# Méthode de calcul de contrôle en boucle fermée pour des équations aux dérivées partielles stochastiques

Maurice Robin

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To cite this version:

Maurice Robin. Méthode de calcul de contrôle en boucle fermée pour des équations aux dérivées partielles stochastiques. [Rapport de recherche] IRIA-RR-112, IRIA. 1975, pp.53. hal-04716106

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Méthode de calcul
de contrôle en boucle fermée
pour des équations
aux dérivées partielles stochastiques

Maurice

M.Robin.

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n° 112.

Avril 1975
# MÉTHODE DE CALCUL DE CONTROLE EN BOUCLE FERMÉE
POUR DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES STOCHASTIQUES

## M. Robin

On étudie des problèmes de contrôle optimal pour une classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques non linéaires. On se limite essentiellement à des feedback lipschitzien et ne dépendant que de l'état présent.

Pour les applications numériques, après s'être ramené à un problème approché déterministe, on utilise deux types d'approximations pour calculer un contrôle en boucle fermée :

- approximation par une fonction linéaire par morceau

- approximation par une combinaison linéaire de fonctions splines du 3ème degré.

Les résultats montrent une assez bonne performance du contrôle en boucle fermée par rapport au contrôle en boucle ouverte.

We consider a class of optimal control problems for stochastic partial differential equations. We only take lipschitzian feedback, depending only on the current state.

For numerical applications, we define an approached deterministic problem and we use two types of approximations :

- approximation by a piecewise linear function

- approximation by cubic splines.

The results give a good improvement for the feedback compared with the open loop control.
# PLAN

## Introduction

1. Equations paraboliques stochastiques (Rappels)

2. Problèmes de contrôle

2.1. Contrôles admissibles – Hypothèses

2.2. Contrôle distribué

2.2.1. existence d'un feedback optimal

2.2.2. existence d'un contrôle optimal open loop

2.3. Controle frontière

3. Méthodes numériques

3.1. Problème déterministe approché

3.2. Feedback linéaire par morceau

3.3. Feedback sous forme paramétrique

4. Résultats numériques

4.1. Contrôle distribué

4.2. Contrôle frontière
# INTRODUCTION

On étudie ici des problèmes de contrôle dont les caractéristiques sont les suivantes :

- l'état est régi par une équation aux dérivées partielles stochastiques de type parabolique (non linéaire)

- le contrôle est un feedback c'est à dire une fonction de l'état passé et présent : on se limite ici à un feedback. lipschitzien et ne dépendant que de l'état présent.

On considère une classe de problèmes où le contrôle est distribué et une autre où le contrôle n'intervient que sur la frontière.

On montre dans les deux cas l'existence d'un feedback optimal. L'existence de contrôle en boucle ouverte (open loop) est montrée de façon analoque au cas déterministe.

Pour les applications numériques, on se ramène à un problème déterministe par simulation des termes aléatoires (cf. QUADRAT - VIOT [13]). Les feedback sont calculés soit sous forme paramétrique soit sous forme "libre" en adaptant une méthode introduite par CHAVENT (cf. [5] [6]) pour un problème d'identification.

- Une partie des résultats exposés ici ont été publiés dans [20].
# 1. Equations paraboliques stochastiques.

On énonce ici l'essentiel des résultats sur les équations stochastiques que l'on utilisera ensuite; pour les démonstrations cf. A. BENSOUSSAN [3] - TEMAM [4] - PARDOUX [12].

Soit $H$ un espace de Hilbert séparable, $V$ un espace de Banach réflexif et séparable, dense dans $H$ avec injection continue. $H$ est identifié à son dual ; on a alors

$$V \subset H \subset V' \qquad (1.1)$$

Chaque espace étant dense dans le suivant et les injections étant continues.

Soit $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ un espace de probabilité

on note $H = L^2(\Omega, \mu, H)$

$$\gamma = L^p(\Omega, \mu, V) \qquad p \geq 2$$

«...» est la dualité $VV'$, (...) le produit scalaire dans $H$, $|\cdot|$ et $||\cdot||$ les normes de $H$ et $V$ $||\cdot||_*$ la norme dans $V'$

On notera $L^2(X)$ l'espace $L^2(o, T), X$ (T fini).

On note également $b(t)$ un processus de Wiener hilbertien (cf. A. BENSOUSSAN [1]) c'est à dire un processus stochastique à valeur dans $H$ qui vérifie

$$\forall h, h_1, h_2 \in H, \forall t, t_1, t_2 \ge u$$

i) $(b(t), h)$ est une v.a gaussienne centrée

$$\text{ii) } E \left[ (b(t_1), h_1) \cdot (b(t_2), h_2) \right] = \int_0^{\min(t_1, t_2)} Q(1) h_1, h_2 \, ds$$

où $Q(t)$ est un opérateur autoadjoint, positif et nucléaire, avec :
$$\text{trace } Q(t) \in L^\infty[0,T]$$
- On donne maintenant une famille d'opérateurs

$$
\begin{gather*}
A(t) \text{ de V dans } V' \text{ telle que} \\
\langle A(t)y, y \rangle + \lambda |y|^2 \ge \alpha \|y\|^p \tag{1.2} \\
\forall y \in V \quad \text{pp en } t \quad \lambda, \alpha > 0
\end{gather*}
$$

$$
\forall y \in V \quad \text{pp en } t \quad \lambda, \alpha > 0
$$

$$
\begin{gather*}
\forall n \text{ (entier)} \quad \forall w \in V, \mathcal{E} \eta \text{ tel que} \\
\langle A(t)y - A(t)z, w \rangle \le n \|y - z\| \tag{1.3}
\end{gather*}
$$

$$
\forall y, z \in V \text{ vérifiant } \sup ( \|y\|, \|z\| ) \le n
$$

$$
\forall y \in V \quad \| A(t)y \|_{*} \le \beta \| y \|^{p-1} \quad (1.4)
$$

$$
\langle A(t)y - A(t)z, y - z \rangle + \lambda |y - z|^2 \ge 0 \quad (1.5)
$$

$$
\begin{gather*}
\text{et si } t \to y(t) \text{ est mesurable (à valeur dans } V) \\
t \to A(t)y(t) \text{ l'est aussi (à valeur dans } V')
\end{gather*}
$$

On trouvera alors dans PARDOUX [12], le résultat suivant :

**Théorème 1.1** : Pour $y_o \in H$, donné

$$
\text{il existe } y \in C(o,T,\mathcal{H}) \cap L^p(o,T, \nu)
$$

unique, tel que

$$
y(t) + \int_{0}^{t} A(s)y(s) \, ds = b(t) + y_{0} \quad (1.6)
$$

(égalité dans $C(o,T, V')$)

et

$$
E|y(t)|^2 + 2 E \int_0^t \langle A(s)y(s), y(s) \rangle ds = E|b(t)|^2 + E|y_0|^2 \quad (1.7)
$$

**Corollaire 1.1** : Si on prend $A(t) = \sum_{i=1}^{m} A_i(t)$

où $A_i(t)$ vérifie (1.2) à (1.5) pour des espaces $V_i$, $V'_i$, $p_i$
avec $V_i \subset H \subset V'_i$ - Alors on a existence et unicité de
$y \in \bigcap_i L^{p_i}(o, T, V_i)$ $y \in C(o, T, H)$

vérifiant

$$
\mathrm{d}y + \sum_i A_i(t) \mathrm{d}t = \mathrm{d}b \tag{1.8}
$$

$$
y(o) = y_o
$$
### Remarque 1.1 :

Pour un opérateur $\tilde{A} = A + F$

A vérifie (1.2) à (1.5), et F est un opérateur uniformément lipschitzien de H dans H, on peut montrer qu'il existe $\beta'$, $\alpha'$, $\lambda'$ de façon que $\tilde{A}$ vérifie (1.2) à (1.5)

### Remarque 1.2 :

naturellement on peut avoir un second membre $f$ dans $L^2(o, T, V')$ sans que les résultats soient changés.

### Remarque 1.3 :

Le résultat démontré dans PARDOUX [12] est plus général. On peut en particulier avoir un terme du type $B(y)$ db avec B opérateur lipschitzien de H dans H. Les résultats que l'on verra dans la suite s'étendent à ce cas.
## 2. Problèmes de contrôle.

### 2.1 Contrôles admissibles :

On notera $u_f$ la classe dans feedbacks admissibles qui sera dans toute la suite définie par :

$u \in \mathcal{U}_f$ si et seulement si

i) $u$ est une fonction de $R \to R$

ii) $u$ est uniformément lipschitzienne de constante

$k \le K$ donné

iii) $|u(o)| \le M$ donné

On sait alors que $u_f$ est compact dans $C(R)$ pour la topologie de la convergence compacte [cf [17]]

D'autre part on notera $u_o$ la classe des contrôles "open loop" admissibles

ce sera ici $L^2(o,T,H)$ pour le cas distribué

et $L^2(o,T;L^2(\Gamma))$ pour le cas frontière.

Dans toute la suite on suppose :

$$H = L^2(\mathcal{O}) \quad \mathcal{O} \text{ ouvert borné de } R^n \quad (2.1)$$

### 2.2. Contrôle distribué

#### 2.2.1 Existence d'un Feedback optimal

L'équation d'état sera ici

$$dy(t) + A(t)y(t) db + u(y(t)dt = db (t) \quad (2.2)$$

$$y(o) = y_o$$

avec $u \in \mathcal{U}_f$

et A vérifiant les hypothèses (1.2) à (1.5).
On vérifie facilement que l'opérateur $\tilde{A}$ défini par

$$ \langle \tilde{A}y, \varphi \rangle = \langle Ay, \varphi \rangle + (u(y), \varphi) $$

vérifie encore ces hypothèses.

On notera $P1$ le problème suivant

$$ \begin{cases} \text{minimiser} & J(u) = E \left\{ \int_{0}^{T} |y - z_{d}|^{2} dt + \alpha \int_{0}^{T} |u(y)|^{2} dt \right\} \\ \text{avec } z_{d} \text{ donné dans } L^{2}(0,T,H) \\ \text{et } y \text{ vérifiant (2.2)} \end{cases} \quad (2.3) $$

On appellera $P0$ le problème open loop associé, c'est à dire

$$ \begin{cases} \text{minimiser sur } L^2(0,T,H) \text{ la fonctionnelle} \\ J(w) = E \left\{ \int_0^T |y - z_d|^2 dt \right\} + \alpha \int_0^T |w(t)|^2 dt \end{cases} \quad (2.4) $$

$$ \text{avec } dy + A(t) y dt = w(t)dt + db(t) \quad (2.5) $$

**Théorème 2.1.** : Avec les notations précédentes la fonctionelle (2.3) est continue sur $u_f$, et donc le $P1$ a une solution.

**Démonstration :**

Soit $u_n$ une suite dans $u_f$, $u_n$ convergeant vers $u$ dans $u_f$ (convergence uniforme sur tout compact).

$$ \text{Soit } y_n = y(u_n) \qquad y = y(u) $$

On pose $w_n = y_n - y$ qui vérifie :

$$ w_n(t) + \int_0^t A(s) y_n ds - \int_0^t A(s) ds + \int_0^t (u_n(y_n) - u(y)) ds = 0 \quad (2.6) $$

$$ \text{donc } w'_{n}(t) \in L^{2}(0,T, \mathcal{M}') $$

et on peut écrire presque surement pour $\mu$

$$ \left| \begin{array}{l} w'_{n}(t) + Ay_n - Ay + u_n(y_n) - u(y) = 0. \\ w_n(0) = 0 \end{array} \right. $$
d'où

$$
E |w_n(t)|^2 + 2 \int_0^t E \langle Ay - Ay, w_n \rangle ds + 2E \int_0^t (u_n(y_n) - u(y), w_n) ds = 0 \quad (2.7)
$$

avec (1.5)

$$
E |w_n(t)|^2 \le E \int_0^t |u_n(y_n) - u(y)|^2 ds + (1+\lambda) \int_0^t |w_n|^2 ds \quad (2.8)
$$

d'autre part

$$
|u_n(y_n) - u(y)|^2 \le 2|u_n(y_n) - u_n(y)|^2 + 2|u_n(y) - u(y)|^2 \quad (2.9)
$$

$$
\le 2 k^2 |y_n(t)-y(t)|^2 + 2 |u_n(y) - u(y)|^2 \quad (2.10)
$$

en reportant (2.10) dans (2.8), et par le lemme de Gronwall :

$$
E|w_n(t)|^2 \le (2E \int_0^T |u_n(y) - u(y)|^2 ds) e^{k't} \quad (2.11)
$$

$$
(k' = 2k^2 + 1 + \lambda)
$$

La convergence de $E |w_n(t)|^2$ vers 0 sera une conséquence du lemme suivant

**Lemme 2.1 :**

Soit (E,a,m) un espace mesuré.

Soit B ∈ a de mesure finie et z ∈ L²(E)

alors si $u_n \to u$ dans $u_f$ on a

$$
I_n \stackrel{\Delta}{=} \int_B |u_n(z(x)) - u(z(x))|^2 dm(x) \to 0
$$

en appliquant ce lemme à E = ]0,T[x ⌒ x Ω

$m = dt \otimes dx \otimes d\mu$, et $B = ]0,T[x \oslash x \Omega$

on aura

$y_n \to y$ dans $L^2(0,T, \mathcal{H})$ fort donc $u^n(y^n) \to u(y)$ dans $L^2(0,T, \mathcal{H})$ fort$\dots$

(on utilise la propriété de lipschitz et le lemme 2.1)
donc $J(u_n) \to J(u)$

Démonstration du lemme 2.1 :

$z \in L^2(E)$ donc

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists M_\varepsilon > 0 \text{ tel que } \int_{V(M_\varepsilon)} |z(x)|^2 dm(x) \le \varepsilon \quad (2.12) $$

$$ \text{ou } V(M_\varepsilon) = \{ x \in E ; |z(x)| > M_\varepsilon \} $$

$$ \text{soit } \bar{V}(M_\varepsilon) \text{ le complémentaire de } V(M_\varepsilon) $$

$$ \text{pour } x \in B \cap \bar{V}(M_\varepsilon) \text{ on a } z(x) \in [-M_\varepsilon, M_\varepsilon] $$

donc, par la convergence uniforme sur tout compact de $u_n$ vers $u$

$$ \forall M_\varepsilon > 0, \exists \varepsilon' > 0 \text{ tel que } \forall n \ge N_\varepsilon $$

$$ \int_{B \cap \bar{V}(M_\varepsilon)} |u_n(z(x)) - u(z(x))|^2 dm(x) < \varepsilon' \quad (2.13) $$

d'autre part sn $B \cap V(M_\varepsilon)$ on a

$$ \begin{aligned} |u_n(z(x)) - u(z(x))|^2 &\le 3 \left\{ |u_n(z(x)) - u_n(o)|^2 + |u_n(o) - u(o)|^2 \right. \\ &\qquad \left. + |u(o) - u(z(x))|^2 \right\} \end{aligned} \quad (2.14) $$

$$ \le 3 \left\{ 2k^2 z^2(o) + |u_n(o) - u(o)|^2 \right\} $$

d'où

$$ \int_{B \cap V(M_\varepsilon)} |u_n(z(x)) - u(z(x))|^2 dm \le 6k^2\varepsilon + |u_n(o) - u(o)|^2 \quad \text{mes } (B) \quad (2.15) $$

soit encore pour $n \ge N_\varepsilon$,

$$ \int_{B \cap V(M_\varepsilon)} |u_n(z(x)) - u(z(x))|^2 dm \le 6k^2\varepsilon + \varepsilon' \mathfrak{m}(B) \quad (2.16) $$
en rassemblant (2.12) - (2.13) - (2.16) - on a
$\forall \epsilon \exists N_{\epsilon}$ tel que $\forall n \ge N_{\epsilon}$ $I_n \le \epsilon$ •
### Remarque 2.1 : Généralisations diverses

a) - on peut considérer des équations du type

$$dy + Ay dt + F(y,u) dt = db$$

si F est défini à partir d'une fonction de $R^2 \to R$ uniformément lipschitzienne en u et y (ou encore un terme de forme $u(y) f(y)$ avec *u et f* lipschitziennes *bornées*

b) - tous les résultats seront encore valables avec un feedback dépendant explicitement du temps sous les hypothèses suivantes

$$u_f = \begin{cases} u : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} ; & |u(0,0)| \le M \\ |u(y,t) - u(y',t')| \le k |y-y'| + k' |t-t'|^\alpha \end{cases}$$

pour $0 < \alpha < 1$ donné

### 2.2.2. Contrôle en boucle ouverte (open loop)

On ne sait démontrer l'existence d'un contrôle optimal dans $L^2(o,T,H)$ pour le problème Po qu'avec une hypothèse supplémentaire :

$$\text{On suppose } \mathbb{F} \lambda' > 0, \alpha' > 0$$

$$\langle Ay - Az, y - z \rangle + \lambda' |y - z|^2 \ge \alpha' \|y - z\|^2 \quad (2.17)$$

$$\forall y, z \in V$$

et l'injection $V \to H$ est compacte

$$\textbf{exemple :} \quad A = B + F$$

* B linéaire coercif de $V \to V'$

* F uniformément lipschitzien de $H$ dans $H$
Théorème 2.2

Sous les hypothèses de § 1, et 2 et avec (2.17), il existe
une solution au problème Po (défini par (2.4)-(2.5)).

Démonstration.

Soit une suite minimisante $u_n$ dans $L^2(o,T,H)$ ; $u_n$ est bornée dans $L^2(o,T,H)$.

Soit donc une sous suite (u_n) convergeant dans L^2(o,T,H) fai-
ble.

On note $y_n$ la solution de (2.5) pour $u_n$

y " " " " u

$$
w_n = y_n - y
$$

On a p s pour la mesure µ.

$$
w_n'(t, \omega) + Ay_n(t, \omega) - Ay(t, \omega) = u_n(t) - u(t) \quad (2.18)
$$

$$
w_n(t, \omega) = 0
$$

d'où d'après (2.17)

$$
|w_n(t, \omega)|^2 + 2\alpha' \int_0^t ||w_n(s, \omega)||^2 ds \le \int_0^t |u_n - u|^2 ds + (1+\lambda') \int_0^t |w_n|^2 ds
$$

donc $w_n(\omega)$ est borné dans $L^2(o,T,V)$

et dans L^∞(o,T,H)

$A w_n(\omega)$ est borné dans $L^2(o,T,V')$

donc $w_n'(\omega)$ également

donc il existe une sous suite $w_\mu(\omega)$ (dépendant à priori de $\omega$)

$w_\mu(\omega) \to w(\omega)$ dans $L^2(o,T,V)$ faible

$w'_\mu(\omega) \to w'(\omega)$, $L^2(o,T,V')$ faible

donc $w_\mu(\omega) \to w(\omega)$ dans W(o,T)
comme on a supposé l'injection de V dans H compacte, l'injection de
$W(o,T)$ dans $L^2(o,T,H)$ l'est également cf.[9]

$w_\mu(\omega) \to w(\omega)$ dans $L^2(o,T,H)$ fort

d'ou

$$
\int_{o}^{T} (w_{\mu}(\omega), u_{\mu}-u) \, ds \to 0. \qquad (2.19)
$$

d'autre part

$A(w_\mu + y)$ est borné dans $L^2(o,T,V')$

et donc par passage à une sous suite

$A(w_\mu + y) \to \chi$ dans $L^2(o,T,V')$ faible

on montre alors que $\chi = A(w + y)$

comme dans LIONS [9], [11]

c'est à dire

On a

$$
w' + \chi - A(y) = 0 \tag{2.20}
$$

$w[0] = 0$

On pose

$$
\tilde{A}(w) = A(w + y)
$$

et

$$
X_{\mu} = \int_{0}^{T} \langle \tilde{A}(w_{\mu}) - \tilde{A}(v), w_{\mu} - v \rangle \, ds
$$

ou

$$
\begin{align*}
\int_0^T \langle \tilde{A}(w_\mu), w_\mu \rangle \, ds &= \int_0^T \langle A(y), w_\mu \rangle \, ds - \int_0^T \langle w'_\mu, w_\mu \rangle \, ds + \int_0^T (u_\mu - u, w_\mu) \, ds \\
&= \int_0^T \langle A(y), w_\mu \rangle \, ds - \frac{1}{2} |w_\mu(T)|^2 + \int_0^T (u_\mu - u, w_\mu) \, ds
\end{align*}
$$
d'où

$$
X_{\mu} = \int_{0}^{T} (u_{\mu} - u, w_{\mu}) + \int_{0}^{T} \langle A(y), w_{\mu} \rangle ds - \frac{1}{2} |w_{\mu}(T)|^2 \\
- \int_{0}^{T} \langle \tilde{A}(w_{\mu}), v \rangle ds - \int_{0}^{T} \langle \tilde{A}(v), w - v \rangle ds
$$

$$
\text{Lim Sup} \quad X_{\mu} \le \int_{0}^{T} \langle A(y), w \rangle ds - \frac{1}{2} |w(T)|^{2} - \int_{0}^{T} \langle \chi, v \rangle - \int_{0}^{T} \langle \tilde{A}(v), w-v \rangle ds
$$

(où l'on a utilisé (2.19))

on utilise alors (2.20)

$$
\frac{1}{2}|w(T)|^2 + \int_{0}^{T} \langle \chi, w \rangle ds - \int_{0}^{T} \langle A(y), w \rangle ds = 0
$$

$$
\text{Lim Sup} \quad X_{\mu} \le \int_{0}^{T} \langle \chi, w-v \rangle - \int_{0}^{T} \langle \tilde{A}(v), w-v \rangle \\
\qquad \qquad \qquad \int_{0}^{T} \langle \chi - \tilde{A}(v), w-v \rangle ds \ge 0 \quad \forall v \in V
$$

On utilise alors l'hémicontinuité pour obtenir

$$
\chi = \tilde{A}(w)
$$

d'où

$$
w' + A(w+y) - A(y) = 0
$$

$$
w(0) = 0
$$

or, cette équation a une solution unique qui est

$w = 0$
donc on a montré que

$$y_{\mu}(\omega) \rightarrow y(\omega) \text{ dans } L^{2}(o,T,H) \text{ fort}$$

Il faut maintenant montrer que toute la suite $w_n(\omega)$ converge fortement dans $L^2(o,T,H)$, (ou encore dans $L^2(o,T,V)$ faible) ce qui permettra de s'affranchir de la dépendance en $\omega$.

Ceci tiendra à l'unicité de la limite de $w_n(\omega)$

En effet, supposons qu'il existe une sous suite extraite de la suite $w_n(\omega)$, soit $w(\omega)$, qui converge dans $L^2(o,T,V)$ faible, mais vers une limite $w \neq 0$

le même raisonnement de compacité que précédemment montrera que l'on a

$$w' + A(w+y) - A(y) = 0 \qquad w(o) = 0$$

dont l'unique solution est $w = 0$ d'ou une contradiction.

en conséquence pour presque tout $\omega$

$$y_n(\omega) \rightarrow y(\omega) \quad L^2(o,T,H) \text{ fort}$$

l'application du théorème de Lebesque donne alors

$$y_n \rightarrow y \text{ dans } L^2(o,T,H) \text{ fort}$$

On en déduit que le critère est faiblement semi continu inférieurement d'où l'existence d'un contrôle optimal.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
### Remarque 2.2

On peut montrer de la même façon l'existence d'un contrôle optimal pour le problème suivant

$$ dy + Ay dt + uy dt = db(t) \quad (2.21) $$

$$ y(0) = y_0 $$

$$ u \leftarrow \left\{ u \in L^{\infty}(]0,T[ \times \mathcal{O}) , |u| \le M \right\} $$

le critère étant le même que précédemment et A étant linéaire coercif. [pour le problème déterministe cf. LIONS [2)].

- malheureusement on ne sait pas montrer l'existence d'un feedback optimal lipschitzien dans ce cas (pour u lipschitzien borné on ne sait pas montrer l'existence d'une solution forte de (2.21)

## 2.3. Contrôle frontière.

Les conditions seront ici plus sévères que dans le p§ 2.2 Formellement l'équation d'état sera

$$ \frac{\partial y}{\partial t} - \Delta y + F(y) = \frac{\partial b}{\partial t} \quad (2.22) $$

$$ \frac{\partial y}{\partial n} \Big|_{\Gamma} = u(y_{\Gamma}) $$

y_Γ trace sur Γ de y

u ∈ u_Γ défini en § 2.1

F sera dans la suite de ce paragraphe une fonction uniformément lipschitzienne.

[mais on peut faire plusieurs généralisations notamment en considérant une somme d'opérateurs monotones cf. Remarque 2.3]
Le critère à minimiser est encore

$$
J(u) = E \left\{ \int_{0}^{T} |y - z_{o}|^{2} dt + \alpha \int_{0}^{T} |u(y_{\Gamma})|^{2} dt \right\} \quad (2.23)
$$
$$
(|u(y_{\Gamma})|^2 \text{ signifiera toujours } |u(y_{\Gamma})|^2 \quad \begin{array}{l} L^2(\Gamma) \\ \Gamma \end{array})
$$

Pout être précis on note O un cuvert borné de Rn de frontière Γ
régulière et on définit l'opérateur linéaire continu A_u de V → V'

$$
\text{par} \qquad \langle A_u v, w \rangle = \left( \frac{\partial v}{\partial x} , \frac{\partial w}{\partial x} \right) + (F(v),w) - (u(v_Γ),w_Γ) \quad (2.24)
$$

de suite que (2.23) s'écrit

$$
\begin{equation}
\begin{split}
dy + A_u y dt &= db(t) \\
y(0) &= y_0
\end{split}
\tag{2.25}
\end{equation}
$$

$$
y(0) \equiv y_0
$$

pour y ∈ U

$$
V = H^1(\mathcal{O})
$$

$$
H = L^2(\mathcal{O})
$$

Théorème 2.3.

Il existe y unique appartenant à

$$
C(o,T,H) \cap L^2(o,T,\gamma)
$$

vérifiant :

$$
y(t) + \int_{0}^{t} A_{u} y(s) ds = y_{0} + b(t) - b(0) \quad (2.26)
$$

et de plus

$$
E|y(t)|^2 + 2 E \int_0^t \langle A_u y(s), y(s) \rangle ds = E|y_0|^2 + E|b(t)|^2 - E|b(0)|^2 \tag{2.27}
$$
## Démonstration :

Il suffit de vérifier les hypothèses (1.2) à (1.5)

## Vérification de (1.2)

La dépendance de $u$ de $A_u$ sera sous entendue :

$$ \langle Ay, y \rangle = \left| \frac{\partial y}{\partial x} \right|^2 + (F(y), y) - (u(y_T), y_T) $$

$$ (F(y), y) \geq -|(F(y)-F(o), y)| - |(F(o), y)| \\ \geq -k|y|^2 - \frac{1}{2}|y|^2 - \frac{1}{2}F^2(o). \text{ mes } (O) $$

$$ (u(y_T), y_T) \leq k|y_T|^2 + \frac{1}{2}|y_T|^2 + \frac{1}{2}M^2 \text{ mes } (\Gamma) $$

$$ \langle Ay, y \rangle \geq \left| \frac{\partial y}{\partial x} \right|^2 - k_1 |y|^2 - k_2 |y_T|^2 + c $$

C étant une constante

Or on sait que [cf. [2].]

$$ \forall \epsilon, \exists C_{\epsilon}. $$

$$ |y_T|^2 \leq \epsilon ||y||_{H^1}^2 + C_{\epsilon} |y|^2 \quad \forall v \in H^1(O) \quad (2.28) $$

d'où

$$ \langle Ay, y \rangle \geq \left| \frac{\partial y}{\partial x} \right|^2 - (k_1 + K_1 C_{\epsilon}) |y|^2 - K_1 \epsilon ||y||_{H^1}^2 + C $$

On peut prendre $\epsilon = \frac{1}{2K_1}$ par exemple

$$ \text{et } \lambda = k_1 + K_1 C_{\epsilon} + \frac{1}{2} $$
d'où

$$ \langle Ay, y \rangle + \lambda |y|^2 \geq \frac{1}{2} \|y\|^2 + C $$

(la constante C est sans importance dans l'utilisation de la coercité.)

Le calcul est analogue pour (1.3) et (1.4).

On ne montre que

$$ \langle Ay - Az, y-z \rangle + \lambda |y-z|^2 \geq \beta ||y-z||^2 \quad (2.29) $$

$$ \langle Ay-Az, y-z \rangle = \left| \frac{\partial y-z}{\partial x} \right|^2 + (F(y)-F(z), y-z) - (u(y_T)-u(z_T), y_T-z_T) $$

$$ (F(y)-F(z), y-z) \geq -k|y-z|^2 $$

et par (2.28)

$$ \begin{align*} (u(y_T)-u(z_T), y_T-z_T) &\leq K |y_T-z_T|^2 \\ &\leq 2K ||y-z||^2 + C \varepsilon K |y-z|^2 \end{align*} $$

en choisissant $\lambda, \varepsilon$ convenables, on obtient (2.29).

<figure><img src="image_4.png" /></figure>
Théorème 2.4.

Sous les hypothèses précédentes il existe un feedback optimal
dans $U_f$.

Démonstration :

Soit $u_n$ une suite dans $U_f$ convergeant vers $u$ au sens de la
convergence compacte.

On note $y_n$, y les solutions pour $u_n$ et $u$

$$
W_n = y_n - y
$$

On a par (2.27)

$$
\begin{align*}
& E|W^n(t)|^2 + 2 E \int_0^t \left| \frac{\partial W^n}{\partial x} \right|^2 ds + 2 E \int_0^t (F(y^n) - F(y), W^n)_{ds} \\
& \qquad - 2 E \int_0^t (u_n(y^n) - u(y^n), W^n)_{ds} = 0 \quad (2.30)
\end{align*}
$$

On réutilise le caractère lipschitzien de u et F, et (2.28) pour obtenir

$$
E|W^n(t)|^2 + E \int_0^t ||W^n||^2 ds \le C \int_0^t E|W^n|^2 ds + \int_0^t E|u^n(y_Γ) - u(y_Γ)|^2 ds \quad (2.31)
$$

Par le lemme de Gronwall

$$
E|W^n(t)|^2 \le (E \int_0^T |u^n(y_\Gamma) - u(y_\Gamma)|^2 ds) \exp(Ct)
$$

On utilise le lemme 2.1

d'ou

$$
E|w^n(t)|^2 \to 0 \qquad (2.32)
$$
en reportant (2.32) dans (2.31)

on a

$$E \int_{0}^{T} \|W\|_{2}^{n} ds \to 0$$

donc

$$y_n \to y \text{ dans } L^2(o,T, \nu) \qquad (2.33)$$

(2.32) et (2.33) dans (2.28) donne

$$y_{\Gamma}^{n} \to y_{\Gamma} \quad \text{dans } L^{2}(o,T, L^{2}(\Omega, \mu, L^{2}(\Gamma))) \text{ fort}$$

d'ou l'on déduit facilement :

$$U^n(y_{\Gamma}^n) \to u(y_{\Gamma}) \text{ dans } L^2(o,T, L^2(\Omega, \mu, L^2(\Gamma))) \text{ fort}$$

donc $J(u)$ est continu sur $U_f$ et il existe un contrôle optimal.
### Remarque 2.3

On peut faire la démonstration avec

$$dy(t) + A_1 y dt + A_2 y dt = db_t$$

$$y(0) = y_0$$

Avec

$$\langle A_1 y, z \rangle = \frac{\partial y}{\partial x} , \frac{\partial z}{\partial x} - (u(y_Γ), z_Γ)$$

$$\langle A_2 y, z \rangle = (|y|y, z) \quad \text{pour } z \in L^3(\mathcal{O})$$

$$V_1 = H^1(\mathcal{O})$$

$$V_2 = L^3(\mathcal{O})$$

(cf. corollaire 1.1). C'est cet exemple qui servira pour les applications numériques.

### Remarque 2.4

On peut également montrer l'existence d'un contrôle optimal open loop dans $L^2(\mathcal{O}, T \times \Gamma)$. La démonstration est du même type que celle du théorème 2.2.

### Remarque 2.5 Autres cas.

1. Le résultat du théorème 2.4 reste valable pour un critère du type

$$E \int_{0}^{T} |y_{\Gamma} - z_{d}|^{2} dt + \alpha \int_{0}^{T} |u(y_{\Gamma})|^{2} dt$$

(avec $z_d$ donné dans $L^2(\mathcal{O}, T, L^2(\Gamma))$)
ii. On peut traiter également des équations avec conditions
aux limites non linéaires du type

$$
\begin{array}{l}
\frac{\partial y}{\partial n} + |y_{\Gamma}|^{p-2} y_{\Gamma} = u(y_{\Gamma}) \\
\frac{\partial y}{\partial n}
\end{array}
$$

ou encore (uniquement dans le cas open loop avec v ∈ L^∞(]0,T[x,Γ))

$$
\frac{\partial y}{\partial n} + v(t) |y_{\Gamma}|^{p-2} y_{\Gamma} = 0
$$

Remarque 2.6

On peut démontrer que le critère est différentiable au sens
de Gateau et que

$$
(J'(u),v) = 2 \mathrm{E} \left\{ - \int_0^T (z,y-z_d) dt + \alpha \int_0^T (u(y), u'(y)z + v(y)) dt \right\} \quad (2.34)
$$

où z vérifie

$$
\begin{array}{l}
\frac{\partial z}{\partial t} + Az + 2|y|z = u'(y)z + v(y) & (2.35) \\
(u,v \in U_{O,d}) \quad z(0) = 0
\end{array}
$$

$$
(u,v \in U_{o,d}) \quad z(0) = 0
$$

Mais l'obtention de (2.34) (2.35) ne relève pas des méthodes classiques

cf. LIONS - YVON [21]
### 3. Méthodes numériques

Il s'agit de ramener le problème P1 à un problème (approché) qui soit déterministe et open loop (puisque c'est le seul type de problème que l'on sache résoudre numériquement)

#### 3.1. Problème déterministe approché.

On supposera que l'équation s'écrit

$$dy + Ay dt + F(y) dt = u(y) dt + db(t) \quad (3.1)$$

où F est différentiable et remplit les conditions d'existence d'une solution (unique) de (3.1). (et A linéaire).

On se restreint à $b(t) = h \beta(t)$

où $h \in V$ et $\beta$ est un wiener scalaire de variance $\sigma_t^2$

On considère la discretisation en temps suivante

$$y^{n+1} - y^n + kAy^{n+1} + kF(y^{n+1}) = ku(y^n) + k \xi^{n+1}$$

$$où \quad \xi^{n+1} = b^{n+1} - \bar{b}^n \qquad n = 0, N \qquad (3.2)$$

$\xi^{n+1}$ est alors une $v$, a normale centrée de variance $\sigma_k^2$ (indépendante des $\xi^j, j \neq n+1$)

On simule alors $M$ suites $(\xi_i^n)_{n=0,N}$

$(i=i,M)$ c'est à dire $M$ réalisations du bruit.

Le problème déterministe approché est alors le suivant

l'état est $(y_1, \dots, y_M)$ solution de

$$y_i^{n+1} - y_i^n + kAy_i^{n+1} + kF(y_i^{n+1}) = u(y_i^n)k + h\xi_i^{n+1} \quad (3.3)$$

$n=0,N-1$

$i=1,M$
et le critère

$$
J_M^N(u) = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{M} \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} k |y_i^n - z_d^n|^2 + \alpha k |u(y_i^n)|^2 \right\} \quad (3.4)
$$

Remarque 3.1

Appelons P<sup>N</sup><sub>M</sub> le problème (3.3) (3.4) et P<sup>N</sup> le problème dont

-- l'équation d'état est (3.2)

- le critère est

$$
J^{N}(u) = E \left\{ \sum_{0}^{N-1} k |y_i^n - z_d^n|^2 + \alpha k |u(y_i^n)|^2 \right\} \quad (3.5)
$$

On sait alors [cf. QUADRAT - VIOT [13]] que pour presque
toute suite de réglisations la solution du problème P<sub>M</sub><sup>N</sup> converge vers
la solution du problème P<sup>N</sup> (en un certain sens cf. [13]). Malheureu-
sement nous ne savons pas étendre le résultat à la convergence de
P<sub>M</sub><sup>N</sup> vers P1.

Sur le problème P<sub>M</sub><sup>N</sup> on sait calculer un système adjoint dont
on peut montrer qu'il est :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
& - p_i^{n+1} + p_i^n + A^* p_i^n + F'(y_i^n) p_i^n - u'(y_i^{n+1}) p_i^{n+1} + 2(y_i^n - z_d^n) \\
& \qquad + 2u'(y_i^n)u(y_i^n) = 0 \quad (3.6)
\end{split}
\end{equation}
$$

$$
P^n = 0
$$

et le gradient de J s'écrit alors

$$
J_M^N(u) \cdot v = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{M} \sum_{n=0}^{N-1} k(v(y_i^n), -p_i^n + 2\alpha u(y_i^n)) \quad (3.7)
$$

(ou le produit scalaire est pris dans H)
### 3.2. Feedback lineaire par morceau

On adapte ici une méthode due à CHAVENT (cf. [6], [7]) et appliquée à l'identification.

On se reportera à [6] pour l'étude complète de cette méthode on n'en donnera que le principe ici.

Supposons pour simplifier que l'on puisse écrire le gradient sous forme continue :

$$J'(u) v = \int_{\Omega} \int_{0}^{T} \int_{\Omega} v(y(x,t,\omega)). [-p+2\alpha u] \, dx dt d\mu \quad (3.8)$$

On pose pour $J \in R$

$$Q(J) = \{(x,t,\omega) \leftarrow \mathbf{x}\}_{o,T}[\mathbf{x}\Omega|y(x,t,\omega) \geq J] \quad (3.9)$$

et

$$\eta(J) = \int_{Q(J)} [-p + 2\alpha u(y)] \, dx \, dt \, d\mu \quad (3.10)$$

On a (formellement)

$$J'(u).v = \int_{\mathbb{R}} v(J) \, d\eta(J)$$

c'est à dire

$$\frac{\partial J}{\partial u}(y) = \eta'(y) \quad (3.11)$$

de façon analogue à [6] on discrétise l'ensemble des valeurs de y

$$y_m < y_1 < y_2 < \dots < y_L$$
et on approche u par une fonction linéaire sur chaque intervalle

$[y_i, y_{i+1}]$

L'évaluation de

$$\eta(y_i) - \eta(y_{i-1})$$

(discrétisation de (3.11)) revient à rechercher les points $(x_j, t_j)$ compris entre les équipotentielles $y_i$, et $y_{i-1}$ (cf. [6]).

### 3.3. Feedback sous forme paramétrique

Supposons que $y \in [y_m : y_M]$, on veut maintenant approcher $u(y)$ par une fonction de forme

$$\sum_{i=1}^{K} \alpha_i \varphi_i(y)$$

où les fonctions $\varphi_i(y)$ sont données.

On a pris ici des fonctions splines de degré 3(*): l'avantage de cette approximation est que l'on obtient un feedback plus régulier qu'au § 3.2 [où l'on avait pu introduire des contraintes sur la derivée seconde -par exemple- mais au prix d'un effort de calcul couteux].

D'autre part il semble que l'on puisse se contenter de moins de paramètres que dans la méthode précédente.

Enfin le calcul du gradient est grandement facilité ici

<footnote>(*) fonctions splines d'Ajustement cf. P.J. LAURENT [22]</footnote>
## 4. Résultats numériques

### 4.1 Feedback distribués

On a pris l'équation suivante sur $(t,x) \in ]0,1[x]0,1[$

$$ \frac{\partial y}{\partial t} - \Delta y + 2|y|y = u(y) + \frac{\partial b}{\partial t} + g \quad (4.1) $$

$$ \frac{\partial y}{\partial x}(t,0) = g_1 $$

$$ \frac{\partial y}{\partial x}(t,1) = g_2 $$

$$ y(x,0) = y_0 $$

$$ J(u) = E \left\{ \alpha \int_{0}^{T} |y-z_{d}|^{2} dt + \int_{0}^{T} |u-u_{d}|^{2} dt \right\} \quad (4.2) $$

Avec b wiener scalaire

$$ z_d = 8 \exp(-2t) + 2x $$

$$ u_d(x,t) = z_d^2(x,t) $$

$y_0, g, g_1, g_2$ étant calculés de façon que

$$ g = z'_{d} - \Delta z_{d} + |z_{d}| z_{d} $$

$$ g_1 = \frac{\partial z_d}{\partial x}(t,0) $$

$$ g_2 = \frac{\partial z_d}{\partial x}(t,1) $$

$$ y_0 = z_d(0,x) $$

$$ \alpha = 10^{+3} $$
Sur cet exemple on a testé essentiellement le feedback linéaire par morceau en faisant varier l'importance (la variance plus précisément) et le nombre de réalisations du bruit.

On a discrétisé l'intervalle $[1,9)$ par pas de 0.5.

$$ 
\begin{array}{ll}
\text{[Pour } y > y_{\max} & u(y) = u(y_{\max}) \\
\\
\text{y < y}_{\min} & u(y) = u(y_{\min}) \quad ].
\end{array}
$$

On a utilisé une méthode de gradient classique mais en pon-
dérant le gradient en $y_i$ par l'inverse du nombre de points $(x_j, t_j)$
apportant une contribution à ce gradient : ceci accélère la convergence
de l'algorithme.

La méthode de gradient est arrêtée quand la variation rela-
tive du coût entre deux itérations est inférieure à $10^{-3}$.

- Pour la simulation des v.a on a pris

$\sigma^2.k = 10$ et $15$ suivant les cas.

(les pas de discrétisation en x et t étant 0.05)

- Les tableaux 1 et 2 donnent les résultats sur le critère en fonction du nombre de réalisations et de l'importance du bruit.

- Le contrôle initial était toujours $u_0 = 4y$

Commentaires :

Comme le montrent les figures 1. 2. 3. on a une assez grande
stabilité du feedback quand $\sigma$ et le nombre de réalisations varient.
D'autre part le feedback reste assez proche de la solution déterministe pour les grandes valeurs de y.

On remarquera également la bonne performance du feedback par rapport à l'open loop (figure 4).

On doit enfin signaler que cet exemple est peu réaliste car il suppose connu l'état *partout* et de plus le contrôle totalement distribué.

**Variante :**

On a essayé également un contrôle de forme

$$w(x,t) = u(y(x,t)) + v(x,t)$$

c'est à dire un terme open loop et un terme de feedback.

La figure n° 5 donne le terme de feedback calculé. Le coût obtenu est de 2.9 (à comparer à 3.6 pour le feedback pur. Cf. Tableau 1. 5 réalisations $\sigma = 10$).
<caption>Tableau 1. Feedback u(y)</caption>

σ = 10.

<table><thead><tr><th>Réalisations</th><th>Coût</th><th>Nb Itération</th><th>Temps 10070 (mn)</th></tr></thead><tbody><tr><td>5 Openloop</td><td>26.5</td><td>25</td><td>10</td></tr><tr><td>5 Feedback</td><td>3.56</td><td>23</td><td>15</td></tr><tr><td>10 Openloop</td><td>32.8</td><td>23</td><td>15</td></tr><tr><td>10 Feedback</td><td>4.48</td><td>26</td><td>35</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 2. Feedback u(y) - 5 simulations.</caption><thead><tr><th>σ</th><th>Coût</th><th>Nb Itérations</th><th>Temps 10070 (mn)</th></tr></thead><tbody><tr><td>σ = 0</td><td>0.21</td><td>50</td><td>5</td></tr><tr><td>σ = 10 Openloop</td><td>26.5</td><td>25</td><td>10</td></tr><tr><td>σ = 10 Feedback</td><td>3.56</td><td>23</td><td>15</td></tr><tr><td>σ = 15 Openloop</td><td>56.5</td><td>25</td><td>10</td></tr><tr><td>σ = 15 Feedback</td><td>7.38</td><td>24</td><td>≈ 15.5</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 1 Feedback obtenu pour 5 et 10 simulations</figcaption></figure>
u(y)

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 2 Feedback obtenu pour σ = 10(Δ) et σ = 15 (0)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 3 Exemple de Trajectoires (cas 5 simulations σ = 10.</figcaption></figure>
u(y)

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Fig. 5 terme $u(y)$ quand le contrôle est de la forme $u(y) + v(x,t)$</figcaption></figure>
4.2. Feedback frontières :

L'équation d'état est maintenant

$$
\begin{align*}
\dot{y} - \Delta y + 2|y|y &= g + \dot{b} \\
\dot{t} &= \dot{t}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\dot{y}(0,t) &= u(y(1,t)) \\
\dot{x} &=
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\dot{y}(1,t) &= 0 \\
\dot{x} &=
\end{align*}
$$

$$
y(0) = (4x + 1) \mathcal{J}
$$

$$
z_d = 0 \ , \ g = 1 \ , \ \alpha = 10^{-3}
$$

$\mathcal{J}$ v.a de loi uniforme sur [-1,+1]

$$
\mathcal{J}(u) = E \left\{ \int_{0}^{T} |y|^{2} dt + \alpha \int_{0}^{T} |u|^{2} dt \right\}
$$

Les valeurs de y sont supposées appartenir à [-3,+3]

Dans la première méthode le pas de discrétisation est de 0.2.

Dans le cas des fonctions splines, on a utilisé 7 fonctions.

Le tableau 3 donne les résultats sur le coût et les temps de calcul.

Commentaires :

On remarque immédiatement que la performance du feedback
par rapport à l'open loop est moins bonne que dans l'exemple 1 ce qui
est assez normal puisque l'on dispose d'une information plus pauvre
et d'un seul point de contrôle.

D'autre part on voit sur le tableau 3 que les résultats
du feedback linéaire par morceau et des fonctions splines sont très
proches.

Les figures montrent la similitude des feedbacks obtenus.
<table><caption>Tableau 3.</caption><thead><tr><th></th><th>NR</th><th>Coût</th><th>C P U min.</th></tr></thead><tbody><tr><td>Spline</td><td>6</td><td>18.1</td><td>0.5</td></tr><tr><td>feedback linéaire par morceau</td><td>6</td><td>18.6</td><td>0.6</td></tr><tr><td>openloop</td><td>6</td><td>30.5</td><td>0.5</td></tr><tr><td>Spline</td><td>10</td><td>19.4</td><td>1</td></tr><tr><td>openloop</td><td>10</td><td>28.5</td><td>1</td></tr><tr><td>Spline</td><td>20</td><td>16.8</td><td>1.3</td></tr><tr><td>Openloop</td><td>20</td><td>27.3</td><td>1.2</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 4</caption><thead><tr><th></th><th>NR</th><th>Coût</th><th>C P U min.</th></tr></thead><tbody><tr><td>Feedback spline</td><td>10</td><td>19</td><td>1.1</td></tr><tr><td>Openloop</td><td>10</td><td>27</td><td>1.1</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Fig. 6 o-o- NR = 10
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Fig. 7</figcaption></figure>

- o- Feedback linéaire par morceau

-- Approximation spline .
Remarque 4.1.

Variante de l'exemple précédent :

On a envisagé enfin un critère en faisant intervenir que
l'état au point de contrôle, c'est à dire

$$
J(u) = E \left\{ \int_{0}^{T} |y(1,t) - z_{d}|^{2} + \alpha \int_{0}^{T} |u(y(1,t))|^{2} dt \right\}
$$

ceci pour vérifier si la performance relativement mauvaise du feed-
back par rapport à l'open loop dans l'exemple 2 est due ou non au
fait que le critère faisait intervenir l'état sur ]o,T[ × ○ .

Comme le montre le tableau 4, il n'en est rien.

Il semble cependant difficile de savoir si cela n'est dû
qu'au cas particulier que l'on considère.
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Fig. 8 NR = 6</figcaption></figure>
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Fig. 9</figcaption></figure>
## Conclusions :

Il n'y a (à notre connaissance) que très peu de résultats publiés sur le calcul de feedbacks pour des équations stochastiques aux dérivées partielles [on trouvera un exemple pour un problème aux limites dans [7]].

On a vu ici une façon très approximative d'obtenir de tels feedbacks (la méthode de simulation est couteuse en temps de calcul) mais on doit en noter les nombreuses limitations qui posent d'ailleurs des problèmes actuellement non résolus :

1) les feedbacks considérés ici ne dépendent que de la valeur présente de l'état.

2) les hypothèses sur la régularité du contrôle sont assez restrictives (par rapport aux hypothèses très générales dans le cas linéaire dans [3]).

3) on ne sait pas démontrer la convergence des approximations numériques vers la solution du problème continu (il semble probable que comme dans le cas de la dimension finie les progrès concernant les points 1) et 2) soient liés à l'étude des "solutions faibles" d'équations aux dérivées partielles stochastiques cf. VIOT [19]).

4) l'information sur l'état est supposée sans bruit en fait même en dimension finie on ne sait pas résoudre pratiquement les problèmes de contrôle stochastique en information imparfaite.
REFERENCES

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>[1] A. BENSOUSSAN</td>
      <td>(1) Filtrage optimal des systèmes linéaires.<br>Dunod, Paris 1970</td>
    </tr>
    <tr>
      <td></td>
      <td>(2) Rendi Conti di Matem. Vol 2 série 6<br>p1.39.</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>[3] A. BENSOUSSAN - M. VIOT</td>
      <td>Optimal control of linear stochastic distributed parameter systems. à paraitre.<br>(SIAM J. Control).</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>[4] A. BENSOUSSAN - R. TEMAM</td>
      <td>Equations aux dérivées partielles stochastiques non linéaires.<br>ISRAEL J of Math. Vol 11 n°1 1972</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>[5] G. CHAVENT</td>
      <td>Identification of distributed parameter systems.<br>IFAC symposium on identification and estimation. The Hague 1973.</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>[6] G. CHAVENT - LEMONNIER</td>
      <td>Identification d'une non linéarité dans une équation parabolique quasi linéaire.<br>Rapport Laboria N° 45.</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>[7] KERNEVEZ - QUADRAT - VIOT</td>
      <td>Contrôle d'un système stochastique non linéaire.<br>Congrès IFIP Rome 1973</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>[8] KUSHNER</td>
      <td>Control of a linear parabolic equation with white noise input.<br>SIAM J. of control 1968 pp. 526-614</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
[9] J.L. LIONS
(1) *quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires*
Dunod Paris 1969

[10] "
(2) *Contrôle optimal des systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles.*
Dunod Paris 1968

[11] "
(3) Optimisation pour certaines classes d'équations non linéaire.
Annali di Mathematica TOLLE LXXII 1966.

[12] PARDOUX
Thèse à paraître.

[13] QUADRAT - VIOT
Méthode de simulation en programmation dynamique stochastique.
R.F.R.O. 1973 Avril.

[14] J.P. QUADRAT
Thèse Paris 1973

[15] FLEMING NISIO
On the existence of optimal stochastic control
J. Math. and Mech. 15 1966 p 777-794

[16] M. ROBIN
Thèse Docteur-Ingénieur Paris 1974

[17] L. SCHWARTZ
Analyse fonctionnelle
Hermann Paris 1970

[18] YU. SEINFELD
Amer. Inst. of Chemical Eng. J.
Vol 9 N° 2 1973.

[19] M. VIOT
Thèse à paraître
[20] M. ROBIN
Feedback control for a class of stochastic
distributed parameter systems.
Symposium IFAC on stochastic control
1974 Budapest

[21] LIONS - YVON
Sur la différentiabilité dans les problèmes de
contrôle optimal : à paraître.

[22] P.J. LAURENT
Approximation et optimisation.
Hermann 1972