# Séries de variables aléatoires indépendantes

Xavier Fernique

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Xavier Fernique. Séries de variables aléatoires indépendantes. Annales de l'ISUP, 1967, XVI (1), pp.35-46. hal-04083850

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# SÉRIES DE VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES

## X. FERNIQUE

On étend les théorèmes comparant et caractérisant les différentes convergences des séries de variables aléatoires indépendantes au cas où ces variables prennent leurs valeurs dans certains espaces vectoriels topologiques. Un cas particulier important sera celui des distributions aléatoires ; les résultats principaux dans ce cas ont été énoncés dans [1]. Ce travail est basé sur un lemme de Minlos convenablement amélioré et sur un lemme de symétrisation.

### 1. Généralités

1. Soit $E$ un espace vectoriel topologique ; toute forme quadratique positive (1) continue $Q$ sur $E$ définit sur lui une structure préhilbertienne ; on notera $\hat{B}_Q$ l'espace de Hilbert séparé et complet associé à cette structure ; on notera $B_Q$ l'ensemble $\{x \in E | Q(x, x) \le 1\}$.

Soit $F$ le dual topologique de $E$ ; on notera $\bar{Q}$ la forme quadratique positive duale de $Q$, finie ou non, définie sur $F$ par $\bar{Q}(y, y) = \sup_{x \in B_Q} \langle y, x \rangle^2$ ; on notera $K_Q$ l'ensemble $\{y \in F | \bar{Q}(y, y) \le 1\}$.

Soit $R$ une seconde forme quadratique positive continue sur $E$ ; on dira que $Q$ est subordonnée à $R$ si $R$ majore $Q$ et si l'application de $\hat{E}_R$ dans $\hat{E}_Q$ qui prolonge l'application identique de $E$ dans $E$ est une application de Hilbert-Schmidt de norme au plus égale à 1, c'est-à-dire si pour toute famille $(x_i)$ d'éléments de $E$ orthonormale pour $R$, on a

<footnote>(1) On entend par là une forme quadratique $Q$ telle que $Q(x, x)$ soit positif ou nul pour tout $x$. Elle est peut-être dégénérée. L'étude faite s'applique d'ailleurs à certains espaces sur lesquels il n'existe aucune forme quadratique continue non dégénérée.</footnote>
$$ \sum_i Q(x_i, x_i) \le 1; \qquad (1) $$

toute famille $(x_i)$ d'éléments de $B_R$ orthogonaux deux à deux définie alors aussi la relation (1).

2. Dans la suite, E désigne un espace vectoriel topologique localement convexe séparé et nucléaire ([2]), c'est-à-dire que pour toute semi-norme continue $p$ sur E, il existe deux formes quadratiques positives continues $Q$ et $R$ sur E telles que

$$ p^2 \le Q \le R, \qquad (2) $$

$$ Q \text{ est subordonnée à } R. \qquad (2') $$

L'espace $\hat{E}_Q$ est alors séparable puisque la relation (1) montre que l'image de $B_R$ dans l'espace métrisable $\hat{E}_Q$ est relativement compacte, donc séparable ; le caractère absorbant de $B_R$ dans E montre alors que l'image de E qui est d'ailleurs dense dans $\hat{E}_Q$, est aussi séparable ; d'où le résultat.

3. Soit E un espace vectoriel topologique localement convexe séparé ; on munit son dual topologique F de la tribu borélienne $\beta$ associée à la topologie faible, c'est-à-dire engendrée par les parties de F ouvertes pour la topologie faible. Dans les cas usuels, E sera un espace de Fréchet nucléaire ou une limite inductive stricte d'une suite d'espaces de Fréchet nucléaires ; F sera alors standard pour la topologie de la convergence uniforme dans les parties convexes compactes de E et la tribu $\beta$ sera identique [3] à la tribu borélienne associée à cette dernière topologie. Les mesures sur F sont les fonctions d'ensemble définies sur $\beta$ dénombralement additives et bornées. On utilisera exclusivement des mesures positives. On dira qu'une mesure positive $\mu$ sur F est régulière si pour tout élément $b$ de $\beta$, on a : $\mu(b) = \sup \mu(K)$ où $K$ parcourt l'ensemble des parties faiblement compactes de F contenues dans b. Une variable aléatoire à valeurs dans F est une application mesurable Y d'un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$ dans $(F, \beta)$ : l'image de $\mathcal{P}$ par Y est alors une mesure $\mu_Y$ sur F appelée loi de Y ; on dira qu'une variable aléatoire est régulière si sa loi est une mesure régulière. Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans F ; on appelle fonctionnelle caractéristique de Y et on note $L_Y$ la transformée de Fourier $\hat{\mu}_Y$ de sa loi ; c'est l'application de E dans C définie par

$$ L_Y(x) = \int \exp(i \langle x, Y \rangle) dP. $$
On sait que si E est un espace nucléaire et tonnelé, la continuité de L<sub>Y</sub> et la régularité de Y sont des notions équivalentes.

Soit (Y₁) une famille de variables aléatoires à valeurs dans F ; on dit qu'elle est indépendante si la famille (Yᵢ¹(Ω)) est une famille de tribus indépendantes sur Ω ; pour toute famille (x₁) d'éléments de E, la famille (< xᵢ, Yᵢ >) est alors une famille de variables aléatoires usuelles indépendantes. Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans F ; on notera Y<sup>s</sup> une variable aléatoire symétrisée, différence de deux variables aléatoires indépendantes de mêmes lois que Y.

## 2. Lemmes préliminaires

1. Nous démontrons ici deux lemmes techniques qui seront utilisés dans le paragraphe suivant.

LEMME 1. - Soit f une fonction de type positif continue sur $\mathbb{R}$ prenant la valeur 1 à l'origine ; il existe une constante k > 0 telle que pour tout nombre positif a, on ait

$$ \forall x \in \mathbb{R}, 1 - \text{Re} f(x) \le k \left(1 + \frac{x^2}{a^2}\right) \frac{1}{a} \int_0^a (1 - \text{Re} f(t)) dt $$

DÉMONSTRATION. - Soit $h \in ]0, \frac{1}{6}[$ ; il existe alors un nombre $\varepsilon > 0$ tel que

$$ -\varepsilon \le z \le +\varepsilon \implies 1 - \frac{\sin z}{z} \ge h z^2; $$

pour tout couple (y, z) de nombres réels non nuls tels que $|z|$ soit inférieur à $\varepsilon$, on a

$$ \frac{1 - \cos y}{1 - \frac{\sin z}{z}} \frac{z^2}{y^2 + z^2} \le \frac{1}{h} \frac{1 - \cos y}{y^2} \le \frac{1}{2h} \quad (4) $$

D'autre part, pour tout couple (y, z) de nombres réels tels que $|z|$ soit supérieur à $\varepsilon$, on a

$$ \frac{1 - \cos y}{1 - \frac{\sin z}{z}} \frac{z^2}{y^2 + z^2} \le \frac{2}{L} \quad \text{où} \quad L = \inf_{|z| > \varepsilon} \left(1 - \frac{\sin z}{z}\right) > 0. \quad (5) $$
Des inégalités (4) et (5), on déduit que la fonction
$$ \frac{1 - \cos y}{1 - \frac{\sin z}{z}} \frac{z^2}{y^2 + z^2} $$

possède un maximum fini $k^{(1)}$; posant alors $y = vx$ et $z = av$, on obtient

$$ \forall a \neq 0, v \neq 0, x \in \mathbb{R}, \quad 1 - \cos vx \leq k \left(1 + \frac{x^2}{a^2}\right) \left(1 - \frac{\sin av}{av}\right) $$

en intégrant par rapport à une mesure $\mu$ (dv) dont $f$ est la transformée de Fourier, on a

$$ 1 - \operatorname{Re} f(x) \leq k \left(1 + \frac{x^2}{a^2}\right) \int \left(1 - \frac{\sin av}{av}\right) \mu(dv); $$

on en déduit le résultat.

**COROLLAIRE.** - Soit E un espace nucléaire ; on suppose donnés une fonction de type positif L sur E continue et un nombre $\varepsilon > 0$ ; dans ces conditions, il existe une forme quadratique positive continue Q sur E telle que

$$ \forall x \in E, \quad L(0) - \operatorname{Re} L(x) \leq \varepsilon (1 + Q(x, x)). \quad (6) $$

**DÉMONSTRATION.** - On peut supposer $L(0)$ non nulle, sinon (6) est triviale ; il existe alors une semi-norme continue $p$ sur E telle que

$$ p(x) \le 1 \implies L(0) - \operatorname{Re} L(x) \le \frac{\varepsilon}{3} \quad (7) $$

Pour tout élément $x$ de E, $\frac{L(tx)}{L(0)}$ est une fonction de type positif continue $f$ sur $\mathbb{R}$ prenant la valeur $1$ à l'origine ; choisisant alors une forme quadratique $Q$ associée à la semi-norme $p$ par (2), posant $a^2 = \frac{1}{Q(x, x)}$ pour que sur $[0, a]$, $1 - \operatorname{Re} f(t)$ soit majorée par $\frac{\varepsilon}{3L(0)}$ et appliquant le lemme, on obtient le résultat.

**LEMME 2.** - Soient $f, f_n$ des fonctions de type positif, réelles et positives, continues sur $\mathbb{R}$ prenant la valeur $1$ à l'origine telles que $f = \prod_n f_n$ ; on suppose donnés deux nombres $c \in ]0, \frac{1}{3}[$ et $d > 0$

<footnote>(1) On vérifie facilement : $k = 3$.</footnote>
tels que pour tout nombre réel $x$, on ait

$$1 - f(x) \le c(1 + dx^2); \qquad (8)$$

dans ces conditions, pour tout nombre réel $x$, on a aussi

$$\sum_n (1 - f_n(x)) \le 12 c (1 + dx^2). \qquad (9)$$

DÉMONSTRATION. - Les hypothèses $0 \le f_n \le 1$ et $f = \prod_n f_n$ montrent que pour tout nombre réel $t$, on a

$$\sum_n (1 - f_n(t)) \le \ln \frac{1}{f(t)};$$

en utilisant le lemme 1, appliqué aux différentes fonctions $f_n$ en posant $a = \frac{1}{\sqrt{d}}$, on en déduit pour tout nombre réel $x$

$$\sum_n (1 - f_n(x)) \le 3(1 + dx^2) \quad \text{V d} \int \frac{1}{\sqrt{d}} \ln \frac{1}{f(t)} dt.$$

L'hypothèse (8) montre que sur l'intervalle d'intégration, $\ln \frac{1}{f(t)}$ est majoré par $\ln \frac{1}{1-2c}$, donc par $(3 \ln 3) c$ puisque $c$ est inférieur à $\frac{1}{3}$ ; on en déduit le résultat.

COROLLAIRE. - Soient $L, L_n$ des fonctions de type positif, réelles et positives, continues sur un espace nucléaire $E$, prenant la valeur $1$ à l'origine, telles que $L = \prod_n L_n$ ; pour tout nombre $\varepsilon > 0$, il existe alors une forme quadratique positive continue $Q$ sur $E$ telle que

$$\forall x \in E, \sum_n (1 - L_n(x)) \le \varepsilon (1 + Q(x, x)). \qquad (10)$$

DÉMONSTRATION. - On peut supposer $\varepsilon < 4$ de sorte que $\frac{\varepsilon}{12}$ soit inférieur à $\frac{1}{3}$ ; il existe alors (corollaire du lemme 1) une forme quadratique positive continue $Q$ sur $E$ telle que
$$ \forall x \in E, 1 - L(x) \le \frac{\varepsilon}{12} (1 + Q(x, x)); $$

pour tout élément x de E, les fonctions L(tx), L_n(tx) vérifient les hypothèses du lemme 2 avec $c = \frac{\varepsilon}{12}$ et $d = Q(x, x)$; on en déduit le résultat.

**2. LEMME DE MINLOS.** – Soient E un espace vectoriel topologique localement convexe séparé et Y une variable aléatoire régulière sur le dual topologique F de E; on suppose donnés un nombre $\varepsilon > 0$ et une forme quadratique positive continue Q sur E tels que

$$ \forall x \in E, 1 - Re L_Y(x) \le \varepsilon (1 + Q(x, x)). \quad (11) $$

Dans ces conditions, pour toute forme quadratique positive continue R sur E à laquelle Q soit subordonnée, on a

$$ E\{\inf [\bar{R}(Y, Y), 1]\} \le 6\varepsilon. \quad (12) $$

**DÉMONSTRATION.** – La fonction $\inf [1, \bar{R}]$ est une fonction semi-continue inférieurement sur F, borne supérieure de l'ensemble filtrant croissant des fonctions continues $\inf [1, \sum_i <x_i, Y>^2]$ où $x = (x_1)$ parcourt l'ensemble $\Phi$ des parties finies de $B_R$ orthogonales pour R. Comme la variable aléatoire Y est supposée régulière, on a donc

$$ E\{\inf [\bar{R}(Y, Y), 1]\} = \sup_{\Phi} E \left\{ \inf \left[ 1, \sum_i <x_i, Y>^2 \right] \right\}. \quad (13) $$

L'inégalité évidente

$$ \inf [1, x^2] \le 3 \left( 1 - \exp \left( -\frac{1}{2} x^2 \right) \right), $$

montre que pour tout élément $x = (x_j)_{1 \le j \le k}$ de $\Phi$, on a

$$ E \left\{ \inf \left[ 1, \sum_{j=1}^{k} <x_j, Y>^2 \right] \right\} \le 3 \int (1 - \exp \left( -\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{k} <x_j, Y>^2 \right)) du_Y(y). \quad (14) $$

Comme $\exp(-\frac{1}{2}x^2)$ est sa propre transformée de Fourier, le second membre de (14) s'écrit
$$3 (2\pi)^{-\frac{k}{2}} \int_{\mathbb{R}^k} \exp \left( -\frac{1}{2} \langle z, z \rangle \right) \cdot \left( 1 - L_Y \left( \sum_{j=1}^{k} z_j x_j \right) \right) \mathrm{d}z.$$

L'intégrale étant réelle, on peut substituer à l'intégrande sa partie réelle ; l'inégalité (11) permet alors d'écrire

$$E \left\{ \inf \left[ 1, \sum_{j=1}^{k} \langle x_j, Y \rangle^2 \right] \right\} \le 3 \varepsilon \left[ 1 + \sum_{j=1}^{k} Q(x_j, x_j) \right]; \quad (15)$$

Puisque $Q$ est subordonnée à $R$, la relation (1) montre que le second membre de (15) est majoré par $6\varepsilon$. L'égalité (13) donne alors le résultat.

COROLLAIRE. – Soit $\mu$ une mesure positive bornée régulière sur $F$ telle que

$$\forall x \in E, \hat{\mu}(0) - Re \hat{\mu}(x) \le \varepsilon (1 + Q(x, x)); \quad (11')$$

dans ces conditions, on a

$$\int_{K_R} \bar{R}(y, y) d\mu(y) + \mu\{y \notin K_R\} \le 6\varepsilon. \quad (12')$$

DÉMONSTRATION. – Il suffit d'appliquer le lemme à une variable aléatoire $Y$ de loi $\frac{\mu}{\|\mu\|}$.

3. LEMME DE SYMETRISATION. – Soient $E$ un espace nucléaire, $Q$ et $R$ deux formes quadratiques positives continues sur $E$, $Q$ étant subordonnée à $R$ ; on suppose donnée une variable aléatoire régulière $Y$ à valeurs dans le dual topologique $F$ de $E$. Dans ces conditions, il existe un élément $y$ de $F$ tel que

$$\forall h \ge 0, \mathbf{P}\{Y - y \notin hK_R\} \le 2 \mathbf{P}\{Y^s \notin hK_Q\}. \quad (16)$$

DÉMONSTRATION. – Soient $\Phi$ une suite d'éléments de $E$ dont l'image dans $\hat{\mathbb{E}}_R$ soit orthonormale et totale et $N$ le noyau de $R$ ; à tout élément $x$ de $\Phi \cup N$, on associe une médiane $y_x$ de la variable aléatoire usuelle $\langle x, Y \rangle$. Pour toute famille finie $X = (x_i)$ d'éléments de $\Phi \cup N$, les inégalités classiques de symétrisation ([4] p. 247) montrent qu'on a

$$\begin{align*}
\forall h \ge 0, \mathbf{P}\{\exists x \in X \mid \langle x, Y \rangle - y_x \mid^2 > h^2 Q(x, x)\} \\
\le 2 \mathbf{P}\{\exists x \in X \mid \langle x, Y^s \rangle^2 > h^2 Q(x, x)\}.
\end{align*}$$
Les ensembles mesurés au premier membre formant une famille filtrante croissante d'ouverts et la variable Y étant régulière, on en déduit

$$ 
\begin{aligned}
& \forall h \ge 0, \quad \mathbf{P}\{\exists x \in \Phi \cup N \mid |\langle x, Y \rangle - y_x|^2 > h^2 \quad Q(x, x)\} \\
& \le 2 \mathbf{P}\{\exists x \in \Phi \cup N \mid |\langle x, Y^s \rangle|^2 > h^2 \quad Q(x, x)\};
\end{aligned} 
\quad (17) 
$$

le second membre de (17) est d'ailleurs trivialement inférieur à celui de (16).

Nous distinguons maintenant deux cas

(a) si pour tout nombre $h \ge 0$, le second membre de (16) est supérieur ou égal à $\frac{1}{2}$, l'inégalité (16) est trivialement vérifiée pour tout élément $y$ de $F$.

(b) dans le cas contraire, il existe un nombre $h_0 \ge 0$ tel que le second membre de (17) soit strictement inférieur à $\frac{1}{2}$ ; l'inégalité (17) montre alors qu'il existe un ensemble $\Omega_0$ de probabilité non nulle, donc non vide, dans lequel on a

$$ \forall x \in \Phi \cup N, \quad |\langle x, Y \rangle - y_x|^2 \le h_0^2 \quad Q(x, x); $$

soit $\omega_0$ un élément de $\Omega_0$ ; on pose $Y_0 = Y(\omega_0)$ ; soit $Z_0$ l'élément de $F$ défini par

$$ \langle x, Z_0 \rangle = \sum_{u \in \Phi \cup N} (\langle u, Y_0 \rangle - y_u) R(u, x), $$

la sommation pouvant d'ailleurs se réduire à $\Phi$ ; on aura alors, pour tout élément $x$ de $\Phi$ ou de $N$

$$ \langle x, Y_0 - Z_0 \rangle = y_x $$

On pose alors $Y_0 - Z_0 = y$ ; en substituant dans (17), utilisant la subordination de $Q$ et en particulier le fait que $Q$ est nulle dans $N$, on obtient

$$ 
\begin{aligned}
& \forall h \ge 0, \quad \mathbf{P}\{\exists x \in N \mid |\langle x, Y - y \rangle| \ne 0\} \cup \left\{ \sum_{\Phi} \langle x, Y - y \rangle^2 \mid h^2 \right\} \\
& \le 2 \mathbf{P}\{Y^s \notin h K_0\}.
\end{aligned} 
$$

On en déduit immédiatement le résultat.
### 3. Convergence des séries de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans le dual topologique d'un espace nucléaire

1. Les différents modes de convergence des variables aléatoires à valeurs dans le dual topologique $F$ d'un espace nucléaire $E$ ont été étudiées dans un cadre légèrement plus restreint dans [3]. Dans la situation générale actuelle, la notion de convergence en loi ne pose pas de difficultés : elle se définit à partir de la convergence étroite des lois. La définition des suites p.s. convergentes est plus délicate puisque l'ensemble des suites convergentes n'est peut-être pas une partie borélienne de l'espace produit $F^N$ : on dira qu'une suite $(Y_n)$ de variables aléatoires d'espaces d'épreuves $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ à valeurs dans $F$ est p.s. convergente si $\{\omega | Y_n(\omega)\}$ converge est un élément de $\mathcal{A}$ de probabilité 1.

Pour simplifier l'écriture, nous introduirons la notion suivante, liée aux "théorèmes des deux séries" : étant donnés une forme quadratique positive continue $Q$ sur $E$ et un nombre $\varepsilon > 0$, on dira qu'une suite $(Y_n)$ de variables aléatoires à valeurs dans $F$ possède la propriété $P(Q, \varepsilon)$ si on a

$$ \sum_n E\{\inf [1, \bar{Q}(Y_n, Y_n)]\} \le \varepsilon. $$

2. LEMME DE CONVERGENCE. - Soit $(Y_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans le dual topologique $F$ d'un espace nucléaire ; on suppose que la suite $(Y_n)$ possède une propriété $P(Q, \varepsilon)$. Dans ces conditions, il existe une suite $(y_n)$ d'éléments de $F$ telle que la série $\sum_n (Y_n - y_n)$ soit p.s. convergente. Si de plus les $Y_n$ sont régulières, la somme de la série est régulière.

DÉMONSTRATION. - L'inégalité classique de Kolmogorov généralisée aux espaces de Hilbert montre que pour toute famille $(V_k)$ de variables aléatoires centrées indépendantes à valeurs dans un espace de Hilbert séparable et tout nombre $\varepsilon > 0$, on a

$$ P \left\{ \sup_k \left\| \sum_{j=1}^k V_j \right\| \ge \varepsilon \right\} \le \frac{1}{\varepsilon^2} \sum_k E \left\{ \| V_k \|^2 \right\}. \quad (18) $$

Sous les hypothèses du lemme, on considère la suite $(Z_n)$ des variables aléatoires tronquées par $K_q$, définies par

$$ Z_n(\omega) = \begin{cases} Y_n(\omega) & \text{si } Y_n(\omega) \text{ appartient à } K_q, \\ 0 & \text{dans le cas contraire.} \end{cases} $$
Le lemme de Borel-Cantelli et la propriété $P(Q, \varepsilon)$ montrent qu'il suffit pour conclure de construire une suite $(y_n)$ d'éléments de F telle que $\sum_n (Z_n - y_n)$ soit p.s. convergente. On pose pour cela

$$ \forall n \in \mathbb{N}, y_n = E(Z_n). $$

L'inégalité (18) et la propriété $P(Q, \varepsilon)$ montrent en effet que la suite des sommes partielles $\left(\sum_{n=1}^{p} (Z_n - y_n)\right)$ est p.s. une suite de Cauchy dans $\hat{E}_Q$ ; elle converge donc p.s. dans F (au sens de la topologie forte) ; d'où le premier résultat.

Supposons maintenant que les $Y_n$ soient régulières ; on va montrer qu'avec le choix des $y_n$ fait ci-dessus, la somme de la série est régulière ; comme pour les autres choix possibles, la somme de la série diffère d'une constante, le résultat général s'ensuivra. Pour tout nombre $\eta > 0$ et tout entier $n$, on note $K_n$ un compact de F tel que $P\{Y_n \notin K_n\}$ soit inférieur à $\frac{\eta}{2^{n+1}}$ ; on choisit un entier $p$ tel que $\sum_{n>p} E\{\inf\{1, \bar{Q}(Y_n, Y_n)\}\}$ soit inférieur à $\frac{\eta}{4}$. De l'inégalité (18), on déduit alors immédiatement

$$ P\left\{ \sum_{n>p} (Z_n - y_n) \notin K_Q \right\} \le \frac{\eta}{4} $$

On en déduit

$$ P\left\{ \sum_n (Y_n - y_n) \notin \sum_{n \le p} (K_n - y_n) + K_q \right\} \le 2 \frac{\eta}{4} + \sum_n \frac{\eta}{2^{n+1}} $$

L'ensemble $K_q$ étant compact (pour la topologie faible) et toute combinaison linéaire finie de compacts étant compacte, on en déduit le résultat.

**3. THÉORÈME DE CONVERGENCE ESSENTIELLE.** — Soit $E$ un espace nucléaire tonnelé. Soit $(Y_n)$ une suite de variables aléatoires régulières indépendantes à valeurs dans le dual topologique $F$ de $E$ telle que $\prod_n |L_{Y_n}|$ converge simplement vers une limite continue. Alors il existe une suite $(y_n)$ d'éléments de $F$ telle que $\sum_n (Y_n - y_n)$ converge p.s. pour la topologie forte de $F$ vers une variable aléatoire régulière.
DÉMONSTRATION. - Pour tout entier $n$, on pose $L_n = |L_{Y_n}|^2 = L_{Y_n}^s$ et on note $\pi_n$ la loi de $Y_n^s$; on pose aussi $L = \prod_n L_n$. Pour tout $\varepsilon > 0$, le corollaire du lemme 2 montre qu'il existe une forme quadratique positive continue $Q$ sur $E$ telle que la relation (10) soit vérifiée. On choisit (2) une forme quadratique positive $R$ sur $E$ à laquelle $Q$ soit subordonnée. Le corollaire du lemme de Minlos appliqué aux sommes partielles de la série de terme général $\pi_n$ montre que

$$ \sum_n \int_{K_R} \bar{R}(y, y) \, d\pi_n(y) + \sum_n \pi_n\{y \notin K_R\} \le 6\varepsilon. $$

Ceci signifie que la suite $(Y_n^s)$ possède la propriété $P(R, 6\varepsilon)$. Soit alors $U$ une forme quadratique positive à laquelle $R$ soit subordonnée ; d'après le lemme de symétrisation, il existe une suite $(y'_n)$ d'éléments de $F$ telle que, pour tout entier $n$, on ait

$$ \forall t \ge 0, \mathbf{P}\{\bar{U}(Y_n - y'_n, Y_n - y'_n) \ge t\} \le 2 \mathbf{P}\{\bar{R}(Y_n^s, Y_n^s) \ge t\}; $$

dans ces conditions, on a

$$ \begin{aligned} E\{\inf [1, \bar{U}(Y_n - y'_n, Y_n - y'_n)]\} &= \int_0^1 \mathbf{P}\{\bar{U}(Y_n - y'_n, Y_n - y'_n) \ge t\} \, dt \\ &\le 2 \int_0^1 \mathbf{P}\{\bar{R}(Y_n^s, Y_n^s) \ge t\} \, dt = 2 E\{\inf [1, \bar{R}(Y_n^s, Y_n^s)]\}. \end{aligned} $$

Il en résulte que la suite $(Y_n - y'_n)$ possède la propriété $P(U, 12\varepsilon)$. D'après le lemme de convergence, il existe donc une suite $(y''_n)$ d'éléments de $F$ telle que la série $\sum_n (Y_n - y'_n - y''_n)$ converge presque sûrement pour la topologie forte vers une variable aléatoire régulière ; c'est le résultat.

4. THÉORÈME DE CONVERGENCE PRESQUE SURE. - Soit $E$ un espace nucléaire tonnelé. Soit $(Y_n)$ une suite de variables aléatoires régulières indépendantes à valeurs dans le dual topologique $F$ de $E$ telle que $\prod_n L_{Y_n}$ converge simplement vers une limite continue. Alors la série $\sum_n Y_n$ converge p.s. pour la topologie forte de $F$ vers une variable aléatoire régulière.

DÉMONSTRATION. - Le théorème de convergence essentielle montre qu'il existe une suite $(y_n)$ d'éléments de $F$ telle que $\sum_n (Y_n - y_n)$
converge presque sûrement pour la topologie forte de $F$ ; en particulier

$$ \prod_n (L_{Y_n} e^{-i<x.y_n>}) $$

converge vers une limite continue pour tout élément $x$ de $E$ ; en particulier $\sum_n y_n$ converge faiblement. Le théorème de Banach-Steinhaus montre alors, puisque $E$ est tonnelé, qu'il y a convergence uniforme dans toute partie précompacte de $E$ ; puisque $E$ est nucléaire, toute partie bornée est précompacte [2], il y a donc convergence pour la topologie forte de $F$ ; par différence, on en déduit le résultat.

Bibliographie

[1] FERNIQUE (X.). - Séries de distributions aléatoires indépendantes, C.R. Acad. Sci. Paris, 263 (1966), série A, 674-677.

[2] FERNIQUE (X.). - Processus linéaires, processus généralisés, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 17-1 (1967).

[3] GROTHENDIECK (A.). - Produits tensoriels topologique, espaces nucléaires, Mem. Amer. Math. Soc., 16 (1955).

[4] LOEVE (M.). - Probability Theory, Van Nostrand, New York, (1960).

Reçu le 20 décembre 1966

Institut de Recherche Mathématique

(Laboratoire associé au C.N.R.S.)

Université de Strasbourg

67 - Strasbourg, France