# Remarque sur les échantillons gaussiens

Bruno Baldessari

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Bruno Baldessari. Remarque sur les échantillons gaussiens. Annales de l'ISUP, 1965, XIV, pp.393-406. hal-04084888

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# REMARQUES SUR LES ÉCHANTILLONS GAUSSIENS (*)

Bruno BALDESSARI

## 1. INTRODUCTION ET NOTATIONS.

1.1. Dans les analyses statistiques effectives de beaucoup de phénomènes, on pose les hypothèses suivantes :

a) la v.a. (variable aléatoire) dont l'échantillon est tiré est une v.a. de Laplace-Gauss ;

b) les n v.a. composant l'échantillon sont indépendantes.

Dans beaucoup de cas pratiques on peut penser que l'hypothèse a) est, à peu près, vérifiée (cela en vertu du théorème de Laplace) ; par contre, il n'existe aucune base rationnelle sur laquelle appuyer l'hypothèse b) . D'où l'intérêt d'examiner le cas dans lequel l'échantillon (ensemble de n v.a. de Laplace-Gauss) est, en effet, un vt.a. (vecteur aléatoire) de Laplace-Gauss à n v.a. composantes qui peuvent être soit indépendantes soit dépendantes, et la dépendance sera définie par la matrice des covariances du vt.a.

Dans la suite de cet article nous étudierons les relations entre la structure de la matrice de covariance et les propriétés des v.a. suivantes : variance de l'échantillon, rapport entre les variances de deux échantillons indépendants et rapport des variances de l'Analyse de la Variance.

Pour préciser cela, il faut donner quelques notations.

1.2. Désignons par $\mathbf{X} = (X_1, ..., X_n)'$ un vt.a. de Laplace-Gauss à n composantes, (l'indice $i$ désigne les transposées des matrices et des vecteurs). La loi sera notée $N(\mathbf{u}, \mathbf{V})$, où :

$$ \mathbf{u} = E(\mathbf{X}) = (E(X_1), ..., E(X_n))', $$

<footnote>(*) Travail effectué à l'Institut de Statistique de l'Université de Paris, avec l'aide financière de l'O. T. A. N. (contrat n° 115).</footnote>
est un vecteur à n composantes où :

$$E(X_1) = E(X_j), \quad (i, j = 1, \dots, n),$$

et où **V** est une matrice carrée d'ordre n dont les éléments sont :

$$v_{ij} = E(X_i X_j) - E(X_i) E(X_j), \quad (i, j = 1, \dots, n).$$

La matrice **V** est définie positive.

**Définition.-** Nous appelons "échantillon gaussien de taille n à composants dépendants ou indépendants" sur les v.a. (gaussiennes) X₁, X₂, ..., Xₙ, un échantillon de taille 1 tiré d'un vt.a. (X₁, ..., Xₙ)' de loi N(u, **V**), (population).

La dépendance des n épreuves (c'est-à-dire des n v.a. X₁, ..., Xₙ) est considérée définie à partir de la matrice **V**.

Nous dirons brièvement "échantillon gaussien" au lieu de "échantillon gaussien de taille n à composants dépendants ou indépendants*.

Nous employerons les notations suivantes :

L[Y] : loi de la v.a. Y;

$\chi_p^2$ : v.a. chi-deux à p degrés de liberté (d.d.l.);

$F_{pq}$ : v.a. de Snedecor de paramètres p et q;

$I$ : (1, ..., 1)' : vecteur à n composantes égales à 1;

$I$ : matrice identité d'ordre n;

$U$ : $II'$;

$A$ : $\begin{pmatrix} a_1, \dots, a_1 \\ \vdots \\ a_n, \dots, a_n \end{pmatrix}'$ : matrice carrée d'ordre n, où on a : $a_1 > 0, a_2 > 0, \dots, a_n > 0$;

(A) ⇌ (B) : la proposition (A) est équivalente à la proposition (B).

**1.3.** Dans le § 2 de cet article, nous considérerons, en relation avec le vt.a. $X = (X_1, \dots, X_n)'$, la v.a. : $(n-1)S^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - M)^2$, où : $M = n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i$. En notation matricielle nous avons :

$$M = n^{-1} X' I, \quad (n-1)S^2 = X' (I - n^{-1} U) X.$$

Nous démontrerons la proposition suivante :
**Proposition 1.** - Dans les échantillons gaussiens, une condition nécessaire et suffisante pour que la v.a. $S^2$ ait la même loi que la v.a.

$$ \frac{\alpha}{n-1} \chi_{n-1}^2 \text{ est que : } \mathbf{V} = 2^{-1}(\mathbf{A} + \mathbf{A}') + \alpha(\mathbf{I} - \mathbf{U}), \alpha > 0. $$

La démonstration de cette proposition fait appel au théorème de Craig [4] dans la généralisation de Aitken [1]. Pour une référence rapide nous signalons aussi, le texte de Graybill [6].

1.4. Dans le § 3 de cet article, nous considérerons deux échantillons gaussiens indépendants l'un de l'autre :

$$ \mathbf{X}_{(i)} = (X_{i1}, X_{i2}, \dots, X_{in_i}), \quad n_i \ge 2, \quad i = 1, 2, \\ \text{et nous étudierons la v.a. } \frac{S_1^2}{S_2^2} \text{ ou :} $$

$$ (n_1 - 1) S_1^2 = \sum_{j=1}^{n_1} (X_{ij} - M_1)^2, \quad i = 1, 2, $$

avec : $M_1 = n_1^{-1} \sum_{j=1}^{n_1} X_{ij}$, $i = 1, 2$. Nous utiliserons les matrices $\mathbf{V}_1, \mathbf{I}_1, \mathbf{U}_1, \mathbf{A}_1, \quad i = 1, 2$, analogues aux matrices $\mathbf{V}, \mathbf{I}, \mathbf{U}, \mathbf{A}$, définies plus haut. Nous démontrerons la proposition suivante :

**Proposition 2.** - Si les deux échantillons gaussiens $\mathbf{X}_{(1)}$ et $\mathbf{X}_{(2)}$ sont, entre eux, indépendants, alors une condition nécessaire est suffisante pour que la v.a. $\frac{S_1^2}{S_2^2}$ ait la même loi que la v.a. $\beta F_{n_1-1, n_2-1}$, ($\beta$ constante positive), est que $\mathbf{V}_1 = 2^{-1}(\mathbf{A}_1 + \mathbf{A}'_1) + \alpha_i (\mathbf{I}_1 - \mathbf{U}_1)$, $\alpha_1 > 0$, $i = 1, 2$, $\beta = \frac{\alpha_1}{\alpha_2}$.

La démonstration de cette proposition utilise soit la proposition 1 soit un résultat de Baldessari [3].

Une conséquence de la proposition 2 est que l'utilisation du rapport $S_1^2/S_2^2$ comme test d'égalité des variances de deux échantillons est correcte seulement si nous sommes bien sûr que les éléments des deux échantillons sont mutuellement indépendants.

1.5. Dans le § 4 de cet article, nous considérerons le Plan d'Expérience classique, (voir par exemple : Dugue [5]), de l'Analyse de la Variance : un seul facteur G ayant $h \ge 2$ niveaux $G_1, G_2, \dots, G_j, \dots, G_h$, pour chacun desquels on a l'échantillon :

$$ \mathbf{X}_{(j)} = (X_{j1}, \dots, X_{jn_j})', \quad n_j \ge 1, \quad j = 1, \dots, h, \quad \sum_{i=1}^{h} n_i = n. $$
Nous supposerons que l'ensemble des h échantillons, $X_{(1)}, \dots, X_{(h)}$, constitue un échantillon gaussien (à n composant) que nous désignerons par $\mathbf{X} = (\mathbf{X}'_{(1)}, \dots, \mathbf{X}'_{(h)})'$.

Nous désignerons par :

$$S_G^2 = (h - 1)^{-1} \left[ \sum_{j=1}^{n} n_j^{-1} \left( \sum_{t=1}^{n_j} X_{jt} \right)^2 - n^{-1} \left( \sum_{j=1}^{h} \sum_{t=1}^{n_j} X_{jt} \right)^2 \right],$$

la variance entre catégories et par :

$$S_R^2 = (n - h)^{-1} \left[ \sum_{j=1}^{h} \sum_{t=1}^{n_j} X^2 - h^{-1} \sum_{j=1}^{n_j} \left( \sum_{t=1}^{n_j} X_{jt} \right)^2 \right],$$

la variance résiduelle.

Si nous désignons par $U_{jj}$ la matrice carrée d'ordre n dont les éléments $\mu_{pq}$ sont égaux à 1 si $n_1 + \dots + n_{j-1} + 1 \le p \le n_1 + \dots + n_j$, $n_1 + \dots + n_{j-1} + 1 \le q \le n_1 + \dots + n_j$, $(n_0 = 0)$, $j = 1, \dots, h)$, et 0 ailleurs, nous pouvons voir que :

$$(h - 1) S_G^2 = \mathbf{X}' \left( \sum_{j=1}^{h} n_j^{-1} \mathbf{U}_{jj} - n^{-1} \mathbf{U} \right) \mathbf{X},$$

$$(n - h) S_R^2 = \mathbf{X}' \left( \mathbf{I} - \sum_{j=1}^{h} n_j^{-1} \mathbf{U}_{jj} \right) \mathbf{X},$$

Nous avons aussi, l'égalité classique :

$$(n - 1)S_T^2 = \sum_{j=1}^{h} \sum_{t=1}^{n_j} (X_{jt} - M)^2 =$$

$$\mathbf{X}' (\mathbf{I} - n^{-1} \mathbf{U}) \mathbf{X} = (h - 1)S_G^2 + (n - h)S_R^2.$$

Nous démontrerons la proposition suivante :

**Proposition 3.-** Dans le plan d'expérience que nous venons de définir (échantillons gaussiens) et si la v.a. $S_G^2$ est indépendante de la v.a. $S_R^2$ les trois conditions suivantes sont équivalentes :

1/ La v.a. $\frac{S_G^2}{S_R^2}$ a la même loi que la v.a. $F_{h-1, n-h}$;

2/ La v.a. $S_T^2$ a la même loi que la v.a. $\alpha \chi_{n-1}^2$, $\alpha > 0$;

3/ La matrice des covariances $\mathbf{V}$ est telle que :

$$\mathbf{V} = 2^{-1} (\mathbf{A} + \mathbf{A}') + \alpha (\mathbf{I} - \mathbf{U}), \quad \alpha > 0.$$

La proposition 3 montre que le rapport classique des variances de l'Analyse de la Variance suit une loi $F_{h-1, n-h}$ même si nous avons une dépendance (spécifiée par la structure de la matrice de covariance $\mathbf{V}$) entre les éléments de l'échantillon.
La proposition 3 montre, en plus, que dans l'ensemble des matrices de covariance **V** pour lesquelles les deux v.a. $S_G^2$ et $S_R^2$ sont indépendantes les seules matrices telles que la v.a. $\frac{S_G^2}{S_R^2}$ ait la même loi que la v.a. $F_{h-1,n-h}$ sont, seulement, les matrices ayant comme structure : $2^{-1}(A + A') + \alpha(I - U)$.

**1.5.** Dans le § 5 de cet article nous démontrerons la proposition suivante :

**Proposition 4.-** Dans le plan d'expérience du § 1.4. (échantillons gaussiens), si les deux conditions suivantes sont remplies :

1/ Les h échantillons gaussiens sont, entre eux, indépendants,

2/ la v.a. $S_G^2$ est indépendante de la v.a. $S_R^2$;

alors les deux conditions suivantes sont équivalentes :

a) la v.a. $\frac{S_G^2}{S_R^2}$ a la même loi que la v.a. $F_{h-1,n-h}$;

b) la matrice de covariance est telle que : $V = \alpha I, \alpha > 0$.

La proposition 4 montre que si les h échantillons relatifs aux h niveaux du facteur G sont, entre eux, indépendants et si on impose que les 2 v.a., $S_G^2$ et $S_R^2$ sont indépendantes, alors, seul le cas classique, ($V = \alpha I, \alpha > 0$), assure que le rapport $S_G^2/S_R^2$ suit une loi $F_{h-1,n-h}$.

**2. LA STRUCTURE DE LA MATRICE V ET LA V.A. (n-1)S².**

**Proposition 1.-** Dans un échantillon gaussien, nous avons :

$(\mathcal{F}[(n-1)S^2] = \mathcal{F}[\alpha \chi_{n-1}^2]) \iff (V = 2^{-1}(A + A') + \alpha(I - U)), \alpha > 0.$

La démonstration utilise le théorème (connue, [6]), suivant : si le vt.a. **X** a une loi N(**u**, **V**) où le vecteur **u** à toutes les composantes égales entre elles et où **V** est définie positive, alors la forme quadratique $X'BX$ a la même loi que $\chi_k^2$ (ou $k$ est le rang de **B**) si et seulement si : $BV = BVBV$.

Remarquons tout d'abord que l'on peut vérifier sur des exemples qu'il existe des nombres $a_1 > 0, ..., a_n > 0, \alpha > 0$, tels que $V = 2^{-1}(A + A') + \alpha(I - U)$ est définie positive.

En second lieu, observons que :

$$\text{rang}\{(n-1)S^2\} = \text{rang}\{X'(I - n^{-1}U)X\} = n - 1$$

et donc, que si $(n-1)S^2$ a une loi $\chi_p^2$, nous avons nécessairement :

$$p = n - 1.$$
Démonstration de l'implication : ⇐= .

Si nous posons : $a = \sum_{i=1}^{n} a_i$, à partir des formules :

$UA = A'U = aU, UA' = nA', AU = nA, UAU = UA'U = naU, U^2 = nU,$

nous avons, après calculs :

$$ (V = 2^{-1} (A + A') + \alpha(I - U)) \implies (\alpha^{-1}(I - n^{-1}U)V = \\ \qquad \alpha^{-1}(I - n^{-1}U)V \quad \alpha^{-1}(I - n^{-1}U)V), $$

ce qui, en vertu du théorème énoncé, démontre l'implication : ⇐=.

Démonstration de l'implication : ⇐=.

Démontrons que si : $V^* = 2^{-1}(A + A') + \alpha(I - U) + H$ et si $V^*$ est telle que $\mathcal{L}[(n-1)S^2] = \mathcal{L}[\alpha X_{n-1}^2]$, alors la matrice (symétrique) $H$ est telle que $V^*$ a la même structure que :

$$ 2^{-1}(A + A') + \alpha(I - U). $$

En effet, si nous désignons par $h_{ij}$ les éléments de $H$, et si nous posons :

$$ h_i = \sum_{j=1}^{n} h_{ij}, \quad h = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} h_{ij} $$

nous avons :

$$ \begin{align*} (\mathcal{L}[(n-1)S^2] = \mathcal{L}[\alpha\chi_{n-1}^2]) &\iff (\mathcal{L}[(n-1)\alpha^1 S^2] = \mathcal{L}[\chi_{n-1}^2]) \\ &\iff (\alpha^{-1}(I - n^{-1}U)V^* = \alpha^{-2}(I - n^{-1}U)V^* (I - n^{-1}U)V^*) \\ &\iff (\alpha(I - n^{-1}U) = (I - n^{-1}U)[2^{-1}(A + A') + \alpha(I - U) + H](I - n^{-1}U)) \\ &\iff ((I - n^{-1}U)H(I - n^{-1}U) = 0) \\ &\iff \begin{pmatrix} h_{11}, \dots, h_{1n} \\ \vdots \\ h_{n1}, \dots, h_{nn} \end{pmatrix} - n^{-1} \begin{pmatrix} h_1 + h_1, h_1 + h_2, \dots, h_1 + h_n \\ \vdots \\ h_n + h_1, h_n + h_2, \dots, h_n + h_n \end{pmatrix} + h n^{-2} U = 0 \\ &\iff (h_{11} = -n^{-2}h + 2n^{-1}h_1, \quad i = 1, \dots, n; \quad h_{1j} = -n^{-2}h + n^{-1}(h_1 + h_j), \quad i \neq j) \\ &\iff (h_{ii} = -n^{-2}h + 2n^{-1}h_i, \quad i = 1, \dots, n; \quad h_{ij} = 2^{-1}(h_{ii} + h_{jj}), \quad i \neq j) \end{align*} $$

Mais, si : $h_{ij} = 2^{-1}(h_{ii} + h_{jj})$, $i \neq j$, alors les $n$ conditions $h_{ii} = -n^{-2}h + 2n^{-1}h_i, i = 1, \dots, n$, deviennent des identités.

Il en résulte que $\mathcal{L}[(n-1)S^2] = \mathcal{L}[\alpha\chi_{n-1}^2]$, implique que :

$$ V^* = 2^{-1} (A + H + A' + H') + \alpha(I - U), $$

ou on a :

$$ H = \begin{pmatrix} h_1, \dots, h_1 \\ \vdots & \vdots \\ h_n, \dots, h_n \end{pmatrix}, $$
c'est à dire que la structure de la matrice $V^*$ doit être la même que celle de la matrice : $2^{-1}(A + A') + \alpha(I - U)$.

Cela démontre la proposition 1.

### 3. RAPPORT DES VARIANCES DE DEUX ECHANTILLONS INDEPENDANTS

#### 3.1. Proposition 2. - Si les échantillons gaussiens

$X_{(1)} = (X_{11}, \dots, X_{1n_1})'$ et $X_{(2)} = (X_{21}, \dots, X_{2n_2})'$

sont, entre eux, indépendants nous avons :

$$ (\mathcal{L} \left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \right] = \mathcal{L}[\beta \ F_{n_1-1,n_2-1}]) \\ \iff (V_i = 2^{-1} (A_i + A'_i) + \alpha_i(I_i - U_i), \ i = 1, 2, \frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \beta), \\ \qquad \alpha_1 > 0, \alpha_2 > 0. $$

Dans le cours de la démonstration, nous utiliserons la proposition (connue :[3]) suivante : sous les conditions :

1/ le vt.a. ($\chi_0^2, \chi_1^2, \dots, \chi_r^2, \dots, \chi_0^2, \dots, \chi_r^2, \dots, \chi_s^2$)' est un vt.a. $r+s+2$ v.a. composantes $\chi_p^2$, (p.d.d.1.), mutuellement indépendantes ; (on pose :

$$ M = \sum_{i=0}^{r} m_i, \quad N = \sum_{j=0}^{s} v_j; $$

2/ le vt.a. ($\chi_m^2, \chi_v^2$) est un vt.a. à v.a. composantes indépendantes ;

3/ les $r+s+2$ nombres réels $\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_r, \beta_0, \beta_1, \dots, \beta_s$ sont positifs ;

on a l'équivalence suivante :

$$ ( \mathcal{L} \left[ \frac{\sum_{i=0}^{r} \alpha_i \chi_i^2}{\sum_{i=0}^{r} \beta_j \chi_j^2} \right] = \mathcal{L} \left[ \frac{\chi_m^2}{\chi_v^2} \right] ) \\ \iff (\alpha_0 = \dots = \alpha_r = \beta_0 = \dots = \beta_s = \alpha > 0, M = m, N = v). $$

#### Démonstration de la proposition 2

Quelle que soit la matrice des covariances $V_1$ (définie positive), relative au vt.a. $X_{(1)}$ la fonction caractéristique $\varphi_{(n_1-1)s_1^2}(t_1)$ de la v.a. $(n-1)S_1^2 = X'_{(1)}(I_1 - n_1^1 U_1)X_{(1)}$, est
$$ \varphi_{(n_1-1)S_1^2}(t_1) = \prod_{p=0}^{r} (1 - 2i \lambda_p t_1)^{-\frac{m_p}{2}} \quad (1) $$

où les nombres réels positifs : $\lambda_0, \dots, \lambda_r$, sont les racines (distingtives, non nulles et rangées par ordre croissant) de l'équation :

$$ |\lambda \mathbf{V}_1^{-1} - (\mathbf{I}_1 - \mathbf{n}_1^{-1} \mathbf{U}_1)| = 0, \quad (2) $$

tandis que les entiers positifs : $m_0, m_1, \dots, m_r$, sont les ordres de multiplicité des racines : $\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_r$.

La formule (1) est démontrée, pour les $\lambda$ de signe quelconque, dans, (par exemple), Kendall [8]. Les racines : $\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_r$ sont positives. En effet, les deux faits que la matrice $\mathbf{V}_1$ est définie positive et que la matrice $(\mathbf{I}_1 - \mathbf{n}_1^{-1} \mathbf{U}_1)$ est semidéfinie positive sont équivalents à l'existence de deux matrices réelles $\mathbf{C}_1$, $(|\mathbf{C}_1| \neq 0)$, et $\mathbf{D}_1$, $(|\mathbf{D}_1| = 0)$, telles que: $\mathbf{V}_1 = \mathbf{C}_1\mathbf{C}_1$, et :

$$ (\mathbf{I}_1 - \mathbf{n}_1^{-1} \mathbf{U}_1) = \mathbf{D}_1'\mathbf{D}_1 $$

(voir, par exemple, Ayres [2]).

Par conséquent, nous avons :

$$ |\lambda \mathbf{V}_1^{-1} - (\mathbf{I}_1 - \mathbf{n}_1^{-1} \mathbf{U}_1)| = |\lambda \mathbf{C}_1^{-1} (\mathbf{C}_1')^{-1} - \mathbf{D}_1' \mathbf{D}_1| = $$

$$ |\mathbf{C}_1|^{-2} |\lambda \mathbf{I}_1 - \mathbf{C}_1 \mathbf{D}_1' \mathbf{D}_1 \mathbf{C}_1'| = |\mathbf{C}_1|^{-2} |\lambda \mathbf{I}_1 - (\mathbf{D}_1 \mathbf{C}_1') (\mathbf{D}_1 \mathbf{C}_1')|, $$

et cela démontre que les racines : $\lambda_0, \dots, \lambda_r$, sont proportionnelles (et de même signe) aux racines non nulles de l'équation :

$$ |\lambda \mathbf{I}_1 - (\mathbf{D}_1 \mathbf{C}_1') (\mathbf{D}_1 \mathbf{C}_1')| = 0, $$

lesquelles sont réelles et non négatives parce que la matrice :

$$ (\mathbf{D}_1 \mathbf{C}_1') (\mathbf{D}_1 \mathbf{C}_1'), $$

est semi-définie positive.

En raison de (1), nous avons :

$$ \mathcal{L}[(n_1 - 1)S_1^2] = \mathcal{L} \left[ \sum_{p=0}^{r} \lambda_p \chi_p^2 \right], $$

et le vt.a. : $(\chi_0^2, \dots, \chi_p^2)$, est à v.a. composantes mutuellement indépendantes.

De même, nous avons :

$$ \mathcal{L}[(n_2 - 1)S_2^2] = \mathcal{L} \left[ \sum_{p=0}^{s} \mu_q * \chi_q^2 \right], $$

où : $0 < \mu_0 \le \mu_1 \le \dots \le \mu_s$ et où le vt.a. : $(*\chi_0^2, \dots, *\chi_s^2)'$, est à v.a. composantes mutuellement indépendantes.
de l'indépendance des éléments des échantillons, mais aussi si les matrices de covariance ont la structure suivante :

$$V_1 = \begin{pmatrix} a_{11} & \frac{a_{11} + a_{12}}{2} - \alpha & \dots & \frac{a_{11} + a_{1n_1}}{2} - \alpha \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \frac{a_{1n_1} + a_{11}}{2} - \alpha & \frac{a_{1n_1} + a_{12}}{2} - \alpha & \dots & a_{1n_1} \end{pmatrix},$$

$$V_2 = \begin{pmatrix} a_{21} & \frac{a_{21} + a_{22}}{2} - \alpha & \dots & \frac{a_{21} + a_{2n_1}}{2} - \alpha \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \frac{a_{2n_1} + a_{21}}{2} - \alpha & \frac{a_{2n_1} + a_{22}}{2} - \alpha & \dots & a_{2n_1} \end{pmatrix},$$

c'est-à-dire si les variances $a_{11}, \dots, a_{1n_1}$ (pour le premier échantillon) et $a_{21}, \dots, a_{2n_2}$ (pour le second échantillon) sont quelconques (avec la restriction : $V_1$ et $V_2$ définie positive).

### 4. ANALYSE DE LA VARIANCE (ECHANTILLONS, ENTRE EUX, DEPENDANTS).

**Proposition 3.** - Dans le plan d'expérience décrit au § 1.4. (échantillons (aussiens) si la v.a. $S_G^2$ est indépendante de la v.a. $S_R^2$, alors on a :

$$ \begin{align*} \left( \mathcal{L} \left[ \frac{S_G^2}{S_R^2} \right] \right) &= \mathcal{L} [F_{n-1, n-h}] && \Longleftrightarrow (\mathcal{L}[S_T^2] = \mathcal{L}[\alpha \chi_{n_1-1}^2]) \\ &&& \Longleftrightarrow (V = 2^{-1} (A + A') + \alpha (I - U)), \quad \alpha > 0 \end{align*} $$

Démonstration de la proposition 3.

Il n'y a à démontrer que la première équivalence : la seconde est démontrée par la proposition 1.

Par analogie avec ce que nous avons vu dans le § 3 nous avons comme fonctions caractéristiques :

$$ \varphi_{(h-1)} S_G^2 (t_1) = \prod_{p=0}^{r} (1 - 2i \lambda_p t_1)^{-\frac{m_p}{2}}, \quad \varphi_{(n-h)} S_R^2 (t_2) = \prod_{q=0}^{s} (1 - 2i \mu_q t_2)^{-\frac{n_q}{2}}, \\ \text{où les nombres réels } \lambda_p \text{ et } \mu_q, (0 < \lambda_0 \le \lambda_1 \le \dots \le \lambda_r, \\ 0 < \mu_1 \le \mu_2 \le \dots \le \mu_s), $$

sont les racines des équations :

$$ | \lambda \mathbf{V}^{-1} - \left( \sum_{j=1}^{h} n_j^{-1} \mathbf{U}_{jj} - \mathbf{n}^{-1} \mathbf{U} \right) | = 0, $$
$$| \mu \mathbf{V}^{-1} - (\mathbf{I} - \sum_{j=1}^{h} n_j^{-1} \mathbf{U}_{jj}) | = 0,$$

et $m_p$ et $v_q$ sont leurs ordres de multiplicité,

$$ (\sum_{i=0}^{r} m_i = M, \sum_{q=0}^{s} v_q = N). $$

Nous avons :

$$ \begin{align*} \left( \mathcal{L} \left[ \frac{S_g^2}{S_R^2} \right] = \mathcal{L} \left[ F_{h-1,n-h} \right] \right) &\iff \left( \mathcal{L} \left[ \frac{(n-h) \mathbf{X}' \left( \sum_{j=1}^{h} n_j^{-1} \mathbf{U}_{jj} - n^{-1} \mathbf{U} \right) \mathbf{X}}{(h-1) \mathbf{X}' \left( \mathbf{I} - \sum_{j=1}^{h} n_j^{-1} \mathbf{U}_{jj} \right) \mathbf{X}} \right] \right. \\ &\qquad \left. - \mathcal{L} \left[ \frac{(n-h)}{(h-1)} \frac{\chi_{h-1}^2}{\chi_{n-h}^2} \right] \right) \iff \left( \mathcal{L} \left[ \frac{\sum_{p=0}^{r} \lambda_p \chi_p^2}{\sum_{p=0}^{s} \mu_q \chi_q^2} \right] = \mathcal{L} \left[ \frac{\chi_{h-1}^2}{\chi_{n-h}^2} \right] \right) \iff \\ &\quad (\lambda_0 = \dots = \lambda_r = \mu_0 = \dots = \mu_s = \alpha, M = h-1, N = n-h) \iff \\ &\quad (\varphi_{(h-1)S_g^2}(t_1) = (1-2i\alpha t_1)^{\frac{h-1}{2}}, \varphi_{(n-h)S_R^2}(b_2) = (1-2i\alpha t_2)^{\frac{n-h}{2}}) \iff \\ &\quad (\mathcal{L} \left[ \frac{h-1}{\alpha} S_g^2 \right] = \mathcal{L} \left[ \chi_{h-1}^2 \right], \mathcal{L} \left[ \frac{n-h}{\alpha} S_R^2 \right] = \mathcal{L} \left[ \chi_{n-h}^2 \right]) \iff \\ &\quad (\mathcal{L} \left[ \frac{n-1}{\alpha} S_T^2 \right] = \mathcal{L} \left[ \chi_{n-1}^2 \right]). \end{align*} $$

La dernière équivalence provient du théorème (Graybill-Marsaglia [7]) suivant : si la loi du vt.a. $\mathbf{X}$, (n composantes), est $N(u, \mathbf{V})$ où $\mathbf{V}$ est définie positive et si $\mathbf{X}'\mathbf{H}\mathbf{X} = \sum_{i=1}^{k} \mathbf{X}'\mathbf{H}_i\mathbf{X}$ où le rang de $\mathbf{H}_i$ (symétrique) est $g_i$ et le rang de $\mathbf{H}$ (symétrique) est $g$, alors les deux conditions suivantes sont équivalentes :

$$1/ \mathbf{X}'\mathbf{H}\mathbf{X} \text{ a une loi } \chi_g^2 \text{ et } g = \sum_{i=1}^{k} g_i,$$

$$2/ \text{ les } k \text{ formes } \mathbf{X}'\mathbf{H}_1\mathbf{X} \text{ sont indépendantes et ont la même loi que } \chi_{g_i}^2 (*) .$$

Dans notre cas, nous avons :

$$a) (n - 1) S_T^2 = (h - 1) S_G^2 + (n - h) S_R^2,$$

<footnote>(*) Le théorème de Graybill-Marsaglia présente, aussi, des autres conditions équivalentes aux conditions 1 et 2 mais, par brévité, nous considérerons seulement les conditions 1 et 2 que nous employons ici.</footnote>
b) $\text{rang}(\mathbf{I} - n^{-1}\mathbf{U}) = n - 1$,

[5]

$\text{rang}\left\{\sum_{j=1}^{h} n_j^{-1} \mathbf{U}_{jj} - n^{-1} \mathbf{U}\right\} = h - 1$, $\text{rang}\left\{\mathbf{I} - \sum_{j=1}^{h} n_j^{-1} \mathbf{U}_{jj}\right\} = n - h$
et le théorème s'applique.

[6]

Cela démontre la proposition 3.

[7]

5. ANALYSE DE LA VARIANCE (ECHANTILLONS, ENTRE EUX, INDEPENDANTS).

[8]

**Proposition 4.** - Si dans le plan d'expérience du § 1.4., (échantillons gaussiens), les deux conditions suivantes sont remplies :

1/ Les h échantillons gaussiens sont, entre eux, indépendants,

2/ la v.a. $S_G^2$ est indépendante de la v.a. $S_R^2$,

on a alors :

$$ ( \mathcal{L} \left[ \frac{S_G^2}{S_R^2} \right] ) = \mathcal{L} [F_{h-1,n-h}] \iff (V = \alpha \mathbf{I}), \alpha > 0. $$

L'implication : ⇐⇒ est évidente.

L'implication : ⇐⇒ suit des deux hypothèses faites parce que l'hypothèse 2 implique que $V = 2^{-1}(A + A') + \alpha(I - U)$, et parce que l'hypothèse 1 implique que l'élément $v_{pq}$ de $V$ est tel que : $v_{pq} = 0$ pour :

$$ \sum_{t=1}^{j-1} n_t \le p \le \sum_{t=1}^{j} n_t, \quad 1 \le q \le \sum_{t \ne 1}^{j-1} n_t, \quad \left( \sum_{t=1}^{j} n_t \right) + 1 \le q \le n, $$

et cela pour : $j = 1, \dots, h$.

De cela vient tout de suite la démonstration de la proposition 4.

REFERENCES

[1] AITKEN (A.C.). - Statistical independence of quadratic forms in normal variates, *Biométrie*, 37, (1950), 93-96.

[2] AYRES (F.). - *Theory and problems of matrices*. Schaumm, N.Y., (1962).

[3] BALDESSARI (B.). - Remarque sur le rapport de combinaisons linéaires de $\chi^2$, *Publ. Inst. Statist. Univ. Paris*, 14 (1965), 379-392.

[4] CRAIG (A.T.). - Note on the independance of quadratic forms, *Ann. Math. Statist.*, 14, (1943), 195-197.
[5] DUGUE (D.). - *Traité de statistique théorique et appliquée*. Masson, Paris, (1958).

[6] GRAYBILL (F.A.). - *An introduction to linear statistical models*. Vol. 1, Mc-Graw-Hill, N.Y. (1961).

[7] GRAYBILL (F.A.) and MARSAGLIA (G.). - Idempotent matrices and quadratic forms in the general linear hypothesis, *Ann. Math. Statist.*, 28, (1957).

[8] KENDALL (M.G.) and STUART (A.). - *The advanced theory of Statistics*, Griffin, London, (1958).

Reçu le 20 septembre 1965

Institut de Statistique
de l'Université de Paris
9, quai Saint-Bernard
Paris (5e)
I.

Mr. McCreary, in his report to the Board of Trustees of the University of Kentucky, states that the University has not received any financial support from the state of Kentucky since 1958, and that the University has not received any financial support from the state of Kentucky since 1958.

why

as distinct from

(k)

according to the letter of the contract

current of the contract

and

also

in the event of