<figure><img src="image_1.png" /></figure>

HAL
open science

# Module XLG3PU040: Mécanique du solide indéformable: partie 1: statique

M.L.M. François

► To cite this version:

M.L.M. François. Module XLG3PU040: Mécanique du solide indéformable: partie 1: statique. Licence. Module XLG3PU040 Mécanique du solide indéformable Partie I: statique, Nantes, France. 2025, pp.133. hal-05457054

HAL Id: hal-05457054

https://hal.science/hal-05457054v1

Submitted on 13 Jan 2026

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC BY 4.0 - Attribution - International License
Module XLG3PU040
Mécanique du solide indéformable
Partie I : statique

Licence 2

Faculté des Sciences et techniques, Nantes Université

Version du 20 octobre 2025
## Modalités

* Module de Mécanique des solides et des systèmes en deux parties

* I statique (M. François)

* II dynamique (J.C. Thomas)

* 5 crédits ECTS

* Cours : 6 séances de statique + 9 de dynamique (20 heures)

* TD : 9 séances de statique + 15 de dynamique (32 heures)

* MCCA du module : CC(20% écrit + 20% pratique), examen 60%.

## Sur MaDoc vous trouverez :

* ce cours et le recueil de TD en pdf

* les annales des examens des trois dernières années avec corrigé et barème

* des applications interactives

* des exercices d'entrainement à faire en autonomie
1 1 Introduction

2 2 Quelques éléments de cinématique du solide rigide

3 3 Notions fondamentales de statique

4 4 Structure d'un champ de torseurs

5 5 Chargements répartis

6 6 Centre de masse

7 7 Liaisons mécaniques

8 8 Cordes et arches
# 1 Introduction

## 1.1 Objectifs

Ce cours a pour buts de :

* connaitre et savoir utiliser la statique des solides

* connaitre les notions de résultante, de moment et de torseur

* renforcer des connaissances en calcul vectoriel

* se familiariser avec le calcul intégral en plusieurs dimensions

* découvrir les notions d'objectivité en physique

Notes

* Le symbole Ⓟ indiquera que vous devrez prendre des notes manuscrites

Les encadrés rouges sont à savoir par cœur

Les encadrés bleus sont des compléments, à savoir utiliser
## 1.2 Rappels sur les unités

* Toute grandeur mécanique s'exprime en fonction de 3 unités fondamentales :

* Le mètre (m) pour les longueurs

* La seconde (s) pour le temps

* Le kilogramme (kg) pour la masse

* Les autres grandeurs s'expriment en fonction ce celles-ci. Par exemple :

* le Newton : $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2$

* le Joule : $1\,\text{J} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2$

* Afin d'alléger l'écriture, on utilise souvent des puissances de 1000, représentés par des préfixes. Par exemple, pour le mètre :

<table><tr><td>1 nm = 1 μm = 1 mm = 1 m = 1 km = 1 Mm = 1 Gm=</td><td>10<sup>-9</sup>m</td><td>10<sup>-6</sup>m</td><td>10<sup>-3</sup>m</td><td>10<sup>0</sup>m</td><td>10<sup>3</sup>m</td><td>10<sup>6</sup>m</td><td>10<sup>9</sup>m</td></tr></table>
## Homogénéité dimensionnelle

Le respect de l'équation aux dimensions physiques, obtenue en remplaçant les grandeurs par leurs dimensions, est une condition nécessaire pour qu'une équation soit juste.

* Par exemple :

► La seconde loi de Newton $F = Ma$ donne l'équation aux dimensions du Newton : $kg.m.s^{-2}$

► Travail et énergie possèdent la même équation aux dimensions, celle du Joule : $kg.m^2.s^{-2}$. On vérifie depuis les formules :

★ énergie cinétique $E_c = (1/2)MV^2$

★ énergie potentielle de pesanteur $E_p = Mgh$

★ travail mécanique $W = \int FdL$

* Attention : c'est seulement une condition nécessaire !

► Par exemple le Joule et le moment possèdent la même dimension $kg.m^2.s^{-2}$, mais ces grandeurs ne sont pas de même nature, on ne peut pas les additionner.
1.3 Rappels sur les vecteurs

* Un vecteur est un élément de $\mathbb{R}^n$, où $n \in \{1, 2, 3\}$ est le nombre de dimensions de l'espace

* Nous utiliserons :

* des vecteurs position $\vec{OM}$ (m)

* des vecteurs force $\vec{F}$ (N) et moments $\vec{M}$ (N.m)

* des vecteurs vitesse $\vec{V}$ (m/s) et vitesse de rotation $\vec{\Omega}$ (rad/s)

* Les vecteurs se décomposent sur une base (orthonormée dans ce cours). Par exemple : $\vec{F} = F_1\vec{e}_1 + F_2\vec{e}_2 + F_3\vec{e}_3$ où :

* $(F_1, F_2, F_3)$ sont les composantes (avec une unité)

* $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$ est la base orthonormée (sans unité)

* Notation en composantes $\vec{F} = (F_1, F_2, F_3)$ (la base est implicite)

* ou, de manière équivalente : $\vec{F} = \sum_i F_i \vec{e}_i$
En base orthonormée :

## Produit scalaire de deux vecteurs

Pour deux vecteurs $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ et $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ :

$$ (\cdot) : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} $$

$$ (\vec{u}, \vec{v}) \to \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 $$

## Norme d'un vecteur

$$ \|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} $$

Seul le vecteur nul possède une norme nulle.

## Propriété

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\hat{\vec{u}}, \hat{\vec{v}}) $$

Deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul.
* La dimension physique est portée par les composantes, les vecteurs de base n'en ont pas.

* Par exemple, la puissance en 1D est $P = FV$. En 2D ou 3D, on généralise à :

$$P = \vec{F} \cdot \vec{V}$$

$$P = F_1 V_1 + F_2 V_2 + F_3 V_3$$

chaque monôme possède la dimension d'une puissance : N.m.s⁻¹ soit, en unités fondamentales, kg.m².s⁻³
1.4 Rotations

* Une rotation conserve les angles et les normes. C'est une opération similaire au changement de base.

* On calcule le tourné $\vec{\nu} = R(\vec{u})$ d'un vecteur $\vec{u}$ par le produit de la matrice de rotation $R$ par le vecteur $\vec{u}$ :

$$ \vec{\nu} = R \cdot \vec{u} $$

$$ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} $$

$$ \Leftrightarrow \begin{cases} v_1 = R_{11}u_1 + R_{12}u_2 + R_{13}u_3 \\ v_2 = R_{21}u_1 + R_{22}u_2 + R_{23}u_3 \\ v_3 = R_{31}u_1 + R_{32}u_2 + R_{33}u_3 \end{cases} $$

$$ \Leftrightarrow v_i = \sum_j R_{ij} u_j $$
Une matrice de rotation R possède les propriétés suivantes :

$$
\begin{gather*}
R^T = R^{-1} \\
\det(R) = 1
\end{gather*}
$$

Preuve (rapide) de la première propriété : la rotation conserve les angles et les normes, donc le produit scalaire. Pour tout couple de vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ :

$$
\begin{align*}
(R \cdot \vec{u}) \cdot (R \cdot \vec{v}) &= \vec{u} \cdot \vec{v} \\
\sum_i \left( \sum_k R_{ik} u_k \sum_l R_{il} v_l \right) &= \sum_i u_i v_l \\
\sum_i \sum_k \sum_l R_{ik} R_{il} u_k v_l &= \sum_i \sum_k \sum_l \delta_{ik} u_k \delta_{il} v_l \\
\sum_i R_{ik} R_{il} &= \sum_i R_{ki}^T R_{il} = \delta_{kl}
\end{align*}
$$

où $\delta_{ij}$ vaut 1 si $i = j$ et 0 si non. Matriciellement, cette équation s'écrit
$R^T \cdot R = I$, ce qui équivaut à la proposition 1. ■
## 1.5 Produit vectoriel
Le produit vectoriel (ou cross product en anglais) est l'autre produit possible entre deux vecteurs. Introduit par Hamilton, il est utilisé en Mécanique, Électromagnétisme, Géométrie...

### Produit vectoriel de deux vecteurs

Pour deux vecteurs $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ et $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ :

$$ (\wedge) : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \\ (\vec{u}, \vec{v}) \rightarrow \vec{u} \wedge \vec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2)\vec{e}_1 + \dots \\ (u_3 v_1 - u_1 v_3)\vec{e}_2 + \dots \\ (u_1 v_2 - u_2 v_1)\vec{e}_3 $$

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur. Sa construction est basée sur les permutations circulaires de (1, 2, 3).
Produits vectoriels des vecteurs de base

<table><tr><td>ε<sub>2</sub> ∧ ε<sub>3</sub> = ε<sub>1</sub></td><td>ε<sub>3</sub> ∧ ε<sub>2</sub> = -ε<sub>1</sub></td><td>ε<sub>1</sub> ∧ ε<sub>1</sub> = 0</td></tr><tr><td>ε<sub>3</sub> ∧ ε<sub>1</sub> = ε<sub>2</sub></td><td>ε<sub>1</sub> ∧ ε<sub>3</sub> = -ε<sub>2</sub></td><td>ε<sub>2</sub> ∧ ε<sub>2</sub> = 0</td></tr><tr><td>ε<sub>1</sub> ∧ ε<sub>2</sub> = ε<sub>3</sub></td><td>ε<sub>2</sub> ∧ ε<sub>1</sub> = -ε<sub>3</sub></td><td>ε<sub>3</sub> ∧ ε<sub>3</sub> = 0</td></tr></table>

* On peut s'en rappeler en observant le jeu de permutations de (1, 2, 3).

* La connaissance de ces formules rend les calculs plus rapide lorsqu'il n'y a que peu de composantes. Par exemple : $(3\vec{e}_1 + 2\vec{e}_3) \wedge \vec{e}_1 = 2\vec{e}_2$.

* Des exercices interactifs de calcul de produit vectoriel sont disponibles sur MaDoc

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Permutations circulaires directes</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /></figure>
## Propriétés du produit vectoriel

Distributivité

Antisymétrie

Produit extérieur

Noyau

$$ \vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w} $$

$$ \vec{v} \wedge \vec{u} = -\vec{u} \wedge \vec{v} $$

$$ (\lambda \vec{u}) \wedge \vec{v} = \lambda (\vec{u} \wedge \vec{v}) = \vec{u} \wedge (\lambda \vec{v}) $$

$$ \vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u} // \vec{v} $$

* Démonstrations évidentes depuis la définition du produit vectoriel

### Théorème

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

$$ \|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) $$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

* Exemple : $S = \|\vec{AB} \wedge \vec{AD}\|$ : le calcul se fait sans trigonométrie ! (utilisé dans rendus des jeux video...). Preuve
  $S = \|\vec{AB}\| \|\vec{AH}\| = \|\vec{AB}\| \|\vec{AD}\| \sin(\theta)$
Autres propriétés :

* $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est directement perpendiculaire à $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

* le sens du produit vectoriel est associé au sens direct du repère

* les formules sur les vecteurs de base montrent déjà cela

* La règle du tire-bouchon peut aider :

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Faire les exercices « Pratique du produit vectoriel » sur MaDoc pour
s'entraîner
## 1.6 Produit mixte

### Définition et propriétés du produit mixte

$$ 
\begin{align*}
(\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w} &= (\vec{v} \wedge \vec{w}) \cdot \vec{u} = (\vec{w} \wedge \vec{u}) \cdot \vec{v} \\
&= -(\vec{v} \wedge \vec{u}) \cdot \vec{w} = -(\vec{u} \wedge \vec{w}) \cdot \vec{v} = -(\vec{w} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{u}
\end{align*}
$$

* Les permutations directes laissent le produit mixte invariant

* Les permutations indirectes donne le produit mixte opposé

* Exemple : volume d'un parallélogramme

$$ 
\begin{align*}
V &= S \times AH \\
AH &= \vec{n} \cdot \vec{AK} \\
S\vec{n} &= \vec{AB} \wedge \vec{AD} \\
\Rightarrow V &= (\vec{AB} \wedge \vec{AD}) \cdot \vec{AK}
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>
**1.7 Double produit vectoriel** Un peu plus rare, le double produit vectoriel se calcule à l'aide de produits scalaires grâce à la propriété suivante :

**Définition et propriété du double produit vectoriel**

$$ \vec{a} \wedge (\vec{b} \wedge \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b}) $$

**Identité de Jacobi**

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), \quad \vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) + \vec{v} \wedge (\vec{w} \wedge \vec{u}) + \vec{w} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{v}) = \vec{0} $$

Les preuves se font aisément depuis la définition des produits scalaires et vectoriels.
1.8 Homogénéité tensorielle

Homogénéité tensorielle

Dans toute équation, le nombre de dimensions de chaque monôme est identique.

* Exemple : $\vec{AB} = 3\vec{e}_1 - 2\vec{e}_2 - 0\vec{e}_3$ est tensoriellement homogène, car chaque monôme possède 3 dimensions.

* Exemple : $AB_1 = \vec{AB} \cdot \vec{e}_1 = 3$ est tensoriellement homogène, car chaque monôme possède 1 seule dimension.
1.9 Introduction au principe d'objectivité

Principe d'objectivité

Le résultat d'un calcul physique ne peut pas dépendre du repère de
l'observateur (le « référentiel »).

* philosophie : le choix du repère est fait par le scientifique, cela ne doit pas conditionner le réel

* changer de repère revient à effectuer une rotation R

* un scalaire ne dépendant d'aucun repère, est objectif.

* une formulation mathématique : un opérateur $\star$ entre deux vecteurs est objectif si, pour toute rotation R :

$$
R(\vec{u} \star \vec{v}) = R(\vec{u}) \star R(\vec{v})
$$
* La somme est une opération objective. Preuve :

$$ \sum_k R_{ik}(u_k + v_k) = \sum_k R_{ik} u_k + \sum_k R_{ik} v_k $$

* Nous avons défini les rotations (en 1.4) par l'invariance du produit scalaire. Réciproquement, le produit scalaire est une opération objective.

* La démonstration pour le produit vectoriel est trop compliquée pour ce cours. On peut le vérifier sur un exemple. ■

* Toute conjugaison d'opérateurs (+, ·, ∧) est objective, nous pouvons continuer ce cours !
# 2 Quelques éléments de cinématique du solide rigide

## 2.1 Mouvement par rapport à un repère

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

On considère un solide $S$ en mouvement par rapport à un repère $\mathcal{R} = \{O; \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\}$. Un point $A$ est repéré par son vecteur position par rapport à ce repère :

$$ \overrightarrow{OA}(t) = \sum_{i} x_i(t) \vec{e}_i $$

où ses coordonnées $x_i(t)$ dépendent de l'instant $t$ considéré.
<figure><img src="image_11.png" /></figure>

## 2.2 Vitesse

La vitesse du point A appartenant au solide S dans son mouvement par rapport au repère R est :

$$ \vec{V}(A) = \frac{\partial \vec{OA}}{\partial t} = \sum_{i} \dot{x}_{i}(t) \vec{e}_{i} $$

avec la notation $\dot{x}_i(t) = \partial x_i / \partial t$, en mètres par seconde (m/s).

Remarque :

* la notation complète est $\vec{V}(A \in S/R)$, on n'en a pas besoin ici.
## 2.3 Description lagrangienne

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

On se rapporte à l'instant de référence $t = 0$ :

$$ \overrightarrow{OA}(t = 0) = \sum_{i} X_i \vec{e}_i $$

Bien sûr, les $X_i = x_i(t = 0)$ ne dépendent pas du temps.
instant (t=0)

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

instant (t)

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Considérons maintenant un second point B du solide :

$$ \vec{OB}(t = 0) = \sum_{i} Y_i \vec{e}_i, \qquad \vec{OB}(t) = \sum_{i} y_i(t) \vec{e}_i $$

On s'intéresse au mouvement du vecteur $\vec{AB}$, lié au solide. On pose :

$$ \vec{AB}(t = 0) = \sum_{i} (Y_i - X_i) \vec{e}_i = \sum_{i} U_i \vec{e}_i \\ \vec{AB}(t) = \sum_{i} (y_i(t) - x_i(t)) \vec{e}_i = \sum_{i} u_i(t) \vec{e}_i $$
La dérivée de ce vecteur par rapport au temps est :

$$
\begin{align*}
\frac{d\vec{AB}}{dt}(t) &= \sum_i \dot{u}_i(t)\vec{e}_i \\
&= \sum_i (\dot{y}_i(t) - \dot{x}_i(t))\vec{e}_i \\
&= \vec{V}(B) - \vec{V}(A)
\end{align*}
$$

Le solide rigide S effectue une translation et une rotation entre $t = 0$ et $t$. Le vecteur $\vec{AB}(t)$ est la rotation de $\vec{AB}(t = 0)$.

$$
\vec{AB}(t) = R \cdot \vec{AB}(t = 0)
$$

où R est la matrice de rotation du solide. La relation inverse, en tenant compte de la propriété des rotations $R \cdot R^T = I$, est :

$$
\vec{AB}(t = 0) = R^T \cdot \vec{AB}(t)
$$
Calculs maintenant :

$$ \frac{d\vec{AB}}{dt}(t) = \dot{R} \cdot \vec{AB}(t=0) $$

car $\vec{AB}(t = 0)$ ne dépend pas de $t$, et donc sa dérivée est nulle.

$$ \frac{d\vec{AB}}{dt}(t) = \dot{R} \cdot R^T \cdot \vec{AB}(t) $$

Nommons la matrice $\Omega = \dot{R} \cdot R^T$. Depuis $(M \cdot N)^T = N^T \cdot M^T$ $\blacksquare$ :

$$ \Omega^T = R \cdot \dot{R}^T $$

Dérivons la propriété des rotations $R \cdot R^T = I$ :

$$ \dot{R} \cdot R^T + R \cdot \dot{R}^T = 0 $$

ce qui montre que $\Omega + \Omega^T = 0$ : $\Omega$ est une matrice antisymétrique.
Cette propriété d'antisymétrie $\Omega_{ij} + \Omega_{ji} = 0$ représente 6 équations scalaires :

$$\Omega_{11} = \Omega_{22} = \Omega_{33} = 0$$

$$\Omega_{23} = -\Omega_{32}$$

$$\Omega_{31} = -\Omega_{13}$$

$$\Omega_{12} = -\Omega_{12}$$

Sans restriction, on pose la matrice $\Omega$ :

$$\Omega = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{bmatrix}$$

avec (page précédente) :

$$\frac{d\vec{AB}}{dt}(t) = \Omega \cdot \vec{AB}(t)$$
soit, en composantes :

$$
\begin{gather*}
\begin{pmatrix} \dot{u}_1 \\ \dot{u}_2 \\ \dot{u}_3 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \\
\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \dot{u}_1 \\ \dot{u}_2 \\ \dot{u}_3 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \omega_2 u_3 - \omega_3 u_2 \\ \omega_3 u_1 - \omega_1 u_3 \\ \omega_1 u_2 - \omega_2 u_1 \end{bmatrix}
\end{gather*}
$$

où l'on reconnait un produit vectoriel :

$$
\begin{gather*}
\begin{pmatrix} \dot{u}_1 \\ \dot{u}_2 \\ \dot{u}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \\
\Leftrightarrow \vec{V}(B) - \vec{V}(A) = \vec{\Omega} \wedge \vec{AB}(t)
\end{gather*}
$$
## 2.4 Formule de transport des vitesses

### Formule de transport des vitesses

$$ \vec{V}(B) = \vec{V}(A) + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB} $$

où :

* $\vec{\Omega}$ se nomme le **vecteur de rotation du solide** (ou vecteur des taux de rotations), en radians par seconde (rd/s)

* $\vec{\Omega}$ ne dépend d'aucun point, il est valable pour tout le solide

* Cette formule permet de connaitre la **vitesse de tout point B** du solide, c'est à dire le **champ de vitesse du solide S**, depuis la seule connaissance de la vitesse d'un point A et du vecteur rotation $\vec{\Omega}$.
**2.5 Torseur cinématique** On définit un nouvel objet mathématique, le torseur :

torseur cinématique

$$ \{C\} = \{\vec{\Omega}, \vec{V}(A)\} $$

* Le vecteur rotation $\vec{\Omega}$ se nomme la résultante du torseur, qui ne dépend d'aucun point

* Le vecteur translation $\vec{V}(A)$ se nomme le moment résultant du torseur, qui dépend du point considéré

* Un torseur possède 6 dimensions (en 3D), c'est à dire 6 composantes indépendantes

* Grâce à la formule de transport, le torseur cinématique définit le champ cinématique du solide
## Mouvement de translation

si $\vec{\Omega} = \vec{0}$. Tous les points ont même vitesse :

$$ \forall M, \quad \vec{V}(M) = \vec{V}(A) $$

<figure><img src="image_16.png" /></figure>
## Mouvement de rotation

si $\vec{V}(A) = \vec{0}$, mouvement de rotation autour de l'axe A, $\vec{\Omega}$ :

$$ \forall M, \quad \vec{V}(M) = \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{AM} $$

avec $||\vec{V}(M)|| = R||\vec{\Omega}||$ où R est la distance entre l'axe A, $\vec{\Omega}$ et M

Preuve :

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

$$ ||\vec{V}(M)|| = ||\vec{\Omega}||||\overrightarrow{AM}||| \sin \varphi | $$

$$ R = ||\overrightarrow{AM}|| |\sin \varphi| $$

Remarque : tout point B de l'axe (A, $\vec{\Omega}$) est fixé.

Preuve : $\vec{V}(B) = \vec{V}(A) + \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{AB}$ avec $\vec{V}(A) = \vec{0}$ et $\vec{\Omega} // \overrightarrow{AB}$.
3 Notions fondamentales de statique

**3.1 Puissance mécanique, force et moment** On suppose l'existence d'une puissance mécanique notée *P*. On définit le champ de force comme dual du champ cinématique, par rapport à la puissance mécanique, ce que l'on a vu en petite classe sous la forme :

* pour un point dans un espace 1D, $P = FV$

* pour un point en mouvement quelconque, $P = \vec{F} \cdot \vec{V}$.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Puissance positive</figcaption></figure>

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Puissance négative</figcaption></figure>

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Puissance nulle</figcaption></figure>
On généralise au champ cinématique complet :

## Puissance mécanique en un point

* la force $\vec{F}$ est le dual de la vitesse $\vec{V}$

* le moment $\vec{M}$ est le dual de la vitesse de rotation $\vec{\Omega}$

$$P = \vec{F} \cdot \vec{V} + \vec{M} \cdot \vec{\Omega}$$

avec

* la force $\vec{F}$ en N, la vitesse $\vec{V}$ en m/s

* la puissance mécanique $P$ en W, c'est à dire en N.m/s

* le moment $\vec{M}$ en N.m, la vitesse de rotation $\vec{\Omega}$ en rad/s

## Forces et moments

* La force est associée à une variation de vitesse

* Le moment est associé à une variation de vitesse de rotation
Ces relations sont, en 1D : $F = m\ddot{V}$ pour la force ou $M = I\dot{w}$ pour le moment. Elles généralisent la seconde loi de Newton et seront détaillées dans le cours de dynamique du solide.

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Une image mentale d'un moment (à gauche) et la représentation associée du vecteur moment (à droite)
## 3.2 Résultante et moment résultant

### Motivation :

* Dans beaucoup de cas le système de forces et de moments comprend un grand nombre, éventuellement infini, de forces et de moments

* On cherche alors un représentant plus simple de la classe d'équivalence de ce système, constitué d'une seule force et d'un seul moment.

* Cette (force) résultante et ce moment résultant forment le torseur statique

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Pression mesurée sous un pneu (M. Kane, U.G.E.) et système équivalent
Considérons la somme des puissances exercée sur les points P<sub>I</sub> et Q<sub>J</sub> appartenant à un domaine D du solide par :

* les forces $\vec{F}_I$ exercées par l'extérieur aux points P<sub>I</sub>

* les moments $\vec{M}_J$ exercées par l'extérieur aux points Q<sub>J</sub>

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

$$P = \sum_{I} \vec{F}_{I} \cdot \vec{V}(P_{I}) + \sum_{J} \vec{M}_{J} \cdot \vec{\Omega}$$
Avec les formules du transport des vitesses et du produit mixte :

$$
\begin{align*}
P &= \sum_I \vec{F}_I \cdot \vec{V}(P_I) + \sum_J \vec{M}_J \cdot \vec{\Omega} \\
&= \sum_I (\vec{F}_I \cdot \vec{V}(A) + \vec{F}_I \cdot \vec{\Omega} \wedge \vec{AP}_I) + \sum_J \vec{M}_J \cdot \vec{\Omega} \\
P &= \vec{V}(A) \cdot \underbrace{\sum_I \vec{F}_I}_{\vec{R}} + \vec{\Omega} \cdot \underbrace{\left( \sum_I \vec{AP}_I \wedge \vec{F}_I + \sum_J \vec{M}_J \right)}_{\vec{M}^r(A)}
\end{align*}
$$

• $\vec{R}$ se nomme la **résultante** du sytème de forces

* $\vec{M}^r(A)$ se nomme le **moment résultant en A** du sytème de forces et de moments
Au bilan, un système discret de forces et de moments est défini par :

## Résultante

La résultante est la somme de toutes les forces exercées sur le système

$$ \vec{R} = \sum_{I} \vec{F}_{I} $$

## Moment résultant

Le moment résultant est la somme des moments exercées sur le système : ceux des moments et ceux induits par les forces

$$ \vec{M}^r(A) = \sum_{I} \vec{A} \cdot \vec{P}_I \wedge \vec{F}_I + \sum_{J} \vec{M}_J $$
Remarque :

Depuis :

$$P = \vec{V}(A) \cdot \vec{R} + \vec{\Omega} \cdot \vec{M}^r(A)$$

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

on en déduit instantanément que :

* la résultante $\vec{R}$ et le moment résultant $\vec{M}^r(A)$, tous deux appliqués en A, sont (statiquement) équivalents au système de forces et de moments

* en termes mathématiques, ce système est un élément (simple) de la classe d'équivalence du système de forces et de moments
La puissance ne dépend pas du point de calcul (principe d'objectivité) donc :

## Puissance d'un système de forces et de moments

$$ \forall A, \quad P = \vec{R} \cdot \vec{V}(A) + \vec{M}^r(A) \cdot \vec{\Omega} $$

En particulier, pour un point B :

$$ \vec{R} \cdot \vec{V}(A) + \vec{M}^r(A) \cdot \vec{\Omega} = \vec{R} \cdot \vec{V}(B) + \vec{M}^r(B) \cdot \vec{\Omega} $$

Appliquons la formule de transport des vitesses :

$$ \vec{R} \cdot \vec{V}(A) + \vec{M}^r(A) \cdot \vec{\Omega} = \vec{R} \cdot \vec{V}(A) + \vec{R} \cdot \vec{\Omega} \wedge \vec{A}\vec{B} + \vec{M}^r(B) \cdot \vec{\Omega} $$

$$ \vec{\Omega} \cdot \vec{M}^r(A) = \vec{\Omega} \cdot \vec{A}\vec{B} \wedge \vec{R} + \vec{\Omega} \cdot \vec{M}^r(B) $$

Cette équation doit être vraie $\forall \vec{\Omega}$ (principe d'objectivité...). D'où :

## Formule de transport des moments résultants

$$ \vec{M}^r(B) = \vec{M}^r(A) + \vec{R} \wedge \vec{A}\vec{B} $$
### 3.3 Torseur statique
Par analogie entre cinématique et statique :

$$ 
\begin{align*}
\vec{V}(B) &= \vec{V}(A) + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB} \\
\vec{M}^r(B) &= \vec{M}^r(A) + \vec{R} \wedge \vec{AB} \\
\{C\} &= \{\vec{\Omega}, \vec{V}(A)\}
\end{align*}
$$

on introduit le :

#### Torseur statique

$$ \{\mathcal{F}\} = \{\vec{R}, \vec{M}^r(A)\} $$

* formé de la résultante et du moment résultant qui dépend du point de calcul A

* Il faut préciser les unités des valeurs numériques. Par ex. :

$$ \{\mathcal{F}\} = \left\{ \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 7(N) & 1(N \cdot m) \\ 0 & 5 \end{array} \right\}_A $$
## 3.4 Compléments sur le moment
Calculons le moment résultant d'une force unique, par rapport à un point A

$$ \vec{M}^r(A) = \overrightarrow{AM} \wedge \vec{F} $$ $$ \| \vec{M}^r(A) \| = \underbrace{\|\vec{F}\| \|\overrightarrow{AM}\| \sin(\overrightarrow{AM}, \vec{F})|}_{AH=d} $$

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

### Bras de levier

* distance *d* entre le point de calcul A et la droite support de la force $\vec{F}$

* la norme du moment induit par $\vec{F}$ par rapport au point A vaut $M = Fd$, une formule vue en petite classe

Sur MaDoc : exercices visuels pour trouver le bras de levier
* Le produit vectoriel $\vec{AM} \wedge \vec{F}$ est directement orthogonal au plan $[\vec{AM}, \vec{F}]$

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

* Il matérialise l'axe de rotation, c'est à dire la direction de la vitesse de rotation $\vec{\Omega}$, que ce moment « cherche à créer ».

* L'unité S. I. du moment est le N.m (Newton × mètres).

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

<figure><img src="image_29.png" /></figure>
Considérons une force $\vec{F}(F_x, F_y, 0)$ exercée en un point $P(OP_x, OP_y, 0)$.
Son moment par rapport à O est :

$$ \vec{M'}(O) = \vec{OP} \wedge \vec{F} = \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ OP_x F_y - OP_y F_x \end{vmatrix} $$

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

On identifie visuellement que $OP_x F_y$ a un signe plus car il cherche à faire tourner à gauche (de x vers y) tandis que $-OP_y F_x$ a un signe moins car il cherche à faire tourner à droite (de y vers x).
## 3.5 Principe fondamental de la statique
Le Principe des Puissances Virtuelles (d'Alembert, Germain) stipule que si la puissance exercée par le système de force

$$P = \vec{R} \cdot \vec{V}(A) + \vec{M}'(A) \cdot \vec{\Omega}$$

est nulle, quel que soit le repère de l'observateur (puissance virtuelle), c'est à dire quel que soit $\vec{V}(A)$ et $\vec{\omega}$, alors le système reste en équilibre par rapport à un repère galiléen. On en déduit directement le :

### Principe fondamental de la statique (PFS)

Un solide est en équilibre par rapport à un référentiel galiléen si :

* La résultante des efforts extérieurs est nulle : $\vec{R} = \vec{0}$

* Le moment résultant des efforts extérieurs est nul en un point A quelconque : $\vec{M}'(A) = \vec{0}$
Preuve que le point de calcul est quelconque : supposons le principe est vérifié en A :

$$ 
\begin{align*}
\vec{M}^r(B) &= \vec{M}^r(A) + \vec{BA} \wedge (\vec{R} = \vec{0}) \\
&= \vec{M}^r(A) = \vec{0}
\end{align*}
$$

alors il est aussi vérifié en B.

Exemple

Remarques :

* La première partie du PFS est nommée théorème de la résultante.

* La seconde partie du PFS est nommée théorème du moment résultant.

* Par << efforts extérieurs >>, on entend toutes les forces et tous les moments extérieurs, concentrés ou répartis (suite du cours).

* Énoncé plus concis, en terme de torseurs : $\sum_i \{\mathcal{F}_i\}_A = \{0\}$

* Le PFS entraîne

* 6 équations scalaires en 3D (3 de résultante et 3 de moment)

* 3 équations scalaires en 2D (2 de résultante et 1 de moment)

* 1 équation (de force) en 1D
**3.6 Quelques remarques** En petite classe, vous avez appris seulement le théorème de la résultante.

* Voici un exemple qui montre son insuffisance pour un solide : ce feu d'artifice (soleil) se met en rotation, il n'est pas en équilibre statique.

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

<figure><img src="image_32.png" /></figure>
Vérifions la proposition d'Archimède sur les bras de levier :

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

L'équilibre implique un moment résultant nul. Calculons-le en 0 :

$$ \overrightarrow{OP} \wedge \vec{f} + \overrightarrow{OQ} \wedge \vec{F}_O + \overrightarrow{OQ} \wedge \vec{F} = \vec{0} \\ (-L\vec{e}_x + y\vec{e}_y) \wedge (-f\vec{e}_y) + \vec{0} + (l\vec{e}_x + y'\vec{e}_y) \wedge (-F\vec{e}_y) = \vec{0} $$

$$ Lf\vec{e}_z - IF\vec{e}_z = \vec{0} \implies \frac{L}{l} = \frac{F}{f} $$

« Le rapport des forces est l'inverse du rapport des bras de leviers »
## 3.7 Équilibre des solides soumis à deux ou trois forces

### Théorème du solide soumis à deux forces (SS2F)

Si un solide soumis à deux forces est en équilibre, les deux forces sont opposées et ont la même droite d'action.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

Preuve : posons le PFS en résultante et en moment, au point P :

$$ 
\left. 
\begin{array}{l}
\vec{P}_P + \vec{F}_Q = \vec{0} \\[1em]
\overrightarrow{PQ} \wedge \vec{F}_P + \overrightarrow{PQ} \wedge \vec{F}_Q = \vec{0} \\[1em]
\vec{PQ} // \vec{F}_Q = -\vec{F}_P
\end{array}
\right\} 
$$
Théorème du solide soumis à trois forces (SS3F)

Si un solide soumis à trois forces non parallèles est en équilibre alors les trois forces sont coplanaires et leurs droites d'action sont concourantes en un point.

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

Preuve :

Commençons par montrer que les 3 forces sont coplanaires. On calcule le moment résultant par rapport à P₁ :
$$ \vec{M^r}(\vec{P}_1) = \underbrace{\vec{P}_1\vec{P}_1}_{\vec{0}} \wedge \vec{F}_1 + \underbrace{\vec{P}_1\vec{P}_2}_{\vec{0}} \wedge \vec{F}_2 + \underbrace{\vec{P}_1\vec{P}_3}_{\vec{0}} \wedge \vec{F}_3 = \vec{0} $$

$$ \begin{aligned} \vec{M^r}(\vec{P}_1) \cdot \underbrace{\vec{P}_1\vec{P}_2}_{\vec{0}} &= (\vec{P}_1\vec{P}_2 \wedge \vec{F}_2) \cdot \underbrace{\vec{P}_1\vec{P}_2}_{\vec{0}} + (\vec{P}_1\vec{P}_3 \wedge \vec{F}_3) \cdot \underbrace{\vec{P}_1\vec{P}_2}_{\vec{0}} = 0 \\ 0 &= \underbrace{(\vec{P}_1\vec{P}_2 \wedge \vec{P}_1\vec{P}_2)}_{\text{//}\vec{n}} \cdot \vec{F}_2 + \underbrace{(\vec{P}_1\vec{P}_2 \wedge \vec{P}_1\vec{P}_3)}_{\text{//}\vec{n}} \cdot \vec{F}_3 \end{aligned} $$

où $\vec{n}$ est la normale au plan défini par $\vec{P}_1, \vec{P}_2, \vec{P}_3$.

$$ \Rightarrow \vec{F}_3 \perp \vec{n} $$

$$ \Leftrightarrow \vec{F}_3 \in [\vec{P}_1, \vec{P}_2, \vec{P}_3] $$

Par des calculs similaires, on obtient :

$$ \vec{F}_1 \in [\vec{P}_1, \vec{P}_2, \vec{P}_3] $$

$$ \vec{F}_2 \in [\vec{P}_1, \vec{P}_2, \vec{P}_3] $$
Calculons le moment résultant en I, intersection des droites support de $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$. Ce point existe car ces forces ne sont pas parallèles.

$$ 
\begin{align*}
\vec{M}^r(I) &= \underbrace{\vec{IP}_1 \wedge \vec{F}_1}_{\vec{0}} + \underbrace{\vec{IP}_2 \wedge \vec{F}_2}_{\vec{0}} + \underbrace{\vec{IP}_3 \wedge \vec{F}_3}_{\vec{0}} = \vec{0} \\
&\implies \vec{IP}_3 // \vec{F}_3
\end{align*}
$$

Donc la droite d'action de $\vec{F}_3$ passe aussi par I. Les trois droites d'action sont concourantes en I.
3.8 Problèmes plans

Un problème est dit plan (ou 2D) si :

* la géométrie est dans un plan

* les forces sont dans ce même plan

* les moments sont orthogonaux à ce plan

Il s'agit en général d'un simplification que l'on peut faire lorsque la géométrie 3D possède un plan de symétrie.

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

<figure><img src="image_37.png" /></figure>
* Les vecteurs force et les vecteurs position ont leur troisième composante supprimée

* Les moments sont selon la normale au plan

* Comme on en a besoin pour le calcul des produits vectoriels, on note les composantes dégénérées par un $\emptyset$ pour les distinguer des 0 « non automatiques » (mais possibles...) des autres composantes :

Problème dans le plan $[x, y]$ :

$$ \vec{AM} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \emptyset \end{bmatrix} \quad \vec{F} = \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \\ \emptyset \end{bmatrix} \quad \vec{M} = \begin{bmatrix} \emptyset \\ \emptyset \\ M \end{bmatrix} $$
## 3.9 Théorème des actions réciproques

### Théorème des actions réciproques

Le torseur résultant des actions d'un solide 1 sur un solide 2 est l'opposé du torseur résultant des actions du solide 2 sur le solide 1.

$$ 
\begin{aligned}
\vec{R}_{2 \to 1} &= -\vec{R}_{1 \to 2} \\
\vec{M}_{2 \to 1}^r(A) &= -\vec{M}_{1 \to 2}^r(A)
\end{aligned}
 $$

* On remarque la notation indispensable $1 \to 2$ qui se lit « de 1 sur 2 »

* les forces ou moments agissant sur un solide $n$ dont donc en $i \to n$

* Les moments résultants sont calculés en un même point (ici A)

* Cet énoncé généralise la troisième loi de Newton
Preuve : supposons connue le torseur des efforts de 1 → 2. Considérons l'équilibre d'un solide virtuel sans épaisseur 3, placé en A entre 1 et 2 :

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

$$ \vec{R}_{1 \to 3} = \vec{R}_{1 \to 2} $$

$$ \vec{R}_{2 \to 3} = \vec{R}_{2 \to 1} $$

$$ \vec{M}_{1 \to 3}^r(A) = \vec{M}_{1 \to 2}^r(A) $$

$$ \vec{M}_{2 \to 3}^r(A) = \vec{M}_{2 \to 1}^r(A) $$

Le solide virtuel 3 est en équilibre, donc :

$$ \vec{R}_{1 \to 3} + \vec{R}_{2 \to 3} = \vec{0} $$

$$ \vec{M}_{1 \to 3}^r(A) + \vec{M}_{2 \to 3}^r(A) = \vec{0} $$

Ce qui entraîne le résultat annoncé.
## 3.10 Principe Fondamental pour un système de solides

L'énoncé du PFS (planche 46) est valable pour un système de solides

à condition que le système de force soit rigidifiant a

a. hors programme, sera implicitement accepté

Cela se comprend puisque que les solides sont, en statique, immobiles les uns par rapport aux autres, donc n'en forment qu'un.

<figure><img src="image_39.png" /></figure>
<figure><img src="image_40.png" /></figure>

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

Preuve : en notant $\text{ext}$ l'extérieur au système. Théo. de la résultante :

$$ \vec{R}_{\text{ext}\to 1} + \vec{R}_{2\to 1} + \cdots + \vec{R}_{n\to 1} = \vec{0} $$

$$ \vec{R}_{\text{ext}\to 2} + \vec{R}_{1\to 2} + \cdots + \vec{R}_{n\to 2} = \vec{0} $$

\dots

$$ \vec{R}_{\text{ext}\to n} + \vec{R}_{1\to n} + \cdots + \vec{R}_{n-1\to n} = \vec{0} $$

$$ \sum \Rightarrow \vec{R}_{\text{ext}\to 1} + \vec{R}_{\text{ext}\to 2} + \cdots + \vec{R}_{\text{ext}\to n} = \vec{0} $$

Pour les moments, la démonstration est similaire.
# 4 Structure d'un champ de torseurs

## 4.1 Motivation

* On a vu que l'on pouvait ramener un système de forces et de moments quelconque à une résultante et un moment résultant, que l'on regroupe sous le terme torseur

* Mais le moment résultant dépend du point de calcul considéré

* Peut-on trouver une réduction plus radicale d'un système de forces et de moments, sans point particulier, avec moins d'éléments ?
## 4.2 Axe central et pas d'un torseur

### Axe central et pas d'un torseur

L'axe central d'un torseur est la droite $\Delta$ pour tout point P de laquelle :

$$ \vec{M}^r(P) = \lambda \vec{R} $$

où $\lambda$ se nomme le pas du torseur. En fonction du torseur $\{\vec{R}, \vec{M}^r(A)\}$ connu en un point A quelconque, on a :

$$ \lambda = \frac{\vec{R} \cdot \vec{M}^r(A)}{\|\vec{R}\|^2} $$

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{\vec{R} \wedge \vec{M}^r(A)}{\|\vec{R}\|^2} + \alpha \frac{\vec{R}}{\|\vec{R}\|}, \quad \alpha \in \mathbb{R} $$
Preuve. Ramenons le moment au point A où $\{ \vec{R}, \vec{M}^r(A) \}$ est connu :

$$ \vec{M}^r(P) = \lambda \vec{R} $$

$$ \vec{M}^r(A) + \vec{R} \wedge \vec{AP} = \lambda \vec{R} $$

Pour le pas :

$$ \vec{M}^r(A) \cdot \vec{R} + (\vec{R} \wedge \vec{AP}) \cdot \vec{R} = \lambda \vec{R} \cdot \vec{R} $$

$$ \Rightarrow \lambda = \frac{\vec{M}^r(A) \cdot \vec{R}}{\|\vec{R}\|^2} $$
Pour l'axe central :

$$ \vec{R} \wedge \vec{M}^r(A) = \vec{R} \wedge (\vec{A}\vec{P} \wedge \vec{R}) + \lambda \vec{R} \wedge \vec{R} $$

Posons, sans restriction :

$$ \vec{A}\vec{P} = \vec{A}\vec{Q} + \vec{Q}\vec{P} $$

où $\vec{Q}\vec{P}$ est colinéaire à $\vec{R}$ et $\vec{A}\vec{Q}$ perpendiculaire à $\vec{R}$.

$$ \begin{aligned} \vec{R} \wedge \vec{M}^r(A) &= \vec{R} \wedge ((\vec{A}\vec{Q} + \vec{Q}\vec{P}) \wedge \vec{R}) \\ &= \vec{R} \wedge (\vec{A}\vec{Q} \wedge \vec{R}) \end{aligned} $$

$$ \vec{R} \wedge \vec{M}^r(A) = \vec{A}\vec{Q}(\vec{R} \cdot \vec{R}) - \vec{R}(\vec{R} \cdot \vec{A}\vec{Q}) $$

$$ \Rightarrow \vec{A}\vec{Q} = \frac{\vec{R} \wedge \vec{M}^r(A)}{\|\vec{R}\|^2} $$

$$ \Rightarrow \vec{A}\vec{P} = \frac{\vec{R} \wedge \vec{M}^r(A)}{\|\vec{R}\|^2} + \alpha \frac{\vec{R}}{\|\vec{R}\|}, \quad \alpha \in \mathbb{R} $$
4.3 Structure du champ de torseur $Q \in \Delta$ est le projeté de $A$ sur l'axe central $\Delta$, obtenu pour $\alpha = 0$. On a :

$$ \vec{M}^r(A) = \vec{M}^r(Q) + \vec{R} \wedge \vec{QA} $$

C'est à dire que le moment sur l'axe central $\vec{M}^r(Q) = \lambda \vec{R}$ est additionné d'un terme orthogonal au plan $[\vec{QA}, \vec{R}]$ et proportionnel à la distance QA :

<figure><img src="image_42.png" /></figure>
Structure du champ de torseur

* Tout système de forces et de moments est équivalent à une résultante et un moment résultant colinéaires à un axe central

* La norme du moment résultant est minimale sur l'axe central

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

L'origine du nom torseur vient de l'action de tirer et de tordre simultanément.
## 4.4 Torseur glisseur

### Torseur glisseur

Un glisseur est un torseur de pas nul : $\lambda = 0$. Il est équivalent à une force unique $\vec{F}$.

Preuve :

Donnons nous un torseur glisseur. En tout point P de son axe central $\Delta$, $\vec{M}^r(P) = \lambda \vec{P} = \vec{0}$.

Considérons maintenant une force $\vec{F}$ telle que

$$ \bullet \vec{F} = \vec{R} $$

$$ \bullet \text{ passant par } P \in \Delta \text{ donc } \vec{M}^r(P) = \overrightarrow{PP} \wedge \vec{F} = \vec{0} $$

Cette force a donc même résultante et même moment résultant en P que le torseur glisseur, les deux systèmes sont statiquement équivalents.

<figure><img src="image_44.png" /></figure>
À quelle condition un système de forces et de moments est-il un glisseur ?

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

Supposons le torseur connu en A. Il faut qu'il existe un point P tel que le moment résultant est nul en ce point :

$$
\begin{align*}
\vec{M}^r(P) &= \vec{M}^r(A) + \vec{R} \wedge \vec{AP} = \vec{0} \\
\Rightarrow \vec{R} \wedge \vec{PA} &= \vec{M}^r(A) \\
\Rightarrow \vec{R} \perp \vec{M}^r(A)
\end{align*}
$$

Un torseur est un glisseur si son moment est perpendiculaire à sa
résultante non nulle.
Remarque : l'indépendance par rapport au point P de l'axe central implique que l'action d'une force ne change pas si on la « glisse » sur sa droite d'action, ce qui n'est pas intuitif :

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

C'est l'origine du mot glisseur.
## 4.5 Torseur couple

### Torseur couple

* un torseur couple est un torseur de résultante nulle (de pas infini)

* son moment résultant est indépendant du point de calcul

* un moment unique est un torseur couple

* un couple de forces opposées est un torseur couple

Preuve de 2 :

$$ \vec{M}^r(B) = \vec{M}^r(A) + \vec{R} \wedge \vec{AB} \\ \implies \forall B, \quad \vec{M}^r(B) = \vec{M}^r(A) $$

Le point 3 est trivial :

<figure><img src="image_47.png" /></figure>
Point 4 : un élément de sa classe d'équivalence est obtenue avec un
couple de forces ($\vec{F}, -\vec{F}$) :

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

car :

$$
\begin{align*}
\vec{R} &= \vec{F} - \vec{F} = \vec{0} \\
\vec{M}'(A) &= \vec{A}\vec{P} \wedge \vec{F} + \vec{A}\vec{Q} \wedge (-\vec{F}) \\
&= \vec{A}\vec{P} \wedge \vec{F} - \vec{A}\vec{Q} \wedge \vec{F} \\
&= \vec{Q}\vec{P} \wedge \vec{F}
\end{align*}
$$

On vérifie que ce moment résultant est indépendant du point de calcul A considéré.
On se place dans le plan défini par les deux droites support des forces
parallèles :

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

La norme du moment est :

$$
\begin{align*}
\| \vec{M}^r \| &= \| \overrightarrow{QP} \| \| \vec{F} \| \sin(\overrightarrow{QP}, \vec{F}) \\
&= \| \overrightarrow{QH} \| \| \vec{F} \| \\
&= \| \vec{F} \| d
\end{align*}
$$

On retrouve la formule M = Fd vue en petite classe, où d est le bras de
levier d'une force (F ou -F) par rapport au point d'application de l'autre
(Q ou P).
Un exemple de torseur couple est donné par l'action du serrage d'une vis. Les forces de contact s'annulent par symétrie et le système de forces est équivalent à un moment seul :

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

Par abus de langage, le moment est encore souvent appelé couple dans les documentations techniques :

<table><thead><tr><th rowspan="2">Taille de filetage</th><th colspan="6">Couple de serrage Tableau pour standard<br>Couple de serrage en (Nm)</th></tr><tr><th>4.6</th><th>5.6</th><th>6.8</th><th>8.8</th><th>10.9</th><th>12.9</th></tr></thead><tbody><tr><th>Classe de résistance</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>M2</th><td>0,13</td><td>0,16</td><td>0,26</td><td>0,35</td><td>0,49</td><td>0,59</td></tr><tr><th>M2,5</th><td>0,27</td><td>0,34</td><td>0,54</td><td>0,72</td><td>1,01</td><td>1,21</td></tr><tr><th>M3</th><td>0,48</td><td>0,60</td><td>0,96</td><td>1,28</td><td>1,80</td><td>2,16</td></tr></tbody></table>

site /www.couple-de-serrage.fr/
Remarque : le torseur couple est statiquement équivalent quelque soit le point d'application du moment, ce qui n'est pas non plus intuitif :

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

Remarque

Un torseur quelconque est la somme d'un torseur glisseur et d'un torseur couple.

Évident depuis la structure du champ de torseur (4.3).
4.6 Système plan

Tout système plan de résultante non nulle est un glisseur

Preuve :

On sait que, $\forall(A), \vec{R} \perp \vec{M}^r(A) = M^r \vec{e}_3$ et donc, si $\vec{R} \neq \vec{0}$, le système est un glisseur.

Ce système est équivalent à sa résultante exercée en un point P de l'axe
central :

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

Si la résultante est nulle alors le système est un torseur couple $\vec{M}^r$.
## 4.7 Système de forces parallèles

Tout système de forces parallèles est un glisseur

Preuve :

Pour un système de forces parallèles $\vec{F}_i = F_i \vec{u}$ (pas de moments) :

$$ \vec{R} = \vec{u} \sum F_i \\ \vec{M}^r(A) = \sum_i \underbrace{\vec{A} \vec{M}_i \wedge F_i \vec{u}}_{\perp \vec{u}} \implies \vec{M}^r(A) \perp \vec{R} $$

et donc le sytème est un glisseur. Il est donc réductible à une force unique $\vec{R}$ s'exerçant en un point de l'axe central.

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

Cela servira pour les centres de masse.
# 5 Chargements répartis

## 5.1 Motivation

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

* Les forces ou les moments concentrées étudiées jusqu'à présent, sont exercées en des points

* En mécanique macroscopique, c'est impossible au sens strict. Par exemple, pour une force de contact, la pression $p = F/S \to \infty$, si la surface de contact $S \to 0$

* Néanmoins c'est un modèle utilisable dès que la force ou le moment agit sur un petit domaine du système étudié.
## 5.2 Types de charges réparties

* les forces volumiques $\vec{F}_v$ (N/m³). Par exemple : la gravité, le magnétisme...

* les forces surfaciques, ou pression $\vec{F}_s$ (N/m²). Par exemple : une force de contact d'un solide sur un autre, l'action d'un fluide sur un solide...

* les forces linéiques $\vec{F}_l$ (N/m). Lorsque la surface de contact possède une largeur très petite. Par exemple l'action d'un balai d'essuie glace sur un pare-brise, d'un patin à glace sur de la glace.

Il en va de même pour les moments, que l'on représentera avec une petite lettre ($\vec{m}_v, \vec{m}_s, \vec{m}_l$). Mais ces choses sont rares en pratique, on ne les abordera pas en TD.
Afin de calculer la résultante ou le moment résultant, on va être amenés
à sommer (démerger) ces forces réparties. Pour cela, on considère la **force**
infinitésimale $d\vec{F}$ (N) :

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

Sur l'élément différentiel de volume
dv au voisinage du point M, s'exerce
d$\vec{F} = \vec{F}_v(M)dv$

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

Sur l'élément différentiel de surface
ds au voisinage du point M, s'exerce
d$\vec{F} = \vec{F}_s(M)ds$

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

Sur l'élément différentiel de longueur
dl au voisinage du point M, s'exerce
d$\vec{F} = \vec{F}_l(M)dl$
La résultante et le moment résultant d'un système continu de forces et de moments s'obtient par intégration. Les sommes des formules de la planche 39 sont remplacées par des intégrales. ■

* Forces et moments volumiques

$$ \vec{R} = \iiint_D \vec{f}_v(M) dv, \quad \vec{M}^r(A) = \iiint_D \vec{A}\vec{M} \wedge \vec{f}_v(M) dv + \iiint_D \vec{m}_v(M) dv $$

* Forces et moments surfaciques

$$ \vec{R} = \iint_S \vec{f}_s(M) ds, \quad \vec{M}^r(A) = \iint_S \vec{A}\vec{M} \wedge \vec{f}_s(M) ds + \iint_S \vec{m}_s(M) ds $$

* Forces et moments linéiques

$$ \vec{R} = \int_L \vec{f}_l(M) dl, \quad \vec{M}^r(A) = \int_L \vec{A}\vec{M} \wedge \vec{f}_l(M) dl + \int_L \vec{m}_l(M) dl $$

Dans ces calculs M se nomme le point courant, qui parcourt tout le solide lors du processus d'intégration.
### 5.3 Résultante et moment résultant d'une distribution de forces
Dans les cas courants où il n'y a que des forces réparties (pas de moments répartis) :

#### Résultante et moment résultant d'une distribution de forces

* Forces volumiques

$$ \vec{R} = \iiint_D \vec{f}_v(M) dv, $$

$$ \vec{M}^r(A) = \iiint_D \vec{AM} \wedge \vec{f}_v(M) dv $$

* Forces surfaciques

$$ \vec{R} = \iint_S \vec{f}_s(M) ds, $$

$$ \vec{M}^r(A) = \iint_S \vec{AM} \wedge \vec{f}_s(M) ds $$

* Forces linéiques

$$ \vec{R} = \int_L \vec{f}_l(M) dl, $$

$$ \vec{M}^r(A) = \int_L \vec{AM} \wedge \vec{f}_l(M) dl $$

<figure><img src="image_59.png" /></figure>
## 5.4 Éléments différentiels de surface

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

Élément de surface en coordonnées cartésiennes

$$ds = dxdy$$

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

Rappel : la longueur d'un arc de rayon $r$ et d'angle $\theta$ est $L = r\theta$.

Par exemple, pour $\theta = 2\pi$, on retrouve le périmètre du cercle $2\pi r$ d'où :

Élément de surface en coordonnées polaires

$$ds = rdrd\theta$$
## 5.5 Éléments différentiels de volume

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

Élément de volume en coordonnées cartésiennes

$$dv = dxdydz$$

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

Élément de volume en coordonnées cylindriques

$$dv = rdrd\theta dz$$

<figure><img src="image_64.png" /></figure>
<figure><img src="image_65.png" /></figure>

Élément de volume en coordonnées sphériques

dv = r² sin(θ) drdθdφ

Image :
Mustapha Sadouki
# 6 Centre de masse

## 6.1 Rappels : action de la gravité sur une masse ponctuelle

* Pour toute masse ponctuelle M, un champ de gravité **g** génère une force $\vec{P} = M\vec{g}$, où $\vec{g}$ est l'accélération de la pesanteur.

* Sur terre, $||\vec{g}|| = g \approx 9,81 \text{ m/s}^2$, est dirigé vers le centre de la terre et varie avec l'altitude.

* On supposera dans ce cours que **g** est constant, ce qui est correct pour des objets à taille humaine

<figure><img src="image_66.png" /></figure>
## 6.2 Poids d'un solide continu

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

* en tout point M du domaine $D$, s'exerce une force volumique $\vec{F}_v = \rho(M)\vec{g}$

* où $\rho(M)$ est la masse volumique en kg/m$^3$ au voisinage de M

* l'élément différentiel de volume $dv$ autour du point M subit une force infinitésimale $d\vec{F} = \rho(M)\vec{g}dv$ (N)

### Solide homogène

La masse volumique d'un solide homogène ne dépend pas du point considéré.

$$ \rho(M) = \rho = \text{cst} $$
Le poids (N) est la résultante des actions de pesanteur :

$$ \vec{P} = \iiint_D \rho(M) \vec{g} dv $$

Si $\vec{g} = \text{cst}$, le poids et la masse sont :

$$ \vec{P} = M\vec{g} $$

$$ M = \iiint_D \rho(M) dv $$

où $M$ (kg) est la masse du solide.

Si, de plus, le solide est homogène ($\rho = \text{cst}$) :

$$ M = \rho V $$

$$ V = \iiint_D dv $$

où $V$ est le volume (m³).
## 6.3 Centre de masse d'un solide continu

* les actions de la pesanteur forment un système de forces parallèles, donc un glisseur (voir 4.7)

* ce système est donc équivalent à sa résultante (le poids) agissant en un point de son axe central

* le centre de masse G est défini comme l'intersection de tous les axes centraux lorsque $\vec{g}$ varie en direction (c'est à dire pour toutes les orientations du solide par rapport à la pesanteur)

$$ \forall \vec{g} \neq \vec{0}, \quad \vec{M}^r(G) = \vec{0} $$

$$ \iiint_D \vec{GM} \wedge \rho(M) \vec{g} dv = \vec{0} $$

$$ \left( \iiint_D \rho(M) \vec{GM} dv \right) \wedge \vec{g} = \vec{0} $$

le terme entre parenthèses est orthogonal à $\vec{g}$, quelque soit $\vec{g}$ donc :

$$ \Rightarrow \iiint_D \rho(M) \vec{GM} dv = \vec{0} $$
où encore, en passant par le point de référence O :

$$ \iiint_D \rho(M)(\vec{GO} + \vec{OM}) \, dv = \vec{0} $$

$$ \iiint_D \rho(M) \vec{OG} \, dv = \iiint_D \rho(M) \vec{OM} \, dv $$

$$ \vec{OG} \iiint_D \rho(M) \, dv = \iiint_D \rho(M) \vec{OM} \, dv $$

$$ M\vec{OG} = \iiint_D \rho(M) \vec{OM} \, dv $$

Si, de plus, le solide est homogène alors $\rho$ est constant, on peut le sortir des intégrales puis simplifier. Le centre de masse correspond au centre géométrique défini comme :

$$ \iiint_D \vec{GM} \, dv = \vec{0} $$

$$ V\vec{OG} = \iiint_D \vec{OM} \, dv $$
Résumé :

Centre de masse G d'un solide

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{M} \iiint_D \rho(M) \overrightarrow{OM} \, dv \\ \iiint_D \rho(M) \overrightarrow{GM} \, dv = \vec{0} $$

Centre de masse G d'un solide homogène ou centre géométrique

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{V} \iiint_D \overrightarrow{OM} \, dv \\ \iiint_D \overrightarrow{GM} \, dv = \vec{0} $$

* les secondes équations se retrouvent simplement en posant $O = G$ dans les premières

* le cas du solide homogène se retrouve avec $\rho = \text{cst}$ et $M = \rho V$
6.4 Une mesure expérimentale de G Trouvons le centre de gravité G d'un solide plan pendu par une ficelle :

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

• D'après le théorème SS2F, $\vec{T}$ et $\vec{P}$ ont la même droite d'action, que l'on peut tracer en suivant la ficelle, qui est l'axe central du glisseur $\vec{P}$.

• En traçant deux configurations, on définit le point G.

• Il n'est pas trivial que toutes les droites $\Delta_i$ se coupent pour $i > 2$!
## 6.5 Cas 2D
Les formules de la planche 89 ne changent que par la nature de l'intégrale de surface (m²) et la masse surfacique $\mu$ (kg/m²) :

$$S = \iint_D ds$$

$$M = \iint_D \mu(M) ds$$

$$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{M} \iint_D \mu(M) \overrightarrow{OM} ds$$

Cas du solide homogène $\mu$ constant :

$$M = \mu S$$

$$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{S} \iint_D \overrightarrow{OM} ds$$
## 6.6 Cas 1D
Les formules précédentes ne changent que par la nature de l'intégrale de longueur (m) et la masse linéique $\sigma$ (kg/m). De plus, le fait qu'on n'a plus qu'une dimension permet de remplacer le point M par son abscisse $x$ :

$$L = \int_{D} dx$$
$$M = \int_{D} \sigma(x) dx$$
$$x(G) = \frac{1}{M} \int_{D} x\sigma(x) dx$$

Cas du solide homogène $\sigma$ constant :

$$M = \sigma L$$
$$x(G) = \frac{1}{L} \int_{D} x \, dx$$
Remarques :

En mathématiques, le calcul de $\int x^n f(x) dx$ est nommé moment d'ordre $n$ d'une fonction $f$.

* La masse $M = \int \sigma(x) dx$ est un moment d'ordre 0. En statistique, cela correspond au calcul de la moyenne.

* Le centre de masse $x(G) = \frac{1}{M} \int x \sigma(x) dx$ est un calcul de barycentre, mais aussi un calcul de moment d'ordre 1. Le terme « moment » utilisé en mathématiques vient d'ailleurs du calcul du moment (résultant) de mécanique. En statistique, ce calcul correspond au calcul de l'espérance.
## 6.7 Cas de solides avec des symétries

### Centre de masse d'un solide symétrique

Si un solide possède un axe ou un plan de symétrie, alors le centre de masse G lui appartient

Preuve, pour un solide homogène 2D avec un axe de symétrie $\vec{e}_y$ :

$$ 
\begin{align*} 
SOG &= \iint_D OM ds \\ 
&= \int_{y_0}^{y_1} \int_{-X(y)}^{X(y)} (x\vec{e}_x + y\vec{e}_y) dxdy 
\end{align*} 
$$

L'intégrale en x est nulle car il s'agit d'une fonction impaire intégrée sur un intervalle symétrique.

$$ \Rightarrow OG = OG_y \vec{e}_y $$

et donc G appartient à l'axe de symétrie du solide.

<figure><img src="image_71.png" /></figure>
Exemples d'application :

* si la symétrie est d'ordre 2 ou plus en 2D, le CDG est trivial :

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

* si un solide 3D possède un axe de symétrie, une seule composante est à calculer :

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

* si un solide 3D possède un plan de symétrie, alors G appartient à ce plan et il n'y a que 2 composantes à calculer. ■
## 6.8 Centre de masse de plusieurs solides

### Le centre de masse G d'un système de plusieurs solides

est défini par :

$$ \vec{OG} = \frac{\sum_i M_i \vec{OG}_i}{\sum_i M_i} $$

où $G_i$ est le centre de masse du solide de masse $M_i$. Une formule équivalente est :

$$ \sum_i M_i \vec{GG}_i = \vec{0} $$

* On identifie des formules de barycentre

* Ces formules sont utilisées pour le calcul numérique des CDG, dans lequel on décompose les solides en éléments finis

<figure><img src="image_77.png" /></figure>
Preuve, pour un domaine $\mathcal{D} = \mathcal{D}_1 \cup \mathcal{D}_2 \cup \dots$
depuis les formules générales de la planche 89

$$M\overrightarrow{OG} = \iiint_{\mathcal{D}} \rho(M)\overrightarrow{OM} \, dv$$

L'intégrale étant additive, on peut scinder sur chaque domaine $(\mathcal{D}_1, \mathcal{D}_2, \dots)$ :

$$M\overrightarrow{OG} = \iiint_{\mathcal{D}_1} \rho(M)\overrightarrow{OM} \, dv + \iiint_{\mathcal{D}_2} \rho(M)\overrightarrow{OM} \, dv + \dots$$

On applique le première formule à chaque objet :

$$M\overrightarrow{OG} = M_1\overrightarrow{OG_1} + M_2\overrightarrow{OG_2} + \dots$$

Pour la masse, additive, le calcul est similaire :

$$M = M_1 + M_2 + \dots$$
# 7 Liaisons mécaniques

## 7.1 Dualité statique et cinématique

* Une liaison mécanique est un ensemble de mouvements possibles entre deux solides

* Ces mouvements possibles sont donnés par le torseur cinématique virtuel $\{C^*\} = \{\vec{\Omega}^*, \vec{V}^*(A)\}$

* Le torseur des efforts transmissibles est $\{\mathcal{F}\} = \{\vec{R}, \vec{M}^r(A)\}$

### Liaison parfaite (ou sans frottement)

Dans une liaison parfaite la puissance dissipée est nulle pour tout mouvement virtuel $\{\vec{\Omega}^*, \vec{V}^*(A)\}$ compatible avec la liaison :

$$ \vec{R} \cdot \vec{V}^*(A) + \vec{M}^r(A) \cdot \vec{\Omega}^* = 0 $$
Exemple. Liaison pivot glissant, la surface de contact est un cylindre :

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

Deux mouvements sont possibles :

* les translations d'axe z, donc $\vec{V}^*(A) = v^*\vec{e}_z$

* les rotations d'axe z, donc $\vec{\Omega}^* = \omega^*\vec{e}_z$

La puissance virtuelle

$$v^*\vec{e}_z \cdot \vec{R} + \omega^*\vec{e}_z \cdot \vec{M}^r(A) = 0$$

est nulle $\forall v^* \text{ et } \forall \omega^*$, donc le torseur des efforts transmissibles vérifie :
$$\vec{R} \perp \vec{e}_z \text{ et } \vec{M}^r \perp \vec{e}_z.$$
Vérifions ce résultat par une analyse du contact.

Sans frottement, une force $d\vec{F}$ est perpendiculaire à la surface $\delta D$.

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

La surface de contact est ici un cylindre. On pose : $\vec{F}_s = d\vec{F}/dS = -p\vec{e}_r$.

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

La résultante de ces forces surfaciques est :

$$ \vec{R} = \iint_{\delta D} -p(M)\vec{e}_r ds \\ \Rightarrow \vec{R} \cdot \vec{e}_z = \iint_{\delta D} -p(M)\vec{e}_r \cdot \vec{e}_z ds = 0 $$
Et le moment résultant est :

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

$$
\begin{align*}
\vec{M}^r(A) &= \iint_{\delta D} \vec{\overrightarrow{AM}} \wedge (-p(M)\vec{e}_r) ds \\
&= \iint_{\delta D} -(r\vec{e}_r + z\vec{e}_z) \wedge \vec{e}_r p(M) ds \\
&= \iint_{\delta D} -z\vec{e}_\theta p(M) ds \\
\Rightarrow \vec{M}^r(A) \cdot \vec{e}_z &= \iint_{\delta D} -z\vec{e}_\theta \cdot \vec{e}_z p(M) ds = 0
\end{align*}
$$

D'où la forme générale du torseur des efforts transmissible par la liaison
pivot glissant :

$$
\mathcal{T} = \{ \vec{R} \perp \vec{e}_z, \vec{M}^r(A) \perp \vec{e}_z \}
$$

On retrouve le même résultat, mais avec plus de travail !
## 7.2 Liaison glissière

* la surface de contact est un cylindre de base non circulaire et d'axe $(A, \vec{u})$

* le mouvement possible est un translation d'axe $\vec{u}$.

Torseur cinématique virtuel :

$$ \{C^*\} = \{\vec{0}, v^*\vec{u}\} $$

Torseur des efforts transmissibles :

$$ \{\mathcal{F}\} = \{\vec{R} \perp \vec{u}, \vec{M}^r(A)\} $$

<figure><img src="image_82.png" /></figure>
## 7.3 Liaison pivot

* la surface de contact est un cylindre de révolution de génératrice non droite et d'axe $\vec{u}$

* le mouvement possible est une rotation d'axe $\vec{u}$.

Torseur cinématique virtuel :

$$ \{C^*\} = \{\omega^* \vec{u}, \vec{0}\} $$

Torseur des efforts transmissibles :

$$ \{\mathcal{F}\} = \{\vec{R}, \vec{M}^r(A) \perp \vec{u}\} $$

<figure><img src="image_83.png" /></figure>
## 7.4 Liaison pivot glissant

* la surface de contact est un cylindre de révolution de génératrice droite et d'axe $\vec{u}$

* les mouvements possibles sont une rotation et une translation d'axe $\vec{u}$.

Torseur cinématique virtuel :

$$ \{C^*\} = \{\omega^* \vec{u}, v^* \vec{u}\} $$

Torseur des efforts transmissibles :

$$ \{\mathcal{F}\} = \{\vec{R} \perp \vec{u}, \vec{M}^r(A) \perp \vec{u}\} $$

<figure><img src="image_84.png" /></figure>
## 7.5 Liaison rotule

* la surface de contact est une sphère de centre A

* les mouvements possibles sont toutes les rotations de centre A
  Torseur cinématique virtuel :

<figure><img src="image_85.png" /></figure>

$$ \{C^*\} = \{\vec{\Omega}^*, \vec{0}\} $$

Torseur des efforts transmissibles :

$$ \{\mathcal{F}\} = \{\vec{R}, \vec{0}\} $$
7.6 Liaison linéaire-annulaire

* la ligne de contact est entre un cylindre de révolution d'axe ($A, \vec{u}$) et une sphère de centre A

* les mouvements possibles sont toutes les rotations de centre A et la translation selon $\vec{u}$

Torseur cinématique virtuel :

$$ \{C^*\} = \{\vec{\Omega}^*, v^*(A)\vec{u}\} $$

Torseur des efforts transmissibles :

$$ \{\mathcal{F}\} = \{\vec{R} \perp \vec{u}, \vec{0}\} $$

<figure><img src="image_86.png" /></figure>
## 7.7 Liaison hélicoïdale

* la surface de contact est une hélice d'axe ($A, \vec{u}$) et de pas $p$

* le mouvement possible est une rotation d'axe ($A, \vec{u}$), couplée avec la translation d'axe $\vec{u}$.

Torseur cinématique virtuel :

$$ \{C^*\} = \left\{ \omega^* \vec{u}, \frac{p\omega^*}{2\pi} \vec{u} \right\} $$

Torseur des efforts transmissibles :

$$ \{\mathcal{F}\} = \left\{ \vec{R}, \vec{M}^r(A) \right\} $$

$$ \vec{R} \cdot \vec{u} = -\frac{2\pi}{p} \vec{M}^r(A) \cdot \vec{u} $$

<figure><img src="image_87.png" /></figure>
Preuve :

Relation cinématique de l'hélice; un tour fait avancer de $p$ :

$$u = p \frac{\theta}{2\pi} \implies v = p \frac{\omega}{2\pi}$$

D'où le torseur cinématique virtuel :

$$\{\vec{\Omega}^*, \vec{V}^*(A)\} = \{\omega^* \vec{u}, p \frac{\omega^*}{2\pi} \vec{u}\}$$

Puissance virtuelle des efforts intérieurs :

$$ 
\begin{align*}
P^* &= \vec{R} \cdot p \frac{\omega^*}{2\pi} \vec{u} + \vec{M}^r(A) \cdot \omega^* \vec{u} = 0, \quad \forall \omega^* \\
\implies \vec{R} \cdot \vec{u} &= -\frac{2\pi}{p} \vec{M}^r(A) \cdot \vec{u}
\end{align*}
$$
## 7.8 Liaisons mécaniques en 2D

Liaison glissière d'axe (A, $\vec{u}$)

$$ \{C\} = \{\vec{0}, v^*(A)\vec{u}\} $$

$$ \{F\} = \{\vec{R} \perp \vec{u}, \vec{M}^r(A)\} $$

<figure><img src="image_88.png" /></figure>

Liaison pivot de centre A

$$ \{C\} = \{\omega^* \vec{e}_z, \vec{0}\} $$

$$ \{F\} = \{\vec{R}, \vec{0}\} $$

<figure><img src="image_89.png" /></figure>

Liaison contact ponctuel d'axe (A, $\vec{u}$)

$$ \{C\} = \{\omega^* \vec{e}_z, \vec{V}^*(A) \perp \vec{u}\} $$

$$ \{F\} = \{F\vec{u}, \vec{0}\} $$

<figure><img src="image_90.png" /></figure>
## 7.9 Degrés de liberté d'une liaison

### Le nombre *n* de degrés de liberté (DDL)

est le nombre de paramètres indépendants du torseur cinématique virtuel.

$$0 \le n \le 6 \quad (3D)$$

$$0 \le n \le 3 \quad (2D)$$

$$0 \le n \le 1 \quad (1D)$$

Pour les liaisons 3D nous avons :

* pivot glissant : {$v^*, \omega^*$} donc 2 DDL

* pivot : {$\omega^*$} donc 1 DDL

* rotule : {$\Omega_x^*, \Omega_y^*, \Omega_z^*$} donc 3 DDL

* hélicoïdale : {$v^*$} ou {$\omega^*$} donc 1 DDL

Remarque : *n* = 0 correspond à une liaison complète, les deux solides n'en forment qu'un ; *n* = 6 correspond à l'absence de liaison.
<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>Figure – Centre d'usinage < 5 axes »avec 5 degrés de liberté (licence CC BY 4.0)</figcaption></figure>
7.10 Introduction à l'hyperstatisme

<figure><img src="image_92.png" /></figure>

Un trusquin sert à tracer les pièces mécaniques avant leur usinage. Une lame est fixée sur une coulisse réglable. En déplaçant le trusquin sur une table, on trace une parallèle à la table (non représentée). La précision du trait obtenu est de l'ordre de 0,01 mm.

* la liaison globale entre la coulisse et la semelle est une liaison glissière

* elle est réalisée par une double colonne

* chaque colonne cylindrique passe au travers de la coulisse et réalise une liaison pivot-glissant
<figure><img src="image_93.png" /></figure>

* Le bâti est la pièce 0 et la coulisse est la pièce 1, $\vec{AB} = L\vec{e}_x$

* Sur la coulisse s'exerce un torseur des efforts extérieurs {$\mathcal{F}_e$}, supposé connu en A

* posons les composantes des torseurs des efforts extérieurs à la coulisse :

$$ \{\mathcal{F}_e\} = \begin{pmatrix} X_e & L_e \\ Y_e & M_e \\ Z_e & N_e \end{pmatrix}_A, \quad \{\mathcal{F}_a\} = \begin{pmatrix} X_a & L_a \\ Y_a & M_a \\ 0 & 0 \end{pmatrix}_A, \quad \{\mathcal{F}_b\} = \begin{pmatrix} X_b & L_b \\ Y_b & M_b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}_B $$

Déplaçons le dernier torseur en A pour poser le PFS :

$$ \begin{align*} \vec{M}_b^r(A) &= \vec{M}_b^r(B) + L\vec{e}_x \wedge \vec{R}_b \\ \Rightarrow \{\mathcal{F}_b\} &= \begin{Bmatrix} X_b & L_b \\ Y_b & M_b \\ 0 & L Y_b \end{Bmatrix}_A \end{align*} $$
Posons le théorème de la résultante sur la pièce 1 :

$$X_e + X_a + X_b = 0$$

$$Y_e + Y_a + Y_b = 0$$

$$Z_e = 0$$

* $Z_e = 0$ : la force extérieure est forcément nulle selon $\vec{e}_z$.

* sinon elle ferait bouger la coulisse, on ne serait plus en statique

* cette force est duale de la vitesse virtuelle selon $\vec{e}_z$

* cela indique que ce mécanisme est équivalent à une liaison glissière car il possède un degré de liberté de translation selon $\vec{e}_z$.
Posons le théorème du moment résultant sur la pièce 1, au point A :

$$L_e + L_a + L_b = 0$$

$$M_e + M_a + M_b = 0$$

$$N_e + L Y_b = 0$$

La dernière équation définit $Y_b$ et donc, par la planche précédente, $Y_a$. Au final, il reste trois équations pour six inconnues statiques :

$$X_e + X_a + X_b = 0$$

$$L_e + L_a + L_b = 0$$

$$M_e + M_a + M_b = 0$$

* Le rang de ce système est de 3, pour 6 inconnues. On dit que ce système est **hyperstatique de degré h = 3**.
Interprétation du degré d'hyperstatisme, sur l'équation $X_e + X_a + X_b = 0$

* des forces $X_b = -X_a$ peuvent exister dans le mécanisme même si l'on agit pas dessus, si $X_e = 0$

* Cela peut se produire pratiquement : il suffit que le mécanisme ait un défaut de fabrication, par exemple ici si les colonnes sont un peu trop rapprochées : le mécanisme va « forcer », sans action extérieure

* En réfléchissant un peu, on peut comprendre que des moments $L_b = -L_a$ et $M_b = -M_a$ peuvent exister de même à cause de défauts de parallélismes des colonnes.

<figure><img src="image_94.png" /></figure>
* l'hyperstatisme impose des pièces précises afin de ne pas générer des efforts intérieurs

* mais il est souvent employé en ingénierie car il augmente la rigidité des mécanismes

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Figure – Préparatifs de montage des coussinets sur un moteur thermique (Doc. Rheinmetall)</figcaption></figure>
# 8 Cordes et arches

## 8.1 Présentation

* Une corde est un solide unidimensionnel souple mais inextensible

* On considère des charges réparties selon x, dirigées selon y

* On recherche l'équation de la corde déformée $f(x)$ : le système n'est plus ici un solide rigide

<figure><img src="image_96.png" /></figure>

Cette partie est pour s'amuser, vous ne serez pas interrogés dessus
8.2 Équation d'équilibre local

<figure><img src="image_97.png" /></figure>

* On isole un élément différentiel de longueur projetée $dx$

* $\vec{N}(x)$ est défini comme la force de la partie $x^+$ sur la partie $x^-$

* Posons le théorème de la résultante :

$$ 
\begin{align*}
& \vec{N}(x + dx) - \vec{N}(x) + p(x)dx \vec{e}_y = 0 \\
\implies \quad & \frac{d\vec{N}}{dx} + p(x)\vec{e}_y = 0 \\
& \qquad \qquad \qquad \qquad (\cdot \vec{e}_x) \frac{dN_x}{dx} = 0 \implies N_x = N_0 \quad \text{(cste)} \\
& \qquad \qquad \qquad \qquad (\cdot \vec{e}_y) \frac{dN_y}{dx} + p(x) = 0 \quad (1)
\end{align*}
$$
<figure><img src="image_98.png" /></figure>

● abscisse curviligne s

● vecteur tangent $\vec{e}_s$.

Théorème du moment résultant en $(x, f(x))$ :

$$ \vec{0} \wedge \vec{N}(x) + ds\vec{e}_s \wedge \vec{N}(x + dx) + (ds/2)\vec{e}_s \wedge p(x)dx\vec{e}_y = \vec{0} $$

$$ \Rightarrow \vec{N} // \vec{e}_s \quad (0) \Rightarrow \begin{cases} N_0 \\ N_y \end{cases} = \lambda \begin{cases} dx \\ df \end{cases} \Rightarrow N_y = f'(x)N_0 \quad (2) $$

On élimine $N_y$ entre (1) et (2) et on obtient l'équation des cordes :

$$ N_0 f''(x) + p(x) = 0 \quad (\text{ED}) $$
## 8.3 Cas de la charge constante en x

<figure><img src="image_99.png" /></figure>

* On considère le cas $p(x) = p_0 = cst$

* C'est le cas pour le pont suspendu, négligeant le poids des câbles par rapport à celui du tablier : $p_0 = -\rho g$, où $\rho$ est la masse linéique du tablier

On injecte $p$ dans l'ED :

$$ 
\begin{aligned}
& N_0 f''(x) + p_0 = 0 \\
& f'' = -\frac{p_0}{N_0} \\
\implies \quad & f'(x) = -\frac{p_0}{N_0} (x - x_0)
\end{aligned}
$$

On choisit $x_0 = 0$, ce qui revient à définir l'origine à l'extremum.
D'où :

$$f(x) = -\frac{p_0}{N_0} \frac{x^2}{2} + y_0$$

On choisit $y_0 = 0$. La forme obtenue est une parabole.

<figure><img src="image_100.png" /></figure>

La tension dans le câble est :

$$\|\vec{N}\| = \sqrt{N_x^2 + N_y^2}, \\ \Rightarrow \quad \|\vec{N}\| = \sqrt{N_0^2 + (f'(x)N_0)^2} = \sqrt{N_0^2 + (p_0x)^2}$$

Elle est maximale aux ancrages et minimale au milieu.
Si on choisit une tension $N_0 < 0$, l'objet ne peut plus être flexible. On parle alors d'arche, qui possède une rigidité en flexion, bien qu'il n'y ait pas de moment à supporter, mais qui assure la stabilité.

<figure><img src="image_101.png" /></figure>

Le chargement pourrait être celui de la maçonnerie portée par l'arche. On remarque la proximité de cet arc optimal avec l'arc gothique, moins avec l'arc roman. La direction des forces de poussée est tangente à la courbe.
La direction des forces de poussée justifie la présence des arcs-boutants sur les structures gothiques telles cette cathédrale :

<figure><img src="image_102.png" /></figure>
## 8.4 Cas de la charge linéique constante en s

<figure><img src="image_103.png" /></figure>

* On considère le cas $p(s) = p_0 = stc$ : la charge est constante par unité de longueur de la corde

* C'est le cas d'un câble pesant pour lequel $p_0 = -\rho g$, où $\rho$ est la masse linéique du câble

La fonction $s(x)$ est donnée par la relation de Pythagore :

$$ 
\begin{align*} 
ds^2 &= df^2 + dx^2 \\ 
\frac{ds}{dx} &= \sqrt{1 + \left(\frac{df}{dx}\right)^2} \\ 
\Rightarrow s(x) &= \int_0^x \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx 
\end{align*} 
$$
Calculs maintenant la charge $p$ en fonction de $x$ :

$$ 
\begin{aligned}
p(x)dx &= p(s)ds \\
p(x) &= p_0 \frac{ds}{dx} \\
\implies p(x) &= p_0 \sqrt{1 + f'(x)^2}
\end{aligned}
$$

Et on injecte cette forme dans l'ED et l'on pose $F = f'$

$$ 
\begin{aligned}
N_0 f''(x) + p_0 \sqrt{1 + f'(x)^2} &= 0 \\
N_0 F'(x) + p_0 \sqrt{1 + F(x)^2} &= 0 \\
\implies \frac{F'}{\sqrt{1 + F^2}} &= -\frac{p_0}{N_0} \quad (3)
\end{aligned}
$$
Afin de trouver le forme du câble, c'est à dire $f(x)$, on intègre cette relation.

$$ 
\begin{align*}
\arg\sh(F) &= -\frac{p_0}{N_0}(x - x_0) \\
f' &= F = \sh\left(-\frac{p_0}{N_0}(x - x_0)\right) \quad (4) \\
\implies f &= -\frac{N_0}{p_0}\ch\left(-\frac{p_0}{N_0}(x - x_0)\right) + y_0
\end{align*}
$$

En calant les constantes ($x_0, y_0$) sur le point $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$ :

$$ f(x) = \frac{N_0}{p_0} \left( 1 - \ch\left(\frac{p_0}{N_0}x\right) \right) $$

<figure><img src="image_104.png" /></figure>

Cette courbe s'appelle une **chaînette** (ici avec $p_0 < 0$ et $N_0 > 0$). Elle a été découverte indépendamment par Leibniz, Bernoulli et Huygens en 1691.
La tension du câble est, par (2), le vecteur (tangent à la chainette) :

$$ \vec{N} = (N_0, N_0 f') $$

où $f'$ est connue par (4). Sa norme est :

$$ \begin{align*} \|\vec{N}\| &= |N_0| \sqrt{1 + \mathrm{sh}^2\left(-\frac{p_0}{N_0}x\right)} \\ &= |N_0| \sqrt{1 + \mathrm{sh}^2\left(\frac{p_0}{N_0}x\right)} \\ &= |N_0| \mathrm{ch}\left(\frac{p_0}{N_0}x\right) \end{align*} $$

Elle est maximale là où $x$ est maximal, c'est à dire à l'ancrage en $x = a$.

Elle est minimale en $x = 0$, c'est à dire au point O, à l'extremum.
On cherche en général à minimiser la tension maximale du câble (en $x = a$ donc) afin de diminuer le prix de la structure. On cherche le min en $N_0$ par :

$$ 
\begin{gather*}
\frac{d\|\vec{N}(a)\|}{d|N_0|} = \operatorname{ch}\left(\frac{p_0 a}{|N_0|}\right) + |N_0|\operatorname{sh}\left(\frac{p_0 a}{|N_0|}\right) \left(-\frac{p_0 a}{|N_0|^2}\right) = 0 \\
\implies \operatorname{tanh}\left(\frac{p_0 a}{|N_0|}\right) = \frac{1}{\frac{p_0 a}{|N_0|}}
\end{gather*}
$$

Le signe de $p_0$ n'intervient pas car les deux fonctions sont impaires. Cette équation se résout numériquement :

<figure><img src="image_105.png" /></figure>
la valeur qui minimise la tension $||\vec{N}(a)||$ est :

$$ \left| \frac{p_0 a}{N_0} \right| \approx 1,1997 \approx 1,2 $$

elle correspond à une flèche de :

$$ \frac{b}{a} = \frac{1}{1,2} (\mathrm{ch}(1,2) - 1) \approx 0,6753 $$

et voici l'allure obtenue :

<figure><img src="image_106.png" /></figure>
La longueur $L$ de la chaînette est donnée par le PFS appliqué au tronçon $[0, a]$ de la corde, en résultante selon $y$, en remarquant que la tension $\bar{T}(0)$ est horizontale :

$$ 
\begin{align*}
p_0 L + N_y(a) &= 0 \\
p_0 L - N_0 \frac{\mathrm{sh}(p_0 a / N_0)}{\mathrm{sh}(N_0)} &= 0 \\
\implies L &= \frac{N_0}{p_0} \mathrm{sh} \left( \frac{p_0 a}{N_0} \right)
\end{align*}
$$

Quelques chainettes en tension ($p_0 < 0, N_0 > 0$) :

<figure><img src="image_107.png" /></figure>

<figure><img src="image_108.png" /></figure>

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

<figure><img src="image_110.png" /></figure>
Quelques chainettes en compression ($p_0 < 0, N_0 < 0$). Comme pour le cas précédent, cela correspond à une structure en compression. Pour être stable, elle doit être rigide même si, en théorie, elle ne supporte aucun moment.

<figure><img src="image_111.png" /></figure>

<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>À gauche : gare Keleti, Budapest (Hongrie), année 1884.
À droite : Gateway Arch, Saint Louis, (Missouri, USA) 192 m, année 1968.</figcaption></figure>
Les records du monde d'arches auto-portantes :

<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>À gauche : palais Taq-e Kisra, Bagdad (Irak), 27x37x50 m, maçonnerie en brique, année 540 environ</figcaption></figure>

<caption>À droite : CNIT, Paris la Défense, 218x189x46m, béton armé de 6cm d'épaisseur, année 1958</caption>