# L'analyse factorielle typologique

Yvette Ok-Sakun

► To cite this version:

Yvette Ok-Sakun. L'analyse factorielle typologique. [Rapport de recherche] IRIA-RR-213, IRIA. 1977, pp.92. hal-04716456

HAL Id: hal-04716456

https://inria.hal.science/hal-04716456v1

Submitted on 1 Oct 2024

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
<figure><img src="image_2.png" /></figure>

laboria

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
B. P. 105 78150 - Le Chesnay
France
Tél.: 954 90 20

laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

L'ANALYSE FACTORIELLE
TYPOLOGIQUE

Yvette OK - SAKUN

Rapport de Recherche N° 213

Janvier 1977

gelp.
# L'ANALYSE FACTORIELLE TYPOLOGIQUE

Yvette Ok-Sakun

## Résumé :

Il s'agit de détecter dans un échantillon multidimensionnel donné, l'existence possible de sous-ensembles susceptibles d'être caractérisés par leurs directions d'allongement maximal. Deux algorithms sont introduits dont le but est la recherche de variétés affines de dimension quelconque autour desquelles le nuage pourrait être constitué en agglomérats locaux. Ils permettent d'obtenir une partition qui minimise « localement » le critère W, moyenne pondérée des inerties résiduelles des classes relativement à leurs variétés affines : leurs propriétés sont étudiées, notamment dans le cas particulier de l'analyse factorielle typologique des correspondances, on démontre qu'en reconstituant les données à partir de facteurs locaux, on améliore notablement la qualité de la reconstitution. Une application à la compression et à la reconstitution des données spectrales de la parole a utilisé avec succès cette propriété.

L'intérêt de la méthode réside dans une approche plus fine des données améliorant de façon notable l'information extraite. Différentes variantes sont introduites permettant l'adaptation à différents types de données.

## Abstract :

The matter is to detect in a given multidimensional sample, the possible existence of subsets
liable to be characterized by their maximal lengthening directions. Two algorithms are introduc-
ced. Their object is the research of linear manifolds of any dimension around which the data be
constituted in local agglomerates. They allow to obtain a partition which «locally» minimizes
the criterion W, weighted mean of the residual inertia of the classes relatively to their linear
manifolds. Their properties are studied, especially in the particular case of the «typological fac-
tor analysis of correspondances», it is demonstrated that in reconstituting the data from the
local factors, the quality of the reconstitution is notably improved. An application to the com-
pression and reconstitution of speech spectral data has used successfully this property.

The interest of this method consist in a more discriminating approach of the lies data, improving
notably the extracted information. Different variants are introduced allowing the adaptation to
different types of data or problems.
# SOMMAIRE

## INTRODUCTION

1. - La Méthode

1.1. - Notations

1.2. - Le Formalisme : mesures de proximité et fonctions de base

1.3. - Le Critère à optimiser

1.3.1. - Définition

1.3.2. - Interprétation

1.3.3. - Relation entre critère, inertie totale et variance inter-classe

1.4. - L'algorithme de base

1.5. - Les métriques utilisées : interprétation de la fonction g pour différents choix

2. - L'analyse factorielle typologique des correspondances

2.1. - Notations

2.2. - Métrique du $\chi^2$ et analyse factorielle typologique

2.3. - Application à la reconstitution des données : proposition

3. - Etude de la convergence

3. 1 - La convergence de l'algorithme de base ANATYP A

3.2. - La convergence de la suite $\{\tilde{W}(P_n)\}_{n\in N}$ : proposition

3.3. - Utilisation de métriques locales : étude de l'algorithme ANATYP-B

4. - Les Variantes

4.1. - Les différentes stratégies d'agglutination

4.2. - Définition plus générale de la mesure de proximité D : proposition

4.3. - Autres Variantes
5. - Euristique

5.1. - Influence du départ aléatoire de l'algorithme notion d'axes
"stables"

5.2. - Choix des paramètres d'entrée

5.3. - Elimination de l'effet des points marginaux :
technique des "ellipsoïdes-noyaux"

5.4. - Choix de la mesure de proximité D

5.5. - Test d'arrêt de l'algorithme

5.6. - Visualisation des résultats

6. - Application à la compression et à la reconstitution des données spectrales de la parole.

7. Le programme

CONCLUSION
## Introduction

La préférence du spécialiste, qui dispose d'un ensemble de données dont il désire extraire le plus d'informations possible, va souvent aux méthodes d'analyse factorielle.

Les résultats obtenus par ces méthodes présentent en effet l'avantage de rendre abordable la description synthétique des données, par simplification de la description initiale et en minimisant l'information perdue.

De plus ils peuvent être utilisés (cf. [1] T. II B p. 262) à des fins de classification : l'examen des images planes approximatives obtenues par projection du nuage analysé sur le ou les plans principaux permet de regrouper en classes les éléments proches, compte tenu de la qualité de leurs représentations. Il nous semble qu'en procédant ainsi on s'expose aux inconvénients suivants.

1) Une partie de l'information est négligée dans la constitution des classes. Il est vrai que les dimensions utilisées sont les plus significatives mais elles sont significatives d'un point de vue global et pas nécessairement en ce qui concerne chaque classe.

2) La contrainte d'orthogonalité des facteurs principaux ne permet pas la détection de tendances locales par exemple la détection de directions d'allongement non orthogonales entre elles.

L'analyse factorielle typologique* veut éviter ces inconvénients. Son but est de mettre en évidence des tendances locales et de les caractériser.

Dans le domaine de l'analyse des données multidimensionnelles, elle est située à l'intersection de l'analyse linéaire et de la classification automatique.

<footnote>* Dont les bases ont été exposées par E. DIDAY dans sa thèse cf. [6] pp. 96 - 102</footnote>
On peut en effet la considérer de deux points de vue.

D'une part c'est une technique de classification automatique de la famille des "Nuées Dynamiques" (cf. E. DIDAY [6], [7], [8]), c'est-à-dire une technique qui, au moyen d'un processus itératif convergent, améliore, au sens d'un critère donné, une partition de l'ensemble à analyser et permet ainsi d'obtenir des optima locaux i.e. les meilleures partitions accessibles à partir de partitions initiales aléatoires quelconques.

Son originalité par rapport aux autres algorithmes du type "Nuées Dynamiques" consiste à utiliser une méthode d'analyse factorielle (analyse en composantes principales. (cf. [5]) ou analyse des correspondances (cf. BENZECRI [1] T. II) pour rechercher les "noyaux" qui sont ici des variétés affines autour desquelles s'agrègent les nouvelles classes ; l'algorithme conduit par itérations successives à la reconnaissance de sous-ensembles concentrés autour d'une variété affine, il peut donc aboutir à la reconnaissance de certaines formes complexes dont les constituants sont de telles variétés.

D'autre part on peut considérer que c'est une méthode d'analyse factorielle ajustée aux données grâce à l'algorithme des Nuées Dynamiques. En effet elle aborde le problème de l'analyse factorielle, à savoir la simplification de la représentation euclidienne d'un nuage de points de $\mathbb{R}^p$ d'une façon plus générale.

Au lieu de chercher la droite affine, le plan, ou la q-variété affines les plus "proches" du nuage à analyser et d'admettre comme satisfaisante une représentation simplifiée dans un sous-espace de $\mathbb{R}^p$ expliquant un taux suffisant d'inertie, on recherche les variétés affines, de dimension $q = 0,1,2,3...$, les plus proches d'éventuels agglomérats locaux du nuage et l'on se demande si le nuage est bien constitué de classes concentrées autour de ces variétés. (On dispose pour cela d'indices permettant d'évaluer la proximité classe-variété et la proximité entre le nuage initial et un ensemble de K-variétés affines (critère W). Si la réponse n'est pas satisfaisante, la méthode qui suppose a priori l'existence de K classes, recherche de nouvelles variétés jusqu'à ce qu'elle réalise, pour l'ensemble des agglomérats locaux détectés, un "bon" ajustement par K variétés affines de faible dimension.
1. - La méthode

1.1. - Notations utilisées

E est un ensemble fini d'objets à classifier ; chaque
objet x, appartenant à E et caractérisé par p paramètres,
peut être considéré comme un point de l'espace affine $\mathbb{R}^p$.

Soit $\mu$ une distribution de masses sur $\mathbb{R}^p$ telle que :

$$
\mu(x) > 0 \Leftrightarrow x \in E
$$

son barycentre est :

$$
g(\boldsymbol{\mu}) = \sum_{x \in E} \mu(x) \cdot x / \sum_{x \in E} \mu(x)
$$

∀ A ∈ O (E) on définit une distribution de masses µ_A sur R P
par :

$$
\mu_A (x) = \begin{cases} \mu(x) & \text{si } x \in A \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}
$$

sa masse totale est notée $\hat{\mu}_A$ et son centre de gravité :

$$
G(A) = \frac{\sum_{x \in A} \mu(x) \cdot x}{\sum_{x \in A} \mu(x)} = \frac{\sum_{x \in E} \mu_A(x) \cdot x}{\hat{\mu}_A}
$$

L'ensemble $\mathbb{L}_A^q(\mathbb{R}^p)$ des sous variétés affines de dimension $q$ de $\mathbb{R}^p$ est l'espace des "centres d'agrégation". On le note $\mathbb{L}_q$ ou simplement $\mathbb{L}$.

Soit $\mathcal{V}_q(\mathbb{R}^p)$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $q$ de l'espace vectoriel $\mathbb{R}^p$, à tout élément $(a,V)$ de l'ensemble $\mathbb{R}^p x \mathcal{V}_q(\mathbb{R}^p)$ correspond une variété affine unique admettant $V$ pour sous-espace directeur, "passant" par $a$ et notée également $(a,V)$, ou $V + a$.

Pour cette raison, bien que la correspondance entre couples
de $\mathbb{R}^p x \mathcal{V}_q(\mathbb{R}^p)$ et éléments de $\mathbb{L}_A^q(\mathbb{R}^p)$ ne soit pas biunivoque,
on utilisera parfois la donnée d'un couple pour déterminer
une variété affine; car, en fait, on caractérisera une sous-
variété par son sous-espace directeur et par le centre de
gravité des points qui l'engendrent. (De plus la mise en
évidence du centre aidera pour certaines formalisations
dans le cas d'utilisation de la métrique du $\chi^2$).

<footnote>(*) Dans la variante initiale de la M.N.D., E.DIDAY désigne
$L$ par le terme plus imagé d'espace des NOYAUX, le NOYAU
étant un ensemble de points au coeur d'une classe ici cette
image est moins appropriée puisque l'agglutination ne se fait
plus autour de points, mais autour d'une structure sous-jacente
qui n'est pas un ensemble borné contenu dans la classe.
D'autre part le terme de noyaux au sens initial sera utilisé
en 4 et 5.3.</footnote>
- $\mathbb{L}_K$ est l'espace des n-uples de variétés affines de dimension $q$ de $\mathbb{R}^p$, avec $n \le K$.

Si $n = K, \mathbb{L}_K = (\mathbb{L}_q)^{[K]}$, où $[K] = \{1, 2, \dots, K\}$;

si $n < K, \mathbb{L}_K = (\mathbb{L}_q)^{[n]}$, ce cas correspond à celui évoqué

ci-dessous, d'une partition dont certaines classes se vident.

soit $L = (L_1, \dots, L_K) \in \mathbb{L}_K$, $L$ est appelé K-centre d'agréation.

- $\mathbb{P}_K(E)$ est l'ensemble fini des partitions de $E$ en $n$ classes ;
  $(n \le K)$, on notera plus simplement $\mathbb{P}_K$

soit $P = (P_1, \dots, P_K) \in \mathbb{P}_K$, $P$ est appelé K-partition
$(n < K \Leftrightarrow \exists i_1, \dots, i_{K-n}, P_{i_1} = \dots = P_{i_{K-n}} = \emptyset)^*$

- $\mathbb{W}_K = \mathbb{L}_K \times_{\mathbb{P}_K}$ est l'ensemble des couples : (K-centre d'agréation, K-partition)

- $M$ est une forme quadratique définie positive sur l'espace vectoriel $\mathbb{R}^p$, induisant une distance $d_M$ entre points de l'espace affine $\mathbb{R}^p$ et une norme

$$ \forall x, \forall y \in \mathbb{R}^p \quad d_M^2 (x,y) = M (\vec{x}-\vec{y}, \vec{x}-\vec{y}) = \| \vec{x}-\vec{y} \|_M^2 $$

## 1.2. - Le formalisme de la méthode : Mesures de proximité et "fonctions" de base.

Le formalisme est basé sur les quatre applications D,f,R,g

### 1.2.1. - D et f

On définit une mesure de proximité :

$$ D : E \times \mathbb{L} \longrightarrow \mathbb{R}^+ $$

entre éléments de $E$ et variétés affines par :

$$ \forall x \in E, \forall \lambda \in \mathbb{L} $$

$$ D(x, \lambda) = \inf_M d_M^2(x, \lambda) $$

$$ \text{où } d_M^2(x, \lambda) = \inf_{y \in \lambda} d_M^2(x, y) $$

<footnote>* Lorsque cette éventualité se produit $P$ est réordonné pour que les parties vides soient placées à la fin.</footnote>
Soit V le sous espace directeur de $\lambda$, soit a un point quelconque de $\lambda$, si l'on désigne par $\varphi_V^\perp$ l'opérateur de projection M-orthogonale

sur $V^\perp$ (respectivement $\varphi_V$ sur V), on sait que :

$$ d_M^2 (x, \lambda) = \left\| \psi_V^\perp (x-a) \right\|_M^2 $$

### remarques :

1. Lorsque $\lambda$ est de dimension 0 (i.e. réduite à un point a)

$$ \text{on a : } D(x, \lambda) = \mu(x) \quad d_M^2(x, a) $$

$$ 2. \inf_{y \in \lambda} d_M^2(x,y) = \inf_{\vec{y} \in V} M((x-a) - y', (x-a) - y') $$

or l'élément de V le plus proche de $(x-a)$ est $\varphi_V (x-a)$ d'où :

$$ \begin{align} \inf_{y \in \lambda} d_M^2 (x, y) &= \| (x-a) - \varphi_V (x-a) \|_M^2 \nonumber \\ &= \| x-a \|_M^2 - \| \varphi_V (x-a) \|_M^2 \tag{1} \end{align} $$

$$ = \| x-a \|_M^2 - \sum_{\alpha=1}^{q} \left( \varphi_{\alpha} (x-a) \right)^2 \quad (2) $$

où $\varphi_\alpha$ est l'opérateur de projection sur l'axe engendré par le $\alpha$ème vecteur d'une base de V. Ce résultat (2) est utilisé pour les calculs pratiques.

3. On peut interpréter $D(x, \lambda)$ comme le moment d'inertie de $x$ relativement à la variété affine $\lambda$. (i.e. inertie de la distribution de masses centrée en $x$).

Par suite, soit $P_i \in \mathcal{P}(E)$ et la distribution $\mu_{P_i}$
définie comme en 1.1. si l'on désigne par :

$I_λ [ μ_{P_i} ]$ l'inertie de la distribution $μ_{P_i}$ relativement à $λ$ on a :

$$ I_{\lambda}[\mu_{P_i}] = \sum_{x \in P_i} D(x, \lambda) \quad (3) $$

Cette quantité que l'on va utiliser plus loin sera également nommée "moment d'inertie de la classe $P_i$ par rapport à $λ$".

4. Suivant les données à traiter et les résultats désirés, une autre définition de $D$ sera proposée (cf. 4.2.), plus générale que la précédente :

$$ 
\begin{aligned}
D'(x, \lambda) &= \mu(x) \left( (\alpha+1) \|x-a\|_M^2 - \|\varphi_V(x-a)\|_M^2 \right) \\
&= \mu(x) \left( \alpha \|(x-a)\|_M^2 + \|\varphi_{V \perp}(x-a)\|_M^2 \right)
\end{aligned}
$$

$$ 
\text{avec } 0 \le \alpha \le 1 \\ 
(\text{si } \alpha=0 \ ; \ D'=D)
$$

La convergence de l'algorithme est aussi démontrée dans ce cas.

$f$ est la"fonction" d'Agrégation associée à $D$ et définie par :

$$ f : \mathbb{L}_K \to \mathbb{P}_K \quad (\text{notée aussi } f_D) $$

$$ f(L) = (P_1, \dots, P_i, \dots, P_K) \text{ où} \\ P_i = \{ x \in E \mid \forall j \neq i, D(x, L_i) \leq D(x, L_j) \} $$

définition que l'on va préciser en ce qui concerne le passage de l'itération n à l'itération n+1, lorsqu'on se trouve confronté à l'une des trois situations possibles :
$$
1. \forall x \in E, (\exists i \ \forall j \neq i, D(x, L_i^{(n)}) < D(x, L_j^{(n)}) \Rightarrow x \in P_i^{(n+1)})
$$

$$
2. \ \forall \exists [K], \ \forall x \in E \ (x \in P_h^{(n)} \text{ et } \exists i, D(x, Li^{(n)}) < D(x, L_h^{(n)}) \\
\text{et } \forall j < i \ D(x, Li^{(n)}) < D(x, Lj^{(n)}) \Rightarrow x \in P_i^{(n+1)})
$$

$$
3. \ \forall \exists [K], \ \forall x \in E \ (x \in P_i^{(n)} \text{ et } \forall j \in [K] \ D(x, L_i^{(n)}) \le D(x, L_j^{(n)}) \\
\Rightarrow x \in P_i^{n+1})
$$

(3) est une situation telle que x ne change pas de classe,
car ce changement ne correspond pas à une amélioration du
critère.*

(1) et (2) sont des situations où x change de classe en
liaison avec une décroissance stricte du critère.

Dans la situation (2) en présence de plusieurs classes
situées à égale distance de x, on l'affecte à celle de
plus petit indice.**

On a donc la définition suivante :

$$
P_i^{(n+1)} = \{ x \in P_i^{(n)} | \begin{array}{l} \forall k \in K \text{ s.t. } D(x, L_i^{(n)}) < D(x, L_k^{(n)}) \\ \text{ et } \forall k \in K \text{ s.t. } D(x, L_i^{(n)}) < D(x, L_k^{(n)}) \end{array} \} \\
\cup \{ x \in E \text{ et } x \notin P_i^{(n)} | \begin{array}{l} D(x, L_i^{(n)}) < D(x, L_k^{(n)}) \\ \forall k \in K \text{ s.t. } D(x, L_i^{(n)}) < D(x, L_k^{(n)}) \end{array} \} \\
\cup \{ x \in P_h^{(n)} | \begin{array}{l} D(x, L_i^{(n)}) < D(x, L_h^{(n)}) \\ \text{ et } \forall k \in K \text{ s.t. } D(x, L_i^{(n)}) < D(x, L_h^{(n)}) \end{array} \} \\
\forall k \in K \ j < i \Rightarrow D(x, L_i^{(n)}) < D(x, L_j^{(n)}) \}
$$

Il est évident que l'intérêt d'une telle définition est
surtout théorique ; pratiquement les cas d'égalité sont
très peu probables. Mais ainsi à toute modification de
la partition correspond une amélioration du critère W

<footnote>* Dans la M.N.D. la définition de f est telle que si $j < i$ et $D(x, L_i^{(n)}) = D(x, L_j^{(n)})$ alors $x \in P_j^{(n+1)}$ même si à l'itération précédente $x \in P_i^{(n)}$</footnote>

<footnote>** procédé très imparfait puisqu'il ne tient pas compte du poids, de la forme, de la dispersion des classes.</footnote>
défini plus loin. Cela permet de démontrer et d'utiliser
en 3.2. une propriété restreinte d'injectivité de la
fonction W.

Remarques :

1. f est bien une fonction puisque $f(L) = P$ est la partition unique déterminée par le tableau des proximités entre individus et centres d'agrégation.

2. Intuitivement la nouvelle classe Pᵢ est constituée des points de E (en nombre non fixé a priori) plus "proches" au sens de la distance définie en 1.2.1 de la variété Lᵢ que tout autre variété.

1.2.2. - R et g

On définit une mesure de proximité :

$$
R : L \times ]K[ \times \mathbb{P}_K \to \mathbb{R}^+
$$

entre classes et variétés affines par :

$$
\forall \lambda \in L, \forall k \in ]K[, \forall P \in \mathbb{P}_K
$$

$$
R (\lambda, k, P) = \sum_{x \in P_k} D (x, \lambda)
$$

on définit également

$$
\tilde{R} : \mathbb{P}_K \times ]K[ \times \mathbb{P}_K \to \mathbb{R}^+
$$

$$
\forall L = (L_1, \dots, L_k, \dots, L_K) \in L_K, \forall P = (P_1, \dots, P_k, \dots, P_K) \in \mathbb{P}_K, \forall k \in ]K[
$$

$$
\tilde{R}(L,k,P) = \sum_{x \in P_k} D(x,L_k) = R(L_k,k,P)
$$

on peut remarquer que $R (\lambda, i, P) = I_\lambda [\mu (P_i)]$ (cf. remarque 3 page 3) et que $\sqrt{\tilde{R}} (L, k, P)$ qui est analogue à un écart-type mesure la dispersion moyenne de la classe $P_k$ autour de la variété affine $L_k$.
R sera supposée injective par rapport au premier de ses arguments i.e :

$$
R(\lambda,i,P) = R(\lambda',i,P) \iff \lambda = \lambda'
$$

On admet qu'une distribution de masses n'a même inertie
par rapport à deux variétés que si ces variétés sont
identiques, ce qui n'est pas vrai par exemple dans le
cas de distributions uniformes dans un domaine avec
symétries.Cependant, dans la pratique, il y a peu de
chances que ce cas se réalise.

g est "la fonction" associée à R qui permet de déterminer
le K-centre d'agrégation L d'une K-partition P.

elle est définie par :

$$
g : \mathbb{P}_K \longrightarrow \mathbb{L}_K
$$

$$
g(P) = (L_1, \dots, L_i, \dots, L_K)
$$

où $L_i$ est une variété affine de dimension $q$ de $\mathbb{R}^p$, telle que :

$$
\forall \lambda \in \mathcal{L}, R(L_i, i, P) \leq R(\lambda, i, P)
$$

i.e. la q-variété affine de ℝP relativement à laquelle la
distribution μPᵢ présente une inertie minimum.

On sait que :

1. $\forall V \in \mathcal{V}^q (\mathbb{R}^p), \forall a \in \mathbb{R}^p \quad \lambda = (a, V) \text{ et } \lambda_i = (g_i, V)$

où $g_i = g(\mu_{P_i})$ (def. 1.1.), sont deux variétés affines

"parallèles" et d'après le théorème de Huyghens :

$$
I_{\lambda} \left[ \mu_{P_i} \right] = I_{\lambda_i} \left[ \mu_{P_i} \right] + \hat{\mu}_{P_i} \left\| \varphi_{V}^{\perp} (a - g_i) \right\|_{M}^{2}
$$

Par suite $L_i$ est une variété affine passant par $g_i$
centre de gravité de la classe $P_i$

Dans le cas particulier où $\exists i, P_i = \emptyset$, $L_i$ n'existe pas, alors

$g(P_1, \dots, P_{i-1}, P_{i+1}, \dots, P_K) = (L_1, \dots, L_{i-1}, L_{i+1}, \dots, L_K)$
2. Si on pose $L_i = (g_i, V_i)$, la solution de la recherche de $V_i$ est fournie par l'étude simultanée de deux formes quadratiques :

$\mathfrak{h}_i$ forme quadratique d'inertie de la distribution $\mu(P_i)$

M forme quadratique définie positive définissant sur $\mathbb{R}^p$ une structure euclidienne.

Des résultats connus d'analyse factorielle (cf. BENZECRI [1]) nous permettent d'affirmer que :

$\exists V_i \in \mathcal{V}^q (\mathbb{R}^p), \forall V \in \mathcal{V}^q (\mathbb{R}^p)$

$$I[\mu(P_i), (g_i, V_i)] \le I[\mu(P_i), (g_i, V)]$$

$V_i$ est le sous espace vectoriel engendré par les $q$ premiers axes principaux d'inertie du nuage $\{ (x, \mu(x)) | x \in P_i \}$

Comme :

$$I[\mu(P_i), (a, V)] = R(\lambda, i, P)$$

$$I[\mu(P_i), (g_i, V)] = R(\lambda_g, i, P) \quad \text{où} \quad \lambda_g = (g_i, V)$$

$$I[\mu(P_i), (g_i, V_i)] = R(L_i, i, P)$$

$$\text{on a : } \forall \lambda, \forall \lambda_g, \forall i \in ]k]$$

$$R(\lambda, i, P) \ge R(\lambda_g, i, P) \ge R(L_i, i, P)$$

L'existence d'un K-centre L, solution du problème, est ainsi montrée, mais il n'est pas certain que

∀i ∈ V : g(P_i) = L_i soit unique (∗) et que g soit une fonction.

On sait que dans le cas de valeurs propres multiples, la détermination du sous-espace $V_i$ n'est pas nécessairement unique. On ne peut donc pas conclure que g est en général

<footnote>(∗) on note également g par abus de langage l'application :
$$g : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{L} \quad \text{telle que } g(P_i) = L_i = g_i + V_i$$</footnote>
une fonction. Cependant dans les applications numériques on ne rencontre qu'exceptionnellement des valeurs propres multiples ; celles-ci (cf. Benzecri[1]TII,p 79) "ne peuvent s'introduire naturellement que du fait de la symétrie d'une construction géométrique". Nous ne nous préoccuperons donc pas de ce cas.

### Remarque

Formalisme sous l'hypothèse d'utilisation de métriques locales.

La forme quadratique définie positive M définissant sur $\mathbb{R}^p$ une structure euclidienne, peut être :

- soit choisie une fois pour toutes (Algorithme ANATYPA décrit en 1.4.)

- soit associée au nuage analysé (Algorithme ANATYP-B), dans ce dernier cas qui sera traité en 3.3. le formalisme adopté ci-dessus doit être modifié. Les nouvelles définitions seront données dans le paragraphe cité.

### 1.3. - Le critère à optimiser : W

#### 1.3.1. - Définition

On définit une mesure de proximité entre K-centres et K-partitions par :

$$W : L_K \times \mathcal{P}_K \to \mathbb{R}^+$$

$$(L,P) \quad \mapsto \quad W(L,P) = \sum_{k \in \mathcal{K}} \tilde{R}(L,k,P)$$

#### 1.3.2. - Interprétation du critère

Une analyse locale est l'analyse du nuage $\{(x, \mu_k(x)) \mid x \in E\}$, associée à la classe $P_k$ où $\mu_k$ est une distribution de masses, (de masse totale $\hat{\mu}_k < 1$), induite par $\mu$ et définie par :

$$\forall k \in \mathcal{K}, \mu_k(x) = \begin{cases} \mu(x) & \forall x \in P_k \\ 0 & \forall x \notin P_k \end{cases}$$
ou encore l'analyse du nuage $\{(x, \mu_k^*(x)) \mid x \in P_k\} = P_k^*$
avec $\mu_k^*(x) = \mu(x) / \hat{\mu}_k, \forall x \in P_k$ et $\hat{\mu}_k^* = 1$.

On a vu que $\tilde{R}(L,k,P)$ est l'inertie de la distribution
$\mu_k$ par rapport à la variété affine $L_k$. Si l'on considère
l'inertie de la distribution $\mu_k^*$ relativement à $L_k$ notée
$I_r(P_k^*/L_k)$ (inertie résiduelle relativement à $L_k$ d'une
distribution de masse totale 1), on a :

$$
\tilde{R}(L,k,P) = \hat{\mu}_k I_r (P_k^*/L_k)
$$

Par suite le critère choisi

$$
W(L,P) = \sum_{k \in \mathbb{K}} \hat{\mu}_k I_r (P_k^* / L_k)
$$

s'interprète comme la moyenne, pondérée par les masses
totales des K classes, des inerties résiduelles de chaque
classe par rapport à la variété affine qui lui est associée.

Pour $L = g(P)$ (i.e. si $\forall k \in \mathbb{K}$, $\mathbb{P}_k$ est la variété affine de dimension $q$ par rapport à laquelle la classe $P_i$ présente une inertie résiduelle minimum) on définit :

$$
\tilde{W}(P) = W(g(P),P)
$$

qui attribue une"valeur" à la partition P et permet de
comparer entre elles deux partitions. (W̃(P) est une
mesure de "dispersion" de la partition P). On démontrera que
l'application $\tilde{W} : \mathbb{P}_K \to \mathbb{R}^+$ est injective sur toute
suite $\{(\text{fog})^{(n)} (P_o)\}_{n \in \mathbb{N}}$, $P_o$ quelconque ∈ $\mathbb{P}_K$. (cf. 3.2.)

remarques :

$$
1. \tilde{R}(L,i,P) = \sum_{x \in P_i} \mu(x) \left\| x - \varphi_i(x) \right\|^2 = \\
= \hat{\mu}_i \left[ \text{Trace} \otimes_i M_i - \sum_{\alpha=1}^q \lambda_{\alpha}^i \right]
$$

où $\varphi_i$ est l'opérateur de projection sur $L_i$,
où $\not{\nabla}_i$ est la matrice d'inertie du nuage $P_i, M_i$ la métrique associée à ce nuage, $\lambda_\alpha^i$ la $\alpha$ème valeur propre de la matrice $\not{\nabla}_i$ de $M_i$.

2. L'indice $\| x - \varphi_i (x) \|$ / $\sqrt{\tilde{R}}$ (L,i,P) compare la distance de $x$ à $\tilde{L}_i$ à la dispersion moyenne de la classe $P_i$ autour de $L_i$.

L'indice $\mu(x) \|x - \varphi_i(x)\|^2 / \tilde{R}$ (L,i,p) est normé et mesure la contribution de $x$ à l'inertie de la classe $P_i$, $\forall x \in P_i$. Ils peuvent permettre d'apprécier la validité de l'affectation d'un individu à une classe.

### 1.3.3. - Relation entre critère, inertie totale, variance inter-classe.

On considère les trois nuages suivants :

1. E ensemble des individus, muni d'un système fini de masses $\mu$ de masse totale 1, de centre de gravité g.

2. $\{(G_k, x \in P_k, \mu(x)) | k \in \mathbb{K}\} = \{(G_k, \hat{\mu}) / k \in \mathbb{K}\} \text{où } G_k \text{ est le centre de gravité de la classe } P_k \text{ de la partition } P = (P_1, \dots, P_k, \dots, P_K)$

3. $\mathcal{N}_k = \{ x, \mu_k(x) / x \in P_k \} \text{ , } \forall k \in \mathbb{K}$

L'inertie totale du nuage E par rapport à son centre de gravité g est :

$$ 
\begin{align*} 
I_g (\mu) &= \sum_k \mu(x) \|x - g\|_M^2 \mid x \in E \} = \\ 
&= \sum_k \sum_{k \in \mathcal{K}} \mu(x) \|x - g\|_M^2 / x \in P_k \} = \sum_k \mathcal{I}_g (\mu_k) 
\end{align*} 
$$

l'inertie totale du nuage $\mathcal{N}_k$ par rapport à son centre de gravité $g_k$ est $I_{g_k}(\mu_k) = \sum_k \mu(x) \|x - g_k\|_M^2 / x \in P_k$
D'après le théorème de Huyghens

$$I_g(\mu_k) = I_{g_k}(\mu_k) + \int_k \|g-g_k\|_M^2$$

d'où

$$I_g(\mu) = \sum_{\kappa \in K} I_{g_k}(\mu_k) + \sum_{\kappa \in K} \frac{\mu_k}{\|g - g_k\|_M^2}$$

le 2ème terme du second membre est le moment d'inertie du nuage des centres de gravité (variance inter-classe). Quand les centres cherchés sont des variétés affines de dimension 0 i.e. des points, on a pour toute classe $P_k$ :

$$g(P_k) = g_k \text{ centre de gravité de la classe k}$$

et par suite :

$$\tilde{w}(P) = \sum_{\kappa \in K} I_{g_k}(\mu_k) = I_g(\mu) - \sum_{\kappa \in K} \hat{\mu}_k \quad \|g - g_k\|_M^2 \quad (R1)$$

Minimiser le critère revient donc dans ce cas particulier à maximiser la variance inter-classe.

Dans ce cas très simple on est ramené à la méthode initiale des nuées dynamiques avec pour noyaux les centres de gravité (cf. [5], [7]).
## 1.4. - L'algorithme de base de l'analyse factorielle typologique

Le processus itératif fait intervenir alternativement les fonctions g et f définies en 1.2.. Il est schématisé dans l'organigramme simplifié ci-dessous :

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Les étapes successives sont :

1. Tirage aléatoire ou estimation (d'après la connaissance éventuelle des données) d'une partition $P^{(0)}$ de l'ensemble E en KMAX classes.

2. Recherche du K-centre d'agrégation L de la partition P (à l'iteration n, $L^{(n)}$ = g ($P^{(n)}$). L'étape 2 consiste à calculer pour chaque classe le centre de gravité et les q premiers axes principaux d'inertie ($q \ge 0$) i.e. à appliquer la"fonction" g.
3. Calcul du critère W (L,P), pour tout couple (L=g(P), P).

La suite des réels positifs $u_n = W(g(P^{(n)}), P^{(n)}) = \tilde{W}(P^n)$,
définis pour toute itération n, permet de suivre le
déroulement de l'algorithme.

On démontre en 3.2. que sous certaines conditions elle
est convergente.

4. Test de convergence de l'algorithme (identifié à la
convergence de la suite $u_n$ ; cf. dém. en 3.2.)

5. Calcul des "proximités" entre les individus à classer
et les K variétés affines obtenues à l'étape 2.
On obtient un tableau de "distances" de taille card E x K

$$
\{ D (x,k) / x \in E, k \in K \}
$$

6. Construction d'une nouvelle partition à partir du
tableau des proximités calculé à l'étape 5, i.e. application
de la fonction f

à l'itération n : $P^{(n+1)} = f(L^{(n)})$

remarque : les étapes (6) (2) (3) (4) (5) dans cet ordre
constituent une itération.

7. Arrêt lorsqu'on a atteint un élément non biaisé de $\mathbb{P}_K$
i.e. une partition $\mathbb{P}^{(n)}$ telle que $\text{fog}(\mathbb{P}^{(n)}) = \mathbb{P}^{(n)}$, on a
alors : $\forall p \in \mathbb{N}, W[g(\mathbb{P}^{(n)}), \mathbb{P}^{(n)}] = W[g(\mathbb{P}^{(n+p)}), \mathbb{P}^{(n+p)}]$
c.a.d. $\mathbb{U}^{\mathbb{n}} = \mathbb{U}^{\mathbb{n}+p}$.

Dans la pratique, on observe souvent après une décroissance
rapide lors des premières itérations, une décroissance très
lente et peu significative de la suite $u_n$.

Cette situation justifie des procédures ayant pour but
d'arrêter l'algorithme avant que l'on atteigne effectivement
un élément non biaisé. Les partitions obtenues lors des
dernières itérations étant très peu différentes, l'arrêt sera
décidé soit :
1) en testant la décroissance relative du critère et en arrêtant le processus d'itérations si $\frac{|u_n - u_{n+1}|}{u_n} < \varepsilon$. arbitrairement petit. Ce qui revient à admettre la convexité de la courbe de décroissance de $u_n$. Convexité observée dans la pratique pour les dernières itérations.

2) en testant la stabilité des classes, on utilise pour cela une notion de quantité d'information apportée par la partition $P^{(n+1)}$ quand on a la partition $P^{(n)}$ qui sera précisée en 5.5. ; l'arrêt intervient lorsque cette quantité devient inférieure à un nombre arbitrairement petit. On considère en effet que les changements d'affection sont trop peu nombreux pour modifier de manière significative les matrices à diagonaliser et par suite les facteurs extraits.

3) en testant la stabilité des variétés affines obtenues (test utilisé seulement dans le cas d'axes) on calcule l'angle des axes de même rang obtenus pour la même classe à 2 itérations successives et on arrête lorsque les axes ne "tournent" plus.

Les résultats des tests 2 et 3 sont en général concordants, cependant ils ne sont pas toujours redondants car le déplacement d'un nombre réduit de points peut modifier la quantité d'information sans faire tourner les axes, lorsqu'il s'agit de points proches de l'intersection des variétés affines ou de très faible masse et réciproquement le changement d'affectation d'un point éloigné ou de forte masse peut modifier un axe, mais ne modifiera pas notablement la quantité d'information.

Le mode d'utilisation de ces tests est précisé dans l'organi-
gramme ci-dessous.
<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Remarques :

1 - Le problème des métriques locales déjà évoqué se posera à la deuxième étape de l'algorithme, en particulier pour l'analyse factorielle typologique des correspondances, puisque dans cette méthode la métrique est déterminée par le nuage à analyser.

2 - Une modification de l'algorithme au cours des premières itérations permet d'éviter certains effets liés à l'aléa de départ et en particulier d'éliminer les classes d'intérieur vide (cf. 5.3. : techniques des ellipsoïdes-noyaux)

1.5. - Les métriques utilisées : Interprétation de la fonction g pour différents choix.

Formalisons le problème :

soit $\mathcal{N} = \{(x_i^J, p_i) \mid i \in \mathbb{N}\}$ le nuage des objets de l'ensemble à analyser. ($p_i$ est le poids affecté à $x_i^J$)
Pour mesurer la proximité entre objets on a muni $\mathbb{R}^p$ d'une métrique $M$. {$c, \mathbb{R}^p, M$} est une représentation euclidienne* de l'ensemble des objets.

Dans le déroulement de l'algorithme la métrique $M$ joue un rôle essentiel elle influe aussi bien sur le passage d'un K-centre d'agglutination $L$ à la K-partition $f$ ($L$), que sur la recherche des K variétés affines associées à une partition.

Appliquer $g$ c'est pour chaque classe $P_k$ calculer la forme quadratique d'inertie $V$ du nuage et diagonaliser $V_o$. $M$ puisque $\forall i, L_i$ est la variété affine de dim $q < p$ engendrée par les $q$ premiers vecteurs propres de $V_o M$.

On voit que les choix de $M$ et $g$ sont liés :

Si l'on désire par exemple appliquer l'algorithme décrit en 1.4. en faisant pour chaque classe une analyse en composantes principales (respectivement en composantes principales normées, ou analyse des correspondances) on devra choisir $M = I_p$ (respectivement $M = D_{1/\sigma^2}$, ou $M = D_{1/f_J}$) et reciproquement le choix de $M$ détermine la méthode d'analyse factorielle utilisée.

On peut envisager différents choix :

$$1.5.1. - M = I_p$$

C'est la seule métrique pour laquelle ne se pose pas le problème des métriques locales puisqu'elle est indépendante du nuage analysé ; elle a été utilisée dans l'application du domaine de la reconnaissance des formes de données planes (cf. [13], [14]).

$$1.5.2. - \text{Métrique } D_{1/\sigma^2} \text{ et métrique du } \chi^2$$

Considérer les distances induites par la métrique $M$ équivaut à considérer les distances usuelles après avoir effectué une transformation linéaire des variables initiales. Etudions cette transformation dans le cas des deux autres métriques envisagées, afin d'interpréter les analyses effectuées, en particulier les analyses effectuées, en particulier les analyses locales.

<footnote>* notations de [5]</footnote>

<footnote>* métriques associées aux matrices diagonales de termes généraux respectifs
$\forall j, j' \in ]p]$ $\delta^{jj'}$, $\delta^{jj'}/\sigma^2(j)$, $\delta^{jj'}/f_j$</footnote>
a) D 1/σ²

Pour effectuer l'analyse globale du nuage $\mathcal{G}$, on diagonalise la
matrice de corrélation :

$$
\forall j,j' \in \mathcal{P}, A_{(j,j')} = S_{(j,j')}/S(j) S(j')
$$

$$
\text{avec } S (j,j') = \sum_{i \in I} p_i (x_i^j - g^j) (x_i^{j'} - g^{j'})
$$

$$
\text{et } S(j) = \sum_{i \in I} [p_i (x_i^j - g^j)]^{1/2}
$$

i.e. on effectue une A.C.P. du nuage T (G) des données réduites.
Au niveau des classes cela revient à faire une A.C.P. sur le sous-
nuage T (cIk) du nuage des données réduites T (cG).
Lorsqu'on effectue une analyse locale i.e. d'une classe Pk e G(E)
on diagonalise :

Lorsqu'on effectue une analyse locale i.e. d'une classe P<sub>k</sub> e G(E)
on diagonalise :

$$
A_k (j,j') = \sum_{i \in P_k} p_i \frac{x_i^j}{\sigma_j} \frac{x_i^{j'}}{\sigma_{j'}} - p_k \frac{g_k^j}{\sigma_j} \frac{g_k^{j'}}{\sigma_{j'}} \quad (1)
$$

où g_k^j/σj est la j-ième composante du centre de gravité du nuage transformé de cIk.

La matrice $A_k$ n'est plus ici la matrice des coefficients de corrélation des variables $x_i^j$ sur la classe $P_k$, $\forall k$ on analyse en composantes principales le nuage $\{(T(x_i^J), p_i) | i \in P_k\}$ des données réduites "globalement".

Dans l'analyse globale l'intérêt de cette métrique est que les résultats
ne dépendent plus des unités de mesure et que l'on donne a priori la
même importance aux différents caractères. Ces avantages seraient con-
servés pour les analyses locales si on utilisait des métriques locales,
i.e. $\forall k, M_k = D^2/\sigma_k^2$.

la matrice à diagonaliser serait alors :

$$
A_k (j,j') = \sum_{i \in P_k} p_i \frac{x_i^j x_i^{j'}}{\sigma_k^j \sigma_k^{j'}} - p_k \frac{g_k^j g_k^{j'}}{\sigma_k^j \sigma_k^{j'}} \quad (2)
$$

au lieu de (1)
comme :

$$ \delta_{(j)}^2 = \sum_{i \in E} p_i (x_i^j)^2 - \hat{\mu}(g^j)^2 = \sum_k \sum_{i \in P_k} p_i (x_i^j)^2 - \sum_k \hat{\mu}_k (g_k^j)^2 $$

$$ \text{et } \delta_k^2 = \sum_{i \in P_k} p_i (x_i^j)^2 - \hat{\mu}_k (g_k^j)^2 $$

$$ \delta^2(j) = \sum_k \delta_k^2(j) + \sum_k \hat{\mu}_k (g_k^j - g^j)^2 $$

$$ \text{var}(j) = \sum_k \text{var}_k(j) + \text{var}\,g_k^j $$

si on utilise (1) au lieu de (2) un caractère qui varie peu surla classe k, mais beaucoup sur l'ensemble complet c.a.d. tel que $\delta_k(j)$ petit par rapport à $\delta(j)$ voit son importance diminuer dans l'analyse de la classe.

Inversement si $\delta_k(j) \gg \delta(j)$, (si j varie plus sur la classe k qu'en général), en divisant par $\delta(j)$ on conserve à ce paramètre une grande importance sur la classe.

Ces différences semblent aller dans le sens de ce qu'on veut obtenir, l'utilisation de (2) plus rigoureuse d'un point de vue strictement local pose des problèmes de convergence de l'algorithme sur lesquels nous reviendrons. (cf. 3.3.).

b) la métrique du $\chi^2$

Il est évident que l'utilisation d'une métrique du $\chi^2$ et par suite de l'analyse des correspondances sont souhaitables. Les avantages sont nombreux : équivalence distributionelle, représentation simultanée barycentrique, ... La métrique est alors déterminée par les données ce qui pose le problème des métriques locales que l'on va préciser dans le paragraphe 2.

c) L'utilisation d'autres métriques peut-être envisagée par ex : Mahalanobis, Sebestyen, etc...
## 2. - L'analyse factorielle typologique des correspondances

### 2.1. - Notations utilisées

I ensemble des individus, $\text{card } I = n$

J ensemble des paramètres, $\text{card } J = p$

P est le tableau (n x p) des données

$$p_i = \sum_j p(i,j), \quad p_j = \sum_i p(i,j)$$

$$\sum_i p_i = \sum_j p_j = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} p(i,j) = S$$

$f_i = p_i/S$ et $f_j = p_j/S$ sont des mesures de probabilité respectivement

sur I et J

K est le nombre maximum de classes des partitions considérées

$(P_1, \dots, P_K)$ est une partition de I en K classes

$$\Psi_m \in \mathbb{K}] , \quad S_m = \sum_{i \in P_m} p_i$$

on note $\mathbb{R}_j$ l'ensemble des mesures sur J fini.

En analyse des correspondances le problème que l'on se pose est la recherche de la variété affine de dimension donnée q de $\mathbb{R}^p$ relativement à laquelle l'inertie de la distribution de masses représentée par $\mathcal{P}(I)$ ou $\mathcal{P}(J)$ est minimum. On a vu (cf. 1.4.) que dans la pratique il se résoud par la recherche des q premiers vecteurs propres d'une matrice symétrique définie à partir de VoM comme en 1.5. et de terme général.

$$A_{jj'} = \sum_{i=1}^{n} \frac{p(i,j) p(i,j')}{p_i \sqrt{p_j} \sqrt{p_{j'}}} - \sqrt{f_j} \sqrt{f_{j'}} \quad (A1)$$

### 2.2. - Métrique du $\chi^2$ et analyse factorielle typologique

On est amené dans le déroulement de l'algorithme à rechercher les axes principaux d'inertie des classes obtenues par partition de l'ensemble I des individus, c'est-à-dire à analyser des sous-nuages de lois de probabilités conditionnelles.
soit $(I_1, \dots, I_K)$ une partition de $I$ en $K$ classes

$\mathfrak{V}ke \mathfrak{J}[K], \mathcal{N}(I_k) = \{(f_J^i, f_i) \mid i \in I_k\} \subset \mathbb{R}_J$ a pour centre de gravité $f_{kJ} = f_J^i$ o $f_{I_k}$ où $f_{I_k} = \{f_k \ (i) = f_i \ x \ \frac{s}{s_k} \mid i \in I_k\}$

(voir notations en 2.1.)

au nuage $\mathcal{N}(I_k)$ correspond le tableau partiel des données $f_J^I$ de taille $p \times n_k$

on a $f_J^I = [f_J^{I_1}, \dots, f_J^{I_k}]$

soit $V_k$ la matrice d'inertie associée au nuage $\mathcal{N}(I_k)$

$$V_k = Y_J^{I_k} \circ D_p \circ (Y_J^{I_k})' \quad \text{où} \quad Y_J^{I_k} = f_J^{I_k} - \delta^{I_k} \times f_{kJ}$$

telle que

$$V_k (j,j') = \sum_{i \in I_k} f_i (f_j^i - f_{kj}) (f_j^i, -f_{kj})$$

Résoudre le problème consistera à calculer, symmetriser et diagonaliser pour chaque classe $I_k$ la matrice $V_k$ o $M$ où $M$ est une métrique du $\mathcal{X}^2$, de centre à préciser, dont on munit $\mathbb{R}^p$, deux choix sont possibles.

### 2.2.1. - Métrique du $\mathcal{X}^2$ de centre associé au nuage complet

Cela revient à considérer $\mathbb{R}_J$ (ici isomorphe à $\mathbb{R}^p$) muni de la métrique :

$$M = \begin{bmatrix} \dots & 1/f_j & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \dots & 1/f_j & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \dots & 1/f_j & \dots \end{bmatrix} \text{ avec } f_j = \sum_{i \in I_j} f(i,j)/S$$

associée à $\mathcal{N}(I)$
l'algorithme est alors strictement tel qu'il est décrit
en 1.4. et il converge (cf. dém. en 3.2)

mais pour chaque classe l'analyse locale n'est pas une
analyse factorielle des correspondances puisque le centre
choisi n'est pas celui de la classe.

On sait que le nuage global admet deux représentations
euclidiennes equivalentes {$\mathcal{P}$, $\mathbb{R}^p$, $D \ 1/f_J$} et {$T(\mathcal{P})$, $\mathbb{R}^p$, $I_p$}

$$
où \ T(\mathcal{P}) = \left\{ \left( \left( f_i^1 / \sqrt{f_1^1} \cdots f_i^p / \sqrt{f_p^1} \right)', f_i \right) \mid i \in I \right\}
$$

de même les analyses locales peuvent être regardées comme
des analyses en composantes principales des nuages trans-
formés

$$
T(\mathcal{P}_k) = \{ (f_J^i / \sqrt{f_J^1}, f_i) \mid i \in \mathcal{P}_k \}
$$

dont la matrice d'inertie est

$$
V_k^{*} (j, j') = \sum_{i \in \mathcal{I}_k} f_i (f_j^i - f_j^k) (f_{j'}^i - f_{j'}^k) / \sqrt{f_j^1} \sqrt{f_{j'}^1}
$$

$$
où \ f_k^j = \sum_{i \in \mathcal{I}_k} f_i \frac{f_j^i}{\sum_{k \in \mathcal{I}_k} f_k^i}
$$

remarques :

1. $f_k(\mathbf{i}) = \sum_{j=1}^{p} p(i,j) / \sum_{i \in \mathcal{I}_k} \sum_{j=1}^{p} p(i,j) = p_i / S_k \Rightarrow$
$$ \sum_{i \in \mathcal{I}_k} f_k(i) = 1 $$

$$
\forall i, f_k(i) = \frac{p_i}{S_k} = f_i \times \frac{1}{\hat{\mu}_k}, \text{ car } S_k/S = \hat{\mu}_k \text{ masse totale de la classe k.}
$$

on voit que la matrice diagonalisée (A1) (cf § 2.1.) ne
tient pas compte de ce coefficient $1/\hat{\mu}_k$
En fait la matrice à diagonaliser devrait être de terme général :

$$V_k (j,j') = \sum_{i \in I_k} f_k (i) \frac{(f_j^i - f_j^k) (f_{j'}^i - f_{j'}^k)}{\sqrt{f_j} \sqrt{f_{j'}}}$$

il suffit d'effectuer, pour certains calculs, des corrections: les valeurs propres réelles seront par exemple celle de la matrice diagonalisée (A1) multipliées par $\hat{\mu}_k$.

2. L'équivalence distributionnelle n'est plus vérifiée.

soit $\mathcal{N}_k (J) = \{ (f_{I_k}^j, f_k(j)) \mid j \in J \}$ le nuage des paramètres de la classe $I_k$

$$\text{où } f_k(j) = \sum \{ (f_{(i,j)} / f_k : \text{lie } I_k \}$$

en effet supposons qu'il existe $j_1, j_2$ tels que $f_{I_k} = f_{I_k}^{j_1} = f_{I_k}^{j_2}$

$$\text{i.e } \exists j_1, j_2 \text{ vie } I_k \quad \frac{f_{(i,j_1)} - f_{(i,j_2)}^2}{f_k(j_1)} = \frac{f_{(i,j_1)} - f_{(i,j_2)}^2}{f_k(j_2)} = \frac{f_{(i,j_1)} + f_{(i,j_2)}^2}{f_k(j_1) + f_k(j_2)} = \frac{f_{(i,j_1)} + f_{(i,j_2)}^2}{f_k(j_1)}$$

alors

$$d(i,i') = \sum_{j \in J - \{j_1, j_2\}} \frac{(f_j^i - f_{j_1}^i')^2}{f_{j_1}} + \frac{(f_{j_1}^i - f_{j_2}^i')^2}{f_{j_2}} + \frac{(f_{j_2}^i - f_{j_1}^i')^2}{f_{j_2}}$$

or comme d'après les égalités ci-dessus

$$\frac{(f_{j_1}^i - f_{j_1}^{i'})^2}{f_{j_1}} + \frac{(f_{j_2}^i - f_{j_2}^{i'})^2}{f_{j_2}}$$

$$= \frac{(f_{j_1}^i - f_{j_1}^{i'})^2}{f_{j_1}} \times \left[ \frac{f_{js} (f_{kj_1}^i)^2}{(f_{kj_1}^i)^2 f_{j_1}} + \frac{(f_{kj_2}^i)^2 f_{js}}{(f_{kj_2}^i)^2 f_{j_2}} \right]$$
l'équivalence distributionnelle est vérifiée si

$$ \frac{f_{j1}}{f_k(j1)} = \frac{f_{j2}}{f_k(j2)} = \frac{f_{js}}{f_k jes)} \quad (\text{Ho}) $$

$$ \text{alors } d(i,i') = \sum_{j \in J - \{j_1, j_2\}} \frac{(f_j^i - f_{j'}^{i'})^2}{f_j} + \frac{(f_{js}^i - f_{js'}^{i'})^2}{f_{js}} $$

en fait la condition (Ho) n'est généralement pas vérifiée. On remarquera plus loin qu'avec cette hypothèse (Ho) les matrices à diagonaliser seraient identiques que l'on choisisse pour centre $f_J$ (du nuage global) ou $f_{kJ}$ (du nuage $\mathcal{N}(I_k)$).

3. Si le centre choisi est $f_J$, les distances entre individus d'une classe k sont indépendantes de l'appartenance à cette classe et égales aux distances dans le nuage global.

$\forall i, i' \in P_k \ d^2(i, i') = \sum_{j=1}^{p} \frac{(f_j^i - f_{j'}^{i'})^2}{f_j}$ et les analyses locales sont effectuées sur des parcelles du nuage global dont la forme (essentiellement déterminée par la métrique) n'est pas modifiée. Ceci n'est plus vrai si pour toute classe k, on choisit le centre correspondant $f_{kJ}$ (voir 2.3.2.)

4. Le nuage des paramètres ne peut être considéré intrinsèquement.

Il existe autant de nuages que de classes

$$ \forall k, \quad \mathcal{N}_k(J) = \{ (f_{I_k}^j, f_{kJ}^j) \mid j \in J \} $$

$$ \text{avec } f_i^j = p(i,j) / \sum_{j \in I_k} p(j) \quad \forall i \in I_k $$

$$ \text{et } f_{kj} = \sum_{i \in I_k} p(i,j) / S_k = \sum_{i \in I_k} f(i,j) \cdot \frac{S}{S_k} $$
dans $\mathbb{R}^n$ muni de la métrique des poids $f_I$

et dans $\mathbb{R}^{n_k}$ ($n_k = \text{card } P_k$) muni de:

$$f_{I_k} = \{f_i \times \frac{S}{S_k} = f_i / \hat{\mu}_k \mid \text{ie } I_k\}$$

les distances entre paramètres sont respectivement

$$d^2 (j,j) = \sum_{i \in I} \left[ \frac{f(i,j)}{f_j} - \frac{f(i,j')}{f_{j'}} \right]^2 / f_i$$

$$\psi_k, d_k^2 (j,j') = \sum_{i \in I_k} \hat{\mu}_k \left[ \frac{f(i,j)}{f_k(j)} - \frac{f(i,j')}{f_k(j')} \right]^2 / f_i$$

si (Ho) est vérifiée, on obtient toujours la même représentation pour le nuage des paramètres qq. soit la classe k. Dans le cas contraire, les paramètres joueront dans la kème analyse un rôle d'autant plus différent de celui de l'analyse globale que cette hypothèse sera moins vérifiée.

### 2.2.2. - Métrique du $\chi^2$ du centre associé à la classe k.

On désigne pour tout k

- par $M_k$ une métrique sur $\mathbb{R}^p$ telle que :

$$M_k (j,j') = \frac{\delta_{j'}^j}{f_k (j)}$$

- par $f_k$ une loi de probabilité sur I telle que :

$$\psi_{I_k} \begin{cases} \text{ie } I_k \Rightarrow f_k (i) = p (i) / S_k \\ i \notin I_k \Rightarrow f_k (i) = 0 \end{cases}$$

la classe $P_k$ est représentée par le nuage $\{(f_j^i, f_k(i)) \mid \text{ie } I_k\}$ et la matrice symétrique à diagonaliser pour effectuer l'analyse des correspondances de ce nuage est de terme général :
$$
(1) A_k (j,j') = \sum_{i \in I_k} f_k (i) \frac{(f_j^i - f_{kj}^i)^2}{\sqrt{f_{kj}^i} \sqrt{f_{kj}^j}}
$$

ou encore

$$
(2) A_k^*(j,j') = \sum_{i \in I_k} p(i,j) \quad p(i,j') \quad S_k \ p_i \sqrt{f_{kj}} \sqrt{f_{kj}'}
$$

$$
\text{avec (1) } \sqrt{f_{kj}} \text{ est vecteur propre relatif à } \lambda = 0,
$$

avec (2) relatif à $\lambda = 1$

si $e_j^\alpha$ est le $\alpha$-ème vecteur propre normalisé

$$
\sum_{j'} A_k (j,j') \frac{e_{j'}^{\alpha}}{\sqrt{f_{kj}'}} = \lambda_{\alpha} \frac{e_j^{\alpha}}{\sqrt{f_{kj}}}
$$

où $\lambda_\alpha$ est la $\alpha$-ème valeur propre.

Chaque analyse locale est alors une analyse factorielle
des correspondances mais :

d'une part on a :

$$
\forall i, i' \in P_k, d_k^2(i, i') = \sum_{j=1}^{p} (f_j^i - f_{j,i'}^i)^2 / f_k(j)
$$

$$
où f_k(j) \text{ vérifie } \sum_{k \in J} \hat{\mu}_k f_k(j) = f(j) \text{ avec } \sum_{k \in J} \hat{\mu}_k = 1
$$

Les analyses locales sont donc effectuées sur des nuages
partiels dont la forme est modifiée (voir 2.3.1 remarque 3)
d'autre part des inconvénients apparaissent aux étapes
3 et 2 du processus d'itérations décrit en 1.4..

A l'étape 3 le tableau D (proximités individus-classes)
est construit de la façon suivante : les "distances" des
individus de E aux différents centres d'agrégation sont
calculés avec une métrique et éventuellement un système
de masse * associés à ce centre : Tout individu de E
n'appartenant pas à P_k est projeté sur L_k comme un individu
supplémentaire de la kème analyse.

<footnote>* Si adapter le système de masses à la classe, n'influence pas
le processus d'iteration au niveau de la fonction g (remarque
1 page 22 ) il n'en est pas de même au niveau de la fonction f.
Calculer D avec un système de masses normalisé pour toute classe
k tend à vider les classes de faible effectif.On evitera donc
en général de normaliser les distributions locales de masses.</footnote>
Pour obtenir la nouvelle partition $f(L)$, chaque indi-
cidu de $E$ est donc affecté à la classe relativement à
laquelle $M$ aurait le plus faible moment d'inertie s'il
lui appartenait.

Si la décroissance du critère est assurée à cette étape,
elle ne l'est plus à l'étape 2. Ceci sera précisé en 3.3.

En résumé dans le premier cas le tableau D est obtenu de
façon plus "homogène" i.e. $\forall x, \forall k, D (x, L_k)$ est calculé dans
$\mathbb{R}^P$ avec la même mètrique, sans tenir compte de l'apparte-
nance à une classe. Ce qui n'est peut-être pas toujours
souhaitable. En outre les analyses locales ne sont pas
des analyses de correspondances.

Dans le second cas les analyses locales sont bien des
analyses de correspondances, ce qui pour certaines études
(cf. 2.3. ci-dessous) semble indispensable, mais le pro-
hlème de la convergence (traité en 3.3.) se pose alors.
remarque

la comparaison des matrices à diagonaliser dans les deux
cas, montre que :

$$
\forall j \quad \frac{p_k (j)}{p (j)} = \frac{S_k}{S} \Rightarrow A (j, j') = \frac{S_k}{S} A_k (j, j') = \hat{\mu}_k A_k (j, j')
$$

et par suite que les deux approches décrites ci-dessus
sont strictement équivalentes dans le cas particulier
où l'hypothèse (H₀) : $\forall j, \forall k$, $p_k(j) / p(j) = \hat{\mu}_k$, est vérifiée,
(H₀) équivaut à $\forall k, \forall j$, $f_k(j) = f(j)$

Les deux méthodes ne sont donc équivalentes que lorsque
les centres de gravité des classes sont confondus avec
le centre de gravité global.
2.3. - Analyse factorielle typologique et reconstitution des données.

2.3.1. - Rappels : reconstitution des données à partir d'un nombre restreint de facteurs. (cf. Benzecri 1 T. II A pp. 33-35)

Dans ce paragraphe on utilise l'A.F.T. pour reconstituer à partir
des résultats d'analyses locales le tableau des données.

les notations utilisées ici sont celles de 2.1.

Au tableau P<sub>IJ</sub> des données on fait correspondre :

- le tableau f<sub>IJ</sub> (loi de probabilité sur I x J)

- les lois marginales P_I et P_J

- le nuage des profils $\mathcal{P}(I) = \{(f_J^i, f_i) \mid \text{ie } I\}$ (de centre de gravité $f_J$) situé dans l'hyperplan de $\mathbb{R}^P$ orthogonal à $f_J$.

Si on extrait, par une analyse factorielle des correspon-
dances, (p-1) directions principales d'allongement du nuage
de vecteurs directeurs {$u_{\alpha J}, \alpha = 1, \dots, (p-1)$} on a :

$$
\text{VieI} \quad f_J^i = f_J + \sum_{\alpha=1}^{p-1} F_{\alpha}(i) u_{\alpha J} \quad (1)
$$

où $F_{\alpha}(i)$ est la $\alpha$ème coordonnée de $f_J^i$ dans le repère
$\{f_J, (u_{\alpha J}, \alpha=1,\dots,p-1)\}$

On obtient à partir de (1) deux formules équivalentes,
de reconstitution des données à partir des facteurs.

$$
(R1) \quad f(i,j) = \text{fi fj} \left( I + \sum_{\alpha=1}^{p-1} \lambda_{\alpha}^{-1/2} F_{\alpha}(i) G_{\alpha}(j) \right)
$$

$$
(R2) \quad f(i,j) = \text{fi fj} \left( I + \sum_{\alpha=1}^{p-1} \lambda_{\alpha}^{1/2} \varphi_{\alpha}^{i} \varphi_{\alpha}^{j} \right)
$$

Si au lieu d'extraire (p-1) facteurs, on en extrait

q ( o ≦ q < p-1), les formules (R1) et (R2) conduisent
à des formules d'approximation :

<footnote>* La reconstitution des données au moyen de l'analyse factorielle typologique n'a été étudiée que dans le cadre particulier de l'analyse factorielle des correspondances, mais pourrait être étudiée également pour des A.C.P.</footnote>
d'ordre 0 : $f(i,j) \not\approx$ fi fj

d'ordre q : $f(i,j) \not\approx$ fi fj ($1 + \sum_{\alpha=1}^{q} \lambda_{\alpha}^{1/2} \varphi_{\alpha}^{i} \varphi_{\alpha}^{j}$

En reconstituant les données à partir de ces formules
on obtient des approximations du tableau $f_{IJ}$ :

d'ordre 0 soit $T_{IJ}^\circ$ défini par $T^\circ(i,j) = \text{fi fj}$
ou plus généralement d'ordre q, $\forall 0 \le q < p-1$ soit $T_{IJ}^q$
défini par :

$$
T^q (i,j) = \text{fi fj} \left( 1 + \sum_{\alpha=1}^{q} \lambda_{\alpha}^{1/2} \varphi_{\alpha}^i \varphi_{\alpha}^j \right)
$$

$T_{IJ}^q$ est le tableau (de rang q+1) le plus proche de
$f_{IJ}$ en un sens qu'on va préciser.

$f_{IJ}$ et $T_{IJ}^q$ étant considérés comme des lois de probabilité*
sur $IxJ$, pour évaluer la valeur des approximations on munit
l'ensemble des lois de probabilités sur $IxJ$ de la distance du
$\chi^2$ de centre $f_I f_J$ on a alors :

$$
\left\| f_{IJ} - T^{\circ}_{IJ} \right\|_{f_I f_J}^{2} = \left\| f_{IJ} - f_I f_J \right\|_{f_I f_J}^{2} = \sum_{\alpha=1}^{p-1} \lambda_{\alpha} \quad (2)
$$

c.a.d. l'inertie totale du nuage $\omega(I)$

et $\forall q$

$$
\left\| f_{IJ} - T_{IJ}^q \right\|_{f_I f_J}^2 = \sum_{\alpha} \lambda_{\alpha} \quad (3)
$$

c.a.d. l'inertie non expliquée par les q premiers axes princi-
paux d'inertie.

$$
\left( \left\| f_{IJ} - T_{IJ}^{q} \right\|_{f_I f_J}^{2} \right) = 0
$$

<footnote>* si $T_{IJ}^q$ comporte des termes négatifs, ce qui est possible, on considèrera la distance entre les deux tableaux comme donnée par la formule (2).</footnote>
Considérons une approximation d'ordre q et notons $\epsilon_{ij}$
l'erreur sur chaque élément du tableau

$$
\epsilon_{ij} = \sum_{\alpha > q} \lambda_{\alpha}^{-1/2} F_{\alpha}(i) G_{\alpha}(j)
$$

on considère que l'erreur globale faite est la norme de $\epsilon_{IJ}$

$$
\| \epsilon_{IJ} \|_{f_I f_J}^2 = \sum_{i,j} (\epsilon_{ij})^2 / \text{fi } f_j = \sum_{\alpha > q} \lambda_{\alpha}
$$

$(\epsilon_{ij})^2 / \text{fi } f_j$ est la contribution absolue de $(i,j)$ à
l'inertie totale.

$$
\text{et} \quad \left\| \epsilon_{IJ} \right\|_{f_I f_J}^2 \quad / \quad \left\| f_{IJ} - f_I f_J \right\|_{f_I f_J}^2 = \sum_{\alpha > q} \tau_\alpha
$$

$(\tau_{\alpha}$ est le taux d'inertie expliquée par l'axe $\alpha$)
1'indice ci-dessus est normé .

2.3.2-**Reconstitution_des_données_à_partir_de_facteurs_locaux**
les données constituent un tableau PIJ de somme totale l
que l'on veut reconstituer à partir des résultats d'analyses
locales des correspondances.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

de somme totale $\hat{\mu}_k = \frac{\sum_{i \in I_k} \sum_{j \in J} p_{(i,j)}}{\sum_{i \in I} \sum_{j} p_{(i,j)}} = \frac{p_k}{p} < 1$ telle que:

$$
\sum_{k \in J} \hat{\mu}_k = 1
$$
Soit le tableau $f_{IJ}^k$ défini par : $\forall (i,j) \ f_k(i,j) = f(i,j) / \hat{f}_k$
il a pour somme totale 1 et pour lois marginales $f_J^k$ et $f_I^k$
définies par :

$$
(1) \quad f_k (j) = \sum_{i \in I_k} f(i,j) / \hat{f}_k = \sum_{i \in I_k} f(i,j) \stackrel{k}{=} \sum_{i \in I_k} f(i,j)
$$

$$
(2) \quad f_k(i) = \sum_{j \in J} f(i,j) / \hat{f}_k = \sum_{j \in J} f(i,j) \stackrel{k}{=} f \cdot \sum_{j \in J} f(i,j) = f \cdot \hat{f}_k
$$

à ce tableau correspondent les profils des individus :

$$
\frac{f_k (i,j)}{f_k (i)} = \frac{f (i,j)}{f_i} = f_j^i
$$

le nuage analysé est donc $\mathcal{P}(I_k) = \{ (f_j^i, f_k (i)) \mid i \in I_k \}$

Ayant extrait les facteurs on obtient $\forall k \in K]$

$$
f^k(i,j) = f^k(i) \quad f^k(j) \quad \left( 1 + \sum_{\alpha=1}^{p-1} \sum_{\lambda=1/2}^{1/2} \sum_{\alpha,k}^{i} \varphi_{\alpha,k} \varphi_{\alpha,k}^{j} \right) \quad (F 1)
$$

ou encore puisque l'on veut reconstituer $f_{IJ}$, on a en
tenant compte de (1) (2) (3).

$$
f(i,j) = f_i f_j^k \left( 1 + \sum_{\alpha=1}^{p-1} \sum_{\lambda=1/2}^{1/2} \lambda_{\alpha,k} \varphi_{\alpha,k}^i \varphi_{\alpha,k}^j \right) \quad (F 2)
$$

soit $\mathcal{E}_{i,j}^k$ l'erreur faite en remplaçant l'élément $f_k(i,j)$

du tableau $f_{I_k J}$ par son approximation d'ordre $q$ obtenue à partir de (F 1)

partir de (F 1)

soit $\eta(i,j)$ l'erreur faite en remplaçant $f(i,j)$ par son approximation d'ordre $q$ obtenue à partir de (F 2)
$$η_{i,j}^{k} = \hat{\mu}_{k} \epsilon_{ij}^{k}$$

$$\|\epsilon_{IJ}\|_{f_{I_k}^{k}, f_{J}^{k}}^{2} = \sum_{\alpha > q} \lambda_{\alpha, k} \quad (\text{cf. 2.4.1. (3)})$$

$$(4) \text{ d'où } \|η_{IJ}^{k}\|_{f_{I_k}^{k}, f_{J}^{k}}^{2} = \hat{\mu}_{k} \|\epsilon_{IJ}\|_{f_{I_k}^{k}, f_{J}^{k}}^{2} = \hat{\mu}_{k} \sum_{\alpha > q} \lambda_{\alpha, k}$$

N.B. $f_{I_k}$ restriction de $f_I$ à $I_k$ est différent de $f_{I_k}^k$

ou encore

$$\|η_{IJ}^{k}\|_{f_{I_k}^{k}, f_{J}^{k}}^{2} = (\hat{\mu}_{k})^{2} \|\epsilon_{IJ}\|_{f_{I_k}^{k}, f_{J}^{k}}^{2}$$

la distance pour la métrique $f_{I_k}^k f_{J}^k$ entre le tableau

initial $f_{I_k J}$ et le tableau approché d'ordre 0 par (F 2) est :

$$\|f_{I_k J} - f_{I_k} f_{J}^{k}\|_{f_{I_k}^{k}, f_{J}^{k}}^{2} = \hat{\mu}_{k} \sum_{\alpha > q} \lambda_{\alpha, k}$$

or si on désigne par $L_k^o$ la 0-variété affine, centre d'agglutination de la classe k (i.e. son centre de gravité) on a

$$R(L_k^o, k, P) = \hat{\mu}_k \sum_{\alpha > q} \lambda_{\alpha, k} \quad (\text{cf. 1.3})$$

de même

$$R(L_k^q, k, P) = \hat{\mu}_k \sum_{\alpha > q} \lambda_{\alpha, k} \quad (\text{cf. 1.3})$$
et par suite pour toute classe k et $\forall q>0$, R représente la distance du $\chi^2$ de centre $f_{Ik}$ et $f_J^k$ entre le tableau initial partiel que l'on veut reconstituer et le tableau approché d'ordre q.

### Reconstitution__par morceaux du tableau complet__

Si l'on considère l'ensemble des lois de probabilité sur $I \times J$ muni de la métrique du $\chi^2$ de centre $\binom{*}{f_I, f_J/I} = \{f_{I_k}, f_J^k, k=1,...,K\}$ et de matrice associée

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

soit $\mathcal{E}_{IJ}^q$ le tableau approché d'ordre q reconstitué par morceaux soit $f_{IJ}$ le tableau initial tous deux réordonnés suivant $(I_1, \dots, I_k)$

on a

$$ 
\begin{aligned}
\| f_{IJ} - \mathcal{E}_{IJ}^q \|_{f_I f_J / I}^2 &= \sum_{k \in J} \mathcal{K}] \hat{\mu}_k \sum_{I_k} \sum_{J_k} \sum_{j \in J} (\epsilon_{i,j}^k)^2 / f_I f_J / I \\
&= \sum_{k \in J} \mathcal{K}] \quad R(L_k^q, k, P) = W(L^q, P)
\end{aligned}
$$

$$ \text{où } L^q = (L_1^q, \dots, L_k^q, \dots, L_K^q) $$

On voit que le critère somme des distances entre les $K$ tableaux partiels initiaux $\{f_{I_k J}, \text{ke}\}\}$ et les $K$ tableaux approximations locales d'ordre $q$ des précédents : $\{T_{I_k J}^q, \text{ke}\}\}$

<footnote>(*): On note $f(j/i) = \sum_{k \in J} \mathcal{K}] \{\text{ie } I_k\} \cdot f_j^k$ alors $f_i, f_{j/i} = f_i f_j^k$ si $i \in I_k$ la distance associée est notée $D(1/f_I, f_J/I)$</footnote>
est aussi la distance D (1/f_I f_J/I) entre le tableau
complet initial fIJ et l'approximation d'ordre q obtenue.
classe par classe.

On peut alors comparer

(a) $\left\| f_{IJ} - T_{IJ}^q \right\|_{f_I f_J}^2 = \sum_{\alpha>q} \lambda_\alpha$ distance de $f_{IJ}$ au tableau reconstitué à partir des facteurs de l'analyse globale à sa distance au tableau reconstitué à partir de facteurs locaux :

$$
(b) \left\| f_{IJ} - \mathcal{C}_{IJ}^q \right\|_{f_I f_J / I} = \sum_{k \in K} \hat{\mu}_k \sum_{\alpha>q} \lambda_{\alpha, k} = W(L^q, P) \quad (2)
$$

on va voir que si les K classes sont bien choisies, la
distance (b) peut être très sensiblement inférieure à (a) ;

Proposition_

soit E le nuage global, L_E sa q-variété affine principale
d'inertie, W_I (L_E,E) son inertie relativement à L_E, soit
P* la partition obtenue à la convergence de l'algorithme à
partir d'une partition quelconque P de P_K (E), si P* ≠ P
on a les inégalités ∀k ∈ N W_I (L_E,E) ≫ ̃W_K (P) > ̃W_K (P*)

Remarques :

1. On suppose ici que P* existe, en fait comme l'utilisation
de mètres locales a posé un problème de convergence sur
lequel on reviendra en 3.3., on devrait choisir P dans
le sous ensemble C_k des partitions pour lesquelles l'algo-
rithme converge.

Si la métrique est indépendante de la classe analysée
C_k = P_k sinon C_k ⊆ P_k (cf. 3.3).
2. Dans le cas particulier où l'on fait des analyses de correspondances on a d'après (a) et (b) ci-dessus

$$W_1 (L_E, E) = \left\| f_{IJ} - T_{IJ}^q \right\|_{f_I, f_J}^2$$

$$\tilde{W}_K (P) = \sum_{k \in K} \sum_{j \in J} \sum_{I_k} \sum_{j \in J} \left\| f(i,j) - \mathcal{E}_k^q (i,j) \right\|^2 / f_i f_j^k$$

démonstration

$$\text{Soient les partitions } P = (P_1, \dots, P_i, P_j, \dots, P_K)$$

$$\text{et } Q = (P_1, \dots, P_i \cup P_j, \dots, P_K) \text{ on note } P_{ij} \text{ la classe}$$

$$P_i \cup P_j \text{ de } Q, L_{ij} = g(P_{ij})$$

$$\tilde{W}(P) = \sum_{k \in J} \tilde{R}(g(P), k, P)$$

$$\tilde{W}(Q) = \sum_{\substack{k \in J \\ k \neq i \\ k \neq j}} \tilde{R}(g(P), k, P) + R(L_{ij}, i, P) + R(L_{ij}, j, P)$$

$$\text{Comme } R(L_{ij}, i, P) \ge R(L_i, i, P)$$

$$\text{et } R(L_{ij}, j, P) \ge R(L_j, j, P)$$

$$\tilde{W}(Q) \ge \tilde{W}(P)$$

En recommençant cette démonstration autant de fois qu'il est nécessaire, on démontre l'inégalité

$$\forall K, \forall P, W_1 (L_E, E) \ge W_K (P)$$

en fait, ayant admis en 1.2. l'hypothèse très raisonnable d'injectivité de R par rapport à son premier argument i.e.

$$R(\lambda, i, P) = R(\lambda', i, P) \iff \lambda = \lambda'$$

(1) on note également g par abus de langage l'application :

g : $\mathcal{R}(E) \to L$ telle que $g(P_i) = l_i$.
on a :

$$
R (L_i, i, P) = R (L_{ij}, i, P) \iff L_i = L_{ij}
$$

or

$$
L_i = L_{ij} \iff g(P_i) = g(P_i \cup P_j)
$$

si $P_j \neq \emptyset$ cette égalité ne peut se produire que du
fait d'une disposition symétrique de $P_j$ relativement
à $L_i$ ce qui est peut probable.

On peut donc admettre raisonnablement que

$$
\tilde{W}(Q) > \tilde{W}(P) \text{ et par suite que}
$$

$$
W_1 (L_E, E) > \tilde{W}_k (P)
$$

La deuxième inégalité est une conséquence du processus
d'itérations utilisé. De plus elle est stricte à condition
que la partition de départ P ne soit pas un élément non biaisé
En effet d'après la propriété de la fonction W démontrée
en 3.2.

$$
\tilde{W}(P) = \tilde{W}(P^*) \iff P = P^* \text{ ce qui n'est pas le cas en général.}
$$

$$
\text{On a donc } W_1 (L(E), E) > \tilde{W}_K (P) > \tilde{W}_K (P^*)
$$

Cette proposition montre que l'erreur moyenne faite en
reconstituant le tableau des données globalement est
supérieure à l'erreur moyenne faite en le reconstituant
classe par classe.

La première inégalité pourrait inciter à penser que cette
diminution de l'erreur est due au découpage en classe
plus qu'à notre algorithme.
En fait, les exemples traités montrent tous que si le critère décroit lors du passage de l'analyse globale à l'analyse des K classes d'une partition quelconque P, il reste cependant du même ordre de grandeur.

Par contre l'application de notre méthode assure une décroissance rapide jusqu'à des valeurs non comparables aux précédentes (voir courbe de décroissance ci-dessous)

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>fig. 1 Courbe de décroissance du critère (erreurs pour des tableaux reconstitués d'ordre 3)</figcaption></figure>
### 3. - Etude de la convergence

**Rappels** : un K-centre est ici un ensemble de K-variétés affines de dimension $q \ge 1$.

W est une mesure de proximité entre K-centres et K-partitions
W est une mesure de "dispersion" des K-partitions. (cf. 1.3)
les hypothèses sur les fonctions f, g, R, W sont les hypothèses
admises précédemment.

$P_K(E)$ étant un ensemble fini, la convergence d'une suite de $P_K(E)$
sera définie comme la stationnarité à partir d'un certain rang.

#### 3.1. - La convergence de l'algorithm de base ANATYP-A

L'algorithm itératif de l'analyse factorielle typologique a été
construit à l'aide des fonctions f et g ; il peut être décrit par
l'ensemble $\mathcal{A}(f,g)$, des suites de couples de $V_k$, défini par :

$$ \mathcal{A}(f,g) = \{ (\text{go } (\text{fog})^n (P^0), (\text{fog})^n (P^0)) \}_{n \in \mathbb{N}} | \text{P}^0 \text{ et } P_K(E), \text{KEN} \} \\ \text{où } (\text{fog})^n (P^0) \text{ est la partition obtenue à partir de } P^0 \text{ après } n \text{ itérations : } P^0, P^1 = \text{fog } (P^0), \dots, P^n = (\text{fog})^n (P^0) \dots $$

##### Définition 1

L'algorithm $\mathcal{A}(f,g)$ converge en $P^0$ si et seulement si chacune des
suites $\{\text{go } (\text{fog})^n (P^0)\}_{n \in \mathbb{N}}$ et $\{(\text{fog})^n P^0\}_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente.

##### Définition 2

L'algorithm $\mathcal{A}(f,g)$ converge sûrement dans $P_K(E)$ si et seulement
si, quelle que soit la partition $P^0$ de départ, les suites
$\{\text{go } (\text{fog})^n (P^0)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{L^n\}_{n \in \mathbb{N}}$ et $\{(\text{fog})^{(n)} (P^0)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{P^{(n)}\}_{n \in \mathbb{N}}$
convergent.

<footnote>* pour $q=0$ la convergence est démontrée puisque l'A.F.T. se réduit dans ce cas à la M.N.D. avec agrégation autour des centres de gravités (voir 1.3.3.)</footnote>
**Définition 3**

L'algorithme $\mathcal{H}(f,g)$ converge avec une probabilité $p$ dans $\mathbb{P}_K$ (E)
si et seulement si $\text{Pr}\{\mathbb{P}^0 \in \mathbb{P}_K (E) \mid \mathcal{H}(f,g) \text{ converge en } \mathbb{P}^0\} =$

$$ \frac{\text{card} \{ \mathbb{P}^0 \in \mathcal{H}(f,g) \text{ cv en } \mathbb{P} \}}{\text{card} \{ \text{Pe } \mathbb{P}_K (E) \}} = p $$

Ce sous-ensemble de $\mathbb{P}_K$ sera noté $C_K$ (E)

**Définition 4**

Si $\mathcal{H}(f,g)$ converge en $\mathbb{P}^0$, l'élément $V^* = (L^*, P^*)$ atteint à la convergence est appelé "optimum local" atteint à partir de $\mathbb{P}^0$.

(D'après la définition 1 il est tel que :)

fog ($\mathbb{P}$) = $P^*$ et go $f$ ($L^*$) = $L^*$ et est nommé élément non biaisé dans la M.N.D. (cf. DIDAY [6])

**Lemme 3.1.**

Pour que l'algorithme converge en $\mathbb{P}^0$ (respectivement sûrement dans $\mathbb{P}_K$) il faut et il suffit que $\{(\text{fog})^n(\mathbb{P}^0)\}_{n \in \mathbb{N}}$ converge (respectivement $\mathbb{P}^0$)

Remarque :

Ce lemme dont la démonstration est immédiate permet d'identifier la convergence de l'algorithme en $\mathbb{P}^0$ (respectivement dans $\mathbb{P}_K$) avec la convergence de la suite $\{\mathbb{P}^n\} = \{(\text{fog})^n(\mathbb{P}^0)\}$ respectivement $\mathbb{P}^0$)

elle-même identifiée à la convergence d'une suite de réels positifs par la proposition suivante :

**Proposition 3.1.**

$\mathbb{P}^0 \in \mathbb{P}_K$ (E), $\{(\text{fog})^n(\mathbb{P}^0)\}_{n \in \mathbb{N}}$ converge dans $\mathbb{P}_K$ (E) si et seulement si $\{\mathring{\mathbb{W}}^n(\text{fog})^n(\mathbb{P}^0)\}_{n \in \mathbb{N}}$ converge dans $\mathbb{R}^+$
(W̃(P_k) est une partie finie de R+ de card inférieur ou égal à card P_k ; (card W(P_k) = card P_k si et seulement si W̃ est injective)

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

∀P<sup>O</sup> ∈ P<sub>k</sub> on associe au terme général (fog)<sup>n</sup> (P<sup>O</sup>) de la première suite le nombre réel positif u<sub>n</sub> = W̃o (fog)<sup>n</sup> (P<sup>O</sup>) la suite {u<sub>n</sub>} est donc finie

On démontre d'abord les deux lemmes suivants :

**Lemme 3.1.1.**

si la suite finie {W̃o (fog)<sup>n</sup> (P<sup>O</sup>) = u<sub>n</sub>}<sub>n∈N</sub> de nombres réels positifs est convergente de limite u alors u appartient à la suite.

u ∈ R<sup>+</sup>, ∀ε, N (m > N l'indice réalisant ce minimum.

Alors ∀n ∈ N |u<sub>n</sub> - u| > ε<sub>u</sub> et par suite

ε = ε<sub>u</sub>, ∀n ∈ N, |u<sub>n</sub> - u| > ε ce qui contredit (1) donc si {u<sub>n</sub>} converge, la limite u appartient obligatoirement à la suite.

N, ∀m > N, u<sub>N</sub> = u<sub>m</sub> et en particulier u<sub>m</sub> = u<sub>m/1</sub> = u<sub>N</sub>

**Lemme 3.1.2.**

W̃ est injective sur la suite {(fog)<sup>n</sup> (P<sup>O</sup>)}<sub>n∈N</sub>

supposons u<sup>m</sup> = u<sup>m+1</sup> et P<sup>(m)</sup> ≠ P<sup>(m+1)</sup>, comme

(P<sup>m</sup> ≠ P<sup>m+1</sup> <=> i ∈ k], x ∈ P<sub>i</sub>, j ∈ k], D(x, L<sub>i</sub><sup>(m)</sup>) > D(x, L<sub>j</sub><sup>(m)</sup>))
x ∈ P<sub>j</sub><sup>(m+1)</sup>

et W (L<sup>m</sup>, P<sup>m+1</sup>, P<sup>m+1</sup>) < W (L<sup>m</sup>, P<sup>m</sup>) = u<sup>m</sup>
comme on a toujours :

$W(L^{m+1}, P^{m+1}) < W(L^m, P^{m+1})$ (définition de $g$)

Alors $\tilde{W}(P^{m+1}) < \tilde{W}(P^m)$, si $P_m \neq P_{m+1}$

par suite si

$$ \tilde{W}(P^{m+1}) = \tilde{W}(P^m) $$

$$ \text{alors } P^{(m+1)} = P^{(m)} $$

$\tilde{W}$ possède une propriété restreinte d'injectivité sur la suite $\{(\text{fog})^n (P^0)\}$, $\forall P^0 \in P_K$

### démonstration de la proposition 3.1.

on a vu que si la suite $W_0(\text{fog})^n(P^0)$ converge dans $R^+$ alors $\exists N, \forall m > N, \tilde{W}_0(\text{fog})^m(P^0) = \tilde{W}_0(\text{fog})^N(P^0)$ (Lemme 3.1.1.) en particulier

$$ \forall m \ge N \text{ W}_{0}(\text{fog})^{m}(P^{0}) = \tilde{W}_{0}(\text{fog})^{m+1}(P^{0}) $$

la propriété 3.1.2. de $\tilde{W}$ entraîne alors $\forall m > N, P^m = P^{m+1}$ i.e. la convergence de la suite $\{P^n\}$.

## 3.2. - La convergence de la suite $\{\tilde{W}_n(P_n)\}$ dans l'analyse factorielle typologique

Pour suivre le déroulement de l'algorithme, on considère les suites :

$$ \begin{cases} Z^{(2n)} = (L^{(n)}, P^{(n)}) \\ \text{et} \\ Z^{(2n+1)} = (L^{(n)}, P^{(n+1)}) \end{cases} $$

$$ \text{où } P^{(n)} = f(L^{n-1}) \text{ et } L^{(n)} = g(P^{(n)}) $$

et

$\{z_p\} = \{W(z^{(p)})\}$ suite de réels positifs
dont chaque terme est associé à une étape du processus d'itérations.
Cette suite est décroissante et par suite convergente lorsque les
applications $f, g$ et $R$ possèdent des propriétés que l'on va préciser.

**Lemme 3.2.1.**

$$ \forall D : E \times L \to R^+ \text{ si } \tilde{R}(L,i,P) = \sum_{x \in P_i} D(x,L_i) $$

l'application $\tilde{R}$ est telle que :

$$ \forall L \in L_k, \forall P \in P_k \quad \sum_{i=1}^{k} \tilde{R}(L,i, f_D(L)) < \sum_{i} \tilde{R}(L,i,P) $$

On dira que $\tilde{R}$ est de somme par $f_D$ contractable et on notera $\tilde{\Sigma}-f_D$ contractable.

**Lemme 3.2.2.**

Soit l'espace métrique($R^p, M$) et l'application $R$ définie par :

$$ \forall \lambda \in L, \forall i \in k], \forall P \in P_k $$

$$ R(\lambda, i, p) = \sum_{x \in P_i} D(x, \lambda) = \sum_{x \in P_i} \mu(x) d_M^2(x, \lambda) $$

alors $R$ est telle que $\forall i, \forall L, \forall P$

$$ \tilde{R}(g(P), i, P) < \tilde{R}(L, i, P) $$

On dira que $R$ est $g$-contractable.

**Lemme 3.2.3.**

Si $\tilde{R}$ est $g$-contractable et $\Sigma-f$ contractable, la suite $\{z_p\}$ converge dans $R^+$. De plus la suite $\{v_n\} = \tilde{w}(P^n)$ est strictement décroissante avant d'atteindre la convergence.
démonstration

R étant Σ-f contractable on a :

$$
\forall n W(L^{(n)}, P^{(n)}) > W(L^{n}, f(L^{(n)})) = W(L^{n}, P^{n+1})
$$

$$
\text{c.a.d.} \ z_{2n} > z_{2n+1}
$$

D'après le lemme 4.2. R étant g-contractable on a :

$$
\forall n W(L^n, P^{n+1}) > W(g(P^{n+1}), P^{n+1}) = W(L^{n+1}, P^{n+1})
$$

$$
\text{c.a.d.} \ z_{2n+1} > z_{2(n+1)}
$$

La suite de réels positifs { z_n } est donc décroissante et par suite
converge dans R^+ sa convergence entraîne la convergence de la suite
extraite { v_n }

De plus si la convergence n'est pas atteinte à l'itération n on a :

$$
v_n = z_{2n} > z_{2n+1} > z_{2n+2} = v_{n+1} \text{ d'où } v_n > v_{n+1}.
$$

$$
(v_n = v_{n+1} \Longleftrightarrow P^{(n+1)} = P^{(n)} \Longleftrightarrow \text{la convergence est atteinte}).
$$

La proposition 3.1., et les lemmes 3.2.1., 3.2.2., 3.2.3., ont
pour conséquence la proposition suivante :

Proposition 4

L'algorithme de l'analyse factorielle typologique appliqué à un
ensemble d'objets à classer contenu dans l'espace métrique (ℝP, M)
converge.

(Cet algorithme est noté ANATYP-A)
### 3.3. - Utilisation de métriques " locales " :

#### Algorithme ANATYP-B

Comme on l'a déjà signalé en 1.2., 1.5. et 2., cet algorithme se distingue du précédent ANATYP-A par le fait que la métrique dont on munit $\mathbb{R}^p$ est adaptée à chaque analyse effectuée au lieu d'être fixée.

##### 3.3.1. - Notations et définitions

M désigne l'ensemble des métriques sur $\mathbb{R}^p$

$\mathbb{L}$, $\mathbb{P}_K$ sont définis comme en 1.1.

$\mathcal{A} := \mathbb{M} \times \mathbb{L}$ est l'espace des centres d'agrégation dont les éléments sont donc des couples constitués d'une métrique et d'une q-variété affine.

$\mathcal{A}_K = (\mathbb{M} \times \mathbb{L})^{[K]}$ ou encore $(\mathbb{M})^{[K]} \times (\mathbb{L})^{[K]}$ est l'espace des K-centres

$\mathcal{M}: \mathcal{P}(E) \to \mathbb{M}$ permet d'associer à toute partie A de E une métrique sur $\mathbb{R}^p$: $\mathcal{M}(A)$ notée aussi $m_A$.
(1'algorithme ANATYP-A peut être considéré comme le cas particulier où l'application $\mathcal{M}$ constante)

$D: E \times \mathcal{A} \to \mathbb{R}^+$ est définie par

$$ \forall x \in E, \forall (m, \lambda) = (m, (a, V)) \in \mathcal{A} $$

$$ D(x, (m, \lambda)) = \mu(x) \left( \inf_{y \in \lambda} \left\| x - y \right\|_{m}^{2} \right) = \mu(x) \left\| \varphi_{\lambda}^{\perp} (x-a) \right\|_{m}^{2} $$

si l'on note $I[x, \lambda, m]$ le moment d'inertie de x relativement à la variété affine $(a, V)$ dans l'espace métrique $(\mathbb{R}^p, m)$

$$ D(x, (m, \lambda)) = I[x, \lambda, m] $$

$R: \mathcal{A}[x]_K \times \mathbb{P}_K \to \mathbb{R}^+$ est définie par :

$$ \forall \mathcal{A} = [m, (a, V)] \in \mathcal{A}, \forall i \in \mathcal{A}]_K, \forall P \in \mathbb{P}_K $$

$$ R(\mathcal{A}, i, P) = \sum_{x \in P_i} D(x, \mathcal{A}) = \sum_{x \in P_i} \mu(x) \| \varphi_{\lambda}^{\perp}(x) \|_{m}^{2} $$

si l'on désigne par $I_r(P_i, \lambda, m)$ l'inertie résiduelle relativement à la variété affine de la distribution $\mu_i^*(\text{de masse totale } 1, \text{ associée à } P_i)$ dans l'espace métrique $(\mathbb{R}^p, m)$

$$ R(\mathcal{A}, i, P) = \hat{\mu}_i I_r(P_i, \lambda, m) $$
$\tilde{\mathbb{R}} : \Lambda_K \times ]K] \times \mathbb{P}_K \to \mathbb{R}^+$ est telle que $\forall \Lambda = (\Lambda_1, \dots, \Lambda_i, \dots, \Lambda_K)$
$\tilde{\mathbb{R}} (\Lambda, i, \mathbb{P}) = \mathbb{R} (\Lambda_i, i, \mathbb{P})$

$W : \Lambda_K \times \mathbb{P}_K \to \mathbb{R}^+$ est telle que

$$
\begin{align*}
W (\Lambda, \mathbb{P}) &= \sum_{i \in ]K]} \tilde{\mathbb{R}} (\Lambda, i, \mathbb{P}) \\
&= \sum_{i \in ]K]} \hat{\mu}_i I_r [ P_i, \lambda_i, m_i ] \quad \text{si } \forall i \Lambda_i = (\lambda_i, m_i)
\end{align*}
$$

et s'interprète comme en 1.3.

La fonction $f : \Lambda_K \to \mathbb{P}_K$ est définie comme en 1.2. mais on a :

$$
D(x, \Lambda_i) < D(x, \Lambda_j) \iff \left\| \varphi_{\Lambda_i}^{(x)} \right\|_{m_{\mathbb{P}_i}}^2 < \left\| \varphi_{\Lambda_j}^{(x)} \right\|_{m_{\mathbb{P}_j}}^2 \quad (*)
$$

ce qui signifie que $x \in \mathbb{P}_i$ si sa "distance" à $\lambda_i$ dans $(\mathbb{R}^P, m_{\mathbb{P}_i})$ est inférieure à sa"distance" à $\lambda_j$ dans $(\mathbb{R}^P, m_{\mathbb{P}_j})$

soit $g : \mathcal{P}(E) \to \Lambda$ définie comme la composée de deux applications :

$$
\begin{array}{r@{\quad}l@{\quad}l@{\quad}l}
\mathcal{P}(E) & \xrightarrow{1} & \mathbb{M} \times \mathcal{P}(E) & \xrightarrow{h} & \mathbb{M} \times \mathbb{L} \\
\mathbb{A} & \longmapsto & (\mathbb{m}_\mathbb{A}, \mathbb{A}) & \longmapsto & (\mathbb{m}_\mathbb{A}, \mathbb{L}_\mathbb{A})
\end{array}
$$

où $m_A$ est la métrique associée à A par l'application $\mathcal{M}$ et où h correspond à la fonction $g$ de l'algorithme ANATYP-A i.e. la métrique étant donnée, h recherche $L_A$ q-variété affine principale d'inertie du nuage A dans l'espace métrique $(\mathbb{R}^P, m_A)$.

$$
\forall A \subset E, g(A) = \text{hol}(A) = (m_A, L_A)
$$

on notera également $g : \mathbb{P}_K \to \Lambda_K$ l'application qui à toute partition $P = (P_1, \dots, P_i, \dots, P_K)$ fait correspondre

$$
\Lambda = (g(P_1), \dots, g(P_i), \dots, g(P_K))
$$

<footnote>(*) cette équivalence n'est vraie que si l'on adapte à la classe, uniquement la métrique, la masse de l'individu x restant inchangée. On pourrait également adapter la masse i.e. affecter x de $\mu(x)/\hat{\mu}_i$ de façon à considérer pour chaque classe $P_i$ une distribution de masse totale 1.</footnote>

<footnote>On a vu en 2.3.. les raisons qui nous ont fait renoncer à cette adaptation.</footnote>
remarque : si dans $\tilde{\mathbb{R}} (\Lambda, i, P) = \sum_{x \in P_i} \mu(x) \| \varphi_v^\Lambda (x-a) \|_m^2$ ;
m,a,V sont quelconques et indépendantes de $P_i$, dans

$\tilde{\mathbb{R}} (g(P)i,P) = \sum_{x \in P_i} \mu(x) \left\| \varphi_{V_i}^{\Lambda}(x-g_i) \right\|_{m_i}^2$, $m_i,g_i,V_i$ sont associés à $P_i$. ($m_i = \mathcal{M}(P_i)$ ; $g_i$ = centre de gravité de $P_i$ ; $V_i$ = sous-espace principal d'inertie de $P_i$)

### 3.3.2. - Étude de l'algèbre

L'algèbre ANATYP-B se décrit à l'aide des fonctions f et g comme en 1.4.

Pour suivre son déroulement on est amené à étudier les propriétés de la suite $\{z_p\}$ définie comme en 3.3.

Dans tout ce paragraphe, pour toute itération n on note
$\Lambda^{(n)} = g(P^{(n)}) = g[(\text{fog})^{(n)} P^{(0)}]$ où $P^{(0)}$ est quelconque.

Soient $z_{2n}$, $z_{2n+1}$, $z_{2(n+1)}$ trois éléments consécutifs de la suite $\{z_p\}$

$$z_{2n} = W (\Lambda^{(n)}, P^{(n)}) = \sum_{i \in K} \sum_{j \in K} \sum_{k \in P_i(n)} D(x, L_i^{(n)}, m_i^{(n)})$$

$$z_{2n+1} = W (\Lambda^{(n)}, P^{(n+1)}) = \sum_{i \in K} \sum_{j \in K} \sum_{k \in P_i(n+1)} D(x, L_i^{(n)}, m_i^{(n)})$$

$$o \in m_i^{(n)} = \mathcal{M}(P_i^{(n)}) \neq \mathcal{M}(P_i^{(n+1)})$$

$$z_{2(n+1)} = W (\Lambda^{(n+1)}, P^{(n+1)}) = \sum_{i \in K} \sum_{j \in K} \sum_{k \in P_i(n+1)} D(x, L_i^{n+1}, m_i^{n+1})$$

#### Propriétés de la suite $\{z_p\}$

1. L'application $\tilde{\mathbb{R}}$ est $\Sigma$-f contractable (les hypothèses du lemme 4.1. dans 3.3. sont vérifiées ici) et par suite

$$z_{2n} = \sum_{i \in K} \tilde{\mathbb{R}}(\Lambda^{(n)}, i, P^{(n)}) \geq \sum_{i \in K} \tilde{\mathbb{R}}(\Lambda^{(n)}, i, f(\Lambda^{(n)})) = z_{2n+1}$$

$$\text{on a même } z_{2n} = z_{2n+1} \Leftrightarrow P^{(n)} = P^{(n+1)}$$
et par suite si la convergence n'est pas atteinte, on a
l'inégalité stricte :

$$
z_{2n} > z_{2n+1}
$$

2. L'application h, induit pour $\tilde{\mathbb{R}}$ une propriété plus faible que celle de la définition 4.2., l'application h est telle que :

$$
\forall \lambda \in L, \forall m \in M, \forall \varepsilon > 0
$$

$$
\tilde{\mathbb{R}} [h (m, P_i), i, P] \leq \mathbb{R} [(m, \lambda) i, P]
$$

et par suite $\tilde{\mathbb{R}}$ possède la propriété suivante :

$$
\tilde{\mathbb{R}} (\Lambda^{n+1}, i, P^{n+1}) = \tilde{\mathbb{R}} [ (L_i^{n+1}, m_i^{n+1}), i, P^{n+1}] < \tilde{\mathbb{R}} [ (\lambda, m_i^{n+1}), i, P^{n+1}]
$$

qui est moins forte que $\tilde{\mathbb{R}}$ g-contractable puisque $(\lambda, m_i^{n+1})$
n'est pas un centre quelconque $(\lambda, m)$ en particulier pour

$$
\lambda = L_i^{(n)} \text{ cette propriété entraîne :}
$$

$$
z_{2(n+1)} \le \sum_{i \in K} R[(L_i^{(n)}, m_i^{n+1}), i, P^{n+1}] = z_{2n+1}^*
$$

Notons $z_{2n+1}^*$ cette dernière quantité on a :

$$
z_{2n} - z_{2(n+1)} =
$$

$$
(z_{2n} - z_{2n+1}) + (z_{2n+1} - z_{2n+1}^*) + (z_{2n+1}^* - z_{2(n+1)})
$$

d'après les propriétés 1 et 2 ci-dessus on sait que :

$$
z_{2n} - z_{2n+1} > 0
$$

$$
z_{2n+1}^* - z_{2(n+1)} > 0 \text{ (sous l'hypothèse d'injectivité de } \tilde{\mathbb{R}} \\
\text{admise en 3.1.)}
$$

par contre on ne peut rien conclure sur la différence
$z_{2n+1} - z_{2n+1}^*$, entre les moments d'inertie du nuage $P_i^{n+1}$,
relativement à $L_i^{(n)}$ calculé dans $(\mathbb{R}^P, m_i^n)$ puis dans

$$
(\mathbb{R}^P, m_i^{n+1}).
$$

Cette différence peut être négative puisque dans les
exemple traités des cas de non décroissance ont été
observés (avec les métriques du $\chi^2$ de centres associés
aux nuages locaux) ; cependant dans la plupart des cas
la suite est décroissante.
Cela s'explique intuitivement de la manière suivante ; au départ de l'algorithme , la première amélioration du critère ($z_{2n} - z_{2n+1}$) est très importante et compense largement la différence $z_{2n+1} - z_{2n+1}^*$ éventuellement négative, au contraire aux itérations proches de la convergence, très peu de points changent de classe, $P_i^{(n)}$ et $P_i^{(n+1)}$ sont presque identiques, $m_i^{(n)}$ et $m_i^{(n+1)}$ également et par suite $z_{2n+1} - z_{2n+1}^*$ très voisin de 0.

De plus dans les rares cas où la suite n'était pas décroissante, les tests d'arrêt de l'algorithme ont fonctionné.car ou bien la différence relative ($u_n - u_{n+1})/u_n$ est inférieure au seuil fixé bien que ($u_n - u_{n+1}$) soit négatif, ou bien après une valeur supérieure à la précédente le critère a suivi à nouveau une courbe décroissante.

En bref on a pu observer dans les applications que l'algorithme convergeait avec une probabilité p très voisine de 1. (cf. déf. 3 dans 3.1. ) l'intérêt de cet algorithme est essentiellement de pouvoir effectuer des analyses factorielles de correspondances locales en vue d'applications intéressantes (cf. 2.3. et 6.3. e.g.)

**Remarque :**

On peut toutefois définir un algorithme convergent en introduisant la modification suivante au niveau de la fonction f. On opère sequentiellement : chaque individu ne change de classe que si malgré la modification qu'il apporte à la métrique de la nouvelle classe il améliore le critère.
## 4. - Les variantes

### 4.1. - Les différentes stratégies d'agglutination

Soit un K-centre d'agglutination L, on appelle stratégie d'agglutination la démarche suivie pour affecter les individus de l'ensemble E à l'un des centres ($L_1, \dots, L_i, \dots, L_K$) de L.

Dans l'analyse factorielle typologique cette stratégie dépend essentiellement de la mesure de proximité D choisie ; en effet à L est associée une partition de $\mathbb{R}^P$ en domaines polyédraux ($C_1, \dots, C_i, \dots, C_K$) convexes, définis par :

$$C_i = \{ x \in \mathbb{R}^P \mid D(x, L_i) < D(x, L_j), \forall j \neq i \}$$

Les frontières de ces domaines étant formées de portions d'hyperplans $\{F_i^j \mid i \in \mathbb{K}, j \in \mathbb{K}\}$ équidistants au sens de la "distance" D des variétés.

$$\forall i \neq j \quad F_i^j = \{ x \in \mathbb{R}^P \mid D(x, L_i) = D(x, L_j) \}$$

La partition du nuage E est induite par cette partition de $\mathbb{R}^P$. Des choix différents de D conduisent à des partitions différentes et par conséquent modifient la stratégie d'agglutination.

Dans l'algorithme de base la "distance" entre individus et centres est :

$$\forall \lambda = (g, v) \quad D(x, \lambda) = I_{\lambda}(x) = I_{v}(x-g) \quad (1)$$

moment d'inertie de x par rapport à la variété affine.

La stratégie initiale correspondant à ce choix peut être modifiée de 2 façons :

<footnote>(*)Exemple : si le système de masses est uniforme et si l'on a défini une stratégie d'agglutination autour de 2 centres à l'aide de D définie en (1). Dans $\mathbb{R}^2$, 2 variétés de dim 0 (points) induisent des domaines séparés par la médiatrice du segment joignant ces points ; 2 variétés de dim 1 (droites) induisent des domaines séparés par les bissectrices de leur angle. Dans $\mathbb{R}^3$ des plans induisent, des domaines séparés par les plans bissecteurs de leur angle, etc...</footnote>
1) en utilisant une définition différente de la fonction D
(cf. 4.2. ci-dessous)

2) en lui adjoignant une technique dite des ellipsoïdes-noyaux.

Cette technique ainsi que son intérêt seront exposés dans
la partie euristique (5.3.) elle s'impose pour certaines
données.

## 4.2. - Définition plus générale de la fonction D

Il semble que la mesure de proximité D choisie (1.2.1)
favorise dans certains cas "l'effet de cylindre".

Le tri effectué suivant D tend à affecter à une classe
des points très proches de sa variété principale d'inertie
même s'ils sont très éloignés de son centre de gravité.
Ainsi, dans le cas où les variétés affines cherchées sont
des axes par exemple, s'il existe de tels points, on
obtient des classes "cylindriques".

Pour tenter d'y remedier on peut proposer pour D la
définition de la proposition suivante.

### Proposition 4.2.

D étant définie ∀L = (a,V) ∈ L par :

$$D (x,L) = \mu(x) \alpha \|x - a\|_M^2 + \mu(x) \|\varphi_{\mathcal{V}}(x - a)\|_M^2 \quad 0 \le \alpha \le 1$$
et R comme en 1.2.

1) Appliquer g conduit comme en 1.2. à extraire les
q premiers facteurs des nuages analysés

2) L'algorithme converge.

### Démonstration

1) on cherche (cf. définition de g : $P(E) \to L$ en 1.2.)
L et $\mathcal{L}$ tel que $\forall \lambda \in \mathcal{L} R (L,i,P) \le R (\lambda,i,P)$ c.a.d.

L = (a,V) tel que :
R (L, i, P) = Σ x∈Pᵢ μ(x) α|||x-a|||²ₘ + Σ x∈Pᵢ κ(x) |||φₗ(x-a)|||²ₘ
soit minimum

On sait que le second terme est minimal lorsque L est
la q-variété principale d'inertie de la classe P_i.i.e.
lorsque a = G (P_i) est le centre de gravité de P_i
et V = V_i est le s. espace vectoriel de dim q engendré par
q premiers axes principaux d'inertie.

Le premier terme ne dépend que de Pᵢ, il est minimal
lorsque a = G (Pᵢ) centre de gravité de la classe Pᵢ.

Théoriquement le problème est donc inchangé

∀ P_i g (P_i) = L_i où L_i = (G (P_i), V_i) est la même qu'en 1.2.

2) la convergence du critère est assurée :

Il faut montrer que :

$$
\sum_{i \in K} \tilde{R}(L^{(n)}, i, P^{(n)}) \geq \sum_{i \in K} \tilde{R}(L^{n+1}, i, P^{n+1})
$$

On compare successivement ces deux quantités à

Σ ieK ŜR (L (n), i, P (n+1)) correspondant à l'étape
intermédiaire du déroulement de l'algorithme entre
les itérations n et n+1.

$$
\begin{align*}
\text{a) On a toujours } \sum_{ie[K]} \sum_{xe} P_i^{(n)} & D(x, L_i^{(n)}) \\
& \ge \sum_{ie[K]} \sum_{xe} P_i^{n+1} & D(x, L_i^n)
\end{align*}
$$

car $\tilde{R}$ est $f_D$-contractable, en effet la définition de $f$
est inchangée et les hypothèses de la proposition 4
(cf. 3.3. ) sont satisfaites.

$$
b) \forall i \forall L_i = (G_i, V_i) \text{d'après la nouvelle définition de } \tilde{R}
$$
$$
\tilde{R}(L^n, i, P^{n+1}) = I(P_i^{n+1}, L_i^n) + \alpha \cdot I(P_i^{n+1}, G_i^n)
$$

et

$$
\tilde{R}(L^{n+1}, i, P^{n+1}) = I(P_i^{n+1}, L_i^{n+1}) + \alpha \cdot I(P_i^{n+1}, G_i^{n+1})
$$
$$ \text{or} \quad I(P_i^{n+1}, L_i^n) \ge I(P_i^{n+1}, L_i^{n+1}) $$

$$ I(P_i^{n+1}, G_i^n) \ge I(P_i^{n+1}, G_i^{n+1}) $$

donc

$$ \sum_{i \in K} R(L^n, i, P^{n+1}) \ge \sum_{i \in K} R(L^{n+1}, i, P^{n+1}) \quad \text{cqfd} $$

**Remarques 1)** avec cette définition de D, les représentations locales ne sont plus assurées d'expliquer des pourcentages d'inertie supérieurs à ceux des représentations globales, par contre les classes obtenues sont beaucoup plus agrégées autour de leurs centres de gravité ; la méthode toutefois n'est pas équivalente à celle évoquée en 1.3.3. et dite des centres de gravité, puisque les directions principales d'allongement participent à la classification.

2) Les variantes étudiées ne sont que les solutions extrêmes de la fonction plus générale définie par

$$ D(x,g,V) = \alpha I_g(x) + I_V(x-g) \text{ où } \alpha \in [0,1] $$

et qui contient toutes les possibilités de correction de la définition initiale (1) en faisant intervenir, avec plus ou moins de poids, l'inertie de x relativement à g)

Les cas d'utilisation de ces différentes variantes et les effets produits sur des données artificielles seront exposés en 5.4.

### 4.3.

Toute modification de la métrique entraînant une modification de la fonction D et par suite de la stratégie d'agglutination, les cas traités en 1.5. et 2 peuvent aussi être considérés comme des variantes
## 5. - Euristique

### 5.1. - Influence du départ aléatoire de l'algorithme

L'influence du départ aléatoire de l'algorithme sur les résultats est un problème commun à toutes les méthodes de la famille des "Nuées Dynamiques".

Comme le plus souvent les résultats obtenus, i.e. les optima locaux différent selon la partition de départ, on est amené à se poser les questions suivantes :

* Existe t-il un optimum global ? est-il accessible ?

* Quand est-on raisonnablement fondé à estimer que le résultat d'un tirage est proche de l'optimum global ?

* Quelles procédures peut-on envisager pour se rapprocher de l'optimum global ?

#### 5.1.1. - Optima locaux - Approches de l'optimum global

**Définition**

$P^*$ est un optimum local de $P_k \quad <=>$

$\exists P \in P_k, \exists n_P \in N, \forall n \ge n_P (\text{fog})^n (P) = P^*$ et

$$ \tilde{W} (P^*) = \inf_{n \in N} \{ \tilde{W} \circ \text{fog}^{(n)} (P) \} $$

(l'existence d'un tel élément est assurée par la proposition convergence de l'algorithme)

**remarque :**

$P^*$ est la meilleure partition (au sens du critère W) accessible à partir de P, ainsi qu'à partir de tout ascendant ou de tout descendant de P dans le graphe $(P_k, \text{fog})$.

L'ensemble des optima locaux est fini puisqu'inclus dans $P_k$ (E) fini et d'après la remarque ci-dessus, il est intuitivement clair que son cardinal est inférieur
à card $P_k$.

Il est évident que si $\tilde{W}$ est injective sur $P_k$, alors il existe $P_o^*$ unique tel que :

$$ \tilde{W}(P_o^*) = \inf_{P \in P_k} \tilde{W}(P) = \inf_{P \in P_k} \{ \inf_{n \in N} \tilde{W}(\text{fog})^{(n)}(P) \} $$

cette hypothèse d'injectivité de $\tilde{W}$ semble vérifiée en pratique pour des données réelles pourvu que les calculs soient assez poussés et $P_o^*$ est appelé optimum global relativement à $\tilde{W}$; sinon le minimum existe mais n'est pas nécessairement unique.

(N.B. $P_o^*$ est un optimum global pour un nombre maximum de classes et une dimension fixés, ceci est implicitement indiqué puisque W est défini en fonction de K et q.)

L'existence, même certaine, d'un optimum global unique ne résoud pas le problème tant que cet optimum n'est pas accessible. Or, le nombre de tirages est limité, dans la plupart des cas très inférieur au nombre d'optima locaux, l'optimum global n'est donc pas nécessairement atteint. la solution idéale serait celle qui, supprimant complètement l'aléa de départ permettrait d'atteindre dans tous les cas l'optimum global. C'est ce que l'on a tenté d'obtenir avec l'adjonction de la recherche des "ellipsoïdes-noyaux" (cf. 5.3) qui s'est avérée efficace dans l'exemple aritificiel des lettres de l'alphabet où la configuration optimale était connue. Mais lorsque chaque tirage conduit à un optimum local propre, se pose le problème du choix parmi ces résultats ou de leur synthèse.

En ce qui concerne le choix parmi les résultats ; on peut montrer qu'un optimum global de $P_k$ appartient nécessairement à $P_k - \cup_{k-1}^{*} P_{k-1}$ i.e. est une partition en exactement K classes et par suite le meilleur optimum local en K classes (au sens du critère) sera

<footnote>(*) Remarques - cette propriété montre l'importance du choix initial de k. ($P_k - \cup_{k-1}^{*} P_{k-1}$ contient les partitions en K classes)</footnote>

<footnote>- Si le nombre de classes a diminué et si cette diminution est jugée raisonnable, notamment après examen des taux d'inerties résiduelles locales, le choix pourra se porter sur le nombre minimum de classes qui peut correspondre davantage à la configuration réelle que k fixé à priori. La valeur du critère n'est une bonne base de choix que si les partitions ont le même nombre de classes.</footnote>
la partition connue la plus proche de l'optimum global.
Son choix est raisonnable et d'autant plus justifié que
la fréquence d'apparition de ce résultat est grande.

Cette procédure s'est également révélée efficace dans
l'exemple déjà cité.

Une synthèse des résultats utilisant la solution "classique"
des Nuées Dynamiques : recherche des formes fortes et
construction d'une hiérarchie (cf [6], pp. 50-80) présenterait
l'inconvénient de limiter les résultats obtenus à la
connaissance d'une partition, alors que l'esprit de la
méthode est de s'intéresser au moins autant à la connais-
sance de la structure locale des données.

Cela nous conduit à envisager une solution, utilisant les
informations spécifiques de la méthode (connaissance des
variétés locales d'inertie maximale) fournies pour tous
les tirages effectués et à introduire la notion de variétés
stables.

### 5.1.2. - Notion de q-variétés stables

#### a) $q = 1$ : Axes stables

Après avoir effectué t tirages, on constate en général
que quelques axes apparaissent dans tous les tirages alors
que d'autres n'apparaissent que dans 1,2,... (t-1) tirages.

### Définition 5.1.2.

soit $P^*$ (r) l'optimum local atteint au rème tirage.

$L_i^*$ (r) axe de la classe $P_i^*$ (r) est un **axe stable** si et seulement si quel que soit le tirage s, il existe une classe.

$P_j^*$ (s) telle que $L_j^*(s) = L_i^*(r)$.

$(L_j^*(s) = L_i^*(r) \Leftrightarrow G_j(s) = G_i(r) \text{ et } V_j(s) = V_i(r))$

(égalités dans $\mathbb{R}^p$).
**Remarque** : Il est évident que deux axes seront identiques si les classes correspondantes sont identiques, g n'étant pas injective cette condition n'est pas nécessaire mais dans la pratique, en dehors de cas artificiellement symétriques, elle est à l'origine de l'identité des axes. D'autre part on peut considérer intuitivement que l'on a mis en évidence un axe stable si l'on a $L_i$ (r) presque identique à $L_j$ (s) c.a.d. si

$$ \exists \epsilon_G, \epsilon_V \quad \| G_i(r) - G_j(s) \|_M^2 < \epsilon_G $$

$$ \text{et } |\cos (V_i (r), V_j (s)) - 1| < \epsilon_V $$

Les seuils $\epsilon_G$ et $\epsilon_V$ étant fixés, la stabilité d'un axe peut être reconnue automatiquement, il faut pour cela effectuer des tests dont le nombre croit rapidement avec le nombre de tirages et le nombre de classes.

Les axes stables peuvent être reconnus empiriquement sur les visualisations, les résultats numériques (e.g. vecteurs unitaires des axes) permettant de confirmer ou infirmer leur réalité.

**Remarque** : Lien avec la notion de "formes fortes"

S'il existe un axe stable, alors il existe une "forme forte" ayant cet axe pour axe principal d'inertie. En effet l'existence d'un axe stable est la conséquence de l'existence d'une classe apparaissant dans tous les tirages, i.e. d'une "forme forte".

Par contre s'il n'existe pas réellement d'axe stable. Les "formes fortes" nous mettraient en présence d'une multitude de variétés affines sans grande signification.
b) $q > 1$ : variétés stables.

Théoriquement les définitions précédentes se généralisent facilement.

c) Exemple :

Dans l'exemple artificiel de la lettre A, (voir p. 60) traité en demandant 6 classes et sans appliquer la "technique de recherche des ellipsoïdes-noyaux", 6 tirages ont permis de détecter deux axes stables (apparus dans tous les tirages) et un axe apparu dans 3 tirages sur 6.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Fig. 1</figcaption></figure>
Les mêmes données traitées avec l'algorithme modifié par l'adjonction de la technique citée détecte trois axes stables.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

### d) Conclusion

L'existence de variétés stables reconnues automatiquement ou empiriquement peut être utilisée comme une aide à la décision en ce qui concerne par exemple le nombre optimal de classes, ou encore pour justifier la confiance accordée aux résultats obtenus.

Elle peut également déboucher sur la recherche de modèles linéaires locaux.
## 5.2. - Choix des Paramètres d'entrée

### 5.2.1. - Nombre maximum de classes : KMAX

Pour appliquer l'algorithme KMAX doit être fixé à priori,
en l'absence d'indications sur le nombre optimal de classes
à demander, il est loisible de choisir la borne supérieure
de manière à avoir des classes d'effectif "raisonnable" i.e.
dont les analyses seront plus aisément interprétables et
visualisables. Dans l'hypothèse où l'ensemble E est réellement
structuré en K classes, (K inconnu) il serait intéressant
de pouvoir reconnaître les deux cas possibles suivants :

a) $KMAX > K$ réel

b) $KMAX < K$ réel

cas a) Remarquons d'abord que, d'après la définition de f,
1'effectif des classes varie au cours du processus
d'itération et le nombre de classes peut diminuer.

$(\exists i \in K, \forall x \in E, \exists j \neq i, D(x, L_i^{(n)}) > D(x, L_j^{(n)}) \Rightarrow P_i^{(n+1)} = \emptyset)$.

La notion de variétés stables définie en 5.1.2. donnera dans
le cas où de telles variétés sont détectées une indication
sur le nombre de classes, puisqu'elle permet de mettre en
doute l'existence de classes n'apparaissant que dans un
seul tirage ou l'existence de classes distinctes ayant des
variétés très voisines.

exemple : cf. 6.1. A où K réel = 3

On obtient avec $KMAX = 6$

2 axes stables apparus dans tous les tirages (6)

1 axe apparu dans la moitié des tirages (3 sur 6)

3 axes apparu dans un seul tirage.

cas b) Dans ce cas la considération des inerties résiduelles
des classes et leur comparaison avec l'inertie résiduelle
globale peut aider à la décision.

En effet nombre de classes et dimension des variétés sont
deux paramètres liés en ce sens que pour atteindre avec
une dimension restreinte, un pourcentage significatif d'inertie
expliquée il faut réduire la taille des classes et par conséquent
augmenter leur nombre.
Si les variétés affines obtenues à la convergence sont telles que leur dimension est insuffisante à expliquer un pourcentage "raisonnable" de l'inertie de la classe. (Par "raisonnable" on entend amélioré de façon significative par rapport au pourcentage d'inertie expliquée dans l'analyse globale), c'est que la taille des classes est trop g grande. On la réduira en augmentant le nombre de classes.

_exemple_ : B considérée comme une distribution dans $\mathbb{R}^2$. Avec une ou deux classes, les deux axes sont nécessaires pour expliquer un pourcentage suffisant d'inertie (ce qui ne montre pas que la dimension intrinsèque est un), et la représentation par une projection sur un axe serait une mauvaise approximation. Si l'on veut une bonne représentation unidimensionnelle il faut au moins 6 classes. (cf. 14)

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

### 5.2.2. - Dimension des variétés locales

Le nuage étant plongé dans $\mathbb{R}^p$ (ou $\mathbb{R}^{p-1}$ : profils et métrique du $\chi^2$) on peut théoriquement rechercher des variétés de dimension $q \le p-1$ (ou $p-2$). Toutefois le but de la méthode est d'atteindre une dimension restreinte qui permette une bonne représentation par "morceaux" du nuage. On cherchera donc généralement des axes ($q=1$), des plans ($q=2$), des 3-variétés affines, ... s'arrêtant lorsque le taux d'inertie expliquée est suffisant sans oublier que dimension des variétés et taille des classes étant liées, il est préférable de choisir simultanément $q$ et $KMAX$ ou de modifier simultanément ces deux paramètres.

$q$ peut aussi être déterminé en fonction des résultats de l'analyse globale.
N.B.

1 - Une condition nécessaire, mais non suffisante, au
déroulement de l'algorithme est $card E > KMAX.(q+1)$.
En effet il faut que $\forall i \ card P_i > q+1$ mais aussi que ces
(q+1) points soient linéairement indépendants ; ce qui est
en général réalisé si q est très inférieur à p.

2 - Dans l'algorithme toute classe d'effectif inférieur à q+1 est supprimée.

5.2.3. - Métrique

Le choix de la métrique est effectué selon les données
à analyser, suivant les critères habituels (cf[2]et [5])
Pour les analyses locales, en particulier lorsqu'on
utilise une métrique du $X^2$, il faut encore choisir entre
métrique "globale" et métriques " locales".

On est guidé pour cela par les résultats qu'on désire
atteindre ou les propriétés que l'on veut exploiter.

5.3. - *Elimination de l'effet des points marginaux*

5.3.1. - *Ellipsoïdes associés à une distribution p-dimensionnelle.*

Au tableau des données $X_J^I$ (card I = n, card J = p),
considéré comme un n-échantillon d'un vecteur aléatoire
à p dimensions on associe la famille homothétique des
p-ellipsoïdes d'équation :

(1) $(x-G)' V^{-1} (x-G) = C^2$ (c est une constante positive
quelconque)

où G et V sont respectivement la moyenne et la matrice
des covariances empiriques de X.

V étant supposé de rang p, les ellipsoïdes correspondant à
$C^2 = 1$ et $C^2 = p + 2$ sont respectivement l'ellipsoïde in-
dicateur (cf. LINNICK [6] chap. 2.4) et l'ellipsoïde de
concentration du vecteur aléatoire considéré.
Remarques

1 - Si V est de rang p, il existe une transformation
orthogonale U

$$
telle que $U'VU = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \lambda_p & \\ & & & \lambda_1 & \\ & & & \lambda_2 & \\ & & & & \lambda_p \end{bmatrix} = D \text{ où } \lambda_1, \dots, \lambda_p
$$

sont les valeurs propres de V et U la matrice dont les
colonnes sont les vecteurs propres correspondants,
soit z = U' (x-G) les coordonnés dans la base des
vecteurs propres du vecteur centré (x-G)

$$
\psi_{\alpha} z_{\alpha} = \langle x^J - G^J, U_J \rangle_M = \langle M U_J^{\alpha}, x^J - G^J \rangle = \psi_{\alpha}^J (x^J - G^J)
$$

1'équation (1) s'écrit dans cette base :

$$
z' D^{-1} z = C^2 \quad \text{i.e.} \quad \sum_{\alpha=1}^{p} z_{\alpha}^2 / \lambda_{\alpha} = C^2
$$

2 - On peut attribuer à ces surfaces la signification
probabiliste suivante :

si $C^2 = 1$ l'équation (1) est celle de la surface indicatrice i.e. la surface obtenue en portant pour toute direction A, la variance A'VA, du vecteur aléatoire considéré dans cette direction.

Dans ce cas pour **p** = 1 on a défini le segment indicateur
|x - G| = δ ; pour **p** = 2 l'ellipse indicatrice d'équation :

$$
\frac{1}{1-\rho^2} \left[ \frac{(x_1 - G_1)^2}{\delta_1^2} - \frac{2\rho (x_1 - G_1) (x_2 - G_2)}{\delta_1 \delta_2} + \frac{(x_2 - G_2)^2}{\delta_2^2} \right] = 1
$$

$$
(\text{ou } \frac{F_1^2(x)}{\lambda_1} + \frac{F_2^2(x)}{\lambda_2} = 1 \text{ selon la base)) est homothétique
$$
à l'ellipse d'inertie de la distribution (ce n'est plus
vrai pour $p > 2$). Si $C^2 = p + 2$ (1) définit un ellipsoïde
d'égale dispersion. Il est obtenu en agrandissant
$\sqrt{p+2}$ fois le précédent et sert d'illustration géométrique
au mode de concentration de la distribution autour de l'ori-
gine.

En effet une masse unité uniformément distribuée dans le
domaine limité par le p-ellipsoïde d'équation :

$$
(x-G)' v^{-1} (x-G) = p + 2
$$

a mêmes moments d'ordre 1 et 2 que la distribution considérée
(cf. [3] p. 283 et 300).

Le segment de concentration d'une v.a.r. de moyenne g, var δ est $|x-g| = \delta\sqrt{3}$.

1'ellipse de concentration d'un vecteur aléatoire à 2
dimensions est deux fois plus grande que l'ellipse in-

$$
\text{dicatrice} \left( \frac{F_1^2(x)}{4\lambda_1} + \frac{F_2^2(x)}{4\lambda_2} \right) = 1
$$

Les tableaux partiels $X_{J,k}^I$ associés aux classes permettent de définir des ellipsoïdes dont les équations dans les systèmes d'axes locaux sont :

$$
\sum_{\alpha=1}^{q} \left[ \varphi_{\alpha, k}^{2} (x - G_{k}^{J}) / \lambda_{\alpha, k}^{2} \right] = C^{2}
$$

où $q \le p$ et où $(\varphi_{\alpha,k} (x-G_k^J), \alpha = 1, p)$ est le vecteur des coordonnées d'un point quelconque $x$ de $\mathbb{R}^p$ dans le système (d'origine $G_k^J$) des axes principaux d'inertie de la classe $k$.

On peut attribuer à ces surfaces la signification probabi-
liste suivante :

si $C^2 = q + 2$ par exemple, avec $q = p$, elle représente géomè-
triquement la concentration des distributions " locales "
associées au vecteur aléatoire $\mathbf{p}$-dimensionnel $X_J^{I_k}$.
si $q<p$ elle représente la concentration de la distribution marginale q-dimensionnelle obtenue en projetant la distribution initiale sur le sous-espace engendré par $\varphi_{1,k}, \dots, \varphi_{q,k}$. Ces surfaces sont utilisées dans l'algorithme de l'analyse factorielle typologique pour corriger certains effets indésirables.

### 5.3.2. - L'effet de cylindre.

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

la figure ci-dessus, illustre cet effet dans le cas $q = 1$, les axes du départ aléatoire ne correspondent pas à la configuration des données. L'individu i très éloigné de l'ensemble des éléments de la classe 1 est très proche de $\Delta_1$, sa contribution très importante à cet axe empèchera l'axe de tourner. Cette tendance à l'obtention de classes cylindriques dans le cas $q = 1$ est à l'origine de cette dénomination.

### 5.3.3. - Noyaux d'une classe

Définition 1 : 
$$ \forall x \in P_k \left( x \in \text{Noy}(k) \iff \sum_{\alpha=1}^{p} \frac{[\varphi_{\alpha,k}(x)]^2}{\lambda_{\alpha,k}} \le c^2 \right) $$

le noyau est l'ensemble des éléments de la classe intérieurs à l'ellipsoïde, indicateur de la classe si $C = 1$, à l'ellipsoïde de demi-axes $C = \sqrt{\lambda_{\alpha,k}}$ si $C \neq 1$.
**Définition 2** : noyau d'ordre q

$$ ∀ x \in P_k \quad (x \in \text{Noy}(q,k) \iff \sum_{\alpha=1}^{q} \frac{\varphi_{\alpha,k}(x)}{\lambda_{\alpha,k}} \le c^2 $$

Le noyau d'ordre q est l'ensemble des éléments de la classe qui se projetent sur la q-variété principale d'inertie à l'intérieur de la projection de l'ellipsoïde.

**Remarques**

1. L'appartenance au noyau entraîne l'appartenance au noyau d'ordre q.

i.e. Les points extérieurs au noyau d'ordre q sont extérieurs à l'ellipsoïde indicateur, mais la réciproque n'est pas vraie.

On a vu que les ajustements locaux réalisés par la méthode justifient que l'on néglige les ordres supérieurs à q. Comme, de plus, on recherche des q-variétés affines, il est naturel que l'on ne s'intéresse qu'aux noyaux d'ordre q.

2. La taille des ellipsoïdes dépend du paramètre C.

Sous l'hypothèse probabiliste que chaque facteur $F_\alpha$ est une v.a. $N(0, \sqrt{\lambda_\alpha})$ on peut donner quelques indications pour le choix de C.

En effet, sous cette hypothèse la quantité

$$ \sum_{\alpha=1}^{q} F_{\alpha}^{2}(x) / \lambda_{\alpha} $$ est distribuée comme un $\chi^2$ à q degrés de liberté.

On peut alors calculer (table de Fisher [3] p 559) en fonction de q et du pourcentage de population (1 - p) souhaité à l'intérieur de l'ellipse la valeur $\chi_p^2$ telle que $Pr(\chi^2 > \chi_p^2) = p$

exemple : pour q = 2, selon cette table, l'ellipse indicatrice d'un vecteur aléatoire normal à 2 dimensions contient entre 30 % ($C^2 = 0,713$) et 50 % ($C^2 = 1,386$) de la population ; l'ellipse de concentration entre 80 % ($C^2 = 3,219$) et 90 % ($C^2 = 4,605$). Avec $C^2 = 9,210$ l'ellipse contiendrait 99 % de la population puisque $P(\chi^2 \ge 9,21)$ = 0,01.
### 5.3.4. - L'algorithme modifié

Les nouvelles fonctions de base sont $\tilde{f}$ et $\tilde{g}$ telles que :

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

$\tilde{g} = \text{hog} ; \tilde{f} = \text{fog}$

où $f$ et $g$ sont les fonctions définies en 1.2.

$h : \mathbb{L}_k \rightarrow [\mathcal{P}(E)]^k$ est définie par

$$h(L) = (N_1, \dots, N_i, \dots, N_k) \text{ où } N_i = \{ x \in P_i \mid \sum_{\alpha=1}^{q} F_{\alpha, i}^2(x) / \lambda_{\alpha, i} \le 1 \}$$

(N.B. $\text{card } N_i$ n'est pas connu à priori)

$g$ est l'extension de $g$ à l'ensemble $[\mathcal{P}(E)]^k$

Dans le cours d'une itération de l'algorithme initial sont donc intercalés: la recherche des noyaux des classes et des variétés principales de ces noyaux.

i.e. à chaque itération et pour chaque classe on élimine les points dont la projection dans la $q$-variété est extérieure à la projection de l'ellipsoïde indicateur, donc extérieurs à cet ellipsoïde. L'élimination de tels points entraîne en général le déplacement des axes surtout dans les cas analogues a celui illustré en 5.3.2. en effet, pour $q = 1$ par exemple, si $x$ n'appartient pas au noyau

$F_1(x) > \lambda_1$, et par suite la contribution de $x$ à l'axe 1 est importante (au moins supérieure à la contribution moyenne des autres individus). Les individus éliminés sont ceux qui expliquent le plus l'axe. Leur élimination permet de voir si l'axe n'était dû qu'à eux.
5.3.5. - Effet de la méthode sur l'exemple décrit en 5.3.2.

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

1. Recherche des noyaux et de leurs axes (Les noyaux sont ici limités par des segments)

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

2. Partition obtenue à partir des axes des noyaux et axes des nouvelles classes

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

3. Partition à la convergence

5.3.6. - Remarques

1. L'algorithme modifié ne converge pas

2. L'utilisation de la technique décrite ci-dessus doit être limitée et considérée uniquement comme une correction d'un éventuel mauvais départ aléatoire de l'algorithme.

3. Cette technique n'est utilisée qu'à partir de la 3ème itération (NP.4, première partition obtenue à partir d'axes non aléatoires) et pendant un nombre limité d'itérations, ce qui est suffisant pour éliminer l'effet de cylindre. On peut soit fixer à priori le nombre d'itérations (pour NP = 4,5,6 par exemple), soit arrêter l'utilisation dès que le critère ne décroit plus.

4. Cette technique s'est révélée très efficace dans le traitement de données planes présentant des "noeuds".
### 5.3.7. - Application : classement des individus anonymes

Dans l'analyse factorielle typologique la recherche des classes s'accompagne de leur caractérisation ; la typologie obtenue est caractérisée par un ensemble de k variétés affines, elle peut aussi être caractérisée par k fonctions de proximités $\delta_1, \dots, \delta_i, \dots, \delta_k$ où $\forall i, \delta_i = D(., L_i)$ mesure la proximité d'un individu à la ième variété affine de la typologie.

En supposant que l'on soit fondé à considérer que l'échantillon analysé révèle la dispersion potentielle, l'affectation d'un nouvel individu s à une classe se fera en calculant et comparant les valeurs en s des k fonctions de proximité.

$$ \forall x \in \mathbb{R}^p (x \in P_i \iff \delta_i(x) = \inf_{\substack{j \in K \\ j \neq i}} \delta_j(x)) $$

Par exemple avec la première définition de D (3.1.2.)

$\delta_i(s) = \mu(s) (\|s - g_i\|_M^2 - \sum_{\alpha=1}^q [\varphi_{\alpha,i}(s-g_i)]^2) = \mu(s) d_M(s; L_i)$ où $[\dot{g}_i, (\varphi_{\alpha,i}, \alpha=1,\dots,q}]$ caractérise $L_i$ et où $\varphi_{\alpha,i}$ défini par $\varphi_{\alpha,i}(s-g_i) = \langle e_j^\alpha, s^j - g_i^j \rangle_M$ est l'opérateur de projection sur l'axe $e_j^\alpha$ (s est considéré comme un individu supplémentaire de l'analyse de la classe i).

On remarque que dans ce cas particulier la typologie induit une partition de $\mathbb{R}^p$, en k régions $R_1, \dots, R_i, \dots, R_k$

séparées par des cloisons hyperplanes, telle que :

$$ R_i = \{x \in \mathbb{R}^p \mid \forall j \in K \ (j \neq i \Rightarrow d_M^2(x, L_i) < d_M^2(x, L_j)) \} $$

on peut considérer que l'appartenance à la région $R_i$ entraîne naturellement l'affectation à la classe i, mais il faut bien remarquer qu'en identifiant appartenance à la classe i et appartenance à la région $R_i$, on ne tient pas compte des différences d'effectif, de forme, de dispersion des classes.
On peut envisager de considérer plus justifiée l'affectation à la classe i d'un individu s, si s ∈ Pᵢ et s'il se projette dans Lᵢ à l'intérieur de l'ellipsoïde de concentration i.e.

$$ \left( \begin{array}{l} d_M^2(s, L_i) = \min_{j \in K} d_M^2(s, L_j) \text{ et} \\ \Delta_i(s) = \sum_{\alpha=1}^q [\varphi_{\alpha, i}(s-g_i)]^2 / \lambda_{\alpha, i} \le q+2 \end{array} \right) \Rightarrow s \in P_i $$

Dans les autres cas considérant la mesure de proximité Δᵢ(s) entre s et Lᵢ, on peut déterminer le plus petit nombre rationnel nᵢ(s) tel que Δᵢ(s) ≤ nᵢ(s) et par suite connaître la position de s par rapport aux ellipsoïdes homothétiques de l'ellipsoïde indicateur.

Cela permet en particulier de résoudre le problème des points frontières :

si $d_M^2(s, L_i) = d_M^2(s, L_j)$ et $n_i(s) < n_j(s)$, s sera

affecté à $P_i$, de même si :

$$ d_M^2(s, L_i) - d_M^2(s, L_j) < \varepsilon \text{ et } n_i(s) < q + 2 < n_j(s) $$

on préfera affecter s à $P_i$.

Cependant, pour la décision d'affectation, la mesure de proximité δᵢ doit être prioritaire, puisque compatible avec l'algorithme ce qui n'est pas le cas de Δᵢ.

Remarque : Dans le cas où la partition a été obtenue par l'algorithme ANATYP B (métriques locales)

$$ \delta_i(s) = \mu(s) d_{M_i}^2(s, L_i) $$

si de plus le système de masses est normalisé pour chaque classe

$$ \delta_i(s) = \mu(s) d_{M_i}^2(s, L_i) $$

avec cette mesure, un point à "distances" comparables de deux classes est affecté à celle d'effectif le plus élevé puisque $\mu_i(s) = \mu(s)/\mu_i(s)$.
### 5.4. - Choix de la mesure de proximité D

Une définition plus générale de D a été proposée au § 1.2. (rem. 4)

$$ D_{\alpha}(x, \lambda) = \mu(x) \left[ \alpha \cdot \|x-a\|_{M}^{2} + \|\varphi_{V} \perp (x-a)\|_{M}^{2} \right], \quad 0 \le \alpha \le 1 $$ et la variante correspondante a été étudiée en 4.2.

#### 5.4.1. - Effet du choix du paramètre α

Un choix judicieux de ce paramètre peut permettre une détection plus efficace de la structure des données.

Ce choix peut être fait en fonction soit de la connaissance éventuelle des données, soit des souhaits de l'utilisateur.

Dans le cas le plus fréquent où la structure des données est à priori inconnue, D peut être modifiée après des résultats jugés peu satisfaisants,...

Les deux possibilités extrêmes $α=0$ et $α=1$ ont été testées sur différentes données. L'effet produit est illustré sur les figures ci-dessous. On y constate qu'avec $α=0$ on détecte les directions d'allongement alors qu'avec $α=1$ on détecte davantage les concentrations de masses.

x5

x6

x3

x4

1x

x2

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

1. données

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

3. optimum local
avec $α=0$

2. optimum local
avec $α=1$
DONNEES DE RUSPINI (75 points de $\mathbb{R}^2$)

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

$\alpha = 1$

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

$\alpha = 0$

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

$\alpha = 1$

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

$KMAX = 4$

$\alpha = 0$

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

$\alpha = 1$

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

$KMAX = 5$

Si l'on recherche les directions d'allongement (i.e. $\alpha = 0$) on voit apparaître 2 axes stables, or dans cet exemple artificiel $k = 2$ est le nombre optimal de directions.

Par contre avec $\alpha = 1$ on voit apparaître les partitions naturelles correspondant au nombre de classes demandées.
### 5.5. Convergence et Tests d'arrêt de l'algorithme

On a vu (cf. 3.2.) que l'algorithme converge en atteignant un élément non biaisé i.e. une partition P telle que $fog(P) = P$.

L'observation de la "quantité d'information" cf. [9] p.56 qui mesure le volume des changements d'affectation entre deux itérations successives convient pour tester la stationnarité de la suite des partitons.

#### 5.5.1. - Arrêt de l'algorithme lorsqu'on atteint un élément non biaisé.

On considère l'appartenance à une classe comme la plus petite quantité d'information utilisée. k étant le nombre de classes demandées, l'unité d'information choisie est la définition d'un caractère à k modalités i.e i.e. l'apparition d'une éventualité parmi k équiprobables d'où la définition suivante :

Soient $P^{(n-1)}$ et $P^{(n)}$ deux partitions (contenant éventuellement des classes vides) de l'ensemble E l'information moyenne conditionnelle, apportée par $P^{(n)}$ quand on connaît $P^{(n-1)}$ est définie par :

$$ I_m \left( \frac{P^{(n)}}{P^{(n-1)}} \right) = - \frac{1}{\text{card } E} \sum_{ie[k]} \sum_{je[k]} \text{card} \left( P_i^{(n-1)} \cap P_j^{(n)} \right). $$

$$ \log_k \left( \frac{\text{card } P_i^{(n-1)} \cap P_j^{(n)}}{\frac{1}{n-1} \text{card } P_i} \right) $$

On peut démontrer les résultats suivants :
1) $I_m(P^n/P^{n-1}) = 0$ si et seulement si $P^{n-1}$ est plus fine que $P^{(n)}$ ou identique à $P^{(n)}$

2) $I_m(P^n/P^{n-1}) = 1$ si et seulement si les points de chaque classe $P_i^{(n-1)}$ se répartissent uniformément dans toutes les classes $P_j^{(n)}$

3) Dans toute autre situation $0 < I_m(P^{(n)}/P^{(n-1)}) < 1$
On voit donc que $(\exists n, I_m(P^n/P^{n-1}) = 0)$ signifie ou bien que l'on a atteint un élément non biaisé (fog $(P^{n-1}) = P^{(n)}$) si les deux partitions ont le même nombre de classes ; ou bien que $P^{n-1}$ est moins fine que $P^n$ i.e. que les classes "disparues" de $P^{n-1}$ ont été affectées en bloc dans la même classe de $P^{(n)}$ ce qui dans la pratique ne se produit pas. Le test correspondant est donc introduit dans l'algorithme après l'obtention de la partition $P^{(n)}$ afin de reconnaître éventuellement un élément non biaisé (on "gagne" une itération i.e. k analyses factorielles locales dans ce cas)

Cependant dans la pratique il est possible et même souhaitable pour éviter un trop grand nombre d'itérations d'arrêter le déroulement de l'algorithme dès que la partition est suffisamment stable en un sens que l'on va préciser.

### 5.5.2. - Stabilité de la partition

On considère que la partition $P$ est stable si :

1. l'information conditionnelle apportée par la partition $P^{(n+1)}$ connaissant $P^{(n)}$ est inférieure à un certain seuil qui peut être évalué selon les données.

2. Les changements d'affectation ne modifient pas de manière significative la valeur du critère et les q variétés affines obtenues.

Cette notion de stabilité justifie les procédures d'arrêt exposées en 1.4.
### 5.6. - Visualisation et interprétation des résultats

L'utilisateur a la possibilité de représenter graphiquement tous plans globaux ou locaux susceptibles de l'intéresser (il peut en particulier visualiser la partition obtenue sur le plan factoriel global de son choix).

Les représentations simultanées (ANA. COR ou A.C.P. d'un tableau de pourcentages) ou distinctes (en particulier corrélations (variables, composantes principales)) d'une part, les calculs de contributions d'autre part sont naturellement la base des interprétations, elles permettent de distinguer le rôle des variables dans les classes détectées et de vérifier si l'on a mis en évidence des tendances locales.
# 6. - Application à la compression et à la réconstitucion de données spectrales de la parole

## 6.1. - Les Données

Les données, fournies par P. GRAILLOT, sont extraites d'un VOCODER conçu et réalisé par le département E.T.A. du C.N.E.T. à LANNION, et ont été l'objet de différentes études (cf. [10], [11], [12]) parues ou à paraitre.
Il s'agit d'échantillons de la parole extraits d'un vocoder à 12 ou à 14 canaux. Tout échantillon i est représenté par $C_{ij} = 1$, 12 ou 14, codés avec une progression logarithmique au moyen de 4 éléments binaires donc $0 < C_{ij} < 15$.

Nous avons traité successivement par l'analyse factorielle typologique :

- les voyelles soit 55 échantillons (issus d'un vocoder à 12 canaux) de 7 voyelles orales isolées A, O, I, U, OU, E, EU, (cf. 6.4)

- un signal de parole réel i.e. 387 échantillons issus de l'analyse des phrases suivantes :

"LA PASSION AVEUGLE LES VIOLENTS", "LE BOUILLON EST SERVI SUR LA TABLE".

- 1187 échantillons (issus d'un vocoder à 14 canaux) de LOGATOMES c.a.d. de mots isolés sans signification ayant une structure C.V.C.

<footnote>\* "Le VOCODER présente l'avantage de pouvoir être utilisé à la fois en analyse et en synthèse". A l'analyse le signal de la parole est échantillonné entre 25 et 100 fois par seconde selon les cas et analysé au moyen de 10 à 15 filtres recouvrant la bande téléphonique. Les données ainsi recueillies servent à synthétiser la parole au moyen de filtres analogues." (cf. [11])</footnote>
## 6.2. - Les travaux effectués à LANNION

Les données sont "comprimées" au moyen d'une analyse factorielle des correspondances, puis reconstituées en vue de la synthèse de la parole selon le processus suivant :

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>schéma 1</figcaption></figure>

L'étude de la matrice de confusion établie à partir de tests de perception permet de comparer parole originale et parole reconstituée et d'évaluer la perte d'intelligence.

Les travaux effectués montrent que "d'une manière globale, l'analyse factorielle explique très bien les résultats du test". En particulier "les pourcentages d'inertie expliqués sont très bien correlés avec la qualité de la reconstitution" cf. [10].

Cette propriété en même temps que certains inconvénients exposés en [11] ont incité* les chercheurs du C.N.E.T à modifier le système ci-dessus en utilisant l'analyse factorielle typologique.

<footnote>* « Nous avons été amenés à ce système de classification préalable pour les raisons suivantes :</footnote>

<footnote n="1">1. les tests de perception nous avaient montré l'avantage d'avoir des axes différents pour les voyelles et les transitions</footnote>

<footnote n="2">2. l'ancien processus était sensible au changement de locuteurs</footnote>

<footnote n="3">3. L'analyse factorielle favorise les points les plus excentriques au détriment de ceux proches de la moyenne ; ce qui était la cause de certaines mauvaises reconstitutions»(cf. [12]).</footnote>
## 6.3. - L'apport de l'analyse factorielle typologique

Les modifications apportées consistent d'une part à "comprimer" les données par une analyse factorielle typologique, ce qui permet de déterminer les systèmes d'axes (7 ou 8 selon les données) les plus appropriés (i.e. expliquant le plus d'inertie), d'autre part à utiliser une formule de reconstitution à partir de facteurs locaux.

Tout échantillon étudié est préalablement "branché" sur un des systèmes d'axes (le plus adapté au sens de la proximité D), réduit, puis reconstitué à partir des facteurs locaux du système retenu.

Le système de compression-reconstitution est décrit par le schéma suivant :

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>schéma 2</figcaption></figure>

en reconstituant ainsi la parole on a constaté une nette amélioration des résultats (meilleure intelligibilité et réduction du codage des échantillons).

Citons par exemple (cf. [11]), les résultats comparés du test aux logatomes, le plus significatif en raison de la nature des données.
"Les listes de logatomes utilisés avaient déjà servi pour tester le système du premier schéma, malheureusement l'équipe des opérateurs ayant été modifié entre-temps, il faut considérer les résultats en rapport avec ceux obtenus sur les originaux et non en valeurs absolues.

sortie du
schéma 1

<table><thead><tr><th>données originales<br>% logatomes % sons</th><th>5 facteurs<br>% logatomes % sons</th></tr></thead><tbody><tr><td>79 %</td><td>63 %</td></tr><tr><td>92 %</td><td>85 %</td></tr></tbody></table>

sortie du
schéma 2

<table><thead><tr><th>données originales<br>% logatomes % sons</th><th>2 facteurs (8 classes)<br>% logatomes % sons</th></tr></thead><tbody><tr><td>65 %</td><td>62 %</td></tr><tr><td>87 %</td><td>85,5 %</td></tr></tbody></table>

On voit le gain apporté par l'utilisation du second système. On peut alors représenter un échantillon, codé initialement avec 64 bits, au moyen de 23 ou 24 bits. Le débit représente les 3/8 de l'original. C'est-à-dire que partant de 2400 e. b/s un débit de 900 e.b/s".

### 6.4. - Exemples d'analyse des voyelles

L'analyse des correspondances effectuée sur le nuage des 55 voyelles faisait apparaître un premier plan factoriel expliquant 75,22 % d'inertie dont 51,30 % pour le 1er axe.
## 7. - Le Programme

Il existe deux programmes correspondant respectivement aux algorithmes ANATYP-A et ANATYP-B. Les options prévues énumérées en 7.1., les sorties décrites en 7.2. (l'utilisation de métriques locales est possibles avec ANATYP-B).

### 7.1. - Options et Paramètres E/S

a) Le mode de départ de l'algorithme : partition aléatoire ou échantillons estimés des classes.

b) La Métrique dont est muni l'espace des objets à classifier. Selon le choix de M on peut faire :

une A.C.P. (M = I)

une analyse des correspondances (M est la métrique du $\chi^2$ associée au nuage global).

N.B. Les analyses factorielles locales, peuvent être effectuées soit avec une métrique M, unique quelle que soit la classe analysée, (ANATYP-A) ; soit avec des métriques " locales" i.e. associées aux sous-nuages locaux (ANATYP-B), la métrique est alors calculée à chaque itération pour chaque classe.

c) Le nombre maximum de classes.

d) La dimension des variétés affines cherchées en général 1, 2, ou 3. (On cherche des variétés affines de dimension restreinte).

e) Le nombre de facteurs extraits pour chaque analyse qui est supérieur ou égal à la dimension des variétés. (On peut par exemple chercher des plans locaux et désirer connaître le 3ème facteur local sans le faire intervenir dans l'algorithme).

f) La mesure de proximité individus, classes D : D peut être modifiée par le paramètre ID ; 1 <ID <2 si ID = 1 ; D (x,k) est le moment d'inertie de x relativement à la variété principale d'inertie de la classe k si ID = 2 ; D (x,k) est la quantité précédente augmentée du moment d'inertie de x relativement au centre de gravité de la classe k.
g) Technique des "ellipsoïdes - Noyaux" : cette technique a pour but la suppression des classes d'intérieur creux, son utilisation est facultative.

h) Arrêt de l'algorithme : différents tests d'arrêt sont prévus dont les seuils sont fixés.

i) Visualisation des résultats : on peut imprimer différents graphiques, plan global avec individus identifiés par leur numéro de classe ou leur nom, différents plans factoriels globaux ou locaux.

j) Nombre de tirages aléatoires de départ i.e. nombre de passages de la méthode avec départs aléatoires différents.

## 7.2. - Sorties

Le programme peut imprimer pour chaque tirage une liste de résultats brièvement commentés ci-dessous :

a) tableau des données initiales.

b) Les résultats habituels de l'analyse globale du nuage à analyser (A.C.P. ou ANA. COR) i.e. inertie totale, valeurs propres, vecteurs propres associés, coordonnées des points dans le système des axes principaux d'inertie (facteurs), taux d'inertie expliquée par ces axes....

c) La partition de départ aléatoire ou estimée.

d) La partition (optimum local) obtenue à la convergence de l'algorithme i.e. K sous-nuages locaux.

e) Les résultats des K analyses locales avec des représentations graphiques.

f) Contributions absolues et relatives permettant de nuancer les interprétations d'après les représentations.

g) La valeur du critère optimisé par l'algorithme (mesure de la qualité de la partition obtenue).
h) On peut représenter tout plan factoriel global ou local. Dans tous les cas où on effectue des A.C.P. on représente graphiquement les corrélations (variables, composantes principales). Dans tous les cas où on effectue des ANA.COR. le programme imprime des représentations simultanées.
## Conclusion

Sur le plan pratique, les résultats obtenus sont encourageants.

Comme technique de classification, cette méthode s'enrichit de l'apport de l'analyse factorielle : connaissance de la forme du nuage, visualisations globales ou locales de la situation décrite par le tableau des données, interprétation à l'aide d'un nombre réduit de caractères, reconstitution possible des données à partir d'un nombre réduit de facteurs etc... qui permet une description plus complète de la partition fournie.

L'ensemble des variétés affines obtenues à la convergence de l'algorithme constitue un "squelette", plus proche du nuage que l'unique variété affine déterminée par l'analyse factorielle globale qui est considérée comme le cas où l'on suppose à priori l'existence d'une seule classe.

L'apport de l'algorithme des nuées dynamiques rend ainsi possible la détection et l'analyse de sous-populations locales qui ne sont pas issues d'un découpage arbitraire mais résultent d'une approche plus fine des données.

Ceci est intéressant en particulier dans le cas de grands tableaux où la méthode réalise une sorte de grossissement à la loupe dans les directions ou sur les plans les plus favorables à une bonne représentation locale simplifiée.

La méthode d'analyse factorielle typologique semble donc efficace en ce qui concerne la détection de groupes homogènes au sein de populations importantes et l'otention d'une typologie des comportements de ces sous-populations ; mais elle est relativement coûteuse puisqu'il faut effectuer autant d'analyses factorielles qu'il y a de classes, pour chaque itération avant la convergence, seules des applications nombreuses dans les domaines les plus divers nous permettront de dire si la puissance de ce moyen d'investigation compense cet inconvénient ; elles permettront en outre de préciser davantage les liens entre les options possibles et la nature des problèmes à traiter.
Différentes directions d'application ou d'extension appa-
raissent naturellement : aide à la modélisation, traitement des
données manquantes par reconstitution à partir de facteurs locaux
(cf. propriété p. 50), essai d'élargissement des hypothèses facto-
rielles initiales et recherche de facteurs locaux non linéaires.

Certains développements semblent plus particulièrement intéressants
par exemple celui concernant la reconstitution à partir d'un nombre
restreint de facteurs locaux et basé sur la propriété (cf. Prop. 2.1.)
d'amélioration de la qualité de la représentation par rapport aux
analyses globales habituelles. Il a été utilisé avec succès dans
le cadre des travaux effectués à Lannion sur la synthèse de la
parole et semble pouvoir être exploité pour le traitement des
données incomplètes.
BIBLIOGRAPHIE

[1] J.P. BENZECRI - L'analyse des données. Tome I et II
DUNOD 1973

[2] P. CAZES - Thèse de Doctorat de 3ème Cycle (L.S.M.)

[3] H. CRAMER - Mathematical methods of statistics
PRINCET ON UNIVERSITY 1966

[4] CAILLIEZ, MAILLE, NAKACHE, PAGES - Analyse des données
multidimensionnelles - C. 3E 1971

[5] E. DIDAY - Thèse de Doctorat d'Etat 1972

[6] E. DIDAY, A. SCHROEDER - A new approach in mixed distribution
detection - Rapport de Recherche n° 52 IRIA-Laboria 1974

[7] E. DIDAY, G. GOVAERT - Rapport de Recherche n° 89
IRIA-Laboria 1974

[8] LEBART, FENELON - Statistique et informatique appliquées
DUNOD 1971

[9] E. CLOUTIER et D. LESTRADE - Classification et interpolation
Rapport de stage C.E.A. Laboratoire de statistique mathématique
(J.P. BENZECRI)

[10] M.CARTIER et P. GRAILLOT - Compression et reconstitution de
données spectrales. C.R. 5ème Journées d'étude sur la parole
ORSAY (1974)
[11] P. GRAILLOT - Projection, compréssion et reconstitution de données spectrales de la parole - Bulletin de l'Institut de phonétique de Grenoble.

[12] P. GRAILLOT - Système pour la transmission à très faible débit Rapport des activités 1975 en acoustique au C.N.E.T. Lannion.

[13] E. DIDAY - Introduction à l'analyse factorielle typologique Rapport de Recherche n° 27 IRIA-Laboria 1973.

[14] E. DIDAY, A. SCHROEDER, Y. OK - The dynamic clusters method in pattern recognition - Information Processing 1974.

[15] Y. OK - Analyse factorielle typologique et lissage typologique - Thèse de 3ème cycle, université de Paris VI 1975.