# Chapitre 8

## La lubrification élastohydrodynamique

### 8.1 Introduction

On parle de lubrification élastohydrodynamique (EHD) lorsque les surfaces sont séparées par un film de fluide visqueux dont la pression est générée par le mouvement relatif des surfaces qui se déforment élastiquement sous l'effet de la pression (figure 8.1). La lubrification EHD se produit principalement dans les contacts de faible étendue où les pressions peuvent atteindre des valeurs de l'ordre du gigapascal (voir paragraphe 2.2). La figure 8.2 présente quelques exemples de contact pour lesquels le régime de lubrification est élastohydrodynamique. On y trouve les roulements, engrenages, cames, etc.

<figure><img src="image_138.png" /><figcaption>FIGURE 8.1 – Principe de la lubrification élastohydrodynamique</figcaption></figure>

### 8.2 Modélisation du problème

Nous nous limiterons ici au cas du contact sphère plan. La configuration géométrique est présentée sur la figure 8.3. Le repère est attaché au point de contact entre les deux solides. Les vitesses des solides $U_1$ et $U_2$ sont définis par rapport à ce repère.

La pression dans le contact est gouvernée par l'équation de Reynolds qui, dans le cas d'une régime stationnaire et d'un fluide incompressible, se limite à :

$$ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{h^3}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{h^3}{\mu} \frac{\partial p}{\partial y} \right) = 6 (U_1 + U_2) \frac{\partial h}{\partial x} \quad (8.1) $$
<figure><img src="image_139.png" /><figcaption>FIGURE 8.2 – Exemples de contact élastohydrodynamique : a) Roulement à billes, b) Roulement à rouleaux et roue dentée (source Institut Pprime).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_140.png" /><figcaption>FIGURE 8.3 – Configuration du contact sphère plan en régime EHD</figcaption></figure>
En outre, il faut tenir compte du fait que la viscosité du fluide va varier avec le pression. On parle d'effet piezo-visqueux. En utilisant la loi de Barus présentée dans le paragraphe 4.3.2, il vient :

$$ \mu(p) = \mu_0 e^{\alpha p} \qquad (8.2) $$

D'autre part, il est nécessaire de tenir compte du fait que l'épaisseur h de film va être affectée par la pression locale. La présentation des méthodes de calcul des déformations sort du cadre de ce cours. Le lecteur pourra se reporter à différents travaux [Joh85, Fra01]. Notons que des effets non-Newtoniens peuvent apparaître dans le lubrifiant (voir 12.3). Cet aspect ne sera pas considéré ici.

### 8.2.1 Résultats numériques

Le problème précédent ne présente pas de solution analytique et doit être résolu par une approche numérique. La figure 8.4 présente des champs de pression dans un contact sphère plan en régime EHD pour une faible charge et une forte charge. En outre, l'effet de la piezo-viscosité (la dépendance de la viscosité à la pression) est également illustré. Pour la forte charge, la distribution de pression est proche de celle obtenue par la théorie de Hertz dans le cas du contact élastique sphère plan (voir paragraphe 2.2). Dans le cas d'une faible charge, le champ de pression est beaucoup plus étalé et n'est plus symétrique dans la direction d'écoulement x. L'effet piezo-visqueux conduit à la création d'un pic de pression très acéré en sortie de contact.

Les épaisseurs de film correspondant aux précédents champ de pression sont présentées sur la figure 8.5. Une forte charge conduit à une épaisseur quasiment constante dans la partie centrale du contact, contrairement aux cas à faibles charges. La présence d'un effet piezo-visqueux se traduit par la formation d'un bourrelet en sortie de contact. Ce bourrelet prend la forme d'un fer à cheval pour les fortes charges et forte piezo-viscosité.

### 8.2.2 Comparaison à l'expérience

De nombreux travaux ont été consacrés à l'analyse expérimentale des contacts en régime de lubrification EHD. L'interférométrie optique a été couramment utilisée pour measures l'épaisseur de film dans des contacts après avoir remplacé le plan par un disque de verre (voir figure 8.6). Un exemple de résultat est présenté sur la figure 8.7. La couleur est corrélée à l'épaisseur du film lubrifiant. On identifie clairement la zone en forme de fer à cheval à la sortie de la zone de contact (ici à gauche sur les photos). Les mesures ont permis de valider les calculs numériques réalisés.

## 8.3 Les différents régimes de lubrification

Hamrock et Dowson [HD81] ont réalisés un grand nombre de simulations de contact sphère plan sous différentes conditions. Ils ont pu montrer que le problème dépend d'un nombre limité de paramètres sans dimension. Ils ont défini le paramètre de charge :

$$ W = \frac{F}{E'R^2} \qquad (8.3) $$

Ils ont également introduit un paramètre hydrodynamique :

$$ U = \frac{\mu_0 (U_1 + U_2)}{2E'R} \qquad (8.4) $$
<figure><img src="image_141.png" /><figcaption>FIGURE 8.4 – Effet de la charge et de la piezo-viscosité sur le champ de pression dans un contact sphère plan lubrifié [Fra01]</figcaption></figure>
<figure><img src="image_142.png" /><figcaption>FIGURE 8.5 – Effet de la charge et de la piezo-viscosité sur l’épaisseur du film lubrifiant (en échelle inversée) dans un contact sphère plan [Fra01]</figcaption></figure>
<figure><img src="image_143.png" /><figcaption>FIGURE 8.6 – Principe de la mesure d’épaisseur de film par interférométrie dans un contact EHD</figcaption></figure>

<figure><img src="image_144.png" /><figcaption>FIGURE 8.7 – Exemples d’interférogramme dans un contact sphère plan en régime de lubrification EHD pour un même chargement mais des vitesses croissantes $U_1 = U_2 = a)$ 2.62 cm/s b) 5.24 cm/s c) 7.85 cm/s (source : Institut Pprime)</figcaption></figure>
Enfin, ils ont utilisé un paramètre piezo-visqueux :

$$G = \alpha E' \qquad (8.5)$$

Ici $E'$ est le module élastique équivalent utilisé en mécanique des contacts (voir chapitre 2) :

$$E' = \frac{2}{\frac{1-\nu_a^2}{E_a} + \frac{1-\nu_b^2}{E_b}} \qquad (8.6)$$

A partir de leurs simulation, ils ont montré que l'épaisseur de film sans dimension dépend uniquement de deux paramètres sans dimensions qui sont une combinaison de W, U et G. L'épaisseur sans dimension s'exprime :

$$\hat{H} = \frac{hW^2}{RU^2} \qquad (8.7)$$

Les deux paramètres sont le paramètre élastique :

$$g_E = \frac{W^{8/3}}{U^2} \qquad (8.8)$$

et le paramètre piezovisqueux :

$$g_V = \frac{GW^3}{U^2} \qquad (8.9)$$

Leurs calculs ont montré qu'il existe quatre régimes distincts de lubrification pour lesquels ils ont obtenu une relation entre le l'épaisseur minimale de film et les paramètres $g_E$ et $g_V$ :

**Le régime isovisqueux rigide** La pression est trop faible pour modifier la viscosité ou produire des déformations :

$$\hat{H}_{min} = 140$$

**Le régime piezovisqueux rigide** il y a une modification significative de la viscosité mais les déformations élastiques restent négligeables :

$$\hat{H}_{min} = 0.819 g_V^{2/3}$$

**Le régime isovisqueux élastique** les variations de viscosité sont négligeables mais les déformations élastiques sont significatives :

$$\hat{H}_{min} = 3.276 g_E^{0.67}$$

**Le régime piezovisqueux élastique** La pression est suffisamment élevée pour modifier la viscosité et produire des déformations :

$$\hat{H}_{min} = 1.687 g_V^{0.49} g_E^{0.17}$$

La figure 8.8 présente la localisation des régimes de lubrification en fonction des valeurs des paramètres élastique $g_E$ et visqueux $g_V$. D'une manière générale, connaissant les valeurs de $g_E$ et $g_V$, le régime correspondant est celui qui conduit à l'épaisseur maximale de film.

Pour le régime piezovisqueux élastique, il est intéressant d'exprimer l'épaisseur réelle de film en fonction des paramètres dimensionnés. Il vient :

$$h_{min} = 1.687 \alpha^{\frac{1}{2}} E'^{-\frac{1}{9}} F^{-\frac{1}{18}} \mu_0^{\frac{2}{3}} \left(\frac{U_1 + U_2}{2}\right)^{\frac{2}{3}} R^{\frac{8}{18}} \qquad (8.10)$$

Pour ce régime l'épaisseur de film est très peu sensible à la charge appliquée comme le montre la faible puissance du terme de force F.
<figure><img src="image_145.png" /><figcaption>FIGURE 8.8 – Epaisseur minimale de film et les différents régimes de lubrification EHD en fonction des paramètres élastique $g_E$ et visqueux $g_V$, d'après [HD81].</figcaption></figure>

## 8.4 Synthèse et informations pratiques

Dans un contact localisé, il est possible de générer un film lubrifiant grâce à :

- l'effet hydrodynamique;

- les déformations élastiques et à l'augmentation de viscosité (comportement piezo-visqueux) dues aux pressions élevées qui peuvent atteindre plusieurs GPa;

- son épaisseur, généralement très faible, est contrôlée par deux paramètres sans dimension $g_E$ et $g_V$.

Il est important de respecter quelques règles de conception :

- Les épaisseurs de film sont généralement inférieur au micron ce qui nécessite un excellent état de surface des deux solides.

- Les très fortes pressions impliquent l'utilisation de matériau à forte limite élastique.

- Le film ne peut se former que si les vitesses sont non-nulles. Les démarrages, inversions de vitesse sont des périodes critiques pour le contact. Il peut y avoir rupture du film. Des arrêts et démarrages répétés peuvent nécessiter d'utiliser des surfaces revêtues ou des lubrifiants adaptés.
# Chapitre 9

## Mouillabilité et capillarité

### 9.1 Introduction

Lorsque le lubrifiant utilisé est un liquide, il est important de s'interroger sur la manière dont le fluide va mouiller la surface. La mouillabilité caractérise la capacité d'un liquide à s'étaler sur une surface. La mouillabilité va dépendre de la nature du liquide mais aussi du matériau avec lequel il est en contact (voir figure 9.1). La mouillabilité va aussi conditionner l'aptitude du lubrifiant à remplir naturellement un contact, ce qui est un point important en lubrification.

<figure><img src="image_146.png" /><figcaption>FIGURE 9.1 – Effet de la nature du matériau sur l'étalement d'une goutte (source Institut Pprime)</figcaption></figure>

### 9.2 Angle de contact

La figure 9.2 présente une goutte posée sur une surface plane et lisse. Les tensions de surfaces ($\gamma_\ell$ pour le liquide, $\gamma_s$ pour le solide et $\gamma_{s\ell}$ pour l'interface liquide solide) sont des forces par unité de longueur. Dans le paragraphe 1.4.2, nous avons plutôt utilisé le terme d'énergie de surface dont l'unité est le Joule par unité de surface qui est équivalent au Newton par mètre. Pour rappel, nous avons fait l'hypothèse que l'énergie de surface et la tension de surface sont d'amplitude égale, ce qui n'est pas exact dans le cas des solides [Fel15]. Si on s'intéresse à l'équilibre des tensions de surface dans la direction horizontale, on obtient l'équation d'Young [LZ16] :

$$ \cos \theta \gamma_{\ell} = \gamma_{s} - \gamma_{s\ell} \qquad (9.1) $$

L'amplitude relative entre les tensions de surfaces va contrôler l'angle $\theta$ formé par la goutte. On parle de l'angle de contact. Dans certains cas, la goutte peut complètement s'étaler si $\gamma_s > \gamma_\ell + \gamma_{s\ell}$. Nous ne regarderons pas ce cas particulier. On identifie alors deux situations présentées sur la figure 9.3. Lorsque l'angle $\theta$ est inférieur à 90°, la surface
<figure><img src="image_147.png" /><figcaption>FIGURE 9.2 – Effet de la nature du matériau sur l'étalement d'une goutte (source Institut Pprime)</figcaption></figure>

est dite hydrophile et au contraire hydrophobe dès que $\theta$ dépasse 90°. Le terme "hydro" provient du fait que le test est généralement réalisé avec de l'eau. Dans le cas où le liquide est de l'huile, on parle de oléophile ou oléophobe.

<figure><img src="image_148.png" /><figcaption>FIGURE 9.3 – Définition du caractère hydrophile et hydrophobe</figcaption></figure>

Un angle de contact supérieur à 90° est obtenu avec un liquide présentant une tension de surface élevée et un matériau à faible énergie de surface. L'exemple typique est de l'eau ($\gamma_{\ell} = 71 \text{ mN.m}^{-1}$) sur un polymère comme la montre la figure 9.1 c) avec du PTFE ($\gamma_s = 18 \text{ mN.m}^{-1}$). Sur un métal dont l'énergie de surface est élevée, une goutte d'eau aura tendance à mieux s'étaler avec un angle $\theta < 90°$ (figure 9.1 a).

Les huiles ont une tension de surface de l'ordre de 20 à 30 mN.m$^{-1}$ [MCAL17, KM72], bien inférieure à celle de l'eau. Si mise en contact avec de l'acier, les huiles présentent évidemment un angle de contact inférieur à 90° [KM72], c'est également le cas avec des polymères. La plupart des matériaux sont donc oléophiles.

## 9.3 Équation de Laplace

Intéressons-nous à une goutte sphérique de liquide de rayon $R$. Isolons la moitié de la sphère et étudions les forces mises en jeu (figure 9.4). La gravité est ici négligée. La demi goutte est soumise à une force due à la pression externe $p_1 : \pi R^2 p_1$. Une force opposée est due à la pression interne $p_2$ dans la goutte : $-\pi R^2 p_2$. Enfin, la tensions de surface qui s'exerce sur la périphérie de la goutte exerce une force supplémentaire : $2\pi R\gamma_{\ell}$. Ceci conduit à une relation entre la différence de pression, la tension de surface du liquide et le rayon de courbure de la sphère :

$$ \frac{2\gamma}{R} = p_1 - p_2 \qquad (9.2) $$

Cette équation peut être généralisée à une surface présentant des rayons de courbure différents $R_1$ et $R_2$. C'est l'équation de Laplace :

$$ \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = p_1 - p_2 \qquad (9.3) $$
<figure><img src="image_149.png" /><figcaption>FIGURE 9.4 – Pression de Laplace dans une goutte</figcaption></figure>

Cette relation nous indique que si la frontière entre l'atmosphère et le liquide est courbe, une différence de pression existe entre le liquide et la gaz.

## 9.4 Capillarité

Considérons deux surfaces de même nature séparées par une distance $h$ avec un liquide qui remplit partiellement l'espace disponible. Cette situation se produit dans un système lubrifié à l'arrêt. La distance $h$ résulte du contact entre les aspérités (non considérées dans notre analyse). En raison de l'angle de contact $\theta$ entre le liquide et les deux surfaces, un ménisque de rayon $R$ va se former à l'interface entre le liquide et l'atmosphère environnant.

<figure><img src="image_150.png" /><figcaption>FIGURE 9.5 – Film de liquide entre deux surfaces : a) hydrophiles ou oléophiles - b) hydrophobes ou oléophobes</figcaption></figure>

### 9.4.1 Surfaces hydrophiles ou oléophiles

Prenons le cas de surfaces hydrophiles ou oléophiles (figure 9.5 a). L'angle $\theta$ est inférieur à 90° et le rayon de courbure du ménisque s'exprime :

$$R = \frac{h}{2 \cos \theta} \qquad (9.4)$$

D'après l'équation de Laplace, à l'équilibre, la pression $p_1$ dans l'atmosphère sera supérieure à la pression dans le lubrifiant $p_2$. Si on suppose que le ménisque a une forme cylindrique de rayon $R$, la différence de pression à l'équilibre est alors :

$$p_1 - p_2 = \frac{2\gamma \cos \theta}{h} > 0 \qquad (9.5)$$

Si initialement le liquide est à pression atmosphérique, il va naturellement se déplacer vers la gauche mû pas les forces capillaires. Donc le contact va tendre à se remplir de fluide,
ce qui est particulièrement intéressant pour un contact lubrifié. S'il y a suffisamment de liquide pour remplir complètement le contact, le ménisque va sortir de l'espace entre les deux surfaces ce qui va permettre d'assurer l'égalité des pressions. Si la quantité de liquide est insuffisante, le ménisque va se stabiliser à une position donnée et une dépression sera créer dans le liquide. Cette dépression va créer une force d'attraction entre les surfaces qui va augmenter la charge de contact. Supposons les surfaces en acier, l'angle de contact avec une huile est alors de l'ordre de 25° à température ambiante [KM72]. Supposons une tension de surface de 25 mN.m⁻¹ et une distance h de 1 µm. La différence de pression vaut : $p_1 - p_2 = 0.45$ bars. Cette différence de pression va rendre la séparation des surfaces difficile et peut poser problème. Il est possible de ressentir cet effet lorsqu'on essaie de soulever un objet posée sur une table mouillée.

### 9.4.2 Surfaces hydrophobes ou oléophobes

Prenons maintenant le cas opposé de surfaces hydrophobes ou oléophobes (figure 9.5 b). L'angle $\theta$ est supérieur à 90°, le rayon de courbure du ménisque s'exprime :

$$R = -\frac{h}{2 \cos \theta} \qquad (9.6)$$

D'après l'équation de Laplace, à l'équilibre, la pression $p_1$ dans l'atmosphère sera inférieure à la pression dans le lubrifiant $p_2$. Si on suppose que le ménisque a une forme cylindrique de rayon $R$, la différence de pression à l'équilibre est alors :

$$p_2 - p_1 = -\frac{2\gamma \cos \theta}{h} > 0 \qquad (9.7)$$

Si initialement le liquide est à pression atmosphérique, il va naturellement se déplacer vers la droite mû pas les forces capillaires dues à la tension de surface du liquide. Donc le contact va tendre à se vider de fluide, ce qui peut être gênant pour un contact lubrifié. Le ménisque va se déplacer et comprimer le liquide jusqu'à ce que sa pression respecte l'équation de Laplace. D'une manière générale, cette situation est plutôt rare. En effet dans le cas des huiles, l'angle $\theta$ est inférieur à 90° pour la plupart des matériaux. On peut rencontrer cette situation pour de l'eau en contact avec des matériaux polymères par exemple.
9.5 Synthèse

— Lorsqu’un liquide est posé sur une surface, un angle θ va se former entre la frontière du liquide et la surface. Il est le résultat d’un équilibre entre les tensions de surfaces du liquide et du solide.

— Si θ < 90°, la surface est dite hydrophile ou oléophile (cas de l'huile)

— Si θ > 90°, la surface est dite hydrophobe ou oléophobe (cas de l'huile)

— La plupart des matériaux sont oléophiles.

— Si l'interface entre le liquide et l'atmosphère est courbe, une différence de pression apparaît entre les deux milieux, c'est la pression de Laplace.

— Lorsqu'on place un liquide entre deux surfaces, un ménisque va se former. Dans le cas de l'huile, les surfaces sont oléophiles et l'huile va tendre à remplir l'espace entre les deux surfaces sous l'effet capillaire (pression de Laplace et angle de contact)
# Chapitre 10

## Lubrification par un gaz

### 10.1 Introduction

Il est possible d'utiliser un gaz comme lubrifiant. Cependant, les très mauvaises caractéristiques lubrifiantes des gaz proscrivent leur utilisation en régime mixte ou limite. Pour utiliser un gaz, il faut s'assurer qu'il existe toujours un film qu'il soit aérodynamique, c'est à dire généré par une vitesse ou aérostatique, c'est-à-dire généré par une source extérieure de pression.

La figure 10.1 présente des exemples de paliers et butées pour lesquels la séparation des surfaces est assurée par un film d'air. Le film peut être créer par le mouvement des surfaces (lubrification aérodynamique). Dans ce cas, il est courant d'utiliser des surfaces rainurées.

La lubrification à air est utilisée dans les applications où de grandes vitesses sont atteintes. L'air est intéressant pour les applications où un niveau de propreté élevé est requis. Enfin, la lubrification à air est retenue pour les applications à faible frottement. On les trouve naturellement sur les guidages de systèmes de métrologie. La figure 10.2 présente des exemples d'applications.

### 10.2 Loi de comportement du gaz

Dans la majorité des cas, le comportement du gaz peut être décrit par la loi des gaz parfaits :

$$p = \rho \frac{\Re}{m} T \qquad (10.1)$$

où $\Re$ est la constante universelle des gaz et $m$ la masse molaire du gaz étudié. $p$ est ici la pression absolue et $T$ la température en $K$. Comme les frottements visqueux induits par l'air ou le gaz sont faibles, il est courant de considérer l'écoulement comme isotherme soit :

$$p = k\rho \qquad (10.2)$$

Dans ce cas, la pression et la masse volumique sont proportionnelles. Même si cela permet de simplifier le problème, ce dernier est fortement non-linéaire. Pour la suite du chapitre nous noterons $P_a$ la pression atmosphérique qui est bien sûr différente de zéro lorsqu'on travaille en échelle absolue.
<figure><img src="image_151.png" /><figcaption>a)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_152.png" /><figcaption>b)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_153.png" /><figcaption>c)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_154.png" /><figcaption>d)</figcaption></figure>

FIGURE 10.1 – Exemples de paliers et butées aérostatiques et aérodynamiques : a) Paliers et butées aérostatiques a, b) Palier aérostatique, banc mistral (source : Institut Pprime) b, c) Butée aérodynamique à feuilles (source : Institut Pprime), d) Garniture mécanique pour gaz (source : Institut Pprime)

<footnote>a. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Collection of air bearings from Specialty Components.jpg, Smudge82, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons</footnote>

<footnote>b. https://equipex-gap-prometee.ensma.fr/installations-banc/mistral/</footnote>
<figure><img src="image_155.png" /></figure>

FIGURE 10.2 – Exemples d'applications de paliers et butées à air : a) Disque dur<sup>a</sup>, b) Colonne de mesure avec guidage à air (source : Institut Pprime), c) Tribomètre avec guidage à air (source : Institut Pprime), d) Appareil de métrologie avec broche à air (source : Institut Pprime)

<footnote>a. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hard_disk_platters_and_head.jpg, Mfield, Matthew Field, http://www.photography.mattfield.com, CC BY-SA 3.0 <https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0>, via Wikimedia Commons</footnote>
## 10.3 Lubrification aérodynamique

Intéressons-nous au cas particulier du patin échelon ou patin de Rayleigh présenté sur la figure 10.3. L'équation de Reynolds pour un tel problème se réduit à :

$$ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{ph^3}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x} \right) = 6U \bar{h} \frac{\partial p}{\partial x} \qquad (10.3) $$

<figure><img src="image_156.png" /><figcaption>FIGURE 10.3 – Configuration d'un patin de Rayleigh</figcaption></figure>

Les paramètres du problème peuvent être mis sous forme non-dimensionnée :

$$ \bar{p} = \frac{p}{p_a} \qquad \bar{x} = \frac{x}{L} \qquad \bar{h} = \frac{h}{h_o} \qquad (10.4) $$

L'équation de Reynolds prend alors la forme suivante :

$$ \frac{\partial}{\partial \bar{x}} \left( \bar{p} \frac{\partial \bar{p}}{\partial \bar{x}} \right) = \frac{\Lambda}{\bar{h}^2} \frac{\partial \bar{p}}{\partial \bar{x}} \qquad (10.5) $$

L'amplitude du terme aérodynamique est contrôle par un paramètre de compressibilité :

$$ \Lambda = \frac{6\mu U}{p_a h_o^2} \qquad (10.6) $$

L'équation de Reynolds peut être résolue de manière numérique. On obtient alors les profils de pression présentés sur la figure 10.4. Si le fluide était incompressible, on aurait deux distributions linéaires avec un maximum au niveau de la discontinuité. L'amplitude de ce maximum serait proportionnel à la vitesse. Dans le cas d'un fluide compressible, les profils ne sont pas linéaires et la pression n'augmente par proportionnellement avec la vitesse. Au contraire, il existe une limite physique correspond au cas $\Lambda \mapsto \infty$. Dans cette situation, la pression maximale vaut $\frac{p_a h_i}{h_o}$. Par ailleurs il existe une autre limite qui n'est pas mise en évidence par l'équation de Reynolds. En effet, il est possible d'atteindre la vitesse du son, ce qui n'est généralement pas souhaitable.

La figure 10.5 présente des champs de pression obtenus pour une butée à air à rainures spirales (la partie noire correspond à la rainure creusée dans la surface, configuration similaire à la figure 10.1 d). Chaque distribution de pression correspond à un accroissement d'un facteur dix de la vitesse de rotation et donc de $\Lambda$. On observe clairement que la pression moyenne dans un secteur n'augmente par proportionnellement à la vitesse et tend à stagner à partir d'un certain seuil de vitesse. En revanche, l'allure de la distribution de pression change comme dans le cas du patin.
<figure><img src="image_157.png" /><figcaption>FIGURE 10.4 – Profil de pression dans un patin de Rayleigh pour différentes valeurs du nombre de compressibilité $\Lambda$ avec $L_o = L_i$ et $h_i = 2 \times h_o$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_158.png" /><figcaption>FIGURE 10.5 – Distribution de pression dans une butée à air pour différentes valeurs du nombre de compressibilité $\Lambda$.</figcaption></figure>
L'intégrale du champ de pression correspond à la portance W. L'évolution de cette portance, normalisée par le produit de la surface S de la butée par la pression ambiante $p_a$, est présentée en fonction du nombre de compressibilité sur la figure 10.6. L'augmentation de la portance est très nettement ralentie lorsque $\Lambda > 10^4$.

<figure><img src="image_159.png" /><figcaption>FIGURE 10.6 – Portance d'une butée à air en fonction du nombre de compressibilité $\Lambda$.</figcaption></figure>

## 10.4 Lubrification aérostatique

Il est possible d'utiliser de l'air sous pression pour séparer deux surfaces. On parle alors de lubrification aérostatique. Toutefois il existe quelques différences par rapport au cas de la lubrification hydrostatique (avec des fluides incompressibles) présentée dans le chapitre 7.

Intéressons-nous au cas de la butée unidimensionnelle de la figure 10.7. Nous supposons que :

- L'épaisseur de film $h$ est constante;

- Le régime est stationnaire;

- Les faces sont immobiles;

- L'alvéole est profonde devant l'épaisseur du film soit $e \gg h$;

- La pression dans l'alvéole est constante et égale à $p_0$.

<figure><img src="image_160.png" /><figcaption>FIGURE 10.7 – Configuration de la butée aérostatique.</figcaption></figure>

L'équation de Reynolds s'exprime alors :

$$ \frac{d}{dx} \left( p \frac{dp}{dx} \right) = 0 \qquad (10.7) $$

Elle peut prendre la forme :

$$ \frac{d^2 p^2}{dx^2} = 0 \qquad (10.8) $$
On peut alors facilement trouver l'expression de $p^2$ puis de $p$ :

$$p(x) = p_0 \sqrt{1 - \frac{x}{a} \left(1 - \frac{p_a^2}{p_0^2}\right)} \qquad (10.9)$$

Pour la suite, on notera $\alpha = \frac{p_a}{p_0}$ le rapport de la pression atmosphérique sur la pression dans l'alvéole. La pression s'exprime alors :

$$p(x) = p_0 \sqrt{1 - \frac{x}{a} (1 - \alpha^2)} \qquad (10.10)$$

La figure 10.8 présente l'allure du profil de pression sur une demi-portée pour différente values de $\alpha$. Plus le rapport des pressions est grand, moins le profil est linéaire.

<figure><img src="image_161.png" /><figcaption>FIGURE 10.8 – Profils de pression sur une demi-portée pour différentes valeurs de $\alpha$.</figcaption></figure>

En intégrant la pression, on peut calculer la portance :

$$W = L \int_{0}^{a} p dx - Lap_{a} \qquad (10.11)$$

On en déduit :

$$W = Lap_0 \frac{2}{3(1-\alpha^2)} (1-\alpha^3) - Lap_a = Lap_a \left( \frac{2}{3\alpha(1-\alpha^2)} (1-\alpha^3) - 1 \right) \quad (10.12)$$

Le rapport des pressions $\alpha$ a un impact direct sur la portance générée (figure 10.9). Lorsque que ce rapport tend vers 1, on retrouve une portance adimensionnée de 0.5, comme dans le cas d'un fluide incompressible.

La portance est indépendante de l'épaisseur du film. Pour que le système ait une raideur non-nulle, il est nécessaire d'ajouter une résistance aérolique qui va lier le débit d'air à la pression dans l'alvéole. Le débit au travers du film s'exprime :

$$\dot{m} = \frac{p_0^2 L h^3}{r_g T} (1 - \alpha^2) \qquad (10.13)$$

où $r_g = \frac{\Re}{\dot{m}}$. Supposons que la résistance soit un capillaire. Le débit d'alimentation de l'alvéole vaut :

$$\dot{m}_c = \frac{K_c}{\mu r_g T} (p_s^2 - p_0^2) = p_0^2 \frac{K_c}{\mu r_g T} \left( \frac{p_s^2}{p_a^2} \alpha^2 - 1 \right) \qquad (10.14)$$
<figure><img src="image_162.png" /><figcaption>FIGURE 10.9 – Influence du rapport des pressions sur la portance sur une demi-portée.</figcaption></figure>

avec le coefficient de résistance :

$$K_c = \frac{\pi d_c^4}{128 \ell_c} \qquad (10.15)$$

où $\ell_c$ est la longueur du capillaire et $d_c$ son diamètre. Les deux débits devant être égaux, le rapport des pressions $\alpha$ peut alors être calculé :

$$\alpha = \sqrt{\frac{1 + \frac{Lh^3}{6K_c}}{\frac{p_a^2}{p_s} + \frac{Lh^3}{6K_c}}} \qquad (10.16)$$

Comme $\alpha$ dépend de l'épaisseur de film $h$, la portance est à son tour fonction de $h$ comme l'illustre la figure 10.10. La butée a maintenant une raideur et il existe une zone pour laquelle la raideur est maximale. Cette valeur dépend du rapport de la pression d'alimentation $p_s$ sur la pression atmosphérique $p_a$.

<figure><img src="image_163.png" /><figcaption>FIGURE 10.10 – Évolution de la portance sur la portée d'une butée aérostatique alimentée par un capillaire en fonction de l'épaisseur du film d'air.</figcaption></figure>

L'alimentation des butées à air peut se faire de différentes manières. Il est possible de réaliser une restriction débitant directement dans le film (figure 10.11 a). Il est courant d'utiliser des matériaux poreux qui permettant de distribuer la pression sur toute la surface tout en assurant une résistance à l'écoulement (figure 10.11 b).
<figure><img src="image_164.png" /><figcaption>FIGURE 10.11 – Exemples de technique d’alimentation de butée à air : a) Orifice inhérent, b) Matériau poreux (source : Institut Pprime).</figcaption></figure>

10.5 Synthèse et informations pratiques

Il est possible de créer des films d'air lubrifiant pour créer des guidages grâce à l'effet aérostatique ou aérodynamique. Les systèmes de guidage à air (ou à gaz) présentent les caractéristiques suivantes :

- Ils sont utilisables pour de charges limitées (la pression spécifique ne dépasse pas un à quelques bars, ce qui correspond à la pression des réseaux d'air comprimé. Il existe une limite de charge en régime aérodynamique dûe à la compressibilité de l'air);

- Il est possible d'obtenir de très faible frottement et des raideurs élevées (adapté aux guidages précis);

- Ils peuvent fonctionner sans vitesse relative pour les systèmes aérostatiques ou, au contraire, à très grande vitesse pour les systèmes aérodynamiques;

- La vitesse du fluide ne peut pas dépasser la vitesse de son, ce qui peut conduire à des limites de fonctionnement;

- L'état de surface doit être adapté à l'épaisseur de film.
Troisième partie

Interaction fluide solides : Régime
mixte
<figure><img src="image_165.png" /></figure>
# Chapitre 11

## La lubrification mixte

Les régimes lubrifié et sec ayant été étudiés, il est maintenant possible de s'intéresser au régime de transition, dit régime de lubrification mixte, entre le contact sec et lubrifié.

### 11.1 Introduction

La figure 11.1, issue du chapitre introductif, présente les différents régimes de lubrification dans lequel un contact peut opérer. Il est aisé de les distinguer en représentant le coefficient de frottement *f* en fonction du paramètre de service *G*.

<figure><img src="image_166.png" /><figcaption>FIGURE 11.1 – Les différents régimes de lubrification.</figcaption></figure>

Le premier est le régime sec ou limite pour lequel la charge normale *F* appliquée au contact est entièrement supportée par le contact des aspérités. Notons *F*<sub>c</sub> la force due au contact. Dans ce case, *F* = *F*<sub>c</sub>. L'étude de ce régime comme nous avons pu le voir (partie I), nécessite de prendre en compte la topographie des surfaces et l'élasticité des matériaux. En outre, l'usure peut affecter la topographie au cours du temps. Ce régime se caractérise par un coefficient de frottement élevé.
Pour le régime hydrodynamique, c'est la viscosité du lubrifiant qui permet la génération d'une force $F_f$ suffisante pour complètement séparer les surfaces (voir partie II). On a alors $F = F_f$. Dans ce cas, nous avons supposé que les surfaces ont une forme géométrique parfaite. Toutefois, dans le cas d'un contact localisé, le régime est élastohydrodynamique et les surfaces vont se déformer sous l'effet des pressions importantes rencontrées (voir chapitre 8). Le régime hydrodynamique présente les plus bas niveaux de frottement qui cependant augmente avec $G$.

Dans le cas du régime mixte, l'ensemble des phénomènes précédents intervient. La force normale est supportée à la fois pour une force de contact et une force due à la pression du lubrifiant : $F = F_c + F_f$. Plusieurs difficultés apparaissent :

- On ne peut plus considérer que les surfaces sont parfaites car les aspérités qui entrent en contact perturbent l'écoulement du lubrifiant

- Des particules d'usure peuvent se détacher et influencer l'écoulement

- Le lubrifiant ou plutôt les additifs peuvent interagir chimiquement avec les surfaces en contact

L'étude de la lubrification mixte constitue encore un sujet de recherche mais suscite un intérêt grandissant. En effet, afin de limiter la consommation énergétique, des lubrifiants de plus faible viscosité $\mu$ sont utilisés. Ils permettent de diminuer la valeur de $G$ et du coefficient de frottement. La valeur minimale du frottement est atteinte à la limite des régimes mixte et hydrodynamique. Il est donc important de pouvoir caractériser la transition entre ces régimes. Nous n'aborderons dans ce chapitre que les principales notions nécessaires à l'étude du régime mixte.

## 11.2 Exemple expérimental

Les travaux sur la lubrification mixte sont nombreux. Nous nous intéresserons ici à ceux réalisés par Qiu et Khonsari sur une butée hydrodynamique à rainures spirales. La configuration de cette butée est présentée sur la figure 11.2 et les données du problème sont présentées dans le tableau 11.1.

<figure><img src="image_167.png" /><figcaption>FIGURE 11.2 – Configuration de la butée hydrodynamique étudiée par Qiu et Khonsari [QK11].</figcaption></figure>

Qiu et Khonsari ont mesuré le coefficient de frottement apparent de la butée pour différents niveaux de charge et différentes vitesse de rotation. En utilisant le paramètre de service $G$, il est possible d'obtenir une représentation où les résultats obtenus avec les
<table><caption>TABLE 11.1 – Données du problème étudié par Qiu et Khonsari [QK11]</caption><thead><tr><td>Paramètre</td><td>Valeur</td></tr></thead><tbody><tr><td>Rayon externe R<sub>o</sub></td><td>24 mm</td></tr><tr><td>Rayon interne R<sub>i</sub></td><td>16.5 mm</td></tr><tr><td>Rayon des rainures R<sub>g</sub></td><td>20.25 mm</td></tr><tr><td>Nombre de rainures N<sub>g</sub></td><td>15</td></tr><tr><td>Etendue laérale des rainures</td><td>50%</td></tr><tr><td>Profondeur des rainures h<sub>g</sub></td><td>56 µm</td></tr><tr><td>Angle des rainures α</td><td>70°</td></tr><tr><td>Charge axiale F</td><td>8.9, 18 et 36 N</td></tr><tr><td>Viscosité du lubrifiant μ</td><td>0.2121 Pa.s</td></tr><tr><td>Vitesse de rotation ω</td><td>5–1000 tr/min</td></tr></tbody></table>

différentes charges et vitesse se superposent (figure 11.3). On peut alors clairement identier le régime mixte, pour lequel *f* décroît lorsque *G* augmente puis le régime hydrodynamique lorsque le coefficient de frottement *f* augmente à nouveau. Dans cet exemple, la transition se produit pour une valeur de *G* ≈ 2 × 10⁻⁶. Notons que dans le cas d'une butée, le paramètre de service s'exprime :

$$G = \frac{\mu\omega(R_o^2 - R_i^2)}{2F} \qquad (11.1)$$

<figure><img src="image_168.png" /><figcaption>FIGURE 11.3 – Coefficient de frottement d'une butée à rainures spirales en fonction du paramètre de service *G* et régimes de lubrification (données issues de [QK11])</figcaption></figure>

## 11.3 Modélisation du régime de lubrification mixte

Une des principales difficultés dans l'analyse du régime mixte est la différence d'échelle importante entre la taille latérale des aspérités $\lambda$ ou Sal (voir chapitre 1) et la taille du contact. Par exemple, la butée étudiée par Qiu et Khonsari [QK11] possède un rayon de 24 mm alors que les aspérités ont une taille létrale d'environ $\lambda = 10$ µm.

Les premières approches pour l'étude de la lubrification mixte ont visé à calculer le contribution moyenne des rugosités. C'est ces méthodes dont nous parlerons par la suite. Plus récemment, la puissance de calcul croissante a permis de s'orienter vers des approches déterministes où chaque aspérité est prise en compte. Ces méthodes sont généralement
limitées à des petites étendues mais permettent une meilleure simulation du rôle des rugosités dans l'écoulement (voir par exemple [MBT11]). De nombreux auteurs s'orientent maintenant vers des méthodes multi-échelles, plus pertinentes pour ce type de problème [GPR19].

### 11.3.1 Contact des aspérités

Dans le chapitre 2 dédié aux contacts des surfaces, le modèle de Greenwood et Williamson [GW66] a été utilisé pour décrire les contacts surfaciques. Ce modèle peut être utilisé pour calculer la force $F_c$ générée par le contact des aspérités en régime mixte. Toutefois, l'approche décrite suppose que les surfaces sont parallèles, ce qui n'est pas toujours le cas, par exemple dans le cas de paliers hydrodynamiques. Il est alors utile de calculer une pression moyenne de contact $p_c$ qui est le rapport entre la force générée sur une surface de petite étendue divisée par l'aire de cette surface. On obtient :

$$p_c = \eta \frac{E'}{2} \sqrt{\pi R \frac{\sigma^3}{8} \exp\left(-\frac{2h_s}{\sigma}\right)} \quad (11.2)$$

La force de contact est alors obtenue par intégration sur le domaine total $\Omega$

$$F_c = \int_{\Omega} p_c dS \quad (11.3)$$

Il faut toutefois veiller à ce que les hypothèses du modèle soient respectées.

### 11.3.2 Lubrification entre surfaces rugueuses

Prenons l'exemple d'une surface lisse et plane se déplaçant dans la direction $x$ à une vitesse $U$ en face d'une surface rugueuse immobile (figure 11.4). Le fluide est supposé incompressible et le problème stationnaire. Il est possible de définir une épaisseur moyenne de film $\bar{h}$. Elle mesure la distance entre la surface nominale 2 (sans la rugosité) et la surface lisse 1. Les méthodes usuellement utilisées visent à calculer une valeur moyenne de la pression du fluide $\bar{p}$. Il faut pour cela obtenir une expression de l'équation de Reynolds faisant apparaître la pression moyenne $\bar{p}$ et la hauteur moyenne $\bar{h}$. Plusieurs techniques ont été proposées : approche stochastique [TS67], moyenne spatiale [PC79], méthode asymptotique [Tri83], homogénéisation [BF89]. Ces différentes techniques conduisent à l'équation de Reynolds suivante :

<figure><img src="image_169.png" /><figcaption>FIGURE 11.4 – Configuration géométrique du problème retenue pour la lubrification entre surfaces rugueuses.</figcaption></figure>

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( \phi_x \frac{\bar{h}^3}{\mu} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \phi_y \frac{\bar{h}^3}{\mu} \frac{\partial \bar{p}}{\partial y} \right) = 6U \frac{\partial}{\partial x} (\bar{h} \phi_s) \quad (11.4)$$
Des coefficients correcteurs $\phi$ apparaissent dans l'équation. Il permettent de tenir compte de l'effet moyen de la rugosité sur l'écoulement du fluide. L'expression de ces coefficients varient suivant la méthode retenue. Dans le cas d'une surface isotrope ($\lambda_x = \lambda_y$ ou $Str = 1$, voir chapitre 1), Tripp a montré que les coefficients s'expriment [Tri83] :

$$ \phi_x = \phi_y = \phi_s = 1 - \frac{3}{2} \left( \frac{Sq}{\bar{h}} \right)^2 \qquad (11.5) $$

Dans le cas où l'épaisseur de film $\bar{h}$ reste supérieure à 4 $Sq$, les coefficients correcteurs sont proches de 1 et l'effet des rugosité est négligeable.

## 11.4 Résultat et discussion

Dans l'analyse qui suit, nous avons supposé que les coefficients correcteurs valent 1. L'équation de Reynolds a été résolue pour calculer le force du fluide $F_f$. Le modèle de Greenweood et Williamson a été retenu pour le calcul de la force de contact $F_c$. La distance des surfaces est ajustée de manière à ce que $F = F_f + F_c$. Le coefficient de frottement calculé est comparé aux résultats de Qiu et Khonsari [QK11] sur la figure 11.5. On observe une excellente corrélation entre les résultats théoriques et expérimentaux.

<figure><img src="image_170.png" /><figcaption>FIGURE 11.5 – Coefficient de frottement d'une butée à rainures spirales en fonction du paramètre de service G - Comparaison théorie-expérimentale (données expérimentales issues de [QK11])</figcaption></figure>

Le modèle offre des informations non-accessibles pendant les tests tels que la valeur de la force de contact ou l'épaisseur du film. La force de contact normalisée $F_c/F$ est présentée en fonction de G sur la figure 11.6 a). Grâce à cette figure il est aisée de définir la limite entre le régime mixte et hydrodynamique. Il correspond à $F_c/F = 0$ et $G = 1.5 \times 10^{-6}$. Il est possible d'identifier le régime limite pour lequel $F_c/F \simeq 1$. Il correspond à $G < 10^{-8}$.

Pour les régimes limites et mixte, la distance des surfaces évolue peu et reste proche de 0.6 µm soit environ 4 fois $Sq$ (qui vaut 0.15 µm dans ce cas) comme le montre la figure 11.6 b). Dès que le régime hydrodynamique est établi, l'épaisseur de film augmente très rapidement.
<figure><img src="image_171.png" /><figcaption>FIGURE 11.6 – Simulation d'une butée à rainures spirales en fonction du paramètre de service G - a) Force de contact - b) Epaisseur de film (à partir des données expérimentales issues de [QK11])</figcaption></figure>

## 11.5 Synthèse

- Grâce aux méthodes des parties I et II, il est possible d'estimer le comportement d'un système dans les différents régimes de lubrification.

- Les régimes se différencient par leur contribution (contact $F_c$ et fluide $F_f$) à la force normale $F$

- Lorsque $F = F_c$, le régime est limite

- Lorsque $F = F_f$, le régime est hydrodynamique

- Le régime est mixte lorsque $F = F_f + F_c$.

- Pour le régime limite et mixte, la distance des surfaces varie peu car elle restent partiellement en contact.

- Le contact des aspérités va conduire à de l'usure et la création de débris en régime mixte qui n'ont pas été considérés ici.

- Les additifs des lubrifiants vont interagir avec les aspérités en contact en régime mixte et limite.
# Chapitre 12

## Nano-tribologie sous les aspérités

Lors du régime de lubrification mixte, une partie des aspérités entrent en contact direct ou partiel et sont le siège de nombreux phénomènes tribologiques qui sont gouvernés par des interactions à l'échelle atomique ou moléculaire (figure 12.1). Ce chapitre présente une synthèse sur ces différents mécanismes : tribo-chimie, lubrification en milieu confiné, frottement à l'échelle atomique, usure à l'échelle atomique.

<figure><img src="image_172.png" /><figcaption>FIGURE 12.1 – Phénomènes tribologiques à l'échelle atomique sous les aspérités</figcaption></figure>

### 12.1 Loi d'Arrhenius et énergie mécanique

La loi d'Arrhenius décrit la vitesse d'une réaction chimique, par exemple la vitesse à laquelle un atome ou une molécule va former une liaison avec une surface (figure 12.2 gauche). Elle peut aussi décrire la fréquence (inverse du temps) pour qu'un atome ou une molécule change de position sur une surface (figure 12.2 droite).
<figure><img src="image_173.png" /><figcaption>FIGURE 12.2 – Exemple d'atome qui forme des liaisons avec une surface par réaction chimique et exemple d'une atome qui passe d'une position à une autre sur une surface</figcaption></figure>

La vitesse de réaction ou la fréquence de déplacement *k* s'exprime :

$$k = A e^{-\frac{E_a}{k_b T}} \qquad (12.1)$$

où $E_a$ est l'énergie d'activation de la réaction chimique ou la barrière d'énergie à franchir pour déplacer l'atome. $k_b = 1.038 \times 10^{-23} \text{ J.K}^{-1}$ est la constante de Boltzmann et $T$ la température absolue. L'agitation thermique résultant d'une augmentation de $T$ va donc augmenter $k$ et favoriser les réactions chimiques et le mouvement des atomes. $A$ est un facteur dit pré-exponentiel.

Dans un contact, l'énergie mécanique résultant du frottement ou de la pression vont réduire l'énergie d'activation ou la barrière d'énergie et faciliter les réactions ou le mouvement des atomes. On fait apparaître cette énergie dans la loi précédente par le produit d'une contrainte $\sigma$ par un volume $v$, dit volume d'activation. La prise en compte de l'énergie mécanique conduit donc à une forme modifiée de la loi précédente :

$$k = A e^{-\frac{E_a - \sigma v}{k_b T}} = A e^{-\frac{E_a}{k_b T}} e^{\frac{\sigma v}{k_b T}} \qquad (12.2)$$

Comme l'ont montré Spikes et Tisoe [ST15], cette équation gouverne plusieurs mécanismes qui apparaissent dans les contacts à l'échelle atomique.

## 12.2 Tribo-chimie

Les aspérités en contact sont le siège de réactions chimiques parmi lesquelles l'oxydation des surfaces due à une interaction avec l'environnement [Fis88], la création d'un tribofilm résultant de l'interaction d'un additif présent dans le lubrifiant avec les surfaces [GBM+15]. Ces réactions vont modifier les propriétés des surfaces (dureté $H$, énergie de surface $\gamma$) et avoir un impact sur le frottement et l'usure des matériaux. La figure 12.3 montre l'influence de l'humidité relative ambiante ($RH$) sur l'usure des matériaux en contact.

Ces réactions chimiques sont activées par plusieurs effets. Tout d'abord, nous avons vu que sous l'effet du frottement, des accroissements de température de plusieurs centaines de $K$ peuvent être atteints sous les aspérités (voir section 3.2.4). Les températures élevées vont permettre d'augmenter significativement la vitesse de la réaction chimique comme indiqué par l'équation d'Arrhenius modifiée 12.2. D'autre part, l'énergie mécanique apportée par les contraintes de cisaillement (liés aux contraintes de pression et au frottement) vont réduire l'énergie d'activation $E_a$ et permettre des réactions chimiques à des températures beaucoup plus faibles qu'en l'absence de contrainte (voir l'équation 12.2). Ceci a été discuté par plusieurs auteurs dont Spikes [Spi18]. On parle d'activation thermique augmentée par les contraintes mécaniques.
<figure><img src="image_174.png" /><figcaption>FIGURE 12.3 – Effet de l'humidité ambiante (RH) sur l'usure de différents matériaux : a) Usure d'un disque en $Si_3N_4$ en frottement contre un pion en $Si_3N_4$ dans de l'air humide [Fis88] - b) Usure d'un revêtement en graphite déposé sur un plan en acier en frottement alterné contre une bille en acier [MKDM22]</figcaption></figure>

Les résultats expérimentaux de Gosvami et al. [GBM+15] mettent clairement en évidence l'effet des contraintes et de la température sur la réactivité chimique d'un contact. Ils ont réalisé des tests de frottement entre une pointe de microscope à force atomique (AFM, voir section 1.3.2) et une surface recouverte de fer. Les tests sont réalisés avec une huile qui contient un additif anti-usure dénommé dialkyldithiophosphate de zinc ou ZDDP. L'AFM permet d'appliquer une pression entre le pointe et la surface, d'effectuer des balayages latéraux et de relever la topographie de la surface. Au cours des cycles, ils ont observé le formation d'un film sur la surface due à une réaction entre la surface et le ZDDP. L'épaisseur de cette couche augmente au cours des cycles. Ils ont observé que la vitesse de croissance de la couche augmente avec la pression appliquée par la pointe et la température du bain d'huile (figure 12.4). Les vitesses de croissances sont parfaitement corrélées à la loi d'Arrhénius modifiée 12.2.

## 12.3 Viscosité dans un espace confiné

Sous les aspérités, l'épaisseur *h* du film lubrifiant peut être extrêmement faible. Le gradient de vitesse dans le film, qui s'exprime $\dot{\gamma} = V/h$ où *V* est la vitesse de glissement, prend alors des valeurs très élevées qui ont un effet sur le comportement du lubrifiant. Ce type de situation est également observée en lubrification elastohydrodynamique (chapitre 8) où les épaisseurs de film sont très faibles.

Afin d'exprimer la viscosité d'un fluide, Eyring [Eyr36] s'est intéressé au mouvement d'une molécule de ce fluide soumise à une contrainte qui tend à la mettre en mouvement par rapport aux molécules voisines (figure 12.5). La fréquence de déplacement dans la direction de la contrainte s'exprime $k_a = Ae^{-\frac{E_a}{k_b T}} e^{\frac{\tau v}{k_b T}}$ et dans le sens opposé $k_r = Ae^{-\frac{E_a}{k_b T}} e^{-\frac{\tau v}{k_b T}}$. Cette dernière est bien sûr plus faible du fait de la contrainte appliquée dans le sens opposé. La fréquence totale de déplacement prend en compte les deux contributions $k_a - k_r$. Il est supposé que le gradient de vitesse $\dot{\gamma}$ (noté $\frac{dv}{dy}$ dans le chapitre 4) est proportionnel à cette fréquence soit :

$$ \dot{\gamma} = cAe^{-\frac{E_a}{k_b T}} \left( e^{\frac{\tau v}{k_b T}} - e^{-\frac{\tau v}{k_b T}} \right) = 2cAe^{-\frac{E_a}{k_b T}} \sinh \left( \frac{\tau v}{k_b T} \right) \quad (12.3) $$
<figure><img src="image_175.png" /><figcaption>FIGURE 12.4 – a) Expérience menée par Gosvami et al. [GBM$^+$15] de frottement d'une pointe d'AFM sur une surface revêtue de fer dans une huile contenant du ZDDP, b) Croissance du tribofilm avec la pression appliquée (T = 373 K), c) Croissance du tribofilm avec la température de l'huile (P = 4.4 GPa). Résultats corrélée à la loi d'Arrhenius modifiée avec $E_a = 7 \times 10^{-20}$ J, $v = 4691$ nm$^3$ et $A = 0.4 \pm 0.2$ µm$^3$</figcaption></figure>
où c est une constante de proportionnalité. En introduisant la contrainte d'Eyring $\tau_E = \frac{k_b T}{v}$ et la viscosité $\mu$ qui s'exprime : $\mu = \frac{\tau}{\dot{\gamma}}$, il vient :

$$ \mu = \frac{\tau_E}{\dot{\gamma}} \operatorname{arcsinh} \left( \frac{\mu_0 \dot{\gamma}}{\tau_E} \right) = \mu_0 \frac{\dot{\gamma}_E}{\dot{\gamma}} \operatorname{arcsinh} \left( \frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}_E} \right) \quad (12.4) $$

Dans cette équation, $\mu_0 = \frac{\tau_E}{2cA} e^{\frac{E_a}{k_b T}}$ est la viscosité pour un gradient de vitesse nul et $\gamma_E = \frac{\tau_E}{\mu_0}$ est le gradient de vitesse d'Eyring.

<figure><img src="image_176.png" /><figcaption>FIGURE 12.5 – Molécule fluide soumise à une contrainte de cisaillement $\tau$</figcaption></figure>

Jadhao et Robbins [JR19] ont effectué des simulations par dynamique moléculaire pour des valeurs élevées de $\dot{\gamma}$ qu'ils ont associées à des résultats expérimentaux obtenus à des valeurs plus faibles de $\dot{\gamma}$ pour décrire la viscosité du squalane (huile composée de C et H) en fonction de $\dot{\gamma}$. Les résultats sont présentés sur la figure 12.6. La viscosité est constante et environ égale à $\mu_0$ pour les faibles valeurs de $\dot{\gamma}$, c'est à dire lorsque $\dot{\gamma} \ll \dot{\gamma}_E$. Dans ce cas, le comportement est Newtonien comme indiqué dans la section 4.3. Lorsque le gradient de vitesse augmente, la viscosité diminue fortement. On parle de comportement rhéo-amincissant. Le changement de pente visible sur la figure 12.6 apparaît pour $\dot{\gamma} \simeq \dot{\gamma}_E$. La loi d'Eyring 12.4 permet de très bien décrire le comportement non-Newtonien du lubrifiant étudié. La plupart des huiles ont un comportement de type rhéo-amincissant qui peut être décrit par la loi d'Eyring ou d'autres lois de type Carreau ou Cross [Bai06] non présentées ici.

<figure><img src="image_177.png" /><figcaption>FIGURE 12.6 – Viscosité du squalane à T = 293 K et p = 875 MPa en fonction du gradient de vitesse $\dot{\gamma}$ et comparaison avec la loi d'Eyring ($\mu_0$ = 6000 Pa.s et $\dot{\gamma}_E$ = 2000 s⁻¹) [JR19]</figcaption></figure>

## 12.4 Frottement à l'échelle atomique

Mate et et Carpick [MC19] se sont intéressés au frottement à l'échelle atomique dans leur ouvrage. Ils décrivent le frottement entre un atome et une surface par le modèle de
Cobbelstone présenté sur la figure 12.7. La barrière d'énergie à franchir résulte de la force d'attraction et s'exprime :

$$E_a = 4w_{ad}A\frac{\Delta D}{D_0} \qquad (12.5)$$

où $w_{ad}$ est le travail d'adhésion (voir section 2.4.2) et A l'aire de contact. Cette énergie correspond à l'énergie nécessaire pour déplacer la particule de sa position d'équilibre initiale 1 vers la position 2. A partir de cette position, elle va ensuite se stabiliser sur la position 3. Cette énergie est apportée par la force tangentielle $T$ sur la distance $\Delta d$. Lorsque la particule va se déplacer vers le position 3 sous l'effet de la force d'attraction (ou adhésion), l'énergie va se dissiper dans le choc puis sous forme de chaleur. Selon Mate et Carpick, l'énergie $E_a$ est à pondérée par une facteur $\epsilon$ estimée à 0.1.

<figure><img src="image_178.png" /><figcaption>FIGURE 12.7 – Molécule de frottement atomique de Cobblestone, d'après [MC19]</figcaption></figure>

La fréquence de passage de la particule sous l'action de la force $F$ et de l'agitation thermique peut s'exprimer :

$$k = k_0e^{-\frac{E_a - T\Delta d}{k_b T}} \qquad (12.6)$$

Notons, que l'on retrouve la forme précédente de l'équation 12.2 en remarquant que la contrainte de cisaillement $\tau = \frac{T}{A}$. Le volume d'activation s'exprime alors : $v = A\Delta d$. La fréquence de passage $k$ peut s'exprime comme le rapport entre la vitesse de glissement $V$ et la distance parcourue. On peut donc remplacer $k$ et $k_0$ par $V$ et $V_0$ respectivement. Il est alors possible de trouver une relation entre la force de frottement et la vitesse de glissement :

$$T = \frac{E_a}{\Delta d} - \frac{k_b T}{\Delta d} \ln \frac{V}{V_0} \qquad (12.7)$$

Comme $V$ est inférieure à $V_0$, le logarithme est négatif. La force tangentielle est donc une fonction croissante de la vitesse, tout du moins à cette échelle. Cette relation a été vérifiée expérimentalement pour le frottement d'une pointe d'AFM sur une surface [MC19].

## 12.5 Usure à l'échelle atomique

Comme discuté dans la section 3.3.5, lors du frottement de deux solides, des débris d'usure se forme si la taille des jonctions au niveau des aspérités dépassent une taille critique $a^*$ [AWM16]. Lorsque la zone de contact est de taille inférieure, d'autres mécanismes de dégradation apparaissent. L'usure se produit alors par l'enlèvement d'atome ou de groupe d'atomes [ST15]. Le détachement des atomes peut être décrit par une loi d'Arhenius modifiée 12.2 où $E_a$ est l'énergie nécessaire pour rompre les liaisons entre l'atome et ses voisins.

Gotsman et Lantz [GL08] ont fait frotter une pointe d'AFM en silicium contre des surfaces planes en polymère. Ils ont observé une augmentation du rayon de la pointe qu'ils
ont attribué à une usure à l'échelle atomique. Leurs résultats expérimentaux permettent de montrer que le rayon $R_p$ de la pointe d'AFM suit une loi du type Arrhenius modifiée :

$$R_p \propto d \times e^{-\frac{E_a - \tau v}{k_b T}} \qquad (12.8)$$

où $\tau$ est la contrainte de cisaillement dans le contact et $d$ la distance totale de glissement. Jacobs et Carpick [JC13] ont fait des mesures du même type mais avec un surface en diamant. Ils ont évalué le volume d'usure $w$ puis le taux de réaction $k = \frac{w}{\ell A t}$ en fonction de la pression de contact pour quatre pointes d'AFM. Dans cette définition, $A$ est l'aire de contact, $t$ le temps de glissement et $\ell$ une longueur caractéristique. Les résultats sont présentés sur la figure 12.8 et mettent clairement en évidence une relation exponentielle entre le taux de réaction $k$ caractérisant l'usure et la pression de contact $P$, en accord avec la loi d'Arrhenius modifiée 12.2.

<figure><img src="image_179.png" /><figcaption>FIGURE 12.8 – a) Usure de pointes d'AFM en silicium en frottement contre un plan en diamant en fonction de la pression de contact - résultats expérimentaux et régression exponentielle b) Principe de l'usure atomique [JC13]</figcaption></figure>

## 12.6 Synthèse

- Les zones de contact des aspérités sont le sièges de phénomènes à l'échelle atomique ou moléculaire :

- Tribo-chimie : réaction chimique dans le contact, oxydation, formation d'un tribofilm;

- Lubrification en espace confiné avec comportement non-Newtonien du lubrifiant;

- Frottement à l'échelle atomique;

- Usure à l'échelle atomique :

- Ces phénomènes sont décrits par l'équation d'Arrhenius modifiée 12.2 qui fait intervenir le rapport entre une énergie d'activation et la température

- L'énergie mécanique apportée dans le contact permet de réduire cette énergie d'activation

- Les relations phénoménologiques à cette échelle sont différentes de celles à l'échelle macroscopique qui ont été présentées dans les chapitres précédents
Quatrième partie

Interaction contact machine
<figure><img src="image_180.png" /></figure>
# Chapitre 13

# Interaction contact machine

## 13.1 Introduction

Les contacts entre solides, qu'ils soient secs ou lubrifiés, font partie de machines ou de systèmes mécaniques dans lesquels ils jouent le rôle de guidage ou de liaison entre éléments mobiles. Nous nous sommes intéressés dans les chapitres précédents aux propriétés et au comportement de ces contacts. Dans ce chapitre, nous allons voir comment ces derniers peuvent interagir avec la machine elle-même et affecter le comportement du système. Deux types d'interactions seront étudiés : l'interaction dynamique, il s'agit du comportement vibratoire et l'interaction thermique. Nous finirons par un résumé sur l'impact du comportement réel des contacts dans les liaisons mécaniques.

## 13.2 Interaction dynamique

### 13.2.1 Rappels sur le système masse-ressort-amortisseur

Il est utile de rappeler quelques notions sur la dynamique d'une masse m posée sur un ressort de raideur k et un amortisseur dont le coefficient d'amortissement est noté d (figure 13.1). Si on suppose que la position z = 0 correspond à la position d'équilibre, l'équation de la dynamique s'exprime :

$$ -kz - d\dot{z} = m\ddot{z} \qquad (13.1) $$

Si le système est soumis à une perturbation, la réponse de la masse qui est solution de l'équation de la dynamique s'exprime :

$$ z(t) = C \cos(\omega_d t + \varphi_d) \exp(-\xi\omega_0 t) \qquad (13.2) $$

<figure><img src="image_181.png" /><figcaption>FIGURE 13.1 – Configuration du système masse ressort amortisseur</figcaption></figure>
<figure><img src="image_182.png" /><figcaption>FIGURE 13.2 – Réponse d'un système masse - ressort - amortisseur à une perturbation (lâché du système à une distance C de la position d'équilibre)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_183.png" /><figcaption>FIGURE 13.3 – Système masse ressort amortisseur en vibrations forcées</figcaption></figure>

où $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ est la pulsation propre, $\xi = \frac{d}{2\sqrt{km}}$ est le coefficient d'amortissement réduit et $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \xi^2}$ la pulsation de résonance.

La figure 13.2 présente la réponse du système à une perturbation pour deux valeurs du coefficient d'amortissement réduit. Plus ce dernier est élevé plus les vibrations naturelles du système sont amorties.

Dans le cas où l'embase du système est soumise à un mouvement alterné $z_r(t) = Z_r \cos(\omega t)$, le système est en régime de vibration forcée de pulsation $\omega$ (figure 13.3). Le déplacement de la masse s'exprime alors $z(t) = Z \cos(\omega t + \varphi)$ où $\varphi$ est le déphasage et $Z$ l'amplitude du mouvement. Cette dernière dépend de la pulsation $\omega$ et s'exprime :

$$Z = \frac{Z_r}{\sqrt{\left[1 - \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2\right]^2 + 4\xi^2 \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2}} \quad (13.3)$$

La figure 13.4 présente le rapport entre l'amplitude $Z$ de vibration de la masse et de la vibration forcée $z_r$ en fonction de la pulsation $\omega$. Lorsque $\frac{\omega}{\omega_0} < 0.7$, $\frac{Z}{z_r} \simeq 1$. Le mouvement de la plaque inférieure est totalement transmis à la masse. Lorsque $\frac{\omega}{\omega_0} > 1.3$, $\frac{Z}{z_r} < 1$. Le mouvement de la plaque inférieure est transmis à la masse mais atténué; Dans le plage centrale, il y a résonance ($\frac{Z}{z_r} > 1$), ce qu'il est généralement souhaitable d'éviter.
<figure><img src="image_184.png" /><figcaption>FIGURE 13.4 – Rapport de l'amplitude du mouvement de la masse sur l'amplitude de la vibration imposée en fonction de la pulsation</figcaption></figure>

<figure><img src="image_185.png" /><figcaption>FIGURE 13.5 – Masse guidée par une butée (hydrodynamique ou hydrostatique) et le modèle dynamique équivalent</figcaption></figure>

### 13.2.2 Dynamique normale au contact et résonance

Considérons un solide de masse *m* guidé par une butée (hydrodynamique ou hydrostatique) soumis à un chargement variable *F*(*t*). Le film lubrifiant possède une raideur *k* et un amortissement *d*. On peut calculer la raideur *k* (voir chapitre 7 pour le cas de la lubrification hydrostatique). Si la fréquence de variation de *F*(*t*) est *f* = ω/(2π), il faut s'assurer qu'elle ne va pas créer une résonance du système. Il faut vérifier que ω/(ω₀) < 0.7 avec ω₀ = √(k/m). Pour augmenter ω₀, on peut augmenter la raideur *k* de la butée ou réduire la masse *m*. Si au contraire on cherche à atténuer les vibrations, il faut se placer de manière à ce que ω/ω₀ < 1.3. Dans ce cas la démarche sera inverse. Il faut toutefois être prudent car pour atteindre ω, il faudra passer par ω₀ et ω_d, la pulsation de résonance du système.

### 13.2.3 Dynamique tangentielle au contact et stick-slip

Considérons un solide de masse *m* fixé à un bâti. Il est appuyé contre une surface mobile (vitesse *V*). La liaison entre le bâti et le solide possède une raideur *k* et un amortissement *d*. Le solide va être entraîné à la vitesse *V* par la plaque jusqu'à ce qu'on atteigne la force max de frottement statique *F* × *f*<sub>s</sub>, où *f*<sub>s</sub> est le coefficient de frottement statique. Le solide va alors glisser sur la surface mobile (oscillation libre, voir paragraphe 13.2.1). Le
<figure><img src="image_186.png" /><figcaption>FIGURE 13.6 – Masse en glissement sur une plaque mobile et le modèle dynamique équivalent</figcaption></figure>

<figure><img src="image_187.png" /><figcaption>FIGURE 13.7 – Déplacement et vitesse d'une masse en appui sur une plaque mobile a) b)</figcaption></figure>

coefficient de frottement dynamique pendant le glissement est $f_d$. Si pendant ce glissement, suffisamment d'énergie est dissipée, le solide va se stabiliser à une vitesse nulle. Sinon, il va atteindre à nouveau la vitesse $V$ et adhérer au solide mobile et le cycle va se répéter.

Dans le cas où la force normale appliquée au contact est $F = mg$, l'apparition de cycle entretenu dépend du nombre $(\frac{f_s-f_d)g}{V\omega_d} - \frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}$. La figure 13.7 présente l'évolution du déplacement et de la vitesse du solide pour deux valeurs de ce nombre. Sur la figure de gauche, il vaut 0.57. Une vibration amortie est visible. A droite, le nombre vaut 3.05 et un comportement vibratoire entretenu est observé. Il y a alternance de glissement et de phase où la masse est "collée" à la plaque et se déplace à la vitesse $V$. Ce comportement vibratoire est induit par le frottement et se manifeste sous forme de bruit. On parle de "stick-slip". Pour limiter cet effet il faut réduire la valeur de $\frac{(f_s-f_d)g}{V\omega_d}$. On peut augmenter la raideur de la structure et donc $\omega_d$ ou changer les matériaux pour réduire la différence $f_s - f_d$.

Ces problèmes d'instabilité de frottement sont dus à une baisse du frottement lorsque la vitesse de glissement augmente (ici, $f_s > f_d$). Dans le régime de lubrification mixte évoqué en introduction (figure 9) où une partie de la charge normale est suportée par les rugosités, le frottement est une fonction décroissante de la vitesse. On peut également, dans cette situation, observer un problème de vibration entretenue.

Cette analyse montre que la réponse du contact et de la machine sont intimement liées. En conséquence, un tribomètre utilisé pour mesurer le coefficient de frottement d'un type
<figure><img src="image_188.png" /><figcaption>FIGURE 13.8 – Hypothèses retenues pour l'étude thermique du contact rugueux (section 3.2)</figcaption></figure>

de contact et de matériaux donnés va lui même influencer la mesure. En effet, comme nous venons de le voir la réponse du système dépend de la raideur mécanique *k*, de l'amortissement *d* et de la masse *m* du système. Dans les années 1980, une étude comparative entre différents laboratoires situés dans différents pays a été lancé pour comparer les coefficients de frottement entre des échantillons de référence [CBL87]. Une variabilité importante a été obtenue, probablement liée aux différences entre les tribomètres utilisés. Par exemple pour un contact acier-acier bille sur plan, le coefficient de frottement moyen est de $f_d = 0.6$ avec un écart-type de 0.11 entre les 26 laboratoires ayant participé.

## 13.3 Interaction thermique

Pour l'étude thermique du contact rugueux (section 3.2), nous avons supposé que l'échauffement au niveau d'une aspérité n'affecte pas les contacts voisins (figure 13.8). Ceci est vrai si :

- Les solides sont massifs;

- Les contacts sont suffisamment éloignés.

Ces conditions sont rarement réunies et dans la plupart des cas, un échauffement macroscopique sera visible [AAK91, DL00].

Considérons un pion cylindrique de longueur *L* et diamètre *d* de conductivité *k* qui frotte contre un solide mobile (figure 13.9). Si $L \gg d$, on peut calculer la température du pion avec la théorie de l'ailette :

$$T(z) = \frac{Q}{km} \exp(-mz) \qquad (13.4)$$

avec $m = \sqrt{\frac{4H}{kd}}$, *H* est le coefficient d'échange par convection avec le milieu ambiant et *Q* est le flux de chaleur entrant. Si toute la chaleur générée par frottement est transférée au pion et que le coefficient de frottement est *f*, alors $Q = \frac{4fFV}{\pi d^2}$. La température macroscopique au niveau du contact vaut alors : $T = \frac{2fFV}{\pi\sqrt{d^3kH}}$. Cette valeur s'ajoute à la température locale au niveau des points de contact (dite température éclair ou flash). Cet accroissement macroscopique de température est clairement visible sur l'image infrarouge d'un système pion disque (figure 13.10).

Ashbi et ses co-auteurs [AAK91] ont obtenu par simulation les accroissements de température macroscopique et locale pour différentes conditions de fonctionnement et différents matériaux en configuration pion sur disque. Leur article présentent des cartographies de température en fonction de ces paramètres.
<figure><img src="image_189.png" /><figcaption>FIGURE 13.9 – Etude thermique du contact pion disque</figcaption></figure>

<figure><img src="image_190.png" /><figcaption>FIGURE 13.10 – Image infrarouge d’un tribomètre de type pion-disque en fonctionnement (source Pprime)</figcaption></figure>
## 13.4 Impact sur les liaisons

Dans ce document nous avons abordé de nombreuses fois deux types de contact : le contact ponctuel et le contact surfacique plan. Ces contacts constituent des liaisons auxquelles il est possible d'associer des torseurs cinématiques et torseurs mécaniques décrivant respectivement les vitesse relatives des deux solides et les actions mécaniques d'un solide sur le second. Le tableau 13.1 donne ces torseurs dans le cas de liaisons parfaites.

Pour chacune des deux liaisons, certains degrés de liberté sont bloqués en raison du contact entre les surfaces. Ce blocage se traduit par une composante de vitesse ou de rotation nulle dans le torseur cinématique. Dans ce document, nous avons pu voir que du fait de l'élasticité des solides et de l'écrasement des films lubrifiants, des mouvements de faibles amplitudes sont possibles. Ces mouvements traduisent le fait que le contact n'est pas infiniment rigide et qu'il peut se déformer. Il existe donc une raideur dont il faudra tenir compte dans le dimensionnement du système mécanique où seront placées les liaisons.

Les liaisons parfaites sont sans frottement et elle ne peuvent transmettre des actions mécaniques que suivant des directions normales aux surfaces de contact. Certains termes des torseurs d'actions mécaniques sont donc nuls. Nous avons pu voir dans les différents chapitres qu'il existe toujours du frottement au niveau des contacts et que, par suite, les composantes des efforts et moments ne seront pas nulles comme indiqué dans le tableau 13.1. La lubrification permet de réduire l'amplitude de ces efforts et peut, sous certaines conditions les annuler.

<table><caption>TABLE 13.1 – Liaisons parfaites et les actions mécaniques et mouvements associés</caption><thead><tr><th>Schéma</th><th>Type</th><th>DL</th><th>Torseur<br>cinématique</th><th>Torseur<br>mécanique</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>Contact ponctuel</td><td>3 R, 2 T</td><td>$$ \begin{Bmatrix} \Omega_x & V_x \\ \Omega_y & V_y \\ \Omega_z & 0 \end{Bmatrix} $$</td><td>$$ \begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ F_z & 0 \end{Bmatrix} $$</td></tr><tr><td></td><td>Contact plan</td><td>1 R, 2 T</td><td>$$ \begin{Bmatrix} 0 & V_x \\ 0 & V_y \\ \Omega_z & 0 \end{Bmatrix} $$</td><td>$$ \begin{Bmatrix} 0 & M_x \\ 0 & M_y \\ F_z & 0 \end{Bmatrix} $$</td></tr></tbody></table>

Dans le cas des liaisons parfaites, le comoment (ou le produit des deux torseurs) du torseur cinématique et mécanique qui donne la puissance dissipée dans la liaison est nul. Les remarques précédentes nous indiquent que dans les liaisons réelles, ce ne sera plus le cas.

Ces discussions autour de la liaison ponctuelle et de la liaison plane peuvent s'étendre à tous les types de liaisons (pivot, rotule, etc). Ceci montre l'intérêt de prendre en compte les aspects tribologiques lors de la conception d'une liaison.
13.5 Synthèse

— Différentes interactions entre le contact et le système dans lequel il intervient ont été mise en évidence :

— Dans le cas d'un contact lubrifié, le film possède une raideur. Il important de vérifier que la fréquence critique liée à cette raideur ne pose pas de problème de résonance;

— Les variations de frottement (statique – dynamique) peuvent générer des vibrations de type "stick-slip" : alternance de phase de glissement et d'adhérence;

— Le frottement peut conduire à un réchauffement global des solides qui s'ajoute aux échauffements au niveau des points de contact.

— Les liaisons réelles ne sont pas parfaites et il faut tenir compte de leur raideur et de la dissipation d'énergie associée au frottement
Bibliographie

[AAK91] M.F. Ashby, J. Abulawi, and H.S. Kong. Temperature maps for frictional heating in dry sliding. *Tribology Transactions*, 34(4):577-587, 1991.

[AL90] M.F. Ashby and S.C. Lim. Wear-mechanism maps. *Scripta Mettalurgica and Materiallia*, 24(5):805-810, 1990.

[Arc53] J.F. Archard. Contact and rubbing of flat surfaces. *Journal of Applied Physics*, 24:981-988, 1953.

[AWM16] R. Aghababaei, D.H. Warner, and J-F. Molinari. Critical length scale controls adhesive wear mechanisms. *Nature Communications*, 7:11816, 2016.

[Aye97] J. Ayel. Lubrifiants - propriétés et caractéristiques. In *Techniques de l'Ingénieur*. 1997.

[Bai06] Scott Bair. A more complete description of the shear rheology of high-temperature, high-shear journal bearing lubrication. *Tribology Transactions*, 49(1):39-45, 2006.

[BF89] G. Bayada and J.B. Faure. A double scale analysis approach of the reynolds roughness - comments and application to the journal bearing. *Journal of Tribology*, 111(2):323-330, April 1989.

[BGK16] H-J. Butt, K. Graf, and M. Kappl. *Physics and Chemistry of Interfaces*. Wiley-VCH, Weinheim, Germany, third edition, 2016.

[Bhu02] B. Bhushan. *Introduction to Tribology*. John Wiley & Sons, 2002.

[Bou85] J. Boussinesq. *Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques*. Lille, France, 1885.

[Bou03] J. Bouyer. *Étude des performances thermoélastohydrodynamiques de paliers soumis à des conditions sévères*. PhD thesis, University of Poitiers, 2003.

[BV14] M. Banjac and S. Vencl, A. Otovic. Friction and wear processes - thermodynamic approach. *Tribology in Industry*, 36(4):341-347, 2014.

[CBL87] Horst Czichos, Susanne Becker, and Jürgen Lexow. Multilaboratory tribotesting: Results from the versailles advanced materials and standards programme on wear test methods. *Wear*, 114(1):109-130, 1987.

[CD98] A. Cornet and J-P. Deville. *Physique et Ingénierie des Surfaces*. Monographie de Matériologie. EDP Sciences, Les Ulis, France, 1998.

[Cle09] Henry Clemencon. Abc du graissage. Technical report, Castrol (Switzerland) AG, 2009.

[Cze12] F. Czerwinski. *Heat Treatments - Conventional and Novels Applications*, chapter 5 - Thermochemical Treatment of Metals, pages 73-112. Intech, 2012.
[DG20] A. Dhanola and H.C. Garg. Tribological challenges and advancements in wind turbine bearings : A review. *Engineering Failure Analysis*, 118(104885):29p., 2020.

[DJPM86] J-M. Dorlot, Baïlon J-P., and J. Masounave. *Des Matériaux*. 2nd edition, 1986.

[DK94] JamesH. Dieterich and BrianD. Kilgore. Direct observation of frictional contacts : New insights for state-dependent properties. *pure and applied geo-physics*, 143(1-3):283-302, 1994.

[DL00] J. Denape and N. Laraqi. Aspect thermique du frottement : mise en évidence expérimentale et éléments de modélisation. *Mécanique et Industrie*, 1:563-579, 2000.

[Dow98] D. Dowson. *History of Tribology*. 2nd edition, 1998.

[Dup05] M. Dupeux. *Aide-Miğmoire Sciences des Matiğriaux*. Dunod, Paris, 2005.

[Eyr36] Henry Eyring. Viscosity, Plasticity, and Diffusion as Examples of Absolute Reaction Rates. *The Journal of Chemical Physics*, 4(4):283-291, 12 1936.

[Fel15] Eric Felder. *Énergie et tension superficielles des solides : thermodynamique, mesure, rupture, adhérence, réactivité*. 2015.

[Fil04] N. Fillot. *Etude Mecanique de l'Usure - Modelisation par Elements Discrets des Debits de Troisieme Corps Solides*. PhD thesis, Insa de Lyon, Villeurbanne, 2004.

[Fis88] T E Fischer. *Tribochemistry. Annual Review of Materials Science*, 18(1):303-323, 1988.

[FLK<sup>+</sup>03] S. Fouvry, T. Liskiewicz, Ph. Kapsa, S. Hannel, and E. Sauger. An energy description of wear mechanisms and its applications to oscillating sliding contacts. *Wear*, 255(1):287-298, 2003. 14th International Conference on Wear of Materials.

[Flo75] L. Floberg. Cavitation boundary conditions with regard to the number of streamer and tensile strength of the liquid. In *Proceedings of the 1st Leeds-Lyon Symposium*, pages 31-35, 1975.

[FND<sup>+</sup>90] J. Frêne, D. Nicolas, B. Degueurce, D. Berthe, and M. Godet. *Lubrication Hydrodynamique - Paliers et Butées*. Eyrolles, Paris, 1990.

[Fra] J. Frêne. *Butés et paliers hydrodynamiques*. In *Techniques de l'Ingénieur*, number b5320.

[Frb] J. Frêne. *Cours de Lubrification*. Université pour tous.

[Fra01] A. Francisco. *Etude tridimensionnelle du contact Elastohydrodynamique cy-lindre - plan. Application au carbure de silicium en frottement dans l'eau*. PhD thesis, University of Poitiers, 2001.

[GBM<sup>+</sup>15] N. N. Gosvami, J. A. Bares, F. Mangolini, A. R. Konicek, D. G. Yablon, and R. W. Carpick. Mechanisms of antiwear tribofilm growth revealed in situ by single-asperity sliding contacts. *Science*, 348(6230):102-106, 2015.

[GL08] Bernd Gotsmann and Mark A. Lantz. Atomistic wear in a single asperity sliding contact. *Phys. Rev. Lett.*, 101:125501, Sep 2008.

[GPR19] Philipp G. Grützmacher, Francisco J. Profito, and Andreas Rosenkranz. Multi-scale surface texturing in tribology-current knowledge and future perspectives. *Lubricants*, 7(11), 2019.
[Gra08] R. Gras. *Tribologie - Principes et Solutions Industrielles*. Mécanique et Matériaux. Dunod, Paris, 2008.

[GRR$^{+}$19] Philipp G Grützmacher, Sebastian Rammacher, Dominic Rathmann, Christian Motz, Frank Mücklich, and Sebastian Suarez. Interplay between microstructural evolution and tribo-chemistry during dry sliding of metals. *Friction*, 7(6):637–650, 2019.

[GW66] J. A. Greenwood and J. B. P. Williamson. Contact of nominally flat surfaces. *Proceedings of the Royal Society (London)*, A295:300–319, 1966.

[HAE12] K. Holmberg, P. Andersson, and A. Erdemir. Global energy consumption due to friction in passenger cars. *Tribology International*, 47:221–234, 2012.

[HD81] B. Hamrock and D. Dowson. *Ball Bearing Lubrication - The Elastohydrodynamics of Elliptical Contacts*. Wiley, New York, USA, 1981.

[HE17] K. Holmberg and A. Erdemir. Influence of tribology on global energy consumption, costs and emissions. *Friction*, 5:263–284, 2017.

[HJ13] C.-Y. Hui and A. Jagota. Surface tension, surface energy, and chemical potential due to their difference. *Langmuir*, 29(36):11310–11316, 2013. PMID: 23926928.

[IDSBLC] G. Inglebert, T. Da Silva Botelho, and I. Lemaire Caron. Théorie du contact de hertz - contacts ponctuels ou linéiques. In *Techniques de l'Ingénieur*, number TRI 200, page 12.

[ISO05] ISO. Metallic materials - vickers hardness test - part 1 : Test method. In *International Standard*, number ISO6507-1:2005(E), pages 1–19. 2005.

[JC13] Tevis DB Jacobs and Robert W Carpick. Nanoscale wear as a stress-assisted chemical reaction. *Nature nanotechnology*, 8(2):108–112, 2013.

[Joh85] K.L. Johnson. *Contact Mechanics*. Cambridge University Presse, Cambridge, UK, 1985.

[JR19] Vikram Jadhao and Mark O Robbins. Rheological properties of liquids under conditions of elastohydrodynamic lubrication. *Tribology Letters*, 67:1–20, 2019.

[KKP$^{+}$21] Donghwan Kim, Eunchan Kim, Sohyun Park, Seungah Kim, Byoung Koun Min, Hyo Jae Yoon, Kyungwon Kwak, and Minhaeng Cho. Wettability of graphene and interfacial water structure. *Chem*, 7(6):1602–1614, 2021.

[KM72] AA Kuznetsov and VM Martynov. Contact angle of lubricating oils at elevated temperatures. *Chemistry and Technology of Fuels and Oils*, 8(10):773–776, 1972.

[LLX$^{+}$20] Lei-Tao Li, Xuan-Ming Liang, Yu-Zhe Xing, Duo Yan, and Gang-Feng Wang. Measurement of real contact area for rough metal surfaces and the distinction of contribution from elasticity and plasticity. *Journal of Tribology*, 143(7), Nov 2020.

[LZ16] K-Y. Law and H. Zhao. *Surface Wetting - Characterization, Contact Angle, and Fundamentals*. Springer, 2016.

[Mat08] M.C. Mate. *Tribology on the Small Scale - A Bottom Up Approach to Friction, Lubrication and Wear*. Mesoscopic Physics and Nanothechnology. Oxford University Press, Oxford, 2008.
[MBT11] C. Minet, N. Brunetière, and B. Tournerie. A deterministic mixed lubrication model for mechanical seals. *Journal of Tribology*, 133(4):042203 (11 pages), October 2011.

[MC19] C Mathew Mate and Robert W Carpick. *Tribology on the small scale : a modern textbook on friction, lubrication, and wear*. Oxford graduate texts, 2nd edition, 2019.

[MCAL17] Robert Mozes, Peter K. Cooper, Rob Atkin, and Hua Li. Ionic liquids as grease base liquids. *Lubricants*, 5(3), 2017.

[MKDM22] Carina Elisabeth Morstein, Andreas Klemenz, Martin Dienwiebel, and Michael Moseler. Humidity-dependent lubrication of highly loaded contacts by graphite and a structural transition to turbostratic carbon. *Nature Communications*, 13(1):5958, 2022.

[MPB$^{+}$17] Alexander J. McGhee, Angela A. Pitenis, Alexander I. Bennett, Kathryn L. Harris, Kyle D. Schulze, Juan Manuel Urueña, Peter G. Ifju, Thomas E. Angelini, Martin H. Müser, and W. Gregory Sawyer. Contact and deformation of randomly rough surfaces with varying root-mean-square gradient. *Tribology Letters*, 65(4):157, Nov 2017.

[Nic] D. Nicolas. Butées et paliers hydrostatiques. In *Techniques de l'Ingénieur*, number b5325.

[NIOKB08] P. Nemes-Incze, Z. Osváth, K. Kamarás, and L.P. Biró. Anomalies in thickness measurements of graphene and few layer graphite crystals by tapping mode atomic force microscopy. *Carbon*, 46(11):1435-1442, 2008.

[Nos10] M. Nosonovsky. Entropy in tribology : in the search for applications. *Entropy*, 12:1345-1390, 2010.

[PC79] N Patir and H.S. Cheng. Application of average flow model to lubrication between rough sliding surfaces. *Journal of Lubrication Technology*, 101(2):220-230, April 1979.

[Pha14] M. Phadke. The global lubricants market : Quality bonanza ahead? *Tribology & Lubrication Technology*, 70(6):24-31, June 2014.

[QK11] Y. Qiu and M. Khonsari. Investigation of tribological behaviors of annular rings with spiral groove. *Tribology International*, 44:1610-1619, 2011.

[Rey86] O. Reynolds. On the theory of lubrication and its application to mr. beau-champ tower's experiments, including an experimental determination of the viscosity of olive oil. *Philosophical Transactions of the Royal Society of London*, 177:157-234, 1886.

[Riz97] S.Q.A. Rizvi. *Tribology Data Handbook*, chapter Additives - Chemistry and Testing, pages 117-135. CRC Press, Boca Raton, 1997.

[RL20] Hossein Rokni and Wei Lu. Direct measurements of interfacial adhesion in 2d materials and van der waals heterostructures in ambient air. *Nature Communications*, 11(1):5607, 2020.

[SB21] Eckhard SchÃ¹ler and Olaf Berner. Improvement of tilting-pad journal bearing operating characteristics by application of eddy grooves. *Lubricants*, 9(2), 2021.

[SMG$^{+}$14] Yijun Shi, Ichiro Minami, Mattias Grahn, Marcus Björling, and Roland Larson. Boundary and elastohydrodynamic lubrication studies of glycerol aqueous solutions as green lubricants. *Tribology International*, 69:39-45, 2014.
[Spi18] Hugh Spikes. Stress-augmented thermal activation : Tribology feels the force. *Friction*, 6(1):1-31, 2018.

[ST15] Hugh Spikes and Wilfred Tysoe. On the commonality between theoretical models for fluid and solid friction, wear and tribochemistry. *Tribology Letters*, 59:1-14, 2015.

[Sta05] G.W. Stachowiak. *Wear - Materials, mechanisms and practice*. Tribology in practice series. Wiley, Hokoben, NJ, USA, 2005.

[Tri83] J.H. Tripp. Surface roughness effects in hydrodynamic lubrication : The flow factor method. *Journal of Lubrication Technology*, 105(3):458-465, July 1983.

[TS67] S.T. Tzeng and E. Saibel. Surface roughness effect on slider bearing lubrication. *ASLE Transactions*, 10(3):334-348, 1967.

[WC13] Q.J. Wang and Y-W. Chung, editors. *Encyclopedia of Tribology*. Springer, 2013.

[Whi01] DJ Whitehouse. Fractal or fiction. *Wear*, 249(5-6):345-353, 2001.

[Whi03] D.J. Whitehouse. *Handbook of Surface and Nanometrology*. IOP Publishing, 2003.

[WLFR19] Michael Wolloch, Gabriele Losi, Mauro Ferrario, and M Clelia Righi. High-throughput screening of the static friction and ideal cleavage strength of solid interfaces. *Scientific reports*, 9(1):1-10, 2019.

[ZLC$^{+}$12] Thomas Zolper, Zhong Li, Changle Chen, Manfred Jungk, Tobin Marks, Yip-Wah Chung, and Qian Wang. Lubrication properties of polyalphaolefin and polysiloxane lubricants : Molecular structure-tribology relationships. *Tribology Letters*, 48(3):355-365, 2012.