Comptes Rendus
Mathématique

Boris Adamczewski et Colin Faverjon

Relations algébriques entre valeurs de E-fonctions ou de M-fonctions

Volume 362 (2024), p. 1215-1241

En ligne depuis le 5 novembre 2024

https://doi.org/10.5802/crmath.634

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Article de recherche / *Research article*
Théorie des nombres / *Number theory*

# Relations algébriques entre valeurs de E-fonctions ou de M-fonctions

Algebraic relations between values of Siegel E-functions
and Mahler M-functions

Boris Adamczewski*,a et Colin Faverjon a

<sup>a</sup> Univ Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS UMR 5208, Institut Camille Jordan, F-69622 Villeurbanne Cedex, France

Courriels: boris.adamczewski@math.cnrs.fr, faverjon@math.univ-lyon1.fr

**Résumé.** Nous montrons que *toutes* les relations algébriques sur $\overline{\mathbb{Q}}$ entre les valeurs prises par des E-fonctions de Siegel en un point algébrique non nul sont d'origine fonctionnelle, en ce sens qu'elles s'obtiennent par dégénérescence de relations algébro-différentielles sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre les fonctions considérées. Nous obtenons un résultat analogue pour les $M_q$-fonctions de Mahler, dans lequel les relations dites $\sigma_q$-algébriques se substituent aux relations algébro-différentielles. Nous donnons également plusieurs conséquences de ce résultat, notamment concernant certains phénomènes de descente. Le point de vue adopté révèle des similitudes frappantes entre la théorie des E-fonctions et celle des $M_q$-fonctions.

**Abstract.** We show that all algebraic relations over $\overline{\mathbb{Q}}$ between the values of Siegel E-functions at non-zero algebraic points have a functional origin, in the sense that they can be obtained by degeneracy of algebro-differential relations over $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ between the functions under consideration. We obtain a similar result for the Mahler $M_q$-functions, in which the algebro-differential relations are replaced by the $\sigma_q$-algebraic relations. We also give several consequences of this result, in particular with respect to certain descent phenomena. The point of view adopted reveals striking similarities between the theory of E-functions and that of $M_q$-functions.

**Mots-clés.** Transcendance, indépendance algébrique, E-fonctions de Siegel, M-fonctions de Mahler.

**Keywords.** Transcendence, algebraic independence, Siegel E-functions, Mahler M-functions.

**Classification Mathématique (2020).** 11J81, 11J91.

Manuscrit reçu le 16 juin 2023, révisé le 25 février 2024, accepté le 25 mars 2024.

# 1. Introduction

La théorie des nombres transcendants est mue par deux objectifs principaux. Un ensemble de nombres complexes $\Xi$ étant fixé, il s'agit d'une part d'être capable de déterminer, pour tous $\xi_1, \dots, \xi_r \in \Xi$, l'ensemble des relations algébriques ou linéaires entre ces nombres sur le corps $\overline{\mathbb{Q}}$ des nombres algébriques ou un sous-corps de ce dernier et, d'autre part, d'en trouver la raison

<footnote>*Auteur correspondant</footnote>
d'être. Ces deux problèmes sont naturellement liés et le second, plus ambigu, dépend bien sûr de
la façon dont les éléments de $\Xi$ sont définis.

Par exemple, si $\Xi$ désigne l'anneau des périodes, une conjecture de Grothendieck prédit
que les relations algébriques sont nécessairement d'origine motivique, ce qui répondrait dans
ce cadre au second objectif tout en offrant un outil puissant pour atteindre le premier. Une
formulation plus élémentaire, bien qu'équivalente, est donnée par la conjecture de Kontsevich et
Zagier qui stipule que toute relation algébrique entre périodes découle des règles fondamentales
de l'intégration que sont l'additivité, le changement de variables et la formule de Stokes. Pour
davantage de détails sur ces deux conjectures et leurs liens voir [25, 26]. Si à présent on choisit
pour $\Xi$ l'ensemble $\{(1/\sqrt{2\pi})\Gamma(r) : r \in \mathbb{Q}\}$, où $\Gamma$ est la fonction gamma d'Euler, la conjecture
de Rohrlich-Lang prédit que les relations algébriques proviennent nécessairement de relations
fonctionnelles strandard associées à $\Gamma$ (voir, par exemple, [36, Conjecture 22]). Outre le fait de
s'inscrire dans une ambition commune, ces différentes conjectures ont pour point commun
d'être considérées comme totalement hors de portée des méthodes actuelles.

Considérons des fonctions analytiques $f_1(z), \dots, f_r(z)$ dont le développement de Taylor à
l'origine est à coefficients algébriques et un nombre algébrique non nul $\alpha$ appartenant à un
domaine d'analyticité commun contenant $0$. Dans ce contexte, les relations fonctionnelles,
lorsqu'il en existe, sont une source évidente de relations entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$. En
effet, s'il existe une relation algébrique homogène non triviale sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre $f_1(z), \dots, f_r(z)$, c'est-
à-dire s'il existe un polynôme $Q \in \overline{\mathbb{Q}}[z, X_1, \dots, X_r]$ non nul, homogène en les variables $X_1, \dots, X_r$,
tel que

$$
Q(z, f_1(z), \dots, f_r(z)) = 0,
$$

on obtient par spécialisation au point $\alpha$ une relation homogène de même degré, à savoir

$$
P(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = 0,
$$

où $P(X_1, \dots, X_r) := Q(\alpha, X_1, \dots, X_r)^1$. Une telle relation sera dite *banale*, tandis que les relations algébriques homogènes ne pouvant s'obtenir de cette façon seront qualifiées de *non banales*. Trouver les relation banales entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ revient donc à déterminer l'idéal des relations algébriques homogènes sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre les fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z)$. Ce n'est généralement pas une tâche aisée, mais lorsque les fonctions en question sont liées par des équations différentielles ou aux différences linéaires, les théories galosiennes associées permettent d'obtenir des résultats probants (voir [31, 32]).

Notons que même dans des cas très simples, les relations banales n'épuisent pas nécessaire-
ment l'ensemble des relations algébriques. Par exemple, la fonction $f(z) := (z-1)e^z$ étant non
nulle, la relation $f(1) = 0$ ne peut être banale. On peut néanmoins trouver une origine fonction-
nelle à cette relation. En effet, celle-ci s'obtient par spécialisation au point $z = 1$ de la relation
différentielle

$$
z f(z) - (z-1) f'(z) = 0. \tag{1.1}
$$

Comme le coefficient de $f'$ s'annule en $z=1$, on dira que cette relation *dégénère* au point 1. Le
lecteur, ou la lectrice, prendra garde au fait que le caractère banale d'une relation est relatif et se
détermine au regard d'un ensemble de fonctions préalablement fixé. Ainsi, la relation $f(1) = 0$
est non banale relativement à l'ensemble $\{f(z)\}$, mais elle est banale, d'après (1.1), relativement
à l'ensemble $\{f(z), f'(z)\}$.

Dans cet article, nous étudions le cas où l'ensemble $\Xi$ est composé des valeurs prises en un
point $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$ par les éléments de l'anneau des $E$-fonctions de Siegel ou de celui des $M_q$-fonctions
de Mahler. Notons que comme la fonction constante égale à 1 est à la fois une $E$-fonction et

<footnote n="1">¹On suppose sans perte de généralité que les coefficients de $Q$ vu comme un polynôme en les variables $X_1, \dots, X_r$ sont premiers entre eux dans $\overline{\mathbb{Q}}[z]$, de sorte que $P$ est non nul.</footnote>
une $M_q$-fonction, le fait de se concentrer sur les relations homogènes n'est aucunement restric-
tif. Le théorème 1 ci-après montre que dans le cadre des E-fonctions, dont $f$ est justement un
exemple, toutes les relations algébriques non banales s'obtiennent par dégénérescence de rela-
tions fonctionnelles algébro-différentielles, c'est-à-dire de façon similaire à (1.1). Il fournit égale-
ment un résultat analogue pour les $M_q$-fonctions, dans lequel les relations dites $\sigma_q$-algébriques
se substituent aux relations algébro-différentielles. Le point de vue adopté révèle des similitudes
frappantes entre ces deux théories qu'il serait intéressant de développer plus avant. Celles-ci
sont d'autant plus étonnantes que les E- et les $M_q$-fonctions sont de nature très différente. Par
exemple, les E-fonctions sont entières, alors qu'une $M_q$-fonction qui n'est pas rationnelle admet
le cercle unité comme coupure et est différentiellement transcendante (voir [3, 16]).

1.1. Résultats principaux

Notons $\delta := \frac{d}{dz}$ et, pour tout entier $k \ge 0$, $\delta^k(f) = f^{(k)}(z)$. Une E-fonction est une série formelle de la forme $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} z^n \in \mathbb{Q}[z]$ qui satisfait à une équation différentielle linéaire à coefficients dans $\mathbb{Q}[z]$, c'est-à-dire qu'il existe des polynômes $p_0(z), \dots, p_m(z) \in \mathbb{Q}[z]$, non tous nuls, tels que

$$
p_0 f + p_1 \delta(f) + \cdots + p_m \delta^{(m)}(f) = 0,
$$

et dont la croissance arithmétique des coefficients est limitée par les deux conditions suivantes :
il existe $C > 0$ et une suite d'entiers $d_n \ge 1$ tels que pour tout $\sigma \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ et tout entier $n \ge 1$, on
a $|\sigma(a_n)| \le C^n$, $d_n \le C^n$ et $d_n a_i$ est un entier algébrique pour tout $i$, $1 \le i \le n$.

Pour tout entier $q \ge 2$, désignons par $\sigma_q$ l'endomorphisme injectif de $\overline{\mathbb{Q}}[z]$ défini par $\sigma_q(f) = f(z^q)$, de sorte que, pour tout entier $k \ge 0$, $\sigma_q^k(f) = f(z^{q^k})$. Une $M_q$-fonction est une série formelle de la forme $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ qui satisfait à une équation aux différences $\sigma_q$-linéaire à coefficients dans $\overline{\mathbb{Q}}[z]$, c'est-à-dire qu'il existe des polynômes non tous nuls $p_0(z), \dots, p_m(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$, tels que

$$
p_0 f + p_1 \sigma_q(f) + \dots + p_m \sigma_q^m(f) = 0. \tag{1.2}
$$

Rappelons qu'une $M_q$-fonction est convergente (cf. [16, Lemma 4]) et admet donc, d'après (1.2) un prolongement méromorphe dans le disque unité ouvert. L'ensemble des $M_q$-fonctions dépend de façon radicale du paramètre $q$ (voir, par exemple, [1, 4, 7]). L'appellation $M$-fonction est également utilisée, comme dans le titre du présent article, lorsqu'il n'est pas nécessaire de spécifier le paramètre $q$.

Étant données $f_1(z), \dots, f_r(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$, on notera

$$
\mathcal{I}(f_1, \dots, f_r) := \{ Q \in \overline{\mathbb{Q}}(z) | X_1, \dots, X_r : Q(z, f_1(z), \dots, f_r(z)) = 0 \}
$$

l'idéal des relations algébriques sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre ces séries formelles. L'idéal des relations algébro-différentielles, ou $\delta$-algébriques, c'est-à-dire l'idéal des relations algébriques sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre $f_1(z), \dots, f_r(z)$ et leurs dérivées successives, est noté

$$
\mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) := \{ Q \in \overline{\mathbb{Q}}(z) | (X_{i,j})_{1 \le i \le r, j \in \mathbb{N}} : Q(z, \delta^j(f_i(z))_{1 \le i \le r, j \ge 0}) = 0 \}.
$$

De façon similaire, on note $\mathcal{I}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ l'idéal des relations $\sigma_q$-algébriques, c'est-à-dire l'idéal des relations algébriques sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre $f_1, \dots, f_r$ et leurs images successives par l'opérateur $\sigma_q$. Une relation $Q$, $\delta$-algébrique ou $\sigma_q$-algébrique, est dite homogène si $Q$ est homogène en les variables $X_{i,j}$. En identifiant les variables $X_1, \dots, X_r$ et $X_{1,0}, \dots, X_{r,0}$, on obtient que

$$
\mathcal{I}(f_1, \dots, f_r) \subset \mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) \text{ et } \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r) \subset \mathcal{I}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r).
$$

Une relation $\delta$-algébrique $Q \in \mathbb{Q}[z, (X_{i,j})_{1 \le i \le r, j \in \mathbb{N}}]$ dégénère en $\alpha$ si

$$
Q \in \mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) \setminus \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r) \text{ et } Q(\alpha, (X_{i,j})) \in \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r].
$$

La dégénérescence d'une relation $\sigma_q$-algébrique est définie de façon similaire.
Nous pouvons à présent énoncer le résultat principal de cet article.

**Théorème 1.** *On a les deux résultats suivants.*

(E) Soient $f_1(z), \dots, f_r(z)$ des $E$-fonctions et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$. Toute relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{Q}}$ non banale entre $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ peut s'obtenir par dégénérescence en $\alpha$ d'une relation $\delta$-algébrique homogène entre les fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z)$.

(Mq) Soient $f_1(z), \dots, f_r(z)$ des $M_q$-fonctions et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$, $0 < |\alpha| < 1$, un point qui n'est un pôle d'aucune de ces fonctions. Toute relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{Q}}$ non banale entre $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ peut s'obtenir par dégénérescence en $\alpha$ d'une relation $\sigma_q$-algébrique homogène entre les fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z)$.

**Remarque 2.** Dans le cas (E), ce résultat repose sur deux ingrédients : un raffinement qualitatif du théorème de Siegel-Shidlovskii obtenu par Beukers [17] et le fait, démontré par André [11], que toute $E$-fonction est annulée par un $E$-opérateur différentiel. Les théorèmes de Siegel-Shidlovskii et de Beukers imposent aux fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z)$ d'être liées par un système différentiel linéaire et au point $\alpha$ d'être un point régulier pour ce système (voir section 2.1). L'apport du théorème 1 est de supprimer ces deux restrictions. La démonstration du cas (Mq) est similaire : nous substituons au théorème de Beukers un résultat analogue dû à Philippon [30] et aux auteurs [5], et nous introduisons la notion de $M_q$-opérateur qui remplace celle de $E$-opérateur.

La profondeur d'une relation $Q$, $\delta$-algébrique ou $\sigma_q$-algébrique, est le plus petit entier $s$ tel que le support de $Q$ est inclus dans $\{(i, j) : 1 \le i \le r, 0 \le j \le s\}$. Dans le cas (E), nous verrons que toutes les relations algébriques s'obtiennent par dégénérescence de relations $\delta$-algébriques dont la profondeur est bornée indépendamment du point $\alpha$. Ceci n'est plus vrai dans le cas ($M_q$) (cf. exemple 35), mais la profondeur peut toutefois être bornée en fonction de $R$ pour tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$ tel que $0 < |\alpha| < R < 1$.

Soit $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$. Notons $\mathbb{E} \subset \mathbb{C}$ l'ensemble formé des évaluations de toutes les $E$-fonctions au point $\alpha$. Comme l'anneau des $E$-fonctions est stable par le changement de variabe $z \mapsto \alpha z$, $\mathbb{E}$ ne dépend pas du choix de $\alpha$. Étant donné un sous-corps $\mathbb{K}$ de $\overline{\mathbb{Q}}$, on note $\mathbb{E}_{\mathbb{K}}$ l'ensemble formé de l'évaluation en $z = 1$ de toutes les $E$-fonctions à coefficients dans $\mathbb{K}$, de sorte que $\mathbb{E} = \cup_{\mathbb{K}} \mathbb{E}_{\mathbb{K}}$. De façon similaire, notons $\mathbf{M}_{q,\alpha}$ l'ensemble formé des évaluations au point $\alpha$ de toutes les $M_q$-fonctions qui n'ont pas de pôle en $\alpha$ et $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ l'ensemble formé des évaluations au point $\alpha$ de toutes les $M_q$-fonctions à coefficients dans $\mathbb{K}$ qui n'ont pas de pôle en $\alpha$. Cette fois-ci, les ensembles obtenus dépendent de façon radicale du point $\alpha$ et du paramètre $q$ (voir [7]). Les ensembles $\mathbb{E}, \mathbb{E}_{\mathbb{K}}, \mathbf{M}_{q,\alpha}$ et $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ sont tous des anneaux.

Le résultat suivant découle directement du théorème 1 (cf. section 6).

**Corollaire 3.** *Soient $\mathbb{K} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ un corps et $\alpha \in \mathbb{K}$, $0 < |\alpha| < 1$. On a les deux résultats suivants.*

(E) Des éléments de $\mathbb{E}_{\mathbb{K}}$ sont linéairement dépendants sur $\overline{\mathbb{Q}}$ si, et seulement si, ils le sont sur $\mathbb{K}$. En outre, les $\overline{\mathbb{Q}}$-algèbres $\mathbb{E}_{\mathbb{K}} \otimes_{\mathbb{K}} \overline{\mathbb{Q}}$ et $\mathbb{E}$ sont isomorphes, un isomorphisme étant donné par l'application qui envoie $\xi \otimes \beta$ sur $\xi\beta$.

(Mq) Des éléments de $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ sont linéairement dépendants sur $\overline{\mathbb{Q}}$ si, et seulement si, ils le sont sur $\mathbb{K}$. En outre, les $\overline{\mathbb{Q}}$-algèbres $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}} \otimes_{\mathbb{K}} \overline{\mathbb{Q}}$ et $\mathbf{M}_{q,\alpha}$ sont isomorphes, un isomorphisme étant donné par l'application qui envoie $\xi \otimes \beta$ sur $\xi\beta$.

Le cas (E) a été obtenu indépendamment par Fischler et Rivoal [24, Theorem 2]. Le cas (Mq) est dû aux auteurs [5, théorème 1.7]. Le théorème 1 permet d'obtenir une démonstration unifiée des deux cas.
## 1.2. Organisation de l'article

La démonstration du théorème 1 occupe la section 2. Dans la section 3, nous expliquons brièvement comment le théorème 1 peut être utilisé pour atteindre le premier objectif évoqué, à savoir la détermination effective des relations algébriques entre les valeurs prises par des E- ou des $M_q$-fonctions fixées en un point algébrique $\alpha$ lui-aussi fixé. Une caractéristique fondamentale des relations banales est leur permanence : l'existence d'une relation banale en un point $\alpha$ implique l'existence d'une relation de même type (i.e. banale et homogène de même degré) en tout point algébrique non nul du domaine d'analyticité commun aux fonctions sous-jacentes. Dans le cadre des E- et des $M_q$-fonctions, nous montrons dans la section 4 que les relations non banales sont quant à elles sporadiques. Nous décrivons brièvement la structure des idéaux de la forme $\mathfrak{J}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ et $\mathfrak{J}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ dans la section 5. Dans la section 6, nous montrons comment le corollaire 3 découle du théorème 1 et nous mentionnons également quelques conséquences directes de ce résultat. La section 7 est inspirée par l'article récent [24] de Fischler et Rivoal. Nous y montrons comment utiliser le théorème 1 pour obtenir l'analogue dans le cas des $M_q$-fonctions de certains de leurs résultats. Là encore, le théorème 1 permet de déduire de façon unifiée les résultats obtenus pour les E- et pour les $M_q$-fonctions. Dans la section 8, nous illustrons le théorème 1 à travers quelques exemples.

# 2. Preuve du théorème 1

Dans cette section, nous démontrons le théorème 1. Pour ce faire, nous rappelons quelques résultats concernant les E- et les $M_q$-fonctions, puis nous introduisons la notion de $M_q$-opérateur (de niveau R) qui jouera dans la preuve du cas ($M_q$) du théorème 1, le rôle joué par les E-opérateurs différentiels dans le cas (E).

## 2.1. Rappels concernant la théorie les E-fonctions

Étant donné un système différentiel linéaire d'ordre 1 :

$$ \mathbf{Y}'(z) = A(z)\mathbf{Y}(z), \quad A(z) \in \mathcal{M}_m(\overline{\mathbb{Q}}(z)), \qquad (2.1) $$

le point $\alpha \in \mathbb{C}$ est dit régulier si la matrice $A(z)$ est bien définie en $\alpha$ et singulier sinon. Considérons un opérateur différentiel

$$ L = a_0(z) + a_1(z)\delta + \dots + a_m(z)\delta^m \in \overline{\mathbb{Q}}[z, \delta], $$

tel que les polynômes $a_0(z), \dots, a_m(z)$ sont premiers entre eux. Les singularités de $L$ sont les racines du polynôme $a_m(z)$, lesquelles correspondent également aux singularités du système différentiel associé à la matrice compagnon de $L$ :

$$ A_L := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ -\frac{a_0(z)}{a_m(z)} & -\frac{a_1(z)}{a_m(z)} & \cdots & \cdots & -\frac{a_{m-1}(z)}{a_m(z)} \end{pmatrix}. $$

Le résultat fondamental de la théorie des E-fonctions est le théorème de Siegel-Shidlovskii (voir, par exemple, [35]).
**Théorème E1.** Soient $f_1(z), \dots, f_m(z)$ des E-fonctions formant un vecteur solution d'un système différentiel linéaire de la forme (2.1) et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$ un point régulier relativement à ce système. Alors, on a

$$ \deg.\operatorname{tr}_{\overline{\mathbb{Q}}}(f_1(\alpha), \dots, f_m(\alpha)) = \deg.\operatorname{tr}_{\overline{\mathbb{Q}}(z)}(f_1(z), \dots, f_m(z)). $$

Le théorème E1 est un énoncé quantitatif exprimant une égalité de dimension, à savoir celle des dimensions de Krull des anneaux $\overline{\mathbb{Q}}[f_1(\alpha), \dots, f_m(\alpha)]$ et $\overline{\mathbb{Q}}(z)[f_1(z), \dots, f_m(z)]$. Dans [17], Beukers a obtenu un raffinement remarquable du théorème de Siegel–Shidlovskii; il s'agit d'un énoncé qualitatif qui tient compte de chaque relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{Q}}$ entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_m(\alpha)$ et qui peut s'énoncer comme suit.

**Théorème E2.** Sous les hypothèses du théorème E1, toute relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{Q}}$ entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_m(\alpha)$ est banale.

Dans [11], André introduit la notion de E-opérateur différentiel et montre que toute E-fonction est annulée par un tel opérateur. La démonstration du théorème E2 par Beukers repose sur ce résultat d'André et plus précisément sur le fait que les seules singularités d'un E-opérateur sont 0 et $\infty$. André [13] a également montré comment déduire le théorème E2 du théorème de Siegel–Shidlovskii en développant une nouvelle correspondance de Galois pour les systèmes différentiels linéaires.

## 2.2. Rappels concernant la théorie des $M_q$-fonctions

Tout comme dans le cas différentiel, il est parfois plus commode de travailler avec des systèmes $q$-mahlériens linéaires d'ordre 1, plutôt qu'avec des équations $q$-mahlériennes. De tels systèmes sont de la forme :

$$ \mathbf{Y}(z^q) = A(z)\mathbf{Y}(z), \quad A(z) \in \mathrm{GL}_m(\overline{\mathbb{Q}}(z)). \qquad (2.2) $$

Le point $\alpha \in \mathbb{C}$ est dit régulier si la matrice $A(z)$ est bien définie et inversible en $\alpha^{q\ell}$ pour tout $\ell \ge 0$.

L'analogue du théorème de Siegel–Shidlovskii dans ce cadre est un théorème de Ku. Ni-shioka [29].

**Théorème M1.** Soient $f_1(z), \dots, f_m(z)$ des $M_q$-fonctions formant un vecteur solution d'un système mahlérien linéaire de la forme (2.2) et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}, 0 < |\alpha| < 1$, un point régulier relativement à ce système. Alors, on a

$$ \deg.\operatorname{tr}_{\overline{\mathbb{Q}}}(f_1(\alpha), \dots, f_m(\alpha)) = \deg.\operatorname{tr}_{\overline{\mathbb{Q}}(z)}(f_1(z), \dots, f_m(z)). $$

L'analogue du théorème E2 a été obtenu dans [5] à partir d'une version légèrement plus faible<fnref n="2" /> démontrée par Philippon [30].

**Théorème M2.** Sous les hypothèses du théorème M1, toute relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{Q}}$ entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_m(\alpha)$ est banale.

Dans [5, 30], le théorème M2 est déduit du théorème M1 (voir également [28] pour une démonstration analogue à celle donnée par André [13] du théorème E2). Une nouvelle preuve des théorèmes M1 et M2, ainsi que leurs généralisations à des fonctions mahlériennes de plusieurs variables, ont été récemment obtenues par les auteurs (voir [7, 8]). Dans cette approche, on démontre directement le théorème M2 et on en déduit le théorème M1 par un argument déjà utilisé par Shidlovskii dans sa preuve du théorème E1.

<footnote n="2">²La version obtenue dans [30] ne tient pas compte du caractère homogène des relations.</footnote>
### 2.3. $M_q$-opérateurs

Considérons un $\sigma_q$-opérateur

$$L = a_0(z) + a_1(z)\sigma_q + \cdots + a_m(z)\sigma_q^m \in \bar{\mathbb{Q}}[z, \sigma_q],$$

tel que les polynômes $a_0(z), \dots, a_m(z)$ sont premiers entre eux. Un point $\alpha \in \mathbb{C}$ est dit régulier pour $L$ s'il est pour le système $q$-mahlérien associé à la matrice compagnon $A_L$, ou de façon équivalente si

$$a_0(\alpha^{q_l}) a_m(\alpha^{q_l}) \neq 0 \quad \forall l \geq 0.$$

Dans le cas contraire, on dit que $\alpha$ est une singularité de $L$.

Dans toute la suite, $D(0, R) \subset \mathbb{C}$ désignera le disque ouvert de rayon $R$ et on notera $D^*(0, R) := D(0, R) \setminus \{0\}$ le disque épointé de même rayon.

**Définition 4.** Soit $R, 0 < R \leq 1$ un nombre réel. Un $M_q$-opérateur de niveau $R$ est un $\sigma_q$-opérateur de la forme

$$a_0(z) + a_1(z)\sigma_q + \cdots + a_m(z)\sigma_q^m \in \bar{\mathbb{Q}}[z, \sigma_q],$$

tel que le polynôme $a_0(z)$ n'a aucune racine dans $D^*(0, R)$.

**Lemme 5.** Soit $R, 0 < R \leq 1$, un nombre réel. Toute solution dans $\bar{\mathbb{Q}}[z]$ d'un $M_q$-opérateur de niveau $R$ est analytique sur $D(0, R)$.

**Démonstration.** Soit $L := a_0(z) + a_1(z)\sigma_q + \cdots + a_m(z)\sigma_q^m$ un $M_q$-opérateur de niveau $R$ et $f(z) \in \bar{\mathbb{Q}}[z]$ une $M_q$-fonction annulée par $L$. Raisonnons par l'absurde en supposant que le rayon de convergence de $f$ soit égal à $\rho < R$. Notons que $\rho > 0$ puisque $f(z) \in \bar{\mathbb{Q}}[z]$ et que toute série formelle solution d'une équation mahlérienne linéaire est convergente. En écrivant

$$f(z) = \frac{-1}{a_0(z)} \left( a_1(z) f(z^q) + \cdots + a_m(z) f(z^{q^m}) \right),$$

on constate que le membre de droite a un rayon de convergence au moins égal à $\max(\rho^{1/q}, R) > \rho$, puisque par définition $a_0(z)$ ne s'annule pas sur $D^*(0, R)$. Ceci contredit notre hypothèse. $\square$

Le lemme 5 admet la réciproque suivante.

**Proposition 6.** Soit $R, 0 < R \leq 1$, un nombre réel. Toute $M_q$-fonction qui est analytique sur $D(0, R)$ est annulée par un $M_q$-opérateur de niveau $R$.

**Démonstration.** Le dénominateur $q$-mahlérien d'une $M_q$-fonction $f$ est défini comme le générateur (choisi unitaire) de l'idéal principal

$$\left\{ p(z) \in \bar{\mathbb{Q}}[z] : p(z) f(z) \in \sum_{k \geq 1} \bar{\mathbb{Q}}[z] f(z^{q^k}) \right\}.$$

Cette notion est introduite dans [2]. Notons $\partial(z)$ le dénominateur $q$-mahlérien de $f$. D'après [2, Proposition 6.4], si $\partial$ a une racine $\lambda$ telle que $0 < |\lambda| < 1$, alors $f$ a un rayon de convergence strictement inférieur à 1. En réalité, la preuve de cette proposition établit explicitement que le rayon de convergence de $f$ est alors au plus $|\lambda|$. Ainsi si $f$ est analytique sur le disque $D(0, R)$, son dénominateur $q$-mahlérien ne peut s'annuler sur ce disque. On en déduit l'existence d'un $M_q$-opérateur de niveau $R$, de la forme

$$L = \partial(z) + a_1(z)\sigma_q + \cdots + a_m(z)\sigma_q^m,$$

qui annule $f$. $\square$

**Remarque 7.** La proposition 6.4 de [2] sur laquelle repose la démonstration précédente est loin d'être triviale : elle nécessite l'utilisation du théorème M2.
**Proposition 8.** Soit $f$ une $M_q$-fonction analytique sur $D(0, R)$, $0 < R < 1$. Alors $f$ est annulée par un $\sigma_q$-opérateur $L$ sans singularités sur $D^*(0, R)$.

**Remarque 9.** À la différence de la proposition 6, on suppose que $R < 1$ dans l'énoncé de la proposition 8. En effet, l'existence d'un $M_q$-opérateur sans singularités n'est pas garantie si $R = 1$. Considérons par exemple la $M_q$-fonction $f(z) = \prod_{k \ge 0} (1 - 2z^{q^k})$ qui est analytique sur $D(0, 1)$. On déduit du théorème M2 et du fait que $f$ s'annule en une infinité de points algébriques du disque unité, que tout $\sigma_q$-opérateur annulant $f$ a une infinité de singularités dans $D(0, 1)$.

**Démonstration.** D'après la proposition 6, il existe un $M_q$-opérateur de niveau $R$ qui annule $f$. Notons

$$L_1 := a_0(z) + a_1(z)\sigma_q + \cdots + a_m(z)\sigma_q^m$$

un tel opérateur. Considérons un entier $s \ge 1$ tel que $a_m(z^{q^s})$ n'a aucune racine dans $D^*(0, R)$ et posons

$$L_2 := \sigma_q^s(L_1) = a_0(z^{q^s})\sigma_q^s + \cdots + a_m(z^{q^s})\sigma_q^{m+s}.$$

Puisque $L_1(f) = 0$, on a également $L_2(f) = 0$ et l'opérateur $L := L_1 + L_2$ annule donc $f$. De plus, on a

$$L = b_0(z) + b_1(z)\sigma_q + \cdots + b_{m+s}\sigma_q^{m+s},$$

où $b_0(z) = a_0(z)$ et $b_{m+s}(z) = a_m(z^{q^s})$.

Soit $\alpha \in D^*(0, R)$. Comme les polynômes $a_0(z)$ et $a_m(z^{q^s})$ ne s'annulent pas sur $D^*(0, R)$, on obtient que

$$b_0(\alpha^{q^l}) b_{m+s}(\alpha^{q^l}) \neq 0 \quad \forall l \ge 0.$$

Ainsi $\alpha$ est un point régulier pour $L$. $\square$

## 2.4. Preuve du théorème 1

Nous pouvons à présent démontrer notre résultat principal.

**Démonstration du théorème 1.** Commençons par le cas (E). Considérons des $E$-fonctions $f_1, \dots, f_r$, un nombre $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$ et supposons qu'il existe un polynôme homogène $P \in \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]$ tel que

$$P(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = 0. \qquad (2.3)$$

D'après [11, théorème 4.2], toute $E$-fonction $f$ est solution d'un $E$-opérateur différentiel. De plus, le théorème 4.3 de [11] stipule qu'un tel opérateur n'a que deux singularités : $0$ et $\infty$. Cela signifie que $f$ est annulée par un opérateur différentiel de la forme

$$L := a_0(z) + a_1(z)\delta + \cdots + a_{m-1}(z)\delta^{m-1} + z^v\delta^{(m)},$$

où les $a_i(z)$ sont dans $\overline{\mathbb{Q}}[z]$ et $v \ge 0$ est un entier. Ainsi, le système différentiel associé à la matrice compagnon $A_L$ d'une telle équation est à coefficients dans $\overline{\mathbb{Q}}[z, 1/z]$.

Pour tout $i$, $1 \le i \le r$, il existe donc une matrice $A_i(z) \in \mathcal{M}_{m_i}(\overline{\mathbb{Q}}[z, 1/z])$ telle que

$$\begin{pmatrix} \delta(f_i) \\ \vdots \\ \delta^{m_i}(f_i) \end{pmatrix} = A_i(z) \begin{pmatrix} f_i \\ \vdots \\ \delta^{m_i-1}(f_i) \end{pmatrix},$$

où $m_i$ peut être choisi comme le minimum des ordres des $E$-opérateurs annulant $f_i$. Notons

$$A(z) := A_1(z) \oplus A_2(z) \oplus \cdots \oplus A_r(z)$$

la somme directe des matrices $A_i(z)$. Les fonctions $f_{i,j}(z) = \delta^{j}(f_i)$, $1 \le i \le r$, $0 \le j \le m_i - 1$, sont les coordonnées d'un vecteur solution du système différentiel associé à la matrice $A(z)$. Comme $A(z)$ est à coefficients dans $\overline{\mathbb{Q}}[z, 1/z]$, tout point $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$ est régulier pour ce système. D'après (2.3)
et le théorème E2, il existe un polynôme $Q \in \overline{\mathbb{Q}}[z, (X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}]$ homogène en les variables $X_{i,j}, 1 \le i \le r, 0 \le j < m_i$, tel que

$$Q(z, f_{i,j}(z)) = 0, \quad \text{et} \quad Q(\alpha, (X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}) = P(X_{1,0}, \dots, X_{r,0}).$$

Ainsi, il suit que soit $Q \in \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r)$ et la relation (2.3) est banale, soit $Q \notin \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r)$ et (2.3) s'obtient alors par dégénérescence au point $\alpha$ d'une relation $\delta$-algébrique homogène entre les fonctions $f_1, \dots, f_r$.

Passons au cas ($M_q$). Soient $f_1, \dots, f_r$ des $M_q$-fonctions et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$, $0 < |\alpha| < 1$, qui n'est pôle d'aucune de ces fonctions. On suppose qu'il existe $P \in \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]$ homogène tel que

$$P(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = 0. \qquad (2.4)$$

Choisissons un nombre réel $R$ tel que $0 < |\alpha| < R < 1$. Comme les fonctions $f_i$ n'ont qu'un nombre fini de pôles sur $D(0, R)$, il existe un polynôme $D(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ tel que $g_i(z) := D(z)f_i(z)$ est analytique sur $D(0, R)$ pour tout $i, 1 \le i \le r$, et $D(\alpha) = 1$. D'après (2.4), on a

$$P(g_1(\alpha), \dots, g_r(\alpha)) = 0. \qquad (2.5)$$

D'autre part, la proposition 8 assure que chaque fonction $g_i$ est annulée par un $\sigma_q$-opérateur $L_i$, d'ordre noté $m_i$, qui est régulier au point $\alpha$. En désignant par $A_i(z)$ la matrice compagnon de l'opérateur $L_i$, on obtient que les fonctions $g_i, \sigma_q(g_i), \dots, \sigma_q^{m_i-1}(g_i)$ forment un vecteur solution d'un système $q$-mahlérien

$$\mathbf{Y}(z^q) = A_i(z)\mathbf{Y}(z), \quad A_i(z) \in \mathrm{GL}_{m_i}(\overline{\mathbb{Q}}(z)).$$

pour lequel $\alpha$ est régulier. Notons

$$A(z) := A_1(z) \oplus A_2(z) \oplus \dots \oplus A_r(z)$$

la somme directe des matrices $A_i(z)$. Les fonctions $\sigma_q^j(g_i), 1 \le i \le r, 0 \le j \le m_i - 1$, sont les coordonnées d'un vecteur solution du système $q$-mahlérien associé à la matrice $A(z)$ et le point $\alpha$ est encore régulier pour ce système. D'après (2.5) et le théorème M2, il existe un polynôme $Q_0 \in \overline{\mathbb{Q}}[z, (X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}]$ homogène en les variables $X_{i,j}, 1 \le i \le r, 0 \le j < m_i$, tel que

$$Q_0(z, \sigma_q^j(g_i)) = 0 \quad \text{et} \quad Q_0(\alpha, (X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}) = P(X_{1,0}, \dots, X_{r,0}).$$

Définissons $Q_1 \in \overline{\mathbb{Q}}[z, (X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}]$ par

$$Q_1(z, (X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}) := Q_0(z, (D(z^{q^j})X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}).$$

On a alors

$$Q_1(z, \sigma_q^j(f_i)(z)) = 0 \quad \text{et} \quad Q_1(\alpha, \sigma_q^j(f_i)(\alpha)) = P(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)),$$

puisque $D(\alpha) = 1$. On a donc que soit $Q_1 \in \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r)$ et la relation (2.4) est banale, soit $Q \notin \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r)$ et (2.4) s'obtient alors par dégénérescence au point $\alpha$ d'une relation $\sigma_q$-algébrique homogène entre les fonctions $f_1, \dots, f_r$. $\square$

## 2.5. Remarque sur les preuves des théorèmes E2 et M2

Dans [17], Beukers prouve le théorème E2 de la façon suivante. D'une part, il montre que pour toute E-fonction $f$ et tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$ :

$$f(\alpha) = 0 \implies \alpha \text{ est une singularité de l'opérateur différentiel minimal annulant } f. \qquad (2.6)$$

D'autre part, en supposant par l'absurde que la conclusion du théorème E2 est fausse, il donne une construction élémentaire et générale d'une E-fonction qui contredit (2.6). Il ressort ainsi que le point clé pour démontrer le théorème E2 est d'obtenir l'implication (2.6). Celle-ci découle du fait que pour toute E-fonction $f$ et tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$, $f$ est annulée par un opérateur différentiel
régulier en $\alpha$; propriété elle-même garantie par l'existence d'un E-opérateur annulant $f$ (cf. [11, théorème 4.2]).

En adaptant l'argument de [17], on obtient que le théorème M2 découle du fait que pour toute $M_q$-fonction $f$ et tout $\alpha \in \bar{\mathbb{Q}}$, $0 < |\alpha| < 1$ :

$$f(\alpha) = 0 \implies \begin{array}{l} \alpha \text{ est une singularité} \\ \text{du } \sigma_q\text{-opérateur minimal annulant } f. \end{array} \qquad (2.7)$$

Montrons que cette propriété est une conséquence de la proposition 6. Soit

$$a_0(z)f(z) + \dots + a_n(z)f(z^n) = 0, \qquad (2.8)$$

l'équation minimale de $f$. Supposons par l'absurde que $f(\alpha) = 0$ et que $\alpha$ est régulier pour cette équation, c'est-à-dire que

$$a_0(\alpha^{q^\ell}) a_n(\alpha^{q^\ell}) \neq 0, \quad \forall \ell \geq 0. \qquad (2.9)$$

Posons $g(z) := f(z)/(z-\alpha)$. D'après (2.8), $g$ est annulée par le $\sigma_q$-opérateur

$$L_1 := a_0(z)(z-\alpha) + \dots + a_n(z)(z^{q^n} - \alpha)\sigma_q^n = 0. \qquad (2.10)$$

Soit $R$ tel que $|\alpha| < R < 1$. Comme $g$ est bien définie en $\alpha$, il existe $P(z) \in \bar{\mathbb{Q}}[z]$ tel que $P(z)g(z)$ est analytique sur $D(0, R)$ et $P(\alpha) = 1$. D'après la proposition 6, $P(z)g(z)$ est annulée par un $M_q$-opérateur de niveau $R$. On en déduit l'existence d'un $\sigma_q$-opérateur

$$L_2 := b_0(z) + b_1(z)\sigma_q + \dots + b_m(z)\sigma_q^m \qquad (2.11)$$

qui annule $g$ et tel que $b_0(\alpha) \neq 0$. Considérons un tel opérateur avec $m$ minimal. Notons que $m \geq n$. Posons

$$L_3 := b_m(z)\sigma^{m-n}L_1 - a_n(z^{q^{m-n}})(z^{q^m} - \alpha)L_2.$$

On obtient que $L_3$ annule $g$ et est d'ordre strictement inférieur à $m$. De plus, on vérifie que le terme constant de $L_3$ vaut

$$a_n(z^{q^{m-n}})(z^{q^m} - \alpha)b_0(z)$$

si $m > n$ et

$$a_n(z^{q^{m-n}})(z^{q^m} - \alpha)b_0(z) - b_m(z)a_0(z)(z - \alpha)$$

lorsque $m = n$. Dans les deux cas, (2.9) assure que ce terme ne s'annule pas en $\alpha$. Cela contredit la minimalité de $m$ et prouve donc (2.7).

Il faut prendre garde au fait que nous n'obtenons pas pour autant une preuve « sans transcendance » du théorème M2 à la façon de [12, 17]. En effet, la démonstration que nous avons donnée de la proposition 6 repose sur le théorème M2 et l'argument serait donc circulaire. Nous attirons simplement l'attention sur le fait que, in fine, le théorème M2 et la proposition 6 sont essentiellement équivalents, de même que le théorème E2 et le fait que pour toute E-fonction $f$ et tout $\alpha \in \bar{\mathbb{Q}}^*$, $f$ est annulée par un opérateur différentiel régulier en $\alpha$. Dans le cas des E-fonctions, ce sont les résultats profonds obtenus sur les G-opérateurs qui permettent d'obtenir « miraculeusement » l'existence de tels opérateurs, via la notion de E-opérateur (cf. [11]). Dans le cas des $M_q$-fonctions, nous ne savons pour le moment pas comment obtenir l'existence de ces opérateurs indépendamment du théorème M2.

### 3. Détermination effective des relations algébriques

Dans cette section, nous discutons brièvement la question suivante, ainsi que son analogue pour les $M_q$-fonctions : étant donnés $\alpha \in \bar{\mathbb{Q}}^*$ et des E-fonctions $f_1, \dots, f_r$, peut-on déterminer les relations algébriques sur $\bar{\mathbb{Q}}$ entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ ? Il s'agit donc de déterminer explicitement une base de l'idéal

$$\mathcal{I}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) := \{P \in \bar{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] : P(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = 0\}.$$
L'article [23] décrit un algorithme pour répondre à cette question dans le cas des E-fonctions. Nous décrivons une approche alternative fondée sur le théorème 1 qui, nous semble-t-il, est particulièrement limpide. L'utilisation du théorème 1 permet à nouveau de traiter les E- et les $M_q$-fonctions de façon unifiée. Notons que ces deux approches souffrent d'une même limite liée à l'utilisation de l'algorithme de Hrushovski-Feng [21] (ou d'une variante de celui de Feng [22] pour les $M_q$-fonctions).

**Remarque 10.** Comme dans [9], on supposera que chaque fonction $f_i$ est donnée par un opérateur différentiel linéaire $L_i$ qui l'annule et les premiers coefficients de son développement de Taylor à l'origine. On supposera que le nombre de coefficients connus est suffisamment grand pour que $f_i$ soit uniquement déterminée par ces données.

**Remarque 11.** On prendra garde au fait que les idéaux $\mathfrak{I}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha))$, $\mathfrak{I}^\delta(f_1(z), \dots, f_r(z))$ et $\mathfrak{I}^{\sigma_q}(f_1(z), \dots, f_r(z))$ ne sont pas définis comme des idéaux homogènes. Néanmoins, l'algorithme décrit ci-dessous s'adapte facilement à l'étude des relations homogènes.

Étant donné un idéal $\mathfrak{I}$ de $\overline{\mathbb{Q}}(z)[X_1, \dots, X_s]$, $s \ge 1$, on note $\text{ev}_\alpha(\mathfrak{I})$ l'idéal de $\overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_s]$ obtenu en évaluant les élément de $\mathfrak{I} \cap \overline{\mathbb{Q}}[z, X_1, \dots, X_s]$ en $z = \alpha$.

Nous traitons d'abord le cas des E-fonctions.

1. La première étape consiste à déterminer pour chaque $f_i$ un entier $m_i$ tel que $f_i$ est annulée par un E-opérateur d'ordre au plus $m_i$. On suit l'approche d'André [11]. Si $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} z^n$, on dit que $g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ est la G-fonction associée à $f$. À partir de l'opérateur $L_i$, on peut déterminer un opérateur différentiel $L'_i$ annulant la G-fonction associée à $f_i$ en utilisant la transformée de Fourier-Laplace. À partir de ce premier opérateur on peut obtenir un opérateur différentiel d'ordre minimal annulant cette G-fonction (voir [19]). C'est un G-opérateur (voir, par exemple, [33]). À partir de ce G-opérateur, on détermine facilement un E-opérateur explicite annulant $f_i$ (cf. [11, sections 2 et 5]). On note $m_i$ l'ordre de cet opérateur et on pose $\mathbf{m} := (m_1 - 1, \dots, m_r - 1)$.

2. La démonstration du théorème 1, montre alors que

$$ \mathfrak{I}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = \text{ev}_\alpha(\mathfrak{I}_m^\delta(f_1, \dots, f_r)) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r], $$

où $\mathfrak{I}_m^\delta(f_1, \dots, f_r) := \mathfrak{I}^\delta(f_1, \dots, f_r) \cap \overline{\mathbb{Q}}(z)[(X_i, j)_{1 \le i \le r, 0 \le j < m_i}]$ et où l'on a identifié les variables $X_{i,0}$ et $X_i$, $1 \le i \le r$. Notons que, dans la démonstration du théorème 1 les relations considérées sont homogènes. On se ramène au cas inhomogène étudié ici en ajoutant la fonction constante égale à 1.

3. Supposons que l'on dispose d'un ensemble explicite de générateurs de $\mathfrak{I}_m^\delta(f_1, \dots, f_r)$. En les évaluant en $z = \alpha$, on obtient un ensemble explicite de générateurs de l'idéal $\text{ev}_\alpha(\mathfrak{I}_m^\delta(f_1, \dots, f_r))$. La détermination explicite d'une base de l'idéal

$$ \text{ev}_\alpha(\mathfrak{I}_m^\delta(f_1, \dots, f_r)) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] $$

s'obtient alors classiquement en utilisant la théorie des bases de Gröner (voir [15, section 6.2] pour l'algorithme correspondant).

Il ressort de cette analyse que la connaissance d'une base de $\mathfrak{I}_m^\delta(f_1, \dots, f_r)$ suffit à déterminer une base de $\mathfrak{I}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha))^3$. La principale difficulté réside en fait dans l'obtention de cette première. Les fonctions $\delta^j(f_i)$, $1 \le i \le r$, $1 \le j < m_i$, étant liées par un système différentiel linéaire, l'algorithme de Hrushovski-Feng [21] permet en principe d'obtenir une base de $\mathfrak{I}_m^\delta(f_1, \dots, f_r)$. Cependant, cet algorithme semble difficile à mettre en œuvre du point de vue pratique; c'est là le talon d'Achille de cette méthode.

<footnote n="3">³Voir [18, chapitre 26] pour une discussion sur la complexité du calcul d'une base de Gröbner.</footnote>
Dans le cas des $M_q$-fonctions, on peut suivre rigoureusement la même approche, en substituant une variante<fnref n="4" /> de l'algorithme de Feng [22] à celui de Hrushovski-Feng. Notons que cet algorithme serait tout aussi peu commode à utiliser dans la pratique. La seule différence réside dans la première étape, à savoir la détermination explicite d'un vecteur **m** := ($m_1 - 1, \dots, m_r - 1$) tel que

$$ \mathcal{J}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = \operatorname{ev}_\alpha (\mathcal{J}_{\mathbf{m}}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r], $$

où $\mathcal{J}_{\mathbf{m}}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r) := \mathcal{J}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r) \cap \overline{\mathbb{Q}}(z)[(X_i, j)_{1 \le i \le r, 0 \le j < m_i}].$ Une analyse de la preuve du théorème 1 montre que s'il existe un entier $\ell \ge 1$ tel que pour chaque $i, 1 \le i \le r$, on dispose d'un système $q^\ell$-mahlérien linéaire régulier en $\alpha$ et possédant un vecteur solution formé de la fonction $f_i$ et de fonctions de la forme $\sigma_{q^\ell}^j(f_i)$ pour $j \le c_i$, alors on peut choisir $m_i := \ell c_i + 1$.

Voici comment construire explicitement de tels systèmes. Partant d'un $\sigma_q$-opérateur annulant $f_i$, on détermine un $\sigma_q$-opérateur d'ordre minimal annulant $f_i$ (cf. [6]). Notons $n_i$ son ordre. D'après le théorème 1.10 de [5], on peut itérer le système compagnon associé, puis utiliser la technique de dédoublement décrite dans la preuve du lemme 5.2 de [5], pour obtenir un système $q^\ell$-mahlérien pour un certain $\ell$ explicite tel que $\alpha$ est régulier pour ce système. En outre, il suffit de choisir $\ell$ suffisamment grand par rapport à $q$, au module de $\alpha$, et au maximum des degrés des polynômes de l'équation minimale de $f_i^5$. On peut ainsi trouver explicitement un entier $\ell$ qui convient pour toutes les fonctions $f_i$. Il suffit alors de prendre $m_i := 2\ell + n_i$.

**Remarque 12.** Dans le cas (E), nous avons vu que le vecteur **m** peut être déterminé indépendamment de $\alpha$. Dans le cas ($M_q$), on peut déterminer **m** qui convient pour tout $\alpha \in D^*(0, R)$ lorsque $R < 1$ est préalablement fixé, mais il n'existe pas nécessairement un vecteur **m** qui convient pour tous les points du disque unité (cf. exemple 35).

## 4. Sporadicité des relations non banales

La proposition suivante établit que dans le cadre des E- et des $M_q$-fonctions les relations non banales sont nécessairement sporadiques.

**Proposition 13.** On a les deux résultats suivants.

(E) Soient $f_1(z), \dots, f_r(z)$ des E-fonctions. Il existe un ensemble fini $\mathcal{S} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ tel que l'existence d'une relation non banale entre $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ implique que $\alpha \in \mathcal{S}$.

(M$_q$) Soient $f_1(z), \dots, f_r(z)$ des $M_q$-fonctions et R un nombre réel, $0 < R < 1$. Il existe un ensemble fini $\mathcal{S}_R \subset \overline{\mathbb{Q}}$ tel que l'existence d'une relation non banale entre $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ avec $\alpha \in D^*(0, R)$ implique que $\alpha \in \mathcal{S}_R$.

**Remarque 14.** En général, les relations non banales entres des fonctions analytiques n'ont aucune raison d'être sporadiques, comme le montre l'exemple suivant. Considérons la fonction définie par

$$ f(z) := \sum_{n=1}^{\infty} c_k \left( \prod_{i=1}^{k} P_i(z) \right), $$

où $P_1, P_2, \dots$ est une énumération des polynômes à coefficients entiers et ($c_k$)$_{k \ge 1}$ une suite décroissante de nombres rationnels non nuls tendant vers 0. Si la décroissance de $c_k$ est suffisamment rapide, alors $f$ est une fonction entière, ce que nous supposerons désormais. Ainsi, comme

<footnote n="4">⁴Bien que l'article [22] se limite au cas d'équations aux différences linéaires associées à l'opérateur $\sigma: z \to z+1$, l'approche développée devrait s'adapter au cas des opérateurs mahlériens $\sigma_q$, comme cela nous a été confirmé par l'auteur.</footnote>

<footnote n="5">⁵Plus précisément, il suffit de choisir $\ell$ de sorte que $\alpha^{q^\ell}$ soit régulier pour l'équation minimale de $f_i$. Si $R < 1$ est fixé, on choisit $\ell$ tel que $a(z^{q^\ell})$ n'a pas de racine dans $D^*(0, R)$, pour tout polynôme $a(z)$ qui est coefficient de l'équation minimale de $f_i$. Ce choix de $\ell$ conviendra alors pour tout $\alpha \in D^*(0, R)$.</footnote>
$f$ n'est pas un polynôme, elle est donc transcendante et les fonctions 1 et $f$ sont linéairement indépendantes sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$. Par construction, pour tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$, on a $f(\alpha) \in \overline{\mathbb{Q}}$, de sorte que la relation linéaire sur $\overline{\mathbb{Q}}$ donnée par $f(\alpha) \times 1 - 1 \times f(\alpha) = 0$ est non banale relativement à $\{1, f(z)\}$.

Démontrons d'abord le lemme suivant. Nous conservons les notations introduites dans la section 3.

**Lemme 15.** Soient $m, r$ deux entiers positifs avec $m \ge r$. Soit $\mathcal{I}$ un idéal de $\overline{\mathbb{Q}}(z)[X_1, \dots, X_m]$ et posons $\mathcal{J}_r := \mathcal{I} \cap \overline{\mathbb{Q}}(z)[X_1, \dots, X_r]$. Alors, il existe un ensemble fini $\mathcal{S} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ tel que, pour tout $\alpha$ dans $\overline{\mathbb{Q}} \setminus \mathcal{S}$, on a

$$ \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{J}) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] = \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{J}_r). $$

**Démonstration.** L'argument repose sur l'utilisation de bases de Gröner. Nous renvoyons à [15] pour les résultats classiques concernant cette notion.

On considère une base de Gröner $\mathcal{G} = \{P_1, \dots, P_s\}$ relativement à un ordre monomial $> \alpha$ élimine $X_{r+1}, \dots, X_m$. On peut supposer sans perte de généralité que $P_1, \dots, P_s \in \overline{\mathbb{Q}}[z, X_1, \dots, X_m]$. Pour un tel ordre, tout monôme contenant une des variables $X_{r+1}, \dots, X_m$ est plus grand qu'un monôme composé uniquement des variables $X_1, \dots, X_r$. De plus, l'ordre est compatible avec la multiplication. Pour un polynôme $P$, on note $\mathrm{lm}(P)$ le monôme le plus grand pour la relation d'ordre totale $> \alpha$ et $\mathrm{lc}(P) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ le coefficient correspondant. On a

$$ P = \mathrm{lc}(P)\mathrm{lm}(P) + P' $$

où $P'$ est un polynôme dont les monômes sont tous plus petits que $\mathrm{lm}(P)$. Soit $\mathcal{S} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ l'ensemble des racines des polynômes $\mathrm{lc}(P_i)$, $1 \le i \le s$. On va montrer que si $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}} \setminus \mathcal{S}$, alors

$$ \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{J}) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] = \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{J}_r). $$

Supposons par l'absurde que ce ne soit pas le cas. Considérons $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}} \setminus \mathcal{S}$ tel qu'il existe $P \in \mathcal{J} \cap \overline{\mathbb{Q}}[z, X_1, \dots, X_m]$ pour lequel

$$ \mathrm{ev}_{\alpha}(P) \in \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] \setminus \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{J}_r). $$

On choisit $P$ de sorte que $\mathrm{lm}(P)$ soit minimal parmi les polynômes ayant cette propriété. Comme $\mathcal{G}$ est une base de Gröner, il existe un $P_i$ dont le monôme dominant divise celui de $P$. De plus, comme $\alpha \notin \mathcal{S}$, on a $\mathrm{ev}_{\alpha}(\mathrm{lc}(P_i)) \ne 0$. On pose

$$ Q := \left( \mathrm{lc}(P_i)P - \frac{\mathrm{lc}(P)\mathrm{lm}(P)}{\mathrm{lm}(P_i)}P_i \right) / \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathrm{lc}(P_i)) \in \overline{\mathbb{Q}}[z, X_1, \dots, X_m]. $$

Comme $P \notin \mathcal{J}_r$, $\mathrm{lm}(P)$ contient au moins une des variables $X_{r+1}, \dots, X_m$. Comme $\mathrm{ev}_{\alpha}(P) \in \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]$, le coefficient dominant de $P$ doit s'annuler en $\alpha$. On obtient donc que $\mathrm{ev}_{\alpha}(Q) = \mathrm{ev}_{\alpha}(P)$. Comme le monôme dominant de $Q$ est strictement plus petit que celui de $P$, on obtient par minimalité que $\mathrm{ev}_{\alpha}(Q) \in \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{J}_r)$. Ainsi, $\mathrm{ev}_{\alpha}(P) = \mathrm{ev}_{\alpha}(Q) \in \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{J}_r)$, ce qui contredit la définition de $P$. $\square$

**Démonstration de la Proposition 13.** Commençons par le cas (E). Soit $\mathbf{m} \in \mathbb{N}^r$ tel que pour tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$, on a

$$ \mathcal{J}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{J}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]. $$

Nous avons vu qu'un tel $\mathbf{m}$ existe (cf. Section 3). Posons $\mathcal{J} := \mathcal{J}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ et $\mathcal{J}_r := \mathcal{J} \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]$. S'il existe une relation non banale entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$, alors il existe un polynôme $Q$ tel que

$$ \mathrm{ev}_{\alpha}(Q) \in \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{J}) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] \setminus \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{J}_r) $$

et donc

$$ \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{J}) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] \neq \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{J}_r). $$

D'après le lemme 15, il n'existe qu'un nombre fini de tels $\alpha$.
Le cas ($M_q$) est similaire. On choisit $\mathbf{m} \in \mathbb{N}^r$ tel que

$$ \mathcal{I}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = \operatorname{ev}_\alpha(\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)) \cap \bar{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]. $$

La différence est que l'existence d'un tel $\mathbf{m}$ est seulement assurée pour tout $\alpha \in \bar{\mathbb{Q}}^* \cap D(0, R)$ lorsque $R < 1$ est fixé, mais qu'il n'est pas toujours possible de choisir $\mathbf{m}$ indépendamment de $R$ (cf. remarque 12). $\square$

# 5. Structure des idéaux des relations $\delta$- et $\sigma_q$-algébriques

Dans cette section, nous décrivons la structure des idéaux $\mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ et $\mathcal{I}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ qui interviennent dans le théorème 1.

## 5.1. Le cas des E-fonctions

Soient $f_1, \dots, f_r$ des E-fonctions. Pour tout $i$, $1 \le i \le r$, notons

$$ a_{i,0}(z) + \dots + a_{i,m_{i-1}}(z) \delta^{m_i-1} + \delta^{m_i} $$

l'opérateur différentiel d'ordre minimal annulant $f_i$, où $a_{i,j}(z) \in \bar{\mathbb{Q}}(z)$ pour tout $j$, $1 \le j \le m_i - 1$. En posant

$$ L_i := a_{i,0}(z)X_{i,0} + \dots + a_{i,m_{i-1}}(z)X_{i,m_{i-1}} + X_{i,m_i}, $$

on a donc $L_i \in \mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$. Posons $\mathbf{m} := (m_1 - 1, \dots, m_r - 1)$ et

$$ \mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) := \mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) \cap \bar{\mathbb{Q}}(z)[(X_{i,j})_{1 \le i \le r, 0 \le j \le m_i}]. $$

Rappelons que si $R$ est un anneau muni d'une dérivation $\partial$, un $\partial$-idéal $\mathcal{I}$ de $R$ est un idéal de $R$ tel que $\partial(\mathcal{I}) \subset \mathcal{I}$. Le $\partial$-idéal engendré par un sous-ensemble $\mathcal{S}$ de $R$ est le plus petit $\partial$-idéal de $R$ contenant $\mathcal{S}$. L'anneau $\bar{\mathbb{Q}}(z)[(X_{i,j})_{1 \le i \le r, j \in \mathbb{N}}]$ peut être muni de la dérivation $\delta$ qui agit classiquement sur $\bar{\mathbb{Q}}(z)$ et telle que $\delta(X_{i,j}) = X_{i,j+1}$. Muni de cette dérivation, on vérifie que $\mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ est un $\delta$-idéal. L'anneau de polynômes $\bar{\mathbb{Q}}(z)[(X_{i,j})_{1 \le i \le r, j \in \mathbb{N}}]$ n'est pas noethérien et l'idéal $\mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ n'est pas finiment engendré, puisqu'il est non trivial; il l'est toutefois en tant que $\delta$-idéal. Le résultat suivant précise un ensemble de générateurs.

**Proposition 16.** En tant que $\delta$-idéal, $\mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ est engendré par les éléments de $\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ et les formes linéaires $L_1, \dots, L_r$.

**Démonstration.** Notons $\mathfrak{J}$ le $\delta$-idéal engendré par les éléments de l'idéal $\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ et les formes linéaires $L_1, \dots, L_r$. Il est clair que

$$ \mathfrak{J} \subset \mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r). $$

Montrons l'inclusion réciproque. Soit $Q \in \mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$. Considérons l'ordre partiel sur $\mathbb{N}^r$ défini par $\mathbf{m} \le \mathbf{n}$ si $m_i \le n_i$ pour tout $i$, $1 \le i \le r$. La multi-profondeur de $Q$ est définie comme le $r$-uplet minimal $(n_1, \dots, n_r)$ tel que le support de $Q$ est inclus dans $\{(i, j) : 1 \le i \le r, 0 \le j \le n_i\}$.

Nous allons raisonner par récurrence multiple sur $(n_1, \dots, n_r)$. Si $n_i < m_i$ pour tout $i$, alors $Q \in \mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ et il n'y a rien à prouver. Supposons à présent que tout polynôme de $\mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ de multi-profondeur au plus $(n_1, n_2, \dots, n_r)$ appartient à $\mathfrak{J}$ et montrons qu'il en est de même pour tout polynôme de $\mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ de multi-profondeur au plus $(n_1 + 1, n_2, \dots, n_r)$, où $n_1 + 1 \ge m_1$. L'argument pour les polynômes de $\mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ de multi-profondeur au plus $(n_1, \dots, n_j + 1, \dots, n_r)$ est identique.

On note $\mathbf{X}^\circ$ l'ensemble des variables $X_{i,j}$, $1 \le i \le r$, $1 \le j \le n_i$. Soit $Q$ un élément de $\mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ de multi-profondeur au plus $(n_1 + 1, n_2, \dots, n_r)$. On peut écrire

$$ Q := \sum_{\mathbf{v}=0}^{s} M_{\mathbf{v}}(z, \mathbf{X}^{\circ}) X_{1,n_1+1}^{\mathbf{v}}, $$
où les $M_v(z, X^\circ)$ appartiennent à $\overline{\mathbb{Q}}(z)[X^\circ]$ et $s \ge 0$. On raisonne par récurrence sur l'entier $s$ pour montrer que $Q \in \mathfrak{J}$. Si $s = 0$, alors $Q$ est de multi-profondeur au plus $(n_1, n_2, \dots, n_r)$ est la première hypothèse de récurrence implique donc que $Q \in \mathfrak{J}$. Supposons à présent que $s \ge 1$ et que le résultat est connu pour tout élément de $\mathfrak{J}^\delta(f_1, \dots, f_r)$ de multi-profondeur au plus $(n_1 + 1, n_2, \dots, n_r)$ et de degré au plus $s-1$ en $X_{1,n_1+1}$. Posons

$$P := M_s(z, X^\circ) X_{1,n_1+1}^{s-1} \delta^{n_1+1-m_1} (L_1).$$

Comme $L_1 \in \mathfrak{J}$ et que $\mathfrak{J}$ est un $\delta$-idéal, on a $P \in \mathfrak{J} \subset \mathfrak{J}^\delta(f_1, \dots, f_r)$. De plus, comme le coefficient de $X_{1,n_1+1}$ dans $\delta^{n_1+1-m_1} (L_1)$ est égal à 1, le coefficient de $X_{1,n_1+1}^s$ dans $P$ est égal à $M_s(z, X^\circ)$. On obtient que $Q - P \in \mathfrak{J}^\delta(f_1, \dots, f_r)$ est un polynôme de multi-profondeur au plus $(n_1 + 1, n_2, \dots, n_r)$ et de degré au plus $s-1$ en la variable $X_{1,n_1+1}$. Par hypothèse de récurrence, on a $Q - P \in \mathfrak{J}$. Comme $P \in \mathfrak{J}$, on en déduit que $Q \in \mathfrak{J}$ comme souhaité. $\square$

## 5.2. Le cas des $M_q$-fonctions

Soient $f_1, \dots, f_r$ des $M_q$-fonctions. Pour tout $i$, $1 \le i \le r$, notons

$$a_{i,0}(z) + \dots + a_{i,m_{i-1}}(z) \sigma_q^{m_i-1} + \sigma_q^{m_i}$$

le $\sigma_q$-opérateur d'ordre minimal annulant $f_i$, où $a_{i,j}(z) \in \overline{\mathbb{Q}}(z)$ pour tout $j$, $1 \le j \le m_i - 1$. En posant

$$L_i := a_{i,0}(z)X_{i,0} + \dots + a_{i,m_{i-1}}(z)X_{i,m_{i-1}} + X_{i,m_i},$$

on a donc $L_i \in \mathfrak{J}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$. Posons $\mathbf{m} := (m_1 - 1, \dots, m_r - 1)$ et

$$\mathfrak{J}_{\mathbf{m}}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r) := \mathfrak{J}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r) \cap \overline{\mathbb{Q}}(z)[(X_{i,j})_{1 \le i \le r, 0 \le j < m_i}].$$

Rappelons que si $R$ est un anneau muni d'un endomorphisme $\phi$, un $\phi$-idéal $\mathcal{I}$ de $R$ est un idéal de $R$ tel que $\phi(\mathcal{I}) \subset \mathcal{I}$. Le $\phi$-idéal engendré par un sous-ensemble $\mathcal{S}$ de $R$ est par définition le plus petit $\phi$-idéal de $R$ contenant $\mathcal{S}$. L'anneau $\overline{\mathbb{Q}}(z)[(X_{i,j})_{1 \le i \le r, j \in \mathbb{N}}]$ peut être muni de l'endomorphisme $\sigma_q$ qui agit comme précédemment sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ et tel que $\sigma_q(X_{i,j}) = X_{i,j+1}$. Cette définition implique que $\mathfrak{J}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ est un $\sigma_q$-idéal. À nouveau, $\mathfrak{J}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ est finiment engendré en tant que $\sigma_q$-idéal et on obtient l'analogue de la proposition 16, dont la preuve est par ailleurs identique.

**Proposition 17.** En tant que $\sigma_q$-idéal, $\mathfrak{J}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ est engendré par les éléments de $\mathfrak{J}_{\mathbf{m}}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ et les formes linéaires $L_1, \dots, L_r$.

# 6. Descente

Dans cette section, nous montrons comment le corollaire 3 découle du théorème 1, puis nous donnons deux conséquences de ce résultat.

Rappelons tout d'abord le lemme suivant, qui correspond au lemme 5.3 de [5]. L'énoncé donné ici est légèrement modifié, mais la preuve reste identique.

**Lemme 18.** Soient $\mathbb{K} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ un corps de nombres, $h_1(z), \dots, h_r(z) \in \mathbb{K}[\underline{z}]$ et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$. Supposons qu'il existe $w_1(z), \dots, w_r(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ tels que

$$w_1(z)h_1(z) + \dots + w_r(z)h_r(z) = 0, \qquad (6.1)$$

avec $w_i(\alpha) = 0$ pour tout indice $i$ dans un ensemble $\mathcal{I} \subset \{1, \dots, r\}$ et $w_{i_0}(\alpha) \neq 0$ pour un certain indice $i_0 \in \{1, \dots, r\} \setminus \mathcal{I}$. Alors, il existe $w_1'(z), \dots, w_r'(z) \in \mathbb{K}[z]$, tels que

$$w_1'(z)h_1(z) + \dots + w_r'(z)h_r(z) = 0,$$

avec $w_i'(\alpha) = 0$ pour tout indice $i \in \mathcal{I}$ et $w_{i_0}'(\alpha) \neq 0$.
Nous aurons également besoin du lemme suivant.

**Lemme 19.** Soit $K \subset \mathbb{L} \subset \bar{Q}$ deux corps de nombre et $f(z)$ une E-fonction (resp. une $M_q$-fonction) à coefficients dans $\mathbb{L}$. Soit $w_1, \dots, w_d \in \mathbb{L}$ une base de $\mathbb{L}$ sur $K$. Considérons l'unique décomposition

$$f(z) = w_1 f_1(z) + \dots + w_d f_d(z)$$

telle que $f_1(z), \dots, f_d(z) \in K[[z]]$. Alors les fonctions $f_1(z), \dots, f_d(z)$ sont des E-fonctions (resp. des $M_q$-fonctions).

**Remarque 20.** Dans le cas ($M_q$), un raisonnement similaire à celui suivi à la fin de la preuve du corollaire 3 ci-après montre que, si $\alpha \in K$, $0 < |\alpha| < 1$, n'est pas un pôle de $f(z)$, alors les fonctions $f_1(z), \dots, f_d(z)$ n'ont pas non plus de pôle en $\alpha$.

**Démonstration.** Nous traiterons uniquement le case des E-fonctions, celui des $M_q$-fonctions étant strictement identique. Soit $\mathbb{L}_0$ la clôture galoisienne de $\mathbb{L}$ sur $K$. Soit $\varphi$ un élément primitif de $\mathbb{L}_0$ sur $K$ dont nous noterons $t$ le degré. Comme l'extension $\mathbb{L}_0$ est galoisienne le cardinal de $\text{Gal}(\mathbb{L}_0/K)$ est égal à $t$. Il existe donc une unique décomposition

$$f(z) = \sum_{i=0}^{t-1} \varphi^i g_i(z), \qquad (6.2)$$

telle que $g_i(z) \in K[[z]]$ pour tout $i$. Les fonctions $f_1(z), \dots, f_d(z)$ étant des combinaisons linéaires à coefficients dans $\mathbb{L}_0$ des fonctions $g_0(z), \dots, g_{t-1}(z)$, il suffit de montrer que les $g_i(z)$ sont des E-fonctions. Soient $\tau_1, \dots, \tau_t$ les éléments de $\text{Gal}(\mathbb{L}_0/K)$. Étant donnés une série entière $h(z) = \sum_n a_n z^n$ à coefficients dans $\mathbb{L}_0$ et $\tau \in \text{Gal}(\mathbb{L}_0/K)$, on note $h^\tau(z) := \sum_n \tau(a_n) z^n$. Comme $g_j^{\tau_i}(z) = g_j(z)$ pour tout $i, j$, on déduit de (6.2) la relation suivante :

$$\begin{pmatrix} f^{\tau_1}(z) \\ \vdots \\ f^{\tau_t}(z) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tau_1(\varphi)^0 & \cdots & \tau_1(\varphi)^{t-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tau_t(\varphi)^0 & \cdots & \tau_t(\varphi)^{t-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g_0(z) \\ \vdots \\ g_{t-1}(z) \end{pmatrix}. \qquad (6.3)$$

Comme $\mathbb{L}_0 = K(\varphi)$, les nombres $\tau_1(\varphi), \dots, \tau_t(\varphi)$ sont distincts et la matrice de Vandermonde $(\tau_i(\varphi)^j)_{1 \le i \le t, 0 \le j \le t-1}$ est donc inversible. En inversant cette matrice dans l'égalité (6.3), on obtient les fonctions $g_0(z), \dots, g_{t-1}(z)$ comme combinaisons linéaires sur $\mathbb{L}_0$ des fonctions $f^{\tau_1}(z), \dots, f^{\tau_t}(z)$. Comme $f(z)$ est une E-fonction, il suit que les fonctions $f^{\tau_1}(z), \dots, f^{\tau_t}(z)$ sont des E-fonctions. On en déduit que les fonctions $g_0(z), \dots, g_{t-1}(z)$ sont des E-fonctions. $\square$

**Démonstration du corollaire 3.** Nous démontrons dans un premier temps le cas (E). Soit $K \subset \bar{Q}$ un corps. Supposons que les nombres $\xi_1, \dots, \xi_r \in E_K$ sont linéairement dépendants sur $\bar{Q}$. Quitte à choisir un sous-corps de $K$, on peut sans perte de généralité supposer que $K$ est un corps de nombres (puisque les coefficients d'une E-fonction engendrent toujours une extension finie de $\bar{Q}$). Il existe donc des E-fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z) \in K[[z]]$ telles que $\xi_1 = f_1(1), \dots, \xi_r = f_r(1)$. D'après le théorème 1, il existe une relation $\delta$-linéaire sur $\bar{Q}(z)$ entre les fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z)$ qui se spécialise en $z = 1$ en une relation non triviale entre les nombres $\xi_1, \dots, \xi_r$. Notons que les dérivées successives des $f_i$ restent à coefficients dans $K$. D'après le lemme 18, il existe donc une relation $\delta$-linéaire sur $K(z)$ entre les fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z)$ qui se spécialise au point 1 en une relation non triviale entre les nombres $\xi_1, \dots, \xi_r$. La relation obtenue est nécessairement à coefficients dans $K$ et on obtient donc que les nombres $\xi_1, \dots, \xi_r$ sont linéairement dépendants sur $K$.

En d'autres termes, les extensions $E_K$ et $\bar{Q}$ sont linéairement disjointes sur $K$. Il découle alors de [20, Chapter V, §2] et [27, Chapter VIII, §3] que l'homomorphisme de $\bar{Q}$-algèbres $\varphi$ de $E_K \otimes_K \bar{Q}$ dans $E$ défini par $\varphi(\xi \otimes \beta) = \xi \beta$ est injectif et que son image correspond aux combinaisons linéaires à coefficients dans $\bar{Q}$ des éléments de $E_K$.
Il reste à montrer que $\varphi$ est surjectif, c'est-à-dire que tout élément de $\mathbf{E}$ peut s'écrire comme une telle combinaison linéaire. Soit $\xi \in \mathbf{E}$. Il existe une $\mathbf{E}$-fonction $f(z)$ telle que $f(1) = \xi$. Soit $\mathbb{L}$ un corps de nombres tel que $f(z) \in \mathbb{L}[z]$ et $w_1, \dots, w_d \in \mathbb{L}$ une base de $\mathbb{L}$ sur $\mathbb{K}$. Il existe donc une décomposition

$$f(z) = w_1 f_1(z) + \dots + w_d f_d(z),$$

telle que $f_1(z), \dots, f_d(z) \in \mathbb{K}[z]$. D'après le lemme 19, ce sont des $\mathbf{E}$-fonctions, de sorte que $f_i(1) \in \mathbb{E}_{\mathbb{K}}$ pour tout $i$, $1 \le i \le d$. Comme

$$\xi = w_1 f_1(1) + \dots + w_d f_d(1),$$

on obtient bien le résultat souhaité.

Dans le cas $(M_q)$, on montre mutatis mutandis que les extensions $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ et $\overline{\mathbb{Q}}$ sont linéairement disjointes sur $\mathbb{K}$ et donc que l'homomorphisme de $\overline{\mathbb{Q}}$-algèbres $\varphi$ de $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}} \otimes_{\mathbb{K}} \overline{\mathbb{Q}}$ dans $\mathbf{M}_{q,\alpha}$ défini par $\varphi(\xi \otimes \beta) = \xi\beta$ est injectif et que son image correspond aux combinaisons linéaires à coefficients dans $\overline{\mathbb{Q}}$ des éléments de $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$. Là encore, il reste à montrer qu'il est surjectif. Soit $\xi \in \mathbf{M}_{q,\alpha}$. Il existe une $M_q$-fonction $f(z)$ telle que $f(\alpha) = \xi$. Soit $\mathbb{L}$ un corps de nombres tel que $f(z) \in \mathbb{L}[z]$ et $w_1, \dots, w_d \in \mathbb{L}$ une base de $\mathbb{L}$ sur $\mathbb{K}$. Il existe donc une décomposition

$$f(z) = w_1 f_1(z) + \dots + w_d f_d(z), \qquad (6.4)$$

telle que $f_1(z), \dots, f_d(z) \in \mathbb{K}[z]$. D'après le lemme 19, ce sont des $M_q$-fonctions. Pour conclure, on doit s'assurer que les fonctions $f_1(z), \dots, f_d(z)$ n'ont pas de pôle au point $\alpha$. Supposons par l'absurde que ce soit le cas et notons $n \ge 1$ le plus petit entier tel que les fonctions $g_i(z) = (z-\alpha)^n f_i(z)$, $1 \le i \le d$, sont toutes bien définies en $\alpha$. Par minimalité, il existe $i_0 \in \{1, \dots, d\}$ tel que

$$g_{i_0}(\alpha) \neq 0. \qquad (6.5)$$

Par ailleurs, on a

$$(z-\alpha)^n f(z) = w_1 g_1(z) + \dots + w_d g_d(z)$$

et comme $f(z)$ n'a pas de pôle en $\alpha$, il suit que

$$w_1 g_1(\alpha) + \dots + w_d g_d(\alpha) = 0.$$

Comme $\alpha \in \mathbb{K}$, les nombres $g_1(\alpha), \dots, g_d(\alpha)$ appartiennent à $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$. Comme les extensions $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ et $\overline{\mathbb{Q}}$ sont linéairement disjointes sur $\mathbb{K}$ et comme les nombres $w_1, \dots, w_d \in \overline{\mathbb{Q}}$ sont linéairement indépendants sur $\mathbb{K}$, ces nombres restent linéairement indépendants sur $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$. On en déduit que $g_1(\alpha) = \dots = g_d(\alpha) = 0$, ce qui contredit (6.5). Ainsi, les fonctions $f_1(z), \dots, f_d(z)$ sont toutes bien définies en $\alpha$ et (6.4) implique que

$$\xi = f(\alpha) = w_1 f_1(\alpha) + \dots + w_d f_d(\alpha) \in \varphi(\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}} \otimes_{\mathbb{K}} \overline{\mathbb{Q}}),$$

comme souhaité.

□

Les corollaires 21 et 23 ci-après découlent également du corollaire 3. Dans le cas (E), ils correspondent respectivement au Corollary 3 et au Lemma 1 de [24]. Dans le cas $(M_q)$, le corollaire 23 correspond au corollaire 1.8 de [5].

**Corollaire 21.** On a les deux résultats suivants.

(E) Soient $\mathbb{K} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ un corps de nombres et $w_1, \dots, w_d$ une base du $\mathbb{Q}$-espace vectoriel $\mathbb{K}$. Alors, on a

$$\mathbb{E}_{\mathbb{K}} = w_1 \mathbb{E}_{\mathbb{Q}} \oplus \dots \oplus w_d \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}.$$

(M_q) Soient $\mathbb{K} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ un corps de nombres, $\alpha \in \mathbb{K}$, $0 < |\alpha| < 1$, et $w_1, \dots, w_d$ une base du $\mathbb{Q}(\alpha)$-espace vectoriel $\mathbb{K}$. Alors, on a

$$\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}} = w_1 \mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{Q}} \oplus \dots \oplus w_d \mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{Q}}.$$

On démontre tout d'abord le lemme suivant, qui a son propre intérêt.
**Lemme 22.** Soient $K \subset \bar{\mathbb{Q}}$ un corps de nombres et $\alpha \in \bar{\mathbb{Q}}$, $0 < |\alpha| < 1$. On a

$$M_{q,\alpha,K}(\alpha) = M_{q,\alpha,K}.$$

**Démonstration.** Soit $\xi \in M_{q,\alpha,K}(\alpha)$. Il existe alors une $M_q$-fonction $f(z) \in K(\alpha)[z]$ telle que $\xi = f(\alpha)$. Notons $d_0$ le degré de $\alpha$ sur $K$ et considérons la décomposition

$$f(z) = \sum_{i=0}^{d_0-1} \alpha^i f_i(z), \qquad (6.6)$$

telle que $f_0(z), \dots, f_{d_0-1}(z) \in K[z]$. D'après le lemme 19, les fonctions $f_i(z)$, $0 \le i \le d_0 - 1$, sont des $M_q$-fonctions. Notons toutefois qu'elles pourraient avoir un pôle au point $\alpha^6$. La fonction $g(z) = \sum_{i=0}^{d_0-1} z^i f_i(z) \in K[z]$ est également une $M_q$-fonction. Comme $f$ est bien définie en $\alpha$, (6.6) implique qu'il en est de même pour $g$. On a donc

$$\xi = f(\alpha) = g(\alpha) \in M_{q,\alpha,K},$$

comme souhaité.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

**Démonstration du corollaire 21.** Nous démontrons tout d'abord le cas (E). D'après le corollaire 3, $E_{\bar{\mathbb{Q}}}$ et $\bar{\mathbb{Q}}$ sont des extensions de $\bar{\mathbb{Q}}$ linéairement disjointes. C'est donc en particulier le cas de $E_{\mathbb{Q}}$ et $K$. On en déduit que la somme

$$w_1 E_{\mathbb{Q}} + \dots + w_d E_{\mathbb{Q}}$$

est directe. En raisonnant comme dans la preuve du corollaire 3, on obtient que tout élément $\xi$ de $E_K$ admet une décomposition de la forme

$$\xi = \beta_1 \xi_1 + \dots + \beta_t \xi_t,$$

où $\beta_1, \dots, \beta_t \in K$ et $\xi_1, \dots, \xi_t \in E_{\mathbb{Q}}$. On a par ailleurs la décomposition

$$\beta_i = \sum_{j=1}^{d} \lambda_{i,j} w_i,$$

avec $\lambda_{i,j} \in \mathbb{Q}$. Posons alors $\theta_j := \sum_i \lambda_{i,j} \xi_i \in E_{\mathbb{Q}}$, $1 \le i \le d$, de sorte que

$$\xi = w_1 \theta_1 + \dots + w_d \theta_d.$$

Ceci prouve l'inclusion

$$E_K \subset w_1 E_{\mathbb{Q}} \oplus \dots \oplus w_d E_{\mathbb{Q}}.$$

L'inclusion inverse est immédiate.

En raisonnant de la même façon dans le cas $(M_q)$, on obtient l'égalité

$$M_{q,\alpha,K} = w_1 M_{q,\alpha,\mathbb{Q}(\alpha)} \oplus \dots \oplus w_d M_{q,\alpha,\mathbb{Q}(\alpha)}.$$

On conclut en utilisant l'égalité $M_{q,\alpha,\mathbb{Q}(\alpha)} = M_{q,\alpha,\mathbb{Q}}$, laquelle découle du lemme 22.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

**Corollaire 23.** Soit $K \subset \bar{\mathbb{Q}}$ un corps de nombres. On a les deux résultats suivants.

(E) Si $f(z)$ est une $E$-fonction à coefficients dans $K$ et $\alpha \in K$, alors on a l'alternative suivante : soit $f(\alpha) \in K$, soit $f(\alpha)$ est transcendant.

(M_q) Si $f(z)$ est une $M_q$-fonction à coefficients dans $K$ et $\alpha \in K$, $0 < |\alpha| < 1$, n'est pas un pôle de $f(z)$, alors on a l'alternative suivante : soit $f(\alpha) \in K$, soit $f(\alpha)$ est transcendant.

<footnote n="6">⁶On ne peut pas utiliser la remarque 20 car $\alpha \notin K$.</footnote>
**Démonstration.** Nous démontrons tout d'abord le cas (E). Posons $f_1(z) := f(\alpha z) \in K[[z]]$ et $f_2(z) := 1$. D'après le corollaire 3, les nombres $f_1(1) = f(\alpha) \in E_K$ et $f_2(1) = 1 \in E_K$ sont linéairement dépendants sur $\overline{Q}$ si, et seulement si, ils le sont sur $K$. Ceci équivaut à dire que $f(\alpha) \in \overline{Q}$ si, et seulement si, $f(\alpha) \in K$, comme souhaité.

Montrons à présent le cas ($M_q$). Posons $f_1(z) := f(z) \in K[[z]]$ et $f_2(z) := 1$. D'après le corollaire 3, les nombres $f_1(\alpha) = f(\alpha) \in M_{q,\alpha,K}$ et $f_2(\alpha) = 1 \in M_{q,\alpha,K}$ sont linéairement dépendants sur $\overline{Q}$ si, et seulement si, ils le sont sur $K$. Ceci équivaut à dire que $f(\alpha) \in \overline{Q}$ si, et seulement si, $f(\alpha) \in K$, comme souhaité. $\square$

# 7. Quelques remarques liées à un article de Fischler et Rivoal

Dans la section 6, nous avons déduit du théorème 1 plusieurs énoncés également obtenus par Fischler et Rivoal pour les $E$-fonctions (à savoir les Theorem 2, Theorem 3 et le Corollary 3 de [24]), ainsi que leurs analogues dans le cadre des $M_q$-fonctions. Ces résultats ont été obtenus indépendamment de [24], contrairement aux résultats présentés dans cette section qui ont été inspirés par la lecture de [24].

## 7.1. *Considérations galoisiennes*

Nous démontrons d'abord, pour les $M_q$-fonctions, des résultats analogues aux Proposition 1 et Proposition 4 de [24].

Étant donnés une série formelle $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \in \overline{Q}[z]$ et un élément $\tau$ de $\text{Gal}(\overline{Q}/\mathbb{Q})$, on pose $f^\tau(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \tau(a_n) z^n$. On vérifie aisément que si $f$ est une $M_q$-fonction, il en est de même de $f^\tau$. Le résultat suivant est une conséquence directe du théorème 1.

**Proposition 24.** *Soient $f$ une $M_q$-fonction et $\alpha \in \overline{Q}$, $|\alpha| < 1$, tel que $f(\alpha) \in \overline{Q}$. Pour tout $\tau \in \text{Gal}(\overline{Q}/\mathbb{Q})$ tel que $|\tau(\alpha)| < 1$, on a $f^\tau(\tau(\alpha)) = \tau(f(\alpha))$.*

**Démonstration.** Notons tout d'abord que si $p(z) \in \overline{Q}[z]$ on a $p^\tau(\tau(\alpha)) = \tau(p(\alpha))$ et que le résultat est évident si $\alpha = 0$. On suppose désormais que $\alpha \in \overline{Q}^*$. Comme $f(\alpha) \in \overline{Q}$, les nombres 1 et $f(\alpha)$ sont linéairement dépendants sur $\overline{Q}$. D'après le théorème 1, une telle relation est la spécialisation en $z = \alpha$ d'une relation $\sigma_q$-linéaire (éventuellement dégénérée) entre les fonctions 1 et $f(z)$. Cela signifie qu'il existe un entier $m$ et des polynômes $p_{-1}(z), \dots, p_m(z) \in \overline{Q}[z]$ tels que

$$p_{-1}(z) + p_0(z)f + p_1(z)\sigma_q(f) + \dots + p_m(z)\sigma_q^m(f) = 0 \quad (7.1)$$

et

$$p_{-1}(\alpha) = f(\alpha), \quad p_0(\alpha) = -1, \quad p_1(\alpha) = \dots = p_m(\alpha) = 0. \quad (7.2)$$

Comme $\tau$ et $\sigma_q$ commutent, en appliquant $\tau$ à (7.1), on obtient

$$p_{-1}^{\tau}(z) + p_{0}^{\tau}(z)f^{\tau} + p_{1}^{\tau}(z)\sigma_{q}(f^{\tau}) + \dots + p_{m}^{\tau}(z)\sigma_{q}^{m}(f^{\tau}) = 0. \quad (7.3)$$

En spécialisant au point $\tau(\alpha)$ et en utilisant (7.2), on obtient $f^\tau(\tau(\alpha)) = \tau(f(\alpha))$, comme souhaité. $\square$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

**Corollaire 25.** *Soient $f(z)$ une $M_q$-fonction à coefficients dans un corps de nombres $K$ et $\alpha \in \overline{Q}$, $|\alpha| < 1$. Les énoncés suivants sont équivalents :*

(i) $f(\alpha) = 0$,

(ii) il existe $\tau \in \text{Gal}(\overline{Q}/\mathbb{Q})$ tel que $|\tau(\alpha)| < 1$ et $f^\tau(\tau(\alpha)) = 0$,

(iii) pour tout $\tau \in \text{Gal}(\overline{Q}/\mathbb{Q})$ tel que $|\tau(\alpha)| < 1$, on a $f^\tau(\tau(\alpha)) = 0$,

(iv) *Soit $D$ le polynôme minimal de $\alpha$ sur $K$. La $M_q$-fonction $g(z) := f(z)/D(z) \in K[[z]]$ est bien définie en $\tau(\alpha)$ pour tout $\tau \in \text{Gal}(\overline{Q}/K)$ tel que $|\tau(\alpha)| < 1$.*
**Démonstration.** Les implications (iii) ⇒ (i) ⇒ (ii) sont immédiates. D'après la proposition 24, (ii) implique que $\tau(f(\alpha)) = 0$ et donc $f(\alpha) = 0$. On a donc (ii) implique (i). Soit $\tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ tel que $|\tau(\alpha)| < 1$. En combinant, la proposition 24 et (i) on obtient que

$$f^{\tau}(\tau(\alpha)) = \tau(f(\alpha)) = \tau(0) = 0.$$

Ainsi, (i) ⇒ (iii). Comme (iv) implique triviallement (i), il suffit pour conclure de montrer que (iii) implique (iv). Or, d'après (iii), pour tout $\tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{K})$, tel que $|\tau(\alpha)| < 1$, on a $f^{\tau}(\tau(\alpha)) = 0$. Comme $f^{\tau} = f$, on en déduit que $f$ s'annule en $\tau(\alpha)$ et donc que la propriété (iv) est vérifiée. $\square$

Similairement à [24, section 6], on définit une action de $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}(\alpha))$ sur $\mathbf{M}_{q,\alpha}$ de la façon suivante : étant donnés $\xi \in \mathbf{M}_{q,\alpha}$ et $\tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}(\alpha))$ on pose $\tau(\xi) = f^{\tau}(\alpha)$ où $f$ désigne une $M_q$-fonction telle que $f(\alpha) = \xi$. Pour montrer que cette action est bien définie, il suffit de vérifier que $\tau(\xi)$ ne dépend pas du choix de $f$. Soit $g$ une $M_q$-fonction telle que $g(\alpha) = \xi$ et $h := f - g$. On a $h(\alpha) = 0$. Il découle de la proposition 24 que $h^{\tau}(\tau(\alpha)) = h^{\tau}(\alpha) = 0$. Comme $h^{\tau} = f^{\tau} - g^{\tau}$, on a $f^{\tau}(\alpha) = g^{\tau}(\alpha)$, comme souhaité.

Le résultat suivant est l'analogue de [24, Proposition 4].

**Proposition 26.** Soit $\mathbb{K}$ un corps de nombre, $\alpha \in \mathbb{K}$ et $\xi \in \mathbf{M}_{q,\alpha}$. Alors, $\xi \in \mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ si et seulement si $\tau(\xi) = \xi$ pour tout $\tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{K})$.

**Démonstration.** Soit $\xi \in \mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ et $f \in \mathbb{K}[\![z]\!]$ une $M_q$-fonction telle que $\xi = f(\alpha)$. Alors $\tau(\xi) = f^{\tau}(\alpha) = f(\alpha) = \xi$ pour tout $\tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{K})$.

Supposons à présent que $\xi$ est fixé par tous les éléments de $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{K})$. Soit $f$ une $M_q$-fonction telle que $f(\alpha) = \xi$. Soit $\mathbb{L}$ la clôture galoisienne du corps engendré sur $\mathbb{K}$ par les coefficients de $f$. C'est en particulier une extension finie de $\mathbb{K}$. En définissant $g$ comme la moyenne des $f^{\tau}(z)$ quand $\tau$ parcourt $\text{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K})$, on obtient que $g(z) \in \mathbb{K}[\![z]\!]$ et $g(\alpha) = \xi$, puisque $\tau(\xi) = \xi$ pour tout $\tau \in \text{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K})$. Ainsi, $\xi \in \mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$. $\square$

## 7.2. Décomposition des $M_q$-fonctions sur un corps de nombres

Soit $R, 0 < R \le 1$, un nombre réel. Une $M_q$-fonction $f$ est dite *purement transcendante* sur $D(0, R)$ si $f$ prend des valeurs transcendantes en tout point algébrique $\alpha$ du disque épointé $D^*(0, R)$ qui n'est pas un pôle de $f$.

Le résultat suivant est l'analogue de [24, Proposition 3].

**Proposition 27.** Soient $\mathbb{K}$ un corps de nombre, $f(z) \in \mathbb{K}[\![z]\!]$ une $M_q$-fonction et $R, 0 < R < 1$, un nombre réel. Alors, il existe des fractions rationnelles $R_1(z), R_2(z) \in \mathbb{K}(z)$ et une $M_q$-fonction $g(z) \in \mathbb{K}[\![z]\!]$, analytique et purement transcendante sur $D(0, R)$, tels que

$$f(z) = R_1(z) + R_2(z)g(z).$$

**Remarque 28.** Quand $R = 1$, une telle décomposition n'existe pas forcément. La $M_q$-fonction $f(z) = \prod_{k \ge 0} (1 - 2z^{q^k})$ introduite dans la remarque 9 fournit un contre-exemple car elle possède une infinité de zéros dans $D(0, 1)$.

Introduisons la définition suivante.

**Définition 29.** Soient $f(z)$ une $M_q$-fonction et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$, $0 < |\alpha| < 1$, qui n'est pas un pôle de $f$. La multiplicité de $f$ en $\alpha$ est définie comme le supremum des entiers $m$ tel qu'il existe $P(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ de degré au plus $m-1$ pour lequel le quotient

$$\frac{f(z) - P(z)}{(z - \alpha)^m}$$

est bien défini au point $\alpha$.
**Remarque 30.** Si $f(z) = \sum_n \eta_n (z-\alpha)^n$ est le développement de Taylor de $f(z)$ en $\alpha$ et que la multiplicité de $f$ en $\alpha$ est finie, alors $m$ est le plus petit entier pour lequel $\eta_m \notin \bar{\mathbb{Q}}$. En particulier, la multiplicité est nulle si et seulement si $f(\alpha) \notin \bar{\mathbb{Q}}$.

**Lemme 31.** Soient $1, f(z), f_2(z), \dots, f_n(z)$ des $M_q$-fonctions linéairement indépendantes sur $\bar{\mathbb{Q}}(z)$ et formant un vecteur solution d'un système q-mahlérien linéaire associé à une matrice $A(z)$. Supposons que ces fonctions sont définies en $\alpha$ et que $\alpha^q$ est un point régulier pour ce système. Alors, la multiplicité de $f$ en $\alpha$ est majorée par l'ordre de $\alpha$ comme pôle de det $A(z)$.

**Démonstration.** On procède par récurrence sur l'ordre $v$ de $\alpha$ en tant que pôle de det $A(z)$.

Supposons que $v = 0$. On prouve dans un premier temps que la matrice $A^{-1}(z)$ est définie au point $\alpha$. Le point $\alpha^q$ étant régulier pour le système et les fonctions $1, f(z), f_2(z), \dots, f_n(z)$ linéairement indépendantes, il découle du théorème M2 que les nombres $1, f(\alpha^q), \dots, f_n(\alpha^q)$ sont linéairement indépendants sur $\bar{\mathbb{Q}}$. Notons $F(z)$ le vecteur colonne formé des fonctions $1, f(z), f_2(z), \dots, f_n(z)$, de sorte que

$$F(z) = A^{-1}(z)F(z^q).$$

Comme les coordonnées de $F(\alpha^q)$ sont linéairement indépendantes et comme $F(z)$ est bien défini en $\alpha$, la matrice $A^{-1}(z)$ est bien défini en $\alpha$. Comme $v=0$, det $A(z)$ est bien défini en $\alpha$. Alors, la matrice $A(z)$ – qui est le produit de la transposée de la comatrice de $A^{-1}(z)$ par det $A(z)$ – est bien définie en $\alpha$. Le fait que les matrices $A(z)$ et $A^{-1}(z)$ sont bien définies en $\alpha$ et que $\alpha^q$ est un point régulier implique que le point $\alpha$ est lui-même régulier. Puisque les fonctions $1, f(z), f_2(z), \dots, f_n(z)$ sont linéairement indépendantes, il résulte du théorème M2 que $f(\alpha) \notin \bar{\mathbb{Q}}$. Ainsi, la multiplicité de $f$ en $\alpha$ est nulle et donc bien inférieure ou égale à $v$.

Soit $v \ge 1$. Supposons le résultat montré pour l'ordre $v-1$. Supposons maintenant que l'ordre de $\alpha$ comme pôle de det $A(z)$ est égal à $v$. Si $f(\alpha) \notin \bar{\mathbb{Q}}$, sa multiplicité est nulle, donc inférieure à $v$. On peut donc supposer que $f(\alpha) \in \bar{\mathbb{Q}}$. Posons $g(z) := (f(z) - f(\alpha))/(z-\alpha)$ et notons que $g$ est une $M_q$-fonction qui est bien définie en $\alpha$. On obtient que

$$\begin{pmatrix} 1 \\ g(z^q) \\ f_2(z^q) \\ \vdots \\ f_n(z^q) \end{pmatrix} = P(z^q) A(z) P(z)^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ g(z) \\ f_2(z) \\ \vdots \\ f_n(z) \end{pmatrix}$$

où

$$P(z) := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \frac{-f(\alpha)}{z-\alpha} & \frac{1}{z-\alpha} & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

Posons $B(z) := P(z^q) A(z) P(z)^{-1}$. Comme

$$\det B(z) = \frac{\det A(z)(z-\alpha)}{z^q - \alpha},$$

l'ordre de $\alpha$ comme pôle de det $B(z)$ est égal à $v-1$. Notons que le point $\alpha^q$ reste régulier pour ce nouveau système. Par hypothèse de récurrence, on obtient que la multiplicité de $g$ en $\alpha$ est au plus $v-1$ et donc que la multiplicité de $f$ en $\alpha$ est au plus $v$. $\square$

Démontrons d'abord la proposition 27 dans le cas où $f$ est analytique sur le disque $D(0, R)$.

**Proposition 32.** La proposition 27 est vraie si la fonction $f$ est analytique sur $D(0, R)$.
**Démonstration.** Notons tout d'abord que si $f(z)$ est une fraction rationnelle, on peut écrire $f(z) = R_1(z)$ et le résultat est prouvé. On supposera donc que $f(z)$ n'est pas rationnelle, ce qui implique que $f(z)$ est transcendante (voir, par exemple, [16]).

Nous procédons par récurrence sur la somme $S$ des multiplicités de $f(z)$ aux points de $\overline{\mathbb{Q}} \cap D(0, R)$. Prouvons dans un premier temps que $S$ est finie. Notons tout d'abord qu'il n'y a qu'un nombre fini de points pour lesquels la multiplicité de $f(z)$ est non nulle. En effet, il découle de la proposition 13 appliquée avec $f_1(z) = f(z)$ and $f_2(z) = 1$ qu'il n'existe qu'un nombre fini de points $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}} \cap D(0, R)$ tel que $f(\alpha) \in \overline{\mathbb{Q}}$ (voir aussi [14, Theorem 3] pour une autre démonstration de cette affirmation reposant uniquement sur le théorème M1). Il suffit donc de montrer que la multiplicité de $f$ en tout point de $\overline{\mathbb{Q}} \cap D(0, R)$ est finie. Soit $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}} \cap D(0, R)$. Considérons l'équation inhomogène $q$-mahlérienne d'ordre minimal satisfaite par $f(z)$ et notons $m$ son ordre. Comme $f$ est transcendante, $m \ge 1$. Les fonctions $1, f(z), f(z^q), \dots, f(z^{q^{m-1}})$ sont donc linéairement indépendantes sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$, bien définies en $\alpha$ et liées par un système $q$-mahlérien. Notons $A(z)$ la matrice correspondante. Il existe un entier $\ell \ge 1$ tel que le point $\alpha^{q^\ell}$ est régulier pour ce système. Considérons le système $q^\ell$-mahlérien obtenu par itération du système précédent, c'est-à-dire associé à la matrice

$$B(z) := A(z)A(z^q)\cdots A(z^{q^{\ell-1}}).$$

Le point $\alpha^{q^\ell}$ est régulier pour ce système et $1, f(z), f(z^q), \dots, f(z^{q^{m-1}})$ forment un vecteur solution. Il découle du lemme 31, appliqué avec $n = m-1$, $q^\ell$ à la place de $q$ et $B(z)$ à la place de $A(z)$, que la multiplicité de $f(z)$ en $\alpha$ est inférieure à l'ordre de $\alpha$ comme pôle de $\det B(z)$. En particulier, elle est finie. La somme $S$ est donc finie.

Supposons que $S = 0$. Alors, $f(z)$ prend des valeurs transcendantes en tout point de $D^*(0, R)$ et il suffit de choisir $R_1 := 0$, $R_2 := 1$ et $g := f$.

Supposons à présent que $S \ge 1$ et que le résultat est démontré pour toute $M_q$-fonction analytique sur le disque $D(0, R)$ dont la somme des multiplicités est strictement inférieure à $S$. Soit $\alpha$ un point tel que la multiplicité de $f$ en $\alpha$ est strictement positive. D'après la remarque 30, cela signifie que $f(\alpha) \in \overline{\mathbb{Q}}$. Soit $\mathbb{L}$ la clôture galoisienne de $\mathbb{K}(\alpha)$ sur $\mathbb{K}$. Posons $G := \text{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K})$. Notons que d'après le corollaire 23, on a $f(\alpha) \in \mathbb{K}(\alpha) \subset \mathbb{L}$. Considérons la fraction rationnelle

$$r(z) := \sum_{\tau \in G} \frac{1}{z - \tau(\alpha)}.$$

Elle appartient à $\mathbb{K}(z)$ puisqu'elle est invariante par l'action de $G$. Les points de la forme $\tau(\alpha)$ sont les pôles de $r(z)$. Soient $\xi_1, \dots, \xi_t$ les zéros de $r(z)$ comptés avec multiplicité et $p(z) = \prod_i(z - \xi_i) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$. Comme $r(z)$ est à coefficients dans $\mathbb{K}(z)$, on a $p(z) \in \mathbb{K}[z]$. Notons par ailleurs que $p(\tau(\alpha)) \ne 0$ pour tout $\tau \in G$. Par construction, la fraction rationnelle $r(z)/p(z)$ n'a donc aucun zéro et ses pôles sont les points de la forme $\tau(\alpha)$. On définit la fonction

$$h(z) := \sum_{\tau \in G} \frac{f(z)/p(z) - \tau(f(\alpha))/p(\tau(\alpha))}{z - \tau(\alpha)}.$$

C'est une $M_q$-fonction. De plus, comme $h(z)$ est fixée par $G$, on a $h(z) \in \mathbb{K}[\llcorner z \rrcorner]$. Montrons que $h$ est analytique sur $D(0, R)$. Il est immédiat que $h$ est analytique en tout point de $D(0, R)$ qui n'est ni de la forme $\tau(\alpha)$ pour un $\tau \in G$, ni une racine de $p(z)$. D'autre part, si $\tau(\alpha) \in D(0, R)$, $\tau \in G$, la proposition 24 implique que $\tau(f(\alpha)) = f(\tau(\alpha))$ et donc que $h$ est analytique au point $\tau(\alpha)$. Enfin, si $\xi$ est une racine de $p$, alors comme

$$h(z) = f(z) \frac{r(z)}{p(z)} - \sum_{\tau \in G} \frac{\tau(f(\alpha))/p(\tau(\alpha))}{z - \tau(\alpha)} \quad (7.4)$$

et comme $r(z)/p(z)$ est analytique en $\xi$ et que $\xi \notin \{\tau(\alpha) : \tau \in G\}$, on obtient que $h$ est analytique au point $\xi$. Ainsi, $h$ est analytique sur $D(0, R)$.
Soit $m$ la multiplicité de $f(z)$ en $\alpha$. Comme $\alpha$ n'est pas une racine de $p(z)$, la multiplicité de $f(z)/p(z)$ en $\alpha$ est aussi égale à $m$ (cf. remarque 30). Ainsi, la multiplicité en $\alpha$ de la fonction

$$ \frac{f(z)/p(z) - \tau(f(\alpha))/p(\tau(\alpha))}{z - \tau(\alpha)} $$

est égale à $m$ si $\tau(\alpha) \neq \alpha$ et à $m-1$ si $\tau(\alpha) = \alpha$. On en déduit que la multiplicité de $h$ en $\alpha$ est strictement inférieure à celle de $f$. On prouve de façon similaire que, pour tout point de la forme $\tau(\alpha)$ tel que $\tau(\alpha) \in D(0, R)$, la multiplicité de $h$ en $\tau(\alpha)$ est strictement inférieure à celle de $f$ en $\tau(\alpha)$. Prouvons à présent qu'en tout point $\xi \in \bar{Q} \cap D(0, R)$, qui n'est pas de la forme $\tau(\alpha)$, la multiplicité de $h$ est égale à celle de $f$. On écrit

$$ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z - \xi)^n \quad \text{et} \quad h(z) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n(z - \xi)^n $$

les développements de Taylor de $f(z)$ et $h(z)$ au voisinage de $\xi$. Soit $m$ la multiplicité de $f(z)$ en $\xi$. Alors, d'après la remarque 30, on a $a_n \in \bar{Q}$ pour tout $n < m$ et $a_m \notin \bar{Q}$. Comme les fractions $(z - \tau(\alpha))^{-1}$, $\tau \in G$, et $r(z)/p(z)$ admettent un développement en série entière à coefficients algébriques au voisinage de $\xi$, on déduit de (7.4) que $b_n \in \bar{Q}$ pour tout $n < m$, tandis que pour $n = m$, on a

$$ b_m = a_m \frac{r(\xi)}{p(\xi)} + \theta, $$

où $\theta$ est un nombre algébrique. Comme la fraction rationnelle $r(\xi)/p(\xi)$ n'est pas nulle et que $a_m$ est transcendant, le nombre $b_m$ est transcendant. Ainsi, la multiplicité de $h$ en $\xi$ est égale à $m$. Au final, la somme des multiplicités de $h$ est strictement inférieure à $S$. Par hypothèse de récurrence, il existe $A_1(z)$, $A_2(z) \in \mathbb{K}(z)$ et $g(z) \in \mathbb{K}(z^2)$ analytique et purement transcendante sur $D(0, R)$, tels que

$$ h(z) = A_1(z) + A_2(z)g(z). $$

On définit alors

$$ \delta(z) := \frac{p(z)}{r(z)} \quad \text{et} \quad \gamma(z) := \delta(z) \left( \sum_{\tau \in G} \frac{\tau(f(\alpha))/p(\tau(\alpha))}{z - \tau(\alpha)} \right). $$

Par construction, $\delta(z)$ et $\gamma(z)$ appartiennent à $\mathbb{K}(z)$. Par ailleurs, on a

$$ f(z) = \delta(z)h(z) + \gamma(z). $$

En posant $R_1(z) := A_1(z)\delta(z) + \gamma(z)$ et $R_2(z) := A_2(z)\delta(z)$, on obtient

$$ f(z) = R_1(z) + R_2(z)g(z) $$

comme souhaité.

□

**Démonstration de la proposition 27.** Nous procédons par récurrence sur la somme $S$ des ordres des pôles de $f$ dans $D(0, R)$, comptés avec multiplicité.

Si $S = 0$, $f$ est analytique sur $D(0, R)$ et le résultat correspond à la proposition 32.

Supposons à présent que $S \ge 1$ et que le résultat est démontré quand la somme des ordres pôles est au plus $S-1$. Soit $\alpha$ un pôle de $f(z)$ et $D(z)$ le polynôme minimal de $\alpha$ sur $\mathbb{K}$. Alors la somme des ordres des pôles de $D(z)f(z) \in \mathbb{K}(z^2)$ est strictement inférieure à $S$. Par hypothèse de récurrence, il existe $A_1(z)$, $A_2(z) \in \mathbb{K}(z)$ et $g(z) \in \mathbb{K}(z^2)$, analytique et purement transcendante sur $D(0, R)$, tels que

$$ D(z)f(z) = A_1(z) + A_2(z)g(z). $$

En posant $R_1(z) := A_1(z)/D(z)$ et $R_2(z) := A_2(z)/D(z)$, on obtient le résultat souhaité.

□
**8. Exemples de relations non banales**

Nous illustrons le théorème 1 à travers quelques exemples.

**Exemple 33.** D'après la proposition 13, le lieu des relations non banales entre des E-fonctions fixées est un ensemble fini. Réciproquement, tout ensemble fini $\mathcal{S} \subset \overline{\mathbb{Q}}^*$ est le lieu des relations non banales entre certaines E-fonctions. En effet, considérons $f(z) := P(z)e^z$, où $P(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ est à racines simples avec $\mathcal{S}$ comme ensemble de racines. On obtient que $f(\alpha) = 0$ pour tout $\alpha \in \mathcal{S}$ et $f(\alpha) \notin \overline{\mathbb{Q}}$ pour tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^* \setminus \mathcal{S}$. Ainsi, l'ensemble $\mathcal{S}$ correspond au lieu des relations non banales pour $\{f\}$. Notons que pour tout $\alpha \in \mathcal{S}$, la relation $f(\alpha) = 0$ s'obtient comme dégénérescence de la relation différentielle

$$(P' + P)f - Pf' = 0.$$

**Exemple 34.** Considérons la fonction de Bessel

$$J_0(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n}$$

et posons

$$f(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{(-1)^n (2n)!}{(n!)^4 2^{2n}} - \frac{(-1)^n}{n!(n-1)! 2^{2n-1}} \right) x^{2n} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)!n!} \frac{x^{2n+1}}{2^{2n+1}}.$$

En $z = 1$, on a la relation algébrique suivante :

$$f(1) - J_0(1)^2 = 0. \qquad (8.1)$$

On peut vérifier que cette relation s'obtient par dégénérescence de la relation algébro-différentielle suivante entre $f$ et $J_0$ :

$$f(z) - J_0(z)^2 + (z-1)J'_0(z) = 0. \qquad (8.2)$$

Comme $J_0(z)$ et $J'_0(z)$ sont algébriquement indépendantes sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$, il en va de même, d'après (8.2), de $f(z)$ et $J_0(z)$. En particulier, la relation (8.1) est non banale relativement à $\{f(z), J_0(z)\}$.

**Exemple 35.** Considérons $f(z) := \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$, où $a_n \in \{0, 1\}$ désigne le nombre d'occurences du chiffre 2 dans l'écriture ternaire de $n$, compté modulo 2. La suite $(a_n)_{n \ge 0}$ est une variante de la célèbre suite de Thue-Morse. Des relations $a_{3n} = a_{3n+1} = a_n$ et $a_{3n+2} = 1 - a_n$, on déduit que $f(z)$ est une $M_3$-fonction, solution de l'équation 3-mahlérienne inhomogène

$$\frac{z^2}{1-z^3} - f(z) + (1+z-z^2)f(z^3) = 0. \qquad (8.3)$$

Posons $\varphi := \frac{1-\sqrt{5}}{2}$. La relation $\sigma_3$-linéaire (8.3) entre 1 et $f$ dégénère au point $\varphi$ en

$$\frac{\varphi^2}{1-\varphi^3} - f(\varphi) = 0.$$

En particulier, $f(\varphi) \in \overline{\mathbb{Q}}$. En raisonnant par récurrence à partir de (8.3), on obtient que pour tout $\ell \ge 0$, $f(\varphi^{1/3^\ell}) \in \overline{\mathbb{Q}}$. Par ailleurs, on peut montrer que $f$ n'est pas rationnelle et l'on obtient donc qu'il existe une relation linéaire non banale relativement à $\{1, f\}$ en tout point de la forme $\varphi^{1/3^\ell}$, $\ell \ge 0$. Le lieu des relations non banales est donc infini, bien qu'il soit fini sur tout disque $D(0, R)$, $0 < R < 1$, comme le garantit la proposition 13.

Notons qu'une relation linéaire entre 1 et $f(\varphi^{1/3})$ s'obtient par dégénérescence de la relation $\sigma_3$-linéaire

$$\frac{z^2 + z^5 + z^6 + z^7}{1 - z^9} - f(z) + (1 + z - z^2)(1 + z^3 - z^6)f(z^9) = 0,$$
laquelle s'obtient à partir de (8.3) et donne

$$ \frac{\varphi^{2/3} + \varphi^{5/3} + \varphi^{6/3} + \varphi^{7/3}}{1 - \varphi^3} - f(\varphi^{1/3}) = 0. $$

De façon générale, on peut montrer que toute relation linéaire entre 1 et $f(\varphi^{1/3\ell})$ peut s'obtenir par dégénérescence d'une relation $\sigma_3$-linéaire de profondeur $\ell + 1$, c'est-à-dire faisant intervenir la fonction $\sigma_3^{\ell+1}(f)$ et qu'on ne peut l'obtenir comme dégénérescence d'une relation de profondeur moindre.

Cet exemple met en évidence une différence avec le cas des E-fonctions, où l'on peut obtenir toutes les relations non banales entre $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ par dégénérescence de relations algébro-différentielles dont la profondeur est bornée indépendamment de $\alpha$. Pour obtenir un résultat analogue pour les $M_q$-fonctions, il faut alors restreindre leur étude au disque $D(0, R)$ où $R < 1$ est préalablement fixé.

**Exemple 36.** Les suites de Baum-Sweet et Rudin-Shapiro figurent parmi les exemples classiques de suites automatiques (cf. [10, Chapter 5]). Notons $f(z)$ la série génératrice associée à la suite de Baum-Sweet et $g(z)$ celle associée à la suite de Rudin-Shapiro. Ce sont deux $M_2$-fonctions solutions des équations suivantes :

$$ f(z) - zf(z^2) - f(z^4) = 0 \quad \text{et} \quad g(z) + (z-1)g(z^2) - 2zg(z^4) = 0. $$

Considérons la $M_2$-fonction $h(z) := (1-3z)f(z^2)^3 + f(z)g(z)$. D'après [34, section 9.3], les fonctions $f(z)$, $f(z^2)$, $g(z)$ et $g(z^2)$ sont algébriquement indépendantes sur $\mathbb{Q}(z)$. On en déduit que $h(z)$, $f(z)$ et $g(z)$ le sont également. Par ailleurs, on a

$$ f\left(\frac{1}{3}\right)g\left(\frac{1}{3}\right) - h\left(\frac{1}{3}\right) = 0, \qquad (8.4) $$

qui est donc nécessairement une relation non banale relativement à $\{f, g, h\}$. Elle s'obtient par dégénérescence en $z = 1/3$ de la relation $\sigma_2$-algébrique

$$ f(z)g(z) - h(z) + (1 - 3z)f(z^2)^3 = 0. $$

**Exemple 37.** Il peut également exister des relations $\sigma_q$-algébriques non triviales, mais qui ne sont source d'aucune dégénérescence. Voici un exemple. On note à nouveau $f(z)$ la série génératrice de la suite de Baum-Sweet (voir exemple 36). Notons $(n)_2$ le développement binaire de l'entier $n$ et $S_2(n)$ la somme des chiffres binaires de $n$. Définissons alors la suite $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par :

$$ \begin{cases} b_n = 0 & \text{si } (n)_2 \text{ a un bloc de 0 consécutifs de longueur impair,} \\ b_n = 1 & \text{si } (n)_2 \text{ ne contient pas de tel bloc et } S_2(n) \text{ est pair,} \\ b_n = -1 & \text{sinon.} \end{cases} $$

On pose $g(z) := \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n z^n$. On peut vérifier que

$$ \begin{pmatrix} f(z) & g(z) \\ f(z^2) & -g(z^2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(z^2) & -g(z^2) \\ f(z^4) & g(z^4) \end{pmatrix}. $$

D'après [34], le groupe de Galois de ce système 2-mahlérien est $SL_2(\mathbb{Q})$. On peut alors utiliser la proposition 17 pour montrer que les relations $\sigma_2$-algébriques entre $f$ et $g$ sont engendrées par la relation

$$ f(z)g(z^2) + f(z^2)g(z) = 2 \qquad (8.5) $$

et leurs équations minimales respectives :

$$ f(z) - zf(z^2) - f(z^4) = 0 \quad \text{et} \quad g(z) + zg(z^2) - g(z^4) = 0. $$

Cependant, ces relations ne sont source d'aucune dégénérescence : $f(\alpha)$ et $g(\alpha)$ sont algébriquement indépendants sur $\mathbb{Q}$ pour tout $\alpha \in \mathbb{Q}, 0 < |\alpha| < 1$.
Déclaration d’intérêts

Les auteurs ne travaillent pas, ne conseillent pas, ne possèdent pas de parts, ne reçoivent pas
de fonds d'une organisation qui pourrait tirer profit de cet article, et n'ont déclaré aucune autre
affiliation que leurs organismes de recherche.

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