À l’heure où on parle beaucoup de « finance verte » et où chacun cherche à verdir les produits financiers et les circuits de financement de l’argent, nous avançons ici une idée complémentaire : il faut non seulement verdir les produits financiers, il faut aussi verdir les métriques financières. Rappelons qu’une métrique est l’étude des régularités systématiques qui caractérisent un système donné. Dans la finance, cette métrique a pris la forme des indicateurs connus, comme la volatilité, etc.

Pour faire comprendre comment verdir une métrique, il est intéressant de considérer métaphoriquement la finance comme un jardin. Afin que ce jardin devienne bien « vert », il faut travailler à en supprimer les mauvaises herbes. On sait que les mauvaises herbes, comme les ronces ou le chiendent, viennent empoisonner les pelouses, et tout bon jardinier sait qu’il doit chercher à éviter que les ronces ne repoussent ou que le chiendent ne s’étende. Les ronces et le chiendent partagent en effet la propriété d’être envahissantes, et si on ne cherche pas activement à s’en débarrasser, c’est tôt ou tard tout le jardin qui est envahi ! De plus, si on attend trop longtemps avant de jardiner, dans le cas des ronces par exemple, on peut se trouver devant l’obligation d’attaquer un mur compact de ronces, parfois très élevé. Les ronces colonisent le jardin, qui devient alors un roncier. Et retirer un roncier est plus difficile que d’arracher une ronce naissante.

## Métriques browniennes

Pourquoi la finance néoclassique n’a-t-elle pas été « verte » ? Pourquoi les métriques néoclassiques ne sont pas « vertes » ? Le jardin de la finance a-t-il été envahi par une plante qui l’aurait colonisé, abîmant la qualité de sa verdure et transformant le monde financier en roncier ? Les accidents financiers à répétition depuis le krach de 1987 jusqu’à la crise de 2008 seraient-ils provoqués par une plante invasive dont les racines fragiliseraient les protections naturelles contre les accidents ? La réponse est positive.

Le nom de cette plante est Clarkia pulchella, c’est une fleur sauvage d’Amérique du Nord. Cette plante a été examinée au microscope par le botaniste écossais botaniste Robert Brown en 1827. Il a observé que ses grains de pollen bougeaient de manière totalement désordonnée et il a décrit ce mouvement désordonné par une dynamique qui porte son nom, le « mouvement de Brown » ou « mouvement brownien ».

En 1900, le mouvement brownien est devenu un processus aléatoire (une fonction qui dépend du temps et du hasard) étudié par le mathématicien français Louis Bachelier dans sa thèse de doctorat « Théorie de la spéculation », pour décrire les mouvements désordonnés de la rente à la bourse de Paris. Les propriétés mathématiques de ce mouvement ont ensuite été décrites entre 1905 et 1933 par Albert Einstein, Paul Langevin, Norbert Wiener et Paul Lévy.

À la fin des années 1950 et dans les années 1960, le mouvement brownien est entré dans la finance comme ingrédient élémentaire de la modélisation mathématique des variations boursières avec Maury Osborne et Paul Samuelson. Les célébrissimes formules de calcul du prix des options établies par Fisher Black, Myron Scholes et Robert Merton en 1973 (prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d’Alfred Nobel) puis l’avènement des marchés dérivés fondés sur les mathématiques financières de base brownienne, ont définitivement consacré le mouvement brownien comme ingrédient essentiel de la construction des modèles de dynamique boursière et de gestion des risques. Le mouvement brownien est ainsi devenu la composante de base des métriques de la finance.

Nous pouvons donc esquisser une première conclusion : la finance néoclassique n’a pas été « verte » à cause de ses métriques browniennes. Les métriques browniennes ne sont pas des « métriques vertes ». Pourquoi ?

## Le faux procès des maths financières

Pour répondre à cette question, il faut examiner de plus près les caractéristiques du mouvement brownien, puis les comparer à celles des objets (plantes, fleuves, montagnes, etc.) de la nature. Le mouvement brownien possède une propriété qui a été perçue par les mathématiciens de la finance dans les années 1970 extrêmement utile pour la gestion des risques, la continuité de sa trajectoire : avec la propriété de continuité, il n’y a pas de cassure de marché, pas de rupture de cotation, pas d’accidents financiers et on peut donc ajuster en continu les positions de marché pour les couvrir.

Cette continuité des mouvements boursiers est devenue très importante pour la pratique financière de la gestion des risques. Elle est même si importante qu’elle est ensuite devenue une idée résistante à tout changement théorique qui aurait voulu introduire des discontinuités dans les modélisations boursières.

Sur plusieurs décennies, l’ensemble des acteurs de la communauté financière, professionnels des marchés, gestionnaires de fonds d’investissement, enseignants et chercheurs universitaires, régulateurs et autorités de marchés, a fondé la totalité des techniques de gestion des risques (comme l’assurance de portefeuille) et des représentations mentales des variations des marchés (normes financières comptables et prudentielles) sur des métriques browniennes. Les recommandations réglementaires pour éviter les crises (Bâle IV, Solvabilité II) reposent aussi sur des métriques browniennes. Ainsi la Clarkia pulchella a été envahissante, colonisant progressivement puis systématiquement le jardin de la finance néoclassique.

On connaît la suite. Avec les métriques browniennes (lesdites « mathématiques financières » ont été pendant longtemps des mathématiques browniennes), la finance a été piégée par l’illusion de la disparition du risque. Ce n’est donc pas un « problème de mathématiques financières » (la pensée unique sur la crise) et le procès des mathématiques financières est, en ce sens, un faux procès. C’est le problème d’une certaine partie de mathématiques financières qui utilise des métriques browniennes.

Cette illusion due à l’usage du mouvement brownien et la confusion faite entre mathématiques financières et métrique brownienne expliquent que la crise de la finance néoclassique a une dimension cognitive très largement encore méconnue, et que la cupidité ne peut pas suffire à expliquer la crise de 2008.

Il est donc temps de désherber le jardin de la finance de sa Clarkia pulchella. La finance ne pourra être vraiment « verte » que le jour où son jardin aura été déroncé, nettoyé de cette plante sauvage qui l’a colonisé et dont les racines sont toujours souterrainement à l’œuvre, par exemple avec la gestion indicielle et les benchmarks (repères). Pour parler sans métaphore : il faut s’assurer que toutes les métriques browniennes auront été supprimées de la finance. Et installer à la place des métriques vertes.

## Le poids des lobbys

Une métrique verte est une métrique dont les caractéristiques sont alignées sur celles de la « nature ». Considérons alors la forme des plantes, des rivières, des montagnes, etc. Il est connu aujourd’hui qu’une caractéristique essentielle de la géométrie de ces objets est qu’ils sont de nature fractale, c’est-à-dire dont la géométrie se répète à différentes échelles.

Prenons par exemple le cas des plantes, puisque nous avons utilisé la métaphore du jardin. Les plantes possèdent la propriété de réitération et « répètent » les formes à différentes échelles lors de leur développement, même si les formes réitérées ne se répètent pas à l’infini comme dans la théorie, mais un nombre restreint de fois.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Une fonction réitérée très simple, appelée « fougère de Barnsley ». VisSim/Wikimedia, CC BY</figcaption></figure>

Sans préciser davantage ici cette propriété, on peut avancer que toute description de la nature doit inclure une propriété fractale pour être réaliste. Toute métrique « naturelle » doit donc être fractale. Une métrique ne pourra être « verte » que si elle est fractale.

Pourquoi n’y a-t-il pas eu plus tôt de métrique verte en finance ? Parce que, paradoxalement, les gardiens du jardin financier (qui s’en sont cru les propriétaires) ont empêché d’agir les quelques jardiniers talentueux qui alertaient sur la présence des ronces naissantes et qui voulaient déroncer. Les lobbys financiers (associant banquiers et universitaires américains, comme l’illustre le film Inside Job) ont agi pour que les professions financières et les autorités de régulation internationale maintiennent coûte que coûte (et à quel prix !) les métriques browniennes, qui assuraient à l’industrie des produits dérivés et des évaluateurs un chiffre d’affaires extrêmement élevé, l’argent facile en quelque sorte… De nombreux travaux de sociologie de la finance existent aujourd’hui, qui documentent ce pouvoir intellectuel des lobbys financiers sur les conventions scientifiques en finance pendant plusieurs décennies.

Alors apparaissent sous un jour nouveau, sur une longue durée de plus de cinquante ans (1960-2010) les controverses issues des avertissements de l’inventeur des fractales, le mathématicien français Benoit Mandelbrot, lanceur d’alerte avant l’heure, qui avait attiré l’attention très tôt (dès 1962) sur le danger que représentait la Clarkia pulchella pour la pratique financière. Après la crise de 2008, dans un entretien au Monde publié en septembre 2009, un an avant sa mort, Mandelbrot rappellera une fois encore que, avec une théorie financière inapplicable fondée sur les métriques browniennes, « il était inévitable que des choses très graves se produisent ».

En résumé, un travail important à faire pour « verdir » la finance (en plus du fléchage « vert » des produits et des circuits) devrait être de traquer les restes de métrique brownienne pour les remplacer par des métriques non browniennes. La recherche en mathématiques financières a pris ce virage scientifique il y a une dizaine d’années et l’éconophysique (ou économie physique) travaille activement sur ce thème par exemple la nouvelle Chaire de Polytechnique, mais les professions financières et les autorités de régulation conservent encore sur le risque et l’évaluation des cadres mentaux qui reposent très largement sur des métriques browniennes.