# Fiche pédagogique

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## Modèle Proie-Prédateur

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Le modèle proie-prédateur est un modèle de référence très utilisé en écologie des populations. Il possède de nombreuses vertus pédagogiques, en particulier celle de représenter une situation facile à comprendre, mais néanmoins complexe (Wilensky et Reisman, 2006). Le modèle décrit l'évolution de deux populations en interaction, des proies et des prédateurs ; par exemple des moutons et des loups, des lièvres et des lynx... Le nombre d'individus de la population de proies, $x(t)$, dépend du nombre d'individus de la population de prédateurs ($y(t)$) et le nombre de prédateurs dépend du nombre de proies. De plus, ce modèle présente les caractéristiques d'un système complexe : de nombreux éléments en interaction et l'absence de fonction explicite permettant de calculer à chaque instant le nombre d'individus de chaque proie ou prédateur. En effet, le système différentiel qui décrit cette évolution n'a pas de solution analytique connue. Il faut donc simuler le système par une méthode d'intégration numérique qui approxime la solution exacte du système donnant ainsi les valeurs de $x$ et $y$ à chaque pas de calcul.

Nous appelons **modèle macro** (ou agrégé) la description basée sur des équations différentielles ordinaires du problème proie-prédateur décrivant l'évolution à l'échelle des groupes de proies et de prédateurs (i.e. des populations). Afin d'intégrer ces équations différentielles, il existe différentes méthodes numériques, et en particulier les méthodes d'Euler et de Runge-Kutta. Il s'avère que le choix de l'utilisation de l'une ou l'autre de ces méthodes est d'importance. Nous ne développerons pas cet aspect ici (se reporter par exemple à Vial 2011 pour davantage de détails).

Ce système peut également être modélisé à l'échelle des individus, en reproduisant les comportements individuels des proies et prédateurs, localisés dans leur environnement. C'est le **modèle micro** (ou distribué). Nous utilisons dans ce cas le paradigme multi-agents en exploitant la plateforme Netlogo pour construire le modèle informatique (Tissue et Wilensky, 2004). L'objectif de cette double modélisation (*macro* et *micro*) d'un même problème consiste à tester si les modèles définis à deux niveaux d'abstraction différents sont cohérents, c'est-à-dire s'ils se comportent de la même manière lorsqu'on reproduit les mêmes conditions, et de montrer en quoi ils sont complémentaires.
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Nous proposons dans la suite une initiation à la dynamique de populations et à sa modélisation sur la base de l'exemple du modèle proie-prédateur avec trois objectifs pédagogiques principaux :

1. Montrer que la dynamique de populations proie-prédateur peut être modélisée à la fois à l'échelle des populations (niveau *macro*) et à celle des individus (niveau *micro*) et que ces niveaux peuvent être couplés.

2. Montrer que le niveau *macro* est aspatial tandis que le niveau *micro* est spatialement explicite et que cette prise en compte de l'espace a des répercussions sur le comportement du modèle.

3. Comparer la structure et le fonctionnement (entrées et sorties) des deux types de modèle, et comprendre leurs différences essentielles.

# A. Description du modèle de référence (ou modèle « *macro* »)

## Contexte et historique

Le modèle proie-prédateur a été initialement développé dans les années 1920 parallèlement par A. Lotka et V. Volterra pour représenter mathématiquement l'évolution croisée de 2 populations dont l'une est prédatrice de l'autre. En particulier, Volterra s'est intéressé aux problèmes d'équilibres entre espèces animales dans les écosystèmes sur la demande de son gendre, le zoologiste Umberto d'Ancona, qui s'occupait de statistiques de pêche dans le nord de la mer Adriatique et s'intéressait notamment au pourcentage de poissons prédateurs (Sélaciens) sur la période 1905-1923 (Ginoux 2006). Par la suite, une propriété caractéristique du modèle proie-prédateur proposé par Volterra (évolution cyclique ou périodique et déphasée des 2 populations) a été relativement bien observée sur les populations de lièvres polaires (herbivores) et de lynx (prédateurs des lièvres) au Canada à partir des statistiques de ventes de peaux de l'Hudson's Bay Company (Figure 30).
# Fiche pédagogique

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## Modèle
Proie-Prédateur

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<figure><img src="image_322.png" /><figcaption>**Figure 30.** Evolution des nombres de peaux de lièvres et de lynx au Canada selon les statistiques de l'Hudson's Bay Company (D'après Odum 1971)</figcaption></figure>

Dans une situation où il y a beaucoup de lièvres et peu de lynx, la population de lynx croît en présence d'une abondante nourriture, et corrélativement celle des lièvres diminue sous l'effet d'une prédation croissante. On arrive ensuite à une situation où les lynx, trop nombreux pour une nourriture raréfiée, voient leurs effectifs diminuer jusqu'à un point où les lièvres croissent à nouveau, ce qui conduit à la situation précédente. On est ainsi en présence d'un oscillateur naturel, avec une période de l'ordre de 10 ans.

Le modèle proie-prédateur a par la suite fait l'objet de diverses variantes destinées à mieux représenter la perception que l'on avait du processus.

## Éléments du modèle

Dans sa version la plus fondamentale, le modèle Proie-Prédateur calcule l'évolution de l'effectif de deux populations en fonction du temps, prenant en compte quatre processus :

1. une augmentation de la population des proies par reproduction en l'absence des prédateurs

2. une diminution de la population des proies du fait de la prédation par les prédateurs

3. une diminution de la population des prédateurs par manque de nourriture en l'absence de proies
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<figure><img src="image_324.png" /></figure>

4. une augmentation de la population des prédateurs par reproduction du fait de leur alimentation en proies

Le modèle *macro* est formalisé par un système de deux équations différentielles, décrivant la variation du nombre de proies et de prédateurs par pas de temps *dt* :

$$x'(t) = a.x(t) - b.x(t).y(t)$$

$$y'(t) = -c.y(t) + d.x(t).y(t)$$

*x(t)* : nombre de proies à l'instant *t*

*x'(t)* : variation du nombre de proies à l'instant *t* (dérivée de *x*)

*y(t)* : nombre de prédateurs à l'instant *t*

*y'(t)* : variation du nombre de prédateurs à l'instant *t* (dérivée de *y*)

*a* : taux de croissance des proies en l'absence de prédation (par unité de proie)

*b* : taux de mortalité des proies par prédation (par unité de proie et unité de prédateur)

*c* : taux de décroissance des prédateurs en l'absence de nourriture par prédation (par unité de prédateur)

*d* : taux de natalité des prédateurs grâce à la nourriture par prédation (par unité de prédateur et unité de proie)

La première équation exprime la variation de l'effectif des proies au cours du temps qui dépend d'une part de la croissance naturelle nette des proies (coefficient *a*, taux de natalité des proies en l'absence de prédateurs) et, d'autre part, de la mortalité par prédation (coefficient *b*, taux de mortalité des proies dû à la prédation). En l'absence de prédation, la population des proies augmente de manière exponentielle. Elle n'est pas dépendante de la présence d'une ressource. Cette hypothèse peut être acceptée dans la mesure où, du fait de la prédation, l'effectif des proies n'atteint pas une valeur telle que la disponibilité des ressources du milieu soit limitative.

La seconde équation exprime la variation de l'effectif des prédateurs au cours du temps qui dépend d'une part, de la décroissance naturelle des prédateurs en l'absence de proies (coefficient *c*, taux de mortalité des prédateurs en l'absence de proies) et d'autre part, de la natalité suite à la prédation (coefficient *d*, taux d'efficacité de la prédation sur la croissance des prédateurs). En l'absence
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de capture, la population des prédateurs diminuera jusqu'à extinction. Ceci repose sur l'hypothèse que le prédateur en question n'a pas d'autre nourriture que les proies.

Une représentation possible de ce modèle est la suivante. Cette représentation est notamment utilisée dans le module « system dynamics » de NetLogo :

<figure><img src="image_327.png" /><figcaption>**Figure 31.** Compartiments Proies et Prédateurs en interaction à travers la prédation</figcaption></figure>

## Propriétés qualitatives du modèle macro

### Trajectoires et oscillations cycliques des effectifs

La dynamique caractéristique du modèle se traduit par l'apparition d'oscillations décalées dans le temps de l'effectif des deux populations (cf. **Figure 32**): lorsque l'effectif des proies augmente (1 sur la **Figure 32**), la prédation augmente ce qui a pour conséquence d'augmenter l'effectif des prédateurs après un certain temps (2 sur la **Figure 32**). Cette augmentation a alors pour effet de diminuer l'effectif des proies (3 sur la **Figure 32**), s'ensuit une augmentation de la mortalité des prédateurs (4 sur la **Figure 32**). Ces représentations des quantités *x* et *y* au cours du temps s'appellent « séries temporelles».
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## Modèle
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<figure><img src="image_330.png" /><figcaption>**Figure 32.** Séries temporelles : évolution des effectifs des populations de proies (x) et de prédateurs (y) en fonction du temps</figcaption></figure>

Une autre représentation très utile est celle du « portrait de phase » qui permet de visualiser comment les effectifs des deux populations évoluent simultanément l'un par rapport à l'autre au cours du temps. La **Figure 33** fait apparaître différentes **trajectoires**. Chacune d'elle est associée à une simulation à partir d'un couple de conditions initiales ($x_0, y_0$).
<figure><img src="image_331.png" /></figure>

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<figure><img src="image_333.png" /><figcaption>**Figure 33.** Portrait de phase : trajectoires dans le temps des effectifs de prédateurs (y) (ici, des loups) et de proies (x) (ici, des moutons) (Calculées selon la méthode RK4)</figcaption></figure>
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## Modèle
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La continuité de ces trajectoires sur la figure symbolise la continuité du modèle théorique où les effectifs (x(t), y(t)) évoluent constamment au cours du temps, décrivant une courbe régulière et fermée sur elle-même. Ces courbes sont en fait composées d'une suite de points obtenus par des méthodes de discrétisations du problème continu dt donné (dt = 0,1 sur la figure 4). Plus le pas de temps est petit, plus l'approximation numérique se rapproche de la solution théorique du système d'équation (mais demande plus de calcul). Selon la méthode utilisée, la convergence est plus ou moins rapide. Nous utilisons (voir paragraphe suivant) la méthode dite de Runge et Kutta d'ordre 4 (ou RK4), dont la convergence est rapide [Vial 06].

## Périodicité et État d'équilibre (ou point fixe)

Lorsque l'on fait varier les conditions initiales (x₀, y₀) d'effectifs de proies et de prédateurs, les différentes trajectoires obtenues s'enroulent de manière concentrique autour d'un point particulier (xₑ, yₑ), correspondant à un point d'équilibre des effectifs (ou point fixe). Quelles que soient les conditions initiales, les trajectoires tournent toujours autour de ce point dont la position ne dépend que de la valeur des paramètres du modèle. Par contre, l'amplitude des fluctuations autour de ce point varie en fonction de la distance qui le sépare des conditions initiales (x₀, y₀).

La recherche et l'étude des points d'équilibres représente une partie importante de l'étude des systèmes dynamiques car c'est autour de ces points que s'organise le système. Ils permettent donc d'avoir une idée du comportement du modèle.

Un point d'équilibre est un point tel que si on choisit comme conditions initiales les coordonnées de ce point (x₀, y₀) = (xₑ, yₑ), on restera dessus. C'est donc un point pour lequel il n'y a pas de variation de l'état du système et donc pour lequel $dx/dt = 0$ et $dy/dt = 0$.

Un point d'équilibre ainsi identifié est caractérisé par sa « nature ». Ils peuvent par exemple être attractif ou répulsif (on dit aussi stable ou instable). Un point est attracteur si, pour les conditions initiales proches de ce point, la solution tend vers ce point. Il est en revanche répulseur si au contraire, pour des conditions initiales proches de ce point, les solutions s'en éloignent.

## Petit point technique

L'étude de cette stabilité de l'équilibre passe par l'étude des valeurs propres de la matrice jacobienne au point d'équilibre. Suivant le signe des valeurs propres, on sait si un point d'équilibre est attracteur ou non. Il existe donc une classification de la nature des points d'équilibres en fonction du signe des valeurs propres. Un point d'équilibre peut donc être un nœud stable ou
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instable, un foyer stable ou instable, un centre, un point selle..., et cette nature indique la façon dont le point d'équilibre attire ou repousse les trajectoires qui arrivent dans leur voisinage.

Étudions rapidement le cas du modèle de Lotka-Volterra.

Les points d'équilibres sont les valeurs de $x$ et $y$ vérifiant $dx/dt = 0$ et $dy/dt = 0$. Le calcul des points d'équilibre revient donc à résoudre le système :

$$ egin{cases} \frac{dx(t)}{dt} = x'(t) = \dot{x} = ax(t) - bx(t)y(t) \\ \frac{dy(t)}{dt} = y'(t) = \dot{y} = -cy(t) + dx(t)y(t) \end{cases} $$

La résolution de ce système nous donne ainsi deux point d'équilibres :

1. Point d'équilibre trivial : $(x_e = 0, y_e = 0)$.

2. Point d'équilibre de coexistence des espèces : $(x_e = c/d, y_e = a/b)$.

### Le point d'équilibre (0,0)

On dit qu'il est « trivial » parce qu'évident : si au départ on a 0 proies et 0 prédateurs, il est évident que l'on restera à 0 proies et 0 prédateurs. La question de sa stabilité reste néanmoins une question interessante. Que se passe-t-il si on arrive à proximité de ce point ? Que se passe-t-il si on a très peu de proies et de prédateurs ? Risque-t-on l'extinction des espèces ? Pour étudier ces questions, il est possible de suivre les étapes suivantes.

La matrice jacobienne du modèle de Lotka-Volterra (linéarisation du système non linéaire) est donnée par :

$$ J = \begin{pmatrix} a - by(t) & -bx(t) \\ dy(t) & dx(t) - c \end{pmatrix} $$
<figure><img src="image_338.png" /></figure>

<figure><img src="image_339.png" /></figure>

Au point d'équilibre (0,0), on a $J(0,0)$ :

$$J(0,0) = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -c \end{pmatrix}$$

On obtient les valeurs propres en résolvant le polynôme caractéristique :

$$Det(J(0,0), \lambda - 1) = \begin{vmatrix} a - \lambda & 0 \\ 0 & -c - \lambda \end{vmatrix} = (a - \lambda)(-c - \lambda) = 0$$

et les valeurs propres sont donc : $\lambda_1 = a > 0$ et $\lambda_2 = -c < 0$.

On a donc une valeur propre positive et une négative. D'après la classification, (0,0) est un point selle. C'est donc un point d'équilibre instable, et si on se trouve à proximité de ce point, celui-ci n'attirera pas la solution. Il n'y aura donc pas extinction des espèces. En revanche, il est également possible de montrer que, si l'on prend une condition initiale avec le nombre de proies nul, la trajectoire tend vers (0,0) (donc suivant l'axe des ordonnées, le point (0,0) est stable/attractif), et si l'on prend une condition initiale avec un nombre de prédateurs nul, le nombre de proies croît à l'infini (donc suivant l'axe des abscisses, le point (0,0) est instable).

Pour le second point d'équilibre ($x_e = c/d$, $y_e = a/b$), les valeurs propres sont :

$$\lambda_1 = i\sqrt{ac}$$

$$\lambda_2 = -i\sqrt{ac}$$

Ce sont donc deux valeurs propres imaginaires complexes conjuguées, ce qui nous indique que le point d'équilibre est un « centre », et nous assure que les trajectoires oscilleront autour de ce point.

Ces 2 résultats « théoriques » sont effectivement observés numériquement.

Notons que la stabilité des points d'équilibre ainsi que leur position ne dépend que des valeurs des paramètres. Ainsi, il est bon de noter que le choix de la valeur de ces paramètres est de grande importance, et des variations (même très petites) de certaines d'entre elles peuvent ainsi avoir de grandes conséquences sur le comportement qualitatif des solutions. C'est ce que l'on appelle des bifurcations.
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Ce type de trajectoire dans le plan de phase (avec leur amplitude) est important à avoir en tête pour la suite car le fait qu'elles soient fermées sur elles-mêmes traduit le comportement oscillatoire du système, se reproduisant à l'identique à l'issue d'une durée correspondant à la période des oscillations. Cette période T est calculable par la relation suivante :

$$T = \frac{2\pi}{\sqrt{a.c}}$$

Avec les paramètres de la Figure 4, la période T est de 21,2 ans.

On peut noter que cette période ne dépend que du taux de croissance des proies hors mortalité par prédation et du taux de décroissance des prédateurs hors alimentation par prédation. Elle est donc indépendante de l'interaction des populations à travers le processus de prédation.

De plus, comme indiqué précédemment, le caractère concentrique des trajectoires montre que plus les conditions initiales s'écartent du point fixe, plus l'amplitude de variation des effectifs sera importante au cours d'une période.

Un état d'équilibre correspond à une invariance des effectifs : les membres de gauche de chaque équation $x'(t)$ et $y'(t)$ sont donc nuls. Cette hypothèse conduit à résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues :

$$\begin{cases} 0 = a.x - b.x.y \\ 0 = -c.y + d.x.y \end{cases}$$

Si l'on exclut la solution inintéressante $x = y = 0$ (extinction des 2 populations), l'unique solution viable est : $x_e = c/d$ et $y_e = a/b$. Ce point fixe est visualisé dans le diagramme de phase ci-avant (Figure 33). Avec les paramètres de la figure, l'état d'équilibre est obtenu pour $x_e = 50 000$ moutons et $y_e = 350$ loups<fnref n="1" />.

<footnote n="1">1 Dans la suite de ce document, on utilisera des moutons pour les proies et des loups pour les prédateurs afin de concrétiser le propos.</footnote>
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L'attracteur $(x_e, y_e)$, est un point qui structure un espace appelé **bassin d'attraction**, ensemble de toutes les trajectoires qui s'organisent autour de lui. On voit qu'une trajectoire peut être en dehors de ce bassin si son origine $(x_0, y_0)$, se situe sur un des axes : par exemple $x_0 = 0$ (pas de moutons), le nombre de loups va décroître rapidement vers 0, la trajectoire converge vers (0,0). Si $y_0 = 0$ (pas de loups), le nombre de moutons va croître vers l'infini, la trajectoire est divergente. Par contre pour tout couple initial $(x_0, y_0)$ tel que $x_0 > 0$ et, $y_0 > 0$ la trajectoire associée tourne autour du point fixe.

B. Implémentation du modèle de référence

Une implémentation du modèle proie-prédateur est disponible dans la librairie NetLogo, dossier « Systems Dynamics », modèle « Wolf Sheep Predation (System Dynamics) ».

<figure><img src="image_344.png" /><figcaption>**Figure 34.** Interface du modèle proie-prédateurs version *macro* implémenté sous Netlogo</figcaption></figure>

La méthode numérique utilisée par défaut par ce module de Netlogo pour intégrer les équations différentielles est la méthode d'Euler (ou Runge Kutta d'ordre 1).

Les méthodes numériques d'intégration de systèmes dynamique sont basées sur une méthode de discrétisation des équations continues. Elles utilisent l'état précédent des variables pour calculer
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leur état courant (c'est d'ailleurs pour cela que seule la condition initiale suffit pour calculer toute l'évolution temporelle). L'erreur numérique est la différence entre la solution obtenue numériquement et la solution théorique (lorsque l'on peut la calculer analytiquement). Cette erreur s'accumule à chaque pas de temps au cours des simulations. Selon la méthode et la valeur du pas de discrétisation choisis, ces erreurs cumulées peuvent être négligeables ou au contraire fausser complètement les résultats obtenus. Plus la méthode est réputée précise, moins on a besoin d'avoir un petit pas de temps. Quelle que soit la méthode, le pas de temps est choisi en fonction de la dynamique du système (importance des variations des sorties relativement aux variations du temps).

Dans le modèle proie-prédateur de la librairie standard de NetLogo, la méthode numérique utilisée pour effectuer la résolution des équations différentielles est la méthode d'Euler. Elle provoque une divergence des calculs y compris pour des pas très petits. Ceci conduit parfois à une interprétation erronée de la dynamique. En effet, le risque est d'attribuer au modèle une divergence résultant d'erreurs d'intégration inhérantes à la méthode. Nous avons donc réalisé notre propre implémentation du modèle dans NetLogo (hors System Dynamics) en utilisant une méthode de résolution plus précise : la méthode « Runge-Kutta 4 » (RK4) utilisant à chaque pas 4 approximations de la valeur future (la 1ère approximation correspondant à la méthode « standard » d'Euler). Notre exemple permet de montrer que, même pour un système assez simple de seulement 2 équations avec 2 termes non linéaires, on peut observer des différences importantes dans les résultats du simple fait d'un mauvais choix de méthode.

## C. Exploration du modèle de référence

Dans cette partie, nous proposons aux utilisateurs de manipuler eux-même le modèle de référence (fichier « MAPS3-ProiePredateurinateur macrofichePedagogique ») et d'explorer le comportement de celui-ci en fonction de différentes valeurs des paramètres. Le modèle macro proposé intègre tous les paramètres évoqués précédemment, à savoir (Figure 35) :

- le taux de croissance des proies en l'absence de prédation (curseur nommé a)

- le taux de mortalité des proies par prédation (curseur nommé b).

- l'effectif initial des proies (curseur nommé « NbProiesInitial »)
<figure><img src="image_347.png" /></figure>

<figure><img src="image_348.png" /></figure>

- le taux de décroissance des prédateurs en l'absence de prédation (curseur nommé *c*)

- le taux de natalité des prédateurs suite à la prédation (curseur nommé *d*)

- l'effectif initial des prédateurs (curseur nommé « NbPredateursInitial »)

## Prise en main du modèle et comparaison des méthodes d'intégration

Après avoir appliqué les paramètres prédéfinis 1 et initialisé le modèle (cf. bouton setup) en sélectionnant la méthode de résolution d'Euler, lancez la simulation. Qu'observez-vous ?

On peut constater :

- le comportement cyclique des effectifs des proies et prédateurs avec un déphasage dans le temps (cf. graphique des populations).

- les trajectoires autour du point d'équilibre dans le diagramme de phase qui montrent une divergence progressive avec le temps suite à la méthode de discrétisation d'Euler (accumulation d'erreurs d'intégration à chaque pas de temps).

- les valeurs du point d'équilibre (cf. propriétés du modèle).

Dans les paramètres de contrôle de simulation, augmentez le pas de temps et relancez la simulation. Répétez l'opération. Que constatez-vous ?

Appliquez les mêmes simulations mais en choisissant la méthode d'intégration RK4. Observez les différences de résultats.
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<figure><img src="image_351.png" /><figcaption>**Figure 35.** Interface du modèle proie-prédateur version *macro* réimplémenté sous Netlogo</figcaption></figure>

Retenons que la méthode classique d'Euler reste utilisable dans le cas où les variations d'effectifs au cours d'un pas de temps restent faibles, ce que l'on peut toujours atteindre en diminuant le pas de temps, mais que cela multiplie évidemment la quantité de calculs.

## Mesure de l'influence des paramètres du modèle

Lancez une simulation en réduisant l'effectif initial des proies à zéro. Que montre le modèle ?

Changez ensuite de méthode d'intégration. Observez-vous toujours le même résultat ? Lancez une simulation en réduisant cette fois l'effectif des prédateurs à zéro. Que montre le modèle ?
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## Modèle
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Faites varier les effectifs des proies et prédateurs selon plusieurs jeux de paramètres afin d'explorer davantage le modèle. Observez-vous l'extinction d'une des deux populations pour des effectifs différents de zéro ?

Choisissez les paramètres prédéfinis 1 en adoptant ensuite les valeurs du point d'équilibre pour le nombre initial de proies (30) et le nombre initial de prédateurs (833). Ces valeurs peuvent être spécifiées facilement en choisissant d'éditer les curseurs avec le bouton droit de la souris (plutôt qu'en modifiant leur position). Que constatez-vous ?

## D. Description du modèle « micro »

A l'opposé de la formulation *macro* dans lequel on ne modélise que les effectifs de deux compartiments (*x* proies et *y* prédateurs) qui globalisent les individus, le modèle distribué est individus-centré, c'est-à-dire qu'il intègre des règles de comportement à l'échelle de chaque individu (des *agents*) et des interactions entre ceux-ci. C'est la version *micro* du modèle.

Les différences entre les versions *macro* et *micro* du modèle sont illustrées dans le tableau ci-dessous (cf. tableau 1).

<table><caption>**Tableau 6.** Comparaison des modèles *macro* et *micro*</caption><thead><tr><th>Système d'équations différentielles</th><th>Système Multi-Agent (SMA)</th></tr></thead><tbody><tr><td>ODE = Ordinary Differential Equations</td><td>ABM = Agent Based Model<br>IBM = Individual Based Model<br>IOM = Individual Oriented Model</td></tr><tr><td>Densités de population</td><td>Individus</td></tr><tr><td>Équations</td><td>Règles définissant les comportements (Si-alors, boucles, actions séquencées)</td></tr><tr><td>Généralement déterministe</td><td>Généralement stochastique (nombres pseudo-aléatoires)</td></tr><tr><td>Aspatial</td><td>Spatialement explicite</td></tr><tr><td>Homogénéité des variables d'état</td><td>Hétérogénéité des individus (âge, couleur, taille, position spatiale, ...)<br>Interactions locales entre individus et avec l'espace</td></tr></tbody></table>
# Fiche pédagogique

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Le modèle *micro* est spatialement explicite. Le passage à ce niveau d'analyse implique de spécifier les caractéristiques de l'espace qui est ici représenté en mode maillé. Il faut donc d'une part déterminer la résolution spatiale (taille de la cellule de la grille, étendue) et d'autre part, par voie de conséquence, la résolution temporelle (pas de temps). L'adéquation des résolutions spatiale et temporelle est primordiale puisqu'elle conditionne les règles de comportement (vitesse de déplacement, perception du voisinage, densité des populations, etc.). Le choix de ces échelles spatio-temporelles et l'implémentation de logiques locales permet alors de modéliser de manière plus intuitive un système connu et observé dans la « réalité ».

## Choix méthodologiques

### Principe de parcimonie

La **parcimonie** est un des principes de base de la modélisation des systèmes complexes. Elle tente de construire le modèle théorique ou technologique le plus simple possible qui réponde aux objectifs ou aux exigences du système réel à modéliser. Ainsi, un modèle parcimonieux est un modèle qui n'intègre que les processus clés rendant compte du phénomène à observer.

Dans la version *micro* de notre modèle proie-prédateur, afin que celui-ci soit le plus proche de la version *macro*, nous appliquerons ce principe de parcimonie en limitant autant que possible l'introduction de nouvelles hypothèses. Par exemple, nous écarterons volontairement toute idée de modélisation individualisée de la nutrition des moutons au dépend d'un environnement forcément limité, ou de sa reproduction, car ces processus ne sont pas représentés au niveau *macro* et ils provoqueraient une évolution de type logistique de la population des moutons. Le seul processus sur lequel nous préciserons de nouvelles hypothèses portera sur l'interaction de prédation (et donc la capacité des prédateurs à percevoir leurs proies avant capture). Chaque individu sera localisé et en mouvement, la prédation étant une interaction locale spatialisée.

### Choix de plusieurs temporalités

Le modèle *micro* est discret dans l'espace et dans le temps et introduit donc au moins une granularité de temps et d'espace. Les temporalités sont différentes selon les processus en jeu. Pour notre exemple, nous avons considéré que la reproduction des espèces s'effectue dans une période limitée dans le temps, avec une répétition annuelle. Pour le processus de prédation, les rencontres
# Fiche pédagogique

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entre prédateurs et proies peuvent s'effectuer quotidiennement. Les dynamiques de ces 2 processus s'opèrent donc selon des temporalités très différentes, ce qui nous a conduits à prendre en compte deux niveaux de temporalité. Dans l'optique de comparer les niveaux *micro* et *macro* et de voir l'effet de la prise en compte des interactions locales rapides (la prédation), il est nécessaire de tenir compte de deux échelles à la fois pour la simulation et pour son observation.

## Lien entre granularité spatiale et temporelle

La prédation peut mettre en jeu le déplacement des individus (surtout des loups), donc leur vitesse. La discrétisation de ce processus est de l'ordre de la seconde et ce pas de temps doit être mis en correspondance avec la granularité spatiale, puisque la vitesse est le rapport d'un nombre de pas de distance sur un pas de temps. Cette réflexion ancre ainsi le système artificiel autour d'hypothèses proches de phénomènes observables sur le terrain. Si le loup se déplace à 10 m/s, on peut lui associer par exemple un pas de 1m au pas de temps de 1s, mais si on prend une granularité de 1 km pour le même pas de temps, son déplacement devient chaotique, par à-coup de 1 km en moyenne une fois toute les 100s. Si l'on envisage de modéliser non pas la prédation par la course vers la proie, mais seulement par le fait de percevoir la proie dans un certain rayon d'action, la prédation devenant automatique dès qu'une proie et un prédateur sont distants de moins de 100m (par exemple), on peut alors augmenter le pas de temps (par exemple 1min).

La figure 7 ci-dessous illustre ces échelles d'observation avec les processus associés. Les processus n'impliquant pas d'interactions se déroulent aux échelles fixées par le pas de temps du niveau *macro*. Autrement dit, la croissance naturelle des proies et la mortalité naturelle des prédateurs sont déterminés par les valeurs des coefficients des équations différentielles à l'initialisation (*a* et *c*) et restent constants pendant toute la durée de la simulation. Les processus impliquant une interaction entre les proies et prédateurs se déroulent à une résolution spatiale et temporelle plus fine. Le taux de prédation (*b*) ainsi que le taux de natalité des prédateurs (*d*) sont calculés au cours de la simulation et sont reliés par un coefficient de proportionnalité (alpha = *d*/*b*) qui, lui, est fixé par le niveau *macro*.
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<figure><img src="image_360.png" /><figcaption>**Figure 36.** Liens entre granularités spatiales et temporelles</figcaption></figure>

D'une manière générale, la différence entre les niveaux *macro* et *micro* s'exprime par la présence des interactions locales. Par conséquent, pour rendre comparable les deux niveaux (i.e. comparer le taux de prédation dans les deux modèles, comparer les effectifs, etc.), seul l'effet des interactions locales est étudié. C'est ce qui explique que les paramètres *a* et *c* du modèle *macro* sont réutilisés au niveau *micro* (en adaptant les valeurs au pas de temps de la simulation) alors que le taux de prédation *b* et le taux de natalité des prédateurs *d* sont observés (et non fixés) et dépendent essentiellement des règles de mobilité des individus (déplacement, perception) tout en respectant le rapport de proportionnalité fixé par le niveau *macro*.

## E. Implémentation du modèle *micro*

Nous présentons dans ce qui suit deux schémas de type SADT (cf. Figures 8 et 9) qui montrent comment se décompose le système en différentes fonctionnalités (symbolisées par des boîtes) et
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quels sont les informations nécessaires en entrée et en sortie de ces différentes fonctionnalités,
c'est-à-dire ce qu'elles consomment et ce qu'elles produisent (les liens linéaires orientés). Nous
détaillons dans un premier schéma, la fonction de prédation.

<figure><img src="image_363.png" /><figcaption>**Figure 37.** Diagramme d'activité (SADT) de la prédation (pour tous les loups et toutes les proies)</figcaption></figure>
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<figure><img src="image_366.png" /><figcaption>Figure 38. Diagramme d'activité (SADT) global du modèle proies-prédateurs</figcaption></figure>
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<figure><img src="image_368.png" /></figure>

Choix d'implémentation

La structure du modèle *micro* implémenté sous NetLogo fait apparaître deux catégories d'agents : les proies et les prédateurs. Chaque catégorie d'agent a une vitesse de déplacement et un rayon de perception. Les agents sont capables de percevoir d'autres agents (proies et prédateurs) dans leur voisinage. Ces agents sont situés dans l'espace, sur des entités spatiales caractérisées par un type de couvert (boisé / non boisé). Le type de couvert est un élément qui influence la dynamique du modèle jouant sur la perception des proies par les prédateurs.

<figure><img src="image_369.png" /><figcaption>**Figure 39.** Diagramme de classes du modèle *micro* implémenté</figcaption></figure>

Le fonctionnement global du modèle *micro* avec les principaux processus est représenté en **Figure 39** (diagramme d'activités UML). Chaque processus est ensuite détaillé dans les figures 11 et 12.
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<figure><img src="image_372.png" /><figcaption>**Figure 40.** Principaux processus du modèle *micro* proie-prédateur avec leur ordre d'exécution.</figcaption></figure>
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<figure><img src="image_375.png" /><figcaption>**Figure 41.** Détails des processus généraux du modèle *micro*.</figcaption></figure>

F. Exploration du modèle *micro*

L'interface du modèle *micro* proposé est illustrée en **Figure 42** (Nota : dans un souci de diffusion
facilités, le modèle *micro* est implémenté en anglais). Ce modèle partage des paramètres avec le
modèle *macro* de référence et en particulier les valeurs des coefficients *a* (*sheep-born rate*, autrement
dit le taux de natalité des moutons), *c* (*wolf-die*, autrement dit le taux de mortalité des loups) et le
rapport *d/b* (*wolf-born rate*, c'est-à-dire le taux de natalité des loups) (cf. *Mathematical model
parameters*). Il possède également ses propres paramètres relatifs aux agents (*Agent-based model
parameters*) : la distance de prédation (*predating-distance*, la distance au-delà de laquelle la proie
n'est plus visible) et les vitesses de déplacement respectives des proies et prédateurs
(respectivement *sheep-speed* et *wolf-speed*). L'effectif des deux catégories d'agents correspond aux
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paramètres globaux du modèle (init. Sheep-pop pour initialiser le nombre de moutons et init. Wolves-pop pour les loups).

Les sorties du modèle permettent de suivre l'évolution des effectifs des deux populations au cours de la simulation (graphique *population* et graphique *sheep-wolf* correspondant au portrait de phase). Le taux de prédation peut également être suivi (*predation rate*) en plus d'un coefficient dit de vulnérabilité (*vulnerability coef*) : ce coefficient est le rapport quotidien du nombre de proies mangées sur le produit des effectifs de proies et de prédateurs ; on affiche également sa valeur moyenne depuis le début de la simulation, valeur qui correspond à l'équivalent du coefficient b du modèle *macro* (taux de mortalité des proies par prédation par unité de proie et unité de prédateur).

L'hétérogénéité spatiale peut par la suite être modifiée dans les paramètres d'hétérogénéité : en actionnant le bouton *heterogeneity* (placé sur « On » pour l'activer) puis en choisissant la densité du boisement (*wood-density*).

<figure><img src="image_378.png" /><figcaption>**Figure 42.** Interface du modèle *micro* sous Netlogo</figcaption></figure>
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## Prise en main du modèle

Initialisez le modèle en gardant les valeurs des paramètres par défaut et lancez la simulation. Observez la dynamique des deux populations ainsi que les graphiques de sortie.

## Mesure de l'influence des paramètres du modèle

Comme pour le modèle *macro*, lancez une simulation en réduisant l'effectif initial des proies à zéro. Que montre le modèle ? Et si à l'inverse c'est l'effectif des prédateurs qui est mis à zéro, qu'observez-vous ? Obtenez-vous les mêmes résultats que ceux du modèle *macro* ?

Choisissez à présent comme effectifs les valeurs du point d'équilibre du modèle *macro* (30 loups et 833 moutons). Observez le diagramme de phase et les courbes d'évolution des deux populations. Voit-on apparaître les oscillations cycliques des effectifs ?

Faites variez les effectifs des proies et prédateurs selon plusieurs jeux de paramètres afin d'explorer davantage le modèle. Dans quelles conditions observez-vous l'extinction des deux populations pour des effectifs différents de zéro ? Le résultat est-il le même au niveau *macro* ?

Modifiez à présent les autres paramètres des agents (distance de prédation, vitesses de déplacement) et tester leur impact sur le modèle.

## Mesure de l'influence de l'hétérogénéité spatiale

Dans le modèle exploré précédemment, l'espace est considéré comme homogène. Une proie est visible si elle est située dans le rayon de perception d'un prédateur. Quel sera l'impact sur la dynamique du modèle si on introduit à présent des espaces où les proies seront invisibles pour les prédateurs (zones de refuge) ?

Cette question peut être explorée en activant l'option *heterogeneity* (switch « On ») et en précisant la densité d'espace boisé (*wood-density*) que l'on souhaite. Les patchs de type boisé seront répartis
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aléatoirement dans l'espace et les proies situées à l'intérieur de ces patchs ne seront pas perçues par les prédateurs même si elles sont dans leur voisinage.

Testez différentes valeurs de paramètres afin de mesurer leur impact sur la réponse du modèle.

## Quelques résultats de simulation

Pour explorer le modèle et le poids des facteurs locaux « spatialement explicites », nous avons gardé pour chaque simulation les mêmes paramètres du modèle ainsi que les mêmes conditions initiales (effectifs) et avons fait uniquement varier deux facteurs : (1) la distance de prédation à laquelle un loup est capable de repérer un mouton et (2) l'organisation de la mosaïque paysagère à travers la densité des bois qui la composent et qui limitent la visibilité des proies (plus c'est dense et moins les prédateurs sont capables de repérer les proies, mêmes proches). Afin de représenter et de comprendre l'influence de ces variables, deux graphiques de différentes simulations (300 000 pas) sont proposés. Une première figure (

**Figure 43**) montre les plans de phases et une seconde (**Figure 44**) présente l'évolution des effectifs (oscillations). Pour ces deux figures, les graphiques sont construits comme suit : en ordonnée figure la distance de prédation et en abscisse, la densité de « bois », qui influence les capacités de prédation des loups (Karsai & Kampis, 2011).
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<figure><img src="image_385.png" /><figcaption>Figure 43. Plan de phases des différentes simulations en fonction de la densité de « bois »</figcaption></figure>
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Les plans de phases montrent que, lors du passage du *macro* au *micro*, on retrouve de manière générale les comportements oscillatoires du système et donc la « boucle » caractéristique. Pour une densité de bois donnée (lecture verticale), l'amplitude de la trajectoire de phase est minimale pour une valeur donnée de la distance de prédation, de l'ordre de 25m en l'absence de bois, et qui croît avec la densité des bois (mini à 30 m pour une densité de 30%, à 40 m pour 70%). Autour de ce minimum, l'amplitude croît lorsqu'augmente ou diminue la distance de prédation.

<figure><img src="image_388.png" /><figcaption>**Figure 44.** Evolution des effectifs des deux populations</figcaption></figure>
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Certaines « orbites » montrent également une tendance de leur amplitude à augmenter de cycle en cycle, traduisant une divergence mise plus clairement en évidence sur les diagrammes d'évolution des effectifs où il est possible d'observer l'augmentation d'amplitude des oscillations.

Les graphes des évolutions illustrent de manière différente le phénomène observé précédemment sur les plans de phase : à densité fixe, l'amplitude des oscillations diminue avec l'augmentation de la distance de prédation pour atteindre un minimum, puis elles augmentent ensuite avec la distance de prédation.

En réalité, la modification de la distance de prédation, tout comme celle de la densité des bois, déplace le « point central » des orbites du plan de phase (i.e. le couple des effectifs des proies et prédateurs correspondant à un équilibre des populations). Ces points d'équilibre correspondent aux simulations pour lesquelles l'amplitude des orbites dans le plan de phase est minimale. L'amplitude des oscillations est d'autant plus importante que le point initial de la simulation est éloigné du point d'équilibre : ainsi, les variations d'amplitude sont directement liées à la distance entre le point initial (qui est toujours le même, déterminé par les effectifs des proies et prédateurs à l'initialisation) et le point d'équilibre (dont la position dépend des paramètres étudiés qui déterminent les interactions locales).

Au niveau *macro*, les variations d'amplitude autour du point d'équilibre (de position constante) illustraient l'effet de conditions initiales différentes (figure 4). Au niveau *micro*, les conditions initiales restent les mêmes (dans les simulations effectuées) et c'est la position du point d'équilibre qui varie, en fonction des paramètres relatifs aux règles d'interactions (distance de prédation et densité de bois).

Le cas d'une distance de prédation de 45 m en l'absence de bois montre une possible extinction des populations : dans ce cas, l'augmentation des amplitudes (et donc la divergence) est telle qu'à un cycle donné, l'effectif des moutons atteint le 0, ce qui entraîne à son tour l'extinction inexorable des loups par absence de proies à manger. Une observation particulière a également pu être faite, dans le cas d'une distance de prédation de 40 m et d'une densité de bois de 5%, sur une simulation de 600 000 pas permettant d'observer davantage de cycle : la variation d'amplitude des cycles est non monotone, c'est-à-dire que l'amplitude du 3ème cycle est plus faible que le 2ème, mais augmente à nouveau sur le 4ème. Il est possible d'enchaîner des cycles d'amplitude légèrement différentes en raison de l'aspect stochastique des prédations de moutons par des loups.
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## G. Conclusion

Cette fiche pédagogique a pour objectif d'illustrer une démarche de modélisation autour d'un classique du domaine de la dynamique des populations : le modèle Proie-Prédateur. Si des modèles peuvent être rapidement construits sur la base de ce phénomène oscillatoire reconnu entre deux populations, les manières de le penser et de le modéliser sont nombreuses. Nous nous sommes attachés ici à fournir deux versions, l'une à l'échelle des populations (niveau *macro*) et l'autre à l'échelle des individus (niveau *micro*). Ces deux implémentations ne sont pas indépendantes : certains paramètres du modèle *micro* sont fixés par le modèle *macro*. De cette manière, nous avons pu mesurer l'influence des seules interactions locales sur le comportement global du modèle. La modélisation des processus au niveau *micro* impose une réflexion préalable sur le choix des granularités temporelles et spatiales, contrairement au niveau *macro* qui est aspatial et atemporel. Pour le niveau *macro*, c'est la méthode de résolution numérique des équations différentielles qu'il convient de bien choisir au risque de faire apparaître un comportement divergent uniquement lié à l'imprécision de la méthode. Ce sont ces choix d'implémentation et l'articulation entre les deux niveaux d'analyse qui distinguent les modèles proposés de ceux fournis dans la librairie de NetLogo.

## H. Bibliographie

* Ginoux J. M., 2005, *Stabilité de Systèmes Dynamiques Chaotiques et Variétés Singulières*, Thèse Université de Toulon.

* Karsai I., and G. Kampis; 2011, “Connected Fragmented Habitats Facilitate Stable Coexistence Dynamics”. *Ecological Modelling* 222(3): 447–455.

* Odum E.P. 1971. *Fundamentals of Ecology*. 3rd edition. Saunders, West Washington Square, Philadelphia, Pa, USA.

* Tissue S., et U. Wilensky. 2004, “NetLogo: A simple environment for modeling complexity”, p. 16-21 dans *International Conference on Complex Systems*.
Fiche pédagogique

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Modèle
Proie-Prédateur

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Vial G., 2011, "Le système proie-prédateur de Volterra-Lotka", Site de l'Ecole Centrale de Lyon, http://gvial.org/PagePro/Docs/Files/CpltAgreg/volterra.pdf.

Wilensky U., K. Reisman. 2006, “Thinking like a wolf, a sheep, or a firefly: Learning biology through constructing and testing computational theories—an embodied modeling approach”. *Cognition and Instruction* 24(2):171-209.
## Fiche pédagogique

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## Modèle Résilience

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**Domaine d'application** : géographie, économie, écologie

**Spécificité pédagogique** : notion de résilience illustrée par un modèle multi-agents (adaptation du modèle SugarScape)

**Niveau modélisation requis** : débutant

**Nom du modèle associé** : Résilience

**Version de NetLogo nécessaire** : 5.0

**Auteurs** : Nicolas Becu (UMR LIENSs, La Rochelle), Baptiste Blanpain (IDEES, CNRS, Rouen), Françoise Duraffour (UMR PRODIG, Paris), Clara Schmitt (Géographie-Cités, Paris)

# RESILIENCE

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TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td><b>A. CONTEXTUALISATION DU MODÈLE</b></td><td><b>177</b></td></tr><tr><td><u>La notion de résilience</u></td><td>177</td></tr><tr><td><b>B. DÉFINITION DU MODÈLE</b></td><td><b>179</b></td></tr><tr><td><u>Le modèle Sugarscape</u></td><td>179</td></tr><tr><td><u>Les amendements pour le modèle Sugarscape-Résilience</u></td><td>180</td></tr><tr><td><u>Les enjeux de l'exploration du modèle Sugarscape-Résilience pour l'illustration de la notion de résilience</u></td><td>181</td></tr><tr><td><b>C. FONCTIONNEMENT DU MODÈLE</b></td><td><b>181</b></td></tr><tr><td><b>D. EXPLORATION DU MODÈLE</b></td><td><b>182</b></td></tr><tr><td><u>Exercice 1 : Prise en main du modèle</u></td><td>183</td></tr><tr><td><u>Exercice 2 : Evaluer la viabilité du système</u></td><td>184</td></tr><tr><td><u>Exercice 3 : Evaluer l'effet de la rigidité du système (taxe) sur sa résilience</u></td><td>186</td></tr><tr><td><u>Exercice 4 : Evaluer la capacité d'adaptation des individus via la stratégie du changement de rôle</u></td><td>187</td></tr><tr><td><u>Exercice 5a : Pour aller plus loin sur la notion de résilience</u></td><td>190</td></tr><tr><td><u>définir le potentiel du système</u></td><td>190</td></tr><tr><td><u>Exercice 5b : Pour aller plus loin dans la programmation : découvrir le code informatique du modèle et modifier ses paramètres</u></td><td>190</td></tr><tr><td><b>E. CONCLUSION</b></td><td><b>190</b></td></tr><tr><td><b>F. BIBLIOGRAPHIE</b></td><td><b>192</b></td></tr></table>
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La notion de résilience d'un système donne une façon de concevoir et d'expliquer des cycles successifs d'apparition et de disparation d'entités et de structures d'un système. Cette notion se comprend avant tout par rapport à un choc. Holling (Holling C. S. 1973) l'a définie comme la capacité d'un système à revenir après un choc ou une perturbation extérieure à l'état du système précédent le choc. Différentes définitions ont été données de la résilience, différents usages en ont été faits, ce qui rend cette notion difficile à aborder. L'objet de cette fiche est de guider l'apprenant dans la compréhension et l'appropriation de cette notion. Nous nous limiterons uniquement à la définition proposée par Holling et nous proposons d'utiliser la simulation et l'expérimentation multi-agents pour appréhender cette notion.

# A. Contextualisation du modèle

## La notion de résilience

Holling a développé son approche de la résilience en se basant sur la description de systèmes écologiques (Holling C. S. 1973). Cette notion et les concepts qui l'accompagnent ont été étendus par la suite à des systèmes sociaux et économiques, par Holling (Holling C.S 2001) ou par d'autres auteurs (Simmie & Martin R. 2010, Martin & Sunley P. 2006). Ainsi en économie, la résilience est définie par la capacité à revenir sur la trajectoire de croissance après avoir encaissé un choc.

Nous allons explorer à travers cette fiche et le modèle multi-agents qui l'accompagne, certaines des propriétés qui permettent à un système de se remettre ou non d'un choc. Ces propriétés se limitent à celles proposées dans la définition de la résilience de Holling. Elles sont au nombre de trois : le potentiel d'un système, la capacité d'adaptation des entités qui le composent et sa rigidité. En nous appuyant sur une extension du modèle Sugarscape (Li, J. and Wilensky, U. 2009), nous abordons dans cette fiche ces dernières propriétés.

Avant tout, pour pouvoir étudier un système et sa résilience, il convient de donner une définition du **système étudié et de son état**. La résilience d'un système s'observe à l'échelle de ce système uniquement, et il est nécessaire de définir l'état du système pour reconnaître sa résilience. Un
## Fiche pédagogique

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observateur peut définir un état du système et de sa dynamique à partir d'indicateurs qui le caractérisent.

Le potentiel d'un système peut s'apparenter à sa santé à un moment donné. Ce potentiel définit la limite de ce qui est possible à un moment donné et « l'ampleur / le niveau » de perturbation qu'un système peut absorber avant qu'il ne s'écroule. On peut donner l'exemple de la pêche systématique dans un lac : elle diminue progressivement le potentiel de l'écosystème, défini ici par la taille de la population de poissons, tant et si bien que lorsqu'une catastrophe survient et tue un trop grand nombre d'individus, l'écosystème s'effondre. La pêche fait baisser le potentiel du système en réduisant la population de poissons, et si cette population passe en dessous d'un certain seuil, le système devient incapable de retrouver une population de poissons qui s'auto-entretienne. Dans le domaine économique, on peut par exemple illustrer ce potentiel par le nombre d'entreprises et la diversité des secteurs qu'elles couvrent.

La rigidité d'un système se définit par les interdépendances qui existent entre les entités d'un système. La chaîne alimentaire est un exemple d'interdépendance entre espèces. Une entreprise et ses fournisseurs est également une autre illustration de cette interdépendance. Holling avance qu'à partir d'un certain seuil d'interdépendance entre les entités d'un système, le système va être moins à même de se remettre d'un choc, car la disparition de l'une de ses composantes entraîne la disparition de l'autre. Ainsi, la disparition du plancton dans un lac va entraîner la disparition d'espèces qui se nourrissent exclusivement de plancton. De même, un dysfonctionnement à la tête d'une administration extrêmement centralisée a des répercussions sur l'ensemble du territoire administré.

La capacité d'adaptation des composantes d'un système représente leur faculté à réagir de manière différenciée lorsqu'un événement survient. En écologie, c'est par exemple une adaptation du régime alimentaire. En économie, ce pourrait être la capacité d'innovation d'une entreprise. Il est important de distinguer la capacité d'adaptation des entités qui composent le système, de l'adaptation du système à un choc. De l'adaptation des individus à un changement du système dans lequel ils évoluent, va soit émerger la résilience du système lui-même, soit sa « perte ». C'est l'interaction des adaptations au niveau individuel qui va conditionner la résilience ou non du système.
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## B. Définition du modèle

### Le modèle Sugarscape

Dans le chapitre 2 du livre *Growing Artificial Societies: Social Science from the Bottom Up* (Epstein J. M. and Axtell R. 1996), Epstein et Axtell ont décrit le modèle Sugarscape. Celui-ci cherche à explorer le processus qui conduit à l'inégale distribution de la richesse dans une population : à partir d'une distribution égalitaire de la richesse, la simulation évolue vers une distribution dans laquelle une minorité de la population possède une richesse au-dessus de la moyenne du système et une majorité possède une richesse beaucoup plus faible. Sugarscape est un modèle de simulation individus-centré de sociétés artificielles, qui fait évoluer une population hétérogène d'agents dans un environnement (une grille à deux dimensions) où du sucre, symbolisant la ressource, pousse de façon continue mais est réparti de façon hétérogène dans l'espace. A chaque itération, les agents regardent autour d'eux, trouvent la cellule la plus proche et la plus riche en sucre, l'atteignent, récoltent le sucre et en consomment.

Li et Wilensky (Li, J. and Wilensky, U. 2009) ont construit une version simple de ce modèle sous NetLogo : chaque patch contient du sucre, dont la quantité maximale est prédéterminée. A chaque itération, chaque cellule retrouve une unité de sucre jusqu'à atteindre la quantité maximale. La quantité de sucre accessible à une itération donnée est indiquée par la couleur : plus le jaune est foncé plus la quantité de sucre est grande. A l'initialisation de la simulation, les agents sont répartis de façon aléatoire dans l'environnement. Les agents ne peuvent voir qu'à une certaine distance. A chaque itération, les agents scrutent les alentours dans leur champ de vision, bougent vers la cellule inoccupée la plus proche et qui contient le plus de sucre, et collectent le sucre présent. Si la cellule sur laquelle ils sont est la plus avantageuse, ils restent sur place et collectent le sucre qui y repousse. Les agents sont capables de construire des réserves de sucre, mais ils utilisent, et donc perdent, à chaque itération une certaine quantité de sucre qui correspond à leur métabolisme. Si un agent consomme tout son sucre, il meurt. Chaque agent a un âge maximum, qui lui est attribué de façon aléatoire entre 60 et 100 ans, et meurt lorsqu'il atteint cet âge.
## Fiche pédagogique

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## Les amendements pour le modèle Sugarscape-Résilience

Le modèle Sugarscape (Sugarscape 3 Wealth Distribution) accessible par la librairie NetLogo a ensuite été amendé pour donner un support d'illustration à la notion de résilience. Il s'agit, dans cette nouvelle version, nommée Sugarscape-Résilience, d'introduire de nouveaux mécanismes pour refléter les concepts inhérents à la résilience.

Deux rôles comportementaux d'agents ont été introduits : les récoltants et les rentiers. Les récoltants ramassent le sucre de la même manière que décrite précédemment. Il doit par ailleurs verser une taxe à l'agent rentier qui se trouve le plus proche de lui. S'il n'existe aucun rentier, le récoltant ne verse aucune taxe. Les rentiers ne sont pas capables de ramasser le sucre et ne peuvent donc constituer leur réserve de sucre qu'à partir des taxes ponctionnées sur les récoltes des agents récoltants. A l'initialisation, 20% des agents créés sont de la catégorie des rentiers. La taxe est modulable via l'interface du modèle grâce au paramètre **Taxe**.

Le switch **Avec-changement-Rôle**, active un mécanisme qui autorise les agents à passer d'un rôle comportemental (rentier ou récoltant) à l'autre. Il est ainsi possible pour un agent de passer du rôle de récoltant à celui de rentier lorsque la provision personnelle dépasse les 45 sucres. Inversement, un rentier prendra le rôle de récoltant lorsque sa provision personnelle passera en dessous des 15 sucres.

Les agents naissent et meurent. Quelle que soit leur catégorie, la plupart des agents (80% d'entre eux) peuvent se reproduire s'ils ont dépassé le seuil de reproduction (fixé à 40 sucres). Se reproduire leur coûte une énergie de 5 sucres redistribuée à son descendant.

Afin de tester et évaluer la capacité de résilience du système, nous avons introduit un mécanisme de catastrophe qui perturbe le fonctionnement du système. La catastrophe peut être d'ampleur faible, moyenne, forte ou très forte (cataclysme). Lorsqu'une catastrophe est déclenchée, grâce à un bouton de l'interface, tout le paysage de sucre est détruit, il ne reste donc plus de sucre à récolter. De plus, le sucre ne recommence à pousser qu'au bout d'un nombre d'itérations déterminé, de 8 pour les catastrophes de
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faible ampleur à 60 pour les cataclysmes. Les agents sont alors obligés de survivre à partir de leur réserve de sucre constituée précédemment.

## Les enjeux de l'exploration du modèle Sugarscape-Résilience pour l'illustration de la notion de résilience

Le mécanisme de catastrophe permet d'imposer un choc au système, de perturber son équilibre, et ainsi d'observer sa réaction. Le système est-il capable de retrouver un équilibre proche de l'équilibre avant la catastrophe (même population d'agents, même proportion de types d'agents, même formes de répartition de la richesse) ? De trouver un nouvel équilibre ? Ou au contraire de s'effondrer (disparition totale des agents) ? Au bout de combien d'itérations ?

Comment définir le potentiel de notre système et le seuil par-delà lequel le système est résilient ou non ?
Est-ce la richesse présente dans le système ? Sa répartition au sein de la population ?

Les réactions du système à la suite d'une catastrophe sont-elles dépendantes de la capacité adaptative des populations, c'est-à-dire la capacité des agents à changer de stratégie comportementale ?

## C. Fonctionnement du modèle

Ce modèle a trois paramètres d'entrée principaux : la taxe permet d'appréhender le degré de dépendance entre les rentiers et les récoltants et de tester la viabilité du système. Le switch **Avec-changement-Rôle** ? permet aux agents d'adopter une stratégie de résilience et de mieux résister aux catastrophes. Enfin, il est possible de tester le degré de résistance du système en lançant des chocs ou catastrophes plus ou moins fortes.

En fonction de ces trois paramètres, on observe une résilience plus ou moins forte du système, qui peut soit s'effondrer, soit trouver de nouveaux équilibres.
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## D. Exploration du modèle

Les exercices suivants illustrent les principaux aspects conceptuels relatifs à la notion de résilience et explorent les mécanismes du modèle.

<table><thead><tr><th>Propriétés de la résilience</th><th>Mécanisme du modèle</th><th>Exercice</th></tr></thead><tbody><tr><td>Définition de l'état du système</td><td>Les indicateurs :<ul><li>population globale,</li><li>sa répartition en % (rentiers/récoltants),</li><li>indice de Gini (degré d'inégalité de la distribution de la richesse variant de 0 à 1.0 signifie l'égalité parfaite ; 1 signifie l'inégalité totale. L'indice de Gini se calcul à partir de la courbe de Lorenz),</li><li>richesse moyenne des rentiers,</li><li>richesse moyenne des récoltants.</li></ul></td><td>Exercice 1</td></tr><tr><td>Viabilité du système</td><td>Taille de la population et sa répartition</td><td>Exercice 2</td></tr><tr><td>Rigidité du système</td><td>Variation de la taxe</td><td>Exercice 3</td></tr><tr><td>Capacité d'adaptation du système</td><td>Comportement adaptatif (Avec-Changement-Rôle ?)</td><td>Exercice 4</td></tr></tbody></table>

Les exercices 5a et 5b proposent d'aller plus loin dans la notion de résilience et de parcourir le code informatique et de modifier un de ses paramètres.
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## Exercice 1 : Prise en main du modèle

**Paramétrage** : Sans changement de rôle et sans catastrophe

**A faire** : Faire varier la taxe de 0,05 à 0,20 et noter l'état du système après qu'il se soit stabilisé (au bout par exemple de 2000 itérations) dans le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>Taxe</th><th>0,05</th><th>0,10</th><th>0,20</th></tr></thead><tbody><tr><th>Gini</th><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Population totale</th><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>% rentiers</th><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>% récoltants</th><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Provision moyenne rentiers</th><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Provision moyenne récoltants</th><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

**Résultats et analyse** :

Vous constatez que, pour une taxe inférieure à 0,30 les rentiers sont dépendants des récoltants et que les récoltants sont dépendants de la ressource. Lorsque la taxe augmente, vous constatez que :

- le système est de plus en plus inégalitaire (indice de Gini) ;

- il y a de plus en plus de rentiers ;

- les rentiers sont de plus en plus riches en sucre ;

- la provision moyenne des récoltants stagne mais à un niveau très bas : ces récoltants, nombreux et donc en concurrence pour se partager la ressource disponible, sont fragiles et le système peu résilient (ce que vous pourrez vérifier avec l'exercice suivant).
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Une taxe de 30% ou plus est trop forte et rend le système non viable, puisque le récoltant épuise toutes ses réserves en métabolisme et en taxe et ne parvient pas à subsister. Si tous les récoltants meurent, les rentiers n'ont plus de moyens pour subsister et meurent à leur tour.

## Exercice 2 : Evaluer la viabilité du système

**Paramétrage** : Sans changement de rôle et sans catastrophe

**A faire** : Faire varier le taux de taxation (par exemple prendre cinq valeurs [0,05 ; 0,10 ; 0,20 ; 0,30 ; 0,40]) et constater ou non la viabilité du système.

**Résultats et analyse** :

Deux états peuvent être constatés :

* système viable = les rouges et les bleus vivent.

* Système non viable (ou effondrement) = les rouges et les bleus meurent

<table><thead><tr><th>Taxe</th><th>0,05</th><th>0,10</th><th>0,20</th><th>0,30</th><th>0,40</th></tr></thead><tbody><tr><th>Observations</th><td>Système viable</td><td>Système viable</td><td>Système viable</td><td>Système plutôt viable (rares effondrements) avec parfois de nouveaux équilibres</td><td>Effondrement</td></tr></tbody></table>

Lorsque la taxe est inférieure à 0,30, le système est viable (c'est-à-dire qu'un équilibre stable perdure). Les bleus ne sont pas trop ponctionnés et les rouges perçoivent suffisamment de provisions pour subvenir à leurs besoins. Par contre une taxe élevée (0,40) accentue la dépendance entre les bleus et les rouges et les appauvrit. Dans ce cas, le récoltant épuise toutes ses réserves en sucre et finit par ne plus pouvoir subvenir à ses besoins, puis meurt. Si tous les récoltants meurent, les rentiers n'ont plus les moyens de subsister puisqu'ils ne reçoivent plus de taxe des bleus : ils meurent donc à leur tour et le système s'effondre (il n'est pas viable).
## Fiche pédagogique

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## Modèle Résilience

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<figure><img src="image_420.png" /><figcaption>Figure 45. Le système est viable à 0.05</figcaption></figure>

<figure><img src="image_421.png" /><figcaption>Figure 46. Le système s'effondre à 0.40</figcaption></figure>
# Fiche pédagogique

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## Modèle Résilience

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## Exercice 3 : Evaluer l'effet de la rigidité du système (taxe) sur sa résilience

**Paramétrage** : Sans changement de rôle, avec catastrophe

**A faire** : Faire varier le taux de taxation (par exemple prendre trois valeurs [0,05 ; 0,10 ; 0,30]), attendre que le système se stabilise et lancer une petite catastrophe. Faire ensuite la même opération avec une moyenne catastrophe, et enfin avec une grande. Pour chaque cas, examiner l'équilibre obtenu après la catastrophe et interpréter le par rapport à la notion de résilience.

**Résultats et analyse** :

Trois types de réponse du système suite à une catastrophe peuvent être observés :

1. Système résilient = les rouges et les bleus survivent et on retrouve l'équilibre d'avant la catastrophe

2. Nouvel équilibre = les rouges meurent et il ne reste que des bleus.

3. Effondrement = les rouges et les bleus meurent

<table><thead><tr><th>Taxe</th><th>0,05</th><th>0,10</th><th>0,20</th><th>0,30</th></tr></thead><tbody><tr><th>Petite catastrophe</th><td>Résilient</td><td>Résilient</td><td>Résilient (nouveaux équilibres à partir de 0,28)</td><td>Résultats variables : surtout des nouveaux équilibres, quelques effondrements, quelques cas de résilience.</td></tr><tr><th>Moyenne catastrophe</th><td>Résilient</td><td>Résilient</td><td>Résilient</td><td>Effondrement fréquents alternant avec des nouveaux équilibres.</td></tr><tr><th>Grande catastrophe</th><td>Effondrements fréquents avec des cas d'obtention d'un nouvel équilibre.</td><td>Effondrements très fréquents, et quelques cas d'obtention d'un nouvel équilibre.</td><td>Effondrements</td><td>Effondrements – quelques rares nouveaux équilibres</td></tr></tbody></table>
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<figure><img src="image_426.png" /><figcaption>**Figure 47.** Un nouvel équilibre apparaît après une catastrophe moyenne (taxe à 0.30)</figcaption></figure>

Vous constatez que plus la taxe est élevée, plus le système est sensible à une catastrophe et est susceptible de s'effondrer.

L'augmentation du taux de taxation accroît la dépendance des bleus envers les rouges. Les résultats de cette expérience peuvent illustrer le concept de **rigidité** du système. Plus il y a de taxe, plus la dépendance entre les rouges et les bleus est forte : le système devient plus contraignant, plus rigide et moins résilient.

## Exercice 4 : Evaluer la capacité d'adaptation des individus via la stratégie du changement de rôle

**Paramétrage** : Avec changement de rôle et avec catastrophe
# Fiche pédagogique

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## Modèle Résilience

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**A faire** : Faire varier le taux de taxation (par exemple prendre quatre valeurs [0,05 ; 0,01 ; 0,2 ; 0,3]), attendre que le système se stabilise et lancer une petite, une moyenne et une grande catastrophe, puis un cataclysme. Pour chaque cas, examiner l'équilibre obtenu après la catastrophe et interpréter le par rapport à la notion de résilience.

## Résultats et analyse :

<table><thead><tr><th>Taxe</th><th>0.05</th><th>0.10</th><th>0.20</th></tr></thead><tbody><tr><td>Petite catastrophe</td><td>Résilient</td><td>Résilient</td><td>Résilient</td></tr><tr><td>Moyenne catastrophe</td><td>Résilient</td><td>Résilient</td><td>Résilient</td></tr><tr><td>Grande catastrophe (durée 20)</td><td>Résilient malgré quelques cas d'effondrement</td><td>Résilient</td><td>Résilient</td></tr><tr><td>Très grande catastrophe (durée 40)</td><td>Effondrements avec quelques cas de résilience</td><td>Résilient avec quelques cas d'effondrements</td><td>Résilient</td></tr><tr><td>Cataclysme (durée 60)</td><td>Effondrement</td><td>Effondrement</td><td>Effondrement et quelques cas de résilience.</td></tr></tbody></table>
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<figure><img src="image_431.png" /><figcaption>**Figure 48.** Même avec une grande catastrophe et grâce à la stratégie du changement de rôle, le système est résilient</figcaption></figure>

Si vous comparez le comportement du système avec et sans changement de rôle, vous constatez que le système est beaucoup plus résilient lorsque cette stratégie de changement de rôle est adoptée.

Dans ce cas, le système ne s'effondre plus même s'il subit des catastrophes petites, moyennes ou très rarement s'il subit de grandes catastrophes.

Le système n'est cependant pas assez résilient pour résister à des catastrophes de très grande ampleur, de type cataclysme. Le seuil de 40 (catastrophe qualifiée de « très grande ») est le seuil maximal que peut supporter le système.

Ainsi, la capacité d'adaptation individuelle qui consiste, dans certaines conditions, à changer de rôle (du rentier au récoltant ou l'inverse) accroît fortement la résilience du système, jusqu'à un seuil correspondant à une très grande catastrophe.
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### Exercice 5a : Pour aller plus loin sur la notion de résilience : définir le potentiel du système

**A faire** : En manipulant le modèle et en s'appuyant sur les indicateurs disponibles sur l'interface, quelles sont les états du système et les indicateurs *micro* et *macro* qui permettent de prédire si le système est résilient ou pas ?

### Exercice 5b : Pour aller plus loin dans la programmation : découvrir le code informatique du modèle et modifier ses paramètres.

Le code de ce modèle est accessible lorsque vous cliquez sur le troisième onglet « code ». Il est composé de procédures dont la liste s'affiche à partir de l'onglet « procédures ».

**A faire** : Changer la taille initiale de la population, initialement fixée à 200.

**Solution** : Aller dans la procédure d'initialisation du modèle appelée « setup » et changer la valeur de la variable initial-population. Vous pouvez alors relancer une simulation dont vous constatez qu'elle prend en compte cette nouvelle valeur.

**A faire** : Changer la forme (représentation graphique) des récoltants et des rentiers.

**Solution** : Aller dans la procédure « turtle-setup » et changer la valeur de la variable shape en "person". L'ensemble des formes possibles et leur nom sont disponibles dans le menu Tools\Turtle Shapes Editor.

## E. Conclusion

Une visualisation simple et efficace de la notion de résilience
## Fiche pédagogique

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Collectif MAPS

## Modèle Résilience

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Mai 2014

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Le modèle permet de visualiser la notion de résilience. Dans le cas d'un système résilient, après une catastrophe, on voit le système repartir, des agents des deux catégories de plus en plus nombreux, jusqu'à une stabilisation de la population globale et par catégorie, traduction d'un nouvel équilibre stable.

A l'inverse, l'interface permet aussi de visualiser des cas de non-résilience et d'effondrement : les agents disparaissent de la grille et le système s'arrête.

### Des paramètres d'entrée peu nombreux et simples à appréhender

Trois paramètres seulement permettent de tester le modèle et le concept de résilience : la taxe, l'adaptation des individus, le niveau de catastrophe.

La taxe exprime la dépendance entre les deux groupes d'agents rentiers et récoltants. Les rentiers ne peuvent vivre que s'ils reçoivent la taxe que leur versent les récoltants, eux-mêmes fragilisés par le versement d'une taxe trop élevée.

Le modèle propose une stratégie d'adaptation des individus, simple à appréhender : il s'agit de la possibilité de changer de rôle/statut en fonction de sa « richesse » ; avec ce comportement adaptatif, il est aisé de constater que les cas d'effondrement sont beaucoup moins fréquents, sauf dans le cas d'une très grande catastrophe.

Le modèle propose enfin un paramétrage du niveau de la catastrophe (faible, moyenne, forte,...). Il permet de tester de manière simple le degré de « résistance » du système et donc de savoir s'il est peu, faiblement ou très résistant.
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F. Bibliographie

Epstein J. M. and Axtell R., 1996, Growing Artificial Societies: Social Science from the Bottom Up, MIT Press.

Jansen M., 2011, Resilience and adaptation in the governance of social-ecological systems, *International Journal of the Commons*, vol 5, n°11, 340-345

Holling C. S. 1973, “Resilience and stability of ecological systems”. *Annual reviews of ecological systems*, 4:1-23.

Holling C. S., 2001, “Understanding the complexity of economic, ecological, and social systems”. *Ecosystems*, 4:390-405.

Li J. and Wilensky U. 2009, NetLogo Sugarscape 3 [Wealth Distribution model]. Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling, Northwestern University, Evanston, IL.

Martin R. and Sunley P. 2006, “Path dependence and regional economic evolution”. *Journal of economic geography*, 6: 395-437.

Simmie J. and Martin R. 2010, “The economic resilience of regions: towards an evolutionary approach”. *Cambridge journal of regions, economy and society*, 3:27-43.

Wilensky U. 1999, [NetLogo](http://www.netlogo.org). *Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling*, Northwestern University, Evanston, I.
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**Domaine d'application** : Géographie, écologie

**Spécificité pédagogique** : Les apports d'un automate cellulaire au territoire

**Niveau du public visé** : Débutant

**Nom du modèle correspondant** : m6BS-GV-cali

**Version NetLogo nécessaire** : 5.0.5

**Auteurs** : Etienne Delay (GEOLAB, Limoges), Romain Reulier (LETG, Caen), Aurélie Gaudieux (C3EDM, Madagascar), Hugo Thierry (UMR DYNAFOR, Toulouse), Marion Amalric (UMR CITERES, Tours), Marta Debolini (EMMAH, Avignon), Arnaud Banos (Géographie-Cités, Paris)

## Modèle Sisbio

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TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td><u>A. DÉFINITION DU MODÈLE</u></td><td>197</td></tr><tr><td><u>B. CONTEXTUALISATION DU MODÈLE</u></td><td>197</td></tr><tr><td><u>C. FONCTIONNEMENT DU MODÈLE</u></td><td>199</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">Vue d'ensemble</td><td>199</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">Processus et ordonnancement</td><td>201</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">Détails</td><td>204</td></tr><tr><td><u>D. EXPLORATION DU MODÈLE</u></td><td>205</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">Manipulation du modèle</td><td>205</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">Exploration de l'espace des paramètres</td><td>210</td></tr><tr><td><u>E. CONCLUSION</u></td><td>214</td></tr><tr><td><u>F. BIBLIOGRAPHIE</u></td><td>215</td></tr></table>
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## Fiche pédagogique

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## Modèle Sisbio

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Mars 2014

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Dans cette fiche, nous proposons d'utiliser un automate cellulaire pour appréhender les logiques d'évolutions spatiales de structures agricoles antagonistes : agriculture conventionnelle et agriculture biologique. À partir d'une conceptualisation élémentaire de l'espace (une cellule représentant une parcelle agricole), le modèle permet de simuler le comportement d'agents (les agriculteurs qui possèdent les parcelles) en fonction de règles de voisinage très simples : l'agriculture biologique tend à augmenter le « capital sympathie » des agents mais offre une rentabilité faible, et inversement.

### A. Définition du modèle

Le modèle SISBIO s'inspire des premiers automates cellulaires (le jeu de la vie de J.H. Conway) et plus récemment des travaux de S. Wolfram (2002). Il s'agit de modéliser le comportement d'agents (agriculteurs) aux pratiques agricoles opposées (conventionnelles et biologiques). Une fonction d'utilité régit le comportement des agents. Cette fonction d'utilité, inspirée de celle développée par Cobb-Douglas (1928), s'appuie sur deux variables dites « sociale » et « économique ». La variable sociale correspond à un « capital sympathie » que renvoie l'agriculture biologique. Respectueux des hommes et de l'environnement, les agriculteurs biologiques possèdent donc une forte valeur de sociabilité. La variable économique correspond à un critère financier qui avantage les agriculteurs conventionnels. En effet, à grands renforts d'intrants, cette agriculture permet de maintenir de très hauts niveaux de productivité et donc de rentabilité.

En fonction de l'évolution de cette fonction d'utilité, certains agriculteurs changent de systèmes agricoles (passage du bio vers le conventionnel, notamment), et l'environnement de simulation se transforme. Ces changements impulsent des dynamiques spatiales qu'il est ensuite possible d'analyser.

### B. Contextualisation du modèle

L'histoire contemporaine des évolutions agricoles s'est traduite principalement par un processus de moto-mécanisation (Kahn, 2012) qui a conduit à un exode rural important et l'emploi accru de produits de synthèse dans les itinéraires de culture. Aujourd'hui, selon l'INSEE, le monde rural représente 70% de la superficie de la France. Leurs paysages sont largement tributaires des activités agricoles qui y sont menées, et sont une composante forte de l'attractivité de ces territoires, mais également la source de
Fiche pédagogique

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Collectif MAPS

Modèle Sisbio

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Mars 2014

MAPS 5

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nouveaux conflits. Le monde agricole doit faire face à une attitude ambivalente des différentes instances de gestionnaire du territoire, avec « d'un côté la volonté de maintenir une agriculture exportatrice en grande culture à des prix de plus en plus bas [...], et la volonté de définir un développement intégré basé sur la multifonctionnalité de l'agriculture et la mise en place de stratégies de développement "horizontale", territorialisées ("développement rural, second pilier de la PAC") (Pierre ; 2007).

Dans ce contexte, la simulation multi-agents spatialisée est une voie intéressante pour analyser l'impact des évolutions agricoles actuelles sur les paysages agricoles (Herzfeld et Jongeneel, 2012 ; Valbuena et al., 2010). Cette approche a connu un fort développement à partir des années 1990, et beaucoup d'applications ont été réalisées dans les domaines agronomiques et environnementalistes à la frontière entre la géographie, les sciences sociales et l'informatique. Cela a conduit, par exemple, à explorer les effets des politiques agricoles sur la structure du paysage (Brady et al., 2012 ; Nainggolan et al., 2012), à comprendre comment l'expansion urbaine peut affecter les environnements naturels et agricoles (Guzy et al., 2008) ou encore à prendre en compte les relations sociales entre les acteurs qui agissent dans le même territoire (Poix et Michelin, 2000).

Le développement de ces méthodes dans les sciences agronomiques vient en parallèle avec la prise de conscience que l'agriculteur, par ses décisions individuelles de gestion, agit plus ou moins directement sur les territoires qu'il occupe. En agissant au niveau de sa structure agricole, il contribue à définir l'ensemble du territoire dans lequel il s'inscrit, sur la base de ce qui a été définie comme « agronomie du territoire » (Benoit et al., 2013).

Dans le cadre de la dernière édition de l'école thématique du réseau pluridisciplinaire MAPS – Modélisation Multi-Agents appliqués aux Phénomènes Spatialisés (MAPS5), nous nous sommes intéressés aux questions opposant l'agriculture conventionnelle à l'agriculture biologique et plus particulièrement aux interactions entre ces deux types de gestion agricole dans un environnement commun. Plusieurs cas d'études récents ont montré que la présence contemporaine entre ces deux types peut montrer des cas de compétition ou d'influence mutuelle. De Wit et Verhoog (2007) parlent de « conventionalization of organic agriculture » afin de décrire le phénomène d'intensification de l'agriculture biologique pour répondre à la concurrence d'une agriculture conventionnelle de plus en plus forte sur le marché dans la production de produits agroalimentaires de qualité.

En s'appuyant sur la modélisation par automate cellulaire, nous souhaitons appréhender l'évolution spatiale d'un territoire agricole sur lequel cohabitent ces deux types de gestion.
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Nous avons basé notre exploration sur un modèle informatique distribué de type automate cellulaire (Neumann et Burks, 1966). L'intérêt des automates cellulaires est qu'il n'y a pas de contrôle au niveau *macro*. Dans cette approche, les comportements sont implémentés au niveau cellulaire pour produire des formes au niveau *macro* (Epstein et Axtell, 1996). L'approche utilisée prend en compte l'individualisme des agents et l'influence de leur voisinage, tout en gardant une grande simplicité et en restant basée sur des règles de transitions d'état. Le modèle présenté est largement inspiré du modèle de ségrégation proposé par Schelling en 1971.

Nous positionnons notre modélisation sur un territoire virtuel (le *compu Terrarium* de J.-M. Epstein et R. Axtell (Epstein, 1996)), afin d'explorer théoriquement les configurations sociales et leurs retombées spatiales. Le formalisme que nous avons utilisé au niveau cellulaire ne cherche pas à reproduire la réalité : nous ne cherchons pas à démontrer des hypothèses mécanistes, mais plutôt la « plausibilité de principe » (Varenne, 2011) de telles configurations, et les possibilités qu'elles offrent dans une démarche prospective, visant à identifier et explorer les devenirs possibles de cette réalité.

## C. Fonctionnement du modèle

Le modèle SISBIO a été développé sous la plateforme de programmation Netlogo (Wilensky 1999). Les analyses de sensibilité ont, quant à elles, été effectuées à l'aide du logiciel R (http://www.R-project.org). Le modèle est décrit dans les sections suivantes selon le protocole Overview Design concept and Details (ODD) (Grimm et al., 2006).

### Vue d'ensemble

#### Entités et variables d'états

Deux types d'entités composent le modèle : l'agriculteur et la parcelle agricole.

L'agriculteur est un agent (appelé tortue dans Netlogo). Chaque agent possède une parcelle qui représente son exploitation et avec laquelle il est en interaction.

La parcelle agricole est l'entité spatiale à laquelle sont affectées plusieurs variables (cf Tableau)
# Fiche pédagogique

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## Modèle Sisbio

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<table><thead><tr><th>Variable</th><th>Description</th><th>Paramètre dans SISBIO</th></tr></thead><tbody><tr><td>Type d'agriculture</td><td>Pratique agricole actuellement en place,<br>Jaune = Type conventionnel<br>Vert = Type biologique</td><td>Type-agriculture = « BIO »<br>ou « Conventionnel »</td></tr><tr><td>Taux de voisins différents</td><td>Taux de voisins ayant un type d'agriculture différent (qui peut affecter le rendement et la pression sociale). Se fait dans un voisinage de Conway.</td><td>Diffpropvoisin<br>Allant de 0 – 1</td></tr><tr><td>Rendement</td><td>Représente le bénéfice financier de l'exploitation. Le rendement dépend de la pratique agricole. Le rendement des parcelles bio est affecté par les voisins conventionnels (contaminations). Dans cette première version, un rendement maximal (soit 1) est affecté aux exploitations conventionnelles. Pour les exploitations biologiques, est retranchée à 1 une valeur correspondant au pourcentage de voisins pratiquant une agriculture conventionnelle (le rendement étant affecté par la présence des polluants utilisés chez les voisins conventionnels).</td><td>Rendement (0 – 1)<br>Rendement-Conventionnel = 1<br>Rendement-bio = 1 - Diffpropvoisin</td></tr><tr><td>Pression sociale</td><td>Représente la pression sociale engendrée par les voisins ayant une pratique agricole différente (est égale à 1 si tous les voisins ont le même type d'agriculture, et égale à 0 si aucun n'a la même agriculture).</td><td>Social (0 – 1)<br>Social = 1 - Diffpropvoisin</td></tr><tr><td>Politiques publiques</td><td>Il est possible d'ajouter l'intervention des politiques publiques qui vont injecter de l'argent pour chaque exploitation bio en prélevant une taxe à l'ensemble des agriculteurs conventionnels. Influence le calcul final du rendement.</td><td>Politiquespubliques-value<br>singletaxes</td></tr></tbody></table>
## Fiche pédagogique

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## Modèle Sisbio

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### Échelles spatiales et temporelles

Dans cette première version de SISBIO, une itération correspond à une année. L'environnement de simulation est composé d'un ensemble de parcelles, chaque patch correspond à une parcelle gérée par un agriculteur. Dans l'exemple utilisé au cours de cette présentation, l'environnement de simulation comprend 68 x 68 patchs soit 4 624 parcelles et autant d'agriculteurs.

### Organisation du modèle

La règle principale qui régit le modèle est que chaque cellule peut passer d'une pratique agricole à une autre si le niveau de satisfaction de l'agriculteur passe en dessous d'un seuil défini. Ce niveau de satisfaction repose sur une fonction d'utilité, ou de satisfaction mêlant rendement (calibré sur des données réelles) et pression du voisinage. Dans SISBIO, la fonction d'utilité est dérivée de la fonction de Cobb-Douglas3 (1928).

## Processus et ordonnancement

### Concept d'élaboration

La dynamique globale du modèle est présentée dans le diagramme d'activité (cf. Figure 1).

Au cours d'une itération, chaque agriculteur réalise trois calculs aboutissant à la valeur d'utilité (U), celle-ci est comparée à la valeur du seuil. Si U est inférieure à la valeur du seuil alors l'agriculteur change de pratique agricole. Chacun de ces calculs, appliqués dans le voisinage immédiat de l'agent d'après un voisinage de Moore (c'est-à-dire qu'il prend en compte le voisinage des 8 cellules adjacentes), est détaillé ci-dessous.

1. Calcul de $Vn$ : rapport du nombre de patchs différents ($Vd$) sur 8 ($V$).

$Vn$ : taux de voisins différents, valeur comprise entre 0 et 1 ;

$Vd$ : patchs dont le système agricole en place est différent du patch appelant ;

$V$ : nombre total de voisins.
<figure><img src="image_456.png" /></figure>

<figure><img src="image_457.png" /></figure>

2. Calcul de S : soustraction de $Vn$ à $1(So)$ afin d'obtenir la valeur de sociabilité (S).
S : pression sociale engendrée par les patchs voisins ayant une pratique agricole différente, valeur comprise entre 0 et 1,
$So$ : 1 par défaut, soit la valeur de satisfaction maximale.

3. En fonction du type d'agriculture du patch appelant, le dernier calcul diffère :

1. Si agriculture conventionnelle :

Par défaut, la valeur de $R = Rd = 1$, soit la valeur de rendement maximal. Calcul de $Uconv$ :

$$ (\alpha * R) + (\beta * S) $$

2. Si agriculture biologique :

Calcul de R : soustraction de $Vn$ à $Rd$. R = bénéfice financier de l'agriculteur ; $Rd = 1$ soit la valeur par défaut. Calcul de $Ubio$ :

$$ (\beta * R) + (\alpha * S) $$

Avec $0 < \alpha < 1$; $0 < \beta < 1$; $\alpha + \beta = 1$
<figure><img src="image_458.png" /></figure>

<figure><img src="image_459.png" /></figure>

<figure><img src="image_460.png" /><figcaption>Figure 49. Diagramme d'activité du processus de choix d'une agriculture</figcaption></figure>

## Émergence

Une structuration spatiale de l'espace émerge dans certaines conditions entraînant de la ségrégation entre les deux pratiques. Suivant les scénarios, on peut retrouver des équilibres stables ou dynamiques, ou alors une disparition totale d'une des deux pratiques.
## Fiche pédagogique

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### Adaptation

L'objectif des agriculteurs est de pouvoir répondre à un critère de satisfaction qui dépend du rendement et de la pression sociale. Pour cela, ils adoptent la pratique qui leur permet d'avoir la meilleure satisfaction en fonction de leur voisinage.

### Perception et Interaction

Les agriculteurs ont connaissance des pratiques agricoles dans un voisinage de Moore.

### Observation

Il est possible de visualiser la répartition des différentes pratiques agricoles dans l'espace, l'indice de fragmentation du paysage et l'évolution de la satisfaction des agriculteurs.

## Détails

### Initialisation

À l'initialisation du modèle, il est possible de définir :

- la proportion d'exploitations conventionnelles au sein du paysage (0 – 100%)

- le seuil de satisfaction en dessous duquel les agriculteurs changeront de pratique sur leur exploitation (0 – 1)

- les coefficients alpha et bêta de la fonction d'utilité (décrite dans les sous-modèles, 0 – 1)

- l'aide des politiques publiques ajoutée au rendement de chaque exploitation bio (0 – 0.2)

### Variables de forçage

Le rendement des exploitations a été calibré sur des données réelles (issues de documents de la chambre d'agriculture de Franche-Comté pour l'aide à la reconversion en agriculture biologique), ramenées en
## Fiche pédagogique

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pourcentages. Une exploitation bio aura en moyenne un rendement 20% inférieur à celui d'une exploitation conventionnelle. Un rendement de départ de 1 est affecté aux exploitations conventionnelles et de 0.8 aux exploitations bio (ces valeurs pouvant ensuite être modifiées sous l'effet des contaminations possibles par le voisinage ni des politiques publiques).

### Sous-modèles

Le modèle d'automate cellulaire repose sur une fonction d'utilité pondérée entre 0 et 1 combinant à la fois un aspect financier (le rendement) et un aspect social (la pression engendrée par les voisins pratiquant une agriculture différente). Cette fonction permet de calculer un indice de satisfaction qui déterminera si l'agriculteur décide ou non de changer de pratique sur son exploitation. La fonction d'utilité est légèrement différente pour une exploitation bio ou une exploitation conventionnelle (cf. processus et ordonnancement).

## D. Exploration du modèle

### Manipulation du modèle

Dans un premier temps, le modélisateur choisit les conditions initiales de la simulation, ce qui revient à choisir (cf. **Figure 50**):
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- La proportion d'exploitations conventionnelle (1)

- Les coefficients alpha et bêta (2)

- Le seuil de satisfaction des agriculteurs (3)

- Le niveau des aides publiques (4)

Les noms des variables sont précédés d'un *i*. Cela afin d'identifier les variables de l'interface (avec le *i*) des variables dans le code, qui portent le même nom, le *i* en moins.

Dans cette partie, nous explorons les effets des différents paramètres initiaux.

<figure><img src="image_467.png" /><figcaption>**Figure 50.** Espace de paramétrage Netlogo</figcaption></figure>

Il est tout d'abord possible de jouer sur la proportion au sein du paysage des deux types d'exploitations (bio et conventionnelle). Le slider *rho* a le rôle de spécifier le pourcentage d'agriculteurs en agriculture conventionnelle à l'initialisation. L'état initial en termes de proportions peut avoir un impact sur la dynamique de coexistence du modèle. Le conventionnel (avec le paramétrage initial) tend à exclure les exploitations biologiques. Avec une proportion initiale de plus de 60% d'exploitations conventionnelles, les exploitations biologiques tendent à disparaître (Figure 51). Plus cette proportion initiale diminue, plus les exploitations biologiques se maintiennent en nombre dans notre paysage.
Fiche pédagogique

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<figure><img src="image_470.png" /><figcaption>**Figure 51.** Implication de la modification de la proportion d'agriculteur en agriculture conventionnelle (*rho*) sur les dynamiques spatiales (avec *i-seuil* = 0.3, *alpha* = 0.4, et *politique publique* = 0)</figcaption></figure>

Les coefficients $\alpha$ et $\beta$ (Cf. **Figure 50**) sont directement liés ($\alpha$ = 1 – $\beta$). Ces coefficients pondèrent les effets du rendement et de la pression sociale pour chacune des pratiques (voir équations).

À des valeurs extrêmes de $\alpha$ (0,1 et 0,9), on privilégie l'impact d'un des deux facteurs (rendement ou pression sociale). Dans notre simulation, ces valeurs conduisent à un équilibre entre les deux pratiques, qui s'installe très rapidement et favorise essentiellement les exploitations conventionnelles. À des valeurs intermédiaires, la proportion bio/conventionnelle est plus élevée.

<figure><img src="image_471.png" /><figcaption>**Figure 52.** Influence de l'évolution de $\alpha$ sur les proportions de chaque type d'agriculture</figcaption></figure>
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Le seuil de satisfaction influence le changement de pratique sur une exploitation. Plus on augmente le seuil, plus nous retrouvons d'insatisfaits dans notre paysage, augmentant le nombre de changements de pratiques à chaque pas de temps. Avec un seuil de 0,2 (selon nos paramètres initiaux), peu d'exploitations se trouvent en dessous du niveau de satisfaction : il y a donc un très bas niveau de changements de pratiques. Plus on augmente ce seuil, plus les exploitations biologiques tendent à disparaître rapidement (cela indique que la satisfaction des producteurs bios moins importante que celle des producteurs conventionnels). À partir d'un seuil de 0,85, la plupart des exploitations se retrouvent en dessous de ce critère, créant un équilibre dynamique dans le temps où les exploitations basculent d'une pratique à une autre à chaque pas de temps.

Enfin, le niveau des aides publiques influence directement le rendement des exploitations biologiques. En augmentant cet apport, on favorise la présence d'exploitations biologiques, allant même jusqu'à exclure les exploitations conventionnelles pour une aide supérieure à 0,18.

Nous avons intégré, en plus des indicateurs de proportion d'agriculture conventionnelle et d'agriculture bio (Cf. Figure 3), deux autres indicateurs qui permettent de suivre l'évolution du modèle.

Le premier est un indice de fragmentation de la population agricole (FraG). Il compte le nombre de *cluster* présents dans l'espace. Le calcul est en partie basé sur les chiffres que vous pouvez observer dans la vue du modèle. Ce dernier permet d'identifier et de dénombrer les différents clusters. Ainsi, il est possible de suivre au cours du temps les phénomènes d'homogénéisation ou de fractionnement qui peuvent apparaître.

Le second indicateur est basé sur l'indice de Shannon. Le principe est de qualifier si l'ajout d'une information (basculement d'un type d'agriculture à l'autre) détermine un point de vue informationnel sur le système. Si l'indice de Shannon augmente, cela signifie qu'il y a création de diversité tandis que s'il baisse, apparaît un phénomène d'uniformisation de l'environnement agricole vers l'une ou l'autre des pratiques.

Ces deux indicateurs permettent donc d'observer le système sous différents angles. S'ils sont intéressants pour observer globalement le comportement du système, ils ne sont pas d'une grande aide au moment où nous souhaitons confronter le modèle au monde réel.

SISBIO est construit en plaçant la parcelle comme entité individuelle de base, mais il est nécessaire de savoir sur quelle gamme de paramètres lancer les analyses de sensibilité. Pour cela un premier travail statistique à différentes échelles a été effectué. Pour le niveau départemental, nous avons trouvé un
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certain nombre d'informations sur le portail data.gouv.fr<fnref n="1" />. Nous avons également utilisé la base de données géographique GEOFLA<fnref n="2" /> de l'IGN.

Au niveau national, ce sont des données de l'INSEE<fnref n="3" /> qui ont été utilisées. L'intégralité de ces données est sous « licence ouverte » version 1.08.

En utilisant ces données, nous avons cherché à connaître comment se répartissait l'adhésion à l'agriculture biologique sur le territoire Français. Le traitement a été réalisé à l'aide du logiciel de statistique R (Team, 2005) et aux paquets rgdal (Keitt et al., 2011) et ggplot2 (Wickham, 2009).

Nous avons travaillé sur l'année 2010 car il s'agit de la seule année commune à tous les jeux de données avec lesquels nous travaillons, ce qui pose un problème de validation des résultats difficilement surmontable à l'heure actuelle.

La carte de France présentée en **Figure 53** permet d'observer que les départements du Sud-Est sont plus « favorables » à l'agriculture biologique, et abritent une population agricole en Bio plus importante. On peut également constater que la proportion d'agriculteurs bios par département en France varie de 0,8% dans la Marne, à 13,47% dans la Drome. À partir de ces faits, nous sommes en mesure de définir la gamme des paramètres à étudier lors de l'analyse de sensibilité du modèle. Cela permet de tester ses capacités à représenter (ou non) le réel. L'analyse de sensibilité a été effectuée sur la plate-forme « OpenMole » (Reuillon et al., 2013) sur le cluster de calcul de l'université de Limoges.

Il s'agit de tester toutes les initialisations du modèle entre 86 et 100% de producteurs en agriculture conventionnelle, sur 30 itérations (une itération est ici équivalente à une année). Une nouvelle ventilation des résultats par département peut permettre une représentation des conditions de cohabitation de ces deux types d'agriculture.

<footnote n="1">1 http://www.data.gouv.fr/fr/dataset/agriculture-biologique-2008-2011-productions-vegetales-surfaces-par-
departement-30378864 (visité le 25 mars 2014)</footnote>

<footnote n="2">2 http://professionnels.ign.fr/geofla (visité le 25 mars 2014)</footnote>

<footnote n="3">3 L'institut National de Statistique et des Etudes économique, est un gros producteur de données. Nous avons utilisé les données suivantes : http://www.insee.fr/fr/publications-ets-services/default.asp?page=dossiers_web/dev_durable/sau_agri_bio.htm (visité le 25 mars 2014)</footnote>
## Fiche pédagogique

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<figure><img src="image_478.png" /><figcaption>**Figure 53.** Carte de la proportion d'agriculteurs en agriculture conventionnelle d'après l'INSEE en France en 2010</figcaption></figure>

### Exploration de l'espace des paramètres

#### Une agriculture sans aides

Nous avons exploré l'espace des paramètres pour des proportions d'agriculteurs en agriculture conventionnelle variant de 86,5 à 100% (rho dans l'interface graphique) et les faisons varier sur toute leur gamme ainsi que tous les autres paramètres.

La **Figure 54** permet de représenter, sur une partie de l'espace des paramètres, le comportement du modèle.
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On constate que si $\alpha$ est élevé, cela signifie que l'économie a un poids plus important que la partie sociale du travail de l'agriculteur. Sans surprise, on constate que cela favorise l'agriculture conventionnelle.

Si le seuil de la fonction d'utilité est élevé, cela veut dire que l'on augmente l'intolérance des agriculteurs à leur propre condition, et à leur voisin. De manière générale, l'agriculture biologique est favorisée dans les valeurs basses d'α.

<figure><img src="image_481.png" /><figcaption>Figure 54. Évolution de la proportion d'agriculteurs en sortie de simulation en fonction du paramétrage</figcaption></figure>

À partir de ces faits, nous sommes capables d'identifier le résultat de chaque paramétrisation et de connaître la proportion d'agriculteurs conventionnels. Pour étudier cette information spatialement, il est possible de renseigner pour chaque département la proportion d'agriculteurs en conventionnelle en fin de simulation à partir des données calculées pour réaliser la Figure 53.

Sur la Figure 55, il est possible de représenter spatialement en France le type de comportement modélisé par l'automate. On retrouve la tendance à basculer vers l'agriculture biologique quand le seuil s'approche de 1, ce qui signifie que les cellules deviennent intolérantes aux autres. Cette intolérance joue le rôle de la pression sociale qui s'exerce sur les agriculteurs et a pour effet de faire pencher le modèle vers une exclusivité donnée à l'agriculture biologique.
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Les valeurs de seuil élevé vont stimuler les départements en agriculture biologique. De plus, il est intéressant de noter que pour une valeur de seuil de 0,9, les départements qui sont les plus concernés par l'agriculture biologique (Figure 53) se retrouvent, lorsque l'on se lance dans la prospective, dans la catégorie des départements les plus concernés par l'agriculture conventionnelle (Cf. Figure 55).

On peut alors se demander s'il n'existe pas des dynamiques individuelles qui joueraient à contre-courant. Si la réalité a l'air figé dans les cartes, au niveau des automates elle ne l'est pas ; et il peut exister une dynamique.

Les cas représentés sur ces cartes mettent en jeux des α faibles (0,2), ce qui traduit une situation les ambitions sociales ont plus de poids que les considérations économiques.

Ces situations permettent de mettre en place des zones « grises » (les zones intermédiaires de la **Figure 54**) où le monde ne bascule pas d'un côté ou de l'autre de cette opposition.

<figure><img src="image_484.png" /><figcaption>**Figure 55.** Cartes des proportions d'agriculteurs conventionnels suivant les paramètres initiaux</figcaption></figure>

Une aide à l'agriculture biologique

Nous avons également souhaité étudier l'impact de l'introduction des aides à l'agriculture biologique comme nous l'évoquions à l'initialisation du modèle. On constate sans surprise que l'agriculture biologique est favorisée dans la mesure où la fracture économique entre les deux types d'agriculture est réduite.
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Nous avons travaillé sur un modèle où les agriculteurs biologiques sont aidés à hauteur de 10%. Dans ce cas de figure (Cf. **Figure 56**), on observe que la valeur de seuil à laquelle la cohabitation est possible se déplace vers le bas. Ce qui signifie que l'on a besoin de moins d'intolérance pour maintenir les deux types d'agriculture.

<figure><img src="image_487.png" /><figcaption>**Figure 56.** Espace des paramètres en situation d'aide pour l'agriculture biologique</figcaption></figure>

Cela peut traduire aussi bien une situation où l'agriculture bio devient « grand public », et arrive à se démarquer de l'agriculture conventionnelle (en valorisant mieux ses productions ou en diminuant ses coûts de production), qu'une situation où elle est favorisée par des aides extérieures.

Si l'on s'intéresse ensuite aux données spatialisées (Cf. **Figure 57**), on constate que d'un point de vue spatial, le changement attendu n'est pas aussi tranché que ce que laissait imaginer les graphiques de la **Figure 55**. S'il y a des variations, elles sont très minimes à l'échelle des départements dans les situations avec et sans aides.

La différence notable apparaît pour la valeur de seuil 0,9 où l'aide permet de stabiliser les départements déjà largement concernés par l'agriculture biologique.

Le changement de comportement engendré par l'aide (identifiable dans l'espace des paramètres de la **Figure 56**) permet de poursuivre ce genre d'expérimentation en définissant l'ensemble des paramètres
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issus du monde réel, dans l'objectif de différencier les dynamiques territoriales en fonction des politiques publiques en place localement.

<figure><img src="image_490.png" /><figcaption>**Figure 57.** Cartes des proportions d'agriculteurs conventionnels suivant les paramètres initiaux avec une aide de 0,1</figcaption></figure>

## E. Conclusion

Le modèle SISBIO tel qu'il vient d'être présenté, porte un premier intérêt, celui de permettre à l'apprenant de découvrir la simulation par automate cellulaire. Dans un deuxième temps, l'utilisation d'une fonction d'utilité comme base des règles de transitions des cellules permet d'appréhender l'intérêt de la formalisation en modélisation.

Le passage de l'automate cellulaire (agéographique) à la projection des résultats sur des espaces
## Fiche pédagogique

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territoriaux connus, est un dans une autre mesure l'un des intérêts du modèle SISBIO. En effet, en partant d'un modèle basé sur une formalisation simple des interactions, le modèle permet l'approche prospective (Godet, 2004) du devenir de l'agriculture sur les territoires. L'observateur est alors engagé dans une phase de constructions de scenarios prospectifs

## F. Bibliographie

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<figure><img src="image_494.png" /></figure>

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Team Rd. C., 2014, “R: A language and environment for statistical computing”. *R Foundation for Statistical Computing*.
Fiche pédagogique

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Modèle Sisbio

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Mars 2014

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Valbuena D., Verburg P. H., Veldkamp A., Bregt A. K., & Ligtenberg A., 2010, "Effects of farmers' decisions on the landscape structure of a Dutch rural region: An agent-based approach". *Landscape and Urban Planning*, 97(2), 98–110.

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Wilensky U., 1999, {NetLogo}.

Wolfram S., 2002, *A new kind of science* (Vol. 5). Wolfram media Champaign.
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# Fiche pédagogique

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## Modèle Von Thünen

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**Domaine d'application** : Géographie, Géographie économique, rurale, Analyse spatiale

**Spécificité pédagogique** : Implémentation informatique d'un modèle de référence de l'enseignement en géographie (analyse spatiale) et économie spatiale

**Niveau du public visé** : intermédiaire

**Nom du modèle associé** : Modèle Von Thünen

**Version NetLogo nécessaire** : 5.1

**Auteurs** : Géraldine Abrami (IRSTEA, UMR GEAU, Montpellier), Brice Anselme (UMR PRODIG, Paris), Benoit Gaudou (IRIT, Toulouse), Frédéric Rousseaux (UMR LIENSS, La Rochelle)

## Modèle Von Thünen

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TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td><u>A. DÉFINITION DU MODÈLE</u></td><td>223</td></tr><tr><td><u>Description</u></td><td>223</td></tr><tr><td><u>Formalisation</u></td><td>224</td></tr><tr><td><u>B. CONTEXTUALISATION DU MODÈLE</u></td><td>225</td></tr><tr><td><u>C. FONCTIONNEMENT DU MODÈLE</u></td><td>227</td></tr><tr><td><u>Implémentation standard</u></td><td>227</td></tr><tr><td><u>Implémentation enrichie</u></td><td>228</td></tr><tr><td><u>Présentation de l'interface</u></td><td>232</td></tr><tr><td><u>D. EXPLORATION DU MODÈLE</u></td><td>238</td></tr><tr><td><u>Exploration du modèle Von Thünen</u></td><td>238</td></tr><tr><td><u>Modification des paramètres en fonction de la modification de différentes hypothèses du modèle</u></td><td>245</td></tr><tr><td><u>E. CONCLUSION</u></td><td>250</td></tr><tr><td><u>F. BIBLIOGRAPHIE</u></td><td>251</td></tr></table>
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## Fiche pédagogique

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## Modèle Von Thünen

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Mai 2014

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Le modèle de Von Thünen est classiquement utilisé dans le cursus de Géographie afin de faire comprendre aux étudiants la manière dont est organisé l'espace agricole autour de la position d'un marché, en fonction des coûts de production agricole. L'objectif de cette fiche pédagogique est de proposer des méthodes de manipulation du modèle à travers une implémentation qui propose de faire varier plusieurs paramètres, dont la levée de certaines hypothèses du modèle original (marché fixe, agriculteurs ou exploitations identiques, etc.).

Il s'agit d'un modèle d'économie agricole montrant que la répartition spatiale autour d'un marché est fonction de la distance au marché et du coût de production des produits. Le modèle est basé sur les observations de Von Thünen, lui-même économiste agronome<fnref n="1" />, et propriétaire terrien. Les hypothèses qui ont été définies à son origine n'ont pas été remises en cause. L'idée est de travailler sur ces hypothèses. L'interrogation centrale qui se pose lorsque l'on souhaite étudier le modèle de Von Thünen est de savoir jusqu'où le modèle converge à mesure que l'on modifie ses hypothèses d'origine.

## A. Définition du modèle

### Description

L'idée maîtresse que met en valeur le modèle de Von Thünen concerne la localisation de la rente foncière (Bodenrente). Ce modèle est basé sur l'idée que le producteur cherche à maximiser le profit de sa terre. Pour Von Thünen, cela repose sur l'utilisation optimale de cette terre et des coûts de transports jusqu'au marché où il va vendre sa production. Le profit du producteur correspond au prix du produit vendu au marché moins les coûts de production et de transport. Le modèle contient donc deux variables : le coût de transport (qui dépend du produit et de la distance au marché) et le profit effectué par unité de surface. Ce dernier décroît plus la distance au marché est grande. Dans un espace isotrope, l'organisation s'effectue en cercles concentriques. Les cultures les

<footnote n="1">¹ Von Thünen était basé à Mecklenburgh en Allemagne et a effectué des observations sur ses propres terres pendant 40 ans.</footnote>
## Fiche pédagogique

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plus rentables et imposant des coûts de transports élevés par unité produite seront situées au plus proche de la ville-marché. Les productions à faible coût de transport et peu rentables seront dans des cercles plus éloignés. En un point donné, l'augmentation des coûts de transport est telle que la rentabilité nette d'un produit n'est plus suffisante. Le producteur choisira donc d'optimiser sa terre en cultivant un autre produit à la rentabilité plus faible mais aussi aux coûts de transports moins élevés. Les hypothèses sont les suivantes :

* Le marché est situé au centre d'un état en autarcie

* L'Etat isolé est coupé du monde

* Le pays est plat, sans rivière ni montagne (espace isotrope)

* Les qualités du sol et du climat sont homogènes

* Les producteurs apportent directement leurs produits aux marchés par le chemin le plus court (distances euclidiennes)

* Les producteurs se comportent de manière à maximiser le profit (notion de l'homo economicus de Mills, inspiré par Adam Smith ou David Ricardo)

## Formalisation

La formalisation du modèle de Von Thünen est fondée sur l'équation suivante :

$$R = r(p - c) - r*T*d$$

Avec :

R : rente foncière

r : rendement par unité de surface

p : prix du marché par unité de produit

c : coût de production par unité de produit

T : coût du transport, en unité de compte par unité de produit et par unité de distance

d : distance au marché
## Fiche pédagogique

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## Modèle Von Thünen

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Le modèle de Von Thünen est analytique et basé sur des hypothèses de micro-économie. Il s'agit d'une théorie statique : le type de culture de chaque unité de surface est choisi en fonction du R max, qui est fonction de la distance au marché. Il n'y a pas d'hypothèses sur les dynamiques d'occupation du sol.

## B. Contextualisation du modèle

Le modèle de Von Thünen propose des hypothèses fortes qui pour la plupart, peuvent apparaître comme trop simplificatrices ou dépassées. La proposition de contextualisation décrite ci-dessous est basée sur la levée et la modification de ces hypothèses. Cela permet à l'étudiant de comprendre que les mécanismes qui régissent le modèle restent relativement indépendants (pris un à un) de ces hypothèses. L'étudiant peut également aborder la différence entre un modèle spatial (basé sur la distance) et un modèle géographique (basé sur la description d'un espace). Dans le premier cas, c'est le phénomène qui est modélisé, indépendamment de l'espace dans lequel il se déroule. Dans le second, la description de l'espace est partie intégrante du modèle. Il y a donc une perte d'universalité mais un gain de « réalisme<fnref n="2" /> ». Plusieurs des hypothèses de Von Thünen portent sur ce point et décrivent une isotropie totale : le pays est plat, sans rivière ni montagne, les qualités du sol et du climat sont homogènes.

Les propositions de contextualisation peuvent être abordées en introduction en tentant une comparaison modèle théorique vs la réalité. Préalablement, il peut être effectué une présentation du modèle classique afin de permettre à l'étudiant de comprendre le mécanisme de base du modèle. Les dénégations sont ensuite effectuées et illustrées à l'aide des modèles enrichis.

<footnote n="2">² qui tend à aller vers ce qui est observé dans le monde réel.</footnote>
## Fiche pédagogique

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## Modèle Von Thünen

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### Dénégation : Dans la réalité, les agriculteurs n'ont pas tous le même comportement

**Piste à explorer** : l'introduction de différents profils d'agriculteurs peut être un moyen d'étudier cette assomption. Les profils sont ceux habituellement utilisés en théorie de la diffusion de l'innovation. Ils peuvent être intégrés dans le modèle afin que chaque agriculteur correspondre à une catégorie liée à sa capacité d'innovation.

### Le marché de Von Thünen n'est pas réaliste, il n'intègre pas l'offre et la demande

La question qui est soulevée ici correspond à la mise en place d'un marché « réel » qui fonctionne sur la logique classique de l'offre et de la demande. Si on souhaite lever cette hypothèse, il peut être intéressant d'intégrer dans le modèle une variation de l'offre par produit : les prix des produits vendus sur les marchés varient en fonction de l'offre. Ainsi, le prix d'un bien est inversement proportionnel au nombre de produits créés et on considère que la demande est stable. Sur la question de la demande, il n'y a pas d'exploration disponible dans le modèle proposé.

### Un seul marché, ce n'est pas réaliste. Que se passe-t-il s'il y a plusieurs marchés présentant des prix par produits différents ?

L'augmentation du nombre de marchés n'a de sens que si les marchés proposent des prix d'achat différents en fonction des produits. Sinon, on retombe dans une configuration de Von Thünen autour de chaque marché.

### Le transport a évolué depuis Von Thünen, cela pourrait-il expliquer le fait que le modèle ne fonctionne plus ?

Le modèle de Von Thünen est fondé sur le principe de la distance euclidienne. Chaque coût de transport est calculé en distance rectiligne, de la parcelle du producteur au marché et dépend du produit. Or le développement des réseaux, la multiplication et la baisse du coût des moyens de transport ont complètement modifié ces rapports de distance par rapport au marché, même si le coût est toujours pris en compte.
<figure><img src="image_513.png" /></figure>

<figure><img src="image_514.png" /></figure>

## C. Fonctionnement du modèle

L'implémentation qui est proposée correspond à un modèle où chaque agriculteur choisit la culture qui maximise le rendement à l'endroit où il se situe. L'agriculteur ne bouge pas. L'implémentation correspond à la situation optimale puisque chaque agriculteur a le choix de sa culture et ne peut se retrouver en banqueroute.

### Implémentation standard

<figure><img src="image_515.png" /><figcaption>Figure 58. Modèle conceptuel proposé</figcaption></figure>
Fiche pédagogique

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Modèle Von Thünen

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Implémentation enrichie

<figure><img src="image_518.png" /></figure>

Le modèle propose aussi des options. Elles sont au nombre de 3 et concernent :

* la prise en compte du nombre de marchés,

* la diffusion de la connaissance entre agriculteurs,

* la variation de l'offre sur le prix des produits.

Toutes ces options peuvent être combinées entre elles.
Fiche pédagogique

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Modèle Von Thünen

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<figure><img src="image_521.png" /><figcaption>Figure 59. Description du cycle de vie de l'agent</figcaption></figure>
<figure><img src="image_522.png" /></figure>

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<figure><img src="image_524.png" /><figcaption>Figure 60. Description du choix de culture</figcaption></figure>
<figure><img src="image_525.png" /></figure>

<figure><img src="image_526.png" /></figure>

<figure><img src="image_527.png" /><figcaption>Figure 61. Description du pas de temps</figcaption></figure>
# Fiche pédagogique

<figure><img src="image_528.png" /></figure>

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## Modèle Von Thünen

<figure><img src="image_529.png" /></figure>

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## Présentation de l'interface

L'interface est divisée en différentes zones. Les commandes les plus importantes sont situées en haut à gauche.

### Initialisation/Run

Dans cette zone se trouvent les boutons pour initialiser une simulation et la lancer pas à pas ou en continu.

<figure><img src="image_530.png" /></figure>

### Initialisations

Le bouton *InitRandom* permet de partir d'une situation initiale où les cultures sont placées de manière aléatoire et d'observer alors comment une situation de type Von Thunnen émerge ou pas. Dans ce cas, les cultures sont initialisées avec la même proportion initiale.

Le bouton *initVT* permet de partir d'une situation initiale où les cultures sont placées selon la loi de Von Thunnen et d'observer alors comment cette situation est perturbée par des modifications de paramètres.

### Run

Le bouton *go* permet de lancer 1 pas de temps de simulation.

Le bouton *go* avec les flèches permet de lancer la simulation en boucle. Il faut de nouveau appuyer sur le bouton pour arrêter la simulation.
# Fiche pédagogique

<figure><img src="image_531.png" /></figure>

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## Modèle Von Thünen

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## Zone Extension du modèle de Von Thünen

Dans cette zone se trouvent les boutons permettant d'activer ou désactiver les extensions au modèle de Von Thünen présentées dans cette fiche.

<figure><img src="image_533.png" /></figure>

Le menu comportementAgriculteurs permet de définir si les agriculteurs se comportent en optimisateurs de Von Thünen (choix von Thünen, type homo oeconomicus) ou bien s'ils ont un autre type de comportement dit « diversifiés » (donc moins optimal, mais plus réaliste) (choix diversifiés).

L'interrupteur prixFixe permet de définir si les prix des produits sur le marché sont fixes comme dans le modèle de Von Thünen (On) ou bien varient en fonction de l'offre et de la demande (Off).

Le slider NombreVilles permet de multiplier le nombre de villes dans l'espace et donc de marchés. Si NombreVilles est mis à 1, on retrouve la situation de Von Thünen.

## Zone Limitation du nombre de cultures

<figure><img src="image_534.png" /></figure>

Il est possible de limiter le nombre de cultures (1, 2 ou 3 plutôt que 4) afin de mieux pouvoir observer et comprendre les dynamiques du modèle. La situation de base du modèle de Von Thünen correspond à la situation où il y a 4 types de culture.
<figure><img src="image_535.png" /></figure>

<figure><img src="image_536.png" /></figure>

## Zone de structuration de la population d'agriculteurs

STRUCTURE POPULATION AGRICULTEURS

<figure><img src="image_537.png" /></figure>

Si on choisit de donner un comportement diversifié aux agriculteurs, il est possible de définir la structure de la population selon leur comportement. Les chiffres donnés seront utilisés comme proportions ramenées à la somme des chiffres donnés dans les sliders (il y a un agriculteur par cellule et chaque agriculteur de la population sera initialisé aléatoirement suivant ces proportions). Si un des comportements est mis à zéro, il ne sera pas représenté dans la population et n'apparaîtra pas dans la simulation, même lorsqu'un agriculteur disparaît et qu'un nouveau prend sa place. Si, par exemple, l'utilisateur choisit : *aversesRisque* = 60, **resistants** = 30 et *optimisateursVT* = 60, alors chaque agriculteur aura 40% de chance d'avoir un comportement *aversesRisque*, 20% **resistants** et 40% *optimisateursVT*<fnref n="3" />.

Les agriculteurs peuvent avoir 7 types de comportements différents :

* *optimisateursVT* (image = étoile) : ils maximisent la rente au sens de VT ;

* *sous-optimisateurs* (image = x) : ils effectuent un tirage pondéré par sa rente d'une culture parmi les cultures à rente positive ;

* *aversesRisque* (image = triangle) : ils effectuent un tirage pondéré par son coût de production d'une culture parmi les cultures à rente positive ;

<footnote n="3">³ Note : si le modélisateur choisit *comportementAgriculteurs* = diversifiés, mais qu'il laisse tous les sliders de structure de la population à 0, tous les agriculteurs sont créés avec un comportement optimisateur de Von Thünen.</footnote>
## Fiche pédagogique

<figure><img src="image_538.png" /></figure>

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## Modèle Von Thünen

<figure><img src="image_539.png" /></figure>

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* *obsIntelligents* (image = cercle) : ils regardent autour d'eux et prennent la culture avec la rente maximale si elle est supérieure a la rente de leur culture ;

* *earlyAdopters* (image = carré) : ils regardent s'il y a une nouvelle culture autour d'eux et l'adoptent (tirage aléatoire s'il y en a plusieurs) ;

* *followers* (image = point) : ils regardent si une culture est majoritaire autour d'eux. Si c'est le cas, ils la choisissent ;

* *resistants* (image = ligne) : ils ne changent leur culture que si tout le monde autour d'eux a une même culture.

## Zone de paramètres liés à l'adaptation des agriculteurs

<figure><img src="image_540.png" /><figcaption>PARAMETRES ADAPTATION AGRICULTEURS</figcaption></figure>

Dans cette zone se trouvent des paramètres permettant d'affiner et de mieux comprendre certains biais qui apparaissent lorsque l'on met des dynamiques d'adaptation dans un modèle individu-centré.

La commande *probaMort* fixe une probabilité de disparaitre à chaque pas de temps. Si *probaMort* = 0.1, cela signifie que la durée de vie d'une exploitation est en moyenne de 10 pas de temps. Si *probaMort* = 0, la durée de vie des exploitations est infinie.

L'interrupteur de banqueroute permet de choisir si on autorise les exploitations à rente négative à continuer à produire ou pas. Si banqueroute est on, les cultures à rente négative sont automatiquement mises en friche. Si banqueroute est off, les cultures à rente négative peuvent perdurer à l'infini si la rationalité de l'agriculteur l'autorise.
## Fiche pédagogique

<figure><img src="image_541.png" /></figure>

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## Modèle Von Thünen

<figure><img src="image_542.png" /></figure>

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Le paramètre *d'inertie* permet de spécifier le nombre d'années pendant lequel un agriculteur doit attendre avant de changer de culture à nouveau. Ce paramètre ne s'applique pas aux agriculteurs optimisateurs de Von Thünen.

### Zone de paramètres liés aux cultures

PARAMETRES VT CULTURES

<figure><img src="image_543.png" /></figure>

Dans cette zone, il est possible de choisir les paramètres initiaux des cultures. En particulier pour chaque culture, notée respectivement I, F, C, R, on peut fixer le coût de production, les frais de transport, le prix de vente et le rendement. Ces valeurs peuvent changer au cours de la simulation, en particulier si les prix ne sont pas fixes.
## Fiche pédagogique

<figure><img src="image_544.png" /></figure>

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## Modèle Von Thünen

<figure><img src="image_545.png" /></figure>

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## Zone de paramètres liés à la variabilité des prix

<figure><img src="image_546.png" /><figcaption>PARAMETRES PRIX VARIABLES</figcaption></figure>

Dans cette zone, il est possible de modifier les paramètres qui gèrent l'adaptation des prix du marché à la demande (prixFixe off).

Plus le paramètre *tauxDecroissance* est élevé, plus les prix augmentent vite en cas de sous-production et baissent vite en cas de sur-production (exercice : faire bouger *tauxDecroissance* et observer à quoi cela correspond).

Les autres sliders permettent de fixer les hauteur de demande initiale (exercice : faire varier ces paramètres, puis regarder ce qu'il se passe).

## Plots

On peut observer les droites de Von Thünen avec paramètres en cours ou paramètres initiaux. Pour cela utiliser le menu *initialOuCourant* et le bouton *rafraichirPlots* si le go ne tourne pas en boucle.
<figure><img src="image_547.png" /></figure>

<figure><img src="image_548.png" /></figure>

Autres plots :

- Prix des différentes cultures en fonction du temps

- Volume des différentes cultures en fonction du temps

- Nombre d'agriculteurs de chaque type en fonction du temps

# D. Exploration du modèle

## Exploration du modèle Von Thünen

Dans le modèle initial de Von Thünen, les agriculteurs sont des optimisateurs parfaits, au sens de Von Thünen. L'équilibre de Von Thünen est donc atteint en un pas de temps à partir de n'importe quelle situation puisque le comportement de chaque agriculteur à chaque pas de temps est de choisir la culture optimale au sens de Von Thünen en fonction des paramètres donnés et de l'installer. Lorsque l'on modifie les paramètres des cultures, cela permet de voir bouger les anneaux de manière instantanée. Une fenêtre de plot permet d'observer les droites de Von Thünen correspondantes.

**Exercice :** Faire varier les paramètres des cultures (zone paramètres VT Cultures) et observer le comportement de la simulation. Observer et expliquer le lien entre les anneaux et les droites de Von Thünen. Pour une culture, identifier l'impact de chacun des 4 paramètres sur les courbes (pente et valeurs aux limites).
Fiche pédagogique

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<figure><img src="image_551.png" /><figcaption>**Figure 62.** Un exemple de jeu de paramètres qui produit les anneaux caractéristiques de Von Thünen occupant une large partie de l'espace</figcaption></figure>

Exploration du comportement des agriculteurs.

Il est possible d'introduire dans le modèle des agriculteurs se comportant autrement que comme des optimisateurs au sens de Von Thünen. Deux autres types d'agriculteurs choisissant leur culture en utilisant une fonction d'utilité sont disponibles :
Fiche pédagogique

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* Les sous-optimisateurs peuvent choisir une culture sous-optimale si leur rente est positive. Le choix de la culture est fait selon une probabilité liée à leur rente. Cela peut faire sens puisque les agriculteurs peuvent ne pas chercher forcément à optimiser mais plutôt à avoir un bon revenu.

* Les averses au risque peuvent également choisir une culture sous-optimale si leur rente est positive. Mais leur probabilité est inversement liée à leur coût de production. Les agriculteurs ne cherchent pas à optimiser mais à pouvoir survivre à moindre effort ou à moindre risque.

Des comportements de type imitatif sont ensuite disponibles, conformément à ce qui peut être décrit dans les théories de l'observation. Que se passe-t-il ?

* Pour chaque comportement utilisant une fonction d'utilité : les comportements sous-optimaux en marché variable rendent le modèle complètement instable si le taux de décroissance est légèrement élevé car ils basculent immédiatement dans l'anneau extérieur où une seule culture est possible.

* Quand on mélange les comportements utilisant une fonction d'utilité : qui « gagne » ? (si l'interrupteur banqueroute est sur on, les cultures à rente négative passent en friche et ne sont plus comptées dans les comportements. Le fait d'être plus riche ou du moins pas en banqueroute n'a pas d'influence sur la probabilité de mourir et d'être remplacé par un comportement plus efficace.

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## Fiche pédagogique

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Dans le cas où les agriculteurs ont un cycle de vie infini, un imitateur reste un imitateur pendant toute la simulation si bien que l'on voit apparaître des motifs stables (des patchs qui gardent la même culture) à certains endroits.

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Dans le cas où les agriculteurs ont un cycle de vie fini (décès), un imitateur peut devenir soit optimisateur soit résistant et inversement si bien que les motifs s'estompent et que la simulation génère du bruit même à probabilité très faible (3%, ici).

### Adaptation des agriculteurs

**Observer ce qui se passe quand les exploitations ont une durée de vie plus ou moins importante**

Si les agriculteurs du modèle ne « meurent » jamais, la simulation peut se retrouver coincée par des agriculteurs qui ne s'adaptent jamais. Faire « mourir » des agriculteurs permet d'engendrer des mutations et d'améliorer l'adaptabilité du système. Il n'y a aucune échelle de temps qui soit certaine : même les exploitations les plus traditionnelles finissent par évoluer !

**Observer ce qui se passe si la possibilité d'une banqueroute est possible (on) ou non (off)**

Dans la réalité que se passe-t-il si une exploitation est non rentable ?

L'alternative est un peu extrême (pouvoir rester à l'infini ou disparaître immédiatement) mais c'est une manière de gérer simplement ce choix sans créer de budget individuel. Sans
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banqueroute on observe souvent une surproduction structurelle si les prix du marché varient. En effet les agriculteurs qui ont une rationalité leur autorisant à produire à perte inondent le marché et si les demandes sont fixées à un faible niveau par rapport à l'espace disponible, les prix s'écroulent.

## Coûts de transition

Dans la réalité, il est impossible pour un agriculteur de changer de type d'exploitation chaque année. Un tel changement induit des frais qu'il convient d'amortir avant de changer à nouveau. C'est le sens d'introduire une variable d'inertie. Observer ce qui se passe avec ou sans inertie. Comment sont liés inertie et taux de décroissance ? Pourquoi ne voit-on pas d'oscillation apparaître quand il n'y a pas d'imitateurs ? Comment inertie et taux de décroissance agissent-ils sur la forme des oscillations quand il y a des imitateurs ?

S'il n'y a que des agriculteurs optimisateurs, plus il y a d'inertie et moins le système est efficace (moins d'agriculteurs et prix plus hauts pour mêmes paramètres). De plus, l'inertie a un peu le même effet que le taux de décroissance : la conséquence est que le système répond moins rapidement. En effet, s'il y a une variation de prix et une inertie élevée, alors moins d'agriculteurs répondent (en moyenne), mais ils donnent toujours une réponse immédiate, ce qui fait qu'il n'y a pas d'oscillation. Pour créer des oscillations il faut que le niveau d'une variable influence le taux de variation de l'autre et inversement (déphasage / retard de réponse). Alors le volume d'une culture influence le taux de variation des prix d'un côté, mais de l'autre, le niveau de prix influence directement le volume d'une culture via l'équation de Von Thünen qui est linéaire.

* Par contre, si des comportements imitateurs sont introduits, le système répond différemment. Le comportement d'imitation induit un déphasage dans la réponse : si l'on copie sur son voisin, un temps de retard est forcément observé. Donc le comportement adopté par le voisin n'est peut-être plus adapté aux informations du moment. S'il y a 20 pas de temps d'inertie, on copie peut-être une réponse à l'état du système datant d'il y a 19 pas de temps. Dans ce cas, l'inertie influence la largeur des oscillations (nombre de pas de temps entre 2 pics) alors que le taux de décroissance influe sur leur hauteur (écart entre le minimum et le maximum). En effet, le taux de décroissance amplifie la réponse (les prix varient plus fort en réponse au volume des
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cultures) alors que l'inertie amplifie le retard de la réponse (plus d'agriculteurs répondent avec des vieilles informations).

* Par contre, si des comportements imitateurs sont introduits, le système répond différemment. Le comportement d'imitation induit un déphasage dans la réponse : si l'on copie sur son voisin, un temps de retard est forcément observé. Donc le comportement adopté par le voisin n'est peut-être plus adapté aux informations du moment. S'il y a 20 pas de temps d'inertie, on copie peut-être une réponse à l'état du système datant d'il y a 19 pas de temps. Dans ce cas, l'inertie influence la largeur des oscillations (nombre de pas de temps entre 2 pics) alors que le taux de décroissance influe sur leur hauteur (écart entre le minimum et le maximum). En effet, le taux de décroissance amplifie la réponse (les prix varient plus fort en réponse au volume des cultures) alors que l'inertie amplifie le retard de la réponse (plus d'agriculteurs répondent avec des vieilles informations).
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5 inertie élevée, décroissance élevée

5 inertie faible, décroissance élevée

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5 inertie élevée, décroissance faible

5 inertie faible, décroissance faible
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## Variation des prix du marché

Les prix s'ajustent en fonction de la différence entre l'offre et la demande. Comme la demande est fixe, cela revient à faire converger le système vers un état où la taille des anneaux est fixée par cette demande et où le prix des cultures s'ajuste pour atteindre cette taille (plutôt que d'avoir une taille d'anneaux générée par un prix fixe). Pour aller plus loin et avoir un modèle de marché un peu plus réaliste il faudrait pouvoir analyser ce qui se passerait avec une demande variable et en volume et en structure, mais cela serait du domaine de la simulation de marchés, qui est un domaine de recherche à part entière.

Observer l'effet du taux de décroissance : un taux de décroissance élevé rend le système instable (grandes oscillations rapides).

## Villes

Elles ont toutes la même taille de marché et la même structure de demande.

L'exploration du modèle de Von Thünen peut aussi être effectuée par la modification des hypothèses précédentes. C'est ce que propose le modèle enrichi de Von Thünen.

## Modification des paramètres en fonction de la modification de différentes hypothèses du modèle

### Sur la question d'un marché à prix fixe

Exemple contextuel réel qui peut s'en rapprocher : l'illustration d'une crise agricole montre que les variations de l'offre influencent directement les prix payés aux producteurs sur le marché. L'arrivée du Viêt Nam (suite à une décision de l'OMC) sur le marché du café, combinée à l'énorme expansion de la culture au Brésil, sont les deux principales raisons invoquées pour
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expliquer la chute du cours du milieu des années 1990 : augmentation de l'offre sur une demande mondiale stable.

## Quels paramètres sont mobilisés ?

Coûts de production (arrivée de subventions par exemple) ou de transport.

Résultats : La production la plus rentable est de plus en plus choisie, ce qui a pour conséquence d'augmenter sensiblement l'offre par rapport à la demande et ainsi de provoquer une chute des prix du produit. Les agriculteurs se reconvertissent alors dans une autre culture plus rentable. De plus, le nombre d'agriculteurs diminue fortement, ce qui a pour conséquence de réduire l'offre et faire remonter les prix.

Constat :

- La diminution brusque d'un coût de production (Figure 63), suivit d'une augmentation jusqu'au coût précédent permet de revenir à un état de pré-crise en terme de nombre d'agriculteurs (Figure 64).

- La modification brusque par augmentation d'un coût de production d'une culture converge aussi vers une situation d'équilibre.

- L'économie de marché des différentes cultures semble très résiliante aux crises, dans le cas d'une demande stable.

- Avec les agriculteurs maximisateurs, le taux de variation des prix, qui est inversement proportionnel à la production, fait aussi converger le modèle de Von Thünen vers un état stable. Seul le nombre d'agriculteurs varie.
## Fiche pédagogique

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<figure><img src="image_572.png" /><figcaption>**Figure 63.** Prix des produits</figcaption></figure>

<figure><img src="image_573.png" /><figcaption>**Figure 64.** Nombre d'agriculteurs</figcaption></figure>

## Sur la question de l'homogénéité des agriculteurs.

Sur ce point, il est important de préciser que la modification de ce paramètre n'est intéressante que dans le modèle où le prix des produits varie en fonction de l'offre. Dans le cas où les prix au marché sont fixes, la convergence vers la structure standard de Von Thünen ne dépend que du temps de diffusion de l'innovation et ne met pas en valeur les choix effectués par les agriculteurs en fonction d'une rente optimale.

Exemple contextuel réel qui peut s'en rapprocher : la vitesse de diffusion de l'innovation en agriculture se retrouve à différentes époques (néolithique, révolution techniques ou fourragères). La façon dont l'innovation circule semble être un facteur intéressant à étudier dans la configuration du modèle de Von Thünen.

## Quels paramètres sont mobilisés ?

Variation des taux de chaque profil d'agriculteur.

**Résultats** : La variation du taux d'agriculteurs innovant par rapport aux autres profils n'a d'influence que sur la vitesse de convergence du modèle (Figure 65). Il existe toutefois des
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variations intéressantes à étudier, notamment grâce aux variations des prix des produits sur le marché (voir premier constat).

Constat : Dans une configuration où il n'y a pas d'agriculteurs de type "Early adopter" et où les agents ne sont jamais remplacés (sauf dans le cas d'une rente négative). Lorsque les prix du marché évoluent, on remarque que les cercles de Von Thünen sont formés mais perturbés par les agents résistants, alors que leur culture n'est plus optimale, suite à l'évolution du marché. Ils sont persistants. Dans la réalité, ce biais est réglé par le changement naturel de génération (les agriculteurs meurent et sont remplacés). Dans le modèle, on peut simuler ce renouvellement par une fonction de mort naturelle, ce qui accélère grandement la convergence du modèle (Figure 66).

<figure><img src="image_576.png" /><figcaption>**Figure 65.** Visualisation d'une situation avec un taux très faible d'optimisateurs. Les zones noires correspondent aux zones non rentables et non recolonisées</figcaption></figure>

<figure><img src="image_577.png" /><figcaption>**Figure 66.** Visualisation d'anneaux concentriques persistants (notamment la culture blanche)</figcaption></figure>
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## Sur la question du marché unique

Exemple contextuel réel qui peut s'en rapprocher : Principe de réalité...

### Quel(s) paramètre(s) est(sont) mobilisé(s) ? : Le nombre de marché.

Résultats : Les producteurs s'organisent autour de chaque marché. Le modèle de Von Thünen converge. Il y a union des cercles les plus proches.

Constat : Le modèle de Von Thünen n'est absolument pas perturbé par le nombre de marché dans l'espace. Il est reproduit aussi souvent que le nombre de marchés (Figure 67). Il en résulte une 'contraction' de l'espace par réduction des coûts de transport qui permet de produire toujours plus loin du marché central et donne lieu à une spécialisation des espaces adaptés à la production d'un type de culture. Aujourd'hui les produits consommés dans les villes proviennent de bassins de production qui peuvent être localisés à des distances très éloignées. La pertinence du modèle du Von Thünen se déplace ainsi de l'échelle locale à l'échelle méso ou macrogéographique que ce soit national ou mondial (Amor Belhedi). Les distances ne sont plus euclidiennes, mais le coût du transport est toujours une variable importante.
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<figure><img src="image_582.png" /><figcaption>**Figure 67.** Exemple d'une configuration présentant plusieurs marchés</figcaption></figure>

## E. Conclusion

En conclusion, le modèle de Von Thünen constitue un modèle de référence dans le champ de l'analyse spatiale. Il permet aux étudiants suivant un cursus en géographie ou en économie d'acquérir des connaissances à la fois théoriques et pratiques en géographie économique et en économie spatiale. Le modèle de Von Thünen permet dans un premier temps de comprendre la manière dont s'organise l'espace agricole autour d'un marché, en fonction des coûts de production agricole. Il offre ensuite la possibilité de faire varier un certain nombre de paramètres (nombre de marchés, diffusion de la connaissance entre agriculteurs aux comportements différents, variation de l'offre sur le prix des produits) afin de tester la robustesse du modèle. Sur le plan pédagogique, c'est un modèle déjà abordé par de nombreux étudiants, même débutants : ils connaissent le principe et l'intérêt général du modèle. Débuter la simulation avec ce type de modèle est donc peut être plus évident. Par ailleurs, le modèle de Von Thünen permet des expérimentations ayant pour illustration des cas concrets de notre
Fiche pédagogique

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Collectif MAPS

Modèle Von Thünen

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Mai 2014

MAPS 3

http://maps.hypotheses.org

monde moderne. Enfin, ce modèle est peut être aussi une bonne introduction à d'autres modèles économiques, plus complexes, comme ceux d'Alonso.

F. Bibliographie

Alonso W., 1964, Location *and land use, Toward a general theory of land rent*, p. 204. Cambridge: Harvard University Press. 19641802976

Belhedi A., 2010. *Les modèles de localisation des activités économiques*, http://amor-belhedi.voila.net/mlae.pdf, 203p.

Lemoy R., Raux C. and Jensen P., 2011. "An agent-based model of residential patterns and social structure in urban areas", *Cybergeo : European Journal of Geography, Systèmes, Modélisation, Géostatistiques*, article 512, URL : http://cybergeo.revues.org/23381.

Lemoy R., Raux C. and Jensen, P., 2011, *Exploring the polycentric city with an agent-based model*, http://hal.inria.fr/hal-00602087_v1/

Milligton et al, 2008, "An Agent-Based Model of Mediterranean Agricultural Land-Use/Cover Change for Examining Wildfire Risk", *Journal of Artificial Societies and Social Simulation*, vol. 11, n°. 44 : http://jasss.soc.surrey.ac.uk/11/4/4.html

Sazaki Y., Box P., 2003. "Agent-Based Verification of von Thünen's Location Theory", *Journal of Artificial Societies and Social Simulation*, vol. 6, n° 2, http://jasss.soc.surrey.ac.uk/6/2/9.html
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A l'issue de cinq années de sessions de formation et de conférences, le collectif MAPS livre un recueil d'une dizaine de fiches pédagogiques présentant des modèles à base d'agents de phénomènes spatialisés. Les membres du réseau MAPS ont œuvré pour produire des contenus didactiques, aisés à prendre à main et pertinents tant pour les novices que pour les plus expérimentés.

Le classement des modèles en fonction des thématiques (réseau, comportements adaptatifs, épidémiologie, analyse spatiale), des disciplines (géographie, sciences politiques, écologie...) mais aussi des méthodologies (simulation participative, couplage micro-macro) permet une exploration analytique du recueil. Les modèles implémentés sous NetLogo sont téléchargeables en ligne, en complément des fiches.

## Auteurs

* Géraldine ABRAMI (GEAU, IRSTEA, Montpellier),
* Marion AMALRIC (CITERES, CNRS, Tours),
* Frédéric AMBLARD (IRIT, CNRS, Toulouse),
* Brice ANSELME (PRODIG, CNRS, Paris),
* Arnaud BANOS (Géographie-Cités, CNRS, Paris),
* Elise BECK (PACTE, CNRS, Grenoble),
* Nicolas BECU (LIENSs, CNRS, La Rochelle),
* Baptiste BLANPAIN, (IDEES, CNRS, Rouen)
* Sébastien CAILLAULT (ESO, CNRS, Angers),
* Nathalie CORSON (LMAH, Le Havre),
* Eric DAUDÉ (IDEES, CNRS, Rouen),
* Marta DEBOLINI (EMMAH, CNRS, Avignon)
* Etienne DELAY (GEOLAB, CNRS, Limoges),
* Françoise DURAFFOUR (PRODIG, CNRS, Paris),
* Aurélie GAUDIEUX (C3EDM, Madagascar)
* Benoit GAUDOU (IRIT, CNRS, Toulouse),
* Thomas HOUET (GEODE, CNRS, Toulouse),
* Patrice LANGLOIS (IDEES, CNRS, Rouen),
* Vincent LAPERRIÈRE (ESPACE, CNRS, Aix-Marseille),
* Rémi LEMOY (LET, CNRS, Lyon)
* Thomas LOUAIL (IRIT, CNRS, Toulouse),
* Nicolas MARILLEAU (UMMISCO, IRD, Bondy)
* François MIAHLE (EVS, CNRS, Lyon)
* Claude MONTEIL (DYNAFOR, INRA, Toulouse),
* Diego MORENO (ESPACE, CNRS, Nice),
* Cyril Pivano (PRODIG, CNRS, Paris)
* Romain REULIER (LETG, CNRS, Caen),
* Sebastien REY COYREHOURCQ (Géographie-Cités, CNRS, Paris)
* Frédéric ROUSSEAUX (LIENSs, CNRS, La Rochelle),
* Paul SALZE (LIVE, CNRS, Strasbourg)
* Clara SCHMITT (Géographie-Cités, CNRS, Paris),
* David SHEEREN (DYNAFOR, INRA, Toulouse)
* Patrick TAILLANDIER (IDEES, CNRS, Rouen)
* Hugo THIERRY (DYNAFOR, INRA, Toulouse),
* Clémence VANNIER (LETG, CNRS, Nantes)

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