# Chapitre 4

## Structures hétérogènes ; comportements autres que l'élasticité linéaire isotrope

### Remarque préliminaire :

Bien qu'ils puissent jouer un rôle non négligeable, notamment dans le cas d'un comportement non élastique, les effets thermiques ne sont pas pris en considération dans ce Chapitre. En d'autres termes, et dans la continuité des Chapitres 2 et 3, on s'y limite aux seuls problèmes mécaniques posés par des structures hétérogènes ou des comportements autres que l'élasticité linéaire isotrope.

De plus, ces problèmes sont abordés séparément. Ainsi, dans le paragraphe 4.1, seul le problème de l'hétérogénéité d'une structure est traité, le comportement des deux matériaux constitutifs de la structure étant supposé, par ailleurs, élastique linéaire isotrope. Enfin, seuls des éléments de solution sont apportés aux problèmes de l'élasticité non linéaire (paragraphe 4.3) et du comportement non élastique (paragraphe 4.4) : à elle seule, la résolution complète de l'un ou l'autre de ces problèmes nécessiterait un autre cours.

En bref : les quatre courts paragraphes de ce Chapitre sont clairement insuffisants pour aborder le problème d'une structure hétérogène, non élastique et anisotrope.

### 4.1 Structures hétérogènes

Une structure est dite *hétérogène* si elle est constituée d'au moins deux matériaux distincts. On donne un exemple d'une telle structure sur la Fig. 4.1. La surface $S$, souvent appelée *interface*, sépare la structure $\Omega$ en deux sous-structures, $\Omega^1$ et $\Omega^2$, dont les matériaux sont différents, soit $E^1 \neq E^2$ et $v^1 \neq v^2$. La normale unitaire à l'interface, arbitrairement orientée de $\Omega^1$ vers $\Omega^2$ sur la Fig. 4.1, est notée $n$. Dans toute la suite de ce paragraphe, la discontinuité, encore appelée *saut*, du champ d'une quelconque grandeur physique $\phi$ sur $S$ est notée $[\phi] = \phi^2 - \phi^1$. Ainsi a-t-on $[E] = E^2 - E^1$ et $[v] = v^2 - v^1$, ou encore, en utilisant le tenseur des rigidités défini par Eq. (2-9), $[C] = C^2 - C^1$. De la même façon, notant $(U^1(x), \varepsilon^1(x), \sigma^1(x))$ (resp. $(U^2(x), \varepsilon^2(x), \sigma^2(x))$), la solution continue du problème dans $\Omega^1 - S$ (resp. dans $\Omega^2 - S$), on a :

$$[U] = U^2 - U^1; \quad [\varepsilon] = \varepsilon^2 - \varepsilon^1; \quad [\sigma] = \sigma^2 - \sigma^1 \qquad (4-1)$$

<footnote n="1">¹ Les masses volumiques de ces deux matériaux peuvent également être différentes. Cette différence doit impérativement être prise en compte lorsque l'on cherche une solution non statique au problème, ce qui n'est pas le cas dans ce paragraphe.</footnote>
La solution continue du problème dans $\Omega^1 - S$ et dans $\Omega^2 - S$ est régie par les équations établies pour les structures thermo-élastiques homogènes, voir Eq. (2-1). Le problème se réduit donc à l'écriture des équations régissant les sauts définis dans Eq. (4-1).

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

FIG. 4.1 – Exemple de structure hétérogène. L'interface $S$ sépare la structure $\Omega$ en deux sous-structures homogènes $\Omega^1 - S$ et $\Omega^2 - S$ de modules d'Young et de coefficients de Poisson différents. La normale unitaire à l'interface est arbitrairement orientée de $\Omega^1$ vers $\Omega^2$. La solution du problème est continue sur $\Omega^1 - S$ et sur $\Omega^2 - S$ mais discontinue sur $S$.

Une interface est dite parfaite si le saut du champ de déplacements y est nul. On se limite au cas de ces interfaces parfaites dans la suite de ce paragraphe, c'est-à-dire :

$$[U] = 0 \text{ sur tout } S \qquad (4-2)$$

Le gradient du champ de déplacements, en revanche, présente un saut sur $S$. En conséquence (voir Eq. (1-10)), le champ des déformations infinitésimales présente un saut sur $S$, et, par application de la loi de Hooke (voir Eq. (2-3)), celui des contraintes également. Par définition, le saut des contraintes vaut :

$$[\boldsymbol{\sigma}] = \boldsymbol{C}^2 : \boldsymbol{\varepsilon}^2 - \boldsymbol{C}^1 : \boldsymbol{\varepsilon}^1 \quad \text{sur tout } S \qquad (4-3)$$

ce que l'on peut encore écrire, d'après Eq. (4-1)-2 :

$$[\boldsymbol{\sigma}] = \boldsymbol{C}^2 : [\boldsymbol{\varepsilon}] - [\boldsymbol{C}] : \boldsymbol{\varepsilon}^1 \quad \text{sur tout } S \qquad (4-4)$$

Par ailleurs, on peut montrer que les équations d'équilibre local en présence d'un saut des contraintes s'écrivent :

$$[\boldsymbol{\sigma}] \cdot \boldsymbol{n} = 0 \quad \text{sur tout } S \qquad (4-5)$$

et que le saut des déformations a nécessairement la forme suivante 2 :

$$[\boldsymbol{\varepsilon}] = \mathrm{sym}(\boldsymbol{g} \otimes \boldsymbol{n}) \quad \text{sur tout } S \qquad (4-6)$$

où $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})$ est un champ vectoriel à déterminer sur tout $S$. L'équation régissant ce champ est obtenue en combinant Eq. (4-4), Eq. (4-5) et Eq. (4-6), ce qui donne :

$$(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{C}^2 \cdot \boldsymbol{n}) \cdot \boldsymbol{g} = -\boldsymbol{n} \cdot [\boldsymbol{C}] \cdot \boldsymbol{\varepsilon}^1 \quad \text{sur tout } S \qquad (4-7)$$

En résumé, les sauts sur une interface parfaite existant au sein d'une strucuture thermo-élastique linéaire isotrope sont définis par :

$$[U] = 0 ; \quad [\boldsymbol{\varepsilon}] = \mathrm{sym}(\boldsymbol{g} \otimes \boldsymbol{n}) ; \quad [\boldsymbol{\sigma}] = \boldsymbol{C}^2 : (\mathrm{sym}(\boldsymbol{g} \otimes \boldsymbol{n})) - [\boldsymbol{C}] : \boldsymbol{\varepsilon}^1 \qquad (4-8)$$

où le champ vectoriel $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})$ est solution de Eq. (4-7).

<footnote n="2">² Ces résultats sont dus à J. Hadamard. Il les a établis au tout début du 20ème siècle. On les trouve notamment dans son livre intitulé « Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique » publié en 1903 chez Hermann (Paris).</footnote>
## 4.2 Élasticité linéaire anisotrope

D'un point de vue pratique ou expérimental, on peut dire d'un matériau qu'il est *anisotrope* dès lors que la procédure d'identification de l'un de ses paramètres-matériau mène à des résultats qui varient en fonction de la direction des sollicitations qui lui sont appliquées (toutes les autres caractéristiques de ces sollicitations étant égales par ailleurs) <fnref n="3" />.

Du point de vue de la modélisation, et de façon très générale, cette caractéristique expérimentale peut bien être prise en compte si l'on admet la possibilité que l'état thermodynamique local du matériau soit caractérisé, entre autres variables d'état, par l'ensemble $\mathbb{E}^N$ de toutes les directions matérielles $\mathbf{N}^4$ :

$$ \mathbb{E}^N = \{ \mathbf{N} \triangleq \mathbf{n} \otimes \mathbf{n} \text{ où } \mathbf{n} \in \mathbb{R}^3 \text{ et } \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = 1 \} \subset \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \quad (4-9) $$

En clair, et en toute généralité, $\mathbb{E}^N$ devient donc lui-même une variable d'état, dite *interne*, en l'occurence. Ce qui ne va sans poser de problèmes puisque $\mathbb{E}^N$ est un ensemble infini...

En fait, il est très largement suffisant, pour obtenir un modèle de comportement réaliste d'un matériau anisotrope donné, de ne retenir que « quelques » éléments de $\mathbb{E}^N$ comme variables d'état caractéristiques de son anisotropie. Et c'est l'observation de la microstructure du matériau et des « directions particulières » qu'elle présente qui permet de sélectionner ces « quelques » éléments.

À titre d'exemple, et pour en venir à l'élasticité linéaire anisotrope, on considère un matériau composite 'matrice + fibres longues' dit « unidirectionnel », au sens que toutes ses fibres ont la même direction matérielle $\mathbf{N}$ (le bambou est un très bon exemple de ce type de matériau). Pour décrire son comportement mécanique, on retient les variables d'état suivantes :

$$ \varepsilon; \mathbf{N} \quad (4-10) $$

Le principe d'objectivité requiert alors que le potentiel d'état d'énergie libre massique $\psi$ soit une fonction mathématiquement isotrope de $\varepsilon$ et de $\mathbf{N}$, c'est-à-dire qu'elle soit une fonction :

- des trois invariants de $\varepsilon$,

- des trois invariants de $\mathbf{N}$,

- des trois invariants mixtes de $(\varepsilon, \mathbf{N})$, ces derniers étant définis comme suit

$$ I_1^{\varepsilon N} \triangleq \mathrm{Tr}(\varepsilon \cdot \mathbf{N}) ; \quad I_2^{\varepsilon N} \triangleq \mathrm{Tr}(\varepsilon \cdot \varepsilon \cdot \mathbf{N}) ; \quad I_3^{\varepsilon N} \triangleq \mathrm{Tr}(\varepsilon \cdot \mathbf{N} \cdot \mathbf{N}) \quad (4-11) $$

Il convient toutefois de remarquer que, de par le caractère unitaire de $\mathbf{N}$, ses trois invariants sont toujours égaux à 1. De plus, seuls deux des trois invariants mixtes sont indépendants l'un de l'autre puisque, sachant que $\mathbf{N} \triangleq \mathbf{n} \otimes \mathbf{n}$ et $\mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = 1$ :

$$ I_3^{\varepsilon N} = \varepsilon:((\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) \cdot (\mathbf{n} \otimes \mathbf{n})) = \varepsilon:(\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) = I_1^{\varepsilon N} \quad (4-12) $$

Puisque l'on cherche à construire un modèle d'élasticité anisotrope *linéaire*, $\psi$, comme dans le cas isotrope, doit être une fonction *quadratique* de $\varepsilon$. En l'occurence, il n'y a que cinq invariants ou combinaisons d'invariants vérifiant cette condition, soit : $(I_1^\varepsilon)^2, (I_1^{\varepsilon N})^2, I_2^\varepsilon, I_2^{\varepsilon N}, I_1^\varepsilon, I_1^{\varepsilon N}$, ce qui donne l'expression suivante pour $\psi$ :

$$ \psi(I_1^\varepsilon, I_2^\varepsilon, I_1^{\varepsilon N}, I_2^{\varepsilon N}) = \frac{1}{\rho_0} (\beta_1(I_1^\varepsilon)^2 + \beta_2(I_1^{\varepsilon N})^2 + \beta_3I_2^\varepsilon + \beta_4I_2^{\varepsilon N} + \beta_5I_1^\varepsilon I_1^{\varepsilon N}) \quad (4-13) $$

où les $\beta_i, i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ sont les paramètres-matériau (en MPa) caractéristiques de cette anisotropie particulière appelée *isotropie transverse*. Le modèle de comportement d'un matériau élastique linéaire isotrope transverse est finalement donné par (avec, là encore, l'approximation $\rho = \rho_0$) :

$$ \boldsymbol{\sigma} = 2\beta_1 I_1^\varepsilon \mathbf{G} + 2\beta_2 I_1^{\varepsilon N} \mathbf{N} + 2\beta_3 \varepsilon + 2\beta_4 (\varepsilon \cdot \mathbf{N})_s + \beta_5 (I_1^{\varepsilon N} \mathbf{G} + I_1^\varepsilon \mathbf{N}) \quad (4-14) $$

<footnote n="3">³ Il est bien souvent nécessaire, quand on parle d'anisotropie, de préciser les phénomènes physiques qu'elle concerne. Il est ainsi possible, au moins formellement, d'avoir un matériau élastiquement anisotrope (son module d'young n'a pas la même valeur suivant toutes les directions de l'espace) et thermiquement isotrope.</footnote>

<footnote n="4">⁴ Si l'on définit cet ensemble par $\mathbb{E}^N = \{\mathbf{n} \in \mathbb{R}^3 \text{ tels que } \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = 1\}$, on se heurte au problème que deux éléments « opposés » de cet ensemble, $\mathbf{n}$ et $-\mathbf{n}$, caractérisent une même direction matérielle.</footnote>
où $2(\mathbf{e}.\mathbf{N})_s = (\mathbf{e}.\mathbf{N}) + (\mathbf{e}.\mathbf{N})^T$. Cette expression peut se récrire $\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{C}(\mathbf{N}):\mathbf{e}$, où le tenseur (d'ordre quatre) des rigidités $\mathbf{C}(\mathbf{N})$ est défini par :

$$ \mathbf{C}(\mathbf{N}) = 2\beta_1(\mathbf{G} \otimes \mathbf{G}) + 2\beta_2(\mathbf{N} \otimes \mathbf{N}) + \beta_3(\mathbf{G} \otimes \mathbf{G}) + \beta_4(\mathbf{G} \otimes \mathbf{N})_s + 2\beta_5(\mathbf{G} \otimes \mathbf{N})_s \quad (4-15) $$

avec, dans une base quelconque :

$$ ((G \otimes N)_s)_{ijkl} = \frac{1}{2} ((G \otimes N)_{ijkl} + (N \otimes G)_{ijkl}) = \frac{1}{2} (G_{ik}N_{jl} + G_{il}N_{jk} + N_{ik}G_{jl} + N_{il}G_{jk}) \quad (4-16) $$

et

$$ ((G \otimes N)_s)_{ijkl} = \frac{1}{2} ((G \otimes N)_{ijkl} + (N \otimes G)_{ijkl}) = \frac{1}{2} (G_{ij}N_{kl} + N_{ij}G_{kl}) \quad (4-17) $$

Dans la plupart des ouvrages de mécanique où le problème de l'anisotropie est abordé, seules les composantes de l'inverse de ce tenseur des rigidités dans une base orthonormée particulière – définie par $\mathbf{n}$ (ou $-\mathbf{n}$) et deux autres vecteurs unitaires orthogonaux à $\mathbf{n}$ (ou $-\mathbf{n}$), caractérisant un plan d'isotropie transverse – sont données. Cette expression particulière de $\mathbf{C}^{-1}(\mathbf{N})$ fait intervenir cinq paramètres-matériau, liés aux $\beta_i$ mais plus faciles à interpréter qu'eux, que l'on appelle

- module d'Young et coefficient de Poisson longitudinaux (identifiables par un essai de traction suivant la direction $\mathbf{N}$),

- module d'Young et coefficient de Poisson transverses (essai de traction suivant une quelconque direction orthogonale à $\mathbf{N}$),

- module de cisaillement (essai de cisaillement dans un plan quelconque).

La démarche précédente peut être appliquée à des matériaux dont la microstructure présente deux, trois, ... « directions particulières », c'est-à-dire à d'autre type d'anisotropie.

## 4.3 Élasticité non linéaire isotrope

La loi de Hooke est une relation linéaire entre le tenseur des contraintes $\boldsymbol{\sigma}$ et le tenseur des déformations infinitésimales, ou linéarisées, $\boldsymbol{\epsilon}$. Elle ne peut donc pas être utilisée pour décrire le comportement de matériaux isotropes susceptibles de subir des « grandes » déformations élastiques puisqu'alors, $\boldsymbol{\epsilon}$ cesse d'être une approximation réaliste du tenseur des déformations de Green-Lagrange $\mathbf{Y}$, voir Eq. (1-2).

Pour de tels matériaux, dont les élastomères sont un très bon exemple, il convient donc d'utiliser une relation entre le tenseur des contraintes de Cauchy et le tenseur des déformations de Green-Lagrange ou un autre tenseur de déformations<fnref n="5" />. On trouve de nombreux exemples d'une telle relation dans la littérature scientifique qui, dans leur grande majorité, sont non linéaires. Plutôt que d'en citer arbitrairement quelques uns, on préfère ici donner la méthodologie qui permet d'établir ces relations, à savoir :

- Choix d'un tenseur des déformations $\mathbf{X}$,

- Construction d'un potentiel d'état d'énergie libre massique en tant que fonction mathématiquement isotrope de $\mathbf{X}$, c'est-à-dire en tant que fonction des trois invariants fondamentaux de $\mathbf{X}$ :

$$ \psi(\mathrm{Tr}(\mathbf{X}), \mathrm{Tr}(\mathbf{X} \cdot \mathbf{X}), \mathrm{Tr}(\mathbf{X} \cdot \mathbf{X} \cdot \mathbf{X})) \quad (4-18) $$

- Définition du tenseur des contraintes compatible avec la définition générale du comportement élastique, c'est-à-dire avec l'hypothèse d'une dissipation intrinsèque nulle :

$$ \boldsymbol{\sigma} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{X}} \quad (4-19) $$

Il est à noter que, s'agissant de « grandes » déformations, l'approximation faite sur la masse volumique pour obtenir la loi de Hooke n'est, en général<fnref n="6" />, plus du tout légitime : la masse volumique actuelle du

<footnote n="5">⁵ Le tenseur de Green-Lagrange, en effet, n'est qu'un tenseur de « grandes » déformations parmi de nombreux autres. Tous ces tenseurs de « grandes » déformations sont cependant équivalents, au sens qu'ils contiennent la même information cinématique. C'est essentiellement pour des raisons de commodité de calculs que, selon les cas, l'un ou l'autre de ces tenseurs est retenu.</footnote>

<footnote n="6">⁶ Pour certains matériaux, dits quasi-incompressibles, la masse volumique peut raisonnablement être considérée comme constante, y compris dans le cas des « grandes » déformations.</footnote>
matériau, $\rho$, est susceptible de prendre des valeurs très différentes de $\rho_0$, masse volumique initiale. Il convient également de souligner qu'avec de tels modèles de comportement élastique non linéaire isotrope, la question de la pertinence de la solution avec l'hypothèse des déformations infinitésimales, voir Q3, paragraphe 2.1, n'a évidemment plus de raison d'être.

## 4.4 Comportements non élastiques

Dans les Chapitres 1 et 2, on a insisté sur la nécessité qu'il y a, pour un ingénieur, de tester la compatibilité de la solution d'un problème de structure linéaire isotrope avec l'hypothèse de comportement élastique (question Q2 ; voir, par exemple, Eq. (1-72)). La fonction limite d'élasticité de Von Mises a ainsi été introduite :

$$f(\boldsymbol{\sigma}) = \sigma_{eq} - \sigma_0 \quad \text{avec} \quad \sigma_{eq} = \left( \frac{3}{2} \mathbf{dev}(\boldsymbol{\sigma}) : \mathbf{dev}(\boldsymbol{\sigma}) \right)^{\frac{1}{2}} \qquad (4-20)$$

qui a permis de préciser les états de contraintes compatibles avec l'hypothèse de comportement élastique, à savoir, en un quelconque point de la structure considérée :

$$\text{tant que } \boldsymbol{\sigma} \text{ est tel que } f(\boldsymbol{\sigma}) < 0, \text{ le comportement du matériau est élastique} \qquad (4-21)$$

Par simple contraposition de cette proposition, on obtient :

$$\text{dès que } \boldsymbol{\sigma} \text{ est tel que } f(\boldsymbol{\sigma}) \geq 0, \text{ le comportement du matériau n'est plus élastique} \qquad (4-22)$$

Pour de tels états de contraintes, la loi de Hooke n'est donc plus applicable. En d'autres termes, il faut alors modifier l'énoncé mathématique du problème de structure élastique linéaire isotrope, voir Eq. (2-1), c'est-à-dire y intégrer les équations constitutives d'un modèle suffisamment général pour décrire de façon réaliste le comportement mécanique du matériau quel que soit l'état de contraintes.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

FIG. 4.2 – Essai de traction simple, avec déchargement puis rechargement, sur un matériau à comportement élastoplastique. a) : chargement appliqué, en terme de contrainte axiale $\sigma_{33}$ ; $\sigma_{33}^1$ (resp. $\sigma_{33}^3$) est la contrainte appliquée à l'instant $t_1$ (resp. à l'instant $t_3$) ; $\sigma_0$ est la contrainte limite d'élasticité intiale, ou contrainte seuil initial, c'est-à-dire un paramètre-matériau. b) : courbe-réponse enregistrée $\sigma_{33}(\varepsilon_{33})$, où $\varepsilon_{33}$ est la déformation axiale mesurée ; par rapport à l'élasticité, la différence essentielle est l'existence, à l'instant $t_2$ où la contrainte appliquée est nulle, d'une déformation $\varepsilon_{33}^p \neq 0$, dite déformation plastique.

Une illustration d'un comportement non élastique fréquemment observé, appelé comportement élastoplastique, est donnée par la Figure 4.2. L'essai est celui de traction simple, c'est-à-dire qu'il correspond à l'état de contrainte uniaxiale et uniforme défini, dans une base donnée, par Eq. (3-9). En revanche, l'état de déformation $\varepsilon_{33}$ n'est généralement 7 pas celui donné par Eq. (3-12), lequel a été obtenu grâce à la loi

<footnote n="7">7 L'état de déformation $\varepsilon_{33}$ n'est celui donné par Eq. (3-12) qu'entre l'instant initial et l'instant où la contrainte limite d'élasticité initiale $\sigma_0$ est atteinte pour la première fois.</footnote>
d'élasticité linéaire isotrope. On observe ainsi, à l'instant $t_2$ où la contrainte appliquée est nulle, l'existence d'une déformation $\epsilon_{33}^p \neq 0$, dite déformation plastique. On constate également, sur la Figure 4.2-b, que la contrainte $\sigma_{33}$ ne plus être considérée comme une fonction de $\epsilon_{33}$ : à une valeur de $\epsilon_{33}$ donnée peuvent être associées deux valeurs de contrainte $\sigma_{33}$ différentes.

On trouve plusieurs exemples de modèle d'élastoplasticité dans la littérature scientifique. En plus de la variable d'état $\epsilon$, ils font tous intervenir une ou plusieurs autres variables d'état, dites variables d'état internes. Alors qu'il n'est plus une fonction du tenseur des déformations infinitésimales, le tenseur des contraintes $\sigma$ peut ainsi être considéré comme une fonction de $\epsilon$ et de ces nouvelles variables.

Plutôt que de détailler arbitrairement l'un de ces modèles d'élastoplasticité, on préfère ici donner la méthodologie qui permet de les établir tous, à savoir :

- Prise en compte de la variable d'état interne caractérisant les déformations plastiques, c'est-à-dire du tenseur, symétrique, des déformations plastiques $\epsilon^p$. À cette nouvelle variable d'état 8 est associée une hypothèse physiquement pertinente, dite hypothèse de partition des déformations, qui stipule que :

$$ \forall (\epsilon, \epsilon^p), \epsilon^e = \epsilon - \epsilon^p \quad \text{est tel que} \quad \sigma = C:\epsilon^e \quad (4-23) $$

où $\epsilon^e$ est appelé tenseur des déformations élastiques et où $C$ est le tenseur des rigidités de Hooke, voir Eq. (2-9),

- Construction d'un potentiel d'état d'énergie libre massique en tant que fonction mathématiquement isotrope de $\epsilon - \epsilon^p$, c'est-à-dire, en toute généralité, en tant que fonction des trois invariants fondamentaux de $\epsilon - \epsilon^p$. En pratique, dans la plupart des modèles d'élastoplasticité en « petites » déformations, seuls les deux premiers invariants sont considérés :

$$ \psi(\text{Tr}(\epsilon - \epsilon^p), \text{Tr}((\epsilon - \epsilon^p) \cdot (\epsilon - \epsilon^p))) \quad (4-24) $$

- Expression de la dissipation intrinsèque $\phi_{int}$ (voir Eq. (1-29) dans le cas élastique), laquelle est strictement positive en élastoplasticité. On montre que la forme générale de $\phi_{int}$ est :

$$ \phi_{int} = (\sigma - \rho \frac{\partial \psi}{\partial \epsilon}) : \dot{\epsilon} - \rho \frac{\partial \psi}{\partial \epsilon^p} : \dot{\epsilon}^p \quad (4-25) $$

- Expression du tenseur des contraintes en tant que condition suffisante à la non négativité de la dissipation intrinsèque Eq. (4-25), c'est-à-dire (avec, là encore, l'approximation $\rho = \rho_0$) :

$$ \sigma = \rho_0 \frac{\partial \psi}{\partial \epsilon} \quad (4-26) $$

- Construction d'une équation d'évolution thermodynamiquement admissible pour la variable interne $\epsilon^p$, c'est-à-dire, compte tenu de Eqs. (4-24) et (4-25), de $\dot{\epsilon}^p$ telle que :

$$ \phi_{int} = -\rho_0 \frac{\partial \psi}{\partial \epsilon^p} : \dot{\epsilon}^p > 0 \quad \text{quand} \quad \dot{\epsilon}^p \neq 0 \quad (4-27) $$

La principale difficulté rencontrée dans la construction d'un modèle d'élastoplasticité concerne l'équation d'évolution $\dot{\epsilon}^p$ puisque l'inégalité Eq. (4-27) doit être toujours satisfaite, c'est-à-dire quel que soit l'état $(\epsilon, \epsilon^p)$ et quelle que soit l'évolution $\dot{\epsilon}$. Une condition suffisante à la nullité de $\dot{\epsilon}^p$, en revanche, peut être facilement établie à partir de la fonction limite d'élasticité (celle de Von Mises, par exemple, voir Eq. (4-20)). Dans tous les modèles d'élastoplasticité, et en accord avec Eq. (4-21), il est ainsi supposé que, en un quelconque point de la structure considérée : :

$$ f(\sigma) < 0 \Rightarrow \dot{\epsilon}^p = 0 \quad (4-28) $$

D'après Eq. (4-28), l'équation $f(\sigma) = 0$, qui caractérise une hyper-surface dans l'espace des contraintes, joue un rôle crucial en élastoplasticité. Cette hyper-surface est appelée surface limite d'élasticité ou, plus

<footnote n="8">8 Dans certains modèles d'élastoplasticité, d'autres variables d'état interne, scalaires ou tensorielles, sont également prises en compte pour décrire certaines particularités du comportement. Ces variables internes « supplémentaires » ne sont pas considérées ici.</footnote>
souvent, *surface seuil* d'élastoplasticité. Dans la plupart des modèles d'élastoplasticité usuels, elle est obtenue à partir de la fonction seuil de Von Mises, voir Eq. (4-20) ; on parle alors de *surface seuil de Von Mises*.

Un autre type de comportement non élastique doit également être mentionné : la visco-élasticité. Il n’est observé, aux températures « usuelles », que dans quelques matériaux, dont certains polymères ; en revanche, il est observé dans tous les matériaux, pour des températures voisines de leur température de fusion.

À la différence de l'élastoplasticité, la viscoélasticité se manifeste dès les toutes premières phases du chargement. Du point de vue de la modélisation, elle n'est donc associée à aucune fonction seuil. Comme l'élastoplasticité, en revanche, la visco-élasticité est un phénomène dissipatif, c'est-à-dire qu'elle est associée à une dissipation intrinsèque strictement positive.

Le plus simple modèle de visco-élasticité envisageable ne fait intervenir aucune variable d'état interne. Dans ce cas, l'expression de la dissipation intrinsèque se réduit à :

$$ \phi_{int} = (\boldsymbol{\sigma} - \rho \frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}}):\dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \qquad (4-29) $$

d'où l'on déduit, en tant que condition suffisante à la non négativité de $\phi_{int}$ quel que soit l'état $\boldsymbol{\varepsilon}$ et quelle que soit l'évolution $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$ (et, là encore, avec l'approximation $\rho = \rho_0$) :

$$ \boldsymbol{\sigma} = \rho_0 \frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}} + \kappa \dot{\boldsymbol{\varepsilon}} \qquad (4-30) $$

où $\kappa > 0$ est la viscosité du matériau (en Pa.s).

Il faut enfin souligner que, dans le cas de l'élastoplasticité comme dans celui de la visco-élasticité, il est impératif, à tout instant, de connaître $\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$. En conséquence, la variable *temps* – qui avait pu être éliminée en élasticité, voir paragraphe 2.1 – doit impérativement être réintroduite dans tout problème de structure élastoplastique ou viscoélastique<fnref n="9" />.

<footnote n="9">⁹ En fait, le temps doit être pris en compte dès que le modèle de comportement considéré est non élastique. Il apparaît d'ailleurs explicitement dans les équations du problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope établies au Chapitre 1 de ce Cours (voir, par exemple, Eq. (1-61)).</footnote>
# Annexe A

## Tenseurs Euclidiens dans $\mathcal{E}_3$ :
compléments d'analyse

NOTE IMPORTANTE : Les formules indicielles qui suivent ne sont valables que si les composantes sont données dans une base orthonormée et en utilisant la convention d'Einstein simplifiée (sommation sur les couples d'indices muets).

En revanche, toutes les formules avec des opérateurs tensoriels tels que « $\otimes$ », « $\cdot$ » ou « $:$ » sont tout à fait générales. D'autre part, l'espace vectoriel euclidien $\mathbb{V}$ sur lequel sont construits les tenseurs est implicitement de dimension 3, ce qui est suffisant pour la mécanique classique.

Dans le cours de thermo-élasticité linéaire, on a à considérer des applications $f$ de $\mathbb{V}^{\otimes 2}$ vers $\mathbb{R}$ (a priori non linéaires) et on a besoin de connaître les variations de $f(\mathbf{T})$ quand son argument tensoriel du second ordre $\mathbf{T}$ varie. On définit ainsi la « dérivée généralisée » de cette fonction par rapport à son argument tensoriel<fnref n="1" />.

### A.1 Définition

La description des variations d'un argument tensoriel est plus compliquée que pour les fonctions à variables réelles car les tenseurs du second ordre sont dans un espace de dimension 9, alors que $\mathbb{R}$ est de dimension 1.

Soit l'application $f : \mathbf{T} \in \mathbb{V}^{\otimes 2} \to \mathbb{R}$. Une variation arbitraire de l'argument tensoriel du second ordre $\mathbf{T}$ sera notée $d\mathbf{T}$. C'est un tenseur du second ordre, c'est-à-dire un élément de l'espace vectoriel $\mathbb{V}^{\otimes 2}$ de dimension 9, et donc caractérisé par 9 composantes arbitraires. À chaque variation arbitraire du « vecteur » $d\mathbf{T} \in \mathbb{V}^{\otimes 2}$ correspond une variation $f(\mathbf{T} + d\mathbf{T}) - f(\mathbf{T})$.

On dit que l'application $f$ est différentiable en $\mathbf{T}$ s'il existe une application linéaire notée $(\frac{df}{d\mathbf{T}})$ telle que :

$$ \forall \mathbf{dT} \ f(\mathbf{T} + d\mathbf{T}) - f(\mathbf{T}) = \underbrace{(\frac{df}{d\mathbf{T}})}_{df} : \mathbf{dT} + \|\mathbf{T}\| O(\mathbf{T}) $$

où $O(\mathbf{T})$ est une fonction à valeur scalaire arbitraire qui tend vers 0 quand $\|\mathbf{T}\| \to 0$. Les règles de l'algèbre tensorielle montrent que l'opérateur linéaire $(\frac{df}{d\mathbf{T}})$ est un tenseur du second ordre.

Le terme $df = (\frac{df}{d\mathbf{T}})$ : $\mathbf{dT}$ est appelé différentielle de $f$. La « dérivée généralisée » de la fonction à valeur

<footnote n="1">¹ On peut définir des « dérivées généralisées » par rapport à des tenseurs de tous ordres (y compris d'ordre 1) de la même manière, mais on se limite ici au seul cas le plus utile dans la suite.</footnote>
scalaire $f(\mathbf{T})$ « par rapport au tenseur du second ordre $\mathbf{T}$ » est un tenseur du second ordre $^2$, noté $\frac{df}{d\mathbf{T}}$. On devrait plutôt l'appeler opérateur linéaire tangent de l'application $f$.

**Remarque :**

Il est clair que quand $\|\mathbf{T}\| \to 0$, le reste $\|\mathbf{T}\| O(\mathbf{T})$ tend vers 0 plus vite que le terme $df = \left(\frac{df}{d\mathbf{T}}\right) : d\mathbf{T}$ qui est linéaire en $d\mathbf{T}$. Ainsi, quand $\|d\mathbf{T}\| \to 0$, la différentielle $df$ s'approche de la variation exacte $f(\mathbf{T} + d\mathbf{T}) - f(\mathbf{T})$.

On devrait dire : la dérivée en $\mathbf{T}$ de la fonction $f(\mathbf{T})$ est l'application $f' : \mathbb{V}^{\otimes 2} \to \mathbb{R}$ telle que

$$f' : \mathbf{T} \in \mathbb{V}^{\otimes 2} \longrightarrow f'(\mathbf{T}) = \lim_{\|d\mathbf{T}\| \to 0} \frac{\left(\frac{df}{d\mathbf{T}}\right) : d\mathbf{T} + \|\mathbf{T}\| O(\mathbf{T})}{\|d\mathbf{T}\|} = \left(\frac{df}{d\mathbf{T}}\right) : \frac{d\mathbf{T}}{\|d\mathbf{T}\|} \in \mathbb{R}$$

Le tenseur du second ordre $\frac{d\mathbf{T}}{\|d\mathbf{T}\|}$ (de norme 1) est une « direction unitaire » (dans $\mathbb{V}^{\otimes 2}$, espace vectoriel de dimension 9) dans laquelle on calcule la dérivée de $f$. Pour chacune de ces directions, la dérivée de $f$ est a priori différente.

Le tenseur du second ordre $\frac{df}{d\mathbf{T}}$ n'est donc pas à proprement parler la dérivée de $f$, mais plutôt l'opérateur linéaire tangent qui permet de calculer la dérivée $f'$ de $f$ quand $\mathbf{T}$ varie dans la « direction unitaire » $\frac{d\mathbf{T}}{\|d\mathbf{T}\|}$. Il est néanmoins couramment nommé « dérivée de $f$ par rapport à $\mathbf{T}$ ».

## A.2 Calcul des composantes dans une base orthonormée

Si le tenseur du second ordre $\mathbf{T}$ est défini par ses composantes $T_{ij}$ dans une base orthonormée fixe $\{\mathbf{e}_i\}$, on peut écrire : $\mathbf{T} = T_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j$. Une variation arbitraire $d\mathbf{T}$ est donc définie par 9 variations $dT_{ij}$ arbitraires et indépendantes de chacune de ses composantes sur la base fixe :

$$d\mathbf{T} = dT_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j$$

À la fonction $f(\mathbf{T})$ et à la base $\{\mathbf{e}_i\}$ choisie, on peut donc associer une fonction $\tilde{f}_{\mathbf{e}_i} : \mathbb{R}^9 \to \mathbb{R}$ telle que

$$f(\mathbf{T}) = \tilde{f}_{\mathbf{e}_i}(T_{11}, T_{12}, T_{13}, T_{21}, T_{22}, T_{23}, T_{31}, T_{32}, T_{33})$$

On a donc

$$df = \frac{df}{d\mathbf{T}} : d\mathbf{T} = \frac{\partial \tilde{f}_{\mathbf{e}_i}}{\partial T_{ij}} dT_{ij}$$

On en déduit immédiatement par identification les composantes du tenseur $\frac{df}{d\mathbf{T}}$ dans la base orthonormée fixe :

$$\left(\frac{df}{d\mathbf{T}}\right)_{ij} = \frac{\partial \tilde{f}_{\mathbf{e}_i}}{\partial T_{ij}} \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{df}{d\mathbf{T}} = \frac{\partial \tilde{f}_{\mathbf{e}_i}}{\partial T_{ij}} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j$$

À titre d'exemple, considérons la fonction $f$ de $\mathbb{V}^{\otimes 2}$ vers $\mathbb{R}$ telle que $f(\mathbf{T}) = \text{Tr}(\mathbf{T})$. Dans une quelconque base orthonormée fixe $\{\mathbf{e}_i\}$, on peut lui associer la fonction $\tilde{f}_{\mathbf{e}_i} : \mathbb{R}^9 \to \mathbb{R}$ telle que :

$$f(\mathbf{T}) = \text{Tr}(\mathbf{T}) = \tilde{f}_{\mathbf{e}_i}(T_{11}, T_{12}, T_{13}, T_{21}, T_{22}, T_{23}, T_{31}, T_{32}, T_{33}) = T_{11} + T_{22} + T_{33} = T_{kk}$$

On a donc

$$df = \frac{df}{d\mathbf{T}} : d\mathbf{T} = \frac{\partial \tilde{f}_{\mathbf{e}_i}}{\partial T_{ij}} dT_{ij} = \frac{\partial T_{kk}}{\partial T_{ij}} dT_{ij} = \delta_{ki}\delta_{kj}dT_{ij} = \delta_{ij}dT_{ij}$$

<footnote n="2">² On n'aura aucune difficulté à généraliser : si $\mathbf{T}$ est d'ordre $p$, $\frac{df}{d\mathbf{T}}$ est d'ordre $p$ et sa $p$-contraction avec $d\mathbf{T}$ donne le scalaire $df$. Notamment, si $p = 1$, $\frac{df}{d\mathbf{v}}$ est un vecteur.</footnote>
On en déduit immédiatement par identification des composantes du tenseur $\frac{df}{dT}$ dans la base orthonormée fixe :

$$ \left( \frac{df}{dT} \right)_{ij} = \frac{\partial \tilde{f}_{e_i}}{\partial T_{ij}} = \delta_{ij} $$

soit, plus généralement :

$$ \frac{d \mathrm{Tr}(\mathbf{T})}{dT} = \mathbf{G} $$

## A.3 Quelques résultats utiles

Le lecteur vérifiera sans difficulté les résultats suivants :

$$ \begin{aligned} \frac{d(\mathbf{T} : \mathbf{U})}{d\mathbf{T}} &= \mathbf{U} & \frac{\|\mathbf{T}\|^2}{d\mathbf{T}} &= 2\mathbf{T} & \frac{d\|\mathbf{T}\|}{d\mathbf{T}} &= \frac{\mathbf{T}}{\|\mathbf{T}\|} \\ \frac{d\mathrm{Tr}(\mathbf{T}^2)}{d\mathbf{T}} &= 2\mathbf{T}^T & \frac{d\mathrm{Tr}(\mathbf{T}^n)}{d\mathbf{T}} &= n(\mathbf{T}^{n-1})^T & \frac{d\mathrm{Tr}(\mathbf{T}^n)}{d\mathbf{T}} &= n(\mathbf{T}^{n-1})^T \\ \frac{dT_I}{dT} &= \mathbf{G} & \frac{dT_{II}}{dT} &= T_I \mathbf{G} - \mathbf{T}^T & \frac{dT_{III}}{dT} &= T_{II} \mathbf{G} - T_I \mathbf{T}^T + \mathbf{T}^{2T} \end{aligned} $$

## A.4 Dérivée « contrainte »

En mécanique des milieux continus, la plupart des tenseurs du second ordre $\mathbf{T}$ sont des tenseurs symétriques restant symétriques dans leurs variations. Ceci implique notamment que la dérivée d'une fonction $f$ à valeur scalaire d'un tenseur symétrique $\mathbf{T}$ est « contrainte » au sens que les variations $d\mathbf{T}$ de $\mathbf{T}$ le sont, soit, en l'occurence : $d\mathbf{T} = d\mathbf{T}^T$. En d'autres termes, $d\mathbf{T}$ appartient à un sous-ensemble de $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3$ soit, en l'occurence, $(\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3)_s$.

D'autres « contraintes » sur les variations $d\mathbf{T}$ sont également parfois à prendre en compte, par exemple si $\mathbf{T}$ est un tenseur sphérique ou déviatoire ou antisymétrique... À chaque fois, la dimension de l'ensemble dans lequel $d\mathbf{T}$ arbitraire peut évoluer change.

Plutôt que d'établir une définition particulière de l'opérateur linéaire tangent pour chaque type de contrainte, on va établir un théorème permettant « d'ignorer la contrainte » pendant la dérivation puis de la rétablir ensuite. Ce théorème ne vaut cependant que si la « contrainte » peut s'écrire sous la forme d'une égalité (ce qui est bien la cas, par exemple, pour les tenseurs symétriques).

### A.4.1 Théorème :

Soit $\tilde{f}$ une fonction de $m$ variables réelles $x_i$ ($i = 1, \dots, m$), certaines variables étant liées aux autres par $r$ « contraintes » d'égalités de la forme $x_k = h_k(\dots, x_{p \neq k}, \dots)$. Alors,

$$ x_k = h_k(\dots, x_{p \neq k}, \dots) \quad \Rightarrow \quad d\tilde{f} = \left[ \sum_{i=1}^{m} \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_i} dx_i \right]_{\{x_k=h_k(\dots, x_{p \neq k}, \dots); k=1, \dots, r\}} \quad (A.1) $$

Autrement dit, on peut dériver $\tilde{f}$ comme si les $x_i$ n'étaient pas liés, puis remplacer ensuite les $x_k$ liés par leur expression après dérivation.
### A.4.2 Démonstration :

Pour alléger les écritures on suppose que $\tilde{f}$ a 4 variables $x_1, x_2, x_3, x_4$ et qu'il n'y a qu'une seule « contrainte » d'égalité, soit $x_1 = h_1(x_2, x_3)$.

On peut définir une fonction $g$ de 3 variables indépendantes telle que $\tilde{f}(h_1(x_2, x_3), x_2, x_3, x_4) = g(x_2, x_3, x_4)$.

Pour une variation arbitraire $(dx_2, dx_3, dx_4)$ satisfaisant les contraintes, on a évidemment $d\tilde{f} = dg$ et donc en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées :

$$ \frac{\partial g}{\partial x_2} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_1} \frac{\partial h_1}{\partial x_2} + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_2} \qquad \frac{\partial g}{\partial x_3} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_1} \frac{\partial h_1}{\partial x_3} + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_3} \qquad \frac{\partial g}{\partial x_4} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_4} $$

et donc

$$ \begin{aligned} dg &= \left( \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_1} \frac{\partial h_1}{\partial x_2} + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_2} \right) dx_2 + \left( \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_1} \frac{\partial h_1}{\partial x_3} + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_3} \right) dx_3 + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_4} dx_4 \\ &= \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_1} \underbrace{\left( \frac{\partial h_1}{\partial x_2} dx_2 + \frac{\partial h_1}{\partial x_3} dx_3 \right)}_{dh_1} + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_2} dx_2 + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_3} dx_3 + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_4} dx_4 \end{aligned} $$

On peut donc calculer la différentielle sous contrainte en posant formellement :

$$ d\tilde{f} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_2} dx_2 + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_3} dx_3 + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x_4} dx_4, \text{ puis remplacer ensuite } x_1 \text{ par } h_1(x_2, x_3) $$

Les résultats présentés précédemment sont donc encore valables, en appliquant les « contraintes » sur les termes de droite <fnref n="3" />.

### A.4.3 Exemple :

Soit $f(\mathbf{S})$ une fonction à valeur réelle dont l'argument tensoriel du second ordre $\mathbf{S}$ est symétrique et reste symétrique dans ses variations.

Si on choisit une base $\{e_i\}$, on peut lui associer la fonction $\tilde{f}_{e_i} : \mathbb{R}^9 \to \mathbb{R}$ telle que :

$$ f(\mathbf{S}) = \tilde{f}_{e_i}(S_{11}, S_{12}, S_{13}, S_{21}, S_{22}, S_{23}, S_{31}, S_{32}, S_{33}) $$

Les composantes de l'opérateur linéaire tangent (la « dérivée par rapport à $\mathbf{S}$ ») $\frac{df}{d\mathbf{S}}$ sont :

$$ \left( \frac{df}{d\mathbf{S}} \right)_{ij} = \left[ \frac{\partial \tilde{f}_{e_i}}{\partial S_{ij}} \right]_{\{S_{21}=S_{12}, S_{23}=S_{32}, S_{13}=S_{31}\}} $$

Par exemple si $f(\mathbf{S}) = k \mathbf{S} : \mathbf{S}$, et $\tilde{f}_{e_i} = S_{11}^2 + S_{12}^2 + S_{13}^2 + S_{21}^2 + S_{22}^2 + S_{23}^2 + S_{31}^2 + S_{32}^2 + S_{33}^2 = S_{pq}S_{pq}$

$$ \left( \frac{d(\mathbf{S} : \mathbf{S})}{d\mathbf{S}} \right)_{11} = 2S_{11} \qquad \left( \frac{d(\mathbf{S} : \mathbf{S})}{d\mathbf{S}} \right)_{12} = 2S_{12} \qquad \left( \frac{d(\mathbf{S} : \mathbf{S})}{d\mathbf{S}} \right)_{21} = 2S_{21} = 2S_{12} \quad \dots $$

On retrouve la formule générale donnée précédemment pour un tenseur non symétrique : $\frac{d(\mathbf{T} : \mathbf{T})}{d\mathbf{T}} = 2\mathbf{T}$, qui est donc toujours valable avec la « contrainte » $\mathbf{T}$ symétrique.

On peut aussi bien faire le calcul en indices pour avoir toutes les composantes :

$$ \left( \frac{d(\mathbf{S} : \mathbf{S})}{d\mathbf{S}} \right)_{ij} = \frac{d(S_{pq}S_{pq})}{dS_{ij}} = \frac{dS_{pq}}{dS_{ij}} S_{pq} + S_{pq} \frac{dS_{pq}}{dS_{ij}} = \delta_{ip} \delta_{jq} S_{pq} + S_{pq} \delta_{ip} \delta_{jq} = S_{ij} + S_{ji} = 2S_{ij} $$

<footnote n="3">³ Les tenseurs symétriques sont tels que $\mathbf{T} = \mathbf{T}^T$, les tenseurs déviatoriques sont tels que $T_I = 0$, les tenseurs sphériques sont tels que $\mathbf{T} = k\mathbf{G}$; $T_I = 3k$; $T_{II} = k$; $T_{III} = k$, etc</footnote>
### A.4.4 Remarque importante

Il est important de noter que la « contrainte » sur les composantes d'un tenseur $T$ doit nécessairement être sous la forme d'une égalité (voir A.1 page 75) donnant une composante en fonction des autres, sinon la démonstration tombe en défaut.

C'est la cas pour des « contraintes » sur les composantes du type « T symétrique », « T antisymétrique », « T sphérique » ou « T déviatorique ».

En revanche, ce n'est notamment pas le cas pour des « contraintes » du type « T orthogonal » ou du type « $||T|| = a$ » ou encore « det $T = b$ » pour lesquelles il n'existe pas d'équation de la forme A.1 page 75 qui exprime cette « contrainte ».

## A.5 Fonctions réelles de plusieurs tenseurs

En mécanique, il arrive souvent que des fonctions à valeur scalaire soient à plusieurs arguments tensoriels.

On définit sans difficulté les « dérivées partielles par rapport aux arguments tensoriels » comme la « dérivée » de $f$ par rapport à chacun des arguments, les autres étant considérés comme constants.

Par exemple si $f(P, Q) \in \mathbb{R}$ où $P$ et $Q$ sont d'ordre 2, la notation $\frac{\partial f}{\partial P}$ est un tenseur (du même ordre que $P$) qui est la « dérivée de $f$ par rapport à $P$ » à $Q$ constant. De même pour $\frac{\partial f}{\partial Q}$.

Pour toute variation arbitraire des arguments tensoriels (liés ou non par une « contrainte »), la différentielle est :

$$df = \frac{\partial f}{\partial P} : dP + \frac{\partial f}{\partial Q} : dQ$$

Autre exemple utile : $f(T, v)$ où $T$ est d'ordre 2 et $v$ un vecteur ($\frac{\partial f}{\partial v}$ est d'ordre 1) :

$$df = \frac{\partial f}{\partial P} : dP + \frac{\partial f}{\partial v} : dv$$
# Annexe B

## Formulaire

On donne ici (sans démonstration <fnref n="1" />) les expressions des opérateurs différentiels gradient, divergence, rotationnel et laplacien dans deux systèmes de coordonnées classiques : les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.

### B.1 Système de coordonnées cylindriques

#### B.1.1 Définition et notations

Un point M de l'espace est repéré par les 3 réels r, θ et z définis sur la Figure B.1.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIG. B.1 – Système de coordonnées cylindriques</figcaption></figure>

À chaque point M on associe une base locale orthonormée {$e_r, e_θ, e_z$} définie par :

$$e_r = \partial_r OM = \cos \theta i + \sin \theta j \qquad e_\theta = \frac{1}{r} \partial_\theta OM = -\sin \theta i + \cos \theta j = k \wedge e_r \qquad e_z = \partial_z OM = k$$

<footnote n="1">¹ Elles ont été établies avec la bibliothèque tens3d destinée à faciliter le calcul tensoriel sur le logiciel de calcul formel Maple®. Cette bibliothèque est librement téléchargeable sur http://jgarrigues.perso.egim-mrs.fr/tens3d.html</footnote>
Le point courant $M$ est défini par :

$$OM = r \cos \theta i + r \sin \theta j + zk = re_r + zk$$

Sur la base locale en $M$, on a

$$dM = dr e_r + r de_r + dz e_z + z de_z = dr e_r + r d\theta e_\theta + dz e_z$$

## B.1.2 Champs scalaires

Soit $f$ un champ scalaire :

$$f : M \in \mathbb{V}_3 \longrightarrow f(M) = f(r, \theta, z) \in \mathbb{R}$$

$$\mathbf{grad} f = \partial_r f e_r + \frac{1}{r} \partial_\theta f e_\theta + \partial_z f e_z$$

$$\Delta f = \partial_{rr} f + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} f + \frac{1}{r} \partial_r f + \partial_{zz} f$$

$$= \frac{1}{r} \partial_r (r \partial_r f) + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} f + \partial_{zz} f$$

## B.1.3 Champs vectoriels

Soit $\mathbf{v}$ un champ vectoriel :

$$\mathbf{v} : M \in \mathbb{V}_3 \longrightarrow \mathbf{v}(M) = v_r(r, \theta, z) e_r + v_\theta(r, \theta, z) e_\theta + v_z(r, \theta, z) e_z$$

$$[(\mathbf{grad} \mathbf{v})_{ij}] = \begin{bmatrix} \partial_r v_r & \frac{1}{r}(\partial_\theta v_r - v_\theta) & \partial_z v_r \\ \partial_r v_\theta & \frac{1}{r}(\partial_\theta v_\theta + v_r) & \partial_z v_\theta \\ \partial_r v_z & \frac{1}{r}\partial_\theta v_z & \partial_z v_z \end{bmatrix}_{\{e_r, e_\theta, e_z\}}$$

$$\mathrm{div} \mathbf{v} = \partial_r v_r + \frac{1}{r}(\partial_\theta v_\theta + v_r) + \partial_z v_z$$

$$\mathbf{rot} \mathbf{v} = \left( \frac{1}{r} \partial_{\theta} v_z - \partial_z v_{\theta} \right) \mathbf{e}_r + \left( \partial_z v_r - \partial_r v_z \right) \mathbf{e}_{\theta} + \left( \partial_r v_{\theta} - \frac{1}{r} (\partial_{\theta} v_r - v_{\theta}) \right) \mathbf{e}_z$$

$$\mathbf{\Delta} \mathbf{v} = \left( \partial_{rr} v_r + \frac{1}{r^2} (\partial_{\theta\theta} v_r - 2\partial_{\theta} v_{\theta} - v_r) + \frac{1}{r} \partial_r v_r + \partial_{zz} v_r \right) \mathbf{e}_r \\ + \left( \partial_{rr} v_{\theta} + \frac{1}{r^2} (\partial_{\theta\theta} v_{\theta} + 2\partial_{\theta} v_r - v_{\theta}) + \frac{1}{r} \partial_r v_{\theta} + \partial_{zz} v_{\theta} \right) \mathbf{e}_{\theta} \\ + \left( \partial_{rr} v_z + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} v_z + \frac{1}{r} \partial_r v_z + \partial_{zz} v_z \right) \mathbf{e}_z$$

$$= \left( \partial_r \left( \frac{1}{r} \partial_r (r v_r) \right) + \frac{1}{r^2} (\partial_{\theta\theta} v_r - 2 \partial_{\theta} v_{\theta} + \partial_{zz} v_r) \right) \mathbf{e}_r \\ + \left( \partial_r \left( \frac{1}{r} \partial_r (r v_{\theta}) \right) + \frac{1}{r^2} (\partial_{\theta\theta} v_{\theta} + 2 \partial_{\theta} v_r + \partial_{zz} v_{\theta}) \right) \mathbf{e}_{\theta} \\ + \left( \frac{1}{r} \partial_r (r \partial_r v_z) + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} v_z + \partial_{zz} v_z \right) \mathbf{e}_z$$
B.1.4 Champs tensoriels du second ordre symétriques

Soit $\mathbf{T}$ un champ tensoriel du second ordre symétrique :

$$
\mathbf{T} : M \in \mathbb{V}_3 \to \mathbf{T}(M) \in \mathbb{S} \subset \mathbb{V}_3^{\otimes 2}
$$

Les composantes de **T** dans la base {**e**<sub>r</sub>, **e**<sub>θ</sub>, **e**<sub>z</sub>} sont :

$$
\begin{bmatrix}
T_{rr}(r, \theta, z) & T_{r\theta}(r, \theta, z) & T_{rz}(r, \theta, z) \\
T_{r\theta}(r, \theta, z) & T_{\theta\theta}(r, \theta, z) & T_{\theta z}(r, \theta, z) \\
T_{rz}(r, \theta, z) & T_{\theta z}(r, \theta, z) & T_{zz}(r, \theta, z)
\end{bmatrix}_{\{e_r, e_\theta, e_z\}} \quad \text{(matrice symétrique)}
$$

$$
\mathbf{div}\mathbf{T} = \left( \partial_r T_{rr} + \frac{1}{r} (\partial_\theta T_{r\theta} + T_{rr} - T_{\theta\theta}) + \partial_z T_{rz} \right) \mathbf{e}_r \\
+ \left( \partial_r T_{r\theta} + \frac{1}{r} (\partial_\theta T_{\theta\theta} + 2T_{r\theta}) + \partial_z T_{\theta z} \right) \mathbf{e}_\theta \\
+ \left( \partial_r T_{rz} + \frac{1}{r} (\partial_\theta T_{\theta z} + T_{rz}) + \partial_z T_{zz} \right) \mathbf{e}_z
$$

$$
\mathbf{rot} \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \frac{1}{r} (\partial_{\theta} T_{rz} - T_{\theta z}) - \partial_{z} T_{r\theta} & \partial_{z} T_{rr} - \partial_{r} T_{rz} & \partial_{r} T_{r\theta} - \frac{1}{r} (\partial_{\theta} T_{rr} - 2 T_{r\theta}) \\ \frac{1}{r} (\partial_{\theta} T_{\theta z} + T_{rz}) - \partial_{z} T_{\theta\theta} & \partial_{z} T_{r\theta} - \partial_{r} T_{\theta z} & \partial_{r} T_{\theta\theta} - \frac{1}{r} (\partial_{\theta} T_{r\theta} + T_{rr} - T_{\theta\theta}) \\ \frac{1}{r} \partial_{\theta} T_{zz} - \partial_{z} T_{\theta z} & \partial_{z} T_{rz} - \partial_{r} T_{zz} & \partial_{r} T_{\theta z} - \frac{1}{r} (\partial_{\theta} T_{rz} - T_{\theta z}) \end{bmatrix}_{\{e_r, e_\theta, e_z\}}
$$

$$
(\Delta \mathbf{T})_{rr} = \partial_{rr} T_{rr} + \frac{1}{r^2} (\partial_{\theta\theta} T_{rr} - 4\partial_{\theta} T_{r\theta} - 2T_{rr} + 2T_{\theta\theta}) + \frac{1}{r} \partial_{r} T_{rr} + \partial_{zz} T_{rr}
$$

$$
(\Delta \mathbf{T})_{r\theta} = (\Delta \mathbf{T})_{\theta r} = \partial_{rr} T_{r\theta} + \frac{1}{r^2} (\partial_{\theta\theta} T_{r\theta} + 2\partial_{\theta} T_{rr} - 2\partial_{\theta} T_{\theta\theta} - 4T_{r\theta}) + \frac{1}{r} \partial_{r} T_{r\theta} + \partial_{zz} T_{r\theta}
$$

$$
(\Delta \mathbf{T})_{rz} = (\Delta \mathbf{T})_{zr} = \partial_{rr} T_{rz} + \frac{1}{r^2} (\partial_{\theta\theta} T_{rz} - 2\partial_{\theta} T_{\theta z} - T_{rz}) + \frac{1}{r} \partial_{r} T_{rz} + \partial_{zz} T_{rz}
$$

$$
(\Delta \mathbf{T})_{\theta\theta} = \partial_{rr} T_{\theta\theta} + \frac{1}{r^2} (\partial_{\theta\theta} T_{\theta\theta} + 4\partial_{\theta} T_{r\theta} + 2T_{rr} - 2T_{\theta\theta}) + \frac{1}{r} \partial_{r} T_{\theta\theta} + \partial_{zz} T_{\theta\theta}
$$

$$
(\Delta \mathbf{T})_{\theta z} = (\Delta \mathbf{T})_{z \theta} = \partial_{rr} T_{\theta z} + \frac{1}{r^2} (\partial_{\theta\theta} T_{\theta z} + 2\partial_{\theta} T_{rz} - T_{\theta z}) + \frac{1}{r} \partial_{r} T_{\theta z} + \partial_{zz} T_{\theta z}
$$

$$
(\Delta \mathbf{T})_{zz} = \partial_{rr} T_{zz} + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} T_{zz} + \frac{1}{r} \partial_{r} T_{zz} + \partial_{zz} T_{zz}
$$

B.2 Système de coordonnées sphériques

NOTE IMPORTANTE : Dans la littérature scientifique, il existe deux versions du système de coordonnées sphérique.

Dans celle présentée ici, l'angle $\varphi$ est mesuré à partir du plan $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$. On pourrait les appeler « coordonnées géographiques » ($\theta$ est la longitude, $\varphi$ est la latitude, le plan $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$ est le plan équatorial). Le trièdre $\{\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\theta, \mathbf{e}_\varphi\}$ est direct.

Dans l'autre version l'angle $\varphi$ est mesuré sur le méridien de M à partir du pôle Nord. On a donc :

$$
\phi = \frac{\pi}{2} - \varphi \quad \text{et} \quad \mathbf{e}_{\varphi} = -\mathbf{e}_{\theta}
$$

On convertit aisément les formules avec :

$$
\cos \varphi \rightarrow \sin \varphi \quad \text{et} \quad \sin \varphi \rightarrow \cos \varphi
$$
## B.2.1 Définition et notations

Un point $M$ de l'espace est repéré par 3 réels $r, \theta$ et $\phi$ définis sur la figure B.2.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIG. B.2 – Système de coordonnées sphériques</figcaption></figure>

À chaque point $M$ on associe une base locale orthonormée $\{e_r, e_\theta, e_\phi\}$ définie par :

$$e_r = \partial_r OM = \cos \varphi u + \sin \varphi k = \cos \theta \cos \varphi i + \sin \theta \cos \varphi j + \sin \varphi k$$

$$e_\theta = \frac{\partial_\theta OM}{r \cos \varphi} = -\sin \theta i + \cos \theta j$$

$$e_\phi = \frac{\partial_\phi OM}{r} = -\sin \varphi u + \cos \varphi k = -\cos \theta \sin \varphi i + \sin \theta \cos \varphi j + \sin \varphi k$$

Le point courant est :

$$OM = r \cos \varphi \cos \theta i + r \cos \varphi \sin \theta j + r \sin \varphi k = r e_r$$

Sur la base locale en $M$, on a :

$$dM = dr e_r + rde_r = dr e_r + r \cos \varphi d\theta e_\theta + r d\varphi e_\phi$$

## B.2.2 Champs scalaires

Soit $f$ un champ scalaire :

$$f : M \in \mathbb{V}_3 \to f(M) = f(r, \theta, \varphi) \in \mathbb{R}$$

$$\mathrm{grad} f = \partial_r f e_r + \frac{\partial_\theta f}{r \cos \varphi} e_\theta + \frac{\partial_\varphi f}{r} e_\phi$$

$$\Delta f = \partial_{rr} f + \frac{\partial_{\theta\theta} f - \sin \varphi \partial_{\varphi} f}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{2 \partial_r f}{r} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} f}{r^2}$$
### B.2.3 Champs vectoriels

Soit $\mathbf{v}$ un champ vectoriel :

$$ \mathbf{v} : M \in \mathbb{V}_3 \longrightarrow \mathbf{v}(M) = v_r(r, \theta, \varphi) \mathbf{e}_r + v_\theta(r, \theta, \varphi) \mathbf{e}_\theta + v_\varphi(r, \theta, \varphi) \mathbf{e}_\varphi \in \mathbb{V}_3 $$

$$ [(\mathbf{grad} \mathbf{v})_{ij}] = \begin{bmatrix} \partial_r v_r & \frac{1}{r \cos \theta} \partial_\theta v_r - \frac{1}{r} v_\theta & \frac{1}{r} (\partial_\varphi v_r - v_\varphi) \\ \partial_r v_\theta & \frac{1}{r \cos \varphi} (\partial_\theta v_\theta - \sin \varphi v_\varphi) + \frac{1}{r} v_r & \frac{1}{r} \partial_\varphi v_\theta \\ \partial_r v_\varphi & \frac{1}{r \cos \varphi} (\partial_\theta v_\varphi + \sin \varphi v_\varphi) & \frac{1}{r} (\partial_\varphi v_\varphi + v_r) \end{bmatrix}_{\{e_r, e_\theta, e_\varphi\}} $$

$$ \mathrm{div} \mathbf{v} = \partial_r v_r + \frac{\partial_\theta v_\theta - \sin \varphi v_\varphi}{r \cos \varphi} + \frac{\partial_\varphi v_\varphi + 2 v_r}{r} $$

$$ \mathrm{rot} \mathbf{v} = \left( \frac{\partial_\theta v_\varphi + \sin \varphi v_\theta}{r \cos \varphi} - \frac{\partial_\varphi v_\theta}{r} \right) \mathbf{e}_r + \left( \frac{\partial_\varphi v_r - v_\varphi}{r} - \partial_r v_\varphi \right) \mathbf{e}_\theta + \left( \partial_r v_\theta - \frac{\partial_\theta v_r}{r \cos \varphi} + \frac{v_\theta}{r} \right) \mathbf{e}_\varphi $$

$$ \begin{aligned} \mathbf{\Delta} \mathbf{v} = & \left( \partial_{rr} v_r + \frac{\partial_{\theta\theta} v_r}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} v_r - 2 \partial_{\varphi\theta} v_\varphi - 2 v_r}{r^2} + \frac{2 \sin \varphi v_\varphi - 2 \partial_\theta v_\theta - \sin \varphi \partial_\varphi v_r}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_r v_r}{r} \right) \mathbf{e}_r \\ & + \left( \partial_{rr} v_\theta + \frac{\partial_{\theta\theta} v_\theta - 2 \sin \varphi \partial_\theta v_\varphi - v_\theta}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} v_\theta}{r^2} + \frac{2 \partial_\theta v_r - \sin \varphi \partial_\varphi v_\theta}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_r v_\theta}{r} \right) \mathbf{e}_\theta \\ & + \left( \partial_{rr} v_\varphi + \frac{\partial_{\theta\theta} v_\varphi + 2 \sin \varphi \partial_\theta v_\varphi - v_\varphi}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} v_\varphi + 2 \partial_\varphi v_r}{r^2} - \frac{\sin \varphi \partial_\varphi v_\varphi}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_r v_\varphi}{r} \right) \mathbf{e}_\varphi \end{aligned} $$

### B.2.4 Champs tensoriels du second ordre symétriques

Soit $\mathbf{T}$ un champ tensoriel du second ordre *symétrique* :

$$ \mathbf{T} : M \in \mathbb{V}_3 \longrightarrow \mathbf{T}(M) \in \mathbb{S} \subset \mathbb{V}_3^{\otimes 2} $$

Les composantes de $\mathbf{T}$ dans la base $\{e_r, e_\theta, e_\varphi\}$ sont :

$$ \begin{bmatrix} T_{rr}(r, \theta, \varphi) & T_{r\theta}(r, \theta, \varphi) & T_{r\varphi}(r, \theta, \varphi) \\ T_{r\theta}(r, \theta, \varphi) & T_{\theta\theta}(r, \theta, \varphi) & T_{\theta\varphi}(r, \theta, \varphi) \\ T_{r\varphi}(r, \theta, \varphi) & T_{\theta\varphi}(r, \theta, \varphi) & T_{\varphi\varphi}(r, \theta, \varphi) \end{bmatrix}_{\{e_r, e_\theta, e_\varphi\}} \quad \text{(matrice symétrique)} $$

$$ \begin{aligned} \mathrm{div} \mathbf{T} = & \left( \partial_r T_{rr} + \frac{\partial_\theta T_{r\theta} - \sin \varphi T_{r\varphi}}{r \cos \varphi} + \frac{\partial_\varphi T_{r\varphi} + 2 T_{rr} - T_{\theta\theta} - T_{\varphi\varphi}}{r} \right) \mathbf{e}_r \\ & + \left( \partial_r T_{r\theta} + \frac{\partial_\theta T_{\theta\theta} - 2 \sin \varphi T_{\theta\varphi}}{r \cos \varphi} + \frac{\partial_\varphi T_{\theta\varphi} + 3 T_{r\theta}}{r} \right) \mathbf{e}_\theta \\ & + \left( \partial_r T_{r\varphi} + \frac{\partial_\theta T_{\theta\varphi} + \sin \varphi T_{\theta\theta} - \sin \varphi T_{\varphi\varphi}}{r \cos \varphi} + \frac{\partial_\varphi T_{\varphi\varphi} + 3 T_{r\varphi}}{r} \right) \mathbf{e}_\varphi \end{aligned} $$

$$ \mathrm{rot} \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \frac{\partial_\theta T_{r\varphi} + \sin \varphi T_{r\theta}}{r \cos \varphi} - \frac{\partial_\varphi T_{r\theta}}{r} & \frac{\partial_\varphi T_{rr} - 2 T_{r\varphi}}{r} - \partial_r T_{r\varphi} & \partial_r T_{r\theta} - \frac{\partial_\theta T_{rr}}{r \cos \varphi} + \frac{2 T_{r\theta}}{r} \\ \frac{\partial_\theta T_{\theta\varphi} + \sin \varphi (T_{\theta\theta} - T_{\varphi\varphi})}{r \cos \varphi} - \frac{\partial_\varphi T_{\theta\theta} - T_{r\varphi}}{r} & \frac{\partial_\varphi T_{r\theta} - T_{\theta\varphi}}{r} - \partial_r T_{\theta\varphi} & \partial_r T_{\theta\theta} - \frac{\partial_\theta T_{r\theta} - \sin \varphi T_{r\varphi}}{r \cos \varphi} + \frac{T_{\theta\theta} - T_{rr}}{r} \\ \frac{\partial_\theta T_{\varphi\varphi} + 2 \sin \varphi T_{\theta\varphi}}{r \cos \varphi} - \frac{\partial_\varphi T_{\theta\varphi} + T_{r\theta}}{r} & \frac{\partial_\varphi T_{r\varphi} + T_{rr} - T_{\varphi\varphi}}{r} - \partial_r T_{\varphi\varphi} & \partial_r T_{\theta\varphi} - \frac{\partial_\theta T_{r\varphi} + \sin \varphi T_{r\theta}}{r \cos \varphi} + \frac{T_{\theta\varphi}}{r} \end{bmatrix}_{\{e_r, e_\theta, e_\varphi\}} $$
$$ (\Delta T)_{rr} = \partial_{rr} T_{rr} + \frac{\partial_{\theta\theta} T_{rr}}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} T_{rr} - 4 \partial_{\varphi} T_{r\varphi} - 4 T_{rr} + 2 T_{\theta\theta}}{r^2} \\ + \frac{\sin \varphi \partial_{\varphi} T_{rr} + 4 \sin \varphi T_{r\varphi} - 4 \partial_{\theta} T_{r\theta}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_{r} T_{rr}}{r} $$

$$ (\Delta T)_{r\theta} = (\Delta T)_{\theta r} = \partial_{rr} T_{r\theta} + \frac{\partial_{\theta\theta} T_{r\theta} - 2 \sin \varphi \partial_{\theta} T_{r\varphi} - T_{r\theta}}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} T_{r\theta} - 2 \partial_{\varphi} T_{\theta\varphi} - 4 T_{r\theta}}{r^2} \\ + \frac{2 \partial_{\theta} T_{rr} - 2 \partial_{\theta} T_{\theta\theta} - \sin \varphi \partial_{\varphi} T_{r\theta} + 4 \sin \varphi T_{\theta\varphi}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_{r} T_{r\theta}}{r} $$

$$ (\Delta T)_{r\varphi} = (\Delta T)_{\varphi r} = \partial_{rr} T_{r\varphi} + \frac{\partial_{\theta\theta} T_{r\varphi} + 2 \sin \varphi \partial_{\theta} T_{r\theta} - T_{r\varphi}}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} T_{r\varphi} + 2 \partial_{\varphi} T_{rr} - 2 \partial_{\varphi} T_{\varphi\varphi} - 4 T_{r\varphi}}{r^2} \\ + \frac{-2 \partial_{\theta} T_{\theta\varphi} - \sin \varphi \partial_{\varphi} T_{r\varphi} - 2 \sin \varphi T_{\theta\theta} + 2 \sin \varphi T_{\varphi\varphi}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_{r} T_{r\varphi}}{r} $$

$$ (\Delta T)_{\theta\theta} = \partial_{rr} T_{\theta\theta} + \frac{\partial_{\theta\theta} T_{\theta\theta} - 4 \sin \varphi \partial_{\theta} T_{\theta\varphi} - 2 T_{\theta\theta} + 2 T_{\varphi\varphi}}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} T_{\theta\theta} + 2 T_{rr} - 2 T_{\varphi\varphi}}{r^2} \\ + \frac{4 \partial_{\theta} T_{r\theta} + \sin \varphi \partial_{\varphi} T_{\theta\theta} - 4 \sin \varphi T_{r\varphi}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_{r} T_{\theta\theta}}{r} $$

$$ (\Delta T)_{\theta\varphi} = (\Delta T)_{\varphi\theta} = \partial_{rr} T_{\theta\varphi} + \frac{\partial_{\theta\theta} T_{\theta\varphi} + 2 \partial_{\theta} T_{\theta\theta} - 2 \partial_{\theta} T_{\varphi\varphi} - 4 T_{\theta\varphi}}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} T_{\theta\varphi} + 2 \partial_{\varphi} T_{r\theta} + 2 T_{\theta\varphi}}{r^2} \\ + \frac{2 \partial_{\theta} T_{r\varphi} - \sin \varphi \partial_{\varphi} T_{\theta\varphi} + 2 \sin \varphi T_{r\theta}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_{r} T_{\theta\varphi}}{r} $$

$$ (\Delta T)_{\varphi\varphi} = \partial_{rr} T_{\varphi\varphi} + \frac{\partial_{\theta\theta} T_{\varphi\varphi} + 4 \sin \varphi \partial_{\theta} T_{\theta\varphi} + 2 T_{\theta\theta} - 2 T_{\varphi\varphi}}{r^2 \cos^2 \varphi} \\ + \frac{\partial_{\varphi\varphi} T_{\varphi\varphi} + 4 \partial_{\varphi} T_{r\varphi} + 2 T_{rr} - 2 T_{\theta\theta}}{r^2} - \frac{\sin \varphi \partial_{\varphi} T_{\varphi\varphi}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_{r} T_{\varphi\varphi}}{r} $$
Table des matières

# 1 Équations générales de la thermo-élasticité linéaire isotrope 5

1.1 Problème de structure en thermo-élasticité linéaire isotrope : hypothèses et énoncé qualitatif 5

1.2 Problème de structure homogène en thermo-élasticité linéaire isotrope : énoncé mathématique 7

1.2.1 Configuration d'une structure et description des champs en thermo-élasticité linéaire isotrope 7

1.2.2 Principes de conservation et second principe de la thermodynamique en thermo-mécanique des milieux continus 8

1.2.3 Comportement thermo-élastique linéaire isotrope : équations constitutives 12

1.2.4 Énoncé mathématique d'un problème de structure homogène en thermo-élasticité linéaire isotrope 15

1.2.5 Questions Q1, Q2 et Q3 : traduction mathématique 20

# 2 Méthodes de résolution d'un problème de structure homogène en élasticité linéaire isotrope 27

2.1 De la thermo-élasticité à l'élasticité 27

2.2 Unicité de la solution et théorème de superposition en élasticité linéaire isotrope 30

2.2.1 Unicité de la solution 30

2.2.2 Théorème de superposition 32

2.3 Méthode des déplacements pour la résolution d'un problème de structure homogène en élasticité linéaire isotrope 33

2.4 Méthode des contraintes pour la résolution d'un problème de structure homogène en élasticité linéaire isotrope 35

# 3 Résolution de quelques problèmes de structures homogènes en élasticité linéaire isotrope 43

3.1 Barre cylindrique homogène en traction-compression simple 44

3.1.1 Données du problème 44

3.1.2 Résolution du problème 45

3.1.3 Compatibilité de la solution avec les hypothèses de comportement élastique linéaire et de déformations infinitésimales 48

3.2 Barre cylindrique homogène en torsion 52

3.2.1 Données du problème 52

3.2.2 Résolution du problème 53

3.2.3 Compatibilité de la solution avec les hypothèses de comportement élastique linéaire et de déformations infinitésimales 54

3.3 Barre cylindrique homogène en flexion pure 59

3.3.1 Données du problème 59

3.3.2 Résolution du problème 60

3.3.3 Compatibilité de la solution avec les hypothèses de comportement élastique linéaire et de déformations infinitésimales 60

3.4 Élasticité plane 62

3.4.1 Déformations planes 62

3.4.2 Contraintes planes 62
4 Structures hétérogènes ; comportements autres que l'élasticité linéaire isotrope 65

4.1 Structures hétérogènes 65

4.2 Élasticité linéaire anisotrope 67

4.3 Élasticité non linéaire isotrope 68

4.4 Comportements non élastiques 69

A Tenseurs Euclidiens dans $\mathbb{E}_3$ : compléments d'analyse 73

A.1 Définition 73

A.2 Calcul des composantes dans une base orthonormée 74

A.3 Quelques résultats utiles 75

A.4 Dérivée « contrainte » 75

A.4.1 Théorème : 75

A.4.2 Démonstration : 76

A.4.3 Exemple : 76

A.4.4 Remarque importante : 77

A.5 Fonctions réelles de plusieurs tenseurs 77

B Formulaire 79

B.1 Système de coordonnées cylindriques 79

B.1.1 Définition et notations 79

B.1.2 Champs scalaires 80

B.1.3 Champs vectoriels 80

B.1.4 Champs tensoriels du second ordre symétriques 81

B.2 Système de coordonnées sphériques 81

B.2.1 Définition et notations 82

B.2.2 Champs scalaires 82

B.2.3 Champs vectoriels 83

B.2.4 Champs tensoriels du second ordre symétriques 83