Reflections on new sets of numbers (draft)

Stephane Le Corre

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Stephane Le Corre. Reflections on new sets of numbers (draft). 2025. hal-05286992

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Preprint submitted on 27 Sep 2025

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# Reflections on new sets of numbers (draft)

Stephane Le Corre

**Abstract.** The study proposed in this article initiates the establishment of new sets of numbers. Starting from a simple hypothesis, the elements presented in this short study nevertheless show no contradiction. These sets therefore appear consistent. They seem interesting for several reasons. In the context of prime numbers, they provide an innovative addressing of prime numbers. In that of arithmetic more generally, they suggest the existence of new numbers or rather a new “filiation” between the different sets of numbers ($\mathbb{N}^*$, $\mathbb{Q}^{+*},...$). This study also proposes an extension of the method by induction.

A French version (original text) of this text can be found at the end of the article.

## 1. Introduction

The idea behind the sets of numbers that will be proposed in this article comes from a reflection on algebraic structures that was proposed in the following article [1]. The aim was to find alternative sets to complex numbers that verify the algebraic structures proposed in [1]. But the knowledge of these structures is not necessary for the presentation of these sets discussed here. We just need to know that the sets that we are going to construct, in addition to the traditional rules on addition and multiplication operations in $\mathbb{N}^*$, must verify the following operating rules of exponentiation:

$$ \forall a \neq 0 \{a^b a^c = a^{b+c}; (a^b)^c = a^{bc} = a^{cb} = (a^c)^b; a^0 = 1; (ab)^c = a^c b^c\} \quad (1.1) $$

For the rest of the text, in the expression “$a^b$” the word “base” represents “a” and the words “power” or “exponent” represent “b”.

In this article, we will study sets of numbers constructed from non-zero natural numbers $\mathbb{N}^*$, relative integers $\mathbb{Z}$ and non-zero positive rational numbers $\mathbb{Q}^{+*}$. But at the end of this study, it will be quite natural to imagine other sets of numbers constructed from real numbers $\mathbb{R}$, complex numbers $\mathbb{C}$ or other sets of numbers.

The main points of this study are found in particular in §3 for an original construction of $\mathbb{N}^*$, in §5 which provides an original approach to prime numbers and §8 which proposes the creation of new numbers or a new filiation of sets of numbers.

<footnote>Mathematics Subject Classification 2020: 11-01 (primary); 11Axx (secondary).</footnote>

<footnote>Keywords: Number theory, Algebraic structure, Cantor algebra.</footnote>
## 2. Definition of the set $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$

The idea is to construct numbers that can be written in the form $a^b$. First, we will have the base $a \in \mathbb{N}^*$ and the exponent $b \in \mathbb{N}$. Consequently, we will denote $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$ as our first set of non-zero natural numbers. This notation will allow us to distinguish between the different sets of numbers that we will construct because the set of definition of the exponent will be distinguished from the set of the base.

Let's start by listing the subsets of $\mathbb{N}^*$ defined on the powers of a prime number $p_i$ where the index $i$ indicates the $i$th prime number. The prime numbers are ordered in ascending order ($p_{i+1} > p_i$):

<table><thead><tr><th>Prime Nb \ Power</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>...</th></tr></thead><tbody><tr><td>$p_1 = 2$</td><td>$2^0$</td><td>$2^1$</td><td>$2^2$</td><td>$2^3$</td><td>$2^4$</td><td>...</td></tr><tr><td>$p_2 = 3$</td><td>$3^0$</td><td>$3^1$</td><td>$3^2$</td><td>$3^3$</td><td>$3^4$</td><td>...</td></tr><tr><td>$p_3 = 5$</td><td>$5^0$</td><td>$5^1$</td><td>$5^2$</td><td>$5^3$</td><td>$5^4$</td><td>...</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr></tbody></table>

Let us now introduce our two hypotheses that will be the subject of our study. For that, we will use an operator that we will denote $\omega$, in reference to the transfinite number introduced by Cantor [2], the first number coming after all the integers $\mathbb{N}$. This operator acts on the base and is positioned as an exponent because. As we will demonstrate, it follows the rules 1.1. At the end of our study, we will give it explicit values. It is therefore a priori different from the ordinal number, but its introduction and use will strongly reminds this ordinal number. We postulate the following two hypotheses:

**Proposition 2.1.** On the one hand, we enrich $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$ with an operator $\omega$. This enrichment is carried out only for the power, the exponent. We will denote this new set $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$, where the exponent is defined in $\mathbb{N}_\omega$ (we will specify a little later what the elements of $\mathbb{N}_\omega$ are):

<table><thead><tr><th>Prime Nb \ Power</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>...</th><th>ω</th></tr></thead><tbody><tr><td>$p_1 = 2$</td><td>$2^0$</td><td>$2^1$</td><td>$2^2$</td><td>$2^3$</td><td>$2^4$</td><td>...</td><td>$2^\omega$</td></tr><tr><td>$p_2 = 3$</td><td>$3^0$</td><td>$3^1$</td><td>$3^2$</td><td>$3^3$</td><td>$3^4$</td><td>...</td><td>$3^\omega$</td></tr><tr><td>$p_3 = 5$</td><td>$5^0$</td><td>$5^1$</td><td>$5^2$</td><td>$5^3$</td><td>$5^4$</td><td>...</td><td>$5^\omega$</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr></tbody></table>

**Remark 2.1.** The appearance of these numbers $p_i^\omega$ (beyond any integer power) is at first glance similar to adding the first number coming after all the integers $\mathbb{N}$, which is why this operator is notated $\omega$.
**Proposition 2.2.** And on the other hand we postulate that $p_i^\omega = p_{i+1}$:

<table><thead><tr><th>Prime Nb \ Power</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>...</th><th>&omega;</th></tr></thead><tbody><tr><td>p<sub>1</sub> = 2</td><td>2<sup>0</sup></td><td>2<sup>1</sup></td><td>2<sup>2</sup></td><td>2<sup>3</sup></td><td>2<sup>4</sup></td><td>...</td><td>2<sup>&omega;</sup> = 3</td></tr><tr><td>p<sub>2</sub> = 3 = 2<sup>&omega;</sup></td><td>3<sup>0</sup></td><td>3<sup>1</sup></td><td>3<sup>2</sup></td><td>3<sup>3</sup></td><td>3<sup>4</sup></td><td>...</td><td>3<sup>&omega;</sup> = 5</td></tr><tr><td>p<sub>3</sub> = 5 = 3<sup>&omega;</sup></td><td>5<sup>0</sup></td><td>5<sup>1</sup></td><td>5<sup>2</sup></td><td>5<sup>3</sup></td><td>5<sup>4</sup></td><td>...</td><td>5<sup>&omega;</sup> = 7</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr></tbody></table>

**Remark 2.2.** The introduction of this notation $p_i^\omega = p_{i+1}$ implies that the power “$\omega$” is an operator that translates to “successor prime number”, this is why $\omega$ is an operator rather than the first number coming after all the integers $\mathbb{N}$. Moreover, the classical logarithm does not apply to numbers involving the operator $\omega$, otherwise we would have: $\omega = \ln 3 / \ln 2 = \ln 5 / \ln 3 = (\ln p_{i+1}) / (\ln p_i)$, but we will see at the end of the study that we can obtain expressions for operators based on $\omega$.

**Remark 2.3.** Our hypotheses are similar to decimal decompositions in which any integer “n” can either be written as an infinite sequence of decimals starting from “n - 1”, or in finite form “n”. For example, for $n = 3$, we have 2.99999... = 3. We will see later that our sets define a new form of positional numeration.

Let's start by describing the elements of our set $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ which will, incidentally, help us give meaning to our operator 2.2.

### 3. About the elements of $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$

To begin with, it is important to emphasize that, in our set $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$, the basis “a” of our elements “$a^b$” is neither zero nor an operator, i.e. $a \neq 0$ and $a \neq \omega$, $a \in \mathbb{N}^*$.

**Lemma 3.1.** $\mathbb{N}^* \subset \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$

By construction, all prime numbers and their powers are elements of $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ (see the table of proposition 2.2). It remains to verify that the other integers (non-prime numbers produced by different prime numbers) are indeed included in this set. According to the fundamental theorem of arithmetic [4], any non-zero integer can be written in the form of a product of prime numbers. Since $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ follows the composition law of the multiplication of $\mathbb{N}^*$, we deduce that any product of prime numbers and therefore that any non-zero integer of $\mathbb{N}^*$ is an element of $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ or $\mathbb{N}^* \subset \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$.

**Lemma 3.2.** $\mathbb{N}^* \supset \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$
By construction, the numbers $a^b$ in $\mathbb{N}^{*}\mathbb{N}_{\omega}$ that might not be natural numbers are the integers involving $\omega$ in their power. Now the proposition 2.2 ensures that any prime number to the power $\omega$ is the successor prime number. Since there are countably many prime numbers, this proposition 2.2 is always true. This allows us to demonstrate that lemma 3.2 is verified.

These two lemmas 3.1 and 3.2 allow us to demonstrate the following theorem:

**Theorem 3.1.** $\mathbb{N}^* = \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$

We can demonstrate this theorem in another way that will be instructive because it will enlighten us on the interest of our set and on the meaning of our proposition 2.2. Indeed, before approaching $\mathbb{N}^{*}\mathbb{N}_{\omega}$ in its entirety, we can construct it step by step by recurrence by only considering the multiplication (the integer powers of a term then being only a condensed writing of the multiplication of this same term). Starting from the restricted set $2^{\mathbb{N}}$ whose elements can only be written with a base "2", we constitute the set $\{2^0, 2^1, 2^2, \dots\}$ where the symbol "..." represents the set of powers of 2 when this power runs through $\mathbb{N}$ in its entirety. To move on to the set $2^{\mathbb{N}_{\omega}}$, we enrich this set (of integer powers of 2) with the element $2^{\omega}$ which then addresses the first number which is not an integer power of 2 and therefore which is not part of $2^{\mathbb{N}}$. We then complete this set with this new number as an authorized base. The set then becomes $\{2, 2^{\omega}\}^{\mathbb{N}} = 2^{\mathbb{N}_{\omega}}$. It is made up of the elements $\{2^0, 2^1, 2^2, \dots, (2^{\omega})^0, (2^{\omega})^1, (2^{\omega})^2, \dots\}$ where the symbol "..." has the same meaning as before to which are added the combinations of these terms, i.e. $2^n(2^{\omega})^m$, but for better readability and understanding, we do not write them. Again, the next number that is not an integer power of $2^{\omega}$ is $(2^{\omega})^{\omega} = 2^{\omega^2}$, which is the element we will use to enrich the base again. By induction, we can thus construct the set $\{2, 2^{\omega}, 2^{\omega^2}, \dots\}^{\mathbb{N}} = \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_{\omega}}$. According to the meaning of the symbol "...", the generic term of the base is $2^{\omega^n}$ with $n \in \mathbb{N}$. By identifying $2^{\omega^n}$ with the $(n-1)$th prime number, which is what our proposition 2.2 achieves, we then have $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_{\omega}} = \mathbb{N}^*$.

We thus find the previous lemmas, but this clarifies both the proposition 2.2 and also the set $\mathbb{N}^{*}\mathbb{N}_{\omega}$. Indeed, from this point of view, we can say that our set $\mathbb{N}^{*}\mathbb{N}_{\omega}$ gives a new notation of integers, a structured "notation" from the two elements 2 and the operator $\omega$. Rather than inventing signs "3", "5"... which have no meaning in themselves, which have no mathematical etymology in any way, we have here a procedure to name them, to identify them "2$^{\omega}$" for "3", "$2^{\omega}\omega = 2^{\omega^2}$" for "5"... This point of view will also be justified and generalized with the theorem 5.1.

**Remark 3.1.** We can see our set $\mathbb{N}^{*}\mathbb{N}_{\omega}$ as a way of reordering $\mathbb{N}^*$ according to the order of the prime numbers and their powers. The prime numbers become the backbone around which the set $\mathbb{N}^{*}\mathbb{N}_{\omega}$ is built, whereas it is rather the counting, the succession "$n+1$", which characterizes the set $\mathbb{N}^*$.

Let us now see how the law of multiplicative composition behaves in this set.
## 4. Multiplication in the set $N^*N_\omega$

Since $N^* = N^*N_\omega$, let us verify that the passage to the power $\omega$ (to $p_i^\omega$) maintains the consistency of the multiplication in $N^*N_\omega$ and in particular of the exponentiation rules seen in the introduction.

**Remark 4.1.** The consistency of this passage to $p_i^\omega$ is not trivial. Indeed, if $p_i^\omega$ no longer meant the successor prime number but the successor integer "$p_i^\omega = p_i + 1$", this set would no longer be consistent with respect to multiplication because we would have on the one hand $(2 \times 3)^\omega = (2 \times 3) + 1 = 7$ and on the other hand $(2 \times 3)^\omega = (2^\omega)(3^\omega) = (2+1)(3+1) = 12 \neq (2 \times 3) + 1$.

To do this, let's check that $(p_i^\omega)^b = (p_i^b)^\omega = p_i^{b\omega}$:

$$ (p_i^\omega)^b = (p_{i+1})^b \quad (4.1) $$

$$ (p_i^b)^\omega = (p_i \dots p_i)^\omega = (p_i^\omega \dots p_i^\omega) = (p_{i+1} \dots p_{i+1}) = (p_{i+1})^b \quad (4.2) $$

$$ p_i^{b\omega} = p_i^{\omega\dots\omega} = (p_i^\omega \dots p_i^\omega) = (p_{i+1} \dots p_{i+1}) = (p_{i+1})^b \quad (4.3) $$

In these equalities, the symbol "..." represents the $b$ occurrences of the terms surrounding it. We used the proposition 2.2 and the power rules 1.1 seen in the introduction verified by the elements of $N^*$.

It can also be shown that $(p_i^\omega)^b (p_i^\omega)^c = (p_i^\omega)^{b+c}$:

$$ (p_i^\omega)^b (p_i^\omega)^c = (p_{i+1})^b (p_{i+1})^c \quad (4.4) $$

$$ = p_{i+1}^{b+c} = (p_i^\omega)^{b+c} \quad (4.5) $$

We used the proposition 2.2 for the first and third equality and the power rules 1.1 for the second equality.

We can continue to demonstrate in the same way that the other power rules already verified by $N^*$ propagate well to the set $N^*N_\omega$.

It may nevertheless be interesting to demonstrate the two rules which use two exponents when they are both equal to $\omega$.

For $p_i^\omega p_i^\omega = p_i^{\omega+\omega} = p_i^{2\omega}$:

$$ p_i^\omega p_i^\omega = p_{i+1} p_{i+1} \quad (4.6) $$

$$ p_i^{2\omega} = (p_i^\omega)^2 = p_{i+1}^2 = p_{i+1} p_{i+1} \quad (4.7) $$

$$ p_i^{\omega+\omega} = p_i \dots p_i p_i \dots p_i = (p_i \dots p_i)(p_i \dots p_i) = p_i^\omega p_i^\omega \quad (4.8) $$

In these equalities, the symbol "..." represents the $\omega$ occurrences of the terms surrounding it. The penultimate equality indicates that the $\omega + \omega$ terms have been grouped into 2 "packets" (the parentheses) of $\omega$ terms. For the first equality of the second relation, we used the first rule demonstrated previously.
For $(p_i^\omega)^\omega = p_i^{\omega\omega} = p_i^{\omega^2}$:

$$ (p_i^\omega)^\omega = (p_{i+1})^\omega = p_{i+1} \dots p_{i+1} \qquad (4.9) $$

$$ p_i^{\omega\omega} = (p_i \dots p_i) \dots (p_i \dots p_i) = (p_i^\omega) \dots (p_i^\omega) = p_{i+1} \dots p_{i+1} \qquad (4.10) $$

$$ p_i^{\omega^2} = p_i \cdots \times \cdots p_i = (p_i \dots p_i) \dots (p_i \dots p_i) = p_i^{\omega\omega} \qquad (4.11) $$

In these equalities, the symbol “...” represents the $\omega$ occurrences of the terms surrounding it and “... $\times \dots$” represents the $\omega^2$ occurrences of the terms surrounding it. The penultimate equality indicates that the $\omega^2$ terms have been gathered into $\omega$ “packets” (the parentheses) of $\omega$ terms.

We can therefore conclude that the multiplication in $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$ is consistent with the calculation rules in $\mathbb{N}^*$.

Concretely in $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$, we have for example:

$$ 6 = 2 \times 3 = 2 \times 2^\omega = 2^{\omega+1} \qquad (4.12) $$

$$ 15 = 3 \times 5 = 3 \times 3^\omega = 3^{\omega+1} \qquad (4.13) $$

$$ 6 \times 15 = 2^{\omega+1} \times 3^{\omega+1} = (2 \times 3)^{\omega+1} = 6^{\omega+1} = 6^\omega \times 6 \qquad (4.14) $$

But on the other hand we also find in a coherent manner:

$$ 6^\omega = (2^{\omega+1})^\omega = (2^\omega)^{\omega+1} = (3)^{\omega+1} = 3^\omega \times 3 = 5 \times 3 = 15 \qquad (4.15) $$

$$ 6 \times 15 = 2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 3^\omega = 2 \times 3^{\omega+2} = 2 \times 3^{\omega+1} \times 3 = 6 \times 3^{\omega+1} \qquad (4.16) $$

Furthermore, using the power rules 1.1, on the power $\omega$ (for example $(a^\omega)^\omega = a^{\omega^2}$ as demonstrated previously), we also have, in a manner consistent with the above:

$$ 6^\omega = (2^{\omega+1})^\omega = 2^{\omega^2+\omega} = 2^{\omega^2} 2^\omega = (2^\omega)^\omega \times 3 = 3^\omega \times 3 = 5 \times 3 = 15 \qquad (4.17) $$

## 5. Writing and order number of the elements of $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$

As we saw in the iterative construction of $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$, any prime number can be written from a single prime number as a base under the exponent. Thus we have:

$$ 5 = 3^\omega = (2^\omega)^\omega = 2^{2\omega} \qquad (5.1) $$

$$ 11 = 7^\omega = (5^\omega)^\omega = ((3^\omega)^\omega)^\omega = (((2^\omega)^\omega)^\omega)^\omega = 2^{\omega^4} \qquad (5.2) $$

We thus obtain an important property of our set. We can address any prime number by its order number without even knowing its value.

If we use the base 2, the nth prime number is $2^{\omega^{(n-1)}}$. For another prime number as base, it is the order number (with respect to this prime number) that changes, but the addressing property is still true. We deduce that any prime number can be written as a power of $\omega$:
$p_j = p_i^{\omega^n}$ and in particular according to the definition of the index $i$ (see table of proposition 2.2) $n = j - i$.

More precisely, for any prime number, we have by recurrence:

$$p_i^{\omega} = p_{i+1}; (p_i^{\omega})^{\omega} = (p_{i+1})^{\omega} = p_{i+2} = p_i^{\omega^2}; p_{i+n} = p_i^{\omega^n} \quad (5.3)$$

Hence the following property (for $n = j - i$):

**Lemma 5.1.** The $(j-i)$th prime number after $p_i$ is $p_j = p_i^{\omega^{j-i}}$. In particular for $i = 1$ and $j = n$, the nth prime number is $p_n = 2^{\omega^{n-1}}$.

From lemma 5.1 and the fundamental theorem of arithmetic, we deduce that any integer can be written for a base $p_j$ in the form of a polynomial exponent in $\omega$:

**Lemma 5.2.**

$$\forall n \in \mathbb{N}^{*\mathbb{N}\omega}, \forall p_j \in \mathbb{N}^*, \exists a_k \in \mathbb{N}, n = (p_j)^{\sum a_k \omega^k} \quad (5.4)$$

**Remark 5.1.** In our notation, the set $\mathbb{N}_\omega$ (the exponents $b$ of $a^b$) consists of the polynomials in $\omega$ with coefficients in $\mathbb{N}$.

And in particular, this important theorem for $p_j = p_1 = 2$:

**Theorem 5.1.**

$$\forall n \in \mathbb{N}^{*\mathbb{N}\omega}, \exists a_k \in \mathbb{N}, n = 2^{\sum a_k \omega^k} \quad (5.5)$$

Multiplying the integers in $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}\omega}$ then amounts to an addition on the polynomials of $\omega$ (for the powers of the same base of prime number $p_j$).

This theorem is nothing more or less than a rewriting of the fundamental theorem of arithmetic, where the polynomial in $\omega$ characterizes the decomposition into prime numbers. The $\omega$ (with their powers) represent the changes in prime numbers and the coefficients in front of $\omega$, the powers over these prime numbers:

$$2^{2.54} = 2^{2\omega^0+0\omega^1+4\omega^2+0\omega^3+...}$$

These polynomials in $\omega$ ultimately define a positional numbering system on a countable infinite base $\mathbb{N}$. Concretely, we have the base $\mathbb{N}$ instead of, for example, a base 10. And in this case, instead of the “units” we have the coefficients of $\omega^0$, instead of the “tens” we have the coefficients of $\omega^1$, etc. This corresponds, in the classical version of the fundamental theorem of arithmetic, for the number of units, to the power of $2^{\omega^0} = 2$, for the number of “tens”, to the power of $2^{\omega^1} = 3$, for the number of “hundreds”, to the power of $2^{\omega^2} = 5$, etc. This point of view, in the form of positional numeration, shows quite naturally the uniqueness of the decomposition. To each numeration in $\omega$ in $\mathbb{N}_\omega$ (i.e. the polynomials in $\omega$) corresponds a unique natural integer in $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}\omega} = \mathbb{N}^*$.
**Remark 5.2.** With the theorem 5.1, we find the construction of $N^* = N^{*N_\omega}$ seen in §3.

**Lemma 5.3.** For non-prime integers $n, n^\omega$ is a non-prime integer.

This is deduced from the decomposition into prime number factors and the application of the power $\omega$ which gives a new decomposition into prime number factors (with as many prime numbers).

We remind you that we also have:

**Lemma 5.4.** For prime integers $p_i$, $p_i^{\omega_i}$ is a prime integer.

This follows directly from the proposition 2.2 and the countable infinity of the number of prime numbers.

It follows that the successive application of the power $\omega$ on the prime number 2, gives all the prime numbers (lemma 5.4) and only the prime numbers (lemma 5.3).

**Remark 5.3.** The number 1 is not a prime number in our notation because from $2^\omega = 3$ we have on the one hand $(2^\omega)^0 = 3^0 = 1$ and on the other hand $(2^\omega)^0 = (2^0)^\omega = 1^\omega$. We deduce that we have $1^\omega = 1$. The successor number of 1 is itself. It has no prime successor, it cannot be integrated into the infinite and complete list, with all different members, of the table of proposition 2.2 and it cannot be a base by which we obtain a new prime number (cf. lemma 5.1).

From lemmas 5.3 and 5.4, we can also deduce:

**Lemma 5.5.** $\forall n \in N^{*N_\omega}, n^\omega \in N^{*N_\omega}$.

**Remark 5.4.** In the relation $p_n = 2^{\omega^{n-1}}$, we might be tempted to set $n = \omega + 1$, we would then have $p_{1+\omega} = p_1^{\omega\omega} = 2^{2^\omega}$. But we will note that this writing poses a problem in terms of interpretation. Since $\omega$ is an operator that is put in power of an integer, the writing $\omega^\omega$ does not a priori make sense in $N_\omega$ and therefore in $N^{*N_\omega}$. But also the prime number $p_{1+\omega}$, and even simply $p_\omega$, indicates by its index that it is a number beyond the natural integers, which again reinforces our idea that this number is not an element of $N^* = N^{*N_\omega}$.

We deduce from this remark that:

**Lemma 5.6.** $2^{\omega\omega} \notin N^{*N_\omega}$.

We can then also demonstrate that:

**Lemma 5.7.** $\forall p_i$ prime number, $p_i^{\omega\omega} \notin N^{*N_\omega}$.

Indeed, from lemma 5.1, $p_i^{\omega\omega} = (2^{\omega^{i-1}})^{\omega\omega} = (2^{\omega\omega})^{\omega^{i-1}}$. With lemma 5.6, the contra-positive of lemma 5.5 and by induction on $i$, we obtain lemma 5.7.

And more generally, thanks to the fundamental theorem of arithmetic:

**Lemma 5.8.** $\forall n \in N^*, n^{\omega\omega} \notin N^{*N_\omega}$.
## 6. Interest of the set $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$

At this stage of our study, we already have some interesting elements that allow us to make an initial assessment of $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ and to imagine what this set could bring.

A first remarkable point is that it allows to address prime numbers without knowing their explicit value but only their order. Thus, the $N$th prime number in this set is “explicitly” $2^{\omega^{N-1}}$. And in this notation, “$N-1$”, is more than a simple index unlike “$p_{N-1}$” because, through $\omega$, it becomes a real exponent which follows the rules of calculation of $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ (addition, multiplication and power). But also, when we write for example $11 = 2^{\omega^4}$, we can wonder if sometimes it would not be interesting to know that it is the 5th prime number (thanks to the 4 in power of $\omega$) rather than simply 11 (which does not contain this information in its writing). This certainly depends on the context because, on the other hand, the order in $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ is indeed different from the order in $\mathbb{N}^*$, i.e. the order from the multiple coefficients of the polynomial in $\omega$ does not give the order in “$n+1$” (i.e. according to a single parameter). In any case, this is a new possibility that our set offers. We can also note the following lemma on the order of prime numbers which follows from the proposition 2.2.

**Lemma 6.1.** If $n > m$, $p_i^{\omega^n} > p_i^{\omega^m}$.

There are also many conjectures that use the number of prime numbers less than a given number. Our notation could be interesting to express it concretely, especially if the given number is a prime number, because as we saw before (lemma 5.1), we have $(j-i)$ prime number(s) between $p_i$ and $p_j = p_i^{\omega^{j-i}}$ or $(n-1)$ prime number(s) between 2 and $2^{\omega^n}$ or between $2^{\omega^i}$ and $2^{\omega^{i+n}}$.

Since $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega} = \mathbb{N}^*$, the addition is effective in $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$. We can then write in this set many conjectures on prime numbers in an interesting way, such as for example on twin numbers:

**Conjecture 6.1.** Whatever the integer $N$, there exists $n > N$ which verifies $2^{\omega^{n+1}} - 2^{\omega^n} = 2 = 3^{\omega^n} - 2^{\omega^n}$.

We can also propose an even more general conjecture (Polignac conjecture):

**Conjecture 6.2.** Whatever the integer $k$, whatever the integer $N$, there exists $n > N$ which verifies $2^{\omega^{n+1}} - 2^{\omega^n} = 2^k = 3^{\omega^n} - 2^{\omega^n}$.

Following on from what we have just said, we could thus concretely try to obtain directly the rank (the order number) of a prime number, i.e. whatever $p$ is a prime number, what is its rank $N$ such that $p = 2^{\omega^N}$, which could give rise to a new function similar to the natural logarithm "$\ln_2\omega(p) = N$" (but which is here a "power of power"). This perhaps implies seeing if there exists a "procedure of order" on the exponents of $\omega$ or on the polynomials in $\omega$ or a procedure to predict the appearance of monomial powers $\omega^n$, i.e. prime numbers. But such a function still seems difficult to imagine because it would allow us to know whether a number is prime, which is already a difficult problem, but it would also give the information
that it is the $N$th prime number, a problem certainly just as difficult. And for a non-prime number, what result would such a function give? A non-integer number?

Another interest could also be the link that our set $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ makes with positional numeration as we saw for theorem 5.1.

This section concludes the first part of our study, which resulted in the establishment of a new set of numbers. In the second part, independent of these results but continuing their development, we will now expand this set to define new ones. We will even create new numbers.

**7. Inversion of the multiplication of $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$, on the way to $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega}$**

We can make a first generalization of our structure by relying on negative powers, i.e. on negative ordinals, which then give a non-zero positive rational basis. We therefore name this set $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega}$. This responds to the fairly natural need to give meaning to relationships such as:

$$15 = 3 \times 5 = 3^{1+\omega} \Rightarrow 3 = \frac{15}{5} = \frac{3^{\omega+1}}{3^{\omega}} = 3^{\omega+1-\omega} = 3 \quad (7.1)$$

Traditionally, we construct $\mathbb{Q}^{+*}$ from $\mathbb{N}^*$ by providing the multiplication with a group structure, that is, we enrich $\mathbb{N}^*$ with the inverses "$n^{-1}$". In other words, for each $p_i \in \mathbb{N}^*$, there exists a term $p_i^{-1} \in \mathbb{Q}^{+*}$. This amounts to adding to the table of proposition 2.2, the new basic elements belonging to the rationals $\mathbb{Q}^{+*}$ such that:

$$3^{-1} = 2^{-\omega} = \frac{1}{2^{\omega}} = \frac{1}{2} \frac{1}{2} \dots \frac{1}{2} \quad (7.2)$$

Our set $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ can therefore be consistently extended into a set symmetric with respect to multiplication (a group for multiplication) by applying the power rules 1.1:

**Lemma 7.1.**

$$\forall n = p_j^{\sum a_k \omega^k} \in \mathbb{N}^* = \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}, \exists m = (p_j^{\sum a_k \omega^k})^{-1} \in \mathbb{Q}^{+*} \quad (7.3)$$

$$m = \frac{1}{p_j^{\sum a_k \omega^k}} = p_j^{\sum -a_k \omega^k} = (p_j^{-1})^{\sum a_k \omega^k} \in \mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega} \quad (7.4)$$

This symmetrization by lemma 7.1 allows us to justify the following theorem:

**Theorem 7.1.** $\mathbb{Q}^{+*} = \mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega}$

This symmetrization corresponds to the generalization, to the extension of the use of our powers "$b$" of "$a^b$" not only to polynomials in $\omega$ with positive integer coefficients but to polynomials in $\omega$ with negative integer coefficients.
**Remark 7.1.** With the power rules 1.1, the relation (7.1) implies that the operator $\omega$ verifies:

$$ \omega - \omega = (-\omega) + \omega = 0 \qquad (7.5) $$

And for example:

$$ \frac{p_i^\omega}{p_i^{\omega+1}} = p_i^{\omega-\omega} = \frac{p_i^{-\omega}}{p_i^{-\omega}} = p_i^{(-\omega)+\omega} = p_i^0 = 1 \qquad (7.6) $$

Let us now carry out a second generalization of our set which will lead us to new numbers.

**8. Enrichment of $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ (resp. $\mathbb{Q}^{*\mathbb{Z}_\omega}$) into $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_{\omega\omega^{-1}}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{*\mathbb{Z}_{\omega\omega^{-1}}}$)**

Until now, the powers “b” of “$a^b$” were polynomials of positive integer powers over $\omega$, we will generalize these polynomials to negative integer powers over $\omega$.

This need arises naturally, for example in the following situation. From:

$$ 2^{\omega+\omega^2} = 2^{\omega(1+\omega)} = 3^{(1+\omega)} = 3 \times 3^{\omega} = 3 \times 5 \qquad (8.1) $$

By taking a larger basis “p”, in this case $p > 3$ for the relation (8.1), we reduce the degree of the polynomial “$\omega$” in power:

$$ 3 \times 5 = 3 \times 3^{\omega} = 3^{(1+\omega)} = 3^{\omega(\omega^{-1}+1)} = 5^{(1+\omega^{-1})} = 5 \times 5^{(\omega^{-1})} \qquad (8.2) $$

We deduce from this:

$$ 3 = 5^{(\omega^{-1})} \qquad (8.3) $$

And according to the power rules 1.1, we find:

$$ 3^{\omega} = (5^{(\omega^{-1})})^{\omega} = 5^{(\omega^{-1}\omega)} = 5 \qquad (8.4) $$

**Remark 8.1.** While $p_i^\omega = p_{i+1}$ implies that the power “$\omega$” is an operator that translates to “successor prime number”, the power “$\omega^{-1}$” is an operator that translates to “predecessor or antecedent prime number”, $p_i^{\omega^{-1}} = p_{i-1}$.

With the addition of this power operation in “$\omega^{-1}$”, the problem arises of generalizing its use to all the numbers in our set. In fact, for all prime numbers strictly greater than 2, the use of the power “$\omega^{-1}$” gives back the previous prime number which is an element of $\mathbb{N}^*$ and therefore of $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$. It suffices to apply the relations 8.1, 8.2, 8.3 and 8.4 for any prime number $p_i$, to demonstrate this. And with the fundamental theorem of arithmetic, we ensure that:

**Lemma 8.1.** Any odd integer $n$ (therefore not having 2 in its decomposition), $n \in \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ (resp. $\mathbb{Q}^{*\mathbb{Z}_\omega}$) $\Rightarrow n^{\omega^{-1}} \in \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ (resp. $\mathbb{Q}^{*\mathbb{Z}_\omega}$).
On the other hand, this enrichment on the first prime number “2” implies the creation of a new number “$2^{(\omega^{-1})}$” which is not part of $\mathbb{N}^*$. Indeed, this first prime number “2” having no predecessors, the number “$2^{(\omega^{-1})}$” does not belong to $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$. However, in the same way that before the appearance of complex numbers, “imaginary” numbers could be used transiently and consistently for the resolution of certain equations of degrees greater than 2, we can use this number in a transient and consistent manner. For example, from the following relation:

$$2^{\omega^2} = 5 \Rightarrow (2^{\omega^2})^{(\omega^{-1})} = 5^{(\omega^{-1})} \qquad (8.5)$$

We obtain consistent relationships:

$$5^{(\omega^{-1})} = 3 \Leftrightarrow (2^{\omega^2})^{(\omega^{-1})} = (2^{\omega^{-1}})^{(\omega^2)} = 2^{\omega^2} \omega^{-1} = 2\omega = 3 \qquad (8.6)$$

The consistent (non-contradictory) use of this element (of this power $\omega^{-1}$) seems to indicate that it is a mathematically valid number. This therefore leads us to consider the possibility of enriching our set $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ by $2^{\omega^{-1}}$.

And more generally, the successive application of the power “$\omega^{-1}$” to high-rank prime numbers is legitimate because it gives prime numbers belonging to $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ until it goes back down to 2 (for example $(5^{\omega^{-1}})^{(\omega^{-1})} = 5^{(\omega^{-2})} = 2$). So, as before with “$\omega^{-1}$”, the use of powers “$\omega^{-n}$” can make sense in $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ but this more generally implies the potential existence of the new numbers $2^{\omega^{-n}} \notin \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$.

We denote $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega\omega^{-1}}$, this set enriched by “$\omega^{-1}$” for the exponent:

**Lemma 8.2.** $\forall n = p_j^\sum a_k \omega^k \in \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}, \exists m = (p_j)^\sum a_k \omega^{-k} \in \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega\omega^{-1}}$

This power “$\omega^{-1}$” applies just as naturally to the set $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega}$. Thus, enriching $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega}$ with this new number $2^{\omega^{-1}}$ allows us to obtain another set that we can denote $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_{\omega\omega^{-1}}}$ which symmetrizes the structure with respect to the powers of $\omega$:

**Lemma 8.3.** $\forall n = p_j^\sum a_k \omega^k \in \mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega}, \exists m = (p_j)^\sum a_k \omega^{-k} \in \mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_{\omega\omega^{-1}}}$

The power rules 1.1 are verified in $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega\omega^{-1}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_{\omega\omega^{-1}}}$) in the same way as in $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ (cf. §4).

We can also imagine applying negative powers, not only to $\omega$, but also to its coefficients. The basic set instead of being $\mathbb{N}^*$ or $\mathbb{Q}^{+*}$ would then be at least the set of all algebraic numbers or even all real numbers and would give the set $\mathbb{R}^{**\mathbb{Q}_{\omega\omega^{-1}}}$. But we will not discuss these sets in the context of our study.

**Remark 8.2.** This number is new for $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$, to see if it corresponds or not to another number already existing in other sets $(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C},...)$ or if it is truly new (cf. §9). In other words, do we have $\mathbb{R}^{**} \subseteq \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega\omega^{-1}}$ or $\mathbb{R}^{**} \subseteq \mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_{\omega\omega^{-1}}}$ or $\mathbb{C}^{**} \subseteq \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega\omega^{-1}}$ or $\mathbb{C}^{**} \subseteq \mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_{\omega\omega^{-1}}}$ or ...?

It should be noted that following the power rules 1.1:

$$(2^{\omega^{-1}})^\omega = 2\omega\omega^{-1} = (2^\omega)^{(\omega^{-1})} = (3)^{(\omega^{-1})} = 2 \qquad (8.7)$$
We deduce from this:

$$ \omega\omega^{-1} = \omega^{1-1} = \omega^0 = 1 \qquad (8.8) $$

## 9. Reflection on the number $2^{\omega^{-1}}$ and numbers $2^{\sum a_k \omega^{-k}}$

If we take the table of proposition 2.2 and apply the inverses of the integers in power, a first reflection leads us to think that following $2^{2^{-1}} = \sqrt[2]{2}$; $2^{3^{-1}} = \sqrt[3]{2}$; $2^{n^{-1}} = \sqrt[n]{2}$, which tends towards the value 1, we will obtain $2^{\omega^{-1}} = \sqrt[\omega]{2} = 1$. And the same for all the other numbers $p^{\omega^{-1}}$.

A first doubt consists in noting that this situation is not symmetrical to the table of the proposition 2.2, notably because of the proposition 2.2. Indeed, in the case of $\omega$ the succession of powers would give the sequence $2^2 = 4$; $2^3 = 8$; $2^\omega = \infty$ and similarly with all $p_i^\omega$ which would tend to let us conclude that for all prime numbers, we have $p_i^\omega = \infty$, in contradiction with the proposition 2.2.

And precisely, as we saw previously, the reasons which would lead us to think that $2^{\omega^{-1}} = \sqrt[\omega]{2} = 1$ then also lead to $p^{\omega^{-1}} = \sqrt[p]{\omega} = 1$. Now we have demonstrated (lemma 8.1) that in $\mathbb{N}^*\mathbb{N}_\omega$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega}$) we have for all odd numbers $n^{\omega^{-1}} \in \mathbb{N}^*\mathbb{N}_\omega$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega}$). For example, $5^{\omega^{-1}} = 3$ or $7^{\omega^{-1}} = 5$ ..., in other words $p^{\omega^{-1}} = 1$ contradicts what is already demonstrated in $\mathbb{N}^*\mathbb{N}_\omega$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega}$), a subset of $\mathbb{N}^*\mathbb{N}_{\omega\omega^{-1}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_{\omega\omega^{-1}}}$).

Another objection can also be raised. In our set $\mathbb{N}^*\mathbb{N}_{\omega\omega^{-1}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_{\omega\omega^{-1}}}$) if we actually had $2^{\omega^{-1}} = \sqrt[\omega]{2} = 1$, we would then have $(2^{\omega^{-1}})^\omega = 1^\omega = 1 = 2^{\omega\omega^{-1}}$ and consequently:

$$ \omega\omega^{-1} = \omega^{1-1} = \omega^0 = 0 \qquad (9.1) $$

The relation 9.1 then poses two problems. A first problem arises because $\omega\omega^{-1} = 0$ would mean that $\omega^{-1}$ is then an absorbing element, i.e. that $\omega^{-1} = 0$ which again contradicts relations of the type $5^{\omega^{-1}} = 3$. A second problem also arises in the relation 9.1. The equality $\omega^0 = 0$ is contradictory with the relation 8.8 giving $\omega^0 = 1$. However, we would rather expect to have $\omega^0 = 1$, unless $\omega = 0$ (a writing which is also not without problems) but in this case the proposition 2.2 would no longer make sense.

Thus, the relation 8.8, which verifies the power rules 1.1, implies that $2^{\omega^{-1}}$ is not worth 1 but represents another number:

**Lemma 9.1.** In $\mathbb{N}^*\mathbb{N}_{\omega\omega^{-1}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_{\omega\omega^{-1}}}$), the exponent $\omega^{-1} \neq 0$.

## 10. Some examples of operations in $\mathbb{N}^*\mathbb{N}_{\omega\omega^{-1}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_{\omega\omega^{-1}}}$)

In this short paragraph, we only give a few examples of how to manipulate these numbers. As always with our sets, as long as the numbers considered do not involve $\omega$ in their powers,
the rules and laws of composition on $\mathbb{N}^*$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*}$) propagate naturally to our sets and are therefore naturally verified there. Let's see what happens in the presence of the power $\omega$.

For example, if we have:

$$12 = 5 + 7 = 2^{\omega^2} + 2^{\omega^3} = 2^{\omega^2}(1 + 2^{\omega^3 - \omega^2}) = 5(1 + 2^{\omega^3 - \omega^2}) \quad (10.1)$$

We deduce that:

$$2^{\omega^3 - \omega^2} = \frac{12}{5} - 1 = \frac{7}{5} \quad (10.2)$$

However, we can clearly see that:

$$\frac{7}{5} = \frac{2^{\omega^3}}{2^{\omega^2}} = 2^{\omega^3 - \omega^2} \quad (10.3)$$

And also:

$$1 + 2 = 3 = 2^{\omega} \quad (10.4)$$

$$1 + 4 = 5 = 3^{\omega} = 2^{\omega^2} \quad (10.5)$$

So:

$$1 + 4 = 1 + 2 + 2 = 2^{\omega} + 2 = 2(2^{\omega - 1} + 1) \quad (10.6)$$

On the one hand:

$$(\frac{7}{5})^{\omega^{-2}} = \frac{7^{\omega^{-2}}}{5^{\omega^{-2}}} = \frac{3}{2} \quad (10.7)$$

And on the other hand:

$$(\frac{7}{5})^{\omega^{-2}} = (2^{\omega^3 - \omega^2})^{\omega^{-2}} = 2^{\omega - 1} \quad (10.8)$$

We then check that:

$$1 + 4 = 2(1 + 2^{\omega - 1}) = 2(1 + \frac{3}{2}) = 5 \quad (10.9)$$

## 11. Some applications in $\mathbb{N}^*\mathbb{N}_\omega$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*}\mathbb{Z}_\omega$)

In our sets, we can quite easily demonstrate the irrationality of the square root of a number that is not a perfect square. In $\mathbb{Q}^{+*}\mathbb{Z}_\omega = \mathbb{Q}^{+*}$, all rational numbers $q$ are written $q = 2^{\sum a_k \omega^k}$ with coefficients $a_k \in \mathbb{Z}$. Numbers that are perfect squares are all those that have only even coefficients $(q^2 = 2^{\sum 2a_k \omega^k})$. Now the square root of a number in our sets is $\sqrt{q} = (2^{\sum a_k \omega^k})^{\frac{1}{2}} = q^{\sum \frac{a_k}{2} \omega^k}$. Consequently, any number that has at least one non-even coefficient (i.e., that is not a perfect square), will have as its square root at least one coefficient that is not a relative integer. It will therefore not be rational.
While a prime number in $\mathbb{N}^{*}\mathbb{N}_{\omega} = \mathbb{N}^{*}$ is a number that has only one monomial $\omega^k$ in exponent $(2^{\omega^k})$, two numbers will be coprime when they have no monomial in common. For example $45 = 2^{\omega^2+2\omega^1}$ and $28 = 2^{\omega^3+2\omega^0}$ are coprime while $45$ and $12 = 2^{\omega^1+2\omega^0}$ are not $(\omega^1$ in common corresponding to $3 = 2^{\omega^1}$). A criticism would be to say that if we knew how to write the numbers $45, 28$ and $12$ in the manner of $\mathbb{N}^{*}\mathbb{N}_{\omega}$, i.e. in the form of a decomposition into a polynomial in $\omega$, this amounts to knowing how to decompose them into prime factors, which then makes it just as simple to check that they are coprime. This is true, which is why we should perhaps look at these sets from another angle, namely manipulating whole numbers without knowing their explicit value. We have, in a way, “the DNA” of the number without knowing “the individual”. So, for example, $p_1 = 2^{k_1}\omega^{N_1+k_2\omega^{N_2}}$ and $p_2 = 2^{k_3\omega^{N_3}+k_4\omega^{N_4}+k_5\omega^{N_5}}$ with $N_1 \neq N_2 \neq N_3 \neq N_4 \neq N_5$ are coprime.

Moreover, we can make a link between this “DNA” and its value, by explaining the operators $\omega^n$. Their explanation depends on the base “a” of “$a^b$” and the order number of the prime number $n$. For example, in the base 2, a number $2^{\sum a_k \omega^k} = 2^{a_0\omega^0+a_1\omega^1+a_2\omega^2+...}$ must correspond to the explicit number $\prod p_k^{a_k-1} = p_1^{a_0} p_2^{a_1} p_3^{a_2} ... = 2^{a_0} 3^{a_1} 5^{a_2} ...$. Now in this last expression, we can write $p_i = 2^{\alpha_i}$ with $\alpha_i = \frac{\ln(p_i)}{\ln(2)}$. We deduce that $\omega^0 = \frac{\ln(2)}{\ln(2)}$, $\omega^1 = \frac{\ln(3)}{\ln(2)}$, $\omega^2 = \frac{\ln(5)}{\ln(2)}$, ... Be careful, this does not mean that the application of the operator $\omega$ is constant (equal to $\frac{\ln(3)}{\ln(2)}$ for example) because as we have just said its explicit application depends on the ranks of the $\omega$ on which it acts, otherwise it would mean that we know all the prime numbers. On the other hand, what is guaranteed is the order on the prime numbers, hence the interest of lemma 6.1. Again, the advantage of our notation is to be able to work “blindly” but with the knowledge of the rank $n$ of the prime number $2^{\omega^n}$.

Hypothetical avenues for proving the Syracuse conjecture. A Syracuse sequence starts with any natural number $n_0 \in \mathbb{N}^*$. The rule for obtaining the next term is as follows:

If $n_i$ is even then $n_{i+1} = \frac{n_i}{2}$, if $n_i$ is odd then $n_{i+1} = 3n_i + 1$.

The eponymous conjecture postulates that any Syracuse sequence always reaches term 1 (followed by the trivial cycle 1, 4, 2, 1, 4, 2, ...).

In our notation an even number is a number $2^{\sum a_k \omega^k}$ with $a_0 \neq 0$, an odd number is a number $2^{\sum a_k \omega^k}$ with $a_0 = 0$. So if $n_i$ is even, then $n_i = 2^{a_0+a_1\omega^1+a_2\omega^2+...}$, a division by 2 consists of going from $a_0$ to $a_0 - 1$. The succession of divisions by 2 will therefore consist of making the term $a_0 = 0$ disappear. We then have a term $n_i = 2^{a_1\omega^1+a_2\omega^2+...}$. At this point, the number $n_i$ becomes odd. Multiplying by 3 consists of going from $a_1$ to $a_1 + 1$. We then have a term $n_i = 2^{(a_1+1)\omega^1+a_2\omega^2+...}$. This number is always odd, so adding 1 to it will make it even, i.e. $n_i = 2^{b_0+b_1\omega^1+b_2\omega^2+...}$. The conjecture therefore consists of showing that $b_i < a_i$ for $i > 0$ (i.e. not for $a_0$ which can increase) as long as $n_i > 3$ (i.e. outside the trivial cycle) or perhaps that there always exists a rank $j > i$ such that $b_j < a_i$ for $i > 0$. The idea would therefore be to succeed in demonstrating that there systematically exists a rank $j$ where the coefficients (other than $a_0$) are lower than those of a previous rank $i$. Because in our set, the natural integers have polynomials in $\omega$ with coefficient in $\mathbb{N}$, their decrease can then only lead to the cancellation of these coefficients (other than $a_0$). Once we obtain a number that is a power of only 2 (i.e., with only $a_0$), we obtain the trivial cycle, since when
we reach $n_i = 1 = 2^0$, multiplying by 3 gives $3 = 2^{0+1}\omega^1$ and adding 1 gives $4 = 2^{2+0}\omega^1$, and the cycle can then begin again by removing the coefficient $a_0$ and returning 1.

Another possible use for our notation: We could define limits on the evolution of the coefficients when we have integer additions. In fact the important point would be to know what causes the "$n_i + 1$" on the coefficients of $\omega$ because this operation occurs often (we can make "$n_i + 1$" appear in the conjecture of twin numbers for example), by showing for example statistically that the coefficients decrease or have a maximum (certainly depending on the number itself) or that the sum of the coefficients decrease or have a maximum or that the sum of the coefficients multiplied by the degree of the polynomial decreases or has a maximum... even if locally (for a finite number of iterations) these terms can increase.

## 12. Operator $\omega$ and ordinal numbers

If we used the term $\omega$ to designate the operator "successor of prime number", it is not entirely by chance. By returning to our construction of $N^*N_\omega$ seen in §3, $2^\omega$ is the first exponent that allows us to go beyond all the exponents of $N$. In this sense $\omega$ is the first index allowing us to designate this element, it is indeed the Cantor ordinal. Let us denote it symbolically by "$\omega = N + 1$". This new number $2^\omega$ can be raised to the power of all the numbers in $N$ which leads to a maximum of $2^{N\omega}$. Each of the terms of integer power $2^{k\omega}$ can be multiplied by the previous terms $2^n$ which will give at most $2^{N+N\omega}$ if we limit ourselves to $n \in N$. But by also taking $n = \omega$, we have at most $2^{\omega+N\omega} = 2^{(1+N)\omega} = 2^{\omega^2}$. We can thus continue indefinitely. We see that our operators are getting closer to the notion of ordinal numbers. But whereas classically, we interpret these numbers as infinities (which corresponds quite naturally to "$\omega = N + 1$"), in our sets, the notion of ordinal infinity then corresponds rather to a notion of "beyond" or of "exceeding", but not necessarily infinite. We have seen previously that the operators $\omega^n$ can have a finite explanation thanks to the natural logarithm (although not in a unique way). In our sets, these $\omega^n$ allow us to exceed the infinity of countable powers of 2. And this leads us to three reflections, the first is that the infinity of "$2^{\omega^n}$" seems to fill the holes in the counting beyond $2^n$ (in an integral way). The second is that the infinity of "$2^{-\omega^n}$" seems to fill the gaps between the integers (in a rational way). The third is that the infinity of $2^{\omega^{-n}}$ (our potential "new numbers") could fill the gaps in the rationals. At $\omega$, the first number coming after all the integers $N$ (different from countable infinity), we would have $\omega^{-1}$ a sort of "first (or last)" number coming before all the rationals $Q^*^+$ (different from zero). The $2^{\omega^{-n}}$ could be compared to the notion of infinitesimal increments in analysis or, as already said, to algebraic and transcendental numbers depending on whether the coefficients of the $\omega$ (not only their power) are rational or not ($2^{\omega^{-n}}$ for infinite algebraic and polynomials in $\omega$ with $2^{\omega^\omega}$ for transcendentals). This is why our approach could lead to a new lineage between sets of numbers.

Regarding the non-univocity of the explicit values of our $\omega^n$ operators, we can in fact establish a procedure similar to Newton's binomial coefficients from prime numbers. Noting $\omega_i^j = \frac{\ln(p_i)}{\ln(p_i^j)}$, we then have the following general relation $\omega_i^j = \omega_i^m \omega_m^j$. In the notation
$2^{a_0}\omega^0+a_1\omega^1+a_2\omega^2+\dots$, the $\omega^n$ then represents $\omega_1^n$ (1 because all coefficients are evaluated based on the first prime number 2). We also deduce that $(\omega_i^j)^{-1} = \omega_j^i$.

## 13. Discussion

Generally speaking, we can wonder about the possibility of applying the method we have put in place to construct our sets in many other contexts. Indeed, essentially, we start with an extremely restricted set (potentially containing a unique basic element, in our case the first prime number 2) and an operation that generates in a countable manner a superset of the initial restricted set. Then we use the $\omega$ operator to identify, address a new element which in turn will enrich the basic set. This procedure “omega-iterative” finally allows us to extend the construction method by recurrence beyond the countable.

New numbers have appeared, but the keystone of these new elements is certainly the unique element $2^{\omega^{-1}} = t$ by which the other new numbers can be written “$at^b$”. What meaning can we give to this new number $2^{\omega^{-1}}$? Our study suggests the possibility of extending Cantor’s algebra on $\omega$ to negative powers, $\omega^{-1}$ (rational ordinals). We would then be in the presence not only of a variety of infinities but also of a variety of 0. At the first number $\omega$ after $N^*$, we would have the first number $\omega^{-1}$ before $Q^*$.

We have seen that we can generalize $N^*N^\omega$ to a rational basis $Q^{+*Z_\omega}$, is it the same with real, complex or other bases (even transfinite)? And with respect to powers, what about polynomial powers of non-integer degrees in $\omega$ such as $p_i^{\omega n^{-1}}$, irrational ordinals (algebraic, transcendental, complex or others)?

We have also seen that this set $N^*N^\omega$ could provide a new approach to prime numbers. But it is very likely, for this set to be even more interesting, that it will be necessary to be able to perform manipulations on exponents containing $\omega$. This implies finding a logarithmic function that is compatible with it. Such a natural logarithm (thus recovering the exponent of the exponent of $\omega$) could certainly then “facilitate” demonstrations on prime numbers. But as we have noticed in this study, this problem is extremely difficult, if not impossible?

Our sets are based on a generic term “$a^b$”. It will certainly be instructive to have a geometric approach to our sets which a priori are composed of logarithmic spirals given the generic term. We have seen that a positional numbering appears across $\omega$ polynomials. Links could arise between spirals, $\omega$ polynomials and numbering, or even the analysis with $\omega^{-1}$. We can even imagine links with the study of dynamical systems where the Baker's transformation can be converted into transformations on binary developments, but sequences such as those of Syracuse (on integers) are somewhat similar to a Baker's transformation because they correspond to transformations on the first coefficients of our polynomials in $\omega$ (“$p_i x$” and “$\frac{x}{p_j}$”) and a spreading also on the other coefficients (“$x+n$”).
References

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[2] IREM. — *Histoires de Problèmes - Histoire des Mathématiques*. Ellipses, 1993, ISBN 2-7298-9368-7

[3] A. DASGUPTA. — *Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets*. Springer, 2014, https://doi.org/10.1007/978-1-4614-8854-5

[4] G. H. HARDY, E. M. WRIGHT. — *An Introduction to the Theory of Numbers*. Oxford, 2009, ISBN 978-0-19-921986-5

[5] J. DIXMIER. — *Cours de Mathématiques*. Gauthier-Villars, 1987, ISBN 2-04-015773-5

Stephane Le Corre

EPFL, Station 16, 1016 Lausanne, Suisse; stephane.lecorre@epfl.ch
# Réflexions autour de nouveaux ensembles de nombres
(ébauche)

Stéphane Le Corre

**Résumé.** L'étude proposée dans cet article initie la mise en place de nouveaux ensembles de nombres. Partant d'une hypothèse déroutante sur les infinis, les éléments présentés dans cette courte étude ne montrent malgré tout aucune contradiction. Ces ensembles apparaissent donc consistants. Ils semblent intéressants à plusieurs titres. Dans le cadre des nombres premiers, ils fournissent un adres- sage innovant des nombres premiers. Dans celui de l'arithmétique plus globalement, ils suggèrent l'existence de nouveaux nombres ou plutôt potentiellement une nouvelle « filiation » entre les diffé- rents ensembles de nombres ($\mathbb{N}^*$, $\mathbb{Q}^{+*},$...). Cette étude propose aussi une extension de la méthode par récurrence.

## 1. Introduction

L'idée à l'origine des ensembles de nombres qui vont être proposés dans cet article provient d'une réflexion sur des structures algébriques que j'ai proposé dans l'article suivant [1]. Il s'agissait de trouver des ensembles alternatifs aux nombres complexes qui vérifient les structures algébriques proposées dans [1]. Mais la connaissance de ces structures n'est pas nécessaire pour la présentation de ces ensembles abordés ici. Il faut juste savoir que l'ensemble que nous allons construire, en plus des traditionnelles règles sur les opérations d'addition et de multiplication dans $\mathbb{N}^*$, doit vérifier les règles opératoires d'exponentiation suivantes :

$$ \forall a \neq 0 \{a^b a^c = a^{b+c}; (a^b)^c = a^{bc} = a^{cb} = (a^c)^b; a^0 = 1; (ab)^c = a^c b^c\} \quad (1.1) $$

Pour la suite, dans l'expression « $a^b$ » le mot « base » représente « $a$ » et les mots « puissance » ou « exposant » représentent « $b$ ».

Dans cet article, nous allons étudier des ensembles de nombres construits à partir des entiers naturels non nuls $\mathbb{N}^*$, des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ et des rationnels positifs non nuls $\mathbb{Q}^{+*}$. Mais à l'issue de cette étude, il sera assez naturel d'imaginer d'autres ensembles de nombres construits sur des réels $\mathbb{R}$, des complexes $\mathbb{C}$ ou d'autres ensembles de nombres.

<footnote>Classification Mathématique 2020 : 11-01 (primaire) ; 11Axx (secondaire).</footnote>

<footnote>Mots-clés : Théorie des nombres, Structure algébrique, Algèbre de Cantor.</footnote>
Les points importants de cette étude se trouvent en particulier au §3 pour une construc-
tion originale de $\mathbb{N}^*$, au §5 qui fournit une approche originale des nombres premiers et §8
qui propose la création de nouveaux nombres et une nouvelle filiation des ensembles de
nombres.

## 2. Définition de l'ensemble $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$

L'idée est de construire des nombres qui s'écrivent sous la forme $a^b$. Dans un premier
temps, on aura la base $a \in \mathbb{N}^*$ et l'exposant $b \in \mathbb{N}$. En conséquence, nous noterons $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$
notre premier ensemble d'entiers naturels non nuls. Cette notation permettra de distinguer
les différents ensembles de nombres que nous allons construire car l'ensemble de définition
des exposants sera différent de l'ensemble de base.

Commençons par lister les sous-ensembles de $\mathbb{N}^*$ définis sur les puissances d'un nombre
premier $p_i$ où l'indice $i$ indique le $i$ème nombre premier. Les nombres premiers sont or-
donnés dans l'ordre croissant ($p_{i+1} > p_i$) :

<table><thead><tr><th>Nb 1<sup>er</sup> \ Puissance</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>...</th></tr></thead><tbody><tr><td>p<sub>1</sub> = 2</td><td>2<sup>0</sup></td><td>2<sup>1</sup></td><td>2<sup>2</sup></td><td>2<sup>3</sup></td><td>2<sup>4</sup></td><td>...</td></tr><tr><td>p<sub>2</sub> = 3</td><td>3<sup>0</sup></td><td>3<sup>1</sup></td><td>3<sup>2</sup></td><td>3<sup>3</sup></td><td>3<sup>4</sup></td><td>...</td></tr><tr><td>p<sub>3</sub> = 5</td><td>5<sup>0</sup></td><td>5<sup>1</sup></td><td>5<sup>2</sup></td><td>5<sup>3</sup></td><td>5<sup>4</sup></td><td>...</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr></tbody></table>

Introduisons maintenant nos deux hypothèses qui vont faire l'objet de notre étude. A
cette fin, nous allons utiliser le premier nombre venant après tous les entiers $\mathbb{N}$ que nous
noterons $\omega$, en référence au nombre transfini introduit par Cantor [2]. Cet opérateur agit
sur la base et est positionné comme un exposant. Comme nous le démontrerons, il suit les
règles 1.1. À la fin de notre étude, nous lui donnerons des valeurs explicites. Il est donc à
priori différent du nombre ordinal, mais son introduction et son usage rappellera fortement
ce nombre ordinal. Nous postulons les deux hypothèses suivantes :

**Proposition 2.1.** D'une part, nous enrichissons $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$ par le premier nombre $\omega$ venant après tous les entiers $\mathbb{N}$. Cet enrichissement est réalisé seulement pour la puissance, l'exposant, ce que nous noterons $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$, où l'exposant est défini dans $\mathbb{N}_\omega$ (nous préciserons un peu plus tard quels sont les éléments de $\mathbb{N}_\omega$) :
<table><thead><tr><th>Nb 1<sup>er</sup> \ Puissance</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>...</th><th>ω</th></tr></thead><tbody><tr><td>p<sub>1</sub> = 2</td><td>2<sup>0</sup></td><td>2<sup>1</sup></td><td>2<sup>2</sup></td><td>2<sup>3</sup></td><td>2<sup>4</sup></td><td>...</td><td>2<sup>ω</sup></td></tr><tr><td>p<sub>2</sub> = 3</td><td>3<sup>0</sup></td><td>3<sup>1</sup></td><td>3<sup>2</sup></td><td>3<sup>3</sup></td><td>3<sup>4</sup></td><td>...</td><td>3<sup>ω</sup></td></tr><tr><td>p<sub>3</sub> = 5</td><td>5<sup>0</sup></td><td>5<sup>1</sup></td><td>5<sup>2</sup></td><td>5<sup>3</sup></td><td>5<sup>4</sup></td><td>...</td><td>5<sup>ω</sup></td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr></tbody></table>

**Remarque 2.1.** L'apparition de ces nombres $p_i^\omega$ (au-delà de toute puissance entière) est à première vue similaire à l'ajout du premier nombre venant après tous les entiers $\mathbb{N}$, c'est pourquoi cet opérateur est noté $\omega$.

**Proposition 2.2.** Et d'autre part nous postulons que $p_i^\omega = p_{i+1}$ :

<table><thead><tr><th>Nb 1<sup>er</sup> \ Puissance</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>...</th><th>ω</th></tr></thead><tbody><tr><td>p<sub>1</sub> = 2</td><td>2<sup>0</sup></td><td>2<sup>1</sup></td><td>2<sup>2</sup></td><td>2<sup>3</sup></td><td>2<sup>4</sup></td><td>...</td><td>2<sup>ω</sup> = 3</td></tr><tr><td>p<sub>2</sub> = 3 = 2<sup>ω</sup></td><td>3<sup>0</sup></td><td>3<sup>1</sup></td><td>3<sup>2</sup></td><td>3<sup>3</sup></td><td>3<sup>4</sup></td><td>...</td><td>3<sup>ω</sup> = 5</td></tr><tr><td>p<sub>3</sub> = 5 = 3<sup>ω</sup></td><td>5<sup>0</sup></td><td>5<sup>1</sup></td><td>5<sup>2</sup></td><td>5<sup>3</sup></td><td>5<sup>4</sup></td><td>...</td><td>5<sup>ω</sup> = 7</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr></tbody></table>

**Remarque 2.2.** L'introduction de cette notation $p_i^\omega = p_{i+1}$ implique que la puissance « $\omega$ » devient une sorte d'opérateur qui se traduit par « nombre premier successeur », c'est pourquoi $\omega$ est un opérateur plutôt que le premier nombre suivant tous les entiers $\mathbb{N}$. De plus, le logarithme classique ne s'applique pas aux nombres comportant l'opérateur $\omega$, sinon on aurait : $\omega = \ln 3/\ln 2 = \ln 5/\ln 3 = (\ln p_{i+1})/(\ln p_i)$, mais nous verrons à la fin de l'étude qu'il est possible d'obtenir des expressions pour les opérateurs basés sur $\omega$.

**Remarque 2.3.** Nos hypothèses s'apparentent aux décompositions décimales dans laquelle tout nombre entier « n » peut soit s'écrire sous forme d'une suite infinie de décimale à partir de « n - 1 », soit sous forme finie « n ». Par exemple pour $n = 3$, on a $2.99999... = 3$. Nous verrons plus loin que nos ensembles définissent justement une nouvelle forme de numération de position.

Commençons par décrire les éléments de notre ensemble $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$ ce qui va, au passage, nous aider à donner du sens à notre proposition 2.2.
### 3. A propos des éléments de $N^*N_\omega$

Pour commencer, il est important d'insister sur le fait que, dans notre ensemble $N^*N_\omega$, la base « $a$ » de nos éléments « $a^b$ » n'est ni nul, ni un opérateur, i.e. $a \neq 0$ et $a \neq \omega$.

#### Lemme 3.1. $N^* \subset N^*N_\omega$

Par construction, tous les nombres premiers et leurs puissances sont des éléments de $N^*N_\omega$ (cf. tableau de la proposition 2.2). Il reste à vérifier que les autres nombres entiers (les nombres non premiers produits de différents nombres premiers) sont bien inclus dans cet ensemble. D'après le théorème fondamental de l'arithmétique [4], tout nombre entier non nul peut s'écrire sous la forme d'un produit de nombres premiers. Puisque $N^*N_\omega$ suit la loi de composition de la multiplication de $N^*$, on en déduit que tout produit de nombres premiers et donc que tout entier non nul de $N^*$ est élément de $N^*N_\omega$ soit $N^* \subset N^*N_\omega$.

#### Lemme 3.2. $N^* \supset N^*N_\omega$

Par construction, les nombres $a^b$ de $N^*N_\omega$ qui pourraient ne pas être des entiers naturels sont les entiers faisant intervenir $\omega$ dans leur puissance. Or la proposition 2.2 assure que tout nombre premier à la puissance $\omega$ est le nombre premier successeur. Puisque qu'il existe une infinité dénombrable de nombre premier, cette proposition 2.2 est toujours vraie. Cela permet de démontrer que le lemme 3.2 est vérifié.

Ces deux lemmes 3.1 et 3.2 permettent de démontrer le théorème suivant :

#### Théorème 3.1. $N^* = N^*N_\omega$

On peut démontrer ce théorème d'une autre façon qui va nous être extrêmement instruc-
tive car il va nous éclairer sur l'intérêt de notre ensemble et sur le sens de notre proposition 2.2. En effet, avant d'aborder $N^*N_\omega$ dans sa globalité, nous pouvons le construire pas à pas par récurrence en ne considérant que la multiplication (les puissances entières d'un terme n'étant alors qu'une écriture condensée de la multiplication de ce même terme). En partant de l'ensemble restreint $2^N$ dont les éléments ne s'écrivent qu'avec une base « 2 », nous constituons l'ensemble $\{2^0, 2^1, 2^2, \dots \}$ où le symbole « ... » représente l'ensemble des puissances de 2 lorsque cette puissance parcourt $N$ dans sa totalité. Pour passer à l'ensemble $2^{N_\omega}$, on enrichit cet ensemble (de puissances entières de 2) par l'élément $2^\omega$ qui adresse alors le premier nombre qui ne soit pas une puissance entière de 2 et donc qui ne fait pas partie de $2^N$. On complète alors cet ensemble par ce nouveau nombre comme base autorisée. L'ensemble devient alors $\{2, 2^\omega\}^N = 2^{N_\omega}$. Il est constitué des éléments $\{2^0, 2^1, 2^2, \dots, (2^\omega)^0, (2^\omega)^1, (2^\omega)^2, \dots \}$ où le symbole « ... » à la même signification que précédemment. Il s'ajoute aussi à cet ensemble les combinaisons de ces termes, i.e. $2^n (2^\omega)^m$, mais pour une meilleur lisibilité et compréhension, on ne les écrit pas car ils sont secondaires dans ce raisonnement. A nouveau, le prochain nombre qui ne soit pas une puissance entière de $2^\omega$ est $(2^\omega)^\omega = 2^{\omega^2}$, élément qu'on va utiliser pour enrichir de nouveau la base. Par récurrence, on peut ainsi construire l'ensemble $\{2, 2^\omega, 2^{\omega^2}, \dots\}^N = N^*N_\omega$. Selon
la signification du symbole « . . . » , le terme générique de la base est 2 ω n avec n ∈ N . En identifiant 2 ω n avec le ( n − 1)ième nombre premier, ce que réalise notre proposition 2.2, on a alors N * N ω = N * .

On retrouve ainsi les lemmes précédents, mais cela éclaire surtout d'un jour nouveau à la fois la proposition 2.2 qui paraissait au premier abord assez obscur et aussi l'ensemble $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$. En effet, de ce point de vue, on peut dire que notre ensemble $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ donne une nouvelle notation des entiers, une notation « structurée » à partir des deux seuls éléments 2 et $\omega$. Plutôt que d'inventer des signes « 3 », « 5 »... qui n'ont pas de sens par eux-mêmes, qui n'ont pas « d'étymologie mathématique » en quelque sorte, on a ici une procédure pour les nommer, les identifier « 2$^{\omega}$ » pour « 3 », « 2$^{\omega\omega}$ = 2$^{\omega^2}$ » pour « 5 »... Ce point de vue sera d'ailleurs justifié et généraliser avec le théorème 5.1.

**Remarque 3.1.** On peut voir notre ensemble $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ comme une manière de réordonner $\mathbb{N}^*$ selon l'ordre des nombres premiers et de leurs puissances. Les nombres premiers deviennent la colonne vertébrale autour desquels se construit l'ensemble $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ alors que c'est plutôt le dénombrement, la succession « $n+1$ », qui caractérise l'ensemble $\mathbb{N}^*$.

Voyons maintenant comment se comporte la loi de composition multiplicative dans cet ensemble.

4. Loi de composition multiplicative dans l'ensemble $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$

Puisque $\mathbb{N}^* = \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$, pour que notre structure soit consistante, vérifions que le passage à la
puissance $\omega$ (à $p_i^\omega$) maintient la cohérence de la multiplication dans $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ et notamment
des règles d'exponentiation vues en introduction.

**Remarque 4.1.** La cohérence de ce passage à $p_i^\omega$ n'est pas triviale. En effet, si $p_i^\omega$ signifiait non plus le nombre premier successeur mais le nombre entier successeur « $p_i^\omega = p_i + 1$ », cette structure ne serait plus consistante par rapport à la multiplication car on aurait d'une part $(2 \times 3)^\omega = (2 \times 3) + 1 = 7$ et d'autre part $(2 \times 3)^\omega = (2^\omega)(3^\omega) = (2+1)(3+1) = 12 \neq (2 \times 3) + 1$.

Pour cela, vérifions que $(p_i^\omega)^b = (p_i^b)^\omega = p_i^{b\omega}$ :

$$
(p_i^\omega)^b = (p_{i+1})^b \tag{4.1}
$$

$$
(p_i^b)^\omega = (p_i \dots p_i)^\omega = (p_i^\omega \dots p_i^\omega) = (p_{i+1} \dots p_{i+1}) = (p_{i+1})^b \quad (4.2)
$$

$$
p_i^{b\omega} = p_i^{\omega \dots \omega} = (p_i^{\omega} \dots p_i^{\omega}) = (p_{i+1} \dots p_{i+1}) = (p_{i+1})^b \quad (4.3)
$$

Dans ces égalités, le symbole « . . . » représente les *b* occurrences des termes qui l'entoure.
On a utilisé la proposition 2.2 et les règles de puissances vues en introduction vérifiées par
les éléments de $\mathbb{N}^*$.
On peut aussi montrer que $(p_i^\omega)^b (p_i^\omega)^c = (p_i^\omega)^{b+c}$ :

$$ (p_i^\omega)^b (p_i^\omega)^c = (p_{i+1})^b (p_{i+1})^c \quad (4.4) $$

$$ = p_{i+1}^{b+c} = (p_i^\omega)^{b+c} \quad (4.5) $$

On a utilisé la proposition 2.2 pour la première et la troisième égalité et les règles de puissances vues en introduction vérifiées par les éléments de $\mathbb{N}^*$ pour la seconde égalité.

On peut continuer de démontrer de la même manière que les autres règles de puissances déjà vérifiées par $\mathbb{N}^*$ se propage bien à l'ensemble $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$.

Il est peut-être néanmoins intéressant de démontrer les deux règles qui utilisent deux exposants lorsqu'ils valent tous les deux $\omega$.

Pour $p_i^\omega p_i^\omega = p_i^{\omega+\omega} = p_i^{2\omega}$ :

$$ p_i^\omega p_i^\omega = p_{i+1} p_{i+1} \quad (4.6) $$

$$ p_i^{2\omega} = (p_i^\omega)^2 = p_{i+1}^2 = p_{i+1} p_{i+1} \quad (4.7) $$

$$ p_i^{\omega+\omega} = p_i \dots p_i p_i \dots p_i = (p_i \dots p_i)(p_i \dots p_i) = p_i^\omega p_i^\omega \quad (4.8) $$

Dans ces égalités, le symbole « ... » représente les $\omega$ occurrences des termes qui l'entoure. L'avant dernière égalité indique que les $\omega + \omega$ termes ont été rassemblés en 2 « paquets » (les parenthèses) de $\omega$ termes. Pour la première égalité de la deuxième relation, nous avons utilisé la première règle démontrée précédemment.

Pour $(p_i^\omega)^\omega = p_i^{\omega\omega} = p_i^{\omega^2}$ :

$$ (p_i^\omega)^\omega = (p_{i+1})^\omega = p_{i+1} \dots p_{i+1} \quad (4.9) $$

$$ p_i^{\omega\omega} = (p_i \dots p_i) \dots (p_i \dots p_i) = (p_i^\omega) \dots (p_i^\omega) = p_{i+1} \dots p_{i+1} \quad (4.10) $$

$$ p_i^{\omega^2} = p_i \dots \times \dots p_i = (p_i \dots p_i) \dots (p_i \dots p_i) = p_i^{\omega\omega} \quad (4.11) $$

Dans ces égalités, le symbole « ... » représente les $\omega$ occurrences des termes qui l'entoure et « ... \times ... » représente les $\omega^2$ occurrences des termes qui l'entoure. L'avant dernière égalité indique que les $\omega^2$ termes ont été rassemblés en $\omega$ « paquets » (les parenthèses) de $\omega$ termes.

Nous pouvons donc conclure que la multiplication dans $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ est consistante avec les règles de calculs dans $\mathbb{N}^*$.

Concrètement dans $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$, on a par exemple :

$$ 6 = 2 \times 3 = 2 \times 2^\omega = 2^{\omega+1} \quad (4.12) $$

$$ 15 = 3 \times 5 = 3 \times 3^\omega = 3^{\omega+1} \quad (4.13) $$

$$ 6 \times 15 = 2^{\omega+1} \times 3^{\omega+1} = (2 \times 3)^{\omega+1} = 6^{\omega+1} = 6^\omega \times 6 \quad (4.14) $$

Mais d'autre part on retrouve aussi de manière cohérente :

$$ 6^\omega = (2^{\omega+1})^\omega = (2^\omega)^{\omega+1} = (3)^{\omega+1} = 3^\omega \times 3 = 5 \times 3 = 15 \quad (4.15) $$

$$ 6 \times 15 = 2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 3^\omega = 2 \times 3^{\omega+2} = 2 \times 3^{\omega+1} \times 3 = 6 \times 3^{\omega+1} \quad (4.16) $$
De plus, en utilisant les règles d'exponentiation vues en introduction, sur la puissance $\omega$ (par exemple $(a^\omega)^\omega = a^{\omega^2}$ comme on l'a démontré précédemment), on a aussi de manière cohérente avec ce qui précède :

$$6^\omega = (2^{\omega+1})^\omega = 2^{\omega^2+\omega} = 2^{\omega^2} 2^\omega = (2^\omega)^\omega \times 3 = 3^\omega \times 3 = 5 \times 3 = 15 \quad (4.17)$$

## 5. Écriture et numéro d'ordre des éléments de $\mathbb{N}^*\mathbb{N}_\omega$

Comme on l'a vu dans la construction itérative de $\mathbb{N}^*\mathbb{N}_\omega$, tout nombre premier peut s'écrire à partir d'un seul nombre premier comme base sous l'exposant. Ainsi on a :

$$5 = 3^{\omega} = (2^{\omega})^{\omega} = 2^{\omega^2} \quad (5.1)$$

$$11 = 7^{\omega} = (5^{\omega})^{\omega} = ((3^{\omega})^{\omega})^{\omega} = (((2^{\omega})^{\omega})^{\omega})^{\omega} = 2^{\omega^4} \quad (5.2)$$

On obtient ainsi une propriété importante de notre ensemble. On peut adresser tout nombre premier par son numéro d'ordre sans même en connaître sa valeur.

Si l'on s'appuie sur la base 2, le deuxième nombre premier est $2^{\omega^{(n-1)}}$. Pour un autre nombre premier comme base, c'est le numéro d'ordre (par rapport à ce nombre premier) qui change, mais la propriété d'adressage est toujours vraie. On en déduit que tout nombre premier peut s'écrire sous forme de puissance de $\omega$: $p_j = p_i^{\omega_n}$ et en particulier selon la définition de l'indice $i$ (cf. tableau de la proposition 2.2) $n = j - i$.

Plus précisément, pour tout nombre premier, on a par récurrence :

$$p_i^{\omega} = p_{i+1}; (p_i^{\omega})^{\omega} = (p_{i+1})^{\omega} = p_{i+2} = p_i^{\omega^2}; p_{i+n} = p_i^{\omega^n} \quad (5.3)$$

D'où la propriété suivante (pour $n = j - i$) :

**Lemme 5.1.** Le $(j-i)$ième nombre premier après $p_i$ est $p_j = p_i^{\omega^{j-i}}$. En particulier pour $i=1$ et $j=n$, le deuxième nombre premier est $p_n = 2^{\omega^{n-1}}$.

Du lemme 5.1 et du théorème fondamental de l'arithmétique, on déduit que tout nombre entier peut s'écrire pour une base $p_j$ sous la forme d'un exposant polynomial en $\omega$ :

**Lemme 5.2.**

$$\forall n \in \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}, \forall p_j \in \mathbb{N}^*, \exists a_k \in \mathbb{N}, n = (p_j) \sum a_k \omega^k \quad (5.4)$$

**Remarque 5.1.** Dans notre notation, l'ensemble des ordinaux $\mathbb{N}_\omega$ (les exposants $b$ de $a^b$) est constitué des polynômes en $\omega$ à coefficients dans $\mathbb{N}$.

Et en particulier, ce théorème important pour $p_j = p_1 = 2$ :

**Théorème 5.1.**

$$\forall n \in \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}, \exists a_k \in \mathbb{N}, n = 2^{\sum a_k \omega^k} \quad (5.5)$$
La multiplication des entiers dans $N^*N^\omega$ revient alors à une addition sur les polynômes de $\omega$ (pour les puissances d'une même base de nombre premier $p_j$).

Ce théorème n'est ni plus ni moins une réécriture du théorème fondamental de l'arithmétique, où le polynôme en $\omega$ caractérise la décomposition en nombres premiers. Les $\omega$ (avec leur puissances) représentent les changements de nombres premiers et les coefficients devant $\omega$, les puissances sur ces nombres premiers : $2^{2.54} = 2^{2\omega^0+0\omega^1+4\omega^2+0\omega^3+...}$

Ces polynômes en $\omega$ définissent finalement une numération de position sur une base infini dénombrable $N$. Concrètement, on a la base $N$ à la place, par exemple, d'une base 10. Et dans ce cas, à la place des « unités » on a les coefficients de $\omega^0$, à la place des « dizaines » on a les coefficients de $\omega^1$, etc. Cela correspond, dans la version classique du théorème fondamentale de l'arithmétique, pour le nombre d'unités, à la puissance de $2^{\omega^0} = 2$, pour le nombre de « dizaines », à la puissance de $2^{\omega^1} = 3$, pour le nombre de « centaines », à la puissance de $2^{\omega^2} = 5$, etc. Ce point de vue, sous la forme de numération de position, montre assez naturellement l'unicité de la décomposition. A chaque numération en $\omega$ dans $N_\omega$ (i.e. les polynômes en $\omega$) correspond un unique entier naturel dans $N^*N_\omega = N^*N_\omega$.

**Remarque 5.2.** Avec le théorème 5.1, on retrouve la construction de $N^* = N^*N_\omega$ vue au §3.

**Lemme 5.3.** Pour les entiers $n$ non premiers, $n^\omega$ est un entier non premier.

Cela se déduit de la décomposition en facteur de nombre premier et de l'application de la puissance $\omega$ qui redonne une nouvelle décomposition en facteur de nombre premier (avec autant de nombre premier).

On rappelle qu'on a aussi :

**Lemme 5.4.** Pour les entiers $p_i$ premiers, $p_i^\omega$ est un entier premier.

Cela se déduit directement de la proposition 2.2 et de l'infinité dénombrable du nombre de nombres premiers.

Il en découle que l'application successive de la puissance $\omega$ sur le nombre premier 2, donne tous les nombres premiers (lemme 5.4) et seulement les nombres premiers (lemme 5.3).

**Remarque 5.3.** Le nombre 1 n'est pas un nombre premier dans notre notation car à partir de $2^\omega = 3$ on a d'une part $(2^\omega)^0 = 3^0 = 1$ et d'autre part $(2^\omega)^0 = (2^0)^\omega = 1^\omega$. On en déduit qu'on a $1^\omega = 1$. Le nombre successeur de 1 est lui-même. Il n'a pas de successeur premier, il ne peut s'intégrer dans la liste infinie et complète, aux membres tous différents, du tableau de la proposition 2.2 et il ne peut être non plus une base par laquelle on obtient un nouveau nombre premier (cf. lemme 5.1).

Des lemmes 5.3 et 5.4, on peut aussi déduire :

**Lemme 5.5.** $\forall n \in N^*N_\omega, n^\omega \in N^*N_\omega$.
**Remarque 5.4.** Dans la relation $p_n = 2^{\omega^{n-1}}$, on pourrait être tenté de poser $n = \omega + 1$, on aurait alors $p_{1+\omega} = p_1^{\omega} = 2^{\omega}$. Mais on remarquera que cette écriture pose problème en termes d'interprétation. Puisque $\omega$ est un opérateur qui se met à la puissance d'un entier, l'écriture $\omega^\omega$ n'a a priori pas de sens dans $N_\omega$ et donc dans $N^{*N_\omega}$. Mais aussi, si $\omega$ est le premier nombre après les nombres entiers, écrire « $p_{1+\omega}$ » (et même « $p_\omega$ ») signifie qu'on a des nombres premiers au-delà des entiers naturels, ce qui, en plus d'interroger sur un tel nombre, contredit la définition de $N^{*N_\omega}$ dont chaque élément et la base doivent être un élément de $N^*$. Autrement dit, si de tels nombres existent, ils ne sont pas éléments de $N^{*N_\omega}$. Et dans $N^{*N_\omega}$, les polynômes en exposant sont donc des polynômes de degrés dénombrables, i.e. de degrés des entiers naturels.

On déduit de cette remarque que :

**Lemme 5.6.** $2^{\omega^\omega} \notin N^{*N_\omega}$.

On peut alors aussi démontrer que :

**Lemme 5.7.** $\forall p_i$ premier, $p_i^{\omega^\omega} \notin N^{*N_\omega}$.

En effet, à partir du lemme 5.1, $p_i^{\omega^\omega} = (2^{\omega^{i-1}})^{\omega^\omega} = (2^{\omega^\omega})^{\omega^{i-1}}$. Avec le lemme 5.6, la contraposée du lemme 5.5 et par récurrence sur $i$, on obtient le lemme 5.7.

Et plus généralement, grâce au théorème fondamental de l'arithmétique :

**Lemme 5.8.** $\forall n \in N^*, n^{\omega^\omega} \notin N^{*N_\omega}$.

# 6. Intérêt de l'ensemble $N^{*N_\omega}$

A ce stade de notre étude, on a déjà quelques éléments intéressants qui nous permettent de faire un premier bilan sur $N^{*N_\omega}$ et d'imaginer ce que pourrait apporter cet ensemble.

Un premier point remarquable est qu'il permet d'adresser les nombres premiers sans en connaitre leur valeur explicite mais seulement leur ordre. Ainsi, le Nième nombre premier dans cet ensemble est « explicitement » $2^{\omega^{N-1}}$. Et dans cette écriture, « $N-1$ », est plus qu'un simple indice contrairement à « $p_{N-1}$ » car, par l'intermédiaire de $\omega$, cela devient un véritable exposant qui suit les règles de calcul de $N^{*N_\omega}$ (addition, multiplication et mise en puissance). Mais aussi, lorsqu'on écrit par exemple $11 = 2^4$, on peut se demander si quelquefois il ne serait pas intéressant de savoir qu'il s'agit du 5ième nombre premier (grâce au 4 en puissance de $\omega$) plutôt que simplement 11 (qui ne contient pas cette information dans son écriture). Cela dépend certainement du contexte car, par contre, l'ordre dans $N^{*N_\omega}$ est effectivement différent de l'ordre dans $N^*$, l'ordre des multiples coefficients du polynôme en $\omega$ ne donne pas l'ordre dans « $n+1$ » (c'est-à-dire selon un seul paramètre). En tout cas, c'est une nouvelle possibilité qu'offre notre ensemble qui n'existait pas à ce jour. On peut noter d'ailleurs le lemme suivant sur l'ordre des nombres premiers qui découle de la proposition 2.2.
**Lemme 6.1.** Si $n > m$, $p_i^{\omega^n} > p_i^{\omega^m}$.

Il existe aussi de nombreuses conjectures qui utilisent le nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre donné. Notre notation pourrait se révéler intéressante pour l'exprimer concrètement en particulier si le nombre donné est un nombre premier car comme on l'a vu auparavant (lemme 5.1), on a $(j-i)$ nombre(s) premier(s) entre $p_i$ et $p_j = p_i^{\omega^{j-i}}$ soit $(n-1)$ nombre(s) premier(s) entre 2 et $2^{\omega^n}$ ou entre $2^{\omega^i}$ et $2^{\omega^{i+n}}$.

Puisque $N^{*N_\omega} = N^*$, l'addition est effective dans $N^{*N_\omega}$. On peut alors écrire de manière intéressante dans cet ensemble de nombreuses conjectures sur les nombres premiers, comme par exemple sur les nombres jumeaux :

**Conjecture 6.1.** Quel que soit le nombre entier $N$, il existe $n > N$ qui vérifie $2^{\omega^{n+1}} - 2^{\omega^n} = 2 = 3^{\omega^n} - 2^{\omega^n}$.

On peut d'ailleurs proposer une conjecture encore plus générale (conjecture de Polignac) :

**Conjecture 6.2.** Quel que soit le nombre entier $k$, quel que soit le nombre entier $N$, il existe $n > N$ qui vérifie $2^{\omega^{n+1}} - 2^{\omega^n} = 2^k = 3^{\omega^n} - 2^{\omega^n}$.

Dans la suite de ce que l'on vient de dire, on pourrait ainsi concrètement tenter d'obtenir directement le rang (le numéro d'ordre) d'un nombre premier, i.e. quel que soit $p$ un nombre premier, quel est son rang $N$ tel que $p = 2^{\omega^N}$, ce qui pourrait donner naissance à une nouvelle fonction similaire au logarithme népérien « $\ln_2\omega(p) = N$ » (mais qui est ici une « puissance de puissance »). Cela implique peut-être de voir s'il existe une « procédure d'ordre » sur les exposants de $\omega$ ou sur les polynômes en $\omega$ ou bien une procédure pour prévoir l'apparition des puissances monomiales $\omega^n$, i.e. des nombres premiers. Mais une telle fonction semble tout de même difficile à imaginer car elle permettrait à la fois de savoir si un nombre est premier, ce qui est déjà un problème difficile mais en plus elle donnerait l'information qu'il s'agit du Nième nombre premier, un problème certainement tout aussi difficile. Et pour un nombre non premier, quel résultat donnerait une telle fonction ? Un nombre non entier ?

Un autre intérêt pourrait aussi être le lien que fait notre ensemble $N^{*N_\omega}$ avec la numérotation de position comme on l'a vu pour le théorème 5.1.

Cette section achève la première partie de notre étude dont le résultat a été la mise en place d'un nouvel ensemble de nombres. Dans la seconde partie, indépendante de ces résultats mais dans sa continuité, nous allons maintenant élargir cet ensemble pour en définir de nouveaux. Nous allons même créer de nouveaux nombres.

**7. Inversion de la multiplication de $N^{*N_\omega}$, en route vers $\mathbb{Q}^{+*Z_\omega}$**

On peut effectuer une première généralisation de notre structure en nous appuyant sur des puissances négatives, i.e. sur des ordinaux négatifs, qui donnent alors une base cardinale
rationnelle positive non nulle. Nous nommons en conséquence cet ensemble $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega}$. Cela répond au besoin assez naturel de donner du sens à des relations telles que :

$$15 = 3 \times 5 = 3^{1+\omega} \Rightarrow 3 = \frac{15}{5} = \frac{3^{\omega+1}}{3^{\omega}} = 3^{\omega+1-\omega} = 3 \quad (7.1)$$

Traditionnellement, on construit $\mathbb{Q}^{+*}$ à partir de $\mathbb{N}^*$ en munissant la multiplication d'une structure de groupe, c'est à dire qu'on enrichit $\mathbb{N}^*$ par les inverses « $n^{-1}$ ». Autrement dit, à chaque $p_i \in \mathbb{N}^*$, il existe un terme $p_i^{-1} \in \mathbb{Q}^{+*}$. Cela revient à ajouter dans le tableau de la proposition 2.2, les nouveaux éléments de base appartenant aux rationnels $\mathbb{Q}^{+*}$ tel que :

$$3^{-1} = 2^{-\omega} = \frac{1}{2^{\omega}} = \frac{1}{2} \frac{1}{2} \dots \frac{1}{2} \quad (7.2)$$

Notre ensemble $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ peut donc s'étendre de manière consistante en un ensemble symétrique vis-à-vis de la multiplication (un groupe pour la multiplication) en appliquant les règles d'exponentiation vues en introduction :

**Lemme 7.1.**

$$\forall n = p_j^{\sum a_k \omega^k} \in \mathbb{N}^* = \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}, \exists m = (p_j^{\sum a_k \omega^k})^{-1} \in \mathbb{Q}^{+*} \quad (7.3)$$

$$m = \frac{1}{p_j^{\sum a_k \omega^k}} = p_j^{\sum -a_k \omega^k} = (p_j^{-1})^{\sum a_k \omega^k} \in \mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega} \quad (7.4)$$

Cette symétrisation par le lemme 7.1 permet de justifier le théorème suivant :

**Théorème 7.1.** $\mathbb{Q}^{+*} = \mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega}$

Cette symétrisation correspond à la généralisation, à l'extension de l'usage de nos puissances « $b$ » de « $a^b$ » non plus seulement aux polynômes en $\omega$ à coefficients entiers positifs mais aux polynômes en $\omega$ à coefficients entiers négatifs.

**Remarque 7.1.** Avec les règles sur les puissances vues en introduction, la relation (7.1) implique que le nombre $\omega$ vérifie (pour les puissances) :

$$\omega - \omega = (-\omega) + \omega = 0 \quad (7.5)$$

Et par exemple :

$$\frac{p_i^{\omega}}{p_i^{\omega-1}} = p_i^{\omega-\omega} = \frac{p_i^{\omega-1}}{p_i^{\omega}} = p_i^{(-\omega)+\omega} = p_i^0 = 1 \quad (7.6)$$

Effectuons maintenant une seconde généralisation de notre ensemble qui va nous amener à de nouveaux nombres.
**8. Enrichissement de $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ (resp. $\mathbb{Q}^{*\mathbb{Z}_\omega}$) en $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_{\omega\omega^{-1}}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{*\mathbb{Z}_{\omega\omega^{-1}}}$)**

Jusqu'à maintenant, les puissances « b » de « $a^b$ » étaient des polynômes de puissances entières positives sur $\omega$, on va généraliser ces polynômes à des puissances entières négatives sur $\omega$.

Ce besoin apparaît naturellement, par exemple dans la situation suivante. A partir de :

$$2^{\omega+\omega^2} = 2^{\omega(1+\omega)} = 3^{(1+\omega)} = 3 \times 3^{\omega} = 3 \times 5 \quad (8.1)$$

En prenant une base « p » plus grande, en l'occurrence $p > 3$ pour la relation (8.1), on diminue le degré du polynôme « $\omega$ » en puissance :

$$3 \times 5 = 3 \times 3^{\omega} = 3^{(1+\omega)} = 3^{\omega(\omega^{-1}+1)} = 5^{(1+\omega^{-1})} = 5 \times 5^{(\omega^{-1})} \quad (8.2)$$

On en déduit :

$$3 = 5^{(\omega^{-1})} \quad (8.3)$$

Et selon les règles vues en introduction, on retrouve bien :

$$3^{\omega} = (5^{(\omega^{-1})})^{\omega} = 5^{(\omega^{-1}\omega)} = 5 \quad (8.4)$$

**Remarque 8.1.** Alors que $p_i^{\omega} = p_{i+1}$ implique que la puissance « $\omega$ » est un opérateur qui se traduit par « nombre premier successeur », la puissance « $\omega^{-1}$ » est un opérateur qui se traduit par « nombre premier prédécesseur ou antécédent », $p_i^{\omega^{-1}} = p_{i-1}$.

Avec l'ajout de cette opération de puissance en « $\omega^{-1}$ », se pose le problème de généraliser son usage à tous les nombres de notre ensemble. En fait pour tous les nombres premiers strictement supérieur à 2, l'usage de la puissance « $\omega^{-1}$ » redonne le nombre premier précédent qui est un élément de $\mathbb{N}^*$ et donc de $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$. Il suffit d'appliquer les relations 8.1, 8.2, 8.3 et 8.4 pour un nombre premier $p_i$ quelconque, pour le démontrer. Et avec le théorème fondamental de l'arithmétique, on assure que :

**Lemme 8.1.** *Tout nombre entier $n$ impair ($n$ ayant donc pas 2 dans sa décomposition), $n \in \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ (resp. $\mathbb{Q}^{*\mathbb{Z}_\omega}$) $\Rightarrow n^{\omega^{-1}} \in \mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$ (resp. $\mathbb{Q}^{*\mathbb{Z}_\omega}$).*

Par contre, cet enrichissement sur le premier nombre premier « 2 » implique la création d'un nouveau nombre « $2^{(\omega^{-1})}$ » qui ne fait pas partie de $\mathbb{N}^*$. En effet, ce premier nombre premier « 2 » n'ayant pas de prédécesseurs, le nombre « $2^{(\omega^{-1})}$ » n'appartient pas à $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}_\omega}$. Pourtant, de la même manière qu'avant l'apparition des nombres complexes, les nombres « imaginaires » pouvaient être utilisés transitoirement et de manière consistante pour la résolution de certaines équations de degrés supérieur à 2, nous pouvons utiliser ce nombre de manière transitoire et consistante. Par exemple, à partir de la relation suivante :

$$2^{\omega^2} = 5 \Rightarrow (2^{\omega^2})^{(\omega^{-1})} = 5^{(\omega^{-1})} \quad (8.5)$$
On obtient bien des relations cohérentes :

$$5^{(\omega^{-1})} = 3 \Leftrightarrow (2^{\omega^2})^{(\omega^{-1})} = (2^{\omega^{-1}})^{(\omega^2)} = 2^{\omega^2 \omega^{-1}} = 2^{\omega} = 3 \quad (8.6)$$

L'usage cohérent (non contradictoire) de cet élément (de cette puissance $\omega^{-1}$) indique qu'il s'agit d'un nombre valide mathématiquement. Cela nous amène donc à envisager la possibilité d'enrichir notre ensemble $N^*N_\omega$ par $2^{\omega^{-1}}$.

Et de manière plus générale, l'application successive de la puissance « $\omega^{-1}$ » à des nombres premiers de rang élevé est légitime car elle donne des nombres premiers appartenant à $N^*N_\omega$ jusqu'à redescendre à 2 (par exemple $(5^{\omega^{-1}})^{(\omega^{-1})} = 5^{(\omega^{-2})} = 2$). Donc, comme précédemment avec « $\omega^{-1}$ », l'usage des puissances « $\omega^{-n}$ » peut faire du sens dans $N^*N_\omega$ mais cela implique plus généralement l'existence potentielle des nouveaux nombres $2^{\omega^{-n}} \notin N^*N_\omega$.

Nous notons $N^*N_{\omega\omega^{-1}}$, cet ensemble enrichi par « $\omega^{-1}$ » pour l'exposant :

$$\textbf{Lemme 8.2.} \quad \forall n = p_j^\sum a_k \omega^k \in N^*N_\omega, \exists m = (p_j)^\sum a_k \omega^{-k} \in N^*N_{\omega\omega^{-1}}$$

Cette puissance « $\omega^{-1}$ » s'applique tout aussi naturellement à l'ensemble $Q^{+*Z_\omega}$. Ainsi, l'enrichissement de $Q^{+*Z_\omega}$ par ce nouveau nombre $2^{\omega^{-1}}$ permet d'obtenir un autre ensemble que l'on peut noter $Q^{+*Z_\omega\omega^{-1}}$ qui symétrise la structure vis-à-vis des puissances de $\omega$ :

$$\textbf{Lemme 8.3.} \quad \forall n = p_j^\sum a_k \omega^k \in Q^{+*Z_\omega}, \exists m = (p_j)^\sum a_k \omega^{-k} \in Q^{+*Z_{\omega\omega^{-1}}}$$

Les règles d'exponentiation vues en introduction se vérifient dans $N^*N_{\omega\omega^{-1}}$ (resp. $Q^{+*Z_{\omega\omega^{-1}}}$) de la même manière que dans $N^*N_\omega$ (cf. §4).

On peut aussi imaginer appliquer des puissances négatives, pas seulement à $\omega$, mais aussi à ses coefficients. L'ensemble de base au lieu d'être $N^*$ ou $Q^{+*}$ serait alors au minimum l'ensemble de tous les nombres algébriques voire tous les réels et donnerait l'ensemble $R^{+*Q_{\omega\omega^{-1}}}$. Mais on n'abordera pas ces ensembles dans le cadre de notre étude.

**Remarque 8.2.** Ce nombre est nouveau pour $N^*N_\omega$, à voire s'il correspond ou pas à un autre nombre déjà existant dans d'autres ensembles $(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C},...)$ ou s'il est véritablement nouveau (cf. §9). Autrement dit $a$-t-on $R^{+*} \subseteq N^*N_{\omega\omega^{-1}}$ ou $R^{+*} \subseteq Q^{+*Z_{\omega\omega^{-1}}}$ ou $C^{+*} \subseteq N^*N_{\omega\omega^{-1}}$ ou $C^{+*} \subseteq Q^{+*Z_{\omega\omega^{-1}}}$ ou ...?

On notera que suivant les règles vues en introduction :

$$(2^{\omega^{-1}})^\omega = 2^{\omega\omega^{-1}} = (2^\omega)^{(\omega^{-1})} = (3)^{(\omega^{-1})} = 2 \quad (8.7)$$

On en déduit :

$$\omega\omega^{-1} = \omega^{1-1} = \omega^0 = 1 \quad (8.8)$$

## 9. Réflexion autour du nombre $2^{\omega^{-1}}$ et des nombres $2^{\sum a_k \omega^{-k}}$

Si l'on reprend le tableau de la proposition 2.2 et que l'on applique les inverses des entiers en puissance, une première réflexion nous conduit à penser qu'à la suite de $2^{2^{-1}} = \sqrt[2]{2}$ ;
$2^{3-1} = \sqrt[3]{2}; 2^{n-1} = \sqrt[n]{2}$, qui tend vers la valeur 1, on va obtenir $2^{\omega^{-1}} = \sqrt[\omega]{2} = 1$. Et de même pour tous les autres nombres $p^{\omega^{-1}}$.

Un premier doute consiste à remarquer que cette situation n’est pas symétrique au tableau de la proposition 2.2, notamment à cause de la proposition 2.2. En effet, dans le cas de $\omega$ la succession des puissances donne la suite $2^2 = 4$ ; $2^3 = 8$ ; $2^\omega = \infty$ et de même avec tout $p_i^\omega$ ce qui aurait tendance à nous laisser conclure que pour tous les nombres premiers, on a $p_i^\omega = \infty$, définissant un unique infini, en contradiction avec la proposition 2.2.

Or, comme on l'a vu précédemment, les raisons qui nous pousseraient à penser que $2^{\omega^{-1}} = \sqrt[\omega]{2} = 1$ conduisent alors aussi à $p^{\omega^{-1}} = \sqrt[\omega]{p} = 1$. Or on a démontré (lemme 8.1) que dans $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}}$) on a pour tous les nombres impairs $n^{\omega^{-1}} \in \mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}}$). Par exemple, $5^{\omega^{-1}} = 3$ ou $7^{\omega^{-1}} = 5$ ..., autrement dit $p^{\omega^{-1}} = 1$ contredit ce qui est déjà démontré dans $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}}$), sous-ensemble de $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}}$).

Une seconde objection plus concrète peut aussi être exprimée. Dans notre ensemble $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}}$) si nous avions effectivement $2^{\omega^{-1}} = \sqrt[\omega]{2} = 1$, on aurait alors $(2^{\omega^{-1}})^\omega = 1^\omega = 1 = 2^{\omega\omega^{-1}}$ et par conséquent :

$$ \omega\omega^{-1} = \omega^{1-1} = \omega^0 = 0 \qquad (9.1) $$

La relation 9.1 pose alors au moins deux problèmes. Un premier problème se pose car $\omega\omega^{-1} = 0$ signifie que $\omega^{-1}$ est alors un élément absorbant, i.e. que $\omega^{-1} = 0$ ce qui à nouveau contredit les relations du type $5^{\omega^{-1}} = 3$. Un second problème se pose dans la relation 9.1. L'égalité $\omega^0 = 0$ est contradictoire avec la relation 8.8 donnant $\omega^0 = 1$. Or on s'attend plutôt à avoir $\omega^0 = 1$, sauf si $\omega = 0$ (écriture qui n'est pas non plus sans poser problème) mais dans ce cas la proposition 2.2 n'aurait plus de sens.

Ainsi, la relation 8.8, qui vérifie les règles d'exponentiation indiquées en introduction, implique que $2^{\omega^{-1}}$ ne vaut pas 1 mais représente un autre nombre.

**Lemme 9.1.** Dans $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}}$), l'exposant $\omega^{-1} \neq 0$.

## 10. Quelques exemples d'opérations dans $\mathbb{N}^{*\mathbb{N}}$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}}$)

Dans ce court paragraphe, nous ne donnons que quelques exemples de manipulation de ces nombres. Comme toujours avec nos ensembles, tant que les nombres considérés ne font pas intervenir $\omega$ dans leurs puissances, les règles et lois de composition sur $\mathbb{N}^*$ (resp. $\mathbb{Q}^{+*}$) se propagent naturellement à nos ensembles et y sont donc naturellement vérifiées. Voyons voir ce qu'il en est en présence de la puissance $\omega$.

Par exemple si l'on a :

$$ 12 = 5 + 7 = 2^{\omega^2} + 2^{\omega^3} = 2^{\omega^2}(1 + 2^{\omega^3 - \omega^2}) = 5(1 + 2^{\omega^3 - \omega^2}) \qquad (10.1) $$

On en déduit que :

$$ 2^{\omega^3 - \omega^2} = \frac{12}{5} - 1 = \frac{7}{5} \qquad (10.2) $$
Or, on vérifie bien que :

$$ \frac{7}{5} = \frac{2^{\omega^3}}{2^{\omega^2}} = 2^{\omega^3 - \omega^2} \qquad (10.3) $$

De même :

$$ 1 + 2 = 3 = 2^{\omega} \qquad (10.4) $$

$$ 1 + 4 = 5 = 3^{\omega} = 2^{\omega^2} \qquad (10.5) $$

Donc :

$$ 1 + 4 = 1 + 2 + 2 = 2^{\omega} + 2 = 2(2^{\omega-1} + 1) \qquad (10.6) $$

Or d'une part :

$$ (\frac{7}{5})^{\omega^{-2}} = \frac{7^{\omega^{-2}}}{5^{\omega^{-2}}} = \frac{3}{2} \qquad (10.7) $$

Et d'autre part :

$$ (\frac{7}{5})^{\omega^{-2}} = (2^{\omega^3 - \omega^2})^{\omega^{-2}} = 2^{\omega-1} \qquad (10.8) $$

On vérifie bien alors que :

$$ 1 + 4 = 2(1 + 2^{\omega-1}) = 2(1 + \frac{3}{2}) = 5 \qquad (10.9) $$

## 11. Quelques applications dans $N^*N_\omega$ (resp. $Q^+Z_\omega$)

Dans nos ensembles on peut assez facilement démontrer l'irrationalité de la racine carrée d'un nombre qui ne soit pas un carré parfait. Dans $Q^+Z_\omega = Q^+$, tous les nombres rationnels $q$ s'écrivent $q = 2^{\sum a_k \omega^k}$ avec des coefficients $a_k \in \mathbb{Z}$. Les nombres qui sont des carrés parfaits sont tous ceux qui ne possèdent que des coefficients pairs $(q^2 = 2^{2\sum a_k \omega^k})$. Or la racine carrée d'un nombre dans nos ensembles est $\sqrt{q} = (2^{\sum a_k \omega^k})^{\frac{1}{2}} = q^{\sum \frac{a_k}{2} \omega^k}$. En conséquence, tout nombre qui a au moins un coefficient non pair (i.e. qui ne soit pas un carré parfait), aura pour racine carré au moins un coefficient qui ne soit pas entier relatif. Il ne sera donc pas rationnel.

Alors qu'un nombre premier dans $N^*N_\omega = N^*$ est un nombre qui n'a qu'un monôme $\omega^k$ en exposant $(2^{\omega^k})$, deux nombres seront premiers entre eux, lorsqu'ils n'auront aucun monôme en commun. Par exemple $45 = 2^{\omega^2+2\omega^1}$ et $28 = 2^{\omega^3+2\omega^0}$ sont premiers entre eux alors que $45$ et $12 = 2^{\omega^1+2\omega^0}$ ne le sont pas ($\omega^1$ en commun correspondant à $3 = 2^{\omega^1}$). Une critique serait de dire que si l'on a su écrire les nombres $45, 28$ et $12$ à la manière de $N^*N_\omega$, i.e. sous forme d'une décomposition en polynôme en $\omega$, cela revient à savoir les décomposer en facteurs premiers ce qui est alors aussi simple de vérifier qu'ils sont premiers entre eux. C'est vrai, c'est pour cela qu'il faut peut-être voir ces ensembles sous un autre angle, à savoir
manipuler les nombres entiers sans connaître leur valeur explicite. On a en quelque sorte l'ADN du nombre sans en connaître « l'individu ». Ainsi, par exemple, $p_1 = 2^{k_1} \omega^{N_1} + k_2 \omega^{N_2}$ et $p_2 = 2^{k_3} \omega^{N_3} + k_4 \omega^{N_4} + k_5 \omega^{N_5}$ avec $N_1 \neq N_2 \neq N_3 \neq N_4 \neq N_5$ sont premiers entre eux.

De plus, on peut établir un lien entre cet « ADN » et sa valeur, en explicitant les opérateurs $\omega^n$. Leurs explicitations dépendent de la base « a » de « $a^b$ » et du numéro d'ordre du nombre premier $n$. Par exemple, en base 2, un nombre $2^{2^{\sum a_k \omega^k}} = 2^{a_0 \omega^0 + a_1 \omega^1 + a_2 \omega^2 + \dots}$ doit correspondre au nombre explicite $\prod p_k^{a_k-1} = p_1^{a_0} p_2^{a_1} p_3^{a_2} \dots = 2^{a_0} 3^{a_1} 5^{a_2} \dots$. Or dans cette dernière expression, on peut écrire $p_i = 2^{\alpha_i}$ avec $\alpha_i = \frac{\ln(p_i)}{\ln(2)}$. On en déduit que $\omega^0 = \frac{\ln(2)}{\ln(2)}$, $\omega^1 = \frac{\ln(3)}{\ln(2)}$, $\omega^2 = \frac{\ln(5)}{\ln(2)}$, $\dots$. Attention, cela ne signifie pas que l'application de l'opérateur $\omega$ soit constante (égale à $\frac{\ln(3)}{\ln(2)}$ par exemple) car comme on vient de le dire son application explicite dépend des rangs des $\omega$ sur lesquels il agit, sinon cela signifierait qu'on connaît tous les nombres premiers. En revanche, ce qui est garanti, c'est l'ordre sur les nombres premiers, d'où l'intérêt du lemme 6.1. Encore une fois, l'avantage de notre notation est de pouvoir travailler « en aveugle » mais avec la connaissance du rang $n$ du nombre premier $2^{\omega^n}$.

Pistes hypothétiques pour démontrer la conjecture de Syracuse. Une suite de Syracuse consiste à partir d'un entier naturel quelconque $n_0 \in \mathbb{N}^*$. La règle d'obtention du terme suivant est la suivante :

Si $n_i$ est pair, $n_{i+1} = \frac{n_i}{2}$, si $n_i$ est impair, $n_{i+1} = 3n_i + 1$.

La conjecture éponyme postule que toute suite de Syracuse atteint toujours le terme 1 (suivi du cycle trivial 1, 4, 2, 1, 4, 2, ...).

Dans notre notation un nombre pair est un nombre $2^{2^{\sum a_k \omega^k}}$ avec $a_0 \neq 0$, un nombre impair est un nombre $2^{2^{\sum a_k \omega^k}}$ avec $a_0 = 0$. Donc si $n_i$ est pair, $n_i = 2^{a_0+a_1 \omega^1+a_2 \omega^2+\dots}$, une division par 2 consiste à passer de $a_0$ à $a_0 - 1$. La succession de division par 2 va donc consister à faire disparaître le terme $a_0 = 0$. On a alors un terme $n_i = 2^{a_1 \omega^1+a_2 \omega^2+\dots}$. A ce moment, le nombre $n_i$ devient impair. La multiplication par 3 consiste à passer de $a_1$ à $a_1 + 1$. On a alors un terme $n_i = 2^{(a_1+1)\omega^1+a_2 \omega^2+\dots}$. Ce nombre est toujours impair, le fait de lui ajouter 1 va donc le rendre pair, soit $n_i = 2^{b_0+b_1 \omega^1+b_2 \omega^2+\dots}$. La conjecture consiste donc à montrer que $b_i < a_i$ pour $i > 0$ (i.e. pas pour $a_0$ qui peut croître) tant que $n_i > 3$ (i.e. en dehors du cycle trivial) ou peut-être qu'il existe toujours un rang $j > i$ tel que $b_j < a_i$ pour $i > 0$. L'idée serait donc de réussir à démontrer que systématiquement il existe un rang $j$ où les coefficients (autre que $a_0$) sont inférieurs à ceux d'un rang $i$ précédent. Car dans notre ensemble, les entiers naturels ont des polynômes en $\omega$ à coefficient dans $\mathbb{N}$, leur décroissance ne peut alors mener qu'à l'annulation de ces coefficients (autre que $a_0$). Une fois obtenu un nombre qui est une puissance de 2 seulement (i.e. avec seulement $a_0$), on obtient le cycle trivial, puisque lorsqu'on atteint $n_i = 1 = 2^0$, la multiplication par 3 donne $3 = 2^{0+1}\omega^1$ et l'ajout de 1 donne $4 = 2^{2+0}\omega^1$, et le cycle peut alors recommencer en faisant disparaître le coefficient $a_0$ et donner à nouveau 1.

Autre piste envisageable pour un usage de cette écriture: On pourrait définir des limites d'évolution des coefficients lorsqu'on a des additions d'entiers. En fait le point important serait de savoir ce que provoque le "$n_i + 1$" sur les coefficients de $\omega$ car cette opération in-
tervient souvent (on peut faire apparaître "n<sub>i</sub> + 1" dans la conjecture des nombres jumeaux par exemple), en montrant par exemple statistiquement que les coefficients diminuent ou possèdent un maximum (dépendant certainement du nombre lui-même) ou que la somme des coefficients diminuent ou possèdent un maximum ou que la somme des coefficients multipliés par le degré du polynôme diminue ou possèdent un maximum... même si localement (pour un nombre d'itération finie) ces termes puissent augmenter.

**12. Opérateur $\omega$ et nombres ordinaux**

Si nous avons utilisé le terme $\omega$ pour désigner l'opérateur « nombre premier successeur », ce n'est pas totalement par hasard. En reprenant notre construction de $N^{*N_\omega}$ vue dans §3, $2^\omega$ est le premier exposant permettant de dépasser tous les exposants de $N$. En ce sens, $\omega$ est le premier indice permettant de désigner cet élément ; il s'agit bien de l'ordinal de Cantor. Notons-le symboliquement par « $\omega = N + 1$ ». Ce nouveau nombre $2^\omega$ peut être élevé à la puissance de tous les nombres de $N$, ce qui conduit à un maximum de $2^{N_\omega}$. Chacun des termes de puissance entière $2^{k\omega}$ peut être multiplié par les termes précédents $2^n$, ce qui donne au plus $2^{N+N_\omega}$ si l'on se limite à $n \in N$. Mais en prenant aussi $n = \omega$, on a au plus $2^{\omega+N\omega} = 2^{(1+N)\omega} = 2^{\omega^2}$. On peut ainsi continuer indéfiniment. On voit que nos opérateurs se rapprochent de la notion de nombres ordinaux. Mais alors que classiquement, nous interprétons ces nombres comme des infinis (ce qui correspond assez naturellement à « $\omega = N + 1$ », dans nos ensembles, la notion d'infini ordinal correspond alors plutôt à une notion de « au-delà de », de « dépassement de », mais pas nécessairement d'infini. Nous avons vu précédemment que les opérateurs $\omega^n$ peuvent avoir une explication finie grâce au logarithme népérien (bien que de manière non unique). Dans nos ensembles, ces $\omega^n$ permettent de dépasser l'infini des puissances dénombrables de 2. Et cela nous amène à trois réflexions, la première est que l'infini de « $2^{\omega^n}$ » semble combler les trous du dénombrement au-delà de $2^n$ (de manière entière). La deuxième est que l'infini de « $2^{-\omega^n}$ » semble combler les espaces vides entre les entiers (de manière rationnelle). La troisième est que l'infini de $2^{\omega^{-n}}$ (nos « nouveaux nombres » potentiels) pourrait combler les espaces vides entre les rationnels. À $\omega$, premier nombre venant après tous les entiers $N$ (différent de l'infini dénombrable), nous aurions $\omega^{-1}$ une sorte de « premier (ou dernier) nombre » venant avant tous les rationnels $Q^+$ (différent de zéro). Le $2^{\omega^{-n}}$ pourrait être comparé à la notion d'incréments infinitésimaux en analyse ou, comme déjà mentionné, aux nombres algébriques et transcendants selon que les coefficients du $\omega$ (et pas seulement leur puissance) sont rationnels ou non ($2^{\omega^{-n}}$ pour les infinis algébriques et les polynômes en $\omega$ avec $2^{\omega^\omega}$ pour les transcendants). C'est pourquoi notre approche pourrait conduire à une nouvelle lignée entre les ensembles de nombres.

Concernant la non-univocité des valeurs explicites de nos opérateurs $\omega^n$, nous pouvons en fait établir une procédure similaire aux coefficients binomiaux de Newton à partir des nombres premiers. En notant $\omega_i^j = \frac{\ln(p_i)}{\ln(p_i)}$, on a alors la relation générale suivante : $\omega_i^j = \omega_i^m \omega_i^n$. Dans la notation $2^{a_0}\omega^0 + a_1\omega^1 + a_2\omega^2 + \dots$, $\omega^n$ représente alors $\omega_1^n$ (1 car tous les
coefficients sont évalués à partir du premier nombre premier 2). On en déduit également
que $(\omega_i^j)^{-1} = \omega_j^i$.

13. Discussion

D'une manière générale, on peut s'interroger sur la possibilité d'appliquer dans bien d'autres
contextes, la méthode que nous avons mis en place pour construire nos ensembles. En
effet, essentiellement, on part d'un ensemble extrêmement restreint (contenant potentiel-
lement un élément de base unique, dans notre cas le premier nombre premier 2) et d'une
opération qui génère de manière dénombrable un sur-ensemble de l'ensemble restreint de
départ. Puis on utilise $\omega$ le premier nombre venant après tous les entiers $\mathbb{N}$ pour identifier,
adresser un nouvel élément qui à son tour va enrichir l'ensemble de base. Cette procédure
« $\omega$ - iterative » permet finalement d'étendre la méthode de construction par récurrence
au-delà du dénombrable.

De nouveaux nombres sont apparus, mais la clé de voûte de ces nouveaux éléments est
certainement l'unique élément $2^{\omega^{-1}} = t$ par lequel les autres nouveaux nombres peuvent
s'écrire « $at^b$ ». Quel sens peut-on donner à ce nouveau nombre $2^{\omega^{-1}}$ ? Notre étude sug-
gère la possibilité d'étendre l'algèbre de Cantor sur $\omega$ aux puissances négatives, $\omega^{-1}$ (des
ordinaux rationnels). Nous serions alors en présence non seulement d'une variété d'infinis
mais aussi d'une variété de 0. Au premier nombre $\omega$ après $\mathbb{N}^*$, on aurait le premier nombre
$\omega^{-1}$ avant $\mathbb{Q}^*$.

Nous avons vu que nous pouvions généraliser $\mathbb{N}^*\mathbb{N}_\omega$ à une base rationnelle $\mathbb{Q}^{+*\mathbb{Z}_\omega}$, en est-il de même avec des bases réelles, complexes ou autres (voire transfinis) ? Et par rapport aux puissances, qu'en est-il des puissances polynomiales de degrés non entiers en $\omega$ tel que $p_i^{\omega^{n-1}}$, des ordinaux irrationnel (algébriques, transcendants, complexes ou autres) ?

On a aussi vu que cet ensemble $\mathbb{N}^*\mathbb{N}_\omega$ pourrait apporter une nouvelle approche sur les
nombres premiers. Mais il est fort probable, pour que cet ensemble soit encore plus in-
téressant, qu'il soit nécessaire de pouvoir effectuer des manipulations sur les exposants
contenant $\omega$. Cela implique de trouver une fonction logarithmique qui y soit compatible.
Un tel logarithme népérien (récupérant donc l'exposant de l'exposant de $\omega$) pourrait certai-
nement alors « faciliter » des démonstrations sur les nombres premiers. Mais comme nous
l'avons constaté dans cette étude, ce problème est extrêmement difficile, voire impossible
?

Nos ensembles s'appuient sur un terme générique « $a^b$ ». Il sera certainement instructif
d'avoir une approche géométrique de nos ensembles qui à priori sont composés de spirales
logarithmiques étant donné le terme générique. On a vu qu'une numération de position
apparait à travers les polynômes en $\omega$. Des liens pourraient naître entre numération, po-
lynômes et spirales, voire même l'analyse avec $\omega^{-1}$. On peut même imaginer des liens
avec l'étude des systèmes dynamiques où la transformation de Baker peut être convertie
en transformations sur les développements binaires, or des suites comme celles de Syra-
cuse (sur les entiers) sont quelque peu similaires à une transformation de Baker car elles
correspondent à des transformations sur les premiers coefficients de nos polynômes en $\omega$ (« $p_i x$ » et « $\frac{x}{p_j}$ ») et à un étalement également sur les autres coefficients (« $x + n$ »).

Références

[1] S. LE CORRE. — *Study about Non-Linear Structures*. Open Access Library Journal, 7:e6726, 2020. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1106726

[2] IREM. — *Histoires de Problèmes - Histoire des Mathématiques*. Ellipses, 1993, ISBN 2-7298-9368-7

[3] A. DASGUPTA. — *Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets*. Springer, 2014, https://doi.org/10.1007/978-1-4614-8854-5

[4] G. H. HARDY, E. M. WRIGHT. — *An Introduction to the Theory of Numbers*. Oxford, 2009, ISBN 978-0-19-921986-5

[5] J. DIXMIER. — *Cours de Mathématiques*. Gauthier-Villars, 1987, ISBN 2-04-015773-5

Stéphane Le Corre

EPFL, Station 16, 1016 Lausanne, Suisse ; stephane.lecorre@epfl.ch