ANNALES MATHÉMATIQUES

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BLAISE PASCAL

DOMINIQUE MANCHON, CHARLES TOROSSIAN

Cohomologie tangente et cup-produit pour la
quantification de Kontsevich

Volume 10, n°1 (2003), p. 75-106.

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# Cohomologie tangente et cup-produit pour la quantification de Kontsevich

Dominique Manchon
Charles Torossian

## Résumé

On a flat manifold $M = \mathbb{R}^d$, M. Kontsevich's formality quasi-isomorphism is compatible with cup-products on tangent cohomology spaces, in the sense that for any formal Poisson 2-tensor $\hbar\gamma$ the derivative at $\hbar\gamma$ of the quasi-isomorphism induces an isomorphism of graded commutative algebras from Poisson cohomology space to Hochschild cohomology space relative to the deformed multiplication built from $\hbar\gamma$ via the quasi-isomorphism. We give here a detailed proof of this result, with signs and orientations precised.

# 1 Introduction

L'existence d'un étoile-produit [3] sur une variété de Poisson quelconque est la conséquence d'un résultat plus profond : le théorème de formalité de M. Kontsevich [7], qui énonce l'existence d'un quasi-isomorphisme $L_\infty$ entre les deux algèbres de Lie différentielles graduées naturellement attachées à une variété différentiable $M$ : l'algèbre de Lie différentielle graduée $g_1$ des multi-champs de vecteurs (ou tenseurs contravariants) sur $M$ (avec différentielle nulle et crochet de Schouten), et l'algèbre de Lie différentielle graduée $g_2$ des opérateurs multi-différentiels sur $M$ (avec différentielle de Hochschild et crochet de Gerstenhaber).

Un tel quasi-isomorphisme $L_\infty$ fournit un procédé canonique et parfaite-ment explicite pour produire un étoile-produit $*=*_{\gamma}$ à partir d'un 2-tenseur de Poisson formel $\gamma$ sur la variété, et tout étoile-produit est équivalent à un étoile-produit obtenu de cette façon ([7] § 4.4, [2] § A.2).

Les graduations de $g_1$ et $g_2$ sont telles qu'un élément homogène de degré $n$ dans $g_1$ (resp. $g_2$) est un $(n+1)$-champ de vecteur (resp. un opérateur $(n+1)$-différentiel). Nous considérons comme dans [7] les espaces décalés
$\mathfrak{g}_1[1]$ et $\mathfrak{g}_2[1]$ comme des variétés formelles graduées pointées, en ce sens que pour $i = 1, 2$ la structure d'algèbre de Lie différentielle graduée définit une codérivation $Q^i$ de degré 1 de la cogèbre sans co-unité $S^+(\mathfrak{g}_i[1])$ qui vérifie l'équation maîtresse :

$$[Q^i, Q^j] = 0. \qquad (1.1)$$

L'espace décalé $\mathfrak{g}_i[1]$ désigne l'espace $\mathfrak{g}_i$ dans lequel la graduation a augmenté d'une unité : ainsi un élément homogène de degré $n$ dans $\mathfrak{g}_1[1]$ est un $(n+2)$-champ de vecteur, et un élément homogène de degré $n$ dans $\mathfrak{g}_2[1]$ est un opérateur $(n+2)$-différentiel.

**Théorème 1.1:** Il existe un quasi-isomorphisme $L_\infty$ de la variété formelle graduée pointée $\mathfrak{g}_1[1]$ vers la variété formelle graduée pointée $\mathfrak{g}_2[1]$, c'est-à-dire un morphisme de cogèbres :

$$\mathcal{U} : S^+(\mathfrak{g}_1[1]) \to S^+(\mathfrak{g}_2[1])$$

tel que :

$$\mathcal{U} \circ Q^1 = Q^2 \circ U, \qquad (1.2)$$

et tel que la restriction $\mathcal{U}_1$ de $\mathcal{U}$ à $\mathfrak{g}_1[1]$ est un quasi-isomorphisme de complexes de cochaînes<fnref n="1" />.

Le théorème de formalité est relié à la quantification par déformation de la manière suivante : par propriété universelle des cogèbres cocommutatives colibres, les codérivations $Q^i$ et le $L_\infty$-morphisme $\mathcal{U}$ sont entièrement déterminés par leurs coefficients de Taylor :

$$Q_k^i : S^k(\mathfrak{g}_i[1]) \to \mathfrak{g}_i[2] \qquad (1.3)$$

$$\mathcal{U}_k : S^k(\mathfrak{g}_1[1]) \to \mathfrak{g}_2[1], \qquad (1.4)$$

$k \ge 1$, $i = 1, 2$, obtenus en composant $Q^i$ et $\mathcal{U}$ à droite avec la projection canonique : $\pi : S^+(\mathfrak{g}_i) \to \mathfrak{g}_i$ (resp. $\pi : S^+(\mathfrak{g}_2) \to \mathfrak{g}_2$). Soit $\mathfrak{m} = \hbar\mathbb{R}[[\hbar]]$ la limite projective des algèbres nilpotentes de dimension finie $\mathfrak{m}_r = \hbar\mathbb{R}[[\hbar]]/\hbar^r\mathbb{R}[[\hbar]]$. Soit $\hbar\gamma = \hbar(\gamma_0+\hbar\gamma_1+\hbar^2\gamma_2+\cdots)$ un 2-tenseur de Poisson formel infinitésimal, c'est-à-dire une solution dans $\mathfrak{g}_1 \hat{\otimes} \mathfrak{m}$ de l'équation de Maurer-Cartan :

$$\hbar d\gamma - \frac{1}{2}[\hbar\gamma, \hbar\gamma] = 0, \qquad (1.5)$$

<footnote n="1">¹D'après [2] on doit remplacer le crochet de Schouten par l'opposé du crochet pris dans l'ordre inverse. C'est ce que nous ferons ici. Ce crochet coïncide avec le crochet de Schouten modulo un signe moins lorsque deux éléments impairs sont en jeu (cf. § 4.2).</footnote>
qui s'écrit aussi de manière plus géométrique :

$$Q^1(e^{\hbar\gamma} - 1) = 0, \qquad (1.6)$$

où $e^{\hbar\gamma} - 1$ est un élément de type groupe dans la $\mathfrak{m}$-cogèbre topologique $S^+(\mathfrak{g}_1[1])\hat{\otimes}\mathfrak{m}$. Alors $\mathcal{U}(e^{\hbar\gamma} - 1)$ est de type groupe dans la cogèbre topologique $S^+(\mathfrak{g}_2[1])\hat{\otimes}\mathfrak{m}$, et donc :

$$\mathcal{U}(e^{\hbar\gamma} - 1) = e^{\hbar\tilde{\gamma}} - 1 \qquad (1.7)$$

avec :

$$\hbar\tilde{\gamma} = \sum_{k \ge 1} \frac{\hbar^k}{k!} \mathcal{U}_k(\gamma^{\cdot k}). \qquad (1.8)$$

Comme $Q^2$ s'annule en $e^{\hbar\tilde{\gamma}} - 1$ l'élément $\hbar\tilde{\gamma}$ vérifie l'équation de Maurer-Cartan dans $\mathfrak{g}_2\hat{\otimes}\mathfrak{m}$ :

$$\hbar d\tilde{\gamma} - \frac{1}{2}[\hbar\tilde{\gamma}, \hbar\tilde{\gamma}] = 0. \qquad (1.9)$$

Soit $m$ l'opérateur bidifférentiel de multiplication : $f \otimes g \mapsto fg$, et soit $* = m + \hbar\tilde{\gamma}$. On rappelle ([2] § IV.3) que le cobord de Hochschild est donné par $d = -[m, -]$. L'équation de Maurer-Cartan pour $\hbar\tilde{\gamma}$ est donc équivalente à l'équation :

$$[*, *] = 0, \qquad (1.10)$$

qui dit que $*$ est un produit associatif sur $C^\infty(M)[[\hbar]]$.

L'élément de type groupe $e^{\hbar\gamma} - 1$ désigne “le $\mathfrak{m}$-point $\hbar\gamma$ sur la variété formelle $\mathfrak{g}_1[1]$”. Cette expression prend tout son sens géométrique si on pense à $e^{\hbar\gamma} - 1$ comme à la différence entre les deux mesures de Dirac $\delta_{\hbar\gamma} - \delta_0$. Dire que le champ de vecteurs impair $Q^1$ s'annule au point $\hbar\gamma$, c'est dire précisément que la codérivation $Q^1$ s'annule sur $e^{\hbar\gamma} - 1$.

Nous nous intéressons maintenant à la différentielle $\mathcal{U}'_{\hbar\gamma}$ du morphisme de variétés formelles $\mathcal{U}$. L'espace tangent à $\mathfrak{g}_1[1]$ en $\hbar\gamma$ s'identifie à $\mathfrak{g}_1[1]\hat{\otimes}\mathfrak{m}$. La linéarisation du champ de vecteurs impair $Q^1$ qui s'annule au point $\hbar\gamma$ donne un champ de vecteurs impair $Q^{\hbar\gamma}$ sur cet espace tangent, donné par :

$$Q^{\hbar\gamma}(\hbar\delta) = \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^{n+1}}{n!} Q_{n+1}^{1}(\delta\cdot\gamma^{\cdot n}), \qquad (1.11)$$

comme on peut le voir en extrayant le terme linéaire en $\delta$ dans l'expression $Q^1(e^{\hbar\gamma+\hbar\delta} - 1)$. L'équation maîtresse :

$$[Q^1, Q^1](e^{\hbar\gamma+\hbar\delta} - 1) = 0 \qquad (1.12)$$
permet facilement de déduire l'équation maîtresse pour le champ linéarisé :

$$[Q^{\hbar\gamma}, Q^{\hbar\tilde{\gamma}}] = 0. \qquad (1.13)$$

Dans notre cas particulier où tous les coefficients de Taylor de $Q^1$ sont nuls sauf le deuxième on obtient :

$$Q^{\hbar\gamma}(\hbar\delta) = Q_2^1(\hbar\gamma.\hbar\delta) = \hbar^2[\delta, \gamma]. \qquad (1.14)$$

(Voir [2] § II.4 et IV.1). On linéarisé de même le champ de vecteurs impair $Q^2$ qui s'annule en $\hbar\tilde{\gamma} = \mathcal{U}(\hbar\gamma)$. On obtient ainsi un champ de vecteurs impair $Q^{\hbar\tilde{\gamma}}$ de carré nul sur l'espace tangent à $\mathfrak{g}_2[1]$ en $\hbar\tilde{\gamma} = \mathcal{U}(\hbar\gamma)$, qui s'écrit :

$$Q^{\hbar\tilde{\gamma}}(\hbar\delta) = Q_1^2(\hbar\delta) + Q_2^2(\hbar\tilde{\gamma}.\hbar\delta) = \hbar[\delta, *]. \qquad (1.15)$$

Les deux espaces tangents ci-dessus sont donc ainsi munis d'une structure de complexe de cochaînes. La dérivée $\mathcal{U}'_{\hbar\gamma}$ du $L_\infty$-morphisme $\mathcal{U}$ est un quasi-isomorphisme de complexes du premier espace tangent vers le deuxième, et s'exprime en étendant par $\mathfrak{m}$-linéarité la formule :

$$\mathcal{U}'_{\hbar\gamma}(\delta) = \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \mathcal{U}_{n+1}(\delta.\gamma^n), \qquad (1.16)$$

pour $\delta \in \mathfrak{g}_1[1]$. L'opérateur de cobord $Q^{\hbar\gamma} = [-, \hbar\gamma] = -[\hbar\gamma, -]_{\text{Schouten}}$ est une dérivation graduée pour le produit extérieur $\wedge$ des multi-champs de vecteurs étendu à $\mathfrak{g}_1[1] \otimes \mathfrak{m}$ par $\mathfrak{m}$-linéarité, par définition même du crochet de Schouten. Le produit extérieur induit donc un produit associatif et commutatif (au sens gradué), que nous noterons $\cup$, sur l'espace de cohomologie $H_{\hbar\gamma}$ du premier espace tangent.

On introduit un produit associatif gradué sur le deuxième espace tangent en posant pour chaque opérateur $k_1$-différentiel $t_1$ et pour chaque opérateur $k_2$-différentiel $t_2$ :

$$(t_1 \cup t_2)(a_1 \otimes \cdots \otimes a_{k_1+k_2}) = t_1(a_1 \otimes \cdots \otimes a_{k_1}) * t_2(a_{k_1+1} \otimes \cdots \otimes a_{k_1+k_2}), \quad (1.17)$$

où $*$ désigne comme ci-dessus l'étoile-produit associatif $\mathfrak{m} + \mathcal{U}(\hbar\gamma)$. La compatibilité de ce produit avec l'opérateur de cobord $[-, *]$ est immédiate, et montre que le produit $\cup$ induit un produit associatif $\cup$ sur l'espace de cohomologie $H_{\hbar\tilde{\gamma}}$ du deuxième espace tangent$^2$.

<footnote>$^2$Par rapport à [7] chap. 8, nous nous plaçons dans le cas simplifié où $\mathfrak{m}$ est supposée concentrée en degré zéro.</footnote>
**Théorème 1.2:** Dans le cas particulier $M = \mathbb{R}^d$ et où $\mathcal{U}$ est le $L_\infty$-morphisme donné dans [7] § 6.4, la dérivée $\mathcal{U}'_{h\bar{\gamma}}$ induit un isomorphisme d'algèbres de l'espace de cohomologie $H_{h\gamma}$ de l'espace tangent $T_{h\gamma g_1}[1]$ sur l'espace de cohomologie $H_{\bar{h}\bar{\gamma}}$ de l'espace tangent $T_{\bar{h}\bar{\gamma} g_2}[1]$. Autrement dit pour tout couple $(\alpha, \beta)$ de multi-champs de vecteurs tels que $[\alpha, \gamma] = [\beta, \gamma] = 0$, on a :

$$ \mathcal{U}'_{h\bar{\gamma}}(\alpha \cup \beta) = \mathcal{U}'_{h\bar{\gamma}}(\alpha) \cup \mathcal{U}'_{h\bar{\gamma}}(\beta) + D, \quad (1.18) $$

où $D$ est un cobord de Hochschild pour l'algèbre déformée $(C^\infty(M)[[\bar{h}]], *)$.

Cet article rédigé début 2001 (arXiv : math/QA/0106205) est consacré à la démonstration détaillée de ce théorème de Kontsevich. Elle repose sur un argument d'homotopie qui est esquissé dans [7] au paragraphe 8.1, et développé dans [1] dans le cas particulier où $\alpha$ et $\beta$ sont de degré minimal $-2$ dans $g_1[1]$, c'est-à-dire appartiennent à $C^\infty(M)[[\bar{h}]]$. Le terme de cobord $D$ n'apparaît pas dans ce cas. Il nous paraissait important de préciser les éléments de cette démonstration vu l'importance du résultat et la complexité des méthodes imaginées par Kontsevich. Nous mettons notamment en valeur une composante de bord nouvelle par rapport à l'article [1], nous précisions les orientations des variétés de bord qui produisent les termes de co-bord et clarifications certaines conventions combinatoires source de confusion. Cet article se veut élémentaire et pédagogique dans son approche. Signalons aussi les travaux de Mochizuki [8] sur les structures $\mathcal{A}^\infty$ associées aux structures tangentes et de Tamarkin [9] sur les structures $\mathcal{G}^\infty$. Ces articles moins élémentaires expliquent pourquoi il est "naturel" d'avoir un transport de la structure associative en cohomologie (voir aussi [6] sur les structures de Tamarkin tangentes). Pour un analogue partiel du théorème 1.2 dans le cas d'une variété quelconque on se reportera à [4].

**Conventions sur le produit extérieur :** Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie. On identifie $x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$ avec la projection :

$$ \frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in S_k} \varepsilon(\sigma) x_{\sigma_1} \otimes \cdots \otimes x_{\sigma_k} $$

de $x_1 \otimes \cdots \otimes x_k$ sur les tenseurs antisymétriques. On définit le couplage entre les puissances extérieures de $V$ et de son dual $V^*$ par la formule :

$$ \langle x_1 \wedge \cdots \wedge x_k, \xi_1 \wedge \cdots \wedge \xi_k \rangle = \frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in S_k} \varepsilon(\sigma) \langle x_{\sigma_1}, \xi_1 \rangle \cdots \langle x_{\sigma_k}, \xi_k \rangle. \quad (1.19) $$
L'article est organisé de la façon suivante. La partie 2 est consacrée à la description de la formule de Kontsevich. La partie 3 traite de manière précise et complète l'argument d'homotopie. La partie 4 rassemble les éléments pour la démonstration du théorème 1.2.

## 2 Rappels sur la construction du quasi-isomorphisme $L_\infty$

Nous rassemblons ici les faits relatifs aux graphes et aux poids introduits par M. Kontsevich dans [7], qui permettent de construire explicitement le $L_\infty$-quasi-isomorphisme $\mathcal{U}$ dans le cas où la variété est $\mathbb{R}^d$, et de montrer qu'il possède les propriétés attendues. On se reportera à [7] chap. 5 et 6 pour les détails, ainsi qu'à [2] pour la délicate question du choix des signes.

### 2.1 Graphes et poids

On se place dans le cas plat $M = \mathbb{R}^d$. Le $L_\infty$-quasi-isomorphisme $\mathcal{U}$ est uniquement déterminé par ses coefficients de Taylor :

$$ \mathcal{U}_n : S^n(\mathfrak{g}_1[1]) \to \mathfrak{g}_2[1]. $$

Si les $\alpha_k$ sont des $s_k$-champs de vecteurs, ils sont de degré $s_k - 2$ dans l'espace décalé $\mathfrak{g}_1[1]$, et donc $\mathcal{U}_n(\alpha_1 \cdots \alpha_n)$ est d'ordre $s_1 + \cdots + s_n - 2n$ dans $\mathfrak{g}_2[1]$. C'est donc un opérateur $m$-différentiel, avec :

$$ \sum_{k=1}^{n} s_k = 2n + m - 2. \qquad (2.1) $$

Les coefficients de Taylor sont construits à l'aide de poids et de graphes : on désigne par $G_{n,m}$ l'ensemble des graphes étiquetés et orientés ayant $n$ sommets du premier type (sommets aériens) et $m$ sommets du deuxième type (sommets terrestres) tels que :

1). Les arêtes partent toutes des sommets aériens.

2). Le but d'une arête est différent de sa source (il n'y a pas de boucles).

3). Il n'y a pas d'arêtes multiples.

Par graphe étiqueté on entend un graphe $\Gamma$ muni d'un ordre total sur l'ensemble $E_\Gamma$ de ses arêtes, compatible avec l'ordre des sommets. A tout
graphe étiqueté $\Gamma \in G_{n,m}$, et à tout $n$-uple de multi-champs de vecteurs $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ on peut associer de manière naturelle un opérateur $m$-différentiel $B_\Gamma(\alpha_1 \otimes \dots \otimes \alpha_n)$ lorsque pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$, $\alpha_j$ est un $s_j$-champ de vecteurs, où $s_j$ désigne le nombre d'arêtes qui partent du sommet aérien numéro $j$ ([7] § 6.3).

L'opérateur $B_\Gamma(\alpha_1 \otimes \dots \otimes \alpha_n)$ est construit de la façon suivante : soit $E_\Gamma$ l'ensemble des arêtes de $\Gamma$. On désigne par $\{e_k^1, \dots, e_k^{s_k}\}$ le sous-ensemble ordonné de $E_\Gamma$ des arêtes partant du sommet aérien $k$. A toute application $I : E_\Gamma \to \{1, \dots, d\}$ et à tout sommet du graphe $\Gamma$ (de type aérien ou terrestre) on associe l'opérateur différentiel à coefficient constant :

$$D_{I(x)} = \prod_{e=(-,x)} \partial_{I(e)}, \qquad (2.2)$$

où pour tout $i \in \{1, \dots, d\}$ on désigne par $\partial_i$ l'opérateur de dérivation partielle par rapport à la $i^{\text{me}}$ variable. Le produit est pris pour toutes les arêtes qui arrivent au sommet $x$. Soit pour tout sommet aérien $k$, pour tout $s_k$-champ de vecteurs $\gamma_k$ (où $s_k$ est le nombre d'arêtes partant de $k$) et pour toute application $I : E_\Gamma \to \{1, \dots, d\}$ le coefficient :

$$\begin{aligned} \gamma_k^I = \gamma_k^{I(e_k^1) \cdots I(e_k^{s_k})} &= \langle \gamma_k, dx_{I(e_k^1)} \wedge \cdots \wedge dx_{I(e_k^{s_k})} \rangle \\ &= \langle \gamma_k, dx_{I(e_k^1)} \otimes \cdots \otimes dx_{I(e_k^{s_k})} \rangle. \end{aligned} \qquad (2.3)$$

On pose alors :

$$\mathcal{B}_{\Gamma}(\gamma_1 \otimes \dots \otimes \gamma_n)(f_1 \otimes \dots \otimes f_n) = \sum_{I:E_{\Gamma} \to \{1, \dots, d\}} \prod_{k=1}^{n} D_{I(k)} \gamma_k^I \prod_{l=1}^{m} D_{I(l)} f_l. \quad (2.4)$$

Le coefficient de Taylor $U_n$ est alors donné par la formule :

$$U_n(\alpha_1 \cdots \alpha_n) = \sum_{\Gamma \in G_{n,m}} W_{\Gamma} \mathcal{B}_{\Gamma}(\alpha_1 \otimes \cdots \otimes \alpha_n), \qquad (2.5)$$

où l'entier $m$ est relié à $n$ et aux $\alpha_j$ par la formule 2.1 ci-dessus. On écrit aussi :

$$U_n = \sum_{G_n} W_{\Gamma} \mathcal{B}_{\Gamma}, \qquad (2.6)$$

où $G_n$ désigne l'ensemble des graphes admissibles à $n$ sommets aériens.
D. MANCHON, CH. TOROSSIAN

Le poids $W_Γ$ est nul sauf si le nombre d'arêtes $|E_Γ|$ du graphe $Γ$ est précisément égal à $2n+m-2$. Il s'obtient en intégrant une forme fermée $ω_Γ$ de degré $|E_Γ|$ sur une composante connexe de la compactification de Fulton-McPherson d'un espace de configuration qui est précisément de dimension $2n+m-2$ ([5], [7] § 5). Il dépend lui aussi d'un ordre sur l'ensemble des arêtes, mais le produit $W_Γ \cdot \mathcal{B}_Γ$ n'en dépend plus.

On désigne par $\mathrm{Conf}_{n,m}$ l'ensemble des $(p_1, \dots, p_n, q_1, \dots, q_m)$ où les $p_j$ sont des points distincts appartenant au demi-plan de Poincaré :

$$ \mathcal{H} = \{z \in \mathbb{C}, \operatorname{Im} z > 0\}, $$

et où les $q_j$ sont des points distincts sur $\mathbb{R}$ vu comme le bord de $\mathcal{H}$. Le groupe :

$$ G = \{z \mapsto az + b \text{ avec } (a, b) \in \mathbb{R} \text{ et } a > 0\} $$

agit librement sur $\mathrm{Conf}_{n,m}$. Le quotient :

$$ C_{n,m} = \mathrm{Conf}_{n,m} / G $$

est une variété de dimension $2n+m-2$. On a une action naturelle des groupes de permutations $S_n$ et $S_m$ sur $C_{n,m}$, de sorte qu'on peut parler de $C_{A,B}$ où $A$ et $B$ sont deux ensembles finis. La compactification de Fulton-MacPherson $\overline{C}_{A,B}$ de $C_{A,B}$ est une variété à coins qui peut se voir comme l'adhérence du plongement de $C_{A,B}$ dans une variété compacte de grande dimension, produit de tores $T = \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ et d'espaces projectifs $\mathbb{C}P^2$ ([2] § I.2) :

$$ (r_1, \dots, r_{n+m}) \longmapsto (\mathrm{Arg}(r_i - r_j)_{(i,j)}, [r_i - r_j : r_j - r_k : r_k : r_i]_{(i,j,k)}). $$

Pour tout graphe $Γ \in G_{n,m}$ on construit une fonction d'angle :

$$ \Phi_Γ : \overline{C}_{n,m} \to T^{|E_Γ|} $$

de la façon suivante : on trace le graphe dans $\overline{\mathcal{H}}$ en reliant les sommets par des géodésiques pour la métrique hyperbolique, et à chaque arête $e = (a, b)$ on associe l'angle $\varphi_e$ que fait la demi-droite verticale issue de $a$ avec l'arête $e$ :
<figure><img src="image_2.png" /></figure>

En choisissant un ordre sur les arêtes ceci définit $\Phi_{\Gamma}$ sur $C_{n,m}$ et on vérifie que cette application se prolonge à la compactification. Soit $\omega_{\Gamma}$ la forme différentielle $\Phi_{\Gamma}^{*}(dv)$ sur $C_{n,m}$ où $dv$ est la forme volume normalisée sur $T^{|E_{\Gamma}|}$. La forme $\omega_{\Gamma}$ se prolonge à la compactification. Soit $C_{n,m}^{+}$ la composante connexe de $C_{n,m}$ où les $q_1, \dots, q_m$ sont rangés par ordre croissant. Les orientations naturelles du demi-plan $\mathcal{H}$ et de $\mathbb{R}$ définissent une orientation de $\mathrm{Conf}_{n,m}^{+}$, et par passage au quotient une orientation naturelle de $C_{n,m}^{+}$, car l'action du groupe $G$ préserve l'orientation. On définit alors le poids $W_{\Gamma}$ par :

$$W_{\Gamma} = \int_{\bar{C}_{n,m}^{+}} \omega_{\Gamma}. \qquad (2.7)$$

*Remarque* : ce poids est un peu différent du poids défini par M. Kontsevich dans [7] § 6.2 : nous ne multiplions pas l'intégrale par le facteur $(\prod_{k=1}^{n} \frac{1}{s_k!})$. Ce facteur multiplicatif est compensé par la convention sur les produits extérieurs 1.19 que nous avons adoptée, qui diffère de celle de [7] § 6.3.

## 2.2 Permutation des arêtes

Soit $\Gamma$ un graphe admissible dans $G_{n,m}$. Le groupe $S_{s_1} \times \dots \times S_{s_n}$, produit des groupes de permutations des arêtes attachés à chaque sommet, agit naturellement sur $\Gamma$ par permutation de l'étiquetage des arêtes. Il est clair que l'on a :

$$\mathcal{B}_{\sigma, \Gamma} = \varepsilon(\sigma)\mathcal{B}_{\Gamma} \qquad (2.8)$$

$$W_{\sigma, \Gamma} = \varepsilon(\sigma)W_{\Gamma}, \qquad (2.9)$$

de sorte que le produit $W_{\Gamma} \cdot \mathcal{B}_{\Gamma}$ ne dépend pas de l'étiquetage.
## 2.3 Stratification du bord

Une suite de configurations $(D_n)$ tend vers un point $D$ du bord de $\overline{C_{n,m}}$ lorsque des points se confondent ou tendent vers la droite réelle lorsqu'on choisit pour chaque configuration un représentant $R_n$ en “position standard”, c'est-à-dire (par exemple), quitte à faire agir le groupe $G$, un représentant tel que son diamètre soit égal à 1 et tel que l'abscisse de son barycentre soit 0.

On appelle *concentration* une suite $(R'_n)$ d'ensembles de points telle que $R'_n \subset R_n$, telle que le cardinal de $R'_n$ soit indépendant de $n$, telle que la distance entre deux points quelconques de $R'_n$ tende vers zéro, et telle que si $R'_n$ ne contient qu'un seul point, alors ce point appartient à $\mathcal{H}$ mais tend vers l'axe réel. On appelle *nuage* une concentration maximale pour l'inclusion. On remarque que, par définition de la position standard, un nuage ne peut pas contenir tous les points de la configuration.

On peut alors choisir un nuage $(R'_n)$, l'observer “au microscope”, c'est-à-dire faire agir un élément du groupe $G$ (différent) sur chaque ensemble de points $R'_n$ pour l'amener en position standard pour tout $n$, et recommencer l'opération ci-dessus. Le processus s'arrête après un nombre fini d'étapes, la dernière étape ne fournissant plus de nuages. Autrement dit le processus s'arrête lorsque tous les points sont distingués individuellement et se trouvent soit sur l'axe réel, soit loin de l'axe réel.

Le processus itératif ci-dessus peut se décrire à l'aide d'un arbre enraciné. Les sommets autres que les feuilles et la racine correspondent au nuages, les feuilles correspondent aux points qui apparaissent à la fin du processus. Un sommet *noir* correspond à un nuage aérien (ou à un point aérien si c'est une feuille), et un sommet *blanc* correspond à un nuage (ou à un point) terrestre. La racine est par convention blanche (on considère l'ensemble de la configuration vue de loin comme un nuage terrestre), chaque sommet blanc a des descendants blancs ou noirs, mais tous les descendants d'un sommet noir sont noirs. Chaque arbre correspond à une strate du bord, dont la codimension est égale au nombre $c(T)$ de sommets intermédiaires (ni racine ni feuilles), ou si l'on préfère, au nombre d'observations au microscope nécessaires. Voici un exemple représenté à l'aide de nuages, avec l'arbre correspondant :
COHOMOLOGIE TANGENTE ET CUP-PRODUIT

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Soit $\text{Conf}_n$ l'ensemble des $n$-uplets de points distincts dans $\mathbb{C}^n$. On note $C_n$ le quotient de $\text{Conf}_n$ par l'action du groupe $G' = \{z \mapsto az+b, a > 0 \text{ et } b \in \mathbb{C}\}$. C'est une variété de dimension $2n-3$, qu'il ne faut pas confondre avec $C_{n,0}$. Le groupe de permutations $S_n$ agit naturellement sur $C_n$, de sorte qu'on peut parler de $C_E$ où $E$ est un ensemble fini. Pour un arbre $T$ comme décrit ci-dessus on peut décrire la strate correspondante $\partial_T C_{n,m}$ comme un produit d'espaces de configuration $C_{A,B}$ et $C_E$ de la façon suivante : on désigne par $B$ l'ensemble des sommets blancs qui ne sont ni feuille ni racine, et par $N$ l'ensemble des sommets noirs qui ne sont ni feuille ni racine. Pour tout sommet $v$ qui n'est pas une feuille (mais pouvant être la racine) on désigne par $B_v$ l'ensemble de ses descendants blancs et par $N_v$ l'ensemble de ses descendants noirs. Alors on a :

$$ \partial_T C_{n,m} = \prod_{v \text{ blanc}} C_{N_v, B_v} \times \prod_{v \text{ noir}} C_{N_v}. \qquad (2.10) $$

on a $|N| + n = \sum_{v \text{ noir}} |N_v| + \sum_{v \text{ blanc}} |N_v|$, et $|B| + m = \sum_{v \text{ blanc}} |B_v|$. Sachant que $n$ est le nombre de feuilles noires et $m$ le nombre de feuilles blanches on a donc :

$$ \begin{aligned} \dim \partial_T &= \sum_{v \text{ blanc}} (2|N_v| + |B_v| - 2) + \sum_{v \text{ noir}} (2|N_v| - 3) \\ &= 2n + 2|N| + m + |B| - 2(|B| + 1) - 3|N| \\ &= 2n + m - 2 - |N| - |B|. \end{aligned} \qquad (2.11) $$

La codimension de $\partial_T$ dans $\overline{C_{n,m}}$ est donc égale au nombre total $c(T)$ de sommets intermédiaires, c'est-à-dire au nombre nécessaire de grossissements au microscope.
## 2.4 Principe de démonstration du théorème de formalité

On reprend les notations de l'introduction : l'équation de formalité $\mathcal{U} \circ Q^1 = Q^2 \circ \mathcal{U}$ se développe en une suite $(E_n)$ d'équations exprimant le coefficient de Taylor $\mathcal{U}_n$ en fonction de $Q_2^1$, $Q_1^2$, $Q_2^2$ et les $\mathcal{U}_k$ pour $k < n$. On montre, en remplaçant $\mathcal{U}$ par son expression donnée au § 2.1, que l'équation $(E_n)$ est équivalente à :

$$ \sum_{\Gamma \in G_n} C_{\Gamma} \mathcal{B}_{\Gamma} = 0 \qquad (2.12) $$

où pour $\Gamma \in G_{n,m}$ le poids $C_{\Gamma}$ est donné par :

$$ C_{\Gamma} = \sum_{T, c(T)=1} \int_{\partial_T \overline{C_{n,m}}^{+}} \omega_{\Gamma} = \int_{\partial \overline{C_{n,m}}^{+}} \omega_{\Gamma}. \qquad (2.13) $$

On exprime ici que l'intégrale sur le bord est la somme des intégrales sur les strates de codimension 1 convenablement orientées (cf. [2] chap. 1). Or $d\omega_{\Gamma} = 0$. La formule de Stokes sur la variété à coins $\overline{C_{n,m}}^{+}$ implique l'annulation de tous les poids $C_{\Gamma}$, et donc le théorème de formalité ([7] chap. 6, [2]).

## 3 L'argument d'homotopie

On reprend les notations de l'introduction. Il s'agit de comparer les deux quantités $\mathcal{U}'_{\overline{h}\gamma}(\alpha \cup \beta)$ et $\mathcal{U}'_{\overline{h}\gamma}(\alpha) \cup \mathcal{U}'_{\overline{h}\gamma}(\beta)$ en les exprimant à l'aide de graphes et de poids. L'idée est de mettre en évidence une famille $Z_t$ de sous-variétés à coins de codimension 2 (pour $t \in [0, 1]$) et une forme fermée $\omega$ à valeurs dans les opérateurs multi-différentiels telle que

$$ \int_{Z_0} \omega = \mathcal{U}'_{\overline{h}\gamma}(\alpha \cup \beta) \quad \text{et} \quad \int_{Z_1} \omega = \mathcal{U}'_{\overline{h}\gamma}(\alpha) \cup \mathcal{U}'_{\overline{h}\gamma}(\beta). $$

Grâce à la formule de Stokes la différence entre les deux quantités s'exprime alors par l'intégrale sur $Y$ de $\omega$, où $Y$ désigne la réunion des bords de $Z_t$ pour $t \in [0, 1]$.
## 3.1 L'oeil $\overline{C}_{2,0}$.

Les différentes strates de $\overline{C}_{2,0}$ sont $C_{2,0}$, $C_2$ (lorsque les deux points se rap-
prochent dans $\mathcal{H}$), deux copies de $C_{1,1}$ (lorsque l'un ou l'autre point se rap-
proche de $\mathbb{R}$), et $C_{0,2}$ (lorsque les deux points se rapprochent de $\mathbb{R}$) qui est con-
stitué par deux points. On trace un chemin $\xi(t)$ dans $\overline{C}_{2,0}$ tel que $\xi(0) \in C_2$
et $\xi(1) \in C_{0,2}^+$ : autrement dit on part de deux points confondus dans $\mathcal{H}$ pour
aboutir à deux points distincts sur $\mathbb{R}$.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

## 3.2 Une famille de sous-variétés de codimension deux

Soit $F : C_{n+2,m}^+ \to C_{2,0}$ l'application surjective consistant à oublier tous les points sauf les deux premiers sommets aériens. Cette application se prolonge naturellement par continuité en $F : \overline{C_{n+2,m}}^+ \to \overline{C_{2,0}}$. On définit alors pour $t \in [0, 1]$ :

$$Z_t = F^{-1}(\xi(t)). \qquad (3.1)$$

Il est clair que $Z_0$ et $Z_1$ sont contenus dans le bord de $C_{n+2,m}^+$. Appelant $Z$ la réunion des $Z_t$ pour $t \in]0, 1[$, et posant $Y = Z \cap \partial C_{n+2,m}^+$ on a alors :

$$\partial Z = Z_0 \amalg Z_1 \amalg Y. \qquad (3.2)$$

Il faut maintenant définir précisément l'orientation des espaces de configura-
tion et des différentes strates qui interviennent. Soit $\Omega$ la forme volume sur
$C_{n+2,m}^+$ définie dans [2] § I.1, obtenue par passage au quotient de la forme sur
$\text{Conf}_{n+2,m}$ :

$$\Omega_{p_1, \dots, p_n; q_1, \dots, q_m} = dx_1 \wedge dy_1 \wedge \dots \wedge dx_{n+2} \wedge dy_{n+2} \wedge dq_1 \wedge \dots \wedge dq_m \\ \text{(avec } p_j = x_j + iy_j).$$
<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Soit $dn$ la normale au chemin $\xi$ dans l'oeil $\overline{C_{2,0}}$ telle que $dn \wedge dt$ forme un repère direct du plan dans lequel est dessiné l'oeil (voir dessin). La forme volume s'écrit au voisinage d'un point quelconque de $Z_t$ :

$$ \Omega = dn \wedge dt \wedge \Omega', $$

ce qui définit une forme volume $\Omega'$ (et donc une orientation) sur $Z_t$. Soit $\Gamma$ un graphe admissible dans $G_{n+2,m}$, et $\omega_\Gamma$ la forme différentielle associée. On pose :

$$ W_{\Gamma}^{t} = \int_{Z_t} \omega_{\Gamma} \qquad (3.3) $$

où $Z_t$ est orientée comme ci-dessus. Cette intégrale est nulle sauf éventuellement si le nombre d'arêtes de $\Gamma$ est égal à la dimension de $Z_t$, c'est-à-dire $2n + m$.

**Lemme 3.1:** Le poids $W_\Gamma^0$ est nul si les sommets 1 et 2 sont reliés par une arête, et si 1 et 2 ne sont pas reliés on a avec nos choix d'orientation :

$$ W_{\Gamma}^{0} = W_{\Delta} = \int_{\overline{C_{n+1,m}}} \omega_{\Delta}, \qquad (3.4) $$

où $\Delta$ est le graphe de $G_{n+1,m}$ obtenu en confondant les sommets 1 et 2.

**PREUVE:** Il n'y a pas de strate de codimension 2 contenue dans $Z_0$. On a donc :

$$ \mathring{Z}_0 = \coprod_{c(T)=1} Z_0 \cap \partial_T C_{n+2,m}. \qquad (3.5) $$

D'après le § 2.3 les strates de codimension 1 (les faces) sont obtenues en considérant une seule fois un nuage de points. Elles sont donc de deux types :
COHOMOLOGIE TANGENTE ET CUP-PRODUIT

le type 1 pour un nuage aérien, et le type 2 pour un nuage terrestre, qui contient donc à la fois des points aériens et des points terrestres. Il est clair que seules les faces de type 1 ont une intersection non vide avec $Z_0$, et que le nuage à considérer contient alors forcément les sommets 1 et 2.

Soit $A \subset \{1, \dots, n\}$ un tel nuage dans $C_{n+2,m}$, soit $\Sigma_A$ la face associée, soit $\Gamma \subset G_{n+2,m}$ un graphe à $2n+m$ arêtes. Soit $\Gamma_A^2$ le graphe obtenu en contractant le nuage $A$ sur un point, et soit $\Gamma_A^1$ le graphe interne, formé des seuls points de $A$ et des arêtes qui relient deux points de $A$. On a alors :

$$ \int_{\Sigma_A \cap Z_0} \omega_\Gamma = \int_{C_A \cap Z_0} \omega_{\Gamma_A^1} \int_{C_{n-|A|+3,m}} \omega_{\Gamma_A^2}. \quad (3.6) $$

Si les sommets 1 et 2 sont reliés par une arête $e$, l'angle associé $\varphi_e$ est constant sur $Z_0$, et donc le terme de gauche du produit s'annule. Il suffit donc de considérer les graphes $\Gamma$ où 1 et 2 ne sont pas reliés. Soit $\tilde{\Gamma}$ le graphe $\Gamma$ auquel on a rajouté (en première position pour l'ordre total sur les arêtes) une arête $e$ joignant 1 à 2. On a alors :

$$ \int_{C_A \cap Z_0} \omega_{\Gamma_A^1} = \int_{C_A} d\varphi_e \wedge \omega_{\Gamma_A^1} = \int_{C_A} \omega_{\Gamma_A^2}. \quad (3.7) $$

Cette dernière intégrale est nulle dès que $|A| \ge 3$, d'après le lemme 6.6 de [7]. On est donc ramené au cas où le nuage n'est constitué que des sommets 1 et 2. Le graphe interne est réduit à deux points reliés, et le graphe externe est le graphe $\Delta$. On a alors :

$$ \int_{C_A \cap Z_0} \omega_{\Gamma_A^1} \int_{C_{n+1,m}} \omega_{\Gamma_A^2} = \int_{C_2} d\varphi_e \int_{C_{n+1,m}} \omega_\Delta. \quad (3.8) $$
Il n'y a donc qu'une seule strate $\Sigma_A$ de codimension 1 à considérer. On a
donc, en utilisant l'orientation de la strate donnée par le lemme I.2.1 de [2] :

$$
\begin{align*}
W_{\Gamma}^{0} &= \int_{Z_{0}} \omega_{\Gamma} \\
&= \int_{\Sigma_{A} \cap Z_{0}} \omega_{\Gamma} \\
&= - \int_{\Sigma_{A}} \omega_{\Gamma}^{\sim} \tag{3.9} \\
&= - \left( - \int_{C_{A}} d\varphi_{e} \int_{C_{n+1,m}^{+}} \omega_{\Delta} \right) \\
&= \int_{C_{n+1,m}^{+}} \omega_{\Delta},
\end{align*}
$$

ce qui démontre le lemme. Le premier signe moins vient du fait que $Z_0$ est
orientée avec une normale rentrante, alors que les conventions de [2] utilisent
la normale sortante. il vient donc d'après [2] lemme I.2.1 un deuxième signe
moins qui annule le premier.
□

Considérons maintenant $Z_1$. Son intersection avec les strates de codimension 1 est vide, donc $Z_1$ est une réunion de strates de codimension 2. Par définition de $Z_1$ ces strates sont des $C_T$ où $T$ est un arbre du type ci-dessous :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

c'est-à-dire qu'il y a deux nuages terrestres, un contenant le sommet 1 et
l'autre contenant le sommet 2. Une telle strate s'écrit donc :

$$
C_T = C_{n_1, m_1} \times C_{n_2, m_2} \times C_{n_3, m_3}, \quad (3.10)
$$

avec $n_1 + n_2 + n_3 = n + 2$ et $m_1 + m_2 + (m_3 - 2) = m$. Son intersection avec $Z_1$ est la composante connexe :

$$
C_T^+ = C_{n_1, m_1}^+ \times C_{n_2, m_2}^+ \times C_{n_3, m_3}^+.
$$
Les deux premiers facteurs représentent les deux nuages et le dernier facteur représente la configuration “avant grossissement”. Soit $\Gamma$ un graphe dans $G_{n+2,m}$ contenant $2n+m$ arêtes, soient $\Gamma_1^T$ et $\Gamma_2^T$ les deux graphes internes correspondant aux deux nuages, et soit $\Gamma_3^T$ le graphe externe.

**Lemme 3.2:** On a $m_3 = 2$. Si $\Gamma$ possède une ou plusieurs flèches sortant du graphe interne $\Gamma_1$ ou $\Gamma_2$ alors $W_{\Gamma}^1 = 0$. Dans le cas contraire on a :

$$W_{\Gamma}^{1} = \sum_{T} W_{\Gamma_{1}^{T}} W_{\Gamma_{2}^{T}} W_{\Gamma_{3}^{T}}, \qquad (3.11)$$

la somme portant sur tous les arbres $T$ décrits ci-dessus.

**PREUVE:** Dans le premier cas, lorsqu'il existe une “mauvaise flèche” $e$, l'angle $\varphi_e$ correspondant est constant sur $Z_1$, et donc la forme différentielle à intégrer s'annule ([7] § 6.4.2.2). Au signe près, la deuxième assertion découle naturellement de l'expression 3.10 donnant $C_T$ comme produit de trois espaces de configuration, et aussi du fait que pour intégrer sur $Z_1$ il suffit de faire la somme des intégrations sur les $C_T^+$ où $T$ décrit l'ensemble des arbres dessinés ci-dessus. Reste à préciser les orientations pour démontrer que le signe annoncé est le bon.

On oriente chaque composante $C_{n_i,m_i}^+$ de la strate $C_T^+$ par sa forme volume $\Omega_i$, $i = 1, 2, 3$. Le choix de normale que nous avons fait pour le chemin $\xi$ induit une orientation de chacune des paupières de l'oeil : la paupière supérieure est orientée par la normale rentrante $dn_1$, et la paupière inférieure est oriéntée par la normale sortante $dn_2$. On s'en convainc en traçant deux chemins $\xi_1$ et $\xi_2$ homotopes à $\xi$ dans $\overline{C_{2,0}}$, l'un se confondant avec la paupière supérieure pour $t \ge 1/2$, et l'autre se confondant avec la paupière inférieure pour $t \ge 1/2$ :

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
De même que les coins de l'oeil forment l'intersection des deux pau-
pières, la strate $C_T$ de codimension 2 est l'intersection des deux strates $C_{T_1}$
et $C_{T_2}$ de codimension 1 obtenues respectivement en contractant seulement
le nuage de gauche (resp. de droite). D'après [2] lemme I.2.2 la forme volume
$\Omega$ s'écrit :

$$
\Omega = -d\mathbf{n}_1 \wedge \Omega(C_{T_1}^+) = (-1)^{lm_1+l+m_1+1} d\mathbf{n}_1 \wedge \Omega_1 \wedge \Omega(C_{n_2+n_3,1+m_2}^+).
$$

L'entier $l$ désigne le nombre de points terrestres à gauche du nuage de gauche :
on a donc $l = 0$. La convention appliquée dans [2] est celle de la normale
sortante : comme $d\mathbf{n}_1$ est rentrante on a un signe opposé qui apparaît par
rapport à [2] lemme I.2.2.

On contracte maintenant le nuage de droite. On a, toujours grâce à [2]
lemme I.2.2 :

$$
\Omega(C_{n_2+n_3,1+m_2}^{+}) = d\mathbf{n}_2 \wedge \Omega(C_{T'}^{+}) = (-1)^{lm_2+l+m_2} d\mathbf{n}_2 \wedge \Omega_2 \wedge \Omega_3,
$$

où $C_{T'}$ désigne la strate de codimension 1 de $C_{n_2+n_3,1+m_2}$ homéomorphe à $C_T$,
obtenue en contractant le nuage de droite une fois que le nuage de gauche est
déjà contracté. Cette fois-ci $l=1$, car il y a un point à gauche du nuage : celui
produit par la contraction du nuage de gauche. La normale $d\mathbf{n}_2$ étant sortante
il n'y a pas de changement de signe ici. De plus on peut manifestement
remplacer $d\mathbf{n}_2$ par $dt$ pour peu que le chemin $\xi$ arrive transversalement à la
paupière inférieure au coin de l'oeil. On a donc finalement :

$$
\begin{align}
\Omega &= (-1)^{m_1+1} (-1)^1 d\mathbf{n}_1 \wedge \Omega_1 \wedge d\mathbf{n}_2 \wedge \Omega_2 \wedge \Omega_3 \tag{3.12} \\
&= d\mathbf{n} \wedge dt \wedge \Omega_1 \wedge \Omega_2 \wedge \Omega_3. \nonumber
\end{align}
$$

Chaque strate du type *T* intervenant dans $Z_1$ est donc orientée par $\Omega_1 \wedge \Omega_2 \wedge \Omega_3$, d'où le lemme. $\square$

*Remarque:* Nous aurions pu choisir de contracter le nuage de droite avant celui de gauche (autrement dit, nous aurions pu suivre le chemin $\xi_2$ pour arriver à la strate *T* au lieu de suivre le chemin $\xi_1$). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que cette alternative donne le même résultat.
## 3.3 Expression du cup-produit à l'aide de graphes et de poids

Les expressions suivantes constituent le premier pas de la démonstration du théorème 1.2

**Proposition 3.3:** *Pour tout $\alpha, \beta \in \mathfrak{g}_1[1]$ on a :*

$$ \mathcal{U}'_{h\gamma}(\alpha \cup \beta) = \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \sum_{\Gamma \in G_{n+2,m}} W_{\Gamma}^0 \mathcal{B}_{\Gamma}(\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) \quad (3.13) $$

$$ \mathcal{U}'_{h\gamma}(\alpha) \cup \mathcal{U}'_{h\gamma}(\beta) = \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \sum_{\Gamma \in G_{n+2,m}} W_{\Gamma}^1 \mathcal{B}_{\Gamma}(\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma). \quad (3.14) $$

**PREUVE:** On commence par démontrer la première assertion. On suppose que $\alpha$ est homogène de degré $|\alpha| = m_1 - 1$ dans $\mathfrak{g}_1$, et que $\beta$ est homogène de degré $|\beta| = m_2 - 1$ dans $\mathfrak{g}_2$. On rappelle que $\gamma$ est homogène de degré 1. L'expression explicite 1.16 de $\mathcal{U}'_{h\gamma}$ donnée dans l'introduction, ainsi que l'expression explicite 2.5 des $\mathcal{U}_n$ à l'aide de graphes et de poids, nous donnent :

$$ \mathcal{U}'_{h\gamma}(\alpha \cup \beta) = \mathcal{U}'_{h\gamma}(\alpha \wedge \beta) = \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \sum_{\Gamma \in G_{n+1,m}} W_{\Gamma} \mathcal{B}_{\Gamma}((\alpha \wedge \beta) \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma), \quad (3.15) $$

avec $m = |\alpha| + |\beta| + 2 = m_1 + m_2$.

Introduisons provisoirement, juste pour la suite de la démonstration, une classe spéciale de graphes : on dira que l'ordre des arêtes d'un graphe $\Gamma$ de $G_{n+1,m}$ est privilégié par rapport au premier sommet si l'application qui à une arête issue du premier sommet associe son sommet d'arrivée est croissante. Tout graphe $\Gamma \in G_{n+1,m}$ se déduit d'un graphe privilégié par application d'une unique permutation $\sigma$ des arêtes issues du premier sommet. On notera $\varepsilon(\Gamma)$ la signature de cette permutation, et on notera $\Gamma^{\text{priv}}$ le graphe privilégié naturellement associé au graphe $\Gamma$.

Soient $\Gamma$ et $\Gamma'$ deux graphes admissibles (munis chacun d'un ordre sur leurs arêtes compatible avec l'ordre sur leurs sommets). La notation $\Gamma' \to \Gamma$ signifie que le graphe $\Gamma$ se déduit de $\Gamma'$ par compression d'un nuage de points. L'ordre sur les arêtes de $\Gamma'$ impose l'ordre sur les arêtes de $\Gamma$, et réciproquement l'ordre sur les arêtes de $\Gamma$ impose l'ordre sur les arêtes de $\Gamma'$ qui sortent du nuage.
Les graphes $\Gamma'$ donnant $\Gamma$ par contraction peuvent être très différents des $\Gamma'$ donnant $\Gamma^{\text{priv}}$ par contraction sur un sommet $s$: on s'en convainc (voir dessin ci-dessous) par un exemple simple dans le cas où $s$ n'a pas d'arêtes incidentes et où le nuage est composé de deux sommets aériens non reliés. Il n'y a qu'un seul $\Gamma'$ par graphe contracté $\Gamma$ dans ce cas-là.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

**Lemme 3.4:** Soit $\Gamma_0$ un graphe dans $G_{n+1,m}$ privilégié par rapport au premier sommet. Alors,

$$ 
\begin{align} 
(m_1 + m_2)! \mathcal{B}_{\Gamma_0}((\alpha \wedge \beta) \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) &= \sum_{\Gamma, \Gamma^{\text{priv}}=\Gamma_0} \varepsilon(\Gamma) \mathcal{B}_{\Gamma}((\alpha \wedge \beta) \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) \nonumber \\ 
&= \sum_{\Gamma, \Gamma^{\text{priv}}=\Gamma_0} \varepsilon(\Gamma) \sum_{\Gamma' \to \Gamma} \mathcal{B}_{\Gamma'}((\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma), \tag{3.16}
\end{align} 
$$

où la deuxième somme est prise sur tous les graphes $\Gamma'$ dans $G_{n+2,m}$ construits à partir de $\Gamma$ en dédoublant le sommet 1 de valence $m_1+m_2$ étiqueté par $\alpha \wedge \beta$ en deux sommets 1 et 2 de valence $m_1$ et $m_2$ respectivement, et en répartissant les arêtes incidentes entre les deux sommets de toutes les manières possibles.
PREUVE: L'identité bien connue sur les produits extérieurs (avec la con-
vention 1.19) :

$$
\begin{equation} \tag{3.17}
\begin{split}
\langle \alpha \wedge \beta, dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{m_1+m_2} \rangle &= \frac{1}{(m_1+m_2)!} \sum_{\sigma \in S_{m_1+m_2}} \\
&\qquad \varepsilon(\sigma) \langle \alpha, dx_{\sigma_1} \wedge \cdots \wedge dx_{\sigma_{m_1}} \rangle \langle \beta, dx_{\sigma_{m_1+1}} \wedge \cdots \wedge dx_{\sigma_{m_1+m_2}} \rangle
\end{split}
\end{equation}
$$

montre que l'on a pour toute application $I$ de $E_{\Gamma'}$ dans $\{1, \dots, d\}$ :

$$
(\alpha \wedge \beta)_1^I = \frac{1}{(m_1 + m_2)!} \sum_{\sigma \in S_{m_1+m_2}} \varepsilon(\sigma) \alpha_1^{I_\sigma} \beta_2^{I_\sigma}. \quad (3.18)
$$

On remplace alors $\mathcal{B}_{\Gamma_0}$ $((\alpha \wedge \beta) \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma)$ par son développement explicite donné par 2.4. L'utilisation de la formule de Leibniz fait alors apparaître une et une seule fois tous les graphes $\Gamma' \to \Gamma$ décrits ci-dessus (par répartition des arêtes incidentes entre les sommets 1 et 2). Le groupe $S_{m_1+m_2}$ agit librement transitivement sur l'ensemble des graphes $\Gamma$ tels que $\Gamma^{\text{priv}} = \Gamma_0$, et le signe $\varepsilon(\Gamma)$ est égal à la signature $\varepsilon(\sigma)$ où $\sigma$ est la permutation telle que $\Gamma = \sigma\Gamma_0$.

□

Sachant que l'on a $W_{\Gamma} = \varepsilon(\Gamma)W_{\Gamma_0}$, on déduit du lemme précédent et du
lemme 3.1 :

$$
\sum_{\Gamma, \Gamma^{\text{priv}}=\Gamma_0} W_{\Gamma} \mathcal{B}_{\Gamma} ((\alpha \wedge \beta) \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) = \sum_{\Gamma, \Gamma^{\text{priv}}=\Gamma_0} \sum_{\Gamma' \to \Gamma} W_{\Gamma'}^0 \mathcal{B}_{\Gamma'} (\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma). \quad (3.19)
$$

On en déduit la première assertion de la proposition en sommant sur tous les
graphes $\Gamma$ de $G_{n+1,m}$ pour un $n$ donné, en multipliant par $\frac{\hbar^n}{n!}$ et en sommant
sur les entiers $n$.

**Suite de la démonstration de la proposition (deuxième assertion) :**
les égalités 1.16, 1.17 et 2.5 nous donnent :

$$
\begin{align}
& U'_{h\gamma}(\alpha) \cup U'_{h\gamma}(\beta) (f_1 \otimes \cdots \otimes f_{m_1+m_2}) = \nonumber \\
& \qquad = \sum_{k,l \ge 0} \frac{\hbar^{k+l}}{k!l!} \sum_{\substack{\Gamma_1 \in G_{k+1,m_1} \\ \Gamma_2 \in G_{l+1,m_2}}} W_{\Gamma_1} W_{\Gamma_2} \nonumber \\
& \qquad \qquad \qquad \qquad \mathcal{B}_{\Gamma_1} (\alpha \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) (f_1 \otimes \cdots \otimes f_{m_1}) * \mathcal{B}_{\Gamma_2} (\beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) (f_{m_1+1} \otimes \cdots \otimes f_{m_1+m_2}). \tag{3.20}
\end{align}
$$
Développant le produit * à l'aide de 1.8 et 2.5 on obtient :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
U'_{h\gamma}(\alpha) \cup U'_{h\gamma}(\beta)(f_1 \otimes \cdots \otimes f_{m_1+m_2}) = & \sum_{k,l,r \ge 0} \frac{\hbar^{k+l+r}}{k!l!r!} \sum_{\substack{\Gamma_1 \in G_{k+1,m_1} \\ \Gamma_2 \in G_{l+1,m_2} \\ \Gamma_3 \in G_{r,2}}} W_{\Gamma_1} W_{\Gamma_2} W_{\Gamma_3} \\
& \qquad \otimes B_{\Gamma_3}(\gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) \left( B_{\Gamma_1}(\alpha \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma)(f_1 \otimes \cdots \otimes f_{m_1}) \otimes \right. \\
& \qquad \qquad \left. \otimes B_{\Gamma_2}(\beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma)(f_{m_1+1} \otimes \cdots \otimes f_{m_1+m_2}) \right).
\end{split}
\tag{3.21}
\end{equation}
$$

Rappelons que toute strate $C_T$ de codimension 2 incluse dans $Z_1$ induit une décomposition d'un graphe $\Gamma \in G_{n+2,m}$ en deux graphes internes $\Gamma_1 \in G_{n_1,m_1}$, $\Gamma_2 \in G_{n_2,m_2}$ et un graphe externe $\Gamma_3 \in G_{n_3,m_3}$. Compte tenu des degrés respectifs de $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les graphes $\Gamma$ intervenant dans le membre de droite de la deuxième égalité de la proposition3.3 vérifient $m_3 = 2$ pour toute décomposition de ce type : autrement dit pour toute strate $C_T$ de codimension 2 incluse dans $Z_1$ les deux nuages absorbent tous les points terrestres. Réciproquement, un triplet $(\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3)$ de graphes comme dans la formule ci-dessus provient d'un "grand" graphe $\Gamma \in G_{n+2,m}$ avec $n = k+l+r$, $m = m_1+m_2$.

Reste le problème du dénombrement de tous les $\Gamma$ donnant un triplet $(\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3)$ fixé : on construit $\Gamma$ à partir de ces trois composantes en choisisant la manière de “brancher” $\Gamma_3$ sur $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$, et en choisissant un ordre sur les sommets aériens de $\Gamma$ compatible avec l'ordre des sommets aériens de $\Gamma_i$ pour $i = 1, 2, 3$. Il y a $|B_{k,l,r}| = \frac{(k+l+r)!}{k!l!r!}$ choix possibles de tels ordres, et les choix de branchements apparaissent tous par application de la règle de Leibniz lorsqu'on remplace les $B_{\Gamma_i}$ par leur expression explicite donnée par 2.4. Le lemme 3.2 permet alors de conclure. La proposition 3.3 est donc démontrée. $\square$

## 3.4 Le côté du cylindre : étude de $Y$.

On peut voir le bord de $Z$ comme un cylindre borné (une boîte de conserve) dont $Z_0$ serait le couvercle supérieur, $Z_1$ le couvercle inférieur et $Y$ le côté. Il n'y a pas de strates de codimension 2 incluses dans $Y$, donc l'intérieur de $Y$ est constitué par la réunion des $Z \cap \partial_T C_{n+2,m}$ avec $c(T) = 1$, intersection de $Y$ avec les différentes strates de codimension 1. On peut distinguer ici
quatre types de strates, suivant la position des sommets 1 et 2 par rapport
au nuage :

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

2

.

1

.

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Cas 1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Cas 2</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

2

1

.

2

1

.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Cas 3 aérien</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Cas 3 terrestre</figcaption></figure>

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Cas 4</figcaption></figure>

Cas 1 : le nuage contient le sommet 1 et ne contient pas le sommet 2.

Cas 2 : le nuage contient le sommet 2 et ne contient pas le sommet 1.

Cas 3 : le nuage ne contient ni le sommet 1 ni le sommet 2.

Cas 4 : le nuage contient à la fois les sommets 1 et 2.

Dans les cas 1 et 2 le nuage est forcément aérien, car le chemin choisi
dans l'oeil $C_{2,0}$ ne rencontre aucune des deux copies de $C_{1,1}$. Dans le cas
3 le nuage peut être aérien ou terrestre. enfin dans le cas 4 le nuage est
forcément terrestre : s'il était aérien la strate serait contenue dans $F^{-1}(C_2)$
qui est d'intersection vide avec Y. Une telle strate contient alors le chemin
en entier, en ce sens que l'on a :

$$
C_T \cap Y = (F|_{C_T})^{-1}(\xi([0, 1]))
$$
# 4 Démonstration du théorème 1.2.

## 4.1 L’intégrale sur Y comme cobord de Hochschild.

Soit pour tout graphe $\Gamma$ dans $G_{n+2,m}$ le poids $W_{\Gamma}''$ défini par :

$$ W_{\Gamma}'' = \int_{Y} \omega_{\Gamma} \qquad (4.1) $$

où le bord $Y$ de $Z$ est orienté par la normale sortante. D'après la formule de Stokes on a :

$$ \int_{\partial Z} \omega_{\Gamma} = -W_{\Gamma}^{0} + W_{\Gamma}^{1} + W_{\Gamma}^{2} = 0. \qquad (4.2) $$

Le théorème découlera donc immédiatement de la proposition 3.3 et de la proposition suivante :

**Proposition 4.1:** Soit $\gamma$ un 2-tenseur de Poisson formel, soit $\ast$ l'étoile-produit construit à partir de $\gamma$ à l'aide du $L_{\infty}$-quasi-isomorphisme $\mathcal{U}$, soient $\alpha$ un $k_1$-champ de vecteurs et $\beta$ un $k_2$-champ de vecteurs. Alors on a, avec $m = k_1 + k_2$ :

$$ \begin{aligned} \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \sum_{\Gamma \in G_{n+2,m}} W_{\Gamma}'' \mathcal{B}_{\Gamma}(\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) = & \\ = & \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \sum_{\Delta \in G_{n+2,m-1}} \widetilde{W}_{\Delta}[*, \mathcal{B}_{\Delta}(\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma)] \\ & - \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \sum_{\Delta \in G_{n+1,m}} \widetilde{W}_{\Delta}((-1)^{(k_1-1)k_2} \mathcal{B}_{\Delta}([\alpha, \gamma] \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) \\ & + (-1)^{k_1(k_2-1)} \mathcal{B}_{\Delta}(\alpha \otimes [\beta, \gamma] \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma)), \quad (4.3) \end{aligned} $$

où $\widetilde{W}_{\Delta}$ désigne l'intégrale de $\omega_{\Delta}$ sur l'image réciproque de $\xi([0, 1])$ par l'application oubli $F: \overline{C}_{n+2,m-1} \to \overline{C}_{2,0}$ ou $F: \overline{C}_{n+1,m} \to \overline{C}_{2,0}$.

**PREUVE:** On va montrer ceci en décomposant $W_{\Gamma}''$ en somme de termes $W_{\Gamma}^T$ d'intégrations sur chacune des strates $C_T$ de codimension 1 rencontrant $Z$, qui sont de quatre types différents (voir § 3.3). On rappelle que, suivant [2] §IV.2, on doit pour que le théorème de formalité soit vérifié remplacer le crochet de Schouten par une petite modification de celui-ci, définie par :

$$ [\gamma_1, \gamma_2] = -[\gamma_2, \gamma_1]_{\text{Schouten}}. \qquad (4.4) $$
C'est ce crochet modifié qui est utilisé ici dans l'écriture des deux derniers termes de 4.3. Les paragraphes suivants constituent la démonstration de la proposition 3.3. On examine précisément la contribution de chacune des strates décrites en 3.4.

## 4.2 L'intégration sur une strate de type 1 ou 2.

On considère le type 1, le type 2 se traite de la même manière. Le nuage est aérien et contient le sommet 1 (étiqueté par $\alpha$). On peut supposer que le nuage ne comporte que deux points, car pour un nombre de points supérieur l'intégrale de $\omega_{\Gamma}$ sur la strate correspondante s'annule, d'après [7] Lemma 6.6. On reprend la terminologie et les notations du § 3.3.

**Lemme 4.2:** Soit $\Delta_0$ un graphe dans $G_{n+1,m}$ privilégié par rapport au premier sommet. Alors,

$$ 
\begin{align} 
(k_1 + k_2 - 1)! \mathcal{B}_{\Delta_0} ([\gamma_1, \gamma_2] \otimes \gamma_3 \otimes \cdots \otimes \gamma_{n+2}) & \nonumber \\
&= \sum_{\Delta, \Delta^{\text{priv}} = \Delta_0} \varepsilon(\Delta) \mathcal{B}_{\Delta} ([\gamma_1, \gamma_2] \otimes \gamma_3 \otimes \cdots \otimes \gamma_{n+2}) \nonumber \\
&= (-1)^{(k_1-1)k_2} \sum_{\Delta, \Delta^{\text{priv}} = \Delta_0} \varepsilon(\Delta) \sum_{\Gamma \to \Delta} \mathcal{B}_{\Gamma} (\gamma_1 \otimes \cdots \otimes \gamma_{n+2}), \tag{4.5}
\end{align} 
$$

où la deuxième somme est prise sur tous les graphes $\Gamma$ dans $G_{n+2,m}$ construits à partir de $\Delta$ en dédoublant le sommet 1 de valence $k_1 + k_2 - 1$ étiqueté par $[\gamma_1, \gamma_2]$ en deux sommets 1 et 2 de valence $k_1$ et $k_2$ respectivement, en traçant une arête de 1 vers 2 ou de 2 vers 1, et en répartissant les arêtes incidentes entre les deux sommets de toutes les manières possibles.

**PREUVE:** La formule générale pour le crochet de Schouten modifié est la suivante :

$$ 
\begin{align} 
[\xi_1 \wedge \cdots \wedge \xi_{k_1}, \eta_1 \wedge \cdots \wedge \eta_{k_2}] &= -[\eta_1 \wedge \cdots \wedge \eta_{k_2}, \xi_1 \wedge \cdots \wedge \xi_{k_1}]_{\text{Schouten}} \nonumber \\
&= \sum_{r=1}^{k_1} \sum_{s=1}^{k_2} (-1)^{r+s+1} [\eta_s, \xi_r] \wedge \eta_1 \wedge \cdots \wedge \hat{\eta}_s \wedge \cdots \wedge \eta_{k_2} \wedge \xi_1 \wedge \cdots \wedge \hat{\xi}_r \wedge \cdots \wedge \xi_{k_1} \nonumber \\
&= \sum_{r=1}^{k_1} \sum_{s=1}^{k_2} (-1)^{r+s+k_1k_2} [\xi_r, \eta_s] \wedge \xi_1 \wedge \cdots \wedge \hat{\xi}_r \wedge \cdots \wedge \xi_{k_1} \wedge \eta_1 \wedge \cdots \wedge \hat{\eta}_s \wedge \cdots \wedge \eta_{k_2}. \tag{4.6}
\end{align} 
$$
On rappelle ([2] § II.4, IV.1 et IV.2) que le deuxième coefficient de Taylor de la codérivation $Q^1$ de $S^+(\mathfrak{g}_1[1])$ vérifie :

$$Q_2^1(\gamma_1 \cdot \gamma_2) = (-1)^{(k_1-1)k_2} [\gamma_1, \gamma_2], \quad (4.7)$$

soit, avec $\gamma_1 = \xi_1 \wedge \cdots \wedge \xi_{k_1}$ et $\gamma_2 = \eta_1 \wedge \cdots \wedge \eta_{k_2}$ :

$$Q_2^1(\gamma_1 \cdot \gamma_2) = \sum_{r=1}^{k_1} \sum_{s=1}^{k_2} (-1)^{r+s+k_2} [\xi_r, \eta_s] \wedge \xi_1 \wedge \cdots \wedge \hat{\xi}_r \wedge \cdots \wedge \xi_{k_1} \wedge \eta_1 \wedge \cdots \wedge \hat{\eta}_s \wedge \cdots \wedge \eta_{k_2}.$$

On peut supposer que $\xi_1 = f \partial_{i_1}$, $\xi_r = \partial_{i_r}$ pour $r > 1$, $\eta_1 = g \partial_{j_1}$ et $\eta_s = \partial_{j_s}$ pour $s > 1$. On a alors, toujours d'après [2] § IV.2 :

$$Q_2^1(\gamma_1 \cdot \gamma_2) = \gamma_1 \cdot \gamma_2 + (-1)^{k_1 k_2} \gamma_2 \cdot \gamma_1, \quad (4.8)$$

avec :

$$\gamma_1 \cdot \gamma_2 = \sum_{r=1}^{k_1} (-1)^{r-1} f \partial_r g \partial_{i_1} \wedge \cdots \wedge \widehat{\partial_{i_r}} \wedge \cdots \wedge \partial_{i_{k_1}} \wedge \partial_{j_1} \wedge \cdots \wedge \partial_{j_{k_2}}. \quad (4.9)$$

Le lemme découlera donc directement de la formule suivante :

$$\begin{align}
& (k_1 + k_2 - 1)! \mathcal{B}_{\Delta_0} ((\gamma_1 \cdot \gamma_2) \otimes \gamma_3 \otimes \cdots \otimes \gamma_{n+2}) \nonumber \\
& = \sum_{\Delta, \Delta^{\text{priv}} = \Delta_0} \varepsilon(\Delta) \mathcal{B}_{\Delta} ((\gamma_1 \cdot \gamma_2) \otimes \gamma_3 \otimes \cdots \otimes \gamma_{n+2}) \nonumber \\
& = \sum_{\Delta, \Delta^{\text{priv}} = \Delta_0} \varepsilon(\Delta) \sum_{\Gamma \to \Delta} \mathcal{B}_{\Gamma} (\gamma_1 \otimes \cdots \otimes \gamma_{n+2}), \tag{4.10}
\end{align}$$

où la somme interne porte sur les $\Gamma \to \Delta$ tels que la flèche reliant les sommets 1 et 2 est issue du sommet 1. On déduit de 4.9 la formule pour un coefficient quelconque du multi-tenseur $\gamma_1 \cdot \gamma_2$ :

$$\begin{align}
(\gamma_1 \cdot \gamma_2)^{u_1 \cdots u_{k_1+k_2-1}} = & \nonumber \\
& \frac{1}{(k_1+k_2-1)!} \sum_{\sigma \in S_{k_1+k_2-1}} \varepsilon(\sigma) \sum_{v=1}^{d} \sum_{r=1}^{k_1} \nonumber \\
& (-1)^{r-1} \gamma_1^{u_{\sigma_1} \cdots u_{\sigma_{r-1}}} v^{u_{\sigma_r} \cdots u_{\sigma_{k_1-1}}} \partial_v (\gamma_2)^{u_{\sigma_{k_1}} \cdots u_{\sigma_{k_1+k_2-1}}}. \tag{4.11}
\end{align}$$
Le groupe $S_{k_1+k_2-1}$ agit librement transitivement sur l'ensemble des graphes $\Delta$ tels que $\Delta^{\text{priv}} = \Delta_0$, et le signe $\varepsilon(\Delta)$ est égal à la signature $\varepsilon(\sigma)$ où $\sigma$ est la permutation telle que $\Delta = \sigma\Delta_0$. La formule 4.10 se déduit alors de 4.7, 4.8 et 4.11. Le lemme se déduit immédiatement de 4.10 du fait que le signe $(-1)^{k_1k_2}$ apparaît lorsque l'on échange les deux premiers sommets et qu'on réordonne les arêtes de manière compatible avec ce nouvel ordre sur les sommets. $\square$

**Corollaire 4.3:** Soit $C_T$ la strate de codimension 1 de $\overline{C_{n+2,m}}^+$ correspondant au rapprochement des deux premiers sommets, orientée avec la convention de la normale sortante comme dans [2] § I.2.1. Soit $W_{\Gamma}^T$ l'intégrale de la forme $\omega_{\Gamma}$ sur la strate $C_T \cap Y$, où $\Gamma$ est un graphe admissible. On a alors :

$$ \sum_{\Delta, \Delta^{\text{priv}}=\Delta_0} \tilde{W}_{\Delta} \mathcal{B}_{\Delta} ([\gamma_1, \gamma_2] \otimes \gamma_3 \otimes \cdots \otimes \gamma_{n+2}) \\ = (-1)^{(k_1-1)k_2} \sum_{\Delta, \Delta^{\text{priv}}=\Delta_0} \sum_{\Gamma \to \Delta} W_{\Gamma}^T \mathcal{B}_{\Gamma} (\gamma_1 \otimes \cdots \otimes \gamma_{n+2}), \quad (4.12) $$

la somme étant prise sur tous les graphes $\Gamma$ obtenus à partir de $\Delta$ en dédoublant le premier sommet et en traçant une arête d'un sommet vers l'autre.

**PREUVE:** La strate $C_T$ correspond au grossissement au microscope d'un nuage aérien. On peut supposer que le nuage n'est composé que de deux points $a$ et $b$, en vertu du lemme 6.6 de [7]. L'un de ces sommets est le sommet 1 ou 2, l'autre est un sommet différent de 1 et 2. On a :

$$ C_T \sim C_2 \times C_{n+1,m}, $$

et :

$$ C_T \cap Y \sim C_2 \times \tilde{Z}, $$

où $\tilde{Z}$ est l'image réciproque de $\xi(]0, 1[)$ par l'application oubli de $C_{n+1,m}$ dans $C_{2,0}$. La strate $C_T$ est orientée par $-\Omega_1 \wedge \Omega_2$, d'après [2] § I.2.1. On a donc :

$$ \int_{C_T \cap Y} \omega_{\Gamma} = - \int_{C_2} \omega_{\Gamma_1} \int_{\tilde{Z}} \omega_{\Delta}, $$

où $\Gamma_1$ est le graphe interne et $\Delta$ le graphe externe. Cette intégrale s'annule sauf éventuellement si les deux points $a$ et $b$ sont reliés par une arête. Dans ce cas on a donc $\tilde{W}_{\Delta} = -W_{\Gamma}^T$.
Le corollaire est alors une conséquence directe du lemme 4.2 et du fait que l'on a $\tilde{W}_{\Delta} = \varepsilon(\Delta)\tilde{W}_{\Delta^{\text{priv}}}$. $\square$

Le cas d'une strate de type 1 se traite donc en posant $\gamma_1 = \alpha$, $\gamma_2 = \gamma$, $\gamma_3 = \beta$ et $\gamma_j = \gamma$ pour $j \ge 4$. Pour une strate de type 2 on pose $\gamma_1 = \beta$, $\gamma_2 = \gamma$, $\gamma_3 = \alpha$ et $\gamma_j = \gamma$ pour $j \ge 4$. La somme des deux contributions fournit le dernier terme dans le membre de droite de l'égalité dans l'énoncé de la proposition 4.1

## 4.3 L'intégration sur une strate de type 3 aérien.

Le corollaire 4.3 s'applique également aux strates de type 3 aérien en posant $\gamma_1 = \gamma_2 = \gamma$: comme on a $[\gamma, \gamma] = 0$ la contribution de ces strates est nulle.

## 4.4 L'intégration sur les strates de type 3 terrestre.

Soit $Y_{3t}$ la réunion des $Y \cap C_T$ où $C_T$ est une strate de type 3 terrestre (voir § 3.4). posons :

$$W_{\Gamma}^{(3t)} = \int_{Y_{3t}} \omega_{\Gamma}.$$

On a alors :

**Lemme 4.4:**

$$ \begin{aligned} \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \sum_{\Gamma \in G_{n+2,m}} W_{\Gamma}^{(3t)} \mathcal{B}_{\Gamma} (\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \dots \otimes \gamma) (f_1 \otimes \dots \otimes f_m) = & \\ = \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \sum_{\Delta \in G_{n+2,m-1}} & \tilde{W}_{\Delta} \mathcal{B}_{\Delta} (\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \dots \otimes \gamma) ((f_1 * f_2 \otimes \dots \otimes f_m) \\ & - \dots + (-1)^{m-2} (f_1 \otimes \dots \otimes f_{m-1} * f_m)). \quad (4.13) \end{aligned} $$

**PRÉUVEE:** Soit $\Gamma \in G_{n+2,m}$, soit $T$ une strate de type 3 terrestre et soit $W_{\Gamma}^T$ l'intégrale de la forme $\omega_{\Gamma}$ sur $C_T \cap Y$. Chaque sommet aérien du graphe interne est étiqueté par le 2-tenseur $\gamma$, donc il possède $2n_1$ flèches, où $n_1$ est le nombre de sommets aériens de ce graphe. Pour que $W_{\Gamma}^T$ soit non nul il faut qu'aucune flèche ne sorte du graphe interne, et il faut donc aussi que $m_1 = 2$, où $m_1$ est le nombre de points terrestres du nuage. Les points terrestres du nuage sont donc $\{\overline{i}, \overline{i+1}\}$ où $i$ est un entier entre 1 et $m-1$. On a donc ainsi
une partition de l'ensemble des strates du type 3 terrestre en $m-1$ groupes $E_i$, $i = 1, \dots, m-1$. En sommant sur tous les graphes tels que le graphe externe soit un $\Delta \in G_{n+2,m-1}$ donné et tels que le graphe interne s'obtient par éclatement du sommet terrestre $\bar{i}$, on trouve donc :

$$ \sum_{\Gamma \in G_{n+p+2,m}, \Gamma \to \Delta} \frac{\hbar^p}{p!} \frac{1}{|B_{n,p}|} \sum_{C_T \in E_i} W_{\Gamma}^T \mathcal{B}_{\Gamma} (\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) (f_1 \otimes \cdots \otimes f_m) = \\ \pm \tilde{W}_{\Delta} \mathcal{B}_{\Delta} (\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) (f_1 \otimes \cdots \otimes f_i * f_{i+1} \otimes \cdots \otimes f_m). \quad (4.14) $$

Comme les sommets 1 et 2 sont immuables il y a en effet $|B_{n,p}| = (n+p)!/(n!p!)$ choix possibles d'ordre sur les sommets aériens de $\Gamma$ qui redonnent l'ordre du graphe interne et du graphe externe (voir la discussion à la fin du § 3.3). En sommant sur tous les $\Delta$ dans $G_{n+2,m}$ à $n$ fixé, en multipliant par $\hbar^n/n!$ et en sommant la série on obtient alors :

$$ \sum_{r \ge 0} \frac{\hbar^r}{r!} \sum_{\Gamma \in G_{r+2,m}} \sum_{C_T \in E_i} W_{\Gamma}^T \mathcal{B}_{\Gamma} (\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) (f_1 \otimes \cdots \otimes f_m) = \\ \pm \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \sum_{\Delta \in G_{n+2,m-1}} \tilde{W}_{\Delta} \mathcal{B}_{\Delta} (\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) (f_1 \otimes f_2 \otimes \cdots \otimes f_i * f_{i+1} \otimes \cdots \otimes f_m). \quad (4.15) $$

Précisions maintenant le signe $\pm$ en regardant les orientations : si on décide d'orienter $Y \cap C_T$ dans $C_T$ par sa normale sortante :

$$ \Omega_{C_T} = d\mathbf{n} \wedge \Omega_{Y \cap C_T}, $$

on a alors :

$$ \Omega = d\mathbf{n}' \wedge d\mathbf{n} \wedge \Omega_{Y \cap C_T}, $$

où $d\mathbf{n}'$ est la normale sortante de la strate $C_T$ dans l'espace de configuration $\overline{C_{n+2,m}}^+$. D'après [2] § I.2.2 la forme $\Omega_{C_T}$ est le produit extérieur de la "forme volume interne" par la "forme volume externe" multiplié par le signe $(-1)^{(i-1)2+(i-1)+2} = (-1)^{i-1}$. On obtient alors le lemme (avec les signes alternés comme indiqué) en sommant sur tous les groupes de strates $E_i$. $\square$

On reconnaît dans le membre de gauche un cobord de Hochschild pour la multiplication déformée $*$, aux deux termes extrêmes près. Ces deux termes vont être donnés par les strates de type 4 :
## 4.5 L'intégration sur une strate de type 4.

Soit $Y_4$ la réunion des $Y \cap \Sigma$ où $\Sigma$ est une strate de type 4 (voir § 3.4). Posons :

$$W_{\Gamma}^{(4)} = \int_{Y_4} \omega_{\Gamma}.$$

On a alors :

**Lemme 4.5:**

$$ \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \sum_{\Gamma \in G_{n+2,m}} W_{\Gamma}^{(4)} \mathcal{B}_{\Gamma} (\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) (f_1 \otimes \cdots \otimes f_m) = \\ - \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \left( \sum_{\Delta \in G_{n+2,m-1}} f_1 * \widetilde{W}_{\Delta} \mathcal{B}_{\Delta} (\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) (f_2 \otimes \cdots \otimes f_m) + \right. \\ \left. (-1)^m \widetilde{W}_{\Delta} \mathcal{B}_{\Delta} (\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) (f_1 \otimes \cdots \otimes f_{m-1}) * f_m \right). \quad (4.16) $$

**PREUVE:** Soit $\Gamma \in G_{n+2,m}$, soit $T$ une strate de type 4 et soit $W_{\Gamma}^T$ l'intégrale de la forme $\omega_{\Gamma}$ sur cette strate. Chaque sommet aérien du graphe externe est étiqueté par le 2-tenseur $\gamma$, donc il possède $2n_2$ flèches, où $n_2$ est le nombre de sommets aériens de ce graphe. Pour que $W_{\Gamma}^T$ soit non nul il faut qu'aucune flèche ne sorte du graphe interne, et il faut aussi que $m_2 = 2$, où $m_2$ est le nombre de points terrestres du graphe externe. Le nuage contient donc exactement $m-1$ points terrestres. Les strates qui vérifient ceci se répartissent donc en deux classes, celles qui laissent le premier sommet terrestre en-dehors du nuage, et celles qui laissent le dernier. Un raisonnement similaire à celui du paragraphe précédent nous donne donc le lemme, aux signes à préciser près. Les orientations nous donnent ici un signe $(-1)^{(m-1)+(m-1)+1} = -1$ pour le premier terme, et $(-1)^{m-1}$ pour le deuxième terme. $\square$

## 4.6 Fin de la démonstration de la proposition 4.1

La proposition 4.1 découle de l'addition des termes provenant des quatre (ou plutôt cinq) types de strate (corollaire 4.3, lemmes 4.4 et 4.5). L'addition des termes donnés par les strates de type 3 et 4 donnent l'opposé du cobord de Hochschild, soit encore $[*,-]$. $\square$
## 4.7 Fin de la démonstration du théorème 1.2

La formule de Stokes 4.2 et les propositions 3.3 et 4.1 fournissent exactement le résultat cherché à savoir le théorème 1.2 annoncé, dont on peut préciser maintenant le cobord. On a donc :

**Théorème 4.6:** Soit $\alpha$ un $k_1$-champ de vecteurs et soit $\beta$ un $k_2$-champ de vecteurs. Alors on a, avec $m = k_1 + k_2$ :

$$ \begin{aligned} U'_{h\gamma}(\alpha \cup \beta) - U'_{h\gamma}(\alpha) \cup U'_{h\gamma}(\beta) = & \\ & \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \sum_{\Delta \in G_{n+2,m-1}} \widetilde{W}_{\Delta}[*, \mathcal{B}_{\Delta}(\alpha \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma)] \\ & - \sum_{n \ge 0} \frac{\hbar^n}{n!} \sum_{\Delta \in G_{n+1,m}} \widetilde{W}_{\Delta}((-1)^{(k_1-1)k_2} \mathcal{B}_{\Delta}([\alpha, \gamma] \otimes \beta \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma) + \\ & \qquad (-1)^{k_1(k_2-1)} \mathcal{B}_{\Delta}(\alpha \otimes [\beta, \gamma] \otimes \gamma \otimes \cdots \otimes \gamma)). \end{aligned} \quad (4.17) $$

Si on a $[\alpha, \gamma] = [\beta, \gamma] = 0$ le dernier terme est nul, et $U'_{h\gamma}(\alpha \cup \beta) - U'_{h\gamma}(\alpha) \cup U'_{h\gamma}(\beta)$ est bien donné par un cobord de Hochschild pour la multiplication déformée *.

## Bibliographie

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[9] D. Tamarkin. Another proof of M. Kontsevich formality theorem for R-n. arXiv: math/QA/9803025, 1998.

DOMINIQUE MANCHON
UNIVERSITÉ BLAISE PASCAL
CNRS - UMR 6620
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63177 AUBIÈRE CEDEX
FRANCE

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CHARLES TOROSSIAN
ECOLE NORMALE SUPÉRIEURE
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