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# À propos de calcul, une thématisation nécessaire.
## Esquisse d'une proposition

François Conne

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François Conne. À propos de calcul, une thématisation nécessaire. Esquisse d'une proposition. 2012. hal-04671873

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# À PROPOS DE CALCUL, UNE THÉMATISATION NÉCESSAIRE. ESQUISSE D'UNE PROPOSITION

François Conne, 2012¹

## RÉSUMÉ

Question vive : que permettent donc les habiletés calculatoires promues à l'école ? Pour moi, la réponse à une telle question épistémologique impose une thématisation de ce qu'est le calcul, une thématisation qui ne soit pas purement formelle mais qui cherche aussi à rendre compte de l'expérience que cela procure à celui qui calcule. Dans ce texte j'esquisse une proposition : *le calcul détermine le nom de quelque chose*. Lors des calculs, on travaille sur des expressions qui combinent des noms de nombres, de relations et d'opérations. Ces expressions peuvent être prises comme des paraphrases de ce qu'elles représentent, et servent à désigner quelque objet autrement que par son nom (par ailleurs connu ou inconnu). La chaîne de calcul revient à transformer des expressions en d'autres, équivalentes sous quelque aspect. Ce sont ces transformations que j'appelle calculer. *Calculer c'est chercher le nom de quelque objet en passant de paraphrase en paraphrase, sinon de cet objet, du moins de quelques propriétés ou caractéristiques qui le définissent*. J'illustre le propos avec des exemples numériques et des exemples géométriques d'explorations des relations que sous-tend un théorème de géométrie tel que celui de Pythagore à partir de preuves visuelles de celui-ci.

## MOTS CLÉS

Didactique des mathématiques, calcul, noms, paraphrases, preuve visuelle.

## INTRODUCTION

Cet article est motivé par le fait qu'actuellement on assiste à un regain d'intérêt pour la thématique de la dyscalculie et des difficultés d'apprentissages numériques<fnref n="2" />. Je suis chercheur en didactique des mathématiques depuis plus de trente-cinq ans [et en 2024, exactement cinquante]. Je suis venu dans le domaine par le biais des mathématiques. Bien qu'ayant collaboré étroitement avec un psychologue piagétien (Jean Brun), mon métier n'est pas celui de psychologue. J'ai aussi collaboré avec François Gaillard, en confectionnant quelques items de sa batterie *Numerical* (Gaillard, 1995³) dévolue au dépistage de dyscalculie développementale, je ne me suis jamais intéressé de très près à cette question. En effet, il ne suffit pas de se questionner sur les moyens que l'on a de restituer des élèves dyscalculiques ou en difficulté d'apprentissage à un enseignement ordinaire mais bien de se soucier de ce à quoi on les destine en aval de telles mesures. Ceci, à mon avis, n'est pas assez questionné par les didacticiens des mathématiques. Cet article se réfère aussi à une série de textes de ma facture, publiés dans *Maths Ecole*<fnref n="4" /> au milieu des années 80 (Conne, 1987-1988-1997⁵, cf. Annexe 1).

Dans ce qui suit je pars de quelques idées, cherche à en développer la formulation à l'épreuve de quelques exemples choisis. Certes, cela fait écho à des distinctions bien connues des

<footnote n="1">¹ [Ce texte a fait l'objet d'une relecture avec compléments et modifications entre janvier et juillet 2024. Les notes entre crochets sont des ajouts de 2024.]</footnote>

<footnote n="2">² [L'introduction de ce texte avait été initialement écrite à l'occasion de la publication d'un article dans la revue ANAE *Approches neurologiques des apprentissages chez l'enfant* « Doutes d'un didacticien des mathématiques chercheur sur le terrain de l'enseignement spécialisé » (Conne, 2012), dont le résumé est le suivant : « D'une part le didacticien des mathématiques constate une forte pression exercée par certains milieux de psychologues pour que l'on prenne en compte leurs avancées sur ces thèmes. D'autre part, il se rend compte que la société comprend de moins en moins ce que l'apprentissage du calcul apporte aux individus. Ce qui est en cause n'est ni la calculie ni la « numérie » que l'on n'atteindrait qu'au creux de leurs dysfonctionnements, mais bel et bien ce que calcul et nombre veulent dire. »]</footnote>

<footnote n="3">³ Gaillard F. (1995) avec Conne F. & Tièche Ch., « Number processing in language-impaired schoolchildren », *Approches Neuropsychologiques des Apprentissages chez l'Enfant* (ANAE), hors-série, janvier 1995, p. 52-57.</footnote>

<footnote n="4">⁴ [La revue porte actuellement le nom de *Revue de mathématiques pour l'école*, https://revue-mathematiques.ch/]</footnote>

<footnote n="5">⁵ Conne F. (1987-1988-1997), *Des dénombements à la division euclidienne. Activités numériques élémentaires à l'école primaire*. Une série de cinq épisodes ; quatre épisodes parus dans la revue *Math-école* (numéros 128, 130, 132, 133, 135) et un épisode inédit. Voir l'ensemble à l'adresse : https://shs.hal.science/halshs-04180917, et les résumés en annexe.</footnote>
épistémologues et mathématiciens. Il me semble que mes idées de départ rencontrent la distinction proposée par Jean Cavaillès entre « gestes combinatoires » et « gestes opératoires » dans la pratique des mathématiques, décrite et commentée par Pierre Cassou-Noguès dans son livre : *L'expérience mathématique. Essai sur la philosophie des sciences de Jean Cavaillès* (Cassou-Noguès, 2002). J'entrevois aussi un lien avec l'idée de Cavaillès de « thématisation » qui me semble pouvoir être en partie illustrée par les propos qui suivent. Toutefois, si je mentionne cet auteur plutôt que d'autres, c'est surtout parce que, dans son idée, ces notions concernent autant les pratiques de calcul que celles de géométrie et qu'un tel propos va dans le sens du cadre synthétique que je cherche à développer concernant l'enseignement des mathématiques à l'école. La didactique des mathématiques est, elle aussi, très directement concernée par les deux citations suivantes, celle de Lebesgue : « Un objet est défini ou donné quand on a prononcé un nombre fini de mots s'appliquant à cet objet seulement, c'est-à-dire quand on a nommé une propriété caractéristique de l'objet. » (Cassou-Noguès, 2002, pp.67-68) et celle de Cavaillès : « ...l'enrichissement du nommable coïncide avec l'élargissement même de la science. » (Ibid., p. 68). Elles confortent mes efforts de penser les pratiques d'enseignement des mathématiques, en l'occurrence ici celles de calcul, de recherches de réponses et/ou de solutions, d'exploration enfin des relations que sous-tend un théorème de géométrie tel que celui de Pythagore. Dans mon propos, il ne s'agit pas tant de définir tel ou tel objet mais de déterminer quel il peut être compte tenu de la donnée de quelques propriétés et relations qui le lie à d'autres. Il ne s'agit pas non plus d'élargir la science mais plus simplement de travailler les façons de nommer les mêmes objets afin d'en enrichir notre connaissance.

Les deux citations précédentes sont toutes deux extraites du chapitre intitulé : *Le problème des fondements*. Si je mentionne le livre de Cassou-Noguès et ce qu'il rapporte de Borel, Lebesgue et Cavaillès, je ne le fais pas relativement à quelque problème de fondement que ce soit, mais, si on me permet ce jeu de mots, dans la perspective de la fondation que doit opérer toute initiation par voie d'enseignement ou autre. Mon analyse, développée dans la suite du texte, se contente de considérer la nomination, ce que nommer des nombres, des relations, des opérations permet, et comment la recherche (par calcul, raisonnement, opérations graphiques, etc.) amène à tisser des liens tantôt entre noms divers pour un même objet, qu'entre noms de divers objets (les rendant par-là comparables). Dans mon propos sur les noms je tente de thématiser ce que l'expérience nous dit, comment elle nous parle. C'est pour cela que le livre de Cassou-Noguès *De l'expérience mathématique. Essai sur la philosophie des sciences de J. Cavaillès* fait écho à mes préoccupations<fnref n="6" />.

Actuellement les représentations que l'on se fait communément en matière de calcul numérique se réfèrent à des pratiques désormais révolues où on calculait soit à la main et par écrit en s'assistant d'un dispositif appelé « calcul en colonnes », soit selon des algorithmes très voisins de calcul mental. Il faut bien garder à l'esprit que ces instruments sont relativement récents au regard de la longue histoire des mathématiques. Tout comme ils ont pu être fortement investis par l'école, désormais ils seront de plus en plus désinvestis par elle. Je rappellerai aussi que les méthodes de calcul que l'on enseigne encore à l'école n'ont pas été inventées comme des moyens didactiques, mais bel et bien comme des moyens de mener des calculs nombreux, longs et difficiles. Ces instruments de calcul désormais obsolètes gardent pour l'heure la valeur didactique que la tradition veut bien leur octroyer. Ainsi donc lorsqu'on discute de dyscalculie et de moyens de la détecter puis ceux de « restituer » une compétence calculatoire à ceux qui en souffrent, on ne s'applique pas

<footnote n="6">⁶ À propos de la thèse de Cavaillès, Cassou-Noguès écrit : « En réalité, aucune solution au problème des fondements ne peut être attendue de considérations techniques formulées à propos d'une discipline particulière. Au contraire sont exigées une "réflexion critique sur l'essence même du travail mathématique" et, plus largement "une régression qui conduit à creuser au-delà du mathématique proprement dit, dans le sol commun de toutes les activités rationnelles". » Ainsi, concernant la dyscalculie mon argument est exactement celui de Cavaillès, on ne saurait considérer la question que sous l'angle de la technique, mais qu'il faut élargir la question aux pratiques. Toutefois pour mon propos, non seulement il ne s'agit pas de construction formelle menées à partir de quelque fondement ni, à l'inverse d'opérer quelque régression ou de creuser dans quelque sol que ce soit, mais seulement de considérer les balises que par expérience on laisse sur ce terrain. Cela dit, ma référence à Cavaillès s'arrête à ce peu de chose là.</footnote>
assez à se demander à quoi bon. Pour moi, le thème de la dyscalculie n’est pas assez thématisé. Je ne suis pas compétent pour le faire. Je remarque que pour les mêmes raisons exactement, l’évolution des formes de pratiques calculatoires dans la société, nous, didacticiens, nous trouvons devant un impératif analogue de thématisation : celle qui concerne le calcul et le nombre.

Une question vive : Que permettent donc les habiletés calculatoires promues à l'école ? On pourrait répondre : la familiarité avec les nombres, la connaissance des mondes numériques, etc. Je vous défie de me montrer, dans les manuels suisses francophones quoi que ce soit qui aille dans ce sens. Dans l'idéologie commune et majoritaire, la maîtrise de ces savoirs est dévolue à des applications externes : en gros permettre de se débrouiller dans le monde actuel, en omettant de considérer combien déjà maintenant nous avons délégué nos calculs à des automates. Il reste néanmoins que l'enseignement traditionnel du calcul a, jusqu'ici, fortement résisté, du moins dans les intentions. Ces intentions d'enseignement pèsent encore plus lourdement dans le domaine de l'enseignement spécialisé.

Pour moi, la réponse à une telle question épistémologique impose une thématisation de ce qu’est le calcul, une thématisation qui ne soit pas purement formelle mais qui cherche aussi à rendre compte de l’expérience que cela procure à celui qui calcule. Les outils informatiques de calcul qui nous y obligent ont été développés dans la droite ligne de la mise au point ancestrale de techniques calculatoires en arithmétique, en algèbre, en analyse et en logique. Tout au long de ce processus et jusqu’à aujourd’hui, cela s’est accompagné par l’élaboration d’appareils sémiotiques jouant le rôle d’interfaces entre l’homme et les dispositifs assistant ses calculs. Dans ces pratiques, la dimension sémiotique se taille la part du lion. Il se peut aussi fort bien que ce qu’offrent tant la pratique du calcul numérique que celle du calcul algébrique représente une propédeutique difficilement remplaçable pour introduire les apprenants aux pratiques mathématiciennes. Ce sont des systèmes extrêmement élaborés et bien stabilisés ; ils sont à la racine de tous ceux que l’on a implémentés dans nos automates. Cela signifie que l’école ne se tromperait pas en insistant sur de tels apprentissages, mais que les raisons qu’elle avance pour le justifier, essentiellement de nature utilitaire, sont, elles, erronées. Je ne réduis pas le calcul et encore moins les mathématiques à un domaine langagier. De ce point de vue prendre pour référence la conception avancée par Cavaillès, et distinguer avec lui les pôles combinatoires, opératoires et thématisant devrait dissiper tout malentendu.

Ci-dessous j’esquisse à propos de deux aspects du calcul seulement, ce que peut donner une telle
thématisation.

Cela commence par le rappel d'une confusion très commune, mais qui résiste très fortement dans notre culture, celle qui confond chiffres et nombres. (Cela se voit dans la manière dont sont traduits de l'anglais ou de l'allemand des textes de vulgarisation destinés aux enfants, par exemple, *Alex au Pays des Chiffres*, de Alex Bellos et dont le titre en anglais est : *Alex's aventures in Numberland*.

Ensuite j'entrerai sur un examen de ce qui se trame dans la dynamique de sémioses de calcul ou de raisonnement.

<footnote n="7">⁷ Bellos A. (2011) *Alex's adventures in Numberland*. London: Bloomsbury.</footnote>
LE CALCUL DÉTERMINE LE NOM DE QUELQUE CHOSE

Prenez ce qui suit pour une proposition faite à l'enseignement numérique élémentaire à l'école primaire. L'idée est de relier ces apprentissages à une découverte et une exploration du monde numérique. Et on commence alors par nommer les choses que l'on y rencontre. Je montre comment le travail de thématisation du calcul par lequel on opère sur ces choses permet une telle conception de l'enseignement<fnref n="8" />.

# 1. Noms de nombres et paraphrases d'expressions numériques

Il est très approximatif et maladroit de dire, comme on l'entend souvent : « les chiffres sont comme les lettres des mots que sont les nombres ». Les nombres en effet ne sont pas des mots. À proprement parler (sic), les nombres ne s'écrivent pas.

Par-contre, on peut assimiler les chiffres à des lettres formelles et les écritures chiffrées des nombres à des « mots formels ». Les noms de nombres et leur écriture sont dits, en logique (plus spécifiquement dans l'étude des systèmes formels) : « expressions bien formées ».

Toutefois, en pratique, on leur attribue bien plus que cela. Ce que l'on écrit, en mots ou en chiffres - voire tout autrement encore – sont des noms de nombres<fnref n="9" />. De ce point de vue, les chiffres qui composent l'écriture en numération chiffrée d'un nom de nombre sont eux aussi, des noms tandis que les noms de nombres sont des noms composés selon certaines règles qui les déterminent. Un nom de nombre l'identifie sous la forme d'une telle détermination.

En mathématiques, et même en arithmétique élémentaire, on ne s'arrête pas là car on nomme aussi les relations et les opérations par lesquelles on combine les nombres. Restreignons-nous ici au numérique tout en gardant en tête que ce que je déclare vaut pour tout en mathématiques. Lors des calculs, on travaille sur des expressions qui combinent des noms de nombres, de relations et d'opérations. Ces expressions peuvent être prises comme des paraphrases de ce qu'elles représentent, et servent à désigner quelque objet autrement que par son nom (par ailleurs connu ou inconnu).

Alors un nom composé peut déjà être considéré comme une paraphrase. Par exemple *neuf plus neuf* est paraphrase du nombre dont le nom est *dix-huit*. C'est un nom composé dont le principe est additif (entre autres : intervient aussi la base de la numération). *Dix-huit* est elle-même une paraphrase de *dix plus huit* alors que *neuf-neuf* n'est pas reconnu comme nom composé de nombre.

Du point de vue adopté ici, je dirais qu'en mathématiques les noms d'objets sont des

<footnote n="8">⁸ La didactique des mathématiques rejoint ici des idées de mathématiciens. Par exemple, dans l'analyse de la thèse de Cavaillès : *Méthode axiomatique et formalisme (1936/1937)* présentée et commentée dans le livre de Pierre Cassou-Noguès (2001), p. 66-68, il évoque les propositions de Borel et de Lebesgue pour réformer les mathématiques ou plus précisément les méthodes de l'analyse. À propos du premier, Cassou-Noguès écrit pp. 65-66 : « (Selon Borel) Avant tout, on ne peut raisonner que sur des nombres donnés par un procédé explicite de calcul. » Puis – je résume – : (Que) Borel donne donc une définition de ce qu'est un nombre calculable et reconstruit tout à partir de là. Mais (que) cela semble trop restrictif (bien que le programme de Borel n'ait jamais été rempli). À propos du second, Cassou-Noguès écrit p. 67 : « Lebesgue modifie la notion de définition de Borel et surtout en abandonnant l'exigence de construction. », puis il le cite pp. 67-68 : « Un objet est défini ou donné quand on a prononcé un nombre fini de mots s'appliquant à cet objet et à celui-là seulement, c'est-à-dire quand on a *nommé* une propriété caractéristique de l'objet. » Cassou-Noguès en conclut, p. 68 : qu'il s'agit de définir, ou de nommer, chacun des objets utilisés dans un raisonnement. Il cite enfin Cavaillès lui-même : « l'enrichissement du nommable coïncide avec l'enrichissement même de la science. » - Il faudrait aussi mentionner ici Hilbert. Je renvoie le lecteur à l'ouvrage de Cassou-Noguès.</footnote>

<footnote n="9">⁹ [Dans tout mon propos, je ne trouve pas pertinent de considérer la distinction nom-propre / nom-commun.]</footnote>
paraphrases habituelles de ces objets.

Les relations et opérations sont, elles aussi, paraphrasées par l'expression de transformations opérées **directement** dans les expressions sur les noms et tout ce qui les composent. Les calculs s'opèrent sur les composants des expressions. Par exemple sur les chiffres qui composent les noms de nombres.

Le calcul est donc, toujours et d'une manière ou d'une autre, tautologique.

## 2. La chaîne de calcul revient à transformer des expressions en d'autres, équivalentes sous quelque aspect.

Ce sont ces transformations que j'appelle calculer.

Elles sont strictement réglées de manière à préserver à chaque pas telle ou telle relation paraphrasée par l'expression que l'on transforme. D'un pas à l'autre de l'enchaînement, le calcul peut préserver une autre relation, mais chaque pas préserve une des relations.

La chaîne de calcul revient donc à transformer des expressions en d'autres, équivalentes sous quelque aspect. On y procède par transformations des noms qui les composent, associations les uns aux autres et déplacements, tout en étant assuré que, pas à pas, quelque chose soit préservé.

Les paraphrases avec lesquelles on joue ont même *signification*. Cet aspect fait que, une fois abouti et considéré en son entier déroulement, le calcul se présente comme une suite d'alias de son résultat. Par exemple, je produis une suite de noms composés arithmétiques du même nombre lorsque j'opère ce calcul :

$$67^2 = (60+7) \times (60+7) = 60 \times 60 + 60 \times 7 + 7 \times 60 + 7 \times 7 = 3600 + 420 + 420 + 49 = 4489.$$

Ce caractère tautologique et renversable ne rend néanmoins pas le calcul symétrique. Le calcul est en effet orienté : il a un sens, il est motivé (vu que, par ce calcul, on cherche à identifier quelque chose).

Si, maintenant, on me disait que 4489 est un carré parfait, et qu'on me demandait de trouver sa racine carrée, je suivrais quelque autre motif.

Tout d'abord, je pourrais deviner que ce nombre est de l'ordre de la soixantaine, vu que $60^2 < 4400 < 70^2$. Ensuite, au vu du chiffre 9 des unités de son carré, je déduirai que ce nombre ne pourra être que 63 ou 67. Et enfin me convaincre que, comme 4400 est plus proche de 4900 que de 3600, ce nombre doit être 67.

Sinon, je pourrais appliquer l'algorithme de la racine carrée, ce qui, en résumé, aurait donné : $4489 = 3600 + 889 = 60^2 + 127 \times 7$. Tout comme dans le précédant calcul, on aura ainsi déterminé les chiffres 6 et 7 du nom du résultat.

Mais je pourrais encore mener un calcul suivant une autre logique consistant à paraphraser les composants de ce nom de nombre, afin de recomposer les résultats trouvés de manière à découvrir le nombre cherché.

Dans le cas de cet exemple, une telle procédure se base sur la forme du nom 4489, et donne une manière de calculer la racine de nombres qui ont des noms analogues comme 444889, 44448889, etc., d'où focalisation sur la suite de 4 et celle de 8,
indices de diviseur de la forme : 11, 111, 11111, etc., et ensuite, la focalisation sur les 0 intermédiaires du quotient (408, 4008, 40008, etc.) et le fait que dans la division de 40 par 6, le chiffre 4 des dizaines « se trouve reporté sur celui du reste ». Ce qui donne, dans le cas de 4489 :

Décomposition :

$$4489 = 4488 + 1; 4488 = (408 \times 11); 408 = 6 \times 68; 68 = 66 + 2; 66 = 6 \times 11$$

Réarrangement :

$$408 = 6 \times (6 \times 11 + 2) = 6^2 \times 11 + 6 \times 2;$$

$$408 \times 11 = 6^2 \times 11^2 + 2 \times (6 \times 11) = 66^2 + 2 \times 66.$$

$$4489 = 66^2 + 2 \times 66 + 1 = (66 + 1)^2 = 67^2.$$

Ces trois calculs, bien que motivés par la même question, sont orientés selon d'autres paraphrases (formes d'écriture) de 4489.

Dans le premier cas, on se guide sur les relations entre la forme de l'écriture 4489 et celle du résultat cherché.

Dans le second cas, l'algorithme se calque sur l'égalité suivante (où n et m sont des nombres à un chiffre) : $(10n+m)^2 = 100n^2 + (20n + m) \times m$.

Dans le troisième cas, on se guide sur la « forme » du nom de la donnée (4...48...89) afin de la mettre en relation avec celle des noms de ses composantes (1...1) et, en fine, celle du nom de sa racine carrée (6...67).

Disons pour simplifier (mais je pense qu'on peut l'affirmer de tout calcul), que le calcul vise un nom : son aboutissement, son résultat est le nom de quelque objet mathématique (on peut aussi interrompre un calcul sur une expression, une paraphrase, celle-ci étant alors considérée à part entière comme un nom).

Calculer c'est chercher le nom de quelque objet en passant de paraphrase en paraphrase, sinon de cet objet, du moins de quelques propriétés ou caractéristiques qui le définissent.

Et comme je le dis : une fois ce nom déterminé par les transformations des expressions, le calcul tout entier, tout comme chacune de ses étapes, en devient, potentiellement du moins, paraphrase déterminée de cet objet.

### 3. Les énoncés de problèmes comme paraphrases de leur solution.

Cela dit, on peut élargir la perspective. Un problème associe un énoncé et une question. L'énoncé est paraphrase et la question revient à demander le nom de l'objet ainsi paraphrasé.

Un tel découplage permet à la fiction « ignorance de la réponse » de fonctionner. Lorsque quelqu'un évoque un problème que par ailleurs il sait résolu, voire qu'il sait résoudre lui-même, il opère cette fiction : en formulant l'énoncé du problème, il paraphrase la réponse, ce qui confère d'emblée à cette dernière le statut de solution à déterminer.
Certes, les problèmes les plus sérieux ne feignent pas l'ignorance. Mais déjà les conjectures présument la connaissance de leur réponse. Et de toutes les manières, ce qui est ouvert d'un problème ouvert est l'enchaînement des paraphrases qui pourraient mener à sa solution.

Une solution est une réponse (résultat) paraphrasée dans les termes de l'énoncé. Souvent aussi on appelle solution la paraphrase de la résolution elle-même.

Ici, “question”, “réponse”, “problème”, “solution”, “paraphrase” etc. sont des noms de relations faites objets.

## 4. Exemples numériques élémentaires.

### 4a. Situations élémentaires

Ces considérations sur les noms et les noms composés renvoient directement au dénombrement et au document *Situation élémentaire* (dans mes notes de cours<fnref n="10" />) qui porte sur l'évocation du dénombrement d'une quantité de 3472 objets en les regroupant par milliers centaines, dizaines et unités. J'y soutiens que dénombrer ainsi revient à organiser une collection de choses comme figurant celle d'un nom de nombre et j'ai insisté sur le fait que cette organisation était le reflet de la composition de ce nom. Notez que le ou les comptages impliqués dans le dénombrement sont organisés par la récitation de la suite des noms de nombres parlés. Lorsqu'on regroupe les objets dénombrés, on coordonne les organisations de ces deux actions empiriques et figurales.

De même lorsque, dans un calcul, un enfant dit : “trois et cinq, ça fait huit”, “huit” est le nom du nombre que “fait” l'addition des nombres “trois” et “cinq”. Et les enfants disent souvent : “le trois”, comme on dit “le Josèphe” ou “la Marie”. Mais l'expression verbale : “trois plus cinq” ou celle, écrite, “3+5” sont bien des paraphrases du nombre qu'on appelle habituellement : “huit”. ²³ est une paraphrase de ce même nombre, voire, dans certains contextes, un nom habituel pour ce dernier. De ce point de vue aussi, les tables d'addition ou de multiplication sont des lexiques de noms de nombres (mais pas des dictionnaires).

Qu'elle soit en mots ou en numération chiffrée, l'écriture d'un nom de nombre est l'expression d'une somme de multiples de puissances de 10. Mais cette écriture est prise en soi, comme un nom, globalement. L'habitude fait que le nom du nombre est perçu comme exprimant un nombre, directement (alors qu'elle l'exprime effectivement sous l'aspect d'une somme de forme conventionnelle).

### 4b. Ajouter ou soustraire deux nombres

Faire une somme ou une différence de deux nombres est donc transformer l'expression de somme / différence formée à partir des écritures des deux nombres (avec les signes de diagramme en ligne ou en colonnes de l'opération) afin de déterminer le résultat sous la forme convenue des noms de nombres (c'est-à-dire à paraphraser la somme ou la différence cherchée en la somme de composantes de la numération qui lui correspond).

La pose des données d'un calcul dans son diagramme en colonnes décompose ces données. Les calculs numériques qui s'en suivent travaillent directement et pour eux-mêmes sur les chiffres désignant ces composants.

L'addition / soustraction en colonnes, par exemple, revient à transformer et déplacer directement les chiffres des (écritures) de noms de nombres dans l'expression que constitue

<footnote n="10">¹⁰ [Conne F. (2000-2012) Notes de cours : Sur le numérique. Document inédit.]</footnote>
leurs inscriptions dans le diagramme. Elle aboutit à la formation de (l'écriture) d'un nom de nombre. Ayant identifié son nom, il nous est possible de dire le nombre (que ça fait) - on peut le convoquer dirait Peirce. La plupart du temps, les dire (et les répéter) a fonction de mémoire (ou d'appel de la table). Lorsque le calcul s'achève sur un résultat écrit, on omet souvent de le dire, tout simplement parce qu'il n'y a plus de raison de le faire.

Lors de la soustraction 1374 – 578, faite en colonnes par la méthode des emprunts, on transforme progressivement l'écriture du nom 1/3/7/4 en 1/3/6/14, puis 1/2/16/14, et enfin 0/12/16/14 qui est toujours l'expression d'une somme : 1200+160+14, pas de la même somme exactement que 1000+300+70+4, mais d'une somme qui donne 1374. Mais lors du calcul, on se suffit de considérer ces choses pas à pas, et donc on ne prend jamais en compte l'expression 0/12/16/14 en tant que telle (elle ne sera non plus jamais dite).

Mais on pourrait aussi bien écrire l'expression de la différence entre 1374 et 578 comme 1/-2/0/-4, soit 1000-200-4.

Vous aurez peut-être eu envie d'écrire ces choses en "plaçant" plus d'étapes intermédiaires par exemple si vous trouvez abrupt le passage de 1/-2/0/-4 directement à 1000-200-4, en vous appliquant patiemment à réécrire : 1/-2/0/-4 en 1x1000 + (-2)x100 + 0x10 + (-4), etc. Et ainsi de suite on peut toujours gloser en d'interminables paraphrases.

# 5. Exemples géométriques.

## 5a. Les douze figures des « preuves visuelles » de Pythagore

Geometry & Algebra

3

The Pythagorean Theorem I

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

—adapted from the Chou pei suan ching
(author unknown, circa B.C. 200?)

4

Proofs without Words

The Pythagorean Theorem II

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Behold!

—Bhāskara (12<sup>th</sup> century)
The Pythagorean Theorem III

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

—based on Euclid's proof

The Pythagorean Theorem IV

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

—H. E. Dudeney (1917)

The Pythagorean Theorem V

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

—James A. Garfield (1876)
20th President of the United States

The Pythagorean Theorem VI

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

—Michael Hardy
The Pythagorean Theorem VII

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

—Annairizi of Arabia (circa A.D. 900)

The Pythagorean Theorem VIII

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

—Liu Hui (3rd century A.D.)

The Pythagorean Theorem IX

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

—Leonardo da Vinci (1452-1519)

The Pythagorean Theorem X

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

—J. E. Böttcher
The Pythagorean Theorem XI

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

—Frank Burk

The Pythagorean Theorem XII

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

—Poo-sung Park

Notons tout d'abord que la culture scolaire nous a tous (ou quasiment tous) introduits et initiés à la relation de Pythagore par référence aux nombres aussi bien comme (mesures de) longueurs ou (mesures de) surfaces, ainsi qu'aux formules qui lient les mesures d'aires de carrés, rectangles ou triangles à celles de leurs côtés.

Voyons certaines preuves visuelles de ce théorème telles que rapportées dans les livres de Nelsen, (1993<sup>11</sup>, 2000<sup>12</sup>).

Les douze figures des “preuves visuelles” de Pythagore sont autant de paraphrases nommant ce théorème.

Pour nous, la figure d'un triangle rectangle accompagnée de la légende $a^2 + b^2 = c^2$ est son nom, celui par lequel il nous aura été présenté en premier. La formule algébrique, que parfois même on récite oralement, présente une image, une icône, au cœur de ce nom.

Pour certaines des figures de preuves, nul besoin de légende, elles suffisent à dire le théorème de Pythagore. Les « preuves visuelles » sont donc un réinvestissement moderne de noms et paraphrases non algébriques. Pour nous, il en reste une trace puisque l'on dit « carré » ou « cube » qui, dans ce contexte numérique sont des noms d'objets mathématiques auxquels nous ne faisons plus attention.

Les preuves visuelles donnent donc l'occasion de faire l'expérience de ce que cela donne d'aborder ce théorème de manière purement géométrique, voire-même de le réduire à une égalité d'aires en relation avec un certain triangle rectangle, en faisant abstraction de ce qui lie les mesures des côtés de ce rectangle et celles de ces aires. Bref de se passer de légendes numériques et algébriques. Par exemple, soit en tentant de trouver moyen de reproduire à

<footnote n="11"><sup>11</sup> Nelsen R. (1993) *Proofs without words. Exercises in visual thinking*. *Classroom resource materials*. The Mathematical Association of America.</footnote>

<footnote n="12"><sup>12</sup> Nelsen R. (2000) *Proofs without words II. More exercises in visual thinking*. The Mathematical Association of America.</footnote>
main levée ces figures de preuve, soit de regrouper celles-ci selon l'idée dont elles procèdent.

Cela dit, les propos qui suivent s'inscrivent dans la perspective de cette acculturation à cette manière « algébrique » d'évoquer les mesures de segments et de surfaces ainsi que leurs relations. Notez que nous lisons $a^2$ par « *a carré* » alors que nous lisons ab comme « *abé* » alors qu'on pourrait tout aussi bien le lire « *abé rectangle* ».

Nelsen nous invite à lire diverses figures dont le titre ou la légende est : *le théorème de Pythagore*. (Pour nous, lecteurs initiés à la géométrie plane), le nom de ce théorème renvoie immédiatement à sa paraphrase algébrique : $a^2 + b^2 = c^2$ associée à la figure du triangle rectangle<fnref n="13" />. Un diagramme un peu plus explicite consistera à indiquer les figures auxquelles correspondent les termes « carré » associés à a, b et c selon un diagramme enrichi des tracés de chacun des carrés considérés (que l'on trouve dans les figures I, III, IV, VII, VIII, IX et X de Nelsen).

À nous donc de trouver à lire cette égalité comme légende de ces figures de preuves, d'identifier sur quelles compositions géométriques chacune se base et de comprendre comment les déterminer. Dans tous les cas, on se focalise sur des figures d'aires égales, soit du fait que ces figures sont égales, soit, selon les cas, du fait de quelque « équidécomposition » (ex. figure IV) ou « équi-complémentarité » (ex. figure IX), soit des deux (ex. figure XII).

Par ailleurs, et relativement à ces figures, l'égalité n'est, la plupart du temps, qu'une légende possible à notre lecture. Rien n'empêche de lire ces figures comme illustrant d'autres relations. Par exemple, pour la figure de gauche de la preuve I citée par Nelsen, la légende : $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ serait tout aussi adéquate ; pour la figure de gauche de la preuve II, une légende adéquate aurait pu être l'égalité $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$.

Ainsi donc on peut associer au triangle rectangle (a ; b ; c) le triangle de côtés $(a+b)$ ; $(a-b)$ et $\sqrt{2}c$ sera lui aussi rectangle. On trouve cette relation dans la figure de la preuve IV. Resterait à trouver une figure qui illustre cette propriété.

Notez qu'à la preuve IV, on peut identifier l'égalité $(a^2-b^2) = (a+b) \times (a-b)$ qui intervient directement dans le calcul de la preuve VI.

La lecture de ces preuves visuelles peut donc se poursuivre par une mise en relation de ce que l'on appelle les identités remarquables. Sauf dans les cas illustrés par les figures des preuves III et XI, toutes ces identités apparaissent soit dans les figures soit dans les formules algébriques qui établissent le théorème (figures V et VI). Ce point mérite d'être soulevé car dans l'enseignement de la géométrie en Suisse francophone, la formule de Pythagore n'est jamais mise en relation avec les identités remarquables, et si on avertit bel et bien les élèves que $(a+b)^2$ n'est pas égal $a^2 + b^2$ on ne mentionne pas cette dernière écriture comme celle de la formule de Pythagore.

C'est une propriété des systèmes de noms que de distinguer, séparer les noms des objets. Il y a différents systèmes de noms désignant les mêmes objets mathématiques. La fonction du calcul ou du raisonnement est de tracer des réseaux de noms et de paraphrases, intra-, inter- et parfois trans-systèmes, donnant à mieux connaître les objets ainsi reliés.

Ce que, par l'étude des douze « figures visuelles » de preuves, je propose, c'est justement de les

<footnote n="13">¹³ Avec a et b les longueurs des côtés formant l'angle droit et c la longueur de l'hypoténuse.</footnote>
constituer en un système de noms de ce théorème.

Ces preuves deviennent des noms par le fait qu'elles deviennent résultat d'un calcul, réponse à une question problématique : comment prouvent-elles Pythagore ? Comment y lire un nom de Pythagore ? J' invite le lecteur à dépasser la détermination du nom algébrique pour celle de déterminer dans telle ou telle figure de preuve telle ou telle autre<fnref n="14" />.

5b. Mise en regard par un texte scolaire d'une formulation actuelle de la démonstration d'Euclide avec sa représentation sous forme de bande dessinée<fnref n="15" />

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Le noyau de l'enchaînement de la bande dessinée (étapes 1 à 6, ci-dessus) revient à répondre à la question suivante : « un demi-carré - prenons le premier que la BD présente, le carré construit sur le plus petit côté du triangle rectangle - a-t-il la même aire qu'un demi rectangle - celui de la partition du carré construit sur l'hypoténuse ? ».

La question porte sur une relation, la question est : est-ce que cette relation s'appelle « même aire » ?

L'énoncé du problème, la paraphrase (du nom) de cette relation, est la figure du triangle rectangle, des carrés construits sur ses côtés, des partitions en demi-carré des carrés dont les côtés sont les catètes du triangle et en deux rectangles du carré de côté de son hypoténuse (selon la hauteur du triangle rectangle).

Voilà une *Figure*, une expression faite de noms d'objets et (de relations) de leurs dispositions relatives.

<footnote n="14">¹⁴ [Pour complément cf. Conne F. (2012-2022) Notes de cours : Sur le géométrique. Document inédit.]</footnote>

<footnote n="15">15 Deledicq A. & F. Casiro F. (1998) *Pythagore et Thalès*. Les éditions du Kangourou, vol. 3, 2ème édition revue et augmentée.</footnote>
Dans leur BD, Deledicq et Casiro (1998, pp.8-10) ont choisi de représenter l'enchaînement de la démonstration (du calcul) comme un enchaînement d'une déformation, par étirement des triangles moitié de chacun des carrés<fnref n="16" /> (le sommet du triangle rectangle de départ est aussi sommet de chacun des deux demi-carrés construits sur ses catètes ; on déforme chacun des triangles en glissant ce sommet le long du côté de l'autre carré), d'une rotation de ce triangle transformé et d'une transformation, à nouveau par étirement, de ce triangle déplacé. Cet enchaînement met en évidence la relation entre le demi-carré de départ et le demi-rectangle d'arrivée. Cette relation est désignée, et du coup on détermine d'abord que ces triangles sont comparables, comme étant la relation « ont la même aire ».

La première étape transforme le nom du demi-carré en le nom d'un triangle dont on est assuré qu'il est de même aire.

La seconde étape montre que deux triangles de la figure sont superposables (par rotation). On peut dire que la figure présente en deux endroits est le même triangle (cf. la partie « Qu'est-ce que l'espace ? » dans le texte de Chevallard & Jullien *Autour de la géométrie au collège*, Petit x n° 27¹⁷).

La troisième étape fait comme la première, elle transforme le nom du triangle déplacé en un nom d'un autre triangle dont on est assuré qu'il est de même aire.

Etc.

L'enchaînement permet de dégager de la figure la relation entre le triangle de départ (le demi-carré) et celui d'arrivée (le demi-rectangle). La solution dit : « ce sont ces deux triangles qu'il faut comparer ». C'est une partie de la réponse à la question « comment ? », qui, elle-même, est un des volets de la question problématique du problème.

La réponse à l'autre volet de la question problématique est : « leur relation est d'avoir même aire ». Cette relation ne peut pas être déterminée par comparaison directe des deux noms de triangles et de leur place dans l'expression (paraphrase) qu'est la figure. Mais on en est assuré par le calcul : le nom du demi-carré a été transformé en une suite de noms de triangles dont, pas à pas, on s'est assuré qu'ils ont tous la même aire.

Le résultat **du calcul** (de la démonstration) est donc bien un nom, celui d'une relation entre deux choses : « ... a la même aire que ... ».

Mais les transformations ont porté sur des noms de triangles que l'on trouve insérés et combinés dans une figure – expression bien formée de noms d'objets géométriques et de leurs relation **et expressions de leurs transformations comme déformations de choses** – étirement / rotation.

Pour faire cette démonstration, on doit enrichir la figure de l'énoncé du théorème de Pythagore par quelques segments supplémentaires, afin de déterminer les triangles sur lesquels on raisonne.

(En suivant le même principe de démonstration, on aurait pu directement traiter les carrés (des côtés) en les déformant par étirement en parallélogrammes, en les faisant tourner d'un quart de tour, puis par étirement en rectangles. Cette manière de faire est plus économe en

<footnote n="16">16 Une telle déformation maintient le sommet à la même distance de sa base, et laisse constante l'aire du triangle ainsi déformé.</footnote>

<footnote n="17">¹⁷ Chevallard Y. & Jullien M. (1990) *Autour de la géométrie au collège*, *Petit x*, 27, 41-76.</footnote>
adjonctions de segments à la figure. Ce faisant, si on ne s'éloigne pas de « l'esprit » de la démonstration originale d'Euclide (p.10 ci-dessous) on ne la restitue pas non plus « à la lettre ».)

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

## AUTRE VOLET DE LA QUESTION PROBLEMATIQUE : JEU ENTRE SIGNIFICATIONS ET SENS DANS LE CALCUL

Le plus important à relever est que le calcul opère **directement** sur des expressions, des paraphrases ou des noms, et il doit **nécessairement le faire**.

Dès lors, par ce fait d'opérer directement sur les signes, le calcul n'est pas comparable à quelque « jeu de traduction de noms ». En effet lorsque l'on traduit, on remplace des expressions par d'autres, en opérant d'une langue à une autre. Par-contre, le calcul opère directement sur les signes qui composent les noms et expressions pour les recomposer en d'autres noms, qui ne sont pas forcément les noms des mêmes choses, et ce, **tout en restant dans le même langage**. (On peut considérer que les maths comportent différents langages, mais le calcul ne se fait jamais que dans un seul langage. Et bien sûr, ici, pas question de langue non plus.)

Le travail sur les signes (qui est de détermination) se substitue au travail sur les objets qu'ils désignent, dans un calcul, le sens du maniement des signes prend le pas sur les significations de ces signes<fnref n="18" />. Ainsi, pour la plupart des étapes (expressions et paraphrases) intermédiaires d'un calcul, on peut se suffire du sens qu'elles prennent, par la place qu'elles occupent dans le calcul, et on ne se préoccupe pas de prendre continument en considération les significations qu'on pourrait leur attribuer.

<footnote n="18">¹⁸ [L'usage que je fais ici des termes « signification » et « sens » ne correspond pas aux définitions de Frege que la plupart des auteurs ont adoptées. De plus, ma conception y associe un troisième terme encore, celui de « règle (cf. infra p.16).]</footnote>
Ainsi dans l'exemple ci-dessus de la soustraction 1374-578, on ne prendra jamais en compte l'expression 0/12/16/14 en tant que telle, et elle ne sera non plus jamais dite.

Notez que lorsque l'on opère un calcul en colonnes, on puise dans un répertoire de résultats élémentaires fourni dans un autre registre de signes que ceux du diagramme, tables d'opérations - mémorisées ou non – comptages sur les doigts, ou par tout autre moyen.

Cela dit, tant qu'on reste dans le même registre de signes, on aura, en principe, qu'à se préoccuper des significations expressions inscrites en entrée et en sortie du calcul. Bien entendu, que ce soit par précaution ou en cas de nécessité, on pourra opérer quelques « pointages » et « repérages » intermédiaires de significations.

Cela a l'avantage d'une économie : celle d'avoir à référer constamment ses calculs à ce que ces expressions, paraphrases ou noms désignent (des objets, des relations ou des opérations mathématiques et que l'on pourra, le temps d'un calcul confondre avec leur signe).

Mais cela **astreint aussi le calcul à une réglementation stricte et contraignante**, surtout que les signes sur lesquels on agit sont totalement livrés à notre volonté et qu'ils n'offrent en tant que tels aucune résistance à nos actes (si ce n'est celles provenant des dispositifs qui nous assistent dans nos calculs). Notons alors que les règles que nous nous donnons sont entièrement inscrites dans les limites de nos conceptions (la plupart du temps imparfaites et lacunaires), c'est-à-dire celles dans lesquelles s'inscrivent les significations que nous attribuons à ce que nous faisons et exprimons ; de ce fait, elles ne sont jamais a priori exactement calibrées aux développements que prendront les calculs. En pratique ce sera difficile de faire l'économie de tout recours à quelques significations intermédiaires à nos calculs.

Tant cette possibilité de travailler directement sur des signes, en court-circuitant en quelque sorte les objets qu'ils désignent, que cette nécessité de soumettre ce travail à un contrôle serré, **confèrent au calcul une certaine autonomie**. C'est cela qui assure aux calculs assistés par quelque logiciel leur fécondité et leur intérêt. Et ce d'autant plus que les actions que le calcul combine seront organisées et cohérentes.

En retour, ceci enrichit nos savoirs lorsque **nous interprétons leurs résultats** – corrects ou non - (en les confrontant à ce que nous savons par ailleurs des objets étudiés, antérieurement ou postérieurement, selon d'autres voies que ces calculs).

L'autonomie du calcul (ou détachement du sens et des significations) se renforce à l'exercice. C'est un des aspects que l'on attribue à l'acquisition d'automatismes.

L'enseignement et l'apprentissage y procèdent progressivement. En premier lieu, il s'agit de « lancer » les élèves dans le calcul. Pour cela, tout comme il en va, par exemple, dans l'apprentissage d'un nouveau jeu de cartes, l'enseignement doit être économe en règles et significations. Mais il faut ensuite que le calcul puisse se développer suffisamment, ce qui nécessite de la part de l'enseignement un étayage par rappel de règles – voire explicitation de règles jusque-là implicites - et de significations.

En cas d'égarement ou de “panne” dans le calcul, l'enseignant doit souvent procéder à un rappel de quelques liens de signes à leurs objets respectifs « perdus de vue » dans le feu de l'action, espérant trouver ainsi quelque motif susceptible de « corriger le tir ».

Une erreur de calcul est donc une des figures que peut prendre une rupture de lien entre sens et signification. Vu cette rupture et cette perte de sens, une erreur n'a, **mathématiquement parlant**,
pas de signification.

Elle engage à une reprise sur quelque signification soit déjà connue (mais qui ne doit pas nécessairement être une des significations ou des motifs qui ont présidé au lancement du calcul<sup>19</sup>), soit à imaginer.

## LES SIX PROPRIÉTÉS DU CALCUL

Les six propriétés du calcul (propriétés descriptives et non définitoires) exposées dans mon cours s'expliquent donc dans les termes que je propose : *noms, noms composés, paraphrases, paraphrases habituelles, expressions, significations et sens* (ce qui me rapproche d'une définition).

1) le calcul se fait sur des symboles<sup>20</sup> et selon certaines règles strictes régissant leurs arrangements et combinaisons ;

Dans un calcul, on travaille directement au niveau des constituants des noms et expressions. On le fait en suivant des règles strictes.

2) le calcul revient à transformer certaines expressions en d'autres selon des principes d'équivalence et de substitution ;

Le travail du calcul fait passer de paraphrases en paraphrases. Le principe est que, à chaque pas du calcul, quelque relation soit conservée.

3)<fnref n="21" /> le calcul se fait en boucles qui le répètent si possible à l'identique, ou au contraire le répliquent par variations – comme on le fait en musique ;

Ceci point caractérise l'organisation des actions de calcul, d'une part « horizontalement », comme développement et réécriture (reprise du même avec variation, jeux de paraphrases) et d'autre part « verticalement », comme emboîtements gigognes (composition des noms et expressions à partir de noms et expressions du même type).

4) les règles de maniement des symboles, qui sont toujours plurielles, sont assorties de conditions d'utilisation, en général restrictives<sup>22</sup>. Beaucoup de progrès en mathématiques ont amené à dépasser de telles contraintes et au moment de ces découvertes, cela a été vécu comme autant de transgressions<sup>23</sup> ;

<footnote n="19"><sup>19</sup> Un élève qui commet trop d'erreurs, un élève en difficulté, se trouve petit à petit encombré et empêtré dans un surplus de règles et de significations. Pour lui, ce que l'on appelle retour aux bases, n'est pas tant un réengagement de son apprentissage sur de « bonnes voies », comme on voudrait le croire, mais agit, dans le meilleur des cas, comme une « purge », un tri dans le fatras de règles et de significations que lui auront prodigué des actions inappropriées de la part de ses enseignants et soutiens, qui n'ont pas su respecter un équilibre subtil entre règles, significations et sens des calculs. Et l'élève avançant en âge, on aura tendance à s'acharner à lui faire apprendre ses bases. On le trouve alors souvent d'autant plus empêtré que ses moyens intellectuels se seront par ailleurs développés.</footnote>

<footnote n="20"><sup>20</sup> Le mot « symbole » est à prendre au sens commun et non pas au sens de Peirce. Ou alors considérer « légisignes iconiques ».</footnote>

<footnote n="21"><sup>21</sup> [La numérotation utilisée ici correspond à une autre numérotation que celle utilisée dans les *Notes de cours : sur le numérique*. Ici 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; dans les Notes : 1, 2, 5, 3, 4, 6.]</footnote>

<footnote n="22"><sup>22</sup> [De telles conditions assurent l'effectivité des procédures ou algorithmes. Par exemple dans le cas de la soustraction en colonnes ni emprunts ou retenues ne s'arrêteraient si le nombre inscrit en haut du diagramme, à qui un autre nombre est soustrait, était inférieur à celui inscrit en bas, que l'on soustrait au nombre du haut.]</footnote>

<footnote n="23"><sup>23</sup> [En levant la clause restrictive évoquée dans la note précédente, on peut proposer une notation des nombres négatifs où le signe « moins » est rendu par une suite de 9 infinie vers la gauche, et, implicitement le signe « plus » par une suite infinie de 0 vers la gauche. Il apparaît alors que, si on applique l'algorithmme de multiplication en colonnes à des nombres notés de cette manière, la « règle des signes » est directement produite par l'algorithmme. Certes, si du point de vue mathématique cela n'est qu'une curiosité,</footnote>
5) le calcul se fait sur plusieurs systèmes symboliques à la fois, certains écrits en chiffres, ou mots, certains oraux, certains de manipulation, ce sont les mises en relations convergentes de ces différents systèmes fonctionnant en parallèle et de manière plus ou moins entrelacée, qui est le plus important dans le calcul et qui nous indique si le calcul est juste ou faux<fnref n="24" /> ;

6) le calcul, mené en respectant les règles, ne produit que des expressions déterminées qu'il s'agit ensuite d'interpréter, cette interprétation recourt elle-même à d'autres règles, logiques cette fois<fnref n="25" />.

Ces trois caractéristiques sont reformulées dans le développement ci-dessus, qui expose le jeu, réciproquement “subversif”, entre significations et sens dans le calcul.

## RÉFÉRENCES

* Bellos A. (2011) *Alex's adventures in Numberland*. London: Bloomsbury.

* Cassou-Noguès P. (2002) *L'expérience mathématique. Essai sur la philosophie des sciences de Jean Cavaillès*. Paris : Vrin.

* Chevallard Y. & Jullien M. (1990) Autour de la géométrie au collège, *Petit x*, 27, 41-76.

* Conne F. (1987-1988-1997), *Des dénombrements à la division euclidienne. Activités numériques élémentaires à l'école primaire*. Une série de cinq épisodes ; quatre épisodes parus dans la revue *Math-école* (numéros 128, 130, 132, 133, 135) et un épisode inédit. Voir l'ensemble à l'adresse : https://shs.hal.science/halshs-04180917

* Conne F. (1987) Comptage et écriture des égalités dans les premières classes de l'enseignement primaire (1er épisode), *Math-Ecole, 128*, 2-12. https://shs.hal.science/halshs-01027537

* Conne F. (1987) Entre comptage et calcul (2ème épisode), *Math-Ecole, 130*, 11-23. https://hal.science/halshs-01048667

* Conne F. (1988) Numérisation de la suite des nombres et faits numériques (3ème épisode), *Math-Ecole, 132*, 26-31. https://hal.archives-ouvertes.fr/halshs-01048692.

* Conne F. (1988) Numérisation de la suite des nombres et faits numériques (suite du 3ème épisode), *Math-Ecole, 133*, 20-23. https://hal.science/halshs-01048712

* Conne F. (1988) Calculs numériques (4ème épisode), *Math Ecole, 135*, 23-36. https://hal.science/halshs-01048720

* Conne F. (1997) Diagrammes symboles et marques (5ème épisode). 32p. https://shs.hal.science/halshs-01133329

* Conne F. (2000-2012) Notes de cours : Sur le numérique. Document inédit.

* Conne F. (2012-2022) Notes de cours : Sur le géométrique. Document inédit.

* Conne F. (2012) Doutes d'un didacticien des mathématiques chercheur sur le terrain de l'enseignement spécialisé, *ANAE, 120-121*, 535-539.

* Deledicq A. & F. Casiro F. (1998) *Pythagore et Thalès*. Les éditions du Kangourou, vol. 3, 2ème édition revue et augmentée.

* Gaillard F. (1995) avec Conne F. & Tièche Ch., « Number processing in language-impaired schoolchildren », *Approches Neuropsychologiques des Apprentissages chez l'Enfant* (ANAE), hors-série, janvier 1995, p. 52-57.

<footnote>cela nous apprend sur la potentialité de ces algorithmes (ce dont, par exemple, J. Bernoulli a fait usage pour calculer les probabilités d'obtenir k comme sommes des scores d'un jet n dés à 6 faces).]</footnote>

<footnote n="24">²⁴ [Ceci caractérise le calculateur et son contrôle du calcul dans un réseau interprétatif. On n'applique jamais « aveuglément » ni tout à fait automatiquement une procédure de calcul.]</footnote>

<footnote n="25">²⁵ [Il s'agit de trouver une signification à ce qui aura été produit à l'issue du calcul, tantôt attribuable au résultat auquel il a mené, tantôt, réflexivement, attribuable au chemin suivi pour y aboutir. Cf. ci-dessus point 2, pp.5-7.]</footnote>
Nelsen R. (1993) *Proofs without words. Exercises in visual thinking*. *Classroom resource materials*. The Mathematical Association of America.

Nelsen R. (2000) *Proofs without words II. More exercises in visual thinking*. The Mathematical Association of America.
# ANNEXE : DES DÉNOMBREMENTS À LA DIVISON EUCLIDIENNE - ACTIVITÉS NUMÉRIQUES ÉLÉMENTAIRES À L'ÉCOLE PRIMAIRE (CONNE, 1987-1988-1997)

La série « Des dénombrements à la division euclidienne – Activités numériques élémentaires à l'école primaire » diffusée par la revue *Math-Ecole*, invite le lecteur à suivre le fil des montages symboliques accompagnant ces apprentissages à l'école et caractériser les activités scolaires selon les dispositifs associés.

*Episode 1/5 : Conne F. (1987) Comptage et écriture des égalités dans les premières classes de l'enseignement primaire (1er épisode)*. Math-Ecole, 128, 2-12.

**Résumé** : Premières distinctions entre ce que je nomme dénombrement, comptages et calculs qui mettent les sujets en positions diverses relativement aux dispositifs de calculs (jetons, doigts, écritures, par ex.). Régimes distincts de notation et de traitements symboliques, relation de ceci avec l'élaboration des représentations chez les élèves.

*Episode 2/5 : Conne F. (1987) Entre comptage et calcul (2ème épisode)*. Math-Ecole, 130, 11-23.
https://hal.archives-ouvertes.fr/halshs-01048667

**Résumé** : Focalisation sur un passage qui est le principal enjeu de l'enseignement numérique dans les trois premières années du primaire. Illustration de mes propos par l'évocation de recherches américaines sur le sujet.

*Episode 3/5 : Conne F. (1988) Numérisation de la suite des nombres et faits numériques (3ème épisode)*. Math- Ecole, 132, 26-31. https://hal.archives-ouvertes.fr/halshs-01048692.

*Episode 3bis/5 : Conne F. (1988) Numérisation de la suite des nombres et faits numériques (3ème épisode, suite)*. Math-Ecole, 133, 20-23.

**Résumé** [épisodes 3 et 3bis] : Mise en évidence du caractère récursif de la construction des connaissances numériques ce qui permet au nombre de se quantifier lui-même et par là de gagner en autonomie. Développement de la thèse selon laquelle les connaissances numériques s'étagent selon différents niveaux de réalité, et que les systèmes de représentations symboliques déterminent ces différents niveaux. Ils jouent comme des intermédiaires entre la réalité concrète et les concepts abstraites, et l'école voudrait qu'ils soient comme des échelons dans l'apprentissage.

*Episode 4/5 : Conne F. (1988) Calculs numériques (4ème épisode)*. Math Ecole, 135, p23-36.

**Résumé** : A partir de la distinction algorithme / heuristique, exposé de la thèse selon laquelle les algorithmes de calculs en colonne jouent en regard des calculs le rôle qui est celui de la numération de position en base dix vis à vis des différents systèmes de désignation des nombres. C'est ici que le joint est fait entre construction opérative et construction figurative dans les apprentissages numériques. Si l'on peut imaginer avec les chiffres et l'écriture des nombres un système de désignation de ces entités abstraites, il en est de même avec les calculs qui sont représentés par des écritures diverses, mais dont le diagramme support à un calcul en colonne devient une désignation universelle et la norme pour l'école élémentaire contemporaine. Analogie ente calcul assisté d'une calculette et calcul en colonnes qui n'est rien d'autre qu'un calcul assisté d'un diagramme.

*Episode 5/5²⁶ : Conne F. (1997) Diagrammes symboles et marques*. 32p.

**Résumé** : Dans l'épisode précédent la notion de diagramme était proposée, inspirée d'une distinction faite par M. Gardner dans son ouvrage : *L'étonnante histoire des machines logiques*. À partir de là, exposé complet des régimes de traitements symboliques dans les calculs assistés par un diagramme en colonnes et en particulier sur la distinction fonctionnelle entre symboles numériques et marques, ou traces laissées par le calculateur au cours de son calcul. Conséquences que cela a sur le traitement des erreurs en classe, et sur la gestion de règles de calculs et d'explications de différents niveaux tous susceptibles d'aider les élèves à maîtriser ces techniques.

<footnote n="26">²⁶ Ce cinquième épisode fût annoncé dès 1988, période de publication des épisodes précédents. Il est repris plusieurs fois et prend sa version définitive en 1997.</footnote>