# Hunting for anti-solar differentially rotating stars using the Rossby number

## An application to the *Kepler* field

Q. Noraz<fnref n="1" />, S. N. Breton<fnref n="1" />, A. S. Brun<fnref n="1" />, R. A. García<fnref n="1" />, A. Strugarek<fnref n="1" />, A. R. G. Santos<fnref n="2" />,<fnref n="3" />, S. Mathur<fnref n="4" />,<fnref n="5" /> and L. Amard<fnref n="1" />

Received 28 April, 2022, accepted 5 July, 2022

## ABSTRACT

**Context.** Anti-solar differential rotation profiles have been found for decades in numerical simulations of solar-type stars convective envelopes. These profiles are characterized by a slow equator and fast poles (i.e. reversed with respect to the Sun) and have been found in simulations for high Rossby numbers. Such rotation profiles have been reported in evolved stars, but never unambiguously observed for cool solar-type stars on the main sequence. As solar-type stars age and spin down, their Rossby numbers increase, which could therefore induce a transition toward an anti-solar differential rotation regime before the end of the main-sequence. Such a rotational transition will impact the large-scale dynamo process and the magnetic activity. In this context, detecting this regime in old main-sequence solar-type stars would improve our understanding of their magneto-rotational evolution.

**Aims.** The goal of this study is to identify the most promising cool main-sequence stellar candidates for anti-solar differential rotation in the *Kepler* sample.

**Methods.** First, we introduce a new theoretical formula to estimate fluid Rossby numbers, $Ro_f$, of main-sequence solar-type stars. We derive it from observational quantities such as $T_{eff}$ and $P_{rot}$, and take into account the influence of internal structure. Then, we apply it on a subset of the most recent catalog of *Kepler* rotation periods, after removing sub-giants and selecting targets with solar metallicity. Next, we consider the highest computed $Ro_f$, and inspect each target individually to select the most reliable anti-solar candidate. Finally, we extend our study to stars with metallicities different from the solar one. To this end, we develop a formulation for $Ro_f$ dependent on the metallicity index [Fe/H] by using 1D stellar grids, and also consider this compositional aspect for the selection of the targets.

**Results.** We obtain a list of the most promising stars likely to show anti-solar differential rotation. We identify two samples: one at solar metallicity including 14 targets, and one for other metallicities including 8 targets. We find that the targets with the largest $Ro_f$ are likely to be early-G or late-F stars around $log_{10}g = 4.37$ dex.

**Conclusions.** We conclude that cool main-sequence stellar candidates for anti-solar differential rotation exist in the *Kepler* sample. The most promising one is KIC 10907436, and two other particularly interesting ones are the solar analog KIC 7189915 and the seismic target KIC 12117868. Future characterization of these 22 stars should help us understand how dynamics can impact magnetic and rotational evolution of old solar-type stars at high Rossby number.

**Key words.** Stars: rotation – Stars: fundamental parameters – Stars: evolution – Stars: solar-type – Sun: rotation – Sun: evolution – Techniques: photometric – Methods: observational – Methods: data analysis – Methods: analytical – Convection

## 1. Introduction

Observations of stellar rotation show that solar-type stars experience various phases of rotational evolution during their life (Gallet & Bouvier 2013). In particular, their angular momentum decreases during the main-sequence (MS) phase, likely due to mass loss associated to their magnetized stellar wind (see Schatzman 1962, Weber & Davis 1967, Mestel 1968 or Vidotto 2021 for a recent review). The resulting spin-down is observationally well described by the Skumanich's law $\Omega_* \propto t^{1/2}$ (Skumanich 1972)

and makes possible the estimate of MS stellar ages from gyrochronology (Barnes 2003), within a given parameter space.

The evolution of the angular velocity $\Omega_*$ can strongly affect the internal dynamics of stars. In particular, numerical simulations show that the differential rotation (DR) profile changes as the star spins down (Brun et al. 2017, 2022). Indeed, fast rotating models tend to exhibit Jupiter-like, cylindrical or quenched rotation profiles, intermediate rotating models exhibit solar-type DR (fast equator, slow poles), and slow-rotating models switch

<footnote n="1">¹ Département d'Astrophysique/AIM, CEA/IRFU, CNRS/INSU, Univ. Paris-Saclay & Univ. de Paris, 91191 Gif-sur-Yvette, France</footnote>

<footnote n="2">² Instituto de Astrofísica e Ciências do Espaço, Universidade do Porto, CAUP, Rua das Estrelas, PT4150-762 Porto, Portugal</footnote>

<footnote n="3">³ Department of Physics, University of Warwick, Coventry, CV4 7AL, UK</footnote>

<footnote n="4">⁴ Instituto de Astrofísica de Canarias (IAC), E-38205 La Laguna, Tenerife, Spain</footnote>

<footnote n="5">⁵ Universidad de La Laguna (ULL), Departamento de Astrofísica, E-38206 La Laguna, Tenerife, Spain</footnote>
to an anti-solar DR regime, where surface rotation exhibits fast poles along with a slow equator.

More generally, these DR transitions are well characterized by the dimensionless Rossby number *Ro*, which quantifies the amplitude of the advective transport over the Coriolis force. These different DR regimes are expected to significantly influence the internal dynamics of the star and its evolution. Indeed, Noraz et al. (2022) and Brun et al. (2022) (hereafter B22) show that simulations of solar-type dynamos change in nature depending on the rotational regime of their convective envelope. Low *Ro* models (fast rotators) tend to exhibit short (yearly) magnetic cycles, and intermediate *Ro* models tend to exhibit long (decadal) cycles. Finally, high *Ro* models (slow rotators) switching to an anti-solar DR regime are likely to exhibit stationary dynamos, by losing their periodic magnetic reversals.

In addition, with the recent increase in the number of stars with measured rotation periods it has been observed that main-sequence stars undergo epochs of weakened (van Saders et al. 2016) or stalled braking (Curtis et al. 2020), deviating from the classical Skumanich's law. Thus, techniques like gyrochronology, that rely on the direct relationship between rotation and age need further investigations. For the apparent weakened braking at late-ages, different physical explanations have been proposed. The first is a change in the dynamo process of slowly rotating stars, as suggested by recent observations (Metcalfe et al. 2019). Indeed, it has been shown that the magnetic torque provided by stellar winds depends mostly on large scale magnetic modes (Réville et al. 2015; Finley & Matt 2018). However, the observational characterization of stellar magnetic topologies turns out to be difficult (See et al. 2019), and recent studies of ab initio dynamo models do not report strong changes of large-scale magnetic topology that could support this scenario (Noraz et al. 2022, B22). A change of coronal properties could also explain this transition, making the wind less efficient to extract angular momentum (Ó Fionnagáin & Vidotto 2018). However, we are still lacking observational and theoretical constraints on stellar mass-loss rate of main-sequence stars, which would confirm or infirm such an option. In this context, understanding what happens exactly for the angular momentum loss of slowly rotating stars is crucial.

Finally, the possibility of observational bias has also been proposed as slower rotators might lose their surface spots, making the detection of stellar rotational modulations relatively difficult with photometric techniques. However, Hall et al. (2021) confirmed the evidence of a weakened magnetic breaking by using asteroseismology, which makes the possibility of a photometric-observational bias less probable. Still, observations of late weakened magnetic braking are currently under debate as other studies do not find it for their respective samples (Lorenzo-Oliveira et al. 2019; do Nascimento Jr. et al. 2020). Thus, at the moment, rotation rates of aged MS solar-type stars are uncertain, which will influence the likelihood of finding anti-solar rotators.

Anti-solar DR regime has been observed in various numerical simulations of convective rotating spherical shells for several decades (Gilman 1977; Matt et al. 2011; Käpylä et al. 2011; Guerrero et al. 2013; Gastine et al. 2014; Fan & Fang 2014; Käpylä et al. 2014; Karak et al. 2015; Simitev et al. 2015; Mabuchi et al. 2015; Brun et al. 2017; Warnecke 2018; Strugarek et al. 2018; Viviani et al. 2019; Brun et al. 2022). Motivated by numerical results, different observational methods have been used so far to detect stellar DR: photometry, asteroseismology, and spectroscopy imaging. Using the latter, robust anti-solar detections have been obtained with Doppler imaging spectroscopy for red giants (see for instance Strassmeier et al. 2003, Kővári et al. 2017 and references therein) and sub-giant stars (Harutyunyan et al. 2016). However, there has been for now no unambiguous detection of such profile for solar-type stars on the main sequence. Regarding photometry, starspots signature can be tracked in photometric light-curves in order to quantify the velocity gradient $\Delta\Omega$ along latitudes. Using this approach, Reinhold & Arlt (2015) asserted a possibility for anti-solar DR in 13 Kepler targets. However, Santos et al. (2017) showed that this problem is likely degenerated in most cases, making clear distinction of the DR regime uncertain without independent constraints. Using, asteroseismic methods Benomar et al. (2018) detected signatures suggesting anti-solar DR profiles in 10 solar-type stars of the Kepler field, but with not enough confidence level to confirm detection. Thus, robust detections of anti-solar profiles are still pending for MS solar-type stars, and will need the scrutiny of the most promising targets with highly resolved data.

It is then instructive to assess whether the Sun or solar analogs could experience a change toward anti-solar DR regime before reaching the end of their MS life. For now, the Sun's fluid Rossby number $Ro_f$ (see Sections 2.2 and 2.3) is thought to be between 0.6 and 0.9 according to recent numerical simulations in B22, and the rotational transition is expected above $Ro_f = 1$. Assuming the Sun strictly follows the Skumanich's law (Skumanich 1972), its $Ro_f$ would increase by a factor 1.48 by the end of the main sequence. It could then exceed unity enough that an anti-solar DR regime is possible (Gastine et al. 2014; Brun et al. 2017). Old solar analogs could therefore exhibit anti-solar DR, if detectable with present techniques.

More generally for solar-type stars, different effects can play a role for the $Ro_f$ value the star can reach. On the one hand, the more massive a solar-type star is, the more vigorous its convective motions will be. However, the heaviest solar-type stars may never rotate slowly enough to enter the anti-solar DR regime during the MS (see Fig. 6 of Amard et al. 2019). On the other hand, the less massive a solar-type star is, the longer its MS lifetime and the higher its spin down amplitude will be. Nevertheless, lower mass stars tend to have lower Rossby numbers as their convective transport is weaker in comparison to their rotational constraint. Therefore, there should be an intermediate-mass sweet spot where solar-type stars could hit the right parameter regime to counter-balance these two opposing effects and ultimately reach $Ro_f$ favoring anti-solar DR regime.

The goal of the present work is to look for these stars. The Kepler mission (Borucki et al. 2010) has observed almost 200,000 targets during its 4-year long nominal mission. Tens of thousands of these stars exhibit photometric rotational modulation (e.g. McQuillan et al. 2014; Santos et al. 2019; Santos et al. 2021). Hence, the Kepler survey is currently the best-suited dataset in order to search for anti-solar rotating stars.

In this work, we identify the most promising targets for anti-solar DR detection in the sample of MS cool stars of the Kepler field. In Sect. 2 we present an improved theoretical derivation of the fluid Rossby number $Ro_f$ compared to Brun et al. (2017), taking the internal structure of solar-type stars into account and extending the computation for the use of the effective temperature, $T_{\text{eff}}$. Then, we apply this formula to the Kepler catalog of Santos et al. (2019), (2021) (referred as S19-21) in Sect. 3 for solar-metallic MS targets and select the highest $Ro_f$ values. Next, we inspect each selected target individually and build a list of promising candidates which are discussed. After that, we extend this methodology to other metallicities in Sect. 4. We finally discuss the limitations of our methodology in Sect. 5, and
<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Fig. 1. Example of differential rotation profiles, which emerge in numerical simulations of stellar convective envelope. Top panel shows DR profiles achieved in MHD models of B22, from high Rossby numbers on the left, to low ones on the right. The bottom-right profile is characteristic of low Rossby numbers in hydrodynamics models of Brun et al. (2017). The symmetric part of surface velocity from these meridional cuts is illustrated on the bottom-left panel for all profiles.</figcaption></figure>

conclude in Sect. 6 by highlighting the most promising anti-solar candidates for future characterization of these targets.

# 2. Differential rotation states and Rossby number

## 2.1. Differential rotation profiles from numerical simulations

Numerical simulations of stellar convective envelopes yield various DR profiles, depending on the Rossby number (see Brun & Browning 2017 for a review). The dimensionless Rossby number $Ro$ parametrizes the influence of the rotation on the dynamics of a system. In a star, it quantifies the impact of the Coriolis force on turbulent convective motions. Convective motions can collectively transport angular momentum (through Reynolds stresses) to establish a large-scale DR. The characteristics of their DR therefore depend on $Ro$, as illustrated in Fig. 1. For low Rossby numbers (right panels), profiles are highly constrained by the influence of the rotation. On the bottom right panel, a hydrodynamical case shows a cylindrical profile, with alternating prograde and retrograde zonal jets (also called Jupiter-like). This alignment along the vertical axis results from the Taylor-Proudman constraint achieved in fast rotating convective envelopes (Gilman 1975; Elliott et al. 2000; Miesch et al. 2006). The DR amplitude can be quenched when a magnetic field is considered in such a regime (Ω-quenching), because of the Lorentz force feedback (Brun 2004, B22). Around intermediate Sun-like Rossby numbers, typical solar and conical DR profiles are found, with fast equator and slow poles (top-middle panel). Finally, anti-solar profiles with slow equator and fast poles are found for high Rossby numbers (top-left panel). The rotational transition between solar-type and anti-solar profiles lies around $Ro_f = 1$ (Gastine et al. 2014). We show on the bottom-left panel the symmetric part of the surface DR achieved in these simulations. The shear of the anti-solar regime (about 50 nHz, i.e. 0.03 rad/days) has an amplitude similar to the shear of the solar regime, which means it could be detected with present capabilities (e.g. Reinhold & Gizon 2015).

## 2.2. Rossby number definitions

Different definitions of the Rossby number exist and are used in the community. If their absolute values can differ, they generally scale with each other (Landin et al. 2010, B22).

First, the stellar Rossby $Ro_s = P_{rot}/\tau_{conv}$ is often used in the observational context. Indeed, it compares two characteristic time scales, respectively the rotation period of the star $P_{rot} = 2\pi/\Omega_*$ and its convective over-turning time $\tau_{conv}$. Rotation can be measured directly (see e.g. Sect. 4.1 of Brun & Browning 2017 and Sect. 7 of García & Ballot 2019 for reviews), but $\tau_{conv}$ has to be inferred from stellar models, considering mass, spectra, chemical composition (see e.g. Noyes et al. 1984, Fig. 6 of Cranmer & Saar 2011 or Corsaro et al. 2021). Furthermore, $\tau_{conv}$ can be computed at different depths in the star, which could also explain some differences in the absolute Rossby values.

An alternative is the fluid Rossby $Ro_f = \omega/2\Omega_* = \omega P_{rot}/4\pi$, which we choose to consider in this study, and where $\omega$ is the vorticity. It is often used to characterize numerical simulations, as it quantifies a force balance between non-linear advection and Coriolis acceleration in the Navier-Stokes equation. Once again, the vorticity $\omega$ is not observed and has to be deduced from models. Similarly to $Ro_s$, this quantity depends on the stellar depth one chooses to consider. We therefore propose in the next subsection to infer it from observable quantities, and to normalize it to the solar value in order to alleviate a dependency on the $Ro$ definition we chose.

## 2.3. Fluid Rossby number based on observable quantities

First, we derive an analytical formulation of $Ro_f$ as a function of the stellar mass $M_*$ and the rotation rate $\Omega_*$, following Brun et al. (2017). We then extend it by considering the effective temperature $T_{eff}$, in order to infer $Ro_f$ from observations. Next, we calibrate it with scaling laws from stellar evolution models, and compare the resulting trend with 3D global numerical simulations of stellar convection. Finally, we take into account a structural aspect, in order to extend the mass range on which we can apply the final formula, presented in Eq. 18.

### 2.3.1. Fluid Rossby number as a function of $M_*$ and $P_{rot}$

Based on fluid dynamics, $Ro_f$ can be estimated as

$$Ro_f = \omega/2\Omega_* \approx \frac{v_{conv}}{2\Omega_* D} \qquad (1)$$

where $v_{conv}$ is the representative convective velocity participating in the Reynolds stresses, $D$ is a characteristic length scale, and $\Omega_*$ the rotation rate of the star. In general, $D$ is considered to be the stellar radius $R_*$ or the convection zone thickness.

Following mixing-length theory (MLT) argument in Brun et al. (2017), the enthalpy flux $F_{en}$ transported by convective cells is the main source of energy transport through the convection zone (CZ) of cool stars. We can relate $F_{en}$ to the velocity by assuming that $F_{en} \sim \rho v^3$, by analogy to the kinetic energy flux. Hence, we have, $L_* \propto \rho_{BCZ} v_{conv}^3 R_*^2$, with $\rho_{BCZ}$ the density at the base of the convection zone (BCZ). The fluid Rossby number is then proportional to

$$Ro_f \propto \left( \frac{L_*}{\rho_{BCZ} R_*^5} \right)^{1/3} \Omega_*^{-1}, \qquad (2)$$

We use the well-known homology relations on the MS (Kippenhahn et al. 2012), such as

$$L_* \propto M_*^m \quad \text{and} \quad R_* \propto M_*^n, \qquad (3)$$
and we parametrize $\rho_{BCZ}$ during the MS, as $\rho_{BCZ} \propto M_*^p$, to obtain

$$Ro_f \propto M_*^{(m-5n-p)/3} \Omega_*^{-1}, \quad (4)$$

with $m, n > 0$ and $p < 0$ but undetermined for now. We have obtained an expression of $Ro_f$ based on the mass and rotation rate of a solar-type star. We now go one step further and derive its equivalent formulation based on observable quantities.

### 2.3.2. Considering observable quantities

A major point of this paper is to infer fluid Rossby number through the use of $T_{eff}$ rather than $M_*$. Indeed, determination of $M_*$ is model-dependent and therefore suffers larger uncertainties (Lebreton & Goupil 2014). On the other side, $T_{eff}$ can be directly measured with high precision through spectroscopy (see e.g. APOGEE DR17: Abdurro'uf et al. 2022).

Hence, we now consider the link between stellar luminosity $L_*$ and global quantities, such as the stellar radius $R_*$ and $T_{eff}$.

$$L_* = 4\pi R_*^2 \sigma T_{eff}^4. \quad (5)$$

where $\sigma$ is the Stefan-Boltzmann constant. Using again homology relations in Eq. 3, we then obtain the relationship

$$T_{eff} \propto M_*^{(m-2n)/4}, \quad (6)$$

which subsequently gives

$$Ro_f \propto T_{eff} \frac{4}{m-2n} \left( \frac{m-5n-p}{3} \right) \Omega_*^{-1}. \quad (7)$$

We now have two analytical expressions of the $Ro_f$ of a solar-type star, based on $\Omega_*$, along with $M_*$ or $T_{eff}$ (Eqs. 4 and 7 respectively). We now compute the corresponding exponents based on various numerical models.

### 2.3.3. Inferring scaling indexes from numerical models

In order to compute exponents of Eqs. 4 and 7 we perform linear regression fits on the evolutionary tracks from Amard et al. (2019) (hereafter A19). We focus on solar-type stars and therefore consider masses ranging from 0.4 to 1.3$M_\odot$, and metallicity index [Fe/H] from -1 to +0.3 dex. This yields $m = 4.66 \pm 0.06$, $n = 1.16 \pm 0.01$, and $p = -9.28 \pm 0.37$ for the MS. When applied to Eqs. 4 and 7, we get

$$Ro_f \propto M_*^{2.71 \pm 0.13} \Omega_*^{-1} \propto T_{eff}^{4.64 \pm 0.23} \Omega_*^{-1}. \quad (8)$$

For the sake of robustness, we now perform a multi-parameter linear regression fits directly on the fluid Rossby numbers achieved by convective motions in the published 3D-MHD-global simulations of B22. Indeed, we can directly compute $Ro_f = \omega/2\Omega_*$ from them, and assess how it scales with $\Omega_*$, $M_*$ and $T_{eff}$ (see tabulated $Ro_f$ values in B22). They model solar-type stars for a mass range of $0.5 < M_* < 1.1 M_\odot$, a temperature range of 4030 K $< T_{eff} < 6030$ K, at different rotation rates $\Omega_*$ and for the solar composition. This gives

$$Ro_f \propto \frac{M_*^{1.63 \pm 0.24}}{\Omega_*^{0.9 \pm 0.06}} \propto \frac{T_{eff}^{3.2 \pm 0.4}}{\Omega_*^{0.9 \pm 0.05}}. \quad (9)$$

We note that exponents from Eq. 8 computed from broad sample of solar-type 1D models do not match with what is inferred from ab-initio convective simulations in Eq. 9. Indeed, stellar structure

of solar-type stars can significantly change within a wide range of masses and metallicities, which subsequently impacts the $Ro_f$ value. In particular, we note that 1.2 and 1.3 $M_\odot$ 1D models notably impact exponents inferred from linear fits. In the next section, we thus add the structural aspect of solar-type stars in the analytical development of $Ro_f$. The specific effect of metallicity will be addressed in Section 4.

### 2.3.4. Structural fluid Rossby number

In an attempt to take into account the stellar structure, the characteristic length $D$ (Eq. 1) can be taken as the middle of the convective envelope $R_{mid} = 0.5(R_{BCZ} + R_*) = 0.5R_*(\alpha + 1)$ where $\alpha = R_{BCZ}/R_*$ is the aspect ratio of the radiative interior of the cool star.

Following the derivation of the previous section, we find

$$L_* \propto \bar{\rho} v_{\text{conv}}^3 R_{\text{mid}}^2 \propto \bar{\rho} v_{\text{conv}}^3 (1 + \alpha)^2 R_*^2, \quad (10)$$

with $\bar{\rho}$ the averaged density in the convective envelope. The combination of Eqs. 1 and 10 gives

$$Ro_f \propto (1 + \alpha)^{-5/3} \left( \frac{L_*}{\bar{\rho} R_*^5} \right)^{1/3} \Omega_*^{-1}. \quad (11)$$

We now express the average density of the CZ as its mass divided by its volume,

$$\bar{\rho} \sim \frac{M_{CZ}}{V_{CZ}} \propto \frac{(1 - \beta) M_*}{(1 - \alpha^3) R_*^3}, \quad (12)$$

where $\beta = M_{BCZ}/M_*$ is the relative mass of the radiative interior. Injecting it into Eq. 11 leads to

$$Ro_f \propto S(\alpha, \beta) \left( \frac{L_*}{M_* R_*^2} \right)^{1/3} \Omega_*^{-1} \quad (13)$$

$$\text{where } S(\alpha, \beta) = \left( \frac{1 - \alpha^3}{(1 - \beta)(1 + \alpha)^5} \right)^{1/3} \quad (14)$$

is a structure term depending on structure parameters $\alpha$ and $\beta$. We finally assume that the stellar structure does not change during the MS, which only leaves a dependence to the stellar mass on first approximation. We can then parametrize it as $S(\alpha, \beta) \propto M_*^q$ during the MS, which yields

$$Ro_f \propto M_*^q \Omega_*^{-1} \quad \text{where } a = \frac{m - (2n + 1)}{3} + q, \quad (15)$$

with $q > 0$ a priori but undetermined for now. Using previous development, this gives

$$Ro_f \propto T_{\text{eff}}^b \Omega_*^{-1} \quad \text{where } b = \frac{4}{m-2n} \left( \frac{m - (2n + 1)}{3} + q \right). \quad (16)$$

Similarly to Sect. 2.3.3, we compute exponents of Eqs. 15 and 16 from A19's evolutionary tracks, considering $0.4 \le M_* \le 1.3 M_\odot$. Linear regression fits yield $m = 4.66 \pm 0.03$, $n = 1.16 \pm 0.01$ and $q = 1.48 \pm 0.05$ for the MS (see fits and values in Fig. A.1). Hence, applying these exponents to Eqs. 15 and 16, we finally get the following relations:

$$Ro_f \propto \frac{M_*^{1.93 \pm 0.05}}{\Omega_*} \propto \frac{T_{\text{eff}}^{3.29 \pm 0.09}}{\Omega_*} \quad (17)$$
We note it is now closer to what we derived from numerical simulations in Eq. 9, especially with $T_{\text{eff}}$.

Considering $T_{\text{eff},\odot} = 5772$ K (Prša et al. 2016), $P_{\text{rot},\odot} = 27.3$ days, a convenient formula we will use is therefore

$$ \frac{Ro_f}{Ro_{f,\odot}} = \left( \frac{P_{\text{rot},*}}{P_{\text{rot},\odot}} \right) \times \left( \frac{T_{\text{eff}}}{T_{\text{eff},\odot}} \right)^{3.29} \quad (18) $$

Using the solar values as reference prevents introducing a bias related to the dependency on the convention chosen for the Ro definition (see Sect. 2.2). The scaling law in Eq. 18 can be then readily applied to estimate the $Ro_f$ of a star, with respect to the Sun. We now turn to estimating $Ro_f$ of the *Kepler*-field stars for which a rotation period has been measured.

### 3. Application to *Kepler* stars with solar metallicity

In this section, we consider solar metallicity targets. Targets with other metallicities will be addressed in Sect. 4.

#### 3.1. *Kepler's* rotation catalog

The stellar surface rotation catalog compiled by S19-21 provides rotation periods and photometric magnetic activity proxy (García et al. 2010; Mathur et al. 2014) for 55,232 FGKM main-sequence and sub-giants *Kepler* targets. It extends the catalog from McQuillan et al. (2014), with 24,182 new detections and populates the slow-rotator region for all spectral types, which are particularly important for this work. The S19-21 catalog was built by implementing the methodology described in Ceillier et al. (2016, 2017), which combines the outputs of the autocorrelation function and of a time-frequency analysis. Machine learning methods and visual inspections have been performed in order to ensure the reliability of the results (Breton et al. 2021).

The S19-21 catalog includes 3 sub-samples. The first one (aliased I) corresponds to targets which are classified as solar-type stars in both Mathur et al. (2017) and Berger et al. (2020) (hereafter B20) stellar properties catalogs. Stars in which their properties disagree are gathered in the two last sub-samples (aliased II and III). We decide here to consider only the sub-sample I, which represents 50,656 targets. We also consider $M_*$ and $T_{\text{eff}}$ proposed in S19-21, which originate from B20.

#### 3.2. Data processing

First, in order to only select solar-metallicity stars, we extract the metallicity index [Fe/H] for each star of the rotation catalog S19-21. For the sake of accuracy, we take [Fe/H] from APOGEE database (DR16: Ahumada et al. 2020, DR17: Abdurro'uf et al. 2022), LAMOST (Zhao et al. 2012; Cat et al. 2015; Zong et al. 2018) or B20, respectively in this order of priority, for each target. We refer interested readers to Sect. 3.1 from Mathur et al. (2022) for more details. In this section, we consider stars at the solar-metallicity as stars having $-0.1 \text{ dex} < [\text{Fe/H}] < 0.1 \text{ dex}$, which represent 16,258 stars among the 50,656 targets considered.

The criterion developed in Eq. 18 applies only to MS stars. When applied blindly to pre-main sequence (PMS) stars in the stellar evolution grid of A19, we find a maximum $Ro_f/Ro_{f,\odot}$ of 0.291, which is well below the anti-solar DR threshold above 1. Therefore, no explicit filtering of PMS stars is necessary since these stars are not expected to harbor anti-solar DR due to their fast rotation (Emeriau-Viard & Brun 2017). Because the relations are derived for MS stars, and the way stars evolve past the

Terminal Age Main Sequence (TAMS), we exclude sub-giants as well from our sample. Therefore, we choose here to exclude them from our sample. Following S19-21, we take the transition between main sequence and the sub-giant branch from evolutionary tracks obtained from A19 (see Appendix B for more details). Moreover, we do not see sub-giants for $M < 0.8 M_\odot$ up to 13.7 Gyrs in these tracks. Hence, we suppose here that sub-giants do not exist already for $log_{10}g > 4.4$.

We also exclude stars flagged as Type 1 Classical Pulsators/Close Binary (CP/CB) candidates in S19-21 catalog. Indeed, the characteristic period extracted from the light-curves of these stars is likely to be distinct from the rotational behavior of single stars.

Finally, we only consider targets for which $0.4 \le M_* \le 1.3 M_\odot$, as it is the range of validity for Eq. 18. These various data processing steps presented in this section yield a set of 12,517 stars. We now compute $Ro_f$ for all stars in this sample.

#### 3.3. Most promising targets at solar metallicity

Using Eq. 18, we select all targets with $Ro_f/Ro_{f,\odot}$ above a given threshold. Indeed, anti-solar DR is expected to appear in a regime where the dominant convective motions transporting angular momentum within the CZ are weakly influenced by the global rotation of the star (see Sect. 2.1). For that, we choose to put a threshold at $Ro_f \ge 1.3$ to ensure being in this regime<fnref n="1" />. Then, we consider two possible values $Ro_{f,\odot} = \{0.6; 0.9\}^2$ according to current uncertainties on solar convection known as the convective conundrum (Hanasoge et al. 2015). This gives us two thresholds $Ro_f/Ro_{f,\odot} = \{2.167; 1.444\}$, which defines two samples referred as the “conservative” and “optimistic”, respectively. To ensure the reliability of this method, we compute uncertainties and take them into account. Hence, a target is selected only if its normalized-Rossby value from Eq. 18 has a lower limit above the given threshold.

This selection gives us 62 targets in the optimistic sample, among which 12 belong to the conservative sample. We perform individual inspections for each one of them, using the following method. We first look at the field of view (FoV) in the *Kepler* Asteroseismic Science Operations Center (KASOC) database<fnref n="3" /> (Kjeldsen et al. 2010).

1. If the target considered is in the halo of a brighter star, we do not consider it as the $T_{\text{eff}}$ or $P_{\text{rot}}$ measurements may be biased.

2. We then make sure that there are no neighboring stars in a FoV of $40''^4$ centered on the target. If neighbors with a similar magnitude are found, we carefully look at the photometric aperture to make sure the light-curve of the target considered is not polluted. Otherwise, we do not consider it.

3. Next, we look closely in the FoV at the shape of the target to avoid considering close binary systems.

4. Finally, we visually inspect the light-curve and respective rotation diagnostics as indicated in Appendix C, in order to ensure the reliability of the detected $P_{\text{rot}}$ value.

<footnote n="1">¹ For instance, $Ro_f = 1.24$ is the lowest $Ro_f$ found in B22 models experiencing an anti-solar regime.</footnote>

<footnote n="2">² The lower one corresponds to the value needed to obtain a decadal solar-type magnetic cycle in B22 MHD numerical simulations, and 0.9 is the one effectively obtained at the solar regime in this same set of simulations.</footnote>

<footnote n="3">³ The KASOC database can be accessed at: http://kasoc.phys.au.dk</footnote>

<footnote n="4">⁴ The image scale of *Kepler* is 3.98 arcseconds per pixel. The total acquisition FoV is a square of 10 pixels by side (Van Cleve & Caldwell 2016).</footnote>
<table><caption>**Table 1.** List and stellar parameters of anti-solar candidates at the solar metallicity</caption><thead><tr><th>KIC</th><th>log<sub>10</sub>g</th><th>T<sub>eff</sub> [K]</th><th>P<sub>rot</sub> [days]</th><th>Ro<sub>f</sub>/Ro<sub>f,☉</sub></th><th>[Fe/H]</th><th>M<sub>*</sub> [M<sub>☉</sub>]</th><th>S<sub>ph</sub> [ppm]</th><th>Z<sub>fl</sub></th><th>S<sub>fl</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>10907436</td><td>4.25<sup>+0.04</sup><sub>-0.03</sub></td><td>6364.3<sup>+137.1</sup><sub>-141.9</sub></td><td>48.4 ± 3.9</td><td>2.44<sup>+0.26</sup><sub>-0.26</sub></td><td>-0.07<sup>+0.03</sup><sub>-0.03</sub></td><td>1.22<sup>+0.06</sup><sub>-0.06</sub></td><td>86.5 ± 3.2</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>8194513</td><td>4.40<sup>+0.03</sup><sub>-0.04</sub></td><td>6030.1<sup>+121.2</sup><sub>-119.4</sub></td><td>44.5 ± 3.6</td><td>1.88<sup>+0.20</sup><sub>-0.20</sub></td><td>-0.05<sup>+0.13</sup><sub>-0.16</sub></td><td>1.06<sup>+0.06</sup><sub>-0.07</sub></td><td>751.6 ± 17.9</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>6068129<sup>+</sup></td><td>4.40<sup>+0.04</sup><sub>-0.04</sub></td><td>5838.9<sup>+110.8</sup><sub>-110.8</sub></td><td>49.4 ± 8.6</td><td>1.88<sup>+0.35</sup><sub>-0.35</sub></td><td>-0.01<sup>+0.14</sup><sub>-0.16</sub></td><td>1.01<sup>+0.07</sup><sub>-0.08</sub></td><td>588.6 ± 14.1</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>12117868<sup>*</sup></td><td>4.24<sup>+0.04</sup><sub>-0.04</sub></td><td>6068.0<sup>+113.4</sup><sub>-114.8</sub></td><td>42.5 ± 5.0</td><td>1.84<sup>+0.24</sup><sub>-0.24</sub></td><td>-0.04<sup>+0.01</sup><sub>-0.01</sub></td><td>1.09<sup>+0.07</sup><sub>-0.07</sub></td><td>71.7 ± 1.9</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>11912541</td><td>4.08<sup>+0.04</sup><sub>-0.05</sub></td><td>5884.5<sup>+113.9</sup><sub>-117.9</sub></td><td>46.4 ± 3.9</td><td>1.81<sup>+0.19</sup><sub>-0.19</sub></td><td>0.03<sup>+0.14</sup><sub>-0.16</sub></td><td>1.13<sup>+0.11</sup><sub>-0.09</sub></td><td>419.0 ± 10.9</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>3746157</td><td>4.31<sup>+0.04</sup><sub>-0.04</sub></td><td>5863.5<sup>+115.2</sup><sub>-110.8</sub></td><td>46.1 ± 5.3</td><td>1.78<sup>+0.23</sup><sub>-0.23</sub></td><td>0.01<sup>+0.01</sup><sub>-0.01</sub></td><td>1.03<sup>+0.07</sup><sub>-0.07</sub></td><td>446.7 ± 9.8</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>8245631</td><td>4.14<sup>+0.05</sup><sub>-0.05</sub></td><td>5783.2<sup>+124.0</sup><sub>-123.4</sub></td><td>48.0 ± 7.7</td><td>1.77<sup>+0.31</sup><sub>-0.31</sub></td><td>0.03<sup>+0.17</sup><sub>-0.16</sub></td><td>1.05<sup>+0.10</sup><sub>-0.08</sub></td><td>380.2 ± 11.5</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>10670661</td><td>4.33<sup>+0.04</sup><sub>-0.04</sub></td><td>5832.4<sup>+111.8</sup><sub>-108.6</sub></td><td>46.4 ± 7.5</td><td>1.76<sup>+0.30</sup><sub>-0.30</sub></td><td>0.00<sup>+0.16</sup><sub>-0.15</sub></td><td>1.01<sup>+0.08</sup><sub>-0.08</sub></td><td>277.2 ± 8.1</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>6850029<sup>+</sup></td><td>4.44<sup>+0.04</sup><sub>-0.04</sub></td><td>5640.5<sup>+102.5</sup><sub>-99.8</sub></td><td>51.1 ± 4.9</td><td>1.73<sup>+0.20</sup><sub>-0.19</sub></td><td>-0.01<sup>+0.14</sup><sub>-0.16</sub></td><td>0.94<sup>+0.06</sup><sub>-0.07</sub></td><td>473.5 ± 12.1</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>11028172</td><td>4.21<sup>+0.04</sup><sub>-0.04</sub></td><td>5654.9<sup>+110.7</sup><sub>-106.1</sub></td><td>49.8 ± 5.7</td><td>1.70<sup>+0.22</sup><sub>-0.22</sub></td><td>0.03<sup>+0.16</sup><sub>-0.17</sub></td><td>0.97<sup>+0.07</sup><sub>-0.07</sub></td><td>387.9 ± 10.2</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>4265609</td><td>4.34<sup>+0.04</sup><sub>-0.04</sub></td><td>5932.0<sup>+113.8</sup><sub>-111.4</sub></td><td>42.1 ± 1.4</td><td>1.69<sup>+0.12</sup><sub>-0.12</sub></td><td>-0.05<sup>+0.03</sup><sub>-0.03</sub></td><td>1.03<sup>+0.07</sup><sub>-0.07</sub></td><td>466.8 ± 11.4</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>7908114</td><td>4.25<sup>+0.05</sup><sub>-0.06</sub></td><td>5767.1<sup>+124.3</sup><sub>-118.8</sub></td><td>46.1 ± 4.7</td><td>1.68<sup>+0.21</sup><sub>-0.21</sub></td><td>0.03<sup>+0.14</sup><sub>-0.17</sub></td><td>1.00<sup>+0.08</sup><sub>-0.08</sub></td><td>284.5 ± 10.9</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>7428723<sup>+</sup></td><td>4.40<sup>+0.04</sup><sub>-0.05</sub></td><td>5826.8<sup>+107.0</sup><sub>-105.5</sub></td><td>44.2 ± 5.3</td><td>1.67<sup>+0.22</sup><sub>-0.22</sub></td><td>-0.01<sup>+0.14</sup><sub>-0.16</sub></td><td>1.00<sup>+0.07</sup><sub>-0.07</sub></td><td>606.2 ± 15.6</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>(7189915)<sup>+</sup></td><td>4.43<sup>+0.04</sup><sub>-0.05</sub></td><td>5739.0<sup>+104.8</sup><sub>-101.5</sub></td><td>(44.5 ± 5.0)</td><td>(1.60<sup>+0.20</sup><sub>-0.20</sub>)</td><td>-0.02<sup>+0.14</sup><sub>-0.15</sub></td><td>0.97<sup>+0.06</sup><sub>-0.07</sub></td><td>453.4 ± 14.0</td><td>2</td><td>1</td></tr></tbody></table>

**Notes.** We recapitulate here the main parameters for the anti-solar candidates at solar metallicity. From the left, we show the *Kepler* Input Catalog (KIC) identification, the surface gravity logarithm $log_{10}g$, the effective temperature $T_{eff}$, the rotation period $P_{rot}$, the normalized fluid Rossby number value from Eq. 18, the metallicity index [Fe/H], the mass $M_*$, and the photometric magnetic activity proxy $S_{ph}$. The metallic flag Zfl indicates the origin of the quoted [Fe/H] value (APOGEE (0), LAMOST (1) or B20 (2)). The last flag Sfl is a sample flag indicating if the targets is in the “optimistic” (1) or “conservative” (2) sample. Values within parenthesis () are further discussed in the text, and the exponent on the KIC indicate either a solar analogs (+) or a seismic target (*).

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>**Fig. 2.** Kiel diagram ($T_{eff}$ vs. $log_{10}g$) for anti-solar DR candidates at solar metallicity. “conservative” and “optimistic” samples are illustrated with green diamond and circle markers, respectively. The ⊙ marker represents the Sun, and spectral types³ are indicated on the $T_{eff}$-axis. Histograms on x and y axes correspond to the $T_{eff}$ and $log_{10}g$ distributions for the candidates shown in green. We illustrate all rotators from S19-21 catalog with grey dots for comparison.</figcaption></figure>

The different results of these inspections are summarized for each target at solar metallicity in Appendix C.

After ensuring the reliability of the computed fluid Rossby value with previous inspections, this gives us 14 stellar candidates at solar metallicity that are likely to be in an anti-solar DR regime. We illustrate them in a Kiel diagram in Fig. 2. Among

the 14 candidates that are in the optimistic sample, only one of them is in the conservative one (diamond marker). We plot on both axes distributions including the 14 targets, which show that high $Ro_f$ targets are likely to be found around the medians $log_{10}g = 4.32$ and $T_{eff} = 5836$ K (early-G spectral type) for old MS-cool stars with solar metallicity. We summarize the stellar parameters of each targets in Table 1.

We first note that all anti-solar candidates have rotational periods $P_{rot}$ between 42.1 and 51.1 days, effective temperatures $T_{eff}$ from 5640 to 6365 K (early G and late F-type stars), and masses $M_*$ ranging from 0.94 to 1.22 $M_⊙$. Given that all stellar gravities, $log_{10}g$, lay between 4.08 and 4.44 dex, these targets seem consistent with old main-sequence stars. We then note that KIC 6068129, 6850029, and 7428723 can be considered as solar analogs according to their stellar parameters<fnref n="6" />. Another noteworthy target is KIC 12117868, which is a seismic target (García et al. 2014). Next, we check the value of the $S_{ph}$ index, which is a proxy of photometric magnetic activity computed as defined in Mathur et al. (2014). We see that the $S_{ph}$ of these stars reach a maximum of 751.6 ppm and mostly lay in the solar range $S_{ph,☉} = 50-600$ ppm (Salabert et al. 2017). The maximum $Ro_f/Ro_{f,☉}$ value for these stars is 2.44 and reached by KIC 10907436, which thus seems to be the most promising candidate for showing anti-solar DR in the sample of stars at solar metallicity.

In Table 1, we consider KIC 7189915, which should have been excluded from the optimistic sample. Indeed, this target

<footnote n="5">⁵ Spectral types are here defined with the standard Harvard Spectral Classification (see e.g. Habets & Heintze 1981 for more details).</footnote>

<footnote n="6">⁶ Here we consider stars as solar analogs if their parameters (including uncertainties) fit within ranges of 250 K around $T_{eff,☉} = 5772$ K, and 0.10 dex around $log_{10}g_☉ = 4.44$. Slightly less conservative definitions can be adopted, we refer interested readers to Cayrel de Strobel (1996) for an extensive discussion.</footnote>
has been first selected thanks to its high $Ro_f$ value, which is partly due to a relatively long $P_{rot} = 51.1 \pm 4.7$ days given by S19-21. During its individual inspections, we have revised this value and now consider $P_{rot} = 45 \pm 5$ days, which yields $Ro_f/Ro_{f,\odot} = 1.60^{+0.20}_{-0.20}$ when recomputing Eq. 18 with the new period. Consequently, the new $Ro_f/Ro_{f,\odot}$ lower limit (1.40) is slightly below the threshold $1.3/0.9 = 1.44$, and subsequently we should strictly not consider this target in Table 1. However, we choose to include it, given its relatively high $Ro_f/Ro_{f,\odot}$ value and the fact that we are confident through its visual inspection, that this new period value is reliable, which makes it a promising candidate. But most importantly, its parameters are very close to the solar ones, which makes it an interesting target to investigate, as it should be older than the Sun according to the gyrochronology. As a first guess of its age, we used luminosity, effective temperature, metallicity, and rotation period to interpolate in Amard et al. (2019)'s grid and found an estimate of about $9.5 \pm 0.5$ Gyr.

# 4. Extended sample at different metallicities

After applying our data processing steps and $Ro_f$ selection on 16,258 solar metallicity targets, we extend our interest to stars with other metallicities, considering now the whole 50,656 rotators in the sub-sample I of S19-21. This implies to take into account the variations of $Ro_f$ as a function of metallicity. We will now express this dependence as a function of the metallicity index [Fe/H], in order to keep the $Ro_f$ formula in terms of observable quantities.

## 4.1. Fluid Rossby number including metallicity

In this subsection, we add the metallicity index [Fe/H] in the analytical development of the structural fluid Rossby number. As homology relations (Eq. 3) should also depend on the composition (Kippenhahn et al. 2012), we adapt them by explicitly adding [Fe/H], such that

$$L_* \propto M_*^{m_1} ([\text{Fe/H}] + 2)^{m_2} \quad \text{and} \quad R_* \propto M_*^{n_1} ([\text{Fe/H}] + 2)^{n_2}, \quad (19)$$

with $m_2$ and $n_2$ undetermined for now. Moreover, the metallicity impacts the structure of the star. Indeed, a higher abundance of heavy elements increases the opacity in the star, making radiative transfer less effective, resulting in an increase of temperature gradient (Maeder 2009). It leads to a deeper convective envelope and a cooler star (Karoff et al. 2018; Amard et al. 2019), slower convective speeds at the BCZ, which subsequently impacts the Rossby number (Amard & Matt 2020; See et al. 2021). We thus take into account the dependence on [Fe/H] in the structural aspect too, parametrizing $S(\alpha, \beta)$ such that

$$S(\alpha, \beta) \propto M_*^{q_1} ([\text{Fe/H}] + 2)^{q_2} \quad (20)$$

Similarly we obtain

$$Ro_f \propto M_*^{a_1} ([\text{Fe/H}] + 2)^{a_2} \Omega^{-1}$$

$$\text{with} \quad \left\{ \begin{array}{l} a_1 = q_1 + \frac{m_1 - (2n_1 + 1)}{3} \\ a_2 = q_2 + \frac{m_2 - 2n_2}{3} \end{array} \right\}. \quad (21)$$

Substituting Eqs. 19 into Eqs. 5 and 21 gives

$$M_* \propto T_{\text{eff}}^{4/(m_1-2n_1)} ([\text{Fe/H}] + 2)^{(2n_2-m_2)/(m_1-2n_1)}, \quad (22)$$

$$Ro_f \propto T_{\text{eff}}^{b_1} ([\text{Fe/H}] + 2)^{b_2} \Omega^{-1} \\ \text{with} \quad \left\{ \begin{array}{l} b_1 = \frac{4a_1}{m_1 - 2n_1} \\ b_2 = a_1 \frac{2n_2 - m_2}{m_1 - 2n_1} + a_2 \end{array} \right\}. \quad (23)$$

Multi-parameters regression fits on evolutionary tracks of A19 (see fits and values in Fig. A.1) give us $m_1, n_1$ and $p_1$ equivalent to what was found in Sect. 3. In addition, we find $m_2 = -1.00 \pm 0.04, n_2 = 0.01 \pm 0.01, q_2 = -0.81 \pm 0.08$. It thus appears that the stellar luminosity $L_*$ is inversely proportional to the metallicity index [Fe/H]. This is due to the increase of the opacity with higher [Fe/H], because of the presence of elements with several atomic levels or ionization states. It also appears that the stellar radius $R_*$ is nearly independent of the metallicity, regardless of the mass $M_*$ considered (see Fig. A.1). We further notice that the structure factor $S$ decreases with [Fe/H], which means that the CZ thickness increases with metallicity. Introducing these values in Eqs. 21 and 23 leads to

$$Ro_f \propto \frac{M_*^{1.93 \pm 0.05} ([\text{Fe/H}] + 2)^{-1.15 \pm 0.08}}{\Omega_*} \quad \text{and} \\ Ro_f \propto \frac{T_{\text{eff}}^{3.29 \pm 0.09} ([\text{Fe/H}] + 2)^{-0.31 \pm 0.09}}{\Omega_*}. \quad (24)$$

We find that the $Ro_f$ value is inversely proportional to the metallicity index [Fe/H], which is consistent with what has been observed by See et al. (2021).

We note that $Ro_f$ is more sensitive to metallicity, if expressed as a function of the stellar mass $M_*$, rather than the effective temperature $T_{\text{eff}}$. Indeed, we can understand it through A19's evolutionary tracks: if we fix $T_{\text{eff}}$ and increase [Fe/H] from -1 to +0.3, there is no significant change of structure or convective power (1% difference on $r_{BCZ}/R_*$ and a factor 2 on the mean convective velocity), hence no strong change for $Ro_f$. However, if we now fix $M_*$, and apply the same increase of [Fe/H], we note a significant decrease of the convective power, leading to a drop of $Ro_f$ by almost a factor of 10. Hence the fluid Rossby number is more sensitive to metallicity effect, when expressed with $M_*$.

Similarly to Sect. 2.3.4, it is convenient to consider a solar reference such that

$$\frac{Ro_f}{Ro_{f,\odot}} = \left(\frac{P_{\text{rot},*}}{P_{\text{rot},\odot}}\right) \times \left(\frac{T_{\text{eff}}}{T_{\text{eff},\odot}}\right)^{3.29} \times \left(\frac{[\text{Fe/H}] + 2}{2}\right)^{-0.31} . \quad (25)$$

We now apply the same Rossby criterion as in the previous section.

## 4.2. Most promising targets at different metallicities

Following our methodology described in Sect. 3.2, we apply similar steps of data processing to the whole S19-21 sub-sample I. First, we obtain a maximum value $Ro_f/Ro_{f,\odot}=0.608$ when applying Eq. 25 to PMS phases in evolutionary tracks of A19. This confirms again that no explicit filtering of PMS stars is necessary. Then, the filtering we apply to exclude sub-giants is adapted for each metallicity available in A19 (see details in Appendix B), which allows us now to consider the range of metallicities $-1 < [\text{Fe/H}] < +0.3$ dex. After this data processing, we now
<table><caption>**Table 2.** List and stellar parameters of anti-solar candidates out of the solar metallicity range</caption><thead><tr><th>KIC</th><th>log<sub>10</sub>g</th><th>T<sub>eff</sub> [K]</th><th>P<sub>rot</sub> [days]</th><th>Ro<sub>f</sub>/Ro<sub>f,☉</sub></th><th>[Fe/H]</th><th>M<sub>*</sub> [M<sub>☉</sub>]</th><th>S<sub>ph</sub> [ppm]</th><th>Zfl</th><th>Sfl</th></tr></thead><tbody><tr><td>2161400</td><td>4.44<sup>+0.04</sup><sub>-0.04</sub></td><td>6013.9<sup>+120.4</sup><sub>-117.3</sub></td><td>48.7 ± 5.6</td><td>2.19<sup>+0.29</sup><sub>-0.29</sub></td><td>-0.39<sup>+0.06</sup><sub>-0.06</sub></td><td>0.93<sup>+0.06</sup><sub>-0.06</sub></td><td>253.3 ± 7.7</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>6842602</td><td>4.56<sup>+0.01</sup><sub>-0.02</sub></td><td>6130.5<sup>+110.7</sup><sub>-105.0</sub></td><td>40.9 ± 5.2</td><td>2.07<sup>+0.30</sup><sub>-0.29</sub></td><td>-0.66<sup>+0.14</sup><sub>-0.15</sub></td><td>0.90<sup>+0.02</sup><sub>-0.03</sub></td><td>409.3 ± 13.8</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>7097538</td><td>4.40<sup>+0.04</sup><sub>-0.04</sub></td><td>5875.1<sup>+111.7</sup><sub>-109.2</sub></td><td>47.7 ± 6.5</td><td>1.91<sup>+0.29</sup><sub>-0.29</sub></td><td>-0.20<sup>+0.04</sup><sub>-0.04</sub></td><td>0.94<sup>+0.07</sup><sub>-0.07</sub></td><td>370.8 ± 9.7</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>3628076</td><td>4.43<sup>+0.04</sup><sub>-0.04</sub></td><td>5879.5<sup>+121.6</sup><sub>-120.5</sub></td><td>43.3 ± 5.8</td><td>1.82<sup>+0.27</sup><sub>-0.27</sub></td><td>-0.43<sup>+0.02</sup><sub>-0.02</sub></td><td>0.87<sup>+0.06</sup><sub>-0.06</sub></td><td>545.7 ± 13.6</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>3113301</td><td>4.11<sup>+0.03</sup><sub>-0.04</sub></td><td>5853.5<sup>+105.7</sup><sub>-101.2</sub></td><td>47.7 ± 6.8</td><td>1.76<sup>+0.27</sup><sub>-0.27</sub></td><td>0.29<sup>+0.03</sup><sub>-0.03</sub></td><td>1.26<sup>+0.05</sup><sub>-0.10</sub></td><td>308.3 ± 7.1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>10516429</td><td>4.50<sup>+0.03</sup><sub>-0.04</sub></td><td>6036.6<sup>+131.6</sup><sub>-148.2</sub></td><td>(36.6 ± 4.2)</td><td>(1.75<sup>+0.24</sup><sub>-0.25</sub>)</td><td>-0.64<sup>+0.05</sup><sub>-0.05</sub></td><td>0.86<sup>+0.05</sup><sub>-0.06</sub></td><td>204.2 ± 5.1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>6356292</td><td>4.47<sup>+0.04</sup><sub>-0.04</sub></td><td>5862.6<sup>+126.7</sup><sub>-119.8</sub></td><td>38.4 ± 3.3</td><td>1.68<sup>+0.19</sup><sub>-0.19</sub></td><td>-0.67<sup>+0.05</sup><sub>-0.05</sub></td><td>0.82<sup>+0.06</sup><sub>-0.05</sub></td><td>354.3 ± 13.6</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>6436380</td><td>4.22<sup>+0.03</sup><sub>-0.04</sub></td><td>5999.2<sup>+115.3</sup><sub>-116.0</sub></td><td>(40.0 ± 2.6)</td><td>(1.62<sup>+0.15</sup><sub>-0.15</sub>)</td><td>0.16<sup>+0.02</sup><sub>-0.02</sub></td><td>1.19<sup>+0.06</sup><sub>-0.08</sub></td><td>348.1 ± 7.7</td><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Notes. Similar to the Table 1 for promising targets out of the solar metallicity range. The normalized fluid Rossby number value is computed from Eq. 25.

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>**Fig. 3.** Similar to Fig. 2 for anti-solar DR candidates out of the solar metallicity range, summarized in Table 2. All of them are part of the optimistic sample and illustrated with green circle markers. Blue histograms on x and y axes are proposed for the green dots sample. For comparison, we add black dotted histograms, which represent the whole set of candidates for all metallicities (i.e. targets in Table 1 and 2).</figcaption></figure>

get 37,237 targets, on which we apply Eq. 25. We obviously find again all targets of Table 1 in the optimistic sample<fnref n="7" />, and extend it by adding 37 new potential candidates to it. One of them also complete the conservative sample. Again we perform on each one of them the individual visual inspections described in Sect. 3.3 and summarized the details in Appendix C. These inspections lead to 8 new candidates, which are listed in Table 2 and illustrated in Fig. 3.

Table 2 shows that these 8 new candidates are in the optimistic sample only. They show a rotation period lying between 36.6 and 48.7 days, $T_{eff}$ from 5853 to 6131 K, $M_*$ between 0.82 and 1.26 $M_☉$, and [Fe/H] ranging from -0.67 to +0.29 dex. The $S_{ph}$ values for all candidates fall within the solar values of 50 and 600 ppm at minimum and maximum of activity, respectively (Salabert et al. 2017). We note that KIC 3113301 and 6436380

show low $log_{10}g$ while still being on the main sequence as they have a higher metallicity for a given $T_{eff}$. On the contrary, we see that the low metallicity star KIC 6842602 shows a significantly high $log_{10}g$. Finally, we also consider a new $P_{rot}$ for KIC 10516429 and 6436380⁸ compared to the original catalog S19-21, resulting from a new period determination performed during the individual visual inspections. Applying Eq. 25 to these targets with these new rotation periods, we still obtain $Ro_f$ high enough to consider them in the optimistic sample.

Fig. 3 shows the 8 candidates on a Kiel diagram. Blue histograms illustrate their distribution, located around the medians $log_{10}g = 4.43$ and $T_{eff} = 5939$ K. We also show the distribution of the whole optimistic (for all metallicities) with black dotted histograms. This distribution is located around the medians $log_{10}g = 4.37$ and $T_{eff} = 5869$ K, which is thus the parameter range where $Ro_f$ are the highest, and where the anti-solar DR regime is likely to be reached for MS cool-stars for different metallicities.

Finally, we illustrate the whole set of the 22 considered optimistic targets in the left panel of Fig. 4 for all metallicities. This is a diagram of $Ro_f$ as a function of $T_{eff}$ and $P_{rot}$. The DR regimes presented in Fig. 1 are expected in different regions. Two gray transition regions represent the anti-solar/solar-type DR transition (close to $Ro_f = 1$), and the solar-type/cylindrical transition respectively (close to $Ro_f = 0.15$, Brun et al. 2017, 2022). The width of the transition is defined between both solar values $Ro_{f,☉}$ from Sect. 3.3. This translates to $Ro_f/Ro_{f,☉} = (1.67, 1.11)$ and $(0.25, 0.16)$, respectively. We also show a zoom of this plot on the right panel, and indicate the [Fe/H] value for each target on a colorbar. We note that most of solar metallicity stars tend to cluster in the lower left. We find 4 targets in the transition region toward anti-solar DR regime, and the other targets in the region where an anti-solar DR regime is expected.

## 5. Discussion

We succeeded to obtain 22 stellar candidates likely to be in an anti-solar DR regime. We are confident about the robustness of the final sample, thanks to different filtering methods, and several individual visual inspections for each of the targets presented (see Sect. 3). However, some good candidates may have been missed during the different selection processes, which will be discussed in this section.

<footnote n="7">⁷ Applying Eq. 25 on targets in Table 1 does not significantly change their $Ro_f/Ro_{f,☉}$ values, as their [Fe/H] amplitude is small. The strongest change is experienced by KIC 10907436, which fluid Rossby increases from 2.44 to 2.47.</footnote>

<footnote n="8">⁸ The rotation periods reported in S19-21 are 47.7 ± 6.7 and 50.4 ± 9.0 days, respectively.</footnote>
<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>**Fig. 4.** *Top:* Differential rotation diagram, where different DR regimes are expected: anti-solar, solar-type and quenched/cylindrical (see Fig. 1). Grey regions represent transition regions between DR regimes. Dotted lines represent constant $Ro_f/Ro_{f,○}$ as a function of $T_{eff}$ and $P_{rot}$ as deduced from Eq. 18. The solid black line represents the value $Ro_f/Ro_{f,○} = 1$. *Bottom:* Zoom on the top panel around anti-solar DR candidates, color-coded by metallicity.</figcaption></figure>

To estimate $Ro_f$, we used $P_{rot}$ values taken from the most recent and complete rotational catalog in date for the *Kepler* field (S19-21), where their $P_{rot}$ measurements rely on rotational modulations from star-spots in light-curves. However, the exact nature of magnetic activity under anti-solar DR is still under debate from a numerical point of view (Karak et al. 2015; Viviani et al. 2019), firstly concerning the possibility of long-term cyclic solutions (Karak et al. 2020, Noraz et al. 2022 and references

therein). Moreover, global numerical simulations currently do not self-consistently resolve star-spots. Hence, even if most dynamo simulations highlight stationary configurations, we do not have clues about the star-spots formation rate and behavior in a high Rossby number regime. The detection of their modulation in photometric light-curves is thus questionable and could be hard, which might explain the relatively small number of promising targets our method selected in the *Kepler* field.
Observations of Brandenburg & Giampapa (2018) have reported high Rossby targets which show an increase of their chromospheric variability, compared to the decreasing trend expected with the Rossby number. They argue that this enhanced activity for slow rotators could be caused by an anti-solar DR regime. Nevertheless, we would add here that it seems currently hard to distinguish whether these large variabilities are due to an anti-solar DR regime, or caused by a tidally triggered magnetic activity in multiple-stars system (e.g. Schrijver & Zwaan 1991; Kővári et al. 2021). Such targets are indeed statistically isolated in the parameter space for slow rotators (see large $S_{ph}$ in Fig. 14 of Santos et al. 2021), which could be also a hint for unusual enhanced magnetic activity.

We note that the 22 high Rossby targets finally retained as promising candidates for anti-solar rotation in our study do not exhibit $S_{ph}$ values significantly higher (< 752 ppm) than the ones observed on the Sun (see Salabert et al. 2017). We also note the presence of higher $S_{ph}$ values (> 1000 ppm) on some targets considered (25 out of 99), however they were each time discarded during visual inspections because they were likely to be polluted by a neighbour or by instrumental effects (details are available in Appendix C).

Another explanation for the relatively small number of candidates we found, would be a less efficient angular momentum loss for old solar-type stars. Indeed, a stalled wind braking mechanism at later stages may prevent stars to go into the high Rossby number regime. It indeed has been observed through photometry (van Saders et al. 2016) and asteroseismology techniques (Hall et al. 2021). However, this question is still debated in the community, and we refer interested readers to Sect. 1 of this paper for other details.

Moreover, the method we propose to determine the transition between MS and sub-giant phase is a first approximation. Even if linear fits in the parameter space ($log_{10}g; T_{eff}$) are good approximations for most of the models taken from A19 (see details in Appendix B), a more accurate characterization of the evolutionary stage of the stars in this transition region would require an asteroseismic analysis. For the same reason, MS-cool stars near the end of the MS might have been filtered with our method, because of relatively high $log_{10}g$ or relatively low $T_{eff}$. Older stars are more likely to be slow rotators, making them good candidates for hosting a high Rossby number. Hence, we may have filtered some promising anti-solar candidates.

Our selection method from the S19-21 rotation catalog did not pick the anti-solar candidates proposed by Reinhold & Arlt (2015) or Benomar et al. (2018) as promising targets for hosting anti-solar DR. However, we note that because of the mode suppression by magnetic features, seismic targets tend to be weakly active (e.g. Chaplin et al. 2011; Mathur et al. 2019). This also means that detecting the signature of surface rotation due to star-spots for such targets might be difficult. Consequently, S19-21 are not able to determine photometric surface $P_{rot}$ for all seismic targets in Benomar et al. (2018). Nevertheless, if we consider the rotation rates determined through asteroseismology by the authors, KIC 8938364 and 3427720 become interesting, and would fall respectively in the anti-solar DR region, and in the transition (grey area) of Fig. 4. Unfortunately, the associated error bars derived from this technique are large, and do not allow us to consider these targets as promising ones. We also looked for candidates among the LEGACY/Kepler seismic targets of Lund et al. (2017) and Hall et al. (2021) for which no photometric period is detected, and did not find any targets that clearly pass through our selection process.

To be consistent with the mass estimates we considered from S19-21, we took the [Fe/H] values from B20, which come mostly from isochrone fittings, and thus gives relatively large error bars. Nevertheless, for half of the final candidates, [Fe/H] values come from spectroscopic observations, which are known to be more precise in general. We also note that 7 of the 8 candidates outside the solar metallicity range, for which $R_{of}$ computation takes metallicity into account, have spectroscopic [Fe/H] values (see Table 2). Therefore, our selection method may have missed targets with imprecise [Fe/H], but our final sample is likely quite robust in that respect.

## 6. Conclusion

In conclusion, we presented in this paper a novel approach to highlight the most promising candidates for the detection of anti-solar DR regime in MS cool-stars. We propose in this paper a first application of our method to the *Kepler* field.

We have first derived an analytical formula to quantify the fluid Rossby number $R_{of}$ from observational quantities ($P_{rot}, T_{eff}$), while taking into account the structural aspect of solar-type stars. After calibrating it with evolutionary tracks of A19, we then applied this formula to the new S19-21 rotation catalog of the *Kepler* field. A first selection has been made on stars in a solar metallicity range (-0.1 dex< [Fe/H] < +0.1 dex) with a criterion inspired from recent global MHD numerical simulations (B22). We took care to properly filter pre-MS and post-MS stars in our analysis and finally inspected each target selected to ensure the reliability of the $R_{of}$ values we computed.

Next, we have extended the derivation of $R_{of}$ to add a dependency to the metallicity, which can notably change the structure of stars for a given mass. We adapted our filtering method and considered targets with a metallicity between [Fe/H]=-1 and +0.3 dex.

This study finally gives us 22 anti-solar DR stellar candidates, 14 of which being at the solar metallicity. We especially note KIC 10907436 which has a significantly high $R_{of}$, and thus one of the most promising candidates for the anti-solar DR regime. Four solar analogs (KIC 6068129, 6850029, 742872, and 7189915) are also particularly interesting due to their long $P_{rot}$ (between 44.2 and 51.1 days) for the study of the future evolution of the Sun. More generally, all 22 targets possess $P_{rot}$ between 36.6 and 51.1 days for spectral types between $T_{eff}$ = 5641 and 6364 K. The determination of their age could therefore give new insights for the actual debate about the gyrochronology-break for old solar-type stars, and more generally for their rotational evolution (Curtis et al. 2020; David et al. 2022). Another noteworthy candidate is KIC 12117868, which is a seismic target. It could therefore be of interest for future measurements or characterizations, in particular for its latitudinal rotation profile through asteroseismic inversions (Benomar et al. 2018), in order to confirm, or not, if it has an anti-solar rotation profile.

Anti-solar DR detections on main-sequence cool stars would provide useful observational constraints to better understand the link between rotation and magnetism of slowly rotating stars. Then, long-term observations would bring constraints on their magnetic activity, and therefore help to answer whether anti-solar differentially rotating stars could sustain magnetic cycles (Karak et al. 2020; Noraz et al. 2021). Such constraints for solar analogs would also help to decipher what type of dynamo mechanisms is acting within our Sun (Brun et al. 2022).

To conclude, this paper was a first attempt to compute $R_{of}$ from observations and to apply this method to the *Kepler* field. The analytical development of the fluid Rossby number is
generic and could be applied to the field of future missions such as PLATO (PLAnetary Transits and Oscillations of stars, Rauer et al. 2014).

*Acknowledgements*. QN is thankful to J. Ahuir, A. Finley, L. Gizon, S. Jeffers and T. Reinhold for useful discussions. We acknowledge financial support by ERC Whole Sun Synergy grant #810218., funding by INSU/PNST grant, CNES/Solar Orbiter, CNES/PLATO, and CNES/GOLF funds. ARGs acknowledges the supported by FCT through national funds and by FEDER through COMPETE2020 by these grants: UIDP/04434/2020; PTDC/FIS-AST/30389/2017 & POCI-01-0145-FEDER-030389. ARGs is supported by FCT through the work contract No. 2020.02480.CEECIND/CP1631/CT0001. SM acknowledges support by the Spanish Ministry of Science and Innovation with the Ramon y Cajal fellowship number RYC-2015-17697 and the grant number PID2019-107187GB-I00. This paper includes data collected by the *Kepler* mission and obtained from the MAST data archive at the Space Telescope Science Institute (STScI). Funding for the *Kepler* mission is provided by the NASA Science Mission Directorate. STScI is operated by the Association of Universities for Research in Astronomy, Inc., under NASA contract NAS 5-26555. This publication makes also use of data products from the Two Micron All Sky Survey, which is a joint project of the University of Massachusetts and the Infrared Processing and Analysis Center/California Institute of Technology, funded by the National Aeronautics and Space Administration and the National Science Foundation. We also thank the *Kepler* Asteroseismic Science Operations Center, KASOC, and the Aarhus University for maintaining this website. Finally, we thank the anonymous referee for constructive comments that have led to the improvement of the manuscript.

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## Appendix A: Scaling laws

In order to determine the different exponents for equations 17 and 24, we perform linear regression fits<fnref n="9" /> on stellar evolution models from A19. They propose a grid of evolutionary tracks from the PMS to the TAMS, for different initial rotation periods. Stellar masses range between 0.2 and $1.5M_\odot$, and metallicities are set for 7 [Fe/H] values from -1 to +0.3. We extract for each model the mean value of $L_*$, $R_*$ and $S(\alpha, \beta)$ during the main-sequence and perform regression fits as a function of $M_*$ and [Fe/H], which we illustrate in Figure A.1.

As shown in the upper panels of Fig. A.1, multi-parametric regressions give $m = m_1 = 4.66 \pm 0.03$ and $m_2 = -1.00 \pm 0.04$. We note that the regression is improved when we add the dependency to the metallicity (purple lines). We can see it in the top-right corner, where we represent the reference values as a function of fitted ones. The spread of dots around the dashed function $x = y$ is smaller for blue dots (multi-parametric relation) than for the orange ones (only with the $M_*$ dependency). We can also see it with the uncertainties of the fit in the top-left corner, which is smaller ($\pm 0.03$) when we prescribe a dependence on [Fe/H]. Similarly, we find $n = n_1 = 1.16 \pm 0.01$ on the second row, and we note that the quality of the regression is not improved significantly with a dependence on [Fe/H]. Indeed, we find that $R_*$ is not sensitive to the metallicity, with $n_2 = 0.01 \pm 0.01$. Finally, we find on the third row that $q = q_1 = 1.48 \pm 0.05$ and $q_2 = -0.81 \pm 0.08$. We note that a power law is a good approximation for the homology relations in Eqs. 3 and 19, but a rough approximation for the structural term $S \propto M_*^q$ if we consider a range of masses too large. In this sense, we restrict here our fits for $0.4 \le M_* \le 1.3M_\odot$, which defines the validity range for these regressions. Moreover, we note that the multi-parametric regression of $S(\alpha, \beta)$ is much better than its single-parametric one, as we can see with the dots spread in the lower-right corner.

## Appendix B: TAMS as a function of the metallicity

It is a difficult task to observationally distinguish between evolved MS stars and young sub-giants. In this situation, an arbitrary choice has to be made in order to filter out from the MS populations stars susceptible to be sub-giants. As we want to select only cool MS stars in this study, we choose an approach similar to the one considered by S19-21. We thus fit stellar evolution models of A19 at the TAMS, as a function of $\log_{10}g$ and $T_{\text{eff}}$, for a given $P_{\text{rot,ini}}$ and a given [Fe/H]. This gives us a limit in a Kiel diagram (e.g. Fig. 2) above which the stars are considered as sub-giants. We do this for 7 [Fe/H] values between +0.3 and -1.0, for slow and medium rotators. We do not consider here the fast rotators because their rotational history have been specifically treated for the most massive stars (see Sect. 2.6.1 of A19). Moreover, we expect anti-solar DR profiles to appear for slow-rotating stars. Slopes $\delta$ and $\gamma$-intercepts $\xi$ of the TAMS($\log_{10}g$, $T_{\text{eff}}$) regressions are reported in Table B.1. We then determine the behavior of $\delta$ and $\xi$ as functions of the metallicity index [Fe/H], thanks to linear regressions (see Fig. B.1), which gives

$$ \delta([\text{Fe/H}]) = \left( \begin{aligned} & (-34.36 \pm 1.81) \times [\text{Fe/H}] \\ & + (-39.63 \pm 0.83)) \times 10^{-5} \end{aligned} \right) \quad (\text{B.1}) $$

$$ \xi([\text{Fe/H}]) = \left( \begin{aligned} & (1.84 \pm 0.14) \times [\text{Fe/H}] \\ & + 6.49 \pm 0.06 - 0.12 \end{aligned} \right) \quad (\text{B.2}) $$

We note that the resulting $\xi$ has to be shifted toward small $\log_{10}g$

<table><caption>**Table B.1.** Parameters of the different linear regression at the TAMS, in order to determine sub-giant cuts in a Kiel diagram.</caption><thead><tr><th>P<sub>rot,ini</sub><br>(days)</th><th>[Fe/H]</th><th>δ</th><th>ξ</th></tr></thead><tbody><tr><td>9</td><td>-1.00</td><td>(-3.64 ± 1.01) × 10<sup>-5</sup></td><td>4.46 ± 0.08</td></tr><tr><td>9</td><td>-0.50</td><td>(-1.87 ± 0.29) × 10<sup>-4</sup></td><td>5.35 ± 0.19</td></tr><tr><td>9</td><td>-0.30</td><td>(-2.95 ± 0.47) × 10<sup>-4</sup></td><td>6.00 ± 0.31</td></tr><tr><td>9</td><td>-0.15</td><td>(-3.36 ± 0.65) × 10<sup>-4</sup></td><td>6.22 ± 0.42</td></tr><tr><td>9</td><td>0.00</td><td>(-3.71 ± 0.39) × 10<sup>-4</sup></td><td>6.36 ± 0.23</td></tr><tr><td>9</td><td>0.15</td><td>(-4.69 ± 0.40) × 10<sup>-4</sup></td><td>6.86 ± 0.23</td></tr><tr><td>9</td><td>0.30</td><td>(-4.84 ± 0.43) × 10<sup>-4</sup></td><td>6.88 ± 0.24</td></tr><tr><td>4.5</td><td>-1.00</td><td>(-6.10 ± 2.33) × 10<sup>-5</sup></td><td>4.67 ± 0.17</td></tr><tr><td>4.5</td><td>-0.50</td><td>(-2.41 ± 0.33) × 10<sup>-4</sup></td><td>5.70 ± 0.22</td></tr><tr><td>4.5</td><td>-0.30</td><td>(-3.39 ± 0.65) × 10<sup>-4</sup></td><td>6.28 ± 0.42</td></tr><tr><td>4.5</td><td>-0.15</td><td>(-3.70 ± 0.69) × 10<sup>-4</sup></td><td>6.43 ± 0.44</td></tr><tr><td>4.5</td><td>0.00</td><td>(-3.73 ± 0.41) × 10<sup>-4</sup></td><td>6.37 ± 0.24</td></tr><tr><td>4.5</td><td>0.15</td><td>(-4.66 ± 0.40) × 10<sup>-4</sup></td><td>6.85 ± 0.23</td></tr><tr><td>4.5</td><td>0.30</td><td>(-4.90 ± 0.45) × 10<sup>-4</sup></td><td>6.91 ± 0.25</td></tr></tbody></table>

**Notes.** We regroup here slopes $\delta$ and $\gamma$-intercepts $\xi$ of the different linear regressions, with the corresponding $P_{\text{rot,ini}}$ in days et metallicity index [Fe/H].

values (-0.12 dex), in order to be compatible with $\log_{10}g$ of S19-21. These two equations are valid for $+0.3 \ge [\text{Fe/H}] \ge -1.0$, i.e. the range of metallicities in A19 evolutionary grid. Finally, we confirm that sub-giants do not exist for $T_{\text{eff}} < 5000K$ and $\log_{10}g < 4.4$ by looking at tracks in this grid of A19. Indeed, the universe is currently too young to consider that MS-stars in this temperature range have already left the MS. We finally illustrate some sub-giants cuts in Fig. B.2.

## Appendix C: Detailed methodology of individual light-curve inspections and additional rotation diagnostics

We detail here the different verifications we perform in the step 4 of individual inspections, discussed in Sect. 3.2. For each target in the optimistic sample, we inspect the three KEPSEISMIC light-curves used in S19-21 and the PDC-MAP light-curve (Presearch Data Conditioning - Maximum A Posteriori; e.g. Jenkins et al. 2010; Smith et al. 2012; Stumpe et al. 2012). KEPSEISMIC light-curves were obtained with KADACS (Kepler Asteroseimic data analysis and calibration Software; García et al. 2011), which employs customized apertures and corrects for outliers, jumps, drifts, and discontinuities at the edges of the Kepler quarters. Gaps smaller than 20 days are filled using in-painting techniques (García et al. 2014; Pires et al. 2015). Finally, we apply three filters with cutoff periods at 20, 55, and 80 days, resulting in three KEPSEISMIC light-curves per star. Filtering the data has been crucial to remove instrumental modulations, but it can also filter the stellar signal. Thus, the three filtered light-curves were analyzed in parallel. In spite of the data treatment, modulations related to the Kepler year and quarters are still present in the light-curves of some targets. For that reason and because we are interested in relatively

<footnote n="9">⁹ We use a least-squares method in log-space.</footnote>
<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>**Fig. A.1.** Linear regressions to determine homology relations of Eqs. 3 and 19, and structure term $S(\alpha, \beta)$ as defined in Eq. 13 and 20. We use the grid evolutionary track of A19 taken from the STAREVOL (SE) code. Each dot represents one of these stellar tracks, from which different values have been deduced as mean value during their MS (subscript "SE"). The first row shows $L_*$, the second row $R_*$ and the third row $S(\alpha, \beta)$. The first column illustrates these different values as a function of $M_*$ and the second column shows them as a function of $([\text{Fe/H}] + 2)$. The third column illustrates the quality of the fits. It represents the different original values ($L_*, R_*, S(\alpha, \beta)$), as functions of the ones estimated by the fits (subscript "fit"). These regressions are illustrated on the first and second columns. They are colored in purple if it is multi-parametric (as a function of $M_*$ and [Fe/H]), or colored in cyan if it is only a regression on $M_*$. Blue dots represent models on which we perform the multi-parametric regression, and the orange group represents models on which we only fit on $M_*$. For the latter, we divided the values by 10 for illustration purposes.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>**Fig. B.1.** Left: δ slopes from Table B.1 as a function of [Fe/H]. The orange and blue colors correspond to medium and slow rotators respectively. The black dotted line represent the δ mean for each metallicity index of the Table, and the purple line is a linear regression of these mean values. Right: Similar to the left panel, for y-intercepts ξ.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>**Fig. B.2.** Kiel diagram of the optimistic sample by applying Eq. 25 at the whole S19-21 rotation catalog, before filtering masses, metallicities, sub-giants, and performing individual inspections. Histograms are illustrated in blue on both axes for the selected targets. We show on the same diagram sub-giant cuts for different metallicities, computed with Eq. B.2.</figcaption></figure>

slow rotators, whose signal is the most affected by instrumental artefacts, we obtained three additional KEPSEISMIC light-curves. For these, the long-term *Kepler* modulation is subtracted to the light-curve before applying the filters. To do so, the autocorrelation function (ACF) of the light-curve is computed and the maximum around ± 30 days of the *Kepler* orbital period (372.5 days) is searched, hereafter $P_{\text{Kepler}}$. The original data are then phase-folded with $P_{\text{Kepler}}$ and the resultant curve is fitted with a third-degree polynomial. To detrend the light-curve, each segment of the length $P_{\text{Kepler}}$ is corrected by subtracting the fitted curve linearly scaled to the data in this segment. This procedure minimizes any trends around the *Kepler* orbital period in the light-curve for most of the targets. Nevertheless, when the

retrieved $P_{\text{rot}}$ with the new calibration is compatible with the period given in S19-21, we keep the latter for the sake of clarity. The parallel inspection of the 7 light-curves and respective rotation diagnostics allows us to verify the nature of the signal. The rotation diagnostics are: wavelet analysis; autocorrelation function; and their composite spectrum. We also visually inspect the power spectrum density of each light-curve. For details on the rotation diagnostics see S19-21, and references therein.

The results of these individual visual inspections are listed in Table C.1 for all targets of the optimistic sample. The full version of the Table along with data of all 99 solar-type stars of this sample are available online (62 stars at solar metallicity and 37 stars with other metallicities)<fnref n="10" />. We propose now to discuss examples listed in the short version of Table C.1 presented here.

Starting with star KIC 10934680, it is in the halo of KIC 10989776, a 2.5 times brighter star (Halo flag “1”, see Fig. C.1). As we could not attest surely the pollution, or clearly reject it, the neighboring flag is noted “2”, and thus we reject this target from the final list of anti-solar candidates (Candidate flag “0”). The rotational modulation of the target is also not clear, which potentially biases the measured $P_{\text{rot}}$, thus we set the “$P_{\text{rot}}$ flag” to “1”. Moreover, if it turns out that there is no pollution from the neighboring star, we suspect KIC 10934680 to be a close multiple-star system, as the visible shape of this star is elongated (Shape flag “1”).

KIC 4042415 is also in the halo of a brighter star (Halo flag “1”), but the latter is distant and not visible in the *Kepler* acquisition FoV. However, the bright star is clearly polluting the light-curve of the target KIC 4042415 ($P_{\text{rot}}$ flag as “1”), so we reject this target. Moreover, there is a different close neighbor that is visible in this FoV. It is far enough and not in the photometry aperture. Thus, the neighboring flag is “1”, meaning that there is a close neighbor, which does not pollute the light-curve.

<footnote n="10">¹⁰ *Kepler* light-curves and rotation analysis used to perform the visual individual inspections can be accessed along with a machine-readable form of Table C.1 through the following repository: https://github.com/qnoraz/AntisolarCandidatesInspections.git</footnote>
<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>**Fig. C.1.** Image from the KASOC website of KIC 10934680 using Two Micron All Sky Survey (2MASS) images (Skrutskie et al. 2006). This star is marked by a purple cross symbol and it is in the halo of another *Kepler* target, KIC 10989776 (marked with a red square), which has a *Kepler* magnitude 2.5 times brighter.</figcaption></figure>

indicates that we consider this target as a candidate for anti-solar DR.

Individual inspections of KIC 5024984 do not show any sign of pollution by the halo of a brighter star (hence Halo flag is “0”). We note a neighbor (KIC 5024961) that is visible in the 40”×40” FoV around our target, but it is not polluting the signal we use (neighboring flag is “1”). Nevertheless, the related uncertainties of KIC 5024984 $log_{10}g = 4.47_{-0.75}^{+0.08}$ are too high to decipher if it is a subgiant or a MS star. We note that the value reported for this target in the DR25 catalog (Mathur et al. 2017) is significantly different and also highly uncertain: $log_{10}g = 3.71_{-0.27}^{+0.80}$. As we perform a strict selection, we do not consider this target in our final sample of promising candidates (hence $log_{10}g$ flag is “1”).

Concerning KIC 3860063, we find a very close neighbor in the acquisition FoV that is clearly polluting the light-curve, so we note the neighboring flag as “3”. We further suspect that the large $S_{ph}$ could result from a triggered activity by tidal interactions, which could indicate that both stars are gravitationally interacting (see discussion in Sect. 5).

When looking closely at the example KIC 6541604, we do not find evidence for pollution from another star in the light-curve. The new KEPSEISMIC light-curves and their rotational analysis show that the $P_{rot}$ extracted by S19-21 can be improved with the new treatment of the light-curves. Hence, we are able to compute a better $P_{rot} = 66.0 \pm 11.5$ days, and then update the Rossby number accordingly. We find $Ro_f/Ro_{f,○} = 1.57 \pm 0.29$. Its lower limit 1.28 is below the selection threshold $Ro_f/Ro_{f,○} = 1.3/0.9 = 1.44$. Thus, the $P_{rot}$ flag is “2” and we do not consider this target in the final list of candidates.

The same conclusions holds for KIC 6436380, with a new rotation value found to be $P_{rot} = 40.0 \pm 2.56$ days. However, when updating the Rossby number accordingly, we find $Ro_f/Ro_{f,○} = 1.62 \pm 0.15$, which is still above the selection threshold on $Ro_f$. Thus, we set the $P_{rot}$ flag at “3”, and consider KIC 6436380 as a candidate (see Table 2).

Concerning the final example, we do not attest any pollution or close neighboring star for KIC 3113301. This target has a circular shape in the FoV, and the amplitude of its light-curve modulation is typical of stars with similar properties. Finally, the new KEPSEISMIC light-curves and their rotational analysis (see Fig. C.2) confirm the reliability of its $P_{rot}$ extracted by S19-21. Hence, we set all the flags to “0”, except the last one which
<table><caption>**Table C.1.** Results of individual visual inspections. The full table is available in a machine-readable format at the journal's page.</caption><thead><tr><th>KIC</th><th>Halo flag [0,1]</th><th>Neighboring flag [0,1,2,3]</th><th>Shape flag [0,1]</th><th>log<sub>10</sub>g flag [0,1]</th><th>P<sub>rot</sub> flag [0,1,2,3]</th><th>Candidate flag [0,1]</th></tr></thead><tbody><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>3113301</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>3860063</td><td>0</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>4042415</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>5024984</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>6436380</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>1</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>6541604</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>10934680</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr></tbody></table>

**Notes.** Summary of the verifications done on the whole optimistic sample, to determine if a target is a reliable anti-solar DR candidate. The “Halo flag” indicates if the target is in the light-halo of a brighter star from the visual inspection of 2MASS images (1), or not (0). The “Neighboring flag” indicates if there is at least a neighbor visible in the *Kepler* acquisition FoV (1,2,3), or not (0). If this is the case, we check carefully if the main target light-curve is possibly (2) or surely (3) polluting the target star, or if we acknowledge no pollution of the rotational signal (1). The “Shape flag” indicates if the shape of the target in the FoV is deformed or elongated suggesting the presence of multiple stars (1) (possibly a close companion in the FOV), or not (0). The “log<sub>10</sub>g flag” indicates if an uncertainty of the log<sub>10</sub>g value is suspiciously large, and could make us consider a subgiant target. During the inspection, if we conclude that the P<sub>rot</sub> value extracted by S19-21 comes clearly from the rotational signal of the target (0), or not (1). If the light-curve shows rotational signal, and we are able to improve the measurement and provide a new reliable P<sub>rot</sub> we provide the flags (2,3). In that case, we indicate if the new corresponding Ro<sub>f</sub>/Ro<sub>f,0</sub> value is high enough to keep the target above the selection threshold and in the optimistic sample (3) (i.e. if the new lower limit of this value is higher than 1.3/0.9=1.44), or not (2). We finally indicate with “Candidate flag” if we consider the target as an anti-solar DR candidate (1), or not (0).
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>**Fig. C.2.** Example of one of the control plots for KIC 3113301. It contains the output of our rotation pipeline (see S19-21) for the three KEP-SEISMIC light-curves in S19-21 (filtered at 20, 55, and 80d), for the PDC-MAP light-curve (which in this example is clearly filtering the stellar rotation signature), and for the new KEPSEISMIC light-curve filtered at 80 days in which the modulation related to $P_{\text{Kepler}}$ is removed. For a full description of the plots, we refer to S19-21. Briefly, from top to bottom it is shown: the light-curve and the Lomb-Scargle periodogram, the time-period analysis with the global wavelet power spectrum (GWPS), the ACF, the CS, and the full power spectrum density (PSD) in log-log scale.</figcaption></figure>
Sommaire

<table><tr><td>4.1 Le paradoxe convectif</td><td>163</td></tr><tr><td>4.1.1 Point de vue observationnel</td><td>164</td></tr><tr><td>4.1.2 Implications du paradoxe convectif pour le maintien de la rotation différentielle</td><td>165</td></tr><tr><td>4.2 Calibration du transport convectif dans un modèle solaire turbulent</td><td>167</td></tr><tr><td>4.2.1 Introduction aux différents modèles de l'étude</td><td>168</td></tr><tr><td>4.2.2 Approche classique et augmentation du niveau de turbulence</td><td>169</td></tr><tr><td>4.2.3 Influence du nombre de Nusselt</td><td>172</td></tr><tr><td>4.2.4 Analyse spectrale du transport d'énergie cinétique et transport de chaleur</td><td>176</td></tr><tr><td>4.3 Discussion et perspectives</td><td>182</td></tr></table>

Afin de comprendre la mise en place et l'évolution des profils de rotation différentielle au sein des étoiles de type solaire, il est tout aussi important de les étudier d'un point de vue théorique (Chapitre 2), que de leur apporter des contraintes observationnelles (Figure 2.8 ou Chapitre 3). Les modèles du Chapitre 2 nous ont notamment permis de voir que la convection turbulente en rotation est un ingrédient primordial pour l'établissement du profil de rotation. Il s'agit d'un processus fortement non-linéaire faisant intervenir les tenseurs de Reynolds (et dans le cas MHD ceux de Maxwell), pour lequel l'utilisation des simulations numériques est donc une approche essentielle. Ces dernières nous ont en effet apporté de solides résultats durant les dernières décennies pour la compréhension des écoulements à grande échelle au sein des étoiles (voir Brun & Browning 2017 pour une revue récente).

Cependant, de récentes études montrent que notre compréhension de la convection turbulente au sein du Soleil est incomplète. En effet, il semblerait que les vitesses convectives établies au sein des simulations numériques globales soient sur-estimées en comparaison à celles observées dans le Soleil. En parallèle, un certain degré de désaccord apparaît dans ces observations en fonction de la méthode utilisée (héliosismologie temps-distance, ou ring-diagram, suivi de structures en surface, etc...), et un travail de révision de ces méthodes est actuellement en cours au sein de la communauté des observateurs.

Dans ce contexte, ce chapitre propose tout d'abord une rapide introduction sur le débat actuel. Nous nous intéresserons en particulier au point de vue numérique, pour lequel nous présenterons ensuite une solution possible basée sur le contrôle du nombre de Nusselt au sein de simulations hydrodynamiques, en tant que moyen de calibration des vitesses convectives pour retrouver le profil de rotation solaire observé. Enfin, nous présenterons le développement d'outils d'analyse spectrale, qui nous permettront de caractériser le transport cinétique et thermique aux différentes échelles spatiales, ainsi que leur contribution dans l'établissement du profil d'écoulements moyens.

## 4.1 Le paradoxe convectif

À partir des développements analytiques qui permirent une analyse linéaire de la convection en sphère tour- nante (Chandrasekhar, 1961; Roberts, 1968; Busse, 1970), l'utilisation des simulations numériques globales
commença afin d'étudier les non-linéarités des corps astrophysiques turbulents en rotation (Gilman, 1975, 1977). En particulier, il s'agissait de comprendre les implications de ce processus dans le contexte stellaire et planétaire (Gilman 1979 pour le cas solaire, Cuong & Busse 1981 pour le cas terrestre), avec par exemple l'établissement de la rotation différentielle solaire, alors observée depuis plus d'un siècle (Carrington, 1860). Les premiers calculs utilisaient une approximation Boussinesq en milieu faiblement stratifié, et ont par la suite pu être étendus à l'approximation anélastique que nous avons utilisé au Chapitre 2 (Gilman & Glatzmaier, 1981; Glatzmaier & Gilman, 1982). Dans le même temps, les calculs dynamo résolvant l'évolution d'un champ magnétique ajoutèrent de nouvelles contraintes théoriques aux modèles de champ moyen (voir Section 1.1.6 et Chapitre 5) pour la compréhension de sa génération au sein du Soleil (Gilman & Miller, 1981; Glatzmaier, 1984, 1985). Les avancées de l'héliosismologie ont par la suite permis d'établir le modèle standard de la stratification du Soleil (Christensen-Dalsgaard et al., 1996), ainsi que le profil de rotation de la zone convective de ce dernier (Thompson et al., 1996), illustré de nouveau au panneau (a) de la Figure 4.2. Fort d'une stratification réaliste, des avancées notables purent être faites dans une reproduction plus réaliste du profil de rotation différentielle solaire, guidées notamment par la théorie du vent thermique (voir par exemple Miesch et al. 2000; Brun & Toomre 2002). Les résolutions spatiales étaient modérées ($N_θ < 128, l_{max} < 85$), les temps caractéristiques d'évolution étaient relativement longs, mais le profil de rotation solaire était bien reproduit en comparaison à ce qui était observé par héliosismologie, comme illustré au panneau (b) de la Figure 4.2 (Miesch et al., 2006). Cependant, alors que l'établissement de ce profil semblait être compris, la résolution, et donc le degré de turbulence, atteignable dans les simulations augmenta avec la puissance informatique, et des difficultés importantes apparurent pour maintenir le bon profil de rotation (Miesch et al. 2008, voir panneau (c) de la Figure 4.2), celui-ci bifurquant alors vers un profil de rotation "anti-solaire" (voir Section 2.1.2 pour une discussion détaillée). Ce constat fut alors rejoint par de nouvelles contraintes héliosismiques (Hanasoge et al., 2012; Gizon & Birch, 2012), qui indiquèrent alors une différence entre l'amplitude des cellules convectives à grande échelle générées par les simulations globales, et celle déduite des observations. Ce sujet de recherche est appelé "Convective Conundrum" ou "énigme convective" (O'Mara et al., 2016), et tient la communauté en haleine depuis une décennie.

### 4.1.1 Point de vue observationnel

La Figure 4.1 résume en ce sens les différentes contraintes observationnelles actuelles que nous avons sur le spectre non-axisymétrique de l'énergie toroïdale solaire, récemment revisitées par le travail de Proxauf (2021). Celles-ci sont comparées aux résultats de simulations numériques : Miesch et al. (2008) pour le code global ASH, et Stein & Nordlund (2006) avec le code local STAGGER. Une différence apparaît donc bien entre les résultats observationnels et ceux de simulations globales pour les grandes échelles, cependant on y voit aussi des différences dans les résultats observationnelles en fonction de la technique utilisée. Nous proposons ici un résumé de ces comparaisons et reportons le lecteur intéressé au manuscrit de thèse de Proxauf (2021) pour de plus amples détails sur les techniques observationnelles. En effet, ces résultats sont obtenus par la résolution de problèmes d'inversion relativement complexes, dont les détails sortent du cadre de notre étude. Premièrement, la courbe noire "Revised HDS2012" représente les données retravaillées de Hanasoge et al. (2012), et montre le spectre de l'énergie convective toroïdale à grande échelle ($l < 60$, où $l$ est le degré d'harmonique sphérique, aussi appelé degré angulaire) tel qu'obtenue des observations, par l'intermédiaire d'une technique d'inversion hélio-sismique appelée "temps-distance". On voit que cette estimation observationnelle peut être ici jusqu'à deux ordres de grandeur en dessous des valeurs obtenues aux plus grandes échelles de la simulation ASH (qui est ici un des nombreux codes globaux utilisés par la communauté, tous (Magic, Pencil, Rayleigh etc...) présentent la même problématique). Les amplitudes hélio-sismiques relativement faibles aux grandes échelles semblent de plus être corroborées par des résultats déduits du suivi de super-granules<fnref n="1" /> (courbe violette), ainsi que par une autre technique d'inversion hélio-sismique appelée "ring-diagram" (représentée en bleu). Nous

<footnote n="1">1. Définis en Section 1.2.2.3.</footnote>
<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Résumé des différentes estimations du spectre des énergies toroïdales solaires, obtenues par simulations numériques (courbes grises) ainsi que par l'observation du Soleil. Les courbes noires montrent les estimations révisées de Hanasoge et al. (2012) et Greer et al. (2015). La figure illustre également les nouvelles mesures par suivi de la granulation (violet) et les nouvelles mesures du pipeline ring-diagram (bleu) détaillé dans Proxauf (2021). Une comparaison est faite aux courbes obtenues dans les simulations ASH et stagger (Gizon & Birch, 2012). Crédits :Proxauf (2021)</figcaption></figure>

notons que ces résultats observationnels sont donnés comme des limites hautes en raison du bruit présent dans les différentes mesures analysées. Ces résultats restent cependant actuellement controversés, notamment par une étude montrant des amplitudes aux grandes échelles bien plus élevées, et d'un ordre de grandeur comparable à ce qui est atteint dans la simulation ASH (“Revised GHFT2015”). Cette courbe représente les données retravaillées de Greer et al. (2015), ayant effectué de nouveau une inversion de type “ring-diagram”, mais en effectuant cette fois-ci un suivi (tracking) en profondeur des structures convectives. En résumé, si le spectre d'énergie convective toroïdale est relativement bien compris et contraint aux petites échelles spatiales près de la surface, la dynamique est beaucoup moins claire pour les grandes échelles, et plus généralement dans les profondeurs de la zone de convection. Un travail est donc actuellement en cours au sein de la communauté pour comprendre les écarts existants entre différents résultats observationnels, ce qui représente un autre aspect du “Convective Conundrum”.

### 4.1.2 Implications du paradoxe convectif pour le maintien de la rotation différentielle

La convection en enveloppe stellaire avec un taux de rotation plus rapide (plus lent) a majoritairement tendance à produire un écoulement moyen équatorial (polaire) rapide, et donc un profil de rotation de type solaire (anti-solaire) (Gilman, 1977). Le paramètre de contrôle essentiel définissant les différents régimes de rotation différentielle est le nombre de Rossby $Ro$ (voir Section 1.2.2.4 pour une définition détaillée, Brun & Browning 2017), qui caractérise l'impact de la force de Coriolis sur le transport advectif. Un résultat robuste provenant des simulations numériques indique une transition rotationnelle vers un profil de rotation anti-solaire lorsque $Ro$ augmente significativement (Gastine et al., 2014). Ce résultat a pu être vérifié par différentes méthodes numériques, et à différents degrés de turbulence, qui ont pu augmenter avec le raffinement de la résolution
<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Différents profils de rotation différentielle de type solaire, obtenus à partir de la gauche par inver-
sion héliosismique des observations du Soleil (a), ou au sein de simulations hydrodynamiques globales effectuées
avec le code ASH (b, c). Crédits respectifs pour a), b) et c) : Thompson et al. (1996), Miesch et al. (2006) et
Miesch et al. (2008).</figcaption></figure>

accessible par les simulations numériques. Une des conséquences de la sur-estimation de l'amplitude convec-
tive aux grandes échelles par rapport aux données observationnelles est donc une sur-estimation du nombre
de Rossby, pouvant alors faire bifurquer le profil de rotation en anti-solaire pour un régime de paramètres
pourtant solaire. Ce problème semble d'autant plus présent à mesure qu'on augmente le degré de turbulence
pour se rapprocher du régime solaire. Afin d'augmenter la turbulence d'une simulation (ie. son nombre de
Reynolds *Re*), on diminue généralement la viscosité de celle-ci. Premièrement, cela a pour effet de diminuer la
diffusion des vitesses, ce qui permet alors une augmentation globale de l'amplitude de leur transport advectif,
et donc du nombre de Rossby pour une rotation donnée. Ainsi, une augmentation significative de la turbu-
lence peut amener à une transition rotationnelle vers un profil de rotation "anti-solaire" si *Ro* s'en retrouve
trop élevé. Deuxièmement, une diminution des diffusivités permet la résolution d'échelles spatiales plus pe-
tites. De nouvelles échelles sont alors accessibles à l'établissement de l'instabilité convective, et le transport de
moment cinétique en leur sein s'en retrouve donc potentiellement modifié, ce qui peut (selon le modèle de tur-
bulence sous-maille), ou non, aider à l'établissement du profil solaire (Brun, 2004; Hotta et al., 2022). Ainsi,
la résolution, et donc la turbulence, modérée des premiers calculs globaux de la convection solaire limitait
l'amplitude des vitesses atteintes (et donc le *Ro* effectif). De plus, ces simulations résolvaient majoritairement
de grandes échelles spatiales, qui semblent favoriser la formation de l'équateur rapide par transfert de moment
cinétique selon certaines observations Hathaway et al. (2013). Avec une gamme spectrale plus large, les calculs
récents à plus haut degré de turbulence montrent des difficultés à reproduire la rotation différentielle solaire, ce
qui est problématique puisque la turbulence convective observée sur le Soleil y est encore bien plus développée (voir Section 1.2.2.3). Ce paradoxe nous oblige donc à revoir la description théorique et phénoménologique de la convection solaire telle que nous la concevons.

La communauté travaille donc activement à la compréhension de cette énigme, autant du point de vue théorique, qu'observationnel. Dans le cadre de cette thèse, nous avons pu étudier différents aspects de ce problème par l'utilisation de simulations numériques, et les présentons dans la suite de ce chapitre. Pour cela, nous commençons dans la prochaine section par développer une solution possible, afin de reproduire un profil de rotation différentielle de type solaire au sein de simulations à hauts degrés de turbulence, tout en maintenant un spectre d'énergie cinétique relativement faible à grande échelle.

## 4.2 Calibration du transport convectif dans un modèle solaire turbulent

Depuis la mise en lumière de cette énigme convective, différentes manipulations numériques ont largement été utilisées pour considérer le profil de rotation différentielle solaire au sein des simulations numériques globales. Ces manipulations se basent principalement sur le constat que le nombre de Rossby $Ro$ des simulations semble sur-estimé, et donc qu'un premier angle d'attaque serait de le limiter. Comme $Ro$ caractérise l'amplitude du transport advectif sur celle de la force de Coriolis, différentes manipulations possibles sont :

1. Une augmentation du taux de rotation $\Omega_*$ de l'étoile, augmentant alors l'impact de la force de Coriolis, et diminuant donc $Ro$ (Brown et al., 2008; Nelson et al., 2013; Emeriau-Viard, 2017; Hotta, 2018).

2. Une diminution de la luminosité $L_*$, diminuant alors les vitesses nécessaires au transport de l'énergie au sein de la zone convective pour une stratification donnée, et donc le $Ro$ (Hotta et al. 2014, voir aussi Section 8 de Augustson et al. 2012).

3. La prescription d'une viscosité $\nu$ plus forte (Miesch et al., 2006, 2008; Fan & Fang, 2014; Hotta et al., 2016), limitant ainsi l'amplitude des vitesses et donc le $Ro$. De plus, cela concentre la dynamique aux plus grandes échelles spatiales, qui contribuent à un transport du moment cinétique vers l'équateur (Hathaway et al., 2013).

4. La prescription d'une conductivité thermique $\kappa$ plus forte (Fan & Fang, 2014; Hotta et al., 2016), limitant alors la part de l'énergie transportée par la convection, et par conséquent l'amplitude des vitesses au sein de la simulation.

Ces manipulations ont toutes pour but de réduire $Ro$ en modifiant des quantités qui sont pourtant contraintes par les observations du Soleil. S'il n'y a *a priori* pas de difficulté particulière à reproduire le taux de rotation solaire $\Omega_\circ$ et sa luminosité $L_\circ$, ses valeurs de viscosité et diffusion thermique moléculaire sont extrêmement petites et pour l'instant inaccessibles aux ressources de calculs numériques modernes. Nous notons cependant que la turbulence apporte tout de même un effet diffusif bien plus important au sein du Soleil, par le biais du brassage convectif. L'entièreté de cet effet se manifeste seulement avec la contribution d'échelles spatiales très petites<fnref n="2" /> qui, pour des raisons de ressources numériques similaires, ne sont pas accessibles aux simulations actuelles. Ainsi, il nous faut donc conserver des coefficients de dissipation faibles, tout en les maintenant relativement hauts par rapport au Soleil pour des raisons de stabilité numérique. Fan & Fang (2014) observent que le champ magnétique au sein de leurs simulations peut aussi contribuer à limiter les vitesses de convection par le biais de la force de Lorentz, et donc à diminuer le nombre de Rossby. Cependant, une grande conductivité thermique ($\kappa = 3 \times 10^{13} \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$) est nécessaire pour les diminuer au point de maintenir la simulation dans un régime de Rossby qui favorise une rotation différentielle de type solaire. En effet, on voit sur leurs Figures 3 et 8 que la conduction thermique participe significativement au transport de l'énergie au sein de la zone convective, limitant donc le transport de celle-ci par la convection, et donc de l'amplitude des vitesses en résultant. Enfin, il semblerait que le magnétisme joue un rôle non négligeable dans le transfert de moment cinétique par le

<footnote n="2">2. La turbulence au sein du Soleil se développe au moins jusqu'aux échelles centimétriques, voir Freytag et al. (2012).</footnote>
<table><caption>TABLE 4.1 – Paramètres globaux des 6 modèles solaires discutés. Nous fixons leur luminosité, et taux de rotation dans le régime solaire, en maintenant un nombre de Prandlt $Pr = v/κ = 1/4$ sur l'ensemble du domaine. Depuis la gauche, nous listons le nom du modèle, la dimension radiale et latitudinale de la grille simulée (pour rappel $N_φ = 2N_θ$ et le degré $l_{max}$ de la décomposition spectrale est de $2N_θ/3$), le rayon inférieur (bot) et supérieur (top) du domaine simulé, ainsi que la viscosité et la conductivité thermique prescrite au sommet domaine. Pour les deux premiers cas d'enveloppe convective, la base de la zone convective (BCZ) est à $r_{BCZ} = r_{bot} = 0.72 R_☉$. Pour les autres cas où $r_{bot} = 0.5 R_☉$, une zone radiative est présente et $r_{BCZ} = 0.71 R_☉$.</caption><thead><tr><th>Name</th><th>N<sub>r</sub></th><th>N<sub>θ</sub></th><th>r<sub>bot</sub><br>(R<sub>☉</sub>)</th><th>r<sub>top</sub><br>(R<sub>☉</sub>)</th><th>ν<sub>top</sub><br>(cm<sup>2</sup>.s<sup>-1</sup>)</th><th>κ<sub>top</sub><br>(cm<sup>2</sup>.s<sup>-1</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>AB2</td><td>200</td><td>256</td><td>0.72</td><td>0.9655</td><td>8.0 × 10<sup>12</sup></td><td>3.2 × 10<sup>13</sup></td></tr><tr><td>AS1</td><td>673</td><td>1024</td><td>0.72</td><td>0.9917</td><td>4.0 × 10<sup>12</sup></td><td>1.6 × 10<sup>13</sup></td></tr><tr><td>SBR97n1</td><td>2000</td><td>1024</td><td>0.5</td><td>0.9917</td><td>1.0 × 10<sup>12</sup></td><td>4.0 × 10<sup>12</sup></td></tr><tr><td>SBn1Ref</td><td>2000</td><td>1536</td><td>0.5</td><td>0.9917</td><td>1.0 × 10<sup>12</sup></td><td>4.0 × 10<sup>12</sup></td></tr><tr><td>SBR97n035</td><td>2000</td><td>1536</td><td>0.5</td><td>0.9917</td><td>3.5 × 10<sup>11</sup></td><td>1.4 × 10<sup>12</sup></td></tr><tr><td>SBR50n1</td><td>2000</td><td>1024</td><td>0.5</td><td>0.9917</td><td>1.0 × 10<sup>12</sup></td><td>4.0 × 10<sup>12</sup></td></tr></tbody></table>

tenseur de Maxwell, se dirigeant vers l'équateur lorsque la résolution de plus petites structures est réalisée dans les simulations de Hotta et al. (2022). Cependant, la résolution numérique nécessaire à l'apparition de cet effet et les ressources engagées qui en résultent sont énormes (~500 millions d'heures CPU, sur le deuxième meilleur super-calculateur Fugaku de l'actuel TOP500), et la convergence des résultats est encore en cours afin de confirmer la robustesse de cet effet.

Dans cette étude, nous proposons de construire une expérience numérique hydrodynamique moins coûteuse, qui aura pour but de calibrer le flux enthalpique nécessaire à la reproduction d'un profil de rotation différentielle de type solaire, tout en étant à un haut degré de turbulence. Ainsi, nous prescrivons un taux de rotation et une luminosité solaire, tout en diminuant au maximum la conductivité thermique $κ$ et la viscosité $ν$.

### 4.2.1 Introduction aux différents modèles de l'étude

Nous présenterons pour cette étude six modèles numériques 3D hydrodynamiques du Soleil obtenus avec le code ASH présenté en Section 2.2.1, afin d'illustrer chacun des aspects clefs à la compréhension du problème. Nous commençons donc par nous intéresser à deux modèles d'enveloppes convectives solaires (AB2 et AS1) que nous définirons comme "classique", au sens de ce qui est prescrit dans les modèles d'évolution stellaire via la longueur de mélange (MLT pour *Mixing Length Theory*, Böhm-Vitense 1958). Par la suite, nous proposerons un moyen de calibrer les vitesses convectives au sein de modèles solaires comportant de plus un intérieur radiatif. Nous comparerons tout d'abord, deux modèles à viscosités similaires (SBR97n1 et SBn1Ref), mais aux nombres de Nusselt différents. Ensuite, nous présenterons une analyse spectrale en comparant deux modèles (SBR97n035 et SBR50n1) où nous relâchons la contrainte sur les valeurs de viscosités, afin de retrouver des nombres de Reynolds similaires. Nous présentons ces 6 modèles au sein des deux Tables 4.1 et 4.2, auxquelles nous nous référerons tout au long de ce Chapitre. La première liste les différents paramètres initiaux, et la seconde présente les différentes grandeurs et nombres adimensionnés une fois la convection développée et les modèles convergés.

À l'exception du modèle AB2, l'ensemble des modèles 3D présentés au sein de ce chapitre ont été calculés sous la formulation LBR (Lantz-Braginsky-Roberts, Lantz 1992, Braginsky & Roberts 1995) des équations anélastiques. Cette formulation a l'avantage de bien conserver l'énergie, aussi bien dans les zones convectives instables que dans les intérieurs radiatifs stables (Brown et al. 2012, Vasil et al. 2013).
<table><caption>TABLE 4.2 – Similaire à la Table 4.1. Depuis la gauche, nous listons le nom du modèle, puis la rotation différentielle prise à la surface des modèles entre l'équateur et la latitude 60°. Viennent ensuite le nombre de Reynolds $Re = \tilde{v}\Delta_{conv}/\nu$, de Rayleigh $Ra = -(\partial\bar{p}/\partial\bar{S})_P(\partial S_{tot}/\partial r)g\Delta_{conv}^4/(\bar{p}\nu\kappa)$, de Nusselt $Nu = (F_{rad} + F_{en})/F_{rad}$, la part radiative du flux $F_{rad}/F_{tot}$ et le nombre de Rossby fluide $Ro_f = |\nabla \times \mathbf{v}|/(2\Omega)$, tous les cinq évalués en milieu de zone convective, ayant pour épaisseur $\Delta_{conv} = r_{top} - r_{BCZ}$.</caption><thead><tr><th>Name</th><th>ΔΩ<br>(nHz)</th><th>Re</th><th>Ra<br>(10<sup>4</sup>)</th><th>Nu</th><th>F<sub>rad</sub><br>(F<sub>tot</sub>)</th><th>Ro<sub>f</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>AB2</td><td>94</td><td>55</td><td>6.4</td><td>12.61</td><td>0.08</td><td>0.98</td></tr><tr><td>AS1</td><td>-130</td><td>205</td><td>35.7</td><td>25.89</td><td>0.07</td><td>2.53</td></tr><tr><td>SBR97n1</td><td>127</td><td>270</td><td>293.0</td><td>1.04</td><td>0.97</td><td>0.93</td></tr><tr><td>SBn1Ref</td><td>-355</td><td>1161</td><td>740.6</td><td>28.62</td><td>0.06</td><td>5.61</td></tr><tr><td>SBR97n035</td><td>106</td><td>811</td><td>2050.8</td><td>1.04</td><td>0.97</td><td>1.49</td></tr><tr><td>SBR50n1</td><td>-180</td><td>860</td><td>581.1</td><td>2.45</td><td>0.50</td><td>4.01</td></tr></tbody></table>

Les profils de diffusion $\nu$ et $\kappa$ sont construits par les équations 2.9. On impose un contraste de viscosité $\beta = \nu_{bot}/\nu_{top} = 2.5 \times 10^{-4}$ entre le sommet de la zone convective et le bas de la zone radiative que nous simulons. Les paramètres de transition entre zone radiative et zone convective sont $r_t = 0.68 R_\odot$ et $\sigma_t = 1.43 \times 10^{-2} R_\odot$. Le coefficient de décroissante dans la zone convective est fixé à $\alpha = -1/3$, sauf pour AB2 historiquement construit avec $\alpha = -1/2$. Les modèles d'enveloppes convectives AB2 et AS1 ne possèdent donc que la décroissance du profil en zone convective, sans la transition d'amplitude vers la zone radiative (voir Figure 2.4). Les valeurs de $\nu_{top}$ sont listées en Table 4.1, et le profil de $\kappa$ est déduit de $\nu$ en imposant un nombre de Prandtl $Pr$ constant sur l'ensemble du domaine.

Afin d'améliorer la stabilité numérique de cette étude, nous bifurquons sur une méthode de résolution radiale en différences finies pour l'ensemble des 6 modèles discutés au sein de ce Chapitre. Cela nous permet en effet d'utiliser des grilles non uniformes, afin d'augmenter significativement la résolution radiale aux en-droits stratégiques, tout en conservant un nombre de points limité ailleurs, ce qui nous permet de contrôler la résolution du modèle. Les endroits stratégiques sont la transition zone stable/convective, présentant des changements du gradient $ds/dr$ et l'overshoot de la convection, ainsi que la zone proche de la surface, où de forts changements de flux sont attendus à la suite de nos modifications sur $F_{rad}$. De telles adaptations rendraient en effet la convergence du modèle trop coûteuse et complexe en considérant une méthode de décomposition spectrale selon le rayon, similaire aux modèles du Chapitre 2. Les spécificités de chaque grille sont listées en Table 4.1.

### 4.2.2 Approche classique et augmentation du niveau de turbulence

Pour mieux comprendre l'influence du degré de turbulence sur l'amplitude de la convection et le profil de rotation différentielle, nous nous intéressons tout d'abord à deux modèles d'enveloppe convective solaire. Nous reproduisons premièrement le modèle solaire AB2 de Miesch et al. (2006) à turbulence modérée, ainsi que le modèle AS1 de Emeriau-Viard (2017) à plus haut degré de turbulence. Nous modifions la valeur de la conductivité thermique $\kappa$ pour le modèle AS1 afin de se placer dans le régime de Prandtl $Pr = 0.25$. L'état de référence anélastique commun aux deux modèles est basé sur un modèle 1D de structure stellaire standard discuté dans Brun & Toomre (2002), et est initialisé en prescrivant le gradient d'entropie $d\bar{S}/dr$, le profil de gravité $g$ ainsi que le coefficient de transfert radiatif $\kappa_{rad}$. Nous illustrons AB2 et AS1 en Figure 4.3.

Afin de caractériser le transport radial de l'énergie au sein des modèles, nous représentons la balance de flux sur les panneaux en bas de la Figure 4.3. Comme nous l'avons vu en Section 1.2.1, ces transports sont assurés par différents processus au sein des intérieurs stellaires de type solaire. Pour toutes les régions au-dessus du
<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Illustrations des modèles d’enveloppe convective solaire AB2 (panneaux de gauche) et AS1 (panneaux de droite). Les panneaux du haut représentent la rotation différentielle, réalisée dans le modèle et représentée dans chacun des cas sur une coupe méridienne, ainsi que des profils radiaux correspondants pour différentes latitudes. Les panneaux médians montrent les cartes de $v_r$, prises près de la surface des modèles et exprimées en cm.s⁻¹. Enfin, les panneaux du bas représentent les différentes balances de flux réalisées, et exprimées en luminosité solaire $L_\odot$.</figcaption></figure>

cœur stellaire, un équilibre radial d'énergie est atteint lorsque la contribution totale (courbe noire avec les marqueurs ronds) des différents processus permet de transporter la luminosité $L_*$ jusqu'à la surface, telle que

$$F_{\text{KE}} + F_{\text{en}} + F_{\text{rad}} + F_{\text{vis}} + F_{\text{irr}} = \frac{L_*(r)}{4\pi r^2}, \qquad (4.1)$$

où les différents flux $F$ s'expriment comme

$$F_{\text{KE}} = \frac{1}{2} \bar{\rho} v^2 v_r, \qquad (4.2)$$

$$F_{\text{en}} = \bar{\rho} c_P v_r \overline{T}, \qquad (4.3)$$

$$F_{\text{rad}} = -\kappa_r \bar{\rho} c_P \frac{\partial T_{\text{tot}}}{\partial r}, \qquad (4.4)$$

$$F_{\text{vis}} = -\overline{\mathbf{v} \cdot \mathbf{D}}|_r, \qquad (4.5)$$

$$F_{\text{irr}} = -\kappa_0 \bar{\rho} \overline{T} \frac{\partial S_{\text{tot}}}{\partial r}, \qquad (4.6)$$

avec $F_{\text{KE}}$ le flux d'énergie cinétique (courbe lisse noire), $F_{\text{en}}$ le flux enthalpique (courbe bleue), $F_{\text{rad}}$ flux
radiatif (courbe verte), $F_{vis}$ la contribution visqueuse (courbe cyan) et $F_{irr}$ le flux irrésolu (courbe rouge) (Brun et al., 2004). On voit dans ces simulations d'enveloppe convective que l'énergie y est majoritairement transportée par la radiation (les photons ici dans l'approximation de diffusion d'Eddington) et l'enthalpie (la convection). L'équilibre thermodynamique local présent dans les étoiles nous permet d'exprimer le flux radia-tif comme un flux diffusif, dépendant d'un coefficient de diffusion $\kappa_{raf}$. Ce coefficient est traditionnellement prescrit à partir de modèles d'évolution stellaire, tels que CESAM (Morel, 1997) ou STAREVOL (Siess et al., 2000). Il s'agit de la principale source de transport à la base de la zone de convection, qui s'atténue ensuite progressivement en remontant vers la surface. Le transport devient alors majoritairement convectif, comme en témoigne la montée du flux enthalpique qui devient maximum. On note de plus qu'un flux d'énergie cinétique de signe négatif (transport vers l'intérieur) apparaît avec l'instabilité convective. Ce dernier est en effet ma-joritairement dominé par les flots convectifs froids et descendants, du fait de leur densité $\rho$ plus élevée. En arrivant à la surface, une condition limite de mur impénétrable $v_r(r_{top}) = 0$ annule alors les mouvements de convection et donc le flux enthalpique. Le transport devrait pourtant continuer d'être effectué par la convection, donc l'échelle se raffinerait à mesure que l'on s'approche de la surface et que la densité diminue. Cependant, ces échelles de convections ne peuvent pas encore être résolues par les ressources numériques actuelles ($\ell_{max}$ devrait être supérieur à 6000) et doivent donc être paramétrisée par $F_{irr}$, appelé flux irrésolu. Il s'exprime sous la forme d'un transport diffusif, dont le coefficient $\kappa_0$ caractérise son amplitude et est facteur du gradient d'entropie moyen sur la sphère.

Premièrement, on note que le niveau de turbulence passe de $Re = 55$ pour AB2 à 205 pour AS1. Cela a pu se faire par la diminution de la viscosité $\nu$ d'un facteur 2. Cette diminution permet à de plus petites structures spatiales de se former, comme on le voit en comparant les deux panneaux médians de la Figure 4.3. Cela permet aussi une augmentation de l'amplitude des vitesses convectives qui sont alors moins diffusées, comme en témoigne les balances de flux sur les panneaux du bas comme $F_{en}$ dépend de $\overline{v_r T}$. Une augmentation de l'amplitude de $v_r$ va alors augmenter le transport d'énergie pour un niveau de corrélations équivalent entre $v_r$ et $T$ (i.e. pour des Pr semblables). On voit qu'en passant au cas plus turbulent AS1, $F_{en}$ devient sur-lumineux de 50% par rapport à $L_*$ et est alors fortement compensé par $F_{KE}$. L'augmentation de l'amplitude des vitesses se ressent aussi sur le Rossby fluide $Ro_f$ qui augmente de 0.98 à 2.53 entre AB2 et AS1, respectivement, faisant bifurquer ce dernier vers un régime de rotation différentielle anti-solaire. La rotation différentielle de surface $\Delta\Omega$ passe alors de 94 à -107 nHz.

Pour résumer, la théorie du transfert radiatif dans les milieux stellaire prédit un flux $F_{rad}$ fortement atténué dans la zone de convection (voir par exemple Maeder 2009; Kippenhahn et al. 2012). L'instabilité convective prend alors le relais pour le transport de la luminosité $L_*$ jusqu'à la surface, avec des vitesses $v_r$ d'autant plus fortes que la turbulence est développée. Cependant, une trop forte amplitude de ces dernières augmente significativement $Ro_f$, jusqu'à potentiellement engendrer un profil de rotation anti-solaire, comme dans le cas de AS1. Afin de limiter l'amplitude de ces vitesses $v_r$ tout en conservant un flux enthalpique $F_{en}$ équivalent, on pourrait alors envisager un processus augmentant les fluctuations de température $T$ (une diminution de $\kappa$ par exemple). Cependant, les fluctuations thermiques alors nécessaires au transport de la luminosité solaire jusqu'à sa surface serait alors élevées et potentiellement détectables. Or le constat d'un tel contraste sur le Soleil n'a pour l'instant pas été reporté (Gizon & Birch, 2005). Une autre possibilité pour limiter les vitesses en conservant les fluctuations thermiques serait donc de limiter globalement $F_{en}$, tout en complétant le transport de l'énergie par l'intermédiaire d'un autre processus. C'est ce que propose par exemple Fan & Fang (2014) ou Hotta et al. (2016) avec la conduction thermique transportant en partie l'énergie jusqu'à la surface. Dans les modèles AB2 et AS1 étudié ici, le flux de conduction thermique est négligeable dans la balance totale et nécessiterait donc une augmentation de $\kappa$ que nous considérons déraisonnable afin que le flux de conduction thermique devienne prépondérant.

Ici notre objectif sera d'augmenter la turbulence (en diminuant $\nu$) tout en conservant le nombre $Pr = \nu/\kappa$ entre les modèles. Cela nous amène donc à nous questionner sur la contribution d'un autre processus, dont le
transport de l'énergie est déjà significatif au sein de la zone convective selon la MLT : le transport radiatif.

### 4.2.3 Influence du nombre de Nusselt

Dans cette section, nous présentons une expérience numérique visant à diminuer l'amplitude des vitesses convectives tout en diminuant la viscosité, afin d'assurer l'établissement d'un profil de rotation différentielle solaire tout en augmentant le degré de turbulence. On s'interroge ainsi sur la part d'énergie transportée par enthalpie au sein de l'enveloppe convective solaire. Pour cela, on propose de s'inspirer du travail de Käpylä et al. (2017) en augmentant le flux radiatif, permettant alors de limiter l'amplitude des vitesses convectives (voir aussi Jones et al. 2011). Un nombre adimensionné important pour caractériser le rapport de ces deux transports est le nombre de Nusselt, défini tel que

$$Nu = \frac{F_{rad} + F_{en}}{F_{rad}}. \qquad (4.7)$$

Ce nombre diminue donc à mesure que le transport enthalpique par la convection diminue, jusqu'à tendre vers 1 lorsque le transport de l'énergie est totalement assuré par le rayonnement. On construit donc deux modèles solaires similaires aux modèles précédents, en étendant cette fois le domaine simulé avec un intérieur radiatif. Le domaine est alors défini entre $r_{bot} = 0.5$ et $r_{top} = 0.99 R_⊙$ et présente une tachocline à 0.714 $R_⊙$. La résolution précisée en Table 4.1 est augmentée à $N_r = 2000$, afin de pouvoir diminuer significativement les amplitudes de diffusion $ν$ et $κ$ rappelées en Table 4.1. Enfin, on présente au panneau de gauche de la Figure 4.5 les profils de $κ_{rad}$ prescrits. Pour le premier modèle SBn1Ref, nous prescrivons un profil similaire à la section précédente, illustré en noire. Pour le second modèle SBR97n1, nous augmentons la valeur de $κ_{rad}$ au sein de la zone convective (courbe verte), afin que 97% de la luminosité y soit transportée par le flux radiatif, nous écartant ainsi de valeurs proposées par la MLT. Une fois la convection développée et les modèles convergés, nous les illustrons en Figure 4.4 (mêmes représentations qu'en Figure 4.3).

Le panneau en bas à gauche nous montre tout d'abord la balance de flux du modèle SBR97n1. Pour ce modèle, nous voyons que $F_{rad}$ transporte maintenant 97% de la luminosité (courbe verte indiquée par la flèche). On obtient donc un nombre de Nusselt $Nu$ limité à 1.04, puisque l'énergie restante transportée par la convection est maintenant bien moins importante que dans le cas AS1. Cependant, nous avons ici diminué les coefficients de diffusion $ν$ et $κ$, ce qui permet à SBR97n1 d'obtenir un nombre de Reynolds $Re = 270$ supérieur. Le panneau médian à gauche de la Figure 4.4 montre que des échelles spatiales de convection plus petites que AB2, et même AS1, peuvent alors se développer en surface de la simulation. On a donc pu augmenter le degré de turbulence, tout en limitant la valeur de $Ro_f$ à 0.93, ce qui permet à SBR97n1 de conserver un régime de rotation différentielle de type solaire. Ce dernier est illustré sur le panneau en haut à gauche, possède un contraste latitudinal en surface de $ΔΩ = 130$ nHz entre l'équateur et 60° de latitude (voir aussi Table 4.2) ainsi qu'une transition vers une rotation uniforme en zone radiative.

On présente ensuite le cas SBn1Ref sur les panneaux à droite de la Figure 4.4. Il s'agit du modèle équivalent, où nous avons cette fois prescrit un profil standard pour $κ_{rad}$, et donc un transfert radiatif "classique" au sens de la MLT. Ce dernier est ainsi bien moins important que celui de SBR97n1, comme on peut le voir sur la balance de flux illustrée par le panneau en bas à droite. On retrouve ici une balance de flux similaire dans sa configuration au cas AS1. Le flux enthalpique $F_{en}$ est de nouveau le transport majoritaire de l'énergie au sein de la zone convective, au point d'être même sur-lumineux dans la majorité de cette dernière. La convection peut alors transporter vers la surface jusqu'à 200% de la luminosité solaire par l'intermédiaire de $F_{en}$ à 0.94 $R_⊙$, dont le surplus est contrebalancé par le transport vers l'intérieur des flots froids descendants, représenté par $F_{KE}$. Le nombre de Nusselt y est significativement plus grand que pour SBR97n1 (29 en milieu de zone convective), témoignant du transport majoritaire de l'énergie par la convection. Les grandes vitesses de cette
<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – Similaire à la Figure 4.3 pour les modèles SBR97n1 (panneaux de gauche) et SBn1Ref (panneaux de droite). Profils de rotation différentielle (en haut), carte des vitesses radiales proches du sommet de la simulation pour $r = 0.99 R_*$ (au milieu), ainsi que les balances de flux respectives (en bas).</figcaption></figure>

dernière augmentent donc aussi le nombre de Reynolds, qui atteint 1161 en milieu de zone convective, permettant de rentrer dans un régime de turbulence relativement élevé, comme en témoigne les structures convectives de surfaces illustrées sur le panneau médian de droite. Bien que les vitesses soient amorties près de la surface de notre modèle par une condition limite impénétrable et le flux irrésolu $F_{irr}$, ces dernières restent tout de même relativement élevées et peuvent atteindre $100 \text{ m.s}^{-1}$ pour les plus petites structures à 0.99 $R_⊙$. De telles vitesses impactent alors aussi fortement $R_o$, qui augmente à 5.61 en milieu de zone convective. Ce modèle se retrouve alors dans un régime de rotation différentielle anti-solaire, illustré sur le panneau en haut à droite. Son contraste de surface $\Delta\Omega = -266 \text{ nHz}$ est plus élevé que celui de AS1, comme attendu pour un nombre de Rossby aussi haut (voir le panneau à droite de la Figure 2.8).

Maintenant que nous avons pu construire un profil de rotation différentielle tout en étant à un haut degré de turbulence, il est intéressant de regarder la distribution des vitesses convectives sur les échelles spatiales, en comparaison aux résultats de la Figure 4.1. Pour cela, on décompose donc $v_φ$ à la surface de nos modèles en les projetant sur les harmoniques sphériques (voir Annexe B). Nous suivons la définition de Gizon & Birch (2012), définissant l'énergie convective toroïdale $E_φ$, telle que $(\int_S v_φ^2/2dS)/\int_S dS = \sum_{l>0} E_φ/r$. Cela nous permet alors de décomposer spectralement ce champ à 0.99 $R_⊙$ des modèles AS1, SBR97n1 et SBn1Ref sur le panneau à droite de la Figure 4.5. Afin d'exclure la contribution de la rotation différentielle, nous ne prenons pas en compte les termes $m = 0$ de la décomposition spectrale, où $m$ est le nombre d'onde azimutal. On voit
<figure><img src="image_112.png" /></figure>

FIGURE 4.5 – Gauche : Profils de diffusivité radiative $\kappa_{rad}$. La courbe noire représente un modèle solaire standard ajusté à partir d'un modèle calculé avec le code CESAM (Morel, 1997), prescrit en initialisation des trois modèles AB2, AS1 et SBn1Ref. La courbe verte représente le profil ajusté pour SBR97n1, ajusté afin d'obtenir le flux radiatif illustré sur le panneau en bas à gauche de la Figure 4.4. Droite : Spectre des énergies convectives toroïdales $E_φ$, correspondant à la Figure 4.1, et obtenu en surface des modèles AS1 (orange), SBR97n1 (vert) et SBn1Ref (rouge), à 0.99 $R_⊙$. Nous notons en légende la moyenne pondérée $\ell_{pond} = \frac{\sum_{\ell>0} \ell E_φ}{\sum_{\ell>0} E_φ}$.

tout d'abord que $E_φ$ a diminué dans le modèle SBR97n1, en comparaison aux deux modèles AS1 et SBn1Ref. On note aussi que l'amortissement de la convection par un terme $F_{rad}$ plus élevé dans SBR97n1 a diminué globalement les amplitudes à toutes les échelles en comparaison au modèle équivalent SBn1Ref. C'est aussi globalement vrai en comparaison à AS1, sauf aux plus petites échelles où SBR97n1 possède plus d'énergie convective. En effet, ces dernières sont moins diffusées dans SBRn1Ref comme $\nu$ y est plus faible d'un facteur 4. Le $\ell$ moyen pondéré (voir légende de la Figure 4.5 pour sa définition) a ainsi été décalé vers les petites échelles jusqu'à $\ell_{pond} = 66$, en comparaison au cas AS1 avec $\ell_{pond} = 41$ où la distribution de l'énergie est donc proportionnellement plus concentrée aux grandes échelles. Enfin, on note que le $\ell_{pond}$ du modèle SBn1Ref a aussi été déplacé vers les petites échelles, jusqu'à 88, tout en ayant une énergie aux grandes échelles toujours comparable au modèle AS1. L'instabilité convective de ce modèle est en effet assez importante pour injecter une énergie significative dans ces échelles, cependant la plus faible viscosité $\nu$ permet une cascade turbulente de l'énergie plus efficace vers les petites échelles qui sont ont donc des amplitudes bien plus élevées dans ce modèle. Une faible viscosité semble donc être un facteur important pour changer la distribution en énergie et permettre à la cascade turbulente d'alimenter les plus petites échelles à partir des grandes. De plus, l'amplitude globale est directement reliée aux vitesses convectives établies dans le modèle, et en ce sens le spectre de SBR97n1 semble être le plus proche en amplitude des observations hélio-sismiques, tout en restant cependant encore 2 ordres de grandeurs au-dessus des inversions hélio-sismiques représentées par les courbes violettes et bleus de la Figure 4.1.

Enfin, on peut aussi regarder la morphologie de la convection plus profondément afin de comprendre l'impact d'un transfert radiatif rehaussé tout au long de la zone de convection pour SBR97n1. Nous représentons sur les panneaux gauches de la Figure 4.6 les coupes de la vitesse radiale $v_r$ des modèles en milieu de la zone convective (0.85 $R_⊙$). Le modèle SBn1Ref est illustré de cette manière sur le panneau du haut. On voit que les échelles spatiales de la convection sont développées de manière homogène, avec une zone équatoriale regroupant des contrastes forts en amplitude, dont les maxima peuvent se rapprocher de 200 m.s$^{-1}$. Nos représentons ensuite sur le panneau du bas la même carte pour le modèle SBR97n1. On voit cette fois-ci que l'amplitude des vitesses
<figure><img src="image_113.png" /></figure>

FIGURE 4.6 – Gauche : Cartes de $v_r$ en milieu de zone convective ($R_{mid}$ = 0.85 R$_{⊙}$) exprimées en cm.s$^{-1}$ pour les modèles SBn1Ref (en haut) et SBR97n1 (en bas). Droite : Schémas explicatifs des structures convectives, représentées dans un plan méridien hémisphérique (Crédits : Featherstone & Hindman 2016).

convectives est bien moins élevée (avec des maxima approchant les 50 m.s⁻¹), ce qui est une conséquence directe de la limitation de l'amplitude de $F_{en}$ par $F_{rad}$. Dans un second temps, on voit apparaître dans la zone équatoriale des motifs convectifs alignés selon l'axe Nord-Sud. Il s'agit de rouleaux convectifs tourbillonnant autour d'axes parallèles à l'axe de rotation de l'étoile. Ce phénomène est bien connu des simulations globales d'enveloppes convectives en rotation (Gilman, 1975; Elliott et al., 2000; Brun et al., 2017) et portent le nom de “cellules bananes”, “colonnes de Busse” ou encore “ondes de Rossby thermiques” (Roberts 1968; Busse 1970, 1981, voir aussi Section 3.4 de (Dormy & Soward, 2007)). Elles apparaissent en conséquence d'amplitudes de vitesses plus faibles, menant alors localement à un $Ro_f$ faible, et donc à une forte contrainte par la rotation. Cette invariance de la vitesse selon l'axe de rotation provient de la contrainte de Taylor-Proudman (Fearn, 1998; Elliott et al., 2000; Brun & Toomre, 2002).

Finalement, nous comparons ces deux modèles à des schémas sur les panneaux de droites, adaptés de Featherstone & Hindman (2016), et qui représentent la répartition des échelles convectives pour différentes contraintes rotationnelles. Un cas sans rotation est présenté en haut, dans lequel les grandes échelles convectives formées profondément viennent apporter leur énergie jusqu'à la surface. Nous supposons aussi ici que ce mécanisme pourrait fournir en partie l'énergie convective vue aux grandes échelles et à la surface des modèles à haut Rossby comme AS1 et SBn1Ref (voir Figure 4.5). Le panneau du bas illustre la formation des cellules bananes en profondeur de la zone convective lorsque la rotation est prise en compte. En effet, la stratification en densité va favoriser la formation de plus grandes échelles spatiales convectives à mesure que l'on s'enfonce dans l'étoile. On rappelle aussi que la force de Coriolis impacte majoritairement les grandes échelles<fnref n="3" />, et aura ainsi

<footnote n="3">3. Plus précisément, elle devient acteur majoritaire de la dynamique des échelles spatiales plus petites que le rayon de déformation de Rossby, i.e. $L < v/2\Omega$.</footnote>
une influence plus prononcée sur la dynamique en profondeur de la zone convective, jusqu'à influer la formation de cellules bananes si la rotation est assez forte en comparaison des vitesses convectives. Dans le cas SBR97n1, nous avons limité ces vitesses convectives en réduisant $F_{en}$ sur toute la zone. Ainsi la formation de cellules bananes est d'autant plus propice en profondeur, limite la formation de cellules convectives aux grandes échelles et donc l'entretien de leur énergie en surface, pour y laisser la place à une convection plus homogène et turbulente, comme illustrée sur le panneau médian gauche de la Figure 4.4.

### 4.2.4 Analyse spectrale du transport d'énergie cinétique et transport de chaleur

Dans cette section, nous présentons une analyse spectrale où nous étudions la contribution des différents termes des équations d'évolution de Navier-Stockes (2.3) et de l'entropie (2.4). Dans les sections précédentes, nous avons pu voir que le degré de turbulence peut sensiblement impacter la dynamique du système, et nous proposons ici d'étudier deux modèles dans un régime de turbulence similaire : SBR97n035 et SBR50n1. Le premier est similaire au modèle SBR97n1, à l'exception de la valeur de viscosité $v_{top}$ que nous avons diminué de $10^{12}$ à $3.5 \times 10^{11}$ cm$^2$.s$^{-1}$. Ceci diminue alors l'amplitude sur l'ensemble du profil radial, et résulte ainsi en une augmentation significative de $Re$. Le deuxième est, de même, similaire au modèle SBR97n1, en diminuant cette fois-ci le flux transporté par le transfert radiatif $F_{rad}$ au sein de la zone convective de 97 à 50%. Nous illustrons les deux modèles en Figure 4.7 en s'intéressant ici plus particulièrement au milieu de la zone convective.

Premièrement, les nombres de Reynolds mesurés au sein de ces modèles (voir Table 4.2) sont similaires. On trouve pour SBR97n035 et SBR50n1 respectivement des valeurs de 811 et 860, soit une différence de 6% nous assurant d'étudier le même degré de turbulence. Cependant, nous remarquons sur les panneaux supérieurs de la Figure que cela n'empêche pas d'obtenir des régimes de rotation différentielle différents, de type solaire pour SBR97n035 et anti-solaire pour SBR50n1. Le maintien d'un flux radiatif à 97% au sein de SBR97n035 a donc permis de limiter $Nu$ à 1.04, et donc la valeur de $Ro_f = 1.49$. On note ici que le nombre de Rossby est supérieur aux modèles M07Sm et M09Sm du Chapitre 2 qui présentaient pourtant un profil de rotation anti-solaire. Cela nous pointe donc vers un effet du degré de turbulence, qui semble modifier les valeurs de transitions rotationnelles sur la tendance des profils DR en $Ro_f$, pour cette définition du nombre de Rossby. On note ensuite sur le panneau de droite que SBR50n1 a quant à lui bifurqué vers un régime de rotation anti-solaire. Son nombre de Rossby $Ro_f = 4.01$ est significativement plus haut, en raison du transport par la convection bien moins limité par le flux radiatif représentant 50% du transport total, qui nous donne alors $Nu = 2.45$. Cela implique aussi que pour des degrés de turbulence similaires, la dynamique en milieu de zone convective est relativement différente comme l'illustrent les panneaux du milieu. On observe de nouveau une forte influence de la rotation pour le modèle SBR97n035 en DR solaire à gauche, avec la formation de rouleaux convectifs similaires à ceux qui étaient vus au sein de SBR97n1 (voir Figure 4.6). Ceci est de nouveau dû à la limitation des vitesses par le transport radiatif, diminuant alors le nombre de Rossby effectif des différentes échelles. Sur le panneau de droite, on observe des structures convectives à plus grandes échelles, comme pour le modèle SBn1Ref. On note cependant que l'on commence à voir des formations de colonnes de Busse, témoignant que le transport par le flux radiatif dans ce modèle, tout de même à 50%, commence aussi à limiter le Rossby des échelles concernées. Pour quantifier l'importance de chaque échelle, nous effectuons une décomposition en harmoniques sphériques des deux cartes de $v_r$ illustrées, et comparons les spectres non-axisymétriques sur le panneau du bas. Nous normalisons donc ici chacun des spectres à sa valeur maximum, afin de s'intéresser à la morphologie de ces derniers. On remarque ainsi qu'à Reynolds constant, la diminution du nombre de Nusselt décale le spectre vers les plus petites échelles, avec une valeur moyenne pondérée du degré azimutal $l$ de 146 à 167. La contribution des grandes échelles est alors moins grande pour SBR97n035, ce qui est l'effet recherché selon la discussion de la Figure 4.1.

Afin d'étudier plus finement les différentes échelles de convection, on peut s'intéresser à la contribution des différentes forces sur chacune d'elles. Pour cela, nous utilisons le développement en harmoniques sphériques
<figure><img src="image_114.png" /></figure>

FIGURE 4.7 – Illustration de la dynamique des modèles SBR97n035 (panneaux de gauche) et SBR50n1 (panneaux de droite). On y trouve les profils de rotation différentielle (en haut) ainsi que les cartes de $v_r$ prisent en milieu de zone convective ($R_{mid}$ = 0.85 R$_{⊙}$) exprimées en cm.s$^{-1}$ (au milieu). Le panneau du bas représente les spectres non-axisymétriques normalisés de ses cartes de vitesses. Les valeurs absolues de leur maximum respectif possèdent un facteur 3 de différence.
développé par Strugarek et al. (2013, 2016), optant pour une décomposition sur la base des harmoniques sphériques vectorielles RST, définie en Annexe B.2. Cette base est en effet très pratique pour décomposer spectralement les différents opérateurs du problème. Il est alors possible d'obtenir le spectre du champ vectoriel de v_ℓ et de considérer tout d'abord l'évolution de l'énergie cinétique. Pour cela, on définit la densité radiale d'énergie cinétique, c'est-à-dire l'énergie d'une surface sphérique S au rayon r, telle que $E_ℓ^K = \frac{\bar{\rho}}{2} \int_S v_ℓ \cdot v_ℓ d\Omega$ où dΩ est l'angle solide. Au rayon r considéré, la grandeur physique L caractérisée par le degré harmonique ℓ est donnée par la relation $L = \frac{r}{\sqrt{\ell(\ell+1)}}$. L'équation d'évolution de $E_ℓ^K$ est alors obtenue en multipliant l'équation de Navier-Stokes par v_ℓ, puis en intégrant sur une surface sphérique, et se définit comme

$$ \partial_t E_\ell^K = \sum_{\substack{\ell_1, \ell_2 \\ \ell_{1,2} \ge |\ell_1 - \ell_2| \\ \ell_{1,2} \le \ell_1 + \ell_2}} [\mathcal{R}_\ell(\ell_1, \ell_2)] + C_\ell(\ell-1, \ell+1) + \mathcal{H}_\ell + \mathcal{B}_\ell + \mathcal{V}_\ell, \quad (4.8) $$

où les différents termes du membre de droite sont donc respectivement la contribution de l'advection non-linéaire par le tenseur de Reynolds, l'impact de la force de Coriolis, du gradient de pression, de la force de flottaison, ainsi que la contribution visqueuse, eux-mêmes définis tels que

$$ \mathcal{R}_\ell(r, \ell_1, \ell_2) = \bar{\rho} \int_S [\mathbf{v}_{\ell_1} \cdot \nabla(\mathbf{v}_{\ell_2})]_\ell \cdot \mathbf{v}_\ell d\Omega, \quad (4.9) $$

$$ C_{\ell}(r, \ell-1, \ell+1) = -2\bar{\rho} \int_S (\mathbf{\Omega}_0 \times \mathbf{v}_{\ell-1} + \mathbf{\Omega}_0 \times \mathbf{v}_{\ell+1}) \cdot \mathbf{v}_{\ell} d\Omega, \quad (4.10) $$

$$ \mathcal{H}_{\ell}(r) = -(1 - \delta_{\ell,0}) \int_S \nabla P_{\ell} \cdot \mathbf{v}_{\ell} d\Omega, \quad (4.11) $$

$$ \mathcal{B}_{\ell}(r) = (1 - \delta_{\ell,0}) \int_S \rho g_{\ell} \cdot \mathbf{v}_{\ell} d\Omega, \quad (4.12) $$

$$ \mathcal{V}_{\ell}(r) = - \int_S (\nabla \cdot \mathcal{D})_{\ell} \cdot \mathbf{v}_{\ell} d\Omega. \quad (4.13) $$

$C_ℓ$ montre ici un couplage inter-échelles, qui n'est pas présent pour les spectres $\mathcal{H}_ℓ$, $\mathcal{B}_ℓ$ et $\mathcal{V}_ℓ$. En effet, la contribution de la force de Coriolis au degré $ℓ$ dépend uniquement des degrés $ℓ-1$ et $ℓ+1$. Un autre couplage inter-échelle est aussi présent dans le tenseur de Reynolds $\mathcal{R}_ℓ$, dont la contribution au degré $ℓ$ dépend des couplages à tous les degrés associés $\ell_1$ et $\ell_2$. Ce développement nous donne alors l'équilibre des transferts d'énergies en chaque $ℓ$, et donc pour chaque échelle $L$, dont nous illustrons les spectres non-axisymétriques ($m > 0$) sur les panneaux du haut de la Figure 4.8, pour le milieu de la zone convective. L'amplitude de chaque terme est normalisée par la somme totale pour chaque échelle.

Au sein des deux modèles, nous observons 3 régimes selon les échelles considérées. Aux petites échelles $L$ (grands degrés $ℓ$), nous observons le régime de dissipation, où l'équilibre se fait entre le terme de viscosité (violet), dissipant l'énergie, et l'advection par le tenseur de Reynolds (rouge), apportant l'énergie des autres échelles en balance de cette dissipation. Aux échelles intermédiaires, on observe ensuite un régime d'excitation par la flottaison (vert), à l'origine des mouvements convectifs, et équilibré principalement par l'advection, qui cette fois-ci retire l'énergie de ces échelles. Enfin, on note à grandes échelles $L$ (petits degrés $ℓ$) un régime quasi-géostrophique, où l'équilibre se fait principalement entre le transport advectif, le gradient de pression et la force de Coriolis. Nous proposons de caractériser l'influence de cette dernière à l'aide de deux degrés caractéristiques $L_{oc}$ et $L_{of}$. Ces derniers représentent le degré $ℓ$ auquel la contribution de Coriolis $C_ℓ$ est équivalente à la contribution de la flottaison $\mathcal{B}_ℓ$ pour le premier, et du transport advectif $\mathcal{R}_ℓ$ pour le second, c'est-à-dire où on a respectivement $R_{oc} = 1$ et $R_{of} = 1$. Nous observons premièrement que l'échelle $L_{oc}$ est plus petite dans le cas SBR97n035 (à gauche), étendant le régime quasi-géostrophique à plus petites échelles. Pour les échelles plus grandes que $L_{oc}$, l'instabilité convective est donc limitée par l'influence de la contrainte rotationnelle. Cette contrainte rotationnelle est ressentie par moins d'échelles dans le cas anti-solaire SBR50n1, où on voit que le
<figure><img src="image_115.png" /></figure>

FIGURE 4.8 – *Haut* : Analyse spectrale non-axisymétrique des différentes contributions pour l'évolution de l'énergie cinétique 4.8 en milieu de zone convective ($R_{mid}$ = 0.85 R$_{⊙}$) des modèles SBR97n035 (à gauche) et SBR50n1 (à droite). On représente la contribution de la viscosité (violet), de la force de Coriolis (bleu), de l'advection (rouge), de la flottaison (vert), ainsi que du gradient de pression (gris). Chaque terme est normalisé à chaque échelle par la contribution totale. Pour chaque couleur, les différents marqueurs représentent la moyenne temporelle du terme, dont l'écart-type est indiqué par la largeur des bandes transparentes. Les différentes barres verticales représentent des échelles caractéristiques et sont explicitées dans le texte. *Bas* : Analyse équivalente pour l'évolution de l'entropie quadratique 4.14. On représente la contribution du transfert radiatif (vert), de l'advection par l'état de référence (bleu), de l'advection d'entropie (rouge) et de la diffusion thermique (orange).

régime d'excitation s'étend à plus grandes échelles. Ce n'est pas le cas pour l'échelle $L_{of}$ qui reste à grande échelle et de même ordre de grandeur les deux cas. On définit ensuite $\lambda_b$ et $\lambda_u$ comme les degrés $\ell$ moyens, pondérés respectivement par le spectre de flottaison $B_\ell$ et le spectre d'énergie cinétique $E_\ell^K$.

La bande jaune caractérise les principales échelles d'advection injectant de l'énergie dans le maintien de la rotation différentielle depuis ce spectre non-axisymétrique. Il s'agit des contributions non-axisymmétriques entre $\ell_1$ et $\ell_2$, contribuant le plus, par leur couplage non-linéaire au sein du tenseur de Reynolds $R_\ell(\ell_1, \ell_2)$, à l'injection d'énergie vers le degré axisymétrique $\ell = 3$ (notez qu'il est aussi possible de regarder les transferts vers $\ell = 1$ ou $5$, et que les échelles ainsi identifiées sont similaires). Pour cela, nous réduisons le tenseur $R_{\ell=3}(\ell_1, \ell_2)$ à une dimension en sommant les contributions sur $\ell_1$. Nous prenons ensuite le spectre résultant en fonction de $\ell_2$ (qui a typiquement la forme d'une loi log-normale), et relevons l'intervalle d'échelles pour lesquelles l'amplitude du transfert associé est supérieur à 75% du maximum du spectre. On reproduit la même opération en réduisant cette fois $R$ selon $\ell_2$, afin d'obtenir un second intervalle en $\ell_1$. La borne haute (basse) de la bande jaune est finalement construite en tant que moyenne des bornes hautes (basses) des deux intervalles en $\ell_1$ et $\ell_2$. Cette méthode est pour l'instant très simpliste et nécessitera un développement supplémentaire. En particulier, nous envisageons de construire les intervalles sur $\ell_1$ et $\ell_2$, non plus comme les échelles ayant
une contribution au-dessus d'une certaine valeur, mais comme celles, dont l'intégrale du spectre centrée sur le maximum, représente un certain pourcentage du transfert, dont la valeur est fixée arbitrairement et conservée dans une même analyse de différents modèles.

On voit que ces échelles en jaune se retrouvent à chaque fois dans le régime d'excitation (la flottaison excite la convection, dont les corrélations non-linéaires alimentent le maintient des écoulements moyens). Cependant, on voit que le régime d'excitation, et donc ces échelles maintenant la DR, a été déplacé à plus petites échelles dans le cas de type solaire SBR97n035, ce qui se retrouve dans la diminution du degré moyen $\lambda_b$ de flottaison. On note cependant que dans ce cas (à gauche), le degré moyen $\lambda_u$ d'énergie cinétique est passé à plus grande échelle et se rapproche donc des échelles maintenant la DR. On observe cet ordre $\lambda_u > \lambda_b$ dans l'ensemble de nos cas anti-solaires, ainsi que $\lambda_b > \lambda_u$ proches des échelles d'injections dans l'ensemble de nos cas solaires, mais nous devons rester prudents quant à cette observation puisque ces deux échelles restent toutefois très proches.

Après s'être intéressés aux transferts cinétiques, on peut ensuite s'intéresser aux transferts de chaleur. De manière similaire, on définit alors la densité radiale d'entropie quadratique, telle que $\mathcal{E}_{\ell}^{S} = \frac{1}{2} \int_{S} S_{\ell} \cdot S_{\ell} d\Omega$. On part donc cette fois du spectre d'entropie $S_{\ell}$ que l'on multiplie à l'équation de conservation de l'énergie (2.4) avant de l'intégrer sur la surface sphérique S au rayon r. L'équation d'évolution obtenue est alors

$$ \partial_t \mathcal{E}_{\ell}^{S} = \sum_{\substack{\ell_1, \ell_2 \\ \ell_{1,2} \ge |\ell_1 - \ell_2| \\ \ell_{1,2} \le \ell_1 + \ell_2}} [\mathcal{A}_{\ell}(\ell_1, \ell_2)] + S_{\ell}^{b} + \mathcal{T}_{\ell} + \mathcal{K}_{\ell} + \mathcal{V}_{\ell}^{S} + Q_{0} \delta_{\ell,0}, \quad (4.14) $$

où les différents termes du membre de droite sont donc respectivement la contribution de l'advection d'entropie, de l'impact advectif de l'état de référence $\bar{S}$, du transfert radiatif, de la dissipation thermique, de la dissipation visqueuse (où $\delta_{\ell,0}$ est le symbole de Kronecker), ainsi qu'une contribution nette. Ces termes sont définis tels que

$$ \mathcal{A}_{\ell}(r, \ell_1, \ell_2) = \int_{S} -[\mathbf{v}_{\ell_1} \cdot \nabla(S_{\ell_2})]_{\ell} \cdot S_{\ell} d\Omega, \quad (4.15) $$

$$ S_{\ell}^{b} = \int_{S} -\mathbf{v}_{\ell} \cdot \nabla(\bar{S}) \cdot S_{\ell} d\Omega, \quad (4.16) $$

$$ \mathcal{T}_{\ell}(r) = \frac{1}{\bar{\rho}\bar{T}} \int_{S} \nabla \cdot [\kappa_{\text{rad}}\bar{\rho}c_{P}\nabla(T_{\ell})] \cdot S_{\ell} d\Omega, \quad (4.17) $$

$$ \mathcal{K}_{\ell}(r) = \frac{1}{\bar{\rho}\bar{T}} \int_{S} \nabla \cdot [\kappa \bar{\rho} \bar{T} \nabla(S_{\ell})] \cdot S_{\ell} d\Omega, \quad (4.18) $$

$$ \mathcal{V}_{\ell}^{S}(r) = \frac{2\nu}{\bar{T}} \int_{S} \left[ e_{ij}e_{ij} - \frac{1}{3}(\nabla \cdot \mathbf{v})^2 \right]_{\ell} \cdot S_{\ell} d\Omega, \quad (4.19) $$

$$ Q_0(r) = \frac{\sqrt{4\pi}}{\bar{\rho}\bar{T}} \left( \nabla \cdot \left[ \kappa_{\text{rad}}\bar{\rho}c_P \nabla(\bar{T}) + \kappa_0\bar{\rho}\bar{T}\nabla(\bar{S}) \right] \cdot S_0 + \bar{\rho}\epsilon \cdot S_0 \right). \quad (4.20) $$

Ici, on note que le terme $Q_0$ comprend des termes qui, une fois intégrés sur la sphère, ne contribuent que pour la composante $\ell = 0$ de l'équation 4.14. On peut maintenant représenter de manière similaire ces différentes contributions non-axisymétriques sur les panneaux du bas de la Figure 4.8, où nous ne représentons pas la dissipation visqueuse $\mathcal{V}_{\ell}^{S}$ qui y est négligeable dans ces simulations, pour la valeur $Pr = 1/4$ considérée.

On peut tout d'abord noter que le terme de transfert radiatif est négligeable sur l'ensemble du spectre non-axisymétrique pour les deux modèles, malgré l'augmentation significative du coefficient $\kappa_{\text{rad}}$ pour le contrôle de Nu au sein de ce Chapitre. Nous observons que ce terme contribue quasi-exclusivement au degré $\ell = 0$, ce qui signifie qu'il s'agit d'une contribution nette et globale à l'ensemble de la surface S étudiée. Si nous avions choisi d'augmenter volontairement le profil de la diffusion thermique $\kappa$ à la place de $\kappa_{\text{rad}}$, il est probable que cela aurait impacté l'ensemble des échelles par cascade thermique.
Une fois cela noté, on observe de nouveaux 3 régimes dans chacun des cas illustrés. Aux petites échelles $L$, le terme de diffusion thermique (orange) dissipe l'entropie et est équilibré par un apport de la part du terme advectif $(v \cdot \nabla)S$ (rouge). Ce dernier change ensuite de signe en arrivant aux échelles intermédiaires, où sa contribution est alors négative, dû au transport de l'entropie par la convection. Cette instabilité convective est justement enclenchée par la présence d'un gradient de référence $d\bar{S}/dr$ négatif dans la zone de convection, qui équilibre donc le transfert par une contribution positive (cyan). Enfin, on observe l'extension de cet équilibre à grandes échelles, avec cependant des changements possibles de signe pour les contributions de ces deux termes. On observe que ce régime est de nouveau défini par l'échelle $L_{oc}$, au-dessus de laquelle la dynamique est majoritairement influencée par la rotation. Il s'étend alors jusqu'à de plus petites échelles dans le cas de gauche SBR97n035. Il est intéressant de noter ici que le régime de dissipation thermique à aussi fortement évolué entre les deux modèles. En effet, si l'étendue spectrale de ce dernier est comparable à celle du régime de dissipation visqueuse dans le cas anti-solaire (voir panneaux du haut), ce n'est pas le cas pour le modèle SBR97n035, dont la dissipation thermique commence ici à plus petite échelle que le régime visqueux du modèle. Ce change-ment de comportement entre les deux modèles à turbulence similaire semble contre-intuitif étant donné que le nombre de Prandtl $Pr = v/\kappa = 1/4$ est identique pour les deux modèles. Il semblerait donc que malgré la contribution négligeable du transfert radiatif sur l'ensemble du spectre, l'augmentation de ce dernier pour le contrôle du Nusselt joue quand même un rôle important pour la localisation de la cascade de dissipation thermique aux petites échelles. Des analyses supplémentaires seront donc nécessaire pour comprendre entièrement cet effet.

Finalement, nous présentons les différents temps caractéristiques associés à certains de ces termes, en fonction des différentes échelles résolues. En s'inspirant du travail de Nataf & Schaeffer (2015), nous représentons de tels diagrammes $\tau-\ell$ en Figure 4.9. Cette représentation nous permet de mettre en évidence quel(s) processus contrôle(nt)/influence(nt) majoritairement la dynamique à échelle donnée, en possédant donc un temps plus court (faible) que les autres processus. Différents processus montrant des échelles de temps similaires seront donc en équilibre sur cette échelle de temps. Les différents temps caractéristiques sont définis en légende de la Figure. Nous représentons tout d'abord les temps caractéristiques $\tau_\kappa$ et $\tau_\nu$, respectivement en orange et violet, relevés au sein de nos simulations. L'écart entre ces deux courbes est contrôlé par le nombre de Prandtl, similaire pour les deux modèles. Les droites en pointillés de mêmes couleurs représentent les temps théoriques de dissipation $\tau_{\kappa th}$ et $\tau_{\nu th}$, dans l'hypothèse où le système serait purement dissipatif (sans apport de diffusion turbulente par les mouvements convectifs résolus). On voit ensuite sur les deux modèles que le temps caractéristique de la force de Coriolis $\tau_{Coriolis}$ suit la tendance attendue pour la propagation d'une onde de Rossby aux différentes échelles $\tau_{Rossby}$. Pour plus de clarté, nous ne traçons pas les temps supérieurs au temps visqueux d'une échelle donnée. On indique ensuite le temps caractéristique de la rotation $\tau_\Omega$ qui reste indépendant de l'échelle considérée. On s'intéresse ensuite au temps de retournement convectif $\tau_c$ (rouge), dont le spectre montre des temps plus élevés (lents) pour SBR97n035. Cela a pour effet de positionner la totalité des échelles concernées à des temps plus grands que celui de la rotation (ligne horizontale), ce qui n'est pas le cas aux petites échelles de SBR50n1. Le croisement entre $\tau_c$ et $\tau_\nu$ (violet) indique ensuite l'échelle de Kolmogorov où $Re(\ell) = 1$, similaires dans les deux cas présents. Le croisement entre $\tau_b$ (vert) et $\tau_\nu$ indique quant à elle l'échelle à laquelle $Ra(\ell) = 1$, c'est-à-dire en dessous de laquelle la flottaison est fortement contrainte par la dissipation visqueuse et thermique. Nous observons qu'elle est plus petite dans le cas SBR97n035, comme nous l'avions vu avec le régime d'excitation sur la Figure 4.8. L'intersection entre le spectre $\tau_b$ et $\tau_{Coriolis}$ (bleu) nous indique l'échelle où $Ro_c = 1$, au-dessus de laquelle la force de flottaison, à l'origine des mouvements convectifs, est fortement contrainte par la force de Coriolis. Elle coïncide par définition avec $L_{oc}$, dont l'échelle est plus petite dans le cas de SBR97n035. Le spectre de flottaison est plutôt raide aux échelles plus grandes que $Ro_c = 1$ que dans le cas SBR50n1. En plus d'avoir été diminué en proportion plus forte aux grandes échelles (Figure 4.8), l'amplitude globale du spectre de flottaison a donc été diminuée, diminuant l'amplitude de déstabilisation convective et expliquant alors la diminution globale des vitesses $v_{conv}$ en résultant.
<figure><img src="image_116.png" /></figure>

FIGURE 4.9 – Diagrammes $\tau$-$\ell$ des différents processus en milieu de zone convective pour les modèles SBR97n035 (à gauche) et SBR50n1 (à droite). Nous définissons en traits pleins les temps caractéristiques de viscosité (violet), de dissipation thermique (orange), de Coriolis (bleu), de flottaison (vert) et de retournement convectif (rouge) à partir des spectres non-axisymétriques extraits des modèles, respectivement comme $\tau_\nu = E_\ell^K / V_\ell$, $\tau_\kappa = \varepsilon_\ell^S / K_\ell$, $\tau_{Coriolis} = E_\ell^K / C_\ell$, $\tau_b = E_\ell^K / B_\ell$ et $\tau_c = L(\ell) / \sqrt{E_\ell^K / \rho} = L(\ell) / v_\ell$. On représente en pointillés les temps caractéristiques théoriques pour comparaison. On a tout d'abord les temps visqueux et thermiques de chaque échelle, $\tau_{vth} = L(\ell)^2 / \nu$ et $\tau_{Kth} = L(\ell)^2 / \kappa$. Finalement, $\tau_\Omega = 1 / \Omega_\circ$ est le temps caractéristique de la rotation, et $\tau_{Rossby} = r / (\Omega L(\ell))$ le temps de propagation sur L par une onde de Rossby, ici au rayon $r = R_{mid}$.

En résumé, on voit que la taille de la plus petite échelle ressentant significativement l'impact de la force de Coriolis est clé pour permettre à la dynamique de maintenir un régime de rotation différentielle de type solaire. La flottaison dans le régime des échelles qui sont plus grandes est alors inhibée par la rotation, ce qui limite leur formation dans le spectre convectif et leur influence sur la dynamique à la surface du modèle. À nombre de Reynolds constant, il est donc possible d'étendre ce régime spectral à plus petite échelle, en limitant le flux enthalpique par une augmentation du nombre de Nusselt, permettant alors de maintenir un profil de rotation solaire pour des degrés de turbulence élevés.

## 4.3 Discussion et perspectives

Nous avons donc réussi à obtenir des modèles globaux de convection solaire (SBR97n1 et SBR97n035), possédant un niveau de turbulence élevé, tout en conservant un profil de rotation de type solaire. Les modèles classiques ont en effet tendance à bifurquer dans un régime de rotation anti-solaire en atteignant un degré de turbulence similaire (Hindman et al., 2020). Pour éviter cela, nous avons augmenté le nombre de Reynolds Re tout en limitant la croissance du nombre de Rossby $Ro_\ell$, par l'intermédiaire d'un contrôle sur le nombre de Nusselt Nu, qui caractérise la proportion d'énergie transportée par la convection. En diminuant Nu à Re constant, le flux enthalpique et donc le spectre des vitesses est globalement réduit. La dynamique de ces modèles est alors fortement contrainte par la rotation au sein de la zone convective, limitant fortement l'amplitude de la flottaison, en particulier aux grandes échelles, et limitant la formation de cellules géantes ainsi que leur expression dans la dynamique en surface. Ce modèle nous permettra dans la suite de ce manuscrit d'étudier au
chapitre 6 la génération du champ magnétique à de tels niveaux de turbulence, tout en conservant un profil de rotation différentielle de type solaire. Néanmoins, que représente physiquement cette expérience numérique sur le contrôle du Nusselt ?

Comme illustré en partie gauche de la Figure 4.5, nous diminuons volontairement *Nu* par rapport à celui attendu par la MLT, en augmentant le flux radiatif $F_{rad}$. Pour cela nous augmentons le coefficient de diffusion radiative $\kappa_{rad}$. La théorie du transfert radiatif dans un milieu en équilibre thermodynamique local, et plus spécifiquement dans une étoile, nous donne l'équation de transport suivante (Maeder, 2009)

$$F_{rad} = - \frac{16\sigma T^3 \partial T}{3\kappa_{op}\rho \partial r} \qquad (4.21)$$

avec $\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann et $\kappa_{op}$ l'opacité du milieu. Par identification à l'équation (4.4), on peut identifier les variables du modèle de référence telles que

$$\frac{\kappa_{rad}\rho^2 c_P}{\bar{T}^3} = \frac{16\sigma}{3\kappa_{op}}. \qquad (4.22)$$

$c_P$ est une quantité considérée comme constante dans tout le domaine de nos modèles simulé. Nous reportons le lecteur intéressé au Chapitre 6 pour les détails et discussions de ce choix. Une fois que le modèle de référence anélastique ($\bar{\rho}$, $\bar{T}$, $\bar{S}$, $\bar{P}$, $c_P$) est initialisé et fixe, modifier $\kappa_{rad}$ représente physiquement une modification de l'opacité $\kappa_{op}$. Pour le modèle SBR97n1, cela signifie une forte diminution de l'opacité dans l'intérieur de l'enveloppe convective. Il n'y a pourtant à l'heure actuelle aucune justification à une telle diminution de l'opacité au sein de la zone convective (Rogers & Nayfonov, 2002). Il ne faut donc pas voir cette manipulation comme une tentative de reproduction fidèle du transfert radiatif au sein de l'enveloppe convective solaire, mais bien comme une expérience numérique permettant de diminuer $F_{en}$ afin de retrouver des écoulements à grande échelle comparables à ceux observés sur le Soleil.

Il est important de noter ici que Käpylä et al. (2017) observe une influence du profil $\kappa_{rad}$ prescrit, sur l'étendue radiale de la zone subadiabatique ($ds_{tot}/dr > 0$, donc convectivement stable) se formant généralement en fond de zone convective par transport convectif de l'entropie. Cette zone est caractérisée par une contribution du terme de Deardorff (Deardorff, 1961; Brandenburg, 2017), quantifiant le transport enthalpique qui n'est pas généré par la flottaison, mais par l'inertie qu'ont obtenu les cellules convectives descendantes avant d'arriver dans cette zone. Selon les auteurs, une modification de cette zone pourrait avoir un impact sur la dynamique de la convection, ce que nous projetons de quantifier dans de futures analyses des modèles présentés, en particulier ceux à Nusselt contrôlés par une augmentation de $\kappa_{rad}$.

Dans l'hypothèse, très probable, où le transport radiatif s'avérerait moins important que ce que nous proposons au sein de la zone convective du modèle SBR97n1, nous pouvons interpréter cette solution au "Convective Conundrum" sous deux angles. On peut tout d'abord émettre l'hypothèse que l'augmentation de $F_{rad}$ que nous prescrivons représente la contribution d'un phénomène physique que nous ne connaissons pour l'instant pas, et qui est nécessaire pour limiter le flux enthalpique, afin d'établit le profil de rotation solaire. Cela pourrait par exemple être une contribution des échelles qu'on ne résout pas. Il faudrait alors considérer le transport supplémentaire de $F_{rad}$ dans SBR97n1, comme un flux similaire à $F_{irr}$, c'est-à-dire un transport d'énergie dont la physique se produit à des échelles trop petites pour être actuellement reproduites par les simulations actuelles. Ainsi, un autre nombre adimensionné permettant de caractériser la dynamique convective à l'origine du profil de rotation différentielle serait un $Nu$ défini en comparant le transport enthalpique à tous les autres mécanismes transportant la luminosité vers la surface.

Une autre piste consiste à dire que le "Convective Conundrum" montre les limites de la MLT pour reproduire totalement la structure stellaire globale résultant d'interactions non-linéaires 3D en rotation. Cette hypothèse
pourrait par exemple être corroborée par l'étude de Vasil et al. (2021), proposant pour cette théorie une correc-
tion qui tient compte de l'impact rotationnel. Dans cette étude, ils mettent en évidence que la rotation pourrait
contraindre la dynamique interne de manière plus importante que ce que prédisent les théories convectives
actuelles, au point de conduire à une réduction des vitesses de convection à grande échelle, à une meilleure
efficacité du transport thermique, et finalement à des échelles dominantes relativement plus petites. La solution
que nous proposons serait alors une prescription ad hoc du transport thermique par un transport radiatif, qui
simulerait cet impact renforcé de la rotation sur la structure stellaire. En effet, nous diminuons ainsi les vitesses
de la convection et diminuons donc leur nombre Ro effectif associé. De plus, ils prédisent spécifiquement une
échelle de convection caractéristique aux environs de 30 Mm, qui dominerait la dynamique dans la majeure
partie de l'enveloppe convective solaire. Cette échelle pourrait alors représenter la plus grande échelle dont la
dynamique n'est plus majoritairement influencée par la force de Coriolis, c'est-à-dire juste en dessous du rayon
de déformation de Rossby 4. Une manifestation de ce phénomène pourrait alors être la super-granulation en
surface du Soleil, dont la taille caractéristique est proche (Featherstone & Hindman, 2016).

Dans ces deux cas de figure, la dynamique interne serait fortement influencée par la rotation et mèneraient à
la formation de rouleaux convectifs par la contrainte de Taylor-Proudman. Ces rouleaux seraient alors alignés
parallèlement à l'axe de rotation de l'étoile, comme illustré sur les panneaux en bas de la Figure 4.6. Cependant,
leur observation serait actuellement difficile, ce qui expliquerait pourquoi aucun phénomène de ce type n'a pour
l'instant été reporté. En effet, en restant dans le plan de l'écliptique, les observations précises que nous pouvons
faire de la surface du Soleil se concentrent dans la région proche de son équateur. Depuis la Terre par exemple,
une structure de la zone équatoriale reste observable durant une dizaine de jours seulement, comme la région
équatoriale du Soleil a une période de rotation d'environ 24 jours. De plus, les techniques d'inversions de la
structure interne à partir de données observationnelles sont fortement limitées par le fait que l'on ne couvre
pas encore la totalité de l'équateur solaire en même temps. Il serait alors intéressant d'aller observer les régions
polaires du Soleil, afin de voir si les rouleaux y laissent une trace de leur dynamique, ce qui n'a encore jamais
été fait. En effet, leur observation ne souffrirait alors plus des inconvénients de la rotation rapide à la surface.
C'est en partie dans ce but que la mission Solaris (Hassler et al., 2020) a été proposée et est actuellement
en cours de discussion. La sonde orbiterait alors autour du Soleil à une distance de 1 A.U. et dans un plan
perpendiculaire au plan de l'écliptique. Cela permettrait de multiples observations des pôles, dont le survol de
chacun d'entre eux permettrait leur observation continue durant environ 3 mois. En attendant cela, la mission
Solar Orbiter (Müller et al., 2020) commencera à nous donner quelques informations au sujet des pôles durant
la seconde moitié de sa mission. En effet, les orbites de la sonde s'inclineront progressivement par rapport au
plan de l'écliptique par interactions gravitationnelles avec Vénus, jusqu'à atteindre 34° avant la fin de sa phase
opérationnelle étendue.

Il est important de noter que la proportion de F<sub>rad</sub> dans le transport de la luminosité du modèle SBR97n1 n'a
pas été choisie au hasard. Il s'agit de la proportion nécessaire, afin de garantir la convergence du modèle vers
un profil de rotation différentielle de type solaire. Nous faisons cela en partant d'un modèle en rotation solide
où nous déclenchons une instabilité convective par la prescription du profil ds&#773;/dr. Lorsque nous prenions une
valeur de F<sub>rad</sub> plus faible (F<sub>rad</sub> < 0.97F<sub>*</sub>), le flux enthalpique est alors assez intense pour faire converger le
modèle vers un régime de rotation anti-solaire. Néanmoins, nous avons aussi remarqué qu'une fois le modèle
convergé, nous pouvons à partir de ce moment-là diminuer F<sub>rad</sub> en dessous de cette valeur afin d'augmenter
le flux enthalpique F<sub>en</sub>, sans pour autant bifurquer dans un régime de rotation anti-solaire. La valeur exacte
à atteindre pour provoquer alors cette bifurcation n'a pour l'instant pas été établie. Il y a donc un phénomène
d'hystérésis sur le régime de rotation atteint en fonction de la manière dont est construit le modèle. De plus,
nous avons vu que le nombre de Rossby fluide de SBR97n035 est plus grand que celui des modèles anti-solaires
M07Sm, M09Sm et M11R1m du Chapitre 2, tout en conservant pourtant un profil de rotation de type solaire.

<footnote n="4">4. Le rayon de déformation de Rossby est l'échelle spatiale *L* à laquelle l'amplitude de la force de Coriolis est similaire à celle du transport advectif, c'est-à-dire *Ro* = 1 = *v*/(2Ω*L*).</footnote>
La valeur de la transition rotationnelle semble donc dépendre de certains paramètres, comme possiblement le nombre de Reynolds ou le nombre de Nusselt (voir aussi Käpylä (2022b)).

Enfin, les simulations présentées ici sont effectuées dans un régime hydrodynamique, sans la présence de champ magnétique. Nous savons par l'étude des modèles présentés en Section 2.3 qu'il s'agit d'un ingrédient pouvant fortement impacter l'établissement du profil de rotation différentielle des étoiles à faible $R_o$. Bien que nous n'ayons pas relevé d'impact significatif au sein des modèles associés, dans un régime de rotation de type solaire ou anti-solaire, Hotta et al. (2022) montrent toutefois que le champ magnétique semble jouer un rôle important pour l'établissement d'un écoulement équatorial prograde dans les régimes de turbulence plus élevés. En particulier, la résolution de structures magnétiques petites échelles semblerait changer le signe du transfert de moment cinétique radial par le tenseur de Maxwell, construisant alors un équateur prograde. Il faut cependant noter que la méthode numérique utilisée dans leur étude procède par hyper-diffusion, en variant les coefficients de diffusion, spatialement et temporellement, afin de garantir la stabilité numérique du modèle, et non à partir d'arguments physiques. L'insertion d'un champ magnétique au sein du modèle SBn1Ref pourrait alors nous permettre de vérifier avec le code ASH si nous retrouvons bien de tels effets lorsque nous conservons les mêmes coefficients de diffusions tout au long de la simulation. Ce travail sera envisagé dans le futur, en fonction des ressources numériques nécessaires à l'étude d'un tel modèle.
<figure><img src="image_117.png" /></figure>
# Troisième partie

## Évolution de l'activité stellaire :

## Étude de la dynamo des étoiles de type solaire
<figure><img src="image_118.png" /></figure>
# CHAPITRE 5

## ÉTUDE DE LA DYNAMO CHAMP MOYEN DANS LES ÉTOILES DE TYPE SOLAIRE : IMPACT D'UN PROFIL DE ROTATION ANTI-SOLAIRE EN RÉGIME CINÉMATIQUE

## Sommaire

<table><tr><td>5.1 Simulations numériques du processus dynamo en rotation anti-solaire</td><td>190</td></tr><tr><td>5.2 Équations de la dynamo en champ moyen</td><td>191</td></tr><tr><td>5.2.1 Dérivation de l'équation d'induction</td><td>191</td></tr><tr><td>5.2.2 Notion de champ moyen</td><td>192</td></tr><tr><td>5.2.3 Décomposition toroïdale - poloïdale</td><td>193</td></tr><tr><td>5.2.4 Adimensionnement des équations et hypothèses finales</td><td>194</td></tr><tr><td>5.3 Modèles de référence</td><td>195</td></tr><tr><td>5.3.1 Ingédients physiques communs</td><td>196</td></tr><tr><td>5.3.2 Impact de la rotation anti-solaire sur une dynamo αΩ</td><td>198</td></tr><tr><td>5.3.3 Impact de la rotation anti-solaire sur une dynamo Babcock-Leighton</td><td>202</td></tr><tr><td>5.4 Phénoménologie des dynamos anti-solaires en champ moyen</td><td>206</td></tr><tr><td>5.4.1 Impact de la localisation de l'effet-α sur l'apparition de cycles magnétiques</td><td>206</td></tr><tr><td>5.4.2 Illustration géométrique des dynamos en rotation anti-solaire</td><td>207</td></tr><tr><td>5.4.3 Caractérisation énergétique</td><td>209</td></tr><tr><td>5.5 Conclusions et perspectives</td><td>210</td></tr><tr><td>5.6 Article publié : Impact of anti-solar differential rotation in mean-field solar-type dynamos</td><td>212</td></tr></table>

Comme nous l'avons vu en Section 1.1.6, la rotation différentielle est un des ingrédients principaux à l'origine de la dynamo de type solaire. En effet, ce gradient de vitesse de rotation au sein des écoulements va cisailler le champ magnétique, transformant une composante initialement poloïdale en composante toroïdale. Cette composante toroïdale est ensuite transformée de nouveau en composante poloïdale par le biais de différents processus. Dans le cas du Soleil, cette composante nouvellement formée a une polarité majoritairement opposée à celle de la composante toroïdale initiale, ce qui met alors en place un cycle magnétique avec des inversions de la polarité du dipôle global. En parallèle, nous avons vu en Section 2 que le profil de cette rotation différentielle peut changer en fonction du régime de rotation dans lequel se trouve l'étoile. En particulier, les simulations numériques ont montré qu'une transition peut s'opérer si l'étoile venait à ralentir significativement, passant alors d'un profil de rotation dit de "type solaire", avec un équateur prograde, à un profil de rotation dit "anti-solaire", où l'équateur est rétrograde (voir Figure 2.7). Le cisaillement des lignes de champ serait alors globalement inversé, et on se demande par conséquent si la nature du mécanisme dynamo pourrait changer. En particulier, est-ce qu'un profil de rotation anti-solaire peut soutenir une dynamo cyclique ? En ce sens, nous proposons dans ce chapitre une exploration théorique des processus dynamos possibles pour la génération du champ magnétique dans ce régime de rotation anti-solaire. Dans un premier temps, nous présenterons le contexte des simulations numériques actuelles de dynamo en régime anti-solaire. Nous détaillerons ensuite le développement des modèles de champ moyen αΩ et Babcock-Leighton utilisés et publiés dans Noraz et al. (2022a). Nous présenterons pour chacun d'entre eux deux solutions de référence, en régime de rotation solaire et anti-solaire.
## 5.1 Simulations numériques du processus dynamo en rotation anti-solaire

Tout d'abord, une détection formelle de rotation anti-solaire pour des étoiles de type solaire sur la séquence principale n'est pas encore avérée. Bien que ce profil ai été reporté pour certaines étoiles en phases plus évoluées (sous-géante et géante rouge), la nature du processus dynamo à l'origine de leur champ magnétique n'a pas encore été éclaircie (voir Harutyunyan et al. 2016, Kővári et al. 2017 ainsi que leur références). Ainsi, il n'y a pour l'instant pas de contrainte observationnelles quant à l'existence de cycles magnétiques pour le régime de rotation anti-solaire, dans lequel notre Soleil pourrait basculer vers la fin de la MS.

De plus, il a été récemment montré que le couple magnétique imposé par le vent stellaire dépend principalement des modes à grande échelle de la dynamo (Réville et al. 2015, Finley & Matt 2018). On peut en effet montrer que la perte de moment cinétique $\dot{J}$ est dépendante au carré du rayon d'Alfvén moyen (voir équation 1.44, ainsi que Vidotto 2021). Ce rayon d'Alfvén représente la distance à laquelle la vitesse du vent atteint la vitesse d'Alfvén, et représente donc une taille caractéristique de la magnétosphère stellaire. Ainsi, si la nature de la dynamo venait à changer en se dirigeant vers des configurations magnétiques à plus petite échelle, cela entrainerait alors une réduction du rayon d'Alfvén, et par conséquent une diminution de la perte de moment cinétique. Ce scénario a été proposé par Metcalfe & van Saders (2017) pour expliquer le changement de comportement dans l'évolution rotationnelle des rotateurs lents (van Saders et al., 2016).

Différentes études théoriques ont donc récemment été menées afin d'étudier le processus dynamo dans le régime de rotation anti-solaire par le biais de simulations numériques 3D globales en régime MHD (Brun & Browning, 2017), mais aucune tendance claire ne semble pour l'instant se dégager. Karak et al. (2015) a tout d'abord reporté des cycles magnétiques localisés à certaines latitudes, suivi ensuite de Viviani et al. (2018, 2019) relevant cette fois-ci des renversements du dipôle à l'échelle globale. Cependant les cycles magnétiques de ces régimes anti-solaires sont irréguliers sur les échelles de temps simulées, et les inversions globales de polarité sont seulement observées pour des nombres de Rossby proches de la transition vers le profil solaire. À l'inverse, Warnecke (2018) et Strugarek et al. (2018) ne relèvent que des dynamos stationnaire dans ce régime, ne présentant pas d'inversions cycliques. La possibilité d'un cycle régulier de type solaire dans ce régime de rotation lente semble donc peu probable. Néanmoins ces différents résultats sont obtenus avec des modèles sensiblement différents, et la nature exacte de la dynamo dans le régime anti-solaire reste actuellement incertaine.

Afin de mieux comprendre les processus physiques à l'oeuvre dans les dynamos en régime de rotation anti-solaire, nous proposons ici une étude paramétrique de l'impact de la rotation différentielle sur le processus dynamo. En particulier, on s'intéresse à la possibilité ou l'absence de cycle en fonction des modèles utilisés. Les simulations globales en 3D (comme celles illustrées au chapitre 2 et au prochain chapitre) ont l'avantage de générer de manière auto-cohérente les écoulements non-linéaires et le champ magnétique associé. Cependant, le coût de calcul numérique en résultant est élevé, ce qui limite l'exploration paramétrique possible dans un temps donné et pour une consommation électrique raisonnable. Un moyen de parer ce problème est la modélisation en 2.5D, en se focalisant sur le champ magnétique axi-symétrique, dit "champ moyen". On impose de plus un champ de vitesse stationnaire (régime cinématique) afin de ne résoudre que l'équation d'induction (2.5). On paramétrise alors la saturation du champ magnétique par l'introduction de termes ad hoc de "quenching", que nous présenterons.

On peut citer principalement deux études ayant modélisé en champ moyen des solutions dynamos en régime de rotation anti-solaire. Tout d'abord Karak et al. (2020), qui utilise un modèle $\alpha^2\Omega$. Des solutions cycliques sont trouvées en régime de rotation anti-solaire, mais seulement si une rétro-action du champ magnétique sur le profil de rotation est prescrite. Il est géométriquement improbable selon eux d'obtenir un cycle pour un modèle $\alpha\Omega$ en rotation anti-solaire. Pourtant, l'étude antérieure de Dubé & Charbonneau (2013) a pu trouver une
solution cyclique en utilisant un tel modèle et un profil de rotation anti-solaire (solution illustrée sur le panneau haut de leur Figure 9). Les profils de rotation et de l'effet-α sont extraits de simulations numériques 3D globales, rendant donc leur interaction non triviale. Néanmoins, il est important de noter que si Karak et al. (2020) localisent leurs effets-α uniquement au sein de la zone convective, les profils de Dubé & Charbonneau (2013) sont inspirés de profils d'hélicité cinétique s'étendant à des rayons inférieurs à la tachocline. Le recouvrement de l'effet-α avec la tachocline semble donc important pour la cyclicité des solutions dynamo trouvée en rotation anti-solaire, et nous proposerons en ce sens d'étendre et d'approfondir ces deux études, par l'intermédiaire de modèles de champ moyen simples.

## 5.2 Équations de la dynamo en champ moyen

Dans cette partie, nous allons nous intéresser au développement mathématique des équations du problème. Des discussion détaillées sont accessibles dans de nombreuses références (voir par exemple Moffatt 1978 ou Charbonneau 2020), et nous proposons ici de rappeler les grandes étapes et hypothèses, tout en discutant de la signification physique des différents termes.

### 5.2.1 Dérivation de l'équation d'induction

Afin de déduire l'équation régissant l'évolution temporelle du champ magnétique B, on peut partir des équations de Maxwell dans le vide, s'écrivant dans le système CGS telles que

$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho_c, \qquad (5.1) $$

$$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad (5.2) $$

$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \qquad (5.3) $$

$$ \nabla \times \mathbf{B} = \frac{4\pi}{c} \mathbf{J} + \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, \qquad (5.4) $$

où $\rho_c$ est la densité volumique de charges, c la vitesse de la lumière et $\mathbf{J}$ le vecteur densité de courant. On les nomme respectivement équation de Maxwell-Gauss, équation de Maxwell-Faraday, équation de Maxwell-Thomson (ou Maxwell-Flux) et enfin équation de Maxwell-Ampère (avec le courant de déplacement en deuxième terme de droite, introduit par Maxwell lui-même).

Dans un premier temps, on se place dans l'hypothèse de mouvements fluides non relativistes (lents par rapport à la vitesse de la lumière, i.e. $v \ll c$). La définition du courant par l'équation de Maxwell-Ampère (5.4) devient donc

$$ \mathbf{J} = c/4\pi (\nabla \times \mathbf{B}). \qquad (5.5) $$

De plus, la loi d'Ohm dans un conducteur stationnaire s'écrit simplement $\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$. Or le conducteur en question est ici un fluide en mouvement, on évalue donc son champ électrique dans le référentiel $\mathcal{R}'$ se déplaçant à la vitesse du fluide v tel que $\mathbf{E}' = \mathbf{E} + (\mathbf{v} \times \mathbf{B})/c$, et la loi d'Ohm en approximation mono-fluide devient alors :

$$ \mathbf{J} = \sigma \left( \mathbf{E} + \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{B}}{c} \right). \qquad (5.6) $$
Finalement, on introduit cette équation dans l'équation de Faraday (5.2) et on obtient

$$
\begin{align}
\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} &= -c \nabla \times \mathbf{E} = -\nabla \times \left( \frac{c\mathbf{J}}{\sigma} - \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right), \nonumber \\
&= -\nabla \times \left( \frac{c^2}{4\pi\sigma} \nabla \times \mathbf{B} - \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right), \tag{5.7}
\end{align}
$$

qui nous donne finalement l'équation d'induction

$$
\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) - \nabla \times (\eta_m \nabla \times \mathbf{B}), \quad (5.8)
$$

avec $\eta_m = c^2/4\pi\sigma$ la diffusivité magnétique microscopique.

5.2.2 Notion de champ moyen

Afin d'étudier les solutions de cette équation, il est possible de la simplifier en effectuant une séparation
d'échelles et en ne s'intéresser qu'au champ magnétique **B** à grande échelle, c'est ce qu'on appelle la théorie
dynamo de "champ moyen" (Moffatt 1978, Krause & Rädler 1980). On effectue cette séparation en écrivant le
champ magnétique **B** et le champ de vitesse **v** comme la somme d'une partie moyenné selon un axe spatial
(⟨**B**⟩ et ⟨**v**⟩) et d'une partie "fluctuante" (B' et v'), telles que

$$
\mathbf{B} = \langle \mathbf{B} \rangle + \mathbf{B}', \tag{5.9}
$$

$$
\mathbf{v} = \langle \mathbf{v} \rangle + \mathbf{v}', \tag{5.10}
$$

Ces composantes représentent respectivement les grandes échelles (“champ moyen”) et petites échelles (com-
posantes “fluctuantes”). On rappelle que par définition, ⟨**B**'⟩ = 0 et ⟨**v**'⟩ = 0. En injectant, cette décomposition
en champ moyen dans l'équation d'induction (5.8), on obtient la relation

$$
\frac{\partial \langle \mathbf{B} \rangle}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{B}'}{\partial t} = \nabla \times \left[ \left( \langle \mathbf{v} \rangle (r, \theta) + \mathbf{v}'(r, \theta, \phi) \right) \times \left( \langle \mathbf{B} \rangle + \mathbf{B}' \right) - \eta_m \nabla \times \left( \langle \mathbf{B} \rangle + \mathbf{B}' \right) \right]. \quad (5.11)
$$

Afin d'isoler l'évolution du champ moyen ⟨B⟩, nous prenons la moyenne de cette expression (voir Annexe A),
ce qui nous permet d'obtenir

$$
\frac{\partial \langle \mathbf{B} \rangle}{\partial t} = \nabla \times (\langle \mathbf{v} \rangle \times \langle \mathbf{B} \rangle + \mathcal{E} - \eta_m \nabla \times \langle \mathbf{B} \rangle), \quad (5.12)
$$

où le terme $\mathcal{E} = \langle \mathbf{v}' \times \mathbf{B}' \rangle$ représente la force électromotrice moyenne issue des corrélations des champs flucu-
tants. Au sein d'une étoile, elles sont créées par la turbulence du système. Il s'agit donc de l'influence des petites
échelles sur l'évolution du champ moyen grande échelle $\langle \mathbf{B} \rangle$, qui dépend donc d'une variable supplémentaire
$\mathbf{B}'$ dont il nous faut l'évolution. On obtient cette équation, en soustrayant l'équation (5.12) à l'équation (5.11),
ce qui nous donne

$$
\frac{\partial \mathbf{B}'}{\partial t} = \nabla \times (\langle \mathbf{v} \rangle \times \mathbf{B}' + \mathbf{v}' \times \langle \mathbf{B} \rangle + \mathbf{G} - \eta_m \nabla \times \mathbf{B}'), \quad (5.13)
$$

avec **G** = **v**' × **B**' − ε le courant électromoteur. Seulement, nous rappelons ici que par simplicité, nous voulons
éviter de considérer les composantes fluctuantes, et donc 5.13. Nous ne nous intéresserons donc qu'au champ
moyen, en appliquant une procédure de fermeture reliant la partie fluctuante à la partie moyenne du champ
(Brandenburg & Subramanian 2005 discute notamment des différentes possibilités et limites physiques respec-
tives). Autrement dit, il nous faut paramétrer la force électromotrice ε, afin de l'exprimer en fonction du champ
moyen⟨**B**⟩.
L'hypothèse la plus couramment utilisée pour cela est appelée first order smoothing approximation (FOSA) (ou second order correlation approximation (SOCA)), consistant à développer pour $\mathcal{E}$ sous forme d'un développement de Taylor, tel que

$$ \mathcal{E}_i = \alpha_{ij} \langle B_j \rangle + \beta_{ijk} \frac{\partial \langle B_j \rangle}{\partial x_k} + \dots, \qquad (5.14) $$

où $\alpha_{ij}$ et $\beta_{ijk}$ ne dépendent pas du champ moyen $\langle B_j \rangle$ et paramétrent l'impact de la turbulence convective petite échelle sur ce dernier. Cette relation de fermeture est justifiée dans le cas d'une séparation d'échelles suffisantes du système étudié. Il est important de noter ici que cette approximation est forte et seulement applicable pour un espace de paramètres restreints (voir aussi Raedler & Rheinhardt 2007 pour une revue critique et détaillée). Pour autant, cette théorie reproduit et prédit avec succès différents aspects du comportement de sa dynamo grande échelle, en partie car on y observe une séparation des échelles assez grandes. C'est pour cela que de nombreux travaux continuent de l'utiliser, et c'est ce que nous ferons ici tout en gardant à l'esprit les limites du modèle.

Il apparaît de plus que $\alpha_{ij} = \alpha\delta_{ij}$ et $\beta_{ijk} = \beta\epsilon_{ijk}$ en ajoutant l'hypothèse que les écoulements fluctuants $v'$ sont homogènes et isotropes. $\alpha$ caractérise alors la création de $\langle B \rangle$ par les cellules convectives turbulentes (voir effet-$\alpha$ en Section 1.1.6). $\beta$ représente généralement quant à lui un terme de diffusion effective, apporté par le brassage convectif. C'est cette même diffusion effective turbulente additionnelle qui nous a amené à augmenter les différentes dissipations dans les zones convectives du chapitre 2. En reportant le tout dans l'équation (5.12), on obtient alors finalement

$$ \frac{\partial \langle \mathbf{B} \rangle}{\partial t} = \nabla \times (\langle \mathbf{v} \rangle \times \langle \mathbf{B} \rangle + \alpha \langle \mathbf{B} \rangle - (\eta_m + \beta) \nabla \times \langle \mathbf{B} \rangle). \qquad (5.15) $$

Le premier terme correspond au transport et étirement du champ moyen $\langle B \rangle$ par les écoulements à grande échelle $\langle v \rangle$ (comme la rotation différentielle ou la circulation méridienne). Enfin, on peut définir la diffusivité magnétique totale $\eta = \eta_m + \beta$ comme la somme de la diffusivité microscopique et celle apportée par le brassage convectif turbulent, qu'on note habituellement $\beta = \eta_t$.

Précisons ici que jusqu'ici, rien n'empêche a priori les écoulements moyens $\langle v \rangle$ de dépendre du temps (Malkus & Proctor, 1975; Rempel, 2005; Bushby, 2006). Cependant, nous nous placerons ici dans le régime cinématique, où nous considérerons donc les écoulements comme stationnaires. Nous définirons par la suite leur profil, ce qui nous permettra d'étudier l'évolution du système par la résolution de l'équation 5.15 uniquement, une fois un paramétrage de $\alpha$ et $\beta$ choisi. On note aussi que, jusqu'à présent, nous n'avons pas précisé d'axe spatial pour la moyenne effectuée, ou de système de coordonnées spécifique. Pour l'étude qui suit, nous nous plaçons dans le repère sphérique, et considérons une moyenne selon l'axe longitudinal $\phi$. Ainsi, en ne considérant plus que les champs moyens, le problème devient axi-symétrique. Par la suite, nous omettrons les chevrons $\langle \rangle$ pour plus de clarté, lorsque nous évoquerons les champs moyens magnétiques $B$ et de vitesses $v$.

### 5.2.3 Décomposition toroïdale - poloïdale

Actuellement, l'équation maîtresse de notre problème (5.15) est vectorielle, et comprend donc les trois composantes du repère sphérique. La propriété de conservation du flux magnétique ($\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$) nous permet de réduire le problème en décomposant $\mathbf{B}$ en selon une composante poloïdale et une composante toroïdale (voir Section 2.2.1). De plus, le champ moyen $\mathbf{B}$ est axi-symétrique par définition, ce qui nous permet de préciser ces composantes comme

$$ \mathbf{B} = \nabla \times (A_{\phi}(r, \theta, t)\mathbf{e}_{\phi}) + B_{\phi}(r, \theta, t)\mathbf{e}_{\phi}, \qquad (5.16) $$