f) Dans quelle région du plan complexe est-elle définie ?

g) Quel(s) est le (ou les) pôle(s) de cette fonction de transfert ?

h) La position du (des) pôle(s) dans le plan complexe est-elle co-
hérente avec les résultats précédents ?

• Signaux discrets et transformée en z [février 2014]

Pour un nombre réel $\alpha$ arbitraire, $\delta_\alpha$ représente la masse de Dirac
au point $\alpha$. Par ailleurs, $a$ est un nombre réel fixé strictement positif.
On introduit le filtre $T$ qui au signal discret $x \equiv \sum_{k \in \mathbb{Z}} x_k \delta_{ka}$ associe
le signal discret $y = Tx$, $y \equiv \sum_{k \in \mathbb{Z}} y_k \delta_{ka}$ avec
$$y_k = \frac{3}{2a}x_k - \frac{2}{a}x_{k-1} + \frac{1}{2a}x_{k-2}, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

a) Le filtre $T$ est-il causal ?

b) Quelle est la réponse impulsionnelle $h = \sum_{k \in \mathbb{Z}} h_k \delta_{ka}$ du filtre $T$ ?

c) Calculer la transformée en z $H(z)$ de la réponse impulsionnelle $h$ introduite à la question précédente.

d) On introduit les tranformées en z $X(z)$ et $Y(z)$ des signaux $x$ et $y$ tels que $y = Tx$.

e) Calculer $Y(z)$ en fonction de $X(z)$.

f) Que vaut le rapport $Y(z)/X(z)$ ?

g) Pouvait-on prévoir le résultat ?

h) Le filtre $T$ est-il stable ?

• Signaux discrets et transformée en z [février 2015]

On se donne un pas d'échantillonnage $a > 0$ et le signal discret
$$h \equiv \sum_{k \in \mathbb{Z}} h_k \delta_{ka} \text{ tel que } h = \frac{1}{2} \delta_{2a} + \frac{1}{4} \delta_{4a} + \dots + \frac{1}{2^k} \delta_{2^k a} + \dots$$

a) Que vaut le coefficient $h_k$ en fonction de l'entier $k$ ?

b) Montrer que le signal $h$ est causal et appartient à l'espace $\ell_1^a$.

c) Que vaut $\sum_{k \in \mathbb{Z}} |h_k|$ ?

On introduit la transformée en z, notée $H(z)$, du signal $h$ défini en
préambule de cet exercice.
d) Pour quelles valeurs du nombre complexe $z$ cette fonction est-
elle $a \ priori$ définie ?

e) Calculer l'expression analytique de $H(z)$ dans ce cas.

f) Préciser ses pôles, c'est à dire les valeurs du nombre complexe $z$ qui annulent le dénominateur de $H(z)$.

On introduit le filtre $T$ qui au signal discret $x = \sum_{k \in \mathbb{Z}} x_k \delta_{ka}$ associe
le signal discret $y = h * x$.

g) Le filtre $T$ est-il causal ?

h) Est-il stable ? Justifier avec soin votre réponse.

• Fonction de transfert [février 2016]

On se donne un pas d'échantillonnage $a > 0$, un nombre réel $\alpha$
strictement positif et la fonction suivante $H(z)$ de la variable com-
plexe $z$ définie par une série: $H(z) = \sum_{\ell=0}^{\infty} \left(\frac{\alpha}{z}\right)^{\ell}$.

a) Pour quelles valeurs de $z$ la série $H(z)$ est-elle convergente ?

b) Montrer que la fonction $H(z)$ est une fonction de transfert d'un filtre linéaire $U$ qui transforme un signal discret $x = \sum_{j \in \mathbb{Z}} x_j \delta_{ja}$ en un signal discret $y = \sum_{n \in \mathbb{Z}} y_n \delta_{na}$.

c) Préciser la réponse impulsionnelle du filtre $U$ ainsi défini.

d) Comment calculer les valeurs de $y_n$ en fonction de l'ensemble des nombres $x_j$ pour $j$ entier positif ou négatif ?

e) A quelle condition sur le paramètre $\alpha$ le filtre $U$ est-il stable ?

• Signal discret [février 2017]

On se donne un pas d'échantillonnage $a > 0$ et un signal discret
$x = \sum_{n \in \mathbb{Z}} x_n \delta_{na}$ que l'on suppose borné : il existe un nombre positif
ou nul $||x||_\infty$ qui dépend de $x$ tel que pour tout entier $n$, $|x_n| \le ||x||_\infty$.

a) Montrer que pour tout entier $n$, le nombre $y_n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} x_{n-k}$
c'est à dire $y_n = x_n + \frac{1}{2}x_{n-1} + \frac{1}{4}x_{n-2} + \dots + \frac{1}{2^k}x_{n-k} + \dots$ est bien
défini.

On désigne par $y$ le signal discret $y = \sum_{n \in \mathbb{Z}} y_n \delta_{na}$ avec $y_n$ défini au
point précédent.
b) Montrer qu'on a la relation $y_{n+1} = x_{n+1} + \frac{1}{2}y_n$.

On appelle $T$ le filtre qui à tout signal borné $x$ associe le signal $y$ défini ci-dessus.

c) Ce filtre est-il causal ?

d) Quelle est la fonction de transfert $H(z)$ du filtre $T$ ? On pourra introduire les transformées en $z$ $X(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} x_n \frac{1}{z^n}$ et $Y(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} y_n \frac{1}{z^n}$ des signaux d'entrée $x$ et de sortie $y$ du filtre $T$ et utiliser la relation établie à la question b).

e) Quelle est la réponse impulsionnelle $h = T \delta$ du filtre $T$ ?

f) Démontrer que le filtre $T$ est stable.

* Signal discret [avril 2017]

On se donne un pas d'échantillonnage $a > 0$ et un signal discret $x = \sum_{n \in \mathbb{Z}} x_n \delta_{na}$ que l'on suppose borné : il existe un nombre positif $\varepsilon$ tel que pour tout entier $n$, $|x_n| \le \|x\|_{\infty}$ ou nul $\|x\|_{\infty}$ qui dépend de $x$.

a) Montrer que pour tout entier $n$, le nombre $y_n = \frac{1}{a} (\frac{3}{2}x_n - 2x_{n-1} + \frac{1}{2}x_{n-2})$ est bien défini.

On appelle $T$ le filtre qui à tout signal borné $x$ associe le signal $y$ défini ci-dessus.

b) Ce filtre est-il causal ?

c) Quelle est la fonction de transfert $H(z)$ du filtre $T$ ? On pourra introduire les transformées en $z$ des signaux d'entrée $x$ et de sortie $y$ du filtre $T$.

d) Quelle est la réponse impulsionnelle $h = T \delta$ du filtre $T$ ?

e) Démontrer que le filtre $T$ est stable.
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Bibliographie

H. Cartan. *Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes*, Hermann (Paris), 1961.

J. Dixmier et P. Dugac. *Cours de mathématiques du premier cycle*, Dunod (Paris), 1976.

G. Gasquet, P. Witomski. *Analyse de Fourier et applications*, Dunod (Paris), 2000.

J. Lelong-Ferrand, J.M. Arnaudès. *Cours de mathématiques*, Dunod (Paris), 1974.

S. Mallat. *Traitement du signal*, Cours de l'Ecole Polytechnique (Palaiseau), 1996.

H. Reinhard. *Eléments de mathématiques du signal ; signaux déterministes*, Dunod (Paris), 1995.

F. Roddier. *Distributions et transformation de Fourier à l'usage des physiciens et des ingénieurs*, Ediscience (Paris), 1971.

L. Schwartz, avec le concours de D. Huet, *Méthodes mathématiques pour les sciences physiques*, Hermann (Paris), 1965.
# Méthodes Mathématiques pour le Traitement du Signal

François Dubois

Préface de François Roddier

Ce livre est issu d'un enseignement de troisième année de Licence au Conservatoire National des Arts et Métiers à Paris, transmis au cours de la période 2012-2019.

Le programme suivi touche à l'analyse fonctionnelle et à l'analyse de Fourier dans une première partie. Les distributions sont introduites dans la seconde partie, uniquement dans le cas fondamental des distributions sur la droite réelle. La notion de solution élémentaire est mise en exergue avec le filtrage linéaire. Le traitement du signal discret est abordé en fin d'ouvrage, en se situant dans le cadre des distributions.

Chaque chapitre contient un résumé de cours et des énoncés d'exercices.

François Dubois est professeur des Universités au Conservatoire National des Arts et Métiers à Paris depuis 1994. Il enseigne les mathématiques.
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