où on peut donc identifier<fnref n="1" />

$$B_r = \frac{1}{\varpi} \frac{\partial(\sin\theta A_\phi)}{\partial\theta} \quad \text{et} \quad B_\theta = -\frac{1}{r} \frac{\partial(rA_\phi)}{\partial r} \qquad (5.17)$$

avec $\varpi = r \sin \theta$ le rayon cylindrique. On suppose ensuite que l'écoulement v moyenné suivant $\hat{e}_\phi$ peut s'écrire tel que

$$\langle \mathbf{v} \rangle = \mathbf{v}_p(r, \theta) + r \sin \theta \Omega(r, \theta) \mathbf{e}_\phi, \qquad (5.18)$$

où $v_p$ représente ici les écoulements méridiens dans le plan poloïdal de l'étoile, c'est à dire les composantes radiales et latitudinales du champ de vitesse moyenné en $\phi$. L'équation 5.15 devient alors

$$\nabla \times \left( \frac{\partial A_{\phi} \hat{e}_{\phi}}{\partial t} \right) + \frac{\partial B_{\phi} \hat{e}_{\phi}}{\partial t} = \nabla \times \left[ \mathbf{v} \times \mathbf{B} + \alpha \nabla \times (A_{\phi} \hat{e}_{\phi}) + \alpha B_{\phi} \hat{e}_{\phi} \right. \\ \left. - \eta (\nabla \times \nabla \times (A_{\phi} \hat{e}_{\phi}) + \nabla \times (B_{\phi} \hat{e}_{\phi})) \right] \qquad (5.19)$$

et nous permet de réduire le problème à la résolution de deux équations scalaires sur $A_\phi$ et $B_\phi$. Celles-ci peuvent être repsectivement obtenues par projection selon le plan poloïdal et l'axe longitudinal (voir Annexe A), ce qui nous donne alors

$$\begin{align}
\frac{\partial A_{\phi}}{\partial t} &= \underbrace{\eta \left(\nabla^2 - \frac{1}{\varpi^2}\right) A_{\phi}}_{\text{diffusion}} - \underbrace{\frac{\mathbf{v}_p}{\varpi} \cdot \nabla (\varpi A_{\phi})}_{\text{advection}} + \underbrace{\alpha B_{\phi}}_{\text{effet-}\alpha} + \underbrace{S}_{\text{Babcock-Leighton}}, \nonumber \\
\frac{\partial B_{\phi}}{\partial t} &= \underbrace{\eta \left(\nabla^2 - \frac{1}{\varpi^2}\right) B_{\phi}}_{\text{diffusion}} + \underbrace{\frac{1}{\varpi} \frac{\partial(\varpi B_{\phi})}{\partial r} \frac{\partial(\eta/\eta_t)}{\partial r}}_{\text{diamagnétisme}} - \underbrace{\varpi \mathbf{v}_p \cdot \nabla (\frac{B_{\phi}}{\varpi})}_{\text{advection}} \nonumber \\
&\quad - \underbrace{B_{\phi} \nabla \cdot \mathbf{v}_p}_{\text{compression}} + \underbrace{\varpi (\nabla \times (A_{\phi} \hat{e}_{\phi})) \cdot \nabla \Omega}_{\text{effet-}\Omega} + \underbrace{\nabla \times (\alpha \nabla \times (A_{\phi} \hat{e}_{\phi})) \cdot \hat{e}_{\phi}}_{\text{effet-}\alpha}. \tag{5.20}
\end{align}$$

On retrouve tout d'abord des termes de diffusion et d'advection agissant pour l'évolution des deux grandeurs scalaires. On note ensuite deux types de termes sources : l'effet-$\alpha$ et l'effet-$\Omega$, illustrés en Figure 1.12 et 1.11. Ils sont respectivement liés à l'impact des écoulements à grande et petite échelle sur le champ magnétique. Bien que l'effet-$\alpha$ peut être source pour les deux composantes, l'effet-$\Omega$ se retrouve seulement sur la génération toroïdale. Pour cette dernière, on remarque de plus un terme dit de "diamagnétisme", apparaissant lorsque la diffusivité $\eta$ n'est pas constante en fonction du rayon, ce qui sera le cas dans cette étude. Il ne s'agit pas d'un terme de création ou destruction pour $B_\phi$, mais bien d'un terme de transport au même titre que l'advection ou la compression. On note finalement l'ajout d'un terme source $S$ non-local pour la génération de champ poloïdale, dans le cas d'un modèle de type Babcock-Leighton introduit en Section 1.1.6.

### 5.2.4 Adimensionnement des équations et hypothèses finales

Afin de faire apparaître les grandeurs caractéristiques qui nous serviront dans la suite de l'étude, nous allons adimensionner le système formé des deux équations que nous venons de dériver. Pour cela, on définit les grandeurs adimensionnées $\hat{x}$ telles que

$$A_{\phi} = B_{0}R_{\odot}\hat{A}_{\phi}; \quad B_{\phi} = B_{0}\hat{B}_{\phi}; \quad t = \frac{R_{\odot}^{2}}{\eta_{t}}\hat{t}; \quad r = R_{\odot}\hat{r}; \quad \alpha = \alpha_{0}\hat{\alpha}; \quad \Omega = \Omega_{Eq}\hat{\Omega}; \quad S = s_{0}\hat{S} \quad (5.21)$$

où $\Omega_{Eq}$ est le taux de rotation à l'équateur. On choisit ici de représenter les longueurs en rayon solaire $R_\odot$, les durées en temps diffusif turbulent $R_\odot^2/\eta_t$ et les champs magnétiques par une valeur $B_0$ non définie à priori. En

<footnote n="1">1. On rappel que $\nabla \times \mathbf{A} = \frac{1}{r \sin \theta} \left( \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta A_{\phi}) - \frac{\partial A_{\theta}}{\partial \phi} \right) \hat{e}_r + \left( \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_r}{\partial \phi} - \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_{\phi}) \right) \hat{e}_{\theta} + \frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r} (r A_{\theta}) - \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right) \hat{e}_{\phi}$ en coordonnées sphériques.</footnote>
introduisant, ces définitions dans les équations 5.20, les quantités x disparaissent et sont remplacées par leurs équivalents adimensionnés $\hat{x}^2$. Pour plus de lisibilité, on omet donc la notation $\hat{}$, ce qui nous donne finalement

$$ \frac{\partial A_{\phi}}{\partial t} = \frac{\eta}{\eta_t} \left( \nabla^2 - \frac{1}{\bar{\omega}^2} \right) A_{\phi} - R_m \frac{\mathbf{u}_p}{\bar{\omega}} \cdot \nabla (\bar{\omega} A_{\phi}) + C_{\alpha} \alpha B_{\phi} + C_s S, \quad (5.22) $$

$$ \begin{aligned} \frac{\partial B_{\phi}}{\partial t} = & \frac{\eta}{\eta_t} \left(\nabla^2 - \frac{1}{\bar{\omega}^2}\right) B_{\phi} + \frac{1}{\bar{\omega}} \frac{\partial(\bar{\omega} B_{\phi})}{\partial r} \frac{\partial(\eta/\eta_t)}{\partial r} - R_m \bar{\omega} \mathbf{u}_p \cdot \nabla \left(\frac{B_{\phi}}{\bar{\omega}}\right) \\ & - R_m B_{\phi} \nabla \cdot \mathbf{u}_p + C_{\Omega} \bar{\omega} (\nabla \times (A_{\phi} \hat{e}_{\phi})) \cdot \nabla \Omega, \end{aligned} \quad (5.23) $$

où apparaissent les différents paramètres de contrôle du système d'équations adimensionnées : $C_\alpha$, $C_\Omega$, $C_s$ et $R_m$, tels que

$$ C_{\Omega} = \frac{\Omega_{Eq} R_{S}^{2}}{\eta_{T}}; \quad C_{\alpha} = \frac{\alpha_{0} R_{\odot}}{\eta_{t}}; \quad D = C_{\Omega} \cdot C_{\alpha}; \quad C_{s} = \frac{s_{0} R_{\odot}}{\eta_{t}}; \quad R_{m} = \frac{v_{0} R_{\odot}}{\eta_{t}}. \quad (5.24) $$

$C_\Omega$ caractérise l'effet-$\Omega$ en symbolisant la compétition entre la rotation différentielle (représentée par $\Omega_{Eq}$), qui a tendance à favoriser la dynamo en cisaillant les lignes de champ magnétique poloïdales, et l'effet Joule (représentée par $\eta_t$), qui a tendance à s'opposer au mécanisme dynamo par diffusion ohmique. $C_\alpha$ symbolise quant à lui la compétition entre la création magnétique par les mouvements hélicoïdaux de la turbulence (représentée par la constante $\alpha_0$), et l'effet diffusif apporté par cette dernière (toujours représenté par $\eta_t$). Selon l'amplitude respective de ces deux paramètres, on parle soit de dynamo $\alpha^2$, $\alpha^2\Omega$ ou $\alpha\Omega$. Pour cette étude, nous nous placerons dans le dernier cas, ce qui revient à négliger le terme $\alpha$ pour $B_\phi$, qui n'est donc plus présent dans l'équation (5.23). On considère ainsi que la création du champ toroïdal est entièrement assurée par le cisaillement de l'effet-$\Omega$. Nous dirigeons le lecteur vers la partie "Discussion" de la Section 5.6 pour les justifications et critiques de ce choix. On note D le nombre dynamo, comme le produit des paramètres $C_\alpha$ et $C_\Omega$. $C_s$ caractérise quant à lui l'amplitude du terme source $S$, en symbolisant la compétition entre la création magnétique poloïdale par la force de Coriolis agissant sur les structures toroïdales émergeant en surface ($s_0$), et leur diffusion. Ce terme remplacera son équivalent $\alpha$ au sein de l'équation 5.22 d'évolution poloïdale dans le cadre des modèles de type Babcock-Leighton. Nous choisissons dans ces cas de considérer une circulation méridienne comme lien dynamique entre le champ poloidal émergeant et le réservoir toroïdal en fond de zone convective. Cette circulation est représentée ici par les écoulements poloïdaux $v_p$, dont l'amplitude $v_0$ est contrôlée par le nombre de Reynolds magnétique $R_m$. Dans ce cas, le nombre dynamo $D$ est défini comme le produit des paramètres $C_\alpha$ et $C_s$.

C'est ainsi que nous concluons le développement mathématique du système d'équations pour la dynamo stel- laire en champ moyen. Pour l'étude qui suit, ces équations ont été résolues à l'aide du code STELEM (Emonet & Charbonneau 1998, communication privée). Ce code utilise une méthode d'éléments finis (voir Annexe A de Jouve & Brun 2007b) et a été validé par un benchmark numérique (Jouve et al., 2008). Les différents modèles 2.5D de ce chapitre ont été calculés pour une résolution de $N_\theta N_r = 256 \times 128$, et validées un test de conver- gence numérique. De façon similaire au Chapitre 2, des conditions de conducteur parfait et de champ potentiel ont été imposées au champ magnétique, respectivement à la base ($r = 0.6$) et au sommet du domaine ($r = 1$).

## 5.3 Modèles de référence

Dans cette partie, nous allons présenter les différents modèles à la base de notre étude sur l'impact de la rotation différentielle anti-solaire. Dans cette étude, nous considérons des dynamos en champ moyen de types $\alpha\Omega$ et Babcock-Leighton. Pour chacun de ces cas, nous commençons par construire un cas de référence solaire,

<footnote n="2">2. On rappelle que cette étape fait sortir un facteur $1/R_{\odot}^2$ au niveau du laplacien $\nabla^2$.</footnote>
dans lequel nous tentons de reproduire au mieux les caractéristiques de la dynamo observée sur le Soleil, soit un cycle de 11 ans et une propagation équatoriale de l'onde dynamo à moyennes latitudes. Une fois ces cas validés, nous changerons le profil de rotation prescrit afin d'imposer un régime de rotation anti-solaire. Cela nous permettra ainsi d'étudier l'impact de ce dernier sur la dynamo de type solaire.

Dans un premier temps, nous présentons les ingrédients physiques communs aux deux types de dynamo αΩ et Babcock-Leigthon. Ensuite, nous détaillons le choix de prescription pour les modèles de dynamo αΩ, et présentons les deux modèles de référence en résultant : dans le cas solaire, puis avec un profil de rotation anti-solaire. Enfin, nous présenterons de manière similaire les deux modèles de référence pour une dynamo Babcock-Leighton.

## 5.3.1 Ingédients physiques communs

### 5.3.1.1 Profil de diffusivité magnétique

Le terme de diffusion magnétique peut principalement s'exprimer sous la forme de deux contributions : la destruction du champ par diffusion ohmique, ou son transport par diamagnétisme (5.20). Il dépend de la diffusivité magnétique η, caractérisant le taux de dissipation du champ B par l'intermédiaire des interactions microscopiques (η_m) et des mouvements convectifs (η_t). Pour des raisons similaires à l'équation (2.9), on considère que la contribution turbulente domine dans la zone de convection (η_t >> η_m), et on décide d'exprimer le profil tel que

$$ \tilde{\eta}(r) = \frac{\eta}{\eta_t} = \frac{\eta_m}{\eta_t} + \frac{1}{2} \left(1 - \frac{\eta_m}{\eta_t}\right) \left[1 + \text{erf}\left(2 \frac{r - r_{\text{BCZ}}}{d}\right)\right], \quad (5.25) $$

illustré en Figure 3 de la Section 5.6. La valeur de η_m/η_t résulte d'un compromis entre la vraie valeur théorique solaire, pouvant descendre en dessous de 10⁻⁸ (Maeder, 2009), et des considérations de stabilité numérique nous empêchant de prendre de si petites valeurs. Nous choisissons finalement de considérer ici η_m/η_t = 0.02. La valeur de la diffusivité turbulente η_t est fixée à 10¹¹ cm².s⁻¹ afin de calibrer correctement le modèle solaire Babcock-Leighton de référence (voir Section 5.3.3). Cette valeur sera aussi adoptée pour les autres modèles à des fins de cohérence dans les comparaisons. En considérant un cas solaire, on voit que la valeur du temps diffusif est maintenant de t_η = R_☉²/η_t = 1536 ans. Les deux valeurs η_m et η_t sont reliées par la fonction de transition erf() à la base de la zone convective (BCZ), pris ici à r_BCZ = 0.7 R_☉, et d = 0.025 R_☉ est la largeur de cette transition.

### 5.3.1.2 Profils de rotation différentielle : du profil solaire au profil anti-solaire

Un ingrédient physique clé de cette étude est bien sûr le profil de rotation différentielle Ω(r, θ). Comme nous sommes en régime cinématique, ce champ de vitesse toroïdale est imposé au système et ne subit pas de rétroaction de la part du champ magnétique. Nous construisons ce profil de vitesse à partir du profil analytique normalisé

$$ \Omega(r, \theta) = \frac{\Omega_c}{\Omega_{Eq}} + \frac{1}{2} \left[ 1 + \text{erf} \left( 2 \frac{r - r_{\text{BCZ}}}{d} \right) \right] \left( 1 + \frac{a_2}{\Omega_{Eq}} \cos^2(\theta) + \frac{a_4}{\Omega_{Eq}} \cos^4(\theta) - \frac{\Omega_c}{\Omega_{Eq}} \right). \quad (5.26) $$

où Ω_{Eq} est la vitesse angulaire de rotation prise à l'équateur, Ω_c celle de l'intérieur radiatif, et a_2, a_4 des coefficients à ajuster pour la dépendance latitudinale. Cette formule est inspirée de Charbonneau et al. (1998), et nous permet de reproduire un profil de rotation solaire proche de ce qui est observé, en utilisant les valeurs a_2/Ω_{Eq}, a_4/Ω_{Eq} et Ω_c/Ω_{Eq} récapitulées en Table 1 de la Section 5.6. Un ajustement de ces coefficients nous permet aussi de construire, par symétrie, un profil de rotation anti-solaire. Nous illustrons ensuite ces deux
profils sur la Figure 5.1, par des coupes méridiennes pour les panneaux a) et c), ainsi que des profils radiaux à différentes latitudes pour les panneaux b) et d).

<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>FIGURE 5.1 – Profils de rotation différentielle $\Omega(r, \theta)$ utilisés dans cette étude, et représentés ici dans le référentiel tournant à $\Omega_c$. Le panneau a) (respectivement panneau c) ) représente les isocontours du profil de rotation solaire (resp. anti-solaire) dans le plan méridien, dont des profils radiaux à différentes latitudes sont représentés sur le panneau b) (resp. panneau d) ).</figcaption></figure>

Tout d'abord, la tachocline est placée ici à 0,7 $R_\odot$ avec une épaisseur $d = 0.025 R_\odot$. En effet, la transition est semblable à celle prescrite pour la diffusivité magnétique en équation (5.25). Cette transition en vitesses distingue l'intérieur radiatif en rotation solide (modélisé ici de 0.6 à 0.7 $R_\odot$) de la zone convective en rotation différentielle (s'étendant jusqu'à la surface $r = 1 R_\odot$). Dans le cas du profil de rotation solaire, la vitesse angulaire $\Omega_c$ de l'intérieur radiatif est plus faible que la vitesse de rotation équatoriale à la surface, mais plus importante que celle des régions polaires. On note donc une latitude de la zone convective autour de $\lambda \sim 35°$ en co-rotation avec l'intérieur radiatif (ie. tournant à la même vitesse angulaire). Les simulations du chapitre 2 nous montrent que cette dépendance latitudinale est créée par redistribution du moment cinétique au sein de la zone convective. Dans le régime solaire, le tenseur de Reynolds (corrélations de vitesses de la convection turbulente) est assez important pour créer un écoulement prograde à l'équateur, et donc des écoulements rétrogrades aux pôles par conservation du moment cinétique (voir Section 2.4 pour plus de détails). Ces mêmes simulations nous montrent aussi l'existence possible de profils anti-solaires, où la dépendance latitudinale de la vitesse est inversée dans la zone de convection. On y observe donc cette fois-ci un intérieur radiatif avec une rotation plus rapide que la zone équatoriale de surface, mais plus lente que les zones polaires. Nous reproduisons ici un profil similaire, illustré sur les panneaux c) et d) de la Figure 5.1. Nous utilisons pour cela les valeurs récapitulées en Table 1 de la section 5.6, telles que $\Omega_c/\Omega_{Eq} > 1$ et $a_2, a_4 > 0$.

Une attention fine à la Figure 5.1 nous montre que la vitesse de rotation est constante à une latitude donnée pour la grande majorité de la zone convective, à l'exception de sa base. En effet, nous avons volontairement choisi un profil pour lequel seul un cisaillement latitudinal $\partial_\theta\Omega$ est prescrit dans la zone convective, hormis au niveau de la tachocline où un fort cisaillement radial $\partial_r\Omega$ est aussi présent. Notez ici que nous ne prenons pas en compte le cisaillement radial proche de la surface observé sur le Soleil (NSSL). En effet, nous ne savons actuellement pas si un profil anti-solaire développerait une couche de ce type, c'est pourquoi nous choisissons ici de l'omettre (voir Karak & Cameron 2016 pour son impact dans un modèle de champ moyen solaire). Cela nous permet ainsi de reproduire les tendances de cisaillement globales déduites par héliosismologie, tout en gardant un modèle simple 3 qui nous permettra d'interpréter clairement le rôle de chaque tendance.

De plus, il est important de noter que nous avons construit les deux profils, solaire et anti-solaire, avec des amplitudes de cisaillement identiques. La conservation de $|\Omega_{Eq} - \Omega_c|$ permet de conserver le cisaillement radial à la tachocline, et les amplitudes absolues de $a2/\Omega_{Eq}$ et $a4/\Omega_{Eq}$ contrôlent le cisaillement latitudinal. On conserve ainsi les amplitudes de cisaillement absolues $|\nabla\Omega(r, \theta)|$ dont dépend le dernier terme de l'équation (5.23), à savoir l'effet-$\Omega$. Cela nous permet d'étudier dans cette étude l'impact géométrique de l'inversion du profil de

<footnote n="3">3. Nous dirigeons le lecteur intéressé vers Karak & Cameron (2016) pour un exemple de prescription plus fine.</footnote>
rotation, tout en s'abstreignant pour l'instant d'effets subtils en amplitude de l'effet-Ω. Ainsi, l'amplitude de cet effet sera alors contrôlée via le paramètre $C_Ω = Ω_{Eq}R_⊙^2/η_t$, et le changement des coefficients $a_2, a_4$ et $Ω_c$ pour la transition entre les deux profils sera équivalent à une inversion du signe de $C_Ω$ (voir équation (5.23)). Des illustrations quantitatives des composantes de $∇Ω$ sont proposées en Figures 1 et 2 de la Section 5.6. Dans le cadre d'un modèle solaire, on note que $C_Ω = 1.4 × 10^5$.

### 5.3.2 Impact de la rotation anti-solaire sur une dynamo αΩ

Après avoir présenté les ingrédients communs aux différents modèles dynamos de cette étude, nous allons nous intéresser ici au premier d'entre eux : la dynamo αΩ. Nous commençons donc par présenter le terme α choisi, avant d'illustrer le modèle solaire de référence qui en résulte. Enfin nous nous intéresserons à l'impact d'un profil de rotation anti-solaire sur ce dernier. Une description détaillée de ces deux modèles étant déjà présente dans l'article attaché en Section 5.6, nous proposons ici de passer en revu une description globale de ces modèles.

#### 5.3.2.1 Prescription du profil α pour différents choix de rotation interne

Pour nos dynamos αΩ, nous n'utilisons donc pas de terme source S, ni de champ de vitesse poloidal $v_p$. À la place, nous utilisons un profil d'effet-α inspirée de Bushby (2006), qui est connu pour bien reproduire la morphologie magnétique du cycle solaire. Cet effet paramétrise les mouvements cycloniques créés par la force de Coriolis sur la turbulence convective, ce qui rend le profil antisymétrique par rapport à l'équateur. Ainsi le profil normalisé choisi s'exprime comme

$$ \alpha(r, \theta, t) = \frac{3\sqrt{3}}{8} \left[ 1 + \operatorname{erf}\left(\frac{r-r_1}{0.01}\right) \right] \left[ 1 - \operatorname{erf}\left(\frac{r-r_2}{0.01}\right) \right] \\ \times \left[ 1 + \left( \frac{B_{\phi}(r, \theta, t)}{B_{\text{sat}}} \right)^2 \right]^{-1} \cos \theta \sin^4 \theta, \quad (5.27) $$

et est illustré en Figure 3 de la section 5.6. On note que sa localisation est contrôlable par l'intermédiaire des deux rayons $r_1$ et $r_2$. Il est important de rappeler ici que nous sommes dans un régime cinématique, et donc qu'il n'y a pas de rétro-action du champ magnétique sur la vitesse. Ainsi, un terme d'amortissement dépendant du champ magnétique est introduit pour empêcher l'énergie magnétique de croître à l'infini, et son paramètre $B_{\text{sat}}$ est arbitrairement fixé à $10^4$ pour les modèles de cette étude. Ce terme est appelé α-quenching, et représente la rétro-action de la force de Lorentz sur les écoulements à petite échelle. Enfin, l'amplitude de ce profil sera contrôlée par l'intermédiaire de $C_α = α_0 R_⊙/η_t$.

Les effets de la localisation du terme α seront discutés plus spécifiquement à la section 5.4, et nous commençons ici par suivre Bushby (2006) pour nos modèles de référence. Cela implique $r_1 = 0.67$ et $r_2 = 0.73$ et place l'effet α sur la tachocline.<fnref n="4" /> Il est important de noter qu'une telle localisation implique une valeur négative de α dans l'hémisphère Nord, et donc une valeur négative de $C_α$. Pour comprendre cela, on commence par développer le terme α tel que

$$ \alpha \sim -\frac{\tau_c}{3} \langle \mathbf{u}' \cdot \nabla \times \mathbf{u}' \rangle . \quad (5.28) $$

En régime cinématique, ce terme peut en effet être exprimé en fonction de l'hélicité cinétique moyenne $\langle \mathbf{u}' \cdot \nabla \times \mathbf{u}' \rangle$ et du temps de retournement convectif $τ_c$ (Brandenburg & Subramanian, 2005). Une composante magnétique proposée par Pouquet et al. (1976) peut intervenir dans cette expression. Néanmoins, nous choisissons de la négliger ici en première approximation puisque les simulations de Warnecke et al. (2018) et

<footnote n="4">4. Une discussion des différentes instabilités étant à l'origine physique de cette localisation sont discutées en Section 4.5 de Charbonneau (2020)</footnote>
celles présentées au Chapitre 2 ne montre pas de contribution significative pour cette dernière. On sait que la force de Coriolis applique un mouvement de rotation aux flots convectifs descendants, puisque ces derniers se contractent<fnref n="5" /> en raison de l'augmentation en densité de leur environnement. La vorticité en sens horaire ainsi induite dans l'hémisphère Nord y implique une hélicité cinétique négative, et donc un effet $\alpha$ positif dans la partie Nord de la zone convective. Cependant, ces flots convectifs descendants sont finalement stoppés par l'intérieur radiatif en arrivant à la base de la zone convective, et viennent donc s'étaler horizontalement dans la zone d'overshoot (voir le panneau droit de la Figure 5.2). Ce mouvement de divergence implique alors une inversion du sens de la force de Coriolis, ce qui produit une inversion de l'hélicité cinétique et donc du signe l'effet-$\alpha$. Pour illustrer cela, des profils d'hélicité cinétique moyennée dans l'hémisphère Nord sont extraits de simulations numériques et proposés sur le panneau gauche de la Figure 5.2. Cela nous indique de plus que le signe et la tendance de ces profils ne changent pas avec une transition vers un profil de rotation anti-solaire (M09S). On peut aussi noter que les temps de retournement convectif dans la Table 2 de la Section 2.7 restent du même ordre de grandeur entre les modèles en rotation de type solaire et ceux en rotation anti-solaire. Ainsi, on gardera la même valeur de $C_\alpha$ pour le modèle solaire de référence et celui avec un profil de rotation anti-solaire.

<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>FIGURE 5.2 – Gauche : Profils radiaux d'hélicité cinétique moyennés sur l'hémisphère Nord, pour les modèles magnétiques à 0.9 M⊙ du chapitre 2. M09R1 et M09R3 sont en régime de rotation différentielle solaire, tandis que M09Sm possède un profil anti-solaire. Crédits : Brun et al. (2022). Droite : Schéma caractéristique d'une plume convective descendante à moyenne latitude. Les traits pleins et les flèches illustrent la trajectoire globale ainsi que le sens du mouvement hélicoïdale de la matière. Une ligne en pointillées indique l'axe radial en référence. Crédits : Miesch et al. (2000).</figcaption></figure>

### 5.3.2.2 Modèle de référence solaire

Une fois les ingrédients physiques nécessaires prescrits, nous pouvons maintenant présenter le modèle $\alpha\Omega$ en rotation différentielle de type solaire, c'est à dire avec un équateur rapide et des pôles lents. Ce modèle a été construit en considérant un taux de rotation à l'équateur $\Omega_{Eq}/2\pi = 456$ nHz, ce qui nous donne $C_\Omega = 1.4 \times 10^5$. On rappelle aussi que nous n'avons pas considéré de circulation méridienne pour ce modèle ($v_p = 0$). Cela nous a ensuite amené à considérer $C_\alpha = -15$ pour obtenir une période de cycle magnétique du même ordre de grandeur que le cycle solaire, dont nous illustrons des diagrammes papillons sur les panneaux de gauche de la Figure 5.3.

<footnote n="5">5. Moyennant un effet d'entrainement turbulent (Rieutord & Zahn, 1995).</footnote>
<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>FIGURE 5.3 – Gauche : Diagrammes papillon du modèle αΩ solaire avec $C_α = -15$ et $D = -2.1 \times 10^6$. Le panneau du haut et du bas représentent respectivement l'évolution temporelle de $B_φ$ à $r = 0.7$ et de $B_r$ à la surface. Droite : Coupe méridienne des composantes magnétiques représentée entre 0.6 et 1 $R_⊙$. Les couleurs son représentées sur une échelle logarithmique pour mieux faire apparaître la morphologie de $B_φ/B_{sat}$. Les traits pleins noirs sont des iso-contours positifs de la quantité $A_φ$, tandis que les traits en pointillés en sont les iso-contours négatifs. Ils représentent directement les lignes de champ poloidales, orientées respectivement dans le sens horaire et anti-horaire. Les lignes de champ représentées au-dessus de la surface $r = 1 R_⊙$ sont déduites par une extrapolation potentielle (voir Annexe C). Nous rappelons que dans le cadre de cette étude, 22 ans correspondent à 0.014 $t_η$. Adapté de Noraz et al. (2022a).</figcaption></figure>

Le panneau du haut nous permet tout d'abord d'observer la génération du champ magnétique toroïdal en fond de zone convective. Cette génération est caractérisée par un cycle magnétique de 32 ans (alternance rouge/bleu), dont chaque période se décompose en deux cycles d'activité de 16 ans (soit rouge, soit bleu). Durant ces cycles, on observe une migration des branches équatoriales en direction de l'équateur, ainsi qu'une migration des branches polaires en direction des pôles. Ces solutions ondulatoires et propagatives sont en fait un résultat bien connu de la dynamo αΩ en champ moyen, tout d'abord décrit en géométrie cartésienne par Parker (1955), puis en géométrie sphérique par Yoshimura (1975). La migration dans le temps de ces motifs peut alors être décrite par la loi de Parker-Yoshimura, dont le sens de propagation est donné par l'équation

$$ s = \varpi\alpha\nabla\Omega \times \hat{e}_{\phi} \text{ et donc } \left\{ \begin{array}{l} s_r = \varpi\alpha(\partial_{\theta}\Omega)/r \\ s_{\theta} = -\varpi\alpha\partial_r\Omega \end{array} \right\}, \qquad (5.29) $$

exprimant le vecteur d'onde $s$ dans le plan toroïdal. On comprend alors qu'une propagation latitudinale ($s_θ \neq 0$) est seulement possible dans les régions où un cisaillement radial $\partial_r\Omega$ est présent, ce qui est le cas ici au niveau de la tachocline. Pour un profil de rotation solaire, la région équatoriale de la tachocline possède un cisaillement radial positif, et le profil $\alpha$ prescrit ici possède un signe négatif dans l'hémisphère Nord et un signe positif dans l'hémisphère Sud. Cela résulte donc en une propagation selon $\hat{e}_θ$ respectivement positive, puis négative, et donc une convergence des branches équatoriales vers l'équateur. Une analyse similaire nous permet de comprendre la direction de propagation des branches polaires en direction des pôles. On note aussi que les branches d'un même hémisphère sont créées en phase à la latitude de co-rotation, et possèdent la même polarité magnétique. Ces polarités sont anti-symétriques par rapport à l'équateur, ce qui amène l'émergence d'une topologie majoritairement dipolaire dans tout le domaine. On observe de plus que les branches équatoriales des deux hémisphères restent en phase temporellement bien qu'elles ne partagent pas la même origine. Cela est dû
à la similarité de leur vitesse de propagation respective, par anti-symétrie de l'effet-$\alpha$ et symétrie de l'effet-$\Omega$ dans le plan méridien (Gubbins & Zhang, 1993; DeRosa et al., 2012). Il en résulte que les composantes anti-symétriques de la topologie magnétique restent supérieures aux composantes symétriques tout au long de la simulation. Cela crée une solution à la topologie majoritairement dipolaire, dont le caractère anti-symétrique par rapport à l'équateur reste stable dans le temps.

Le champ poloïdal est ensuite créé par l'effet-$\alpha$ à la base de la zone convective, à partir du champ toroïdal précédemment décrit. Les branches de ce champ toroïdale d'un même hémisphère étant de même polarité, elles donnent naissance à une boucle poloïdale au centre de chacun de ces hémisphères, qui se propage alors par diffusion jusqu'à la surface 6. Nous représentons ces boucles sur le panneau droit de la Figure 5.3 7. En se concentrant ensuite sur la composante $B_r$ de surface illustrée sur le panneau en bas à droite de cette même figure, on voit de nouveau le cycle magnétique apparaître en surface, ainsi que des propagations similaires pour les branches polaires et équatoriales. On note finalement que les polarités respectives de deux branches en phase dans un même hémisphère sont maintenant opposées. La propagation des branches polaires inverse tous les 16 ans la polarité du dipôle global, et donne naissance à un cycle magnétique de 32 ans. Nous n'avons pas calibré ici la période solaire à la valeur exacte $P_{cyc} = 22$ ans, afin de conserver un nombre dynamo similaire entre les modèles de références, et après avoir vérifié que cela n'impacte pas nos résultats. Un tel affinage est cependant disponible en Figure A.1. de la Section 5.6, où nous ajustons la valeur par une modification de $C_Ω$.

### 5.3.2.3 Application du profil de rotation anti-solaire et émergence du mode quadripolaire

Maintenant que nos ingrédients physiques sont calibrés pour reproduire ce que nous savons actuellement des dynamos semblables au Soleil, nous prenons notre profil de rotation anti-solaire illustré en Figure 5.1 et l'appliquons au modèle de référence solaire que nous venons de présenter. Comme expliqué en Section 5.3.2.1, nous gardons ici la même valeur de $C_α = -15$ sans changer son signe. En effet, de récentes simulations 3D non linéaires confirment que le comportement de l'hélicité est globalement identique pour les profils de rotation solaire et anti-solaire (Dubé & Charbonneau 2013, Brun et al. 2022). L'effet-$\alpha$ paramétrise en effet l'influence de la rotation globale $\Omega_*$, et non pas du signe de son cisaillement $\nabla\Omega$. Cela nous donne donc finalement le modèle illustré en Figure 5.4.

Tout d'abord, le panneau du haut nous montre une convergence globale des branches toroïdales $B_φ$ de chaque hémisphère vers la latitude de co-rotation en fond de zone convective. Ce phénomène était attendu puisque nous avons conservé le signe de $\alpha$ tout en ayant inversé le signe des cisaillements $\nabla\Omega$ lors du passage à un profil de rotation anti-solaire. Les sens de propagation des branches polaires et équatoriales sont donc inversés, comme le montre la loi de Parker-Yoshimura en équation (5.29). Notons qu'un changement simultané des signes de la rotation différentielle et de l'effet $\alpha$ provoque une solution “miroir”, qui aurait été similaire à notre solution avec un profil de rotation solaire. 8. En conséquence de cette inversion de propagations, nous notons que les branches équatoriales partagent maintenant la même origine à l'équateur et ont donc la même polarité magnétique de part et d'autrede celui-ci. Cela donne naissance à une composante quadripolaire non négligeable à la base de la zone convective. En parallèle, on note que les branches polaires ne sont maitenant plus en phase avec les branches équatoriales du même hémisphère car elles ne partagent plus la même origine de propagation (contrairement au cas de la DR solaire). De plus, leur vitesse de propagation respective ne sont pas similaires, ce qui donne naissance à une topologie plus complexe que dans le cas solaire, comme nous pouvons aussi le voir sur le panneau du bas de la Figure 5.4.

Ce panneau illustre le diagramme papillon de la composante $B_r$ à la surface de la simulation où nous pouvons de nouveau constater une activité magnétique cyclique. Cette activité semble résulter d'une alternance

<footnote n="6">6. En effet, il ne s'agit pas ici d'une migration suivant la loi de l'équation (5.29) puisque $\alpha$ est seulement concentré au niveau de la tachocline, et nul dans le reste de la zone convective.</footnote>

<footnote n="7">7. Cette Figure est aussi proposé à différents instants sur la Figure B.1. de la Section 5.6</footnote>

<footnote n="8">8. Ceci a bien été vérifié sur des modèles qui ne sont pas présentés ici, et un exemple sera donné en Section 5.4.</footnote>
<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>FIGURE 5.4 – Figure similaire à la Figure 5.3, pour le modèle dynamo $\alpha\Omega$ en rotation anti-solaire, où $C_\alpha = -15$ et $D = 2.1 \times 10^6$. Nous rappelons que dans le cadre de cette étude, 22 ans correspondent à 0.014 $t_\eta$. Adapté de Noraz et al. (2022a).</figcaption></figure>

complexe entre une topologie majoritairement dipolaire et une topologie majoritairement quadripolaire. Une décomposition spectrale en latitude (disponible en Figure 7 de la Section 5.6) nous confirme en effet que les composantes symétriques de la topologie sont maintenant d'une amplitude similaire aux composantes anti-symétriques. En parallèle, une décomposition spectrale, cette fois-ci temporelle, nous indique que la période du cycle à diminuer environ de moitié en comparaison au cas solaire et est maintenant de $P_{cyc} = 18$ ans. On constate que cette diminution par quasi-moitié de la période du cycle reste valable pour différentes valeurs absolues du nombre dynamo $D$ lors du passage en rotation anti-solaire (voir Table 2 de la Section 5.6). Nous pensons que cela est dû à l'influence croissante du mode symétrique $l = 2$ qui modifie la géométrie, et donc fréquence, du cycle par rapport au mode $l = 1$ (Stix, 2002). Nous ne notons cependant pas de chute drastique de la composante dipolaire en comparaison avec le modèle de référence solaire.

Cette solution nous permet aussi de confirmer que des cycles magnétiques sont possibles dans une dynamo $\alpha\Omega$ avec des ingrédients relativement simples, pour un régime de rotation différentielle anti-solaire. Ainsi après avoir illustré l'impact d'un profil de rotation anti-solaire sur une dynamo $\alpha\Omega$ solaire de référence, nous allons maintenant nous intéresser à son impact sur une autre modélisation possible de la dynamo solaire : le mécanisme Babcock-Leighton.

### 5.3.3 Impact de la rotation anti-solaire sur une dynamo Babcock-Leighton

Dans cette section, nous allons maintenant nous intéresser aux solutions dynamo de type Babcock-Leighton. Il s'agit d'un modèle dynamo en champ moyen similaire à la dynamo $\alpha\Omega$, pour lequel le terme d'effet-$\alpha$ est remplacé par un terme source $S$, et est accompagné d'une circulation méridienne $v_p$. De manière similaire à la section précédente, nous commencerons donc par présenter la prescription du terme source $S$ ainsi que le profil de circulation méridienne utilisés. Par la suite, nous présenterons le modèle solaire de référence en résultant, puis nous lui appliquerons un profil de rotation anti-solaire afin d'étudier l'impact de ce dernier sur la dynamo. De nouveau, nous proposons ici une description globale de ces modèles et redirigeons le lecteur vers la Section 5.6 pour une analyse plus fine.
### 5.3.3.1 Prescription du terme source et du transport méridien

Dans les modèles de dynamo de Babcock-Leighton, le champ poloïdal est généré par l'inclinaison par rapport à la direction Est-Ouest des tubes de flux émergeants à la surface solaire. On peut donc modéliser cet effet par un terme source confiné radialement et proche de la surface. Ces boucles magnétiques sont a priori majoritairement formées en fond de zone convective par l'effet-Ω, ce qui implique que le terme source doit dépendre de $B_φ(r = r_{BCZ} = 0.7)$. De plus, l'ascension des structures à travers la zone de convection est supposée courte par rapport à l'évolution du champ magnétique à grande échelle. Nous la supposons donc instantanée et considérons cette non-localité par la formulation

$$ S(r, \theta, t) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{r - 0.95}{0.01} \right) \right] \left[ 1 - \operatorname{erf} \frac{r - 1}{0.01} \right] \cos \theta \sin \theta B_{\phi}(r_{BCZ}, \theta, t) \\ \times \left[ 1 + \left( \frac{B_{\phi}(r_{BCZ}, \theta, t)}{B_{\text{sat}}} \right)^2 \right]^{-1}, \qquad (5.30) $$

tirée de Jouve et al. (2008). De manière similaire à l'équation 5.28, un terme d'amortissement dépendant de $B_φ$ et $B_{\text{sat}}$ est utilisé afin d'empêcher l'énergie magnétique de croître à l'infini. L'amplitude $s_0$ du terme source $S$ sera contrôlé par l'intermédiaire du paramètre $C_s$. Suivant un raisonnement similaire, nous décidons de conserver le signe et l'amplitude de ce paramètre lors du passage au régime de rotation différentielle anti-solaire. En effet, on suppose que le sens de rotation des structures émergentes est dominée par la force de Coriolis, et non par le signe du cisaillement $\nabla\Omega$. Différents ingrédients physiques peuvent ensuite être choisis pour relier dynamiquement les deux sources du champ magnétique (l'effet-Ω et le terme source $S$, voir Section 1.1.6). Nous choisissons ici de considérer un transport advectif par un champ de vitesse à grande échelle : la circulation méridienne (MC) (Jouve & Brun, 2007a).

Actuellement, de multiples choix de profils peuvent être faits pour prescrire cette circulation. En effet l'amplitude de la MC solaire est relativement faible, rendant son inversion par héliosismologie difficile. Certains observateurs détectent plusieurs cellules par hémisphère, d'autres n'en détectent qu'une seule (voir Section 1.2.2.2). De plus, les simulations du Chapitre 2 tendent à prédire de multiples cellules par hémisphères pour les profils de rotation solaires, contre une seule pour le régime anti-solaire. Pour conserver notre objectif de simplicité, nous choisissons un profil de MC unicellulaire dans chaque hémisphère. Cela a pour avantage supplémentaire de considérer les prédictions numériques observées pour le cas anti-solaire, pour lequel nous n'avons aucune contrainte observationnelle.

Pour prescrire ce profil de circulation, nous nous inspirons de nouveau de Jouve et al. (2008) où la circulation méridienne est préscrite sous la forme d'une grande et unique cellule par hémisphère. Le transport est dirigé vers le pôle à la surface et vers l'équateur dans les profondeurs de la zone convective. Ce profil poloïdal de vitesse $v_p$ peut être décrit par une fonction de courant $\psi$, définie telle que

$$ \psi(r, \theta) = - \frac{2 (r - r_o)^2}{\pi (1 - r_o)} \sin \left( \pi \frac{r - r_o}{1 - r_o} \right) \cos \theta \sin \theta, \qquad (5.31) $$

et où $v_p = \nabla \times (\psi \hat{e}_\phi)$. Les composantes poloïdales de ce champ de vitesses sont alors

$$ u_r = - \frac{2(1 - r_b) (r - r_b)^2}{\pi r (1 - r_b)^2} \sin \left( \pi \frac{r - r_b}{1 - r_b} \right) (3 \cos^2 \theta - 1) \quad \text{et} \qquad (5.32) $$

$$ u_{\theta} = \left[ \frac{3r - r_b}{1 - r_b} \sin \left( \pi \frac{r - r_b}{1 - r_b} \right) + \frac{r\pi}{1 - r_b} \frac{(r - r_b)}{(1 - r_b)} \cos \left( \pi \frac{r - r_b}{1 - r_b} \right) \right] \\ \times \frac{2(1 - r_b)}{\pi r} \frac{(r - r_b)}{(1 - r_b)} \cos \theta \sin \theta. \qquad (5.33) $$
Ce profil de vitesse pénètre un peu en dessous de la tachocline, pour s'annuler totalement à la limite inférieure $r = 0.6$ du domaine simulé. Il est prescrit pour les deux modèles en régimes de rotation solaire et anti-solaire.

### 5.3.3.2 Modèle de référence solaire

Présentons tout d'abord le modèle Babcock-Leighton de référence dans lequel nous imposons le profil de rotation différentielle solaire (voir Figure 5.1). Tout d'abord, nous appliquons la même amplitude $C_Ω = 1.4 \times 10^5$ que celle utilisée dans le modèle de référence $αΩ$ de la Section 5.3.2.2. Les amplitudes du terme source et de la circulation méridienne ont ensuite été choisies telles que $C_s = 30$ et $R_m = 500$ afin de reproduire une période de cycle magnétique comparable à celle du Soleil, comme le montre la Figure 5.5.

<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>FIGURE 5.5 – Figure similaire aux Figures 5.3 et 5.4, pour le modèle dynamo Babcock-Leighton en rotation solaire, où $C_s = 30$, $R_m = 500$ et $D = 4.2 \times 10^6$. Comme le diagramme papillon de la composante magnétique radiale de surface est significativement contrasté, nous choisissons ici d'utiliser une échelle de couleurs logarithmique pour l'illustrer. Nous rappelons que dans le cadre de cette étude, 22 ans correspondent à $0.014 t_η$. Adapté de Noraz et al. (2022a).</figcaption></figure>

On voit en effet sur les diagrammes papillon en panneaux de gauche que cette solution dynamo reproduit bien plusieurs aspects du cycle solaire, notamment sa période de 22 ans. Cette dernière dépend en effet sensiblement de l'amplitude de la circulation méridienne $v_0$ pour ce modèle à transport de flux (Jouve & Brun, 2007a) et a pu été obtenue pour $v_0 = 7.2 \text{ m.s}^{-1}$, tout en conservant $Ω_{Eq}/2π = 456 \text{ nHz}$, $η_t = 10^{11} \text{cm}^2 \text{s}^{-1}$ et un nombre dynamo d'amplitude similaire aux autres modèles de référence. C'est ainsi qu'a été choisie la valeur de la diffusion turbulente dans cette étude en champ moyen.

En s'intéressant plus particulièrement à l'évolution temporelle des diagrammes papillon, nous voyons sur le panneau du bas une topologie globale dipolaire pour la composante magnétique $B_r$ de surface. Deux branches sont visibles dans chaque hémisphère, avec une migration vers l'équateur pour la branche équatoriale, ainsi qu'une migration vers le pôle pour la branche polaire. La même topologie est présente sur le panneau supérieur pour le champ toroïdal $B_φ$ en fond de zone convective. Comme pour la dynamo solaire $αΩ$, nous notons à nouveau deux branches dans chaque hémisphère, possédant la même polarité magnétique et s'éloignant l'une de l'autre en direction de l'équateur et du pôle. Ce cas de référence reproduit donc bien, lui aussi, les grandes tendances du champ magnétique solaire. Dans ce cas-ci, nous notons de plus un déphasage de $π/2$ entre le
<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>FIGURE 5.6 – Figure similaire à la Figure 5.5, pour le modèle dynamo Babcock-Leighton en rotation anti-solaire, où $C_s = 30$, $R_m = 500$ et $D = -4.2 \times 10^6$. Pour cette Figure, nous choisissons d'utiliser une échelle de couleurs logarithmique pour illustrer tous les panneaux. Nous notons l'état invariable des polarités. Adapté de Noraz et al. (2022a).</figcaption></figure>

champ toroïdal en profondeur et le champ poloïdal de surface. La ligne noire verticale sur les diagrammes papillon de la figure 5.5 montre en effet que la polarité de la branche polaire en surface passe de négatif à positif lorsqu'une valeur positive maximale est atteinte dans la branche équatoriale du champ toroïdale à la base de la zone convective. Ce déphasage est aussi généralement observé à la surface du Soleil, et mis en évidence par la simultanéité du renversement de la topologie du dipôle global, avec un maximum d'activité dans la branche équatoriale du diagramme papillon (voir Figure 1.25).

On peut aussi noter d'autres particularités pour ce mécanisme dynamo, comme des branches équatoriales plus étendues que les branches polaires à la base de la zone convective. Cet étirement des branches équatoriales est provoqué par la circulation méridienne, qui y advecte le champ toroïdal vers l'équateur. La signature de la MC est également visible sur le panneau du bas avec $B_r$ à la surface, où l'advection se fait maintenant vers les pôles, et y accumule significativement le champ magnétique. On confirme alors que l'advection du champ magnétique domine sa diffusion dans ce modèle ($R_m = 500$), puisque cette dernière est trop faible pour éviter une telle accumulation. Lorsque de meilleurs accords avec les observations solaires sont nécessaires, cette accumulation aux pôles peut être évité en renforçant la diffusion près de la surface (Dikpati et al., 2002). Néanmoins, nous ne considérerons pas ici un tel raffinement pour des raisons de simplicité, étant donné que cela ne semble pas primordiale à notre étude. Maintenant que le modèle de référence Babcock-Leighton solaire est construit, nous allons justement appliquer un tel profil de rotation anti-solaire pour étudier son impact sur ce type de dynamo.

### 5.3.3.3 Application du profil de rotation anti-solaire et disparition du cycle magnétique

Maintenant que nous avons un modèle référence de dynamo Babcock-Leighton solaire, nous lui appliquons le profil de rotation différentielle anti-solaire illustré en Figure 5.1, tout en conservant la même prescription pour $S$ et $v_p$. Nous illustrons ensuite ce modèle dynamo sur la Figure 5.6.

Tout d'abord, bien qu'un processus dynamo soit toujours présent (le champ magnétique est maintenu contre sa dissipation ohmique), la solution devient invariable dans le temps avec l'application du profil anti-solaire. La
dynamo est alors dite stationnaire, et ne présente aucun cycle magnétique. Cette solution est donc fortement
contrastée avec celle obtenue pour la dynamo αΩ anti-solaire. Nous proposons donc d'étudier plus finement
ces mécanismes dynamo dans la section suivante afin de mieux comprendre les raisons physiques de cette perte
d'activité cyclique.

5.4 Phénoménologie des dynamos anti-solaires en champ moyen

Rappelons tout d'abord que Dubé & Charbonneau (2013) avaient trouvé une possibilité de solution dynamo
αΩ cyclique en régime de rotation anti-solaire. Pour cela, il ont utilisé l'hélicité cinétique de simulations 3D
non-linéraire globales afin de prescrire un effet α, qui était donc largement distribué dans la zone convective
et sur la tachocline. Par la suite, Karak et al. (2020) ont indiqué ne pas trouver de solutions cycliques pour
des dynamos αΩ en rotation anti-solaires si ils se concentrent au sein de la zone convective. Ils obtiennent
des cycles uniquement avec un modèle α²Ω comprenant une rétroaction sur le gradient de rotation ∇Ω. Nous
complétons donc leur étude en montrant qu'une solution cyclique est possible en rotation anti-solaire, pour une
dynamo αΩ dont le profil α est localisé à la tachocline. Néanmoins, la solution de la dynamo Babcock-Leighton
en régime anti-solaire est stationnaire, malgré un profil prescrit pour le terme source relativement simple. Il
apparaît donc que la localisation de la génération du champ poloïdal joue un rôle crucial dans l'établissement
ou non d'un cycle magnétique pour les solutions dynamo en régime anti-solaire. Nous nous focaliserons donc ici
sur l'impact de la localisation du terme pour la génération du champ poloïdal et illustrerons la phénoménologie
le décrivant. Notons que l'influence d'autres paramètres a cependant été étudiée mais ne sera pas analysé ici
(nous dirigeons le lecteur intéressé vers l'article attaché en Section 5.6 pour cela). Lorsque nous parlerons du
signe mathématique de l'effet-α, nous nous placerons implicitement dans l'hémisphère Nord tout au long de
cette section.

5.4.1 Impact de la localisation de l'effet-α sur l'apparition de cycles magnétiques

Afin de faire une exploration paramétrique sur l'impact de la localisation du terme de génération toroïdale,
nous considérons un modèle de dynamo αΩ semblable à ceux utilisés en Section 5.3.2, et dans lequel nous
changeons la localisation de l'effet-α. Pour cela, nous modifions r₁ et r₂ dans l'équation (5.28), et inversons
le signe de Cα lorsque le terme est significativement situé dans la zone convective. En effet, nous avons vu à
l'équation (5.28) que α est proportionnel à l'hélicité cinétique, et que cette dernière change de signe près de
la base de la zone convective (voir Section 5.3.2.1). La position exacte de ce changement de signe est sujette
à discussion et dépend fortement des conditions d'overshoot (voir panneau gauche de la Figure 5.2), c'est
pourquoi nous décidons arbitrairement de considérer ce changement de signe lorsque r₂ atteint r = 0.69 pour
cette étude. Ainsi, nous considérons différentes localisations de l'effet α, qui sont résumées en Table 5.1. Nous
y précisons si la dynamo est stationnaire (×) ou cyclique, et indiquons la période de ce cycle en année dans
ce cas. Nous proposons ici une interprétation globale des différentes tendances sans nous étendre sur l'analyse
d'un modèle particulier, et dirigeons le lecteur intéressé en Section 5.6 pour une analyse détaillé de certains de
ces modèles.

Premièrement, il est important de noter que ce tableau contient un bon exemple de ce qu'on appelle une
solution “miroir”, évoquée en pied de page de la Section 5.3.2.3. Si on considère le cas pour lequel α est localisé
entre r₁ = 0.69 et r₂ = 0.75, on voit que changer le signe de Cα revient à inverser les deux colonnes ⊙ et anti-
⊙. Cette similitude de période n'est en effet pas une simple coïncidence, et nous retrouvons bien les mêmes
solutions dynamos en inversant simultanément l'effet-α et l'effet-Ω, par symétrie mathématique des équations
(5.22) et (5.23). Une fois ceci précisé, on note que différentes tendances se dégagent de cette exploration, en
ce qui concerne le caractère cyclique des solutions dynamo. Tout d'abord, on voit que les dynamos en rotation
<table><caption>TABLE 5.1 – Tableau récapitulatif des différentes localisations d'effet-α explorées. La valeur absolue du nombre dynamo $|D|$ est fixée à $2.1 \times 10^6$ et les périodes de cycles sont exprimées en années (tout en considérant ici un temps diffusif $t_η = 1536$ ans). Les périodes présentées sont extraites par analyse de Fourier temporelle sur les composantes de surface du champ magnétique. Dans certains cas, une seconde période de cycle est présente et est alors indiquée entre parenthèses. Les modèles de référence présentés en Section 5.3.2 sont indiqués en gras. Adapté de Noraz et al. (2022a).</caption><thead><tr><th></th><th>C<sub>α</sub></th><th>r<sub>1</sub> - r<sub>2</sub></th><th>☉</th><th>anti-☉</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="7">D > 0</td><td>15</td><td>0.9 - 1</td><td>7.3</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.8 - 1</td><td>25.1</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.7 - 1</td><td>32.4</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.8 - 0.9</td><td>15.5</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.7 - 0.9</td><td>26.8 (18.9)</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.7 - 0.8</td><td>64.9 (9.7)</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.7 - 0.76</td><td>27.0 (9.0)</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.69 - 0.75</td><td>71.5 (10.3)</td><td>×</td></tr><tr><td rowspan="3">D < 0</td><td>-15</td><td>0.69 - 0.75</td><td>×</td><td>71.5 (10.3)</td></tr><tr><td>-15</td><td>0.68 - 0.74</td><td>15.8</td><td>9.0</td></tr><tr><td><b>-15</b></td><td><b>0.67 - 0.73</b></td><td><b>31.8</b></td><td><b>17.7</b></td></tr></tbody></table>

anti-solaire deviennent stationnaires dès que l'effet-alpha change de signe. La perte du caractère cyclique de ces solutions apparaît donc là où nous avons décidé de simuler manuellement un changement de signe de l'hélicité cinétique (voir Figure 5.2). En ce qui concerne les modèles dynamos en rotation différentielle solaire, on voit que le cycle est conservé dans la quasi-totalité des cas, sauf pour un cas particulier. On voit qu'en remontant légèrement le profil de l'effet-α à partir de la tachocline, vers la zone de convection, tout en conservant le signe de cet effet $C_α = -15$, la dynamo devient stationnaire une fois que le terme ne recouvre plus assez la tachocline. On retrouve alors une activité cyclique lorsque le signe de l'effet-α est changé pour simuler l'inversion en hélicité cinétique. Afin de mieux comprendre les mécanismes en jeu ici, nous proposons d'illustrer ces différentes tendances avec la Figure 5.7.

## 5.4.2 Illustration géométrique des dynamos en rotation anti-solaire

Cette Figure 5.7 regroupe différentes illustrations géométriques que nous avons introduire et détailler en Section 1.1.6. Nous proposons donc ici une lecture parallèle de cette Figure avec la Table 5.1, afin de comprendre géométriquement les grandes tendances de cette Table. La colonne ☉ (respect. anti-☉) correspond donc à une prescription de l'effet-Ω tel qu'illustrée sur la partie en bas (respect. en haut) à gauche de la Figure 5.7. On voit ainsi qu'à partir d'une même polarité pour le dipôle global initial, la polarité du champ toroïdal, créé par cisaillement latitudinal $\partial_θΩ$, dépendra du sens de ce dernier. On rappelle que la régénération du champ poloïdale qui s'en suivra dans les modèles de la Table 5.1 se fera par l'intermédiaire d'un effet-α. Les 3 lignes médianes de la partie droite sont des illustrations possibles, et correspondant à 3 chemins phénoménologiques dénotés a., b. et c. .

Premièrement, le chemin a. illustre clairement pourquoi les modèles en rotation anti-solaire ($C_Ω < 0$) pour lesquels le profil $α$ est localisé dans la zone de convection ($C_α > 0$ et donc $D < 0$) ont des solutions dynamo stationnaires. En effet, on voit que le champ poloïdal nouvellement formé par l'effet $α$ (de la 4e à la 7e colonne) est de même polarité que le champ poloïdal initial et cisaillé par effet-Ω (1ère colonne). Ainsi la polarité du dipôle initial est renforcée, ce qui est défavorable à son renversement, et donc à la présence de cycles magnétiques. La saturation arrive alors lorsque le champ magnétique rétro-agit sur les écoulements par l'intermédiaire de la force de Lorentz, ce que nous modélisons ici par un terme d'amortissement (ou quenching) sur l'effet-α.
<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>FIGURE 5.7 – Différentes étapes de l'interprétation géométrique de différents modèles dynamos en champ moyen pour diverses configurations. On considère ici une vision type $\alpha\Omega$ et mécanisme de Babcock-Leighton. En commençant avec une même configuration dipolaire initiale, la partie de gauche représente l'effet-$\Omega$, et en particulier le cisaillement latitudinal $\partial_{\theta}\Omega$ des lignes de champ magnétique par la rotation différentielle. On le représente sur les trois premières colonnes, pour un profil de rotation différentielle anti-solaire en haut et un profil de type solaire en bas (voir les flèches grises horizontales sur le disque jaune). Sur la première et dernière ligne des trois colonnes suivantes, on illustre le mécanisme Babcock-Leighton, tandis que les trois lignes centrales illustrent l'effet-$\alpha$. Pour les modèles Babcock-Leighton, nous représentons la polarité des taches stellaires (rouge et bleu), les nappes de courant (lignes en gris clair) et la circulation méridienne (flèches en gris foncé). Toujours pour l'effet-$\alpha$, la quatrième colonne illustre avec des flèches grises l'orientation des mouvements cycloniques imposés par la force de Coriolis. Enfin, la dernière colonne conclue la boucle dynamo des différentes configurations, avec la présence d'une activité cyclique lorsque la polarité finale du dipôle global est opposée à sa polarité initiale (en bas), ou résultant en une dynamo stationnaire dans le cas contraire (en haut). La mise en forme de cette figure est inspirée de Sanchez et al. (2014). Adapté de Noraz et al. (2022a).</figcaption></figure>

Toujours en gardant $\alpha$ localisé dans la zone convective ($C_\alpha > 0$), on peut ensuite s'intéresser à la rotation différentielle de type solaire ($C_\Omega > 0$ et donc $D > 0$). Dans ce cas, le chemin phénoménologique de la dynamo correspond alors à la voie c. de la Figure 5.7. En effet, bien qu'on ai gardé le même sens de vorticité imposé par la force de Coriolis en comparaison à la voie a. ($C_\alpha > 0$)<fnref n="9" />, la polarité du champ toroïdal que l'effet-$\alpha$ entortillera a maintenant changé avec le sens de la rotation différentielle (troisième colonne). Le dipôle finalement créé en sixième colonne sera donc de polarité opposée au dipôle initial de la première colonne, ce qui sera favorable à un renversement de sa polarité, et donc à la mise en place d'une activité cyclique.

Il est important de remarquer ici que cette voie phénoménologique c. est une solution miroir de la voie phénoménologique b. En effet, bien que la rotation différentielle $\partial_{\theta}\Omega$ et l'hélicité $\alpha$ imposée par Coriolis soient inversés, l'important est que les deux le soient pour retrouver une solution phénoménologiquement équivalente. Cette voie b. correspond donc aux cas en rotation anti-solaire ($C_\Omega < 0$) de la Table 5.1, pour lesquels l'effet-$\alpha$ est considéré comme négatif ($C_\alpha < 0$ et donc $D > 0$) car recouvrant la tachocline. On comprend

<footnote n="9">9. Voir les petites flèches grises en 4e colonne.</footnote>
donc que la configuration du modèle αΩ anti-solaire de référence en Section 5.3.2.3 est propice à l'apparition de cycles magnétiques, comme le serait n'importe qu'elle modèle anti-solaire avec un profil α négatif. Cette dernière affirmation tient tant qu'on ne considère que le cisaillement latitudinal ∂₀Ω comme sur la Figure 5.7. L'impact du cisaillement radial ∂ₜΩ n'est en effet pas illustré sur cette Figure et pourrait être défavorable à la mise en place d'un cycle magnétique. Sans aller jusqu'à sa destruction, on a vu en Section 5.3.2.3 que le cycle magnétique était grandement complexifié par les ondes de de Parker-Yoshimura, justement engendrées par le cisaillement radial.

En suivant un raisonnement “miroir” similaire pour les modèles solaires ($C_Ω > 0$) de la Table 5.1 avec un effet $α$ proche de la tachocline ($C_α < 0$ et donc $D < 0$), on peut comprendre que leur voie phénoménologique correspondante (non représentée sur la Figure 5.7) serait équivalente à la voie a. Ces modèles, dont le modèle solaire $αΩ$ de référence en Section 5.3.2.2, ne seraient donc pas propices à la mise en place d'une activité cyclique lorsque l'on tient seulement compte des ingrédients sources<fnref n="10" /> qui sont illustrés en Figure 5.7 ($∂₀Ω$ et $α$). On en conclu donc que le cisaillement radial $∂ₜΩ$ joue cette fois-ci un rôle favorable pour la mise en place de ces cycles. On remarque de plus que le cycle est perdu lorsque l'effet $α$ ne recouvre plus assez la tachocline, c'est-à-dire lorsque le produit $α∂ₜΩ$ n'est plus assez fort pour entretenir une migration latitudinale assez importante par la loi (5.29).

Finalement, on remarque que les cas de référence Babcock-Leighton illustrés en Section 5.3.3 pour un profil de rotation solaire et anti-solaire correspondent respectivement aux voies phénoménologiques des extrémités basse et haute de la Figure 5.7. En effet, on a vu que la rotation différentielle cisaille une composante magnétique poloïdale initiale, et la transforme en composante toroïdale. Si cette composante toroïdale est ensuite de nouveau transformée en composante poloïdale par l'intermédiaire du mécanisme de Babcock-Leighton, le sens d'inclinaison durant cette transformation, et donc la polarité magnétique nouvellement formée, dépendent de la force de Coriolis. Or cette dernière ne dépend pas du signe de la rotation différentielle $∇Ω$, mais bien du taux de rotation $Ω_*$.

Ainsi, en changeant le profil de la rotation différentielle, on change le signe de la polarité toroïdale qui sera incliné ensuite par la force de Coriolis. Ce sens d'inclinaison ne changeant quant à lui pas avec le sens des cisaillements, la polarité finale est donc différente en fonction du profil de rotation considéré. Dans un cas, on se retrouvera à annuler la polarité initiale de départ (c'est le modèle de référence solaire 5.3.3.2) et dans l'autre on se retrouvera à renforcer la polarité de départ (c'est le modèle de référence anti-solaire 5.3.3.3).

En résumé, on trouve une possibilité de cycle pour la majorité des cas en régime de rotation de type solaire, soit parce que le signe du nombre dynamo y est favorable ($D > 0$), soit par intéraction locale entre l'effet-$α$ et le cisaillement radial dans le cas contraire ($D < 0$). Dans le régime de rotation anti-solaire, nous trouvons observons seulement des possibilités de cycle lorsque l'effet-$α$ est localisé sur la tachocline, c'est-à-dire lorsque son signe rend celui du nombre dynamo favorable à sa formation. Dans le cas contraire, l'effet-$α$ est alors localisé dans la zone convective, où aucun cisaillement radial n'est présent dans nos modèles. Pour cela, Karak et al. (2020) propose d'utiliser un modèle $α²Ω$, avec rétroaction sur le cisaillement, afin de repsectivement créer une annulation de flux par une génération toroïdale supplémentaire, et de limiter le renforcement de la polarité initiale.

### 5.4.3 Caractérisation énergétique

Dans la section précédente, nous avons pu remarquer que les solutions dynamo dont le nombre dynamo $D$ est positif se révèlent plus propices à la mise en place de cycles. Cela se comprend phénoménologiquement au travers de la Figure 5.7 en terme d'annulation de flux, et donc en terme d'inversion de polarité. Ces mêmes raisonnements nous ont montré que les solutions dynamo qui, à l'inverse, ont un nombre $D$ négatif se révèlent défavorable à la mise en place d'une activité magnétique cyclique, si le l'effet-$α$ n'est alors pas localisé sur une

<footnote n="10">10. de champ magnétique</footnote>
zone de cisaillement radial. Cela se comprend à l'inverse par un renforcement de la polarité pré-existante, et donc par une addition de flux. On se demande alors si cette accumulation pourrait être caractérisée.

Afin de vérifier cela, nous proposons de calculer les énergies magnétiques respectives des modèles de la Table 5.1. Comme nous sommes en 2.5D (3D axi-symétrique), nous définissons ces énergies telles que

$$ \text{TME} = \frac{1}{2} \int_S B_{\phi}^2 r^2 \sin \theta dr d\theta \qquad (5.34) $$

$$ \text{PME} = \frac{1}{2} \int_S (B_r^2 + B_{\theta}^2) r^2 \sin \theta dr d\theta \qquad (5.35) $$

où TME et PME sont respectivement l'énergie toroïdale et poloïdale. Nous calculons ensuite les rapports TME/PME pour chacun de ces modèles, et les récapitulons en Table 5.2.

<table><caption>TABLE 5.2 – Table similaire à la Table 5.1, où est maintenant représenté le rapport TME/PME pour les différents modèles étudiés. Les énergies sont intégrées sur l'ensemble du volume de la simulation (ici le plan poloïdal). Les deux dynamos de référence αΩ décrites en Section 5.3.2 sont indiquées en caractères gras.</caption><thead><tr><th>C<sub>α</sub></th><th>r<sub>1</sub> - r<sub>2</sub></th><th>⊙ (C<sub>Ω</sub> > 0)</th><th>anti-⊙ (C<sub>Ω</sub> < 0)</th></tr></thead><tbody><tr><td>15</td><td>0.9 - 1</td><td>1.79 × 10<sup>2</sup></td><td>2.22 × 10<sup>5</sup></td></tr><tr><td>15</td><td>0.8 - 1</td><td>2.59 × 10<sup>3</sup></td><td>2.1 × 10<sup>5</sup></td></tr><tr><td>15</td><td>0.7 - 1</td><td>3.04 × 10<sup>3</sup></td><td>1.93 × 10<sup>5</sup></td></tr><tr><td>15</td><td>0.8 - 0.9</td><td>4.1 × 10<sup>2</sup></td><td>1.19 × 10<sup>3</sup></td></tr><tr><td>15</td><td>0.7 - 0.9</td><td>8.72 × 10<sup>2</sup></td><td>2.4 × 10<sup>5</sup></td></tr><tr><td>15</td><td>0.7 - 0.8</td><td>2.74 × 10<sup>2</sup></td><td>5.34 × 10<sup>4</sup></td></tr><tr><td>15</td><td>0.7 - 0.76</td><td>2.36 × 10<sup>2</sup></td><td>8.3 × 10<sup>2</sup></td></tr><tr><td>15</td><td>0.69 - 0.75</td><td>3.75 × 10<sup>2</sup></td><td>9.58 × 10<sup>2</sup></td></tr><tr><td>-15</td><td>0.69 - 0.75</td><td>9.58 × 10<sup>2</sup></td><td>3.75 × 10<sup>2</sup></td></tr><tr><td>-15</td><td>0.68 - 0.74</td><td>1.22 × 10<sup>3</sup></td><td>5.32 × 10<sup>2</sup></td></tr><tr><td><b>-15</b></td><td><b>0.67 - 0.73</b></td><td>1.43 × 10<sup>3</sup></td><td>5.49 × 10<sup>2</sup></td></tr></tbody></table>

Tout d'abord, on remarque qu'à profil de α fixé, une solution dynamo présentant un nombre $D = C_α \cdot C_Ω$ négatif possède un rapport d'énergies TME/PME supérieur à la dynamo équivalente où $D > 0$. En effet, même si le terme d'α-quenching empêche le champ magnétique de croître indéfiniment, ce dernier sera en moyenne plus faible dans les dynamos où de l'annulation de flux a lieu, en comparaison aux dynamos étant plutôt sujettes à une accumulation de flux. Cela se remarque d'autant plus en comparant les rapport atteints dans chaque cas. Pour les dynamos à annulation de flux ($D > 0$), le rapport TME/PME varie entre $1.8 \times 10^2$ et $3.04 \times 10^3$, tandis que pour les dynamos à accumulation de flux ($D < 0$), le même rapport peut varier de $8.3 \times 10^2$ à $2.4 \times 10^5$. Si TME/PME $\gg 1$ résulte directement du fait que $C_Ω \gg C_α$, de futures analyses seront nécessaires pour comprendre précisemment les tendances observées, en fonction de la localisation et du signe de D.

## 5.5 Conclusions et perspectives

Dans ce chapitre, nous avons étudié l'impact d'un profil de rotation anti-solaire sur le mécanisme dynamo de type solaire. En particulier, nous nous sommes intéressés aux mécanismes permettant de maintenir des cycles magnétiques dans un régime de rotation différentielle anti-solaire. Pour cela, nous avons choisi de comparer des dynamos en régime de rotation solaire et anti-solaire, sous différentes prescriptions physiques de la théorie du champ moyen. Nous avons considéré des modèles de dynamo αΩ ainsi que des dynamos de type Babcock-Leighton (BL) pour des étoiles de type solaire. Après avoir construit un modèle solaire de référence reproduisant les grandes tendances observées pour les deux familles de modèles, nous leur avons imposé un profil de rotation anti-solaire et avons étudié les effets de ce changement sur la dynamo établie.
À l'aide d'un modèle dynamo $\alpha\Omega$ relativement simple, nous montrons que des cycles magnétiques peuvent se produire en régime de rotation anti-solaire, si l'effet $\alpha$ est placé sur la tachocline à la base de CZ. Ce résultat est valable pour les deux régimes de rotation étudiés, ce qui veut dire qu'à profil de rotation anti-solaire fixé, ce résultat reste aussi valable quel que soit le signe de l'effet $\alpha$ considéré dans l'hémisphère nord. Enfin, nous observons une augmentation de la fréquence des cycles lors du passage en rotation anti-solaire. Nous pensons que cette fréquence est presque doublée en raison de l'émergence d'une forte composante quadripolaire de la topologie magnétique dans ce modèle, qui n'était pas présente dans le cas de référence solaire. Cependant, nous observons la disparition de l'activité pour le modèle BL lors du passage en profil de rotation anti-solaire.

Afin de mieux comprendre les processus à l'oeuvre dans la mise en place d'une activité cyclique du champ moyen en rotation anti-solaire, nous avons mené une étude paramétrique sur l'impact de la localisation de l'effet-$\alpha$. En effet, la principale différence entre nos dynamos $\alpha\Omega$ et BL de référence réside dans la position du terme de génération poloïdal, sur la tachocline pour le premier et à la surface pour le deuxième. La disparition du comportement cyclique dans le cas anti-solaire a lieu lorsque l'effet $\alpha$ a complètement quitté la tachocline et est placé au sein de la zone convective. Plus précisément cela arrive lorsque le signe de l'effet-$\alpha$ est inversé, ce que nous faisons pour simuler l'inversion du signe de l'hélicité cinétique observé dans les simulations globales du chapitre 2. Une deuxième différence notable entre un modèle de types $\alpha\Omega$ et BL réside dans la non-localité du terme source de ce dernier. Cependant, nous n'observons pas d'influence de cette caractéristique sur la possibilité de cycle, puisque si les termes sources possèdent un profil similaire entre les deux types de modèles, le caractère cyclique, ou non, du modèle n'est pas influencé, pour un régime de rotation donné.

Nous proposons sur la figure 5.7 une interprétation géométrique, pour comprendre l'apparition de cycles ou non, en fonction respectivement d'une annulation ou accumulation de flux par la polarité magnétique résultant la boucle dynamo. L'interprétation du caractère stationnaire de la dynamo BL en rotation anti-solaire repose donc sur le fait que l'effet de Coriolis pourrait conduire à une addition de flux aux pôles, au lieu de leur annulation comme il est communément admis dans le régime solaire. Nous apportons finalement une caractérisation énergétique afin de confirmer cette interprétation géométrique.

Enfin, une analyse de l'impact de la circulation méridienne sur ces solutions, ainsi que des modèles dynamos hybrides $\alpha\Omega$-Babcock-Leigthon, a été menée et est présentée en Section 4.2 et 4.3 de l'article attaché en fin de ce Chapitre. Nous en concluons que la présence d'une circulation méridienne n'aide pas quant à la présence d'une activité cyclique, allant même jusqu'à l'empêcher dans certaines situations initialement favorables. De plus, la seule manière que nous observons pour rendre cyclique un modèle BL en rotation anti-solaire est de lui ajouter un effet-$\alpha$ au niveau de la tachocline. Si ce dernier a une amplitude assez grande, la dynamo est finalement cyclique, bien que les inversions de polarité ne se produisent que localement, sans renversement global.

Il est maintenant intéressant de se demander comment obtenir des solutions cycliques en rotation anti-solaire, lorsque l'on considère des profils d'effet-$\alpha$ positifs dans l'hémisphère Nord et localisés dans la zone convective. Nous avons vu dans nos interprétations précédentes que cette configuration est propice à une accumulation de flux magnétique de même polarité, rendant donc une activité cyclique improbable. Cela est cependant possible grâce à une prescription de dynamo $\alpha^2\Omega$ couplé à une rétro-action de la dynamo sur l'effet-$\Omega$ comme l'ont montré Karak et al. (2020). Un terme de génération $\alpha$ que nous avons décidé de ne pas considérer ici est alors présent dans l'équation d'évolution de $B_\phi$ (5.20). Deux termes sources sont alors disponibles pour la génération du champ toroïdale et ne sont à priori pas de même signe. Ainsi, lorsque l'un des deux termes génère une polarité magnétique propice à une accumulation de flux en sortie de la boucle dynamo (et donc résultant à priori sur une dynamo stationnaire), le second terme peut alors possiblement créer la polarité opposée, menant alors à des conditions potentiellement propices à la formation de cycles magnétiques. Cette interprétation semble être confirmée par les conclusions de Karak et al. (2020). En effet, ces derniers relèvent la présence de cycles magnétique au sein de leurs dynamos anti-solaires, seulement si l'effet-$\Omega$ est modulé par
un terme d'amortissement (à la façon de l'α-quenching) et si la génération du champ toroïdal par l'effet α est suffisamment forte.

On notera finalement que la plus grande hypothèse et contrainte de cette étude reste le régime cinématique. Une rétroaction non linéaire de la force de Lorentz se produit par exemple à petite échelle, et cet aspect a été modélisé comme un simple α-quenching tout au long de cette étude. Des études récentes soulignent de plus que les coefficients de champ moyen apparaissant dans le développement de l'équation (5.14) peuvent avoir des dépendances non triviales. C'est notamment le cas pour le régime à haut nombre de Rossby où l'on s'attend à observer des profils de rotation anti-solaire (Warnecke et al. 2021, Pipin 2021). Ces modélisations fines dépassent le cadre de l'étude présenté dans ce chapitre, mais pourraient être explorées dans de futurs travaux.

Une rétroaction non linéaire se produit également aux grandes échelles et n'a pas du tout été prise en compte ici. C'est effet est nommé Ω-quenching (en référence à l'α-quenching) et peut être aussi modélisé par l'in-termédiaire d'un terme d'amortissement (Karak et al., 2020). Cependant, nous pourrions étendre notre modèle hors du régime cinématique et prendre en compte cette rétro-action en résolvant l'équation d'évolution sur les écoulements à grande échelle v (Malkus & Proctor, 1975). En effet, des études récentes (Covas et al., 2005; Lopes et al., 2014; Strugarek et al., 2018) ont montré que ce mécanisme de rétroaction peut jouer un rôle majeur dans la dynamique des cycles magnétiques décennaux de type solaire. Nous allons notamment le voir au prochain chapitre.

## 5.6 Article publié : Impact of anti-solar differential rotation in mean-field solar-type dynamos
# Impact of anti-solar differential rotation in mean-field solar-type dynamos

## Exploring possible magnetic cycles in slowly rotating stars

Q. Noraz<fnref n="1" />, A. S. Brun<fnref n="1" />, A. Strugarek<fnref n="1" />, and G. Depambour<fnref n="1" />,<fnref n="2" />

Received 3 August 2021 / Accepted 11 November 2021

## ABSTRACT

*Context.* Over the course of their lifetimes, the rotation of solar-type stars goes through different phases. Once they reach the zero-age main sequence, their global rotation rate decreases during the main sequence until at least the solar age, approximately following the empirical Skumanich's law and enabling gyrochronology. Older solar-type stars might then reach a point of transition when they stop braking, according to recent results of asteroseismology. Additionally, recent 3D numerical simulations of solar-type stars show that different regimes of differential rotation can be characterized with the Rossby number. In particular, anti-solar differential rotation (fast poles, slow equator) may exist for high Rossby number (slow rotators). If this regime occurs during the main sequence and, in general, for slow rotators, we may consider how magnetic generation through the dynamo process might be impacted. In particular, we consider whether slowly rotating stars are indeed subject to magnetic cycles.

*Aims.* We aim to understand the magnetic field generation of solar-type stars possessing an anti-solar differential rotation and we focus on the possible existence of magnetic cycles in such stars.

*Methods.* We modeled mean-field kinematic dynamos in solar (fast equator, slow poles) and anti-solar (slow equator, fast poles) differential rotation, using the STELEM code. We consider two types of mean field dynamo mechanisms along with the Ω-effect: the standard α-effect distributed at various locations in the convective envelope and the Babcock-Leighton effect.

*Results.* We find that kinematic αΩ dynamos allow for the presence of magnetic cycles and global polarity reversals for both rotation regimes, but only if the α-effect is saddled on the tachocline. If it is distributed in the convection zone, solar-type cases still possess a cycle and anti-solar cases do not. Conversely, we have not found any possibility for sustaining a magnetic cycle with the traditional Babcock-Leighton flux-transport dynamos in the anti-solar differential rotation regime due to flux addition. Graphic interpretations are proposed in order to illustrate these cases. However, we find that hybrid models containing both prescriptions can still sustain local polarity reversals at some latitudes.

*Conclusions.* We conclude that stars in the anti-solar differential rotation regime can sustain magnetic cycles only for very specific dynamo processes. The detection of a magnetic cycle for such a star would therefore be a particularly interesting constraint in working to decipher what type of dynamo is actually at work in solar-type stars.

**Key words.** stars: rotation – stars: activity – stars: solar-type – Sun: magnetic fields – dynamo – methods: numerical

## 1. Introduction

The rotation of stars is a key ingredient in working to understand and characterize their dynamical nature. Indeed, the rotation and magnetism of stars are closely intertwined along their evolution, which directly impacts transport properties in their interior (Emeriau-Viard & Brun 2017, Brun et al. 2022).

Young solar-type stars begin their life by contracting and spinning up until they reach the zero-age main sequence (ZAMS). Then they enter a stage where they will spend most of their life-time, namely: the main sequence (MS). During this phase, their rotation Ω\* spins-down slowly, due to mass and angular momentum losses through the magnetized stellar wind (Schatzman 1962, Weber & Davis 1967, Mestel 1968). This wind braking (Kawaler 1988, Matt et al. 2012, 2015, Réville et al. 2015, Finley & Matt 2017, Vidotto 2021 and references therein) causes the rotation of stars with similar masses to cluster around a similar evolution, which is particularly well described by Skumanich's law: Ω\*(t) ∝ t⁻<fnref n="1" />/<fnref n="2" />

(Skumanich 1972). It is therefore possible to determine stellar ages with measurements of their masses and rotation period, which is the basis of gyrochronology (Barnes 2003, 2007). The magnetic activity of stars also follows a somewhat similar evolution. Fast and young rotating stars are found to possess a strong level of magnetic activity (Pizzolato et al. 2003). The X-ray luminosity of stars is then found to decrease with their rotation period, that is, with their age (Wright et al. 2011, Reiners et al. 2014). The same trends were more recently found in magnetic field estimates through Zeeman signatures by Vidotto et al. (2014) and See et al. (2019). However, the magnetorotational evolution of stars older than the Sun is unclear at present. Indeed, some observers have found evolved solar-type stars following the Skumanich's law (Lorenzo-Oliveira et al. 2018, 2019, do Nascimento et al. 2020), while others have not (van Saders et al. 2016, 2019, Hall et al. 2021). It is plausible that a change in magnetic field sustained through dynamo processes could be at the source of these discrepancies

<footnote n="1">¹ Département d'Astrophysique/AIM, CEA/IRFU, CNRS/INSU, Univ. Paris-Saclay, Univ. de Paris, 91191 Gif-sur-Yvette, France
e-mail: quentin.noraz@cea.fr, allan-sacha.brun@cea.fr, antoine.strugarek@cea.fr</footnote>

<footnote n="2">² CentraleSupélec, Université Paris-Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette, France</footnote>
(Metcalfe & van Saders 2017), however, the magnetic field of slowly rotating stars is particularly challenging to detect. As a result, we propose a theoretical exploration of the possible dynamo states for slow rotators based on mean-field models.

Besides its temporal evolution, the star rotation profile can evolve in terms of latitude. It can be close to uniform in the meridional plane or differentially distributed in the convection zone (Brun et al. 2022). Differential rotation (DR) is indeed one of the most important ingredients for dynamo action in stellar interiors, spanning the convective envelope to such an extent that the equator rotates faster than the poles for the Sun (Thompson et al. 2003). Following the pioneering work of Gilman (1977) and Gilman & Glatzmaier (1981), several authors have recently highlighted that the type of DR profile realized in a stellar turbulent rotating convective envelope is directly linked with its effective Rossby number (Matt et al. 2011, Guerrero et al. 2013, Gastine et al. 2014, Käpylä et al. 2014, Simitev et al. 2015, Brun et al. 2017, 2022, Karak et al. 2018). The dimensionless fluid Rossby number, $Ro_f = \omega/2\Omega_*$, with $\omega$ as the vorticity, quantifies the effect of rotation on turbulent convection. The aforementioned studies (see Brun & Browning 2017 for a review) consistently find a qualitative change of the differential rotation profile between intermediate and slow rotators. Intermediate rotators are found to possess a solar-like differential rotation (fast equator, slow poles) and slow rotators to possess an anti-solar differential rotation (slow equator, fast poles). In Brun et al. (2022), this transition is found around $Ro_f = 1$ (in this case the solar $Ro_f = 0.9$). As yet, there has not been any statistically strong detection of anti-solar DR for cool MS stars. Benomar et al. (2018) analyzed the DR of 40 solar-like stars using asteroseismology and only found some likely anti-solar targets so far. Strassmeier et al. (2003), Weber et al. (2005) and Kovári et al. (2007) reported the detection of anti-solar DR thanks to Doppler imaging spectroscopy. These detections were nevertheless made for evolved stars, such as K giants, and more recently for subgiants Harutyunyan et al. (2016). Finally, Reiners (2007) attempted the detection of slowly rotating M-dwarfs and could not conclude on whether its targets possessed a solar or anti-solar DR. The detection of anti-solar DR in MS cool stars is therefore still pending and will require the scrutiny of the most promising targets we know (Noraz et al., in prep.). It can nevertheless be expected that a solar-type star might transit toward an anti-solar DR state if it becomes old enough. This transition could affect stellar activity and may stand as the origin of the enhanced stellar activities, which were recently observed by Brandenburg & Giampapa (2018) in the high Rossby regime, where the observation of an anti-solar DR profile is anticipated.

Several studies of global 3D MHD simulations have discussed non-linear dynamos realized under anti-solar DR states. Karak et al. (2015) first found irregular and faint cycles with polarity changes for only few latitudes, when Varela et al. (2016) did not. Clearer and global reversals are however present for anti-solar rotation in Viviani et al. (2018) and (2019) simulations, but mostly irregular and only near the DR transition regime. On the other hand Warnecke et al. (2018) and Strugarek et al. (2018) reported mostly stationary dynamos for this particular rotation state. This is also the case for Brun et al. (2022), extending the study initiated by Varela et al. (2016).

In this context, we propose a numerical experiment to study the impact of an anti-solar rotation regime on the dynamo process and, in particular, the presence of magnetic cycles or otherwise. Global 3D MHD simulations are useful because they self-consistently treat the flows and dynamo magnetic fields.

However, they are numerically expensive. In order to explore a broad parameter space, we propose 2D dynamo models using the mean-field theory presented in Sect. 2.1. Such models have been explored by Dubé & Charbonneau (2013) using mean-field coefficients extracted from 3D MHD prescriptions. Likewise, Karak et al. (2020) have considered anti-solar models and found they could trigger magnetic cycles, but only with strong $\alpha$-effect coupled with $\Omega$-quenching. These authors obtained reversals in a $\alpha^2\Omega$ dynamo and argued that this could not be the case with classical kinematic $\alpha\Omega$ models when considering a positive $\alpha$-effect in the northern hemisphere. Here, we actually chose to consider standard $\alpha\Omega$ kinematic models and we will complete these previous studies with the following layout.

We first present the chosen models along with their physical ingredients in Sect. 2, in particular how the anti-solar DR profile is chosen. Then in Sect. 3, we construct two solar DR reference dynamos, using standard prescriptions, namely $\alpha\Omega$ (Parker 1955) and Babcock-Leighton (BL) mechanisms (Babcock 1961, Leighton 1969) in an interface dynamo approach (Parker 1993). We then present the same models with an anti-solar DR. Next, in Sect. 4, we study the role of the $\alpha$-term location and the meridional circulation (MC) on our results. We finally discuss the context and limitations of our choices in Sect. 5 and present our conclusions in Sect. 6.

## 2. Stellar mean-field dynamo model

In this study, we chose to use a mean-field approach to model stellar dynamos (Roberts 1972, Krause & Raedler 1980). We refer interested readers to the review in Charbonneau (2020) on solar and stellar dynamos using this approach. We first present the model setup, then we describe the numerical implementation that is used, and, finally, we detail physical ingredients prescriptions chosen for this study.

### 2.1. Mean-field equations

We first take the induction equation:

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) - \nabla \times (\eta_m \nabla \times \mathbf{B}). \quad (1) $$

This equation governs the evolution of the magnetic field $\mathbf{B}$ in response to a flow field $\mathbf{v}$, acting against the ohmic dissipation characterized by the microscopic magnetic diffusivity $\eta_m$.

The well-known development of the mean-field dynamo model can be found in Moffatt (1978) or Charbonneau (2020). Here, we briefly report the different steps as follows: We first decompose both the velocity and the magnetic fields into their mean $\langle\mathbf{v}\rangle$, $\langle\mathbf{B}\rangle$) and fluctuating $(b', v')$ components. Our study then focuses on the mean magnetic part $\langle\mathbf{B}\rangle$ evolution, corresponding to the large scale magnetic field. This large-scale component is impacted by small-scale turbulence through the electromotive force (EMF) term $\epsilon = \langle u' \times b' \rangle$. This term will here be parameterized in a kinematic approach with two scalar terms $\alpha$ and $\beta$ (respectively creating and destructing large-scale $\langle\mathbf{B}\rangle$), resulting from an asymptotic expansion of $\epsilon$ in the so-called first order smoothing approximation (FOSA, Brandenburg & Subramanian 2005). We then note the effective magnetic resistivity $\eta = \eta_m + \beta$, and refer to the mean magnetic field, $\mathbf{B}$, and mean velocity field, $\mathbf{v}$, by omitting the angle brackets $\langle \rangle$ for clarity. As we are working in spherical coordinates $(r, \theta, \phi)$, under the assumption of axisymmetry, a convenient
poloidal and toroidal decomposition of the mean fields is:

$$ \mathbf{B}(r, \theta, t) = \nabla \times (A_{\phi}(r, \theta, t) \hat{\mathbf{e}}_{\phi}) + B_{\phi}(r, \theta, t) \hat{\mathbf{e}}_{\phi}, \quad (2) $$

$$ \mathbf{v}(r, \theta) = \mathbf{u}_p(r, \theta) + r \sin \theta \Omega(r, \theta) \hat{\mathbf{e}}_{\phi}. \quad (3) $$

As our approach is kinematic, we do not assume any fluctuations in time of the differential rotation $\Omega$ and of the meridional circulation $\mathbf{u}_p$. Reintroducing this decomposition into (1), we get the two coupled partial differential equations:

$$ \frac{\partial A_{\phi}}{\partial t} = \frac{\eta}{\eta_t} \left( \nabla^2 - \frac{1}{\omega^2} \right) A_{\phi} - R_m \frac{\mathbf{u}_p}{\omega} \cdot \nabla (\omega A_{\phi}) + C_{\alpha} \alpha B_{\phi} + C_s S, \quad (4) $$

$$ \frac{\partial B_{\phi}}{\partial t} = \frac{\eta}{\eta_t} \left( \nabla^2 - \frac{1}{\omega^2} \right) B_{\phi} - R_m \omega \mathbf{u}_p \cdot \nabla \left( \frac{B_{\phi}}{\omega} \right) - R_m B_{\phi} \nabla \cdot \mathbf{u}_p + C_{\Omega} \omega \left( \nabla \times (A_{\phi} \hat{\mathbf{e}}_{\phi}) \right) \cdot \nabla \Omega, + \frac{1}{\omega} \frac{\partial (\omega B_{\phi})}{\partial r} \frac{\partial (\eta / \eta_t)}{\partial r}, \quad (5) $$

where the cylindrical radius $\omega = r \sin \theta$ and $\eta_t$ is the turbulent magnetic diffusivity (constant value taken by $\eta(r)$ in the convection zone). For Babcock-Leighton models, a non-local surface term $S$ is added to mimic the rise of buoyant magnetic structures in the convection zone (Babcock 1961, Leighton 1969, Choudhuri et al. 1995, Charbonneau 2020 and references therein).

These equations are written in a dimensionless form by choosing: the solar radius, $R_\odot$, as the length scale and the diffusion time, $R_\odot^2 / \eta_t$, as the timescale. We recall here that the induction equation in the kinematic regime leads to an arbitrary vector potential, $A_\phi$, and magnetic field, $B_\phi$.

This, in turn, leads to three dimensionless numbers, which will serve as our control parameters: $C_\Omega = \Omega_{\text{Eq}} R_\odot^2 / \eta_t$, $C_\alpha = \alpha_0 R_\odot / \eta_t$, and $R_m = u_0 R_\odot / \eta_t$. Here, $\Omega_{\text{Eq}}$ is the amplitude of rotation at the equator; $\alpha_0$ and $u_0$ are the maximum amplitudes of the $\alpha$-effect term and the meridional flow, respectively. For Babcock-Leighton (BL) models, the added $S$ term leads to a fourth dimensionless parameter: $C_s = s_0 R_\odot / \eta_t$, where $s_0$ is the amplitude of the BL effect.

In this study, we chose to focus on $\alpha\Omega$ or Babcock-Leighton (BL) dynamos. Hence, an $\alpha$-effect will only be considered for the generation of the poloidal field and not for the toroidal field. We discuss this choice in Sect. 5.

## 2.2. Numerical domain and boundary conditions

We used the same boundary conditions for all the simulations described in this paper. Assuming axisymmetry, Eqs. (4) and (5) are solved in the meridional plane with the colatitude $\theta \in [0; \pi]$ and the normalized radius $r \in [0.6; 1]$. At $\theta = 0$ and $\theta = \pi$, we imposed a regularity by setting homogeneous conditions such that $A_\phi$ and $B_\phi$ are null. A perfect conductor condition is considered at $r_b = 0.6$, which gives:

$$ A_{\phi} = 0 \text{ and } \frac{\partial(rB_{\phi})}{\partial r} = 0. $$

Finally, the upper boundary condition at $r_t = 1$ smoothly matches a potential field solution as the region $r > 1$ represents a vacuum:

$$ \left( \nabla^2 - \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \right) A_{\phi} = 0 \text{ and } B_{\phi} = 0. $$

The magnetic field is initialized with a weak dipole and, thus, $B_\phi(t = 0) = 0$. We used the STELEM code (Emonet &

<table><caption>**Table 1.** Ratios between coefficients of Eq. (6) for solar and anti-solar differential rotation profiles.</caption><thead><tr><th></th><th>☉</th><th>Anti-☉</th></tr></thead><tbody><tr><td>Ω<sub>C</sub>/Ω<sub>Eq</sub></td><td>0.93944</td><td>1.06056</td></tr><tr><td>a2/Ω<sub>Eq</sub></td><td>-0.136076</td><td>0.136076</td></tr><tr><td>a4/Ω<sub>Eq</sub></td><td>-0.145713</td><td>0.145713</td></tr></tbody></table>

Charbonneau 1998, priv. comm.) to solve the mean-field equations, by employing a first-order finite elements method in space, along with a third order scheme in time (see Appendix A of Jouve & Brun 2007 for more details). All simulations proposed in this paper were performed with a 256 × 128 resolution (latitudinally vs. radially respectively) in order to reach a good numerical convergence. The accuracy of the dynamo solution is here mainly constrained by the latitudinal number of grid points.

## 2.3. Physical ingredients

In this study, we use relatively simple dynamo ingredients that have been found to reproduce the main characteristics of the large-scale solar dynamo. They are described in the following subsections.

### 2.3.1. Toroidal magnetic field generation: The $\Omega$-effect

The form of $\Omega(r, \theta)$ was chosen to mimic the solar differential rotation profile, as inferred from helioseismology (Thompson et al. 2003). The analytic fit used here is inspired from Dikpati & Charbonneau (1999), where the radial shear is maximal in the tachocline:

$$ \Omega(r, \theta) = \frac{\Omega_C}{\Omega_{\text{Eq}}} + \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( 2 \frac{r - r_{\text{BCZ}}}{d} \right) \right] \times \left( 1 + \frac{a_2}{\Omega_{\text{Eq}}} \cos^2(\theta) + \frac{a_4}{\Omega_{\text{Eq}}} \cos^4(\theta) - \frac{\Omega_C}{\Omega_{\text{Eq}}} \right), \quad (6) $$

with $\Omega_C$ the core angular velocity. The tachocline is placed at $0.7 R_\odot$ and its thickness, $d$, is expected to be $0.025 R_\odot$. Symmetry considerations allow us to create a typical anti-solar differential rotation profile by modifying the coefficients of Eq. (6).

We show and detail these two profiles in panels a in Figs. 1 and 2, where they are represented in the core frame rotating to $\Omega_C$. Panels b represent their radial profiles taken at different latitudes, which have been obtained through Eq. (6), using the coefficients in Table 1. First, we have in both cases a solid body rotation for $0.6 < r < 0.7$, where we find the stable radiative zone. This lower region is surrounded by the convective zone (CZ) where the rotation is differential, that is, the angular velocity varies along latitudes, until the surface $r = 1$ (we recall here that in 2D mean-field dynamos convective motions are not resolved). For the solar (resp. anti-solar) case, the equatorial part of this upper region rotates faster (resp., slower) than the core, contrary to the poles, which rotate slower (resp., faster). In both solar and anti-solar cases, we note a co-rotation latitude around $\lambda \sim 35^\circ$, namely, a latitude at which both the upper and lower regions rotate at the same rate. Although we have a latitudinal shear $\partial_\theta\Omega$ in most of the convection zone, the radial shear $\partial_r\Omega$ is confined around $r = 0.7$ in an area called the tachocline. We finally note a stronger shear $\nabla\Omega$ at higher latitude, which is chosen here to follow the DR profile inferred from helioseismology. We can see
<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>Fig. 1. Solar differential rotation shown with a meridional cut (a) and with radial profiles at different latitudes λ (b); (c) and (d) show the radial and latitudinal shear respectively, responsible for the so-called Ω-effect. Profiles are represented in the frame rotating to Ω_c.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>Fig. 2. Anti-solar differential rotation, responsible for the so-called Ω-effect. Same details as in Fig. 1.</figcaption></figure>

it in panels c and d, representing the radial shear and the latitudinal shear, respectively. The former is represented with radial profiles taken at different latitudes.

Helioseismic inversions from Thompson et al. (2003) show that the Sun’s radiative zone has a solid body rotation, just below the tachocline. A convective zone is found to surround them until the stellar surface, where the rotation becomes differential. Indeed, non-linear convective motions redistribute the angular momentum (Brun & Toomre 2002, 2017). In the solar case, this redistribution transports angular momentum toward the equator. It leads to different surface latitudes spinning at different velocities, from a fast equator to slow poles, including a latitude in co-rotation (i.e., same angular velocity) with the radiative core. Moreover, these same simulations also show that anti-solar profiles may exist. In this case, the radiative interior is still in solid-body rotation, but the differential rotation of the convective zone is latitudinally reversed from the solar regime. Thus, the equatorial convective region is found this time to rotate slower than the core, which is contrary to polar convective regions, which spin faster.

The coefficients in Table 1 were therefore chosen to reproduce these profiles, while keeping absolute shear amplitudes equal in the last term of Eq. (5), namely, the Ω-effect. The absolute differences have thus been conserved in both profiles, between Ω<sub>Eq</sub> and Ω<sub>C</sub> controlling the radial shear, along with the absolute amplitude of a2/Ω<sub>Eq</sub> and a4/Ω<sub>Eq</sub> controlling the latitudinal shear. Thus, |∇Ω(r, θ)| is fully conserved, as we can see in Figs. 1 and 2.

We note that this anti-solar profile differs from the one used in Karak et al. (2020). In this similar study using an α²Ω dynamo

model, the value of the anti-solar coefficient Ω_c/Ω<sub>Eq</sub> is kept at 0.93944 (as in the solar DR profile). It results in a radiative zone rotating more slowly than the whole convective zone, with no co-rotation latitude in the latter, which seems to be in contradiction with anti-solar differential rotation profiles found in recent 3D self-consistent simulations (Dubé & Charbonneau 2013; Brun et al. 2017, 2022). As Ω gradients play a major role in the Ω-effect, this could seriously impact results of such mean-field models.

### 2.3.2. Poloidal magnetic field generation

Here, we consider two types of mean-field dynamo: αΩ and Babcock-Leighton (BL), which differ by the poloidal source term. For our αΩ dynamos, the form of the α-term profile has been inspired from Bushby (2006) and is written as:

$$ \alpha(r, \theta, t) = \frac{3\sqrt{3}}{8} \left[ 1 + \operatorname{erf}\left(\frac{r-r_1}{0.01}\right) \right] \left[ 1 - \operatorname{erf}\left(\frac{r-r_2}{0.01}\right) \right] \times \left[ 1 + \left(\frac{B_{\phi}(r, \theta, t)}{B_0}\right)^2 \right]^{-1} \cos\theta \sin^4\theta. \quad (7) $$

This profile is represented in Fig. 3 (panel a) and allows us to take an α-effect that can be localized radially within [r₁, r₂]. This choice of location will be discussed more specifically in Sects. 3 and 4. However, the α-effect parametrizes the cyclonic turbulence, so we always assume that its latitudinal variation is constrained by its dependence upon the Coriolis force, which makes it antisymmetric with respect to the equator. As we are in a kinematic regime, there is no retro-action of the magnetic field on
<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>Fig. 3. Physical ingredients: meridional profiles of (a) α-effect, (b) BL-effect, as well as (c) the stream function ψ (MC) and (d) normalized radial profiles of the latter quantities, taken at θ = π/ 4, along with the magnetic diffusivity η . These profiles result from Eqs. (7)–(10), respec- tively. The α -term is here confined between ( r$_{1}$, r$_{2}$ ) = (0 . 67 , 0 . 73), as in the reference cases. The BL source term S is shown for the case of B$_{φ}$ ( r$_{BCZ}$, θ, t ) = 1. The sign of the meridional circulation, u$_{p}$ , is repre- sented with arrows on a black iso-contour of ψ .</figcaption></figure>

the velocity. Thus, a quenching term is introduced to prevent the magnetic energy from growing endlessly, with the parameter B$_{0}$ arbitrarily set to 10 $^{4}$.

In Babcock-Leighton dynamo models, the poloidal field is generated by the inclination of magnetic loops emerging at the solar surface; thus, the source has to be confined to a thin layer just below the surface. Since the rising-time of magnetic loops through the convection zone is short compared to the evolu- tion of the large-scale B , the process is fundamentally non-local. Hence, the surface source term depends on the variation of B$_{φ}$ at the base of the convection zone (BCZ). Here, we set its position to r$_{BCZ}$ = 0 . 7. As in the α -effect, a quenching term is introduced here and we thus use the following formulation:

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
S(r, \theta, t) = \frac{1}{2} & \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{r - 0.95}{0.01} \right) \right] \left[ 1 - \operatorname{erf} \frac{r - 1}{0.01} \right] \\
& \times \left[ 1 + \left( \frac{B_{\phi}(r_{\text{BCZ}}, \theta, t)}{B_0} \right)^{2-1} \right] \cos \theta \sin \theta B_{\phi}(r_{\text{BCZ}}, \theta, t).
\end{aligned}
\tag{8}
\end{equation}
$$

In BL flux-transport dynamo models, meridional circulation (MC) can be used to dynamically link the two sources of the magnetic field, which are the Ω-effect at the base of the convec- tion zone (discussed in the previous subsection) and the BL-term at the surface. Its profile will be constructed as in Jouve et al. (2008): a large single cell per hemisphere, directed poleward at the surface and equatorward deep in the CZ. It will penetrate a little below the tachocline and vanish at r$_{o}$ = 0 . 6. Thus, the stream function ψ will be taken as:

$$
\psi(r, \theta) = -\frac{2}{\pi} \frac{(r - r_o)^2}{(1 - r_o)} \sin \left( \pi \frac{r - r_o}{1 - r_o} \right) \cos \theta \sin \theta, \quad (9)
$$

following the relation u$_{p}$ = ∇ × ( ψ e$_{φ}$ ). As illustrated in panel c of Fig. 3, positive (resp., negative) values of ψ means clockwise (resp., counter-clockwise) u$_{p}$ circulation. This can be recov- ered through a right-hand rule, with respect to the spherical

basis vector e$_{φ}$ . This stream function ψ leads to a bottom-top CZ u$_{θ,bot}$/u$_{θ,top}$ = 0 . 352 contrast, normalized at u$_{θ}$ ( r = 1, θ = 45 $^{◦}$) = 1.

2.3.3. Ohmic diffusion

Finally, we assume that the diffusivity in the convective zone η$_{t}$ is dominated by its turbulent contribution, whereas in the radiative interior: η$_{C}$ ≪ η$_{t}$ . We take η$_{C}$ = 0 . 01 η$_{t}$ with η$_{t}$ = 10 $^{11}$cm$^{2}$.s − 1 for the models presented in this paper. We chose this value of η$_{t}$ such that our reference BL model produces a magnetic cycle of 22 years when R$_{m}$ = 500, which corresponds to a MC amplitude of u$_{0}$ = 7 . 2 m.s − $^{1}$. For the sake of consistency, we kept the same value of η$_{t}$ for all the other models.

The convection zone is distributed from the surface r = 1 to its base r$_{BCZ}$ = 0 . 7. As shown in panel d of Fig. 3, we used an error function in order to smoothly match the two different values at this radius such that

$$
\tilde{\eta}(r) = \frac{\eta}{\eta_t} = \frac{\eta_C}{\eta_t} + \frac{1}{2} \left(1 - \frac{\eta_C}{\eta_t}\right) \left[1 + \operatorname{erf}\left(2 \frac{r - r_{\text{BCZ}}}{0.025}\right)\right]. \quad (10)
$$

3. Dynamo states for solar and anti-solar DR

We recall here that we consider two types of dynamo mod- els in this study. For readers seeking context, we suggest com- paring them with representative models of Charbonneau (2020, Sects. 4.2.10 and 5.4.2).

In this section, we assume the α -effect to be driven by some tachocline-based instability, as in Bushby (2006). Dif- ferent types of such instabilities are discussed in Charbonneau (2020, Sect. 4.5). Hence, the α -term will be confined within the tachocline between r$_{1}$ = 0 . 67 and r$_{2}$ = 0 . 73 (see Fig. 3, panel b).

We note here that the sign of the parametrized α -effect can be related in the kinematic regime to the averaged kinetic helicity and the convective turnover timescale (see Brandenburg & Subramanian 2005):

$$
\alpha \sim -\frac{\tau_C}{3} \langle \mathbf{u}' \cdot \nabla \times \mathbf{u}' \rangle, \quad (11)
$$

Vertical motions of the convection zone (CZ) are cyclonic (counterclockwise in the northern hemisphere) and change sign as they reach the bottom of this zone (e.g., Miesch et al. 2000, Duarte et al. 2016, Charbonneau 2020). This leads to a change of sign of α -effect when crossing the bottom of the CZ; Thus, C$_{α}$ will be negative for α -profiles localized at the tachocline – and positive otherwise (see Table 3).

3.1. Solar dynamo models

Our solar reference cases have to model observational tenden- cies of the Sun, illustrated with so-called “butterfly diagram” (magnetogram evolution vs. latitude) as in Fig. 17 of Hathaway (2015). First, an 11-year activity cycle due to the emergence of magnetic structures, which are typically dipolar. Throughout the cycle, the emergence of these structures will migrate towards the equator. At the same time, the trailing polarity will diffuse towards the pole, giving rise to a polar branch. This branch will then progressively cancel the magnetic flux at the pole, result- ing from the previous activity phase. The global dipole of the solar magnetic field will then reverse, as will the polarization of emerging magnetic structures in the next phase of activity. This leads to a 22-year magnetic cycle.
<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>**Fig. 4.** Butterfly diagram of Solar $\alpha\Omega$ model with $C_\alpha = -15$ and $D = -2.1 \times 10^6$, for $B_\phi$ at $r = 0.7$ and $B_r$ at the surface. We recall that for the purposes of this study, 22 years correspond to $0.014 t_\eta$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>**Fig. 5.** Butterfly diagram of solar Babcock-Leighton model with $C_S = 30$ and $D = 4.2 \times 10^6$, for $B_\phi$ at $r = 0.7$ and $B_r$ at the surface. As the radial component diagram is much more contrasted here, we propose some contours, using consistent colors, to illustrate weak patterns that are not saturated enough. The vertical dashed line corresponds to the reversal of poloidal field from negative to positive at the poles, coinciding with the positive maximum of toroidal field at the base of CZ. A logarithmic color scale has been chosen to represent the bottom panel.</figcaption></figure>

### 3.1.1. $\alpha\Omega$ solar reference model

Assuming a solar differential rotation (fast equator, slow poles), we first computed an $\alpha\Omega$-dynamo model with $C_\Omega = 1.4 \times 10^5$ and $C_\alpha = -15$. These values have been chosen to reproduce cycle periods of a few tens of years with an equatorial rotation rate of $\Omega_{\text{Eq}}/2\pi = 456$ nHz for $\eta_t = 10^{11} \text{cm}^2 \cdot \text{s}^{-1}$. Butterfly diagrams are shown in Fig. 4 for $B_\phi$ and $B_r$ (respectively) at the base and the surface of the convection zone. Both of them show a dipolar configuration over the meridional plane. The bottom panel representing $B_r$ first shows that this dynamo model reproduces well the observed surface dynamics of the Sun. The cyclic equator-ward migration of the emergence of magnetic patterns along with their trans-equatorial cancellation with the opposite polarity arriving from the opposite hemisphere is well modeled. The same holds true for the polar branch leading to a cyclic global polarity reversal, with a period of 32 years in this case. We did not seek to fine-tune the model to set $P_{\text{cyc}} = 22$ years (see Fig. A.1 for such a case) as the exact value of $P_{\text{cyc}}$ has no impact on our results. This is discussed in more detail in Sect. 5.1.

We go on to note in the top panel of Fig. 4 that the generation of the toroidal magnetic field $B_\phi$ at the tachocline has two branches in each hemisphere. They propagate away from each other by sharing the same origin, situated at the co-rotation latitude. Moreover, the prescribed radial shear $\partial_r\Omega$ gives them similar propagation speed (see Parker-Yoshimura sign rule in Eq. (12)). Thus, it leads to them being phase-locked. We may note that both branches have here the same polarities in one hemisphere. As they are inverted with respect to the equator, a dipolar magnetic topology is thus found to dominate throughout the meridional plane, which is true for all magnetic field components (see Fig. B.1 for details).

The equatorial branch is slightly stronger than the polar one. Indeed, the form of the $\alpha$-effect is concentrated toward the equator by the $\sin^4\theta$ factor (Eq. (7)), generating more $B_{\text{pol}}$ there, which is subsequently available for toroidal generation. Nonetheless, the polar branch still remains prominent in this model as its propagation originates from a position $(r, \theta)$, where the $\alpha$-effect is still strong.

### 3.1.2. Babcock-Leighton flux-transport solar reference model

We then constructed a BL flux-transport model that also reproduces a Sun-like dynamo. We used the same DR profile and parameters. The meridional flow and the BL term were chosen as $R_m = 500$ and $C_s = 30$. As with the previous $\alpha\Omega$ model, this BL dynamo reproduces well several aspects of the solar cycle, notably its period of 22 years (by considering once again $\Omega_{\text{Eq}}/2\pi = 456$ nHz and $\eta_t = 10^{11} \text{cm}^2 \cdot \text{s}^{-1}$). Indeed, we see at the surface a dipolar magnetic structure on the lower panel of Fig. 5, with two $B_r$-branches in each hemisphere, with analogous dynamics toward the equator and the pole. The same topology is shown for $B_\phi$ on the top panel, again showing two branches going apart from one another with the same polarities in each hemisphere. We next note a phase shift of $\pi/2$ between the deep toroidal field and the surface polar field. The vertical black line on the butterfly diagrams in Fig. 5 show a polarity change of the polar field from negative to positive, when a positive value for the toroidal field is maximal in the equatorial branch at the base of the convection zone.

Additionally, this dynamo mechanism reveals its own peculiarities. First, the poloidal field is now generated by the BL-source term close to the surface of the star. Thus, more of the poloidal field will be available for toroidal generation through the latitudinal shear near the surface. Second, the equatorial branches at the base of the CZ are more extended than the polar ones. This is the signature of the meridional circulation dragging the toroidal field equatorward at the base of the convection zone. Hence, we clearly see that the advection of the magnetic field is dominating its diffusion in the domain. The signature of the MC is also seen on the bottom panel with $B_r$ at the surface, where the field advection is now poleward. Indeed, the polarity inversion line (here, the latitude at which branches separate) of each hemisphere is at a higher latitude than what is expected from the $\alpha\Omega$
<figure><img src="image_131.png" /><figcaption>Fig. 6. Butterfly diagram of anti-solar αΩ model with Cα = −15 and D = 2.1 × 10⁶, for Bφ at r = 0.7 and Br at the surface.</figcaption></figure>

model. We illustrate in Fig. B.1 this dynamics with time series of meridional cuts of magnetic components. Moreover, we also note stronger values of the surface radial magnetic component at both poles. Indeed, the meridional circulation accumulates magnetic field over there, while the diffusion is too weak to avoid it. When better agreements with solar observations are needed, diffusion can be enhanced at the surface (see Dikpati et al. 2002 and Hotta & Yokoyama 2010 for instance). For the sake of simplicity, such a refinement is not needed for our purpose of studying anti-solar DR dynamo and seemed not to be relevant to the existence or non-existence of cycles. However, this aspect could be explored in future works.

## 3.2. Dynamos with anti-solar DR

Now that our physical ingredients are set up to reproduce what we currently know about Sun-like dynamos, we take our anti-solar rotation profile and apply it to these two dynamo models. We keep here the same Cα value without changing its sign. Indeed, recent 3D non-linear simulations show that the behavior of helicity is globally identical for solar and anti-solar rotation profiles, and that the convective turnover time tends to keep the same order of magnitude between the two types of DR profiles for a given mass (Dubé & Charbonneau 2013, Brun et al. 2022). Following a similar reasoning, we decided to conserve the sign of Cα when switching the DR regime of the BL model. Indeed, the tilting of emergent structures is thought to be dominated by the Coriolis force over DR sign. So we here suppose that the relative velocity of an emerging flux-tube is dominated by its radial component in the rotating frame. Hence, we considered the influence of Ω (rotation rate) rather than ∇Ω when modeling the effective tilt for the BL effect.

Butterfly diagrams of the anti-solar αΩ model are presented in Fig. 6, where we can observe a magnetic cycle, with new dynamics. First a global convergence toward the co-rotation latitude is observed for the toroidal Bφ component, shown at the tachocline on the top panel. This was expected, because of the Parker-Yoshimura sign rule. It was previously found that wave solutions are allowed in αΩ mean-field models, first by Parker

(1955) for cartesian geometry and then by Yoshimura (1975) for a spherical shape. Their travel direction, s, is given by

$$s = \omega\alpha\nabla\Omega \times \hat{e}_{\phi} \text{ and so } \left\{ \begin{array}{l} s_r = \omega\alpha(\partial_{\theta}\Omega)/r \\ s_{\theta} = -\omega\alpha\partial_{r}\Omega. \end{array} \right. \qquad (12)$$

In our case, ∂θΩ and ∂rΩ changed sign when we switched to anti-solar DR. That is why we obtained dynamo wave that propagate in the opposite direction to the solar-type case. Moreover, this observation aptly illustrates the fact that a sign change in both differential rotation and α-effect would mathematically makes us reach a mirror solution similar to our solar DR solution (which we checked on models that are not presented here). This can be intuited graphically in Fig. 9 (see the next subsection). The propagation of the polar branches then does not originate from mid-latitudes anymore, where the α-effect was more effective for the poloidal generation. They now originate from the poles and the equator, where the α-effect is weak. However, we still note toroidal values in both branches similar to the solar reference case. Indeed, the α-effect stays strong on the path of equatorial branches, giving more poloidal field, and then toroidal field thanks to the shear. Polar branches stay relatively strong thanks to the radial shear of the tachocline, stronger at high latitudes (see ∂rΩ in Fig. 2). In addition, we may note that the equatorial branches share now the same origin at the equator, making them phase-locked and of the same magnetic polarity. Hence, a quadrupolar component arises in the magnetic topology at this depth (r = 0.7 i.e., the tachocline). On the other hand, the polar branch is not phased-locked with the equatorial one of the same hemisphere, as they do not share the same origin of propagation any longer, contrary to the solar DR case.

We can next observe the Br component at the surface, on the bottom panel of Fig. 6. Despite its fluctuating behavior through different cycles, we see two branches per hemisphere. Their propagation is less clear than deeper down, but they appear to propagate away from each other (poleward and equatorward). The complexity of this dynamics is illustrated in Fig. B.1 with a time series of meridional cuts of magnetic field. Although this dynamics is regular through different cycles in one hemisphere, both hemispheres are not phase-locked any longer, as previously discussed for the toroidal field at the base of the convection zone. This leads to switches between dipolar and quadrupolar topology represented in Fig. 7 with Legendre decomposition odd l = 1, 3, 5 and even 2, 4, 6 orders, respectively. Moreover, the sign of Br changes periodically at both poles, leading to global polarity reversals. Its cycle period has nearly halved compared to the solar case, giving now a cycle period of 18 years. We believe this is due to the increasing influence of the symmetric l = 2 mode that modifies the cycle frequency compared to l = 1 mode (Stix 2002). This halved period seems generic when switching the DR from solar to anti-solar regime, even if we modify the dynamo number D = Cα·CΩ, as presented in Table 2. In both DR regimes, we see the cycle period changing when we modify D, but with opposed trends. The cycle period generally increases with D in the solar like case (except for small D), and decreases with D in the anti-solar case. Nevertheless, the cycle period only weakly depends on Cα, as shown in Table 2. However, these trends need to be investigated further for low dynamo number D.

We now apply the anti-solar DR profile to the BL flux transport model. The magnetic field is shown in Fig. 8. First the dynamo becomes stationary without any magnetic cycle, which is in striking contrast to the anti-solar αΩ case and needs to be investigated more (see next Section). Then we see that the
<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>**Fig. 7.** Legendre decomposition on the $B_r$ magnetic component at the surface of the anti-solar $\alpha\Omega$ reference case. Antisymmetric and symmetric families are shown on the top and bottom panel, respectively. The first six polynomial degrees $l$ are shown.</figcaption></figure>

<table><caption>**Table 2.** Change of $C_\alpha$, while keeping $C_\Omega = \Omega_{Eq}R_\odot^2/t_\eta = 1.4 \times 10^5$ constant.</caption><thead><tr><th>$D$ (10<sup>5</sup>)</th><th>☉</th><th>Anti-☉</th></tr></thead><tbody><tr><td>-7</td><td>26.2</td><td>14.1</td></tr><tr><td><b>-21</b></td><td><b>31.8</b></td><td><b>17.7</b></td></tr><tr><td>-42</td><td>31.4</td><td>18.8</td></tr><tr><td>-63</td><td>30.7</td><td>19.5</td></tr><tr><td>-84</td><td>30.0</td><td>19.9</td></tr></tbody></table>

**Notes.** We report cycle periods in years, considering thus a diffusive time $t_\eta = 1550$ years. The period presented are extracted from surface magnetic dynamics. Both reference $\alpha\Omega$ dynamos described in this Sect. 3 are shown in bold type.

magnetic field is accumulated by the MC at the pole (as represented by black lines) and is dominated by a dipolar configuration. We note that the equilibrium configuration could be either dipolar or quadrupolar depending on the value of $\eta_t$, as was shown in the study of Jouve & Brun (2007).

### 3.3. Phenomenology of solar and anti-solar dynamos

We can attempt to understand the lost of cycle in the anti-solar DR Babcock-Leighton case by drawing a cartoon (see also Karak et al. 2020). We propose to also include in Fig. 9 case with the $\alpha$-effect, illustrating them for both solar (bottom-left) and anti-solar DR (top-left) regime.

We start (in the first column) from global dipole configurations with a similar polarity, inspired by the schematic proposed by Sanchez et al. (2014). On the second column, the DR shears the initial field in different directions according to the DR regime considered: anti-solar (fast poles and slow equator) on the top and solar (slow poles and fast equator) on the bottom. The poloidal field is converted into a toroidal component, whose orientation depends on the DR regime (third column). This mechanism is called the $\Omega$-effect in reference to the shape of sheared poloidal field lines. We then propose on the next three columns different paths in order to restore the poloidal magnetic field from the freshly formed toroidal one.

In the first and last rows, we can see how the BL mechanism parametrizes the rise of buoyant magnetic ribbons undergoing the effects of the Coriolis force. These ribbons originate from toroidal magnetic field structures, deeply anchored at the base of the convection zone, and form sunspots when they emerge at

the surface, as illustrated on the fourth column. Please note that spots polarities are inverted according to the DR regime considered. The fifth columns shows the diffusion and reconnection of sunspots near the equator. Sunspots closer to the poles diffuse in a poleward branch, reconnecting (or not) according to the polarity of the initial polar field. The freshly formed polar magnetic flux is then transported deeper in the CZ by the MC in column six. This new flux is either added to the initial one in the anti-solar DR regime, or cancels it out in the solar DR regime. In the latter case a global reversal occurs, whereas in the anti-solar case flux can only be added and no reversal occur.

The three middle rows illustrate various configurations when considering the $\alpha$-effect. This mechanism parametrizes the cyclonic turbulence of the convection, also influenced by the Coriolis force. Indeed, cyclonic motions can be characterized with the kinetic helicity, experiencing sign changes at the base of the CZ, and can be related to the $\alpha$-effect via Eq. (11). Different signs of this effect (here, corresponding to that of $C_\alpha$) correspond to different cyclonic motions (see grey arrows in column four). This effect is named after the shape resulting from the torsion of small magnetic loops. The fifth column illustrates the creation of small-scale poloidal fields, which produces a new large-scale one in average in column six. Finally, this new poloidal flux will either be added to or will cancel the previous one. In the latter case, the cyclic activity can be maintained.

Hence, we note that changing the DR is expected to impact strongly dynamo action, likely explaining the results presented in Sects. 3.1 and 3.2. Indeed, these four reference cases correspond to rows 1, 3, 4, and 5 in Fig. 9. We seek to confirm this interpretation in the next section. To this end, we studied the impact of other characteristics differentiating both types of the dynamo model $\alpha\Omega$/BL, such as the location of the poloidal source term, which will lead us to the second row of Fig. 9.

## 4. Robustness of cycles in presence of an anti-solar DR

We show in the previous section how an $\alpha\Omega$ dynamo in the anti-solar DR regime can allow for a cyclic activity with global polarity reversals, considering deeply located poloidal field sources. We further complete what was considered in previous studies (e.g., Karak et al. 2020). We also note a change of dominant topology between both DR regimes. However, BL flux-transport models seem non-cyclic when an anti-solar DR is considered. In this section, we seek to understand what makes an anti-solar DR dynamo cyclic by exploring fundamental differences between the two anti-solar DR reference models of the previous section. We first study the role of the $\alpha$-effect location. Then we add a meridional circulation (MC) in order to investigate how it modifies the dynamo solutions. Finally, we explore the robustness of the physical interpretation that we proposed in the previous section concerning the stationarity of the anti-solar DR BL dynamo model.

### 4.1. Alpha effect location

One of the main differences between $\alpha\Omega$ and Babcock-Leighton models is the position of the poloidal magnetic field source term (see Fig. 3). In this section, we thus explore different locations for the poloidal generation. For this purpose, we considered an $\alpha\Omega$ dynamo model, in which we changed the $\alpha$-effect location using $r_1$ and $r_2$ from Eq. (7). An important point is
<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>**Fig. 8.** Left: meridional cut from 0.6 to $1 R_\odot$, of magnetic components for the reference BL dynamo model in anti-solar DR regime with $C_S = 30$ and $D = 4.2 \times 10^6$. Colors are mapped on a logarithmic scale for $B_\phi/B_0$, and black continuous contours are positive $A_\phi$ iso-contours, i.e., $B_{pol}$ clockwise-oriented field lines. Field lines above the surface $r = 1 R_\odot$ result from a potential extrapolation. Right: surface $B_r$ butterfly diagram for the same model, where we clearly see the stationarity of the solution. As in Fig. 5, a logarithmic color scale has been chosen.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>**Fig. 9.** Different steps of geometrical interpretations for $\alpha\Omega$ and BL dynamo models in various configurations. They start on the *left side* with the differential rotation (DR) shearing magnetic field lines, so-called *Omega-effect*. It is represented on the *first three columns*, for anti-solar DR on the top, and the solar one on the bottom (see horizontal grey arrows). The next part (*three next columns*) illustrates the Babcock-Leighton (BL) mechanism on the *first and last rows*, while the *three middle rows* illustrate the $\alpha$-effect. For BL models, we represent the polarity of star-spots (red and blue), current sheet (light grey lines) and the meridional circulation (MC) (darker grey arrows), respectively, in *Col*s. 4–6. For the $\alpha$-effect, *column 4* illustrates orientation of cyclonic motions with grey arrows. Finally, the *last columns* conclude the dynamo loop, with the presence of a cyclic activity when the final poloidal polarity is opposed to the initial one (bottom), or being stationary otherwise (top). More details are discussed in Sect. 3.3. The layout of this Figure is inspired from Sanchez et al. (2014).</figcaption></figure>
<table><caption>**Table 3.** α-effect is distributed through the tachocline and CZ for solar and anti-solar DR regimes.</caption><thead><tr><th>Cα</th><th>r<sub>1</sub>-r<sub>2</sub></th><th>⊙</th><th>Anti-⊙</th></tr></thead><tbody><tr><td>15</td><td>0.9-1</td><td>7.3</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.8-1</td><td>25.1</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.7-1</td><td>32.4</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.8-0.9</td><td>15.5</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.7-0.9</td><td>26.8 (18.9)</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.7-0.8</td><td>64.9 (9.7)</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.7-0.76</td><td>27.0 (9.0)</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.69-0.75</td><td>71.5 (10.3)</td><td>×</td></tr><tr><td>-15</td><td>0.69-0.75</td><td>×</td><td>71.5 (10.3)</td></tr><tr><td>-15</td><td>0.68-0.74</td><td>15.8</td><td>9.0</td></tr><tr><td><b>-15</b></td><td><b>0.67-0.73</b></td><td><b>31.8</b></td><td><b>17.7</b></td></tr></tbody></table>

**Notes.** We fix the dynamo number $D = 2.1 \times 10^6$, and magnetic cycle periods are expressed in years, considering a diffusive time, $t_η = 1550$ years. The period presented are extracted from surface magnetic dynamics. For some cases, a second cycle is present and its period is then indicated in parentheses. Both reference $\alpha\Omega$ dynamos described in the previous section (Sect. 3) are shown in bold type.

that here we are taking the opposite sign $C_α = 15$ when our $\alpha$-profile is significantly out of the tachocline, within the CZ. As previously discussed the kinetic helicity sign does indeed change at this transition, which directly impacts our $\alpha$-effect according to Eq. (11). We offer a systematic presentation of the models in their solar and anti-solar DR regime for the sake of completeness.

We consider various cases of the location of the $\alpha$-effect compared to the reference case: saddled slightly above the tachocline, extended into the CZ, and fully displaced into the CZ. The different runs are summarized in Table 3. In the last row we list the reference $\alpha\Omega$ models with the solar and anti-solar DR, discussed in Sect. 3. By keeping an equivalent radial width of the term, we then slightly shift upward its location toward the convection zone. We chose to switch the sign of $C_α$ as soon as $r_1$ is above $0.69R_⊙$. Cases with no magnetic cycles are labeled with a cross $\times$, otherwise the magnetic cycle period is indicated in years.

We see that the magnetic cycle disappears in the anti-solar rotation cases for $\alpha$-effects above $r_1 = 0.69$. It happens when the $\alpha$-source term is no longer spread enough on the tachocline, namely, when the poloidal generation is segregated from the main location of the toroidal one. For the sake of completeness, we added the case where the $\alpha$-effect is confined between $r_1 = 0.69$ and $r_2 = 0.75$ for both $C_α$ signs. It illustrates mirrors solutions, where solutions are mathematically switched when we invert one of both dynamo ingredients. The cyclic solutions for anti-solar DR regime is therefore only found when the $\alpha$-effect is saddled on the tachocline, where the radial shear is located. Such solutions therefore exist only in a very narrow parameter space. Meanwhile, the dynamo remains cyclic for solar rotation cases, as we used a classical distributed $\alpha$-effect in our models. It is noteworthy that these models would lose their cycles if $C_α$ is negative and $\alpha$ is segregated enough from the radial shear location, as shown in the last three rows of Table 3.

We show in Fig. 10 butterfly diagrams when the $\alpha$-effect is at the base of the CZ between $r_1 = 0.7$ and $r_2 = 0.76$ for one of the solar models. We clearly see on the top panel the Parker-

<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>**Fig. 10.** Butterfly diagram of solar $\alpha\Omega$ model at the base of the convection zone with $r_1 = 0.7$, $r_2 = 0.76$, $C_α = 15$, and $D = 2, 1.10^6$. Respectively, $B_φ$ at $r = 0.7$, detrended $B_r$ at the surface and full $B_φ$ at the surface (arbitrary units). A logarithmic color scale has been chosen to represent the middle and bottom panels. The middle panel is detrended from the long cycle.</figcaption></figure>

Yoshimura sign rule in toroidal $B_φ$ dynamics, exhibited poleward along with the equatorward branches. Here the radial expansions of $\alpha$ and $\partial_r\Omega$ indeed still faintly overlap at $r = 0.7$. Furthermore, we note that the sign change of $C_α$ induces similar dynamics to the reference anti-solar case shown in Fig. 6. Comparing the top panels of both models (e.g., Figs. 6 and 10), we see that the latitudinal extent and the amplitude have decreased; in particular, the strength of the polar branch. Indeed, we see that the $\alpha$-term is concentrated around low latitudes, but now its radial location has been pushed higher in the CZ. The poloidal field production is thus less intense at this radius ($r = 0.7$) and has a greater contrast between the polar and equatorial regions. Hence, the toroidal field production is less intense as well, especially at high latitudes. This has a direct consequence on the surface butterfly diagram, where the polarity coming from the pole is now notably less intense, leaving room mainly for the dynamics of the equator polarity going poleward. In addition, we note the presence of a second cycle for some cases where the $\alpha$-effect is located near the bottom of the CZ. We illustrate one of them on the middle panel of Fig. 10, for the case where the $\alpha$-effect is located between $r_1 = 0.7$ and $r_2 = 0.76$. In order to highlight such dynamics, the long magnetic cycle has been filtered from the surface butterfly diagram. It appears that such cases are highly sensitive to the numerical resolution, probably due to the particularly sharp profile of the $\alpha$-effect used here (see discussion in Sect. 5.2).
<figure><img src="image_136.png" /><figcaption>**Fig. 11.** Time-radius diagram of $B_\phi$ in solar $\alpha\Omega$ model with $C_\alpha = 15$ and $D = 2.1 \times 10^6$, for models with respectively a location of $\alpha$-term such that ($r_1, r_2$) = 0.7–0.8 ; 0.8–0.9 ; 0.9–1 (from bottom to top panel). The three are represented on the same radial and temporal ranges, with logarithmic color scales. We note the clear difference of propagation patterns and cycle period, and that the standard deviation of magnetic amplitude increases as the $\alpha$-effect location is deeper.</figcaption></figure>

The upper part of Table 3 corresponds to $\alpha$-effects spanning a large part of the convection zone. We first reiterate the absence of magnetic cycle for our anti-solar DR $\alpha\Omega$ cases, even if we increase the value of $C_\alpha$ by an order of magnitude. Dynamos of this type remain stationary and are illustrated on the second row of Fig. 9. Concerning the solar DR models, we find that the cycle period generally increases as the $\alpha$-effect is located deeper in the CZ and over a larger radial extent. We illustrate it in Fig. 11 with time-radius traces of $B_\phi$ for 3 models. We note again the Parker-Yoshimura sign rule, this time with dynamo waves propagating radially outward, thanks to the latitudinal shear $\partial_\theta\Omega$ (see Eq. (12)). Indeed, the $\alpha$-effect is now in the bulk of the CZ, where $B_\phi$ is generated only by the latitudinal shear, as there is no radial shear there.

Finally, we note again the presence of a shorter additional cycle in the model with the $\alpha$-effect located between $r_1 = 0.7, r_2 = 0.8$.

To summarize, we see that the magnetic cycle period in $\alpha\Omega$ dynamos depends on the location and thickness of our $\alpha$-source term. Moreover, we note in anti-solar DR regime that moving this poloidal source term away from the tachocline is enough to suppress the magnetic cycle. So the disappearance of cyclic behavior in our reference BL model (Sect. 3.2) is likely linked to the radial separation between both toroidal and poloidal sources. However, this is not the only particularity of such flux-transport

models. The meridional circulation plays a key role, linking dynamically the two sources of the magnetic fields. In the next section, we propose to study the effect of such a velocity field on $\alpha\Omega$ models, in particular the anti-solar ones.

## 4.2. Impact of the meridional circulation on $\alpha\Omega$ dynamo models

Observations of the Sun have revealed large-scale flows on the solar surface. In particular meridional flows from the equator toward the pole have been found at the surface, which may be evidence of a global meridional circulation in the convection zone, as illustrated in panel c of Fig. 3. Although its existence is well established down to $0.9 R_\odot$, disagreement still exist about what occurs deeper down (Giles et al. 1997, Zhao et al. 2013, Basu 2020).

As described in Sect. 2.3.2, MC is considered essential ingredient in the study of stellar magnetism dynamics in flux-transport models (Choudhuri et al. 1995, Jouve & Brun 2007 and Karak 2010). It is also a large-scale flow genuinely emerging in global 3D non-linear numerical simulations (Featherstone & Miesch 2015, Brun et al. 2017). Therefore, taking into account this physical ingredient is crucial in understanding the role of large-scale flows in the resulting dynamics.

The effects of the MC on $\alpha^2\Omega$ dynamos have been studied by Küker et al. (2001) and Bonanno et al. (2002, 2003). Following their lead, we here propose to consider similar models than in the previous section, shifting the poloidal field generation from the tachocline to the surface. As discussed earlier in this paper, we switched the sign of $C_\alpha$ according to the $\alpha$-term location. In addition, we now have to consider the magnetic Reynolds number characterizing the MC. We considered $R_m = 500$, as in the BL models described in Sect. 3.

Here, we present some of the results of these experiments (Table 4). First, we note that for both DR regimes, the meridional circulation makes it harder to maintain a cycle, as there are fewer cyclic models available for this parameter range. Once more, they are totally absent for the anti-solar regime when the poloidal generation is located in the bulk of the CZ, as expected based on Fig. 9. Additionally, we observe that the presence of the MC makes cyclic activity disappear when considering $\alpha$-effect locations near the surface. This might result from destructive interference, occurring in the polar dynamo branch, due to strong advection when the $R_m$ becomes high enough. Obviously, decreasing the MC amplitude is then one solution for recovering the polarity cycle. On the other hand, an increase by an order of magnitude of the $\alpha$-effect amplitude helps to recover the cycle. It shows the subtle balance between both $\alpha$-effect and MC, which determines which mechanism dominates the other. The model can be indeed significantly impacted by the MC when its amplitude, $u_0 = R_m\eta_l/R_\odot$, becomes comparable to the characteristic propagation speed of the dynamo waves.

When solar models remain cyclic, some cycle periods are shortened by the MC. Considering reasonable $R_m$ values, this can be understood as the meridional flow accelerating the migration of newly-generated toroidal magnetic field toward the surface source term. However, we show in Table 4 that there is no general trend and that the period may also increase. It indeed illustrates this subtle balance of the MC effect and the $\alpha$-generation well, as shown by Roberts & Stix (1972) or Yeates et al. (2008).

We then applied a MC to our $\alpha\Omega$ reference cases (from Sect. 3.2). The addition of this large-scale motion makes their cyclic activity disappear. As discussed earlier in this work, this
<table><caption>**Table 4.** α-effect from the tachocline, through the convection zone, with a meridional circulation, *R*<sub>m</sub> = 500 (50 for starred (*) case), for solar and anti-solar DR.</caption><thead><tr><th>C<sub>α</sub></th><th>r<sub>1</sub>-r<sub>2</sub></th><th>☉</th><th>Anti-☉</th></tr></thead><tbody><tr><td>15</td><td>0.95-1</td><td>×</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.9-1</td><td>×</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.8-1</td><td>21.1</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.7-1</td><td>24.0</td><td>×</td></tr><tr><td>15</td><td>0.8-0.9</td><td>23.4</td><td>×</td></tr><tr><td>-15</td><td>0.67-0.73</td><td>×</td><td>×</td></tr><tr><td>-15 (*)</td><td>0.67-0.73</td><td>24.4</td><td>121.8 (31.3)</td></tr></tbody></table>

**Notes.** Magnetic cycle periods are expressed in years, considering a diffusive time $t_η = 1550$ years. The period presented are extracted from surface magnetic dynamics.

is likely due to destructive interference from the strong advection of the MC. Cycles can be recovered by decreasing the MC amplitude, as shown on the last row of Table 4. This happens in this model for $R_m \sim 50$ and we propose to illustrate it in Fig. 12. We now clearly see the signature of the MC with an equatorward toroidal flux accumulation at the base of the CZ (top panel). The equatorial branch going poleward is now propagating slower, compared to the reference case in Fig. 6, while the polar branch propagates even quicker. Indeed, the action of the MC shortens locally the cyclic period of polar structures to 13 years, while it locally extends the cycle period of the equatorial dynamics to 31 years. This equatorward advection then accumulates more magnetic field in the equatorial branch. Equatorial cyclic patterns then rise toward the surface, where they govern the dynamics, as shown on the second panel. Time-radius panels confirm that indeed the short cycle remains confined to the base of the CZ for these low latitudes. Finally, we note that this 31.3-year cycle is not perfectly regular, which results in an even longer cycle at the surface in polar regions. Indeed, the global dipole polarity is reversed with a period of 121.8 years. When $R_m$ increases, this long cycle period increases, and the cycle ultimately disappears at large $R_m$. This is illustrated in the second to last row of Table 4, where the dynamo is stationary. We shown in the next subsection how adding a surface source term impacts this model.

In the end, adding a MC to αΩ models generally does not help to obtain a magnetic cycle if one did not exist before, regardless of the DR regime. Finally, studying the location of the poloidal source term in a flux transport model leads us to conclude that it is even more difficult to obtain a magnetic cycle the closer this term is to the surface. In particular, this allows us to conclude that the magnetic cycle loss of the anti-solar BL model is not caused by its non-local character, but rather by an unfavorable field polarity interplay.

### 4.3. Considering whether a Babcock-Leighton dynamo with an anti-solar DR could sustain a magnetic cycle

As we show in Sect. 3, the magnetic cycle disappears from our BL model when we impose an anti-solar DR regime and, therefore, the dynamo becomes stationary. We can see in previous subsections that this disappearance is likely caused by the location of the BL source term. The interplay between polarities could then lead to a flux addition, making global topology reversals impossible, as illustrated in Fig. 9. The goal of this section is, thus, to test the robustness of such a conclusion.

<figure><img src="image_137.png" /><figcaption>**Fig. 12.** Both top panels are butterfly diagrams of the anti-solar αΩ model with $C_α = -15$, $D = 2.1 \times 10^6$, where we added a MC with $R_m = 50$. The α-source term is at the base of the convection zone with $r_1 = 0.67$ and $r_2 = 0.73$. Respectively, $B_φ$ at $r = 0.7$ and $B_r$ at the surface. Both bottom panels represent time-radius plots, respectively for $B_φ$ and $B_r$ at $\lambda = 45^\circ$. Logarithmic color scales are chosen for second and last panels.</figcaption></figure>

To this end, we have carried out some exploration of the reference BL model's parameters space, investigating the different factors. The $C_Ω$ value has been decreased by up to a factor of 5, motivated by a stellar rotation rate, which is likely to be significantly lower in anti-solar DR regimes. The amplitude of the shear $\Delta\Omega/\Omega_{Eq} \sim 26\%$ has also been decreased up to 10 and 1% by changing coefficient of Table 1. Only the switch toward solar DR can bring the cyclic activity back. The impact of a double bump in the $\eta$ profile (see comment and references at the end of Sect. 3.1) has been explored as well. We changed the amplitude of the MC, decreasing it until 0, considering even clockwise circulation in the northern hemisphere (negative values for $R_m$). But as expected earlier, no magnetic cycle has been seen in our flux-transport BL model as soon as the anti-solar DR profile was set. All corresponding butterfly diagrams stay equivalent to the one presented in Fig. 8.
<figure><img src="image_138.png" /><figcaption>**Fig. 13.** Butterfly diagram of solar BL flux-transport model with $C_S = 30$ and $R_m = 500$, where an $\alpha$-source term is added. This term is saddled on the tachocline between $r_1 = 0.67$ and $r_2 = 0.73$, with $C_\alpha = -150$. Respectively, $B_\phi$ at $r = 0.7$ and $B_r$ at the surface. A logarithmic color scale has been chosen to represent the *bottom panel*.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_139.png" /><figcaption>**Fig. 14.** Butterfly diagram of solar BL flux-transport model with $C_S = 30$ and $R_m = 10$, where an $\alpha$-source term is added. This term is saddled on the tachocline between $r_1 = 0.67$ and $r_2 = 0.73$, with $C_\alpha = -15$. Respectively, $B_\phi$ at $r = 0.7$ and $B_r$ at the surface. A logarithmic color scale has been chosen to represent both panels.</figcaption></figure>

We try subsequently to add in this model the $\alpha$-profile providing a cycle in the anti-solar $\alpha\Omega$ model, from Sect. 3.2. We therefore couple the anti-solar BL-flux transport model to an additional $\alpha$-effect located between $r_1 - r_2 = 0.67-0.73$. Although the dynamo remains stationary with $C_\alpha = -15$, we need to decrease $C_\alpha$ below -70 in order to obtain a cyclic activity. We illustrate such a model in Fig. 13, where $C_\alpha = -150$. The top panel shows us the signature of the MC, with a strong equatorward accumulation of toroidal field in the equatorial region at the bottom of the CZ. We also note clear polarity inversions located at mid-latitudes at the tachocline and the surface, without polarity reversals of the global poloidal field. We also find very few changes in the cycle period with regard to $C_\alpha$ (based on models not included in this paper). On the other hand, the cycle period has been found to be mainly controlled by the MC dynamics in a advection-dominated regime.

In that sense, another way to obtain a cyclic behavior, while keeping $C_\alpha = -15$, is to decrease the MC amplitude. The dynamo then becomes cyclic when we go below $R_m \sim 25$. We illustrate such a model for $R_m = 10$ in Fig. 14, where we note again local polarity reversals. As a result of a weaker MC, we see on the top panel that they are now localized around the equator and emerging at the surface as shown in the bottom panel. Coming back to the schematic in Fig. 9, the polar dynamics can be interpreted here as the BL dynamo path on the first row, while the cyclic local dynamo around the equator can be illustrated with the third row.

We can conclude that in presence of the MC with an anti-solar DR, a BL source-term only will not be able to maintain a cyclic activity. However, an $\alpha$-effect can create global polarity reversals in the presence of a MC, but only if it is the only source of poloidal magnetic field, which then has to be located at the bottom of the convection zone. Indeed, we observe that global polarity reversals disappear at both poles when combining both $\alpha$-effect and BL-effect. Only a local cyclic dynamo near the equator is preserved in this hybrid case. Ultimately, we find

that the MC can prevent a cyclic behavior when it is fast enough (i.e., when the $R_m$ is large enough).

# 5. Context and discussions

## 5.1. Astrophysical context

The STELEM code used in this study computes mean-field equations in a dimensionless form. From a dynamical system point of view our interest was focused on keeping similar dynamo numbers, $D$, in order to conserve all our reference models in the same dynamical range. This explains why we do not have the exact solar magnetic cycle period for the reference $\alpha\Omega$ model of Sect. 3.1.

Now taking the astrophysical point of view, we could relax the constraint on keeping $D$ similar between models and fine-tune the solar period. This can be done by increasing the turbulent diffusivity $\eta_t$ through a decrease of $C_\Omega$ value. To this end, we can get the 22-year magnetic cycle period of our Sun, from the $\alpha\Omega$ model of Sect. 3.1, by decreasing $C_\Omega$ to $9.3 \times 10^4$. We thus still consider $\Omega_{Eq}/2\pi = 460$ nHz at its solar value, and keep $C_\alpha = -15$, which leads to new values for $t_\eta = 1030$ years, $\eta_t = 1.5 \times 10^{11} \text{cm}^2 \text{s}^{-1}$ and $\alpha_0 = 33.2 \text{ cm} \text{s}^{-1}$. We illustrate this model in Fig. A.1. Despite a better agreement with the observed magnetic solar period, the dynamical solution is highly similar to the reference model of Sect. 3.1, which confirms the interest of this study from the point of view of dynamical systems.

Moreover, global 3D numerical simulations of stellar convection show that anti-solar differential rotation (fast poles – slow equator) might emerge for high Rossby numbers with a transition around the unity. Hence, this DR regime is likely to occur for slow rotators, when considering equivalent convective characteristics. Following the same astrophysical point of view, we can adapt the rotation rate with lower $C_\Omega$. We note that thanks to the dimensionless form of the equations, the reference anti-solar DR $\alpha\Omega$ model in Sect. 3.2 can also be seen as a star rotating
slower than the Sun and less diffusive than $\eta_t = 10^{11} \text{ cm}^2 \cdot \text{s}^{-1}$, while conserving $C_\Omega = 1.4 \times 10^5$. Again, this approach leads to the same conclusions as the ones presented in this work.

## 5.2. Model context

For the sake of completeness, several points have to be addressed in order to present the context of our model choices and how to improve them in future work.

First, the analytical fit used in Eq. (6) captures most of the solar internal rotation properties, but does not account for radial variations within the convection zone. In particular, we do not take into account the near-surface shear layer (NSSL). Such a layer has been shown to have a potential impact on dynamo migration (Karak & Cameron 2016), and is particularly interesting in terms of the Babcock-Leighton dynamos as it introduces a shear near the location of poloidal field generation. Nevertheless, we do not yet know whether slow rotator with anti-solar DR would go on to develop an NSSL-like layer, thus, we opted to omit this aspect in the present study. We shall consider its inclusion in a future work.

Second, Eq. (11) gives us an expression of the parametrization of turbulence by the parameter $\alpha$ in the mean-field theory context. We chose to conserve $C_\alpha$ sign while transiting the DR regime as the kinetic helicity is likely to do as well. Nevertheless, this expression has several forms, especially if a current helicity term is meant to be taken into account, such that $\alpha = -\frac{\tau_c}{3}(\mathbf{u}' \cdot (\nabla \times \mathbf{u}')) - \frac{1}{c_p} \mathbf{j}' \cdot \mathbf{b}';$ as introduced by Pouquet et al. (1976), discussed in Brandenburg & Subramanian (2005), and illustrated in stellar convective shells of Warnecke et al. (2018). Recent global MHD numerical simulations of Brun et al. (2022) do not show any significant sign or behavior change of the current helicity profile between the different DR regimes.

Then multiple choices of meridional flow can be made in order to link toroidal and poloidal flux. As the amplitude of the solar MC is relatively low (observed around $10-20 \text{ m.s}^{-1}$ at the surface, and thought to be ~4 m.s$^{-1}$ at the base of the CZ), its inversion from helioseismology can be very difficult. Indeed, some observers detect multiple cells per hemisphere, while others do not (see Gizon et al. 2020 and references in Sect. 5.4.3 of Charbonneau 2020). In the meantime, global numerical simulations of stellar convection tend to predict multiple cells for solar DR against only one per hemisphere for the anti-solar regime (see Brun et al. 2017). Thus, this physical process is currently subject to debate and we refer interested readers to Featherstone & Miesch (2015) for a detailed theoretical study. Here, we chose a single cell hemispheric meridional flow to follow our objective of maintaining simplicity. Finally, other choices could have been made in order to link magnetic fluxes, such as diffusion-dominated model or turbulent pumping (see, respectively, Yeates et al. 2008 and Do Cao & Brun 2011). Such considerations come out of the scope of the present study.

We observe in Sect. 4.1 that second cycles with shorter periods can emerge in some cases when increasing the resolution of the numerical simulation. It happens near the tachocline, when the transition between stationary and cyclic dynamos appears for the anti-solar DR regime. It seems that the period of such models is very sensitive to the resolution, which is likely due to the sharpness of the chosen $\alpha$-profile. Nevertheless, numerical resolutions do not change the nature of our solution (cyclic or stationary) and, therefore, they do not affect the main conclusions of this study. This is the main reason why we report dynamo models with a resolution of $128 \times 256$, namely, to ensure a good solution convergence (as in the benchmark published in Jouve et al. 2008).

Next, deciding on which formulation to take for the $\alpha$-effect is not an easy task, as its profile is not simple to determine exactly, even from 3D simulations where all the 3D information is known (see Simard et al. 2016 for instance). We ultimately chose to use a similar profile to the one used in Bushby (2006), as it allows us to reproduce more faithfully the surface magnetic field of the Sun through simulation and to then explore which region is important for cyclic activity.

Moreover, we made the choice of an isotropic $\alpha$-effect for the sake of simplicity regarding the interpretation of our results. Indeed, it allows us to highlight quite clearly the role of each chosen ingredient and how they act in an anti-solar DR regime. Some studies seem to extract significantly anisotropic $\alpha$ tensors for fast rotators; however, this is not the case for slow rotators, where we are likely to find an anti-solar DR profile (Warnecke & Käpylä 2020).

With the same goal of maintaining simplicity, we decided to use $\alpha\Omega$ models instead of $\alpha^2\Omega$. Indeed, we assumed in these cases that a toroidal $\alpha$-effect would be negligible in comparison with the $\Omega$-effect, as $C_\alpha \ll C_\Omega$. This assumption seems to be supported by energy transfers study in decadal magnetic cycles of global MHD simulations (see e.g., Fig. 23 of Brun et al. 2022). However, the $\alpha^2\Omega$ model may still be relevant as the $\alpha$-effect operates in a very thin layer such as the tachocline (see Charbonneau 2020 and references therein). We tried to apply such an $\alpha^2\Omega$ model in some of our runs (not shown here) but did not find significant differences from a dynamical point of view. Nevertheless, we did not do it through the entire parameters space that we explored in this paper.

We note here that as we chose $C_\Omega \gg C_\alpha$ or $C_S$ for this study, therefore the toroidal magnetic energy is always higher than the poloidal magnetic energy. The ratio of these two energies can vary by two orders of magnitude for a given dynamo type, when modifying the $\alpha$-effect location. The models considered in this work produce a steady-state energy ratio between $1.8 \times 10^2$ and $2.4 \times 10^5$.

Using a different anti-solar DR profile that does not preserve the same shear properties applied in the present study, Karak et al. (2020) performed a study using $\alpha^2\Omega$ mean-field dynamos. Symmetric and antisymmetric $\alpha$-profiles were considered, adding anisotropy for some models. We note that these authors only considered profiles lying mainly in the bulk of the CZ, hence did not use negative $\alpha$-effect values. They conclude that global magnetic polarity reversals are possible for anti-solar DR, but only if a quenching of the DR shear by the magnetic field is prescribed.

We show here that global polarity reversals for anti-solar DR are possible without any retro-action on the part of the magnetic field on the large-scale flows by exploring dynamo mechanisms with deeper location than what was done before. However, we could extend our model out of the kinematic regime by taking into account this retro-action. This could be done in a future work for instance with the Malkus-Proctor effect (Malkus & Proctor 1975), characterizing the macroscopic feedback by the Lorentz force on the flows. Indeed, recent studies like Strugarek et al. (2017) and Brun et al. (2022) underline the major role of this feedback mechanism in dynamics of decadal solar-type magnetic cycles.

Non-linear feedback also occurs at small scale in dynamo action, and this aspect has been modeled as a simple alpha quenching in this work. Nevertheless, recent studies underline that mean-field coefficients can have non-trivial dependencies, for instance, in high Rossby regime where anti-solar DR are expected (see Warnecke et al. 2021, and reference therein). Such
complex feedbacks are beyond the scope of the present study and
shall be considered in future works (see also Pipin 2021).

6. Conclusions

In this work, we explore how the dynamo mechanism behaves
under different physical prescriptions of the mean-field theory.
Our main interest is to assess whether magnetic cycles could be
sustained in an anti-solar differential rotation regime. We con-
sider αΩ and Babcock-Leighton models of solar-type stars to
this end.

We first set up the two types of models, so that they may
reproduce the well-known characteristics of the dynamo in its
solar context, based on the exploration of the models by the com-
munity over the past half-a-century. We obtained similar surface
dynamics representative of those at work in our star: a cycle with
polarity reversal, a migration of the activity towards the equa-
tor as well as the diffusion of the opposite polarity towards the
poles during a cycle. We also found the expected characteristics
in each hemisphere at the bottom of the CZ for αΩ and BL mod-
els, namely, Parker-Yoshimura waves for the former and strong
equatorward migrating branches for the latter. The dynamo is, of
course, closed by an Ω-effect induced by a solar DR profile.

Reversing this DR profile toward an anti-solar regime, we
studied its effect on the dynamo mechanism. With a simple αΩ
dynamo model, we show that magnetic cycles can occur in anti-
solar DR regime with an α-effect saddled on the tachocline at
the base of the CZ. This result holds regardless of the α-effect
sign considered in the northern hemisphere (see mirror solutions
when inverting the sign of C_α), which seems to contradict what
has been postulated in previous studies as Karak et al. (2020)
that have mainly been focused on α-profiles distributed through-
out the bulk of the CZ. Additionally, they need to prescribe a
magnetic feedback in order to get global polarity reversals in
anti-solar DR regime, which is not the case for the present study.
Finally, we observed an increase of the cycle frequency, which
is nearly doubled, due to the emergence of a strong quadrupolar
component of the magnetic topology in this model.

In contrast, we show the disappearance of the cyclic behav-
ior, for positive α-effect in the CZ and BL model, once an anti-
solar DR regime is applied. We propose in Fig. 9 a geometrical
interpretation, relying on the fact that Coriolis effect in anti-solar
DR could lead to polar flux addition, instead of cancellation, in
the well-known solar DR regime. This could explain why no
global polarity reversals are observed in most of anti-solar DR
cases. In the solar DR regime, we found that the magnetic cycle
period in αΩ dynamos depends on the location and thickness of
our α-source term and it is generally longer for deeper locations
and broader source terms. Indeed, the closer to the surface the
α-effect, the less magnetic flux will have to be cancelled by the
next polarity in the cycle; hence, the cycle period is shorter.

In the anti-solar DR regime, we found that moving the α-
effect away from the tachocline is enough to suppress the mag-
netic cycle in such model; namely, if we segregate spatially both
the poloidal and toroidal source terms. The disappearance of
cyclic activity in BL models under anti-solar DR regime is there-
fore likely to be caused by the position of its poloidal source
term, rather than its non-local nature.

We further confirmed this finding by studying the influence
of MC. We concluded for all cases that the MC generally does
not help to obtain a magnetic cycle if one did not exist before.
This was also found in Bonanno et al. (2002) for α²Ω models.
For solar cases, it even sometimes leads to suppress the cyclical
behavior of some models which initially had it, especially when

the poloidal generation is located near the surface and the MC
(via R<sub>m</sub>) is relatively fast.

Finally, we completed this investigation by considering the
opposite side of the problem and trying to make the reference
anti-solar BL model cyclic. To this end, we tried to modify the
different parameters of the model, but the dynamo remained sta-
tionary in all cases. The only way we found it possible to make
a BL model with anti-solar DR cyclic was to consider an addi-
tional α-effect at the base of the CZ. In that case, the dynamo is
eventually cyclic, albeit with a polarity reversal occurring only
locally at mid and low latitudes.

In conclusion, we found that the BL model alone, in its sim-
plest expression and in the anti-solar DR regime, seems to pre-
vent any form of cyclic stellar activity. This is mainly due to a
flux addition, illustrated in Fig. 9 (also proposed by Karak et al.
2020 in their Fig. 1). We do not find a significant drop of the
large-scale magnetic field topology for anti-solar DR regime
that could explain a possible break of gyrochronology for slow
rotators, as proposed by Metcalfe & van Saders (2017). Like-
wise, the αΩ model generally do not produce cycle in the anti-
solar DR regime, except when the α-effect is localized at the
tachocline. The key point of such models is then the overlap
between the poloidal generation through α-effect and the toroidal
generation through radial shear. In these models we also do not
observed any drop of the large-scale field. Observational con-
straints on the magnetism of stars with anti-solar DR would
therefore provide a fantastic constraint on dynamo acting within
cool stars.

*Acknowledgements.* We thank the anonymous referee for constructive com-
ments that have led to the improvement of the manuscript. We also acknowl-
edge financial support by ERC Whole Sun Synergy grant #810218., funding by
INSU/PNST grant, CNES/Solar Orbiter and CNES/PLATO funds.

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**Appendix A: Fine-tuned α – Ω solar model**

<figure><img src="image_140.png" /><figcaption>**Fig. A.1.** Butterfly diagram of the reference αΩ model in solar DR regime of Figure 4, fine-tuned in order to get our Sun magnetic cycle period with $C_Ω = 9.3 \times 10^4$. We recall that for this specific case, 22 years correspond to 0.021 $t_η$.</figcaption></figure>
Appendix B: Meridional evolution of cyclic reference models

<figure><img src="image_141.png" /><figcaption>**Fig. B.1.** Meridional cut from 0.6 to 1 $R_\odot$, of magnetic components for three reference models of Section 3: Solar DR $\alpha\Omega$ dynamo (first line), the solar DR BL dynamo (second line) and the anti-solar DR $\alpha\Omega$ dynamo (third line). Colors are mapped on a logarithmic scale for $B_\phi/B_0$. Black continuous contours are positive $A_\phi$ iso-contours while dotted lines are for negative contours, i.e., $B_{pol}$ clockwise oriented field lines, and anti-clockwise respectively. Field lines above the surface $r = 1R_\odot$ result from a potential extrapolation. Four different time steps are proposed for each model. We recall that in this study 22 years correspond to 0.014 $t_\eta$.</figcaption></figure>
# CHAPITRE 6

## DYNAMO ET ACTIVITÉ MAGNÉTIQUE DANS LES SIMULATIONS NUMÉRIQUES 3D DES ÉTOILES DE TYPE SOLAIRE

### Sommaire

<table><tr><td>6.1</td><td>Observations d'activités cycliques dans les étoiles de type solaire</td><td>232</td></tr><tr><td>6.1.1</td><td>Méthodes d'observation</td><td>232</td></tr><tr><td>6.1.2</td><td>Tendances des périodes de cycles en fonction de la rotation</td><td>233</td></tr><tr><td>6.1.3</td><td>Impact de la métallicité</td><td>235</td></tr><tr><td>6.2</td><td>Impact de la rotation et de la masse sur le magnétisme des étoiles de type solaire</td><td>236</td></tr><tr><td>6.2.1</td><td>Analyse globale du magnétisme des modèles 3D de dynamos de type solaire</td><td>236</td></tr><tr><td>6.2.2</td><td>Présentation des différents régimes dynamo</td><td>240</td></tr><tr><td>6.3</td><td>Impact de la métallicité dans les dynamos de types solaires</td><td>246</td></tr><tr><td>6.3.1</td><td>Choix du chemin paramétrique</td><td>246</td></tr><tr><td>6.3.2</td><td>Construction des modèles de référence</td><td>247</td></tr><tr><td>6.3.3</td><td>Dynamique des écoulements moyens des modèles métalliques</td><td>250</td></tr><tr><td>6.3.4</td><td>Premiers résultats dynamo</td><td>253</td></tr><tr><td>6.4</td><td>Discussion et perspectives</td><td>257</td></tr></table>

Comme nous avons pu le voir en Section 1.2.3.3, des observations de champ magnétiques et d'activités cycliques ont été relevées sur d'autres étoiles de type solaire depuis des décennies. Les périodes caractéristiques de variations observées sur l'activité de surface vont typiquement de l'ordre de 1 an pour les cycles les plus courts, à une vingtaine d'années pour les cycles les plus longs constatés, tandis que pour certaines étoiles, aucune variation cyclique n'est constatée (Baliunas et al., 1995; Reiners, 2012; Boro Saikia et al., 2018; Jeffers et al., 2022). Une recherche active est actuellement en cours pour comprendre la variété d'activités observées, ainsi que les mécanismes à leur origine. En effet, c'est aussi en comprenant le magnétisme stellaire que nous pourrons d'autant mieux comprendre celui ayant lieu actuellement au sein du Soleil, ainsi que son évolution au cours du temps.

Pour cela, nous étudions dans ce chapitre les caractéristiques magnétiques de modèles de dynamos de type solaires, en se concentrant sur l'impact que peut avoir la rotation et la métallicité de l'étoile sur celles-ci. Après avoir vu au Chapitre 2 l'impact d'un champ magnétique sur les écoulements grandes échelles de 15 modèles d'étoiles, nous nous intéressons ici plus particulièrement à leur magnétisme, dans les différents régimes d'écoulements observés. Le chapitre précédent nous a déjà permis d'entrevoir l'impact de profils de rotation de type solaire et anti-solaire, dans un modèle de champ moyen cinématique en 2.5D. Nous étendons ici cette étude en régime dynamique et 3D, faisant varier cette fois-ci la rotation, la structure et la composition chimique de l'étoile.

Dans un premier temps, nous introduirons en Section 6.1 les contraintes observationnelles disponibles à ce jour sur l'activité magnétique cyclique des étoiles de type solaire. Nous reprendrons ensuite les 15 modèles dynamo du Chapitre 2 afin de présenter en Section 6.2 l'influence du nombre de Rossby sur leur magnétisme. Enfin, nous introduirons en Section 6.3 les résultats préliminaires d'une expérience numérique nous permettant
d'étudier cette fois-ci l'impact de la composition chimique du plasma stellaire sur les dynamos de type solaire, et ainsi d'ajouter à notre étude paramétrique 3D une dimension supplémentaire en métallicité.

## 6.1 Observations d'activités cycliques dans les étoiles de type solaire

Comme nous l'avons vu en Section 1.2.3.3 et 1.3.3, une grande diversité est observée dans le magnétisme des étoiles de type solaire. En effet, on observe différentes amplitudes et topologies de champ magnétique en fonction de différents paramètres stellaires. Différentes tendances ont notamment été observées en fonction du nombre de Rossby, caractérisant une évolution globale sur le temps de vie des étoiles (Donati & Landstreet, 2009; See et al., 2019b), montrant typiquement que les vieilles étoiles sur la MS sont peu actives. Cependant, le magnétisme solaire présente aussi des variations sur des échelles de temps bien plus courtes, avec en particulier son cycle d'activité de 11 ans. Les résultats cumulés de différentes campagnes observationnelles réalisées lors des dernières décennies ont montré que de telles variations cycliques sont aussi observées sur d'autres étoiles de type solaire. Nous proposons dans cette section un résumé de ces observations afin de remettre en contexte les simulations numériques que nous présenterons par la suite.

### 6.1.1 Méthodes d'observation

L'observation et la caractérisation de l'activité cyclique des étoiles peut se faire par le biais de différentes techniques. Si toutes reposent sur l'analyse de la lumière qu'elle nous émet, il est tout d'abord possible d'obtenir différentes informations en fonction de la longueur d'onde observée :

- Premièrement, l'observation des rayons-X émis par une étoile permettent de sonder l'évolution temporelle des zones les plus chaudes de l'atmosphère stellaire, typiquement sa couronne : on parle de *traceur coronal*. Relié au magnétisme, il permet ainsi de caractériser les variations du cycle solaire ou encore son activité éruptive (Orlando et al., 2000; Benz, 2008). La mesure de la luminosité X, normalisée par la luminosité bolométrique<fnref n="1" /> ($L_X/L_{bol}$), est en en ce sens un proxy d'activité stellaire régulièrement utilisé pour les autres étoiles (Pizzolato et al., 2003; Osten & Wolk, 2015; Reiners et al., 2022). De telles observations ont notamment permis à Sanz-Forcada et al. (2019) de relever récemment une activité coronale cyclique de 1.6 ans pour un jeune analogue solaire.

- Les mêmes auteurs ont en parallèle pu comparer ces observations de la couronne avec des observations de la chromosphère, région plus froide, nécessitant donc une observation dans des longueurs d'ondes plus grandes. Ils ont utilisé pour cela l'indice-S, historiquement défini au Mont-Wilson (Wilson, 1968), qui caractérise le niveau d'émissions du Calcium II dans les bandes H et K du domaine visible/proche UV. Ce *traceur chromosphérique* est très utilisé (voir aussi le traceur $R_{HK}^2$) et a notamment permis de caractériser l'activité des 111 étoiles de l'étude pionnière de Baliunas et al. (1995). On peut aussi noter les raies $H\alpha$ ou du Magnésium II qui peuvent aussi être utilisés comme traceurs chromosphériques.

- On peut ensuite citer les traceurs dits *photométriques*, s'intéressant à la surface directe de l'étoile (photosphère). Pour cela, il est possible d'observer certains cycles sans se concentrer sur une fenêtre spectrale restreinte, mais en observant directement tout le flux intégré sur le domaine visible (Lockwood et al., 2007). Lors de ces observations, on peut aussi s'intéresser au passage d'objets transitant devant l'étoile, qui vont alors diminuer le flux observé par occultation de la lumière. Cependant, si l'objet transitant occulte une tache stellaire, il peut en résulter une courte augmentation de la luminosité stellaire totale observée, due au fait que l'objet transitant est intrinsèquement plus lumineux que la tache qu'il occulte (voir par exemple Morris et al. 2017). Cela permet alors de traquer la présence de taches à la surface de ces astres, et dans certains cas de reconstruire des *diagrammes papillons* lorsque les transits sont assez

<footnote n="1">1. La luminosité sur la totalité du spectre électromagnétique reçu.</footnote>

<footnote n="2">2. https://pyastronomy.readthedocs.io/en/latest/pyaslDoc/aslDoc/sindex.html</footnote>
nombreux et que l'observation est prolongée. C'est ce qu'on a par exemple pu faire Netto & Valio (2020) pour reconstruire le cycle de 1.27 ans de la jeune étoile de type G Kepler-63.

— Il est ensuite possible de s'intéresser à l'élargissement des raies spectrales par effet Zeeman, sensible au champ magnétique à petite échelle Reiners (2012), bien que ce dernier reste complexe à caractériser. Si l'on s'intéresse de plus à la polarisation de la lumière reçu, la technique ZDI (Zeeman Doppler Imaging, Semel 1989, Donati & Brown 1997) permet alors de cartographier les champs magnétiques stellaires à grande échelle, et ainsi de révéler ses inversions globales pour caractériser les changements topologiques durant le cycle d'activité de surface (voir Lehmann et al. 2020; Brown et al. 2021), et donc pouvoir vérifier la présence de cycles de polarités (Jeffers et al., 2022).

— Il est aussi possible de sonder l'activité stellaire par l'intermédiaire de traceurs astéro-sismiques. En effet, il a été proposé par Woodard & Noyes (1985) que la fréquence d'oscillation des modes-p est sensible à l'activité de surface, ce qui a depuis été largement observé sur le Soleil avec un décalage en fréquences suivant l'oscillation du cycle de 11 ans (voir par exemple Salabert et al. 2015). De telles caractérisations ont par la suite été possibles sur d'autres étoiles observées par CoRoT et Kepler (García et al., 2010; Santos et al., 2018) bien qu'elles s'avèrent complexes, et pour l'instant réservées à un petit nombre d'étoiles. Cependant, l'avènement prochain des données de la mission TESS (Ricker et al., 2014) ou celles de la future mission PLATO (Rauer et al., 2014) permettront d'accéder à ces informations pour des étoiles bien plus nombreuses (Kiefer et al., 2019).

— Enfin, il est récemment devenu possible de sonder l'activité de surface par l'intermédiaire de l'interférométrie. Cette technique, déjà évoquée en Section 1.3.2, permet alors de résoudre la surface des étoiles les plus proches avec une précision plus fine que le rayon stellaire. Cependant, il est alors ici question de regarder les régions présentant des différences notables de températures et luminosités qui seraient présumées en lien avec le magnétisme, et donc potentiellement des régions actives (Roettenbacher et al., 2016; Parks et al., 2021). Cette technique a pour l'instant surtout permis des observations instantanées, mais se révèle prometteuse pour de prochain suivis fins sur l'évolution d'émergences, en surface d'étoiles autres que le Soleil.

### 6.1.2 Tendances des périodes de cycles en fonction de la rotation

Suite à différentes campagnes observationnelles sur plusieurs décennies, utilisant les différentes techniques présentées précédemment, de nombreuses traces de cycles ont maintenant été relevés sur les étoiles de type solaire. Afin de comprendre la physique sous-jacente de ces phénomènes, différentes tendances ont été inves- tiguées pour expliquer la période $P_{cyc}$ des cycles observés en fonction des paramètres stellaires. Une première étude menée par Noyes et al. (1984) a permis de constater que les cycles stellaires semblent suivre une relation du type $P_{cyc} \propto P_{rot}^n$, où $n > 0$, avec une valeur $n=1.25$ lorsque des types spectraux similaires sont considérés. Ils soulignent aussi la possibilité d'une dépendance au nombre de Rossby telle que $P_{cyc} \propto R^n$ lorsque différents types spectraux sont considérés de G à K. De plus, ils observent deux branches dans l'espace des paramètres ($P_{cyc}, P_{rot}$) (voir leur Figure 1 ainsi que Vaughan et al. 1980), qui seront par la suite caractérisées par la suite par Brandenburg et al. (1998) (voir aussi Saar & Baliunas 1992). Une première branche est dite active en possédant une plus forte variabilité chromosphérique $R_{HK}$ (voir Figure 2 de Brandenburg et al. (1998)) et où les cycles sont en moyenne plus longs que celui du Soleil (Schwabe). À l'inverse, la deuxième branche est dite inactive, où les variabilités chromosphériques sont plus faibles et où les cycles sont en moyenne plus courts que celui du Soleil. En se basant sur une décroissance de la variabilité $R_{HK}$ durant la vie des étoiles, ces auteurs proposent que les étoiles évoluent d'abord le long de la branche active, avant de bifurquer pour un certain $R_{HK}$ sur la branche inactive. Par la suite, ces tendances seront de nouveau mises en lumière par Bohm-Vitense (2007), qui soulignera que le Soleil semble statistiquement isolé entre les deux branches. Cependant, l'exis- tence robuste de ces deux branches ainsi qu'une possible évolution stellaire entre les deux fait débat. Nous proposons d'en discuter en l'illustrant par la Figure 6.1.
<figure><img src="image_142.png" /></figure>

FIGURE 6.1 – Versions revisitées du diagramme proposé par Bohm-Vitense (2007) où différentes étoiles sont représentées en fonction de leur période de rotation $P_{\text{rot}}$ et de cycle $P_{\text{cyc}}$ chromosphérique. Les deux panneaux représentent différents points reliés entre eux, il s'agit alors d'une même étoile présentant 2 périodes de cycles distinctes. **Gauche** : Les lignes noires représentent les branches proposées par Bohm-Vitense (2007), tandis que les zones grises représentent les branches proposées par Brandenburg et al. (1998). Les étoiles F sont représentées avec des triangles bleus, les étoiles G avec des ronds jaunes et les étoiles K avec des carrés rouges. Les flèches en pointillés représentent des propositions d'évolution en fonction du type spectral considéré. Crédit : Metcalfe & van Saders (2017). **Droite** : Les lignes en pointillés gris représentent les branches proposées dans Bohm-Vitense (2007), tandis que la ligne horizontale en pointillés noirs représente la demi-période du plus long cycle mesuré. Les différentes couleurs codifient la fiabilité de la période de cycle détectée : en rouge lorsque ce dernier est bien défini, vert lorsqu'on en trouve plusieurs ou bien qu'il est irrégulier, mais toujours bien détectable. Enfin, les points sont noirs lorsque la fiabilité est questionnée par les auteurs. Crédits : Boro Saikia et al. (2018).

Tout d'abord, nous voyons sur les deux panneaux que certaines étoiles montrent la présence de deux cycles distincts lorsque deux points sont reliés par un trait (pointillés légers à gauche et en trait plein vert à droite). Une interprétation possible serait que ces étoiles possèdent deux cycles, appartenant chacun à une branche différente, celui de courte période étant sur la branche inactive, et le plus long sur la branche active. Le panneau de gauche tiré de Metcalfe & van Saders (2017) montre ensuite les différents types spectraux des étoiles observées F, G et K (respectivement bleu, jaune et rouge). Les auteurs proposent alors un scénario d'évolution stellaire débutant sur la branche inactive, durant lequel la rotation de l'étoile ralentit par freinage magnétique (voir Section 1.3) et la période des cycles associés augmente. Une fois que l'étoile a atteint un certain taux de rotation, la perte de moment cinétique perdrait considérablement en efficacité (van Saders et al., 2016), tandis que la période de cycle continue de s'allonger, faisant alors bifurquer l'étoile de la branche basse (inactive) à la branche haute (active). La période de rotation à laquelle commencerait la bifurcation serait alors dépendante du type spectral considéré, et plus particulièrement au nombre de Rossby, et le cycle finirait par disparaître avec le temps. Néanmoins, un second point de vue plus critique revient à remettre en question la position de certains points observées dans ce diagramme, et par conséquent l'existence des deux branches. En effet, Boro Saikia et al. (2018) ont dans ce but rassemblé les données observationnelles et mis à jour le diagramme de Bohm-Vitense (2007) en s'intéressant à la fiabilité des cycles mesurés. En particulier, on note que les $P_{\text{cyc}}$ reliés aux points noirs ne sont pas considérés comme robustes au sens ou les barres d'erreur ne sont pas négligeables. Cela peut être dû à la faible amplitude, ou la période relativement longue de certains cycles en comparaison à leur temps d'observation, le tout combiné à des périodes durant lesquelles un manque de données ne permet pas d'échantillonner le signal temporel de manière adéquate (voir aussi la thèse de Egeland 2017). En se basant alors seulement sur les données en rouge et vert, la bimodalité en deux branches devient alors moins évidente, et l'interprétation plus confuse.

Ainsi, la dépendance de $P_{\text{cyc}}$ en fonction de la rotation ou du nombre de Rossby est actuellement sujet à débat d'un point de vue observationnel. Du point de vue théorique, les hypothèses de dynamo champ moyen en
régime cinématique pointent aussi vers une relation croissante $P_{cyc} \propto P_{rot}^n$, où $n \approx 1$. Cependant, la levée de l'hypothèse cinématique pourrait impliquer que $P_{cyc}$ est indépendant de la rotation, et donc que $n \approx 0$ (voir la discussion en Section 3 de Noyes et al. 1984). Par cette incertitude, les simulations numériques de dynamos convectives 3D sont apparus comme un outil de premier choix pour tenter d'élucider les mystères de ces dépendances, en résolvant de manière auto-cohérente dynamo et convection. Bien que les modèles 3D de dynamos convectives existent depuis de nombreuses années (Glatzmaier, 1985), la reproduction d'activités cycliques en leur sein est toutefois une avancée relativement récente (Ghizaru et al., 2010). Ce chapitre s'inscrira ainsi dans cette lignée en essayant d'apporter de nouveaux éléments de réponse sur l'origine des activités cycliques stellaires, à l'aide des simulations 3D présentées au Chapitre 2.

### 6.1.3 Impact de la métallicité

Nous avons vu précédemment que les observations de cycles stellaires se font maintenant sur différentes étoiles de type solaire (Baliunas et al., 1995; Boro Saikia et al., 2018), et que différentes tendances pourraient se dégager en fonction de la rotation de l'étoile. Si au commencement l'impact de la composition de l'étoile n'était pas au centre des priorités, de récentes études observationnelles ont commencé à investiguer l'impact de la métallicité, que nous proposons d'illustrer en Figure 6.2 avec l'analogue solaire HD 173701. Cette étoile a des paramètres très proches de ceux du Soleil, notamment une masse de $1 \pm 0.03 M_\odot$ et un rayon de $0.930 \pm 0.009 R_\odot$, tout en ayant une métallicité significativement plus élevée [Fe/H] = $0.3 \pm 0.1$. Le suivi de ses émissions chromosphériques (panneau du haut) et photométriques en bandes larges (panneau du bas) montre que cette étoile possède une activité cyclique de période $P_{cyc} = 7.4$ ans plus courte que celui du Soleil, tout en ayant une amplitude de variation plus élevée, au moins 2 fois pour la partie chromosphérique. En considérant la température effective de cette étoile $T_{eff} = 5488 \pm 77$ K et une période moyenne estimée à $P_{rot} = 29.8 \pm 3.1$ jours (García et al., 2014; Karoff et al., 2018), l'utilisation de la formule 3.19 nous donne une valeur de Rossby normalisée au Soleil de $\frac{R_{of}}{R_{of,\odot}} = 0.89 \pm 0.10$. On retrouve donc bien sur cet exemple comparatif la tendance de la relation $P_{cyc} \propto R^n$ qui semble être satisfaite avec $n > 0$. Cependant, une cause similaire pour l'augmentation de l'amplitude du cycle est moins certaine, les auteurs pointent sur un effet probable de la métallicité plus élevée, renforçant soit le champ magnétique de la dynamo, soit le contraste faculaire observé. De nouvelles comparaisons du Soleil avec des jumeaux solaires<fnref n="3" /> à métallicité différente seront nécessaires pour confirmer un tel effet, et des études numériques local de l'impact sur la convection de surface ont déjà débuté (Witzke in prep).

En plus de rechercher les variations à long terme sur la courbe de lumière d'une étoile (sur 1 à 10 ans), il est aussi possible de s'intéresser aux variations à court terme pour caractériser son magnétisme. C'est ce qui est fait par exemple en quantifiant le traceur photométrique $S_{ph}$ (écart-type des variations temporelles de la courbe de lumière sur 5 périodes de rotation, Mathur et al. 2014) qui permet alors d'obtenir la variabilité liée aux taches et faculae à la surface. Un traceur similaire noté $R_{per}$<fnref n="4" /> quantifie quant à lui l'écart entre le 5ᵉ et 95ᵉ percentiles de la courbe de lumière sur des temps variant avec les définitions. En comparant ce dernier pour les étoiles de l'échantillon Kepler, See et al. (2021) ont montré que les étoiles plus métalliques tendent à montrer un niveau de variabilité plus élevé pour des rotations et masses similaires.

<footnote n="3">3. Dont les paramètres sont encore plus proches de ceux du Soleil (voir par exemple Lorenzo-Oliveira et al. 2019).</footnote>

<footnote n="4">4. Il est important de rappeler ici que l'indice-S et $R_{HK}$ sont des traceurs chromosphériques mesurant le niveau d'un flux de raie spectrale, tandis que $S_{ph}$ et $R_{per}$ sont des traceurs photosphériques quantifiant l'amplitude de variation du flux en lumière blanche.</footnote>
<figure><img src="image_143.png" /><figcaption>FIGURE 6.2 – Comparaison de différentes observations entre le Soleil (en noir à droite) et le jumeau solaire HD 173701 (en bleu à gauche). Les panneaux du haut représentent les émissions chromosphériques de chaque étoile, tandis que les panneaux du bas représentent le flux visible normalisé en bande large observé par photométrie. Crédits : Karoff et al. (2018).</figcaption></figure>

## 6.2 Impact de la rotation et de la masse sur le magnétisme des étoiles de type solaire

Après avoir introduit le contexte observationnel actuel sur le magnétisme des étoiles de type solaire, nous reprendons maintenant les modèles stellaires 3D-MHD de l'étude Brun et al. (2022). Après y avoir étudié l'impact du magnétisme sur les écoulements tout au long du Chapitre 2, nous nous intéressons ici à l'impact de la rotation et de la masse sur les différentes dynamos à l'origine de ce champ magnétique. Pour cela, nous commencerons tout d'abord par analyser ce champ de manière globale en fonction du nombre de Rossby, avant de s'intéresser à son potentiel comportement cyclique.

### 6.2.1 Analyse globale du magnétisme des modèles 3D de dynamos de type solaire

#### 6.2.1.1 Comportement des réservoirs d'énergie magnétique

Afin de caractériser le magnétisme de ces modèles, on s'intéresse tout d'abord à l'énergie magnétique ME associée. En repartant de la définition de sa densité à l'équation (2.31), on décompose cette énergie en 3 composantes TME, PME et FME, définies telles que

$$ \text{TME} = \frac{1}{8\pi} \langle B_{\phi} \rangle_{\phi}^{2}, \qquad (6.1) $$

$$ \text{PME} = \frac{1}{8\pi} \left( \langle B_r \rangle_{\phi}^2 + \langle B_{\theta} \rangle_{\phi}^2 \right), \qquad (6.2) $$

$$ \text{FME} = \frac{1}{8\pi} \left[ \langle B_r - \langle B_r \rangle_{\phi} \rangle^2 + \langle B_{\theta} - \langle B_{\theta} \rangle_{\phi} \rangle^2 + \langle B_{\phi} - \langle B_{\phi} \rangle_{\phi} \rangle^2 \right]. \qquad (6.3) $$
<table><caption>TABLE 6.1 – Récapitulatif des densités d'énergies magnétiques (ME) moyennes pour chaque étoile simulée dans le Chapitre 2. On décompose ME en sa composante toroïdale axisymétrique (TME), sa composante poloïdale axisymétrique (PME) ainsi que la partie fluctuante non-axisymétriques (FME). On propose de représenter ME en pourcentage de l'énergie cinétique KE (voir Table 2.3), et les composantes TME, PME et FME en tant que proportions de ME. Nous rappelons aussi les nombres de Rossby fluide $Ro_f$ des différents modèles. Adapté de Brun et al. (2022)</caption><thead><tr><th>(erg/cm³)</th><th>Ro<sub>f</sub></th><th>ME (%KE) ×10<sup>6</sup></th><th>TME (%ME) ×10<sup>5</sup></th><th>PME (%ME) ×10<sup>4</sup></th><th>FME (%ME) ×10<sup>5</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>M05Sm</td><td>1.74</td><td>1.7 (17.7%)</td><td>6.7 (40.8%)</td><td>6.1 (3.7%)</td><td>9.2 (55.5%)</td></tr><tr><td>M05R1m</td><td>0.33</td><td>0.8 (3.9%)</td><td>2.5 (31.9%)</td><td>0.6 (0.7%)</td><td>5.3 (67.4%)</td></tr><tr><td>M05R3m</td><td>0.15</td><td>1.1 (1.5%)</td><td>7.6 (68.2%)</td><td>0.1 (0.1%)</td><td>3.5 (31.6%)</td></tr><tr><td>M05R5m</td><td>0.07</td><td>2.7 (98.2%)</td><td>8.8 (33.2%)</td><td>11.6 (4.4%)</td><td>16.7 (62.5%)</td></tr><tr><td>M07Sm</td><td>1.24</td><td>0.3 (7.6%)</td><td>2.0 (65.0%)</td><td>1.3 (4.3%)</td><td>0.9 (30.7%)</td></tr><tr><td>M07R1m</td><td>0.42</td><td>0.9 (18.5%)</td><td>2.8 (31.5%)</td><td>1.4 (1.5%)</td><td>5.9 (67.0%)</td></tr><tr><td>M07R3m</td><td>0.16</td><td>2.0 (57.8%)</td><td>9.4 (47.1%)</td><td>4.3 (2.2%)</td><td>10.2 (50.7%)</td></tr><tr><td>M07R5m</td><td>0.09</td><td>1.3 (116.2%)</td><td>0.8 (6.4%)</td><td>5.1 (3.9%)</td><td>11.7 (89.8%)</td></tr><tr><td>M09Sm</td><td>1.28</td><td>0.04 (1.4%)</td><td>0.3 (68.2%)</td><td>0.7 (16.8%)</td><td>0.1 (15.0%)</td></tr><tr><td>M09R1m</td><td>0.68</td><td>0.2 (5.7%)</td><td>1.9 (85.4%)</td><td>0.1 (0.6%)</td><td>0.3 (14.0%)</td></tr><tr><td>M09R3m</td><td>0.27</td><td>0.5 (4.4%)</td><td>4.3 (83.5%)</td><td>0.8 (1.5%)</td><td>0.8 (15.0%)</td></tr><tr><td>M09R5m</td><td>0.10</td><td>1.3 (49.3%)</td><td>4.1 (32.5%)</td><td>2.9 (2.2%)</td><td>8.3 (65.3%)</td></tr><tr><td>M11R1m</td><td>1.38</td><td>0.2 (12.1%)</td><td>0.9 (37.7%)</td><td>1.9 (7.9%)</td><td>1.3 (54.4%)</td></tr><tr><td>M11R3m</td><td>0.54</td><td>0.3 (8.8%)</td><td>2.7 (79.2%)</td><td>1.0 (2.8%)</td><td>0.6 (18.0%)</td></tr><tr><td>M11R5m</td><td>0.27</td><td>4.4 (192.3%)</td><td>1.8 (4.1%)</td><td>384.3 (88.1%)</td><td>3.4 (7.8%)</td></tr></tbody></table>

PME et TME sont ainsi les composantes axisymétriques moyennées sur l'axe $\phi$, représentant respectivement l'énergie magnétique associée aux composantes poloïdale et toroïdale du champ magnétique (voir l'illustration de la Figure 1.11). Par complémentarité, FME est donc la partie non-axisymétrique de cette énergie, représentative de la composante fluctuante du champ magnétique. Après avoir pris leur moyenne sur le volume simulé, nous listons les différentes composantes en Table 6.1 comme nous l'avions fait pour les densités d'énergies cinétiques en Table 2.3.

En repartant de l'analyse des énergies cinétiques faite en Section 2.5, on rappelle premièrement que l'énergie magnétique diminue globalement en fonction du nombre de Rossby, tout en ayant une dispersion non négligeable pour les plus hauts $Ro_f$ (voir Figure 19 de l'article 2.7). Cependant, on voit que la décomposition sur les composantes PME, TME et FME montre des subtilités dans cette variation. En effet, on note d'abord que la diminution de PME semble un peu plus prononcée à mesure que $Ro_f$ augmente, amenant ce réservoir à sa valeur minimale pour des rotateurs intermédiaires, puis on observe une augmentation pour les régimes anti-solaires à $Ro_f > 1$ (PME est la seule composante avec une dispersion limitée dans ce régime). Cela est potentiellement relié au fait que la dynamo de ces modèles est stationnaire, comme nous le verrons en Section 6.2.2. En proportion, PME représente souvent quelques pourcents de ME, et devient dominant dans le cas particulier de M11R5m (mais ce modèle demanderait à être évolué encore plus longtemps). TME suit quant à lui la tendance de l'énergie liée à la rotation différentielle DRKE. On observe tout d'abord une montée lorsque la rotation augmente, suite à la création de champ toroïdal par l'effet-Ω. Pour les rotateurs les plus rapides, on a vu que la rétroaction de la force de Lorentz vient ensuite réduire le contraste en DR par Ω-quenching. Le champ magnétique détruit alors sa source et on semble observer les prémices d'une saturation de TME pour les rotateurs les plus rapides. Cette tendance nécessitera d'autres modèles à faible nombre de Rossby pour être confirmée, mais pourrait être liée à la saturation d'activité observée sur les rotateurs rapides (voir par exemple Wright et al. 2011 ou See et al. 2019a). TME dépasse généralement 30% en proportion de ME, et devient même dominant pour les $Ro_f$ intermédiaires, ce qui est en partie la conséquence directe de la présence d'une tachocline dans nos modèles. Enfin, FME représente la composante principale dans la plupart des cas, illustrant la formation importante de champ magnétique non-axisymétrique par les mouvements convectifs non-linéaires.
<figure><img src="image_144.png" /><figcaption>FIGURE 6.3 – Équilibres énergétiques pour la composante magnétique toroïdale, sur chacun des 15 modèles dynamo, en fonction du nombre de Rossby fluide. On normalise les transferts pour une comparaison directe à la luminosité de l'étoile $L_*$. Crédits : Brun et al. (2022)</figcaption></figure>

Afin de mieux comprendre ces tendances, nous proposons au sein de l'étude Brun et al. (2022) une analyse des transferts d'énergie cinétique vers les réservoirs magnétiques TME et PME. Nous présentons ici les résultats concernant TME, et reportons le lecteur vers l'article en Section 2.7 pour l'analyse de PME. Les développements analytiques de l'Annexe A du même article nous permettent d'établir les différents termes de transferts pour le réservoir magnétique toroïdal axisymétrique, tels que

$$ \partial_t \text{TME} = Q_{\Omega} + Q_{\text{emf}}^{\text{TM}} - Q_{\text{TM}}^{\text{MC}} - Q_{\eta}^{\text{TM}} + C^{\text{TM}} - S^{\text{TM}}, \quad (6.4) $$

où les termes représentent respectivement l'effet-$\Omega$, la force électromotrice turbulente (emf), l'advection par la circulation méridienne, la dissipation ohmique, le terme de courbure ainsi que les termes de surfaces. Chacun de ces termes est calculé au sein des différents modèles puis normalisé à la luminosité $L_*$. Cela nous permet d'illustrer en Figure 6.3 les différents bilans d'énergie TME en fonction de $Ro_f$.

TME est majoritairement soutenu par l'effet-$\Omega$ (bleu) et saturé par la dissipation ohmique (violet), dans la plupart de nos modèles. Nous notons que le rôle de la force électromotrice turbulente est similaire à ce que modélise l'effet-$\alpha$ au sein des modèles dynamos champ moyen 2D (voir Section 1.1.6). Ici, elle peut changer de signe d'un modèle à l'autre, et même changer de signe temporellement au sein d'un cycle (voir Figure 21 de la Section 2.7). On note notamment un apport significatif à TME par l'emf durant les cycles courts, pointant alors vers un mécanisme de type $\alpha^2$-$\Omega$. Enfin, on note que la puissance totale soutenant le magnétisme axisymétrique est majoritairement dirigée vers TME, et est favorisée pour les $Ro_f$ intermédiaires où elle peut atteindre 3% de la luminosité stellaire au sein de nos modèles. Une telle quantité d'énergie magnétique est largement suffisante pour fournir l'énergie nécessaire aux nombreux phénomènes éruptifs se déroulant dans les étoiles de type solaire (Shibata et al., 2013; Katsova et al., 2018; Cliver et al., 2022).

### 6.2.1.2 Tendances du magnétisme en fonction du nombre de Rossby

Après avoir vu la répartition énergétique des dynamos de type solaire, nous nous intéressons ici aux tendances du champ magnétique dans notre échantillon de modèles, en représentant sur la Figure 6.4 différentes composantes magnétiques comme fonctions du nombre de Rossby fluide $Ro_f$.