# Sous-structures et catégories ordonnées

par

Ch. Ehresmann (Paris)

**Introduction.** Dans [1], nous avons défini la notion de sous-structure d'une structure dans une catégorie d'homomorphismes ($\mathcal{C}$, $p$, $\mathcal{A}$, $\mathfrak{S}$) lorsque $\mathcal{C}$ est munie d'une structure de catégorie inductive. Ici, nous allons généraliser cette notion, en définissant les $(\mathcal{C}', p)$-injections, où $(\mathcal{C}, p, \mathcal{A})$ est un foncteur de $\mathcal{A}$ vers $\mathcal{C}$, et $\mathcal{C}'$ une sous-catégorie de $\mathcal{C}$. En particulier, nous verrons que les résultats de [1a], § I, sont valables en remplaçant la catégorie inductive $(\mathcal{C}, <)$ par une catégorie ordonnée. Ensuite, nous définissons les catégories sous-préinductives et sous-inductives et étudions les propriétés du pseudo-produit.

Pour les définitions de catégories d'homomorphismes et d'espèces de structures, nous renvoyons à [1] et à [2]; pour la définition et les propriétés des catégories structurées, à [1a], § II.

Une structure de catégorie sur une classe $\mathcal{C}$ sera encore désignée par $\mathcal{C}$ (ou simplement par $\mathcal{C}$). Soit $\mathcal{C}$ une catégorie. Le composé de deux éléments $g$ et $f$ de $\mathcal{C}$, s'il est défini, est désigné par $g \cdot f$. Les applications source et but dans $\mathcal{C}$ sont notées $\alpha$ et $\beta$. La classe des unités de $\mathcal{C}$ (ou une classe d'objets) est représentée par le symbole $\mathcal{C}_0$; le groupe des éléments inversibles de $\mathcal{C}$ est noté $\mathcal{C}_v$.

**1. Rappel sur les quatuors.** Soit $\mathcal{C}$ une catégorie. Soit $\mathcal{C}$ la classe des quatuors de $\mathcal{C}$, c'est-à-dire [1] des quadruplets $(g', f', g, f)$, où $g \in \mathcal{C}$, $f \in \mathcal{C}$, $f' \in \mathcal{C}$ et $g' \in \mathcal{C}$, tels que les composés $f' \cdot g$ et $g' \cdot f$ soient définis et égaux.

Rappelons [1] que $\mathcal{C}$ est une catégorie double $(\mathbb{1}\mathcal{C}, \mathbb{2}\mathcal{C})$ pour les multiplications longitudinale et latérale suivantes:

$$ \begin{align*} (\bar{g}', \bar{f}', \bar{g}, \bar{f}) \sqcap (g', f', f, g) &= (\bar{g}', \bar{f}' \cdot f', \bar{f}' \cdot f, g) & \text{si, et seulement si, } \bar{g} &= g'; \\ (\bar{g}', \bar{f}', \bar{g}, \bar{f}) \sqcup (g', f', f, g) &= (\bar{g}' \cdot g', \bar{f}', f, \bar{g} \cdot g) & \text{si, et seulement si, } \bar{f} &= f'. \end{align*} $$

Soit $\mathcal{C}'$ une sous-catégorie de $\mathcal{C}$; nous désignerons par $\mathbb{1}(\mathcal{C})$ la sous-classe de $\mathcal{C}$ formée des quatuors $(g', f', g, f)$ tels que $f \in \mathcal{C}'$ et $f' \in \mathcal{C}$; c'est une sous-catégorie double $(\mathbb{1}(\mathcal{C}), \mathbb{2}(\mathcal{C}))$ de $(\mathbb{1}\mathcal{C}, \mathbb{2}\mathcal{C})$. Soit $\mathbb{1}(\mathcal{C})$ la classe des quatuors tels que $q \in \mathcal{C}'$, $g' \in \mathcal{C}$.
Soit $(C, p, \mathcal{H}, \mathfrak{S})$ une catégorie d'homomorphismes. Alors $(\mathbb{C}C, \square p, \square \mathcal{H}, \square(\mathcal{H}; \mathfrak{S}))$ et $(\square C, \square p, \square \mathcal{H}, \square(\mathfrak{S}; \mathcal{H}))$ sont des catégories d'homomorphismes, où $\square p$ désigne le foncteur (double)

$$ (g', f', g) \to (p(g'), p(f'), p(f), p(g)). $$

Pour qu'un quadruplet $\mathcal{G}$ d'éléments de $\mathcal{H}$, $(k', k', h', h, k)$, appartienne à $\square \mathcal{H}$, il faut et il suffit que:

$$ \alpha(h) = \alpha(k), \quad \beta(h) = \alpha(k'); \quad \alpha(h') = \beta(k), \quad \beta(h') = \beta(k') $$

et que l'on ait $(p(k'), p(h'), p(h), p(k)) \in \mathbb{C}C$. Par suite le quatuor $\mathcal{G}$ pourra aussi être écrit sous l'une des formes suivantes:

$$ (k', \square p(\mathcal{G}), k) \text{ ou } (k', p(h'), p(h), k). $$

**2. (C', p)-injections.** Soient $C$ et $\mathcal{H}$ deux catégories et $(C, p, \mathcal{H})$ un foncteur. Soit $\mathcal{C}'$ une sous-catégorie de $C$.

**DÉFinition 1.** On appellera $(C', p)$-injection un élément $j$ de $\mathcal{H}$ vérifiant les conditions suivantes:

(i) $p(j) \in \mathcal{C}'$.

(ii) Pour tout $\bar{g} \in \mathcal{H}$ tel que $\beta(\bar{g}) = \beta(j)$ et $p(\bar{g}) = p(j) \cdot g'$, où $g' \in C$, il existe $\bar{g}' \in \mathcal{H}$ tel que $\bar{g} = j \cdot \bar{g}'$ et $p(\bar{g}') = g'$.

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Remarquons que l'élément $\bar{g}'$ dont la condition (ii) assure l'existence peut ne pas être unique.

**EXEMPLES.** 1. Si $C = \mathcal{C}'$ est la catégorie des couples $(s', s)$, où $s \in \mathcal{H}_0$ et $s' \in \mathcal{H}_0$, et si $p$ est le foncteur $[\beta, a]$, alors $j$ est une $(C, [\beta, a])$ injection si, et seulement si, $j$ admet un inverse à droite dans $\mathcal{H}$.

2. Si $\mathcal{C}'$ est la catégorie des monomorphismes stricts de $C$ [3], les $(C', p)$-injections sont les monomorphismes stricts de $\mathcal{H}$ dont l'image par $p$ est un monomorphisme strict de $C$, si $(C, p, \mathcal{H}, \mathcal{H}_0)$ est une catégorie d'homomorphismes.

**PROPOSITION 1.** La classe $\mathcal{H}_2(\mathbb{C}C, \mathcal{P})$ (notée aussi $\mathcal{H}_2$) des $(C', p)$-injections est une sous-catégorie de la catégorie $p^{-1}(C')$.

**Démonstration.** Si $j \in \mathcal{H}_2$, on a évidemment $\alpha(j) \in \mathcal{H}_2$ et $\beta(j) \in \mathcal{H}_2$. Soient $j \in \mathcal{H}_2$ et $j' \in \mathcal{H}_2$ tels que $j'' = j'$. $j$ soit défini. Alors $p(j'')$ appartient à $\mathcal{C}'$. Soit $\bar{g} \in \mathcal{H}$ tel que $\beta(\bar{g}) = \beta(j'')$ et $p(\bar{g}) = p(j'') \cdot g'$. Comme $j' \in \mathcal{H}_2$ et $p(\bar{g}) = p(j') \cdot (p(j) \cdot g')$, il existe $\bar{g}' \in \mathcal{H}$ tel que:

$$ \bar{g} = j' \cdot \bar{g}' \quad \text{et} \quad p(\bar{g}') = p(j) \cdot g''. $$

Puisque $j \in \mathcal{H}_2$, il existe $\bar{g}'' \in \mathcal{H}$ tel que:

$$ \bar{g}' = j \cdot \bar{g}'' \quad \text{et} \quad p(\bar{g}'') = g''. $$

Par suite:

$$ \bar{g} = j' \cdot j \cdot \bar{g}'' = j'' \cdot \bar{g}'' \quad \text{et} \quad j' \in \mathcal{H}_2. $$

Dans la fin de ce paragraphe, nous poserons:

$$ \mathcal{H} = \mathbb{C}(C; C') \quad \text{et} \quad \bar{\mathcal{H}} = \mathbb{C}(\mathcal{H}; \mathcal{H}_2). $$

**DÉFinition 2.** On dira que $\bar{h}' \in \mathcal{H}$ est un $(C', p)$-sous-homomorphisme de $\bar{h} \in \mathcal{H}$, et on écrira $\bar{h}' \prec_{(C', p)} \bar{h}$, ou $\bar{h}' \prec \bar{h}$, s'il existe

$$ (\bar{h}, j', j, \bar{h}') \in \bar{\mathcal{H}}. $$

En particulier si $s \in \mathcal{H}_0$ et $S \in \mathcal{H}_0$, on a:

$$ s \preceq S \text{ si, et seulement si, il existe } j \in \mathcal{H}_2 \text{ tel que } \alpha(j) = s, \beta(j) = S. $$

Si $\bar{h}' \prec \bar{h}$, on a aussi $\alpha(\bar{h}') \preceq \alpha(\bar{h})$ et $\beta(\bar{h}') \preceq \beta(\bar{h})$.

**PROPOSITION 2.** Soient $\bar{h} \in \mathcal{H}$, $j \in \mathcal{H}_2$ et $j' \in \mathcal{H}_2$ tels que:

$$ \alpha(\bar{h}) = \beta(j) \quad \text{et} \quad \beta(\bar{h}) = \beta(j'). $$

$$ S'il existe H = (p(\bar{h}), p(j'), p(j), \bar{h}') \in \mathcal{H}, \text{ alors il existe} $$

$$ H = (\bar{h}, j', j, \bar{h}') \in \mathcal{H} \text{ tel que } \square p(\bar{H}) = H. $$

En effet les conditions: $j' \in \mathcal{H}_2$ et

$$ p(\bar{h} \cdot j) = p(\bar{h}) \cdot p(j) = p(j') \cdot h' $$

assurent l'existence de $\bar{h}' \in \mathcal{H}$ tel que $p(\bar{h}') = \bar{h}'$ et $j' \cdot \bar{h}' = \bar{h} \cdot j$.

**PROPOSITION 3.** Soient $\bar{h} \in \mathcal{H}$, et $\bar{h}' \in \mathcal{H}_0$. S'il existe $j \in \mathcal{H}_2$ tel que $\alpha(j) = \alpha(\bar{h}')$, $\beta(j) = \alpha(\bar{h})$ et $(p(\bar{h}), j', p(j), p(\bar{h})) \in \mathcal{H}$, alors on a: $\bar{h} \cdot j \cdot \bar{h}^{-1} \in \mathcal{H}_2$ et $\bar{h}' \prec_{(C', p)} \bar{h}$.

**Démonstration.** Posons $j' = \bar{h} \cdot j \cdot \bar{h}^{-1}$. On a $p(j') = j' \in \mathcal{C}'$. Soit $\bar{g} \in \mathcal{H}$ tel que $\beta(\bar{g}) = \beta(j')$ et $p(\bar{g}) = p(j') \cdot g'$. Comme

$$ p(\bar{h}^{-1} \cdot \bar{g}) = p(\bar{h})^{-1} \cdot p(j') \cdot g' = p(j) \cdot p(\bar{h}^{-1}) \cdot g' $$

et que $j \in \mathcal{H}_2$, il existe $\bar{g}'_1 \in \mathcal{H}$ tel que:

$$ \bar{h}^{-1} \cdot \bar{g} = j \cdot \bar{g}'_1 \quad \text{et} \quad p(\bar{g}') = p(\bar{h}^{-1}) \cdot g' $$

Posons $\bar{g}' = \bar{h}' \cdot \bar{g}'_1$. On trouve: $p(\bar{g}') = g'$ et:

$$ \bar{g} = (\bar{h} \cdot j) \cdot \bar{g}'_1 = (j' \cdot \bar{h}') \cdot (\bar{h}'^{-1} \cdot \bar{g}') = j' \cdot \bar{g}' $$

Donc $j' \in \mathcal{H}_2$; par suite $(\bar{h}, j', j, \bar{h}') \in \bar{\mathcal{H}}$ et $\bar{h}' \prec \bar{h}$.

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Dans la fin de ce paragraphe, nous supposons que $(C, p, \mathcal{H}, s)$ est une catégorie d'homomorphismes. Un élément $\bar{h}$ de $\mathcal{H}$ sera représenté par le triplet $(\beta(\bar{h}), p(\bar{h}), a(\bar{h}))$.

Pour que $j \in \mathcal{H}$ soit une $(C', p)$-injection, il faut et il suffit que

(i) $p(j) \in C'$.

(ii) La condition:

$$ \bar{g} = (\beta(j), p(j) \cdot g', S') \in \mathcal{H} \quad \text{entraîne:} \quad \bar{g}' = (\alpha(j), g', S') \in \mathcal{H}. $$

Remarque. Les conditions: $j \in \mathcal{H}_{\prec}$ et $p(j) \in C_{\gamma}$ entraînent $j \in \mathcal{H}_{\gamma}$. En effet, de la relation: $\beta(j) = (\beta(j), p(j) \cdot p(j)^{-1}, \beta(j)) \in \mathcal{H}$, il résulte: $j' = (\alpha(j), p(j)^{-1}, \beta(j)) \in \mathcal{H}$. Comme $j' \cdot j = \alpha(j)$ et $j' \cdot j' = \beta(j)$, on en déduit $j' = j^{-1}$ et $j \in \mathcal{H}_{\gamma}$.

**PROPOSITION 4.** Soient $j$ et $j'$ deux $(C', p)$-injections telles que $\beta(j) = \beta(j') = S$. S'il existe $f' \in C'$ avec $p(j) \cdot f' = p(j')$, alors $j'' = (\alpha(j), f', \alpha(j'))$ est une $(C', p)$-injection et $j \cdot j'' = j'$.

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**Démonstration.** Posons $s = \alpha(j)$ et $s' = \alpha(j')$. La relation:

$$ j' = (S, p(j) \cdot f', s') \in \mathcal{H} \quad \text{entraîne} \quad j'' = (s, f', s') \in \mathcal{H} $$

puisque $j \in \mathcal{H}_{\prec}$. Supposons $\bar{g} = (s, p(j'') \cdot g', S') \in \mathcal{H}$. On a:

$$ j \cdot \bar{g} = (S, p(j) \cdot f' \cdot g', S') = (S, p(j') \cdot g', S') \in \mathcal{H} $$

et, comme $j' \in \mathcal{H}_{\prec}$, on obtient:

$$ (s', g', S') \in \mathcal{H}, \quad \text{donc} \quad j \in \mathcal{H}_{\prec}. $$

**COROLLAIRE.** Si $S$ contient $\mathcal{H}_{\gamma}$, les conditions:

$$ j \in \mathcal{H}_{\prec}, \quad j' \in \mathcal{H}_{\prec}, \quad \beta(j) = \beta(j') \quad \text{et} \quad p(j) = p(j') $$

entraînent: $j = j'$.

**Démonstration.** Ces conditions entraînent, d'après la proposition 4: $(s, p(s), s') \in \mathcal{H}_{\prec}$ et, de la remarque précédant la proposition 4, on déduit $(s, p(s), s') \in \mathcal{H}_{\gamma}$, donc $s = (s, p(s), s') = s'$, puisque $(C, p, \mathcal{H}_{\gamma})$ est une espèce de structures.

Remarque. Si $C'$ contient des éléments $f$ tels que $\alpha(f) = \beta(f)$, il peut exister des $(C', p)$-injections $j$ telles que $\alpha(j) = \beta(j)$.

**PROPOSITION 5: Les conditions:**

$$ \begin{array}{l} j \in \mathcal{H}_{\prec}, \quad j' \in \mathcal{H}_{\prec}, \quad \bar{h} = (\beta(j'), h, \beta(j)) \in \mathcal{H} \quad \text{et} \quad (h, p(j'), p(j), \bar{h}') \in \mathcal{H} \\ \text{entraînement: } \bar{h}' = (\alpha(j'), h', \alpha(j)) \in \mathcal{H} \text{ et } \bar{h}' \succ \bar{h}. \quad \text{Si de plus on a } \bar{h} \in \mathcal{H}_{\gamma} \text{ et} \\ \qquad h' \in C_{\gamma}, \text{ alors } \bar{h}' \in \mathcal{H}_{\gamma}. \end{array} $$

En effet, d'après la proposition 2, on a $\bar{h}' \in \mathcal{H}$. Si de plus $\bar{h} \in \mathcal{H}_{\gamma}$ et $h' \in C_{\gamma}$, on a aussi:

$$ (h^{-1}, p(j), p(j'), h'^{-1}) \in \mathcal{H}, \quad \text{donc:} \quad \bar{h}'_1 = (\alpha(j), h'^{-1}, \alpha(j')) \in \mathcal{H}. $$

Comme $\bar{h}'_1 \cdot \bar{h}' = \alpha(j)$ et $\bar{h}' \cdot \bar{h}'_1 = \alpha(j')$, on obtient $\bar{h}' \in \mathcal{H}_{\gamma}$.

Dans le théorème suivant, nous posons:

$$ [\bar{h}] = (\bar{h}, \beta(\bar{h})), \alpha(\bar{h}), \bar{h}) \in (\Box \mathcal{H})_0, \quad \text{où } \bar{h} \in \mathcal{H}. $$

$$ [\bar{h}] = (\bar{h}, \beta(\bar{h})), \alpha(\bar{h}), \bar{h}) \in (\Box C)_0, \quad \text{où } \bar{h} \in C. $$

**THÉORÈME 1.** Les conditions suivantes sont équivalentes, où $\bar{h} \in \mathcal{H}$ et $\bar{h}' \in \mathcal{H}$:

(i) $\bar{h}' \prec_{(C', p)} \bar{h}$.

(ii) $\mathcal{I}$ existe $(\bar{h}, j', j, \bar{h}') \in (\Box \mathcal{H})_{\prec(\mathcal{I}, \Box p)}$ tel que $\mathcal{I}$ on ait

$$ (\beta(\bar{h}), j', j', \beta(\bar{h}')) \in (\Box \mathcal{H})_{\prec(\mathcal{I}, \Box p)}. $$

**Démonstration.** Soient $\bar{h} = (S_1, h, S)$ et $\bar{h}' = (s_1, h', s)$. Supposons $\bar{h}' \succ \bar{h}$. Par définition, il existe $j \in \mathcal{H}_{\prec}$ et $j' \in \mathcal{H}_{\prec}$ tels que

$$ J = (\bar{h}, j', j, \bar{h}') \in \Box \mathcal{H} \quad \text{et} \quad \Box p(J) \in \mathcal{H}. $$

Soit $\bar{G} = (\bar{h}, \Box p(J) \cdot G', \bar{k}) \in \Box \mathcal{H}$, où $G' = (h', g'_1, g', p(\bar{k})) \in \Box C$. Comme

$$ \bar{G} = (\bar{h}, p(j') \cdot g'_1, p(j) \cdot g', \bar{k}), $$

on a $(S, p(j) \cdot g', \alpha(\bar{k})) \in \mathcal{H}$ et $(S_1, p(j') \cdot g'_1, \beta(\bar{k})) \in \mathcal{H}$. Les conditions: $j \in \mathcal{H}_{\prec}$ et $j' \in \mathcal{H}_{\prec}$ entraînent:

$$ \bar{g}' = (s, g', \alpha(k)) \in \mathcal{H} \quad \text{et} \quad \bar{g}'_1 = (s_1, g'_1, \beta(\bar{k})) \in \mathcal{H}. $$

Puisque $G' \in \Box C$, on en déduit:

$$ \bar{G}' = (\bar{h}', \bar{g}'_1, \bar{g}', \bar{k}) \in \Box \mathcal{H}, \quad \text{d'où} \quad [\bar{h}'] \succ [\bar{h}]. $$
Inversement supposons $[\bar{h}] \prec [\bar{h}]$; c'est-à-dire il existe une $(\mathcal{H}, \Box p)$-injection $J = (\bar{h}, j', j, \bar{h})$. Alors $p(j) \in \mathcal{C}'$ et $p(j') \in \mathcal{C}$. Supposons:

$$ \bar{g} = (\alpha(\bar{h}), p(j) \cdot g', S') \in \mathcal{H}. $$

Des relations:

$$ \bar{G} = (\bar{h}, \bar{h} \cdot \bar{g}, \bar{g}, S') \in \Box \mathcal{H} $$

et

$$ \Box p(\bar{G}) = (h, h \cdot p(j) \cdot g', p(j) \cdot g', p(S')) = (\Box p(J)) \Box (h', h' \cdot g', g', p(S')) $$

il résulte:

$$ (\bar{h}', h' \cdot g', g', S') \in \Box \mathcal{H}. $$

Par suite:

$$ (s, g', S') \in \mathcal{H} \text{ et } j \in \mathcal{H}_{\prec}. $$

Si de plus $(\beta(\bar{h}), j', \bar{h}'; \beta(\bar{h})) \in (\Box \mathcal{H})_{\prec}(\mathcal{U}, \Box p)$, on a de même $j' \in \mathcal{H}_{\prec}$ et par conséquent $\bar{h}' \prec_{(\mathcal{C}', \mathcal{P})} \bar{h}$.

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COROLAIRE. $s \prec_{(\mathcal{C}', \mathcal{P})} S$ est équivalent à $[s] \prec_{(\mathcal{U}, \Box p)} [S]$, où $s \in \mathcal{H}_0$ et $S \in \mathcal{H}_0$.

**3. Transitivité.** Soient $(\mathcal{C}, p, \mathcal{H})$ et $(\mathcal{H}, \bar{p}, \bar{\mathcal{H}})$ deux foncteurs. Soient $\mathcal{C}'$ une sous-catégorie de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{H}'$ une sous-catégorie de $\mathcal{H}$.

**PROPOSITION 6.** Si $\bar{j} \in \bar{\mathcal{H}}$ est une $(\mathcal{H}', \bar{\mathcal{H}})$-injection et si $\bar{p}(\bar{j})$ est une $(\mathcal{C}', p)$-injection, alors $\bar{j}$ est une $(\mathcal{C}', p\bar{p})$-injection.

**Démonstration.** Soit $\bar{g} \in \bar{\mathcal{H}}$ tel que $\beta(\bar{g}) = \beta(\bar{j})$ et $p\bar{p}(\bar{g}) = p\bar{p}(\bar{j}) \cdot g'$. Comme $\beta(\bar{p}(\bar{g})) = \beta(\bar{p}(\bar{j}))$ et $\bar{p}(\bar{j}) \in \mathcal{H}_{\prec}((\mathcal{C}', \mathcal{P}))$, il existe $g'_i \in \mathcal{H}$ tel que $\bar{p}(\bar{g}) = \bar{p}(\bar{j}) \cdot g'_i$ et $p(g'_i) = g'$. Puisque $\bar{j}$ est une $(\mathcal{H}', \bar{p})$-injection, il existe $\bar{g}' \in \bar{\mathcal{H}}$ tel que:

$$ \bar{g} = \bar{j} \cdot \bar{g}' \quad \text{et} \quad \bar{p}(\bar{g}) = g'_i, \quad \text{d'où} \quad p\bar{p}(\bar{g}') = g'. $$

Donc $\bar{j}$ est une $(\mathcal{C}', p\bar{p})$-injection.

**PROPOSITION 7.** Si $(\mathcal{C}, p, \mathcal{H}, \mathcal{S})$ est une catégorie d'homomorphismes et si $\bar{j} \in \bar{\mathcal{H}}$ est une $(\mathcal{C}', p\bar{p})$-injection telle que $\bar{p}(\bar{j}) \in \mathcal{H}'$, alors $\bar{j}'$ est une $(\mathcal{H}', \bar{p})$-injection.

**Démonstration.** Soit $\bar{g} \in \bar{\mathcal{H}}$ tel que $\beta(\bar{g}) = \beta(\bar{j})$ et $\bar{p}(\bar{g}) = \bar{p}(\bar{j}) \cdot g'$. Puisque $p\bar{p}(\bar{g}) = p\bar{p}(\bar{j}) \cdot p(g')$ et $\bar{j} \in \mathcal{H}_{\prec}((\mathcal{C}', \mathcal{P}))$, il existe $\bar{g}' \in \bar{\mathcal{H}}$ tel que:

$$ \bar{g} = \bar{j} \cdot \bar{g}' \quad \text{et} \quad p\bar{p}(\bar{g}') = p(g'). $$

Comme $(\mathcal{C}, p, \mathcal{H}, \mathcal{S})$ est une catégorie d'homomorphismes, les relations:

$$ p(\bar{p}(\bar{g}')) = p(g'), \quad a(g') = a(\bar{p}(\bar{g}')) \quad \text{et} \quad \beta(g') = a(\bar{p}(\bar{j})) = \beta(\bar{p}(\bar{g}')) $$

entraînent : $\bar{p}(\bar{g}') = g'$. Par suite $\bar{j}$ est une $(\mathcal{H}', \bar{p})$-injection.

Remarquons que les conditions de la proposition 7 n'entraînent pas forcément que $\bar{p}(\bar{j})$ est une $(\mathcal{C}', p)$-injection.

**4. Catégories ordonnées.** Soit $\mathcal{H}_0$ une classe de classes contenant, avec une classe, toutes ses sous-classes, avec deux classes, leur produit. Soit $\mathcal{M}$ la catégorie de toutes les applications $(M', F, M)$, où $M \in \mathcal{H}_0$ et $M' \in \mathcal{H}_0$.

Soit $\tilde{\mathcal{H}}_0$ la classe de toutes les classes ordonnées $(M, <)$, où $M \in \mathcal{H}_0$, et soit $\tilde{\mathcal{H}}$ la catégorie de tous les homomorphismes entre classes ordonnées appartenant à $\tilde{\mathcal{H}}_0$. Soit $\tilde{\mathcal{Omega}}$ le groupe-ide des éléments inversibles de $\tilde{\mathcal{Omega}}$. Soit $\omega$ l'application:

$$ ((M', <), F, (M, <)) \to (M', F, M) $$

de $\tilde{\mathcal{Omega}}$ dans $\mathcal{H}$. On sait [1] que $(\mathcal{M}, \omega, \tilde{\mathcal{Omega}}, \tilde{\mathcal{Omega}})$ est une catégorie d'homomorphismes à produits finis [1], résolvante à droite [1].

Soit $\tilde{\mathcal{Omega}}'$ la sous-catégorie de $\tilde{\mathcal{Omega}}$ formée des homomorphismes stricts, c'est-à-dire [1] des homomorphismes $((M', <), F, (M, <))$ tels que: Si $F(x) = F(x')$ et $x' < x$, où $x \in M$ et $x' \in M$, alors on a $x = x'$.

Soit $\tilde{\mathcal{H}}_1$ la sous-catégorie de $\tilde{\mathcal{Omega}}'$ formée des homomorphismes stricts $((M', <), F, (M, <))$ tels que, pour tout $x \in M$, la restriction de $F$ à la classe des éléments $x' < x$ soit une application biunivoque.

Rappelons qu'une catégorie $\tilde{\mathcal{H}}((\tilde{\mathcal{H}}_1', \tilde{\mathcal{H}}'))$-structurée est appelée [1] une catégorie ordonnée. En remplaçant $\tilde{\mathcal{H}}'$ par $\tilde{\mathcal{H}}_1'$, nous poserons:

**DÉFINITION 3.** Une catégorie $\tilde{\mathcal{H}}((\tilde{\mathcal{H}}_1', \tilde{\mathcal{H}}'))$-structurée sera appelée catégorie s-ordonnée.

Pour que $(\mathcal{C}', <)$ soit une catégorie ordonnée (resp. s-ordonnée), il faut et il suffit que soient vérifiés les axiomes $(O_1)$, $(O_2)$, $(O_3)$ et $(O_0)$ (resp. $(O_1)$, $(O_2)$, $(O_0')$ et $(O_0)$ [1] :)

$$ (O_0) \quad \mathcal{C}' \text{ est une catégorie et } (\mathcal{C}', <) \in \tilde{\mathcal{H}}_0. $$

$$ (O_1) \quad f' < f \text{ entraîne } \alpha(f') < \alpha(f) \text{ et } \beta(f') < \beta(f). $$
(O₂) Si $f'_2 \cdot f'_1$ et $f_2 \cdot f_1$ sont définis et si $f'_1 < f_1$ et $f'_2 < f_2$, alors:
$f'_2 \cdot f' < f_2 \cdot f_1$.

(O₃) Si on a: $f' < f$, $a(f') = a(f)$ et $\beta(f') = \beta(f)$, alors $f' = f$.

(O₄) Si on a: $f' < f$, $f'' < f$, $a(f') = a(f'')$ et $\beta(f') = \beta(f'')$, alors $f' = f''$.

**THÉORÈME 2.** *Soit (C', <) une catégorie ordonnée. La classe des $j \in C$ tels que $a(j) < j \le \beta(j)$ est une sous-catégorie $\mathcal{C}_\beta$ de C qui définit un ordre sur $C_0$. Si $j \in \mathcal{C}_\beta$, nous écrirons: $j = \beta(j) \supseteq a(j)$. On a: $(\underline{h}, \beta(\underline{h}) \supseteq \beta(\underline{h'})$, $a(\underline{h}) \supseteq a(\underline{h'})$, $\underline{h}' \in \square(C; \mathcal{C}_\beta)$ si, et seulement si, $\underline{h}' < \underline{h}$, $a(\underline{h}) \supseteq a(\underline{h'}) \in \mathcal{C}_\beta$ et $\beta(\underline{h}) \supseteq \beta(\underline{h'}) \in \mathcal{C}_\beta$.*

**Démonstration.** Soient $j$ et $j'$ deux éléments de $C$ tels que:

$$a(j) < j < \beta(j) \quad \text{et} \quad a(j') < j' < \beta(j').$$

Si $a(j) = a(j') = e$ et $\beta(j) = \beta(j') = E$, on a, d'après (O₂):

$$j' = j' \cdot e < E \cdot j = j \quad \text{et} \quad j = j \cdot e < E \cdot j' = j.$$

d'où $j = j'$. Nous poserons: $j = E \supseteq e \in \mathcal{C}_\beta$. Pour tout $e \in C_0$, on a $e \supseteq e \in \mathcal{C}_\beta$.

Les conditions:

$$(E \supseteq e) \in \mathcal{C}_\beta \quad \text{et} \quad (e \supseteq e') \in \mathcal{C}_\beta$$

entraînent, en vertu de (O₂):

$$e' = e' \cdot e' < e \cdot (e \supseteq e') < (E \supseteq e) \cdot (e \supseteq e') < E \cdot E = E.$$

Par suite on trouve:

$$(E \supseteq e) \cdot (e \supseteq e') = (E \supseteq e') \in \mathcal{C}_\beta.$$

Soit $k = (h, e_1 \supseteq e'_1, e \supseteq e', h') \in \square(C; \mathcal{C}_\beta)$. En utilisant (O₂), on a:

$$h' = e'_1 \cdot h' < (e_1 \supseteq e'_1) \cdot h' = h \cdot (e \supseteq e') < h \cdot e = h.$$

Inversement les conditions:

$$h' < h, \quad j = a(h) \supseteq a(h') \quad \text{et} \quad j' = \beta(h) \supseteq \beta(h')$$

entraînent, d'après (O₂):

$$j' \cdot h' < \beta(h) \cdot h \quad \text{et} \quad j' \cdot h' = (j' \cdot h') \alpha(h') < h \cdot j.$$

Il résulte alors de (O₃) que $j' \cdot h' = h \cdot j$, c'est-à-dire: $(h, j', j, h') \in \square(C; \mathcal{C}_\beta)$. **COROLLAIRE 1.** *Si (C', <) est s-ordonnée, $\mathcal{A} = \square(C; \mathcal{C}_\beta)$ vérifie l'axiome:*

(u) Si $k = (h, e_1 \supseteq e'_1, e \supseteq e', h') \in \mathcal{A}$ et $k' = (h, e_1 \supseteq e'_1, e \supseteq e', h'') \in \mathcal{A}$, on a: $h' = h''$, et par suite $k = k'$.

**COROLLAIRE 2.** *Soit (C', <) une catégorie ordonnée. Si $\square C$ est munie de sa structure de catégorie ordonnée [1], pour l'ordre induit par la classe ordonnée produit $(C^4, <)$, on a: $\square(C; \mathcal{C}_\beta) = \square(C)_\beta$.*

**DÉFINITION 4.** Nous dirons qu'une catégorie ordonnée $(C', <)$ est complètement régulière à droite si, pour tout couple $(E, e)$, où $e \in C_0$, $E \in C_0$ et $e < E$, il existe $E \supseteq e \in \mathcal{C}_\beta$.

Soit $\mathcal{C}$ une catégorie. Soit $\mathcal{C}'$ une sous-catégorie de $\mathcal{C}$ qui définit un ordre sur $C_0$. Désignons par $<$ la relation sur $\mathcal{C}$ définie par: $f' < f$ si, et seulement si, il existe $(f', j', j, f) \in \square(C; \mathcal{C}')$.

**PROPOSITION 8.** *Avec les notations précédentes, $(\mathcal{C}, <)$ est une catégorie ordonnée complètement régulière à droite: pour que $(\mathcal{C}, <)$ soit s-ordonnée, il faut et il suffit que $\mathcal{A} = \square(C; \mathcal{C}')$ vérifie l'axiome (u).*

**DÉFINITION 5.** Nous dirons que $(\mathcal{H}', <)$ est une catégorie ordonnée au-dessus de $(C', <)$ relativement à $p$ si les conditions suivantes sont vérifiées:

(i) $(\mathcal{H}', <)$ et $(C', <)$ sont des catégories ordonnées.

(ii) $(\mathcal{C}, p, \mathcal{H}, \mathcal{H}_\nu)$ est une catégorie d'homomorphismes, où $\mathcal{H}_\nu$ est le groupe des éléments inversibles de $\mathcal{H}$.

(iii) On a: $((\mathcal{C}, <), p, (\mathcal{H}, <)) \in \mathcal{D}'$.

**5. Catégorie d'homomorphismes au-dessus d'une catégorie ordonnée.** Soit $(\mathcal{C}, p, \mathcal{H}, \mathcal{H}_\nu)$ une catégorie d'homomorphismes. Supposons que $(C', <)$ soit une catégorie ordonnée et soit $\mathcal{C}_\beta$ la sous-catégorie de $\mathcal{C}$ construite ci-dessus. Nous poserons: $\mathcal{A} = \square(C; \mathcal{C}_\beta)$.

Soit $j$ une $(\mathcal{C}_\beta, p)$-injection, $s = a(j)$ et $\mathcal{S} = \beta(j)$. On a:

$$p(j) = (p(\mathcal{S}) \supseteq p(s)) \in \mathcal{C}_\beta.$$

Par suite $j$ est entièrement déterminé par la donnée du couple $(\mathcal{S}, s)$. Nous poserons: $j = \mathcal{S} \supseteq_p s$. En particulier si $s = \mathcal{S}$, alors $\mathcal{S} \supseteq_p s = s$.

**DÉFINITION 6.** Avec les notations précédentes, nous dirons que $\mathcal{S} \supseteq_p s$ est une $p$-injection, ou que $s$ est une sous-structure de $\mathcal{S}$ dans $(\mathcal{C}, p, \mathcal{H}, \mathcal{H}_\nu)$. Nous écrirons aussi dans ce cas: $s \subsetneq \mathcal{S}$. Si $\bar{h}'$ est un $(\mathcal{C}_\beta, p)$-sous-homomorphisme de $\bar{h}$, nous dirons aussi que $\bar{h}'$ est un sous-homomorphisme de $\bar{h}$ et nous poserons: $\bar{h}' \subsetneq_p \bar{h}$, ou $\bar{h}' \subsetneq \bar{h}$.

**EXEMPLE.** Dans $(\mathcal{C}, \mathrm{Id}_\mathcal{C}, \mathcal{C}, \mathcal{C})$, on a: $e \subsetneq E$ si, et seulement si, il existe $E \supseteq e \in \mathcal{C}_\beta$. Ainsi les catégories $\mathcal{C}_\beta$ et $\mathcal{C}_\beta(\mathcal{C}_\beta, \mathrm{Id}_\mathcal{C})$ sont identiques. On a: $f' \subsetneq_f s$ si, et seulement si,

$$a(f') \subsetneq a(f), \quad \beta(f') \subsetneq \beta(f) \quad \text{et} \quad f' < f.$$

Les relations $f' < f$ et $f' \subsetneq_f s$ sont donc des mêmes si, et seulement si, $(C', <)$ est complètement régulière à droite.

**PROPOSITION 9.** *La condition: $\bar{h}' \subsetneq_p \bar{h}$ entraîne $p(\bar{h}') \subsetneq p(\bar{h})$ dans $(\mathcal{C}, \mathrm{Id}_\mathcal{C}, \mathcal{C}, \mathcal{C})$. Les conditions:*

$$\bar{h}' \subsetneq_p \bar{h}, \quad \bar{h}' \subsetneq_p \bar{h} \quad \text{et} \quad p(\bar{h}') \subsetneq_p p(\bar{h}) \quad \text{dans} \quad (\mathcal{C}, \mathrm{Id}_\mathcal{C}, \mathcal{C}, \mathcal{C})$$

entraînent:

$$\bar{h}' \subsetneq_p \bar{h}'$$
Démonstration. Soient $\bar{h} = (S_1, h, S) \in \mathcal{H}$ et $\bar{h}' = (s'_1, h', s') \in \mathcal{H}$ tels que $\bar{h}' \prec \bar{h}$.

$$ \Box p(\bar{h}, S_1 \succ s'_1, S \succ s', \bar{h}') \in \mathcal{H}, $$

on obtient $p(\bar{h}') \prec p(\bar{h})$ dans $(\mathcal{C}, \mathcal{I}\mathcal{C}, \mathcal{C}, \mathcal{C})$. Soit $\bar{h}'' = (s''_1, h'', s'') \in \mathcal{H}$ tel que: $\bar{h}' \prec \bar{h}$ et $p(\bar{h}') \prec p(\bar{h}')$ dans $(\mathcal{C}, \mathcal{I}\mathcal{C}, \mathcal{C}, \mathcal{C})$. Les relations: $p(S \succ s') \in \mathcal{C}_s, p(S \succ s'') \in \mathcal{C}_s$ et $p(s') \succ p(s') \in \mathcal{C}_s$ entraînent:

$$ p(S \succ s') \cdot (p(s') \succ p(s'')) = p(S \succ s''), $$

car $\mathcal{C}_s$ est une catégorie définissant un ordre sur la classe de ses unités. En utilisant la proposition 4, on en déduit:

$$ s'' \prec s' \text{ et, de même } s'_1 \prec s'_1. $$

Enfin, puisque $p(\bar{h}') \prec p(\bar{h})$, on a:

$$ \Box p(\bar{h}', s'_1 \succ s'_1, s' \succ s'', \bar{h}'') \in \mathcal{H}; $$

par suite $(\bar{h}', s'_1 \succ s'_1, s' \succ s'', \bar{h}'') \in \Box \mathcal{H}$ et $\bar{h}' \succ \bar{h}'$.

COROLLAIRE. Si $\mathcal{S}$ contient $\mathcal{H}_\gamma$, les conditions:

$$ \bar{h}' \prec_p \bar{h}, \quad \bar{h}' \prec_p \bar{h} \quad \text{et} \quad p(\bar{h}') = p(\bar{h}'') $$

entraînent:

$$ \bar{h}' = \bar{h}''. $$

En effet, ces conditions entraînent:

$$ j' = a(\bar{h}) \succ a(\bar{h}') \in \mathcal{H}_2, \quad j'' = a(\bar{h}) \succ a(\bar{h}'') \in \mathcal{H}_2 \text{ et } p(j') = p(j''). $$

Donc $j' = j''$, en vertu du corollaire de la proposition 4, c'est-à-dire $a(\bar{h}') = a(\bar{h}'')$. De même, $\beta(\bar{h}') = \beta(\bar{h}'')$. Par suite $\bar{h}' = \bar{h}'''$.

THÉORÈME 3. Si $\mathcal{S}$ contient $\mathcal{H}_\gamma$, $(\mathcal{H}, \prec_p)$ est une catégorie ordonnée complètement régulière à droite, au-dessus de $(\mathcal{C}, <)$ relativement à $p$; de plus on a:

$$ \bar{h}' \prec_p \bar{h} \text{ si, et seulement si, } a(\bar{h}') \prec_p a(\bar{h}), \beta(\bar{h}') \prec_p \beta(\bar{h}) \text{ et } p(\bar{h}') < p(\bar{h}). $$

Démonstration. Supposons $s \prec_S S$ et $S \prec_S s$, où $s \in \mathcal{H}_0$ et $S \in \mathcal{H}_0$.

On a:

$$ p(S) \succ p(s) \in \mathcal{C}_s \text{ et } p(s) \succ p(S) \in \mathcal{C}_s, $$

d'où $p(s) = p(S)$ et, d'après le corollaire de la proposition 9, $s = S$. Il en résulte que la relation: $s \prec_S S$ est une relation d'ordre dans $\mathcal{H}_0$ et, d'après la proposition 8, $(\mathcal{H}, \prec_p)$ est une catégorie ordonnée complète- ment régulière à droite. Le corollaire de la proposition 9 signifie:

$$ ((\mathcal{C}, <), p, (\mathcal{H}, \prec_p)) \in \mathcal{D}_1. $$

Enfin, pour que l'on ait $\bar{h}' \prec_p \bar{h}$, il faut et il suffit que l'on ait:

$$ a(\bar{h}') \prec_p a(\bar{h}), \quad \beta(\bar{h}') \prec_p \beta(\bar{h}), $$

et

$$ \Box p(\bar{h}, a(\bar{h}) \succ a(\bar{h}'), \beta(\bar{h}) \succ \beta(\bar{h}'), \bar{h}' \in \mathcal{H}). $$

On déduit du théorème 2 que ces conditions sont équivalentes à:

$$ a(\bar{h}') \prec_p a(\bar{h}), \quad \beta(\bar{h}') \prec_p \beta(\bar{h}) \text{ et } p(\bar{h}') < p(\bar{h}). $$

COROLLAIRE. Si $(\mathcal{C}, <)$ est une catégorie s-ordonnée et si $\mathcal{S}$ contient $\mathcal{H}_\gamma$, alors $(\mathcal{H}, \prec_p)$ est une catégorie s-ordonnée.

Les propositions 3 et 5 et le théorème 1 s'énoncent maintenant:

PROPOSITION 3'. Les conditions:

$$ \bar{h} \in \mathcal{H}_\gamma, \quad \bar{h}' \in \mathcal{H}_\gamma, \quad a(\bar{h}') \prec_p a(\bar{h}) \text{ et } p(\bar{h}') < p(\bar{h}) $$

entraînent:

$$ \bar{h}' \prec_p \bar{h}, $$

PROPOSITION 5'. Soient $\bar{h} = (S_1, h, S) \in \mathcal{H}$, $s \prec_S S$ et $s_1 \prec_S S_1$. S'il existe $h' < h$ tel que $a(h') = p(s)$ et $\beta(h') = p(s_1)$, on a: $\bar{h}' = (s_1, h', s') \in \mathcal{H}$. Si de plus $\bar{h} \in \mathcal{H}_\gamma$, et $h' \in \mathcal{C}_\gamma$, alors $\bar{h}' \in \mathcal{H}_\gamma$.

THÉORÈME 1'. Les conditions suivantes sont équivalentes:

(i) $\bar{h}' \prec \bar{h}$ dans $(\mathcal{C}, p, \mathcal{H}, \mathcal{S})$.

(ii) $[\bar{h}'] \prec [\bar{h}]$ et $[\beta(\bar{h}')] \prec [\beta(\bar{h})]$ dans $(\Box\mathcal{C}, \Box p, \Box\mathcal{H}, \Box(\mathcal{H}; \mathcal{S}_j))$, la catégorie $\Box\mathcal{C}$ étant munie de sa structure de catégorie ordonnée.

Soit de plus $(\mathcal{H}, \bar{p}, \bar{\mathcal{H}}, \bar{\mathcal{S}})$ une catégorie d'homomorphismes. Nous supposons $\mathcal{H}$ muni de sa structure de catégorie ordonnée $(\mathcal{H}, \prec_p)$. Des propositions 6 et 7, il résulte:

COROLLAIRE. Soient $\bar{\mathcal{S}} \in \mathcal{H}_0$ et $\bar{\mathcal{S}} \in \mathcal{H}_0$. On a $\bar{\mathcal{S}} \prec_p \bar{\mathcal{S}}$ si, et seulement si, $\bar{\mathcal{S}} \prec_{\bar{p}\bar{p}} \bar{\mathcal{S}}$ et $\bar{p}(\bar{\mathcal{S}}) \prec_p \bar{p}(\bar{\mathcal{S}})$.

### 6. Catégories sous-préinductives et sous-inductives.
Soit $(\mathcal{M}, \omega, \bar{\mathcal{H}}, \Omega)$ la catégorie d'homomorphismes construite au nº 3.

Soit $\mathcal{J}_0^{ps}$ la sous-classe de $\bar{\mathcal{H}}_0$ formée des classes sous-préinductives, c'est-à-dire [2] des classes ordonnées $(A, <) \in \bar{\mathcal{H}}_0$ dans lesquelles est vérifié l'axiome:

Soient $x \in A$, $x' \in A$ et $x'' \in A$ tels que $x' < x$ et $x'' < x$. Alors les éléments $x'$ et $x''$ admettent une borne inférieure $x' \cap x''$, appelée leur intersection.

Soit $\mathcal{J}_0^{ps}$ la sous-catégorie de $\bar{\mathcal{H}}$ formée des applications sous-inductives entre classes sous-préinductives, dont les éléments sont donc [2] les triplets $((A', <), F, (A, <))$ tels que

$$ (A, <) \in \mathcal{J}_0^{ps}, \quad (A', <) \in \mathcal{J}_0^{ps} \text{ et } F \text{ vérifie l'axiome:} $$
Soient $x \in A$, $x' \in A$, $x'' \in A$ tels que $x' < x$ et $x'' < x$. Alors on a:

$$F(x' \cap x'') = F(x') \cap F(x'').$$

($\mathcal{M}$, $\omega$, $\mathcal{J}^{ps}$, $\mathcal{J}^{ps} \cap \tilde{\Omega}$) est une catégorie d'homomorphismes à produits finis, résolvante à droite [1]. $\mathcal{M}$ étant munie de sa structure usuelle de catégorie ordonnée (et même inductive), une sous-structure de $(A, <)$ dans cette catégorie d'homomorphismes est une sous-classe sous-pré-inductive de $A$, c'est-à-dire une sous-classe $A'$ de $A$, munie de l'ordre induit par $<$, et telle que les conditions:

$$x' \in A', \quad x'' \in A', \quad x \in A', \quad x' < x \quad \text{et} \quad x'' < x$$

entraînent:

$$x' \cap x'' \in A'$$

Nous poserons : $\mathcal{J}^{ps} = \mathcal{J}^{ps} \cap \tilde{\Omega}$; on a aussi $\mathcal{J}^{ps} = \mathcal{J}^{ps} \cap \tilde{\Omega}_1$; en effet, si $((A', <), F, (A, <)) \in \mathcal{J}^{ps}$ et si on a : $x' < x$, $x'' < x$ et $F(x') = F(x'')$, alors $F(x' \cap x'') = F(x') = F(x'')$, d'où $x' \cap x'' = x' = x''$ [2].

**DÉFinition 7.** Une catégorie $\mathcal{J}^{ps}(\mathcal{J}^{ps}, \mathcal{J}^{ps})$-structurée sera appelée **catégorie sous-préinductive**.

Une catégorie sous-préinductive est aussi s-ordonnée.

**THÉORÈME 4.** Pour que $(\mathcal{C}', <)$ soit une catégorie sous-préinductive, il faut et il suffit que soient vérifiés les axiomes suivants:

(1) $\mathcal{C}'$ est une catégorie, $(\mathcal{C}', <)$ est une classe sous-préinductive et les axiomes $(\mathcal{O}_2)$ et $(\mathcal{O}_3)$ sont vérifiés.

(1$^{\mathrm{ps}}$) Les conditions: $f' < f$ et $f'' < f$ entraînent:

$$a(f' \cap f'') = a(f') \cap a(f'') \quad \text{et} \quad \beta(f' \cap f'') = \beta(f') \cap \beta(f'').$$

Démonstration. Les conditions sont évidemment nécessaires. Montrons qu'elles sont suffisantes. Soient $e \in \mathcal{C}'_0$, $e' \in \mathcal{C}'_0$ et $e'' \in \mathcal{C}'_0$ tels que $e' < e$ et $e'' < e$. En vertu de (1$^{\mathrm{ps}}$), on a:

$$a(e' \cap e'') = a(e') \cap a(e'') = e' \cap e'' \in \mathcal{C}'_0.$$

Donc $\mathcal{C}'_0$ est une sous-classe sous-préinductive de $(\mathcal{C}, <)$. Soit $\mathcal{C}^*\mathcal{C}'$ la classe des couples $(g, f)$ composables. Les conditions:

$$(g, f) \in \mathcal{C}^*\mathcal{C}, \quad (g', f') \in \mathcal{C}^*\mathcal{C}, \quad (g'', f'') \in \mathcal{C}^*\mathcal{C},$$

$$(g', f') < (g, f) \quad \text{et} \quad (g'', f'') < (g, f)$$

dans la classe sous-préinductive produit $(\mathcal{C} \times \mathcal{C}, <)$ entraînent:

$$g' < g, \quad g'' < g, \quad f' < f \quad \text{et} \quad f'' < f.$$

Par suite de (1$^{\mathrm{ps}}$), il en résulte:

$$a(f' \cap f'') = a(f') \cap a(f''); \quad \beta(g' \cap g'') = \beta(g') \cap \beta(g'');$$

$$a(g' \cap g'') = a(g') \cap a(g'') = \beta(f') \cap \beta(f'') = \beta(f' \cap f''),$$

d'où $(g' \cap g'', f' \cap f'') \in \mathcal{C}^*\mathcal{C}$. Ainsi $\mathcal{C}^*\mathcal{C}$ est une sous-classe sous-préinductive de $(\mathcal{C} \times \mathcal{C}, <)$. En vertu de $(\mathcal{O}_2)$, on a:

$$k = (g' \cap g'') \cdot (f' \cap f'') < g' \cdot f' \cap g'' \cdot f'' = k';$$

$$g' \cdot f' < g \cdot f \quad \text{et} \quad g'' \cdot f'' < g \cdot f,$$

d'où

$$a(k') = a(f') \cap a(f'') \quad \text{et} \quad \beta(k') = \beta(g') \cap \beta(g'').$$

Puisque $a(k) = a(k')$ et $\beta(k) = \beta(k')$, on trouve $k = k'$, on utilisant l'axiome $(\mathcal{O}_3)$. Ceci prouve que l'application:

$$z: (g, f) \to g \cdot f$$

est une application sous-inductive de $(\mathcal{C}^*\mathcal{C}, <)$ dans $(\mathcal{C}, <)$. Par conséquent, $(\mathcal{C}^*, <)$ est une catégorie sous-préinductive.

**PROPOSITION 10.** Soit $(\mathcal{C}', <)$ une catégorie sous-préinductive; soient $e \in \mathcal{C}'_0$ et $e' \in \mathcal{C}'_0$. Si $e$ et $e'$ admettent une intersection $e \cap e'$ dans $\mathcal{C}$, alors on a $e \cap e' \in \mathcal{C}'_0$.

Démonstration. Posons $h = e \cap e'$. On a $a(h) < e \cap e' = h$ et $\beta(h) < h$. Les conditions:

$$u \in \mathcal{C}'_0, \quad u < e \quad \text{et} \quad u < e'$$

entraînent:

$$u < a(h) \quad \text{et} \quad u < \beta(h).$$

Par suite $e$ et $e'$ admettent $a(h)$ et $\beta(h)$ pour intersection dans $\mathcal{C}'_0$; il en résulte: $a(h) = \beta(h)$ et, en utilisant l'axiome $(\mathcal{O}_3)$:

$$h = a(h) \in \mathcal{C}'_0.$$

**DÉFinition 8.** Soit $(\mathcal{C}', <)$ une catégorie sous-préinductive. Soient $g \in \mathcal{C}$ et $f \in \mathcal{C}$. Soit $\langle g, f \rangle$ la classe des couples $(g', f')$ tels que $g' < g$, $f' < f$, et que $g' \cdot f'$ soit défini. Si la classe $\kappa(\langle g, f \rangle)$ des composés $g' \cdot f'$, où $(g', f') \in \langle g, f \rangle$, admet un plus grand élément, nous le noterons gf et l'appellerons pseudo-produit de $g$ et $f$.

Soit $(\mathcal{C}', <)$ une catégorie sous-préinductive. Le pseudo-produit a les propriétés suivants:

(i) Soient $g_1 < g$ et $f_1 < f$. Si $g_1 f_1$ et $gf$ sont définis, on a $g_1 f_1 < gf$.

(ii) Si $gf$ est défini, on a $a(gf) < a(f)$ et $\beta(gf) < \beta(g)$.

(iii) Soient $e \in \mathcal{C}'_0$, $E \in \mathcal{C}'_0$ et $e < E$. Si $Ee$ (resp. $eE$) est défini, on a:

$$a(Ee) = e \quad (\text{resp. } \beta(eE) = e).$$

**PROPOSITION 11.** Soit $(\mathcal{C}', <)$ une catégorie sous-préinductive. Soient $g \in \mathcal{C}$ et $f \in \mathcal{C}$. Si la classe $\kappa(\langle g, f \rangle)$ est majorée dans $\mathcal{C}$ et s'il existe $(g', f') \in \langle g, f \rangle$ tel que $\beta(g') = \beta(g)$ et $a(f') = a(f)$, alors $g' \cdot f' = gf$.
Par suite $(\bigcup_{i \in I} g_i, \bigcup_{i \in I} f_i) \in C' \ast C'$. De plus :

$$g_i \cdot f_i < \bigcup_{i \in I} g_i \cdot \bigcup_{i \in I} f_i = k, \quad \text{d'où} \quad k_i = \bigcup_{i \in I} g_i \cdot f_i < k.$$

Il en résulte : $\alpha(k') = \alpha(k)$ et $\beta(k') = \beta(k)$, donc $k' = k$. Ceci prouve que $((C, <), \aleph(C' \ast C', <)) \in \mathbb{J}^s$.

**PROPOSITION 12.** *Soit $(C', <)$ une catégorie sous-inductive. Soient $g \in C$ et $f \in C$. S'il existe $h \in C$ tel que : $\alpha(g) < h$ et $\beta(f) < h$, alors le pseudo-produit $gf$ est défini.*

**Démonstration.** Soit $G'$ (resp. $F'$) la classe des éléments $g'$ (resp. $f'$) tels qu'il existe $(g', f') \in \langle g, f \rangle$. Soit $\bar{g}' = \bigcup_{i \in I} G'$ et $\bar{f}' = \bigcup_{i \in I} F'$. En utilisant l'axiome (I$^s$), on obtient :

$$\alpha(\bar{g}') = \bigcup_{i \in I} \alpha(G') = \bigcup_{i \in I} \alpha(G') = \bigcup_{i \in I} \beta(f') = \beta(\bar{f}')$$

comme $\bar{g}' < g$ et $\bar{f}' < f$, il en résulte :

$$(\bar{g}', \bar{f}') \in \langle g, f \rangle, \quad \text{donc} \quad \bar{g}' \cdot \bar{f}' = gf.$$

**COROLLAIRE.** *Les conditions $f \in C$, $e < a(f)$ et $e' < \beta(f)$ entraînent que les pseudo-produits $e'f$ et $fe$ sont définis.*

**PROPOSITION 13.** *Si $(C', <)$ est une catégorie sous-inductive complètement régulière à droite, les conditions :*

$$f \in C, \quad e \in C_0 \quad \text{et} \quad e' \in C_0, \quad e < a(f) \quad \text{et} \quad e' < \beta(f)$$

entraînent :

$$a(fe) = e \quad \text{et} \quad \beta(e'f) = e'$$

**Démonstration.** D'après le corollaire 1 de la proposition 11, on a :

$$\alpha(\bar{f}) = e \quad \text{et} \quad \beta(\bar{f}) = \beta(f).$$

Soit $e'' = \beta(e'f)$; comme $e'' < e'$, on a :

$$e' e'' < e' \quad \text{et} \quad e'f < f, \quad \text{d'où} \quad (e' e'', e'f) \in \langle e', f \rangle.$$

Par suite : $(e' e'') \cdot (e'f) < e'f$. Puisque $e'' \prec \bar{e}'$, on obtient : $\beta(e' e'') = e'$. Il en résulte $e' < e''$, donc $e' = e'' = \beta(e'f)$.

En particulier, si $(C', <)$ est une catégorie inductive au sens de [4] et complètement régulière à droite, la proposition 13 signifie que $(C', <)$ est aussi une catégorie inductive régulière (au sens de [4]).

Appliqués au cas où $(C', <)$ est une catégorie inductive, les résultats du § 5 redonnent les résultats de [1a], § I.

Soient $(C', <)$ et $(\mathcal{H}', <)$ deux catégories sous-inductives. Soient $\mathcal{H}' \subsetneq C'$ les sous-catégories de $\mathcal{H}$ et $C$ resp. associées aux relations d'ordre

(théorème 2). Nous supposerons que $(\mathcal{H}', <)$ est une catégorie ordonnée au-dessus de $(C', <)$ relativement à $p$ et que l'axiome suivant est vérifié :

Soient $\bar{h} \in \mathcal{H}'$ et $s \in \mathcal{H}'_0$ tels que $s < \beta(\bar{h})$. On a : $p(s\bar{h}) = p(s)p(\bar{h})$.

**PROPOSITION 14.** *Si $\bar{h}' \prec \bar{h}$ dans $(\mathcal{H}', \mathrm{Id}_{\mathcal{H}'}, \mathcal{H}', \mathcal{H})$, on a : $\bar{h}' \prec \bar{p} \bar{h}$.*

**Démonstration.** Supposons $s \preceq S$ dans $(\mathcal{H}', \mathrm{Id}_{\mathcal{H}'}, \mathcal{H}', \mathcal{H})$. On a :

$$p(S \preceq s) \in C_s.$$

Soit $\bar{g} \in \mathcal{H}'$ tel que $\beta(\bar{g}) = S$ et $p(\bar{g}) = p(S \preceq s) \cdot g'$, où $g' \in C$. Comme $(\beta(g'), g') \in \langle p(s), p(\bar{g}) \rangle$, il résulte de la proposition 11 que $g' = p(s)p(\bar{g})$. Par suite $p(s\bar{g}) = g'$. Les relations :

$$\beta(s\bar{g}) < s, \quad \alpha(s\bar{g}) < \alpha(\bar{g}),$$

$$p(\beta(s\bar{g})) = \beta(g') = p(s) \quad \text{et} \quad p(\alpha(s\bar{g})) = \alpha(g') = p(\alpha(\bar{g}))$$

entraînent $\beta(s\bar{g}) = s$ et $\alpha(s\bar{g}) = \alpha(\bar{g})$, d'où $\bar{g} = (S \preceq s) \cdot s\bar{g}$. On en déduit $s \prec_S S$. Si $\bar{h}' \prec \bar{p} \bar{h}$, dans $(\mathcal{H}', \mathrm{Id}_{\mathcal{H}'}, \mathcal{H}', \mathcal{H})$, on obtient, d'après ce qui précède :

$$\alpha(\bar{h}') \prec_S a(\bar{h}), \quad \beta(\bar{h}') \prec_S \beta(\bar{h}).$$

Par conséquent $\bar{h}' \prec_S \bar{h}$, puisque $p(\bar{h}') < p(\bar{h})$.

**COROLLAIRE.** *Soit $(\mathcal{H}, \bar{p}, \bar{\mathcal{H}})$ un foncteur. Si $\bar{j}$ est une $(\mathcal{H}' \subsetneq, \bar{p})$-injection, alors $\bar{j}$ est une $(C_s, \bar{p})$-injection.*

En effet, on a $\bar{p}(\bar{j}) \in \mathcal{H}' \subsetneq$, d'où $\bar{p}(a(\bar{j})) \prec_S \bar{p}(\beta(\bar{j}))$, d'après la proposition 14. Le corollaire résulte alors de la proposition 6.

Remarque. Si $(\mathcal{H}', <)$ est complètement régulière à droite, la condition $\bar{h}' < \bar{h}$ entraîne $\bar{h}' \prec_S \bar{h}$, d'après la proposition 14. Toutefois il existe généralement des sous-homomorphismes $\bar{h}' \prec_S \bar{h}$ qui ne sont pas majorés par $\bar{h}$ dans $(\mathcal{H}', <)$. Il en est ainsi dans la catégorie $\tilde{\mathcal{C}}$ des applications continues entre espaces topologiques, considérée comme catégorie d'homomorphismes au-dessus de la catégorie des applications de classe dans classe, lorsque $\tilde{\mathcal{C}}$ est munie de sa structure usuelle de catégorie inductive ($T' < T$ si, et seulement si, $T'$ est la topologie induite par $T$ sur un ouvert de $T$). Pour une discussion de cette question, voir [1a], théorèmes 3 et 4, § I.

Bibliographie

[1] a) *Catégories structurées*, Ann. Ecole Normale Supérieure (à l'impression).

b) *Catégories doubles et catégories structurées*. Comptes-Rendus 256 (1963), p. 1198.

c) *Catégorie double des quintettes; applications covariantes*, Comptes-Rendus 256 (1963), p. 1891.
d) *Catégories structurées d'opérateurs*, Comptes-Rendus 256 (1963), p. 2080.

e) *Sous-structures et applications $\kappa$-covariantes*, Comptes-Rendus 256 (1963), p. 2280.

[2] *Espèces de structures locales, Elargissements de catégories, Séminaire Topologie et Géo. Différentielle (Ehresmann)*, Paris, III, 1961.

[3] *Grothendieck, Notes polycopiées*.

[4] *Catégories inductives et pseudo-groupes*, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. X (1960), p. 307.

Reçu par la Réaction le 13. 5. 1963