# SUR CERTAINS ÉLÉMENTS ERGODIQUES DANS $l^\infty(G)$

PAR

WOJCIECH CHOJNACKI (WARSZAWA)

1. Soient $G$ un semi-groupe, $l^\infty(G)$ l'espace des fonctions complexes bornées dans $G$, muni de la norme de la convergence uniforme. Une moyenne invariante à droite sur $l^\infty(G)$ est une forme linéaire continue $m$ sur $l^\infty(G)$, vérifiant

$$ \|m\|_{\infty} = 1 = m(1), \quad (1) $$

ainsi que, pour tout $a \in G$ et tout $f \in l^\infty(G)$,

$$ m(R_a f) = m(f), $$

la fonction $R_a f$, appelée *translatée à droite de f par a*, étant définie en chaque point $b \in G$ comme $f(ba)$. Un semi-groupe discret $G$ admettant une moyenne invariante à droite sur $l^\infty(G)$ est dit *moyennable à droite*. Les définitions de moyenne invariante (à gauche) et de semi-groupe discret moyennable (à gauche) sont analogues. On sait que tout semi-groupe abélien discret est moyennable (cf. [1]).

Dans cette note nous obtiendrons essentiellement deux résultats. L'un sera une version abstraite du théorème suivant: *pour toute moyenne invariante $m$ sur $l^\infty(\mathbb{R}_a^n)$ et tout polynôme réel $p$ à $n$ variables, on a*

$$ m(e^{ip}) = \begin{cases} 0, & \text{si } \deg p \ge 1, \\ e^{ip}(0, \dots, 0), & \text{si } \deg p = 0. \end{cases} $$

L'autre sous sa forme la plus élémentaire sera le théorème affirmant que, par rapport à une norme quelconque appartenant à une certaine classe de normes invariantes par translation, l'écart entre la fonction $e^{ip}$ et l'espace linéaire engendré par les fonctions de la forme $e^{iq}$, où $p$ et $q$ sont des polynômes réels à $n$ variables, $p-q \ne \text{const}$, est égal à 1.

<footnote>(1) On note de la même façon la norme d'un espace et la norme de l'espace dual.</footnote>
2. Soient $G$ un semi-groupe discret moyennable à droite, $m$ une moyenne invariante à droite sur $l^\infty(G)$. Par l'abus de langage désignons l'espace $l^\infty(G)/\{f \in l^\infty(G) : m(|f|^2) = 0\}$, par $l^\infty(G)$. On munit $l^\infty(G)$ de la structure d'espace préhilbertien dans lequel le produit scalaire donné par $m(f\bar{g})$, $f, g \in l^\infty(G)$. On dira qu'un sous-ensemble de $l^\infty(G)$ est $m$-orthogonal (m-orthonormal) s'il est orthogonal (orthonormal) par rapport au produit scalaire introduit ci-dessus à l'aide de $m$. Un ensemble $m$-orthonormal pour toute moyenne invariante à droite $m$ sur $l^\infty(G)$ sera appelé orthonormal à droite. On dira qu'un ensemble $E$, composé de fonctions définies dans $G$ à valeurs dans $T = \{z \in C : |z| = 1\}$, a la propriété (m) lorsqu'il existe une suite $(E_i)_{i=0}^\infty$ de sous-ensembles de $E$ satisfaisant aux conditions suivantes:

$$
(i) \quad E_0 \subset E_1 \subset E_2 \subset \dots \subset \bigcup_{i=0}^{\infty} E_i = E,
$$

(ii) $E_0$ est $m$-orthonormal,

(iii) pour tout $i \in \mathbb{N}$, si $f \in E_i$, alors $\bar{f} \in E_i$,

(iv) pour tout $i \in \mathbb{N}$, si $f, g \in E_i$, alors $fg \in E_i$,

(v) pour tout $i \in \mathbb{N}$, si $f \in E_i \setminus \{1\}$, alors il existe une suite $(f_k)_{k=1}^\infty$ d'éléments distincts de $E_{i-1}$, une suite $(a_k)_{k=1}^\infty$ d'éléments de $G$, et une suite $(z_k)_{k=1}^\infty$ de nombres complexes de $T$, tels que l'on ait

$$
R_{a_k} f = z_k f f_k
$$

pour tout $k \in \mathbb{N}$.

THÉORÈME 1. Soient $G$ un semi-groupe discret moyennable à droite, $E$ un sous-ensemble de $T^G$ ayant la propriété (m) pour une moyenne invariante à droite $m$ sur $l^\infty(G)$. Alors $E$ est $m$-orthonormal.

Démonstration. On établira le théorème en démontrant par
récurrence que chacun des sous-ensembles $E_i$ est $m$-orthonormal. Supposons
$E_{i-1}$ $m$-orthonormal (pour $i=1$ cette hypothèse coïncide avec (ii)). Puisque
tout élément de $E_i$ est une fonction à valeurs dans $T$, pour prouver que
l'ensemble $E_i$ est $m$-orthonormal, il suffit de montrer qu'il est $m$-orthogonal.
Soient $f, g$ deux éléments distincts de $E_i$, $h = f\bar{g}$. Evidemment $h \in E_i \setminus \{1\}$.
Donc il existe une suite $(h_k)_{k=1}^\infty$ d'éléments distincts de $E_{i-1}$, une suite $(a_k)_{k=1}^\infty$ d'éléments de $G$, et une suite $(z_k)_{k=1}^\infty$ de nombres complexes de $T$, tels que l'on
ait $R_{a_k}h = z_khh_k$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. Par hypothèse, $\{\bar{h}_k\}_{k=1}^\infty$ est $m$-orthonormal.
En outre

$$
m(h) = m(R_{a_k} h) = z_k m(h h_k)
$$

pour tout $k \in \mathbb{N}$. On en déduit que les coefficients de Fourier de $h$ relatifs à $\{\bar{h}_k\}_{k=1}^\infty$ ont la même valeur absolue, donc, grâce à l'inégalité de Bessel, ils s'annullent. Par conséquent, $m(h) = 0$. Cela achève la démonstration. $\square$

Si $G$ est un semi-groupe discret moyennable (à droite, à gauche), on
appelle ergodique (à droite, à gauche) tout élément de $l^\infty(G)$ sur lequel les moyennes invariantes (à droite, à gauche) coïncident.

Comme un simple corollaire du théorème établi on a le

### THÉORÈME 2. 
Soient $G$ un semi-groupe discret moyennable à droite, $E$ un sous-ensemble de $T^G$ ayant la propriété (m) pour toute moyenne invariante à droite $m$ sur $l^\infty(G)$ et tel que $1 \in E$. Alors chaque élément $f$ de $E$ est ergodique à droite; plus précisément, quelle que soit la moyenne invariante à droite $m$ sur $l^\infty(G)$, on a

$$m(f) = \begin{cases} 0, & \text{si } f \neq 1, \\ 1, & \text{si } f = 1. \end{cases}$$

Soient $P$ un anneau commutatif, $G$ le groupe additif de $P$ envisagé comme un groupe discret, $I$ un ensemble, $P[X_i]_{i \in I}$ l'anneau des polynômes par rapport à des indéterminées $X_i$ ($i \in I$), $J$ l'idéal de $P[X_i]_{i \in I}$ engendré par $\{X_i : i \in I\}$. Dans la suite on désignera par $p$ aussi bien un polynôme de $P[X_i]_{i \in I}$ que la fonction définie dans le produit direct $P^I$ à valeurs dans $P$, associée à ce polynôme. Un caractère $\chi$ de $G$ sera dit $I$-fidèle si pour tout $p \in J$ tel que $\deg p \ge 2$, l'ensemble $\{\chi \circ (R_a p - p - p(a)) : a \in G^I\}$ est infini lorsque $\chi \circ p \ne 1$.

Exemple. Si $P$ est le corps des réels $\mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$, alors $x \to e^{iax}$ est un caractère de $G (= R_d)$ $I$-fidèle pour tout ensemble $I$.

### THÉORÈME 3. 
Soient $P$ un anneau commutatif, $G$ le groupe additif de $P$, $I$ un ensemble, $\chi$ un caractère $I$-fidèle de $G$, $p$ un polynôme de $P[X_i]_{i \in I}$. Alors $\chi \circ p$ est un élément ergodique de $l^\infty(G^I)$; plus précisément, pour toute moyenne invariante $m$ sur $l^\infty(G^I)$, on a

$$m(\chi \circ p) = \begin{cases} 0, & \text{si } \chi \circ p \ne \text{const}, \\ \chi \circ p(0), & \text{si } \chi \circ p = \text{const}. \end{cases}$$

### Démonstration. 
La démonstration est immédiate quitte à appliquer le théorème 2 à $E = \bigcup_{i=0}^\infty E_i$, $E_i = \{\chi \circ p : p \in J, \deg p \le i+1\}$. $\square$

### 3. 
Soient $G$ un semi-groupe discret moyennable à droite, $E$ un sous-ensemble orthonormal à droite de $T^G$, $A$ une sous-algèbre de $l^\infty(G)$ engendrée par $E$, unitaire, autoadjointe, invariante par translation à droite (c'est-à-dire telle que $f \in A$ entraîne $R_a f \in A$ pour tout $a \in G$), les opérations d'addition, de multiplication, de multiplication par un scalaire, et de conjugaison étant les opérations habituelles. Supposons $A$ munie d'une semi-norme $\| \cdot \|$ satisfaisant aux conditions suivantes:

(i) $\|1\| = 1$,

(ii) $\|f\| \le \|f\|_\infty$ pour tout $f \in A$,

(iii) $\|f\bar{e}\| = \|f\|$ pour tout $f \in A$ et tout $e \in E$,
(iv) $\|R_a f\| \le \|f\|$ pour tout $f \in A$ et tout $a \in G$.

Notons $\hat{e}$ l'enveloppe linéaire de $E \setminus \{e\}$.

THÉORÈME 4. $\|\cdot\|$ est une norme sur l'enveloppe linéaire de E. En outre, pour tout $e \in E$, on a

$$\operatorname{dist}(e, \hat{e}) = 1,$$

la distance se rapportant à la norme $\|\cdot\|$.

Démonstration. Etant donnée une forme linéaire $l$ sur $A$, on notera $\|l\|$ la norme de la forme induite par $l$ sur l'espace quotient $A/ker\|\|$.

Construisons tout d'abord une moyenne invariante à droite $m$ sur $l^\infty(G)$, telle que sa restriction à $A$, $m|_A$, vérifie $\|m|_A\| = 1$.

Soit $l$ une forme linéaire sur $A$, telle que $\|l\| = 1$ et $l(1) = 1$. Evidemment $\|l\|_\infty = 1$. Prolongeons $l$ en une forme linéaire sur $l^\infty(G)$, notée encore $l$, telle que $\|l\|_\infty = 1$. Etant donnée $f \in l^\infty(G)$, définissons la fonction $g_f$ par $g_f(a) = l(R_a f)$ pour tout $a \in G$. Soit $n$ une moyenne invariante à droite sur $l^\infty(G)$. Posons $m(f) = n(g_f)$ pour tout $f \in l^\infty(G)$. Il est clair que $m$ est une forme linéaire sur $l^\infty(G)$, telle que $m(1) = \|m|_A\| = \|m\|_\infty = 1$. Compte tenu de l'identité $g_{R_a f} = R_a g_f$ valable pour tout $a \in G$ et tout $f \in l^\infty(G)$, on conclut facilement que $m$ est une moyenne invariante à droite sur $l^\infty(G)$.

Cela étant, notons que pour tout $e \in E$, la forme linéaire $l_e$ sur $A$, ayant pour expression $l_e(f) = m(f\hat{e})$ pour tout $f \in A$, s'annulle sur $\hat{e}$ et atteint 1 sur $e$. En outre $\|l_e\| = 1$. Si maintenant $f = \sum_{e \in E} z_e e$ ($z_e \in C$) est tel que $\|f\| = 0$, alors pour tout $e \in E$, $z_e = l_e(f) = 0$, donc $f = 0$, et la première partie du théorème est établie.

En second lieu, quel que soit $e \in E$, on a d'une part $\|e-f\| \ge |l_e(e-f)| = 1$ pour tout $f \in \hat{e}$, et d'autre part $\|e\| = 1$. Cela prouve la seconde assertion de l'énoncé. $\square$

BIBLIOGRAPHIE

[1] M. M. Day, *Ergodic theorems for abelian semigroups*, Transactions of the American Mathematical Society 51 (1942), p. 399-412.

INSTITUT DE MATHÉMATIQUES
UNIVERSITÉ DE VARSOVIE
WARSZAWA, POLOGNE

Reçu par la Rédaction le 7.04.1981
en version modifiée le 15.08.1982