# Fascinante constante de structure fine : de la numérologie à l'électrodynamique quantique

## Jean-Christophe Pain

Laboratoire de Physique Atomique des Plasmas, CEA, DAM, DIF, F-91297 Arpajon

jean-christophe.pain@cea.fr

## Résumé

La constante de structure fine joue un rôle fondamental en relativité, en physique quantique et en électromagnétisme. Elle caractérise la force des interactions entre lumière et matière décrites par la théorie de l'électrodynamique quantique. Le fait que son inverse soit très proche d'un nombre entier (137) a suscité beaucoup de spéculations numérologiques. Sa valeur exacte est régulièrement revue avec l'augmentation de la précision des mesures. La valeur la plus précise à ce jour a été obtenue via la mesure du rapport entre la constante de Planck et la masse d'un atome de rubidium, rapport déduit de la mesure de la vitesse acquise par un atome accéléré par des oscillations de Bloch. Des études récentes ont montré, à partir de l'analyse du spectre d'un quasar, que la constante de structure fine n'avait pas varié de plus d'un dix millième de pour cent en 10 milliards d'années.

## La constante qui fascine les théoriciens

La constante de structure fine a été introduite pour la première fois en 1916 par Arnold Sommerfeld. Elle apparaît dans son analyse de la séparation de la structure fine des raies spectrales de l'hydrogène d'après les prédictions du modèle de Bohr. Au début, la constante de structure fine était interprétée comme le rapport entre la vitesse de l'électron sur la première orbite circulaire de l'atome de Bohr relativiste et la vitesse de la lumière dans le vide. Son expression est

$$ \alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} $$

où e est la charge de l'électron, $\epsilon_0$ la permittivité du vide, $\hbar$ la constante de Planck réduite et c la vitesse de la lumière. En électrodynamique quantique, la constante de structure fine joue le rôle de constante de couplage, représentant la force d'interaction entre les électrons et les photons. Sa valeur ne peut être prédite par la théorie mais seulement déterminée expérimentalement. Il s'agit en fait d'un des dix-neuf paramètres libres du modèle standard de la physique des particules. La constante de structure fine a longtemps fasciné les physiciens, qui ont cherché à la relier à des constantes mathématiques. Richard Feynman, l'un des fondateurs de l'électrodynamique, la comparait au « plus grand mystère de la physique : un nombre magique qui va au-delà de la compréhension de l'homme. » Il écrit : « La constante de couplage observée - l'amplitude d'émission ou d'absorption d'un photon réel par un électron réel - pose un problème aussi fondamental que passionnant. C'est un simple nombre dont la valeur expérimentale tourne autour de -0,085 424 55. Mes collègues physiciens ne reconnaîtront pas ce nombre, car ils préfèrent retenir par cœur l'inverse de son carré: environ 137,035 97 avec une incertitude de l'ordre de 2 sur le dernier chiffre. Ce nombre reste une énigme depuis sa découverte il y a cinquante ans, et tout bon physicien théoricien en est obsédé. La première chose que l'on voudrait savoir, c'est quelle est l'origine de ce nombre de couplage: est-il relié à $\pi$, ou peut-être à la base des logarithmes naturels? Personne ne le sait. C'est
l'un des plus grands mystères de la physique: un nombre magique donné à l'homme sans qu'il y comprenne quoi que ce soit. On pourrait dire que "la main de Dieu" a tracé ce nombre, et que "l'on ignore ce qui a fait courir Sa plume". On connaît le rituel expérimental auquel il faut procéder pour mesurer ce nombre, mais on ne sait pas quel programme il faut mettre dans un ordinateur pour en faire sortir ce nombre, à moins de l'avoir introduit subrepticement » [1].

## Analyse dimensionnelle, rapport aux autres constantes physiques et expressions mathématiques simples

Même avant que Sommerfeld ne nomme la constante de structure fine et lui associe une signification physique, quelques physiciens ont discuté cette quantité et leurs estimations n'étaient pas fondées sur la physique atomique mais sur des considérations d'analyse dimensionnelle. Lewis et Adams [2] ont obtenu une formule en récrivant la loi de Stefan qui donne la densité d'énergie d'un corps noir $\epsilon = aT^4$ sous la forme

$$a = k_B^4 \left(\frac{\epsilon}{\theta^4}\right) \text{ avec } \theta = k_B T$$

$k_B$ étant la constante de Boltzmann, $a$ la constante de Stefan (ou constante radiative) et $T$ la température. En s'appuyant sur le fait que le rapport entre parenthèses a la dimension de (énergie x longueur)$^{-3}$, et que la dimension de $e^2/(4\pi\epsilon_0)$ est (énergie x longueur), les auteurs ont récrit la constante $a$ comme

$$a = k_B^4 \left(\frac{\epsilon}{\theta^4}\right) \left(\frac{e^6}{[4\pi\epsilon_0]^3}\right) \left(\frac{[4\pi\epsilon_0]^3}{e^6}\right)$$

Notant que

$$a \left( \frac{e^6}{[4\pi\epsilon_0]^3} \right) \frac{1}{k_B^4} (4\pi)^6 \approx 0.998$$

ils ont ensuite fait l'hypothèse que cette quantité était égale à 1. Planck découvrit en 1900, que la constante de Stefan est reliée à la constante de Planck par

$$a = \frac{8\pi^5 k_B^4}{15c^3h^3}$$

En égalisant les deux expressions précédentes de $a$, on obtient :

$$h = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 c} (4\pi)^2 \left(\frac{8\pi^5}{15}\right)^{1/3}$$

soit

$$\frac{1}{\alpha} = 8\pi \left(\frac{8\pi^5}{15}\right)^{1/3}$$

dont la valeur numérique est approximativement 137.348. Lunn [3] a même considéré une relation entre la constante de structure fine (qui ne s'appelait pas encore ainsi) et la constante de gravitation G. Il a considéré la quantité sans dimension
$$ \gamma = \frac{Gm_e^2}{\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\right)} $$

qui n'est autre que le rapport entre les forces d'interaction gravitationnelle et électrostatique entre deux électrons ($m_e$ représente la masse de l'électron). Il a trouvé, par essais successifs

$$ \gamma = \frac{\alpha^{17}}{2^{11}\pi^6} \quad \text{soit} \quad G = \frac{\alpha^{17}}{2^{11}\pi^6 m_e^2} \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} $$

Vers la fin de sa vie, le physicien Arthur Eddington tenta d'établir des justifications numériques du caractère entier de $1/\alpha$ (à la fin des années 1930, la meilleure mesure expérimentale obtenue pour la constante de structure fine était d'environ 1/136). Selon lui, cet entier était lié au nombre de protons dans l'Univers, qui nomma « nombre d'Eddington » [4]. Eddington avança, pour des raisons essentiellement esthétiques, que $\alpha$ devait valoir *exactement* 1/136 et que le nombre d'Eddington était égal à $136 \times 2^{256}$. En 1938, il affirma : « Je suis convaincu qu'il y a 15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366 231 425 076 185 631 031 296 protons dans l'univers et le même nombre d'électrons. » Peu de temps après, des mesures améliorées de $\alpha$ révélèrent une valeur plus proche de 1/137, après quoi Eddington modifia sa prédiction, indiquant que $\alpha$ devait valoir *exactement* 1/137 – un fait pour lequel l'hebdomadaire satirique britannique *Punch* le surnomma "Sir Arthur Adding-One".

A cette époque déjà, Eddington n'était pas le seul physicien fasciné par la constante de structure fine. En 1935, Max Born écrivait « Si $\alpha$ était plus grande que ce qu'elle est réellement, nous ne pourrions plus distinguer la matière de l'éther, et notre tâche pour démêler les lois de la nature serait désespérément difficile. Le fait que $\alpha$ valle exactement 1/137 n'est certainement pas dû au hasard mais constitue en soi une loi de la nature. Il est clair que l'explication de ce nombre doit être le problème central de la philosophie naturelle. » [5]. Dans l'éloge funèbre d'Arnold Sommerfeld, il écrit « Etrangement, elle [la constante de structure fine] semble n'avoir été remarquée par personne avant qu'elle n'apparaisse dans la formule de Sommerfeld. Son importance réside dans le fait qu'elle montre clairement la connexion entre la charge et le quantum élémentaires, pour laquelle la théorie actuelle ne peut proposer aucune explication... Ainsi, la découverte de Sommerfeld révèle un des problèmes les plus fondamentaux pour le futur de la physique. » [6].

La constante de structure fine a également intrigué le physicien Wolfgang Pauli et ce dernier a collaboré avec le psychanalyste Carl Jung pour tenter de percer le mystère de sa signification. En particulier, l'expression suivante serait apparue dans plusieurs rêves faits par Pauli [5,7]:

$$ \frac{1}{\alpha} = 4\pi^3 + \pi^2 + \pi = \pi(4\pi^2 + \pi + 1) = 137.0363037 \dots $$

Les tentatives d'exprimer simplement $\alpha$ en fonction de $\pi$ ont perduré longtemps. Ainsi, le mathématicien James Gilson suggéra à la fin des années 90 que la constante de structure fine était mathématiquement donnée par :

$$ \alpha = \frac{29}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{137}\right) \tan\left(\frac{\pi}{137 \times 29}\right) \approx \frac{1}{137.0359997867} $$
avec un grand degré de précision. Aujourd'hui, personne ne soutient plus l'idée que $\alpha$ est l'inverse d'un nombre entier, ni qu'il existe un lien mathématique entre la valeur $\alpha$ et le nombre d'Eddington. Des estimations plus rigoureuses du nombre d'Eddington (nombre de protons dans l'univers) aboutissent à une valeur d'environ $10^{80}$. Elles prennent pour hypothèse que toute matière peut être considérée comme de l'hydrogène, et requièrent des valeurs présumées du nombre et de la taille des galaxies et des étoiles dans l'univers.

## Une limite pour le tableau périodique

Les énergies propres obtenues en résolvant l'équation de Schrödinger pour un atome hydrogénoïde (i.e. à un électron) de numéro atomique Z s'écrivent :

$$E_n = -\text{Ryd} \frac{Z^2}{n^2} \quad \text{avec} \quad \text{Ryd} = \frac{m_e e^4}{32\pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2}$$

où n est le nombre quantique principal. Dans le formalisme relativiste de Dirac, les énergies propres dépendent de n et j, ce dernier nombre quantique valant $\ell-1/2$ ou $\ell+1/2$, $\ell$ étant le nombre quantique orbital $0 \le \ell \le n-1$.

$$E_{nj} = m_e c^2 \left[ 1 + \frac{(Z\alpha)^2}{\left( n - j - \frac{1}{2} + \sqrt{\left(j + \frac{1}{2}\right)^2 - (Z\alpha)^2} \right)^2} \right]^{-1/2} - m_e c^2 \quad \text{avec} \quad \text{Ryd} = \frac{me^4}{32\pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2}$$

Pour $j=1/2$, le radical au dénominateur devient $\sqrt{1-(Z\alpha)^2}$, qui implique nécessairement $Z \le 1/\alpha$ soit $Z \le 137$. Selon la théorie de Dirac, il ne devrait pas exister d'élément de numéro atomique supérieur à 137 (actuellement, l'élément le plus lourd est l'Oganesson, de numéro atomique Z=118).

## Des mesures toujours plus précises aux tests de l'électrodynamique quantique

Il existe principalement deux manières de déterminer précisément la constante de structure fine. La première combine la mesure du moment magnétique anormal de l'électron et la théorie des perturbations en électrodynamique quantique. L'équation de Dirac prédit pour l'électron un facteur de Landé (quantité permettant de permet de relier le moment magnétique au moment cinétique et notée "g") exactement égal à 2. Or, la valeur expérimentale admise en 2014 est $g=2.0023193043737$. Il existe donc un écart, décelé pour la première fois en 1947 [8] dans la structure hyperfine de l'hydrogène et du deutérium. On est ainsi amené à introduire une anomalie $a_e$, définie par :

$$a_e = \frac{g-2}{2} = A_1 \frac{\alpha}{\pi} + A_2 \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^2 + A_3 \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^3 + A_4 \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^4 + a_s$$

La théorie quantique des champs du modèle standard permet de calculer cette anomalie. La contribution dominante vient de l'électrodynamique quantique perturbative, et se présente sous la forme d'un développement en série de puissances de la constante de structure fine. Le dernier terme supplémentaire $a_s$ prend en compte les contributions dues au muon, au tau, et les interactions faible et hadronique. Les constantes $A_i$ sont des nombres sans dimension calculés à l'aide de diagrammes de Feynman. Le premier terme du développement, calculé par Schwinger en 1948, vaut simplement $A_i=1/2$. Ce fut le premier grand succès de la toute nouvelle électrodynamique
quantique. Malheureusement, les calculs des termes suivants sont beaucoup plus compliqués, car le nombre de diagrammes croît très vite avec l'ordre du développement. Le calcul du second coefficient fait intervenir sept diagrammes de Feynman et a été publié en 1957-1958 :

$$A_2 = \frac{197}{144} + \left(\frac{1}{2} - 3 \ln 2\right) \zeta(2) + \frac{3}{4} \zeta(3)$$

où $\zeta(p) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ est la fonction zêta de Riemann.

La correction d'ordre 3 fait intervenir 72 diagrammes de Feynman. Le calcul, commencé en 1969, n'a été terminé et publié qu'en 1996. Son expression analytique est compliquée et fait intervenir la fonction polylogarithme. La correction d'ordre 4 requiert l'évaluation de 891 diagrammes... La valeur de $\alpha$ est déterminée en comparant la valeur expérimentale de $a_e$ avec cette valeur théorique.

La seconde méthode de détermination de la constante de structure fine est basée sur la mesure du rapport $h/m_X$, entre la constante de Planck et la masse atomique $m_X$ de l'élément X. Ce rapport est relié à $\alpha$ par

$$\alpha^2 = 2 \frac{\text{Ryd} A_r(X) h}{c A_r(e) m_X}$$

où $A_r(X)$ et $A_r(e)$ représentent respectivement les masses atomiques relatives de l'élément X et de l'électron :

$$A_r(X) = \frac{m_X}{m_u} \quad \text{et} \quad A_r(e) = \frac{m_e}{m_u}$$

$m_u$ étant l'unité de masse atomique unifiée

$$m_u = \frac{1}{N_A} \frac{M(^{12}_{6}C)}{12}$$

où $M(^{12}\text{C})=12\ 10^{-3}\ \text{kg/mol}$ est la masse molaire du carbone et $N_A$ désigne le nombre d'Avogadro. On a $m_u = \frac{1}{(1000\ N_A)} \approx 1.660538921\ 10^{-27}\ \text{kg}$. Un atome de carbone 12 a une masse d'exactement 12 $m_u$ et la masse d'une mole d'atomes de carbone 12 est exactement 12 g.

L'incertitude sur la masse relative de l'électron $A_r(e)$ est de $4.4\ 10^{-10}$ et la masse atomique relative $A_r(X)$ pour le rubidium (X=Rb) de moins de $10^{-10}$. En s'appuyant sur la très bonne connaissance de la constante de Rydberg (précision de $5\ 10^{-12}$), des chercheurs ont réalisé une expérience consistant à mesurer la vitesse à laquelle recule un atome de rubidium lorsqu'il absorbe un photon (en étudiant comment celui-ci recule lorsqu'il absorbe et réémet successivement mille photons identiques d'énergie parfaitement déterminée). L'atome de rubidium est soumis à deux faisceaux laser contra-propagatifs et déphasés en fréquence l'un par rapport à l'autre. La variation du déphasage (balayage en fréquence) génère des oscillations de Bloch (oscillations d'une particule confinée dans un potentiel périodique et soumise à une force constante, comme par exemple un électron dans un solide soumis à un champ électrique) qui induisent le recul de l'atome [9]. Les chercheurs ont mesuré ce changement de vitesse, qui vaut de l'ordre de 6 m/s avec une précision de 0,06 µm/s. Une performance rendue possible par le piégeage d'atomes de rubidium ultra-froids. Le résultat de cette mesure leur a permis de déterminer la constante de structure fine
$$ \alpha = 1/137\,035\,999\,037\,(91), $$

puis de comparer cette valeur à une autre mesure reposant sur l'étude du moment anormal de l'électron (selon la première approche mentionnée plus haut), mesuré par ailleurs par le groupe de G. Gabrielse à l'université d'Harvard avec une très grande précision [10]. L'accord à mieux d'un milliardième des deux résultats fournit le meilleur test à ce jour de l'électrodynamique quantique.

## Variations autour de la constante de structure fine

A Oklo, dans la province de Haut-Ogooué au Gabon, près de Franceville, à 450 km des côtes atlantiques, la France démarre en 1956 l'exploitation minière de l'uranium. En 1972, le physicien français Francis Perrin découvre que la mine d'Oklo est le résidu fossile d'un réacteur nucléaire naturel, où des réactions de fission nucléaire en chaîne auto-entretenues auraient eu lieu, bien avant l'apparition de l'homme. Oklo nous apprend beaucoup sur les réactions nucléaires qui se produisaient il y a deux milliards d'années. A partir des abondances de divers noyaux, on peut mesurer les sections efficaces de plusieurs réactions nucléaires et les comparer à leurs valeurs actuelles [11,12]. Ainsi, la proportion de samarium 149 est 45 fois moins importante à Oklo que dans d'autre gisements, car il capture un neutron et se recombine en samarium 150, neutron issu de la fission de l'uranium 235 (réaction en chaîne). En déterminant la probabilité de capture neutronique du samarium 149, et en la comparant à la valeur théorique, on peut remonter à la valeur qu'avait la constante de structure fine il y a deux milliards d'années et on trouve qu'elle a subi une variation relative inférieure à $10^{-7}$.

La matière attirée par les trous noirs supermassifs, situés au centre des galaxies en formation, rayonne et donne naissance au phénomène de quasar. Les spectres d'absorption des quasars constituent une signature des nuages de gaz qui se trouvent sur la ligne de visée le long du trajet de la lumière à travers l'univers et la longueur d'onde des raies d'absorption dépend de la constante de structure fine. Si celle-ci varie dans le temps, alors les longueurs d'onde émises par ces quasars situés à plus de 10 milliards d'années-lumière de nous doivent différer des longueurs d'onde mesurées sur Terre, la lumière mettant plus de 10 milliards d'années à nous parvenir. La plupart des mesures ont porté sur des raies du carbone et du silicium trois fois ionisés, ou encore du magnésium et du fer une fois ionisés. En 1999, une équipe d'astrophysiciens menée par John Webb annonça, après avoir analysé les spectres de pulsars, que la constante de structure fine aurait été 0.001 % plus faible il y a dix milliards d'années [13]. Des études complémentaires effectuées depuis par d'autres équipes ont permis de conclure à une variation beaucoup plus faible, inférieure à $10^{-6}$ [14]. Dans une expérience récente, publiée en 2014 [15], des chercheurs ont comparé les résultats de trois télescopes pour la même mesure : le Very Large Telescope européen situé au Chili et les télescopes Keck et Subaru posés au sommet du volcan endormi Manua Kea à Hawaï. Ils ont effectué 24 nuits d'observation et n'ont confirmé aucune variation de la constante de structure fine à la précision atteinte. Si variation il y a, elle serait inférieure à un dix millième de pourcent. Une fois toutes les corrections appliquées, les auteurs ont montré que les trois télescopes donnaient la même réponse.

## Conclusion

Même avant qu'elle ne soit ainsi nommée et identifiée comme une quantité importante en physique atomique par Arnold Sommerfeld, la constante de structure fine fascinait déjà les physiciens. Certains chercheurs ont tenté de la relier à d'autres constantes physiques, comme la constante de
gravitation, d'autres pensaient qu'elle devait s'exprimer de manière algébriquement simple, et des études récentes ont cherché à mesurer son éventuelle variation à travers les âges. Une équipe du Laboratoire Kastler-Brossel de l'Ecole Normale Supérieure de Paris a déterminé la constante de structure fine à partir de la mesure du rapport entre la constante de Planck et la masse d'un atome de rubidium. Ce rapport est déduit de la mesure de la vitesse qu'acquiert un atome lorsqu'il est accéléré par des oscillations de Bloch. Leur estimation de la constante de structure fine, la plus précise à ce jour, a une incertitude relative de 6,6 x 10⁻¹⁰. La comparaison de cette valeur avec la mesure de l'anomalie de l'électron conduit au meilleur test actuel de l'électrodynamique quantique.

## Bibliographie et netographie

[1] R. Feynman, *QED: The Strange Theory of Light and Matter*, Princeton University Press, 1985 ; édition française : *Lumière et matière, une étrange histoire*, InterEditions, 1987.

[2] G. N. Lewis and E. Q. Adams, *A theory of ultimate rational units*, Phys. Rev. **3**, 92-102 (1914).

[3] A. C. Lunn, *Atomic constants and dimensional invariants*, Phys. Rev. 20, 1-14 (1922).

[4] A. Eddington, *The Philosophy of Physical Science* (lecture, 1939).

[5] Miller, A.I. *Deciphering the Cosmic Number: The Strange Friendship of Wolfgang Pauli and Carl Jung*, New York: W.W. Norton, 2009.

[6] M. Born, *Arnold Johannes Sommerfeld*, Obit. Not. Fel. R. Soc. **29**, 269-278 (1952-1953).

[7] P. Várlaki, *Number Archetypes and “Background” Control Theory Concerning the Fine Structure Constant*, Acta Polytechnica Hungarica **5**, 71-104 (2008).

[8] P. Kusch and H. M. Foley, *Precision Measurement of the Ratio of the Atomic "g" Values"* in the $ ^2P_{3/2} $ and $ ^2P_{1/2} $ States of Gallium, Phys. Rev. **72**, 1256-1257 (1947).

[9] R. Bouchendira, P. Cladé, S. Guellati-Khélifa, F. Nez, et F. Biraben, *New determination of the fine structure constant and test of the quantum electrodynamics*, Phys. Rev. Lett. **106**, 080801 (2011).

[10] G. Gabrielse, D. Hanneke, T. Kinoshita, M. Nio and B. Odom, *New Determination of the Fine Structure Constant from the Electron g Value and QED*, Phys. Rev. Lett. **99**, 039902(E) (2007).

[11] J.-P. Uzan and B. Leclercq, *De l'importance d'être une constante*, Dunod, 2005.

[12] J.-P. Uzan, *Constantes, gravitation et cosmologie. Les constantes varient-elles ?*, BUP **889**, 1525 (2006).

[13] J. K. Webb et al., *Search for Time Variation of the Fine Structure Constant*, Phys. Rev. Lett. **82**, 884-887 (1999).

[14] J. Bourdet, *La constante de structure fine reste... constante*, La Recherche **493**, novembre 2014.

[15] T. M. Evans et al., *The UVES Large Program for testing fundamental physics – III. Constraints on the fine-structure constant from 3 telescopes*, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. **445**, 128 (2014).
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Arnold Sommerfeld.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Sir Arthur Eddington.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Timbre américain à l'effigie de Richard Feynman.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Le réacteur naturel d'Oklo, au Gabon.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Les trois télescopes ayant servi à mesurer le spectre d'un quasar situé à 11,5 années-lumière de la Terre. ©Swinburne Astronomy Productions.</figcaption></figure>