# Les Nombres « Tau »

## Edmond Twite Kabamba

Professeur, Université E Lubumbashi

### ABSTRACT

We defined « TAU numbers », $\tau_0, \tau_i$ and $\tau_e$ such as they are roots of the equations :

$$ \sqrt[x]{\overline{x}} = \frac{\pi}{e} $$

$$ \sqrt[x]{\overline{x}} = \frac{e}{\pi} $$

$\tau_0$ and $\tau_e$ are such as :

$$ \tau_0 \sqrt[x]{\overline{\tau_0}} = \tau_e \sqrt[x]{\overline{\tau_e}} = \frac{\pi}{e} $$

And $\tau_i$ is such as :

$$ \tau_i \sqrt[x]{\overline{\tau_i}} = \frac{e}{\pi} $$

$\tau_e$ is the equivalent number for $\tau_0$ in the equation :

$$ \sqrt[x]{\overline{x}} = \frac{\pi}{e} $$

$\tau_i$ is called « Tau inverse ».

$\tau_0$ is the infinite tetration of $\frac{\pi}{e}$ and $\tau_i$ is the infinite tetration of $\frac{e}{\pi}$.

We call $\tau_0, \tau_i$ and $\tau_e$ Twite's numbers.

### RESUME.

Nous avons défini les nombres « TAU », $\tau_0, \tau_i$ et $\tau_e$, comme étant les nombres « x » racines des équations :

$$ \sqrt[x]{\overline{x}} = \frac{\pi}{e} $$

$$ \sqrt[x]{\overline{x}} = \frac{e}{\pi} $$

$\tau_0$ et $\tau_e$ sont tels que :

$$ \tau_0 \sqrt[x]{\overline{\tau_0}} = \tau_e \sqrt[x]{\overline{\tau_e}} = \frac{\pi}{e} $$

Et $\tau_i$ est tel que :

$$ \tau_i \sqrt[x]{\overline{\tau_i}} = \frac{e}{\pi} $$

$\tau_e$ est l'équivalent de $\tau_0$ dans l'équation :

$$ \sqrt[x]{\overline{x}} = \frac{\pi}{e} $$

Nous avons appelé $\tau_i$ « TAU inverse ».
$\tau_0$ est donc la tétration infinie de $\frac{\pi}{e}$ et $\tau_i$ est la tétration infinie de $\frac{e}{\pi}$.
Nous appelons $\tau_0, \tau_e$ et $\tau_i$, les nombres de TWITE.

# 1. INTRODUCTION.

« $\pi$ » et « e » sont deux nombres mathématiques fondamentaux et remarquables.

* Sont-ils en corrélation ? Rien de tel n'a été établi.

* Nous avons cependant établi une expression approximative :

$$e^{\left[e^{\left(\frac{1}{e^2}\right)}\right]} \cong \pi$$

En effet :

$$\ln \frac{1}{\ln \ln \pi} = 2,001231639062388123217603570362 \dots = \theta$$

Il faut définir l'expression de « $\theta$ » pour que « $\pi$ » et « e » soient en corrélation.

Ces deux nombres sont algébriquement indépendants. Nous allons dans ce travail établir une expression combinatoire remarquable de ces deux nombres : les nombres « TAU ».

# 2. DEFINITION DES NOMBRES « $\pi$ » et « e ».

A.- « $\pi$ » est une des constantes fondamentales des mathématiques. « $\pi$ » est le rapport constant pour tout cercle, entre le périmètre « P » ou circonférence et le diamètre « D » du cercle, dans le plan Euclidien. On note :

$$P = \pi \cdot D$$

« $\pi$ » est appelé la constante d'Archimède. Plusieurs méthodes de calcul établies dans la littérature scientifique permettent de calculer « $\pi$ ». Parmi ces méthodes, on peut citer la série de MACHIN :

$$\arctan(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}$$
(Formule de MACHIN)

B.- « e » est également une constante fondamentale des mathématiques. « e » est appelé nombre d'EULER ou constante de NEPER en l'honneur au mathématicien écossais JOHN NAPIER qui a introduit la notion de logarithme. Le nombre « e » est la base des logarithmes népériens et de l'exponentielle naturelle. On note :

$$\ln e = 1$$

« e » est défini par la relation :

$$\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

Pour calculer « e » on se réfère au développement en série :

$$e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$$

Pour x= 1, on a le cas particulier :
$$e = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}$$

C.- « π » et « e » sont deux nombre irrationnels et transcendants. Y a-t-il une équation polynomiale à deux variables et à coefficients entiers et non nuls dont le couple (π,e) est une racine. La question demeure aujourd'hui sans réponse.

### 3. IDENTITE DE TWITE.

Nous avons établi l'identité générale suivante :

$$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n(n+k)}{n!} = (k+z)e^z \\ \forall z \in \mathbb{R} \text{ ou } C, \forall k \in \mathbb{R} \text{ ou } C \text{ et } n \in \mathbb{N}.$$

On sait que tout nombre « ae » est irrationnel et transcendant et tout nombre « $e^b$ » est irrationnel et transcendant pour « a » et « b » algébrique, non nuls et donc tout nombre « $ae^b$ » est irrationnel et transcendant. Faisons remarquer que tout nombre transcendant est irrationnel et non algébrique. D'où, tout nombre « $(k+z)e^z$ » est irrationnel et transcendant pour tous nombres « k » et « z » algébriques et « z » non nul. Dès lors, nous conjecturons que tout autre nombre irrationnel et transcendant « $N_{it}$ » peut être exprimé suivant la relation :

$$\begin{array}{l} N_{it} = (k + z)e^z \\ \text{Avec } k \text{ et } z \in \mathbb{N} \text{ et } z \neq 0 \\ \text{Ou } k \text{ et } z \in \mathbb{R}^*(\text{algébrique}) \text{ et } z \neq 0 \end{array}$$

« e » apparaît ainsi comme la base d'expression de tout nombre irrationnel et transcendant : $\forall N_{it}$, il faut déterminer les bonnes valeurs de « k » et « z ». On va donc dire :

$$\forall N_{it}, \exists(k, z) \in \mathbb{R}^* \text{ tel que } N_{it} = (k + z)e^z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n(n+k)}{n!} \\ n \in \mathbb{N}$$

Rappelons que certains nombres irrationnels sont algébriques tels que « $\sqrt{2}$ ». D'une façon générale, on peut dire que tout nombre Réel ($R_i$) peut être exprimé sous la forme :

$$R_i = (k_i + z_i)e^{z_i} \\ \text{Avec } R_i, k_i, z_i \in \mathbb{R}.$$

La question qui se pose est :

$$\forall R_i, \exists! (k_i, z_i) \in \mathbb{R} \text{ tel que } R_i = (k_i + z_i)e^{z_i} \\ \text{La question reste posée en particulier pour les nombres transcendants.}$$

### 4. EXPRESSION DU RAPPORT « $\pi/e$ ».

Nous cherchons à établir un nombre qui soit l'expression combinatoire de « $\pi$ » et « e ». Une des meilleures façons d'établir ce nombre est de l'exprimer suivant le rapport « $\frac{\pi}{e}$ ». Par application de la relation de JOHN MACHIN qui donne :
$$ \frac{\pi}{4} = 4 \arctan \left(\frac{1}{5}\right) - \arctan \left(\frac{1}{239}\right) $$

Et par application de l'identité de TWITE, on va déduire :

$$ \frac{\pi}{e} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \{n + \left[1 + 4\left(4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right)\right)\right]\}}{n!} $$

La suite de FIBONACCI est la suite des nombres entiers naturels « F_n » tels que chaque terme est la somme des deux termes qui précèdent :

$$ 
\begin{array}{l}
F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \\
\text{Pour } n \geq 2 \\
\text{Avec } F_0 = 0 \text{ et } F_1 = 1 \\
n \in \mathbb{N}
\end{array}
$$

cette suite est telle que :

$$ \frac{\pi}{4} = \arctan \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} - \arctan \frac{F_n}{F_{n+3}} $$

Par application de l'identité de TWITE et des termes de la suite de FIBONACCI, on peut aussi écrire :

$$ \frac{\pi}{e} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \{n + \left[1 + 4\left(\arctan\left(\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}\right) - \arctan\left(\frac{F_n}{F_{n+3}}\right)\right)\right]}{n!} $$

Avec, $n \in N$

## 5. LA FONCTION $y = \sqrt[x]{x}$

Pour la simplicité de la relation, nous cherchons à traduire la proportionnalité entre « $\pi$ » et « $e$ » par un seul nombre. La meilleure formule d'expression que nous avons trouvée est la fonction :

$$ y = \sqrt[x]{x} $$

<figure><img src="image_1.png" /></figure>
Dans cette fonction, nous retenons les valeurs :

$$x\sqrt{x} = \frac{\pi}{e}$$

Ou

$$\frac{\ln x}{x} = \ln \pi - 1$$

Et

$$x\sqrt{x} = \frac{e}{\pi}$$

Ou

$$\frac{\ln x}{x} = 1 - \ln \pi$$

## 6. LA FONCTION DE LAMBERT.

Pour résoudre ces équations, il faut faire recours à la fonction de LAMBERT aussi appelée FONCTION OMEGA (W). La fonction « W » de LAMBERT est la fonction réciproque de la fonction « f » définie comme étant :

$$f(\omega) = \omega e^{\omega}$$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

La fonction « W » est définie dans l'ensemble « R » sur l'intervalle $[-\frac{1}{e}, +\infty]$.

$$\forall z \text{ et } \omega \in C,$$

$$z = \omega e^{\omega} \Leftrightarrow \omega = W(z)$$

$$\text{C'est-à-dire : } W(z)e^{W(z)} = z$$
La fonction « f » n'étant pas injective, W est une fonction multi-valuée et possède deux branches pour tout réel « r » tel que :

$$r \geq -\frac{1}{e}$$

Dont :

- La branche principale notée « W₀ » qui est telle que :

$$W_{0}(r) \geq -1$$

- La branche secondaire notée « W-1 » qui est telle que :

$$W_{-1}(r) < -1$$

$$\text{Pour } -\frac{1}{e} < r < 0$$

La série de TAYLOR de « W₀ » est une des méthodes utilisées pour calculer « W₀ ». En effet au voisinage de zéro, cette série donne :

$$W_{0}(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^{n}$$

Avec comme rayon de convergence 1/e.

D'où :

$$W_{0}(1) = \Omega = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-n)^{n-1}}{n!}$$

« Ω » est le nombre de LAMBERT qui est tel que :

$$\Omega e^{\Omega} = 1.$$

C'est la constante de LAMBERT « Ω ».

On ne connaît pas de développement en série de la branche secondaire « W-1 ». Mais on peut calculer « W-1(x) » pour « -1/e < x < 0 » par la relation :

$$W_{-1}(x) = -t - \ln(t + \ln(t + \ln(t + \ln(t + \dots))) \\ \text{Pour } t = -\ln(-x)$$

## 7. DETERMINATION DES NOMBRES « TAU ».

La fonction OMEGA de LAMBERT permet de résoudre plusieurs équations impliquant l'exponentielle. Ainsi, pour la fonction :

$$y = x^x$$

On a :

$$\ln y = x \ln x \\ \ln y = e^{\ln x} \cdot \ln x \Leftrightarrow \ln x = W(\ln y) \\ x = e^{W(\ln y)} \\ x = \frac{\ln y}{W(\ln y)}$$

Sur la branche principale de la fonction OMEGA, on aura :
$$x = e^{W_0(\ln y)} = \frac{\ln y}{W_0(\ln y)}$$

On sait que :

$$ \begin{gathered} \sqrt[\tau_0]{\tau_0} = \sqrt[\tau_e]{\tau_e} = \frac{\pi}{e} \\ \text{Et} \\ \sqrt[\tau_i]{\tau_i} = \frac{e}{\pi} \end{gathered} $$

Par réciprocité, on a :

$$ \begin{gathered} \left(\frac{1}{\tau_0}\right)^{\frac{1}{\tau_0}} = \left(\frac{1}{\tau_e}\right)^{\frac{1}{\tau_e}} = \frac{e}{\pi} \\ \text{Et} \\ \left(\frac{1}{\tau_i}\right)^{\frac{1}{\tau_i}} = \frac{\pi}{e} \end{gathered} $$

Par application de la fonction OMEGA, on aura :

$$ \frac{1}{\tau_0} = e^{W_0(\ln \frac{e}{\pi})} = \frac{\ln \frac{e}{\pi}}{W_0(\ln \frac{e}{\pi})} $$

$$ \frac{1}{\tau_e} = e^{W_{-1}(\ln \frac{e}{\pi})} = \frac{\ln \frac{e}{\pi}}{W_{-1}(\ln \frac{e}{\pi})} $$

$$ \frac{1}{\tau_i} = e^{W_0(\ln \frac{\pi}{e})} = \frac{\ln \frac{\pi}{e}}{W_0(\ln \frac{\pi}{e})} $$

Et,

$$ W_0 \left( \ln \frac{e}{\pi} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} \left( \ln \frac{e}{\pi} \right)^n $$

$$ W_0 \left( \ln \frac{\pi}{e} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} \left( \ln \frac{\pi}{e} \right)^n $$

On a donc :

$$ \tau_0 = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n)^{n-1}}{n!} \left( \ln \frac{\pi}{e} \right)^{n-1} $$
$$ \tau_i = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n)^{n-1}}{n!} \left(\ln\frac{e}{\pi}\right)^{n-1} $$

$$ \ln \frac{1}{\tau_e} = -t - \ln(t + \ln(t + \ln(t + \ln(t + \dots)))) $$

$$ \text{Avec, } t = -\ln\left(-\ln\frac{e}{\pi}\right) $$

## 8. TOUR DE PUISSANCE INFINIMENT HAUTE : TETRATION INFINIE.

La tour de puissance infiniment haute ou tétration infinie est une exponentiation itérée d'un nombre « a » et est notée :

$$ \overbrace{\phantom{\left(a\right)^{\left(a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}\right)}}}^{\infty} \left(a\right) = a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}} \quad \text{nombre infini d'exposants} $$

On démontre que :

* La tétration infinie « $\infty(a)$ » converge si et seulement si :
  $$ e^{-e} \le a \le e^{\frac{1}{e}} $$

* Pour tout nombre réel « r », tel que :
  $$ e^{-1} \le r \le e $$
  Et, $a = r^{\frac{1}{r}}$
  alors : $\infty(a) = r$

L'application aux nombres « TAU » montre que :

$$ \begin{gathered} \frac{\pi}{e} = (\tau_0)^{\left(\frac{1}{\tau_0}\right)} \\ e^{-e} \le \frac{\pi}{e} \le e^{\frac{1}{e}} \\ e^{-1} \le \tau_0 \le e \end{gathered} $$

On a donc :

$$ \overset{\infty}{\left(\frac{\pi}{e}\right)} = \tau_0 $$

Aussi,

$$ \begin{gathered} \frac{e}{\pi} = (\tau_i)^{\left(\frac{1}{\tau_i}\right)} \\ e^{-e} \le \frac{e}{\pi} \le e^{\frac{1}{e}} \\ e^{-1} \le \tau_i \le e \end{gathered} $$

On a :

$$ \overset{\infty}{\left(\frac{e}{\pi}\right)} = \tau_i $$
## 9. LES TETRATIONS CONVERGENTES.

En général, on peut calculer les nombres :

$$ \tau_{0p}, \tau_{ip} \text{ et } \tau_{ep}, \text{ pour tout nombre } \left(\frac{\pi}{e}\right)^p $$

$$ \forall p \in \mathbb{R} \text{ tel que:} $$

$$ e^{-e} \le \left(\frac{\pi}{e}\right)^p \le e^{\frac{1}{e}} $$

$$ \text{C'est-à-dire: } \frac{e}{1 - \ln \pi} \le p \le \frac{1}{e(\ln \pi - 1)} $$

et

$$ e^{-1} \le \left[ \left( \frac{\pi}{e} \right)^p \right] \le e $$

Ainsi :

$$ \ln\left(\frac{1}{\tau_{0p}}\right) = W_0\left[\ln\left(\frac{e}{\pi}\right)^p\right] $$

$$ \tau_{0p} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k^{k-1}}{k!} \left[ p \ln \left( \frac{\pi}{e} \right) \right]^{k-1} $$

$$ \tau_{0p} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(pk)^{k-1}}{k!} \left(\ln \frac{\pi}{e}\right)^{k-1} $$

$$ \ln\left(\frac{1}{\tau_{ip}}\right) = W_0\left[\ln\left(\frac{\pi}{e}\right)^p\right] $$

$$ \tau_{ip} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k^{k-1}}{k!} \left[ p \ln \left( \frac{e}{\pi} \right) \right]^{k-1} $$

$$ \tau_{ip} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-pk)^{k-1}}{k!} \left(\ln \frac{\pi}{e}\right)^{k-1} $$

$$ \ln\left(\frac{1}{\tau_{ep}}\right) = W_{-1}\left[\ln\left(\frac{e}{\pi}\right)^p\right] $$

En posant :

$$ t = -\ln\left[-\ln\left(\frac{e}{\pi}\right)^p\right] $$

$$ t = -\ln\left(p \ln \frac{\pi}{e}\right) $$

On a :

$$ \ln\left(\frac{1}{\tau_{ep}}\right) = -t - \ln(t + \ln(t + \ln(t + \ln(t + \dots)))) $$
## 10. TOUR INFINIE DES RACINES.

<table><thead><tr><th>SI ON POSE</th><th>AUSSI, SI ON POSE</th></tr></thead><tbody><tr><td>$n_0 = \frac{\pi}{e} \sqrt{\frac{\pi}{e}}$</td><td>$m_0 = \frac{e}{\pi} \sqrt{\frac{e}{\pi}}$</td></tr><tr><td>$n_1 = \sqrt[\frac{n_0}{1}}{e}$</td><td>$m_1 = \sqrt[\frac{m_0}{1}}{e}$</td></tr><tr><td>$n_2 = \sqrt[\frac{n_1}{1}}{e}$</td><td>$m_2 = \sqrt[\frac{m_1}{1}}{e}$</td></tr><tr><td>$n_3 = \sqrt[\frac{n_2}{1}}{e}$</td><td>$m_3 = \sqrt[\frac{m_2}{1}}{e}$</td></tr><tr><td>$n_4 = \sqrt[\frac{n_3}{1}}{e}$</td><td>$m_4 = \sqrt[\frac{m_3}{1}}{e}$</td></tr><tr><td>$n_5 = \sqrt[\frac{n_4}{1}}{e}$</td><td>$m_5 = \sqrt[\frac{m_4}{1}}{e}$</td></tr><tr><td>$n_6 = \sqrt[\frac{n_5}{1}}{e}$</td><td>$m_6 = \sqrt[\frac{m_5}{1}}{e}$</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>$n_j = \sqrt[\frac{n_{j-1}}{1}}{e}$</td><td>$m_i = \sqrt[\frac{m_{i-1}}{1}}{e}$</td></tr></tbody></table><table><thead><tr><th>ALORS</th><th>ALORS</th></tr></thead><tbody><tr><td>$\lim_{j \to \infty} \sqrt[\frac{n_j-1}{1}}{e} = \frac{1}{\tau_i}$</td><td>$\lim_{i \to \infty} \sqrt[\frac{m_i-1}{1}}{e} = \frac{1}{\tau_0}$</td></tr></tbody></table>

## 11. CONCLUSION.

Nous avons établi les nombres « TAU » : $\tau_0, \tau_e$ et $\tau_i$. Ces nombres sont une combinaison par tétration infinie des nombres caractéristiques « $\pi$ » et « e », par le truchement du rapport $\frac{\pi}{e}$. Ces nombres sont des racines des équations :

$$ \sqrt[x]{x} = \frac{\pi}{e} \quad \text{et} \quad \sqrt[x]{x} = \frac{e}{\pi} $$

Les formules développées pour calculer les nombres « TAU » se présentent alors comme suit :

$$ \tau_0 = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k^{k-1}}{k!} \left( \ln \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \{ n + \left[ 1 + 4 \left( \arctan \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} - \arctan \frac{F_n}{F_{n+3}} \right) \right] \}}{n!} \right)^{k-1} $$
$$ 
\begin{aligned}
\tau_i &= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-k)^{k-1}}{k!} \left( \ln \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \left\{ n + \left[ 1 + 4 \left( \arctan \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} - \arctan \frac{F_n}{F_{n+3}} \right) \right] \right\} }{n!} \right)^{k-1} \\
\tau_e &= [\exp(-t - \ln(t + \ln(t + \ln(t + \ln(t + \ln(t + \cdots))))))]^{-1} \\
t &= -\ln \left( \ln \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \left\{ n + \left[ 1 + 4 \left( \arctan \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} - \arctan \frac{F_n}{F_{n+3}} \right) \right] \right\} }{n!} \right) \\
& \qquad \quad k, n \in N
\end{aligned}
$$

Ces formules mathématiques développées permettent de calculer les nombres « TAU » par le truchement des nombres entiers naturels.

$$ \tau_0 = 1,1875236353592499054384079028236 \dots $$

$$ \tau_e = 21,053460561878551874963289001060 \dots $$

$$ \tau_i = 0,88036777898173462182674985285442 \dots $$

Aussi :

$$ 
\begin{aligned}
\tau_{0p} &= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(pk)^{k-1}}{k!} \left( \ln \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \left\{ n + \left[ 1 + 4 \left( \arctan \left( \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} \right) - \arctan \left( \frac{F_n}{F_{n+3}} \right) \right) \right] \right\} }{n!} \right)^{k-1} \\
\tau_{ip} &= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-pk)^{k-1}}{k!} \left( \ln \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \left\{ n + \left[ 1 + 4 \left( \arctan \left( \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} \right) - \arctan \left( \frac{F_n}{F_{n+3}} \right) \right) \right] \right\} }{n!} \right)^{k-1} \\
\tau_{ep} &= [\exp(-t - \ln(t + \ln(t + \ln(t + \ln(t + \cdots)))))]^{-1} \\
t &= -\ln \left( p \ln \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \left\{ n + \left[ 1 + 4 \left( \arctan \left( \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} \right) - \arctan \left( \frac{F_n}{F_{n+3}} \right) \right) \right] \right\} }{n!} \right)
\end{aligned}
$$

Nous ne savons pas si ces nombres sont irrationnels et transcendants.
<figure><img src="image_3.png" /></figure>