# Contrôle optimal de condensats de Bose-Einstein dans un réseau optique

Nathan Dupont

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Nathan Dupont. Contrôle optimal de condensats de Bose-Einstein dans un réseau optique. 2022. [hal-04000756](https://hal.science/hal-04000756)

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# Contrôle optimal de condensats de Bose-Einstein dans un réseau optique

Nathan Dupont

15 décembre 2022

Laboratoire Collisions Agrégats et Réactivité, Toulouse

Thèse encadrée par David Guéry-Odelin
* Thèse expérimentale dans le domaine des gaz quantiques :

- accès immédiat au comportement quantique de la matière,

- réalisation de potentiels lumineux sans défauts,

- grand degré de contrôle sur le système.

* Systèmes idéaux pour la **simulation quantique**. Réalisations récentes :

Antiferromagnétisme avec
des atomes de Rydberg

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Nature, 595 233 (2021)

Pompage de Thouless
dans un super-réseau

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Nat. Phys., 12 350 (2016)

Supersolidité
en cavité

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Nature, 543 7643 (2017)
Notre système :

* Condensat de Bose-Einstein (CBE)

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

→ **Onde de matière "géante"** (~ 1 µm) peuplée de manière cohérente par un nombre macroscopique d'atomes.

* Réseau optique uni-dimensionnel

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

→ **Potentiel sinusoïdal contrôlable créé par l'interférence de deux faisceaux laser.**

**Ma thèse :** étude de la dynamique de ces ondes de matière dans ce potentiel de lumière
* Introduction

- Système expérimental

- Résumé des travaux

* Contrôle optimal quantique

- Introduction et méthode

- Expériences de contrôle

* Application à la simulation quantique : effet tunnel dynamique

* Conclusion et perspectives
## Introduction

- Système expérimental

- Résumé des travaux

* Contrôle optimal quantique

- Introduction et méthode

- Expériences de contrôle

* Application à la simulation quantique : effet tunnel dynamique

* Conclusion et perspectives
<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Refroidissement séquentiel d'un gaz de $^{87}$Rb :

* Pièges magnéto-optiques (2D et 3D)

* Évaporation micro-onde dans un piège magnétique

* Évaporation dans un piège optique

→ CBE de ~ 5 · 10⁵ atomes toutes les 22 secondes
Notre système : réseau optique 1D contrôlable

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
<figure><img src="image_12.png" /></figure>

$$H(x, p) = \frac{p^2}{2m} - s \frac{E_L}{2} \cos(k_L x)$$

avec :

* la masse atomique $m$ du $^{87}$Rb

* la périodicité $d = \lambda/2 = 532$ nm

* le nombre d'onde $k_L = 2\pi/d$

* l'énergie caractéristique

$$E_L = \hbar^2 k_L^2 / 2m = 4E_r$$
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

$$H(x, p, t) = \frac{p^2}{2m} - s(t) \frac{E_L}{2} \cos(k_L x + \varphi(t))$$

avec :

* la masse atomique $m$ du $^{87}$Rb

* la périodicité $d = \lambda/2 = 532$ nm

* le nombre d'onde $k_L = 2\pi/d$

* l'énergie caractéristique

$$E_L = \hbar^2 k_L^2 / 2m = 4E_r$$

$s(t)$ et $\varphi(t)$ : contrôlés par l'intensité et la phase relative des faisceaux laser via trois modulateurs acousto-optiques (AOM)
$$|\psi(t)\rangle = \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} c_{\ell}(t) |\chi_{\ell}\rangle$$

• ondes planes $\chi_{\ell}(x) \propto e^{i(\ell k_L + q)x}$

• ici : quasi-moment $q = 0$

• $c_{\ell} \in \mathbb{C}$, $\sum_{\ell \in \mathbb{Z}} |c_{\ell}|^2 = 1$

## Chargement adiabatique de l'état fondamental $|\phi_0\rangle$ :

$$|\phi_n\rangle = \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} c_{\ell}^{(n)} |\chi_{\ell}\rangle \quad \text{avec} \quad \hat{H} |\phi_n\rangle = E_n |\phi_n\rangle$$

## Imagerie après temps de vol : mesure de la distribution en impulsion ($|c_{\ell}|^2$)

<figure><img src="image_14.png" /></figure>
# Une hiérarchie d'échelles de temps

Remarque : Un système en réalité tridimensionnel

$$ U_{\text{tot.}}(x, y, z, t) = -s(t) \frac{E_L}{2} \cos(k_L x + \varphi(t)) + U_{\text{ext.}}(x, y, z), $$
où $U_{\text{ext.}}(x, y, z) \approx \frac{1}{2} m (\Omega_x^2 x^2 + \Omega_y^2 y^2 + \Omega_z^2 z^2)$ avec $(\Omega_x, \Omega_y, \Omega_z) \approx 2\pi(10, 66, 68)$ Hz

• $\nu_0 \gg (\Omega_x, \Omega_y, \Omega_z)/2\pi$ :

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

avec $\nu_L = E_L/h \approx 8111$ kHz.

on néglige $U_{\text{ext.}}(x, y, z)$ (système 1D)

• Faible confinement transverse, atomes très dilués dans les puits :

on néglige les interactions interatomiques
## Effet tunnel assisté par le chaos

Science Advances 6, eabc4486 (2020)

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Contrôle optimal dans l'espace des phases
arXiv 2210.11112 (2022)

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

## Halos de collision

New J. Phys. 22, 123032 (2020)

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Effet ratchet régulier

en préparation

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

## Contrôle optimal dans l'espace réciproque

PRX Quantum 2, 040303 (2021)

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Émergence d'un ordre supercristallin contrôlable

en préparation

<figure><img src="image_21.png" /></figure>
## Effet tunnel assisté par le chaos

Science Advances 6, eabc4486 (2020)

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Contrôle optimal dans l'espace des phases
arXiv 2210.11112 (2022)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

## Halos de collision

New J. Phys. 22, 123032 (2020)

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

## Effet ratchet régulier

en préparation

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

## Contrôle optimal dans l'espace réciproque

PRX Quantum 2, 040303 (2021)

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

## Émergence d'un ordre supercristallin contrôlable

en préparation

<figure><img src="image_27.png" /></figure>
## Effet tunnel assisté par le chaos

Science Advances 6, eabc4486 (2020)

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

## Halos de collision

New J. Phys. 22, 123032 (2020)

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

## Contrôle optimal dans l'espace réciproque

PRX Quantum 2, 040303 (2021)

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

## Contrôle optimal dans l'espace des phases

arXiv 2210.11112 (2022)

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

## Effet ratchet régulier

en préparation

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

## Emergence d'un ordre supercristallin contrôlable

en préparation

<figure><img src="image_33.png" /></figure>
* Introduction ✓

- Système expérimental

- Résumé des travaux

→ Contrôle optimal quantique

- Introduction et méthode

- Expériences de contrôle :

A. distributions en impulsion

B. phase relative entre deux composantes d'impulsion

C. distributions dans l'espace des phases et reconstruction d'état

* Application à la simulation quantique : effet tunnel dynamique

* Conclusion et perspectives
# Introduction au contrôle optimal

Système dynamique $\vec{x}(t)$ contrôlable via un ensemble de paramètres $\vec{u}(t)$ :

$$ \dot{\vec{x}}(t) = \vec{f}(\vec{x}(t), \vec{u}(t), t) $$

Théorie du contrôle optimal : formalisme mathématique pour déterminer $\vec{u}(t)$ afin de contrôler "optimalement" le système.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

→ Fonction de coût à minimiser.
## Survol historique :

- Brachistrochrone de Bernoulli (1696)

- Multiplicateurs de Lagrange (1766)

- **Principe du maximum de Pontryagin (1956) :**
  → le champ de contrôle $\vec{u}(t)$ optimal extrémalise l'hamiltonien de Pontryagin $H_P$
  Utilisé dans les programmes Spoutnik, Apollo...

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>J. Bernouilli</figcaption></figure>

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>brachistrochrone</figcaption></figure>

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>J.-L. Lagrange</figcaption></figure>

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>L. Pontryagin</figcaption></figure>

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Spoutnik 1</figcaption></figure>
* **Contrôle optimal quantique** : application aux systèmes quantiques

* **Applications en**:

- résonance magnétique nucléaire

- chimie quantique

- technologies quantiques : centres NV, photons en cavité, gaz quantique...

→ Koch et al., EPJ Quantum Technology 9, 19 (2021)

* **Exemples récents** avec des CBE :

- Déplacement d'atomes sur puces et transition de Mott en réseau 1D :
  *Sci. Rep.* **6**, 34187 (2016)

- Chargement accéléré de réseau optique 1D, 2D et 3D :
  *New J. Phys.* **20**, 055005 (2018)
* **Notre objectif** : contrôle optimal des degrés de liberté externes du CBE dans le réseau optique via sa phase : $\bar{u}(t) \rightarrow \varphi(t)$

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

$$ \bullet i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H}(\varphi(t)) |\psi(t)\rangle $$

$$ \bullet \hat{H}(\varphi(t)) = \frac{\hat{\rho}^2}{2m} - s \frac{E_L}{2} \cos(k_L \hat{r} + \varphi(t)) $$

* Calcul de $\varphi(t)$ pour amener un état initial ($|\phi_0\rangle$) vers un état cible ($|\psi_{cible}\rangle$) le plus fidèlement possible → **fidélité** à maximiser, e.g. :

$$ \mathcal{F}(|\psi_{\text{cible}}\rangle, |\psi_{\text{final}}\rangle) = |\langle\psi_{\text{cible}}|\psi_{\text{final}}\rangle|^2 $$
Champ d'essai discrétisé $\varphi_j^{(0)}$ :

* $\varphi_j^{(0)}$ donne une certaine fidélité $\mathcal{F}^{(0)}$

* Variation de la fidélité pour $\varphi_j \to \varphi_j + \delta\varphi_j$ : 
  $$ \delta\mathcal{F} = \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \varphi_j} \delta\varphi_j $$

* Corrections calculées à l'aide de $H_p$ pour $\delta\mathcal{F} \ge 0$ : 
  $$ \delta\varphi_j = \varepsilon \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \varphi_j}, \text{ avec } \varepsilon > 0 $$
Champ d'essai discrétisé $\varphi_j^{(0)}$ :

PRX Quantum, 2, 030203 (2021)

* $\varphi_j^{(0)}$ donne une certaine fidélité $\mathcal{F}^{(0)}$

* Variation de la fidélité pour $\varphi_j \to \varphi_j + \delta\varphi_j$ : 
  $\delta\mathcal{F} = \sum_{j=1}^N \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \varphi_j} \delta\varphi_j$

* **Corrections** calculées à l'aide de $H_p$ pour $\delta\mathcal{F} \ge 0$ : 
  $\delta\varphi_j = \varepsilon \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \varphi_j}$, avec $\varepsilon > 0$

* Champ de contrôle optimisé itérativement
# Méthode : protocole expérimental

* Exemple numérique de préparation de la superposition $|\chi_{-4}\rangle + |\chi_4\rangle$

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

* Durée du contrôle : quelques $T_0$, avec $T_0 = h/(E_1 - E_0) \approx 60$ µs pour $s = 5$

Contrôle hautement non-adiabatique
# A. Contrôle de la distribution en impulsion

## A.1 Préparation de composantes d'impulsion uniques :

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

$$ \text{avec } \mathcal{F} = \left( \sum_{\ell} |c_{\ell}^{(\text{exp})}| |c_{\ell}^{(\text{cible})}| \right)^2 \text{ et } \mathcal{F}_{\text{num}} = \left( \sum_{\ell} |c_{\ell}^{(\text{num})}| |c_{\ell}^{(\text{cible})}| \right)^2 $$
# A. Contrôle de la distribution en impulsion

## A.2 Préparation des $2^7 = 128$ superpositions à poids égal entre $p = -3$ et $+3 \hbar k_L$.

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

* colonnes = réalisations indépendantes concatenées horizontalement,

* grande versatilité de cibles atteignables,

* réalisations de séparatrices (d'intérêt pour l'interférométrie atomique).
B. Phase relative entre deux composantes d'impulsion

$$
\text{États étudiés : } |\psi_{\Delta\phi}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\chi_1\rangle + e^{i\Delta\phi} |\chi_1\rangle)
$$

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

Stratégie : déduction de l'état préparé à partir de son évolution dans le réseau statique
B. Phase relative entre deux composantes d'impulsion

Fit de l'évolution avec pour paramètre ajustable $\Delta\phi$ :
$$ |\psi_{\Delta\phi}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\chi_1\rangle + e^{i\Delta\phi} |\chi_1\rangle) $$
$\Delta\phi = 0$ $\Delta\phi = \pi/4$ $\Delta\phi = \pi/2$ $\Delta\phi = \pi$ $\Delta\phi = 3\pi/2$

<figure><img src="image_46.png" /></figure>
B. Phase relative entre deux composantes d'impulsion

<figure><img src="image_47.png" /></figure>
C. Distributions dans l'espace des phases

Vision à l'échelle d'un site du réseau : espace des phases (EP)

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

Impulsion de la séparatrice
en x = 0 :

$p_{\text{sep}} = \sqrt{s} \hbar k_{\text{L}}$
C. Distributions dans l'espace des phases

États ciblés et représentation :

• État quantique gaussien $|g(u, v)\rangle$, centré en $(u, v)$ dans l'EP :

$$|g(u, v)\rangle = \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} c_{\ell}(u, v) |\chi_{\ell}\rangle$$

avec $c_{\ell}(u, v) \propto e^{-i\ell u} e^{-(\ell-v)^2/\sqrt{s}}$

$\rightarrow$ écart-type $\Delta p_0$ de l'état fondamental

• Représentation de Husimi dans l'EP :

$$Q_{\psi}(u, v) = \frac{1}{2\pi} |\langle g(u, v) | \psi \rangle|^2$$

<figure><img src="image_49.png" /></figure>
C. Distribution dans l'EP et reconstruction d'état

Comment certifier la préparation de tels états ?

Méthode d'ajustement précédente ?

✓ efficace dans le cas précédent avec 1 seul paramètre ajustable ($\Delta\phi = \arg\{c_{-1}/c_1\}$)

X inopérant dans le cas général : N ondes planes $\Rightarrow \sim 2N$ paramètres ajustables :

$$|\psi\rangle = \sum_{n=1}^{N} c_{\ell} |\chi_{\ell}\rangle = \sum_{n=1}^{N} |c_{\ell}| e^{i \arg\{c_{\ell}\}} |\chi_{\ell}\rangle$$
C. Distribution dans l'EP et reconstruction d'état

Solution mise en place : reconstruction d'état par maximisation de vraisemblance à l'aide d'un algorithme itératif.

* On cherche de l'état théorique $\hat{\rho}$ qui maximise la vraisemblance $\mathcal{L}(\hat{\rho})$ avec les mesures expérimentales :

$$ \mathcal{L}(\hat{\rho}) = \prod_i \pi_i^{f_i} $$

où

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

- produit sur les différentes mesures $i$,

- $f_i = f_{\ell,t} = |c_{\ell}(t)|^2/N_t$ : fréquences de mesure des atomes dans l'ordre $\ell$ au temps $t$,

- $\pi_i$ sont les probabilités théoriques de ces mêmes mesures effectuées sur $\hat{\rho}$.

* On définit une transformation $\hat{\rho}_j \rightarrow \hat{\rho}_{j+1}$ telle que $\mathcal{L}(\hat{\rho}_{j+1}) \ge \mathcal{L}(\hat{\rho}_j)$ :

- Řeháček et al., Phys. Rev. A 64 040303 (2001)

- Lvovsky, J. Opt. B : Quantum and Semiclassical Optics 6, S556 (2004)
C. Distribution dans l'EP et reconstruction d'état

Algorithme :

1. État d'essai $\hat{\rho}_0$

2. Transformation $\hat{\rho}_0 \rightarrow \hat{\rho}_1$, $\mathcal{L}$ augmente

3. Itération jusqu'à $\Delta\mathcal{L} \approx 0$, $\rightarrow$ état de plus grande vraisemblance $\hat{\rho}_{\max}$

<figure><img src="image_51.png" /></figure>
C. Distribution dans l'EP : états gaussiens translatisés

États théoriquement préparés
$|\psi_{\text{num}}\rangle$

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

États de vraisemblance expérimentale max.
$\hat{\rho}_{\text{max}}$

<table><thead><tr><th></th><th>a</th><th>b</th><th>c</th></tr></thead><tbody><tr><td>u</td><td>π/2</td><td>0</td><td>π/2</td></tr><tr><td>v</td><td>0</td><td>√s</td><td>√s/2</td></tr><tr><td>F<sub>exp</sub></td><td>0.95</td><td>0.86</td><td>0.93</td></tr><tr><td>γ</td><td>0.95</td><td>0.96</td><td>0.93</td></tr><tr><td>s</td><td>5.50±0.25</td><td>5.49±0.20</td><td>5.57±0.20</td></tr></tbody></table>

Fidélité

$$F_{\text{exp}} = \langle \psi_{\text{num}} | \hat{\rho}_{\text{max}} | \psi_{\text{num}} \rangle$$

Pureté

$$\gamma = \text{tr}\{\hat{\rho}_{\text{max}}^2\}$$
C. Distribution dans l'EP : superpositions d'états gaussiens

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

<table><thead><tr><th></th><th>d</th><th>e</th></tr></thead><tbody><tr><td>u</td><td>±π/2</td><td>±π/2</td></tr><tr><td>v</td><td>±√s</td><td>±√s</td></tr><tr><td>F<sub>exp</sub></td><td>0.89</td><td>0.91</td></tr><tr><td>γ</td><td>0.82</td><td>0.91</td></tr><tr><td>s</td><td>5.5±0.5</td><td>5.30±0.25</td></tr></tbody></table>

États ciblés :

$$|\psi_d\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|g(u, v)\rangle + |g(-u, -v)\rangle)$$

$$|\psi_e\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|g(u, v)\rangle - |g(-u, -v)\rangle)$$

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

$F(d, e) = 0.026 \text{ et } F(e, d) = 0.042$
C. Distribution dans l'EP : états gaussiens comprimés

Paramètre de compression $\xi$ :

$$- \Delta p(\xi) = \Delta p_0/\xi$$

- $\xi > 1$: compression en impulsion (a,b)

- $\xi < 1$: compression en position (c,d,e)

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

<table><thead><tr><th></th><th>a</th><th>b</th><th>c</th><th>d</th><th>e</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fig. 3.10</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1/ξ</td><td>0.44</td><td>0.62</td><td>1.65</td><td>2.75</td><td>4.34</td></tr><tr><td>F<sub>num</sub></td><td></td><td>&gt; 0.995</td><td></td><td>0.980</td><td>0.965</td></tr><tr><td>F<sub>exp</sub></td><td>0.99</td><td>0.96</td><td>0.98</td><td>0.93</td><td>0.75</td></tr><tr><td>γ</td><td>1.00</td><td>1.00</td><td>1.00</td><td>0.92</td><td>0.72</td></tr><tr><td>s</td><td>5.49±0.20</td><td>5.49±0.20</td><td>5.45±0.40</td><td>5.57±0.20</td><td>5.62±0.25</td></tr></tbody></table>
# États gaussiens comprimés

Une compression $\xi$ à profondeur $s$ équivaut à l'état fondamental à la profondeur effective :

$$s_{\text{eff}} = s/\xi^4$$

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

→ Nécessiterait ici un laser de puissance $P \approx 750$ W !

→ **Inatteignable adiabatiquement**,

→ Préparé ici ~ 120 µs.
* Introduction

- Système expérimental

- Résumé des travaux

* Contrôle optimal quantique

- Introduction et méthode

- Expériences de contrôle

→ **Application à la simulation quantique** : effet tunnel dynamique

* Conclusion et perspectives
Application à la simulation quantique : effet tunnel dynamique

Le système : $V(x, t) = -s \frac{E_L}{2} (1 + \varepsilon \cos(2\pi\nu t)) \cos(k_L x)$

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

• Portrait de phase stroboscopique mixte.

• Système analogue au double puits de potentiel

• Toutes les deux périodes, la particule classique est **toujours mesurée** dans l'îlot de droite

• Un fonction d'onde peut "tunnéler" d'un îlot à l'autre lorsque 2 états de Floquet non-dégénérés recouvrent les îlots

Effet tunnel dynamique
<figure><img src="image_59.png" /></figure>

* **Technique traditionnelle** : translation du réseau pour charger l'état fondamental dans l'îlot :

→ projection **partielle** et **inégale** sur les états de Floquet d'intérêt $|\psi_{b1}\rangle$ et $|\psi_{b2}\rangle$,

→ limite la visibilité du signal tunnel.

* **Proposition** : contrôle optimal de la superposition idéale d'états de Floquet :

$$|\psi_{\text{cible}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\psi_{b1}\rangle + |\psi_{b2}\rangle)$$
<figure><img src="image_60.png" /></figure>

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

État fondamental
translaté

Superposition
d'états de Floquet
préparée par
contrôle optimal

→ net raffinement du signal d'oscillation tunnel grâce au contrôle optimal ✓
* Système expérimental : condensats de Bose-Einstein (CBE) dans un réseau optique 1D contrôlable.

* Contrôle arbitraire de l'état quantique externe des CBE dans le réseau à l'aide du contrôle optimal quantique :

→ Méthode efficace, versatile et simple : un seul paramètre de contrôle $\varphi(t)$

→ Robustesse malgré des effets non pris en compte :

- confinement extérieur,

- dimensions transverses,

- interactions interatomiques.

→ Préparations plus rapides que les méthodes adiabatiques (quand elles existent).

* Application à la simulation quantique dans un système de Floquet.
* Préparation d'états initiaux pour la **simulation quantique**.

* **Calcul quantique** sur un qudit : extension du contrôle de 1 état à 1 état ($|\psi_a\rangle \xrightarrow{u(t)} |\psi_b\rangle$) vers un contrôle d'un ensemble d'états à un autre :

$$ \left\{ \begin{array}{c} |\psi_{a,1}\rangle \\ \vdots \\ |\psi_{a,N}\rangle \end{array} \right\} \xrightarrow{u(t)} \left\{ \begin{array}{c} |\psi_{b,1}\rangle \\ \vdots \\ |\psi_{b,N}\rangle \end{array} \right\} $$

$\rightarrow$ transformations unitaires permettant la réalisation de portes quantiques.

* **Quantum sensing** : augmenter la précision d'une mesure en tirant parti des propriétés quantiques d'un système.

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

e.g. : force uniforme, variation de la profondeur du réseau...
## Équipe Atomes Froids

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>N.Ombredane N.Dupont L.Gabardos B.Peaudecerf J.Billy D.Guéry-Odelin F.Arrouas</figcaption></figure>

## Anciens doctorants

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>M. Arnal</figcaption></figure>

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>M. Chatelain</figcaption></figure>

## Collaborateurs

LICB (Dijon)

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>D. Sugny</figcaption></figure>

LPTMS (Paris)

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>O. Giraud</figcaption></figure>

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>D. Ullmo</figcaption></figure>

LPT (Toulouse)

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>M. Martinez B. Georgeot G. Lemarié</figcaption></figure>

CESAM (Liège)

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>P. Schlagheck</figcaption></figure>

Au LCAR : J.-M.L'Hermite, C.Soucasse, A.Soler, C.Lecinana, S.Faure, J.-P.Loisel, L.Polizzi, E.Panader, W.Volondat, P.Paquier, E.Kierbel

À la FERMI : X.Bouju, S.Capponi, P.Bordais, S.Le Magoarou, N.Elefantis

## Financement de ma thèse

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

UNIVERSITÉ
TOULOUSE III
PAUL SABATIER
Metronome