# Analyse de propagation dynamique des fissures dans le verre composite par la méthode X-FEM

Mircea Istrate, Maciej Wronski, Jean-Pierre Bobineau, Lionel Morançay

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Mircea Istrate, Maciej Wronski, Jean-Pierre Bobineau, Lionel Morançay. Analyse de propagation dynamique des fissures dans le verre composite par la méthode X-FEM. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01514286

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# Analyse de propagation dynamique des fissures dans le verre composite par la méthode X-FEM

M. Istrate<fnref n="1" />, M.Wronski<fnref n="1" />, J.P. Bobineau<fnref n="2" />, L Morançay<fnref n="1" />

**Résumé** — La modélisation de l'endommagement et de la rupture dynamique des structures est un enjeu important dans les applications industrielles telles que la simulation du crash dans le domaine automobile. Nous présentons ici l'application de la méthode X-FEM implémentée dans le logiciel RADIOSS à l'étude de la propagation de fissures dans le verre composite en cas d'impact ou lors d'un essai de retournement. Un intérêt particulier est porté à l'analyse de sensibilité des résultats par rapport à la taille du maillage et au choix des modèles de rupture.

RADIOSS® est une marque déposée de Altair Engineering Inc.

**Mots clés** — X-FEM, rupture dynamique, endommagement, éléments finis, méthode explicite, sensibilité

## 1. Introduction

L'objectif principal de cet article est l'évaluation des critères de rupture matériau et de leurs effets sur la progression de la fissure. La méthode des éléments finis étendus (X-FEM) s'est avérée capable de simuler l'initialisation et la propagation des fissures dans les matériaux fragiles, sans nécessiter de remaillage.

Récemment, Hansbo et Hansbo [7] ont proposé une approche qui consiste à représenter la fissure discontinue en dupliquant des nœuds du maillage pour construire des éléments fantômes superposés, au lieu d'ajouter des enrichissements et degrés de liberté comme dans la formulation originale X-FEM. Basée sur l'interpolation complète d'éléments superposés, l'idée de Hansbo et Hansbo peut être facilement intégrée dans la formulation des éléments de coque, et reste équivalente à la méthode X-FEM comme démontré dans [2]. Areias et Belytschko [3] ont montré que la base d'approximation de Hansbo et Hansbo [7] est une combinaison linéaire de la base d'approximation X-FEM standard.

Ce formalisme utilisé dans RADIOSS, est un peu différent de celui de la méthode X-FEM classique, mais les fonctions de base de cette méthode sont identiques. De plus, la méthode proposée simplifie le traitement des éléments fissurés car il peut être mis en œuvre sous la forme de deux éléments dont les supports sont modifiés.

Nous décrirons la méthode utilisée dans RADIOSS, incluant son application à la modélisation de la propagation de fissures dans des matériaux sandwich.

Nous présenterons, sur un cas simplifié, une étude de sensibilité des résultats en fonctions des critères d'initialisation et de propagation des fissures, ainsi que de la taille des mailles. Un exemple d'impact sur pare-brise et un exemple de calcul d'écrasement de toit sont également présentés.

<footnote n="1">¹ Altair Engineering France, {mistrate, maciek, lionel}@altair.com</footnote>

<footnote n="2">² Altair Engineering, Inc. USA jpb@altair.com</footnote>
## 2. La méthode X-FEM

### 2.1. Enrichissement élémentaire versus enrichissement nodal

La méthode X-FEM standard est basée sur une approche d'enrichissement nodal, alors que la méthode de Hansbo utilise un enrichissement élémentaire. Le principal intérêt de cette méthode concerne l'intégration temporelle explicite des équations de la dynamique. A l'inverse de l'approche standard, la diagonalisation de la matrice masse nécessaire dans le schéma explicite est simple à calculer et son interprétation physique ne change pas - Menouillard [5]. La propagation de fissure pilotée par un critère de rupture local est accompagnée de l'activation des nœuds et éléments fantômes. La méthode classique de Level Set permet de localiser la discontinuité, sans remaillage.

### 2.2. Approximation de champ des vitesses dans un élément fissuré

Considérons un élément fissuré à partir de son état initial (Figure 1). Pour avoir une base d'interpolation complète, les deux sous-éléments définis sur un domaine réel $\Omega_{(+/-)}$ sont étendus sur les domaines fantômes $\Omega_{(+/-)}^p$. Ainsi, la vitesse dans le domaine réel peut être interpolée en utilisant les dégrées de liberté des noeuds fantômes dans le domaine $\Omega_{(+/-)}^p$.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 – Construction du bord de fissure par l'ajout de noeuds et éléments fantômes</figcaption></figure>

Le champ de vitesse est une superposition du champ de vitesse calculé à partir des éléments et nœuds fantômes au champ de vitesse EF classique, et sont non-nuls seulement sur les parties actives des éléments fantômes. Cette représentation des champs discontinus (déplacement, vitesse) dans les éléments fissurés permet de simplifier énormément l'implémentation de la méthode dans un code explicite. En effet, les éléments fantômes qui remplacent l'élément original après la rupture peuvent être intégrés en utilisant la procédure d'intégration classique.

## 3. Définition des fonctions de contour (Level Set)

La ligne de fissure $\Gamma^{crk}$ peut être définie comme la valeur zéro d'une fonction contour $\varphi(x)$.

$$ \varphi(x) = \begin{cases} > 0, & \text{if } x \in \Omega_{+} \\ = 0, & \text{if } x \in \Gamma^{crk} \\ < 0, & \text{if } x \in \Omega_{-} \end{cases} \qquad (3) $$

Un choix habituel pour des fonctions de contour $\varphi(x)$ est une fonction de distance signée :

$$ \varphi(x) = \min \|x - x_{\Gamma^{crk}}\| \cdot \mathrm{sign}(n \cdot (x - x_{\Gamma^{crk}})) \qquad (4) $$
## 4. Intégration numérique des éléments fantômes

Nous utilisons des éléments finis sous-intégrés avec un seul point de Gauss sur la surface et un contrôle de stabilité (forces anti-hourglass). Les éléments traversés par la fissure sont intégrés en utilisant deux éléments fantômes, avec la même procédure que l'élément original avant la rupture.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 3 – Schéma d’intégration des éléments superposés</figcaption></figure>

## 5. Modèles de rupture dynamique, initialisation et propagation des fissures

Tous les modèles de rupture utilisés dans RADIOSS sont basés sur des critères locaux de déformations, contraintes ou d'énergie dissipée. Si un critère est atteint, une fissure sera initialisée ou propagée dans l'élément. Des seuils différents du critère peuvent être utilisés pour l'initialisation et pour la propagation de la fissure, ce qui permet d'ajuster la proportion des nouvelles fissures par rapport à la propagation des fissures existantes. La direction de propagation est uniquement déterminée par les valeurs des contraintes principales dans l'élément.

Cette méthode peut être utilisée avec des éléments composites multicouches. Pour chacune des couches, on pourra alors choisir d'utiliser ou non la méthode X-FEM, et l'on pourra lui associer un modèle de rupture différent. Ainsi, les fissures dans chaque couche seront propagées de façon indépendante.

### 5.1. Indépendance du maillage, application d'un critère local en multicouche

Un des avantages principaux de la méthode X-FEM est sa relative indépendance au maillage. On peut observer en effet le même parcours de fissures pour des tailles de mailles dans un rapport supérieur à 10.

Néanmoins, une simulation de perforation de verre composite multicouche a montré une forte dépendance du comportement à la taille des éléments finis. Les différences portent non seulement sur la forme des fissures mais aussi sur la valeur des forces et l'énergie absorbée. Une analyse approfondie nous a permis de constater que l'utilisation de critères de rupture indépendants dans chaque couche n'est pas suffisante et un nouveau critère local avec un échange d'informations entre couches a fait l'objet de nos derniers développements. Nous présenterons ici les résultats qu'il permet d'obtenir.

## 6. Exemples d'applications dans l'industrie automobile

Nous présentons des résultats de simulation de deux modèles : un impact dynamique de tête sur un pare-brise (régulation Euro NCAP) et une simulation d'écrasement de toit (roof crush – régulation FMVSS 216).

Pour modéliser le pare-brise, on utilise un composite de trois couches : deux couches de verre séparées par une mince couche de PVB (polyvinyle de butyral). La rupture dans le verre est pilotée par un modèle FLD (forming limit diagram) qui définit une zone de rupture en fonction de déformations
principales dans le plan. La forme et les valeurs de la fonction définissant cette zone sont crucales
pour obtenir des résultats réalistes. Les résultats obtenus en utilisant différents critères
d'initialisation/propagation des fissures sont présentés.

La couche intermédiaire en PVB n'utilise pas la méthode X-FEM pour la rupture, un critère classique
sur les contraintes de type Johnson-Cook était initialement choisi. Lorsque le critère est atteint pour
cette couche, dans un élément, les contraintes dans la couche sont annulées.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 4 – Simulation d'impact de tête sur pare-brise avec X-FEM</figcaption></figure>

**7. Conclusions**

RADIOSS X-FEM permet de faire une simulation de propagation dynamique des fissures dans des modèles à l'échelle industrielle, sous chargements quasi-statiques ou dynamiques. La modélisation de la rupture, l'initialisation et la propagation des fissures sont des facteurs importants pour la conception et l'optimisation des structures. Pour que la méthode soit prédictive, le choix correct des modèles de rupture et l'identification de leurs paramètres est crucial, ainsi que l'analyse de sensibilité de résultats vis-à-vis des multiples facteurs de la modélisation.

**8. Références bibliographiques**

[1] N. Moes, J. Dolbow, and T. Belytschko. A finite element method for crack growth without remeshing, 46, International Journal for Numerical Methods in Engineering, pp. 131-150, 1999.

[2] J.H. Song, P.M.A. Areias, T. Belytschko, A method for dynamic crack and shear band propagation with phantom nodes, 67, International Journal for Numerical Methods in Engineering, pp. 868-893, 2006.

[3] P. M. A. Areias, J.-H. Song, T. Belytschko, Analysis of fracture in thin shells by overlapping paired elements, 195, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 5343-5360, 2006.

[4] J.-H. Song, T. Belytschko, Dynamic Fracture of Shells Subjected to Impulsive Loads, Journal of Applied Mechanics, in review.

[5] T. Menouillard, J. Réthoré, A. Combescure, H. Bung, Efficient explicit time stepping for the eXtended Finite Element Method (X-FEM), 68, International Journal for Numerical Methods in Engineering, pp. 911–939, 2006.

[6] J.-H. Song, T. Menouillard, A. Tabarraei, Explicit Dynamic Finite Element Method for Failure with Smotth Fracture Energy Dissipations, 293861, Mathematical Problems in Engineering – Hindawi Publishing Corporation, 12 pp, 2013.

[7] A. Hansbo, P. Hansbo, A finite element method for the simulation of strong and weak discontinuities in solid mechanics, 193, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 3523-3540, 2004.

[8] RADIOSS Theory manual, RADIOSS® is a registered trademark of Altair Engineering Inc.

[9] Safety Companion 2012, C.A.R.H.S., Knowledge For Tomorrow's Automotive Engineering, 48-68, 2012.

[10] T. Chau-Dinh, G. Zi, P.-S. Lee, T. Rabczuk, J.-H. Song, Phantom-node method for shell models with arbitrary cracks, 92-93, Computer and Structures, pp. 242-256, 2012.