# Thermodynamique appliquée aux machines thermiques:
Exercices et Problèmes

Alexis Coppalle

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Alexis Coppalle. Thermodynamique appliquée aux machines thermiques: Exercices et Problèmes. Engineering school. thermodynamique-appliquee-aux-machines-thermiques, https://www.coria.fr/thermodynamique-appliquee-aux-machines-thermiques-exercices-et-problemes/, France. 2023, pp.104. hal-04209411

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Submitted on 17 Sep 2023

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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J'ai été enseignant de 1993 à 2019 dans les départements « Energétique et Propulsion (EP) » et « Génie Civile et Constructions Durables (GCCD) » de l'INSA de Rouen.

Mes enseignements ont porté principalement sur:

- La thermodynamique phénoménologique, appliquée aux machines thermiques, enseignement dispensé en 1ère année du département EP, c'est à dire à bac+3.

- Une introduction à la physique du feu, enseignement dispensé en 3ème année du département GCCD, c'est à dire à bac+5.

En tant que chercheur, j'ai fait ma carrière à l'UMR 6614 CORIA, et depuis 2019 je suis Professeur Emérite de l'INSA de Rouen.

Je fournis avec ce document des

**Exercices et problèmes de thermodynamique appliqués aux machines thermiques.**

Ils correspondent à l'ensemble des exercices et problèmes que j'ai rédigés pour évaluer les élèves du département EP. L'enseignement était étalé sur toute l'année, et les volumes horaires étaient de 30 h de cours magistraux et 30 h de travaux dirigés.

Dans certains cas, je me suis inspiré de ce que j'ai trouvé sur internet. Il me semble donc important pour moi de faire profiter maintenant à d'autres cette ressource en exercices et problèmes.

Cette ressource est divisée en deux parties:

- Propriétés-Matière Phénomènes,

ce qui correspond à la première moitié de mon enseignement, et pour lequel je rappelle ou approfondis les propriétés des fluides réels et les phénomènes que l'on rencontre souvent dans les échanges de chaleurs et de masse se produisant dans les machines thermiques

- Machines Thermiques,

ce qui correspond à la deuxième moitié de mon enseignement, et pour lequel je rappelle ou approfondis les propriétés et les efficacités des machines thermiques.

Chaque cas étudié est une partie d'un sujet d'examen de deux heures généralement.

Je fournis à chaque fois un résumé de la solution.

Cordialement

A. Coppalle
Propriétés-Matière Phénomènes,
ETUDE D'UNE BULLE DE SAVON

On considère une bulle de savon dans l'air. On suppose que l'état thermodynamique de la frontière liquide est parfaitement déterminé si on connait sa température T et sa surface totale σ.

Au cours d'une transformation infinitésimale réversible, T varie de dT et σ de dσ.

La chaleur échangée par la surface liquide est

$$\delta Q= m c dT + k d\sigma$$

et le travail des forces de tension superficielle est

$$\delta W= A d\sigma$$

A désigne la tension superficielle du liquide et A est une fonction linéaire de T

Pour l'eau: A= -10⁻⁴ T(K)+0.1 dans le système (SI),

c=4,18 10³ (J/Kg), Masse de la bulle m=10⁻⁶(SI), rayon de la bulle 10⁻²(SI), T=293 K.

On montre que la pression P à l'intérieur de la bulle et la pression P0 sont liées par la relation

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

$$P-P_0 = 2 A/R, \text{ avec } P_0=10^5 (\text{SI}) \quad (1)$$

1°) - En utilisant le 1er et le 2ème principes, montrer que k est une fonction de T et de dA/dT.

A.N.: calculer k à l'aide des données numériques fournies.

2°) On cherche à étudier les variations du rayon R et de la surface de la bulle en fonction de la température
ambiante T.

- Avec la relation (1) et en considérant l'air à l'intérieur de la goutte comme un gaz parfait, montrer que
  (P/(P-P0)+k/A) dT/T= (3P/(P-P0)-1) dR/R

- A.N.: montrer que pour les données fournies ci-dessus, on a
  dT/T≈ 3 dR/R

et donc: dT/T≈ 3/2 dσ/σ

3°)- A l'aide des résultats obtenus dans les questions 1 et 2, montrer que l'on peut négliger le terme k dσ dans la chaleur échangée par la bulle au cours d'une transformation réversible.
Réponses

1°) $dU= m cdT + (k+A)d\sigma$

$dS= m cdT/T + (k+A)d\sigma/T$

dU et dS sont des différentielles totales exactes

$$
\left. \frac{\delta mc}{\delta \sigma} \right|_{P} = \left. \frac{\delta k + A}{\delta T} \right|_{\sigma} \text{ et } \left. \frac{\delta mc/T}{\delta \sigma} \right|_{P} = \left. \frac{\delta k/T}{\delta T} \right|_{\sigma}, \quad \therefore > k = -T \left. \frac{\delta A}{\delta T} \right|_{\sigma}
$$

Comme A ne dépend que de T : $k = -T \frac{dA}{dT}$

$$
2^{\circ)} \text{ P-P0} = 2 \text{ A/R } \Rightarrow \text{R(P-P0)} = 2 \text{ A } \Rightarrow \frac{dR}{R} + \frac{dP}{P} = \frac{dA}{A}
$$

$$
-\text{On } \frac{dA}{A} = - \frac{k}{A} \frac{dT}{T}
$$

et avec la loi des gaz parfaits PV= nRT, on a $\frac{dP}{P} + 3\frac{dR}{R} = \frac{dT}{T}$

$$
\text{on obtient } \frac{dT}{T} \left( \frac{P}{P-P0} + \frac{k}{A} \right) = \left( \frac{3P}{P-P0} - 1 \right) \frac{dR}{R}
$$

- A.N. P-P0= 2A/R, avec R=0.1m et T= 293°C, on a P-P0= 14,1 pa

On a donc P≈P0=10⁵ Pa

$$
\begin{align*}
k/A &= 3/7 \Rightarrow \frac{P}{P-P0} + \frac{k}{A} \ll \frac{P}{P-P0} \quad \text{et} \quad 1 \ll \frac{3P}{P-P0} - 1 \\
\Rightarrow \quad dT/T \approx 3dR/R = 3/2d\sigma/\sigma
\end{align*}
$$

$$
3^{\circ)} \delta Q= m c \, dT + k d\sigma
$$

on pose a=dA/dT

$$
\begin{align*}
\delta Q &= 4,18 \ 10^{-3} \, \text{d}T - aTd\sigma \\
&= 4,18 \ 10^{-3} \, \text{d}T - 2/3a\sigma dT \\
&= 4,18 \ 10^{-3} \, \text{d}T - 8\Pi/3 \ 10^{-8} \, \text{d}T \\
&\approx 4,18 \ 10^{-3} \, \text{d}T
\end{align*}
$$

Rq: cet exercice a pour but de montrer que les calculs thermodynamiques ne se font pas uniquement avec les variable (P,T,V).
Pour détecter des particules nucléaires, on fait passer celles-ci dans un système appelé 'chambre à bulles'. Il s'agit d'une enceinte contenant de l'hydrogène liquide et la trace des particules est alors détectée par des petites bulles qui se forment aux passages des particules à hautes énergies.

L'hydrogène liquide est détendu, sa pression P2 est inférieure à la pression d'équilibre P<sub>vap</sub>(T).

L'hydrogène est donc dans un état métastable à la température T. Quand une particule nucléaire passe dans la chambre, il y a un petit apport local d'énergie le long de la trajectoire, ce qui entraîne la formation de bulle de gaz d'hydrogène, celles-ci étant sphériques de rayon r.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Au passage de la particule nucléaire, on constate que si, la bulle est d'un rayon r supérieure à un rayon critique $r_c$, elle grossit, sinon elle disparaît.

A tout instant, la pression dans la bulle vérifie la relation $P-P_2=2A/r$, où A est une constante.

On suppose que la vaporisation et l'augmentation de la taille des bulles est isotherme à la température T.

On va déterminer la pression critique correspondant au rayon $r_c$.

Question préliminaire : A partir de la définition de l'enthalpie libre massique g(T,P), retrouver la relation liant dg à dT et dP.

1°) Calculer les variations d'enthalpie libre massique Δg de :

- l'hydrogène liquide qui passe de P<sub>2</sub> à P<sub>vap</sub>(T), (liquide incompressible et indilatable)

- l'hydrogène gazeux qui passe de P<sub>c</sub> à P<sub>vap</sub>(T), (hypothèse de gaz parfait)

2°) en déduire la pression critique de formation des gouttes correspondant au rayon critique r.

On supposera que, quand une bulle apparaît, il y a immédiatement égalité des enthalpies libres massiques entre la phase liquide et la phase vapeur, c.a.d. g<sub>l</sub>(T,P<sub>2</sub>)=g<sub>v</sub>(T,P<sub>c</sub>).

On exprimera Pc en fonction de P<sub>vap</sub>(T), P<sub>2</sub>, T, v<sub>1</sub> le volume massique de l'hydrogène liquide.

On suppose connue $r=R/M_{H2}$.

3°) En déduire l'expression de $r_c$.

4°) A.N. Calculer P<sub>c</sub> et $r_c$ pour les valeurs suivantes (en SI) :

T=26,5 K ; P<sub>2</sub>=2.10<sup>5</sup> , P<sub>vap</sub>(26,5)=4.510<sup>5</sup> , A= 9 10<sup>-4</sup>

R=8,32 et M<sub>H2</sub>=0.002 (SI). Dans les conditions de la chambre, on prendra v<sub>H2</sub>=1/58 (SI)
Réponses

Question préliminaire: g=h-Ts ===> dg= -sdT+vdP, avec v le volume massique

$$
\begin{align*}
1^\circ) \text{ dg}_1 &= -s_1 dT + v_1 dP ===> \Delta g_1 = v_1 (\text{Pvap}(T)-\text{P2}) \\
\text{dg}_v &= -s_v dT + v_v dP ===> \Delta g_v = rT \ln(\text{P}_{\text{vap}}/\text{P}_C)
\end{align*}
$$

$$
2^{\circ}) \text{ à l'équilibre : } g_{l}(T,P_{\text{vap}})=g_{v}(T,P_{\text{vap}})
$$

Mais on admet aussi (voir énoncé) qu’il y a égalité des enthalpies libres au moment ou apparaît une
bulle de gaz : g₁(T,P₂)= g_v(T,P_c)

$$
\Rightarrow \Delta g_l = \Delta g_v \Rightarrow v_l (P_{\text{vap}}(T)-P_2) = rT \ln(P_{\text{vap}}/P_C)
$$

$$
3^{\circ}) r_c = 2A/(P_c - P_2)
$$

$$
4^{\circ}) \text{ A.N.: } P_c = 4,32 \ 10_5 \text{ Pa, } r_c = 7,76 \text{ nm}
$$
## ETUDE DE LA COMPRESSIBILITE DE L'EAU

1°) (question de cours)

Rappeler la définition des coefficients calorimétriques $c_v$, $c_p$, $l$ et $k$.

En appliquant les deux premiers principes, établir les relations suivantes pour les coefficients calorimétriques $l$, $c_p$ et $c_v$.

$$1 = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v \quad \text{et} \quad c_p - c_v = l\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p$$

2°) les coefficients thermo-élastiques $\chi_t$ et $\alpha$ sont définis par :

$$\chi_t = -\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T \quad \text{et} \quad \alpha = \frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p$$

2°)-a calculer la différence $c_p - c_v$ en fonction de $T$, $v$, $\chi_t$ et $\alpha$

2°)-b On donne pour l'eau : $c_p= 4.18 \ 10^3$ ; $\alpha= 3 \ 10^{-4}$ ; $\chi_t= 5 \ 10^{-10}$, $\rho= 10^3$ (SI et à 293 K).
Calculer à 293 K l'écart relatif entre $c_p$ et $c_v$.

3°) Variation de la masse volumique $\rho$ de l'eau avec la pression.

3°)-a Pour une masse m d'eau fixée, donner l'expression de

$$\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_T = f(\chi_T, \rho)$$

3°)-b Soit une colonne d'eau de hauteur $z$ et de température constante. En intégrant la relation ci-dessus, donner la relation

$$\frac{\rho(z)}{\rho_0} = f(P(z), P_0, \chi_T)$$

en supposant que $\chi_t$ est constant. $P(z)$ est la pression en $z$ et $P_0$ la pression en $z=0$ ; $\rho(z)$ la masse volumique en $z$ et $\rho_0$ celle en $z=0$.

Donner la limite de cette expression avec $\chi_t << 1$. (Rappel si $X<<1$ ; $e^X= 1.+X+...$)

3°)-c La loi de l'hydrostatique est

$$dP=-\rho(z) \, g \, dz$$

Intégrer cette relation entre 0 et $z$, avec $\alpha_T << 1$

Montrer que la différence de pression $\Delta P=Po-P(z)$ peut se mettre sous la forme :

$$\Delta P=Po-P(z)= \rho_0 g z + \delta \Delta P,$$

le premier terme de droite est la différence de pression si $\rho=cst$ et $\delta \Delta P$ est un terme correctif que l'on exprimera en fonction de $\chi_t$ et $\Delta P$.

(Rappel si $X<<1$ ; $\ln(1+X)= X-X^2/2+...$)

En prenant $z= 10$ km, donner l'ordre de grandeur de la correction relative $\delta \Delta P/\Delta P$ à apporter au terme $\rho_0 g z$ ($\rho_0=10^3$ ; $g=10$ (SI))
Réponses

1°) soit δq une quantité de chaleur échangée par un système compressible et dilatable :

$$
dq= c_v dT + l dv \text{ ou } dq=c_p dT + k dP
$$

$$
-\text{donc } du = cvdT + (l-P)dv
$$

$$
ds = cv dT/T + ldv/T
$$

$$
du \text{ et ds sont des différentielles totales exactes : } \left(\frac{\partial l-P}{\partial T}\right)_v = \left(\frac{\partial cv}{\partial v}\right)_T \text{ et } \left(\frac{\partial cv/T}{\partial v}\right)_T = \left(\frac{\partial l/T}{\partial T}\right)_v
$$

$$
donc \ l = T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v
$$

- Faisons intervenir cp : du= cv dT + (1-P)dv

$$
du = cp \, dT + kdP - Pdv
$$

$$
\text{on a } dv = \frac{\partial v}{\partial T}dT + \frac{\partial v}{\partial P}dP, \text{ en remplaçant dans du, on obtient } cp - cv = l \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P
$$

$$
2^{\circ}-\text{a)} \quad cp - cv = l \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P \Longrightarrow cp - cv = T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_v \alpha v
$$

$$
\text{On a } \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_P \left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T = -1 \Longrightarrow cp - cv = T \alpha^2 v / \chi_T
$$

$$
2^{\circ}-\text{b)} \quad \frac{cp-cv}{cv} = 0,0126
$$

$$
3^{\circ}-\text{a)} \rho=1/v, \text{ donc } \left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{\mathrm{T}}=\chi_{\mathrm{T}} \rho
$$

$$
3^{\circ}-\text{b)} \text{ si } T=\text{cst} \Longrightarrow d\rho/\rho=\chi_T dP \Longrightarrow \rho(z)/\rho_0=\exp\left[\chi_T(P(z)-P_0)\right]
$$

$$
\text{Si } \chi_T \ll 1, \rho(z)/\rho_0 = 1 + \chi_T(P(z) - Po)
$$

$$
3^{\circ}-\text{c)} \mathrm{d}P=-\rho \mathrm{gd}z=-\rho_0[1+\chi_T(\mathrm{P}(z)-\mathrm{P}_0)] \mathrm{gd}z \Longrightarrow \mathrm{Ln}[1+\chi_T(\mathrm{P}(z)-\mathrm{P}_0)]=-\rho_0 \chi_T \mathrm{gz}
$$

$$
\text{Avec l'approximation de l'énoncé : } \chi_T(P(z) - Po) - (\chi_T(P(z) - Po))^2/2 = - \rho_0 \chi_T \text{ gz} \\
\Longrightarrow \delta\Delta P = (\chi_T(P(z) - Po))^2/2, \quad \delta\Delta P/\Delta P = \rho_0 \chi_T \text{ gz}/2 = 2,5 \ 10^{-3}
$$
# Etude de la compression de l'air considéré comme un gaz parfait

## Rappel et questions de cours sur un gaz parfait

On considère un gaz parfait dont la constante massique est r, ses paramètres d'état sont T, P et v (le volume massique). On néglige son énergie cinétique et son énergie potentielle.

Les capacités calorifiques massiques du gaz, $c_p$ et $c_v$, sont connues et sont constantes.

On rappelle que $c_p - c_v = r$

-Rappeler la loi massique des gaz parfaits.

-Rappeler les expressions, du et dh, des variations de l'énergie interne et de l'enthalpie du gaz au cours d'une transformation infinitésimale.

-Rappeler l'expression du premier principe pour un système ouvert à une entrée et une sortie en régime permanent, et qui échange du travail utile $\delta w^u$ (J/kg) et de la chaleur $\delta q$ (J/kg). Que représente exactement $\delta w^u$ ?

L'échange de chaleur dans une transformation réversible est donné par $\delta q = c_p \, dT + k \, dP$.

-A l'aide des expressions de du et dh, montrer que $k=-v$

-A l'aide de l'enthalpie, montrer que $\delta w^u = v dP$ au cours d'une transformation réversible infinitésimale.

-Rappeler l'expression de la variation $\delta s$ de l'entropie au cours d'une transformation infinitésimale.

-En déduire l'expression de la variation $\Delta s_{1-2}$ quand la température varie de $T_1$ à $T_2$ et la pression de $P_1$ à $P_2$.

**Remarque :** toutes ces expressions seront utiles pour la suite.

## Etude de la compression de l'air considéré comme un gaz parfait

Soit un compresseur d'air qui permet de faire passer la pression de $P_1$ à $P_2$.

L'air est considéré comme un gaz parfait.

On donne $\gamma = c_p/c_v$ ; Montrer que $c_p = r\gamma / (\gamma-1)$.

### 1°_a) La compression est réversible et adiabatique

-A partir de l'expression de $\Delta s_{1-2}$, démontrer la relation $P_1^{1-\gamma} T_1^{\gamma} = P_2^{1-\gamma} T_2^{\gamma}$,
ce qui s'écrit de façon plus générale : $P v^{\gamma} = K_s$, ou $K_s$ est une constante.

- En déduire le travail utile $w^u = \int \delta w^u$ échangé au cours de la transformation en fonction de r, $\gamma$, et des conditions initiale et finale de température.

### 1°_b) Application numérique :

le gaz est de l'air ; $\gamma = 1,4$ et r= 286,9 (SI). la température initiale est $T_1=300K$

-Calculer la température finale de compression $T_2$ si le rapport de compression est $P_2/P_1 = 10$

-Calculer la valeur du travail utile $w^s$.

### 2°_a) La compression est réversible et isotherme

- Quelle est la relation entre v et P au cours de la transformation ?

- Calculer le travail $w^u = \int \delta w^u$ échangé au cours de la transformation,la température initiale est $T_1$.

- En déduire la chaleur échangée $q_T$.

### 2°_b) Application numérique : la température initiale est $T_1=300K$ et $P_2/P_1 = 10$.

-Calculer le travail utile $w^T$.

### 3°) La compression est réversible mais polytropique.

La compression réversible dans un compresseur n'est ni isotherme ni isentrope. La température varie mais il y a aussi un échange de chaleur. L'analyse de la transformation réelle subie par le gaz montre qu'elle peut être représentée par une nouvelle loi : $P v^n = K_{poly}$, ou n et $K_{poly}$ sont des constantes. n est le coefficient polytropique déterminé par l'expérience, avec $1<n<\gamma$ ( n= 1 est le cas isotherme, n=$\gamma$ est le cas isentrope).

- En reprenant le raisonnement du 1°-a), calculer le travail utile $w_{poly}^u$, échangé au cours de la transformation en fonction de n, et des conditions initiale et finale de température.

- Montrer que la chaleur échangée s'écrit $q_{poly} = c_n(T_2-T_1)$, ou $c_n$ est le coefficient calorimétrique de la transformation polytropique. Exprimer $c_n$ en fonction de n, $\gamma$ et r.
# Réponses

## Rappel et questions de cours sur un gaz parfait

$$-Pv=rT$$

$$-du=c_vdT, dh=c_pdT$$

$-dh= \delta q + \delta w^u$. Pour un fluide dilatable et compressible, $\delta w^u$ est le travail récupéré sur les parties mécaniques mobiles de la frontière du système qui contient le gaz. En général, le dispositif mécanique fait que ce travail est récupéré sur un axe tournant. Attention pour certains dispositifs ne mettant pas en jeu un fluide dilatable et compressible, $\delta w^u$ n'est pas forcément un travail mécanique, mais il peut être un travail électrique, comme dans les piles à combustibles par exemple.

$$-dh=du+dPv \implies dh= c_pdT+(k+v)dP. \text{ Donc pour un gaz parfait } k=-v$$

$$-dh= \delta q + \delta w^u \text{ et } \delta q=c_pdT-vdP \implies \delta w^u=vdP$$

$$-ds= \delta q/T$$

$$-\Delta s_{1-2}= c_p \ln(T_2/T_1)-r \ln(P_2/P_1)$$

## Etude de la compression de l'air considéré comme un gaz parfait

$$c_p - c_v = r \implies c_p = r \frac{\gamma}{\gamma-1}$$

$$1^{\circ}-\text{a)} \Delta s_{1-2}=0= \ln(T_2/T_1)^{cp} - \ln(P_2/P_1)^r \implies (T_2/T_1)^{cp} = (P_2/P_1)^r \implies P_1^{1-\gamma} T_1^{\gamma} = P_2^{1-\gamma} T_2^{\gamma}$$

$$\text{on a } Pv=rT \implies P_1 v_1^{\gamma} = P_2 v^{\gamma} \implies P v^{\gamma} = Ks$$

$$w_s^u = \int v dP = K s^{1/\gamma} \int dP / P^{1/\gamma} \implies w_s^u = \gamma/(\gamma-1) r(T_2-T_1)$$

$$1^{\circ}-\text{b)} P_2^{1-\gamma} T_2^{\gamma} = P_1^{1-\gamma} T_1^{\gamma} \implies T_2 = 579 \text{ K}$$

$$w_s^u = 280,1 \text{ kJ}$$

$$2^{\circ}-\text{a)} Pv=rT=\text{cst. } w_T^u=rT_1 \ln(P_2/P_1)$$

$$\Delta h=0, q_T=-w_T^u$$

$$2^{\circ}-\text{b)} w_T^u=198,2 \text{ kJ}$$

3°) dans le cas d'une transformation isentrope: $w_s^u = \gamma/(\gamma-1) r(T_2-T_1)$

Pour une transformation polytropique, on fait le même raisonnement, il suffit de remplacer $\gamma$ par n dans la formule de $w_s^u$: $w_{poly}^u=n/(n-1) r(T_2-T_1)$

$$\Delta h=0, q_{poly}= \Delta h - w_T^u \implies q_{poly}=(c_p- nr/(n-1))(T_2-T_1)$$

$c_n=c_p- nr/(n-1)$. Rq : on peut faire retrouver pour des valeurs particulières de n les cas isentrope et isotherme
Compression isotrope d'un gaz

Rappels

Soit δq la chaleur échangée (par unité de masse).

On définit les coefficients calorimétriques c_v, c_p, l et k par

$$ \delta q=c_v dT+ldv \text{ et } \delta q=c_p dT+kdP $$

On rappelle que $l = T \frac{\partial P}{\partial T} |_v$ et $k = -T \frac{\partial v}{\partial T} |_p$

Cas du gaz parfait :

Rappeler l'équation d'état massique du gaz parfait. On note r=R/M la constante massique des gaz parfaits.

(R= 8,32 (SI) et M masse molaire du gaz)

-en utilisant l'équation d'état, montrer qu'on a

$$ l=p ; k=-v \text{ et } c_p-c_v=r $$

Compression réversible et adiabatique d'un gaz parfait

1°) Rappeler l'équation d'état massique du gaz parfait.

On note r=R/M la constante massique des gaz parfaits. R= 8,32 (SI) et M masse molaire du gaz

-en utilisant l'équation d'état, montrer que :

$$ l=p ; k=-v \text{ et } c_p-c_v=r $$

2°) Montrer que $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dv}{v} = 0$ avec $\gamma = c_p/c_v$

3°) $\gamma = c_p/c_v$ est constant.

En intégrant la relation ci-dessus, Montrer que $P v^{\gamma} = Ks$, ou Ks est une constante

4°) $\gamma = cp/cv$ n'est plus constant mais dépend de T,
$\gamma = gT + \gamma_0$ avec g et $\gamma_0$ deux constantes.

Montrer que l'on peut écrire

$$ \frac{dPv}{Pv} + \left( \frac{g}{r} Pv + \gamma_0 - 1 \right) \frac{dv}{v} = 0 \qquad (a) $$

$$ \text{Vérifier que } \frac{1}{Pv \left( \frac{g}{r} P\nu + \gamma_0 - 1 \right)} = \left[ \frac{1}{P\nu} - \frac{\frac{g}{r}}{\left( \frac{g}{r} P\nu + \gamma_0 - 1 \right)} \right] \frac{1}{\gamma_0 - 1} \qquad (b) $$

Déduire des relations (a) et (b) : $\frac{P v^{\gamma}}{(\gamma-1)} = K'_{s}$, ou $K'_{s}$ est une constante.

Calcul du travail échangé entre les états 1 et 2

Le gaz parfait effectue une compression adiabatique réversible entre les états 1 et 2.

Etat initial : P1, T1 et v1

Etat final : P2, T2 et v2

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

5°) Rappeler l'expression de c_v en fonction de $\gamma$ et r

6°) On suppose que $\gamma = \text{cst}$.

En appliquant le premier principe (pour un système fermé),
Calculer, en fonction de T1 et T2, le travail échangé par le gaz. W<sub>1-2</sub>.

7°) Application numérique : $v_2= v_1/10$ ; P1 = $10^5$ Pa ; T1 = 300K ;
$\gamma = 1.4$ et r= 8,32/0,029 J/Kg/K (cas de l'air).

- Calculer la valeur de W<sub>1-2</sub>.

8°) $\gamma = cp/cv$ n'est plus constant mais dépend de T : $\gamma = gT + \gamma_0$ avec g et $\gamma_0$ deux constantes.
Calculer la nouvelle expression du travail échangé par le gaz, en fonction de $\gamma_{T1}$ et $\gamma_{T2}$.
## Compression réversible et adiabatique d'un gaz de Van Der Wall

L'équation d'état massique d'un gaz de Van Der Walls est donnée par

$$ (P + \frac{a}{v^2})(v - b) = rT $$

Ce gaz effectue une compression entre les états 1 et 2 (voir schéma ci-dessus)

$$ 9^{\circ)} \text{ Montrer que : } l = \frac{rT}{v-b} $$

On suppose que $c_v$ est constant et est toujours donné par $c_v=r/(\gamma-1)$

On cherche la relation qui relie P et v (Rappel $Pv^\gamma = K_s$ est vrai dans le cas du gaz parfait)

$$ 10^{\circ)} \text{ En exprimant que l'échange de chaleur est nul, montrer que l'on a la relation } $$

$$ T (v - b)^{\gamma - 1} = K_s'' \text{, ou } K_s'' \text{ est une constante} $$

$$ 11^{\circ)} \text{ En déduire la relation } $$

$$ (P + \frac{a}{v^2})(v - b)^\gamma = rK_s'' $$

## Réponses

### Compression réversible et adiabatique d'un gaz parfait

1°) $Pv=rT$, en utilisant les relations donnant l et k on retrouve $l=P$ et $k=-v$

$$ \begin{align*} \text{On dh=cp dT} \\ &= du+dPv=cvdT+drT \\ \implies \text{cp-cv=r} \end{align*} $$

$$ 2^{\circ)} \delta q=0 \implies cvdT+Pdv $$

$$ \delta q=0 \implies cpdT-vdP $$

$$ \implies \gamma = -v/P \quad \text{dP/dv donc } \frac{dP}{P}+\gamma \frac{dv}{v}=0 $$

$$ 3^{\circ)} \ln(P)=-\gamma \ln(v)+\text{cst} \implies \ln(Pv^{\gamma})=\text{cst} \implies Pv^{\gamma}=K_s $$

$$ 4^{\circ)} \text{ le résultat du } 2^{\circ)} \text{ ne change pas, } \frac{dP}{P}+\gamma \frac{dv}{v}=0 $$

$$ \frac{dP}{P} + (gT + \gamma_0) \frac{dv}{v} = 0 \implies vdP + (g \frac{Pv}{r} + \gamma_0) P dv = 0 $$

$$ \text{Mais } vdP=dPv-Pv $$

$$ \text{Donc } dPv + (g \frac{Pv}{r} + \gamma_0 - 1) P dv = 0 $$

$$ \text{En divisant par } Pv : \frac{dPv}{Pv} + (g \frac{Pv}{r} + \gamma_0 - 1) \frac{dv}{v} = 0 $$

$$ \text{La relation } \frac{1}{Pv} = \left[ \frac{1}{Pv} - \frac{\frac{g}{r}}{\left(\frac{g}{r}Pv + \gamma_0 - 1\right)} \right] \frac{1}{(\gamma_0 - 1)} \text{ est facile à montrer} $$

$$ \text{Pour intégrer, on écrit } \frac{dPv}{Pv(g\frac{Pv}{r}+\gamma_0-1)} = -\frac{dv}{v}, \text{ avec la relation précédente} $$

$$ \implies \frac{dPv}{Pv} - \frac{\frac{g}{r}dPv}{(g\frac{Pv}{r}+\gamma_0-1)} = -(\gamma_0 - 1)\frac{dv}{v} $$

$$ \text{En intégrant : } \ln(Pv) - \ln\left(g\frac{Pv}{r} + \gamma_0 - 1\right) = -\ln\left(v^{\gamma_0 - 1}\right) + \text{cst} $$

$$ \implies \frac{Pv^{\gamma}}{g\frac{Pv}{r}+\gamma_0-1} = K_s' \implies \frac{Pv^{\gamma}}{\gamma-1} = K_s' $$

### Calcul du travail échangé entre les états 1 et 2

$$ 5^{\circ)} \text{ cp-cv=r} \implies \text{cv=r}/(\gamma-1) $$

$$ 6^{\circ)} \text{ du=cvdT}=\delta w, \text{ en intégrant avec } cv=cst \implies w_{1-2} = c_v(T_2 - T_1) $$

$$ 7^{\circ)} \text{ A.N. : } w_{1-2} = 324,9 \ 10^3 \text{ J} $$

$$ 8^{\circ)} \text{ du= cvdT}=\delta w= r/(\gamma-1)dT, \text{ car la relation cp-cv=r est toujours vrai.} $$

$$ w_{1-2} = \int_{T_1}^{T_2} \frac{r}{\gamma-1} dT = \int_{T_1}^{T_2} \frac{r}{gT-\gamma_0-1} dT \implies w_{1-2} = \frac{r}{g} \ln\left(\frac{\gamma_2-1}{\gamma_1-1}\right) $$

### Compression réversible et adiabatique d'un gaz de Van Der Wall

$$ 9^{\circ)} = \frac{rT}{v-b} - \frac{a}{v^2}, \text{ l} = T \frac{\partial P}{\partial T} \Big|_v \implies l = \frac{rT}{v-b} $$

$$ 10^{\circ)} \delta q=c_v dT+ldv=0 \implies c_v dT=-rdv/(v-b) $$

$$ \text{Ln}(T) = -r/c_v \text{Ln}(v-b)+\text{cst}, \text{ on a } c_v=r/(\gamma-1) \implies T (v-b)^{\gamma-1} = K_s'' $$

$$ 11^{\circ)} \left(P + \frac{a}{v^2}\right) (v - b) = rT = \frac{rK_s''}{(v-b)^{\gamma-1}} \implies \left(P + \frac{a}{v^2}\right) (v - b)^{\gamma} = rK_s'' $$
## Etude de la détente de l'eau liquide dans le vide

### Questions préliminaires pour l'exercice:

Le volume massique d'un mélange liquide-vapeur est noté $v_{mél}$ et l'énergie interne $u_{mél}(X_v, T)$.
T est la température et $X_v$ le titre massique de vapeur.

-Montrer avec un raisonnement simple que $v_{mél} = (1 - X_v) v_1 + X_v v_v$ avec $v_1$ et $v_v$ les volumes massiques du liquide et de la vapeur.

_On considère que ce mélange est obtenu par chauffage à partir de l'eau liquide à $T_0$.
Exprimer $u(X_v, T)$ en fonction des paramètres d'état.

Les paramètres d'état sont définis par :

-$P_{vap}$ la pression de vapeur à la température $T$

-$c_1$ est la capacité calorifique du liquide indilatable et incompressible, $c_1$ est constant,

-$L_{vap}$ est la chaleur latente de vaporisation,

-$v_1$ et $v_v$ les volumes massiques du liquide et de la vapeur à $T$ et $P_{vap}$.

On notera $u_0$ l'énergie interne massique de l'eau liquide à $T_0$.

-Rappeler l'expression massique de la loi des gaz parfait.

### Les caractéristiques de l'eau sont rappelées ci-dessous.

- Masse molaire $M_{H_2O}=0.018$ kg,

- masse volumique de l'eau liquide $\rho_1=10^3$ kg/m3.

- La chaleur latente de vaporisation est supposée constante et égale à $L_{vap}= 2350$ kJ/kg.

- La pression de vapeur à l'équilibre est donnée par

$$ \ln(P_{vap}) = 25,083 - 5084/T \quad \text{avec } P_{vap} \text{ en Pa et } T \text{ en Kelvin.} $$

- La vapeur d'eau est un gaz parfait, et la constante massique des gaz parfaits est $r_{h2o} = 8,32/0,018$ (SI)

### Vapeur sèche et vapeur saturante de l'eau.

On introduit $m_0=1$ g d'eau liquide dans un récipient indéformable de volume $V_0=1$ litre, et initialement vide. Une partie de l'eau se vaporise et on étudie l'état d'équilibre atteint.

On note $V_v$, le volume de vapeur à l'équilibre dans le récipient et $V_1$ le volume du liquide.

1°) calculer le volume initial $V_{1,0}$ du liquide dans le récipient.

2°) La température initiale est $T_{ini}=323$ K et le récipient est maintenu à cette température.

L'objectif est de déterminer le titre en vapeur $X_v$ de l'état final.

2°-a) Quel serait le volume $V_{v,max}$ de vapeur à l'état saturé si toute l'eau liquide était vaporisée ?

Montrer qu'il reste de l'eau liquide dans le récipient en fin de détente.

Pour simplifier les calculs, on admettra que le volume occupé par la vapeur est très supérieur au volume de liquide. Avec cette hypothèse, calculer le titre massique $X_v$ de vapeur.

Faire l'application numérique.

2°-b) Montrer que si on ne néglige pas le volume du liquide, alors $X_v=(V_0-V_{1,0})/(V_{v,max} - V_{1,0})$, avec $V_{1,0}$ le volume initial du liquide dans le récipient.

Faire l'application numérique.

Dans la suite des questions, on néglige le volume occupé par le liquide devant celui de la vapeur.

2°-c) Calculer en fonction des paramètres d'état $(T, X_v)$ et $(L_{vap})$, la variation d'énergie interne de l'eau contenue dans le récipient. Faire l'application numérique.

En déduire la chaleur échangée au cours de cette transformation.
### 3°-a) La température initiale est $T_{ini}=323$ K et les parois du récipient sont adiabatiques.

On suppose que, dans l'état final, il y a du liquide et de la vapeur.

L'objectif est de déterminer la température $T_{final}$ et le titre en vapeur $X_v$ de l'état final.

Faire le bilan d'énergie de la transformation de l'eau au sein du récipient indéformable, et montrer que :

$$ (a) \quad X_v = \frac{c_l(T_0 - T_{final})}{L_{vap} - P_{vap}v_v}, \text{ ou } T_{final} \text{ est la température finale atteinte} $$

Justifier que $T_{final}<T_0$.

### 3°-b) Combien de paramètres sont inconnus dans la relation (a) ci-dessus ?

Quelle relation supplémentaire peut être écrite pour pouvoir calculer la température et le titre $X_v$ ?

Montrer que :

$$ (b) \quad V_0/m_0 = X_v v_v $$

La résolution des équations (a) et (b) n'est pas analytique. Mais on peut estimer une valeur de T (ou de $X_v$) graphiquement. Proposer et expliquer succinctement une méthode.

En appliquant une telle méthode, on trouverait $T= 32$ °C.

En déduire la valeur du titre massique $X_v$ de la vapeur en fin de détente, et comparer au résultat du 2°)
<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Réponses

-Soit une masse m<sub>mél</sub> de mélange liquide vapeur.

Il contient une masse m<sub>l</sub> de liquide et une masse m<sub>v</sub> de vapeur

Le volume du mélange est V<sub>mél</sub>, celui du liquide V<sub>l</sub> et celui de la vapeur V<sub>v</sub>

Le volume du mélange : V<sub>mél</sub>= V<sub>l</sub> + V<sub>v</sub> ====> v<sub>mél</sub> = (V<sub>l</sub> + V<sub>v</sub>)/ m<sub>mél</sub>
(Rappel, les lettres minuscules désignent des quantités massiques)

$$
v_{\text{mél}} = V_1/m_1*m_1/m_{\text{mél}} + V_v/m_v*m_v/m_{\text{mél}} \Rightarrow v_{\text{mél}} = v_1*X_1 + v_v*X_v
$$

comme on a X<sub>mél</sub>= X<sub>l</sub> + X<sub>v</sub>, on retrouve la formule

-calcul de u(T, x<sub>v</sub>) à l'aide de deux transformations :

T<sub>0</sub>, eau liquide ----> P<sub>vap</sub>, T, eau liquide ----> P<sub>vap</sub>, T, mélange liquide-vapeur

Echange par unité de masse : c(T-T<sub>0</sub>) \quad x<sub>v</sub> L<sub>vap</sub> + W<sub>vap</sub>

On montre facilement que W_{vap} = - P_{vap} (v_{mél} - v_1) = - P_{vap} x_v (v_v - v_1)

$$
\Rightarrow \Delta u = u(T, x_v) - u_0 = c(T-T_0) + x_v L_{vap} - P_{vap} x_v (v_v - v_1)
$$

$$
u(T, x_v) = u_0 + c(T-T_0) + x_v L_{vap} - P_{vap} x_v (v_v - v_1)
$$

- P<sub>v</sub>= r<sub>h2o</sub> T pour le gaz parfait, avec r=R/M, M masse molaire

Vapeur sèche et vapeur saturante de l'eau.

1) $V_{1,0} = m_0 / \rho_1 = 1 \text{ cm}^3$

$$
2^{\circ}-\text{a)} \mathrm{P}_{\text{vap}}(50^{\circ}\text{C})\mathrm{V}_{\text{v,max}}=\mathrm{r}_{\text{H}_2\text{O}}323
$$

$$
\mathrm{Ln}(\mathrm{P}_{\mathrm{vap}}) = 25,083 - 5084/T \Rightarrow \mathrm{P}_{\mathrm{vap}}(50^{\circ}\mathrm{C}) = 11,42 \ \mathrm{kPa} \Rightarrow \mathrm{V}_{\mathrm{v,max}} = 13,071
$$

V<sub>v,max</sub> > 11, il reste du liquide

$$
X_v = m_v / m_0
$$

$$
P_{vap}v_v = r_{h2o}T, \text{ avec } v_v = V_v / m_v \approx V_0 / m_v \Rightarrow P_{vap} V_0 / m_v = r_{h2o}T
$$

$$
m_v = P_{vap}V_0 / (r_{h2o}T) \Rightarrow V_v = 7,65\%
$$

$$
2^{\circ}-\text{b)} m_{1}=m_{0}-m_{v}
$$

$$
V_0 = V_1 + V_v = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{r_{h2o} T m_v}{P_{vap}} = \frac{m_0 - m_v}{\rho_1} + \frac{r_{h2o} T m_v}{P_{vap}}
$$

$$
[V_0 - m_0 / \rho_1] = [r_{h2o} T / P_{vap} - 1 / \rho_1] m_v
$$

$$
[V_0 - m_0 / \rho_1] = [m_0 r_{h2o} T / P_{vap} - m_0 / \rho_1] X_v \Rightarrow \text{formule retrouvée}
$$

A.N.: X<sub>v</sub>= 7,65%, même résultat que précédemment

$$
2^{\circ}-\text{c)} \Delta U=m_{0}[u_{f}-u_{i}]=m_{0}[u(T,X_{v})-u_{l}(T)]
$$

$$
\Delta U = m_0 X_v [L_{vap} - r_{h2o}T], \text{ avec } v_1 \ll v_v
$$

$$
\Delta U = Q, \text{ car il n'y a pas de travail échangé } \Rightarrow Q = 168 \text{ J (apport de chaleur)}
$$

$$
3^{\circ}-\text{a)} \text{le système de masse m}0 \text{ dans le volume } V0 \text{ est adiabatique et indéformable}
$$

$$
\Delta U = 0 \Rightarrow U_f = U_i
$$

$$
u_0 + c(T_{\text{final}} - T_0) + X_v L_{\text{vap}} - P_{\text{vap}}(T_{\text{final}})X_v (v_v - v_1) = u_0
$$

$$
\Rightarrow X_v = [c(T_0 - T_{\text{final}})] / [L_{\text{vap}} - P_{\text{vap}}(T_{\text{final}}) (v_v - v_1)]
$$

Si on admet $v_1 \ll v_v$, $P_{vap}(T_{final}) v_v = r_{h2o} T_{final}$,

On ne connait pas $T_{final}$, mais l'ordre de grandeur de ($r_{h2o}T_{final}$) =149,3 $10^3$ avec $T_{final}=323\text{K}$

$$
L_{\text{vap}} = 2350 \ 10^3 \text{ J/kg} > r_{\text{h2o}} T_{\text{final}}
$$

Comme $X_v>0$, on en déduit $T_{final} < T_0$

$$
3^{\circ}-\text{b)} \text{Il y a 2 inconnues : } T_{\text{final}} \text{ et } X_v, \text{ car on connait la relation } P_{\text{vap}}=P_{\text{vap}}(T).
$$

$$
\text{Pour résoudre l'équation (a), il faut une relation supplémentaire } V_0 = V_v \text{ (en négligeant } V_l).
$$

En divisant par m₀, on obtient : V₀/ m₀=X₀ V₀

Pour résoudre les relations (a) et (b), afin de trouver $T_{\text{final}}$ et $X_v$, on utilise une méthode graphique.

$$
\text{On a } X_v = [c(T_0 - T_{\text{final}})] / [L_{\text{vap}} - r_{h2o}T_{\text{final}}], \text{ or on a } X_v = V_0 / (m_0 v_v)
$$

$$
\text{On obtient: } v_v = V_0 / (m_0 [L_{\text{vap}} - r_{\text{h2o}}T_{\text{final}}] / [c(T_0 - T_{\text{final}})]) \quad (1)
$$

Et on a aussi : $v_v=r_{h2o}T_{final}/P_{vap}(T_{final})$ (2)

On trouverait $T_{final} = 32^{\circ}\text{C} = 305 \text{ K}$

A.N. : $X_v=3,2\% < \text{cas précédent, ce qui est logique car}$

On n'a pas apporté de chaleur

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
# INSA de Rouen

## Département Energétique et propulsion

## Enseignement Thermodynamique et Machines Thermiques (A. Coppalle)

### Vaporisation et Condensation de l'eau dans une enceinte munie d'un piston mobile

Données pour l'eau

La vapeur d'eau est considérée comme un gaz parfait.

Le volume massique de l'eau liquide est constant et égale à $v_1=10^{-3}$ (SI)

On prendra $Lvap= 2450$ kJ/Kg,

La constante massique des gaz parfait pour l'eau $r_{h2o} = 8,32/0,018$ (SI) et La pression de vapeur saturante est donnée par :

$$ \ln(P_{vap}/ P^{0}_{vap}) = (1/T_{0}-1/T) L_{vap}/ r_{h2o} \text{, P doit être en atm et T en K} $$

avec $P^{0}_{vap}=1$ atm et $T_0=373$ K

$1 \text{ atm} = 1,013 \ 10^{5} \text{ Pa.}$

### Etude de la vaporisation ou de la liquéfaction d'une masse d'eau enfermée dans un cylindre muni d'un piston mobile.

Piston mobile permettant de diminuer ou d'augmenter le volume du cylindre

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Pression extérieure

Ambiante : 1 atm

Température extérieure

Ambiante : $T_{amb}=20^{\circ}\text{C}$

Le dispositif est représenté par le schéma ci-contre.

Le piston mobile est muni d'une poignée pour le faire descendre ou monter, ce qui permet de diminuer ou d'augmenter le volume interne de l'enceinte.

Celle-ci contient initialement une masse m d'eau sous forme liquide et vapeur.

Le mélange dans le cylindre est initialement en équilibre à la température $T_1=100^{\circ}\text{C}$, et donc à la pression $P_1=1$ atm.

La masse m est égale à 1Kg et le titre initial de vapeur est $x_{v1}=0,5$.

La vapeur d'eau est considérée comme un gaz parfait dont la constante massique est égale à

$$ r_{h2o} = 8,32/0,018 \text{ (SI).} $$

Calculer la valeur numérique du volume initial $V_1$ du cylindre

### les parois du cylindre ne laissent pas passer la chaleur

**On pousse le piston mobile** (le volume interne du cylindre diminue).

La transformation est très lente de telle sorte que le mélange est toujours à l'équilibre thermodynamique.

On arrête le piston quand la pression finale est de 2 atm et on constate qu'il existe toujours un mélange liquide vapeur.

1°-a) Calculer la température finale $T_f$ du mélange.

Faire l'application numérique.

1°-b) Soit $s_{mél}(T,x_v)$, l'entropie massique du mélange liquide vapeur à la température T et avec un titre de vapeur $x_v$. En partant d'une masse m d'eau liquide à $T_0$ d'entropie massique so, donner la relation qui existe entre $s_{mél}$, T, $x_v$, $L_{vap}$ et $c_1$ (la capacité calorifique de l'eau liquide).

On supposera que chaleur latente de vaporisation $L_{vap}$ et $c_1$ la capacité calorifique de l'eau liquide sont constantes et connues.

1°-c) en déduire le titre de vapeur $x_{vf}$ à la fin de la compression.

Donner la valeur numérique du ce titre sachant que $Lvap= 2450 \ 10^3$ (SI) et $c_1=4,18 \ 10^3$ (SI)

1°-d) Soit $u_{mél}(T,x_v)$, l'énergie interne du mélange liquide vapeur à la température T et avec un titre de vapeur $x_v$. En partant d'une masse m d'eau liquide à $T_0$ et d'énergie interne $u_0$, donner la relation qui existe entre $u_{mél}$, T et $x_v$, sachant que $Lvap$, $c_1$ et $v_1$ sont constants et connus.

Dans cette formule, on pourra négliger le volume massique $v_1$ de l'eau liquide devant celui de la vapeur $v_v$.
1°-e) En déduire le travail effectuer pour comprimer le mélange liquide vapeur faire l'application numérique

les parois du cylindre laissent passer la chaleur
On laisse le piston bouger librement

2°-a) Que va-t-il se passer quand on laisse le cylindre évoluer à la température ambiante ? En particulier comment évoluent pendant les premiers instants la pression et le titre de vapeur à l'intérieur du cylindre ?

2°-b) Que va-t-il se passer au bout d'un certain temps ?

On suppose que la chaleur perdue par unité de temps par le dispositif est constante et égale à 1500 W. Au bout de combien de temps le piston ne bouge plus ? On prendra pour la chaleur latente de vaporisation.
Réponses

$$
V_i = V_{i,1} + V_{i,v} = [(1 - X_v)v_1 + X_v v_v(T_i)]m
$$

La vapeur est un gaz parfait: v<sub>v</sub>=r<sub>H2O</sub>Ti/P<sub>vap</sub>(Ti), P<sub>vap</sub>(Ti), 1,013 10<sup>5</sup> Pa====> v<sub>v</sub>=1,702 m<sup>3</sup>/kg

On a $X_v=0,5$, donc $V_i=0,851 \text{ m}^3$. (Rq $V_i \approx V_{i,v}$)

les parois du cylindre ne laissent pas passer la chaleur

1°-a) état final: mélange liquide vapeur, donc $\ln(P_{\text{vap}}/1) = (1/373-1/T_f) L_{\text{vap}}/r_{\text{h2o}}$

$$
P_{\text{vap}}=2 \text{ atm } \Rightarrow T_f= 392,1 \text{ K}
$$

1°-b) calcul de s(T, x<sub>v</sub>) à l'aide de deux transformations :

T0, eau liquide ----> Pvap, T, eau liquide ----> Pvap, T, mélange liquide-vapeur Xv

$\Delta s$ par unité de masse : $c_l \ln(T/T_0)$

$$
x_v L_{\text{vap}}(T)/T
$$

Avec les deux même transformations, on trouvera pour s(T, x<sub>v</sub>)

$$
s(T, x_v) = s_0 + c_l \ln(T/T_0) + x_v L_{\text{vap}}(T)/T
$$

1°-c) Transformation adiabatique et réversible: Δs=0

$$
\Rightarrow c_l \ln(T_i/T_0) + x_{vi} L_{vap}/T_i = c_l \ln(T_f/T_0) + x_{vf} L_{vap}/T_f
$$

On obtient $c_l \ln(T_f/T_i)/L_{vap}(T_i)/T_i = x_{vi}/T_i - x_{vf}/T_f$

$$
\text{A.N. : } x_{\text{vf}}=49,2\%
$$

1°-d) calcul de u(T, x<sub>v</sub>) à l'aide de deux transformations :

T0, eau liquide ----> Pvap, T, eau liquide ----> Pvap, T, mélange liquide-vapeur

Echange par unité de masse : c<sub>1</sub> (T-T0)

$$
x_v L_{\text{vap}} + W_{\text{vap}}
$$

On montre facilement que $W_{\text{vap}} = - P_{\text{vap}} (v_{\text{mél}} - v_1) = - P_{\text{vap}} x_v (v_{\text{v}} - v_1)$

$$
\Rightarrow \Delta u = u(T, x_v) - u_0 = c_l (T-T_0) + x_v L_{vap} - P_{vap} x_v (v_v - v_1)
$$

$$
u(T, x_v) = u_0 + c_l (T-T_0) + x_v L_{vap} - P_{vap} x_v (v_v - v_1)
$$

$$
\approx u_0 + c_l (T-T_0) + x_v L_{vap} - X_v r_{H2O} T
$$

1°-e) ΔU=mΔu=Δu(m=1 kg, d'après l'énoncé)

$$
\Delta U = W \Rightarrow W = c_1 (T_f - T_i) + (X_{v_f} - X_{v_i}) L_{vap} + r_{H2O} (X_{v_f} T_f - X_{v_i} T_i) = 75 \text{ kJ}
$$

les parois du cylindre laissent passer la chaleur

2°-a) Le mélange liquide/vapeur perd de la chaleur. Tant qu'il y a un mélange, P=P<sub>vap</sub>=1atm et la température (=100°C) ne change pas. Par contre le titre diminue. Le piston descend.

2°-b) Au fur et à mesure des échanges de chaleur avec l'extérieur, le piston descend. Quand il ne reste plus de vapeur, le piston ne bouge plus.

$$
\Delta U/\Delta t = -1500 \text{ W} = m[(X_{vf} - X_{vi})L_{vap} + r_{H2O}(X_{vf} - X_{vi})T], \text{ avec } T=373 \text{ K}
$$

$$
\Rightarrow \Delta t = 759 \text{ s}
$$
EQUATION D'ETAT POUR UN GAZ REEL

Des mesures ont montré que pour un gaz les coefficients $\alpha$ (dilatation isobare) et $\chi$ (compressibilité iotherme) sont données par:

$$ \alpha = \frac{1}{V} \frac{\dot{Z}V}{\dot{Z}T_p} = \frac{A}{A T + B P} \qquad \chi = \frac{1}{V \dot{Z} P_T} = \frac{1}{P} - \frac{1}{A T + B P} \text{, A et B sont des constantes connues.} $$

-Montrer que l'équation d'état du gaz est donnée, pour une mole, par

$$ PV=RT+ (BR/A) P $$

ou R est la constante des gaz parfaits. Pour établir cette relation, on se rappellera que le gaz se comporte comme un gaz parfait aux faibles pressions. (PV--- > RT quand P--- > 0).

Réponse

Rappel

L'équation d'état d'un fluide dilatable et compression est donnée par la relation f(P,T,V)=0.

C'est une surface dans l'espace (P,T,V)

Elle peut aussi s'exprimer sous la forme PV= PV(P,T). P et T sont alors les deux variables indépendantes servant à caractériser le fluide.

$$ \text{On } dV = \left. \frac{\delta V}{\delta T} \right|_P dT + \left. \frac{\delta V}{\delta P} \right|_T dP = \alpha V dT - \chi V dP = \frac{AV}{AT+BP} dT - \left( \frac{1}{P} - \frac{B}{AT+BP} \right) V dP $$

$$ \text{On intègre par rapport à T le terme end t: } \frac{dV}{V} = \frac{A}{AT+BP} dT $$

$$ \text{On obtient } Ln(V) = Ln(AT+BP) + g(P) $$

$$ \left. \frac{\delta LnV}{\delta P} \right|_T = \frac{B}{AT+BP} + \left. \frac{\delta g(P)}{\delta P} \right|_T = V \left[ \frac{B}{AT+BP} + \frac{\delta g(P)}{\delta P} \right] \\ - \chi V = - \frac{1}{P} + \frac{B}{AT+BP} = V \left[ \frac{B}{AT+BP} + \frac{\delta g(P)}{\delta P} \right] = \frac{\delta g(P)}{\delta P} = - \frac{1}{P} = \Rightarrow g(P) = Ln(P) + \text{cst} $$

$$ \text{On obtient pour } Ln(V): Ln(V) = Ln(AT+BP) - Ln(P) + \text{cst} $$

$$ \text{Ce qui s'écrit : } Ln(V) = Ln[(AT+BP)/P] + Ln(cst') $$

$$ \text{Soit } PV = (AT+BP)cst' $$

$$ \text{Si } P \text{--- > 0, } PV = ATcst' \text{, mais on a un gaz parfait } PV=RT \text{, on obtient } cst'=R/A $$

$$ \text{L'équation d'état est: } PV = RT + BR/A \text{ P} $$

Rq: le coefficient calorifique 1 de ce gaz est égal à celui du gaz parfait.
# Etude thermodynamique d'un fil métallique

Soit un fil métallique de section s, de longueur L, qui est soumis à une traction f.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

On donne :

le coefficient de dilatation thermique (linéaire)

$$ \alpha = \left. \frac{1}{L_0} \frac{\partial L}{\partial T} \right|_P \text{ supposé constant ;} $$

le module d'Young

$$ E_T = \left. \frac{L_0}{s} \frac{\partial f}{\partial L} \right|_T \text{ supposé constant.} $$

T est la température, L0 la longueur 'à vide' du fil (quand f=0). La section s est constante.

La masse volumique du fil est ρ.

On décide de choisir les variables T et f pour caractériser l'état thermodynamique du fil.

Rappel : Le travail élémentaire échangé par le fil pour un déplacement dL est δW= f dL.

1) Montrer, à l'aide du premier principe, que la fonction thermodynamique $G=U-fL-TS$ est bien la fonction énergétique associée aux variables T et f. (Il est recommandé de calculer et de donner sa différentielle)

2) Soit δQ la chaleur échangée. On pose δQ= m cf dT + Kdf avec m la masse du fil
- A l'aide des fonctions G et de S, montrer que :

$$ K = T \left. \frac{\partial L}{\partial T} \right|_f $$

3) En déduire l'expression de K en fonction de T, α et L0.

4) En vous aidant de la différentielle de la fonction L=L(T,f), montrer que l'équation d'état est donnée par

$$ L=L0(1+\alpha(T-T0)+f/(E_T s)) ; $$

L0 est la longueur 'à vide' à la température T0.

5) montrer que cf est indépendant de f.

6) On réalise une traction adiabatique réversible de Δf=40 N.

- Calculer la variation de température ΔT qui est apparaît lors de cette transformation
Faire l'application numérique.

Pour les applications numériques:T0= 20°C, ρ=8 10³ ; α= 1,2 10⁻⁵ ; s= 10⁻⁶ ; cf=460; (SI)
## Etude thermodynamique d'un fil élastique

Soit un fil caoutchouc de section s, de longueur L, auquel on fait subir des tractions f.

Par rapport au cas du fil métallique, la section s ne peut plus être considérée comme constante.

On définit le coefficient de dilatation thermique (linéaire) α et le module d'Young E<sub>T</sub>.

$$ \alpha = \left. \frac{1}{L_0} \frac{\partial L}{\partial T} \right|_P ; E_T = L_0 \left. \frac{\partial \sigma}{\partial L} \right|_T \text{ avec } \sigma=f/s \text{ la contrainte} $$

Les propriétés de l'élastomère sont telles que E<sub>T</sub> n'est pas constant et il dépend à la fois de T et de la longueur L.

$$ E_T = 10^4 T (1 + 2 \left(\frac{L_0}{L}\right)^3) $$

1°) calculer la contrainte σ en fonction de T, L et L₀.

2°) En supposant que la contrainte σ qui est appliquée reste constante, calculer l'expression littérale de la variation de la longueur δL quand la température varie de δT.

- Quel est le phénomène auquel on assiste quand on chauffe le fil (δT>0)?

## Réponses

Rq : ces deux exercices ont pour but de faire travailler sur des systèmes utilisant d'autres variables d'état que (T,P) ou (T,V)

### Etude thermodynamique d'un fil métallique

1°) G=U-fL-TS==> dG=-SdT-Ldf, G=G(T,f)

2°) dS= m c<sub>f</sub> dT/T+K df/T, avec la relation précédente et en se rappelant que dG et dS sont des différentielles totales exactes :

$$ K = T \left. \frac{\partial S}{\partial f} \right|_T \text{ et } \left. \frac{\partial S}{\partial f} \right|_T = \left. \frac{\partial L}{\partial T} \right|_F \Rightarrow K = T \left. \frac{\partial L}{\partial T} \right|_F $$

3°) K=T α L₀

4°) dL = ∂L/∂T ∣ₜ dT + ∂L/∂f ∣ₜ df = L₀ α dT + L₀/(sEₜ) df

Comme α, s et E<sub>T</sub> sont constants, l'intégration est directe et on retrouve l'équation d'état.

5°) dS= m c<sub>f</sub> dT/T+K df/T,

$$ dS \text{ est une différentielle totale exacte : } m \left. \frac{\partial c_f}{\partial f} \right|_T = \left. \frac{\partial K}{\partial T} \right|_F \Rightarrow \left. \frac{\partial c_f}{\partial f} \right|_T = 0 $$

6°) dS= 0 ===> dT/T = - α L₀/ (m c<sub>f</sub>) df ===> Ln(1+ΔT/T₀) = - α L₀/ (m c<sub>f</sub>) Δf, ΔT≈ - α T₀/(ρ s c<sub>f</sub>) Δf= -3,8 10⁻² °C

### Etude thermodynamique d'un fil élastique

1°) E<sub>T</sub> = 10<sup>4</sup>T[1 + 2(L/L<sub>0</sub>)<sup>3</sup>] donc ∂σ/∂L|<sub>T</sub> = 10<sup>4</sup>T(L/L<sub>0</sub>)<sup>3</sup>

$$ \text{On intègre à T=cst ===> } \sigma = 10^4 T \left[ \frac{L}{L_0} - \left( \frac{L}{L_0} \right)^2 \right] + \varphi(T) $$

$$ \text{Quand } L=L_0 \text{ on f=0 donc } \varphi(T)=0, \sigma = 10^4 T \left[ \frac{L}{L_0} - \left( \frac{L}{L_0} \right)^2 \right] $$

2°) dσ =0 ===> $\frac{\delta L}{L}$ = - $\frac{\left[ \left( \frac{L}{L_0} \right)^3 - 1 \right]}{\left[ \left( \frac{L}{L_0} \right)^3 + 2 \right]} \frac{\delta T}{T}$

Si δT>0 ===> δL<0, le fil se raccourcit.

Rq : le coefficient de dilatation thermique α ne peut plus être considéré constant, comme dans

$$ \text{le cas du fil métallique. On montre que } \alpha = \left. \frac{1}{E_T} \frac{\partial \sigma}{\partial T} \right|_L \text{ avec } \left. \frac{\partial \sigma}{\partial T} \right|_L = 10^4 \left[ \frac{L}{L_0} - \left( \frac{L}{L_0} \right)^2 \right] $$
## Fuite d'un réservoir d'ammoniac liquide

### Questions de cours

1°) Soit un système ouvert à plusieurs entrées ou sorties.

On néglige les énergies cinétiques et de pesanteur.

Certaines parties du système sont mobiles et reliées à un axe
sur lequel on récupère du travail utile $W^u$.

En appliquant le 1er principe,

montrer que la variation d'énergie interne $dU$ du système pe

est donnée par $dU = \partial W^u + \partial Q + \sum_j h_j dm_j$

avec $\delta W^u$ le travail utile et $\delta Q$ la chaleur échangés par le système pendant $dt$.

$h_j$ est l'enthalpie du fluide dans les conditions de l'entrée/sortie J.

2°) Le système est à une entrée 1 une sortie 2. Si le système est dans un régime permanent, c'est-à-dire que
son énergie interne $U$ ne varie pas, *Montrer que dans ce cas*

$\delta h_{1-2} = \delta q_{1-2} + \delta w_{1-2}^u$ avec $\delta h_{1-2}$ la variation d'enthalpie de l'unité de masse du fluide qui rentre en 1 et sort en 2.
(les grandeurs en minuscule sont massique)

### Etude d'une fuite d'un réservoir d'ammoniac liquide

Un réservoir contient sous la pression $P_0$ de l'ammoniac liquide à $T_0=290$ K. Le liquide est en équilibre avec sa vapeur.

Une brèche permet au liquide de s'échapper brutalement du réservoir. A la sortie de la brèche il existe
dans l'atmosphère deux zones:

- 1ère zone: A la sortie de la brèche il se forme un **jet** qui contient de l'ammoniac liquide mais aussi de l'ammoniac gazeux qui résulte de la vaporisation rapide du liquide qui sort du réservoir. Dans cette zone, l'air n'a pas le temps de se mélanger à l'ammoniac.

- 2ème zone: il se développe ensuite un écoulement en forme de **nuage** dans lequel l'air est entraîné. Les gouttes d'ammoniac vont donc peu à peu s'évaporer.

Le dessin ci-dessous est une représentation des phénomènes qui se produisent à la sortie de la brèche.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Dans tout le problème on considère que :

- Les phénomènes sont stationnaires,

- la pression dans le jet et dans le nuage est constante et égale à $P_{atm}=1,013$ bar

- la vapeur d'ammoniac et l'air sont des gaz parfaits.

Pour connaitre les caractéristiques de l'ammoniac, on utilisera le tableau fourni ci-dessous.

Entrée ou sortie J

Pression Pj

Température Tj

Volume massique vj

$dmj$ : masse échangée pendant

<figure><img src="image_10.png" /></figure>
1°) Question indépendante sur la validité des données du tableau fourni.

Les variations de pression de vapeur saturante P<sub>vap</sub> en fonction de la température sont données par la relation de Clapeyron

$$
\frac{dP_{\text{vap}}}{dT} = \frac{L}{v_g T},
$$

ou L est la chaleur latente de vaporisation et v<sub>g</sub> le volume massique du gaz. Les variations de L avec la température sont données par la loi empirique suivante

$$
L = 2173 \ 10^3 - 3.35 \ 10^3 \ T(K) \ (\text{SI}).
$$

- Vérifier la validité de cette relation en comparant les valeurs qu'elle fournit à celles données dans le tableau ci-dessous pour T= 240 K et T = 290 K. (Rappel 1 cal=4,18 J)

- Donner l'expression des variations de P<sub>vap</sub> en fonction de T, on prendra comme état de référence l'état d'équilibre à 290 K. (r= 489, SI)

2°) quel est la pression P0 dans le réservoir?

3°) Calcul de la vaporisation rapide. On suppose que l'expulsion du liquide, hors du réservoir, est très rapide et donc adiabatique. On suppose aussi que l'état final (en 1) est un mélange de gouttes et de vapeur en équilibre.

- Quelle est la température finale T1 de cette zone?

- calculer la fraction massique X<sub>v1</sub> de vapeur d'ammoniac formée à la fin de cette zone. Pour cela, on utilisera uniquement les paramètres dont les valeurs sont disponibles dans le tableau fourni.

Faire l'application numérique.

4°) Etude du nuage. Au début du nuage (en 1), il y a donc un mélange d'ammoniac gazeux et liquide. Progressivement de l'air, à la température T<sub>amb</sub>, rentre dans le nuage. A la fin du nuage (en 2) il n'y a plus de gouttes d'ammoniac.

On appelle X<sub>air</sub> la fraction massique de l'air en 2 et X<sub>v2</sub> celle de l'ammoniac.

- Quelle est la relation entre X<sub>air</sub> et X<sub>v2</sub>?

- Faire le bilan enthalpique de ce nuage.

On donne les caractéristiques de l'air, C<sub>p,air</sub>=10<sup>3</sup> J/kg/K et T<sub>air</sub>=293 K.

5°) Si le nuage reste à température constante (T1=T2), montrer que la fraction massique de l'air en 2 est donnée par :

$$
X_{\text{air}}^{0} = \frac{[h_{v}(T1) - h_{v}(T0)]}{[c_{p}(Tamb - T1) + h_{v}(T1) - h_{v}(T0)]}
$$

- Montrer que si X<sub>air</sub> est inférieure à X<sub>air</sub><sup>0</sup> alors T<sub>2</sub> est inférieur à T<sub>1</sub>, le nuage se refroidit en même temps que les gouttes se vaporisent.

- Comment expliquer ce dernier phénomène?

équilibre liquide-vapeur

(pour chaque grandeur le premier nombre est relatif au
liquide, le deuxième nombre est relatif à la vapeur)

ρ = masse volumique (kg.m⁻³)

h = enthalpie (kcal.kg⁻¹)

§ = entropie (kcal.kg⁻¹.K⁻¹)

L'enthalpie et l'entropie sont nulles pour le cristal parfait au
zéro absolu et à une atmosphère.

<table>
  <thead>
    <tr>
      <th>T (K)</th>
      <th>P (bar)</th>
      <th>ρ</th>
      <th>h</th>
      <th>$</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td rowspan="2">230</td>
      <td rowspan="2">0,6061</td>
      <td>693,8</td>
      <td>182,54</td>
      <td>1,1743</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,5513</td>
      <td>516,32</td>
      <td>2,6256</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2">239,74</td>
      <td rowspan="2">1,01325</td>
      <td>682</td>
      <td>192,95</td>
      <td>1,2178</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,86</td>
      <td>519,86</td>
      <td>2,5816</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2">240</td>
      <td rowspan="2">1,0258</td>
      <td>681,55</td>
      <td>193,22</td>
      <td>1,2189</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,9009</td>
      <td>519,96</td>
      <td>2,5804</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2">250</td>
      <td rowspan="2">1,6536</td>
      <td>669,0</td>
      <td>203,97</td>
      <td>1,2629</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1,409</td>
      <td>523,66</td>
      <td>2,5417</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2">260</td>
      <td rowspan="2">2,559</td>
      <td>656,1</td>
      <td>214,83</td>
      <td>1,3052</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2,121</td>
      <td>527,07</td>
      <td>2,5059</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2">270</td>
      <td rowspan="2">3,819</td>
      <td>642,7</td>
      <td>225,87</td>
      <td>1,3463</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3,094</td>
      <td>530,06</td>
      <td>2,4730</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2">280</td>
      <td rowspan="2">5,518</td>
      <td>629,2</td>
      <td>236,96</td>
      <td>1,3862</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4,387</td>
      <td>532,70</td>
      <td>2,4425</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2">290</td>
      <td rowspan="2">7,753</td>
      <td>614,9</td>
      <td>248,30</td>
      <td>1,4255</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6,076</td>
      <td>534,93</td>
      <td>2,4137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2">300</td>
      <td rowspan="2">10,624</td>
      <td>599,9</td>
      <td>259,69</td>
      <td>1,4637</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8,244</td>
      <td>536,58</td>
      <td>2,3867</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2">310</td>
      <td rowspan="2">14,249</td>
      <td>584,5</td>
      <td>271,25</td>
      <td>1,5013</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11,02</td>
      <td>537,69</td>
      <td>2,3608</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2">320</td>
      <td rowspan="2">18,73</td>
      <td>568,1</td>
      <td>283,06</td>
      <td>1,5383</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>14,51</td>
      <td>538,69</td>
      <td>2,3350</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2">330</td>
      <td rowspan="2">24,22</td>
      <td>550,8</td>
      <td>295,15</td>
      <td>1,5747</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>18,92</td>
      <td>538,57</td>
      <td>2,3121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td rowspan="2">340</td>
      <td rowspan="2">30,82</td>
      <td>532,4</td>
      <td>307,66</td>
      <td>1,6105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>24,47</td>
      <td>537,52</td>
      <td>2,2875</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# Réponses

## Questions de cours

1°) Démonstration faite en cours. Raisonnement que les élèves doivent comprendre et savoir

2°) Démonstration faite en cours. Raisonnement que les élèves doivent comprendre et savoir

## Etude d'une fuite d'un réservoir d'ammoniac liquide

1°) Question indépendante :

$T= 240$ K, alors $L= 1369$ kJ/kg, valeur lue dans le tableau $L_{Tab}= hv-hl=1366$ kJ/kg

$T= 290$ K, alors $L= 1201$ kJ/kg, valeur lue dans le tableau $L_{Tab}= 1198$ kJ/kg

==> bon accord entre les valeurs

$$ \frac{dP}{dT} = \frac{L P}{r T^2} \\ \Rightarrow \text{si on pose } L=A+BT, \text{ on obtient } L n \left( \frac{P}{P_{ref}} \right) = - \frac{A}{r T} + \frac{A}{r T_{ref}} + \frac{B}{r} L n \left( \frac{T}{T_{ref}} \right) $$

$$ T_{ref}=290 \text{ K, } P_{ref}=7,75 \text{ bar} $$

2°) $P0= 7,75$ bar $= 7,75 \times 10^5$ Pa

3°) Si $P1= 1,013$ bar, alors $T1=240$ K d'après le tableau fourni

On applique le 1er principe pour un système ouvert au cas du jet de liquide qui est sorti du réservoir.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Sortie s Le jet est un système ouvert adiabatique et sans travail utile :
$hs=he$

En régime permanent : $m_e = m_s$ (kg/s) et donc pas d'entrée d'air.

Pendant dt, si on a une masse de liquide $\delta m_l$ qui sort du réservoir, il y aura en sortie du jet

$\delta m_l X_{v1}$ masse de vapeur

$\delta m_l (1-X_{v1})$ masse de liquide, avec $X_{v1}$ la teneur en vapeur

L'application de la relation $hs=he$ donne :

$$ \delta m_l h_l(T0, P0) = \delta m_l X_{v1} h_l(T1, P_{atm}) + \delta m_l (1 - X_{v1}) h_v(T1, P_{atm}) $$

$$ 
\Rightarrow X_{v1} = \frac{h_l(T0,P0) - h_l(T1,P_{atm})}{h_v(T1,P_{atm}) - h_l(T1,P_{atm})}
$$

$$ \text{A.N. : } X_{v1} = \frac{248,3 - 192,95}{519,86 - 192,95} = 16,9 \% $$

4°)

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Le nuage est un système ouvert à deux entrées et une sortie, sans échange de chaleur ni travail utile

**A priori $T2$ et Tamb sont différents**

$$ X_{air} + X_{v2} = 1 $$

Pendant dt, on définit $\delta m_l$ une quantité de matière qui rentre en 1, et $\delta m_{air}$ quantité d'air qui rentre dans le nuage

Enthalpie pour les entrées du système 'nuage':

$$ \delta m_{l} [(1 - X_{v1})h_{l}(T1) + X_{v1}h_{v}(T1)] + \delta m_{air} h_{air}(T_{amb}) $$

Enthalpie pour la sortie du système 'nuage':

$$ \delta m_{vap,2} h_v(T2) + \delta m_{air} h_{air}(T2), \text{ Rq : toutes les enthalpies sont prises à } P=P_{atm} $$

$$ \text{On a : } \delta m_{vap,2} = \delta m_1 = X_{v2}(\delta m_{air} + \delta m_1), $$

$$ \text{et } \delta m_{air} = X_{air}(\delta m_{air} + \delta m_1), $$

le bilan enthalpique du nuage :

$$ X_{v2}[(1 - X_{v1})h_{l}(T1) + X_{v1}h_{v}(T1)] + X_{air}h_{air}(T_{amb}) = X_{v2}h_{v}(T2) + X_{air}h_{air}(T2) $$

$$ \text{Avec le résultat du 3°), on a } (1 - X_{v1})h_{l}(T1) + X_{v1}h_{v}(T1) = h_{l}(T0) $$

Le bilan enthalpique devient :

$$ X_{v2} h_{l}(T0) + X_{air} h_{air}(T_{amb}) = X_{v2} h_{v}(T2) + X_{air} h_{air}(T2) $$

Pour l'enthalpie de l'air, on prend $h_{air}(T) = c_{p,air} T$, c.a.d que l'origine des enthalpies est à 0 K,
pour être cohérent avec l'origine des enthalpies de NH3 données dans le tableau.

Le bilan enthalpique devient :

$$X_{v2} h_{l}(T0) + X_{air} C_{p,air} T_{amb} = X_{v2} h_{v}(T2) + X_{air} C_{p,air} T2$$

Cette relation peut être utilisée pour calculer $X_{air}$ ou $T2$. Mais ces deux variables sont couplées et elle dépendent de la taille du nuage que l'on considère.

5°) Si on considère $T2 \approx T1$, cela veut dire que l'on ne s'intéresse qu'à la première partie du nuage, pour laquelle seule l'évaporation des gouttes de NH3 se produit, sans le réchauffement du nuage lui-même.

-En remplaçant $T2$ par $T1$ et $X_{v2}$ par $1-X_{air}$ dans le bilan enthalpique, on obtient la relation recherchée.

-Si $X_{air} < X^{0}_{air}$ : Il n'y a pas assez de chaleur apportée par l'air pour évaporer à température constante les gouttes de NH3. Pour que les gouttes s'évaporent, l'énergie nécessaire est prise aux gouttes elles-mêmes qui donc se refroidissent.

-Pourquoi les gouttes se vaporisent alors qu'elles se refroidissent en même temps?

C'est l'effet de la dilution de NH3 autour des gouttes et donc de la perturbation de l'équilibre liquide/vapeur. En effet $Patm= Pair + P_{NH3}$. Si Pair augmente, $P_{NH3}$ diminue et devient inférieur à $P_{vap,NH3}(T)$, donc la goute se vaporise et refroidit.
équilibre liquide-vapeur

(pour chaque grandeur le premier nombre est relatif au liquide, le duxième nombre est relatif à la vapeur)

ρ = masse volumique (kg.m⁻³)

h = enthalpie (kcal.kg⁻¹)

§ = entropie (kcal.kg⁻¹.K⁻¹)

L'enthalpie et l'entropie sont nulles pour le cristal parfait au zéro absolu et à une atmosphère.

<table><thead><tr><th>T (K)</th><th>P (bar)</th><th>ρ</th><th>h</th><th>§</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">230</td><td rowspan="2">0,6061</td><td>693,8</td><td>182,54</td><td>1,1743</td></tr><tr><td>0,5513</td><td>516,32</td><td>2,6256</td></tr><tr><td rowspan="2">239,74</td><td rowspan="2">1,01325</td><td>682</td><td>192,95</td><td>1,2178</td></tr><tr><td>0,86</td><td>519,86</td><td>2,5816</td></tr><tr><td rowspan="2">240</td><td rowspan="2">1,0258</td><td>681,55</td><td>193,22</td><td>1,2189</td></tr><tr><td>0,9009</td><td>519,96</td><td>2,5804</td></tr><tr><td rowspan="2">250</td><td rowspan="2">1,6536</td><td>669,0</td><td>203,97</td><td>1,2629</td></tr><tr><td>1,409</td><td>523,66</td><td>2,5417</td></tr><tr><td rowspan="2">260</td><td rowspan="2">2,559</td><td>656,1</td><td>214,83</td><td>1,3052</td></tr><tr><td>2,121</td><td>527,07</td><td>2,5059</td></tr><tr><td rowspan="2">270</td><td rowspan="2">3,819</td><td>642,7</td><td>225,87</td><td>1,3463</td></tr><tr><td>3,094</td><td>530,06</td><td>2,4730</td></tr><tr><td rowspan="2">280</td><td rowspan="2">5,518</td><td>629,2</td><td>236,96</td><td>1,3862</td></tr><tr><td>4,387</td><td>532,70</td><td>2,4425</td></tr><tr><td rowspan="2">290</td><td rowspan="2">7,753</td><td>614,9</td><td>248,30</td><td>1,4255</td></tr><tr><td>6,076</td><td>534,93</td><td>2,4137</td></tr><tr><td rowspan="2">300</td><td rowspan="2">10,624</td><td>599,9</td><td>259,69</td><td>1,4637</td></tr><tr><td>8,244</td><td>536,58</td><td>2,3867</td></tr><tr><td rowspan="2">310</td><td rowspan="2">14,249</td><td>584,5</td><td>271,25</td><td>1,5013</td></tr><tr><td>11,02</td><td>537,69</td><td>2,3608</td></tr><tr><td rowspan="2">320</td><td rowspan="2">18,73</td><td>568,1</td><td>283,06</td><td>1,5383</td></tr><tr><td>14,51</td><td>538,69</td><td>2,3350</td></tr><tr><td rowspan="2">330</td><td rowspan="2">24,22</td><td>550,8</td><td>295,15</td><td>1,5747</td></tr><tr><td>18,92</td><td>538,57</td><td>2,3121</td></tr><tr><td rowspan="2">340</td><td rowspan="2">30,82</td><td>532,4</td><td>307,66</td><td>1,6105</td></tr><tr><td>24,47</td><td>537,52</td><td>2,2875</td></tr></tbody></table>
ETUDE L'ENTHALPIE D'UN GAZ REEL

On considère une mole d'un gaz réel

Soit Cₚ et k=-T(∂V/∂T)ₚ les coefficient calorimétriques du gaz réel.

1°) (question de cours) soit une transformation infinitésimale faisant varier la température T de dT et la pression P de dP.

Donner, pour cette transformation, la variation dH de l'enthalpie en fonction de dT et dP.

En déduire la valeur pour un gaz parfait

2°) Montrer que l'enthalpie du gaz réel est donnée par

$$
H(T, P) = H_{gp}(T) + \int_{0}^{P} \left( V - T \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{P} \right) dP
$$

3°) Le gaz vérifie l'équation d'état suivante

L'équation d'état du gaz est (pour une mole)

$$
PV = A + B P.
$$

Les paramètres A et B sont indépendants de la pression P et du volume V.

3°)-a. Pour des pressions faibles, le gaz a un comportement de gaz parfait. Donner alors la valeur du paramètre A.

3°)-b. En supposant que B=Bo soit indépendant de la température,
calculer l'enthalpie du gaz réel en fonction de l'enthalpie du gaz parfait
(pris dans les mêmes conditions de T et P).

Le gaz subit une détente qui le fait passer de 1000K à 500K, et de 10. 10⁵ à 1. 10⁵ Pa. On donne Bo= 3 10⁻⁵ (SI), Cp=7/2 R ; R=8,32 (SI)

Calculer numériquement $\Delta H_{réel}$ au cours de la détente .

Donner l'écart relatif entre $\Delta H_{réel}$ et $\Delta H_{GP}$,

$$
(\Delta H_{\text{réel}} - \Delta H_{\text{GP}}) / \Delta H_{\text{GP}}
$$

$\Delta H_{GP}$ correspondant au cas où le gaz est supposé parfait.

conclusion ?

3°)-c En réalité le paramètre B est fonction de la température

$$
B(T) = B_0 \left[ 1 - \left( \frac{T_0}{T} \right)^{\alpha} \right] \quad \text{avec } B_0 = 3 \cdot 10^{-5} \, (\text{SI}) \text{, } \alpha = 1.4 \text{ et } T_0 = 293 \, \text{K}
$$

Reprendre les calculs précédents et montrer que

$$
h(T,P) = H_{gp}(T) + B_0 \left[ 1 - (\alpha+1) \left(\frac{T_0}{T}\right)^{\alpha} \right] P
$$

calculer à nouveau numériquement $\Delta H_{réel}$ au cours de la détente et l'écart relatif au cas du gaz parfait ($\Delta H_{réel} - \Delta H_{GP}$) / $\Delta H_{GP}$.

Le nouveau terme de correction est il négligeable ?
Réponses

1) dh= c_p dT + (k+v) dP, dh_{gp}= c_p dT ====> k=-v

2) dh= dh_{gp} + (v-T \frac{\partial v}{\partial T})dP

En intégrant à T=cst de 0 à P, on obtient $h(T,P) = h_{gp}(T) + \int_{0}^{P} (v - T(\frac{\partial v}{\partial T})) dP$

Avec $h(T, P=0)= h_{gp}(T)$

3°-a) $P_v = A + BP$, si $P \rightarrow 0$ alors $Pv \rightarrow A$ et on a un gaz parfait, $A=RT$

3°-b) $P_v = RT + B_0P \Rightarrow$ on obtient $v-T \frac{\partial v}{\partial T} = B_0$ et $h(T,P) = h_{gp}(T) + B_0P$

$$ \Delta h_{\text{réel}} = c_p(T_2 - T_1) + B_0(P_2 - P_1) = \Delta h_{\text{gp}} + B_0(P_2 - P_1) = > (\Delta h_{\text{réel}} - \Delta h_{\text{gp}})/\Delta h_{\text{gp}} = 0,2\% $$

3°-c) $v-T \frac{\partial v}{\partial T} = B_0 [1-(\alpha_T+1)(T_0/T)^\alpha]$, d'où la relation

$$ \Delta h_{\text{réel}} = \Delta h_{\text{gp}} + B_0(P_2 - P_1) - (\alpha_T + 1)(T_2/T_1)^\alpha (P_2 - P_1) = > (\Delta h_{\text{réel}} - \Delta h_{\text{gp}})/\Delta h_{\text{gp}} = 0,1\% $$
**INSA de Rouen**

**Département Energétique et propulsion**

**Enseignement Thermodynamique et Machines Thermiques (A. Coppalle)**

## Refroidissement avec une détente de Joule-Thomson

### Etude préliminaire

On considère un kilogramme de gaz. On montre que l'enthalpie massique du gaz réel est donnée par

$$h(T, P) = h_{gp}(T) + \int_{P_0}^{P} (v - T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p) dP$$

Rq : le terme $v - T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p$ est pris à la température T

$h_{gp}$ est l'enthalpie du gaz parfait à T: $h_{gp}= c_p (T-T_0)$ (origine des enthalpies à 0 pour T0),
à $T_0,P_0$, le gaz est un gaz parfait.

L'équation d'état de l'azote est donnée par la loi approchée

$$Pv = rT + [B - A/(rT)]P \text{ avec } A = 165,8 \text{ Jm}^3/\text{Kg}^2, B = 1,357 \text{ 10-3 m}^3/\text{Kg}, r = 297,1 \text{ J/Kg/K}$$

Calculer l'enthalpie de l'azote en fonction de l'enthalpie du gaz parfait (pris dans les mêmes conditions de T et P), de la pression $P_0$, et des paramètres de l'équation d'état.

### Refroidissement de l'azote par détente

On cherche à refroidir de l'azote avec une détente de Joule-Thomson.

On détend de façon adiabatique le gaz en le faisant circuler sans vitesse initiale notable dans une conduite comportant une section qui ralentit le gaz (voir schéma ci-dessous).

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

1°) Rappeler le premier principe pour un système ouvert à une entrée et une sortie en régime permanent et qui permet de récupérer du travail utile $W^u$ sur un arbre.

-Que peut-on dire de la transformation de Joule-Thomson ?

-Si l'azote est un gaz parfait, démontrer que $T_2=T_1$.

2°) En réalité l'azote est légèrement différent d'un gaz parfait si la pression augmente.

Son équation d'état est donnée par la loi approchée donnée dans l'étude préliminaire.

- Donner l'expression de $\left.\frac{dT}{dP}\right|_h$ lors de la détente de Joules-Thomson et en fonction des paramètres de la loi d'état approchée, et de $c_p$

3°) Montrer qu'il existe une température $T_i$ tel que si $T<T_i$, la détente provoque un refroidissement, et si $T>T_i$ un réchauffement.

A.N. donner la valeur de $T_i$, avec $c_{P,N2}=7/2 r$.

4°) pour faire facilement et rapidement une application numérique, on va simplifier l'expression de $dT/dP$.

Pour cela, on admettra que, lors de la détente, la variation de température est faible.

Montrer alors que $dT/dP$ est pratiquement constant au voisinage de 293K, et pour les valeurs de pression $P1=10^6$ et $P2=10^5$ Pa.

En déduire la valeur du refroidissement $T2-T1$.
# Réponses

## Etude préliminaire

$$v = \frac{rT}{P} + \left(B - \frac{A}{rT}\right) \Rightarrow \left. \frac{\partial v}{\partial T} \right|_P = \frac{r}{P} + \frac{A}{rT^2}, \quad v - T \left. \frac{\partial v}{\partial T} \right|_P = B - 2 \frac{A}{rT}$$

$$h(T, P) = h_{gp}(T) + \left(B - 2 \frac{A}{rT}\right) (P - P_0)$$

## Refroidissement de l'azote par détente

1°) Pour un système ouvert avec une entrée 1 et une sortie 2, en régime permanent, le bilan d'énergie devient :

$$\dot{m} (h2 - h1) = \dot{W}u + \dot{Q},$$

$\dot{m}$ est le débit massique de fluide passant dans le système (kg/s), $\dot{W}u$ est la puissance utile récupérée sur un arbre et $\dot{Q}$ la puissance échangée en chaleur.

La détente de Joule-Thomson est telle que $\dot{W}u=0$ et $\dot{Q}=0$. $\Rightarrow$ détente isenthalpe $h2=h1$

Si le gaz est parfait $h=cp \ T+cst \Rightarrow T2=T1$, pas de variation de température lors de la détente.

2°) Lors de la détente de Joule-Thomson $dh=0$

En reprenant l'expression de $h(T,P)$ vue précédemment, on obtient :

$$\left. \frac{dT}{dP} \right|_h = - \frac{[B - 2A/rT]}{[c_p + 2A(P - P_0)/rT^2]}$$

3°) Pour une détente : $dP < 0$

Si $dT/dP > 0$ alors $dT < 0$, c'est un refroidissement,

Si $dT/dP < 0$ alors $dT > 0$, c'est un réchauffement.

La valeur limite est $B - 2A/rT = 0 \Rightarrow Ti = 2A/rB$

Si $B - 2A/rT < 0$, c.a.d. si $T < Ti$, alors $dT < 0$ refroidissement

Si $B - 2A/rT > 0$, c.a.d. si $T > Ti$, alors $dT > 0$ réchauffement

$Ti = 822,5$ K

4°) Si la température varie peu au cours de la détente, le terme $[B - 2A/rT]$ est pratiquement constant.

D'autre part avec les valeurs de pression $P2 (=P0)$ et $P1$,

on trouve que la valeur maximum de $2A(P1 - P0)/rT^2$ est égale à 11,7 J/kg

$$\text{or } cp=7/2r= 1040 \text{ j/kg}$$

$\Rightarrow$ on peut négliger le 2ème terme du dénominateur de $dT/dP$.

$dT/dP$ est constant au voisinage de 298 K

A.N. : $T2-T1=(2A/rT-B) (P2-P1)/cp \Rightarrow T2-T1= 2,36 \ 10^{-6} (P2-P1)$ à $T1=293K$

Soit $T2-T1= -2,1$ K
Réservoir d'air comprimé

Questions de cours

1°) Soit un système ouvert à plusieurs entrées ou sorties.

On néglige les énergies cinétiques et de pesanteur.

Certaines parties du système sont mobiles et reliées à un axe
sur lequel on récupère du travail utile W^u.

En appliquant le 1er principe,

montrer que la variation d'énergie interne dU du système pendant at

$$
est donnée par \quad dU = \partial W^u + \partial Q + \sum_j h_j dm_j
$$

avec δW^u le travail utile et δQ la chaleur échangés par le système pendant dt.

h_j est l'enthalpie du fluide dans les conditions de l'entrée/sortie J.

2°) Le système est à une entrée 1 une sortie 2. Si le système est dans un régime permanent, c'est-à-dire que son énergie interne U ne varie pas, Montrer que dans ce cas

$$
\delta h_{1-2} = \delta q_{1-2} + \delta w_{1-2}^{u}
$$

avec δh₁₋₂ la variation d'enthalpie de l'unité de masse du fluide qui rentre en 1 et sort en 2.

(les grandeurs en minuscule sont massique)

3°) Démontrer que, pour un gaz parfait, la variation d'entropie massique entre les états 1 et 2 est donnée par

$$
\Delta s = \frac{r}{\gamma - 1} \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + r \ln\left(\frac{v_2}{v_1}\right).
$$

On rappelle que pour un gaz parfait le coefficient calorimétrique l est tel que l=P.

r est la constante massique du gaz parfait, γ=c<sub>p</sub>/ c<sub>v</sub> ; c<sub>p</sub> et c<sub>v</sub> sont constants et c<sub>p</sub>-c<sub>v</sub> =r.

Etude de la compression de l'air considéré comme un gaz parfait

Soit un compresseur qui permet de faire passer la pression de P<sub>i</sub> à P<sub>f</sub>

On définit r la constante massique des gaz parfaits pour l'air, γ= c<sub>p</sub>/c<sub>v</sub> ; c<sub>p</sub> et c<sub>v</sub> sont constants.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

1°) La compression est réversible et adiabatique

Démontrer la relation qui lie P et v (le volume massique) au cours de cette transformation.

- calculer la température finale Tf en fonction de la température initiale Ti, du rapport des pressions Pf/Pi et de γ

- Calculer le travail utile w^u (par unité de masse) échangé au cours de la transformation en fonction de r, γ= c_p/c_v, et des conditions initiale et finale de température.

2°) Application numérique :

le gaz est de l'air ; γ =1,4, R=8,32 (SI) ; masse molaire de l'air M<sub>air</sub>=0,029 (SI)

la température initiale est T1=300K

Calculer la température finale de compression Tf si le rapport de compression est Pf/Pi=10

Calculer le travail utile w^u (par unité de masse).

Entrée ou sortie J

Pression P<sub>j</sub>

Température T<sub>j</sub>

Volume massique v<sub>j</sub>

dmj : masse échangée pendant

<figure><img src="image_15.png" /></figure>
# Etude de l'évolution de température dans le réservoir d'air comprimé
L'air est toujours considéré comme un gaz parfait

$c_p$ et $c_v$ sont constants et $c_p-c_v=r$.

On suppose que le réservoir n'échange pas de chaleur avec l'extérieur.

Si on considère le volume d'air dans le réservoir, il représente un système ouvert. A chaque cycle une masse dm rentre dans ce système et sa température augmente

1°) questions préliminaires :

on considère que la référence des enthalpies est nulle à T0, c'est à dire que $h(T0)=0$.

Montrer alors que l'enthalpie h s'écrit : $h(T)=cp(T-T0)$

En déduire que $u(T)=cv(T-T0)-P0v0$

2°) Calculer la variation dU du système, quand il échange la masse dm, en fonction de $c_p$, T, T0 et dm. La température finale T en sortie du compresseur est supposée égale à celle de l'air dans le réservoir

3°) En déduire la relation $\frac{dm}{m} = \frac{c_v}{r} \frac{dT}{T}$, ou m est la masse d'air dans le réservoir

4°) On donne $T_0$ la température initiale et $m_0$ la masse initiale dans le reservoir.

donner l'expression de T en en fonction de T0, du rapport $m/m_0$ et de $\gamma$.

5°) Application numérique :

le gaz est de l'air, $\gamma=1,4$, R=8,32 (SI) ; masse molaire de l'air $M_{air}=0,029$ (SI).

le volume balayé pendant la phase de compression dans l'appareil représenté ci-dessus est de 0,1E-3 m3. $\rho_{air}=1$. (SI) à P0=1atm.

Le compresseur tourne à 1300 tours/mn.

Calculer le débit massique du compresseur.

Calculer la masse m introduite au bout d'une minute dans le réservoir

En déduire la température T de l'air dans le réservoir, sachant que $V0=1m3$, $P0=1atm$ et $T0=300K$.
# Réponses

## Questions de cours

1°) Démonstration faite en cours. Raisonnement que les élèves doivent comprendre et savoir

2°) Démonstration faite en cours. Raisonnement que les élèves doivent comprendre et savoir

3°) Démonstration faite en cours. Raisonnement que les élèves doivent comprendre et savoir

## Etude de la compression de l'air considéré comme un gaz parfait

$$1^{\circ)} \Delta s_{i-f} = 0 \implies \frac{r}{\gamma-1} Ln(T) + rLn(v) = CST \implies T^{1/(\gamma-1)}v = CST$$

Comme $Pv=rT$, on obtient $Pv^{\gamma} = CST$, ce qui peut aussi s'écrire $P^{1-\gamma}T^{\gamma} = CST$

$$\text{Donc } \frac{Tf}{Ti} = \left[ \frac{Pf}{Pi} \right]^{(\gamma-1)/\gamma}$$

Pas d'échange de chaleur, et d'après le 2°) des questions de cours

$$W^u = \Delta h_{i-f} = c_p (T_f - T_i)$$

Ou encore exprimé en fonction de $\gamma$ et $r$

$$W^u = r \frac{\gamma}{\gamma-1} (T_f - T_i)$$

$$2^{\circ)} r= 286,9 \ (\text{SI}), T_f=579,2 \ \text{K}, W^u= 280,4 \ \text{kJ/kg}$$

## Etude de l'évolution de température dans le réservoir d'air comprimé

$$1^{\circ)} h(T)-h(T_0)= c_p (T- T_0) \implies h(T)= c_p (T- T_0)$$

$$u(T)-u(T_0)= c_v (T- T_0) \implies u(T)= c_v (T- T_0) + u(T_0)$$

$$\text{on a } u(T_0)= h(T_0) - P_0v_0 = - P_0v_0 \implies u(T)= c_v (T- T_0) - P_0v_0$$

2°) En appliquant le résultat de la question de cours du 1°)

$$dU=h(T)dm$$

Rq : le réservoir ne produit pas de Wu

Rq : Dans cet exercice l'énergie interne $U$ dans le réservoir varie, contrairement au raisonnement appliqué dans l'exercice précédent.

3°) Pour le réservoir contenant une masse $m$ d'air (le système) on a : $U=u m$

$$dU= mdu + udm= m c_v dT + [c_v (T- T_0) - P_0v_0] dm$$

$$\text{donc } c_p (T- T_0) dm= m c_v dT + [c_v (T- T_0) - P_0v_0] dm$$

$$\text{en regroupant les termes en } dm \text{ : } [c_p (T- T_0) - c_v (T- T_0) + P_0v_0] dm= m c_v dT \\ \implies r T dm=mc_v dT, \text{ donc la formule recherchée}$$

$$4^{\circ)} \text{ en intégrant } m/m_0 = (T/T_0)^{1/(\gamma-1)}$$

$$5^{\circ)} m_{\text{air}}= 2,17 \ 10^{-3} \ \text{kg/s}$$

$$m_{1mn}= 0,13 \text{ kg}, m_0= 1 \text{ kg} \implies T= 315 \text{ K (au bout de 1mn)}$$
Solidification rapide de la glace surfondue

1°) Soit une masse m d'eau liquide à la température T et pression P. On solidifie une partie en glace à la même température. On définit X<sub>glace</sub> le titre massique de glace.

L'enthalpie étant une grandeur extensive, montrer que l'enthalpie du mélange est donnée par

$$
h(x_{glace}, T) = (1 - x_{glace})h_{liq} + x_{glace}h_{glace}
$$

avec h<sub>liq</sub> l'enthalpie massique du liquide et h<sub>glace</sub> l'enthalpie massique de la glace à T.

2°) On a dans un récipient une masse m d'eau liquide à Ti=−15°C sous P=1atm.

-Quelle serait sa température si elle était dans un état d'équilibre stable avec de la glace à 1 atm ?

On arrive à démarrer la solidification en injectant un germe de glace. La solidification est rapide.

- Quelle est la proportion de glace X<sub>glace</sub> quand on attend suffisamment longtemps ?

A.N. On donne les quantités suivantes :

L<sub>fusion</sub>=2510 10<sup>3</sup> (SI), c<sub>p,liq</sub>=4,18 10<sup>3</sup> (SI). On supposera que c<sub>p,liq</sub> est constant et que l'eau liquide est indilatable et incompressible.

Réponses

1°) H<sub>mél</sub>= H<sub>liq</sub> + H<sub>glace</sub>

H<sub>mél</sub>= m(1-X<sub>glace</sub>)h<sub>liq</sub> + m X<sub>glace</sub> h<sub>glace</sub>

h<sub>mél</sub> = (1 - X<sub>glace</sub>)h<sub>liq</sub> + X<sub>glace</sub> h<sub>glace</sub>

2°) T<sub>liq,équil</sub> = 0°C

La transformation est adiabatique et sans échange de travail utile : mΔh=0
===> h<sub>liq,ini</sub>= h<sub>mél,final</sub> ===> h<sub>liq,ini</sub>(-15°C)= (1-X<sub>glace</sub>)h<sub>liq</sub>(0°C)+ X<sub>glace</sub> h<sub>glace</sub>(0°C)

X<sub>glace</sub>=c<sub>p</sub>(0°C-(-15°C))/L<sub>fusion</sub>=2,5 %
# INSA de Rouen

## Département Energétique et propulsion

## Enseignement Thermodynamique et Machines Thermiques (A. Coppalle)

### Etude de la solubilité du dioxyde de carbone CO2 et de l'air dans l'eau.

**Rappels :**

- la fraction molaire xi d'un constituant i est le rapport $x_i=n_i/n_{tot}$ ou ni est le nombre de moles du constituant i et ntot, le nombre total de moles.

- Il y a 21% (fraction molaire) d'oxygène dans l'air

- La pression de l'air est $1 \text{ atm}=10^5 \text{ Pa}$

1) question de cours: rappeler la loi de Henry reliant la fraction molaire d'un soluté à sa pression partielle dans la phase gaz.

2) La constante de Henry pour O2 dans l'eau est donnée à 20°C dans le tableau ci-dessous.

*Quelle est la masse mO₂ d'O₂ qui est dissoute dans un litre d'eau à 20 °C ?*

Pour le calcul de mO₂, on supposera que cette masse est très faible devant celle de H₂O dans le liquide.

**rappel :** masses molaires de O₂ et H₂O, M<sub>O2</sub>= 32 10<sup>-3</sup> et M<sub>H2O</sub>=18 10<sup>-3</sup> kg
1 litre d'eau=1Kg

3) Une limonade, qui sera assimilée à de l'eau, est mise sous pression dans une bouteille avec du CO₂ pur à 2 atm

*Quelle est la fraction molaire de CO₂ dissout dans 1 litre de limonade ?*

*Calculer le nombre de mole correspondant, (Rappel : la masse volumique de l'eau est 10³ SI)*

Pour ce calcul de n<sub>CO2</sub>, on supposera que la masse m<sub>CO2</sub> est très faible devant celle de H₂O dans le liquide.

*Quel est le volume occupé par ces moles de CO₂ si elles sont libérées dans l'air (T<sub>air</sub>=20°C et P<sub>air</sub>= 1 atm (le CO₂ sera considéré comme un gaz parfait et R= 8,32 SI).*

*Pourquoi apparaît-il beaucoup de bulle quand on ouvre la bouteille de limonade ?*

<table><thead><tr><th>H en<br>MPa</th><th>O<sub>2</sub></th><th>N<sub>2</sub></th><th>CO<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>20°C</td><td>4047</td><td>8146</td><td>142</td></tr></tbody></table>

Constante de Henry en fonction à 20°C
pour le dioxyde de carbone et, l'oxygène et l'azote,
dissouts dans l'eau. 1MPa=10⁶ Pa

### Réponses

1°) Loi de Henry : P<sub>i</sub> = H<sub>i</sub> x<sub>i</sub>, Pi est la pression partielle dans la phase gaz du composé i, xi est concentration molaire dans la phase liquide.

2°) P<sub>O2</sub>V=n<sub>O2</sub>RT et P<sub>Tot</sub>V=n<sub>Tot</sub>RT ====> P<sub>O2</sub>= 0,21 10<sup>-5</sup> Pa

Dans l'eau liquide x<sub>O2</sub>= P<sub>O2</sub>/ H<sub>O2</sub>, x<sub>O2</sub>= 5,19 10<sup>-6</sup>= 5,19 ppm

Calcul de la masse de O₂ dissoute dans l'eau

$$n_{O2} = m_{O2}/M_{O2} \text{ et } n_{Tot} = m_{Tot}/M_{Mél} \approx m_{Tot}/M_{H2O}$$

$$x_{O2} = n_{O2} / n_{Tot} = m_{O2} / m_{Tot} * M_{H2O} / M_{O2} ====> m_{O2} = x_{O2} * m_{Tot} / M_{H2O} = 9,2 \text{ mg}$$

avec $m_{Tot} = 1 \text{Kg}$

3°) dans le liquide : x<sub>CO2</sub>= P<sub>CO2</sub>/ H<sub>CO2</sub>= 1,41 10<sup>-3</sup>, avec P<sub>CO2</sub>= 2 10<sup>-5</sup> Pa et H<sub>CO2</sub>= 142 10<sup>-6</sup> Pa

Rq : la pression dans la bouteille est légèrement supérieure à 2 atm, car P<sub>tot</sub>= P<sub>CO2</sub>+P<sub>vap,H2O</sub>(20°C)

Nombre de moles de CO₂ : n<sub>CO2</sub>= n<sub>Tot</sub> 1,408 10<sup>-3</sup>

n<sub>Tot</sub>= m<sub>Tot</sub>/M<sub>H2O</sub>, même approximation que précédemment

n<sub>CO2</sub>= 0,0782 moles

$$PV_{CO2} = n_{CO2}RT ====> V_{CO2} = 1,9 \text{ litres avec } P=10^5 \text{ Pa}$$

A P = 2 atm, la dissolution de CO₂ est plus grande qu'à 1 atm. Donc à l'ouverture de la bouteille, le CO₂ se libère pour retourner à l'équilibre.
# ETUDE DE LA VAPEUR D'EAU,
APPLICATION A UN MOTEUR A VAPEUR

## Questions de cours

1°) Enthalpie libre massique g(T,P)

A partir de la définition de g et en utilisant le premier principe, retrouver la relation liant dg à dT et dP.

2°) La formule de Clapeyron relie la chaleur latente de vaporisation L<sub>vap</sub> aux paramètres d'état P,v,T.

$$L_{vap} = T(v_v - v_l) \left( \frac{dP_{vap}}{dT} \right),$$

v<sub>v</sub> et v<sub>l</sub> sont les volumes massiques de la vapeur et du liquide, T la température et P<sub>vap</sub>(T) la pression de vapeur à l'équilibre.

Démontrer cette relation en utilisant l'enthalpie libre g d'un mélange liquide-vapeur. Pour cela on définira un cycle entre deux isothermes à T et T+dT.

Pour la suite :

- on donne la chaleur latente de vaporisation de l'eau

$$L_{vap} = 3335 - 2,91 T \ (\text{KJ/Kg}),$$

- la relation empirique de Rankine

$$\ln(P_{vap}(\text{atm})) = A - 5120 / T(K)$$

- l'eau bout sous 1atm à 373 K et 1 atm =10<sup>5</sup> Pa ;

- constante des gaz parfaits R= 8,32 (SI) et masse molaire de l'eau M<sub>h2o</sub>= 0,018 (SI)

## Erreur relative de l'hypothèse 'gaz parfait' pour la vapeur d'eau

3°) Calculer la valeur numérique de A dans la formule de Rankine.

4°) A partir de la formule de Clapeyron et en utilisant la relation de Rankine, calculer la valeur numérique du volume massique de la vapeur d'eau à 293 K.

## Pour le calcul on négligera v<sub>l</sub> devant v<sub>v</sub>.

5°) calculer la valeur du volume massique de la vapeur d'eau à 293 K en utilisant la loi des gaz parfaits. Donner l'écart relatif de cette valeur par rapport à la précédente.

## Application à l'étude d'un moteur à vapeur d'eau

Cette application reprend toutes les données et approximations des questions précédentes.

On désire faire un moteur à vapeur en utilisant l'énergie solaire. Le moteur fonctionne en trois temps : 1-Chauffage et vaporisation à volume constant avec l'énergie solaire, c'est une phase de compression 2- détente isentropique, 3- condensation de la vapeur à pression constante.

La température finale de vaporisation est de T2=453°C

La température de condensation est T1=293°C.
Chauffage : le dessus du cylindre
laisse passer le rayonnement solaire

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

### 1-Vaporisation de l'eau à volume constant

(la bielle est bloquée)

de T1= 293 K à T2= 453 K

Pas de chauffage

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

### 2-détente isentrope

de 453 K à 293 K

Pas de chauffage mais
refroidissement du cylindre

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

### 3-condensation

à T1=293 K

**Important** : le volume du cylindre au cours de la vaporisation (1er temps) est de 0,15m3 et la masse totale d'eau est de 1kg. La capacité calorifique massique c de l'eau liquide est supposée constante et égale à 4,18 $10^3$ J/Kg.

Comme précédemment, on se permet de négliger $v_1$ devant $v_v$ dans les calculs.

6°) On admet que la vapeur d'eau est un gaz parfait et qu'elle est toujours en équilibre avec le liquide.

Calculer le volume massique de la vapeur à 293K et 453K.

En déduire les titres $x_{v,1}$ et $x_{v,2}$ de la vapeur au début et à la fin de la vaporisation

7°) On note $u(x_v, T)$ l'énergie interne massique d'un mélange liquide-vapeur, avec $x_v$ le titre massique de vapeur, $s(x_v, T)$ son entropie. On considère que ce mélange est obtenu par chauffage isobare à partir de l'eau liquide à To. Exprimer $u(x_v, T)$ et $s(x_v, T)$ en fonction des paramètres d'état à T. On notera $u_0$ l'énergie interne de l'eau liquide à To et $s_0$ son entropie.

8°) Calculer la valeur numérique de la chaleur reçue par le mélange liquide-vapeur au cours de la vaporisation

9°) Calculer la valeur numérique du titre de la vapeur en fin de détente

10°) Calculer la valeur numérique de la chaleur échangée au cours de la condensation

11°) En déduire le rendement du moteur
# Réponses

## Questions de cours

$$1^\circ) dg=du+dPv + dTs = -sdT+vdP$$

$$2^\circ)$$

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Rappel : à l'équilibre liquide vapeur, les enthalpies libres des phases sont égales

$$g_A = g_D$$

$$g_B = g_C \text{ donc } g_A + dg_A = g_D + dg_D$$

$$\Rightarrow dg_A = dg_D$$

$$\Rightarrow -s_1dT + v_1dP = -s_vdT + v_vdP$$

$$(s_v - s_1) dT = (v_v - v_1) dP$$

Sur le palier de changement d'état à T : $\Delta s = s_v - s_1 = L_{vap}/T$
$\Rightarrow L_{vap} = T(v_v - v_1) dP/dT$. Mais $P=P_{vap}$ sur le palier de changement d'état
On retrouve la formule

## Erreur relative de l'hypothèse 'gaz parfait' pour la vapeur d'eau

$$3^\circ) \ln(P_{vap}) = A-5120/T, \text{ donc } \ln(1) = A-5120/373, A=13,726 \ (\text{SI})$$

$$4^\circ) \text{ relation de Rankine } \Rightarrow \frac{dP_{vap}}{P_{vap}} = \frac{5120}{5120} \frac{dT}{T^2}$$

$$\text{Chaleur latente de vaposisation } \Rightarrow L_{vap} = \frac{5120}{v_v} P_{vap}/T$$

$$\text{A.N. : à 293K, } P_{vap}=2360 \text{ Pa et } v_v = 60,2 \text{ m3/kg}$$

$$5^\circ) \text{ Si la vapeur d'eau est un gaz parfait : } P_{vap}v_v = rT$$

$$\text{A.N. : à 293K, } v_v = 57,4 \text{ m3/kg, écart relatif par rapport à la valeur précédente : } 4,7\%$$

## Application à l'étude d'un moteur à vapeur d'eau

$$6^\circ) v_v=rT/P_{vap}, \text{ à } 293\text{K } v_v = 57,4 \text{ m3/kg}$$

$$\text{à } 453\text{K } P_{vap}=11,29 \times 10^5 \text{ Pa et } v_v = 0,185 \text{ m3/kg}$$

soit V le volume total d'un mélange liquide vapeur

$$V(m3) = V_v + V_1 = m_v v_v + m_1 v_1$$

$$\text{Par définition le titre en vapeur est } x_v = \frac{m_v}{m_v + m_1} = \frac{m_v}{m_{\text{Tot}}}$$

$$\text{Donc } V(m3) = m_{\text{Tot}} (x_v v_v + (1- x_v) v_1)$$

$$\Rightarrow x_v = \frac{[V/m_{\text{Tot}} - v_1]}{v_v + v_1}$$

Comme précédemment, on se permet de négliger $v_1$ devant $v_v$.

$$\text{à } 293\text{K } x_v = 0,26 \%, \text{ peu de vapeur}$$

$$\text{à } 453\text{K } x_v = 81,3 \%$$

7°) calcul de $u(T, x_v)$ à l'aide de deux transformations :

$T_0$, eau liquide ----> $P_{vap}$, T, eau liquide ----> $P_{vap}$, T, mélange liquide-vapeur

$$\text{Echange par unité de masse : } c(T-T_0) \quad x_v L_{vap}(T) + W_{vap}$$

$$\text{On montre facilement que } W_{vap} = - P_{vap} (v_{mél} - v_1) = - P_{vap} x_v (v_v - v_1)$$

$$\Rightarrow \Delta u = u(T, x_v) - u_0 = c(T-T_0) + x_v L_{vap}(T) - P_{vap} x_v (v_v - v_1)$$

$$u(T, x_v) = u_0 + c(T-T_0) + x_v L_{vap}(T) - P_{vap} x_v (v_v - v_1)$$
Avec les deux même transformations, on trouvera pour s(T, x<sub>v</sub>)

$$s(T, x_v) = s_0 + c \ln(T/T_0) + x_v L_{\text{vap}}(T)/T$$

8°) Etape 1 de vaporisation : $\Delta u = q_c + w = w$, pas de travail échangé

A l'aide de la formule de u(T, x<sub>v</sub>) précédente, on obtient

$$Q_c = u(T_2, x_{v2}) - u(T_1, x_{v1}) = 2131,7 \ 10^3 \ \text{J/kg}$$

9°) Titre x<sub>v3</sub> en fin de détente : $\Delta s=0$, d'après l'énoncé, donc s(T<sub>2</sub>, x<sub>v2</sub>)= s(T<sub>3</sub>, x<sub>v3</sub>)

$$\Rightarrow c \ln(T_2/T_1) + x_{v2} L_{\text{vap}}(T_2)/T_2 = x_{v3} L_{\text{vap}}(T_1)/T_1 \\ x_{v3}=64,2 \%$$

10°) Chaleur de refroidissement : $q_F = \Delta x_v L_{\text{vap}}(T_1) = -1593 \ 10^3 \ \text{J/kg}$

11°) $W^{\text{cycle}} = - Q_c - Q_F$ ; r= -$W^{\text{cycle}}$ / $Q_c$= 25,3%
Vaporisation et Condensation de l'eau

Questions de cours

- Rappeler l'équation d'état d'une mole de gaz parfait

Pour une mole de gaz à la température T et à la pression P, l'équation d'état de Van der Walls est donnée par

$$[P + a/\gamma^2] [\gamma - b] = RT,$$

ou γ est le volume molaire, R la constante des gaz parfaits, a et b deux constantes.

- Donner l'équation pour n moles occupant le volume V, à P et T.

La masse molaire du gaz est M, on note r= R/M

- Donner l'équation pour une masse m occupant le volume V, à P et T,

- Donner l'équation massique en fonction du volume massique v<sub>v</sub>, P et T.

- Rappeler la formule de Clapeyron qui donne la chaleur latente L<sub>vap</sub> en fonction

- des volumes massiques des phases liquide et gaz, respectivement v<sub>l</sub> et v<sub>v</sub>,

- de la température T

- et de la pression de vapeur saturante P<sub>vap</sub>.

- En supposant que L<sub>vap</sub> est constante, que v<sub>l</sub> << v<sub>v</sub> et que le gaz est parfait, montrer que P<sub>vap</sub> est donnée par

$$\ln(P_{\text{vap}}/ P_{\text{vap}}^{0}) = L_{\text{vap}}/r (1/T_{0}-1/T)$$

Avec r=R/M, P<sup>0</sup><sub>vap</sub> et T<sub>0</sub> une pression et une température de référence.

Exercice sur la vaporisation/condensation de l'eau

On donne pour l'eau

$$\text{Masse molaire M} = 18 \text{ g}$$

Les constantes de l'équation de Van Der Waals

$$a = 0.5537 \text{ Pa m}^3/\text{mole}^2; b = 3,05 \ 10^{-5} \text{ m}^3/\text{mole}; R = 8,314 \text{ J K}^{-1} \text{ mole}^{-1}$$

La loi de variation de la pression de vapeur saturante

$$\ln(P_{\text{vap}}) = 13.7 - 5120 / T, \text{ avec } P_{\text{vap}} \text{ en atm, } 1 \text{ atm} = 1,013 \ 10^5 \text{ Pa}.$$

Questions préliminaires

1°-a) Un volume de 1 m<sup>3</sup> contient 18g de vapeur d'eau (une mole) à 300K

Quelle est la pression P<sup>GP</sup> (en Pa) si on suppose que la vapeur d'eau est un gaz parfait ?

Quelle est la pression P<sup>VdW</sup> (en Pa) si on suppose que la vapeur d'eau est un gaz de Van Der Waals?

Calculer l'écart relatif entre les deux pressions, (P<sup>GP</sup> – P<sup>VdW</sup>)/ P<sup>VdW</sup>.

Que peut-on en conclure pour la vapeur d'eau dans les conditions précédentes?

1°-b) Calculer la pression de vapeur P<sub>vap</sub> (en Pa) à 300K.

Comparer aux valeurs trouvées dans le 1°-1) et conclure quant à la présence d'eau liquide dans le volume de 1m<sup>3</sup> à 300K.

Condensation réversible de l'eau à température constante T<sub>1</sub> = 300K

Un volume de 1 m<sup>3</sup> contient 18g de vapeur d'eau (une mole) à 300K.

On comprime réversiblement la vapeur à la température constante de 300K, le volume passe de V<sub>0</sub>=1 m<sup>3</sup> à V<sub>1</sub>=0,5 m<sup>3</sup>.

La vapeur est un gaz parfait.

2°-a) En raisonnant sur la pression, montrez qu'il existe du liquide à l'état final

2°-b) A partir de quel volume V* apparaît la première goutte d'eau liquide ? faire l'A.N.

2°-c) Tracer sur un diagramme (P,V) l'allure de la transformation V<sub>0</sub> à V<sub>1</sub>.

2°-d) Donner la relation qui existe entre le volume de vapeur final V<sub>1,v</sub>, le volume de liquide final V<sub>1,lq</sub> et le volume final total V<sub>1</sub>.

On donne le volume massique de l'eau liquide v<sub>liq</sub>= 10<sup>-3</sup> m<sup>3</sup>/kg.

On appelle v<sub>v</sub> le volume massique de la vapeur, V<sup>0</sup><sub>liq</sub> le volume occupé initialement par m=18g de liquide.

Calculer la masse finale m<sub>v</sub> de vapeur, et en déduire que le titre de vapeur est donné par
$$X_v = (V_1 - V^{0}_{liq}) / (V^* - V^{0}_{liq}).$$

ou $V^*$ est le volume calculé précédemment. Faire l'A.N.

### Vaporisation de l'eau à volume constant $V_1$.

A partir de la température $T_1=300\text{K}$, on chauffe à volume constant $V_1$ la masse m=18g.

La transformation s'arrête dès que le liquide disparait, la température est alors $T_2$,

3°-a) tracer sur le diagramme (P,V) l'allure de cette transformation.

3°-b) Donner les deux relations qui permettent de calculer $T_2$ et $P_2$.

3°-c) les deux inconnues sont donc $T_2$ et $P_2$. Le système d'équation est non linéaire.

Pour le résoudre, on suppose que $T_2$ n'est pas très différent de $T_1$ et s'écrit $T_2 = T_1 (1 + \varepsilon)$, avec $\varepsilon \ll 1$.

On rappelle les deux approximations suivantes

$$\ln(1+\varepsilon) \approx \varepsilon \text{ et } 1/(1+\varepsilon) \approx 1-\varepsilon.$$

Montrer que $\varepsilon = \ln[P_{\text{vap}}(T_1) / (RT_1/V_1)] / (1 - 5120 / T_1)$, faire l'A.N. et donner la valeur de $T_2$.
# Réponses

## Questions de cours

-$P\Upsilon = RT$

-Soit V le volume du gaz : $V=n\Upsilon$, donc on a $[P + a n^2/\Upsilon^2] [\Upsilon - nb] = nRT$

-$n=m/M$: donc on a $[P + a/(M^2v_v^2)][v_v - b/M] = rT$

- Clapeyron : $L_{vap} = T(v_v - v_l) \frac{dP_{vap}}{dT}$

- on $v_v=rT/P_{vap}$ et $v_v>> v_l$, donc $\frac{dP_{vap}}{P_{vap}} = \frac{dT}{rT^2}$

En intégrant d'un état 0, on obtient la formule

## Questions préliminaires

1°-a) $P^{GP}=2494,2 \text{ Pa}$ ; $P^{VdW}=2493,7 \text{ Pa}$ ====> $P^{GP}-P^{VdW}=0,4 \text{ Pa}$ et l'écart relatif = 0,2%

Conclusion : 1m3 de vapeur d'eau à 300K peut être considéré comme un gaz parfait.

1°-b) $\ln(P_{vap}) = 13.7 - 5120 / T$, on obtient $P_{vap}(300\text{K})=3494,8 \text{ Pa}$

$P_{vap}(300\text{K})> P$ correspondant à 18g de vapeur dans 1 m3 à 300K, pas de liquide dans l'enceinte.

2°-a) Soit $V=0,5 \text{ m}^3$ ne contenant que de la vapeur : $P=RT/V=4988,4 \text{ Pa}$ (Rappel, il y a une mole dans l'enceinte)

Cette valeur est supérieure à $P_{vap}(300\text{K})$, il existe du liquide dans $0,5 \text{ m}^3$ à 300K

2°-b) On a la première goutte de liquide quand $P=P_{vap}$

$$V^* = RT/P_{vap}(300\text{K})=0,714 \text{ m}^3.$$

2°-c)

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

2°-d) à l'état final : $V_1=V_{1,v} + V_{1,l}$

$$m_v=P_{vap} V_{1,v}/rT$$

Donc $V_1= m_v rT/P_{vap} + (m_0 - m_v)V_1$, en réarrangeant on trouve la formule et $X_v=70\%$

3°-a)

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

3°-b) Il n'y a que de la vapeur dans le volume $V_1$ à $T_2$ : $P_2V_1=RT_2$ (Rappel 1 mole dans $V_1$).

$$\text{On } P_2=P_{vap}(T_2)$$

Il faut résoudre $P_2V_1=RT_2$

$$\text{et } \ln(P_2) = 13.7 - 5120 / T_2$$

3°-c) $\ln(\text{RT2/V}_1) = 13.7 - 5120 / T_2$ ====> $\ln(T_1 (1 + \varepsilon)) = \ln(V_1/R)$

$$\therefore \varepsilon = \frac{\left[ \ln\left(\frac{P_{vap}(T_1)*V_1}{\text{RT1}}\right) \right]}{\left[ 1 - \frac{5120}{T_1} \right]} = 0,022 \implies T_2 = 306 \text{ K}$$
# Machines Thermiques
DIAGRAMME DE L'AIR HUMIDE

PRESSION ATMOSPHERIQUE NORMALE 101300 [Pa]

<figure><img src="image_22.png" /></figure>
Etude d'une installation de climatisation d'un atelier

Pour obtenir un confort thermique dans un atelier, on utilise l'installation de climatisation représentée sur le schéma ci-dessous.

- La batterie froide sert à refroidir l'air mais elle peut aussi permettre d'atteindre le point de rosé de l'air et donc la déhumidifier.

- La batterie d'humidification injecte de la vapeur d'eau, donc on admettra que l'humidification se fait sans changement de température.

- La batterie de chauffage permet de réchauffer l'air avant qu'elle pénètre dans l'atelier.

Les ventilateurs n'influencent pas les caractéristiques de l'air.

Dans l'atelier, il y a des machines et donc il existe une production de chaleur Pc (kw) et de vapeur Qv (Kg/s). Le débit d'air dans l'atelier est de 25 000 m3/heure.

La centrale d'air est commandée par un automate dont la consigne est :

température de sortie en C, Tsec=25°C et

degré d'humidité de sortie en C, e=50% (voir le schéma ci-dessous)

1°) Porter sur le graphe psychrométrique joint les points A (entrée air frais) et C (consigne et caractéristiques du point de sortie de l'air de l'atelier).

- A partir des courbes de volumes spécifiques v* (m3/kg-as), calculer le débit d'air sec m_as (kg-as/s) dans l'atelier.

- Exprimer l'enthalpie h*E du point d'entrée E de l'atelier en fonction l'enthalpie h*C du point de sortie C et de la puissance Pc,

- Exprimer la teneur en vapeur Xv,E du point d'entrée E de l'atelier en fonction de la teneur en vapeur Xv,C du point de sortie C et de la production de vapeur Qv.

- Connaissant Pc= 55 kW et Qv=8,1 Kg/s, placer le point E sur le graphe.

2°) Si il n'y a aucun recyclage, quelles batteries doivent être en service pour passer du point A au point E?

- Tracer sur le graphe l'allure des transformations subies par l'air dans la centrale de traitement.

3°) Si toute l'air vicié est recyclé (pas d'apport d'air frais), quelles batteries doivent être en service ?

- Tracer sur le graphe l'allure des transformations subies par l'air dans la centrale de traitement.

4°) Il semble économique, d'un point de vue énergétique, de se passer de la batterie froide. Pour cela on recycle une partie de l'air de l'atelier.

- Comment doit on placer le point de mélange M, entre l'air frais A et l'air recyclé C pour éviter d'utiliser la batterie froide et pour que la puissance consommée soit minimum ?

- Déterminer à partir du graphe, le débit d'air et le débit de recyclage (on néglige les variations de volume spécifique v*).
<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Réponses

1°) Points A et C placés sur le diagramme grâce à la connaissance de T et e
v* (m3/kg-as) = V(m3/s) / m<sub>as</sub>(kg-as/s), v* lu sur le diagramme = 0,857 m3/kg-as
===> m<sub>as</sub>(kg-as/s) = 8,10 kg-as/s

$$
\begin{align*}
P_c &= m_{as} (h^*c - h^*E) \text{ et } Q_v = m_{as} (X_{v,c} - X_{v,E}), \text{ avec } h^* \text{ en kJ/kg-as et } X_v = m_v / m_{as} \\
h^*E &= h^*c - 6,8 \text{ kJ/kg-as et } X_{v,E} = X_{v,c} - 0.001
\end{align*}
$$

Point E sur le diagramme à partir des coordonnées h* et Xv du point C

2°) pour passer du point A au point E, il faut chauffer et augmenter la teneur en eau Xv en humidifiant. La batterie froide est inopérante.

Le passage dans l'humidificateur et la batterie chaude est représentée par des croix sur le diagramme.

3°) pour passer du point C au point E, il faut déshumidifier de C à E', ce qui permet de baisser la teneur en eau Xv, et ensuite de chauffer de E' à E. L'humidificateur est inopérant.

Le passage dans la batterie froide et la batterie chaude est représentée par des ronds sur le diagramme.

Rq : du point de vue de l'hygiène, cette solution n'est pas envisageable.

4°) l'idée est de faire un recyclage partiel pour récupérer de la chaleur, mais de se passer de la batterie froide pour déshumidifier.

Sur le diagramme, le point M sera sur la droite A-C. il faut se rapprocher du point E.

Ne pas avoir le point M avec TM>TE, recycler au maximum l'air de l'atelier pour récupérer de la chaleur==> Tm=TE

$$
m_{\text{air frais}} / m_{\text{total}} = \text{AM/AC} = 45\% \quad \Rightarrow \quad 55\% \text{ du recyclage (en masse)}
$$

Rq : le calcul des puissances consommées montre que la solution avec ce recyclage partiel permet d'économiser environ 2/3 de la puissance consommée sans recyclage.
## DIAGRAMME DE L'AIR HUMIDE

SESSION ATMOSPHERIQUE NORMALE 101300 [Pa]

Noit:

Prenom:

<figure><img src="image_24.png" /></figure>
CLIMATISATION D'UN LOCAL EN ETE

La figure ci-dessous montre le principe général d'une installation de chauffage et de climatisation.

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

Le taux de recyclage, défini par le rapport R= débit massique d'air sec en B/ débit massique total d'air sec dans le climatiseur en C. R= 4/5

Les conditions en A et B sont les suivantes:

<table><tr><td>Extérieure B</td><td>intérieur A</td></tr><tr><td>TB= 30°C</td><td>TA=25°C</td><td>(températures sèches)</td></tr><tr><td>e=60%</td><td>e=80%</td><td>(degré hygrométrique)</td></tr></table>

-Placer les points A, B et C sur le diagramme fourni.

-En considérant les conditions en C, dire quelles batteries faut-il mettre en œuvre pour obtenir en G des conditions de confort, T=25°C et e=50% ? Placer le point F sur le diagramme.

Le taux de renouvellement de l'air dans le local est égal à deux fois le volume du local par heure.
Le volume du local est de 12 500 m3.

Quel est le débit volumique total (m3/s) en G entraîné par le ventilateur?

On assimile le mélange air+vapeur à de l'air sec. La pression totale est de 1,013 105 Pa. La constante massique des gaz parfait pour l'air est r=286,9 (SI).

En déduire le débit massique d'air sec (Kg/s) à la sortie du ventilateur?

Quelle est la puissance extraite par la batterie froide?

Quelle est la puissance nécessaire à la batterie chaude ?

Réponses

- Points A, B : Placements connaissant deux coordonnées sur le diagramme
Pont C : sur la droite de mélange A-B, tel que AC/AB=4/5 (mm/mm).

- Point : Placement connaissant deux coordonnées sur le diagramme
Point C trop humide et trop chaud par rapport au point G
Il faut mettre en action la batterie froide, ce qui conduira le point C au point F.
En sortie de la batterie froide, il suffit que la teneur en eau en F respecte : $X_{v,F} = X_{v,G}$
Par contre pour passer de F à G, il faudra actionner la batterie de chauffage.

- Débit volumique en G: D= 6,94 m3/s

- Débit d'air sec en sortie du ventilateur : $m_{as} = RT / PD$ kgas/s= 8,22 kg/s

- Puissance échangée à la batterie froide : $P_f = m_{as} (h^*_c-h^*_f) = 8,22 (70-39,5) = 250,7$ kW

- Puissance échangée à la batterie chaude : $P_c = m_{as} (h^*_g-h^*_f) = 8,22 (51-39,5) = 94,5$ kW

Rq : le fonctionnement de la batterie froide est assez couteux, et il semble paradoxal de chauffer pour un confort d'été. C'est pourquoi on peut imaginer de moins recycler, ou bien d'injecter la chaleur dégagée par le condenseur de la batterie froide dans la batterie chaude.
Carrier

# PSYCHROMETRIC CHART

## NORMAL TEMPERATURES

SI METRIC UNITS

Barometric Pressure 101.325 kPa

SEA LEVEL

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Below 0°C Properties and Enthalpy Deviation Lines Are For Ice</figcaption></figure>

Copyright Carrier Corporation 1975
Cat. No. 794-002 Printed in U.S.A.

Reproduced courtesy of Carrier Corporation
CLIMATISATION D'UN LOCAL EN HIVER

La figure ci-dessous montre le principe général d'une installation de chauffage et de climatisation.

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Le mélange air + vapeur est appelé *mélange sec*.

Le taux de recyclage est défini par le rapport $R= \text{débit massique de mélange sec en B} / \text{débit massique total de mélange sec dans le climatiseur en C}$.

Le but de l'exercice est de déterminer la valeur de R pour avoir les bonnes conditions en G.

Les conditions en A et B sont les suivantes:

<table><tr><td>Extérieure B</td><td>intérieur A</td></tr><tr><td>TB= 4°C</td><td>TA=20°C (températures sèches)</td></tr><tr><td>Tr= -3°C</td><td>e=80 % (e degré hygrométrique, Tr température de rosée)</td></tr></table>

Rappel : constante des gaz parfait : 8,32 (SI),

masses molaires de l'air et de la vapeur d'eau : respectivement 29g et 18g.

*Placer les points A, B sur le diagramme fourni.*

-On veut avoir en G les conditions de confort, T=20°C et e=50%.

*Placer le point G sur le diagramme.*

On ne veut utiliser **que la batterie chaude**. En déduire la position du point C sur le diagramme.

*En déduire la valeur du rapport $R_{\text{air}} = \text{débit massique d'air en B} / \text{débit massique d'air en A}$.*

On assimile le mélange sec à de l'air.

*Justifier cette approximation en considérant par exemple les conditions en G.*

*Calculer alors le taux de recyclage R.*

Le taux de renouvellement de l'air dans le local est égal à deux fois le volume du local par heure.

Le volume du local est de 12 500 m3.

*Quel est le débit volumique total (m3/s) en G entraîné par le ventilateur?*

La pression totale est de $1,013 \times 10^5$ Pa. La constante massique des gaz parfait pour l'air est $r=286,9$ (SI).

*En déduire la valeur du débit massique (Kg/s) à la sortie du ventilateur?*

*Quelle est la puissance de chauffe nécessaire pour climatiser le local?*

Réponses

-Points A, B et C placés connaissant deux coordonnées sur le diagramme (voir diagramme joint)

- Le point C est sur la droite de mélange A-B.

pour atteindre le point G, on utilise que la batterie de chauffage, donc $X_v, C= X_v, G$ (trajectoire horizontale)

ce qui permet de placer le point C

- Soit $M_{as,B}$ et $M_{as,B}$, les débit d'air sec respectivement en A et B. $R_{\text{air}} = M_{as,B} / M_{as,A} = BC/BA$ sur la droite de mélange A-B. $R_{\text{air}} = 33 \text{m} / 38 \text{mm} = 0,868$

- On assimile les mélanges secs à de l'air sec. Justification :

Pour le point G par exemple, $X_{v,G}= 0.007$, donc la constante des gaz parfaits $r_{\text{mél}}$ pour le mélange des gaz sec est $r_{\text{mél}} = (r_{as} + X_{v,G} r_{H2O}) / (1 + X_{v,G}) = 287,9 \text{ J/kg}$. $r_{as} = 286,9 \text{ J/kg}$. Donc les masses volumiques sont égales

- $R = M_B / (M_B + M_A) = M_{as,B} / (M_{as,B} + M_{as,A}) = R_{\text{air}} / (R_{\text{air}} + 1) = 0,465$ (environ 50% de recyclage)

- $D(m3/s)=6.94 \text{ m3/s}$

- avec la loi des gaz parfait : $P D = m(\text{kg/s}) r_{\text{mél}} T$

Avec l'approximation précédente: $P D = m_{as} r_{as} T \Rightarrow m_{as}(\text{kg/s}) = 6,36 \text{ kg/s}$

- $P = m_{as} (h_{*G} - h_{*C})$, les enthalpies sont lues sur le diamgramme : $h_{*G} = 39 \text{ kJ/kgas}$ et $h_{*C} = 30 \text{ kJ/kgas}$
$\Rightarrow P = 75 \text{ kW}$
## Comparaison entre plusieurs façons de se chauffer

Pour chauffer un bâtiment, on a besoin d'une puissance thermique **Pchauffage** de 20 kW (la chaleur à apporter par seconde dans le bâtiment).

1. On utilise une chaudière à fioul dont l'efficacité de combustion est égale à 80%. Cette efficacité est définie par le rapport Pchauffage/Pcombustion (Pcombustion est la puissance apportée par la combustion). La chaleur dégagée par la combustion de 1 litre de fioul est de $3,8 \ 10^7$ J.

* *quel est le nombre de litres par seconde nécessaire ?*

2. On utilise un radiateur électrique (d'efficacité égale à un). La centrale thermique à fioul de EdF qui produit le courant a un rendement de 40% (cycle de Rankine amélioré)

* *Rappeler ce que représente le rendement d'une installation qui produit de la puissance mécanique utile.*

* *Quel est le nombre de litres de fioul par seconde nécessaire ?*

3. On utilise une pompe à chaleur. On suppose que l'efficacité de la machine (le COP) est de 4,042 (voir exercice Pompe è Chaleur)

* *Quelle est la puissance électrique Pcomp nécessaire ?*

* *Quel est le nombre de litres de fioul consommé par seconde à la centrale EdF pour avoir cette électricité ?*

4. *comparer les trois cas en termes de dépenses d'énergie fossile.*

**Important** : Dans les trois cas précédents, on supposera que les organes électriques (générateurs, moteur électrique de compression, radiateurs électrique) sont parfaits, c'est à dire avec efficacité égale à un.

## Réponses

$$1- \varepsilon_{\text{comb}} = \frac{P_{\text{chauf}}}{P_{\text{comb}}}, P_{\text{comb}}=25 \text{ kW}, \text{ soit } X_{\text{chaud comb}}^{\text{chaud}} \text{ le débit de fioul } X_{\text{chaud comb}}^{\text{comb}}=6,58 \ 10^{-4} \text{ l/s}$$

$$2- \varepsilon_{\text{EdF}} = \frac{P_{\text{e}}}{P_{\text{comb}}}, P_{\text{comb}}= 50 \text{ kW}, \text{ soit } X_{\text{radiat comb}}^{\text{radiat}} \text{ le débit de fioul associé } = 13,2 \ 10^{-4} \text{ l/s}$$

$$3- \text{COP} = \frac{P_{\text{chauf}}}{P_{\text{comp}}}, \text{ avec } P_{\text{comp}} \text{ la puissance électrique nécessaire pour la compression.}$$

$$P_{\text{comp}} = 4,95 \text{ kW},$$

soit une puissance de combustion nécessaire au niveau de la centrale thermique à fioul de EdF égale $P^{\text{PAC comb}} = 12,37 \text{ kW}$, soit un débit de fuel de $X^{\text{PAC comb}} = 3,25 \ 10^{-4} \text{ l/s}$.

$$5. En conclusion : $X^{\text{PAC comb}}=3,25 \ 10^{-4} \text{ l/s} < X^{\text{chaud comb}}=6,58 \ 10^{-4} \text{ l/s} < X^{\text{radiat comb}}= 13,2 \ 10^{-4} \text{ l/s}$$

On voit bien les consequences socio-économiques et environmentales de ces chiffres
## Etude du cycle combiné, Turbine à vapeur + turbine à gaz

Les gaz chauds de la turbine servent à générer de la vapeur pour la turbine à vapeur, la turbine ayant les mêmes points de fonctionnement et le même rendement que celle du cycle réel de l « étude d'une turbine à gaz »

Le circuit de la turbine à vapeur est le circuit sans soutirage de l « Etude d'une turbine à vapeur », la turbine ayant le même rendement de détente adiabatique $N_{det}$ et les mêmes conditions de fonctionnement, en particulier la même surchauffe. Le générateur est cette fois-ci un échangeur permettant de vaporiser l'eau avec les gaz chauds de la turbine à gaz.

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

Les gaz de turbine sortent du générateur à $T_{5tag}$= 320K

Il n'y a pas de perte de charge dans le générateur

Donner la relation qui existe entre le débit d'air $m_a$ (Kg/s) dans la turbine à gaz et le débit de vapeur $m_v$ de la turbine à vapeur.

On veut produire 25 MW de puissance. Quelle est la nouvelle relation qui existe entre $m_a$ et $m_v$ ?

Donner les valeurs numériques de $m_a$ et $m_v$.

Calculer le rendement global de l'installation ? on utilisera la valeur $c_p= 10^3$ (SI) pour l'air

comparer au cas ou on utilise la turbine à gaz seule ou au cas ou on utilise la turbine à vapeur seule pour produire la même puissance.

## Réponses

$$m_a (h_4^{\text{TAG}} - h_5^{\text{TAG}}) = m_v (h_1 - h_6)$$

$h_3^{\text{TAG}}$ et $h_4^{\text{TAG}}$ sont identiques au cas du cycle réel de l « étude d'une turbine à gaz »

$h_1$ et $h_3$ sont identiques au cas du circuit sans soutirage de l « Etude d'une turbine à vapeur »,

$h_5^{\text{TAG}}$ est connu car $T_5^{\text{TAG}}$ est connu

$$25 \ 10^3 = m_a [(h_3^{\text{TAG}} - h_4^{\text{TAG}}) - (h_2^{\text{TAG}} - h_1^{\text{TAG}})] + m_v (h_1 - h_3)$$

$$m_a = 7,37 m_v \Rightarrow m_a = 47,6 \text{ kg/s} \text{ et } m_v = 6,46 \text{ kg/s}$$

$$r_{\text{global}} = -(Wu^{\text{TAG}} + Wu^{\text{TV}})/[m_a c_p (T_3^{\text{TAG}} - T_2^{\text{TAG}})]$$

$$\text{avec } c_p = 10^3 \text{ (SI), } r_{\text{global}} = 47,6 \%$$
<caption>DIAGRAMME DE L'AIR HUMIDE</caption>

PRESSION ATMOSPHERIQUE NORMALE 101 300 [Pa]

Noit:

Cenon:

<figure><img src="image_29.png" /></figure>
déshumidification d'une piscine couverte

A la surface du plan d'eau d'une piscine, il existe une forte évaporation qui va humidifier et augmenter le degré hygrométrique de l'air du hall dans laquelle se trouve la piscine.
Pour éliminer cette vapeur d'eau, on renouvelle l'air de ce hall avec de l'air extérieur.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Le débit de vapeur au dessus de l'eau du bassin est donnée par la relation

$$m'' = 4,16 \ 10^{-5} (Pv''(eau) - Pv''(air)) \text{ en Kg/s/m2}$$

avec $Pv''(eau)$ la pression de vapeur saturante à la température de l'eau du bassin (en kPa)

$Pv''(air)$ la pression de vapeur saturante au point de rosée pour l'air du hall(point 2) (en kPa)

On donne la relation entre la pression de vapeur saturante et la température

$$\ln(Pv'' / 1,40974 * 10^{10}) = \frac{-3928,5}{(231,667 + t(°C))} \quad \text{Pv'' est en pascal et t en °C}$$

On étudie le hall et sa piscine dans un régime stationnaire

1°) placer les points 1, 1' (en sortie de chauffage) et 2 sur le diagramme joint.

Remarque : l'humidification de l'air sortant de la batterie de chauffage (pt 1') sera considérée comme étant réalisée avec une injection de vapeur, donc à température constante

2°) Calculer le débit $\dot{m}$ (Kg/s) d'évaporation de l'eau du bassin

3°) à partir du bilan de vapeur, calculer le débit d'air sec traversant le hall

4°) Calculer la puissance de chauffe nécessaire

5°) A partir de quelle température, les faces intérieures des vitres du hall seront couvertes de buée ?

Les parois de ces vitres sont en réalité à 15°C. Comment agir sur les conditions du hall pour eviter cette condensation, la température du hall devant rester égale à 25°C pour le confort des usager?
Remarque : dans cette troisième partie, toutes les données qui ne sont pas dans l'énoncé et sur la figure ci-dessus doivent être lues sur le diagramme fourni.

Réponses

1°) Points 1 et 2 sont placés connaissant deux coordonnées sur le diagramme (voir diagramme joint)
Le point 1' est un chauffage donc le passage de 1 à 1' se fait sans changer la valeur de Xv, et la
température de 1' est 25°C (voir hypothèse dans l'énoncé)

2°) Pv''(20°C) = 2,343 kPa, pression de vapeur saturante juste au dessus du bassin
Pv''(air) = pression de vapeur saturante au point de rosée pour l'air dans le hall
Le point de rosée Tr(2) se lit sur le graphe : Tr(2)=17°C
On en deduit Pv''(17°C) = 1,933 kPa
M = 1,706 10⁻² kg/s débit d'évaporation du bassin

3°) Débit de vapeur sortant (kg/s): X<sub>v,2</sub> m<sub>as,2</sub>
Débit de vapeur entrant (kg/s): X<sub>v,1</sub> m<sub>as,1</sub>, avec m<sub>as,1</sub> = m<sub>as,2</sub> = m<sub>as</sub>
On a X<sub>v,2</sub> m<sub>as</sub> = X<sub>v,1</sub> m<sub>as</sub> + M ====> m<sub>as</sub> = 1,89 kg/s

4°) P<sub>chauf</sub> = m<sub>as</sub> (h<sup>*</sup><sub>1'</sub> - h<sup>*</sup><sub>1</sub>) = 37,8 kW

5°) Si la température des vitres est égale à 17°C (Tr(2)), alors il y a de la buée sur les vitres du hall
La température des vitres est en réalité égale à 15°C, alors il ne faut pas que Tr(2) atteigne 15°C,
Pour cela, il faut désumidifier et abaisser le dégré hygrométrique e du hall en dessous de 52-53%
## DIAGRAMME DE L'AIR HUMIDE

NOUVELLE
CRÉATION

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Teneur en humideité [kg/kg air sec]</figcaption></figure>
INSA de Rouen
Département Energétique et propulsion
Enseignement Thermodynamique et Machines Thermiques (A. Coppalle)

ETUDE D'UN SECHOIR

Pour sécher en continu un produit qui contient de l'eau, on le fait passer dans une enceinte ou circule de l'air chaud.

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Le produit contient initialement de l'eau liquide. Le débit massique du produit est $\dot{M}$, celui de l'eau liquide $\dot{M}_{e,l}$. En sortie du séchoir, le produit est complétement sec, toute l'eau liquide se retrouve en vapeur dans l'air de séchage, dont le débit d'air sec est $\dot{Ma}$.

Les conditions en 1, 2 et 3 sont:

$$x_v1= 0.003 \quad T_{as1}=15^{\circ}\text{C}; T_{as2}=40^{\circ}\text{C} \quad \text{et} \quad x_v3= 0.011$$

On suppose que l'humidification de l'air de 2 à 3 se fait à enthalpie h* constante. Pourquoi ?

Placer les points 1, 2 et 3 sur le graphe joint et compléter le tableau ci-dessous (à fournir dans la copie)

<table><thead><tr><th></th><th>1</th><th>2</th><th>3</th></tr></thead><tbody><tr><th>x<sub>v</sub></th><td><strong>0.003</strong></td><td></td><td><strong>0.011</strong></td></tr><tr><th>T<sub>as</sub> (°C)</th><td><strong>15°C</strong></td><td><strong>40°C</strong></td><td></td></tr><tr><th><strong>h* (Kj/Kg as)</strong></th><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Exprimer le débit $\dot{M}_{e,l}$ de l'eau extraite en fonction du débit $\dot{Ma}$ et des conditions données ci-dessus.

Exprimer, la puissance de préchauffage $\dot{Q}$, en fonction du débit $\dot{Ma}$ et des conditions données ci-dessus.

En deduire la valeur de $\dot{Q}/\dot{M}_{e,l}$

A.N. On extrait une quantité d'eau de $10^{-3}$ kg/s

Calculer, $\dot{Q}^*, \dot{M}$ et le débit volumique d'air à l'entrée en 1.

Pour faire le calcul du débit volumique, on peut faire une approximation judicieuse que l'on justifiera. on donne: R=8,32 ; Mair=0.029; 1 atm= $10^5$ (SI)
Réponses

- Le mélange chaud et sec en 2 absorbe de l'eau liquide pour sortir de l'échangeur dans les conditions du point 3. Un calcul simple montre que $h^*_3 \approx h^*_2$, l'enthapie massique de l'eau liquide est très inférieure à $h^*_2$

- Placements de 1 et 2 : grâce aux valeurs de $T_{as}$ et $X_v$
  Placement de 3 : on connaît $X_{v,3}$ et $h^*_3$

<table><thead><tr><th></th><th>1</th><th>2</th><th>3</th></tr></thead><tbody><tr><td>$X_v$</td><td><strong>0.003</strong></td><td><strong>0.003</strong></td><td><strong>0.011</strong></td></tr><tr><td>$T_{as}$ (°C)</td><td><strong>15°C</strong></td><td><strong>40°C</strong></td><td><strong>19,5°C</strong></td></tr><tr><td><strong>h* (Kj/Kg as)</strong></td><td><strong>23</strong></td><td><strong>47</strong></td><td><strong>47</strong></td></tr></tbody></table>

$$M_{e,1} = M_{as} (X_{v,3} - X_{v,2})$$

$$Q_{1-2} = M_{as} (h^*_2 - h^*_1)$$

$$Q_{1-2} / M_{e,1} = (h^*_2 - h^*_1) / (X_{v,3} - X_{v,2})$$

$$M_{e,1} = 10^{-3} \text{ kg/s, donc } Q_{1-2} = 3 \text{ kW, } M_{as} = 0,125 \text{ kg/s}$$

$$P = \rho_{mel} r_{mel} T \text{ donc } D(m^3/s) / M_{mel}(kg/s) = r_{mel} T/P$$

On peut approximer $\rho_{mel}$ et $M_{mel}$ par leurs valeurs pour l'air sec car les teneurs $X_v$ sont faibles:
$$D(m^3/s) / M_{as}(kg/s) = r_{as} T/P = 371 \text{ m}^3\text{/h}$$
# INSA de Rouen

## Département Energétique et propulsion

## Enseignement Thermodynamique et Machines Thermiques (A. Coppalle)

### Description sommaire d'une machine à absorption MAA (Simple effet) utilisée pour la production du froid

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

G : Générateur (colonne de distillation)

C : Condenseur

V : Vanne de détente (détente isenthalpe)

E : Evaporateur (extraction de la chaleur)

Ei : Echangeur interne

P : Pompe

L' absorbant est un liquide et le fluide frigorigène de l'eau

On suppose que le fluide frigorigène est pur dans l'évaporateur et qu'à sa sortie la vapeur n'est pas surchauffée. On suppose aussi que le liquide n'est pas sous-refroidi à la sortie du condenseur.

On néglige le travail dépensé dans la pompe.

1°) Que représente $P^{\text{Putile}}$ pour une MAA et sur quelle partie de la machine est elle échangée ?

Que représente $P^{\text{cons}}$ pour une MAA et sur quelle partie de la machine est elle nécessaire ?

Quel autre nom peut être donné à l'efficacité $\varepsilon_{\text{MAA}}$ de la MAA ?

2°) donner les points qui sont à haute pression et ceux qui sont à basse pression.

Donner la phase du mélange absorbant-réfrigérant aux points 5, 6 et 7
on appelle $X^{\text{abs}}$ la concentration massique de l'absorbant dans le mélange liquide $X_7^{\text{abs}}$ est elle égale, inférieure ou supérieure à $X_6^{\text{abs}}$ ?

Donner la phase du réfrigérant aux points 1, 2, 3 et 4

3°) On donne T1= 25°C et T4= 0°C, et le tableau suivant résume les propriétés de l'eau pure sur la courbe de changement d'état

<table><thead><tr><th>t<br>(°C)</th><th>T<br>(K)</th><th>p<br>(bar)</th><th>u<br>m<sup>3</sup>(kg)<sup>-1</sup></th><th>u'<br>m<sup>3</sup>(kg)<sup>-1</sup></th><th>h<br>kJ(kg)<sup>-1</sup></th><th>h'<br>kJ(kg)<sup>-1</sup></th><th>L<br>kJ(kg)<sup>-1</sup></th><th>s<br>kJ(kg)<sup>-1</sup>K<sup>-1</sup></th><th>s'<br>kJ(kg)<sup>-1</sup>K<sup>-1</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>0,00</td><td>273,15</td><td>0,006108</td><td>0,0010002</td><td>206,3</td><td>-0,04</td><td>2501,6</td><td>2501,6</td><td>-0,0002</td><td>9,1577</td></tr><tr><td>0,01</td><td>273,16</td><td>0,006112</td><td>0,0010002</td><td>206,2</td><td>0,00</td><td>2501,6</td><td>2501,6</td><td>0,0000</td><td>9,1575</td></tr><tr><td>25</td><td>298,15</td><td>0,03166</td><td>0,0010029</td><td>43,40</td><td>104,77</td><td>2547,3</td><td>2442,5</td><td>0,3670</td><td>8,5592</td></tr><tr><td>50</td><td>323,15</td><td>0,12335</td><td>0,0010121</td><td>12,05</td><td>209,26</td><td>2592,2</td><td>2382,9</td><td>0,7035</td><td>8,0776</td></tr><tr><td>100</td><td>373,15</td><td>1,0133</td><td>0,0010437</td><td>1,673</td><td>419,06</td><td>2676,0</td><td>2256,9</td><td>1,3069</td><td>7,3554</td></tr><tr><td>150</td><td>423,15</td><td>4,760</td><td>0,0010908</td><td>0,3924</td><td>632,15</td><td>2745,4</td><td>2113,2</td><td>1,8416</td><td>6,8358</td></tr><tr><td>200</td><td>473,15</td><td>15,549</td><td>0,0011565</td><td>0,1272</td><td>852,37</td><td>2790,9</td><td>1938,6</td><td>2,3307</td><td>6,4278</td></tr><tr><td>250</td><td>523,15</td><td>39,776</td><td>0,0012513</td><td>0,05004</td><td>1085,8</td><td>2800,4</td><td>1,714,6</td><td>2,7935</td><td>6,0708</td></tr><tr><td>300</td><td>573,15</td><td>85,927</td><td>0,0014041</td><td>0,02165</td><td>1345,0</td><td>2751,0</td><td>1,406,0</td><td>3,2552</td><td>5,7081</td></tr><tr><td>350</td><td>623,15</td><td>165,35</td><td>0,0017411</td><td>0,008799</td><td>1671,9</td><td>2567,7</td><td>895,7</td><td>3,7800</td><td>5,2177</td></tr><tr><td>374,15</td><td>647,30</td><td>221,20</td><td>0,00317</td><td>0,00317</td><td>2107,4</td><td></td><td>0,0</td><td></td><td>4,4429</td></tr></tbody></table>

Température critique : t = 374 15°C

Si la puissance $P^{\text{Putile}}$ est de 2000kW, calculer le débit massique du liquide réfrigérant $\dot{m}_r$.

### Réponses :

1°) $P^{\text{Putile}}$ est la puissance 'froid' échangée au niveau de l'évaporateur E (échangeur)

$P^{\text{cons}}$ est la puissance chauffe apportée au niveau du générateur de vapeur G.

$\varepsilon_{\text{MAA}}$ = Coefficient de Performance = COP

2°) Haute pression : 1, 2, 6 et 7

Basse pression : 3, 4 et 5
Phase liquide aux points 5, 6 et 7

$X_7^{\text{abs}} > X_6^{\text{abs}}$, le générateur sert à enlever de 6 à 7 du réfrigérant dans le mélange absorbant/réfrigérant

Pour le réfrigérant : point 1= vapeur, point 2= liquide, point 3=liquide/vapeur, point 4= vapeur

$$3^{\circ}) \text{P}^{\text{utile}} = m_r (h4-h3)$$

Point 4 : vapeur non surchauffée, il est sur la courbe de changement d'état à 0°C, h4= 2501,8 kJ/kg

Point 3 : h3=h2, point 2 liquide non sous-refroidi, sur la courbe de changement d'état à 25°C,
h3= 104,77 kJ/kg

$$m_r = 0,834 \text{ kg/s}$$
# INSA de Rouen

## Département Energétique et propulsion

## Enseignement Thermodynamique et Machines Thermiques (A. Coppalle)

On souhaite produire en été à la fois de la puissance utile (de l'électricité) et du froid (pour la climatisation des locaux)

## Première partie : Une machine à absorption MAA (Simple effet) est utilisée seule pour la production du froid

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

G : Générateur (colonne de distillation)

C : Condenseur

V : Vanne de détente (détente isenthalpe)

E : Evaporateur (extraction de la chaleur)

Ei : Echangeur interne

P : Pompe

Pf : puissance froide extraite du local climatisé

PG : puissance de chauffe consommée par le générateur

L' absorbant est une mélange eau+Bromure de lithium et le fluide frigorigène de l'eau dont les caractéristiques pression de vapeur/température et enthalpie sont fournies sur les graphes joints.

On donne :

$$- T_{\text{cond.}} = 25 \,^{\circ}\text{C}$$

$$- T_{\text{absorb.}} = 25 \,^{\circ}\text{C}$$

$$- T_{\text{evap.}} = 5 \,^{\circ}\text{C}$$

On suppose que le fluide frigorigène est pur dans l'évaporateur et que à sa sortie la vapeur n'est pas surchauffée. On suppose aussi que le liquide n'est pas sous-refroidi à la sortie du condenseur.

On donne $\Delta X^{\text{abs}} = X_7^{\text{abs}} - X_6^{\text{abs}} = 2,8\%$, $X^{\text{abs}}$ concentration massique de l'absorbant dans le mélange liquide 1°) A l'aide du graphe fourni,

donner les valeurs des températures $T_i$ et des concentrations massique de l'absorbant $X_i^{\text{abs}}$ pour tous les points de la machine (1 à 7)

Placer ces points sur le graphe.

2°) Calculer la puissance à extraire dans le local, $P_f$, en fonction du débit de liquide réfrigérant $\dot{m}_r$

3°) Ecrire les bilans de matière du générateur G et de l'absorbeur A,

En déduire une relation entre $\dot{m}_r$ et $\dot{m}_6$

Ecrire le bilan d'énergie au niveau du générateur

Placer sur le diagramme (h, $X^{\text{abs}}$) les points 6 et 7.

4°) En déduire le COP de l'installation. Faire l'application numérique (utiliser les graphes et les propriétés de l'eau fournies ci-dessous)

<table><thead><tr><th>Température</th><th>Enthalpie<br>Eau liquide<br>(KJ/Kg)</th><th>Enthalpie<br>eau vapeur<br>(KJ/Kg)</th></tr></thead><tbody><tr><td>5 °C</td><td>20.9</td><td>2510.74</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>25 °C</td><td>104.77</td><td>2547.3</td></tr></table>

## Deuxième partie : production séparée de la puissance froid et de la puissance utile

La puissance 'froid' est produite par la MAA et la puissance utile par une turbine à gaz TAG
Le schéma ci-dessous donne les éléments de la TAG.

Le rendement de la TAG, défini par $\eta_{tag} = -P_{tag}^U / P_{tag}^C$, est égal à 0,45.

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

5°) montrer que la puissance thermique rejetée par les fumées de la turbine, $P_{tag}^{fumée}$, est donnée en valeur absolue par

$$|P_{tag}^{fumée}| = (1 - \eta_{tag}) P_{tag}^{C}$$

6°) montrer que la puissance totale dépensée par les deux machines est donnée par

$$P_{totale}^{dépensée} = P_f \left( \frac{1}{COP} + \frac{1}{\eta_{tag}} \frac{|P_{tag}^{U}|}{P_f} \right)$$

A.N. on récupère autant de puissance utile $P_{tag}^U$ que de puissance froide $P_f$, c'est à dire $P_f/ P_{tag}^U=1$

Faire l'application numérique et calculer $P_{totale}^{dépensée}$ en fonction de $P_f$.

## Troisième partie : Etude de l'installation couplée TAG+MAA

Il semble judicieux de récupérer la puissance perdue dans les fumées de la turbine pour chauffer le générateur de la machine à absorption.

Le couplage thermique de la TAG avec la MAA est sans perte

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

On veut toujours produire la même quantité de froid $P_f$.

7°) calculer la puissance totale dépensée $P_{totale}^{dépensée}$ en fonction de $P_f$, du COP (de la MAA) et de $\eta_{tag}$

Faire l'application numérique et calculer $P_{totale}^{dépensée}$ en fonction de $P_f$.

Conclure par rapport au résultat du 6°).

8°) exprimer le ratio $P_f/P_{tag}^U$ en fonction du COP (de la MAA) et du rendement $\eta_{tag}$ de la turbine.
Faire l'application numérique et conclure par rapport au résultat du 6°).

Réponses : 1er partie

1°) $T1=T2= 25^{\circ}\text{C}, X_{1}^{\text{abs}} = X_{2}^{\text{abs}} = 0$

(Rq : les pressions se lisent sur la droite $X^{\text{ref}}=100\%$ et en plaçant les points 1 et 2, $P1=P2=3,2 \text{ kPa}$)

$T3=T4= 5^{\circ}\text{C}, X_{3}^{\text{abs}} = X_{4}^{\text{abs}} = 0$

(Rq : les pressions se lisent sur la droite $X^{\text{ref}}=100\%$ et en plaçant les points 3 et 4, $P3=P4=0,7 \text{ kPa}$)

$P4=P5, T5= 25^{\circ}\text{C}, \text{le placement du point 5 permet de lire } X_{5}^{\text{abs}} = 50\%$

$P6=P7=P1= 3,2 \text{ kPa}, X_{6}^{\text{abs}} = X_{5}^{\text{abs}} = 50\%, \text{ le placement du point 6 permet de lire } T_{6} = 48^{\circ}\text{C}$

$X_{7}^{\text{abs}}= 2,8\% /\Delta X^{\text{abs}} + 50\%=52,8\%, P7=P1, \text{ le placement du point 7 permet de lire } T_{7}= 53^{\circ}\text{C}$

2°) $P_f=m_r (h_4-h_3)= m_r (h_4-h_2)$

3°) débits massiques au générateur $m_6=m_7+m_r$

débits massiques de l'absorbant au générateur $m_6 X_{6}^{\text{abs}} = m_7 X_{7}^{\text{abs}}$

$\therefore m_6 / m_r = X_{7}^{\text{abs}} / \Delta X^{\text{abs}}$

$P_G + m_6 h_6 = m_r h_1 + m_7 h_7$

4°) $\text{COP} = P_f / P_G = (h_4-h_2) / [h_1-h_7 + m_6 / m_r ((h_7-h_6))]$

L'énoncé fournit les valeurs de h1, h2 et h4

Le diagramme (h, $X^{\text{abs}}$) permet de lire les valeurs de $h_6=100 \text{ kJ/kg}$ et $h_7=120 \text{ kJ/kg}$

$\text{COP}=0,858$

Réponses : 2ème partie

5°) En partant du 1er principe pour un cycle de la TAG, on retrouve la formule

6°) en partant de $P_{\text{totale}}^{\text{dépensée}}= P_G + P_{\text{TAG}}^{\text{C}}$, on retrouve la formule

$P_{\text{totale}}^{\text{dépensée}}=3,39 P_f$

Réponses : 3ème partie

7°) $P_{\text{totale}}^{\text{dépensée}} = P_f / [\text{COP} (1-\eta_{\text{TAG}})]$

$P_{\text{totale}}^{\text{dépensée}} = 2,12 P_f$

8°) $P_f / P_u^{\text{TAG}} = \text{COP} (1-\eta_{\text{TAG}}) / \eta_{\text{TAG}} = 0,964$
<figure><img src="image_37.png" /></figure>

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>PROPRIÉTÉS DE L'EAU ET DE LA VAPEUR D'EAU, ÉTAT SATURÉ (1)</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>t<br>(°C)</th><th>T<br>(K)</th><th>p<br>(bar)</th><th>u<br>m³(kg⁻¹)</th><th>u'<br>m³(kg⁻¹)</th><th>h<br>kJ(kg⁻¹)</th><th>h'<br>kJ(kg⁻¹)</th><th>L<br>kJ(kg⁻¹)</th><th>s<br>kJ(kg⁻¹K⁻¹)</th><th>s'<br>kJ(kg⁻¹K⁻¹)</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,00</td><td>273,15</td><td>0,006108</td><td>0,0010002</td><td>206,3</td><td>-0,04</td><td>2 501,6</td><td>2 501,6</td><td>-0,0002</td><td>9,1577</td></tr><tr><td>0,01</td><td>273,16</td><td>0,006112</td><td>0,0010002</td><td>206,2</td><td>0,00</td><td>2 501,6</td><td>2 501,6</td><td>0,0000</td><td>9,1575</td></tr><tr><td>25</td><td>298,15</td><td>0,03166</td><td>0,0010029</td><td>43,40</td><td>104,77</td><td>2 547,3</td><td>2 442,5</td><td>0,3670</td><td>8,5592</td></tr><tr><td>50</td><td>323,15</td><td>0,12335</td><td>0,0010121</td><td>12,05</td><td>209,26</td><td>2 592,2</td><td>2 382,9</td><td>0,7035</td><td>8,0776</td></tr><tr><td>100</td><td>373,15</td><td>1,0133</td><td>0,0010437</td><td>1,673</td><td>419,06</td><td>2 676,0</td><td>2 256,9</td><td>1 3069</td><td>7,3554</td></tr><tr><td>150</td><td>423,15</td><td>4,760</td><td>0,0010908</td><td>0,3924</td><td>632,15</td><td>2 745,4</td><td>2 113,2</td><td>1,8416</td><td>6,8358</td></tr><tr><td>200</td><td>473,15</td><td>15,549</td><td>0,0011565</td><td>0,1272</td><td>852,37</td><td>2 790,9</td><td>1 938,6</td><td>2,3307</td><td>6,4278</td></tr><tr><td>250</td><td>523,15</td><td>39,776</td><td>0,0012513</td><td>0,05004</td><td>1 085,8</td><td>2 800,4</td><td>1 714,6</td><td>2,7935</td><td>6,0708</td></tr><tr><td>300</td><td>573,15</td><td>85,927</td><td>0,0014041</td><td>0,02165</td><td>1 345,0</td><td>2 751,0</td><td>1 406,0</td><td>3,2552</td><td>5,7081</td></tr><tr><td>350</td><td>623,15</td><td>165,35</td><td>0,0017411</td><td>0,008799</td><td>1 671,9</td><td>2 567,7</td><td>895,7</td><td>3,7800</td><td>5,2177</td></tr><tr><td>374,15</td><td>647,30</td><td>221,20</td><td>0,00317</td><td>0,00317</td><td>2 107,4</td><td>0,0</td><td></td><td>4,4429</td><td></td></tr></tbody></table>

Température critique : $t_c = 374,15$ °C.

Pression critique : $p_c = 221,20$ bar

Nota : Un état arbitraire de l'eau a été choisi pour lui attribuer une entropie nulle ($s = 0$, $T = 273,16$ K).
<figure><img src="image_39.png" /></figure>

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

NOM :

PRENOM :

SCAN
<figure><img src="image_41.png" /></figure>

© Department of Mechanical Engineering

Non-

Puhon.

<figure><img src="image_42.png" /></figure>
© Department of Mechanics

<table><tr><td>Thermodynamic properties of AMMONIA</td></tr></table>

<table><thead><tr><th>point</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th></tr></thead><tbody><tr><td>T (°C)</td><td>-33</td><td>87</td><td>0</td><td>127</td><td>47</td><td>0</td><td>0</td><td>-33</td></tr><tr><td>P (MPa)</td><td>0.1</td><td>0.43</td><td>0.43</td><td>1.85</td><td>1.85</td><td>0.43</td><td>0.43</td><td>0.1</td></tr><tr><td>h (kJ/kg)</td><td>1550</td><td>1800</td><td>1550</td><td>1850</td><td>550</td><td>550</td><td>385</td><td>385</td></tr><tr><td>X mixture</td><td>1/2</td><td>1/2</td><td>1/2</td><td>1/2</td><td>1/2</td><td>0.18</td><td>1/2</td><td>1/2</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_43.png" /></figure>
# ETUDE D'UNE MACHINE FRIGORIFIQUE A COMPRESSION

La figure ci-dessous représente le schéma d'une machine frigorifique fonctionnant avec de l'ammoniac.

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

L'ensemble est constitué par:

- un compresseur. La compression est adiabatique et le travail utile échangé est $W^u$.

La température finale est 227°C

- Un condenseur d'où ressort l'ammoniac à l'état liquide, non sous-refroidi et à $t= 47°C$.

- Une vanne de détente où il n'y a pas de pertes de chaleur.

- Un évaporateur servant à maintenir à basse température la chambre froide. **La puissance extraite est égale à 200 kW.** L'ammoniac ressort à l'état de vapeur saturante non surchauffée à $t= -33°C$.

Le diagramme (P,h) est fourni pour NH3, certaines valeurs manquantes et qui ne sont pas calculées doivent être lues sur ce diagramme.

## Etude pratique de la machine.

1°) Compléter le tableau fourni (température, pression, enthalpie, titre et entropie) et placer les points du cycle sur le diagramme (P,h) également fourni.

2°) Calculer le débit massique dans le compresseur.

3°) définir le COP de l'installation (son efficacité globale)
Donner sa valeur numérique.

4°) montrer simplement que la compression est irréversible.

Si on suppose que l'ammoniac est un gaz parfait et que la compression est adiabatique et réversible, quelle serait la température $T_2^{rev}$ finale atteinte ?

## Etude théorique de la machine

L'installation est une machine ditherme. Elle échange la chaleur Qc avec une source chaude à la température constante $t_c= 47°C$ et la chaleur Qf avec une source froide à la température constante $t_f= -33°C$.

5°) Pour un cycle, faire le bilan énergétique de la machine et donner la relation qui existe entre $W^u$, $Qf$ et $Qc$

Pour un cycle, faire le bilan entropique de la machine et donner la relation qui existe entre $Qf$, $Qc$, $Tf$, $Tc$ et $S^{cycle}$ la production interne d'entropie pour l'ensemble du cycle

6°) En déduire la valeur théorique du COP en fonction de $Qf$, $Tf$, $Tc$ et $S^p$

7°) En déduire la valeur théorique du COP que l'on obtiendrait avec un cycle de Carnot, c'est à dire si on suppose que l'ammoniac effectue un cycle constitué de deux adiabatiques réversibles entre deux isothermes à $t_f= -33°C$ et $t_c= 47°C$.

Calculer sa valeur numérique. Comparaison par rapport au résultat du 3°)
## cas de la machine à deux étages de compression.

La figure ci-dessous représente le schéma d'une machine frigorifique fonctionnant avec deux étages de compression.

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

Il s'agit d'une installation comprenant un circuit haute pression et un circuit basse pression.

L'ensemble est constitué par :

-Deux compresseurs. Les compressions sont adiabatiques.

-Un condenseur d'où ressort l'ammoniac à l'état liquide, non sous-refroidi et à $T=47°C$.

-Deux vannes de détente où il n'y a pas de perte de chaleur.

-Un évaporateur servant à maintenir à basse température la chambre froide. **La puissance extraite est égale à 200 kW.** L'ammoniac ressort à l'état de vapeur saturante à $-33°C$.

- Un mélangeur interne qui permet simultanément de désurchauffer de 2 à 3 la vapeur provenant du compresseur BP et de condenser de 6 à 7 le mélange issu du détendeur du circuit HP. En 3, la vapeur est saturante, le point 7 est sur la courbe de changement d'état.

Les valeurs des pressions des points 1-2-3-4 sont imposées et données dans le tableau fourni avec le graphe.

Les valeurs des températures des points 1-2-4 sont imposées et données dans le tableau fourni avec le graphe.

8°) Compléter le tableau fourni (température, pression, enthalpie et titre) et placer les points du cycle sur le diagramme (P,h) également fourni.

Dans le cas où une valeur n'est pas disponible, il faut l'estimer de façon simple grâce à deux valeurs encadrantes du graphe.

9°) Calculer le débit massique $M_{BP}(kg/s)$ dans le compresseur BP.

Faire le bilan énergétique du mélangeur, en déduire le débit massique $M_{HP}(kg/s)$ dans le compresseur HP.

10°) Calculer la valeur de l'efficacité globale de l'installation (voir la définition au (I) du C.O.P.)

En comparant ce résultat à celui du I (machine simple idéale), on s'aperçoit que la compression bi-étagée améliore les performances de la machine. Justifier en quelques lignes.
Réponses

1°) Sur le diagramme (p,h) de NH3, placer en premier les points 1 et 3
Pour placer P2 : utiliser le fait que P2=P3 et T2=500 K
Pour placer P4 : utiliser le fait que h3=h4 et T4=T1=240 K

$$
2^{\circ}) P_{\text{froid}} = m (h1-h4) = m (1550 - 550) \Rightarrow m = 0,2 \text{ kg/s}
$$

$$
3^{\circ}) \text{COP} = \text{utile}/\text{dépense} = \frac{200\,\text{kW}}{[m(h2-h1)]} = \frac{200}{[0,2 (2100-1550)]} = 1,82
$$

4°) s₂ = 6,7 kJ/kg > s₁ = s rev ₂ = 6,5 kJ/kg ====> la compression étant adiabatique, elle est irréversible
La production d'entropie est égale à 0,2 kJ/kg
Sur le diagramme, point 2 rev tel que s 2 rev = s 1, on lit T 2 rev = 460 K

$$
5^{\circ}) \Delta h_{\text{cycle}} = 0 = W^{\text{u}} + Q_{\text{C}} + Q_{\text{F}} \implies W^{\text{u}} = -Q_{\text{C}} - Q_{\text{F}}
$$

On appelle sP la production interne d'entropie :

$$
\Delta s_{\text{cycle}} = 0 = s^{P1-2} + Q_C/T_C + s^{P2-3} + s^{P3-4} + Q_F/T_F + s^{P4-1} \implies 0 = s_{\text{cycle}} + Q_C/T_C + Q_F/T_F
$$

6°) COP = Q<sub>F</sub> / W<sup>u</sup>, on trouve en combinant les deux relations précédentes
COP = 1 / [s<sup>P</sup><sub>cycle</sub> T<sub>C</sub> / Q<sub>C</sub> + T<sub>C</sub> / T<sub>F</sub> - 1]

$$
7^{\circ}) \text{Cycle de Carnot : } s_{\text{p-cycle}} = 0, \text{ COP}_{\text{carnot}} = \frac{1}{[T_{\text{C}}/T_{\text{F}} - 1]} = 3, \text{ évidemment meilleur}
$$

8°) Sur le diagramme (p,h) de NH3, placer en premier les points 1 et 2
Le point P3 est sur la courbe de saturation avec P2=P3
Placer P4
Pour placer P5 : utiliser le fait que P5=P4 et P5 sur la courbe saturation (coté liquide)
Pour placer P6 : utiliser le fait que h6=h5 et T6=T3=260 K
Le point P7 est sur la courbe de saturation avec P7=P6
Pour placer P8 : utiliser le fait que h8=h7 et T8=T1=240 K

9°) P<sub>froid</sub> = M<sub>BP</sub> (h1-h8) = M<sub>BP</sub> (1550- 325) ===> M<sub>BP</sub> = 0,163 kg/s
Bilan du mélangeur : M<sub>HP</sub> h6 + M<sub>BP</sub> h2 = M<sub>HP</sub> h3 + M<sub>BP</sub> h7
==> M<sub>HP</sub> = M<sub>BP</sub> (h2-h7)/(h3-h6) = 0,231 kg/s

$$
10^{\circ}) \text{ COP} = \frac{P_{\text{froid}}}{[M_{\text{BP}}(\text{h2-h1}) + M_{\text{HP}}(\text{h4-h3})]} = 1,98
$$

Par rapport au cas précédent, la compression est bi-étagée. Pour la deuxième compression, le
volume massique intermédiaire v3 est plus faible car plus froid, donc la compression de 3 à 4
nécessitera moins de puissance.
**INSA de Rouen**
**Département Energétique et propulsion**
**Enseignement Thermodynamique et Machines Thermiques (A. Coppalle)**

**ETUDE DU CYCLE DE STIRLING**

Avec le cycle de Stirling, il est possible de réaliser un moteur à piston fonctionnant en cycle fermé, c'est toujours la même quantité d'air qui effectue les cycles les uns après les autres. Les échanges de chaleurs sont donc externes au moteur.

**Questions Préliminaires** : La figure ci-dessous donne le schéma d'un moteur de type béta fonctionnant suivant le principe du cycle de Stirling.

(source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Moteur_Stirling)

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

-1 Les pistons sont de faibles masses et ils stockent peu de chaleur. Peut-on espérer atteindre le rendement maximal de Carnot ?

Réponse :

-2 A quoi sert le piston déplaceur ?

Réponse :

-3 Sur quel piston est produit le travail au cours du cycle ?

Réponse :

-4 Au cours des échanges de chaleur à volume constant, est-ce le piston de déplacement bouge ?

Réponse :

-5 Dans le cas de la figure ci-dessus, le cycle est à une étape ou le piston moteur ne bougera pas beaucoup (bielle position basse), et le piston de déplacement est en train de redescendre (bielle en position intermédiaire). Quelle étape du cycle de Stirling est en train de se réaliser ?

Réponse :
## Cycle idéale de Stirling

L'allure du cycle idéal de Stirling dans le diagramme (T,s) est donnée par la figure ci-dessous

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

L'air est supposé être un gaz parfait et toutes les transformations sont réversibles. On considère que cv est constant.

Les données du problème sont: V2, V3, T<sub>F</sub>, T<sub>C</sub>, r constante massique des gaz parfaits pour l'air, cv capacité calorifique massique à volume constant.

1°) Décrire toutes les transformations du cycle (6 lignes maximum)

2°) Tracer l'allure du cycle dans le diagramme (P,v)

3°) Sur le diagramme (T,s) et pour chaque étape, indiquer les chaleurs et les travaux échangés, pour l'unité de masse d'air qui parcourt le cycle.

4°) Justifier mathématiquement l'allure T=T(s) des transformations 1-2 et 3-4 dans le diagramme (T,s)

5°) Calculer q<sub>1-2</sub>, chaleur (massique) échangée au cours de l'étape 1-2, et comparer à q<sub>3-4</sub>.

Calculer Δs<sub>1-2</sub>, la variation d'entropie (massique) au cours de l'étape 1-2, et comparer à Δs<sub>3-4</sub>.

6°) calculer le rendement η<sub>s</sub> du cycle de Stirling s'il y a régénération interne (c'est-à-dire que q<sub>1-2</sub> est apportée par q<sub>3-4</sub>)

Rappeler les transformations du cycle de Carnot. Comparer les rendements des deux cycles.

7°) On donne : Tf=500 K; TC=1000 K; r=0,287; cv= 0,805 (SI)

Donner la valeur numérique du rendement η<sub>s</sub> du cycle de Stirling avec régénération.

le rapport volumétrique de compression est V3/V2 = 3

Quelle doit être la vitesse de rotation, en tour/mn, pour que le moteur fournisse une puissance de 1 kW/kg-air ?

8°) calculer le rendement η<sub>s</sub> du cycle de Stirling sans régénération interne

9°) On donne : Tf=500 K; TC=1000 K; r=0,287; cv= 0,805 (SI)

Donner la valeur numérique du rendement η<sub>s</sub> du cycle de Stirling sans régénération.

## Cycle réel de Stirling avec régénération

En réalité, le régénérateur interne n'est pas parfait. Lors de la phase de chauffage interne, l'air issu de 1 n'atteint pas la température T<sub>2</sub> mais la température Ta < T<sub>2</sub>. De même, lors du refroidissement interne, l'air issu de 3 n'atteint pas la température T<sub>4</sub> mais la température Tb > T<sub>4</sub>, comme cela est représenté sur le schéma ci-dessous.

On définit l'efficacité α du régénérateur interne par α= q<sub>1-a</sub> / q<sub>1-2</sub>, avec q<sub>1-a</sub> la chaleur reçu par l'air lors de son passage dans le régénérateur.

10°) Calculer le rendement réel η<sub>réel</sub> du cycle réel en fonction de η<sub>s</sub> (voir question 6), α, cv, r, et du rapport volumique v3/v2.
<figure><img src="image_48.png" /></figure>

11°) On donne : Tf=500 K; TC=1000 K; r=0,287; cv= 0,805 (SI)

Donner la valeur numérique du rendement η<sub>réel</sub> du cycle réel de Stirling avec régénération.

Avec un rapport volumétrique de V3/V2 = 3 et α = 0,5

**Cycle idéal de Stirling pour produire du froid.**

Il est possible de produire du froid avec un cycle de Stirling.

12°) Tracer dans le diagramme (T,s) l'allure du cycle idéal de Stirling qui produit du froid.

*Indiquer dans quel sens le cycle est parcouru.*

Sur le diagramme (T,s) et pour chaque étape, indiquer les chaleurs et les travaux échangés.

13°) calculer l'efficacité idéale η<sub>froid</sub> du cycle froid avec régénération interne.

14°) On donne : Tf=500 K; TC=1000 K; r=0,287; cv= 0,805 (SI)

Donner la valeur numérique de l'efficacité idéale η<sub>froid</sub> du cycle de Stirling avec régénération.

le rapport volumétrique est V3/V2 = 3

Quel doit être la vitesse de rotation, en tour/mn, pour que le cycle fournisse une puissance 'froide' de 100 W / kg-air ?
# Réponses

## Questions Préliminaires

1- Non car il n'y a pas de régénération interne

2- Il sert à déplacer l'air de la source chaude à la source froide pendant les transformations à volume constant

3- Sur le piston moteur, pendant la compression et la détente

4- Oui

5- L'air est déplacé vers la source chaude, e chauffage est à volume constant

## Cycle idéale de Stirling

1°) 1-2 : chauffage isochore

2-3 : chauffage isotherme avec une source chaude, mais avec détente (échange de travail)

3-4 : refroidissement isochore

4-1 : refroidissement isotherme avec une source froide, mais avec compression (échange de travail)

2°)

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

3°) Pour le système égale à l' unité de masse d'air qui parcourt le cycle, les échanges de chaleur et de travail échangés sont représentés par des flèches, qui rentrent si l'air reçoit de l'énergie, qui sortent si l'air donne de l'énergie.

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

4°) 1-2 : 1-2 : chauffage isochore

$\delta q = Tds = cv \, dT$, donc $T = CST \, e^{(s/cv)}$, la transformation $T=T(s)$ à l'allure d'une exponetielle

5°) $q_{1-2} = \int_{C}^{F} cv \, dT = cv (T_{C}-T_{F}) = -q_{3-4}$

$$ \Delta s_{1-2} = \int_{C}^{F} dT/T = cv \ln (T_{C}/T_{F}) = - \Delta s_{3-4} $$

6°) $\eta = - w_{cycle} / q_c$ car $q_{1-2}$ est apportée par $q_{3-4}$

$$ \Delta u_{cycle} = 0 = \Sigma_{cycle} q + \Sigma_{cycle} w, \text{ donc } w_{cycle} = - q_{C} - q_{F} $$

$$ \Delta s_{cycle} = 0 = \Sigma_{cycle} \Delta s, \text{ donc } 0 = q_{C}/T_{C} - q_{F}/T_{F} $$

On en déduit $\eta = 1 + q_F/q_C = 1 - T_F/T_C$, c'est exactement le rendement du cycle de Carnot, qui comprend 2 isothermes réversibles et deux adiabatiques réversible !

7°) $\eta = 0,5$

$$ w_{cycle} = - q_C - q_F $$

Chaleur échangée sur une isotherme : $\Delta u_T = 0$ (gaz parfait), donc $q = \int P \, dv$

Pour l'étape 2-3 : $q_C = rT_C \ln(V_3/V_2)$

Pour l'étape 4-1 : $q_F = rT_C \ln(V_4/V_1)$
$$q_C + q_F = r \ln(V_3/V_2) (T_C - T_F) \Rightarrow w_{cycle} = -r \ln(V_3/V_2) (T_C - T_F)$$

$$P_{mec} = r \ln(V_3/V_2) (T_C - T_F) N(\text{tr/s}) \Rightarrow N = 6,34 \text{ tr/s } (\approx 380 \text{ tr/mn})$$

$$8^{\circ)} \eta_{ssReg} = w_{cycle} / (q_c + q_{1-2})$$

$$\text{On a toujours } q_{1-2} = -q_{3-4}, \text{ donc } \eta_{ssReg} = (q_c + q_F) / (q_c + q_{1-2}) = \eta / [1 + q_{1-2} / q_c]$$

$$q_{1-2} = cv (T_C - T_F) \text{ (isochore) et } q_C = rT_C \ln(V_3/V_2)$$

$$\Rightarrow \eta_{ssReg} = \eta / [1 + cv \eta / (r \ln(V_3/V_2))]$$

$$9^{\circ)} \eta_{ssReg} = 0,22$$

$$10^{\circ)} \eta_{\text{réel}} = w_{cycle} / (q_c + q_{a2}), q_{a1} \text{ est fourni par régénération interne lors de l'étape 3-4}$$

$$\text{On a toujours } q_{1-2} = -q_{3-4} \text{ et } w_{cycle} = q_C - q_F \Rightarrow \eta_{\text{réel}} = (q_C + q_F) / (q_C + q_{a2})$$

$$\text{On a } q_{a2} = (1-\alpha) q_{1-2}, \text{ on obtient } \eta_{\text{réel}} = \eta / [1 + (1-\alpha) cv \eta / (r \ln(V_3/V_2))]$$

$$11^{\circ)} \eta_{\text{réel}} = 0,305, \text{ ce qui reste meilleur que le cas sans régénération.}$$

$$12^{\circ)}$$

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

Le cycle doit être parcouru en sens inverse du cycle moteur

$$13^{\circ)} \eta_{\text{froid}} = q_F / w_{cycle}, q_{3-4} \text{ ne peut pas être utilisée car cet échange est impliqué dans la Régénération interne}$$

$$\text{On a toujours } q_{1-2} = -q_{3-4} \text{ et } w_{cycle} = q_C - q_F$$

$$\text{On obtient } \eta_{\text{froid}} = T_F / (T_C - T_F)$$

$$14^{\circ)} \eta_{\text{froid}} = 1$$

$$q_F = rT_C \ln(V_1/V_4), \text{ donc } P_{\text{froid}} = rT_C \ln(V_1/V_4) N(\text{tr/s}) = 0,182 \text{ tr/s} = 10 \text{ t/mn}$$

Conclusion : le cycle de Stirling permet de faire des moteurs de faible puissance, pouvant récupérer de façon externe des chaleurs perdues. Il est aussi utilisé pour le refroidissement de petites pièces, comme par exemple les détecteurs des caméras infrarouge.
## Etude d'une petite pile à combustible

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

(pour un appareil mobile portable)

La pile à combustible ci-contre fonctionne sur le principe suivant:

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

Quand la pile fonctionne, elle consomme de l'hydrogène H2, il y a un échange de charge $δq$ dans le circuit extérieur et l'élément fournit un travail utile 'électrique' $δWe$. Elle échange aussi de la chaleur $δQ$.

On rappelle que, pour un échange de charge $δq$, le travail 'électrique' est donné par

$$δWe = -Uδq,$$

ou $U$ est la tension aux bornes de la pile.

Pour 2 moles de H2 consommées (ou pour une mole de O2 consommée), la charge échangée $δq$ est égale à 4 moles d'électrons ($δq= 4 \text{ Ne-}$, ou $\text{Ne-}$ est la charge d'une mole d'électrons).

le rendement énergétique est défini par :

$$r = -\frac{We}{\Delta H_{\text{reac}}},$$

ou $\Delta H_{\text{reac}}$ est l'enthalpie de la réaction chimique globale de la pile qui a permis de produire $We$.

- pourquoi $r$ est-il défini par ce rapport ? (une phrase)

### 1°) Puissance apportée $P_{\text{reac}}$

- Ecrire la réaction globale intervenant dans la pile.

- Donner en fonction des données enthalpiques fournies ci-dessous, la valeur de $\Delta H_{\text{reac}}(kJ)$ à 298K si 1 moles de H2 est consommée.

En réalité, la pile fonctionne en continu, elle produit une puissance électrique $P_e$ et la puissance apportée par la réaction est $P_{\text{reac}}$. La pile consomme alors un débit $D_{\text{H2}}(\text{m3/s})$ de H2.

- Exprimer $P_{\text{reac}}$ en fonction de $\Delta H_{\text{reac}}(kJ)$, $D_{\text{H2}}$, $P$ et $T$. On supposera que l'hydrogène est un gaz parfait, $R$ étant la constante des gaz parfaits)

Le rendement de la pile sera calculé ci-dessous après avoir pris connaissance de ses caractéristiques électriques
## 2°) caractéristiques électriques

La courbe ci-dessous donne la variation de U en fonction du courant I (en mA) délivré par la pile.

**En réalité la pile est constituée de la mise en série de 5 éléments identiques délivrant chacun une tension Ue.**

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

- Commenter la courbe ci-dessus (trois phrases maximum)

La puissance délivrée est égale à Pe= U I, ou U est la tension résultante et I le courant circulant dans les 5 éléments.

-Calculer la puissance délivrée pour I= 40 mA.

## 3°) Calcul du rendement énergétique de la pile

- Quel est le nombre de mole d'électron par seconde $\dot{n}_{e-}$ qui est échangé pour un courant I ? (On donne N$_{e-}$ est la charge d'une mole d'électrons).

- Exprimer $\dot{n}_{H_2}$ le nombre de mole de H$_2$ consommée pour un élément de la pile

- En déduire le débit total D$_{H_2,Tot}$ nécessaire à la pile, en fonction de I, N$_{-}$, T, P et R, faire l'A.N.

- En déduire la valeur de P$_{reac}$.

-En déduire la valeur du rendement énergétique r de la pile pour un courant I=40 mA

### Données

Enthalpie des gaz dans la pile : H$_{H_2}$$^0(25°C)$= H$_{O_2}$$^0(25°C)$= 0 H$_{H_2O,v}$$^0(25°C)$= 241,59 KJ/mole

Constante des gaz parfaits : R= 8,32 (SI), Patm= 1,013 10$^5$ Pa, Tamb= 298 K

N$_{-}$ = 96 484 C/mole

### Réponses

r = -We/ΔH$_{reac}$ = Utile / Dépense : définition générale de l'efficacité d'une machine

1°) la réaction globale intervenant dans la pile est :

$$2 \text{ H}_2 + \text{O}_2 \rightarrow 2 \text{ H}_2\text{O} + 4 \text{ Ne} + \delta\text{Q}$$

ΔH$_{reac}$(kJ) = 2 H$_{H_2O,v}$ pour 2 moles de H$_2$ consommées,

Donc ΔH$_{reac}$(kJ) = H$_{H_2O,v}$ pour 1 mole de H$_2$ consommée, ΔH$_{reac}$(kJ) = H$_{H_2O,v}$$^0(25°C)$= 241,59 KJ

$$P_{\text{reac}} = \Delta H_{\text{reac}}(\text{kJ}) \text{n}_{\text{H}_2} (\text{mole/s}) = \Delta H_{\text{reac}}(\text{kJ}) \text{D}_{\text{H}_2} (\text{m3/s}) \text{P /RT}$$

2°) La tension résultante est donc U= 5 Ue (voir schéma ci-dessous).

<figure><img src="image_55.png" /></figure>
<figure><img src="image_56.png" /></figure>

- U décroit avec l'intensité du courant car il existe une résistance interne $R_i$: $U= E - R_i I$ avec E la force électromotrice des 5 éléments.

- Pour les courants élevés, la courbe s'infléchit car il apparaît des résistances aux transferts des gaz aux électrodes

$$Pe = U I = 228 \text{ mW}$$

3°) $-n_e = I / N_e$

- Pour 4 moles de e-, 2 moles de H2 sont consommées, donc pour $n_e$ on consomme $n_{H2}$ (mole/s) $= n_e / 2$

- Débit consommé pour un élément: $D_{H2, 1 élém} = 1/2 (I / N_e) (RT/P)$

Débit total pour 5 éléments : $D_{H2, 5 élém} = 5/2 (I / N_e) (RT/P) = 9 \text{ cm3/h}$

- $P_{\text{reac}} = \Delta H_{\text{reac}}(\text{kJ}) n_{\text{H2}} (\text{mole/s}) = \Delta H_{\text{reac}}(\text{kJ}) 5/2 (I / N_e)$

- $r = -\frac{W_e}{\Delta H_{\text{reac}}} = \frac{UI}{P_{\text{reac}}} = \frac{2/5 UI}{N_e} - \frac{\Delta H_{\text{reac}}}{2N_e} = 0,91$, valeur élevée
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>PRESSION ABSOLUE (bar)</figcaption></figure>

Il y a 25 petites graduations pour 50 KJ/Kg

NOM :
Prénom :

100 150 200 250 300 350

134a
INSA de Rouen
Département Energétique et propulsion
Enseignement Thermodynamique et Machines Thermiques (A. Coppalle)

ETUDE D'UNE POMPE A CHALEUR (PAC)

LA PAC puise de la chaleur dans l'air extérieur pour réchauffer l'intérieur d'un bâtiment.

cas de la machine réelle

La figure ci-dessous représente le schéma d'une pompe à chaleur fonctionnant avec un fluide frigorigène, le R-134a dont les propriétés sont fournies dans le diagramme joint.

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

L'ensemble fonctionne aux deux niveaux de pressions absolues P<sub>bp</sub>= 2 bars et P<sub>hp</sub>= 10 bars et il est constitué par:

- Un compresseur. La compression est adiabatique et la température à la fin de la compression est
de t = 60°C.

-Un condenseur d'où ressort le fluide à l'état liquide, avec un sous refroidissement de ΔT= 5°C.

- Une vanne de détente où il n'y a pas de pertes de chaleur.

- Un évaporateur. Le fluide ressort avec une surchauffe de ΔT= 5°C

Rappel : - les échanges dans le condenseur et l'évaporateur se font à P=constante

$$
T(K) = t(^{\circ}\text{C}) + 273
$$

1°)- Donner l'allure du cycle sur le diagramme (T,s) (dessiner ce diagramme dans la copie)

- Indiquer brièvement comment fonctionne la PAC, en particulier sur quels organes de la PAC sont échangés la chaleur prise à l'air extérieur, la chaleur utile pour le chauffage et le travail W<sup>u</sup> qui doit être dépensé.

2°) Placer les points du cycle sur le diagramme (P,h) fourni et remplir le tableau des valeurs associées au cycle.

3) L'efficacité de l'installation (COP) est définie par

$$
C.O.P. = \frac{\text{Puissance de chauffage}}{\text{Puissance utile de compression}}
$$

Donner sa valeur numérique.

4°) justifier que la compression n'est pas isentrope.

5°) On définit le rendement isentropique r<sub>is</sub> du compresseur par le rapport du travail 'utile' reçu dans le cas ou la compression est adiabatique réversible à celui qui est reçu dans le cas de la compression adiabatique réelle.

Calculer r<sub>is</sub> du compresseur

6°) la puissance de chauffage qui est exigée est de 20kw,

Calculer le débit massique dans l'installation.

7) la PAC doit être utilisée quelque soit la température extérieure Text.

Or la récupération de la chaleur dans l'air extérieur est réalisée sur un organe (voir le I-1°) qui reste à la même température.

-Expliquer brièvement ce qui se passe en terme de chaleur échangée sur cet organe quand la température extérieure décroît,
- que va-t-il alors se passer en terme de chauffage quand la température extérieure décroît ?

-Quelle est la température théorique à partir de laquelle la PAC ne ne permet plus de chauffer le bâtiment.

(Pour des raisons technologiques et de givrage, cette température est légèrement supérieure)

### comparaison par rapport au cas d'une machine idéale

L'installation est en fait une machine ditherme. Elle échange la chaleur Qc avec le condenseur et la chaleur Qe avec l'évaporateur.

Le fluide frigorigène pourrait effectuer un cycle de Carnot, c'est à dire un cycle constitué de deux adiabatiques réversibles et de deux isothermes réversibles, celles-ci étant définies aux températures T1 et T2 des paliers de changement d'état du cycle précédent (c'est-à-dire les températures sans surchauffe et sans sous refroidissement).

8°) Donner l'allure de ce cycle sur le diagramme (T,s) (dessiner ce diagramme dans la copie)

9°) -Pour un cycle, faire le bilan énergétique de la machine et donner la relation qui existe entre $W^u$, $Qe$ et $Qc$

-Pour un cycle, faire le bilan entropique de la machine et donner la relation qui existe entre $Qe$, $Qc$, T1, T2

10°) En déduire la valeur théorique du C.O.P que l'on obtiendrait avec un cycle de Carnot. Calculer sa valeur numérique. Comparaison par rapport au résultat du I-3°)

### Il y a 25 petites graduations pour 50 KJ/Kg

<table><thead><tr><td>point</td><td>t(°C)</td><td>P (bar)</td><td>H (J/Kg)</td><td>S (KJ/Kg/K)</td></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
Réponses

1°) Ce cycle comporte une surchauffe à la sortie de l'évaporateur et un sous-refroiddissement à la sortie du condenseur. La compression n'est pas annoncée comme isentrope.

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

Soit le système défini par l'unité de masse qui circule dans le circuit.

La convention des flèches d'échange sur les différentes parties du cycle est la suivante :

- flèche pointant vers l'intérieur du cycle, énergie (ou puissance) reçue par l'unité de masse

- flèche pointant vers l'extérieur du cycle, énergie (ou puissance) donnée par l'unité de masse

2°) Voir diagramme (P,h) fourni

3°) COP = (h2-h3)/h2-h1) = 4,042

4°) s2-s1= sP = 0,04 kJ/kg/K >0

5°) r<sub>is</sub> = W<sup>u</sup><sub>is</sub> / W<sup>u</sup><sub>réel</sub> , comme il n'y a pas d'échange de chaleur de 1 à 2 W<sup>u</sup>=Δh
===> r<sub>is</sub> = (h<sup>is</sup>2-h1)/(h2-h1) = 0,792 avec h<sup>is</sup>2 = 430 kJ/kg

6°) Pchauf = m (h2-h3) => m= 0,103 kg/s

7°) Dans la phase d'évaporation de 4 à 1, la chaleur échangée QF avec l'extérieur est proportionnelle à (Tev-Tex), avec Tev= -10°C. Si Tex diminue, QF récupérée par le fluide frigorigène diminue aussi.

D'ailleurs, il peut apparaître le phénomène de givrage de l'humidité de l'air extérieur sur les ailettes de
l'évaporateur, ce qui diminue encore plus le transfert de chaleur, donc la valeur de QF.

Si Tex=-10°C, la PAC ne permet plus de chauffer le bâtiment.

8°)

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

9°) Pour un cycle du système défini par 1kg de fluide frigorigène, on a Δh<sub>cycle</sub>=0 et Δs<sub>cycle</sub>=0.

Ce qui donne les deux relations ; W^u = -Qc - QE et Qc/T<sub>C</sub> + QE/T<sub>E</sub> = 0

10°) COP<sub>théo</sub> = -Qc/W<sup>u</sup> = T<sub>C</sub> / (T<sub>C</sub>-T<sub>E</sub>) = 6,26

En regardant le diagramme (T,s), on s'aperçoit que c'est surtout la compression qui fait chuter le COP.
# INSA de Rouen
## Département Energétique et propulsion
## Enseignement Thermodynamique et Machines Thermiques (A. Coppalle)

## Etude d'une turbine à gaz avec régénération

Le schéma ci-dessous donne les éléments d'une turbine à gaz (TAG) utilisée pour produire du travail (recueilli sur l'axe de la turbine). On suppose que la compression et la détente sont adiabatiques et réversibles. Les échanges de chaleurs se font à pression constante.

Le gaz est de l'air que l'on assimile à un gaz parfait dont la capacité calorifique massique $c_p$ et $\gamma=c_p/c_v$ sont constants.

La température à la sortie de la turbine est élevée. On veut utiliser ce gaz chaud émis à la sortie de la turbine pour préchauffer le gaz en sortie du compresseur, grâce à l'échangeur interne E'1.

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

Le rapport de compression est défini par $r= P2/P1= P3/P4=8$

On donne $T1=300K$ et $T3=1150K$, $\gamma=c_p/c_v =1,4$

1°-a) Le préchauffage suppose que $T4>T2$.

Est ce toujours vrai, c'est à dire existe-t-il un rapport limite de compression $r_{lim}$ au delà duquel $T4$ est inférieure à $T2$ ?

Donner sa valeur numérique ainsi que la température $T2$.

1°-b) On suppose que le préchauffage est possible, $r=8$

L'échangeur E'1 est parfait, $T5=T4$ et $T6=T2$.

Donner l'allure du cycle sur un diagramme (T,s).

Donner la valeur du rendement $\eta_{théo}$ en fonction de $T1$, $T3$, $r$ et $\gamma$.

Faire l'application numérique

## STOCKAGE DE L'ENERGIE SOUS FORME D'AIR COMPRIMEE

On reprend l'installation ci-dessus avec un échangeur interne parfait (cas du 1°). Elle est utilisée pour produire de l'électricité. Or la demande en électricité n'est pas constante pendant la journée et elle est schématisée par le graphe suivant.

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

L'installation de base a une production continue d'électricité. Pour les heures de fortes consommations, on peut mettre en route une installation supplémentaire.

Mais on peut aussi imaginer de stocker l'énergie produite en trop pendant les heures creuses et de la restituer pendant les heures de pleine consommation.
Une solution consiste à comprimer de l'air dans un grand réservoir souterrain pendant les heures creuses et ensuite de restituer cet air pendant les heures de pointe.

La production d'électricité par l'installation de base sert donc

- à la consommation pendant les heures de pointe,

- à la consommation et à la compression de l'air pendant les heures creuses.

Pendant les heures de pointe, l'appoint d'électricité est fournie par une installation supplémentaire, que nous appellerons 'turbine d'appoint'.

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

Les générateurs de courant sont parfaits, toutes les puissances mécaniques délivrées par les turbines sont transformées en puissance électrique.

Rappel : 1 bar=10⁵ Pa,

Dans le système SI : cp=1004, R=8,32 (cst des gaz parfaits) et Mair=0,029 (masse molaire).

2°-a) A partir des valeurs de puissance reportées sur la figure de consommation/production d'électricité, montrer que la solution de stockage de l'énergie pendant les heures creuses peut être théoriquement envisagée.

2°-b) Calculer le débit massique d'air $m_{app}$ dans la turbine d'appoint et $m_{base}$ dans la turbine de base pour que, pendant les heures de pleine consommation, la production d'électricité soit suffisante. On rappelle que les détentes dans les turbines sont isentropes.

2°-c) Calcul de l'énergie et du temps nécessaire à la compression de l'air stocké.

Quelle est la masse totale d'air comprimée utilisée par la turbine d'appoint.

Quelle est l'énergie électrique utilisée par le compresseur pour comprimer cette masse totale, sachant que le compresseur est adiabatique avec une efficacité égale à 0,8 ?

En déduire le temps de fonctionnement, pendant les heures creuses, de la turbine de base pour comprimer cet air.

2°-d) Calculer l'énergie dépensée pendant les heures creuses dans la chambre de combustion E1 de la turbine de base pour comprimer l'air (qui sera utilisé ensuite pendant les heures pleines).

Rappel : les caractéristiques de la turbine de base ont été données ou calculées au 1°)

2°-e) Définir le rendement énergétique global de l'installation de production d'électricité pour l'ensemble de la journée (heures pleines et heures creuses).

En vous aidant des réponses aux questions 4°-b-c-d, donner sa valeur numérique.

2°-f) Comparer cette valeur à celle obtenue si la production d'électricité est faite par les deux turbines basse pression, c'est à dire que l'on ne réalise pas le stockage d'air comprimé et que la turbine d'appoint est alimentée avec de l'air à la pression atmosphérique.

Conclusion : quel argument ferait qu'il soit intéressant de stocker de l'air pendant les heures creuses ?
Réponses

1°-a) Pour une transformation adiabatique réversible P<sup>1-γ</sup>T<sup>γ</sup> = cst
===> T2/T1= r<sup>(γ-1)/γ</sup> et T3/T4= r<sup>(γ-1)/γ</sup>

Si on veut faire de la régénération, il faut T2<T4
===> r < (T3/T1) ((γ-1)/2γ) = 10,5, T2= 588,5 K

1°-b)

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

$$
W_{\text{net}} = - [(h_3-h_4) - (h_2-h_1)], Q_1 = h_3-h_5 \text{ et } h_5=h_4
$$

$$
\eta_{\text{théo}} = 1 - (T_2 - T_1) / (T_3 - T_4)
$$

$$
\eta_{\text{théo}} = 1 - \frac{T_1}{T_3} r^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = 0,527
$$

2°-a) Energie produite pendant 24h : 500x24 = 12 000 MWh
Energie consommée pendant 24h : 200x10 + 600x14 = 10 400 MWh, < Energie produite
On peut envisager de stocker de l'énergie

2°-b) 100 MW= m<sub>app</sub> c<sub>p</sub> (T3a-T4a), T4a= T3a 50<sup>(1-γ)/γ</sup> ===> m<sub>app</sub> = 128 kg/s
500 MW= m<sub>base</sub> c<sub>p</sub> (T3-T5) η<sub>théo</sub>, T5= T4, T4= T3 50<sup>(1-γ)/γ</sup> ===> m<sub>app</sub> = 1834 kg/s

2°-c) La turbine d'appoint fonctionne pendant 14h, soit une masse totale utilisée de 6,45 10⁶ kg
L'efficacité du compresseur est définie par ε= W<sup>comp</sup><sub>isen</sub>/W<sup>comp</sup>, ε=0,8
W<sup>comp</sup>= W<sup>comp</sup><sub>isen</sub>/0,8 = m<sup>comp</sup> c<sub>p</sub> (T<sub>f,isen</sub>-T1)/0,8, avec T<sub>f,isen</sub>=T1 50<sup>(γ-1)/γ</sup>=917,4 K
Energie totale utilisée par le compresseur pendant 14h = 4,998 10<sup>12</sup> J

Temps de fonctionnement, pendant les heures creuses, pour la compression d'air de stockage
= 4,998 10¹² J / 300 MW = 4,62 heures.

$$
2^{\circ}-\mathrm{d}) \mathrm{Qc}^{\mathrm{comp}}=\mathrm{W}^{\mathrm{comp}} / \eta_{\mathrm{th\'eo}}=9,484 \ 10^{12} \mathrm{~J}
$$

2°-e) rendement global sur une journée :
η₂₄h= [Energie électriques fournies]/[Energies consommées par la chambre de combustion]
Energie électriques fournies= 200 MW *10h + 600 MW * 14h
Energies consommées = mₐ₆₄ 200/500 cₚ (T₃-T₅)(10-4,62) pour l'électricité heures creuses
+ mₐ₆₄ cₚ (T₃-T₅)(4,62) pour la compression de l'air
+ mₐ₆₄ cₚ (T₃-T₅)(14) pour l'électricité heures pleines
+ mₐ₅₄ cₚ (T₃a-T₅a)(14) pour l'électricité heures pleines

(rappel m<sub>base</sub> est ce qui permet de fournir 500 MW électrique)

On a m<sub>base</sub> c<sub>p</sub> (T3-T5)= 500 MW/η<sub>théo</sub> et m<sub>app</sub> c<sub>p</sub> (T3a-T5a)= 100 MW

Energies consommées= (2/5 5,38 + 4,62)/ η<sub>théo</sub> + 14*500 MW/ η<sub>théo</sub> + 14 * 100 MW
==> η<sub>24h</sub> = 0,493

$$
\begin{gather*}
2^{\circ}-\text{f}) \text{ le rendement sans compression d'air est : } \frac{10\,400\,\text{MWh}}{[200\,\text{MW}/\eta_{\text{théo}} * 10 + 500\,\text{MW}/\eta_{\text{théo}} * 14]} \\
= 0,527
\end{gather*}
$$

Cette valeur est meilleur que avec le circuit de stockage d'air car le compression a un
rendement inférieur à un.

Par contre, avec un stockage d'air, on utilise une puissance de base plus faible.
<figure><img src="image_65.png" /></figure>

INSA de Rouen

Département Energétique et propulsion

Enseignement Thermodynamique et Machines Thermiques (A. Coppalle)

Cycles Réels d'une Turbine à Gaz

Préliminaires

Au cours d'une transformation réversible, un kilogramme de gaz échange la quantité de chaleur

$$
\delta Q= c_{p} dT+ k dP
$$

Avec T la température, v le volume d'une mole et P la pression.

-Donner, pour cette transformation, la variation dh de l'enthalpie et ds de l'entropie en fonction de dT, dP. et des coefficients calorimétriques

- Montrer que k est fonction de T et de la dérivée de v en fonction de T.

-En déduire la valeur de k pour un gaz parfait?

- Rappeler le 1er principe pour un système ouvert et stationnaire qui produit un travail sur un arbre

- En déduire l'expression de travail utile δWt échangé pour une transformation infinitésimale dp

LE CYCLE IDEAL DE BRAYTON

le gaz est de l'air que l'on assimile à un gaz parfait dont la capacité calorifique c<sub>p</sub> est constante.

Le schéma ci-dessous donne les éléments d'une turbine utilisée pour produire du travail. La
compression et la détente sont adiabatiques et réversibles. Les échanges de chaleur se font à pression
constante.

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

1°-a) donner, pour l'unité de masse, l'allure d'un cycle sur le diagramme (P,v) et (T,s).

1°-b) Montrer que le rendement théorique η<sub>théo</sub> = -W<sub>net</sub> / Q<sub>1</sub> de cette installation est donné par

$$
\eta_{\text{théo}} = \left(1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}\right)
$$

En déduire l'expression littérale de η<sub>théo</sub> en fonction de rp (le rapport des pressions r=P2/P1)

et de γ=c<sub>p</sub>/c<sub>v</sub>

Rappel : W<sub>net</sub> est le travail récupéré sur l'arbre de la turbine

A.N. : calculer η<sub>théo</sub> pour γ=1,4, r=8

LE CYCLE AVEC UN COMPRESSEUR ET UNE TURBINE REELS

le gaz est de l'air que l'on assimile à un gaz parfait dont la capacité calorifique c<sub>p</sub> est constante.

A cause des irréversibilités qui se produisent dans le compresseur et la turbine, le cycle réel est différent du cycle idéal de Brayton.

On définit les efficacités adiabatiques de la turbine et du compresseur par

$$
\eta_c = \frac{W_{s,c}}{W_{a,c}} \text{ et } \eta_T = \frac{W_{a,T}}{W_s, T},
$$
<figure><img src="image_67.png" /></figure>

où Ws est le travail échangé dans le cas d'une transformation adiabatique et réversible et Wa le travail échangé dans la transformation adiabatique réelle.

2°-a) donner l'allure du cycle réel, représenté par les points 1, 2', 3, 4', sur le diagramme (T,s)

2°-b) Calculer les températures des points 2' et 4' sachant que η_c=0,8 et η_T=0,85.

Faire les applications numériques avec rp=8, T1=300K, T3=1150K, γ=1,4.

2°-c) Calculer le rendement η<sub>réel</sub> =-W<sub>net</sub>/Q<sub>1</sub> de cette installation.

Faire les applications numériques avec rp=8, T1=300K, T3=1150K, γ=1,4.

Enthalpie de l'air considéré comme un gaz réel.

On cherche à savoir si l'approximation ‘gaz parfait’ est justifiée avec les conditions de fonctionnement
de la turbine à gaz.

3°-a) Montrer que l'enthalpie massique du gaz réel est donnée par

$$
h(T, P) = h_{gp}(T) + \int_{0}^{P} (v - T \left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)_p) dP; \quad \text{ou } h_{gp} \text{ est l'enthalpie du gaz parfait à T}
$$

3°-b) Le gaz vérifie l'équation d'état suivante

L'équation d'état du gaz est

Pv= RT + B P. ; le paramètre B est constant

Calculer l'enthalpie du gaz réel en fonction de l'enthalpie du gaz parfait (pris dans les mêmes conditions de T et P) et de la pression P

3°-c) 1 kg d'air se détend dans la turbine et sa pression passe de P<sub>3</sub> à P<sub>1</sub>

A la pression P₁, le gaz est supposé parfait.

Calculer la valeur numérique de la correction Δh<sub>réel</sub> - Δh<sub>gp</sub>

Donner la valeur du rapport Δh<sub>réel</sub> / Δh<sub>gp</sub> . Conclusion ?

Pour les applications numériques, on donne

$$
r=P3/P1= 8, P1= 1. 10^5 \text{ Pa ; } T1=300\text{K, } T3=1150\text{K, } B= 0,103 \ 10^{-2} \text{ (SI), } c_p=1004 \text{ (SI)}
$$

Etude de la détente polytropique de l'air considéré comme un gaz parfait

On définit r<sub>gp</sub> la constante massique des gaz parfait pour l'air.

1 kg d'air se détend dans la turbine et sa pression passe de P<sub>3</sub> à P<sub>1</sub>

La détente est réversible mais polytropique. Cela veut dire que des échanges de chaleurs se produisent
au cours de la détente. L'analyse des transformations réelles subies par le gaz montre qu'elles peuvent
être représentées dans le diagramme (v, P) par une nouvelle loi de détente de la forme

$$
Pv^n = cst,
$$

ou n est le coefficient polytropique (déterminé par l'expérience).

4°-a) Exprimer le travail utile w'' échangé au cours de la transformation en fonction de n, T3, T4 et r<sub>gp</sub>
- Faire l'application numérique avec n=1,45, Ti=1150K, r=8,32/0,029 (SI) et P3/P4=8..

- Comparer au cas ou la détente est isentrope, avec γ=1.4

4°-b) Montrer que la chaleur échangée s'écrit q^poly= c_n(T_2-T_1), ou c_n est le coefficient calorimétrique de la transformation polytropique. Exprimer c_n en fonction de n, c_p et r.
<figure><img src="image_68.png" /></figure>

Réponses

Préliminaires

dh= δQ+δW+dPv=cp dT+ (k+v)dP

ds= cp dT/T+ kdP/T

Rappel, on considère pour h que T et P sont les deux variables indépendantes pour décrire le système

dh est une différentielle totale exacte : $\partial(k+v)/\partial T = \partial cp/\partial P$

ds est une différentielle totale exacte : $\partial(cp/T)/\partial P = \partial (k/T)/\partial T$

====> k= - T ∂v/∂T

Application au cas du gaz parfait : v=rT/P ====> k=-v

1er principe pour un système ouvert et stationnaire : dh= δQ+δWu, avec δWu le travail recueilli sur l'arbre de la machine

δWu= vdP

1°-a)

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

1°-b) Wnet= - [(h3-h4) –(h2-h1)], Q1= h3-h2

Pour un gaz parfait h=cp T +cst : ηthéo= 1-(T4-T1)/(T3-T2).

Pour une transformation adiabatique réversible P1/Tγ = CST ====> ηthéo= 1-r(1-γ)/γ =0,448

2°-a)

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

2°-b) Avec les hypothèses de l'énoncé : ηc= (T2-T1)/(T2'-T1) et ηT= (T4'-T3)/(T4-T3)
====> T2'= T1 [1+ (r(γ-1)/γ - 1)/ ηc] = 604,3 K et T4'= T3 [1+ (r(1-γ))/γ - 1) ηT] = 712,1 K

2°-c) ηréel= 1-(T4'-T1)/(T3-T2')= 24,5%

3°-a) D'après l'étude préliminaire : dh=cp dT+ (k+v)dP ====> dh= dhgp + (v-T ∂v/∂T)dP
En intégrant de 0 à P, on obtient la relation

3°-b) En utilisant l'équation d'état dans le calcul du coefficient k , on obtient v-T ∂v/∂T=B
h(T,P)= hgp(T) + B P

3°-c) Δh<sub>réel</sub> = h(T<sub>f</sub>,P<sub>f</sub>) - h(T<sub>i</sub>,P<sub>i</sub>) = h<sub>gp</sub>(T<sub>4</sub>) - h(T<sub>3</sub>,P<sub>3</sub>)

Δh<sub>réel</sub> = h<sub>gp</sub>(T<sub>4</sub>) - (h<sub>gp</sub>(T<sub>3</sub>) + B P<sub>3</sub>) = Δh<sub>gp</sub> - B P<sub>3</sub> ====> la correction vaut B P<sub>3</sub> = 0,824 10<sup>3</sup> (SI)

Δh<sub>gp</sub> = cp (T4-T3) et T4=T3 r(1-γ)/γ ====> Δh<sub>réel</sub> / Δh<sub>gp</sub> = 1 - B P3 / Δh<sub>gp</sub> = 1 - 1,5 10<sup>-3</sup>
<figure><img src="image_71.png" /></figure>

Correction négligeable, pour une détente d'une dizaine de bars,
l'air se comporte comme un gaz parfait

4°-a) D'après l'étude préliminaire : $\delta W^u = v dP$

Et on a $Pv^n = st ===>$ en intégrant de 3 à 4, on obtient : $W^u_{poly} = n/(n-1) r_{gp}$ (T4-T3)

$$T4=T4=T3 \quad 8^{(1-\gamma)/\gamma} = 603 \text{ K} ====> \quad W^u_{poly} = -505,6 \text{ kJ}$$

$$\text{Cas de la détente isentrope dans la turbine } W^u_{iso} = r_{gp} (634,8-1150) = 517,3 \text{ kJ}$$

4°-b) On écrit $Q_{poly} = c_n (T4-T3)$

On : $\Delta h= c_p (T4-T3)$, donc $Q_{poly}= \Delta h - W^u_{poly} = [c_p - n/(n-1) r_{gp}] (T4-T3)$

$$c_n = c_p - n/(n-1) r_{gp}$$

Pour un gaz parfait : $cp-cv= r_{gp}$, donc $r_{gp}= cp \gamma /((\gamma-1) ===>) c_n = c_p (n-\gamma)/[(n-1)\gamma]$

$Rq$ : avec $n=1,45$, $Q_{poly} <0$ au cours de la détente
<figure><img src="image_72.png" /></figure>

<figure><img src="image_73.png" /></figure>
Cycles Turbine Gaz

le gaz est de l'air que l'on assimile à un gaz parfait dont la capacité calorifique c<sub>p</sub> est constante.

LE CYCLE IDEAL DE BRAYTON

Le schéma ci-dessous donne les éléments d'une turbine utilisée pour produire du travail. La compression et la détente sont adiabatiques et réversibles. Les échanges de chaleurs se font à pression constante.

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

1°-a) donner, pour l'unité de masse, l'allure d'un cycle sur le diagramme (P,v) et (T,s).

1°-b) Calculer le rendement théorique η<sub>théo</sub> = -W<sub>net</sub> / Q<sub>1</sub> de cette installation en fonction de r, le rapport des pressions P2/P1, et de γ=c<sub>p</sub>/c<sub>v</sub> . (W<sub>net</sub> est le travail récupéré sur l'arbre de la turbine)

A.N. : calculer η<sub>théo</sub> pour γ=1,4, r=8

LE CYCLE AVEC REGENERATION

La température à la sortie de la turbine est élevée et supérieure à la température de sortie du
compresseur. On utilise donc le gaz chaud à la sortie de la turbine pour préchauffer le gaz en
sortie du compresseur.

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

2°-a) On suppose que cette installation a les caractéristiques idéales de la turbine étudiée au 1°). L'échangeur E'1 est parfait, T5=T4 et T6=T2.

Donner l'allure du cycle sur un diagramme (T,s).

Donner la nouvelle valeur du rendement η<sub>théo</sub> en fonction de T1, T3, r et γ.

Faire l'application numérique avec les données du 1°)

2°-b) L'échangeur E'1 n'est pas parfait. Son efficacité est donnée par

$$
\epsilon = \frac{h_5 - h_2}{h_4 - h_2},
$$

et elle est égale à 0,8. Calculer la valeur numérique du rendement η<sub>réel</sub> de l'installation.
# LE CYCLE AVEC COMPRESSION BI-ETAGEE AVEC REFROIDISSEMENT ET UNE DETENTE A DEUX ETAGES AVEC RECHAUFFE DES GAZ

On utilise une compression à deux étages avec un refroidissement ainsi qu'une détente à deux étages avec une réchauffe:

Pour la compression :

- les deux compresseurs sont identiques et ils ont même taux de compression,

- le taux de compression total est de P2/P1=8

- les deux compressions sont isentropiques

- la température des gaz après refroidissement T2r est égale à la température des gaz en entrée du premier compresseur T1 et il n'y a pas de pertes de charge dans l'échangeur

Pour la détente :

- les deux turbines sont identiques et ont même rapport de pression à la détente,

- Les deux détentes sont isentropiques

- la température des gaz après la réchauffe T4r est égale à la température des gaz en entrée de la première turbine T3 et il n'y a pas de pertes de charge dans l'échangeur

Pour l'échange interne : l'échangeur E'1 est parfait.

3°-a) Calculer les valeurs numériques des pressions intermédiaires P1r et P3r montrer que T1r=T2 et T3r=T4.

A. N. : Calculer les valeurs de T2 et T4, avec T1=300K, T3=1150K et γ=1,4.
donner, pour l'unité de masse, l'allure d'un cycle sur le diagramme (T,s).
indiquer sur ce diagramme les sens des échanges avec l'extérieur (chaleur et travail utile).

3°-b) Calculer la valeur théorique du rendement global de l'installation en fonction de r=P2/P1, T1, T3 et γ.

faire l'application numérique

<figure><img src="image_76.png" /></figure>
Réponses

1°-a)

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

1°-b) W<sub>net</sub> = - [(h3-h4) – (h2-h1)], Q<sub>1</sub> = h3-h2

Pour un gaz parfait h=cp T +cst : η<sub>théo</sub>= 1-(T4-T1)/(T3-T2).

Pour une transformation adiabatique réversible P<sup>1-γ</sup>T<sup>γ</sup> = cst ====> η<sub>théo</sub> = 1-r<sup>(1-γ)/γ</sup> = 0,448
2°-a)

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

W<sub>net</sub> = - [(h3-h4) – (h2-h1)], Q<sub>1</sub> = h3-h5 et h5=h4

$$
\eta_{\text{théo}} = 1 - (T2 - T1) / (T3 - T4)
$$

$$
\eta_{\text{théo}} = 1 - \frac{T1}{T3} \quad r^{\left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)} = 0,527
$$

2°-b) T5 n'est plus égale à T4, T5=ε(T4-T2)+T2=616,5K

$$
\eta_{\text{réel}} = 0,509
$$

3°-a)

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

$$
P2r/P1=(P2/P1)^{1/2}, P3r/P4=(P3/P4)^{1/2}
$$

$$
T1r/T1=(P2/P1)^{(\gamma-1)/\gamma}, T2/T2r=(P2/P1)^{(\gamma-1)/\gamma}, T1r/T1=T2/T2r
$$

or $T2r=T1 \implies T1r=T2$

même raisonnement pour les détentes : T3r =T4

$$
T1r = 403,8 \text{ K et } T3r = 854,4 \text{ K}
$$

$$
3^{\circ}\text{-b)} \quad \eta_{\text{bi-étagé}} = 1 - \frac{T1}{T3} \quad r^{\left(\frac{\gamma-1}{2\gamma}\right)} = 0,649
$$
INSA de Rouen

Département Energétique et propulsion

Enseignement Thermodynamique et Machines Thermiques (A. Coppalle)

Etude d'une turbine à gaz

Le gaz est de l'air que l'on assimile à un gaz parfait dont la capacité calorifique Cp est constante et égale à 1 kJ/kg

1°) Le cycle idéal de Brayton

Le schéma ci-dessous donne les éléments de la turbine à gaz (TAG) utilisée pour produire du travail.

La compression et la détente sont adiabatiques et réversibles.

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

C: compresseur

T: turbine

E: échangeur à pression constante

P₁= P₄ = 1 atm et T₁= 300K

T₃ = 1150 K

Calculer le rendement théorique $n_{\text{théo}} = -W_{\text{net}}/Q_{\text{recue}}$ en fonction du rapport des pressions $r=P_2/P_1$ et de $\gamma=c_p/c_v$ de l'air ($W_{\text{net}}$ est le travail utile recueilli sur l'arbre de la turbine)

A.N.: Calculer $n_{\text{théo}}$ pour $r=8$ et $\gamma=1.4$.

2°) Le cycle réel de la turbine à gaz.

Le rapport des pressions $r=P_2/P_1=P_3/P_4$ reste le même que précédemment.

On définit les efficacités adiabatiques de la turbine et du compresseur par

$$N_C = W_c^{\text{isen}}/ W_a \text{ et } N_T = W_a/W_T^{\text{isen}}$$

ou $W_c^{\text{isen}}$ et $W_T^{\text{isen}}$ $W_a$ représentent les travaux utiles échangés si les transformations sont adiabatiques et reversibles et $W_a$ le travail utile réellement échangé au cours de la compression et de la détente.

$$N_C = 0.8 \text{ et } N_T = 0.85$$

Calculer la température du point 2 en fonction de $T_1$, $r$, $\gamma$ et $N_c$.

Calculer la température du point 4 en fonction de $T_3$, $r$, $\gamma$ et $N_T$.

Faire les applications numériques avec les données du 1°)

Calculer le rendement de l'installation.

Réponses

$$1^{\circ}) r_{\text{theo}} = 1 + (h_1-h4)/(h3-h2) = 1 - r^{(1-\gamma)/\gamma}$$

$$r_{\text{theo}} = 44,8 \%$$

$$2^{\circ}) N_c = (h_2^{\text{isen}}-h1)/(h2-h1), T_2^{\text{isen}}/T1 = (P_2/P1)^{(\gamma-1)/\gamma}$$

$$T2= 604,3 K$$

$$N_T = (h_3-h4)/(h3-h_4^{\text{isen}}), T_4^{\text{isen}}/T3 = r^{(1-\gamma)/\gamma}$$

$$T4= 711,9 K$$

$$r = 1 + (h_1-h4)/(h3-h2) = 24,5\%$$
# INSA de Rouen

## Département Energétique et propulsion

## Enseignement Thermodynamique et Machines Thermiques (A. Coppalle)

### Etude d'une turbine à vapeur

Le schéma ci-dessous donne les éléments d'une turbine à vapeur utilisée pour produire du travail.

<figure><img src="image_82.png" /></figure>

G : générateur de vapeur
à pression constante

Tv : turbine adiabatique

C : condenseur (pression constante et eau non sous-refroidie)

B : Bâche d'alimentation à Pa
(réservoir d'eau)

P : pompe eau liquide

Les conditions amont de la turbine sont : P1=14 bars et T1=300 °C,

La pression en aval de la turbine est 0.06 bar et T=36°C.

L'alimentation en eau de la chaudière est réalisée grâce à une bâche contenant de l'eau à la pression atmosphérique Pa. Deux pompes P à eau sont utilisées, une pour amener les condensats issus du condenseur à P=Pa=1 bar, l'autre pour injecter l'eau dans le générateur.

On définit l'efficacité adiabatique de détente par $N_{det} = W_u/W_u^{isen}$, ou $W_u$ est le travail utile réellement fourni et $W_u^{isen}$ le travail utile fourni au cours d'une détente isentropique.

La valeur de $N_{det}$ est égale à 0.8

Toutes les propriétés thermodynamiques sont lues sur le diagramme (h,s) joint sauf l'enthalpie de l'eau liquide qui est calculée par $h_{eau,liq}(kJ/kg)=4.18*t (°C)$.

Le travail de compression de toutes les pompes liquides dans ce devoir sera toujours négligé et on supposera que l'enthalpie de l'eau liquide ne varie à travers ces pompes.

1°) déterminer les points 1, 4 et 6 du circuit (Température, Pression et enthalpie).

Placer sur le diagramme le point 3$^{isen}$ atteint en sortie de turbine si la détente est isentropique.

En déduire le travail massique $w_u^{isen}$.

Calculer le travail utile fourni $w_u$ (par kg de vapeur). En déduire l'enthalpie du point 3 et le placer sur le diagramme (h,s).

Calculer le rendement de l'installation.

2°) Etude la turbine avec soutirage et échangeur

Pour améliorer l'installation, on effectue un soutirage de la vapeur au cours de la détente dans la turbine. Cette vapeur est ensuite utilisée pour préchauffer l'eau rentrant dans le générateur comme cela est indiqué dans le schéma ci-dessous.

<figure><img src="image_83.png" /></figure>

E : échangeur (sans perte)

g : fraction du débit massique total,
en %, qui est soutiré en 2

Pression de soutirage P2= 3 bar

La turbine à vapeur est la même qu'au 1°),
donc les points 1 et 3 sont les mêmes.
2°-1) Donner les valeurs des points (1-3-4-5) du circuit et les reporter dans le tableau joint.

2°-2) On suppose que la détente dans la turbine (1-2-3) est représentée par un segment de droite sur le graphe (h,s). Déterminer le point 2 sur ce graphe.

L'eau qui sort de l'échangeur en 2' est liquide à la température de changement d'état. Déterminer le point 2' et finir de remplir le tableau.

2°-3) à l'aide du bilan d'énergie sur l'échangeur, calculer la valeur de g.

2°-4) Calculer le travail utile fourni $w_u$ (par kg de vapeur) et le rendement de l'installation.

comparer au cas ou il n'y a pas de soutirage de vapeur.

2°-5) L'installation est conçue pour délivrer sur la turbine une puissance de 25 MW.

Calculer le débit de vapeur avec ou sans soutirage. Conclusion ?

3°) Variante de la turbine avec soutirage.

Un variante de l'installation précédente consiste à injecter les condensats en sortie de l'échangeur dans la bâche d'alimentation grâce à une vanne de détente parfaite (sans perte d'enthalpie) comme cela est indiqué dans le schéma ci-dessous. La bâche est donc un mélangeur dans lequel rentre l'eau en 2' et en 4 et d'ou il ressort l'eau dans les conditions 5

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

V : vanne de détente isenthalpe

g : la fraction du débit massique total, soutiré en 2, reste la même que précédemment.

Pression de soutirage P2= 3 bars

grâce à deux bilans d'énergie, Calculer l'enthalpie h6 en sortie de l'échangeur. En déduire la température de l'eau en 6.

Calculer le rendement de cette nouvelle installation et comparer aux deux cas précédents.

Réponses

1°) P1=14 bar, T1=300°C, h1=3040 kJ/kg (lu sur le diagramme)

P3=0.06 bar, T3= 30°C, h3=2320 kJ/kg (lu sur le diagramme)

P4=1 bar, T4=36°C, h4=150,5 kJ/kg

P6=14 bar, T6=T4= 36°C, h6=h4=150,5 kJ/kg

$w_u^{isen}$= -900 kJ/kg, $w_u$= -720 kJ/kg, r= -Wu/Qc= 24,9%, h3= 2320 kJ/kg

2°-2) P2= 3 bar, T2= 170°C (lu sur le diagramme), h2= 2800 kJ/kg (lu sur le diagramme)

P2'=3 bar, T2'= 135°C (lu sur le diagramme), h2= 564,3 kJ/kg

2°-3) g= (h6-h5)/(h2-h5)= 0.156 (rappel : pour 1kg/s d'eau dans le circuit)

2°-4) $w_u$= g(h2-h1)+(1-g)(h3-h1)= -645 kJ/kg
r= -Wu/Qc= 26,1 %, meilleur que sans soutirage

2°-5) débit massique dans le circuit avec soutirage = 38,7 kg/s

débit massique dans le circuit sans soutirage = 34,7 kg/s

Si soutirage, Plus de vapeur dans le générateur, installation plus grande.

3°) Bilan échangeur : g(h2-h2')=(h6-h5)

Bilan bache/mélangeur : g h2' + (1-g) h4 =h5

h6= 564 kJ/kg même point que dans le 2°), T6= 135°C

$w_u$= 645 kJ/kg même valeur que précédemment

r= -Wu/Qc= 26,1 % même rendement que précédemment
<figure><img src="image_85.png" /></figure>
<figure><img src="image_86.png" /></figure>

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

<figure><img src="image_88.png" /></figure>

<figure><img src="image_89.png" /></figure>

<figure><img src="image_90.png" /></figure>
<table><caption>Tableau des points pour la turbine à vapeur avec soutirage (première partie, 2°)</caption><thead><tr><th>points</th><th>1</th><th>2</th><th>2'</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th></tr></thead><tbody><tr><th>T(°C)</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>P(bar)</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>h (kJ/kg)</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_91.png" /></figure>
## OPTIMISATION DES CYCLES DE VAPEURS

On utilise de la vapeur d'eau dans un circuit pour produire du travail.

### I- Cycle de Rankine idéal

Le circuit ci-dessous permet d'obtenir le cycle de Rankine.

<figure><img src="image_92.png" /></figure>

G : générateur de vapeur

T : turbine à vapeur

C : condenseur

P : pompe à eau liquide

Remarque importante : dans tous les calculs, on négligera le travail de compression de l'eau liquide au niveau de la pompe P. On pourra donc admettre pour l'eau liquide $h1=h1'$ (h étant l'enthalpie massique)

La vapeur à la sortie du générateur est de la vapeur saturante sèche.

Le condenseur ne 'sous-refroidit' pas l'eau condensée.

La détente dans la turbine est isentrope.

Le cycle fonctionne entre les pressions 0,048 bars et 57,242 bars

Pour ces pressions, les propriétés de l'eau, correspondant aux changements d'état, sont données dans le tableau ci-dessous (ainsi que d'autres données utiles pour la suite).

<table><thead><tr><th>P<br>bar</th><th>t<br>°C</th><th>h<sub>l</sub><br>kcal/kg</th><th>S<sub>l</sub><br>kcal/kg/K</th><th>h<sub>v</sub><br>kcal/kg</th><th>s<sub>v</sub><br>kcal/kg/K</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,048</td><td>31,21</td><td>32,11</td><td>0,1111</td><td>611,3</td><td>2,0087</td></tr><tr><td>57,242</td><td>272,32</td><td>286,04</td><td>0,7186</td><td>665,36</td><td>1,4111</td></tr><tr><td>10</td><td>180</td><td>182,1</td><td>0,5104</td><td>663,2</td><td>1,5725</td></tr><tr><td>57,242</td><td>700</td><td></td><td></td><td>930</td><td>1,7767</td></tr></tbody></table>

1°) Donner l'allure du cycle de Rankine ideal dans un diagramme (T,s). (numéroter les différents points du cycle avec soin)

2°) Calculer à l'aide du tableau ci-dessus :

la valeur du titre $x_4$ en vapeur à la fin de la détente,
la valeur de l'enthalpie $h_4$.

3°) Définir le rendement de l'installation

Donner la formule littérale qui permet de calculer ce rendement en fonction des enthalpies des points importants du cycle. Donner la valeur numérique de ce rendement.
## II- Cycle de Carnot

Le cycle de Carnot est composé de deux transformations adiabatiques réversibles et deux isothermes réversibles.

On fait fonctionner ce cycle entre les deux températures extrêmes du cycle précédent :

$$T_3 = 32,21 \,^\circ\text{C et } T_4 = 272,32 \,^\circ\text{C}$$

La détente s'effectue toujours entre les conditions 3 et 4 précédentes

1. Donner l'allure du cycle de Carnot dans un diagramme (T,s). On indiquera sur le graphe le sens des échanges de chaleur et de travail utile pour chaque étape du cycle.

2. A l'aide de la notion d'entropie, montrer que le rendement du cycle $n_c$, défini par $n_c = -W_{cycle}/Q_{apporté}$, est donné par la relation $n_c = 1 - T_4/T_3$. Calculer ce rendement.

3. Comparer le rendement du cycle de Carnot au rendement précédent. Expliquer brièvement pourquoi les deux rendements sont différents.

## III- Amélioration du cycle de Rankine avec une surchauffe

On surchauffe la vapeur en sortie du générateur G.

Le point 3, correspondant aux conditions d'entrée de la turbine, est maintenant à 700°C.

1. Donner l'allure de ce cycle dans un diagramme (T,s). (numéroter les différents points du cycle avec soin, le point 4 représente toujours le point de sortie de la turbine). Justifier, à partir des valeurs données dans le tableau précédent, le placement du point 4.

2. Calculer à l'aide du tableau ci-dessus :
   la valeur du titre $x_4$ en vapeur à la fin de la détente,
   la valeur de l'enthalpie $h_4$.

3. Calculer la valeur numérique du rendement de ce cycle.

En comparant aux deux rendements précédents, quels conclusions (succinctes) peut-on tirer?

## IV- Amélioration du cycle de Rankine avec un soutirage et mélange

On réalise, au cours de la détente dans la turbine T, un soutirage du fluide. Ce fluide sert à préchauffer l'eau issue du condenseur comme cela est montré sur le schéma ci-dessous.

<figure><img src="image_93.png" /></figure>

M : Mélangeur à pression constante de deux fluides :

sans perte

(Rappel :
sans apport de chaleur et
sans échange de travail utile)

Le soutirage est effectué à la pression $P_5 = 10$ bars.

Le point représentatif de l'eau liquide en 6 est sur la courbe de changement d'état.

Pour produire 1 kg d'eau liquide en 6, il faut soutirer y(kg) en 5.

La détente s'effectue sous les mêmes conditions 3 et 4 définies au I et le point 1 est également identique.
1°) Donner l'allure de ce cycle dans un diagramme (T,s). (numéroter les différents points du cycle avec soin). Comment représenter l'étape 5->6 sur le diagramme (T,s) ?

Pour 1kg d'eau liquide en 6, reporter sur le graphe la masse d'eau mis en jeu dans chacune des étapes du cycle.

2°) Calculer la valeur du titre $x_5$ en vapeur au niveau du soutirage.

En déduire la valeur de l'enthalpie $h_5$ au niveau du soutirage.

3°) Ecrire le bilan énergétique du mélangeur (justifier brièvement le raisonnement).

En déduire la valeur du taux de soutirage y.

4°) Calculer le rendement de ce cycle.

## V- Amélioration du cycle de Rankine avec un soutirage et sans mélange

Comme précédemment, on réalise, au cours de la détente dans la turbine T, un soutirage du fluide. Ce fluide sert à préchauffer l'eau issue du condenseur. Mais dans ce cycle, on ne mélange pas les fluides, on utilise un échangeur.

<figure><img src="image_94.png" /></figure>

E : Echangeur à pression constante sans perte

V : Vanne de détente isenthalpique

Le soutirage est effectué à la pression $P_5$ = 10 bars.

L'eau en 7 est liquide et son point représentatif est sur la courbe de changement d'état.

Le fluide de soutirage, détendu en 8, est injecté au cours de la condensation.

Pour produire 1 kg d'eau liquide en 6, il faut soutirer y (en kg) en 5.

La détente s'effectue sous les mêmes conditions 3 et 4 définies au I et le point 1 est également identique.

1°) Donner l'allure de ce cycle dans un diagramme (T,s). (numéroter les différents points du cycle avec soin).

2°) Ecrire le bilan énergétique de l'échangeur (justifier brièvement le raisonnement).

En déduire le taux de soutirage Y.

remarque : le point 5 a les mêmes caractéristiques que précédemment. Pour les points 6 et 7, bien qu'ils soient à des pressions différentes, on supposera pour les calculs que leurs autres caractéristiques sont identiques.

3°) Calculer le rendement de ce cycle.

Quelles conclusions faut-il relever en comparant ce rendement aux précédents ?
NOM :

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Cycle de Rankine idéale</figcaption></figure>

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>Cycle de Carnot</figcaption></figure>

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>Cycle avec surchauffe</figcaption></figure>

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>Cycle avec soutirage et mélange</figcaption></figure>

<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Cycle avec soutirage sans mélange</figcaption></figure>
# Réponses

## Cycle de Rankine idéal

1°) voir diagramme (T,s)

$$ 
\begin{gathered}
2°) x4 = (s4-s1)/(s4'-s1) \text{ et } s4=s3, x4=0,685 \\ 
h4 = x4 \ h4' + (1-x4) \ h1, h4 = 428,85 \ \text{kcal/kg} \\ 
(Rq: pas besoin de convertir en SI, car des rapports d'enthalpie sont calculés dans la suite)
\end{gathered}
$$

$$ 
\begin{gathered}
3°) n_r = -W^{cycle} / Q_c = -W_{T}^{u} / Q_c \text{ en négligeant } W_{P}^{u} \\ 
n_r = (h3-h4)/(h3-h1) = 0,373
\end{gathered}
$$

## Cycle de Carnot

1°) voir diagramme (T,s)

$$ 
\begin{gathered}
2°) n_c = 1 - T4/T3 \text{ (voir la démonstration dans un cours de thermodynamique)} \\ 
n_c = 0.440 \\ 
n_r < n_c \text{ car dans le cycle de Rankine, il y a des irréversibilités (chauffage de l'eau de 1' à 3)}
\end{gathered}
$$

## Amélioration du cycle de Rankine avec une surchauffe

1°) D'après le tableau fourni, on remarque que $s_v^4(700°C, 57,242 bar) < s_v^4(31,21°C, 0,048 bar)$. La détente se termine toujours avec un mélange liquide/vapeur.
Placement des points du cycle : voir diagramme (T,s)

$$ 
\begin{gathered}
2°) \text{même raisonnement que pour le cycle de Rankine idéal} \\ 
x4= 0,878, h4= 540,64 \ \text{kcal/kg}
\end{gathered}
$$

$$ 
3°) n_{r,surchauf} = 0,434
$$

## Amélioration du cycle de Rankine avec un soutirage et mélange

1°) voir diagramme (T,s)

$$ 
\begin{gathered}
2°) \text{même raisonnement que pour le cycle de Rankine idéal} \\ 
x5= 0,848, h5= 590,10 \ \text{kcal/kg}
\end{gathered}
$$

$$ 
\begin{gathered}
3°) h_{sortie} = h_{entrée} \\ 
\text{===>} h6 = y h5 + (1-y) h1 \\ 
y = 0,269 \\ 
n_{r,sousTir+mél} = -(W_{3-4}^u + W_{3-5}^u) / Q_c = 0,400
\end{gathered}
$$

## Amélioration du cycle de Rankine avec un soutirage et sans mélange

1°) voir diagramme (T,s)

$$ 
\begin{gathered}
2°) h_{sortie} = h_{entrée} \\ 
\text{===>} (1-y) (h6-h1') = y (h5-h7) \\ 
\text{en prenant } h7=h6 \text{ et } h1=h1' : y=0,368
\end{gathered}
$$

$$ 
\begin{gathered}
3°) n_{r,sousTir} = -(W_{3-4}^u + W_{3-5}^u) / Q_c = 0,365 \\ 
n_{r,sousTir} < n_r < n_{r,sousTir+mél} < n_{r,surchauf} < n_c
\end{gathered}
$$