Dw-04130 RR 298

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Rocquencourt
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France
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laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

DÉPENDANCE PAR RAPPORT
AUX DONNÉES DE LA
FRONTIÈRE LIBRE ASSOCIÉE
À CERTAINES INÉQUATIONS
VARIATIONNELLES
D'ÉVOLUTION

Carlos MORENO
Christian SAGUEZ

Rapport de Recherche N° 298

Mai 1978
DEPENDANCE PAR RAPPORT AUX DONNÉES DE LA FRONTIERE LIBRE
ASSOCIÉE A CERTAINES INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION

Carlos Moreno*, Christian Saguez**

Résumé :

Dans cet article, utilisant les résultats de O. Pironneau - C. Saguez [18], nous montrons, pour une classe d'inéquations variationnelles d'évolution, que le domaine de contact varie continument au sens de Hausdorff par rapport aux données. Quelques applications à des problèmes de contrôle optimal sont données.

Abstract :

In this paper, by using results of O. Pironneau - C. Saguez [18], we prove the continuous dependence, in the sense of Hausdorff, of the contact set of a class of time depending variational inequalities with respect to the data. Some applications to optimal control problems are given.

<footnote>∗ Universidad de Santiago de Compostela, Espagne.</footnote>

<footnote>**IRIA-LABORIA - Rocquencourt, France.</footnote>
## Introduction.

De nombreux phénomènes physiques se caractérisent par un changement de phase d'un des corps constituant le système. Citons par exemple la fonte de la glace, la sublimation de la résine du bouclier thermique d'une capsule spatiale, la solidification d'une coulée d'acier.... Lorsqu'on envisage l'étude de tels systèmes, un des paramètres importants à considérer est la surface de séparation entre les diverses phases (frontière libre). Ainsi, dans le problème de la coulée continue dans une aciérie, il faut contrôler la position de la frontière libre (liquide - solide) afin de ne pas avoir de percée en sortie de lingotière, ce qui interromperait le processus continu.

Dans cet article, nous étudions donc la dépendance de la frontière libre par rapport aux données, pour une famille d'inéquations variationnelles d'évolution associées à ce type de problèmes (Problème de Stéfan) :

$$ egin{cases} 
\left(\frac{\partial y}{\partial t}, \xi-y \right) + a(y, \xi-y) \geq (f, \xi-y) \quad \forall \xi \in K(t) \\ 
y(x,0) = 0 \\ 
\text{avec } K(t) = \{ \varphi \mid \varphi \in H^1(\Omega), \varphi|_{T_2} = 0, \varphi|_{T_1} = v(x,t), \varphi \geq 0 \quad \text{p.p.} \} 
\end{cases} $$

Si on note $F(v,f)$ le domaine de contact $\{(x,t)|y(x,t) = 0\}$, nous démontrons que $F(v,f)$, sous certaines hypothèses de régularité, dépend continu au sens de Hausdorff, à un ensemble de mesure nulle près, de $v$ et $f$. Nous en déduisons, en particulier, l'existence d'une solution à des problèmes de contrôle optimal avec des contraintes du type $F_d \subset F(v,f)$. Des exemples numériques sont donnés. Enfin la possibilité d'une implémentation en boucle fermée est étudiée.

Il faut remarquer, en conclusion, que la méthode présentée peut s'appliquer à de nombreux autres problèmes formulés sous formes d'inéquations variationnelles, dès que la solution du problème possède une certaine régularité.
Le plan de l'étude est le suivant :

Introduction

I - Position du problème

II - Un résultat de régularité

III - Continuité de l'état par rapport aux données

IV - Continuité de la frontière libre par rapport aux données

V - Application à quelques problèmes de contrôle optimal

VI - Un implémentement en boucle fermée.
**I - Position du problème :**

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figure 1</figcaption></figure>

Soient $\Omega_1$ et $\Omega_2$ deux ouverts de $\mathbb{R}^n$, de frontières régulières $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$, tels que $\Gamma_1 \cap \Gamma_2 = \emptyset$, $\bar{\Omega}_1 \subset \Omega_2$. Soit $\Omega$ l'ouvert de $\mathbb{R}^n$ de frontière $\Gamma_1 \cup \Gamma_2$, $\Omega = \Omega_2 \setminus \bar{\Omega}_1$ (figure 1).

On considère l'inéquation variationnelle :

$$
(1.1) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial y}{\partial t}, \xi-y\right) + a(y, \xi-y) \geq (f, \xi-y) \quad \forall \xi \in K(t) \\
\\
y(x,o) = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(1.2) \qquad y(x,0) = 0
$$

avec

$$
(1.3) \qquad K(t) = \{ \varphi | \varphi \in H^1(\Omega), \varphi|_{\Gamma_2} = 0, \varphi|_{\Gamma_1} = v(x,t), \varphi \ge 0 \text{ p p} \}
$$

$$
(1.4) \qquad
\begin{aligned}
a(y, \xi) &= \int_{\Omega} \left( \sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial y}{\partial x_j} \frac{\partial \xi}{\partial x_i} + a_o y \xi \right) d\Omega \\
a_{ij} &= a_{ji}; \quad a_{ij}, a_o \in C^1(\bar{\Omega}); \sum_{i,j} a_{ij} \xi_i \xi_j \ge \alpha \sum_i \xi_i^2 \\
\alpha &> 0; \quad a_o \ge 0
\end{aligned}
$$

$$
(1.5) \quad \left\{
\begin{array}{l}
v(x,t) \in W_p^{2-1/p}, 1-1/2_p(\Sigma_1) = w_p(\Sigma_1), \Sigma_1 = \Gamma_1 \times \mathbb{O}, \Gamma \\
\\
v(x,o) = 0,
\end{array}
\right.
$$

$$
(1.6) \qquad f(x,t) \in L^p(\Omega)
$$

**Remarque 1 :**

On utilise les notations défiées dans O.A. Ladyzenskaya - V.A. Solonnikov
- N.N. Uralceva [11], en particulier:
$$
W_p^{2,\ell}(Q) = \{ z \in L^p(Q) \mid D_t^r D_x^s z \in L^p(Q) \ \forall r,s \ 2r+s \le 2\ell \}
$$

Remarque 2 :

On peut considérer de la même façon le cas

$$
K(t) = \{\varphi \mid \varphi \in H^1(\Omega), \varphi|_{\Gamma_2} = 0, \varphi|_{\Gamma_1} = v(x,t), \varphi \ge \Psi \text{ pp}\}
$$
$$
\text{avec } \Psi \in W_p^{2,1}(Q).
$$

Remarque 3 :

On peut également considérer la condition initiale :

$$
\begin{gather*}
y(x,0) = y_o(x) \text{ avec } y_o(x) \in W_p^{2-1/p}(\Omega); \quad y_o(x) \ge 0 \\
\text{et } y_o(x)|_{\Gamma_1} = v, \quad y_o(x)|_{\Gamma_2} = 0.
\end{gather*}
$$

Remarque 4 :

Une inéquation variationnelle de ce type peut être obtenue pour le
problème de Stéfan à une phase (J.L. Lions [14], G. Duvaut [7]).

II - Un résultat de régularité.

Proposition 1 :

Sous les hypothèses (1.3) – (1.6), l'inéquation variationnelle (1.1)-(1.2)
admet une solution unique qui vérifie l'estimation

$$
\|y\|_{W_p^{2,1}(Q)} \le c(\|f\|_{L^p(Q)} + \|v\|_{W_p^2(\Sigma_1)})
$$

Démonstration

D'après les hypothèses (1.3) - (1.6), il existe ¯y ∈ W_p^{2,1}(Q) solution
de :
$$
(2.1) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial \bar{y}}{\partial t} - \sum_{i,j} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_{ij} \frac{\partial \bar{y}}{\partial x_j}) + a_o \bar{y} = 0 \\[1em]
\bar{y}|_{\Sigma_1} = v \\[1em]
\bar{y}|_{\Sigma_2} = 0 \\[1em]
\bar{y}(x,o) = 0
\end{array}
\right.
$$

L'application $v \to \bar{y}$ est continue de $w_p(\Sigma_1)$ dans $W_p^{2,1}(Q)$. De plus on a $\bar{y} \ge 0$
et $\|\bar{y}\|_{W_p^{2,1}(Q)} \le c \|v\|_{W_p(\Sigma_1)}$.

On fait le changement de variable :

$$
(2.2) \qquad z = y - \bar{y}
$$

Alors z vérifie l'inéquation variationnelle :

$$
(2.3) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \left( \frac{\partial z}{\partial t} , \xi - z \right) + a(z, \xi - z) \ge (f, \xi - z) \quad \forall \xi \in K_o(t) \\[1em]
  z(x, 0) = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.4) \qquad z(x,0) = 0
$$

$$
\text{avec} \qquad K_o(t) = \{ \varphi \mid \varphi \in H_o^1(\Omega), \varphi \ge -\bar{y} \text{ p p} \}
$$

On introduit le problème pénalisé (J.L. Lions [14])

$$
(2.5) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \displaystyle \frac{\partial z_{\varepsilon}}{\partial t} + \sum_{i,j} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_{ij} \frac{\partial z_{\varepsilon}}{\partial x_j}) + a_o z_{\varepsilon} - \frac{1}{\varepsilon} (z_{\varepsilon} + \bar{y})^{-} = f \\[\medskipamount]
  z_{\varepsilon}|_{\Sigma} = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.6) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
z_{\varepsilon}(x, 0) = 0 \\
z_{\varepsilon}(x, o) = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.7) \qquad \qquad z_{\varepsilon}(x,0) = 0
$$

D'après la monotonie de l'opérateur de pénalisation, on a l'existence
et l'unicité d'une solution $z_{\varepsilon}$ avec :

$$
(2.8) \qquad z_{\varepsilon} \in L^2(0,T;V) ; \quad \frac{dz}{dt} \in L^2(0,T;V') \quad (V = H_o^1(\Omega))
$$

Montrons que $z_{\varepsilon} \in W_p^{2,1}(Q)$ :
Si on multiplie (2.5) par $-\frac{1}{\epsilon^{p-1}} [(z_{\epsilon}+\bar{y})^{-}]^{p-1}$, on obtient :

$$
\int_0^T \int_\Omega \left( -\frac{1}{\epsilon^{p-1}} \frac{\partial(z + \bar{y})}{\partial t} \right) [(z_\epsilon + \bar{y})^{-}]^{p-1} + \\
+ \sum_{i,j} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_{ij} \frac{\partial}{\partial x_j}(z_\epsilon + \bar{y})) \frac{1}{\epsilon^{p-1}} [(z_\epsilon + \bar{y})^{-}]^{p-1} - \frac{1}{\epsilon^{p-1}} a_0(z_\epsilon + \bar{y}) [(z_\epsilon + \bar{y})^{-}]^{p-1} + \\
+ \frac{1}{\epsilon^p} [(z_\epsilon + \bar{y})^{-}]^p \right) d\Omega dt = - \int_0^T \int_\Omega \frac{1}{\epsilon^{p-1}} f [(z_\epsilon + \bar{y})^{-}]^{p-1} d\Omega dt .
$$

En remarquant que $\left. (z_\epsilon + \bar{y}) \right|_{\Sigma_-} = 0$ on obtient :

$$
\int_0^T \int_\Omega \left( \frac{1}{p\epsilon^{p-1}} \frac{\partial}{\partial t} \left[ (z_\epsilon + \bar{y})^{-} \right]^p + \right. \\
\left. + \sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial}{\partial x_j} (z_\epsilon + \bar{y})^{-} \frac{\partial}{\partial x_i} (z_\epsilon + \bar{y})^{-} \frac{1}{\epsilon^{p-1}} \left[ (z_\epsilon + \bar{y})^{-} \right]^{p-2} (p-1) + \frac{1}{\epsilon^{p-1}} a_0 \left[ (z_\epsilon + \bar{y})^{-} \right]^p + \right. \\
\left. + \frac{1}{\epsilon^p} \left[ (z_\epsilon + \bar{y})^{-} \right]^p \right) d\Omega dt = - \int_0^T \int_\Omega \frac{1}{\epsilon^{p-1}} f \left[ (z_\epsilon + \bar{y})^{-} \right]^{p-1} d\Omega dt
$$

Grâce à (1.4) – (1.5) – (1.6) et à l'inégalité

$$
\alpha \beta^{p-1} \leq \frac{1}{p} \alpha^p + \frac{p-1}{p} \beta^p
$$

on déduit que

$$
(2.9) \quad \|i \frac{1}{\epsilon} (z_{\epsilon} + \bar{y})^{-}\|_{L^p(Q)} \le k \|f\|_{L^p(Q)}
$$

avec $k$ constante indépendante de $\epsilon$.

Donc $z_\epsilon$ vérifie

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} - \sum_{i,j} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_{ij} \frac{\partial z}{\partial x_j}) + a_0 z_\epsilon = f + \frac{1}{\epsilon} (z_\epsilon + \bar{y})^{-} = g_\epsilon \\[2ex]
\displaystyle z_\epsilon|_{\Sigma} = 0 \\[2ex]
\displaystyle z_\epsilon(x,0) = 0
\end{array}
\right.
$$

avec $g_{\epsilon} \in L^{p}(Q), \quad \|g_{\epsilon}\|_{L^{p}(Q)} \le k \|f\|_{L^{p}(Q)}$
D'après O.A. Ladyzenskaya - V.A. Solonnikov - N.N. Uralceva [11],
on en déduit que $z_ε ∈ W_p^{2,1}(Q)$ et que :

$$
(2.10) \qquad \|z_{\epsilon}\|_{W_p^{2,1}(Q)} \le c \|f\|_{L^p(Q)}
$$

et donc

$$
(2.11) \quad \|y_{\epsilon}\|_{W_p^{2,1}(Q)} \le c (\|f\|_{L^p(Q)} + \|v\|_{W_p^1(\Sigma_1)}).
$$

Par passage à la limite, on obtient

$$
y \xrightarrow{\epsilon} y \text{ dans } W_p^{2,1}(Q) \text{ faible}
$$

avec y solution de (1.1) - (1.2)

A la limite (2.11) donne l'estimation :

$$
(2.12) \quad \|y\|_{W_p^{2,1}(Q)} \le c (\|f\|_{L^p(\Omega)} + \|v\|_{W_p^1(\Sigma_1)}).
$$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

III - Continuité de l'état par rapport aux données

On a le résultat suivant :

Proposition 2 :

L'application qui à (v,f) associe y solution de (1.1) - (1.2) est
continue de W_p^{2,1}/p,1-1/2p(Σ_1) faible × L^p(Q) faible dans W_p^{2,1}(Q) faible

Démonstration.

Soient $(v_n, f_n)$ une suite de fonctions telle que :

$$
(3.1) \qquad \left\{
\begin{array}{ll}
v_n \to v \text{ dans } w_p^1(\Sigma_1) \text{ faible} \\
f_n \to f \text{ dans } L^p(Q) \text{ faible}
\end{array}
\right.
$$

$v_n$ et $v$ vérifiant (1.5).
D'après (2.12) on déduit que

$$
(3.2) \quad \|y_n\|_{W_p^{2,1}(Q)} \le c, \quad \|z_n\|_{W_p^{2,1}(Q)} \le c.
$$

On peut donc extraire des sous-suites telles que :

$$
(3.3) \quad \left\{
\begin{array}{l}
y_n \to \tilde{y} \text{ dans } W_p^{2,1}(Q) \text{ faible} \\
z_n \to \tilde{z} \text{ dans } W_p^{2,1}(Q) \text{ faible}
\end{array}
\right.
$$

De plus par définition de $\bar{y}_n$ et $\bar{y}$ par (2.1) on a

$$
(3.4) \quad \bar{y}_n \to \bar{y} \text{ dans } W_p^{2,1}(Q) \text{ faible .}
$$

D'autre part on remarque que (2.3) - (2.4) peut s'écrire :

$$
(3.5) \quad \left\{ \frac{\partial z}{\partial t} + Az + \partial I_{K_o}(z) \ni f.
$$

$$
(3.6) \quad z(x,0) = 0
$$

où A représente l'opérateur associé à la forme bilinéaire a dans $H_o^1(\Omega)$,
$I_{-K_o}$ est la fonction indicatrice du convexe $K_o$
$\partial_g$ désigne le sous-différentiel de $g$

De plus (3.5)-(3.6) est équivalent au système (A. Bermudez - C. Moreno [3])

$$
(3.7) \quad \left\{ \frac{\partial z}{\partial t} + Az + w = f
$$

$$
(3.8) \quad \left\{ w = - \frac{1}{\lambda} (z + \bar{y} + \lambda w)^{-} \quad \text{avec } \lambda > 0 \text{ fixé}
$$

$$
(3.9) \quad z(x,0) = 0.
$$

On a alors l'inégalité suivante :

$$
\begin{align*}
\int_Q |w - \dot{w}_n|^2 dxdt &= \int_Q \left| \frac{1}{\lambda} (z + \bar{y} + \lambda w)^{-} - \frac{1}{\lambda} (z_n + \bar{y}_n + \lambda w_n)^{-} \right|^2 dxdt \\
&\le \int_Q \left| \frac{1}{\lambda} (z - z_n) + \frac{1}{\lambda} (\bar{y} - \bar{y}_n) + (w - w_n) \right|^2 dxdt \\
&\le \int_Q \left( \left| \frac{1}{\lambda} (z - z_n) + (w - w_n) \right|^2 + \frac{1}{\lambda^2} |\bar{y} - \bar{y}_n|^2 + \frac{2}{\lambda} \frac{1}{\lambda} (z - z_n) + w - w_n \right) \\
&\qquad (\bar{y} - \bar{y}_n) dxdt
\end{align*}
$$
et

$$ \int_Q \left| \frac{1}{\lambda} (z-z_n) + (w-w_n) \right|^2 dxdt \le \int_Q \left[ \frac{1}{\lambda^2} |z-z_n|^2 + (w-w_n)^2 + \frac{2}{\lambda} (z-z_n)(w-w_n) \right] dxdt $$

D'autre part de (3.7) on déduit :

$$ \alpha \int_{\Omega}^{T} \|z-z_n\|_{H_n^1(\Omega)}^2 dt + \int_{Q} (z-z_n)(w-w_n) dxdt \le \int_{Q} (f-f_n)(z-z_n) dxdt $$

On obtient alors :

$$ \int_Q \left( \frac{1}{\lambda^2} |\bar{y}-\bar{y}_n|^2 + \frac{2}{\lambda} \left( \frac{1}{\lambda} (z-z_n) + (w-w_n) \right) (\bar{y}-\bar{y}_n) + \frac{1}{\lambda^2} |z-z_n|^2 + \frac{2}{\lambda} (f-f_n)(z-z_n) \right) dxdt \\ - \frac{2\alpha}{\lambda} \int_{\Omega}^{T} \|z-z_n\|_{H_n^1(\Omega)}^2 dt \ge 0 $$

Si on choisit $\lambda > \frac{1}{2\alpha}$, alors $\rho = - \frac{1}{\lambda^2} + \frac{2\alpha}{\lambda} > 0$ et on obtient :

$$ (3.10) \quad \int_Q \left( \frac{1}{\lambda^2} |\bar{y}-\bar{y}_n|^2 + \frac{2}{\lambda} \left( \frac{1}{\lambda} (z-z_n) + (w-w_n) \right) (\bar{y}-\bar{y}_n) + \frac{2}{\lambda} (f-f_n)(z-z_n) \right) dxdt \\ \ge \rho \int_{\Omega}^{T} \|z-z_n\|_{H_n^1(\Omega)}^2 dt . $$

Or on remarque, à partir de (2.9) et (3.7), que :

$$ \frac{1}{\epsilon}(z + \bar{y}) \to w \text{ dans } L^2(Q) \text{ faible} $$

et donc

$$ \|w\|_{L^2(Q)} \le k \|f\|_{L^2(Q)} $$

En conséquence $w_n$ est borné dans $L^2(Q)$ indépendamment de n. On peut alors passer à la limite dans (3.10). En constatant que le membre de gauche converge vers zéro, on en déduit que :

$$ z_n \to z \text{ dans } L^2(0,T; H_n^1(\Omega)) \text{ fort} $$

et donc

$$ \tilde{y} = y \text{ solution de } (1.1) - (1.2). $$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
IV - Continuité de la frontière libre par rapport aux données.

On désigne par K(Q) l'ensemble des compacts de Q, muni de la topologie de Hausdorff (G.A. Beer [1]) et on note δ_H la distance de Hausdorff (*) entre deux ensembles. On définit sur K(Q) la relation d'équivalence ≈

$$K_1 \preceq K_2 \iff \mathcal{M}(K_1 \Delta K_2) = 0$$

où Δ désigne la différence symétrique et ≈ la mesure de Lebesgue.

On note $K^*(\bar{Q}) = K(\bar{Q})/\mathcal{R}$ et on définit sur $K^*(\bar{Q})$ la distance induite par $\delta_H$ soit $\delta$ :

$$(4.1) \qquad \delta(K_1^*, K_2^*) = \inf_{K_1 \in K_1^*} \delta_H(K_1, K_2) \\ K_2 \in K_2^*$$

$K_1^*$ désigne la classe d'équivalence dont $K_1$ est un représentant.

D'autre part on fait les hypothèses supplémentaires :

$$(4.2) \qquad \mathcal{M}(\{x,t) \mid f(x,t) = 0\}) = 0; \quad f(x,t) \ge b \quad b \text{ donné}$$

$$(4.3) \qquad v(x,t) \ge \gamma t \quad \gamma > 0$$

$$(4.4) \qquad p > \operatorname{Sup} (n+2/2; 2) ; \quad p \ne n+2$$

**Proposition 3 :**

L'application qui à $(v,f)$ associe $F^* \in K^*(\bar{Q})$ de représentant $F = \{(x,t) | y(x,t) = 0\}$ est continue de $w_p(\Sigma_1) \times L^p(\bar{Q})$ faible dans $K^*(\bar{Q})$, sous les hypothèses supplémentaires (4.2) - (4.4).

$$\delta(A,B) = \sup \left( \sup_{x \in A} d(x,B), \sup_{x \in B} d(x,A) \right)$$

<footnote>(*) La distance de Hausdorff entre deux ensembles A, B est définie par</footnote>
## Démonstration

Comme $y \in W_p^{2,1}(Q)$, $p > \frac{n+2}{2}$, $p \neq n+2$, alors $y \in C(Q)$ et donc F est un compact de $\mathbb{R}^{n+1}$, de plus y est höldérienne en x et t.

Soit $(v_n, f_n)$ une suite de fonctions telles que :

$$ (4.5) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} v_n \to v \text{ dans } W_p^{2-1/p, 1-1/2p} & \text{faible} \\ f_n \to f \text{ dans } L^p(Q) & \text{faible} \end{array} \right. $$

avec

$$ \left\{ \begin{array}{l} \eta (\{(x,t)|f_n(x,t) = 0\}) = 0 \quad \forall n \text{ et } \eta (\{(x,t)|f(x,t) = 0\}) = 0 \\ f_n(x,t) \ge b; \quad f(x,t) \ge b \end{array} \right. $$

Soient $y_n, F_n$ (resp. $y, F$) les solutions associées à $(v_n, f_n)(\text{resp.}(v, f)).\{F_n\}$ est une famille de compacts de $\bar{Q}$, on peut donc extraire une sous-suite telle que :

$$ (4.6) \qquad F_n \to \tilde{F} \text{ Hausdorff avec } \tilde{F} \text{ compact de } \bar{Q} $$

$$ \text{et donc} \qquad F_n^* \to \tilde{F}^* \text{ dans } K^*(Q) $$

De plus d'après la proposition 2, on a :

$$ (4.7) \qquad y_n \to y \text{ dans } W_p^{2,1}(Q) \text{ faible} $$

Montrons que $\tilde{F} \in F^*$, ce qui démontrera la proposition 2. D'après le principe du maximum on a $y_n \ge y_b$ (y_b étant solution de (1.1) - (1.2) avec $f = b, v = \gamma t$). Si on note $\mathcal{O} = (\mathcal{F}) \cap Q$, on en déduit :

$$ \mathcal{O}_{y_b} \subset \mathcal{O}_n \quad \forall n \text{ (F notant l'ensemble F associé à y_b)} $$

On effectue alors le changement de variable suivant :

$$ (4.8) \qquad z_n = y_n - M \bar{y}_n \text{ avec } M \in C^2(Q), \quad M|_{\Sigma_1} = 1, \text{ Supp } M \subset \mathcal{O}_{y_b} $$
$z_n$ vérifie l'équation parabolique, sur l'ouvert non cylindrique $O_n$

$$ (4.9) \qquad - < z_n, \frac{d\varphi}{dt} > + \int_{O}^{T} a(z_n, \varphi) = \int_{O}^{T} (f_n + g_n, \varphi) \quad \forall \varphi \in \beta_{T}(O_n) \\ z_n \in \mathcal{F}(O_n) $$

avec

$$ \mathcal{F}(O) = \overline{\beta(O)}^{H,0}(O) $$

$$ \beta_{T}(O) = \{\varphi | \varphi \in \mathcal{F}(O), \frac{d\varphi}{dt} \in \mathcal{F}'(O), \varphi(x,T) = 0\} $$

en utilisant les notations de J.L. Lions [13].

$g_n$ représente le terme provenant dans la translation de $\bar{y}_n$, on a donc,
si $g$ représente le terme pour $\bar{y}$

$$ (4.10) \qquad g_n \to g \quad \text{dans } L^p(Q) \text{ faible.} $$

Comme dans O. Pironneau - C. Saguez [17], on définit $\hat{\varphi}$ le prolongement
par zéro de $\varphi$ dans Q. On a alors :

$$ (4.11) \qquad - < z_n, \frac{d\hat{\varphi}}{dt} > + \int_{O}^{T} a(z_n, \hat{\varphi})dt = \int_{O}^{T} (f_n + g_n, \hat{\varphi}) \quad \forall \hat{\varphi} \in \beta_{T}(O_n) \\ z_n \in \mathcal{F}(O_n) $$

On utilise alors le lemme suivant :

**Lemme 1.** ([17] O. Pironneau)

Si $F_n \to F$ au sens de Hausdorff, alors

$$ \forall \varphi \in \beta_{T}(O) \ \exists \{\varphi_n\} \ \varphi_n \in \beta_{T}(O_n) \ \text{tel que } \hat{\varphi}_n \to \hat{\varphi} \text{ dans } \beta_{T}(Q) \text{ fort} $$

La démonstration repose sur le résultat de densité, Proposition 4.1. J.L. Lions [13].

Comme de plus :

$z_n$ est borné dans $W^{2,1}_p(Q)$, on déduit que :

$$ (4.12) \qquad z_n \to z \text{ dans } W^{2,1}_p(Q) \text{ faible} $$
z vérifiant :

$$
(4.13) \qquad - < z, \frac{d\phi}{dt} > + \int_{0}^{T} a(z, \hat{\phi}) = \int_{0}^{T} (f+g, \hat{\phi}) \quad \forall \phi \in \beta_{T}(\tilde{\mathcal{O}}) \quad (\tilde{\mathcal{O}} = Q - \tilde{F}).
$$

De plus comme $z_n(x,t) \in W_p^{2,1}(Q)$ on a

$$
(4.14) \quad |z_n(x_1, t_1) - z_n(x_2, t_2)| \le C \|z_n\|_{W_p^{2,1}(Q)} |x_1 - x_2|^\alpha |t_1 - t_2|^\beta
$$

$$
(4.15) \quad |z_n(x,t)| \stackrel{\circ}{\le} k \|z_n\|_{W_p^{2,1}(Q)}
$$

D'après le théorème d'Ascoli, on en déduit que

$$
(4.16) \quad z_n(x,t) \to z(x,t) \quad \forall (x,t) \in K \text{ compact } \subset Q
$$

Or comme $\tilde{F}_n \to \tilde{F}$ Hausdorff

$$
(4.17) \quad \forall (x,t) \in \tilde{\mathbb{F}} \ni (x_n, t_n) \in \tilde{\mathbb{F}} \text{ tel que } (x_n, t_n) \to (x,t)
$$

Alors

$$
|z_n(x_n, t_n) - z(x, t)| \le |z_n(x_n, t_n) - z_n(x, t)| + |z_n(x, t) - z(x, t)| \\
\underbrace{\quad}_{A_1} \quad \underbrace{\quad}_{A_2}
$$

$$
\text{on a d'après (4.14) } A_1 \to 0
$$

De plus si $(x,t) \in \tilde{\mathbb{F}}$, $(x,t) \notin \partial \tilde{\mathbb{F}} \cap \partial Q$, d'après (4.15) $A_2 \to 0$

$$
\text{si } (x,t) \in \partial \tilde{\mathbb{F}} \cap \partial Q \quad \text{z}(x,t) = z_n(x,t) \quad \text{donc } A_2 = 0
$$

On en déduit, comme $z_n(x_n, t_n) = 0$, que

$$
(4.18) \quad \forall (x,t) \in \tilde{\mathbb{F}} \quad z(x,t) = 0
$$

Soit $z_{\varepsilon} = (z-\varepsilon)^+ + (z+\varepsilon)^-$, comme $z \in C(Q)$, $z_{\varepsilon} \in H^1, \O(Q-\tilde{F})$ et $z \in z \in \mathfrak{F}(Q-\tilde{F})$.

Et d'après (4.7), on a :

$$
(4.19) \quad - \langle z, \frac{d\hat{\phi}}{dt} \rangle + \int_0^T a(z, \hat{\phi}) = \int_0^T (f+g, \hat{\phi}) \quad \forall \hat{\phi} \in \beta_T(Q-F)
$$
grâce à (4.18), on a :

$$ (4.20) \qquad \tilde{F} \subset F $$

$$ \text{Si} \quad \eta(F \Delta \tilde{F}) = 0 \quad \text{on a alors} \quad \tilde{F} \in F^* $$

$$ \text{si} \quad \eta(F \Delta \tilde{F}) > 0, \text{ sur } F \Delta \tilde{F} \text{ on a } y = 0 \text{ (en remarquant que } g=0 \text{ dans } F \Delta \tilde{F}) \text{ par définition de M. Or comme } y \in W_p^{2,1}(Q), \text{ on en déduit que} \\ ([16] \text{ J. Mossimo}) $$

$$ \frac{\partial y}{\partial t} - \sum_{i,j} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_{ij} \frac{\partial y}{\partial x_j}) + a_o y = 0 \quad \text{sur } F \Delta \tilde{F} $$

ce qui est en contradiction avec (4.4).

$$ \text{Donc } \tilde{F} \in F^* \text{ et } F_n^* \to F^* \text{ dans } K^*(Q). $$

■

### Remarque 5 :

On a toujours $F_n \to \tilde{F} \subset F$ Hausdorff avec $\eta(\tilde{F} \Delta F = 0)$. Ce résultat sera utilisé par la suite pour les problèmes de contrôle.

### Remarque 6 :

Un résultat de continuité au sens $\chi_F \to \chi_F$ dans $L^2(Q)$ ($\chi_F$ désignant la fonction caractéristique de $F$) est démontré dans C. Saguez [20]. On remarquera que ces résultats ne peuvent pas se déduire l'un de l'autre.

## V - Application à quelques problèmes de contrôle optimal.

### 1) Observation de l'état y

Soit $u_{ad}$ un convexe fermé borné de fonctions $v \in W_p^{2-1/p, 1-1/2p}(\Sigma_1)$ telles que

$$ v(x,0) = 0 ; \quad v(x,t) \geq \gamma t \quad \gamma > 0 $$

On définit la fonctionnelle :

$$ (5.1) \qquad J(v) = \| y - z_d \|_{L^2(Q)}^2 + v \|u\|_{W_p^1}^p $$

avec $v \ge 0$ et $z_d$ donné dans $L^2(Q)$.
On considère le problème de contrôle optimal :

$$
(5.2) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\text{Trouver } \bar{v} \in \mathcal{U}_{ad} \text{ tel que:} & \\
\displaystyle J(\bar{v}) = \inf_{v \in \mathcal{U}_{ad}} J(v) &
\end{array}
\right.
$$

grâce à la proposition 2, on peut alors énoncer le résultat suivant :

**Proposition 4 :**

Le problème de contrôle (5.2) admet au moins une solution.

Remarque 7 :

Un résultat analogue peut être obtenu en prenant f comme variable
de contrôle.

Remarque 8 :

Des exemples numériques en dimension 1 et 2 sont présentés dans
C. Gomez [10] et C. Saguez [19].

2) Contrainte sur le domaine F

On considère toujours la fonctionnelle J, mais on prend comme en-
semble des contrôles

$$
(5.3) \qquad \tilde{u}_{ad} = \{v \in u_{ad} \mid F_d \subset F(v) \text{ p p}\} \\
\qquad \qquad F_d \text{ étant un compact donné de } \bar{Q}.
$$

On étudie le problème de contrôle optimal :

$$
(5.4) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\text{Trouver } \bar{v} \in \tilde{u}_{ad} \text{ tel que} \\
\quad J(\bar{v}) = \inf_{v \in \tilde{u}_{ad}} J(v) \\
\qquad v \in \tilde{u}_{ad}
\end{array}
\right.
$$

En pratique, il s'agit de déterminer un contrôle optimal, de manière que la
frontière libre reste dans un domaine donné.

Proposition 5 :

Le problème (5.4) admet au moins une solution.
## Démonstration

Soient $v_n$ une suite minimisante et $(y_n, F_n)$ la solution associée. $v_n$ appartenant à $\tilde{u}_{ad}$, on peut extraire une sous-suite telle que:

$$v_n \to v \text{ dans } \tilde{u}_{ad} \text{ faible}$$

$$y_n \to y(v) \text{ dans } L^2(0,T; H_0^1(\Omega)) \text{ fort}$$

$$F_n \to \tilde{F} \subset F(v) \text{ Hausdorff (d'après la proposition 3).}$$

$$\text{Or } F_d \subset F_n \text{ et comme } F_n \to \tilde{F} \text{ Hausdorff}$$

$$\sup_{x \in F_n} d(x, \tilde{F}) \to 0 \text{ et donc comme } \tilde{F} \text{ et } F_d \text{ sont compacts}$$

$$\sup_{x \in F_d} d(x, \tilde{F}) = 0$$

$$\text{On en déduit que } F_d \subset \tilde{F} \subset F(v) \text{ et donc que } v \in \tilde{u}_{ad}.$$

La fonctionnelle J étant f.s.c.i, on en déduit la proposition.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Pour résoudre numériquement ce problème, nous introduisons le problème pénalisé suivant :

$$(5.5) \qquad J_{\varepsilon}(v) = J(v) + \frac{1}{\varepsilon} \int_{F_d} |y|^2 dxdt$$

$$(5.6) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } \overline{v}_{\varepsilon} \in u_{ad} \text{ tel que:} \\ J_{\varepsilon}(\overline{v}_{\varepsilon}) = \inf_{v \in u_{ad}} J(v) \\ v \in u_{ad} \end{array} \right.$$

D'après la proposition 2, ce problème admet au moins une solution $\overline{v}_{\varepsilon}$. On a le résultat de convergence :

**Proposition 6 :**

$\overline{v}_{\varepsilon}$ solution du problème (5.6) converge, lorsque $\varepsilon \to 0$, vers $\overline{v}$ solution de (5.4).
## Démonstration

Comme $\bar{v}_{\epsilon} \in u_{ad}$, on peut extraire une sous-suite telle que

$$ \bar{v}_{\epsilon} \to \tilde{v} \text{ dans } u_{ad} \text{ faible} $$

et

$$ \bar{y}_{\epsilon} = y(\bar{v}_{\epsilon}) \to \tilde{y} = y(\tilde{v}) \text{ dans } L^2(0,T; H_0^1(\Omega)) \text{ fort.} $$

D'autre part comme

$$ J_{\epsilon}(\bar{v}_{\epsilon}) \leq J_{\epsilon}(\tilde{v}) \leq J(\bar{v}) \quad \forall v \in u_{ad}. $$

On a

$$ \int_{F_d} |\bar{y}_\epsilon|^2 \le \epsilon J(\bar{v}) $$

et donc par passage à la limite

$$ \tilde{y} = 0 \quad \text{p.p. dans } F_d, \text{ soit } F_d \subset \tilde{F} = F(\tilde{v}) $$

Donc $\tilde{v} \in \tilde{u}_{ad}$. Montrons que $\tilde{v}$ est solution de (5.4). On a

$$ J(\bar{v}_{\epsilon}) \leq J_{\epsilon}(\bar{v}_{\epsilon}) \leq J(v) \quad \forall v \in \tilde{u}_{ad} $$

et par passage à la limite

$$ J(\tilde{v}) \leq J(v) \quad \forall v \in \tilde{u}_{ad} $$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Numériquement, nous nous ramenons donc au problème (5.6), que nous pouvons résoudre, par une des deux méthodes présentées dans C. Saguez [19].

Comme exemple numérique, on a considéré l'inéquation variationnelle :

$$ (5.7) \qquad \begin{cases} \frac{\partial y}{\partial t}, \xi-y) + (\text{grad } y, \text{grad } \xi - \text{grad } y) \geq (f, \xi-y) \\ \forall \xi \in K(t) = \{\xi | \xi \in H^1(\Omega), \xi|_{\Gamma_2} = 0, \xi|_{\Gamma_1} = v, \xi \geq 0\} \\ y(x,0) = 0 \end{cases} $$

et la fonctionnelle :

$$ (5.8) \qquad J(v) = \|y-z_d\|_{L^2(\Omega)}^2 $$
i) Dimension 1 :

On a pris les données suivantes :

$$z_d(x,t) = [(1-2x)t]^+$$

$$f(x,t) = -5$$

$F_d = \{a \le x \le 1, 0 \le t \le 1\}$, a prenant successivement les valeurs $a=0$ (cas sans contraintes); 0,3; 0,4; 0,5.

Les résultats numériques sont présentés figures 1 et 2 avec $\epsilon=10^{-4}$.
Le temps de calcul sur IBM 370-168 est de l'ordre de 10s.

ii) Dimension 2 :

$\Omega$ est une couronne circulaire délimitée par deux cercles de rayon $R_1=0,37$ ; $R_2=0,78$. Le problème a été résolu par une méthode d'éléments finis d'ordre 1, avec 728 triangles et 432 noeuds. On a pris $\epsilon=10^{-2}$. $F_d$ est déterminé par

$$\{(x,t) | [R_1+t(R_3-R_1)]^2 - x_1^2 - x_2^2 \le 0\} \text{ avec } R_3 = 0,50$$

$$\text{et on prend } z_d(x,t) = \text{Max}(0, 16(\sqrt{t} - \left(\frac{2}{R_1+R_3}\right)^2 x_1^2 - \frac{1}{R_3^2} x_2^2))$$

Le temps de calcul par la méthode directe (F. Mignot [15]) est de l'ordre de 1mm. 30s sur IBM 370-168.

Les résultats numériques sont présentés figure 3.

VI - Une implémentation en boucle fermée.

Nous allons commencer par étudier le problème de contrôle suivant:
Soient $u_{ad}$ un convexe fermé borné de $W_p^{2,1}(\Sigma_1)$ tel que $\forall v \in u_{ad}, v(t=0)=y_o(x)|_{\Gamma_1}$

$$(6.1) \qquad J(v) = \|\frac{\partial y}{\partial v}\|_A^2 - g_d \|v\|_L^2(\Sigma_1), \quad g_d \in L^2(\Sigma_1)$$
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 1 : Contrôle optimal</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 2 : Frontière libre associée au contrôle optimal</figcaption></figure>
Dimension 2

$ε=10^{-2}$ , $z_d(x,t) = \max(0,16(\sqrt{6} - \frac{4}{(R_1+R_3)^2} x_1^2 - \frac{1}{R_3^2} x_2^2))$

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 3 : Frontière libre associée au contrôle optimal</figcaption></figure>
$$
(6.2) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } \bar{v} \in u_{ad} \text{ tel que:} \\
J(\bar{v}) = \inf_{v \in u_{ad}} J(v)
\end{array}
\right.
$$

Ce problème grâce à la proposition 2 admet au moins une solution.
On considère alors le feedback a priori suivant :

$$
(6.3) \quad \tilde{v} \in F_C \left( g_d - \frac{\partial \tilde{y}}{\partial v} \bigg|_{A} \right)
$$

où C est un convexe fermé de $L^2(\Gamma_1)$ tel que $\{v|v(t) \in C \text{ p.p. } t\} \subset u_{ad}$ et

$$
(6.4) \quad F_C(p) = \{v \in L^2(\Gamma_1) \mid (v,p)_{L^2(\Gamma_1)} \ge (u,p)_{L^2(\Gamma_1)} \quad \forall u \in C\}
$$

Nous allons étudier la dynamique du système pour ce feedback a priori.
L'état $\tilde{y}$ vérifie :

$$
(6.5) \quad \left.
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial \tilde{y}}{\partial t} - \sum_{i,j} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( a_{ij} \frac{\partial \tilde{y}}{\partial x_j} + a_o \tilde{y} \right) \geq f \\[1em]
\tilde{y} \geq 0
\end{array}
\right\} \text{dans Q}
$$

$$
(6.7) \quad \left.
\begin{array}{l}
\displaystyle \left( \frac{\partial \tilde{y}}{\partial t} - \sum_{i,j} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( a_{ij} \frac{\partial \tilde{y}}{\partial x_j} \right) + a_o \tilde{y} \right) \tilde{y} = 0
\end{array}
\right\}
$$

$$
(6.8) \quad \tilde{y}|_{\Sigma_1} \in F_C \left( g_d - \frac{\partial \tilde{y}}{\partial v} \bigg|_{\Sigma_1} \right)
$$

$$
(6.9) \quad \tilde{y}|_{\Sigma_2} = 0
$$

$$
(6.10) \quad \tilde{y}(x,0) = 0
$$

comme (6.8) est équivalent à : (E. Zarantonello [20])

$$
(6.11) \quad \left. \frac{\partial \tilde{y}}{\partial v} \right|_{\Sigma_1} - g_d \in - \partial I_C (\tilde{y} |_{\Sigma_1})
$$
$\tilde{y}$ est solution de l'inéquation variationnelle :

$$
\begin{align*}
(6.2) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left(\frac{\partial \tilde{y}}{\partial t}, \tilde{\xi} - \tilde{y}\right) + a(\tilde{y}, \tilde{\xi} - \tilde{y}) + I_C(\tilde{\xi}|_{\Sigma_1}) - I_C(\tilde{y}|_{\Sigma_1}) \\
\geq (f, \tilde{\xi} - \tilde{y}) + \int_{\Sigma_1} g_d(\tilde{\xi} - \tilde{y}) d\Sigma_1
\end{array}
\right.
\\[1.5em]
(6.13) \qquad \forall \tilde{\xi} \in K = \{\tilde{\xi} \in H^1(\Omega) \mid \tilde{\xi} \ge 0 \text{ p p dans } \Omega, \tilde{\xi}|_{\Gamma_2} = 0\}
\end{align*}
$$

Alors d'après H. Brezis [4], l'inéquation variationnelle (6.12) -
(6.13) admet une solution unique si $\frac{dg_d}{dt} \in L^2(\Sigma_1)$.

On a alors le résultat d'optimalité suivant pour le feedback a priori (6.3):

**Proposition 7 :**

Si $g_d = \frac{\partial y}{\partial v}|_{A \cap \Sigma_1}$ où y est solution de (1.1)-(1.2) pour un $v(t)$ tel que $v(t) \in C^p(t, \cdot)$, alors $\tilde{y}$ solution de (6.12) - (6.13) vérifie

$$
(6.14) \qquad \tilde{y} = y \quad \text{pp dans } Q.
$$

Démonstration

Comme $y \in W_p^{2,1}(Q)$, alors $g_d = \frac{\partial y}{\partial v}|_{A \cap \Sigma_1} \in L^2(\Sigma_1)$ en particulier et donc
y vérifie l'inéquation variationnelle

$$
\[
(6.15) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left(\frac{\partial y}{\partial t}, \xi - y\right) + a(y, \xi - y) \ge (f, \xi - y) + \int_{\Sigma_1} g_d(\xi - y) \, d\Sigma_1 \\
\forall \xi \in K = \{ \xi \in H^1(\Omega) \mid \xi \ge 0 \text{ pp dans } \Omega, \xi|_{\Gamma_2} = 0 \}
\end{array}
\right.
\]
$$

En prenant $\xi = y$ dans (6.12), $\xi = \tilde{y}$ dans (6.15) et en additionnant
les deux inégalités on obtient;

$$
\left(\frac{\partial (\tilde{y}-y)}{\partial t}, \tilde{y}-y\right) + a(\tilde{y}-y, \tilde{y}-y) \le 0 \quad \text{et donc } \tilde{y}=y \quad \text{pp dans } Q.
$$
Donc sous les hypothèses précédentes, le feedback (6.3) est alors optimal. Alors dans le cas du problème de contrôle (5.1) - (5.2) on peut envisager l'implémentation suivante :

- calcul du contrôle optimal en boucle ouverte, soit $\bar{u}$

- implémentation en boucle fermée avec le feedback (6.3) pour

$$g_d = \frac{\partial y(\bar{u})}{\partial v_A}$$

**Remarque 9 :**

Dans le cas où $u_{ad} = \{v \in H^{2,1}(\Sigma_1) | 0 \le v \le M \text{ pp sur } \Sigma_1\}$

On peut envisager alors la loi de feedback :

$$\tilde{u} = \begin{cases} M & \text{si } \frac{\partial \tilde{y}}{\partial v_A} \Big|_{\Sigma_1} < g_d \\ 0 & \text{si } \frac{\partial \tilde{y}}{\partial v_A} \Big|_{\Sigma_1} > g_d \end{cases}$$

et $\tilde{u} \in [0,M]$ quelconque, sinon.

**Remarque 10 :**

On peut également considérer de la même façon le problème (5.4), le résultat d'optimalité étant indépendant de la fonction coût.

**Remarque 11 :**

On pourrait obtenir un résultat analogue, lorsque $f$ est la variable de contrôle.
Bibliographie

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[13] J.L. Lions : Sur les problèmes mixtes pour certains systèmes paraboliques dans des ouverts non cylindriques (Annales Institut Fourier).
[14] J.L. Lions : Introduction to some aspects of free surface problems (Colloque SYNSPADE Maryland 1975).

[15] F. Mignot : Contrôle dans les inéquations variationnelles elliptiques (Thèse Paris VI 1975).

[16] J. Mossino : Thèse d'Etat, Paris XI, 1977.

[17] O. Pironneau : Sur les problèmes d'optimisation de structures en mécanique des fluides (Thèse d'Etat Paris VI, 1976).

[18] O. Pironneau - C. Saguez : Asymptotic behaviour, with respect to the domain, of solutions of partial differential equations (Rapport Laboria 1977).

[19] C. Saguez : Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des inéquations variationnelles. Application à des problèmes de frontière libre. (Rapport Laboria 1976).

[20] C. Saguez : Contrôle optimal et inéquations variationnelles avec observation de domaine (rapport Laboria 1978)

[21] J.P. Yvon : Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des inéquations variationnelles (Rapport Laboria 1974).

[22] E. Zarantonello : *Contribution to non linear functional analysis*. (Academic Press 1971).