<table><caption>**Table 4**

Magnetic Properties of the Modeled Dynamos</caption><thead><tr><th></th><th>Long Cycle<br>(y/[yr]/n)</th><th>Short Cycle<br>(y/[yr]/n)</th><th>δ<sub>r</sub>Ω<br>[nHz]</th><th>Active lat.<br>[°–°]</th><th>Φ<sub>tot</sub><br>[10<sup>24</sup> Mx]<sup>max</sup><br>[G]<sup>max</sup></th><th>B<sub>rms</sub><br>[G]<sup>max</sup></th><th>B<sub>r,dip</sub><br>[G]<sup>max</sup></th><th>B<sub>L,surf</sub><br>[G]<sup>max</sup></th><th>f<sub>dip</sub></th><th>f<sub>quad</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>M05Sm</td><td>n</td><td>n</td><td>2.4</td><td>[43–45]</td><td>3.0<sup>3.3</sup><sub>2.6</sub></td><td>793<sup>884</sup><sub>683</sub></td><td>191<sup>217</sup><sub>156</sub></td><td>357<sup>407</sup><sub>296</sub></td><td>0.21</td><td>0.22</td></tr><tr><td>M05R1m</td><td>13.6 ± 5.7</td><td>1.2 ± 0.6</td><td>2.1</td><td>[31–31]</td><td>1.9<sup>2.5</sup><sub>1.3</sub></td><td>575<sup>805</sup><sub>343</sub></td><td>58<sup>99</sup><sub>17</sub></td><td>158<sup>234</sup><sub>88</sub></td><td>0.05</td><td>0.25</td></tr><tr><td>M05R3m</td><td>21.4 ± 9.4</td><td>0.5 ± 0.2</td><td>2.1</td><td>[44–45]</td><td>2.1<sup>3.4</sup><sub>1.0</sub></td><td>552<sup>830</sup><sub>297</sub></td><td>38<sup>93</sup><sub>5</sub></td><td>146<sup>215</sup><sub>69</sub></td><td>0.28</td><td>0.37</td></tr><tr><td>M05R5m</td><td>n</td><td>1.8 ± 1.0</td><td>3.0</td><td>[49–55]</td><td>8.6<sup>2.1</sup><sub>1.7</sub></td><td>1698<sup>1851</sup><sub>131</sub></td><td>196<sup>236</sup><sub>51</sub></td><td>819<sup>929</sup><sub>426</sub></td><td>0.19</td><td>0.35</td></tr><tr><td>M07Sm</td><td>n</td><td>n</td><td>5.4</td><td>[51–53]</td><td>4.8<sup>5.2</sup><sub>4.5</sub></td><td>575<sup>648</sup><sub>524</sub></td><td>136<sup>142</sup><sub>130</sub></td><td>306<sup>340</sup><sub>279</sub></td><td>0.29</td><td>0.38</td></tr><tr><td>M07R1m</td><td>6.2 ± 1.1</td><td>1.4 ± 1.3</td><td>3.7</td><td>[26–35]</td><td>8.6<sup>1.7</sup><sub>5.8</sub></td><td>949<sup>1325</sup><sub>616</sub></td><td>200<sup>266</sup><sub>100</sub></td><td>439<sup>601</sup><sub>261</sub></td><td>0.38</td><td>0.48</td></tr><tr><td>M07R3m</td><td>y</td><td>2.5 ± 0.8</td><td>4.1</td><td>[21–22]</td><td>8.7<sup>1.3</sup><sub>3.2</sub></td><td>972<sup>1951</sup><sub>127</sub></td><td>157<sup>251</sup><sub>40</sub></td><td>340<sup>193</sup><sub>198</sub></td><td>0.12</td><td>0.40</td></tr><tr><td>M07R5m</td><td>n</td><td>1.0 ± 0.7</td><td>1.2</td><td>[55–58]</td><td>18.4<sup>20.2</sup><sub>15.3</sub></td><td>1597<sup>1879</sup><sub>1320</sub></td><td>181<sup>351</sup><sub>52</sub></td><td>925<sup>1072</sup><sub>699</sub></td><td>0.35</td><td>0.48</td></tr><tr><td>M09Sm</td><td>n</td><td>n</td><td>13.1</td><td>[72–73]</td><td>1.8<sup>1.8</sup><sub>1.7</sub></td><td>109<sup>63</sup><sub>97</sub></td><td>53<sup>55</sup><sub>39</sub></td><td>60<sup>66</sup><sub>55</sub></td><td>0.60</td><td>0.17</td></tr><tr><td>M09R1m</td><td>n</td><td>n</td><td>9.0</td><td>[20–21]</td><td>1.1<sup>1.5</sup><sub>0.9</sub></td><td>68<sup>100</sup><sub>58</sub></td><td>11<sup>16</sup><sub>9</sub></td><td>23<sup>33</sup><sub>18</sub></td><td>0.23</td><td>0.29</td></tr><tr><td>M09R3m</td><td>9.9 ± 1.8</td><td>0.9 ± 0.6</td><td>9.0</td><td>[24–26]</td><td>2.2<sup>4.0</sup><sub>0.3</sub></td><td>133<sup>261</sup><sub>15</sub></td><td>10<sup>23</sup><sub>0.9</sub></td><td>47<sup>91</sup><sub>6</sub></td><td>0.16</td><td>0.27</td></tr><tr><td>M09R5m</td><td>n</td><td>1.3 ± 0.7</td><td>9.5</td><td>[30–35]</td><td>13.4<sup>18.7</sup><sub>10.7</sub></td><td>657<sup>970</sup><sub>485</sub></td><td>274<sup>400</sup><sub>221</sub></td><td>392<sup>608</sup><sub>284</sub></td><td>0.35</td><td>0.44</td></tr><tr><td>M11R1m</td><td>n</td><td>n</td><td>12.4</td><td>[46–47]</td><td>14.5<sup>15.8</sup><sub>13.2</sub></td><td>589<sup>650</sup><sub>544</sub></td><td>10<sup>23</sup><sub>0.8</sub></td><td>184<sup>197</sup><sub>161</sub></td><td>0.06</td><td>0.31</td></tr><tr><td>M11R3m</td><td>4.9 ± 0.9</td><td>n</td><td>11.5</td><td>[20–21]</td><td>2.7<sup>1.7</sup><sub>0.7</sub></td><td>86<sup>226</sup><sub>20</sub></td><td>11<sup>31</sup><sub>0.7</sub></td><td>55<sup>60</sup><sub>13</sub></td><td>0.22</td><td>0.29</td></tr><tr><td>M11R5m</td><td>.</td><td>.</td><td>39.0</td><td>[52–77]</td><td>53.1<sup>57.7</sup><sub>41.6</sub></td><td>1208<sup>1329</sup><sub>980</sub></td><td>713<sup>875</sup><sub>528</sub></td><td>809<sup>986</sup><sub>596</sub></td><td>0.51</td><td>0.11</td></tr></tbody></table>

Note. The first column indicates the presence or absence of a long (decadal), deeply seated magnetic cycle. When the time series were long enough to identify a cycle period unambiguously, its value is given with error bars. Otherwise, the existence of such a cycle is indicated by a yes (“y”) and its absence by a no (“n”). The second column shows the same for the short magnetic cycle that we identify in the upper convection zone near the equator. We do not indicate this information for model M11R5m, which was not run long enough to determine the existence or absence of magnetic cycles. The third column indicates the amplitude of the torsional oscillations at the surface in nHz (see Section 5.3). The fourth column shows the active latitudinal band at the bottom of the convection zone, based on the azimuthally averaged and temporally varying azimuthal field straddling the base of the convection zone. The fourth column shows the total magnetic flux at the surface, in units of 10<sup>24</sup> Mx, with the minimum and maximum as the subscript and superscript (see Section 5.4). The three next columns show the root-mean-squared surface field in Gauss, the surface dipole in Gauss, and the surface large-scale radial field B<sub>L,surf</sub> (taken for l < 5) in Gauss with the same layout (see Section 7). Finally, the last two columns show the fractions of the large-scale dipole (f<sub>dip</sub>) and quadrupole (f<sub>quad</sub>), as defined in Section 5.5.

reported in the fourth column of Table 4. We find this band to be centered at higher latitudes the slower the model rotates for low and intermediate Rossby numbers. Conversely, this activity band moves to high latitudes for models with antisolar DR. The averaged radial magnetic field at the surface is also found to reverse with the same timescale. At the surface, the migration branches are nevertheless not as clear as deep within the convection zone in this case. Strugarek et al. (2017, 2018) also found similar deeply seated cycles using the EULAG code, as well as Augustson et al. (2015) using the ASH code. The cyclic behavior in their results originates from the nonlinear magnetic feedback of the large-scale Lorentz force onto the DR. This weakens the source of the mean toroidal field that decreases and reverses, while the associated poloidal field closely follows due to the sign inversion of the electromotive force. We find the same mechanism in this new sample of simulation with the ASH code. Indeed, the DRKE cyclic variation observed in Figure 3 compensates the magnetic energy cyclic variation, pointing toward a magnetic cycle determined by the Lorentz force feedback. This fascinating dynamo regime sustaining a long decadal magnetic cycle, because of the existence of a subtle nonlinear feedback loop between the large-scale shear and the toroidal magnetic field, is therefore confirmed by the present study using a different numerical code than Strugarek et al. (2017). We stress that its existence can be unveiled here only because we consider fully nonlinear convective dynamos, with a self-consistent DR maintenance and magnetic field generation.

Still, we have attempted to interpret our simulations through mean-field dynamo theory by inverting the α tensor and its antisymmetric part γ by means of the singular-value decomposition (SVD) technique (see Augustson et al. 2015; Simard et al. 2016).

The details of this procedure are given in Appendix B. One can then use the derived α profile to compute the Parker–Yoshimura rule (Parker 1955; Yoshimura 1975) and assess the consistency of a mean-field approach with our 3D turbulent model. We therefore compute

$$S_{\theta} = -\lambda\alpha\partial_{r}(\Omega/\Omega_{0}), \qquad (13)$$

where λ = r sin θ. The time–latitude variations of S<sub>θ</sub> are shown at the base of the convection zone of M09R3m in the left panel of Figure 12, with red/white denoting a southward migration rule and blue/black a northward migration rule. We overlay contours of B<sub>φ</sub> as black contours (solid/dashed denoting positive/negative contours) in the left panel. We see that the derived Parker–Yoshimura dynamo wave rule does not agree with the observed latitudinal propagation, which strengthens our interpretation in terms of a cycle dominated by the Lorentz force feedback on the DR itself.

We also find another type of cyclical behavior in our sample of models: short cycles, which seem to preferentially be sited close the equator and in the upper part of the convection zone. Such types of cycles have already been reported in previous publications with numerical models (Beaudoin et al. 2016; Käpylä et al. 2016; Strugarek et al. 2018) and could be reminiscent of the possible quasi-biennial oscillations observed in the Sun (Broomhall et al. 2012; Simoniello et al. 2013). They oscillate on a yearly timescale as shown in the second column of Table 4. Short cycles are interestingly found in almost all of our models, except the slowly rotating cases. Two short cycles are illustrated in Figure 11 for cases M07R5m and M09R3m. In the former fast-rotating case, no long deeply seated cycle is observed, and the short cycle clearly appears in both the latitude–time and radius–time diagrams. In the case
<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>**Figure 12.** Parker–Yoshimura rule $S_\theta$ (see Equation (13)) as deduced from the SVD extraction of the equivalent mean-field $\alpha$ tensor. On the left, it is shown for model M09R3m at the base of the convective envelope as a function of the cosine of the colatitude and time (color contours in m s⁻¹). Contours of $B_\phi$ are overlaid in black contours (solid denotes positive values, dashed negative values; covering ±[250, 10⁴] G). On the right, the same is shown for model M07R5m in the mid-upper part of the convective envelope. In this case, the black lines label contours of $B_r$ (covering ±[75, 1500] G).</figcaption></figure>

M09R3m, both types of cycle are found at the same time, and the short cycle appears clearly once the signal of the long cycle is removed (see zoomed panel). The short cycles are found to always show a poleward propagation branch and to be concentrated close to the equator. We have performed the same SVD analysis and show the Parker–Yoshimura rule $S_\theta$ (Equation (13)) for model M07R5m, which is shown in the right panel of Figure 12. In this case, the analysis is carried out in the upper part of the convective envelope, and contours of $B_r$ are overlaid above the propagation rule. The Parker–Yoshimura rule is found here to be in good qualitative agreement with the poleward branch, suggesting that an $\alpha - \Omega$ or an $\alpha^2 - \Omega$ dynamo could be at the source of this type of cycle. The short cycles furthermore embed much less magnetic energy than the deeply seated ones, and we do not find any clear DRKE beating associated with them. As a result, we find that the two types of cyclical behaviors likely originate from two different dynamo processes: the deep-seated cycle from the large-scale feedback loop between the magnetic field and the DR through Maxwell torques, and the short cycles from the standard $\alpha - \Omega$ or $\alpha^2 - \Omega$ dynamo loop. Finally, short cycles were also reported in the study of Strugarek et al. (2018), with the same type of localization within the convective envelope. In this previous study, the short cycles were only found at small Rossby number, i.e., for the fast-rotating cases. Here we find short magnetic cycles much more ubiquitously in our sample models, as they only disappear at large Rossby numbers. It is possible that the coarse resolution used in Strugarek et al. (2018) with the EULAG code prevented models at intermediate Rossby number to develop such magnetic cycles. Additional modeling effort pushing the turbulence level of the simulations is required to properly assess this point, which is left for future work.

Finally, some models in our sample do not present any cyclical behavior. Instead, they sustain a steady dynamo with stable magnetic wreaths within their convective envelope and

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>**Figure 13.** Summary of the dynamo states found in our study (circles) and in the previous study of Strugarek et al. (2017) (stars). In both studies, we find a clear trend in the type of cyclical behavior that models tend to produce as a function of the Rossby number. They are shown here by the ratio between the differential rotation and total kinetic energies. For small Rossby numbers, only short cycles are found. At intermediate Rossby numbers, decade-long cycles resembling the solar cycle start to appear on a relatively narrow parameter space. At high Rossby numbers, magnetic cycles disappear and our models produce energetic stable wreaths of magnetic field in their convective envelopes.</figcaption></figure>

tachocline. This is the case, for instance, with model M09R1m shown in the lower panels of Figure 11. We obtain such solutions only in the high Rossby number regime, close to and above the transition toward an antisolar DR.

To summarize, we find that the different types of cyclical behaviors exist in specific Rossby number ranges in our sample. We illustrate this in Figure 13 where we follow Gilman (1983) and show DRKE/KE as a function of $Ro_f$ in our set of models. Short cycles are found for $Ro_f \lesssim 0.42$, deeply seated
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>**Figure 14.** Magnetic cycle period trends. The left panel shows the classical cycle period–rotation period diagram with our models (circles), the models published in Strugarek et al. (2017) (stars), and the stellar sample of Böhm-Vitense (2007) (gray squares). The middle panel shows the trends of the long-cycle period divided by the rotation period as a function of Rossby number. The right panel shows the same for the short cycles. In those two panels, the Rossby trend deduced in Strugarek et al. (2018) is indicated by the gray dashed line.</figcaption></figure>

solar-like cycle for $0.15 \lesssim Ro_f \lesssim 0.65$, and steady magnetic fields for $Ro_f \gtrsim 1.0$. The exact boundaries between these cyclical behaviors regimes are not precisely defined and may depend on a number of factors. First, let us note that the same trend was found in Strugarek et al. (2018) with the EULAG code, as shown by the colored stars also plotted in Figure 13. This is very important because it again demonstrates that the results discussed in this study are not code or setup dependent, but the results of genuine nonlinear convective dynamo action in a rotating spherical shell. It confirms that the Rossby number is one of the key parameters to characterize the various dynamo states found in the literature and that cyclic convective dynamo solutions clearly exist in a parameter regime that our study helps to refine. The transitions between the different types of cycles were found at slightly different Rossby numbers, possibly due to different Reynolds, Prandtl, and Rayleigh numbers regimes achieved in the two ensemble of simulations. Indeed, Nelson et al. (2013) showed that fast-rotating models exhibiting stable wreaths of magnetism (Brown et al. 2010) could produce reversals when the Reynolds and Rayleigh numbers are increased. Because the Rossby number of the more turbulent models nevertheless changes significantly as well, it is therefore unclear whether this can be attributed to a fundamental change in the dynamo action or if it is the consequence of a change in Rossby number. Fundamental exploration aimed at predicting the Rossby number of turbulent numerical experiments such as Anders et al. (2019) is very promising in that respect and needs now to be extended to the full MHD regime. For the time being, we can conclude here that qualitatively the different regimes highlighted by our simulations are robust, yet simulations at much higher turbulent levels are required to assess the exact regime boundaries. Please note that case M11R5m is sometimes omitted in ensemble analysis in Sections 5 and 6 because it is not as well numerically converged as all the other cases and can sometimes be an outlier in some analysis. This does not impact our conclusions in any of the results reported in the paper.

## 5.2. Dependencies of the Cycle Periods

We have calculated the period of the short and long cycles and reported their values in the second and third columns of Table 4. We use the approach initially followed by Käpylä et al. (2016) and Strugarek et al. (2018) and rely on an empirical-mode decomposition method (Luukko et al. 2015) to identify quasi-periodic signals. Five of our models clearly

exhibit a deeply seated long cycle that can be identified by eye. We were nevertheless able to calculate accurately the associated period for four of them. The cycle period of the fourth model would require integration times at least twice as long to be identified. This would require an even more massive numerical effort and will be explored in future work. Still we can deduce with some confidence what characterizes this long-cycle nonlinear dynamo case. Conversely, the short cycles take place higher up in the convective envelope and their short periods allow us to determine the cycle periods for all the models exhibiting them. The error bars on the cycle periods are directly estimated with the empirical-mode decomposition method, as explained in Strugarek et al. (2018).

The left panel of Figure 14 shows the cycle periods (in years) as a function of the rotation period (in days) of our models. We report both short and long cycles here, respectively, in blue circles and red circles. We have also added the cycles found with the EULAG code and reported in Strugarek et al. (2017, 2018) as red and blue stars. Finally, we have overlaid the detected cycles of distant stars reported by Böhm-Vitense (2007) as gray squares, as well as the Sun right in the middle of the figure. Our three identified long cycles are achieved by models with different masses, which make their direct comparison subject to caution in a ($P_{\text{cyc}}, P_{\text{rot}}$) diagram. Overall, we do not recover the dichotomy between active and inactive branches as initially proposed by Saar & Brandenburg (1999) and Böhm-Vitense (2007). Rather, our sample of models combining the ASH and EULAG simulations spans the whole diagram, including the hypothetical gap where the Sun stands.

Using the EULAG sample of simulations only, we have previously shown that the cycle period is controlled by the effective Rossby number achieved by the simulated convection zone (Strugarek et al. 2017). This is shown for the long and short cycles in the middle and right panels of Figure 14. Here we find that our new ASH simulations are compatible with the trends obtained with the EULAG sample, which strengthens the similarities between the modeled dynamos in our two studies. This is moreover remarkable as the ASH simulations include a tachocline and a deeper radiative layer, whereas the EULAG sample considered only an isolated convective shell.

The fact that the cycle period seems to decrease with the Rossby number has also been reported by other research groups using yet another code (see, e.g., Warnecke 2018). So far, only one study relying on 3D turbulent simulations (Guerrero et al. 2019) has shown some evidence for the cycle period increasing
<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>**Figure 15.** Torsional oscillations (in nHz) in model M09R3m at the base of the convective envelope, as a function of latitude and time. The black lines label the contour of $\langle B_{\phi} \rangle_{\phi}$ at +4000 G (plain lines) and -4000 G (dashed lines).</figcaption></figure>

with rotation period. We believe this is due to how their DR scales with rotation rate. Indeed, their simulations exhibit a DR that strengthens as the rotation rate decreases (i.e., the rotation period increases). This is at odds with all the aforementioned studies (including the present work), where we find it to increase with the rotation rate up to a point where magnetic feedback strongly back-reacts to suppress it. We suspect that the thermal treatment of the radiative-convective interface may produce this effect in the work of Guerrero et al. (2019), albeit additional analyses are required to confirm this interpretation. Finally, it is worth noting that more complex dynamo states have also been reported in a similar Rossby number regime with the PENCIL code by Viviani et al. (2019). This again warrants caution in the interpretation of simulation results at moderate Reynolds number and highlights the need to achieve more turbulent regimes in future work to confirm our trends.

### 5.3. Torsional Oscillations in Cyclic Solutions

We observe clear and strong torsional oscillations $\delta_t \Omega$ (Basu & Antia 2019) in all our models that exhibit a long, deeply seated cycle. Torsional oscillations take the form of a modulation of the azimuthally averaged rotation rate $\Omega(r, \theta, t)$ in depth, latitude, and time. We illustrate the torsional oscillations at the base of the convection zone of model M09R3m in Figure 15. The torsional positive/negative oscillations are shown in red/blue in nHz as a function of time and latitude. We have overlaid isocontours of $B_{\phi}$ in black (plain lines correspond to 4000 G, dashed lines to -4000 G). The torsional oscillations are observed to be in phase with long magnetic cycle. At cycle minimum (in between the black contours), the poles are rotating slower (blue) and the equator faster (red), meaning that the latitudinal DR is strengthened as the magnetic field weakens and the associated magnetic torque stops inhibiting it. During cycle maximum, the opposite situation occurs, and the DR is found to decrease substantially. We observe torsional oscillations very similar to what were found with EULAG simulations by Strugarek et al. (2017, 2018) and previous ASH simulations by Nelson et al. (2013) and Augustson et al. (2015). In all these simulations, the torsional oscillations are found to play a major role in producing the deeply seated cycle. This is reassuring because

such nonlinear interplay between the flow and field seems independent of setup details such as BCs or numerical schemes. Moreover, torsional oscillations in our models are very energetic: they reach more than 20 nHz at the base of the convective envelope in model M09R3m, and their energy corresponds to the energy variations in the total magnetic energy (ME) seen in Figure 3. As a result, we find they play an active role in allowing deeply seated cycles by reversing locally $\partial\Omega/\partial\theta$ and hence generating a toroidal field of opposite sign.

We have also searched for torsional oscillations at the locations of short magnetic cycles, i.e., at the surface and close to the equator of fast-rotating models. We find a temporal modulation of the local rotation rate at the surface in all our models. We have nevertheless not found any evidence for a correlation between these temporal variations and the short cycles themselves. This confirms that a different dynamo process sustains the short cycles, which is likely related to a more standard $\alpha - \Omega$ mechanism as we have seen in Section 5.1.

Finally, we have characterized the surface torsional oscillations in all our models and reported in Table 4 the average values of $\delta_t \Omega$ within the activity band identified in Table 4. The surface torsional oscillations range from about 1 to 39 nHz in our sample of simulations, which corresponds to 0.4%–6% of the model rotation rates. Torsional oscillations associated with short cycles are found to be very weak, and the ones associated with the long cycle to be prominent deep inside the convective envelope. As a result, we do not observe any strong correlation between the amplitude of the surface torsional oscillations and the Rossby number of our models: a linear regression gives $\delta_t \Omega / \Omega_* \propto R_o^{1.1 \pm 0.15} \simeq R_o$.

### 5.4. Magnetic Flux Budget

To further assess the magnetic properties of a dynamo solution, we display in Figure 16 for three representative cases (M05R1m, M09R3m, M11R1m) various measures of the magnetic flux available at the top boundary layer, that is, $\Phi_+$ and $\Phi_-$, the magnetic fluxes for $B_r|_{r=r_{top}} > 0$ and $B_r|_{r=r_{top}} < 0$, respectively, the total flux $\Phi_{\text{tot}} = |\Phi_+| + |\Phi_-|$, the net flux $\Phi_{\text{net}} = \Phi_+ + \Phi_-$, and the southern $\Phi_S$ and northern $\Phi_N$ hemispheric fluxes (i.e., integrated only over the northern
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Figure 16. Temporal evolution of various measures of the magnetic flux in representative dynamo cases studied. Plotted for models M05R1m, M09R3m, and M11R1m are the positive (red) and negative (blue) fluxes $\Phi_+$ and $\Phi_-$, total flux $\Phi_{tot} = |\Phi_+| + |\Phi_-|$ in black, the net flux $\Phi_{net} = \Phi_+ + \Phi_-$ as a dashed black line, and the southern (cyan) and northern (magenta) hemispheric fluxes. In the M05R1m and M09R3m cases we clearly see the temporal modulation commensurable to their activity cycle.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Figure 17. Total magnetic flux as a function of Rossby number. The different models are labeled in the same way as in Figure 7. The trends from Saar (2011) and Schrijver et al. (2003) are shown, respectively, by the dashed and dotted black lines, assuming a constant stellar mass. An indicative trend proportional to $Ro_f^2$ is indicated as a dashed-dotted line in the $Ro_f > 1$ regime.</figcaption></figure>

and southern hemispheres, respectively). First, we see the very good conservation of the divergenceless nature of the magnetic field, with $\Phi_{net}$ being systematically null (so implying that $\Phi_- = -\Phi_+$, as clearly evident). This is the direct consequence of solving the induction equation via a poloidal–toroidal field decomposition (see Equation (6)). Likewise, the two hemispherical measures of $\Phi$ have opposite signs, but a much smaller amplitude than $\Phi_+$ and $\Phi_-$ by about a factor of 10. This is likely due to a highly structured magnetic field because for an axial dipole they are expected to be equal. When adding up the absolute value of $\Phi_+$ and $\Phi_-$, we can assess the total amount of magnetic flux generated by the dynamo. We find fluxes from $10^{24}$ to $10^{25}$ Mx, which are in good agreement with values observed in the Sun (see for instance Figure 3 of Schrijver & Harvey 1994). We also note that in the M05R1m and M09R3m cases, both of which possess a clear and long magnetic cycle, the temporal modulation of the magnetic fluxes is obvious. In the M05R1m case, the modulation is about a factor of 2 from the minimum to maximum of activity. In case M09R3m, it reaches almost a factor of 8 (compared to 5 for the

Sun). Here again the larger mass (luminosity) of M09R3m and its higher rotation rate leads to a larger temporal modulation of the magnetic energy and hence the magnetic flux. Finally, for the steady dynamo case M11R1m, possessing an antisolar DR, a very small magnetic flux variability is observed. However, it is the model with the highest value of the total magnetic flux, reaching about 10 times what is observed in the present Sun.

We furthermore see a tendency for $\Phi_{tot}$ to increase with both stellar mass and rotation rate, in good agreement with the level of magnetic energy found in the simulations. However, more robust tendencies appear on the rotation when one considers only the model with $Ro_f < 1$. They are interestingly compatible with a simple linear dependency, with $\Phi_{tot} \simeq 2.3 \Omega_*^{0.84 \pm 0.42}$ for the rotation rate. When considering how the total magnetic flux scales with rotation rate $\Phi_{tot} \propto \Omega_*^n$, different values from $n=1.2$ (Saar 2001) to $n=2.8$ (Schrijver et al. 2003) have been proposed (Rempel 2008). In our study we find a tentative scaling with the fluid Rossby number as

$$ \Phi_{tot} \simeq 1.19 Ro_f^{-0.88 \pm 0.31} 10^{24} Mx, \quad (14) $$

as shown in Figure 17, where the time-averaged total flux of each model is considered (see also Table 2). Our models depart significantly from this trend when their Rossby number exceeds one, indicating a possible change for very slowly rotating stars. In this regime, our sample of models suggests that the total magnetic flux increases with Rossby number, as shown by the dashed-dotted line. Additional models at large Rossby numbers are required to fully characterize this regime properly, which we leave for future work. To summarize, we find that the total magnetic flux follows a trend compatible with the one from Saar (2001) for intermediate and small Rossby numbers and that this trend reverses for slow rotators ($Ro_f > 1$).

### 5.5. Dynamo Families and $f_{dip}$

We now turn to considering how the change of DR state as a function of the Rossby number may influence the relative amplitude of the dynamo modes. We have seen in the previous sections that as we vary the Rossby number, the type of dynamo solution changes, going from steady for large Rossby numbers to long-period cyclic solutions for intermediate values of the Rossby number, to fast cyclic solutions for low Rossby numbers.
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Figure 18. $f_{dip}$ and $f_{quad}$ in all 15 models (color symbols) and those published in Strugarek et al. (2017, 2018) (gray stars). Models with Rossby number greater than 1 possess an antisolar differential rotation. We see only a weak decreasing trend of $f_{dip}$ and $f_{quad}$ with Rossby number (for the parameter space explored). In addition, there does not seem to be a collapse of the large-scale magnetic field for slowly rotating stars.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

Such a variation of the temporal behavior of the dynamo solutions may or may not be associated with a change in dominant field geometry. This is of particular importance because it has been recently claimed by van Saders et al. (2016, 2019), Metcalfe & van Saders (2017), and Hall et al. (2021) that the Sun and solar-like stars older than the Sun may be undergoing a magnetic activity transition around a Rossby number of 1 (see Lorenzo-Oliveira et al. 2018 for an alternative view). In particular, they argue that the wind-braking efficiency may be collapsing around that rotational state transition. This would result in stars rotating more rapidly than what the Skumanich law or gyrochronology would have predicted (Skumanich 1972; Barnes 2003). If, for instance, a collapse of the large-scale dynamo modes (mainly dipole and quadrupole) would occur after transiting to antisolar DR, this would provide a very simple explanation, as it is well known that the most efficient wind braking for Sun-like stars is found for the simplest magnetic field geometry (Kawaler 1988; Réville et al. 2015; Finley & Matt 2018). In order to assess if such a change of magnetic geometry occurs at or near the $R_{of} \sim 1$ limit, we will use a measure called $f_{dip}$, which was introduced by Christensen & Aubert (2006), and that permits the assessment of the energy content of the dipolar field with respect to the first 12 magnetic modes. We also introduce $f_{quad}$, using the same principle, as a quadrupolar field configuration is still quite efficient at spinning down a star via its associated wind braking. Both are defined as

$$f_{\text{dip}} = \frac{\sum_{m}(a_{1,m})^2}{\sum_{l<12,m}(a_{l,m})^2}, \qquad (15)$$

$$f_{\text{quad}} = \frac{\sum_{m}(a_{2,m})^2}{\sum_{l<12,m}(a_{l,m})^2} \qquad (16)$$

where $a_{l,m}$ are the spherical harmonics coefficient of the radial magnetic field at the upper boundary (surface) of our models.

In Figure 18 we show $f_{dip}$ (left panel) and $f_{quad}$ (right panel) from 32 dynamo cases: the 15 cases analyzed in details in this

paper, to which we add the 17 published in Strugarek et al. (2018), using the EULAG-MHD code (Smolarkiewicz & Charbonneau 2013). This allows us to extend our database and to compare nonlinear dynamo solutions obtained with two different MHD codes using very different numerical techniques, hence giving us confidence that the trend found in our simulations is not due to a given code. We observe a relatively good agreement between the ASH and EULAG databases for $f_{dip}$ and surprisingly find that the EULAG set of simulations produces systematically a weaker $f_{quad}$ compare to the ASH database. In both series we find a weak trend for a decrease of $f_{dip}$ and $f_{quad}$ with the Rossby number. Nevertheless, we do not find any hint of a collapse of $f_{dip}$ or $f_{quad}$ when the Rossby number exceeds 1 and the DR realized in the simulations becomes antisolar. The weak decreasing trend is not significant enough to explain the stalling of stellar wind braking advocated by van Saders et al. (2016) and Metcalfe et al. (2016). Hence, it seems unlikely that field geometry is the source of the wind-braking regime change for old solar-type stars. This is in agreement with the observational study of Vidotto et al. (2016), who have analyzed spectropolarimetric inversion for a suite of Sun-like stars, and they too did not find a collapse of the dipole strength as they crossed the $R_{of} = 1$ limit. So if such a stalling of stellar spin-down occurs, it must come from another mechanism (see Section 7).

In summary, we have shown in Section 5 that the dynamo solutions presented in this study possess very interesting magnetic properties that agree very well with observations and other theoretical studies. In particular, we have confirmed the key role of the Rossby number (and magnetic Reynolds number) in determining the type of dynamo realized. Now we wish to characterize better their energy content and how energies flows back and forth from kinetic to magnetic reservoirs.

## 6. Energy Content and Transfers in Stellar Convective Dynamos

In the following section, we analyze the kinetic and magnetic energies contained in the models and how they are distributed between their various components.
<table><caption>**Table 5**
Kinetic and Magnetic Energy Densities</caption><thead><tr><th>(erg cm<sup>-3</sup>)</th><th>KE<br>×10<sup>6</sup></th><th>DRKE (%KE)<br>×10<sup>6</sup></th><th>MCKE (%KE)<br>×10<sup>4</sup></th><th>CKE (%KE)<br>×10<sup>6</sup></th><th>ME (%KE)<br>×10<sup>6</sup></th><th>TME (%ME)<br>×10<sup>5</sup></th><th>PME (%ME)<br>×10<sup>4</sup></th><th>FME (%ME)<br>×10<sup>5</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>M05Sm</td><td>9.3</td><td>2.1 (22.8%)</td><td>17.1 (1.8%)</td><td>7.0 (75.3%)</td><td>1.7 (17.7%)</td><td>6.7 (40.8%)</td><td>6.1 (3.7%)</td><td>9.2 (55.5%)</td></tr><tr><td>M05R1m</td><td>20.3</td><td>17.0 (83.9%)</td><td>2.3 (0.1%)</td><td>3.3 (16.0%)</td><td>0.8 (3.9%)</td><td>2.5 (31.9%)</td><td>0.6 (0.7%)</td><td>5.3 (67.4%)</td></tr><tr><td>M05R3m</td><td>74.3</td><td>71.4 (96.1%)</td><td>0.9 (0.01%)</td><td>2.9 (3.9%)</td><td>1.1 (1.5%)</td><td>7.6 (68.2%)</td><td>0.1 (0.1%)</td><td>3.5 (31.6%)</td></tr><tr><td>M05R5m</td><td>2.7</td><td>1.2 (44.7%)</td><td>0.3 (0.1%)</td><td>1.5 (55.2%)</td><td>2.7 (98.2%)</td><td>8.8 (33.2%)</td><td>11.6 (4.4%)</td><td>16.7 (62.5%)</td></tr><tr><td>M07Sm</td><td>4.0</td><td>1.2 (30.3%)</td><td>6.1 (1.5%)</td><td>2.7 (68.2%)</td><td>0.3 (7.6%)</td><td>2.0 (65.0%)</td><td>1.3 (4.3%)</td><td>0.9 (30.7%)</td></tr><tr><td>M07R1m</td><td>4.8</td><td>3.3 (68.5%)</td><td>1.0 (0.2%)</td><td>1.5 (31.3%)</td><td>0.9 (18.5%)</td><td>2.8 (31.5%)</td><td>1.4 (1.5%)</td><td>5.9 (67.0%)</td></tr><tr><td>M07R3m</td><td>3.5</td><td>2.3 (67.1%)</td><td>0.4 (0.1%)</td><td>1.1 (32.8%)</td><td>2.0 (57.8%)</td><td>9.4 (47.1%)</td><td>4.3 (2.2%)</td><td>10.2 (50.7%)</td></tr><tr><td>M07R5m</td><td>1.1</td><td>0.3 (24.6%)</td><td>0.2 (0.1%)</td><td>0.8 (75.3%)</td><td>1.3 (116.2%)</td><td>0.8 (6.4%)</td><td>5.1 (3.9%)</td><td>11.7 (89.8%)</td></tr><tr><td>M09Sm</td><td>3.2</td><td>0.4 (13.3%)</td><td>3.0 (0.9%)</td><td>2.7 (85.8%)</td><td>0.04 (1.4%)</td><td>0.3 (68.2%)</td><td>0.7 (16.8%)</td><td>0.1 (15.0%)</td></tr><tr><td>M09R1m</td><td>4.0</td><td>2.1 (51.2%)</td><td>1.7 (0.4%)</td><td>1.9 (48.4%)</td><td>0.2 (5.7%)</td><td>1.9 (85.4%)</td><td>0.1 (0.6%)</td><td>0.3 (14.0%)</td></tr><tr><td>M09R3m</td><td>11.9</td><td>10.2 (85.5%)</td><td>0.8 (0.1%)</td><td>1.7 (14.4%)</td><td>0.5 (4.4%)</td><td>4.3 (83.5%)</td><td>0.8 (1.5%)</td><td>0.8 (15.0%)</td></tr><tr><td>M09R5m</td><td>2.6</td><td>1.6 (62.4%)</td><td>0.3 (0.1%)</td><td>1.0 (37.5%)</td><td>1.3 (49.3%)</td><td>4.1 (32.5%)</td><td>2.9 (2.2%)</td><td>8.3 (65.3%)</td></tr><tr><td>M11R1m</td><td>2.0</td><td>0.4 (20.5%)</td><td>2.0 (1.0%)</td><td>1.5 (78.4%)</td><td>0.2 (12.1%)</td><td>0.9 (37.7%)</td><td>1.9 (7.9%)</td><td>1.3 (54.4%)</td></tr><tr><td>M11R3m</td><td>3.9</td><td>2.9 (74.0%)</td><td>0.6 (0.2%)</td><td>1.0 (25.9%)</td><td>0.3(8.8%)</td><td>2.7 (79.2%)</td><td>1.0 (2.8%)</td><td>0.6 (18.0%)</td></tr><tr><td>M11R5m</td><td>2.3</td><td>1.0 (43.3%)</td><td>8.9 (3.9%)</td><td>1.2 (52.7%)</td><td>4.4 (192.3%)</td><td>1.8 (4.1%)</td><td>384.3 (88.1%)</td><td>3.4 (7.8%)</td></tr></tbody></table>

Note. The explicit definitions of the different energy decomposition are given in Appendix A and Brun et al. (2004).

## 6.1. Global Measure of Kinetic and Magnetic Energies

We now turn to discussing the global energy content in the convective envelope of the 15 dynamo cases presented in this study. In Table 5 we list the kinetic (KE) and magnetic (ME) energy densities and their axisymmetric and nonaxisymmetric components (see their definition in Appendix A and Brun et al. 2004). We first notice that as we increase the stellar mass, the KE is found to slightly decrease. This is due to the lower averaged mean density due to the shallower convective envelope in more massive stars. The averaged density over the simulated convective envelopes varies from 4 to 0.05 g cm⁻³ when going from models M05m to M11m, so a drop by a factor of 80. This is in part compensated by the higher luminosity (convective velocity) of the more massive stars, leading to values of KE in the range of 10⁶–10⁷ erg cm⁻³. Note that the total KE (i.e., the energy density multiplied by the volume) increases with stellar mass due to the much larger volume occupied by larger-mass stars. If we now decompose KE into its axisymmetric poloidal (MCKE) and toroidal (DRKE) and nonaxisymmetric (CKE) components, we can further understand how the energy is being distributed in the various models. First, as is often the case, MCKE is found to play a minor role in all models independently of their mass or rotation rates. In most cases, MCKE is of the order of 10⁴ erg cm⁻³ so about 1% or less of KE. This results in DRKE and CKE being the dominant components. Analyzing these two components, a clear trend is observed in common to all masses. As the rotation rate is increased, going from a Rossby number greater than 1 to a value less than about 0.1, we note that DRKE first increases to constitute up to 96% of KE. This means that most of the kinetic energy is in the DR with both strong latitudinal and radial shear across the convective envelope and at its base (we refer the reader to Section 4.1 where the angular velocity profiles of each model is discussed in details). Such a behavior is similar to what was observed in the purely hydrodynamic progenitors published in Brun et al. (2017). Hence, up to a certain rotational influence, the presence of dynamo-generated magnetic fields in the simulations does not modify significantly the trends observed before in the hydrodynamic cases. As a direct consequence, CKE is found to contribute less and less to the overall dynamics. CKE is found

to be dominant for the slowly rotating cases, their convective motions having little azimuthal mean. As the Rossby number is decreased and the rotational influence on convective motions made stronger, we see that CKE drops to less than a few percent of the total KE. However, this is not the case when the rotational influence increases even further. For all the fastest cases with the smallest Rossby numbers, we notice a sudden drop of DRKE both in percentage and absolute value, while CKE contributes relatively more to KE (but KE also undergoes a decrease of its amplitude). This is due to the strong feedback of the Lorentz force on the DR, a phenomenon often called Ω quenching (Glatzmaier 1985a; Brun 2004; Brun et al. 2005; Karak et al. 2015) and seen only in global spherical rotating models by similitude to α quenching (Blackman & Field 2001; Brun et al. 2004; Subramanian & Brandenburg 2004) found in most local dynamo simulations (at the origin of the interface dynamo paradigm; Parker 1993; Mason et al. 2008) and characterized in our simulations by the absolute concomitant drop of CKE. This significant drop of DRKE or “Ω quenching,” accompanied by a smaller decrease of CKE or “α quenching,” leads to a strong decrease of KE. This confirms that dynamo simulations do not have the same rotational dependence as the purely hydrodynamic cases. Because most solar-like stars are likely to have magnetic fields, such a finding indicates that scaling laws derived in this work will likely be more accurate when compared to observations. Because the influence of magnetic field becomes more and more dominant as we lower $R_o$, it is also instructive to analyze how the magnetic energy content evolves as well.

In Table 5, we also provide the value of the ME densities (total magnetic energy (ME), axisymmetric poloidal (PME) and toroidal (TME) components, and nonaxisymmetric components (FME)). Here there are some surprises given what we just discussed for their KE counterparts MCKE, DRKE and FKE. First, the axisymmetric poloidal component PME contributes more to total ME than MCKE contributes to KE. It often represents a few percent of ME, and in one case, M11R5m, it is even found to be dominant. Interestingly, PME is found to reach its lowest values for intermediate rotators close to the $R_o = 1$ regime. In $R_o > 1$, we find that PME rises again, confirming the trend we observed on the total magnetic flux in
<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>**Figure 19.** Total energy density in the convective envelope of our models, shown as a function of the fluid Rossby number. The magnetic energy (ME), toroidal magnetic energy (TME), and poloidal magnetic energy (PME) are displayed from left to right. The dashed gray lines indicate the $Ro_f^{-1}$ trend.</figcaption></figure>

Section 5.4. TME somewhat follows DRKE: it first increases with rotation rate, with more and more energy being pumped by the large-scale shear into toroidal ME via the dynamo Ω effect and also via complex convective motions. TME can reach values between 80% and 85% of the total ME. However, the Lorentz force feedback is so strong past a certain point that the large shear is quenched (the feedback destroying its generating source). In most of these highly rotationally constrained cases, the magnetic energy is found in the nonaxisymmetric magnetic field. These trends are also illustrated in Figure 19. It is worth noting that the three magnetic energies show an overall similar trend: the total energy density ME decreases with increasing Rossby number until $Ro_f \simeq 1$. The four models at $Ro_f > 1$ then exhibit a large scatter, and only PME shows an unambiguous increase with Rossby number in this regime. We also see a hint of a saturation and possibly a slight decrease of TME at low Rossby numbers. Additional simulations at even lower Rossby numbers are required to confirm this trend, which is to be expected based on the observed saturation of magnetic activity for fast rotators (see, e.g., Wright et al. 2011; Reiners et al. 2014). In all panels, we have indicated the inverse Rossby number trend as a gray dashed line. We remark that the three magnetic energy densities are all compatible with the $Ro_f^{-1}$ trend at intermediate Rossby number, as expected from standard dynamo scaling laws in this regime (see Augustson et al. 2019). This translates into a bulk magnetic field $B_{\text{bulk}} \propto \text{ME}^{1/2} \propto Ro_f^{-0.5}$. We note that this scaling does not necessarily translate into the same scaling for the surface large-scale magnetic field, as will be made clear in Section 7.

The relative energies (shown as percentages in Table 5) also present interesting trends. We note first that in the slowly rotating cases, ME is only a few percent of KE. As we lower $Ro_f$, this value increases to reach equipartition by a subtle combination of both ME increasing while KE first increases and then decreases, as we have just seen. These variations inevitably lead to the fact that for the fastest rotating cases ME is even larger than KE and the simulations are in a so-called global super-equipartition state. This is very interesting, because it means that the kinetic energy in the convective envelope is not the maximal value that the ME can reach. This is due to a change in the force balance in the Navier-Stokes equation between the Lorentz, inertia, buoyancy, and Coriolis forces. As the rotation rate is increased and the Coriolis force becomes stronger and stronger, the balance at first shifts from being between mostly inertia and Lorentz force to a magnetostrophic state that implies a balance between Lorentz

and Coriolis forces. We refer the reader to these following studies for more detailed discussions of dynamo scaling laws (Christensen 2010; Davidson 2014; Oruba & Dormy 2014; Brun et al. 2015; Augustson et al. 2019).

Overall, we see that the dynamo states reached in our 15 cases do not show a strong difference as a function of mass, at least in the range studied here. However, both in terms of amplitude of the magnetic field and in the time variability of the magnetic field (cyclic, unsteady or steady solutions), we confirm that rotation plays a key role in determining the type of dynamo found in our simulations. We also note that the mean axisymmetric magnetic fields are not negligible in most of the models, often reaching values of 5% of the total energy content for the poloidal field and a large fraction for the toroidal magnetic field. For the latter, this has important consequences for the energy made available for the various magnetic phenomena occurring at the surface of solar-like stars (see Section 7).

Note that we did not look for hysteresis around the $Ro_f = 0.1$ limit by running various cases with different values of the seed magnetic field, as was done in some geophysical dynamo studies (Schrinner et al. 2014). We consider stars to acquire their magnetic field through a complex formation process, in which the seed magnetic field is likely very weak (interstellar medium magnetic field amplitude are on averaged about 10–100 µG) and that starting the dynamo process with a weak seed field is the most likely scenario (Emeriau-Viard & Brun 2017). However, some studies have shown that weak and strong dynamo branches may exist under certain initial conditions (weak or strong seed magnetic field; Charbonneau 2004) or parameters such as the magnetic Prandtl number (Simitev & Busse 2009; Petitdemange 2018). Such weak or strong dynamo branches may explain some observed magnetic and rotational states seen in M dwarfs (Morin et al. 2011). Because this would depend on the local astrophysical context, we have decided to focus on the most common case of a weak seed magnetic field and refer the reader to these other complementary studies.

Having discussed how the KE and ME are distributed in our various models, we wish to go further in understanding exactly how these subtle balances come about. For this purpose we have computed the details of the energy transfers in our models, focusing on the mean axisymmetric components MCKE, DRKE, PME, and TME because large-scale fields and flows are of key astrophysical interest.
## 6.2. Main Transfer Mechanisms between Energy Reservoirs

In this section we discuss the various energy transfers occurring in a rotating magnetized convective envelope. We refer the reader to Appendix A for the detailed derivation of the energy transfer equations, in which we have followed Starr & Gilman (1966) and Rempel (2006), generalizing their derivation to global 3D spherical geometry. We focus here on the energy budget for the mean (axisymmetric) fields in the convective envelope of our models. We decompose energies into toroidal (along the azimuth) and poloidal (in the meridional plane) components. The budgets can be summarized as

$$ \partial_t \text{DRKE} = \underbrace{\overbrace{Q_{\text{RS}}^{\text{DR}}}^{\text{Omega effect}}}_{\text{Reynolds stress}} \overbrace{-Q_{\Omega}}^{\text{Coriolis force}} - \underbrace{\overbrace{Q_C}}_{\text{Maxwell stress}} \times \underbrace{\overbrace{-Q_{\text{MS}}^{\text{DR}}}^{\text{Viscosity}}}_{\text{Pressure work}} \overbrace{+C^{\text{DR}}}^{\text{Curvature}} - \underbrace{\overbrace{-S^{\text{DR}}}^{\text{Boundaries}}}_{\text{Coriolis force}} \quad (17) $$

$$ \partial_t \text{MCKE} = \underbrace{\overbrace{Q_{\text{RS}}^{\text{MC}}}^{\text{Mixed advection}}}_{\text{Reynolds stress}} + \overbrace{Q_{\text{TM}}^{\text{MC}}}^{\text{Maxwell stress}} + \overbrace{Q_{\text{MS}}^{\text{MC}}}^{\text{Coriolis force}} \times \underbrace{\overbrace{+Q_{\nabla P}}^{\text{Curvature}}}_{\text{Pressure work}} + \overbrace{Q_C}^{\text{Mixed stresses}} - \underbrace{\overbrace{-Q_{\text{PM}}^{\text{MC}}}^{\text{Boundaries}}}_{\text{Buoyancy}} - \underbrace{\overbrace{-Q_b}^{\text{Viscosity}}}_{\text{Coriolis force}} + \overbrace{\underbrace{+Q_{\text{MS}}^{\text{MC}}}_{\text{Curvature}}}_{\text{Boundaries}} \quad (18) $$

$$ \partial_t \text{TME} = \underbrace{\overbrace{Q_{\Omega}}^{\text{Omega effect}}}_{\text{Elec.mot.force}} + \overbrace{Q_{\text{emf}}^{\text{TM}}}^{\text{Mixed stresses}} \times \underbrace{\overbrace{-Q_{\text{TM}}^{\text{MC}}}^{\text{Ohmic diffusion}}}_{\text{Mixed advection}} + \overbrace{-Q_{\eta}^{\text{TM}}}^{\text{Boundaries}} + \overbrace{\underbrace{+C^{\text{TM}}}_{\text{curvature}}}^{\text{Elec.mot.force}} - \overbrace{-S^{\text{TM}}}^{\text{Curvature}} \quad (19) $$

$$ \partial_t \text{PME} = \underbrace{\overbrace{Q_{\text{PM}}^{\text{MC}}}^{\text{Mixed stresses}}}_{\text{Elec.mot.force}} + \overbrace{Q_{\text{emf}}^{\text{PM}}}^{\text{Curvature}} \times \underbrace{\overbrace{-Q_{\eta}^{\text{PM}}}^{\text{Ohmic diffusion}}}_{\text{Boundaries}} + \overbrace{\underbrace{+C^{\text{PM}}}_{\text{Boundaries}}}^{\text{Elec.mot.force}} - \overbrace{-S^{\text{PM}}}^{\text{Curvature}} \quad (20) $$

where all the different terms are detailed in Appendix A. We have computed individually each of the terms and show them normalized to the stellar luminosity in Figure 20, as a function of the fluid Rossby number of the models. For each model, we have averaged the balances (17)–(20) over typically 100 convective turnover time $\tau_c$ such that the sum of the terms is close to zero. Cyclic cases show large variations of the energy balance (we return to this point hereafter); in these cases, we averaged on a shorter time span chosen at cycle maximum. In addition, we have tabulated the transfers for three representative cases in Table 6 in units of both %L$_*$ and %L$_{\odot}$.

The DR (upper-left panel of Figure 20) is always sustained primarily by Reynolds stresses in the models (as discussed in Section 4.2), with a dominant contribution of the radial

component $\overbrace{v_r'v_\phi'}^{\text{component}}$ over the latitudinal component $\overbrace{v_\phi'v_\phi'}^{\text{component}}$. The cases exhibiting antisolar DR (Rossby number larger than 1) present a reversal of the latter term, showing that the latitudinal component of the Reynolds stress is detrimental to the DR KE in these cases. The magnetic contributions $Q_\Omega$ (blue) and $Q_{\text{MS}}^{\text{DR}}$ (red) start playing a significant role for fast-rotating cases (low Rossby numbers; see model M07R5m in Table 6), sometimes even dominating completely viscous dissipation ($Q_\nu^{\text{DR}}$, purple). In all cases the magnetic contributions tend to oppose the DR, as seen in Section 4.1. The power associated with the maintenance of DR can reach about 30% of the stellar luminosity and drops at minimum to about 4% in our sample of models. We remark that simulations with fluid Rossby numbers around $R_{\text{f}} \sim 0.2$ achieve the most powerful maintenance of DR that can reach values up to 17% of the solar luminosity. At larger Rossby numbers, the star does not rotate fast enough and the DR is weakly maintained. At lower Rossby numbers, the magnetic feedback from the dynamo field is so efficient that the power associated with the maintenance of DR decreases significantly.

The meridional circulation energy balance (upper right panel of Figure 20) is dominated by a balance between the work of pressure ($Q_{\nabla P}$, cyan), buoyancy ($Q_b$, blue-green) and Coriolis ($Q_c$, green) forces (see also Table 6 where the dominant transfer terms are highlighted in bold font). The latter almost always remains negative, indicating an energy transfer from the meridional flow to the DR when models are in a steady state. Viscous dissipation (purple) plays a much lesser role for MCKE compared to DRKE, and magnetic contributions can be considered as negligible, except maybe for small Rossby number cases possessing transequatorial meridional cells (see Figure 10). We find that the relative contribution of buoyancy and pressure gradients varies from model to model and also varies in time for each model. We believe that is due to the anelastic approximation used in this study, and expect that a Lantz–Braginsky formulation (Brown et al. 2012) would lead to more systematic relative contributions of these two important terms for MCKE. Finally, we note that the power associated with the meridional circulation maintenance increases with Rossby number and does not go above 15% of the stellar luminosity in our sample.

Let us now turn to the power sustaining magnetism in our models. The toroidal (TME) and poloidal (PME) magnetic energy budgets are shown in the left and right lower panels of Figure 20. We immediately note that the power sustaining magnetism corresponds at maximum to 3% of the stellar luminosity in our sample for TME. This corresponds to an absolute maximum of 6% of the solar luminosity. A very large amount of power is therefore indeed channeled to sustain the large toroidal ME reservoir that the dynamo builds up in the simulations. Hence, it is expected that a significant proportion of this large magnetic energy reservoir will be accessible to trigger various surface magnetic activity events (Shibata et al. 2013). The power associated with PME is a bit weaker but still reaches up to 0.4% of the stellar luminosity. We find again that the most powerful transfers occur around $R_{\text{of}} \sim 0.2$. The power involved saturates for lower Rossby numbers, which is reminiscent of the saturation of magnetic activity observed in the X-ray luminosity of fast-rotating stars (e.g., Wright et al. 2011). It slowly drops for large Rossby numbers, but the power maintains a value of at least 0.01% of the stellar luminosity even in our most slowly rotating models. These figures are in
<figure><img src="image_83.png" /></figure>

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>**Figure 20.** Energy budgets as a function of fluid Rossby number. Transfers are normalized to the stellar luminosity and the logarithmic fluid Rossby number. From left to right and top to bottom, the energy budgets are shown for DRKE, MCKE, TME, and PME. The definitions of the various terms are given in Appendix A and sketched in Equations (17)–(19).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_85.png" /></figure>

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

good qualitative agreement with the value of 0.1% found for the Sun by Rempel (2006) using 2.5D mean-field dynamo models. Let us stress again that with values ranging in our sample between 0.01% and 3% of the star’s luminosity, this is a massive reservoir of ME extracted by dynamo action.

The PME balance is relatively straightforward: it is sustained primarily by the turbulent electromotive force originating from the convective motions ($Q_{\text{EMF}}^{\text{PM}}$, yellow) and opposed by ohmic dissipation (purple). Mixed stresses involving the mean meridional flow ($Q_{\text{PM}}^{\text{MC}}$, salmon) are not observed to play any major role here. The TME balance is slightly more complex. In most of our models, it is primarily sustained by the Omega effect ($Q_{\Omega}$, blue), and saturated by ohmic dissipation (purple). Interestingly, we find that the role of the turbulent electromotive force can change from one model to the other (see Table 4), and it can even change sign with time in our cyclic solutions.

This is highlighted in Figure 21 where we observe how the various transfer terms for TME vary during one long cycle for model M09R3m in the left panel (TME is overplotted in black) and one short cycle for model M07R5m in the right panel. First, we observe that the amplitude of the transfers vary by an order of magnitude along the long cycle (left panel), being maximum when the magnetic energy is maximum as one may expect. We also see that electromotive force (yellow) plays a dominant role when TME increases right after cycle minimum and then switches sign and draws energy from TME when

TME decreases. This striking behavior is at odds with the classical picture of constant-in-time parameterization of mean-field coefficients. It furthermore supports our interpretation that the dynamo processes behind the decadal magnetic cycles observed in some models involve a complex interplay between sources and sinks of magnetic energy that vary at different stages of the cycle. This is important because it reinforces the conclusions drawn in Section 5 about the special nature of the long-cycle period dynamo simulations presented in this study. We also see that the short cycle (right panel) behaves differently than the long cycle on the left. In model M07R5m, the electromotive force sometimes equates or even dominates the $\Omega$ effect while still being balanced by ohmic dissipation. In this case, the amplitude of the transfer terms vary much less with time, and we recover a behavior expected for $\alpha^2 - \Omega$ dynamos. These simulations could therefore be categorized either as $\alpha - \Omega$ or $\alpha^2 - \Omega$ dynamos depending on the phases of evolution. We observe that the SVD analysis discussed in Section 5.1 and Appendix B shows coherent results when we take into account these temporal variations of the production terms, as shown in Figure 21. Given the highly time-dependent nature of these nonlinear convective dynamo simulations, the analysis presented in this section about their dynamical properties is more robust than the SVD decomposition we performed in Appendix B as a companion analysis, because it does not assume any scale-separation approximation.
<table><caption>**Table 6**

Dominant Energy Transfer Terms for Three Representative Cases (M07R5m—Low Rossby Number, M09R3m—Moderate Rossby Number, and M09R1m—High Rossby Number)</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">M07R5m</th><th colspan="2">M09R3m</th><th colspan="2">M09R1m</th></tr><tr><th>[%L<sub>+</sub>]</th><th>[%L<sub>-</sub>]</th><th>[%L<sub>+</sub>]</th><th>[%L<sub>-</sub>]</th><th>[%L<sub>+</sub>]</th><th>[%L<sub>-</sub>]</th></tr></thead><tbody><tr><td>- Q<sub>C</sub></td><td>0.38</td><td>0.06</td><td><strong>2.96</strong></td><td>1.63</td><td><strong>1.35</strong></td><td>0.75</td></tr><tr><td>Q<sup>DR</sup><sub>RS</sub></td><td><strong>4.55</strong></td><td>0.61</td><td><strong>12.06</strong></td><td>6.63</td><td><strong>6.93</strong></td><td>3.86</td></tr><tr><td>-Q<sup>DR</sup><sub>ν</sub></td><td>-0.53</td><td>-0.08</td><td><strong>-13.97</strong></td><td>-7.69</td><td><strong>-7.43</strong></td><td>-4.08</td></tr><tr><td>- Q<sub>Ω</sub></td><td>-0.43</td><td>-0.06</td><td>-0.84</td><td>-0.46</td><td>-0.004</td><td>-0.002</td></tr><tr><td>-Q<sup>DR</sup><sub>MS</sub></td><td><strong>-3.84</strong></td><td>-0.58</td><td>-0.70</td><td>-0.39</td><td>-0.05</td><td>-0.03</td></tr><tr><td>C<sup>DR</sup></td><td>0.20</td><td>0.03</td><td>-0.26</td><td>-0.14</td><td>-0.50</td><td>-0.28</td></tr><tr><td>Q<sub>C</sub></td><td><strong>-0.38</strong></td><td>-0.06</td><td><strong>-2.96</strong></td><td>-1.63</td><td><strong>-1.35</strong></td><td>-0.75</td></tr><tr><td>Q<sup>MC</sup><sub>RS</sub></td><td>0.15</td><td>0.02</td><td>0.29</td><td>0.16</td><td>0.15</td><td>0.08</td></tr><tr><td>-Q<sup>MC</sup><sub>ν</sub></td><td>-0.08</td><td>-0.01</td><td><strong>-0.83</strong></td><td>-0.46</td><td><strong>-1.17</strong></td><td>-0.64</td></tr><tr><td>Q<sup>VP</sup></td><td><strong>1.36</strong></td><td>0.20</td><td><strong>2.65</strong></td><td>1.46</td><td><strong>2.17</strong></td><td>1.20</td></tr><tr><td>- Q<sub>b</sub></td><td><strong>-0.87</strong></td><td>-0.13</td><td>0.50</td><td>0.28</td><td>0.29</td><td>0.16</td></tr><tr><td>Q<sup>MC</sup><sub>MS</sub></td><td>-0.17</td><td>-0.03</td><td>-0.03</td><td>-0.02</td><td>-0.002</td><td>-0.001</td></tr><tr><td>C<sup>MC</sup></td><td>-0.01</td><td>-0.001</td><td>0.19</td><td>0.10</td><td>0.01</td><td>0.01</td></tr><tr><td>-Q<sup>TM</sup><sub>η</sub></td><td><strong>-0.44</strong></td><td>-0.07</td><td><strong>-0.54</strong></td><td>-0.29</td><td><strong>-0.004</strong></td><td>-0.002</td></tr><tr><td>Q<sup>TM</sup><sub>emf</sub></td><td><strong>0.11</strong></td><td>0.02</td><td>0.06</td><td>0.04</td><td><strong>0.008</strong></td><td>0.005</td></tr><tr><td>Q<sub>Ω</sub></td><td><strong>0.43</strong></td><td>0.06</td><td><strong>0.84</strong></td><td>0.46</td><td><strong>0.004</strong></td><td>0.002</td></tr><tr><td>-Q<sup>PM</sup><sub>η</sub></td><td><strong>-0.40</strong></td><td>-0.06</td><td><strong>-0.20</strong></td><td>-0.11</td><td><strong>-0.003</strong></td><td>-0.002</td></tr><tr><td>Q<sup>PM</sup><sub>emf</sub></td><td><strong>0.42</strong></td><td>0.06</td><td><strong>0.27</strong></td><td>0.15</td><td><strong>0.005</strong></td><td>0.003</td></tr></tbody></table>

Note. The strongest transfers for each case and each energy are identified in bold font. The four blocks of rows correspond in order to (i) the differential rotation kinetic energy balance (Equation (17)), (ii) the meridional circulation kinetic energy balance (Equation (18)), and (iii) the toroidal magnetic energy balance (Equation (19)) and the poloidal magnetic energy balance (Equation (20)). Some transfer terms are tiny and have thus been omitted from the table.

## 7. Astrophysical Implications and Conclusion

We have shown in the previous sections how various magnetic properties of solar-type stellar dynamo simulations change as a function of stellar mass and rotation. Often such variations can be understood by using the Rossby number as a key control parameter. We here wish to reflect upon these findings and their astrophysical implications. There are several properties of solar-like stars such as their convective power and spectra, rotation profile, level of activity, and presence of a magnetic cycle, to cite only a few, that are of keen interest to be characterized. Our set of simulations can help us discuss some of these properties and provide clues to understand the physical mechanisms acting behind them.

Take, for instance, their interior rotation profile. We have seen in Section 4 that various states can be achieved in our set of simulations. We have further confirmed that such states depend on the Rossby numbers of the simulations. In Brun et al. (2017), it was advocated, based on the hydrodynamic counterpart of the dynamo cases studied here, that three states of internal rotation could be found: solar like (fast equator, slow poles), Jupiter like (cylindrical profile with alternations of prograde and retrograde zonal jets), and antisolar like (slow equator, fast poles). How is the presence of a self-sustained dynamo field changing this statement? We find that two states are retained: solar like and antisolar, and that the third one found for small Rossby numbers has been replaced by a new state. Indeed, we find that as the Rossby number decreases, the

feedback of the Lorentz force on the convective motion (via Maxwell stresses opposing Reynolds stresses in the angular momentum transport balance) yields smaller angular velocity contrast. This comes about because the rotation state tends toward uniform rotation (see Section 4). So for very small Rossby numbers, cases such as M11R5m or M09R5m are mostly showing a solid-body rotation in their convective envelope, in sharp contrast with the banded profile of their hydrodynamics counterpart. However, the disappearance of the cylindrical banded DR state may be due to the range of Reynolds and magnetic Reynolds numbers considered in our study. The strong Lorentz force feedback may be due to our moderate state of turbulent convection. It is possible that at higher Reynolds numbers, a cylindrical state would be retained even for a state near super-equipartition between KE and ME. This is a point that needs to be investigated further with a dedicated low Rossby/high Reynolds numbers study. Said differently: is there a level at which the magnetic energy contained in the convective envelope is so high that quasi-uniform internal rotation is inevitable? We believe this is a reasonable assumption given the tendency of the magnetic field to quench DR as identified by many authors (Glatzmaier & Gilman 1982; Charbonneau 2004; Brun et al. 2005; Karak et al. 2015; Warnecke & Käpylä 2020, and references therein). So, in summary, we find that the likely rotation states of solar-type stars depend on their increasing Rossby number: quasi-uniform, banded/cylindrical, solar like, and antisolar. Such variations of the DR states translated into an overall variation of the surface angular velocity contrast being less sensitive to the bulk rotation rate, with $\Delta\Omega \propto \Omega^{0.46}$, down from $\Omega^{0.66}$ as in Brun et al. (2017). We also find another potential interesting property for the DR of solar-like stars: a scaling law may not be the best fit to our simulations database. As in Saar (2011), we find that there is a clear change of trend for small Rossby numbers (see Figure 8). This is interestingly the change of rotation state from solar to almost uniform rotation. Determining for these various rotation states the exact transition in Rossby number will require more numerical study at higher levels of turbulence and continued dedicated observations. We intend to contribute to this effort with dedicated new simulations but also in preparing the scientific exploitation of PLATO (Rauer et al. 2014).

These various transitions of rotation profiles must impact the resulting dynamo and field properties. We have shown in the paper (Sections 5 and 6) that this is indeed the case. Going from low to high Rossby numbers, we find that dynamo action yields short-cycle, long-cycle, and statistically steady (yet irregular) magnetic field evolution. This is very interesting because we can guide observations to search for these transitions in rotation state or temporal variability of the magnetic field. This will also help us discriminate between various dynamo scenarios.

Our set of dynamo solutions can help us characterize the mechanisms at work to generate and maintain magnetic fields for different sets of global stellar parameters. The rich range of magnetic phenomena occurring in stars relies on the free energy available in magnetic structures created by dynamo mechanism. In this study we have focused our analysis on a key aspect of the convective dynamo: energy transfers. We have done an extensive study on how the energy flows to and from the KE and ME reservoirs, separating them into their toroidal and poloidal components. The first key result is that a
<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>**Figure 21.** Energy budget as a function of time for model M09R3m. The labels are the same as the lower left panel in Figure 20. The toroidal magnetic energy (TME) is shown by the black line. The gray area in the left panel corresponds to the time-average interval used for M09R3m in Figure 20.</figcaption></figure>

significant amount of the star's luminosity is being transferred into KE and ME. In Table 6 we listed as a function of the star luminosity (also with respect to the solar one) the amount of accessible energy. We demonstrated that typical numbers for the KE contained in the DR are of order 10%, for the meridional circulation 1% of the star's luminosity. We also showed that for the TME, the energy available is also around 1% (with a maximum of 3%) and of the order of 0.1% for the PME. Having access to 1% of the star luminosity to power stellar magnetism via collective emergence of toroidal structures is significant. This means that there is large reservoir of ME accessible for the manifestation of various magnetic phenomena at the star's surface. We find for instance that our modeled stars can power dynamos such that they reach a global ME content from $10^{37}$ to $10^{39}$ erg. Part of this energy is found to be stored in the mean TME (up to $6 \times 10^{38}$ erg), and the mean PME is generally found to be much less energetic (reaching at most $4 \times 10^{37}$ erg). The corresponding total (unsigned) magnetic flux $\Phi_{tot}$ is found to vary between $10^{24}$ and $10^{25}$ Mx over the range of mass and rotation covered by our study, thus very similar to observations of the Sun and other solar-type stars. In dynamo cases with long cycles such as case M09R3m, $\Phi_{tot}$ is found to vary by a factor between 7 and 8 (see Figure 16), which is slightly more than what is found for the Sun (a factor of about 5 has been found for cycle 21 Schrijver & Harvey 1994).

We also found that $\Phi_{tot}$ follows a scaling law with the Rossby number $\Phi_{tot} \sim R_{of}^{-0.88}$ in qualitative agreement with observations (see Figure 17).

Another interesting finding of our study, which confirms results published in Augustson et al. (2015) with the same ASH code and in Strugarek et al. (2017, 2018) with the Eulag-MHD code, is the existence of a so-called nonlinear cyclic dynamo. Of course, convective dynamos are nonlinear in essence but what is meant here is that through the feedback of the Lorentz force on the flow, a cyclic behavior of the dynamo arises. Standard kinematic $\alpha - \Omega$ mean-field dynamos follow the Parker–Yoshimura (P-Y) rule (Parker 1955; Yoshimura 1975) and do not take into account nonlinear retroaction or do so in a limited way via the so-called Malkus–Proctor approach (Covas et al. 2005; Bushby 2006; Lopes et al. 2014, and references therein). By contrast, more and more 3D MHD convective dynamo simulations find that in a limited range of the parameter space, the P-Y rule does not apply anymore. This is the case in this study, where we find that for intermediate

values of the Rossby number, typically $0.15 \lesssim Ro_f \lesssim 0.65$, the long-cycle periods are due to a subtle interplay between the large-scale flow and the field. As the rotation rate is increased and the toroidal component of the dynamo-generated magnetic field becomes more and more dominant via an efficient $\Omega$ effect acting on the large-scale poloidal field, the associated Lorentz force starts to quench the DR via the action of Maxwell stresses opposing Reynolds stresses. This quenching of the DR in turn implies that the $\Omega$ effect is modified to the point that locally its latitudinal variation $\partial\Omega/\partial\theta$ reverses sign, leading to the generation of a toroidal field of opposite polarity, and through the action of turbulent convection, a reversed poloidal field. This nonlinear cyclic dynamo behavior is in sharp contrast with P-Y mechanism. Note that this is a delicate dynamo state to achieve, as the ME needs to be neither too weak nor too strong as discussed in Gilman (1983; see for instance their Figure 31 or in Brun et al. 2005 where such a modulated dynamo state was also found in stellar core dynamos). To demonstrate that further, we have computed in Figure 12 the P-Y rule for one typical long-cycle-period dynamo case of our study and confirm that it is unable to explain the dynamo wave and cyclic behavior of this subset of dynamo cases (M09R3m and M11R3m for instance). However, we do find that for low Rossby number ($Ro_f < 0.42$), the P-Y rule still works, and for instance in a case such as M07d5m also shown in Figure 12, we clearly have poleward dynamo waves compatible with the radial shear and the $\alpha$ effect. Hence, we may have been able in this study to identify when P-Y versus nonlinear cyclic dynamos (in the sense defined in this study, e.g., feedback of the magnetic field on the local shear) take place. This is very important as it tells us how to reconcile various recent publications in the community that sometimes were finding that global convective dynamo could be interpreted as classical $\alpha - \Omega$ dynamos (Viviani et al. 2018, 2019; Warnecke 2018, and references therein), whereas others did not (Augustson et al. 2015; Strugarek et al. 2017, 2018). We propose that it is linked to different effective values of the Rossby number used in these various dynamo simulations.

As we have seen above, it is instructive to make the link between full 3D MHD convective dynamo simulation and mean-field dynamo concepts. Mean-field dynamo theory usually uses the $\alpha$ effect to parameterize turbulent magnetic field generation. In this study, we have estimated it through both the kinetic helicity (see Appendix C and Pouquet et al. 1976) and an SVD decomposition (see Section 5.1,
<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>Figure 22. Large-scale field at the surface of our modeled convective envelopes as a function of the Rossby number. The first panel shows the total dipole field, the second panel the large-scale fields (spherical harmonics $ℓ < 5$, including the nonaxisymmetric components ($m \neq 0$)). The third panel shows the ratio between the total rms field at the surface and the equilibrium field based on the gas pressure at the photosphere. It can be considered as a measure of the filling factor $f$ (see Cranmer & Saar 2011; See et al. 2019b). The symbols used in the panels are the same as in Figure 7.</figcaption></figure>

Appendix B, and Racine et al. 2011; Dubé & Charbonneau 2013; Augustson et al. 2015; Emeriau-Viard & Brun 2017). In the former case, we do not find a significant change of sign nor amplitude in the kinetic helicity of models possessing an antisolar DR. In the range of parameters considered in this study, this means that antisolar-like stars need to be modeled with an $\alpha$ effect similar to solar-like stars at least in their radial dependency, if not in amplitude (see detailed discussion in Noraz et al. 2021). In the mean-field $\alpha - \Omega$ dynamo paradigm this implies that antisolar-like stars will have a dynamo wave with a propagation reversed to that of the Sun, e.g., poleward from the equator to midlatitudes as imposed by the P-Y rule. In our 3D simulations, we do not find such cyclic poleward dynamos for slowly rotating simulations; instead, we find that they are statistically steady (but highly time dependent on short timescales). This is likely due to a less favorable phasing between poloidal and toroidal magnetic field generation in the convective envelope of these slowly rotating case that develops via complex nonlinear interactions between the fields and flows, which are not fine-tuned but instead evolves depending on the global parameters considered.

Another interesting aspect is to assess how the dynamo-generated magnetic field is distributed over spatial scales. It is well known that there is a nonlinear feedback loop between rotation, dynamo, stellar wind, and magnetic braking over secular timescales (Skumanich 1972; Brown 2014; Matt et al. 2015; Brun & Browning 2017; Metcalfe & van Saders 2017; Brun 2020; Vidotto 2021). It has been demonstrated that the magnetic torque provided by stellar winds is mostly controlled by the dipolar and quadrupolar modes (Garraffo et al. 2015; Réville et al. 2015; Finley & Matt 2018). Hence, one key question is to assess what happens with dipolar and quadrupolar modes when the dynamo changes its properties. To this end, we showed in Figure 18 how magnetic geometry changes by computing quantities known as $f_{\text{dip}}$ and $f_{\text{quad}}$. This allows us to assess the overall contribution of these two dynamo modes to the overall magnetic energy spectra. We found that they are key contributors to the overall magnetic energy with values ranging from 0.05 to 0.6, with most of the cases studied possessing $f_{\text{dip}}$ and $f_{\text{quad}}$ around 0.2–0.3. We do not see any clear trend with Rossby number. Fast rotators and slows rotators both possess large dipolar and quadrupolar components. So from a stellar dynamo point of view, it is

difficult to invoke a drop in the large-scale magnetic field to explain a possible break of stellar spin-down for slow rotators as proposed by Metcalfe & van Saders (2017). Similar findings are obtained from observations of magnetic fields in cool stars as shown in Vidotto et al. (2016). The advocated Rossby number transition in magnetic field geometry to explain a collapse of magnetic breaking is thus unlikely. This study suggests that we must find a different explanation, maybe a less efficient heating mechanism inducing a sudden drop of coronal temperature and wind mass loss (Ó Fionnagáin & Vidotto 2018), which directly impacts angular momentum loss. Self-consistent rotating wind models with detailed treatment of the coronal heating mechanism are needed (see, for instance, Shoda et al. 2020; Hazra et al. 2021) in order to confirm the existence or not of such a transition in mass loss at slow rotation rates.

We have focused our analysis on the global energetics of the dynamo, and showed that the global dynamo field followed roughly a $B_{\text{bulk}} \approx R_o^{-0.5}$ trend (see Section 6.1) in agreement with previously published dynamo scaling laws (Augustson et al. 2019). It is also useful to interpret our simulations only considering the top of the dynamo domain, making a more direct link with stellar observations of the surface magnetism. In this context, we show in Figure 22 the trend in Rossby number for the surface dipole field (first panel), surface large-scale field (second panel, see Table 5), and the ratio of the root-mean-square (rms) surface field to the equipartition field (third panel). The error bars were deduced from the temporal variability of the fields, and the values are reported in Table 4. The first striking observation is that the scaling law of the surface large-scale field differs from the global volume-averaged dynamo field e.g., including all scales with a steeper slope. Indeed, we find for low and intermediate Rossby numbers that

$$B_{r,\text{dip}} \approx 10 R_o^{-1.16 \pm 0.47} \text{ G}, \qquad (21)$$

$$B_{L,\text{surf}} \approx 28 R_o^{-1.27 \pm 0.35} \text{ G}. \qquad (22)$$

Both trends are compatible with the trends deduced from the Zeeman-Doppler imaging surveys, which generally find the large-scale surface magnetic field to follow an $R_o^{-1.3}$ trend at intermediate Rossby numbers (See et al. 2019a). Finally, it is also instructive to assess the level of equipartition at the surface
through the ratio between the surface rms field $B_{rms}$ and the equipartition field $B_{eq}$ (as defined in Johns-Krull & Valenti 2000) deduced here from the gas pressure at the surface of the stellar models we considered. Indeed, Cranmer & Saar (2011) have proposed that this ratio measures the filling factor $f$ of the large-scale field that shapes the lower stellar corona and ultimately determines the angular momentum loss rate of stars. See et al. (2019b) have found observationally that this ratio decreases with Rossby number. We find a similar trend here as seen in the third panel of Figure 22, with $f \simeq B_{rms}/B_{eq} \simeq 0.03 R_o^{-0.97 \pm 0.27}$. Finally, we note that the three magnetic field measures shown in Figure 22 all exhibit an increase in amplitude at high Rossby number. This again strengthens the case that dynamo action within cool stars does not exhibit any significant decrease of the large-scale magnetic field for slow rotators.

How are these results informing us about our star, the Sun? First, we note that the study of Strugarek et al. (2017, 2018) is about 1 solar mass stars and is taken into account in the analysis presented in this study. Given the good agreement seen in many of the plots discussed in Section 5 between the study done with the Eulag-MHD code and the one presented here with the ASH code (independently of models details), we are confident that the dynamo solutions discussed in this study are useful to understand the physical nature of the cyclic activity of a 1 solar mass star such as the Sun. Second, in this parametric stellar dynamo study we are proposing that in order to get both a solar-like conical DR and a deep slow decadal-long magnetic cycles, the Rossby number must be between 0.15 and 0.65. Hence, we here acknowledge that cases M09R1m and M11R1m rotating at the solar rate do not show behaviors that are Sun like with respect to their magnetic activity (no cycles present) because their Rossby number is not falling in the 0.15-0.65 range. Instead, we believe that M09R3m or M11R3m are better, closer representations of the Sun even though their rotation rate is faster than the Sun, because their Rossby number is in the correct range of values. This means that while the overall trends found in our study are robust, the specific location of any given star must be thought with extreme care due to the so-called convective conundrum, i.e., a mismatch between global convection simulations and solar helioseismic inversion regarding the amplitude of giant convection cells (Hanasoge et al. 2016; Hotta & Kusano 2021). This is likely due to the fact that for any given rotation rate, because of the convective conundrum, the Rossby number achieved in the rotating convection simulation is slightly too large. So in order to be likely closer to the solar state and to aim for the correct value of the solar Rossby number, models rotating faster such as the M09R3m or M11R3m cases are somewhat a better match to model the Sun than M09R1m or M11R1m. Thanks to this knowledge, we will next build a new global convective dynamo model of the Sun with an improved set of parameters by keeping the rotation rate to the solar one while controlling the effective Rossby number achieve in the simulation to be in the right range of values. We will report our finding in a future work.

To conclude, our study has confirmed the richness of dynamo solutions in parameter regimes that are likely to be found in solar-like stars and the large amount of magnetic energy and flux made available to the star and its surface activity by dynamo action. We have also identified the Rossby

number regimes for different realizations of DR profiles and magnetic temporal modulations (cyclic or not), generalizing in an MHD context what we published in Brun et al. (2017). Two key transitions in parameter space seem to be present, one at low Rossby number ($R_o < 0.1$), another at high Rossby number ($R_o > 1$). We need to study them with even more detail and at higher resolution and turbulence level to confirm the trends and scaling laws we have reported here. We intend to do so in the near future as well as study in more detail the influence of a realistic atmosphere and of a wind (Perri et al. 2021) on the dynamo properties.

We acknowledge partial financial support by DIM-ACAV+ ANAIS2 project, ERC Whole Sun Synergy grant #810218 and STARS2 starting grant #207430, ANR Toupies, INSU/PNST, Solar Orbiter, and PLATO CNES funds. We thank GENCI via project 1623 for having provided the massive computing resources needed to perform this extensive study. J.V. acknowledge Project 2019-T1/AMB-13648 and multiannual agreement with UC3M ("Excelencia para el Profesorado Universitario"-EPUC3M14)-Fifth regional research plan 2016-2020 founded by the Comunidad de Madrid. This work benefited from discussions within the international team "The Solar and Stellar Wind Connection: Heating processes and angular momentum loss," supported by the International Space Science Institute (ISSI). A.S.B. is thankful to B.P. Brown, M. Derosa, N. Featherstone, B. Hindman, K. Shibata, S.-i Takehiro, and M. Yamada for useful discussions.

## Appendix A
Equation for Kinetic and Magnetic Energy Transfers in MHD Anelastic Systems

In this appendix we list the set of equations describing the energy transfer occurring in a star, focusing on mean energy quantities such as the poloidal and toroidal mean axisymmetric KE and ME. Following Starr & Gilman (1966), Brandenburg et al. (1996), De Rosa et al. (2002), and Rempel (2006), we derive the set of equations of full energy transfers in spherical MHD configurations.

Let us denote the azimuthal average by a bar and the derivation from it by a prime. For example, the radial velocity component will be written as $v_r = \bar{v}_r + \bar{v}'_r$. In order to characterize the axisymmetric ME ($\bar{E}_m$) and KE ($\bar{E}_k$) transfers between the various reservoirs of energy (thermal, potential, kinetic, and magnetic) we will split $\bar{E}_m$ and $\bar{E}_k$ into three components:

$$ \begin{aligned} \bar{E}_m &= \frac{1}{4\pi}(\bar{B}_r^2 + \bar{B}_\theta^2 + \bar{B}_\phi^2) \\ &= \frac{1}{4\pi}\underbrace{(\bar{B}_\phi^2 - \bar{B}_r^2)}_{\text{TME}} + \frac{1}{4\pi}\underbrace{(\bar{B}_r^2 + \bar{B}_\theta^2)}_{\text{PME}} + \frac{1}{4\pi}\underbrace{(\bar{B}_r^{\prime 2} + \bar{B}_\theta^{\prime 2} + \bar{B}_\phi^{\prime 2})}_{\text{FME}} \end{aligned} \quad (A1) $$

$$ \begin{aligned} \bar{E}_k &= \frac{\hat{\rho}}{2}(\bar{v}_r^2 + \bar{v}_\theta^2 + \bar{v}_\phi^2) \\ &= \frac{\hat{\rho}}{2}(\bar{v}_\phi^2) + \frac{\hat{\rho}}{2}(\bar{v}_r^2 + \bar{v}_\theta^2) + \frac{\hat{\rho}}{2}(\bar{v}_r^{\prime 2} + \bar{v}_\theta^{\prime 2} + \bar{v}_\phi^{\prime 2}) \end{aligned} \quad (A2) $$

with DRKE and TME the mean axisymmetric toroidal energies, MCKE and PME the mean axisymmetric poloidal
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>**Figure 23.** Global energy budget schematic. In red, we list all the key energy transport terms (see Appendix A). Black arrows correspond to the direction of transport between the various energy reservoirs. Surface terms are indicated as black disks. We omit curvature terms to avoid crowding the figure.</figcaption></figure>

energies and FKE and FME the nonaxisymmetric energies. To find the energy transfer equation for these various components, we project the Navier-Stokes or induction equation onto the direction we wish to write the energy equation for, e.g., $\phi$ for TME for instance and inject the decomposition between the mean and prime quantities. Then we perform an azimuthal average, thereby eliminating all terms that are linear in prime quantities. For each energy equations, we then multiply by a bar quantity (for instance $\overline{B_\phi}$ for TME) and rearrange the terms. For MCKE and PME, we combine the radial and latitudinal equations. Doing so systematically leads to the following set of equations.<fnref n="6" />

### A.1. Overall Energy Budgets

We follow the approach of Starr & Gilman (1966) and write the energy budgets in the following way (see the schematic in Figure 23):

$$ \partial_t \text{DRKE} = Q_{\text{RS}}^{\text{DR}} - Q_{\Omega} - Q_C - Q_{\text{MS}}^{\text{DR}} \\ - Q_{\nu}^{\text{DR}} + C^{\text{DR}} - S^{\text{DR}}, \qquad (\text{A3}) $$

$$ \partial_t \text{MCKE} = Q_{\text{RS}}^{\text{MC}} + Q_{\text{TM}}^{\text{MC}} + Q_{\text{MS}}^{\text{MC}} + Q_{\nabla P} \\ + Q_C - Q_{\text{PM}}^{\text{MC}} - Q_b - Q_{\nu}^{\text{MC}} + C^{\text{MC}} - S^{\text{MC}}, \qquad (\text{A4}) $$

$$ \partial_t \text{TME} = Q_{\Omega} + Q_{\text{emf}}^{\text{TM}} - Q_{\text{TM}}^{\text{MC}} - Q_{\eta}^{\text{TM}} + C^{\text{TM}} - S^{\text{TM}}, \qquad (\text{A5}) $$

$$ \partial_t \text{PME} = Q_{\text{PM}}^{\text{MC}} + Q_{\text{emf}}^{\text{PM}} - Q_{\eta}^{\text{PM}} + C^{\text{PM}} - S^{\text{PM}}. \qquad (\text{A6}) $$

In all that follows, quantities are separated into mean and fluctuating components through

$$ A = \bar{A} + A', \qquad (\text{A7}) $$

and the corresponding terms in the original derivation of Starr & Gilman (1966) are given in bold “SG66: [XX]” labels at the end of each equation, where XX is the term or equation number in Starr & Gilman (1966). Note that we have extra curvature terms $C^x$ due to our choice of spherical coordinates.

### A.2. Axisymmetric Differential Rotation Kinetic Energy Equation (DRKE)

The various terms of Equation (A3) are

$$ Q_{\text{RS}}^{\text{DR}} = \int \hat{\rho} \left[ \overline{v'_r v'_\phi} \partial_r \overline{v'_\phi} + \overline{v'_\theta v'_\phi} \frac{1}{r} \partial_\theta \overline{v'_\phi} \right] dV, \quad \text{SG66: [6c+6d]} \qquad (\text{A8}) $$

$$ Q_{\Omega} = \int \frac{1}{4\pi} \overline{B_{\phi}} \left[ \overline{B_r} \partial_r \overline{v_{\phi}} + \frac{\overline{B_{\theta}}}{r} \partial_{\theta} \overline{v_{\phi}} \right] dV, \quad \text{SG66: [5a+5b]} \qquad (\text{A9}) $$

$$ Q_C = \int 2\Omega \hat{\rho} \overline{v_{\phi}} [\cos \theta \overline{v_{\theta}} + \sin \theta \overline{v_r}] dV, \quad \text{SG66: [6a+6b]} \qquad (\text{A10}) $$

$$ Q_{\text{MS}}^{\text{DR}} = \int \frac{1}{4\pi} \overline{B_r' B_\phi'} \partial_r \overline{v_\phi} + \frac{1}{4\pi} \frac{\overline{B_\theta' B_\phi'}}{r} \partial_\theta \overline{v_\phi} dV, \quad \text{SG66: [7a+7b]} \qquad (\text{A11}) $$

$$ Q_{\nu}^{\text{DR}} = \int \nu \hat{\rho} \left\{ \left[ r \partial_r \left( \frac{\overline{v}_\phi}{r} \right) \right]^2 + \left[ \frac{\sin \theta}{r} \partial_\theta \left( \frac{\overline{v}_\phi}{\sin \theta} \right) \right]^2 \right\} dV, \quad \text{SG66: [Fz]} \qquad (\text{A12}) $$

$$ C^{\text{DR}} = \int -\frac{\hat{\rho} \overline{v_{\phi}}}{r} \left[ \overline{v_r v_{\phi}} + \cot \theta \overline{v_{\theta} v_{\phi}} \right] \\ + \frac{1}{4\pi} \frac{\overline{v_{\phi}}}{r} \left[ \overline{B_r B_{\phi}} + \cot \theta \overline{B_{\theta} B_{\phi}} \right] dV, \qquad (\text{A13}) $$

<footnote n="6">⁶ Because we focus our study on the mean flows and magnetic fields, we will not show the equations for FKE and FME.</footnote>
$$S^{\text{DR}} = -\frac{1}{4\pi} \int_{r=R_{\text{top}}} \overline{B_r B_{\phi} \overline{v_{\phi}}} dS. \quad \text{SG66: [Eq. 6].} \quad (A14)$$

### A.3. Axisymmetric Meridional Circulation Kinetic Energy Equation (MCKE)

$Q_C$ was defined previously in Equation (A10). The remaining terms in Equation (A4) are

$$Q_{\text{RS}}^{\text{MC}} = \int \hat{\rho} \overline{v'_{r} v'_{\theta}} \left[ \partial_{r} \overline{v_{\theta}} + \frac{1}{r} \partial_{\theta} \overline{v'_{r}} \right] + \hat{\rho} \overline{v'_{r}^{2}} \partial_{r} \overline{v'_{r}} + \hat{\rho} \overline{v'_{\theta}^{2}} \frac{1}{r} \partial_{\theta} \overline{v_{\theta}} dV, \quad \text{SG66: [3a+3b+3c]} \quad (A15)$$

$$Q_{\text{TM}}^{\text{MC}} = \int \frac{1}{8\pi} \overline{B_{\phi}^2} \left[ \frac{1}{r^2} \partial_r (r^2 \overline{v_r}) + \frac{1}{r \sin \theta} \partial_{\theta} (\sin \theta \overline{v_{\theta}}) \right] dV, \quad \text{SG66: [4a]} \quad (A16)$$

$$Q_{\text{MS}}^{\text{MC}} = \int \frac{1}{8\pi} \left[ -\overline{B'_{r}^{2}} + \overline{B'_{\theta}^{2}} + \overline{B'_{\phi}^{2}} \right] \partial_{r} \overline{v'_{r}} + \frac{1}{8\pi} \left[ \overline{B'_{r}^{2}} - \overline{B'_{\theta}^{2}} + \overline{B'_{\phi}^{2}} \right] \frac{1}{r} \partial_{\theta} \overline{v_{\theta}} - \frac{1}{4\pi} \overline{B'_{r} B'_{\theta}} \left[ \partial_{r} \overline{v_{\theta}} + \frac{1}{r} \partial_{\theta} \overline{v'_{r}} \right] dV, \quad \text{SG66: [8a]} \quad (A17)$$

$$Q_{\nabla P} = \int - \left[ \overline{v_r} \partial_r \overline{p} + \overline{v_\theta} \frac{1}{r} \partial_\theta \overline{p} \right] dV, \quad \text{SG66: [1a]} \quad (A18)$$

$$Q_{\text{PM}}^{\text{MC}} = \int \frac{1}{4\pi} [\overline{B_r \overline{v_\theta}} - \overline{v_r B_\theta}] \cdot \left[ -\partial_r \overline{B_\theta} + \frac{1}{r} \partial_\theta \overline{B_r} \right] dV, \quad \text{SG66: [9a]} \quad (A19)$$

$$Q_b = \int \bar{p} g \overline{v_r} dV, \quad \text{SG66: [2a]} \quad (A20)$$

$$Q_{\nu}^{\text{MC}} = \int 2 \nu \hat{\rho} \left\{ \left[ \partial_r \overline{v_r} - \frac{1}{3} \left( \overline{\nabla} \cdot \mathbf{v} \right) \right]^2 + \left[ \frac{1}{r} \partial_\theta \overline{v_\theta} + \frac{\overline{v_r}}{r} - \frac{1}{3} \left( \overline{\nabla} \cdot \mathbf{v} \right) \right]^2 + \left[ \frac{\overline{v_r}}{r} + \frac{\overline{v_\theta} \cos \theta}{r \sin \theta} - \frac{1}{3} \left( \overline{\nabla} \cdot \mathbf{v} \right) \right]^2 + \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{r} \partial_\theta \overline{v_r} + r \partial_r \left( \frac{\overline{v_\theta}}{r} \right) \right]^2 \right\} dV, \quad \text{SG66: [Fm]} \quad (A21)$$

$$C^{\text{MC}} = \int \frac{\hat{p}}{r} \left[ \overline{v_r(\overline{v_\theta}^2 + \overline{v_\phi}^2)} - \overline{v_\theta}(\overline{v_r v_\theta} - \cot \theta \overline{v_\phi^2}) \right] - \frac{\overline{v_r}}{4\pi r} (\overline{B_\theta^2} + \overline{B_\phi^2}) + \frac{\overline{v_\theta}}{4\pi r} (\overline{B_r B_\theta} - \cot \theta \overline{B_\phi^2}) + \frac{1}{8\pi r} \overline{B'^2}(2\overline{v_r} + \cot \theta \overline{v_\theta}) dV, \quad (A22)$$

$$S^{\text{MC}} = -\frac{1}{4\pi} \int_{r=R_{\text{top}}} \overline{B'_{r} B'_{\theta} \overline{v_{\theta}}} dS. \quad \text{SG66: [Eq. 8].} \quad (A23)$$

### A.4. Axisymmetric Toroidal Magnetic Equation (TME)

$Q_\Omega$ and $Q_{\text{TM}}^{\text{MC}}$ were defined previously in Equations (A9) and (A16). The remaining terms in Equation (A5) are

$$Q_{\text{emf}}^{\text{TM}} = \int \frac{1}{4\pi} [\overline{B'_{\phi} v'_{r}} - \overline{B'_{r} v'_{\phi}}] \partial_{r} \overline{B_{\phi}} + \frac{1}{4\pi} [\overline{B'_{\phi} v'_{\theta}} - \overline{B'_{\theta} v'_{\phi}}] \frac{1}{r} \partial_{\theta} \overline{B_{\phi}} dV, \quad \text{SG66: [4b + 4c]} \quad (A24)$$

$$Q_{\eta}^{\text{TM}} = \int -\frac{\overline{B_{\phi}}}{4\pi r} [\partial_{r}\{\eta \partial_{r}(r\overline{B_{\phi}})\} + \frac{\eta}{r}\partial_{\theta}\left\{\frac{1}{\sin\theta}\partial_{\theta}(\sin\theta\overline{B_{\phi}})\right\}] dV, \quad \text{SG66: [Jz]} \quad (A25)$$

$$C^{\text{TM}} = \int -\frac{\overline{B_{\phi}}}{4\pi r} [\overline{B_{r} v_{\phi}} + \cot \theta \overline{B_{\theta} v_{\phi}} - (\overline{B_{\phi} v_{r}} + \cot \theta \overline{B_{\theta} v_{\phi}})] dV, \quad (A26)$$

$$S^{\text{TM}} = -\frac{1}{4\pi} \int_{r=R_{\text{top}}} \overline{B'_{r} v'_{\phi}} \overline{B_{\phi}} dS. \quad \text{SG66: [Eq. 7].} \quad (A27)$$

### A.5. Axisymmetric Poloidal Magnetic Equation (PME)

$Q_{\text{MC}}^{\text{PM}}$ have already been defined in Equation (A19). The remaining terms in Equation (A6) are

$$Q_{\text{emf}}^{\text{PM}} = \int \frac{1}{4\pi} [\overline{B'_{r} v'_{\theta}} - \overline{B'_{\theta} v'_{r}}] \cdot \left[ -\partial_{r} \overline{B_{\theta}} + \frac{1}{r} \partial_{\theta} \overline{B_{r}} \right] dV, \quad \text{SG66: [9b]} \quad (A28)$$

$$Q_{\eta}^{\text{PM}} = \int \frac{\overline{B_r}}{4\pi r^2 \sin \theta} \eta \partial_{\theta} \{ \sin \theta [\partial_r(\overline{B_\theta}) - \partial_\theta \overline{B_r}] \} - \frac{\overline{B_\theta}}{4\pi r} \partial_r \{ \eta [\partial_r(\overline{B_\theta}) - \partial_\theta \overline{B_r}] \} dV, \quad \text{SG66: [Jm]} \quad (A29)$$

$$C^{\text{PM}} = \int \frac{\overline{B_{\theta}}}{4\pi r} [\overline{B_{\theta} v_{r}} - \overline{B_{r} v_{\theta}}] dV, \quad (A30)$$

$$S^{\text{PM}} = -\frac{1}{4\pi} \int_{r=R_{\text{top}}} \overline{B_r v_\theta B_\theta} dS. \quad \text{SG66: [Eq. 9].} \quad (A31)$$

## Appendix B
### Mean-field SVD Decomposition of Dynamo Solution

It is instructive to compare our 3D simulation results with the concepts used in mean-field dynamo theory (see Section 5). For instance, the generation of a poloidal magnetic field in the simulation is dominated by the action of the fluctuating EMF: $E_{\text{FI}} = \mathcal{E}' = \langle \mathbf{v}' \times \mathbf{B}' \rangle$. This process can also be interpreted through the $\alpha$-effect approximation, which is a first order expansion of $\mathcal{E}'$ around the mean magnetic field and its gradient:

$$\langle \mathcal{E}' \rangle_i = \alpha_{ij} \langle \mathbf{B} \rangle_j + \beta_{ijk} \partial_j \langle \mathbf{B} \rangle_k + \mathcal{O}(\partial \langle \mathbf{B} \rangle / \partial t, \nabla^2 \langle \mathbf{B} \rangle) \quad (B1)$$

with $\alpha_{ij}$ a rank-two pseudo-vector and $\beta_{ijk}$ a rank-three tensor. In the following, we will neglect the $\beta$ term. However, this will increase the systematic error when estimating the $\alpha$ term. Thus,
a SVD including the $\beta$ effect has been calculated in order to provide a lower-bound on the systematic error as discussed in Augustson et al. (2015). In the following analysis, $\alpha$ has been decomposed into its symmetric and antisymmetric components

$$ \alpha \langle \mathbf{B} \rangle = \alpha_S \langle \mathbf{B} \rangle + \gamma \times \langle \mathbf{B} \rangle \quad (B2) $$

with

$$ \alpha_S = \begin{bmatrix} \alpha_{(rr)} & \alpha_{(r\theta)} & \alpha_{(r\varphi)} \\ \alpha_{(r\theta)} & \alpha_{(\theta\theta)} & \alpha_{(\theta\varphi)} \\ \alpha_{(r\varphi)} & \alpha_{(\theta\varphi)} & \alpha_{(\varphi\varphi)} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \gamma = \begin{bmatrix} \gamma_r \\ \gamma_\theta \\ \gamma_\varphi \end{bmatrix}. \quad (B3) $$

Thanks to the SVD decomposition we can quantify the relative efficiency of the $\alpha$ effect in generating the mean magnetic field and characterize the type of dynamo through the relative influence of its regenerating terms. We can start by evaluating how the convective flows regenerate mean magnetic fields. This can be determined by finding the amplitude of an estimated $\alpha$ effect relative to the rms value of the nonaxisymmetric velocity field

$$ E \approx \left\langle \frac{\alpha}{v_{\text{rms}}} \right\rangle = \frac{3}{2(r_{\text{top}}^3 - r_{\text{bcz}}^3)} \times \sum_{i,j} \iint dr d\theta r^2 \sin \theta \sqrt{\frac{\alpha_{ij} \alpha^{ij}}{\{\mathbf{v}' \cdot \mathbf{v}'\}}} \quad (B4) $$

where $\{\mathbf{v}' \cdot \mathbf{v}'\}$ is the sum of the diagonal elements of the Reynolds stress tensor averaged over time and over all longitudes. If we want to refine the analysis, we can use the Equation (B4) to provide a measure of the importance of each component of $\alpha$ as

$$ \begin{aligned} \varepsilon_{ij} &= \frac{E_{ij}}{E} \\ &\approx \frac{1}{E} \left\langle \frac{\alpha_{ij}}{v_{\text{rms}}} \right\rangle \\ &= \frac{3}{2E(r_{\text{top}}^3 - r_{\text{bcz}}^3)} \iint dr d\theta r^2 \sin \theta \sqrt{\frac{\alpha_{ij} \alpha^{ij}}{\{\mathbf{v}' \cdot \mathbf{v}'\}}} \\ &= \begin{bmatrix} \varepsilon_{(rr)} & \varepsilon_{(r\theta)} & \varepsilon_{(r\varphi)} \\ \varepsilon_{\gamma\varphi} & \varepsilon_{(\theta\theta)} & \varepsilon_{(\theta\varphi)} \\ \varepsilon_{\gamma\theta} & \varepsilon_{\gamma\varphi} & \varepsilon_{(\varphi\varphi)} \end{bmatrix} \end{aligned} \quad (B5) $$

with $\varepsilon_{(xx)} = \frac{\alpha_{(xx)}}{E}$ and $E_{\gamma x} = \frac{\gamma_x}{E}$. By calculating this matrix (see Table 7), we notice that for the antisymmetric part $\gamma$, the predominant term is $\gamma_\varphi$, which impacts the poloidal component of the magnetic field. Only for M07R5m are the three components of the same order of magnitude. In the three other cases shown, $\gamma_r$ and $\gamma_\theta$ have roughly the same order of magnitude and are smaller by a factor 2 to 3 compared to $\gamma_\varphi$. By looking at the symmetric part $\alpha_S$, we see the same trend. The predominant term is $\alpha_{(rr)}$ with $\alpha_{(r\theta)}$ and $\alpha_{(\theta\theta)}$ close second. They all act on the poloidal component of the magnetic field. The smallest term is in most cases $\alpha_{(\varphi\varphi)}$ which is at least five times smaller than the predominant term except once more in case M07R5m where it is of the same order of magnitude. The sum of all $\alpha$ terms varies between 51% in case M07R5m up to 73% in case M09R3m. Hence, the $\gamma$ terms (the antisymmetric

<table><caption>**Table 7**

$\alpha - \Omega$ Effects from SVD Decomposition</caption><thead><tr><th></th><th>α tensor</th><th>Ω/α<sub>ϕ</sub></th><th>α<sub>P</sub>/α<sub>ϕ</sub></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">M07R5m</td><td>0.120</td><td>0.092</td><td>0.073</td><td rowspan="3">19.7</td><td rowspan="3">12.4</td></tr><tr><td>0.155</td><td>0.063</td><td>0.061</td></tr><tr><td>0.220</td><td>0.119</td><td>0.097</td></tr><tr><td rowspan="3">M09R3m</td><td>0.246</td><td>0.194</td><td>0.088</td><td rowspan="3">7.0</td><td rowspan="3">1.59</td></tr><tr><td>0.166</td><td>0.125</td><td>0.056</td></tr><tr><td>0.042</td><td>0.053</td><td>0.030</td></tr><tr><td rowspan="3">M11R3m</td><td>0.174</td><td>0.157</td><td>0.087</td><td rowspan="3">5.53</td><td rowspan="3">3.18</td></tr><tr><td>0.162</td><td>0.135</td><td>0.054</td></tr><tr><td>0.075</td><td>0.109</td><td>0.047</td></tr><tr><td rowspan="3">M09R1m</td><td>0.209</td><td>0.120</td><td>0.112</td><td rowspan="3">1.81</td><td rowspan="3">4.31</td></tr><tr><td>0.157</td><td>0.110</td><td>0.089</td></tr><tr><td>0.067</td><td>0.099</td><td>0.037</td></tr></tbody></table>

**Note.** Results of the mean-field SVD dynamo analysis for four representative models (M07R5m, M09R1m, M09R3m, and M11R3m) ordered from top to bottom in increasing Rossby number values. The first column represents the $\alpha$ tensor with its symmetric: $\alpha_S$ and antisymmetric: $\gamma$ (italic) portions (see Equation (B2)). The middle column gives the relative importance of the $\Omega$ effect to the $\alpha$ effect for the regeneration of the toroidal field. The last column quantifies the ratio of the $\alpha$ effect used for the regeneration of the poloidal magnetic field to the one used for the regeneration of the toroidal field.

part of the alpha tensor) account for 49% in case M07R5m down to 27% in case M09R3m.

In order to better quantify this relative influence we can compute the $\alpha_P/\alpha_\varphi$ ratio:

$$ \frac{\alpha_P}{\alpha_\varphi} = \frac{3}{2(r_{\text{top}}^3 - r_{\text{bcz}}^3)} \times \iint dr d\theta r^2 \sin \theta \left| \frac{\langle \mathbf{B}_P \rangle \cdot \nabla \times \langle \mathbf{E}' \rangle}{\langle \mathbf{B}_\varphi \hat{\varphi} \cdot \nabla \times \langle \mathbf{E}' \rangle \rangle} \right| \quad (B6) $$

Looking at Table 7 where we report the value of this ratio for all four representative models, we note the predominance of the poloidal field regeneration over the toroidal field regeneration for all models as the ratio $\alpha_P/\alpha_\varphi$ is always above 1. This ratio varies from 1.59 in M09R3m up to 12.4 in case M07R5m.

Turning now to the regeneration of the toroidal field, we know from mean-field dynamo theory that it can be due to either the $\alpha$ effect coming from the fluctuating EMF $\mathcal{E}'$, or from the $\Omega$ effect that acts on the poloidal field through DR. In all our models, we note that the regeneration of $\langle \mathbf{B}_\varphi \rangle$ by the $\alpha$ effect is small, compared to the one of $\mathbf{B}_{\text{pol}}$. Therefore, we now want to measure the relative influence of the $\Omega$ effect to that of the $\alpha$ effect because the toroidal magnetic field can be regenerated through both effects:

$$ \frac{\Omega}{\alpha_\varphi} = \frac{3}{2(r_{\text{top}}^3 - r_{\text{bcz}}^3)} \times \iint dr d\theta r^2 \sin \theta \left| \frac{r \sin \theta \langle \mathbf{B}_\varphi \rangle \langle \mathbf{B}_P \rangle \cdot \nabla \langle \Omega \rangle}{\langle \mathbf{B}_\varphi \rangle \hat{\varphi} \cdot \nabla \times \langle \mathbf{E}' \rangle} \right| \quad (B7) $$

We note that in all models the $\Omega$ effect is much stronger than the $\alpha$ effect in generating the toroidal magnetic field (the ratio $\Omega/\alpha_\varphi$ is greater than 5), except for case M09R1m for which it is closer to 1. This confirms that most of the dynamo models considered in this study can be classified as $\alpha - \Omega$ dynamos rather than $\alpha^2 - \Omega$. Statistically steady simulations such as
M09R1m on the contrary are closer to be classified as $\alpha^2 - \Omega$. Of course, this mean-field dynamo classification is mostly useful for short magnetic cycle period cases (illustrated in the table with case M07R5m) as they also follow the P-Y rule (see Section 5). For long magnetic cycle period cases such as M09R3m and M11R3m, this is less significant, as we observe a complex nonlinear feedback that leads to a different type of cyclic dynamo. Further, we have shown in Section 6 and Figure 21 that these dynamo mechanisms are highly variable in time and can sometimes be quenched while at other times they become dominant. Hence, a mean-field classification on such solutions could vary depending on the dynamo phase considered.

## Appendix C
Kinetic Helicity in Solar and Antisolar Cases

In Figure 24 we display several realizations of the horizontally averaged radial profile of the kinetic helicity $H_k = \mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\omega}$ in our set of convective dynamo models. These profiles have been averaged over the northern hemisphere only.

On the left panel we display the kinetic helicity profiles for the M05m series. We first note that the kinetic helicity is negative in most of the domain and changes sign at the bottom of the convective envelope and is close to zero in the deep radiative interior below. This sign reversal of $H_k$ is understood by the change of sign of the vorticity field in the downward plumes. As they splash onto the top of the radiative zone (whose realistic stiffness we recall is directly taken from 1D stellar structure model, see Section 2), they diverge and this yields a change of sign of the local kinetic helicity (see Miesch et al. 2000 for a detailed explanation). Next, we can study how dynamo-generated magnetic field influences the kinetic helicity content of the convective shell. We do so by comparing the M05 dynamo cases to their hydrodynamic counterpart published in Brun et al. (2017) (dashed versus solid lines). We mostly find that magnetic fields tend to reduce the kinetic helicity content. In some rare cases we find it has little or no influence. In cyclic dynamo cases such as M05R3m we do not see a large influence of the cycle phase on the kinetic helicity content. This confirms that unless magnetic feedbacks are strong on the velocity and vorticity field (via the opposing/drag effect of Maxwell stresses in the converging and cyclonic

intersection of downflow lanes), this quantity is not modified much. In the middle panel, we show how the kinetic helicity evolves with a decreasing Rossby number. We illustrate this by plotting the radial kinetic helicity profiles of the M09m series (other mass bins display similar behavior). We see that as we increase the rotation rate from M09Sm to M09R1m and M09R3m, the peak amplitude near the surface becomes more and more negative (more cyclonic in the northern hemisphere, i.e., more right-handed). This seems to stop for case M09R5m. We believe this is due to the strong quenching of the DR and convection state due to the stronger feedback of Maxwell stresses in that case.

Finally, one important question, relevant to $\alpha - \Omega$ dynamo concepts, is how the kinetic helicity behaves in a high Rossby number regime, when the DR harbors an antisolar rotation profile. Indeed, we already know that in these cases, the gradients of $\Omega$ have a reversed sign. We also know that there is a relationship between the dynamo $\alpha$ effect and kinetic helicity. In the mean-field dynamo approach $\alpha = -\frac{\tau}{3}\mathbf{v} \cdot (\nabla \times \mathbf{v})$. Hence, knowing if the $\alpha$ effect would change sign or not, can yield interesting information on the dynamo properties (e.g., is there or not a breaking of symmetry). On the right panel of Figure 24, we display the kinetic helicity radial profiles for the slow-rotating cases, those with a high (greater than 1) Rossby number. Across the four mass bins, we see a clear increase in the amplitude of the kinetic helicity in an absolute sense (it becomes more negative near the surface of each model). This is linked to the fact that the velocity amplitude increases by more than one order of magnitude from the M05 to M11 series due to the increased stellar luminosity of the more massive cases. Moreover, even though these four cases (M05Sm, M07Sm, M09Sm, and M11R1m) have antisolar DR (see Figure 5) their kinetic helicity profile is similar to the solar-like cases (negative in the upper layers and positive at the base of the convective zone) as discussed in the two previous panels. This can be understood by the fact that all models still rotate in the same direction when considering their rotating frame. This means that the mean-field $\alpha$ effect is not expected to change sign when the DR ($\Omega$ effect) does. This conservation of the kinetic helicity sign when changing the Rossby number from greater to lower than 1 is confirmed when displaying the radial vorticity near the surface in two cases, M09S and M09R3 (not shown). The vortical nature of the

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>**Figure 24.** Radial kinetic helicity profiles in various models averaged over the northern hemisphere only. Left panel: comparing kinetic helicity for the M05 cases for both the hydrodynamic progenitors and the MHD dynamo runs. Middle panel: for decreasing Rossby number for M09 series. Right panel: for the $R_o > 1$ models spanning the four mass bins.</figcaption></figure>
interstices of the downflow lanes (as illustrated with the enstrophy field in Figure 4) is not modified between the two models even though they possess the opposite profile to the DR. We note that there is some debate in the community whether to include or not a correction from the current helicity such that $\alpha_m = -\frac{\tau}{3}(\mathbf{v} \cdot (\nabla \times \mathbf{v})) - \frac{1}{c^\rho} \mathbf{J} \cdot \mathbf{B}$ (see Pouquet et al. 1976; Brandenburg & Subramanian 2005). So, it could be the case where the kinetic helicity does not change sign, but that a correction from the current helicity may. We have assessed this point, and we find that the profile of the current helicity is less coherent as a function of depth and does not seem to modify the conclusion of our analysis.

## ORCID iDs

Allan Sacha Brun https://orcid.org/0000-0002-1729-8267

Antoine Strugarek https://orcid.org/0000-0002-9630-6463

Quentin Noraz https://orcid.org/0000-0002-7422-1127

Barbara Perri https://orcid.org/0000-0002-2137-2896

Jacobo Varela https://orcid.org/0000-0002-6114-0539

Kyle Augustson https://orcid.org/0000-0003-4714-1743

Paul Charbonneau https://orcid.org/0000-0003-1618-3924

Juri Toomre https://orcid.org/0000-0002-3125-4463

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# CHAPITRE 3

## CRITÈRE OBSERVATIONNEL POUR L'IDENTIFICATION DE CANDIDATS À LA ROTATION ANTI-SOLAIRE

### Sommaire

<table><tr><td>3.1</td><td>État des lieux sur l'observation d'étoiles en rotation différentielle anti-solaire</td><td>126</td></tr><tr><td>3.2</td><td>Formule analytique du nombre de Rossby fluide</td><td>127</td></tr><tr><td>3.2.1</td><td>Développement en fonction de quantités physiques observables</td><td>127</td></tr><tr><td>3.2.2</td><td>Prise en compte de la structure interne des étoiles</td><td>129</td></tr><tr><td>3.2.3</td><td>Dépendance à la métallicité</td><td>132</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Données du champ Kepler utilisées</td><td>134</td></tr><tr><td>3.3.1</td><td>Catalogue de rotation</td><td>134</td></tr><tr><td>3.3.2</td><td>Températures effectives</td><td>134</td></tr><tr><td>3.3.3</td><td>Indices de métallicité</td><td>135</td></tr><tr><td>3.3.4</td><td>Préparation des données</td><td>135</td></tr><tr><td>3.4</td><td>Sélection des cibles aux nombres de Rossby élevés</td><td>138</td></tr><tr><td>3.5</td><td>Vérification visuelle des cibles ayant passé le seuil en Rossby</td><td>139</td></tr><tr><td>3.6</td><td>Candidats les plus prometteurs à la détection de rotation différentielle anti-solaire et perspectives</td><td>141</td></tr><tr><td>3.7</td><td>Discussion et perspectives</td><td>143</td></tr><tr><td>3.8</td><td>Article publié : Hunting for anti-solar differentially rotating stars using the Rossby number</td><td>144</td></tr></table>

Les simulations numériques ont montré qu'un changement de taux de rotation global entraine des changements dans les transferts de moment cinétique internes de l'étoile. Cela a pour conséquence directe de modifier les écoulements à grande échelle au sein de l'étoile, et en particulier le profil de rotation différentiel (voir Chapitre 2). Plus précisément, les modèles à fort nombre de Rossby montrent l'émergence de profils dits *anti-solaire*, où l'écoulement équatorial est rétrograde, à l'inverse du cas solaire (voir Section 2.1.2). Ce régime pourrait être donc atteint lorsque l'étoile a assez décéléré, potentiellement en fin de séquence principale pour les étoiles de type solaire. On se demande donc si le Soleil pourrait bifurquer vers un profil anti-solaire avant la fin de sa séquence principale, et plus généralement si cette transition rotationnelle serait à l'origine du gyrochonologie-break observé par van Saders et al. (2016) (voir Metcalfe & van Saders (2017) pour une discussion détaillée). Les conséquences potentiellement apportées par une transition rotationnelle vers le profil anti-solaire sont en effet encore mal connues, en particulier car ce régime n'a pour l'instant pas été détecté de manière incontestable dans des étoiles de type solaire (F à K) sur la séquence principale.

Ce chapitre présente dans ce contexte un résumé de l'étude Noraz et al. (2022b), visant à pointer de bons candidats observationnels pour la détection de rotation anti-solaire. Pour cela, nous développerons dans un premier temps une formule analytique à partir d'arguments théoriques et de modèles numériques sur l'état de rotation de l'enveloppe convective de l'étoile. Celle-ci nous permettra de déterminer le nombre de Rossby fluide d'une étoile à partir de quantités observationnelles, en tenant compte de sa structure et de sa composition, ce qui, comme nous l'avons vu au chapitre précédent, est un bon indicateur du profil de rotation différentielle. Par la suite, nous appliquerons cette formule aux données du champ Kepler pour les étoiles de type solaire, afin de
faire ressortir les cibles en séquence principale ayant les nombres Rossby les plus élevés, et étant donc les plus susceptibles de développer un profil de rotation anti-solaire. Enfin, nous regarderons spécifiquement chacune de ces cibles, afin de trier et présenter les cibles qui, selon nous, sont les plus prometteuses pour la détection de rotation différentielle anti-solaire.

## 3.1 État des lieux sur l'observation d'étoiles en rotation différentielle anti-solaire

Premièrement, nous avons pu voir en introduction du Chapitre 2 qu'une détection claire de rotation différentielle pour d'autres étoiles n'est pas aussi directe que sur le Soleil. En effet, la distance les séparant de nous empêche pour l'instant de les résoudre spatialement. Il faut donc utiliser des techniques d'observation indirectes, afin de pouvoir quantifier le contraste de surface $|ΔΩ|$ (Donahue et al., 1996), mais aussi le signe de ce dernier, précisant ainsi le type de profil au sein de ces étoiles (voir Figure 2.7). Sur ce point, de récentes reconstructions ont pu commencer à détecter clairement des profils de types solaires pour des étoiles de la séquence principale (Benomar et al., 2018).

En parallèle, les profils de rotation différentielle anti-solaire sont observés depuis des décennies dans les simulations numériques d'enveloppes convectives stellaires (Gilman 1977, Brun & Browning 2017 et voir Section 2.1.2). Afin de vérifier observationnellement l'existence de ces profils, différentes méthodes ont été utilisées : la spectroscopique, la photométrie et l'astérosismologie (Reinhold & Arlt, 2015; Benomar et al., 2018; Reiners, 2007).

La spectroscopie a tout d'abord permis de confirmer la présence de profils anti-solaires sur des stades évolutifs avancés. L'utilisation d'imagerie Doppler a ainsi permis de détecter ces profils dans des sous-géantes (Harutyunyan et al., 2016) et géantes (voir par exemple Strassmeier et al. 2003 ou (Kővári et al., 2017)). Pour les étoiles de la séquence principale, Reiners (2007) a étudié l'élargissement rotationnel de raies spectrales (Gray 1977, Reiners & Schmitt 2002a) pour des étoiles F et souligne la présence de signatures observationnelles pouvant provenir de profils de rotations anti-solaires. Cependant, ce problème est dégénéré puisque ces signatures sont aussi explicables par la présence probable de tâches polaires froides sans considération de DR (Reiners & Schmitt, 2002b), empêchant de conclure sur la présence ou non d'un profil anti-solaire pour ces étoiles.

En utilisant la photométrie, Reinhold & Arlt (2015) présentent une possibilité de régime anti-solaire pour 13 cibles Kepler. Il est en effet possible de distinguer la signature de plusieurs tâches stellaires à la surface de certaines étoiles (Lanza et al., 2014; Netto & Valio, 2020). En supposant une inclinaison de son axe de rotation par rapport au champ d'observation, l'étude des harmoniques du signal peut alors amener à une estimation de la latitude des tâches considérées, et donc potentiellement à une quantification du gradient de vitesse $∇Ω$ ainsi que de son signe entre ces latitudes. Le panneau gauche de la Figure 3.1 illustre en ce sens des exemples de signaux modulés par la présence de deux tâches, pour une rotation solaire et anti-solaire. On observe qu'une discrimination entre les deux régimes est en effet possible à partir d'une analyse précise des différences visibles autour des minimums d'amplitude de l'enveloppe du signal (voir marqueurs rouges). Néanmoins, les auteurs précisent qu'une distinction claire du signe de la DR par cette technique reste incertaine sans techniques indépendantes (voir prochain paragraphe) pour confirmer ou infirmer les cibles prometteuses proposées comme anti-solaires. En effet, Santos et al. (2017) ont montré que ce problème peut être dégénéré, plusieurs combinaisons de latitudes et nombres de taches pouvant produire des signaux similaires.

Une autre technique possible et prometteuse est l'astérosismologie. Par analogie à la sismologie terrestre qui permet de sonder l'intérieur de notre planète, cette technique permet de sonder la structure des intérieurs stellaires. Elle a notamment été utilisée par Benomar et al. (2018) pour reconstruire les profils latitudinaux de rotation de 40 étoiles de type solaire sur la séquence principale (voir Section 2.1.1). Leurs résultats, illustrés
<figure><img src="image_91.png" /></figure>

FIGURE 3.1 – Gauche : Simulations de courbes de lumière modulées par la présence de deux taches à la surface d'une étoile possédant un profil de rotation solaire (en haut) et anti-solaire (en bas). Nous indiquons en rouge des différences visibles sur cet exemple. Adapté de : Reinhold & Arlt (2015). Droite : Coefficient de rotation différentielle latitudinal $a_3$ pour les étoiles étudiées dans Benomar et al. (2018). Les mesures bleues (respect. rouges) témoignent d'une rotation différentielle solaire (respect. anti-solaire). Adapté de Benomar et al. (2018)

sur le panneau de droite de la Figure 3.1, ont ainsi pu mettre en évidence la présence possible de profils de rotations anti-solaires (points rouges) dans 10 étoiles du champ Kepler. Cependant, les barres d'erreur du coefficient de rotation différentielle latitudinal $a_3$ correspondant à ces cibles sont trop grandes pour affirmer une mesure claire de valeur négative, et donc une détection robuste de profil anti-solaire.

Ainsi, une détection claire d'un régime anti-solaire reste pour l'instant manquante dans le cas des étoiles de type solaire sur la séquence principale. L'étude du chapitre précédent nous indique cependant que ce régime de rotation est attendu pour de forts nombres de Rossby (typiquement $Ro_f > 1$)<fnref n="1" />, un régime de rotations lentes pour lequel les contraintes observationnelles se font actuellement rares sur la séquence principale. En ce sens, il est important de caractériser de nouvelles cibles observationnelles dans ce régime, et nous allons pour cela commencer par développer en Section 3.2 un moyen de déduire observationnellement le nombre de Rossby fluide $Ro_f$. Nous nous intéresserons ensuite aux cibles présentant les valeurs les plus élevées afin de proposer des candidats prometteurs pour une DR anti-solaire.

## 3.2 Formule analytique du nombre de Rossby fluide

Nous proposons ici de continuer le développement analytique, initié en Section 2.2.3.2, afin de déterminer le Rossby fluide d'une étoile. Dans un but de perspectives observationnelles, nous proposons tout d'abord d'exprimer $Ro_f$ en fonction de quantités observables. Dans un second temps, nous prendrons en compte l'aspect structurel des étoiles de types solaires, pour lesquelles l'épaisseur de leur enveloppe convective change en fonction de leur masse. Enfin, nous étendrons ce développement à d'autres métallicités [Fe/H] que solaire, susceptibles d'impacter aussi la dynamique stellaire interne.

### 3.2.1 Développement en fonction de quantités physiques observables

Dans un contexte observationnel, nous commençons par considérer ici l'utilisation de la température effective $T_{eff}$ au lieu de la masse $M_*$. En effet, la masse $M_*$ d'une étoile sans compagnon se fait par l'intermédiaire d'isochrones dans le diagramme HR, via des modèles d'évolution stellaire (Lebreton & Goupil, 2014). Cette

<footnote n="1">1. Nous dirigeons le lecteur à la Section 1.2.2.4 pour la définition de ce dernier.</footnote>
dépendance aux modèles considérés augmente ainsi significativement les incertitudes que peut avoir $M_*$ (Tayar et al., 2020). Ce n'est pas le cas de la $T_{\text{eff}}$, dont la déduction est directe à partir du spectre stellaire. La spectroscopie haute résolution actuelle nous permet donc de déduire $T_{\text{eff}}$ de manière très précise (voir par exemple la DR17 d'APOGEE : Abdurro'uf et al. 2022 ou la DR3 de GAIA : Gaia Collaboration et al. (2021). C'est donc cette grandeur qu'on préférera utiliser dans un contexte observationnel, et pour ce faire, nous commençons par considérer le lient entre $T_{\text{eff}}$ et $L_*$ donné par la relation de corps noir

$$L_* = 4\pi R_*^2 \sigma T_{\text{eff}}^4, \qquad (3.1)$$

où $\sigma$ est la constante de Stefan-Boltzmann. Le lien avec la masse se fait alors par l'utilisation des relations d'homologie (2.20) et nous donne

$$T_{\text{eff}} \propto M_*^{\frac{m-2n}{4}}. \qquad (3.2)$$

En injectant cette relation à l'Équation (2.21), on obtient finalement

$$R_{\text{f}} \propto T_{\text{eff}}^{\frac{4}{m-2n}} \left(\frac{m-5n-p}{3}\right)^{\Omega_{*}^{-1}}. \qquad (3.3)$$

En première approche, on peut de nouveau considérer les modèles 1D utilisés pour l'initialisation de l'expérience numérique du Chapitre 2 et récapitulés en Table 2.1. On obtient alors de nouveau $m = 4.6$, $n = 1.3$, $p = -6.9$ et donc $R_{\text{f}} \propto T_{\text{eff}}^{3.4}\Omega_{*}^{-1}$.

Une fois les modèles 3D MHD convergés, on peut en extraire leurs $R_{\text{f}}$, et caractériser ce dernier par régression en fonction de $T_{\text{eff}}$ et du taux de rotation $\Omega_*$. On obtient alors

$$R_{\text{f}} = (0.94 \pm 0.1) \times \left(\frac{\Omega_{*}}{\Omega_{\odot}}\right)^{-0.9 \pm 0.05} \times \left(\frac{T_{\text{eff}}}{T_{\text{eff},\odot}}\right)^{3.2 \pm 0.4}. \qquad (3.4)$$

On retrouve de nouveau une loi d'échelle similaire aux modèles 1D, tout en pouvant déterminer cette fois la valeur solaire $R_{\text{f},\odot} = 0.94 \pm 0.1$, estimée ici en milieu de zone convective. Nous illustrons cette relation avec la Figure 3.2, afin d'avoir une première caractérisation du Rossby fluide $R_{\text{f}}$ à partir des quantités observationnelles $T_{\text{eff}}$ et $P_{\text{rot}}$. On représente ici la position des différents modèles du Chapitre 2 dans cet espace de paramètres, et on note que les modèles en rotation anti-solaire sont les 4 modèles dont le $R_{\text{f}}$ est supérieur à celui atteint en régime solaire.

Il faut cependant rappeler que ces relations ont été dérivées pour des modèles en séquence principale, avec une composition solaire et des masses variant entre 0.5 et 1.1 $M_\odot$. Or dans notre recherche de candidats anti-solaires, nous ne voulons pas nous limiter à cette composition et cet intervalle de masses, mais bien prendre en compte la majorité des étoiles de type solaires entre 0.4 et 1.3 $M_\odot$. Cette prise en compte impacte significativement la détermination de $m, n$ et $p$, comme nous le montrons en Section 2.3.3 de l'article (voir Section 3.8). Une extrapolation de ces relations à d'autres masses ou d'autres métallicités ne peut pas se faire de manière directe, à cause de la variété structurelle des étoiles de type solaire (voir Section 1.2.1). En effet, l'épaisseur de leur enveloppe convective peut fortement varier en fonction de la masse et de la composition de l'étoile, impactant alors la longueur caractéristique utilisée dans le développement analytique du nombre de Rossby. Afin d'étendre en masse le domaine de validité des formules 2.21 et 3.3, nous proposons tout d'abord dans la section suivante d'ajouter à ce développement analytique un facteur de structure. Nous verrons ensuite dans la Section 3.2.3 comment nous pouvons de plus prendre en compte l'impact de la métallicité pour la détermination observationnelle de $R_{\text{f}}$.
<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – $Ro_f/Ro_{f,\odot}$ tracé en fonction de $M_*$ et $P_{\text{rot}} = 2\pi/\Omega_*$, et déterminé à partir de l'équation 3.4. Comme pour la Figure 2.5, on représente les 15 modèles 3D qui nous ont permis d'obtenir cette relation. La place du Soleil est représentée par $\odot$ noir, correspondant ici à $Ro_{f,\odot} = 0.94 \pm 0.1$, et les modèles anti-solaires du Chapitre 2 sont représentés par des triangles.</figcaption></figure>

### 3.2.2 Prise en compte de la structure interne des étoiles

Afin de prendre en compte les changements de structure existant dans l'ensemble des étoiles de type solaire, nous remplaçons la longueur caractéristique D de l'Équation (1.23). Nous choisissons de considérer le rayon médian de la zone convective, tel que $D = R_{\text{med}} = 0.5(R_{\text{BCZ}} + R_*) = 0.5R_*(\alpha + 1)$ et où $\alpha = R_{\text{BCZ}}/R_*$ est la proportion radiale occupée par l'intérieur radiatif. En suivant un développement similaire à la Section 2.2.3.2, on obtient alors

$$L_* \propto \bar{\rho} v_{\text{conv}}^3 R_{\text{med}}^2 \propto \bar{\rho} v_{\text{conv}}^3 (1+\alpha)^2 R_*^2, \quad (3.5)$$

avec $\bar{\rho}$ la densité moyenne de l'enveloppe convective. La combinaison des Équations (1.23) et (3.5) nous donne ensuite

$$R_{of} \propto (1+\alpha)^{-5/3} \left( \frac{L_*}{\bar{\rho} R_*^5} \right)^{1/3} \Omega_*^{-1}. \quad (3.6)$$

On peut alors exprimer simplement la densité moyenne de la zone convective comme sa masse divisée par son volume, et la développer telle que

$$\bar{\rho} \sim \frac{M_{CZ}}{V_{CZ}} \propto \frac{(1-\beta)M_*}{(1-\alpha^3)R_*^3}, \quad (3.7)$$

où $\beta = M_{\text{BCZ}}/M_*$ est la masse de l'intérieur radiatif, relativement à l'étoile. En injectant cette définition à l'Équation 3.6, on obtient

$$R_{of} \propto S(\alpha, \beta) \left( \frac{L_*}{M_* R_*^2} \right)^{1/3} \Omega_*^{-1} \quad \text{avec} \quad S(\alpha, \beta) = \left( \frac{1-\alpha^3}{(1-\beta)(1+\alpha)^5} \right)^{1/3}. \quad (3.8)$$

Le terme S est alors dépendant de la structure stellaire, par l'intermédiaire de $\alpha$ et $\beta$ qui sont reliés aux proportions de la zone convective par rapport au reste de l'étoile. On notera que le second facteur est alors interprétable comme un temps caractéristique de retournement convective, qui ne tiendrait pas compte de la structure stellaire.

On exprime ensuite l'évolution de la structure dans les étoiles de type solaire par l'intermédiaire du terme de structure S. Nous proposons d'utiliser la relation $S \propto M^q$, où $q > 0$ signifie que l'épaisseur de l'enveloppe
convective diminue en augmentant la masse. Cela nous permet de retrouver une expression de $Ro_f$ en fonction de $M_*$ et $\Omega_*$, telle que

$$Ro_f \propto M_*^a \Omega_*^{-1} \quad \text{où} \quad a = \frac{m - (2n + 1)}{3} + q. \qquad (3.9)$$

L'Équation (3.2) nous permet alors de remplacer la dépendance à $M_*$ par une dépendance en $T_{\text{eff}}$, et donc

$$Ro_f \propto T_{\text{eff}}^b \Omega_*^{-1} \quad \text{où} \quad b = \frac{4}{m - 2n} \left( \frac{m - (2n + 1)}{3} + q \right). \qquad (3.10)$$

Nous disposons maintenant de deux expressions analytiques (3.9) et (3.10) pour le nombre de Rossby fluide d'une étoile de type solaire. Ces expressions sont toutes les deux basées sur $\Omega_*$, ainsi que sur $M_*$ pour la première, et $T_{\text{eff}}$ pour la deuxième.

De manière similaire aux Sections 2.2.3.2 et 3.2.1, on peut déterminer les indices $m$, $n$ et $q$ à partir de modèles 1D d'évolution stellaire. Afin que la relation dérivée soit valide sur un plus grand intervalle de masses que celui précédemment considéré ($0.5 < M_* < 1.1 M_\odot$), on se base sur la grille de modèles proposée par Amard et al. (2019) que nous abrégerons A19 par la suite. Cette grille propose des tracés évolutifs allant de la PMS à la TAMS, pour différentes périodes de rotation initiale. Les masses stellaires sont comprises entre 0.2 et 1.5 $M_\odot$, et les métallicités sont fixées pour 7 valeurs de $[Fe/H]$ allant de $-1$ à $+0.3$. Nous extrayons pour chaque modèle la valeur moyenne de $L_*$, $R_*$ et $S(\alpha, \beta)$ pendant la séquence principale et effectuons des ajustements par régression en fonction de $M_*$ et $[Fe/H]$, illustrées en Figure 3.3.

Premièrement, nous confirmons qu'une loi de puissance est une bonne approximation pour les relations d'homo-mologie $L_* \propto M_*^m$ (panneaux du haut) et $R_* \propto M_*^n$ (panneaux du milieu). Cette même approximation pour le terme structurel $S \propto M_*^q$ perd cependant de sa validité si nous considérons une gamme de masses trop étendue (en particulier aux fortes masses). En considérant l'intervalle $0.4 \le M_* \le 1.3 M_\odot$, on obtient alors les indices $m = 4.66 \pm 0.06$, $n = 1.16 \pm 0.01$, $q = 1.48 \pm 0.07$. En appliquant ces exposants aux Équations (3.9) et (3.10), on obtient

$$Ro_f \propto \frac{M_*^{1.93 \pm 0.07}}{\Omega_*} \propto \frac{T_{\text{eff}}^{3.29 \pm 0.12}}{\Omega_*}. \qquad (3.11)$$

On retrouve alors des lois d'échelle cohérentes avec les $Ro_f$ développés par les simulations 3D MHD du Chapitre 2 en équations (2.23) et (3.4). Nous avons donc maintenant une formule analytique nous permettant d'estimer le nombre de Rossby fluide $Ro_f$ à partir de quantités observationnelles, tout en prenant en compte des aspects structurels. Cependant, nous avons vu en Section 1.2.2.4 que différentes définitions du nombre de Rossby peuvent être utilisées. De plus, le rayon auquel le nombre de Rossby est estimé importe, puisque les vitesses de convection, et donc les temps de retournement convectif, vont en dépendre. En ce sens, nous proposons de normaliser notre formule au Soleil, afin d'éviter une dépendance à un choix de définition et donc d'assurer l'universalité de la formule. Pour cela, nous considérerons $T_{\text{eff},\odot} = 5772$ K (Prša et al., 2016) et $P_{\text{rot},\odot} = 27.3$ jours, tels que

$$\frac{Ro_f}{Ro_{f,\odot}} = \left(\frac{P_{\text{rot}}}{P_{\text{rot},\odot}}\right) \times \left(\frac{T_{\text{eff}}}{T_{\text{eff},\odot}}\right)^{3.29} \approx 1.55 \times 10^{-14} \times P_{\text{rot}} \times T_{\text{eff}}^{3.29}, \qquad (3.12)$$

avec $P_{\text{rot}}$ en jours et $T_{\text{eff}}$ en Kelvin. Cette formule permet d'obtenir une première estimation du Rossby fluide d'une étoile sans connaissance préalable de sa composition. Cependant, la composition d'une étoile peut influencer sa structure et donc biaiser l'estimation de la formule 3.12. Dans la section suivante, nous étendons donc le développement analytique à la prise en compte de la métallicité.
<figure><img src="image_93.png" /></figure>

FIGURE 3.3 – Régressions linéaires déterminant les relations d'homologie (2.20) et le terme de structure défini par l'équation 3.8. Chaque point représente un modèle de la grille StarEvol de A19, à partir duquel différentes valeurs ont été déduites moyennées sur la MS (indice “SE”) : la luminosité, le rayon et le facteur de structure, respectivement de haut en bas. La première colonne illustre ces différentes valeurs en fonction de la masse et la deuxième colonne les montre en fonction de l'indice de métallicité rehaussé ([Fe/H]+2). La troisième colonne illustre la qualité des régressions. On y voit les différentes valeurs originales ($L_*, R_*$ et $S(\alpha, \beta)$), en fonction de celles estimées par les régressions (indice “fit”). Ces régressions sont illustrées sur la première et la deuxième colonne, en violet si elles sont multi-paramétriques (en fonction de $M_*$ et [Fe/H]), ou en cyan s'il s'agit uniquement d'une régression sur $M_*$. Les points bleus représentent les modèles sur lesquels nous effectuons la régression multi-paramétrique, et le groupe orange représente les modèles sur lesquels nous l'effectuons seulement sur $M_*$. Nous divisons les valeurs de ce dernier groupe par 10 pour des raisons d'illustration.
### 3.2.3 Dépendance à la métallicité

Comme nous le verrons au chapitre 6, la composition d'une étoile peut impacter significativement sa structure. Nous avons vu que différentes structures peuvent amener à différents régimes de dynamique interne (voir Chapitre 2), qui sont caractérisés par le nombre de Rossby (défini en Section 1.2.2.4). Afin que $Ro_f$ développé dans cette section soit valide pour différentes compositions, nous intégrons une dépendance à la métallicité Z. Nous dirigeons le lecteur vers la Section 1.1.2 pour l'introduction de Z. Plus particulièrement, nous utiliserons ici l'indice de métallicité $[Fe/H]$, qui en est la quantité observable.

Premièrement, nous introduisons une dépendance explicite aux relations d'homologie (2.20), telle que

$$L_* \propto M_*^{m_1} ([Fe/H] + 2)^{m_2} \quad \text{and} \quad R_* \propto M_*^{n_1} ([Fe/H] + 2)^{n_2}, \qquad (3.13)$$

où $m_2$ et $n_2$ restent pour l'instant à déterminer. En effet, ces relations dépendent à priori de la composition du plasma (voir par exemple la section 20.2 de Kippenhahn et al. 2012). L'addition de 2 à $[Fe/H]$ assure que l'argument des exposants $m_2$ et $n_2$ reste positif, même pour des valeurs négatives de $[Fe/H]$. Nous choisissons ici la valeur 2, car les modèles d'évolution stellaire que nous avons à disposition considèrent des $[Fe/H]$ descendant à -1. Cette addition est un choix arbitraire qui peut donc être ajusté en fonction des modèles qui sont utilisés pour la détermination de $m_2$ et $n_2$.

Ensuite, on sait que la métallicité impacte la structure de l'étoile. Une plus grande abondance d'éléments lourds augmente l'opacité dans l'étoile, rendant le transfert radiatif moins efficace, ce qui entraîne une augmentation du gradient de température (Maeder, 2009). Cela mène donc à une enveloppe convective plus profonde et une étoile plus froide (Karoff et al. 2018, A19), des vitesses convectives plus lentes au niveau de la BCZ, impactant donc le nombre de Rossby. En ce sens, nous ajoutons à la paramétrisation du facteur de structure $S(\alpha, \beta)$ une dépendance à $[Fe/H]$, telle que

$$S(\alpha, \beta) \propto M_*^{q_1} ([Fe/H] + 2)^{q_2}. \qquad (3.14)$$

Un développement similaire à la section précédente nous donne donc

$$Ro_f \propto M_*^{a_1} ([Fe/H] + 2)^{a_2} \Omega_*^{-1} \quad \text{avec} \quad \left\{ \begin{array}{l} a_1 = q_1 + \frac{m_1 - (2n_1 + 1)}{3} a_2 = q_2 + \frac{m_2 - 2n_2}{3} \end{array} \right\}. \qquad (3.15)$$

En injectant l'équation 3.13 dans (3.1), et en reportant le résultat dans (3.15), on obtient finalement

$$M_* \propto T_{\text{eff}}^{4/(m_1-2n_1)} ([Fe/H] + 2)^{(2n_2-m_2)/(m_1-2n_1)}, \qquad (3.16)$$

$$Ro_f \propto T_{\text{eff}}^{b_1} ([Fe/H] + 2)^{b_2} \Omega_*^{-1} \quad \text{avec} \quad \left\{ \begin{array}{l} b_1 = \frac{4a_1}{m_1 - 2n_1} b_2 = a_1 \frac{2n_2 - m_2}{m_1 - 2n_1} + a_2 \end{array} \right\}. \qquad (3.17)$$

On peut ensuite de nouveau utiliser les modèles d'évolution stellaire de A19 afin de trouver les différentes puis-
sances $m_1, n_1, q_1, m_2, n_2$ et $q_2$. De manière similaire à la section précédente, on effectue des régressions linéaires
et les illustrons de nouveau en Figure 3.3. Néanmoins, les régressions sont cette fois-ci multi-paramétriques :
sur $M_*$ mais aussi l'indice de métallicité $[Fe/H]$ (point bleus et lignes violettes). Concernant la dépendance
en $M_*$, on obtient des valeurs similaires à la section précédente pour $m_1 = 4.66 \pm 0.03$, $n_1 = 1.16 \pm 0.01$ et
$p_1 = 1.48 \pm 0.05$. Cependant, on note que les incertitudes ont été réduites pour $m_1$ et $q_1$, ce qui signifie que les
relations $L_* \propto M_*^m$ et $S(\alpha, \beta)$ sont bien améliorées par l'ajout d'une dépendance à $[Fe/H]$. Cela se voit aussi
sur la colonne de droite, où la dispersion des points bleus est réduite par l'ajout de cette dépendance. On note
que la qualité de la régression pour la relation $R_* \propto M_*^n$ n'est que peu impactée par l'ajout de cette dépendance
métallique. En effet, elle était déjà précise en section précédente ($n = 1.16 \pm 0.01$). Ceci témoigne de la faible
dépendance du rayon à la métallicité dans l'intervalle de masses considéré ($0.4 \le M_* \le 1.3 M_\odot$), comme on
peut le voir sur la colonne centrale pour $n_2$ qui est quasi-nul. Les régressions de la dépendance métallique nous
donne en effet $m_2 = -1.00 \pm 0.04$, $n_2 = 0.01 \pm 0.01$, $q_2 = -0.81 \pm 0.08$, où on voit directement que $R_*$ n'est pas dépendant de la métallicité sur l'intervalle de masses considéré.

Ces puissances nous permettent alors de dériver

$$R_{of} \propto \frac{M_*^{1.93 \pm 0.05} ([Fe/H] + 2)^{-1.15 \pm 0.08}}{\Omega_*} \propto \frac{T_{eff}^{3.29 \pm 0.09} ([Fe/H] + 2)^{-0.31 \pm 0.09}}{\Omega_*}, \quad (3.18)$$

et d'avoir une première quantification des effets métalliques. Tout d'abord, nous constatons que la luminosité stellaire $L_*$ est inversement proportionnelle à l'indice de métallicité $[Fe/H]$. En effet, un indice $[Fe/H]$ plus élevé entraine une augmentation de l'opacité, impliquant un gradient de température plus fort, et une étoile plus froide (Kippenhahn et al., 2012). Nous remarquons également que le facteur de structure $S(\alpha, \beta)$ diminue avec $[Fe/H]$, ce qui est représentatif de l'augmentation en proportion de la zone convective, alors plus profonde.

Ensuite, nous constatons que le nombre de Rossby est inversement proportionnel à l'indice de métallicité $[Fe/H]$ lorsqu'on fixe la masse $M_*$, ce qui est cohérent avec les observations de See et al. (2021). En effet, une plus grande métallicité implique une CZ plus profonde, ce qui conduit à des flux convectifs plus faibles par augmentation de $\rho_{BCZ}$. La luminosité $L_*$ résultant en surface est donc plus petite (on a vu avec $n_2$ que $R_*$ varie très peu en fonction de $[Fe/H]$ pour $M_*$ fixée) ce qui conduit alors à des nombres de Rossby plus petits.

Enfin, on remarque que $R_{of}$ est plus sensible à la métallicité, si on l'exprime en fonction de la masse stellaire $M_*$, plutôt que de la température effective $T_{eff}$. En effet, nous pouvons le comprendre à travers les pistes d'évolution de A19, ainsi qu'à la Figure 6.11 du Chapitre 6 : Si nous fixons $T_{eff}$ et augmentons $[Fe/H]$ de -1 à +0.3, il n'y a pas de changement significatif de structure ou de puissance convective, et donc pas de changement fort pour la valeur du nombre de Rossby. Cependant, si nous fixons maintenant $M_*$, et appliquons le même changement sûr $[Fe/H]$, la luminosité décroît alors significativement. Cela signifie que la puissance convective a diminué, conduisant à une chute du nombre de Rossby d'un ordre de grandeur. Le nombre de Rossby est donc plus sensible à l'effet de la métallicité, lorsqu'il est exprimé avec $M_*$. Ces effets de métallicité seront plus précisément étudiés au Chapitre 6 de ce manuscrit, qui considère l'effet de Z sur des dynamos stellaires.

La formule tient maintenant compte des aspects structurels et de la composition chimique des étoiles de type solaire, et a été calibrée à l'aide de tracés évolutifs stellaires (A19) et de simulations 3D. Pour des raisons similaires à la section précédente, nous normalisons la formule aux constantes solaires $T_{eff,\odot} = 5772$ K et $P_{rot,\odot} = 27.3$ jours, afin d'obtenir

$$\begin{align}
\frac{R_{of}}{R_{of,\odot}} &= \left(\frac{P_{rot}}{P_{rot,\odot}}\right) \times \left(\frac{T_{eff}}{T_{eff,\odot}}\right)^{3.29} \times \left(\frac{[Fe/H] + 2}{2}\right)^{-0.31}, \nonumber \\
&\approx 1.55 \times 10^{-14} \times P_{rot} \times T_{eff}^{3.29} \times \left(\frac{[Fe/H] + 2}{2}\right)^{-0.31}, \tag{3.19}
\end{align}$$

avec $P_{rot}$ en jours et $T_{eff}$ en Kelvins. Cette formule peut être maintenant appliquée à un catalogue d'étoiles incluant les températures effectives, taux de rotations, et métallicités. Pour cela, nous allons donc utiliser le nouveau catalogue de rotation du champ Kepler Santos et al. (2019), (2021) auquel nous nous référerons en tant que S19-21 par la suite. Nous utiliserons aussi les indices de métallicité $[Fe/H]$ associés à chaque cible considérée, tirés de différentes bases de données précisées en Section 3.3.3.
## 3.3 Données du champ Kepler utilisées

Afin de quantifier les nombres de Rossby fluides de cibles (étoiles) observationnelles par application de l'Équation (3.19), il nous faut donc leur période de rotation $P_{\text{rot}}$, température effective $T_{\text{eff}}$ et indice de métallicité $[Fe/H]$. Nous présenterons donc dans cette section les différentes données utilisées, en commençant par le catalogue de rotation.

### 3.3.1 Catalogue de rotation

La rotation des étoiles peut être détectée par l'intermédiaire de différentes techniques (voir Section 1.3.2), mais c'est actuellement la photométrie qui est le plus largement utilisée pour cela. Nous utiliserons ici le catalogue<fnref n="2" /> compilé par S19-21, déduisant par cette technique la rotation des étoiles du champ Kepler. Celle-ci est quantifiée à partir de la modulation de la courbe de lumière par les tâches et faculae en surface de ces étoiles. Il s'agit du plus récent catalogue de rotation de surface, contenant 55 232 étoiles de type spectraux F, G, K et M, sur la séquence principale ainsi qu'en phase de sous-géante. Ce catalogue fournit la période de rotation $P_{\text{rot}}$ ainsi que le proxy photométrique d'activité magnétique $S_{\text{ph}}$ pour ces cibles (García et al. 2010, Mathur et al. 2014), ce qui étend avec 24182 nouvelles détections le précédent catalogue de référence (McQuillan et al., 2014). Ces nouvelles détections sont particulièrement intéressantes pour la recherche du régime anti-solaire puisque l'on passe de 4513 à 7744 cibles présentant une période de rotation supérieure à 30 jours. Le catalogue S19-21 a été construit en appliquant la méthodologie décrite dans Ceillier et al. (2016), (2017), qui combine les résultats d'une fonction d'auto-corrélation avec une analyse temps-fréquence. La fiabilité des résultats est ensuite garantie par des inspections visuelles ainsi que des méthodes de Machine Learning décrites dans Breton et al. (2021).

Il est important de rappeler ici que les étoiles dont la période de rotation a été détectée et quantifiée par photométrie sont des étoiles dont la courbe de lumière est significativement modulée par la présence de taches stellaires à leur surface. Cela nous donne donc seulement accès au taux de rotation des étoiles suffisamment actives pour que la modulation par leurs taches soit détectable malgré le bruit du signal. Par exemple, il a été montré que la période de rotation du Soleil ne serait ainsi pas détectable, si ce dernier était observé dans les mêmes conditions que les étoiles de l'échantillon Kepler (Reinhold et al., 2021). Ce biais de sélection est donc à garder en tête lorsque l'on considère des $P_{\text{rot}}$ déduites par photométrie, et donc ici pour notre recherche de candidats anti-solaires.

### 3.3.2 Températures effectives

La température effective $T_{\text{eff}}$ d'une étoile peut être déduite à partir de la différence entre certaines raies spectrales (B-V par exemple), de son spectre complet, ou par l'utilisation de l'Équation (3.1) une fois que l'on connaît le rayon $R_*$ et la luminosité $L_*$. Le catalogue S19-21 propose ainsi les $T_{\text{eff}}$ correspondantes aux différents rotateurs considérés, et sont obtenues à partir du catalogue Gaia-Kepler B20 de Berger et al. (2020). Il peut cependant y avoir des différences entre ce catalogue et la DR25 de Kepler (Mathur et al., 2017) sur la $T_{\text{eff}}$ ou le $\log_{10}(g)$ d'une même étoile. Cela peut donc amener à des différences de classification (type solaire ou non) entre les deux catalogues pour une même étoile. En ce sens, le catalogue S19-21 comprend 3 sous-échantillons, nommés subsample I, II et III. Le premier (alias I) correspond aux cibles qui sont classées comme des étoiles de type solaire dans les deux catalogues DR25 et B20. Les étoiles pour lesquelles ces catalogues sont en désaccord quant à leur classification de type solaire sont rassemblées dans les deux derniers sous-échantillons (alias II et III, voir Figure 1 de Santos et al. 2021). Pour nous assurer de travailler sur des étoiles de type solaire, nous

<footnote n="2">2. Les données sont disponibles sur Shared Drive.</footnote>
considérerons seulement les étoiles du sous-échantillon I pour lesquelles une période de rotation a été reportée. Cet échantillon comporte 50 656 cibles représentées en Figure 3.6.

### 3.3.3 Indices de métallicité

Enfin, l'indice de métallicité $[Fe/H]$ est, lui aussi, déduit à partir du spectre d'une étoile. On peut alors l'obtenir en utilisant un modèle d'émissions spectrales stellaires, afin de déduire les abondances nécessaires à la reproduction des raies spectrales observées. Le catalogue S19-21 ne proposant pas les $[Fe/H]$ correspondant aux différents rotateurs considérés, nous extrayons l'indice de métallicité $[Fe/H]$ pour chaque rotateur du catalogue S19-21 à partir de différentes bases de données spectroscopiques. Nous considérons pour cela les bases de données APOGEE (DR16 : Ahumada 2020, DR17 : Abdurro'uf et al. 2022), LAMOST (Zhao et al., 2012; Cat et al., 2015; Zong et al., 2018) ainsi que la DR25 de Kepler, présentées ici par précision décroissante. Nous considérons donc les bases de données dans cet ordre de priorité pour l'obtention de la $T_{eff}$ des 50 656 cibles du subsample I.

### 3.3.4 Préparation des données

Une fois les données collectées, nous devons maintenant écarter les cas particuliers pour lesquels la valeur de $P_{rot}$ détectée pourrait ne pas être reliée à la période de rotation de l'étoile. En ce sens, nous ne considérons pas et filtrons les cibles signalées dans le catalogue S19-21 comme étant potentiellement des pulsateurs classiques ou binaires proches (CP/CB). En effet, la période caractéristique extraite des courbes de lumière de ces étoiles n'est potentiellement pas reliée à leur rotation, mais plutôt à leur pulsation dans le cas d'un CP, ou de la période de révolution du système dans le cas d'un système CB (Santos et al., 2019).

#### Traitement des cibles en PMS

Les relations d'homologie (2.20) et (3.13) étant uniquement valables durant la séquence principale (MS), nous considérerons seulement les étoiles dans cette phase. Nous devons donc filtrer les jeunes étoiles qui n'auraient pas encore atteint ce stade évolutif, c'est-à-dire celle en pré-séquence principale (PMS). Bien qu'on ne s'attende pas à avoir une majorité d'entre elles dans le champ Kepler (majorité de vieux clusters dans le champ de vue Kepler), aucun filtrage n'a été appliqué pour les enlever dans le catalogue S19-21 car il est compliqué de les différencier de jeunes étoiles qui seraient en tout début de séquence principale. Cependant, les nombres de Rossby attendus pour ces étoiles sont faibles comme elles sont encore dans des phases de rotation rapide. Pour vérifier cela, on peut s'aider de modèles numériques, et appliquons donc sans distinction l'équation (3.19) sur chaque tracé évolutif de A19. Nous trouvons alors un maximum de 0.608 pour $R_{of}/R_{of,⊙}$ sur la phase de PMS, ce qui est bien en dessous du seuil au-dessus duquel on s'attend à trouver des régimes de DR anti-solaire (au moins $R_{of}/R_{of,⊙} > 1$). Cela est aussi cohérent avec des modèles numériques 3D plus complexes où on n'observe pas de régime à fort $R_{of}$ durant la PMS (Emeriau-Viard & Brun, 2017). Par conséquent, il n'est pas nécessaire de filtrer explicitement les étoiles de la PMS, puisque ces étoiles ne seront pas considérées lorsque nous sélectionnerons les cibles à haut nombre de Rossby.

#### Filtrage des sous-géantes en fonction de la métallicité

Ensuite, les formules 3.12 et 3.19 ne s'appliqueront pas non plus aux étoiles en phase de sous-géantes pour des raisons similaires. Cependant, les $R_{of}$ atteints durant cette phase sont cette fois-ci potentiellement grands, et nous pourrions donc les considérer par erreur dans la sélection finale si elles ne sont pas filtrées. Il est néanmoins difficile de distinguer par l'observation les étoiles MS évoluées des jeunes sous-géantes. Lorsque des mesures astéro-sismiques sont disponibles, elles peuvent permettre de conclure au cas par cas le stade évolutif exact par l'étude des modes de pression. Ici, nous ne procéderons pas à de telles vérifications au cas
<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>FIGURE 3.4 – Coupure en sous-géantes pour les rotateurs intermédiaires à métallicité solaire (bleu). Il s’agit d’une régression linéaire dans l’espace des paramètres log₁₀(g) vs. Tₐff à partir des tracés évolutifs stellaires de A19. On représente ici les différentes masses allant de 0.2 à 1.5 M☉ avec des écarts de 0.1 M☉ par température croissante. Les modèles sont représentés par un rond s’ils sont arrivés à la TAMS, et par un triangle sinon. Dans ce dernier cas, le modèle est alors pris à son stade le plus avancé (15 milliards d’années) pour se rapprocher au mieux de sa future TAMS. Nous présentons en rouge le cas d’une régression faite sur les modèles ayant atteint leur TAMS (ici entre 1 et 1.5 M☉), et en bleu si on ajoute les modèles entre 0.7 et 0.9 M☉ à la regression.</figcaption></figure>

par cas vu le nombre élevé de cibles considérées, et décidons de paramétriser l'âge terminal de la séquence principale (TAMS) de manière plus globale pour différencier les étoiles plus évoluées. Nous utilisons pour cela les tracés évolutifs de A19 et en extrayons alors les paramètres stellaires à l'instant le plus évolué de la séquence principale pour chacun de ces modèles. Nous appliquons alors une régression linéaire dans l'espace des paramètres log₁₀(g) vs. Tₐff, comme illustré en Figure 3.4 pour des rotateurs intermédiaires à une métallicité solaire. Comme nous pouvons le voir, certains modèles, représentés par un triangle, n'ont pas encore atteint la TAMS après 15 milliards d'années d'évolution simulée. Nous présentons en rouge une régression linéaire effectuée seulement sur les modèles ayant atteint la TAMS. On voit que cette dernière serait bien trop restrictive si nous devions seulement prendre les cibles en-dessous de cette courbe pour Tₐff < 5800 K. Cette régression linéaire pour les rotateurs intermédiaires à une métallicité solaire est donc construite avec les modèles de 0.7 à 0.9 M☉ encore sur la MS, de manière à réajuster la restriction vers une sélection plus raisonnable filtrant le minimum de cibles en MS. Une fois l'ajustement fait, une étoile en phase de sous-géante se trouvant au-dessus de la droite bleue sera ainsi filtrée. Nous effectuons ce filtrage pour Tₐff > 5000 K et supposons que les étoiles à plus faible température effective n'ont pas encore eu le temps de terminer leur phase de séquence principale dans le temps de vie actuel de l'univers.

Nous reproduisons ensuite cette méthode pour chacune des autres métallicités disponibles dans A19, en rotation lente, et intermédiaire. Nous ne considérons pas les modèles en rotation rapide, car l'évolution rotationnelle des modèles les plus massifs a été spécifiquement traitée et rend la régression linéaire particulièrement ardue. De façon similaire à la Figure 3.4, nous ajustons donc chaque régression au cas pas cas. Par la même occasion, nous confirmons qu'aucun modèle en dessous de T<sub>eff</sub> = 5000K n'a atteint la TAMS après 15 milliards d'années d'évolution. On considérera donc dans les données observationnelles qu'on ne trouve pas de sous-géantes pour des températures inférieures en dessous de log₁₀g = 4.4. Pour les T<sub>eff</sub> plus élevées, on obtient donc différentes coupes, dont les coefficients directeurs δ et les ordonnées à l'origine ξ sont récapitulés dans la Table 3.1.

Avoir une paramétrisation de la TAMS pour différentes métallicités nous permet ensuite d'ajuster la coupe des
<table><caption>TABLE 3.1 – Tableau récapitulatif des différents paramètres de régression linéaire sur les tracés évolutifs, dans l'espace des paramètres log₁₀(g) vs. T<sub>eff</sub>. On donne le coefficient directeur δ ainsi que l'ordonnée à l'origine ξ pour les régressions à différentes périodes de rotation initiale P<sub>rot,ini</sub> et indices de métallicités [Fe/H].</caption><thead><tr><th>P<sub>rot,ini</sub><br>(days)</th><th>[Fe/H]</th><th>δ</th><th>ξ</th></tr></thead><tbody><tr><td>9</td><td>-1.00</td><td>-3.64e-05 ± 1.01e-05</td><td>4.46 ± 0.08</td></tr><tr><td>9</td><td>-0.50</td><td>-1.87e-04 ± 2.87e-05</td><td>5.35 ± 0.19</td></tr><tr><td>9</td><td>-0.30</td><td>-2.95e-04 ± 4.74e-05</td><td>6.00 ± 0.31</td></tr><tr><td>9</td><td>-0.15</td><td>-3.36e-04 ± 6.53e-05</td><td>6.22 ± 0.42</td></tr><tr><td>9</td><td>0.00</td><td>-3.71e-04 ± 3.93e-05</td><td>6.36 ± 0.23</td></tr><tr><td>9</td><td>0.15</td><td>-4.69e-04 ± 3.98e-05</td><td>6.86 ± 0.23</td></tr><tr><td>9</td><td>0.30</td><td>-4.84e-04 ± 4.31e-05</td><td>6.88 ± 0.24</td></tr><tr><td>4.5</td><td>-1.00</td><td>-6.10e-05 ± 2.33e-05</td><td>4.67 ± 0.17</td></tr><tr><td>4.5</td><td>-0.50</td><td>-2.41e-04 ± 3.34e-05</td><td>5.70 ± 0.22</td></tr><tr><td>4.5</td><td>-0.30</td><td>-3.39e-04 ± 6.51e-05</td><td>6.28 ± 0.42</td></tr><tr><td>4.5</td><td>-0.15</td><td>-3.70e-04 ± 6.91e-05</td><td>6.43 ± 0.44</td></tr><tr><td>4.5</td><td>0.00</td><td>-3.73e-04 ± 4.12e-05</td><td>6.37 ± 0.24</td></tr><tr><td>4.5</td><td>0.15</td><td>-4.66e-04 ± 3.99e-05</td><td>6.85 ± 0.23</td></tr><tr><td>4.5</td><td>0.30</td><td>-4.90e-04 ± 4.48e-05</td><td>6.91 ± 0.25</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>FIGURE 3.5 – Gauche : Coefficient directeur δ en fonction de [Fe/H] (voir Table 3.1). Les couleurs orange et bleue correspondent respectivement aux rotateurs moyens et lents. La ligne noire en pointillés représente la moyenne des δ pour chaque indice de métallicité du tableau. La ligne violette est une régression linéaire sur ces valeurs moyennes. Droite : Même figure pour les ordonnées à l'origine ξ.</figcaption></figure>

sous-géantes en fonction de l'indice de métallicité [Fe/H]. Pour cela, on détermine l'évolution de δ et ξ en fonction de ce dernier par des régressions linéaires illustrées en Figure 3.5. Après avoir moyenné (en noir) les valeurs pour les rotateurs intermédiaires (orange) et pour les rotateurs lents (bleu), on procède à la régression dont la formule est donnée en légende, ce qui nous donne la courbe violette. Ainsi, on peut maintenant déduire une approximation de la TAMS pour chaque cible à partir de son [Fe/H] en utilisant les relations

$$ \delta([Fe/H]) = ((-34.36 \pm 1.81) \times [Fe/H] + (-39.63 \pm 0.83)).10^{-5}, \qquad (3.20) $$

$$ \xi([Fe/H]) = (1.84 \pm 0.14) \times [Fe/H] + 6.49 \pm 0.06 - 0.12. \qquad (3.21) $$

Une fois les paramètres δ et ξ obtenus pour définir la coupe en sous-géante à cette métallicité, on y applique la T<sub>eff</sub> de la cible considérée. Cela nous donne donc une limite basse pour son log₁₀(g), en dessous de laquelle la
<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>FIGURE 3.6 – Représentation des 50 656 cibles du sous-échantillon I du catalogue S19-21 (bleu), ainsi que les coupes de sous-géantes pour différents indices de métallicité [Fe/H].</figcaption></figure>

cible sera considérée comme dans sa phase de sous-géante et sera donc filtrée. De façon similaire à la sélection de sous-géantes pour la métallicité solaire dans Santos et al. (2021), les ordonnées $\xi$ des coupes sont ajustées de -0.12 dex afin de compenser un décalage entre les modèles et les observations de B20, d'où sont tirés les $T_{eff}$ et $\log_{10}g$ du catalogue S19-21 utilisé. Nous illustrons en Figure 3.6 des exemples de telles coupes de sous-géantes pour différentes métallicités.

### Intervalle de masses

Il est important de noter que les indices $m_1, m_2, n_1, n_2, q_1$ et $q_2$ des Équations (3.15) et (3.17) sont calculés sur l'intervalle de masse $0.4 \le M_* \le 1.3M_\odot$ (voir Figure 3.3), tandis que les relations (3.20) et (3.21) estimant la TAMS le sont sur l'intervalle d'indices de métallicité $-1 \le [Fe/H] \le +0.3$. Ainsi, on ne considérera donc que les cibles comprises dans ces intervalles de validité des différentes relations dérivées.

L'ensemble de cette préparation nous amène finalement à un échantillon total de 37 237 cibles, pour lesquelles nous allons calculer le nombre de Rossby à l'aide des formules 3.12 et 3.19. Nous sélectionnerons ensuite les étoiles avec les nombres de Rossby les plus élevés, susceptibles de posséder une rotation différentielle anti-solaire.

## 3.4 Sélection des cibles aux nombres de Rossby élevés

Nous avons vu en Section 2.1.2 que les profils de rotation anti-solaire apparaissent dans un régime où l'impact de la force de Coriolis devient moins important que le transport par la convection turbulente, c'est-à-dire $R_{of} > 1$. Cependant, cette transition n'est pas abrupte comme on peut le voir sur la Figure 2.3 et nous avons pour but de chercher les candidats les plus prometteurs, possédant donc des profils de rotation anti-solaire bien établis et mesurables. Pour cela, on peut se baser sur l'étude du Chapitre 2, où le Rossby fluide le plus faible trouvé dans une simulation présentant un profil de rotation anti-solaire est $R_{of} = 1.24$. Afin de prendre un peu
de marge, nous placerons donc le seuil du critère à $R_{\text{f}} = 1.3$. Pour le comparer avec les nombres de Rossby normalisés au Soleil, obtenus avec les équations 3.12 ou 3.19, il nous faut donc définir la valeur de $R_{\text{f},\odot}$ à considérer. Pour cela les simulations 3D du Chapitre 2, et plus particulièrement les régressions linéaires (2.23) et (3.4) nous donnent une estimation de $R_{\text{f},\odot} = 0.9 \pm 0.07$, ce qui nous permet de définir un premier seuil de sélection tel que $R_{\text{f}}/R_{\text{f},\odot} = 1.3/0.9 \simeq 1.444$. L'ensemble des cibles au-dessus de ce seuil (incertitudes comprises) représentent ce que nous appellerons par la suite l'échantillon *optimiste*.

Il est important de noter ici que la valeur $R_{\text{f},\odot} = 0.9$ est potentiellement biaisée par le *Convective Conundrum*. Ce point sera le sujet du prochain chapitre, mais nous pouvons déjà mentionner qu'il s'agit du fait que les simulations numériques actuelles semblent produire des flots convectifs trop vigoureux en comparaison de ceux détectés dans le Soleil (Hanasoge et al. 2012, Hanasoge et al. 2016, Hotta et al. 2022). Cela aurait pour conséquence de surévaluer le nombre de Rossby à une rotation donnée. En ce sens, nous considérerons la valeur $R_{\text{f},\odot} = 0.9$ comme une limite haute. En parallèle, nous verrons au Chapitre 6 que l'activité des processus dynamo dans ces mêmes simulations 3D suggère un $R_{\text{f},\odot}$ possiblement en-dessous de 0.65. Nous choisissons donc de considérer ici 0.6 comme une limite basse, et créons donc un deuxième seuil de sélection $R_{\text{f}}/R_{\text{f},\odot} = 1.3/0.6 \simeq 2.167$. L'ensemble des cibles du catalogue au-dessus de ce seuil (incertitudes comprises) représente ce que nous appellerons par la suite l'échantillon *réduit*.

Pour estimer le nombre de Rossby normalisé $R_{\text{f}}/R_{\text{f},\odot}$ des 37 237 rotateurs considérés en séquence principale, nous commençons par relever la métallicité de chacun (Section 3.3.3). Nous obtenons un sous-ensemble de 12 517 étoiles dont l'indice de métallicité [Fe/H] est compris entre -0.1 et +0.1. Nous considérerons ces étoiles comme étant proche de la métallicité solaire, et calculons leur nombre de Rossby normalisé $R_{\text{f}}/R_{\text{f},\odot}$ avec l'équation 3.12. Nous obtenons alors 62 candidates dans l'échantillon optimiste, dont 12 ont un nombre de Rossby assez élevé pour être de plus considérées dans l'échantillon réduit. Pour calculer le nombre de Rossby normalisé des autres cibles à métallicité en dehors de l'intervalle solaire, nous leur appliquons l'équation 3.19. Cela nous ajoute alors 37 candidates dans l'échantillon optimiste, dont 1 a un nombre de Rossby assez élevé pour aussi être considéré dans l'échantillon réduit. Nous allons maintenant vérifier visuellement chacune d'elles, afin d'en ressortir les cibles prometteuses.

## 3.5 Vérification visuelle des cibles ayant passé le seuil en Rossby

Afin de s'assurer au mieux que le nombre de Rossby calculé l'a bien été avec des quantités observables non polluées (par un processus physique ou instrumental), nous effectuons des inspections individuelles pour cha-cune des 99 candidates de l'échantillon optimiste. Pour cela, nous décrivons la méthode effectuée, en l'illustrant avec le candidat KIC 10934680 présenté en Figure 3.7. Les différentes étapes sont :

1. Nous examinons tout d'abord le champ de vue (FoV pour *Field of View*) autour de la cible, à l'aide des images 2MASS (Two Micron All Sky Survey, Skrutskie et al. 2006) accessibles par la base de données **KASOC** (Kepler Asteroseismic Science Operations Center, Kjeldsen et al. 2010). Si la cible considérée se trouve dans le halo d'une étoile plus brillante, même lointaine, nous ne la prenons pas en compte, car les mesures de $T_{\text{eff}}$ ou $P_{\text{rot}}$ peuvent être biaisées par cette pollution. C'est le cas de KIC 10934680, dont l'observation est polluée par le Halo d'une étoile plus brillante : KIC 10989776.

2. Nous savons que le photomètre de *Kepler* voit une portion de ciel de 40"<fnref n="3" /> de côté lors d'une observation de cible. Nous nous assurons donc qu'il n'y a pas d'étoiles voisines polluantes dans un FoV équivalent et centré sur la cible. Si des voisines y sont trop proches et/ou de même magnitude, nous regardons attentivement la courbe de lumière de chaque pixel dont le signal est utilisé pour la mesure de $P_{\text{rot}}$. Cela nous permet de vérifier si l'acquisition photométrique de la cible a été polluée par le voisin en

<footnote n="3">3. Chaque pixel du photomètre voit une surface du ciel de 3.98×3.98 arcsec², et l'acquisition se fait par un système CCD de 10 pixels de côté (voir Figure 1 de Van Cleve & Caldwell (2016)).</footnote>
<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>FIGURE 3.7 – Image de KIC 10934680 (croix violette) prise avec 2MASS, et zoomée sur un champ de vue de 40" de côté. Cette étoile se trouve dans le halo d'une autre cible de *Kepler*, KIC 10989776 (marquée par un carré rouge), qui a une magnitude *Kepler* 2,5 fois plus brillante. Source : KASOC</figcaption></figure>

question. En cas de pollution, nous ne considérons pas la cible, comme pour le cas illustré en Figure 3.7. La luminosité et la proximité de KIC 10989776 (carré rouge) pollue l'acquisition des photons provenant de KIC 10934680 (croix bleu). Si cela n'avait pas été le cas, nous aurions aussi vérifié que le voisin sans KIC, en-dessous de notre cible d'intérêt dans le FoV, ne pollue pas l'acquisition pour la mesure de $P_{\text{rot}}$.

3. Ensuite, nous regardons attentivement dans le FoV la forme de la cible pour éviter de considérer des systèmes binaires proches. On peut voir sur l'illustration que la forme de KIC 10934680 est allongée. Comme ce n'est pas le cas de toutes les cibles aux alentours, cela ne provient pas d'une dérive de l'instrument 2MASS, et nous suspectons un système binaire proche. Or, des interactions de marées avec un compagnon proche risquerait d'influencer la redistribution de moment cinétique, et donc le profil de rotation différentielle établi (voir Section 2.4).

4. Enfin, nous inspectons visuellement la courbe de lumière des cibles ayant passé avec succès les étapes de vérification précédentes. De nouveaux diagnostics de rotation sont effectués avec l'aide des auteurs du catalogue de rotation S19-21 pour assurer la fiabilité de la $P_{\text{rot}}$ utilisée. Si la nouvelle mesure est cohérente avec la valeur proposée par le catalogue (ce qui est le cas pour la majorité des cibles) nous considérons la cible avec la valeur donnée. Si la nouvelle valeur mesurée ne peut pas être clairement reliée à un signal de rotation, la cible est rejetée. Si une valeur fiable différente de celle proposée par le catalogue est déterminée, nous considérons dorénavant cette valeur, et nous vérifions que le nouveau $R_{O_F}/R_{O_F,⊙}$ correspondant est toujours au-dessus du seuil de l'échantillon optimiste. Dans le cas contraire, la cible sera rejetée, sauf pour un cas limite particulier discuté dans la section suivante.

L'ensemble de ces analyses est récapitulé dans un tableau, présenté en Annexe C de l'article 3.8. Nous y présentons pour des exemples de cibles les résultats de chaque étape à l'aide d'indicateurs abrégés "Fl.". Une version complète de ce tableau est disponible au dépôt en ligne GitHub, où les courbes de lumières et nouvelles analyses de rotation pour chaque cible de l'échantillon optimiste sont aussi mis à disposition.

Ces étapes de vérifications nous permettent d'appliquer une sélection plus stricte quant à la fiabilité du nombre de Rossby calculé pour chaque cible. 22 candidates de l'échantillon optimiste (dont 1 de l'échantillon réduit) ont passé toutes nos vérifications avec succès. Nous reportons donc 22 candidates prometteuses pour être le
<figure><img src="image_98.png" /></figure>

FIGURE 3.8 – *Haut* : Diagramme ($T_{eff}, P_{rot}$) où différents régimes de rotation différentielle sont attendus : anti-solaire, de type solaire et quasi-uniforme/cylindrique. Les régions grises représentent les régions de transition proposées entre les régimes de DR. Les isocontours de $Ro_f/Ro_{f,⊙}$ en fonction de $T_{eff}$ et de $P_{rot}$ (3.12) sont représentés en pointillés avec leur valeur. La ligne noire représente la valeur $Ro_f/Ro_{f,⊙} = 1$. *Bas* : Zoom sur le panneau du haut, autour des candidats anti-solaires. La barre de couleurs indique leur indice de métallicité [Fe/H]. Les cibles possédant un marqueur en forme d'étoile sont les cibles que nous considérons comme prioritaires pour de futures caractérisations. Adapté de Noraz et al. (2022b)

siège d'un profil de rotation anti-solaire. Nous les illustrons en section suivante, tout en présentant 6 candidates que nous considérons comme les plus intéressantes.

## 3.6 Candidats les plus prometteurs à la détection de rotation différentielle anti-solaire et perspectives

Nous illustrons en Figure 3.8 les 22 candidates anti-solaires prometteuses. Sur le panneau du haut, nous les disposons (marqueurs verts) en fonction de leurs $T_{eff}$ et $P_{rot}$. La cible avec le marqueur losange (KIC 10907436) est la seule ayant un Rossby assez élevé pour faire partie de l'échantillon réduit. Les lignes (noires) de la Figure représentent le nombre de Rossby normalisé $Ro_f/Ro_{f,⊙}$ (voir 3.12), ce qui nous permet de définir des zones de transitions (grises) entre différents régimes de rotation. Leurs limites sont choisies en fonction des transitions
<table><caption>TABLE 3.2 – Principaux paramètres des candidats anti-solaires les plus prometteurs. De gauche à droite, nous montrons l'identifiant *Kepler* (KIC), le logarithme décimal de la gravité de surface log₁₀g, la température effective T<sub>eff</sub>, la période de rotation P<sub>rot</sub>, la valeur du nombre de Rossby fluide normalisé de l'équation 3.12 (Ro<sub>f,1/</sub>), puis 3.19 (Ro<sub>f,2/</sub>), l'indice de métallicité [Fe/H], la masse M<sub>*</sub> et l'indicateur photométrique d'activité magnétique S<sub>ph</sub> (Mathur et al., 2014). L'indicateur Zfl indique l'origine de la valeur [Fe/H], venant de APOGEE (0), LA-MOST (1) ou B20 (2). Le dernier indicateur Sfl est un indicateur d'échantillon indiquant si les cibles sont dans l'échantillon "optimiste" (1) ou "réduit" (2). Les valeurs entre parenthèses [] et () sont discutées plus en détail dans le texte, et l'exposant sur le KIC indique soit un analogue solaire (+) soit une cible sismique (*).</caption><thead><tr><th>KIC</th><th>T<sub>eff</sub> [K]</th><th>P<sub>rot</sub> [days]</th><th>Ro<sub>f,1/</sub></th><th>Ro<sub>f,2/</sub> ([Fe/H])</th><th>[Fe/H]</th><th>M<sub>*</sub> [M<sub>☉</sub>]</th><th>S<sub>ph</sub> [ppm]</th></tr></thead><tbody><tr><td>10907436</td><td>6364.3<sup>+137.1</sup><sub>-141.9</sub></td><td>48.4 ± 3.9</td><td>2.44<sup>+0.26</sup><sub>-0.26</sub></td><td>2.47<sup>+0.26</sup><sub>-0.27</sub></td><td>-0.07<sup>+0.03</sup><sub>-0.03</sub></td><td>1.22<sup>+0.06</sup><sub>-0.06</sub></td><td>86.5 ± 3.2</td></tr><tr><td>6068129<sup>+</sup></td><td>5838.9<sup>+110.8</sup><sub>-110.8</sub></td><td>49.4 ± 8.6</td><td>1.88<sup>+0.35</sup><sub>-0.35</sub></td><td>1.88<sup>+0.35</sup><sub>-0.35</sub></td><td>-0.01<sup>+0.14</sup><sub>-0.16</sub></td><td>1.01<sup>+0.07</sup><sub>-0.08</sub></td><td>588.6 ± 14.1</td></tr><tr><td>12117868<sup>*</sup></td><td>6068.0<sup>+113.4</sup><sub>-114.8</sub></td><td>42.5 ± 5.0</td><td>1.84<sup>+0.24</sup><sub>-0.24</sub></td><td>1.85<sup>+0.25</sup><sub>-0.25</sub></td><td>-0.04<sup>+0.01</sup><sub>-0.01</sub></td><td>1.09<sup>+0.07</sup><sub>-0.07</sub></td><td>71.7 ± 1.9</td></tr><tr><td>6850029<sup>+</sup></td><td>5640.5<sup>+102.5</sup><sub>-99.8</sub></td><td>51.1 ± 4.9</td><td>1.73<sup>+0.20</sup><sub>-0.19</sub></td><td>1.74<sup>+0.20</sup><sub>-0.20</sub></td><td>-0.01<sup>+0.14</sup><sub>-0.16</sub></td><td>0.94<sup>+0.06</sup><sub>-0.07</sub></td><td>473.5 ± 12.1</td></tr><tr><td>7428723<sup>+</sup></td><td>5826.8<sup>+107.0</sup><sub>-105.5</sub></td><td>44.2 ± 5.3</td><td>1.67<sup>+0.22</sup><sub>-0.22</sub></td><td>1.67<sup>+0.23</sup><sub>-0.23</sub></td><td>-0.01<sup>+0.14</sup><sub>-0.16</sub></td><td>1.00<sup>+0.07</sup><sub>-0.07</sub></td><td>606.2 ± 15.6</td></tr><tr><td>[7189915]<sup>+</sup></td><td>5739.0<sup>+104.8</sup><sub>-101.5</sub></td><td>(44.5 ± 5.0)</td><td>(1.60<sup>+0.20</sup><sub>-0.20</sub>)</td><td>(1.61<sup>+0.21</sup><sub>-0.21</sub>)</td><td>-0.02<sup>+0.14</sup><sub>-0.15</sub></td><td>0.97<sup>+0.06</sup><sub>-0.07</sub></td><td>453.4 ± 14.0</td></tr></tbody></table>

observées dans l'ensemble des simulations du Chapitre 2. La transition solaire/anti-solaire est placée à Ro<sub>f</sub> = 1, et ses limites sont définies par les incertitudes sur la valeur solaire 0.6 < Ro<sub>f,1/</sub> < 0.9. On procède de façon similaire pour la transition solaire/cylindrique, en choisissant cette fois Ro<sub>f</sub> = 0.15. Nous proposons ensuite un Zoom de cette Figure sur le panneau du bas, où nous voyons que la majorité des cibles considérées sont dans la région où on s'attend à trouver des profils de rotation anti-solaire. Nous incluons une barre de couleur pour indiquer la valeur [Fe/H] des cibles, dont 14 possèdent une composition proche du Soleil (-0.1<[Fe/H]<0.1). Le faible nombre de cibles finalement sélectionnées ne nous permet pas de déduire une tendance particulière en fonction de la métallicité. De futures études nous apportant un nombre de cibles plus élevé seront nécessaires pour conclure quant à la présence ou non d'un tel effet. Enfin, on représente avec un marqueur en forme d'étoile les 6 candidates que nous considérons comme les plus intéressantes, et auxquelles nous consacrerons la suite de cette section. Nous les listons en Table 3.2 avec leurs paramètres stellaires, et dirigeons le lecteur vers l'article 3.8 pour le détail de l'ensemble des 22 cibles sélectionnées.

Les 6 cibles prioritaires de la Table 3.2 ont une composition se situant dans l'intervalle -0.1<[Fe/H]<0.1 et possèdent des périodes de rotation entre 42 et 52 jours. La première cible prioritaire est une étoile de 1.22 M<sub>☉</sub> et possède le plus haut Rossby calculé, ce qui en fait une candidate intéressante pour la caractérisation des étoiles F en rotation lente (voir Breton et al. 2022). L'étoile KIC 12117868 est une cible sismique (notée "*") de type F, c'est-à-dire montrant des signes d'oscillations acoustiques dans sa courbe de lumière. Elle ne fait cependant pas partie de l'échantillon LEGACY de Kepler, probablement car le rapport signal sur bruit de ses modes acoustiques n'est pas assez élevé (Lund et al., 2017). Cependant, on a vu que l'analyse de ces modes par astérosismologie permet de déduire le profil de rotation des cibles avec un signal sismique assez élevé. Cette cible pourrait donc être un candidat de premier choix pour de telles analyses, si une future mission telle que PLATO venait à l'observer plus précisément. Enfin, les 4 autres candidates de la table sont particulièrement intéressantes, car ce sont des analogues solaires<fnref n="4" /> (notés "+") dont la rotation est particulièrement lente en comparaison au Soleil. Il s'agit donc de candidates intéressantes pour tester les modèles de gyrochronologie et leurs actuels débats (Hall et al., 2021). En première approximation, une interpolation L<sub>*</sub>/T<sub>eff</sub>/[Fe/H]/P<sub>rot</sub> sur les modèles de A19 donne pour KIC 6068129, 6850029, 7428723 et 7189915 des âges supérieurs à 9 milliards d'années.

Enfin, on note une mention particulière pour KIC 7189915, qui aurait dû être exclue de l'échantillon optimiste, suite à une révision de sa valeur P<sub>rot</sub> lors de l'étape 4 des vérifications présentées à la section précédente.

<footnote n="4">4. Nous définissons ici une étoile comme étant un analogue solaire si ses paramètres stellaires (incertitudes comprises) se situent dans l'intervalle $T_{eff} \in 5572 \pm 250$ K et $log_{10}g \in 4, 44 \pm 0.10$ dex. Des définitions plus ou moins restrictives existent dans la littérature (voir par exemple Cayrel de Strobel (1996)).</footnote>
En passant de $P_{\text{rot}} = 51 \pm 4.7$ jours (catalogue S19-21) à $P_{\text{rot}} = 45 \pm 5$ jours (nouvelle valeur), la nouvelle borne inférieure (1.40) de son nombre de Rossby normalisé $R_{\text{f}}/R_{\text{f,⊙}} = 1.60^{+0.20}_{-0.20}$ est légèrement inférieure au seuil 1.3/0.9 = 1.444 définissant l'échantillon optimiste. Par conséquent, nous devrions en toute rigueur exclure cette cible des candidates prometteuses. Cependant, sa valeur de $R_{\text{f}}/R_{\text{f,⊙}}$ reste relativement élevée, et les inspections visuelles nous rendent confiant quant à la fiabilité de ces nouvelles valeurs. Mais surtout, ses paramètres sont très proches de ceux du soleil : 33 K de différence sur la $T_{\text{eff}}$ et 0.01 dex sur sa gravité de surface. Il s'agit donc d'une cible à haut Rossby particulièrement intéressante que nous choisissons de conserver dans notre échantillon de cibles prometteuses pour la détection de rotations anti-solaires.

## 3.7 Discussion et perspectives

Au cours de ce Chapitre, nous avons développé une formule analytique permettant de calculer le nombre de Rossby fluide $R_{\text{f}}$ à partir des quantités observationnelles telles que la température effective $T_{\text{eff}}$, la période de rotation $P_{\text{rot}}$ et l'indice métallicité [Fe/H]. Ce développement prend en compte l'aspect structurel des étoiles de type solaire, ainsi que l'impact de leur composition sur la valeur du Rossby. En appliquant cette formule sur le récent catalogue de rotation S19-21, nous avons dans un premier temps sélectionné les cibles présentant les nombres de Rossby les plus élevés. Après avoir minutieusement vérifié la fiabilité des mesures pour chacune des cibles ainsi obtenues, nous avons pu construire un échantillon final de 22 candidates à haut nombre de Rossby, que nous pensons être les plus prometteuses pour la détection du régime de rotation anti-solaire, pour des étoiles de type solaire sur la séquence principale.

Nous soulignons ici de nouveau l'intérêt d'un travail futur sur les candidats KIC 10907436 et 12117868, qui sont des étoiles F à haut nombre de Rossby, avec des traces d'activité sismique notables pour la seconde. On note aussi les KIC 6068129, 6850029, 7428723 et 7189915 comme candidates prioritaires à de futures caractérisations observationnelles. En effet, ces cibles ont des paramètres stellaires proches du Soleil, tout en ayant des périodes de rotation significativement plus longue, allant de 44 à 52 jours. Il serait donc intéressant de définir précisément leur âge, afin de savoir si ces étoiles suivent toujours la loi de Skumanich, et ainsi d'apporter de nouveaux éléments au débat des vieux analogues solaires (van Saders et al., 2016; do Nascimento Jr. et al., 2020; Hall et al., 2021).

Enfin, nous proposons en Figure 3.8 une illustration de l'espace ($P_{\text{rot}}, T_{\text{eff}}$) indiquant les régimes de rotations possibles d'une cible en fonction de ces deux paramètres, c'est-à-dire en fonction du nombre de Rossby calculé avec l'équation (3.12). Nous y plaçons les 22 candidates prometteuses que nous avons retenu, et invitons les lecteurs intéressés à y placer de façon similaire leur(s) étoile(s) préférée(s), afin d'en obtenir une première estimation de leur type de rotation différentielle.

Afin de calculer le nombre de Rossby normalisé des cibles dans l'intervalle $-0.1 < [\text{Fe/H}] < +0.1$, nous avons utilisé l'équation 3.12. La valeur de $R_{\text{f}}/R_{\text{f,⊙}}$ obtenue pour cet intervalle de métallicité diffère au plus de 1.6% en comparaison à celle résultant de l'équation 3.19. Nous confirmons que cette différence n'altère pas notre sélection finale de candidats prometteurs pour la détection de rotations anti-solaires.

On note un indice d'activité photométrique $S_{\text{ph}}$ maximum de 751.6 ppm au sein des 22 cibles à haut nombre de Rossby retenues comme candidates à la rotation anti-solaire. La majorité se situe dans l'intervalle solaire 50 - 600 ppm, correspondant respectivement au minimum et maximum d'activité solaire (Salabert et al., 2017). Il a cependant été reporté par Brandenburg & Giampapa (2018) que certaines cibles à haut Rossby semblent montrer une augmentation de leur variabilité photométrique. Nous ne retrouvons pas ici de telles cibles, qui seraient alors relativement isolées dans l'espace des paramètres ($S_{\text{ph}}, P_{\text{rot}}$) (voir par exemple la Figure 19 de Santos et al. 2021).
Afin de ne considérer que les cibles stellaires sur leur séquence principale, nous avons procédé à un filtrage des sous-géantes par le biais de coupes dans l'espace (log₁₀g, Tₐff), ajustées sur les modèles de A19. Nous avons de plus définis ces coupes en fonction de la métallicité afin d'être le plus rigoureux possible. Cependant, cette méthode de détermination de la TAMS est seulement une approximation, et des étoiles âgées proches de leur TAMS et toujours sur leur phase de MS pourraient ainsi avoir été filtrées par notre méthode. Ces hypothétiques cibles en rotation lente et à nombre de Rossby potentiellement élevé auraient été de bons candidats pour la détection de profils de rotations anti-solaires. Un filtrage plus précis des sous-géantes nécessiterait une analyse astéro-sismique fine de chacune des cibles. Cependant, cette analyse va au-delà des critères fixés pour cette étude, et reste parfois complexe ou incertaine dans certains cas (Campante et al., 2011). Cependant, la phase de sous-géante, bien qu'en dehors des objectifs de cette étude, reste fortement intéressante du point de vue dynamique. Il sera important pour de futurs travaux de s'intéresser à l'influence d'une telle phase de transition sur la dynamique interne de l'étoile, afin de mieux comprendre la réaction de tels écoulements à grande échelle sur les changements structurels, et dont le nombre de Rossby.

Afin de comparer notre recherche de candidats anti-solaires avec les études précédentes de Reinhold & Arlt (2015) et Benomar et al. (2018), nous notons que notre étude sur l'échantillon *Kepler* ne sélectionne aucune de leurs cibles comme étant particulièrement susceptible de posséder une rotation anti-solaire. Il faut cependant noter qu'une partie des cibles proposées par Benomar et al. (2018) ne possède pas de $P_{\text{rot}}$ détectée dans le catalogue S19-21. En effet, leurs cibles sont sismiques et la présence de modes acoustique a tendance à réduire l'activité magnétique de l'étoile (Mathur et al., 2019). Une activité plus faible rend donc la détection de sa rotation par photométrie plus difficile voir impossible, ce qui explique en partie pourquoi ces cibles ne ressortent pas (Reinhold et al., 2021). On peut cependant noter que 2 de leurs cibles (KIC 8938364 et 3427720) ont des nombres de Rossby normalisés plus élevés que la transition proposée à 1/0.9 en Figure 3.8, lorsqu'on considère leurs $P_{\text{rot}}$ astéro-sismiques proposées par cette même étude. Cependant, les barres d'erreur associées à ces rotations sont trop grandes pour les sélectionner en tant que candidates prometteuses.

Finalement, nous rappelons que la liste finale est une proposition de "candidates", dans le sens où nous les sélectionnons sur la base de leur Rossby, mais ne pouvons pas conclure formellement sur la présence, ou non, d'un régime anti-solaire. Nous espérons donc que de futures campagnes observationnelles pourrons caractériser ces cibles plus minutieusement, afin de confirmer, ou infirmer, la présence d'un tel régime de rotation. Plus généralement, notre étude propose une opportunité pour apporter de nouvelles contraintes observationnelles aux étoiles de types solaire en séquence principale, possédant de forts Rossby. L'application des formules 3.12 et 3.19 au champ *Kepler* est une première application, qui pourra être étendue aux champs de futures missions d'observations, telle que la mission PLATO (PLAnetary Transits and Oscillations of stars, Rauer et al. (2014)) dont le lancement est prévu pour 2026.

## 3.8 Article publié : Hunting for anti-solar differentially rotating stars using the Rossby number