# Quelques séries convergentes dont les termes sont fonctions-Γ une méthode probabiliste pour les sommer

D. Papamichail

► To cite this version:

D. Papamichail. Quelques séries convergentes dont les termes sont fonctions-Γ une méthode probabiliste pour les sommer. Annales de l'ISUP, 1961, X (4), pp.287-296. hal-04092471

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Submitted on 9 May 2023

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# QUELQUES SÉRIES CONVERGENTES
DONT LES TERMES SONT FONCTIONS-Γ
UNE MÉTHODE PROBABILISTE POUR LES SOMMER

D. PAPAMICHAL

## I - LES FONCTIONS Γ(a) ET B(p,q) -

Rappelons les formules : $\Gamma(a) = \int_{0}^{\infty} x^{a-1} e^{-x} dx$

$$ \Gamma(a) = (a-1)\Gamma(a-1) \Rightarrow \begin{cases} \text{Pour } a = \text{entier : } \Gamma(a) = (a-1)! \\ \text{si } a \neq n+\theta : \Gamma(a) = (a-1)(a-2)\dots\theta \cdot \Gamma(\theta) \end{cases} $$

$$ \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} $$

$$ 2^{2a-1} \Gamma(a) \Gamma\left(a + \frac{1}{2}\right) = \Gamma(2a) \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) $$

$$ B(p,q) = \int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{u^{p-1}}{(1+u)^{p+q}} du $$

$$ B(p,q) = \frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} $$

## II - ECHANTILLON n VARIABLES A 2 DIMENSIONS -

Soit une variable aléatoire laplacienne à 2 dimensions X(x,y) ayant pour matrice des covariances :

$$ V = \Phi^{-1} = \left\| \begin{array}{ccc} \sigma_x^2 & \rho \sigma_x \sigma_y & \sigma_y^2 \\ \rho \sigma_x \sigma_y & \sigma_x^2 & \sigma_y^2 \end{array} \right\| $$

(où $\sigma_{xy} = \text{coefficient de corrélation}$) et un échantillon de taille n:
$X^{(1)}(x_1, y_1), X^{(2)}(x_2, y_2), \dots, X^{(n)}(x_n, y_n)$

On pose :

$$S_x^2 = \frac{1}{n} \sum_i (x_i - m_x)^2, \quad S_{xy} = \frac{1}{n} \sum_i (x_i - m_x) (y_i - m_y), \quad S_y^2 = \frac{1}{n} \sum_i (y_i - m_y)^2$$

et la loi de l'ensemble $(S_x^2, S_{xy}, S_y^2)$ est :

$$C_{2, n-1, n\phi} e^{-\frac{1}{2} n \phi \cdot S} [\Delta(S)]^{\frac{n-4}{2}} d(S) \quad (1)$$

où :

$$ \left\{
\begin{aligned}
\Phi &= \frac{1}{1 - \rho^2} \left\| \begin{vmatrix} \frac{1}{\sigma_x^2} & -\frac{\rho}{\sigma_x \sigma_y} \\ -\frac{\rho}{\sigma_x \sigma_y} & \frac{1}{\sigma_y^2} \end{vmatrix} \right\|, \quad \Delta(\Phi) = \frac{1}{\sigma_x^2 \sigma_y^2 (1-\rho^2)}, \quad \Delta(n\Phi) = \frac{n^2}{\sigma_x^2 \sigma_y^2 (1-\rho^2)} \\
S &= \begin{vmatrix} S_x^2 & S_{xy} \\ S_{xy} & S_y^2 \end{vmatrix}, \quad \Delta(S) = S_x^2 S_y^2 - S_{xy}^2 \\
C_{k,n,\phi} &= [\Delta(n\Phi)]^{\frac{n}{2}} C_{k,n,l} = [\Delta(n\Phi)]^{\frac{n}{2}} \frac{1}{\frac{nK}{2^2} \pi^{\frac{K(K-1)}{4}} \Gamma(\frac{n}{2}) \Gamma(\frac{n-1}{2}) \dots \Gamma(\frac{n-k+1}{2})}
\end{aligned}
\right. $$

## Fonction caractéristique.

On trouve comme fonction caractéristique de l'ensemble $(S_x^2, S_y^2, S_{xy})$

$$ \varphi(t_{x2}, t_{xy}, t_{y2}) = \left[ \frac{\Delta(n\Phi)}{\Delta(n\Phi - 2iT)} \right]^{\frac{n-1}{2}} \quad \text{où} \quad T = \begin{vmatrix} t_{x2} & \frac{1}{2} t_{xy} \\ \frac{1}{2} t_{xy} & t_{y2} \end{vmatrix} $$

et après les calculs :

$$ \varphi(t_{x2}, t_{xy}, t_{y2}) = \left[ 1 - \frac{2i}{n} (\sigma_x^2 t_{x2} + \rho \sigma_x \sigma_y t_{xy} + \sigma_y^2 t_{y2}) + \frac{\sigma_x^2 \sigma_y^2}{n^2} (1-\rho^2) (t_{xy}^2 - 4t_{x2}t_{y2}) \right]^{\frac{n-1}{2}} $$

Alors la seconde fonction caractéristique est :
$$
\Psi(t_{x2}, t_{xy}, t_{y2}) = - \frac{n-1}{2} \log \left[ 1 - \frac{2i}{n} (\sigma_x^2 t_{x2} + \rho \sigma_x \sigma_y t_{xy} + \sigma_y^2 t_{y2}) + \frac{\sigma_x^2 \sigma_y^2}{n^2} (1-\rho^2) (t_{xy}^2 - 4 t_{x2} t_{y2}) \right] \quad (2)
$$

Loi de coefficient r.

On appelle coefficient de corrélation expérimental la quantité :

$$
r = \frac{S_{xy}}{S_x S_y}
$$

et on trouve comme loi de r :

$$
f(r)dr = 2^{n-1} C_{2,n-1,1} (1-\rho^2)^{\frac{n-1}{2}} \left[ \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^p}{p!} \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 r^p \right] (1-r^2)^{\frac{n-4}{4}} dr \quad (3)
$$

Tout ceci est bien connu (voir par exemple : Mathematical Methods Statistics de H. Cramer).

III - MOMENTS D'UNE FONCTION ω = g(r) -

Soit une fonction g(r). On peut trouver les moments de cette
fonction par deux méthodes :

lère Méthode.

On pose $\omega = g(r)$ et soit $r = G(\omega)$ la fonction inverse. Alors
la loi de $\omega$ est, après (3),

$$
2^{n-1} C_{2,n-1,1} (1-\rho^2)^{\frac{n-1}{2}} \left[ \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^p}{p!} \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 [G(\omega)]^p \right] \left\{ 1 - [G(\omega)]^2 \right\}^{\frac{n-4}{4}} G'(\omega) d\omega
$$

et les moments d'ordre K de ω seront :

$$
E(\omega^k) = 2^{n-1} C_{2,n-1,1} (1-\rho^2)^{\frac{n-1}{2}} \left[ \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^p}{p!} \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 \int \omega^k [G(\omega)]^p \left\{ 1 - [G(\omega)]^2 \right\}^{\frac{n-4}{4}} G'(\omega) d\omega \right]
$$

On pose :

$$
\int \omega^k [G(\omega)]^p \{1 - [G(\omega)]^2\}^{\frac{n-4}{4}} G'(\omega) d\omega = P(k,n,p) \quad (4)
$$
et on a finalement :

$$E(\omega^K) = 2^{n-1} C_{2, n-1, 1} (1-\rho^2)^{\frac{n-1}{2}} \left[ \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^p}{p!} P(K, n, p) \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 \right] \quad (5)$$

### 2ème méthode.

Puisque $\omega = g(r)$ peut être considéré comme fonction des variables $(S_x^2, S_{xy}, S_y^2)$, car $\omega = g(r) = g\left(\frac{S_{xy}}{S_x S_y}\right) = g^*(S_x^2, S_{xy}, S_y^2)$, on peut trouver ses moments à partir de la loi de l'ensemble $(S_x^2, S_{xy}, S_y^2)$, c'est-à-dire à partir de (1). On a alors :

$$E(\omega^K) = E\left[\left\{g^*(S_x^2, S_{xy}, S_y^2)\right\}^K\right] = \int [g^*(S_x^2, S_{xy}, S_y^2)]^K C_{2, n-1, n\phi} e^{-\frac{1}{2} n \phi \dots s} [\Delta(S)]^{\frac{n-4}{2}} d(S)$$

Sous quelques conditions de la fonction $\omega$ on peut calculer l'intégrale du second membre qui sera une fonction $\lambda(k, n, \rho)$. On a donc :

$$E(\omega^K) = \lambda(K, n, \rho) \quad (6)$$

Les deux expressions (5) et (6) donnent :

$$2^{n-1} C_{2, n-1, 1} (1-\rho^2)^{\frac{n-1}{2}} \left[ \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^p}{p!} P(K, n, p) \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 \right] = \lambda(K, n, \rho)$$

et finalement :

$$\sum_{p=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^p}{p!} P(K, n, p) \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 = \frac{\lambda(K, n, \rho)}{2^{n-1} C_{2, n-1, 1} (1-\rho^2)^{\frac{n-1}{2}}} \quad (7)$$

Alors, si les quantités $n, \rho, K$ ont des valeurs fixes, le premier membre est une série dont les termes sont fonctions-Γ et le second membre représente sa somme.

### Remarque.

Pour construire (7) on a divisé par $C_{2, n-1, 1}$, qui contient le produit $\Gamma(\frac{n-1}{2}) \cdot \Gamma(\frac{n-2}{2})$, et par $(1-\rho^2)^{\frac{n-1}{2}}$. Il faut donc $\rho \neq 1$ et $n > 2$.

$$\underline{\text{EXEMPLE}} \quad \omega = \frac{\sqrt{1 - \rho^2}}{\sqrt{1 - \rho^2}}$$
## Moments de $\omega$ par la 1ère méthode.

La fonction inverse $r = G(\omega) = \frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^2}}$ et $G'(\omega) = \frac{1}{(1+\omega^2)^{3/2}}$. On a alors :

$$
\begin{align*}
P(K; n, p) &= \int \omega^K \frac{\omega^P}{(1+\omega^2)^{p/2}} \left\{ 1 - \frac{\omega^2}{1+\omega^2} \right\}^{\frac{n-4}{4}} \frac{1}{(1+\omega^2)^{3/2}} d\omega = \int \frac{\omega^{P+K}}{(1+\omega^2)^{\frac{n+2P+2}{4}}} d\omega \\
&= \frac{1}{2} \int \frac{(\omega^2)^{\frac{P+K-1}{2}}}{(1+\omega^2)^{\frac{n+2P+2}{4}}} d\omega = \frac{1}{2} \int \frac{(\omega^2)^{\frac{P+K+1}{2}-1}}{(1+\omega^2)^{\frac{n-2K}{4} + \frac{P+K+1}{2}}} d\omega^2 \\
&= \frac{1}{2} B\left(\frac{n-2K}{4}, \frac{P+K+1}{2}\right)
\end{align*}
$$

et alors :

$$ E(\omega^K) = 2^{n-2} C_{2, n-1, 1} (1-\rho^2)^{\frac{n-1}{2}} \left[ \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^p}{p!} B\left(\frac{n-2K}{4}, \frac{p+K+1}{2}\right) \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 \right] (8) $$

## Moments de $\omega$ par la 2ème méthode.

La fonction $\omega = \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$ peut être considéré comme fonction de l'ensemble $(S_x^2, S_{xy}^2, S_y^2)$. En effet :

$$ \omega = \frac{\frac{S_{xy}}{S_x S_y}}{\sqrt{1 - \frac{S_x^2}{S_x S_y^2}}} = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_x^2 S_y^2 - S_{xy}^2}} = \frac{S_{xy}}{\sqrt{\Delta(S)}} $$

On aura donc :

$$
\begin{align*}
\lambda (K, n, \rho) &= \int S_{xy}^K [\Delta(S)]^{-\frac{K}{2}} C_{2, n-1, n\phi}^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2} n\phi \dots S} [\Delta(S)]^{\frac{n-4}{2}} d(S) \\
&= \int S_{xy}^K C_{2, n-1, n\phi}^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2} n\phi \dots S} [\Delta(S)]^{\frac{n-K-4}{2}} d(S) \\
&= \frac{C_{2, n-1, n\phi}}{C_{2, n-K-1, n\phi}} \int S_{xy}^K C_{2, n-K-1, n\phi}^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2} n\phi \dots S} [\Delta(S)]^{\frac{n-K-4}{2}} d(S)
\end{align*}
$$
L'intégrale de deuxième membre est l'esp. math. de $S_{xy}^K$ d'une distribution définie par la même matrice $n\Phi$ à un espace à n-k dimensions. Donc :

$$ \lambda (K, n, \rho) = \frac{\mathbf{C}}{\mathbf{C}_{2, n-K-1, n\phi}} \quad E_{n-K} (S_{xy}^K) = \frac{[\Delta (n\Phi)]^{\frac{n-1}{2}} \mathbf{C}_{2, n-1, 1}}{[\Delta (n\Phi)]^{\frac{n-K-1}{2}} \mathbf{C}_{2, n-K-1, 1}} \quad E_{n-K} (S_{xy}^K) $$

et finalement :

$$ E(\omega^K) = \lambda(K, n, \rho) = \frac{1}{[\Delta(n\Phi)]^{\frac{K}{2}}} \frac{\mathbf{C}_{2, n-1, 1}}{\mathbf{C}_{2, n-K-1, 1}} E_{n-K}(S_{xy}^K) \quad (9) $$

où $E_{n-K}(S_{xy}^K)$ est le coefficient de $\frac{(it)^K}{K!}$ dans le développement de la fonction caractéristique $\varphi_{S_{xy}}(t)$ pour un espace à n-K dimensions.

### Fonction caractéristique de $S_{xy}$.

On trouve la deuxième fonction caractéristique de $S_{xy}$ en posant en (2), c'est-à-dire dans la fonction caract. de l'ensemble $(S_x^2, S_{xy}, S_y^2)$, $t_x^2 = 0$, $t_y^2 = 0$, $t_{xy} = t$. On a alors :

$$ \Psi_{S_{xy}}(t) = - \frac{n-1}{2} \log \left[ 1 - \frac{2i}{n} \rho \sigma_x \sigma_y t + \frac{\sigma_x^2 \sigma_y^2}{n^2} (1-\rho^2) t^2 \right] $$

ou :

$$ \Psi(t) = - \frac{n-1}{2} \log \left[ 1 - \left\{ 2 \rho \frac{\sigma_x \sigma_y}{n} (it) + (1-\rho^2) \frac{\sigma_x^2 \sigma_y^2}{n^2} (it)^2 \right\} \right] $$

On peut donc développer et si on pose :

$$ 2 \rho \frac{\sigma_x \sigma_y}{n} = a \qquad \sqrt{1-\rho^2} \frac{\sigma_x \sigma_y}{n} = b, \quad (it) = w $$

on a :

$$ \begin{align*} \Psi(t) &= -\frac{n-1}{2} \log [1-(aw+b^2w^2)] = \\ &= -\frac{n-1}{2} \left[ -(aw+b^2w^2) - \frac{1}{2}(aw+b^2w^2)^2 - \frac{1}{3}(aw+b^2w^2)^3 - \dots \right] = \\ &= +\frac{n-1}{2} \left[ (aw+b^2w^2) + \frac{1}{2}(aw+b^2w^2)^2 + \frac{1}{3}(aw+b^2w^2)^3 + \dots \right] \end{align*} $$
et finalement :

$$ \Psi(t) = \frac{n-1}{2} \sum_{m=1}^{\infty} m! \left( \frac{1}{m} C_m^0 a^m + \frac{1}{m-1} C_{m-1}^1 a^{m-2} b^2 + \frac{1}{m-2} C_{m-2}^2 a^{m-4} b^4 + \dots \right) \frac{(it)^m}{m!} $$

Ça c'est la fonct. caract. à un espace à n dimensions.

De même on trouve pour un espace à n-K dimensions le développement :

$$ \Psi(t) = \frac{n-K-1}{2} \sum_{m=1}^{\infty} m! \left( \frac{1}{m} C_m^0 a^m + \frac{1}{m-1} C_{m-1}^1 a^{m-2} b^2 + \frac{1}{m-2} C_{m-2}^2 a^{m-4} b^4 + \dots \right) \frac{(it)^m}{m!} $$

Donc les cumulants sont :

$$ K_m = \frac{n-K-1}{2} m! \left[ \frac{1}{m} C_m^0 a^m + \frac{1}{m-1} C_{m-1}^1 a^{m-2} b^2 + \frac{1}{m-2} C_{m-2}^2 a^{m-4} b^4 + \dots \right] (10) $$

et les moments :

$$ \left\{ \begin{array}{l} m_1 = K_1 \\ m_2 = K_2 + m_1^2 = K_2 + K_1^2 \\ m_3 = K_3 + 3m_2 m_1 + m_1^3 = K_3 + 3K_2 K_1 + 4 K_1^3 \\ \dots \end{array} \right. $$

Calcul des $E_{n-k}(S_{xy}^k)$ et $E(\omega^k)$.

α) On pose d'abord dans (10) K = 1 et on calcule $K_1$ :

$$ K_1 = \frac{n-2}{2} C_1^0 a^1 = \frac{n-2}{2} a = \frac{n-2}{2} 2\rho \frac{\sigma_x \sigma_y}{n} = \frac{n-2}{n} \rho \sigma_x \sigma_y $$

$$ E_{n-1}(S_{xy}) = m_1 = K_1 = \frac{n-2}{n} \rho \sigma_x \sigma_y $$

et, après (9) :

$$ E(\omega) = [\Delta(n\Phi)]^{\frac{1}{2}} \frac{\mathbf{C}_{2, n-1, 1}}{\mathbf{C}_{2, n-2, 1}} E_{n-1}(S_{xy}) = \frac{n}{\sigma_x \sigma_y (1 - \rho^2)^{1/2}} \frac{\mathbf{C}_{2, n-1, 1}}{\mathbf{C}_{2, n-2, 1}} \frac{n-2}{n} \rho \sigma_x \sigma_y $$

et finalement :
$$E(\omega) = \frac{\rho (n-2)}{(1-\rho^2)^{1/2}} \frac{\mathbf{C}_{2, n-1, 1}}{\mathbf{C}_{2, n-2, 1}} \quad (11)$$

Les deux expressions de $E(\omega)$, (8) et (11), donnent :

$$2^{n-2} \mathbf{C}_{2, n-1, 1} (1-\rho^2)^{\frac{n-1}{2}} \left[ \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^p}{p!} B\left(\frac{n-2}{4}, \frac{p+2}{2}\right) \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 \right] = \frac{\rho (n-2)}{(1-\rho^2)^{1/2}} \frac{\mathbf{C}_{2, n-1, 1}}{\mathbf{C}_{2, n-2, 1}}$$

d'où on trouve la série :

$$\sum_{p=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^p}{p!} B\left(\frac{n-2}{4}, \frac{p+2}{2}\right) \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 = \frac{\rho (n-2)}{(1-\rho^2)^{\frac{n}{2}}} \frac{1}{2^{n-2}} \mathbf{C}_{2, n-2, 1}$$

β) On pose maintenant $K = 2$, et on calcule, par (10), $K_1$, $K_2$ :

$$K_1 = \frac{n-3}{2} \qquad a = \frac{n-3}{2} \qquad 2\rho \frac{\sigma_x \sigma_y}{n} = \frac{n-3}{n} \qquad \rho \sigma_x \sigma_y$$

$$K_2 = \frac{n-3}{2} \cdot 2! \left\{ \frac{1}{2} a^2 + b^2 \right\} = \frac{n-3}{2} \{ a^2 + 2b^2 \} = \\ = \frac{n-3}{2} \left\{ 4\rho^2 \frac{\sigma_x^2 \sigma_y^2}{n^2} + 2(1-\rho^2) \frac{\sigma_x^2 \sigma_y^2}{n^2} \right\} = \frac{n-3}{n^2} \sigma_x^2 \sigma_y^2 (1+\rho^2)$$

$$E_{n-2}(S_{xy}^2) = m_2 = K_2 + K_1^2 = \frac{n-3}{n^2} \sigma_x^2 \sigma_y^2 (1+\rho^2) + \frac{(n-3)^2}{n^2} \rho^2 \sigma_x^2 \sigma_y^2 = \\ = \frac{n-3}{n^2} \sigma_x^2 \sigma_y^2 \{1 + (n-2)\rho^2\}$$

et après (9) :

$$E(\omega^2) = [\Delta(n\Phi)]^{\frac{2}{2, n-1, 1}} E_{n-2}(S_{xy}^2) = \frac{n^2}{\sigma_x^2 \sigma_y^2 (1-\rho^2)} \frac{\mathbf{C}_{2, n-1, 1}}{\mathbf{C}_{2, n-3, 1}} \cdot \frac{n-3}{n^2} \sigma_x^2 \sigma_y^2 \{1+(n-2)\rho^2\}$$

et finalement :
$$E(\omega^2) = \frac{(n-3) \{1+(n-2)\rho^2\} \mathbf{C}_{2,n-1,l}}{1-\rho^2 \mathbf{C}_{2,n-3,l}} \quad (12)$$

Les deux expressions (8), pour $K=2$, et (12) de $E(\omega^2)$ donnent :

$$2^{n-2} \mathbf{C}_{2,n-1,l} (1-\rho^2)^{\frac{n-1}{2}} \left[ \sum_{\rho=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^\rho}{\rho!} B\left(\frac{n-4}{4}, \frac{p+3}{2}\right) \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 \right] = \\ = \frac{(n-3) \{1+(n-2)\rho^2\}}{1-\rho^2} \cdot \frac{\mathbf{C}_{2,n-1,l}}{\mathbf{C}_{2,n-3,l}}$$

d'où on trouve la série :

$$\sum_{\rho=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^\rho}{\rho!} B\left(\frac{n-4}{4}, \frac{p+3}{2}\right) \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 = \frac{(n-3)\{1+(n-2)\rho^2\}}{(1-\rho^2)^{\frac{n+1}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{n-2}} \mathbf{C}_{2,n-3,l}$$

Y) On pose maintenant $K=3$ et on calcule, par (10), $K_1, K_2, K_3$ :

$$K_1 = \frac{n-4}{2} a = \frac{n-4}{2} 2 \rho \sigma_x \sigma_y \quad \frac{1}{n} = \frac{n-4}{n} \rho \sigma_x \sigma_y$$

$$K_2 = \frac{n-4}{2} 2! \left( \frac{1}{2} a^2 + b^2 \right) = \frac{n-4}{2} (a^2 + 2b^2) = \\ = \frac{n-4}{2} \left\{ 4 \rho^2 \frac{\sigma_x^2 \sigma_y^2}{n^2} + 2 (1-\rho^2) \frac{\sigma_x^2 \sigma_y^2}{n^2} \right\} = \frac{n-4}{n^2} \sigma_x^2 \sigma_y^2 (1+\rho^2)$$

$$K_3 = \frac{n-4}{2} 3! \left( \frac{1}{3} a^3 + \frac{1}{2} \cdot 2 ab^2 \right) = (n-4) (a^3 + 3ab^2) = \\ = (n-4) \left\{ 8 \rho^3 \frac{\sigma_x^3 \sigma_y^3}{n^3} + 3.2 \rho \frac{\sigma_x \sigma_y}{n} (1-\rho^2) \frac{\sigma_x^2 \sigma_y^2}{n^2} \right\} = \\ = \frac{n-4}{n^3} \rho \sigma_x^3 \sigma_y^3 \{ 8\rho^2 + 6(1-\rho^2) \} = \frac{n-4}{n^3} \rho \sigma_x^3 \sigma_y^3 (6+2\rho^2)$$
$$
\begin{align*}
E_{n-3}(S_{xy}^3) &= m_3 = K_3 + 3K_2K_1 + 4K_1^3 = \frac{n-4}{n^3} \rho \sigma_x^3 \sigma_y^3 (6+2\rho^2) + \\
&\quad + 3 \frac{n-4}{n^2} \sigma_x^2 \sigma_y^2 (1+\rho^2) \frac{n-4}{n} \rho \sigma_x \sigma_y + 4 \frac{(n-4)^3}{n^3} \rho^3 \sigma_x^3 \sigma_y^3 = \\
&= \frac{n-4}{n^3} \rho \sigma_x^3 \sigma_y^3 \{6+2\rho^2 + 3(n-4)(1+\rho^2) + 4(n-4)^2\rho^2\} = \\
&= \frac{n-4}{n^3} \rho \sigma_x^3 \sigma_y^3 \{3n-6 + [2+3(n-4)+4(n-4)^2]\rho^2\}
\end{align*}
$$

et, après (9) :

$$
E(\omega^3) = [\Delta(n\Phi)]^{\frac{3}{2}}_{2,n-1,1} E_{n-3}(S_{xy}^3) = \frac{n^3}{\sigma_x^3 \sigma_y^3 (1-\rho^2)^{3/2}}_{2,n-4,1} \cdot \frac{n-4}{n^3} \rho \sigma_x^3 \sigma_y^3 \{3(n-2)+ \\
\qquad \qquad \qquad \qquad + [2+3(n-4)+4(n-4)^2]\rho^2\}
$$

et finalement :

$$
E(\omega^3) = \frac{(n-4) \{3(n-2)\rho + [2+3(n-4)+4(n-4)^2]\rho^3\}}{(1-\rho^2)^{3/2}} \cdot \frac{C_{2,n-1,1}}{C_{2,n-4,1}} \quad (13)
$$

Les deux expressions (8), pour K = 3, et (13) de E(ω³) donnent :

$$
2^{n-2} \mathbf{C}_{2,n-1,1} (1 - \rho^2)^{\frac{n-1}{2}} \left[ \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^p}{p!} B\left(\frac{n-6}{4}, \frac{p+4}{2}\right) \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 \right] = \\
= \frac{(n-4) \{3(n-2)\rho + [2+3(n-4)+4(n-4)^2]\rho^3\}}{(1-\rho^2)^{3/2}} \frac{\mathbf{C}_{2,n-1,1}}{\mathbf{C}_{2,n-4,1}}
$$

d'où l'on trouve la série :

$$
\begin{align*}
& \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(2\rho)^p}{p!} B\left(\frac{n-6}{4}, \frac{p+4}{2}\right) \left\{ \Gamma\left(\frac{n+p-1}{2}\right) \right\}^2 \\
&= \frac{(n-4) \{3(n-2)\rho + [2+3(n-4)+4(n-4)^2]\rho^3\}}{(1-\rho^2)^{\frac{n+2}{2}}} \frac{1}{2^{n-2} \mathbf{C}_{2,n-4,1}}
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>