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# TD choix de matériaux

M.L.M. François

► To cite this version:

M.L.M. François. TD choix de matériaux. Master. Module XMS2PE621 Choix optimal des matériaux, Nantes, France. 2025, pp.8. hal-05457480

HAL Id: hal-05457480

https://hal.science/hal-05457480v1

Submitted on 14 Jan 2026

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# TD Choix de matériau

Module XMS2PE621, Nantes Université, M. François

Version du 14 janvier 2026

## 1 Matériau optimal pour une colonne en flambement

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Le cahier des charges d'une colonne est de porter une masse donner à une hauteur donnée. En général ce n'est pas la contrainte en compression (ρgh) qui conditionne la résistance, mais le flambement. Le premier mode de flambement est donné par la formule d'Euler :

$$F_c = \frac{\pi^2 EI}{L^2}$$

où L est la longueur de la colonne. Le moment quadratique pour une section circulaire de rayon R est : $I = \pi R^4 / 4$.

a. On cherche à fabriquer la colonne la plus légère qui supporte une force F donnée sans flamber. Donner l'expression de la masse M. En déduire la relation entre les constantes matériau à maximiser.

b. À partir de la carte d'Ashby (E, ρ) fournie, discuter des matériaux optimaux, non métalliques et métalliques. Calculer le rapport des masses des colonnes entre le premier matériau toutes catégories et du premier matériau naturel.

c. On cherche à fabriquer la colonne la moins chère qui supporte une force F donnée sans flamber. Donner l'expression du coût C en fonction du coût par unité de masse $c_m$. En déduire la relation entre les constantes matériau à maximiser.

d. À partir du graphe E, ρc_m fourni, déterminer les matériaux optimaux pour le critère coût, non métalliques et métalliques.

e. Une colonne en bois est combien de % plus chère qu'une colonne en béton?
<figure><img src="image_4.png" /></figure>

<figure><img src="image_5.png" /></figure>
## 2 Optimisation d'un volant d'inertie

Un volant d'inertie est utilisé pour stocker de l'énergie (Figure 1). Il est constitué d'un cylindre en rotation autour de son axe, de rayon R, de longueur L et d'épaisseur e telle que $e \ll R$. La matière employée a une contrainte à rupture en traction $\sigma_0$, un module d'Young E et une masse volumique $\rho$. La vitesse de rotation $\omega_0$ est définie comme la vitesse de rotation maximale possible. Dans cette étude de pré-dimensionnement, on ramènera la géométrie à un modèle de poutre, dans un repère polaire $(0, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta)$.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Volant d'inertie</figcaption></figure>

a. Représenter la poutre modélisant le volant. En supposant $e \ll R$, préciser sa longueur $l$, sa section S et son volume V.

b. Déterminer l'abscisse curviligne s de la poutre. Depuis l'expression de la force centrifuge pour une masse ponctuelle, en déduire la force centrifuge répartie $\vec{f} = d\vec{F}/ds$.

c. Déterminer l'effort normal N et l'effort tranchant T le long de la poutre. On rappelle l'équation d'équilibre local en résultante, dans le cas des poutres curvilignes :

$$ \frac{d\vec{R}}{ds} + \vec{f} = \vec{0} $$

d. En déduire la vitesse de rotation maximale possible $\omega_0$.

e. Déterminer le moment d'inertie en rotation J de cette poutre.

f. En déduire l'énergie cinétique maximale $E_{co}$ du volant d'inertie, globale puis volumique $e_{co}$.

g. Le matériau actuellement disponible possédant la plus grande contrainte limite en traction est le ruban de nanotube de carbones, pour lequel on estime $\sigma_0 = 10$ GPa. Calculer l'énergie cinétique volumique dans ce cas, puis comparer avec une batterie Li-ion pour laquelle on donne $W = 160$ Wh/kg et $\rho \approx 2000$ kg/m³.

h. Comparer l'expression analytique de l'énergie (question f) avec celle de l'énergie élastique $w_e$ stockée dans une barre en traction. Qu'en conclure entre le stockage cinétique (volant d'inertie) et le stockage élastique (ressort) ?

## 3 Miroir de télescope

Les télescopes terrestres sont munis d'un miroir dont le rayon R peut dépasser trois mètres. Le prix du miroir représente 10 à 15 % du prix du télescope. On cherche ici à minimiser leur masse m car elle génère un coût matériau et une bonne part du coût de l'infrastructure support.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Miroir de télescope (Safran)</figcaption></figure>

Le miroir circulaire est encastré sur ses bords, son poids propre entraine une flèche $\delta$ qui doit être limitée à 10µm pour que les images restent nettes. Un calcul de Mécanique des Milieux Continus donne l'expression suivante pour la flèche :

$$ \delta = \frac{3mgR^2}{4\pi Eh^3} $$

où E est le module d'Young, h est l'épaisseur du miroir et g est la constante de gravité. On prendra en compte aussi la masse volumique $\rho$ du matériau. Les miroirs sont classiquement fabriqués en verre (recouvert d'une pellicule métallique afin d'être réfléchissants). Est-ce le verre le meilleur matériau?

a. Déterminer les grandeurs à minimiser, imposées, libres et matériau.

b. Définir l'indice de performance I qui intervient dans le critère de flèche maximale et l'équation de la droite iso-performance.

c. Donner les matériaux optimaux pour cet indice de performance.

d. On souhaite de plus que le miroir se déforme le moins possible en fonction de la température. Quel matériau proposez-vous?

e. Si on choisit de fabriquer le miroir en métal (naturellement réfléchissant), quel est le meilleur candidat? Proposer une solution technique pour s'affranchir du problème de dilatation thermique.

f. Depuis une mesure directe sur la carte d'Ashby (voir cours), en déduire le rapport des masses entre des miroirs en 1) acier, 2) béton, 3) composite CFRP, 4) le métal optimal déterminé ci-dessus, et le miroir de référence en verre. On prendra à chaque fois le milieu du domine sur la carte d'Ashby. En déduire les masses de chacun si le miroir en verre pèse 48 tonnes.

g. On considère un miroir en verre de 3,5m de diamètre. Le calcul de MMC donne l'expression suivante pour la contrainte principale maximale :

$$ \sigma = \frac{3(1 + \nu)mgR^2}{8h^2} $$

où $\nu = 0,3$ est le coefficient de Poisson. Vérifier que cette contrainte maximale est admissible pour ce verre dont la rupture a lieu à environ 30 MPa.

h. On commence à savoir fabriquer des mousses de n'importe quel matériau. Proposer un matériau "du futur" optimal pour le miroir.

i. Toutes choses égales par ailleurs, un miroir d'un diamètre 2 fois plus grand pèse combien de fois plus? Cela dépend-il du matériau?
Young's modulus - Density

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
<figure><img src="image_9.png" /></figure>
## 4 Rupture d'un réservoir

Un réservoir de diamètre $d = 1$ m et d'épaisseur $e = 1$ cm est fait d'un acier doux (bas carbone) possédant les caractéristiques suivantes : $E = 200$ GPa, $\sigma_{max} = 400$ MPa, $K_{1c} = 100$ MPa m$^{0,5}$. On rappelle les formules dites du chaudronnier, qui donnent les contraintes axiale $\sigma_a$ et tangentielle $\sigma_t$ pour un réservoir cylindrique :

$$ \sigma_a = \frac{pR}{2e}, \quad \sigma_t = \frac{pR}{e} $$

a. Calculer sa pression d'explosion, sans fissure, en bars

b. Le réservoir a une fissure de largeur 6 cm. Quelle pression maximale peut-il supporter ?

c. Calculer la longueur de fissure critique. Qu'en concluez-vous sur la sureté du dispositif?

## 5 Aviron

Cet exercice est tiré de la communication *Material selection in mechanical design* de M. Ashby et D. Cebon, Troisième Conférence Européenne sur les Matériaux et les Procédés Avancés Euromat '93, Paris, 8-10 juin 1993. Une rame (ou aviron) doit résister à la flexion qui lui est imposée par le rameur. Cependant le critère discriminant pour sa conception est sa raideur : elle est mesurée à l'aide d'une masse de 10kg est accrochée à 2,05 m de la liaison centrale (voir figure). L'aviron doit être le plus léger possible pour posséder la raideur $k$ choisie par le sportif.

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

a. De quel type de problème de RDM s'agit-il ?

b. Donner l'expression de la masse à minimiser

c. Conformément au dessin on néglige la déformation de la première partie de la rame. On rappelle l'expression de la flèche de la poutre cantilever :

$$ v(L) = \frac{FL^3}{3EI} $$

Discuter de la validité de cette hypothèse.

d. Le sportif impose la raideur $k$ définie par :

$$ k = \frac{F}{v(L)} $$

et l'on rappelle l'expression du rapport de performance pour la flexion, que l'on traitera pour l'instant comme un constante connue :

$$ \phi = \frac{4\pi I}{S^2} $$

Donner l'expression de la masse à minimiser en éliminant les grandeurs libres. En déduire l'indice de performance IP à maximiser pour trouver le meilleur matériau.
<figure><img src="image_11.png" /></figure>

e. Déterminer la pente des iso-indices sur le graphe en log(ρ)—log(E). En déduire les trois meilleurs matériaux possible à l'aide de la carte d'Ashby fournie.

f. On choisit d'utiliser un composite carbone-epoxy. Afin de supporter les sollicitations de flexion, de torsion, les chocs, ce composite n'est pas unidirectionnel mais composé de plis (couches) avec des fibres à +/- 45 degrés. Ce composite possède un module d'Young E = 100 GPa et une masse volumique ρ = 2 g/cm³. Déterminer son IP. Calculer le rapport entre la masse d'une rame ancienne en sapin (fir) et celle en carbone-epoxy.

g. Dans ce calcul on a supposé un Φ identique, c'est à dire une même forme de section. Cependant, on peut fabriquer une rame en composite avec une section tubulaire, tandis que l'on ne peut pas pour une rame en sapin (le perçage est impossible sur une si grande longueur). Calculer le rapport des masses entre une rame en sapin de section circulaire (peine) et une rame en composite avec une section tubulaire où le diamètre intérieur vaut 90% du diamètre extérieur.