dans les régions de Thiès et du Siné-Saloum, où ils vivent dans les zones boisées et cultivent la terre. A l'image des Diolas, ils sont nombreux à avoir embrassé la foi chrétienne, encore que leur vie courante demeure marquée par la tradition animiste. Leur cérémonie du pangal, au cours de laquelle ils vénèrent les âmes des ancêtres, et une des fêtes animistes les plus pérennes. Le président Senghor est issu de cette tribu. » (d'après documents internet, texte confirmé par Véronique).

Elle est fille unique d'une grande famille et devait par conséquent rester avec sa mère s'occuper des tâches ménagères. Elle n'a donc suivi aucune scolarisation en Afrique et ne parlait pas français avant son départ.

Elle est arrivée en France il y a douze ans et a travaillé dans une usine de confection pendant 10 ans.

Véronique est au CUEEP depuis septembre 2001 (c'est donc sa première année de formation au CUEEP) et touche l'ARE (allocation retour emploi). Elle a suivi le module Math Départ avec J.P. Leclere, où elle a notamment appris les connaissances de base sur les nombres (écrire et lire les nombres, regrouper par paquets de dix, décomposer un nombre avec d'autres nombres spécifiés, etc.). Elle est passée en Math de base, avec M.C. Liefooghe, en février 2002.

C'est une personne très vive, très active, qui veut sans cesse apprendre et écoute les conseils qu'on lui donne. Selon elle, elle a développé son rapport aux nombres grâce à la manipulation de l'argent.

Son projet, c'est de devenir styliste modéliste (elle confectionne elle-même la plupart de ses vêtements).

## Son rapport au nombre

Nous dressons un bilan du rapport au nombre de Véronique, issu des différents entretiens que nous avons effectués avec elle.

Tout d'abord, le système de numération sérère est différent du système français ; dans le dialecte sérère, la communication des nombres se fait par voie orale et présente les régularités d'un système en base 5 (correspondant aux doigts de la main). D'autres dialectes africains sont basés sur des systèmes équivalents.

<table><caption>Système de numération sérère (établi en faisant compter Véronique)</caption><tr><td>1</td><td>lin</td><td>11</td><td>halbaï fo lin</td></tr><tr><td>2</td><td>ik</td><td>12</td><td>halbaï fo ik</td></tr><tr><td>3</td><td>tadik</td><td>13</td><td>halbaï fo tadik</td></tr><tr><td>4</td><td>nahik</td><td>14</td><td>halbaï fo nahik</td></tr><tr><td>5</td><td>pedik</td><td>15</td><td>halbaï fo pedik</td></tr><tr><td>6</td><td>beta afa lin</td><td>16</td><td>halbaï beta afa lin</td></tr><tr><td>7</td><td>beta adar</td><td>17</td><td>halbaï beta adar</td></tr><tr><td>8</td><td>beta atadar</td><td>18</td><td>halbaï beta atadar</td></tr><tr><td>9</td><td>beta anahar</td><td>19</td><td>halbaï beta anahar</td></tr><tr><td>10</td><td>halbaï</td><td></td><td></td></tr></table>

Véronique, en arrivant en France a dû s'adapter à un nouveau système de numération et à l'écriture des chiffres qu'elle ne connaissait pas.
### Le nombre

Véronique sait lire et écrire les nombres inférieurs à 1000, et a quelques difficultés au-delà.

Elle a bien compris le système de numération (« on regroupe par paquets de 10 »). Elle l'utilise notamment pour effectuer des calculs mentaux simples (elle sépare unités et dizaines) et pour comparer les nombres. En revanche, elle n'est pas encore capable d'extraire les dizaines d'un nombre à centaine, ni d'associer directement x dizaines à l'écriture « x0 » dans des exercices contextualisés.

Véronique a une assez bonne connaissance de la structuration arithmétique des nombres. Elle sait décomposer un nombre à l'aide de nombres référents ou de deux ou trois nombres spécifiés mais a plus de difficultés quand il s'agit de choisir parmi un ensemble les nombres permettant la décomposition d'un autre.

### Le calcul

La capacité de Véronique à calculer de tête est encore assez limitée et dépend du nombre d'opérations, des nombres en jeu et de la présence ou non de retenue. Pour calculer, elle utilise la structure de numération et arithmétique du nombre : calculer par centaines, dizaines, unités, repérer les nombres qui s'emboîtent, utiliser les doubles.

### La résolution de problème

Véronique parvient à résoudre les différentes catégories de problèmes dits de soustraction proposés, en utilisant l'opération de soustraction (de tête ou en posant l'opération).

Elle a pratiquement atteint le 3ème niveau en ce qui concerne la soustraction mais est encore au 2ème niveau pour la division.

Véronique montre, à travers ses démarches de calcul et la façon dont elle se représente les problèmes, un raisonnement très rigoureux. Ses procédures de résolution ne sont pas empiriques comme celles de Claude mais au contraire très mathématiques. Elle ne considère essentiellement que l'aspect mathématique du problème et ne se laisse pas perturber par les données contextuelles.

Elle affiche beaucoup d'intérêt pour les problèmes où il s'agit de trouver une procédure de résolution. Le raisonnement est son point fort. Elle présente des facultés assez spectaculaires compte tenu de son passé scolaire.

Nous allons maintenant présenter le rapport issu des entretiens passés avec Claude.

## B. Rapport du questionnaire sur les nombres avec Claude

### Les nombres

#### La connaissance des nombres : désignations écrites et orales (1er entretien)

Ecrire : 13, 25, 70, 92, 101, 353, 675, 1024, 100 003.

Claude écrit tous les nombres correctement sauf le dernier (il met un nombre insuffisant de zéros) qu'il corrige après notre intervention (nous lui disons juste qu'il n'a pas écrit le bon nombre).

Lire : 7, 214, 03, 78, 1001, 1111, 372 000.
Claude a des difficultés à lire le chiffre 1111. Nous lui expliquons en lui montrant les chiffres qu'il faut décomposer le nombre pour pouvoir le lire : « 1111 c'est un mille, qui se lit mille, un cent, qui se lit cent, et onze, mille cent onze » ; il parvient alors à lire le nombre 2222.

Il a aussi des difficultés à lire le nombre 372 000.

Claude sait globalement lire et écrire les nombres inférieurs à 9000, mais a des problèmes de type syntaxique, notamment avec les difficultés des zéros intermédiaires.

## Structure du système de numération (1er entretien)

### Compter une collection d'objets :

Nous éparpillons tout d'abord une cinquantaine de dés de couleurs différentes sur la table et nous demandons à l'adulte de nous dire combien il y en a.

La main gauche prend un paquet de 5, puis la main droite prend un autre paquet de 5. Il rassemble le tout en un paquet de 10 qu'il met de côté.

Il compte à la fin ses paquets de 10 et les dés restants.

Sa méthode, utilisant la numération en base 10, est très rapide et efficace.

### Calcul mental : utiliser la structure du système de numération

**Calculer : (exercice écrit et résolution orale, 1er entretien)**

10+20 ; 23+10 ; 10+47 ; 30+7 ; 50+41 ;

Dans ces opérations, Claude ne réfléchit pas et calcule automatiquement.

25+25 ; 15+25 ; 45+5 ;

Il sépare unités et dizaines : « 5 et 5,10, 20 et 20, 40, 50 ! ».

53+12 ; 23+42 ; 17+21 ; 9+23 ; 38+4 ; 48+12.

Claude utilise plusieurs techniques :

- en séparant unités et dizaines : « 3 et 2, 5, 20 et 40, 60, 65 » (2ème addition)

- avec les doigts : « 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,32 » (4ème addition)

- en mélangeant les deux méthodes précédentes : « 53, 63, 64, 65 » (1ère addition)

Claude utilise donc les propriétés du système de numération (il sépare unités et dizaines) pour calculer mais a recours à ses doigts pour les ajustements.

### Utilisation du système de numération dans des situations plus complexes

« On vous donne 160 F en pièces de 10 F, combien vous donne t-on de pièces de 10 F ? » (oral, 1er entretien)

Extrait de l'entretien (C : Claude, I : intervenant) :

C : « Dix pièces de 10 F, ça fait 100 F. Combien déjà ? »

I : « 160F »

C : « Ah...euh, dix pièces de 10 F, ça fait 100 F. 160 F...c'est 16 ! »

« Vous allez au restaurant et vous payez l'addition de 123 €. Combien de billets de 10 € devez-vous donner ? ». (oral, 1er entretien)

C : « Dix billets de 10 €, c'est 100 €. Combien c'est déjà ? »

I : « 123 € »
C : « C'est 120 € et trois pièces »

I : « Oui mais vous ne disposez que de billets de 10 €, combien en donnez vous ? »

Claude s'embrouille...nous l'aidons :

I : « Vous avez dit que dix billets de 10 €, ça faisait.. »

C : « 100 €. Deux billets, ça fait 20 €. »

I : « Ca suffit ? »

C : « Non, il en faut un de plus »

I : « Donc en tout ? »

C : « 10 et 2 et 1, 13 billets et on me rendra 130-123, euh...7 €».

« J'achète douze stylos à 10 F pièce. Combien devrai-je payer ? » (oral, 1er entrétien)

C : « dix stylos, ça me coûte 100 F. Deux de plus, 20 F. Donc je paie 120 F ».

Claude utilise la même technique pour résoudre les trois exercices. Il commence par établir les correspondances « dix objets à 10 F (ou €) valent 100 F (ou €) » : « dix pièces de 10 F, ça fait 100 F », « dix billets de 10 €, c'est 100 € », « dix stylos, ça me coûte 100F ». Puis, il ajuste son résultat en fonction du prix à payer ou du nombre d'objets à trouver.

Comme Véronique, Claude établit une projection dans l'action pour résoudre ces exercices ; c'est son habitude de payer qui semble diriger le fil de ses calculs. Nous pouvons de plus remarquer que c'est le deuxième exercice qui pose le plus de difficultés à Claude alors que c'est celui qui en a posé le moins à Véronique. Claude semble avoir plus de mal à se projeter dans l'action de cet exercice ; ceci est peut être dû au fait qu'il est peu courant de payer l'addition avec uniquement des billets de 10 €.

Il parvient néanmoins plus rapidement au résultat que Véronique car il a su utiliser directement le fait que dix dizaines font une centaine.

> Claude n'a pas utilisé les opérations de multiplication et de division mais sa stratégie de résolution résulte de la façon dont il se projette dans l'action. Néanmoins, il a partiellement utilisé le système de numération : il sait que dix dizaines font une centaine mais ne semble pas conscient que x dizaines fait le nombre « x0 ».

## Relations entre les nombres

### Comparer

Quel est le plus grand nombre des deux : 7 et 48 ; 16 et 21 ; 82 et 78 ; 1003 et 3000 ; 1114 et 2110 ; 1 403 749 et 800 479 ; (écrit, 1er entretien)

Claude n'a pas de difficultés dans cet exercice. Il a un peu de difficultés pour la dernière comparaison et rassemble les chiffres par paquets de trois. Il n'arrive pas à lire complètement les chiffres mais en saisit la différence : « entre un million et 800 000, je prend le million ! C'est des euros ou des francs ? »

Ordre et connaissance symbolique du nombre :

Compter de 10 en 10 en partant de 2. (oral, 1er entretien)

C : « 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 13 ! »
I : « non ».

Claude recompte avec ses doigts et trouve 12. Il continue alors la suite automatiquement :
« 22, 32, 42,... ».

Comme pour Véronique, compter enclenche dans un premier temps le processus d'énumération ordinale des nombres et non d'addition. Claude repère vite les régularités et continue la suite rapidement.

### Compter de 5 en 5 en partant de 3. (oral, 1er entretien)

Claude ne perçoit pas la logique de la suite « 3, 8, 13, 18, 23, ... » et effectue les opérations dans sa tête à chaque étape.

### Compter à reculons de 2 en 2 en partant de 18. (oral, 1er entretien)

Claude n'a pas de difficultés et la suite devient automatique au bout de quelques étapes.

> Au niveau de l'ordre, Claude a une assez bonne connaissance des nombres. Cependant, il ne fait pas d'emblée de lien entre l'action de compter et l'action de calculer.

## Décomposition arithmétique :

### « Trouvez quatre nombres qui se terminent par 5 pour faire 60 » (oral, 1er entretien)

Cet exercice a posé des difficultés à Claude. Il se bloque sur l'opération $8 \times 3 = 24$ puis essaie quelques opérations qui ne correspondent pas au but de l'exercice.

Au bout d'un certain temps, nous lui répétons la consigne de l'exercice ; il se la redit plusieurs fois et finit par trouver : « 15 et 15, 30. Ah, c'est 15 quatre fois !».

Claude n'a pas su comment s'y prendre pour résoudre cet exercice ; il ne dispose pas de technique immédiate pour le résoudre et n'a pas pu non plus le rapprocher d'une situation du réel.

### « Faites 40 avec trois nombres se trouvant dans la bulle » (écrit, 1er entretien)

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

Il cherche pendant assez longtemps et reste bloqué sur « 17 + 13 = 30, il me faut 10 ». Il a des difficultés à se détacher de ces deux nombres qui « s'emboîtent » si bien. Nous lui suggérons d'utiliser d'autres nombres comme 14 ; il parvient au résultat.

### « Faites 41 avec deux nombres se trouvant dans la bulle » (écrit, 1er entretien)

<figure><img src="image_63.png" /></figure>
Il éprouve plus de difficultés pour cet exercice. Il a utilisé une stratégie consistant à chercher les nombres les plus proches de 41 et à tester si leur somme avec un autre nombre de la bulle convient ; il reste bloqué sur le nombre 39, puis sur le nombre 27.

Au bout de quelques temps, nous lui suggérons d'utiliser le nombre 26 ; il trouve alors le résultat.

« Faites 53 avec 2, 3, 4 nombres se trouvant dans la bulle » (écrit, 1er entretien)

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

Claude parvient à trouver :

$50+3=53$

$20+23+7+3=53$

Claude semble plus à l'aise avec les décompositions du type $7+3=10$ que $4+6=10$.

« Vous vous achetez une radio à 49 €. Combien de pièces de 10 €, de 5 €, de 2 € allez vous donner ? » (oral, 2ème entretien)

Claude tient tout d'abord à utiliser des pièces de 20 €. Puis il résout cet exercice assez facilement.

Nous nous rendons compte à la fin qu'il parle de centimes d'euros et non d'euros car les pièces de 10 € n'existent pas.

« Nous sommes maintenant dans un pays imaginaire où les pièces de 6 € et de 7 € existent. Vous devez donner 33 €. Combien de pièces de 6 € et de 7 € allez vous donner ? » (exercice oral et résolution écrite, 2ème entretien)

Claude a plus de mal dans cet exercice. Tout d'abord, il éprouve des difficultés à s'approprier le problème. Puis, il a du mal à changer les choix de pièces qu'il propose : il commence par trouver qu'il faut donner quatre pièces de 7 € (ce qui ne marche pas) et se trouve déconcerté par le fait que cette solution ne convienne pas. Nous l'avons aidé en lui disant qu'il pouvait essayer avec un nombre différent de pièce de 7 €.

Il parvient finalement à trouver la solution.

Claude a une assez bonne connaissance de la structure arithmétique des nombres. Il repère les nombres qui s'emboîtent et peut décomposer un nombre avec d'autres nombres spécifiés. Il a cependant tendance à rester bloqué sur un seul mode de décomposition ou sur un point de départ et a du mal à agir quand les problèmes sont trop ouverts ou trop loin de la réalité.
# Le Calcul

## Le calcul mental : utiliser les connaissances structurelles des nombres

### Combien fait ? (écrit, 2ème entretien)

3+3+3+3+3;

C : « 9 et 9, 18, 21 »

Claude regroupe par paquets pour compter mais fait une erreur, vraisemblablement due à sa volonté d'aller vite.

### 258+242;

Il résout cette opération très rapidement : « ça fait 8, ça fait 10 et je retiens 1, ça fait 10 et je retiens 1, euh 500 ». Claude pose l'opération dans sa tête. Il nous dit d'ailleurs qu'il préfèrerait que les calculs soient mis en colonnes.

### 21+33+54;

C : « 3 et 4, 7, 7 et 1, 8, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Bah ... 118 »

L'erreur commise par Claude consiste à associer dix dizaines au nombre 110.

Nous lui demandons s'il est sûr de son résultat ; il refait alors exactement le même calcul et la même erreur. Pourtant, il avait associé dix dizaines à une centaine lors des exercices avec contexte (voir page 83). Ce ne sont donc clairement pas les mêmes circuits qui fonctionnent lors de la résolution de problèmes avec ou sans contexte.

### 14+102+6;

Il résout cette opération très rapidement en calculant les unités, puis les dizaines et les centaines.

### 1030+3140;

Il commence par répondre « quatre soixante dix », puis « quarante et un soixante dix ». Nous lui demandons de dire son résultat en nombre ; il dit alors « quatre cent soixante dix ». Peut être l'aurait il écrit correctement si nous lui avions demandé.

Nous lui demandons alors de lire les nombres en jeu ; il lit « cent trente », puis « mille trente » et « trois cent quatorze », « trois mille cent quatorze». Nous lui demandons une dernière fois le résultat ; il dit alors « quarante et un mille sept cent ».

Il semble qu'il sait calculer cette somme mais a des problèmes de type syntaxique pour la dire.

### 12+17+31+43+28.

« 8, 11, 12, 17, 19, 21, 13, 132 ».

Claude a bien calculé de tête vingt et une unités et treize dizaines mais s'est trompé quand il a fallu les rassembler.
Sa procédure de calcul mental est de compter comme s'il posait l'addition, en séparant unités, dizaines, centaines, etc., en commençant par calculer les unités, puis les dizaines, et en commençant chaque fois par le chiffre le plus grand. La lecture du résultat ou la recombinaison peut toutefois poser problème.

« Vous invitez votre famille au restaurant ; le garçon apporte l'addition. Vous vérifiez la note car le prix vous parait suspect. Bien sûr, vous n'avez pas de stylo et devez compter de tête.»
(exercice écrit et résolution orale, 2ème entretien)

56
40
23
32
11
___
173 F

Claude a plus de facilités à calculer dans cette configuration ; il calcule rapidement le résultat de cette addition ainsi que la différence avec le prix inscrit. L'écriture en colonne est mieux adaptée à sa procédure.

## Problèmes « de soustraction » suivant les différentes catégories de problèmes

« Vous avez 35 € en poche. Pour l'anniversaire de votre fils, vous achetez un tee shirt à 25 €. Combien vous reste-il ? » (oral, 1er entretien)

Sa première réaction est d'écrire les données 35 et 25. Puis, il répond très rapidement «5€». Nous lui demandons de réfléchir un peu plus ; il regarde ses données et nous donne la bonne réponse.

Son problème ici était, semble t-il, qu'il voulait répondre trop vite.

Nous lui reposons le même exercice dans un contexte différent lors du second entretien de façon à saisir la procédure qu'il utilise :

« Vous avez 31 €. Vous vous achetez un tournevis à 6 €. Combien vous reste t-il ? » (oral, 2ème entretien)

Claude utilise la soustraction à l'oral : « 31 moins 6, ça fait déjà 30, j'enlève encore 5, 25 ! ».

Ce type de problème est familier et il n'a aucun mal à les résoudre. Il a de plus recours au calcul pensé pour effectuer sa soustraction.

D'autre part, il discute le prix du tournevis, qui, selon lui, est très cher.

« Nous décidons de partager nos économies. Vous avez mis 22 €. A nous deux, nous avons 45 €. Combien ai-je mis dans la cagnotte ? » (oral, 1er entretien)

Nous lui demandons de ne pas écrire. Nous lui disons plusieurs fois le problème et il se le récite plusieurs fois dans sa tête. Il est un peu plus long à comprendre l'exercice et à trouver une stratégie de résolution mais parvient finalement au résultat. La question qu'il se pose est alors du type : « combien faut-il rajouter à 22 pour avoir 45 ? ».
« Vous en avez marre d'arriver en retard et vous décidez donc de vous acheter une montre. Vous hésitez entre une montre à 70 € et une autre à 96 €. La dernière montre coûte combien de plus que la première ? (oral, 1er entretien)

Il répond « 16 € », puis après intervention, il trouve « 26 € » et affirme : « Ca fait presque 200F de différence ! ».

Nous lui reposons le même exercice dans un contexte différent lors du second entretien de façon à saisir la procédure qu'il utilise :

« Vous voulez vous achetez des gants de moto. Vous hésitez entre une paire à 70 € et une autre à 96 €. La dernière coûte combien de plus que la première ? » (oral, 2ème entretien)

Tout d'abord, Claude commence par discuter le prix des gants qui, selon lui, sont beaucoup trop chers. Nous changeons les gants pour un casque.

Il commence alors à répondre que le deuxième casque coûte 16 € de plus. Nous lui répétons les valeurs en lui faisant comprendre qu'il a tort et Claude affirme alors : « 70, 80, 90, ah non 26 € en plus ».

Claude parvient à résoudre l'exercice sans utiliser la soustraction et met en route une procédure de 2ème niveau (cf. l'apprentissage du nombre).

Nous pensons que l'erreur des 16 €, commises deux fois, est liée à la désignation orale du nombre 96, dans lequel on peut entendre « seize ».

Claude parvient à résoudre les différentes catégories de problèmes, mais rencontre des difficultés de différentes natures :

- de mise en situation ;

- dues aux nombres en jeu.

Son rapport au réel est de plus très présent lors de la résolution des problèmes.

Il utilise la soustraction uniquement dans le premier exercice (dans lequel la mise en situation semble la plus évidente) et des procédures de 2ème niveau dans les deux autres.

A part dans le premier exercice où il utilise le calcul pensé, Claude ne fait pas vraiment intervenir les propriétés du système de numération dans ces exercices.

## Niveaux des procédures

### Recherche de la valeur d'un ajout

« Vous avez 24 € en poche. Vous allez à la banque, au marché,..., et vous revenez finalement chez vous avec 66 €. Combien avez vous en plus à la fin de la journée ? » (exercice oral et résolution écrite, 2ème entretien)

Cet exercice a été difficile pour Claude au niveau de la compréhension.

Il commence par additionner les valeurs en jeu, probablement à cause de l'emploi du mot « plus » dans la question.

Nous lui disons une nouvelle fois l'exercice. Il utilise alors une procédure de 2ème niveau de type combien faut t'il rajouter à 24 pour arriver à 66 : « 4, 64, 65,66 ». Puis, après un petit temps, s'embrouillant, il affirme : « oh, j'ai dû dépensé dans les 17-18 euros ».

Nous lui demandons alors de nous expliquer comment il a fait pour trouver cela.
C : « Bah voila, j'avais 66 € et je suis parti avec 24 €. J'ai fait 66 moins 24. 4, 5, 6, ça fait 2. 2, 3, 4, 5, 6, ça fait 4. 42 ».

Le fait de l'interroger sur sa façon de faire lui permet de trouver la solution ; il utilise le mot « moins » correspondant à la soustraction et donc à une procédure de troisième niveau mais son calcul met en jeu l'addition : « 4, 5, 6, ça fait 2. 2, 3, 4, 5, 6, ça fait 4. 42 » et traduit donc une procédure de deuxième niveau.

Nous lui demandons ensuite à quoi correspond le nombre 42 et il s'embrouille encore une fois.

Ces confusions semblent être dues au fait que Claude a de grandes difficultés à se projeter dans l'action dans ce problème. En effet, celui-ci est en contradiction avec les habitudes de la vie courante : en général, lorsque l'on va faire des courses, on revient avec moins d'argent ce qui n'est pas le cas dans ce problème.

> Claude se situe entre le 2ème niveau et le 3ème niveau dans le cas des problèmes dits de soustraction ; ses démarches dépendent vraisemblablement du contexte choisi et des nombres en jeu.

## Problème de groupement réitéré

« Nous avons 235 paquets de gâteaux. On veut faire des lots de 4 paquets avec ces gâteaux. Combien de lots peut-on former ? Y aura t-il des paquets de gâteaux en rabe ? » (exercice oral et résolution écrite, 2ème entretien)

Après quelques essais maladroits, Claude utilise une procédure de 2ème niveau.

Il procède par essais : « si je fait 32 lots, ça me fait 32 plus 32, 64, plus 64, 128 paquets. Ce n'est pas assez. J'essaie avec 64 lots, 64 et 64, 128, 128 et 128, 256, c'est trop... ».

Il essaie ensuite par la même technique avec 62, 60, 55 et 57 lots puis tombe enfin sur 58 lots.

Dans cet exercice, Claude met en place une technique essais-erreurs, différente de celles utilisées dans les exercices précédents. Cette technique consiste à effectuer ses calculs en utilisant le doublement sans tenir compte de ses calculs précédents: par exemple, pour trouver le nombre de paquets correspondant à 64 lots, il aurait pu utiliser la valeur du nombre de paquets correspondant à 32 lots et ainsi directement doubler 128, pour calculer le nombre de paquets correspondant à 62 lots, il aurait pu utiliser la résultat précédemment établi concernant le nombre de paquets correspondant à 64 lots et ainsi effectuer l'opération 256-8 = 248 paquets (il y a deux lots soit huit paquets de différence entre 62 et 64 lots), ce qu'il ne fait pas. Dans chacun de ses calculs, Claude ne repart pas des résultats précédents et refait ses calculs en utilisant les doublements.

Notons que Claude a demandé à un moment : « il faut pas faire une sorte de division ? Mais la division je sais pas trop... ». Il ne pouvait certainement pas utiliser la division, étant donné qu'il ne maîtrise pas parfaitement l'algorithme de la division. Il semble néanmoins commencer à lui attribuer un sens.

## Conclusion

### Une histoire de vie

Claude a 48 ans, vit seul et a six enfants. Il ne sait pas lire, ou très peu. C'est un passionné de moto. Il attache une grande importance à l'argent.
Dès l'âge de 7 ans, il est envoyé dans un hospice de bonnes sœurs puis on l'envoie dans les Vosges, chez les curés, vers 15 ans. Il vit alors avec une trentaine d'autres jeunes dans une ferme, où il s'occupe des animaux. Ce sont ces personnes qui ont éduqué Claude mais il n'a pas de souvenir d'une véritable scolarisation, de cours formels de la part des bonnes sœurs et des curés.

Il est « libéré » vers 18 ans et commence alors toutes sortes de travail : éboueur pendant 9 ans, soudeur (de cages d'oiseaux), garçon de café pendant un an, marchand de ferrailles chez Bonn pendant 3 ans, teinturier de tapis chez Jules Flippo pendant 6 ans et travaille à l'abattoir de Lille. Il a fait un an de prison.

Il changeait de travail pour obtenir une meilleure rémunération.

Il est resté 6 mois au chômage en 1980 et l'est depuis 1996, date à laquelle il a eu un accident de moto et est resté 2 ans et demi dans le coma.

Claude est au CUEEP depuis fin 1999, où il est resté en Math départ jusqu'en février 2002 et est alors monté en Math de base.

Pour lui, le CUEEP lui permet d'être rémunéré (il touche l'ARE, Allocation de Retour à l'Emploi) ; c'est la raison première qui le mène ici. Il a aussi appris un peu à lire, ce qui est considérable selon lui, bien qu'il s'interroge sur l'utilité de lire arrivé à 50 ans.

Claude est quelqu'un de sûr de lui et cela est perceptible dans sa façon d'apprendre et son attitude pendant les séances : il a du mal à remettre sa façon de faire en question et accepte difficilement de la changer, il « impose » quelquefois sa méthode aux personnes se trouvant à côté de lui.

Son projet, c'est de trouver un travail le plus rapidement possible, quel qu'il soit. Il pense ne pouvoir rien faire d'autre que de la manutention.

## Son rapport aux nombres

Nous dressons un bilan du rapport au nombre de Claude, issu des différents entretiens que nous avons effectués avec lui.

### Le nombre

Claude sait globalement lire et écrire les nombres réguliers inférieurs à 9000, mais a des problèmes avec ceux comportant des zéros intermédiaires.

Il a une connaissance relativement bonne de la structure de numération : il utilise ces connaissances dans le comptage (il regroupe les éléments par paquets de dix), le calcul mental (il calcule en séparant unités, dizaines, centaines), la comparaison (il observe le nombre de chiffres puis compare en commençant par la plus grande unité), pour lesquels il n'a pas de difficultés. Il ne l'utilise en revanche que partiellement dans des situations plus complexes ; il est conscient que dix dizaines font une centaine mais ne l'est pas sur le fait que x dizaines fait le nombre écrit « x0 ».

Claude a une assez bonne connaissance de la structure arithmétique des nombres. Il repère les nombres dont les unités sont complémentaires à 10 et peut décomposer un nombre avec d'autres nombres spécifiés. Il a cependant tendance à rester bloqué sur un seul mode de décomposition.

### Le calcul

Claude est bon en calcul mental. Il utilise la technique de poser l'opération dans sa tête et n'utilise pas vraiment les propriétés arithmétiques des nombres. Sa technique a des limites et il éprouve des difficultés quand le nombre d'opérations est trop grand.
La résolution de problèmes

Claude parvient à résoudre des problèmes dits de soustraction de différentes catégories, mais en utilisant des procédures distinctes.

La façon dont il tient compte du rapport à la réalité lorsqu'il se représente un exercice, les procédures qu'il met en place pour le résoudre, montre qu'il tient un raisonnement essentiellement basé sur son expérience. Il développe des stratégies « qui marchent », longues quelquefois, mais dont il est sûr de la validité.

Quand les problèmes ne sont pas « naturels », c'est-à-dire n'apparaissent pas dans la vie quotidienne sous le contexte décrit, Claude a plus de difficultés à se le représenter mentalement. Mais en règle générale, il a beaucoup plus de facilités à résoudre des problèmes avec contexte.

Claude n'a pas encore atteint le 3ème niveau de résolution dans les problèmes de soustraction et de division, il n'associe pas systématiquement le geste mental de résolution (par exemple « x pour aller à y ») à l'opération arithmétique associée (y-x).

Claude est d'une manière générale motivé à résoudre les problèmes et n'hésite pas à s'engager dans des démarches plus ou moins longues pour arriver à ses fins.

Nous allons maintenant analyser ses compétences en groupe ainsi que celles des autres stagiaires de « Math de Base » sur des problèmes portant plus sur le raisonnement.
### III. Analyse des observations en séance

Dans cette partie, nous présentons et analysons les stratégies utilisées par les adultes ainsi que les comportements et les réactions que nos problèmes ont suscités dans le groupe Math de Base.

Nous avons observé, lors des différentes séances que nous avons passées au CUEEP, que les difficultés des stagiaires provenaient du fait qu'ils occultaient ou n'effectuaient pas correctement certaines des étapes décrites ci-dessous :

* Compréhension du problème : première perception de l'exercice, représentation mentale de la situation décrite (contextes), décodage des symboles (support).

* Analyse du problème : sélection des données pertinentes, relations entre les données.

* Résolution : calculs, mise en jeu des connaissances...

* Validation : on vérifie que ce que l'on a trouvé convient au problème.

Ainsi, après avoir explicité le contrat didactique établi implicitement avec les stagiaires, nous allons étudier l'influence des représentations, des contextes et des valeurs numériques dans les différentes étapes de résolution décrites ci-dessus.

Les problèmes que nous avons travaillés faisant intervenir des raisonnements particuliers, nous précisons ensuite comment les théorèmes en acte T1 et T2 ont été mis en jeu par les stagiaires.

Enfin, nous proposons un compte-rendu du test du 30.05.02, qui nous permet de reprendre différents points d'analyse de cette partie.

#### A. Apprentissage et contrat didactique

##### 1. Le contrat didactique

Selon Brousseau (Brousseau, 1986), le contrat didactique est la « règle du jeu » établie essentiellement implicitement en mathématiques entre l'enseignant et les apprenants dans une situation.

En effectuant systématiquement les corrections de nos situations problèmes et en mettant en valeur le rôle du raisonnement et son efficacité par rapport aux stratégies par essais-erreurs, nous avons établi implicitement un contrat didactique avec les stagiaires : il s'agissait de résoudre les problèmes en analysant la situation décrite et en raisonnant.

Lors de la première séance, un grand nombre de personnes ont utilisé des méthodes par essais-erreurs pour résoudre les problèmes. Ceci était prévisible dans la mesure où la méthode générale visée nécessite des compétences d'analyse et de raisonnement, ce qui est justement une des difficultés de ce public. En outre, les méthodes par essais-erreurs sont conceptuellement beaucoup plus économiques et s'appuient sur le concret et l'immédiat : on n'a pas besoin de réfléchir beaucoup pour supposer des valeurs et vérifier ensuite si celles-ci conviennent. Dès la fin de la première séance, après les corrections et les commentaires sur les façons de procéder qui les accompagnaient (nous affirmions par exemple que la méthode par essais-erreurs ne fournissait pas toujours les moyens de résoudre les problèmes), nous avons sans doute établi implicitement avec les stagiaires un contrat didactique sur la manière de résoudre ces problèmes.

Evidemment, tous les stagiaires n'ont pas suivi les règles de ce contrat. Quels sont les facteurs qui les ont « empêchés » de suivre les procédures attendues ?
## 2. Apprentissages des adultes et premières hypothèses

A la fin des séances, tous les adultes n'en sont pas au même point. En effet, certains affichent de grandes capacités à raisonner dans n'importe quel contexte et d'autres au contraire ont beaucoup de mal : Gilbert a utilisé à chaque séance la méthode par essais-erreurs, Véronique et Fatma adoptent très vite la méthode générale visée, Claude adapte les raisonnements proposés à ses propres méthodes, Tahar et Elisa essaient de mettre en œuvre le raisonnement mais n'y parviennent pas toujours à cause de la représentation du problème, les stratégies de Françoise varient jusqu'à la fin ; elle n'a pas encore opté pour une méthode personnelle.

Même au bout de quelques séances, lorsque nous affirmons clairement qu'il faut comparer pour aboutir au résultat, quelques adultes n'effectuent pas cette étape et cherchent directement à répondre à la question posée. Nous pouvons expliquer cela par le fait qu'ils ne prennent pas le temps de le faire dans le but d'accéder le plus rapidement au résultat, ou bien que les processus cognitifs requis pour cette analyse sont trop loin de leur façon de penser (ce qui semble être le cas de Gilbert), ou bien comme Claude qu'ils se situent hors contrat. Précisons cela à travers l'analyse des comportements de ces personnes.

### Claude

Claude n'a pas vraiment de difficultés au niveau de la mise en route de raisonnements (il nous a déjà montré des facultés à raisonner au cours des séances quand nous lui demandions de justifier certains résultats) mais présente une grande rigidité dans la remise en question de ses méthodes ; il a du mal à entrer dans le contrat.

Dans la plupart des exercices, il se situe entre le raisonnement et sa méthode par essais-erreurs : il est conscient que le fait de faire la différence entre des valeurs va pouvoir lui apporter des renseignements pertinents, donc effectue quelques calculs et utilise les valeurs obtenues pour élaborer sa stratégie par essais-erreurs.

Toutefois, il lui arrive, quand sa méthode par essais « ne marche pas » de commencer à raisonner. Par exemple, dans les exercices abstraits, quand il est assez difficile pour lui d'évaluer les valeurs des objets en jeu car ces objets n'ont pas de valeur réelle dans la vie courante. Il est alors « contraint » à suivre un raisonnement. Notons que les exercices abstraits produisent des effets inverses selon les individus : Françoise utilise une méthode par essais pour les résoudre et Claude utilise la stratégie visée.

### Gilbert

Gilbert a utilisé pratiquement à chaque problème la méthode par essais-erreurs. Le problème de Gilbert n'est pas à proprement dit de rigidité car il ne refuse pas nos méthodes et écoute attentivement ce que l'on dit. Ce type de raisonnement est simplement très difficile pour lui à effectuer. Il est cependant tout à fait capable de mettre en jeu T2, si nous l'aidons. Dans le problème « Au marchand de glaces » avec les nouvelles données<fnref n="19" />, il trouve, en interaction avec Marie Christine, que deux glaces valent 34F. Puis qu'une glace vaut 17F.

MC : « une glace coûte 17F. Donc deux verres ça fait combien ? »

G : « il faut arriver à 38 ! ».

Cet extrait d'entretien montre que Gilbert peut mettre en oeuvre les théorèmes en acte T1 et T2 : il nécessite beaucoup d'accompagnement pour suivre un raisonnement et activer ces théorèmes.

<footnote n="19">¹⁹ Après la correction de ce problème, nous avons demandé aux adultes de résoudre ce problème avec les données 72 F et 38F au lieu de 67 F et 37F.</footnote>
D'autres personnes de ce groupe peuvent effectuer des raisonnements avec d'autres types d'aide : pour certains, il suffit quelquefois d'être à côté et de leur dire de bien comparer et d'analyser la situation, pour d'autres, il suffit de valider leur raisonnement à chaque étape car ceux-ci manquent de confiance en leur travail.

Ce type de raisonnement peut être très loin de leur façon de penser. C'est semble t-il le cas de Gilbert qui a beaucoup de difficultés à suivre seul un raisonnement ; l'environnement de Gilbert n'a sans doute pas favorisé ce mode de pensée de même que le fait de ne pas avoir fréquenté l'école ou du moins pas assez longtemps. En effet, déduction, classification, comparaison et autres processus logiques se retrouvent dans toutes les disciplines scolaires et pas seulement dans les mathématiques. Nous supposons que si ce travail avait été fait avec des personnes ayant beaucoup plus fréquenté l'école, ils auraient employé plus rapidement le raisonnement. Ceci reste toutefois à vérifier.

Etudions maintenant le cas de Véronique, qui n'a jamais fréquenté l'école et qui affiche des facultés surprenantes.

## Véronique

Chez Véronique, les raisonnements permettant de résoudre les problèmes ont tout de suite parus clairs à son esprit. Lors de l'entretien du 25.04.02, nous avons choisi d'étudier la solidité de sa procédure à travers une situation originale mathématiquement par rapport aux précédentes:

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

Ce problème, construit comme les précédents, est de type I-B, et admet pour solutions $X = 11$ et $O = 0$. Nous suppositions que la valeur nulle de $O$ engendrerait des confusions chez Véronique et nous permettrait de tester la solidité de son raisonnement.

Véronique reconnaît bien sûr le type d'exercice et le support rencontré déjà quelques fois et commence ainsi à trouver la valeur d'une croix : $33-11 = 22$ ; $2 = 11$. Elle cherche ensuite la
valeur d'un rond en se plaçant dans la première bulle et s'exprime alors : « Ca va pas. C'est pas possible » puis essaie alors dans la deuxième bulle : 11×3 = 33 et s'exprime alors : « mais c'est pas possible ton exercice ! Il ne marche pas ! », puis elle refait la même procédure et effectue les calculs à l'aide de sa calculatrice : « non, non, ça marche pas... ». Ce qui est surprenant est qu'à aucun moment elle ne met sa procédure en doute et accuse l'énoncé plutôt que sa méthode ! Sa procédure semble donc solide. Nous l'aidons ensuite à terminer l'exercice (« marque la valeur 11 sous la croix, alors quelle valeur faut-il donner au rond pour que ça marche ? ») et elle trouve le résultat.

Si Véronique et Fatma ont eu tant de facilités à effectuer des raisonnements pour résoudre nos problèmes, c'est qu'elles ont vraisemblablement déjà mis en jeu les compétences cognitives requises pour effectuer nos problèmes dans d'autres situations. La façon de penser, de raisonner se développe dans les familles, selon les cultures et dans les activités de la vie quotidienne. Nous pouvons supposer que c'est leur environnement général qui leur a permis de développer des compétences cognitives.

Les premières difficultés observées relèvent de problèmes de contrat et de mise en jeu de processus cognitifs. En étudiant les stratégies de résolution des stagiaires à chaque problème, nous avons noté que celles-ci variaient selon les problèmes. Les procédures résultent en grande partie de la façon dont ils interprètent et analysent les problèmes. La représentation des exercices joue à ce niveau un très grand rôle : certains supports ou contextes peuvent engendrer des erreurs d'interprétation ou influencer des méthodes de résolutions.

## B. Influence des représentations dans la compréhension et l'analyse des problèmes

Nous étudions dans cette partie comment les contextes et les représentations peuvent agir au niveau de la compréhension, de la dévolution et de l'analyse d'un problème.

### 1. Perception immédiate

La façon dont les stagiaires perçoivent dans l'immédiat le problème peut jouer sur la procédure qu'ils vont utiliser : un exercice avec des formes géométriques aura plus l'apparence d'un exercice de logique pour certains d'où la nécessité de raisonner. Pour d'autres, cela leur apparaîtra comme un casse tête, un problème difficile à résoudre en raisonnant, d'où une méthode par essais. Par exemple, Françoise résout les problèmes avec des symboles géométriques en utilisant la méthode par essais, et effectue des opérations dans les exercices contextualisés.

Ainsi, dans un exercice paraissant hors d'atteinte, le contrat est rompu et l'on passe directement à la phase de résolution sans analyser le problème ou chercher à faire des liens avec les autres problèmes que l'on aurait résolus auparavant. C'est ce qui s'est passé avec l'exercice 2 effectué durant la séance du 25.04.02 ; devant la représentation non familière et pas forcément compréhensible du problème, au lieu de demander quelques explications, certains adultes effectuent cet exercice avec une méthode sans rapport avec la situation.

### 2. Interprétations inadéquates liées à l'implicite des situations

Nous avons observé des erreurs d'interprétation ou de décodage de nos problèmes, liées à l'implicite des supports et au rapport au réel que les adultes peuvent entretenir.
## L'implicite du jardin dans « Au Village »

Les premières réactions, à la découverte de cet exercice, furent de prendre la règle et de mesurer le jardin :

- Véronique compte les brins d'herbe.

- Sur le brouillon de Françoise, on peut lire :

$$11 + 2c = 1 \quad (\text{sur la feuille, le jardin mesure 2 centimètres})$$

$$14 + 4c = 1$$

Françoise additionne les données qu'elle a recueillies, elle a mesuré les jardins avec sa règle : 2c (2 centimètres) et 4c (4 centimètres) correspondent à la largeur des jardins du premier et du deuxième dessin.

Françoise traduit l'énoncé avec des symboles mathématiques. Nous avons deux hypothèses concernant la façon dont a raisonné Françoise :

H1 : Elle désigne par 11 la largeur de la première maison, par 14 celle de la deuxième maison : $11 + 2c$ et $14 + 4c$ sont les largeurs des pavillons correspondant au premier et deuxième dessin. Ainsi, « $11 + 2c = 1$ » signifie « la largeur du pavillon représentée par le premier dessin vaut $11+2c$ ».

H2 : Elle a compris que 11 et 14 sont les largeurs des maisons avec les jardins. Pour avoir la largeur de la première maison, il faut retrancher la largeur d'un jardin ; elle utilise le signe « + » à la place du signe « - » pour noter ce fait. Le signe « $=1$ » correspond alors à la largeur d'une maison.

Dans ces deux hypothèses Françoise fait une confusion dans l'interprétation des flèches : elle confond les largeurs réelles et les largeurs mesurées sur la feuille.

Selon la première hypothèse, elle fait encore une erreur au niveau de l'interprétation des flèches : les flèches désignent les largeurs des ensembles maison-jardin et jardin-maison-jardin et non uniquement la largeur des maisons.

Selon la seconde hypothèse, elle met en jeu T2 : « connaissant la largeur du jardin, je peux déduire les largeurs des première et deuxième maisons ».

D'autres stagiaires raisonnent de cette manière : ils trouvent la largeur de la maison en effectuant l'opération $11-2 = 9$. Ces adultes ont compris que la première flèche désigne la largeur maison-jardin et ont mis T2 en jeu. La grande confusion, comme chez Françoise, est de confondre les données symboliques et les largeurs mesurées sur la feuille.

Le fait d'observer les stagiaires mesurer le jardin et non la maison nous a conduit à penser que c'est la façon dont est représenté le jardin (symbolisant en fait les graduations d'une règle) qui a focalisé l'attention des stagiaires : l'implicite de la graduation a engendré une mauvaise interprétation et analyse du problème.

## L'implicite du panier dans « A Franprix »

Françoise prend en compte le panier parmi les variables du problème ; elle attribue une valeur au panier comme elle en attribue une au fromage. Sur sa feuille, on peut lire : « un painier 3 poulet », « 1 painier 1 poulet et un fromage ».

## L'implicite dans « Les immeubles »

« Les immeubles » est un problème que nous avions distribué aux stagiaires comme un devoir à faire seuls ou en tutorat, dans le but d'analyser la compréhension du support de mesure avec les flèches et d'analyser ce qu'ils ont retenu de la séance.
Dans cet exercice, nous avions dessiné des bâtiments de hauteurs et de largeurs différentes de manière à les associer à deux objets différents. Christelle résout cet exercice en ne différenciant pas les largeurs de ces bâtiments.

Nous avons deux hypothèses expliquant son interprétation de l'exercice.

Tout d'abord, Christelle a pu être influencée par le caractère symétrique des deux premiers dessins : sur le premier dessin, on peut voir trois grands bâtiments et un petit bâtiment et un garage (dont le tout mesure 54 m), sur le deuxième, trois petits bâtiments et un grand bâtiment (dont le tout mesure 45 m).

Cette représentation est trompeuse ; elle note d'ailleurs au dessus du deuxième dessin « la deuxième maison sans les garages » et déduit alors la longueur du garage : « de 45 à 54 manque 9. J'ai déduit 9m pour les voitures. ».

Puis, au dessus des trois garages, elle note : « sa mesure 9m par 3 ça fait 27 ».

Cette interprétation peut être aussi due au lien que Christelle a essayé d'établir avec le problème résolu lors de la première séance « au village ». Elle aurait reconnu le support utilisé dans « Au village » et aurait alors essayé de résoudre ce problème par analogie.

Nous pouvons néanmoins noter un transfert de la procédure ; elle commence par comparer deux dessins et à en déduire la valeur d'une inconnue puis elle procède par substitution (mais le calcul ne lui sert pas). Elle a commencé à acquérir des outils de résolution qu'il reste encore à travailler.

### 3. Interprétations liées au rapport au réel

Pour résoudre les problèmes, les adultes essaient de leur donner du sens en faisant référence à la réalité mais ceci peut entraîner des interprétations inadéquates du problème mathématique en jeu.

Dans « Paris-Lille en train », quelques adultes n'ont pas compris que les chiens payaient. Ceci était prévisible dans la mesure où les chiens ne paient pas dans la vie courante, mais en analysant le problème, il est tout à fait remarquable que les chiens occupent le même statut que les enfants ou les adultes. Le fait que les chiens paient était implicite au problème, et a suscité des réactions lors de l'explicitation de ce fait : « Pourquoi les animaux doivent payer ? », « Oui, mais si c'est une famille nombreuse » (Claude).

Mais ce rapport avec la réalité permet toutefois de vérifier la validité des résultats : « 300F, ça fait cher pour les chiens, ça ne doit pas être ça ! » (Claude).

De manière générale, ils désirent créer un lien avec le réel, ils convertissent par exemple en francs pour se faire une idée du prix : « oula 60 balles le chien, dans ces conditions, il reste à la maison » (Gilbert).

Dans « Au snack », Claude fait de grandes confusions au niveau de l'interprétation des données. Sa première réaction consiste à compter le nombre de personnes qui vont manger pour essayer de calculer le prix à payer par personne et non par aliment. Le contexte interagit avec ses expériences : dans la vie courante, lorsque l'on va déjeuner et que l'on reçoit l'addition pour tout le monde, chaque personne calcule le montant de sa part. C'est ce que fait Claude dans cet exercice. Son rapport au réel et ses difficultés à s'en détacher engendrent des erreurs d'analyse du problème.
### 4. Les stagiaires reformulent les représentations

Quelquefois, les symboles utilisés pour « coder » les informations ne sont pas explicites pour les adultes. Ils ont alors besoin de changer de représentation pour comprendre le problème.

Par exemple, dans le problème « Au village », quelques personnes ont eu besoin d'écrire avec des mots les données du problème : « une maison et un jardin fait 11 m, une maison et deux jardins fait 14m » (Nicolas). Ils ont besoin d'écrire ce que signifient les flèches, même s'ils ne sont a priori pas à l'aise avec l'écriture, car ce sont des signes avec lesquels ils ne sont pas du tout habitués.

Dans « A Franprix », Françoise marque à coté des paniers le contenu de ceux-ci.

Ce sont durant les premiers problèmes effectués en séance que nous avons observé ces phénomènes de changement de registre du dessin au texte. Nous supposons que les stagiaires ne sont pas habitués à ce type de problème et essaient de rendre la situation plus familière.

Après une ou deux séances, les adultes prennent leurs repères, saisissent rapidement les informations fournies dans le problème et ne ressentent plus le besoin de les écrire en toutes lettres : lors de la seconde séance, le tableau ne pose a priori pas de problèmes de compréhension, lors de la troisième séance, le contexte des formes géométriques ne posent pas de difficultés dans la compréhension et la dévolution des deux problèmes proposés.

Lors de la séance du 25.04.02, nous avons de nouveau observé ce phénomène de reformulation. L'exercice 2 a un support très symbolique que nous avons expliqué à haute voix : « 5□, c'est un carré plus un carré... ».

Les adultes du groupe ont alors créé de nouvelles représentations :

- Voici la représentation effectuée par Françoise, avant que la signification des symboles ait été précisée :

□□□□□

△△△△

□□

△△△△

Françoise a compris toute seule le formalisme utilisé et reformule le problème ; notons que contrairement aux séances précédentes, Françoise n'utilise pas le texte pour reformuler l'exercice mais la représentation imagée. Elle utilise ensuite cette représentation pour mener une stratégie par essais-erreurs.

- Véronique écrit en toutes lettres la signification des symboles à côté de ceux-ci : « cinq carré », « quatre triangles », etc. Elle a juste besoin de connaître la signification du symbolisme et est capable de raisonner à partir de là.

- Touatia inscrit sur la feuille d'exercice les objets en plus petit. Elle n'a pas la place de dessiner sur la feuille tous les objets et refuse de changer totalement de représentation.

Les stagiaires créent de nouvelles représentations des problèmes afin de :

- traduire l'énoncé sous une forme plus familière pour prendre des repères ;

- construire une représentation permettant d'agir sur le problème.
Si les supports et les contextes peuvent créer des difficultés au niveau de la compréhension et de la dévolution d'un problème mathématique, ils peuvent aussi dans l'autre sens permettre de faciliter cette étape.

## 5. Des situations favorisant la dévolution

Nous avons remarqué que quelques problèmes ont suscité plus d'intérêt que d'autres. Tout d'abord, les contextes concernant la nourriture sont très bien accueillis !

Par exemple, dans « Au marchand de glaces », le contexte des glaces leur plait beaucoup : « moi je les mange les glaces » (Gilbert). Ils entrent dans la situation avec beaucoup d'enthousiasme. De plus, tout le monde a compris le problème sans aide ; le nouveau support (tableau) n'a pas créé d'obstacle dans la compréhension.

Dans « A Franprix » qui est seulement le deuxième exercice de ce type travaillé en séance, la situation est comprise par la majorité des adultes sans aide (à part Amina qui déplace les poulets d'un panier à l'autre).

Le problème « Au cinéma » a de même suscité beaucoup d'intérêt de la part des adultes. Ce problème a d'ailleurs été résolu de manière correcte par tous les adultes présents. Nous avons plusieurs hypothèses expliquant, cette motivation générale :

- le contexte du cinéma et son rapport à la réalité : « au fait les enfants, ça paie pas moitié prix ? »

- le caractère ludique de cette situation né du jeu entre le texte et les dessins des personnages. C'est un exercice facile mathématiquement, à contexte privilégié et à support très bien accepté par ce public. Les stagiaires travaillaient par groupe : par exemple dans le groupe de Claude, Patricia lisait le problème à voix haute et Claude inscrivait alors les informations à côté des personnages. La recherche des correspondances entre le texte et les personnages a été très bien effectuée par les adultes : ils entourent, mettent des couleurs, des prix, etc. Ces dessins ont permis aux adultes de faire des analogies avec les problèmes précédents et de construire alors un raisonnement.

Les contextes et les représentations ont donc une grande influence au niveau de la dévolution et de l'analyse des problèmes chez ce public. Il convient maintenant d'analyser les difficultés rencontrées par les adultes lors de la résolution des problèmes.

## C. Les difficultés rencontrées dans la résolution des problèmes

Nous exposons dans cette partie les erreurs et les difficultés que nous avons observées lors des différentes séances.

### 1. Savoir saisir un problème dans sa globalité

Lors de la première séance, nous avons remarqué que les adultes ne saisissaient pas les problèmes dans leur ensemble. Illustrons ce fait avec l'exemple de Claude dans « A Franprix ». Claude se place dans le deuxième panier :

C : « je prends une boite 16F, un fromage 3F ; pour que ça fasse 51F, je prends un poulet 31F » (note : il voit un poulet dans le deuxième panier et fait une erreur de calcul)

I : « mais si tu prends ces valeurs, est-ce que ça convient dans le premier panier ? »

Claude calcule.

C : « Non, donc ça doit pas être ça »
Claude a calculé la valeur des aliments en considérant uniquement le deuxième panier. Quand nous lui faisons remarquer que les prix des objets doivent être tout le temps les mêmes et que la somme des valeurs doit partout correspondre au prix indiqué, Claude réessaie avec de nouvelles valeurs, toujours par tâtonnement ; « je donne des valeurs pour que ça fasse 51 ». Cette fois ci, il vérifie ses valeurs dans les autres paniers et se décourage assez rapidement devant la difficulté du problème. Finalement, il observe les résultats corrects de ses voisins, et les confirme par le calcul dans les trois paniers. Il nous montre sa solution en justifiant par : « ça marche partout donc c'est ça ».

A partir de la fin de la première séance, Claude prendra pratiquement à chaque fois garde de vérifier ses calculs dans tous les ensembles.

Les stagiaires ont compris assez rapidement l'implicite selon lequel les valeurs des objets doivent être partout les mêmes et satisfaire toutes les conditions. Toutefois, certains ne la respectaient pas tout le temps. Par exemple, Bruno, qui quelquefois affichait de bonnes capacités à raisonner, revenait périodiquement à des méthodes par essais-erreurs, ne prenant en compte qu'une partie des informations ou bien effectuait des calculs sans rapport avec la situation. Les calculs interviennent dans toutes les stratégies de résolution et une analyse de ceux-ci peut permettre de nous éclairer sur la manière de penser des adultes.

## 2. L'étape des calculs

Nous avons remarqué que les calculs effectués par les stagiaires sont souvent basés sur ce qu'ils voient. En effet, les nombres en jeu, les objets dessinés sur la feuille ainsi que la disposition des différentes données semblent influencer les adultes dans leur procédure de résolution.

### La signification des calculs

Dans « A Franprix », Gilbert effectue les deux opérations $81-51 = 30$ et $81 + 59 = 140$. Quand nous lui demandons de nous expliquer ce qu'il fait, il est incapable de donner un sens à ses opérations et se contente de dire : « 81 moins 51 ça fait 30... ». Il effectue les opérations les plus simples et se laisse donc piéger par les valeurs numériques en jeu. Puis, il reçoit des informations extérieures sur le prix du paquet de pâtes et du fromage ; il effectue alors des opérations sans rapport avec la situation à partir de celle-ci ; par exemple « $51 + 18 = 69$ ».

Lors de la séance suivante, dans le problème « Au marchand de glaces », Gilbert effectue l'opération 67-37 mais n'attribue pas de sens correct au résultat de cette opération. Quand on lui demande la raison pour laquelle il a effectué ce calcul, Gilbert ne fournit pas d'explications. D'autres personnes ont le même réflexe de calculer 67-37 mais réussissent à donner du sens au résultat lorsque nous les interrogeons.

Il semble donc que les valeurs numériques en jeu dirigent les adultes vers des calculs « faciles », sans pour autant y attribuer un sens.

De même, dans « Paris-Lille en train », les valeurs numériques en jeu (90, 70, 170) ne comportant pas d'unités, beaucoup de stagiaires effectuent toutes sortes d'opérations avec ces nombres : $170-90 = 80$, $170-70 = 100$, $70 + 80 = 150$, etc. Le progrès par rapport à la première séance est que la plupart essaient d'attribuer un sens à leurs opérations même si celui-ci est erroné quelquefois : « $170-90 = 80$, 80 pour les trois chiens » (Elisa).

Cet exercice, mathématiquement difficile, a posé des difficultés aux stagiaires mais la moitié d'entre eux ont tout de même réussi à le résoudre. Voici la stratégie de Patricia, Anita :
« $170-70=100$ F pour 4 enfants
pour 1 enfant, coûte 100 : 4 = soit 25 F

$$170-90 = 80-70 = 10$$

pour 1 chien coûte 80-70 = soit 10F

$$2 \text{ chiens coûte } 10+10 = 20F \text{ ».}$$

Patricia et Anita se trouvent à la table de Claude. Elles ont trouvé le prix du billet pour un enfant avec la procédure de comparaison, ce qui semble être l'étape la plus difficile. Puis (y a-t-il eu échange avec Claude ?), elles trouvent le prix du billet du chien mais de manière non correcte.

Hypothèse : après concertation et essais, ils ont trouvé la valeur du prix du billet du chien et de la dame, et pour justifier leurs résultats ont fourni une opération « qui donne 10 ».

### Des calculs freinant la résolution

Nous avons observé à plusieurs reprises comment l'étape des calculs peut freiner la résolution du problème.

Dans le problème « Les immeubles », voici la stratégie mise en œuvre par Bruno :

54-36 = 18m Bruno calcule la largeur de deux grands bâtiments en comparant le premier et le troisième dessin.

45-9 = 37m Bruno calcule la largeur des trois petits bâtiments en utilisant $T2$ et fait une erreur de calcul.

37 : 3 = 12,33m Bruno calcule la largeur d'un petit bâtiment, obtient un résultat ne correspondant pas à ses attentes et arrête sa procédure.

Bruno a commencé son raisonnement de manière correcte mais la valeur qu'il trouve (liée à une erreur de calcul) le trouble. Il ne continue pas son raisonnement. Sa procédure de résolution n'est à ce stade (fin de première séance) pas encore assez solide.

Après correction du problème « Au marchand de glaces », nous avons remplacé les prix des deux lots par 78 et 38 et avons demandé aux adultes de résoudre ce problème avec les nouvelles données en essayant de raisonner. L'opération 72-38 a alors posé des difficultés à certains adultes et les a embrouillés sur le sens de l'opération qu'ils venaient de faire.

### Des calculs exacts mais non pertinents

Dans « A Franprix », après avoir trouvé par un raisonnement juste le prix d'un fromage, Anita effectue l'opération $18 + 18 + 18$, calculant alors la valeur des trois fromages figurant sur la feuille. Ceci a perturbé pendant un moment son raisonnement, qui pourtant était bien mené. Elle réussit tout de même par la suite à trouver la solution.

Nous avons aussi observé cette attitude à deux reprises chez Françoise : dans « Au cinéma », Françoise calcule le prix à payer pour les trois enfants, dans « Les immeubles », elle calcule la largeur de trois grandes tours dessinées sur le premier dessin.

Nous pensons que c'est le fait de voir des objets sur la feuille de même type que celles qu'elles viennent de calculer la valeur qui les poussent à effectuer ce calcul. De plus, en calculant la valeur d'un nouvel objet, il semble que Anita et Françoise cherchent à le faire intervenir dans leurs calculs ; celui paraissant le plus naturel pourrait être de calculer la valeur de l'ensemble des objets du même type.

Peut-être cette attitude est-elle aussi liée aux habitudes du quotidien. En effet, dans la vie courante, nous avons tendance à rassembler les objets de même type pour les payer, les compter, etc.
## Influence des supports : disposition des données

Dans « Au marchand de glaces », le support du tableau présente les valeurs numériques les unes en dessous des autres : 67

37

Un bon nombre d'adultes de Math Départ et de Math de Base donnent directement la solution : 30 (correspondant au résultat de 67-37) ou 104 (correspondant au résultat de 67+37). La disposition des valeurs numériques peut implicitement relier à une opération arithmétique, ce qui expliquerait l'attitude de certains adultes quand on leur demande des explications sur leur calcul (I : intervenant, S : stagiaire) :

* I : « C'est ta réponse ? »

* S : « Oui, c'est ça »

* I : « Peux tu m'expliquer ? »

* S : « Bah regarde... ».

Nous ne savons pas de manière précise si la disposition des données en ligne (comme dans les tableaux ou dans les exercices abstraits de la séance du 25.04.02) ou en vrac (comme dans « A Franprix », « Des étoiles et des rectangles ») différencie nettement les procédures de résolution : l'une des deux est-elle plus favorable à l'analyse des données, à la comparaison ?

En revanche, la place des inconnues à une grande importance dans l'analyse et la résolution des problèmes. La grande difficulté rencontrée par les adultes dans « Paris-Lille en train » était de pouvoir saisir les similitudes et les différences des deuxième et troisième ligne ; notons que cette comparaison était trop difficile à percevoir par certains adultes du groupe surtout qu'il s'agissait en plus de trouver les deux bonnes lignes à comparer. Dans les exercices abstraits de la séance du 25.04.02, la comparaison était au contraire plus visible et les adultes s'engageaient plus facilement dans un raisonnement. Une erreur particulière de raisonnement est apparue à plusieurs reprises et il convient maintenant de l'analyser.

## 3. Erreur de partage

Nous avons observé une erreur mathématique, que nous appelons erreur de partage, apparaissant chez les adultes tout au long des séances.

Illustrons la à travers un exemple :

$$5y + 3x = a$$

$$3y + 3x = b$$

$$2x = ?$$

Les erreurs observées sont alors :

$$y = a - b$$

$$x = b - 3y$$

Ces erreurs sont de même type et correspondent à un oubli de partage (ou oubli de division).

Dans « Au marchand de glaces », quelques stagiaires (dont Véronique) trouvent la valeur correcte de la glace (15F) puis utilisent T2 pour calculer la valeur d'un verre. Ils effectuent la soustraction 37-15 = 22 ou l'addition à trou 15+□ = 37 et affectent la valeur trouvée à un verre au lieu de deux. Dans la plupart des cas, ils ne vérifient pas si cette valeur convient.

Après la correction de « Au marchand de glaces », nous avons proposé aux adultes de refaire cet exercice en utilisant la méthode que nous venions d'exposer avec de nouvelles
données<fnref n="20" /> (les valeurs des objets sont alors plus difficiles à trouver avec la méthode par essais-erreurs). Le contrat didactique était alors très fort et la plupart des adultes ont tenté de suivre un raisonnement. Nous avons alors remarqué les mêmes erreurs : les personnes attribuaient la valeur de 21 F à un seul verre au lieu de deux.

Dans les deux cas, les stagiaires ont fait des erreurs au niveau de la deuxième étape et non au niveau de la première. Plusieurs hypothèses peuvent expliquer ce fait :

- la première étape insiste bien sur la comparaison, et donc sur le nombre d'objet en plus ou en moins ;

- le rapport au réel : 34 F pour un glace est cher alors que 21 F pour un verre est raisonnable.

Notons cependant que dans « Des étoiles et des rectangles II », Rachid effectue cette erreur lors de la première étape : il pose l'opération 40-31 = 9 et inscrit la valeur 9 à côté de chaque rectangle.

Ces erreurs montrent que l'apprentissage d'un raisonnement ne se fait pas en une seule étape mais est constitué de sous étapes. Ils ont compris que les théorèmes T1 et T2 pouvaient être utilisés dans des situations particulières : la différence entre deux ensembles doit être constituée d'un même type d'objet, quand on a la valeur d'un objet on peut calculer la valeur d'un autre objet. Leur attention est dirigée vers le type d'objet à considérer et non sur la quantité d'objets en jeu.

Véronique fait rarement des erreurs et les seules erreurs relevées sont de ce type. Cette erreur de partage peut être aussi due au support en jeu.

Lors du second entretien avec Véronique (le 25.04.02), nous avons testé sa capacité d'abstraction à travers les exercices suivants :

Exercice 1

$$A+B+B = 16$$

$$A+B = 10$$

$$A+A+A = ?$$

Exercice 2

$$3A + 3B = 78$$

$$1A+3B = 36$$

$$2B = ?$$

Nous avions résolu le matin même des exercices semblables où des formes géométriques remplaçaient les lettres. Néanmoins, c'est la première fois que l'exercice est posé avec des lettres. Le deuxième exercice a une écriture plus algébrique et est mathématiquement plus difficile (type I-B).

La première réaction de Véronique fut de s'écrier de stupéfaction. Nous la laissons seule et ne lui fournissons par conséquent aucune indication. Elle retrouve finalement ses repères et résout alors l'exercice 1 correctement. Sa procédure de résolution est la suivante : 16-10 = 6 ; 10-6 = 4 ; 4 + 4 + 4 = 12. Elle écrit les valeurs correspondant à A et B sous les lettres et aucune autre trace n'est inscrite.

<footnote n="20">²⁰ Nous avons remplacé 67F par 72F et 37F par 38F ; la valeur d'une glace est alors de 17F et d'un verre de 10F50.</footnote>
Elle rencontre une difficulté dans le second exercice ; elle trouve la valeur de A : « 78-36 = 42 : 2 = 21 ». Puis, elle effectue l'opération 36-21 = 15, assigne cette valeur à B et s'embrouille alors. En la faisant réfléchir sur le sens de son opération, elle réalise la signification du « 15 » et termine son raisonnement : 15 : 3 = 5 ; 2B = 10.

Le fait que les trois lettres B ne soient pas inscrites participe vraisemblablement à l'erreur de partage commise par Véronique.

La dernière étape lors de la résolution d'un problème est celle de valider ses résultats. Nous allons présenter la manière dont les adultes effectuent cette étape.

## 4. La validation

La vérification de leurs résultats n'est pas systématiquement effectuée par le calcul, même lorsqu'ils utilisent un raisonnement. Ceci est notamment remarquable :

- quand ils n'ont rien compris au problème ; ils donnent une réponse sans chercher à savoir par eux même si elle est correcte.

- quand ils ne saisissent pas le problème dans sa globalité ; par exemple, ils trouvent les valeurs d'objets satisfaisant les conditions du premier ensemble mais ne vérifient pas si ces valeurs satisfont le ou les autres ensembles.

Quand ils ne valident pas leur résultat par leur calcul, ils demandent à l'enseignant de le confirmer ou ils comparent leur résultat avec les autres stagiaires. Dans ce dernier cas, l'influence d'autrui peut remettre en question la validité du résultat établi. Par exemple, dans « Au village », Françoise parvient à effectuer une procédure originale par rapport aux autres adultes :

$$11 + 14 = 25 \qquad \text{Françoise calcule la largeur de deux maisons et trois jardins}$$

$$14-11 = 3 \qquad \text{Françoise calcule la largeur d'un jardin}$$

$$3 \times 3 = 9 \qquad \text{Françoise calcule la largeur de trois jardins}$$

$$25-9 = 16 \qquad \text{Françoise enlève ces trois jardins à l'ensemble obtenu par union et trouve alors la largeur des deux maisons.}$$

Cependant, après avoir exécuté cette procédure et eu confirmation de son résultat par l'enseignant, elle a adopté une autre technique, observant ce qui se déroulait autour d'elle (l'enseignant affirmait alors que la largeur d'une maison s'obtenait en enlevant la largeur d'un jardin sur le premier dessin). Elle écrit alors : « deux maisons : $8+11=19$ » et raye son résultat précédent. Les informations qu'elle obtient déstabilisent totalement son raisonnement ; quand nous lui demandons de nous expliquer ce qu'elle a fait, elle s'embrouille et ne comprend pas son erreur alors que l'explication de son premier raisonnement était claire.

Le rapport au réel permet aussi de valider ou de remettre en question les résultats obtenus : « 300 francs, le chien, ça fait cher... ça doit pas être ça » (Claude dans « Paris-Lille en train »)

D'une manière générale, les adultes vérifient leur résultat en regardant à côté ou en demandant à l'enseignant.

Dans cette partie, nous avons exposé les différents phénomènes intervenant pendant la résolution de problèmes. Nous avons en particulier constaté quelques erreurs de raisonnements que nous allons continuer d'étudier en analysant plus précisément les théorèmes en acte T1 et T2.
## D. Relation entre T1 et T2

### 1. Les opérations associées à T1 et à T2

Les théorèmes en acte T1 et T2 mettent en jeu l'opération de soustraction. Comme le montre Brissiaud (voir page 23), il est tout à fait possible de résoudre un problème dit de soustraction en utilisant l'addition.

Par exemple, dans « A Franprix », pour déduire le prix du fromage, une partie des adultes pose l'opération 51-33 = 18 et une autre partie cherche (de tête ou en posant l'addition à trou) ce qu'il faut rajouter à 33 pour obtenir 51. Dans le premier cas, cela revient à résoudre une équation type $x=51-33$ et dans le second cas une équation du type $33 + x = 51$. Selon Brissiaud, le premier cas est plus « avancé » conceptuellement, il donne du sens à la soustraction.

Dans la résolution d'un même problème, nous avons observé ces deux types de calculs. Par exemple, dans les « Les immeubles », Françoise a utilisé la soustraction dans la première étape : « 54-36 = 18m » et l'addition dans la seconde étape : « 12+12+12 = 36 + 9 = 45 ».

Lors de la première étape de chaque problème, nous avons vu qu'il est possible de mettre en jeu T1 ou T2 pour calculer la valeur du premier objet. Il est frappant de constater que les adultes mettant en jeu T1 utilisent systématiquement la soustraction, ce qui est loin d'être le cas pour les adultes utilisant T2.

Pour utiliser T1, il faut considérer deux ensembles en jeu de manière séparée et les comparer ; cette comparaison implique une différence entre deux ensembles. Or, l'idée de différence est naturellement reliée à la soustraction, ce qui pourrait expliquer ce geste. T1 intervenant en première étape de chaque problème, nous pouvons aussi supposer que les adultes ont mémorisé que la première opération à effectuer dans ces problèmes est la soustraction et l'appliquent en conséquence. Enfin, une autre hypothèse proposée par François Colmez est que, T1 étant conceptuellement plus difficile, les adultes capables de le mettre en jeu devraient être à même d'utiliser la soustraction.

Dans les problèmes faisant intervenir T2, il n'y a pas de comparaison : il s'agit de trouver combien il faut rajouter à une valeur donnée pour obtenir une autre valeur donnée. Or c'est justement l'association du geste mental « recherche de la valeur d'un ajout » à l'opération de la soustraction qui pose des difficultés à l'apprenant (voir page 24).

Résoudre ces problèmes en utilisant la soustraction peut poser des problèmes à ces adultes ; Christelle en est un exemple intéressant qu'il convient d'analyser.

### 2. Le cas de Christelle

Le parcours de Christelle est intéressant dans le cheminement de ses opérations : elle utilise d'abord des opérations à trou lors de la première séance dans « A Franprix » et dans « Les immeubles » (elle reformule le problème à sa façon mais exécute un raisonnement tout à fait convenable) avec un sens exact. Lors de la deuxième séance, elle tente d'utiliser la soustraction mais commet des erreurs relatives au sens de ses opérations. Dans « les fruits », elle lie pour la première fois les opérations arithmétiques et leur sens correct. Elle est absente lors de la troisième séance. Lors de la quatrième séance, elle reconnaît la fiche des exercices abstraits comme étant « les exercices de Julie ». Elle effectue le premier exercice à l'aide d'essais et d'opérations dont le sens n'est pas associé correctement. Pour les deux autres exercices, elle arrive directement au résultat (qui est alors non correct) en effectuant une soustraction.
Au fil des séances, l'apprentissage de Christelle a régressé. Quand elle résolvait les problèmes en utilisant les opérations à trou, elle parvenait à effectuer le bon raisonnement. Est-ce la volonté d'utiliser les opérations arithmétiques mises en valeur lors des différentes corrections sans les avoir assimilées qui l'a induite en erreur? Ou la représentation des exercices ? Ou encore d'avoir changé de place et d'avoir manqué quelques séances ?

Pourquoi n'utilise t-elle plus le raisonnement au bout de quelques séances ? Quels théorèmes en acte mettait t-elle en jeu ?

### 3. Comment reconnaître si un stagiaire utilise T2 plutôt que T1 ?

* Par l'explication fournie par le stagiaire : « ici, il y a deux objets en plus, donc le prix de ces deux objets vaut tant » fait allusion à T1, « tout cela coûte 20F, cette partie coûte 13 F, donc le reste est à 7 F » fait allusion à T2.

* Par les représentations graphiques effectuées par les adultes : dans « Des rectangles et des étoiles », nous conseillons aux adultes de s'aider de couleurs pour résoudre le problème. La plupart des stagiaires colorient de la même couleur les mêmes objets (par exemple toutes les étoiles en jaune et tous les rectangles en bleu), d'autres utilisent des couleurs par but esthétique. Véronique identifie les objets en commun à deux ensembles par une même couleur : dans « des étoiles et des rectangles II », elle colorie en jaune les deux spirales et l'étoile du deuxième et du troisième ensemble. Elle identifie en fait les objets en commun du deuxième et du troisième ensemble de façon à mettre en évidence leur différence. Elle utilise alors T1 pour calculer la valeur de cette différence.

Pour effectuer cette première étape, Tahar se place dans le deuxième ensemble : il entoure les deux spirales et l'étoile et inscrit la valeur 31 à côté. Cette disposition fait référence à T2.

* Par l'opération mise en jeu : l'addition à trou fait clairement allusion à T2.

En analysant les stratégies utilisées par les stagiaires lors de la première étape, nous nous sommes aperçus que la plupart d'entre eux mettaient en jeu T2 pour l'effectuer. Ceci expliquerait les difficultés rencontrées par les adultes dans certains exercices dans lesquels la représentation ne permet pas directement d'appliquer T2.

### 4. L'échec de T2 dans le texte et dans l'écriture algébrique

L'analyse des travaux effectués par Tahar montre que celui-ci a uniquement utilisé T2 dans la résolution des problèmes. Tahar, qui affichait de bonnes performances dans les exercices où tous les objets étaient représentés, est incapable de résoudre des exercices tels que l'exercice 2 abstrait ou « Au snack ».

Les représentations des problèmes effectués durant les trois premières séances permettent d'utiliser T2 en première étape. En revanche, la représentation des problèmes travaillés lors de la quatrième séance ne le permet pas. Et c'est cela qui a mis Tahar en échec.

Analysons les représentations de ces exercices :

Exercice 2

$$5 \square + 4 \Delta = 68$$

$$2 \square + 4 \Delta = 56$$

$$2 \Delta = ?$$
Au snack

A midi, mes collègues et moi allons déjeuner dans un Snack.

La semaine dernière, nous avons pris 5 frites et 1 sandwich. Nous avons payé 57F.

Le lendemain, nous avons pris 3 frites et 1 sandwich. Nous avons payé 41F.

Aujourd'hui, nous avons pris 3 sandwiches. Combien allons nous payer ?

Nous constatons que les supports utilisés dans l'exercice 2 et le problème à texte (écriture algébrique et texte) peuvent fournir une représentation mentale différente du problème. Le fait que les objets ne soient pas tous dessinés « empêche » d'agir sur le problème : les adultes ne peuvent plus se représenter le problème comme ils l'avaient fait dans les autres cas et utiliser ainsi T2. Le théorème en acte T2 ne peut alors se concevoir que si une nouvelle représentation du problème est construite. En revanche T1 peut s'appliquer dans ces situations.

Dans ces exercices, Tahar n'a fourni aucune nouvelle représentation et n'a pas utilisé T1. Voici les stratégies qu'il a utilisées :

- Stratégie utilisée dans l'exercice 2 :

$$68-56=12$$

$$12+12=24$$

- Stratégie utilisée dans l'exercice « Au snack » :

$$57-41=16$$

$$16\times3=48$$

Dans un premier temps, Tahar pose une soustraction : il a retenu que la résolution de tous nos problèmes commence par une soustraction. Puis il attribue au résultat de cette opération la valeur de l'objet demandé. Ce type d'erreur marque une volonté d'accéder rapidement au résultat. De plus, il ne calcule pas la valeur de l'autre objet et ne vérifie par le calcul si la valeur de l'objet trouvée est exacte. Il n'a pas su dans ce contexte établir de liens corrects entre ces situations et les autres rencontrées dans les séances précédentes.

Comme Tahar, beaucoup de stagiaires ont eu des difficultés à résoudre ces problèmes car T2 ne pouvait s'appliquer en première étape s'ils ne représentaient pas autrement les problèmes.

Le texte handicape en plus les stagiaires car la plupart d'entre eux ont des difficultés à lire et à comprendre ce qu'ils lisent. Ils perdent les informations et ont du mal à les retrouver même si la disposition du texte aide dans cette tâche.

D'autre part, la notation algébrique n'a pas beaucoup de sens pour les adultes et ne leur permet donc pas de se référer aux connaissances du quotidien.

Si les stagiaires utilisent préférentiellement T2, il semble qu'ils préfèrent encore plus T3.

## 5. La préférence pour T3

Dans « Au village », nous lisons sur le brouillon de Nicolas : « 11m+14m = 25, c'est deux maisons et trois jardins ». Plus loin, il effectue « 14m-11m = 03 » mais ne donne pas de sens à cette opération.

Comme Nicolas, d'autres adultes peuvent mettre en jeu T3 et non T1 ; ils donnent au bout de quelques temps du sens à leur addition mais la plupart ne donnent pas de sens à leur
soustraction dans ce premier exercice. La stratégie de Françoise dans ce problème utilise d'ailleurs aussi T3 (voir page 115).

La méthode générale de résolution que nous avons utilisé durant les corrections ne mettait pas en jeu ce théorème. De plus, pour les orienter vers T1 et T2, nous avions par la suite choisi des situations telles que l'utilisation de T3 soit plus complexe<fnref n="21" />. Malgré tout cela, T3 « résiste » jusqu'à la fin : dans le premier exercice du test « A la boulangerie », Claude représente (au brouillon) l'union des deux ensembles et le prix qui leur est associé (80 F).

Il semble donc que le théorème en acte T3 soit beaucoup plus naturel à mettre en jeu que T1 et T2. Ceci peut s'expliquer par le fait que T3 intervient plus fréquemment dans la vie de tous les jours : les exemples sont nombreux (dans les achats, dans les calculs de distance, etc.). D'autre part, T3 fait intervenir l'addition, conceptuellement plus facile que la soustraction.

Il convient maintenant de présenter et d'analyser les résultats des adultes au test que nous leur avons proposé en dernière séance.

## E. Bilan du test du 30.05.02

Nous allons présenter les résultats, les stratégies et les représentations imagées effectuées par les adultes dans les problèmes « A la boulangerie » et « A Auchan » (cf. annexe) posés dans le test.

### 1. Résultats du test et stratégies utilisées

Après avoir interrogé les adultes sur le premier problème « A la boulangerie » et observé leurs résultats, nous avons décidé de corriger ce problème (en représentant le problème de façon imagée et en suivant le raisonnement habituel) avant de les tester sur « A Auchan ».

Nous exposons les résultats des adultes dans le tableau ci-dessous

<table><thead><tr><th></th><th></th><th>A la boulangerie</th><th>A Auchan</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Résultats justes</td><td>1<sup>ère</sup> étape</td><td>Rachid (R), Touatia (R)</td><td></td></tr><tr><td>2<sup>ème</sup> étape</td><td></td><td></td></tr><tr><td>tout</td><td>Véronique (R), Fatma (R), Tahar (R),</td><td>Tout le monde (R, RE)</td></tr><tr><td rowspan="2">Résultats faux</td><td>tout</td><td>Elisa (E), Gilbert (RF), Bruno (E), Françoise (RF), Anita (A), Claude (E), Jean-Pierre (E), Nicolas (RF)</td><td></td></tr><tr><td>2<sup>ème</sup> étape</td><td>Rachid (RF), Touatia (RF)</td><td></td></tr></tbody></table>

R : méthode par raisonnement ; E : méthode par essais ; RF : raisonnement faux ; A : absence de résultat ; RE : méthode de raisonnement et d'essais

<footnote n="21">²¹ Nous avions choisi dans les exercices de type I-B les paramètres b, e et k tels que b+e ≠ k de façon à ce que le nombre k d'objets x de la question ne corresponde pas au nombre b+e d'objets x figurant dans les deux ensembles de départ.</footnote>
L'ensemble des adultes a utilisé lors du premier exercice l'ensemble des stratégies que nous avions déjà observé lors des séances précédentes. Seulement trois personnes sont parvenues à résoudre totalement « A la boulangerie », tandis que la totalité du groupe (qu'il convient de nuancer à cause des copiages !) parvient à résoudre « A Auchan ». Cette différence ne peut pas s'expliquer par des raisons mathématiques ou contextuelles car les deux problèmes sont de ce point de vue similaires. Ce fait confirme ce que nous avions constaté dans les séances précédentes ; après une correction, les adultes affichent de grandes capacités à raisonner. Le fait de corriger a peut être tout simplement permis aux adultes de comprendre ce qu'il fallait faire, ou bien d'actionner les processus cognitifs à mettre en jeu dans la résolution des problèmes. Ou encore, la correction a permis d'éclairer les stagiaires sur le passage du texte au dessin et l'utilisation de la représentation imagée dans le raisonnement.

Dans « A Auchan », notons de plus que les adultes ont tous utilisé l'opération de soustraction pour calculer la valeur du premier objet et ont calculé la valeur du second objet en utilisant la soustraction ou l'addition à trou ou encore les essais. Nous présentons dans ce tableau les stratégies que certains des adultes<fnref n="22" /> ont utilisées pour la deuxième étape.

<table><thead><tr><td>soustraction</td><td>Opération à trou</td><td>essais</td></tr></thead><tbody><tr><td>Fatma, Véronique, Rachid, Tahar, Elisa.</td><td>Gilbert, Claude, Anita</td><td>Jean-Pierre</td></tr></tbody></table>

Leurs procédures de résolutions ont-elles été dirigées par les représentations imagées qu'ils ont construites du problème ?

## 2. Type de représentations construites

Très peu de stagiaires ont représenté intégralement toutes les données, et omettent en particulier les valeurs numériques correspondant à la valeur de l'association des objets ou bien l'une des deux lignes.

Nous présentons ci-dessous les tableaux résumant la façon dont les stagiaires ont effectué le passage du texte au dessin.

<table><thead><tr><th>A la boulangerie</th><th>Pas de représentation</th><th>Représentation de la première ligne uniquement</th><th>Représentation des deux lignes</th></tr></thead><tbody><tr><th>Pas d'inscription des valeurs associées aux lignes</th><td>Fatma, Véronique, Amina</td><td>Touatia, Elisa</td><td>Rachid, Gilbert, Bruno, Françoise, Anita, Jean-Pierre, Claude</td></tr><tr><th>Inscription des valeurs associées aux lignes</th><td></td><td></td><td>Tahar, Nicolas</td></tr></tbody></table>

<footnote n="22">²² Nous n'avons pas pu reconnaître les stratégies des autres adultes faute du manque d'informations sur leur feuille.</footnote>
<table><tr><td>A Auchan</td><td>Pas de représentation</td><td>Représentation de la première ligne uniquement</td><td>Représentation des deux lignes</td></tr><tr><td>Pas d'inscription des valeurs associées aux lignes</td><td>Fatma, Amina</td><td>Anita, Bruno</td><td>Véronique, Gilbert, Touatia, Françoise, Jean-Pierre, Claude</td></tr><tr><td>Inscription des valeurs associées aux lignes</td><td></td><td>Nicolas</td><td>Tahar, Elisa, Rachid</td></tr></table>

Il n'y a globalement pas beaucoup de différence entre les représentations construites dans « A la boulangerie » et dans « A Auchan ».

Notons que Véronique et Fatma n'ont pas besoin de construire de représentations pour résoudre le problème.

Tahar a construit des représentations en ligne assez abstraites qu'il a utilisées pour résoudre les problèmes. Ces représentations traduisent la mise en jeu de T2.

Voici la représentation qu'il a construite dans « A Auchan » :

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

Les représentations effectuées par les adultes se sont de plus distinguées les unes de autres en fonction de :

- la disposition des données (en ligne ou non) ;

- la façon dont sont représentés les objets (de façon abstraite ou suivant leur forme réelle).

Anita a fait une représentation très abstraite et a mis en valeur la différence des deux lignes dans « A la boulangerie » ce qui montre qu'elle est capable d'effectuer le passage du texte au dessin et a compris le sens du problème. Elle ne rend cependant aucune réponse pour ce premier problème.

<figure><img src="image_67.png" /></figure>
Touatia dessine uniquement la première ligne en dessinant les objets de manière très figurative et de façon non alignée dans « A la boulangerie ».

1) Faites un dessin pour représenter l'exercice.

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

Jean-Pierre dessine au contraire les objets en ligne de façon abstraite et distingue à peine les croissants et les éclairs.

1) Faites un dessin pour représenter l'exercice.

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

<figure><img src="image_79.png" /></figure>
Gilbert dessine les deux lignes de façon figurée et met en jeu T2 dans « A Auchan » : il utilise l'opération à trou pour effectuer la deuxième étape, ce qui est une bonne surprise compte tenu de ce que nous avons observé dans les séances précédentes.

Je vais faire les courses.
Si j'achète 3 bouteilles d'eau et 3 fromages, je paie 45 F.
Si j'achète 3 bouteilles d'eau et 1 fromage, je paie 21 F.

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

1) Combien coûte 1 fromage ?
12
○

Nous voyons à travers ces représentations les capacités d'abstraction de certains adultes ainsi que la capacité à représenter de façon imagée le texte de l'énoncé. Cette représentation s'est effectuée de manière globale ou partielle et nous renvoie donc aux difficultés à saisir un problème dans son ensemble.

3. Saisir un problème dans sa globalité

Jusqu'à la dernière séance, nous observons des difficultés à saisir un problème dans son ensemble. Françoise et Bruno ont tous les deux considéré seulement une des deux lignes pour construire leur stratégie ; pourtant ils ont aussi tous les deux représenté de façon imagée les deux lignes de données du problème.

- Françoise qui a pourtant représenté les deux lignes, ne considère que la deuxième ligne pour calculer le prix des croissants. De plus, elle donne le même prix aux éclairs et aux croissants.

Voici ses réponses :

2) 34 : 4 = 8,50 Françoise considère que les croissants et les éclairs sont au même prix et calcule la valeur de ceux-ci en utilisant uniquement la seconde ligne

8,50 × 3 = 25,50 Françoise a alors le prix des croissants et des éclairs et peut
alors répondre à toute les questions

3) 8,50 F

4) 8,50 F + 8,50 F = 17F

5) 8,50 F

6) 17 F
- Bruno ne considère que la première ligne.

$$6 \times 5 = 30 \qquad \text{cinq croissants à 6 F coûtent 30 F}$$

$$8 + 8 = 16 \qquad \text{deux éclairs à 8 F coûtent 16 F}$$

$$30 + 16 = 46 \qquad \text{cinq croissants et deux éclairs coûtent 46 F}$$

Il attribue alors la valeur de 6 F au croissant et de 8 F à l'éclair. Ces résultats sont plausibles dans le quotidien. Dans les autres questions, il se contente de dessiner les croissants et les éclairs.

Nous avons de plus décelé une autre erreur pouvant s'apparenter avec l'erreur de partage.

## 4. Une erreur de même nature que celle du partage

Touatia et Rachid ont commis une erreur que nous n'avions pas remarquée dans les séances précédentes. Décrivons la mathématiquement :

Voici le système en jeu :

$$2x + 5y = a$$

$$2x + 2y = b$$

Touatia et Rachid effectuent correctement la première étape du problème :

$$3y = a - b$$

$$y = (a-b) : 3$$

Puis, ils mettent en jeu T2 afin de trouver la valeur de deux éclairs au chocolat ; leur erreur se situe à ce niveau. Ils attribuent à 2x (deux éclairs au chocolat) la valeur b-3y au lieu de b-2y.

Cette erreur est conceptuellement similaire à l'erreur de partage. Les stagiaires utilisent les bonnes connaissances mais ont des confusions au niveau du nombre d'objets à considérer. Quand ils mettent en jeu les théorèmes en acte, leur attention porte sur les types d'objets en question et en omet la quantité.

## 5. Conclusion des résultats de ce test

Les résultats du premier problème montrent que pour certains adultes, ce type de problème pose encore des difficultés à la fin de notre étude.

Néanmoins, les résultats de ce test nous ont paru très positifs :

- les adultes ont pu mettre en œuvre un raisonnement a priori non évident ;

- ils ont été capables de représenter plus ou moins globalement le problème de façon imagée.

Nous allons maintenant établir un bilan sur l'ensemble des observations que nous avons menées pour notre étude.
# IV. Conclusion des entretiens individuels et des séances

Dans cette partie, nous dégageons une étude comparative entre Véronique et Claude que nous avons suivi plus particulièrement lors des entretiens individuels et des séances collectives. Puis, nous faisons un bilan de séances en demandant aux adultes de s'exprimer.

## A. Véronique versus Claude

Dans cette partie, nous allons comparer le rapport au nombre de Claude et Véronique ainsi que les compétences, les difficultés et les progrès que nous avons observés lors des séances en groupe.

### Le nombre en tant qu'objet

* Véronique a globalement plus de difficultés que Claude à lire les nombres supérieurs à 1000. Ils semblent tous les deux avoir des difficultés liées aux zéros intermédiaires.

* Ils utilisent automatiquement tous les deux la structure du système de numération (décomposition en unités, dizaines, centaines) lors de calculs mentaux simples et dans le cas de Claude lors du comptage d'une collection. La propriété « x dizaines font le nombre écrit comme « x0 » » n'est pas utilisée dans les exercices contextualisés ; Claude met néanmoins en jeu « dix dizaines font une centaine », ce qui n'est pas le cas de Véronique.

* Claude n'a pas de difficultés à comparer les nombres entiers positifs, Véronique non plus à condition qu'ils ne soient pas trop grand (supérieur à 100 000).

* Ils relient tous les deux l'action de compter à l'aspect ordinal de la numération mais ne l'associent pas d'emblée à l'action de calculer.

* Ils ont de bonnes capacités à décomposer canoniquement les nombres.

### Le calcul

* Véronique et Claude ont beaucoup employé la technique des doubles en calcul écrit comme en calcul mental.

* Claude parvient beaucoup mieux à calculer de tête que Véronique ; sa technique consiste à se poser l'opération dans sa tête alors que Véronique met en jeu des techniques de calcul réfléchi variant d'une opération à l'autre ; elle utilise les doubles, cherche les nombres complémentaires à 10, et comme Claude sépare unités, dizaines, etc.

Si Claude semble a priori plus à l'aise que Véronique dans la connaissance des nombres et dans les calculs, les capacités de Véronique à résoudre les problèmes s'avère plus performantes.

### La résolution de problèmes

#### Analyse relative aux entretiens

Nous avons relevé des comportements similaires lors de la résolution de problèmes :

* La projection dans l'action pour résoudre des problèmes dans lesquels la situation décrite est très proche des habitudes du quotidien ;
* Des difficultés à résoudre des problèmes très ouverts, dans lesquels ils ont du mal à établir une stratégie de résolution ;

* L'utilisation des doubles très fréquente dans leur stratégie de résolution ;

* Il affichent tous les deux une grande importance à la plausibilité des données des problèmes dans la réalité (en particulier lorsqu'il s'agit d'argent) ;

* Tous les deux ont pu résoudre des problèmes de division en utilisant une procédure de 2ème niveau. En revanche, Véronique a pratiquement atteint le 3ème niveau de résolution pour les problèmes dits de soustraction tandis que Claude est encore au 2ème niveau.

## Analyse relative aux séances

* Véronique est très attentive et à l'écoute de l'enseignant. Claude est plus rigide, il a du mal à se détacher de ses méthodes.

* Très rapidement, Véronique ne prend en compte que l'aspect mathématique de nos problèmes. A part dans « Au village », les différents contextes et représentations ne la perturbent pas ce qui n'est pas le cas de Claude ; dès qu'il en a l'occasion, Claude rapproche les problèmes à la réalité ce qui peut entraîner des confusions dans la compréhension ou lors de la résolution de problèmes.

* Véronique utilise la déduction et la comparaison et met en jeu naturellement les théorèmes en acte T1 et T2 lors de la résolution. Claude est de même tout à fait capable d'utiliser des raisonnements faisant intervenir ces connaissances mais ne le fait pas d'emblée.

* Claude procède par essais puis combine généralement raisonnement et essais. Véronique utilise un raisonnement dans chacun des problèmes.

* Chez Véronique, nos problèmes furent très vite faciles ; elle a construit un raisonnement qu'elle a pu adapter à divers contextes et représentations. Claude a pu mettre en œuvre des raisonnements et semble avoir pris conscience que ses méthodes n'étaient pas valables tout le temps.

## Conclusion

Nous avons présenté deux personnes qui semblent avoir développé dans leur quotidien une connaissance relativement bonne du nombre. Nous avons remarqué des similarités chez Véronique et Claude (projection dans l'action, techniques de calculs, difficultés pour certains exercices) qu'il serait intéressant d'étudier chez d'autres adultes pour pouvoir éventuellement établir des comparaisons sur le rapport au nombre de ces adultes.

En revanche, Véronique et Claude se sont montrés complètement différents lorsqu'il s'agissait de problèmes nécessitant un raisonnement particulier ; Claude a fait preuve de rigidité alors que Véronique au contraire s'est tout de suite appropriée des méthodes de raisonnement.

Nous avons de plus émis des hypothèses reliant leur histoire de vie et leur façon d'apprendre :

- Véronique n'a pas connu d'échec et n'a jamais fréquenté l'école, ce qui peut expliquer en partie sa curiosité et ses bonnes performances par rapports aux autres adultes qui peuvent avoir eu un mauvais rapport à l'enseignement ou avoir connu des échecs.

- Claude a construit ses connaissances sur le terrain et a vécu de nombreuses expériences, il est très sûr de lui et cela pourrait expliquer son refus de changer ses méthodes.

Les deux études (entretiens individuels et observations en séance) que nous avons menées ont été complémentaires et nous ont permis de cerner le rapport au nombre, les façons de
raisonner et la souplesse ces deux adultes dans leur façon d'apprendre. Nous pensons qu'une étude élargie à un plus grand nombre d'individus serait utile pour mieux comprendre l'apprentissage des mathématiques chez ce public.

Nous allons tracer brièvement un bilan des séances que nous avons passées avec le groupe.

## B. Quand les adultes nous parlent

Nous avons tout d'abord l'impression que ces adultes ont fait des progrès ; ils ont été capables de comprendre et de mettre en œuvre des raisonnements a priori non familiers, d'adapter leurs connaissances à des situations plus abstraites et de construire des représentations imagées plus ou moins partielles d'un problème à texte. Nous avons choisi de conclure sur cette analyse en présentant les réactions que nous avons recueillies en nous entretenant avec le groupe.

A la suite du test effectué lors de la dernière séance, nous avons établi un bilan avec les adultes sur la structure des problèmes proposés et leur avons demandé de construire eux-mêmes des problèmes de ce type, ce qui a suscité diverses réactions :

- « On peut mettre des bouteilles de vin à la place des bouteille d'eau ! » (Jean-Pierre),
« On n'est pas obligé de mettre des prix... on peut mettre des kilomètres aussi » (Rachid) : ils ont compris que les connaissances mises en jeu dans nos exercices peuvent s'appliquer à différents contextes...

- « On peut dessiner des papillons aussi ! » (Touatia) : ces contextes peuvent être d'ailleurs plus abstraits et s'appliquer à des objets n'ayant a priori pas de valeur.

- « on n'est pas obligé de mettre des chiffres ronds. En euros, les chiffres ne sont jamais ronds... » (Claude) : ils peuvent ouvrir nos exercices aux décimaux.

Seulement deux stagiaires ont effectué cet exercice, Françoise et Nicolas, que nous exposons.

### Exercice de Françoise

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Françoise a construit son exercice par analogie avec le problème « Au marchand de glaces » et a seulement changé le type d'objet en jeu : elle dessine des fleurs et des ronds. Elle ne tient pas compte de la signification de son problème dans le réel.

Exercices de Nicolas

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11 m

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14

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BIBRON

Poudre de Lait

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67F

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37

BRICK de Lait

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Nicolas a construit ses trois exercices par analogie avec les exercices présentés sur la feuille (cf. annexe) avec laquelle nous avons établi avec les stagiaires le bilan sur la structure commune de nos problèmes. Précisons qu’il n’a pas construit d’exercices à texte par analogie avec « Au snack ». Dans le premier problème qu’il a construit, il fait une confusion en voulant adapter son problème à la fois au problème « Les immeubles » et à « Au Village » ; notons qu’il ne dessine pas les flèches pour indiquer les largeurs. Les deux autres exercices ont été construits en changeant uniquement le type d’objet en jeu comme l’a fait Françoise.

Ce type d'exercice, nécessitant de comprendre la structure du problème pour les constructions non directement analogues à celles présentées en séances, est, semble t-il trop difficile à faire pour eux pour le moment, ce qui expliquerait le faible nombre de constructions relevées (une autre raison étant que les adultes n'effectuent pas toujours le travail demandé).

Terminons ce bilan en exposant leurs réactions face à la question : « que pensez-vous de nos problèmes ? »

- ils ont classé ce type de problème : « Moi j'aime bien, je trouve que c'est de la logique » (Fatma).

- ils ont parlé de l'utilité de s'exercer sur ces problèmes : « C'est bien, ça fait travailler le raisonnement » (Elisa), « Moi, j'ai eu, l'impression que ça m'a servi dans les magasins » (Touatia) « Ah bah moi pas du tout. Quand je paye je peux me faire avoir » (Fatma).

- tous ont clairement dit qu'ils préféraient la représentation imagée au texte : « Quand c'est du texte, on a du mal à lire et à comprendre tandis que quand il y a des dessins, tout est là devant nous, on voit mieux » (Amina) et ont établi des liens entre ces deux représentations : « Les deux, c'est les mêmes » (Claude)

Leurs réactions montrent qu'ils ont compris que derrière tous ces contextes se cachent un même problème mathématique et qu'ils sont prêts à ouvrir et à diversifier ces exercices.
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# CONCLUSION GÉNÉRALE
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Cette expérience au CUEEP de Tourcoing m'a énormément enrichie. Elle m'a tout d'abord permis de faire un premier pas dans la formation pour adultes, domaine dans lequel je souhaiterais travailler à plus long terme et de réaliser que tout public peut apprendre à condition que l'on adapte l'enseignement qu'on lui propose. Grâce à cette expérience, j'ai pu comprendre l'intérêt d'une pédagogie différente pour les adultes de ce niveau. Enfin, cela m'a permis de donner du sens aux notions didactiques reçues durant ma formation, étant donné ma faible expérience dans l'enseignement.

Le groupe avec lequel j'ai travaillé s'est révélé très intéressant. Les stagiaires étaient très agréables et dans l'ensemble très motivés. La plupart d'entre eux ont de bonnes capacités de raisonnement et d'abstraction, et même quelquefois surprenantes. Ce public m'a permis de comprendre que des raisonnements qui me semblaient a priori équivalents peuvent en fait être très différents conceptuellement.

J'ai pu aussi entrevoir le poids des habitudes quotidiennes dans la façon de résoudre les exercices :

- il me semble que la facilité de mettre en jeu les théorèmes en acte T1, T2 ou T3 est en relation avec leur utilisation quotidienne ;

- le lien qu'ils établissent entre les objets représentés dans l'exercice avec le réel influence leur interprétation du problème ;

- ils résolvent leur problème en se projetant dans l'action lorsque l'exercice est très proche d'une situation quotidienne.

## Les limites de cette étude

La durée de notre étude est trop courte pour pouvoir apprécier les progrès de ces adultes ; un apprentissage avec ces adultes se fait dans le temps. De plus, nous avons eu affaire à un groupe d'une quinzaine de personnes, venant d'une région déterminée, et qui toutes avaient choisi de s'inscrire au CUEEP.

Le travail que nous leur avons proposé est limité ; nous ne leur avons offert qu'un seul type d'exercice, qui ne se prêtait pas à des variations dans la résolution.

Synthétisons maintenant les différents points de notre étude.

Les stagiaires ont adhéré aux problèmes que nous leur avons proposés et sont plus ou moins rentrés dans le contrat didactique. Nous avons cependant observé une grande dissemblance en ce qui concerne leurs facultés : pour certains les raisonnements proposés ont été tout de suite évidents alors que pour d'autres, ils ont semblé difficiles à mettre en œuvre.

Notre étude nous a permis de préciser l'influence des contextes et des représentations dans les différentes étapes de résolution des problèmes.

## A propos des contextes

La façon dont on contextualise les problèmes semble agir sur la compréhension et la dévolution des problèmes mais peut aussi créer des erreurs d'interprétation liées au rapport qu'ils entretiennent avec le réel. Le jeu sur les contextes a permis de faire travailler les adultes sur des problèmes similaires mathématiquement et les a amené à utiliser leurs connaissances dans des contextes plus abstraits ;

## A propos des représentations

En travaillant sur des problèmes à représentation imagée, il semble que les adultes se soient construits des repères pour comprendre et résoudre les problèmes. Même si chaque situation est différente et demande un effort d'analyse, la représentation des problèmes est
dans les trois premières séances globalement la même ; les questions sont posées de telle façon, tous les objets sont dessinés, etc. Cela explique le passage relativement facile vers les formes géométriques ; le problème « Des étoiles et des rectangles » est globalement représenté comme les précédents et les stagiaires n'ont pas de difficultés à le comprendre.

Il semble que la façon dont on représente les problèmes a un effet au niveau de la compréhension et de l'analyse du problème, des supports non familiers ou trop implicites peuvent engendrer des erreurs d'interprétation et de raisonnement.

La grande difficulté observée est le passage de la représentation imagée dans laquelle tous les objets sont dessinés (Δ Δ Δ Δ) aux représentations semi-imagées ou à texte (4Δ ou bien 4 triangles). Plusieurs hypothèses expliquent ce fait :

- la perte de leurs repères avec les deuxièmes représentations : les notations algébriques (représentations semi-imagées) ne sont pas familières aux adultes, les exercices à textes posent des difficultés liées à la lecture.

- l'échec de T2 dans les représentations semi-imagées ou à texte.

## A propos de T1 et de T2

A première vue, T1 et T2 semblent équivalents. L'expérience montre avec les adultes que T2 est conceptuellement plus facile à mettre en jeu que T1. Nous nous sommes aperçus, lorsque nous avons voulu expliquer ces théorèmes en acte, que T1 demandait un grand travail de formalisation par rapport à T2 : il a fallu introduire des notions comme les ensembles semblables et comparables (voir page 57). La difficulté que nous avons eu à expliciter mathématiquement T1 venait du fait que T1 met en jeu des notions plus complexes telles que l'identification d'objets et cela peut expliquer pourquoi les adultes ont eu plus de facilités à utiliser T2 plutôt que T1.

## Ouvertures

Une suite évidente à ce travail serait de le prolonger dans le temps, avec un public plus nombreux et plus varié et des problèmes plus diversifiés. Il me semble important d'affiner les conclusions notamment en ce qui concerne l'importance de la manière dont les problèmes sont posés dans la façon d'interpréter et de résoudre les problèmes. Il serait de plus intéressant d'effectuer ce travail chez les enfants des cours élémentaires et de comparer leurs performances et leurs difficultés avec celles des adultes.

La représentation imagée de nos problèmes, même si elle a suscité quelques difficultés au départ, a été adoptée par l'ensemble des adultes à la fin de nos séances. Nous pensons qu'un travail sur des problèmes avec ce type de représentations est très porteur car constitue un support de raisonnement et enlève l'obstacle de la lecture. Ces représentations permettent de plus d'utiliser des contextes plus abstraits, ce qui serait plus difficile avec des supports à texte. Il me semble donc intéressant de les faire travailler sur les changements de registres :

- savoir passer du concret à l'abstrait et inversement ;

- savoir passer du mode oral au mode écrit ou au mode imagé ;

- savoir passer du texte au mode imagé ou semi-imagé.

Idéalement, il faudrait leur faire prendre conscience de l'équivalence de ces points de vue, et qu'il leur appartient de choisir celle qui leur convient le mieux. Savoir passer d'un point de vue à un autre est une difficulté mentionnée dans le rapport de Richard (voir page 11). Les mathématiques semblent se prêter particulièrement bien à ce genre d'exercice. Est-ce qu'une familiarisation avec ces changements de registres en mathématiques peut s'étendre à d'autres situations ? Plus généralement, existe-t-il un processus mental universel correspondant au changement de registres, ou, au contraire ces processus se limitent-ils à un environnement donné ?
Bibliographie

- Avice J., Bonnal-Lordon V., Jean-Montcier G., *Point de vue sur la formation des adultes en « difficulté » d'insertion professionnelle*, Education permanente n°111, 1992.

- Brissiaud R., *Comment les enfants apprennent à calculer*, 1989.

- Brissiaud R., Clerc P., Ouzoulias A., *J'apprends les maths CE2 : livre du maître*, Paris : Retz, 2001.

- Brousseau G., *Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques*, RDM 7/2, 33-115, 1986.

- Butlen D., Pezard M., *calcul mental, calcul rapide*, Irem, université Paris 7, 1989.

- Douady R., *Jeux de cadres et dialectique outil-objet*, RDM 7/2, 5-33, 1986.

- Duval R., « *Quel cognitif retenir en didactique des mathématiques ?* », RDM 16/3, 349-382, 1996.

- Ermel, *Apprentissages numériques et résolutions de problèmes : CE1*. INRP. Hatier, 2001.

- Ermel, *Apprentissages numériques et résolutions de problèmes : CE2*. INRP, Hatier, 2001.

- Fayol M., *L'enfant et le nombre : du comptage à la résolution de problèmes*, éd Lausanne ; Delachaux et Niestlé, 1990.

- Fuson K., *Research on whole number, Addition and Subtraction*, DA. Grows (ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, Macmillan, New York, 243-275, 1992.

- Ginsbourger F., Merle V., Vergnaud G. *Formation et apprentissage des adultes peu qualifiés*. Paris : La Documentation française, 1992.

- Girodet M.A. *Influence des cultures sur les pratiques quotidiennes du calcul*, Didier, 1996.

- Ifrah.G, *Histoire universelle des chiffres*, tome 1, 1990.
- Kahane J.P., *L'enseignement des sciences mathématiques*. Rapport au ministre de l'éducation nationale, 2002.

- Leclere J.P., *Faire faire des mathématiques à un public en situation d'illettrisme : le contraire d'une utopie*, Thèse Lille 1, 2000.

- Nunes T., et al. *Streets Mathematics and School Mathematics*. New York, NY : Cambridge University Press, 1993.

- Nunes T., *Ethnomathematics and everyday cognition*. DA. Grows (ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, Macmillan, New York, 557-574, 1992.

- Pailhous J. & Vergnaud G., dir. *Adultes en reconversion : faible qualification, insuffisance de la formation ou difficultés d'apprentissage ? La Documentation française*, 1989.

- Patré P., *Requalification des ouvriers spécialisés et didactique professionnelle*. Education permanente, n°111, 1992.

- Vergnaud G., *La didactique a-t-elle un sens pour la formation des personnes peu qualifiées et peu motivées ?*, Migrants-Formation n°100, 1995.

- Vergnaud G., *La théorie des champs conceptuels*, RDM 10/1.2, 133-170, 1990.

- Verschaffel L. et De Corte E., *Number and Arithmetic*. International Handbook of Mathematics Education, 99-137, 1996.

- Vygotsky L. *Langage et pensée*, Paris, Editions Sociales Messidor, 1986.
# ANNEXE
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AU VILLAGE !

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A FRANPRIX

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LES IMMEUBLES

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AU MARCHAND DE
GLACES

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67 F

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37 F

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?
PARIS-LILLE EN TRAIN

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90

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70

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170

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?
# LES FRUITS

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320 Grammes

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220 Grammes

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?
DES ETOILES ET DES RECTANGLES

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<figure><img src="image_116.png" /></figure>

# AU CINEMA

Au cinéma, il y a un tarif adulte et un tarif enfant.

Devant moi, il y a un adulte et un enfant qui paient 55 F.

Puis, un adulte et deux enfants paient 70 F.

Combien vont payer les deux adultes qui sont derrière moi ?

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Exercice 1

$$ \star + \star + \circ + \circ + \circ = 59 $$

$$ \star + \star + \circ = 37 $$

$$ \star + \star + \star = ? $$

Exercice 2

$$ 5 \square + 4 \Delta = 68 $$

$$ 2 \square + 4 \Delta = 56 $$

$$ 2 \Delta = ? $$
Comparaison, déduction...

A midi, mes collègues et moi allons déjeuner dans un snack.

La semaine dernière, nous avons pris 5 frites et 1 sandwich. Nous avons payé 57 F.
Le lendemain, nous avons pris 3 frites et 1 sandwich. Nous avons payé 41 F.

Aujourd'hui, nous avons pris 3 sandwiches.

Combien allons-nous payer ?
A LA BOULANGERIE

Je vais à la boulangerie. J'achète 2 éclairs au chocolat et 5 croissants.
Je paie 46 F.

Le lendemain, j'achète 2 éclairs au chocolat et 2 croissants.
Je paie 34 F.

1) Faites un dessin pour représenter l'exercice.

2) Combien coûtent 3 croissants ?

3) Combien coûte 1 croissant ?

4) Combien coûtent 2 éclairs au chocolat ?

5) Combien coûte 1 éclair au chocolat ?

6) Combien coûtent 1 éclair au chocolat et 1 croissant ?
A AUCHAN

Je vais faire les courses.

Si j'achète 3 bouteilles d'eau et 3 fromages, je paie 45 F.

Si j'achète 3 bouteilles d'eau et 1 fromage, je paie 21 F.

1) Combien coûte 1 fromage ?

2) Combien coûte 1 bouteille d'eau ?

3) Combien coûtent 1 fromage et 1 bouteille d'eau ?
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## DES ETOILES ET DES RECTANGLES

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## AU MARCHAND DE GLACES

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## AU SNACK

A midi, mes collègues et moi allons déjeuner dans un Snack.

La semaine dernière, nous avons pris 5 frites et 1 sandwich. Nous avons payé 57F.
Le lendemain, nous avons pris 3 frites et 1 sandwich. Nous avons payé 41F.

Aujourd'hui, nous avons pris 3 sandwiches.

Combien allons nous payer ?
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IREM Université Paris 7
Case 7018
2 place Jussieu
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TITRE :

Etude exploratoire des capacités mathématiques chez des adultes illettrés

AUTEUR :

Julie LASCAR

RESUME :

En France, peu de travaux en didactique des mathématiques ont été effectués sur un public d'adultes en situation d'illettrisme. L'objectif de cette étude est, en s'appuyant sur des travaux de recherche en didactique, de préciser quelques spécificités de ce public en ce qui concerne leurs capacités et leurs difficultés dans la résolution de problèmes mathématiques.

Ce travail est mené dans le cadre d'un centre de formation pour adultes (CUEEP) et présente
deux thèmes de recherche :

- dégager quelques caractéristiques sur le rapport au nombre de ces adultes ;

- étudier le rôle des contextes et des représentations sémiotiques dans la compréhension et la résolution d'un problème mathématique chez ce public.

MOTS CLES :

Formation d'adultes, illettrisme, numération, systèmes d'équations, théorie des champs conceptuels, représentations sémiotiques, ethno-mathématiques.

Editeur : IREM
Université PARIS 7-Denis Diderot
Directeur responsable de la
publication : M. ARTIGUE
Case 7018 - 2 Place Jussieu
75251 PARIS Cedex 05
Dépôt légal : septembre 2002
ISBN : 2-86612-230-5