## II. Démonstration que la condition est nécessaire.

Supposons que $f(x)$ jouisse de la propriété $P$. Soit $K$ l'intervalle des valeurs prises par $f(x)$. Pour $n = 1, 2, 3, ...$ soit $E_n$ l'ensemble des nombres $c$ tels que l'équation $f(x) = c$ possède exactement $n$ solutions $x \in J$. De l'équation $K = \sum_{i=1}^{\infty} E_n$ résulte <fnref n="1" />) qu'un au moins des ensembles $E_n$ n'est pas non dense dans $K$. Donc il existe un nombre naturel $n$ et un intervalle ouvert $K_1 \subset K$ tels que $\bar{E}_n \supset K_1$. Soit $J_1 \subset J$ un intervalle tel que $x \in J_1$ entraîne $f(x) \in K_1$.

Je dis que pour aucune valeur réelle $c$ l'équation $f(x) = c$ n'a plus de $n+1$ solutions $x \in J_1$. En effet supposons que

$$x_1 < x_2 < \dots < x_{n+2}$$

soient des nombres de $J_1$ tels que $f(x_v) = c$. Evidemment $c \in K_1$. Pour $1 \le v \le n+1$ il existe (en vertu de la propriété $P$) un nombre $y_v \in (x_v, x_{v-1})$ tel que $f(y_v) \ne c$. Soit $\delta (>0)$ le plus petit des $n+1$ nombres $|f(y_v) - c|$. Puisque $c \in K_1 \subset \bar{E}_n$, l'intervalle $K_1$ étant ouvert, il existe des nombres $c_1, c_2 \in E_n$ tels que $c - \delta < c_1 < c < c_2 < c + \delta$. On voit sans peine que pour chaque $v$ ($1 \le v \le n+1$) fa fonction $f(x)$ prend dans l'intervalle $(x_v, x_{v+1})$ deux fois au moins une des deux valeurs $c_1, c_2$. Donc le nombre total des solutions des deux équations $f(x) = c_1, f(x) = c_2$ est au moins égal à $2(n+1)$, ce qui contredit à l'hypothèse $c_1, c_2 \in E_n$.

La fonction $f(x)$ prend donc dans $J_1$ chaque sa valeur $(n+1)$ fois au plus. Si $f(x)$ n'est pas monotone dans $J_1$, on a $f(x_1) = f(x_2) = c$, les points $x_1 < x_2$ appartenant à $J_1$. La fonction $f(x)$ n'étant pas constante dans aucun intervalle, il existe un nombre $x_0 \in (x_1, x_2)$ tel que $f(x_0) \ne c$ est le maximum ou le minimum des nombres $f(x)$ pour $x \in [x_1, x_2]$. Soit $x_3$ la plus grande solution $< x_0$ de l'équation $f(x) = c$ ($x \ge x_1$, d'où $x_0 \in J_1$). On voit sans peine que chaque valeur prise par $f(x)$ dans l'intervalle $(x_3, x_0) \subset J_1$ en est prise aussi dans l'intervalle $[x_0, x_3] \subset J_1$ disjoint à $(x_3, x_0)$. On en conclut sans peine que $f(x)$ prend dans l'intervalle $J_2 = (x_0, x_1)$ chaque sa valeur $(n+1) - 1 = n$ fois au plus. On arrive ainsi finalement à un intervalle $J_k$ tel que $f(x)$ prend chaque sa valeur dans $J_k$ une fois seulement.

Sur les fonctions continues qui prennent chaque leur valeur un nombre fini de fois.

Par

Eduard Čech (Brno).

## I. Introduction.

Considérons une fonction réelle $f(x)$ définie dans un intervalle $J$. Désignons par $M$ l'ensemble des points $x \in J$ qui possèdent un voisinage $O$ tel que $f(x)$ est monotone dans $O \cdot J$. Posons $N = J - M$. Evidemment l'ensemble $M(N)$ est ouvert (fermé) dans $J$. Désignons par $A$ l'ensemble des points isolés de l'ensemble $N$. Evidemment $A$ est l'ensemble des points $x \in J$ tels que, $\delta$ étant un nombre positif convenable, $f(x)$ est monotone dans <fnref n="1" />) $(x - \delta, x)$ et dans $(x, x + \delta)$, mais non dans $J \cdot (x - \delta, x + \delta)$. Posons $S = N - A$. L'ensemble $A$ étant ouvert dans $N$, l'ensemble $S$ est fermé dans $J$. Désignons par $\Gamma$ la classe de ceux des intervalles $(u, v)$ contigus à $S$ qui contiennent un nombre *fint* et *impair* de points de $A$.

Je dirai, pour abréger, que la fonction $f(x)$ jouit de la propriété $P$, si: 1º $f(x)$ est continue dans $J$; 2º pour chaque nombre réel $c$ l'équation $f(x) = c$ possède un nombre fini ($\ge 0$) de solutions $x \in J$.

Le but de cette Note est de démontrer le théorème suivant:

Si la fonction $f(x)$ jouit de la propriété $P$, alors: 1º $\overline{M} \supset J^2$; 2º $S = J \cdot A'$; 3º $\Delta$ étant une partie quelconque non vide de la classe $\Gamma$, l'ensemble $D$ des extrémités des intervalles $(u, v) \in \Delta$ n'est pas dense en soi. Inversement, si les conditions 1º, 2º, 3º sont remplies, il existe une fonction $f(x)$ correspondante qui jouit de la propriété $P$.

<footnote n="1">¹) Un intervalle étant de $2^{nd}$ catégorie.</footnote>

<footnote n="1">¹) $(a, b)$, $[a, b]$, $[a, b)$, $(a, b]$ désigne l'intervalle fermé, ouvert, demiouvert aux extrémités $a, b$.</footnote>

<footnote n="2">²) $\overline{M}$ est la fermeture, $M'$ l'ensemble dérivé de l'ensemble $M$.</footnote>
Donc il existe un intervalle $J^* \subset J$ dans lequel la fonction $f(x)$ est monotone. Par la même raison chaque intervalle $J_0 \subset J$ contient un intervalle $J_0^*$ de monotonicité de $f(x)$. L'ensemble $M$ est par suite dense dans $J$ de manière que les ensembles $N$ et $S$ sont non denses dans $J$.

De la définition des ensembles $A$ et $S$ il résulte tout de suite que $A' \subset S$. On en déduit sans peine que si l'égalité à démontrer $J \cdot A' = S$ n'est pas vraie, il existe un intervalle $J_1 \subset J$ tel que l'ensemble $N \cdot J$ est parfait<fnref n="1" />). Démontrons d'abord que, $J_1$ étant un tel intervalle, $f(x)$ ne peut pas être monotone dans $N \cdot J$. En effet si, p. ex., $f(x)$ y est non décroissante, et si $(u, v)$ est un intervalle contigu à $N \cdot J_1$, on a $(u, v) \subset M$; $f(u) \le f(v)$, d'où il résulte aussi-tôt que $f(x)$ est non décroissante dans $(u, v)$. On en déduit sans peine que $f(x)$ est non décroissante dans $[\alpha, \beta]$ — le plus petit intervalle contenant $N \cdot J_1$, — d'où $(\alpha, \beta) \subset M$ de manière qu'on arrive au résultat absurde que l'ensemble parfait $N \cdot J_1 \subset [\alpha, \beta] \cdot (J \setminus M)$ ne contient que les deux points $\alpha, \beta$ au plus.

Continuons à supposer que $J_1 \subset J$ soit un intervalle tel que l'ensemble $N \cdot J_1$ soit parfait. Or, nous verrons que ceci est incompatible avec la propriété $P$; cette contradiction prouve, comme nous savons, que $A' = S$. Soit $(u_1, v_1)$ un intervalle contigu à $N \cdot J_1$. On voit sans peine qu'il existe à droite du point $v_1$ un intervalle fermé $J_1^* \subset J_1$ tel que l'ensemble $N \cdot J_1^*$ est parfait. La fonction $f(x)$ n'est donc pas monotone dans $N \cdot J_1^*$, d'où il résulte sans peine l'existence de trois points $s_2, t_2, v_2 \in N \cdot J_1^*$ tels que $1^0 s_2 < t_2 < v_2$ ou bien $s_2 > t_2 > v_2$; $2^0 f(v_2) \in K_1 = (f(s_2), f(t_2))$. Posons encore $J_1^0 = [s_2, t_2]$ de manière que $f(x)$ prend dans $J_1^0$ chaque valeur $y \in K_1$. L'ensemble des extrémités droites des intervalles contigs à $N \cdot J_1^*$ étant dense dans $N \cdot J_1^*$ on voit sans peine que l'on peut supposer que le point $v_2$ soit l'extrémité droite d'un intervalle $(u_2, v_2)$ contigu à $N \cdot J_1^*$. Maintenant on répète la construction en remplaçant $(u_1, v_1)$ par $(u_2, v_2)$. On commence donc par trouver un intervalle fermé $J_2^* \subset J_1^*$ tel que l'ensemble $N \cdot J_2^*$ soit parfait. En tenant compte de ce que $v_2 \in J_1^* - J_1^0$ et $f(v_2) \in K_1$, où $K_1$ est un intervalle ouvert, on voit sans peine que l'on peut choisir $J_2^*$ de manière que $J_2^* \cdot J_1^0 = 0$ et que $x \in J_2^*$ entraîne $f(x) \in K_1$. En procédant ainsi, on arrive à former trois suites infinies d'intervalleles $J_0^n, J_1^n, K_n$ de manière que:

## Sur les fonctions continues.

$1^0 J_n^* \supseteq J_0^0$; $2^0 J_n^* \supseteq J_{n+1}^*$; $3^0 J_n^0 \cdot J_{n+1}^* = 0$; $4^0$ la fonction $f(x)$ prend dans $J_n^0$ chaque valeur $y \in K_n$; $5^0 x \in J_{n+1}^*$ entraîne $f(x) \in K_n$. Or soit $y \in K_{n+1}$; d'après $4^0$, il existe un point $x \in J_n^0$ tel que $f(x) = y$; d'après $1^0$ on a $x \in J_n^*$, d'où selon $5^0$, $y \in K_n$. On arrive ainsi à l'inclusion $K_{n+1} \subset K_n$ de manière qu'il existe un point $c \in \overline{\Pi} K_n$. D'après $4^0$, il existe pour chaque valeur de $n$ un point $x_n \in J_n^0$ tel que $f(x_n) = c$. Pour $m < n$ on a d'après $1^0$ et $2^0$ $x_n \in J_n^* \subset J_{n+1}^*$, tandis que $x_m \in J_m^0$, d'où $x_m \ne x_n$ selon $3^0$. Or ceci contredit à la propriété $P$.

Soit enfin $\Delta \subset \Gamma$, $\Delta \ne 0$: Partageons $\Delta$ en trois classes $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ conformément à la règle suivante. Soit $(u, v) \in \Delta$. Si $f(u) \ne f(v)$, posons $(u, v) \in \Delta_1$. Si au contraire $f(u) = f(v)$, on déduit sans peine de la propriété $P$ qu'il existe un nombre $\delta > 0$ tel que la fonction $f(x) - f(u) = f(x) - f(v)$ garde un signe constant ($\ne 0$) dans chacun des deux intervalles $(u - \delta, u)$ et $(v, v + \delta)$. Si ces deux signes sont contraires, soit $(u, v) \in \Delta_2$; s'ils sont égaux, soit $(u, v) \in \Delta_3$. Désignons encore par $D, D_1, D_2, D_3$ l'ensemble des extrémités des intervalles formant respectivement la classe $\Delta, \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$. Evidemment $D = D_1 + D_2 + D_3$. Supposons que l'ensemble $D$ soit dense en soi. L'un au moins des ensembles $D_1, D_2, D_3$ est dense sur une portion $D'$ de $D$. On peut supposer évidemment que la portion $D'$ ne contienne aucune de ses bornes, et, parsuite, on peut supposer encore qu'elle coïncide avec l'ensemble $D$ tout entier<fnref n="1" />), donc, que l'un au moins des trois ensembles $D_1, D_2, D_3$ soit dense en soi. Or nous allons voir que ceci contredit à la propriété $P$.

En premier lieu, supposons que l'ensemble $D_1$ soit $\ne 0$ et dense en soi. Choisissons un intervalle $(u_1, v_1) \in \Delta_1$. Puisque $\Delta_1 \subset \Gamma'$, on a $(u_1, v_1) \subset M + A$ et l'ensemble $(u_1, v_1)$. A contient un nombre fini et impair de points; en outre, on a $f(u_1) \ne f(v_1)$ d'après la définition de $\Delta_1$. On en déduit sans peine qu'un des deux nombres $u_1$ et $v_1$ — désignons le par $w_1$ — possède la propriété suivante: il existe un intervalle ouvert $K_1$ tel que $f(w_1) \in K_1$ et que la fonction $f(x)$ prenne dans l'intervalle $(u_1, v_1)$ chaque valeur $y \in K_1$. Le point $w_1$ appartenant à l'ensemble dense en soi $D_1$, il existe un intervalle $(u_2, v_2)$ contenu dans une telle proximité du point $w_1$ que $x \in [u_2, v_2]$.

<footnote n="1">¹) Non dense, parce que $M$ est dense dans $J$.</footnote>

<footnote n="1">¹) Car, on peut évidemment remplacer dans notre raisonnement l'ensemble $D$ par sa portion $D'$, cette portion étant dense en soi en même temps que $D$ et étant formée aussi des extrémités d'une famille d'intervallees appartenant à $I$.</footnote>
entraîne $f(x) \in K_1$. On répète alors la construction précédente en remplaçant l'intervalle $(u_1, v_1)$ par $(u_2, v_2)$. En désignant par $w_2$ un nombre choisi convenablement parmi les deux nombres $u_2, v_2$, il existe un intervalle ouvert $K_2$ tel que $\bar{K}_2 \subset K_1$, $f(w_2) \in K_2$ et que la fonction $f(x)$ prenne dans l'intervalle $(u_2, v_2)$ chaque valeur $y \in K_2$. On arrive ainsi à une suite d'intervalles $(u_n, v_n) \in \Delta_1$, différents l'un de l'autre et par suite disjoints, et à une autre suite d'intervalles $K_n$ telle que $1^0 K_{n+1} \subset \bar{K}_n$, $2^0$ la fonction $f(x)$ prend dans l'intervalle $(u_n, v_n)$ chaque valeur $y \in K_n$. D'après $1^0$, il existe un point $c \in \overline{\Pi_1 K_n}$; d'après $2^0$, il existe pour chaque valeur de $n$ un point $x_n \in (u_n, v_n)$ tel que $f(x_n) = c$. Or, ceci contredit à la propriété $P$, car les points $x_n$ sont tous différents, les intervalles $(u_n, v_n)$ étant disjoints.

En second lieu, supposons que l'ensemble $D_2$ soit $\neq 0$ et dense en soi. Choisissons un intervalle $(u_1, v_1) \in \Delta_2$. Désignons par $K_1$ l'ensemble des valeurs de $f(x)$ pour $x \in [u_1, v_1]$ de manière que $f(u_1)= =f(v_1) \in K_1$. D'après la définition de $\Delta_2$ il existe un nombre $\delta_1 > 0$ tel que dans un au moins des deux intervalles $(u_1 - \delta, u_1)$, $(v_1, v_1 + \delta)$ la fonction $f(x)$ ne prenne que des valeurs appartenant à $K_1$. Si c'est l'intervalle $(u_1 - \delta, u_1)$, posons $w_1=u_1-\delta$; dans le cas contraire, posons $w_1=v_1$. Puisque le point $w_1$ appartient à l'ensemble dense en soi $D_2$, il existe un intervalle $(u_2, v_2) \in \Delta_2$ contenu dans $(w_1, w_1+\delta)$. Désignons par $K_2$ l'ensemble des valeurs de $f(x)$ pour $x \in [u_2, v_2]$. L'inclusion $(u_2, v_2) \subset (w_1, w_1+\delta)$ entraîne $K_2 \subset K_1$. En procédant ainsi, on forme une suite d'intervalles disjoints $[u_n, v_n]$ telle que l'on a $K_{n+1} \subset K_n$, où $K_n$ désigne l'ensemble des valeurs de $f(x)$ dans $[u_n, v_n]$. Les $K_n$ étant évidemment des intervalles fermés, il existe un point $c \in \overline{\Pi_1 K_n}$ et des points $x_n \in [u_n, v_n]$, ce qui contredit à la propriété $P$.

En troisième lieu, supposons que l'ensemble $D_3$ soit $\neq 0$ et dense en soi. Choisissons $(u_1, v_1) \in \Delta_3$. D'après la définition de $\Delta_3$, il existe un nombre $\delta_1 > 0$ tel que la fonction $f(x) - f(u_1) = f(x) - f(v_1)$ garde un signe constant ($\neq 0$) dans l'ensemble $[u_1 - \delta_1, u_1] + (v_1, v_1 + \delta_1]$. Posons $K_1 = (f(u_1), f(u_1 - \delta_1))$ de manière que la fonction $f(x)$ prend chaque valeur $y \in K_1$ dans l'intervalle $(u_1 - \delta_1, u_1)$. On voit sans peine qu'il existe un nombre positif $\delta'_1 < \delta_1$ tel que $x \in (v_1, v_1 + \delta'_1)$ entraîne $f(x) \in K_1$. Puisque le point $v_1$ appartient

à l'ensemble dense en soi $D_3$, il existe un intervalle $(u_2, v_2) \in \Delta_3$ tel que $[u_2, v_2] \subset (v_1, v_1 + \delta'_1)$ de manière que $f(u_2) = f(v_2) \in K_1$. Alors il existe un nombre $\delta'_2 > 0$ tel que la fonction $f(x) - f(u_2) = f(x) - f(v_2)$ garde un signe constant ($\neq 0$) dans l'ensemble $[u_2 - \delta'_2, u_2] + (v_2, v_2 + \delta'_2]$. Posons $K_2 = (f(u_2), f(u_2 - \delta'_2))$. Le point $f(u_2)$ appartenant à l'intervalle ouvert $K_1$, on peut prendre $\delta'_2$ si petit que l'on ait $\bar{K}_2 \subset K_1$. En procédant ainsi, on arrive à former deux suites infinies de nombres $u_n, v_n$ et une suite infinie d'intervalles $K_n$ telles que: $1^0 u_n < v_n < u_{n+1} < v_{n+1}$; $2^0 \bar{K}_{n+1} \subset K_n$; $3^0$ la fonction $f(x)$ prend dans l'intervalle $(v_{n-1}, u_n)$ ($v_0 = u_1 - \delta'_1$) chaque valeur $y \in K_n$. D'après $2^0$ il existe un point $c \in \overline{\Pi_1 K_n}$. D'après $3^0$ il existe des points $x_n \in (v_{n-1}, u_n)$ tels que $f(x_n) = c$. D'après $1^0$ on a $x_m < x_n$ pour $m < n$. Or ceci contredit à la propriété $P$.

### III. Démonstration que la condition est suffisante.

Soit $J$ un intervalle donné. Soit $A \subset J$ un ensemble isolé. Posons $J \cdot A' = S$, $M = J - (A + S)$ de manière que $M$ est un ensemble ouvert et dense dans $J$. Désignons par $\Gamma$ la classe contenant ceux des intervalles $(u, v)$ contigus à $S$ pour lesquels le produit $(u, v) \cdot A$ contient un nombre fini et impair de points. [On peut avoir $\Gamma' = 0$. La classe $\Gamma$ doit jouir de la propriété suivante: Si l'on a $\Delta \subset \Gamma$, $\Delta \neq 0$, l'ensemble $D$ des extrémités des intervalles appartenant à $\Delta$ n'est pas dense en soi. On doit construire une fonction $f(x)$ jouissant de la propriété $P$ et telle que les ensembles $A, S, M$ aient relativement à $f(x)$ la signification expliquée dans l'introduction.

Nous commençons par définir l'ordre des intervalles formant la classe $\Gamma'$; cet ordre sera un nombre ordinal $< \Omega = \omega_1$. L'ensemble $D_0$ des extrémités de tous les intervalles appartenant à $\Gamma$ n'est pas dense en soi (si $\Gamma' \neq 0$). Donc il existe des intervalles $(u, v) \in \Gamma$ tels qu'un au moins des deux nombres $u$ et $v$ est isolé dans $D_0$. Ce seront, par définition, les intervalles d'ordre 0. Soit $\alpha > 0$ un nombre ordinal donné es supposons que l'on ait déjà défini les intervalles d'ordre $\beta$ pour chaque nombre ordinal $\beta < \alpha$. Désignons par $\Gamma_\alpha \subset \Gamma$ la classe des intervalles restants et supposons que $\Gamma_\alpha \neq 0$. Soit $D_\alpha$ l'ensemble des extrémités de tous les intervalles appartenant à $\Gamma_\alpha$. L'ensemble $D_\alpha \neq 0$ n'étant pas dense en soi, il existe des intervalles $(u, v) \in \Gamma_\alpha$ tels qu'un au moins des deux nom-
bres $u$ et $v$ est isolé dans $D_α$. Ce seront, par définition, les intervalles d'ordre $α$. La classe $Γ$ étant au plus dénombrable, on voit bien qu'il existe un nombre ordinal $γ < Ω$ tel que chaque intervalle appartenant à $Γ$ possède un ordre déterminé $α < γ$. Soit encore $(u, v) \in Γ$ un intervalle d'ordre $α$. Si le point $u$ est isolé dans l'ensemble $D_α$, appelons $u$ l'extrémité distinguée de l'intervalle $(u, v)$; dans le cas contraire, l'extrémité distinguée de $(u, v)$ sera le point $v$. Donc, dans tous les cas, l'extrémité distinguée d'un intervalle $(u, v)$ d'ordre $α$ est un point isolé de l'ensemble $D_α$.

Désignons par $C$ l'ensemble des extrémités distinguées de tous les intervalles formant la classe $Γ$. Je dis que l'ensemble $C$ est clairsémé. Supposons le contraire. Alors il existe un ensemble dense en soi et non vide $C^* \subset C$. Désignons par $Γ^*$ la classe de tous les intervalles $(u, v) \in Γ$ dont l'extrémité distinguée appartient à $C$.

Soit $\Theta$ l'ensemble des ordres de tous les intervalles formant la classe $Γ^*$. C'est un ensemble non vide de nombres ordinaires de sorte qu'il existe Min. $\Theta = α$. Evidemment $Γ^* \subset Γ_α$ ($Γ_0 = Γ$) de manière que $C^* \subset D_α$. D'après la définition de $\Theta$ et de $α$, il existe un intervalle $(u, v) \in Γ^*$ d'ordre $α$. En désignant par $w$ l'extrémité distinguée de l'intervalle $(u, v)$ on a $w \in C^* \subset D_α$. D'après la définition de l'extrémité distinguée, le point $w$ est isolée dans $D_α$ et donc, à plus forte raison, dans $C^*$. Or ceci contredit à l'hypothèse que l'ensemble $C^*$ soit dense en soi.

L'ensemble $C$ étant évidemment au plus dénombrable, on peut ranger ses points en une suite (finie ou infinie)

(*) $w_1, w_2, w_3, \dots$

Or l'ensemble $C$ étant clairsemé, c'est un $G_δ^{1)}$. Donc $C = \bigcap_{n=1}^{\infty} G_n$, les $G_n$ étant des ensembles ouverts; on peut évidemment supposer que $G_n \supset G_{n+1}$. Pour chaque valeur de $n^{2)}$ il existe un intervalle $j_n = [w_n - \delta_n, w_n + \delta_n]$ tel que: $1^0 \le j_n \subset G_n$; $2^0 \le j_n$ ne contient aucun des points $w_1, w_2, \dots, w_{n-1}$; $3^0 < 0 < \delta_n < \frac{1}{n^2}$. Je dis qu'il n'existe aucun point qui appartienne simultanément à une infinité des intervalles $j_n$. Supposons par impossible, que l'on ait $c \in \bigcap_{n=1}^{\infty} j_{p_n}$ ($p_1 <

$<p_2 < p_3 < \dots>$. D'après 1º, on a $c \in \bigcap_{n=1}^{\infty} G_{p_n} = C$ (en vertu de l'inclusion $G_{n+1} \subset G_n$), donc $c = w_m$ pour une valeur convenable de $m$. Mais alors $w_m \in j_{p_n}$ pour chaque valeur de $n$, ce qui contredit à l'hypothèse 2º.

Nous sommes maintenant en état de construire la fonction cherchée $f(x)$. Il suffit évidemment de faire la construction dans le cas où $J$ est le plus petit intervalle contenant $S$. Pour $x \in S$ posons $f(x) = x$; il reste à définir $f(x)$ dans les intervalles contigus à $S$. Soit $(u, v)$ un tel intervalle; commençons par le cas où $(u, v)$ n'appartient pas à $Γ$. L'intervalle $(u, v)$ contient donc un nombre fini et pair ($\ge 0$) ou bien infini de points $x \in A$; dans le second cas, l'ensemble dérivé de $(u, v)$. $A$ ne peut évidemment contenir que tout au plus les points $u, v$. On voit sans peine qu'on peut définir $f(x)$ dans $[u, v]$ de manière que les conditions suivantes soient réalisées: $1^0 = f(u) = u, f(v) = v$; $2^0 = f(x)$ est continue dans $[u, v]$; $3^0$ l'ensemble des valeurs de $f(x)$ dans $[u, v]$ coïncide avec l'intervalle $[u, v]$ lui même; $4^0$ la fonction $f(x)$ est linéaire (non constante) dans chaque intervalle contenu dans $(u, v) - A$; $5^0$ la fonction $f(x)$ n'est pas monotone dans aucun voisinage d'aucun point $x \in (u, v) \cdot A$; $6^0$ pour chaque valeur réelle de $c$, l'équation $f(x) = c$ possède au plus trois racines $x \in (u, v)$. Passons au cas $(u, v) \in Γ$, où l'ensemble $(u, v) \cdot A$ contient un nombre fini et impair des points. On voit sans peine qu'on peut définir $f(x)$ dans $[u, v]$ de manière que toutes les conditions $1^0-7^0$ soient réalisées, à l'exception de la condition $3^0$ que l'on remplacera par la suivante: Soit $n$ le nombre naturel tel que l'extrémité distinguée de l'intervalle $(u, v)$ soit égale au terme $w_n$ de la suite (*) et soit $j_n = [w_n - \delta_n, w_n + \delta_n]$ correspondant. L'ensemble des valeurs de $f(x)$ dans $[u, v]$ doit coïncider avec l'intervalle $[u, v] + j_n$; l'oscillation de $f(x)$ dans $[u_n, v_n]$ est donc $\le v - u + 2\delta_n < v - u + \frac{2}{n^2}$. On vérifie sans difficulté que $f(x)$ est la fonction cherchée.

Je terminerai par la remarque suivante: Nous n'avons pas demandé que le nombre des solutions de l'équation $f(x) = c$ soit borné; on peut démontrer que ceci est réalisable si et seulement si l'ordre (précédemment défini) d'aucun intervalle appartenant à $Γ$ ne surpasse un nombre naturel fixe $k$.

<footnote n="1">1) V. Hausdorff, Mengenlehre, p. 169 et 170 (ensemble clairsemé = separierte Menge).</footnote>

<footnote n="2">2) Pour laquelle existe le point $w_n$; d'ailleurs la considération qui suit est banale dans le cas où l'ensemble $C$ est fini.</footnote>