Quelques théorèmes de l'Algèbre de Boole et leurs
applications topologiques

par

R. Engelking et K. Kuratowski (Warszawa)

Donnons-nous une algèbre de Boole ($A, +, -, \cdot, 0, 1$). Nous la désignerons, tout court, par $A$. Pour tout $X \subset A$ le symbole $sX$ désignera la somme des éléments de $X$ (si cette somme existe); c'est-à-dire que:

1. $\alpha \subset sX$ pour tout $\alpha \in X$,

2. pour tout $a$ tel que $(a \in X \Rightarrow a \subset a)$ on a $sX \subset a$.

L'algèbre $A$ est dite **complète** lorsque la somme $sX$ existe pour tout $X \subset A$ (cf. [6], p. 58). Pour certaines applications topologiques, la notion d'algèbre complète se montre trop restrictive: au lieu d'admettre que $sX$ existe pour tout $X \subset A$, il convient mieux d'admettre qu'elle existe sous certaines conditions imposées à $X$. Ces conditions seront exprimées en termes de **recouvrements**; elles conduisent à la notion d'algèbre $C$-comp- lète où $C$ est une famille de recouvrements dite régulière (voir § 1); à savoir, l'algèbre $A$ est dite $C$-complète lorsque la somme $sX$ existe pour tout sous-ensemble $X$ d'un recouvrement arbitraire appartenant à $C$.

Pour avoir un exemple d'une algèbre $C$-complète, considérons le cas où $\mathcal{X}$ est un espace topologique et où $A$ est l'algèbre de Boole ayant pour éléments tous les sous-ensembles fermés-ouverts de $\mathcal{X}$ et définis- sons $C$ comme la famille de tous les recouvrements de $\mathcal{X}$ formés d'en- sembles fermés-ouverts, disjoints et dont l'union coïncide avec $\mathcal{X}$ (ce qui est une condition plus restrictive que celle que la somme algébrique coïncide avec $\mathcal{X}$, voir Deuxième partie, remarque 1). L'algèbre $A$ est alors $C$-complète (mais n'est pas complète).

Dans le même ordre d'idées, nous considérons la notion de $C$-filtre, c'est-à-dire d'un filtre (maximal) qui n'est disjoint d'aucun des recouvre- ments appartenant à $C$. Comme on verra, la notion de $C$-filtre correspond à celle de quasi-composante de l'espace $\mathcal{X}$ ($A$ étant — comme aupara- vant — l'algèbre des sous-ensembles fermés-ouverts de $\mathcal{X}$).

Les notions d'algèbre $C$-complète et de $C$-filtre permettrons d'appli- quer l'algèbre de Boole à certains problèmes topologiques considérés ailleurs (voir [4], Appendice).
Nous démontrons en outre quelques théorèmes de l'algèbre de Boole qui paraissent présenter un intérêt par eux-mêmes. Tels sont en particulier les théorèmes qui utilisent la notion de limite inverse. Ajoutons qu'a l'aide de cette notion nous obtenons comme cas particulier le théorème bien connu de M. H. Stone sur la représentation des Algèbres de Boole (§ 3, Remarque 3).

Première partie. Algèbre de Boole

§ 1. Recouvrements. Algèbres C-complètes.

DÉFinition 1. Tout ensemble $\mathcal{O} \subset A$ sera dit un recouvrement de $A$ (à termes disjoints) en symbole $\mathcal{O} \in \mathbf{R}$, lorsqu'il satisfait aux conditions suivantes:

$$
(1) \quad \text{si } a_1 \in \mathcal{O} \text{ et } a_2 \in \mathcal{O}, \text{ on a } a_1 \cdot a_2 = 0,
$$

$$
(2) \quad sC = 1,
$$

c'est-à-dire: à tout $a \neq 1$ correspond un $x \in C$ tel que $x-a \neq 0$,

$$
(3) \quad 0 \text{ non-}\in C.
$$

La famille R est partiellement ordonnée par la relation C₀ ≤ C₁ qui signifie que le recouvrement C₁ est plus fin que C₀, c'est-à-dire que tout élément de C₁ est contenu dans un élément de C₀ (donc — les éléments de C₀ étant disjoints — est contenu dans un seul élément de C₀).

La famille $\mathbf{R}$ est dirigée (est filtrant à droite), c'est-à-dire que:

$$
(4) \quad \text{si } C_1, C_2 \in \mathbf{R}, \text{ il existe un } C_3 \in \mathbf{R} \text{ tel que } C_1 \le C_3 \text{ et } C_2 \le C_3.
$$

Plus précisément, en désignant par $C_1 \circ C_2$ l'ensemble composé de
tous les produits non vides $x \cdot y$ où $x \in C_1$ et $y \in C_2$, on a :

$$
(5) \quad C_1 \le C_1 \circ C_2 \quad \text{et} \quad C_2 \le C_1 \circ C_2.
$$

Pour se convaincre que (C₁ ∘ C₂) ∈ R, considérons un a ≠ 1. D'après (2)
il existe un x ∈ C₁ tel que x - a ≠ 0, c'est-à-dire que x' + a ≠ 1. Comme
C₂ ∈ R, il existe un y ∈ C₂ tel que y - (x' + a) ≠ 0, d'où y ⋅ x - a ≠ 0. Comme
y ⋅ x ∈ C₁ ∘ C₂, la formule (C₁ ∘ C₂) ∈ R se trouve établie.

Donnons-nous à présent un ensemble dirigé T (composé d'éléments arbitraires) et faisons correspondre à tout $t \in T$ un recouvrement $C_t$:

$C: T \rightarrow \mathbf{R}.$

Admettons en outre que

$$
(6) \quad (t_0 \le t_1) \equiv (C_{t_0} \le C_{t_1}).
$$

Dans le cas où $t_0 \le t_1$, désignons par $g_{t_0}^t(x)$ pour tout $x \in C_{t_1}$ l'élément de $C_{t_0}$ (défini de façon univoque) tel que

$$
(7) \quad x \subset g_{t_0}^t(x) \in C_{t_0}.
$$

On a ainsi

$$
(8) \quad g_{t_0}^{t_1}: C_{t_1} \to C_{t_0}.
$$

Remarque. Cette transformation est une transformation sur $C_{t_0}$;
c'est-à-dire que

$$
g_{t_0}^{t_1}(C_{t_1}) = C_{t_0}.
$$

Supposons, en effet, que $y \in C_{t_0}$ n'est pas une valeur de la fonction $g_{t_0}^{t_1}$, c'est-à-dire que, pour tout $x \in C_{t_1}$, on a $g_{t_0}^{t_1}(x) \neq y$, donc (les éléments de $C_{t_0}$ étant disjoints) que $y \cdot g_{t_0}^{t_1}(x) = 0$, d'où $y \cdot x = 0$ (selon (7)), et par conséquent $x \subset y'$. Comme $y' \neq 1$ (d'après (3)), on parvient à une contradiction avec (2).

En vertu des conditions (6) et (7), le système {$C_t, g_{t_0}^t$} est un système inverse (cf. [1], p. 212). Nous le désignerons d'une façon plus brève par {$C_t, \supset$} (2'). L'ensemble $\lim_{\leftarrow\rightarrow} \{C_t, \supset\}$ est donc le sous-ensemble du produit cartésien $PC_t$, où $t \in T$, composé des points {$x^t$} tels que

$$
(9) \quad x^t \in C_t \quad \text{et} \quad x^{t_0} \supset x^{t_1} \quad \text{dès que} \quad t_0 \le t_1.
$$

DÉFinition 2. Toute famille $C = \{C_i\}$, $t \in T$, de recouvrements sera dite régulière, lorsque:

$$
(10) \quad \text{pour tout } a \in A \text{ il existe un } t \in T \text{ tel que } C_t = (a, a'),
$$

$$
(11) \quad \text{si } t_1 \in T \text{ et } t_2 \in T, \text{ il existe un } t_3 \in T \text{ tel que } C_{t_3} = C_{t_1} \circ C_{t_2}.
$$

On en déduit facilement que

$$
(12) \quad \text{chaque famille régulière contient tous les recouvrements finis.}
$$

Évidemment

$$
(12') \quad \mathbf{La famille} \mathbf{R} \mathbf{est} \mathbf{r} \mathbf{égulière}
$$

(on pose ici $T = \mathbf{R}$ et on écrit $C$ au lieu de $C_C$).

Envisageons le cas particulier où il existe dans T le dernier élément;
désignons-le par $t_0$. Autrement dit, le recouvrement $C_{t_0}$ est le plus fin
parmi tous les $C_t$. La famille $C = \{C_t\}$ étant supposée régulière, nous
allons montrer que

$$
(13) \quad C_{t_0} \text{ coïncide avec l'ensemble des atomes } (2) \text{ de l'algèbre } \mathcal{A}.
$$

<footnote>(1) Soit, d'une façon générale, {$\mathcal{X}_i$} un système de sous-ensembles d'une algèbre de Boole, le paramètre $t$ parcourant un ensemble dirigé $T$. Admettons qu'étant donné un couple $t_0 \le t_1$, il existe pour tout $x \in \mathcal{X}_{t_1}$ un seul élément de $\mathcal{X}_{t_0}$ qui contient $x$; désignons le par $g_{t_0}^t(x)$. On vérifie facilement que {$\mathcal{X}_i, g_{t_0}^t$} est un système inverse. Sa limite — que nous désignons $\lim_{\supset\subset} \{\mathcal{X}_i, \supset\}$ — se compose des ensembles {$x^t$} tels que $x^t \in \mathcal{X}_t$ et $x_{t_0} \supset x_{t_1}$ dès que $t_0 \le t_1$.</footnote>

<footnote>(2) On appelle *atome* d'une algèbre de Boole tout élément $a \neq 0$ qui ne contient aucun élément différent de 0 et de $a$.</footnote>
En effet, en supposant que $a \in C_{t_0}$ et que $0 \neq b \subset a$ et $a-b \neq 0$, considérons (cf. (12)) le recouvrement $C_t = (b, a-b, a')$. Évidemment $a$ n'est contenu dans aucun élément de $C_t$; mais cela est incompatible avec l'hypothèse que $C_t \leq C_{t_0}$.

Réciproquement, soit $a$ un atome; posons $C_t = (a, a')$. Comme $C_t \leq C_{t_0}$, il existe un $b \in C_{t_0}$ tel que $b \subset a$, d'où $a = b$. Donc $a \in C_{t_0}$.

**DÉFinition 3.** Soit $C = \{C_t\}, t \in T$, une famille régulière de recouvrements. Nous dirons que l'algèbre $\mathcal{A}$ est $\mathcal{C}$-complète, lorsque la somme $sX$ existe pour tout $X \subset C_t$.

**§ 2. C-filtres.** Rappelons qu'un ensemble $\mathcal{V} \subset \mathcal{A}$ est dit un (vrai) filtre de l'algèbre $\mathcal{A}$ lorsqu'il jouit des propriétés suivantes:

$$ (1) \quad \text{si } a \in \mathcal{V} \text{ et } a \subset b, \text{ on } a, b \in \mathcal{V}, $$

$$ (2) \quad \text{si } a \in \mathcal{V} \text{ et } b \in \mathcal{V}, \text{ on } a, (a \cdot b) \in \mathcal{V}, $$

$$ (3) \quad \text{0 non-}\in \mathcal{V}. $$

**DÉFinition 4.** Étant donnée une famille $C = \{C_t\}, t \in T$, de recouvrements, nous dirons qu'un filtre $\mathcal{V}$ est un C-filtre, en symbole $\mathcal{V} \in U_C$, lorsqu'on a $\mathcal{V} \cap C_t \neq 0$ quel que soit $t \in T$.

L'intersection $\mathcal{V} \cap C_t$ se réduisant à un seul élément (en vertu de (2), (3) et de § 1 (1)), désignons-le par $h^t(\mathcal{V})$. On a donc

$$ (4) \quad (h^t(\mathcal{V})) = \mathcal{V} \cap C_t \quad \text{quel que soit} \quad t \in T. $$

On constate aussitôt que, si la famille $C$ est régulière, tout C-filtre $\mathcal{V}$ est un filtre maximal (un „ultrafiltre“), c'est-à-dire que

$$ (5) \quad \text{pour tout } a \in \mathcal{A}, \text{ on } a \text{ soit } a \in \mathcal{V}, \text{ soit } a' \in \mathcal{V}. $$

(d'ailleurs il n'y a que l'une de ces possibilités qui puisse se présenter).

La réciproque n'est pas vraie en général (voir § 4, remarque 1). Cependant, si tout recouvrement $C_t \in C$ est fini, chaque filtre maximal est un C-filtre.

La démonstration ne présente aucune difficulté.

Rappelons que l'ensemble $S \subset T$ est dit cofinal avec $T$ lorsque à tout $t \in T$ correspond un $s \in S$ tel que $t \leq s$. Nous dirons alors que la famille $D = \{D_s\}$ où $s \in S$, est cofinale avec la famille $C = \{C_t\}$ où $t \in T$.

$$ (6) \quad \text{Si } D = \{D_s\} \text{ est cofinal avec } C = \{C_t\}, \text{ on } a \in U_D = U_C. $$

Tout C-filtre étant évidemment un D-filtre, il s'agit de montrer qu'en supposant que $\mathcal{V} \in U_D$, on a $\mathcal{V} \in U_C$; c'est-à-dire, qu'étant donné un $t \in T$, on a $\mathcal{V} \cap C_t \neq 0$. Or, soit $t \leq s \in S$. Comme $\mathcal{V} \in U_D$, il existe un $a \in \mathcal{V} \cap D_s$, et comme $C_t \leq C_s$ (cf. § 1 (6)), il existe un $b \in C_t$ tel que $a \subset b$. Donc $b \in \mathcal{V}$ d'après (1). On a ainsi $b \in \mathcal{V} \cap C_t$.

**COROLLAIRE.** Si la famille $\mathcal{C} = \{C_t\}$ est régulière et contient le dernier élément, la condition nécessaire et suffisante pour que $\mathcal{V} \in U_C$, est qu'il existe un atome $a$ tel que $\mathcal{V}$ coïncide avec l'ensemble $\mathcal{V}(a)$ de tous les $x$ qui contiennent $a$.

Désignons, en effet, par $t_0$ le dernier élément de $T$ et posons $D = (C_{t_0})$. En supposant que $\mathcal{V} \in U_C$, posons $a = h^t(\mathcal{V})$. On constate aussitôt que l'ensemble $\mathcal{V}(a)$ est un C-filtre, contenu dans $\mathcal{V}$, donc identique à $\mathcal{V}$. De plus, d'après § 1 (13), $a$ est un atome.

Réciproquement, si $a$ est un atome, on a $a \in C_{t_0}$, donc $\mathcal{V}(a) \in U_D$ et d'après le théorème précédent, $\mathcal{V}(a) \in U_C$ puisque $D$ est cofinal avec $C$.

**§ 3. Représentation de la famille $U_C$ des C-filtres comme limite inverse de recouvrements.**

**THÉORÈME 1.** $\mathcal{C} = \{C_t\}, t \in T$, étant une famille régulière de recouvrements, l'application $h = \{h^t\}$ définie par la formule (4) du § 2, transforme de façon biunivoque la famille $U_C$ sur la limite inverse $\lim_{\leftarrow} \{C_t, \supset\}$.

En symbole (³)

$$ (1) \quad h: U_C \leftrightarrow \lim_{\leftarrow} \{C_t, \supset\}. $$

**Démonstration.** D'abord $h(\mathcal{V}) \in \lim\{C_t, \supset\}$. Autrement dit (cf. § 1 (9)) $h^t(\mathcal{V}) \in C_t$ et $h^{t_0}(\mathcal{V}) \supset h^{t_1}(\mathcal{V})$ dès que $t_0 \leq t_1$. En effet, d'après § 2 (4), $h^{t_1}(\mathcal{V}) \in \mathcal{V} \cap C_{t_1}$, et comme selon § 1 (6), $C_{t_0} \leq C_{t_1}$, il existe dans $C_{t_0}$ un élément qui contient $h^t(\mathcal{V})$. D'après § 2 (1), cet élément appartient à $\mathcal{V}$ et, par conséquent (d'après § 2 (4)) est identique à $h^{t_0}(\mathcal{V})$.

Puis, la transformation $h$ est biunivoque. Soit, en effet, $\mathcal{V}_0 \neq \mathcal{V}_1$. Supposons que $a \in \mathcal{V}_0 - \mathcal{V}_1$, d'où $a' \in \mathcal{V}_1$ (selon § 2 (5)). La famille $\mathcal{C}$ étant régulière, soit conformément à § 1 (10), $C_t = (a, a')$. On a donc $h^t(\mathcal{V}_0) = a$ et $h^t(\mathcal{V}_1) = a'$, d'où $h(\mathcal{V}_0) \neq h(\mathcal{V}_1)$.

Il reste à démontrer qu'étant donné $\{x^t\}$ satisfaisant à la condition (9) du § 1, il existe un $\mathcal{V} \in U_C$ tel que $h^t(\mathcal{V}) = x^t$ quel que soit $t \in T$.

Or définissons $\mathcal{V}$ par la condition:

$$ (2) \quad a \in \mathcal{V} \iff \text{il existe un } t \text{ tel que } x^t \subset a. $$

$\mathcal{V}$ est un filtre. En effet, les conditions (1) et (3) du § 2 étant évidemment satisfaites, il s'agit d'établir la condition § 2 (2). Posons donc $x^t_1 \subset a_1$, $x^t_2 \subset a_2$ et $t_1 \leq t_2$, $t_2 \leq t_3$. Il vient d'après § 1 (9), $x^t_3 \subset x^t_1 \cdot x^t_2 \subset a_1 \cdot a_2$, d'où $a_1 \cdot a_2 \in \mathcal{V}$.

Finalement $\mathcal{V}$ est un C-filtre, c'est-à-dire que $\mathcal{V} \cap C_t \neq 0$, quel que soit $t \in T$. En effet, d'après (2) et § 1 (9), on a $x^t \in \mathcal{V} \cap C_t$.

Remarque 1. Soient $A$ et $B$ deux algèbres de Boole. Soient, comme auparavant, $T$ un ensemble dirigé et $C = \{C_t\}$ une famille de recouvre-

<footnote>(³) Nous écrivons $f: X \to \Gamma$, lorsque $f$ est une transformation biunivoque de l'ensemble $X$ sur l'ensemble $\Gamma$ (tout entier).</footnote>
ments de $\mathcal{A}$. Soit, pour tout $t \in T$, $f^t$ une transformation de $C_t$ dans $\mathcal{B}$ telle que

$$ (3) \qquad (x_0 \supset x_1) \equiv [f^t(x_0) \supset f^t(x_1)] \quad \text{dès que} \quad x_0 \in C_{t_0}, x_1 \in C_{t_1} \text{ et } t_0 \le t_1. $$

En posant $f = \{f^t\}$ et $D_t = f^t(C_t)$, on a

$$ (4) \qquad f: \lim_{\leftarrow} \{C_t, \supset\} \leftrightarrow \lim_{\leftarrow} \{D_t, \supset\}. $$

La démonstration est immédiate.

Il en résulte que, la famille $\mathcal{C}$ étant supposée régulière et la transformation $h$ étant définie par la formule § 2 (4), la fonction composée $fh$ satisfait à la condition:

$$ (5) \qquad fh: U_c \leftrightarrow \lim_{\leftarrow} \{D_t, \supset\}. $$

Cela présente une légère généralisation du théorème 1.

Remarque 2. La formule (1) induit une topologie dans l'ensemble $U_c$ des C-filtres. A savoir, on définit la fermeture de tout $V \subset U_c$ par l'équivalence

$$ (6) \qquad (\nabla \in \bar{V}) \equiv [h^t(\nabla) \in h^t(V)] \quad \text{quel que soit } t \in T]. $$

Définissons les ensembles $W_x$ pour $x \in \mathcal{A}$, par l'équivalence:

$$ (7) \qquad \nabla \in W_x \equiv x \in \nabla. $$

Conformément à (6) les $W_x$ sont fermés-ouverts et constituent une base de l'espace $U_c$. En outre, l'espace $U_c$ est complètement régulier de dimension 0 (cf. [4], p. 442).

Dans le cas particulier, où tous les recouvrements $C_t \in \mathcal{C}$ sont finis, l'espace $U_c$ est bicompact.

Car dans ce cas, le produit cartésien $PC_t$ est bicompact (d'après le théorème de Tychonoff) et il en est de même de son sous-ensemble fermé $\lim_{\leftarrow} \{C_t, \supset\}$, donc de $U_c$, qui lui est homéomorphe.

Ajoutons que — comme nous l'avons fait observer dans le § 2 — l'espace $U_c$ coïncide dans le cas considéré avec l'ensemble $U$ de tous les filtres maximaux de l'algèbre $\mathcal{A}$. L'espace $U$ étant bicompact et les ensembles fermés-ouverts $W_x$, où $x \in \mathcal{A}$, formant sa base, tout sous-ensemble fermé-ouvert de $U$ est l'union d'un nombre fini de ces ensembles. Comme, d'autre part, $W$ est une isomorphie (cf. [6], p. 22), il vient, en désignant par $(0, 1)^\nu$ la famille des sous-ensembles fermés-ouverts de $U$:

$$ (8) \qquad W: A \leftrightarrow (0, 1)^\nu. $$

On parvient ainsi au théorème bien connu de M. H. Stone.

**§ 4. Mesures entières.** Admettons, à présent, que l'algèbre $\mathcal{A}$ est C-complète (voir définition 3 du § 1), où $C = \{C_t\}$, $t \in T$, est une famille régulière de recouvrements.

**DÉFinition 5.** Soit $\mu$ une fonction qui attache à tout $x \in \mathcal{A}$ un nombre entier $\mu(x)$; soit $\mu(0) = 0$. Nous l'appelerons C-mesure entière, ou tout court C-mesure, lorsqu'elle est assujettie à la condition suivante d'aditivité pour tout $t \in T$: si $X = \{z_r\} \subset C_t$ (les $z_r$ étant différents deux à deux), on a

$$ (1) \qquad \mu\left(\sum_r z_r\right) = \sum_r \mu(z_r). $$

Bien entendu, cette égalité implique qu'il n'y a dans $C_t$ qu'un nombre fini d'éléments dont la mesure $\neq 0$.

Nous désignons par $\mathfrak{M}_c$ l'ensemble de toutes les C-mesures. $\mathcal{C}$ étant un recouvrement de $\mathcal{A}$, désignons par $\bar{\mathcal{C}}$ l'algèbre de Boole générée par $\mathcal{C}$; elle a donc pour éléments toutes les sommes (finies ou infinies) d'éléments de $\mathcal{C}$ et, par conséquent, elle est une algèbre complète. Nous désignerons par $\mathfrak{M}(\bar{\mathcal{C}})$ l'ensemble des mesures entières définies sur $\bar{\mathcal{C}}$.

Soit $C = \{C_t\}$ une famille régulière de recouvrements. Evidemment, si $t_0 \le t_1$, on a $\bar{C}_{t_0} \subset \bar{C}_{t_1}$ (cf. § 1 (6) et (1)). Désignons par $\{\mathfrak{M}(\bar{C}_t), \text{restr}\}$ le système inverse par rapport à l'opération de restriction; c'est-à-dire que

$$ \text{restr}_{t_0}^{t_1}(\mu) = \mu|_{\bar{C}_{t_0}} \quad \text{où} \quad \mu \in \mathfrak{M}(\bar{C}_{t_1}) \text{ et } t_0 \le t_1. $$

Nous allons établir le théorème suivant:

**THÉORÈME 2.** *L'opération de restriction* $\{\mu|\bar{C}_t\}$, où $t \in T$, *donne lieu à la relation*

$$ (2) \qquad \mathfrak{M}_c \leftrightarrow \lim_{\leftarrow} \{\mathfrak{M}(\bar{C}_t), \text{restr}\}. $$

**Démonstration.** D'abord, l'opération envisagée transforme le membre gauche de la formule (2) dans son membre droit. Car en admettant que $\mu \in \mathfrak{M}_c$, on a

$$ (\mu|\bar{C}_t) \in \mathfrak{M}(\bar{C}_t) \quad \text{et} \quad ((\mu|\bar{C}_{t_1})|\bar{C}_{t_0}) = \mu|\bar{C}_{t_0}. $$

Puis, l'opération de restriction est biunivoque. Car en supposant que $\mu_1 \neq \mu_2$, il existe un $a \in \mathcal{A}$ tel que $\mu_1(a) \neq \mu_2(a)$. En désignant par $t(a)$ l'indice tel que

$$ (3) \qquad C_{t(a)} = (a, a') $$

(cf. § 1 (10)), il vient $\mu_1|\bar{C}_{t(a)} \neq \mu_2|\bar{C}_{t(a)}$.

Nous nous proposons de démontrer à présent que l'opération envisagée est une transformation „sur“ le membre droit de 2.

Il s'agit donc de prouver qu'étant donné un système $\{v_i\}$ où $t \in T$ et où

$$ (4) \qquad v_i \in \mathfrak{M}(\bar{C}_i) \quad \text{et} \quad v_{i_0} = v_{i_1}|\bar{C}_{i_0} \quad \text{dès que} \quad t_0 \le t_1, $$
il existe un $\mu \in \mathfrak{M}_c$ tel que

$$ (5) \qquad \mu|_{\tilde{C}_t} = v_t \quad \text{quel que soit} \quad t \in T. $$

Nous allons montrer en effet que telle est la fonction $\mu$ définie par la condition (cf. (3)):

$$ (6) \qquad \mu(a) = v_{t(a)}(a) \quad \text{quel que soit} \quad a \in A. $$

D'abord $\mu \in \mathfrak{M}_c$. Pour s'en convaincre, posons $a = \sum a_\tau$ où $\{a_\tau\} \subset C_t$. Il s'agit de prouver que

$$ (7) \qquad v_{t(a)}(a) = \sum_{\tau} v_{t(a_{\tau})}(a_{\tau}). $$

Or on constate aussitôt que $(a, a') \le C_t$ et $(a_\tau, a'_\tau) \le C_t$, d'où (selon § 1 (6)) $t(a) \le t$ et $t(a_\tau) \le t$, donc en vertu de (4) on a

$$ (8) \qquad v_{t(a)}(a) = v_t(a) \quad \text{et} \quad v_{t(a_\tau)}(a_\tau) = v_t(a_\tau). $$

L'égalité (7) en résulte en vertu de l'additivité de la fonction $v_t$ (qui est élément de $\mathfrak{M}(\tilde{C}_t)$).

Reste à établir la formule (5). Cela revient à dire, qu'étant donné $a \in C_t$, on a $\mu(a) = v_t(a)$, ou encore (conformément à (6)), que $v_{t(a)}(a) = v_t(a)$. Mais cela est vrai d'après (8).

Remarque. En tenant compte de la formule (2) qui permet de représenter l'ensemble de C-mesures comme limite des ensembles $\mathfrak{M}(\tilde{C}_t)$, il importe de remarquer qu'en général, une algèbre C-complète ne se laisse pas représenter comme limite des algèbres $\tilde{C}_t$. Plus précisément: soit $f_{t_0}^2(x)$, où $x \in \tilde{C}_{t_1}$, le plus petit élément de $\tilde{C}_{t_0}$ qui contient $x$. On voit facilement que

$$ f_{t_0}^2\left(\sum_s x_s\right) = \sum_s f_{t_0}^1(x_s) \quad \text{et} \quad f_{t_0}^1(x_1 - x_2) = f_{t_0}^1(x_1) - f_{t_0}^1(x_2). $$

Il en résulte que la limite $\lim_{\{\tilde{C}_t, f_{t_0}^1\}}$ est une algèbre complète, vu que les algèbres $\tilde{C}_t$ sont complètes (‡).

Comme dans le cas des filtres maximaux, on a le théorème suivant (cf. [6], p. 17):

**THÉORÈME 3.** La fonction caractéristique d'un C-filtre est une C-mesure.

Réciproquement, toute C-mesure qui n'admet que deux valeurs 0 et 1 (et qui n'est pas identiquement nulle) est la fonction caractéristique d'un C-filtre.

**Démonstration.** Soit, en effet, $a_\rho$ la fonction caractéristique de $\nabla$, c'est-à-dire que

$$ a_\rho(a) = \begin{cases} 1 & \text{pour } a \in \nabla, \\ 0 & \text{pour } a \in A - \nabla. \end{cases} $$

Soit $C = \{C_t\}$. Pour $t \in T$, $h^t(\nabla)$ est le seul élément de $C_t \cap \nabla$ (cf. § 2 (4)); tous les autres en sont dis joints. On a donc $a_\rho(h^t(\nabla)) = 1$ et $a_\rho(x) = 0$ pour tout $x \in C_t - (h^t(\nabla))$. Soit $z = \sum z_\tau$ où $z_\tau \in C_t$; si l'un des $z_\tau$ est identique à $h^t(\nabla)$, on a $z \supset h^t(\nabla)$, d'où $z \in \nabla$, donc $a_\rho(z) = 1 = \sum a_\rho(z_\tau)$, dans le cas contraire $z \cdot h^t(\nabla) = 0$, d'où $z \in A - \nabla$, donc $a_\rho(z) = 0 = \sum a_\rho(z_\tau)$.

La fonction $a_\rho$ est donc une C-mesure (cf. (1)).

Réciproquement, admettons que $\mu$ est une C-mesure à valeurs 0 et 1, et désignons par $\nabla$ l'ensemble des $x$ tels que $\mu(x) = 1$. Evidemment $\mu(1) = 1$ (puisqu' le recouvrement $(x, x')$ appartient à la famille C). Il s'en suit que dans tout recouvrement $C_t$ il existe un (donc un seul élément) $a_t$ tel que $\mu(a_t) = 1$.

Nous en concluons que les conditions (1)-(3) du § 2 sont satisfaites (c'est-à-dire que $\nabla$ est un filtre). En effet, si $a \subset b$ et $\mu(a) = 1$, on en déduit, en considérant le recouvrement $(a, b-a, b')$ (cf. § 1 (12)), que $\mu(b-a) = 0$, d'où $\mu(b) = \mu(a) + \mu(b-a) = 1$. La condition (1) est donc satisfaite. Pour établir (2), nous envisageons le recouvrement $(a \cdot b, a \cdot b'$, $a' \cdot b, a' \cdot b')$ (en omettant au bésoin les termes vides); si $\mu(a) = 1 = \mu(b)$, il vient $\mu(a') = 0 = \mu(b')$, d'où $\mu(a \cdot b') = 0 = \mu(a' \cdot b') = \mu(a' \cdot b')$; donc $\mu(a \cdot b) = 1$.

$\nabla$ est donc un C-filtre et $\mu = a_\rho$.

**§ 5. L'ensemble $\mathfrak{M}_c$ de C-mesures conçu comme groupe topologique.** On confère à $\mathfrak{M}_c$ le caractère d'un groupe abélien en convenant que

$$ (1) \qquad (\mu_1 + \mu_2)(a) = \mu_1(a) + \mu_2(a) \quad \text{quel que soit} \quad a \in A. $$

On constate aussitôt que, pour tout $t \in T$, $\mu|_{\tilde{C}_t}$ est une homomorphie de $\mathfrak{M}_c$ dans $\mathfrak{M}(\tilde{C}_t)$ et, pour tout $a \in A$, $\mu(a)$ est une homomorphie de $\mathfrak{M}_c$ dans $\mathfrak{X}$ (groupe des nombres entiers).

Conférons à $\mathfrak{M}_c$ la topologie induite par la formule § 4 (2), c'est-à-dire que la fermeture de tout $\mathfrak{M} \subset \mathfrak{M}_c$ est définie par l'équivalence:

$$ (2) \qquad (\mu \in \mathfrak{M}) \equiv [(\mu|_{\tilde{C}_t}) \in (\mathfrak{M}|_{\tilde{C}_t}) \text{ quel que soit } t \in T]. $$

On prouve facilement (cf. [4], Appendice § 1, II) que $\mathfrak{M}_c$ est un groupe topologique complètement régulier et de dimension 0.

**THÉORÈME 4.** Étant donné un système de C-filtres $\nabla_1, \dots, \nabla_m$, distincts deux à deux, leurs fonctions caractéristiques $a_{\rho_1}, \dots, a_{\rho_m}$ sont linéairement indépendantes; c'est-à-dire que l'implication suivante est satisfaite:

$$ (3) \qquad (k_1 a_{\rho_1} + \dots + k_m a_{\rho_m}) = 0 \Rightarrow (k_1 = \dots = k_m = 0). $$

<footnote>(‡) En ce qui concerne la représentation des algèbres de Boole par des systèmes inverses d'algèbres de Boole, voir [2].</footnote>
Démonstration. Il suffit de démontrer l'existence d'un système $a_1, ..., a_m$ tel que

$$ (4) \qquad a_i \in \nabla_i \text{ et } a_i \cdot a_j = 0 \text{ pour } i \neq j. $$

Car on en déduira aussitôt que $a_{\nu_i}(a_i) = 1$ et $a_{\nu_i}(a_j) = 0$ pour $i \neq j$, d'où l'implication (3) suivra immédiatement.

Or, pour établir (4), procédons par induction. Soit $m=2$. En supposant que $a \in \nabla_1 - \nabla_2$, on pose $a_1 = a$ et $a_2 = a'$. Admettons donc que $m > 2$ et que notre proposition est vraie pour tout $k < m$. Soit $a \in \nabla_{m-1} - \nabla_m$ et soient $b_1, ..., b_{m-1}$ et $c_1, ..., c_{m-1}$ deux systèmes, chacun composé d'éléments disjoints, et tels que

$$ b_i \in \nabla_i \text{ pour } i = 1, ..., m-1, \text{ et } a_i \in \nabla_i \text{ pour } i=1, ..., m-2, m. $$

$$ \text{Posons: } a_i = b_i \cdot c_i \text{ pour } i \le m-2, \quad a_{m-1} = b_{m-1} \cdot a \text{ et } a_m = c_m \cdot a'. $$

On vérifie facilement que les conditions (4) se trouvent réalisées.

Considérons à présent le cas particulier, où parmi les recouvrements $C_i, t \in T$, il existe le recouvrement le plus fin. Il se compose donc des atomes de l'algèbre $\mathcal{A}$ (cf. § 1 (13)). D'après le corollaire du § 2, tout atome $\mathcal{a}$ détermine alors un $\mathcal{C}$-filtre $\nabla(\mathcal{a})$ composé des $\mathcal{x}$ qui contiennent $\mathcal{a}$; posons $\bar{\mathcal{a}}_\mathcal{a} = a_{\nu(\mathcal{a})}$. La fonction $\bar{\mathcal{a}}_\mathcal{a}$, que nous appelerons mesure caractéristique de $\mathcal{a}$, satisfait à la condition

$$ \bar{\mathcal{a}}_\mathcal{a}(x) = \begin{cases} 1 & \text{pour } a \subset x, \\ 0 & \text{pour } a \cdot x = 0. \end{cases} $$

On a le théorème suivant:

**THÉORÈME 5.** Dans les hypothèses ci-dessus, les mesures caractéristiques des atomes, sont les générateurs du groupe $\mathfrak{M}_c$.

Démonstration. Soit $\mu \in \mathfrak{M}_c$. Posons $k_a = \mu(a)$ où la variable $a$ parcourt l'ensemble de tous les atomes de $\mathcal{A}$. Il s'agit de prouver que

$$ (5) \qquad \mu = \sum_a k_a \bar{\mathcal{a}}_a, \text{ c'est-à-dire } \mu(x) = \sum_a k_a \bar{\mathcal{a}}_a(x) \text{ quel que soit } x \in \mathcal{A}. $$

Il suffit évidemment d'établir la dernière égalité pour le cas où $x$ est un atome. Dans ce cas-ci, cette égalité suit des formules $\bar{\mathcal{a}}_x(x) = 1$ et $\bar{\mathcal{a}}_a(x) = 0$ pour $x \neq a$.

La démonstration se trouve achevée en rapprochant l'égalité (5) du théorème 4.

Dans les cas particulièrement simples où le recouvrement le plus fin se compose d'un nombre fini (soit $m$) ou dénombrable d'atomes, le groupe $\mathfrak{M}_c$ est isomorphe respectivement à $\mathfrak{Z}^m$ ou à $\mathfrak{Z}^\infty$ (le dernier désignant le groupe additif de toutes les suites infinies de nombres entiers, chacune ne contenant qu'un nombre fini de termes $\neq 0$).

Dans le cas général, où le nombre des atomes est arbitraire, on obtient un résultat analogue.

## Deuxième partie. Applications topologiques

Donnons-nous un espace métrique séparable $\mathcal{X}$ et considérons l'algèbre de Boole ayant pour éléments les sous-ensembles fermés-ouverts de $\mathcal{X}$. Dans cette interprétation, $A+B$ désigne l'union des ensembles (fermés-ouverts) $A$ et $B$, $A \cdot B$ désigne leur intersection, $1 = \mathcal{X}$, $A = (0, 1)^\mathcal{X}$ (famille de tous les sous-ensembles fermés-ouverts de $\mathcal{X}$).

Soit $\mathcal{C}$ une famille arbitraire d'ensembles fermés-ouverts, non vides, disjoints et dont l'union est l'espace $\mathcal{X}$ tout entier. Désignons par $\mathbf{R}$ la classe de toutes les familles de ce genre. $\mathcal{C}$ est un recouvrement dans le sens de la définition 1 du § 1. Autrement dit (cf. § 1 (2)), étant donné un ensemble fermé-ouvert $Z \neq \mathcal{X}$, il existe un $\mathcal{X} \in \mathcal{C}$ tel que $X \not\subseteq Z$; en effet, $p$ étant un point de $\mathcal{X}-Z$, l'ensemble $\mathcal{X}$ tel que $p \in \mathcal{X} \in \mathcal{C}$ est l'ensemble demandé.

On constate facilement que la classe $\mathbf{R}$ est régulière dans le sens de la définition 2 du § 1 (cf. aussi § 1 (12')) (5).

Remarque 1. La classe $\mathbf{R}$ ne coïncide pas en général avec la classe $\mathbf{R}$ (cf. définition 1); c'est-à-dire qu'il peut exister un recouvrement de $\mathcal{X}$ (dans le sens de la définition 1) tel que l'union de ses éléments n'est pas identique à $\mathcal{X}$. Pour s'en convaincre, considérons l'espace $\mathcal{X}$ formé d'une suite convergente de points $p_1, p_2, ...$ et de leur limite $q$. Soit $P_n = (p_n)$. Il vient $s(P_n) = \mathcal{X}$ tandis que $\bigcup P_n \neq \mathcal{X}$.

Dans la même algèbre de Boole, il existe un filtre maximal qui n'est pas un $\mathbf{R}$-filtre. Tel est, en effet, le filtre $\nabla$ composé de tous les ensembles fermés-ouverts qui contiennent le point $q$. Car $(P_1, P_2, ...)$ est un recouvrement-élément de $\mathbf{R}$ et cependant aucun $P_n$ n'appartient à $\nabla$.

**§ 6. Quasi-composantes de l'espace $\mathcal{X}$**. Désignons par $Q(\mathcal{X})$, ou — plus court — par $Q$, la famille de toutes les quasi-composantes (6) de l'espace $\mathcal{X}$. Attachons à toute quasi-composante $Q$ de $\mathcal{X}$ la famille $E(Q)$ de tous les sous-ensembles fermés-ouverts de $\mathcal{X}$ qui contiennent $Q$. On constate facilement que $E(Q)$ est un $\mathbf{R}$-filtre

$$ (1) \qquad E: Q \to U_R. $$

On a le théorème plus précis suivant:

**THÉORÈME 6.** $E$ est une transformation biunivoque de $Q$ sur $U_R$. Autrement dit, à tout $\mathbf{R}$-filtre $\nabla$ correspond une et une seule quasi-composante $Q$ de $\mathcal{X}$ telle que $\nabla = E(Q)$. En symbole

$$ E: Q \leftrightarrow U_R. $$

<footnote>(*) Comme dans le cas de la formule § 1 (12'), on pose ici $T = \mathbf{R}$ et on écrit $C$ au lieu de $C_c$.</footnote>

<footnote>(2) La quasi-composante du point $p$ est, par définition, l'intersection de tous les sous-ensembles fermés-ouverts de l'espace qui contiennent ce point.</footnote>
Démonstration (?). D'abord, la transformation $\mathcal{E}$ est biunivoque. En effet, si $Q_1 \neq Q_2$, il existe un $Z$ fermé-ouvert tel que $Q_1 \subset Z$ et $Q_2 \cap Z = \emptyset$. Donc $Z \in \mathcal{E}(Q_1) - \mathcal{E}(Q_2)$.

Afin de démontrer que la transformation $\mathcal{E}$ est „sur $\mathcal{U}_R$“, considérons un $\nabla \in \mathcal{U}_R$. Il s'agit de démontrer l'existence d'un point commun à tous les $Z \in \nabla$ (on désignera alors par $\mathcal{Q}$ la quasi-composante de ce point). Supposons, par contre, qu'à tout $x \in \mathcal{X}$ correspond un $Z_x \in \nabla$ tel que $x \in Z_x$. Il en résulte que $\bigcup_x Z'_x = \mathcal{X}$, et en vertu du théorème de Lindelöf, il existe une suite $x_1, x_2, ...$ telle que $\bigcup_i Z'_{x_i} = \mathcal{X}$. Posons

$$G_i = Z'_{x_i} - \bigcup_{j<i} Z'_{x_j}, \quad \text{d'où} \quad \bigcup_i G_i = \mathcal{X} \text{ et } G_i \cap G_j = 0 \text{ pour } i \neq j.$$

La suite $G_1, G_2, ...$ est donc un recouvrement-élément de $\mathbf{R}$ (en y éloignant, au besoin, les $G_i$ vides), et $\nabla$ étant un $\mathbf{R}$-filtre, il existe (cf. la définition 4 du § 2) un indice $i$ tel que $G_i \in \nabla$. Comme $G_i \subset Z'_{x_i}$, il vient en vertu de § 2 (1), $Z'_{x_i} \in \nabla$. Mais ceci est impossible puisque $Z_{x_i} \in \nabla$.

Les théorèmes 1 et 6 impliquent le théorème suivant:

**THÉORÈME 7.** Désignons par $H^C(Q)$ pour tout $C \in \mathbf{R}$, l'ensemble-élément de $C$ défini (de façon univoque) par la condition suivante

$$(2) \qquad Q \subset H^C(Q) \in C.$$

L'application $H = \{H^C\}$, où $C$ parcourt $\mathbf{R}$ est alors une transformation biunivoque de $Q$ sur la limite inverse $\lim_{\leftarrow} \{C, \subset\}$. En symbole (cf. le renvoi (*) du § 3):

$$(3) \qquad H: Q \leftrightarrow \lim_{\leftarrow} \{C, \subset\}.$$

On a, en effet, $H = h\mathcal{E}$. Car en posant $\nabla = \mathcal{E}(Q)$, il vient, d'après § 2 (4), $h^C(\nabla) \in \nabla$, donc $h^C(\nabla) \in \mathcal{E}(Q)$, d'où $Q \subset h^C(\nabla)$; comme en outre (d'après § 2 (4)) $h^C(\nabla) \in C$, on conclut de (2) que $H^C(Q) = h^C(\nabla) = h^C(\mathcal{E}(Q))$.

**Remarque 2.** Le cas considéré au § 1 où parmi les recouvrements $C_i \in C$, il existe le plus fin, correspond dans l'interprétation topologique envisagé à celui où toutes les quasi-composantes de $\mathcal{X}$ sont ouverts (elles coïncident alors avec les composantes de $\mathcal{X}$). Ces quasi-composantes sont alors les atomes de l'algèbre de Boole (0, 1)$^\mathcal{X}$.

Tel est, en particulier, le cas où $\mathcal{X}$ est localement connexe.

**Remarque 3.** Le théorème 7 admet la généralisation suivante:

Admettons que $C = \{C_i\}$, $t \in T$, se compose de tous les éléments de $\mathbf{R}$ (ou — plus généralement — est cofinale avec $\mathbf{R}$) et désignons par

$K^t(Q)$ pour tout $Q \in \mathcal{Q}$ l'ensemble-élément de $C_t$ défini (de façon univoque) par la condition suivante

$$(4) \qquad Q \subset K^t(Q) \in C_t. \\
(5) \qquad K: Q \leftrightarrow \lim_{\leftarrow} \{C_t, \supset\}.$$

En effet, on a (cf. § 2 (6)) $U_C = U_R$, donc (comme dans la démonstration du théorème 7) $K = HE$ où $(H^t(\nabla)) = \nabla \cap C_t$ (cf. § 2 (4)).

**Remarque 4.** Dans le théorème 7, la propriété de Lindelöf de l'espace $\mathcal{X}$ est essentielle. Pour s'en convaincre, envisageons l'ensemble de tous les nombres ordinaux $< \Omega$ comme espace $\mathcal{X}$ (avec la topologie habituelle) et désignons par $\nabla$ la famille de tous les sous-ensembles fermés-ouverts de $\mathcal{X}$ qui contiennent un intervalle final de $\mathcal{X}$. On constante facilement que $\nabla$ est un $\mathbf{R}$-filtre et que cependant l'intersection des ensembles-éléments de $\nabla$ est vide.

**Remarque 5.** Comme nous l'avons vu (Remarque 2 du § 3), la formule (1) du § 3 induit une topologie dans l'ensemble des $C$-filtres. En vertu du théorème 6, la même topologie s'applique à l'ensemble $\mathcal{Q}$ des quasi-composantes de $\mathcal{X}$. Plus précisément, en appliquant la formule (3), on définit la fermeture de $X \subset \mathcal{Q}$ par l'équivalence:

$$(6) \qquad (Q \in \bar{X}) \equiv [H^C(Q) \in H^C(X)] \text{ quel que soit } C \in \mathcal{R}.$$

L'espace $\mathcal{Q}$ devient ainsi complètement régulier de dimension 0.

Il est à remarquer que cette topologie de $\mathcal{Q}$ ne coïncide pas en général avec la topologie-quotient où $\mathcal{Q}$ est considéré comme quotient de $\mathcal{X}$ par la relation „x et y appartiennent à la même quasi-composante de $\mathcal{X}$“ (ce que l'on exprime aussi en disant que $\mathcal{X}$ est connexe entre $x$ et $y$). Car il existe des espaces de dimension positive (même de dimension infinie) dont les quasi-composantes se réduisent à des points individuels (cf. [4], p. 95); un espace de ce genre est évidemment homéomorphe à l'espace-quotient précité.

Ajoutons que dans le cas de $\mathcal{X}$ compact, les deux topologies: la topologie-quotient et celle définie par le formule (6), coïncident.

**§ 7. Quasi-composantes de l'espace $\mathcal{X}$ considéré comme sous-ensemble d'un espace $\mathcal{Y}$ localement connexe.** Dans ce cas on parvient à une caractérisation de l'ensemble $\mathcal{Q}$ en utilisant la Remarque 1 du § 3.

Désignons, à ce but, par $T$ la famille de tous les ensembles $\mathcal{G}$ ouverts (dans $\mathcal{Y}$ tels que $\mathcal{G} \subset \mathcal{G}$). Cette famille est partiellement ordonnée par la relation d'inclusion:

$$(1) \qquad (G_0 \subseteq G_1) \equiv (G_0 \supseteq G_1).$$

Comme $G_1 \supseteq (G_1 \cap G_2)$ et $G_2 \supseteq (G_1 \cap G_2)$, la famille $T$ est dirigée.

<footnote>(*) Dans la démonstration actuelle nous avons tenu compte de simplifications suggérées par M. R. Sikorski.</footnote>
Désignons, comme d'habitude, par $Q(G)$ la famille des quasi-composantes de l'ensemble $G$ (qui coïncident d'ailleurs avec les composantes de $G$).

On voit aussitôt que, si $G_0 \le G_1$, à tout $W \in Q(G_1)$ correspond un et un seul $U \in Q(G_0)$ tel que $W \subset U$. Le système $\{Q(G), \supset\}$, où $G \in T$, est donc un système inverse et sa limite a pour éléments les $\{W^G\}$ tels que

$$ (2) \quad W^G \in Q(G) \text{ et } W^{G_0} \supset W^{G_1} \text{ dès que } G_0 \le G_1. $$

**THÉORÈME 8** (s). Désignons, pour tout $Q \in Q(X)$, par $L^G(Q)$ l'ensemble défini par la condition

$$ (3) \quad Q \subset L^G(Q) \in Q(G). $$

L'application $L = \{L^G\}$, où $G \in T$, est alors une transformation biunivoque de $Q(X)$ sur $\lim_{\leftarrow} \{Q(G), \supset\}$:

$$ (4) \quad L: Q(X) \leftarrow \lim_{\leftarrow} \{Q(G), \supset\}. $$

**Démonstration.** Désignons, pour tout $G \in T$, par $C_G$ la famille de toutes les intersections non vides $Z = X \cap W$ où $W \in Q(G)$.

On constate aussitôt qu'à tout $Z \in C_G$ correspond un seul $W \in Q(G)$ tel que $Z = X \cap W$; désignons le par $F^G(Z)$. On a donc

$$ (5) \quad Z = X \cap F^G(Z) \text{ et } F^G(Z) \in Q(G). $$

Les composantes $W$ de $G$ étant fermés-ouvertes dans $G$, on voit facilement que $C_G$ est un recouvrement de $X$ à termes disjoints, c'est-à-dire que $C_G \in R$. Nous allons démontrer que la classe $C = \{C_G\}$ où $G \in T$ est cofinale avec $R$, c'est-à-dire qu'étant donné un $C \in R$, il existe un $G \in T$ tel que $C \le C_G$.

Posons $C = \{Z_\tau\}$. Les ensembles $Z_\tau$ étant disjoints et ouverts dans $X$, il existe une famille $\{V_\tau\}$ d'ensembles disjoints, ouverts dans $Y$ et tels que $X \cap V_\tau = Z_\tau$ (cf. [3], p. 122, théorème 2). Posons $G = \bigcup_\tau V_\tau$. Il vient $C \le C_G$. En effet, $F^G(Z)$ étant une composante de $G$ (cf. (5)), il existe un $\tau$ tel que $F^G(Z) \subset V_\tau$. Par conséquent

$$ Z = X \cap F^G(Z) \subset (X \cap V_\tau) = Z_\tau \in C. $$

La classe $C = \{C_G\}$ étant cofinale avec $R$, la Remarque 3 du § 6 est applicable en substituant à la formule (4) du § 6 la suivante

$$ (6) \quad Q \subset K^G(Q) \in C_G \quad \text{pour} \quad Q \in Q(X). $$

On en conclut (d'après § 6 (5)) que

$$ (7) \quad K: Q(X) \leftarrow \lim_{\leftarrow} \{C_G, \supset\}. $$

D'autre part, les formules (5) et (6) impliquent aussitôt que

$$ (8) \quad Q \subset K^G(Q) \subset F^G K^G(Q) \in Q(G), \text{ d'où } L^G(Q) = F^G K^G(Q) $$

en vertu de (3).

Donc pour déduire la formule (4) de la formule (7) (ce qui achevera la démonstration du théorème 8), il reste à montrer qu'en posant

$$ (9) \quad F\{Z^G\} = \{F^G(Z^G)\} \text{ pour tout } Z^G \in \lim_{\leftarrow} \{C_G, \supset\}, $$

on a

$$ (10) \quad F: \lim_{\leftarrow} \{C_G, \supset\} \leftarrow \lim_{\leftarrow} \{Q(G), \supset\}. $$

Nous allons appliquer à ce but la Remarque 1 du § 3.

Or soient $G_0 \le G_1$ et $Z_0 \in C_{G_0}$, $Z_1 \in C_{G_1}$. Il vient

$$ (11) \quad (Z_1 \subset Z_0) = [F^{G_1}(Z_1) \subset F^{G_0}(Z_0)]. $$

Soit, en effet, $Z_1 \subset Z_0$. Comme $F^{G_1}(Z_1) \in Q(G_1)$ (selon (5)) et $G_1 \subset G_0$, il n'existe qu'une seule composante $U$ de $G_0$ telle que $F^{G_1}(Z_1) \subset U$; il vient $U = F^{G_0}(Z_0)$ puisque $Z_1 \subset U \cap F^{G_0}(Z_0)$ d'après les formules

$$ Z_1 \subset Z_0 \subset F^{G_0}(Z_0) \quad \text{et} \quad Z_1 \subset F^{G_1}(Z_1) \subset U. $$

L'implication de gauche à droite est donc établie. L'implication inverse résulte directement de (5).

L'équivalence (11) implique (cf. les formules (3) et (4) du § 3) que

$$ (12) \quad F: \lim_{\leftarrow} \{C_G, \supset\} \leftarrow \lim_{\leftarrow} \{F^G(C_G), \supset\}. $$

La formule (10) sera donc établie dès que nous aurons prouvé que

$$ \lim_{\leftarrow} \{F^G(C_G), \supset\} = \lim_{\leftarrow} \{Q(G), \supset\}; $$

autrement dit: qu'étant donnée une famille $\{W^G\}$ satisfaisant à (2), on a pour tout $G \in T$, $W^G = F^G(C_G)$, c'est-à-dire (cf. (5)) que $X \cap W^G \neq 0$.

Or, en supprimant de $G$ toutes les composantes disjointes de $X$, on obtient un ensemble ouvert $G_1 \supset X$ tel que $G \le G_1$. Donc $G_1 \in T$ et $X \cap W^{G_1} \neq 0$. Il en résulte en vertu de (2) que $X \cap W^G \neq 0$.

**§ 8. Applications topologiques de mesures entières** (9).
$X$, $A$ et $R$ ayant le même sens qu'auparavant, soit $C = \{C_i\}$, $t \in T$, une famille contenant comme éléments tous les recouvrements qui appartient à $R$. L'ensemble $M_C$, que nous désignerons à présent $M(X)$, coïncide

<footnote>(*) Ce théorème a été démontré par S. Mrówka, voir [5].</footnote>

<footnote>(*) Tous les théorèmes du § 8 se trouvent dans [4], Appendice.</footnote>
alors avec celui de toutes les mesures entières définies sur les sous-ensembles fermés-ouverts de $\mathcal{X}$; plus précisément, si $Z = \bigcup Z_\tau$, où $Z, Z_\tau \in (0, 1)^\lambda$ et $Z_\tau \cap Z'_\tau = 0$ pour $\tau \neq \tau'$, alors $\mu(Z) = \sum_\tau \mu(Z_\tau)$.

Tous les théorèmes des §§ 4 et 5 se traduisent alors en théorèmes topologiques. En particulier

$$ (1) \qquad \mathcal{M}(\mathcal{X}) \leftrightarrow \lim_{\leftarrow\rightarrow} \{\mathcal{M}(\bar{C}_i) : \mathrm{restr}\} $$

où l'opération $\{\mu|C_i\}$ est l'isomorphie demandée, qui est en même temps une homéomorphie, la topologie étant définie par la formule (2) du § 5.

A la place de fonction caractéristique d'un $\mathbf{R}$-filtre $\nabla$, on considère la „mesure caractéristique“ de la quasi-composante $\mathcal{Q}$ qui correspond à $\nabla$ conformément au théorème 2 du § 6.

En considérant, comme dans le § 7, $\mathcal{X}$ comme sous-ensemble d'un espace $\mathcal{Y}$ localement connexe, on parvient à la caractérisation extérieure suivante du groupe $\mathcal{M}(\mathcal{X})$. Désignons, d'une façon générale par $\mu^{\mathcal{Y}}$, pour tout $\mu \in \mathcal{M}(\mathcal{X})$, l'extension de la mesure $\mu$ sur $(0, 1)^{\mathcal{Y}}$ en posant

$$ \mu^{\mathcal{Y}}(H) = \mu(\mathcal{X} \cap H) \quad \text{quel que soit} \quad H \in (0, 1)^{\mathcal{Y}}. $$

On montre alors (voir [4], p. 469) que l'opération d'extension $\{\mu^G\}$, où $G$ parcourt les sous-ensembles ouverts de $\mathcal{Y}$ qui contiennent $\mathcal{X}$, est une isomorphie (et en même temps, une homéomorphie):

$$ (2) \qquad \mathcal{M}(\mathcal{X}) \leftrightarrow \lim_{\leftarrow\rightarrow} \{\mathcal{M}(G) : \mathrm{ext}\}. $$

Ces théorèmes jouent un rôle important dans la démonstration des théorèmes de dualité entre le groupe de cohomotopie et celui de mesures. Plus précisément: désignons par $\mathcal{C}^n$ l'espace euclidien, par $S_n$ la sphère $n$-dimensionnelle et par $\mathcal{P}_n$ l'espace $\mathcal{C}^n$ diminué du point 0. Soit $\mathcal{X} \subset \mathcal{C}^n$. Soit $\mathcal{N}(\mathcal{Y})$ le groupe des mesures satisfaisant à la condition $\mu(\mathcal{Y}) = 0$. On a alors l'isomorphie (voir [4], p. 497):

$$ (3) \qquad \lim_{\leftarrow\rightarrow} \{\mathcal{Q}(\mathcal{P}_n^F) : \mathrm{restr}\} \leftrightarrow \lim_{\leftarrow\rightarrow} \{\mathcal{N}(G) : \mathrm{ext}\} $$

où $F$ parcourt les sous-ensembles compacts de $\mathcal{X}$ et $G = S_n - F$ et où $\mathcal{Q}(\mathcal{P}_n^F)$ est conçu comme groupe relativement à l'opération de la multiplication cohomotopique (de Borsuk).

D'autre part, on montre que l'opération de restriction $\{\Gamma'|F\}$ est une isomorphie de $\mathcal{Q}(\mathcal{P}_n^\lambda)$ dans le membre gauche de (3) et que la formule (2) reste vraie en remplaçant $\mathcal{M}$ par $\mathcal{N}$. Il en résulte l'existence d'une isomorphie de $\mathcal{Q}(\mathcal{P}_n^\lambda)$ dans $\mathcal{N}(S_n - \mathcal{X})$. Cette isomorphie est „sur“:

$$ (4) \qquad \mathcal{Q}(\mathcal{P}_n^\lambda) \leftrightarrow \mathcal{N}(S_n - \mathcal{X}) $$

si $\mathcal{X}$ est localement compact (voir [4], p. 499).

Ce sont bien ces considérations qui nous ont suggérées d'analyser le rôle de l'Algèbre de Boole dans les raisonnements qui y intervenaient et de réunir dans une étude séparée ceux qui se prêtaient à être formulés en termes de cette Algèbre.

### Travaux cités

[1] S. Eilenberg and N. Steenrod, *Foundations of algebraic topology*, Princeton 1952.

[2] F. Haimo, *Some limits of Boolean algebras*, Proc. Amer. math. Soc. 2, pp. 566-576.

[3] K. Kuratowski, *Topologie I*, éd. IV, Warszawa 1959.

[4] — *Topologie II*, éd. III, Warszawa 1961.

[5] S. Mrówka, *On the sets of quasi-components*, Bull. Acad. Pol. Sci. VII (1959), pp. 703-705.

[6] R. Sikorski, *Boolean algebras*, Berlin 1960.

Reçu par la Rédaction le 29. 8. 1961