# Théorème d'approximation de Stone-Weierstrass en dimension finie sur un compact : Artifaille sur les probabilités et les polynômes de Bernstein

David Pigeon

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David Pigeon. Théorème d'approximation de Stone-Weierstrass en dimension finie sur un compact : Artifaille sur les probabilités et les polynômes de Bernstein. 2025. hal-04939275

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# Théorème d'approximation de Stone-Weierstrass en dimension finie
sur un compact : Artifaille sur les probabilités et les polynômes de
Bernstein

David Pigeon*

10 février 2025

**Mots clés** : polynômes de Bernstein, approximation uniforme de Stone-Weierstrass, probabilités, inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

## Résumé

On donne une preuve simple du théorème d'approximation de Stone-Weierstrass en dimension $d$ d'une fonction définie sur un compact $K$ de $\mathbb{R}^d$. On démontre d'abord le résultat dans le cas $K = [0, 1]^d$, puis par un résultat de prolongement par continuité à tout l'espace $\mathbb{R}^d$ d'une fonction définie sur un compact quelconque, on en déduit le résultat général.

## Table des matières

<table><tr><td>1</td><td>Cas sur l'hypercube [0, 1]<sup>d</sup></td><td>3</td></tr><tr><td>1.1</td><td>Fonctions polynômiales simplifiées de Bernstein.</td><td>3</td></tr><tr><td>1.2</td><td>Théorème</td><td>4</td></tr><tr><td>2</td><td>Cas sur un compact</td><td>8</td></tr><tr><td>2.1</td><td>Prolongement continue</td><td>8</td></tr><tr><td>2.2</td><td>Théorème</td><td>11</td></tr><tr><td>A</td><td>Artifaille en probabilités</td><td>13</td></tr><tr><td>A.1</td><td>Existence de variables aléatoires binomiales indépendantes</td><td>13</td></tr><tr><td>A.2</td><td>Deux inégalités</td><td>14</td></tr><tr><td>B</td><td>Polynômes de Bernstein généralisés</td><td>18</td></tr><tr><td>B.1</td><td>Cas sur l'hypercube [0, 1]<sup>d</sup></td><td>18</td></tr><tr><td>B.2</td><td>Cas sur un pavé.</td><td>19</td></tr><tr><td></td><td>Références</td><td>21</td></tr></table>

<footnote>*https://sites.google.com/view/davidpigeon/</footnote>
On fixe un entier $d \in \mathbb{N}_1 := \mathbb{N} - \{0\}$.

On munit $\mathbb{R}^d$ de la **norme infinie** :

$$ \forall \mathbf{x} := (x_1, \dots, x_d), \mathbf{y} := (y_1, \dots, y_d) \in [0, 1]^d, \quad \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|_{\infty} := \max_{i \in \llbracket 1, d \rrbracket} |x_i - y_i|. $$

On munit l'ensemble des fonctions continues $\mathcal{C}(K, \mathbb{R})$ sur un compact $K$ de $\mathbb{R}^d$ de la **norme infinie** :

$$ \forall f \in \mathcal{C}(K, \mathbb{R}), \quad \|f\|_{\infty, K} := \max_{\mathbf{x} \in [0,1]^d} |f(\mathbf{x})|. $$

## Bibliographie commentée.

* Dans [3] et [6], on trouvera des informations complémentaires sur la preuve du théorème de Weierstrass dans l'hypercube $[0, 1]^d$ et une définition plus générale des polynômes de Bernstein à plusieurs variables.

* Dans [1] et [2], on trouvera des informations complémentaires sur le prolongement sur $\mathbb{R}^d$ d'une fonction continue définie sur un compact. La preuve du résultat de prolongation d'une fonction continue se trouve aussi dans [1].

* Dans [4] et [5], on trouvera les preuves originales de Stone et Weierstrass.

Le présent texte vise à donner une preuve simple dans le cas d'un compact de $\mathbb{R}^d$ en utilisant une version généralisée des polynômes de Bernstein.
# 1 Cas sur l'hypercube $[0,1]^d$

La preuve usuelle de l'approximation de Weierstrass en dimension 1 s'adapte bien en dimension $d$.

## 1.1 Fonctions polynômiales simplifiées de Bernstein

On commence par une définition simplifiée des fonctions polynômiales de Bernstein généralisées (pour une définition plus générale des fonctions polynômiales de Bernstein, voir la section B de l'an-nexe).

### Définition 1.1

Soit $f \in \mathcal{C}([0,1]^d, \mathbb{R})$ et $n \in \mathbb{N}_1$. La fonction polynômiale simplifiée de Bernstein de paramètres $d$ et $n$ associée à $f$ est définie par :

$$ B_{n,f}^{(d)}: \quad [0,1]^d \quad \rightarrow \quad \mathbb{R} \\ (x_1, \dots, x_d) \quad \mapsto \quad \sum_{(k_1, \dots, k_d) \in [0,n]^d} f\left(\frac{k_1}{n}, \dots, \frac{k_d}{n}\right) \prod_{i=1}^{d} \binom{n}{k_i} x_i^{k_i} (1-x_i)^{n-k_i} $$

On a alors les trois exemples simples suivants.

### Exemple 1.2

(1) **Cas $d:=1$.** En dimension 1, on retrouve les polynômes usuels de Bernstein :

$$ \forall x \in [0,1], B_{n,f}(x) := B_{n,f}^{(1)}(x) = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}. $$

(2) **Cas $f := 1$ sur $[0,1]^d$.** On a pour tout $(x_1, \dots, x_d) \in [0,1]^d$ :

$$ \begin{aligned} B_{n,1}^{(d)}(x_1, \dots, x_d) &= \sum_{(k_1, \dots, k_d) \in [0,n]^d} \prod_{i=1}^{d} \binom{n}{k_i} x_i^{k_i} (1-x_i)^{n-k_i} \\ &= \prod_{i=1}^{d} \left( \sum_{k_i \in [0,n]} \binom{n}{k_i} x_i^{k_i} (1-x_i)^{n-k_i} \right) \\ &= \prod_{i=1}^{d} 1 \\ &= 1 \end{aligned} $$

(3) **Cas $f$ à variables séparées sur $[0,1]^d$.** Supposons qu'il existe des fonctions continues $f_1, \dots, f_d \in \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ telles que pour tout $(x_1, \dots, x_d) \in [0,1]^d$ :

$$ f(x_1, \dots, x_d) = \prod_{i=1}^{d} f_i(x_i). $$

On a pour tout $(x_1, \dots, x_d) \in [0,1]^d$ :

$$ \begin{aligned} B_{n,f}^{(d)}(x_1, \dots, x_d) &= \sum_{(k_1, \dots, k_d) \in [0,n]^d} f\left(\frac{k_1}{n}, \dots, \frac{k_d}{n}\right) \prod_{i=1}^{d} \binom{n}{k_i} x_i^{k_i} (1-x_i)^{n-k_i} \\ &= \sum_{(k_1, \dots, k_d) \in [0,n]^d} \prod_{i=1}^{d} f_i\left(\frac{k_i}{n}\right) \binom{n}{k_i} x_i^{k_i} (1-x_i)^{n-k_i} \end{aligned} $$
$$ 
\begin{aligned}
&= \prod_{i=1}^{d} \left( \sum_{k_i=0}^{n} f_i \left( \frac{k_i}{n} \right) \binom{n}{k_i} x_i^{k_i} (1-x_i)^{n-k_i} \right) \\
&= \prod_{i=1}^{d} B_{n,f_i}(x_i)
\end{aligned}
$$

## 1.2 Théorème

On a alors le théorème de Stone-Weierstrass dans la cas de l'hypercube $[0,1]^d$.

### Théorème 1.3: Stone-Weierstrass - cas de l'hypercube

Soit $f \in C([0,1]^d, \mathbb{R})$. Alors la suite $(B_{n,f}^{(d)})_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]^d$ i.e. on a :

$$ \lim_{n \to \infty} \| B_{n,f}^{(d)} - f \|_{\infty, [0,1]^d} = 0. $$

*Démonstration.* Posons :

$$ K := [0, 1]^d. $$

Soit $\varepsilon > 0$. Par le théorème de Heine, la fonction $f$ est uniformément continue sur $K$. Donc il existe $\alpha > 0$ tel que :

$$ \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in [0,1]^d, \quad \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|_{\infty} \le \alpha \implies |f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{y})| \le \varepsilon $$

Posons :

$$ N := \left\lceil \frac{d \|f\|_{\infty, K}}{2\varepsilon\alpha^2} \right\rceil + 1. $$

Soit $\mathbf{x} := (x_1, \dots, x_d) \in K^d$, $n \in \mathbb{N}_1$ tel que $n \ge N$ et $\mathbf{X} := (X_1, \dots, X_d)$ une suite de $d$ variables aléatoires indépendantes de lois binomiales $\mathcal{B}_{n,x_1}, \dots, \mathcal{B}_{n,x_d}$ respectivement sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathbb{P})$ (voir le théorème A.2 pour l'existence d'une telle suite de variables aléatoires). Posons :

$$ \Gamma_{\alpha} := \left\{ \mathbf{k} \in \llbracket 0, n \rrbracket^d, \left\| \frac{\mathbf{k}}{n} - \mathbf{x} \right\|_{\infty} \le \alpha \right\}, \quad \Gamma_{\alpha}^{c} := \llbracket 0, n \rrbracket^d - \Gamma_{\alpha}. $$

Par indépendance des $X_1, \dots, X_d$, on a pour tout $\mathbf{k} := (k_1, \dots, k_d) \in \llbracket 0, n \rrbracket^d$ :

$$ \prod_{i=1}^{d} \binom{n}{k_i} x_i^{k_1} (1-x_i)^{n-k_1} = \prod_{i=1}^{d} \mathbb{P}(X_i = k_i) = \mathbb{P}(\mathbf{X} = \mathbf{k}). $$

Ainsi on a :

$$ 
\begin{align*}
|B_{n,f}^{(d)}(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x})| \tag{1} &= \left| \sum_{\mathbf{k} \in \llbracket 0, n \rrbracket^d} f\left(\frac{\mathbf{k}}{n}\right) \mathbb{P}(\mathbf{X} = \mathbf{k}) + f(\mathbf{x}) \sum_{\mathbf{k} \in \llbracket 0, n \rrbracket^d} \mathbb{P}(\mathbf{X} = \mathbf{k}) \right| \\
&= \left| \sum_{\mathbf{k} \in \llbracket 0, n \rrbracket^d} \left(f\left(\frac{\mathbf{k}}{n}\right) - f(\mathbf{x})\right) \mathbb{P}(\mathbf{X} = \mathbf{k}) \right| \tag{2} \\
&= \left| \sum_{\mathbf{k} \in \Gamma_{\alpha}} \left(f\left(\frac{\mathbf{k}}{n}\right) - f(\mathbf{x})\right) \mathbb{P}(\mathbf{X} = \mathbf{k}) + \sum_{\mathbf{k} \in \Gamma_{\alpha}^c} \left(f\left(\frac{\mathbf{k}}{n}\right) - f(\mathbf{x})\right) \mathbb{P}(\mathbf{X} = \mathbf{k}) \right| \tag{3} \\
&\le \sum_{\mathbf{k} \in \Gamma_{\alpha}} \left| f\left(\frac{\mathbf{k}}{n}\right) - f(\mathbf{x}) \right| \mathbb{P}(\mathbf{X} = \mathbf{k}) + \sum_{\mathbf{k} \in \Gamma_{\alpha}^c} \left| f\left(\frac{\mathbf{k}}{n}\right) - f(\mathbf{x}) \right| \mathbb{P}(\mathbf{X} = \mathbf{k}) \tag{4} \\
&\le \varepsilon \sum_{\mathbf{k} \in \Gamma_{\alpha}} \mathbb{P}(\mathbf{X} = \mathbf{k}) + 2 \|f\|_{\infty, K} \sum_{\mathbf{k} \in \Gamma_{\alpha}^c} \mathbb{P}(\mathbf{X} = \mathbf{k}) \tag{5}
\end{align*}
$$
$$ (6) \leq \varepsilon \sum_{\mathbf{k} \in [0,n]^d} \mathbb{P}(\mathbf{X} = \mathbf{k}) + 2 \|f\|_{\infty, K} \mathbb{P}(\|\mathbf{X} - n\mathbf{x}\|_{\infty} > n\alpha) $$

$$ (7) = \varepsilon + 2 \|f\|_{\infty,K} \mathbb{P}(\|\mathbf{X} - \mathbf{E}(\mathbf{X})\|_{\infty} > n\alpha) $$

$$ (8) = \varepsilon + 2 \|f\|_{\infty,K} \mathbb{P}\left(\max_{i \in [1, d]} |X_i - \mathbb{E}(X_i)| > n\alpha\right) $$

$$ (9) = \varepsilon + 2 \|f\|_{\infty,K} \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{d} \{|X_i - \mathbb{E}(X_i)| > n\alpha\}\right) $$

$$ (10) \leq \varepsilon + 2 \|f\|_{\infty,K} \left( \sum_{i=1}^{d} \mathbb{P}(|X_i - \mathbb{E}(X_i)| > n\alpha) \right) $$

$$ (11) \leq \varepsilon + 2 \|f\|_{\infty,K} \left( \sum_{i=1}^{d} \frac{V(X_i)}{n^2 \alpha^2} \right) $$

$$ (12) = \varepsilon + 2 \|f\|_{\infty,K} \left( \sum_{i=1}^{d} \frac{nx_i(1-x_i)}{n^2 \alpha^2} \right) $$

$$ (13) \leq \varepsilon + 2 \|f\|_{\infty,K} \left( \sum_{i=1}^{d} \frac{n/4}{n^2 \alpha^2} \right) $$

$$ (14) = \varepsilon + \frac{d \|f\|_{\infty,K}}{2n\alpha^2} $$

$$ (15) \leq 2\varepsilon $$

Donc on a pour tout $n \in \mathbb{N}_1$ tel que $n \geq N$ :

$$ \|B_{n,f}^{(d)} - f\|_{\infty,K} \leq 2\varepsilon. $$

Ainsi on a :

$$ \lim_{n \to \infty} \| B_{n,f}^{(d)} - f \|_{\infty,K} = 0. $$

Voici quelques explications pour chaque égalité ou inégalité :

(1) la famille $\{(\mathbf{X} = \mathbf{k}), \mathbf{k} \in [0, n]^d\}$ forme un système complet d'évenements et donc :
$$ \sum_{\mathbf{k} \in [0, n]^d} \mathbb{P}(\mathbf{X} = \mathbf{k}) = 1; $$

(2) en regroupant et factorisant ;

(3) en faisant le partitionnage :

$$ [0, n]^d = \Gamma_\alpha \sqcup \Gamma_\alpha^c; $$

(4) en utilisant l'inégalité triangulaire ;

(5) on a pour tout $\mathbf{k} \in \Gamma_\alpha$ (car $\mathbf{k}/n \in [0, 1]^d$ et $|\mathbf{k}/n - \mathbf{x}| \le \alpha$) :

$$ \left| f\left(\frac{\mathbf{k}}{n}\right) - f(\mathbf{x}) \right| \le \varepsilon $$

et pour tout $\mathbf{k} \in \Gamma_\alpha^c$ (car $\mathbf{k}/n \in [0, 1]^d$) :

$$ \left| f\left(\frac{\mathbf{k}}{n}\right) - f(\mathbf{x}) \right| \le \left| f\left(\frac{\mathbf{k}}{n}\right) \right| + \left| f(\mathbf{x}) \right| \le 2 \max_{\mathbf{x} \in [0,1]^d} \left| f(\mathbf{x}) \right| = 2 \|f\|_{\infty,K}; $$

(6) on a :

$$ \bigcup_{\mathbf{k} \in \Gamma_{\alpha}^{c}} \{\mathbf{X} = \mathbf{k}\} = \left\{ \left\| \frac{\mathbf{X}}{n} - \mathbf{x} \right\|_{\infty} > \alpha \right\} = \{\|\mathbf{X} - n\mathbf{x}\|_{\infty} > n\alpha\}; $$
(7) pour tout $i \in [1, d]$ l'espérance de $X_i$ vaut $nx_i$ car :

$$
\begin{align*}
\mathbb{E}(X_i) &= \sum_{k=0}^{n} k \mathbb{P}(X_i = k) \\
&= \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} x_i^k (1-x_i)^{n-k} \\
&= \sum_{k=0}^{n} n \binom{n-1}{k-1} x_i^k (1-x_i)^{n-k} \\
&= nx_i \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} x_i^{k-1} (1-x_i)^{n-1-(k-1)} \\
&= nx_i (x_i + (1-x_i))^{n-1} \\
&= nx_i
\end{align*}
$$

et donc l'espérance de **X** vaut **nx** (voir aussi les notations A.4 pour la définition de l'espérance de **X**);

(8) par définition de la norme infini sur $\mathbb{R}^d$, on a :

$$
\| \mathbf{X} - \mathbb{E}(\mathbf{X}) \|_{\infty} = \max_{i \in [1, d]} |X_i - \mathbb{E}(X_i)|;
$$

(9) on a les égalités d'évènements :

$$
\begin{align*}
\left\{ \max_{i \in [1, d]} |X_i - \mathbb{E}(X_i)| > n\alpha \right\} &= \{\omega \in \Omega, \exists i \in [1, d], |X_i(\omega) - \mathbb{E}(X_i)| > n\alpha\} \\
&= \bigcup_{i=1}^{d} \{|X_i - \mathbb{E}(X_i)| > n\alpha\};
\end{align*}
$$

(10) la probabilité d'une union d'événements est inférieure à la somme des probabilités de ces événements :

$$
\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{d} \{|X_i - \mathbb{E}(X_i)| > n\alpha\}\right) \leq \sum_{i=1}^{d} \mathbb{P}\left(|X_i - \mathbb{E}(X_i)| > n\alpha\right);
$$

(11) en appliquant $d$ fois l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour les variables aléatoires $X_1, \dots, X_d$
(voir le point (ii) du théorème A.3), on a pour tout $i \in [1, d]$ :

$$
\mathbb{P}(|X_i - \mathbb{E}(X_i)| > n\alpha) \leq \frac{V(X_i)}{n^2 \alpha^2};
$$

(on peut aussi appliquer directement le corollaire A.5 pour les étapes (8) à (11))

(12) pour tout $i \in [1, d]$, la variance de la loi binomiale $X_i$ vaut $nx_i(1-x_i)$ car on a :

$$
\begin{align*}
\mathbb{V}(X_i) &= \mathbb{E}(X_i^2) - \mathbb{E}(X_i)^2 \\
&= \sum_{k=0}^{n} k^2 \binom{n}{k} x_i^k (1-x_i)^{n-k} - (nx_i)^2 \\
&= \sum_{k=1}^{n} k n \binom{n-1}{k-1} x_i^k (1-x_i)^{n-k} - (nx_i)^2 \\
&= nx_i \sum_{k=0}^{n-1} (k+1) \binom{n-1}{k} x_i^k (1-x_i)^{n-1-k} - (nx_i)^2 \\
&= nx_i \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} x_i^k (1-x_i)^{n-1-k} + nx_i \sum_{k=0}^{n-1} k \binom{n-1}{k} x_i^k (1-x_i)^{n-1-k} - (nx_i)^2 \\
&= nx_i - (nx_i)^2 + nx_i \sum_{k=1}^{n-1} k \binom{n-1}{k} x_i^k (1-x_i)^{n-1-k}
\end{align*}
$$
$$ 
\begin{align*}
&= nx_i - (nx_i)^2 + nx_i \sum_{k=1}^{n-1} (n-1) \binom{n-2}{k-1} x_i^k (1-x_i)^{n-1-k} \\
&= nx_i - (nx_i)^2 + n(n-1)x_i^2 \sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k} x_i^k (1-x_i)^{n-2-k} \\
&= nx_i - (nx_i)^2 + n(n-1)x_i^2 \\
&= nx_i(1-x_i);
\end{align*}
$$

(13) la courbe $t \mapsto t(1-t)$ est une parabole tounée vers le bas s'annulant en 0 et 1, donc son maximum est au milieu du segment $[0,1]$ en $t := 1/2$ i.e. :

$$ \forall t \in [0,1], \ t(1-t) \le \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}. $$

(14) on a :

$$ \sum_{i=1}^{d} \frac{n/4}{n^2 \alpha^2} = \frac{d}{4n\alpha^2} $$

(15) comme :

$$ n \ge N > \frac{d \|f\|_{\infty, K}}{2\epsilon\alpha^2}, $$

on a :

$$ \frac{d\|f\|_{\infty, K}}{2n\alpha^2} \le \frac{d\|f\|_{\infty, K}}{2N\alpha^2} < \frac{d\|f\|_{\infty, K}}{2\left(d\|f\|_{\infty, K}/(2\epsilon\alpha^2)\right)\alpha^2} = \epsilon. $$

□
# 2 Cas sur un compact

## 2.1 Prolongement continue

Commençons par la définition d'un compact. On note $\|\cdot\|$ une norme quelconque sur $\mathbb{R}^d$. Pour tout $x \in \mathbb{R}^d$ et tout $r \in \mathbb{R}_+^*$, on note $\mathbb{B}(x, r)$ la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$ pour la norme $\|\cdot\|$:

$$ \mathbb{B}(x, r) := \{y \in \mathbb{R}^d, \|x - y\| < r\}. $$

### Définition 2.1: Axiome de Borel-Lebesgue

Soit un sous-ensemble $E$ de $\mathbb{R}^d$. On dit que $E$ est **compact** si pour tout recouvrement d'ouverts de $E$ possède un sous-recouvrement fini $i.e.$ pour tout ensemble $I$ et toute famille d'ouverts $(U_i)_{i \in I}$ de $\mathbb{R}^d$ telle que :

$$ E \subset \bigcup_{i \in I} U_i $$

il existe un sous-ensemble fini $I'$ de $I$ tel que :

$$ E \subset \bigcup_{i \in I'} U_i. $$

On a alors les équivalences usuelles suivantes en dimension finie pour $E$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}^d$ :

(i) $E$ est compact;

(ii) $E$ est fermé et borné.

On fixe pour la suite $K$ un compact de $\mathbb{R}^d$. Commençons par un lemme usuel.

### Lemma 2.2

Il existe un sous-ensemble $J$ de $\mathbb{N}$ au plus dénombrable et un ensemble $\mathcal{S} := \{s_k\}_{k \in J}$ dense et au plus dénombrable dans $K$.

*Démonstration.* On rappelle que la densité de $\mathcal{S}$ dans $K$ signifie que pour tout $\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*$ et pour tout $s \in K$, la boule ouverte $\mathbb{B}(s, \varepsilon)$ de centre $s$ et de rayon $\varepsilon$ rencontre $\mathcal{S}$ i.e. il existe $k \in J$ tel que $s_k \in \mathbb{B}(s, \varepsilon)$.

**Construction de $\mathcal{S}$**. Soit $r \in \mathbb{R}_+^*$. Considérons un recouvrement par les boules ouvertes $B(s, r)$ avec $s \in K$ :

$$ K \subset \bigcup_{s \in K} \mathbb{B}(s, r). $$

Par compatibilité, il existe un sous-recouvrement fini de $K$ par ces boules $i.e.$ il existe une partie finie $K_r$ de $K$ telle que :

$$ (*) : K \subset \bigcup_{s \in K_r} \mathbb{B}(s, r). $$

Comme $\mathbb{Q}_+^*$ est dénombrable et comme l'union dénombrable d'ensembles finis est au plus dénombrable, l'union :

$$ \mathcal{S} := \bigcup_{r \in \mathbb{Q}_+^*} K_r $$

est au plus dénombrable. Donc il existe une partie $J$ de $\mathbb{N}$ au plus dénombrable et une bijection $\phi_{\mathcal{S}}$ de $J$ vers $\mathcal{S}$ i.e.

$$ \mathcal{S} = \{s_k := \phi_{\mathcal{S}}(k)\}_{k \in J}. $$
**Densité de S.** Montrons que $\mathcal{S}$ est dense dans $K$. Soit $\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*$ et $s \in K$. Comme la suite $(1/n)_n$ tend vers 0, il existe $n \in \mathbb{N}_1$ tel que $0 < 1/n < \varepsilon$. Par $(*)$, il existe $s' \in K_{1/n} \subset \mathcal{S}$ tel que $s \in \mathbb{B}(s', 1/n)$. Et donc on a :

$$ \|s - s'\| < 1/n < \varepsilon $$

i.e. $s' \in \mathbb{B}(s, \varepsilon) \cap \mathcal{S}$.

□

On utilisera dans le théorème suivant l'ensemble $\mathcal{S} := \{s_k := \phi_{\mathcal{S}}(k)\}_{k \in J}$ construit dans le lemme et on pose :

$$ U := \mathbb{R}^d - K. $$

### Théorème 2.3: Prolongement continue

Soit $f \in \mathcal{C}(K, \mathbb{R})$. Alors il existe une fonction $g \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ telle que :

$$ g|_K = f. $$

*Démonstration.* Définissons trois fonctions avant de définir la fonction $g$.

(1) **Fonctions $u_k$**. Soit $k \in J$. La fonction $u_k$ est définie par :

$$ u_k: \begin{array}{rcl} U & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \max \left\{ 2 - \frac{\|x - s_k\|}{d(x, K)}, 0 \right\} \end{array} $$

où pour tout $x \in U$, on a noté $d(x, K)$ la **distance de x à K** définie par :

$$ d(x, K) := \inf_{s \in K} \|x - t\| = \min_{s \in K} \|x - s\| $$

(la borne inférieure est un minimum car la fonction $s \mapsto \|x - s\|$ est continue sur le compact $K$ donc elle atteint ses bornes). On a deux propriétés importantes.

(a) **Montrons que $u_k \in \mathcal{C}(U, [0, 1])$.** La fonction $u_k$ est le maximum de deux fonctions continues sur $U$ donc elle est continue sur $U$. De plus pour tout $x \in U$, on a :

$$ d(x, K) \le d(x, s_k) = \|x - s_k\| $$

i.e. on a :

$$ 0 \le 2 - \frac{\|x - s_k\|}{d(x, K)} \le 1. $$

et donc $u_k(x) \in [0, 1]$.

(b) **Calcul de $u_k^{-1}(\{0\})$.** Pour tout $x \in U$, on a équivalence entre :

$$ u_k(x) = 0 \iff 2 - \frac{\|x - s_k\|}{d(x, K)} \le 0 \iff \|x - s_k\| \ge 2d(x, K). $$

(2) **Fonction $\sigma$.** La fonction $\sigma$ est définie par :

$$ \sigma: \begin{array}{rcl} U & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \sum_{j \in J} 2^{-j} u_j(x) \end{array} $$

On a deux propriétés importantes.
(a) **Montrons que $\sigma$ est définie et continue sur $U$.** Pour tout $x \in U$, on a :

$$ (*) : 0 \le \sigma(x) = \sum_{j \in J} 2^{-j} u_j(x) \le \sum_{j \in J} 2^{-j} \le \sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j} = 1 $$

donc $\sigma$ est définie sur $U$. De plus comme pour tout $j \in J$, la fonction $x \mapsto 2^{-j}u_j(x)$ est continue sur $U$ et de norme infinie inférieure à $2^{-j}$ sur $U$, on a par convergence normale que la fonction $\sigma$ est continue sur $U$ (car comme on a vu la série $\sum_j 2^{-j}$ converge par $(*)$).

(b) **Montrons que $\sigma > 0$ sur $U$.** Raisonnons par l'absurde, supposons qu'il existe $x \in U$ tel que $\sigma(x) = 0$. Comme $K$ est compact, la distance entre $x$ et $K$ est atteinte i.e. il existe $s \in K$ tel que :

$$ \ell := d(x, K) = \|x - s\| > 0. $$

La somme définissant $\sigma(x)$ est une somme de termes positifs, donc la condition $\sigma(x) = 0$ est équivalente à pour tout $j \in J$, $u_j(x) = 0$ i.e. $\|x - s_j\| \ge 2d(x, K) = 2\ell$. Donc on a :

$$ \inf_{j \in J} \|x - s_j\| \ge 2d(x, K) = 2\ell $$

Donc la boule ouverte $\mathbb{B}(x, 2\ell)$ de centre $x$ et de rayon $2\ell$ ne rencontre pas $\mathcal{S}$ i.e. :

$$ \mathbb{B}(x, 2\ell) \cap \mathcal{S} = \emptyset $$

(en particulier $s \notin \mathcal{S}$).

Ainsi la boule ouverte de centre $s$ et de rayon $\ell/2$ ne rencontre pas $\mathcal{S}$ (mais contient l'élément $s$ de $K$) i.e. $\mathbb{B}(s, \ell/2) \cap \mathcal{S} = \emptyset$ car on a par inégalité triangulaire renversée et pour tout $j \in J$ :

$$ \|s - s_j\| \ge |\|s - x\| - \|x - s_j\| | = |\ell - \|x - s_j\| | \ge \ell $$

i.e. on a $s_j \notin \mathbb{B}(s, \ell/2)$. Ce qui est contradictoire avec la densité de $\mathcal{S}$ dans $K$ car la boule ouverte $\mathbb{B}(s, \ell/2)$ doit rencontrer $\mathcal{S}$ par densité.

(3) **Fonctions $v_k$.** Soit $k \in J$. La fonction $v_k$ est définie par :

$$ v_k : \begin{cases} U & \to \mathbb{R} \\ x & \mapsto \frac{1}{\sigma(x)} 2^{-k} u_k(x) \end{cases} $$

Pour tout $x \in U$, on a :

$$ \sum_{k \in J} v_k(x) = \frac{1}{\sigma(x)} \sum_{k \in J} 2^{-k} u_k(x) = \frac{\sigma(x)}{\sigma(x)} = 1. $$

**Fonction $g$.** On va définir la fonction $g$ comme une série sur $J$. Commençons par expliquer la convergence. Pour tout $k \in J$, on a :

$$ \forall x \in U, |v_k(x)f(s_k)| \le v_k(x)\|f\|_{\infty,K} $$

et donc

$$ (**) : \sum_{k \in J} v_k(x) \|f\|_{\infty,K} = \|f\|_{\infty,K} \sum_{k \in J} v_k(x) = \|f\|_{\infty,K} $$

La fonction $g$ est donc définie par :

$$ g: \begin{array}{r} \mathbb{R}^d \\ x \end{array} \to \begin{cases} \mathbb{R} & \text{si } x \in K \\ \sum_{k \in J} v_k(x) f(s_k) & \text{si } x \in U. \end{cases} $$

Ainsi la fonction $g$ est un prolongement de $f$ à $\mathbb{R}^d$. Montrons que $g$ est continue sur $\mathbb{R}^d$ i.e. $g$ est continue sur $U$ et sur $K$.
• **Continuité de $g$ sur $U$.** Pour tout $k \in J$, la fonction $x \mapsto v_k(x)f(s_k)$ est continue sur $U$ et par $(*)$, on a la convergence normale sur $U$ de la série définissant $g$. Donc la fonction $g$ est continue sur $U$.

• **Continuité de $g$ sur $K$.** Il ne reste plus qu’à montrer que $g$ est continue sur $K$ i.e. que pour tout $a \in K \cap \bar{U}$ :

$$ \lim_{x \to a} g(x) = f(a). $$

Soit $\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*$ et $a \in K \cap \bar{U}$. Par continuité de $f$ en $a$, il existe $\delta > 0$ tel que :

$$ \forall k \in J, \|a - s_k\| < \delta \implies |f(a) - f(s_k)| < \varepsilon. $$

Soit $x \in U$ tel que $\|x - a\| < \delta/4$ (on peut trouver un tel $x$ car $a \in \bar{U}$ et donc toute boule ouverte de centre $a$ rencontre $U$). Remarquons d'abord que pour tout $k \in J$ tel que $\|a - s_k\| \ge \delta$, on a par inégalité triangulaire renversée :

$$ \|x - s_k\| \ge \|x - a\| - \|a - s_k\| \ge \frac{3}{4}\delta > 2\|x - a\| \ge 2d(x, K). $$

i.e. $v_k(x) = 0$ (car $u_k(x) = 0$ par (1.b)). On a donc par inégalité triangulaire :

$$
\begin{align*}
|g(x) - f(a)| &= \left| \sum_{k \in J} v_k(x) f(s_k) - f(a) \sum_{k \in J} v_k(x) \right| \\
&\le \sum_{k \in J} v_k(x) |f(s_k) - f(a)| \\
&= \sum_{\|a - s_k\| < \delta} v_k(x) |f(s_k) - f(a)| + \sum_{\|a - s_k\| \ge \delta} v_k(x) |f(s_k) - f(a)| \\
&= \sum_{\|a - s_k\| < \delta} v_k(x) |f(s_k) - f(a)| \\
&< \varepsilon \sum_{\|a - s_k\| < \delta} v_k(x) \\
&\le \varepsilon \sum_{k \in J} v_k(x) \\
&= \varepsilon.
\end{align*}
$$

□

## 2.2 Théorème

On en déduit alors le résultat suivant.

### Théorème 2.4: Stone-Weierstrass - cas d'un compact

Soit $f \in \mathscr{C}(K, \mathbb{R})$. Alors il existe une suite de fonctions polynômiales $(p_n)_n$ qui converge uniformément vers $f$ sur $K$.

*Démonstration.* Traitons deux cas.

(1) **Cas $K := [-M, M]^d$ avec $M > 0$ i.e. $f \in \mathscr{C}([-M, M]^d, \mathbb{R})$.** Posons (voir aussi la définition B.4) :

$$ \mathfrak{h}(f) : \begin{array}{ccc} [0, 1]^d & \to & \mathbb{R} \\ \mathbf{x} & \mapsto & f(M \cdot (2\mathbf{x} - \mathbf{1})) \end{array} $$

avec $\mathbf{1} := (1, \dots, 1) \in \mathbb{R}^d$. Alors on a $\mathfrak{h}(f) \in \mathscr{C}([0, 1]^d, \mathbb{R})$. Par le théorème 1.3, la suite $(B_{n, \mathfrak{h}(f)}^{(d)})_n$ converge uniformément vers $\mathfrak{h}(f)$ sur $[0, 1]^d$.
Posons pour tout $\mathbf{x} \in [-M, M]^d$ (voir aussi la définition B.5) :

$$B_{n,f}^{(d)}(\mathbf{x}) := B_{n,\mathfrak{h}(f)}^{(d)}\left(\frac{1}{2M}(\mathbf{x} + M.\mathbf{1})\right).$$

Alors pour tout $\mathbf{x} \in [-M, M]^d$ :

$$|B_{n,f}^{(d)}(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x})| = |B_{n,\mathfrak{h}(f)}^{(d)}\left(\frac{1}{2M}(\mathbf{x} + M.\mathbf{1})\right) - \mathfrak{h}(f)\left(\frac{1}{2M}(\mathbf{x} + M.\mathbf{1})\right)| \le \|B_{n,\mathfrak{h}(f)}^{(d)} - \mathfrak{h}(f)\|_{\infty,K}.$$

Donc on a :

$$\lim_{n \to \infty} \| B_{n,f}^{(d)} - f \| \le \lim_{n \to \infty} \| B_{n,\mathfrak{h}(f)}^{(d)} - \mathfrak{h}(f) \|_{\infty,K} = 0.$$

Donc la suite de fonctions polynômiales $(B_{n,f}^{(d)})_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[-M, M]^d$. (2) **Cas général.** Comme $K$ est compact i.e. fermé et borné, il existe $M > 0$ tel que :

$$K \subset [-M, M]^d.$$

Par le théorème 2.3, il existe un prolongement continue $g$ de $f$ à $\mathbb{R}^d$. Posons :

$$\tilde{f} := g|_{[-M,M]^d}.$$

On a $\tilde{f} \in \mathscr{C}([-M, M]^d, \mathbb{R})$. Par le point (1), la suite de fonctions polynômiales $(q_n)_n := (B_{n,\tilde{f}}^{(d)})_n$ converge uniformément vers $\tilde{f}$ sur $[-M, M]^d$.

Donc par restriction à $K$, la suite de fonctions polynômiales $(p_n)_n := (q_{n|K})_n$ converge uniformément vers $f$ sur $K$.

□

Pour $f \in \mathscr{C}(K, \mathbb{R})$, notons $\text{pr}(f, \phi_{\mathscr{S}})$ le prolongement continue de $f$ à $\mathbb{R}^d$ contruit dans la preuve du théorème 2.3 (ce prolongement dépend de $\mathscr{S}$ et précisément de la bijection $\phi_{\mathscr{S}}$ de $J$ vers $\mathscr{S}$ définie dans le lemme 2.2). On peut décrire explicitement la suite de fonctions polynômiales $(p_n)_n$ qui converge uniformément vers $f$ sur $K$, elle est donnée pour tout $n \in \mathbb{N}_1$ par :

$$p_n := (B_{n,\text{pr}(f,\phi_{\mathscr{S}})|_{[-M,M]}})_{|K}.$$
# A Artifaille en probabilités

## A.1 Existence de variables aléatoires binomiales indépendantes

Dans cette sous-section, on justifie l'existence d'une suite finie de variables aléatoires indépendantes suivant des lois binomiales.

### Définition A.1

Soit $n \in \mathbb{N}$ et $p \in [0, 1]$. La loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est l'application $\mathcal{B}_{n,p}$ définie par :

$$ \mathcal{B}_{n,p} : \begin{array}{rcl} \llbracket 0, n \rrbracket & \rightarrow & \llbracket 0, 1 \rrbracket \\ k & \mapsto & \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. \end{array} $$

Pour $n \in \mathbb{N}$ et $p \in [0, 1]$, on a par le binôme de Newton :

$$ \sum_{k=0}^{n} \mathcal{B}_{n,p}(k) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = (p + (1-p))^n = 1. $$

### Théorème A.2

Soit $d, n \in \mathbb{N}_1$ et $\mathbf{x} := (x_1, \dots, x_d) \in [0, 1]^d$. Alors il existe un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{P})$ et une suite de $d$ variables aléatoires indépendantes $\mathbf{X} := (X_1, \dots, X_d)$ sur $(\Omega, \mathcal{P})$ de lois binomiales $\mathcal{B}_{n,x_1}, \dots, \mathcal{B}_{n,x_d}$ respectivement.

*Démonstration.* Posons pour tout $k \in \llbracket 1, d \rrbracket$ :

$$ \mathcal{B}_k := \mathcal{B}_{n,x_k}. $$

On définit les objets suivants.

* (Univers) Posons $\Omega := \llbracket 0, n \rrbracket^d$.

* (Probabiltés) Comme :

$$ \sum_{\omega \in \Omega} \left( \prod_{k=1}^{d} \mathcal{B}_k(\omega_k) \right) = \prod_{k=1}^{d} \left( \sum_{\omega \in \Omega} \mathcal{B}_k(\omega_k) \right) = 1. $$

il existe un unique probabilité $\mathcal{P}$ sur $\Omega$ telle que :

$$ \forall \omega \in \Omega, \quad \mathcal{P}(\{\omega\}) := \prod_{k=1}^{d} \mathcal{B}_k(\omega_k). $$

* (Variables aléatoires) Pour tout $k \in \llbracket 1, d \rrbracket$, on définit la variable aléatoire $X_k$ par :

$$ X_k : \begin{array}{rcl} \Omega & \rightarrow & \llbracket 0, n \rrbracket \\ \omega & \mapsto & \omega_k \end{array} $$

Soit $l \in \llbracket 1, d \rrbracket$. Montrons que $X_l \sim \mathcal{L}_l$. On a pour tout $\omega \in \llbracket 0, n \rrbracket^{d-1}$ et tout $x \in \llbracket 0, n \rrbracket$ :

$$ X_l((\omega_1, \dots, \omega_{l-1}, x, \omega_l, \dots, \omega_d)) = x. $$

Ainsi on a $X_l(\Omega) = \llbracket 0, n \rrbracket$.

Pour tout $x \in \llbracket 0, n \rrbracket$, on a :

$$ \mathbb{P}(X_l = x) = \mathbb{P}(\{\omega \in \Omega, \omega_l = x\}) $$
$$
\begin{align*}
&= \mathbb{P}\left( \left\lfloor \bigcup_{\omega \in [0,n]^{d-1}} \{ (\omega_1, \dots, \omega_{l-1}, x, \omega_l, \dots, \omega_d) \} \right\rfloor \right) \\
&= \sum_{\omega \in [0,n]^{d-1}} \mathbb{P}(\{ (\omega_1, \dots, \omega_{l-1}, x, \omega_l, \dots, \omega_d) \}) \\
&= \sum_{\omega \in [0,n]^{d-1}} \mathcal{B}_l(x) \prod_{\substack{k=1 \\ k \neq l}}^d \mathcal{B}_k(\omega_k) \\
&= \mathcal{B}_l(x) \sum_{\omega \in [0,n]^{d-1}} \prod_{\substack{k=1 \\ k \neq l}}^d \mathcal{B}_k(\omega_k) \\
&= \mathcal{B}_l(x) \prod_{\substack{k=1 \\ k \neq l}}^d \left( \sum_{\omega_k \in [0,n]} \mathcal{B}_k(\omega_k) \right) \\
&= \mathcal{B}_l(x).
\end{align*}
$$

Ainsi, $X_l \sim \mathcal{L}_l$.

Montrons que les variables aléatoires $X_1, \dots, X_d$ sont mutuellement indépendantes. Soit $I \subset [1, d]$. Posons $I^c := [1, d] - I$. Pour tout $x \in [0, n]^I$, on a :

$$
\begin{align*}
\mathbb{P}\left(\bigcap_{i \in I} (X_i = x(i))\right) &= \mathbb{P}\left(\{\omega \in \Omega, \forall i \in I, \omega_i = x(i)\}\right) \\
&= \mathbb{P}\left(\left\lfloor \bigcup_{y \in [0,n]^I} \{\omega \in \Omega, \forall i \in I, \omega_i = x(i) \wedge \forall k \in I^c, \omega_k = y(k)\} \right\rfloor\right) \\
&= \sum_{y \in [0,n]^I} \mathbb{P}\left(\{\omega \in \Omega, \forall i \in I, \omega_i = x(i) \wedge \forall k \in I^c, \omega_k = y(k)\}\right) \\
&= \sum_{y \in [0,n]^I} \mathcal{B}_i(x(i)) \prod_{k \in I^c} \mathcal{B}_k(y(k)) \\
&= \prod_{i \in I} \mathcal{B}_i(x(i)) \left( \sum_{y \in [0,n]^I} \prod_{k \in I^c} \mathcal{B}_k(y(k)) \right) \\
&= \prod_{i \in I} \mathcal{B}_i(x(i)) \prod_{k \in I^c} \left( \sum_{y_k=0}^n \mathcal{B}_k(y(k)) \right) \\
&= \prod_{i \in I} \mathcal{B}_i(x(i)) \\
&= \prod_{i \in I} \mathbb{P}(X_i = x(i))
\end{align*}
$$

D'où le résultat.

☐

## A.2 Deux inégalités

Dans cette deuxième sous-section, on démontre deux inégalités connues en probabilités (voir les notations A.4 ci-après pour les définitions de l'espérance et de la variance d'une variable aléatoire).

### Théorème A.3

Soit $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilité fini $(\Omega, \mathbb{P})$ d'espérance $m$ et de variance $\sigma$.

(i) (Inégalité de Markov) Pour tout $a > 0$, on a :

$$ \mathbb{P}(|X| \ge a) \le \frac{m}{a}. $$
(ii) **(Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)** Pour tout $a > 0$, on a :

$$ \mathbb{P}(|X - m| \ge a) \le \frac{\sigma}{a^2}. $$

**Démonstration.** (i) Soit $a > 0$. Posons

$$ A := \{|X| \ge a\} := \{\omega \in \Omega, |X(\omega)| \ge a\}. $$

Soit $\omega \in \Omega$. On a deux cas.

(1) **Cas $\omega \in A$.** On a :

$$ \begin{gathered} a1_A(\omega) = a.1 = a \\ |X(\omega)|1_A(\omega) = |X(\omega)|.1 = |X(\omega)| \ge a. \end{gathered} $$

Donc on a :

$$ a1_A(\omega) \le |X(\omega)|1_A(\omega) = |X(\omega)| $$

(2) **Cas $\omega \in A^c$.** On a :

$$ \begin{gathered} a1_A(\omega) = 0 \\ |X(\omega)|1_A(\omega) = 0 \\ |X(\omega)| \ge 0. \end{gathered} $$

Donc on a :

$$ a1_A(\omega) = |X(\omega)|1_A(\omega) \le |X(\omega)|. $$

Ainsi on a dans les deux cas :

$$ a1_A(\omega) \le |X(\omega)|1_A(\omega) \le |X(\omega)|. $$

Donc on a :

$$ a1_A \le |X|1_A \le |X|. $$

Les trois fonctions $a1_A$, $|X|1_A$, et $|X|$ sont des variables aléatoires sur $\Omega$. Donc par croissance de l'espérance, on a :

$$ \mathbb{E}(a1_A) \le \mathbb{E}(|X|1_A) \le \mathbb{E}(|X|) $$

Or on a par linéarité de l'espérance :

$$ \mathbb{E}(a1_A) = a\mathbb{E}(1_A) = a\mathbb{P}(A). $$

Et donc on a :

$$ a\mathbb{P}(A) \le \mathbb{E}(|X|) $$

i.e.

$$ \mathbb{P}(A) \le \frac{\mathbb{E}(|X|)}{a}. $$

(ii) Soit $a > 0$. Posons :

$$ Y := (X - \mathbb{E}(X))^2. $$

On a $Y \ge 0$ i.e. $|Y| = Y$. Et ainsi par (i), on a :

$$ \mathbb{P}(Y \ge a^2) \le \frac{\mathbb{E}(Y)}{a^2}. $$

i.e.

$$ \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \ge a) \le \frac{\mathbb{V}(X)}{a^2}. $$

□

On en déduit alors une inégalité générale en dimension $d$ (voir [7] pour d'autres types d'inégalités). Commençons par quelques notations sur les suites de variables aléatoires.
## Notation A.4

Soit $\mathbf{X} := (X_1, \dots, X_d)$ une suite de $d$ variables aléatoires sur un espace probabilisé fini $(\Omega, \mathbb{P})$.

(1) L'espérance de $\mathbf{X}$ est définie par :

$$ \mathbb{E}(\mathbf{X}) := (\mathbb{E}(X_1), \dots, \mathbb{E}(X_1)). $$

avec pour tout $i \in [1, d]$ :

$$ \mathbb{E}(X_i) := \sum_{x \in X_i(\Omega)} x \mathbb{P}(X_i = x) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \mathbb{P}(\{\omega\}). $$

(2) La matrice de covariance de $\mathbf{X}$ est définie par la matrice symétrique :

$$ \mathbb{V}(\mathbf{X}) := (\mathrm{Cov}(X_i, X_j))_{1 \le i, j \le d} = \begin{pmatrix} \mathbb{V}(X_1) & \mathrm{Cov}(X_1, X_2) & \dots & \mathrm{Cov}(X_1, X_d) \\ \mathrm{Cov}(X_1, X_2) & \mathbb{V}(X_2) & \dots & \mathrm{Cov}(X_2, X_d) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm{Cov}(X_1, X_d) & \mathrm{Cov}(X_2, X_d) & \dots & \mathbb{V}(X_d) \end{pmatrix} $$

avec pour tous $i, j \in [1, d]$ :

$$ \mathrm{Cov}(X_i, X_j) := \mathbb{E}((X_i - \mathbb{E}(X_i))(X_j - \mathbb{E}(X_j))) $$

$$ \mathbb{V}(X_i) := \mathrm{Cov}(X_i, X_i) = \mathbb{E}((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2) = \mathbb{E}(X_i^2) - \mathbb{E}(X_i)^2 $$

la dernière égalité s'appelle la **formule de König-Huygens**.

On a alors une généralisation possible de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev en dimension $d$.

## Corollary A.5: Une inégalité de Bienaymé-Tchebychev en dimension $d$

Soit $\delta > 0$ et $\mathbf{X} := (X_1, \dots, X_d)$ une suite de $d$ variables aléatoires sur un espace probabilisé fini $(\Omega, \mathbb{P})$. On a :

$$ \mathbb{P}(\|\mathbf{X} - \mathbb{E}(\mathbf{X})\|_{\infty} > \delta) \le \frac{\mathrm{Tr}(\mathbb{V}(\mathbf{X}))}{\delta^2}. $$

*Démonstration.* On reprend les raisonnements des points (7) à (11) de la preuve du théorème 1.3. On a par la point (ii) du théorème A.3 :

$$ \begin{align*} \mathbb{P}(\|\mathbf{X} - \mathbb{E}(\mathbf{X})\|_{\infty} > \delta) &= \mathbb{P}\left(\max_{i \in [1, d]} |X_i - \mathbb{E}(X_i)| > \delta\right) \\ &= \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^d \{|X_i - \mathbb{E}(X_i)| > \delta\}\right) \\ &\le \sum_{i=1}^d \mathbb{P}(|X_i - \mathbb{E}(X_i)| > \delta) \\ &\le \sum_{i=1}^d \frac{\mathbb{V}(X_i)}{\delta^2} \\ &= \frac{\mathrm{Tr}(\mathbb{V}(\mathbf{X}))}{\delta^2}. \end{align*} $$

On aurait pu prendre une autre norme $\|\cdot\|$ sur $\mathbb{R}^d$. Comme toutes les normes sont équivalentes, il existe $\alpha, \beta > 0$ tels que :

$$ \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d, \alpha \|\mathbf{x}\|_{\infty} \le \|\mathbf{x}\| \le \beta \|\mathbf{x}\|_{\infty}. $$
Corollary A.6: Une inégalité de Bienaymé-Tchebychev en dimension $d$

Soit $\delta > 0$ et $\mathbf{X} := (X_1, \dots, X_d)$ une suite de $d$ variables aléatoires sur un espace probabilisé fini $(\Omega, \mathcal{P})$. On a :

$$ \mathbb{P}(\|\mathbf{X} - \mathbb{E}(\mathbf{X})\| > \delta) \leq \frac{\beta^2 \mathrm{Tr}(\mathbb{V}(\mathbf{X}))}{\delta^2}. $$

Démonstration. Comme :

$$ \{\|\mathbf{X} - \mathbb{E}(\mathbf{X})\| > \delta\} \subset \{\beta \|\mathbf{X} - \mathbb{E}(\mathbf{X})\|_{\infty} > \delta\} $$

on a par croissance de $\mathbb{P}$ :

$$ \begin{align*} \mathbb{P}(\|\mathbf{X} - \mathbb{E}(\mathbf{X})\| > \delta) &\leq \mathbb{P}(\beta \|\mathbf{X} - \mathbb{E}(\mathbf{X})\|_{\infty} > \delta) \\ &= \mathbb{P}\left(\|\mathbf{X} - \mathbb{E}(\mathbf{X})\|_{\infty} > \frac{\delta}{\beta}\right) \\ &\leq \frac{\beta^2 \mathrm{Tr}(\mathbb{V}(\mathbf{X}))}{\delta^2} \end{align*} $$

□
# B Polynômes de Bernstein généralisés

Dans cette sous-section, on généralise la définition 1.1 des fonctions polynômiales simplifiées de Bernstein (voir aussi [6]).

## B.1 Cas sur l'hypercube $[0, 1]^d$

On commence par le cas de l'hypercube $[0, 1]^d$.

### Définition B.1

Soit $f \in \mathcal{C}([0,1]^d, \mathbb{R})$ et $\mathbf{n} := (n_1, \dots, n_d) \in (\mathbb{N}_1)^d$. La fonction polynômiale de Bernstein de paramètres $d$ et $\mathbf{n}$ associée à $f$ est définie par :

$$ B_{\mathbf{n},f}^{(d)}: \quad [0,1]^d \quad \rightarrow \quad \mathbb{R} \\ (x_1, \dots, x_d) \quad \rightarrow \quad \sum_{(k_1, \dots, k_d) \in [0,n]^d} f\left(\frac{k_1}{n_1}, \dots, \frac{k_d}{n_d}\right) \prod_{i=1}^{d} \binom{n_i}{k_i} x_i^{k_i} (1-x_i)^{n-k_i} $$

On retrouve la définition 1.1 en prenant $\mathbf{n} := (n_1, \dots, n_d)$ avec $n \in \mathbb{N}_1$ :

$$ B_{(n,...,n),f}^{(d)} = B_{n,f}^{(d)} $$

On reprend les exemples 1.2.

### Exemple B.2

Soit $\mathbf{n} := (n_1, \dots, n_d) \in (\mathbb{N}_1)^d$. Posons :

$$ \Gamma := \prod_{i=1}^{d} [0, n_i] $$

(1) Cas $f := 1$ sur $[0,1]^d$. On a pour tout $(x_1, \dots, x_d) \in [0,1]^d$ :

$$ \begin{aligned} B_{\mathbf{n},1}^{(d)}(x_1, \dots, x_d) &= \sum_{(k_1, \dots, k_d) \in \Gamma} \prod_{i=1}^{d} \binom{n_i}{k_i} x_i^{k_i} (1-x_i)^{n_i-k_i} \\ &= \prod_{i=1}^{d} \left( \sum_{k_i \in [0,n_i]} \binom{n_i}{k_i} x_i^{k_i} (1-x_i)^{n_i-k_i} \right) \\ &= \prod_{i=1}^{d} 1 \\ &= 1 \end{aligned} $$

(2) Cas $f$ à variables séparées sur $[0,1]^d$. Supposons qu'il existe des fonctions continues $f_1, \dots, f_d \in \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ telles que pour tout $(x_1, \dots, x_d) \in [0,1]^d$ :

$$ f(x_1, \dots, x_d) = \prod_{i=1}^{d} f_i(x_i). $$

On a pour tout $(x_1, \dots, x_d) \in [0,1]^d$ :

$$ \begin{aligned} B_{n,f}^{(d)}(x_1, \dots, x_d) &= \sum_{(k_1, \dots, k_d) \in \Gamma} f\left(\frac{k_1}{n_1}, \dots, \frac{k_d}{n_d}\right) \prod_{i=1}^{d} \binom{n_i}{k_i} x_i^{k_i} (1-x_i)^{n_i-k_i} \\ &= \sum_{(k_1, \dots, k_d) \in \Gamma} \prod_{i=1}^{d} f_i\left(\frac{k_i}{n_i}\right) \binom{n}{k_i} x_i^{k_i} (1-x_i)^{n_i-k_i} \end{aligned} $$
$$ 
\begin{aligned}
&= \prod_{i=1}^{d} \left( \sum_{k_i=0}^{n} f_i \left( \frac{k_i}{n_i} \right) \binom{n_i}{k_i} x_i^{k_i} (1-x_i)^{n_i-k_i} \right) \\
&= \prod_{i=1}^{d} B_{n_i, f_i}(x_i)
\end{aligned}
$$

## B.2 Cas sur un pavé

Commençons par la définition d'un segment et d'un pavé en dimension $n$.

### Définition B.3

(i) Soit $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ tels que $a \le b$. Le **segment** $[a, b]$ est l'ensemble des $x \in \mathbb{R}$ tel que $a \le x \le b$.

(ii) Soit une partie $I$ de $\mathbb{R}$. On dit que $I$ est **un segment de $\mathbb{R}$** s'il existe un couple $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ tels que $a \le b$ et $I := [a, b]$.

(iii) Soit une partie $K$ de $\mathbb{R}^d$. On dit que $I$ est un **pavé de $\mathbb{R}^d$** s'il existe une suite de couple $(a_i, b_i)_i \in (\mathbb{R}^2)^d$ telle que pour tout $i \in [1, d]$, $a_i \le b_i$ et :

$$ K = \prod_{i=1}^{d} [a_i, b_i]. $$

On dit que le pavé est **non trivial** si pour tout $i \in [1, d]$, $a_i < b_i$.

Tous les segments et pavés considérés dans la suite seront **non triviaux**.

On a pour tout $a \in \mathbb{R}$ :

$$ [a, a] = \{a\}. $$

Comme tout segment $[a, b]$ (non trivial) peut s'écrire comme l'ensemble des barycentres positifs de $a$ et $b$ :

$$ [a, b] = \{xb + (1-x)a, 0 \le x \le 1\} = \{xb + (1-x)a, x \in [0, 1]\} $$

on a une bijection naturelle :

$$ \begin{array}{ccc} [0, 1] & \to & [a, b] \\ x & \mapsto & xb + (1-x)a \end{array} $$

de réciproque :

$$ \begin{array}{ccc} [a, b] & \to & [a, b] \\ x & \mapsto & \frac{x-a}{b-a} \end{array} $$

et pour tout pavé $\prod_{i=1}^{d} [a_i, b_i]$ (non trivial) de $\mathbb{R}^d$, on a une bijection :

$$ \begin{array}{ccc} [0, 1]^d & \to & \prod_{i=1}^{d} [a_i, b_i] \\ (x_1, \dots, x_d) & \mapsto & (x_i b_i + (1-x_i)a_i)_{i \in [1, d]} \end{array} $$

de réciproque :

$$ \begin{array}{ccc} \prod_{i=1}^{d} [a_i, b_i] & \to & [0, 1]^d \\ (x_1, \dots, x_d) & \mapsto & \left( \frac{x_i - a_i}{b_i - a_i} \right)_{i \in [1, d]} \end{array} $$

On peut alors définir les polynômes de Bernstein sur des pavés quelconques de $\mathbb{R}^d$. D'où la définition suivante.
Définition B.4

Soit $f \in \mathscr{C}(\prod_{i=1}^{d}[a_i, b_i], \mathbb{R})$. La fonction continue sur $[0, 1]^d$ associée à $f$ est définie par :

$$ \mathfrak{h}(f) : [0,1]^d \longrightarrow \mathbb{R} \\ \mathbf{x} \longmapsto f((x_i b_i + (1-x_i)a_i)_{i \in \llbracket 1, d \rrbracket}) $$

On a alors la définition générale suivante des fonctions polynômiales de Bernstein associées à une fonction définie sur un pavé de $\mathbb{R}^d$.

Définition B.5

Soit $f \in \mathscr{C}(\prod_{i=1}^{d}[a_i, b_i], \mathbb{R})$ et $\mathbf{n} \in (\mathbb{N}_1)^d$. La fonction polynômiale de Bernstein de paramètres $d$ et $\mathbf{n}$ associée à $f$ est définie pour tout $\mathbf{x} \in \prod_{i=1}^{d}[a_i, b_i]$ :

$$ B_{\mathbf{n},f}^{(d)}(\mathbf{x}) := B_{\mathbf{n},\mathfrak{h}(f)}^{(d)}\left(\left(\frac{x_i - a_i}{b_i - a_i}\right)_{i \in \llbracket 1, d \rrbracket}\right). $$
Références

[1] N. Bourbaki, *Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale*, Chapitre 9, Springer, (2007).

[2] Evans L. C., Gariepy R. F., *Measure Theory and Fine Properties of Functions*, CRC Press, (1991).

[3] Hildebrandt T. H., Schoenberg I. J., *On linear functional operations and the moment problem for a finite interval in one or several dimensions*, Annals of Mathematics, 34 (2) : 327, (1933).

[4] Stone M. H., *The Generalized Weierstrass Approximation Theorem*, Mathematics Magazine, 21 (4) : 167–184, (1948).

[5] Weierstrass K., *Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen*, Sitzber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, (1885).

[6] Wikipédia, *Bernstein polynômial # Generalizations to higher dimension*.

[7] Wikipédia, *Chebyshev's inequality # Extensions*.