# Etude exploratoire des capacités mathématiques chez des adultes illettrés.

Julie Lascar

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## To cite this version:

Julie Lascar. Etude exploratoire des capacités mathématiques chez des adultes illettrés.. IREM de Paris. IREM de Paris, 43, 2002, Cahier de DIDIREM, Michèle Artigue, 2-86612-230-5. hal-02152152

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INSTITUT
DE RECHERCHE
POUR L'ENSEIGNEMENT
DES MATHEMATIQUES

43
OCTOBRE 2002

CAHIER DE DIDIREM

DEA DE DIDACTIQUE DES DISCIPLINES
DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES

ETUDE EXPLORATOIRE DES CAPACITES
MATHÉMATIQUES CHEZ DES ADULTES ILLETTRES

Julie LASCAR

DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES
UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT
# Étude exploratoire des capacités mathématiques chez des adultes illettrés

Julie Lascar

Mémoire de DEA de Didactique des
Mathématiques,
Dirigé par Michèle Artigue
Septembre 2002

Jury : 
Michèle Artigue
François Colmez
Jean-Pierre Leclere
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# SOMMAIRE

<table><tr><td>Remerciements</td><td>3</td></tr><tr><td>Introduction du mémoire</td><td>5</td></tr><tr><td>Chapitre 1 Les adultes dits de bas niveau de qualification et les mathématiques</td><td>7</td></tr><tr><td>I. Introduction</td><td>9</td></tr><tr><td>II. Les adultes dits de « bas niveau de qualification »</td><td>10</td></tr><tr><td>A. Qu'est ce qu'une personne dite « de bas de niveau de qualification » ?</td><td>10</td></tr><tr><td>B. Les capacités cognitives des adultes dits de bas niveau de qualification</td><td>11</td></tr><tr><td>C. Pour les personnes ayant l'opportunité de suivre des remises à niveau, quel est l'intérêt de faire des mathématiques ?</td><td>12</td></tr><tr><td>III. L'apprentissage du nombre</td><td>14</td></tr><tr><td>A. Les nombres</td><td>14</td></tr><tr><td>B. Le calcul</td><td>18</td></tr><tr><td>C. Classification des catégories de problèmes</td><td>20</td></tr><tr><td>D. Niveaux des procédures de résolution des problèmes et apprentissage des opérations arithmétiques au sein d'un problème</td><td>22</td></tr><tr><td>E. Conclusion</td><td>25</td></tr><tr><td>IV. L'approche ethno-mathématique</td><td>27</td></tr><tr><td>A. Des savoirs acquis « dans la rue »</td><td>27</td></tr><tr><td>B. Une approche ethno-mathématique dans l'enseignement des mathématiques</td><td>29</td></tr><tr><td>V. Problématique</td><td>32</td></tr><tr><td>Chapitre 2 Dispositif et méthodologie</td><td>35</td></tr><tr><td>I. Introduction</td><td>37</td></tr><tr><td>II. Le contexte du CUEEP</td><td>39</td></tr><tr><td>A. Le CUEEP de Tourcoing</td><td>39</td></tr><tr><td>B. Les niveaux Math Départ et Math de Base</td><td>40</td></tr></table>
<table><tr><td>III. Analyse a priori du questionnaire</td><td>43</td></tr><tr><td>A. Une histoire de vie</td><td>43</td></tr><tr><td>B. Questionnaire sur le rapport aux nombres</td><td>43</td></tr><tr><td>IV. Analyse a priori des problèmes proposés</td><td>54</td></tr><tr><td>A. Les systèmes d'équations linéaires à deux inconnues</td><td>54</td></tr><tr><td>B. Les méthodes arithmétiques de résolution des systèmes d'équations</td><td>56</td></tr><tr><td>C. Analyse a priori des problèmes proposés en séance</td><td>68</td></tr><tr><td>D. Organisation de la succession des tâches</td><td>71</td></tr><tr><td>Chapitre 3 Analyse des résultats</td><td>79</td></tr><tr><td>I. Introduction</td><td>81</td></tr><tr><td>II. Rapport des entretiens individuels</td><td>82</td></tr><tr><td>A. Rapport du questionnaire sur les nombres avec Véronique</td><td>82</td></tr><tr><td>B. Rapport du questionnaire sur les nombres avec Claude</td><td>92</td></tr><tr><td>III. Analyse des observations en séance</td><td>103</td></tr><tr><td>A. Apprentissage et contrat didactique</td><td>103</td></tr><tr><td>B. Influence des représentations dans la compréhension et l'analyse des problèmes</td><td>106</td></tr><tr><td>C. Les difficultés rencontrées dans la résolution des problèmes</td><td>110</td></tr><tr><td>D. Relation entre T1 et T2</td><td>116</td></tr><tr><td>E. Bilan du test du 30.05.02</td><td>119</td></tr><tr><td>IV. Conclusion des entretiens individuels et des séances</td><td>125</td></tr><tr><td>A. Véronique versus Claude</td><td>125</td></tr><tr><td>B. Quand les adultes nous parlent</td><td>127</td></tr><tr><td>Conclusion générale</td><td>131</td></tr><tr><td>Bibliographie</td><td>135</td></tr><tr><td>Annexe</td><td>137</td></tr></table>
Remerciements

Je tiens tout d'abord à remercier Marie-Alix Girodet, pour m'avoir reçue si gentiment alors que mon projet était encore très vague, et de m'avoir aiguillée vers le CUEEP.

Je remercie vivement toute l'équipe du CUEEP de Tourcoing : les stagiaires des groupes Math Départ et Math de Base et en particulier Djoer, Véronique et Claude qui ont accepté d'être interviewés. Merci aussi à Bruno de m'avoir permis de faire des observations et à Madame Cardinal pour m'avoir donné des informations.

Un merci sincère à Marie-Christine Liefooghe qui m'a permis d'intervenir dans son groupe malgré mon manque d'expérience avec ce public. Je la remercie pour son aide et sa disponibilité.

Merci à Michèle Artigue, François Colmez et Jean-Pierre Leclere d'avoir accepté d'être membre du jury de la soutenance de ce mémoire.

Mes remerciements les plus chaleureux à Michèle Artigue pour avoir dirigé ce mémoire et à Jean-Pierre Leclere pour m'avoir accueillie au CUEEP. Je les remercie tous les deux de m'avoir écoutée, guidée, soutenue et encouragée tout au long de mon travail. Ma gratitude est d'autant plus grande que je sais que leur temps est précieux.
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## Introduction

Au cours de mon année de maîtrise de mathématiques, j'envisageais de poursuivre l'année suivante un DEA en didactique des mathématiques car j'ai toujours été attirée par la pédagogie. Une rencontre avec Marie-Alix Girodet suite à la lecture de son livre intitulé « Influence des cultures sur les pratiques quotidiennes de calcul » a suscité mon intérêt pour la formation d'adultes et en particulier si cette formation s'adresse à un public culturellement diversifié.

En France, peu de travaux en didactique des mathématiques ont été effectués sur un public d'adultes illettrés. Pourtant des formations leur sont proposées et d'un point de vue social, il me paraît important de s'y intéresser. Marie-Alix Girodet m'a présentée à Jean-Pierre Leclere, permanent du CUEEP<fnref n="1" /> en mathématiques et qui précisément mène des travaux dans cette direction. Une seule rencontre avec le groupe de Jean-Pierre Leclere au CUEEP de Tourcoing a suffit à me convaincre de me lancer dans cette voie.

J'ai donc choisi de mener dans le cadre de mon mémoire de DEA une étude exploratoire visant à comprendre les difficultés et les capacités en mathématiques des adultes dits de « bas niveau de qualification »<fnref n="2" />.

En l'absence de travaux sur le domaine visé, je me suis appuyée d'une part, sur des travaux nous renseignant sur ce public que je n'avais jamais rencontré dans le cadre d'une formation, d'autre part sur des recherches faites sur les enfants en ce qui concerne l'apprentissage du nombre et enfin sur l'ethno-mathématique se rapprochant plus des adultes. Un aperçu de ces travaux est l'objet du chapitre 1.

A partir de ces travaux, de ce que j'observais au CUEEP de Tourcoing et de la formation didactique que je recevais parallèlement, je me suis posée un certain nombre de questions auxquelles j'ai essayé de répondre en mettant en place une méthodologie de travail. Je présente dans le chapitre 2 les différents dispositifs utilisés pour recueillir des données : entretiens individuels, résolutions en séances collectives de problèmes portant sur des systèmes linéaires à deux ou trois inconnues, évidemment présentés sous une forme adaptée à ce public.

Dans le troisième chapitre, nous présenterons une analyse des différentes observations menées au sein du groupe Math de Base, dirigé par Marie-Christine Liefooghe.

<footnote n="1">¹ Centre Universitaire-Economie d'Enseignement Permanent.</footnote>

<footnote n="2">² Nous employons les deux termes « bas niveaux de qualification » et « illettrés » pour désigner le public que nous avons rencontré au CUEEP de Tourcoing dans la mesure où la plupart de ces adultes savent peu lire et où la première ou la deuxième dénomination conviennent plus ou moins bien aux stagiaires.</footnote>
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# CHAPITRE 1

LES ADULTES DITS DE BAS NIVEAU
DE QUALIFICATION ET LES
MATHÉMATIQUES
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# I. Introduction

Dans ce chapitre, nous allons tout d'abord préciser ce que l'on entend par « adultes de bas niveau de qualification » en donnant des renseignements sur leurs catégories sociales ainsi que sur leurs capacités cognitives.

Puis, dans la mesure où nous nous intéressons à la formation de ces adultes en mathématique et plus particulièrement dans le domaine numérique, il nous semble important de préciser ce que l'on sait sur l'apprentissage du nombre. La littérature ne fournissant que très peu de renseignements chez l'adulte, ces recherches sur le nombre ont été menées chez les enfants en contexte scolaire.

C'est pourquoi, afin de nous rapprocher des questions relatives aux adultes en situation d'illettrisme, nous nous sommes intéressés à l'ethno-mathématique, domaine étudiant les pratiques mathématiques dans la vie quotidienne chez les enfants et les adultes.
# II. Les adultes dits de « bas niveau de qualification »

## A. Qu'est ce qu'une personne dite « de bas de niveau de qualification » ?

La catégorie « bas niveau de qualification » désigne théoriquement les personnes n'ayant pas les compétences requises par un diplôme de niveau V<fnref n="3" />. D'un point de vue pratique, ce sont en fait les personnes qui ne peuvent qu'occuper les postes situés en bas de l'échelle de qualification (Pailhous, Vergnaud, 1989).

Ce terme regroupe aussi bien les jeunes sortant du système scolaire sans qualification, les travailleurs immigrés dont les compétences ne sont pas reconnues par le système français, les mères de famille n'ayant jamais travaillé, les marginaux allant de petits boulots en petits boulots...

L'âge de ces adultes peut varier de 18 à 60 ans, certains ne savent pas lire ; ils n'ont jamais appris ou ont oublié par manque de pratique, d'autres ont connu la drogue ou l'alcoolisme...

Ces individus ont, pour un grand nombre d'entre eux, vécu des expériences professionnelles (chômage, expulsion de groupes de travail) et des expériences personnelles (isolement, fragilité psychologique) difficiles à surmonter. Pour certains, tout se passe comme si les différents types d'échecs vécus (échec scolaire, échec professionnel, échec familial) se renforçaient mutuellement. Cela se répercute dans leur capacité à communiquer avec autrui, à s'insérer au sein d'un groupe, à entreprendre des projets, à se repérer dans le temps et l'espace. Cette situation est d'autant plus difficile pour les personnes illettrées dans une société où l'écriture est omniprésente, notamment dans la transmission de l'information et du savoir ; nous pouvons facilement imaginer les difficultés que ces personnes rencontrent au cours de la vie quotidienne et qui accroissent notamment leur exclusion sociale.

Les adultes regroupés sous le qualificatif de « bas niveau de qualification » représentent donc une population très hétérogène et rencontrent des **difficultés à tous niveaux**.

Tout d'abord dans la recherche d'un travail : pour trouver un emploi, « il faut qu'il [l'adulte] puisse se considérer comme capable d'occuper lui-même un emploi, c'est-à-dire qu'il se perçoive comme doté des compétences nécessaires et en mesure de les exercer. » (Avice, Bonnal-Lordon, Jean-Montcier, 1992). Or une personne au chômage a bien souvent une mauvaise représentation d'elle-même ; elle perd confiance en elle et doute de ses compétences professionnelles, ce qui est pourtant nécessaire pour trouver un emploi.

Tous ont des compétences dans des domaines variés mais le problème est qu'il est difficile en général de les identifier. Les personnes « peu qualifiées » ne sont pas sans qualités mais les emplois qu'elles ont eus ou les activités qu'elles pratiquent ne sont pas forcément reconnues en tant que qualification (par exemple dans le domaine artisanal). Ou encore, « certains travailleurs passent pour ne posséder aucune compétence tout simplement parce qu'il n'existe plus de témoin de leur expérience professionnelle, ni d'épreuve possible pour la vérifier. » (Pailhous, Vergnaud, 1989)

<footnote n="3">³ Niveau V : sorties de l'année terminale des cycles courts professionnels (BEP, CAP) et abandons de la scolarité du second cycle long avant la classe terminale.</footnote>

<footnote>Ce niveau correspond à une qualification complète pour l'exercice d'une activité bien déterminée avec la capacité d'utiliser les instruments et les techniques qui s'y rapportent. Cette activité concerne principalement un travail d'exécution qui peut être autonome dans la limite des techniques qui y sont afférentes. (d'après l'éducation nationale)</footnote>
Puis, en ce qui concerne les adultes salariés « peu qualifiés », une reconversion leur est nécessaire pour faire face aux nouvelles techniques et leur pose alors bien souvent des difficultés. La tâche de reconversion des adultes dits « en bas niveau de qualification » apparaît difficile tant du côté du formateur que du formé : il s'agit, pour le formateur, en règle générale coupé de l'entreprise, « d'élaborer des contenus et des méthodes appropriés à des personnes qui ont été déshabituées à utiliser et à étendre des compétences acquises en formation initiale, dans la vie quotidienne ou, dans des tâche spécialisées, et qui, en formation de reconversion, sont coupées du milieu de travail dans lequel ces compétences peuvent le mieux s'expliciter et donc se transférer » (Pailhous, Vergnaud, 1989). Cette tâche est d'autant plus difficile que le formateur a en général peu conscience du savoir et des capacités à apprendre de ces adultes au départ.

## B. Les capacités cognitives des adultes dits de bas niveau de qualification

Les recherches en psychologie cognitive permettent cependant de nous éclairer quant aux compétences cognitives (comme savoir apprendre et utiliser un savoir, pouvoir le transférer à d'autres situations, comprendre la logique d'une situation) de ces adultes.

Par exemple, le rapport de Richard cité dans (Pailhous, Vergnaud, 1989) pointe des difficultés de compréhension dans des tâches industrielles et administratives :

* Il relève une **interprétation inadéquate de documents administratifs** ; l'implicite contenu dans des textes fait référence à une culture et un savoir scolaire que des individus n'ont pas forcément, faute d'avoir pu fréquenter l'école ou parce qu'ils viennent d'un autre pays par exemple.

* Pour pouvoir comprendre une situation, il faut **savoir passer d'un point de vue à un autre, d'un mode d'organisation à un autre** et cela est apparemment ce qui pose des problèmes aux BNQ<fnref n="4" /> : « il est pour eux pratiquement impossible de traiter une information qui n'est pas présentée selon le point de vue qui est requis pour réaliser la tâche : il faudrait construire une longue chaîne d'inférences pour transformer l'information fournie et la mettre sous une forme utilisable. ». Par exemple, pour comprendre un système mécanique, « on peut adopter soit le point de vue du déroulement, consistant à considérer la suite des événements qui constituent le processus avec leur relations causales, soit le point de vue fonctionnel ou téléologique, qui décrit les fonctionnalités du système et leurs relations en termes de buts-sous-buts ».

* « On a constaté chez les BNQ un **déficit massif des opérations de traitement des relations**, à la fois celles qui concernent le traitement des connecteurs logiques et celles qui concernent l'inclusion des classes dans les classifications ». Les BNQ disposent en outre « d'un répertoire d'opérations cognitives limité pour combiner les différents éléments d'information fournis dans un texte sous la forme de propositions ».

Les technologies ne cessant de progresser, on demande aux salariés « peu qualifiés » de s'adapter aux nouveaux systèmes (avec ou sans formation). On relève en fait un décalage entre la structure logique des tâches demandées et la capacité intellectuelle à les effectuer. Par exemple, la difficulté à distinguer deux points de vue et à utiliser l'un plutôt que l'autre dans une situation ou encore à suivre des raisonnements particuliers comme le raisonnement sous condition (Pastré, 1992).

<footnote n="4">⁴ Bas Niveaux de Qualification</footnote>
Pour ce public, une formation visant à développer un certain nombre de compétences intellectuelles et plus généralement cherchant à modifier leur rapport au savoir peut donc s'avérer très utile.

### C. Pour les personnes ayant l'opportunité de suivre des remises à niveau, quel est l'intérêt de faire des mathématiques ?

Quatre raisons principales peuvent être avancées :

#### Pour améliorer leurs capacités cognitives

Les recherches en psychologie cognitive mettent en évidence un dysfonctionnement de l'appareil cognitif (notamment au niveau de l'analyse de situations et des structures logiques) de ces adultes et donc la nécessité d'éduquer celui-ci, ce qui est justement l'un des intérêts de l'activité mathématique.

En effet, la résolution d'un problème mathématique exige un effort d'analyse : analyser la situation pour comprendre le problème, saisir les données et mettre au point une stratégie de résolution.

L'avantage de pratiquer des exercices mathématiques dans les cours de remise à niveau est de permettre de se débarrasser de certaines contraintes affectives du réel. Par exemple, une dame inquiétée par le prix excessif de sa livre de tomates et de son kilo d'abricots ne vérifiera pas forcément si le compte est bon par crainte du regard du maraîcher et des autres clients attendant d'être servis. Un contexte « scolaire » peut toutefois provoquer d'autres types d'angoisses...

Un problème mathématique peut faire intervenir diverses relations logiques, des comparaisons, des classements, etc., et peut développer des compétences telles que analyser une situation, émettre des hypothèses, poursuivre un raisonnement. Le raisonnement fait intervenir des principes universels et donc handicape moins les personnes illettrées.

D'un point de vue métamathématique, les mathématiques peuvent développer des capacités de rigueur et de persévérance, de permettre de réfléchir sur sa propre façon de penser, d'agir de manière objective.

Ces compétences sont utiles pour pouvoir analyser les situations de la vie quotidienne de façon objective, pour pouvoir reconnaître les arguments rigoureux des arguments fantaisistes, prendre en compte les informations pertinentes, etc. En effet, dans notre société, un grand nombre d'arguments à couleur scientifique s'appuient souvent sur des chiffres et des pourcentages comme par exemple « au loto, 100% des gagnants auront tenté leur chance » ou sur des sujets plus graves :

> « Les scientologues sont en bonne santé (plus de la moitié ne manque pas une seule journée de travail par an), actifs (une majorité d'entre eux participe à des activités ecclésiastiques, de défense des droits de l'homme, de protection de l'environnement ou à diverses œuvres charitables) et réussissent dans leur profession (aux États-Unis, les trois quarts d'entre eux gagnent plus que le salaire moyen). Les scientologues ne se droguent pas (aucun d'eux n'utilise de stupéfiants).

> Ces chiffres sont contraires à la plupart des tendances actuelles de la société. Ils démontrent combien la Scientologie aide les gens à mener une vie meilleure. »

(www.questquela.scientologie.tm.fr)

Il est d'ailleurs possible que les chiffres avancés soient à peu près exacts. En revanche, la dernière phrase « ils démontrent que... » est très contestable.
En outre, il suffit qu'il y ait des nombres pour qu'un fait prenne un statut de vérité.

## Pour améliorer sa confiance en soi

Dépasser les angoisses que l'on a pu éprouver face aux mathématiques et se rendre compte que l'on est finalement capable de résoudre des problèmes peut contribuer à améliorer son estime et sa représentation de soi.

## Dans un but de professionnalisation

Dans un cadre professionnel, des compétences mathématiques sont exigibles pour certains emplois et peuvent aussi être un critère de sélection. Et puis, à n'importe quel âge, les mathématiques peuvent susciter des vocations !

## Pour les aider dans la vie courante

Les connaissances relatives à l'utilisation de représentations mathématiques comme les tableaux et les graphiques sont transférables dans la vie quotidienne ; savoir décodeur un tableau d'horaires, lire et comprendre un relevé de comptes, etc.

Les mathématiques ont de plus pour but de se familiariser avec un certain nombre d'outils (nombres, aires, périmètres, figures géométriques) utiles dans la vie courante. Par exemple, calculer le temps à attendre avant l'arrivée de son prochain train, calculer le nombre d'œufs à ajouter pour la préparation d'un gâteau pour huit personnes dont on a la recette pour six, vérifier une addition qui paraît très chère, calculer la surface des murs à peindre pour estimer le nombre de pots de peinture à acheter, fabriquer le patron d'un pantalon taille 40, estimer la somme nécessaire pour acheter 1,5 kg de bœuf à 7,45 € le kilo, convertir un prix affiché en euros, en francs sont des activités de la vie quotidienne, exécutées plus ou moins facilement suivant les compétences numériques et le degré de familiarisation que l'on a avec ces activités.

Nous vivons dans une société où les nombres sont présents dans tous les domaines (en géographie, en politique, en biologie, chez le boucher, etc.) et où leur manipulation peut s'avérer utile.

Un des buts des remises à niveau en mathématiques est donc en particulier de connaître les nombres et d'apprendre à calculer de façon exacte ou approchée dans des situations variées.

Nous allons ainsi étudier dans la prochaine partie, l'apprentissage du nombre sous ses différentes formes.
### III. L'apprentissage du nombre

L'apprentissage du nombre chez l'adulte est le thème central de notre étude. Peu de travaux ont été effectué dans ce domaine, la plupart des recherches sur le nombre ayant été menées chez les enfants, voire chez les très jeunes enfants (Fuson, 1996, Brissiaud, 1989), nous utiliserons par conséquent les travaux sur l'apprentissage des nombres chez les enfants comme cadre de référence pour l'étude du rapport au nombre chez les adultes.

Le niveau des adultes auxquels nous nous intéressons plus particulièrement correspondrait, dans la scolarité, au niveau du cours élémentaire.

Nous allons dégager les caractéristiques du rapport au nombre à travers trois axes, développés de manière non indépendante dans les ouvrages traitant du nombre chez l'enfant :

* la connaissance du nombre (Ermel, 2001, Fayol, 1990);

* le calcul (Ermel, 2001, Butlen, Pézard, 1989);

* la résolution de problèmes (Verschaffel et De Corte, 1996, Vergnaud, 1981, Brissiaud, 2001).

Tout d'abord, précisons que connaître les nombres, c'est du point de vue objet (Douady, 1986) :

- connaître notre système de numération en base 10;

- pouvoir lire et écrire les nombres;

- connaître certaines relations entre les nombres : structuration arithmétique et relation d'ordre.

Néanmoins, connaître le nombre c'est aussi savoir l'utiliser dans sa dimension outil pour mener différentes activités de calcul et résoudre différents types de problèmes. Dans cet exposé, nous nous restreignons au champ conceptuel des problèmes additifs car c'est essentiellement à ce niveau que notre étude se déroule.

D'un point de vue sémantique, des travaux comme ceux de Verschaffel et De Corte (1996) et de Vergnaud (1981) ont permis de classer les problèmes faisant partie du champ conceptuel des structures additives. Nous présenterons les différentes catégories de problèmes répertoriées par ces chercheurs.

Nous verrons ensuite qu'un même problème peut être résolu de différentes manières, plus ou moins expertes et que l'un des objectifs des classes élémentaires est l'apprentissage de l'opération arithmétique comme procédure de résolution de problème.

#### A. Les nombres

##### Le système de numération de position

Nous utilisons en France, et dans la plupart des autres pays, un système de numération en base dix.

Ce système de numération de position, né en Inde il y a plus de quinze siècles, présente de nombreux avantages ; il permet « non seulement une représentation simple et parfaitement rationnelle de n'importe quel nombre (aussi grand soit-il), mais aussi et surtout une pratique simple, à la portée de tous, des opérations arithmétiques, et cela indépendamment du choix de leur base. Et c'est précisément en cela que notre numération écrite actuelle (ou n'importe
laquelle de ses équivalentes) constitue l'un des fondements de l'outillage intellectuel de l'homme aujourd'hui. » (Ifrah, 1994)

Ce système de numération est bâti autour de trois grandes idées qu'il faut avoir à l'esprit pour pouvoir le comprendre :

* « l'idée de donner aux chiffres de base des signes graphiques détachés de toute intuition sensible, n'évoquant donc pas visuellement le nombre des unités représentées.

* l'idée que notre système de numération est basé sur des groupements réguliers itérés auxquels on associe une écriture à l'aide de chiffres qui quantifient les différents ordres de groupement : unités, dizaines, etc. Ces chiffres ont une valeur qui varie suivant la place qu'ils occupent dans les représentations numériques.

* l'idée de se donner un zéro totalement « opératoire », c'est à dire permettant de remplacer le vide des unités manquantes et ayant simultanément le sens « nombre nul ». » (Ifrah, 1994, Ermel, 2001).

Illustrons à travers un exemple les caractéristiques de notre système de numération écrite : une numération de position, basée sur les groupements par dix :

- la première place désigne le nombre de paquets de paquets de dix unités, ou plus simplement le nombre de paquets à $10^2$ unités : 2

- la deuxième place désigne le nombre de paquets à dix unités : 3

- la troisième place désigne le nombre d'unités restantes : 4

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2

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3

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4

Ce nombre se lit « deux cent trente quatre » et s'écrit 234.

Ainsi, d'après le groupement de recherche pédagogique ERMEL (2001), les élèves arrivant en fin de CE2 devraient être capables :

- d'associer à une collection donnée, une écriture chiffrée et à un nombre une collection correspondante ;

- d'anticiper l'impact d'une modification de la collection d'objets sur l'écriture correspondante ;

- de savoir extraire le nombre de dizaines, centaines ou milliers d'un nombre pour résoudre un problème ou dans des exercices formels ;

- de différencier la valeur des chiffres suivant leur position ;
- de connaître les décompositions canoniques des nombres, comme $5864 = 5 \times 1000 + 8 \times 100 + 6 \times 10 + 4$;

- de connaître la signification du zéro dans l'écriture du nombre;

- d'avoir pris conscience de la récurrence du processus de groupement par 10 : $1000=10 \times 100=10$ centaines=$10 \times 10 \times 10$ en liaison notamment avec différents systèmes de mesure.

Ce système de numération écrite en base 10 est commun à la plupart des civilisations mais ce qui varie d'une langue à une autre, c'est la communication orale de ces nombres. Nous allons donc préciser les spécificités de celle-ci en langue française, ceci étant d'autant plus nécessaire que le français n'est pas forcément la langue maternelle des adultes concernés par notre étude.

## Désignations écrites et orales des nombres

Le système oral est composé :

* de mots-nombres ; les unités : « un », « deux », « trois »,... , « neuf » ; les dizaines : « dix », « vingt »,... ; les particuliers ; « onze », « douze »,...

* de règles qui permettent de repérer des noms de nombres à partir des mots-nombres ; par exemple « vingt et un », c'est vingt plus un.

* d'irrégularités par rapport à ces règles qui renvoient à d'autres décompositions que la décomposition canonique associée à la règle, utilisant l'addition et la multiplication de façon implicite ; par exemple $82 = 4 \times 20 + 2$ ; $96 = 4 \times 20 + 16$.

Les systèmes oraux varient d'une langue à l'autre et la régularité du système favorise nettement son apprentissage. Le système chinois est, par exemple, très cohérent et les études de Miller et Stigler (cité in Fayol, 1990) montrent que l'apprentissage oral est acquis plus précocement chez les enfants chinois que chez les enfants américains. En chinois, onze se dit « dix un », vingt trois se lit « deux dix trois ». La logique de ce système oral permet de mieux retenir le nom des nombres mais surtout de comprendre la structure de groupement par dix qui est sous-jacente.

En revanche, en utilisant les mots « cent, mille », etc., nous indiquons les différentes puissances de 10, permettant de percevoir immédiatement l'ordre de grandeur du nombre en question ce qui ne serait pas le cas si notre numération orale était calquée sur la numération écrite ; nous ne lisons pas 5451, « cinq, quatre, cinq, un » mais bien « cinq mille quatre cent cinquante et un ». Le système oral français de numération a donc des spécificités qui ont des raisons d'exister mais présente aussi des irrégularités qui engendrent des difficultés dans l'apprentissage de celui-ci.

Ceci conduit Fayol (Fayol, 1990) à distinguer deux types d'erreurs dans la désignation orale du nombre : syntaxique et lexicale.

Les erreurs syntaxiques se situent au niveau de la position des chiffres : « les perturbations consistent en :

* un traitement terme à terme aboutissant soit à la lexicalisation d'éléments du nombre verbal (ainsi « Mille neuf cent » est transcrit 1000 9 100), soit à une stricte mise en correspondance d'un item verbal par un chiffre (ainsi « Cent deux mille six » est transcrit 1216).

* un transcodage de Mille/Cent/Vingt par 0 ou par rien ou par adjonction d'un 1 (ainsi « Mille huit cent dix » est transcrit 18010, « Cent deux mille » est transcrit 102 1000). »
Puis, Fayol s'appuie sur les travaux de Deloche et Seron (Deloche et Seron, 1984) pour analyser les **erreurs lexicales** : « l'étude attentive de celles-ci les conduit à considérer que le lexique de la numération s'organise en ensembles ordonnés : les piles. Celles-ci sont au nombre de trois :

-les unités : de un à neuf

- les particuliers : de onze à seize.

- les dizaines : de dix à soixante.

Dès lors les erreurs lexicales sont de deux types :

* Les premières consistent en une confusion d'éléments relevant de la même « pile » ; confusions aboutissant à des substitutions telles que 11 à 12, 30 à 60, 5 à 7, etc.

* les secondes procèdent par changement de pile. Les sujets remplacent, par exemple, 50 par 15 ou par 5 : c'est à dire qu'ils passent d'un ensemble à l'autre en conservant la position sérielle de l'élément. » (Fayol, 1990).

Savoir communiquer des nombres est essentiel dans la vie de tous les jours ; par exemple, pouvoir lire dans un magasin qu'un objet coûte 74 € et le dire à une autre personne. De plus, savoir que l'on peut payer cet objet de diverses manières ; avec un billet de 50 €, deux billets de 10 €, et deux pièces de 2 €, ou bien avec trois billets de 20 €, un billet de 10 €, et quatre pièces de 1 € est un autre type de connaissance qu'il est aussi très important de maîtriser.

## Relations entre les nombres

### Structure arithmétique des nombres

D'après Ermel déjà cité, « connaître les nombres c'est aussi, au vu de la connaissance de leurs désignations canoniques et de leurs décompositions liées à ces désignations, maîtriser d'autres relations concernant ces nombres ».

Par exemple, 150 n'est pas seulement 100 plus 50 mais aussi 5 fois 30, 75 et 75, 125 et 25. 92, c'est 100-2 ; 25 c'est 100/4, etc.

Il s'agit de savoir décomposer un nombre de manières différentes en faisant intervenir des nombres de référence ; 5, 10, 50, etc. et les différentes opérations.

Pour cela, il est nécessaire d'avoir à sa disposition un ensemble suffisant de nombres de référence, de connaître les binômes de chiffres complémentaires à la dizaine (il faut ajouter 2 à 8 pour obtenir une dizaine), de bien manipuler les calculs sur les nombres référents, et en premier lieu les calculs additifs.

### Ordre et comparaison

Connaître les nombres ne consiste pas seulement à percevoir le sens de chaque nombre séparément mais au contraire à considérer les nombres dans leur ensemble, pouvoir faire des liens entre eux : « connaître les nombres c'est aussi, au vu de leur écriture, savoir les comparer rapidement entre eux, savoir en ordonner plusieurs et savoir situer des nombres par rapports à des nombres repères » (Ermel, 2001).

Dans cette première partie, nous avons présenté le nombre comme objet en précisant les caractéristiques institutionnelles (désignation des nombres) et structurelles du nombre. Lorsque nous résolvons des exercices sur les nombres, notre rapport au nombre s'enrichit à la fois dans la connaissance du nombre comme objet mais aussi comme outil. Nous allons
maintenant nous intéresser au nombre dans cette dimension outil du nombre à travers le calcul
et la résolution de problèmes.

## B. Le calcul

Dans cette partie, nous ne cherchons pas à faire un bilan exhaustif sur le thème du calcul.
Nous nous attachons à exposer des notions sur le sens des problèmes et la classification de
ceux-ci dues à Vergnaud (1981) et à Verschaffel et De Corte (1996) ainsi que sur les niveaux
des procédures de résolution des problèmes (Brissiaud, 2001) que nous utiliserons par la suite.

### Les différentes formes de calcul à l'école

D'après Ermel déjà cité, « savoir calculer aujourd'hui, c'est être capable de choisir parmi les différents moyens de calcul existant et de les mettre en œuvre correctement ». Ils distinguent alors différentes formes de calcul :

* le recours à des résultats mémorisés ; par exemple $5 + 5 = 10$ ; $15 + 15 = 30$.

* le retour au calcul mental. Pour effectuer « dans sa tête » une addition, l'enfant ou l'adulte aura une démarche dépendant des valeurs numériques en jeu, de leur propriétés arithmétiques et de la connaissance de l'enfant ou de l'adulte de celles-ci, des résultats mémorisés qu'il possède, et sans doute aussi de raisons plus personnelles.

Par exemple, suivant les personnes (et le jour), l'addition $58+13$ ne sera pas effectuée de la même manière :

- on décompose les deux nombres en dizaines et unités : 50 et 10, 60 ; 8 et 3, 11 ; 60 et 11 ;
71.

- on décompose uniquement le second nombre : 58 et 10, 68, et 3, 71 ou 58 et 3, 61, et 10,
71.

Etc.

8 et 3 sera un résultat mémorisé pour certains. D'autres devront calculer ce nombre avec le calcul réfléchi : $8 + 2 + 1 = 10$ ; $1 + 1 = 11$ ou tout simplement avec leurs doigts.

Un exemple montrant que les démarches de calcul diffèrent en fonction des valeurs numériques en jeu est proposé par Brissiaud (2001) : « un adulte ne calcule pas 104-6 comme il calcule 104-98. Dans le cas de 104-6, il procède par retraits successifs (104-4)-2, c'est à dire en « reculant ». Et dans le cas de 104-98, il procède par recherche du complément en « avançant » : « 98 pour aller à 100, il faut 2, et pour aller à 104, 4 de plus, ça fait 6 ». Précisons que dans ce dernier cas, on pourrait aussi procéder par retrait et accommodation par ajout (104-100) + 2.

Un nombre important de travaux didactiques (Verschaffel et De Corte, 1996, Brissiaud, 2001, Ermel, 2001, Butlen et Pézard, 1989) préconise le calcul mental à l'école. Ceci s'est répercuté dans les programmes de l'école élémentaire (ministère de l'éducation nationale) qui accordent aujourd'hui en conséquence une grande place au calcul mental et au calcul réfléchi.

Butlen et Pézard (1989) insistent en particulier dans leur travail sur le fait que le recours au calcul mental et au calcul réfléchi<fnref n="5" /> :

- permet tout d'abord de se familiariser avec la structure des nombres et les opérations arithmétiques ; ceci est repris dans les programmes : « ils [les élèves] élaborent

<footnote n="5">⁵ Calcul réfléchi : organisation et traitement de calculs additifs, soustractifs et multiplicatifs, mentalement ou avec l'aide de l'écrit (d'après le bulletin officiel)</footnote>
les premières relations additives et multiplicatives entre les nombres d'usage courant, au travers des activités de calcul mental ».

- permet ensuite de « faire fonctionner et s'approprier les propriétés des opérations » (comme par exemple la commutativité) et de construire des techniques de référence comme l'utilisation des doubles et des compléments à 10. Cette réflexion sur le calcul est nécessaire car les techniques opératoires peuvent s'avérer trop « coûteuses en mémoire pour se prêter à une exécution mentale » (Artigue, 2002).

- permet d' « enrichir, de diversifier et d'étendre les procédures de calcul ». Ces facultés sont nécessaires pour pouvoir reconstruire des calculs et mémoriser à plus long terme des résultats. Les programmes insistent aussi sur ce point : « si un résultat a été oublié, il doit pouvoir être reconstruit ».

Le calcul mental peut enfin intervenir au niveau du raisonnement : « il [le calcul mental] est une façon privilégiée de lier calcul et raisonnement, en mettant en jeu les propriétés des nombres et des opérations, comme le montrent par exemple les travaux de D. Butlen et N. Pézard ». Il permet aussi de « susciter des formulations, des généralisations et des preuves ». (Artigue, 2002).

* **le recours aux techniques opératoires** ; chaque culture possède ses propres algorithmes de calculs (en général basés sur les mêmes propriétés de la numération de position). Girodet (1996) insiste sur le « caractère instructif des différences » et l'enrichissement que peut permettre la confrontation et l'échange des stratégies de calcul opératoire au sein d'un groupe d'adultes.

* **le recours à l'instrumentation** ; bouliers, calculatrices. L'utilisation des calculatrices est intégrée dès le cours élémentaire : « pour certaines activités, les calculatrices sont également mises à disposition des élèves. Elles sont utilisées comme moyen de calcul, en particulier dans le cadre de la résolution de problèmes, par exemple lorsque l'élève a déterminé les calculs nécessaires, mais n'est pas capable de les exécuter assez rapidement et avec une bonne fiabilité, et qu'il risque donc de perdre le fil de sa réflexion... » (programme des cours élémentaires)

Pour les adultes dits de « bas niveau de qualification », il semble nécessaire de travailler ces différentes formes de calculs et de développer une bonne flexibilité entre ces modes complémentaires de calcul car :

- cela permet de travailler des compétences mathématiques comme la connaissance structurelle du nombre ;

- ces modes de calculs ont des utilités diverses et applicables dans des contextes différents ; par exemple, utiliser la calculatrice pour vérifier ses comptes, ou poser l'opération lorsque l'on ne dispose pas de calculatrice, calculer de tête la valeur approchée de ses achats, etc.

Effectuer une opération arithmétique et résoudre un problème ne provoquent pas le même type de difficulté suivant les personnes. Certaines seraient par exemple capable de résoudre l'exercice « combien me rend t-on si j'achète un sac à 173F et que je donne 200F ? » mais ne pourraient répondre si l'on leur demandait « combien fait 200 moins 173 ? ». D'autres personnes savent effectuer les opérations arithmétiques mais sont incapables de les utiliser pour résoudre des problèmes contextualisés. La difficulté d'un problème n'est pas alors tant de « calculer » mais de se représenter mentalement la situation et de chercher un « moyen » pour trouver le résultat.

Ces « moyens » ou procédures ne seront pas les mêmes suivant le type de problème auquel nous sommes confrontés.
Par exemple, considérons les deux exercices suivants :

Exercice 1

Au début de la récréation, j'ai 18 billes. J'en perds 6 pendant la récréation. Combien ai-je de billes à la fin de la récréation ?

Exercice 2

Julien et moi avons rassemblé notre argent. J'ai mis 6F. A nous deux, nous avons 18F. Combien a mis Julien ?

Ces deux exercices, bien que les variables numériques et l'opération en jeu soient identiques, ne seront en général pas résolus de la même manière par des enfants en première année de cours élémentaire.

Pour l'exercice 1, la plupart des enfants se diront : « j'enlève 6 à 18 ».

Pour l'exercice 2, les enfants se diront plutôt : « combien faut-il ajouter à 6 pour avoir 18 »
ce qui correspondrait à effectuer l'opération à trou « 6 + 6 = 18 ».

Les enfants ont des gestes mentaux différents pour des exercices qui relèvent a priori de la même opération de soustraction. C'est pourquoi la classification des problèmes additifs et multiplicatifs suivant la représentation mentale qu'ils permettent ou favorisent a été l'objet de nombreux travaux, que nous allons présenter brièvement.

C. Classification des catégories de problèmes

Les littératures anglo-saxonne (Fuson 1992 ; Riley, Heller & Greeno 1983 ; Verschaffel &
De Corte 1993, in press) et française (Vergnaud, 1981) se rejoignent dans les critères de
classification des problèmes du champ conceptuel des structures additives.

En effet, les différents travaux réalisés établissent leur classification des problèmes additifs et soustractifs tout d'abord suivant la catégorie de problème (« situation » en anglais).

Verschaffel et de Corte (1996) distinguent ainsi trois catégories de problèmes :

- les **problèmes de changement** : « change problems refer to active or dynamic situations in which some event changes the value of an initial quantity » . (exercice 1)

- les **problèmes de combinaisons** : « Combine problems relate to static situations consisting of two quantities that are considered either separately or in combination » . (exercice 2)

- les problèmes de comparaison : « Compare problems involve two amounts that are compared and the difference between them ».

De plus, à l'intérieur d'une même catégorie, les auteurs (français et anglo-saxons) classent
les problèmes suivant deux principaux critères :

- le statut de l'inconnue ;

- le type d'opération a priori engagé.

Vergnaud (Vergnaud, 1981) a classé ces mêmes problèmes suivant des critères équivalents. Nous présentons les analogies entre les travaux français et anglo-saxons dans le tableau ci-après.
<table><thead><tr><th></th><th>Vergnaud</th><th>Verschaffel et al</th><th>exemples<sup>6</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>Catégorie / situation</td><td>la composition de deux mesures en une troisième</td><td>combine problems</td><td>1) Il y a 4 filles et 5 garçons autour de la table. Combien y a-t-il d'enfants en tout ? (1)</td></tr><tr><td>Classe</td><td>1) Connaissant les deux mesures élémentaires, trouver la composée.<br>2) Connaissant la composée et l'une des élémentaires, trouver l'autre.</td><td>1) unknown : super set<br>2) unknown : subset</td><td>2) Pete and Ann have 8 apples altogether. Pete has 3 apples. How many more apples does Ann have? (2)</td></tr><tr><td>Catégorie / situation</td><td>la transformation (quantifiée) d'une mesure initiale en une mesure finale</td><td>change problems</td><td>Voici 3 exemples parmi 6 :<br>1) il y avait 17 personnes ans le bus, il en monte 4. Combien y en a-t-il maintenant ? (positif, état final)</td></tr><tr><td>Classes</td><td>il distingue 6 classes de problèmes :<br>1) selon le signe de la transformation : positif ou négatif<br>2) selon que la question porte sur l'état final, sur la transformation, sur l'état initial</td><td>ils distinguent 6 classes de problèmes selon :<br>1) direction : increase or decrease<br>2) unknown : result set, change set, start set</td><td>2) Paul vient de jouer aux billes. Il en avait 41 avant de jouer. Il en a 29 maintenant. Combien en a-t-il perdues ? (négatif, transformation)<br>3) Pete had some apples. Then he gave 3 apples to Ann. Now Pete has 5 apples. How many apples did Pete have in the beginning? (increase, start set)</td></tr><tr><td>Catégorie / situation</td><td>la relation (quantifiée) de comparaison entre deux mesures</td><td>compare problems</td><td>Voici 3 exemples parmi 6 :<br>1) Pete has 8 apples. Ann has 3 apples. How many more apples does Pete have more than Ann? (more, difference set)<br>2) Pete has 8 apples. Ann has 3 apples less than Pete. How many apples does Ann have? (less, compared set)<br>3) Pete has 8 apples. He has 3 apples more than Ann. How many apples does Ann have? (less, reference set)</td></tr><tr><td>classes</td><td>il fait des distinctions de façon implicite (notamment suivant le statut de la comparaison) mais ne les classe pas explicitement</td><td>ils distinguent 6 classes selon :<br>1) direction : more or less<br>2) unknown : difference set, compared set, reference set</td><td></td></tr></tbody></table>

Ce tableau montre de grandes analogies dans les critères pris en compte pour classer les problèmes additifs et soustractifs par ces différents chercheurs.

Vergnaud (1981) affine d'autre part cette classification en proposant trois autres catégories de problèmes :

* La composition de deux transformations. Par exemple :

« Jean a joué deux parties de billes. A la première partie il a gagné 16 billes. A la seconde partie il en a perdu 9. Que s'est-il passé en tout ? »

Ou encore :

« Pierre a joué deux parties de billes. Au cours de la première partie, il en gagné 7. Il a joué une seconde partie. En faisant ses comptes pour les deux parties, il s'aperçoit qu'il a perdu 2 billes en tout. Que s'est-il passé à la seconde partie ? »

* La transformation d'une relation

<footnote n="6">⁶Les exemples en français sont tirés de « l'enfant, les mathématiques, la réalité » (Vergnaud, 1981). Les exemples en anglais sont issus de l'article de Verschaffel et De Corte (1996)</footnote>
Par exemple :

Je dois 16 € à Stéphanie. Je lui rends 10 €. Combien dois-je encore lui rendre ?

* La composition de deux relations. Par exemple :

Varma doit 20 € à Franck. Franck lui en doit 6. Combien Varma doit-il encore rendre à Franck ?

Ces problèmes se différencient aussi en classes selon le statut de l'inconnue et les opérations a priori en jeu.

Les problèmes, suivant la catégorie et la classe à laquelle ils appartiennent, n'ont pas le même niveau de difficulté et engendrent des erreurs de nature différente. Une raison importante est que le type<fnref n="7" /> de problème influence grandement la façon dont nous nous représentons l'exercice. Ceci est illustré à travers l'exercice 1 et l'exercice 2.

Fayol écrit de plus sur ce fait : « les sujets tendent à simuler, en action déployée à l'extérieur ou intériorisée, les évènements décrits. En conséquence, la procédure de résolution retenue se trouve sous la dépendance de la plus ou moins grande facilité à « mimer » tel ou tel déroulement ; de là la relative facilité pour les problèmes de changement. »

D'autres facteurs agissent dans la représentation mentale que l'on peut se faire d'un problème comme par exemple :

- la représentation sémiotique du problème (Duval, 1996)

- les nombres en jeux et « la facilité plus ou moins grande du calcul numérique nécessaire » ainsi que l'ordre de présentation des informations (Vergnaud, 1981)

- le contexte de l'exercice : il est plus facile de se représenter un problème dont le contexte est familier.

Les compétences des enfants dans la résolution de problèmes dépendent en grande partie de la faculté à se représenter le problème, liée aussi au nombre de fois où ils auront pu être confrontés au type de problème en question. Verschaffel et De Corte rapportent à ce sujet que la proportion des catégories d'exercices donnée aux enfants n'est pas la même suivant les classes. Ils recensent une majorité d'exercices de changement, tandis que les exercices de combinaisons sont très faiblement abordés.

Selon les sujets, les facteurs énoncés vont avoir une plus ou moins grande influence sur la façon de résoudre les problèmes ; celle-ci peut s'effectuer à plusieurs niveaux, plus ou moins experts. Nous allons présenter ces différents niveaux de résolution dans la partie suivante.

## D. Niveaux des procédures de résolution des problèmes et apprentissage des opérations arithmétiques au sein d'un problème

Nous avons souligné que des enfants perçoivent les exercices 1 et 2 de manières différentes, ce qui provoque des procédures de résolution distinctes. En revanche, une personne plus avancée mathématiquement utilisera plus facilement la même procédure pour les deux exercices : la soustraction.

Ainsi, un des objectifs des classes élémentaires est d'associer à différents gestes mentaux une unique opération arithmétique. Par exemple, prendre conscience que « enlever x à y » est équivalent à « chercher combien il faut ajouter à x pour obtenir y » et que ces deux gestes

<footnote n="7">⁷ Un type de problème est l'ensemble des problèmes correspondant à une catégorie et une classe données.</footnote>
mentaux reviennent à effectuer la soustraction « y-x ». Brissiaud (2001) dégage quatre points essentiels que nous présentons ci-après :

1. Il existe trois niveaux de résolution d'un même problème.

2. La transition du 1<sup>er</sup> au 2<sup>ème</sup> niveau se fait dans la continuité.

3. L'équivalence de deux gestes mentaux comme fondement de chacune des opérations arithmétiques

4. La transition du 2<sup>ème</sup> au 3<sup>ème</sup> niveau correspond à une réorganisation de l'expérience quotidienne.

1. Il existe trois niveaux de résolution d'un même problème

Pour décrire ces trois niveaux, nous allons prendre l'exemple du problème dit de soustraction :

« Eric a 28 billes. Il va en récréation et il gagne des billes. Maintenant il a 54 billes. Combien a-t-il gagné de billes ? »

Au 1<sup>er</sup> niveau, l'enfant peut s'y prendre ainsi : il commence par dessiner 28 billes, il change ensuite la couleur de son crayon pour bien distinguer ces 28 billes de celles qu'il va maintenant ajouter et il dessine des billes jusqu'à en avoir 54 en tout. Enfin, il compte combien il vient d'ajouter de billes.

Au 2<sup>ème</sup> niveau, l'enfant teste par exemple des hypothèses : « Eric a 28 billes au départ. 28+30 ça fait 58. C'est trop, ce n'est pas 30 billes. 28+25, ça fait 53, c'est presque 25, il a gagné 26 billes. ». Cette procédure, qui peut aussi prendre la forme d'une « addition à trou » reste très proche d'une simulation de l'action décrite dans l'énoncé. On remarquera notamment que le signe « + » y est employé dans un sens trivial, comme synonyme de « gagner ».

Enfin, au 3<sup>ème</sup> niveau, l'enfant, après une première lecture de l'énoncé, reconnaît presque immédiatement ce problème comme appartenant à la catégorie des problèmes de soustraction et il calcule 54-28.

En bref, avant d'être un problème de soustraction (3<sup>ème</sup> niveau), le problème d'Eric et ses billes est donc un problème de recherche de la valeur d'un ajout. Il se résout soit en simulant cet ajout (1<sup>er</sup> niveau), soit par une addition à trou. La résolution à l'aide de la soustraction est la procédure la plus experte. » (Brissiaud, 2001)

Nous avons observé les stagiaires du CUEEP mettre en œuvre ces trois niveaux de
procédures et plus particulièrement les niveaux 2 et 3 : leurs procédures de résolution
semblent être influencées par le type de problème en jeu et leur représentation sémiotique.
Nous allons ainsi étudier ce passage du niveau 2 à 3 plus précisément dans nos recherches,
d'autant plus que c'est l'un des objectifs du groupe Math de Base, groupe dans lequel nous
allons effectuer nos observations.

2. La transition du 1<sup>er</sup> au 2<sup>ème</sup> niveau se fait dans la continuité

« Le passage du 1<sup>er</sup> au 2<sup>ème</sup> niveau de résolution correspond à un premier usage du symbolisme arithmétique et offre beaucoup moins de difficulté que le passage du 2<sup>ème</sup> niveau au 3<sup>ème</sup> niveau » puisque dans les deux premiers niveaux, « c'est la compréhension du langage quotidien et la simulation des actions ou des relations présentes dans l'énoncé qui conduisent à la solution ».
(Brissiaud, 2001)
### 3. L'équivalence de deux gestes mentaux comme fondement de chacune des opérations arithmétiques

« Considérons les deux problèmes suivants :

a) Recherche de la valeur d'un ajout

Eric a 3 billes. A la récréation, il gagne des billes. Maintenant il a 21 billes. Combien a-t-il gagné de billes ?

b) Recherche du résultat d'un retrait

Eric a 21 billes. A la récréation, il perd 3 billes. Combien a-t-il de billes maintenant ? »

Ces deux exercices sont des problèmes de changement où l'opération a priori en jeu est la soustraction. La place de l'inconnu est par contre différente : on recherche une transformation dans le 1er exercice et un état final dans le 2nd.

« L'enfant qui sait résoudre ces problèmes au 3ème niveau repère immédiatement qu'ils se résolvent de la même manière en calculant 21-3.

Mais considérons le cas d'un enfant de CE1, par exemple, qui n'a pas encore étudié la soustraction. Il peut seulement résoudre ces problèmes au 1er ou au 2ème niveau.

Dans le cas du premier problème, il cherchera ce qu'il faut ajouter à 3 pour avoir 21. S'il utilise une stratégie de comptage sur les doigts pour simuler le gain, l'enfant dira : 3 (quantité initiale de billes) puis il comptera successivement sur ses doigts 4, 5, 6, 7,..., 21, tout en tenant le compte du nombre de doigts qu'il a ainsi levés, 18, qui constitue la solution numérique. Avec cette stratégie, donc, l'enfant avance sur la suite des nombres.

Pour résoudre le second problème, en revanche, il est plus probable que pour simuler la perte des 3 billes, l'enfant recule sur la suite des nombres : 21 billes en tout, 20 (1 bille est enlevée), 19 (2 billes sont enlevées), 18 (trois billes sont enlevées).

L'enfant avance sur la suite des nombres dans le premier cas, il recule dans le second. On conçoit qu'il ne lui soit guère facile de prévoir que ces deux procédures produisent le même résultat et, plus généralement, de comprendre qu'elles sont équivalentes. Or c'est cette équivalence qui fonde le concept arithmétique de soustraction parce qu'elle est à l'origine d'une économie cognitive considérable.

Le premier problème illustre bien ce phénomène d'économie cognitive car le geste mental qu'il suscite (avancer sur la suite des nombres depuis 3 jusqu'à 21) est plutôt long et pénible, et cela procure une économie cognitive substantielle de le remplacer par le second geste mental (reculer de 3 sur la suite des nombres à partir de 21). C'est parce que ces deux procédures sont équivalentes que l'on peut remplacer l'une par l'autre.

C'est parce qu'une culture a intérêt à ne pas laisser se perdre de tels phénomènes d'économie cognitive que cette équivalence a été dûment étiquetée par une étiquette verbale : le signe écrit « - » et le mot « soustraction ». » (Brissiaud, 2001)

### 4. La transition du 2ème au 3ème niveau correspond à une réorganisation de l'expérience quotidienne.

Le passage du 2ème au 3ème niveau correspond à une appropriation des opérations arithmétiques. Mais celle-ci se fait de manière inégale suivant les opérations ; l'addition et la multiplication sont « plus faciles » à s'approprier que les opérations inverses.
Les deux gestes mentaux qui fondent la multiplication ne sont pas radicalement différents : ils consistent en la recherche d'un ajout réitéré ; chercher a fois b d'une part et chercher b fois a d'autre part. Considérons par exemple les deux exercices suivants :

1. Combien vais-je payer si j'achète 19 stylos à 3 € pièce ?

2. Combien vais-je payer si j'achète 3 stylos à 19 € pièce ?

Un enfant ou un adulte qui n'aurait pas appris la multiplication résoudrait ces deux exercices de façon différente ; pour le 1er exercice, il calculerait 3+3+3+3+3+3+... (19 fois) et pour le 2nd, il calculerait 19+19+19. Nous constatons, par le premier geste mental l'intérêt d'apprendre la multiplication. D'après Brissiaud, l'équivalence des deux gestes mentaux qui fondent la multiplication ne pose pas beaucoup de difficultés pour les élèves : « la reformulation du problème sous la forme 19 fois 3 ne pose guère de problème et elle conduit l'enfant à reconnaître qu'il s'agit là d'un problème de multiplication » et à utiliser la notation symbolique 19×3 ou 3×19. Ils prennent ensuite rapidement conscience que ces opérations sont équivalentes (lors d'activités en classe) et il arrive fréquemment qu'en écrivant 3×19, ils le calculent comme 19×3 (19+19+19).

En revanche, « la soustraction et la division sont des opérations qui apparaissent « difficiles » aux enseignants parce qu'ils n'ont pas la même possibilité » (la soustraction et la division ne sont entre autre pas commutatives).

Dans le cas de la soustraction, c'est l'équivalence des deux gestes mentaux correspondant à « la recherche du résultat d'un retrait » et à «la recherche de la valeur d'un ajout » qui fonde la soustraction (cf. point 3, page 24). Associer la soustraction au premier geste mental ne pose pas beaucoup de difficulté mais en produit en revanche beaucoup pour le second geste mental (ceci est dû en grande partie au fait que la soustraction est associé dans le langage commun à une perte, une idée de recul et non à l'idée d'un rajout).

« De même, les deux gestes mentaux dont l'équivalence fonde la division sont eux aussi de nature très différente : l'un est la recherche des résultats d'un partage équitable, et l'autre la recherche des résultats d'un groupement réitéré (combien de groupes peut-on former ? Restera-t-il des éléments isolés ?). Comme dans le cas de la soustraction, l'étiquetage par le signe « : » (« divisé ») est très facile pour le premier type de problème mais est plus difficile pour l'autre » (dans le langage courant, la notion de division est associée à une idée de partage).

## E. Conclusion

L'étude du nombre possède de nombreuses entrées ; considérer 21 comme le seul nombre entier compris entre 20 et 22, ou comme une température, ou comme la différence de 54-33, ou comme la largeur en mètres de mon jardin, ou comme la quantité de crêpes sur la table, etc., relèvent de conceptions différentes en ce qui concerne le nombre 21. Autant de façons de considérer le nombre qui nous ont amenés à faire des choix thématiques visant à développer ses principales fonctions : le nombre en tant qu'objet structurel de communication et de mémorisation, le calcul et la résolution de problèmes. Nous avons choisi de développer ces caractéristiques du nombre afin d'en établir un rapport avec les observations effectuées et les objectifs des niveaux Math Départ et Math de Base du CUEEP de Tourcoing :

* Le nombre est ancré au sein d'un système de numération de position et nous avons constaté que celui-ci n'est pas forcément naturel aux personnes n'ayant pas ou peu fréquenté l'école. En effet, beaucoup de stagiaires ont de grandes difficultés à lire et à
écrire les nombres, en chiffres ou en lettres, la place des zéros posant notamment des problèmes. La structure arithmétique des nombres et les propriétés de notre système de numération sont beaucoup travaillées dans le premier niveau (Math Départ).

* Nous avons exposé les différents modes usuels de **calcul**: la place et l'utilisation de ceux-ci est inégale suivant les groupes ; en Math Départ, l'accent est mis sur l'utilisation du calcul réfléchi et les stagiaires n'utilisent pas de calculatrice. En Math de base (2ème niveau), les stagiaires peuvent utiliser la calculatrice pour résoudre des problèmes, mais vont apprendre séparément les algorithmes des opérations.

* En ce qui concerne la **résolution de problème**, les observations effectuées dans les deux groupes d'adultes sont en rapport avec les travaux effectués sur les enfants. Des variables telles que la catégorie (transformation, combinaison, comparaison) et la classe (statut de l'inconnue, opération a priori) du problème en jeu, la représentation, le contexte et les nombres en jeu, semblent influencer la représentation mentale, la dévolution et la procédure de résolution du problème.

* Enfin, nous nous sommes intéressés aux différents **niveaux de résolutions de problèmes** ; nous avons remarqué qu'il est possible de résoudre des problèmes de type soustractif, multiplicatif, ou de division en utilisant uniquement l'opération d'addition. C'est ce que font les stagiaires du groupe Math Départ, l'utilisation de l'opération arithmétique comme procédure de résolution étant l'un des objectifs du groupe suivant, Math de Base.

Les études sur le nombre chez l'enfant semblent donc être un bon outil pour analyser le rapport au nombre chez l'adulte. Elles nous ont permis d'étudier plus précisément les difficultés mathématiques de ces adultes et de construire un questionnaire visant à mieux connaître le rapport aux nombres des adultes que nous exposerons dans le chapitre 2.

Les travaux que nous venons d'exposer sont cependant incomplets pour notre étude sur les adultes en situation d'illettrisme car ces travaux étudient le développement de compétences en ce qui concerne le nombre dans un cadre scolaire. Or, les adultes et les enfants non scolarisés peuvent développer des savoirs faire mathématiques dans des activités de la vie quotidienne. Les ethno-mathématiciens analysent ces savoirs ; un aperçu des études faites à ce sujet est l'objet de notre prochaine section.
## IV. L'approche ethno-mathématique

« J'avais réuni les habitants du village nommé Ganthier [en Haïti] et je leur posai des problèmes en leur demandant de les résoudre à haute voix. Aux premières questions posées, je me suis aperçue qu'il y avait un leader qui calculait plus vite que les autres mais très vite, il refusait de répondre et s'éloignait sous le prétexte « qu'on le prenait pour un enfant ». Je lui posais donc un problème très compliqué avec un assez grand nombre de données concernant le rapport de la vente d'un troupeau convoyé vers un marché distant de dizaines de kilomètres : au cours du trajet, comme il se produit dans la réalité, le nombre de têtes diminuait, les vaches maigrissaient ; il fallait, de plus, considérer le prix de la viande, celui des peaux, etc. Il se mit alors au milieu du groupe et commença ses calculs. A chaque étape du compte, il disait à quelqu'un : « Tu me retiens tant ». Il arriva rapidement et sans erreurs au résultat. Il compensait le fait de ne pas savoir écrire les nombres en utilisant les gens autour de lui pour « noter » les résultats intermédiaires. » (Girodet, 1996)

Les mathématiques sont souvent associées à l'écrit, notamment en ce qui concerne les tâches complexes. Cette citation montre qu'il est tout à fait possible de venir à bout d'un problème compliqué, en utilisant d'autres moyens.

Le rapport des mathématiques à l'écrit a été étudié par Nunes (Nunes, 1993) où elle met en évidence les facultés des enfants des rues brésiliens à calculer dans leurs activités de vendeur et les difficultés qu'ils rencontrent lors de problèmes mathématiques écrits.

Un public scolarisé ou non, qu'il soit enfant ou adulte, développe des compétences mathématiques lors des ses activités quotidiennes. C'est dans la perspective de comprendre les relations entre savoirs mathématiques acquis en contextes scolaire et hors scolaire, et de saisir l'influence des cultures dans l'activité mathématique que se situe l'approche ethno-mathématique. Une définition en est donnée par D'Ambrosio : « *ethnomathematics refers to forms of Mathematics that vary as a consequence of being embedded in cultural activities* » (D'Ambrosio cité in Nunes, 1992).

Une approche ethno-mathématique peut donc s'avérer très utile dans l'étude des compétences mathématiques chez les adultes non scolarisés.

Quels sont les types de savoirs développés en contexte hors scolaires ?

Pour des adultes en situation d'illettrisme mais en phase de scolarisation, comment exploiter les connaissances développées dans la vie quotidienne pour pouvoir suivre un apprentissage efficace ?

### A. Des savoirs acquis « dans la rue »

Les adultes et les enfants non scolarisés sont amenés à « faire des mathématiques » pour répondre à des besoins quotidiens.

Au Brésil, l'échec des enfants d'ouvriers en mathématique à l'école a conduit un certain nombre de chercheurs (Nunes, Carraher, Schliemann) à étudier les causes de cet échec. Ainsi, ils ont observé que, pour un exercice comportant les mêmes calculs, les enfants n'affichent pas les mêmes performances suivant le contexte selon lequel il est présenté : dans le cas où le problème est simulé comme dans un magasin, c'est-à-dire si l'enfant joue au vendeur et le chercheur au client, les compétences des enfants des rues sont du niveau de celles des autres enfants. Quand il s'agit d'un exercice proposé à l'écrit en situation scolaire, leurs performances diminuent alors nettement : ils n'appliquent plus leurs stratégies mais, sous un
effet de contrat didactique<fnref n="8" /> probablement, utilisent des opérations arithmétiques avec lesquelles ils ne sont pas à l'aise.

Pourtant, les techniques orales et écrites en ce qui concerne l'addition et la soustraction ne sont pas si différentes dans la mesure où elles reposent toutes les deux sur l'associativité de l'addition: « *The particular decompositions chosen in written and oral procedures are not the same* ; yet, the properties used, namely the associativity of addition and subtraction, are the same in both procedures » (Nunes, 1992)

Pour Nunes, les pratiques arithmétiques peuvent différer suivant les cultures, mais les stratégies contiennent en général les mêmes invariants logiques.

Deux autres études qui nous semblent particulièrement intéressantes montrent que les adultes non scolarisés sont capables d'élaborer différentes notions mathématiques.

Un premier travail concerne le concept de groupement ; l'étude porte sur des ouvriers travaillant dans une usine de lait et chargés de l'inventaire des briques de lait en temps limité dans un local où les possibilités de mouvement sont très restreintes. Les briques étaient rangées en piles de même surface, de hauteur différente et accolées les unes aux autres. Il était très difficile de se déplacer au sein du local ; les ouvriers grimpaient sur des caisses pour observer les dernières rangées des piles et estimer alors leur hauteur.

Fahrmeier (cité in Nunes, 1992) dénombre des stratégies de comptage mettant en jeu l'utilisation des piles suivant leur hauteur comme nouvelles unités. Ils ont basé leur procédure de comptage sur les propriétés des caisses (leur hauteur) ce qui permet à la fois un inventaire plus rapide et plus précis.

Une autre étude (Saxe et Moylan cité in Nunes, 1992) révèle la capacité des adultes non scolarisés Oksapmin (population indigène de Papouasie en Nouvelle Guinée) à faire des inférences transitives avec leur système de mesure (utilisant les différentes partie du corps : bras, taille, etc.). Par exemple, un exercice proposé était de juger si deux sacs A et C étaient de même taille ; ils ne pouvaient pas comparer directement les deux sacs mais pouvaient les mesurer en utilisant une partie de leur corps B. Résoudre cet exercice consiste à faire un raisonnement mathématique de type : $A = B & C > B \rightarrow C > A$. Ces travaux montrent que la plupart des Oksapmin adultes non scolarisés a réussi les exercices de ce type mettant en jeu la transitivité.

Ces trois exemples montrent que les capacités mathématiques des individus ne manquent pas de se développer dans la vie quotidienne et peuvent concerner à la fois des performances calculatoires, des concepts mathématiques ou encore des inférences logiques.

Toutefois, ces compétences s'exercent dans chacun des cas dans des situations spécifiques et sont mises en jeu de façon inconsciente. Si les adultes développent dans leurs activités quotidiennes des capacités mathématiques, celles-ci ne sont pas forcément transférables à d'autres situations. Il n'est par exemple pas évident que le compteur haïtien cité au début de cette partie résolve le problème proposé si l'on remplace les animaux par des animaux moins familiers ou si l'on remplace les villages par des villages non connus.

De plus, dans l'étude concernant les Oksapmin, il est précisé que les individus scolarisés réussissent plus rapidement que les autres les exercices comportant des inférences transitives. L'enseignement scolaire a donc un grand rôle dans le développement des compétences mathématiques, un tant soit peu décontextualisées ou utilisables dans une diversité de contextes.

Des travaux (Carraher cité in Nunes, 1992) montrent que si les différences entre adultes scolarisés et non scolarisés ne sont pas vraiment perceptibles dans la résolution de problèmes

<footnote n="8">⁸ Brousseau, 1986</footnote>
directs<fnref n="9" />, elles le sont nettement dans la résolution de problèmes inverses<fnref n="10" />. Toutefois, comme il a été observé chez les enfants des rues au Brésil, certains adultes utilisent leurs propres méthodes (notamment émettre des hypothèses) pour résoudre des problèmes inverses en situation de travail (Schliemman & Carraher cité in Nunes, 1992) ; ces stratégies s'avérant performantes, il est alors difficile dans ces cas d'établir une relation entre les effets d'une scolarisation et les compétences mathématiques.

En ce qui concerne les problèmes d'addition et de soustraction, d'après Nunes, les stratégies de résolution scolaires et non scolaires dépendent des mêmes invariants logiques mais un apprentissage scolaire est nécessaire car il permet d'unifier les différentes catégories de problèmes (cf. chapitre1, section III) et de transférer des méthodes de calculs à un plus grand nombre de situations : « schooling may be a source of learning about inversion, either through systematic practice using inversion in problem solving or through the introduction of symbolic systems that unify very different situations under the same symbols, like + and – » (Nunes, 1992).

## B. Une approche ethno-mathématique dans l'enseignement des mathématiques

### Prendre en compte les diversités culturelles

Dans les centres de formation continue, les groupes d'adultes en « bas niveau de qualification » sont composés de cultures et parcours diversifiés. Ils disposent de savoirs et de savoirs faire différents qu'ils ont acquis grâce à leur culture et aux activités qu'ils ont pratiquées.

Permettre aux apprenants de partager ces savoirs au sein du groupe a un intérêt social et pédagogique : présenter sa « technique » peut ainsi aider à s'intégrer au sein d'un groupe (Girodet, 1996) et peut aussi se révéler très enrichissant du point de vue mathématique.

Nous avons en effet observé en Math Départ plusieurs techniques très astucieuses concernant l'addition et méritant d'être retenues. Lors de la résolution d'un problème, il s'agissait de calculer le prix de six tickets à 18F pour aller faire un tour de « grande roue ».

Différentes techniques d'addition ont alors été proposées par les adultes du groupe :

* des techniques basées sur la décomposition en unités et dizaines

$$ \begin{array}{r@{\quad}l} & 18 \\ & 18 \\ & 18 \\ & 18 \\ & 18 \\ & 18 \\ & 60 \quad 48 \\ & 108 \end{array} $$

On calcule la somme des unités et des dizaines séparément et on fait ensuite la somme des deux

<footnote n="9">⁹ Dans la classification de Vergnaud (1982), ces problèmes correspondraient à ceux dont l'inconnue a un statut d'état final (cf.l'apprentissage du nombre).</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ Dans la classification de Vergnaud (1982), ces problèmes correspondraient à ceux dont l'inconnue a un statut d'état initial (cf.l'apprentissage du nombre).</footnote>
* des techniques basées sur le regroupement

$$
\begin{array}{ll}
(2) & 18 \\
& 18 \\
& 18 \\
& \underline{\quad} \\
& 54 \\
& 54 \\
& \underline{\quad} \\
& 108
\end{array}
$$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

$$
\begin{array}{ll}
(3) & 18 \\
& 18 \\
& \underline{\quad} \\
& 36 \\
& 36 \\
& 36 \\
& \underline{\quad} \\
& 108
\end{array}
$$

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

• des techniques basées sur le regroupement et la décomposition en unités et dizaines

$$
\begin{array}{ll}
(4) & 18 \\
& 18 \quad 16 \\
& 18 \\
& 18 \quad 16 \\
& 18 \\
& 18 \quad 16 \\
& 48 \\
& 6 \\
& 108
\end{array}
$$

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

• la technique d'Amina

$$
\begin{array}{ll}
(5) & 18_2 \\
& 18_2 \\
& 18_2 \\
& 18_2 \\
& 18 \\
& 1 \\
& \underline{\quad} \\
& 108
\end{array}
$$

18_2
18_2
18_2
18
1

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Toutes ces techniques reposent sur la structure de notre système de numération ainsi que
sur l'associativité de l'addition. Ceci est très nettement perceptible si l'on décrit les
techniques utilisées à l'aide des symboles mathématiques :

$$
\begin{array}{l}
(1) \quad 18+18+18+18+18+18 = (10+8) + (10+8) + (10+8) + (10+8) + (10+8) + (10+8) = \\
\qquad (10+10+10+10+10+10) + (8+8+8+8+8+8) = 60 + 48 = 108
\end{array}
$$

$$
(2) 18+18+18+18+18+18 = (18+18+18) + (18+18+18) = 54 + 54 = 108
$$

$$
(3) 18+18+18+18+18+18 = (18+18) + (18+18) + (18+18) = 36 + 36 + 36 = 108
$$
$$ (4) \quad 18+18+18+18+18+18 = (10+8) + (10+8) + (10+8) + (10+8) + (10+8) + (10+8) = (8+8) + (8+8) + (8+8) + (10+10+10+10+10+10) = (16+16+16) + (60) = 48 + 60 = 108 $$

$$ (5) \quad 18+18+18+18+18+18 = (10+8) + (10+8) + (10+8) + (10+8) + (10+8) + (10+8) = \\ \qquad (8+8+8+8+8+8) + (10+10+10+10+10+10) = [(2+2+2+2) + 8+8+8+8+8] + \\ \qquad (10+10+10+10+10+10+10) = [(2+8)+(2+8)+(2+8)+(2+8)+8] + (10+10+10+10+10+10+10) = 8 + \\ \qquad (10+10+10+10+10+10+10+10+10+10+10+10+10) = 108 $$

Le fait de rencontrer plusieurs techniques de calcul peut non seulement permettre le choix d'une technique mieux adaptée à soi, mais peut aussi permettre de comprendre mieux la structure de numération sous-jacente ; entre autres le groupement par dix et une écriture chiffrée de position. Nous pouvons de plus remarquer le jeu sur les compléments à 10 et le rôle des doubles dans les stratégies présentées qui sont des techniques que l'on retrouvera chez ces adultes.

## Vers un apprentissage contextualisé

Pour enseigner une notion mathématique, il peut être utile d'analyser les différentes situations où les apprenants ont pu aborder cette notion : « When a teacher faces a class with the aim of teaching a particular concept, the teacher must ponder whether the pupils are likely to have used the concept in everyday life. Until more research is available on this subject, teachers will have the task of looking for everyday uses of the concept and attempting to analyse the logical invariants that underlie everyday concepts and procedures. » (Nunes, 1992)

En effet, les études ethno-mathématiques montrent que les individus peuvent réinventer des structures mathématiques dans des situations particulières : il paraît alors intéressant d'utiliser ces savoirs déjà construits.

Pour des tâches a priori équivalentes mais présentées dans des contextes différents, les personnes ayant peu fréquenté l'école n'affichent pas les mêmes performances : le choix des contextes des exercices mathématiques semble très important et ceci d'autant plus pour restaurer la confiance en soi dès le départ. Que ce soit pour étendre des savoirs déjà construits, faire prendre conscience de la structure de certains concepts mathématiques ou enseigner de nouvelles connaissances, il paraît nécessaire, chez ce public, de donner du sens aux situations que l'on propose et d'introduire les notions mathématiques sous un contexte privilégié. Par exemple, chez les enfants des rues brésiliens, en jouant au marchand, chez les bergers en faisant référence à leur troupeaux, etc.

Puis, la rencontre avec plusieurs problèmes approchant le même concept mais dans des situations différentes permettrait, selon une hypothèse de Nunes, d'enrichir ce concept et de pouvoir aborder les invariants logiques le régissant.

Nous allons utiliser cette approche pour étudier les questions relatives à la conceptualisation et à la mise en place d'une procédure de résolution, en travaillant avec les stagiaires du CUEEP sur une même catégorie de problèmes dans des contextes différents.
V. Problématique

Durant les premières séances passées au CUEEP, nous avons observé des difficultés :

• au niveau psychologique et social :

- des sentiments d'échec, des problèmes de découragement, d'abandon et de confiance en soi ; « je ne saurai pas apprendre », « je n'y arriverai pas », « je ne comprends rien » ;

- des problèmes de rigidité, de difficultés à remettre en question leurs connaissances.

Nous avons aussi noté des problèmes de dévolution<fnref n="11" />, liés au rapport que les adultes entretiennent avec les mathématiques ou la situation d'enseignement. Ceci est marqué par :

- la passivité de certains ;

- une volonté pour d'autres d'accéder vite et directement au résultat ; ils trouvent rapidement « une » solution en demandant alors à l'enseignant si « c'est bon » sans prendre le temps de réfléchir au problème.

Les problèmes effectués en séance sont pour la plupart contextualisés ; ces contextes permettent à l'adulte d'entrer plus facilement dans la situation. Néanmoins, ils peuvent créer des blocages quand les adultes ont un rapport personnel ou affectif trop proche avec l'objet d'étude ou au contraire quand ils ne connaissent pas l'existence de l'objet.

Leur système de compréhension est fondé sur les représentations qu'ils se sont construites au cours de leur vie et qu'ils refusent quelquefois de remettre en cause pour évoluer. Par exemple, dans le problème des cibles (cf. annexe), Jean Serge « savait » qu'une flèche valait 15 points et refusait tout autre valeur. Ils attribuent des prix, des valeurs aux objets de la vie quotidienne qu'il est parfois difficile de remettre en question.

• au niveau cognitif et mathématique.

Dans la résolution de problèmes en séance, nous avons remarqué :

- des problèmes dans la compréhension de l'exercice souvent liés aux difficultés à lire, à saisir la logique et l'implicite des supports (tableau, dessin, etc.);

- des difficultés au niveau calculatoire selon le type d'opération et le nombre d'opérations à effectuer ;

- des difficultés à saisir une situation dans son ensemble, à sélectionner les éléments pertinents, à faire des relations entre les données.

Le niveau de lecture et d'écriture est faible dans l'ensemble, ce qui représente un obstacle majeur dans la compréhension et dans la résolution des problèmes écrits. Un exercice écrit est bien sûr lu à voix haute mais les informations s'oublient vite et il est alors difficile pour les adultes illettrés de les retrouver. En outre, ils ne peuvent pas effectuer d'« aller-retour » entre l'énoncé et la question posée comme nous le faisons lorsque nous résolvons un exercice.

La difficulté calculatoire est de plus un grand obstacle dans la résolution des problèmes ; en passant du temps et en concentrant son énergie sur une opération à effectuer, ils en oublient le sens et perdent le fil du problème. Il nous est fréquemment arrivé de constater qu'à la suite d'une opération, ils ne pouvaient plus expliquer pourquoi ils l'avaient effectuée ou le sens de celle-ci.

<footnote n="11">¹¹ Brousseau, 1986</footnote>
Ces premières observations de stagiaires du CUEEP nous ont amenés à nous poser un certain nombre de questions, qui ont évolué au fur et à mesure de nos observations mais aussi des recherches bibliographiques que nous faisions parallèlement et de notre formation en didactique.

Quelles variables mettent en difficultés ou accroissent la compréhension et la dévolution d'une situation mathématique donnée chez un public illettré?

En prenant appui sur l'approche ethnomathématique, nous voulions tout d'abord étudier l'influence des contextes dans la dévolution et la résolution de situation problèmes.

Nous désignons par contexte :

- l'action, le lieu et l'objet de l'exercice : dans les magasins, au cinéma, les glaces, etc.

- les grandeurs : prix, masses, longueurs et les unités de ces grandeurs : euros, kg, mètres, etc.

Puis, nous nous sommes aperçus que la compréhension d'un problème ne pouvait être étudiée indépendamment du support en jeu. Nous appelons support la façon dont on énonce un problème : tableau, dessin, texte, etc.

Ainsi, afin de remédier à l'obstacle de la lecture dans la compréhension du problème, nous avons réalisé des problèmes dans lesquels les informations sont représentées à l'aide de dessins et de chiffres. Les travaux concernant le nombre et l'approche ethno-mathématique montrent de plus que la façon de raisonner dépend du contexte et de la manière dont on énonce l'exercice.

Quel est l'effet de la représentation d'un problème au niveau du raisonnement ?

Nous avons alors commencé à faire travailler les stagiaires sur quelques exercices mathématiquement équivalents, en variant supports et contextes. En les observant, nous avons remarqué que les nombres en jeu pouvaient aussi influencer leurs procédures de résolution.

Comment les nombres, le support et le contexte agissent-ils sur les procédures de résolution utilisées par les adultes ?

Nous avons donc travaillé différents exercices de même type mathématique en variant les nombres en jeu, les supports et les contextes, et en corrigeant les exercices à chaque séance.

Comment la rencontre avec divers contextes peut contribuer à la conceptualisation ?

Comment les connaissances construites dans des situations particulières peuvent-elles s'utiliser dans d'autres situations ?

Un transfert des stratégies de résolution vers l'abstraction est-il possible ?
# CHAPITRE 2

## DISPOSITIF ET MÉTHODOLOGIE
<figure><img src="image_17.png" /></figure>
# I. Introduction

L'objet de ce chapitre est de présenter le contexte dans lequel se situe notre étude ainsi que la méthodologie que nous allons appliquer pour tenter de répondre aux questions que nous nous sommes posées.

En France, il existe différents systèmes de formation pour adultes dont les structures et les objectifs pédagogiques ne sont pas équivalents. Les APP (Atelier de Pédagogie Personnalisée) sont par exemple basés sur l'autonomie des stagiaires. Il existe aussi des centres de formation dans lesquels un seul formateur assure l'ensemble des disciplines (maths, français, ...) pour un groupe. Nous réalisons notre étude dans le cadre du **CUEEP de Tourcoing**. Ce centre a une structure différente de celle des autres centres cités ci-dessus et il nous semble tout d'abord important de la présenter sous ses différents angles (type de stagiaires, formateurs, cours proposés) ainsi que de préciser les niveaux (Math Départ et Math de Base) dans lesquels nous allons effectuer nos observations.

Les travaux didactiques portant sur les adultes dits de « bas niveau de qualification » étant peu nombreux en mathématiques, nous avons choisi de mener une étude exploratoire visant à analyser un certain nombre de difficultés rencontrées par ces adultes lors de la résolution de problèmes. La problématique définie, ainsi que le caractère très diversifié de ces personnes, nous ont conduit à effectuer une étude qualitative basée sur un certain recueil de données :

* des observations « naturalistes » ; nous avons observé quelques séances afin de nous familiariser avec ce domaine et repérer les difficultés de public.

* des entretiens individuels visant à situer, au niveau social et mathématique, les sujets qui participent à ces séances ;

Nous nous sommes plus particulièrement intéressés à quatre stagiaires du CUEEP pour des raisons socioculturelles et mathématiques :

- Djoer est algérienne, n'a jamais été à l'école, ne sait pas lire et a un rapport au nombre difficile.

- Véronique est sénégalaise, n'a jamais été scolarisée, apprend à lire cette année, et a un bon rapport au nombre.

- Jean-Serge est français, il a été scolarisé jusqu'à 8 ou 9 ans et a un rapport au nombre difficile.

- Claude est français et son parcours scolaire n'est pas clair. Il ne sait pas lire mais a un bon rapport au nombre.

Les données que nous avons recueillies sur Djoer et Jean-Serge n'étant pas suffisantes pour notre étude, nous nous centrerons sur Claude et Véronique.

Nous présenterons dans ce chapitre le questionnaire, visant à cerner de façon plus précise le rapport au nombre de ces adultes, en précisant les raisons de nos choix d'exercices. Le rapport de nos entretiens sera exposé dans le prochain chapitre.

* des séances collectives construites avec un objectif précis visant à étudier l'influence du contexte et des représentations.

Afin de recueillir des données les plus représentatives et les plus riches possibles en ce qui concerne l'apprentissage des adultes en situation d'illettrisme, nous avons travaillé en groupe une quinzaine de problèmes de même type mathématique pendant une période de quatre mois. Nous avons choisi des problèmes portant sur la résolution de
systèmes linéaires par des méthodes arithmétiques car ce thème offre une large catégorie d'exercices permettant de travailler le raisonnement et une grande diversité dans le choix des contextes et des représentations sémiotiques dont nous voulons étudier l'influence. Ainsi, ces problèmes visent à analyser l'influence des contextes et des représentations dans la compréhension et la résolution d'un problème, les difficultés rencontrées, les progrès effectués d'une séance à l'autre, les liens établis d'une situation à une autre et en particulier les capacités de transfert vers des exercices plus abstraits.

Il convient donc dans ce chapitre, de préciser les caractéristiques mathématiques de ces problèmes puis de présenter et de justifier l'organisation de la succession des tâches que nous avons adoptée.

* une **évaluation** des connaissances construites durant les séances.

Pour tenter de cerner ce qu'ils ont retenu de la structure de nos problèmes, nous leur avons demandé de construire chez eux des problèmes similaires aux nôtres mais avec des données personnelles. Nous les avons enfin interrogés sur les difficultés qu'ils éprouvaient dans la résolution de nos problèmes.
## II. Le contexte du CUEEP

### A. Le CUEEP de Tourcoing

Le CUEEP, centre universitaire-économie d'enseignement permanent, se divise en quatre établissements, répartis dans la région du Nord-pas-de-Calais ; à Lille, à Villeneuve d'Ascq, à Sallaumines et à Tourcoing.

Le CUEEP accueille tout type de public ; les personnes bénéficiant d'allocations (plan PARE<fnref n="12" />), les mères de famille, les retraités, les salariés en formation et autres. Pour être admis, il suffit d'avoir plus de seize ans et ne plus être scolarisé depuis un an minimum.

La gratuité des formations est accordée jusqu'à un certain niveau.

Les objectifs pédagogiques sont divers : préparation d'un diplôme (CFG<fnref n="13" />, brevet, DAEU<fnref n="14" />), remise à niveau, professionnalisation et autres.

A Tourcoing, l'enseignement proposé va du niveau VI<fnref n="15" /> au niveau DAEU.

Il y a entre 600 et 700 stagiaires dans l'année et environ 80 formateurs.

Des conseillers sont également présents pour accueillir le public, les aider dans le choix de leur formation, les inscrire aux cours et faire le suivi de leur formation.

Il existe au CUEEP différentes activités : les cours, les ateliers, le tutorat et le CURE.

Les cours proposés sont modulaires : ils suivent un parcours pédagogique très structuré en niveaux. Le français, les mathématiques, l'anglais, l'informatique, l'économie, l'institution politique et sociale, les cours de citoyenneté y sont notamment enseignés.

Les ateliers (arts plastiques, jeux d'écriture, logique et autres) sont des activités transversales et n'ont pas de lien direct avec la montée en niveau. Leur objectif est de redonner goût aux disciplines et d'aider à progresser dans celles-ci.

Le tutorat permet une aide au travail ; les stagiaires y effectuent leur travail personnel, en demandant éventuellement de l'aide au tuteur.

Le CURE (centre universitaire de ressources éducatives) est un lieu où les adultes peuvent venir travailler et faire leur travail personnel ; des livres et des ordinateurs y sont disponibles et des tutrices sont présentes pour les conseiller.

Aucun cours n'est obligatoire mais certains sont nécessaires pour obtenir des diplômes. Les adultes sans contrat sont libres dans le choix de leur emploi du temps. En revanche, les personnes bénéficiant de l'ARE (allocation retour emploi) ou de l'AREF (allocation retour emploi formation) suivent 20 heures de formation par semaine (dont 12 à 15h de cours).

<footnote n="12">¹² PARE : Plan d'Aide au Retour à l'Emploi.</footnote>

<footnote n="13">¹³ CFG : Certificat de Formation Générale.</footnote>

<footnote n="14">¹⁴ DAEU : Diplôme d'Accès aux Etudes Universitaires.</footnote>

<footnote n="15">¹⁵ Niveau VI : sorties du premier cycle du second degré (6ème, 5ème, 4ème) et des formations pré professionnelles en un an (CEP, CPPN et CPA).</footnote>
## B. Les niveaux Math Départ et Math de Base

L'enseignement des mathématiques s'effectue de façon modulaire au CUEEP ; une progression pédagogique est assurée du premier niveau Math Départ jusqu'à celui préparant le DAEU.

Nous effectuons notre étude dans le groupe Math Départ et dans le groupe lui succédant, Math de Base. Ces groupes sont, au moment de notre étude, dirigés par Jean-Pierre Leclere et Marie-Christine Liefooghe.

Les tableaux ci-dessous, établis par Leclere (Leclere, 2000), présentent les contenus mathématiques enseignés en Math Départ et en Math de Base.

<table><thead><tr><th></th><th>Math Départ</th></tr></thead><tbody><tr><td>3 objectifs principaux</td><td>La numération.<br>T(extes),T(ableaux), G(raphiques).<br>La géométrie élémentaire.</td></tr><tr><td>La proportionnalité</td><td>Elle se situe au niveau cumulatif, l'opérateur est + a ou – a (a est un nombre entier). Table à pas constant. On donne une structure à (N ; +).</td></tr><tr><td>La mesure</td><td>La mesure dans un rapport entier avec la grandeur "unité choisie".<br>La notion d'encadrement est précisée.<br>Les instruments (le double décimètre, la balance, le verre ou la bouteille).<br>La notion d'égalité est affirmée</td></tr><tr><td>Le graphique et<br>le repérage</td><td>La lecture se fait sur une graduation portant sur des grandeurs entières.<br>Le repérage d'un point sur une graduation et la notion de milieu est un objectif.<br>La notion de "pas" est plus utile que les unités "classiques".<br>Connaître les carrefours "cases" et les carrefours "lignes".</td></tr><tr><td>Le problème</td><td>Le choix de la réponse est proposé.<br>L'évaluation des résultats se fait par une somme (dans un sens ou dans un autre).</td></tr><tr><td>La géométrie</td><td>Le repérage plan.<br>Le repérage spatial.<br>La lecture et la création d'un schéma.</td></tr><tr><td>Les concepts</td><td>La numération.<br>La base 10.<br>La grandeur unité.<br>Le milieu par le calcul et en géométrie.<br>Le périmètre.</td></tr><tr><td>La gestion de données</td><td>Le tableau 2 lignes ou à 2 colonnes.</td></tr><tr><td>Activités numériques</td><td>L'addition en colonnes et en chaînes.</td></tr><tr><td>Le vocabulaire</td><td>Celui de comparaison Celui de classification.<br>Celui de formulation Celui du repérage.</td></tr><tr><td>Algorithmes</td><td>Addition-soustraction.</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>Gestion de formules</td><td>Du type P = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 x 5 (4 ; 5 fois)</td></tr><tr><td colspan="2">Math de base</td></tr><tr><td>4 objectifs principaux</td><td>La numération.<br/>T(extes), T(ableaux), G(graphiques).<br/>Les trois opérations + , -, x.<br/>La géométrie élémentaire.</td></tr><tr><td>La proportionnalité</td><td>Elle se situe au niveau cumulatif, l'opérateur est x a avec a nombre entier).<br/>Table à pas constant. On donne une structure à (N ; +, x ).</td></tr><tr><td>La mesure</td><td>La mesure dans un rapport décimal avec la grandeur "unité choisie".<br/>La notion d'encadrement est acquise.<br/>Les instruments (le double décimètre, le compas, les masses).<br/>La notion d'égalité est confirmée.</td></tr><tr><td>Le graphique et le repérage</td><td>La lecture se fait sur 2 axes parallèles dont les graduations sont des grandeurs entières. Placer un point.<br/>Le repérage peut se faire avec des "pseudo" décimaux (4cm2mm).<br/>La présentation du repérage en axes orthogonaux est faite.</td></tr><tr><td>Le problème</td><td>Les textes écrits sont courts.<br/>Il n'y a qu'une opération mais le choix est à faire.<br/>Donner du sens aux opérations est l'objectif des problèmes proposés.</td></tr><tr><td>La géométrie</td><td>Des reproductions en vraie grandeur, en grandeur réduite ou agrandie doivent être réalisées.</td></tr><tr><td>Les concepts</td><td>La notion de multiples et sous-multiples.<br/>Les unités de grandeur.<br/>Le calcul approché.<br/>L'aire par pavage.</td></tr><tr><td>La gestion de données</td><td>Le tableau multiligne et multicolonne.</td></tr><tr><td>Activités numériques</td><td>Le calcul mental<br/>Les chaînes logiques<br/>Inversion de calculs<br/>Jeux numériques.</td></tr><tr><td>Le vocabulaire</td><td>Celui de la numération.<br/>Etablir un glossaire est conseillé.</td></tr><tr><td>Algorithmes</td><td>Soustraction et multiplication</td></tr><tr><td>Gestion de formules</td><td>Du type P = 10<sup>P</sup> x a et P = a x 10<sup>P</sup></td></tr></table>

Voici en résumé, les notions développées en Math Départ et en Math de Base que nous avons observées lors des visites :

* Au niveau géométrique :

- En Math Départ les exercices proposés visent à travailler le repérage sur le plan et dans l'espace, à développer les notions de milieu et de périmètres, à reproduire des figures à l'aide d'instruments (compas, équerre, règle).
- En Math de Base, le travail effectué correspond essentiellement à des reproductions (réductions, agrandissements, symétries axiales) de figures construites sur une feuille quadrillée, et de développer alors le concept d'aire par pavage.

• Au niveau numérique :

- L'enseignement proposé en niveau Math Départ est centré sur l'étude du nombre entier ; numération en base 10, décomposition arithmétique des nombres ainsi que sur la structure additive des entiers. Les problèmes effectués en séances sont de toutes catégories mais les solutions proposées ne font intervenir que les notions additives. Par exemple, pour calculer le prix de douze parapluies à 4 euros pièce, on procédera comme ceci : 4 + 4 + ... +4 (12 fois).

- Le groupe Math de Base a pour objectif d'acquérir la maîtrise des trois opérations : addition, soustraction et multiplication, au niveau algorithmique mais surtout du point de vue de la signification dans différents problèmes, et aussi d'introduire les décimaux.

Dans les groupes, les problèmes sont proposés suivant différents registres : texte, tableau, graphique.

Notre étude porte plus particulièrement sur l'aspect numérique. Nous proposons, dans la prochaine partie, une analyse a priori du questionnaire sur le nombre que nous avons construit.
### III. Analyse a priori du questionnaire

Afin de cerner le rapport aux nombres et de connaître l'« histoire de vie » des adultes interrogés, nous nous entretenons avec eux, en alternant discussions et exercices mathématiques. Nous présentons dans cette partie l'analyse du questionnaire visant à mieux connaître leur rapport aux nombres ainsi que les questions relatives à leur parcours de vie.

#### A. Une histoire de vie

Pour parvenir à comprendre les habitudes de penser, de raisonner, les attitudes face aux problèmes proposés, les difficultés d'apprentissage, il semble essentiel, dans notre étude, de prendre en compte l'histoire personnelle de ces adultes. Nous les avons entre autre interrogés de façon informelle sur leur passé scolaire, leur structure familiale, leur vie professionnelle antérieure et leurs projets futurs, et nous avons essayé de comprendre ensemble comment ils ont développé leur rapport au nombre.

#### B. Questionnaire sur le rapport aux nombres

Connaître le rapport aux nombres de ces adultes est essentiel pour pouvoir analyser leurs difficultés dans les tâches que nous proposerons par la suite. En effet, des données numériques seront présentes dans chacune des situations et, selon la conception du nombre qu'ils ont, les problèmes proposés ne seront certainement pas traités de la même manière.

En nous appuyant sur les connaissances exposées dans la première partie sur l'apprentissage du nombre, nous avons ainsi créé un questionnaire, visant à cerner le rapport aux nombres des adultes interrogés.

Le questionnaire vise les connaissances portant sur le nombre, le calcul et la résolution de problèmes simples. Nous allons en particulier tester la connaissance de notre système de numération à travers des exercices où le raisonnement mathématique se situe à plusieurs niveaux et où les opérations et les relations font intervenir des connaissances structurelles de notre système numérique. Pour cela, il nous paraît important de jouer sur trois variables didactiques :

* le type d'opération a priori en jeu ; addition, soustraction, division, multiplication ;

* la catégorie de problème pour une opération en jeu au sens de la classification identifiée par Verschaffel et De Corte ; nous avons ainsi proposé trois exercices a priori de soustraction mais de catégories différentes, la soustraction étant l'opération centrale intervenant dans les problèmes que nous proposerons par la suite ;

* la présence ou non d'un contexte ; nous faisons l'hypothèse que les adultes ont un rapport privilégié avec l'argent en ce qui concerne le nombre et utilisons ainsi l'argent comme unité de valeur dans les exercices avec contexte afin d'étudier leur capacité à calculer dans la vie quotidienne.

Nous avons essayé de renforcer la mise en situation de nos problèmes contextualisés en adaptant les problèmes aux préoccupations quotidiennes des adultes (choix de ce qu'ils achètent, pour quelle occasion ils achètent ce tee shirt, etc.). Cette mise en situation a pour but de percevoir les stratégies mises en route dans des problèmes de la vie courante, sans doute différentes de celles utilisées dans des situations sans lien a priori avec la réalité.
La plupart des exercices avec contexte sont posés et résolus oralement. Toutefois, quand nous sentons chez l'adulte interrogé des difficultés de compréhension du problème, nous lui écrivons les données numériques du problème et nous l'autorisons à effectuer les calculs par écrit suivant sa capacité à calculer mentalement telle que nous avons pu l'estimer dans les exercices précédents.

Pour les exercices sans contexte, nous avons utilisé des supports qui ont déjà été travaillés en cours afin de ne pas passer trop de temps à faire comprendre l'exercice, ce qui n'est pas le but de ce test. Nous présentons ces exercices par écrit.

Bien sûr, nous ne pouvons approcher de façon exhaustive le rapport au nombre de chacune de ces personnes, dans la mesure où les temps d'entretien sont limités et où l'utilisation des nombres par les adultes est multiple et variée. Nous avons dû faire des choix que nous détaillons ci-après.

## Les nombres

D'après les instructions de 1945, « pour avoir véritablement la notion d'un nombre, il faut pouvoir le reconnaître sous ses aspects divers, connaître son nom, sa figure, sa constitution ». Ce type de connaissance est la base de tout apprentissage dans un cadre institutionnel car elle est nécessaire pour pouvoir communiquer entre professeur et élèves. Nous allons donc tout d'abord étudier les désignations écrites et orales des nombres.

### La connaissance des nombres : désignations écrites et orales

Il s'agit de déceler les erreurs que pourraient commettre les adultes dans l'écriture et la lecture des nombres. Nous les avons pour cela interrogés sur des nombres représentant les difficultés de la numération écrite et orale française, en jouant sur trois variables didactiques :

- la taille des nombres ;

- la présence ou non d'irrégularités lexicales (comme avec 70, 92) ;

- la présence ou non de difficultés syntaxiques (présence d'un ou plusieurs zéros intermédiaires).

Voici les deux tâches que nous proposons :

Ecrire : 13, 25, 70, 92, 101, 353, 675, 1024, 100 003.

Lire : 7, 214, 03, 78, 1001, 1111, 372 000.

Les particularités des nombres que nous avons choisis sont présentées dans le tableau ci-après :
<table><thead><tr><th rowspan="3"></th><th colspan="3">caractéristiques lexicales</th><th colspan="3">caractéristiques syntaxiques</th><th colspan="5">taille des nombres</th></tr><tr><th rowspan="2">noms particuliers</th><th rowspan="2">irrégularités</th><th rowspan="2">suit les règles</th><th colspan="4">présence de 0</th><th colspan="5">nombre de chiffres</th></tr><tr><th>en début</th><th>intercalaire</th><th>à la fin</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>plus de 4</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>13</td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>25</td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>E</td><td>70</td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>C</td><td>92</td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>R</td><td>101</td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>I</td><td>353</td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>R</td><td>675</td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>E</td><td>1024</td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>100 003</td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td></tr><tr><td></td><td>7</td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>214</td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td></tr><tr><td>L</td><td>03</td><td>x</td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>I</td><td>78</td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>R</td><td>1001</td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td></tr><tr><td>E</td><td>1111</td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>372 000</td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td></tr></tbody></table>

## Structure du système de numération

Il est évidemment impossible d'évaluer la connaissance du système de numération indépendamment de la faculté à lire, écrire, comparer, ordonner les nombres. Nous évaluons donc en quelque sorte la compréhension de la numération dans tous les exercices où des nombres interviennent. Notre choix ici est d'évaluer plus précisément son utilisation dans le comptage de collections d'objets, dans les calculs mentaux simples et dans quelques situations plus complexes de la vie quotidienne.

### Compter une collection d'objets:

Nous proposons deux exercices dans lesquels nous avons joué sur la disposition spatiale des objets à compter.

Dans le premier, nous éparpillons tout d'abord une cinquantaine de dés de couleurs différentes sur la table et nous demandons à l'adulte de nous dire combien il y en a.

Le second exercice introduit une pré-structuration liée à la numération :

Nous disposons une quarantaine de dés de couleurs en deux rangées et nous leur demandons le nombre de dés sur la table.

Le but de ces exercices est d'analyser la technique de comptage des adultes interrogés et d'observer si celle-ci varie en fonction de la répartition spatiale des objets.

Nous distinguons trois techniques de comptage :

1. **Compter** les objets 1 par 1, ou 2 par 2, ou encore 5 par 5. Dans ce cas, c'est l'aspect **ordinal** de la numération qui entre en jeu.

2. **Regrouper les objets par paquets** de dix (ou autre) et compter ensuite le nombre de paquets ainsi que les objets restants pour en déduire le nombre total d'objets de la collection à dénombrer. Cette technique fait intervenir la structure de numération (regroupement par paquets) et est axée sur l'aspect **cardinal** de la numération.
3. Faire des sous-collections selon des critères non mathématiques ; classer par exemple les objets par couleur.

Il est évidemment possible de combiner ces trois méthodes. Nous pouvons par exemple commencer par organiser des sous-collections de l'ensemble des objets à dénombrer en les classant suivant leur couleur, puis dénombrer ces sous collections en formant des paquets de dix objets. Nous pouvons noter que, pour regrouper les objets par paquets dix, il faut justement avoir compté dix objets (en utilisant la première méthode).

## Calcul mental : utiliser la structure de numération

Nous proposons trois exercices de calcul, de difficulté croissante.

Le premier exercice vise à cerner la capacité à ajouter des dizaines : nous faisons varier le nombre de dizaines à ajouter, et la place de celles-ci dans l'addition.

Le deuxième exercice vise à cerner la capacité à ajouter les nombres se terminant par 5 : nous faisons varier la place des nombres les plus grands dans l'addition (45+5 ne se calcule pas forcément de la même façon que 5+45).

Le troisième exercice vise à cerner la capacité à ajouter des nombres avec ou sans dizaine, en faisant varier la place des nombres les plus grands et la présence ou non de retenue.

Les additions sont posées par écrit en ligne et les adultes doivent effectuer ces opérations de tête.

1) Ajouter les dizaines :

10+20 : sans unités « ni à gauche, ni à droite »

23+10 : avec unités à gauche

10+47 : avec unités à droite et une seule dizaine à gauche

30+7 : sans dizaine à droite

50+41 : avec unités à droite et plusieurs dizaines à gauche

2) Ajouter des nombres se terminant par 5 :

25+25 : opération familière

15+25 : avec dizaines à gauche et à droite

45+5 : sans dizaines à droite

3) Ajouter des nombres avec unités et inférieurs à 100 :

53+12 : sans retenue et plusieurs dizaines à gauche

17+21 : sans retenue et plusieurs dizaines à droite

9+23 : avec retenue, un nombre sans dizaine à gauche et un nombre avec dizaines à droite

38+4 : avec retenue, un nombre à dizaines avec gauche et un nombre sans dizaine à droite

48+12 : avec retenue « ronde » et des nombres avec dizaines à gauche et à droite

NB : l'addition des unités « 9 et 3 », « 8 et 4 », « 8 et 2 » (dans les trois dernière opérations) n'est pas la compétence étudiée dans cet exercice ; nous avons ainsi choisi de mettre les chiffres les plus élevés en première position (cette position étant la plus facile).
Utilisation du système de numération dans des situations plus complexes :

Ces exercices visent à analyser la façon dont les adultes utilisent le système de numération dans des situations de la vie quotidienne où cette utilisation est moins triviale. Ces problèmes sont plus complexes mathématiquement : les deux premiers exercices mettent en jeu la notion de division et, le troisième, la notion de multiplication. Pour résoudre les exercices, il ne s'agit pas d'utiliser ces opérations mais d'utiliser la structure du système de numération.

Les exercices sont posés à l'oral, et nous laissons aux adultes le choix d'écrire les données.

1) « On vous donne 160 F en pièces de 10F, combien vous donne t-on de pièces ? »

<u>Compétence visée</u> : savoir extraire le nombre de dizaines d'un nombre à trois chiffres et sans unité dans un problème avec contexte.

2) « Vous allez au restaurant et vous payez l'addition de 123 F. Combien de pièces de 10 F devez-vous donner ? ».

<u>Compétence visée</u> : savoir extraire le nombre de dizaines par excès d'un nombre à 3 chiffres et à unités non nulles dans un problème avec contexte.

3) « J'achète douze stylos à 10 F pièce. Combien devrai-je payer ? »

<u>Compétence visée</u> : savoir que 10 dizaines correspondent à une centaine ou que x dizaines correspondent au nombre qui s'écrit : « x0 ».

Relations entre les nombres

« Le concept de nombre n'est séparable ni des liens qu'il entretient avec les situations à traiter, ni des opérations et des relations qu'il autorise » (Vergnaud)

Comparator :

Quel est le plus grand nombre des deux : 7 et 48 ; 16 et 21 ; 82 et 78 ; 1003 et 3000 ; 1114 et 2110 ; 1 403 749 et 800 479 ;

Nous avons joué sur deux critères permettant de comparer deux nombres :

- le nombre de chiffres des deux nombres à comparer.

- les valeurs des chiffres suivant leur position ; chiffres communs aux deux nombres, chiffres plus grand au niveau des unités, etc. Par exemple, pour 1114 et 2110, les chiffres correspondant aux dizaines et centaines sont identiques, 1114 a un chiffre des unités plus grand mais un chiffre des milliers plus petit que 2210.

Nous avons aussi joué sur la taille des nombres ainsi que sur les difficultés lexicales (comme par exemple 82) et syntaxiques (présence de 0 comme dans 1003) des nombres en jeu.

Le tableau ci-dessous caractérise les nombres à comparer en fonction des variables didactiques que nous avons choisies.
<table><thead><tr><th rowspan="3"></th><th rowspan="3">les nombres à<br>comparer ont le<br>même nombre de<br>chiffres</th><th rowspan="3">présence de<br>chiffres<br>communs</th><th colspan="5">taille des nombres en jeu</th><th colspan="2">difficultés relatives aux<br>nombres</th></tr><tr><th colspan="5">nombre de chiffres</th><th rowspan="2">lexicales</th><th rowspan="2">syntaxiques</th></tr><tr><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>plus de 4</th></tr></thead><tbody><tr><td>7 et 48</td><td>non</td><td>non</td><td>×</td><td>×</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>16 et 21</td><td>oui</td><td>non</td><td></td><td>×</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>82 et 78</td><td>oui</td><td>non</td><td></td><td>×</td><td></td><td></td><td>×</td><td></td><td></td></tr><tr><td>1003 et 3000</td><td>oui</td><td>oui</td><td></td><td></td><td>×</td><td></td><td></td><td>×</td><td></td></tr><tr><td>1114 et 2110</td><td>oui</td><td>oui</td><td></td><td></td><td>×</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1403749 et 800479</td><td>non</td><td>non</td><td></td><td></td><td></td><td>×</td><td>×</td><td>×</td><td></td></tr></tbody></table>

## Ordre et connaissance symbolique du nombre

Nous testons la connaissance de la suite des nombres principalement dans le sens croissant mais en variant les pas et les points de départ.

* Compter de 10 en 10 en partant de 0.

* Compter de 5 en 5 en partant de 0.

* Compter de 3 en 3 en partant de 0.

* Compter de 10 en 10 en partant de 2.

* Compter de 5 en 5 en partant de 3.

Nous testons le décompte à reculons avec un pas de 2, moins difficile.

* Compter à reculons de 2 en 2 en partant de 18.

## Décomposition arithmétique :

Le but de ces exercices est de cerner la connaissance structurelle du nombre. Nous posons pour cela des exercices avec et sans contexte, faisant intervenir des connaissances liées à la décomposition arithmétique des nombres. Les exercices sans contexte ont des supports connus des adultes ; ils ont déjà effectué des exercices du même type en « Math départ ».

Cependant, nous n'avons pas interrogé tous les adultes sur ces exercices, les capacités mises en jeu pour les résoudre étant inadaptées au niveau de certains d'entre eux.

### 0) Décomposition d'un nombre rond par des nombres se terminant par 5

#### « Trouvez quatre nombres qui se terminent par 5 pour faire 60 »

Cet exercice est très ouvert : il admet plusieurs solutions ( (5, 5, 5, 45) ; (5, 5, 15, 35) ; (5, 15, 15, 25) ; (15, 15, 15, 15) ) et n'indique pas de stratégie de résolution particulière.

Voici par exemple deux manières de résoudre cet exercice :

- diviser 60 par 4 ; nous obtenons alors la solution (15, 15, 15, 15).

- chercher trois chiffres se terminant par 5 dont la somme est strictement inférieure à 60 et en déduire la quatrième valeur ; par exemple (5, 15, 5) sont trois chiffres dont la somme fait 25, il manque 35 pour arriver à 60, c'est donc la valeur du quatrième chiffre.

Les exercices suivants portent sur les décompositions arithmétiques d'un nombre à deux chiffres. Pour tenter de cerner leur capacité en ce qui concerne la structuration arithmétique des nombres, il nous a semblé important de jouer sur trois variables didactiques :

- le chiffre des unités du nombre ciblé : « 0 » dans l'exercice 1, « 1 » dans l'exercice 2 et « 3 » dans l'exercice 3 ;
- le nombre de nombres à considérer pour décomposer le nombre ciblé : trois dans l'exercice 1, deux dans l'exercice 2, deux, trois et quatre dans l'exercice 3;

- le nombre de solutions possibles : deux dans l'exercice 1, une seule dans l'exercice 2, quatre dans l'exercice 3.

Ces exercices n'admettent a priori pas de méthode de résolution prédéfinie mais des stratégies peuvent cependant être mise en place ; nous allons en exposer quelques unes.

### 1) Décompositions d'un nombre rond par des nombres quelconques

« Faites 40 avec trois nombres se trouvant dans la bulle»

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Deux solutions sont possibles : (12, 14, 14) et (9, 14, 17).

Une stratégie est d'assembler des nombres pour fabriquer des dizaines. La première solution peut être en effet repérée en fabriquant 10 à partir des unités de trois nombres : $2+4+4 = 10$. La seconde solution consiste à faire 20 à partir des unités de trois nombres : $9+4+7 = 20$. Dans les deux cas, il s'agit bien de trouver trois nombres dont la somme des unités est un multiple de dix.

De plus, pour pouvoir parvenir au résultat sans multiplier les essais, certains nombres peuvent être éliminés par leur taille : 40 et 20 (après avoir pris conscience qu'il n'est pas possible de faire 20 avec deux nombres contenus dans la bulle).

Il s'agit aussi de ne pas se laisser distraire par les perturbateurs numériques 13 et 17 (la décomposition $10 = 3+7$ est plus évidente que $10 = 4+4+2$).

### 2) Décomposition d'un nombre quelconque par deux nombres

« Faites 41 avec deux nombres se trouvant dans la bulle»

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Dans cet exercice, une seule solution est possible : (26, 15).

Une stratégie serait de repérer les nombres tels que la somme des unités fassent 1 ou 11.

Il existe deux couples satisfaisant cette condition : (26, 15) et (27, 4). Cette méthode s'avère donc très efficace.

Une autre méthode consisterait à éliminer les nombres un par un : 39 ne convient pas car il faudrait le nombre 2 pour obtenir 41, 27 non plus, pour 26, il faudrait 15 pour arriver à 41, ces deux nombres sont donc solution.
### 3) Décomposition d'un nombre quelconque avec plusieurs nombres

« Faites 53 avec 2, 3, 4 nombres se trouvant dans la bulle »

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Dans cet exercice, il s'agit en plus d'analyser la conscience qu'a un adulte du fait qu'un nombre a diverses décompositions et de cerner les nombres sur lesquels il portera le plus son attention.

Les solutions de cet exercice sont :

- (50, 3) ; (36, 17) : décomposition de 53 avec deux nombres

- (36, 14, 3) : décomposition de 53 avec trois nombres

- (20, 23, 7, 3) : décomposition de 53 avec quatre nombres

Le chiffre « 3 » étant isolé, une stratégie consiste à trouver comment décomposer 50 avec un, deux et trois nombres. Nous pouvons alors utiliser des stratégies semblables à celles utilisées dans l'exercice 1 comme par exemple trouver des nombres tels que la somme des unités fasse 10. La solution (36, 17) ne peut pas être trouvée par cette méthode.

Une autre possibilité est de procéder comme dans le 2ème exercice et de trouver des nombres tels que la somme des unités fassent 3 ou 13.

Les exercices qui suivent sont mathématiquement de type différent : il s'agit de décomposer un nombre à deux chiffres à partir de la combinaison de deux ou trois nombres.

Nous avons joué sur la nature des nombres avec lesquels il faut décomposer le nombre ciblé. Dans l'exercice 4, nous avons utilisé des nombres de références : 10, 5, 2. Ce sont des nombres susceptibles d'être utilisés dans la vie courante en manipulant l'argent. Nous pouvons noter que notre système de monnaie contient implicitement la structure de notre système de numération. Dans l'exercice 5, les nombres en jeu (6 et 7) ne sont pas utilisés aussi fréquemment sous le contexte de l'argent (il n'existe de pas de billet ou de pièce de 6 € ou de 7 €) et la recherche risque en conséquence d'être moins évidente.

### 4) Décomposition simple sur un exercice avec contexte

« Vous vous achetez une radio à 49 €. Combien de pièces de 10 €, de 5 €, de 2 € allez-vous donner ? »

### 5) Décomposition plus complexe sur un exercice avec contexte

« Nous sommes maintenant dans un pays imaginaire où les pièces de 6 € et de 7 € existent. Vous devez donner 33 €. Combien de pièces de 6 € et de 7 € allez-vous donner ? »
# Le calcul

## Le calcul mental : utiliser les connaissances structurelles des nombres

Il s'agit d'utiliser ses connaissances du système de numération et de la structure arithmétique des nombres pour pouvoir effectuer de tête différentes opérations.

**Compétences visées** : savoir regrouper les nombres qui s'emboîtent, distinguer unités, dizaines, centaines.

Nous avons choisi un exercice sans contexte et un autre avec, en faisant varier le nombre d'opérations et les nombres.

Des études comme celle de Wheeler (1939) cité dans (Fayol, 1990) montrent que la représentation des calculs en ligne ou en colonne influence la manière dont les individus effectuent leurs calculs. Nous avons par conséquent proposé des additions suivant ces deux formes ; en ligne dans le premier exercice, en colonne dans le second.

Qui va effectuer les opérations dans sa tête ?

### 1) Combien font ?

7+4 ; 7+5+3 ; 11+10+13+2 ; 258+242 ; 21+33+54 ; 1030+3140 ; 18+53 ; 3+3+3+3+3 ; 14+102+6 ; 12+17+31+43+28.

Nous demandons aux adultes de ne pas poser les opérations pour effectuer les calculs.

La difficulté provient du nombre d'opérations, des nombres en jeu, et de la présence de retenues. Nous avons classé les opérations en fonction de ces trois critères.

<table><thead><tr><th>Nombre d'opérations</th><th>2</th><th>3</th><th>4 et plus</th></tr></thead><tbody><tr><td>Nombres de chiffres</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td>*7+4</td><td>*7+5+3</td><td>*3+3+3+3+3</td></tr><tr><td>2</td><td>*18+53</td><td>21+33+54</td><td>*12+17+31+43+28</td></tr><tr><td>3</td><td>*258+242</td><td></td><td></td></tr><tr><td>4</td><td>1030+3140</td><td></td><td></td></tr><tr><td>différents</td><td></td><td>*14+102+6</td><td>11+10+13+2</td></tr></tbody></table>

* : présence d'une retenue

Nous choisissons les opérations à donner en fonction du niveau des adultes.

### 2) « Vous invitez votre famille au restaurant ; le garçon apporte l'addition. Vous vérifiez la note car le prix vous parait suspect. Bien sûr, vous n'avez pas de stylo et devez compter de tête. »

56

40

23

32

11

---

173

Ici, nous avons contextualisé l'exercice pour analyser les connaissances mises en jeu lors d'un calcul quotidien.
## **Problèmes « de soustraction » suivant les différentes catégories de problèmes**

Nous nous somme inspirés de la classification établie par Verschaffel et De Corte (1996) pour construire nos exercices. Nous avons ainsi choisi d'étudier l'aptitude à résoudre des exercices de catégorie différente mais correspondant tous a priori à une soustraction.

Les caractéristiques de chaque exercice sont exposées dans le tableau ci-dessous.

<table><thead><tr><td></td><td>Catégorie/situation</td><td>Statue de l'inconnue</td><td>Opération</td></tr></thead><tbody><tr><td>Exercice 1</td><td>changement</td><td>Etat final</td><td>-</td></tr><tr><td>Exercice 2</td><td>combinaison</td><td>Sous ensemble</td><td>-</td></tr><tr><td>Exercice 3</td><td>comparaison</td><td>Différence d'ensemble</td><td>-</td></tr></tbody></table>

1) « Vous avez 25 € en poche. Pour l'anniversaire de votre fils, vous achetez un tee shirt à 15 €. Combien vous reste-il ? »

2) « Nous décidons de partager nos économies. Vous avez mis 22 €. A nous deux, nous avons 40 €. Combien ai-je mis dans la cagnotte ? »

3) « Vous en avez marre d'arriver en retard et vous décidez donc de vous acheter une montre. Vous hésitez entre une montre à 70 € et une autre à 97 €. La dernière montre coûte combien de plus que la première ? » incite plutôt à utiliser l'addition que la soustraction.

Dans les trois exercices, l'énoncé verbal ne suscite pas l'utilisation de la soustraction. Au contraire, dans le 3ème exercice, le terme « de plus » dans « la dernière montre coûte combien de plus que la première ? » incite plutôt à utiliser l'addition que la soustraction.

## **Niveaux des procédures**

« Ce sont précisément les problèmes de recherche de la valeur d'un ajout (pour la soustraction) et les problèmes de groupement réitéré (pour la division) qui permettent le mieux de savoir si l'appropriation de ces équivalences est amorcée. Ces problèmes sont donc les meilleurs révélateurs du niveau conceptuel des enfants. » (Brissiaud, 2001)

### **Recherche de la valeur d'un ajout**

« Vous avez 24 € en poche. Vous allez à la banque, au marché,..., et vous revenez finalement chez vous avec 66 €. Combien avez vous en plus à la fin de la journée ? »

Ce problème peut être résolu à plusieurs niveaux :

* au niveau 1 : une méthode consisterait tout d'abord à sortir 24 € de sa poche et à faire l'appoint jusqu'à 66 € en mettant cet argent de coté, puis de compter cet argent.

* au niveau 2 : il s'agirait par exemple de compter avec ses doigts ou par tâtonnements combien il faut rajouter d'argent pour aller de 24 € à 66 €.

* au niveau 3 : cette méthode plus experte consiste à poser la soustraction 66-24.
## Problème de groupement réitéré

« Nous avons 235 paquets de gâteaux. On veut faire des lots de 4 paquets avec ces gâteaux. Combien de lots peut-on former ? Y aura t-il des paquets de gâteaux en rabe ? »

De même, il existe de nombreuses façons pour résoudre ce problème :

* au niveau 1 : à défaut d'avoir des gâteaux à disposition, il s'agirait de dessiner 235 gâteaux, de former des lots de 4 avec, et de compter le nombre de lots ainsi obtenus. Cette méthode est très difficilement réalisable dans cet exercice, compte tenu du nombre de gâteaux en jeu!

* au niveau 2 : « une autre possibilité consiste à s'imaginer en train de former les lots tout en tenant compte des paquets restants (...) et effectuer ainsi une suite de soustraction de multiples de 4 » (Brissiaud, 2001) : 235-4=231, un lot est formé, 231-4=227, deux lots sont formés...si je forme encore dix lots, il me restera 227-40=187 et ainsi de suite.

Une autre possibilité est de procéder par essais : 10 lots correspondent à 40 paquets, ce n'est pas assez, 20 lots correspondent à 80, 40 à 160, 80 à 320, c'est trop. 50 lots, c'est 200 paquets (50×4 ou 160+40 qui correspond à 10 lots plus 40 lots), ce n'est pas assez...

* au niveau 3 : il s'agirait de déterminer le reste et le quotient de la division 235 : 4.
## IV. Analyse a priori des problèmes proposés

Nous avons choisi de travailler avec les stagiaires sur des exercices portant sur un même thème mathématique : la résolution d'un système d'équations par une méthode arithmétique.

Nous appelons méthode arithmétique, l'ensemble des techniques utilisant les nombres entiers positifs comme support de résolution et non les symboles algébriques.

Ce type d'exercice, qui nous a été proposé par Jean-Pierre Leclere lors d'un entretien, nous a tout d'abord interpellé par sa complexité car nous le rapprochions alors à des problèmes algébriques : comment faire résoudre des systèmes linéaires à des adultes n'ayant jamais fréquenté l'école ?

Puis, en analysant plus finement ces exercices, nous nous sommes aperçus que ce type de problème se prêtait bien aux questions que nous nous posions ; ce thème est suffisamment riche pour faire varier à la fois contextes, représentations et valeurs numériques, et met en jeu du raisonnement ainsi que du calcul.

Ce thème étant de plus très vaste, nous avons choisi de nous centrer sur un type de système linéaire particulier, à deux ou trois inconnues et admettant une méthode générale de résolution arithmétique.

Nous proposons donc dans cette partie d'étudier différentes façons arithmétiques de résoudre un système d'équation à deux ou à trois inconnues, en dégageant les connaissances mises en jeu, puis nous présenterons le type d'exercice que nous avons retenu pour travailler avec les groupes. Enfin, nous exposerons la manière dont nous avons représenté nos problèmes et les variables didactiques que nous avons choisies pour organiser la succession de nos problèmes dans les séances.

### A. Les systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

Un système à deux inconnues se présente algébriquement sous la forme suivante :

$$ax + by = c$$

$$dx + ey = f$$

Suivant les valeurs des paramètres a, b, c, d, e, f, ce système admet une, une infinité ou aucune solution. Nous allons présenter ces différents cas en nous restreignant au cas où a, b, c, d, e, f sont des entiers naturels.

1er cas : si $ae = bd$

$$Si ce = fb$$

Exemple :

$$2x+2y= 24$$

$$x+y = 12$$

Alors le système admet une infinité de solutions : les couples (x ; y) satisfaisant la première ou la seconde équation ou encore les points appartenant à la droite d'équation $ax+by = c$ ou $dx+ey = f$.

Est-il possible de comprendre qu'il existe une infinité de solutions à ce système de manière arithmétique ?
Contextualisons tout d'abord le problème :

Deux gâteaux au chocolat et deux tartes aux fraises coûtent 24 €.

Un gâteau au chocolat et une tarte aux fraises coûtent 12 €.

Combien coûte un gâteau au chocolat ? Une tarte aux fraises ?

Une méthode consiste tout d'abord à attribuer un prix à l'une des pâtisseries, par exemple le gâteau fait 7 € donc la tarte doit faire 5 € pour faire un total de 12 € et satisfaire les conditions de la deuxième ligne. Puis il s'agit de vérifier si ces valeurs satisfont celles de la première ligne : $7 + 7 + 5 + 5 = 24$ € et de conclure alors que ces deux valeurs conviennent. Ensuite, il s'agit d'attribuer au gâteau une autre valeur ; par exemple si je suppose que le gâteau vaut 8 €, alors d'après la seconde ligne, la tarte vaut $4 + 8 + 4 + 4 = 24$ € donc ces deux valeurs conviennent aussi. Au bout de plusieurs essais, quelques personnes pourraient conjecturer que, finalement, on peut attribuer au gâteau au chocolat n'importe quel prix du moment que celui-ci soit inférieur à 12 €. D'autres peuvent s'apercevoir que si les conditions de la première ligne sont vérifiées (resp. de la deuxième) alors celles de la seconde (resp. de la première) le sont forcément aussi car il est normal de payer deux fois moins cher (resp. plus cher) lorsque l'on prend deux fois moins (resp. deux fois plus) de produits ; ainsi il suffit de trouver des valeurs satisfaisant les conditions de la première ou la deuxième ligne et il en existe de nombreuses !

Si $ce \neq fb$

Alors, le système n'admet pas de solution.

Exemple :

$$2x+2y = 3$$

$$x+y = 3$$

Si l'on contextualise cet exercice, il parait « évident » qu'il ne « marche » pas :

Deux croissants et deux baguettes coûtent 3 €.

Un croissant et une baguette coûtent 3 €.

Combien coûte un croissant ?

Mais, dans d'autres cas, l'absence de cohérence entre les deux équations peut être moins évidente :

Six croissants et deux baguettes coûtent 5 €.

Trois croissants et une baguette coûtent 3 €.

Combien coûte un croissant ?

S'il parait difficile de déceler l'erreur de cet exercice en utilisant la méthode par essais, il est toutefois toujours possible, en raisonnant un peu, de s'apercevoir que ce système est contradictoire. Par exemple, on peut déduire de la seconde ligne que si trois croissants et une baguette coûtent 3 €, alors six croissants et deux baguettes coûtent 6 €, ce qui ne correspond pas au prix indiqué en première ligne.

Le raisonnement employé « avec des mots » correspond en fait à exploiter l'équivalence algébrique entre les équations $3x+y=3$ et $6x+2y=6$.

2ème cas : si $ae \neq bd$

Alors, le système admet une unique solution.

Afin de simplifier les calculs, nous ne considérons que les systèmes où les paramètre a, b, c, d, e, f et la solution du système sont des entiers naturels.
Exemple :

$$2x+4y = 10 \quad (1)$$

$$3x+5y = 14 \quad (2)$$

En algèbre, il existe différentes méthodes pour résoudre ce type d'exercice parmi lesquels :

* la méthode par substitution ;

$$x = (10-4y) : 2 \qquad \text{on exprime } x \text{ en fonction de } y \text{ en utilisant la première équation}$$

$$3 \times (10-4y) : 2+5y = 14 \qquad \text{on remplace } x \text{ par sa valeur en fonction de } y \text{ dans la deuxième équation}$$

$$y = 1 \qquad \text{on en déduit la valeur de } y$$

$$x = 3 \qquad \text{puis celle de } x$$

* la méthode par combinaisons ;

$$3 \times (1) \ 6x+12y = 30 \qquad \text{on multiplie la première et la deuxième équation de façon à}$$

$$2 \times (2) \ 6x+10y = 28 \qquad \text{avoir le même nombre de } x$$

$$12y-10y = 30-28 \qquad \text{on soustrait les équations ainsi obtenues pour en obtenir une ne contenant que des termes en } y$$

$$y = 1 \qquad \text{on en déduit la valeur de } y$$

$$x = 3 \qquad \text{puis celle de } x$$

* la méthode de Cramer, qui donne directement la valeur des solutions en fonction des paramètres du système ;

$$x = (bf-ec) : (ae-bd)$$

$$y = (af-cd) : (ae-bd)$$

Dans les systèmes d'équations à trois inconnues, ces trois cas sont aussi possibles ; nous ne les avons pas détaillé car ils sont plus compliqués et nous n'en avons pas besoin dans le cadre de notre étude.

Quels sont les systèmes d'équation que l'on peut résoudre par une méthode arithmétique et comment les résoudre ?

Quels pré-requis cela nécessite t-il ?

Les méthodes algébriques sont-elles « arithmétisables » ?

## B. Les méthodes arithmétiques de résolution des systèmes d'équations

### Définitions préliminaires

Nous commençons par préciser quelques définitions mathématiques afin de décrire les théorèmes en acte intervenant dans la résolution arithmétique des systèmes d'équations :

- Dans nos problèmes, nous manipulerons deux (pour les systèmes à deux inconnues) ou trois (pour les systèmes à trois inconnues) types d'objets. Par exemple, dans le problème « Les fruits », les types d'objets sont les fraises et les grappes de raisin. Des objets de même type ont même valeur, on dira qu'ils sont semblables.
- Les objets semblables sont représentés par un même symbole. Il est convenu que deux occurrences distinctes d'un même symbole représentent deux objets semblables différents.

- Les ensembles que l'on considère sont constitués d'une combinaison de ces objets.

- Si $A$ est un ensemble et $T$ un type d'objet, on note $n_A(T)$ le nombre d'éléments de $A$ de type $T$.

- Soit $A$ et $B$ deux ensembles ; on dit que $A$ est plus riche que $B$ si pour tout type $T$, $n_A(T)$ est supérieur ou égal à $n_B(T)$.

- Deux ensembles sont comparables si l'un d'eux est plus riche que l'autre.

- Les ensembles $A$ et $B$ sont isomorphes si pour tout type d'objet $T$, $n_A(T)$ est égale à $n_B(T)$.

- Si $A$ est plus riche que $B$, la différence $A-B$ est un ensemble $C$ tel que, pour tout type $T$, $n_C(T) = n_A(T) - n_B(T)$

Nous pouvons maintenant aborder les connaissances mises en jeu dans les différentes méthodes arithmétiques de résolution des systèmes d'équations.

## Les connaissances mises en jeu

La résolution des systèmes d'équations à deux ou trois inconnues met en jeu différentes sortes de connaissances :

* des connaissances implicites et en particulier des théorèmes en acte (Vergnaud, 1990)

T1 : La valeur de la différence de deux ensembles « séparés » et comparables est égale à la différence des valeurs de ces deux ensembles.

Exemple :

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

On voit tout de suite que le premier ensemble est plus riche que le deuxième. Ces ensembles sont donc comparables et la valeur de la différence de ces deux ensembles est la différence des valeurs associées aux ensembles.
T2 : Si C, D, E sont des ensembles tels que $E = C \cup D$ avec $C \cap D = \emptyset$, alors $M(C) = M(E) - M(D)$, où M(A) désigne la valeur associée à l'ensemble A.

Exemple :

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

T3 : La valeur associée à l'union de deux ensembles disjoints est égale à la somme des valeurs associées à ces ensembles.

Exemple :

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Remarque : les deux premiers ensembles sont bien disjoints dans la mesure où l'on considère chaque élément comme unique.

T4 : si la valeur associée à l'union de k ensembles isomorphes est égale à v, alors la valeur d'un ensemble est égale à v/k.

Exemple :
<figure><img src="image_24.png" /></figure>

* des connaissances explicites

Les quatre opérations arithmétiques

* des processus cognitifs :

- comparaisons de dessins

- repérage de lots ou de sous collections

- construction de représentations

Exemple :

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

Les différentes méthodes de résolution que nous allons présenter utilisent certains de ces savoirs dans un ordre différent.

*Exemples de résolutions arithmétiques de systèmes d'équations à deux inconnues*

**Exercice 1 : Résoudre**

$$3x+5y = 19$$

$$4x+2y = 16$$

Nous proposons une nouvelle représentation sémiotique de cet exercice, mieux adaptée à une résolution de type arithmétique et plus proche de ce qui sera utilisé avec les adultes :
<figure><img src="image_26.png" /></figure>

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Voici une méthode arithmétique pour résoudre ce système, c'est-à-dire trouver les valeurs de X et Y :

- Faire l'union des deux ensembles et utiliser T3 :

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

- Partager un ensemble en sous collections identiques

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

- Utiliser T4 :

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

- Chercher où intervient ce nouvel ensemble dans les ensembles de départ

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

-Utiliser T2 pour en déduire la valeur de X.

$$XX = 16-10 = 6$$
$X = 3$

- Utiliser T2 pour en déduire la valeur de Y
$Y Y = 16 - 12 = 4$

$Y = 2$

**Exercice 2 : Résoudre**

$x+3y = 23$

$x+y = 11$

**Problème arithmétique**

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

**Résolution arithmétique**

- Comparer les ensembles
Dans le premier ensemble, il y a Y Y de plus que dans le deuxième.

- Utiliser T1 pour en déduire la valeur de cette différence
Ainsi, $Y Y = 23 - 11 = 12$.

$\text{Donc } Y = 6$

- Utiliser T2 pour déduire la valeur de l'autre objet
$x = 11 - 6 = 5$

**Exercice 3 : Résoudre**

$3x+3y = 18$

$4x+y = 12$

**Problème arithmétique**

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

**Résolution arithmétique**

L'union des ensembles ou leur comparaison ne permettent pas ici a priori de déduire des informations pertinentes. Il s'agit ici de :
- Partager le premier ensemble en sous collections

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

- Utiliser T4 pour en déduire la valeur d'une sous-collection

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

- Comparer cette nouvelle collection avec le second ensemble
Il y a X X X en plus dans le second ensemble

- Utiliser T1 pour en déduire la valeur de X
X X X = 12-6 = 6
Donc X = 2

- Utiliser T2 pour en déduire la valeur de Y
X X X X = 8
Donc Y = 12-8 = 4

Exercice 4 : Résoudre

$3x+5y = 19$

$4x+3y = 18$

Problème arithmétique (on note ici Y avec O pour mieux distinguer les deux objets)

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

Résolution arithmétique
Le but est de trouver les valeurs des croix et des ronds.

Quand la comparaison directe entre les deux ensembles de départ, l'union de deux ensembles et le partage en sous collections ne donnent pas d'informations pertinentes, une stratégie marche toujours ; celle qui est basée sur la méthode algébrique des combinaisons.

Voici donc une version arithmétique de la méthode des combinaisons :

- Construire de nouveaux ensembles « comparables »

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

On part des deux ensembles de $A$ séparément.

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

et $B$

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

que l'on considère

Il s'agit de trouver le nombre d'union $n$ de $A$ et $m$ de $B$ à effectuer pour que les ensembles $A \cup A... \cup A$ et $B \cup B... \cup B$ soient comparables.

$n$ fois

$m$ fois

Plus précisément, il s'agit d'obtenir de nouveaux ensembles contenant le même nombre de croix ou de ronds.

Puis, à partir de ces deux ensembles, on peut engager une procédure de résolution analogue à celle présentée dans l'exercice 2 :

- Comparer les deux ensembles

- Utiliser $T1$ pour en déduire la valeur de l'objet $O$

- Utiliser $T2$ pour en déduire la valeur de l'objet $X$

La difficulté de cet exercice est de trouver le nombre d'ensembles qu'il faut unir de chaque côté pour obtenir deux ensembles contenant le même nombre de croix. Derrière cette difficulté se cache la notion de PPCM ; pour trouver le nombre d'ensembles à unir, il s'agit de trouver le PPCM des deux nombres de croix contenus dans les deux ensembles de départ. Dans ce cas, PPCM (3,4) = 12, il faut donc unir quatre fois le premier ensemble et trois fois le second de façon à obtenir deux ensembles à 12 croix et ainsi comparables.
Cette stratégie de résolution est théoriquement toujours possible puisque le PPCM de deux nombres entiers naturels existe toujours. Elle peut néanmoins rester hors de portée lors d'un fonctionnement artisanal dès que les nombres ne sont pas bien choisis.

NB : il n'est toutefois pas obligatoire de passer par la valeur du PPCM ; on peut tout simplement unir d' fois le premier ensemble et a fois le second quand le système est de la forme :

$$ 
\begin{align*}
ax + by &= c, \\
dx + ey &= f
\end{align*}
$$
mais cette stratégie peut s'avérer beaucoup plus lourde en calculs.

## Exemples de résolutions arithmétiques de systèmes d'équations linéaires à trois inconnues

Dans les systèmes à trois inconnues, les raisonnements arithmétiques sont souvent bien plus compliqués. Le passage de deux à trois inconnues augmente fortement la complexité du problème, nous allons illustrer ce fait à travers le système suivant :

$$ 2x + 3y = 13 \quad (1) $$

$$ 3x + 2z = 14 \quad (2) $$

$$ y + 3z = 15 \quad (3) $$

Résolvons tout d'abord ce système de façon algébrique par la méthode des combinaisons :

$$ 3 \times (1) - 2 \times (2) : 9y - 4z = 11 \quad (4) \quad \text{On combine la première et la deuxième équation} $$

$$ y + 3z = 15 \quad (3) \quad \begin{array}{l} \text{de façon à supprimer la variable } x \text{ et obtenir un} \\ \text{système à deux inconnues} \end{array} $$

$$ 3 \times (4) + 4 \times (3) : 27y + 4y = 93 \quad \begin{array}{l} \text{On supprime la variable } z \text{ par la méthode de} \\ \text{combinaison} \end{array} $$

$$ \text{Donc } y=3 \quad \begin{array}{l} \text{On en déduit } y \end{array} $$

$$ (3) : z = 4 \quad \begin{array}{l} \text{Puis } z \end{array} $$

$$ (2) : x = 2 \quad \begin{array}{l} \text{Et enfin } x \end{array} $$

Lorsque que l'on travaille dans les entiers naturels, la méthode algébrique ne « s'arithmétise » pas forcément : les équations 3 (1) et 2 (2) dont on a fait la différence dans la méthode algébrique ne sont pas comparables en arithmétique. L'équation (4) obtenue par différence de ces deux équations ne se représente alors pas de manière ensembliste (on ne peut pas dessiner « moins quatre objets ») et avec des mots, cela reviendrait à « neuf ronds moins quatre étoiles valent 11 » que l'on peut guère utiliser pour recommencer un raisonnement par combinaison arithmétique.

La méthode algébrique présentée ne fonctionne pas dans le cas arithmétique car elle met en jeu des entiers négatifs.

Existe-t-il une méthode arithmétique générale permettant de trouver les solutions des systèmes linéaires à trois inconnues ?

## Problème arithmétique
<figure><img src="image_48.png" /></figure>

Comment résoudre ce problème de manière arithmétique ?

Les ensembles de départ ne sont pas comparables il est a priori difficile de percevoir quelles unions pourraient nous fournir des informations pertinentes.

De plus, la méthode des combinaisons ne fonctionne pas directement dans le cas où il y a trois variables. Par exemple, si l'on essaie tout d'abord d'éliminer la variable X en transformant deux ensembles de manière à ce qu'il y ait le même nombre de X dans chaque ensemble :

$$3 \times (2, 3, 0) = (6, 9, 0)$$

$$2 \times (3, 0, 2) = (6, 0, 4)$$

Les deux ensembles obtenus ne sont pas nécessairement comparables : en égalisant la première coordonnée, on obtient deux ensembles (9, 0) et (0, 4) à deux types d'objets, qui ne sont pas nécessairement comparables, contrairement à ce qui se passait avec des systèmes d'équations à deux inconnues (les ensembles à un seul type d'objet sont nécessairement comparables).

Pour résoudre les systèmes d'équations à trois inconnues, nous n'avons pas de méthode générale s'appliquant à n'importe quel système ; il faudrait combiner les trois ensembles de façon à avoir de nouvelles informations et peu à peu arriver au résultat. Mais cela peut être très long...

Nous proposons une résolution possible de cet exercice :

$$2 \times (2, 3, 0) = (4, 6, 0)$$

$$9 \times (3, 0, 2) = (27, 0, 18)$$

$$6 \times (0, 1, 3) = (0, 6, 18)$$

$(31, 6, 18) = (4, 6, 0) + (27, 0, 18)$ et $(0, 6, 18)$ sont comparables et permettent de déduire la valeur de $31 \times X$, puis de $X$. On en déduit ensuite la valeur de $Y$ en se plongeant dans le premier ensemble, puis la valeur de $Z$ à partir du deuxième ou du troisième ensemble.

Nous exposons maintenant deux systèmes à trois inconnues dont la résolution arithmétique fait intervenir des raisonnements similaires à ceux présentés pour les systèmes à deux équations :

**Exercice 5 : Résoudre**

$$3x + 2y + z = 16$$

$$2y + z = 10$$

$$x + 3z = 14$$

<footnote n="16">¹⁶ (2, 3, 0) représente $2x + 3y + 0z$ ou encore XX YYY</footnote>
### Problème arithmétique

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

### Résolution arithmétique

- Chercher deux ensembles « comparables » et appliquer T1

Dans le premier ensemble, il y a trois X de plus que dans le deuxième.

$$ \text{Donc } XXX = 16-10 = 6 $$

$$ \text{Donc } X = 2 $$

- Chercher où X intervient et utiliser T2 pour en déduire la valeur d'un autre objet

$$ ZZZ = 14-2 $$

$$ Z = 4 $$

- Chercher où Z intervient et utiliser T2 pour en déduire la valeur d'un autre objet

$$ YY = 10-4 $$

$$ Y = 3 $$

### Exercice 9: Résoudre

$$ 4x + y + z = 15 $$

$$ y + 3z = 15 $$

$$ 2x + 2z = 10 $$

### Problème arithmétique

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

### Résolution arithmétique

- Trouver deux ensembles dont l'union permet un partage en sous collection
Nous faisons l'union du premier et le deuxième ensemble

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

- Déduire la valeur d'une sous collection

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

- Comparer ce nouvel ensemble avec le troisième ensemble et utiliser T1
Il y a un Y de plus dans le nouvel ensemble donc

$$Y = 15-12 = 3$$

- Chercher où Y intervient et utiliser T2 pour en déduire la valeur d'un autre objet
$$ZZZ = 15-3$$

$$Z = 4$$

- Chercher où Z et Y interviennent et utiliser T2 pour en déduire la valeur d'un autre objet

$$XX = 12-8$$

$$X = 2$$

Ces résolutions arithmétiques mettent en jeu les mêmes connaissances que celles utilisées lors de la résolution des systèmes à deux inconnues. La difficulté supplémentaire des systèmes à trois inconnues est qu'il s'agit de chercher les ensembles dont la comparaison ou l'union donne des informations pertinentes.

Il existe d'autres stratégies pour résoudre les exercices que nous venons de proposer :

* la méthode par essais ou par tâtonnements : on donne des valeurs aux croix et ronds, et on teste si ces valeurs sont cohérentes. Cette méthode est conceptuellement économique et risque d'être largement employée par des personnes non mathématiciennes mais la combinatoire explose avec le nombre d'inconnues même si le nombre d'essais est borné.

* la résolution algébrique par mise en équations : cette méthode serait plus naturellement employée par des mathématiciens.

Les méthodes que nous avons présentées sont pédagogiquement intéressantes dans la mesure où elles permettent de développer certains processus cognitifs comme l'analyse d'un
problème et la comparaison d'ensembles et reposent sur des théorèmes en acte à la portée de tous.

Un travail sur ces méthodes arithmétiques peut de plus s'avérer très bénéfique à plus long terme dans l'apprentissage des méthodes algébriques. Les méthodes algébriques et arithmétiques font intervenir des connaissances différentes ; les méthodes algébriques s'appuient sur le formalisme mathématique et plus précisément utilisent les règles de calculs algébriques tandis que les méthodes arithmétiques font intervenir des connaissances plus « naturelles » et plus intuitives (théorèmes en acte, combinaisons d'ensembles, etc.). Pourtant, la stratégie générale de ces deux modes de résolution est souvent la même ; on cherche à se ramener à des cas où l'on n'a qu'une seule variable en jeu pour pouvoir en déduire sa valeur et ensuite calculer aisément la valeur de la deuxième puis éventuellement de la troisième.

Afin d'étudier précisément l'influence des variables numériques, des représentations et des contextes dans la résolution de problèmes, nous avons choisi de faire travailler les adultes sur un même type d'exercices, analogues aux exercices 2 et 5. Nous allons en analyser la structure et expliciter les raisons de ce choix.

## C. Analyse a priori des problèmes proposés en séance

Dans cette partie, nous présentons les problèmes que nous avons choisis de travailler avec les stagiaires du CUEEP. Nous précisons tout d'abord la structure mathématique de ces problèmes, puis présentons les connaissances requises pour pouvoir les résoudre arithmétiquement par un raisonnement, en détaillant alors plus particulièrement les théorèmes en acte T1 et T2.

### Structure mathématique des problèmes proposés

Voici les deux types de problèmes que nous proposons :

**Problème de type I :**

type I-A

$$ax + by = c$$

$$ax + (b-1)y = d$$

$$kx = ?$$

type I-B

$$ax + by = c$$

$$ax + ey = d$$

$$kx = ?$$

$$\text{avec } |e-b| > 1$$

$$\text{et } \operatorname{sg}(b-e) = \operatorname{sg}(c-d)$$

où a, b, c, d, e, k sont des entiers naturels non nuls et x, y sont les inconnues.

**Problème de type II :**

type II-A

$$ax + by + cz = d$$

$$ey + fz = g \quad \text{avec } d-h>0$$

$$ax + by = h$$

$$kx = ?$$

type II-B

$$ax + by + cz = d$$

$$ey + fz = g \quad \text{avec } \operatorname{sg}(c-i) = \operatorname{sg}(d-h)$$

$$ax + by + iz = h$$

$$kx = ?$$

où a, b, c, d, e, f, g, k, i sont des entiers naturels non nuls et x, y, z sont les inconnues.

Dans les problèmes proposés, les inconnues ont un statut d'objet et les données sont des grandeurs : masse, longueur, prix.
## Choix de ce type d'exercice

Nous avons choisi de travailler avec les adultes du CUEEP sur ces exercices particuliers car ils nous ont paru simples à résoudre de façon arithmétique, tout en faisant intervenir un certain nombre de compétences : le raisonnement visé comporte au moins deux étapes (trouver la valeur du premier objet, puis du deuxième et éventuellement du troisième), des processus cognitifs tels que la comparaison et la déduction et deux théorèmes en acte. Nous allons présenter une méthode type de résolution à travers un problème que nous avons proposé en séance.

## Un exemple de résolution d'une de nos situations

Nous allons montrer une procédure de résolution arithmétique sur un problème de type I-B : « Au marchand de glaces » (cf. annexe).

Après être « rentré » dans le problème, c'est-à-dire avoir compris le contexte dans lequel s'inscrit la situation problème et les différentes formes d'implicite et de codage indiquant les données du problème, il s'agit de :

* Comparer les lignes/ensembles :

« Sur le premier dessin, il y a deux glaces de plus que sur le deuxième ».

Il y a e-b objets y de différence entre la 1ère et la 2ème ligne.

* Déduire de cette comparaison la valeur associée à l'ensemble des objets constituant cette différence (référence à T1) :

« Ainsi, le prix de deux glaces est égal à 67 F – 37 F, c'est à dire 30 F »

$$ (e-b)y = d-c $$

* Déduire la valeur associée à un seul objet :

« Donc le prix d'une glace est la moitié de 30 F, c'est à dire 15 F »

$$ y = (d-c) : (e-b) $$

* Utiliser la valeur d'un objet pour trouver la valeur de l'autre objet (référence à T2) :

« Sur le premier dessin, deux boissons et une glace coûtent 37F donc le prix de deux boissons, c'est 37 F moins le prix d'une glace, c'est à dire 22 F ».

$$ ax = c-by $$

* Trouver la valeur associée au deuxième objet :

« Donc le prix d'une boisson est la moitié de 22 F, c'est à dire 11F ».

$$ x = (c-by) : a $$

* Conclure sur la valeur des objets demandés :

« Ainsi le prix de trois boissons est $11 F \times 3$ (ou $11 F + 11 F + 11 F$), c'est à dire 33 F.

$$ x+x+x $$

En jouant sur les valeurs numériques, nous souhaitons montrer aux adultes l'efficacité de la méthode générale présentée ci-dessus par rapport aux méthodes essais-erreurs. Cette
première stratégie de résolution met en jeu les théorèmes en acte T1 et T2 qu'il convient d'étudier plus précisément.

## Analyse des théorèmes en acte T1 et T2 intervenant dans la méthode de résolution visée

Lors de ce que nous allons appeler la première étape, nous utilisons le théorème en acte T1 suivant : la valeur associée à la différence de deux ensembles « séparés » et comparables est la différence des valeurs associées à ces deux ensembles.

Plus concrètement, nous faisons utilisons T1 lorsque nous procédons comme ceci : « Sur le premier dessin, il y a deux glaces de plus que sur le deuxième », « Ainsi, le prix de deux glaces est égale à 67 F – 37 F, c'est à dire 30 F ».

La deuxième étape met en jeu T2 : « sur le premier dessin, deux boissons et une glace coûtent 37F donc le prix de deux boissons, c'est 37 F moins le prix d'une glace, c'est à dire 22 F ».

Il existe quelques étapes intermédiaires entre la première étape et la seconde comme de trouver la valeur d'un objet à partir de la valeur de plusieurs objets ou la valeur de plusieurs objets à partir de la valeur d'un seul objet. Ces étapes nous semblent moins difficiles du point de vue conceptuel et c'est pour cela que nous n'insistons pas dessus pour le moment.

Bien que mathématiquement équivalents, les deux théorèmes en acte T1 et T2 ne le sont pas au niveau de la représentation mentale qu'ils demandent :

<table><thead><tr><th></th><th>T1</th><th>T2</th></tr></thead><tbody><tr><th>Type d'exercice écrit où le concept intervient</th><td>« Hier, j'ai acheté 3 bouteilles et 2 gâteaux. J'ai payé 50F. Aujourd'hui, j'ai acheté 3 bouteilles et 1 gâteau. J'ai payé 35F. Combien vais-je payer pour 1 gâteau ? »</td><td>« J'ai acheté 3 bouteilles et 2 gâteaux pour 50F, je sais que 3 bouteilles et 1 gâteau m'ont coûtés 35F. Combien coûte 1 gâteau ? »</td></tr><tr><th>Intervention du concept en représentation ensembliste</th><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

Si l'on considère une bouteille comme un objet unique, le premier problème fait intervenir six bouteilles différentes alors que le second en fait intervenir trois. Dans le premier exercice, on parle d'ensembles « séparés » alors que le second contient la notion d'inclusion.

Les exercices relatifs à T2 pourraient être classés dans les problèmes de combinaisons (voir page 20) : « Connaissant la composée [des mesures] et l'une des élémentaires, trouver l'autre. » (Vergnaud, 1981)

Les exercices relatifs à T1 pourraient être classés dans les problèmes de comparaison.
Nous pourrions étudier dans la vie quotidienne auquel des deux théorèmes en acte nous sommes le plus souvent confrontés et évaluer ainsi la relation entre la fréquence quotidienne d'inférence à un certain théorème et la faculté à l'utiliser dans d'autres contextes.

Nous avons toutefois la conviction que T2 est plus utilisé que T1.

Dans les exercices proposés, les stagiaires vont-ils utiliser naturellement ces deux théorèmes en acte ? Et après les avoir mis en jeu lors de la correction ?

L'utilisation de ces théorèmes en acte dépend-t-elle de certaines variables didactiques ? Si oui, lesquelles ?

Les problèmes que nous proposons aux stagiaires sont de même type mathématique : ils peuvent se résoudre par une méthode générale arithmétique mettant en jeu les théorèmes en acte T1 et T2 ainsi que des processus cognitifs tels que la comparaison et la déduction.

Ces problèmes peuvent aussi se résoudre par la méthode par essais ; nous allons jouer sur le nombre d'inconnues en jeu et sur les valeurs numériques en jeu pour accroître la difficulté de ce problème lorsque l'on utilise ces stratégies et ainsi tenter de montrer l'efficacité de la méthode générale visée.

Nous avons aussi choisi d'autres variables didactiques concernant la façon dont nous représentons et contextualisons nos problèmes, que nous allons maintenant présenter.

## D. Organisation de la succession des tâches

Nos problèmes, comme nous l'avons dit dans le paragraphe précédent, sont mathématiquement de même type. Ce que nous varions essentiellement sont les modes de représentation et leur contextualisation ; il convient donc tout d'abord de les présenter.

Ces variables didactiques ont guidé la manière dont nous avons organisé le cheminement de nos séances, que nous allons présenter dans un deuxième temps.

Enfin, nous allons exposer brièvement comment se déroule une séance et en particulier les raisonnements que nous utilisons lors de la correction.

### Choix des modes de représentation

A la vue des difficultés observées (cf. chapitre 1, page 32), **la façon dont on présente les exercices** paraît très importante chez un public illettré. Nous avons ainsi proposé des problèmes basés sur les critères suivants :

* Rester dans le même thème mathématique, et plus précisément construire des exercices de même type ;

* Représenter les problèmes de manière ludique, pour renforcer la motivation des adultes : « dès qu'ils accrochent un peu, on a des chances qu'ils rentrent dans le sujet » (J.P. Leclere lors d'un entretien) ;

* Utiliser les dessins pour représenter les données. Ce système de représentation permet de supprimer l'obstacle de la lecture d'un texte et de laisser les adultes en plus grande autonomie. L'implicite étant très présent dans ces problèmes, cela nous permet d'analyser comment ils décodent ces exercices, de repérer des « interprétations inadéquates » comme celles présentées dans le rapport de Richard (voir page 11).
Ainsi, nous avons présenté chaque exercice de manière différente (le contexte change pratiquement à chaque fois et le support varie) de manière à créer d'une part une situation nouvelle pour l'adulte et ainsi pouvoir travailler les mêmes connaissances, et d'autre part à analyser les liens qu'ils peuvent établir entre les différentes situations.

Nous allons maintenant exposer comment nous avons fait varier les contextes et les supports dans les problèmes proposés lors des différentes séances.

## Séance du 21.02.02 : découverte de nos problèmes de situation

* Problèmes proposés en séance : « Au village », « A Franprix » (cf. annexe)

* L'objectif de la séance est de faire une première rencontre ou re-rencontre avec ce type de problèmes.

### Contextes

- Les objets en jeu dans les problèmes sont familiers (maisons et jardins, aliments);

- Nous varions les grandeurs : dans « Au village », il s'agit de longueur, dans « A Franprix », de prix. Dans « A Franprix », l'unité n'est pas inscrite; il s'agit en plus de découvrir si les nombres sont en euros ou en francs et établir ainsi un rapport avec le réel.

### Représentations

- La représentation est imagée dans les deux problèmes;

- La représentation de « Au Village » de type flèches associées à des longueurs est chargée d'implicite, celle de « A Franprix » est plus simple à comprendre.

### Caractéristiques mathématiques

« Au village » est mathématiquement simple (type I-A), « A Franprix » est plus difficile (type II-A).

A l'issue de la séance, nous avons proposé un devoir à faire en tutorat ou seul : « les immeubles » (cf. annexe). Nous avons construit cet exercice en utilisant les caractéristiques des exercices effectués pendant la séance;

- même support que « Au village »;

- système à trois inconnues (comme dans « A Franprix »).

Notre objectif est alors d'évaluer la compréhension des codages de données figurant dans les représentations (flèches associées à des longueurs), d'enrichir leurs connaissances relatives à ce type de problème et d'évaluer ce qu'ils ont retenu de la séance.

## Séance du 18.03.02 : apprentissage à travers des contextes privilégiés, influence des variables numériques

* Problèmes proposés en séance : « Au marchand de glaces », « Paris-Lille en train » (cf. annexe)

* L'objectif de cette séance est d'introduire un nouveau type de représentation (tableau) et de mettre en place une procédure de résolution arithmétique dans des problèmes à contextes supposés privilégiés (l'argent).

### Contextes

- Les objets en jeu sont familiers dans les deux problèmes (glaces, personnes);
- les grandeurs utilisées sont privilégiées dans les deux problèmes (prix). Dans « Paris-Lille en train », nous n'avons pas inscrit l'unité des données (francs ou euros) pour les mêmes raisons que dans « A Franprix ».

## Représentations

Nous avons adopté dans les deux exercices une représentation imagée dans laquelle les données sont présentées en ligne dans un tableau.

Le support du tableau nous paraît intéressant car il permet de présenter les données en ligne (comme pour les systèmes d'équations), tout en restant clair au niveau de la compréhension.

## Caractéristiques mathématiques

- « Au marchand de glaces », de type I-B, permet de « se remettre dans le bain » et « Paris-Lille en train » de type II-A permet d'approfondir.

- Jeu sur les variables numériques : dans « au marchand de glaces », les données 67 et 37, grâce au chiffre commun en unité, incitent plus à effectuer la soustraction qu'une addition. Ces valeurs influenceront-elles leur démarche et pour ceux qui calculeront 67-37, vont-ils percevoir le sens qu'il y a derrière cette opération ? Dans « Paris-Lille en train », toutes les premières soutractions sont faciles à faire puisque les valeurs numériques sont des nombres unitaires de dizaine. De plus, les données 170 et 70 « frappent l'œil » par le chiffre commun des dizaines ; vont-elles influer sur leur procédure ?

A l'issue de cette séance, nous avons donné en devoir un exercice de type I-B « les fruits », avec le même type de représentation (tableau) et avec le même jeu sur les variables numériques (320 et 220). Ce que nous testons ici est le passage des situations dans lesquelles les grandeurs sont privilégiées (prix) à une situation dans laquelle la grandeur l'est a priori moins (poids).

## Séance du 21.03.02 : changement de représentation : symboles et texte-dessins

* Problèmes proposés en séance : « Des étoiles et des rectangles I », « Des étoiles et des rectangles II », « Au cinéma » (cf. annexe)

* Le but de cette séance est d'analyser les capacités de transfert des connaissances à travers des situations très différentes et d'introduire un contexte plus abstrait.

## Contextes

- Dans les deux premiers exercices, les objets en jeu sont plus abstraits : figures géométriques (étoiles, rectangles, spirales). Vont-ils donner du sens à ce nouveau contexte non lié au quotidien ? Les objets en jeu dans « Au cinéma » sont en revanche très familiers (personnes allant au cinéma).

- Dans les deux premiers exercices, aucune grandeur n'est mentionnée, dans « Au cinéma », nous avons utilisé une grandeur privilégiée (prix).

## Représentations

Les informations sont imagées dans les deux premiers exercices.

Dans le troisième, nous utilisons le support texte pour fournir les données du problème, et nous avons ajouté des dessins, à titre d'illustrations ou bien pouvant servir à représenter le problème de façon imagée par analogie. Cette nouvelle représentation (texte-dessins) fait-elle obstacle dans la résolution de l'exercice ?
## Caractéristiques mathématiques

- Le premier exercice, de type I-B a pour but de se familiariser avec le nouveau symbolisme utilisé. Le second exercice, de niveau mathématique plus élevé (type II-A), permet de travailler un raisonnement plus élaboré. Nous avons choisi « Au cinéma » mathématiquement facile (type I-A) afin d'analyser les difficultés relatives à sa représentation.

## Séance du 25.04.02 : vers une écriture abstraite et le texte

* Problèmes proposés en séance : « Exercice 1 », « Exercice 2 », « Au snack »

* Il s'agit ici de tester leurs capacités de compréhension et de résolution dans des situations à contextes abstraits ou à supports plus complexes.

## Contextes

- Dans les deux premiers exercices, les objets en jeu sont représentés par des formes géométriques (triangles et rectangles). Dans « Au snack », les objets en jeu sont familiers (frites et sandwiches).

- Dans les deux premiers exercices, aucune grandeur n'est mentionnée, dans « Au snack », nous avons utilisé une grandeur privilégiée (prix).

## Représentations

Dans les deux premiers exercices, les données sont représentées en ligne, sur un support composé de figures géométriques et de symboles mathématiques (=, +). L'exercice 2 est de plus représenté de manière plus abstraite (nous notons par exemple $4□$ à la place de $□+□+□+□$) afin d'étudier les questions relatives au décodage des données et d'analyser le rôle de la représentation dans le raisonnement. Cet implicite va-t-il être compris ? Va-t-il poser des difficultés dans la résolution ou au contraire faciliter la comparaison entre les deux premières lignes ?

Dans « Au snack », nous avons utilisé le support texte. Nous avons écrit les valeurs numériques en chiffres et les avons alignées verticalement afin de permettre aux adultes de se repérer plus facilement dans l'exercice. Nous voulons observer la manière dont ils s'y prennent pour résoudre des problèmes de ce type sans représentation imagée ; vont-ils en construire une eux-mêmes ? Arriveront-ils à résoudre le problème sans l'aide de représentations imagées ? Quel raisonnement vont-ils utiliser ?

## Caractéristiques mathématiques

Les trois exercices sont de type I-B, c'est le niveau qui semble le mieux adapté pour pouvoir analyser leur capacités de raisonnement dans des situations a priori plus complexes.

## Séance du 30.05.02 : test sur des exercices à texte et bilan

* Problèmes proposés en séance : « A la boulangerie », « A Auchan » (cf. annexe)

* Au cours de la séance précédente, nous avions remarqué que les exercices avec texte posaient des difficultés aux adultes. Nous avons donc construit un test, que les adultes doivent résoudre seuls, visant à analyser plus précisément les difficultés liées au passage de la représentation imagée au texte.

## Contextes
- Les objets en jeu sont familiers dans les deux problèmes (croissants et éclairs, fromages et bouteilles) ;

- Les grandeurs utilisées sont privilégiées dans les deux problèmes (prix).

### Représentations

- Les deux exercices sont à texte.

- Dans le premier problème, nous avons détaillé toutes les questions pour les aider dans le raisonnement ; cela fait alors un mois que nous n'avons pas travaillé ce type d'exercices et nous pensons qu'il est nécessaire de les guider. La première question consiste à « faire un dessin pour représenter l'exercice », afin d'étudier la façon dont ils effectuent le passage du texte à la représentation imagée ; quelles représentations vont-ils effectuer ? Vont-ils représenter toutes les données ? Vont-ils utiliser ces représentations dans la résolution de l'exercice ?

Dans le deuxième problème, nous voulons observer d'une part s'ils voient la nécessité de construire une représentation de l'exercice et d'autre part, nous voulons mieux évaluer leur raisonnement. Pour cela, nous ne leur demandons pas explicitement de construire une représentation de l'exercice (mais nous laissons toutefois la place sur la feuille pour le faire) et nous réduisons le nombre de questions intermédiaires (nous laissons uniquement les questions correspondant aux deux grandes étapes).

Précisons que la dernière question de chaque exercice peut se résoudre directement, en utilisant T4 (voir page 58).

### Caractéristiques mathématiques

Nous avons des exercices de type I-B pour deux raisons principales :

- Un système à trois inconnues nous paraît trop complexe compte tenu des conditions dans lesquelles ils doivent résoudre le problème (seuls et support texte difficile)

- Par rapport au type I-A, le type I-B introduit une difficulté supplémentaire (problèmes de partage que nous expliquerons chapitre 3) qu'il est intéressant d'analyser avec ce support.

* Après ce test, nous leur distribuerons une feuille où seront inscrits quatre problèmes que nous avons travaillé ensemble : « Au village », « A Franprix », « Au marchand de glaces », « Des étoiles et des rectangles », « Au snack ».

Nous avons donc choisi des exercices à deux inconnues, à représentations et contextes différents de façon à bien mettre en évidence leur structure commune :

- Il y a deux objets ; on ne connaît que des valeurs d'association de ces deux objets et on doit trouver la valeur d'un de ces objets.

- Pour trouver la valeur de l'objet demandé, il faut d'abord trouver la valeur de l'autre objet.

- Pour trouver la valeur de ce dernier, il faut comparer les lignes ou les ensembles.

* Nous leur demanderons ensuite de construire chez eux des exercices du même type que ceux fait en séance mais en les personnalisant eux-mêmes.

Nous avons construit nos séances de manière à essayer de répondre aux questions que nous nous posions et non dans un objectif pédagogique (nous aurions alors diversifié nos problèmes du point de vue mathématique). Après avoir résumé dans un tableau la structure
des problèmes proposés en fonction des variables didactiques utilisées, il convient de présenter la manière dont nous faisons travailler les stagiaires pendant les séances et en particulier les raisonnements que nous utilisons lors de la correction.
## Fiches Maths de Base

<table><thead><tr><th></th><th>Type de problème</th><th>Systèmes d'équations</th><th>supports</th><th>Rôles des dessins</th><th>Types d'objets en jeu</th><th>Grandeurs</th></tr></thead><tbody><tr><td>Au village</td><td>I-A</td><td>x+y=11<br>y+x+y=14<br>2x=?</td><td>schéma</td><td>-symboles des inconnues</td><td>maisons et jardins</td><td>longueurs (mètres)</td></tr><tr><td>A Franprix</td><td>II-A</td><td>x+y+2z=81<br>y+3z=51<br>x+y=59<br>3x=?</td><td>schéma</td><td>-symboles des inconnues<br>-support (panier)</td><td>'aliments</td><td>Prix (franc ou euro...à trouver !)</td></tr><tr><td>Les immeubles</td><td>II-B</td><td>y+3z+x=54<br>3y+z=45<br>x+z+y=36<br>3x=?</td><td>schéma</td><td>-symboles des inconnues</td><td>Immeubles et garages</td><td>longueurs (mètres)</td></tr><tr><td>Au marchand de glaces</td><td>I-B</td><td>3y+2x=67<br>2x+y=37<br>3x=?</td><td>tableau</td><td>-symbole des inconnues</td><td>glaces boissons</td><td>Prix (franc)</td></tr><tr><td>Paris-Lille en train</td><td>II-A</td><td>y+2z=90<br>3x+y=70<br>y+4z+3x=170<br>2x=?</td><td>tableau</td><td>-symboles des inconnues<br>- illustrations et aide à comprendre la situation</td><td>«une femme prend le train avec enfants et chiens »</td><td>Prix (franc ou euro...à trouver !)</td></tr><tr><td>Les fruits</td><td>I-B</td><td>4y+x=320<br>y+x+y=220<br>3x=?</td><td>tableau</td><td>-symbole des inconnues</td><td>fraises et raisins</td><td>poids (gramme)</td></tr><tr><td>Des étoiles et des rectangles I</td><td>I-B</td><td>y+x=20<br>x+3y=48<br>3x=?</td><td>schéma</td><td>-symboles des inconnues</td><td>formes géométriques (étoiles, rectangles)</td><td>nombre</td></tr><tr><td>Des étoiles et des rectangles II</td><td>II-A</td><td>2y+2z=20<br>y+3z+2x=31<br>3x=?</td><td>schéma</td><td>-symboles des inconnues</td><td>formes géométriques</td><td>nombre</td></tr><tr><td>Au cinéma</td><td>I-A</td><td>x+y=55<br>x+2y=70<br>2x=?</td><td>Texte et dessins</td><td>-illustrations et aide à comprendre la situation</td><td>cinéma</td><td>Prix (franc)</td></tr><tr><td>Exercice 1 symboles</td><td>I-B</td><td>2x+3y=59<br>2x+y=37<br>3x=?</td><td>Notation algébrique</td><td>-symboles des inconnues</td><td>formes géométriques</td><td>nombre</td></tr><tr><td>Exercice 2 symboles</td><td>I-B</td><td>5y+4x=68<br>2y+4x=56<br>2x=?</td><td>Notation algébrique</td><td>-symboles des inconnues</td><td>formes géométriques</td><td>nombre</td></tr><tr><td>Au snack</td><td>I-B</td><td>5y+x=57<br>3y+x=41<br>3x=?</td><td>texte</td><td>pas de dessins</td><td>Frites et sandwiches</td><td>Prix (franc)</td></tr><tr><td>A la boulangerie</td><td>I-B</td><td>2x+5y=46<br>2x+2y=34<br>3y ? y ? 2x ?<br>x ? x+y ?</td><td>texte</td><td>pas de dessin</td><td>éclairs au chocolat et croissants</td><td>Prix (francs)</td></tr><tr><td>A Auchan</td><td>I-B</td><td>3x+3y=45<br>3x+y=21<br>y ? x ?<br>x+y ?</td><td>texte</td><td>pas dessin</td><td>bouteilles et fromages</td><td>Prix (francs)</td></tr></tbody></table>

## Déroulement d'une séance

Nous intervenons environ une heure dans une séance de deux heures. Durant la séance, nous laissons les adultes chercher seuls ou en groupe en écoutant leur démarche et en y faisant éventuellement des remarques, puis nous corrigeons ou nous envoyons une personne au tableau. Nous allons ainsi exposer à travers des exemples la manière dont nous procédons lors de la correction.

Méthode employée dans la correction des problèmes en séance.
Lors de la correction des problèmes, nous présentons deux manières d’effectuer la première étape<fnref n="17" />, l’une faisant référence à T1, l’autre à T2. Illustrons cela à travers l’exemple d’une correction faite dans « A Franprix » :

- Nous commençons par expliquer la première étape en faisant intervenir le théorème en acte T1 :

« Pourquoi le panier à 81 F est-il plus cher que celui à 59 F ? Parce que dans le premier, il y a plus de choses... Quand on compare ces deux paniers, on voit que dans le premier il y a deux paquets de pâtes en plus et c'est pour cela qu'il est plus cher. Donc, le prix des deux paquets de pâtes correspond à ce que l'on paye en plus dans le premier panier, c'est-à-dire correspond à la différence de prix entre le premier et le deuxième panier. On fait donc 81-59 = 22 F pour deux paquets de pâtes ».

- Ensuite, nous expliquons en général cette étape une deuxième fois en faisant intervenir le théorème en acte T2. Dans le premier panier, nous entourons le poulet et le fromage et nous inscrivons 59 à côté :

« Regardez dans le premier panier, un poulet, un fromage et deux paquets de pâtes valent 81 F. Mais on sait déjà que un poulet et un fromage valent 59 F. Donc deux paquets de pâtes c'est l'argent qu'il faut ajouter à 59 pour faire 81, c'est donc la différence entre 81 et 59. On fait 81-59 = 22F pour deux paquets de pâtes. »

- Puis, nous terminons la correction en effectuant les autres étapes consistant à trouver les valeurs des autres objets en faisant intervenir T2.

Il existe d'autres façons de procéder pour effectuer ces autres étapes, que nous exposons éventuellement lors de la correction si un des stagiaire en a employé une.

## Autres méthodes possibles

Voici un exemple d'une autre stratégie possible avec « Les fruits » :

« Entre la première et la deuxième ligne, il y a deux fraises de différences, donc le poids de deux fraises vaut $320-220 = 100$ g (première étape). D'après la seconde ligne, une grappe de raisins et deux fraises pèsent $220g$, donc deux grappes et quatre fraises pèsent $440$ g. Ainsi, trois grappes de raisins et huit fraises pèsent $760$ g. Donc trois grappes de raisins pèsent $760-400 = 360$ g. ».

Cette stratégie met en jeu les théorèmes en acte T2, T3 et T4. Elle permet d'obtenir le poids des trois grappes de raisins sans passer par le poids d'une seule grappe.

Nous n'avons pas insisté en séance sur cette méthode car elle nous paraît plus difficile à comprendre et à mettre en œuvre. Nous nous sommes principalement basés sur une seule méthode générale pour ne pas les perturber avec trop de renseignements et pouvoir analyser plus précisément s'il leur était possible de construire une procédure mettant en jeu T1 et T2.

Il existe aussi la stratégie par essais qui consiste à donner des valeurs aux objets en jeu et à ensuite tester si ces valeurs conviennent et à les ajuster alors.

D'autres méthodes mettent en jeu des variantes des méthodes par raisonnement et par essais : par exemple, supposer que tel objet vaut tant et déduire par le raisonnement quelle serait alors la valeur des autres objets.

Après une analyse théorique concernant la construction de nos problèmes et de nos séances, nous allons analyser les résultats que nous avons recueillis dans la pratique.

<footnote n="17">¹⁷ Une étape consiste à trouver la valeur d'un objet.</footnote>
# CHAPITRE 3

## ANALYSE DES RÉSULTATS
# I. Introduction

L'objet de ce chapitre est d'analyser les données que nous avons recueillies pendant les entretiens individuels et les séances collectives.

Nous proposons tout d'abord de présenter l'analyse du rapport au nombre que nous avons établie à la suite des entretiens passés avec Véronique et Claude.

Puis, nous avons suivi Véronique, Claude et les autres adultes du groupe Math de Base sur des problèmes portant sur le thème des systèmes d'équations. Nous allons dégager ce que nous avons retenu de ces séances, en particulier en ce qui concerne l'influence des représentations et des contextes dans les différentes étapes du problème, ainsi que les compétences et les difficultés des adultes que nous avons notées.

Nous établirons enfin un bilan global sur les deux études que nous avons menées.
## II. Rapport des entretiens individuels

Dans cette partie, nous présentons les comptes-rendus issus des deux entretiens (datant de février et d'avril 2002) passés avec Véronique et Claude. Nous retraçons ensuite leur « histoire de vie » et présentons un bilan de leur rapport au nombre.

### A. Rapport du questionnaire sur les nombres avec Véronique

#### Les nombres

##### La connaissance des nombres : désignations écrites et orales (1er entretien)

Ecrire : 13, 25, 70, 92, 101, 353, 675, 1024, 100 003.

Véronique écrit tous les nombres correctement sauf 100 003. Elle fait plusieurs essais mais ne parvient pas à la forme correcte ; elle ne rajoute pas assez ou trop de zéros.

Lire : 7, 214, 03, 78, 1001, 1111, 372 000.

Véronique lit le nombre 1001 « cent un ».

Elle ne parvient pas à lire 1111. L'effet de répétition du 1 semble provoquer une perturbation.

Cependant, elle lit 372 000. Le zéro n'induit donc pas la même difficulté selon la place qu'il occupe.

> Véronique sait lire et écrire les nombres inférieurs à mille mais n'est pas à l'aise au delà. Elle fait en effet quelques erreurs au niveau syntaxique (en particulier quand le zéro est placé de façon intercalaire au niveau du nombre) et n'automatise pas forcément les propriétés connues au delà de mille (par exemple avec 1111 qui ne comporte pas priori pas de difficulté particulière). En revanche, elle n'a apparemment pas de problèmes au niveau des irrégularités du système français.

##### Structure du système de numération (1er entretien)

Compter une collection d'objets :

Nous éparpillons tout d'abord une cinquantaine de dés de couleurs différentes sur la table et nous demandons à l'adulte de nous dire combien il y en a.

Véronique compte les dés deux par deux. Dans ce cas, c'est l'aspect ordinal de la numération qui entre en jeu dans le processus de comptage chez Véronique.

Ensuite nous disposons une quarantaine de dés de couleurs en deux rangées et nous leur demandons le nombre de dés sur la table.

Véronique utilise la structure de rangement des dés et les compte alors 10 par 10 ; elle passe ainsi à la numération en base 10.

Ainsi, Véronique peut utiliser la structure du système de numération en base 10 pour compter un ensemble d'objets (notamment si la disposition des dés la favorise) mais cette méthode ne s'impose pas d'emblée.
Calcul mental : utiliser la structure du système de numération :

Calculer : (exercice écrit et résolution orale, 1er entretien)

10+20 ; 23+10 ; 10+47 ; 30+7 ; 50+41 ; (écrit)

Dans ces opérations, Véronique ne réfléchit pas et donne le résultat instantanément.

25+25 ; 15+25 ; 45+5 ;

Elle sépare unités et dizaines : « 5 et 5, 10, 20 et 20, 40, 50 ! ».

53+12 ; 23+42 ; 17+21 ; 9+23 ; 38+4 ; 48+12.

Véronique sépare unités et dizaines : « je regroupe par paquets de dix ; 50 et 10, 60, 3 et 2, 5, ça fait 65 ». De plus, elle n'a pas de problème avec les retenues.

Véronique utilise donc clairement le système de numération pour les calculs simples.

Utilisation du système de numération dans des situations plus complexes

« On vous donne 160 F en pièces de 10F, combien vous donne t-on de pièces de 10F ? » (oral, 1er entretien)

Voici un extrait d'entretien (V : Véronique, I : intervenant)

V : « 10F et 10F, 20F...40F. Donc dix pièces de 10F c'est 100F. Euh, c'est combien déjà ? ».

I : « 160F »

V : « attends, attends... ».

Véronique commence à s'embrouiller et reprend son raisonnement depuis le début.

V : « 10 et 10, 20, 20 et 20, 40, dix pièces, ça fait 100... ».

Elle utilise ses doigts et nous répond finalement : « seize pièces de 10F pour faire 160 F ».

« Vous allez au restaurant et vous payez l'addition de 123 €<fnref n="18" />. Combien de billets de 10 € devez-vous donner ? » (oral, 1er entretien)

Nous n'avons même pas besoin de poser la question, Véronique la devine toute seule !

V : « dix billets, ça fait 100 €. J'en donne deux de plus et je donne trois pièces ».

I : « Et si tu n'as que des billets de 10 € ? ».

V : « Alors, j'en donne un de plus »

I : « Combien de billets donnes tu finalement ? »

Après un petit moment, Véronique répond : « j'en donne treize et on me rendra 10-3 = 7, 7 € ! ».

« J'achète douze stylos à 10 F pièce. Combien devrai-je payer ? » (oral, 1er entretien)

Là encore, Véronique ne nous laisse pas le temps de finir notre phrase...

Elle effectue le raisonnement : « un stylo, 10F, deux stylos, 20F, quatre stylos 40F, dix stylos, 100F », recommence deux ou trois fois le même raisonnement et finit par trouver la solution sans intervention de notre part.

<footnote n="18">¹⁸ Ce chiffre peut paraître inadapté ; initialement, nous avions prévu de le mettre en francs mais à la demande des adultes interrogés, nous les avons mis en euros...</footnote>
Analysons tout d'abord la façon dont procède Véronique pour résoudre le premier et le troisième exercice.

Dans l'exercice 1, il s'agit de trouver un nombre d'objets de même valeur (nombre de pièces de 10F) connaissant le prix de l'ensemble de ces objets.

Dans l'exercice 3, il s'agit de trouver le prix d'un nombre déterminé d'objets (douze stylos), connaissant le prix unitaire de chaque objet.

Pour résoudre ces deux exercices, a priori de type différent (l'un est un problème dit de division, l'autre est un problème dit de soustraction), Véronique adopte un comportement similaire : elle compte les objets en établissant une correspondance avec le prix de ceux-ci jusqu'à atteindre une valeur clé (prix ou nombre d'objets à atteindre).

Pour cela, elle utilise les doubles : « 10 et 10, 20, 20 et 20, 40 » (pour l'exercice 1), « un stylo, 10F, deux stylos, 20F, quatre stylos 40F » (pour l'exercice 3). Dans les deux exercices, quand elle prend conscience que quatre objets correspondent à 40F, elle a un déclic et réalise alors que dix objets (stylo ou pièce) à 10F valent 100F. Dans les deux cas, elle se perd à ce moment là et est contrainte à reprendre son raisonnement depuis le début.

Ces situations, en mettant Véronique au centre de l'action, la conduisent à dérouler des stratégies proches de la réalité et de ses activités de calcul quotidiennes. Ainsi, deux problèmes a priori différents peuvent conduire à une même activité et c'est la projection dans l'action qui semble guider celle-ci :

- dans le 1er exercice, elle compte les pièces comme si elle les avait reçues : « 10 et 10, 20... »

- dans le 3ème exercice, elle commence par calculer le prix des douze stylos un par un comme si elle devait les acheter : « un stylo 10F, deux stylos 20F,... »

Le rôle du contexte et la projection dans l'action qu'il provoque est révélé de manière encore plus frappante par le langage utilisé par Véronique lors de la résolution de l'exercice 2 : « je donne », « on me rend ». Dans cette situation, Véronique s' imagine en train de payer et effectue de manière automatique le passage « 10 billets de 10 € font 100 € ». Est-ce la résolution de l'exercice précédent qui a favorisée cette prise de conscience directe ? Ce ne serait en tout cas pas la raison essentielle car dans le troisième exercice effectué ensuite, ce passage n'est pas immédiat. Nous pensons que cette raison essentielle est le lien très étroit qu'elle a fait entre la situation proposée et son activité de payer dans la vie courante.

> Pour résoudre ces exercices, Véronique ne fait pas de liens avec la structure de notre système de numération (extraire les dizaines d'un nombre à centaine, associer x dizaines au nombre qui s'écrit « x0 »). Elle déploie des stratégies qui traduisent une projection dans l'action, propre à chaque exercice. Les difficultés observées relèvent plus des mises en situations que suggèrent ces exercices que de leur aspect mathématique.

## Relations entre les nombres

### Comparer :

Quel est le plus grand nombre des deux : 7 et 48 ; 16 et 21 ; 82 et 78 ; 1003 et 3000 ; 1114 et 2110 ; 1 403 749 et 800 479 ; (écrit, 1er entretien)

Quand elle aperçoit la première comparaison « 7 et 48 », elle rigole : « quand même, c'est trop facile ».

Nous lui demandons de lire les nombres et de les comparer.
Seule la dernière série lui pose des problèmes (les nombres contiennent trop de chiffres).

> La règle selon laquelle les nombres les plus grands sont les nombres qui contiennent le plus de chiffres n'est pas généralisée aux « grands » nombres. Comme dans le cas de l'écriture ou de la lecture des nombres, certaines règles restent locales.

## Ordre et connaissance symbolique du nombre

### Compter de 10 en 10 en partant de 2. (oral, 1er entretien)

V : « 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 12 ! »

I : « et ensuite ? »

V : « 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 22 ! », « ah oui et ensuite, c'est 32, 42, 52, ... ».

Pour Véronique, compter de dix en dix n'est pas équivalent à rajouter une dizaine. Quand il s'agit d'effectuer l'opération 10+2, Véronique trouve instantanément la solution. En revanche, compter de dix en dix fait intervenir l'aspect ordinal, plus dynamique, de la numération : elle compte avec ses doigts et répète le nombre correspondant au résultat. Cette réaction est aussi observée chez les enfants (Vergnaud, 1981).

Au bout de deux coups, elle automatise ses réponses : effectue t-elle l'équivalence entre les deux gestes mentaux (compter de dix en dix et ajouter 10) ou déduit-elle simplement la suite par induction logique ?

### Compter de 5 en 5 en partant de 3. (oral, 1er entretien)

Véronique ne perçoit pas la logique de la suite « 3, 8, 13, 18, 23,... » et compte à chaque étape. Son temps de calcul est en effet trop lent pour repérer l'alternance de la suite et le fait que l'on rajoute dix tous les deux coups. Le caractère oral de cet exercice ne favorise pas non plus la distinction des propriétés de la suite.

### Compter à reculons de 2 en 2 en partant de 18. (oral, 1er entretien)

Véronique n'a pas de difficultés et automatise ses réponses au bout de quelques étapes.

> Ce type de comptage projette Véronique dans la dynamique, c'est-à-dire dans l'action de compter. Elle montre en outre dans ces exercices une assez bonne connaissance du nombre du point de vue de l'ordre. Dans ce cadre, elle a néanmoins plus de difficultés à faire intervenir les propriétés de la numération.

## Décomposition arithmétique :

### « Trouvez quatre nombres qui se terminent par 5 pour faire 60 » (oral, 1er entretien)

Véronique trouve rapidement : « 60 divisé par 5, ça fait, euh, attends, 15, c'est 15, 15, 15 et 15 ! ».

Véronique fait une relation avec la division. A cette date, Véronique commence à apprendre les divisions (algorithme et sens) et nous supposons qu'elle cherche à l'utiliser.
## « Faites 40 avec trois nombres se trouvant dans la bulle » (écrit, 1er entretien)

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Véronique commence à fatiguer... Elle cherche mais a des difficultés ; « je ne me rappelle plus ». Nous l'encourageons à chercher davantage et elle trouve finalement une solution : (12, 14, 14).

## « Faites 41 avec deux nombres se trouvant dans la bulle » (écrit, 1er entretien)

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Véronique à la même réaction de fatigue. Elle cherche mais ne trouve pas. Nous l'aidons pour ne pas la mettre en échec pendant trop longtemps en lui montrant le nombre 26. Elle essaie alors d'y ajouter le nombre 15 : « 26 et 15, 20 et 10, 30 et 5 et 6, 11, ça fait 41. On fait des paquets de 10 ».

## « Faites 53 avec 2, 3, 4 nombres se trouvant dans la bulle » (écrit, 1er entretien)

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Véronique en a assez... Nous arrêtons ce style d'exercice.

Ces exercices ont été difficiles pour Véronique car elle n'a pas su établir de stratégie de résolution. La quantité de nombres en jeu et la disposition des nombres en vrac ont sans doute contribué à un sentiment de trop grand choix et de hasard, qui accroît l'impression de fatigue.
« Vous vous achetez une radio à 49 €. Combien de pièces de 10 €, de 5 €, de 2 € allez vous donner ? » (oral, 2ème entretien)

Pour cet exercice, Véronique reste très pragmatique : « il n'y a pas de pièces de 10 €, c'est des billets » ce qui est étonnant car elle prête souvent beaucoup moins d'importance au rapport à la réalité dans les exercices de mathématiques en général. Quand il s'agit d'argent, Véronique est plus vigilante !

V : « 2 ça fait 20, 4 ça fait 40. Ok, donc je vais lui donner quatre billets de 10 €, ..., un billet de 5 € et, les pièces de 4 € ça n'existe pas, euh, ..., deux pièces de 2 € ».

Véronique utilise une fois de plus la technique des doubles pour calculer. La numération est portée implicitement par l'habitude de payer ; quand on achète un objet à 49 €, on sait (du moins les personnes qui manipulent l'argent) que l'on doit donner quatre billets de 10 € et des pièces pour faire 9 €. Le rapport au réel a de plus une grande importance quand il s'agit d'argent chez Véronique.

« Nous sommes maintenant dans un pays imaginaire où les pièces de 6 € et de 7 € existent. Vous devez donner 33 €. Combien de pièces de 6 € et de 7 € allez vous donner ? » (oral, 2ème entretien)

Elle commence par calculer la valeur de quatre pièces de 7 € puis de cinq pièces. Elle constate que cinq pièces est « trop grand » et revient sur ses quatre pièces. Puis, elle s'aperçoit qu'elle ne peut pas faire l'appoint avec des pièces de 6 €. Elle reste dubitative pendant quelques instants et calcule la valeur de 3 pièces de 7 €. Elle trouve ensuite le résultat rapidement.

Véronique n'a pas de difficultés quand il s'agit de décomposer des nombres avec des nombres référents, mais en a plus quand les décompositions sont très ouvertes. Cependant, en jouant sur le contexte de l'argent, nous avons pu constater que Véronique est capable de décomposer un nombre avec d'autres nombres spécifiés : dans une situation où elle peut utiliser son habitude de compter et dans une autre a priori moins évidente (sans référence réel avec notre quotidien et ne permettant pas l'utilisation de la base 10) mais où elle déploie alors une recherche organisée.

## Le Calcul

### Le calcul mental : utiliser les connaissances structurelles des nombres

Combien font ? (écrit, 2ème entretien)

3+3+3+3+3;

V : « 6, 12, 13, 14, 15 »

Véronique utilise les doubles et termine son calcul avec ses doigts.

258+242;

Véronique a des difficultés pour calculer de tête cette addition. Contrairement à Claude, elle ne pose pas l'addition dans sa tête.

Dans son premier essai, elle commence par ajouter les centaines : « 400, 450, ... » et se perd. Dans son second essai, elle effectue un jeu d'aller-retour entre les deux nombres : elle
commence par additionner les unités, puis les centaines et se trompe dans l'ajout des dizaines : « 260, 460, 464 ! ».

Elle ne parvient pas à obtenir le résultat.

$21+33+54;$

Elle réussit cette opération sans difficultés : « 54 et 54, 108 », en se ramenant à un doublement.

$1030+3140;$

Elle n'a pas de difficultés pour cette opération non plus et effectue un jeu d'aller-retour entre les deux nombres : « 3000 et 1000, 4000, 4100, 4140, 4150, 4160, 4170 ». Nous pouvons noter le dernier ajout effectué via un comptage de 10 en 10 et non par addition.

$12+17+31+43+28;$

Elle utilise le calcul réfléchi (cf. chapitre 1, page 18) pour effectuer cette dernière opération : « 28 et 12, 40, 57, et 31, 68 et 3, 81...non 71, 80, 90, 100,110, 101 ! ».

Il semble qu'il y ait trop d'étapes de calcul, Véronique fait une erreur dans l'addition des dizaines : « 57 et 31, 68 » et fait une erreur de type syntaxique à la fin de son calcul : « 110, 101 » au lieu de « 110, 111 ».

« Vous invitez votre famille au restaurant ; le garçon apporte l'addition. Vous vérifiez la note car le prix vous paraît suspect. Bien sûr, vous n'avez pas de stylo et devez compter de tête...» (écrit, 1er entretien)

43

43

30

12

---

134 F

Véronique procède par étapes ; elle commence par calculer la somme des deux premiers nombres, puis ajoute les autres successivement : « 40 et 40, 80. 3 et 3, 6. Ça fait 86 et 30, euh, 80 et 30, ça fait 110, et 6, 116. ». A ce stade, elle ne sait plus où elle en est.

Elle reprend tout depuis le début et rebloque au même endroit. Il y a probablement trop d'étapes. Nous l'aidons en lui expliquant ce qu'elle a calculé. Elle termine en faisant tout d'abord une erreur de calcul qu'elle rectifie du fait de notre intervention et calcule immédiatement la différence entre les deux prix.

Malgré la disposition des nombres en colonne, Véronique n'utilise pas l'algorithme de l'addition pour calculer la note du restaurant.

Pour calculer, Véronique utilise la structure de numération et arithmétique du nombre : calculer par centaines, dizaines, unités et repérer les doubles ainsi que les nombres qui « s'emboîtent » (dont la somme des unités vaut 10). Sa méthode est variable et sa capacité à calculer mentalement est encore assez limitée : elle dépend du nombre d'opérations, des nombres en jeu et de la présence ou non de retenue.
## Problèmes « de soustraction » suivant les différentes catégories de problèmes

> « Vous avez 35 € en poche. Pour l'anniversaire de votre fils, vous achetez un tee shirt à 25 €. Combien vous reste-il ? » (oral, 1er entretien)

Sa première réaction est de poser la soustraction 35-25. Elle trouve ainsi le résultat.

> « Nous décidons de partager nos économies. Vous avez mis 22 €. A nous deux, nous avons 45 €. Combien ai-je mis dans la cagnotte ? » (oral, 1er entretien)

Nous demandons à Véronique de faire les calculs de tête.

Elle s'approprie le problème et résout : « 22 pour aller à 45. Je fais 40-20, 20 et 5-2, 3. Ça fait 23 €. Il faut faire des paquets de 10 comme dit Jean Pierre. C'est facile quand on fait des paquets de 10. »

Véronique utilise une procédure de 3ème niveau ; elle associe au geste mental « x pour aller à y » l'opération de soustraction qu'elle effectue dans sa tête en utilisant la structure de numération (elle soustrait d'abord les dizaines puis les unités).

> « Vous en avez marre d'arriver en retard et vous décidez donc de vous acheter une montre. Vous hésitez entre une montre à 70 € et une autre à 96 €. La dernière montre coûte combien de plus que la première ? (oral, 1er entretien)

Pour cet exercice, Véronique a plus de difficultés. Elle trouve « 16 € » au début et fatigue. Elle trouve finalement, après encouragement.

Nous lui reposons le même exercice dans un contexte différent lors du second entretien de façon à saisir la procédure qu'elle utilise :

> « Vous décidez de vous acheter une belle robe. Vous en avez repéré deux ; la première coûte 70 € et la seconde 96 €. La dernière coûte combien de plus ? » (oral, 2ème entretien)

Elle commence par écrire les deux valeurs et demande la question. Elle prend du temps pour réfléchir puis pose la soustraction et trouve la solution.

Véronique utilise encore une procédure de 3ème niveau mais pose l'opération et ne met pas à profit la structure de numération pour effectuer le calcul de tête.

> Véronique parvient à résoudre les différentes catégories de problèmes en utilisant l'opération de soustraction (3ème niveau) et en calculant soit de tête, soit en posant la soustraction.

## Niveaux des procédures

### Recherche de la valeur d'un ajout

> « Vous avez 24 € en poche. Vous allez à la banque, au marché,..., et vous revenez finalement chez vous avec 66 €. Combien avez vous en plus à la fin de la journée ? » (oral, 2ème entretien)

Véronique a des difficultés à s'approprier le problème. Elle comprend la situation mais ne voit pas directement de stratégie. Elle commence par calculer avec ses doigts : « 25, 26, 27,...31 » et perd le fil des comptes. Elle s'embrouille et prend conscience qu'il sera difficile d'aller jusqu'à 66 avec ses doigts. Nous lui répétons le problème en insistant sur le « plus » dans la question. Nous lui inscrivons les données. Puis elle nous demande : « Je peux faire 66 moins 24 ? ». Nous lui indiquons qu'elle peut utiliser la méthode qu'elle désire. Finalement, elle pose la soustraction et trouve le résultat.
A la vue de cet exercice et des trois exercices précédents, il semble que Véronique soit très proche du 3ème niveau de résolution pour les problèmes dits de soustraction.

## Problème de groupement réitéré

« Nous avons 235 paquets de gâteaux. On veut faire des lots de 4 paquets avec ces gâteaux. Combien de lots peut-on former ? Y aura t-il des paquets de gâteaux en rabe ? » (oral, 2ème entretien)

Cet exercice est posé durant le second entretien ; ils ont passé deux à trois mois en Math de base où ils ont appris les algorithmes des quatre opérations et le sens de celles-ci.

Véronique utilise une procédure de 2ème niveau pour résoudre cet exercice : elle utilise cependant une technique très mathématique.

Elle commence par écrire le nombre de lots et le nombre de paquets associés : « 1 = 4, 2 = 8, 3 = 12, 4 = 16, 5 = 20 ». Ensuite elle combine ses résultats pour obtenir des valeurs plus grandes : « si je fais 5 lots, ça fait 20. 20 plus 20 égale 40. Donc 10 lots ça fait 40. 20 lots ça fait 80. 40 lots, c'est 80 et 80,160. Il faut faire 200 ». Elle cherche ensuite le nombre de lots pour faire 200 paquets de gâteaux, fait une petite erreur (au niveau des correspondances entre lots et paquets de gâteaux) et finalement trouve que 50 lots font 200 paquets. Ensuite elle affirme : « il me reste 35 » et trouve le nombre de paquets correspondants. Nous l'aidons au niveau du reste.

Nous lui posons ensuite le problème : « vous devez partager 235 F entre quatre personnes. Combien vont-elles recevoir chacune ? » (oral, 2ème entretien)

Véronique pose la division et après notre accord utilise sa calculette.

Véronique utilise une procédure de résolution de 2ème niveau très intéressante pour résoudre le premier problème. Elle fait preuve de beaucoup de rigueur et de logique lors de la résolution de celui-ci et met en œuvre ses techniques usuelles de calcul comme l'utilisation de doubles, et la recherche du nombre de lots associé à un nombre de référence (200).

Sa procédure est donc similaire à celle utilisée dans des exercices précédents (voir page 83) : elle établit une correspondance entre le nombre de lots et le nombres de gâteaux associés, en partant du « début » (c'est-à-dire de un lot) jusqu'à atteindre une valeur clé.

Véronique a donc mis en place une procédure très organisée (mettant en jeu l'utilisation des doubles) pour résoudre une partie des problèmes dits de division, cette stratégie ne dépendant apparemment pas des contextes des problèmes. Le deuxième exercice montre qu'elle commence à associer un sens à la division.

## Conclusion

### Une histoire de vie

Véronique est sénégalaise, mariée à un français, chimiste, et n'a pas d'enfants pour le moment. Elle parle français correctement et apprend à lire et à écrire depuis septembre 2001.

Véronique vient d'un petit village du Sénégal dans la région de Siné-Saloum. Elle appartient à la tribu des Sérères : « *Par ordre d'importance, le deuxième groupe ethnique du Sénégal et de Gambie est constitué par les Sérères, à la peau très noire, qui sont concentrés* »