<figure><img src="image_145.png" /></figure>

FIGURE 6.4 – Tendances de différentes composantes magnétiques au sein de notre ensemble de simulations. On retrouve le champ global $\langle B \rangle$ (a) moyenné sur l'ensemble du domaine, le champ représentatif à grandes échelles $B_{r,1<5}$ (b) et le dipôle radial $B_{r,1}$ (c) pris en surface des simulations, ainsi que le flux magnétique total $\Phi_B$ (d) intégré en surface des simulations. Les lignes violettes représentent les régressions linéaires réalisées sur les données pour $Ro_f < 1$, et nous ajoutons en pointillé des exemples de tendances tirées de différentes études discutées. Chaque point représente une moyenne temporelle sur plusieurs temps de retournement convectifs, et des barres verticales indiquent les minima et maxima atteint sur le temps moyenné. On souligne que la tendance du champ magnétique grande échelle $B_{r,1<5}$ est en bon accord avec les observations. Adaptés de Brun et al. (2022).

Premièrement, on observe sur le panneau (a) une diminution notable du champ magnétique moyenné sur tout le domaine en fonction du Rossby. Il est défini comme $\langle B \rangle = \sqrt{8\pi M\bar{E}}$, et reprend donc la tendance de ME observée précédemment. On note qu'une régression linéaire est alors compatible avec $Ro_f^{-0.5}$, généralement retrouvée par les tendances dynamo théoriques (Augustson et al., 2019). Cette tendance témoigne notamment de la présence d'un équilibre entre la force de Lorentz et Coriolis, appelé magnétostrophie, pour $Ro_f < 1$ ($B^2 \sim \rho\Omega\eta$, Brun et al. 2015). Cependant, on voit que les tendances en fonction de $Ro_f$ changent lorsqu'on considère les champs de surface. En effet, on voit sur le panneau (b) que le champ caractéristique à grandes échelles $B_{r,1<5}$ pris en surface des simulations a une tendance comparable aux observations de champs magnétiques stellaires $|B_V| \propto Ro_f^{-1.4}$ effectuées par technique ZDI (voir Section 1.3.3, Vidotto et al. 2014). Cette technique d'observation est en effet sensible aux composantes à grandes échelles de la topologie magnétique des étoiles observées (See et al., 2019a). Il est donc intéressant de constater que le champ magnétique résultant des dynamos modélisées permet de retrouver les tendances théoriques attendues lorsque l'on s'intéresse au champ en profondeur, ainsi que les tendances observationnelles en considérant le champ proche de la surface. On peut encore aller plus loin et ne s'intéresser qu'à la composante dipolaire $\ell = 1$ du champ sur le panneau (c). On voit alors une tendance légèrement moins abrupte, compatible avec les composantes dipolaires observées sur les étoiles de type solaire $B_{\text{dip}} \propto Ro_f^{-1.3}$ (See et al., 2019b). Néanmoins, la dispersion plus élevée des
données nous oblige à rester prudent sur les conclusions tirées. Il est important de noter ici qu'on ne note
pas de chute significative du dipôle pour les modèles anti-solaires, comme il était proposé initialement pour
expliquer la rotation plus rapide qu'attendue et observée sur les vieilles étoiles de la MS (van Saders et al.,
2016; Metcalfe & van Saders, 2017). Cependant, on note tout de même qu'un minimum est alors atteint juste
avant cette transition rotationnelle. Cette faible amplitude du dipôle, couplée à une baisse de la perte de masse
(voir Section 1.3.4), pourrait alors faire chuter la perte de moment cinétique, et ainsi bloquer l'étoile dans
ce minimum et alors expliquer les observations (voir aussi Metcalfe et al. (2022). Enfin, on représente sur le
panneau (d) le flux total non signé en surface de chaque simulation $Φ_{tot} = |Φ_+| + |Φ_-|$, avec $|Φ_+|$ le flux
magnétique positif, $B_{r,top} > 0$ intégré sur la surface, et $|Φ_-|$ le flux magnétique négatif, intégration similaire
pour $B_{r,top} < 0$. Une nouvelle régression linéaire nous montre alors que les simulations sont compatibles avec
une tendance $Φ_{tot} \simeq 1.19 Ro_f^{-0.88 \pm 0.31} 10^{24}$ Mx, dont l'évolution $Φ \propto Ω^n$ se rapproche des mesures de Saar
(2001), et plus récemment Reiners et al. (2022), relevant respectivement $n = 1.2$ et $n = 1.25$. Finalement,
on note un possible changement de comportement pour les modèles anti-solaire à $Ro_f > 1$, et une tendance
croissante est proposée en gris pour l'illustrer. Cette augmentation est particulièrement visible sur le flux $Φ_{tot}$,
mais se retrouve aussi avec les autres composantes prises en surface des simulations. Cependant, la dispersion
reste non négligeable et de nouveaux modèles à haut $Ro_f$ seront nécessaires pour confirmer ce changement de
comportement.

Finalement, on note que les différents champs magnétiques illustrés peuvent varier au cours du temps, atteignant des extrema indiqués par les barres verticales sur les différents panneaux. Ces variations résultent généralement d'une activité cyclique, présente dans la majorité des dynamos étudiées, et que nous allons maintenant décrire au sein de la section suivante.

6.2.2 Présentation des différents régimes dynamo

Comme nous l'avons vu en Section 2.3.2, notre ensemble de 15 modèles dynamos présentent différents régimes de rotation : quasi-uniforme, de type solaire ou anti-solaire en fonction du nombre de Rossby. En parallèle de ces transitions rotationnelles, nous observons aussi des transitions magnétiques, entre différents états d'activités magnétiques. Nous observons des cycles longs, au sens du cycle d'activité solaire de 11 ans, ainsi que des cycles plus courts et des dynamos stationnaires, dont nous présentons un récapitulatif en Figure 6.5.

Le panneau (c) représente les variations des ratios énergétiques DRKE/ME en fonction du nombre de Rossby. Les points ronds représentent les modèles étudiés ici (“This work”) et sont comparés avec les triangles (“S17”) représentant les résultats de l'étude Strugarek et al. (2017a). On représente en couleur la présence de cycles en fonction du nombre de Rossby : les cycles courts de l'ordre de l'année (en bleu), les cycles longs de l'ordre de la décennie en rouge, et les dynamos stationnaires ne présentant pas de cycle en noir. Associés par des flèches aux couleurs correspondantes, nous représentons des diagrammes papillons associés au panneau (a) avec les profils de rotation correspondants au panneau (b). Les évolutions temporelles de flux représentatifs des différents états sont illustrées au panneau (d), où l'on retrouve le flux total non signé $Φ_{tot}$, positif $Φ_+$ et négatif $Φ_-$ définis à la section précédentes, respectivement en noir, rouge et bleu. On ajoute de plus ici le flux net $Φ_{net} = Φ_+ + Φ_-$ en pointillés noir, qui est systématiquement nul sur l'ensemble des modèles. Cela témoigne d'une très bonne conservation du flux magnétique, permis dans ASH par la résolution de l'équation d'induction (2.5) par une décomposition toroïdale/poloïdale (Glatzmaier, 1984; Brun et al., 2004). Cette conservation se voit aussi par la symétrie des flux nets intégrés sur l'hémisphère Nord $Φ_N$ et Sud $Φ_S$, respectivement en cyan et violet. On remarque de plus que ces flux sont généralement un ordre de grandeur en dessous des flux $Φ_+$ et $Φ_-$, ce qui témoigne de structures magnétiques petites échelles pour ces simulations. Enfin, on voit que l'évolution temporelle de ces flux peut grandement différer d'un modèle à l'autre, en fonction de l'état de dynamo considéré. Nous décrivons maintenant les différents états observés.
<figure><img src="image_146.png" /></figure>

FIGURE 6.5 – Récapitulatif des différents différentes activités dynamo observées au sein des simulations globales 3D MHD présentées. (a) Diagrammes papillons représentatifs des différents états dynamo (le rouge signale une valeur positive et le bleu une valeur négative). Le diagramme papillon supérieur du panneau (a) représente le champ magnétique toroïdal en surface de M09R3m, pour lequel l'influence moyenne du cycle long a été soustraite. Les deux autres diagrammes papillons représentent le champ toroïdal à la base de la zone convective de M09R3m (milieu) et M09Sm (bas). Ces derniers sont accompagnés des profils de rotation associés aux modèles (b). (c) Diagramme (DRKE/ME, Ro<sub>f</sub>) où les différents régimes dynamo observés sont codés en couleurs : cycles courts (bleu), cycles longs (rouge) et absence de cycles (noir). (d) Illustration des flux associés aux différents régimes dynamo.

6.2.2.1 Cycles longs

On remarque tout d'abord la présence de cycles “longs” dans un régime de Ro<sub>f</sub> intermédiaire 0.15 ≲ Ro<sub>f</sub> ≲ 0.65,
où l'on retrouve principalement des profils de rotation de type solaire. Les périodes P<sub>cyc</sub> d'activités relevées vont
de 4.9 à 21.4 ans, pouvant donc atteindre le double de la période du cycle solaire. Le modèle M09R3m est un
modèle au sein duquel nous retrouvons ce type de cycle “de Schwabe”, visible sur l'évolution temporelle de son
flux au milieu du panneau (d). Ce dernier peut varier entre 3 × 10<sup>23</sup> et 4 × 10<sup>24</sup> Mx, ce qui est dans le même
ordre de grandeur que les valeurs solaires (voir la Figure 3 de Schrijver & Harvey 1994). Afin de comprendre
la phénoménologie de son cycle long, nous représentons l'évolution temporelle de ses différentes énergies en
Figure 6.6.

On remarque en particulier une anti-corrélation entre l'énergie magnétique ME (noir en tirets) et cinétique KE (noir), caractéristique d'un mécanisme de type proie/prédateur. Lorsque le champ magnétique croît (montée de ME), la rétroaction de la force de Lorentz sur les écoulements devient plus forte et les ralentit (baisse de KE) : le produit détruit donc sa source. Lorsque les écoulements ralentissent, l'effet dynamo qui crée et maintient le champ magnétique diminue, causant ainsi la descente de ME. Le champ magnétique qui ralentissait les écoulements étant moins intense, ces derniers sont donc moins contraints et peuvent se revigorer (montée de KE), entrainant avec eux la génération du champ magnétique (montée de ME, et ainsi de suite...). La dynamo se sature alors naturellement en adoptant une activité cyclique de période P<sub>cyc</sub> = 9.9 ± 1.8 ans. Les différentes
<figure><img src="image_147.png" /></figure>

FIGURE 6.6 – Évolution temporelles des différentes énergies cinétiques et magnétiques au sein du modèle M09R3m, en unités CGS. Les différentes énergies sont définies en Sections 2.5 et 6.2.1.

<figure><img src="image_148.png" /></figure>

FIGURE 6.7 – Gauche : Oscillations torsionnelles à la base de la zone convective de M09R3m. Des iso-contours du champ magnétique toroïdal $B_φ$ sont représentés pour +4000 G (traits pleins) et -4000 G (pointillés). La barre de couleur représente les variations (en nHz) des différentes latitudes par rapport au profil de rotation moyen, représenté sur le panneau de droite. Droite : Profil de rotation différentielle du modèle M09R3m, dont la barre de couleur représente aussi des nHz. Adapté de Brun et al. (2022)

composantes de ME suivent toutes en phase les oscillations résultantes, où TME est la composante majoritaire. Au sein des composantes de KE, on voit que les écoulements montrant une même variabilité cyclique sont seulement ceux de la rotation différentielle, dont nous représentons les variations temporelles en Figure 6.7.

Ces fluctuations du profil de rotation sont appelées oscillations torsionnelles, et sont observées sur le Soleil en corrélation avec son cycle d'activité (Spruit, 2003; Rempel, 2007; Basu & Antia, 2019). Nous en observons à la base de la zone convective (BCZ) des différents modèles montrant un cycle long. Pour le cas de M09R3m, on observe sur le panneau de gauche que les variations de rotation vont à l'encontre du profil moyen, lors des maximums d'activité où $B_φ$ est maximum (par exemple autour de 35 et 45 ans d'évolution). La présence d'un fort champ magnétique tend à accélérer (en rouge) les pôles et à décélérer l'équateur (en bleu), ce qui
<figure><img src="image_149.png" /><figcaption>FIGURE 6.8 – Diagrammes papillons du modèle M07R5m. On représente l'évolution temporelle du champ magnétique radial $B_r$ à la BCZ (haut), en milieu de zone convective (milieu) et en surface de la simulation (bas), et don les valeurs sont exprimées en Gauss. Les lignes horizontales violettes indiquent la position du cy-lindre tangent à une profondeur donnée.</figcaption></figure>

diminue le contraste $\nabla\Omega$ et donc diminue DRKE. Nous trouvons que ces oscillations torsionnelles jouent un rôle important dans l'établissement des cycles longs au niveau de la BCZ, où des inversions du cisaillement $\partial\Omega/\partial\theta$ sont localement observées. Cela permet alors la génération d'un champ toroïdal de polarité opposée, et donc à l'origine des inversions de polarité globales, notamment observées en surface par l'inversion cyclique des flux $\Phi_N$ et $\Phi_S$.

L'alternance cyclique du champ magnétique est d'autant plus visible sur les deux diagrammes papillons de M09R3m, présentés en haut du panneau (a) de la Figure 6.5. En particulier, on voit sur celui du milieu que les cycles longs sont générés à la BCZ, et une décomposition SVD (Singular-Value Decomposition) permettant d'estimer les coefficients mean-field correspondants montre que les motifs magnétiques n'y suivent pas une loi de type Parker-Yoshimura<fnref n="5" /> (voir Figure 12 de l'article 2.7). Cependant, si on s'intéresse maintenant au diagramme papillon supérieur, on observe en surface du modèle la présence d'un cycle plus court suivant une dynamique différente, que nous allons maintenant discuter dans la section suivante.

### 6.2.2.2 Cycles courts

Pour les modèles dans le régime $Ro_f \lesssim 0.42$, on observe la présence de cycles “courts” dont les périodes d'activité vont de 0.5 à 2.5 ans dans l'ensemble de nos simulations. Il est donc possible d'observer des modèles pour lesquels un cycle court co-existe avec un cycle long. C'est sur le cas modèle M09R3m où nous voyons les deux cycles sur ces diagrammes papillons au panneau (a) de la Figure 6.5. Sur la même Figure, on représente la variation de flux du modèle M05R3m possédant aussi les deux types de cycles, mais pour lequel l'influence du cycle long est moins prononcée. On voit que les variations temporelles se font sur plusieurs échelles de temps, notamment celle d'un cycle court mesuré à $P_{cyc} = 0.5 \pm 0.2$ ans.

<footnote n="5">5. Voir équation 5.29 pour un rappel.</footnote>
<figure><img src="image_150.png" /><figcaption>FIGURE 6.9 – Diagrammes papillons du modèle M09Sm. La figure est similaire à la Figure 6.8, où le champ magnétique est représenté en Gauss.</figcaption></figure>

Finalement, M07R5m est un modèle où nous observons seulement la présence d'un cycle court de période $P_{cyc} = 1.0 \pm 0.7$ an, et pour lequel nous représentons des diagrammes papillons en Figure 6.8. Ces diagrammes de la composante magnétique radiale $B_r$ nous permettent de voir que les cycles courts résultent d'une dynamo de surface, localisée proche de l'équateur, et dont l'influence est limitée sur l'évolution du champ magnétique en fond de zone convective. Nous n'observons pas d'inversion de la composante dipolaire globale, et une décomposition SVD similaire à ce qui était proposé pour les cycles longs nous indique que les motifs magnétiques résultant de ces dynamos semblent suivre la loi de Parker-Yoshimura. La physique à l'origine de leur dynamique est donc probablement semblable aux modèles 2.5D étudiés au Chapitre 5. Ce type de cycles pourrait alors être à l'origine de l'oscillation quasi-biennale, observée sur le Soleil (Simoniello et al., 2013).

### 6.2.2.3 Dynamos stationnaires

Enfin, les dynamos des modèles dans le régime à hauts nombre de Rossby $Ro_f \gtrsim 1$ ne présentent pas de magnétisme cyclique. On observe au sein de ces modèles le maintien de larges bandes magnétiques hémisphériques (appelées *magnetic wreath*, voir Brown et al. 2011; Nelson et al. 2013) situées en fond de zone convective et au sein de la tachocline. L'absence de cycle, et donc d'alternance de polarités magnétiques opposées, limite les annulations de flux au sein du modèle (voir Section 5.4, ce qui permet d'entretenir ces structures toroïdales (voir image en bas du panneau (a) de la Figure 6.5. En particulier, on note que les quatre modèles possédant un profil de rotation anti-solaire sont dans ce régime, et nous illustrons les diagrammes papillons de l'un d'entre eux en Figure 6.9. La topologie des composantes magnétiques du modèle anti-solaire M09Sm, et en particulier ici de sa composante radiale $B_r$, montrent une grande stabilité au cours du temps. En effet, aucune d'inversion de polarité ou fluctuations significatives n'est notée : la dynamo est dite *statistiquement stationnaire*. Si l'on s'intéresse au flux de ce modèle présenté à droite du panneau (d) de la Figure 6.5, on remarque que les amplitudes des flux hémisphériques $\Phi_N$ et $\Phi_S$ sont alors plus importantes en comparaison au flux total, pouvant aller jusqu'à ce cas extrême où ils sont comparables à $\Phi_+$ et $\Phi_-$. Cela témoigne d'une topologie magnétique de
<figure><img src="image_151.png" /><figcaption>FIGURE 6.10 – Tendances des différentes périodes de cycles magnétiques comparées aux observations. On représente les cycles de nos modèles (cercles), ainsi que ceux des modèles publiés dans (Strugarek et al., 2017a) (étoiles), ainsi que les observations extraites du diagramme de Bohm-Vitense (2007) (carrés gris). On indique les cycles longs en rouge, et courts en bleu, ainsi que les incertitudes sur les valeurs de $P_{\text{cyc}}$ avec des barres verticales. Le Soleil est indiqué par le symbole ☉. Crédits : Brun et al. (2022)</figcaption></figure>

surface à plus grandes échelles pour ces modèles, comme nous semblons le voir sur les tendances de la Figure 6.4.

### 6.2.2.4 Tendance des différents cycles

Après nous être intéressés à la phénoménologie des différents états dynamos observés dans nos simulations, nous proposons de comparer ici les différentes activités cycliques aux observations actuelles. Pour cela, nous récapitulons les différents cycles détectés dans nos modèles en Table 4 de l'article en Section 2.7, et les plaçons en Figure 6.10 dans un diagramme ($P_{\text{cyc}}, P_{\text{rot}}$). On ajoute de plus les résultats de simulations publiées dans Strugarek et al. (2017a, 2018) (S17), ainsi que données observationnelles de Bohm-Vitense (2007) discutées en Section 6.1.2. Premièrement, nous ne retrouvons pas une tendance bimodale de branches active et inactive telle que proposée par Brandenburg et al. (1998) et Bohm-Vitense (2007). L'échantillon de modèles ASH et EULAG (S17) couvre l'ensemble du diagramme, y compris entre les deux branches, où se situe le Soleil. Ensuite, nous notons ici que les différents $P_{\text{cyc}}$ situés à une même période de rotation sont réalisés par des modèles de masses différentes. Il faut donc rester prudent en ce qui concerne une comparaison directe de ces cycles dans un diagramme ($P_{\text{cyc}}, P_{\text{rot}}$). Pour cela, on peut regarder les tendances de $P_{\text{cyc}}/P_{\text{rot}}$ en fonction du nombre de Rossby, pour lesquelles Strugarek et al. (2017a) rapportent avec le code EULAG une dépendance $Ro_f^{-1.6}$ pour leurs cycles longs, et $Ro_f^{-1.3}$ pour leur cycles courts. Ici, on trouve que les cycles de nos simulations ASH sont aussi compatibles avec ces dépendances (voir Figure 14 de Brun et al. (2022)).

Bien que cette décroissance de $P_{\text{cyc}}/P_{\text{rot}}$ en fonction du nombre de Rossby soit retrouvée par différentes équipes en utilisant différents codes, elle semble aller à l'encontre des tendances observationnelles indiquant une croissance pour les branches "actives" et "inactives" (voir la Figure 10 de Warnecke 2018). Actuellement, nous reportons seulement deux ensembles de simulations turbulentes 3D qui produisent une dépendance croissante de $P_{\text{cyc}}/P_{\text{rot}}$ en fonction du nombre de Rossby (Guerrero et al., 2019; Käpylä, 2022a). Des explications proposées actuellement au sein de la communauté seraient, soit que les branches "actives" et "inactives" sont des artefacts dû à un manque de données observationnelles (Boro Saikia et al., 2018), soit que les cycles simulés
<figure><img src="image_152.png" /></figure>

**FIGURE 6.11** – Profils radiaux de la vitesse convective en cm.s⁻¹ au sein de différents modèles générés par Louis Amard avec le code StarEvol. *Gauche* : Variations de la métallicité à $M_* = M_⊙$ et âge $t = 4.57 \times 10^9$ ans fixés. On indique l'indice de métallicité [Fe/H], le rayon de l'étoile $R_*$, la température effective $T_{eff}$ et la luminosité $L_*$. *Droite* : Variations de la métallicité à $T_{eff} = 5770$ K fixée et âge similaire. On indique l'indice de métallicité [Fe/H], le rayon de l'étoile $R_*$, la masse $M_*$, l'âge $t$ et la luminosité $L_*$.

seraient fondamentalement différents des cycles observés dans ces branches : il est alors possible que les simulations reproduisent actuellement les cycles d'une autre branche observée, dite "super-active", mais constituée de rotateurs bien plus rapides que le Soleil (Saar & Brandenburg, 1999). Ainsi, des efforts doivent être fournis des deux cotés, par les communautés observatrices et théoriciennes, afin d'apporter de nouveaux éléments qui permettront de trancher. Du côté des simulations numériques, un premier pas serait de vérifier que les tendances observées sont robustes en fonction du régime simulé, en particulier si le degré de turbulence est augmenté pour se rapprocher de celui atteint dans les étoiles. Pour cela, nous présentons en section suivante un travail préliminaire sur l'impact de la métallicité au sein des dynamos de type solaire, réalisées avec des modèles dont le degré de turbulence a été augmenté.

## 6.3 Impact de la métallicité dans les dynamos de types solaires

Jusqu'à présent, nous avons vu que les écoulements et le magnétisme des dynamos convectives étaient fortement impactés par la rotation et la masse de l'étoile. En particulier, différentes transitions magnétiques et rotationnelles sont observées en fonction du nombre de Rossby, dépendant de ces deux quantités. Les récentes observations et modèles d'évolution stellaire montrent de plus que le nombre de Rossby dépend aussi de la composition de l'étoile (voir Section 3.2.3, ainsi que Amard & Matt 2020 et See et al. 2021). Ces effets métalliques pourraient notamment être à l'origine des différences observées sur le magnétisme de HD 173701 (Karoff et al., 2018). Nous proposons ici une étude paramétrique pour caractériser ces aspects en utilisant de nouveau le code ASH.

### 6.3.1 Choix du chemin paramétrique

Nous enquêtons sur les différents impacts que peut avoir la métallicité au sein de modèles 1D générés par le code d'évolution stellaire StarEvol (Amard & Matt, 2020). Nous illustrons certains de ces modèles en traçant sur la Figure 6.11 leurs profils radiaux normalisés des vitesses convectives. Cela nous permet de présenter ici deux chemins paramétriques possibles.

Sur le panneau de gauche, on commence par fixer la masse des modèles et l'âge, puis on varie l'indice de métallicité entre -1 et +0.3. En augmentant la métallicité, l'opacité croît et augmente donc le gradient de température au sein de l'étoile. Cela a pour effet de rendre la zone convective plus profonde, avec une structure
variant significativement entre les différents modèles. Cela a aussi pour effet de diminuer $T_{\text{eff}}$, et par la suite le rayon $R_*$ et $L_*$. On observe notamment un facteur 4.2 entre les luminosités des modèles [Fe/H]=-1 et +0.3. Les changements de luminosité se reflètent aussi par des changements de vitesses convectives, qui peuvent diminuer d'un ordre de grandeur à rayon normalisé donné au sein de la zone convective, lorsqu'on passe de [Fe/H]=-1 à +0.3. Le pic quant à lui passe de 4 500 à 2500 m.s$^{-1}$

Sur le panneau de droite, on relâche ensuite la contrainte sur la masse et on cherche à fixer $T_{\text{eff}} = 5770$ K entre les modèles. Comme la température effective évolue durant la séquence principale et que cette évolution dépend de la masse, les écarts résiduels dans la recherche d'un âge $t$ similaire proviennent de l'échantillonnage en masse des modèles générés. On voit alors que $R_*$ augmente alors avec l'indice [Fe/H]. Cela qui signifie cette fois-ci une augmentation de $L_*$ qui est proportionnel à $R_*^2$ (voir 3.1), avec cette fois-ci un facteur 3.3 entre [Fe/H]=-1 et +0.3. L'augmentation des vitesses convectives observée est cependant bien moins importante, avec au plus un facteur 3 entre [Fe/H]=-1 et +0.3, tout en conservant une structure relativement similaire avec le contraste en densité $N_\rho = \log_{10} \frac{\rho_{\text{BCZ}}}{\rho_{\text{top}}}$ passant de 6.28 à 6.57 et une différence d'un ordre de grandeur sur $\rho_{\text{BCZ}}$.

Enfin, on détermine les valeurs moyennes sur la zone convective de la capacité calorifique à pression constante $c_P$ ainsi que de l'exposant adiabatique $\gamma$ pour les différents modèles. Dans le cas où $T_{\text{eff}}$ est fixe, on ne note pas de changement notable sur la valeur de $\gamma$ avec la métallicité, et un écart de 3.4% sur $c_P$ entre [Fe/H]=-1 et +0.3$^6$. On note donc que ce chemin paramétrique ne présente pas de changement de structure ou thermodynamique important en comparaison à la voie à $M_*$ fixée. C'est ainsi que nous choisissons donc ce dernier, où ces changements sont plus marqués comme nous le verrons en Table 6.2.

Finalement, la présence ou absence de rotation au sein de ces différents modèles n'impacte pas les grandeurs précédemment considérées. Afin d'étendre l'étude des étoiles G-K à métallicité solaire, on décide donc ici de fixer l'age, la masse et le taux de rotation en faisant varier [Fe/H] de +0.3 à -1. On décide de ne pas considérer des indices de métallicité plus faibles afin de se fixer une limite maximum en $T_{\text{eff}}$ de 7000K, qui semble haute par rapport à l'ensemble des étoiles de type solaire, mais qui en reste toujours une par la présence de son enveloppe convective externe. On note que le modèle à [Fe/H]=+0.3 est alors similaire à l'étoile HD 173701 étudiée par (Karoff et al., 2018), et pourra donc bénéficier d'une confrontation directe aux observations.

### 6.3.2 Construction des modèles de référence

Maintenant que l'étude paramétrique est définie par le choix des modèles 1D, nous passons donc à la construction des modèles de référence que nous allons implémenter en entrée du code ASH pour la génération des progéniteurs hydrodynamiques. Nous en construisons 4 pour [Fe/H] = +0.3, 0., -0.5 et -1, dont les paramètres globaux sont résumés en Table 6.2.

Comme nous l'avons vu au Chapitre 4, les modèles numériques globaux de convection solaire ne permettent actuellement pas de reproduire les observations pour un modèle avec des paramètres globaux solaires, si le régime de turbulence est trop haut. Les vitesses convectives à grandes échelles sont alors plus fortes que celles observées par inversion héliosismique, ce qui a pour conséquence d'augmenter le nombre de Rossby des simulations et d'y inverser le profil de rotation en régime anti-solaire. Les simulations de l'étude G-K présentées précédemment (voir Sections 2.3 et 6.2) assuraient un profil de DR solaire pour les paramètres solaires grâce à leur régime de turbulence modéré ($Re \lesssim 100$), ainsi qu'un flux irrésolu $F_{\text{irr}}$ de surface (4.6) relativement profonds (voir les progéniteurs hydrodynamiques publiés dans Brun et al. 2017). Ici, nous nous posons pour objectif d'atteindre des régimes de turbulence plus élevés, tout en s'assurant que notre modèle de référence solaire a un profil de rotation cohérent avec les observations. Pour cela, nous reprenons la solution développée en Section 4.2.3 basée sur le contrôle du nombre de Nusselt, que nous appliquons aux modèles à [Fe/H] = +0.3,

<footnote n="6">6. Cet écart ne s'accentue pas si la comparaison est faite entre [Fe/H]=-3 et +0.3.</footnote>
<table><caption>TABLE 6.2 – Paramètres globaux des 4 étoiles en MS à masse, taux de rotation et âge solaire. Depuis la gauche, nous listons l'indice de métallicité, le rayon à la base de la zone convective (BCZ), la capacité calorifique massique à pression constante, l'exposant adiabatique, la densité à la BCZ, le ratio de densité sur la CZ puis sur tout le domaine (f), ainsi que le rayon inférieur (bot) du domaine simulé, la valeur de la viscosité en surface (top) du domaine $r_{top} = 0.9914 R_*$, le rayon $r_t$ ainsi que l'épaisseur de transition de son profil. Les rayons, luminosités et températures effectives sont listés au panneau gauche de la Figure 6.11.</caption><thead><tr><th>[Fe/H]</th><th>r<sub>BCZ</sub><br>(R<sub>*</sub>,R<sub>☉</sub>)</th><th>c<sub>P</sub><br>(cm<sup>2</sup>.s<sup>-2</sup>.K<sup>-1</sup>)</th><th>γ<br>-</th><th>ρ&#773;<sub>BCZ</sub><br>(g.cm<sup>-3</sup>)</th><th>Δ<sub>cz</sub>ρ&#773;<br>-</th><th>Δ<sub>f</sub>ρ&#773;<br>-</th><th>r<sub>bot</sub><br>(R<sub>*</sub>)</th><th>ν<sub>top</sub><br>(cm<sup>2</sup>.s<sup>-1</sup>)</th><th>r<sub>t</sub><br>(R<sub>*</sub>)</th><th>σ<sub>t</sub><br>10<sup>-2</sup>×(R<sub>*</sub>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>+0.3</td><td>0.67,0.69</td><td>3.72 × 10<sup>8</sup></td><td>1.65</td><td>0.29</td><td>1035</td><td>5756</td><td>0.48</td><td>1 × 10<sup>12</sup></td><td>0.65</td><td>1.47</td></tr><tr><td>0</td><td>0.71,0.71</td><td>3.85 × 10<sup>8</sup></td><td>1.65</td><td>0.18</td><td>842</td><td>5907</td><td>0.50</td><td>1.5 × 10<sup>12</sup></td><td>0.68</td><td>1.43</td></tr><tr><td>-0.5</td><td>0.82,0.91</td><td>4.23 × 10<sup>8</sup></td><td>1.63</td><td>1.09 × 10<sup>-2</sup></td><td>337</td><td>2588</td><td>0.65</td><td>2 × 10<sup>12</sup></td><td>0.79</td><td>1.30</td></tr><tr><td>-1</td><td>0.91,1.07</td><td>5.01 × 10<sup>8</sup></td><td>1.58</td><td>2.10 × 10<sup>-4</sup></td><td>186</td><td>6868</td><td>0.73</td><td>5 × 10<sup>12</sup></td><td>0.88</td><td>1.23</td></tr></tbody></table>

-0.5 et -1. Nous reprenons ici SBR97n1 comme modèle de référence pour la métallicité solaire, que nous reprennons Z0 pour l'occasion. Nous le préférerons ici à SBR97n035 comme il possède une résolution numérique plus faible, permettant des temps de calculs et ressources numériques plus raisonnables pour la convergence des modèles à métallicité différente, que nous avons construit de la manière suivante.

Notez sur le panneau gauche de la Figure 6.11, que le modèle solaire de référence généré avec StarEvol a une base de zone convective située à 0.74 $R_☉$, et donc différente de celle observée sur le Soleil à 0.71 $R_☉$. Il s'agit d'un problème de calibration actuellement rencontré par les codes d'évolution stellaire, dépendant des ingrédients physiques considérés (Zhang et al., 2019). Nous décidons de retravailler les profils du gradient d'entropie spécifique $\frac{d\bar{S}}{dr}$ en appliquant un facteur de correction de 0.71/0.74 = 96% pour la BCZ des autres modèles, et en les illustrant au panneau gauche de la Figure 6.12. Nous nous assurons que les valeurs générées par le code d'évolution stellaire sont conservées pour les rayons inférieurs, et les relations de manière continue à une valeur seuil de super-adiabaticité$^7$ $\delta = -1.5 \times 10^{-7}$ cm.s$^{-2}$.K$^{-1}$ pour les rayons supérieurs, par l'intermédiaire d'une fonction tangente hyperbolique. La valeur $\delta$ est maintenue le long du domaine convectif afin de supprimer artificiellement les changements abrupts apparaissant près de la surface dans les profils du code d'évolution stellaire. Cela nous permet d'éviter la génération de mouvements convectifs à petite échelle trop intenses qui ne peuvent être résolus dans ces modèles globaux. Nous attachons finalement une attention particulière à ce que le profil $\frac{d\bar{S}}{dr}$ résultant croise l'axe des abscisses à la valeur $r_{BCZ}$ corrigée, indiqué par les droites verticales en pointillés sur le panneau gauche, et listées pour tous les modèles en Table 6.2. Le gradient de la transition est aussi travaillé afin de reproduire au mieux les prescriptions du code d'évolution stellaire.

En suivant, de manière similaire à la Section 2.2.2, nous extrayons de plus les profils de gravité du code StarEvol afin de déterminer le profil de densité $\bar{\rho}$ par la méthode de Newton-Raphson, une fois $c_P$ et $\gamma$ déterminés. Pour cela, nous prenons leur valeur moyenne au sein de la zone convective, et les listons en Table 6.2. Si $\gamma$ ne ressent pas de grosses modifications en fonction de la métallicité, on note tout de même une différence de 35% sur $c_P$ entre le modèle à $[Fe/H]=+0.3$ et -1. Les nouveaux profils $\bar{\rho}(r)$, qui en résultent après convergence de la procédure, sont présentés au panneau droit de la Figure 6.12 (traits pleins), et nous les comparons à ceux du code d'évolution stellaire (traites tiretés). Les nouveaux profils sont légèrement différents, dû à la re-calibration des $\frac{d\bar{S}}{dr}$, mais présentent un bon accord qualitatif. Nous listons leur valeur $\bar{\rho}_{BCZ}$ à la BCZ, qui peuvent varier sur 3 ordres de grandeurs en fonction de la métallicité.

Nous reprenons ensuite les conditions limites de la Section 2.2.2, en annulant les gradients d'entropie aux limites du domaine. La surface des domaines simulés est fixée à $r_{top} = 0.9914 R_*$ afin de modéliser au plus proche de la surface, et les différentes limites inférieures $r_{bot}$ sont listées en Table 6.2. De façon similaire à la Section 4.2.1, les profils de diffusions sont construits par les équations 2.9 et sont illustrés sur le panneau gauche de la Figure 6.12 (tirets). On leur impose un contraste $\beta = \nu_{bot}/\nu_{top} = 2.5 \times 10^{-4}$ entre le sommet

<footnote n="7">7. Nous redirigeons le lecteur intéressé vers Gizon et al. (2021) pour de récentes avancées sur sa détermination dans la zone convective solaire.</footnote>
<figure><img src="image_153.png" /></figure>

FIGURE 6.12 – Gauche : Profils normalisés du gradient d'entropie $d\bar{s}/dr$ (traits pleins) et de viscosité $\nu(r)$ (traits hachés), pour les modèles de référence à [Fe/H] = +0.3 (bleu), +0.0 (orange), -0.5 (vert) et -1 (rouge). Les valeurs maximums des différents $d\bar{s}/dr$ sont respectivement 0.0128, 0.0134, 0.0133 et 0.0304 cm.s⁻².K⁻¹, tandis que les valeurs maximums des profils $\nu(r)$ sont toutes atteintes à la surface du domaine et données en Table 6.2 par $\nu_{top}$. Des lignes pointillées verticales indique l'emplacement où $d\bar{s}/dr$ change de signe pour chaque modèle à $r_{BCZ}$. Droite : Profils radiaux des différents modèles, tirés du code d'évolution stellaire (traits hachés) puis obtenus par la résolution du Newton-Raphson résolu à l'initialisation du code ASH. On indique les BCZ de façon similaire au panneau gauche. Bas : Profils radiaux des différents coefficients de diffusion radiative $\kappa_{rad}$. L'ensemble des profils est exprimé dans le système d'unité CGS.

et la base du domaine simulé, surtout concentré à la BCZ, et avec un coefficient de décroissance $\alpha = -0.33$ dans la zone convective. Les paramètres de transition entre zones radiative et convective $r_t$ et $\sigma_t$ sont listés dans la Table 6.2. La transition simulée possède un fort contraste afin de se rapprocher au mieux des conditions peu diffusives en zone radiatives. Cette valeur est toutefois limitée pour assurer la stabilité des simulations. On liste aussi la viscosité de surface $\nu_{top}$ qui ont été choisies de manière à retrouver des nombres de Reynolds équivalents une fois les modèles 3D convergés, et de mener des comparaisons à degré de turbulence équivalent. Ainsi, la viscosité augmente en diminuant la métallicité, puisque $L_*$, et donc $v_{conv}$ augmente (voir équation 3.5). Le profil de diffusion thermique $\kappa$ est déduit de $\nu$ en fixant le nombre de Prandtl $Pr = \nu/\kappa = 1/4$ constant dans l'ensemble des modèles.

Une fois la convection développée, nous pouvons appliquer le contrôle du nombre de Nusselt en adaptant les profils de diffusion radiative $\kappa_{rad}$ en suivant la méthode d'ajustement de $F_{rad}$ développée en Section 4.2.3. Les modifications consistent à l'augmenter artificiellement dans la majeure partie de la zone convective afin que la luminosité $L_{rad}$ transportée par le flux radiatif $F_{rad}$ (voir équation 4.4) soit fixée à 97% de $L_*$ au sein de la zone convective, pour chacun des modèles. Nous représentons ces profils sur le panneau bas de la Figure 6.12. Nous voyons une légère bosse autour de la BCZ, ajustée pour chacun une fois l'instabilité convective entièrement développée. Cela permet d'accélérer la relaxation thermique de la zone d'overshoot, qui serait bien trop longue
à se faire naturellement dans la simulation (temps de Kelvin-Helmholtz) et demanderait un temps de calcul inenvisageable (voir Brun et al. (2011) ou Brun et al. (2017) pour plus de détails à ce sujet).

### 6.3.3 Dynamique des écoulements moyens des modèles métalliques

<table><caption>TABLE 6.3 – Quantités et nombres adimensionnés caractérisant les modèles convectifs 3D, à différentes métallicités. Les quantités sont moyennées radialement sur 0.01R<sub>*</sub>, au milieu de l'enveloppe convective. Sont listés depuis la gauche : la résolution radiale, la résolution latitudinale, la moyenne quadratique de la vitesse radiale, le temps de retournement convectif τ<sub>c</sub> = v&#771;<sub>r</sub>/Δ<sub>conv</sub> avec Δ<sub>conv</sub>/R<sub>*</sub> le rapport d'aspect de l'enveloppe convective, le nombre de Rayleigh Ra = -(∂ρ/∂S&#773;)<sub>ρ</sub>(∂S<sub>tot</sub>/∂r)gΔ<sup>4</sup><sub>conv</sub>/(ρνκ), le nombre de Reynolds Re = v&#771;Δ<sub>conv</sub>/ν, le nombre de Nusselt Nu = (F<sub>rad</sub> + F<sub>en</sub>)/F<sub>rad</sub>, ainsi que le nombre de Rossby fluide Ro<sub>f</sub> = |∇ × v|/(2Ω). Enfin, on indique le contraste de rotation différentielle ΔΩ prise à la surface des modèles entre l'équateur et la latitude 60°.</caption><thead><tr><th></th><th>N<sub>r</sub></th><th>N<sub>θ</sub></th><th>v&#771;<sub>r</sub></th><th>τ<sub>c</sub></th><th>Δ<sub>conv</sub></th><th>Ra</th><th>Re</th><th>Nu</th><th>Ro<sub>f</sub></th><th>ΔΩ</th></tr><tr><th></th><th>-</th><th>-</th><th>(m/s)</th><th>(jours)</th><th>(%) R<sub>*</sub></th><th>(10<sup>6</sup>)</th><th>-</th><th>-</th><th>-</th><th>(nHz)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Z03</td><td>2004</td><td>1024</td><td>16.0</td><td>150</td><td>30.4</td><td>3.90</td><td>206</td><td>1.032</td><td>0.62</td><td>18.3</td></tr><tr><td>Z0</td><td>2000</td><td>1024</td><td>23.8</td><td>94</td><td>27.6</td><td>2.93</td><td>270</td><td>1.037</td><td>0.93</td><td>126.7</td></tr><tr><td>Z-05</td><td>1574</td><td>1024</td><td>85.7</td><td>18</td><td>17.0</td><td>0.20</td><td>248</td><td>1.053</td><td>3.33</td><td>-298.7</td></tr><tr><td>Z-1</td><td>1328</td><td>1536</td><td>338.9</td><td>2</td><td>7.7</td><td>0.13</td><td>167</td><td>1.055</td><td>22.8</td><td>-11.5</td></tr></tbody></table>

Dans cette section, nous nous intéressons à la dynamique de la convection 3D au sein des quatre progéniteurs hydrodynamiques convergés. Nous récapitulons leurs quantités d'intérêt et nombres adimensionnés en Table 6.3. Nous nommons les modèles 3D sous la forme “Z*” où '*' peut prendre les formes '03', '0', '-05' et '-1', pour représenter respectivement la valeur de l'indice de métallicité [Fe/H] = +0.3, +0.0, -0.5 et -1.0. Comme nous l'avons détaillé en section précédente, le modèle Z0 est donc identique à SBR97n1 du Chapitre 4. Le nombre de points des modèles 3D sphériques correspond à N<sub>r</sub>×N<sub>θ</sub>×N<sub>φ</sub>, le produit des résolutions radiale, latitudinale et longitudinale, où N<sub>φ</sub> = 2N<sub>θ</sub>. Afin d'assurer la stabilité des modèles, leur résolution radiale correspond à une grille non uniforme au sein de laquelle nous assurons une résolution minimale de δr/R<sub>*</sub> = 1.3 × 10<sup>-4</sup> au niveau de la tachocline et proche de la surface, où les transitions radiales de flux les plus fortes sont attendues (voir Figure 4.4). On ajoute de plus que nous assurons une résolution minimale de δr/R<sub>*</sub> = 10<sup>-3</sup> dans la partie de la zone radiative en dessous de la région d'overshoot, ainsi que δr/R<sub>*</sub> = 3 × 10<sup>-4</sup> en milieu de zone convective où sont évaluées les moyennes quadratiques de vitesses radiales v&#771;<sub>r</sub>. On observe bien la croissance significative de ces dernières à mesure que la métallicité diminue, comme on pouvait l'attendre de la hausse de L<sub>*</sub> et de la chute de ρ&#773; (voir Table 6.2). Cette croissance des vitesses convectives est assez forte pour que leur temps de retournement τ<sub>c</sub> chute de 150 à 2 jours entre Z03 et Z-1, bien que la taille de la zone convective Δ<sub>conv</sub> diminue de 30 à 8% du rayon stellaire (passant de 207 à 65 Mm). Le nombre de Rayleigh reste au-dessus de 1.3 × 10<sup>5</sup>, mais peut varier d'un ordre de grandeur entre ces modèles. Il augmente avec la métallicité principalement en raison de l'élargissement de la zone convective et de la diminution des coefficients de diffusion ν et κ. Ces coefficients ont en effet été adaptés pour conserver des nombres de Reynolds rms similaires, compris ici entre 167 et 270. Ces valeurs de Re ont pu être atteintes tout en calibrant un profil de DR solaire pour le modèle Z0 par le contrôle du nombre de Nusselt (voir Section 4.2.3) qui se limite ici à 1.06. Il en résulte des nombres de Rossby diminuant avec la métallicité, ce qui est en accord avec les prédictions observationnelles (See et al., 2021). Enfin, on quantifie le contraste de rotation différentielle de surface ΔΩ entre l'équateur et une latitude de 60°, dont nous représentons les profils axisymétriques dans le plan méridiens en Figure 6.13.

On voit apparaître quatre régimes de rotation distincts au sein des quatre modèles. On retrouve tout d'abord les caractéristiques profils de type cylindrique, solaire, et anti-solaire discutés en Chapitres 2 et 4 (voir aussi Brun et al. 2017), pour les modèles Z03, Z0 et Z-05, dont les Ro<sub>f</sub> respectifs sont de 0.62, 0.93 et 3.33. On observe au sein du profil cylindrique de Z03 une alternance de jets alignés le long de l'axe de rotation, caractéristique des
<figure><img src="image_154.png" /><figcaption>FIGURE 6.13 – Profils de rotation différentielle des quatre progéniteurs hydrodynamiques métalliques. Chaque panneau est divisé en un profil méridien à gauche et des coupes radiales prises à différentes latitudes à droite. Les vitesses de rotation sont exprimées en nHz.</figcaption></figure>

profils de type “joviens” (voir Figure 1.15). Le profil de rotation du cas de référence solaire ressent moins forte-
ment la contrainte de Taylor-Proudman et montre bien une morphologie conique, principalement à moyennes
latitudes, avec un contraste en surface de 127 nHz entre 0 et 60°, 46% plus élevé qu’en surface du Soleil (voir
Figure 1.16). On observe ensuite l’apparition d’un régime de rotation anti-solaire pour Z-05, dont le nombre
de Rossby est en effet bien plus élevé que la valeur où cette transition rotationnelle est attendue (Gastine
et al., 2014; Brun et al., 2017). Enfin, on observe au sein de Z-1 l’établissement d’un profil de DR que nous
n’avions pas encore évoqué ici, cette fois-ci de type “shellular” (Spiegel & Zahn, 1992). Le gradient de rotation
latitudinal ∂Ω/∂θ est alors fortement limité et les cisaillements principalement radiaux, ce qui forme alors une
structure de taux de rotation en superposition de coquilles sphériques. Ce comportement est similaire au profil
de rotation trouvé dans certaines simulations numériques de géantes rouges, dont le nombre de Rossby (ici
Ro<sub>f</sub> ~ 23) est fortement augmenté par l’expansion soudaine de l’enveloppe convective et la diminution du taux
de rotation (Brun & Palacios, 2009), bien que notre cas la zone convective soit au contraire particulièrement
fine. Ce type de profil est donc dû à la très forte valeur de Ro<sub>f</sub> du modèle, qui est impliquée par les vitesses
élevées des écoulements alors très faiblement influencés par la force de Coriolis.

On peut aussi le voir sur la conservation du moment cinétique local en leur sein à l'aide de la Figure 6.14.
De manière similaire à la Figure 2.10, nous comparons sur quatre panneaux la fréquence de rotation au sein
des différents modèles (en couleurs), ainsi qu'observées sur le Soleil par GONG (noir), pour quatre latitudes
fixes, entre 0.92 et 0.99 R<sub>*</sub>. Pour chacune de ces étoiles, on trace en pointillé la vitesse angulaire qu'aurait
une parcelle de fluide conservant son moment cinétique spécifique L (2.24) en se déplaçant dans une direction
purement radiale. On voit que Z-1 est le seul modèle présentant une tendance claire à le conserver dans la
majeure partie inférieure de son enveloppe convective. Cela signifie que la redistribution du moment cinétique
<figure><img src="image_155.png" /><figcaption>FIGURE 6.14 – Profils radiaux de la fréquence angulaire $\Omega/2\pi$ pour les progéniteurs hydrodynamiques métalliques, aux latitudes 0, 30, 45, et 60°. On ajoute de plus les données solaires obtenues par GONG en noir. Les courbes pointillées de chaque panneau représentent la vitesse angulaire d'une parcelle de fluide se déplaçant radialement au sein du modèle indiqué par la couleur, et pour laquelle son moment cinétique spécifique est conservé.</figcaption></figure>

y est fortement limitée dû à la présence d'une convection fortement isotrope, dont la rotation différentielle limitée radialement et quasi-inexistante latitudinalement en est le résultat.

Nous illustrons en Figure 6.15 la dynamique convective au sein des quatre modèles. Chaque panneau représente la composante $v_r$ de la vitesse près de la surface du domaine (gauche), ainsi qu'en milieu de zone convective (droite). Nous retrouvons en profondeur des modèles Z03 et Z0 les colonnes de Busse (ou "cellules bananes", voir Busse 1970) caractéristiques d'un fort impact de la rotation sur la convection (voir Section 4.2.3), comme nous le montrent leurs valeurs de $R_{0f}$ (voir Table 6.2). Cependant, l'empreinte de ces modes équatorialaufemme limitée sur la dynamique de surface, où les motifs convectifs ont une distribution plus homogène. Nous n'observons pas cette contrainte de la rotation pour les modèles Z-05 et Z-1. Pour le premier, la dynamique au sein de la zone convective est caractérisée par la présence de cellules géantes, influençant le spectre de surface comme on peut le voir en Figure 6.16. Cet effet est limité dans les cas Z03 et Z0, où l'influence rotationnelle sur la dynamique au sein de la zone convective limite la formation de ces grandes échelles. Cependant, cette influence rotationnelle est bien moins prononcée pour Z-05 ($R_{0f} \sim 3$) permettant la formation de grandes échelles proportionnellement plus fortes dans le spectre convectif (voir aussi Featherstone & Hindman 2016). Cela diminue alors le degré harmonique moyen $\ell_{pond}$ pondéré sur le spectre. Cette évolution de $\ell_{pond}$ n'est cependant plus monotone en continuant de diminuer la métallicité, puisque la convection se forme à bien plus petite échelle pour le modèle Z-1. Le développement de cette dynamique à plus petite échelle, n'est pas un effet du degré de turbulence (la valeur de $Re$ est la plus faible des quatre modèles), ni un effet d'échelle de densité (similaire pour les quatre modèles, avec $H_\rho \simeq 3$ Mm à 0.99 $R_*$). Il s'agit ici d'un effet de structure, dû aux faibles valeurs de $\Delta_{conv}/R_*$ et $\bar{\rho}$ au sein de ce modèle, la taille des plus grandes cellules convectives développées étant alors limitée par la profondeur de l'enveloppe convective (voir aussi Bessolaz & Brun 2011). Enfin, nous n'observons pas de changement morphologique entre les spectres de Z-1 à la surface et en milieu de zone convective, pour des degrés $\ell = 50$, comme cela pouvait être le cas sur les trois autres modèles. Ici, les structures convectives ont des vitesses radiales significativement plus grandes (voir Figure 6.15) rendant
<figure><img src="image_156.png" /></figure>

FIGURE 6.15 – Cartes de vitesses radiales $v_r$ pour les quatre progéniteurs hydrodynamiques métalliques. Chaque panneau est une superposition de deux cartes, comparant la dynamique proche de la surface du domaine à 0.99 $R_*$, et en milieu de zone convective à droite où le rayon est indiqué en $R_*$. Les barres de couleur représentent $v_r$ en cm.s$^{-1}$.

une influence de la rotation d'autant plus faible sur ces dernières, qui conservent alors leur moment cinétique spécifique (voir Figure 6.14) et impriment leur dynamique sur l'ensemble de la zone convective.

Maintenant que les progéniteurs hydrodynamiques de ces modèles métalliques ont convergé, nous avons pu commencer leur calcul dynamo, afin d'étudier l'impact de la métallicité sur la génération du champ magnétique, et sa potentielle activité. Cette étude est encore à un stade préliminaire, dont nous allons présenter les premiers résultats à la section suivante.

### 6.3.4 Premiers résultats dynamo

Dans cette section, nous présentons maintenant les premiers résultats dynamos qui ont pu être générés actuellement à partir des progéniteurs hydrodynamiques présentés à la section précédente. Nous avons pu démarrer le calcul MHD des modèles aux indices de métallicité [Fe/H] = +0.3 et 0, que nous appellerons maintenant respectivement Z03m et Z0m, le suffixe 'm' dénotant la résolution du champ magnétique par l'équation d'induction (2.5). Nous appliquons au champ magnétique des conditions aux limites similaires à celles présentées en Section 2.2.2, c'est-à-dire une condition de conducteur parfait à la base du domaine, ainsi qu'une condition de champ magnétique potentiel en surface. Pour initialiser les calculs dynamos, nous introduisons un champ magnétique dipolaire confiné au sein de la zone convective. Nous considérons que le champ magnétique acquis par les étoiles durant leur formation est probablement faible (l'amplitude du champ magnétique dans le milieu interstellaire est en moyenne d'environ 10-100 µG). Le démarrage du processus dynamo avec un champ initial faible semble donc être un scénario probable (Emeriau-Viard & Brun, 2017). Les profils de diffusivité magnétique $\eta$ sont construits à partir du profil de viscosité $\nu$ en considérant un nombre de Prandtl magnétique $Pm = \nu/\eta$ constant sur l'ensemble du domaine.

Nous présentons en Figure 6.17 l'évolution temporelle des différentes énergies pour les modèles Z0 et Z03 dans leur stade actuel. Sur le panneau du haut, nous observons le démarrage de la dynamo après l'introduction de la graine magnétique poloïdale à 39.3 ans. Nous démarrons les calculs avec une valeur de diffusivité
<figure><img src="image_157.png" /><figcaption>FIGURE 6.16 – Spectres des énergies convectives toroïdales $E_φ$, obtenus à 0.99 R$_*$(traits pleins) et en milieu de zone convective (traits tirets) pour les progéniteurs hydrodynamiques métalliques. Nous notons en légende la moyenne pondérée $\ell_{pond} = \frac{\sum_{\ell>0} \ell E_\phi}{\sum_{\ell>0} E_\phi}$. Le spectre illustré est défini comme $(\int_S v_\phi^2/2dS)/\int_S dS = \sum_{\ell>0} E_\phi/r$ (Gizon & Birch, 2012). Notez que le terme “énergie” est ici un abus de language, puisque $E_\phi$ est exprimé en km$^3$.s$^{-2}$.</figcaption></figure>

$\eta_{top} = 5 \times 10^{11} \text{ cm}^2 \cdot \text{s}^{-1}$ en surface du domaine ($Pm = 2$). On voit premièrement que cette composante poloïdale axisymétrique (PME) diminue et est transformée en composante toroïdale (TME) par effet-$\Omega$, ainsi qu'en composante non-axisymétrique fluctuante (FME) par l'action des mouvements de la convection turbulente. Après environ 6 mois, PME se met aussi à augmenter : le processus dynamo soutient et développe le champ magnétique. Le décrochage visible sur cette dernière autour de 39.5 ans est causé par une diminution à $Pm = 1$, en augmentant la diffusivité magnétique $\eta$, pour assurer la stabilité numérique de la simulation. Un nouveau changement à $Pm = 3/2$ est de nouveau visible sur la courbe de la composante cinétique fluctuante CKE à 42 ans, suite à une augmentation de la viscosité à $\nu_{top} = 1.5 \times 10^{12} \text{ cm}^2 \cdot \text{s}^{-1}$ pour de nouvelles raisons de stabilité numérique$^8$. La simulation est toujours en cours de calculs avec actuellement un rapport d'énergies ME/KE = 0.015.

On observe ensuite sur le panneau du bas les mêmes courbes d'évolution pour le modèle Z03m. Nous commençons cette fois-ci directement le calcul avec un Prandtl magnétique $Pm = 1$ pour $\eta_{top} = 10^{12} \text{ cm}^2 \cdot \text{s}^{-1}$. Comme nous pouvons le voir, le calcul MHD est encore dans un régime où l'énergie poloïdale axisymétrique PME est en phase de décroissance initiale après 8 mois de calcul, et n'a pas encore été régénéré par le processus dynamo. On note cependant que le rapport ME/KE est actuellement de 0.129 et est toujours en augmentation. Si on

<footnote n="8">8. On conserve le nombre de Prandtl $Pr = \nu/\kappa = 1/4$ et adaptons donc aussi la diffusion thermique $\kappa$.</footnote>
<figure><img src="image_158.png" /></figure>

<figure><img src="image_159.png" /><figcaption>FIGURE 6.17 – Évolution temporelles des différentes énergies cinétiques et magnétiques au sein du modèle Z0m (en haut) et Z03m (en bas), en erg/cm$^3$. Les différentes énergies sont définies en Sections 2.5 et 6.2.1.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_160.png" /><figcaption>FIGURE 6.18 – Formation d'une concentration magnétique (qui pourrait s'apparenter à un début de tache stellaire) près de la surface du modèle Z03m, indiquée par les flèches. Le panneau en bas à gauche représente une carte en projection Mollweide de $v_r$ (cm.s⁻¹) à 0.99 $R_*$.

Nous proposons sur les 3 panneaux au-dessus des Zooms de 3 quantités : $v_r$ (même échelle de couleurs), $T'$ en K et à laquelle la moyenne longitudinale a été enlevée, ainsi que le rapport d'énergies ME/KE.</figcaption></figure>

n'observait pas de diminution notable de l'énergie cinétique globale KE pour le modèle Z0m, on note ici que le champ magnétique rétroagit sur les écoulements et diminue l'énergie DRKE. On peut donc s'attendre à ce que le contraste de rotation différentielle de ce modèle soit sur le long terme atténué par Ω-quenching (ΔΩ ayant déjà diminué à 16.9 nHz, en comparaison aux 18.3 nHz du progéniteur hydrodynamique). Néanmoins, il faut garder en tête que ces modèles ne sont pas encore dans un régime de dynamo non-linéairement saturée, et donc que leurs comportements doivent encore converger avant que nous puissions conclure sur ce point.

Cependant, on peut tout de même noter une première observation sur la dynamique de surface, que nous avons seulement relevé au sein du modèle Z03m. Nous illustrons pour cela en Figure 6.18 une coupe des vitesses radiales $v_r$ du modèle actuel, proche de la surface. Nous observons des zones où les vitesses radiales sont visiblement atténuées (la barre de couleur est linéaire). En proposant un zoom de l'une d'entre elles sur le panneau en haut à gauche, nous ajoutons les fluctuations de température $T'$ correspondantes sur le panneau du milieu. On remarque que les zones où les vitesses radiales sont amorties correspondent à des zones où la température a diminué, dû au fait que la chaleur est alors moins efficacement transportée depuis les profondeurs. Nous ajoutons ensuite sur le panneau de droite le rapport des énergies ME/KE équivalent, et constatons la présence de champ magnétique en super-équipartition dans ces mêmes régions (voir aussi la tache polaire de Yadav et al. 2015). Nous supposons donc voir ici la manifestation du même phénomène qui est à l'origine de la formation des taches solaires, pour une profondeur de 0.99 $R_*$. La force de Lorentz rétroagit sur les mouvements radiaux de la convection et bloque en partie le transport enthalpique de la chaleur. Nos premières observations semblent mettre en évidence que ce phénomène est créé par la composante magnétique $B_r$ de surface. Il sera donc intéressant de surveiller l'évolution de tels phénomènes sachant que les énergies magnétiques sont encore en cours d'évolution pour ce modèle.
## 6.4 Discussion et perspectives

Au sein de ce Chapitre, nous avons tout d'abord étudié l'impact de la masse et de la rotation sur le magnétisme des étoiles de type solaire, par l'intermédiaire de simulations hautes performances (HPC) 3D MHD. En parallèle des transitions rotationnelles relevées en fonction du nombre de Rossby au Chapitre 2, nous notons de plus des transitions magnétiques quant à l'activité et la nature des dynamos générées au sein de nos modèles 3D globaux.

Pour les faibles nombres de Rossby $Ro_f \lesssim 0.42$, nous notons la présence de cycles d'activité magnétique courts (de l'ordre de l'année), résultant d'une dynamo se produisant majoritairement en surface et proche de l'équateur. La dynamique des motifs magnétiques est compatible avec une propagation suivant la loi de Parker-Yoshimura, suggérant la possibilité d'un mécanisme semblable à une dynamo cinématique en champ moyen de type $\alpha$ - $\Omega$ ou $\alpha^2$ - $\Omega$ (Charbonneau, 2020). Pour les nombres de Rossby intermédiaires dans l'intervalle $0.15 \lesssim Ro_f \lesssim 0.65$, on note la présence de cycles plus longs (de l'ordre de la dizaine d'années) résultant d'une dynamo plus profonde à la base de la zone convective. La dynamique est cette fois-ci guidée par la rétroaction de la force de Lorentz sur la rotation, créant des échanges entre les réservoirs d'énergies cinétiques et magnétiques dans un processus de type proies-prédateur. Enfin, pour les nombres de Rossby les plus élevés $Ro_f \gtrsim 1$, on note une absence d'activité cyclique et ne constatons que des dynamos statistiquement stationnaires. Elles maintiennent de larges bandes magnétiques hémisphériques en fond de CZ et sans renversement global de polarité.

Il est important de noter que ces résultats sont en accord avec l'étude Strugarek et al. (2017a, 2018) qui a aussi étudié les dynamos générées au sein des enveloppes convectives de type solaire. Ces résultats apparaissent alors comme robustes, étant donné qu'ils sont ainsi retrouvés par l'utilisation de deux codes numériques différents, utilisant des méthodes de résolution distinctes. De plus, cette première étude n'incluait pas de zone radiative au sein de ses modèles et utilisait une condition limite de conducteur parfait en fond de zone convective. Premièrement, la condition utilisée semble ici aider à une bonne modélisation de la base de la zone convective des étoiles de type lorsque solaire lorsqu'une zone radiative n'y est pas couplée. Ensuite, il semblerait ainsi que les tendances d'activité cyclique en fonction du nombre de Rossby ainsi que les processus à leur origine ne dépendent pas de la présence d'une tachocline avec un fort cisaillement radial, suivi d'une zone d'overshoot. Nous pouvons donc supposer que ces mécanismes pourraient aussi avoir lieu au sein d'étoiles de faibles masses entièrement convectives (Browning et al., 2007; Bice & Toomre, 2020; Brown et al., 2020).

En considérant que le nombre de Rossby d'une étoile diminue au cours de sa MS, on peut donc suggérer que les étoiles de type solaire pourraient générer des cycles courts en début de MS, qui seraient caractéristiques de la branche “inactive” (voir Section 6.1.2), puis verraient apparaître des cycles longs à un âge plus avancé, caractéristiques quant à eux de la branche “active”. Nous notons de plus l'existence d'un régime de $Ro_f$ au sein duquel la présence des deux types de cycles est possible, ce qui est compatible avec les observations de plusieurs cycles au sein d'une même étoile (Boro Saikia et al., 2018; Jeffers et al., 2022). Enfin, les étoiles perdraient par la suite leur activité cyclique en continuant d'évoluer, comme il a été suggéré par Metcalfe & van Saders (2017). Cette dernière étude propose de plus que cette transition vers une dynamo stationnaire pourrait être à l'origine de l'affaiblissement du ralentissement des vieilles étoiles de type solaire (van Saders et al., 2016). Néanmoins, nous n'observons pas de baisse significative du dipôle global pour les modèles à haut nombre de Rossby, qui aurait pu expliquer une telle diminution du freinage magnétique de la rotation (Vidotto et al. 2014 non plus). Cependant, nous notons qu'un minimum de son amplitude semble apparaître pour les modèles avant la transition anti-solaire. Si l'étoile venait à rester bloquée dans ce minimum, avec l'apport d'un changement de comportement de la perte de masse (Metcalfe et al., 2022), il serait alors possible d'expliquer le changement de comportement de la perte de moment cinétique. Ce minimum semble apparaître en $Ro_f$ avant une remontée de l'amplitude du champ magnétique de surface à grande échelle dans les modèles en rotation anti-solaire, ce qui pourrait être en lien avec une possible augmentation de l'activité relevée par Brandenburg & Giampapa (2018) dans ce régime de Rossby. Des modèles supplémentaires à haut nombre de Rossby seront
nécessaires pour caractériser correctement ce régime, possiblement avec l'apport des futures dynamos à faibles métallicités que nous développons.

Les tendances du magnétisme que nous observons en fonction du nombre de Rossby nous montrent que le champ au sein de la zone convective est compatible avec un équilibre magnétostrophique $B \propto R_o^{-0.5}$ prédit par la théorie (Augustson et al., 2019). Le champ magnétique de surface à grande échelle est quant à lui compatible avec les observations ZDI rapportant $B \propto R_o^{-1.4}$ (Vidotto et al., 2014; See et al., 2019a). Il sera important de voir si les modèles en rotation les plus lentes pourront guider les observations de cibles similaires, difficilement observables dans ce régime avec les techniques ZDI. Enfin, les différentes analyses énergétiques au sein de nos modèles nous indiquent que le magnétisme peut être soutenu par des transferts pouvant aller jusqu'à 3% de la luminosité de l'étoile pour des $R_o$ intermédiaires. Cela représente une quantité d'énergie considérable, alors disponible pour le maintien de l'activité cyclique, et potentiellement pour la mise en place des événements magnétiques en surface des étoiles de type solaire.

Il est important de noter ici que les modèles M09R1m et M11R1m tournant à la vitesse du Soleil ne présentent pas de cycles magnétiques semblables au Soleil puisque leur $R_o$ ne tombe pas dans l'intervalle $0.15 \lesssim R_o \lesssim 0.65$. En ce sens, nous pensons que M09R3m ou M11R3m sont de meilleures représentations de l'activité cyclique du Soleil, bien que leur taux de rotation soit plus grand que pour ce dernier. Bien que les tendances générales trouvées dans notre étude soient robustes, l'emplacement spécifique d'une étoile doit donc être considéré avec prudence. Nous supposons qu'il s'agit d'une conséquence directe du *Convective Conundrum*, c'est-à-dire une sur-estimation de l'amplitude convective des simulations globales, en comparaison aux inversions héliosismiques Hanasoge et al. (2016). Cela a finalement pour conséquence une sur-estimation du nombre de Rossby des simulations pour le régime de turbulence considéré (voir Section 4). De plus, il est important de noter ici que des états dynamo plus complexes ont également été constatés au sein des simulations numériques de Viviani et al. (2019) pour des nombres de Rossby similaires. Cela nous indique de nouveau que nous devons rester prudent dans l'interprétation des résultats de simulations actuelles où le nombre de Reynolds est encore loin du régime solaire, et souligne la nécessité d'atteindre des régimes plus turbulents afin de confirmer ou infirmer les transitions en Rossby observées (voir aussi Hotta et al. (2022)).

Enfin, nous avons commencé une étude sur l'impact de la métallicité au sein des dynamos d'étoiles de type solaire. Pour cela, nous avons construit quatre modèles avec des métallicités variant entre $[\text{Fe/H}] = +0.3$ et $-1.0$, et où la rotation et la masse sont fixées dans un régime solaire. Nous avons décidé de considérer des degrés de turbulence plus élevés que les simulations de Brun et al. (2022) précédemment étudiées, afin d'apporter de nouveaux éléments de comparaisons aux résultats précédents. Nous observons quatre états de rotations distincts au sein des progéniteurs hydrodynamiques : tout d'abord cylindrique, de type solaire et anti-solaire, avec une tendance en Rossby similaire aux résultats du Chapitre 2 ; mais aussi un état de rotation en coquilles sphériques, dit “shellular”, au sein duquel la redistribution du moment cinétique est fortement limité. Le cisaillement latitudinal de surface y étant fortement limité, nous supposons qu'un tel état sera difficilement détectable sans l'utilisation de techniques astéro-sismiques. Les calculs dynamos sont en cours de développement et déjà initiés pour les modèles Z03m et Z0m. Les résultats préliminaires montrent que le rapport des énergies magnétiques/cinétiques tend vers une valeur significativement plus élevée pour le modèle à $[\text{Fe/H}] = +0.3$, où l'on observe aussi la présence d'un fort champ magnétique en super-équipartition à la surface du modèle. Cela pourrait tendre à expliquer les observations de HD 173701 ayant des paramètres similaires, et où de fortes variations chromosphériques sont observés par cycle (Karoff et al., 2018). Le contraste de rotation différentielle actuel du modèle est néanmoins bien plus faible que celui observé sur HD 173701, qui est plus grand que sur le Soleil. Cependant, ces simulations dynamos n'en sont qu'à leur début et devront converger avant de pouvoir confirmer de tels résultats. Finalement, les futurs modèles dynamos Z-05m et Z-1m nous permettrons d'apporter de nouvelles contraintes théoriques au régime des forts Rossby en séquence principale, pour lequel les observations restent rares.
Sommaire

<table><tr><td>7.1</td><td>Évolution de la dynamo des étoiles de type solaire : Le Soleil dans le temps</td><td>260</td></tr><tr><td>7.2</td><td>Vers des modèles convectifs globaux plus réalistes pour étudier l'impact de la métallicité.</td><td>262</td></tr><tr><td>7.3</td><td>Perspectives d'études de l'impact de la rotation et de la métallicité sur les vents stellaires</td><td>263</td></tr></table>

Dans ce manuscrit, nous avons contribué à étudier la dynamique et le magnétisme des étoiles de type solaire, en replaçant notre Soleil dans son contexte stellaire. Cela nous permet de l'utiliser comme pierre de Rosette pour la compréhension des processus physiques ayant lieu au sein de ces étoiles durant leur séquence principale. Cette étude a été menée par l'intermédiaire de simulations numériques, pour lesquelles différents modèles, avec différents niveaux de complexité, ont été utilisés. Des outils d'analyse spectrale ont été développés, afin de caractériser la dynamique non-linéaire sur les différentes échelles résolues, et ainsi souligner les ingrédients physiques importants pour la compréhension de la dynamique observée. Les résultats des simulations numériques ont aussi permis de construire des outils analytiques permettant de caractériser observationnellement l'influence de la structure sur la dynamique de ces étoiles (notamment sur la présence ou non sur un état anti-solaire pour la rotation de surface). En collaboration avec la communauté observatrice, cela a notamment permis de pointer des cibles stellaires d'intérêt, dont une future caractérisation permettra d'apporter de nouvelles contraintes observationnelles pour les modèles utilisés, et ainsi pour la compréhension de l'évolution du Soleil et ses semblables. Cette partie de conclusion sera l'occasion de synthétiser les différents résultats et de discuter les différentes perspectives s'ouvrant pour la suite dans ce contexte. Nous résumons en Section 7.1 les résultats ayant donné lieu à une publication scientifique, et en Section 7.2 les études en cours de finalisation. Finalement, nous présenterons en Section 7.3 un travail préliminaire sur les vents stellaires.

Ce doctorat a été mené dans le contexte de l'ERC Synergie Whole Sun, au sein de laquelle j'ai pu prendre part et développer différents projets, qui ont été présentés au sein de cette thèse. L'objectif de cette collaboration entre différentes institutions de recherche (le Département d'Astrophysique au CEA de Saclay, l'Université d'Oslo, l'Institut Max Planck à Goettingen, l'Université de Saint-Andrews et l'Institut d'Astrophysique des Canaries) est de déterminer plus précisément la génération du champ magnétique à l'intérieur du Soleil, et la création de structures en résultant à sa surface (taches solaires, émergence de flux...), donnant lieu aux phénomènes éruptifs au sein de son atmosphère. À cette fin, cette collaboration développera un modèle complet de Soleil plus avancé, à l'aide de la technologie Exa-scale, puis le contraindra à l'aide d'observations provenant de missions spatiales, aussi bien solaires que stellaires. Ma participation a été principalement centrée sur le problème du Convective Conundrum, auquel devra vraisemblablement faire face le futur code, ainsi que sur l'aspect stellaire (impact de la rotation différentielle et de la métallicité) qui nous permettra de mieux comprendre les mécanismes qui ont lieu au sein de notre Soleil.
## 7.1 Évolution de la dynamo des étoiles de type solaire : Le Soleil dans le temps

Le champ magnétique solaire est généré et maintenu par un processus de dynamo fluide interne. Dans les étoiles, ce processus est déterminé par l'action combinée des mouvements convectifs turbulents et du profil de rotation différentielle. Il peut parfois conduire à des variations cycliques du magnétisme, comme pour le Soleil montrant un tel cycle de 11 ans. Des traces de cycles magnétiques ont également été observés sur d'autres étoiles de type solaire, allant de quelques années à quelques dizaines d'années. Afin de comprendre comment ces cycles sont contrôlés, nous avons présenté au long des Chapitres 2, 5 et 6 une étude paramétrique multidimensionnelle, effectuée avec les codes STELEM (Emonet & Charbonneau 1998, communication privée) et ASH (Brun et al., 2004), pour comprendre la génération et les caractéristiques du champ magnétique des étoiles de type solaire, sous différents régimes de rotation différentielle, au cours de leur vie dans une approche "Sun in Time".

Le Chapitre 2 nous a premièrement permis de présenter 15 modèles MHD globaux de dynamos convectives 3D effectuées avec le code ASH, que nous appellerons "GK" et qui ont été publiées dans Brun et al. (2022), article dont je suis co-auteur. Ces modèles représentent des étoiles à métallicité solaire, dont les masses varient de 0.5 à 1.1 M⊙, pour des taux de rotation entre 1/8 et 5 Ω⊙, produisant des nombres de Rossby 0.07 < Ro<sub>f</sub> < 1.74. Nous avons pu observer 3 régimes de rotations différentielles et de rétroaction du champ magnétique généré, respectivement pour des nombres de Rossby faibles, intermédiaires et hauts. Au Chapitre 6, nous commençons ensuite par présenter les différents comportements cycliques des dynamos observées sur ses modèles. En plus des transitions rotationnelles, nous observons des transitions magnétiques dans des régimes de Ro<sub>f</sub> comparables. Les observations d'étoiles de type solaire montrent que leur taux de rotation global Ω ralentit durant la séquence principale (Skumanich, 1972), tandis que les modèles d'évolutions stellaires montrent que ces observations peuvent être expliquées en conservant une masse relativement constante au cours de cette phase évolutive (Gallet & Bouvier, 2015). Ainsi, les résultats trouvés au sein des 15 modèles, simulés pour différentes masses et rotations, nous permettent d'émettre l'hypothèse d'un scénario pour l'évolution magnéto-rotationnelle du Soleil et ses semblables.

- Pour de jeunes étoiles en rotation rapide, correspondant à de faibles nombres de Rossby, on observe l'établissement d'un profil de rotation différentielle fortement contrainte par l'action conjointe des forces de Coriolis et de Lorentz. L'action de la première créer un profil de forme cylindrique, pouvant présenter des jets zonaux semblables à la rotation jovienne. L'action de la deuxième tend à diminuer les contrastes de ce profil, pouvant même l'amener vers une rotation quasi-solide pour les plus faibles valeurs de Ro<sub>f</sub> simulées. Cette rétroaction de Lorentz résulte d'une génération forte d'énergie magnétique, qui peut atteindre l'équipartition et semble montrer un phénomène de saturation dans les cas les plus extrêmes que nous avons exploré. Des simulations supplémentaires à des nombres de Rossby encore plus faibles seront nécessaires pour confirmer cette tendance, qui serait alors compatibles avec les observations (Noyes et al., 1984; Wright et al., 2011). Les dynamos observées dans ce régime présentent alors des cycles courts de l'ordre de quelques années, résultant d'une dynamo de surface localisée dans la région équatoriale, et suivant une dynamique compatible avec la loi de Parker-Yoshimura (Parker, 1955; Yoshi-mura, 1975), typique des dynamos de type αΩ.

- Pour des âges plus avancés correspondant à des nombres de Rossby intermédiaires, on observe l'établissement d'un profil de rotation différentielle de type solaire (équateur rapide / pôles lents). Dans ce régime, on observe un maximum d'efficacité dans la puissance transférée par la turbulence convective au maintien de ce profil, pouvant atteindre 30% de la luminosité stellaire. Cela permet alors de soutenir le magnétisme par cisaillement à grande échelle, dont le transfert énergétique peut atteindre 3% de la luminosité stellaire. L'énergie magnétique résultante est alors disponible pour le maintien de cycles
magnétiques, cette fois-ci de l'ordre de la dizaine d'années, résultant d'une dynamo située en profondeur à la base de la zone convective. La dynamique de ces cycles est dictée par des échanges d'énergie entre la rotation différentielle et le magnétisme, dans un processus non-linéaire de type proie/prédateur. L'inversion cyclique de la polarité magnétique globale par annulation du flux consomme efficacement l'énergie magnétique générée par la rotation globale, de sorte que sa valeur diminue en fonction du nombre de Rossby.

— Enfin, on observe une disparition de l'activité magnétique cyclique pour les modèles à haut nombre de Rossby, représentant de vielles étoiles de type solaire. Ce comportement est alors compatible avec certaines observations, suggérant la perte du cycle à un certain âge de l'étoile Metcalfe & van Saders (2017). La dynamo devient alors stationnaire et génère des rubans magnétiques hémisphériques de forte amplitude à la base de la zone convective. Pour les modèles aux nombres de Rossby les plus élevés, le profil de rotation différentielle s'inverse par rapport à celui de type solaire, devenant alors "ant-solaire" (équateur lent / pôles rapides). Pour ce régime de rotation, la tendance du flux magnétique de surface en fonction du nombre de Rossby semble s'inverser, devenant alors croissante. Des simulations supplémentaires au sein de ce régime seront nécessaires pour infirmer ou confirmer cette tendance.

Des profils de rotation anti-solaire sont observés depuis des décennies au sein des simulations numériques dans le régime des hauts nombres de Rossby (Gastine et al., 2014). Cependant, la nature de la dynamo résultant d'une telle dynamique reste encore sujet à débat. D'autres études de dynamos globales 3D reportent la présence de cycles (Karak et al., 2015; Viviani et al., 2018, 2019), tandis que d'autres confirment leur absence (Warnecke, 2018; Strugarek et al., 2018). Cela nous a amené à étudier au Chapitre 5 l'impact d'un tel profil de rotation sur le caractère cyclique de la dynamo, en utilisant un modèle simplifié où on peut alors caractériser l'importance des différents ingrédients physiques à l'origine de la dynamo. Cette étude a donné lieu à la publication Noraz et al. (2022a) dans le journal Astronomy & Astrophysics. Nous y présentons 24 modèles de dynamos en champ moyen et en régime cinématique 2.5D, pour des profils de rotations de type-solaire et anti-solaire. Par l'intermédiaire d'une dynamo de type αΩ, nous avons modélisé différentes localisations pour la génération de champ magnétique poloïdal par effet-α. Dans les cas où nous imposons un profil de rotation de type solaire, nous trouvons une possibilité d'activité cyclique pour la grande majorité des localisations, au niveau de la tachocline, au sein de la zone convective, ainsi qu'à la surface. Nous observons de plus que la période du cycle augmente généralement avec la profondeur de cette localisation au sein de la zone convective, ce qui est similaire aux résultats trouvés dans l'étude GK. Toujours en accord avec cette étude, les cas où un profil de rotation anti-solaire est imposé ne présentent aucune activité cyclique pour la majorité des modèles simulés. Cependant, nous relevons tout de même la présence de cycles magnétiques pour certains cas anti-solaires, où la génération par effet-α est située au niveau de la tachocline. Il serait alors intéressant de mieux caractériser cette zone d'interactions entre la génération poloïdale et le cisaillement radial, ainsi que de vérifier la contribution possible du terme de diamagnétisme agissant à cette transition. La prochaine étape sera ensuite de prescrire des profils de rotation anti-solaires plus réalistes, inspirés des modèles 3D globaux et possédant un cisaillement radial non nul au sein de la zone convective, pour voir si une interaction avec un effet-α peut y engendrer des inversions de polarités et donc une activité cyclique.

Il apparaît alors que les étoiles en rotation anti-solaire ne peuvent soutenir des cycles magnétiques que pour des processus dynamo très spécifiques. Une détection de cycles magnétiques pour de telles étoiles serait donc une contrainte majeure pour déterminer quel type de dynamo agit dans les étoiles de type solaire, ainsi que la manière dont elle évolue. Cette problématique est particulièrement pertinente dans le contexte de la mission PLATO, qui fournira de nouvelles contraintes, notamment sur la rotation différentielle et l'activité magnétique ayant lieu dans ces étoiles. Cela nous a donc amené au Chapitre 3 où nous développons un critère théorique à partir des tendances en $R_o$ précédemment observées. Pour cela, nous avons développé une formule analytique permettant de quantifier le nombre de Rossby fluide des étoiles de type solaire, à partir de quantités observables. En tenant compte des aspects de structure et de métallicité, calibrés à l'aide de modèles d'évolutions
stellaires (Amard et al., 2019), nous avons pu sélectionner un échantillon de cibles présentant de fortes valeurs de $R_{o_f}/R_{o_f,⊙}$ au sein de l'échantillon *Kepler*. Après avoir inspecté en détail chaque cible avec l'aide des auteurs du catalogue de rotation utilisé (Santos et al., 2019; Santos et al., 2021), nous proposons 24 cibles d'intérêt, que nous pensons être des candidats prometteurs pour la détection de rotation différentielle anti-solaire. La sélection de ces dernières a donné lieu à la publication Noraz et al. (2022b), pour lesquelles une future caractérisation observationnelle permettrait de confirmer ou infirmer cette hypothèse.

## 7.2 Vers des modèles convectifs globaux plus réalistes pour étudier l'impact de la métallicité

Bien que l'étude GK ne comprenne pas de modèles à 1 $M_⊙$, nous sommes confiants sur les tendances magneto-rotationnelles obtenues en fonction du nombre de Rossby. En effet, ces tendances ont été observées de façon similaire par l'étude publié dans Brun et al. (2017); Strugarek et al. (2018), tout en résolvant cette fois-ci seulement l'enveloppe convective, et en utilisant une méthode de résolution différente sur le schéma numérique et le traitement de la diffusion. Cela nous permet de plus de définir un intervalle $R_{o_f}$ dans lequel un modèle doit se trouver pour établir un profil de rotation différentiel de type solaire, tout en possédant une dynamo cyclique de l'ordre de la dizaine d'années, semblable au Soleil. Cependant, nous devons préciser ici que les modèles M09R1m et M11R1m, proches de la masse solaire et possédant un taux de rotation solaire, présentent une dynamo stationnaire puisque leur nombre de Rossby est trop élevé. Par conséquent, nous pensons que les modèles de mêmes masses à $3\Omega_⊙$ sont de meilleures représentations du Soleil, même si leur taux de rotation est plus rapide que ce dernier. En effet, leur nombre de Rossby est alors dans la bonne gamme de valeurs. Bien que les tendances générales trouvées dans notre étude semblent robustes, cela signifie que l'emplacement spécifique d'une étoile particulière doit être considéré avec prudence en raison du *Convective Conundrum*. Il s'agit de la difficulté actuelle des simulations globales à reproduire les amplitudes convectives observées à grandes échelle par l'héliosismologie (Hanasoge et al., 2016; Hotta et al., 2022), ces dernières étant a priori surestimé par les modèles. Pour un taux de rotation donné, le nombre de Rossby de la simulation est alors trop grand, expliquant pourquoi les modèles tournant plus rapidement que le Soleil sont mieux adaptés pour modéliser ce dernier. Ce paradoxe convectif est d'autant plus notable, que le problème s'accentue en augmentant le degré de turbulence des simulations, pour se rapprocher du degré réellement atteint au sein du Soleil et inaccessible par les modèles globaux actuels.

Une étude dans le régime hydrodynamique présentée au Chapitre 4 a donc été menée à ce sujet en utilisant le code ASH. Nous avons développé des modèles convectifs globaux à la masse et au taux de rotation solaire (SBR97n1 et SBR97n035), possédant un niveau de turbulence significativement plus haut que les modèles de l'étude GK, mais conservant un profil de rotation de type solaire. Pour cela, nous proposons de contrôler la part d'énergie transportée par la convection par l'intermédiaire du nombre de Nusselt $Nu$, ce qui nous permet d'augmenter le degré de turbulence tout en limitant la croissance du nombre de Rossby $R_{o_f}$. À l'aide de ce contrôle sur $Nu$, nous avons aussi pu étudier comparativement la dynamique du modèle en rotation solaire SBR97n035, avec celle de son équivalent anti-solaire à nombre de Reynolds constant. Une analyse spectrale de ces derniers nous indique que, comme attendu, les vitesses convectives au sein de SBR97n035 ont globalement été réduites à toutes les échelles. Toutefois, la réduction est relativement plus forte aux grandes échelles. On observe en effet que la rotation contraint d'autant plus ces échelles par l'intermédiaire de la force de Coriolis, en y diminuant fortement la force de flottaison. Cette contrainte est d'autant visible au sein de la zone convective, où les plus grandes cellules se forment dans le modèle anti-solaire, et plus généralement au sein des modèles classiques. Les modèles SBR97n1 et SBR97n035 montrent à la place la formation de rouleaux convectifs, observés depuis des années dans les modèles numériques à faibles nombre de Rossby (Busse, 1970; Gilman, 1975). Cependant, nous n'observons pas ici l'expression de telles structures dans la dynamique de surface, où la formation des petites échelles est peu influencée par la rotation et domine la dynamique à ce
degré de turbulence. Ces modèles semblent donc aller dans la bonne direction pour établir une DR solaire tout en conservant un spectre convectif à grande échelle compatible avec les observations. Afin de savoir si l'existence de telles structures profondes est vérifiable au sein du Soleil, nous envisageons d'appliquer des analyses hélio-sismiques aux données des modèles développés. Cette possibilité est actuellement en discussion avec l'équipe du Max Planck Institute for Solar System Research. Nous relevons de plus que le nombre de Rossby relevé au sein de SBR97n035 est plus élevé que pour certains cas anti-solaires de l'étude GK. Bien que les tendances en $R_o$ restent robustes, cela nous indique que les valeurs absolues de transitions rotationnelles dépendent potentiellement du régime de *Re* et/ou *Nu* considéré. Cela pourrait alors également être le cas pour les transitions magnétiques. Des modèles supplémentaires seront nécessaires pour caractériser cet effet, ce que nous avons en partie initié au Chapitre 6 avec une étude sur l'impact de la métallicité.

Après avoir étudié l'impact de la rotation et de la masse sur la dynamo convectives des étoiles de types solaires, nous avons décidé d'explorer de manière similaire celui de la métallicité, en fixant les deux premiers paramètres aux valeurs solaires. Pour cela, nous avons construit 4 modèles hydrodynamiques pour des indices de métallicité entre +0.3 et -1, en utilisant la méthode développée au Chapitre 4, et donc SBR97n1 (renommé Z0 pour l'occasion) comme modèle de référence pour la composition solaire. Le $R_o$ relevé est inversement proportionnel à la métallicité, ce qui rejoint les récentes observations de See et al. (2021). Pour les modèles à Z03, Z0 et Z-05, nous observons les 3 régimes de rotations différentielles précédemment cités. Nous avons pu entamer le calcul des solutions dynamos pour Z0m et son équivalent sur-métallique Z03m. Les résultats préliminaires montrent l'établissement d'un champ magnétique plus fort pour ce dernier, localement à un niveau de super-équipartition suffisant pour influencer fortement les mouvements convectifs et le transport de chaleur en surface (voir aussi Yadav et al. 2015). Nous supposons qu'un tel effet pourrait être à l'origine de la plus forte variabilité chromosphérique observé par Karoff et al. (2018) sur un jumeau solaire de composition similaire. Ces résultats nécessiteront la convergence des calculs dynamos pour être confirmés. Le cas du modèle hydrodynamique à $[Fe/H]=-1$ présente un profil de rotation différent de ceux précédemment vus, en présentant une structure en coquilles sphériques (profil dit "shellular") symptomatique d'une conservation de moment cinétique local. Le nombre de Rossby atteint dans ce modèle est bien plus élevé et nous permettra d'apporter de nouvelles contraintes théoriques pour ce régime de convection, où les transferts de moment cinétiques latitudinaux sont limités. De manière générale, les futurs calculs dynamos de Z-05 et Z-1 nous permettront d'apporter des contraintes théoriques supplémentaires pour le régime des haut nombres de Rossby, dont les observations semblent y souligner un changement de comportement.

## 7.3 Perspectives d'études de l'impact de la rotation et de la métallicité sur les vents stellaires

Nous avons conclu le Chapitre 1 en introduisant l'écart à la gyrochoronologie observé sur les étoiles de type solaire en fin de séquence principale, pour lequel différentes explications physiques sont actuellement discutées au sein de la communauté. La première est un changement dans le processus dynamo des étoiles en rotation lente, comme le suggèrent des observations récentes (Metcalfe & Egeland, 2019). Il a notamment été montré que le couple magnétique fourni par les vents stellaires dépend principalement de l'amplitude du dipôle à grande échelle (Réville et al., 2015; Finley & Matt, 2018). À partir des modèles 2.5D du Chapitre 5 et l'étude GK du Chapitre 6, nous n'observons toutefois pas de chute du dipôle dans les modèles anti-solaires. De plus, les résultats en 3D pointeraient au contraire vers une amplification de ce dernier, possiblement compatible avec une tendance observée par (Brandenburg & Giampapa, 2018). Cependant, nous notons la présence d'un minimum d'amplitude avant la transition vers le régime anti-solaire. La contribution magnétique à la perte de moment cinétique y est alors proportionnellement affaiblie, ce qui pourrait alors expliquer en partie la transition observée si les étoiles restent bloquées dans ce régime en fin de séquence principale (Brun et al., 2022; Metcalfe et al., 2022).
<figure><img src="image_161.png" /><figcaption>FIGURE 7.1 – *Haut* : Carte de la vitesse $v_A/v_{esc}$ prise près de la surface du modèle M09R3m lors d'un minimum d'activité, avec $v_{esc} = \sqrt{2GM_*/R_*}$. *Bas* : Même figure filtrée. Une décomposition en harmonique sphérique à permis de seulement conserver les composantes $\ell \le 10$, après avoir diminué l'amplitude du champ magnétique d'un facteur 20.</figcaption></figure>

Un autre scénario proposé pour expliquer cette transition serait un changement des propriétés coronales, affaiblissant la contribution de la perte de masse pour extraire le moment cinétique (Ó Fionnagáin & Vidotto, 2018). Les contraintes observationnelles et théoriques sur la perte de masse des étoiles de type solaires sont encore trop limitées pour confirmer une telle option, cependant des avancées notables ont été faites récemment et sont prometteuses (Güdel, 2019; Wood et al., 2021). Dans ce contexte, nous avons entamé une étude de l'impact de la rotation sur la perte de masse, par l'intermédiaire de simulations de vents stellaires. Pour cela, nous avons utilisé le modèle WindPredictAW (Reville et al., 2019) pour modéliser la couronne et le vent des modèles dynamo à 0.9 $M_⊙$ de l'étude GK (discutée au Chapitre 6), possédant pour taux de rotation 1/2, 1 et $3 \Omega_⊙$. Nous en avons extrait le champ magnétique près de la surface, afin de le mettre en entrée du code PLUTO (Mignone et al., 2007). Pour cela, il a tout d'abord fallu diviser le champ magnétique de ces modèles par un facteur 20 afin de faciliter la convergence de nos simulations. En effet, ces modèles produisent des champs magnétiques à grande échelle très intenses à leur surface, qui mèneraient à des vitesses d'Alfvén trop élevées dans la chromosphère pour être gérées par le modèle numérique actuel. Toutefois cela reste acceptable car le rôle de l'amplitude du champ magnétique est bien compris dans les simulations de vents stellaires (Réville et al., 2015, 2016). La carte magnétique est ensuite filtrée à $\ell = 10$ (voir Figure 7.1), et la rotation est la même que celle du modèle dynamo considéré. Pour ces modèles, nous avons ensuite adapté le modèle solaire de Reville et al. (2019) pour prendre en compte le changement de masse et de rayon de l'étoile centrale. En revanche, nous n'avons pour le moment pas modifié les paramètres d'excitation du vent solaire. Par conséquent, nous utilisons une densité de particule à la base du domaine de $2 \times 10^8 \text{ cm}^{-3}$, une excitation des perturbations alfvénique de $12 \text{ km.s}^{-1}$, et un flux de chaleur total d'environ $10^5 \text{ erg cm}^{-2} \text{ s}^{-1}$. Les modèles sont ainsi initialisés avec un champ magnétique extrapolé des simulations ASH (PFSS, voir Annexe C) et un modèle de vent polytropique à $\gamma = 5/3$. L'ensemble des équations MHD compressibles, possédant la prescription de chauffage par ondes d'Alfvén, est ensuite résolu (Reville et al., 2019), ce qui nous donne les simulations dont les paramètres globaux sont listés en Table 7.1.

M09s, M09d1, M09d3min et M09d3max sont respectivement les solutions de vents des modèles GK M09Sm, M09R1m et M09R3m (pour un minimum et maximum d'activité). On voit que les modèles dynamos présentent des amplitudes de champ magnétique de surface très différentes, menant à des vitesses d'Alfvén à la base du
<table><caption>TABLE 7.1 – Paramètres globaux des 4 modèles de vents présentés. Chaque nom correspond au modèle dynamo respectif dont la carte magnétique de surface est couplée à la base du modèle. L'étoile centrale possède un rayon 0.85 R☉. Les deux derniers modèles correspondent à un maximum et minimum d'activité de M09R3m. On liste ensuite le taux de rotation de ce dernier, la perte de masse, le rayon d'Alfvén moyen, une approximation de la perte de moment cinétique, ainsi que la vitesse d'Alfvén maximum observée à la base du domaine.</caption><thead><tr><th>Nom</th><th>Ω<sub>★</sub><br>(Ω<sub>☉</sub>)</th><th>M&#x0307;<br>(10<sup>-15</sup> M<sub>☉</sub>/an)</th><th>⟨r<sub>A</sub>⟩<br>(R<sub>★</sub>)</th><th>J&#x0307;<sub>ap</sub><br>(10<sup>-28</sup> erg)</th><th>v<sup>*</sup><sub>A,max</sub><br>(km.s<sup>-1</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>M09s</td><td>0.5</td><td>5.36</td><td>5.7</td><td>5.2</td><td>2216</td></tr><tr><td>M09d1</td><td>1.0</td><td>3.72</td><td>2.7</td><td>1.6</td><td>684</td></tr><tr><td>M09d3min (TBU)</td><td>3.0</td><td>5.45</td><td>2.9</td><td>8.1</td><td>260</td></tr><tr><td>M09d3max</td><td>3.0</td><td>5.48</td><td>3.4</td><td>11.2</td><td>5247</td></tr></tbody></table>

domaine tout aussi différentes d'un modèle à l'autre (on rappelle que $v_A = B/\sqrt{4\pi\rho}$). La perte de masse des modèles varie entre 3.72 et $5.48 \times 10^{-15} M_{☉}/\text{an}$, ce qui est un ordre de grandeur en dessous de la perte de masse du vent solaire ($\sim 10^{-14} M_{☉}/\text{an}$, Wang et al. 1990; Sheeley & Wang 1991; Brun & Browning 2017). Le rayon d'Alfvén moyen varie quant à lui entre 2.7 et 5.7 $R_★$. On note que ce dernier ne chute pas pour M09s, dont le champ de surface provient de la solution dynamoM09Sm en rotation anti-solaire. Il augmente aussi légèrement lors du passage d'un minimum au maximum d'activité de M09R3m. Enfin, on donne une approximation $\dot{J}_{\text{ap}} = \Omega_{*} \dot{M} \langle r_{A} \rangle^2$ pour relever les tendances en perte de moment cinétique. On voit que les tendances relevées entre les modèles sur $\dot{M}$ et $\langle r_{A} \rangle$ y sont encore plus claires. Un minimum en $\dot{J}$ est atteint pour M09d1 en fonction du Rossby, juste avant de remonter pour M09s.

Nous illustrons ensuite la structure du vent au sein des différents modèles en Figures 7.2 (M09s en haut, M09d1 en bas) et 7.3 (M09d3min en haut, M09d3max en bas). On retrouve sur M09s une structure de la surface d'Alfvén formant deux lobes hémisphériques distincts le long de l'axe de rotation, caractéristique de la topologie magnétique dipolaire en surface de l'étoile centrale. Le modèle M09d1 montre quant à lui une topologie magnétique plus irrégulière, résultant d'une carte magnétique de surface plus complexe, et de la relaxation du vent encore en cours. En effet, on voit des bifurcations abruptes apparaître le long de certaines lignes de champ, dû à des phénomènes de reconnexion magnétique et la propagation de plasmoïdes, nous indiquant que la structure n'a pas encore atteint son état stationnaire. Cela se reflète aussi par la surface d'Alfvén, présentant certaines excursions de lobes encore en cours d'évolution. Les solutions du modèle M09d3, représentées en Figure 7.3, sont aussi en cours d'évolution, avec une structure magnétique visiblement plus influencée par la rotation à $3\Omega_{☉}$ (en particulier pour M09d3max). On voit que le principal changement de topologie entre le minimum et maximum d'activité provient de l'hémisphère Nord, où la surface d'Alfvén est encore en train d'évoluer. Les lobes hémisphériques en bas des illustrations sont déjà relativement bien relaxés pour les deux modèles, où on note un alignement radial plus prononcé des lignes de champ pour le minimum d'activité. Pour ce dernier, nous pensons qu'il s'agit d'un phénomène similaire aux trous coronaux solaires (voir Section 1.3.1.3 et Figure 1.32), ce qui nécessitera une analyse plus précise de sa structure en vitesses et températures pour être confirmé.

Ainsi, on confirme que la rotation et la dynamo impactent la structure du vent (Pinto et al., 2021) et donc sa perte de moment cinétique. Les modèles M09d1, M09d3min et M09d3max doivent encore être calculés pour atteindre leur état stationnaire et finalement conclure, toutefois leur état actuel permet déjà de souligner les tendances discutées en fonction de la rotation. D'autres effets pourront aussi être investigués dans le futur. Par exemple, la prochaine étape sera d'étudier les solutions de vents d'autres modèles dynamo en changeant la masse pour les taux de rotation étudiés, afin d'étendre l'étude à l'impact de la masse, et par la même occasion enrichir l'échantillon de nombres de Rossby étudiés, pour ensuite comparer les tendances aux récentes observations (Güdel, 2019; Wood et al., 2021). Une étape suivante pourrait être d'étudier ensuite l'impact du profil de rotation différentielle entre les différents modèles. En effet, le profil actuellement prescrit est une rotation uniforme fixée au taux global du modèle dynamo respectif, et il sera intéressant de voir comment les
<figure><img src="image_162.png" /><figcaption>FIGURE 7.2 – Représentations 3D de la structure magnétique du vent stellaire pour les modèles M09s (en haut) et M09d1 (en bas). Le logarithme décimal de la densité ρ est représenté en couleurs (bleu/jaune) dans le plan équatorial du modèle. La composante radiale du champ magnétique est quantifiée à la surface de l'étoile simulée par la barre de couleur de droite (vert/rouge). Les lignes blanches représentent des lignes du champ magnétique, tandis que la surface transparente illustre la surface d'Alfvén, distance à partir de laquelle la vitesse d'écoulement du vent devient superalfvénique ($v > v_A$).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_163.png" /><figcaption>FIGURE 7.3 – Représentations 3D de la structure magnétique du vent stellaire pour les modèles M09d3min (en haut) et M09d3max (en bas). La légende est identique à la Figure 7.2.</figcaption></figure>
cisaillements à grande échelle viendraient à impacter les structure de vents, et donc potentiellement l'habilité d'exoplanètes orbitant autour d'étoiles de type solaire (Gallet et al., 2017; Strugarek et al., 2017b; Ahuir et al., 2021; Mathur, 2021).

Enfin, on notera ici que la faible variation de $\dot{M}$ entre les modèles vient principalement du fait que nous utilisons la même température coronale et le même chauffage alfvénique pour tous. Or, nous savons que cette température est dépendante à la rotation (Ó Fionnagáin & Vidotto, 2018; Ahuir et al., 2020), et influence ainsi la masse transportée par le vent (Shoda et al., 2020). De la même manière, ces paramètres sont fortement susceptibles de changer en fonction de la métallicité Z. Il serait alors intéressant d'étudier son impact sur le vent en couplant les solutions des modèles dynamos développés au Chapitre 6. Cela nous permettra alors d'apporter de nouvelles contraintes théoriques de l'impact métallique sur l'évolution stellaire, ainsi que de nouveaux éléments pour sa paramétrisation dans les modèles d'évolution stellaire (Amard & Matt, 2020). Cependant, ce couplage nécessitera des informations sur les variations thermodynamiques de la couronne en résultant, dont nous n'avons actuellement pas connaissance d'une tentative de paramétrisation.

Cela pourra alors être exploré à l'aide de simulations locales réalistes d'atmosphères stellaires. En particulier, j'envisage d'étudier cet aspect avec le code solaire Bifrost (Gudiksen et al., 2011), en commençant par l'étendre à d'autres métallicités durant un post-doctorat pour lequel j'ai été engagé par l'Institut d'Astrophysique Théorique de l'Université d'Oslo. Une telle étude des processus de chauffages et d'excitations magnétiques pourra alors nous permettre de mieux contraindre la perte de moment cinétique dans les vents magnétisés (voir Finley et al. (2022) pour le cas solaire). Des travaux ont notamment déjà commencé à étudier l'influence de la composition chimique sur les phénomènes photoshériques (Witske et al., in prep). Finalement, cela permettra alors de fermer la boucle entre magnétisme, dynamo, vent stellaire, perte de moment cinétique et évolution rotationnelle (Ahuir et al., 2020) en fonction de la métallicité, et ainsi compléter notre vision et compréhension de la vie des étoiles de type solaire.
# ANNEXE A

## DÉVELOPPEMENT DES ÉQUATIONS D'INDUCTION EN CHAMP MOYEN

Cette annexe présente des détails de calculs non explicités au Chapitre 5 pour des raisons de clarté. Ils sont énoncés ici par ordre d'apparition pour différentes équations de la Section 5.2.

### A.1 Développement de l'équation 5.12

En repartant de l'équation 5.11

$$ \frac{\partial \langle \mathbf{B} \rangle}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{B}'}{\partial t} = \nabla \times \left[ \left( \langle \mathbf{v} \rangle (r, \theta) + \mathbf{v}'(r, \theta, \phi) \right) \times \left( \langle \mathbf{B} \rangle + \mathbf{B}' \right) - \eta_m \nabla \times \left( \langle \mathbf{B} \rangle + \mathbf{B}' \right) \right], $$

on isole l'évolution de $\langle \mathbf{B} \rangle$ en prenant la moyenne de cette expression. On utilise alors la propriété $\langle \nabla \times \mathbf{A} \rangle = \nabla \times (\langle \mathbf{A} \rangle)$. Elle est vraie pour le cas où, dans un système de coordonnées $(i, j, k)$, $A_j$ et $A_k$ ont des conditions aux limites périodiques selon la direction 'i', sur laquelle la moyenne est effectuée. En se rappelant de plus que $\langle \mathbf{B}' \rangle = 0$, on obtient alors

$$ \frac{\partial \langle \langle \mathbf{B} \rangle \rangle}{\partial t} = \frac{\partial \langle \mathbf{B} \rangle}{\partial t} \quad \text{avec} \quad \frac{\partial \langle \mathbf{B} \rangle}{\partial t} = \nabla \times \left( \left\langle \left[ \left( \langle \mathbf{v} \rangle + \mathbf{v}' \rangle \times \langle \mathbf{B} \rangle + \mathbf{B}' \rangle \right] - \eta_m \nabla \times \langle \mathbf{B} \rangle + \mathbf{B}' \rangle \right\rangle \right). \quad (A.1) $$

Or sait que $\langle \langle \mathbf{v} \times \mathbf{B}' \rangle \rangle = \langle \mathbf{v} \rangle \times \langle \mathbf{B}' \rangle = 0$ et $\langle \langle \mathbf{v}' \times \langle \mathbf{B} \rangle \rangle \rangle = \langle \mathbf{v}' \rangle \times \langle \mathbf{B} \rangle = 0$. De plus, la linéarité de l'opérateur de moyenne donne $\langle \nabla \times (\langle \mathbf{B} \rangle + \mathbf{B}') \rangle = \nabla \times (\langle \langle \mathbf{B} \rangle \rangle + \langle \mathbf{B}' \rangle) = \nabla \times (\langle \mathbf{B} \rangle)$, et on obtient donc finalement l'équation 5.12

$$ \frac{\partial \langle \mathbf{B} \rangle}{\partial t} = \nabla \times (\langle \mathbf{v} \rangle \times \langle \mathbf{B} \rangle + \mathcal{E} - \eta_m \nabla \times \langle \mathbf{B} \rangle). $$

### A.2 Équation vérifiée par $B_\phi$

En repartant de l'équation 5.19

$$ \nabla \times \left( \frac{\partial A_{\phi} \hat{\mathbf{e}}_{\phi}}{\partial t} \right) + \frac{\partial B_{\phi} \hat{\mathbf{e}}_{\phi}}{\partial t} = \nabla \times \left[ \mathbf{v} \times \mathbf{B} + \alpha \nabla \times (A_{\phi} \hat{\mathbf{e}}_{\phi}) + \alpha B_{\phi} \hat{\mathbf{e}}_{\phi} \right. \\ \left. - \eta (\nabla \times \nabla \times (A_{\phi} \hat{\mathbf{e}}_{\phi}) + \nabla \times (B_{\phi} \hat{\mathbf{e}}_{\phi})) \right], $$

nous décomposons le terme $\nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B})$ par analyse vectorielle en coordonnées sphériques<fnref n="1" />, ce qui nous donne

$$ \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) = \underbrace{(\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{v}}_{\text{cisaillement}} - \underbrace{(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{B}}_{\text{advection}} - \underbrace{\mathbf{B} \cdot (\nabla \cdot \mathbf{v})}_{\text{compression}} + \mathbf{v} \cdot (\nabla \cdot \mathbf{B}), \quad (A.2) $$

où le dernier terme est nul par propriété de conservation du flux du champ magnétique (voir l'équation (5.3) de Maxwell-Flux). En rappelant que le problème est axisymétrique, nous développons ensuite les différents

<footnote n="1">1. En utilisant les identités $(A \times B)_i = \epsilon_{ijk} A_j B_k$ et $\epsilon_{ijk} \epsilon_{kmn} = \delta_{im} \delta_{jn} - \delta_{in} \delta_{jm}$.</footnote>
termes et les projetons sur $\hat{e}_\phi$. Premièrement, on détaille le terme de cisaillement, qui nous donne

$$ [(\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{v}]_{\phi} = \left[ B_r \frac{\partial}{\partial r} + \frac{B_{\theta}}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right] v_{\phi} + \frac{B_{\phi}(v_r + \cot \theta v_{\theta})}{r} \quad (A.3) $$

$$ = (\nabla \times (A_{\phi} \hat{e}_{\phi})) \cdot \nabla)(\bar{\omega}\Omega) + \frac{B_{\phi}(v_r + \cot \theta v_{\theta})}{r}, $$

$$ \text{où } (\nabla \times (A_{\phi} \hat{e}_{\phi}) \cdot \nabla)(r \sin \theta \Omega) = \frac{v_{\phi} B_r + \cot \theta v_{\phi} B_{\theta}}{r} + r \sin \theta (B_r \frac{\partial \Omega}{\partial r} + \frac{B_{\theta}}{r} \frac{\partial \Omega}{\partial \theta}). \quad (A.4) $$

Ensuite, on fait de même avec le terme de transport advectif, ce qui nous donne

$$ -(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{B}|_{\phi} = - \left[ v_r \frac{\partial}{\partial r} + \frac{v_{\theta}}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right] B_{\phi} - \frac{v_{\phi}(B_r + \cot \theta B_{\theta})}{r}. \quad (A.5) $$

On note que le deuxième facteur du terme de droite va alors se simplifier avec le premier facteur du terme de droite de l'équation A.4. De plus, on peut factoriser le premier facteur du terme de droite de l'équation (A.5) avec le dernier de l'équation (A.3), tel que

$$ \begin{aligned} - \left[ v_r \frac{\partial}{\partial r} + \frac{v_{\theta}}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right] B_{\phi} + \frac{B_{\phi}(v_r + \cot \theta v_{\theta})}{r} &= - \left[ v_r \left( \frac{\partial B_{\phi}}{\partial r} - \frac{B_{\phi}}{r} \right) + \frac{v_{\theta}}{r} \left( \frac{\partial B_{\phi}}{\partial \theta} - B_{\phi} \cot \theta \right) \right] \quad (A.6) \\ &= -\bar{\omega} \left[ v_r \frac{\partial (B_{\phi}/\bar{\omega})}{\partial r} + \frac{v_{\theta}}{r} \frac{\partial (B_{\phi}/\bar{\omega})}{\partial \theta} \right]. \end{aligned} $$

En se rappelant que $\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot v_p$ par axisymétrie, le terme de compression se projette naturellement sur $\hat{e}_\phi$, et il nous reste donc à développer<fnref n="2" /> le terme diffusif de l'équation (5.19), tel que

$$ \begin{aligned} [\nabla \times (\eta \nabla \times \langle \mathbf{B} \rangle)]_{\phi} &= -\eta[\Delta \langle \mathbf{B} \rangle]_{\phi} + [\nabla \eta \times (\nabla \times \langle \mathbf{B} \rangle)]_{\phi} \\ &= -\eta \Delta \langle B_{\phi} \rangle + \frac{\eta \langle B_{\phi} \rangle}{r^2 \sin^2 \theta} - \frac{dn}{dr} \left( \frac{1}{r} \frac{\partial (r \langle B_{\phi} \rangle)}{\partial r} \right), \end{aligned} \quad (A.7) $$

Par les propriétés du produit vectoriel $\times$, on peut aussi simplifier $\nabla \times (\alpha B_{\phi} \hat{e}_{\phi}) \cdot \hat{e}_{\phi} = 0$. Ainsi, le développement de cette section nous donne l'équation

$$ \frac{\partial B_{\phi}}{\partial t} = \eta \left(\nabla^2 - \frac{1}{\bar{\omega}^2}\right) B_{\phi} + \frac{1}{\bar{\omega}} \frac{\partial(\bar{\omega} B_{\phi})}{\partial r} \frac{\partial(\eta/\eta_t)}{\partial r} - \bar{\omega} v_p \cdot \nabla \left(\frac{B_{\phi}}{\bar{\omega}}\right) \\ - B_{\phi} \nabla \cdot \mathbf{v}_p + \bar{\omega} \left(\nabla \times (A_{\phi} \hat{e}_{\phi})\right) \cdot \nabla \Omega + \nabla \times (\alpha \nabla \times (A_{\phi} \hat{e}_{\phi})) \cdot \hat{e}_{\phi}. $$

## A.3 Équation vérifiée par $A_{\phi}$

En repartant de l'équation 5.19

$$ \nabla \times \left( \frac{\partial A_{\phi} \hat{e}_{\phi}}{\partial t} \right) + \frac{\partial B_{\phi} \hat{e}_{\phi}}{\partial t} = \nabla \times \left[ \mathbf{v} \times \mathbf{B} + \alpha \nabla \times (A_{\phi} \hat{e}_{\phi}) + \alpha B_{\phi} \hat{e}_{\phi} \right] \\ - \eta \left( \nabla \times \nabla \times (A_{\phi} \hat{e}_{\phi}) + \nabla \times (B_{\phi} \hat{e}_{\phi}) \right], $$

on s'intéresse maintenant à une projection sur le plan poloïdal, c'est-à-dire en ne gardant que les composantes suivant $\hat{e}_r$ et $\hat{e}_\theta$. Premièrement, on remarque dans le membre de gauche de cette même équation que seulement le terme $\nabla \times (\partial(A_\phi \hat{e}_\phi)/\partial t)$ reste. Dans le membre de droite, on utilise ensuite les propriétés de l'hypothèse axisymétrique ($\partial_\phi = 0$). Cette symétrie axiale nous assure en effet que, pour un vecteur sphérique C, les composantes poloïdales de $\nabla \times C$ ne dépendent que de la composante toroïdale de C (c'est-à-dire $C \cdot \hat{e}_\phi$; voir note 1). Ainsi $\nabla \times [\eta \nabla \times (B_\phi \hat{e}_\phi)]$ et $\nabla \times [\alpha \nabla \times (A_\phi \hat{e}_\phi)]$ disparaissent, car $\nabla \times (B_\phi \hat{e}_\phi) \cdot \hat{e}_\phi = \nabla \times (A_\phi \hat{e}_\phi) \cdot \hat{e}_\phi = 0$,

<footnote n="2">2. Nous rappelons que $\nabla \times (\nabla \times B) = \nabla(\nabla \cdot B) - \Delta B = -\Delta B$ et $\nabla \times (\eta C) = \eta \nabla \times C + \nabla \eta \times C$.</footnote>
et cette propriété nous permet d'écrire que

$$ \nabla \times \left( \frac{\partial A_{\phi}}{\partial t} \hat{\mathbf{e}}_{\phi} \right) = \nabla \times \left( (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot \hat{\mathbf{e}}_{\phi} + \alpha B_{\phi} \hat{\mathbf{e}}_{\phi} - \eta \left[ \nabla \times \nabla \times (A_{\phi} \hat{\mathbf{e}}_{\phi}) \right] \cdot \hat{\mathbf{e}}_{\phi} \right). \quad (A.8) $$

Par linéarité du rotationnel, on peut enlever cet opérateur $\nabla \times$ de part et d'autre de l'égalité. Similairement à la section précédente, on obtient

$$ -(\nabla \times \nabla \times A_{\phi} \hat{\mathbf{e}}_{\phi}) \cdot \hat{\mathbf{e}}_{\phi} = \Delta A_{\phi} - \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} A_{\phi}. \quad (A.9) $$

De plus,

$$ (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot \hat{\mathbf{e}}_{\phi} = - \left( \frac{v_r}{r} \frac{\partial(rA_{\phi})}{\partial r} + \frac{v_{\theta}}{\varpi} \frac{\partial(\sin\theta_{\phi})}{\partial \theta} \right) = - \frac{\mathbf{v}_p}{\varpi} \cdot \nabla(\varpi A_{\phi}), \quad (A.10) $$

ce qui nous donne finalement l'équation

$$ \frac{\partial A_{\phi}}{\partial t} = \eta \left( \nabla^2 - \frac{1}{\varpi^2} \right) A_{\phi} - \frac{\mathbf{v}_p}{\varpi} \cdot \nabla (\varpi A_{\phi}) + \alpha B_{\phi}. $$

Dans le cas d'une modélisation d'un mécanisme de type Babcock-Leighton, un terme source S peut être ajouté à cette équation.
## B.1 Harmoniques Sphériques scalaires

On peut décomposer spectralement un champ scalaire $\psi(\theta, \phi)$ sur une sphère de la manière suivante

$$ \psi = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \psi_m^{\ell} Y_{\ell}^m, \qquad (B.1) $$

avec $\psi_m^\ell$ les coefficients de la décomposition sur la base des harmoniques sphériques scalaires $Y_\ell^m$, dont on obtient l'équivalence suivante

$$ \psi_{\ell,m}(r) = \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi=0}^{2\pi} \psi(r, \theta, \phi) \bar{Y}_{\ell}^{m}(\theta, \phi) \sin\theta d\theta d\phi = \int_{S} \psi(r, \theta, \phi) \bar{Y}_{\ell}^{m}(\theta, \phi) d\Omega, \qquad (B.2) $$

$$ \forall \ell \in \mathbb{N} \geq 0, \forall m \in \mathbb{Z} \in [0, \ell]. \qquad (B.3) $$

avec $\bar{Y}_\ell^m(\theta, \phi) = (-1)^m Y_\ell^{-m}(\theta, \phi)$ le complexe conjugué de $Y_\ell^m(\theta, \phi)$, S la surface de la sphère de rayon $r$, $d\Omega = \sin\theta d\theta d\phi$ l'angle solide, $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels et $\mathbb{Z}$ l'ensemble des entiers relatifs. Les harmoniques sphériques se définissent telles que

$$ Y_{\ell}^{m} = \sqrt{\frac{(2\ell + 1) (\ell - m)!}{4\pi (\ell + m)!}} P_{\ell}^{m}(\cos \theta) e^{im\varphi}, \qquad (B.4) $$

où ici la normalisation de Laplace est choisie. $P_\ell^m$ est le polynôme associé de Legendre, défini par

$$ P_{\ell}^{m}(x) = \frac{(-1)^{m}}{2^{\ell}\ell!} (1 - x^2)^{m/2} \frac{\partial^{m+\ell}}{\partial x^{m+\ell}} [(x^2 - 1)^{\ell}], \qquad (B.5) $$

et solution particulière de l'équation générale de Legendre

$$ (1 - x^2) y'' - 2xy' + \left( \ell(\ell + 1) - \frac{m^2}{1 - x^2} \right) y = 0, \qquad (B.6) $$

où on note $\ell$ est le degré harmonique du polynôme de Legendre associé (ou latitudinal) et $m$ le degré harmonique azimutal (ou longitudinal). On remarque alors qu'une décomposition en harmoniques sphériques est la combinaison d'une décomposition de Legendre latitudinale, et une décomposition de Fourier longitudinale. Nous illustrons en Figure B.1 l'exemple des harmoniques sphériques correspondantes au degré $\ell = 3$.
<figure><img src="image_164.png" /><figcaption>FIGURE B.1 – Illustration des harmoniques sphériques de degrés $l = 3$ et $0 \le m \le 3$. Le nombre de nœuds est donné par $m$ dans la direction longitudinale, et $l-m$ dans la direction latitudinale.</figcaption></figure>

## B.2 Harmoniques Sphériques vectorielles

Les travaux de Rieutord (1987) puis Mathis & Zahn (2005) nous donnent une base vectorielle d'harmoniques sphériques, telle que

$$ \left\{ \begin{aligned} \mathbf{R}_{\ell}^{m} &= Y_{\ell}^{m} \hat{\mathbf{e}}_{r} \\ \mathbf{S}_{\ell}^{m} &= \nabla_{\perp} Y_{\ell}^{m} = \partial_{\theta} Y_{\ell}^{m} \hat{\mathbf{e}}_{\theta} + \frac{1}{\sin\theta} \partial_{\phi} Y_{\ell}^{m} \hat{\mathbf{e}}_{\phi} \\ \mathbf{T}_{\ell}^{m} &= \nabla_{\perp} \times \mathbf{R}_{\ell}^{m} = \frac{1}{\sin\theta} \partial_{\phi} Y_{\ell}^{m} \hat{\mathbf{e}}_{\theta} - \partial_{\theta} Y_{\ell}^{m} \hat{\mathbf{e}}_{\phi} \end{aligned} \right\}, \quad (B.7) $$

appelée par la suite base RST. Ces vecteurs ont comme propriétés remarquables que

$$ \int_S \mathbf{R}_{\ell_1}^{m_1} \cdot (\mathbf{R}_{\ell_2}^{m_2})^* d\Omega = \delta_{\ell_1, \ell_2} \delta_{m_1, m_2} \quad (B.8) $$

$$ \int_S \mathbf{S}_{\ell_1}^{m_1} \cdot (\mathbf{S}_{\ell_2}^{m_2})^* d\Omega = \int_S \mathbf{T}_{\ell_1}^{m_1} \cdot (\mathbf{T}_{\ell_2}^{m_2})^* d\Omega = \ell_1(\ell_1 + 1)\delta_{\ell_1, \ell_2} \delta_{m_1, m_2}, \quad (B.9) $$

où $S$ est la surface sphérique et $d\Omega$ l'angle solide. De plus, on rappelle que

$$ (\mathbf{S}_{\ell}^{m})^{*} = (-1)^{m} \mathbf{S}_{\ell}^{m_1} \text{ and } m_1 = -m. $$

Ces différents outils mathématiques sont particulièrement bien adaptés pour décrire spectralement les champs vectoriels $\mathbf{X}(\theta, \phi)$ à la surface d'une sphère. Ces derniers se décomposent alors sur la base, tel que

$$ \mathbf{X} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \mathcal{A}_{m}^{\ell} \mathbf{R}_{\ell}^{m} + \mathcal{B}_{m}^{\ell} \mathbf{S}_{\ell}^{m} + \mathcal{C}_{m}^{\ell} \mathbf{T}_{\ell}^{m}, \quad (B.10) $$

avec $A_m^\ell$, $B_m^\ell$ et $C_m^\ell$ les coefficients décomposition sur chaque vecteur de la base RST.

Il est pratique de noter que tout vecteur $\mathbf{X}$ peut alors être décomposé sur cette base, tel que

$$ \mathbf{X}(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \alpha_{\ell,m}(r) \mathbf{R}_{\ell}^{m}(\theta, \phi) + \frac{\beta_{\ell,m}(r)}{\ell+1} \mathbf{S}_{\ell}^{m}(\theta, \phi) + \frac{\gamma_{\ell,m}(r)}{\ell+1} \mathbf{T}_{\ell}^{m}(\theta, \phi). \quad (B.11) $$

On peut alors définir deux nouvelles bases à partir des harmoniques sphériques

$$ V_{\ell}^{m}(\theta, \phi) = \frac{1}{(\ell+1)\sin\theta} \frac{\partial Y_{\ell}^{m}}{\partial \phi}(\theta, \phi) = \frac{c_{\ell}^{m}}{\ell+1} \frac{P_{\ell}^{m}(\theta)}{\sin\theta} \text{ime}^{im\phi}, \quad (B.12) $$
$$Z_{\ell}^{m}(\theta, \phi) = \frac{1}{\ell + 1} \frac{\partial Y_{\ell}^{m}}{\partial \theta}(\theta, \phi) = \frac{c_{\ell}^{m}}{\ell + 1} \frac{\partial P_{\ell}^{m}(\theta)}{\partial \theta} e^{im\phi}. \quad (B.13)$$

Grâce à ces expressions, on peut alors obtenir l'expression de chaque composante du vecteur **X** en fonction des harmoniques sphériques, telles que

$$X_r(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \alpha_{\ell,m}(r) Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi), \quad (B.14)$$

$$X_{\theta}(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \beta_{\ell,m}(r) Z_{\ell}^{m}(\theta, \phi) - \gamma_{\ell,m}(r) V_{\ell}^{m}(\theta, \phi), \quad (B.15)$$

$$X_{\phi}(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \beta_{\ell,m}(r) Z_{\ell}^{m}(\theta, \phi) + \gamma_{\ell,m}(r) V_{\ell}^{m}(\theta, \phi), \quad (B.16)$$

## B.3 Expression des opérateurs sur la base RST

La base RST permet alors d'écrire les différents opérateurs mathématiques sur un champ scalaire $\psi$ tels que

$$\nabla \psi = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \partial_r \psi_m^\ell \mathbf{R}_\ell^m + \frac{\psi_m^\ell}{r} \mathbf{S}_\ell^m, \quad (B.17)$$

$$\nabla \cdot \nabla \psi = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \Delta_{\ell} \psi_{m}^{\ell} Y_{\ell}^{m}, \quad (B.18)$$

avec $\Delta_{\ell} = \partial_{rr} + \frac{2}{r}\partial_r - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2}$. Pour un champ vectoriel **X**, on a alors

$$\nabla \cdot \mathbf{X} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \left[ \frac{1}{r^2} \partial_r (r^2 \mathcal{A}_m^\ell) - \ell(\ell+1) \frac{\mathcal{B}_m^\ell}{r} \right] Y_\ell^m, \quad (B.19)$$

$$\nabla \times \mathbf{X} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \left[ \ell(\ell+1) \frac{\mathcal{C}_m^\ell}{r} \right] \mathbf{R}_\ell^m + \left[ \frac{1}{r} \partial_r (r \mathcal{C}_m^\ell) \right] \mathbf{S}_\ell^m + \left[ \frac{\mathcal{A}_m^\ell}{r} - \frac{1}{r} \partial_r (r \mathcal{B}_m^\ell) \right] \mathbf{T}_\ell^m, \quad (B.20)$$

$$\nabla^2 \mathbf{X} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \left[ \Delta_{\ell} \mathcal{A}_{m}^{\ell} - \frac{2}{r^2} (\mathcal{A}_{m}^{\ell} - \ell(\ell+1)\mathcal{B}_{m}^{\ell}) \right] \mathbf{R}_{\ell}^{m} + \left[ \Delta_{\ell} \mathcal{B}_{m}^{\ell} + 2 \frac{\mathcal{A}_{m}^{\ell}}{r^2} \right] \mathbf{S}_{\ell}^{m} + \left[ \Delta_{\ell} \mathcal{C}_{m}^{\ell} \right] \mathbf{T}_{\ell}^{m} \quad (B.21)$$

Si ce champ vectoriel **X** est de plus à divergence nulle, tel que le champ magnétique **B** de manière générale, ou le champ $\bar{\rho}v$ dans l'hypothèse anélastique, on peut alors effectuer une décomposition poloïdale-toroïdale, telle que

$$\mathbf{X} = \nabla \times \nabla \times (W \hat{e}_r) + \nabla \times (Z \hat{e}_r), \quad (B.22)$$

où

$$W = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} W_m^\ell Y_\ell^m, \quad Z = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} Z_m^\ell Y_\ell^m, \quad (B.23)$$

et on obtient finalement

$$\mathbf{X} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \left\{ \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} W_m^\ell \mathbf{R}_\ell^m + \frac{1}{r} \partial_r W_m^\ell \mathbf{S}_\ell^m + \frac{Z_m^\ell}{r} \mathbf{T}_\ell^m \right\}. \quad (B.24)$$
Finalement, on peut expliciter ici la procédure générale du calcul d'une intégrale sur ces quantités, en illustrant l'exemple simple du calcul de l'intégrale de surface

$$ \int_{\partial V} \nabla \cdot \mathbf{X} \, d\Omega. \qquad (B.25) $$

Celle-ci se détermine telle que

$$ \int_{\partial V} \nabla \cdot \mathbf{X} \, d\Omega = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \int_{\partial V} \left[ \frac{1}{r^2} \partial_r (r^2 A_m^\ell) - \ell(\ell+1) \frac{B_m^\ell}{r} \right] Y_\ell^m \, d\Omega \qquad (B.26) $$

$$ = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \int_{\partial V} \frac{1}{r^2} \partial_r (r^2 A_m^\ell) Y_\ell^m \underbrace{\sqrt{4\pi} Y_0^0}_{=1} \, d\Omega \qquad (B.27) $$

$$ = \sqrt{4\pi} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{1}{r^2} \partial_r (r^2 A_m^\ell) \int_{\partial V} Y_\ell^m Y_0^0 \, d\Omega \qquad (B.28) $$

$$ = \sqrt{4\pi} \frac{1}{r^2} \partial_r (r^2 A_0^0). \qquad (B.29) $$

À l'aide de ces outils, il est ensuite possible de développer entièrement la décomposition spectrale des équations 4.8 et 4.14. Nous dirigeons le lecteur intéressé vers les Annexes de Strugarek et al. (2013) et Strugarek et al. (2016) pour le développement des différents termes.
# ANNEXE C

## EXTRAPOLATION POTENTIELLE DU CHAMP MAGNÉTIQUE

Afin de visualiser le champ magnétique au-delà de la surface des modèles stellaires simulés aux Chapitres 2, 5 et 6, il est possible de l'extrapoler à partir des valeurs de surface. À l'aide de certaines hypothèses, il est alors possible de déduire une topologie magnétique possible. Dans ce manuscrit, nous nous intéressons en particulier à une extrapolation potentielle, c'est-à-dire que nous raccordons le champ magnétique interne à un champ magnétique B dont le rotationnel est nul au-delà de la surface. Il résulte alors que B dérive d'un potentiel scalaire $\Phi$, tel que $B = -\nabla\Phi$. Cette hypothèse est particulièrement bien adaptée à la simulation d'un champ magnétique évoluant dans des conditions de vide. Bien que nous ayons vu en Sections 1.2.3.1 et 1.3.1 que le Soleil possède une atmosphère, et donc que l'environnement direct à sa surface n'est pas vide, nous considérerons ici que nous pouvons l'approximer en tant que telle, en raison de la forte différence de densité entre l'intérieur stellaire et au-delà de la photosphère (voir Figure 1.23).

### C.1 Décomposition sur les harmoniques sphériques

A l'aide des outils proposées en Appendice B, on peut commencer par décomposer le champ magnétique sur les harmoniques sphériques vectorielles. Comme la divergence de B est nulle, le potentiel $\Phi$ a la particularité d'être solution de l'équation de Laplace $\Delta\Phi = 0$. La décomposition (B.1) peut alors s'écrire telle que

$$ \Phi(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \Phi_{\ell,m}(r) Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \left( \Phi_{\ell,m}^{a}(r) r^{\ell} + \Phi_{\ell,m}^{b}(r) r^{-(\ell+1)} \right) Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi). \quad (C.1) $$

Pour fixer $\Phi_{\ell,m}^a$ et $\Phi_{\ell,m}^b$, on peut maintenant faire des hypothèses concernant les conditions aux limites, afin de déduire leurs dépendances radiales, et donc obtenir l'expression complète de $\Phi$.

On peut ensuite exprimer son gradient sur la base RST à partir de l'équation B.17, tel que

$$ \nabla\Phi(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \frac{\partial\Phi_{\ell}^{m}(r)}{\partial r} \mathbf{R}_{\ell}^{m}(\theta, \phi) + \frac{\Phi_{\ell}^{m}(r)}{r} \mathbf{S}_{\ell}^{m}(\theta, \phi), \quad (C.2) $$

en notant que le gradient d'un scalaire n'a donc pas de composantes selon $T_{\ell}^m$. La relation $B = -\nabla\Phi$ nous indique alors que

$$ \mathbf{B}(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \left( -\Phi_{\ell,m}^{a}(r) \ell r^{\ell-1} + \Phi_{\ell,m}^{b}(r) (\ell+1) r^{-(\ell+2)} \right) \mathbf{R}_{\ell}^{m}(\theta, \phi) - \left( \Phi_{\ell,m}^{a}(r) \ell r^{\ell-1} + \Phi_{\ell,m}^{b}(r) r^{-(\ell+2)} \right) \mathbf{S}_{\ell}^{m}(\theta, \phi). \quad (C.3) $$
## C.2 Extrapolation potentielle pure

Dans cette méthode, on suppose qu'on connaît les composantes de **B** sur une surface de rayon $R_b$. Par identification de la formule précédente, et par utilisation de la décomposition (B.11) on a donc

$$ \mathbf{B}(r = R_b) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \alpha_{\ell,m}(R_b) \mathbf{R}_{\ell}^{m} + \frac{\beta_{\ell,m}(R_b)}{\ell+1} \mathbf{S}_{\ell}^{m}, \qquad (C.4) $$

se définissant par un système le deux équations à deux inconnues

$$ \left\{ \begin{array}{l} -\Phi_{\ell,m}^a \ell R_b^{\ell-1} + \Phi_{\ell,m}^b (\ell+1) R_b^{-(\ell+2)} = \alpha_{\ell,m}(R_b), \\ \Phi_{\ell,m}^a R_b^{\ell-1} + \Phi_{\ell,m}^b R_b^{-(\ell+2)} = -\frac{\beta_{\ell,m}(R_b)}{\ell+1}. \end{array} \right. \qquad (C.5) $$

Sa résolution nous donne alors

$$ \left\{ \begin{array}{l} \Phi_{\ell,m}^b = \frac{R_b^{\ell+2}}{2\ell+1} \left( \alpha_{\ell,m}(R_b) - \frac{\ell}{\ell+1} \beta_{\ell,m}(R_b) \right), \\ \Phi_{\ell,m}^a = -\frac{R_b^{-(\ell-1)}}{2\ell+1} \left( \alpha_{\ell,m}(R_b) + \beta_{\ell,m}(R_b) \right), \end{array} \right. \qquad (C.6) $$

et on obtient finalement l'expression des coefficients pour la décomposition

$$ \alpha_{\ell,m}(r > R_b) = \frac{\ell+1}{2\ell+1} \left( \frac{\ell}{\ell+1}(\alpha_{\ell,m}(R_b) + \beta_{\ell,m}(R_b))(r/R_b)^{\ell-1} + \left(\alpha_{\ell,m}(R_b) - \frac{\ell}{\ell+1}\beta_{\ell,m}(R_b)\right)(r/R_b)^{-(\ell+2)} \right), \qquad (C.7) $$

$$ \beta_{\ell,m}(r > R_b) = \frac{\ell+1}{2\ell+1} \left( (\alpha_{\ell,m}(R_b) + \beta_{\ell,m}(R_b))(r/R_b)^{\ell-1} - \left( \alpha_{\ell,m}(R_b) - \frac{\ell}{\ell+1}\beta_{\ell,m}(R_b) \right) (r/R_b)^{-(\ell+2)} \right), \qquad (C.8) $$

$$ \gamma_{\ell,m}(r > R_b) = 0. \qquad (C.9) $$

## C.3 Extrapolation potentielle restrictive pour le cas axisymétrique

Pour cette dernière méthode, on ne suppose à priori pas de surface source $R_s$, mais plutôt que dans l'équation C.15, $\Phi_{\ell,m}^a(r) = 0$ de manière que $\Phi(r, \theta, \phi)$ ne diverge pas à l'infini (car en facteur de $r^\ell$). L'équation C.3 devient alors

$$ \mathbf{B}(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \Phi_{\ell,m}^{b}(r)(\ell+1)r^{-(\ell+2)}\mathbf{R}_{\ell}^{m}(\theta, \phi) - \Phi_{\ell,m}^{b}(r)r^{-(\ell+2)}\mathbf{S}_{\ell}^{m}(\theta, \phi). \qquad (C.10) $$

En supposant de plus qu'on ne connaît que la composante radiale $B_r(R_b, \theta, \phi)$, on peut alors projeter C.4 radialement pour obtenir

$$ B_r(r = R_b) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \alpha_{\ell,m}(R_b) Y_{\ell}^{m} = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \Phi_{\ell,m}^{b}(\ell+1) R_{b}^{-(\ell+2)} Y_{\ell}^{m}, \qquad (C.11) $$
et par conséquent, le système C.5 se réduit à

$$ \Phi_{\ell,m}^{b} = \frac{\alpha_{\ell,m}(R_b)}{\ell + 1} R_b^{\ell+2}. \qquad (C.12) $$

En considérant le potentiel vecteur **A** tel que $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$, imaginons maintenant que le système considéré est axisymétrique ($\partial/\partial\phi = 0$, c'est-à-dire $m = 0$). La composante poloïdale du champ magnétique peut s'exprimer comme $\mathbf{B}_{\text{pol}} = \nabla \times \mathbf{A}_p$, avec $\mathbf{A}_p = A_\phi \hat{e}_\phi$ où nous allons maintenant déterminer $A_\phi$. Sachant que $\mathbf{B}$ est à divergence nulle, on a par définition de la décomposition poloïdale/toroïdale que

$$ \mathbf{B}_{\text{pol}} = \nabla \times \nabla \times (C_p \hat{e}_r) \quad \text{et donc que} \quad \mathbf{A}_p = \nabla \times (C_p \hat{e}_r). \qquad (C.13) $$

En se rappelant que $\mathbf{B}$ est ici potentiel et dérive du potentiel $\Phi$, ce dernier peut alors être généralement relié à $C_p$ tel que

$$ C_p = - \sum_{\ell=0}^{+\infty} \left( \frac{\Phi_{\ell,0}^a(r)}{\ell+1} r^{\ell+1} - \frac{\Phi_{\ell,0}^b(r)}{\ell} r^{-\ell} \right) Y_{\ell}^0(\theta, \phi). \qquad (C.14) $$

où nous rappelons que $\Phi_{\ell,0}^a(r) = 0$ par hypothèse. En développant $A_p$ sous l'hypothèse d'axisymétrie, on a alors $A_\phi = -\frac{1}{r} \frac{\partial C_p}{\partial \theta}$, ce qui nous donne finalement

$$ A_{\phi} = - \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sum_{\ell=0}^{+\infty} \frac{\alpha_{\ell,0}(R_b)}{\ell(\ell+1)} R_b^{\ell+2} r^{-\ell} Y_{\ell}^{0}(\theta, \phi) \right). \qquad (C.15) $$

Par construction mathématique de $\mathbf{B}_{\text{pol}} = \nabla \times (A_\phi \hat{e}_\phi)$, les iso-contours de $A_\phi$ dans le plan méridien représentent alors directement les lignes de champs magnétiques poloïdales (voir Figure B.1 de l'article en Section 5.6).

## C.4 Extrapolation potentielle par utilisation d'une surface source (PFSS)

Pour cette extrapolation, on suppose de nouveau qu'on connaît uniquement la composante magnétique radiale $B_r$ sur la surface de rayon $R_b$, mais nous ne supposons à priori pas d'axisymétrie où d'annulation complète du profil $\Phi_{\ell,m}^a(r) = 0$ dans ce cas. En projetant la décomposition B.10 de $\mathbf{B}$ sur la composante radiale, on a maintenant

$$ B_r(r = R_b) = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \alpha_{\ell,m}(R_b) Y_{\ell}^{m} = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \left( -\Phi_{\ell,m}^{a} \ell R_{b}^{\ell-1} + \Phi_{\ell,m}^{b} (\ell+1) R_{b}^{-(\ell+2)} \right) Y_{\ell}^{m}. \qquad (C.16) $$

Si on suppose de plus l'existence d'une surface source de rayon $R_s$, au-delà de laquelle le champ magnétique devient uniquement radial, on obtient que

$$ B_{\theta}(r = R_s) = 0 = \sum_{\ell=0}^{+\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \left( -\Phi_{\ell,m}^{a} \ell R_{b}^{\ell-1} + \Phi_{\ell,m}^{b} R_{s}^{-(\ell+2)} \right) \mathbf{R}_{\ell}^{m}. \qquad (C.17) $$

On a alors de nouveau un système de deux équations à deux inconnues, tel que

$$ \left\{ \begin{array}{l} -\Phi_{\ell,m}^a \ell R_b^{\ell-1} + \Phi_{\ell,m}^b (\ell+1) R_b^{-(\ell+2)} = \alpha_{\ell,m}(R_b), \\ \Phi_{\ell,m}^a R_s^{\ell-1} + \Phi_{\ell,m}^b R_s^{-(\ell+2)} = 0. \end{array} \right. \qquad (C.18) $$
La résolution de ce système nous donne ensuite

$$ egin{cases} 
\Phi_{\ell,m}^b = \frac{\alpha_{\ell,m}(R_b)}{\ell R_b^{\ell-1} R_s^{-(2\ell+1)} + (\ell+1)R_b^{-(\ell+2)}}, \\ 
\Phi_{\ell,m}^a = -\Phi_{\ell,m}^b R_s^{-(2\ell+1)}. 
\end{cases} 
\quad (C.19) $$

Ce qui nous permet de déduire l'expression des coefficients de $B_r$ et $B_\theta$, tels que

$$ \alpha_{\ell,m}(r > R_b) = \alpha_{\ell,m}(R_b) \frac{\ell(R_b/R_s)^{2\ell+1}(r/R_b)^{\ell-1} + (\ell+1)(r/R_b)^{-(\ell+2)}}{\ell(R_b/R_s)^{2\ell+1} + (\ell+1)}, \quad (C.20) $$

$$ \beta_{\ell,m}(r > R_b) = (\ell + 1)\alpha_{\ell,m}(R_b) \frac{(R_b/R_s)^{2\ell+1}(r/R_b)^{\ell-1} - (r/R_b)^{-(\ell+2)}}{\ell(R_b/R_s)^{2\ell+1} + (\ell+1)}, \quad (C.21) $$

$$ \gamma_{\ell,m}(r > R_b) = 0, \quad (C.22) $$

Cette méthode est par exemple utilisée pour obtenir la Figure 2.6.
<figure><img src="image_165.png" /></figure>
Aarnio, A. N., Matt, S. P., & Stassun, K. G. 2012. MASS LOSS IN PRE-MAIN-SEQUENCE STARS VIA CORONAL MASS EJECTIONS AND IMPLICATIONS FOR ANGULAR MOMENTUM LOSS, *The Astrophysical Journal*, **760**, 9

Abdurro'uf, Accetta, K., Aerts, C., et al. 2022. The Seventeenth Data Release of the Sloan Digital Sky Surveys : Complete Release of MaNGA, MaStar and APOGEE-2 Data, arXiv:2112.02026 [astro-ph], arXiv:2112.02026 [astro-ph]

Ahuir, J., Brun, A. S., & Strugarek, A. 2020. From Stellar Coronae to Gyrochronology : A Theoretical and Observational Exploration, *Astronomy & Astrophysics*, **635**, A170

Ahuir, J., Strugarek, A., Brun, A.-S., & Mathis, S. 2021. Magnetic and Tidal Migration of Close-in Planets : Influence of Secular Evolution on Their Population, *Astronomy & Astrophysics*, **650**, A126

Ahumada, R. 2020. The 16th Data Release of the Sloan Digital Sky Surveys : First Release from the APOGEE-2 Southern Survey and Full Release of eBOSS Spectra, *The Astrophysical Journal Supplement Series*, 21

Alfvén, H. 1947. Magneto hydrodynamic waves, and the heating of the solar corona, *MNRAS*, **107**, 211

Alvan, L. 2014, PhD thesis, Université Paris Diderot

Amard, L. & Matt, S. P. 2020. The Impact of Metallicity on the Evolution of the Rotation and Magnetic Activity of Sun-like Stars, *The Astrophysical Journal*, **889**, 108

Amard, L., Palacios, A., Charbonnel, C., Gallet, F., Georgy, C., Lagarde, N., & Siess, L. 2019. First Grids of Low-Mass Stellar Models and Isochrones with Self-Consistent Treatment of Rotation, *Astronomy & Astrophysics*, **631**, A77

Anders, E. H., Manduca, C. M., Brown, B. P., Oishi, J. S., & Vasil, G. M. 2019. Predicting the Rossby Number in Convective Experiments, *The Astrophysical Journal*, **872**, 138

Andre, P., Ward-Thompson, D., & Barsony, M. 1993. Submillimeter Continuum Observations of rho Ophiuchi A : The Candidate Protostar VLA 1623 and Prestellar Clumps, *ApJ*, **406**, 122

Antia, H. M. 2002. Seismic View of the Solar Interior, *Journal of Astrophysics and Astronomy*, **23**, 3

Appourchaux, T., Belkacem, K., Broomhall, A.-M., et al. 2010. The Quest for the Solar g Modes, *The Astronomy and Astrophysics Review*, **18**, 197

Asplund, M., Amarsi, A. M., & Grevesse, N. 2021. The Chemical Make-up of the Sun : A 2020 Vision, *Astronomy & Astrophysics*, **653**, A141

Augustson, K., Brun, A. S., Miesch, M., & Toomre, J. 2015. GRAND MINIMA AND EQUATORWARD PROPAGATION IN A CYCLING STELLAR CONVECTIVE DYNAMO, *The Astrophysical Journal*, **809**, 149

Augustson, K. C., Brown, B. P., Brun, A. S., Miesch, M. S., & Toomre, J. 2012. CONVECTION AND DIFFERENTIAL ROTATION IN F-TYPE STARS, *The Astrophysical Journal*, **756**, 169

Augustson, K. C., Brun, A. S., & Toomre, J. 2019. Rossby and Magnetic Prandtl Number Scaling of Stellar Dynamos, *The Astrophysical Journal*, **876**, 83
Aurière, M. 2003. Stellar Polarimetry with NARVAL, *Proceeding*, 9, 105

Aurnou, J., Heimpel, M., & Wicht, J. 2007. The Effects of Vigorous Mixing in a Convective Model of Zonal Flow on the Ice Giants, *Icarus*, 190, 110

Axford, W. I. & McKenzie, J. F. 1992. The origin of high speed solar wind streams, *Proceeding*, 1

Babcock, H. W. 1961. The Topology of the Sun's Magnetic Field and the 22-YEAR Cycle., *The Astrophysical Journal*, 133, 572

Baliunas, S. L., Donahue, R. A., Soon, W. H., et al. 1995. Chromospheric Variations in Main-Sequence Stars. II., *ApJ*, 438, 269

Balona, L. A. & Abedigamba, O. P. 2016. Differential Rotation in K, G, F and A Stars, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, 461, 497

Barnes, J. R., Cameron, A. C., Donati, J.-F., James, D. J., Marsden, S. C., & Petit, P. 2005. The Dependence of Differential Rotation on Temperature and Rotation, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society: Letters*, 357, L1

Barnes, S. A. 2003. On the Rotational Evolution of Solar- and Late-Type Stars, Its Magnetic Origins, and the Possibility of Stellar Gyrochronology, *The Astrophysical Journal*, 586, 464

Barnes, S. A. 2007. Ages for Illustrative Field Stars Using Gyrochronology: Viability, Limitations, and Errors, *The Astrophysical Journal*, 669, 1167

Barnes, S. A. 2010. A SIMPLE NONLINEAR MODEL FOR THE ROTATION OF MAIN-SEQUENCE COOL STARS. I. INTRODUCTION, IMPLICATIONS FOR GYROCHRONOLOGY, AND COLOR-PERIOD DIAGRAMS, *The Astrophysical Journal*, 722, 222

Basu, S. & Antia, H. M. 2010. CHARACTERISTICS OF SOLAR MERIDIONAL FLOWS DURING SOLAR CYCLE 23, *The Astrophysical Journal*, 717, 488

Basu, S. & Antia, H. M. 2019. Changes in Solar Rotation over Two Solar Cycles, *The Astrophysical Journal*, 883, 93

Bazot, M., Benomar, O., Christensen-Dalsgaard, J., Gizon, L., Hanasoge, S., Nielsen, M., Petit, P., & Sreenivasan, K. R. 2019. Latitudinal Differential Rotation in the Solar Analogues 16 Cygni A and B, *Astronomy & Astrophysics*, 623, A125

Beck, P. G., Montalban, J., Kallinger, T., et al. 2012. Fast core rotation in red-giant stars as revealed by gravity-dominated mixed modes, *Nature*, 481, 55

Benbakoura, M., Réville, V., Brun, A. S., Le Poncin-Lafitte, C., & Mathis, S. 2019. Evolution of Star-Planet Systems under Magnetic Braking and Tidal Interaction, *Astronomy & Astrophysics*, 621, A124

Benomar, O., Bazot, M., Nielsen, M. B., Gizon, L., Sekii, T., Takata, M., Hotta, H., Hanasoge, S., Sreenivasan, K. R., & Christensen-Dalsgaard, J. 2018. Asteroseismic Detection of Latitudinal Differential Rotation in 13 Sun-like Stars, *Science*, 361, 1231

Benz, A. O. 2008. Flare Observations, *Living Reviews in Solar Physics*, 64

Beresnyak, A. 2012. Universal Nonlinear Small-Scale Dynamo, *Physical Review Letters*, 108, 035002

Berger, T. A., Huber, D., van Saders, J. L., Gaidos, E., Tayar, J., & Kraus, A. L. 2020. The Gaia-Kepler Stellar Properties Catalog. I. Homogeneous Fundamental Properties for 186,301 Kepler Stars, arXiv:2001.07737 [astro-ph], arXiv:2001.07737 [astro-ph]
Bessolaz, N. & Brun, A. S. 2011. HUNTING FOR GIANT CELLS IN DEEP STELLAR CONVECTIVE ZONES USING WAVELET ANALYSIS, *The Astrophysical Journal*, **728**, 115

Bhandare, A., Kuiper, R., Henning, T., Fendt, C., Flock, M., & Marleau, G.-D. 2020. Birth of Convective Low-Mass to High-Mass Second Larson Cores, *Astronomy & Astrophysics*, **638**, A86

Bice, C. P. & Toomre, J. 2020. Probing the Influence of a Tachocline in Simulated M-dwarf Dynamos, *The Astrophysical Journal*, **893**, 107

Biermann, L. 1952. Über den Schweif des Kometen Halley im Jahre 1910, *Zeitschrift Naturforschung Teil A*, **7**, 127

Biskamp, D. 1993, *Nonlinear magnetohydrodynamics*, Cambridge University Press

Böhm-Vitense, E. 1958. Über die Wasserstoffkonvektionszone in Sternen verschiedener Effektivtemperaturen und Leuchtkräfte. Mit 5 Textabbildungen, *Zeitschrift für Astrophysik*, 46, 108

Bohm-Vitense, E. 2007. Chromospheric Activity in G and K Main-Sequence Stars, and What It Tells Us about Stellar Dynamos, *The Astrophysical Journal*, **657**, 486

Bolgiano, R. 1959. Turbulent Spectra in a Stably Stratified Atmosphere, *Journal of Geophysical Research*, **64**, 2226

Bolgiano, R. 1962. Structure of Turbulence in Stratified Media, *Journal of Geophysical Research*, **67**, 3015

Bonanno, A., Elstner, D., Rüdiger, G., & Belvedere, G. 2002. Parity Properties of an Advection-Dominated Solar $\mathsf{\alpha\Omega}$-Dy Na Mo, *Astronomy & Astrophysics*, **390**, 673

Bondi, H. 1952. On Spherically Symmetrical Accretion, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, **112**, 195

Boro Saikia, S., Lüftinger, T., Folsom, C. P., et al. 2022. Time Evolution of Magnetic Activity Cycles in Young Suns: The Curious Case of kappa Ceti, *Astronomy & Astrophysics*, **658**, A16

Boro Saikia, S., Marvin, C. J., Jeffers, S. V., Reiners, A., Cameron, R., Marsden, S. C., Petit, P., Warnecke, J., & Yadav, A. P. 2018. Chromospheric Activity Catalogue of 4454 Cool Stars: Questioning the Active Branch of Stellar Activity Cycles, *Astronomy & Astrophysics*, **616**, A108

Bourrier, V., Dumusque, X., Dorn, C., et al. 2018. The 55 Cancri system reassessed, *A&A*, **619**, A1

Braginsky, S. I. & Roberts, P. H. 1995. Equations Governing Convection in Earth's Core and the Geodynamo, *Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics*, **79**, 1

Brandenburg, A. 2011. NONLINEAR SMALL-SCALE DYNAMOS AT LOW MAGNETIC PRANDTL NUMBERS, *The Astrophysical Journal*, **741**, 92

Brandenburg, A. 2017. STELLAR MIXING LENGTH THEORY WITH ENTROPY RAIN, *The Astrophysical Journal*, **832**, 6

Brandenburg, A. & Giampapa, M. S. 2018. Enhanced Stellar Activity for Slow Antisolar Differential Rotation?, *The Astrophysical Journal*, **855**, L22

Brandenburg, A., Jennings, R. L., Nordlund, Å., Rieutord, M., Stein, R. F., & Tuominen, I. 1996. Magnetic structures in a dynamo simulation, *Journal of Fluid Mechanics*, **306**, 325

Brandenburg, A., Mathur, S., & Metcalfe, T. S. 2017. Evolution of Co-existing Long and Short Period Stellar Activity Cycles, *The Astrophysical Journal*, **845**, 79
Brandenburg, A. & Rempel, M. 2019. Reversed Dynamo at Small Scales and Large Magnetic Prandtl Number, *The Astrophysical Journal*, **879**, 57

Brandenburg, A., Saar, S. H., & Turpin, C. R. 1998. Time Evolution of the Magnetic Activity Cycle Period, *The Astrophysical Journal*, **498**, L51

Brandenburg, A., Sokoloff, D., & Subramanian, K. 2012. Current Status of Turbulent Dynamo Theory: From Large-Scale to Small-Scale Dynamos, *Space Science Reviews*, **169**, 123

Brandenburg, A. & Subramanian, K. 2005. Astrophysical Magnetic Fields and Nonlinear Dynamo Theory, *Physics Reports*, **417**, 1

Breton, S. N., Brun, A. S., & García, R. A. 2022. Stochastic excitation of internal gravity waves in rotating late F-type stars: an approach through 3D simulations, A&A (*submitted*)

Breton, S. N., Santos, A. R. G., Bugnet, L., Mathur, S., García, R. A., & Pallé, P. L. 2021. ROOSTER: A Machine-Learning Analysis Tool for *Kepler* Stellar Rotation Periods, *Astronomy & Astrophysics*, **647**, A125

Brown, B. P., Browning, M. K., Brun, A. S., Miesch, M. S., & Toomre, J. 2008. Rapidly Rotating Suns and Active Nests of Convection, *The Astrophysical Journal*, **689**, 1354

Brown, B. P., Miesch, M. S., Browning, M. K., Brun, A. S., & Toomre, J. 2011. MAGNETIC CYCLES IN A CONVECTIVE DYNAMO SIMULATION OF A YOUNG SOLAR-TYPE STAR, *The Astrophysical Journal*, **731**, 69

Brown, B. P., Oishi, J. S., Vasil, G. M., Lecoanet, D., & Burns, K. J. 2020. Single-Hemisphere Dynamos in M-dwarf Stars, *The Astrophysical Journal Letters*, **902**, L3

Brown, B. P., Vasil, G. M., & Zweibel, E. G. 2012. ENERGY CONSERVATION AND GRAVITY WAVES IN SOUND-PROOF TREATMENTS OF STELLAR INTERIORS. PART I. ANELASTIC APPROXIMATIONS, *The Astrophysical Journal*, **756**, 109

Brown, E. L., Marsden, S. C., Mengel, M. W., et al. 2021. Magnetic Field and Chromospheric Activity Evolution of HD 75332: A Rapid Magnetic Cycle in an F Star without a Hot Jupiter, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, **501**, 3981

Browning, M. K., Basri, G., Stancliffe, R. J., Houdek, G., Martin, R. G., & Tout, C. A. 2007. Dynamo Action in Fully Convective Low-Mass Stars, *Proceeding*, 157

Browning, M. K., Miesch, M. S., Brun, A. S., & Toomre, J. 2006. Dynamo Action in the Solar Convection Zone and Tachocline: Pumping and Organization of Toroidal Fields, *The Astrophysical Journal*, **648**, L157

Brun, A. & Miesch, M. 2008. Stellar convection simulations, *Scholarpedia*, **3**, 4278

Brun, A. S. 2004. On the Interaction between Differential Rotation and Magnetic Fields in the Sun, *Solar Physics*, **220**, 333

Brun, A. S., Antia, H. M., Chitre, S. M., & Zahn, J.-P. 2002. Seismic Tests for Solar Models Withtachocline Mixing, *Astronomy & Astrophysics*, **391**, 725

Brun, A. S. & Browning, M. K. 2017. Magnetism, Dynamo Action and the Solar-Stellar Connection, *Living Reviews in Solar Physics*, **14**

Brun, A. S., García, R. A., Houdek, G., Nandy, D., & Pinsonneault, M. 2015. The Solar-Stellar Connection, *Space Science Reviews*, **196**, 303

Brun, A. S., Miesch, M. S., & Toomre, J. 2004. Global-Scale Turbulent Convection and Magnetic Dynamo Action in the Solar Envelope, *The Astrophysical Journal*, **614**, 1073
Brun, A. S., Miesch, M. S., & Toomre, J. 2011. MODELING THE DYNAMICAL COUPLING OF SOLAR CONVECTION WITH THE RADIATIVE INTERIOR, *The Astrophysical Journal*, **742**, 79

Brun, A. S. & Palacios, A. 2009. NUMERICAL SIMULATIONS OF A ROTATING RED GIANT STAR. I. THREE-DIMENSIONAL MODELS OF TURBULENT CONVECTION AND ASSOCIATED MEAN FLOWS, *The Astrophysical Journal*, **702**, 1078

Brun, A. S. & Strugarek, A. 2020. Stellar magnetism: bridging dynamos and winds, *Chapitre de cours*, 171

Brun, A. S., Strugarek, A., Noraz, Q., Perri, B., Varela, J., Augustson, K., Charbonneau, P., & Toomre, J. 2022. Powering Stellar Magnetism: Energy Transfers in Cyclic Dynamos of Sun-like Stars, *The Astrophysical Journal*, **926**, 21

Brun, A. S., Strugarek, A., Varela, J., Matt, S. P., Augustson, K. C., Emeriau, C., DoCao, O. L., Brown, B., & Toomre, J. 2017. On Differential Rotation and Overshooting in Solar-like Stars, *The Astrophysical Journal*, **836**, 192

Brun, A. S. & Toomre, J. 2002. Turbulent Convection under the Influence of Rotation: Sustaining a Strong Differential Rotation, *The Astrophysical Journal*, **570**, 865

Brun, A. S. & Zahn, J.-P. 2006. Magnetic Confinement of the Solar Tachocline, *Astronomy & Astrophysics*, **457**, 665

Bullard, E. & Gellman, H. 1954. Homogeneous Dynamos and Terrestrial Magnetism, *Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A*, **247**, 213

Bushby, P. J. 2006. Zonal Flows and Grand Minima in a Solar Dynamo Model, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, **371**, 772

Busse, F. H. 1970. Thermal Instabilities in Rapidly Rotating Systems, *Journal of Fluid Mechanics*, **44**, 441

Busse, F. H. 1981. Do Eddington-Sweet Circulations Exist?, *Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics*, **17**, 215

Campante, T. L., Handberg, R., Mathur, S., et al. 2011. Asteroseismology from Multi-Month *Kepler* Photometry: The Evolved Sun-like Stars KIC 10273246 and KIC 10920273, *Astronomy & Astrophysics*, **534**, A6

Capitaine, N., Klioner, S., & McCarthy, D. 2012. The re-definition of the astronomical unit of length: reasons and consequences, *Proceeding*, 40

Carrington, R. C. 1858. On the Distribution of the Solar Spots in Latitudes since the Beginning of the Year 1854, with a Map, *MNRAS*, **19**, 1

Carrington, R. C. 1860. On two cases of Solar Spots in High Latitudes, and on the Surface Currents indicated by the Observations, *MNRAS*, **20**, 254

Cassini, J. 1690, *Illustrations de Nouvelles découvertes dans le globe de Jupiter faites à l'observatoire royal*, Imprimé par Jean Cusson à Paris, conservé à la Bibliothèque de l'Observatoire de Paris.

Cat, P. D., Fu, J. N., Ren, A. B., et al. 2015. LAMOST OBSERVATIONS IN THE *KEPLER* FIELD. I. DATABASE OF LOW-RESOLUTION SPECTRA, *The Astrophysical Journal Supplement Series*, **220**, 19

Cayrel de Strobel, G. 1996. Stars Resembling the Sun, *Astronomy and Astrophysics Review*, **7**, 243

Ceillier, T., Tayar, J., Mathur, S., Salabert, D., García, R. A., Stello, D., Pinsonneault, M. H., van Saders, J., Beck, P. G., & Bloemen, S. 2017. Surface rotation of Kepler red giant stars, *A&A*, **605**, A111
Ceillier, T., van Saders, J., García, R. A., Metcalfe, T. S., Creevey, O., Mathis, S., Mathur, S., Pinsonneault, M. H., Salabert, D., & Tayar, J. 2016. Rotation periods and seismic ages of KOIs - comparison with stars without detected planets from Kepler observations, *MNRAS*, 456, 119

Chandrasekhar, S. 1961, *Hydrodynamic and hydromagnetic stability*, Dover Publications, Inc. New York

Charbonneau, P. 2020. Dynamo Models of the Solar Cycle, *Living Reviews in Solar Physics*, 17, 4

Charbonneau, P., Christensen-Dalsgaard, J., Henning, R., Larsen, R. M., Schou, J., Thompson, M. J., & Tomczyk, S. 1999. Helioseismic Constraints on the Structure of the Solar Tachocline, *The Astrophysical Journal*, 527, 445

Charbonneau, P., Tomczyk, S., Schou, J., & Thompson, M. J. 1998. The Rotation of the Solar Core Inferred by Genetic Forward Modeling, *The Astrophysical Journal*, 496, 1015

Childress, S. & Gilbert, A. D. 1995, *Stretch, Twist, Fold*, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York / Lecture Notes in Physics

Christensen, U. R. & Aubert, J. 2006. Scaling Properties of Convection-Driven Dynamos in Rotating Spherical Shells and Application to Planetary Magnetic Fields, *Geophysical Journal International*, 166, 97

Christensen-Dalsgaard, J., Däppen, W., Ajukov, S. V., et al. 1996. The Current State of Solar Modeling, *Science*, 272, 1286

Claytor, Z. R., van Saders, J. L., Llama, J., Sadowski, P., Quach, B., & Avallone, E. A. 2022. Recovery of TESS Stellar Rotation Periods Using Deep Learning, *The Astrophysical Journal*, 927, 219

Cliver, E. W., Schrijver, C. J., Shibata, K., & Usoskin, I. G. 2022. Extreme Solar Events, *Living Reviews in Solar Physics*, 19, 2

Clune, T., Elliott, J., Miesch, M., Toomre, J., & Glatzmaier, G. 1999. Computational Aspects of a Code to Study Rotating Turbulent Convection in Spherical Shells, *Parallel Computing*, 25, 361

Collier Cameron, A. 2007. Differential Rotation on Rapidly Rotating Stars, *Astronomische Nachrichten*, 328, 1030

Corsaro, E., Bonanno, A., Mathur, S., García, R. A., Santos, A. R. G., Breton, S. N., & Khalatyan, A. 2021. A Calibration of the Rossby Number from Asteroseismology, *Astronomy & Astrophysics*, 652, L2

Covas, E., Moss, D., & Tavakol, R. 2005. Dynamo Models and Differential Rotation in Late-Type Rapidly Rotating Stars, *Astronomy & Astrophysics*, 429, 657

Cowling, T. G. 1933. THE MAGNETIC FIELD OF SUNSPOTS., *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, 10

Cranmer, S. R. & Saar, S. H. 2011. TESTING A PREDICTIVE THEORETICAL MODEL FOR THE MASS LOSS RATES OF COOL STARS, *The Astrophysical Journal*, 741, 54

Cuong, P. & Busse, F. 1981. Generation of Magnetic Fields by Convection in a Rotating Sphere, I, *Physics of the Earth and Planetary Interiors*, 24, 272

Curtis, J. L., Agüeros, M. A., Matt, S. P., et al. 2020. When Do Stalled Stars Resume Spinning Down? Advancing Gyrochronology with Ruprecht 147, *The Astrophysical Journal*, 904, 140

Danjon, A. 1963. Jean-Dominique Cassini, *L'Astronomie*, 77, 4

David, T. J., Angus, R., Curtis, J. L., van Saders, J. L., Colman, I. L., Contardo, G., Lu, Y., & Zinn, J. C. 2022. Further Evidence of Modified Spin-down in Sun-like Stars: Pile-ups in the Temperature-Period Distribution, arXiv:2203.08920 [astro-ph], arXiv:2203.08920 [astro-ph]
De Pontieu, B., McIntosh, S. W., Carlsson, M., et al. 2007. Chromospheric Alfvénic Waves Strong Enough to Power the Solar Wind, *Science*, **318**, 1574

Deardorff, J. W. 1961. On the Direction and Divergence of the Small-Scale Turbulent Heat Flux., *Journal of Atmospheric Sciences*, 18, 540

Deheuvels, S., Ballot, J., Eggenberger, P., Spada, F., Noll, A., & den Hartogh, J. W. 2020. Seismic Evidence for near Solid-Body Rotation in Two *Kepler* Subgiants and Implications for Angular Momentum Transport, *Astronomy & Astrophysics*, **641**, A117

Deheuvels, S., García, R. A., Chaplin, W. J., et al. 2012. SEISMIC EVIDENCE FOR A RAPIDLY ROTATING CORE IN A LOWER-GIANT-BRANCH STAR OBSERVED WITH *KEPLER*, *The Astrophysical Journal*, **756**, 19

DeRosa, M. L. 2001, PhD thesis, University of Colorado

DeRosa, M. L., Brun, A. S., & Hoeksema, J. T. 2012. SOLAR MAGNETIC FIELD REVERSALS AND THE ROLE OF DYNAMO FAMILIES, *The Astrophysical Journal*, **757**, 96

DeRosa, M. L., Gilman, P. A., & Toomre, J. 2002. Solar Multiscale Convection and Rotation Gradients Studied in Shallow Spherical Shells, *The Astrophysical Journal*, **581**, 1356

Dewar, R. L. 1970. Interaction between Hydromagnetic Waves and a Time-Dependent, Inhomogeneous Medium, *Physics of Fluids*, **13**, 2710

Dikpati, M., Corbard, T., Thompson, M. J., & Gilman, P. A. 2002. Flux Transport Solar Dynamos with Near-Surface Radial Shear, *The Astrophysical Journal*, **575**, L41

Do Cao, O. & Brun, A. 2011. Effects of Turbulent Pumping on Stellar Activity Cycles, *Astronomische Nachrichten*, **332**, 907

do Nascimento Jr., J.-D., de Almeida, L., Velloso, E. N., et al. 2020. Rotation of Solar Analogs Crossmatching Kepler and Gaia DR2, *The Astrophysical Journal*, **898**, 173

Domaradzki, J. A. & Holm, D. D. 2001, Navier-Stokes-alpha Model: LES Equations with Nonlinear Dispersion

Domingo, V., Fleck, B., & Poland, A. I. 1995. The SOHO Mission: an Overview, *Sol. Phys.*, **162**, 1

Donahue, R. A., Saar, S. H., & Baliunas, S. L. 1996. A Relationship between Mean Rotation Period in Lower Main-Sequence Stars and Its Observed Range, *ApJ*, **466**, 384

Donati, J. F. 2003. ESPaDOnS: An Echelle SpectroPolarimetric Device for the Observation of Stars at CFHT, *Proceeding*, **307**, 41

Donati, J. F. & Brown, S. F. 1997. Zeeman-Doppler imaging of active stars. V. Sensitivity of maximum entropy magnetic maps to field orientation., A&A, 326, 1135

Donati, J.-F., Howarth, I. D., Jardine, M. M., et al. 2006. The Surprising Magnetic Topology of Sco: Fossil Remnant or Dynamo Output?, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, **370**, 629

Donati, J. F. & Landstreet, J. D. 2009. Magnetic Fields of Nondegenerate Stars, *ARA&A*, **47**, 333

Donati, J.-F., Semel, M., Carter, B. D., Rees, D. E., & Cameron, A. C. 1997. Spectropolarimetric Observations of Active Stars, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, **291**, 658

Dormy, E. & Soward, A. M. 2007, *Mathematical Aspects of Natural Dynamos*, Vol. 13, CRC Press

Drake, J. J., Cohen, O., Yashiro, S., & Gopalswamy, N. 2013. IMPLICATIONS OF MASS AND ENERGY LOSS DUE TO CORONAL MASS EJECTIONS ON MAGNETICALLY ACTIVE STARS, *The Astrophysical Journal*, **764**, 170
D'Silva, S. & Choudhuri, A. R. 1993. A theoretical model for tilts of bipolar magnetic regions, A&A, 272, 621

Dubé, C. & Charbonneau, P. 2013. STELLAR DYNAMOS AND CYCLES FROM NUMERICAL SIMULATIONS OF CONVECTION, *The Astrophysical Journal*, 775, 69

Eddy, J. A. 1976. The Maunder Minimum, *Science*, 192, 1189

Egeland, R. 2017, PhD thesis, Montana State University, Bozeman

Elbaz, D., Leiton, R., Nagar, N., et al. 2018. Starbursts in and out of the Star-Formation Main Sequence, *Astronomy & Astrophysics*, 616, A110

Elliott, J. R., Miesch, M. S., & Toomre, J. 2000. Turbulent Solar Convection and Its Coupling with Rotation: The Effect of Prandtl Number and Thermal Boundary Conditions on the Resulting Differential Rotation, *ApJ*, 533, 546

Emeriau-Viard, C. & Brun, A. S. 2017. Origin and Evolution of Magnetic Field in PMS Stars: Influence of Rotation and Structural Changes, *The Astrophysical Journal*, 846, 8

Emeriau-Viard, P. C. 2017, PhD thesis, Université Sorbonne Paris Cité

Fan, Y. 2008. The Three-dimensional Evolution of Buoyant Magnetic Flux Tubes in a Model Solar Convective Envelope, *The Astrophysical Journal*, 676, 680

Fan, Y. & Fang, F. 2014. A SIMULATION OF CONVECTIVE DYNAMO IN THE SOLAR CONVECTIVE ENVELOPE: MAINTENANCE OF THE SOLAR-LIKE DIFFERENTIAL ROTATION AND EMERGING FLUX, *The Astrophysical Journal*, 789, 35

Fearn, D. R. 1998. Hydromagnetic Flow in Planetary Cores, *Reports on Progress in Physics*, 61, 175

Featherstone, N. A. & Hindman, B. W. 2016. THE EMERGENCE OF SOLAR SUPERGRANULATION AS A NATURAL CONSEQUENCE OF ROTATIONALLY CONSTRAINED INTERIOR CONVECTION, *The Astrophysical Journal*, 830, L15

Featherstone, N. A. & Miesch, M. S. 2015. Meridional Circulation in Solar and Stellar Convection Zones, *The Astrophysical Journal*, 804, 67

Finley, A. J., Brun, S. A., Carlsson, M., Szydlarski, M., Hansteen, V., & Shoda, M. 2022, Stirring the Base of the Solar Wind: On Heat Transfer and Vortex Formation

Finley, A. J. & Matt, S. P. 2018. The Effect of Combined Magnetic Geometries on Thermally Driven Winds. II. Dipolar, Quadrupolar, and Octupolar Topologies, *The Astrophysical Journal*, 854, 78

Finley, A. J., Matt, S. P., & See, V. 2018. The Effect of Magnetic Variability on Stellar Angular Momentum Loss. I. The Solar Wind Torque during Sunspot Cycles 23 and 24, *The Astrophysical Journal*, 864, 125

Folsom, C. P., Bouvier, J., Petit, P., Lèbre, A., Amard, L., Palacios, A., Morin, J., Donati, J.-F., & Vidotto, A. A. 2018. The Evolution of Surface Magnetic Fields in Young Solar-Type Stars II: The Early Main Sequence (250–650 Myr), *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, 474, 4956

Folsom, C. P., Petit, P., Bouvier, J., et al. 2016. The Evolution of Surface Magnetic Fields in Young Solar-Type Stars – I. The First 250 Myr, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, 457, 580

Fox, N. J., Velli, M. C., Bale, S. D., et al. 2016. The Solar Probe Plus Mission: Humanity's First Visit to Our Star, *Space Science Reviews*, 204, 7

Freytag, B., Steffen, M., Ludwig, H.-G., Wedemeyer-Böhm, S., Schaffenberger, W., & Steiner, O. 2012. Simulations of Stellar Convection with CO5BOLD, *Journal of Computational Physics*, 231, 919
Frisch, U., Pouquet, A., LÉOrat, J., & Mazure, A. 1975. Possibility of an Inverse Cascade of Magnetic Helicity in Magnetohydrodynamic Turbulence, *Journal of Fluid Mechanics*, **68**, 769

Gaia Collaboration, Brown, A. G. A., Vallenari, A., et al. 2021. Gaia Early Data Release 3: Summary of the Contents and Survey Properties, *Astronomy & Astrophysics*, **649**, A1

Gaidos, E. J., Henry, G. W., & Henry, S. M. 2000. Spectroscopy and Photometry of Nearby Young Solar Analogs, *AJ*, **120**, 1006

Galilei, G., Welser, M., & de Filiis, A. 1613, *Istoria E dimostrazioni intorno alle macchie solari E loro accidenti comprese in tre lettere scritte all'illuvstrissimo signor Marco Velseri* ..., Roma, G. Mascadi

Gallet, B. & Pétrélis, F. 2009. From Reversing to Hemispherical Dynamos, *Physical Review E*, **80**, 035302

Gallet, F. & Bouvier, J. 2013. Improved Angular Momentum Evolution Model for Solar-like Stars, *Astronomy & Astrophysics*, **556**, A36

Gallet, F. & Bouvier, J. 2015. Improved Angular Momentum Evolution Model for Solar-like Stars : II. Exploring the Mass Dependence, *Astronomy & Astrophysics*, **577**, A98

Gallet, F., Charbonnel, C., Amard, L., Brun, S., Palacios, A., & Mathis, S. 2017. Impacts of Stellar Evolution and Dynamics on the Habitable Zone : The Role of Rotation and Magnetic Activity, *Astronomy & Astrophysics*, **597**, A14

García, R. A., Mathur, S., Salabert, D., Ballot, J., Régulo, C., Metcalfe, T. S., & Baglin, A. 2010. CoRoT Reveals a Magnetic Activity Cycle in a Sun-Like Star, *Science*, **329**, 1032

Garcia, R. A., Turck-Chieze, S., Jimenez-Reyes, S. J., Ballot, J., Palle, P. L., Eff-Darwich, A., Mathur, S., & Provost, J. 2007. Tracking Solar Gravity Modes : The Dynamics of the Solar Core, *Science*, **316**, 1591

García, R. A. & Ballot, J. 2019. Asteroseismology of Solar-Type Stars, *Living Reviews in Solar Physics*, **16**, 4

García, R. A., Ceillier, T., Salabert, D., et al. 2014. Rotation and Magnetism of *Kepler* Pulsating Solar-like Stars : Towards Asteroseismically Calibrated Age-Rotation Relations, *Astronomy & Astrophysics*, **572**, A34

García, R. A., Mathur, S., Salabert, D., Ballot, J., Régulo, C., Metcalfe, T. S., & Baglin, A. 2010. CoRoT Reveals a Magnetic Activity Cycle in a Sun-Like Star, *Science*, **329**, 1032

Gary, G. A. 2001. Plasma Beta above a Solar Active Region : Rethinking the Paradigm, *Solar Physics*, **203**, 16

Gastine, T., Wicht, J., & Aurnou, J. 2013. Zonal Flow Regimes in Rotating Anelastic Spherical Shells : An Application to Giant Planets, *Icarus*, **225**, 156

Gastine, T., Yadav, R. K., Morin, J., Reiners, A., & Wicht, J. 2014. From Solar-like to Antisolar Differential Rotation in Cool Stars, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society: Letters*, **438**, L76

Geiss, J., Gloeckler, G., von Steiger, R., et al. 1995. The Southern High-Speed Stream : Results from the SWICS Instrument on Ulysses, *Science*, **268**, 1033

Ghizaru, M., Charbonneau, P., & Smolarkiewicz, P. K. 2010. MAGNETIC CYCLES IN GLOBAL LARGE-EDDY SIMULATIONS OF SOLAR CONVECTION, *The Astrophysical Journal*, **715**, L133

Gilman, P. A. 1975. Linear Simulations of Boussinesq Convection in a Deep Rotating Spherical Shell., *Journal of Atmospheric Sciences*, **32**, 1331

Gilman, P. A. 1977. Nonlinear Dynamics of Boussinesq Convection in a Deep Rotating Spherical Shell. I., *Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics*, **8**, 93
Gilman, P. A. 1979. Model Calculations Concerning Rotation at High Solar Latitudes and the Depth of the Solar Convection Zone, *The Astrophysical Journal*, **231**, 284

Gilman, P. A. & Glatzmaier, G. A. 1981. COMPRESSIBLE CONVECTION IN A ROTATING SPHERICAL SHELL. I. ANELASTIC EQUATIONS, *The Astrophysical Journal Supplement Series*, **45**, 53

Gilman, P. A. & Miller, J. 1981. Dynamically Consistent Nonlinear Dynamos Driven by Convection in a Rotating Spherical Shell, *The Astrophysical Journal Supplement Series*, **46**, 211

Girichidis, P., Offner, S. S. R., Kritsuk, A. G., Klessen, R. S., Hennebelle, P., Kruijssen, J. M. D., Krause, M. G. H., Glover, S. C. O., & Padovani, M. 2020. Physical Processes in Star Formation, *Space Science Reviews*, **216**, 68

Gizon, L. & Birch, A. C. 2005. Local Helioseismology, *Living Reviews in Solar Physics*, 131

Gizon, L. & Birch, A. C. 2012. Helioseismology Challenges Models of Solar Convection, *Proceedings of the National Academy of Sciences*, **109**, 11896

Gizon, L., Cameron, R. H., Bekki, Y., et al. 2021. Solar Inertial Modes: Observations, Identification, and Diagnostic Promise, *Astronomy & Astrophysics*, **652**, L6

Gizon, L., Cameron, R. H., Pourabdian, M., Liang, Z.-C., Fournier, D., Birch, A. C., & Hanson, C. S. 2020. Meridional Flow in the Sun's Convection Zone Is a Single Cell in Each Hemisphere, *Science*, **368**, 1469

Glatzmaier, G. A. 1984. Numerical Simulations of Stellar Convective Dynamos. I. the Model and Method, *Journal of Computational Physics*, **55**, 461

Glatzmaier, G. A. 1985. Numerical simulations of stellar convective dynamos. II - Field propagation in the convection zone, *ApJ*, **291**, 300

Glatzmaier, G. A. & Gilman, P. A. 1982. Compressible convection in a rotating spherical shell. V - Induced differential rotation and meridional circulation, *ApJ*, **256**, 316

Gnevishev, M. N. & Ohl, A. I. 1948. On the 22-year cycle of solar activity, *Astronomicheskii Zhurnal (in Russian)*, **25**, 18

Gough, D. 1987. Seismological Measurement of Stellar Ages, *Nature*, **326**, 257

Gough, D. O. 1969. The Anelastic Approximation for Thermal Convection., *Journal of Atmospheric Sciences*, **26**, 448

Goupil, M. J., Samadi, R., Lochard, J., Dziembowski, W. A., & Pamyatnykh, A. 2004. Inferring information about rotation from stellar oscillations, *Proceeding*, **538**, 133

Gray, D. F. 1977. A Quest for Differential Stellar Rotation in A Stars, *The Astrophysical Journal*, **211**, 198

Greer, B. J., Hindman, B. W., Featherstone, N. A., & Toomre, J. 2015. HELIOSEISMIC IMAGING OF FAST CONVECTIVE FLOWS THROUGHOUT THE NEAR-SURFACE SHEAR LAYER, *The Astrophysical Journal*, **803**, L17

Gubbins, D. & Zhang, K. 1993. Symmetry properties of the dynamo equations for palaeomagnetism and geomagnetism, *Physics of the Earth and Planetary Interiors*, **75**, 225

Gudiksen, B. V., Carlsson, M., Hansteen, V. H., Hayek, W., Leenaarts, J., & Martínez-Sykora, J. 2011. The Stellar Atmosphere Simulation Code Bifrost: Code Description and Validation, *Astronomy & Astrophysics*, **531**, A154

Guerrero, G., Zaire, B., Smolarkiewicz, P. K., de Gouveia Dal Pino, E. M., Kosovichev, A. G., & Mansour, N. N. 2019. What Sets the Magnetic Field Strength and Cycle Period in Solar-type Stars?, *The Astrophysical Journal*, **880**, 6
Güdel, M. 2019. Observational Constraints for Solar-Type Stellar Winds, *Proceedings of the International Astronomical Union*, **15**, 313

Hale, G. E. 1908. On the Probable Existence of a Magnetic Field in Sun-Spots, *ApJ*, **28**, 315

Hale, G. E., Ellerman, F., Nicholson, S. B., & Joy, A. H. 1919. The Magnetic Polarity of Sun-Spots, *The Astrophysical Journal*, **49**, 153

Hall, O. J., Davies, G. R., van Saders, J., et al. 2021. Weakened Magnetic Braking Supported by Asteroseismic Rotation Rates of Kepler Dwarfs, *Nature Astronomy*, **5**, 707

Hanasoge, S., Gizon, L., & Sreenivasan, K. R. 2016. Seismic Sounding of Convection in the Sun, *Annual Review of Fluid Mechanics*, **48**, 191

Hanasoge, S. M., Duvall, T. L., & Sreenivasan, K. R. 2012. Anomalously Weak Solar Convection, *Proceedings of the National Academy of Sciences*, **109**, 11928

Hart, A. B. 1956. Motions in the Sun at the Photospheric Level: VI. Large-Scale Motions in the Equatorial Region, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, **116**, 38

Harutyunyan, G., Strassmeier, K. G., Künstler, A., Carroll, T. A., & Weber, M. 2016. Anti-Solar Differential Rotation on the Active Sub-Giant HU Virginis, *Astronomy & Astrophysics*, **592**, A117

Hassler, D. M., Newmark, J., Gibson, S., et al. 2020. The Solaris Solar Polar Mission, Other, display

Hathaway, D. H. 2015. The Solar Cycle, *Living Reviews in Solar Physics*, **12**, 4

Hathaway, D. H., Upton, L., & Colegrove, O. 2013. Giant Convection Cells Found on the Sun, *Science*, **342**, 1217

Hazra, S., Rèville, V., Perri, B., Strugarek, A., Brun, A. S., & Buchlin, E. 2021. Modeling Solar Wind Variations over an 11 Year Cycle with Alfvén Wave Dissipation: A Parameter Study, *The Astrophysical Journal*, **910**, 90

Heimpel, M., Gastine, T., & Wicht, J. 2016. Simulation of Deep-Seated Zonal Jets and Shallow Vortices in Gas Giant Atmospheres, *Nature Geoscience*, **9**, 19

Henry, G. W., Eaton, J. A., Hamer, J., & Hall, D. S. 1995. Starspot Evolution, Differential Rotation, and Magnetic Cycles in the Chromospherically Active Binaries lambda Andromedae, sigma Geminorum, II Pegasi, and V711 Tauri, *ApJS*, **97**, 513

Herschel, W. 1801. Observations Tending to Investigate the Nature of the Sun, in Order to Find the Causes or Symptoms of Its Variable Emission of Light and Heat; With Remarks on the Use That May Possibly Be Drawn from Solar Observations, *Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series I*, 91, 265

Hertzsprung, E. 1909. Über die Sterne der Unterabteilungen c und ac nach der Spektralklassifikation von Antonia C. Maury, *Astronomische Nachrichten*, **179**, 373

Hindman, B. W., Featherstone, N. A., & Julien, K. 2020. Morphological Classification of the Convective Regimes in Rotating Stars, *The Astrophysical Journal*, **898**, 120

Hotta, H. 2018. Breaking Taylor-Proudman Balance by Magnetic Fields in Stellar Convection Zones, *The Astrophysical Journal*, **860**, L24

Hotta, H., Kusano, K., & Shimada, R. 2022. Generation Mechanism of Solar-like Differential Rotation in High-Resolution Simulations, *arXiv:2202.04183 [astro-ph]*, *arXiv:2202.04183 [astro-ph]*

Hotta, H., Rempel, M., & Yokoyama, T. 2014. HIGH-RESOLUTION CALCULATION OF THE SOLAR GLOBAL CONVECTION WITH THE REDUCED SPEED OF SOUND TECHNIQUE. II. NEAR SURFACE SHEAR LAYER WITH THE ROTATION, *The Astrophysical Journal*, **798**, 51
Hotta, H., Rempel, M., & Yokoyama, T. 2016. Large-Scale Magnetic Fields at High Reynolds Numbers in Magnetohydrodynamic Simulations, *Science*, **351**, 1427

Howard, R. A., Sheeley, N. R., J., Michels, D. J., & Koomen, M. J. 1985. Coronal mass ejections: 1979-1981, *J. Geophys. Res.*, **90**, 8173

Hoyt, D. V. & Schatten, K. H. 1998. Group Sunspot Numbers: A New Solar Activity Reconstruction, *Sol. Phys.*, **181**, 491

Ivers, D. J. & James, R. W. 1986. Extension of the Namikawa-Matsushita antidynamo theorem to toroidal fields, *Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics*, **36**, 317

Jacques, S. A. 1977. Momentum and energy transport by waves in the solar atmosphere and solar wind., *ApJ*, **215**, 942

Jardine, M., Collier Cameron, A., Donati, J. F., & Hussain, G. A. J. 2020. Slingshot prominences: coronal structure, mass-loss, and spin-down, *MNRAS*, **491**, 4076

Jeans, J. H. 1902. The Stability of a Spherical Nebula, *Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A*, **199**, 1

Jeffers, S. V., Cameron, R. H., Marsden, S. C., et al. 2022. The Crucial Role of Surface Magnetic Fields for Stellar Dynamos: *e* Eridani, 61 Cygni A, and the Sun, *Astronomy & Astrophysics*, **661**, A152

Johnson, J. A., Fields, B. D., & Thompson, T. A. 2020. The Origin of the Elements: A Century of Progress, *Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences*, **378**, 20190301

Johnstone, C. P. & Güdel, M. 2015. The Coronal Temperatures of Low-Mass Main-Sequence Stars, *Astronomy & Astrophysics*, **578**, A129

Jones, C., Boronski, P., Brun, A., Glatzmaier, G., Gastine, T., Miesch, M., & Wicht, J. 2011. Anelastic Convection-Driven Dynamo Benchmarks, *Icarus*, **216**, 120

Jones, C. A., Kuzanyan, K. M., & Mitchell, R. H. 2009. Linear theory of compressible convection in rapidly rotating spherical shells, using the anelastic approximation, *Journal of Fluid Mechanics*, **634**, 291

Jouve, L. & Brun, A. 2007b. 3-D Non-Linear Evolution of a Magnetic Flux Tube in a Spherical Shell: The Isentropic Case, *Astronomische Nachrichten*, **328**, 1104

Jouve, L. & Brun, A. S. 2007a. On the Role of Meridional Flows in Flux Transport Dynamo Models, *Astronomy & Astrophysics*, **474**, 239

Jouve, L. & Brun, A. S. 2009. THREE-DIMENSIONAL NONLINEAR EVOLUTION OF A MAGNETIC FLUX TUBE IN A SPHERICAL SHELL: INFLUENCE OF TURBULENT CONVECTION AND ASSOCIATED MEAN FLOWS, *The Astrophysical Journal*, **701**, 1300

Jouve, L., Brun, A. S., Arlt, R., et al. 2008. A Solar Mean Field Dynamo Benchmark, *Astronomy & Astrophysics*, **483**, 949

Jouve, L., Proctor, M. R. E., & Lesur, G. 2010. Buoyancy-Induced Time Delays in Babcock-Leighton Flux-Transport Dynamo Models, *Astronomy and Astrophysics*, **519**, A68

Karak, B. B. & Cameron, R. 2016. BABCOCK-LEIGHTON SOLAR DYNAMO: THE ROLE OF DOWNWARD PUMPING AND THE EQUATORWARD PROPAGATION OF ACTIVITY, *The Astrophysical Journal*, **832**, 94

Karak, B. B., Käpylä, P. J., Käpylä, M. J., Brandenburg, A., Olspert, N., & Pelt, J. 2015. Magnetically Controlled Stellar Differential Rotation near the Transition from Solar to Anti-Solar Profiles, *Astronomy & Astrophysics*, **576**, A26
Karak, B. B., Tomar, A., & Vashishth, V. 2020. Stellar Dynamos with Solar and Anti-solar Differential Rotations: Implications to Magnetic Cycles of Slowly Rotating Stars, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, **491**, 3155

Karoff, C., Metcalfe, T. S., Santos, A. R. G., et al. 2018. The Influence of Metallicity on Stellar Differential Rotation and Magnetic Activity, *The Astrophysical Journal*, **852**, 46

Kasper, J. C., Klein, K. G., Lichko, E., et al. 2021. *Parker Solar Probe* Enters the Magnetically Dominated Solar Corona, *Physical Review Letters*, **127**, 255101

Katsova, M. M., Kitchatinov, L. L., Livshits, M. A., Moss, D. L., Sokoloff, D. D., & Usoskin, I. G. 2018. Can Superflares Occur on the Sun? A View from Dynamo Theory, *Astronomy Reports*, **62**, 72

Kawaler, S. D. 1988. Angular Momentum Loss in Low-Mass Stars, *The Astrophysical Journal*, **333**, 236

Khani, S. & Waite, M. L. 2016. Backscatter in Stratified Turbulence, *European Journal of Mechanics - B/Fluids*, **60**, 1

Kiefer, R., Broomhall, A.-M., & Ball, W. H. 2019. Seismic Signatures of Stellar Magnetic Activity—What Can We Expect From TESS?, *Frontiers in Astronomy and Space Sciences*, **6**, 52

Kiessling, M. K. H. 2002. A true story—mathematically speaking, *Advances in Applied Mathematics*

Kippenhahn, R., Weigert, A., & Weiss, A. 2012, *Stellar Structure and Evolution*, Astronomy and Astrophysics Library, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg

Kjeldsen, H., Christensen-Dalsgaard, J., Handberg, R., Brown, T. M., Gilliland, R. L., Borucki, W. J., & Koch, D. 2010. The Kepler Asteroseismic Investigation: Scientific goals and first results, *Astronomische Nachrichten*, **331**, 966

Kolmogorov, A. 1941a. The Local Structure of Turbulence in Incompressible Viscous Fluid for Very Large Reynolds' Numbers, *Akademiia Nauk SSSR Doklady*, **30**, 301

Kolmogorov, A. N. 1941b. Dissipation of Energy in Locally Isotropic Turbulence, *Akademiia Nauk SSSR Doklady*, **32**, 16

Kolmogorov, A. N. 1962. A refinement of previous hypotheses concerning the local structure of turbulence in a viscous incompressible fluid at high Reynolds number, *Journal of Fluid Mechanics*, **13**, 82

Komm, R. W., Howard, R. F., & Harvey, J. W. 1993. Meridional Flow of Small Photospheric Magnetic Features, *Sol. Phys.*, **147**, 207

Kosugi, T., Matsuzaki, K., Sakao, T., et al. 2007. The Hinode (Solar-B) Mission: An Overview, *Solar Physics*, **243**, 3

Krause, F. & Rädler, K. H. 1980, *Mean-Field Magnetohydrodynamics and Dynamo Theory*, 1st edn., Oxford: New York: Pergamon Press

Kueker, M. & Ruediger, G. 2011. Differential Rotation and Meridional Flow on the Lower Zero Age Main Sequence: Reynolds Stress versus Baroclinic Flow, *Astronomische Nachrichten*, **332**, 933

Käpylä, P. J. 2022a. Solar-like Dynamos and Rotational Scaling of Cycles from Star-in-a-box Simulations, *The Astrophysical Journal Letters*, **931**, L17

Käpylä, P. J. 2022b, Transition from Anti-Solar to Solar-like Differential Rotation: Dependence on Prandtl Number
Käpylä, P. J., Korpi, M. J., & Brandenburg, A. 2008. Large-Scale Dynamos in Turbulent Convection with Shear, *Astronomy & Astrophysics*, **491**, 353

Käpylä, P. J., Rheinhardt, M., Brandenburg, A., Arlt, R., Käpylä, M. J., Lagg, A., Olspert, N., & Warnecke, J. 2017. Extended Subadiabatic Layer in Simulations of Overshooting Convection, *The Astrophysical Journal*, **845**, L23

Kővári, Z., Strassmeier, K. G., Carroll, T. A., Oláh, K., Kriskovics, L., Kővári, E., Kovács, O., Vida, K., Granzer, T., & Weber, M. 2017. Antisolar Differential Rotation with Surface Lithium Enrichment on the Single K-giant V1192 Orionis, *Astronomy & Astrophysics*, **606**, A42

Lada, C. J. 1987. Star formation: from OB associations to protostars, *Proceeding*, 115, 1

Landin, N. R., Mendes, L. T. S., & Vaz, L. P. R. 2010. Theoretical Values of Convective Turnover Times and Rossby Numbers for Solar-like, Pre-Main Sequence Stars, *Astronomy and Astrophysics*, **510**, A46

Lantz, S. R. 1992, PhD thesis, Cornell University, New York

Lanza, A. F., Das Chagas, M. L., & De Medeiros, J. R. 2014. Measuring Stellar Differential Rotation with High-Precision Space-Borne Photometry, *Astronomy & Astrophysics*, **564**, A50

Lanzafame, A. C., Brugaletta, E., Frémat, Y., et al. 2022, Gaia Data Release 3. Stellar Chromospheric Activity and Mass Accretion from Ca II IRT Observed by the Radial Velocity Spectrometer

Lebreton, Y., Goupil, M., & Montalbán, J. 2014. How Accurate Are Stellar Ages Based on Stellar Models? : II. The Impact of Asteroseismology, *EAS Publications Series*, **65**, 177

Lebreton, Y. & Goupil, M. J. 2014. Asteroseismology for “à La Carte” Stellar Age-Dating and Weighing : Age and Mass of the CoRoT Exoplanet Host HD 52265, *Astronomy & Astrophysics*, **569**, A21

Lee, Y.-N., Offner, S. S. R., Hennebelle, P., André, P., Zinnecker, H., Ballesteros-Paredes, J., Inutsuka, S.-i., & Kruijssen, J. M. D. 2020. The Origin of the Stellar Mass Distribution and Multiplicity, *Space Science Reviews*, **216**, 70

Lehmann, L. T., Hussain, G. A. J., Vidotto, A. A., Jardine, M. M., & Mackay, D. H. 2020. Identifying Solar-like Magnetic Cycles with Zeeman-Doppler-Imaging, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, **500**, 1243

Lehtinen, J. J., Käpylä, M. J., Olspert, N., & Spada, F. 2021. A Knee Point in the Rotation-Activity Scaling of Late-type Stars with a Connection to Dynamo Transitions, *The Astrophysical Journal*, **910**, 110

Lehtinen, J. J., Spada, F., Käpylä, M. J., Olspert, N., & Käpylä, P. J. 2020. Common Dynamo Scaling in Slowly Rotating Young and Evolved Stars, *Nature Astronomy*, **4**, 658

Leighton, R. B. 1969. A Magneto-Kinematic Model of the Solar Cycle, *The Astrophysical Journal*, **156**, 1

Leighton, R. B., Noyes, R. W., & Simon, G. W. 1962. Velocity Fields in the Solar Atmosphere. I. Preliminary Report., *The Astrophysical Journal*, **135**, 474

Leitzinger, M., Brandt, P. N., Hanslmeier, A., Pötzi, W., & Hirzberger, J. 2005. Dynamics of Solar Mesogranulation, *Astronomy & Astrophysics*, **444**, 245

Lim, J. & White, S. M. 1996. Limits to Mass Outflows from Late-Type Dwarf Stars, *ApJ*, **462**, L91

Linsky, J. L. & Wood, B. E. 2014. Lyman-α Observations of Astrophysical Sources, *ASTRA Proceedings*, **1**, 43

Livingston, W., Harvey, J. W., Malanushenko, O. V., & Webster, L. 2006. Sunspots with the Strongest Magnetic Fields, *Solar Physics*, **239**, 41
Lockwood, G. W., Skiff, B. A., Henry, G. W., Henry, S., Radick, R. R., Baliunas, S. L., Donahue, R. A., & Soon, W. 2007. Patterns of Photometric and Chromospheric Variation among Sun-like Stars : A 20 Year Perspective, *The Astrophysical Journal Supplement Series*, **171**, 260

Lodders, K. 2003. Solar System Abundances and Condensation Temperatures of the Elements, *The Astrophysical Journal*, **591**, 1220

Lopes, I., Passos, D., Nagy, M., & Petrovay, K. 2014. Oscillator Models of the Solar Cycle : Towards the Development of Inversion Methods, *Space Science Reviews*, **186**, 535

Lorenzo-Oliveira, D., Meléndez, J., Yana Galarza, J., Ponte, G., dos Santos, L. A., Spina, L., Bedell, M., Ramírez, I., Bean, J. L., & Asplund, M. 2019. Constraining the Evolution of Stellar Rotation Using Solar Twins, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society: Letters*, **485**, L68

Lund, M. N., Aguirre, V. S., Davies, G. R., et al. 2017. Standing on the Shoulders of Dwarfs : The *Kepler* Asteroseismic LEGACY Sample. I. Oscillation Mode Parameters, *The Astrophysical Journal*, **835**, 172

Maeder, A. 2009. *Physics, Formation and Evolution of Rotating Stars*, Astronomy and Astrophysics Library, Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg

Malkus, W. V. R. & Proctor, M. R. E. 1975. The Macrodynamics of alpha-Effect Dynamos in Rotating Fluids, *Journal of Fluid Mechanics*, **67**, 417

Marsden, S. C., Neiner, C., & Millburn, I. A. 2021. THE MAGNETIC EVOLUTION OF YOUNG SUNS, *proceeding*, 4

Mathis, S. & Zahn, J.-P. 2005. Transport and mixing in the radiation zones of rotating stars. II. Axisymmetric magnetic field, *A&A*, **440**, 653

Mathur, S. 2021. STELLAR MAGNETIC ACTIVITY OF SOLAR-LIKE STARS ALONG THEIR EVOLUTION : IMPACT ON EXOPLANET HABITABILITY, *SF2A 2021*, 6

Mathur, S., García, R. A., Ballot, J., Ceillier, T., Salabert, D., Metcalfe, T. S., Régulo, C., Jiménez, A., & Bloemen, S. 2014. Magnetic activity of F stars observed by Kepler, *A&A*, **562**, A124

Mathur, S., Garcia, R. A., Bugnet, L., Santos, A. R., Santiago, N., & Beck, P. G. 2019. Revisiting the Impact of Stellar Magnetic Activity on the Detectability of Solar-Like Oscillations by Kepler, *Frontiers in Astronomy and Space Sciences*, **6**, 46

Mathur, S., Huber, D., Batalha, N. M., et al. 2017. Revised Stellar Properties of *Kepler* Targets for the Q1-17 (DR25) Transit Detection Run, *The Astrophysical Journal Supplement Series*, **229**, 30

Mathur, S., Salabert, D., García, R. A., & Ceillier, T. 2014. Photometric Magnetic-Activity Metrics Tested with the Sun : Application to *Kepler* M Dwarfs, *Journal of Space Weather and Space Climate*, **4**, A15

Matilsky, L. I., Hindman, B. W., & Toomre, J. 2019. The Role of Downflows in Establishing Solar Near-surface Shear, *The Astrophysical Journal*, **871**, 217

Matt, S. P., Brun, A. S., Baraffe, I., Bouvier, J., & Chabrier, G. 2015. THE MASS-DEPENDENCE OF ANGULAR MOMENTUM EVOLUTION IN SUN-LIKE STARS, *The Astrophysical Journal*, **799**, L23

McComas, D. J., Elliott, H. A., Schwadron, N. A., Gosling, J. T., Skoug, R. M., & Goldstein, B. E. 2003. The Three-Dimensional Solar Wind around Solar Maximum : 3D SOLAR WIND AROUND SOLAR MAXIMUM, *Geophysical Research Letters*, **30**, n/a

McIntyre, M. E. 1999. Breaking Waves and Global-Scale Chemical Transport in the Earth's Atmosphere, with Spinoffs for the Sun's Interior, *Progress of Theoretical Physics*, **101**, 189
McQuillan, A., Mazeh, T., & Aigrain, S. 2014. ROTATION PERIODS OF 34,030 *KEPLER* MAIN-SEQUENCE STARS: THE FULL AUTOCORRELATION SAMPLE, *The Astrophysical Journal Supplement Series*, 211, 24

Meibom, S., Barnes, S. A., Platais, I., Gilliland, R. L., Latham, D. W., & Mathieu, R. D. 2015. A Spin-down Clock for Cool Stars from Observations of a 2.5-Billion-Year-Old Cluster, *Nature*, 517, 589

Mestel, L. 1968. Magnetic Braking by a Stellar Wind–I, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, 138, 359

Metcalfe, T. S. & Egeland, R. 2019. Understanding the Limitations of Gyrochronology for Old Field Stars, *The Astrophysical Journal*, 871, 39

Metcalfe, T. S., Finley, A. J., Kochukhov, O., et al. 2022. The Origin of Weakened Magnetic Braking in Old Solar Analogs, *The Astrophysical Journal Letters*, 933, L17

Metcalfe, T. S. & van Saders, J. 2017. Magnetic Evolution and the Disappearance of Sun-like Activity Cycles, *arXiv:1705.09668 [astro-ph]*, *arXiv:1705.09668 [astro-ph]*

Miesch, M. S., Brun, A. S., DeRosa, M. L., & Toomre, J. 2008. Structure and Evolution of Giant Cells in Global Models of Solar Convection, *The Astrophysical Journal*, 673, 557

Miesch, M. S., Brun, A. S., & Toomre, J. 2006. Solar Differential Rotation Influenced by Latitudinal Entropy Variations in the Tachocline, *The Astrophysical Journal*, 641, 618

Miesch, M. S., Elliott, J. R., Toomre, J., Clune, T. L., Glatzmaier, G. A., & Gilman, P. A. 2000. Three-dimensional Spherical Simulations of Solar Convection. I. Differential Rotation and Pattern Evolution Achieved withЛА-МИНАР and Turbulent States, *The Astrophysical Journal*, 532, 593

Mignone, A., Bodo, G., Massaglia, S., Matsakos, T., Tesileanu, O., Zanni, C., & Ferrari, A. 2007. PLUTO: A Numerical Code for Computational Astrophysics, *The Astrophysical Journal Supplement Series*, 170, 228

Mikić, Z., Linker, J. A., Schnack, D. D., Lionello, R., & Tarditi, A. 1999. Magnetohydrodynamic Modeling of the Global Solar Corona, *Physics of Plasmas*, 6, 2217

Moffatt, H. K. 1978, *Magnetic Field Generation in Electrically Conducting Fluids*, Cambridge Monographs on Mechanics and Applied Mathematics, Cambridge [Eng.]; New York: Cambridge University Press

Morel, P. 1997. CESAM: A Code for Stellar Evolution Calculations, *Astronomy and Astrophysics Supplement Series*, 124, 597

Morris, B. M., Hebb, L., Davenport, J. R. A., Rohn, G., & Hawley, S. L. 2017. The Starspots of HAT-P-11: Evidence for a Solar-like Dynamo, *The Astrophysical Journal*, 846, 99

Moutou, C., Hébrard, E. M., Morin, J., Malo, L., Fouqué, P., Torres-Rivas, A., Martioli, E., Delfosse, X., Artigau, E., & Doyon, R. 2017. SPIRou Input Catalogue: Activity, Rotation and Magnetic Field of Cool Dwarfs, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, 472, 4563

Müller, D., St. Cyr, O. C., Zouganelis, I., et al. 2020. The Solar Orbiter Mission: Science Overview, *Astronomy & Astrophysics*, 642, A1

Nataf, H.-C., Alboussière, T., Brito, D., Cardin, P., Gagnière, N., Jault, D., & Schmitt, D. 2008. Rapidly Rotating Spherical Couette Flow in a Dipolar Magnetic Field: An Experimental Study of the Mean Axisymmetric Flow, *Physics of the Earth and Planetary Interiors*, 170, 60

Nataf, H.-C. & Schaeffer, N. 2015, in *Treatise on Geophysics*, Elsevier, 161–181

Nelson, N. J., Brown, B. P., Brun, A. S., Miesch, M. S., & Toomre, J. 2013. MAGNETIC WREATHS AND CYCLES IN CONVECTIVE DYNAMOS, *The Astrophysical Journal*, 762, 73
Netto, Y. & Valio, A. 2020. Stellar Magnetic Activity and the Butterfly Diagram of Kepler-63, *Astronomy & Astrophysics*, 635, A78

Noraz, Q., Breton, S. N., Brun, A. S., García, R. A., Strugarek, A., Santos, A. R. G., Mathur, S., & Amard, L. 2022b. Hunting for Anti-Solar Differentially Rotating Stars Using the Rossby Number, *Astronomy & Astrophysics* (accepted), 18

Noraz, Q., Brun, A. S., Strugarek, A., & Depambour, G. 2022a. Impact of Anti-Solar Differential Rotation in Mean-Field Solar-Type Dynamos: Exploring Possible Magnetic Cycles in Slowly Rotating Stars, *Astronomy & Astrophysics*, 658, A144

Nordlund, r., Stein, R. F., & Asplund, M. 2009. Solar Surface Convection, *Living Reviews in Solar Physics*, 6

November, L. J., Toomre, J., Gebbie, K. B., & Simon, G. W. 1981. The Detection of Mesogranulation on the Sun, *The Astrophysical Journal*, 245, L123

Noyes, R. W., Weiss, N. O., & Vaughan, A. H. 1984. The Relation between Stellar Rotation Rate and Activity Cycle Periods, *The Astrophysical Journal*, 287, 769

Oba, T., Riethmüller, T. L., Solanki, S. K., Iida, Y., Quintero Noda, C., & Shimizu, T. 2017. The Small-scale Structure of Photospheric Convection Retrieved by a Deconvolution Technique Applied to Hinode/SP Data, *The Astrophysical Journal*, 849, 7

O'Mara, B., Miesch, M. S., Featherstone, N. A., & Augustson, K. C. 2016. Velocity Amplitudes in Global Convection Simulations: The Role of the Prandtl Number and Near-Surface Driving, *Advances in Space Research*, 58, 1475

Orlando, S., Peres, G., & Reale, F. 2000. The Sun as an X-Ray Star. I. Deriving the Emission Measure Distribution versus Temperature of the Whole Solar Corona from the Yohkoh/Soft X-Ray Telescope Data, *ApJ*, 528, 524

Osten, R. A. & Wolk, S. J. 2015. CONNECTING FLARES AND TRANSIENT MASS-LOSS EVENTS IN MAGNETICALLY ACTIVE STARS, *The Astrophysical Journal*, 809, 79

Otsuji, K., Shibata, K., Kitai, R., et al. 2007. Small-Scale Magnetic-Flux Emergence Observed with Hinode Solar Optical Telescope, *Publications of the Astronomical Society of Japan*, 59, S649

Panja, M., Cameron, R., & Solanki, S. K. 2020. 3D Radiative MHD Simulations of Starspots, *The Astrophysical Journal*, 893, 113

Panja, M., Cameron, R., & Solanki, S. K. 2021. Sunspot Simulations: Penumbra Formation and the Fluting Instability, *The Astrophysical Journal*, 907, 102

Parenti, S., Réville, V., Brun, A. S., Pinto, R. F., Auchère, F., Buchlin, E., Perri, B., & Strugarek, A. 2022. Validation of a Wave Heated 3D MHD Coronal-wind Model Using Polarized Brightness and EUV Observations, *The Astrophysical Journal*, 929, 75

Parker, E. N. 1955. Hydromagnetic Dynamo Models, *The Astrophysical Journal*, 122, 293

Parker, E. N. 1958. Dynamics of the Interplanetary Gas and Magnetic Fields, *The Astrophysical Journal*, 128, 664

Parker, E. N. 1993. A Solar Dynamo Surface Wave at the Interface between Convection and Nonuniform Rotation, *ApJ*, 408, 707

Parks, J. R., White, R. J., Baron, F., et al. 2021. Interferometric Imaging of 1 Andromedae: Evidence of Starspots and Rotation, *The Astrophysical Journal*, 913, 54

Perri, B. 2019, PhD thesis, Université de Paris
Pinto, R. F., Poirier, N., Rouillard, A. P., Kouloumvakos, A., Griton, L., Fargette, N., Kieokaew, R., Lavraud, B., & Brun, A. S. 2021. Solar Wind Rotation Rate and Shear at Coronal Hole Boundaries: Possible Consequences for Magnetic Field Inversions, *Astronomy & Astrophysics*, 653, A92

Pipin, V. V. 2021. Solar Dynamo Cycle Variations with a Rotational Period, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, 502, 2565

Pizzolato, N., Maggio, A., Micela, G., Sciortino, S., & Ventura, P. 2003. The Stellar Activity-Rotation Relationship Revisited: Dependence of Saturated and Non-Saturated X-ray Emission Regimes on Stellar Mass for Late-Type Dwarfs, *Astronomy & Astrophysics*, 397, 147

Plunian, F. & Alboussière, T. 2021. Axisymmetric dynamo action produced by differential rotation, with anisotropic electrical conductivity and anisotropic magnetic permeability, *Journal of Plasma Physics*, 87, 905870110

Plunian, F. & Alboussière, T. 2020. Axisymmetric Dynamo Action Is Possible with Anisotropic Conductivity, *Physical Review Research*, 2, 013321

Ponty, Y., Mininni, P. D., Montgomery, D. C., Pinton, J.-F., Politano, H., & Pouquet, A. 2005. Numerical Study of Dynamo Action at Low Magnetic Prandtl Numbers, *Physical Review Letters*, 94, 164502

Pope, S. B. 2000, *Turbulent Flows*, Cambridge University Press

Pouquet, A., Frisch, U., & Léorat, J. 1976. Strong MHD Helical Turbulence and the Nonlinear Dynamo Effect, *Journal of Fluid Mechanics*, 77, 321

Priest, E. 2014, *Magnetohydrodynamics of The Sun*, Cambridge University Press

Proxauf, B. 2021, PhD thesis, Georg-August-University Göttingen

Prša, A., Harmanec, P., Torres, G., et al. 2016. NOMINAL VALUES FOR SELECTED SOLAR AND PLANETARY QUANTITIES: IAU 2015 RESOLUTION B3, *The Astronomical Journal*, 152, 41

Raedler, K.-H. & Rheinhardt, M. 2007. Mean-Field Electrodynamics: Critical Analysis of Various Analytical Approaches to the Mean Electromotive Force, *Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics*, 101, 117

Ramírez, I., Meléndez, J., & Asplund, M. 2009. Accurate Abundance Patterns of Solar Twins and Analogs: Does the Anomalous Solar Chemical Composition Come from Planet Formation?, *Astronomy & Astrophysics*, 508, L17

Rauer, H., Catala, C., Aerts, C., et al. 2014. The PLATO 2.0 Mission, *Experimental Astronomy*, 38, 249

Reiners, A. 2007. Differential Rotation in F Stars, *Astronomische Nachrichten*, 328, 1034

Reiners, A. 2012. Observations of Cool-Star Magnetic Fields, *Living Reviews in Solar Physics*, 9

Reiners, A., Basri, G., & Browning, M. 2009. EVIDENCE FOR MAGNETIC FLUX SATURATION IN RAPIDLY ROTATING M STARS, *The Astrophysical Journal*, 692, 538

Reiners, A. & Mohanty, S. 2012. RADIUS-DEPENDENT ANGULAR MOMENTUM EVOLUTION IN LOW-MASS STARS. I, *The Astrophysical Journal*, 746, 43

Reiners, A. & Schmitt, J. H. M. M. 2002b. Can Star Spots Mimic Differential Rotation?, *Astronomy & Astrophysics*, 388, 1120

Reiners, A. & Schmitt, J. H. M. M. 2002a. On the Feasibility of the Detection of Differential Rotation in Stellar Absorption Profiles, *Astronomy & Astrophysics*, 384, 155
Reiners, A. & Schmitt, J. H. M. M. 2003. Rotation and Differential Rotation in Field F- and G-type Stars, *Astronomy & Astrophysics*, **398**, 647

Reiners, A., Shulyak, D., Käpylä, P. J., et al. 2022. Magnetism, Rotation, and Nonthermal Emission in Cool Stars: Average Magnetic Field Measurements in 292 M Dwarfs, *Astronomy & Astrophysics*, **662**, A41

Reinhold, T. & Arlt, R. 2015. Discriminating Solar and Antisolar Differential Rotation in High-Precision Light Curves, *Astronomy & Astrophysics*, **576**, A15

Reinhold, T. & Gizon, L. 2015. Rotation, Differential Rotation, and Gyrochronology of Active *Kepler* Stars, *Astronomy & Astrophysics*, **583**, A65

Reinhold, T. & Hekker, S. 2020. Stellar Rotation Periods from K2 Campaigns 0–18: Evidence for Rotation Period Bimodality and Simultaneous Variability Decrease, *Astronomy & Astrophysics*, **635**, A43

Reinhold, T., Shapiro, A. I., Witzke, V., Nèmec, N.-E., Işık, E., & Solanki, S. K. 2021. Where Have All the Solar-like Stars Gone? Rotation Period Detectability at Various Inclinations and Metallicities, *The Astrophysical Journal Letters*, **908**, L21

Rempel, M. 2005. Solar Differential Rotation and Meridional Flow: The Role of a Subadiabatic Tachocline for the Taylor-Proudman Balance, *The Astrophysical Journal*, **622**, 1320

Rempel, M. 2006. Flux-Transport Dynamos with Lorentz Force Feedback on Differential Rotation and Meridional Flow: Saturation Mechanism and Torsional Oscillations, *The Astrophysical Journal*, **647**, 662

Rempel, M. 2007. Origin of Solar Torsional Oscillations, *The Astrophysical Journal*, **655**, 651

Rempel, M., Schüssler, M., & Knölker, M. 2009. RADIATIVE MAGNETOHYDRODYNAMIC SIMULATION OF SUNSPOT STRUCTURE, *The Astrophysical Journal*, **691**, 640

Reville, V., Velli, M., Tenerani, A., & Shi, C. 2019. SOLAR WIND HEATING BY ALFVE´N WAVES: COMPRES- SIBLE EFFECTS, *Société Française d'Astronomie et d'Astrophysique*, **5**

Rhines, P. B. 1975. Waves and Turbulence on a Beta-Plane, *Journal of Fluid Mechanics*, **69**, 417

Ribes, J. C. & Nesme-Ribes, E. 1993. The solar sunspot cycle in the Maunder minimum AD1645 to AD1715, A&A, 276, 549

Ricker, G. R., Winn, J. N., Vanderspek, R., et al. 2014. Transiting Exoplanet Survey Satellite, *Journal of Astronomical Telescopes, Instruments, and Systems*, **1**, 014003

Rieutord, M. 1987. Linear theory of rotating fluids using spherical harmonics part I: Steady flows, *Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics*, **39**, 163

Rieutord, M. & Zahn, J. P. 1995. Turbulent plumes in stellar convective envelopes., A&A, 296, 127

Rincon, F. 2006. Theories of Convection and the Spectrum of Turbulence in the Solar Photosphere, *Proceedings of the International Astronomical Union*, **2**, 58

Rincon, F. & Rieutord, M. 2018. The Sun's Supergranulation, *Living Reviews in Solar Physics*, **15**, 6

Rincon, F., Roudier, T., Schekochihin, A. A., & Rieutord, M. 2017. Supergranulation and Multiscale Flows in the Solar Photosphere: Global Observations vs. a Theory of Anisotropic Turbulent Convection, *Astronomy & Astrophysics*, **599**, A69

Roberts, P. H. 1968. On the Thermal Instability of a Rotating-Fluid Sphere Containing Heat Sources, *Philosophical Transactions of the Royal Society of London Series A*, **263**, 93
Roettenbacher, R. M., Monnier, J. D., Korhonen, H., et al. 2016. No Sun-like Dynamo on the Active Star x Andromedae from Starspot Asymmetry, *Nature*, **533**, 217

Rogers, F. J. & Nayfonov, A. 2002. Updated and Expanded OPAL Equation-of-State Tables: Implications for Helioseismology, *The Astrophysical Journal*, **576**, 1064

Roh, S., Ryu, D., Kang, H., Ha, S., & Jang, H. 2019. Turbulence Dynamo in the Stratified Medium of Galaxy Clusters, *The Astrophysical Journal*, **883**, 138

Roudier, T., Rieutord, M., Brito, D., Rincon, F., Malherbe, J. M., Meunier, N., Berger, T., & Frank, Z. 2009. Mesoscale Dynamics on the Sun's Surface from HINODE Observations, *Astronomy & Astrophysics*, **495**, 945

Russell, H. N. 1914. Relations Between the Spectra and Other Characteristics of the Stars, *Popular Astronomy*, **22**, 331

Réville, V., Brun, A. S., Matt, S. P., Strugarek, A., & Pinto, R. F. 2015. THE EFFECT OF MAGNETIC TOPOLOGY ON THERMALLY DRIVEN WIND: TOWARD A GENERAL FORMULATION OF THE BRAKING LAW, *The Astrophysical Journal*, **798**, 116

Réville, V., Folsom, C. P., Strugarek, A., & Brun, A. S. 2016. AGE DEPENDENCE OF WIND PROPERTIES FOR SOLAR-TYPE STARS: A 3D STUDY, *The Astrophysical Journal*, **832**, 145

Saar, S. H. 2001. Recent Measurements of (and Inferences About) Magnetic Fields on K and M Stars, *Proceeding*, **223**, 292

Saar, S. H. 2010. Starspots, Cycles, and Magnetic Fields, *Proceedings of the International Astronomical Union*, **6**, 61

Saar, S. H. & Baliunas, S. L. 1992. Recent Advances in Stellar Cycle Research, *Proceeding*, **27**, 150

Saar, S. H. & Brandenburg, A. 1999. Time Evolution of the Magnetic Activity Cycle Period. II. Results for an Expanded Stellar Sample, *The Astrophysical Journal*, **524**, 295

Sadeghi Ardestani, L., Guillot, T., & Morel, P. 2017. A Semi-Empirical Model for Magnetic Braking of Solar-Type Stars, *Monthly Notices of the Royal Astronomical Society*, **472**, 2590

Sahraoui, F., Hadid, L., & Huang, S. 2020. Magnetohydrodynamic and Kinetic Scale Turbulence in the Near-Earth Space Plasmas: A (Short) Biased Review, *Reviews of Modern Plasma Physics*, **4**, 4

Sakurai, T. 1985. Magnetic stellar winds: a 2-D generalization of the Weber-Davis model., A&A, 152, 121

Salabert, D., García, R. A., Jiménez, A., Bertello, L., Corsaro, E., & Pallé, P. L. 2017. Photospheric Activity of the Sun with VIRGO and GOLF: Comparison with Standard Activity Proxies, *Astronomy & Astrophysics*, **608**, A87

Salabert, D., García, R. A., & Turck-Chièze, S. 2015. Seismic Sensitivity to Sub-Surface Solar Activity from 18 Yr of GOLF/SoHO Observations, *Astronomy & Astrophysics*, **578**, A137

Salpeter, E. E. 1955. The Luminosity Function and Stellar Evolution, *The Astrophysical Journal*, **121**, 161

Sanchez, S., Fournier, A., & Aubert, J. 2014. THE PREDICTABILITY OF ADVECTION-DOMINATED FLUX-TRANSPORT SOLAR DYNAMO MODELS, *The Astrophysical Journal*, **15**

Santos, A. R. G., Breton, S. N., Mathur, S., & García, R. A. 2021. Surface Rotation and Photometric Activity for Kepler Targets. II. G and F Main-sequence Stars and Cool Subgiant Stars, *The Astrophysical Journal Supplement Series*, **255**, 17
Santos, A. R. G., Campante, T. L., Chaplin, W. J., et al. 2018. Signatures of Magnetic Activity in the Seismic Data of Solar-type Stars Observed by *Kepler*, *The Astrophysical Journal Supplement Series*, 237, 17

Santos, A. R. G., Cunha, M. S., Avelino, P. P., García, R. A., & Mathur, S. 2017. Starspot Signature on the Light Curve: Learning about the Latitudinal Distribution of Spots, *Astronomy & Astrophysics*, 599, A1

Santos, A. R. G., García, R. A., Mathur, S., Bugnet, L., van Saders, J. L., Metcalfe, T. S., Simonian, G. V. A., & Pinsonneault, M. H. 2019. Surface Rotation and Photometric Activity for Kepler Targets. I. M and K Main-sequence Stars, ApJS, 244, 21

Sanz-Forcada, J., Stelzer, B., Coffaro, M., Raetz, S., & Alvarado-Gómez, J. D. 2019. Multi-Wavelength Variability of the Young Solar Analog Horologii: X-ray Cycle, Star Spots, Flares, and UV Emission, *Astronomy & Astrophysics*, 631, A45

Schatzman, E. 1962. A theory of the role of magnetic activity during star formation, *Annales d'Astrophysique*, 25, 18

Scheiner, C. 1630, *Rosa Ursina*, ETH-Bibliothek Zürich

Schekochihin, A. A., Cowley, S. C., Taylor, S. F., Maron, J. L., & McWilliams, J. C. 2004. Simulations of the Small-Scale Turbulent Dynamo, *The Astrophysical Journal*, 612, 276

Schrijver, C. J. & Harvey, K. L. 1994. The Photospheric Magnetic Flux Budget, Sol. Phys., 150, 1

Schwabe, M. 1843. Die Sonne. Von Herrn Hofrath Schwabe, *Astronomische Nachrichten*, 20, 283

Schwadron, N. A. & McComas, D. J. 2003. Solar Wind Scaling Law, *The Astrophysical Journal*, 599, 1395

Schwer, K., Lilly, R. B., Thompson, B. J., & Brewer, D. A. 2002. The SDO Mission, *Proceeding*, 2002, SH21C

See, V., Matt, S. P., Finley, A. J., et al. 2019b. Do Non-dipolar Magnetic Fields Contribute to Spin-down Torques?, *The Astrophysical Journal*, 886, 120

See, V., Matt, S. P., Folsom, C. P., et al. 2019a. Estimating Magnetic Filling Factors from Zeeman-Doppler Magnetograms, *The Astrophysical Journal*, 876, 118

See, V., Roquette, J., Amard, L., & Matt, S. P. 2021. Photometric Variability as a Proxy for Magnetic Activity and Its Dependence on Metallicity, arXiv:2103.05675 [astro-ph], arXiv:2103.05675 [astro-ph]

Semel, M. 1989. Zeeman-Doppler imaging of active stars. I - Basic principles., A&A, 225, 456

Sheeley, N. R., J. & Wang, Y. M. 1991. Magnetic Field Configurations Associated with Fast Solar Wind, Sol. Phys., 131, 165

Shibata, K., Isobe, H., Hillier, A., et al. 2013. Can Superflares Occur on Our Sun?, *Publications of the Astronomical Society of Japan*, 65, 49

Shoda, M., Suzuki, T. K., Matt, S. P., Cranmer, S. R., Vidotto, A. A., Strugarek, A., See, V., Réville, V., Finley, A. J., & Brun, A. S. 2020. Alfvén-Wave-Driven Magnetic Rotator Winds from Low-mass Stars. I. Rotation Dependences of Magnetic Braking and Mass-loss Rate, *The Astrophysical Journal*, 896, 123

Siess, L., Dufour, E., & Forestini, M. 2000. An internet server for pre-main sequence tracks of low- and intermediate-mass stars, A&A, 358, 593

Simon, G. W. & Weiss, N. O. 1968. Supergranules and the Hydrogen Convection Zone, *Zeitschrift für Astrophysik*, 69, 435