Espaços topológicos homeomorfos, campo de vetores com vetores associados a variáveis aleatórias, sistema dinâmico e modelo estatístico, e a relação entre geometria diferencial e sistema dinâmico

Por: João Paulo da Silva Pereira

Resumo

Neste artigo, explorei a interseção entre espaços topológicos, campos de vetores associados a variáveis aleatórias, sistemas dinâmicos e modelos estatísticos. Comecei definindo um espaço topológico $X$ com uma métrica $d$, onde o conjunto de variáveis aleatórias $\{Z_i\}$ é definido em $X$. Em seguida, introduzi a função homeomorfa $F: X \to Y$, que mapeia pontos de $X$ para $Y$, gerando campos de vetores $V_x$ e $V_y$ em $X$ e $Y$, respectivamente. Considerei o parâmetro $r$ como uma variável temporal, relacionada à evolução temporal das variáveis $Z_i$ em $Y$, modeladas por equações diferenciais. Por fim, discuti a integração temporal e a implementação de modelos estatísticos para compreender a evolução das variáveis aleatórias ao longo do tempo. Já na quarta parte relacionei conceitos fundamentais da geometria diferencial e teoria dos sistemas dinâmicos, mostrando como esses conceitos se aplicam a variedades topológicas e sistemas dinâmicos em espaços euclidianos de várias dimensões.

Palavras-chave: Espaços Topológicos; Topologia Induzida pela Métrica; Conjunto de Variáveis Aleatórias; Homeomorfismo; Função Paramétrica; Campo de Vetores; Sistema Dinâmico; Modelo Estatístico; Variedades Topológicas; Geometria Diferencial; Espaços Euclidianos de Várias Dimensões.
## Summary

In this article, I explored the intersection between topological spaces, vector fields associated with random variables, dynamical systems, and statistical models. I started by defining a topological space $X$ with a metric $d$, where the set of random variables $\{Z_i\}$ is defined in $X$. Next, I introduced the homeomorphic function $F: X \to Y$, which maps points from $X$ to $Y$, generating vector fields $V_x$ and $V_y$ in $X$ and $Y$, respectively. I considered the parameter $r$ as a temporal variable, related to the temporal evolution of the variables $Z_i$ in $Y$, modeled by differential equations. Finally, I discussed temporal integration and the implementation of statistical models to understand the evolution of random variables over time. In the fourth part, I related fundamental concepts of differential geometry and the theory of dynamic systems, showing how these concepts apply to topological manifolds and dynamic systems in Euclidean spaces of various dimensions.

**Keywords:** Topological Spaces; Metric-Induced Topology; Set of Random Variables; Homeomorphism; Parametric Function; Vector Field; Dynamic System; Statistical Model; Topological Varieties; Differential Geometry; Euclidean Spaces of Various Dimensions.

## Introdução

A interação entre espaços topológicos, campos vetoriais e modelos estatísticos têm sido extensivamente estudada em diversas áreas da matemática e da física. Neste artigo, explorei esta interação no contexto de um espaço topológico homeomórfico associado a um conjunto de variáveis aleatórias, resultando em um sistema dinâmico cuja evolução temporal é modelada por equações diferenciais.
Esta abordagem permite compreender como as variáveis aleatórias evoluem ao longo do tempo e implementar modelos estatísticos para análise e previsão.

Ao definir um espaço topológico $X$ com uma métrica $d$, onde o conjunto de variáveis aleatórias $\{Z_i\}$ é definido em $X$, podemos estudar as propriedades topológicas de $X$ que influenciam a evolução das variáveis aleatórias $Z_i$. A função homeomorfa $F: X \to Y$ mapeia pontos de $X$ para $Y$ de forma contínua e biunívoca, preservando a estrutura topológica entre os espaços $X$ e $Y$. Isso nos permite relacionar as propriedades de $X$ com a dinâmica das variáveis aleatórias em $Y$, facilitando a análise e a modelagem do sistema.

Ao relacionar conceitos fundamentais da geometria diferencial e sistemas dinâmicos, mostrei como esses conceitos se aplicam a variedades topológicas e sistemas dinâmicos em espaços euclidianos de várias dimensões. E o fiz de forma única, no entanto, tais conceitos são vastamente estudados por especialistas em topologia, sistemas dinâmicos e geometria diferencial.

# Desenvolvimento

## 1° Parte

$X$ é um espaço com uma métrica $d$, ou seja, sua topologia $\tau$ é induzida pela métrica $d$.

O conjunto de variáveis aleatórias $\{Z_i\}$ é definido em $X$. Cada $Z_i$ é uma função que associa cada ponto $x \in X$ a um valor real.
São definidos conjuntos $B(a, \delta Z)$ como bolas abertas de raio $\delta Z$ e centradas em $a$, que são pontos arbitrários em $X$. Esses conjuntos são pequenos conjuntos abertos em $X$ que estão associados às variáveis aleatórias.

Considere $F: X \to Y$ uma função homeomorfa que mapeia “pontos” do espaço topológico $X$ a $Y$.

$\forall x \in X$ associa-se um campo de vetores $V_x$, onde cada vetor está associado a $Z_i$ (variáveis aleatórias).

O campo de vetores $V_y \in Y$ é gerado por $F$, ou seja, pelo transporte do campo de vetores $V_x$ pela função $F$ (ou pelo homeomorfismo) para $Y$.

Considere que $V_y$ gera um sistema dinâmico. As componentes de $V_y$ pode ser representada por $F(r) = (f_{y_1}(r), f_{y_2}(r), f_{y_3}(r))$, com $r'$ sendo um parâmetro relacionado ao tempo. Resta estudar o sistema dinâmico em $Y$ com as funções e como se dá a evolução temporal de $Z_i$.

## 2º Parte

Ao considerar o parâmetro $r$ como uma variável que está a representar o tempo contínuo. Em sistemas dinâmicos, essa variável irá expressar a evolução temporal do sistema.

Posso considerar as derivadas temporais $d/dr$. Se o sistema for modelado por equações diferenciais, $r$ seria a variável independente e as equações diferenciais expressariam como as variáveis dependentes evoluem em relação a $r$. Exemplo de como a função $F(r)$ pode se relacionar com $r$:

* $F_{y_1}(r) = sen(r)$ (varia de acordo com uma função senoidal em relação a $r$);
* $F_{y_2}(r) = e^{-r}$ (decai exponencialmente à medida que o valor de $r$ aumenta);

* $F_{y_3}(r) = \cos(r^2)$ (oscila conforme o cosseno da função quadrática de $r$).

Um exemplo prático desta abordagem pode ser encontrada na modelagem do movimento de partículas em campos magnéticos variantes no tempo. Neste caso, $X$ será o espaço tridimensional em que a partícula se move, sendo $d$ a métrica euclidiana. A variável aleatória $\{Z_i\}$ pode representar as coordenadas e a velocidade das partículas em $X$. A função homeomórfica $F$ mapeia as partículas em seu espaço de fase, onde os campos vetoriais representam as forças magnéticas que atuam sobre elas. A evolução temporal das partículas pode ser descrita por equações diferenciais, e modelos estatísticos podem ser usados para prever seu movimento futuro.

### 3° Parte

Quando eu estiver estudando o sistema dinâmico, a integração temporal em relação a $r$ me possibilitará compreender como as variáveis aleatórias evoluem temporalmente. Posso, neste caso, usar métodos numéricos ou técnicas analíticas. Assim, posso implementar modelos estatísticos.

### 4° Parte

Antes de desenvolver parcialmente outra ideia, vou a alguns conceitos. Primeiro irei descrever conceitos importantes em geometria diferencial e análise:

1. Imersão: A imersão é uma aplicação suave que preserva a estrutura da variedade. No contexto que será descrito, imersão é uma função $f$ que mapeia um espaço euclidiano de dimensão $n$ para um espaço euclidiano de
dimensão $n + m$, onde a derivada da função é algum ponto da injeção. Isso significa que os embeddings locais se comportam como funções injetivas.

2. **Submersão:** A submersão é uma aplicação suave que preserva a estrutura da variedade, mas é feita de maneira oposta à submersão. No contexto descrito, submersão é uma função $f$ que mapeia um espaço euclidiano de dimensão $n$ para um espaço euclidiano de dimensão $m$, onde a derivada de uma função é sobrejetiva em algum ponto. Isto significa que a submersão local se comporta como uma função sobrejetiva.

3. **Ponto Regular e Crítico:** Um ponto $x$ é considerado regular, se a derivada de uma função $x$ for considerada regular. $f$ agora é sobrejetiva (no caso de submersão) ou injetiva (no caso de imersão). Se a derivada não possuir essa propriedade, o ponto é considerado crítico.

4. **Subconjunto residual:** Um subconjunto residual $R$ é o conjunto que contém a interseção densa de subconjuntos abertos e subconjuntos densos. Em outras palavras, é um conjunto que existe em muitos conjuntos abertos. $R$ ocorre de forma "intensiva" e não pode ser "evitada". O teorema de Bell afirma que cada subconjunto residual $R$ é denso.

Esses conceitos são a base para o estudo da geometria diferencial e a análise de espaços euclidianos em diferentes dimensões. Além disso, é necessário descrever alguns conceitos básicos em geometria diferencial e teoria de sistemas dinâmicos. Vou esclarecer alguns pontos:

1. **Espaço topológico euclidiano local:** Um espaço topológico euclidiano local é aquele em que cada ponto tem uma vizinhança que é homeomorfa a um subconjunto aberto do espaço topológico $R^n$. Isto significa que localmente o espaço se parece com um espaço euclidiano.

2. **Base enumerável e Hausdorff:** Uma base enumerável é um conjunto de conjuntos abertos enumeráveis. A propriedade Hausdorff é uma propriedade topológica que garante que para cada par de pontos diferentes num espaço topológico, existem vizinhanças disjuntas em torno desses pontos. Essas propriedades são herdadas pelo subespaço múltiplo.
3. Variedade topológica: Variedades topológicas são espaços topológicos que são localmente homeomórficos aos espaços euclidianos. Isso significa que cada ponto na variedade tem uma vizinhança que é homeomorfa a um subconjunto aberto de $R^n$.

4. Atlas máximo: Um atlas máximo é um conjunto de cartas mutuamente compatíveis que cobrem toda a variedade (funções que mapeiam partes da variedade para $R^n$).

5. A órbita do sistema dinâmico: A órbita do ponto $x$ sob a ação do sistema dinâmico é o conjunto de todos os pontos alcançados a partir de $x$ pela aplicação repetida do sistema dinâmico.

6. Transição de um sistema dinâmico: A transição $F$ descreve para um sistema dinâmico a evolução do ponto $x$ ao longo do tempo, onde $F^1(x)$ representa o próximo estado, $F^2(x)$ o próximo estado e assim por diante.

Esses conceitos são fundamentais para o estudo de geometria diferencial, sistemas dinâmicos e topologia. Dessarte, faz-se necessário esclarecer mais alguns conceitos:

1. Espaço Vetorial Localmente: A ideia de um objeto ser localmente um espaço vetorial se encaixa bem na definição de variedades topológicas como espaços localmente euclidianos. Em um ponto de uma variedade, as propriedades de um espaço vetorial podem ser aproximadas por um espaço euclidiano.

2. Espaço Topológico Localmente Euclidiano, Cartas e Coordenadas: Em uma variedade, a ideia de ser localmente euclidiana está relacionada à existência de cartas que mapeiam partes da variedade em espaços euclidianos. Essas cartas fornecem coordenadas locais para a variedade, permitindo-nos trabalhar localmente como se estivéssemos em um espaço euclidiano.

3. Variedades Topológicas e Atlas Máximo: Uma variedade topológica é definida como um espaço topológico que é localmente euclidiano, tem uma base euclidiana e é Hausdorff. Isso se encaixa na descrição anterior de
variedades. Um atlas máximo é essencial para definir a estrutura diferencial em uma variedade, garantindo que as cartas sejam compatíveis.

4. Transição do Sistema Dinâmico: A descrição do sistema dinâmico que darei está relacionada à evolução de um ponto ao longo do tempo em um espaço euclidiano de dimensão $m + n$. A órbita do ponto é a sequência de pontos alcançados pelo sistema dinâmico aplicado repetidamente.

Para formalizar a aplicação dos conceitos mencionados, vou considerar uma variedade topológica $M$ de dimensão $n$ embutida em $R^{m+n}$ e um sistema dinâmico $F: U \to R^{m+n}$, onde $U$ é um subconjunto aberto de $R^{m+n}$ contendo $M$.

1. Espaço Vetorial Localmente: Em cada ponto $p \in M$, temos um espaço tangente $T_p M$ que é localmente um espaço vetorial.

2. Base Enumerável e Hausdorff: $M$ herda a base enumerável e a propriedade de Hausdorff de $R^{m+n}$, o que significa que os subespaços de $M$ também têm essas propriedades.

3. Espaço Topológico Localmente Euclidiano, Cartas e Coordenadas: Para cada $p \in M$, existe uma carta $\phi: U_p \to V_p \subset R^n$, onde $U_p$ é um aberto em $M$ contendo $p$ e $V_p$ é um aberto em $R^n$ que fornece coordenadas locais em torno de $p$, tornando $M$ localmente euclidiano.

4. Variedades Topológicas e Atlas Máximo: A variedade $M$ é uma variedade topológica, o que implica que ela é localmente euclidiana, possui uma base enumerável e é Hausdorff. Um atlas máximo em $M$ consiste em todas as cartas compatíveis com a estrutura diferencial de $M$.

5. Transição do Sistema Dinâmico: Para cada ponto $x \in M$, consideramos a órbita $O(x) = \{F^n(x) : n \in N\}$, que é a sequência de pontos gerados pela aplicação repetida de $F$ a partir de $x$.
Além disso, tome tais descrições que estão relacionadas a um sistema dinâmico definido em um espaço de funções entre espaços euclidianos:

Seja $U$ um subconjunto aberto de $R^m$ e $V$ um subconjunto aberto de $R^n$. Considere $F: U \to L(R^m, R^n)$, onde $L(R^m, R^n)$ é o conjunto das transformações lineares de $R^m$ para $R^n$. Suponha que $p \in U$, $\alpha$ é uma função de $I$ (um intervalo contendo $0$) em $R^m$ e $q \in V$.

Defino $g: U \to R^n$ como $g(p) = F(p)(q)$. Então, para cada $u \in U$, temos $F(u) \in L(R^m, R^n)$ e $X = F(\alpha)$ é a derivada de $\alpha$ em relação ao tempo, ou seja, $X = d/dt \alpha(t)$. Da mesma forma, $Y = F(\beta)$ é a derivada de $\beta$ em relação ao tempo.

A equação $d/dt \alpha(t) = X(\alpha(t))$ significa que a derivada de $\alpha$ em relação ao tempo é igual à transformação linear $X$ aplicada a $\alpha(t)$. Da mesma forma, $d/dt \beta(t) = Y(\beta(t))$. Portanto, a equação $X(\alpha(t)) = Y(\beta(t))$ implica que as derivadas de $\alpha$ e $\beta$ em relação ao tempo são iguais.

Observe que o símbolo $L(R^m, R^n)$, representa o conjunto das transformações lineares de $R^m$ para $R^n$. Uma transformação linear $T: R^m \to R^n$ é uma função que preserva a soma de vetores e a multiplicação por escalares. Em outras palavras, para quaisquer vetores $v, w \in R^m$ e escalar $c \in R$, temos $T(v + w) = T(v) + T(w)$ e $T(cv) = cT(v)$.

Neste contexto, $F: U \to L(R^m, R^n)$ é uma função que associa cada ponto $p \in U$ a uma transformação linear $F(p): R^m \to R^n$. Então, $F(p)$ é uma matriz $n \times m$ que representa a transformação linear associada ao ponto $p$. Vou relacionar os conceitos mencionados com a descrição anterior:

1. Espaço Vetorial Localmente: Em uma variedade topológica $M$, o espaço tangente $T_p M$ em cada ponto $p$ é localmente um espaço vetorial. Isso significa que para cada ponto $p$ de $M$, o espaço tangente $T_p M$ em $p$ pode ser
visto como um espaço vetorial, permitindo operações de vetor localmente em torno de $p$.

2. Base Enumerável e Hausdorff: Uma variedade $M$ herda a base enumerável e a propriedade de Hausdorff de $R^{m+n}$, se $M$ estiver embutida em $R^{m+n}$. Isso significa que os subespaços de $M$ também têm essas propriedades.

3. Espaço Topológico Localmente Euclidiano, Cartas e Coordenadas: Para cada ponto $p$ em uma variedade $M$, existem cartas $\phi: U_p \to V_q$, onde $U_p$ é um aberto em $M$ contendo $p$ e $V_q$ é um aberto em $R^n$, que fornecem coordenadas locais em torno de $p$, tornando $M$ localmente euclidiano.

4. Variedades Topológicas e Atlas Máximo: Uma variedade topológica $M$ é uma variedade topológica que é localmente euclidiana, possui uma base enumerável e é Hausdorff. Um atlas máximo em $M$ consiste em todas as cartas compatíveis com a estrutura diferencial de $M$.

5. Transição do Sistema Dinâmico: A transição do sistema dinâmico $F$ em uma variedade $M$ é a evolução de um ponto $x$ ao longo do tempo, onde $F^1(x)$ representa o próximo estado, $F^2(x)$ o estado seguinte, e assim por diante. A órbita $O(x)$ é o conjunto de todos os pontos que são alcançados pela aplicação repetida de $F$ a partir de $x$.

Esses conceitos são aplicáveis à descrição de variedades e sistemas dinâmicos em espaços euclidianos de várias dimensões, fornecendo uma estrutura matemática sólida para o estudo desses objetos em geometria diferencial e teoria dos sistemas dinâmicos.

## Conclusão

Tal abordagem, por relacionar espaços topológicos homeomórficos a conjuntos de variáveis aleatórias para gerar campos vetoriais e sistemas dinâmicos, fornece
uma perspectiva única para a compreensão da evolução temporal de sistemas complexos. A integração de modelos estatísticos permite uma análise mais aprofundada e a previsão do comportamento destes sistemas em diferentes cenários. Por fim, na quarta parte relacionei conceitos fundamentais da geometria diferencial e da teoria dos sistemas dinâmicos, mostrando como esses conceitos se aplicam a variedades topológicas e sistemas dinâmicos em um dado espaço euclidiano de n dimensões.

Referências

WILLARD, S. **General Topology**. Dover Publications: Mineola, New York, 1970. p. 374.

NAGLE, Kent; SAFF, Edward; SNIDER, Arthur. **Equações Diferenciais**. 8° edição. São Paulo: Pearson Education, 2012. p. 563.

O'NEILL, B. **Elementary Differential Geometry**. Revised second edition. Academic Press: San Diego - CA, 1900. p. 495.

MUNKRES, J. R. **Topology**. Second edition. Prentice Hall: Massachusetts, 2000. p. 519.

Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Seminário de Sistemas Dinâmicos, YouTube, novembro de 2018. Disponível em: https://youtube.com/ playlist?list=PLo4jXE-LdDTQtj15bpgTQ_LK7x1n5FDrw&si=zEhLppfwk491zyHT