ANNALES
POLONICI MATHEMATICI
XXXV (1977)

# Sur la stabilité asymptotique de la solution d'un système d'équations différentielles à paramètre retardé

par Z. MIKOŁAJSKA (Kraków)

**Résumé.** Dans la présente note nous démontrons un théorème sur la stabilité asymptotique de la solution $x = 0$ d'une système d'équations différentielles

$$ (1) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x'(t) = f(t, x_t(\cdot)) $$

où $x = x_1, \dots, x_n, f = f_1, \dots, f_n, x_t(\theta) = x(t+\theta)$ pour $-h < \theta < 0, h > 0, f(t, \varphi(\cdot))$ est continue par rapport à $t, \varphi(\cdot)$ pour $t < 0, \varphi(\theta)$ continue dans l'intervalle $-h < \theta < 0$. Le théorème en question est une généralisation d'un théorème démontré dans la note [1].

## 1. Admettons les hypothèses suivantes:

HYPOTHÈSES H₁. Il existe une fonction $V(x)$ de classe $C^1$ pour $x \neq 0$, continue pour $x = 0$, telle que

$$ (1.1) \qquad V(x) > 0 \qquad \text{pour } x \neq 0, V(0) = 0, $$

$$ (1.2) \qquad V(x) \geq P > 0 \qquad \text{pour } |x| \geq r_0 (r_0 > 0). $$

Pour chaque $\varphi(\theta)$ continue dans l'intervalle $-h \leq \theta \leq 0$ tel que $\varphi(0) \neq 0$ on a

$$ \begin{align} (1.3) \qquad V_x(\varphi(0))f(t, \varphi(\cdot)) &= \sum_{i=1}^{n} V_{x_i}(\varphi(0))f_i(t, \varphi(\cdot)) \nonumber \\ &\leq g(t, V(\varphi(0)), V(\varphi(-h)), \max_{-h \leq s \leq 0} V(\varphi(s))) \end{align} $$

où la fonction $g(t, u, v, z)$ satisfait aux conditions suivantes:

HYPOTHÈSES H₂. 1° $g(t, u, v, z)$ est de classe $C^1$ pour $0 \leq u, v, 0 \leq z, 0 \leq t$,

$$ (1.4) \qquad g(t, 0, 0, 0) = 0 \qquad \text{pour } t \geq 0. $$

2° $g(t, u, v, z)$ est strictement croissante par rapport à $v$ et croissante par rapport à $z$ pour $v \geq 0, z \geq 0, u \geq 0, t \geq 0$.
3º Il existe une constante $M > 0$ telle que

$$
(1.5) \quad g(t, M, M, M) < 0 \qquad \text{pour } t \ge 0,
$$

$$
(1.6) \quad g_t(t, u, M, M) < 0 \qquad \text{pour } 0 \le u \le M, t \ge 0,
$$

$$
(1.7) \quad g_u(t, u, M, M) < 0 \qquad \text{pour } 0 \le u \le M, t \ge 0,
$$

$$
(1.8) \quad \lim_{t \to \infty} g(t, u, M, M) \le \gamma(u) < 0 \quad \text{pour } 0 < u \le M, t \ge 0.
$$

THÉORÈME 1. Les hypothèses $H_1$ et $H_2$ étant admises la solution $x \equiv 0$
de l'équation (1) est asymptotiquement stable.

La démonstration du théorème peut être basée sur les lemmes suivants :

2. HYPOTHÈSES L₁.

$$
(2.1) \quad F(t, w) \text{ est une fonction de classe } O^1 \text{ pour } t \ge 0, w \ge 0.
$$

Il existe une constante $M > 0$ telle que

$$
(2.2) \qquad F(t, M) < 0 \quad \text{pour } t \ge 0.
$$

HYPOTHÈSES L₂. Supposons que $v(t)$ soit de classe $O^1$

$$
(2.3) \qquad v(t) < M \quad \text{pour } t_0 - h \le t \le t_0,
$$

$$
(2.4) \quad v'(t) < F(t, v(t)) \quad \text{pour } t \ge t_0 \text{ tels que } v(\tau) < M \\
\phantom{(2.4) \quad v'(t) < F(t, v(t)) \quad \text{pour } t \ge t_0 \text{ tels que } } \text{pour } t-h \le \tau \le t.
$$

LEMME 1. Les hypothèses L₁ et L₂ étant admises, on a

$$
v(t) < w(t) < M \quad \text{pour } t > t_0
$$

où $w(t)$ est la solution de l'équation

$$
(2.5) \qquad w'(t) = F(t, w(t)),
$$

$$
(2.6) \qquad w(t_0) = M.
$$

Démonstration. Supposons que

$$
(2.7) \quad v(t) < w(t) \quad \text{pour } t_0 \le t < t_1,
$$

$$
(2.8) \qquad v(t_1) = w(t_1).
$$

Démontrons que $w(t) < M$ pour $t_0 < t$. On a

$$
w'(t_0) = F(t_0, M) < 0
$$

et par suite

$$
w(t) < M \quad \text{pour } t_0 < t \le t_0 + \delta \ (\delta > 0).
$$
En vertu de (2.2) on a $w'(t) < 0$ pour chaque $t > t_0$ tel que $w(t) = M$,
par suite il n'existe pas de $\bar{t} > t_0$ tel que $w(\bar{t}) = M$ et $w(t) < M$ pour
$\bar{t} - \delta \le t < \bar{t}$. Donc

$$
(2.9) \qquad w(t) < M \quad \text{pour } t_0 < t < +\infty.
$$

En vertu de (2.9), (2.7) et (2.8) on a

$v(t) < M \quad \text{pour } t_0 \le t \le t_1$

donc, en vertu de (2.4), on a

$$
v'(t_1) < F(t_1, v(t_1)) = w'(t_1)
$$

d'où il vient

$v(t) > w(t) \quad \text{pour } t_1 - \varepsilon \le t < t_1$

ce qui est incompatible avec (2.7), donc

$$
(2.10) \qquad v(t) < w(t) \quad \text{pour } t_0 \le t < \infty.
$$

3. HYPOTHÈSES L₃.

$$
(3.1) \qquad F(t, 0) > 0 \quad \text{pour } t \ge 0,
$$

$$
(3.2) \quad F_t(t, w) < 0 \quad \text{pour } t \ge 0, 0 < w \le M,
$$

$$
(3.3) \quad F_w(t, w) < 0 \quad \text{pour } t \ge 0, 0 < w \le M.
$$

LEMME 2. Les hypothèses L₁ et L₃ étant admises pour la solution w(t) de l'équation

$$
(3.4) \qquad w'(t) = F(t, w(t))
$$

avec la condition

$$
(3.5) \qquad w(t_0) = M, \quad t_0 \ge 0
$$

on a

$$
(3.6) \qquad w'(t) < 0 \quad \text{pour } t \ge t_0.
$$

Démonstration. De l'hypothèse (3.1) et (2.2) il vient qu'il existe
une fonction w<sub>M</sub>(t) telle que

$$
(3.7) \qquad F(t, w_M(t)) = 0 \quad \text{pour } t \ge t_0,
$$

$$
(3.8) \qquad 0 < w_M(t) < M.
$$

En vertu de (2.1) et (3.3) la fonction $w_M(t)$ est de classe $O^1$ et on a

$$
(3.9) \qquad w'_{M}(t) = - \frac{F_{t}(t, w_{M}(t))}{F_{w}(t, w_{M}(t))}
$$
d'où, en vertu de (3.2), (3.3) et (3.7), il vient

$$ (3.10) \qquad w'_{M}(t) < 0 = F(t, w_{M}(t)). $$

En vertu de (3.5) et (3.8) on a

$$ w(t_0) > w_M(t_0) $$

et par suite de l'inégalité (3.10) il vient

$$ (3.11) \qquad w(t) > w_M(t) \quad \text{pour } t \ge t_0 $$

(cf. [2]).

La fonction $F(t, w)$ est décroissante par rapport à $w$ pour $0 < w \le M$, (3.3) et par suite, en vertu de (3.11) et (2.9), on a

$$ w'(t) = F(t, w(t)) < F(t, w_M(t)) = 0 \quad \text{pour } t \ge t_0. $$

Le lemme 2 est ainsi démontré.

**4. LEMME 3.** Admettons les hypothèses $L_1$ et $L_2$ et supposons que pour la constante $\alpha$, $0 < \alpha < M$ on ait

$$ (4.1) \qquad \lim_{t \to \infty} F(t, \alpha) \le \gamma(\alpha) < 0. $$

Les hypotheses $L_1$, $L_2$ et (4.1) étant admises, il existe un $T_a > t_0$ tel que

$$ (4.2) \qquad w(t) < a \quad \text{pour } t \ge T_a. $$

**Démonstration.** De l'hypothèse (4.1) il suit qu'il existe un $t^* > 0$ tel que $F(t, \alpha) \le \frac{1}{2}\gamma(\alpha) < 0$ pour $t \ge t^*$. On a donc $w'(\bar{t}) < 0$ pour chaque $\bar{t} \ge t^*$ tel que $w(\bar{t}) = \alpha$ et par suite, en vertu de la théorie des inégalités différentielles, de l'hypothèse $w(\hat{t}) < \alpha$ pour $\hat{t} \ge t^*$ il résulte que $w(t) < \alpha$ pour chaque $t \ge \hat{t}$, donc dans le cas où il n'existe pas de $T_a > t_0$ tel qu'on a (4.2) pour $t \ge T_a$ on a $w(t) \ge \alpha$ pour $t \ge t_0$. Alors il existe un $\bar{t}^* \ge t_0$ tel que

$$ w'(t) = F(t, w(t)) \le F(t, \alpha) \le \frac{1}{2}\gamma(\alpha) < 0 \quad \text{pour } t \ge \bar{t}^* $$

et par suite

$$ \alpha \le w(t) \le w(\bar{t}^*) + \frac{1}{2}\gamma(\alpha) (t - \bar{t}^*) < \alpha \quad \text{pour } \bar{t} \ge t. $$

De la contradiction obtenue il résulte que $w(t) < \alpha$ pour $t$ suffisamment grand. La démonstration est ainsi terminée.

**5. Démonstration du théorème 1.** Posons $v(t) = V(\omega(t))$ et $F(t, w) = g(t, w, M, M)$, $t_0 = 0$. On a donc

$$ \begin{align*} v'(t) &\le g(t, v(t), v(t-h), \max_{-h \le s \le 0} v(t+s)) < g(t, v(t), M, M) \\ &= F(t, v(t)) \end{align*} $$

pour $t > 0$ tel que $v(t-h) < M$ et $\max_{-h \le s \le 0} v(t+s) \le M$.
C'est-à-dire que les hypotheses du lemme 1 sont satisfaites (cf. (1.5) et (2.2)) et par suite

$$v(t) < w(t) < M \quad \text{pour } t \ge 0.$$

De l'hypothèse (1.8) et du lemme 3 il suit que pour chaque $a > 0$ ($a < M$) il existe un $T_a \ge 0$ tel que

$$v(t) < a \quad \text{pour } t \ge T_a.$$

De l'hypothèse (1.1) et (1.2) il résulte que pour chaque $\varepsilon > 0$ il existe un $a_\varepsilon > 0$ tel que

$$|x| \le \varepsilon \quad \text{pour } x \text{ tel que } V(x) \le a_\varepsilon.$$

Pour chaque $M > 0$ il existe un $\delta_0 > 0$ tel que

$$V(x) < M \quad \text{pour } |x| \le \delta_0$$

et par suite de l'inegalité

$$|x(t)| \le \delta_0 \quad \text{pour } -h \le t \le 0$$

il suit que

$$V(x(t)) < a_\varepsilon \quad \text{pour } t \ge T_a$$

donc

$$|x(t)| < \varepsilon \quad \text{pour } t \ge T_a.$$

Nous avons ainsi démontré que dans le cas de l'unicité la solution $x \equiv 0$ du système (1) est asymptotiquement stable.

6. Remarque 1. Les hypothèses $H_2$ peuvent être remplacées par les suivantes:

HYPOTHÈSES $\bar{H}_2$. $g(t, u, v, z)$ est de classe $C^1$ pour $0 \le u, 0 \le v, 0 \le z$, $t \ge 0$

$$ (6.1) \qquad g(t, 0, 0, 0) = 0 \quad \text{pour } t \ge 0, $$

$g(t, u, v, z)$ est strictement croissante par rapport à $v$ et croissante par rapport à $z$.

Il existe un $M > 0$ tel que

$$ (6.2) \qquad g(t, u, u, u) < 0 \quad \text{pour } 0 < u \le M, $$

$$ (6.3) \qquad g_u(t, u, v, v) < 0 \quad \text{pour } 0 < v \le M, u \le v, $$

$$ (6.4) \qquad g_t(t, u, v, v) < 0 \quad \text{pour } 0 < v \le M, u \le v. $$
Pour chaque $\dot{a} > 0$, $a < M$ il existe un $\eta_a > 0$ tel que

$$ (\Gamma) \qquad \lim_{t \to \infty} g(t, a, a+\eta_a, a+\eta_a) \le \gamma(a) < 0. $$

**THÉORÈME 2.** *Les hypotheses $H_1$ et $\bar{H}_a$ étant admises, la solution $x = 0$ du système (1) est asymptotiquement stable.*

**Démonstration.** Supposons qu'il existe une solution $x(t)$ du système (1) qui ne converge pas vers zero. Alors

$$ v(t) = V(x(t)) \to 0 \quad \text{pour } t \to \infty. $$

En vertu des lemmes 1 et 2 on a

$$ v(t) < w(t) < M \quad \text{pour } 0 < t, $$

$$ w'(t) < 0 \quad \text{pour } 0 \le t. $$

De l'hypothèse que $v(t) \to 0$ il suit que $w(t) \to 0$. $w(t)$ est décroissante; donc il existe un $\alpha_0 > 0$ tel que

$$ (6.5) \qquad \lim_{t \to \infty} w(t) = \alpha_0 > 0, $$

$$ (6.6) \qquad w(t) > \dot{a}_0 \quad \text{pour } t > 0. $$

Posons

$$ \varepsilon_1 = \min(\eta_{a_0}, \frac{1}{2}). $$

De (6.5) il suit qu'il existe un $t_1 > 0$ tel que

$$ a_0 < w(t) < a_0 + \varepsilon_1 \quad \text{pour } t_1 < t $$

donc

$$ v(t) < a_0 + \varepsilon_1 \quad \text{pour } t > t_1. $$

Posons

$$ F_1(t, w) = g(t, w, a_0 + \varepsilon_1, a_0 + \varepsilon_1). $$

La fonction $F_1(t, w)$ satisfait aux hypothèses du lemme 1 et du lemme 2 avec $M = a_0 + \varepsilon_1$ et $t_0 = t_1 + h$; par conséquent

$$ v(t) < w_1(t) < a_0 + \varepsilon_1 \quad \text{pour } t \ge t_1 + h, $$

$$ w'(t) < 0 $$

où

$$ w_1'(t) = F_1(t, w_1(t)), \quad w_1(t_1+h) = a_0 + \varepsilon_1. $$

De la relation $v(t) \to 0$ il suit que $w_1(t) \to 0$ et, par suite, il existe un $\alpha_1 > 0$ tel que

$$ \lim_{t \to \infty} w_1(t) = \alpha_1 < a_0 + \varepsilon_1. $$
D'une façon analogue on peut construire la suite {$w_n(t)$}, {$a_n$}, {$\epsilon_n$}, {$t_n$}.
On a

$$w_0(t) = w(t),$$

$$ (6.7) \qquad a_n = \lim_{t \to \infty} w_n(t), \quad n = 0, 1, \dots, $$

$$ (6.8) \qquad \begin{aligned} w'_n(t) &= g(t, w_n(t), a_{n-1} + \epsilon_n, a_{n-1} + \epsilon_n) \\ &= F_n(t, w_n(t)), \end{aligned} $$

$$ (6.9) \qquad w_n(t_n+h) = a_{n-1} + \epsilon_n, $$

$$ (6.10) \qquad \epsilon_n = \min(\eta_{a_{n-1}}, \frac{1}{2}n), $$

$t_n$ est tel que

$$ (6.11) \qquad w_{n-1}(t) < a_{n-1} + \epsilon_n \quad \text{pour } t \ge t_n. $$

Une tel $t_n$ existe, car $w_n(t)$ est décroissante et $\lim_{t \to \infty} w_n(t) = a_n$. En vertu des lemmes 1 et 2 on a

$$ (6.12) \qquad \begin{aligned} v(t) < w_n(t) < a_{n-1} + \epsilon_n \quad \text{pour } t \ge t_n + h, \\ w'_n(t) < 0. \end{aligned} $$

Supposons que

$$ a_{n-1} \le a_n \quad \text{pour un } n \ge 1. $$

On a

$$ (6.13) \qquad a_{n-1} \le a_n < w_n(t) < a_{n-1} + \epsilon_n. $$

En vertu de (6.8) et (6.10) on a

$$ \begin{aligned} w'_n(t) = F'_n(t, w_n(t)) &= g(t, w_n(t), a_{n-1} + \epsilon_n, a_{n-1} + \epsilon_n) \\ &< g(t, w_n(t), a_{n-1} + \eta_{a_{n-1}}, a_{n-1} + \eta_{a_{n-1}}) \end{aligned} $$

d'où, en vertu de (6.3) et (6.13), on a

$$ w'_n(t) < g(t, a_{n-1}, a_{n-1} + \eta_{a_{n-1}}, a_{n-1} + \eta_{a_{n-1}}) $$

et en vertu de (Γ)

$$ \lim_{t \to \infty} w'_n(t) \le \gamma(a_{n-1}) < 0 $$

d'où

$$ w'_n(t) \le \frac{1}{2}\gamma(a_{n-1}) < 0 \quad \text{pour } t \ge T_n $$

donc

$$ w_n(t) \le w_n(T_n) + \frac{1}{2}\gamma(a_{n-1}) (t - T_n) $$

d'où en vertu de (6.13) on a

$$ a_n < w_n(T_n) + \frac{1}{2}\gamma(a_{n-1}) (t - T_n) < a_{n-1}. $$
et par suite

$$
(6.14) \qquad 0 < a_n < a_{n-1} \quad \text{pour } n = 1, 2, \dots
$$

Nous allons démontrer que $a_n \to 0$ pour $n \to \infty$. Supposons que $a_n \to 0$. En vertu de (6.14) il existe un $a^* > 0$ tel que

$$
(6.15) \qquad \lim_{n \to \infty} a_n = a^*.
$$

Il existe un $N_1 > 0$ tel que

$$
a_{n-1} < a^* + \frac{1}{2}\eta_{a^*} \quad \text{pour } n \ge N_1.
$$

De la définition de $\varepsilon_n$ il suit que $\varepsilon_n \to 0$ et, par suite, il existe un $N_2 > 0$
tel que

$$
\epsilon_n \le \frac{1}{2}\eta_{a_*} \quad \text{pour } n \ge N_2.
$$

Nous avons donc

$$
a_{n-1} + \epsilon_n < a^* + \eta_{a^*} \quad \text{pour } n \ge N_3
$$

où

$$
N_3 = \max(N_1, N_2)
$$

et par suite

$$
a^* < a_{N_3} \le w_{N_3}(t) < a_{N_3-1} + \epsilon_{N_3} < a^* + \eta_{a^*}
$$

d'où

$$
\begin{align*}
w'_{N_3}(t) &< g(t, a^*, a_{N_3-1} + \epsilon_{N_3}, a_{N_3-1} + \epsilon_{N_3}) \\
&\le g(t, a^*, a^* + \eta_{a^*}, a^* + \eta_{a^*}) \le \gamma(a^*) < 0 \quad \text{pour } t \ge t^*
\end{align*}
$$

et enfin

$$
a^* < a_{N_3} \le w_{N_3}(t) \le w_{N_3}(t^*) + \gamma(a^*) (t - t^*) < a^*
$$

pour $t$ suffisamment grand, donc $a^* = 0$. Le théorème est ainsi démontré.

7. EXAMPLE. Comme example envisageons le cas où

$$
f(t, \varphi(\cdot)) = \tilde{f}(t, \varphi(0), \varphi(-h), \int_{-h}^{0} \varphi(s) ds)
$$

où

$$
\varphi(0) \cdot \tilde{f}(t, \varphi(0), \varphi(-h), \int_{-h}^{0} \varphi(s) ds) \\
\le p(t)\varphi^2(0) + q(t)\varphi(0)\varphi(-h) + r(t) \int_{-h}^{0} \varphi(0)\varphi(s) ds
$$

où

$$
\begin{align*}
& p(t) + |q(t)| + |r(t)|h \le -a \quad (a > 0), \\
& (|q(t)| + |r(t)|h)' < 0, \\
& p'(t) + (|q(t)| + |r(t)|h)' < 0.
\end{align*}
$$
Dans le cas envisagé on peut poser

$$V(x) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}.$$

$$ \begin{aligned} V_x(\varphi(0))f(t, \varphi(\cdot)) &\le p(t) V(\varphi(0)) + |q(t)| V(\varphi(-h)) + |r(t)| h \max_{-h \le s \le 0} V(\varphi(s)) \\ &= g(t, V(\varphi(0)), V(\varphi(-h)), \max_{-h \le s \le 0} V(\varphi(s))); \end{aligned} $$

$g(t, u, v, z)$ ainsi définie satisfait aux hypothèses $H_1$ et $\bar{H}_2$

$$g(t, u, u, u) = (p(t) + |q(t)| + h|r(t)|)u < 0 \quad \text{pour } u > 0,$$

$$g_u(t, u, v, v) = p(t) < 0,$$

$$g_t(t, u, v, v) = p'u + |q(t)|'v + h|r(t)|'v.$$

Dans le cas où

$$ \begin{gathered} p' > 0, \quad p'u + (|q(t)| + h|r(t)|)'v \le (p' + (|q(t)| + h|r(t)|)'v) < 0 \\ \qquad \qquad \qquad \text{pour } 0 < u \le v. \end{gathered} $$

Dans le cas où $p' < 0$

$$p'u + (|q(t)| + h|r(t)|)'v \le (|q(t)| + h|r(t)|)'v < 0.$$

Pour démontrer (Γ) envisagcons

$$ \begin{align*} g(t, \alpha, \alpha + \eta_{\alpha}) &= p(t)\alpha + |q(t)|(\alpha + \eta_{\alpha}) + h|r(t)|(\alpha + \eta_{\alpha}) \\ &= (p(t) + |q(t)| + h|r(t)|)\alpha + (|q(t)| + h|r(t)|)\eta_{\alpha} \\ &\le -\alpha\alpha + (|q(t)| + h|r(t)|)\eta_{\alpha}. \end{align*} $$

On a $(|q(t)| + h|r(t)|)' < 0$ et par suite

$$|q(t)| + h|r(t)| \le |q(0)| + h|r(0)| = \beta$$

d'où

$$g(t, \alpha, \alpha + \eta_{\alpha}) \le -\alpha\alpha + \beta\eta_{\alpha}.$$

Posons

$$\eta_{\alpha} = \frac{\alpha\alpha}{2\beta}.$$

On a donc

$$g(t, \alpha, \alpha + \eta_{\alpha}) \le -\frac{\alpha}{2}\alpha = \gamma(\alpha) < 0 \quad \text{pour } \alpha > 0$$

et par suite, en vertu du théorème 2, $x \equiv 0$ est une solution asymptotiquement stable pour l'équation

$$x'(t) = \tilde{f}(t, x(t), x(t-h), \int_{-h}^{0} x(t+s) ds).$$
Références

[1] Z. Mikołajska, *Remarque sur la stabilité asymptotique de la solution d'un système d'équations différentielles à paramètre retardé*, Ann. Polon. Math. 19 (1967), p. 163-167.

[2] J. Szarski, *Differential inequalities*, Warszawa 1965.

Reçu par la Rédaction le 13. 3. 1975