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# Développement des fractures géologiques sous l'effet de la contrainte lithostatique

David Picard, Dominique Leguillon, Claude Putot

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David Picard, Dominique Leguillon, Claude Putot. Développement des fractures géologiques sous l'effet de la contrainte lithostatique. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01813066

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# Développement des fractures géologiques sous l'effet de la contrainte lithostatique

David Picard*,** — Dominique Leguillon** — Claude Putot*

*Institut Français du Pétrole, Direction Mécanique Appliquée.
1 et 4 avenue de Bois-Préau, 92852 Cedex France

**Laboratoire de Modélisation en Mécanique, CNRS UMR 7607. France.
Université Paris VI, tour 55, 4 place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05 France

**RÉSUMÉ.** En géologie pétrolière, il est important, notamment pour caractériser les écoulements de fluide en cours de production, de connaître les mécanismes ayant conduit à des réservoirs naturellement fracturés. La présence de zones de fracturation intense comme les couloirs de fracturation, par exemple, risque d'avoir un effet très surprenant sur la production ou l'étanchéité des couvertures. En outre, dans les zones stratifiées, alternant bancs et interbancs, la présence de diaclases majeures (persistantes) peut aussi constituer un chemin privilégié à l'écoulement du fluide. L'optimisation de la production pétrolière nécessite une meilleure caractérisation des réservoirs fracturés.

Cet objectif passe en fait par la résolution de questions importantes :

Quels sont les éléments déterminant la continuité d'une diaclase à travers la stratification, son degré de "persistance" ? Comment une diaclase ordinaire (limitée à un banc) devient-elle une diaclase majeure – traversant une bonne partie de la formation ?

Comment expliquer le développement vertical des couloirs de fracturation dont l'extension semble ignorer les alternances lithologiques ?

**ABSTRACT.** In petroleum geology, it is important to understand the factors that contribute to the success of oil recovery. In particular, describing mechanisms leading to naturally fractured reservoirs is proved to be essential. As a matter of fact, a high density of fractures such as fracture swarms may have an impact on the production or the caprock integrity where the loss of fluid through barrier formations has to be reduced to a minimum. Moreover, the connectivity of the joint network at mechanical interbedding in reservoirs might be determinant. The optimisation of the oil production requires a better characterisation of naturally fractured reservoirs.

We consider systematic joint arranged in a homogeneous way; joint spacing is linked to individual bedding thickness with propagation frequently interrupted by stratigraphic interfaces.

**MOTS-CLÉS :** Rupture fragile, couches sédimentaires, diaclases, couloirs de fracturation, approches asymptotique et numérique.

**KEYWORDS:** Brittle fracture, bedded sedimentary rock, joints, fracture swarms, asymptotic and numerical methods.
# 1. Introduction

En excluant les failles, discontinuités jouant plutôt en cisaillement, on peut trouver différents types de fractures dans les alternances lithologiques :

des diaclases : fissures simples traversant les bancs (Fig 1).

des couloirs de fracturation : zone d'intensification de la densité de fractures parallèles (Fig 2).

La propagation des fissures dans leur plan est généralement expliquée par un chargement orthogonal, traction au loin s'exerçant horizontalement, sollicitant la fissure en mode d'ouverture (mode I). La fracturation naturelle des couches géologiques nous incite à reconsidérer ce type de chargement.

En effet, on constate que le mode I, traction effective au loin résultant d'une pression de pore anormale s'opposant à la pression latérale des terrains, ne peut pas être le seul facteur responsable de l'activation et la propagation des fissures. Nous montrons dans cette étude, que la contrainte lithostatique, résultant du poids des terrains, peut également engendrer une fissuration verticale.

Une analyse est effectuée par développements asymptotiques à l'aide d'une approche à deux échelles, l'épaisseur *e* des interbancs dans le cas des diaclases et l'épaisseur *c* du couloir dans l'autre cas jouant le rôle de petit paramètre. Les mécanismes d'amorçage sont étudiés au moyen d'un critère de rupture incrémental assurant la validation simultanée d'un critère en contrainte et d'un critère en énergie

$$ 
\sigma \geq \sigma_c, G \geq G_c.
$$

Une meilleure compréhension de la propagation de ces fractures est nécessaire pour
mieux appréhender les circulations de fluide qui peuvent suivant les cas améliorer
ou pénaliser les conditions de récupération du pétrole.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 1.** Réseau de diaclases verticales</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 2. Couloir de fracturation</figcaption></figure>
## 2. Les diaclases

L'affleurement (Fig 1) présente un empilement de couches gréseuses intercalées par des interbancs argileux (bandes noires). Un examen attentif révèle trois types de comportements de la fissure au passage de l'interbanc argileux.

La fissure s'arrête dès qu'elle entre en contact avec l'interbanc argileux.

La fissure traverse l'interbanc argileux.

La fissure s'arrête à l'interbanc et s'amorce dans le grès supérieur avec un décalage de l'ordre de l'épaisseur de l'interbanc. On appelle Step-over cette propagation discontinue.

L'objectif est de déterminer le mécanisme de fissuration pertinent pour une géométrie donnée, à caractéristiques de comportement fixées - à la fois élastiques (module d'Young, coefficient de Poisson) et à la rupture (ténacité, contrainte à rupture) - et pour le chargement supposé.

Antérieurement à tout mécanisme d'amorçage de la fissure principale lorsque celle-ci se retrouve en contact avec l'interbanc, le problème se ramène à la résolution d'un problème d'élasticité posé sur $\Omega^e$ (Fig 3). Le chargement est bidimensionnel avec une contrainte verticale effective prépondérante $T$ due aux poids des sédiments, une contrainte horizontale $\sigma_t$ effective, d'évaluation plus incertaine, variant notablement selon la pression interstitielle. Le champ de déplacement $\underline{U}^e$ solution de ce problème doit vérifier à l'équilibre le système d'équations habituel (relation d'équilibre, loi de comportement élastique, relation de compatibilité et conditions limites). Prendre en compte simultanément la petitesse relative de l'intercalation

argileuse, traduite par le rapport $\frac{e}{a}$, et la singularité de la fissure ne sont pas chose

aisée. Afin de simplifier la résolution du problème réel posé sur $\Omega^e$, on le scinde en deux problèmes communément appelés extérieur et intérieur (Fig 3).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 3. Schémas des domaines extérieur ($\Omega^{ext}$) et intérieur ($\Omega^{in}$)</figcaption></figure>
## 2.1. Le problème extérieur (domaine extérieur : $\Omega^{\text{ext}}$)

Le problème extérieur ignore l'interbanc d'épaisseur *e* et considère une séparation immatérielle (*e* tendant vers 0). Le problème à résoudre se ramène à l'étude d'une fissure, de longueur *a*, dans un milieu homogène. La solution du problème extérieur posé sur $\Omega^{\text{ext}}$, reflet de la solution du problème réel pour un observateur lointain où l'interbanc argileux n'apparaît pas, constitue une approximation satisfaisante de $\underline{U}^e$ dès qu'on s'éloigne de l'interbanc d'où sa désignation d'extérieur.

La solution en déplacement de ce problème, au voisinage de la pointe de fissure, est connue sous le nom de développement en série de Williams (1956).

Se réduisant au cas d'un chargement n'entraînant qu'un mode d'ouverture, le développement dit extérieur s'écrit :

$$ \underline{U}^e(x_1, x_2) = \underline{U}^e(r, \theta) = \underline{U}(0) + K_I \sqrt{r} \underline{u}_I(\theta) + \text{Trt}(\theta) + \dots $$

* $\underline{U}(0)$ champ de déplacement de corps rigide lié à la translation de corps rigide

* $\underline{u}_I(\theta)$ champ de déplacement lié au mode d'ouverture de la fissure

* $\underline{u}_I(\theta)$ champ de déplacement lié au mode d'ouverture de la fissure

* $\underline{t}(\theta)$ champ de déplacement lié à la compression verticale

* $K_I$ facteur d'intensité de contrainte relatif au mode d'ouverture de la fissure

* $T$ compression verticale (appelée aussi contrainte non singulière)

Cette information est incomplète, en particulier quand on s'intéresse à des mécanismes de rupture d'où la nécessité d'une description plus fine donnant le problème intérieur, véritable loupe du problème réel au voisinage direct de l'interbanc.

## 2.2. Le problème intérieur (domaine intérieur : $\Omega^{\text{in}}$)

Le problème intérieur (Fig 3), dilatation du problème réel, s'obtient en multipliant les longueurs et les déplacements par $1/e$ et en faisant tendre $e$ vers 0. On obtient alors un domaine non borné $\Omega^{\text{in}}$ dans lequel l'épaisseur de l'interbanc est dilatée à 1 et la fissure de longueur infinie. On cherche alors une autre représentation de la solution sous la forme d'un développement dit intérieur (en champ proche). La résolution de celui-ci, s'effectue dans le plan $(0, y_1, y_2)$ homothétique de $(0, x_1, x_2)$.

On postule que le champ de déplacement s'écrit sous la forme suivante (développement intérieur avec $\lim (F_{i+1}(e)/F_i(e)) \to 0$ lorsque $r \to 0$) :

$$ \underline{U}^e(x_1, x_2) = \underline{U}^e(ey_1, ey_2) = F_0(e)\underline{V}^0(y_1, y_2) + F_1(e)\underline{V}^1(y_1, y_2) + F_2(e)\underline{V}^2(y_1, y_2) + \dots $$
## 2.3. Le raccordement

Le comportement du développement extérieur en approchant de l'origine 0 doit coïncider avec le comportement du développement intérieur en s'éloignant de l'origine. En d'autres termes, il doit exister une zone intermédiaire (proche de l'origine dans le champ lointain et lointaine dans le champ proche) où les deux développements sont équivalents. Une identification terme à terme, ordonnée par les puissances de $e$ entre le développement extérieur et intérieur conduit à :

$$F_0(e) = 1 \qquad \underline{V}^0(y_1, y_2) = \underline{U}(0) = cte$$

$$F_1(e) = K_I \sqrt{e} \qquad \underline{V}^1(y_1, y_2) \approx \sqrt{\rho \underline{u}_I}(\theta)$$

$$F_2(e) = Te \qquad \underline{V}^2(y_1, y_2) \approx \rho_t(\theta)$$

En définitive, on obtient les champs de déplacement et de contrainte résultants :

$$\underline{U}^e(x_1, x_2) = \underline{V}^0 + K_I \sqrt{e} \underline{V}^1(y_1, y_2) + Te \underline{V}^2(y_1, y_2) + \dots$$

$$\underline{\sigma}^e(x_1, x_2) = \frac{K_I}{\sqrt{e}} \underline{\tilde{\sigma}}_y(\underline{V}^1(y_1, y_2)) + T \underline{\tilde{\sigma}}_y(\underline{V}^2(y_1, y_2)) + \dots$$

En somme, le problème se ramène à la résolution de deux problèmes d'élasticité indépendants permettant de déduire les champs de déplacement $\underline{V}^1(y_1, y_2)$ et $\underline{V}^2(y_1, y_2)$, et les champs de contraintes associés $\underline{\tilde{\sigma}}_y(\underline{V}^1(y_1, y_2))$ et $\underline{\tilde{\sigma}}_y(\underline{V}^2(y_1, y_2))$, respectivement induits par le chargement ``singulier'' $K_I$ du premier ordre et le chargement $T$ résultant d'un effet ``structure'' du second ordre activant également la pointe de fissure.

La résolution numérique s'effectue en traçant une frontière fictive $\Gamma_\infty$ au domaine $\Omega^\text{in}$, sur laquelle on impose les conditions de Dirichlet :

$$\underline{V}^1(y_1, y_2) = \sqrt{\rho \underline{u}_I}(\theta) \text{ et } \underline{V}^2(y_1, y_2) = \rho_t(\theta) \text{ sur } \Gamma_\infty$$

Dans la modélisation, le rayon intérieur choisi est suffisamment grand pour être considéré comme très loin de la pointe de fissure ($\rho=100$).

Les champs $\underline{V}^i$ et $\underline{\tilde{\sigma}}_y(\underline{V}^i)$ dépendent uniquement des propriétés matériaux de l'argile et du grès (module d'Young $E$ et coefficient de Poisson $\nu$). Le chargement n'intervient que par l'intermédiaire des coefficients $K_I$ et $T$ apparaissant dans l'expression du champ de contrainte réel.

## 2.4. Détermination des domaines de rupture

Le critère en énergie repose sur le principe de la conservation de l'énergie entre un état initial en équilibre et un état ultérieur incluant dans sa géométrie une nouvelle fissure ou l'accroissement d'une fissure préexistante.
$$\delta W_p + \delta W_k + G_c l = 0$$

$\delta W_p$ et $\delta W_k$ correspondent aux variations de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique. La longueur de la fissure nouvellement créée est notée $l$ et $G_c$ est la ténacité. La variation d'énergie potentielle entre la situation initiale et la situation perturbée, avec apparition d'un incrément de fissure (longueur finie non infinitésimale) de longueur $l$ dans le problème extérieur, respectivement $\mu$ dans le problème intérieur ($\mu = \lambda/e$) s'écrit :

$$- \delta W_p = K_l^2 e[\kappa(\mu) - \kappa(0)] + T^2 e^2[\chi(\mu) - \chi(0)] + K_l T e^{3/2}[\varepsilon(\mu) - \varepsilon(0)]$$
$$\kappa(\mu), \chi(\mu) \text{ et } \varepsilon(\mu) \text{ sont respectivement les contributions énergétiques liées à } \underline{V}^1, \underline{V}^2 \text{ et au couplage de } \underline{V}^1 \text{ et } \underline{V}^2.$$

Supposant la configuration de départ statique, nécessairement $\delta W_k \ge 0$ (l'énergie cinétique ne peut que s'accroître), une **condition nécessaire de rupture** peut être

$$\text{déduite de la relation suivante, qui a un caractère incrémental : } -\frac{\delta W_p}{l} \geq G_c$$

$G$, appelé ici taux de restitution d'énergie incrémental, généralise le taux de restitution d'énergie classique (Griffith) dont la forme infinitésimale, plus restrictive, peut parfois conduire à certaines contradictions.

$$G = -\frac{\delta W_p}{\mu e} = K_l^2 \left[ \frac{\kappa(\mu) - \kappa(0)}{\mu} + m \frac{\varepsilon(\mu) - \varepsilon(0)}{\mu} + m^2 \frac{\chi(\mu) - \chi(0)}{\mu} \right] \quad [1]$$

$$\text{avec } m = \frac{T\sqrt{e}}{K_l} = \frac{T\sqrt{e}}{5\sigma_t\sqrt{a}}$$

Le critère en contrainte s'appuie sur l'existence d'une traction critique $\sigma_c$ qu'un matériau peut supporter avant de se rompre ($\sigma \ge \sigma_c$). Cette condition constitue une seconde **condition nécessaire de rupture** :

$$\underline{\underline{\sigma}}^e(x_1, x_2) = \frac{K_l}{\sqrt{e}} \tilde{\underline{\underline{\sigma}}}_y(\underline{\underline{V}}^1(y_1, y_2)) + T \tilde{\underline{\underline{\sigma}}}_y(\underline{\underline{V}}^2(y_1, y_2)) + \dots \geq \sigma_c \quad [2]$$

La validation simultanée des deux critères de rupture ($G = G_c$, $\sigma = \sigma_c$) permet de déterminer la longueur incrémentale d'amorçage de la fissure pour un chargement et une géométrie donnés à caractéristique matériau fixée. Il est alors possible d'exprimer les résultats sous la forme de cartes de mécanisme de rupture dans un graphique ($\sigma_t$, $T$) où apparaissent les zones d'activation du Step-over, de la pénétration et de l'arrêt (Fig 4).

Les courbes, exprimées en fonction de $\sigma_t$ et $T$, vérifient simultanément les deux critères et délimitent les zones Step-over, pénétration et arrêt. Dans les zones de
recouvrement, c'est le critère qui provoque la plus grande décroissance de l'énergie potentielle qui l'emporte (critère de Lawn).

Dans tous les cas, le mode I induit par une traction effective (donc positive), composante singulière, facilite les mécanismes de rupture. En revanche le rôle de la composante structure T, résultant du poids des terrains, évolue en fonction du contraste matériaux (banc/interbanc) considéré.

Vis-à-vis de T, pour un interbanc argileux plus souple que le grès adjacent, le Step-over est facilité et la pénétration contrariée. Au contraire, dans le cas d'un interbanc argileux plus raide que le grès encaissant, la pénétration est facilitée aux dépens du Step-over.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 4. Carte des mécanismes</figcaption></figure>

Pour un contraste de module d'Young donné, la méthode d'analyse permet de faire les calculs numériques une et une seule fois. Le chargement et la géométrie interviennent en tant que paramètres dans les expressions analytiques ([1], [2]).

### 3. Les couloirs de fracturation

Les couloirs de fracturation apparaissent comme une zone d'intensification de la densité de fractures parallèles; pour les besoins de l'analyse on l'assimile à une zone de largeur finie (Fig 5).

La propagation verticale des couloirs nécessite d'envisager deux types de configuration. Dans un cas, les fissures constituant la zone couloir peuvent être très proches les unes des autres mais bien individualisées. Dans l'autre cas, l'état de fracturation à l'intérieur du couloir est suffisamment intense pour être considéré comme une zone endommagée. Dans les deux situations, la zone de fracturation a une certaine largeur, la longueur étant fréquemment indéterminée.

Dans le cas des fissures distinctes, le mode I peut activer une fissure parmi les autres dont la propagation éventuelle neutralise l'amorçage des fissures voisines.
La compression T est parallèle à l'axe des fissures. Par conséquent, T ne génère
aucune intensification des contraintes en pointe de fissure. Tout amorçage est exclu.
Le couloir apparenté à une zone endommagée apparaît comme une sorte de "large"
fissure émoussée. C'est l'épaisseur c du couloir qui joue maintenant le rôle de petit
paramètre vis-à-vis de la structure étudiée. L'existence des interbancs est pour le
moment négligée.

A l'instar de l'étude précédente, le raccordement entre le développement extérieur et
intérieur (Fig 5) conduit à :

$$
\underline{U}^c(x_1, x_2) = \underline{V}^0 + K_I \sqrt{c} \underline{V}^1(y_1, y_2) + T_c \underline{V}^2(y_1, y_2) + \dots
$$

Avec $\underline{V}^0 = \underline{U}(0)$ (translation de corps rigide). $\underline{V}^1$ et $\underline{V}^2$ sont solutions d'un
problème d'élasticité bien posé avec les conditions limites suivantes :

$$
\bar{\sigma}_{ij} (\underline{V}^1(y_1, y_2)) h_j = 0 \text{ sur } \Gamma_c
$$

$$
\underline{V}^1(y_1, y_2) \approx \sqrt{\rho \underline{u}_I(\theta)} |y| \to \infty
$$

$$
\bar{\sigma}_{ij} (\underline{V}^2(y_1, y_2)) h_j = 0 \text{ sur } \Gamma_c
$$

$$
\underline{V}^2(y_1, y_2) \approx \rho_t(\theta) |y| \to \infty
$$

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 5. Schémas des domaines extérieur $\Omega^{\text{ext}}$ et intérieur $\Omega^{\text{in}}$</figcaption></figure>

Concernant le problème en $\underline{V}^1$ la résolution numérique s'effectue en imposant une
frontière fictive $\Gamma_\infty$ au domaine $\Omega^{\text{in}}$, sur laquelle on impose la condition de Dirichlet
: $\underline{V}^1(y_1, y_2) = \sqrt{\rho \underline{u}_I(\theta)}$.
Cependant, afin d'assurer la condition en effort sur $\Gamma_c$ et satisfaire la condition à l'infini, le champ de déplacement $\underline{V}^2$ se décompose en un champ de déplacement issue d'une force, du type Flamand-Boussinesq, assurant une résultante des efforts nulle sur $\Gamma_c$. La force induite est moteur de la propagation. L'autre contribution assure la condition à l'infini.

En somme, le champ de déplacement $\underline{V}^2$ s'écrit :

$$ \underline{V}^2(y_1, y_2) = X(\log \rho e_2 + \underline{v}^2(\theta)) + \hat{\underline{V}}^2(y_1, y_2) $$

$$ \text{avec : } \hat{\underline{V}}^2(y_1, y_2) \approx 0 \quad |y| \to \infty $$

$$ \underbrace{\int_{\Gamma_c} \tilde{\sigma}_{ij} (\hat{\underline{V}}^2(y_1, y_2)) n_j ds}_{\to 0} + \underbrace{\int_{\Gamma_c} \tilde{\sigma}_{ij} (X(\log \rho e_2 + \underline{v}^2(\theta))) n_j ds}_{\to 0} + \int_{\Gamma_c} \tilde{\sigma}_{ij} (\rho t(\theta)) n_j ds = 0 $$

Au final :

$$ \underline{U}^c(c y_1, c y_2) = \underline{U}(0) + K_I \sqrt{c} \underline{V}^1(y_1, y_2) + T_c \left[ X(\log \rho e_2 + \underline{v}^2(\theta)) + \hat{\underline{V}}^2(y_1, y_2) \right] + \dots $$

### 3.1. Propagation du couloir

Dans ce cas, sous réserve de la validation du critère en énergie, une condition de propagation se substitue à la condition d'amorçage. Une fois réalisée, cette condition conduit à un mécanisme auto-entretenu. Cependant, contrairement au cas d'une fissure classique ("fine"), la condition de propagation dépend d'une ténacité apparente $G_c^{app}$ issue d'une force $H_c$, fonction de l'endommagement de la zone couloir. $G_c^{app} = H_c c$.

La variation d'énergie entre la situation initiale et la situation perturbée conduit à :

$$ - \delta W_p = K_I^2 c [\kappa(\mu) - \kappa(0)] + T^2 c^2 [\chi(\mu) - \chi(0)] $$

L'amorçage a lieu si : $-\delta W_p \ge H_c l c$ avec $l = \mu c^2 \Rightarrow$

$$ K_I^2 \frac{[\kappa(\mu) - \kappa(0)]}{\mu} + T^2 c \frac{[\chi(\mu) - \chi(0)]}{\mu} \ge G_c^{app} $$

De plus, dans le cas particulier homogène, $E=1\text{GPa}$ et $\nu=0.3$, on montre que :

$$ \frac{[\kappa(\mu) - \kappa(0)]}{\mu} = \frac{1 - \nu^2}{E} \quad \text{et} \quad \frac{[\chi(\mu) - \chi(0)]}{\mu} = \frac{0.44}{E} \quad (\text{Fig 6}) $$

$$ \text{Au final, la condition de propagation se réduit à : } K_I^2 \frac{1 - \nu^2}{E} + T^2 c \frac{0.44}{E} \ge G_c^{app} $$

Plus l'épaisseur $c$ du couloir est importante plus la condition de propagation est facilitée.
En revanche, lorsque l'épaisseur du couloir devient nulle ($c \to 0$), on se ramène au cas d'une fissure en milieu homogène. La compression verticale, qui ne "voit" plus la fissure, n'a plus aucune influence sur la propagation.

Dans ce cas : $K_l^2 \frac{1-v^2}{E} \geq G_c$

## 3.2. Amorçage d'une fissure

Dans ce cas, la propagation du couloir n'est pas envisagée. En effet, le chargement peut créer localement un champ de contrainte susceptible d'amorcer une fissure parmi les autres dont l'éventuelle propagation empêcherait le développement des autres fissures.

La variation d'énergie potentielle entre la situation initiale et la situation perturbée incluant dans sa géométrie l'apparition d'un incrément de fissure de longueur $l$ dans le problème extérieur, respectivement $\mu=l/e$ dans le problème intérieur, conduit à :

$$- \delta W_p = K_l^2 c [\kappa'(\mu) - \kappa'(0)] + T^2 c^2 [\chi'(\mu) - \chi'(0)]$$

L'amorçage a lieu si : $-\delta W_p \geq G_c l$. $G_c$ étant la ténacité usuelle.

On en déduit, la condition d'amorçage :

$$G = K_l^2 \frac{[\kappa'(\mu) - \kappa'(0)]}{\mu} + T^2 c \frac{[\chi'(\mu) - \chi'(0)]}{\mu} \geq G_c \quad (\text{Fig 6})$$

Cette condition d'amorçage n'est pas à elle seule une condition de rupture suffisante et nécessite également la validation du critère en contrainte :

$$\underline{\underline{\sigma}}^c(x_1, x_2) = \frac{K_l}{\sqrt{c}} \underline{\underline{\tilde{\sigma}}}^c_y (\underline{\underline{v}}^1(y_1, y_2)) + T \underline{\underline{\tilde{\sigma}}}^c_y (\underline{\underline{v}}^2(y_1, y_2)) \geq \sigma_c \quad (\text{Fig 7})$$

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>**Figure 7.** Champ de contrainte en front de fissure émoussée induit par $K_I$ et $T$</figcaption></figure>

Pareillement à la situation du couloir se reproduisant à l'identique (propagation), lorsque l'épaisseur $c$ du couloir tend vers 0 la compression verticale n'a aucun effet sur l'amorçage. Cependant, dans le cas du chargement $K_I$, on remarque que plus la longueur d'amorçage est importante plus on se rapproche du taux de restitution d'énergie du couloir (et donc d'une fissure en milieu homogène) (Fig 6).

Le champ de contrainte intérieur $\tilde{\sigma}_{22}$ ($< 0$) induit par la compression $T$ ($< 0$) a une contribution positive en faveur de la rupture (Fig 7). En revanche, indépendamment de la satisfaction du critère en contrainte, déterminant une borne supérieure des incréments de longueur admissible, le champ de contrainte intérieur issu de $T$ montre qu'il existe un majorant des longueurs admissibles. Ce majorant $\mu_m$, dépendant des propriétés matériaux ($E, \nu$), se distingue de la longueur critique $\mu_c$, dépendant des propriétés à la rupture, satisfaisant $\sigma=\sigma_c$ et $G=G_c(\mu_c < \mu_m)$.

Des investigations supplémentaires sont nécessaires pour envisager un mécanisme de compétition entre la propagation du couloir à l'identique et l'amorçage d'une
fissure en front de ce dernier. Ce travail passe par la détermination explicite de la
ténacité apparente $G_c^{app}$ et donc $H_c$, donnée intrinsèque au matériau.

Bibliographie

[1] Hashin, Z., 1996. Finite thermoelastic fracture with application to laminate cracking analysis. J. Mech. Phys. Solids 44(7), 1129-1145.

[2] Leguillon, D., 2002. Strength or toughness? A criterion for crack onset at a notch. Eur. J. of Mechanics A/solids, 21, 61-72.

[3] Picard, D., 2004. Modèle de représentation mécanique de la formation des fractures naturelles dans les réservoirs pétroliers (thèse en cours).

[4] Leguillon, D.; Sanchez-Palencia, E.; 1990. Approximation of two dimensional problem of junctions. Computational Mechanisms, 6, 435-455.