Eliminiert man die Zahlen $A_1, A_2$ aus den ersten zwei Gleichungen, so ergibt sich die Gleichung

$$ (7) \qquad \Gamma_{l-1}^l + \Theta_1 \zeta^{l-1} \Gamma_1^l = \Theta_0 (1 + \zeta^{l-1}) \lambda^{(n-1)l} \Gamma_0^l, $$

in welcher $\Theta_1 \zeta^{l-1}$ eine primäre Einheit, also nach [3] die $l^{\text{te}}$ Potenz einer Einheit aus $k_l$ ist. Hierdurch wird aus (7)

$$ (8) \qquad \Gamma_{l-1}^l + \Gamma_{l-1}^{l'} = \Theta_0 \lambda^{(n-1)l} \Gamma_0^{l'}, $$

wobei $\Gamma_l'$ eine zu $\mathcal{L}_l$ prime Zahl aus $k_l$ darstellt. (8) hat dieselbe Form wie (1), das angewandte Verfahren kann also wiederholt werden. Nach $n-1$ Schritten gelangt man zu einer Gleichung, in der der Exponent von $\lambda$ gleich $l$ ist; dies ist jedoch wegen (6) unmöglich. Damit ist unser Satz bewiesen.

Zitate

Les courbures (ordinaires) d'une courbe située sur une hyper-
surface et les courbures géodésiques et normales ainsi que la
torsion géodésique de cette courbe

par S. GOŁAB (Kraków)

§ 1. Soient données une surface $V_2$ plongée dans un espace riemannien $V_3$ et une courbe $V_1$ sur cette surface. La surface $V_2$ et la courbe $V_1$ étant suffisamment régulières, en chaque point $p$ de la courbe $V_1$ existeront la courbure première $k_1$ et la torsion $k_2$ (si $V_1$ sera envisagée comme située dans $V_3$) ainsi que la courbure géodésique $a$, la courbure normale $\gamma$ et la torsion géodésique $\beta$ (si $V_1$ sera envisagée comme située sur $V_2$).

La torsion $k_2$ existe seulement au cas, où la courbure $k_1$ ne disparait pas identiquement, c'est-à-dire quand $V_1$ n'est pas une géodésique de l'espace ambiant $V_3$. Les courbures $a, \beta, \gamma$ existent en tout cas.

Entre les courbures $k_1, k_2, a, \beta, \gamma$ ont lieu deux relations. On a notamment

$$ (1) \qquad k_1 = \sqrt{a^2 + \gamma^2}, $$

$$ (2) \qquad k_2 = \beta + \frac{\alpha\gamma' - \gamma\alpha'}{\alpha^2 + \gamma^2} \quad \text{si } k_1 > 0^1). $$

L'accent signifie ici l'opération de la différentiation par rapport à l'arc de la courbe $V_1$. La formule (2) subsiste sous une orientation convenable du trièdre de Darboux (ou sous une orientation convenable de la surface $V_2$) composé des vecteurs-unités $t_1, t_2, t_3$, où $t_i$ est tangent à $V_1, t_2$ normal à $V_2$ et $t_3$ orienté de manière que le triple $(t_1, t_2, t_3)$ ait la même orientation que le triple des vecteurs-unités sur les axes des coordonnées.

<footnote>[1] R. Fueter, *Die diophantische Gleichung $\xi^2 + \eta^2 + \zeta^3 = 0$, Sitzungsber. Heidelberger Akad. (1913), S. 1-25.</footnote>

<footnote>[2] W. Burnside, *On the Rational Solutions of the Equation $x^2+y^2+z^2=0$ in Quadratic Fields*, Proc. London Math. Soc. 14 (1915), S. 1-4.</footnote>

<footnote>[3] P. Dénes, *Über eine rekurrente Serie von relativ-zyklischen algebraischen Zahlkörpern*, Monatshefte f. Math. 55 (1951), S. 229-232.</footnote>

<footnote n="1">1) [1], comp. les formules (193) et (196*). La formule (2) peut être écrite sous la forme $k_2 = \beta + \left(\operatorname{arc tg} \frac{\gamma'}{a}\right)' = \beta + \frac{d\omega}{ds}$, où $\omega$ est l'angle entre la normale principale et la normale à la surface (Bonnet).</footnote>
Réciproquement les courbures $a, \beta, \gamma$ ne peuvent être exprimées au moyen des courbures $k_1$ et $k_2$. Cette circonstance aura lieu seulement pour les courbes de types spéciaux, par exemple pour les courbes géodésiques, les courbes asymptotiques et pour les lignes de courbure.

On sait, que les courbes géodésiques sont caractérisées par l'identité

$$ (3) \qquad a \equiv 0, $$

les lignes asymptotiques par l'identité

$$ (4) \qquad \gamma \equiv 0 $$

et les lignes de courbure par l'identité

$$ (5) \qquad \beta \equiv 0^2). $$

On voit de là, d'après les formules (1) et (2), que, pour les courbes géodésiques, on a

$$ (6) \qquad \gamma = \varepsilon k_1, \quad \beta = k_2 \qquad (\varepsilon^2=1). $$

Pour les courbes asymptotiques, on a les formules tout à fait analogues

$$ (7) \qquad a = \eta k_1, \quad \beta = k_2 \qquad (\eta^2 = 1). $$

Pour les lignes de courbure enfin le calcul ci-dessous conduit aux formules donnant $a$ et $\gamma$. En raison de (1), on peut poser

$$ (8) \qquad a = \varepsilon_1 k_1 \cos \varphi, \quad \gamma = \varepsilon_2 k_1 \sin \varphi \qquad (\varphi = \varphi(s)), $$

où

$$ (9) \qquad \varepsilon_1^2 = \varepsilon_2^2 = 1 $$

et la fonction $\varphi(s)$ est à déterminer. En différentiant les relations (8), on obtient

$$ (10) \qquad a' = \varepsilon_1 [k'_1 \cos \varphi - k_1 \varphi' \sin \varphi], \quad \gamma' = \varepsilon_2 [k'_1 \sin \varphi + k_1 \varphi' \cos \varphi]. $$

En substituant (10) et (8) dans la formule

$$ (11) \qquad k_2 = \frac{a\gamma' - \gamma a'}{a^2 + \gamma^2} $$

($\beta \equiv 0$ pour les lignes de courbure), il vient

$$ (12) \qquad k_2 = \varepsilon_1 \varepsilon_2 \varphi' = \varepsilon \varphi' \qquad (\varepsilon = \varepsilon_1 \varepsilon_2), $$

d'où on a

$$ (13) \qquad \varphi' = \varepsilon k_2 $$

et, par conséquent,

$$ (14) \qquad \varphi = \varepsilon \left[ \int_{0}^{s} k_{2}(s) \, ds + \delta \right] $$

où $\delta$ est une constante. En substituant (14) dans (8) on obtient finalement

$$ (15) \qquad a = \varepsilon_1 k_1 \cos \left[ \int_0^s k_2(s) \, ds + \delta \right], \quad \gamma = \varepsilon_1 k_1 \sin \left[ \int_0^s k_2(s) \, ds + \delta \right]. $$

On peut tirer immédiatement des formules (6), (7) et (15) les conséquences suivantes.

**THÉORÈME 1.** Si une courbe géodésique est plane ($k_1 \neq 0, k_2 = 0$), elle est une ligne de courbure<fnref n="3" />).

**THÉORÈME 2.** Si une courbe asymptotique est plane ($k_1 \neq 0, k_2 = 0$), elle est une ligne de courbure<fnref n="4" />).

**THÉORÈME 3.** La condition nécessaire et suffisante pour que le rapport des courbures géodésique et normale soit constant pour une ligne de courbure est que cette ligne soit plane.

**§ 2.** Proposons nous de savoir si les théorèmes précédents se laissent généraliser aux espaces à plusieurs dimensions, c'est-à-dire à une hypersurface $V_{n-1}$ plongée dans un espace riemannien $V_n$ et une courbe $V_1$ donnée sur $V_{n-1}$.

Dans ce cas, on peut, comme je l'ai démontré ailleurs, déterminer en chaque point $p$ de la courbe $V_1$, à part les courbures $k_1, \dots, k_{n-1}$ provenant du $n$-ième de Frenet, $2n-3$ scalaires

$$ (16) \qquad a_2, \dots, a_{n-1}, \gamma, \beta_2, \dots, \beta_{n-1} $$

où $\gamma$ est invariant absolu, tandis que les $a_2, \dots, a_{n-1}$ et les $\beta_2, \dots, \beta_{n-1}$ sont des invariants relatifs; ils se transforment notamment comme les composantes d'un vecteur contravariant d'un espace à $n-2$ dimensions

<footnote n="2">²) Voir par exemple [2], p. 91.</footnote>

<footnote n="3">³) Cf. par exemple [3], p. 296.</footnote>

<footnote n="4">⁴) C'est un théorème dans un sens réciproque au théorème bien connu: une ligne qui est en même temps asymptotique et ligne de courbure, est nécessairement plane.</footnote>

<footnote n="5">⁵) Voir [1], les formules (59).</footnote>
(orthogonal à $V_1$ et tangent à $V_{n-1}$) par rapport au groupe orthogonal. De là, il suit en particulier que les quantités

$$ (17) \qquad \alpha = \sqrt{\sum_{\mu} a_{\mu}^{2}} $$

et

$$ (18) \qquad \beta = \sqrt{\sum_{\mu} \beta_{\mu}^{2}} $$

sont des invariants absolus. L'invariant $\alpha$ peut être nommé courbure géodésique de la courbe $V_1$ (au point $p$), $\beta$ torsion géodésique, $\gamma$ enfin courbure normale<fnref n="6" />). Remarquons que pour $n \ge 4$ les quantités $\alpha$ et $\beta$ sont non négatives, tandis que $\gamma$ peut avoir le signe arbitraire.

J'ai démontré dans un travail précédent que les courbures $k_i$ sont des fonctions algébriques des coefficients (16) et de leurs dérivées<fnref n="7" />). On $\alpha$, en particulier,

$$ (19) \qquad k_1 = \sqrt{a^2 + \gamma^2} $$

et

$$ (20) \qquad k_2 = \frac{\sqrt{[k_1(\sum_{\mu} a_{\mu}\beta_{\mu} + \gamma') - \gamma k_1']^2 + \sum_{\mu} [k_1(a'_{\mu} - \gamma\beta_{\mu}) - a_{\mu}k_1']^2}}{k_1^2} \quad \text{si } k_1 > 0^8). $$

Remarque. Pour $n=3$, il faut assujettir au deuxième membre de la formule (20) un signe convenable.

Des formules précédentes on peut conclure que, pour les courbes géodésiques ($\alpha=0$), on a

$$ (21) \qquad k_1 = |\gamma|, \quad k_2 = \beta. $$

Donc, pour $n \ge 4$, des formules analogues aux formules (6) qui ont lieu pour $n=3$, subsistent. Il s'ensuit de là que le théorème 1 se laisse généraliser aux espaces à plusieurs dimensions.

Pour les courbes asymptotiques ($\gamma \ge 0$), les formules (19) et (20) se transforment en les suivantes

$$ (22) \qquad k_1 = \alpha, \quad k_2 = \frac{\sqrt{a^2 \left(\sum_{\mu} a_{\mu} \beta_{\mu}\right)^2 + \sum_{\mu} \left[aa'_{\mu} - a_{\mu} \frac{\sum_{\lambda} a_{\lambda} a'_{\lambda}}{a}\right]^2}}{a^2}. $$

Supposons maintenant que la courbe soit plane, c'est-à-dire que $k_2=0$. On obtient de cette hypothèse, comme conditions nécessaires, les relations suivantes

$$ (23) \qquad \sum_{\mu} a_{\mu} \beta_{\mu} = 0, \\ a^2 a'_{\mu} - a_{\mu} \sum_{\lambda} a_{\lambda} a'_{\lambda} = 0 \quad (\mu=2,3,\dots,n-1). $$

La seconde des relations précédentes conduit aux conséquences successives

$$ \frac{a'_{\mu}}{a_{\mu}} = \frac{\sum a_{\lambda} a'_{\lambda}}{\sum a_{\lambda}^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sum 2a_{\lambda} a'_{\lambda}}{\sum a_{\lambda}^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{d}{ds}(\sum a_{\lambda}^{2})}{\sum a_{\lambda}^{2}}, $$

$$ \frac{a'_{\mu}}{a_{\mu}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{d}{ds}(a^2)}{a^2}, \qquad \int \frac{a'_{\mu}}{a_{\mu}} ds = \frac{1}{2} \int \frac{d(a^2)}{a^2}, $$

$$ \ln|a_{\mu}| = \frac{1}{2} \ln(a^2) + \bar{C}_{\mu} = \ln a + \bar{C}_{\mu}, $$

$$ (24) \qquad a_{\mu} = C_{\mu} \alpha \quad \text{pour } \mu=2,3,\dots,n-1, \\ \text{où } C_{\mu} \text{ sont des constantes. Puisque } k_1 > 0 \text{ et } k_1 = \alpha, \text{ on a} $$

$$ (25) \qquad a^2 = \sum a_{\mu}^2 = \sum C_{\mu}^2 a^2 = (\sum C_{\mu}^2) a^2, \\ \text{et, par conséquent,} $$

$$ (26) \qquad \sum_{\mu} C_{\mu}^2 = 1. $$

En substituant les relations (24) dans la première équation (23), et en tenant compte de l'inégalité $a>0$, on parvient à la liaison

$$ (27) \qquad \sum C_{\mu} \beta_{\mu} = 0. $$

Cette condition confrontée avec (26) dit que les fonctions $\beta_{\mu}(s)$ sont linéairement dépendentes, mais elles ne doivent pas nécessairement s'annuler identiquement, l'identité $\beta=0$ n'est donc pas, pour $n \ge 4$, une conséquence des relations (23).

Réciproquement, si on prenait la fonction $a(s) \ge 0$ arbitrairement, mais $a(s) \ne 0$, si les fonctions $\beta_{\mu}(s)$ pour $\mu=2,3,\dots,n-2$ étaient choisies d'une façon tout à fait arbitraire, les constantes $C_2, C_3, \dots, C_{n-2}$ aussi, si ensuite la constante $C_{n-1}$ ainsi que la fonction $\beta_{n-1}(s)$ étaient détérminées de la relation (27) et si enfin les fonctions $a_{\mu}$ ($\mu=2,3,\dots,n-1$) étaient

<footnote n="6">⁶) Cf. [4]. Pour $n=3$ les quantités $\alpha, \beta$ se confondent avec les notions classiques à un signe près.</footnote>

<footnote n="7">⁷) [1], p. 127, la formule (116).</footnote>

<footnote n="8">⁸) [1], p. 127, les formules (114) et (115).</footnote>
définies au moyen de la formule (24), alors il existerait dans $V_n$ une courbe $V_1$ avec la propriété suivante. On peut mener par $V_1$ une hypersurface $V_{n-1}$ telle que pour $V_1$ la courbure et la torsion géodésique soient données par les formules (17) et (18), que $V_1$ soit une courbe asymptotique par rapport à $V_{n-1}$, que $V_1$ soit une courbe plane ($k_2=0$) et que $V_1$ ne soit pas une ligne de courbure ($\beta \neq 0$).

On peut donc conclure, que le théorème 2 n'est pas vrai dans l'espace à plusieurs dimensions.

Supposons maintenant, que $V_1$ soit une ligne de courbure ($\beta=0$) et qu'en même temps elle ne soit pas une géodésique dans $V_n$ ($k_1>0$). Dans ce cas, les formules (19) et (20) prennent la forme

$$ (28) \qquad k_1 = \sqrt{a^2 + \gamma^2}, \qquad k_2 = \frac{\sqrt{(k_1\gamma')^2 + \sum_{\lambda} [k_1a'_{\lambda} - a_{\lambda}k_1']^2}}{k_1^2}. $$

Supposons encore que la courbe $V_1$ soit plane, c'est-à-dire que $k_2=0$. Cette hypothèse conduit aux identités suivantes

$$ (29) \qquad k_1\gamma' - \gamma k_1' = 0, \qquad k_1a'_{\lambda} - a_{\lambda}k_1' = 0 \quad \text{pour } \lambda=2,3,\dots,n-1 $$

qui, vu l'inégalité $k_1>0$, peuvent être transcrites sous la forme

$$ \left(\frac{\gamma}{k_1}\right)' = 0, \qquad \left(\frac{a_\lambda}{k_1}\right)' = 0 \quad (\lambda=2,3,\dots,n-1). $$

Cela donne

$$ (30) \qquad \gamma = Ck_1, \qquad a_\lambda = D_\lambda k_1, $$

où $C$ et $D_\lambda$ sont des constantes. Les relations (30) et (28) conduisent à l'égalité

$$ C^2 + \sum D_\lambda^2 = 1 $$

qui signifie que pas toutes les constantes $D_\lambda$ et $C_1$ sont égales à zéro. Comme $a=\sqrt{\sum a_\lambda^2}$, on a pour $a>0$

$$ (31) \qquad \frac{\gamma}{a} = \frac{C}{\sqrt{\sum D_\lambda^2}} $$

et la relation (31) exprime que le rapport des courbures normale et géodésique est constant le long de la ligne $V_1$. Dans le cas $a=0$, le rapport $a/\gamma$ est aussi constant le long de la courbe $V_1$ (et égal à zéro).

Réciproquement, supposons qu'on ait

$$ (32) \qquad \gamma = Ea, $$

où $E$ est une constante. Dans ce cas $k_1\gamma' - \gamma k_1' = 0$, mais les différences

$$ k_1 a'_{\lambda} - a_{\lambda} k_1' = \frac{1}{a} \left( a^2 a'_{\lambda} - a_{\lambda} \sum_{\mu} a_{\mu} a'_{\mu} \right) $$

ne disparaissent pas nécessairement. On peut facilement construire un contre-exemple pour $n=4$. La courbe $V_1$ ne doit pas être plane dans nos hypothèses.

Seulement une partie du théorème 3 conserve sa validité pour $n \ge 4$, notamment

**THÉORÈME 4.** Si la ligne de courbure est plane, le rapport de la courbure normale et géodésique a une valeur constante (la réciproque n'est pas exacte).

**THÉORÈME 5.** Si la courbe $V_1$ située sur une $V_{n-1}$ plongée dans $V_n$ est asymptotique (de deuxième ordre) et plane, elle est asymptotique d'ordre arbitraire ($\le n-1$)°).

**Démonstration.** J'ai établi que la condition nécessaire et suffisante pour que la courbe soit asymptotique d'ordre $p$ ($p \ge 3$) consiste en ce qu'on ait les relations suivantes<fnref n="10" />)

$$ (33) \qquad \gamma = 0, \qquad \sum_{\mu} \beta_{\mu} a_{\mu}^{(r)} = 0 \quad \text{pour } r=0,1,2,\dots,p-3, $$

où $a_{\mu}^{(r)}$ désigne la dérivée d'ordre $r$ de la fonction $a_{\mu}$ ($a_{\mu}^{(0)}$ désigne la fonction $a_{\mu}$ même).

La condition $\gamma=0$ est satisfaite en vertu de l'hypothèse que la courbe soit asymptotique d'ordre 2.

La relation

$$ \sum_{\mu} \beta_{\mu} a_{\mu} \equiv 0 $$

est identique avec la première équation (23). On tire de la formule (24), qui est dans nos hypothèses satisfaite, les identités

$$ a_{\mu}^{(r)} = C_{\mu} a^{(r)} \quad (\mu=2,3,\dots,n-1). $$

On a donc

$$ (34) \qquad \sum \beta_{\mu} a_{\mu}^{(r)} = \sum \beta_{\mu} C_{\mu} a^{(r)} = a^{(r)} \sum C_{\mu} \beta_{\mu}, $$

ce qui est égal à zéro d'après la relation (27), et le théorème est ainsi démontré.

<footnote>*) Pour la définition de la notion de ligne asymptotique d'ordre $p$, cf. [1], p. 105.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰) [1], p. 124, les formules (105).</footnote>
## Travaux cités

[1] S. Gołab, Généralisation des équations de Bonnet-Kowalewski dans l'espace à un nombre arbitraire de dimensions. Ann. Soc. Polon. Math. 22 (1949), p. 97-156.

[2] G. Kowalewski, Allgemeine natürliche Geometrie und Liesche Transformationsgruppen, Berlin und Leipzig 1931.

[3] L. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, T. I, Pisa 1923.

[4] S. Gołab et T. Wróbel, Courbure et torsion géodésique pour les courbes situées sur les hypersurfaces à n-1 dimensions plongés dans l'espace à n dimensions. Ann. Soc. Polon. Math. 26 (1951), p. 28-54.

INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK
INSTITUT MATHÉMATIQUE DE L'ACADÈMIE POLONAISE DES SCIENCES

## Remarques sur les racines d'une congruence

par W. SIERPIŃSKI (Warszawa)

Dans une note encore non publiée M. M. Chojnacka a démontré que pour des modules composés $m$ (par exemple pour les modules 6, 8 et 10) il existe trois entiers $a, b, c$ non congruents deux à deux modulo $m$, tels que si $f(x)$ est un polynôme en $x$ aux coefficients entiers et si $f(a) \equiv f(b) \equiv 0 \pmod{m}$, on ait aussi $f(c) \equiv 0 \pmod{m}$. (M. M. Chojnacka a prouvé que cette proposition est fausse pour $m=4$ et pour les modules premiers.) Je généraliserai ici la proposition de M. M. Chojnacka en démontrant le théorème suivant:

**THÉORÈME.** Si $m$ est un module composé $\neq 4$, il existe deux entiers $a$ et $b$ tels que $a \neq 0 \pmod{m}$, $b \neq 0 \pmod{m}$ et que, si $f(x)$ est un polynôme aux coefficients entiers tel que $f(a) \equiv f(b) \equiv 0 \pmod{m}$, on ait aussi $f(0) \equiv 0 \pmod{m}$.

**Démonstration.** Distinguons trois cas:

1. $m$ est le carré d'un nombre premier, $m=p^2$. Comme $m \neq 4$, $p$ est un nombre premier impair. Soit $a=p$, $b=-p$; on a donc $a \neq 0 \pmod{m}$ et $b \neq 0 \pmod{m}$. Soit $f(x)$ un polynôme aux coefficients entiers

(1) $$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n,$$ et supposons $f(a) \equiv f(b) \equiv 0 \pmod{m}$. Vu que $p^2 \equiv 0 \pmod{m}$ pour $l=2,3,\dots,n$, on trouve, d'après la formule (1), $a_{n-1}p + a_n \equiv 0 \pmod{m}$ et $-a_{n-1}p + a_n \equiv 0 \pmod{m}$, d'où, en additionant : $2a_n \equiv 0 \pmod{m}$, c'est-à-dire $m|2a_n$; m étant un nombre impair, il en résulte que $m|a_n$, donc $f(0) = a_n \equiv 0 \pmod{m}$. On a ainsi $f(0) \equiv 0 \pmod{m}$.

2. $m = p^a$, où $p$ est un nombre premier et $a \geq 3$. On a donc $2a-3 = a+(a-3)\geq a$, et $m|p^{2a-3}$. Posons $a = p^{a-2}$ et $b = p^{a-1}$. On aura $a \neq 0 \pmod{m}$ et $b \neq 0 \pmod{m}$. Soit (1) un polynôme aux coefficients entiers et supposons que $f(a) \equiv f(b) \equiv 0 \pmod{m}$. Comme $a \geq 3$ et $p^{2a-3} \equiv 0 \pmod{m}$, on trouve sans peine $pf(a) = a_{n-1}p^{a-1} + pa_n \pmod{m}$ et $f(b) = a_{n-1}p^{a-1} + a_n \pmod{m}$ d'où, en soustrayant : $(p-1)a_n \equiv 0 \pmod{m}$. On a évidemment $(p, p-1)=1$ et, comme $m = p^a$, on a $(m, p-1)=1$. Il résulte donc de $m|(p-1)a_n$ que $m|a_n$, et $f(0) = a_n \equiv 0 \pmod{m}$.