valeur donnée par Ptolémée en confrontant son modèle en latitude avec l'observa-
tion directe pour Saturne. Il semble néanmoins l'avoir fait pour Jupiter : au même
endroit, il affirme que, pour Jupiter, $\lambda_{\Omega} = \lambda_a - 70 = 181 - 70 = 111$, soit 21° du Can-
cer (I.24.6), valeur coïncidant avec celle donnée par Ptolémée<sup>334</sup>, mais il ajoute plus
loin (I.24.21) que « d'après ses propres observations » $\lambda_{\Omega} = \lambda_a - 62$. Enfin, pour
Mars, il conserve l'approximation de Ptolémée<sup>335</sup>, $\lambda_{\Omega} = \lambda_a - 90 = 138 - 90 = 48$,
soit 18° du Taureau (I.24.6).

Comme l'a montré Swerdlow <sup>336</sup>, la théorie des latitudes des planètes supérieures dans l'`Almageste` n'est guère satisfaisante pour l'observateur moderne ; elle commet souvent des erreurs de l'ordre de 20'. Ceci tient à trois causes :

- le diamètre de l'épicycle indique la direction Soleil-Terre<sup>337</sup> (on le voit en passant à un référentiel héliocentrique). Le plan de l'épicycle devrait donc toujours rester parallèle à l'écliptique, contrairement à ce que pense Ptolémée ;

- les observations transmises par Ptolémée sont peu précises ; elles sont arrondies au degré près ! De plus ces observations des latitudes maximales, lors des oppositions, ou près des conjonctions, devaient être rares pour Saturne dont la période moyenne est de 30 ans environ ;

- les calculs pour déduire les inclinaisons de l'excentrique et de l'épicycle sont sensibles à la précision de ces observations.

Comme Ibn al-Ṣā s'appuie sur les observations de Ptolémée et sur ses inférences concernant les inclinaisons maximales des plans des orbes, son modèle présente alors à peu près les mêmes défauts en latitude que celui de Ptolémée.

7.10. Les longitudes des planètes supérieures chez al-Ṭūsī, al-ʻUrḍī et al-Ṣīrāzī

Le modèle d'al-Ṭūsī pour les planètes supérieures comprend sept orbes<sup>338</sup>. Sur la figure initiale (fig. xxxi), $P_1$ est le centre du parécliptique, $P_2$ le centre de l'orbe incliné, $P_3$ le centre d'un orbe déférent excentrique, $P_4$ le centre d'une « grande sphère », $P_5$ le centre d'une « petite sphère », $P_6$ le centre d'un orbe englobant, $P_7$ le centre

<footnote n="333">333 Adopter la valeur des « Hypothèses planétaires » conduirait à un désaccord encore plus grand avec d'hypothétiques observations du temps d'Ibn al-Ṣā.</footnote>

<footnote n="334">334 Aussi bien dans les « Hypothèses planétaires » (Morelon, 1993, p. 50) que dans l'`Almageste` où Ptolémée part de $\lambda_{\Omega} + 90 \approx 180^{\circ}$ et utilise $\lambda_a = 161$ (*Almageste*, XI.1) pour en déduire ($\lambda_{\Omega} + 90) - \lambda_a \approx 20$ (XIII.6).</footnote>

<footnote n="335">335 Aussi bien dans les « Hypothèses planétaires » (Morelon, 1993, p. 44) que dans l'`Almageste` où Ptolémée part de $\lambda_{\Omega} + 90 \approx 120$ (*Almageste*, XIII.1) et utilise $\lambda_a = 115;30$ (X.7) pour trouver ($\lambda_{\Omega} + 90) - \lambda_a \approx 0$ (XIII.6).</footnote>

<footnote n="336">336 Swerdlow, 2005, p. 47.</footnote>

<footnote n="337">337 À peu près, car Soleil moyen ≈ Soleil vrai.</footnote>

<footnote n="338">338 Voir al-Ṭūsī, 1993, II.11 [10], p. 208.</footnote>
<table><caption>TABL. 2 : Synopsis des paramètres utilisés par Ibn al-Ṣā pour les planètes supérieures</caption><thead><tr><th></th><th>Saturne</th><th>Jupiter</th><th>Mars</th></tr></thead><tbody><tr><td>P<sub>3</sub>P<sub>4</sub></td><td>5;7,30 j</td><td>4;7,30 j</td><td>9 j</td></tr><tr><td>P<sub>4</sub>P<sub>5</sub></td><td>-1;42,30 j</td><td>-1;22,30 j</td><td>-3 j</td></tr><tr><td>P<sub>5</sub>P</td><td>6;30 j</td><td>11;30 j</td><td>39;30 j</td></tr><tr><td>(j, u)</td><td>-130° ou -140°</td><td>-62°</td><td>-90°</td></tr><tr><td>λ(0)</td><td>157;58,20</td><td>272;6,10</td><td>292;0,0</td></tr><tr><td>λ̇, par année persane</td><td>12;13,40</td><td>30;20,33</td><td>191;17,11</td></tr><tr><td>λ<sub>a</sub>(0)</td><td>254;52</td><td>180;52</td><td>137;52</td></tr><tr><td>λ<sub>a</sub>, par année persane</td><td>0;1</td><td>0;1</td><td>0;1</td></tr><tr><td>inclinaison de l'orbe incliné</td><td>R<sub>P<sub>2</sub>,u,2°30'</sub></td><td>R<sub>P<sub>2</sub>,u,1°30'</sub></td><td>R<sub>P<sub>2</sub>,u,1°</sub></td></tr><tr><td>inclinaison du déférent</td><td>R<sub>P<sub>3</sub>,u,-3°30'</sub></td><td>R<sub>P<sub>3</sub>,u,-2°</sub></td><td>R<sub>P<sub>3</sub>,u,-1°37'30"</sub></td></tr><tr><td>inclinaison du rotateur</td><td>R<sub>P<sub>4</sub>,v,-1°</sub></td><td>R<sub>P<sub>4</sub>,v,-0°30'</sub></td><td>R<sub>P<sub>4</sub>,v,-0°37'30"</sub></td></tr></tbody></table>

de l'épicycle, et P le centre du globe planétaire. On a $O = P_1 = P_2$, et $P_6 = P_7$. Pour Saturne, on note $e = 3;25$ et on a <fnref n="339" />:

$$ \overrightarrow{P_2P_3} = 2e j $$

$$ \overrightarrow{P_3P_4} = 60 j $$

$$ \overrightarrow{P_4P_5} = \overrightarrow{P_5P_6} = -\frac{e}{2} j $$

$$ \overrightarrow{P_7P} = 6;30 j $$

Al-Ṭūsī adjoint trois orbes supplémentaires pour rendre compte des mouvements en latitude au moyen d'un « couple d'al-Ṭūsī curviligne <fnref n="340" /> » ; on les négligera pour l'instant. Les rotations décrivant le mouvement en longitude de chaque planète supérieure selon al-Ṭūsī sont alors :

$$ R_{P_1,\lambda_a} R_{P_3,\bar{\kappa}} R_{P_4,\bar{\kappa}} R_{P_5,-2\bar{\kappa}} R_{P_6,\bar{\kappa}} R_{P_7,\bar{\alpha}} $$

On aura remarqué que la « petite » et la « grande » sphère constituent un couple d'al-Ṭūsī dont l'effet est décrit par $R_{P_4,\bar{\kappa}} R_{P_5,-2\bar{\kappa}} R_{P_6,\bar{\kappa}}$.

Le modèle d'al-Ṭūsī pour les planètes supérieures comprend cinq orbes dont les centres sont <fnref n="341" /> : $O = P_1 = P_2$ le centre du Monde, $P_3$ le centre du déférent qu'al-

<footnote n="339">³³⁹ Pour Mars et Jupiter, on a le même modèle que Saturne ; seuls *e* et *P<sub>7</sub>P* diffèrent.</footnote>

<footnote n="340">³⁴⁰ Voir al-Ṭūsī, 1993, II.11 [19], p. 218-220.</footnote>

<footnote n="341">³⁴¹ Voir Saliba (1990) et Rashed (1997, p. 119-122).</footnote>
<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>FIG. XXXI : Saturne, al-Ṭūsī, figure initiale</figcaption></figure>

Šīrāzī appellera « déférent corporel » (car il est bien distinct du déférent de Ptolémée), P₄ le centre de l'orbe rotateur, P₅ le centre de l'épicycle, et P le centre du globe planétaire. Notant toujours, pour Saturne, $e = 3;25$, on pose :

$$ \overrightarrow{P_2P_3} = \frac{3e}{2} \quad j = 5;7,30 \text{ j} $$

$$ \overrightarrow{P_3P_4} = 60 \text{ j} $$

$$ \overrightarrow{P_4P_5} = -\frac{e}{2} \text{ j} $$

$$ \overrightarrow{P_5P} = 6;30 \text{ j} $$

Le mouvement en longitude est alors décrit par les rotations suivantes :

$$ R_{P_1, \lambda_a} R_{P_3, \bar{\kappa}} R_{P_4, \bar{\kappa}} R_{P_5, \bar{\alpha}-\bar{\kappa}} $$

Pour la Lune, on a vu al-Šīrāzī proposer un modèle strictement équivalent au modèle d'al-Ṭūsī sans couple curviligne, assez différent du modèle erroné qu'offrait al-ʻUrḍī dans son *Kitāb al-hay'a*. Pour les planètes supérieures, al-Šīrāzī semble avoir hésité, dans les années 1281-1285, entre un modèle fondé sur un « principe conjec-tural » et le modèle d'al-ʻUrḍī (ou un modèle équivalent) fondé sur un « principe déductif ». Ma connaissance des trois ouvrages écrits par al-Šīrāzī dans ces années-là ³⁴² s'appuie sur les travaux de Saliba, Gamini, Hamedani et Niazi ; il me faudra
<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>FIG. XXXII : Saturne, al-'Urḍī, figure initiale</figcaption></figure>

peut-être réviser mes jugements quand les textes originaux seront plus accessibles. Niazi voit un peu la Nihāya al-’idrāk comme un commentaire de la Taḍkira de Ṭūsī et les Iḥtīyārāt-i muẓaffarī comme un auto-commentaire de la Nihāya al-’idrāk, bien que les deux ouvrages aient été rédigés presque simultanément <fnref n="343" />. Il n’est donc pas surprenant qu’al-Ṣīrāzī reprenne la structure du traité d’al-Ṭūsī dans sa Nihāya al-’idrāk et qu’il y décrive d’abord le modèle de Ptolémée pour les planètes supérieures <fnref n="344" />. Puis, dans son chapitre sur les latitudes, comme l’avait fait al-Ṭūsī avec son couple d’al-Ṭūsī, al-Ṣīrāzī propose un nouveau modèle <fnref n="345" />. Ce modèle est aussi décrit dans les Iḥtīyārāt où al-Ṣīrāzī explique pourquoi il le préfère au modèle d’al-‘Urḍī ³⁴⁶ : dans le modèle d’al-‘Urḍī, la trajectoire du centre de l’épicycle dans le plan

<footnote n="342">³⁴² Les Iḥtīyārāt-i muẓaffarī, la Nihāya al-’idrāk et Al-tuhfa al-šāhiyya. Cf. Rashed (1997), Gamini, Hamedani (2013), Niazi (2011).</footnote>

<footnote n="343">³⁴³ Voir Niazi, 2011, p. 213.</footnote>

<footnote n="344">³⁴⁴ Nihāya al-’idrāk, livre 2, chapitre 8. Voir Niazi, 2011, p. 150 et appendices où Niazi donne un résumé analytique du chapitre 8 et une édition du début de ce chapitre. Une édition critique de la fin du chapitre 8 figure dans Gamini, Hamedani, 2013.</footnote>

<footnote n="345">³⁴⁵ Voir Niazi, 2011, p. 151. Il serait intéressant d'étudier le comportement du modèle d'al-Ṣīrāzī pour les latitudes. Gamini a commencé d'entreprendre cette tâche (Gamini, 2017) ; il mentionne aussi (ibid., p. 199 et fig. 32 p. 202) un « second modèle pour les oscillations en latitude » décrit par al-Ṣīrāzī dans la Tuḥfa, dispositif consistant à adjoindre des couples d'al-Ṭūsī rectilignes aux modèles déjà existants. Ces couples d'al-Ṭūsī rectilignes ne font intervenir que des rotations dont l'axe est parallèle au plan de l'écliptique ; ils relèvent donc d'une intuition originale, peut-être moins élégante aux yeux d'un géomètre, mais en tout cas très différente des dispositifs conçus par Ibn al-Haytam, Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī, et Ibn al-Ṣāṭir (voir infra, section 7.12).</footnote>
de l'orbe incliné n'est pas exactement un cercle <fnref n="347" />, mais c'en est bien un dans le nouveau modèle d'al-Ṣīrāzī. Dans les *Iḥtīyārāt*, al-Ṣīrāzī utilise deux termes, « déductif » et « conjectural », pour marquer l'opposition entre les deux modèles <fnref n="348" />. Pourtant, Niazi montre qu'après de nombreuses révisions, l'état final du chapitre sur les latitudes de la *Nihāya al-ʿidrāk* semble préférer une solution fondée sur le « principe déductif », c'est-à-dire à la manière d'al-ʿUrdī! La *Tuhfa*, au dire de Niazi, reflète sûrement son choix définitif, et on y trouve le modèle suivant. C'est le seul que je retiendrai ici :

Le *premier orbe* est le parécliptique ; la partie convexe [du parécliptique] de Saturne touche la partie concave du huitième orbe, sa partie concave touche la partie convexe du parécliptique de Jupiter, la partie concave du parécliptique de Jupiter touche la partie convexe du parécliptique de Mars, et la partie concave du parécliptique de Mars touche la partie convexe du parécliptique de Vénus. Le *deuxième orbe* est le déférent excentrique portant le centre de [l'orbe] englobant ; il est dans la partie supérieure du parécliptique ; la distance de son centre au centre du déférent imaginaire est la moitié de [la distance] entre les centres du monde et du déférent imaginaire de l'astre ; et sa ceinture est inclinée par rapport à la trajectoire du Soleil, de la grandeur de l'inclinaison de [l'orbe] incliné de l'astre, inclinaison constante. Le *troisième orbe* est [l'orbe] englobant ; il est dans la partie supérieure de l'excentrique ; son axe est perpendiculaire au plan de la ceinture de l'excentrique, et sa ceinture est dans son plan c'est-à-dire dans le plan de [l'orbe] incliné. Le *quatrième orbe* est le fléchisseur <fnref n="349" /> ; il est dans la partie inférieure de l'orbe englobant ; son axe est parallèle à l'axe de l'orbe englobant et perpendiculaire au plan de l'orbe incliné, et sa ceinture est aussi dans son plan ; et la distance de son centre au centre de l'orbe englobant est égale à celle entre les centres de l'excentrique et du déférent imaginaire de l'astre [...] Le *cinquième orbe* : l'astre tourne autour du centre du fléchisseur et d'un axe coupant l'axe du fléchisseur en le centre commun. La ceinture [du cinquième orbe] est inclinée par rapport à la ceinture [du fléchisseur] vers le nord et vers le sud, de la grandeur de l'inclinaison, pour l'astre en question, par rapport au plan de l'orbe incliné, et c'est une

<footnote n="346">³⁴⁶ Voir Niazi, 2011, p. 203-204.</footnote>

<footnote n="347">³⁴⁷ On retrouve évidemment le même défaut dans le modèle d'al-Ṭūsī, comme je l'avais déjà remarqué pour la Lune (voir les courbes en pointillés, fig. xx p. 236, et xxxi p. 258).</footnote>

<footnote n="348">³⁴⁸ Le « principe déductif », *istinbāṭī*, désigne le dispositif à l'œuvre dans le modèle d'al-ʿUrdī, et le « principe conjectural », *ḥadsī*, désigne celui à l'œuvre dans le nouveau modèle d'al-Ṣīrāzī. À cette occasion, il utilise aussi un troisième terme, « innovant », *ibdāʿī*, pour désigner un principe que Niazi n'a pas su expliquer (voir Niazi, 2011, note 52, p. 138). Ce terme se rapporte peut-être aux dispositifs utilisés pour décrire les mouvements en latitude, puisqu'Ibn al-Ṣāṭīr en parle ainsi dans la *Nihāya al-sūl* (I.0.26) : « Le fondement qu'il a qualifié d'“ innovant ” (*ibdāʿī*) concernant le désordre des latitudes des astres est impossible. » Selon Niazi, les termes *istinbāṭī* et *ḥadsī* sont aussi utilisés dans la *Nihāya al-ʿidrāk*, mais ils seront absents de la *Tuhfa* (Niazi, 2011, p. 159).</footnote>

<footnote n="349">³⁴⁹ Je traduis ainsi *mumayyil* ; cet orbe est responsable de l'inclinaison variable de la ceinture de l'épi-cycle.</footnote>
inclinaison constante <fnref n="350" />.

Les centres des orbes dans le modèle de la *Tuḥfa* sont : O = P₁ centre du parécliptique, P₃ centre d'un « déférent corporel », P₄ centre de l'orbe « englobant », P₅ centre d'un orbe « fléchisseur », P₆ = P₅ centre de l'épicycle, et P centre du globe planétaire. On notera D le centre du « déférent imaginaire » qui n'est autre que le centre de la trajectoire approximativement circulaire du point P₅ au sein du parécliptique. On a :

$$ \overrightarrow{P_1P_3} = \frac{3e}{2} j = 5;7,30 j $$

$$ \overrightarrow{P_3P_4} = 60 j $$

$$ \overrightarrow{P_4P_5} = -\frac{e}{2} j = -1;42,30 j $$

$$ \overrightarrow{P_5P} = 6;30 j $$

Si l'on néglige les inclinaisons, la composée de rotations entraînant le point P dans son mouvement en longitude est alors :

$$ R_{P_1, \lambda_a} R_{P_3, \bar{\kappa}} R_{P_4, \bar{\kappa}} R_{P_5, -\bar{\kappa}} R_{P_6, \bar{\alpha}} $$

Pour les longitudes, on voit que ce modèle est équivalent à celui d'al-‘Urḍī. Si al-Ṣīrāzī semble avoir finalement renoncé à proposer un modèle différent, il a cependant offert une contribution originale à la fin du chapitre 8 du livre 2 de sa *Nihāya*. Pour répondre à d'éventuels contradicteurs qui reprocheraient aux astronomers de Marāġa d'avoir déplacé le centre du déférent concentrique que Ptolémée avait posé au milieu entre le centre du monde et le point équant (« bissection de l'excentricité »), al-Ṣīrāzī tente d'abord de justifier par des arguments issus de l'observation le choix fait par Ptolémée. Gamini et Hamedani ont récemment analysé <fnref n="351" /> cette intéressante réflexion sur les « arcs rétrogrades ». Ce faisant, al-Ṣīrāzī caractérise le centre du déférent comme étant le centre de la trajectoire, circulaire chez Ptolémée, du centre de l'épicycle dans le plan de l'orbe incliné, et il caractérise le point équant comme

<footnote n="350">³⁵⁰ Ma traduction. Cf. manuscrit Arabe 2516 à la Bibliothèque nationale de France, chapitre 11, f. 45v.</footnote>

<footnote n="351">³⁵¹ Le passage correspondant de la *Nihāya al-‘idrāk* et des *Iḥtīyārāt* est aussi étudié par Niazi (2011, p. 195-200), mais Niazi a une interprétation légèrement différente de celle de Gamini, Hamedani (2013). À ses yeux il faut voir dans tout ce passage une tentative de justifier la préférence pour *les deux* modèles d’al-‘Urḍī et d’al-Ṣīrāzī vis-à-vis d’éventuels contradicteurs qui souhaiteraient revenir à Ptolémée ; aux yeux de Gamini, Hamedani (2013, p. 51) il s’agit plutôt de justifier le refus du modèle d’al-‘Urḍī.</footnote>
<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>FIG. XXXIII : Saturne, al-Šīrāzī, figure initiale</figcaption></figure>

étant le point autour duquel le mouvement du centre de l'épicycle a une vitesse angulaire constante. Dans tous les modèles des astronomers de Marāġa ainsi qu'Ibn al-Šāṭir pour les planètes supérieures, il existe bien un tel « point équant » et un point proche du centre de la trajectoire circulaire ou presque circulaire du centre de l'épicycle – même si ces points ne sont pas toujours mentionnés dans les descriptions des modèles. Pour les modèles d'al-'Urḍī et d'al-Šīrāzī, ce sont les points E et D sur nos figures XXXII et XXXIII.

En fait le modèle d'al-'Urḍī (et donc aussi celui d'al-Šīrāzī) est strictement équivalent au modèle d'al-Ṭūsī. Partons en effet du modèle d'al-'Urḍī décrit comme ci-dessus par la composée de rotations $R_{P_1,λ_a} R_{P_3,\bar{K}} R_{P_4,\bar{K}} R_{P_5,\bar{a}-\bar{K}}$ appliquée au point P de la fig. XXXII. $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ désigneront les centres des orbes dans la figure initiale de 'Urḍī, et $\tilde{P}_1, \tilde{P}_2, \tilde{P}_3, \tilde{P}_4, \tilde{P}_5, \tilde{P}_6, \tilde{P}_7$ désigneront les centres des orbes dans la figure initiale d'al-Ṭūsī. On a :

$$O = P_1 = P_2 = \tilde{P}_1 = \tilde{P}_2, \quad \overrightarrow{P_3P_3} = \frac{e}{2} \mathbf{j}, \quad P_4 = \tilde{P}_5,$$

$$P_5 = \tilde{P}_6 = \tilde{P}_7, \quad \overrightarrow{P_4P_4} = \frac{e}{2} \mathbf{j}.$$
<figure><img src="image_94.png" /></figure>

FIG. XXXIV : Démonstration d'équivalence entre les modèles en longitude de divers savants, selon Kennedy (1966, p. 367)

Alors :

$$
\begin{align*}
R_{P_3, \bar{\kappa}} R_{P_4, \bar{\kappa}} R_{P_5, \bar{\alpha}-\bar{\kappa}} &= (R_{P_3, \bar{\kappa}} R_{P_4, -\bar{\kappa}}) R_{P_4, 2\bar{\kappa}} R_{P_5, \bar{\alpha}-\bar{\kappa}} \\
&= R_{\tilde{P}_3, \bar{\kappa}} (R_{\tilde{P}_4, -\bar{\kappa}} R_{P_4, 2\bar{\kappa}} R_{P_5, \bar{\alpha}-\bar{\kappa}}) \quad \text{(proposition 1 p. 201)} \\
&= R_{\tilde{P}_3, \bar{\kappa}} R_{\tilde{P}_4, \bar{\kappa}} R_{P_4, -2\bar{\kappa}} R_{P_5, \bar{\alpha}+\bar{\kappa}} \quad \text{(proposition 3)} \\
&= R_{\tilde{P}_3, \bar{\kappa}} R_{\tilde{P}_4, \bar{\kappa}} R_{\tilde{P}_5, -2\bar{\kappa}} R_{\tilde{P}_6, \bar{\kappa}} R_{\tilde{P}_7, \bar{\alpha}}
\end{align*}
$$

Enfin, pour les longitudes des planètes supérieures, le modèle d'Ibn al-Šāṭir est équivalent aux modèles des trois savants de Marāġa. En effet, notons toujours $P_i$ les centres des orbes dans la figure initiale de ‘Urḍī, mais notons à présent $\tilde{P}_i$ les centres des orbes d’Ibn al-Šāṭir. On a :

$$O = P_1 = P_2 = \tilde{P}_1 = \tilde{P}_2, \quad P_4 = \tilde{P}_4, \quad P_5 = \tilde{P}_5, \quad P = \tilde{P}.$$

Comme $\tilde{\overrightarrow{P_2P_3}} = \overrightarrow{P_3P_4}$, alors en vertu de la proposition 1, on a :

$$
\begin{align*}
R_{P_3, \bar{\kappa}} R_{P_4, \bar{\kappa}} R_{P_5, \bar{\alpha}-\bar{\kappa}} &= (R_{P_3, \bar{\kappa}} R_{P_4, -\bar{\kappa}}) R_{P_4, 2\bar{\kappa}} R_{P_5, \bar{\alpha}-\bar{\kappa}} \\
&= R_{\tilde{P}_2, \bar{\kappa}} R_{\tilde{P}_3, -\bar{\kappa}} R_{\tilde{P}_4, 2\bar{\kappa}} R_{\tilde{P}_5, \bar{\alpha}-\bar{\kappa}}
\end{align*}
$$

Une démonstration plus intuitive, au moyen d'une figure géométrique, circule beaucoup dans la littérature secondaire depuis Kennedy <fnref n="352" /> ; je l'ai reproduite, fig. xxxiv.

<footnote n="352">³⁵² Voir Kennedy, 1966, p. 367.</footnote>
### 7.11. Sections planes des orbes solides de Saturne

Les sections planes des orbes solides de Saturne sont représentées à la figure xxxv qui respecte à peu près les ordres de grandeurs sauf pour $OP_3$. Les rayons sont :

$$ \text{rayon du globe planétaire} = r $$

$$ \text{rayon de l'orbe de l'épicycle} = 6;30 + r $$

$$ \text{rayon du rotateur} = 1;42,30 + 6;30 + r = 8;12,30 + r $$

$$ \text{rayon du déférent} = 5;7,30 + 1;42,30 + 6;30 + r = 13;20 + r $$

$$ \text{rayon extérieur de l'orbe incliné} = 60 + 5;7,30 + 1;42,30 + 6;30 + r = 73;20 + r $$

$$ \text{rayon intérieur de l'orbe incliné} = 60 - (5;7,30 + 1;42,30 + 6;30 + r) = 46;40 - r $$

$$ \text{épaisseur du parécliptique} = 0;40 $$

Ici comme pour l'orbe total du Soleil, le choix de l'épaisseur 0;40 du parécliptique est arbitraire, et Ibn al-Ṣā propose encore d'ajouter un complément à l'épaisseur de l'orbe incliné. Mais pour Saturne, il néglige $r$ quand il calcule les rayons des orbes solides. Il n'en tient compte qu'à la fin de son raisonnement, dans le « complément » qu'il ajoute à l'épaisseur de l'orbe incliné, quand il dit :

> La distance minimale est à la surface intérieure de l'orbe incliné de Saturne, en parts, quarante-six et deux tiers ; en plus de la réunion des orbes, il faut aussi compter le rayon de l'astre donc cela fait quarante-six parts <fnref n="353" />.

Il vise large en arrondissant le rayon intérieur de l'orbe incliné à 46. Le rayon intérieur du système d'orbès de Saturne est donc 46, et son rayon extérieur est, en tenant compte de l'épaisseur du parécliptique, $73;20 + 0;40 = 74$. Il ne remettra pas ces valeurs en question dans la conclusion de la *Nihāya*, et il suivra le même procédé pour les quatre autres planètes <fnref n="354" />.

<footnote n="353">³⁵³ Cf. I.12.34. Bien que le rayon intérieur de l'orbe incliné passe à 46, il semble qu'Ibn al-Ṣātir maintienne son rayon extérieur à 73;20 : c'est l'épaisseur *du parécliptique* qui fait passer le rayon extérieur *du système d'orbès* à 74. Dans l'orbe incliné, si l'on tient compte du rayon $r$ de la planète, il faut alors supposer que le cercle médian n'est plus un cercle de rayon 60 mais un cercle de rayon légèrement inférieur (entre 59;40 et 60 si $2r < 0;40$). En toute rigueur, il faudrait donc réduire proportionnellement le système entier des orbès de Saturne par rapport aux valeurs rapportées ci-dessus.</footnote>

<footnote n="354">³⁵⁴ Cette méthode, consistant à ajouter et retrancher un complément en « visant large », est à rapprocher de la méthode d'approximation par itération, plus fine, d'al-ʻUrḍī : voir Goldstein, Swerdlow, 1970, p. 143-145. On ne pouvait se passer de ces méthodes : toute estimation des dimensions des orbès dépendait des diamètres des planètes ; mais ces diamètres eux-mêmes dépendaient d'une observation des diamètres apparentés *et* d'une estimation préalable des distances, donc des dimensions des orbès.</footnote>
<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>FIG. XXXV : Saturne, orbes solides</figcaption></figure>
Les rayons des orbes solides de Jupiter sont :

rayon du globe planétaire = r

rayon de l'orbe de l'épicycle = 11;30 + r

rayon du rotateur = 1;22,30 + 11;30 + r = 12;52,30 + r

rayon de déférent = 4;7,30 + 1;22,30 + 11;30 + r = 17 + r

rayon extérieur de l'orbe incliné = 60 + 4;7,30 + 1;22,30 + 11;30 + r = 77 + r

rayon intérieur de l'orbe incliné = 60 - (4;7,30 + 1;22,30 + 11;30 + r) = 43 - r

épaisseur du parécliptique = 1

Ceux des orbes solides de Mars sont :

rayon du globe planétaire = r

rayon de l'orbe de l'épicycle = 39;30 + r

rayon du rotateur = 3 + 39;30 + r = 42;30 + r

rayon du déférent = 9 + 3 + 39;30 + r = 51;30 + r

rayon extérieur de l'orbe incliné = 60 + 9 + 3 + 39;30 + r = 111;30 + r

rayon intérieur de l'orbe incliné = 60 - (9 + 3 + 39;30 + r) = 8;30 - r

épaisseur du parécliptique = 0;30

### 7.12. Genèse du modèle en latitude pour les planètes supérieures

Concernant les latitudes des planètes supérieures, Ibn al-Ṣā s'estime satisfait du progrès qu'il a accompli. Voici la critique qu'il adresse à ses prédécesseurs (I.24.9) :

Le rapprochement de la ceinture de l'épicycle et de la ceinture de l'orbe incliné, sans un mobile qui perturbe les mouvements en longitude, dans l'astronomie classique de l'Almageste et des « Hypothèses » concernant les corps mus en latitude, est impossible. Ce dont se sont efforcés Ptolémée et ses successeurs comme Ibn al-Haytam dans son « Épître », Naṣīr al-Ṭūsī dans son « Mémoire », Mu'ayyad al-Urḍī dans son « Astronomie », Quṭb al-Ṣīrāzī dans son Muntahā al-ʿadwār, et ce que quiconque a repris de leurs propos dans son livre [...], rien de tout cela ne suffit au but visé pour la longitude et la latitude, et quand cela convient pour l'une, cela pèche pour l'autre. Que Dieu pardonne à ceux qui ont ici admis leur faiblesse.

À cette critique s'en ajoutera une seconde; mais il faut déjà comprendre la première.
Pour expliquer l'oscillation du plan de l'épicycle<fnref n="355" />, Ptolémée avait décrit une sorte de modèle mécanique dans l'*Almageste* en termes équivoques :

En résumé général, suivant les hypothèses, les cercles excentriques des cinq planètes se trouvent inclinés sur le plan du cercle milieu du zodiaque autour du centre du zodiaque, et cette inclinaison est constante dans Saturne, Jupiter et Mars [...]

Les diamètres apogées des épicycles qui, à *certain point de départ*, étoient dans le plan de l'excentrique, sont transportés par de petits cercles fixés, pour ainsi dire, à leurs extrémités périgées, et d'un rayon propre à représenter les inégalités observées dans les latitudes. Mais ces petits cercles sont *perpendiculaires aux plans des excentriques* ; ils ont leurs centres dans ces plans [...]

Les diamètres qui coupent à angles droits les diamètres apogées [...] demeurent constamment parallèles au plan de l'écliptique [...]

Au sujet de ces petits cercles qui font ainsi varier la position des épicycles, il faut d'abord remarquer ce qui suit. Ils sont partagés en deux également *par les plans sur les- quels nous disions que se fait la variation de l'inclinaison* [...]

Qu'on n'objecte pas à ces hypothèses, qu'elles sont trop difficiles à saisir <fnref n="356" /> [...]

Peut-être à la recherche d'une *description exacte* du mouvement du plan de l'épicycle, alors même qu'un *calcul exact* des latitudes résultant de l'inclinaison des épicycles semblait si difficile <fnref n="357" />, al-Ḥasan b. al-Ḥasan b. al-Haytam a précisé le mo dèle de Ptolémée dans un texte aujourd'hui perdu « Sur le mouvement d'enroule ment <fnref n="358" /> », probablement antérieur à son traité sur « La configuration des mouve ments de chacun des sept astres errants ». C'est sûrement à ce texte perdu qu'Ibn al-Ṣā fait allusion. Heureusement pour nous, al-Ṭūsī a décrit dans la *Taḍkira* le dispositif conçu par Ibn al-Haytam <fnref n="359" /> : il s'agit d'adjoindre à l'épicycle deux orbes ou sphères homocentriques comme sur la figure xxxvi, où l'axe de l'épicycle est per pendiculaire au plan de la section représentée sur la figure. Le mouvement propre de l'épicycle devant être rapporté au référentiel solide constitué par la seconde sphère, c'est un diamètre de la seconde sphère qui jouera le rôle de l'« apogée moyen » de l'épicycle. Que ce diamètre soit l'axe *j* de la seconde sphère. Le mouvement de rota tion de la première sphère autour de son axe *t* aura pour effet de faire « osciller »

<footnote n="355">³⁵⁵ Pour Saturne, selon Ptolémée, l'oscillation du plan de l'épicycle autour du plan de l'excentrique est d'amplitude $i_1 + i_2 = 4°30'$. Il oscille autour d'un plan parallèle à l'écliptique avec une amplitude de $i_2 = 2°$ puisque l'excentrique est lui-même incliné de $i_1 = 2°30'$ (Swerdlow, 2005, p. 43).</footnote>

<footnote n="356">³⁵⁶ Cf. Ptolémée, 1952, chap. XIII.2. Mes italiques ; J'adopte ici la traduction française de Halma.</footnote>

<footnote n="357">³⁵⁷ Ibn al-Haytam renonce à ce calcul dans sa « Configuration des mouvements », voir Rashed, 2006, p. 444-447.</footnote>

<footnote n="358">³⁵⁸ Sur ce texte perdu, voir Rashed, Penchèvre, 2020 ; cet article complète et précise la présente des cription du modèle de la fig. xxxvi (cf. Rashed, Penchèvre, 2020, fig. 2, p. 40 où, pour les besoins de l'article, nous avons échangé les lettres *j* et *t*).</footnote>

<footnote n="359">³⁵⁹ Voir al-Ṭūsī, 1993, II.11 [16].</footnote>
<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>FIG. XXXVI : Ibn al-Haytam's *iltifāf*, according to al-Ṭūsī</figcaption></figure>

la direction du vecteur *j* autour du vecteur *t*. Le rôle du mouvement de rotation de la seconde sphère autour de *j* est, comme pour la troisième sphère d'un couple d'al-Ṭūsī, d'annuler le moment angulaire imprimé à l'épicycle par le mouvement de la première sphère. Le plan de l'épicycle oscillera alors autour d'un plan contenant le vecteur *t*. Reste à comprendre où fixer les pôles de la première sphère dans le système d'orbes assurant les mouvements en longitude. Ṭūsī reste vague ; il faut donc deviner.

Naïvement, plaçons l'axe de la première sphère, c'est-à-dire le vecteur *t*, dans le plan de la figure initiale (fig. XXXI p. 258), et fixons ses pôles dans la « sphère englobante ». Le modèle de Ṭūsī auquel on adjoint les deux orbes d'Ibn al-Haytam contient maintenant neuf orbes <fnref n="360" /> :

- le parécliptique de centre P₁;

- l'orbe incliné en P₂;

- l'orbe déférent en P₃;

- une « grande sphère » en P₄, une « petite sphère » en P₅ et une « sphère englobante » en P₆, formant le couple de Ṭūsī;

- les deux sphères d'Ibn al-Haytam en P₇ et P₈, où P₈ = P₇ = P₆;

<footnote n="360">³⁶⁰ Voir fig. XXXVII p. 269, figure plane qui, bien sûr, n'est plus suffisante pour décrire la configura-
tion initiale des orbes.</footnote>
<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>FIG. XXXVII : Saturne d'après la *Tadkira* II.11 [16]</figcaption></figure>

- l'épicycle en P₉ = P₈;

- Saturne en P.

Les rotations décrivant le mouvement de l'astre sont :

R<sub>P₁,λₐ</sub> R<sub>P₂,u,2°30′</sub> R<sub>P₃,κ</sub> R<sub>P₄,κ</sub> R<sub>P₅,-2κ</sub> R<sub>P₆,κ</sub> R<sub>P₇,t,-(κ+140°)</sub> R<sub>P₈,j,(κ+140°)</sub> R<sub>P₉,α</sub>

où **u** = cos(50°)i - sin(50°)j, et **t** = sin(4°30′)i + cos(4°30′)j. Al-Ṭūsī juge cette
solution peu satisfaisante, car :

Les petits cercles mentionnés, en entraînant des inclinaisons latitudinales, causent
aussi des inclinaisons en longitude, et les positions des apogées et des périgées sont donc
différents de ce qu'elles devraient être quant aux points avec lesquels ils devraient être
alignés <fnref n="361" />.

Dans sa première critique, Ibn al-Ṣā ne fait que répéter celle qu’al-Ṭūsī adresse
au modèle de Ptolémée précisé par Ibn al-Haytam, et il ajoute que ni al-Ṭūsī, ni
al-‘Urḍī, ni al-Ṣīrāzī n’ont su résoudre ce problème ; pourtant al-Ṭūsī propose une
autre solution dans la *Tadkira* : il propose de remplacer la première sphère d’Ibn al-
Haytam par *deux* sphères homocentriques (voir figure XXXVIII). L’épicycle est tou-
jours contenu dans la seconde sphère d’Ibn al-Haytam, mais elle-même est contenue
dans un *petite sphère*, elle-même contenue dans une *grande sphère*, elle-même conte-
nue dans la *sphère englobante* centrée en P₆. Leurs centres P₆ = P₇ = P₈ = P₉ = P₁₀

<footnote n="361">³⁶¹ Cf. al-Ṭūsī, 1993, II.11 [15].</footnote>
<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>FIG. XXXVIII : Le couple curviligne d'al-Ṭūsī pour les latitudes</figcaption></figure>

sont tous confondus. La vitesse de rotation de la petite sphère est double et en sens inverse de celle de la grande sphère : les axes des trois sphères additionnelles étant presque parallèles, elles agiront presque comme un couple d'al-Ṭūsī.

Quel est le mouvement de l'apogée moyen produit par ce dispositif ? À la surface de la sphère englobante, la trace de l'axe de la seconde sphère d'Ibn al-Haytam est une courbe fermée qu'al-Ṭūsī pensait pouvoir assimiler à un petit arc d'un grand cercle de la sphère englobante, parcouru alternativement dans un sens puis dans l'autre : l'apogée moyen décrit bien un mouvement oscillatoire <fnref n="362" />.

Comment insérer ce dispositif dans le modèle d'al-Ṭūsī pour Saturne ? Comme on l'a fait pour le dispositif d'Ibn al-Haytam, on choisira naïvement d'insérer l'axe de la grande sphère dans le plan de la figure initiale, donc dans le plan de la sphère englobante, dans la direction du vecteur j. On notera :

$$u = \cos(50°)i - \sin(50°)j$$

$$v = \cos(4°30′)j - \sin(4°30′)k$$

$$w = \cos(2°15′)j - \sin(2°15′)k$$

où v est l'axe de la seconde sphère d'Ibn al-Haytam et w est l'axe de la « petite sphère ».

<footnote n="362">³⁶² Ragep l'explique très bien (al-Ṭūsī, 1993, fig. C26 et note 54 p. 455).</footnote>
<figure><img src="image_99.png" /></figure>

FIG. XXXIX : Interprétation naïve de la solution d'al-Ṭūsī utilisant son « couple curviligne » pour les latitudes de Saturne

La composée de rotations décrivant le mouvement de Saturne est alors :

$$R_{P_1,\lambda_a} R_{P_2,u,2^\circ 30'} R_{P_3,\bar{\kappa}} R_{P_4,\bar{\kappa}} R_{P_5,-2\bar{\kappa}} R_{P_6,\bar{\kappa}} T R_{P_{10},i,-4^\circ 30'} R_{P_{10},\bar{\alpha}}$$

où $T = R_{P_7,j,\bar{\kappa}+50^\circ} R_{P_8,w,-2(\bar{\kappa}+50^\circ)} R_{P_9,v,\bar{\kappa}+50^\circ}$ est le « couple curviligne » des trois sphères additionnelles.

Pour Saturne dont l'épicycle est petit, la solution d'Ibn al-Haytam et celle du couple curviligne d'al-Ṭūsī se valent y compris pour les longitudes. Pourtant elles ont toutes deux un défaut notable : l'épicycle garde une inclinaison par rapport à l'écliptique près des nœuds, causant les larges oscillations en latitude entre $t = 10$ et $t = 12$ sur le graphe de la figure XXXIX. Et pour cause : nous avons, « naïvement », fixé les pôles de la plus grande des deux ou trois sphères additionnelles dans le plan de l'orbe englobant, lui-même coïncidant avec le plan de l'excentrique de Ptolémée. L'épicycle va donc osciller autour de l'excentrique : aux nœuds, il sera confondu avec le plan de l'excentrique, dont l'inclinaison est de $2^\circ 30'$ par rapport à l'écliptique. Il y a donc erreur.
Mais où devrait-on attacher les pôles de la grande sphère dans la sphère englobante, si ce n'est dans le plan de cet orbe ? Al-Ṭūsī est plutôt vague. Selon lui, les pôles de la première sphère d'Ibn al-Haytam sont à une distance des pôles de sa seconde sphère « égale à la déviation maximale du diamètre [de l'apogée moyen] de la planète par rapport *au plan dans lequel elle n'a pas de latitude* <fnref n="363" /> ». Il faut donc penser que les axes des deux sphères d'Ibn al-Haytam devraient être inclinés de 2° l'un par rapport à l'autre, puisque l'épicycle est incliné de 2° au plus par rapport à l'écliptique. Si l'on pouvait alors fixer les pôles de la première sphère dans un plan parallèle à l'écliptique, le modèle produirait une oscillation du plan de l'épicycle de ±2° autour d'un plan parallèle à l'écliptique, et il serait confondu avec le plan de l'écliptique aux nœuds. Hélas, dans le solide de la sphère englobante, il n'existe aucun plan qui reste constamment parallèle à l'écliptique quand les orbes se meuvent !

Une rotation spatiale n'agit pas seulement sur les directions, elle agit aussi sur les plans affines. Ibn al-Ṣātir l'avait bien compris, car c'est là l'objet de sa seconde critique. Il s'est posé la question de savoir autour de quel plan l'épicycle doit osciller. Selon lui (I.24.18) :

> L'observation confirme que c'est le plan de l'écliptique et non le plan de l'orbe incliné.
> La plupart des modernes – Naṣīr al-Ṭūsī, Mu'ayyad al-ʻUrḍī, Quṭb al-Ṣīrāzī – ont pensé
> que la latitude s'annulait quand c'est le plan de l'orbe incliné : c'est impossible [...]

En effet, la solution dont j'ai tracé le graphe fig. xxxix, bien que naïve, est la seule
possible, à moins de modifier radicalement le modèle d'al-Ṭūsī. Pour rendre possible
l'oscillation autour d'un plan parallèle à l'écliptique, il faudrait modifier les autres
orbes pour garantir l'existence d'un tel plan dans le solide de l'orbe englobant. Il faud-
drait par exemple incliner, une fois pour toutes, le plan et l'axe de l'orbe englobant
par rapport à ceux du déférent. On aurait alors la composée de rotations suivante,
toujours en accord avec les notations de la p. 270 ci-dessus :

$$
R_{P_1,\lambda_a} R_{P_2,u,2^\circ 30'} R_{P_3,\bar{k}} R_{P_4,\bar{k}} R_{P_5,-2\bar{k}} R_{P_6,u,-2^\circ 30'} R_{P_6,\bar{k}} T R_{P_{10},i,-2^\circ} R_{P_{10},\bar{\alpha}}
$$

où, comme ci-dessus,

$$
T = R_{P_7,j, \bar{k}+50^{\circ}} R_{P_8,w, -2(\bar{k}+50^{\circ})} R_{P_9,v, \bar{k}+50^{\circ}},
$$

mais ici $v = \cos(2^\circ)j - \sin(2^\circ)k$ et $w = \cos(1^\circ)j - \sin(1^\circ)k$. Une telle modification
rend l'adéquation avec les prédictions ptoléméennes presque parfaite <fnref n="364" />.

<footnote n="363">³⁶³ Voir al-Ṭūsī, 1993, II.11 [16]. On remarque qu'en décrivant le modèle mécanique de Ptolémée, al-Ṭūsī est, sur ce point, à peu près aussi vague que Ptolémée : le modèle résulte selon al-Ṭūsī en un « déplacement des extrémités des diamètres de l'épicycle *hors des plans dans lesquels ils n'ont pas d'inclinaison* » (II.11 [14]).</footnote>

<footnote n="364">³⁶⁴ Une correction semblable s'appliquerait aussi aisément au dispositif d'Ibn al-Haytam de la fig. XXXVI.</footnote>
<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>FIG. XL : Comparaison des modèles en latitude pour Saturne</figcaption></figure>

Comme on l'a vu plus haut, Ibn al-Ṣāṭir propose une autre solution, adaptée à son propre modèle en longitude, et consistant simplement à incliner de manière judicieuse les plans et les axes des orbes déjà utilisés. Il n'est besoin d'adjoindre aucun orbe additionnel pour le mouvement en latitude ; cinq orbes suffisent là où al-Ṭūsī en utilise dix. Son modèle n'est pas tout à fait équivalent à celui d'al-Ṭūsī, mais il reste très proche des prédictions ptoléméennes ; il est donc plus intéressant de comparer les deux modèles aux éphémérides modernes comme je l'avais fait à la figure XL.

Qu'en conclure ? Au moins dès le xᵉ siècle avec Ibn al-Haytam, les astronomers avaient engagé l'étude des composées de rotations spatiales. Ibn al-Ṣāṭir a assimilé les travaux concernant les composées de rotations homocentriques à axes non parallèles (les sphères homocentriques utilisées pour décrire les latitudes), aussi bien que les travaux de l'école de Marāġa décrivant les mouvements en longitude par des composées de rotations à axes parallèles. C'est peut-être une meilleure appréhension du concept d'orbe solide, et une compréhension plus fine de l'action des rotations spatiales sur les plans affines, qui lui permettent d'élucider les défauts des solutions d'Ibn al-Haytam et d'al-Ṭūsī, et d'y remédier.

Un indice montre que la recherche d'Ibn al-Ṣāṭir s'appuie bien sur les travaux de
ses prédécesseurs. Après avoir décrit son modèle pour les latitudes des planètes supérieures, Ibn al-Šāṭir discute qualitativement les effets produits par les inclinaisons des axes des orbes dans la figure initiale, sur les inclinaisons aux nœuds et aux limites des latitudes. Pour ce faire, il est conduit à identifier $P_3$ et $P_4$ dans ses explications, et sur une de ses figures. On pourra comparer la figure 15 originale (p. 182) à ma figure xxviii p. 249 où je distingue $P_3$ et $P_4$. Quand $P_3P_4$ est petit devant les rayons de l'épicycle et de l'excentrique, cette approximation peut se justifier (ainsi pour Mars). Mais il s'agit sans doute d'un choix didactique ou d'un résidu d'une réflexion antérieure sur un modèle plus simple. L'usage de l'approximation $P_3 \approx P_4$ montre que les composées de rotations homocentriques avaient valeur de paradigme dans les théories planétaires. C'est en inclinant les axes de plusieurs orbes non homocentriques qu'Ibn al-Šāṭir semble accomplir un geste nouveau.

## 8. VÉNUS

### 8.1. *Figure initiale*

La figure initiale pour Vénus est analogue à celle de Saturne (fig. xxvii p. 247), sauf quant aux rayons des orbes et à la position de la ligne des nœuds. La ligne des nœuds, à l'intersection des plans de l'orbe incliné et du parécliptique, est ici orientée dans la direction du vecteur i, le nœud ascendant étant du même côté que i. Posons $\overrightarrow{OP_3} = 60 \text{ j}$, alors

$$ \overrightarrow{P_3P_4} = 1;41 \text{ j}, \quad \overrightarrow{P_4P_5} = -0;26 \text{ j}, \quad \overrightarrow{P_5P} = 43;33 \text{ j}. $$

### 8.2. *Transformations géométriques*

Les rotations utilisées pour modéliser le mouvement de Vénus en longitude sont analogues à celles des planètes supérieures. En revanche la théorie des latitudes exposée dans le chapitre I.25 de la Nihāya est assez différente. Voici la liste complète des rotations utilisées dans les chapitres I.19 (pour les longitudes) et I.25 (pour les latitudes) :

$$ \begin{array}{lll} R_{P_5, \bar{a}-\bar{k}}, & R_{P_5, j, 0^\circ 30'}, & R_{P_5, i, 0^\circ 5'}, \\ R_{P_4, 2\bar{k}}, & R_{P_4, j, 3^\circ}, & R_{P_4, i, -0^\circ 5'}, \\ R_{P_3, -\bar{k}}, & R_{P_2, \bar{k}}, & R_{P_2, i, 0^\circ 10'}, & R_{P_1, \lambda_a} \end{array} $$

L'image du point $P_3$ entraîné par les mouvements de l'orbe parécliptique et de l'orbe incliné est :

$$ R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, i, 0^\circ 10'} R_{P_2, \bar{k}}(P_3). $$
Quant au point P₄, il est aussi entraîné par le mouvement de l'orbe déférent et devient :

$$R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, i, 0^{\circ} 10'} R_{P_2, \bar{\kappa}} R_{P_3, -\bar{\kappa}} R_{P_4, i, -0^{\circ} 5'} R_{P_4, j, 3^{\circ}} R_{P_4, 2\bar{\kappa}}(P_4).$$

Le point P₅ est aussi entraîné par le mouvement de l'orbe rotateur et devient :

$$R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, i, 0^{\circ} 10'} R_{P_2, \bar{\kappa}} R_{P_3, -\bar{\kappa}} R_{P_4, i, -0^{\circ} 5'} R_{P_4, j, 3^{\circ}} R_{P_4, 2\bar{\kappa}}(P_5).$$

Enfin le point P, aussi entraîné par l'orbe de l'épicycle, devient :

$$R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, i, 0^{\circ} 10'} R_{P_2, \bar{\kappa}} R_{P_3, -\bar{\kappa}} R_{P_4, i, -0^{\circ} 5'} R_{P_4, j, 3^{\circ}} R_{P_4, 2\bar{\kappa}} R_{P_5, i, 0^{\circ} 5'} R_{P_5, j, 0^{\circ} 30'} R_{P_5, \bar{\alpha}-\bar{\kappa}}(P).$$

La figure xli montre l'effet des rotations inclinant les plans des orbes, pour trois positions. On a projeté orthogonalement sur le plan du parécliptique (figure du bas), sur un plan orthogonal à la ligne des nœuds (figure du haut), et sur un plan orthogonal au plan du parécliptique mais parallèle à la ligne des nœuds (figure de droite). Sur la figure du bas, on a seulement représenté la ceinture de l'épicycle ; dans les deux autres figures, le petit segment en trait plein de centre P₄ est la ceinture du rotateur. Sur la figure de droite, on a confondu P₄ et P₅, par approximation. La ceinture du déférent reste toujours dans le plan de l'orbe incliné.

### 8.3. Trajectoire paramétrée

Le modèle de Vénus est couplé au modèle du Soleil en vertu de la relation suivante :

$$\bar{\kappa} = \bar{\lambda}_{\odot} - \lambda_a.$$

La trajectoire dans l'ensemble des valeurs des paramètres est :

$$\lambda_a = \dot{\lambda}_a t + \lambda_a(0),$$

$$\bar{\lambda}_{\odot} = \dot{\bar{\lambda}}_{\odot} t + \bar{\lambda}_{\odot}(0),$$

$$\bar{\alpha} = \dot{\bar{\alpha}} t + \bar{\alpha}(0).$$

On a, d'après Ibn al-Šāṭir :

$$\bar{\lambda}_{\odot}(0) = 280;9,0, \quad \dot{\bar{\lambda}}_{\odot} = 359;45,40 \text{ par année persane},$$

$$\lambda_a(0) = 77;52, \quad \dot{\lambda}_a = 0;1 \text{ par année persane},$$

$$\bar{\alpha}(0) = 320;50,19, \quad \dot{\bar{\alpha}} = 225;1,48,41 \text{ par année persane.}$$
<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>FIG. XLI : Vénus, trois positions, projections orthogonales</figcaption></figure>
## 8.4. Transformations planes et équations de Vénus

Comme je l'ai expliqué pour Saturne, on peut réécrire à droite toutes les rotations dont l'axe est dans la direction du vecteur $\mathbf{k}$, en appliquant des relations de commutation. Il existe donc une composée de rotations M telle que l'image du point P soit :

$$MR_{P_2,a,0^{\circ}10'}(P')$$

où a est l'image de i par la rotation $R_{P_1,\lambda_a}$, et où

$$P' = R_{P_1,\lambda_a} R_{P_2,\bar{\kappa}} R_{P_3,-\bar{\kappa}} R_{P_4,2\bar{\kappa}} R_{P_5,\bar{\alpha}-\bar{\kappa}}(P).$$

On introduit de même les points $P'_3$, $P'_4$, $P'_5$ suivants exactement comme pour Saturne :

$$P'_3 = R_{P_1,\lambda_a} R_{P_2,\bar{\kappa}} (P_3),$$

$$P'_4 = R_{P_1,\lambda_a} R_{P_2,\bar{\kappa}} R_{P_3,-\bar{\kappa}} (P_4),$$

$$P'_5 = R_{P_1,\lambda_a} R_{P_2,\bar{\kappa}} R_{P_3,-\bar{\kappa}} R_{P_4,2\bar{\kappa}} (P_5).$$

Les équations pour le mouvement en longitude de Vénus sont donc identiques à celles des planètes supérieures (voir p. 250 ci-dessus).

## 8.5. Trigonométrie sphérique

On va à présent calculer les coordonnées du point $R_{P_2,a,0^{\circ}10'}(P')$ par rapport à l'écliptique. L'angle formé entre le vecteur a et la direction du point P' vaut (modulo $360^{\circ}$) :

$$(a, \vec{OP}') = \bar{\kappa} + c_1 + c_2 + 90^{\circ} = \bar{\lambda} - \lambda_{\odot} + c_1 + c_2 = \lambda - \lambda_{\odot}$$

où $\lambda = \bar{\lambda} + c_1 + c_2$ et $\bar{\lambda} = \bar{\kappa} + \lambda_a$, et où $\lambda_{\odot} = \lambda_a - 90^{\circ}$ est la longitude du nœud ascendant sur l'écliptique, toujours situé $90^{\circ}$ avant l'auge. Comme on l'a montré pour Saturne, on trouve que la longitude du point $R_{P_2,a,0^{\circ}10'}(P')$ par rapport à l'écliptique, en prenant la direction du point vernal, c'est-à-dire $j$, comme origine, vaut :

$$\lambda + e_n(\lambda - \lambda_{\odot})$$

où l'« équation du déplacement » $e_n(x)$ est définie comme suit sur l'intervalle $[-90^{\circ}, 270^{\circ}]$, et ailleurs par périodicité :

$$e_n(x) = \begin{cases} \arctan(\cos(0^{\circ}10') \tan x) - x, & \text{si } x \in [-90^{\circ}, 90^{\circ}] \\ 180^{\circ} + \arctan(\cos(0^{\circ}10') \tan x) - x, & \text{si } x \in [90^{\circ}, 270^{\circ}] \\ 0^{\circ}, & \text{si } x = \pm 90^{\circ}. \end{cases}$$

Sa latitude est :

$$\arcsin(\sin(0^{\circ}10') \sin(\lambda - \lambda_{\odot})).$$
## 8.6. Les inclinaisons des petits orbes

Les rotations qui composent M ont leurs axes contenus dans le plan de l'orbe incliné et sont d'angles petits (3° au plus). Elles auront peu d'effet en longitude <fnref n="365" />. Dans le chapitre 25, Ibn al-Ṣāṭir se contente d'une description qualitative de l'effet en latitude de M.

## 8.7. Second modèle

Le modèle que j'ai restitué ci-dessus est le premier modèle décrit par Ibn al-Ṣāṭir dans le chapitre 25. On voit que les inclinaisons des plans des orbes sont conçues dans l'idée de reproduire les effets décrits dans l'Almageste. L'inclinaison de l'« orbe incliné », variable dans l'Almageste mais constante chez Ibn al-Ṣāṭir, minime, n'a que peu d'influence sur le résultat final. Ibn al-Ṣāṭir envisage ensuite un second modèle plus proche de la théorie exposée par Ptolémée dans ses « Hypothèses planétaires ». La composée de rotations utilisée est alors la suivante :

$$R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, i, 0^{\circ}10' } R_{P_2, \bar{\kappa}} R_{P_3, -\bar{\kappa}} R_{P_4, i, -0^{\circ}5' } R_{P_4, j, 3^{\circ}30' } R_{P_4, 2\bar{\kappa}} R_{P_5, i, 0^{\circ}5' } R_{P_5, \bar{\alpha}-\bar{\kappa}}$$

## 8.8. Comparaison

À la figure XLII, je donne les latitudes de Vénus pendant deux ans, à partir de l'Époque choisie par Ibn al-Ṣāṭir, calculées de quatre manières différentes : (1) par les éphémérides de l'IMCCE, (2) en suivant la méthode strictement ptoléméenne de l'Almageste mais avec les paramètres d'Ibn al-Ṣāṭir à l'Époque et ses mouvements moyens, (3) au moyen du premier modèle d'Ibn al-Ṣāṭir censé reproduire les valeurs de l'Almageste, et (4) au moyen du second modèle d'Ibn al-Ṣāṭir imitant les « Hypothèses planétaires ».

<footnote n="365">³⁶⁵ Voir Penchèvre, 2016, où je montre que l'erreur commise en les négligeant est inférieure à 0°5'.</footnote>
<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>FIG. XLII : Vénus, comparaison des modèles pour les latitudes</figcaption></figure>
## 8.9. Les orbes solides de Vénus

La figure est la même que pour les planètes supérieures (figure xxxv), avec les dimensions suivantes :

$$ \text{rayon du globe planétaire} = r $$

$$ \text{rayon de l'orbe de l'épicycle} = 43;33 + r $$

$$ \text{rayon du rotateur} = 0;26 + 43;33 + r = 43;59 + r $$

$$ \text{rayon du déférent} = 1;41 + 0;26 + 43;33 + r = 45;40 + r $$

$$ \text{rayon extérieur de l'orbe incliné} = 60 + 1;41 + 0;26 + 43;33 + r = 105;40 + r $$

$$ \text{rayon intérieur de l'orbe incliné} = 60 - (1;41 + 0;26 + 43;33 + r) = 14;20 - r $$

$$ \text{épaisseur du parécliptique} = 0;20 $$

## 8.10. Le mouvement en longitude de Vénus selon al-Ṭūsī

Le modèle de Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī pour les longitudes de Vénus est aussi analogue à son modèle pour les planètes supérieures <fnref n="366" /> : sept orbes, dont les centres sont déterminés par les relations suivantes <fnref n="367" />,

$$ \overrightarrow{P_7P} = 43;10 \text{ j}, \quad \overrightarrow{P_5P_6} = \overrightarrow{P_4P_5} = -0;37,30 \text{ j}, \text{ d'où } \overrightarrow{P_4P_6} = -1;15 \text{ j}, $$

$$ \overrightarrow{P_3P_4} = 60 \text{ j}, \quad \overrightarrow{P_2P_3} = 2;30 \text{ j}. $$

Al-Ṭūsī choisit ces paramètres de façon à reproduire la trajectoire prédite par le modèle de l'Almageste. Ainsi $|P_2P_3| = 2e$ et $|P_4P_6| = e$ où $e = 1;15$ est l'excentricité chez Ptolémée, et al-Ṭūsī garde le rayon de l'épicycle 43;10 utilisé par Ptolémée.

Au contraire, le modèle d'al-Ṭūsī serait équivalent au modèle d'Ibn al-Ṣā si l'on avait :

$$ \overrightarrow{P_7P} = 43;33 \text{ j}, \quad \overrightarrow{P_5P_6} = \overrightarrow{P_4P_5} = -0;26 \text{ j}, \text{ d'où } \overrightarrow{P_4P_6} = -0;52 \text{ j}, $$

$$ \overrightarrow{P_3P_4} = 60 \text{ j}, \quad \overrightarrow{P_2P_3} = 2;7 \text{ j}. $$

Sous cette hypothèse, $|P_2P_3| - |P_4P_6| = 1;15$ serait bien égal à l'excentricité de Vénus selon Ptolémée, mais $\frac{|P_2P_3|}{2} = 1;3,30$ serait égal à la demi-excentricité du Soleil

<footnote n="366">³⁶⁶ Cf. ci-dessus fig. xxxi. Quitte à bien choisir les paramètres, l'équivalence cinématique entre les modèles d'al-Ṭūsī, al-ʿUrḍī, al-Ṣīrāzī et Ibn al-Ṣā tīr, démontrée p. 263 *supra*, vaut donc aussi pour Vénus.</footnote>

<footnote n="367">³⁶⁷ Voir al-Ṭūsī, 1993, p. 457.</footnote>
<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>FIG. XLIII : Erreur en longitude des modèles d'Ibn al-Ṣāṭir et d'al-Ṭūsī pour Vénus</figcaption></figure>

selon Ibn al-Ṣāṭir <fnref n="368" />. Al-Ṭūsī lui-même indiquait que l'excentricité de Vénus est la moitié de celle du Soleil, et que l'excentricité du Soleil valait 2;30 pour Ptolémée mais environ 2;5 pour des observateurs plus récents <fnref n="369" />.

## 8.11. Comparaison

Pour mieux juger des paramètres adoptés par Ibn al-Ṣāṭir et al-Ṭūsī, je donne fig. XLIII les longitudes de Vénus pendant cinq ans, à partir de l'Époque choisie par Ibn al-Ṣāṭir ; comme l'équation de Vénus a une amplitude de l'ordre de 50° en coordonnées géocentriques, j'ai préféré tracer l'erreur en degrés de longitude par rapport à la longitude prédite par le serveur d'éphémérides de l'IMCCE : (1) en adoptant le modèle d'al-Ṭūsī avec $|P_2P_3| = 2;30$ et $|P_7P| = 43;10$ et les mouvements moyens d'Ibn al-Ṣāṭir ; (2) en adoptant le modèle d'Ibn al-Ṣāṭir. Dans l'absolu, le choix d'Ibn al-Ṣāṭir est un peu meilleur. Celui d'al-Ṭūsī reproduit de très près les prédictions

<footnote n="368">³⁶⁸ Rappelons en effet que dans le modèle du Soleil d'Ibn al-Ṣāṭir, si l'on suit les notations de la fig. v p. 209 *supra*, le rayon de l'épicycle apparent minimal est $|P_3P_4| - |P_4P| = 2;7$.</footnote>

<footnote n="369">³⁶⁹ Voir al-Ṭūsī, 1993, p. 146 et 182. Dans Kennedy, Ghanem, 1976, p. 64, Kennedy donne les valeurs adoptées par trois autres savants pour l'excentricité de Vénus : al-Bīrūnī 1;2,30, al-Zarqālluh 1;3,22, al-Kāši 1;3. Elles sont toutes proches des 1;3,30 d'Ibn al-Ṣāṭir.</footnote>
ptoléméennes de l'Almageste <fnref n="370" />.

## 9. MERCURE

### 9.1. Mercure selon Ibn al-Ṣāṭir

La théorie d'Ibn al-Ṣāṭir pour Mercure ressemble à celle de Vénus, à trois différences près :

- dans la figure initiale, la position relative de l'épicycle au sein du rotateur n'est pas la même : pour Mercure, $\overrightarrow{P_4P_5}$ est orienté dans le même sens que j. Cette particularité n'est d'ailleurs pas indiquée explicitement dans le texte du chapitre I.21 ; il faut regarder les figures pour le voir, et bien des lecteurs ont dû s'y méprendre ;

- il y a deux orbes additionnels, l'orbe englobant et l'orbe protecteur, portés par l'orbe de l'épicycle, agissant comme un couple d'al-Tūsī, et dont le rôle est de faire varier la distance entre l'astre et le centre de l'épicycle (on notera $P_6$ et $P_7$ les centres de ces deux orbes additionnels);

- dans le chapitre I.25 sur les latitudes, les inclinaisons des plans des orbes sont de signes contraires à ceux de Vénus.

Sur la figure initiale (fig. XLIV), les centres des orbes sont définis par :

$$ 
\begin{aligned}
O = P_1 &= P_2, & \overrightarrow{P_2P_3} &= 60 \text{ j}, & \overrightarrow{P_3P_4} &= 4;5 \text{ j}, \\
\overrightarrow{P_4P_5} &= 0;55 \text{ j}, & \overrightarrow{P_5P_6} &= 22;46 \text{ j}, & \overrightarrow{P_6P_7} &= \overrightarrow{P_7P} = -0;33 \text{ j}.
\end{aligned}
$$

Comme pour Vénus, Ibn al-Ṣāṭir présente deux modèles différents pour Mercure dans le chapitre I.25. Le premier, censé reproduire les mouvements en latitude décrits dans l'Almageste, consiste en la composée de rotations suivante :

$$ 
\begin{aligned}
& R_{P_1,\lambda_a} R_{P_2,i,-0^\circ 10'} R_{P_2,\bar{\kappa}} R_{P_3,-\bar{\kappa}} R_{P_4,i,0^\circ 5'} R_{P_4,j,-6^\circ 37'30''} R_{P_4,2\bar{\kappa}} \\
& \qquad R_{P_5,i,-0^\circ 5'} R_{P_5,j,-0^\circ 22'30''} R_{P_5,\bar{\alpha}-\bar{\kappa}} R_{P_6,2\bar{\kappa}} R_{P_7,-4\bar{\kappa}}.
\end{aligned}
$$

Ibn al-Ṣāṭir envisage ensuite un second modèle plus proche de la théorie exposée par Ptolémée dans ses « Hypothèses planétaires ». La composée de rotations utilisée est alors la suivante :

$$ 
\begin{aligned}
& R_{P_1,\lambda_a} R_{P_2,i,-0^\circ 10'} R_{P_2,\bar{\kappa}} R_{P_3,-\bar{\kappa}} R_{P_4,i,0^\circ 5'} R_{P_4,j,-6^\circ 30'} R_{P_4,2\bar{\kappa}} \\
& \qquad R_{P_5,i,-0^\circ 5'} R_{P_5,\bar{\alpha}-\bar{\kappa}} R_{P_6,2\bar{\kappa}} R_{P_7,-4\bar{\kappa}}.
\end{aligned}
$$

<footnote n="370">³⁷⁰ J'ai omis la courbe représentant la théorie de l'Almageste, car à cette échelle elle est indiscernable de la courbe représentant le modèle d'al-Tūsī.</footnote>
<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>FIG. XLIV : Mercure, figure initiale</figcaption></figure>

On a, d'après Ibn al-Ṣāṭir :

$\bar{\lambda}_{\odot}(0) = 280;9,0$, $\dot{\bar{\lambda}}_{\odot} = 359;45,40$ par année persane,

$\lambda_a(0) = 212;52$, $\dot{\lambda}_a = 0;1$ par année persane,

$\bar{\alpha}(0) = 154;2$, $\dot{\bar{\alpha}} = 1133;57,1$ par année persane.

Kennedy <fnref n="371" /> a indiqué deux incohérences, concernant les rayons et les distances, que je crois pouvoir résoudre au vu de l'ensemble :

– le « rayon de l'épicycle apparent » minimal est $23;52 - 4 \times 0;33 = 21;40$, alors que les manuscrits indiquent 21;20 dans le chapitre I.21. La ressemblance entre *tult* (0;20) et *tultay* (0;40) a probablement induit un copiste en erreur. De plus, au chapitre I.23, Ibn al-Ṣāṭir écrit bien 21;40. J'ai donc opté pour 21;40, et j'ai laissé 21;20 dans l'apparat critique ;

– le texte donne $|P_4P_5| = 0;50$ et non 0;55. Les valeurs annoncées par Ibn al-Ṣāṭir pour les distances minimale et maximale de Mercure au centre du monde quand $\bar{\kappa} = 0^{\circ}$ ou 180° présentent une erreur de 0;5. Kennedy indique que cette

<footnote n="371">³⁷¹ Kennedy, Ghanem, 1976, p. 65.</footnote>
erreur disparaît si l'on suppose $|P_4P_5| = 0;55$ ou bien $|P_3P_4| = 4;10$. En fait, les calculs faits par Ibn al-Šāṭir concernant les rayons des orbes solides révèlent qu'il avait lui-même adopté $|P_4P_5| = 0;55$.

## 9.2. Équations de Mercure et formule d'interpolation

On déduit les équations de Mercure comme on l'a fait pour les planètes supérieures et pour Vénus ; il faut seulement penser au sens de $\overrightarrow{P_4P_5}$, et surtout remplacer $P_5P$ par le « rayon de l'épicycle apparent » $P'_5P'$ que je calculerai ensuite :

$$c_1 = - \arcsin \left( \frac{P_3 P_4 \sin \bar{\kappa} - P_4 P_5 \sin \bar{\kappa}}{OP'_5} \right)$$

$$\text{où } OP'_{5} = \sqrt{(P_{3}P_{4} \sin \bar{\kappa} - P_{4}P_{5} \sin \bar{\kappa})^{2} + (OP_{3} + P_{3}P_{4} \cos \bar{\kappa} + P_{4}P_{5} \cos \bar{\kappa})^{2}}.$$

$$c_2 = \arcsin \left( \frac{P'_5 P' \sin \alpha}{OP'} \right)$$

$$\text{où } OP' = \sqrt{(P'_{5}P' \sin \alpha)^{2} + (OP'_{5} + P'_{5}P' \cos \alpha)^{2}}. \text{ La formule d'interpolation est :}$$

$$c_2(\bar{\kappa}, \alpha) \approx c_2(0, \alpha) + \chi(\bar{\kappa})(c_2(180^\circ, \alpha) - c_2(0, \alpha)),$$

$$\chi(\bar{\kappa}) = \frac{\max |c_2(\bar{\kappa}, \cdot)| - \max |c_2(0, \cdot)|}{\max |c_2(180^\circ, \cdot)| - \max |c_2(0, \cdot)|}$$

$$\max |c_2(\bar{\kappa}, \cdot)| = \arcsin \frac{P'_{5}P'}{OP'_{5}}.$$

Pour calculer $P'_5P'$, on rappelle que les points $P'_5$ et $P'$ sont définis par les transformations planes à appliquer aux points $P_5$ et $P$ :

$$P'_{5} = R_{P_{1},\lambda_{a}} R_{P_{2},\bar{\kappa}} R_{P_{3},-\bar{\kappa}} R_{P_{4},2\bar{\kappa}}(P_{5}),$$

$$P' = R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, \bar{\kappa}} R_{P_3, -\bar{\kappa}} R_{P_4, 2\bar{\kappa}} R_{P_5, \bar{\alpha}-\bar{\kappa}} R_{P_6, 2\bar{\kappa}} R_{P_7, -4\bar{\kappa}}(P).$$

On a donc

$$\overrightarrow{P'_{5}P'} = \overrightarrow{P_{5}R_{P_{5},\bar{\alpha}-\bar{\kappa}}R_{P_{6},2\bar{\kappa}}R_{P_{7},-4\bar{\kappa}}(P)} \\ = R_{\bar{\alpha}-\bar{\kappa}}(\overrightarrow{P_{5}R_{P_{6},2\bar{\kappa}}R_{P_{7},-4\bar{\kappa}}(P)}).$$
La remarque p. 201 montre que le vecteur $\overline{P_5 R_{P_6, 2\bar{\kappa}} R_{P_7, -4\bar{\kappa}}(P)}$ est colinéaire au vecteur $j$ et que

$$R_{P_6, 2\bar{\kappa}} R_{P_7, -4\bar{\kappa}}(P) = t \overline{P_7 R_{P_6, 2\bar{\kappa}}(P_7)} t \overline{P R_{P_7, -2\bar{\kappa}}(P)}(P).$$

On a donc :

$$ 
\begin{aligned}
P'_{5}P' &= \langle \overline{P_5 R_{P_6, 2\bar{\kappa}} R_{P_7, -4\bar{\kappa}}(P)}, j \rangle \\
&= \langle \overrightarrow{P_5P} + \overline{P R_{P_7, -2\bar{\kappa}}(P)} + \overline{P_7 R_{P_6, 2\bar{\kappa}}(P_7)}, j \rangle \\
&= \langle \overrightarrow{P_5P_6} + \overline{R_{-2\bar{\kappa}}(P_7P)} + \overline{R_{2\bar{\kappa}}(P_6P_7)}, j \rangle \\
&= P_5P_6 - (PP_7 + P_7P_6) \cos 2\bar{\kappa}.
\end{aligned}
$$

Finalement :

$$P'_{5}P' = P_{5}P_{6} - PP_{6} \cos 2\bar{\kappa}.$$

### 9.3. Les orbes solides de Mercure

Voir figure XLV.

$$\text{rayon du globe planétaire} = r$$

$$\text{rayon du protecteur} = 0;33 + r$$

$$\text{rayon de l'orbe englobant} = 0;33 + 0;33 + r = 1;6 + r$$

$$\text{rayon de l'orbe de l'épicycle} = 22;46 + 1;6 + r = 23;52 + r$$

$$\text{rayon du rotateur} = 0;55 + 23;52 + r = 24;47 + r$$

$$\text{rayon du déférent} = 4;5 + 24;47 + r = 28;52 + r$$

$$\text{rayon extérieur de l'orbe incliné} = 60 + 28;52 + r = 88;52 + r$$

$$\text{rayon intérieur de l'orbe incliné} = 60 - (28;52 + r) = 31;8 - r$$

$$\text{épaisseur du parécliptique} = 0;38$$

### 9.4. Comparaisons

À la figure XLVI j'ai tracé l'équation de Mercure sur un an à partir de l'Époque de référence choisie par Ibn al-Ṣāṭir, (1) calculée au moyen des formules ci-dessus, et (2) calculée au moyen des éphémérides de l'IMCCE. Je n'ai pas tracé la courbe représentant le modèle de l'Almageste, car à cette échelle cette courbe est presque confondue avec celle d'Ibn al-Ṣāṭir. J'ai repéré sur l'axe supérieur les syzygies <fnref n="372" /> et les

<footnote n="372">³⁷² Dans tout ce qui suit, on utilisera le mot « périgée » pour désigner le point opposé ($\bar{\kappa}$ = 180°) à l'auge de Mercure ($\bar{\kappa}$ = 0°), et ce sont ces deux points qu'on appellera « syzygies », par rapport auxquelles on parlera aussi de « quadratures » et « octants ».</footnote>
<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>FIG. XLV : Mercure, orbes solides</figcaption></figure>
<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>FIG. XLVI : Les longitudes de Mercure</figcaption></figure>

quadratures au moyen des lettres « a », « p », « q », resp. auge, périgée, quadrature.
Bien que le résultat soit assez bon aux syzygies et aux quadratures, on observe une
erreur considérable près des octants ; la figure XLVII le montre plus clairement, et elle
permet de vérifier que le modèle d'Ibn al-Šāṭir n'est pas l'équivalent exact du modèle
de l'Almageste. Enfin, les latitudes de Mercure, d'après le premier modèle décrit par
Ibn al-Šāṭir, sont étudiées sur la figure XLVIII.

9.5. *Les modèles d'al-ʻUrdī et de Quṭb al-Dīn al-Šīrāzī pour Mercure*

Dans la *Taḍkira*, al-Ṭūsī avoue ne pas encore être parvenu à concevoir un modèle différent de celui de Ptolémée pour Mercure <fnref n="3" />73. Quant à al-ʻUrdī, son modèle pour Mercure dans le *Kitab al-hay'a* utilise le même dispositif que son modèle lu-naire ; il s'écarte aussi beaucoup des prédictions ptoléméennes, comme en témoigne

<footnote n="3">³73 Voir al-Ṭūsī, 1993, II.11 [11] p. 208-9, et surtout le commentaire de Ragep p. 448. Ragep corrige une erreur de Hartner, relayée par Kennedy et Roberts, selon laquelle la *Taḍkira* devait contenir un appendice sur Mercure (Kennedy, Roberts, 1959, p. 234-235, réimpr. Kennedy, Ghanem, 1976, p. 67-68).</footnote>
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>FIG. XLVII : Erreur en longitude des modèles de Ptolémée, d'al-ʻUrḍī et d'Ibn al-Šāṭir pour Mercure</figcaption></figure>
<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>FIG. XLVIII : Les latitudes de Mercure</figcaption></figure>
le graphe, fig. XLVII. Il a cependant pour lui l'avantage de la simplicité : un orbe paré-cliptique centré en P₁, un orbe rotateur centré en P₂, un orbe déférent centré en P₃, et un épicycle centré en P₄ portant Mercure au point P. Posons c = 3. Les paramètres dans la figure initiale (voir fig. XLIX) sont les suivants :

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = 2c \mathbf{j} = 6 \mathbf{j}, \quad \overrightarrow{P_2P_3} = c \mathbf{j} = 3 \mathbf{j}, \quad \overrightarrow{P_3P_4} = 60 \mathbf{j}, \quad \overrightarrow{P_4P} = 22;30 \mathbf{j}, $$

et les rotations produisant les mouvements en longitude sont :

$$ R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, 3\bar{k}} R_{P_3, -2\bar{k}} R_{P_4, \bar{a}}. $$

Quant au modèle de Quṭb al-Dīn, il reproduit de manière assez précise les prédic-tions de l'Almageste, mieux encore qu'Ibn al-Šāṭir (au point que je n'en ai pas tracé la courbe à la fig. XLVII, car elle est indiscernable de la courbe de l'Almageste). Les centres des orbes dans la figure initiale (fig. XLIX, en bas à droite) sont définis par <fnref n="374" /> :

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = 6 \mathbf{j}, \quad \overrightarrow{P_2P_3} = 60 \mathbf{j}, \quad \overrightarrow{P_3P_4} = \overrightarrow{P_4P_5} = -\frac{c}{2} \mathbf{j} = -1;30 \mathbf{j}, $$

$$ \overrightarrow{P_5P_6} = \overrightarrow{P_6P_7} = \frac{c}{2} \mathbf{j} = 1;30 \mathbf{j}, \quad \overrightarrow{P_7P_8} = c \mathbf{j} = 3 \mathbf{j}, \quad \overrightarrow{P_8P} = 22;30 \mathbf{j}. $$

On a un déférent excentrique de centre P₂, un épicycle de centre P₈, et les deux triplets d'orbes centrés en (P₃, P₄, P₅) et (P₅, P₆, P₇) constituent deux couples d'al-Ṭūsī. Les rotations engendrant les mouvements en longitude sont :

$$ \begin{array}{ccc} \text{premier couple} & \text{deuxième couple} & \text{deuxième couple} \\ R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, \bar{k}} \overbrace{R_{P_3, -\bar{k}} R_{P_4, 2\bar{k}} R_{P_5, -\bar{k}}} & R_{P_5, 2\bar{k}} \overbrace{R_{P_6, -4\bar{k}} R_{P_7, 2\bar{k}}} & R_{P_7, \bar{k}} R_{P_8, \bar{a}-\bar{k}} \\ = R_{P_1, \lambda_a} R_{P_2, \bar{k}} R_{P_3, -\bar{k}} R_{P_4, 2\bar{k}} R_{P_5, \bar{k}} R_{P_6, -4\bar{k}} R_{P_7, 3\bar{k}} R_{P_8, \bar{a}-\bar{k}} & & \end{array} $$

## 9.6. Calibrage du modèle d'Ibn al-Šāṭir pour Mercure

Willy Hartner (1974) a étudié de près les écarts entre les prédictions ptoléméennes et celles du modèle d'Ibn al-Šāṭir dans les syzygies et les quadratures, et il en a tiré quelques indices concernant la genèse de ce modèle. Je reprends ici ses analyses, en formulant d'abord les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un modèle de

<footnote n="374">³⁷⁴ Le modèle est décrit par Kennedy (1966, p. 373-375). Gamini (2017) ne décrit pas moins de six modèles pour Mercure contenus dans les trois ouvrages *Iḥṭīyārāt-i muẓaffarī*, *Nihāya al-ʿidrāk*, *Al-tuhfa al-šāhiyya* d'al-Ṣīrāzī. Ils sont tous très défectueux sauf le sixième, que je décris ici, modèle définitif proposé par al-Ṣīrāzī seulement dans la *Tuhfa* ; mais les modèles antérieurs ont permis à Gamini de comprendre comment al-Ṣīrāzī a progressivement conçu son modèle en combinant les dispositifs hérités d'al-ʿUrḍī et de Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī.</footnote>
<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>FIG. XLIX : Figure initiale, Mercure, al-ʻUrḍī (en haut à gauche) et Quṭb al-Dīn al-Šīrāzī (en bas à droite)</figcaption></figure>
même forme que celui d'Ibn al-Ṣāṭir reproduise exactement les élongations maximales observées par Ptolémée dans les syzygies et les quadratures.

Dans le modèle de Ptolémée, notons R le rayon du déférent excentrique portant l'épicycle : R est la distance entre le centre de l'épicycle et le centre du déférent. Notons *e* l'excentricité. Le rapport entre les distances Terre – centre de l'épicycle quand $\bar{\kappa} = 0°$ et $\bar{\kappa} = 180°$ est alors 375

$$ \frac{R + 3e}{R - e} $$

Dans le modèle d'Ibn al-Ṣāṭir, ce rapport est

$$ \frac{OP_3 + (P_3P_4 + P_4P_5)}{OP_3 - (P_3P_4 + P_4P_5)} $$

Le rayon de l'épicycle apparent d'Ibn al-Ṣāṭir étant le même en $\bar{\kappa} = 0°$ et en $\bar{\kappa} = 180°$, le modèle d'Ibn al-Ṣāṭir reproduira les élongations maximales ($\max |c_2(\bar{\kappa}, .)|$) du modèle de Ptolémée à l'auge et au périgée si et seulement si ces deux rapports sont égaux.

Dans les quadratures, Ptolémée avait observé que l'« équation du centre » est $c_1(90°) = -3°$. Dans le modèle de Ptolémée, l'équation du centre se calcule ainsi :

$$ \tan c_1(90°) = \frac{-e}{\sqrt{R^2 - e^2} - e} $$

Dans le modèle d'Ibn al-Ṣāṭir, on a :

$$ \tan c_1(90°) = \frac{-(P_3P_4 - P_4P_5)}{OP_3} $$

Ces deux grandeurs seront égales si et seulement si

$$ P_3P_4 - P_4P_5 = \frac{e \times OP_3}{\sqrt{R^2 - e^2} - e} $$

Avec $OP_3 = R = 60°$, on obtient, comme Hartner 376, les relations suivantes :

$$ P_3P_4 - P_4P_5 = \frac{R(C-1)}{C+1} \quad (1) $$

$$ e = \frac{R(C-1)}{C+3} \quad (2) $$

<footnote n="375">375 Pour une description de la théorie de Ptolémée, voir Pedersen, 1974.</footnote>

<footnote n="376">376 Hartner, 1974, p. 15. Je reprends ci-dessous les calculs menés par Hartner, car il les a menés sous l'hypothèse que $P_4P_5 = 0;50$, au lieu de 0;55. Ses conclusions restent valables.</footnote>
$$où C = \frac{R + 3e}{R - e} = \frac{OP_3 + (P_3P_4 + P_4P_5)}{OP_3 - (P_3P_4 + P_4P_5)}, \text{et}$$

$$P_3P_4 - P_4P_5 = \frac{Re}{\sqrt{R^2 - e^2 - e}} \quad (3)$$

Cette dernière relation peut être inversée pour exprimer *e* en fonction de $P_3P_4 - P_4P_5$ :

$$e = \frac{R(P_3P_4 - P_4P_5)}{\sqrt{R^2 + 2R(P_3P_4 - P_4P_5) + 2(P_3P_4 - P_4P_5)^2}} \quad (4)$$

Comme les rayons des orbes choisis par Ibn al-Šāṭir impliquent que $\frac{OP_3 + (P_3P_4 + P_4P_5)}{OP_3 - (P_3P_4 + P_4P_5)} = \frac{65}{55}$, on aurait, d'après (2), $e = 2;36,31$. D'après (3), on aurait alors :

$$P_3P_4 - P_4P_5 = 2;43,38,$$

d'où

$$c_1(90^\circ) = \arctan \frac{-(P_3P_4 - P_4P_5)}{OP_3} = -2;36,18.$$

Au contraire, selon Ibn al-Šāṭir, on a :

$$P_3P_4 - P_4P_5 = 3;10,$$

d'où

$$c_1(90^\circ) = -3;1,16.$$

Hartner en tire une première conclusion : Ibn al-Šāṭir n'a pas calibré son modèle pour reproduire exactement les élongations maximales observées par Ptolémée aux syzygies et dans les quadratures.

Étrangement, Hartner (1974, p. 23), peut-être trop prudent, juge « peu pro- bable » qu’Ibn al-Šāṭir n’ait pas eu l’intention de concevoir seulement un « substitut géométrique » du mécanisme de l’*Almageste*. La suite de son article tend pourtant à convaincre qu’Ibn al-Šāṭir aurait au moins utilisé une observation nouvelle à l’auge ; et si l’on veut préserver l’adéquation du modèle dans les quadratures, cette observa- tion nouvelle conduit à abandonner les relations (1) à (4). Ptolémée avait observé une élongation maximale à l’auge, $\max |c_2(0, \cdot)| = 19;3$. Le modèle d’Ibn al-Šāṭir donne 377 $\max |c_2(0, \cdot)| = 19;28$. Cette supposée observation nouvelle sera mon point de départ pour tenter de reconstituer le calibrage du modèle d’Ibn al-Šāṭir 378.

<footnote n="377">377 Hartner trouve 19;30 sous l'hypothèse que $P_4P_5 = 0;50$. On trouve 19;28 en prenant $P_4P_5 = 0;55$.</footnote>
Quelles sont les données de l'observation ? On a d'abord cette nouvelle observation, qu'on arrondira à 19;30 :

$$ \max |c_2(0, \cdot)| = \arcsin \frac{P_5 P_6 - 2P_6 P_7}{OP_3 + (P_3 P_4 + P_4 P_5)} = 19;30. $$

L'Almageste donne aussi une observation de l'élongation maximale au périgée :

$$ \max |c_2(180^\circ, \cdot)| = \arcsin \frac{P_5 P_6 - 2P_6 P_7}{OP_3 - (P_3 P_4 + P_4 P_5)} = 23;15. $$

Enfin, des observations de l'élongation maximale aux quadratures, Ptolémée déduit que $c_1(90^\circ) = -3^\circ$ et que $\max |c_2(90^\circ, \cdot)| = 23;15$. On déduit des deux premières données :

$$ \frac{OP_3 - (P_3 P_4 + P_4 P_5)}{OP_3 + (P_3 P_4 + P_4 P_5)} = \frac{\sin(19^\circ 30')}{\sin(23^\circ 15')} $$

d'où, si $OP_3 = 60$,

$$ P_3 P_4 + P_4 P_5 = 5;17. $$

En reportant dans $\max |c_2(0, \cdot)|$, on en déduit :

$$ P_5 P_6 - 2P_6 P_7 = (60 + P_3 P_4 + P_4 P_5) \sin(19^\circ 30') = 21;42,13. $$

De $c_1(90^\circ)$, on tire :

$$ P_3 P_4 - P_4 P_5 = 60 \tan(3^\circ) = 3;840, $$

d'où enfin, comme il se doit :

$$ P_3 P_4 = 4;453 \approx 4;5, $$

$$ P_4 P_5 = 0;56,13 \approx 0;55. $$

Reste à calculer $P_5 P_6 + 2 \times P_6 P_7$. Or :

$$ \max |c_2(90^\circ, \cdot)| = 23;15 = \arcsin \frac{P_5 P_6 + 2P_6 P_7}{\sqrt{(P_3 P_4 - P_4 P_5)^2 + 60^2}}, $$

d'où

$$ P_5 P_6 + 2P_6 P_7 = \sin(23^\circ 15') \sqrt{(P_3 P_4 - P_4 P_5)^2 + 60^2} = 23;43;2. $$

On devrait alors avoir $2P_6P_7 \approx 1;1$, d'où $P_6P_7 = P_7P \approx 0;30,30$ au lieu de 0;33 d'Ibn al-Šāţir ; mais il est bien possible qu'Ibn al-Šāţir ait observé une équation maximale légèrement supérieure à celle de Ptolémée dans les quadratures. Si $\max |c_2(90^\circ, \cdot)| = 23;30$, sans rien changer par ailleurs, on trouverait en effet $P_6P_7 \approx 0;34$, arrondi qu'on pourrait aussi tronquer à 0;33.

<footnote n="378">378 Nikfahm-Khubravan et Ragep (2019) ont proposé un intéressant scénario alternatif supposant qu’Ibn al-Šāţir ait voulu reproduire les élongations maximales prédites par Ptolémée à ±120° de l’auge.</footnote>
10. TABLES D'ÉQUATIONS EN LONGITUDE

Les formules p. 222, 250 et 284, ainsi que les formules d'interpolation afférentes,
permettent de restituer les tables d'équations mentionnées aux chapitres 11, 14 et 23
de la première partie de la *Nihāya* comme je l'ai fait dans la table 3. Pour faciliter
d'éventuelles comparaisons, j'ai adopté le même format que Fuad Abbud (Kennedy,
Ghanem, 1976, p. 80).
<table><caption>TABL. 3 : Restitution d'un extrait des tables d'équations en longitude d'Ibn al-Ṣāṭir</caption><tbody><tr><td rowspan="6">Lune</td><td>2η ou α</td><td>c<sub>1</sub>(2η)</td><td>c<sub>2</sub>(α, 0)</td><td>c<sub>2</sub>(α, 180°) - c<sub>2</sub>(α, 0)</td><td>χ(2η)</td></tr><tr><td>30</td><td>7;32</td><td>-2;18</td><td>-1;8</td><td>0;5</td></tr><tr><td>60</td><td>11;48</td><td>-4;5</td><td>-2;5</td><td>0;18</td></tr><tr><td>90</td><td>12;9</td><td>-4;55</td><td>-2;40</td><td>0;33</td></tr><tr><td>120</td><td>9;33</td><td>-4;27</td><td>-2;36</td><td>0;47</td></tr><tr><td>150</td><td>5;11</td><td>-2;40</td><td>-1;39</td><td>0;57</td></tr><tr><td rowspan="6">Saturne</td><td>κ ou α</td><td>c<sub>1</sub>(κ)</td><td>c<sub>2</sub>(0, α)</td><td>c<sub>2</sub>(180, α) - c<sub>2</sub>(0, α)</td><td>χ(κ)</td></tr><tr><td>30</td><td>-3;6</td><td>2;42</td><td>0;18</td><td>0;3</td></tr><tr><td>60</td><td>-5;29</td><td>4;50</td><td>0;33</td><td>0;11</td></tr><tr><td>90</td><td>-6;30</td><td>5;51</td><td>0;42</td><td>0;25</td></tr><tr><td>120</td><td>-5;48</td><td>5;21</td><td>0;41</td><td>0;41</td></tr><tr><td>150</td><td>-3;26</td><td>3;13</td><td>0;26</td><td>0;55</td></tr><tr><td rowspan="6">Jupiter</td><td>κ ou α</td><td>c<sub>1</sub>(κ)</td><td>c<sub>2</sub>(0, α)</td><td>c<sub>2</sub>(180, α) - c<sub>2</sub>(0, α)</td><td>χ(κ)</td></tr><tr><td>30</td><td>-2;31</td><td>4;31</td><td>0;22</td><td>0;3</td></tr><tr><td>60</td><td>-4;26</td><td>8;16</td><td>0;43</td><td>0;12</td></tr><tr><td>90</td><td>-5;14</td><td>10;23</td><td>0;58</td><td>0;26</td></tr><tr><td>120</td><td>-4;39</td><td>9;55</td><td>1;2</td><td>0;42</td></tr><tr><td>150</td><td>-2;44</td><td>6;13</td><td>0;43</td><td>0;55</td></tr><tr><td rowspan="6">Mars</td><td>κ ou α</td><td>c<sub>1</sub>(κ)</td><td>c<sub>2</sub>(0, α)</td><td>c<sub>2</sub>(180, α) - c<sub>2</sub>(0, α)</td><td>χ(κ)</td></tr><tr><td>30</td><td>-5;15</td><td>11;9</td><td>1;28</td><td>0;2</td></tr><tr><td>60</td><td>-9;22</td><td>21;45</td><td>3;8</td><td>0;9</td></tr><tr><td>90</td><td>-11;19</td><td>30;54</td><td>5;17</td><td>0;20</td></tr><tr><td>120</td><td>-10;20</td><td>36;29</td><td>8;29</td><td>0;36</td></tr><tr><td>150</td><td>-6;15</td><td>31;51</td><td>13;5</td><td>0;53</td></tr><tr><td rowspan="6">Vénus</td><td>κ ou α</td><td>c<sub>1</sub>(κ)</td><td>c<sub>2</sub>(0, α)</td><td>c<sub>2</sub>(180, α) - c<sub>2</sub>(0, α)</td><td>χ(κ)</td></tr><tr><td>30</td><td>-1;0</td><td>12;25</td><td>0;19</td><td>0;4</td></tr><tr><td>60</td><td>-1;44</td><td>24;26</td><td>0;40</td><td>0;14</td></tr><tr><td>90</td><td>-2;1</td><td>35;25</td><td>1;8</td><td>0;28</td></tr><tr><td>120</td><td>-1;46</td><td>43;42</td><td>1;52</td><td>0;44</td></tr><tr><td>150</td><td>-1;2</td><td>42;47</td><td>3;13</td><td>0;55</td></tr><tr><td rowspan="6">Mercure</td><td>κ ou α</td><td>c<sub>1</sub>(κ)</td><td>c<sub>2</sub>(0, α)</td><td>c<sub>2</sub>(180, α) - c<sub>2</sub>(0, α)</td><td>χ(κ)</td></tr><tr><td>30</td><td>-1;25</td><td>7;22</td><td>0;59</td><td>0;12</td></tr><tr><td>60</td><td>-2;31</td><td>13;54</td><td>2;1</td><td>0;39</td></tr><tr><td>90</td><td>-3;1</td><td>18;26</td><td>3;4</td><td>1;3</td></tr><tr><td>120</td><td>-2;44</td><td>19;6</td><td>3;55</td><td>1;11</td></tr><tr><td>150</td><td>-1;38</td><td>13;11</td><td>3;27</td><td>1;5</td></tr><tr><td></td><td>180</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr></tbody></table>
BIBLIOGRAPHIE

ABGRALL, Philippe, « La géométrie de l'astrolabe au xᵉ s. », *Arabic sciences and philosophy*, vol. 10, 2000, p. 7-77.

ABGRALL, Philippe, *Le développement de la géométrie aux IXᵉ-XIᵉ siècles : Abū Sahl al-Qūhī*, Paris, Albert Blanchard, 2004.

ABGRALL, Philippe, « Les débuts de la projection stéréographique : Conception et principes », *Arabic sciences and philosophy*, vol. 25, 2015, p. 135-166.

AL-BĪRŪNĪ, *Kitāb maqālid ‘ilm al-hay’a : La trigonométrie sphérique ches les Arabes de l’Est à la fin du xᵉ siècle*, éd., trad. et commentaire Marie-Thérèse Debarnot, Damas, Institut français de Damas, 1985.

AL-JU‘BEH, Nazmî, *Catalogue of manuscripts in al-Khālidiyyah Library, Jerusalem*, Londres, Al-Furqan Islamic Heritage Foundation, 2006.

AL-ṬŪSĪ, Naṣīr al-Dīn, *Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī’s Memoir on astronomy (Al-tadhkira fī ‘ilm al-hay’a)*, éd., trad. et commentaire F. Jamil Ragep, New York, Springer, 1993.

ARISTOTE, *De la génération et de la corruption*, éd. et trad. Marwan Rashed, Paris, Les Belles Lettres, 2005.

DERAYATI, Mostafa (dir.), *Fehrestvāre-ye Dastnevīshā-ye Īrān (The short catalogue of Iranian manuscripts)*, 12 vol., Téhéran, Library, Museum and Documentation Center of the Islamic Consultative Assembly, 2010.

DUHEM, Pierre, *Le système du monde : Histoire des doctrines cosmologiques de Platon à Copernic*, 10 vol., Paris, Hermann, 1913-1959.

FAZIL, Mahmoud, *Fehrest-e noshehā-ye haṭṭī-ye Ketāb ḫane-ye Čāme‘-e Gowharšād*, vol. 4, 1985.

FIENGA, A., MANCHE, H., LASKAR, J., GASTINEAU, M., VERMA, A., « IN-POP new release : INPOP13c », 2014, www.imcce.fr/fr/presentation/equipes/ASD/inpop/inpop13c.pdf.

GAMINI, Amir Mohammad, HAMEDANI, Hossein Masoumi, « Al-Shīrāzī and the empirical origin of Ptolemy’s equant in his model of the superior planets », *Arabic sciences and philosophy*, vol. 23, 2013, p. 47-67.
GAMINI, Amir Mohammed, « Quṭb al-Dīn al-Shīrāzī and the development of non-Ptolemaic planetary modeling in the 13th century », *Arabic sciences and philosophy*, vol. 17, 2017, p. 165-203.

GOLDSTEIN, Bernard R., SWERDLOW, Noel Mark, « Planetary distances and sizes in an anonymous Arabic treatise preserved in Bodleian ms. Marsh 621 », *Centaurus*, vol. 15, n° 2, 1970, p. 135-170.

HARTNER, Willy, « Ptolemy, Azarquiel, Ibn al-Shāṭir and Copernicus on Mercury : A study of parameters », *Archives internationales d'histoire des sciences*, vol. 24, 1974, p. 5-25.

HASNAWI, Ahmad, « La définition du mouvement dans la Physique du Šifā' d'Avicenne », *Arabic sciences and philosophy*, vol. 11, 2001, p. 219-255.

IRANI, Rida A. K., « Arabic numeral forms », *Centaurus*, vol. 4, n° 1, 1955, p. 1-12.

KENNEDY, Edward Stewart, « A survey of Islamic astronomical tables », *Transactions of the American Philosophical Society*, vol. 46, 1956, p. 123-177.

KENNEDY, Edward Stewart, ROBERTS, Victor, « The planetary theory of Ibn al-Shāṭir », *Isis*, vol. 50, 1959, p. 227-235 (réimpr. in Kennedy, Ghanem, *The life and work of Ibn al-Shāṭir*, p. 60-68).

KENNEDY, Edward Stewart, « Late medieval planetary theory », *Isis*, vol. 57, 1966, p. 365-378 (réimpr. in Kennedy, Ghanem, *The life and work of Ibn al-Shāṭir*, p. 93-106).

KENNEDY, Edward Stewart, GHANEM, Imad (dir.), *The life and work of Ibn al-Shāṭir: An Arab astronomer of the fourteenth century*, Université d'Alep, 1976.

KENNEDY, Edward Stewart, *Studies in the Islamic exact sciences*, Beyrouth, American University of Beirut, 1983.

KENNEDY, Edward Stewart and Mary Helen, *Geographical coordinates of localities from Islamic sources*, Francfort-sur-le-Main, Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften an der Johann Wolfgang Goethe-Univ., 1987.

KING, David A., « Ibn al-Shāṭir, ‘Alā’ al-Dīn Abu’l-Ḥasan ‘Alī ibn Ibrāhīm », in Charles Coulston Gillispie (dir.), *Dictionary of scientific biography*, 16 vol., New York, Charles Scribner’s sons, 1970-1990, vol. 12, 1975, p. 357-364.
KING, David A., « Astronomical timekeeping in fourteenth-century Syria », in *Institute for the History of Arabic Science* et University of Aleppo, *Proceedings of the first international symposium for the history of Arabic science*, Aleppo 1976, vol. 2, Alep, 1978, p. 75-84 (réimpr. dans D. A. King, *Islamic mathematical astronomy*, Londres, Variorum reprints, 1986).

KING, David A., *A catalogue of the scientific manuscripts in the Egyptian National Library / Fihris al-maḥṭūtāt al-ʿilmiyya al-maḥfūza bi-Dār al-Kutub al-Miṣriyya*, Le Caire, General Egyptian Book Organization, 2 vol., 1981-1986.

KING, David A., *A survey of the scientific manuscripts in the Egyptian National Library*, The American Research Center in Egypt, 1986.

KING, David A., SALIBA, George (dir.), *From deferent to equant : A volume of studies in the history of science in the ancient and medieval Near East in honor of E. S. Kennedy*, New York, 1987.

KING, David A., « On the role of the *muezzin* and the *muwaqqit* in medieval Islamic societies », in King, 2004-2005, vol. 1, « The call of the *muezzin* », partie V, p. 631-677.

KING, David A., *In synchrony with the heavens : Studies in astronomical timekeeping and instrumentation in Islamic civilization*, 2 vol., Brill, 2004-2005.

KUNITZSCH, Paul, *Untersuchungen zur Sternnomenklatur der Araber*, Wiesbaden, Otto Harrassowitz, 1961.

LAOUST, Henri, *Les gouverneurs de Damas sous les Mamlouks et les premiers Otomans (658-1156 / 1260-1744) : Traduction des Annales d'Ibn Tūlūn et d'Ibn Ġum'a*, Damas, Institut français de Damas, 1952.

MORELON, Régis, « La version arabe du Livre des hypothèses de Ptolémée », *Mélanges de l'Institut dominicain d'études orientales*, vol. 21, 1993, p. 7-85.

MURSCHEL, Andrea, « The structure and function of Ptolemy's physical hypotheses of planetary motion », *Journal for the history of astronomy*, vol. 26, 1995, p. 33-61.

NEUHÄUSER, Ralph, KUNITZSCH, Paul, MUGRAUER, Markus, LUGE, Daniela, VAN GENT, Rob, « Tycho Brahe, Abū Maʿshar, and the comet beyond Venus (ninth century A. D.) », *Journal for the history of astronomy*, vol. 47, n° 2, 2016, p. 136-158.
NIAZI, Kaveh Farzad, « A comparative study of Quṭb al-Dīn Shīrāzī’s texts and models on the configuration of the heavens », Columbia University, 2011.

NICOLL, Alexander, PUSEY, E. B., *Catalogi codicum manuscriptorum orientalium Bibliothecæ Bodleianæ pars secunda*, Oxford, *e Typographeo academico*, 1835.

NIKFAHM-KHUBRAVAN, Sajjad, RAGEP, F. Jamil, « The Mercury models of Ibn al-Šāṭir and Copernicus », *Arabic sciences and philosophy*, vol. 29, n° 1, 2019, p. 1-59.

OUDET, Jean-François, « Vestiges archéologiques et observation astronomique : Origine de l'observatoire (Orient médiéval, IXe-xe siècle) », thèse de doctorat de l'École pratique des hautes études, 2000.

PEDERSEN, Olaf, *A survey of the Almagest*, Odense Univ. Press, 1974.

PENCHÈVRE, Erwan, « Vénus selon Ibn al-Shāṭir », *Arabic sciences and philosophy*, vol. 26, 2016, p. 184-214.

PENCHÈVRE, Erwan, « Un lemme d'analyse dont use Ibn al-Haytham en gnomon-nique, dioptrique et cinématique céleste », *Arabic sciences and philosophy*, vol. 29, 2019, p. 133-156.

PTOLÉMÉE, « The Almagest », trad. R. Catesby Taliaferro, in Robert Maynard Hutchins (dir.), *Ptolemy. Copernicus. Kepler*, Encyclopædia Britannica, Inc., coll. « Great books of the Western World », vol. 16, 1952, p. vii-xiv, 1-478.

PTOLÉMÉE, *Der Sternkatalog des Almagest : Die arabisch-mittelalterliche Tradition*, éd., trad. et commentaire Paul Kunitzsch, 3 vol., Wiesbaden, Otto Harrasowitz, 1986-1991.

RAGEP, F. Jamil, « Ibn al-Shāṭir and Copernicus : The Uppsala Notes revisited », *Journal for the history of astronomy*, vol. 47, n° 4, 2016, p. 395-415.

RASHED, Roshdi, « Fūthīṭos (?) et al-Kindī sur “l’illusion lunaire” », in Marie-Odile Goulet-Cazé, Goulven Madec, Denis O’Brien (dir.), *Σοφίης μαθήσεως*, « chercheurs de sagesse » : Hommage à Jean Pépin, Paris, Institut d’études augustiniennes, 1992, p. 533-569.

RASHED, Roshdi (dir.), *Histoire des sciences arabes*, vol. 1, « Astronomie, théorique et appliquée », Paris, Seuil, 1997.
RASHED, Roshdi, *Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècles*, vol. IV, « Méthodes géométriques, transformations ponctuelles et philosophie des mathématiques », Londres, Al-Furqān Islamic Heritage Foundation, 2004.

RASHED, Roshdi, *Geometry and dioptrics in classical Islam*, Londres, Al-Furqān Islamic Heritage Foundation, 2005.

RASHED, Roshdi, *Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècles*, vol. V, « Ibn al-Haytham : Astronomie, géométrie sphérique et trigonométrie », Londres, Al-Furqān Islamic Heritage Foundation, 2006.

RASHED, Roshdi (dir.), *Lexique historique de la langue scientifique arabe*, Olms, 2017.

RASHED, Roshdi, *PENCHÈVRE, Erwan*, « Ibn al-Haytham et le mouvement d'encroulement », *Arabic sciences and philosophy*, vol. 30, 2020, p. 27-137.

ROBERTS, Victor, « The Solar and Lunar theory of Ibn ash-Shāṭir : A pre-Copernican Copernican model », *Isis*, vol. 48, 1957, p. 428-432, 1957 (réimpr. in Kennedy, *Ghanem, The life and work of Ibn al-Shāṭir*, p. 44-48).

ROBERTS, Victor, « The planetary theory of Ibn al-Shāṭir : Latitudes of the planets », *Isis*, vol. 57, 1966, p. 208-219 (réimpr. in Kennedy, *Ghanem, The life and work of Ibn al-Shāṭir*, p. 81-92).

ŞADR AL-ŠARĪ‘A, *An Islamic response to Greek astronomy : Kitāb ta‘dīl hay‘at al-aflāk of Şadr al-Sharī‘a*, éd., trad. et commentaire Ahmed S. Dallal, Brill, 1995.

SALIBA, George, « Theory and observation in Islamic astronomy : The work of Ibn al-Shāṭir of Damascus », *Journal for the history of astronomy*, vol. 18, n° 1, 1987, p. 35-43 (réimpr. in Saliba, *A history of Arabic astronomy*, p. 234-241).

SALIBA, George, *The astronomical work of Mu‘ayyad al-Dīn al-‘Urḍī, a thirteenth century reform of Ptolemaic astronomy : Kitab al-hay‘ah*, Beyrouth, Center for Arab Unity Studies, 1990.

SALIBA, George, *A history of Arabic astronomy : Planetary theories during the golden age of Islam*, New York University Press, 1994.

SAUVAIRE, Henri, *Description de Damas*, trad. de l'arabe par Henri Sauvaire, extrait du *Journal asiatique*, Paris, Imprimerie nationale, 1895-1896, 2 vol. (voir tabl. de
concordance avec les pages publiées au *Journal asiatique*, dans E. E. Ouéchek, *In-
dex général de la « Description de Damas » de Sauvaire*, Institut français de Da-
mas, 1954).

SCHJELLERUP, H. C. F. C., *Description des étoiles fixes composée au milieu du dixième siècle de notre ère par l'astronome persan Abd-al-Rahman al-Sûfi: Traduction littérale de deux manuscrits arabes de la Bibliothèque Royale de Copenhague et de la Bibliothèque Impériale de St. Pétersbourg avec des notes*, Saint-Pétersbourg, 1874.

SCHMALZL, Peter, *Zur Geschichte des Quadranten bei den Arabern*, Druck der Salesianischen Offizin, München, 1929.

SÉDILLOT, Louis Amélie, *Mémoire sur les instruments astronomiques des Arabes*, Paris, Imprimerie royale, 1841.

SWERDLOW, Noel Mark, NEUGEBAUER, Otto, *Mathematical astronomy in Copticnicus' *De revolutionibus*, Springer, 1984.

SWERDLOW, Noel Mark, « Ptolemy's theories of the latitude of the planets in the Almagest, Handy tables, and Planetary hypotheses », in Jed Z. Buchwald et Allan Franklin (dir.), *Wrong for the right reasons*, Springer, 2005.

TÂBIT B. QURRA, *Œuvres d'astronomie*, éd., trad. et commentaire Régis Morelon, Paris, Les Belles Lettres, 1987.

TURNER, Anthony John, *Mathematical instruments in the collections of the Bibliothèque nationale de France*, Londres / Turnhout, BnF éditions / Brepols, 2018.

URI, Johannes, *Bibliothecæ Bodleianæ codicum manuscriptorum orientalium... catalogus... a Joanne Uri confectus : Pars prima*, Oxford, e Typographeo clarendoniano, 1787.

WIEDEMANN, Eilhard, « Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaften : LXXIX. Ibn al Schâţir, ein arabischer Astronom aus dem 14. Jahrhundert », *Sitzungsberichten der Physikalisch-Medezinischen Sozietät zu Erlangen*, vol. 60, 1928, p. 317-326 (réimpr. in Kennedy, Ghanem, *The life and work of Ibn al-Shāţir*, p. 17-26).
INDEX NOMINUM

Ne sont ici indexées que des occurrences
présentes dans le texte d'Ibn al-Ṣāṭir, et
non celles présentes dans mon commen-
taire. Par exemple, une référence de la
forme II.5.9 renvoie au 9e paragraphe du
5e chapitre (bāb ou faṣl) de la IIe partie
(maqāla).

المَأْمُون, al-Ma'mūn, I.30.5

'Aṭīr al-Dīn al-’Abharī, ُأَثِير الدين الأَبْهَرِي, I.10.5

أَرِسْطُوا, Aristote, I.0.34

إِبْرَخَس, Hipparque, I.5.1, I.7.16, I.9.3, I.10.5, I.24.7, I.30.4, I.31.24

بِطَمْلِيُّوس, Ptolémée, p. 26, I.0.17-20,
I.0.37, I.3.8, I.5.8, I.5.10,
I.7.12, I.7.16, I.9.3, I.9.32,
I.10.5, I.10.8, I.24.7, I.24.9-
10, I.24.21, I.25.1-7, I.25.10-
14, I.30.4, I.31.1, I.31.16-17,
I.31.24, I.31.40, I.31.45-46,
II.1.11

ابن سينا, Avicenne, II.2.6

أَفْلَحَ, Ibn 'Aflaḥ, I.0.38, I.31.21

ابن الهَيْتَم, Ibn al-Haytam, I.24.9

تَأَوْدُو سِيوس, Théodose, II.4.7, II.6.2

الرازي, Fāḥr al-Dīn al-Rāzī, II.2.7-9

الزَّرْقَالُ, al-Zarqālluh, I.0.28

قُطْبِ الدِّين الشِّيرازي, Quṭb al-Dīn al-Ṣīrāzī, I.0.25, I.6.4, I.24.9-10, I.24.18

كُوشِيَار بن لَبَّان, Kūšyār b. Labbān, I.10.5

الْعُرْضِي, al-Mu'ayyad al-'Urḍī, I.0.23-24, I.0.38, I.24.9, I.24.18, I.31.21

الْمَجْرِي طِي, al-Mağrīṭī, I.0.29-33

الطَّوْسِي, Naṣīr al-Dīn al-
Tūsī, I.0.21-22, I.10.5, I.24.9,
I.24.18, II.1.7
INDEX RERUM

أثر

أثر عُلُوِّي, météore, I.0.4
أثيري, éthéré, I.0.3

أرخ

تَأْرِيخ, date, I.7.7, I.8.1, I.10.1-3, I.13.1

أرض

أَرْض, la Terre, I.0.40, I.2.1, I.2.3-5, I.30, II.1
دَوْر الأرض, circonférence terrestre, I.30.7
كُرَة الأرض, globe terrestre, I.3.10

أسد

قَلْب الأَسَد, le cœur du Lion, I.0.28

أصل

أَصْل, 1) fondement, 2) origine, p. 26-27, I.0.22, I.0.26, I.0.28, I.1-2, I.6.8, I.7.12, I.22.1, I.24.7, I.24.11, I.31.49

أقلم

إِقْلِيم ج أَقَالِيم, climat, II.1.11-30

أوج

أَوْج, auge, apogée, I.7.4-5, I.12.17, I.24.2, I.24.20-22, I.25.2, I.25.5-8, I.25.11-15
أَوْج الشَّمْس, auge du Soleil, II.4.3, II.6.2, II.8.4

حَرَّكَة الأَوْج, mouvement des auges, I.6.5-8, I.7.3, I.7.7, I.12.2

أول

آلة ج آلات, instrument, I.0.40

بحر

بَحْر, mer, II.1.3, II.1.5, II.1.8-9

بحر طبرستان, mer Caspienne, II.1.9
بحر ورنك, mer Baltique, II.1.9
بُحَيْرَة خوارزم, mer d'Aral, II.1.9

بدأ

مُبْتَدَأ, voir suivant
مَبْدَأ, principe, origine, I.0.11-14, I.21.4, I.24.11

برج

بُرْج ج بُروج, signe (du zodiaque), voir
فلك البروج

بروج مكوكبة, constellations du zodiaque, I.0.30, I.3.4, I.3.7

على توالي البروج, dans le sens des signes, I.3.7

إلى خلاف توالي البروج, en sens contraire de celui des signes, voir précédent

منطقة البروج, écliptique, ceinture de l'écliptique, I.0.39-41, I.3.3-8, I.4.6, II.2.2, II.3.3, II.4.2-6, II.5.1-2, II.7

برد

بَرْد, froid, II.1.8, II.2.8-9

بسط

مساحة, plan, surface, voir بسيط
جِسْم بسيط, corps simple, I.0.2-3, I.0.7, I.0.36
حركة بسيطة مركبة, بسيط مركَّب

بصر

بَصَر, 1) vision, 2) œil, I.4.10, I.28.2, I.28.8-9, I.31.45-48, II.9.1

بطو

بُطْء, lenteur, I.26.1-3

بعد

1) distance, 2) élongation (i. e., بُعْد
écart en longitude), I.23.3

بُعد عن السَّمْت, distance zénithale, II.4.2

بُعد ما بين النَّيَّارِينَ بالوَسَط, elongation moyenne, I.9.14

بُعد مُضَاعَف, élongation double, I.9.33

بُهْت, vitesse apparente, I.7.17, I.8.2, I.10.7, I.11.13

تولى, île de Thulé, II.1.11

ثبْت

ثَبَاتِ, immobilité, I.19.3

الكواكب الثابتة, les étoiles fixes, I.5

ثَقْل

مَرْكَزِ النَّقْلِ, centre de gravité, I.2.5-6, I.4.11, I.30.1

ثُلْث

مُثَلَّث, triangle (éventuellement sphérique), II.7.2, II.7.5-6

ثُوْر

ثُوْرِ, Taureau (zodiaque), I.5.5

ثَجْب

ثَجَبِ, montagne, I.30.1, II.1.8, II.1.21

ثَجْد

جَدْوُل ج جَدَاوُل, table, tableau, catalogue, I.7.13-14, I.10.1, I.11, I.14.1-2, I.23, I.31.49, II.1.30

ثَجْر

مَجَرَّةِ, Voie lactée, I.5.8

ثَجْر

جِرْم ج أَجْرَامِ, corps, volume, voir مساحة

ثَجْر

جُزْء ج أَجْزَاءِ, partie, segment, portion, part, I.3.2

جَزْهَر

تقويم الجوزهر, nœud vrai, I.9.33

عقدة, voir, جوزهر

حركة الجوزهر, mouvement des nœuds, I.9.9

وسط الجوزهر, nœud moyen, I.9.33

جَسْم

جِسْمِ, corps, solide, I.0.12, I.0.20, I.1.3-4, I.31.15

كُرَةُ مُجَسَّمَة، فَلَكُم مُجَسَّمُ، sphère solide, orbe solide, I.7.1, I.7.8-10, I.15.7, I.17.6, I.19.7, I.21.9-10

جَمْع

اجتماع, conjonction, I.9.3, I.26.7, I.28.2, I.28.8

جَمْهَر

الجمهور, les Grecs, I.10.5, I.30.6, II.1.12, II.7.1

جَوْز

الجَوْزَاءِ, les Gémeaux, I.5.5

ذنب, مَجَاز جَنُوْبِيّ

رأس, مَجَاز شَمَالِيّ

جَيْب

جَيْبِ, sinus, I.23.1-2

جَيْبُ التَّمَامِ, cosinus, I.23.1-2

حَبْش

حَبَّشَةِ, Éthiopie, II.1.7, II.1.23, II.2.10

حَمْج

مَرْكَزِ الْحَجَمِ, centre du volume, I.30.1

حَد

مُحَدَّدُ الجَهَاتِ, le neuvième orbe, I.0.1, I.0.7

حَذْو

نقطة المحاذاة, point de prosneuse, I.0.19, I.0.21, I.0.23, I.0.25

حَر
حرارة, chaleur, II.1.4

حر, chaud, II.2.5-10, II.4.3

حرق

طريقة محترقة, routes brûlantes, II.1.6

حريق, embrasement, I.26.7

حرك

حرَّكة أولى, premier mouvement, voir
حركة يوميّة

حركة إرادية, mouvement volitif, I.0.5,
I.0.7

حركة بسيطة, merkaba, mouvement simple,
I.0.8, I.9.14

حركة بسيطة مُرَكَّبة, mouvement
simple-composé, I.0.5, I.0.8,
I.6.9, I.7.3, I.12.6-7, I.12.32,
I.15.3, I.17.3, I.19.3, I.21.3

حركة ثانية, deuxième mouvement,
I.0.28, I.0.30, I.3.7-8, I.5.10-14,
II.2.1, II.5.9, II.6.3

حركة خاصة, mouvement propre,
I.6.1-3

حركة الخاصة, mouvement de l'astre
propre, I.9.11, I.12.6, I.12.12,
I.16.2, I.17.2-3, I.19.3, I.21.3

حركة طبيعية, mouvement naturel,
I.0.5-6

حركة عرَّضِيّة, mouvement par accident,
I.0.5, I.6.2

حركة قسرية, mouvement violent,
I.0.5

حركة العَرْض, mouvement en latitude,
I.0.20, I.0.26, I.9.10

حركة لؤْلَبِيّة, mouvement hélicoïdal,
I.0.34

حركة مُحْتَلِفَة, mouvement irrégulier (i. e. non uniforme), I.0.8,
I.0.18, I.9.20, I.15.4, I.17.4,
I.19.4

حركة المَرْكَز, mouvement du centre
(en général, le centre d'un épi-
cycle), I.12.3, I.16.2, I.19.2,
I.21.2

حركة مركز الشَّمْس, mouvement du
centre du Soleil, I.7.3, I.7.7,
I.19.2, I.21.2

حركة مُرَكَّبة, mouvement composé,
I.0.8, I.0.35

حركة مُسْتَوِيّة, mouvement uniforme,
I.0.18, I.0.35

حركة الوَسْط, mouvement de l'astre
moyen, I.16.1, I.17.3, I.22.2

حركة وسط الشَّمْس, mouvement du
Soleil moyen, I.7.3, I.7.7, I.22.2

حركة يَوْمِيّة, mouvement diurne,
I.3.9, I.6.5, II.5.2

زاوية الحركة, mouvement angulaire,
I.26.1

مُتَحَرِّك بِنَفْسِهِ / بِغَيْرِه, mû par soi / par
un autre, I.0.11-14, I.6.3, I.6.5

حض

حضيض, périgée, I.7.4, I.9.2-3,
I.24.2, I.24.4-5

حط

ارتفاع, انحطاط, abaissement, voir

حمل

حَمَل, Bélier (zodiaque), I.5.5

حوت

حُوت, Poissons (zodiaque), I.5.5

حوط

البَحْرُ المُحِيط, l'Océan, I.9.30, II.1.9,
II.1.23-29

مُحيط, bord, contour, périmètre,
I.2.3, I.2.6, I.30.7

حوی

حاوٍ, contenant, I.6.1-3, I.6.5

مَحْوِي, contenu, I.6.1-3, I.6.5
دَرَجَ السَّواء, degrés égaux (≠ leur coastension), II.7.1

طول, voir, درجة الطول

مرّ, voir, درجة الممر

دَرَجَةُ جَدَرَجَاتٍ، degré, I.3.6,
I.30.2-6, II.7.1

دور, épicycle, I.0.36, I.7.12, I.9.2-3,
I.9.6, I.26.1-2

التَّدُوِيرُ الْمَرْتَئِيُّ, épicycle apparent,
I.9.3, I.9.11, I.9.14-23, I.9.27

سمت, voir, دائرة أول السموت

دائرة الأفق الحادث, cercle de l'horizon
incident, I.4.16

دائرة الارتفاع, cercle de hauteur,
cercle vertical, I.4.15

دائرة العَرْضِ, cercle de latitude, I.4.8,
II.11.2-3

ميل, voir, دائرة الميل

نصف, voir, دائرة نصف النهار

استدارة, sphéricité (de la Terre, des cieux), I.30.1, II.1.1

1) trajectoire, 2) trajectoire
diurne (i. e. cercle parallèle à l'équateur), I.4.17, I.5.11-14,
I.9.1, II.6.3, II.12.5-6

مَدَارِسُ الْعُرُوضِ, trajectoires selon les
latitudes (i. e. cercles parallèles à l'écliptique), I.4.18, I.25.16

مَدَارِسُ الْأَكْرَمِ, trajectoires des
centres des orbes, I.7.1, I.19.7

ذرع

ذَرَاعُ جَذْرُع, coudée (coudée moderne = 24 doigts), I.30.1, I.30.6

ذرو

ذُرُوَةُ, sommet, apogée, I.0.22, I.9.2-

خسف

خُسُوفُ, éclipse de Lune, I.9.2,
I.10.8, I.28.1-6, I.29.1-5, I.29.10-
11, I.31.7, II.1.7

خص

خاصة القمر, Lune propre, I.9.33
خاصة الكوكب, astre propre (traduit
par « anomalie » par de nom-
breux auteurs), I.12.6, I.12.20

خط

خطّ, ligne, I.1.1-3

خطّ مُستقيم, droite, I.1.2, I.1.4

خطّ نِصْفُ النَّهَارِ, voir

خفى

اختفاء, invisibilité, I.27

خلج

خليج أَحْمَرَ, mer Rouge, II.1.9

خليج أَخْضَرَ, « golfe vert » (golfe d'Oman), II.1.9

خليج بَرْبَرِيّ, golfe de Berbera (golfe d'Aden), II.1.9

خليج فارس, golfe Persique, II.1.9,
II.1.23

خلد

جزائر الخالدات, Îles Canaries, II.1.12

خلف

اختلاف, irrégularité, anomalie, variation, I.0.22, I.0.34-35, I.7.4, I.9.2, I.9.19, I.9.21-26, I.9.30, I.12.13, I.23.4-6, I.25.4, II.8.2

نظر, voir, اختلاف المنظر

خلو

خلاء, vide, I.0.10, I.0.20

دبر

إِدْبَارُ, trépidation, recès, I.0.28

درج
3, I.12.6, I.12.33, I.19.3, I.21.3-4, I.24.4-5

ذروة التدوير الوُسْطِي, apogée moyen de l'épicycle, I.9.33, I.15.6

ذروة حقيقية, apogée vrai, I.12.13, I.12.20

ذروة التدوير المَرْئِي, apogée de l'épicycle apparent, I.9.11

ذروة مَرْئِيَّة, apogée apparent, I.9.34, I.12.13, I.12.21-22, I.26.5

ذنب

ذَنَب, queue, nœud descendant, I.0.20, I.9.5, I.15.2-3, I.17.1, I.19.1-2, I.21.1, I.25.8

ذَنَب السرْحان, queue du loup, voir
صبح كاذب

رأس

رَأْس, tête, nœud ascendant, I.0.20, I.9.5, I.15.2-3, I.17.1, I.19.1-2, I.21.1, I.24.6, I.25.8

رتب

ترتيب, ordre, disposition, I.3

رجع

رجوع, rétrogradation, I.17.4, I.26.1

رصد

الارصاد الصحيحة, les observations, I.0.18-19, I.0.20, I.0.28, I.0.33, I.0.40, I.5.10, I.6.7-8, I.7.12, I.10.8, I.24.2, I.24.7, I.24.15, I.24.18-21, I.25.14, I.27.4, I.31.1, I.31.7, préface

رفع

ارتفاع, hauteur (coordonnées azimutales), I.4.15, I.27.1, II.4.3-4

ركب

حركة بسيطة مركَّبة, voir, بسيط مُرَكَّب
حرك، corps composé, I.0.2,

I.0.4, I.0.7, I.0.36, I.6.9

ركر

مَرْكَز, centre, I.7.3, I.7.5, I.12.18, I.23.1

زحل

زحل, Saturne, I.0.22, I.12-14, I.24, I.27.1-2, I.31.22-24, I.31.29, I.31.37

زمن

أزمان مُعَدِّل النهار, temps de l'équateur, I.3.2, I.31.43

زنج

الزنْج, les Noirs, II.1.7

زهر

زهَرة, Vénus, I.0.22, I.0.38, I.3.11, I.19-20, I.25.1-9, I.27.3, I.31.20-21, I.31.24, I.31.26, I.31.34, I.31.44

سول

مسألة ضروريَّة, principe, I.0.9-16, préface

سحب

سَحَاب ج شُحُب, nuage, I.0.4, I.5.2, I.5.7

كوبك سَحَابي, étoile nuageuse, nébuleuse, I.5.2, I.5.7

شرط

سَرَطان, Cancer (zodiaque), I.5.5

سرع

شُرْعَة, vitesse, I.26.1-3, I.31.43

سطح

شَطْح, surface, I.1.1-3

شَطْح مُسْتَو, plan, I.1.2, I.1.4, I.24.2-4, II.7.5

سفن

سفينة, navire, I.6.2
تشبّث, adhérer, I.6.3-4

شرق

خطّ المشرق والمغرب, ligne de l'est et de l'ouest, I.4.13, II.12.1-2, II.12.5-6

مشرق, est, II.6.1, II.12.5-6

شري

المُشْتَرِي, Jupiter, I.0.22, I.15-16, I.24, I.27.1-2, I.31.22-24, I.31.28, I.31.36

شعر

شَعِيرَة, grain d'orge (unité de longueur), I.30.1

شع

شُعاع ج أشِعَة, rayon (de lumière), I.0.40, I.9.30, I.28.1, I.31.48, I.31.46, II.2.5, II.9.1

شفق

شَفَقَ, crépuscule, II.5.3, II.6.2, II.9

شك

شَكَّ, doute, préface

شمس

شَمْسُ, Soleil, I.0.18, I.0.33-34, I.6.5-8, I.7, I.28, I.31.3-12, II.9, II.10.1-5

شهب

شهاب ذو الذَّنَب, comète, I.0.4

شهر

شَهْرٍ قَمَرِي, mois lunaire, I.10.4, I.29.2-5, II.10.5-6

صبح

صُبح, aurore, II.5.3, II.6.2, II.9
صُبح أَوْلِ, première aurore, voir
كاذب
صُبح صادق, aurore franche, II.9.3,
II.10.3

صُبح كاذب, aurore trompeuse,

سكن

شُكون, repos, I.0.10
الْمَسْكُونَ, la partie habitée (du globe), I.29.7, I.30.9, II.1.3, II.1.6, II.1.8, II.4.7

سمت

دائرة أوّل السّميت, cercle origine des azimuts, premier vertical, I.4.13, II.12.1

سَمَّتْ, direction, azimut, I.4.13, II.12.2

سِمَّت الرَّاسُ, zénith, I.4.10, II.2.5-8, II.3.7, II.4.2-5

سِمَّت الرِّجْلَ, سِمَّت القَدَمَ, nadir, I.4.10, II.3.7

سمو

السَّمَاء, les cieux, I.2.2-3, I.2.6

سنو

سَنَة الشَّمْسُ, année solaire, I.10.4, II.8.10, II.10.7-8

سَنَة قَمَرِيَّة, année lunaire, I.10.4, II.10.9

فُصُول السَّنَة, les saisons, II.2.3, II.4.2-3, II.5.2, II.10.7

سوح

مساحة البسيط / الجرم, mesure d'une surface / d'un volume, I.30.8-11, I.31.12, I.31.16

سوع

ساعات مُسْتَوِيَّة, heures équinoxiales, II.10.2

ساعات مُعْوَجَّة, heures courbes, II.10.2

سوى

خَطّ الاستواء, équateur terrestre, I.4.1, II.1.3, II.1.12, II.2

شبث
II.9.2-3

صبع

إِصْبَعْ, doigt (= 6 grains d'orge), I.30.5-6

صَقْلَبْ, Slave, II.1.11

صور

صورة ج صُوَرْ, figure, constellation, I.0.2, I.0.4, I.5.3-6

ضوء

ضَوْء, clarté, I.28.1, I.31.48, II.4.7, II.6.2, II.9.3

طبع

طَبِيعَةْ, nature, I.0.2

طلس

فَلْكِ مَعْدَلِ النَّهَارِ, Atlas, voir أَطْلَسْ

طلع

تعديل مطالع, équation de la coascension, II.7.9

دَرَجَةُ الطُّلُوعِ, degré du lever, II.11.6-9

طَالِعْ / غَارِبْ, ascendant / descendant, I.7.9

طَلَعْ, se lever (≠ غرب), II.5.4-9, II.6.1-3

طُلُوعْ, lever (d'un astre), I.27.1, II.11.6-9

مطالع, coascension, ascension oblique, I.3.1, I.4.7, I.8.1, II.7, II.8.4-5, II.10.1

مطالع استوائية, ascension droite, I.7.9, I.8.1-2

طول

درجة الطول, degré, degré de longitude, I.4.9, II.11.1-5

طُولْ, longitude (par rapport à l'écliptique), I.4.9, I.24.7, I.24.9, I.25.16

طُولُ الْبَلَدِ, longitude locale, I.4.4-5

طُولُ مَعْدَلٍ, longitude rapportée à l'équateur (mais mesurée sur un cercle de latitude), I.4.9

ظل

قُطْرِ الظُّلُمِ, diamètre de l'ombre, I.10.8, I.29.1, I.31.7, I.31.17

مَخْرُوطٌ, cône d'ombre, I.28.3, I.31.5, I.31.13, II.9.1-3

ظلم

مُظْلِمٌ, étoile obscure, I.5.2

مُظْلِمٌ, obscur (≠ نَّبِرْ), I.28.1

ظهر

ظُهُورْ, visibilité (≠ اختفاء), I.27, II.2.1-2

عدل

تعديل, équation, I.7.13-14, I.9.17, I.9.20-27, I.11, I.12.10-16, I.23

تعديل, équation des nychtémères, équation du temps, I.8.1-2, II.8

تعديل الخاصة, équation de l'astre propre, I.12.10-11

تعديل, équation du degré de passage, II.11.2

تعديل, équation du Soleil, I.7.4

مُحْكَمٌ, تعديل, équation ajustée, I.11.2, I.11.8, I.14.2, I.23.5

نهار, voir تعديل النهار

تعديل, équation du centre, I.12.11, I.12.13

خَاصَّةٌ مُعَدَّلَةٌ, astre propre corrigé, I.15.6, I.23.2

أَعْدَلُ خَرِيفِي, équinoxe d'automne, I.3.6 56
عالم عُلُوٍّ, monde supérieur, i. e.
supralunaire, I.0.3

عالم سفليّ, عالم الكون والفساد

عمر
المَعْمُور، العِمَارَة، partie cultivée de la Terre; par extension, le quart habité (مسكون), I.9.30, II.1.4, II.1.7-9, II.4.9

عنصر
عنُضْر، élément, I.0.3

غرب
دَرَخَة الغُروب، degré du coucher,
II.11.6-9

غَرَب، se coucher (≠ طَلْع)، II.5.4-9,
II.6.1-3

غُروب، coucher (d'un astre), II.11.6-9

مغارب، codescension, descension
oblique, II.7.4, II.7.6

مَغْرِب، ouest, II.6.1, II.12.5-8

غور
غَوْر ج أَغْوار، terrain encaissé, I.30.1

فرسخ
فرْسَخ ج فراسخ (= 3 milles), I.30.1, I.30.6, I.31.41

فلك
أَقْرَب قُرْب الفَلَك، rayon de la cavité de l'orbe, I.31.42

فَلَك، 1) orbe, 2) cieux, I.15.5, I.30.1
فَلَك، orbe de l'écliptique,
I.0.39-41, I.3.3-8, I.4.6, II.7.2-4

فلك تاسع، neuvième orbe, voir معدّل التهار

معدّل التهار، orbe de l'épicycle, I.9.6,
I.12.1, I.15.2-3, I.17.1, I.19.1,
I.19.3, I.21.1, I.21.3, I.24.2,
I.24.13-16

أَعْدَل، corrigé, I.15.6
أَعْدَل النَّهَار، équateur, I.3.2, I.4.1

أَعْدَل النَّهَار، équateur, plan de l'équateur, II.1.3, II.2.1, II.7.1-2

أَعْدَل، corrigé, I.15.6
أَعْدَل النَّهَار، équateur, I.3.2, I.4.1

أَعْدَل، corrigé, I.15.6

أَعْدَل النَّهَار، équateur, I.3.2, I.4.1

أَعْدَل النَّهَار، équateur, plan de l'équateur, II.1.3, II.2.1, II.7.1-2

عرض
حَصَّة عَرْض، argument de latitude,
I.4.8, I.9.34

عَرْض، latitude, i. e. par rapport
à l'écliptique, I.0.20, I.0.26,
I.4.8, I.9.25, I.9.28, I.15.6,
I.21.1, I.24-25, I.28.3-4

عَرْض، latitude locale, I.4.2,
I.4.5, I.4.12, II.1.7-22, II.3-6

عَرْض إقليم الرؤية، latitude du climat de la vue, i. e. latitude du pôle de l'horizon par rapport à l'écliptique, I.4.14

عَرْض مُعَدَّل، latitude rapportée à
l'équateur (mais mesurée sur un
cercle de latitude), I.4.8

عُطَارِد، Mercure, I.0.20, I.21-22, I.25.10-
15, I.27.3, I.31.20-21, I.31.24-
25, I.31.33

عقد
عُقْدَة، nœud, I.9.5, I.24.2, I.24.6,
I.24.20-21, I.25.2, I.25.5-8

عكس
انعكاس، reflet, I.31.48

علم
عالم، monde, I.0.1
عالم سُفْلِيّ، monde inférieur, i. e. sublunaire, I.0.3
فلك التراب, orbe de la terre, I.3.10

فلك ثامن, huitième orbe (étoiles fixes), I.0.36, I.5.1

فلك حافظ, orbe protecteur, I.21.1, I.21.6

فلك حامل, orbe déférent, I.7.1, I.12.1, I.15.2-3, I.17.1, I.19.1-2, I.21.1, I.24.13-16, I.25.5-7, I.25.14

فلك خارج المركز, orbe excentrique, I.0.18-27

فلك شامل, orbe total, orbe englobant, I.7.2, I.21.5

فلك الماء, orbe de l'eau, I.3.10

فلك مائل, orbe incliné, I.9.1, I.9.5, I.12.1, I.24.1, I.24.13-16, I.25.2-8, I.25.11, I.25.13

فلك مُدير, orbe rotateur, I.7.1, I.9.7, I.12.1, I.15.2-3, I.17.1, I.19.1-2, I.21.1, I.24.13-16, I.25.5-7, I.25.14

فلك مُحيط, orbe englobant, I.21.1, I.21.5

فلك مُمَتَّل, parécliptique, I.4.6, I.7.1, I.9.4, I.12.1, I.15.2-3, I.17.1, I.19.1-2, I.21.1

فلك مستقيم، كُرة مُنتَصِبة، sphère droite, II.2.4

فلك مُعَدَّل المَسِير, orbe équant, I.0.20, I.0.22, I.0.24

فلك مُعَدَّل النهار, orbe de l'équateur, I.0.36, I.3.1-2, I.3.5

فلك مُكَوَّكَب, orbe des étoiles fixes (syn. orbe de l'écliptique), I.3.3

فلك النار, orbe du feu, I.3.10, I.9.5

فلك الهواء, orbe de l'air, I.3.10

فوق

أفق, horizon, I.4.10, I.27.1, II.2.1-2,

II.3.2, II.4.2-6, II.5.2, II.6.1, II.6.3, II.7.1-2, II.11.6-9

أفق مائل, horizon incliné, II.3.1

قب

قبّْة الأرض, Dôme de la Terre, II.1.12

قبل

استقبال, opposition, I.9.3, I.26.7, I.28.2-4

إقبال، trépidation, accès, I.0.28

قبْلة، qibla, direction de la Kaʻba, II.12.3-8

قَوْس انحراف القبلة، arc de déviation de la qibla, II.12.4, II.12.8

قدر

قدر الكوكب، magnitude (d'une étoile), I.5.1, I.31.30-32, I.31.38-39

قطب

قُطْب، pôle, I.7.8

قطر

أقطار الكواكب، diamètres apparents des planètes, I.31.24, I.31.44

قُطْر، diamètre, I.24.2, I.24.4, I.25.2-6

قُطْر عَرْضِيّ، diamètre des latitudes, I.24.23

نِصْف قُطْر الشَّمْس / القَمَر، rayon apparent du Soleil / de la Lune, I.31.2-3, I.31.17

نِصْف قطر التدوير المَرْئِيّ، rayon de l'épicycle apparent, I.9.14-17, I.9.23, I.11.5, I.21.7, I.23.3-5, I.31.2

قلب

مَدار المُنْقَلَب، tropique (litt. trajec-toire du solstice), II.2.5

مُنْقَلَب شَتَوِيّ، solstice d'hiver, I.3.5
كُسُوف, éclipse de Soleil, I.9.2,
I.28.7-12, I.29.6-11

کوکب

كُوْكَب ثابت, étoile fixe, I.3.3-4, I.3.7,
I.3.9

لزق

الزلق, agglutiner, coller, I.6.3
couleur, II.1.4, II.1.21, II.2.10

ليل

قَوْس اللَّيْل, arc nocturne, durée de la
nuit, II.10.1

محو

مَحُو, obscurcissement, I.9.30

مر

اختلاف المَمَرّ, anomalie du passage,
II.11.2

دَرَجَة, degré de passage, I.4.7,
II.11.1-3

مَرِّر, voir مُرور
مَمَرَّج مُمَرَّات, passage (en général au
méridien), I.4.7, II.7.4, II.8.1,
II.11

مرخ

مَرِيْخ, Mars, I.0.22, I.2.4, I.17-18,
I.24, I.27.1-2, I.31.22-24,
I.31.27, I.31.35, I.31.44, I.31.48

مُصْر, Égypte, II.1.8

مَكَّة, La Mecque, II.12.3-8

ميل

دائرة المَيْل, cercle de déclinaison,
I.4.7, II.7.4, II.11.1

غَيَاة المَيْل, partie d'inclinaison maxi-
male (dans un orbe incliné),
I.19.2

مَيْل, inclinaison, inclinaison maxi-
male (i. e. mesure d'un angle
dièdre), I.24.1, I.24.13-16

منقلب صَيْفِي, solstice d'été, I.3.5

قمر

قَمَر, Lune, I.0.19, I.0.21, I.0.23,
I.0.25, I.9-11, I.9-11, I.28, I.31.1-
2, II.1.8, II.10.5

قَمَر صَاعِد / هَابِط ، Lune montante /
descendante, I.9.28

قنطر

مُقَنْطَرَات, muqantars, cercles paral-
lèles à l'horizon, I.4.19

قوس

قَوْس الرُّؤْيَة, arc de visibilité, I.27
قَوْس الرُّجُوع / الاستقامة
/ arc direct, I.26.5

قوم

تقويم, 1) calcul de la longitude vraie,
2) longitude vraie d'un astre,
I.12.23, I.14.2, I.16.3, I.18.2,
I.20.2, I.22.3, I.25.16

تَقْوِيم الشَّمْس, Soleil vrai, I.7.12-14

تَقْوِيم القَمَر, Lune vraie, I.9.34,
I.25.16

مُقَوَّم الكوکب, astre vrai (= longitude
vraie de l'astre), I.12.23, I.15.6,
I.25.17

مُقَيِّم للرَّجُوع / للاستقامة
رétrograde / en station directe,
I.26.5

قيس

مُقَيِّس ج مقاييس, gnomon, I.0.40,
II.1.7, II.4.8, II.12.1-2

كبس

سَنَة الكبيسة, jour intercalaire
/ année de l'intercalaire, II.10.5-
7

كثف

كَثَافَة, opacité, I.28.8, I.31.48

كسف
مَيْل أَوْل, première inclinaison, i. e. dé-
clinaison, I.4.7

مَيْل التدوير, inclinaison de l'épicycle,
I.25.2, I.25.12

مَيْل ثاني، seconde inclinaison, i. e. par
rapport à l'écliptique, I.4.8

میل ج أَمیال (= 4 000 coudées modernes), I.30.5-6

مَيْل الورِاب, inclinaison de biais,
I.25.2, I.25.12-13, I.25.15

نزل

مَنازِل القَمَر, les maisons lunaires, I.5.9

نسب

دَقَائِق النِّسَب, coefficient d'interpo-
lation, I.9.26, I.11.2, I.12.16,
I.23.5

نصف

خطّ نصف النهار, ligne méridienne,
I.4.12, I.30.3, II.12.1-2

دَائِرَة نَصْف النهار, méridien, I.4.3,
I.4.12, II.8.7, II.11.1-5, II.12.1

نطق

منطقة, ceinture, I.7.8-10, I.24.5

نظر

مَنْظَر ج مَنَاظِر, image visuelle, I.31.45

اختلاف المنْظَر, parallaxe, I.9.29,
I.28.9, I.29.6-7, I.31.1

نَظَر, vision, observateur (syn. بَصَر),
II.9.2

نقل

référentiel, équation du déplace-
ment, I.9.25, I.25.16-17

نهر

référentiel, équation du jour, II.3.4-
6, II.4.7, II.7.9, II.10.1

قَوْس النهار, arc diurne, durée du jour,
I.4.17, II.1.22, II.3.5, II.10.1,

II.10.3

نَهَار, jour, II.6.1

نَهْر ج أَنْهَار, rivière, II.1.21

نور

حَلَقَة نُورانيَّة, anneau lumineux (lors d'une éclipse annulaire), I.28.11

نور, lumière, I.9.30, II.9.3

النَّيَّار, les deux luminaires (Lune et
Soleil), I.28.2

نَّيِّر, lumineux, I.28.1, I.31.46, I.31.48

نيل, Nil, II.1.8, II.1.23-24

هل

هِلال, croissant (de Lune), I.28.2,
I.28.6, I.28.11, II.10.5

هند

دائرة هنديَّة, cercle indien, II.12.2

الهِنْد, les Indiens, I.0.41, I.7.16,
I.10.5, II.1.23-25

هَنْدَسَة, géométrie, I.1

هيأ

هَيْئَة, configuration, astronomie,
I.0.17, I.24.12, II.1, préface

وتد

pivot (il y a 4 points de
l'écliptique dits « pivots », dont
le pivot de la Terre, وتَد الأرض),
I.4.12

وسط

وَسَط, astre moyen, I.7.5, I.9.14,
I.12.19, I.15.6

وَسَط الشَّمْس, Soleil moyen, II.8.3

وَسَط القَمَر, Lune moyenne, I.9.33

وسع

سَعة المَشْرِق / المَغْرِب, amplitude
ortive / occase, II.2.4, II.3.4,
II.4.7, II.5.5-8
وصل

مُتَصِل ببعضه ببعض, contigus, I.7.9,
I.15.8, I.17.6, I.19.7, I.21.10,
I.31.18-19

وقف

رجوع, voir, station, وقوف

ولد

المواليد الثلاثة, les trois règnes, I.0.4

يوم

اليوم بليتنه ج الأَيَام بلياليها, nychtémère
(litt. le jour avec sa nuit), I.8.1-2,
II.4.6-7, II.8, II.10.4

يَوْم حَقِيقَي, jour vrai, II.8.1, II.8.4

كَبِيسة / يَوْم مُسْتَرَق / يَوْم لاحق, jour
intercalaire / volé / supplémentaire, II.10.5-7

يَوْم وَسَطِي, jour moyen, II.8.1, II.8.3
<figure><img src="image_110.png" /></figure>
TABLE DES FIGURES PRIMAIRES

<table><tr><td>1</td><td>Trajectoires des centres des orbes du Soleil</td><td>165</td></tr><tr><td>2</td><td>Orbes solides du Soleil</td><td>167</td></tr><tr><td>3</td><td>Trajectoires des centres des orbes de la Lune</td><td>169</td></tr><tr><td>4</td><td>Orbes solides de la Lune</td><td>171</td></tr><tr><td>5</td><td>Trajectoires des centres des orbes de Saturne</td><td>173</td></tr><tr><td>6</td><td>Orbes solides de Saturne</td><td>175</td></tr><tr><td>7</td><td>Trajectoires des centres des orbes de Jupiter</td><td>177</td></tr><tr><td>8</td><td>Orbes solides de Jupiter</td><td>177</td></tr><tr><td>9</td><td>Trajectoires des centres des orbes de Mars</td><td>177</td></tr><tr><td>10</td><td>Orbes solides de Mars</td><td>177</td></tr><tr><td>11</td><td>Trajectoires des centres des orbes de Vénus</td><td>177</td></tr><tr><td>12</td><td>Orbes solides de Vénus</td><td>177</td></tr><tr><td>13</td><td>Trajectoire des centres des orbes de Mercure</td><td>179</td></tr><tr><td>14</td><td>Orbes solides de Mercure</td><td>181</td></tr><tr><td>15</td><td></td><td>183</td></tr><tr><td>16</td><td></td><td>183</td></tr><tr><td>17</td><td></td><td>185</td></tr><tr><td>18</td><td>Figure en forme de sapin</td><td>185</td></tr><tr><td>19</td><td>Sept climats</td><td>187</td></tr><tr><td>20</td><td></td><td>187</td></tr><tr><td>21</td><td>Deux cercles de déclinaison, deux triangles sphériques</td><td>189</td></tr><tr><td>22</td><td>Un cercle de déclinaison, deux triangles sphériques</td><td>189</td></tr><tr><td>23</td><td></td><td>191</td></tr><tr><td>24</td><td></td><td>191</td></tr><tr><td>25</td><td></td><td>193</td></tr><tr><td>26</td><td></td><td>193</td></tr><tr><td>27</td><td>Six divisions quand l'apogée est à la fin des Gémeaux</td><td>195</td></tr><tr><td>28</td><td>Horizon, triangle, perpendiculaire, Soleil, Terre</td><td>197</td></tr><tr><td>29</td><td></td><td>199</td></tr><tr><td>30</td><td></td><td>199</td></tr></table>
<figure><img src="image_111.png" /></figure>
TABLE DES AUTRES FIGURES

<table><tr><td>I</td><td>Stemma</td><td>5</td></tr><tr><td>II</td><td>Les apories de l'orbe excentrique</td><td>13</td></tr><tr><td>III</td><td>Quand l'apogée de l'épicycle suit un point autre que le centre de l'orbe qui le porte</td><td>16</td></tr><tr><td>IV</td><td>Un orbe est un référentiel solide en mouvement</td><td>205</td></tr><tr><td>V</td><td>Les orbes du Soleil, figure initiale</td><td>209</td></tr><tr><td>VI</td><td>Le Soleil : transformations planes</td><td>213</td></tr><tr><td>VII</td><td>L'équation du Soleil</td><td>215</td></tr><tr><td>VIII</td><td>Les orbes solides du Soleil</td><td>216</td></tr><tr><td>IX</td><td>Une représentation moderne des orbes du Soleil et de la Lune, libre-ment inspirée d'Ibn al-Ṣā</td><td>216</td></tr><tr><td>X</td><td>Mouvement en latitude de la Lune</td><td>218</td></tr><tr><td>XI</td><td>Les orbes de la Lune, figure initiale</td><td>219</td></tr><tr><td>XII</td><td>La Lune, transformations planes</td><td>223</td></tr><tr><td>XIII</td><td>La Lune, coordonnées de R<sub>P<sub>1</sub>,u,5°</sub>(P')</td><td>226</td></tr><tr><td>XIV</td><td>L'équation de la Lune en 1331, sur 30 jours</td><td>228</td></tr><tr><td>XV</td><td>Le troisième modèle de la Lune dans l'Almageste</td><td>229</td></tr><tr><td>XVI</td><td>Latitudes de la Lune en 1331, sur 30 jours</td><td>231</td></tr><tr><td>XVII</td><td>Distance Terre-Lune en 1331, sur 30 jours</td><td>232</td></tr><tr><td>XVIII</td><td>La Lune dans le Kitab al-hay'a d'al-'Urḍī</td><td>233</td></tr><tr><td>XIX</td><td>L'équation de la Lune selon al-'Urḍī.</td><td>235</td></tr><tr><td>XX</td><td>La Lune dans la Taḍkira de Ṭūsī</td><td>236</td></tr><tr><td>XXI</td><td>L'équation de la Lune selon Ṭūsī</td><td>238</td></tr><tr><td>XXII</td><td>La Lune dans la Tuhfa de Ṣīrāzī</td><td>239</td></tr><tr><td>XXIII</td><td>La Lune selon al-Ṣīrāzī et Ṣadr al-Ṣarī'a</td><td>241</td></tr><tr><td>XXIV</td><td>Équation de la Lune, meilleurs modèles jusqu'à Ibn al-Ṣā tīr</td><td>243</td></tr><tr><td>XXV</td><td>Distance Terre-Lune, modèles les meilleurs pour les longitudes</td><td>244</td></tr><tr><td>XXVI</td><td>Les orbes solides de la Lune</td><td>245</td></tr><tr><td>XXVII</td><td>Les orbes de Saturne, figure initiale et terminologie</td><td>247</td></tr><tr><td>XXVIII</td><td>Saturne, trois positions, projection orthogonale</td><td>249</td></tr><tr><td>XXIX</td><td>Saturne, inclinaison de l'orbe incliné</td><td>252</td></tr><tr><td>XXX</td><td>Latitudes de Saturne sur quinze ans, à partir de l'Époque</td><td>255</td></tr><tr><td>XXXI</td><td>Saturne, al-Ṭūsī, figure initiale</td><td>258</td></tr><tr><td>XXXII</td><td>Saturne, al-'Urḍī, figure initiale</td><td>259</td></tr><tr><td>XXXIII</td><td>Saturne, al-Ṣīrāzī, figure initiale</td><td>262</td></tr><tr><td>XXXIV</td><td>Démonstration d'équivalence entre les modèles en longitude de divers savants, selon Kennedy (1966)</td><td>263</td></tr></table>
<table><tr><td>XXXV</td><td>Saturne, orbes solides</td><td>265</td></tr><tr><td>XXXVI</td><td>Ibn al-Haytam's iltifāf, according to al-Ṭūsī</td><td>268</td></tr><tr><td>XXXVII</td><td>Saturne d'après la Tadkira II.11 [16]</td><td>269</td></tr><tr><td>XXXVIII</td><td>Le couple curviligne d'al-Ṭūsī pour les latitudes</td><td>270</td></tr><tr><td>XXXIX</td><td>Interprétation naïve de la solution d'al-Ṭūsī utilisant son « couple curviligne » pour les latitudes de Saturne</td><td>271</td></tr><tr><td>XL</td><td>Comparaison des modèles en latitude pour Saturne</td><td>273</td></tr><tr><td>XLI</td><td>Vénus, trois positions, projections orthogonales</td><td>276</td></tr><tr><td>XLII</td><td>Vénus, comparaison des modèles pour les latitudes</td><td>279</td></tr><tr><td>XLIII</td><td>Érreur en longitude pour Vénus (Ibn al-Ṣā et al-Ṭūsī)</td><td>281</td></tr><tr><td>XLIV</td><td>Mercure, figure initiale</td><td>283</td></tr><tr><td>XLV</td><td>Mercure, orbes solides</td><td>286</td></tr><tr><td>XLVI</td><td>Les longitudes de Mercure</td><td>287</td></tr><tr><td>XLVII</td><td>Érreur en longitude des modèles de Ptolémée, d'al-'Urḍī et d'Ibn al-Ṣātir pour Mercure</td><td>288</td></tr><tr><td>XLVIII</td><td>Les latitudes de Mercure</td><td>289</td></tr><tr><td>XLIX</td><td>Figure initiale, Mercure, al-'Urḍī et Quṭb al-Dīn al-Ṣīrāzī</td><td>291</td></tr></table>
<figure><img src="image_112.png" /></figure>
TABLE DES MATIÈRES

<table><tbody><tr><td>Introduction</td><td>1</td></tr><tr><td>1 Éléments biographiques</td><td>1</td></tr><tr><td>2 Les manuscrits de la Nihāya</td><td>3</td></tr><tr><td>3 Les concepts d'orbe et de mouvement</td><td>7</td></tr><tr><td>4 Les excentriques</td><td>9</td></tr><tr><td>5 Origine du mouvement de l'épicycle</td><td>15</td></tr><tr><td>6 Possibilité mathématique d'une nouvelle astronomie</td><td>15</td></tr><tr><td>7 Le projet d'Ibn al-Ṣā a-t-il réussi?</td><td>19</td></tr><tr><td>8 La deuxième partie de la Nihāya</td><td>21</td></tr><tr><td>9 Astronomie et cosmologie</td><td>22</td></tr><tr><td>10 Remerciements</td><td>23</td></tr><tr><td>Texte et traduction.</td><td>25</td></tr><tr><td>Partie I</td><td>26</td></tr><tr><td>I.0 Introduction</td><td>27</td></tr><tr><td>I.1 Fondements posés comme axiomes en géométrie</td><td>34</td></tr><tr><td>I.2 Fondements déjà établis</td><td>34</td></tr><tr><td>I.3 Disposition des orbes</td><td>35</td></tr><tr><td>I.4 Cercles remarquables et latitude locale</td><td>37</td></tr><tr><td>I.5 Le mouvement des étoiles fixes</td><td>41</td></tr><tr><td>I.6 Les mouvements par accident et les autres mouvements</td><td>44</td></tr><tr><td>I.7 L'orbe du Soleil et ses mouvements</td><td>47</td></tr><tr><td>I.8 Calcul de l'équation des nychtémères</td><td>51</td></tr><tr><td>I.9 Les orbes de la Lune et leurs mouvements</td><td>52</td></tr><tr><td>I.10 Détermination des mouvements de la Lune à une date donnée</td><td>59</td></tr><tr><td>I.11 La Lune vraie par les tables ou par le calcul</td><td>61</td></tr><tr><td>I.12 Configuration des orbes de Saturne</td><td>65</td></tr><tr><td>I.13 Les mouvements de Saturne et leurs conditions initiales à l'Époque</td><td>70</td></tr><tr><td>I.14 Détermination de Saturne vrai</td><td>71</td></tr><tr><td>I.15 Configuration nouvelle des orbes de Jupiter</td><td>72</td></tr><tr><td>I.16 Les mouvements de Jupiter</td><td>74</td></tr><tr><td>I.17 La configuration des orbes de Mars</td><td>74</td></tr><tr><td>I.18 Les mouvements de Mars</td><td>76</td></tr><tr><td>I.19 La configuration des orbes de Vénus</td><td>77</td></tr><tr><td>I.20 Les mouvements de Vénus</td><td>79</td></tr></tbody></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>I.21</td>
      <td>La configuration des orbes de Mercure selon notre mé-thode confirmée par l'observation</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.22</td>
      <td>Les mouvements de Mercure</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.23</td>
      <td>Calcul de l'équation des astres</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.24</td>
      <td>Les latitudes des trois planètes supérieures : Saturne, Jupi-ter et Mars</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.25</td>
      <td>Mouvements de Vénus et Mercure en latitude</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.26</td>
      <td>Cause de la vitesse, de la lenteur, des stations et des rétro-gradations des astres</td>
      <td>95</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.27</td>
      <td>Visibilité et invisibilité des cinq astres errants</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.28</td>
      <td>Cause des éclipses de Lune et de Soleil</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.29</td>
      <td>Intervalles entre les éclipses de Lune et de Soleil</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.30</td>
      <td>Science de la forme de la Terre et de sa surface</td>
      <td>103</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.31</td>
      <td>Distances et grandeurs des corps</td>
      <td>106</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Partie II.</td>
      <td></td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.1</td>
      <td>L'ensemble de la configuration de la Terre</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.2</td>
      <td>Particularités de l'équateur terrestre</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.3</td>
      <td>Particularités des lieux qui ont une latitude non nulle</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.4</td>
      <td>Particularités des lieux dont la latitude ne dépasse pas le complément de l'inclinaison de l'écliptique</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.5</td>
      <td>Particularités des lieux dont la latitude dépasse le com-plément de l'inclinaison de l'écliptique sans atteindre un quart de cercle</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.6</td>
      <td>Particularités des horizons dont la latitude est égale à un quart de cercle</td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.7</td>
      <td>Les coascensions de l'écliptique</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.8</td>
      <td>Durée des nychtémères, et leur équation</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.9</td>
      <td>L'aurore et le crépuscule</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.10</td>
      <td>Détermination des parties du jour, les heures, et des mul-tiples des heures, les mois et les années</td>
      <td>144</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.11</td>
      <td>Les degrés de passage des astres au méridien, leurs levers, et leurs couchers</td>
      <td>146</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.12</td>
      <td>Méridien du lieu et azimut de la qibla</td>
      <td>149</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Notes de la traduction</td>
      <td></td>
      <td>152</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figures</td>
      <td></td>
      <td>164</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Commentaire mathématique</td>
      <td></td>
      <td>201</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1</td>
      <td>Lemme d'al-ʿUrḍī et couple d'al-Ṭūsī</td>
      <td>201</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2</td>
      <td>Préliminaires</td>
      <td>202</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>8.1</td>
      <td>Figure initiale</td>
      <td>274</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Transformations géométriques</td>
      <td>274</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3</td>
      <td>Trajectoire paramétrée</td>
      <td>275</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4</td>
      <td>Transformations planes et équations de Vénus</td>
      <td>277</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5</td>
      <td>Trigonométrie sphérique</td>
      <td>277</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.6</td>
      <td>Les inclinaisons des petits orbes</td>
      <td>278</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7</td>
      <td>Second modèle</td>
      <td>278</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.8</td>
      <td>Comparaison</td>
      <td>278</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.9</td>
      <td>Les orbes solides de Vénus</td>
      <td>280</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.10</td>
      <td>Le mouvement en longitude de Vénus selon al-Ṭūsī</td>
      <td>280</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.11</td>
      <td>Comparaison</td>
      <td>281</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9</td>
      <td>Mercure</td>
      <td>282</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1</td>
      <td>Mercure selon Ibn al-Ṣā</td>
      <td>282</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2</td>
      <td>Équations de Mercure et formule d'interpolation</td>
      <td>284</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3</td>
      <td>Les orbes solides de Mercure</td>
      <td>285</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4</td>
      <td>Comparaisons</td>
      <td>285</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.5</td>
      <td>Les modèles d'al-ʿUrḍī et de Quṭb al-Dīn al-Ṣīrāzī pour Mercure</td>
      <td>287</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.6</td>
      <td>Calibrage du modèle d'Ibn al-Ṣātir pour Mercure</td>
      <td>290</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10</td>
      <td>Tables d'équations en longitude</td>
      <td>295</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Bibliographie</td>
      <td>297</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Index nominum</td>
      <td>303</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Index rerum.</td>
      <td>304</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Table des figures primaires</td>
      <td>317</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Table des autres figures</td>
      <td>319</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Liste des tableaux.</td>
      <td>321</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Table des matières</td>
      <td>323</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
CE LIVRE EST DISPONIBLE SOUS LICENCE

*Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International*

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.

CE LIVRE EST DÉRIVÉ D'UNE VERSION PRÉLIMINAIRE « v1 »
POSTÉE SUR ARXIV EN 2017. LA PRÉSENTE VERSION « v2 » EST ACCESSIBLE
À L'ADRESSE https://arxiv.org/pdf/1709.04965v2 SOUS FORME
D'UN FICHIER PDF PRÊT À IMPRIMER AU FORMAT A4 RECTO-VERSO.
LES REPÈRES AU BORD GAUCHE DE LA 1re DE COUVERTURE FACILITENT
LA RÉALISATION D'UNE RELIURE COUSUE « À LA JAPONAISE ».

CE LIVRE EST DISTRIBUÉ DANS L'ESPOIR QU'IL SOIT LU ET ÉTUDIÉ,
MAIS SANS AUCUNE GARANTIE, PAS MÊME CELLE QU'IL SOIT CONFORME
AU CANON D'UNE DISCIPLINE INTELLECTUELLE PARTICULIÈRE.

COPYRIGHT © 2021 ERWAN PENCHÈVRE

ISBN : 978-2-9577956-0-4