# Application de la méthode MEGC aux treillis de barres hyperstatiques

Pascal Lardeur, Amel Demri, Cécile Lionnet, Étienne Arnoult

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Pascal Lardeur, Amel Demri, Cécile Lionnet, Étienne Arnoult. Application de la méthode MEGC aux treillis de barres hyperstatiques. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812960

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Application de la méthode MEGC aux
treillis de barres hyperstatiques

Pascal Lardeur — Amel Demri — Cécile Lionnet —
Etienne Arnoult

Laboratoire de Mécanique Roberval, Université de Technologie de Compiègne
Centre de Recherches de Royallieu, département GSM
BP 20529 60205 Compiègne cedex

pascal.lardeur@utc.fr

RÉSUMÉ. La Méthode des Efforts Généralisés Certains ou MEGC, déjà présentée dans d'autres articles, permet de prendre en compte les incertitudes dans les analyses par éléments finis. Elle s'appuie sur l'hypothèse d'indépendance des efforts généralisés vis-à-vis des variables incertaines. C'est une méthode économique puisqu'elle nécessite seulement deux analyses éléments finis, associées à des développements analytiques. Les résultats déjà publiés concernaient des problèmes isostatiques, pour lesquels la méthode MEGC fournit des résultats statistiques exacts. Sont publiés ici les résultats obtenus pour trois problèmes de treillis de barres hyperstatiques. La quantité incertaine est le module d'Young et on étudie la variabilité des déplacements. Des résultats très précis sont obtenus pour la moyenne, l'écart-type et la densité de probabilité des déplacements. La méthode MEGC s'avère très performante pour ces problèmes.

ABSTRACT. The Certain Generalized Stresses Method or CGSM, already published in previous papers, takes into account the uncertainties in the finite element analyses. The method assumes that the generalized stresses do not depend on the uncertain variables. This method is economical because it only needs two finite element analyses and analytical developments. It was first applied to isostatic problems and leads to exact statistical results for this class of problems. Here are presented the results obtained for three hyperstatic bar trusses problems. The Young modulus is considered as uncertain and the variability of the displacements is studied. Very precise results are obtained for the mean value, the standard deviation and the displacements probability density function. The CGSM method is very efficient for these problems.

MOTS-CLÉS : éléments finis, incertitudes, treillis de barres, probabiliste, possibiliste.

KEYWORDS: finite elements, uncertainties, bar trusses, probabilistic, possibilistic.
# 1. Introduction

La prise en compte des incertitudes dans les modèles éléments finis consiste à considérer que des variables d'entrée (loi de comportement, géométrie, chargement, conditions aux limites...) sont incertaines. Les quantités mécaniques ou variables de sortie, qui caractérisent le comportement de la structure (déplacements, contraintes, fréquences propres, fonctions de réponse en fréquence...), présentent alors une variabilité. Cet axe de recherche, actuellement en plein développement, constitue une des voies permettant l'amélioration de la qualité et de la prédicтивité des modèles numériques.

Les méthodes existantes sont généralement coûteuses en temps de calcul. Certaines nécessitent des développements internes au logiciel éléments finis et sont incompatibles avec l'utilisation de logiciels standards (ex : MSC/Nastran, Abaqus...). Certaines sont limitées à un petit nombre de variables aléatoires ou ne sont valides que quand les niveaux d'incertitude sont faibles. Ces limitations font que pour l'instant, peu d'exemples industriels sont traités.

La méthode MEGC (Lardeur *et al.*, 2003a ; Lardeur *et al.*, 2003b) a été proposée pour tenter de résoudre ces problèmes. Cependant, dans ces références, la méthode n'a été appliquée qu'à des problèmes isostatiques de barres 1D et de treillis de barres 2D. Dans le présent article, des résultats sont donnés pour des problèmes hyperstatiques de treillis de barres 2D.

# 2. Rappels sur la méthode MEGC

## 2.1. Principe et hypothèses de la méthode

Les méthodes développées initialement (ex : Monte Carlo) étant très coûteuses, de nombreux travaux ont pour objectif de réduire le nombre d'analyses ou le temps de calcul associé à une analyse. Les choix et hypothèses sont généralement de nature statistique, mathématique ou numérique. En revanche, la méthode MEGC utilise une hypothèse mécanique. On exploite l'hypothèse d'indépendance des efforts généralisés vis-à-vis des variables incertaines. Cette hypothèse est vérifiée exactement pour les structures isostatiques et mène donc dans ce cas à une méthode exacte.

## 2.2. Dispersion des déplacements

Sont rappelées ici les différentes étapes de la formulation de la méthode MEGC et les principales équations pour les treillis de barres. L'énergie interne de déformation associée aux *n* éléments de la structure étudiée s'écrit :
$$ \pi_{\text{int}} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{N_i^2 l_i}{E_i A_i} \quad [1] $$

On considère ici que seul le module d'Young E est incertain. Après application du théorème de Castigliano, on montre que le déplacement en un point P et dans une direction donnée, s'écrit :

$$ U = \sum_{i=1}^{n} \frac{N_i l_i (N_i^2 + FN_i^2)}{E_i A_i} = \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{E_i} \quad [2] $$

où F est la force (éventuellement nulle) appliquée au point P dans la direction considérée ; $N_i$ est l'effort normal dans l'élément i, dû au système de forces appliqué sur l'ensemble de la structure sauf au point P ; $N_i^2$ est l'effort normal dû à une force unitaire appliquée au point P. Deux analyses par éléments finis permettent de calculer N' et N'' supposés indépendants de E.

L'équation [2] peut être exploitée pour une approche probabiliste ou possibiliste. Seule l'approche probabiliste est décrite ici. En utilisant l'équation [2], on calcule la moyenne et la variance du déplacement comme suit. On suppose d'abord que, dans un élément de barre donné, le module E est incertain mais uniforme sur l'ensemble de l'élément, soit 1 variable par élément fini. On suppose de plus que les n variables sont indépendantes et qu'elles ont mêmes moyenne et écart-type. On démontre alors les résultats suivants :

$$ \text{- moyenne du déplacement : } m_U = m_1 \sum_{E_i=1}^{n} a_i \quad [3] $$

$$ \text{- variance du déplacement : } \sigma_U^2 = \sigma_1^2 \sum_{E_i=1}^{n} a_i^2 \quad [4] $$

La densité de probabilité du déplacement est calculée par l'approche mixte MEGC+Monte Carlo. Cette approche consiste à réaliser des tirages de Monte Carlo en exploitant l'équation [2].

### 3. Exemples

#### 3.1. Treillis 2D à deux barres

Le premier exemple, décrit en figure 1, est un treillis 2D à deux barres, articulé en deux points et soumis à une charge concentrée. Le problème comprend deux variables incertaines indépendantes $E_1$ et $E_2$. La densité de probabilité de E suit une loi uniforme, identique pour les deux barres. Une plage très large de valeurs du coefficient de variation ou c.o.v.(E) a été considérée. La valeur maximale : 57 %, correspond à un niveau d'incertitude extrêmement élevé. On s'intéresse à la
variabilité du déplacement vertical au point d'application de la charge. Une solution exacte (Elishakoff et Ren, 2003) est disponible pour cet exemple.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** Treillis 2D à deux barres</figcaption></figure>

L'erreur sur la moyenne et sur l'écart-type du déplacement a été évaluée. Les résultats obtenus avec les méthodes de perturbation au premier et au second ordre, ainsi qu'avec la méthode MEGC (équations [3] et [4]), ont été comparés. Seule la méthode MEGC mène à une erreur nulle pour la moyenne et l'écart-type du déplacement. La figure (2) montre les résultats obtenus pour la moyenne. On constate que pour les méthodes de perturbation, la qualité des résultats se dégrade très fortement quand le coefficient de variation augmente.

Cet exemple est hyperstatique extérieurement. Les efforts normaux sont néanmoins indépendants du module E et sont identiques dans les deux barres. La méthode MEGC fournit donc dans ce cas des résultats exacts quel que soit le niveau d'incertitude des variables aléatoires.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** Erreur sur la moyenne du déplacement</figcaption></figure>

## 3.2. Treillis 2D à dix barres

Le deuxième exemple, décrit sur la figure 3, est un treillis 2D à dix barres. La structure est articulée en deux nœuds et soumise à deux charges concentrées. Le
problème comprend dix variables incertaines indépendantes $E_1$ à $E_{10}$. La densité de probabilité de E suit une loi gaussienne (seules les valeurs positives ont été retenues), identique pour toutes les barres. Trois valeurs de coefficient de variation : 5 %, 10 % et 15 % ont été considérées. On s'intéresse à la variabilité du déplacement vertical à l'extrémité du treillis.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.** Treillis 2D à dix barres</figcaption></figure>

La solution de référence a été obtenue par simulation de Monte Carlo, chaque tirage nécessitant une analyse par éléments finis (logiciel Abaqus). On exploite la méthode de Sobol qui s'appuie sur des tirages quasi-aléatoires. Cette méthode permet une convergence stable et rapide. Pour un nombre de tirages égal à 10000, des résultats très précis ont été obtenus pour la moyenne et l'écart-type du déplacement. L'imprécision sur ces quantités est inférieure à 0.1 %. Le tableau 1 donne les erreurs obtenues avec la méthode MEGC (équations [3] et [4]), pour la moyenne et l'écart-type du déplacement. La méthode MEGC mène à des erreurs très faibles. L'erreur est légèrement plus élevée pour l'écart-type que pour la moyenne et augmente avec c.o.v.(E). Sur la figure 4 sont comparées les densités de probabilité du déplacement dans le cas c.o.v.(E)=15 %. L'approche MEGC+Monte Carlo étant très économique en temps de calcul, un grand nombre de tirages a été réalisé, menant ainsi à une meilleure définition de la courbe. On constate que les deux distributions sont très proches.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 4.** Densité de probabilité du déplacement U dans le cas c.o.v.(E)=15 %</figcaption></figure>
<table><caption>**Tableau 1.** *Erreur sur la moyenne et sur l'écart-type du déplacement U*</caption><thead><tr><th>c.o.v.(E)</th><th>5 %</th><th>10 %</th><th>15 %</th></tr></thead><tbody><tr><th>Érreur sur m<sub>U</sub></th><td>0 %</td><td>0.2 %</td><td>0.5 %</td></tr><tr><th>Érreur sur σ<sub>U</sub></th><td>0.2 %</td><td>0.8 %</td><td>2.1 %</td></tr></tbody></table>

**3.3. Treillis 2D à 126 barres**

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 5.** *Treillis 2D à 126 barres*</figcaption></figure>

Les caractéristiques de cet exemple, décrit sur la figure 5, sont analogues à celles de l'exemple précédent. L'intérêt est ici le grand nombre de variables aléatoires : 126. On s'intéresse à la variabilité du déplacement vertical sous une charge concentrée. La méthode MEGC fournit à nouveau de très bons résultats. Pour c.o.v.(E) = 10 %, on obtient 0.2 % et 0.8 % d'erreur sur la moyenne et l'écart-type du déplacement respectivement.

**4. Conclusion**

La méthode MEGC, exacte pour les structures isostatiques, a été appliquée ici à des problèmes de treillis 2D hyperstatiques. Pour le treillis à 2 barres, des résultats exacts ont été obtenus pour la moyenne et l'écart-type du déplacement. Pour les treillis à 10 et 126 barres, la méthode MEGC a fourni des résultats très précis.

**5. Bibliographie**

* Lardeur P., Oudjene M., Arnoult E., « Une méthode rapide pour la prise en compte des incertitudes dans les structures minces : application aux treillis », *Actes du 6ᵉ colloque national en calcul des structures*, Giens, mai 2003, p. 431-438.

* Lardeur P., Oudjene M., Arnoult E., « La méthode MEGC pour le calcul de dispersion du comportement statique des treillis », *Actes du 16ᵉ congrès français de mécanique*, Nice, septembre 2003, 6 pages.

* Elishakoff I., Ren Y., *Finite element methods for structures with large stochastic variations*, Oxford university press, 2003.