# Sur une notion de fonction universellement intégrale introduite par Dubins et Savag

J.P. Raoult

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J.P. Raoult. Sur une notion de fonction universellement intégrale introduite par Dubins et Savag. Annales de l'ISUP, 1964, XIII (2), pp.79-108. hal-04085164

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Submitted on 28 Apr 2023

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# SUR UNE NOTION DE FONCTION UNIVERSELLEMENT INTEGRABLE INTRODUITE PAR DUBINS et SAVAGE

J.P. RAOULT

## I - Origine du problème

### 1/ Famille canonique de tribus

Dans leur ouvrage "How to Gamble if you must" [1], L.E. Dubins et J.L. Savage envisagent l'évolution de la fortune d'un joueur au cours d'une succession infinie de coups. Une "histoire" du jeu est définie, si on appelle $F$ l'ensemble des fortunes, comme un élément de $F^\Omega$ ; l'information sur toute histoire au bout de n coups est donc représentée par la connaissance de ses n premières coordonnées.

Une généralisation de cette situation est la donnée, sur un espace $\Omega$, d'une famille de tribus satisfaisant aux conditions suivantes.

**Définition 1.1** : On appelle **famille canonique de tribus** sur $\Omega$ tout ensemble $\mathcal{V}$ composé :

- d'une tribu atomique $\mathcal{B}_1$ sur $\Omega$

- sur chaque atome $A_1$ de $\mathcal{B}_1$, d'une tribu atomique $\mathcal{B}_2(A_1)$

- sur chaque atome $A_n$ de $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$ d'une tribu atomique $\mathcal{B}_{n+1}(A_n)$

et tel que, si $(A_n^o)_{n \in \mathbb{N}_{-\{0\}}}$ est une suite décroissante de parties de $\Omega$ ou $A_n^o$ est un atome de $\mathcal{B}_n(A_{n-1}^o)$, alors $\bigcap_{n=1}^\infty A_n^o \neq \emptyset$.
## Remarques - Notations

1/ On rappelle qu'on appelle *atome* d'une tribu toute partie non vide appartenant à la tribu et ne contenant pas d'autres parties appartenant à la tribu qu'elle même ou l'ensemble vide et *tribu atomique* toute tribu dans laquelle toute partie non vide est réunion d'atomes (Exemple : la tribu borélienne sur $\mathbb{R}$, les atomes étant les ensembles réduits à un point).

2/ L'expression "espace $(\Omega, \mathcal{V})$" désignera toujours un espace $\Omega$ muni d'une famille canonique de tribus.

Par convention, on introduira $\mathcal{B}_o = \{\emptyset, \Omega\}$.

n étant fixé, on note $\alpha_n$ l'ensemble des atomes $A_n$ des tribus $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$ ; c'est une partition de $\Omega$. Etant donné $\omega \in \Omega$, on désignera par $A_n(\omega)$ l'atome de $\alpha_n$ auquel $\omega$ appartient. Etant donnée une fonction $g$ définie sur $\Omega$, on notera $g|_A$ sa restriction à une partie $A$ de $\Omega$.

3/ La dernière condition intervenant dans la Définition 1.1 n'est pas vérifiée dans l'exemple suivant :

$$ \Omega = ]0,1] $$

$$ \alpha_n = \left\{ \left[ ]0, \frac{1}{n}] \right, \left[ \frac{1}{n}, \frac{1}{n-1}] \right, \dots, \left[ \frac{1}{2}, 1] \right) \right\} $$

**PROPOSITION 1.1 :** Etant donné $A_n$, la famille des tribus $\mathcal{B}_{n+i+1}(A_{n+i})$ pour tout $i \in \mathbb{N}$ et tout atome $A_{n+i} \subset A_n$, est, sur $A_n$, une famille canonique de tribus. On parlera de "l'espace $(A_n, \mathcal{V}|_{A_n})$".

Cette proposition résulte immédiatement de la Définition 1.1.

## 2/ Stratégies

Dans l'étude de Savage et Dubins, une stratégie du joueur se présente comme une suite dont le n'ième terme est une application de $F^{n-1}$ dans l'ensemble des probabilités sur $\mathbb{F}$ (en fonction de l'évolution de sa fortune durant les $n-1$ premiers coups, le joueur choisit un pari pour le n'ième coup).

Dans le cas présent, nous introduirons la définition suivante.

**Définition 1.2 :** Etant donné un espace $(\Omega, \mathcal{V})$ on appelle stratégie toute famille

$$ \sigma = \{ \sigma_n (A_{n-1}) \mid n \in \mathbb{N} - \{0\}, A_{n-1} \in \alpha_{n-1} \} $$
où $\sigma_n(A_{n-1})$ est une probabilité sur $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$.

Remarque : $\mathcal{A}_o = \{\Omega\}$, donc $\sigma_1$ est une probabilité sur $\mathcal{B}_1$.

PROPOSITION 1.2 : Etant donné $A_n$, soit

$$ \sigma|_{A_n} = \{ \sigma_m(A_{m-1}) \mid m > n, A_{m-1} \subset A_n \} $$

C'est une stratégie sur l'espace $(A_n, \mathcal{V}|_{A_n})$ dite "restriction de $\sigma$ à $A_n$".

### 3/ Intégrale universelle

Toutes les fonctions que nous considérerons dans cette étude seront définies sur $\Omega$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ ; quand il sera question de leur mesurabilité, $\mathbb{R}$ sera muni de sa tribu Borélienne $\mathcal{B}_R$. Nous ne le préciserons plus.

Définition 1.3 : Etant donnée sur un espace $(\Omega, \mathcal{V})$ une stratégie $\sigma$, une fonction $g$ est dite **universellement intégrable** si et seulement si il existe un nombre réel $\sigma g$, dit son intégrale universelle, défini par les conditions suivantes :

$U_1$: Si $g$ est $\mathcal{B}_1$-mesurable, $\sigma g$ existe si et seulement si l'intégrale $\sigma_1 g$ de $g$ par rapport à la mesure de probabilité $\sigma_1$ sur $\mathcal{B}_1$ existe. On définit alors : $\sigma g = \sigma_1 g$.

$U_2$: Si $g$ n'est pas $\mathcal{B}_1$-mesurable, $\sigma g$ existe si et seulement si :

- quel que soit $A_1$, $g|_{A_1}$ est "universellement intégrable" par rapport à la stratégie $\sigma|_{A_1}$ définie sur l'espace $(A_1, \mathcal{V}|_{A_1})$

- la fonction, notée $\sigma^1 g$,

$$ \omega \rightarrow \sigma|_{A_1}(\omega) [g|_{A_1}(\omega)] $$

est $\mathcal{B}_1$-mesurable et $\sigma_1$-intégrable.

On définit alors : $\sigma g = \sigma_1[\sigma^1 g]$

Remarques : On voit que cette définition comporte une récurrence ; en effet, elle fait intervenir la notion de fonction universellement intégrable sur chacun des espaces $(A_1, \mathcal{V}|_{A_1})$, également définie par les conditions $U_1$ et $U_2$ exprimées sur ces espaces $(A_1$ étant fixé, $U_1$ fait ainsi intervenir la $\mathcal{B}_2(A_1)$-mesurabilité, $U_2$ l'universelle intégrabilité sur chacun des espaces $(A_2, \mathcal{V}|_{A_2})$.
La terminologie de "fonction universellement intégrable" est
adaptée de celle de Dubins et Savage.

4/ Enoncé des problèmes posés

Nous allons chercher des conditions nécessaires :

- sur la fonction $g$ (qui devra être "finitaire", voir partie II 1/ à 3/)

- sur la stratégie $\sigma$ (qui devra être "régulière", voir partie III 1/ pour que $g$ soit universellement intégrable par rapport à $\sigma$).

En II 4/ et 5/ nous montrerons que la notion de fonction finitaire s'interprète à l'aide de temps d'arrêt par rapport à une suite de tribus toutes définies sur $\Omega$, notée $(\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$ ; nous en déduirons la mesurabilité des fonctions finitaires par rapport à la tribu $\mathcal{B}_\infty^*$ engendrée par $\bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{B}_n^*$

En III 1/, nous constaterons qu'il n'existe de stratégie régulière que si chaque tribu $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$ est l'ensemble des réunions de ses atomes. Nous chercherons en III 2/ et 3/ des conditions nécessaires moins fortes, assurant l'universelle intégrabilité de sous-familles des fonctions finitaires, définies par des conditions de mesurabilité par rapport à des suites de tribus $(\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que, pour tout $n$, $\mathcal{B}_n$ soit contenue dans $\mathcal{B}_n^*$. Nous définirons ainsi la notion de stratégie régulière par rapport à $(\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}}$, et l'interprèterons en termes de probabilités conditionnelles régulières, ce qui nous permettra de définir sur $\mathcal{B}_\infty$ tribu engendrée par $\bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{B}_n$, une probabilité P. Enfin en III 4/, nous constaterons que, pour qu'une fonction finitaire soit universellement intégrable par rapport à une stratégie $\sigma$, régulière par rapport à $(\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}}$, il faut et il suffit qu'elle soit intégrable par rapport à la probabilité P définie par $\sigma$ sur $\mathcal{B}_\infty$.

En conclusion, l'intégration universelle des fonctions finitaires n'a pas permis de définir une extension de la notion d'intégrale, mais seulement d'en fournir, dans certains cas, une expression en termes de récurrence transfinie, pouvant parfois en permettre le calcul explicite.
## II - Fonctions finitaires

### 1/ Structure locale d'une fonction par rapport à $(\Omega, \mathcal{V})$

Etant donnée une stratégie $\sigma$ sur un espace $(\Omega, \mathcal{V})$, pour
que $g$ soit universellement intégrable, il faut :

- soit que $g$ soit $\mathcal{B}_1$-mesurable (condition $U_1$)

- soit que, quel que soit $A_1$, $g|_{A_1}$ soit $\sigma|_{A_1}$ -universellement intégrable (condition $U_2$)

Les seules fonctions $g$, définies sur $(\Omega, \mathcal{V}, \sigma)$, pour lesquelles l'intégrale universelle $\sigma g$ soit, si elle existe, définie en vertu de la condition $U_1$ sont donc celles qui sont $\mathcal{B}_1$-mesurables.

Il faut donc, pour que $g$ soit universellement intégrable, que,
quel que soit $\omega$, il existe un entier strictement positif $n$ tel que
$g|_{A_{n-1}(\omega)}$ soit universellement intégrable en vertu de $U_1$ et donc
soit $\mathcal{B}_n[A_{n-1}(\omega)]$-mesurable.

De manière précise :

**Définition 2.1** : Une fonction $g$, définie sur $(\Omega, \mathcal{V})$, est dite de structure locale inférieure ou égale à $n$ en $\omega$ si et seulement si $g|_{A_{n-1}(\omega)}$ est $\mathcal{B}_n[A_{n-1}(\omega)]$ mesurable.

**Définition 2.2** : Structure locale de $g$ en $\omega$ :
$s(\omega, g) = \inf\{n \mid g \text{ est en } \omega \text{ de structure locale inférieure ou égale à } n\}$.

**Justification de ces définitions** : Si $g|_{A_{n-1}(\omega)}$ est $\mathcal{B}_n[A_{n-1}(\omega)]$-mesurable, alors, quel que soit $m > n$, $g$ est constante sur $A_{m-1}(\omega)$, donc $g|_{A_{m-1}(\omega)}$ est $\mathcal{B}_m[A_{m-1}(\omega)]$-mesurable.

**Remarque** : Pour que la structure locale de $g$ soit partout égale à 1, il faut et il suffit que $g$ soit $\mathcal{B}_1$-mesurable.

**Définition 2.3** : Toute fonction définie sur $(\Omega, \mathcal{V})$ dont on peut définir en tout point la structure locale est dite finitaire.

**PROPOSITION 2.1** : Pour qu'une fonction $g$ définie sur $(\Omega, \mathcal{V})$ soit en $\omega$ de structure locale $< n+1$ il faut et il suffit que $g|_{A_1(\omega)}$ fonction définie sur l'espace $(A_1(\omega), \mathcal{V}|_{A_1(\omega)})$, soit en $\omega$ de structure locale inférieure ou égale à $n$.
Démonstration : Pour que $g|_{A_1(\omega)}$, définie sur $(A_1(\omega), \mathcal{V}|_{A_1(\omega)})$ soit de structure locale inférieure ou égale à n en $\omega$, il faut et il suffit que $g|_{A_1(\omega)|_{A_{(n+1)-1}(\omega)}}$ soit $\mathcal{B}_{n+1}(A_{(n+1)-1}(\omega))$ - mesurable, c'est-à-dire que $g|_{A_n(\omega)}$ soit $\mathcal{B}_{n+1}(A_n(\omega))$ - mesurable.

## 2/ Structure d'une fonction finitaire par rapport à $(\Omega, \mathcal{V})$

### a) DEFINITIONS

Démonstration 2.4 : Soit $g$ une fonction définie sur $(\Omega, \mathcal{V})$. $g$ est dite de structure 1 si et seulement si elle est $\mathcal{B}_1$-mesurable. Etant donné un nombre ordinal $\alpha$, $g$ est dite de structure inférieure ou égale à $\alpha$ si et seulement si, quel que soit $A_1$, il existe $\beta(A_1)$, strictement inférieur à $\alpha$, tel que $g|_{A_1}$, définie sur $(A_1, \mathcal{V}|_{A_1})$, soit de structure inférieure ou égale à $\beta(A_1)$.

Démonstration 2.5 : Structure de $g$ :
$S(g) = \inf\{\alpha \mid g \text{ est de structure inférieure ou égale à } \alpha\}$

### b) RAPPORTS AVEC LA STRUCTURE LOCALE

THEOREME 2.1 : Les 3 conditions suivantes sont équivalentes :

(1) On peut définir la structure de $g$

(2) $g$ est finitaire

(3) $g$ appartient au plus petit ensemble de fonctions, noté $\mathcal{F}(\Omega, \mathcal{V})$

- contenant les fonctions $\mathcal{B}_1$-mesurables

- tel que, si, quel que soit $A_1$,

$$g|_{A_1} \in \mathcal{F}(A_1, \mathcal{V}|_{A_1}), \quad \text{alors} \quad g \in \mathcal{F}(\Omega, \mathcal{V})$$

Démonstration

1/ (1) $\iff$ (2) : On procède par récurrence transfinie

Une fonction de structure 1 est $\mathcal{B}_1$-mesurable, donc de structure locale 1 en tout point (voir Remarque en II 1/).

Supposons que toute fonction de structure inférieure à $\alpha$ soit finitaire. Soit $g$ de structure $\alpha$ : quel que soit $A_1$, il existe
$\beta(A_1) < \alpha$ tel que $g|_{A_1}$ soit de structure inférieure ou égale à $\beta(A_1)$ ; donc, en tout point $\omega$ de $\Omega$, la fonction $g|_{A_1}(\omega)$ est de structure locale finie $m(\omega)$, donc, d'après la proposition 2.1, $g$ est en $\omega$ de structure locale inférieure ou égale à $m(\omega) + 1$. $g$ est donc finitaire.

$$2/(2) \implies (3)$$

Supposons qu'existe une fonction $g$, finitaire, mais n'appartenant pas à $\mathcal{F}(\Omega, \mathcal{V})$; il existe donc un atome $A_1$ de $\mathcal{R}_1$ tel que $g|_{A_1}$ n'appartienne pas à $\mathcal{F}(A_1, \mathcal{V}|_{A_1})$ ; par ailleurs il résulte de la proposition 2.1 que $g|_{A_1}$ est finitaire. On définit ainsi une suite décroissante $A_1, A_2, \dots A_i, \dots$ telle que $g|_{A_i}$, n'appartienne jamais à $\mathcal{F}(A_i, \mathcal{V}|_{A_i})$. D'après la Définition 1.1, $\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \neq \emptyset$. Soit $\omega \in \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i : g|_{A_{i-1}}(\omega)$ n'est $\mathcal{R}_i[A_{i-1}(\omega)]$ - mesurable pour aucune valeur de $i$, ce qui contredit l'hypothèse que $g$ est finitaire.

$$3/(3) \implies (1)$$

Par définition, l'ensemble des fonctions pour lesquelles on peut définir une structure

- contient les fonctions $\mathcal{R}_1$-mesurables

- est tel que, si, quel que soit $A_1$, $g|_{A_1}$ possède une structure par rapport à $(A_1, \mathcal{V}|_{A_1})$, $g$ lui appartient.

Donc il contient $\mathcal{F}(\Omega, \mathcal{V})$

*Remarque* : Cette démonstration est une adaptation de celle présentée par Savage et Dubins dans le cas où $\Omega$ est un espace produit infini (voir l'exemple A en II 3/).

### c) CAS PARTICULIER DES FONCTIONS DE STRUCTURE FINIE

*Remarque* : Pour que $g$, définie sur $(\Omega, \mathcal{V})$, soit une fonction de structure inférieure ou égale à $n$, il faut et il suffit que, quel que soit $A_1$, $g|_{A_1}$, définie sur $(A_1, \mathcal{V}|_{A_1})$, soit une fonction de structure inférieure ou égale à $n-1$.

### PROPOSITION 2.2 : Les 3 propositions suivantes sont équivalentes

(1) $g$ est de structure inférieure ou égale à $n$

(2) la structure locale de $g$ est en tout point inférieure ou égale à $n$
(3) quel que soit $A_{n-1}$, la fonction $g|_{A_{n-1}}$, définie sur l'espace $(A_{n-1}, \mathcal{V}|_{A_{n-1}})$ est $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$-mesurable.

Démonstration : L'équivalence de (1) et (2) se démontre par récurrence sur $n$, à l'aide de la remarque ci-dessus.

L'équivalence de (2) et (3) résulte de la Définition 2.1.

### 3/ Exemples

$$A: \Omega = F^{N-\{0\}}$$

On notera $\omega = (\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n, \dots) ; < \omega_1, \dots, \omega_n >$ sera l'ensemble des points de n premières coordonnées $\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n$.

$$\mathcal{A}_{n-1} = \{ < \omega_1, \dots, \omega_{n-1} > | (\omega_1, \dots, \omega_{n-1}) \in F^{n-1} \}$$

Si

$$A_{n-1}^{0} = \{ < \omega_{1}^{0}, \dots, \omega_{n-1}^{0} > , \mathcal{B}_{n}(A_{n-1}^{0}) = \{ \bigcup_{\omega_{n} \in \mathcal{C}} \{ < \omega_{1}^{0}, \dots, \omega_{n-1}^{0}, \omega_{n} > | C \in \mathbb{F} \} \} $$

(autrement dit tout atome $A_{n-1}$ est un cylindre à base ponctuelle dans $F^{n-1}$ et on le munit de la tribu des cylindres à base quelconque dans la n-ième coordonnée.

Dans ces conditions, si $g$ est $\mathcal{B}_1$-mesurable, ses valeurs ne dépendent que de la lère coordonnée de la variable (la réciproque est vraie si on se restreint à la considération de fonctions mesurables de $(\Omega, \mathcal{B}_1)$ dans $\mathbb{R}$ muni de sa tribu discrète $2^\mathbb{R}$).

Si $g$ est de structure inférieure ou égale à n fini, pour tout $A_{n-1} = \{ < \omega_1, \dots, \omega_{n-1} > , g|_{A_{n-1}} \in \mathcal{B}_n(A_{n-1}) \}$ mesurable, donc $g$ ne dépend que des n premières coordonnées.

Le cas des fonctions finitaires, définies sur l'espace $(F^{N-\{0\}}, \mathcal{V})$ que nous venons de définir, et à valeurs dans $(\mathbb{R}, 2^\mathbb{R})$, est celui étudié par Savage et Dubins d'après Kalmar [2] : ce sont les fonctions continues de $F^{N-\{0\}}$, muni de la topologie produit des topologies discrètes sur $\mathbb{R}$, dans $\mathbb{R}$, muni de la topologie discrète, autrement dit (structure locale) les fonctions qui "en tout point ne dépendent que d'un nombre fini de coordonnées".

Exemple de fonction de structure $\omega$ (premier ordinal non fini) :

$$\text{Soit } F = \mathbb{N} - \{0\}$$

$$g : (\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n, \dots) \longrightarrow \omega_{\omega_1}$$
A $A_1 = < \omega_1 >$, on peut associer le nombre entier $\omega_1$ tel que la structure de $g|_{A_1}$ définie sur $(A_1, \mathcal{V}|_{A_1})$, est égale à $\omega_1 - 1$ ; de plus $\sup_{\omega_1 \in N-\{0\}} (\omega_1) = \bar{\omega}$.

$$B: \mathcal{Q} = \mathbb{R}^2$$

Soit $\mathcal{B}_R$ la tribu Borélienne sur $\mathbb{R}$

$$\text{Soit } \mathcal{B}_1 = \{ C \times \mathbb{R} \mid C \in \mathcal{B}_R \}$$

$$\text{donc } \alpha_1 = \{\{\omega_1\} \times \mathbb{R} \mid \omega_1 \in \mathbb{R}\}$$

$$\text{Sur } A_1 = \{ \omega_1 \} \times \mathbb{R}, \text{ on définit } \mathcal{B}_2(A_1) = \{ \{ \omega_1 \} \times C \mid C \in \mathcal{B}_R \}$$

Pour que $g$ soit de structure inférieure ou égale à 2, il faut et il suffit que, quel que soit $\omega_1$, $g|_{\{\omega_1\}} \times \mathbb{R}$ soit $\mathcal{B}_R$-mesurable.

On remarque que le fait que $\mathbb{R}$ (première coordonnée) soit muni de la tribu Borélienne ne joue aucun rôle dans la définition des fonctions de structure 2 ; on obtiendrait le même résultat avec toute tribu sur $\mathbb{R}$ dont les atomes sont les parties réduites à un point.

$$C: \mathcal{Q} = [0, 1]$$

$$\alpha_{n-1} = \left\{ \left[ 0, \frac{1}{2} \right], \left[ \frac{1}{n}, \frac{1}{n-1} \right], \dots, \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] \right\}$$

$$\mathcal{B}_n\left(\left[0, \frac{1}{n}\right]\right) = \left\{ \emptyset, \left[0, \frac{1}{n}\right], \left[0, \frac{1}{n+1}\right], \dots, \left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right] \right\}$$

Quel que soit $k \in \{2, 3, \dots, n\}$,

$$\mathcal{B}_n\left(\left[\frac{1}{k}, \frac{1}{k-1}\right]\right) = \left\{ \emptyset, \left[\frac{1}{k}, \frac{1}{k-1}\right] \right\}$$

Pour que $g$ soit de structure locale finie en $\omega \neq 0$, il faut et il suffit que $g$ soit constante sur l'intervalle $\left[ \frac{1}{k}, \frac{1}{k-1} \right]$ contenant $\omega$.

Pour que $g$ soit de structure locale finie en 0, il faut et il suffit qu'existe $n$ tel que $g$ soit constante sur $\left[0, \frac{1}{n}\right]$ ; la fonction $g$, constante sur les intervalles
$$ \left[ \left[ 0, \frac{1}{n} \right], \right] \left[ \frac{1}{n}, \frac{1}{n-1} \right], \dots \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] $$

est alors de structure $n$ : toutes les fonctions finitaires sont donc, dans ce cas, de structure finie.

## 4/ Famille des tribus $(\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$

### a) DEFINITION DE LA FAMILLE $(\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$

**PROPOSITION 2.3** : L'ensemble des parties de $\Omega$ dont l'indicateur est de structure inférieure ou égale à $n \in \mathbb{N} - \{0\}$ est une tribu, notée $\mathcal{B}_n^*$.

**Démonstration** : Soit $B$ une partie de $\Omega$, et $I_B$ son indicateur. Pour que $I_B$ soit de structure inférieure ou égale à $n$, il faut et il suffit que, quel que soit $A_{n-1}$, la fonction $I_B|_{A_{n-1}} = I_{B \cap A_{n-1}}$ soit $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$-mesurable, c'est-à-dire que l'intersection de $B$ avec tout $A_{n-1}$ appartienne à $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$. Les $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$ étant des tribus, le complémentaire d'une partie possédant cette propriété, et l'union d'une suite de parties possédant cette propriété la possèdent encore.

La tribu $\mathcal{B}_n^*$ peut être encore décrite comme l'ensemble des réunions des familles de parties obtenues en choisissant dans chaque $A_{n-1}$ une partie de $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$ et une seule (éventuellement vide). C'est la plus grande tribu coïncidant sur tout $A_{n-1}$ avec $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$.

**Remarque** : Si $\alpha$ est un nombre ordinal non fini, l'ensemble des parties de $\Omega$ dont l'indicateur est de structure inférieure ou égale à $\alpha$ n'est pas nécessairement une tribu.

**Contre-exemples** :

- On reprend l'exemple $A$ (voir II 3/). Soit $\Delta$ la diagonale de $F^{\mathbb{N}-\{0\}}$.

$$ \Delta = \{ \omega \mid \omega = (\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n, \dots) , \omega_1 = \omega_2 = \dots = \omega_n = \dots \} $$

$I_\Delta$ n'est pas une fonction finitaire car, quel que soit $\omega$, il n'existe pas d'entier $n$ tel que $I_\Delta$ soit constant sur l'ensemble des points ayant mêmes n premières coordonnées que $\omega$.

Pourtant $\Delta = \bigcap_{n=1}^{\infty} \Delta_n$, où

$$ \Delta_n = \{ \omega \mid \omega = (\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n) , \omega_1 = \omega_2 = \dots = \omega_n \} $$

et $I_{\Delta_n}$, ne dépendant que des n premières coordonnées, est de structure $n$, donc inférieure ou égale à $\omega$, premier ordinal non fini.
- On reprend l'exemple C (II 3/). Soit

$$D = \bigcup_{p=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{2p}, \frac{1}{2p-1} \right]$$

$I_0$ n'est pas de structure finie, donc n'est pas finitaire. Or

$$D = \bigcup_{p=1}^{\infty} D_p, \quad \text{où} \quad D_p = \left[ \frac{1}{2p}, \frac{1}{2p-1} \right]$$

a un indicateur de structure 2p.

b) PROPRIETES DE $(\mathbb{R}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$

- Quel que soit $n$, $\mathbb{R}_n^* \subset \mathbb{R}_{n+1}^*$

- Sur tout $A_{n-1}$, $\mathbb{R}_n^*$ coïncide avec $\mathbb{R}_n(A_{n-1})$, donc $\mathbb{R}_n^*$ est une tribu atomique dont l'ensemble des atomes est $\mathcal{A}_n$.

- $\mathbb{R}_1^* = \mathbb{R}_1$, $\mathbb{R}_0^* = \mathbb{R}_0$

- Toute suite décroissante d'atomes des tribus $\mathbb{R}_n^*$ a une intersection non vide.

- La réunion d'une famille de parties obtenue en choisisant dans chaque $A_{n-1}$ une partie de $\mathbb{R}_n^*$ et une seule, éventuellement vide, appartient à $\mathbb{R}_n^*$ (en particulier toute réunion d'atomes $A_{n-1}$ appartient à $(\mathbb{R}_n^*)$)

PROPOSITION 2.4 : Soit, sur $\Omega$, une famille de tribus $(\mathbb{R}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$ possédant les propriétés suivantes :

(1) Quel que soit $n$, $\mathbb{R}_n^* \subset \mathbb{R}_{n+1}^*$

(2) Les tribus $\mathbb{R}_n^*$ sont atomiques

(3) Toute suite décroissante d'atomes des tribus $\mathbb{R}_n^*$ a une intersection non vide.

(4) La réunion d'une famille de parties obtenues en choisisant dans chaque atome de $\mathbb{R}_{n-1}^*$ une partie de $\mathbb{R}_n^*$ et une seule, éventuellement vide, appartient à $\mathbb{R}_n^*$.

On définit sur chaque $A_{n-1}$ la tribu

$$\mathbb{R}_n(A_{n-1}) = \{ B_n \mid B_n \in \mathbb{R}_n^*, B_n \subset A_{n-1} \}.$$

Alors $\{ \mathbb{R}_n(A_{n-1}) \mid n \in \mathbb{N} - \{0\} \}, A_{n-1}$ atome de $\mathbb{R}_{n-1}^*$
est une famille canonique de tribus sur $\Omega$ à laquelle la proposition 2.3 associe $(\mathcal{R}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$ elle-même.

La démonstration résulte de la définition 1.1 et de la démonstration de la Proposition 2.3.

L'hypothèse 4 est toujours vérifiée si, quel que soit $n$, $\mathcal{R}_n^*$ est l'ensemble des réunions de ses atomes, par exemple si $\mathcal{R}_n^*$ n'a qu'une infinité dénombrable d'atomes.

Nous pourrons désormais parler indifféremment d'un espace $(\Omega, \mathcal{P})$ ou d'un espace $(\Omega, (\mathcal{R}_n^*)_{n \in \mathbb{N}})$ selon notre convenance, la liaison entre ces deux terminologies équivalentes étant fournie par les Propositions 2.3 et 2.4. Les 4 hypothèses de la Proposition 2.4 sont toujours sous-entendues quand on parle de "l'espace $(\Omega, (\mathcal{R}_n^*)_{n \in \mathbb{N}})$".

**PROPOSITION 2.5** : Pour que $g$, fonction définie sur $(\Omega, (\mathcal{R}_n^*)_{n \in \mathbb{N}})$ soit de structure inférieure ou égale à $n \in \mathbb{N}$, il faut et il suffit qu'elle soit $\mathcal{R}_n^*$ mesurable.

**Démonstration** : On procède par récurrence sur $n$.

Pour que $g$ soit de structure inférieure ou égale à 1, il faut et il suffit qu'elle soit $\mathcal{B}_1$-mesurable.

Supposons la propriété vérifiée pour tout $g$ de structure inférieure ou égale à $n$.

Pour que $g$ soit de structure inférieure ou égale à $n+1$, il faut et il suffit, d'après la proposition 2.2, que, quel que soit $A_n$ et quel que soit B appartenant à $\mathcal{B}_R$ (tribu Borélienne sur $R$), $(g|_{A_n})^{-1}(B)$ appartienne à $\mathcal{B}_{n+1}(A_n)$. Or $(g|_{A_n})^{-1}(B) = g^{-1}(B) \cap A_n$. D'après la propriété 4 de $(\mathcal{R}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$ (voir Proposition 2.4), il en résulte que, quel que soit $B \in \mathcal{B}_R$, $g^{-1}(B) \in \mathcal{R}_{n+1}^*$.

### c) EXEMPLES

On reprend les exemples étudiés en II 3/.

A. $\mathcal{R}_n^*$ est l'ensemble des parties "ne dépendant que de $n$ coordonnées", c'est-à-dire l'ensemble des cylindres à base dans $F^n$.

B. Pour qu'une partie $B$ de $R^2$ appartienne à $\mathcal{R}_n^*$, il faut et il suffit que sa section avec toute droite d'équation $\omega_1 = \text{cte}$ (atome de $\mathcal{B}_1$) soit $\mathcal{B}_R$-mesurable ; on remarque sur cet exemple que $\mathcal{B}_2^*$ n'est pas nécessairement l'ensemble des réunions des atomes $A_2$.
C. $\mathcal{B}_n^*$ est la tribu engendrée par

$$ \{ \left[ 0, \frac{1}{n} \right], \dots, \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] \} $$

### 5/ Interprétation en termes de temps d'arrêt

a) RAPPELS : Etant donné un espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}})$, une suite d'applications $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ est dite *adaptée* à $(\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$ si et seulement si, pour tout $n$, $X_n$ est $\mathcal{B}_n^*$-mesurable ; on peut considérer $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ comme une suite aléatoire définie sur $(\Omega, \mathcal{B}_\infty^*)$, où $\mathcal{B}_\infty^*$ est la tribu engendrée par les $\mathcal{B}_n^*$.

Un temps d'arrêt $T$ sur $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}})$ est une application de $\Omega$ dans $\mathbb{N}$ telle que, quel que soit $n$, $\{\omega \mid T(\omega) < n\}$ soit $\mathcal{B}_n^*$-mesurable.

Etant donnés sur $(\Omega, (\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}})$ une suite aléatoire $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ adaptée à $(\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$ et un temps d'arrêt $T$, on définit l'applicati-

cation

$$ X_T : \omega \to X_{T(\omega)}(\omega) $$

**THEOREME 2.2.** Pour qu'une fonction $g$ définie sur $(\Omega, (\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}})$ soit finitaire, il faut et il suffit qu'il existe une suite aléatoire $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$, définie sur $(\Omega, \mathcal{B}_\infty^*)$, adaptée à $(\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$ et un temps d'arrêt $T$ tels que $g = X_T$.

**Démonstration :**

1/ Soient $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$, adaptée à $(\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$, et $T$ un temps d'arrêt : quel que soit $\omega$, sur $A_{T(\omega)}(\omega)$, $X_T$ coincide avec $X_{T(\omega)}$, $\mathcal{B}_{T(\omega)}$-mesurable, donc constante sur $A_{T(\omega)}(\omega)$ ; donc, en tout $\omega$, $s(\omega, X_T) < T(\omega) + 1$. $X_T$ est donc finitaire.

2/ Soit $g$ une fonction finitaire sur $(\Omega, (\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}})$ ; notons $s(\omega)$ la structure locale de $g$ en $\omega$.

- La fonction $s$ est un temps d'arrêt : en effet, si $s(\omega) < n$, $g|_{A_{n-1}}(\omega)$ est $\mathcal{B}_n^*$-mesurable, donc, si $\omega' \in A_{n-1}(\omega)$, $s(\omega') = s(\omega)$ ; $\{\omega' \mid s(\omega') \le n\}$ est donc une réunion d'atomes de $A_{n-1}$, donc $\mathcal{B}_n^*$-mesurable (cf. I 4/ b).

- On définit la suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par :

$$ X_n[s(\omega) < n] = g[s(\omega) \le n] $$

$X_n[s(\omega) > n] =$ fonction $\mathcal{B}_n^*$ - mesurable quelconque.

$[s(\omega) \le n]$ et $[s(\omega) > n]$ sont des abréviations pour $\{\omega \mid s(\omega) \le n\}$ et $\{\omega \mid s(\omega) > n\}$.
Sur {$\omega | s(\omega) \le n$}, partie $\mathcal{B}_n^*$ - mesurable de $\Omega$ qu'on peut munir des tribus induites par les tribus $\mathcal{B}_n^*$, la restriction de $g$ est de structure inférieure ou égale à n, donc $\mathcal{B}_n^*$ - mesurable ; la fonction $X_n$ est donc $\mathcal{B}_n^*$ - mesurable sur $\Omega$.

D'autre part, quel que soit $\omega$, $X_{s(\omega)}(\omega) = g(\omega)$.

*Exemple* : On reprend l'exemple A (voir II 3/); soit $X_n$ la projection sur la n-ième coordonnée donc, dans l'interprétation en termes de jeu, la fortune au n-ième coup. $X_T$ est la fortune finale, si on arrête le jeu conformément au temps d'arrêt T.

L'application

$$ (\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n, \dots) \longrightarrow \omega_1 $$

est bien un temps d'arrêt puisque, quel que soit n, l'image réciproque de {$n$} est $\mathcal{B}_1^*$ - mesurable.

### c) MESURABILITE DES FONCTIONS FINITAIRES

**THEOREME 2.3** : Toute fonction finitaire sur $(\Omega, (\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}})$ est $\mathcal{B}_\infty^*$ - mesurable.

*Démonstration* : Ce théorème est un cas particulier d'un théorème général sur les temps d'arrêt (voir par exemple [5]).

g, dont la structure locale est finie en tout point, est limite de toute suite de fonctions $X_n$ définie par (voir a) :

$$ X_n|_{[s(\omega) \le n]} = g|_{[s(\omega) \le n]} $$

$X_n|_{[s(\omega) > n]}$ = fonction $\mathcal{B}_n^*$ - mesurable quelconque

$X_n$ est $\mathcal{B}_n^*$ - mesurable, donc $\mathcal{B}_\infty^*$ - mesurable.

g est donc $\mathcal{B}_\infty^*$ - mesurable.

*Remarque* : On démontre de plus, (voir [5]), mais nous ne nous en servirons pas dans cette étude, que g est mesurable par rapport à la sous-tribu $\mathcal{B}_s^*$ de $\mathcal{B}_\infty^*$, dite tribu des évènements antérieurs à s, et définie par :

$$ \mathcal{B}_s^* = \{B \mid \forall n \in \mathbb{N}, B \cap [s \le n] \in \mathcal{B}_n^*\} $$
# III - Stratégie régulière

## 1/ Conditions d'universelle intégrabilité des fonctions finitaires

### a) CONDITIONS NECESSAIRES

Dans ce paragraphe a), nous recherchons des conditions nécessaires portant sur la **stratégie** $\sigma$ pour qu'il n'y ait pas d'obstacle tenant à la mesurabilité dans l'universelle intégration des fonctions finitaires.

Soit $g$, définie sur $(\Omega, \mathcal{V}, \sigma)$, universellement intégrable ; d'après la condition $U_2$, quel que soit $A_1$, $g|_{A_1}$ est universellement intégrable sur l'espace $(A_1, \mathcal{V}|_{A_1}, \sigma|_{A_1})$ et, si on note $\sigma^1 g$ l'application

$$ \omega \longrightarrow \sigma|_{A_1}(\omega) \left[ g|_{A_1}(\omega) \right] $$

on doit avoir

$\sigma^1 g \in \mathcal{R}_1$ - mesurable

$$ \sigma g = \sigma_1 [\sigma^1 g] $$

$A_1$ étant fixé, appliquons à l'espace $(A_1, \mathcal{V}|_{A_1}, \sigma|_{A_1})$ sur lequel est définie $g|_{A_1}$, le raisonnement appliqué ci-dessus à $(\Omega, \mathcal{V}, \sigma)$ sur lequel est définie $g$: la première des probabilités composant. $\sigma|_{A_1}$ est $\sigma_2(A_1)$, et, si on note $\sigma^2 g$ l'application :

$$ \omega \longrightarrow \sigma|_{A_2}(\omega) \left[ g|_{A_2}(\omega) \right] $$

on doit avoir

$\sigma^2 g|_{A_1} \in \mathcal{R}_2(A_1)$ - mesurable quel que soit $A_1$

$$ \sigma g|_{A_1} = \sigma_2(A_1) \left[ \sigma^2 g|_{A_1} \right] $$

On démontre ainsi par récurrence que, étant donné $n$, pour que $\sigma g$ ait un sens il faut qu'on puisse effectuer successivement les $n+1$ opérations suivantes :

1/ Calculer, quel que soit $A_n$, $\sigma|_{A_n}[g|_{A_n}]$, intégrale universelle de $g|_{A_n}$, définie sur l'espace $(A, \mathcal{V}|_{A_n}, \sigma|_{A_n})$.
2/ Quel que soit $A_{n-1}$, intégrer $\sigma^n g|_{A_{n-1}}$ par rapport à la probabilité $\sigma_n(A_{n-1})$, $\sigma^n g$ étant l'application :

$$ \omega \longrightarrow \sigma|_{A_n}(\omega) \left[ g|_{A_n}(\omega) \right] $$

Ces intégrations permettent d'obtenir la fonction $\sigma^{n-1}g$

......

n+1/ Ayant obtenu $\sigma^1 g$, $\mathcal{B}_1$-mesurable, calculer

$$ \sigma g = \sigma_1[\sigma g] $$

Condition nécessaire pour qu'on puisse effectuer l'opération 2 : pour qu'on puisse l'intégrer par rapport à $\sigma_n(A_{n-1})$, il faut (même raisonnement que ci-dessus pour n = 1 et n = 2), que $\sigma_n g|_{A_{n-1}}$ soit $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$ - mesurable, c'est-à-dire, si on considère la famille $(\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$ associée à $\mathcal{V}$, que $\sigma_n g$ soit $\mathcal{B}_n^*$-mesurable (voir Proposition 2.5).

Cas particulier : Soit $g \mathcal{B}_{n+1}^*$-mesurable ; on peut alors, sur tout $A_n$, appliquer la condition $U_2$ à $(A_n, \sigma|_{A_n}, \mathcal{V}|_{A_n}, g|_{A_n})$ ; si, quel que soit $A_n$, $g|_{A_n}$ est $\sigma_{n+1}(A_n)$-intégrable, l'intégrale universelle $\sigma|_{A_n} \left[ g|_{A_n} \right]$ s'obtient directement, donc

$$ \sigma^n g (\omega) = \left[ \sigma_{n+1} (A_n (\omega)) \right] g |_{A_n (\omega)} $$

Il faut ensuite que $\sigma^n g$ soit $\mathcal{B}_n^*$-mesurable.

Si $B_{n+1} \in \mathcal{B}_{n+1}^*$, on notera :

$$ P^n(\omega, B_{n+1}) = \left[ \sigma^n I_{B_{n+1}} \right] (\omega) = \left( \left[ \sigma_{n+1}(A_n(\omega)) \right] \left[ B_{n+1} \cap A_n(\omega) \right] \right) $$

$\omega$ étant fixé, l'application

$$ B_{n+1} \longrightarrow P^n(\omega, B_{n+1}) $$

est une probabilité sur $\mathcal{B}_{n+1}^*$, concentrée sur $A_n(\omega)$.

Les conditions nécessaires obtenues ci-dessus pour que $\sigma I_{B_{n+1}}$ puisse être défini, quel que soit $n$, pour tout $B_{n+1} \in \mathcal{B}_{n+1}^*$ nous conduisent à la :
**Définition 3.1** : Etant donné un espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}})$, une stratégie $\sigma$ est dite **régulière** si, et seulement si, quel que soit $n$, quel que soit $B_{n+1} \in \mathcal{B}_{n+1}^*$, l'application

$$ \omega \longrightarrow P^n(\omega, B_{n+1}) = [\sigma_{n+1}(A_n(\omega))] [B_{n+1} \cap A_n(\omega)] $$

est $\mathcal{B}_n^*$ - mesurable.

### b) EXISTENCE DE STRATEGIES REGULIERES

**PROPOSITION 3.1** : Pour qu'il existe, sur un espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}})$, une stratégie $\sigma$ régulière, il faut que, quel que soit $n$, $\mathcal{B}_n^*$ soit l'ensemble de toutes les réunions des atomes $A_n$. Toute stratégie $\sigma$ est alors régulière.

**Démonstration** : Supposons qu'il existe une réunion $B$ d'atomes $A_n$ qui n'appartienne pas à $\mathcal{B}_n^*$. $B$ appartient à $\mathcal{B}_{n+1}^*$ (voir II 4/b).

Quelles que soient les probabilités $\sigma_{n+1}(A_n)$, on a :

$$ P^n(\omega, B) = [\sigma_{n+1}[A_n(\omega)]] [B \cap A_n(\omega)] = \begin{cases} 0 & \text{si } \omega \in B \ (B \cap A_n(\omega) = \emptyset) \\ 1 & \text{si } \omega \in B \ (B \cap A_n(\omega) = A_n(\omega)) \end{cases} $$

La fonction $\omega \longrightarrow P^n(\omega, B)$ n'est pas $\mathcal{B}_n^*$ - mesurable.

Par contre, si toute réunion d'atomes $A_n$ appartient à $\mathcal{B}_n^*$, quel que soit $B_{n+1} \in \mathcal{B}_{n+1}^*$, l'application $\omega \longrightarrow P^n(\omega, B_{n+1})$, constante sur tout atome $A_n$, est $\mathcal{B}_n^*$ - mesurable.

**Remarque** : Il résulte de la définition de $\mathcal{B}_n^*$ que, pour que $\mathcal{B}_n^*$ soit l'ensemble de toutes les réunions de ses atomes, il faut et il suffit qu'il en soit ainsi pour toutes les tribus $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$.

Dans les exemples étudiés jusqu'ici (voir II 3/ et II 4/c) seuls les exemples A et C satisfont à ces conditions, l'exemple B n'y satis-fait pas.

### c) CONDITIONS NECESSAIRES ET SUFFISANTES D'UNIVERSELLE INTEGRABILITE DE CERTAINES CLASSES DE FONCTIONS FINITAIRES

**THEOREME 3.1** : Pour que toute fonction finitaire bornée définie sur un espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$, $\sigma$) soit universellement intégrable, il faut et il suffit que $\sigma$ soit régulière.
**Démonstration** : Ce résultat n'est qu'un cas particulier de III. 4. Re-
marque 1, mais cette démonstration est adaptée de celle de Savage
et Dubins).

1/ Les indicateurs des parties de $\mathcal{B}_n^*$ étant des fonctions finitaires bornées particulières, la condition est nécessaire.

2/ La condition est suffisante : on procède par récurrence sur la structure de $g$, fonction finitaire, de valeur absolue bornée par $K$.

Si $g$ est $\mathcal{B}_1$-mesurable, $\sigma g = \sigma_1 g$ existe et est bornée par $K$.

Supposons que toute fonction de structure strictement inférieure à $\alpha$ soit universellement intégrable, l'intégrale $\sigma g$ étant bornée par la même valeur $K$ que $g$.

Soit $g$ de structure $\alpha$ : quel que soit $A_1$, $\sigma|_{A_1}(g|_{A_1})$ existe et est borné par $K$ (hypothèse de récurrence).

L'application

$$
\omega \longrightarrow \sigma^1 g(\omega) = \sigma|_{A_1}(\omega) g|_{A_1}(\omega)
$$

constante sur tout atome $A_1$, est $\mathcal{B}_1^*$-mesurable.

On peut définir

$$
\sigma g = \sigma_1 [ \sigma^1 g ]
$$

qui, intégrale de $\sigma^1 g$, bornée par $K$, par rapport à la probabilité $\sigma_1$, est borné par $K$.

On démontre de même le :

THEOREME 3.1' : Pour qu'une fonction finitaire positive ou nulle défi-
nie sur un espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}}, \sigma)$ possède une intégrale univers-
selle supérieure (c'est-à-dire éventuellement égale à + $\infty$), il faut
et il suffit que $\sigma$ soit régulière.

d) EXEMPLE

On considère le jeu suivant :
- au premier coup le joueur choisit un nombre entier strictement positif, la probabilité de choisir $k$ étant $\frac{1}{2^k}$

- il effectue ensuite $k-1$ expériences de Bernoulli : en cas de succès (probabilité p) il gagne 1F., en cas d'échec il gagne 0F.

Formulation du problème en termes de notre étude :

$$ \Omega = [N - \{0\}] \times \{0,1\}^{N-\{0,1\}} $$

B̂_n: tribu de tous les cylindres à base dans [N - {0}]×{0,1}^{(2..n)}

σ : ω₁ est la probabilité définie sur N par σ₁(n) = 1/2ⁿ

σ_n est la mesure de probabilité (p, 1-p) sur

$$ A_n = \langle k, \omega_2, \dots, \omega_n \rangle $$

muni des 2 atomes

<k, ω₂, ..., ωₙ₋₁, 0> et <k, ω₂, ..., ωₙ₋₁, 1>

(même notation qu'en II 3/ A)

L'application

$$ \omega = (k, \omega_2, \dots, \omega_n \dots) \longrightarrow k $$

est un temps d'arrêt, puisque B̂₁-mesurable.

La fonction

$$ g : \omega = (k, \omega_2, \dots, \omega_n, \dots) \longrightarrow \omega_2 + \omega_3 + \dots + \omega_k + \omega_{k+1} $$

(fortune finale) est finitaire (de structure ω ; voir II 3 A)

Calcul de σg :

Fixons Aᵏ, ensemble des ω de 1er terme k : c'est un atome de B̂₁·g|Aᵏ est de structure finie k, et σ|Aᵏ (g|Aᵏ) = kp (suite de k expériences de Bernoulli).

Donc

$$ \sigma^1[(k, \omega_2, \dots)] = kp $$

$$ \sigma g = \sigma_1[\sigma^1 g] = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{kp}{2^k} = 2p $$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
## 2/ Sous-familles de fonction finitaires

### a) EXEMPLE

La modicité du résultat du 1/, qui ne permet de définir l'in-
tégrale universelle de toutes les fonctions finitaires bornées que
dans le cas où toute tribu $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$ est l'ensemble de toutes les
réunions de ses atomes, est due au fait que les tribus $\mathcal{B}_n^*$ sont
très grandes, ceci en raison de la propriété 4 (Proposition 2.4) à
laquelle $\mathcal{B}_n^*$ doit satisfaire.

Nous sommes donc conduits à considérer des sous-familles
de fonctions finitaires par rapport à $(\Omega, (\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}})$. Un cas intéres-
sant nous en est fourni par l'exemple B (voir II 3/):

$\mathcal{B}_2^*$ est l'ensemble des parties dont toute section avec une droite
de première coordonnée constante est borélienne. Cette tribu con-
tient strictement la tribu $\mathcal{B}_2 = \mathcal{B}_R \otimes \mathcal{B}_R$ qui, comme $\mathcal{B}_2^*$, coïn-
cide avec $\mathcal{B}_2(A_1)$ sur chaque $A_1$. C'est par rapport à $\mathcal{B}_2$ qu'on
étudie généralement la mesurabilité des fonctions définies sur $\mathbb{R}^2$,
en non par rapport à $\mathcal{B}_2^*$.

### b) SUITE DE TRIBUS ADAPTEE A UN ESPACE $(\Omega, \mathcal{V})$

Définition 3.2 : Etant donné un espace $(\Omega, \mathcal{V})$, une suite de tribus
$(\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies sur $\Omega$ est dite *adaptée à* $\mathcal{V}$ si et seulement si

- elle est croissante

- quel que soit $A_{n-1}$, $\mathcal{B}_n$ coincide avec $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$ sur $A_{n-1}$

Remarques :

$(\mathcal{B}_n^*)_{n \in \mathbb{N}}$ est la suite des plus grandes tribus adaptées à $\mathcal{V}$. Soit $(\mathcal{B}_{n*})$ l'ensemble des parties de $\Omega$ dont l'intersection avec chaque $A_{n-1}$ appartient à $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$ et ne diffère de $\emptyset$ ou $A_{n-1}$ qu'une infinité dénombrable de fois au plus : $(\mathcal{B}_{n*})_{n \in \mathbb{N}}$ est la suite des plus petites tribus adaptées à $\mathcal{V}$. Pour qu'une suite croissante de tribus sur $\Omega$, $(\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}}$, soit adaptée, il faut et il suffit que, quel que soit $n$, $\mathcal{B}_{n*} \subset \mathcal{B}_n \subset \mathcal{B}_n^*$.

Si chaque tribu $\mathcal{B}_n(A_{n-1})$ n'a qu'une infinité dénombrable d'atomes, il n'y a qu'une seule suite de tribus adaptée à $\mathcal{V}$.

On démontre, comme à la proposition 2.4, que la donnée sur $\Omega$ d'une suite de tribus $(\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}}$ possédant les propriétés suivantes :
(1) Quel que soit $n$, $\mathcal{B}_n \subset \mathcal{B}_{n+1}$

(2) Les tribus $\mathcal{B}_n$ sont atomiques

(3) Toute suite décroissante d'atomes des tribus $\mathcal{B}_n$ a une intersection non vide, définit sur $\Omega$ une famille canonique de tribus.

Les conditions 1, 2, 3, ci-dessus seront désormais sous-entendues quand on parlera d'espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}})$. On notera $\mathcal{B}_\infty$ (respectivement $\mathcal{B}_{\infty*}$) la tribu engendrée par $\bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{B}_n$ (respectivement $\bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{B}_{n*}$).

*Exemple* : Fonctions $\mathcal{B}_{\infty*}$-mesurables dans l'espace B.

Pour qu'une fonction $g$ de $\Omega$ dans $(\mathbb{R}, \mathcal{B}_{\mathbb{R}})$ soit $\mathcal{B}_{\infty*}$-mesurable, il faut et il suffit que, quel que soit $B \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$, $g^{-1}(B) \in \mathcal{B}_{\infty*}$ c'est-à-dire que les fonctions :

$$ \omega_2 \longrightarrow g(\omega_1, \omega_2) $$

soient constantes sauf pour une infinité dénombrable de valeurs de $\omega_1$ pour lesquelles elles sont Borélienne.

### c) FONCTIONS $\mathcal{B}_\infty$-FINITAIRES

**Définition 3.3** : Etant donné un espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}})$, une fonction de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ est dite $\mathcal{B}_\infty$-finitaire si et seulement si elle est :

- finitaire pour la famille canonique de tribus définie par $(\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}}$

- $\mathcal{B}_\infty$-mesurable.

*Exemple* : Si on considère une suite aléatoire $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ adaptée à $(\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}}$, et un temps d'arrêt $T$ par rapport à $(\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}}$, la variable aléatoire $X_T$ est $\mathcal{B}_\infty$-finitaire.

*Remarque* : Quel que soit $n$, $\mathcal{B}_n \subset \mathcal{B}_n^* \cap \mathcal{B}_\infty$, donc toute fonction $\mathcal{B}_n$-mesurable est $\mathcal{B}_\infty$ finitaire d'ordre inférieur ou égal à $n$ ; la réciproque n'est pas vraie, en raison de la latitude totale que nous avons dans le choix des $\mathcal{B}_n$ entre $\mathcal{B}_{n*}$ et $\mathcal{B}_n^*$. Par exemple, si $\mathcal{B}_{2*} \not\vdash \mathcal{B}_2^*$ et si on choisit $\mathcal{B}_2 = \mathcal{B}_{2*}$, et quel que soit $n \ge 3$, $\mathcal{B}_n^* = \mathcal{B}_n$, on a $\mathcal{B}_\infty = \mathcal{B}_\infty^*$, et donc $\mathcal{B}_2^* \cap \mathcal{B}_\infty = \mathcal{B}_2^* \not\vdash \mathcal{B}_{2*} = \mathcal{B}_2$.
### 3/ Stratégies régulières par rapport à $(\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}}$

#### a) CONDITIONS NECESSAIRES

Etant donné un espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}})$ on reprend l'étude de II 1/ a) en cherchant cette fois simplement des conditions nécessaires pour qu'il n'y ait pas d'obstacle tenant à la mesurabilité dans l'intégration universelle des fonctions $\mathcal{B}_\infty$-finitaires (et non plus, si $\mathcal{B}_\infty \neq \mathcal{B}_\infty^*$, de toutes les fonctions finitaires).

Il faut en particulier que toute fonction qui est l'indicateur, $\mathcal{B}_\infty$- finitaire d'ordre fini, d'une partie de $\Omega$, ou, plus particulièrement encore, d'après la remarque en III 2/c), que toute fonction qui est l'indicateur d'une fonction appartenant à une tribu $\mathcal{B}_n$ soit universellement intégrable, ce qui nous conduit à définir, comme à la définition 3.1 :

**Définition 3.1¹** : Etant donné un espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}})$, une stratégie $\sigma$ est dite **régulière** si et seulement si, quel que soit $n$, quel que soit $B_{n+1} \in \mathcal{B}_{n+1}$, l'application

$$ \omega \longrightarrow P^n(\omega, B_{n+1}) = \left[ \sigma_{n+1} \left[ A_n(\omega) \right] \right] \left[ B_{n+1} \cap A_n(\omega) \right] $$

est $\mathcal{B}_n$-mesurable.

**Remarques :**

1/ Il résulte de cette définition que toute fonction $\mathcal{B}_{n+1}$-mesurable $g$ est telle que si, quel que soit $A_n$, $g|_{A_n}$ est intégrable par rapport à la probabilité $\sigma_{n+1}(A_n)$ l'application

$$ \omega \longrightarrow \left[ \sigma_{n+1} \left[ A_n(\omega) \right] \right] g|_{A_n(\omega)} $$

est $\mathcal{B}_n$-mesurable (on continue à confondre, comme précédemment, la notation de probabilité et celle d'espérance conditionnelle).

2/ Si $\omega$ est fixé, on vérifie immédiatement que l'application

$$ B_{n+1} \longrightarrow P^n(\omega, B_{n+1}) $$

est une probabilité sur $\mathcal{B}_{n+1}$.
b) INTERPRETATION DES STRATEGIES REGULIERES EN TERMES DE PROBABILITES CONDITIONNELLES REGULIERES

Définition 3.4 : Etant donné un espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}})$, on appelle suite régulière de probabilité toute suite $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où :

- quel que soit $n$, $P_n$ est une probabilité sur $\mathcal{B}_n$

- si $m > n$, $P_n$ est la restriction de $P_m$ à $\mathcal{B}_n$

- quel que soit $n$, il existe une probabilité conditionnelle régulière $P^n$, définie sur $(\Omega, \mathcal{B}_{n+1}, P_{n+1})$, conditionnée par $\mathcal{B}_n$, telle que, quel que soit $\omega$, la probabilité

$$B_{n+1} \rightarrow P^n(\omega, B_{n+1})$$

soit concentrée sur $A_n(\omega)$.

**PROPOSITION 3.2** : Sur $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}})$ la donnée d'une stratégie régulière est équivalente à la donnée d'une suite régulière de probabilités.

**Démonstration :**

1/ Soit $\sigma$ une stratégie régulière.

Soit $B_{n+1} \in \mathcal{B}_{n+1}$. D'après la définition 3.1' et la remarque 1 qui la suit, on peut, par une suite d'intégrations successives par rapport aux probabilités $\sigma_n(A_n)$, $\sigma_{n-1}(A_{n-1})$, ..., $\sigma_1$, définir $\sigma I_{B_{n+1}}$ qu'on notera $P_{n+1}(B_{n+1})$.

Par construction, $P_{n+1}$ est une probabilité sur $\mathcal{B}_{n+1}$ vérifiant, quel que soit $B_{n+1} \in \mathcal{B}_{n+1}$,

$$P_{n+1}(B_{n+1}) = P_{n+1}[P^n(B_{n+1})]$$

Or $P^n(B_{n+1})$ est une fonction $\mathcal{B}_n$-mesurable (voir définition 3.1'); il n'y a, si elle existe, qu'une seule fonction (à une inégalité $P_{n+1}$ presque sûre près) vérifiant cette relation : c'est la probabilité conditionnelle définie sur $(\Omega, \mathcal{B}_{n+1}, P_{n+1})$ et conditionnée par $\mathcal{B}_n$; or, $\omega$ étant fixé, l'application

$$B_{n+1} \rightarrow P^n(\omega, B_{n+1})$$

est une probabilité. Donc $P^n$ est une version de la probabilité conditionnelle régulière.
Par ailleurs, si $m > n$, $P^m(B_n) = \sigma(I_{B_n}) = P^n(B_n)$.

2/ Soit $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite régulière de probabilités sur $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}})$

Soit $P^\Omega$ la probabilité conditionnelle régulière définie sur $(\Omega, \mathcal{B}_{n+1}, P_{n+1})$

conditionné par $\mathcal{B}_n$ : elle existe par hypothèse.

On définit la probabilité $\sigma_{n+1}(A_n)$ sur $\mathcal{B}_{n+1}(A_n)$ :

$$[\sigma_{n+1}(A_n)](B) = P^n(\omega, B) \quad \text{si} \quad \omega \in A_n,$$

$\{\sigma_{n+1}(A_n) | n \in \mathbb{N}, A_n \in \mathcal{A}_n\}$ constitue une stratégie régulière sur $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}})$.

**Conclusion** : On pourra désormais indifféremment considérer l'espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}})$ comme muni d'une stratégie régulière ou d'une suite régulière de probabilités. Si g est $\mathcal{B}_{n+1}$-mesurable, son intégrale pourra s'écrire, puisqu'on convient toujours de confondre la notation de probabilité et celle d'espérance mathématique :

$$\sigma g = P_1[P^2[\dots[P^n g]\dots]] = P_{n+1}(g)$$

c) PROBABILITE SUR $\mathcal{B}_\infty$

**THEOREME 3.2** : Etant donné un espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}}, (P_n)_{n \in \mathbb{N}})$, où $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite régulière de probabilités, il existe sur la tribu $\mathcal{B}_\infty$ une probabilité P unique, prolongeant les $P_n$.

**Démonstration** : La démonstration de ce théorème est directement adaptée de celle donnée par Tulcea pour son théorème sur les mesures dans les espaces produits (Voir [3] et [4]).

La suite régulière $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définit une application P du clan $\bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{B}_n$ dans $[0,1]$. Pour que cette application se prolonge en une probabilité sur $\mathcal{B}_\infty$, il suffit (théorème de prolongement de Kolmogorov) que P soit une probabilité sur $\bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{B}_n$, c'est-à-dire, puisque P est finiment additive, que, si $\{C_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ est une suite décroissante d'ensembles appartenent à $\bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{B}_n$ telle que :
$$ \lim_{\downarrow} P(C_i) = r \neq 0 $$

alors

$$ \bigcap_{n=1}^{\infty} C_i \neq \emptyset $$

Démontrons que ce critère est vérifié :

1/ On peut toujours supposer que, quel que soit $i$, $C_i \in \mathcal{R}_i$, et même que $C_i = A_i$, atome de $\mathcal{R}_i$.

D'après III 3/ b)

$$ P(C_i) = P_i(C_i) = P_1[P^1[\dots[P^n[\dots[P^{i-1}(C_i)]\dots]]] $$

Posons, si $i \ge n$,

$$ R_i^n(\omega) = P^n[P^{n+1}[\dots[P^{i-1}(C_i)]\dots]](\omega) $$

(si $i = n$,

$$ R_i^n(\omega) = I_{C_n}(\omega) $$

On a la relation

$$ R_i^n(\omega) = P^n[R_i^{n+1}(\omega)] $$

Cas particulier :

$$ P(C_i) = P_1[R_i^1(\omega)] $$

D'autre part, quel que soit $\omega$, quel que soit $n$,

$$ R_i^n(\omega) \ge R_{i+1}^n(\omega) $$

$$ \text{car } C_i \supset C_{i+1} $$

$$ 2/ \text{ Soit alors } R_{\infty}^{1}(\omega) = \lim_{i \to \infty} R_{i}^{1}(\omega) $$

Or par hypothèse, quel que soit $i$,

$$ P(C_i) \ge r $$

c'est-à-dire

$$ P_1[R_i^1(\omega)] \ge r $$

donc

$$ P_1[R_{\infty}^1(\omega)] \ge r $$
Il existe donc $\omega^0$ tel que $R_{\infty}^1(\omega_0) \ge r$.

Or, quel que soit i,

$$R_i^1(\omega) \ge R_{\infty}^1(\omega)$$

Donc, quel que soit i,

$$R_i^1(\omega_0) \ge r$$

La fonction $R_i^1$ étant, par définition, $\mathcal{B}_1$ - mesurable, il existe donc un atome $A_1^0$ tel que, quel que soit i, quel que soit $\omega \in A_1^0$,

$$R_i^1(\omega) \ge r$$

3/ Supposons maintenant qu'il existe un atome $A_n^0$ tel que, quel que soit $\omega \in A_n^0$, quel que soit i,

$$R_i^n(\omega) \ge r$$

c'est-à-dire

$$P^n[R_i^{n+1}(\omega)] \ge r$$

Posons

$$R_{\infty}^{n+1}(\omega) = \lim_{i \to \infty} R_i^{n+1}(\omega)$$

Quel que soit $\omega \in A_n^0$,

$$P^n[R_{\infty}^{n+1}(\omega)] \ge r$$

Il existe donc $\omega_0$ tel que $R_{\infty}^{n+1}(\omega_0) \ge r$

Or, quel que soit i,

$$R_i^{n+1}(\omega) \ge R_{\infty}^{n+1}(\omega)$$

Donc, quel que soit i,

$$R_i^{n+1}(\omega_0) \ge r$$

La fonction $R_i^{n+1}$ étant, par définition, $\mathcal{B}_{n+1}$ - mesurable, il existe donc un atome $A_{n+1}^0 \subset A_n^0$ tel que, quel que soit i, quel que soit $\omega \in A_{n+1}^0$,

$$R_i^{n+1}(\omega) \ge r$$

4/ On construit donc une suite décroissante d'atomes

$A_1^0, A_2^0, \dots, A_n^0, \dots$
Soit $\omega_0 \in \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^0$ (cette intersection est non vide d'après la définition 1.1).

Quel que soit $n$, on a

$$R_n^n(\omega_0) = I_{c_n}(\omega_0) \geq r$$

Or les deux seules valeurs que peut prendre la fonction $I_{c_n}$ sont 0 et 1;

On a donc, quel que soit $n$,

$$I_{c_n}(\omega_0) = 1$$

Donc

$$\bigcap_{n=1}^{\infty} C_n \neq \emptyset$$

Remarques :

1/ P prolongeant $P_n$, on a pour toute fonction $g \in \mathcal{B}_n$-mesurable :

$$\sigma g = P_n g = Pg$$

2/ Sur l'espace $(A_1, \mathcal{A}|_{A_1})$, la stratégie $\sigma|_{A_1}$ permet, d'après la proposition 3.2, de définir une suite régulière de probabilités $(Q_n^1)_{n \in \mathbb{N}}$, se prolongeant, d'après le théorème ci-dessus, en une probabilité unique $Q^1$ sur $\mathcal{B}_\infty|_{A_1}$

Quel que soit $B_n'$ appartenant à $\mathcal{B}_{n+1}$ et compris dans $A_1$ :

$$Q_1^1(B_n') = Q_n^1(B_n') = \sigma|_{A_1}(B_n') \quad (\text{remarque 1 ci-dessus})$$

Donc, si $B' \in \bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{B}_{n+1}$ l'application $\sigma^1 B'$ est identique à l'application $QB'$ :

$$\omega \to Q_1^{\omega}(B')$$

$$\text{Donc } P(B') = \sigma(B') = \sigma_1[\sigma^1 B'] = P[QB']$$

Q se prolonge de manière unique à $\mathcal{B}_\infty$; par ailleurs la probabilité conditionnée par $\mathcal{B}_1$ de $B'$ coïncide avec Q si $B' \in \bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{B}_n$.
Donc $\mathcal{Q}$ est une version de la probabilité conditionnelle régulière définie sur $(\Omega, \mathcal{B}_{\infty}, \mathcal{P})$, conditionnée par $\mathcal{B}_1$.

### 4/ Identité de l'intégration universelle et de l'intégration par rapport à la probabilité P des fonctions finitaires

Toute fonction $\mathcal{B}_{\infty}$ - mesurable et bornée est intégrable par rapport à la probabilité $\mathcal{P}$ que la stratégie régulière $\sigma$ définie sur $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}})$ permet de définir sur $\mathcal{B}_{\infty}$. Le problème se pose de savoir si celles de ces fonctions $g$ qui sont de plus finitaires sont aussi universellement intégrables par rapport à la stratégie régulière $\sigma$ et si l'intégrale universelle éventuelle $\sigma g$ est alors égale à l'intégrale $\mathcal{P}g$ par rapport à $\mathcal{P}$.

Plus généralement, on a le :

**THÉOREME 3.3 :** Soit, sur un espace $(\Omega, (\mathcal{B}_n)_{n \in \mathbb{N}})$, une stratégie $\sigma$ régulière, d'où sur $\mathcal{B}_{\infty}$ une probabilité $\mathcal{P}$. Pour qu'une fonction $g$, $\mathcal{B}_{\infty}$-finitaire, soit universellement intégrable, il faut et il suffit qu'elle soit intégrable par rapport à $\mathcal{P}$. On a alors :

$$ \sigma g = \mathcal{P}g $$

**Démonstration :** On procède par récurrence sur la structure de $g$.

- si $g$ est $\mathcal{B}_1$-intégrable, $\sigma g = \sigma_1 g = \mathcal{P}g$

- supposons le théorème démontré pour toute fonction de structure $< \alpha$.

Soit $g$ de structure $\alpha$: quel que soit $A_1$, $g|_{A_1}$, fonction définie sur l'espace $(A_1, \mathcal{V}|_{A_1}, \sigma|_{A_1})$, est de structure $\beta$ $(A_1) < \alpha$ ; par ailleurs, d'après la remarque 2 en III 3/ c, la stratégie $\sigma|_{A_1}$ définit sur $\mathcal{B}_{\infty}|_{A_1}$ la probabilité $\mathcal{Q}^{\alpha_1}$ telle que l'application $\mathcal{Q}$

$$ (\omega, B) \longrightarrow \mathcal{Q}^{\alpha_1(\omega)} (B) $$

soit une version de la probabilité conditionnelle régulière définie sur $(\Omega, \mathcal{B}_{\infty}, \mathcal{P})$ conditionnée par $\mathcal{B}_1$. Donc, par hypothèse de récurrence,

$$ \sigma^1 g(\omega) = \left[ \sigma|_{A_1}(\omega) \right] g|_{A_1}(\omega) $$

existe pour tout $\omega$ si et seulement si $\mathcal{Q}g(\omega)$ existe pour tout $\omega$.
Donc $\sigma^1 g = Qg$ et c'est une fonction $\beta^1$ - mesurable.

Alors on peut écrire, l'une des extrémités de cette chaîne d'égalités existant si et seulement si l'autre existe,

$$ \sigma g = \sigma_1[\sigma^1 g] = \sigma_1[Qg] = P[Qg] = Pg $$

Remarques :

1/ D'après l'introduction de ce paragraphe III 4/, toute fonction $\beta_\infty$-finitaire bornée possède une intégrale universelle par rapport à toute stratégie régulière définie sur $(\Omega, (\beta_n)_{n \in \mathbb{N}})$.

2/ On démontrerait de manière analogue que toute fonction $\beta_\infty$-finitaire positive ou nulle possède une intégrale universelle supérieure (eventuellement égale à $+\infty$) par rapport à toute stratégie régulière définie sur $(\Omega, (\beta_n)_{n \in \mathbb{N}})$. Elle est égale à l'intégrale supérieure de la fonction considérée par rapport à la probabilité P.

BIBLIOGRAPHIE

[1] DUBINS (L.E.) et SAVAGE (L.J.) : How to gamble if you must. A paraître.

[2] KALMAR (L.) : Über arithmetische Funktionen von unendlich vielen Variablen, welche an jeder Stelle bloss von einer endlichen Anzahl von Variablen abhängig sind, *Colloq. Math. 5* (1957), 1-5.

[3] TULCEA (C.T.I.) : Mesures dans les espaces produits, *Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat.* 7 (1949) & (1950), 208-211.

[4] BERT (M.C.) : Mesures sur les espaces produits et probabilités conditionnelles. Thèse de Docteur 3° Cycle en Calcul des Probabilités, Université de Paris (1963).

[5] MEYER (P.A.) : Séminaire de théorie du potentiel. Paris (1961-62).

Institut de Statistique de
l'Université de Paris
9, Quai Saint-Bernard
PARIS 5°

Reçu le 20 mars 1964
## INTRODUCTION

The object of this monograph is to present a complete survey of the known results in the theory of Banach spaces and of some of the more recent developments in the subject. The main results are divided into two parts, those on the classical case and those on the abstract case. The first part deals with the classical case in which the space is a Banach space and the main results are the classical Banach fixed point theorem, the contraction principle and the Banach contraction principle. The second part deals with the abstract case in which the space is a vector space and the main results are the classical Hahn-Banach theorem, the Krešner-Minkowski theorem and the Hahn-Banach theorem in Banach spaces.

The main results are divided into two parts, those on the classical case and those on the abstract case. The first part deals with the classical case in which the space is a Banach space and the main results are the classical Banach fixed point theorem, the contraction principle and the Banach contraction principle. The second part deals with the abstract case in which the space is a vector space and the main results are the classical Hahn-Banach theorem, the Krešner-Minkowski theorem and the Hahn-Banach theorem in Banach spaces.

### Theorem 1.1

Let $X$ be a complete metric space, $A$ a non空集, $\mathcal{B}$ a class of subsets of $X$, $\mathcal{B}$ is a σ-σ class of σ-σ subsets of $X$, $\mathcal{B}$ is a σ-σ class of σ-σ subsets of $X$ with respect to the distance $d$ on $X$, $\mathcal{B}$ is a σ-σ class of σ-σ subsets of $X$ with respect to the distance $d$ on $X$ which is a complete metric space, $\mathcal{B}$ is a σ-σ class of σ-σ subsets of $X$ with respect to the distance $d$ on $X$ which is a complete metric space.

The main results are divided into two parts, those on the classical case and those on the abstract case. The first part deals with the classical case in which the space is a Banach space and the main results are the classical Banach fixed point theorem, the contraction principle and the Banach contraction principle. The second part deals with the abstract case in which the space is a vector space and the main results are the classical Hahn-Banach theorem, the Krešner-Minkowski theorem and the Hahn-Banach theorem in Banach spaces.

## BIBLIOGRAPHY

[1] A. DaCosta and H.B. L.opes, *On some classical fixed point theorems in Banach spaces*.

[2] A. DaCosta and H.B. L.opes, *On some classical fixed point theorems in Banach spaces*.

[3] A. DaCosta and H.B. L.opes, *On some classical fixed point theorems in Banach spaces*.

[4] A. DaCosta and H.B. L.opes, *On some classical fixed point theorems in Banach spaces*.

[5] A. DaCosta and H.B. L.opes, *On some classical fixed point theorems in Banach spaces*.

[6] A. DaCosta and H.B. L.opes, *On some classical fixed point theorems in Banach spaces*.

[7] A. DaCosta and H.B. L.opes, *On some classical fixed point theorems in Banach spaces*.

[8] A. DaCosta and H.B. L.opes, *On some classical fixed point theorems in Banach spaces*.