in supplémentaire écrit en Scala, externalisant l’intégration numérique à l’aide de la méthode de Runge-Kutta 4. Ce plug-in supplémentaire est fourni dans le dossier `rungekutta` du modèle sous la forme d’un fichier `rungekutta.jar`. Ce plug-in est indispensable pour exécuter le modèle. Pour installer ce plug-in dans Netlogo, il suffit de copier le dossier `rungekutta` (contenant le fichier `rungekutta.jar`) dans le dossier `extensions` de Netlogo.

### Découverte du modèle

Dans un premier temps, l'utilisateur peut se familiariser avec le modèle en observant l'effet des paramètres *alpha* et *beta* de la maladie et du réseau de villes sur la propagation de la maladie.

Il peut commencer par lancer le modèle avec les paramètres fournis et observer l'évolution les stocks S, I et R du nœud test et ceux des nœuds et avions. Ensuite, il peut utiliser les valeurs suivantes : `alpha = 0.5` et `beta = 10⁻⁶`, pour observer la différence de comportement (en particulier, on peut observer sur la courbe de *SIR global (nodes+airplanes)* le fait que tous les individus susceptibles ne deviennent pas infectés).

En revenant aux paramètres initiaux (`alpha = 0.1` et `beta = 0.0001`), il peut lancer le modèle avec un réseau complet et observer la propagation de la maladie et comparer avec celui du nœud test (toute la population dans un seule nœud). Dans un second temps, il pourra relancer le modèle avec un réseau de type *scale-free* et observer la différence de propagation avec le réseau complet.

<footnote n="2">² avec $h = 0.01$, $Epsilon-stop = 0.01$, $S-at-Node = 10 000$, in a complete 10-nodes graph, without any strategy.</footnote>
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## Effets des stratégies de contrôle

Par défaut les stratégies de contrôle sont toutes désactivées. L'utilisateur peut choisir d'en activer certaines, en faisant varier les paramètres correspondant ensemble ou séparément, afin d'en explorer l'effet sur les variables de sortie. Rappelons que nous avons défini 4 stratégies de contrôle, chacune caractérisée par un paramètre :

4. **Quarantaine** : Une ville *i* est mise en quarantaine si : $I_i/(S_i + I_i + R_i) > \tau_1$ où $\tau_1$ représente un seuil compris entre 0 et 1. En cas de mise en quarantaine d'une ville, plus personne n'entre ou ne sort de la ville.

5. **Évitement** : Les agents évitent de choisir comme destination une ville *i* si : $I_i/(S_i + I_i + R_i) > \tau_2$ où $\tau_2$ représente un seuil compris entre 0 et 1. Ces villes continuent à émettre des vols.

6. **Culture du risque** : Les agents infectés évitent de voyager, selon une probabilité fixée par le paramètre $pcr : 0 < pcr < 1$.

7. **Protection** : Les compagnies aériennes fournissent des protections aux passagers : le paramètre de transmission dans les avions beta est multiplié par un facteur $\gamma$ tel que $0 < \gamma < 1$.

## F. Conclusion

Nous avons souhaité ici développer un démonstrateur de couplage de modèles, explicitant à partir de l'exemple très documenté de la propagation d'épidémies au sein de populations structurées en réseau, les difficultés et avantages d'une telle approche. Cela permet d'introduire des stratégies de limitations de la propagation à différentes échelles (villes ou individus).
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G. Bibliographie

[1] Kermack, W. O. and McKendrick, A. G., *A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics*, Proc. Roy. Soc. Lond. A 115, 700-721, 1927.

[2] B. Ziegler, B. Hierarchical, "Modular discrete-event modelling in an object-oriented environment", *Simulation* 49 (5), 1987.

[3] Watts, Duncan J.; Strogatz, Steven H. (June 1998). "Collective dynamics of 'small-world' networks". *Nature* 393 (6684): 440–442.

[4] Barabási, Albert-László; Albert, Réka. (October 15, 1999). "Emergence of scaling in random networks". *Science* 286 (5439): 509–512.
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## Fiche pédagogique

Collectif MAPS

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## Modèle Proie-Prédateur

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Mai 2014

MAPS 3

http://maps.hypotheses.org

**Domaines d'applications** : écologie (dynamique des populations)

**Spécifité pédagogique** : Influence des interactions locales sur le comportement global

**Niveau du public visé** : intermédiaire à avancé

**Nom du modèle correspondant** : Proie-Prédateur

**Version NetLogo nécessaire** : 5.0.4

**Auteurs** : Marion Amalric (UMR CITERES, Tours), Sébastien Caillault (UMR ESO, Angers), Nathalie Corson (LMAH, Le Havre), Patrice Langlois (UMR IDEES, Rouen), Claude Monteil (UMR DYNAFOR, Toulouse), Nicolas Marilleau (UMMISCO/IRD, Paris), David Sheeren (UMR DYNAFOR, Toulouse)

# Modèle Proie-Prédateur

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TABLE DES MATIÈRES

<table><tbody><tr><td><b>A. DESCRIPTION DU MODÈLE DE RÉFÉRENCE (OU MODÈLE « MACRO »)</b></td><td><b>142</b></td></tr><tr><td><u>Contexte et historique</u></td><td>142</td></tr><tr><td><u>Éléments du modèle</u></td><td>143</td></tr><tr><td><u>Propriétés qualitatives du modèle macro</u></td><td>145</td></tr><tr><td><b><u>B. IMPLÉMENTATION DU MODÈLE DE RÉFÉRENCE</u></b></td><td><b>152</b></td></tr><tr><td><b><u>C. EXPLORATION DU MODÈLE DE RÉFÉRENCE</u></b></td><td><b>153</b></td></tr><tr><td><u>Prise en main du modèle et comparaison des méthodes d'intégration</u></td><td>154</td></tr><tr><td><u>Mesure de l'influence des paramètres du modèle</u></td><td>155</td></tr><tr><td><b><u>D. DESCRIPTION DU MODÈLE « MICRO »</u></b></td><td><b>156</b></td></tr><tr><td><u>Choix méthodologiques</u></td><td>157</td></tr><tr><td><b><u>E. IMPLÉMENTATION DU MODÈLE MICRO</u></b></td><td><b>159</b></td></tr><tr><td><u>Choix d'implémentation</u></td><td>162</td></tr><tr><td><b><u>F. EXPLORATION DU MODÈLE MICRO</u></b></td><td><b>164</b></td></tr><tr><td><u>Prise en main du modèle</u></td><td>166</td></tr><tr><td><u>Mesure de l'influence des paramètres du modèle</u></td><td>166</td></tr><tr><td><u>Mesure de l'influence de l'hétérogénéité spatiale</u></td><td>166</td></tr><tr><td><u>Quelques résultats de simulation</u></td><td>167</td></tr><tr><td><b><u>G. CONCLUSION</u></b></td><td><b>171</b></td></tr><tr><td><b><u>H. BIBLIOGRAPHIE</u></b></td><td><b>171</b></td></tr></tbody></table>
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