# Introduction à la tribologie

Noël Brunetière

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Noël Brunetière. Introduction à la tribologie. Master. France. 2021. hal-03356326v4

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https://cel.hal.science/hal-03356326v4

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Introduction à la
TRIBOLOGIE

Noël Brunetière

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Institut Pprime - Futuroscope
2023

noel.brunetiere@univ-poitiers.fr

https://pprime.fr/noel-brunetiere/

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03356326
# Table des matières

<table><tr><td>Table des matières</td><td>2</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>7</td></tr><tr><td>Définition de la tribologie</td><td>7</td></tr><tr><td>Pourquoi étudier la tribologie?</td><td>7</td></tr><tr><td>Comment réduire le frottement?</td><td>10</td></tr><tr><td>Contenu du cours</td><td>11</td></tr><tr><td>I Interaction solide solide : Régime sec</td><td>13</td></tr><tr><td>1 Surfaces solides</td><td>15</td></tr><tr><td>1.1 Définition des surfaces solides</td><td>15</td></tr><tr><td>1.2 Structure des surfaces</td><td>15</td></tr><tr><td>1.3 Topographie des surfaces</td><td>17</td></tr><tr><td>1.3.1 Paramètres de rugosité</td><td>17</td></tr><tr><td>1.3.2 Méthodes de mesure</td><td>21</td></tr><tr><td>1.3.3 Exemples de surface</td><td>22</td></tr><tr><td>1.4 Propriétés physiques des surfaces</td><td>24</td></tr><tr><td>1.4.1 Dureté des surfaces</td><td>24</td></tr><tr><td>1.4.2 Énergie de surface</td><td>25</td></tr><tr><td>1.5 Amélioration des propriétés de surface</td><td>27</td></tr><tr><td>1.5.1 Traitements de surface</td><td>28</td></tr><tr><td>1.5.2 Revêtements</td><td>28</td></tr><tr><td>1.6 Synthèse</td><td>29</td></tr><tr><td>2 Contact des solides</td><td>31</td></tr><tr><td>2.1 Cas général du contact élastique</td><td>31</td></tr><tr><td>2.2 Contact localisé</td><td>32</td></tr><tr><td>2.2.1 Définition du contact localisé</td><td>32</td></tr><tr><td>2.2.2 Contact élastique</td><td>32</td></tr><tr><td>2.2.3 Limite élastique et déformation plastique</td><td>35</td></tr><tr><td>2.3 Contact surfacique</td><td>36</td></tr><tr><td>2.3.1 Définition du contact surfacique</td><td>36</td></tr><tr><td>2.3.2 Contact élastique</td><td>37</td></tr><tr><td>2.3.3 Limite élastique et déformation plastique</td><td>41</td></tr><tr><td>2.4 Adhésion</td><td>42</td></tr><tr><td>2.4.1 Force de van der Waals</td><td>42</td></tr><tr><td>2.4.2 Travail d'adhésion</td><td>43</td></tr><tr><td>2.4.3 Critère d'adhésion</td><td>44</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>2.5 Synthèse</td>
      <td>47</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>3 Frottement, usure et dissipation</b></td>
      <td><b>49</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1 Frottement</td>
      <td>49</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.1 Lois et mécanismes du frottement</td>
      <td>49</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.2 Contribution adhésive au frottement</td>
      <td>50</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.3 Contribution plastique au frottement</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.4 Frottement statique</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.5 Mesure du frottement</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2 Dissipation</td>
      <td>56</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1 Solide soumis à une source de chaleur stationnaire</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2 Solide soumis à une source de chaleur mobile</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.3 Cas d'un contact localisé entre deux solides</td>
      <td>58</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.4 Cas d'un contact surfacique entre deux solides</td>
      <td>58</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3 Usure</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1 Les différents mécanismes d'usure</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.2 Usure adhésive</td>
      <td>61</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.3 Usure abrasive</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.4 Mécanismes de formation des débris</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.5 Modèles d'usure</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.6 Mesure de l'usure</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4 Théorie du troisième corps</td>
      <td>68</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5 Synthèse</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>II Interaction fluide solides : Régime lubrifié</b></td>
      <td><b>71</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>4 Les lubrifiants</b></td>
      <td><b>73</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1 Définition</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2 Composition des lubrifiants</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.1 Les huiles minérales</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.2 Les huiles de synthèse</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.3 Les additifs</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3 Viscosité</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1 Définition et mesure de la viscosité</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.2 Lois de variation de la viscosité</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.3 Classement normalisé des huiles</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.4 Comportement non-Newtonien</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4 Les éco-lubrifiants</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5 Les lubrifiants solides</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.6 Synthèse</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>5 L'équation de Reynolds</b></td>
      <td><b>85</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1 Démonstration intuitive de l'équation de Reynolds</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2 Équation générale - coordonnées cartésiennes</td>
      <td>88</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3 Équation générale - coordonnées polaires</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4 Synthèse</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>6 La lubrification hydrodynamique</b></td>
      <td><b>93</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1 Introduction</td>
      <td>93</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>6.2</td>
      <td>Etude du blochet</td>
      <td>96</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3</td>
      <td>Butées hydrodynamiques</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.1</td>
      <td>Configuration géométrique</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.2</td>
      <td>Distribution de pression</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.3</td>
      <td>Calcul des principaux paramètres</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4</td>
      <td>Paliers hydrodynamiques</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.1</td>
      <td>Configuration géométrique</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.2</td>
      <td>Distribution de pression</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.3</td>
      <td>Calcul des principaux paramètres</td>
      <td>104</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.4</td>
      <td>Effets thermiques</td>
      <td>104</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.5</td>
      <td>Comportement dynamique</td>
      <td>105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.5</td>
      <td>Synthèse et informations pratiques</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>7</b></td>
      <td><b>La lubrification hydrostatique</b></td>
      <td><b>109</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1</td>
      <td>Introduction</td>
      <td>109</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2</td>
      <td>Butée hydrostatique</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3</td>
      <td>Généralisation</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3.1</td>
      <td>Formules générales</td>
      <td>116</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3.2</td>
      <td>Butée 1D</td>
      <td>116</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3.3</td>
      <td>Butée plane à un ou quatre alvéoles identiques et centrés</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3.4</td>
      <td>Butée plane circulaire</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3.5</td>
      <td>Palier cylindrique à un ou quatre alvéoles identiques</td>
      <td>118</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.4</td>
      <td>Synthèse</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>8</b></td>
      <td><b>La lubrification élastohydrodynamique</b></td>
      <td><b>121</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1</td>
      <td>Introduction</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Modélisation du problème</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.1</td>
      <td>Résultats numériques</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.2</td>
      <td>Comparaison à l'expérience</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3</td>
      <td>Les différents régimes de lubrification</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4</td>
      <td>Synthèse et informations pratiques</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>9</b></td>
      <td><b>Mouillabilité et capillarité</b></td>
      <td><b>129</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1</td>
      <td>Introduction</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2</td>
      <td>Angle de contact</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3</td>
      <td>Équation de Laplace</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4</td>
      <td>Capillarité</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4.1</td>
      <td>Surfaces hydrophiles ou oléophiles</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4.2</td>
      <td>Surfaces hydrophobes ou oléophobes</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.5</td>
      <td>Synthèse</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>10</b></td>
      <td><b>Lubrification par un gaz</b></td>
      <td><b>135</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.1</td>
      <td>Introduction</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.2</td>
      <td>Loi de comportement du gaz</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.3</td>
      <td>Lubrification aérodynamique</td>
      <td>138</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.4</td>
      <td>Lubrification aérostatique</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.5</td>
      <td>Synthèse et informations pratiques</td>
      <td>143</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# Introduction

## Définition de la tribologie

Le mot tribologie a été proposé par Peter Jost<fnref n="1" /> en 1966 et est basé sur le mot grec "tribos" qui signifie frotter [WC13]. Il s'agit donc de la science du frottement. Son but est de regrouper sous une seule terminologie l'ensemble des sciences du frottement :

- Contact des surfaces;

- Usure;

- Frottement;

- Lubrification;

- etc.

Une définition plus précise de la tribologie est l' "étude des interactions entre surfaces solides en mouvement relatif".

## Pourquoi étudier la tribologie ?

Lorsque deux solides sont mis en contact sous l'action d'une force normale $F$, une force tangentielle $T$ apparaît et s'oppose au déplacement relatif des deux solides (figure 1). Le frottement est très utile lorsque l'on cherche à immobiliser deux solides l'un par rapport à l'autre. Par exemple il facilite nos déplacements en nous permettant d'exercer, sans glisser, des forces de poussée tangentielle sur le sol pour nous propulser. En revanche, il présente un inconvénient dès lors que l'objectif est de mettre en mouvement relatif deux solides.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Contact entre deux solides en présence de frottement.</figcaption></figure>

La présence de frottement dans un contact glissant conduit à une perte d'énergie mécanique qui est transformée en chaleur (voir figure 2 a). D'autre part, il conduit à une détérioration des surfaces par usure comme le montre la figure 2 b.

<footnote n="1">1. Peter Jost était Président de l'International Tribology Council http://www.itctribology.org/jusqu'en 2016, année de son décès</footnote>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – a) Dissipation thermique due au frottement dans un disque de formule 1$^a$ - b) Disque de frein usé par frottement$^b$.</figcaption></figure>

a. Photo par Nicolo Lazzati, https://www.flickr.com/photos/the-niki/5120559386/in/photostream/, licence CC, https://creativecommons.org/licenses/by/2.0/

b. Photo par Marcus Peaton, https://www.flickr.com/photos/kelmon/9425803759/, licence CC, https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/

Une étude récente de Holmbeg et al. [HAE12] a montré que dans une voiture moyenne se déplaçant à 60 km/h, les pertes par frottement représentaient 43% de l'énergie mécanique fournie par la moteur (figure 3). Pour l'année 2009, 208 milliards de litres de carburant auraient été brûlés pour vaincre le frottement. D'une manière plus générale, ce serait environ 23% de la consommation mondiale d'énergie qui serait utilisée pour vaincre le frottement et renouveler les matériaux détériorés par usure [HE17].

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Pertes énergétiques dans un véhicule automobile [HAE12].</figcaption></figure>

Sur certains équipements, les problèmes tribologiques peuvent avoir des conséquences économiques importantes. A titre d'exemple, la figure 4 illustre les conséquences de la défaillance d'un roulement sur une éolienne. Ce type de problème est considéré comme une des causes principales affectant la fiabilité et la disponibilité des éoliennes [DG20].

La tribologie a également un impact à l'échelle planétaire car le frottement entre les plaques tectoniques joue un rôle dans les séismes. La topographie de la surface de la planète a également été influencée par le frottement et notamment par le plancton qui a joué le rôle d'un lubrifiant inter-plaques tectoniques une fois décomposé (figure 5).

On comprend aisément l'intérêt que présente la tribologie et la maîtrise des frottements aussi bien pour les aspects économiques qu'environnementaux. Il est donc utile de pouvoir proposer des solutions permettant de limiter le frottement et ses conséquences.
<figure><img src="image_6.png" /></figure>

FIGURE 4 – Remplacement d'un roulement sur une éolienne dans les environs de Poitiers (source : 7 à Poitiers, n° 299, 2 au 8 mars 2016, crédit : Sergies / Le 7).

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

FIGURE 5 – Rôle du plancton dans la glissement des plaques tectoniques et la formation de montagne (source : John Parnell, 2 décembre 2021, The conversation https://theconversation.com/how-plankton-helped-create-the-earths-mountains-2-billion-years-ago-173076).
Comment réduire le frottement ?

Une recette bien connue pour réduire le frottement consiste à remplacer le glissement par du roulement. La figure 6 a) présente une des premières roues réalisées par l'homme et utilisées sur des chariots ou des chars. Un des premiers roulements à billes dessinés par Léonard de Vinci en 1485 est présenté sur la figure 6 b).

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 6 – a) Une des premières roues réalisées, 3000 av J-C (Ljubljana Marshes Wheel, Slovénie a - b) Roulement, L. de Vinci, 1485 b</figcaption></figure>

L'illustration de la figure 7 présente cette fois des Égyptiens déplaçant une statue. On remarque sur l'avant de la sculpture qu'une personne verse un liquide entre la statue et le sol. Ce liquide sert très certainement de lubrifiant permettant de réduire les frottements [Dow98]. Ces exemples montrent que bien que le mot tribologie soit relativement récent, les enjeux de cette science ont été pris en considération depuis longtemps.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 7 – Egyptiens déplaçant une statue, 1880 av J-C [Dow98].</figcaption></figure>

La lubrification est certainement le moyen le plus efficace et le plus utilisé pour limiter
le frottement et ses conséquences. Lorsque le roulement est utilisé il n'est pas rare qu'on

<footnote>a. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ljubljana_Marshes_Wheel_with axle_(oldest_woodenmirable)_yet_discovered).jpg, Petar Milo?evi?</footnote>

<footnote>b. https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Roulement_dessin_de_Leonard_de_Vinci.jpg</footnote>

<footnote>a. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Colosse-dj%C3%A9houtih%C3%A9tepe2.jpg</footnote>
y associe une lubrification adaptée comme nous le verrons plus loin. Reprenons le contact précédent et supposons qu’un lubrifiant de viscosité $\mu$ soit introduit entre les surfaces (figure 8). Nous noterons $V$ la vitesse de glissement et $L$ la longueur du contact.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 8 – Contact lubrifié.</figcaption></figure>

Si le coefficient de frottement $f$, qui le rapport de la force tangentielle sur la force normale $f = |\vec{F}|$ est représenté en fonction d'un paramètre dit hydrodynamique $G = \frac{\mu V L}{F}$, une courbe semblable à celle de la figure 9 est obtenue. Cette courbe généralement appelée courbe de Stribeck permet d'identifier trois régimes de lubrification :

**régime de lubrification limite ou sec** : les solides sont en contact direct (contact sec) ou séparés par des couches de molécules adsorbés (régime limite) si le lubrifiant le permet. Le coefficient de frottement est plutôt élevé.

**régime de lubrification mixte** : les aspérités sont encore en régime de lubrification limite alors que par ailleurs le lubrifiant, dont le pression augmente, participe au support de la force appliquée. Le coefficient de frottement $f$ diminue progressivement alors que $G$ augmente.

**régime de lubrification hydrodynamique** : La pression générée dans le lubrifiant est suffisante pour équilibrer le force $F$ et complètement séparer les surfaces. Il n'y alors plus de contact direct des surfaces et donc théoriquement plus d'usure. Le frottement est faible mais va augmenter avec $G$.

## Contenu du cours

Le but de ce document est de réaliser une introduction sur les différents aspects de la tribologie. Il sera donc découpé en plusieurs chapitres que l'on peut regrouper en trois parties. La première s'intéresse au contact direct des solides, au frottement et à l'usure. La deuxième partie est consacrée à la lubrification. Enfin la troisième partie s'intéresse à l'impact des contacts tribologiques sur le comportement des systèmes.

La partie sur l'interaction solide solide commence par un chapitre dédié à la présentation de la structure et des propriétés des surfaces solides. Le second chapitre s'intéresse à la détermination des aires où les solides vont entrer en interaction lors de leur mise sous contact. Dans le troisième chapitre nous aborderons l'étude des interactions entre solides qui se traduisent par le frottement. La dissipation d'énergie et l'usure résultant de la rupture des interactions seront également étudiées.

La partie suivante débutera par une présentation des lubrifiants. L'équation de Reynolds qui régit l'écoulement dans les films minces sera ensuite présentée. Ceci permettra d'étudier les différentes modes de lubrification (hydrodynamique, hydrostatique, élastohydrodynamique et lubrification par un gaz) dans les chapitres dédiés.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 9 – Les différents régimes de lubrification.</figcaption></figure>

Pour finir un dernier chapitre s'intéressera à l'interaction du contact avec son environ-
nement. Nous étudierons plus particulièrement l'interaction dynamique et vibratoire entre
le contact et la machine dans lequel il intervient mais également les aspects thermiques.
Première partie

Interaction solide solide : Régime
sec
<figure><img src="image_12.png" /></figure>
# Chapitre 1

## Surfaces solides

Il est indispensable de commencer un cours de tribologie par une présentation des surfaces solides. En effet, c'est au niveau des surfaces que vont s'initier tous les phénomènes physiques mis en jeu en tribologie. Nous nous intéresserons à leur structure, leur topographie et certaines de leurs propriétés physiques. En effet, les surfaces possèdent certaines propriétés qu'on ne retrouve pas dans le coeur du matériau, ce qui rend leur analyse plus complexe. Pour Wolfgang Ernst Pauli<fnref n="1" />, "Dieu a créé le volume, le diable la surface".

### 1.1 Définition des surfaces solides

Une surface solide est l'interface entre un solide et un deuxième milieu qui peut être un autre solide, un gaz (l'atmosphère par exemple) ou un liquide (un lubrifiant par exemple). La figure 1.1 présente quelques exemples de surfaces.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Quelques exemples de surfaces.</figcaption></figure>

### 1.2 Structure des surfaces

Les solides présentent généralement des propriétés physiques différentes en surface de ce qu'elles sont au coeur du matériau. Un atome situé à l'intérieur de la matière est en équilibre sous l'action des forces exercées par ses voisins (figure 1.2). Lorsqu'un atome se situe en surface, il n'est plus soumis aux forces d'atomes qui seraient situés de l'autre côté

<footnote n="1">1. Wolfgang Ernst Pauli (1900-1958), prix Nobel de physique 1945</footnote>
de la surface. Ceci se traduit généralement par une réduction des distances inter-atomiques près de la surface. Par suite les propriétés mécaniques du matériau sont affectées en surface. D'autre part, les atomes en surface sont susceptibles d'interagir avec l'environnement.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 1.2 – Distribution des atomes au coeur du matériau et en surface.</figcaption></figure>

En examinant les surfaces de matériaux métalliques, il est possible d'identifier différentes couches localisées plus ou moins profondément dans la matière [Bhu02]. La figure 1.3 présente une description des couches usuellement observées en surface :

**Gaz adsorbés (0.3 à 3nm) :** Cette couche de contient des molécules de gaz, vapeur d'eau, oxygène qui ont été adsorbées par le solide. Les molécules sont maintenues en surface par les interactions de Van der Waals.

**Couche d'oxyde (10 à 100 nm) :** La plupart des métaux réagissent avec l'oxygène pour former une couche d'oxyde.

**Couche de Beilby (1 à 100 nm) :** Dans cette couche, la structure cristalline est différente de celle présente au coeur matériau.

**Couche déformée (1 à 100 µm) :** La couche est soumise à des contraintes résiduelles résultant du procédé de fabrication.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 1.3 – a) Les différentes couches observables en surface d'un solide (métallique) [Bhu02, CD98] - b) Coupe d'un échantillon de nickel après frottement illustrant les différentes zones [GRR$^{+}$19], Creative Commons Attribution 4.0 International License</figcaption></figure>

Ces couches ne sont pas un handicap mais constituent généralement une protection pour le solide (meilleure résistance mécanique, meilleure tenue à la corrosion). Un exemple typique est l'oxyde d'aluminium (Al₂O₃ ou alumine) qui se forme naturellement sur l'aluminium. Cette couche de quelques nanomètres (figure 1.4) suffit à protéger l'aluminium contre la corrosion. Il est courant d'augmenter son épaisseur par un procédé d'anodisation.
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 1.4 – Couche d'alumine en surface d'un échantillon d'aluminium.</figcaption></figure>

Le but de cette partie n'est pas d'être exhaustif car des compétences en chimie, métal-
lurgie seraient nécessaires. L'objectif est de mettre en évidence que le matériau en surface
est différent du matériau de base. La description des couches données ici s'applique aux
métaux mais elle serait différente pour les polymères ou les céramiques.

1.3 Topographie des surfaces

Quelque soit le moyen de mise en oeuvre utilisé, les surfaces présentent des écarts géométriques par rapport à leur forme théorique. Comme on le verra par la suite, ces défauts jouent un rôle primordial en tribologie. On peut classer les défauts en fonction de leur longueurs d'onde L (figure 1.5) :

— si *L* est de l'ordre de la taille de la surface, on parle de défaut de forme;

— lorsque $0.001 \text{ m} < L < 0.01 \text{ m}$, on parle de défaut d'ondulation;

— les défauts de longueur d'onde inférieure sont appelés rugosités.

Dans la suite de l'étude, nous ne considérerons que les défauts de type rugosité. Ceci revient à dire que l'étendue du contact est faible ou que les défauts de forme et d'ondulations sont négligeables. Ces hypothèses sont assez souvent vérifiées mais il ne faudra toutefois pas les perdre de vue.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 1.5 – Défauts géométriques d’une surface</figcaption></figure>

1.3.1 Paramètres de rugosité

Pour simplifier cette section, nous nous intéressons au cas d'un profil de rugosité. Les paramètres présentés sont également valables pour des surfaces.

La figure 1.6 présente un exemple de profil de surface. L'échelle verticale est amplifiée par rapport à l'échelle horizontale pour que les rugosités puissent être discernées. En couplant le profil par une ligne horizontale, il est possible de calculer le pourcentage de points situés au dessus de la ligne. En balayant verticalement le profil avec la ligne horizontale, on obtient l'évolution de ce pourcentage en fonction de la hauteur z. La courbe obtenue est appelée courbe de portance ou courbe d'Abbott. Elle indique le pourcentage de points qui entrerait en contact avec un plan rigide situé à la hauteur z. Comme nous le verrons, ce pourcentage de contact n'est qu'indicatif. La dérivée par rapport à z de cette courbe
donne la densité de probabilité du profil. Dans de nombreux cas, la densité de probabilité peut être représentée par une fonction Gaussienne $f$ :

$$f(z) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{(z - \mu)^2}{2\sigma^2}\right] \qquad (1.1)$$

où $\mu$ représente la hauteur de la ligne moyenne et $\sigma$ l'écart type des hauteurs. Pour une surface Gaussienne (qui présente une densité de probabilité décrite par une fonction de Gauss), les hauteurs des points de la surface sont compris entre environ $-3\sigma$ et $+3\sigma$ autour de la ligne moyenne.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 1.6 – Profil d'une surface rugueuse et analyse de la distribution</figcaption></figure>

Les profils de rugosité mesurés sont généralement une série de $n$ points de hauteur $z_i$ espacé d'un intervalle latéral $|\Delta x|$. Cet intervalle représente l'échantillonnage latéral de l'appareil de mesure. A partir de cette série, on peut calculer des paramètres d'amplitude. Le plus utilisé dans la communauté des mécaniciens est le $Ra$ :

$$Ra = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |z_i| \qquad (1.2)$$

On utilise également le $Rq$ :

$$Rq = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} z_i^2} = \sigma \qquad (1.3)$$

Ce paramètre est équivalent à l'écart type $\sigma$ présenté précédemment. On utilise également un paramètre de symétrie :

$$RSk = \frac{1}{nRq^3} \sum_{i=1}^{n} z_i^3 \qquad (1.4)$$

Une valeur positive de ce paramètre indique des pics plus marqués que les vallées. La situation inverse correspond à une valeur négative de $RSk$. Enfin, le paramètre d'étalement indique sur quelle étendue sont distribués les points de la surface :

$$RKu = \frac{1}{nRq^4} \sum_{i=1}^{n} z_i^4 \qquad (1.5)$$

Ces deux derniers paramètres sont sans dimension.

Dans le cas d'une surface Gaussienne, la paramètre de symétrie est nul car les points sont distribués symétriquement de part et d'autre de la ligne moyenne. Par ailleurs, le paramètre d'étalement vaut 3. Ce nombre correspond à l'intervalle d'étalement des hauteurs de 3 fois l'écart-type. Enfin, les paramètres de hauteur sont proportionnels :

$$Rq \approx \sqrt{\frac{\pi}{2}} Ra \approx 1.25 Ra \quad RSk = 0 \quad RKu = 3 \qquad (1.6)$$
Suivant le procédé de fabrication utilisé, les surfaces ne sont pas forcément Gaussiennes. Par exemple la rectification, le rodage ou le polissage tendent à éliminer les pics des surfaces sans affecter les vallées. Ceci conduit à une diminution de $Rq$ et de $RSk$ qui devient alors négatif. Ceci s'accompagne généralement d'une augmentation du $RKu$. Un exemple est présenté sur la figure 1.7.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 1.7 – Exemple de profil rugueux non-Gaussien (les courbes en gris correspondent à une distribution Gaussienne).</figcaption></figure>

Whitehouse [Whi03] a confirmé que suivant le procédé de réalisation, les paramètres statistiques des surfaces varient (figure 1.8). La figure 1.9 montre l'effet du procédé de fabrication sur l'amplitude des hauteurs des rugosités (paramètre $Rq$ ou $Sq$ pour une surface). Par la suite nous nous placerons dans le cas particulier de surface Gaussienne.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 1.8 – Relations des paramètres $RSk$ et $RKu$ au procédé d'obtention, d'après Whitehouse [Whi03]. Le cercle rouge correspond au domaine des surfaces Gaussiennes</figcaption></figure>

Les paramètres de hauteur ne sont pas suffisants pour complètement caractériser les rugosités. En effet, il est utile d'avoir une information sur l'étendue latérale des rugosités. Pour cela, on peut faire appel à la fonction d'autocorrélation, $FAC$, qui caractérise le degré de ressemblance d'une surface avec elle-même lorsqu'on la décale d'une distance $x$. Pour un profil sa définition est la suivante :

$$FAC(x = j\Delta x) = \frac{1}{nRq^2} \sum_{i=1}^{n} z_i \times z_{i+j} \quad (1.7)$$

En raison du caractère aléatoire des rugosités, cette fonction est maximale lorsque $x = 0$ puis tend progressivement vers 0 lorsque $x$ augmente. Deux exemples de $FAC$ sont présentés sur la figure 1.10 pour deux profils ayant des rugosités d'étendues latérales différentes. Dans de nombreux cas, cette fonction peut être approchée par une fonction exponentielle décroissante :
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE 1.9 – Relation entre le paramètre $Sq$ et le procédé d'obtention (valeurs mesurées sur les surfaces des figures 1.15 à 1.20).</figcaption></figure>

$$FAC(x) \approx \exp \left( -1.61 \frac{x}{\lambda} \right) \qquad (1.8)$$

où $\lambda$ est la longueur à partir de laquelle la fonction ne vaut plus que 20% de sa valeur maximale. On l'appelle longueur de corrélation. C'est généralement ce paramètre qu'on utilise plutôt que la FAC elle-même. Les deux profils de la figure 1.10 ont des longueurs de corrélation différentes.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 1.10 – Fonction d'autocorrélation de deux profils rugueux différents.</figcaption></figure>

Il est utile d'introduire le densité spectrale de puissance (ou DSP). Il s'agit de la transformée de Fourier de la fonction d'auto-corrélation FAC. Cette fonction représente l'amplitude des fréquences spatiales contenues dans le profil. La fréquence minimale $f_m$ est l'inverse de la longueur du profil et la fréquence maximale est donnée par l'échantillonnage $\Delta x$ utilisé lors de la mesure (figure 1.11). Cette fonction est généralement constante pour les basses fréquences puis décroît à partir de la fréquence correspondant à l'inverse de la longueur de corrélation du profil [Whi01]. Un résultat important est que l'aire sous la courbe donne $\frac{Rq^2}{2}$. Si l'instrument utilisé a des valeurs différentes de $\Delta x$ et $L$, la valeur de $Rq$ va donc varier. Ainsi, il est normal de trouver des valeurs différentes de $Rq$ selon l'instrument utilisé pour la mesure. En conséquence, les valeurs des paramètres de rugosité doivent être accompagnés des caractéristiques de l'appareil de mesure, notamment $L$ et $\Delta x$.
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 1.11 – DSP d'un profil rugueux.</figcaption></figure>

Les paramètres de rugosité que nous avons présentés ont été calculés pour des profils. Les appareils de mesure surfaciques commencent à devenir de plus en plus courants. Il existe donc des paramètres similaires mais pour les surfaces. Afin de les différencier la première lettre est un *S* au lieu du *R* utilisé pour les profils, soit : *Sq*, *Sa*, *SSk* et *SKu*. Dans la norme ISO, la longueur de corrélation la plus courte est appelée *Sal*. Le rapport entre la plus faible longueur de corrélation et la plus grande est *Str*. Dans l'hypothèse où la direction *x* correspond à la direction où la *FAC* décroît le plus vite, on obtient les relations suivantes :

$$Sal = \lambda_x \qquad (1.9)$$

$$Str = \frac{\lambda_x}{\lambda_y} \qquad (1.10)$$

### 1.3.2 Méthodes de mesure

Il existe un grand nombre d'instruments de mesure de topographie. Nous ne verrons ici que trois systèmes de mesure qui permettent de balayer un large spectre de résolution.

Le palpeur mécanique dont le principe est illustré sur la figure 1.12 est l'appareil de mesure historique. Le principe consiste à promener un bras horizontal muni d'une pointe diamant suivant la direction du profil à mesurer puis d'enregistrer les mouvements verticaux du bras. Ce système offre un résolution verticale qui peut atteindre le nanomètre. Sa résolution latérale est limitée par le rayon de la pointe qui vaut généralement $\Delta x = 2\mu m$. L'obtention d'une surface nécessite la réalisation de plusieurs profils.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 1.12 – Principe de fonctionnement du palpeur mécanique.</figcaption></figure>

Le microscope interférométrique offre l'avantage de mesurer des surfaces sans contact et sans balayage horizontale. Le principe (figure 1.13) consiste à faire interférer le signal lumineux réfléchi par l'échantillon avec celui réfléchi par un miroir de référence. L'acquisition nécessite un mouvement vertical qui est assuré par un actionneur piezo-électrique ou un système vis-écrou en boucle fermé. Les résolutions verticales sont très inférieures au nanomètre alors que la résolution latérale se limite à environ $\Delta x = 0.5\mu m$.
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 1.13 – Principe de fonctionnement du microscope interférométrique.</figcaption></figure>

Enfin, le microscope à force atomique (AFM) offre les meilleures résolutions actuellement disponibles. Elles sont inférieures au nanomètre dans les trois directions grâce à l'utilisation d'un actionneur piezo-électrique ($\Delta x < 1nm$). Pour cela, une pointe dont le rayon de courbure est de quelques nanomètres est mis en contact avec la surface. La pointe est montée sur un support extrêmement souple pour ne pas indenter la surface. Enfin l'échantillon est déplacé suivant $z$ de manière à maintenir le faisceau laser réfléchi par la pointe au centre de la cible.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 1.14 – Principe de fonctionnement du microscope à force atomique.</figcaption></figure>

L'étendue latérale de mesure est généralement de l'ordre de 1000 fois la résolution latérale, ce qui limite l'AFM aux applications de recherche. En revanche, le microscope interférométrique est de plus en plus couramment utilisé dans l'industrie.

### 1.3.3 Exemples de surface

Les figures 1.15 à 1.20 présentent des surfaces obtenues par différents procédés. Les mesures ont été réalisées au moyen d'un microscope interférométrique (Grossissement $\times$ 20, $L$ = 900 µm etr $\Delta x$ = 0.9 µm). Les premières surfaces ont des caractéristiques quasiment Gaussienne ($SSk$ = 0 et $SKu$ = 3). En revanche, la surface polie présentée sur la figure 1.19 ne peut pas être considérée comme Gaussienne. En effet le polissage élimine les pics de la surface sans affecter les vallées. La distribution n'est alors plus symétrique.
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 1.15 – Surface obtenue par électro-érosion (axe $z \times 5$).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 1.16 – Surface obtenue par fraisage (axe $z \times 5$).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 1.17 – Surface obtenue par fraisage en mode finition (axe $z \times 5$).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE 1.18 – Surface obtenue par rodage (axe $z \times 5$).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 1.19 – Surface obtenue par polissage (axe $z \times 500$).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 1.20 – Surface obtenue par polissage fin (axe z × 500).</figcaption></figure>

## 1.4 Propriétés physiques des surfaces

Nous présentons dans cette section deux propriétés de surfaces qui jouent un rôle fondamental en tribologie.

### 1.4.1 Dureté des surfaces

La dureté caractérise la capacité d'un matériau (et donc de sa surface) à résister à la pénétration. Elle est généralement mesurée en appliquant un effort au moyen d'un poinçon (plus dur que le matériau à tester) de façon à laisser une empreinte sur la surface (figure 1.21). L'aire de l'empreinte laissée est inversement proportionnelle à la dureté. Il existe plusieurs type d'essais qui se différencie par la forme du poinçon utilisé et la force appliquée :

- dureté Brinel avec une bille (HB)

- dureté Vickers avec une pyramide (HV)

- dureté Rockwell avec un cone (HRC) ou une bille (HRB)

- dureté Shore (Matériaux mous)

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 1.21 – Mesure de la dureté Vickers et exemple de tests sur une surface</figcaption></figure>

La dureté Vickers, dont l'unité est le kgf/mm² (elle n'est généralement pas indiquée), s'exprime à partir de la diagonale *d* de l'empreinte laissée [ISO05] :

$$HV (kgf/mm^2) \approx 0.189 \frac{F(N)}{d(mm)^2} \qquad (1.11)$$

En tribologie, on définit généralement la dureté *H* comme la pression moyenne de contact *p*<sub>m</sub> conduisant à l'écoulement plastique du matériau. Dans le cas de la dureté
<table><caption>TABLE 1.1 – Dureté de quelques matériaux courants.</caption><thead><tr><td>Matériau</td><td><i>HV</i> (kgf/mm<sup>2</sup>)</td></tr></thead><tbody><tr><td>Acier au carbone</td><td>55-120</td></tr><tr><td>Acier inox 316L</td><td>140</td></tr><tr><td>Martensite</td><td>1000</td></tr><tr><td>Alumine <i>Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub></i></td><td>1800</td></tr><tr><td>Carbure de silicium <i>SiC</i></td><td>2000-3000</td></tr><tr><td>Diamant</td><td>10000</td></tr></tbody></table>

Vickers, elle s'exprime en divisant la force d'indentation par la surface réelle de contact $(\frac{d}{\sqrt{2}})^2$ :

$$H (MPa) = 2 \frac{F}{d^2} \approx \frac{2HV}{0.189} \approx 10HV \qquad (1.12)$$

Le rapport 10 est en fait lié au changement d'unité (kgf/mm² vers MPa).

On admet généralement que la dureté Vickers est liée à la limite élastique Re :

$$0.3R_e (MPa) \approx HV \qquad (1.13)$$

On en déduit la relation suivante entre le limite élastique Re et la dureté H :

$$H = p_m \approx 3R_e \qquad (1.14)$$

Cette relation est intéressante car elle permet une estimation de la dureté de n'importe quel matériau dès lors que sa limite élastique est connue.

A titre indicatif, le tableau 1.1 donne la valeur de la dureté Vickers de quelques matériaux connus. Le diamant se distingue par une dureté exceptionnelle en comparaison des aciers. Le carbure de silicium ou l'alumine permettent d'obtenir des surfaces avec une excellente dureté pour un prix beaucoup plus raisonnable que celui du diamant.

### 1.4.2 Énergie de surface

Les surfaces disposent d'une énergie qu'on note généralement $\gamma$. Cette dernière provient des atomes en surface qui sont libres d'interagir avec l'environnement contrairement à ceux qui sont localisés au coeur du solide. Notons que l'on différencie la tension de surface et l'énergie de surface des solides [HJ13, Fel15]. Nous ferons ici l'hypothèse que l'amplitude de la tension de surface est égale à l'énergie de surface. Bien que cette hypothèse soit vérifiée pour les liquides, ce n'est pas tout à fait le cas dans les solides [Fel15]. L'énergie superficielle joue un rôle fondamental dans de nombreux phénomènes tribologiques (adhésion, usure, mouillabilité) comme nous le verrons dans les chapitres suivants. A titre d'exemple, la figure 1.22 présente l'étalement d'une goutte d'eau sur des surfaces d'énergie décroissante. Plus $\gamma$ est élevé plus la goutte va s'étaler facilement. Au contraire, une faible énergie de surface conduit à une surface hydrophobe (voir le chapitre 9 ou l'ouvrage de Law et Zhao [LZ16] pour une analyse approfondie). Des ordres de grandeur de ces énergies sont données dans le tableau 1.2. Bien que ces valeurs semblent très faibles, leur impact peut être non-négligeable.

Tentons d'évaluer l'énergie de surface d'un matériau. Supposons un cube de matière de côté $L$ constitué d'atomes disposés en réseau cubique de maille $a$. Il y a donc $n = L/a$ atomes par côté. Soit $U$ l'énergie de liaison entre 2 atomes voisins (on ne considère que
<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE 1.22 – Effet de l'énergie de surface γ sur la mouillabilité d'une surface : de a : forte énergie de surface à c : faible énergie de surface (source Institut Pprime)</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 1.2 – Énergie de surface de quelques matériaux courants [Gra08, Mat08].</caption><thead><tr><td>Matériau</td><td>γ mJ/m²</td></tr></thead><tbody><tr><td>Métaux</td><td>800-3000</td></tr><tr><td>Céramiques</td><td>50-120</td></tr><tr><td>Polymères</td><td>10-30</td></tr></tbody></table>

l'énergie suivant les arrêtes de chaque maille). On montre que l'énergie totale de liaison du cube de matière est alors E :

$$E = 3n^3 U - 3n^2 U = \frac{3U}{a^3}V - \frac{U}{2a^2}S \quad (1.15)$$

où $V = L^3$ est le volume du cube et $S = 6L^2$ sa surface. L'énergie de liaison $U$ étant considérée comme négative, il y a bien un terme d'énergie positif proportionnel à la surface. Dans ce cas, l'énergie superficielle s'exprime $\gamma = -\frac{U}{2a^2}$. L'énergie de surface est donc pilotée par l'intensité des liaisons entre atomes ou les molécules et la taille caractéristique du réseau. Les valeurs les plus grandes de $U$ sont obtenues pour les liaisons covalentes, ioniques ou métalliques (métaux et céramiques) alors que les plus faibles sont obtenues pour les liaisons de type van der Walls comme dans les polymères [DJPM86]. Même si les polymères ne peuvent être décrits par un empilement régulier comme celui de la figure 1.23, ce résultat explique la faible énergie de des polymères (tableau 1.2).

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE 1.23 – Cube de matière de côté $L$ constitué d'atomes disposés en réseau cubique de maille $a$</figcaption></figure>

Certains matériaux comme le graphène ou le bisulfure de molybdène ont une structure 2D, c'est-à-dire que les atomes s'agencent en feuillets (figure 1.24). La théorie précédente décrite sur la figure 1.23 indiquerait que ces matériaux ont une énergie de surface nulle. Cependant, les feuillets sont maintenus entre eux par des forces de van der Walls, ils possèdent donc une énergie de surface mais qui reste très faible. Pour le graphène, $\gamma = 160 \text{ mJ.m}^{-2}$ [RL20].

Même si $\gamma$ est une énergie attachée à la surface, ses effets sont ressentis sur une certaine
<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE 1.24 – Exemples de matériaux 2D : a) graphite $^a$ - b) bisulfure de molybdène $^b$.</figcaption></figure>

distance. Kim et al. [KKP$^+$21] ont effectué une expérience intéressante qui le montre. Ils ont mesuré l'angle de contact formé par une goutte d'eau posée sur une surface de fluorine ($CaF_2$), comme sur la figure 1.22. Puis ils ont refait la même mesure en posant un feuillet de graphène sur la surface de fluorine, puis 2 feuillets, etc. Les résultats sont présentés sur le figure 1.25. Il faut 3 feuillets de graphène pour que l'angle de contact et donc l'énergie de surface apparente ne soient plus influencés par la présence de la fluorine sous le graphène. Le graphène est un matériau 2D d'épaisseur monoatomique estimée à 0.33 nm [NIOKB08]. Ceci indique une portée d'environ 1 nm, ce qui reste relativement faible au regard des échelles habituelles de la mécanique. Ce point sera rediscutée dans la section 2.4 qui traite de l'adhésion des matériaux.

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE 1.25 – Angle de contact d'une goutte d'eau sur une surface de fluorine couverte de feuillets de graphènes [KKP$^+$21].</figcaption></figure>

## 1.5 Amélioration des propriétés de surface

Pour améliorer les performances et la tenue d'une surface, on va chercher à modifier sa dureté, son énergie de surface ou sa résistance à la corrosion. Il existe deux techniques pour atteindre cet objectif : l'application d'un revêtement sur la surface ou la réalisation d'un traitement.

<footnote>a. Par Graphit gitter.png : Anton (rp) 2004derivative work : Yoschi (talk) ? Graphit gitter.png, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8104259</footnote>

<footnote>b. Par Ben Mills ? Travail personnel, Domaine public, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2976497</footnote>
<table><caption>TABLE 1.3 – Exemples de revêtements de surface.</caption><thead><tr><td>Type de revêtement</td><td>Matériau</td></tr></thead><tbody><tr><td>Métallique</td><td>Chrome, zinc, etain...</td></tr><tr><td>Carboné</td><td>Diamant, DLC (Diamond like carbon)...</td></tr><tr><td>Polymères</td><td>PTFE, Peek</td></tr></tbody></table>

### 1.5.1 Traitements de surface

Les traitements de surface consiste à modifier la constitution chimiques ou la structure cristalline du matériau. Pour les aciers, il existe de nombreux traitements thermochimiques dont les plus courants son présentés sur la figure 1.26. Ceux-ci permettent d'augmenter la dureté superficielle. Ils se différencient par leur effet sur la matière :

- nitruration : implantation d'atomes d'azote dans l'acier;

- carburation : implantation d'atomes de carbone dans l'acier;

- trempe superficielle ou à coeur : modification de la structure cristalline de l'acier.

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE 1.26 – Effet de différents traitements thermochimiques sur la dureté d'un acier [Cze12].</figcaption></figure>

Les traitements disponibles dépendent du matériau traité. L'anodisation de l'aluminium, par exemple, consiste à faire pousser la couche d'oxyde (alumine, $Al_2O_3$) en surface. On peut au cours de ce traitement ajouter des pigments pour colorer le matériau. La personne intéressée pourra se référer à l'ouvrage de Gras [Gra08] qui présente de manière assez exhaustive les différents traitements de surface disponibles.

### 1.5.2 Revêtements

Le principe consiste à déposer une couche d'un matériau différent sur le solide (ou substrat). On peut classer les dépôts en deux catégories :

- dépôt dur (plus dur que le substrat) : permet d'améliorer la dureté de la surface

- dépôt mou (plus mou que le substrat) : pour réduire l'énergie de surface, constituer une couche sacrificielle on un lubrifiant solide (voir chapitre sur les lubrifiants)

Une des principales difficultés rencontrées est la tenue (ou l'accrochage) du dépôt sur le substrat. Il est souvent nécessaire de faire des traitements préalables sur la surface avant application du dépôt. Ceci augmente le coût de réalisation.

Quelques exemples de revêtements sont présentés dans le tableau 1.3. Les figures 1.27 et 1.28 présentent des revêtements mis en oeuvre dans différentes applications.
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE 1.27 – a) Revêtement DLC sur une garniture mécanique (source : Institut Pprime)
b) Vue MEB d'un revêtement diamant (source : Université de Picardie Jules Verne)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE 1.28 – Revêtement sur les patins d'une butée hydrodynamique a) métal b) poly- mère (source : Institut Pprime)</figcaption></figure>

**1.6 Synthèse**

— Surface solide = Interface entre un solide et un autre milieu;

— La topographie de la surface est caractérisée par *Rq* ou *Sq* (hauteur) et *λ* (étendue latérale des défauts);

— La topographie dépend du moyen de production;

— Les surfaces ont des propriétés spécifiques :

— Dureté *H*;

— Énergie de surface γ.

— Les propriétés de la surface peuvent être modifiées par traitement de surface ou par revêtement.
# Chapitre 2

## Contact des solides

Le but de ce chapitre est l'étude des forces apparaissant lorsque deux solides sont mis en contact. Nous nous intéresserons plus particulièrement aux surfaces où les solides entrent effectivement en contact. Nous nommerons aire réelle de contact la somme de ces surfaces d'interaction. L'évolution de l'aire réelle de contact avec les paramètres de charge et les caractéristiques des matériaux sera analysée.

### 2.1 Cas général du contact élastique

En 1885, Boussinesq [Bou85, Fra01] a proposé une solution générale au problème de déformation d'un solide élastique semi-infini soumis à une pression $p$ sur sa surface (figure 2.1). Les déplacements $u$ des points de la surface du solide s'expriment :

$$u(x,y) = \frac{1-\nu^2}{\pi E} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{p(x',y')}{\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2}} dx' dy' \quad (2.1)$$

où $E$ est le module élastique et $\nu$ le coefficient de Poisson du matériau. Les modèles actuels de simulation de contact s'appuient généralement sur cette approche. On peut retrouver la solution analytique de Hertz, que nous détaillons dans le paragraphe suivant, à partir de cette approche générale.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Solide semi-infini soumis à une pression.</figcaption></figure>
## 2.2 Contact localisé

### 2.2.1 Définition du contact localisé

Un contact est dit localisé lorsque la zone de contact est un point ou une ligne. Ce type de contact est très courant en mécanique (figure 2.2). On trouve des contacts ponctuels entre les billes et les bagues d'un roulement. Le contact entre une came et le poussoir d'une soupape de moteur se fait suivant une ligne. Dans l'hypothèse où les solides sont rigides et de forme parfaite, l'aire de contact est nulle et donc la pression de contact infinie. Bien évidemment, cette conclusion n'est pas réaliste. Nous verrons dans ce chapitre comment calculer les aires et pressions de contact dans le cas d'un contact ponctuel.

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – Exemples de contacts localisés : a) Roulement à billes, b) Roulement à rouleaux et roue dentée (source Institut Pprime).</figcaption></figure>

### 2.2.2 Contact élastique

En 1881, Heinrich Hertz a proposé une théorie, bien connue en mécanique du contact, qui permet de calculer les caractéristiques d'un contact localisé élastique [IDSBLC]. Les hypothèses utilisées sont les suivantes :

- Les surfaces sont continues, lisses et non-conformes (c'est-à-dire que leurs rayons de courbure sont très différents);

- Les déformations et les déplacements sont petits;

- Chaque solide est un demi-espace infini élastique linéaire;

- Le contact est sans frottement.

Nous nous intéresserons uniquement au contact d'une sphère sur un plan comme cela est présenté sur la figure 2.3. Pour les autres types de contact, le lecteur pourra se reporter à la référence suivante [IDSBLC]. Nous noterons $F$ la force supportée par le contact. Hertz a démontré les relations suivantes. Tout d'abord, le contact s'effectue sur un disque de rayon $a$ qui s'exprime :

$$a = \left( \frac{3FR}{2E'} \right)^{1/3} \qquad (2.2)$$

Dans cette expression, $E'$ est le module d'élasticité équivalent des deux solides :

$$E' = \frac{2}{\frac{1-\nu_a^2}{E_a} + \frac{1-\nu_b^2}{E_b}} \qquad (2.3)$$

où $E_i$ et $\nu_i$ sont respectivement le module d'Young et le coefficient de Poisson du solide $i$. En raison des déformations élastiques des solides, l'application de la force $F$ conduit à
une interpénétration ou interférence $\delta$ des solides :

$$ \delta = \left( \frac{9F^2}{4RE'^2} \right)^{1/3} \qquad (2.4) $$

La pression dans le contact entre les deux solides s'exprime en fonction de la distance $r$ à l'axe :

$$ p(r) = p_o \sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}} \qquad (2.5) $$

où $p_o$ est la pression maximale de contact :

$$ p_o = \frac{3F}{2\pi a^2} \qquad (2.6) $$

Le pression moyenne de contact $p_m$ est le rapport entre la force et l'aire de contact, soit :

$$ p_m = \frac{F}{\pi a^2} = \frac{2}{3} p_o \qquad (2.7) $$

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE 2.3 – Configuration du contact sphère-plan.</figcaption></figure>

Il est parfois commode d'adimensionner les relations pour simplifier leur forme. Définitions une charge sans dimension $W$ :

$$ W = \frac{F}{E' R^2} \qquad (2.8) $$

Il vient alors les relations simples pour le rayon de contact et l'interférence :

$$ \frac{a}{R} = \left( \frac{2}{3} W \right)^{1/3} \qquad (2.9) $$

et :

$$ \frac{\delta}{R} = \left( \frac{2}{3} W \right)^{2/3} \qquad (2.10) $$

En combinant les relations 2.9 et 2.10, on obteient une relation simple entre l'enfoncement, le rayon de la sphère et la rayon de contact :

$$ \delta R = a^2 \qquad (2.11) $$
Tous les contacts ne sont pas nécessairement constitués d'une sphère et d'un plan. On peut imaginer le contact entre deux sphères ou d'une sphère dans une cavité sphérique (figure 2.4). Grâce à une transformation géométrique, il est possible de se ramener au contact sphère plan. Le rayon R de la sphère équivalente s'exprime alors :

$$ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \qquad (2.12) $$

dans le cas de gauche ou :

$$ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \qquad (2.13) $$

dans le cas de droite.

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE 2.4 – Contacts équivalents à une sphère sur un plan.</figcaption></figure>

En utilisant un disque en verre, il est possible d'observer et de mesurer l'aire de contact qui se forme avec une bille. Cette aire est le zone de couleur sombre sur la figure 2.5. Ces résultats, comme de nombreux précédents, confirment la validité de la théorie développée par Hertz (figure 2.6) ce qui explique qu'elle soit toujours très utilisée.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE 2.5 – Mesure de l'aire de contact entre une bille en acier et un plan en verre par interférométrie. a) Système de test b) Aire de contact pour $W = 0.225 \times 10^{-5}$ c) $W = 1.01 \times 10^{-5}$.</figcaption></figure>

Appliquons les formules de Hertz au cas d'une bille en acier en contact avec un plan en acier. Les données du problème et les résultats sont présentés dans le tableau 2.1. On remarque que l'enfoncement n'est que de quelques microns. Le rayon de contact a reste très petit, environ 2.3% du rayon de la bille. Cette petite aire de contact conduit à une pression maximale de contact $p_o$ gigantesque, proche de $2GPa$. Cet exemple montre que des pressions de contact très élevées peuvent rapidement être atteintes dans les contacts localisés. Il est donc important de vérifier que les contraintes restent dans le domaine élastique.
<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE 2.6 – Comparaison entre la théorie de Hertz et les résultats expérimentaux de la figure 2.5</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 2.1 – Exemple de calcul de contact élastique sphère-plan.</caption><thead><tr><th>Paramètre</th><th>Valeur</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rayon de la bille <i>R</i></td><td>0.01m</td></tr><tr><td>Module d'Young <i>E</i></td><td>210GPa</td></tr><tr><td>Coefficient de Poisson <i>ν</i></td><td>0.3</td></tr><tr><td>Force appliquée <i>F</i></td><td>200N</td></tr><tr><td>Module équivalent <i>E'</i></td><td>231GPa</td></tr><tr><td>Pression max de contact <i>p</i><sub>o</sub></td><td>1.73GPa</td></tr><tr><td>Interférence <i>δ</i></td><td>5.53µm</td></tr><tr><td>Rayon de contact <i>a</i></td><td>0.23mm</td></tr></tbody></table>

### 2.2.3 Limite élastique et déformation plastique

A partir de la théorie de Hertz, il est possible de calculer les contraintes dans les deux solides. La figure 2.7 présente la distribution des contraintes principales $\sigma_1$, $\sigma_2$ et $\sigma_3$ sous le contact. Ces contraintes diminuent lorsque la distance avec la zone de contact augmente. En revanche le cisaillement présente un maximum à une distance d'environ $z = 0.5a$ du contact. La valeur de ce maximum s'exprime en fonction de la pression de contact :

$$ \tau (z = 0.5a) \approx 0.31p_0 \qquad (2.14) $$

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIGURE 2.7 – Contraintes principales et cisaillement maximal sous le contact (pour $\nu = 0.3$).</figcaption></figure>

Selon le critère usuel de Tresca, c'est en ce point que va s'initier la déformation plastique.
tique. Pour rester dans le domaine élastique, il faut [Bhu02] :

$$ \tau (z = 0.5a) < \frac{R_e}{2} \qquad (2.15) $$

où $R_e$ est la limite élastique du matériau le moins résistant. Cette relation nous indique la pression maximale à ne pas dépasser dans le contact :

$$ p_0 < 1.6R_e \qquad (2.16) $$

Pour la pression moyenne de contact, la limite s'exprime alors :

$$ p_m < 1.07R_e \qquad (2.17) $$

Si la pression de contact dépasse la limite spécifiée, des déformations plastiques vont s'initier sous la surface du contact (figure 2.8). Si la charge supportée par le contact augmente, la zone plastique va progressivement atteindre toute la surface de contact entre la sphère et le plan. Dans ce cas, la pression moyenne de contact vaut [Bhu02] :

$$ p_m \approx H \qquad (2.18) $$

où $H$ est la dureté du matériau le plus mou. D'après le chapitre 1, la dureté est environ égale à 3 fois la limite élastique $R_e$ soit :

$$ p_m \approx 3R_e \qquad (2.19) $$

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIGURE 2.8 – Déformation plastique sous un contact ponctuel</figcaption></figure>

Si le matériau est supposé parfaitement plastique, la pression moyenne de contact ne pourra pas dépasser cette limite. Si la charge augmente, l'aire de contact va augmenter alors que la pression moyenne restera égale à la dureté $H$ du matériau le plus mou.

## 2.3 Contact surfacique

### 2.3.1 Définition du contact surfacique

Un contact est dit surfacique lorsque le domaine théorique sur lequel s'effectue le contact est une surface d'aire non-nulle (contrairement au contact localisé sur un point ou une ligne). Dès qu'un contact n'est pas localisé, il est surfacique. Les exemples de contacts surfaciques sont très nombreux. La figure 2.9 en présente deux : contact sphère-sphère dans une prothèse de hanche ou contact plan sur plan dans une garniture mécanique. Comme nous le verrons dans le chapitre, le contact ne s'effectue pas sur toute l'aire théorique de contact mais uniquement sur le sommet des aspérités.
<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIGURE 2.9 – Exemples de contacts surfaciques : a) Prothèse de hanche (source https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hip_replacement_Image_3684-PH.jpg, crédit : NIADDK, 9AO4 (Connie Raab-contact)); NIH, b) Garniture mécanique (source : Institut Pprime).</figcaption></figure>

### 2.3.2 Contact élastique

Cette partie du cours s'appuiera sur les travaux de Greewood et Williamson [GW66] publiés en 1966. Ils ont proposé une description très simplifiée du contact surfacique mais qui a l'avantage de conduire à des relations analytiques très facile à manipuler et exploiter. Nous verrons que cette approche permet de démontrer un certain nombre d'observations expérimentales.

Le contact étudié est présenté sur la figure 2.10. Les hypothèses utilisées sont les suivantes :

- une des surfaces est parfaitement lisse;

- les aspérités de la surface rugueuse ont un sommet sphérique de rayon constant $R$;

- la hauteur des sommets suit une distribution Gaussienne d'écart-type $\sigma$;

- chaque sommet se déforme indépendamment;

- chaque sommet se comporte comme un contact élastique sphère-plan (voir paragraphe 2.2.2).

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE 2.10 – Configuration du contact surfacique dans le modèle de Greenwood et Williamson [GW66].</figcaption></figure>

Afin de simplifier encore le problème, nous supposerons que la distribution des sommets est exponentielle. Comme le montre la figure 2.11, cette hypothèse est utilisable lorsque la distance moyenne des surfaces reste supérieur à $z = \sigma$. Dans ce cas, la densité de probabilités des sommets s'exprime :

$$f(z) = \frac{2}{\sigma} \exp \left( -\frac{2z}{\sigma} \right) \qquad (2.20)$$
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE 2.11 – Comparaison des distributions Gaussienne et exponentielle.</figcaption></figure>

Si $h_s$ est la distance entre la surface lisse et le plan moyen des sommets (figure 2.10), la probabilité qu’un sommet de hauteur $z$ entre en contact est :

$$P(z > h_s) = \int_{h_s}^{\infty} f(z) dz \qquad (2.21)$$

qui correspond à la probabilité qu’un sommet ait une hauteur $z$ supérieure à la distance $h_s$. Le nombre total $n$ de sommets en contact s’exprime donc :

$$n = \eta \mathcal{A} \int_{h_s}^{\infty} f(z) dz \qquad (2.22)$$

où $η$ est le nombre de sommets par unité de surface et $\mathcal{A}$ l'aire nominale de contact. Le produit de ces deux nombres correspond au nombre total de sommets de la surface rugueuse. Etant donné l'expression simple de $f$, on en déduit $n$ en fonction de la distance $h_s$ entre la surface lisse et le plan moyen des sommets :

$$n = \eta \mathcal{A} \exp \left( -\frac{2h_s}{\sigma} \right) \qquad (2.23)$$

D'après l'équation 2.11, l'aire de contact d'un sommet de hauteur $z$ en contact est $\pi R (z - h_s)$. L'aire totale de contact est alors :

$$A = \eta \mathcal{A} \pi R \int_{h_s}^{\infty} (z - h_s) f(z) dz \qquad (2.24)$$

On en déduit l'aire réelle de contact $A$ :

$$A = \pi R \frac{\sigma}{2} \eta \mathcal{A} \exp \left( -\frac{2h_s}{\sigma} \right) \qquad (2.25)$$

Enfin, la force de contact $F$ peut s'exprimer en utilisant la même démarche que pour l'aire de contact :

$$F = \eta \frac{E'}{2} \sqrt{\pi R \frac{\sigma^3}{8} \mathcal{A} \exp \left( -\frac{2h_s}{\sigma} \right)} \qquad (2.26)$$

où $E'$ est le module d'Young équivalent précédemment introduit pour le contact localisé.

La figure 2.12 propose une interprétation graphique du modèle de contact surfacique. L'aire nominal de contact vaut ici $\mathcal{A} = L \times l$. Chacun des $n$ sommets en contact présente une aire de contact circulaire (contact sphère plan). La somme totale des $n$ aires de contact vaut $A$. Lorsque la charge appliquée augmente, les surfaces se rapprochent. Le nombre de sommet en contact augmente de même que l'aire de contact sous chaque sommet.
<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 2.12 – Principe du modèle de contact surfacique.</figcaption></figure>

A partir des relations précédentes, il est possible de calculer la pression moyenne $p_m$ sur l'ensemble des points de contact :

$$p_m = \frac{F}{A} = \frac{E'}{2} \sqrt{\frac{\sigma}{2\pi R}} \qquad (2.27)$$

Cette relation met en évidence que la pression reste constante en moyenne quelque soit la force appliquée et la distance des surfaces. C'est-à-dire que la force de contact est proportionnelle à l'aire réelle de contact. Ce résultat peut paraître surprenant a priori mais il s'explique assez simplement. Si un sommet est en contact et que les deux surfaces sont rapprochées, la pression au niveau de ce sommet doit augmenter comme le prédit la théorie de Hertz pour un contact sphère plan. C'est le cas pour tous les sommets initialement en contact. Cependant, lors du rapprochement des surfaces, de nouveaux sommets vont entrer en contact. Ces nouveaux sommets subiront une pression de contact plus faible. La moyenne des pressions va finalement rester constante grâce à ces nouvelles zones de contact.

La figure 2.12 montre que les zones de contact sont des disques disjoints. La réalité n'est pas aussi simple. Des simulations numériques basées sur l'approche de Boussinesq (voir section 2.1) permettent d'estimer les zones et la pression de contact entre une surface lisse et une surface rugueuse. L'exemple donné sur la figure 2.13 indique que les zones de contact (en noir sur la figure) se rejoignent et ne sont pas réellement circulaires. Toutefois, le modèle de Greenwood et Williamson donne une assez bonne approximation du comportement du contact (voir figure 2.14).

Par ailleurs, des travaux expérimentaux ont confirmé que l'aire réelle de contact augmente proportionnellement à la force appliquée ([DK94] et figure 2.15) ce qui nous conforte dans l'utilisation du modèle simplifié de Greenwood et Williamson. Des travaux plus récents [MPB+17] ont permis de définir la limite de validité de cette relation linéaire ($\frac{F}{E'\sigma} < 0.01$).

Il est utile de pouvoir relier les paramètres du modèle de contact aux paramètres statistiques des surfaces. L'expérience (de l'auteur) montre que les écarts-type sont égaux :

$$\sigma \approx Sq \qquad (2.28)$$

D'autre part, on peut calculer la densité de sommet et le rayon de courbure des sommets en introduisant les longueurs de corrélation de la surface rugueuse :

$$\eta \approx \frac{1}{4\lambda_x\lambda_y} \qquad (2.29)$$
<figure><img src="image_53.png" /></figure>

FIGURE 2.13 – Exemple de simulation numérique du contact entre une surface réelle (mesurée) et une surface lisse à différentes charges $\frac{F}{E'\sigma}$: a) 0.00018 b) 0.00033 c) 0.00048 d) 0.00077. La zone noire représente l'aire de contact.

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

FIGURE 2.14 – Comparaison de la relation force aire de contact donnée par le modèle de Greenwood et Williamson aux résultats numériques de la figure 2.13.

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

FIGURE 2.15 – Observation expérimentale de l'aire réelle de contact sous différentes charges [LLX$^{+}$20] (image depuis archive ouverte https://arxiv.org/pdf/2008.08904.pdf).
$$R \approx \frac{\lambda_x \lambda_y}{Sq} \qquad (2.30)$$

Enfin, il faut relier la distance entre la surface lisse et le plan moyen des sommets $h_s$ à la distance moyenne des surfaces $h$ :

$$h_s \approx h - \frac{Sq}{2} \qquad (2.31)$$

Comme pour le contact localisé sphère-plan, il est possible de ramener le cas de deux surfaces rugueuses à une surface lisse et une surface rugueuse qui combine les propriétés des deux autres :

$$Sq = \sqrt{Sq_1^2 + Sq_2^2} \qquad (2.32)$$

$$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2} \qquad (2.33)$$

### 2.3.3 Limite élastique et déformation plastique

En utilisant les critères du contact localisé, on peut considérer que le contact reste élastique si la pression moyenne est inférieure à $1.07R_e$ soit $0.35H$ :

$$p_m = \frac{F}{A} = \frac{E'}{2} \sqrt{\frac{\sigma}{2\pi R}} < 0.35H \qquad (2.34)$$

où $R_e$ et $H$ sont respectivement la limite élastique et la dureté du matériau le moins résistant. Le contact sera, en moyenne, complètement plastique si :

$$p_m = \frac{F}{A} = \frac{E'}{2} \sqrt{\frac{\sigma}{2\pi R}} > H \qquad (2.35)$$

Greenwood et Williamson ont introduit un critère de plasticité $\psi$ :

$$\psi = \frac{E'}{2H} \sqrt{\frac{\sigma}{R}} \qquad (2.36)$$

D'après les résultats précédents, $\psi$ est équivalent au rapport de la pression de contact sur la dureté du matériau :

$$\psi = \frac{p_m}{H} \sqrt{2\pi} \approx 2.5 \frac{p_m}{H} \qquad (2.37)$$

Les auteurs considèrent que ce coefficient doit rester inférieur à 0.6 pour que le contact soit élastique. S'il dépasse 1, le contact est alors plastique.

On peut s'étonner que le critère de plasticité ne dépende pas de la charge. Il faut se rappeler que le modèle de Greenwood et Williamson conduit à une pression moyenne de contact constante et indépendante de la charge. Pour éviter les déformations plastiques, on peut utiliser des matériaux plus élastiques et plus durs ou changer l'état de surface. En utilisant les paramètres d'état de surface, l'indice de plasticité s'exprime :

$$\psi = \frac{E'}{2H} \frac{Sq}{\sqrt{\lambda_x \lambda_y}} \qquad (2.38)$$

Une surface plus lisse (plus faible valeur de $Sq$) limite les risques de déformation plastique (figure 2.16).

La dureté $H$ considérée dans le critère de Greenwood et Williamson est celle du matériau le plus mou. Il est préférable que le matériau le plus dur soit plus lisse pour éviter
<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIGURE 2.16 – Effet de l'état de surface sur les déformations dans un contact surfacique.</figcaption></figure>

de dégrader l'état de surface comme illustré sur la figure 2.17. La figure 2.18 présente un exemple où une surface rugueuse a été déformée plastiquement par le passage d'une bille en acier, plus dur que la surface rugueuse. Dans ce cas, la zone déformée plastiquement vient plus lisse.

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIGURE 2.17 – Effet de la dureté des matériaux sur les déformations plastiques.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>FIGURE 2.18 – Exemple de surface rugueuse déformée plastiquement par le passage d'une bille en acier dur, axe $z \times 10$ (Échantillon de Mounira Bourebia, CRTI Annaba, Algérie, source Pprime).</figcaption></figure>

## 2.4 Adhésion

Les forces élastiques que nous venons d'analyser tendent à repousser les solides. En revanche, il existe également des forces d'attraction que nous appellerons forces d'adhésion.

### 2.4.1 Force de van der Waals

Les principales forces d'attraction qui agissent lorsque deux solides se rapprochent sont les forces de van der Waals. Elles résultent des interactions atomiques ou plus particulièrement des forces électrostatiques dû au moment dipolaire des atomes ou molécules. D'autres
forces d'attraction comme celles conduisant aux liaisons covalentes ou métalliques existant à l'intérieur d'un matériau ne sont pas activées en surface [Bhu02]. Nous ne considérerons donc que les forces de van der Waals.

Pour deux plans lisses séparés d'une distance h (figure 2.19), les forces d'attraction de van der Waals s'expriment [Mat08] :

$$F_{vdW} = -S \frac{A}{6\pi h^3} \qquad (2.39)$$

où S est l'aire du plan et A la constante de Hamaker. Cette dernière dépend des matériaux mis en jeu. La distance h ne s'annule pas et est limitée par la distance inter-atomique ce qui évite une valeur infinie des forces. D'après Mate [Mat08], la distance minimale est de l'ordre de $h = h_0 = 0.165nm$.

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>FIGURE 2.19 – Forces de van der Waals entre deux surfaces planes.</figcaption></figure>

Lorsque les deux solides impliqués dans le contact sont de même nature, il est possible de relier la constante de Hamaker A à l'énergie de surface $\gamma$ des solides (voir paragraphe 1.4.2) :

$$A(J) \approx 2.1 \times 10^{-21} \gamma (mJ/m^2) \qquad (2.40)$$

Cette relation n'est valable que lorsqu'on utilise les unités indiquées entre parenthèses. Si nous portons la distance h entre les deux surfaces à 1 nm, la force d'attraction est divisée par plus de 200 par rapport à celle obtenue pour $h = h_0$. Les effets de l'énergie de surface sur l'adhésion et la mouillabilité ne sont plus significatifs au delà de cette distance comme cela a été discutée dans le section 1.4.2 dédiée à l'énergie de surface.

## 2.4.2 Travail d'adhésion

L'adhésion est généralement décrite pas une approche plus macroscopique grâce au travail d'adhésion. Lorsque deux solides parfaitement plans sont en contact, il faudra fournir un travail $w_{ad}$, qu'on appelle travail d'adhésion, pour les séparer.

Entre les deux solides A et B en contact il existe une énergie interfaciale $\gamma_{AB}$ (figure 2.20). Une fois qu'ils ont été séparés, ils retrouvent leur énergie de surface respectives $\gamma_A$ et $\gamma_B$. On en déduit le travail d'adhésion par unité de surface :

$$w_{ad}(AB) = \gamma_A + \gamma_B - \gamma_{AB} \qquad (2.41)$$

Pour deux matériaux de même nature, ils n'existe pas d'énergie interfaciale résiduelle. On obtient donc directement le travail d'adhésion à partir de l'énergie de surface :

$$w_{ad}(AA) = 2\gamma_A \qquad (2.42)$$
<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>FIGURE 2.20 – Énergies mises en jeu lors de la séparation de deux surfaces planes.</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 2.2 – Travail d'adhésion des couples de matériau courants [Gra08].</caption><thead><tr><td>Contact</td><td>w<sub>ad</sub> mJ/m<sup>2</sup></td></tr></thead><tbody><tr><td>Métal - Métal</td><td>1000-3000</td></tr><tr><td>Céramique - Céramique</td><td>100-500</td></tr><tr><td>Polymère - Polymère</td><td>&lt; 100</td></tr><tr><td>Métal - Polymère</td><td>100-200</td></tr><tr><td>Métal - Céramique</td><td>200-400</td></tr><tr><td>Céramique - Polymère</td><td>50-150</td></tr></tbody></table>

Dans le cas où les matériaux sont différents, le travail d'adhésion peut être estimé par la relation suivante [BGK16] :

$$w_{ad}(AB) = 2\sqrt{\gamma_A\gamma_B} \qquad (2.43)$$

Le tableau 2.2 présente les ordres de grandeur du travail d'adhésion pour les couples de matériaux les plus courants. Logiquement, le travail d'adhésion est corrélaté à l'énergie de surface. C'est donc pour les métaux que la valeur est la plus élevée et pour les polymères que les plus faibles valeurs sont observées. D'une manière générale, on évite d'employer le même métal pour les deux solides antagonistes afin de limiter l'adhésion.

### 2.4.3 Critère d'adhésion

Le travail réel d'adhésion $W_{ad}$, lorsque deux surfaces sont mises en contact, est le produit de $w_{ad}$ par l'aire réelle de contact A. Une énergie élastique $W_{el}$ a été stockée lors de la mise en contact. Si cette dernière est supérieure au travail d'adhésion, les forces élastiques seront suffisantes pour séparer les deux surfaces :

$$\frac{W_{el}}{W_{ad}} > 1 \qquad (2.44)$$

Si ce critère n'est pas respecté, les solides vont rester collés.

Dans le cas du contact localisé, on a :

$$\frac{W_{el}}{W_{ad}} = \frac{2}{5\pi} \frac{F}{w_{ad}R} \qquad (2.45)$$

Il existe toujours un phénomène d'adhésion. Il deviendra négligeable lorsque la force F ou l'interférence $\delta$ va devenir suffisamment grande. On peut définir une force critique $F_{ad}$ correspondant au cas où le travail d'adhésion et l'énergie élastique sont égales :

$$F_{ad} = \frac{5\pi}{2^{1/3}} w_{ad} R \qquad (2.46)$$
En reprenant l'exemple du tableau 2.1 avec un travail d'adhésion $w_{ad} = 3600mJ/m^2$ pour un contact acier-acier, on trouve $F_{ad} = 0.29N$. Cette force est bien négligeable par rapport au chargement appliquée. Comparons la force critique au poids de la bille :

$$P = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho g \qquad (2.47)$$

où $\rho$ est la densité du matériau et $g$ l'accélération de la pesanteur. La figure 2.21 présente l'évolution du rapport de ces deux forces lorsque le rayon de la bille change. Plus les rayons sont petits, plus le poids devient négligeable devant l'adhésion. Cet exemple montre l'impact que peuvent avoir ces forces dans les micro et nano-mécanismes.

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIGURE 2.21 – Rapport entre le poids et la force d'adhésion d'une bille en acier sur un plan en acier.</figcaption></figure>

Pour le contact surfacique, le rapport entre l'énergie élastique et le travail d'adhésion s'exprime :

$$\frac{W_{el}}{W_{ad}} = \frac{E'}{w_{ad}} \sqrt{\frac{\sigma^3}{R}} \sqrt{\frac{1}{32\pi}} \qquad (2.48)$$

Ce rapport est constant et indépendant de la force appliquée car la force et l'aire réelle de contact sont proportionnelles. Gras [Gra08] présente un index d'adhésion pour les contacts surfaciques :

$$\alpha = \frac{E'}{2w_{ad}} \sqrt{\frac{\sigma^3}{R}} \qquad (2.49)$$

Cet index est lié au rapport des énergies élastique et d'adhésion :

$$\alpha = \frac{W_{el}}{W_{ad}} \sqrt{8\pi} \approx 5 \frac{W_{el}}{W_{ad}} \qquad (2.50)$$

Si ce coefficient est inférieur à 5, le risque d'adhésion est élevé. Pour le réduire, il faut opter pour des matériaux plus rigides ou avec une plus faible énergie de surface. Il est également possible de modifier l'état de surface. En introduisant les paramètres d'état de surface, l'index d'adhésion devient :

$$\alpha = \frac{E'}{2w_{ad}} Sq^2 \sqrt{\frac{1}{\lambda_x \lambda_y}} \qquad (2.51)$$

Cette fois-ci, il est préférable que la surface ne soit pas trop lisse et donc que $Sq$ soit suffisamment élevé pour limiter les risques d'adhésion comme illustré sur la figure 2.22.
<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>FIGURE 2.22 – Effet de l'état de surface sur le risque d'adhésion dans un contact surfacique.</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 2.3 – Exemple de calcul d'un contact surfacique acier-acier</caption><thead><tr><td>Paramètre</td><td>Valeur</td></tr></thead><tbody><tr><td>Module équivalent E'</td><td>231GPa</td></tr><tr><td>Dureté H</td><td>1GPa</td></tr><tr><td>Travail d'adhésion w<sub>ad</sub></td><td>3.6J/m<sup>2</sup></td></tr><tr><td>Longueurs de corrélation λ<sub>x</sub> = λ<sub>y</sub></td><td>10μm</td></tr></tbody></table>

Intéressons au contact surfacique de deux pièces en acier dont les caractéristiques sont données dans le tableau 2.3. La figure 2.23 présente l'effet de la hauteur des rugosités *Sq* sur l'index de plasticité *ψ* et l'index d'adhésion *α*. Les valeurs de *Sq* inférieures à 0.04μm sont à éviter pour limiter les risques d'adhésion. D'autre part, si *Sq* est supérieur à 0.08μm, des zones de déformation plastiques sont susceptibles d'apparaître dans le contact. Il existe donc, pour cet exemple, un intervalle d'état de surface conseillé : *Sq* ∈ [0.04μm, 0.08μm].

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIGURE 2.23 – Influence de la hauteur des rugosités sur l'index de plasticité *ψ* et l'index d'adhésion *α*.</figcaption></figure>
## 2.5 Synthèse

- Possibilité de calculer l'aire de contact A entre deux solides;

- Contact localisé : la force F, la pression moyenne $p_m$ et l'aire de contact A sont liées par des relations non-linéaires;

- Contact surfacique : la force F et l'aire de contact A sont proportionnelles $F \propto A$. La pression moyenne $p_m$ est constante.

- Contact surfacique : On définit des critères de limite élastique $\psi$ et d'adhésion $\alpha$ qui dépendent des matériaux $E'$, $w_{ad}$, H et de l'état de surface $Sq$ et $\lambda$.

- Contact surfacique : Si un des matériaux est plus dur, il est préférable que sa surface soit plus lisse.
# Chapitre 3

## Frottement, usure et dissipation

Ce chapitre s'intéresse aux phénomènes dissipatifs dans un contact entre deux solides en mouvement relatif. En effet, les jonctions qui s'établissent entre les solides au niveau des aires réelles de contact doivent être rompues pour que le mouvement puisse s'établir. L'énergie à apporter se manifeste sous la forme d'une force de frottement et est dissipée sous forme de chaleur. Enfin, la rupture des jonctions conduit à une dégradations des surfaces qui se traduit par une usure des solides.

### 3.1 Frottement

#### 3.1.1 Lois et mécanismes du frottement

Lorsque deux solides 1 et 2 sont mis en contact par une force F, une force tangentielle T apparaît naturellement si on cherche à déplacer les solides l'un par rapport à l'autre. Cette force tangentielle est appelée force de frottement. Sur la figure 3.1, la force T correspond à $T_{2→1}$ et la vitesse de glissement V à $V_{1/2}$.

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Contact entre deux solides en présence de frottement.</figcaption></figure>

On définit généralement un facteur de frottement f tel que :

$$f = \left| \frac{T}{F} \right| \qquad (3.1)$$

On identifie deux situations :
— lorsque $V \neq 0$, on parle de frottement dynamique et $|T| = f|F|$;

— lorsque $V = 0$, on parle de frottement statique et $|T| < f|F|$.

Nous nous intéresserons principalement au cas du frottement dynamique.

Il existe trois lois empiriques concernant le facteur de frottement dynamique :

1. Amontons (1699) : $f$ est indépendant de $F$;

2. Amontons (1699) : $f$ est indépendant de l'aire apparente de contact $\mathcal{A}$;

3. Coulomb (1785) : $f$ est indépendant de la vitesse de glissement.

Malheureusement, les mécanismes qui contrôlent le frottement sont complexes (et en-core mal compris) et ils mettent souvent en défaut ces trois lois empiriques.

Lors du frottement dynamique, une puissance est dissipée :

$$ \mathcal{P} = TV = fFV \qquad (3.2) $$

Le frottement dynamique fait donc intervenir des phénomènes dissipatifs [BV14]. Il n'est donc pas dû à des déformations élastiques ou des phénomènes réversibles. Pour de nom-breux matériaux, la force de frottement dynamique peut être expliquée par des forces adhésives $T_a$ et des force de déformation plastique $T_d$ [Bhu02] :

$$ T = T_a + T_d = (f_a + f_d) F \qquad (3.3) $$

Dans le cas des matériaux viscoélastiques, comme le caoutchouc par exemple, ce sont les déformations élastiques couplé à l'effet visqueux qui contribuent au frottement. Cet aspect ne sera pas abordé dans ce cours.

### 3.1.2 Contribution adhésive au frottement

Dans les zones où les surfaces solides sont en contact intimes, des forces d'adhésion dues aux interactions atomique se développent. Pour rompre ces liaisons, une contrainte de cisaillement $\tau_a$ est nécessaire. La force totale permettant de rompre les liaisons est donc le produit de cette contrainte par l'aire totale de contact $A$ (définie sur la figure 3.2) :

$$ T_a = \tau_a A \qquad (3.4) $$

Le facteur de frottement adhésif s'exprime donc :

$$ f_a = \frac{\tau_a A}{F} \qquad (3.5) $$

Pour un contact élastique surfacique (voir paragraphe 2.3), il existe une relation entre la force normale et l'aire réelle de contact :

$$ \frac{F}{A} = \frac{E'}{2} \sqrt{\frac{\sigma}{2\pi R}} \qquad (3.6) $$

On obtient alors l'expression du facteur de frottement $f_a$ :

$$ f_a = \tau_a \frac{2}{E'} \sqrt{\frac{2\pi R}{\sigma}} \qquad (3.7) $$

Si la contrainte $\tau_a$ ne dépend que des matériaux impliqués dans le contact, alors les trois lois empiriques de frottement sont vérifiées : le facteur est indépendant de la charge, de l'aire apparente de contact et de la vitesse. En revanche, il montre une dépendance à l'état de surface et au module d'élasticité des matériaux.
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – Aire de contact entre deux solides.</figcaption></figure>

Si l'index de plasticité du contact $\psi$ est supérieur à 1 (voir paragraphe 2.3), les aspérités se déforment essentiellement de manière plastique. La pression moyenne de contact, c'est-à-dire le rapport entre la force normale et l'aire réelle de contact $F/A$, est alors égale à la dureté $H$ du matériau le plus mou. Dans ce cas, le facteur de frottement s'exprime :

$$f_a = \frac{\tau_a}{H} \qquad (3.8)$$

Si la contrainte $\tau_a$ ne dépend que des matériaux impliqués dans le contact, alors les trois lois empiriques de frottement sont vérifiées : le facteur est indépendant de la charge, de l'aire apparente de contact et de la vitesse. Il indique qu'un matériau dur conduit à un plus faible frottement.

L'index de plasticité s'exprime :

$$\psi = \frac{E'}{2H} \sqrt{\frac{\sigma}{R}} \qquad (3.9)$$

Le facteur de frottement pour un contact élastique peut alors s'exprimer :

$$f_a = \frac{\tau_a \sqrt{2\pi}}{\psi H} \qquad (3.10)$$

Comme $\psi$ est inférieur à 1, le frottement est nécessairement plus élevé si le contact est élastique. Ce n'est pas étonnant car pour qu'un contact reste élastique, il faut que pour une force donnée l'aire de contact réelle soit suffisamment grande pour éviter une pression de contact conduisant à des déformations plastiques. Dans un contact élastique, l'aire réelle de contact est nécessairement plus grande que pour un contact plastique (mêmes matériaux et même charge), il y a donc plus d'adhésion.

Tentons d'exprimer le cisaillement $\tau_a$. Nous pouvons faire l'hypothèse que pour briser les liaisons de contact, il faut déplacer les surfaces d'une distance $d$. Le travail fourni peut
<table><caption>TABLE 3.1 – Paramètres utilisés pour l'évaluation du coefficient de frottement adhésif.</caption><thead><tr><th>Matériau</th><th>Symbole</th><th>γ(mJ/m²)</th><th>E(GPa)</th><th>ν</th><th>H(GPa)</th><th>d(nm)</th><th>f expé.</th></tr></thead><tbody><tr><td>Aluminium</td><td>Al</td><td>840</td><td>62</td><td>0.346</td><td>0.15</td><td>0.4</td><td>1.4</td></tr><tr><td>Cuivre</td><td>Cu</td><td>1100</td><td>128</td><td>0.33</td><td>0.35</td><td>0.36</td><td>0.75</td></tr><tr><td>Chrome</td><td>Cr</td><td>2400</td><td>289</td><td>0.21</td><td>8</td><td>0.28</td><td>0.3</td></tr><tr><td>Fer</td><td>Fe</td><td>2550</td><td>208</td><td>0.25</td><td>1.2</td><td>0.28</td><td>0.75</td></tr></tbody></table>

être supposé égal au travail d'adhésion $w_{ad}$ et la distance $d$ approximée par le paramètre de maille des cristaux dans le cas d'un métal. On a alors :

$$ \tau_a \propto \frac{w_{ad}}{d} \qquad (3.11) $$

Dans ce cas, le coefficient de frottement pour un contact élastique peut être approché par :

$$ f_a \propto \frac{w_{ad}}{d} \frac{2}{E'} \sqrt{\frac{2\pi R}{\sigma}} \qquad (3.12) $$

et pour un contact purement plastique :

$$ f_a \propto \frac{w_{ad}}{dH} \qquad (3.13) $$

Prenons des couples de métaux purs frottant contre eux-mêmes. Il est possible d'obtenir la taille de maille $d$ [Dup05], l'énergie de surface $\gamma$ et donc le travail d'adhésion qui vaut deux fois l'énergie de surface dans ce cas. Les valeurs calculées à partir des équations 3.12 et 3.13 sont présentées en fonction de valeur de coefficient de frottement mesurées sur la figure 3.3 pour quatre métaux différents. Les données utilisée sont présentées dans le tableau 3.1. Nous avons choisi, pour le calcul élastique, $R/\sigma = 10^{-4}$ ce qui est un rapport courant.

On peut remarquer sur la figure que les calculs effectués avec l'approche plastique sont corrélées avec les mesures ce qui n'est pas le cas des calculs en régime élastique. On peut penser que lors des mesures les déformations étaient majoritairement plastiques. D'autre part, il existe un rapport environ 10 entre la valeur calculée en régime plastique et celle mesurée. Le calcul serait donc amélioré en utilisant 10 fois le paramètre de maille $d$. Ce rapport est consistant avec la suggestion de Mate et Carpick qui proposent d'appliquer un coefficient 0.1 sur l'énergie d'adhésion lors du calcul du frottement à l'échelle atomique (voir section 12.4). La forte corrélation entre l'énergie de surface $\gamma$ et la contrainte de cisaillement $\tau_a$ au niveau des jonctions a été récemment confirmés par simulation numérique pour de nombreux matériaux [WLFR19].

Les résultats présentés ici nous indiquent que le frottement adhésif représente une part significative du frottement. Il peut être limité en réduisant le travail d'adhésion $w_{ad}$ des matériaux (et donc leur énergie de surface respective) et en augmentant la dureté du matériau le plus mou. Si le régime de contact est élastique, il faut privilégier des matériaux rigides et un bon état de surface (faible valeur de $R/\sigma$).

### 3.1.3 Contribution plastique au frottement

Plaçons-nous dans une situation idéale où un matériau infiniment rigide de surface rugueuse glisse sur un matériau mou de surface lisse. Comme le montre la figure 3.4, les aspérités de la surface dure vont laisser des sillons sur la surface molle. Il est possible
<figure><img src="image_66.png" /></figure>

FIGURE 3.3 – Comparaison des valeurs de frottement mesurées aux valeurs estimées par les équations 3.12 et 3.13.

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

FIGURE 3.4 – Frottement résultant de la déformation plastique d'un matériau.

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

FIGURE 3.5 – Sphère rigide frottant sur un matériau déformable.
d'estimer le frottement en calculant la force nécessairement à l'écoulement plastique du matériau mou.

La figure 3.5 présente le cas d'une sphère rigide glissant sur un matériau déformable. Nous supposerons ce matériau parfaitement plastique. La pression de contact est donc égale à la dureté H du matériau mou. Les forces s'expriment donc :

$$F = HA_n \qquad (3.14)$$

et

$$T = HA_t \qquad (3.15)$$

où $A_n$ et $A_t$ sont les aires de contact projetées dans la direction normale et tangentielle, comme indiqué sur la figure 3.5. Le coefficient de frottement est alors égale au rapport des deux aires. Dans le cas où le rayon de contact $a$ est petit devant le rayon $R$ de la sphère, on montre que [Bhu02] :

$$f_p = \frac{A_t}{A_p} \approx \frac{4}{3\pi} \frac{a}{R} \qquad (3.16)$$

Le rayon de contact $a$ n'est pas une constante et dépend de la force appliquée, $F$ :

$$a = \sqrt{\frac{2F}{H\pi}} \qquad (3.17)$$

Le facteur de frottement s'exprime finalement :

$$f_p = \frac{A_t}{A_p} \approx \frac{4}{3\pi} \sqrt{\frac{2F}{R^2 H \pi}} \qquad (3.18)$$

La contribution plastique ne respecte pas les trois lois empiriques de frottement en raison de sa dépendance à la charge appliquée $F$. Toutefois, ce frottement est généralement associée à du frottement adhésif. On pourrait alors obtenir un facteur de frottement constant pour les faibles charges qui va ensuite augmenter quand la contribution plastique va devenir significative.

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 3.6 – Effet du rayon de contact sur le frottement d'origine plastique.</figcaption></figure>

En utilisant l'expression exactes des aires $A_t$ et $A_n$, il est possible de calculer le facteur de frottement $f_p$ sur une large plage du rapport $a/R$. Cette évolution est présentée sur la figure 3.6. Cette courbe montre que le frottement commence à devenir significatif quand
$a/R$ atteint 0.1. D'autre part, le coefficient de frottement plastique ne peut théoriquement pas dépasser 1, valeur qui correspond au cas où la moitié de la sphère serait enfoncée dans la surface lisse. Dans le cas d'une surface rugueuse, seule l'extrémité des aspérités est sphérique et le rapport $a/R$ ne peut dépasser 0.3 ce qui correspond à un facteur de frottement $f_p = 0.13$.

### 3.1.4 Frottement statique

Le frottement statique repose sur les mêmes mécanismes que le frottement dynamique mais est généralement plus élevé. En effet, les forces adhésives ont tendance à augmenter avec le temps de contact en raison de mécanismes à plus long terme comme la diffusion solide. Ceci conduit à une augmentation de la contribution adhésive au frottement. De plus, en statique un ancrage mécanique dû aux aspérités peut augmenter le frottement apparent comme le montre la figure 3.7. L'ancrage mécanique intervient en frottement dynamique mais joue un rôle positif ou négatif suivant le configuration et s'annule en moyenne.

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIGURE 3.7 – Ancrage mécanique en frottement statique</figcaption></figure>

### 3.1.5 Mesure du frottement

Le facteur de frottement se mesure au moyen d'un tribomètre. La figure 3.8 présente un tribomètre pion-disque qui est parmi les appareils les plus couramment utilisés. Il se compose d'un arbre en rotation à vitesse variable sur lequel se fixe un disque constituant le premier matériau à tester. Un pion réaliser avec le deuxième matériau du couple tribo-logique se monte sur un support équipé d'un capteur de force normale et tangentielle. Une force normale est appliqué au support de manière à presser le pion sur le disque. Puis le disque est mis en rotation et la force tangentielle est mesurée.

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIGURE 3.8 – Tribomètre de type pion-disque : a) Principe - b) Exemple de tribomètre (source Pprime)</figcaption></figure>

La tableau 3.2 présente des valeurs de coefficient de frottement pour les couples de
<table><thead><tr><th>Matériaux</th><th>f<sub>s</sub></th><th>f<sub>d</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Acier / Acier</td><td>0.2 - 0.8</td><td>0.2 -0.8</td></tr><tr><td>Aluminium / Acier</td><td>≥ 0.8</td><td>≥ 1</td></tr><tr><td>Aluminium / Aluminium</td><td>1</td><td>0.8</td></tr><tr><td>Cuivre / Acier</td><td>0.5</td><td>0.45</td></tr><tr><td>Chrome / Acier dur</td><td>0.4</td><td>0.4</td></tr><tr><td>Garniture de frein / Acier</td><td>0.3-0.4</td><td>0.25 - 0.35</td></tr><tr><td>Graphite / Acier (dans l'air)</td><td>0.1</td><td>0.1</td></tr><tr><td>Laiton / Acier</td><td>0.5</td><td>0.45</td></tr><tr><td>PTFE / Acier</td><td>0.05 - 0.1</td><td>&lt; 0.1</td></tr><tr><td>Caoutchouc / Metal</td><td>≈ 1</td><td>≈ 0.5 -1.5</td></tr><tr><td>Caoutchouc / Route</td><td>≈ 1</td><td>0.5 - 0.6</td></tr><tr><td>Polyéthylène / Acier</td><td>0.15 - 0.2</td><td>0.1 - 0.15</td></tr></tbody></table>

TABLE 3.2 – Valeurs indicatives de coefficients de frottement statique et dynamique de matériaux usuels en frottement à sec [Gra08]

matériaux usuels. Ces valeurs sont à utiliser avec précaution car elles peuvent varier sensiblement avec l'environnement, la vitesse de glissement, la charge.

## 3.2 Dissipation

L'énergie apportée pour vaincre le frottement dans les contacts est dissipée sous différentes formes (transformations de surface, chaleur, modifications des espèces chimiques, etc). Toutefois la majorité de cette énergie est transformée en chaleur [BV14]. Elle conduit à une augmentation locale de température qu'il convient d'évaluer. La figure 3.9 présente l'image d'un tribomètre pion-disque vue par une caméra infrarouge. On observe clairement une émission plus intense dans la zone de contact. Afin de calculer l'élévation de température de contact, nous nous placerons toujours dans le cas d'un régime établi et nous ferons l'hypothèse que l'intégralité de l'énergie apportée pour vaincre le frottement est transformée en chaleur.

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIGURE 3.9 – Image infrarouge d'un tribomètre de type pion-disque en fonctionnement (source Pprime)</figcaption></figure>
### 3.2.1 Solide soumis à une source de chaleur stationnaire

Un solide semi-infini soumis à un flux de chaleur $q$ sur une surface de rayon $a$, va subir une augmentation de température (figure 3.10). Notons $T_0$ sa température au loin et $T_m$ la température moyenne dans la zone circulaire où le flux de chaleur est appliquée. Le problème étant linéaire on a :

$$T_m - T_0 = c_T q \qquad (3.19)$$

D'après Johnson [Joh85], le coefficient de proportionnalité $c_T$ entre l'accroissement de température et le flux s'exprime :

$$c_T = \frac{8a}{3\pi k} \qquad (3.20)$$

où $k$ est le coefficient de conductibilité thermique du solide.

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIGURE 3.10 – Solide soumis à une source de chaleur stationnaire.</figcaption></figure>

### 3.2.2 Solide soumis à une source de chaleur mobile

Un solide semi-infini soumis à un flux de chaleur $q$ sur une surface de rayon $a$ se déplaçant à une vitesse constante $V$, va subir une augmentation de température (figure 3.11). Le problème étant linéaire et le régime établi, on a :

$$T_m - T_0 = c_T q \qquad (3.21)$$

La valeur de $c_T$ va dépendre du nombre de Peclet du problème :

$$Pe = \frac{\sqrt{\pi \rho C V a}}{2k} \qquad (3.22)$$

où $\rho$ et $C$ sont respectivement la densité et la chaleur spécifique du matériau. Si le nombre de Peclet est petit devant 1, le problème est quasi-stationnaire et on retrouve le cas pré-cédent :

$$c_T = \frac{8a}{3\pi k} \qquad (3.23)$$

Au contraire, si $Pe$ est grand, on a [Joh85] :

$$c_T = \frac{2a}{3k\sqrt{Pe}} \qquad (3.24)$$

Il existe, entre ces deux courbes, une zone de transition qu'il est difficile de décrire analy-tiquement. Je propose donc de retenir la plus faible des deux valeurs données par les deux équations précédentes.
<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>FIGURE 3.11 – Solide soumis à une source de chaleur mobile.</figcaption></figure>

### 3.2.3 Cas d'un contact localisé entre deux solides

Lorsque deux solides sont mis en contact suivant un disque de rayon $a$ et que l'un d'eux est mis en mouvement, un flux de chaleur $q$ est dissipé dans le contact :

$$q = f \frac{FV}{\pi a^2} \qquad (3.25)$$

où $F$ est la force de contact et $f$ le coefficient de frottement. Ce flux se réparti entre les deux solides comme sur la figure 3.12 :

$$q = q_1 + q_2 \qquad (3.26)$$

Faisons l'hypothèse que les deux solides sont à la même température dans la zone de contact. Il est alors possible de remplacer les flux dans chaque solide par les relations précédentes :

$$q = \frac{T_m - T_0}{c_{T1}} + \frac{T_m - T_0}{c_{T2}} \qquad (3.27)$$

En se référant à la figure 3.12, $c_{T1}$ est calculé à partir des formules pour une source mobile et $c_{T2}$ est calculé en supposant la source stationnaire. Finalement la température de contact s'exprime :

$$T_m - T_0 = \frac{c_{T1}c_{T2}}{c_{T1} + c_{T2}} f \frac{FV}{\pi a^2} \qquad (3.28)$$

En faisant intervenir la pression moyenne de contact $p_m$, on obtient :

$$T_m - T_0 = \frac{c_{T1}c_{T2}}{c_{T1} + c_{T2}} f p_m V \qquad (3.29)$$

Cette équation montre que l'élévation de température dans le contact est proportionnelle à la pression moyenne de contact $p_m$ et au coefficient de frottement $f$. Les coefficients thermiques $c_T$ pouvant dépendre de la vitesse, la température n'est pas exactement proportionnelle à la vitesse de glissement $V$. Le produit $p_m.V$ qui est souvent utilisé comme critère de sélection des matériaux est clairement mis en évidence ici. C'est lui qui contrôle la température de contact.

### 3.2.4 Cas d'un contact surfacique entre deux solides

Plaçons-nous dans les hypothèses de Greenwood et Williamson [GW66] (voir paragraphe 2.3). Nous supposerons que le frottement sous une aspérité influence une zone de
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIGURE 3.12 – Dissipation thermique dans un contact localisé.</figcaption></figure>

faible étendue autour de cette aspérité et n'influence pas la température du contact voisin comme indiqué sur la figure 3.13. Pour ce type de contact la pression moyenne s'exprime :

$$p_m = \frac{F}{A} = \frac{E'}{2} \sqrt{\frac{\sigma}{2\pi R}} \qquad (3.30)$$

Le rayon de contact moyen $a$ se calcule à partir de l'aire réelle de contact $A$ et du nombre $n$ d'aspérités en contact :

$$a = \sqrt{\frac{A}{n\pi}} = \sqrt{\frac{R\sigma}{2}} \qquad (3.31)$$

Il est alors possible d'utiliser la formule précédente 3.29 établie pour le contact localisé. Les coefficients thermiques $c_T$ sont calculés comme précédemment.

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>FIGURE 3.13 – Dissipation thermique dans un contact surfacique.</figcaption></figure>

Plaçons-nous dans le cas où la surface lisse est en acier et la surface rugueuse dans un des matériaux donnés dans la tableau 3.3. Nous supposerons que le rayon de courbure des aspérités vaut $R = 0.1$ mm et l'écart-type des hauteurs des sommets $\sigma = 1\mu m$. Notons que l'acier a une densité de $\rho = 7800$ kg/m$^3$ et une capacité thermique de $C = 500$ J/kg.K.

La figure 3.14 présente l'augmentation moyenne de température sous les aspérités lorsque la vitesse varie. Dans le contact acier-acier, l'accroissement de température peut atteindre des valeurs de l'ordre de 1000K pour $10m/s$ de vitesse de glissement. Il existe alors des risques importants de fusion. L'utilisation de cuivre ou d'aluminium permettent de réduire la température de contact en raison de leur forte conductivité thermique $k$. Bien
<table><thead><tr><th>Propriétés</th><th>Cuivre</th><th>Acier</th><th>Aluminium</th><th>Carbone</th></tr></thead><tbody><tr><td><i>E</i> (GPa)</td><td>125</td><td>210</td><td>70</td><td>20</td></tr><tr><td><i>ν</i></td><td>0.3</td><td>0.3</td><td>0.34</td><td>0.17</td></tr><tr><td><i>k</i> (w/m.K)</td><td>400</td><td>40</td><td>237</td><td>20</td></tr><tr><td><i>f</i> sur acier</td><td>0.3</td><td>0.3</td><td>0.16</td><td>0.1</td></tr></tbody></table>

TABLE 3.3 – Matériaux utilisés pour le calcul de température dans un contact surfacique

que peu conducteur, le graphite limite la température grâce à une faible valeur de pression de contact (due à un faible $E'$).

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIGURE 3.14 – Elévation moyenne de température dans un contact surfacique rugueux sur acier</figcaption></figure>

La température au niveau des aspérités est appelée température éclair ou température flash [AAK91, DL00]. Notons que les valeurs calculées ici sont des moyennes, c'est-à-dire que localement le pression et donc la température peuvent être beaucoup plus élevées. D'autre part, la température sous chaque aspérité n'est pas indépendante. Il y a une élévations globale de la température de surface qui s'ajoute aux élévations locales. Ce point est abordé dans le paragraphe 13.3 traitant des interactions thermiques entre le contact et le système dans lequel il intervient. Le message à retenir est qu'il faut limiter la pression de contact, la vitesse ou le facteur de frottement pour éviter les risques de fusion locale des matériaux.

## 3.3 Usure

L'usure d'un solide est généralement définie comme une perte de matière, un mouvement de matière ou une transformation de matière en surface du solide sous l'effet d'une interaction avec un autre milieu (solide dans notre cas, mais ça peut également être un fluide).

### 3.3.1 Les différents mécanismes d'usure

Cornet et Deville [CD98] ont proposé une répartition des mécanismes à l'origine de l'usure dans l'ensemble des milieux industriels. Des exemples de surface usée par ces mécanismes sont présentées sur la figure 3.16. La corrosion qui résulte d'une interaction
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>FIGURE 3.15 – Importance relative des mécanismes d’usure dans l’industrie, d’après [CD98].</figcaption></figure>

chimique de la surface avec le milieu environnant ne sera pas abordée ici. L’érosion est provoquée par l’écoulement d’un fluide, généralement chargé de particules, contre la surface. La fatigue superficielle est provoquée par le passage répété d’un contact localisé. Comme cela a été abordé dans le paragraphe 2.2.2, des contraintes de cisaillement élevées se développent sous la surface et conduisent progressivement à l’écaillage de la surface (voir la figure 3.16). Ce type d’usure concerne essentiellement les roulements et engrenages. Nous nous limiterons ici aux deux principaux mécanismes que sont l’abrasion et l’adhésion. Ils apparaissent dans les contacts où les surfaces sont en glissement relatif. Nous noterons que ces deux mécanismes contribuent également au frottement (voir section 3.1). Enfin, un dernier type d’usure peut être observé. Il s’agit d’une usure thermique liée à une fusion locale d’un des matériaux (voir le paragraphe précédent sur la dissipation thermique dans les contacts).

### 3.3.2 Usure adhésive

Il a été montré dans les paragraphes précédents que des forces d’adhésion se développent entre les surfaces mises en contact. La rupture de ces liaisons adhésives nécessite d’exercer une contrainte de cisaillement $τ_a$, à l’origine du frottement. Elle peut s’exprimer :

$$ \tau_a = f_a p_m \qquad (3.32) $$

où $p_m$ est la pression moyenne de contact et $f_a$ la contribution adhésive du coefficient de frottement. Dans le cas du contact sphère plan, l’application d’une pression conduit à la création d’une contrainte de cisaillement sous la surface. Elle s’exprime :

$$ \tau_0 \approx 0.31p_0 = 0.465p_m \qquad (3.33) $$

Ces deux contraintes sont du même ordre de grandeur. On comprend alors qu’il est parfois plus facile de rompre le matériau (le moins résistant) sous sa surface plutôt que de rompre la liaison adhésive. C’est le mécanisme à l’origine de l’usure adhésive et qui est illustré sur la figure 3.17. L’usure adhésive se caractérise donc par des arrachements de matière irréguliers sur les surfaces (voir figure 3.16). Les particules d’usure arrachées du matériau le plus tendre vont adhérer sur l’antagoniste. Le matériau le plus tendre va donc se retrouver à frotter contre lui-même. D’autre part, la topographie des surfaces et donc les pressions de contact vont changer. Ces points seront abordés un peu plus loin dans le chapitre.

L’adhésion dépend de l’énergie de surface des matériaux et plus particulièrement de leurs travail d’adhésion $w_{ad}$. Lorsque les pressions de contact sont élevées et que les matériaux ont un travail d’adhésion élevée, il possible d’atteindre un régime sévère d’adhésion
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIGURE 3.16 – Exemples de surfaces usées par différents mécanismes a) Adhésion $^a$ b) Abrasion $^b$ c) Fatigue superficielle $^c$ d) Corrosion $^d$ e) Erosion $^e$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>FIGURE 3.17 – Mécanisme de l’usure adhésive.</figcaption></figure>

<footnote>a. CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=14365</footnote>

<footnote>b. Domaine public, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=13718</footnote>

<footnote>c. Par Ben pcc sur Wikipédia anglais ? Transféré de en.wikipedia à Commons par Liftarn utilisant CommonsHelper., Domaine public, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=12014884</footnote>

<footnote>d. CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1004673</footnote>

<footnote>e. Par Jean-Jacques MILAN 17 :43, 24 Nov 2004 (UTC) ? Travail personnel, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=17566</footnote>
où les surfaces sont soudées. Le mécanisme est alors complètement bloqué, on parle de grippage. La figure 3.18 présente un exemple de grippage qui s'est produit entre deux solides en acier inoxydable.

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>FIGURE 3.18 – Exemple de grippage, manifestation sévère de l’usure adhésive (source Pprime).</figcaption></figure>

Pour limiter l’usure adhésive, il faut augmenter l’index d’adhésion $\alpha$ au delà de 5 en adaptant les matériaux et leur état de surface (voir 2.4.3).

### 3.3.3 Usure abrasive

Le mécanisme de l’usure abrasive est décrit sur la figure 3.19. Un solide rigide vient indenter et labourer un matériau qui se déforme plastiquement. Le solide rigide peut être une particule dure qui s’est introduit dans le contact. On parle d’abrasion à trois corps. Le solide rigide peut être un des deux protagonistes du contact. On parle d’abrasion à deux corps.

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>FIGURE 3.19 – Mécanisme de l’usure abrasive</figcaption></figure>

L’usure abrasive est généralement limitée en augmentant la dureté du matériau le plus tendre. Dans le cas d’abrasion à deux corps, il est souhaitable de réduire l’index de plasticité $\psi$ (voir paragraphe 2.3.3) afin de rester en régime élastique et limiter le labourage d’une des surfaces. Comme suggéré par l’index de plasticité, il est préférable que le matériau dur soit le plus lisse possible. Notons que l’abrasion est un moyen de production de surfaces (rodage, polissage).

### 3.3.4 Mécanismes de formation des débris

Les débris d’usure sont des particules qui se détachent des surfaces suite à la formation de fissures en surface des solides. La formation du débris dépend toutefois des conditions de contact. Par simulation, des auteurs ont montré la possibilité d’un transfert de matière
ou au contraire la formation de débris dus à la fissuration sous l'aspérité (figure 3.20). Ils ont montré qu'il existe une taille critique de contact $a^*$ au delà de laquelle un débris va se former. Toutes les zones de contact ayant une taille inférieure ne formeront pas de débris. Cette taille critique s'exprime :

$$a^* = 3 \frac{w_{ad}E}{2\sigma_c^2(1 + \nu)} \qquad (3.34)$$

où $\sigma_c$ correspond au minimum de $\tau_a$ (contrainte de cisaillement des jonctions) et de la résistance au cisaillement du matériau considéré. E et $\nu$ sont les paramètres du matériau considéré.

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>FIGURE 3.20 – Simulation de dégradations par usure adhésive [AWM16], Creative Commons Attribution 4.0 International License.</figcaption></figure>

### 3.3.5 Modèles d'usure

L'usure est un phénomène complexe qui fait intervenir plusieurs mécanismes. Toutefois on identifie plusieurs phases d'usure (voir figure 3.21). Dans les premières heures de fonctionnement d'un mécanisme, il existe une phase d'adaptation des surfaces qu'on appelle couramment rodage. Puis, le contact entre dans une phase d'usure normale pour laquelle des modèles ont été proposés. Enfin, on trouve une phase rapide d'usure en fin de vie.

<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>FIGURE 3.21 – Les différentes phases d'usure d'un contact frottant.</figcaption></figure>
Nosonovsky [Nos10] a proposé un modèle simple qui permet de décrire la phase de rodage. Il s'appuie sur un paramètre de hauteur de rugosité dont il cherche à identifier l'évolution. Nous choisissons arbitrairement $Sq$. L'usure adhésive tend à augmenter $Sq$ en raison de l'arrachement de matière. L'intensité de cette usure sera d'autant plus grande que $Sq$ est faible. D'autre part, l'usure abrasive tend à réduire $Sq$. Elle sera d'autant plus élevé que $Sq$ est grand. On en déduit une loi de comportement pour $Sq$ :

$$ \frac{dSq}{dt} = -\alpha Sq + \frac{\beta}{Sq} \qquad (3.35) $$

où $\alpha$ et $\beta$ sont respectivement des coefficients d'usure abrasive et adhésive. Cette équation différentielle présente la solution suivante :

$$ Sq = \sqrt{\left(Sq_0^2 - \frac{\beta}{\alpha}\right) e^{-2\alpha t} + \frac{\beta}{\alpha}} \qquad (3.36) $$

où $Sq_0$ est la hauteur initiale des rugosité. Le rapport $\sqrt{\beta/\alpha}$ représente la valeur finale de la hauteur des rugosités. Les deux premières courbes de la figure 3.22 montrent comment peut évoluer la hauteur des rugosités. C'est la compétition entre l'usure abrasive et adhésive qui va contrôler le régime d'usure normale. Le temps caractéristiques de rodage est $\frac{1}{2\alpha}$. Dans le cas où il n'y aurait que de l'usure adhésive, soit $\alpha = 0$, la solution est :

$$ Sq = \sqrt{2\beta t + Sq_0^2} \qquad (3.37) $$

On obtient donc une augmentation continue et illimitée de la hauteurs des rugosité (voir figure 3.22). Cet effet n'est pas contre-balancé par l'abrasion. Au contraire s'il n'y a pas d'adhésion, la solution devient :

$$ Sq = Sq_0 e^{-\alpha t} \qquad (3.38) $$

La hauteur des rugosité va tendre vers 0. Ce type de solution est présenté sur la figure 3.22.

<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>FIGURE 3.22 – Evolution de la hauteur des rugosités pendant la période de rodage - Modèle qualitatif (sans unité) avec $Sq_0 = 0.5$ [Nos10]</figcaption></figure>

Ce modèle qualitatif très simple met en évidence plusieurs points intéressants. Il existe une phase transitoire d'usure suivie d'une période stable où les paramètres de rugosité doivent rester constants (si les conditions de fonctionnement ne changent pas). Les deux
mécanismes d’usure que sont l’abrasion et l’adhésion participent nécessairement sinon une solution irréaliste serait obtenue. Toutefois, si l’usure adhésive est prépondérante, des valeurs élevées de rugosité vont être atteintes, comme le montre l’expérience. Au contraire si l’usure abrasive domine, il est possible de diminuer la hauteur des rugosités, ce qui est fait dans les opérations de polissage.

En 1953, Archard [Arc53] a proposé un modèle simple pour décrire la phase d’usure normale. Il y a n aspérités en contact plastique. On note a la taille de la zone de contact. La force de contact s’exprime :

$$F = na^2H \qquad (3.39)$$

où H est la dureté. Après un glissement de a, une partie des contacts vont créer un débris de volume a³. Donc le volume usé, pour un glissement d = a vaut :

$$w = kna^3 \qquad (3.40)$$

où k est un coefficient de probabilité de former un débris. En utilisant l’expression de la force normale, le volume usé pour une distance de glissement d vaut :

$$w = k \frac{Fd}{H} \qquad (3.41)$$

On utilise parfois un coefficient d’usure K qui s’exprime en en mm³/N.m

$$K = \frac{k}{H} \qquad (3.42)$$

Le volume de matière usée w s’exprime alors :

$$w = KFd \qquad (3.43)$$

En divisant, cette équation par l’aire apparente de contact A, on fait apparaître la hauteur usée u et la pression nominale de contact $p_n$ :

$$u = Kp_n d = Kp_n Vt \qquad (3.44)$$

Dans le dernier terme, la distance a été remplacée par le vitesse V multipliée par le temps d’usage t. En se fixant, une hauteur maximale d’usure $u_M$, il est possible de calculer une durée de vie $t_d$.

$$t_d = \frac{u_M}{Kp_n V} \qquad (3.45)$$

La difficulté est bien sûr la détermination du coefficient d’usure qui varie de plusieurs ordres de grandeur suivant les matériaux. Ceci rend la prédiction d’une durée de vie très approximative. De plus, si les conditions de fonctionnement varient, une phase transitoire va se produire et conduire à un régime stable différent.

Pour pallier à ce problème, Fouvry et ses co-auteurs [FLK+03] ont proposé un modèle énergétique. Il s’avère plus simple mais plus riche que celui d’Archard. L’énergie apportée au système est utilisée pour rompre les jonctions dans les zones de contact. En supposant que chaque rupture génère un débris dont le volume est proportionnel à l’énergie apportée pour la rupture, il vient :

$$w = K_e E_d \qquad (3.46)$$

où w est le volume de matière usée, $E_d$ l’énergie dissipée et $K_e$ est un coefficient d’usure (en $\mu m^3/J$). Cette approche est bien vérifiée par l’expérience comme le montre la figure
<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>FIGURE 3.23 – Validation expérimentale de la loi d’usure énergétique (contact oscillant sous différentes conditions), $K_e = 415\mu m^3/J$, d’après [FLK+03]</figcaption></figure>

3.23. Le modèle d’Archard est un cas particulier de ce modèle. En effet, si le coefficient de frottement $f$ est constant pendant tout le test, alors l’énergie dissipée est $E_d = fFd$. On obtient alors une relation entre les coefficients d’usure : $K_e = fK$.

Tentons de déterminer le coefficient de probabilité de formation d'un débris $k$. En se rapportant aux travaux de Aghababei et al. [AWM16], un débris va se former si le contact a une taille supérieure à $a^*$. Cette taille correspond à une interférence $\delta^* = \frac{a^*2}{R}$ (d'après la relation 2.11 pour le contact sphère plan élastique). En applicant le modèle de Greenwood et Williamson, le nombre de contact ayant une taille supérieure à $a^*$ est :

$$n^* = \eta A \exp \left( - \frac{2h_s + 2\delta^*}{\sigma} \right) \qquad (3.47)$$

Si on définit $k$ comme la probabilité qu'un contact forme un débris, il s'agit du rapport $\frac{n^*}{n}$, $n$ étant le nombre de sommets en contact. On en déduit le coefficient d'usure :

$$k = \exp \left( - \frac{2a^*^2}{R\sigma} \right) \qquad (3.48)$$

Ce coefficient d'usure dépend des caractéristiques des matériaux ($a^*$) mais aussi des caractéristiques des sommets des aspérités $R\sigma$. En utilisant les relations du chapitre précédents : $R\sigma = \lambda_x\lambda_y$. Donc :

$$k = \exp \left( - \frac{2a^*^2}{\lambda_x \lambda_y} \right) \qquad (3.49)$$

Il est donc souhaitable de limiter la taille latérale des aspérités pour réduire l'usure.

### 3.3.6 Mesure de l'usure

L'usure est généralement mesurée au cours d'un test de frottement sur un tribomètre. Des techniques simples de mesure d'usure permettent d'évaluer la quantité de matière enlevée :

- Pesée : pesée de l'échantillon avant et après le test de frottement au moyen d'une balance de précision ;
- Mesure de cote : Mesure de la variation de longueur d'un échantillon avant et après le test de frottement, dans le cas d'une usure uniformément répartie;

- Mesure du volume usé : Mesure de topographie avant et après test pour évaluer le volume enlevé pour créer la piste d'usure.

Les outils de mesure de topographie de surface (voir paragraphe 1.3.2), permettent d'évaluer les hauteurs d'une surface après usure comme sur les exemples de la figure 3.24. Il est ensuite possible de tracer des profils à différents endroits pour mesurer l'aire de la piste d'usure puis le volume de matière enlevée (figure 3.25). Ces profils présentent généralement des bourrelets résultant de la déformation plastique du matériau. Notons qu'on peut aussi observer une augmentation de volume ou de masse en raison des transferts de matière dus à l'adhésion. Il est alors difficile de mesurer effectivement l'usure.

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>FIGURE 3.24 – Exemples de piste d'usure (source Pprime) a) Piste en acier après frottement avec un pion en acier b) Piste d'une garniture mécanique après frottement.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>FIGURE 3.25 – Mesure du volume d'usure</figcaption></figure>

En mesurant le volume de matière usée à différents instants au cours d'un test tribo-logique, il est possible d'évaluer le coefficient d'usure *K*. Le tableau 3.4 donne des valeurs indicatives pour des couples de matériaux usuels. Ces valeurs sont à utiliser avec précaution car elles peuvent varier de façon notable suivant les conditions de fonctionnement.

## 3.4 Théorie du troisième corps

Dans ce chapitre nous avons présenter les principaux mécanismes de frottement et d'usure des matériaux. Ceux-ci sont liés à l'adhésion et aux déformations plastiques qui dépendent des caractéristiques des surfaces (énergie de surface, dureté, paramètres de rugosité) et des matériaux (module d'élasticité). Cependant le phénomène d'usure conduit
<table><caption>TABLE 3.4 – Valeurs indicatives de coefficients de coefficient d'usure K de matériaux usuels en frottement à sec [Gra08].</caption><thead><tr><th>Matériaux</th><th>K (mm<sup>3</sup>/N.m)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Métal / Métal</td><td>10<sup>-4</sup> – 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>Polymère / Métal</td><td>10<sup>-5</sup> – 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>Composites+lubrifiant solides / Métal</td><td>10<sup>-7</sup> – 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>Garniture de frein / Métal</td><td>10<sup>-5</sup> – 10<sup>-4</sup></td></tr></tbody></table>

à la création de débris qui vont adhérer aux surfaces ou sortir du contact. Ces particules d'usure vont réagir chimiquement avec l'environnement pour former des oxydes ou d'autre composés qui peuvent avoir des comportement très différents des surfaces initiales. L'élévation locale de température peut en outre favoriser certaines réactions chimiques telles que l'oxydation voire la fusion des matériaux [AL90]. Enfin, la topographie initiale des surfaces est rapidement modifiée au cours du frottement ce qui risque d'affecter l'aire de contact et le coefficient de frottement. Cette discussion met en évidence la complexité du problème et la difficulté de prédire la valeur des coefficients de frottement ou d'usure. Des théories plus avancées ont été proposées pour décrire le problème du frottement entre solides parmi lesquelles on trouve la théorie du troisième corps [Sta05].

La figure 3.26 présente le principe de la théorie du troisième corps. Les particules et débris d'usure constituent un troisième corps qui va séparer les deux solides initialement en contact. L'étude du contact revient à étudier l'écoulement de ce troisième corps et plus particulièrement les différents débits. Le débit de production (source) provient de l'usure des solides. Les particules vont ensuite s'écouler sous l'effet du cisaillement résultant du glissement des deux premiers corps. Certaines particules vont être éjectées du contact et d'autres vont être recyclées (entrer à nouveau dans le contact). La difficulté est de caractériser ces différents débits. Les principaux phénomènes décrits précédemment peuvent être modélisés par cette approche :

— usure = production du troisième corps;

— frottement = rhologie du troisième (comparable à la viscosité d'un fluide).

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>FIGURE 3.26 – Débit de troisième corps dans un contact, d'après Berthier [Sta05].</figcaption></figure>

Cette approche qui prend en compte les débris dans le contact peut être simulée par des méthodes numériques avancées s'appuyant sur les éléments discrets par exemple (voir
figure 3.27). Ces approches sont prometteuses et permettront certainement à l'avenir une meilleure prédiction de la durée de vie des contacts.

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>FIGURE 3.27 – Simulation de l’usure par éléments discrets [Fil04]</figcaption></figure>

3.5 Synthèse

— Le frottement (dans les métaux) résulte principalement de liaisons adhésives et de déformations plastiques dans les zones de contact.

— La puissance dissipée TV ou pression p_n par vitesse V conduit à une augmentation de la température du contact;

— Les matériaux sont limités par la température et le produit $p_n \times V$ [Gra08] :

— Métal : ~ 1W/mm²

— Céramique : ~ 0.4W/mm²

— Composite polymère+lubrifiant solide ~ 1.5 à ~ 3W/mm²

— Le mécanisme d’usure peut être abrasif (déformation plastique). Pour limiter l’usure :

— Augmenter la dureté H des matériaux;

— Diminuer l’index de plasticité $\psi$.

— Le mécanisme d’usure peut être adhésif. Pour limiter l’usure :

— Augmenter l’index d’adhésion $\alpha$.

— Le volume de matière usée $w$ est proportionnel à :

— La force normale $F$

— La distance de glissement $d$

— ou à l'énergie dissipée dans le contact $E_d$

— un coefficient $k$ de probabilité de formation d'un débris

— On peut réduire $k$ en réduisant la taille latérale des rugosités $\lambda$
Deuxième partie

Interaction fluide solides : Régime
lubrifié
<figure><img src="image_92.png" /></figure>
# Chapitre 4

## Les lubrifiants

### 4.1 Définition

Un lubrifiant est une substance qui va être déposée dans un contact pour assurer les fonctions suivantes :

1. permettre la séparation des surfaces. Cette fonction est essentiellement assurée par la viscosité du fluide comme nous le verrons dans les chapitres suivants. L'objectif de la séparation des surfaces est d'empêcher le contact direct des solides et donc le frottement puis l'usure

2. protéger les surfaces principalement contre des réactions chimiques avec l'environnement (corrosion, oxydation)

3. évacuer du contact les débris (particule d'usure ou autres), les polluants, la chaleur générée, etc.

### 4.2 Composition des lubrifiants

Un lubrifiant est composé d'une huile de base qui peut être minérale ou de synthèse et d'additifs. Dans la cas d'une graisse, on ajoute à l'huile des additifs épaississants. Cet aspect ne sera pas abordé ici.

#### 4.2.1 Les huiles minérales

Les huiles minérales sont directement obtenues par distillation du pétrole (figure 4.1). Le matériau de base est relativement visqueux et est ensuite raffiné afin d'obtenir différents types d'huile qui se différencient par leur structure chimique et leur viscosité comme le montre la figure 4.2. Toutes ces huiles sont des hydrocarbures et sont donc uniquement composées d'atomes de carbone C et d'hydrogène H.

Le tableau 4.1 présente les trois grandes familles d'huile minérale : paraffinique, naphténique et aromatique. Leur structure moléculaire et leur niveau de viscosité différent.

#### 4.2.2 Les huiles de synthèse

Les huiles minérales présentent des limitations (notamment une forte dépendance de la viscosité à la température) qui a conduit au développement d'huile plus performantes dites de synthèse. Leur obtention nécessite un processus chimique qui est généralement beaucoup plus coûteux que la distillation et le raffinage. On identifie différentes familles parmi lesquelles (voir tableau 4.2) :
<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Distillation du pétrole [Cle09].</figcaption></figure>

<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Fabrication des huiles minérales [Cle09].</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 4.1 – Familles d'huiles minérales.</caption><thead><tr><th>Viscosité élevée</th><th>Viscosité moyenne</th><th>Viscosité faible</th></tr></thead><tbody><tr><td>Paraffine (Hexane)</td><td>Naphtène (Cyclohexane)</td><td>Aromate (Benzene)</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>TABLE 4.2 – Quelques huiles de synthèse</figcaption></figure>

- Les esters qui se distinguent par la présence d'atome d'oxygène;

- Les polyalphaoléfines (généralement appelées PAO) qui contiennent uniquement des atomes *C* et *H* mais qui se présentent sous forme de longues ramifications attachées à une chaîne principale;

- les huiles silicones qui contiennent des atomes de silicium *Si*;

- etc.

La viscosité de l'huile est généralement liée à la masse moléculaire (voir figure 4.3). Le contrôle de la taille des molécules permet donc de contrôler la viscosité résultante.

### 4.2.3 Les additifs

Les performances des lubrifiants sont généralement améliorées grâce à l'ajout d'additifs. Ces derniers peuvent être classés en trois catégories selon leur principale fonction [Cle09] :

1. Protéger les surfaces :

- Détergent;

- Dispersant;

- Extrême pression, anti-usure;

- Anti-corrosion;

- Modificateur de frottement.

2. Améliorer le lubrifiant :

- Modificateur de viscosité;

- Modificateur de point d'écoulement.

3. Protéger le lubrifiant :

- Anti-oxydant;
<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Viscosité en fonction de la masse molaire de différentes huiles PAO [ZLC$^{+}$12]</figcaption></figure>

— Anti-mousse.

Cette liste présente les principaux additifs mais n'est bien sûr pas exhaustive. Le tableau 4.3 donne, pour chacun de ces additifs, leur rôle et leurs mécanismes d'actions.

## 4.3 Viscosité

En lubrification, la viscosité est un paramètre clé comme nous le verrons dans les chapitres suivants. Il est nécessaire de connaître sa valeur.

### 4.3.1 Définition et mesure de la viscosité

La viscosité est la résistance opposée par un fluide à tout glissement interne de ses molécules les unes par rapport aux autres. Prenons l'exemple de la figure 4.4 où un fluide visqueux est placé entre deux surfaces planes parallèles. La surface supérieure est animée d'une vitesse constante V alors que la surface inférieure est immobile. En raison de sa viscosité, le fluide adhère parfaitement aux parois. Un gradient de vitesse va donc se créer dans la lame fluide. La résistance au glissement interne des molécules conduit à l'apparition d'une contrainte de cisaillement $\sigma_{xy}$. Cette contrainte est liée au gradient de vitesse par la loi de Newton :

$$ \sigma_{xy} = \tau = \mu \frac{dv}{dy} \qquad (4.1) $$

où $\mu$ est la viscosité dynamique du fluide. Donc plus un fluide est visqueux plus la contrainte de cisaillement sera élevé pour une même valeur de gradient de vitesse. L'unité de viscosité est le Pa.s. On utilise également la viscosité cinématique qui est le rapport entre le viscosité dynamique et la densité du fluide :

$$ \nu = \frac{\mu}{\rho} \qquad (4.2) $$

L'unité de la viscosité cinématique est le $m^2/s$. Le tableau 4.4 présente les unités de viscosité cinématique et dynamique. La cPo et le cSt sont des unités du système CGS couramment utilisées dans l'industrie. Toutefois, il est conseillé d'utiliser les unités du système SI. La viscosité de quelques fluides est donnée dans le tableau 4.5.

La viscosité d'un fluide se mesure au moyen d'un viscosimètre. On en trouve de nombreux types parmi lesquels :
<table><caption>TABLE 4.3 – Principaux additifs [Riz97, Cle09].</caption><thead><tr><td>Additif</td><td>Rôle</td><td>Mode d'action</td></tr></thead><tbody><tr><td>Anti-usure, extrême pression</td><td>Réduire l'usure et le frottement, prévenir du grippage.</td><td>Ces additifs réagissent chimiquement avec la surface métallique pour former un film sacrificial présentant une résistance au cisaillement plus faible que le métal.</td></tr><tr><td>Anti-corrosion</td><td>Empêcher la corrosion des surfaces.</td><td>Formation d'un film adsorbé sur la surface qui protège de la corrosion. Dans certains cas, additifs basiques pouvant neutraliser des acides corrosifs.</td></tr><tr><td>Détergent</td><td>Empêcher l'attaque des surfaces par des produits acides et limiter la formation de dépôt.</td><td>Forme une pellicule autour des particules les empêchant de se déposer. Réagit avec et neutralise les acides.</td></tr><tr><td>Dispersant</td><td>Empêcher l'agglomération des particules.</td><td>Les longues chaînes hydrocarbonées des dispersants maintiennent les particules en suspension dans l'huile.</td></tr><tr><td>Anti-oxydation</td><td>Empêcher l'oxydation du lubrifiant.</td><td>Décompose les composants (hydroperoxydes) qui conduisent à l'oxydation des huiles.</td></tr><tr><td>Anti-mousse</td><td>Empêcher la formation de mousse dans le lubrifiant.</td><td>Réduit la tension de surface du lubrifiant pour faciliter le destruction des bulles d'air.</td></tr><tr><td>Modificateur de frottement</td><td>Modifier le coefficient de frottement entre les surfaces.</td><td>Forme un film adsorbé durable sur les surfaces qui réduit le frottement.</td></tr><tr><td>Modificateur de point d'écoulement</td><td>Faciliter l'écoulement à basse température.</td><td>Empêche la formation de réseaux cristallins qui gênent l'écoulement du fluide.</td></tr><tr><td>Modificateur de viscosité</td><td>Minimiser la variation de viscosité avec la température.</td><td>S'associe aux molécules de lubrifiant lorsque la température augmente de façon à limiter la chute de viscosité.</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – Écoulement d'un fluide visqueux entre deux surfaces planes parallèles.</figcaption></figure>
<table><caption>TABLE 4.4 – Les unités de viscosité.</caption><thead><tr><th>Viscosité</th><th>Sustème CGS</th><th>Système SI</th><th>Correspondance</th></tr></thead><tbody><tr><td>Dynamique μ</td><td>Poise (1Po = 1g/cm.s)</td><td>Pa.s</td><td>1cPO = 1mPa.s</td></tr><tr><td>Cinématique ν = μ/ρ</td><td>Stokes (1St = 1cm²/s)</td><td>m²/s</td><td>1cSt = 10⁻⁶m²/s = 1mm²/s</td></tr></tbody></table>

<table><caption>TABLE 4.5 – Viscosité de quelques fluides.</caption><thead><tr><th>Fluide en conditions ambiantes</th><th>μ (Pa.s)</th><th>ν (m²/s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Air</td><td>1.8 × 10⁻⁵</td><td>1.5 × 10⁻⁵</td></tr><tr><td>Eau</td><td>0.001</td><td>10⁻⁶</td></tr><tr><td>Huiles minérales</td><td>0.01 à 1.5</td><td>10⁻⁵ à 1.5 × 10⁻⁴</td></tr><tr><td>Miel</td><td>≈ 10</td><td>≈ 0.01</td></tr></tbody></table>

— Viscosimètre de Couette (voir figure 4.5 a);

— Viscosimètre à chute de bille;

— Viscosimètre à cône;

— Viscosimètre à capillaire (voir figure 4.5 b).

Dans le viscosimètre de Couette, le fluide est placé dans l'espace entre une cavité cylindrique et un arbre en rotation. Le couple de frottement $C_f$ sur la partie fixe dépend de la viscosité du fluide :

$$C_f = \frac{2\pi\mu R^3 L\omega}{c} \qquad (4.3)$$

Ce viscosimètre offre l'avantage de pouvoir modifier le gradient de vitesse $\omega R/c$ imposé au lubrifiant, $\omega$ étant la vitesse de rotation. En revanche, la mesure du couple de frottement est toujours délicate à réaliser et nuit à la précision de mesure de la viscosité. Le viscosimètre à capillaire est beaucoup plus précis car il suffit de mesurer le débit d'écoulement $Q$ du fluide au travers d'un tuyau de faible diamètre (capillaire) :

$$Q = \frac{\pi R^4 p_1 - p_2}{8\mu L} = \frac{\pi R^4}{8\mu} \rho g \qquad (4.4)$$

Cependant, l'écoulement est contrôlé par les forces de gravité et il n'est pas possible d'ajuster le gradient de vitesse.

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>FIGURE 4.5 – Exemples de viscosimètres : a) Viscosimètre de Couette - b) Viscosimètre à capillaire.</figcaption></figure>
4.3.2 Lois de variation de la viscosité

La viscosité des fluides n'est pas un paramètre constant mais varie sensiblement avec les paramètres d'état du fluide (pression et température).

La figure 4.6 présente l'évolution de la viscosité de deux huiles différentes et de l'eau à pression atmosphérique sur une plage de température comprise entre 20 et 100°C. On remarque que la viscosité peut chuter d'un ordre de grandeur sur cette plage de température. Il est donc primordial de pouvoir décrire l'effet de la température sur la viscosité d'un fluide par une expression mathématique. Une loi couramment utilisée est celle de Reynolds [Rey86] :

$$
\mu(T) = \mu_0 e^{-\beta(T-T_0)} \qquad (4.5)
$$

où $\mu_0$ est la viscosité à la température $T_0$ et $\beta$ le coefficient de thermoviscosité. Pour les huiles normalisées, la variation de viscosité est plutôt décrite par la loi de Mc Coull et Walther [Aye97] :

$$
\nu(T) + a = e^{\frac{B}{Tn}} \qquad (4.6)
$$

où $\nu$ est la viscosité cinématique exprimée en $mm^2/s$ et $T$ la température en Kelvins. Le coefficient $a$ vaut généralement 0.7 $mm^2/s$. Pour ces deux lois, il est nécessaire de connaître la viscosité du fluide à deux températures différentes pour établir la valeur des différents coefficients.

Plus $\beta$ ou $n$ seront élevées, plus la viscosité variera rapidement avec la température.
Pour les huiles, on fait référence à un indice de viscosité qui traduit la rapidité de la
variation de la viscosité avec la température. Initialement cet indice était compris entre
0 et 100. 0 signifie une forte dépendance à la température. Le développement d'huiles de
synthèse a permis de limiter la variation de viscosité avec la température et on trouve
couramment des huiles avec un indice de viscosité supérieur à 100.

<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>FIGURE 4.6 – Variation de la viscosité avec la température.</figcaption></figure>

Lorsqu'une huile est soumise à une pression élevée, sa viscosité peut augmenter. On décrit généralement l'augmentation de viscosité par la loi de Barus [Aye97] :

$$
\mu(p) = \mu_0 e^{\alpha p} \tag{4.7}
$$

où $\alpha$ est la coefficient de piezo-viscosité. Ce dernier varie entre 5 GPa⁻¹ et 40 GPa⁻¹. La figure 4.7 présente l'évolution du rapport $\mu(p)/\mu_0$ lorsque la pression augmente pour les deux valeurs extrêmes de $\alpha$. Pour les pressions inférieures à 1 MPa, il n'y a pas d'effet sensible. En revanche pour des valeurs de pression plus grandes, la viscosité augmente fortement et peut être multipliée par 100000.
<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>FIGURE 4.7 – Amplification de la viscosité avec la pression.</figcaption></figure>

### 4.3.3 Classement normalisé des huiles

Les huiles sont généralement classées en fonction de leur viscosité. Il existe différents classements suivant l'application.

Pour les huiles industrielles, on utilise le classement ISO. Chaque huile est désignée par ISO VG (pour Viscosity Grade) suivie d'un nombre qui indique sa viscosité cinématique à 40°C en $mm^2/s$. Le tableau 4.6 présente les différents grades de viscosité disponible dans le classement ISO.

Les huiles moteurs n'entrent pas dans cette norme et s'appuient plutôt sur le classement SAE (Society of Automotive Engineers) présenté dans le tableau 4.7. Le classement est composé d'un chiffre qui peut être suivi d'un W pour les huiles utilisables à basse température (Winter). On parle d'huile monograde. Actuellement les huiles disponibles sont généralement multigrade en raison de leur plus faible dépendance à la température. Leur désignation associe un grade hiver comme 5W et un grade été comme 30 soit 5W30. Les caractéristiques à basse température sont alors celles d'une huile 5W et la viscosité à 100°C est celle d'une huile 30.

### 4.3.4 Comportement non-Newtonien

Les lubrifiants n'ont pas toujours un caractère Newtonien sur toute leur plage d'utilisation. Notamment lorsque le gradient de vitesse $\frac{dv}{dy}$ augmente, la viscosité peut varier. Si elle diminue on parle de fluide rhéo-amincissant, c'est le cas de nombreux lubrifiants. Au contraire, si la viscosité augmente avec le gradient de vitesse, on parle de fluide rhéo-épaississant. Nous nous limiterons ici au cas de fluides Newtoniens. L'effet des forts gradients de vitesse sur la viscosité sera étudié dans la section 12.3 dédiée à l'analyse de la viscosité des fluides dans les espaces confinés.

## 4.4 Les éco-lubrifiants

Entre 2007 et 2013, la consommation mondiale de lubrifiants s'est élevée à 40 millions de tonnes par an [Pha14]. Ces lubrifiants qui sont dangereux pour l'environnement nécessitent d'être recyclés. Un effort important est donc fait pour développer des éco-lubrifiants. Par définition, ils doivent être biodégradables et non-toxique pour l'environnement et les humains. Ces lubrifiants peuvent être des huiles végétales (colza) ou des huiles de synthèse obtenues à partir de végétaux ou éventuellement de pétrole. L'écolabel européen (www.ecolabel.eu) définit les critères pour qu'un fluide puisse prétendre à l'appellation
<table><caption>TABLE 4.6 – Classement normalisé des huiles ISO VG.</caption><thead><tr><th rowspan="2">ISO Viscosity grade</th><th colspan="3">Viscosité cinématique à 40°C (mm²/s)</th></tr><tr><th>min</th><th>moy</th><th>max</th></tr></thead><tbody><tr><td>ISO VG 2</td><td>1.98</td><td><strong>2.2</strong></td><td>2.42</td></tr><tr><td>ISO VG 3</td><td>2.88</td><td><strong>3.2</strong></td><td>3.52</td></tr><tr><td>ISO VG 5</td><td>4.14</td><td><strong>4.6</strong></td><td>5.06</td></tr><tr><td>ISO VG 7</td><td>6.12</td><td><strong>6.8</strong></td><td>7.48</td></tr><tr><td>ISO VG 10</td><td>9</td><td><strong>10</strong></td><td>11</td></tr><tr><td>ISO VG 15</td><td>13.5</td><td><strong>15</strong></td><td>16.5</td></tr><tr><td>ISO VG 22</td><td>19.8</td><td><strong>22</strong></td><td>24.2</td></tr><tr><td>ISO VG 32</td><td>28.8</td><td><strong>32</strong></td><td>35.2</td></tr><tr><td>ISO VG 46</td><td>41.4</td><td><strong>46</strong></td><td>50.6</td></tr><tr><td>ISO VG 68</td><td>61.2</td><td><strong>68</strong></td><td>74.8</td></tr><tr><td>ISO VG 100</td><td>90</td><td><strong>100</strong></td><td>110</td></tr><tr><td>ISO VG 150</td><td>135</td><td><strong>150</strong></td><td>165</td></tr><tr><td>ISO VG 220</td><td>198</td><td><strong>220</strong></td><td>242</td></tr><tr><td>ISO VG 320</td><td>288</td><td><strong>320</strong></td><td>352</td></tr><tr><td>ISO VG 460</td><td>414</td><td><strong>460</strong></td><td>506</td></tr><tr><td>ISO VG 680</td><td>612</td><td><strong>680</strong></td><td>748</td></tr><tr><td>ISO VG 1000</td><td>900</td><td><strong>1000</strong></td><td>1100</td></tr><tr><td>ISO VG 1500</td><td>1350</td><td><strong>1500</strong></td><td>1650</td></tr></tbody></table>

<table><caption>TABLE 4.7 – Classement normalisé SAE des huiles moteurs</caption><thead><tr><th rowspan="2">SAE</th><th colspan="2">Viscosité max (mPa.s)</th><th colspan="2">Viscosité cin. à 100°C (mm²/s)</th></tr><tr><th>Démarrage</th><th>Temp (°C)</th><th>mini</th><th>maxi</th></tr></thead><tbody><tr><td>0W</td><td>6200</td><td>-35</td><td>3.8</td><td></td></tr><tr><td>5W</td><td>6600</td><td>-30</td><td>3.8</td><td></td></tr><tr><td>10W</td><td>7000</td><td>-25</td><td>4.1</td><td></td></tr><tr><td>15W</td><td>7000</td><td>-20</td><td>5.6</td><td></td></tr><tr><td>20W</td><td>9500</td><td>-15</td><td>5.6</td><td></td></tr><tr><td>25W</td><td>13000</td><td>-10</td><td>9.3</td><td></td></tr><tr><td>20</td><td></td><td></td><td>5.6</td><td>9.3</td></tr><tr><td>30</td><td></td><td></td><td>9.3</td><td>12.5</td></tr><tr><td>40</td><td></td><td></td><td>12.5</td><td>16.3</td></tr><tr><td>50</td><td></td><td></td><td>16.3</td><td>21.9</td></tr><tr><td>60</td><td></td><td></td><td>21.9</td><td>26.1</td></tr></tbody></table>
éco-lubrifiant. Parmi des éco-lubrifiants prometteurs, on peut citer le mélange eau-glycérol qui permet d'atteindre des performances équivalentes à des lubrifiants usuels [SMG+14].

Notons que l'air et l'eau constitue des lubrifiants tout à fait écologiques. Ils présentent en outre l'avantage d'être disponible en grande quantité à coût quasiment nul. Malheureusement ils présentent certaines limitations. L'eau réagit avec de nombreux matériaux et l'air, du fait de sa compressibilité et sa faible viscosité, ne peut être utilisé que pour de faibles charges (voir chapitre 10 sur la lubrification par un gaz).

## 4.5 Les lubrifiants solides

Dans certains environnements extrêmes, il n'est pas possible d'utiliser des lubrifiants fluides. C'est le cas d'applications cryogéniques, d'applications à très haute température ou dans l'espace. On fait alors appel à des lubrifiants solides. Ils sont déposés en couches entre les solides en frottement et jouent le rôle d'un troisième corps qui peut se cisailler facilement pour réduire le frottement et limiter l'usure. Les lubrifiants peuvent avoir une structure lamellaire comme le graphite ou la bisulfure de molybdène ($MoS_2$) dont les couches glissent facilement l'une sur l'autre (voir figure 4.8). Comme évoqué dans la section 1.4.2, les matériaux 2D présentent une faible énergie de surface qui facilite les glissement des couches entre elles. On trouve également des lubrifiants plastiques comme le PTFE (polytetrafluoroéthylène) dont la faible énergie de surface permet de réduire le frottement.

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>FIGURE 4.8 – Exemples de lubrifiants solides : a) graphite $^a$ - b) bisulfure de molybdène $^b$.</figcaption></figure>

<footnote>a. Par Graphit gitter.png : Anton (rp) 2004derivative work : Yoschi (talk) ? Graphit gitter.png, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8104259</footnote>

<footnote>b. Par Ben Mills ? Travail personnel, Domaine public, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2976497</footnote>
4.6 Synthèse

— Les lubrifiants sont principalement caractérisés par leur viscosité $\mu$;

— Ce paramètre traduit la résistance au glissement interne des molécules;

— Les huiles moteurs ou ISO sont classées en fonction de leur viscosité et de la manière dont elles varient avec la température.

— Des lois empiriques (Reynolds ou Mc Coull et Walther) permettent de décrire la viscosité en fonction de la température.
# Chapitre 5

## L'équation de Reynolds

L'équation qui a été établie par Reynolds en 1886 [Rey86] et porte son nom, permet de calculer le champ de pression dans un film lubrifiant séparant deux surfaces solides. Ce chapitre va permettre d'établir cette équation.

### 5.1 Démonstration intuitive de l'équation de Reynolds

Prenons l'exemple de l'écoulement d'un fluide entre deux plans. Le plan supérieur est immobile alors que le plan inférieur est animé d'une vitesse $U$ suivant $\vec{x}$. Comme nous l'avons vu dans le chapitre sur les lubrifiants, un profil de vitesse, qui varie linéairement entre la vitesse $U$ de la plaque inférieure et une vitesse nulle sur la face supérieure, va s'établir (figure 5.1 a). Le débit de fluide est égal à l'aire du triangle représentant le profil de vitesse.

Si le plan supérieur est incliné et que nous considérons que les profils de vitesse gardent la même allure, il y a un problème de conservation de la masse. En effet les aires des deux triangles représentés sur la figure 5.1 b) sont différentes. Les profils de vitesse ne sont donc pas corrects et un autre phénomène doit se produire.

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>FIGURE 5.1 – Écoulement entre deux plans a) parallèles b) inclinés.</figcaption></figure>

La figure 5.2 présente une expérience qui reproduit la figure 5.1 b). Un tapis roulant entraîne de l'huile sous un plan incliné fixe. Des tubes manométriques placés sur le plan incliné mettent en évidence la création d'un champ de pression lors de la mise en mouvement du tapis. Cette pression va bien sûr modifier les profils de vitesse de façon à assurer la conservation de la masse.

Isolons un volume élémentaire de fluide comme sur la figure 5.3. Il est soumis à des pressions $p$ et des contraintes de cisaillement $\tau$. La somme des forces suivant $\vec{x}$ conduit à
<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>FIGURE 5.2 – Écoulement entre un tapis roulant et un plan incliné (source Pprime).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>FIGURE 5.3 – Étude d'un volume élémentaire de fluide.</figcaption></figure>
la relation suivante :

$$p(x) dy + \tau (y + dy) dx - p(x + dx) dy - \tau (y) dx = 0 \quad (5.1)$$

Nous ferons l'hypothèse que la pression ne varie pas suivant l'épaisseur du film et qu'elle est donc uniquement une fonction de $x$. Il vient alors :

$$\frac{dp}{dx} = \frac{\partial \tau}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \mu \frac{\partial u}{\partial y} \right) \quad (5.2)$$

Le cisaillement $\tau$ a été remplacé par le gradient de vitesse, d'après la loi rhéologique du fluide établie dans le paragraphe 4.3. Cette relation peut être intégrée par rapport à $y$ pour exprimer le profil de vitesse :

$$u(y) = \frac{1}{2\mu} \frac{dp}{dx} y^2 + ay + b \quad (5.3)$$

Les constantes $a$ et $b$ sont calculées en utilisant l'hypothèse que la vitesse du fluide est égale à celle des parois :

$$u(0) = U \quad u(h) = 0 \quad (5.4)$$

L'expression du profil de vitesse est finalement :

$$u(y) = \underbrace{\frac{1}{2\mu} \frac{dp}{dx} y(y-h)}_{\text{Poiseuille}} + U \underbrace{\left(1 - \frac{y}{h}\right)}_{\text{Couette}} \quad (5.5)$$

L'écoulement a donc deux composantes :

- une composante de forme parabolique générée par le gradient de pression $\frac{dp}{dx}$. C'est la composante de Poiseuille;

- une composante de forme linéaire générée par la vitesse de glissement $U$. C'est la composante de Couette.

Suivant le signe du gradient de pression, le profil de vitesse pourra avoir différentes allures comme illustré sur la figure 5.4. Si le gradient de pression provoque un écoulement inverse de suffisamment grande amplitude, il est possible d'obtenir une recirculation du fluide. Même si l'exemple traité ici est relativement simple il montre que les profils de vitesse dans les film minces sont la somme d'un profil parabolique (Poiseuille) et d'un profil linéaire (Couette).

<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>FIGURE 5.4 – Profils de vitesse dans un film mince.</figcaption></figure>

Ces résultats vont nous permettre d'expliquer la pression générée dans l'expérience de la figure 5.2. Comme le montre la figure 5.5, le gradient de pression est positif sur la partie gauche du plan incliné alors qu'il est négatif dans la partie droite. Les profils de vitesse obtenus ont alors des allures différentes mais permettent d'assurer la conservation de la
<figure><img src="image_106.png" /></figure>

FIGURE 5.5 – Relation entre le profil de pression et les champs de vitesse pour un plan incliné.

masse car les aires des profils de vitesse sont identiques. Finalement, on peut conclure que lorsque le plan est incliné, une pression est naturellement générée de façon à assurer l'équilibre des débits de fluide et la conservation de la masse.

Poursuivons notre analyse en exprimant le débit $Q$ traversant une section du film :

$$Q = \int_{0}^{h} u(y) dy = - \frac{h^3}{12\mu} \frac{dp}{dx} + U \frac{h}{2} \qquad (5.6)$$

D'après la conservation de la masse, ce débit ne varie pas suivant $x$ soit :

$$\frac{dQ}{dx} = 0 \qquad (5.7)$$

Cette relation peut se mettre sous la forme :

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{h^3}{\mu} \frac{dp}{dx} \right) = 6U \frac{dh}{dx} \qquad (5.8)$$

La résolution de cette équation donne la distribution de pression dans le contact à partir de l'épaisseur du film $h$, la vitesse de glissement $U$ et la viscosité du fluide $\mu$. C'est la version unidimensionnelle de l'équation de Reynolds.

## 5.2 Équation générale - coordonnées cartésiennes

Intéressons-nous au cas général de deux surfaces 1 et 2 en mouvement relatif comme indiqué sur la figure 5.6. La direction $z$ est orientée perpendiculairement aux surfaces. Des points $M_1$ et $M_2$ situés respectivement sur les surfaces 1 et 2 ont des composantes de vitesse $(U_1, V_1, W_1)$ et $(U_2, V_2, W_2)$. Nous noterons $h_1$ et $h_2$ la position suivant $z$ de ces deux points.

Les surfaces sont séparées par un fluide Newtonien de densité $\rho$ et de viscosité dyna-mique $\mu$. L'écoulement du fluide est régit pas les équations de Navier-Stokes :

$$\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) \qquad (5.9)$$
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>FIGURE 5.6 – Surfaces en mouvement relatif dans un repère cartésien.</figcaption></figure>

$$ \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z} \right) = - \frac{\partial p}{\partial y} + \mu \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} \right) \quad (5.10) $$

$$ \rho \left( \frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y} + w \frac{\partial w}{\partial z} \right) = - \frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2} \right) \quad (5.11) $$

Afin d'aboutir à l'équation de Reynolds il est nécessaire de simplifier ces équations. Pour cela, nous allons adimensionner les termes pour évaluer leur ordre de grandeur. Nous noterons $L$ la longueur caractéristique suivant $x$ et $y$, $h$ l'épaisseur caractéristique de film et $V$ la vitesse caractéristique des parois. Nous supposerons que la densité et la viscosité sont constantes. Les grandeurs sans dimension s'expriment :

$$ \bar{x} = \frac{x}{L}, \quad \bar{y} = \frac{y}{L}, \quad \bar{z} = \frac{z}{h} \qquad (5.12) $$

$$ \bar{u} = \frac{u}{V}, \quad \bar{v} = \frac{v}{V}, \quad \bar{w} = \frac{w}{V} \frac{L}{h}, \quad \bar{t} = \frac{tV}{L} \qquad (5.13) $$

$$ \bar{p} = \frac{p}{P} \text{ avec } P = \frac{\mu V L}{h^2} \qquad (5.14) $$

En utilisant ces notations dans les équations de Navier-Stokes, on montre que :

$$ Re \epsilon \left( \frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{t}} + \bar{u} \frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{x}} + \bar{v} \frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{y}} + \bar{w} \frac{\partial \bar{u}}{\partial \bar{z}} \right) = - \frac{\partial \bar{p}}{\partial \bar{x}} + \left( \epsilon^2 \frac{\partial^2 \bar{u}}{\partial \bar{x}^2} + \epsilon^2 \frac{\partial^2 \bar{u}}{\partial \bar{y}^2} + \frac{\partial^2 \bar{u}}{\partial \bar{z}^2} \right) \quad (5.15) $$

$$ Re \epsilon \left( \frac{\partial \bar{v}}{\partial \bar{t}} + \bar{u} \frac{\partial \bar{v}}{\partial \bar{x}} + \bar{v} \frac{\partial \bar{v}}{\partial \bar{y}} + \bar{w} \frac{\partial \bar{v}}{\partial \bar{z}} \right) = - \frac{\partial \bar{p}}{\partial \bar{y}} + \left( \epsilon^2 \frac{\partial^2 \bar{v}}{\partial \bar{x}^2} + \epsilon^2 \frac{\partial^2 \bar{v}}{\partial \bar{y}^2} + \frac{\partial^2 \bar{v}}{\partial \bar{z}^2} \right) \quad (5.16) $$

$$ Re \epsilon^2 \left( \frac{\partial \bar{w}}{\partial \bar{t}} + \bar{u} \frac{\partial \bar{w}}{\partial \bar{x}} + \bar{v} \frac{\partial \bar{w}}{\partial \bar{y}} + \bar{w} \frac{\partial \bar{w}}{\partial \bar{z}} \right) = - \frac{\partial \bar{p}}{\partial \bar{z}} + \left( \epsilon^4 \frac{\partial^2 \bar{w}}{\partial \bar{x}^2} + \epsilon^4 \frac{\partial^2 \bar{w}}{\partial \bar{y}^2} + \epsilon^2 \frac{\partial^2 \bar{w}}{\partial \bar{z}^2} \right) \quad (5.17) $$

où apparaissent le nombre de Reynolds $Re$ et le facteur d'aspect $\epsilon$ :

$$ \epsilon = \frac{h}{L} < 10^{-3} \qquad (5.18) $$

$$ Re = \frac{\rho V h}{\mu} \ll 1000 \qquad (5.19) $$
Nous faisons ici l'hypothèse que l'épaisseur *h* du film est très faible devant les autres dimensions et que l'écoulement est laminaire et le nombre de Reynolds très faible. Le facteur d'aspect et le nombre de Reynolds contrôlent l'ordre de grandeur des différents termes des équations de Navier Stokes. En ne conservant que les termes d'ordre 1, une version simplifiée des équations est obtenue :

$$ \frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \mu \frac{\partial u}{\partial z} \right) = \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} \qquad (5.20) $$

$$ \frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \mu \frac{\partial v}{\partial z} \right) = \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z} \qquad (5.21) $$

$$ \frac{\partial p}{\partial z} = 0 \qquad (5.22) $$

La dernière équation confirme l'hypothèse que nous avions retenue dans la première partie de ce chapitre, à savoir que la pression ne varie pas suivant l'épaisseur de film, c'est-à-dire suivant *z*. La pression étant indépendante de *z*, il est alors possible d'intégrer les équations pour obtenir les contraintes de cisaillement et les vitesses. Pour résoudre le problème, il faut en outre considérer que le fluide adhère parfaitement aux parois, c'est-à-dire que la vitesse du fluide sur une paroi est identique à la vitesse de cette paroi. On en déduit alors l'expression des vitesses dans le film :

$$ u = \frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial x} (z - h_1)(z - h_2) + U_1 \left(1 - \frac{z - h_1}{h}\right) + U_2 \frac{z - h_1}{h} \qquad (5.23) $$

$$ v = \frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial y} (z - h_1)(z - h_2) + V_1 \left(1 - \frac{z - h_1}{h}\right) + V_2 \frac{z - h_1}{h} \qquad (5.24) $$

où $h = h_2 - h_1$. On peut également calculer les contraintes de cisaillement :

$$ \tau_{xz} = \frac{1}{2} \frac{\partial p}{\partial x} (2z - h_1 - h_2) - \mu \frac{U_1}{h} + \mu \frac{U_2}{h} \qquad (5.25) $$

$$ \tau_{yz} = \frac{1}{2} \frac{\partial p}{\partial x} (2z - h_1 - h_2) - \mu \frac{V_1}{h} + \mu \frac{V_2}{h} \qquad (5.26) $$

Pour obtenir l'équation de Reynolds, il faut introduire la loi de conservation de la masse :

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho u}{\partial x} + \frac{\partial \rho v}{\partial y} + \frac{\partial \rho w}{\partial z} = 0 \qquad (5.27) $$

Cette équation est ensuite intégrée suivant l'épaisseur du film et *u* et *v* sont remplacés par leurs expressions :

$$ \int_{h_1}^{h_2} \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho u}{\partial x} + \frac{\partial \rho v}{\partial y} + \frac{\partial \rho w}{\partial z} \right) dz = 0 \qquad (5.28) $$

Après quelques transformations, on obtient l'équation de Reynolds :

$$ \left[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\rho h^3}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\rho h^3}{\mu} \frac{\partial p}{\partial y} \right) \right] = 6 \frac{\partial}{\partial x} [(U_1 + U_2) \rho h] + 6 \frac{\partial}{\partial y} [(V_1 + V_2) \rho h] + 12 \frac{\partial}{\partial t} (\rho h) \qquad (5.29) $$

Dans cette équation, la dérivée temporelle de *h* s'exprime :

$$ \frac{\partial h}{\partial t} = W_2 - U_2 \frac{\partial h_2}{\partial x} - V_2 \frac{\partial h_2}{\partial y} - W_1 + U_1 \frac{\partial h_1}{\partial x} + V_1 \frac{\partial h_1}{\partial y} \qquad (5.30) $$
La résolution de l'équation de Reynolds nécessite de connaître la position $h_1$ et $h_2$ des parois ainsi que leurs composantes de vitesse et les caractéristiques du fluide. Notons que l'équation présentée ici est valable pour des fluides compressibles ou incompressibles dont la viscosité ne varie pas suivant $z$. Il est utile de rappeler les hypothèses ayant permis d'établir cette équation :

- Le film est mince devant les autres dimensions $h \ll L$;

- Le fluide est Newtonien de viscosité constante suivant $h$;

- La densité du fluide est constante suivant $h$;

- Le fluide adhère parfaitement aux parois;

- L'écoulement est laminaire et le nombre de Reynolds suffisamment petit pour que l'inertie du fluide soit négligeable;

- Le milieu est continu.

La résolution de l'équation de Reynolds permet de calculer la distribution de pression dans le film, puis les vitesses et les contraintes. On peut ensuite en déduire des grandeurs macroscopiques comme les forces ou les débits de fluide. L'ensemble de ces forces et débits est représenté sur la figure 5.7. La force la plus intéressante est la force soulèvement $F_z$ ou portance générée par la pression du fluide. Dans l'hypothèse où le domaine est rectangulaire de taille $L_x$ par $L_y$, il vient :

$$F_z = \int_{0}^{L_x} \int_{0}^{L_y} p dxdy \qquad (5.31)$$

En raison des contraintes de cisaillement dues à la viscosité du fluide, des forces de frottement sont générées dans les deux directions :

$$F_x = \int_{0}^{L_x} \int_{0}^{L_y} \tau_{xz} dxdy \qquad (5.32)$$

$$F_y = \int_{0}^{L_x} \int_{0}^{L_y} \tau_{yz} dxdy \qquad (5.33)$$

Enfin, il est possible de calculer les débits de fluide sur les frontières du domaine :

$$\dot{m}_x = \int_{0}^{L_y} \int_{h_1}^{h_2} \rho u dxdz \qquad (5.34)$$

$$\dot{m}_y = \int_{0}^{L_x} \int_{h_1}^{h_2} \rho v dxdz \qquad (5.35)$$

<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>FIGURE 5.7 – Représentation des forces et débits dus à l'écoulement en film mince.</figcaption></figure>
## 5.3 Équation générale - coordonnées polaires

Il est parfois utile d'utiliser les coordonnées polaires lorsque le domaine d'étude est une portion de disque. La configuration du problème est présentée sur la figure 5.8.

<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>FIGURE 5.8 - Surfaces en mouvement relatif dans un repère polaire</figcaption></figure>

En utilisant les mêmes hypothèses et la même démarche que dans le paragraphe précédent, il est possible de déterminer l'expression des profils de vitesse et des contraintes de cisaillement :

$$u = \frac{1}{2\mu} \frac{\partial p}{\partial r} (z - h_1) (z - h_2) + U_1 \left(1 - \frac{z - h_1}{h}\right) + U_2 \frac{z - h_1}{h} \quad (5.36)$$

$$v = \frac{1}{2\mu r} \frac{\partial p}{\partial \theta} (z - h_1) (z - h_2) + V_1 \left(1 - \frac{z - h_1}{h}\right) + V_2 \frac{z - h_1}{h} \quad (5.37)$$

$$\tau_{rz} = \frac{1}{2} \frac{\partial p}{\partial r} (2z - h_1 - h_2) - \mu \frac{U_1}{h} + \mu \frac{U_2}{h} \quad (5.38)$$

$$\tau_{\theta z} = \frac{1}{2r} \frac{\partial p}{\partial \theta} (2z - h_1 - h_2 - 2z) - \mu \frac{V_1}{h} + \mu \frac{V_2}{h} \quad (5.39)$$

En utilisant la conservation de la masse, il est possible d'obtenir l'équation de Reynolds suivante :

$$\frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{\rho r h^3}{\mu} \frac{\partial p}{\partial r} \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{\rho h^3}{\mu r} \frac{\partial p}{\partial \theta} \right) = 6r \frac{\partial}{\partial r} [(U_1 + U_2) \rho h] + 6 \frac{\partial}{\partial \theta} [(V_1 + V_2) \rho h] + 12r \frac{\partial}{\partial t} (\rho h) \quad (5.40)$$

La dérivée temporelle d'épaisseur de film s'exprime :

$$\frac{\partial h}{\partial t} = W_2 - U_2 \frac{\partial h_2}{\partial r} - \frac{V_2}{r} \frac{\partial h_2}{\partial \theta} - W_1 + U_1 \frac{\partial h_1}{\partial r} + \frac{V_1}{r} \frac{\partial h_1}{\partial \theta} \quad (5.41)$$

## 5.4 Synthèse

- L'écoulement d'un lubrifiant entre deux surfaces proches est régi par l'équation de Reynolds ;

- Sa résolution permet de déterminer le champ de pression dans le film lubrifiant ;

- Il est ensuite possible de déterminer la portance (force de soulèvement), les forces de frottement dues au fluide ainsi que les débits de lubrifiant.
# Chapitre 6

# La lubrification hydrodynamique

## 6.1 Introduction

En lubrification hydrodynamique, les surfaces sont séparées par un film de fluide vis-queux dont la pression est générée par le mouvement relatif des surfaces qui forment un espace convergent. La lubrification hydrodynamique est utilisée (principalement) pour ré-duire le frottement dans les guidages d'arbre. On trouve deux types de guidages présentés sur la figure 6.1 : les paliers hydrodynamiques pour les charges radiales et les butées hy-drodynamiques pour les charges axiales.

<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>FIGURE 6.1 – Les deux systèmes de guidages d'arbre.</figcaption></figure>

Le convergent permettant la création d'une pression (comme dans le cas du plan in-cliné) peut être de géométrie fixe ou bien résulter de l'inclinaison d'un système mobile. On parle alors de palier ou butée à patins oscillants. Ces systèmes plus avancés présentent des avantages que nous évoquerons plus loin dans le chapitre. Des exemples sont présentés sur la figure 6.2. Ces systèmes sont utilisés pour les fortes charges (guidages d'alterna-teurs et de turbines à vapeurs, réducteur) et pour des applications à grandes vitesses (turbocompresseur de moteur automobile, compresseurs centrifuges) mais aussi pour les systèmes supportant des charges dynamiques comme les bielles de moteurs thermiques. Des applications typiques sont présentés sur la figure 6.3.
<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>FIGURE 6.2 – Exemples de paliers et butées hydrodynamiques : a) Butée à géométrie fixe (source Pprime), b) Butée à patins oscillants (source Pprime), c) Palier lisse (source Pprime), d) Palier à patins oscillants [SB21] (open access)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>**FIGURE 6.3** – Exemples d'applications de paliers et butées hydrodynamiques : a) Turbine à vapeur<sup>a</sup>, b) Arbre d'hélice de bateau<sup>b</sup>, c) Turbo-compresseur<sup>c</sup>, d) Alternateur électrique<sup>d</sup>, e) Bielle de moteur thermique (source Pprime), f) Compresseur centrifuge (source Pprime)</figcaption></figure>

<footnote>a. Siemens Pressebild, http://www.siemens.com, CC BY-SA 3.0 <http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/>, via Wikimedia Commons</footnote>

<footnote>b. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ejeportahelice.JPG, Claudio Elias, Public domain, via Wikimedia Commons</footnote>

<footnote>c. Dr. Karl-Heinz Hochhaus, CC BY 3.0 <https://creativecommons.org/licenses/by/3.0>, via Wikimedia Commons</footnote>

<footnote>d. Barrage hydro-électrique Hoover, USA, source Pprime</footnote>
## 6.2 Etude du blochet

Nous commençons ce chapitre par l'étude d'un problème académique simple (figure 6.4) qui va nous permettre de mettre en évidence les points essentiels de la lubrification hydrodynamique. Il s'agit d'un plan incliné placé au-dessus d'un plan en mouvement de translation à une vitesse $U$. Les deux surfaces sont séparées par un lubrifiant de viscosité $\mu$.

<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>FIGURE 6.4 – Configuration du blochet (palier à plan incliné).</figcaption></figure>

L'épaisseur de film s'exprime :

$$h = h_o \left[ K + (1 - K) \frac{x}{L} \right] \qquad (6.1)$$

où $K = \frac{h_i}{h_o}$ est le rapport des hauteurs. Les dérivées par rapport à $x$ sont remplacées par des dérivées par rapport à $h$ soit :

$$\frac{df}{dx} = \frac{df}{dh} \frac{dh}{dx} = \frac{df}{dh} \frac{h_o}{L} (1 - K) \qquad (6.2)$$

L'équation de Reynolds 5.8 présentée dans le chapitre précédent devient :

$$\frac{d}{dh} \left( h^3 \frac{dp}{dh} \right) = 6\mu \frac{U}{\alpha} \qquad (6.3)$$

avec $\alpha = \frac{h_o}{L} (1 - K) = \frac{dh}{dx}$. Sous cette forme, l'équation de Reynolds présente une solution analytique de la pression :

$$p(h) = \frac{6\mu UL}{h_0^2} \frac{1}{K-1} \left[ \frac{h_o}{h} - \frac{K}{1+K} \left( \frac{h_o^2}{h^2} - \frac{1}{K^2} \right) - \frac{1}{K} \right] \qquad (6.4)$$

La pression générée est proportionnelle à $\frac{6\mu UL}{h_o^2}$ et la forme du profil ne dépend que de l'inclinaison $K$ comme le montre la figure 6.5. Lorsque $K \approx 2.2$, la pression générée dans le contact est maximale.

A partir de la pression, il est possible de calculer la force de soulèvement ou portance : $F_z = B \int_0^L p dx = B \int_{h_o}^{h_i} p \frac{dx}{dh} dh$. Il vient après calcul :

$$F_z = \frac{6\mu UBL^2}{h_0^2} \left[ \frac{\ln K}{(K-1)^2} - \frac{2}{K^2-1} \right] \qquad (6.5)$$
<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>FIGURE 6.5 – Profil de pression pour différentes valeurs de l'inclinaison K</figcaption></figure>

<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>FIGURE 6.6 – Portance $F_z$ et force de frottement $F_x$ en fonction de l'inclinaison.</figcaption></figure>

avec $B$ la largeur du blochet. La force de frottement s'exprime : $F_x = B \int_0^L \tau_{xz} dx$ avec $\tau_{xz} = \frac{1}{2} \frac{dp}{dx} h - \mu \frac{U}{h}$. Après calcul, l'expression suivante est obtenue :

$$F_x = \frac{\mu UBL}{h_o} \left[ \frac{4 \ln K}{K-1} - \frac{6}{K+1} \right] \qquad (6.6)$$

Ces deux forces sont proprotionnelles à des paramètres du contact $F_z \propto \frac{6\mu UBL^2}{h_o^2}$ et $F_x \propto \frac{\mu UBL}{h_o}$ et dépendent d'un coefficient géométrique $K$. La portance maximale est atteinte pour une inclinaison $K \approx 2.2$.

Les résultats issus de cette analyse sont transposables aux cas de paliers et butées hydrodynamiques. Les paramètres qui gouvernent l'amplitude de la pression et des forces vont garder la même forme. Leurs profils seront contrôlés par des paramètres géométriques.

# 6.3 Butées hydrodynamiques

## 6.3.1 Configuration géométrique

Une butée hydrodynamique se compose d'un grain mobile plan en rotation par rapport à un grain fixe (voir figure 6.7). Ce dernier présente des usinages permettant de créer des zones convergentes où il sera possible de générer une pression hydrodynamique. Ces zones
appelées patins sont séparées par des rainures d'alimentation qui permettent de distribuer le lubrifiant dans le contact.

<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>FIGURE 6.7 – Configuration d'une butée hydrodynamique à patins fixes [Fra].</figcaption></figure>

Nous nous limitons ici à une butée à patin fixe de rayons interne $R_1$ et externe $R_2$. L'épaisseur de film entre les surfaces s'exprime :

$$h(r, \theta) = h_2 \left[ 1 + \delta \left( 1 - \frac{\theta}{\beta} \right) \right] \qquad (6.7)$$

$\beta$ est ici l'étendue angulaire d'un patin. $\delta$ est un paramètre sans dimension caractérisant l'inclinaison d'un patin :

$$\delta = \frac{h_1 - h_2}{h_2} \qquad (6.8)$$

Il est supposé que les deux grains sont alignés.

### 6.3.2 Distribution de pression

Le champ de pression dans le film est obtenu en résolvant l'équation de Reynolds :

$$\frac{\partial}{\partial r} \left( r h^3 \frac{\partial p}{\partial r} \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{h^3}{r} \frac{\partial p}{\partial \theta} \right) = -6 \mu \omega r \frac{h_2 \delta}{\beta} \qquad (6.9)$$

Les conditions aux limites du problème sont :

$$p(r = R_1) = p(r = R_2) = 0 \qquad (6.10)$$

et :

$$p(\theta = 0) = p(\theta = \beta) = 0 \qquad (6.11)$$

Cette équation n'a malheureusement pas de solution analytique et doit être résolue de manière numérique. La figure 6.8 présente un exemple de champ de pression dans une butée à 6 patins fixes. La pression augmente depuis les bords des patins pour atteindre sa valeur maximale près de la zone d'épaisseur minimale de film.
<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>FIGURE 6.8 – Exemple de champ de pression dans une butée hydrodynamique à 6 patins fixes.</figcaption></figure>

### 6.3.3 Calcul des principaux paramètres

Le comportement de ces butées dépend principalement de leurs caractéristiques géométriques. Il existe donc un nombre limité de paramètres nécessaires à leur analyse comme dans le cas du blochet. Des simulations numériques ont donc été réalisées afin d'établir leurs performances en fonction des paramètres géométriques suivants :

- L'étendue angulaire d'un patin $\beta$;

- Le rapport d'épaisseur de film $\delta = \frac{h_1-h_2}{h_2}$;

- Le rapport de forme $\gamma = \frac{R_2-R_1}{R_2}$.

La charge supportée par patin s'exprime :

$$W_p = \bar{W}_p \frac{\mu\omega(R_1 + R_2)\beta(R_2 - R_1)^3}{4(h_1 - h_2)^2\pi} \quad (6.12)$$

La charge est proportionnelle à la viscosité $\mu$ et à la vitesse de rotation $\omega$. Elle est inversement proportionnelle à l'épaisseur de film au carré. Elle dépend en outre d'un coefficient sans dimension $\bar{W}_p$ qui dépend des caractéristiques géométriques. Sa valeur est donnée dans le tableau 6.1. Le couple de frottement par patin peut également être calculé :

$$C_p = \bar{C}_p \frac{\mu\omega R_2^4}{(h_1 - h_2) 2\pi} \quad (6.13)$$

Le couple est proportionnel à la viscosité $\mu$ et à la vitesse de rotation $\omega$ mais inversement proportionnelle à l'épaisseur de film. Notons qu'il dépend du rayon à la puissance 4. L'augmentation de la taille d'une butée a donc un impact très significatif sur le couple de frottement. Le tableau 6.1 donne les valeurs du coefficient sans dimension $\bar{C}_p$. Enfin, il est possible de calculer les débits aux frontières d'un patin par la formule :

$$Q = \bar{Q} \frac{\omega}{2} R_2 (R_2 - R_1) (h_1 - h_2) \quad (6.14)$$

L'utilisation de l'abaque 6.1 permet le calcul des performances d'une butée hydrodynamique sans faire appel au calcul numérique. Toutefois, il est généralement nécessaire de faire des interpolations entre les valeurs du tableau.

## 6.4 Paliers hydrodynamiques

### 6.4.1 Configuration géométrique

Un palier hydrodynamique se compose d'un arbre en rotation à l'intérieur d'un coussinet de plus grand diamètre (voir figure 6.9). Le coussinet présente une rainure longitudinale
<table><caption>TABLE 6.1 – Abaque de calcul des butées hydrodynamiques [Fra]</caption><thead><tr><th>γ</th><th>δ</th><th>β</th><th>W̄<sub>p</sub></th><th>C<sub>p</sub></th><th>Q̄<sub>R1</sub></th><th>Q̄<sub>R2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">1/3</td><td rowspan="4">1</td><td>80</td><td>0.703</td><td>1.22</td><td>0.34</td><td>0.46</td></tr><tr><td>55</td><td>0.903</td><td>0.84</td><td>0.32</td><td>0.44</td></tr><tr><td>40</td><td>1.06</td><td>0.63</td><td>0.28</td><td>0.395</td></tr><tr><td>30</td><td>1.15</td><td>0.475</td><td>0.235</td><td>0.35</td></tr><tr><td rowspan="4"></td><td rowspan="4">2</td><td>80</td><td>3.11</td><td>1.97</td><td>0.35</td><td>0.47</td></tr><tr><td>55</td><td>3.89</td><td>1.35</td><td>0.32</td><td>0.44</td></tr><tr><td>40</td><td>4.44</td><td>1</td><td>0.28</td><td>0.4</td></tr><tr><td>30</td><td>4.74</td><td>0.785</td><td>0.24</td><td>0.36</td></tr><tr><td rowspan="4"></td><td rowspan="4">4</td><td>80</td><td>11.7</td><td>2.98</td><td>0.35</td><td>0.47</td></tr><tr><td>55</td><td>14</td><td>2.12</td><td>0.32</td><td>0.44</td></tr><tr><td>40</td><td>15.3</td><td>1.62</td><td>0.29</td><td>0.41</td></tr><tr><td>30</td><td>15.75</td><td>1.27</td><td>0.245</td><td>0.36</td></tr><tr><td rowspan="4"></td><td rowspan="4">8</td><td>80</td><td>36</td><td>4.26</td><td>0.36</td><td>0.48</td></tr><tr><td>55</td><td>40.5</td><td>3.12</td><td>0.33</td><td>0.45</td></tr><tr><td>40</td><td>42</td><td>2.43</td><td>0.29</td><td>0.41</td></tr><tr><td>30</td><td>41.3</td><td>1.96</td><td>0.25</td><td>0.37</td></tr><tr><td rowspan="4">1/2</td><td rowspan="4">1</td><td>80</td><td>0.581</td><td>1.45</td><td>0.23</td><td>0.405</td></tr><tr><td>55</td><td>0.669</td><td>0.98</td><td>0.19</td><td>0.36</td></tr><tr><td>40</td><td>0.697</td><td>0.735</td><td>0.145</td><td>0.31</td></tr><tr><td>30</td><td>0.672</td><td>0.565</td><td>0.11</td><td>0.26</td></tr><tr><td rowspan="4"></td><td rowspan="4">2</td><td>80</td><td>2.49</td><td>2.36</td><td>0.23</td><td>0.41</td></tr><tr><td>55</td><td>2.79</td><td>1.67</td><td>0.19</td><td>0.33</td></tr><tr><td>40</td><td>2.84</td><td>1.25</td><td>0.15</td><td>0.31</td></tr><tr><td>30</td><td>2.7</td><td>0.96</td><td>0.11</td><td>0.26</td></tr><tr><td rowspan="4"></td><td rowspan="4">4</td><td>80</td><td>8.79</td><td>3.66</td><td>0.24</td><td>0.42</td></tr><tr><td>55</td><td>9.42</td><td>2.65</td><td>0.2</td><td>0.37</td></tr><tr><td>40</td><td>9.26</td><td>2.03</td><td>0.15</td><td>0.32</td></tr><tr><td>30</td><td>9.07</td><td>1.59</td><td>0.11</td><td>0.27</td></tr><tr><td rowspan="4"></td><td rowspan="4">8</td><td>80</td><td>24.9</td><td>5.4</td><td>0.25</td><td>0.42</td></tr><tr><td>55</td><td>25.1</td><td>4.03</td><td>0.2</td><td>0.38</td></tr><tr><td>40</td><td>23.6</td><td>3.15</td><td>0.16</td><td>0.32</td></tr><tr><td>30</td><td>21.3</td><td>2.51</td><td>0.11</td><td>0.27</td></tr><tr><td rowspan="4">2/3</td><td rowspan="4">1</td><td>80</td><td>0.446</td><td>1.53</td><td>0.12</td><td>0.35</td></tr><tr><td>55</td><td>0.458</td><td>1.06</td><td>0.082</td><td>0.295</td></tr><tr><td>40</td><td>0.431</td><td>0.785</td><td>0.052</td><td>0.245</td></tr><tr><td>30</td><td>0.386</td><td>0.6</td><td>0.033</td><td>0.2</td></tr><tr><td rowspan="4"></td><td rowspan="4">2</td><td>80</td><td>1.86</td><td>2.54</td><td>0.13</td><td>0.35</td></tr><tr><td>55</td><td>1.86</td><td>1.8</td><td>0.084</td><td>0.3</td></tr><tr><td>40</td><td>1.73</td><td>1.35</td><td>0.053</td><td>0.25</td></tr><tr><td>30</td><td>1.53</td><td>1.04</td><td>0.034</td><td>0.2</td></tr><tr><td rowspan="4"></td><td rowspan="4">4</td><td>80</td><td>6.26</td><td>4</td><td>0.13</td><td>0.36</td></tr><tr><td>55</td><td>6.04</td><td>2.9</td><td>0.087</td><td>0.3</td></tr><tr><td>40</td><td>5.49</td><td>2.22</td><td>0.055</td><td>0.25</td></tr><tr><td>30</td><td>4.8</td><td>1.73</td><td>0.035</td><td>0.21</td></tr><tr><td rowspan="4"></td><td rowspan="4">8</td><td>80</td><td>16.7</td><td>6.04</td><td>0.14</td><td>0.365</td></tr><tr><td>55</td><td>15.4</td><td>4.49</td><td>0.09</td><td>0.31</td></tr><tr><td>40</td><td>13.6</td><td>3.47</td><td>0.056</td><td>0.25</td></tr><tr><td>30</td><td>11.6</td><td>2.74</td><td>0.036</td><td>0.21</td></tr></tbody></table>
permettant d'alimenter en fluide le contact. D'autre part, l'arbre n'est pas centré dans le coussinet ce qui crée une zone convergente où il sera possible de générer une pression hydro-dynamique. Le film étant très mince, il est généralement possible de négliger sa courbure et de la ramener à un problème plan (en le déroulant virtuellement, figure 6.9).

<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>FIGURE 6.9 – Présentation d'un palier hydrodynamique.</figcaption></figure>

Les paramètres géométriques d'un palier sont donnés sur la figure 6.10. Nous noterons $c$ le jeu radial qui est la différence entre les rayons du coussinet et de l'arbre :

$$c = R_2 - R_1 \tag{6.15}$$

L'excentricité entre les deux axes est notée $e$. Il est utile d'introduire une excentricité relative :

$$\epsilon = \frac{e}{c} \tag{6.16}$$

D'une manière générale, le jeu radial est faible devant le rayon du coussinet :

$$\frac{R_2 - R_1}{R_2} \approx 10^{-3} \tag{6.17}$$

L'épaisseur de film peut alors s'exprimer :

$$h = c(1 + \epsilon \cos \theta) \tag{6.18}$$

Une excentricité relative égale à 1 conduit à une épaisseur de film nulle et donc au contact des deux surfaces, ce qui n'est pas souhaitable.

<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>FIGURE 6.10 – Configuration d'un palier hydrodynamique [Fra].</figcaption></figure>

Nous avons ici fait l'hypothèse que les axes de l'arbre et du coussinet sont alignés. D'autre part pour la suite de l'étude, la rainure d'alimentation est placée dans la zone d'épaisseur maximum.
### 6.4.2 Distribution de pression

Le champ de pression dans le film est obtenu par résolution de l'équation de Reynolds :

$$ \frac{\partial}{\partial \theta} \left( h^3 \frac{\partial p}{\partial \theta} \right) + h^3 R^2 \frac{\partial^2 p}{\partial z^2} = 6 \mu \omega R^2 \frac{\partial h}{\partial \theta} \qquad (6.19) $$

Pour résoudre cette équation, des conditions aux limites sont nécessaires. La pression est égale à la pression atmosphérique aux extrémités du palier et au niveau de la rainure d'alimentation :

$$ p(z = L/2) = p(z = -L/2) = 0 \qquad (6.20) $$

$$ p(\theta = 0) = p(\theta = 2\pi) = 0 \qquad (6.21) $$

Cette équation ne présente par de solution analytique et doit être résolue de manière numérique. Toutefois, suivant la valeur du rapport $L/D$ (longueur sur diamètre) du palier, on fait apparaître deux cas limites.

Si $L/D > 4$, on est dans le cas d'un palier long et la solution est proche de celle du palier infiniment long (pas de dépendance en $z$) :

$$ \frac{\partial}{\partial \theta} \left( h^3 \frac{\partial p}{\partial \theta} \right) = 6 \mu \omega R^2 \frac{\partial h}{\partial \theta} \qquad (6.22) $$

Au contraire si $L/D < 0.125$, la solution est celle dite du palier court :

$$ h^3 \frac{\partial^2 p}{\partial z^2} = 6 \mu \omega \frac{\partial h}{\partial \theta} \qquad (6.23) $$

Ces solutions sont disponibles dans la littérature [Fra, FND+90, Frb].

La figure 6.11 présente un exemple de champ de pression calculée dans un palier. Un pic de pression se forme dans la zone où le film est convergent. Symétriquement, une dépression apparaît dans la zone où le film est divergent. Cependant les fluides usuels ne restent pas liquides lorsqu'ils sont soumis à des pressions sub-ambiantes. Le film fluide va alors se rompre comme le montre la figure 6.12.

<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>FIGURE 6.11 – Champ de pression dans un palier.</figcaption></figure>

Dans les zones de rupture de film, on voit apparaître des lignes de liquide séparées par des zones de gaz [Flo75]. Dans ces zones, la pression est inférieure ou égale à la pression atmosphérique. On parle parfois de cavitation. Ce problème n'est pas visible dans les butées car il n'existe pas de zones où le film est divergent.

Le calcul d'un palier doit nécessairement tenir compte de ces zones de rupture de film afin de d'estimer correctement les performances du système. Des algorithmes particuliers sont utilisés pour tenir compte de la rupture du film. Une comparaison entre des champs de pression obtenus avec et sans prise en compte de la rupture de film est présentée sur la figure 6.13.
<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>FIGURE 6.12 – Film fluide incomplet dans la zone d’alimentation d’un palier transparent (source Pprime).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>FIGURE 6.13 – Champ de pressions a) sans et b) avec prise en compte de la rupture du film - c) Profil de pression au centre du palier.</figcaption></figure>
### 6.4.3 Calcul des principaux paramètres

La configuration géométrique d'un palier dépend uniquement de deux paramètres :

— L'excentricité relative $\epsilon = \frac{e}{c}$;

— Le rapport $\frac{L}{D}$.

Des simulations numériques ont été réalisées afin d'établir les performances d'un palier pour les différentes valeurs possibles de ces deux paramètres. La charge W supportée par un palier s'exprime :

$$W = \frac{\mu L D \omega}{2\pi S} \left(\frac{R}{c}\right)^2 \qquad (6.24)$$

où S est un nombre sans dimension appelé nombre de Sommerfeld dont la valeur est indiquée dans les tableaux 6.2 et 6.3. Sa valeur ne dépend que des deux paramètres géométriques. On remarque que la charge est proportionnelle à la viscosité $\mu$ et à la vitesse $\omega$ mais inversement proportionnelle au carré du jeu radial $c$. Le même type de relation avait été obtenu pour les butées hydrodynamiques et le blochet.

Il est également possible de calculer le couple de frottement généré par le frottement visqueux sur les surfaces :

$$C_a = \frac{\mu L D \omega R^2}{2\pi c} \bar{C}_a \qquad (6.25)$$

Le débit de fluide traversant le palier peut être calculé par la formule suivante :

$$Q = \bar{Q} L c R \omega \qquad (6.26)$$

Notons que les abaques donnent également l'angle de calage $\phi$ formé par la ligne reliant les centres de l'arbre et du coussinet et la ligne de chargement (voir figure 6.10).

<table><caption>TABLE 6.2 – Abaque de calcul des paliers hydrodynamiques pour $L/D = 0.5$ [Frb].</caption><tr><td>ε</td><td>0,1</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>0,5</td><td>0,6</td><td>0,7</td><td>0,8</td><td>0,9</td><td>0,95</td></tr><tr><td>S</td><td>4.32</td><td>2.03</td><td>1.21</td><td>0.784</td><td>0.508</td><td>0.318</td><td>0.184</td><td>0.0912</td><td>0.0309</td><td>0.0116</td></tr><tr><td>φ (°)</td><td>82</td><td>75</td><td>68.5</td><td>61.53</td><td>55</td><td>48</td><td>41</td><td>33</td><td>23.5</td><td>17</td></tr><tr><td>Q</td><td>0.0938</td><td>0.187</td><td>0.281</td><td>0.374</td><td>0.468</td><td>0.562</td><td>0.657</td><td>0.751</td><td>0.845</td><td>0.89</td></tr><tr><td>C<sub>a</sub></td><td>19</td><td>18.57</td><td>18.64</td><td>18.81</td><td>19.57</td><td>20.97</td><td>23.53</td><td>28.4</td><td>41.1</td><td>60.34</td></tr></table>

<table><caption>TABLE 6.3 – Abaque de calcul des paliers hydrodynamiques pour $L/D = 1$ [Frb].</caption><tr><td>ε</td><td>0,1</td><td>0,2</td><td>0,3</td><td>0,4</td><td>0,5</td><td>0,6</td><td>0,7</td><td>0,8</td><td>0,9</td><td>0,95</td></tr><tr><td>S</td><td>1,33</td><td>0,631</td><td>0,388</td><td>0,260</td><td>0,178</td><td>0,120</td><td>0,0776</td><td>0,0443</td><td>0,0185</td><td>0,00831</td></tr><tr><td>φ (°)</td><td>79,5</td><td>74</td><td>68</td><td>62,5</td><td>56,5</td><td>50,5</td><td>44</td><td>36</td><td>26</td><td>19</td></tr><tr><td>Q̄</td><td>0,0801</td><td>0,159</td><td>0,237</td><td>0,314</td><td>0,390</td><td>0,466</td><td>0,542</td><td>0,616</td><td>0,688</td><td>0,721</td></tr><tr><td>C̄<sub>a</sub></td><td>19,06</td><td>18,81</td><td>18,94</td><td>19,5</td><td>20,62</td><td>22,5</td><td>25,64</td><td>31,6</td><td>46,43</td><td>67,75</td></tr></table>

### 6.4.4 Effets thermiques

En raison du frottement visqueux dans le palier, une puissance significative peut être dissipée dans le film lubrifiant. Sa température peut donc varier de manière notable comme l'illustre la figure 6.14. La viscosité du lubrifiant (voir section 4.3) qui est fortement dépendante de la température risque de diminuer et d'affecter les performances du palier. A titre d'exemple, l'huille utilisée pour les tests de la figure 6.14 est une ISO VG 32 dont la
viscosité vaut environ 30 mPa.s à 40 °C et 11 mPa.s à 65 °C. C'est-à-dire que la viscosité du lubrifiant varie presque dans un rapport 3 entre les points extrêmes de température présentées sur la figure 6.14.

<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>FIGURE 6.14 – Température mesurée dans un palier sous différentes sollicitations [Bou03].</figcaption></figure>

Il est possible d'estimer la température du fluide par une approche globale. La puissance dissipée dans le palier est le produit du couple de frottement par la vitesse de rotation soit :

$$P = C_a \omega \qquad (6.27)$$

Le fluide qui s'échappe sur les bords du palier transporte et évacue de la chaleur vers l'extérieur. Si on note $T_e$ la température d'entrée du lubrifiant et $T_f$ sa température en sortie, la puissance emmenée par la fuite s'exprime :

$$P_f = \rho C Q (T_f - T_e) \qquad (6.28)$$

où $Q$ est le débit de fuite et $\rho$ et $C$ respectivement la densité et la capacité thermique du lubrifiant. On considère généralement que la fuite évacue seulement une partie $\lambda$ de la chaleur générée soit :

$$\lambda C_a \omega = \rho C Q (T_f - T_e) \qquad (6.29)$$

On en déduit la température du fluide en sortie de palier :

$$T_f = T_e + \lambda \frac{C_a \omega}{\rho C Q} \qquad (6.30)$$

On choisit généralement $\lambda \approx 0.85$ [Frb].

### 6.4.5 Comportement dynamique

Pour que le film lubrifiant soit stable, il doit s'opposer au rapprochement des surfaces. C'est-à-dire qu'une augmentation de la charge doit conduire à une diminution de l'épaisseur du film et donc une augmentation de $\epsilon$. A partir des données du tableau 6.3, il est possible de tracer $1/S$, soit la charge adimensionnée, en fonction de $h_{min}/c = 1 - \epsilon$. La figure 6.15 montre qu'un comportement stable est effectivement obtenu. La raideur, qui correspond à la pente de la courbe augmente lorsque les surfaces se rapprochent. En revanche elle tend à s'annuler lorsque le palier devient centré ($\epsilon = 0$). En effet, dans cette situation, il n'y a
<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>FIGURE 6.15 – Force adimensionnée en fonction de l’épaisseur minimale de film adimensionnée dans un palier hydrohodynamique</figcaption></figure>

plus de zone convergente et aucune pression hydrodynamique n’est générée. Plus aucune force n’est appliquée sur l’arbre.

Il est fortement déconseillé de faire fonctionner un palier lisse sans charge en raison de risque d’instabilités dynamiques. Pour éviter ce type de problème il est possible d’utiliser des paliers non cylindriques (citron, patins oscillants) qui vont générer une force même si le palier est centré ce qui permet de maintenir l’arbre en place. Un exemple de palier non-circulaire est présenté sur la figure 6.16. Différentes technologies sont disponibles et le lecteur intéressé pourra se référer aux techniques de l’ingénieur [Fra]. Notons que les paliers à patins oscillants sont parmi les plus performants du point de vue du comportement dynamique et sont adaptés pour les environnements et sollicitations vibratoires.

<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>FIGURE 6.16 – Champ de pression dans un palier non-circulaire centré</figcaption></figure>
6.5 Synthèse et informations pratiques

Les paliers et butées hydrodynamiques sont conçus pour fonctionner avec une vitesse relative. En effet la force générée est proportionnelle à la vitesse de glissement U, la viscosité μ et l'inverse de l'épaisseur de film au carré h⁻². Lorsque la vitesse U tend vers 0, h également. Les arrêts démarrages sont donc des périodes critiques pour ce type de composant. Les surfaces sont généralement revêtues d'un régule (métal tendre ou maintenant, polymère) qui supporte le frottement lors de ces périodes.

Voici quelques règles et conseils de conception :

— Les composants hydrodynamiques fonctionnent pour des arbres en rotation continue;

— Ils sont utilisables lorsque les charges et vitesses dépassent ce que des roulements peuvent supporter;

— La pression spécifique, $\frac{W}{LD}$ ou $\frac{W}{\pi(R_2^2 - R_1^2)}$ maximale est d'environ 10MPa;

— Le jeu radial d'un palier est d'environ $\frac{c}{R} \approx 0.001$;

— L'épaisseur minimale de film doit être compatible avec le niveau de finition;

— La pompe d'alimentation doit permettre de compenser le débit de fuite;

— L'élévation de température ne doit pas dégrader les performances du lubrifiant et des surfaces;

— Les surfaces sont revêtues pour les périodes d'arrêt démarrage;

— Le rapport dimensionnel $\frac{L}{D}$ d'un palier doit de préférence rester inférieur à 1 en raison des éventuels défauts d'alignement entre l'arbre et le palier.
# Chapitre 7

# La lubrification hydrostatique

## 7.1 Introduction

La lubrification entre des surfaces est dite hydrostatique lorsque la pression et un film fluide sont maintenus par l'intermédiaire d'une pompe externe. L'avantage est que le film est maintenu même lorsque les surfaces sont immobiles. En revanche, le coût du système hydraulique est un inconvénient.

La figure 7.1 présente des exemples de paliers et butées hydrostatiques. D'une manière générale, ils sont constitués de surfaces lisses au milieu desquelles se trouvent des poches ou alvéoles. Ces poches sont alimentées en fluide par des orifices.

La lubrification hydrostatique est utilisée pour le déplacement de charges très lourdes (voir figure 7.2) comme les tribunes du Stade de France ou des systèmes nécessitant un positionnement très précis et donc une grande raideur et un très faible frottement.

<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>FIGURE 7.1 – Exemples de paliers et butées hydrodystatiques : a) Butée sphérique (source Pprime), b) Palier conique (source Pprime), c) Palier conique (source Pprime)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_127.png" /></figure>

FIGURE 7.2 – Exemples d'applications de paliers et butées hydrostatiques : a) Guidage de banc d'essais (source Pprime), b) Téléscope de grande dimension (The European Extremely Large Telescope) a, c) Tribune de stade mobile (Denver, USA) b

<footnote>a. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bf/The_European_Extr emely_Large_Telescope.jpg, ESO, CC BY 4.0, via Wikimedia Commons</footnote>

<footnote>b. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Denver_Mile_High_Stadium_postcard_(c._1970s-1980s).jpg, Mel Schieltz, G. R. Dickson Co., Public domain, via Wikimedia Commons</footnote>
## 7.2 Butée hydrostatique

Nous allons nous intéresser, dans cette section, à l'étude d'une butée hydrostatique dont la configuration est présentée sur le figure 7.3. Nous ferons les hypothèses suivantes :

- L'épaisseur de film $h$ est constante;

- Le régime est stationnaire;

- Les faces sont immobiles;

- L'alvéole est profond $e \gg h$;

- La pression $p_a$ dans l'alvéole est constante;

- La butée est infiniment large (problème 1D).

<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>FIGURE 7.3 – Configuration de la butée hydrostatique.</figcaption></figure>

Compte tenu des hypothèses, l'équation de Reynolds se réduit à :

$$ \frac{d^2 p}{dx^2} = 0 \qquad (7.1) $$

Les conditions aux limites sont :

$$ p(0) = p_a \qquad (7.2) $$

$$ p(a) = 0 \qquad (7.3) $$

La distribution de pression sur la portée droite de la butée s'exprime alors :

$$ p(x) = p_a \left(1 - \frac{x}{a}\right) \qquad (7.4) $$

Une distribution symétrique est obtenue sur la seconde portée. Le champ de pression est donc celui représentée sur la figure 7.4.

<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>FIGURE 7.4 – Champ de pression dans la butée hydrostatique.</figcaption></figure>

A partir du champ de pression, il possible d'obtenir la portance générée. Elle s'exprime :

$$ W = L \left( p_a 2c + 2 \int_0^a p dx \right) \qquad (7.5) $$
soit :

$$W = p_a L (a + 2c) = p_a L \ell \left(1 - \frac{a}{\ell}\right) \qquad (7.6)$$

Ici $L$ représente la longueur de la butée dans la direction $\vec{y}$. Par la suite, nous noterons la portance sous la forme :

$$W = p_a S K_w \qquad (7.7)$$

où $S$ est l'aire de la butée et $K_w$ un coefficient de portance qui s'expriment :

$$S = L\ell \qquad (7.8)$$

$$K_w = 1 - \frac{a}{\ell} \qquad (7.9)$$

D'après cette formule, la portance $W$ est indépendante de l'épaisseur de film $h$. Alimenter la butée à pression constante $p_a$ ne permet pas d'obtenir un comportement stable pour lequel la portance doit augmenter lorsque $h$ diminue. Ecrivons le débit de fluide traversant le film. Pour cela, il est utile d'exprimer le profil de vitesse :

$$u = \frac{1}{2\mu} z (z - h) \frac{dp}{dx} \qquad (7.10)$$

Le débit est obtenu par intégration suivant l'épaisseur de film :

$$Q = \frac{Lh^3 p_a}{6\mu a} = \frac{p_a h^3}{\mu} K_Q \qquad (7.11)$$

Dans cette formulation, $K_Q$ est un coefficient de débit :

$$K_Q = \frac{L}{6a} \qquad (7.12)$$

Le débit est, quant à lui, très dépendant de l'épaisseur de film. Afin de rendre le système stable, la butée est généralement alimentée à pression constante $p_s$ au travers d'une résistance hydraulique comme indiquée sur la figure 7.5.

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>FIGURE 7.5 – Alimentation de la butée hydrostatique.</figcaption></figure>

La résistance est ici une capillaire mais on peut également utiliser une restriction de type diaphragme [Nic]. Le débit au travers de la résistance s'exprime :

$$Q_R = \frac{K_c}{\mu} (p_s - p_a) \qquad (7.13)$$
Pour assurer la conservation de la masse, ce débit est égal à celui traversant le film soit :

$$Q_R = Q = \frac{K_c}{\mu} (p_s - p_a) = \frac{p_a h^3}{\mu} K_Q \quad (7.14)$$

On en déduit alors l'expression de la pression dans l'alvéole $p_a$ en fonction de la pression d'alimentation $p_s$ et de l'épaisseur de film $h$ :

$$p_a = p_s \frac{K_c}{h^3 K_Q + K_c} = p_s \beta \quad (7.15)$$

La portance devient alors :

$$W = p_a SK_w = p_s \frac{K_c}{h^3 K_Q + K_c} SK_w \quad (7.16)$$

La portance est donc une fonction décroissante de $h$ ce qui confère au film une raideur et assure la stabilité de la butée. La figure 7.6 présente la portance en fonction de l'épaisseur de film. Il existe une zone de fonctionnement où la raideur (pente de la courbe) est maximale. Notons que d'une manière généralement la lubrification hydrostatique permet d'atteindre des raideurs plus grande qu'en lubrification hydrodynamique en raison de la dépendance en $h^{-3}$ de la portance qui n'est qu'en $h^{-2}$ en hydrodynamique.

<figure><img src="image_131.png" /><figcaption>FIGURE 7.6 – Portance en fonction de l'épaisseur de film.</figcaption></figure>

La figure 7.7 illustre l'effet d'une variation d'épaisseur de film sur le champ de pression. Lorsque l'épaisseur de film diminue, le débit traversant le film diminue. Ceci se traduit par une diminution du débit dans la résistance hydraulique et donc une diminution de la différence $p_s - p_a$. Comme $p_s$ est constant, $p_a$ augmente. La portance est bien sûr limitée par la valeur de $p_s$.

La raideur du film s'exprime :

$$\lambda = -\frac{\partial W}{\partial h} = 3p_s SK_w h^2 K_Q \frac{K_c}{(h^3 K_Q + K_c)^2} \quad (7.17)$$

En introduisant le rapport des pressions $\beta = \frac{p_a}{p_s}$, il vient :

$$\lambda = 3 \frac{p_s SK_w}{h} \beta (1 - \beta) \quad (7.18)$$
<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>FIGURE 7.7 – Effet d’une variation d’épaisseur de film sur le champ de pression dans une butée hydrostatique.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>FIGURE 7.8 – Raideur de la butée en fonction du rapport des pressions $\beta = p_a/p_s$.</figcaption></figure>
La raideur $\lambda$ est représentée en fonction de $\beta$ sur la figure 7.8. Il existe un maximum de la raideur pour $\beta = 0.5$. On essaiera donc de faire fonctionner la butée à cette valeur.

Intéressons-nous au frottement, dans la cas où la surface supérieure est animée d'une vitesse $U$. La contrainte de cisaillement sur la paroi s'exprime :

$$ \tau_{xz}(h) = -\frac{h}{2} \frac{dp}{dx} + \mu \frac{U}{h} \qquad (7.19) $$

La force de frottement sur la première portée vaut :

$$ F_x^+ = \int_0^a \tau_{xz} dx = \frac{h}{2} p_a + \mu \frac{U}{h} a \qquad (7.20) $$

Sur la seconde portée, elle s'exprime :

$$ F_x^- = \int_{-a}^{0} \tau_{xz} dx = -\frac{h}{2} p_a + \mu \frac{U}{h} a \qquad (7.21) $$

En supposant que la contrainte de cisaillement au droit de l'alvéole d'alimentation est négligeable car $e \gg h$, la force de frottement est la somme des deux forces précédentes soit :

$$ F_x = F_x^+ + F_x^- = 2\mu \frac{U}{h} a \qquad (7.22) $$

Si la vitesse de déplacement $U$ est nulle, il est possible d'obtenir un frottement nul. Ceci n'est pas possible en régime hydrodynamique car une vitesse est nécessaire à la formation du film.

La butée que nous venons d'étudier présente un inconvénient. Elle ne peut supporter une charge nulle. Pour s'affranchir de cette limitation, il faut utiliser une butée double comme celle présentée sur la figure 7.9. Cette dernière peut en outre supportée des forces dans les deux sens (charges positives ou négatives). Les caractéristiques de la butée double sont une combinaison des caractéristiques de chaque butée. Les épaisseurs de film sont liées au jeu initial $c$ :

$$ h_1 + h_2 = c \qquad (7.23) $$

Le débit est la somme des deux débits :

$$ Q_1 + Q_2 = Q \qquad (7.24) $$

La charge est la différence des portances :

$$ W = W_1 - W_2 \qquad (7.25) $$

En revanche les raideurs s'additionnent :

$$ \lambda = \lambda_1 + \lambda_2 \qquad (7.26) $$

## 7.3 Généralisation

Les formules établies précédemment dans le cas d'une butée 1D peuvent s'appliquer à des cas 2D si les largeurs des portées où s'établit le film mince sont faibles devant l'étendue des alvéoles [Nic]. Notons qu'il est préférable d'avoir plusieurs alvéoles qui permettent de supporter des charges excentrées. Les formules données dans la suite du chapitre sont basées sur l'article de Nicolas [Nic].
<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>FIGURE 7.9 – Configuration de la butée hydrostatique double</figcaption></figure>

### 7.3.1 Formules générales

La portance s'exprime :

$$W = p_a SK_w = p_s \beta SK_w \qquad (7.27)$$

Le débit dans le film est :

$$Q = \frac{p_a h^3}{\mu} K_Q = \frac{p_s \beta h^3}{\mu} K_Q \qquad (7.28)$$

La raideur du film peut s'écrire :

$$\lambda = 3 \frac{p_s SK_w}{h} \beta (1 - \beta) \qquad (7.29)$$

La rapport des pressions vaut :

$$\beta = \frac{p_a}{p_s} = \frac{K_c}{h^3 K_Q + K_c} \qquad (7.30)$$

La puissance consommée par la pompe est le produit du débit par la pression de sortie soit :

$$P = Qp_s = Q_r p_s = \frac{K_c}{\mu} (p_s - p_a) p_s = \frac{K_c}{\mu} (1 - \beta) p_s^2 \qquad (7.31)$$

Enfin le coefficient de débit d'un capillaire de diamètre $d_c$ et de longueur $l_c$ s'exprime :

$$K_c = \frac{\pi d_c^4}{128 l_c} \qquad (7.32)$$

Notons que pour que le tube respecte la loi d'écoulement d'un capillaire, il faut $l_c > 50d_c$. En cas d'utilisation d'un diaphragme, les formules se trouvent modifiées et le lecteur pourra se reporter à l'article de Nicolas [Nic].

### 7.3.2 Butée 1D

Pour la butée 1D étudiée précédemment, nous avons montré que :

$$S = Ll \qquad (7.33)$$

$$K_w = 1 - \frac{a}{l} \qquad (7.34)$$

$$K_Q = \frac{L}{6a} \qquad (7.35)$$
<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>FIGURE 7.10 – Configuration d'une butée plane à un ou quatre alvéoles identiques et centrés [Nic].</figcaption></figure>

### 7.3.3 Butée plane à un ou quatre alvéoles identiques et centrés

La configuration du problème est présentée sur la figure 7.10.

$$S = L\ell \qquad (7.36)$$

$$K_w = \frac{(L - a)(\ell - b)}{L\ell} \qquad (7.37)$$

$$K_Q = \frac{1}{6} \left( \frac{L - a}{b} + \frac{\ell - b}{a} \right) \qquad (7.38)$$

### 7.3.4 Butée plane circulaire

La configuration du problème est présentée sur la figure 7.11.

<figure><img src="image_136.png" /><figcaption>FIGURE 7.11 – Configuration d'une butée plane circulaire [Nic].</figcaption></figure>

#### Butée à un alvéole central

$$S = \pi R_e^2 \qquad (7.39)$$

$$K_w = \frac{1 - R_i^2/R_e^2}{2 \ln(R_e/R_i)} \qquad (7.40)$$

$$K_Q = \frac{\pi}{6 \ln(R_e/R_i)} \qquad (7.41)$$
Butée à n alvéoles identiques

$$S = \pi R_e^2 \qquad (7.42)$$

$$K_w = \frac{1 - R_2^2/R_e^2}{2 \ln(R_e/R_2)} \qquad (7.43)$$

$$K_Q = \frac{\pi}{6 \ln(R_e/R_2)} \qquad (7.44)$$

Butée à n alvéoles identiques et orifice central

$$S = \pi (R_e^2 - R_i^2) \qquad (7.45)$$

$$K_w = \frac{1}{2(R_e^2 - R_i^2)} \left[ \frac{R_e^2 - R_2^2}{\ln(R_e/R_2)} - \frac{R_1^2 - R_i^2}{\ln(R_1/R_i)} \right] \qquad (7.46)$$

$$K_Q = \frac{\pi}{6} \left[ \frac{1}{\ln(R_e/R_2)} + \frac{1}{\ln(R_1/R_i)} \right] \qquad (7.47)$$

### 7.3.5 Palier cylindrique à un ou quatre alvéoles identiques

La configuration du problème est présentée sur la figure 7.11.

<figure><img src="image_137.png" /><figcaption>FIGURE 7.12 – Configuration d'une palier cylindrique [Nic].</figcaption></figure>

$$S = LD \sin \phi_e \qquad (7.48)$$

$$K_w = \frac{(1 - a/L) (\sin \phi_e + \sin \phi_2)}{2 \sin \phi_e} \qquad (7.49)$$

$$K_Q = \frac{1}{3} \left[ \frac{D L (\phi_e + \phi_2)}{4L a} + \frac{L (1 - a/L)}{D (\phi_e - \phi_2)} \right] \qquad (7.50)$$
## 7.4 Synthèse

Voici quelques règles et conseils de conception pour les systèmes de guidages hydrostatiques :

- Utilisable pour de très fortes charges (pression d'alimentation et surface adaptées);

- Possibilité d'obtenir de très grande raideur (adapté aux guidages précis);

- En effet $W \propto h^{-3}$ alors qu'en lubrification hydrodynamique $W \propto h^{-2}$.

- Frottement théoriquement nul (positionnement précis) si la vitesse est nulle;

- Peut fonctionner sans vitesse relative;

- Nécessite un système hydraulique d'alimentation;

- Adapter l'état de surface à l'épaisseur de film.