<table><tbody><tr><td>taux de ménages de 5 individus ou plus dans le carreau<sup>49</sup></td><td>x</td><td></td><td></td></tr><tr><td>taux de ménages monoparentaux dans le carreau</td><td>x</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>taux d'individus de 65 ans ou plus dans le carreau</td><td>x</td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="4"><strong>Informations de contact issues de Fidéli</strong></td></tr><tr><td>indicatrice de présence de mail pour l'individu sélectionné</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>indicatrice de présence de numéro de téléphone portable pour l'individu sélectionné</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>indicatrice de présence d'au moins un numéro de téléphone portable ou d'au moins une adresse mail pour l'individu tiré</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>indicatrice de présence d'au moins un numéro de téléphone portable ou d'au moins une adresse mail ou d'au moins un numéro de téléphone fixe pour l'individu sélectionné</td><td>x</td><td></td><td></td></tr><tr><td>indicatrice de présence de mail pour un des deux référents fiscaux</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>indicatrice de présence de numéro de téléphone portable pour un des deux référents fiscaux</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>indicatrice de présence d'au moins un numéro de téléphone portable ou d'au moins une adresse mail pour un des deux référents fiscaux</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>indicatrice de présence d'au moins un numéro de téléphone portable ou d'au moins une adresse mail ou d'au moins un numéro de téléphone fixe pour un des deux référents fiscaux</td><td>x</td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="4"><strong>Variables issues de Filosofi au niveau logement ou individu</strong></td></tr><tr><td>indicatrice de perception de l'allocation logement à caractère familial (ALF)</td><td>x</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>indicatrice de perception de l'allocation logement à caractère social (ALS)</td><td>x</td><td></td><td></td></tr><tr><td>indicatrice de perception de l'aide personnalisée au logement (APL)</td><td>x</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>indicatrice de perception de minima sociaux</td><td>x</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>indicatrice de perception d'allocations familiales</td><td>x</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>indicatrice de ménage sous le seuil de pauvreté</td><td>x</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>indicatrice de versement de pensions alimentaires</td><td>x</td><td></td><td></td></tr><tr><td>indicatrice de perception de revenus de valeurs mobilières</td><td>x</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>indicatrice de perception de revenus du foncier</td><td>x</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>décile de niveau de vie</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>décile de revenu disponible</td><td>x</td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="4"><strong>Variables issues de l'enquête relatives à l'individu enquêté</strong></td></tr><tr><td>sexe</td><td></td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>diplôme</td><td></td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>nationalité</td><td></td><td></td><td>x</td></tr></tbody></table>

<footnote n="49">49 Voir https://www.insee.fr/fr/statistiques/4176290?sommaire=4176305</footnote>
<table><tr><td>Département habituel de résidence, avec le début de la pandémie</td><td>x</td><td></td></tr><tr><td>État de santé général de l'individu</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Indicatrice de problème de santé chronique ou durable</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Indicatrice de perte d'autonomie en raison d'un problème de santé</td><td>x</td><td></td></tr><tr><td>A été testé pour la Covid-19, et résultat du test le cas échéant</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Symptômes de la Covid-19 durant le confinement</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Pense avoir été contaminé par la Covid-19</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Le cas échéant, absence de contact avec un professionnel de santé au moment de l'apparition des symptômes</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Le cas échéant, absence de sortie à partir de l'apparition des symptômes</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Situation vis-à-vis de l'emploi avant le confinement</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Chômage partiel durant le confinement</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Exercice d'une activité professionnelle la semaine précédente</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Télétravail à temps complet la semaine précédente</td><td>x</td><td></td></tr><tr><td>Profession dans le milieu médical</td><td>x</td><td></td></tr><tr><td>Fréquence de sortie la semaine précédente</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Le cas échéant, port du masque lors de ces sorties</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Le cas échéant, absence de rencontre extérieure durant ces sorties</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Tabagisme actuel</td><td>x</td><td></td></tr><tr><td>A déjà fumé quotidiennement pendant plus de 6 mois</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Fréquence de consommation d'alcool</td><td>x</td><td>x</td></tr></table>

## Variables issues de l'enquête relatives au logement occupé durant le confinement

<table><tr><td>Nombre d'occupants</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Lien de l'individu avec les autres occupants</td><td>x</td><td></td></tr><tr><td>Un autre occupant a été testé positif à la Covid-19</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>Un autre occupant a eu des symptômes de la Covid-19 durant le confinement</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Sortie d'un occupant la veille</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Le logement n'est pas le logement usuel de l'individu</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>Nombre de pièces</td><td>x</td><td></td></tr><tr><td>Type de logement * aménagements extérieurs</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Détérioration de la situation financière du ménage depuis le début du confinement</td><td>x</td><td></td></tr></table>

À noter : certaines modalités ont parfois été regroupées afin de disposer de suffisamment d'individus par regroupement de modalité dans l'échantillon.
Annexe A2 : Caractéristiques des répondants en métropole selon le type de lot

<table><thead><tr><th></th><th>Lots monomodes</th><th>Lots multimodes</th><th>Lot 1</th><th>Lot 2</th><th>Lot 3</th><th>Lot 4</th></tr></thead><tbody><tr><td>Moins de 30 ans</td><td>21%</td><td>21%</td><td>21%</td><td>21%</td><td>21%</td><td>21%</td></tr><tr><td>30-44 ans</td><td>24%</td><td>24%</td><td>24%</td><td>24%</td><td>24%</td><td>24%</td></tr><tr><td>45-59 ans</td><td>28%</td><td>27%</td><td>27%</td><td>26%</td><td>27%</td><td>27%</td></tr><tr><td>60-74 ans</td><td>21%</td><td>21%</td><td>21%</td><td>21%</td><td>21%</td><td>22%</td></tr><tr><td>75 ans ou plus</td><td>5%</td><td>7%</td><td>7%</td><td>8%</td><td>7%</td><td>7%</td></tr><tr><td>Ménage en dessous du seuil de pauvreté</td><td>13%</td><td>14%</td><td>14%</td><td>14%</td><td>14%</td><td>14%</td></tr><tr><td>décile de niveau de vie moyen</td><td>6,16</td><td>5,94</td><td>5,97</td><td>5,92</td><td>5,92</td><td>5,95</td></tr><tr><td>célibataire</td><td>14%</td><td>16%</td><td>16%</td><td>16%</td><td>16%</td><td>15%</td></tr><tr><td>en couple sans enfant</td><td>25%</td><td>25%</td><td>24%</td><td>24%</td><td>26%</td><td>25%</td></tr><tr><td>en couple avec enfant</td><td>45%</td><td>44%</td><td>44%</td><td>44%</td><td>43%</td><td>44%</td></tr><tr><td>famille monoparentale</td><td>10%</td><td>10%</td><td>10%</td><td>10%</td><td>10%</td><td>10%</td></tr><tr><td>ménage complexe</td><td>5%</td><td>6%</td><td>6%</td><td>5%</td><td>6%</td><td>6%</td></tr><tr><td>vit en maison</td><td>66%</td><td>65%</td><td>65%</td><td>65%</td><td>65%</td><td>66%</td></tr><tr><td>vit dans un quartier prioritaire de la ville</td><td>5%</td><td>5%</td><td>5%</td><td>5%</td><td>5%</td><td>5%</td></tr><tr><td>commune rurale</td><td>25%</td><td>25%</td><td>25%</td><td>25%</td><td>26%</td><td>25%</td></tr><tr><td>moins de 20000 habitants</td><td>18%</td><td>18%</td><td>19%</td><td>18%</td><td>18%</td><td>18%</td></tr><tr><td>de 20000 à 100000 habitants</td><td>14%</td><td>14%</td><td>13%</td><td>14%</td><td>13%</td><td>14%</td></tr><tr><td>plus de 100000 habitants</td><td>28%</td><td>28%</td><td>28%</td><td>28%</td><td>28%</td><td>27%</td></tr><tr><td>agglomération parisienne</td><td>15%</td><td>15%</td><td>15%</td><td>15%</td><td>15%</td><td>15%</td></tr><tr><td>mail disponible</td><td>75%</td><td>70%</td><td>70%</td><td>70%</td><td>70%</td><td>71%</td></tr><tr><td>téléphone portable disponible</td><td>39%</td><td>39%</td><td>40%</td><td>39%</td><td>38%</td><td>40%</td></tr><tr><td>au moins 1 coordonnée disponible</td><td>78%</td><td>77%</td><td>77%</td><td>77%</td><td>77%</td><td>77%</td></tr><tr><td>Taux de réponse</td><td>34,9</td><td>45,7</td><td>45,2</td><td>47,5</td><td>46,2</td><td>44,7</td></tr><tr><td>Taux d'hospitalisation du département</td><td>15,13</td><td>14,94</td><td>14,95</td><td>14,91</td><td>14,97</td><td>14,99</td></tr></tbody></table>
Annexe A3 : Estimations pondérées avant et après application des GRH et du calage sur marges

<table><thead><tr><th>En %</th><th>Poids avant GRH et calage</th><th>Poids finaux</th></tr></thead><tbody><tr><td>Âge moyen</td><td>48,44</td><td>48,35</td></tr><tr><td>En situation de pauvreté</td><td>14,02</td><td>13,90</td></tr><tr><td>Au chômage</td><td>5,49</td><td>6,11</td></tr><tr><td>Né à l'étranger</td><td>7,23</td><td>6,89</td></tr><tr><td>Plus haut diplôme obtenu : Bac ou plus</td><td>42,21</td><td>40,05</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>En %</th><th>Poids avant GRH et calage</th><th>Poids finaux</th></tr></thead><tbody><tr><td>Télétravail</td><td>11,05</td><td>10,37</td></tr><tr><td>Aucune sortie du domicile</td><td>9,50</td><td>9,52</td></tr><tr><td>Bon ou très bon état de santé</td><td>76,67</td><td>76,49</td></tr><tr><td>Fièvre</td><td>7,71</td><td>7,64</td></tr><tr><td>Toux</td><td>8,25</td><td>8,17</td></tr><tr><td>Perte de goût ou d'odorat</td><td>2,67</td><td>2,62</td></tr><tr><td>Au moins 1 symptôme</td><td>26,15</td><td>26,00</td></tr></tbody></table>

Annexe A4 : Estimations pour les répondants Internet et Téléphone des lots multimodes selon la pondération

<table><thead><tr><th rowspan="3">En %</th><th colspan="2">Pondération sur observables</th><th colspan="4">Repondération par l'inverse du score de propension</th></tr><tr><th rowspan="2">Internet</th><th rowspan="2">Téléphone</th><th colspan="2">Variables auxiliaires</th><th colspan="2">Variables auxiliaires et additionnelles</th></tr><tr><th>Internet</th><th>Téléphone</th><th>Internet</th><th>Téléphone</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Fièvre</td><td>8,2</td><td>4,7</td><td>8,5</td><td>5,8</td><td>7,9</td><td>6,8</td></tr><tr><td>(0,19)</td><td>(0,20)</td><td>(0,21)</td><td>(0,21)</td><td>(0,19)</td><td>(0,24)</td></tr><tr><td rowspan="2">Toux</td><td>8,4</td><td>5,1</td><td>8,8</td><td>5,7</td><td>8,4</td><td>6,5</td></tr><tr><td>(0,19)</td><td>(0,19)</td><td>(0,20)</td><td>(0,21)</td><td>(0,19)</td><td>(0,22)</td></tr><tr><td rowspan="2">Perte de goût ou d'odorat</td><td>2,7</td><td>2,0</td><td>2,8</td><td>2,1</td><td>2,6</td><td>2,3</td></tr><tr><td>(0,12)</td><td>(0,13)</td><td>(0,12)</td><td>(0,13)</td><td>(0,11)</td><td>(0,14)</td></tr><tr><td rowspan="2">Au moins 1 symptôme</td><td>27,2</td><td>17,5</td><td>27,6</td><td>19,7</td><td>26,7</td><td>21,9</td></tr><tr><td>(0,31)</td><td>(0,36)</td><td>(0,32)</td><td>(0,35)</td><td>(0,32)</td><td>(0,40)</td></tr></tbody></table>

Note : entre parenthèses, sont présentés les écarts-types calculés par Bootstrap.

Lecture : l'estimation de la prévalence de la fièvre avec la pondération sur observables est de 8,2 % pour les répondants Internet et 4,7 % pour les répondants Téléphone.

Source : Inserm-Drees, enquête EpiCov, vague 1.
Annexe A5 : Distribution du score de propension pour les répondants disposant d'un numéro de téléphone portable et d'une adresse mail

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Note : la courbe rouge représente la distribution du score de propension, modélisant la propension à répondre par téléphone plutôt que par Internet, pour les répondants Internet; la courbe bleue représente la distribution du même score pour les répondants Téléphone.

Champ : individus résidant en métropole disposant d'un numéro de téléphone portable et d'une adresse mail ayant répondu soit par téléphone soit par Internet dans les lots monomodes.

Source : Inserm-Drees, enquête EpiCov, vague 1.

Annexe A6 : Effet du mode estimé par repondération par l'inverse du score de propension parmi les répondants disposant d'un téléphone et une adresse mail

a. Support commun large

<table><thead><tr><th rowspan="2">En %</th><th colspan="2">Pondération sur observables</th><th colspan="2">repondération par l'inverse du score de propension</th></tr><tr><th>Internet</th><th>Téléphone</th><th>Internet</th><th>Téléphone</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fièvre</td><td>9,4<br>(0,12)</td><td>7,7<br>(0,34)</td><td>9,3<br>(0,12)</td><td>9,5<br>(0,39)</td></tr><tr><td>Toux</td><td>9,8<br>(0,13)</td><td>7,5<br>(0,34)</td><td>9,9<br>(0,13)</td><td>8,1<br>(0,35)</td></tr><tr><td>Perte de goût ou d'odorat</td><td>3,1<br>(0,07)</td><td>2,8<br>(0,22)</td><td>3,0<br>(0,07)</td><td>3,1<br>(0,22)</td></tr><tr><td>Au moins 1 symptôme</td><td>30,3<br>(0,19)</td><td>23,6<br>(0,54)</td><td>30,3<br>(0,20)</td><td>26,7<br>(0,56)</td></tr></tbody></table>
b. Support commun restreint

<table><thead><tr><th rowspan="2">En %</th><th colspan="2">Pondération sur observables</th><th colspan="2">repondération par l'inverse du score de propension</th></tr><tr><th>Internet</th><th>Téléphone</th><th>Internet</th><th>Téléphone</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fièvre</td><td>9,5<br>(0,12)</td><td>8,6<br>(0,44)</td><td>9,5<br>(0,12)</td><td>9,9<br>(0,48)</td></tr><tr><td>Toux</td><td>9,9<br>(0,14)</td><td>7,8<br>(0,41)</td><td>10,0<br>(0,14)</td><td>8,3<br>(0,46)</td></tr><tr><td>Perte de goût ou d'odorat</td><td>3,1<br>(0,08)</td><td>3,0<br>(0,25)</td><td>3,1<br>(0,07)</td><td>3,2<br>(0,28)</td></tr><tr><td>Au moins 1 symptôme</td><td>30,4<br>(0,20)</td><td>25,4<br>(0,71)</td><td>30,4<br>(0,20)</td><td>27,3<br>(0,66)</td></tr></tbody></table>

Note : sont indiqués entre parenthèses les écarts-types calculés par Bootstrap.

Lecture : la prévalence de la fièvre pour les répondants Internet des lots monomodes est de 9,5 % avec la pondération sur observables sur le support commun restreint des répondants avec un téléphone et un mail.

Champ : support commun du score calculé sur les variables auxiliaires et additionnelles pour les répondants résidant en métropole, disposant d'un numéro de téléphone portable et d'une adresse mail, ayant répondu soit par téléphone soit par Internet dans les lots monomodes.

Source : Inserm-Drees, enquête EpiCov, vague 1.

Annexe A7 : Composantes de l'incertitude des estimateurs de prévalence des symptômes

Cette annexe vise à présenter des ordres de grandeur sur les sources d'incertitude des estimateurs de moyenne fondés sur les échantillons observés dans EpiCov. La population répondante résulte des deux étapes de sélection (figure ci-après) : 1) le sondage qui sélectionne les échantillons parmi la population générale et 2) le processus de réponse des enquêtés, certains d'entre eux décidant de ne pas répondre à l'enquête.

Il s'agit, à partir de la population des répondants de calculer un estimateur $\hat{\mu}$ d'une quantité $\mu$ qui serait — théoriquement — observée si on était en mesure d'interroger tous les individus composant la population d'intérêt de l'enquête.

La variable aléatoire $\hat{\mu}$ est un estimateur d'Horvitz-Thompson (ou de Hajek) dont le principe théorique est de combiner linéairement les observations réalisées sur les répondants dans le cadre de l'enquête en les pondérant par l'inverse de la probabilité d'inclusion des individus concernés dans la population des répondants. Sous l'hypothèse où l'on connaît cette probabilité, alors $\hat{\mu}$ estime la quantité $\mu$ sans biais. Cette estimation est affectée d'une incertitude (variance) qui découle des aléas suivants :

A) l'aléa de sondage

B) l'aléa de la variable de réponse à l'enquête

C) l'aléa associé à l'estimation du modèle de correction de non-réponse et à son utilisation en prédiction des probabilités d'inclusion
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

**Lecture de la figure** : On veut connaître la moyenne $\mu$ d'une variable sur la population générale (ensemble en haut). On sélectionne aléatoirement, selon un plan de sondage donné, des individus dans la population générale. Connaissant ce plan de sondage, on peut, si tous les individus sélectionnés répondent (personnages en rouge dans l'ensemble du milieu), construire un estimateur sans biais de $\mu$ (estimateur d'Horvitz-Thompson, noté $\hat{\mu}$). Cependant, seules certaines personnes sélectionnées répondent effectivement (ensemble en bas, personnages en vert). Comme précédemment, si on connaît la règle de sélection des répondants parmi la population sélectionnée dans le plan de sondage, on peut calculer un estimateur sans biais. Cette nouvelle étape de sélection, contrairement à la précédente, n'est pas aléatoire et doit être inférée grâce aux caractéristiques connues des individus sélectionnés dans le plan. L'analyste construit donc un modèle de non-réponse pour estimer la règle de sélection. Il dispose d'informations supplémentaires sur la population générale qu'il peut aussi utiliser par calage. Si cette information est corrélée avec la variable d'intérêt, alors l'estimateur $\hat{\mu}$ s'en trouvera amélioré (plus précis).
La portée de ces aléas est réduite par les informations externes qui sont mobilisées pour le calcul des poids de l'estimateur, notamment le calage qui consiste à calculer un système de poids, proche des poids initiaux, qui annule la différence entre l'estimateur modifié et des marges connues sur la population générale, notamment grâce aux enquêtes de recensement ou à la base de sondage. La réduction de variance qui découle de l'usage de cette information complémentaire est directement liée à la corrélation qui existe entre la variable à estimer $\mu$ et les variables de calage. En l'espèce, les variables de calage sont très peu corrélées aux variables de symptômes collectées dans l'enquête.

Le tableau A7 indique la valeur des écarts-types des estimateurs d'Horvitz-Thompson (ou de Hajek) obtenus sous différentes hypothèses concernant les aléas évoqués ci-dessus.

On note, dans les résultats présentés au tableau A7, le faible écart entre les précisions calculées sous l'hypothèse d'un sondage aléatoire simple (SAS) et sous l'hypothèse d'un sondage stratifié (comparer les lignes 1 et 2 du tableau). Du point de vue de la précision, le plan de sondage est donc un quasi-SAS. Moyennant quoi, l'estimation des précisions, quel que soit l'estimateur fondé sur les données d'enquête, peut être réalisée simplement par Boostrap sur les individus sélectionnés.

La contribution de l'incertitude de modèle à la variance des estimateurs est, pour le modèle Probit de correction de non-réponse, faible et du même ordre de grandeur que l'écart de précision entre une hypothèse de plan de sondage stratifié et l'hypothèse de SAS (comparer les lignes 3 et 2, puis 3 et 1). En revanche, cette contribution du modèle de non-réponse à l'incertitude est dominante dans le cas du modèle d'Heckman de correction de non-réponse : la prise en compte de cette incertitude multiplie par 4 les écarts-types n'en tenant pas compte (comparer les lignes 1 et 4), tandis que l'augmentation n'est que d'environ 30 % dans le cas d'un modèle de correction de non-réponse par Probit (comparer les lignes 1 et 3). La modélisation d'Heckman a donc un coût en termes de précision, mais évidemment, elle permet ici de construire des estimateurs sans biais, tandis qu'ils sont fortement biaisés lorsque la correction de non-réponse est fondée sur un modèle Probit, ce dernier ne permettant pas de prendre en compte la sélection endogène.
<table><caption>Tableau A7 : écarts-types estimés selon les hypothèses d'aléas (en points de %)</caption><thead><tr><th colspan="3">Modélisation<br>(i.e. aléas pris en compte et forme supposée de ceux-ci)</th><th colspan="2">Variable</th></tr><tr><th></th><th>A<br>aléa de sondage</th><th>B<br>aléa de participation</th><th>C<br>aléa de modèle de participation utilisé en prédiction des poids</th><th>Toux</th><th>Au moins 1 symptôme</th></tr></thead><tbody><tr><td>(1)</td><td>SAS</td><td>SAS</td><td>Ø</td><td>0,07</td><td>0,12</td></tr><tr><td>(2)</td><td>Sondage stratifié et SAS au sein des strates</td><td>CNR</td><td>Ø</td><td>0,09</td><td>0,15</td></tr><tr><td>(3)</td><td>SAS</td><td>CNR</td><td>Oui (Probit)</td><td>0,09</td><td>0,14</td></tr><tr><td>(4)</td><td>SAS</td><td>CNR</td><td>Oui (Heckman)</td><td>0,28</td><td>0,54</td></tr></tbody></table>

**Lecture** : les lettres A, B, C se réfèrent aux trois formes d'aléas cités dans le texte. L'écart-type de l'estimateur de prévalence de la Toux en population générale fondé sur les répondants à l'enquête et sous l'hypothèse d'une sélection en double sondage aléatoire simple (SAS) et pas d'aléa associé à l'estimation de la probabilité de réponse vaut 0,07 points de pourcentage.

**Notes** : (1) : on suppose par ailleurs que la sélection des répondants résulte d'un double SAS pour les deux étapes de sélection (donc globalement d'un SAS). On n'intègre pas ici d'aléa lié au modèle de participation (colonne C) donc les poids de sondages sont uniformes et certains. Le calcul résulte de l'application de la formule de variance pour un SAS appliqué aux effectifs de répondants (voir Tillé, 2019 ; p. 31). On obtient les mêmes résultats en réalisant un calcul de Bootstrap sur l'estimateur de moyenne, avec 1000 boucles sur les répondants. (2) : la correction de non-réponse appliquée ici est fondée sur un modèle logistique accompagné d'un traitement par groupe de réponses homogènes et d'un calage sur marge. La variance du plan est cohérent avec le véritable plan choisi (stratifié —voir partie I). Les mêmes résultats sont obtenus par application de la formule de variance de Sen-Yates-Grundy (Tillé, 2019 ; p. 23) avec les poids de sondages normalisés sur les répondants, en application de la formule de Hajek (Tillé, 2019 ; p. 31) et des probabilités d'inclusion doubles égales au produit des probabilités simples (pas de covariances issues du plan). (3) estimation par boucle Bootstrap sur l'estimateur de moyenne, avec 1000 boucles sur les sélectionnés dans le plan de sondage et calcul du modèle de correction de non-réponse par Probit, les poids obtenus via le modèle étant d'abord winsorisés pour ceux supérieurs à 10 et ensuite multipliés par les poids de sondage. (4) estimation par boucle Bootstrap sur l'estimateur de moyenne, avec 1000 boucles sur les sélectionnés dans le plan de sondage et calcul du modèle de correction de non-réponse par modèle d'Heckman dans chaque boucle, les poids obtenus étant d'abord winsorisés pour ceux supérieurs à 10 et ensuite multipliés par les poids de sondage.

**Source** : Inserm-Drees, enquête EpiCov, vague 1.

Annexe A8 : Étude de la variable indicatrice de naissance à l'étranger et recommandations dans la mise en œuvre des modèles d'Heckman

La variable indicatrice de naissance à l'étranger est intéressante, dans cette enquête, à plusieurs titres. D'abord elle est disponible dans la base de sondage. Elle est d'ailleurs, pour cette raison, utilisée comme variable de calage<fnref n="50" /> dans les Drom (sous la forme d'une variable à trois modalités :

<footnote n="50">50 Pour être précis, la variable indicatrice est utilisée sous sa forme présente dans la base de sondage dans les DROM. En revanche, en métropole, c'est la réponse à l'enquête, redressée à l'aide de la variable de la base de sondage, qui est</footnote>
métropole/DOM/étranger —voir paragraphe II.2). Il est donc possible de calculer l'estimateur de proportion de nés à l'étranger pour la population sélectionnée dans l'enquête. Cette valeur s'établit à 14,0 %, pour un écart-type de sondage de 0,05 points de pourcentage (écart-type pour un sondage aléatoire simple sans remise —voir annexe A7 pour une discussion à ce propos). Par ailleurs, une estimation de la moyenne de cette variable fondée sur les seuls répondants pondérés grâce aux poids de sondage conduit (tableau A8.1) à une estimation fortement biaisée de 10,2 % (± 0,09). Dans la même configuration, elle est aussi significativement différente selon qu'on la calcule sur les lots internet (10,1 % ± 0,09) ou sur les lots multimodes (10,5 % ± 0,17). Tout se passe comme si, les nés à l'étranger avaient globalement une propension à répondre plus faible que les autres individus. On peut observer la signature de ce comportement à deux niveaux : d'une part, le protocole qui génère un surcroît de réponse (le protocole multimode) par rapport au protocole alternatif conduit à une estimation de la proportion de nés à l'étranger plus élevée ; d'autre part, l'estimation fondée sur les répondants à l'enquête, sous une hypothèse de non-réponse MAR (*missing-at-random*), est globalement sous-évaluée par rapport à la valeur vraie.

Il est intéressant, dans ces circonstances (biais de sélection apparent et connaissance de la vraie valeur de la moyenne de la variable sur la population d'enquête), d'examiner le comportement des estimateurs de Heckman et des estimateurs alternatifs d'enquête. C'est l'objet de cette annexe.

Le tableau A8.1 montre différentes estimations de la proportion de nés à l'étranger fondées sur les répondants à l'enquête<fnref n="51" />, avec différents systèmes de pondérations. Naturellement, le système (ligne 1 en italique du tableau) qui utilise la connaissance in extenso<fnref n="52" /> de cette variable est spontanément convergents. Ceci est conforme à la théorie qui indique que si la probabilité de réponse est conditionnée par la variable d'intérêt, tandis que celle-ci est connue sur l'ensemble de la population échantillonnée, alors l'estimateur d'Horvitz-Thompson qui en découle est sans biais<fnref n="53" />. Le calage est ici une autre étape de convergence, c'est-à-dire que si cette variable n'était pas utilisée dans le modèle de correction de non-réponse, son utilisation dans le calage sur marge conduirait également à un estimateur non-biaisé<fnref n="53" />.

Bien sûr, en général, la variable d'intérêt n'est pas connue sur les non-répondants et ne peut donc pas être utilisée pour la correction de non-réponse ou le calage. C'est la raison pour laquelle, la situation particulière permet ici de simuler ce qu'auraient été les estimateurs, en l'absence de la variable indicatrice de naissance à l'étranger dans la base de sondage, et de comparer ces estimateurs à la valeur vraie.

On sait, dans le cas présent, que les nés à l'étranger ont tendance à sous-participer à l'enquête. Donc, la participation décroît avec la propension à être né à l'étranger. La corrélation de la propension à participer avec celle d'être né à l'étranger devrait donc être négative. C'est ce qu'on observe lorsqu'on estime un modèle de Heckman avec comme explicatives, des variables caractéristiques de l'environnement socio-économique du ménage, mais sans intégrer de caractéristiques individuelles (ligne 5 du tableau A8.1). En revanche, la même régression intégrant des variables individuelles comme explicatives conduit à estimer une corrélation positive (ligne 4 du tableau A8.1). Ces deux coefficients de corrélation estimés sont significativement différents. On observe, en outre, que les estimateurs de moyenne qui découlent de la correction de non-réponse de Heckman intégrant des variables individuelles sont biaisés<fnref n="54" />. A l'inverse, quand on n'intègre pas

<footnote>utilisée, confrontée aux marges du recensement. Il convient de préciser que la variable présente dans la base de sondage (source fiscale) comporte une modalité « lieu de naissance non renseigné » pour 6% des individus qui sont, pour l'analyse présente, considérés être nés en France. On peut noter que ceci n'est nullement de nature à fausser les résultats de l'analyse conduite dans cette annexe puisque celle-ci est conduite en intégralité sur cette variable binaire, disponible pour **tous** les sélectionnés dans l'enquête.</footnote>

<footnote n="51">51 On utilise directement la variable de la base de sondage ; il n'y a donc pas d'erreur de mesure possible dans ce cas.</footnote>

<footnote n="52">52 i.e. pour les répondants **et** pour les non-répondants.</footnote>

<footnote n="53">53 asymptotiquement</footnote>

<footnote n="54">54 i.e. un test d'égalité de l'estimateur à la vraie valeur est rejeté.</footnote>
de variables individuelles dans le modèle d'Heckman, les estimateurs ne diffèrent pas significativement de la vraie valeur<fnref n="55" />.

Ces observations nous permettent de préciser le cadre d'application des différentes stratégies d'estimation, en les illustrant :

* Dans le cas où le design d'enquête combine des sous-échantillons constitués aléatoirement, certains monomodes et d'autres multimodes, ces derniers donnant lieu à une participation accrue par rapport aux premiers, il est très informatif d'examiner les moyennes de variables, obtenues sur les deux types de sous-échantillons. Différentes hypothèses de correction de non réponse doivent être examinées dans ce cas. Si ces moyennes diffèrent, alors il y a vraisemblablement un phénomène de participation endogène et/ou une erreur modale de mesure. Il faut alors être vigilant et réaliser différents tests, dont des corrections de non réponse par modèles d'Heckman, pour rendre plus robustes les hypothèses sous-jacentes au calcul final. Dans le cas présent, la ligne 2 du tableau A8.1 doit nous alerter (différence des moyennes monomode-multimode quasi-significative).

* Les modèles usuels de correction de non-réponse sur observables posent comme seules hypothèses (i) celle de l'indépendance conditionnelle de la variable d'intérêt et de la participation, conditionnellement aux variables explicatives et (ii) celle de la forme fonctionnelle de la dépendance conditionnelle (Probit, Logit...). En particulier, ces modèles n'exigent pas de postuler l'existence d'une variable latente, donc ils n'imposent pas d'indépendance entre explicatives et aléa qui seraient associés à cette variable latente. Une autre façon de présenter les choses est de noter que ces modèles ne sont utilisés que pour prédire la probabilité d'inclusion. Par conséquent, les coefficients du modèle sont sans importance autre que leur faculté à bien prédire cette probabilité. C'est ainsi qu'à l'extrême, si on dispose de la variable d'intérêt pour l'ensemble de la population sélectionnée, on a intérêt à intégrer cette variable dans le modèle de probabilité d'inclusion et l'estimateur d'Horvitz-Thompson qui en découle est sans biais. On observe bien ce résultat à la ligne (1) du tableau A8.1.

* Le modèle d'Heckman pose l'hypothèse de l'existence de variables latentes et comme hypothèse d'exclusion que les explicatives sont indépendantes des aléas des variables latentes (voir la relation 5 —§ IV.2). Dans la correction de non-réponse, le paramètre de corrélation du modèle joue un rôle essentiel, comme on peut l'observer grâce aux formules de calcul des probabilités d'inclusion (relations 7 et 8 —§ IV.2). Or l'estimation des paramètres du modèle, réalisée par maximum de vraisemblance, est sans biais si les conditions d'exclusion sont effectivement vérifiées, c'est-à-dire que les explicatives sont « exogènes ». En général, et en particulier ici, il est douteux que des variables de caractéristiques individuelles soient réellement indépendantes d'aléas, eux-mêmes propres à l'individu : rien ne permet de le justifier au plan théorique. Au contraire, si des variables sont endogènes dans les explicatives potentielles, c'est évidemment d'abord dans les caractéristiques individuelles qu'on les trouve. Le risque d'endogénéité est beaucoup moins fort pour des caractéristiques décrivant le contexte dans lequel évolue l'individu. Ce contexte, souvent mesuré à l'aide de moyennes sur un ensemble d'habitants du voisinage, est certainement explicatif des variables d'intérêt voire de la participation. En revanche, il est peu probable que l'individu lui-même ait une influence significative sur ces variables. Par conséquent, ces variables sont probablement exogènes, en ce sens qu'elles vérifient très probablement, en tant qu'explicatives du modèle d'Heckman, les conditions d'exclusion (5). C'est précisément ce qu'illustre le calcul du modèle d'Heckman intégrant des caractéristiques individuelles : dans ce calcul, le signe du coefficient de corrélation est manifestement inversé avec la réalité (il devrait être négatif comme indiqué *supra* ; il est ici positif) et la conséquence est que l'estimateur d'Horvitz-Thompson résultant est biaisé

<footnote n="55">55 Bien que l'estimateur soit relativement éloigné numériquement de la vraie valeur, celle-ci figure bien dans l'intervalle de confiance à 95 % (2 écarts-types). C'est d'ailleurs une des vertus importantes de l'approche par correction de non-réponse fondée sur un modèle de Heckman que de générer des intervalles de confiance réalistes.</footnote>
(ligne 4, tableau A8.1). La suppression, dans le modèle d'Heckman, de l'ensemble des variables individuelles comme explicatives permet de restaurer une estimation sans biais des paramètres, et en particulier du signe de la corrélation. *In fine*, l'estimateur d'Horvitz-Thompson qui en découle est non biaisé<fnref n="56" />,⁵³ (ligne 5, tableau A8.1).

* S'agissant du cas particulier de la variable indicatrice de naissance à l'étranger, le modèle de correction de non-réponse usuel fondé sur les variables individuelles et de contexte disponibles dans la base de sondage permet d'approcher une estimation sans biais et surtout de corriger de la sélection endogène. En effet, après application de ce modèle, la différence des estimateurs sur les lots monomodes et multimodes est nulle (ligne 3 du tableau A8.1). On note que la correction d'Heckman (ligne 5 du tableau A8.1) produit des estimations de niveaux comparables. On en déduit que la sélection endogène mise en évidence par la différence des estimateurs monomodes et multimodes sur une pondération par les poids de sondages (ligne 2 du tableau A8.1) est, en l'espèce, convenablement prise en compte et corrigée par les différences de caractéristiques individuelles figurant dans la base de sondage. Il n'y a donc pas lieu, ici, d'utiliser un modèle d'Heckman pour corriger de la sélection endogène. En revanche, l'utilisation du modèle d'Heckman permet de valider la bonne prise en compte de la sélection endogène par le modèle usuel et de calculer des intervalles de confiance qui sont davantage conformes avec la vraie valeur : on note en effet que la vraie valeur n'est pas dans l'intervalle de confiance calculé avec le modèle usuel (ligne 3 du tableau A8.1), tandis qu'elle l'est avec celui du modèle d'Heckman (ligne 5 du tableau A8.1). Le gain en précision qu'on pourrait avancer pour justifier d'utiliser le modèle usuel plutôt qu'un modèle d'Heckman n'épuise pas le sujet : cet argument de meilleure précision du modèle usuel peut même fausser l'inférence puisqu'in fine, la vraie valeur n'est pas dans l'intervalle associé et donc la précision estimée est en partie illusoire. L'utilisation du modèle d'Heckman permet donc ici d'étudier la précision effective, même si elle n'est pas recommandable pour le calcul de l'estimateur proprement dit.

* Comme évoqué à la note de bas de page n°39, en pratique, les estimateurs portent sur la fraction de la population d'enquête dont la probabilité de participer n'est pas nulle. En l'absence de sélection endogène, l'écart observé entre la vraie valeur et l'estimateur usuel (ligne 3 du tableau A8.1) pourrait s'expliquer par l'existence d'une sous-population ayant une probabilité nulle de participer à l'enquête. Dans l'exemple proposé, cela reviendrait à considérer que certains nés à l'étranger ont une probabilité nulle de participer à l'enquête, ce qui n'est pas, en soi, impossible. De facto, l'estimateur de Heckman est, théoriquement exposé au même biais : si une fraction de la population a une probabilité nulle de participer, alors le modèle de Heckman ne peut pas redresser l'information pour les individus dont la probabilité de participer serait nulle. Le mal est même plus profond dans ce cas puisque la forme fonctionnelle du modèle ne permet pas non plus de traiter le cas où la probabilité nulle de participer serait liée au mode. Cela étant, dans le cas qui nous intéresse ici, le fait que la valeur vraie de la proportion de nés à l'étranger est dans l'intervalle de confiance de l'estimateur fondé sur le modèle d'Heckman, tandis qu'elle est hors de l'intervalle de confiance de l'estimateur usuel suggère plutôt :

i. l'absence de biais de couverture (pas de sous-population ayant une probabilité nulle de participer à l'enquête) ;

ii. une sélection endogène dont la variance de modèle pour la corriger n'est pas estimée convenablement par la formule de variance de l'estimateur usuel.

<footnote n="56">56 bien qu'incertain.</footnote>
<table><caption>Tableau A8.1 : Estimation de la proportion de nés à l'étranger avec différents systèmes de pondération, pour les lots monomodes et multimodes et pour l'ensemble</caption><thead><tr><th>Pondération</th><th>Lots multimodes</th><th>Lots monomodes</th><th>Ensemble</th><th>ρ (modèle d'Heckman)</th></tr></thead><tbody><tr><td>(1) Poids calés</td><td>13,9 (0,26)</td><td>13,9 (0,15)</td><td>13,9 (0,13)</td><td></td></tr><tr><td>(2) Poids de sondage</td><td>10,5 (0,17)</td><td>10,1 (0,09)</td><td>10,2 (0,09)</td><td></td></tr><tr><td>(3) Poids CNR Probit non calés</td><td>12,2 (0,22)</td><td>12,3 (0,13)</td><td>12,2 (0,11)</td><td></td></tr><tr><td>(4) Poids CNR Heckman incluant des explicatives individuelles</td><td>10,9 (2,10)</td><td>10,9 (1,21)</td><td>10,9 (1,16)</td><td>0,080 (0,051)</td></tr><tr><td>(5) Poids CNR Heckman sans explicatives individuelles</td><td>12,2 (1,89)</td><td>12,2 (1,00)</td><td>12,2 (0,97)</td><td>-0,082 (0,048)</td></tr><tr><td>(6) Poids CNR Probit non calés et sans explicatives individuelles</td><td>10,9 (0,18)</td><td>10,6 (0,10)</td><td>10,6 (0,09)</td><td></td></tr></tbody></table>

Lecture : CNR signifie « correction de non-réponse ».

Notes : (1) les poids calés sont issus du modèle de non-réponse (logistique), des GRH et du calage sur marge tel que décrit au paragraphe II.2. Ce modèle intègre, dès la CNR logistique la variable indicatrice de naissance à l'étranger comme explicative. Donc la probabilité d'inclusion est sans biais, ce qu'on observe ici. Le calage (la variable de naissance à l'étranger est, elle aussi, intégrée dans les variables de calage —la liste complète des variables de calage est indiquée au paragraphe II.2) rajoute une étape supplémentaire de convergence vers la valeur exacte. En général, ce calcul est impossible pour les variables d'enquêtes puisqu'on ne les observe que pour les répondants. Donc la vraie valeur n'est pas connue et la variable n'intervient pas dans les explicatives du modèle ou dans les marges. (3) La variable indicatrice de naissance à l'étranger est ici retirée des explicatives (voir le (a) du paragraphe III.2 pour une liste complète des autres variables explicatives intégrées dans le modèle de non-réponse). Pas de GRH ni de calage sur marge. (4) Hors la variable indicatrice de naissance à l'étranger (voir le (a) du paragraphe III.2 pour la liste complète). Le coefficient de corrélation estimé est significativement non nul à 10 %. (5) Les variables intégrées dans le modèle sont : la taille d'unité urbaine, l'indicatrice de quartier prioritaire de la ville (QPV), le taux local d'hospitalisation (en tranches), l'indicateur communal d'accessibilité aux médecins généralistes (APL), la densité en tranches issue de la grille communale de densité. Le coefficient de corrélation estimé est significativement non nul à 10 %. (6) Les variables explicatives utilisées sont les mêmes que celles utilisées pour la régression (5).

Les poids des lignes 3 à 6 sont ceux issus des modèles de non-réponse multipliés par les poids de sondages, conformément aux notes 3 et 4 du tableau A7.

Source : Inserm-Drees, enquête EpiCov, vague 1.
En complément, le tableau A8.2 montre les résultats du modèle d'Heckman sur quelques symptômes avec un modèle, tel que présenté au paragraphe IV.2, utilisant des explicatives individuelles et contextuelles puis, un second modèle n'utilisant que des explicatives contextuelles. Les estimateurs ne diffèrent pas significativement. Cependant, on note que le niveau de corrélation entre la participation et la variable d'intérêt est réduit dans le cas où le modèle d'Heckman intègre des variables individuelles. C'était aussi le cas, en valeur absolue, pour la proportion de nés à l'étranger. In fine, les estimateurs de prévalence de symptômes sont plus faibles encore après correction d'Heckman sans variables individuelles qu'avec des variables individuelles. Comme on l'a vu précédemment, ce sont plutôt ces derniers résultats qu'il conviendrait de privilégier. Les résultats du texte principal ont néanmoins été calculés avec des explicatives individuelles, les écarts n'étant, en l'espèce, pas significatifs au regard des incertitudes calculées.

<table><caption>Tableau A8.2 : Estimation de la prévalence de certains symptômes selon qu'on intègre ou pas les explicatives individuelles dans le modèle d'Heckman de correction de la non-réponse</caption><thead><tr><th>Symptôme</th><th>calcul</th><th>Prévalence (en%)</th><th>ρ<br>(modèle<br>d'Heckman)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Perte de goût ou d'odorat</td><td>(a)</td><td>2,0<br>(0,28)</td><td>0,14*<br>(0,08)</td></tr><tr><td>(b)</td><td>1,8<br>(0,30)</td><td>0,18*<br>(0,08)</td></tr><tr><td rowspan="2">Toux</td><td>(a)</td><td>4,8<br>(0,28)</td><td>0,38***<br>(0,05)</td></tr><tr><td>(b)</td><td>4,0<br>(0,31)</td><td>0,50***<br>(0,06)</td></tr><tr><td rowspan="2">Au moins 1 symptôme</td><td>(a)</td><td>15,6<br>(0,54)</td><td>0,44***<br>(0,03)</td></tr><tr><td>(b)</td><td>14,2<br>(0,55)</td><td>0,53***<br>(0,03)</td></tr></tbody></table>

Lecture : Significativité au seuil de *** 1 %; ** 5 %; * 10 %. Les écarts-type sont indiqués entre parenthèses.

Notes : (a) modèle d'Heckman avec variables explicatives individuelles et contextuelles (la liste est indiquée au (a) du paragraphe III.2) ; (b) modèle d'Heckman sans variables explicatives individuelles.

Source : Inserm-Drees, enquête EpiCov, vague 1.
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