# Objets géométriques du type (1, 1, r) pour $r \ge 4$

par S. MIDURA (Rzeszów)

**Introduction.** Nous montrerons dans ce travail qu'il n'existe pas d'objets géométriques du type (1, 1, r) si $r \ge 4$ (la définition du type se trouve à la p. 15 dans [1]) dont la règle de transformation vérifie les hypothèses du théorème 1 ou du corollaire 1. Dans le théorème 1 les hypothèses b et c (en tenant compte de la remarque 1) sont plus faibles que l'hypothèse b du théorème 2 cité dans [1], p. 33. La démonstration du théorème 1 se fait à l'aide de méthodes algébriques (autrement que la démonstration du théorème 2). Nous donnerons ensuite les règles de transformation des objets géométriques du type (1, 1, r) pour $r \ge 4$ qui ne vérifient pas seulement l'hypothèse b dans le corollaire 1 ou l'une des hypothèses b et c dans le théorème 1.

**§ 1.** La règle de transformation d'un objet géométrique du type (1, 1, r) a la forme

$$ (1) \qquad \bar{x} = f(x, \langle a_1, a_2, \dots, a_r \rangle), $$

où

$$ a_p = \frac{d^p \varphi(\bar{\xi})}{d\bar{\xi}^p} \quad (\bar{\xi}=\xi_0) \qquad \text{pour } p=1, 2, \dots, r $$

et $\bar{\xi} = \varphi(\bar{\xi})$ est la transformation de classe $C^r$ conduisant du système admissible de coordonnées dans lequel l'objet géométrique donné a la coordonnée $x$ au système de coordonnées admissible dans lequel cet objet a la coordonnée $\bar{x}$. Désignons par $\bar{\xi} = \varphi(\bar{\xi})$ la transformation de classe $C^r$ conduisant du système admissible de coordonnées dans lequel l'objet donné a la coordonnée $\bar{x}$ à un nouveau système admissible de coordonnées. La règle de transformation (1) est la solution de l'équation fonctionnelle

$$ (2) \qquad f[f(x, \langle a_1, a_2, \dots, a_r \rangle), \langle \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_r \rangle] = f(x, \langle \gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_r \rangle), $$

où

$$ \beta_p = \frac{d^p \psi(\bar{\xi})}{d\bar{\xi}^p} \quad (\bar{\xi}_0 = \varphi(\xi_0)), $$

$$ (3) \qquad \gamma_p = \frac{d^p \psi[\varphi(\xi)]}{d\xi^p} \quad (\xi = \xi_0) \qquad \text{pour } p=1, 2, \dots, r $$
et remplit la condition d'identité:

$$ (4) \qquad f(x, \langle 1, 0, 0, \dots, 0 \rangle) = x. $$

L'ensemble des éléments $\langle a_1, a_2, \dots, a_r \rangle$, dans lesquels les $a_p$, $p = 1, 2, \dots, r$, sont des nombres réels arbitraires et $a_1 \neq 0$, avec l'opération

$$ \langle \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_r \rangle \cdot \langle a_1, a_2, \dots, a_r \rangle = \langle \gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_r \rangle, $$

où $\gamma_p$ est défini par la formule (3), est un groupe (voir [1], p. 23) que nous désignerons par $L_1^r$. On peut montrer (voir [1], p. 26, corollaires 1 et 2) que dans le groupe $L_1^r$ ont lieu les égalités suivantes:

$$ (5) \quad \langle 1, \beta_2, \dots, \beta_r \rangle \cdot \langle 1, 0, 0, \dots, 0, a_{r-1}, a_r \rangle \\ = \langle 1, \beta_2, \beta_3, \dots, \beta_{r-2}, \beta_{r-1} + a_{r-1}, \beta_r + a_r + r\beta_2 a_{r-1} \rangle, $$

$$ (6) \quad \langle 1, 0, 0, \dots, 0, \beta_{r-1}, \beta_r \rangle \cdot \langle 1, a_2, a_3, \dots, a_r \rangle \\ = \left\langle 1, a_2, a_3, \dots, a_{r-2}, a_{r-1} + \beta_{r-1}, a_r + \beta_r + \left(\frac{r}{2}\right)\beta_{r-1} a_2 \right\rangle. $$

Dans nos considérations nous profiterons souvent de (5) et de (6). Nous démontrerons maintenant le

**LEMME 1.** Si $G$ est un groupe avec l'opération $\cdot$ et $H$ un sous-ensemble du groupe $G$ ayant avec chaque classe d'équivalence à gauche par rapport à un sous-groupe $G_1$ du groupe $G$ au plus un élément commun, alors pour un élément quelconque $a$ du groupe $G$ le produit $aH$ (1) a avec chaque classe d'équivalence à gauche par rapport au sous-groupe $G_1$ au plus un élément commun.

Démonstration (2). Supposons que deux éléments $u_1$ et $u_2$ de l'ensemble $aH$ font partie de la même classe d'équivalence à gauche par rapport au sous-groupe $G_1$. Aux éléments $u_1$ et $u_2$ correspondent dans l'ensemble $H$ deux éléments $y_1$ et $y_2$ tels que $u_1 = ay_1$ et $u_2 = ay_2$. Puisque $u_1$ et $u_2$ appartiennent à la même classe d'équivalence à gauche par rapport au sous-groupe $G_1$, on a $u_1^{-1} \cdot u_2 \in G_1$, c'est-à-dire

$$ (7) \qquad (ay_1)^{-1}(ay_2) = (y_1^{-1}a^{-1})(ay_2) = y_1^{-1}y_2 \in G_1. $$

Par suite, en vertu de l'hypothèse, $y_1$ et $y_2$ appartiennent à la même classe d'équivalence par rapport au sous-groupe $G_1$ du groupe $G$, donc $y_1 = y_2$. Il s'ensuit, en tenant compte de (7), que $u_1 = u_2$. La démonstration du lemme est donc terminée.

Nous démontrerons maintenant le théorème annoncé dans l'introduction.

<footnote>(1) $aH \stackrel{\text{df}}{=} [x: \bigvee_{y \in H} (x = ay)]$.</footnote>

<footnote>(2) Il est probable que ce lemme est connu.</footnote>
### THÉORÈME 1. Si:

a. La fonction $f(x, \langle a_1, ..., a_r \rangle)$ est une solution de l'équation (2) sur le produit cartésien $[Z \cup (a, b)] \times L_1^r$ où Z est un sous-ensemble arbitraire de l'ensemble des nombres réels disjoint de l'intervalle (a, b) ouvert et pour un $x$ quelconque de la somme $Z \cup (a, b)$

$$f(x, \langle 1, 0, ..., 0 \rangle) = x.$$

b. Pour un $x$ arbitraire de l'intervalle $(a, b)$ la fonction $f(x, \langle 1, 0, ..., 0, a_r \rangle)$ est fonction continue de la variable $a_r$.

c. Pour un certain $x_0$ de l'intervalle $(a, b)$ les valeurs de la fonction $f(x_0, \langle 1, a_2, ..., a_r \rangle)$ appartiennent à l'intervalle $(a, b)$.

d. Pour un $x$ arbitraire de l'intervalle $(a, b)$ la fonction $f(x, \langle 1, 0, ..., 0, a_r \rangle)$ n'est pas constante (par rapport à la variable $a_r$), alors le nombre entier positif $r$ ne peut être plus grand que 3.

**Démonstration.** Supposons que la fonction $f(x, \langle a_1, ..., a_r \rangle)$ vérifie l'équation fonctionnelle (2) sur l'ensemble $[Z \cup (a, b)] \times L_1^r$ pour $r > 3$. Il s'ensuit, à cause de (6),

$$(8) \quad f[f(x, \langle 1, 0, ..., 0, a_r \rangle), \langle 1, 0, ..., 0, \beta_r \rangle] = f(x, \langle 1, 0, ..., 0, a_r + \beta_r \rangle).$$

Posons

$$\bar{f}(x, a_r) \stackrel{dt}{=} f(x, \langle 1, 0, ..., 0, a_r \rangle).$$

Il résulte des hypothèses a et b que pour un $x$ quelconque de l'intervalle $(a, b)$ et pour un $a_r$ arbitraire $f(x, \langle 1, 0, ..., 0, a_r \rangle) \in (a, b)$. Il s'ensuit de (8) et de la définition de la fonction $\bar{f}(x, a_r)$ que

$$(9) \qquad \bar{f}[\bar{f}(x, a_r), \beta_r] = \bar{f}(x, a_r + \beta_r)$$

pour un $x$ quelconque de l'intervalle $(a, b)$ et pour des $a_r$ et $\beta_r$ arbitraires de l'ensemble des nombres réels. Il s'ensuit des hypothèses de (9) et du théorème 6 de [3] (³) que pour un $x$ fixé de l'intervalle $(a, b)$ la fonction $\bar{f}(x, a_r) = f(x, \langle 1, 0, ..., 0, a_r \rangle)$ est strictement monotone et l'ensemble

$$f[f(x, y), z] = f(x, z+y)$$

$$f(x, y) = g[y + g^{-1}(x)],$$

<footnote>(³) Le théorème 6 de [3] est le suivant:</footnote>

<footnote>Si la fonction $f(x, y)$ satisfait aux conditions suivantes:</footnote>

<footnote>a. $f(x, y)$ satisfait à l'équation</footnote>

<footnote>sur le produit cartésien d'un intervalle $(a, b)$ et du groupe additif des nombres réels,</footnote>

<footnote>b. pour chaque $x$ fixé $f(x, y)$ est une fonction continue de $y$, non constante,</footnote>

<footnote>c. $f(x, 0) = x$ pour tout $x$ de l'intervalle $(a, b)$, alors</footnote>

<footnote>où $g(x)$ est une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels, strictement monotone et continue; l'ensemble de ses valeurs est l'intervalle $(a, b)$.</footnote>
de ses valeurs est l'intervalle entier (a, b). Pour un $x_0$ fixé de l'intervalle (a, b) (dont il est question dans l'hypothèse c) l'ensemble

$$L \stackrel{\text{df}}{=} [\langle a_1, a_2, \dots, a_r \rangle : f(x_0, \langle a_1, a_2, \dots, a_r \rangle) = f(x_0, \langle 1, 0, \dots, 0 \rangle)]$$

est, à cause du théorème 4 de [3] (4), un sous-groupe du groupe $L_2^r$. La fonction $f(x_0, \langle a_1, a_2, \dots, a_r \rangle)$ ($x_0$ fixé) est constante sur les classes d'équivalence à gauche par rapport au sous-groupe $L$ du groupe $L_1^r$. Par contre, elle prend des valeurs différentes pour les éléments appartenant aux classes d'équivalence différentes par rapport au sous-groupe $L$ du groupe $L_1^r$ (en vertu du théorème 4 de [3]). Puisque la fonction $\bar{f}(x_0, a_r) = f(x_0, \langle 1, 0, \dots, 0, a_r \rangle)$ est biunivoque, l'ensemble

$$\{\langle 1, 0, \dots, 0, a_r \rangle\}_{a_r \in R},$$

où $R$ designe (ici et plus loin) l'ensemble des nombres réels, a avec chaque classe d'équivalence à gauche par rapport au sous-groupe $L$ du groupe $L_1^r$ un élément commun. En se basant sur (5) on a

$$(10) \quad \langle 1, \beta_2, \dots, \beta_r \rangle \cdot \langle 1, 0, \dots, 0, a_r \rangle = \langle 1, \beta_2, \beta_3, \dots, \beta_{r-1}, \beta_r + a_r \rangle.$$

Si $a_r$ parcourt l'ensemble de tous les nombres réels, il en sera de même de $\beta_r + a_r$. Il en résulte, à cause du lemme 1, que l'ensemble

$$(11) \qquad \{\langle 1, \beta_2, \beta_3, \dots, \beta_{r-1}, a \rangle\}_{a \in R}$$

a avec chaque classe d'équivalence à gauche par rapport au sous-groupe $L$ du groupe $L_1^r$ au plus un seul élément commun $(\beta_2, \beta_3, \dots, \beta_{r-1}$ fixés). Puisque l'intervalle $(a, b)$ est l'ensemble des valeurs de la fonction $\bar{f}(x_0, a_r = f(x_0, \langle 1, 0, \dots, 0, a_r \rangle))$ de la variable $a_r$ il s'ensuit, en tenant compte) de l'hypothèse c, que pour un élément arbitraire $\langle 1, a_2, \dots, a_r \rangle$ il existe un $\bar{\beta}_r$ tel que

$$(12) \qquad f(x_0, \langle 1, a_2, a_3, \dots, a_r \rangle) = f(x_0, \langle 1, 0, \dots, 0, \bar{\beta}_r \rangle).$$

De la dernière égalité et du théorème 4 de [3] résulte que les éléments $\langle 1, a_2, \dots, a_r \rangle$ et $\langle 1, 0, \dots, 0, \bar{\beta}_r \rangle$ appartiennent à la même classe d'équivalence à gauche par rapport au sous-groupe $L$ du groupe $L_1^r$ donc

$$(13) \qquad \langle 1, 0, \dots, 0, \bar{\beta}_1 \rangle^{-1} \cdot \langle 1, a_2, \dots, a_r \rangle \in L.$$

$$B\bar{y} \stackrel{\text{df}}{=} \{y: y \in B \text{ et } f(x_0, y) = f(x_0, \bar{y}) \text{ et } \bar{y} \in B\}$$

<footnote>(4) Le théorème 4 de [3] est le suivante:</footnote>

<footnote>Si la fonction $f(x, y)$ satisfait pour un $x_0 \in A$ à la condition $f[f(x_0, y), z] = f(x_0, z \cdot y)$ pour tous les $y$ et $z$ du groupe $B$, alors les ensembles</footnote>

<footnote>sont des classes d'équivalence à gauche du groupe $B$ par rapport à un sous-groupe $B_1$ du groupe $B$ (1 est l'élément neutre du groupe $B$).</footnote>
En vertu de (5) $\langle 1, 0, \dots, 0, \bar{\beta}_r \rangle^{-1} = \langle 1, 0, \dots, 0, -\bar{\beta}_r \rangle$. Il s'ensuit de là, de (5) et de (13) que

$$ \langle 1, 0, \dots, 0, \bar{\beta}_r \rangle^{-1} \cdot \langle 1, a_2, \dots, a_r \rangle = \langle 1, a_2, a_3, \dots, a_{r-1}, -\bar{\beta}_r + a_r \rangle \in L. $$

Nous avons donc montré que pour un élément arbitraire $\langle 1, a_2, \dots, a_r \rangle$ du groupe $L_1^r$ on peut choisir $\bar{a}_r$ de manière que $\langle 1, a_2, \dots, a_{r-1}, \bar{a}_r \rangle \in L$. Soit donc

$$ (14) \quad \langle 1, \beta_2, \dots, \beta_r \rangle \in L, \quad \langle 1, 0, \dots, 0, a_{r-1}, a_r \rangle \in L, \\ \qquad \beta_2 \neq 0, \quad a_{r-1} \neq 0. $$

En se basant sur (5), (6) et (14) on obtient

$$ (15) \quad \langle 1, \beta_2, \dots, \beta_r \rangle \cdot \langle 1, 0, \dots, 0, a_{r-1}, a_r \rangle \\ = \langle 1, \beta_2, \dots, \beta_{r-2}, \beta_{r-1} + a_{r-1}, a_r + \beta_r + r\beta_2 a_{r-1} \rangle \in L, $$

$$ (16) \quad \langle 1, 0, \dots, 0, a_{r-1}, a_r \rangle \cdot \langle 1, \beta_2, \dots, \beta_r \rangle \\ = \left\langle \langle 1, \beta_2, \dots, \beta_{r-2}, \beta_{r-1} + a_{r-1}, a_r + \beta_r + \binom{r}{2} \beta_2 a_{r-1} \rangle \in L \right\rangle. $$

Nous avons déjà remarqué que l'ensemble (11) a avec le sous-groupe $L$ tout au plus un élément commun. Donc de (15) et de (16) nous tirons.

$$ r\beta_2 a_{r-1} = \binom{r}{2} \beta_2 a_{r-1}. $$

De la dernière égalité et de (14) résulte que $r = \binom{r}{2}$, donc $r = 3$. Notre théorème est ainsi prouvé.

Remarque 1. L'hypothèse c du théorème 1 peut être remplacée par la suivante:

c'. Pour un certain $x_0$ de l'intervalle $(a, b)$ la fonction $f(x_0, \langle 1, a_2, \dots, a_r \rangle)$ est fonction continue de la variable $\langle 1, a_2, \dots, a_r \rangle$ de l'ensemble $L_1^r$.

De l'hypothèse a du théorème 1 et de c' résulte l'hypothèse c du théorème 1.

Remarquons que si l'ensemble $Z$ qui figure dans l'hypothèse a du théorème 1 est vide alors l'hypothèse c du théorème 1 résulte de l'hypothèse a de ce théorème. Ainsi nous obtenons:

COROLLAIRE 1. Si:

a. La fonction $f(x, \langle a_1, \dots, a_r \rangle)$ est une solution de l'équation (2) sur le produit cartésien $(a, b) \times L_1^r$ et pour un $x$, arbitraire de l'intervalle $(a, b)$, $f(x, \langle 1, 0, \dots, 0 \rangle) = x$.

b. La fonction $f(x, \langle 1, 0, \dots, 0, a_r \rangle)$ est continue par rapport à la variable $a_r$ pour tout $x$ de l'intervalle $(a, b)$.
c. Pour un $x$ quelconque de $(a, b)$ la fonction $f(x, \langle 1, 0, \dots, 0, a_r \rangle)$ n'est pas constante,
alors le nombre entier positif $r$ ne peut être plus grand que 3.

Dans la monographie [1], p. 33, les auteurs ont établi le

THÉORÈME 2. Si:

α. La fonction $f(x, \langle a_1, \dots, a_r \rangle)$ est une solution de l'équation (2) sur le produit cartésien $A \times L_1^r$, où $A$ est l'intervalle ouvert $(a_1, b_1)$ ou la somme des intervalles ouverts disjoints $(a_1, b_1)$ et $(a_2, b_2)$, et si pour des $x$ arbitraires de l'ensemble $A$, $f(x, \langle 1, 0, \dots, 0 \rangle) = x$.

β. La fonction $f(x, \langle a_1, \dots, a_r \rangle)$ est continue dans l'ensemble $A \times L_1^r$.

γ. Pour tout $x$ de l'ensemble $A$ la fonction $f(x, \langle a_1, \dots, a_r \rangle)$ n'est pas constante par rapport à la variable $a_r$.

δ. Pour des $x_1$ et $x_2$ quelconques de l'ensemble $A$ il existe un élément $\langle a_1, \dots, a_r \rangle$ dans l'ensemble $L_1^r$ tel que $x_2 = f(x_1, \langle a_1, \dots, a_r \rangle)$ alors $r \le 3$.

On démontre dans [1], p. 31, que les hypothèses du théorème 2 entraînent que pour un $x$ arbitraire de l'ensemble $A$ la fonction $f(x, \langle 1, 0, \dots, 0, a_r \rangle)$ n'est pas constante par rapport à la variable $a_r$. Il s'ensuit que des hypothèses du théorème 2 résulte l'hypothèse d du théorème 1 l'hypothèse c (du corollaire 1).

Il est facile de remarquer que l'hypothèse $\beta$ (du théorème 2) implique les hypothèses b et c du théorème 1 (hypothèse c du corollaire 1). Par contre les hypothèses b et c du théorème 1 (hypothèse b du corollaire 1) n'impliquent pas l'hypothèse $\beta$ du théorème 2.

De la démonstration du théorème 2 dans [1] (p. 30-33) ne résulte pas l'existence d'une fonction $f$ satisfaisant aux hypothèses du théorème 2 pour $r=1, 2, 3$. Les solutions de l'équation (2) sous hypothèses du théorème 2 pour $r=1, 2, 3$ ont été données dans [1], p. 38, 42 et 45. Ces résultats on été obtenus (et aussi en partie complétés) moyennant des hypothèses plus faibles dans [4].

**§ 2.** Nous allons montrer qu'il existe des solutions de l'équation (2) sur l'ensemble $(a, b) \times L_1^r$ ($[z \cup (a, b)] \times L_1^r$) qui ne vérifient pas seulement l'hypothèse b, du corollaire 1, hypothèses b ou c, du théorème 1.

Désignons par $G$ la fonction biunivoque qui transforme le groupe $L_1^r$ en l'intervalle $(a, b)$ ($z \cup (a, b)$). Il est facile de vérifier que la fonction

$$ (17) \qquad f(x, \langle a_1, a_2, \dots, a_r \rangle) = G[\langle a_1, a_2, \dots, a_r \rangle \cdot G^{-1}(x)] $$

est la solution de l'équation (2) sur l'ensemble $(a, b) \times L_1^r$, $|[z \cup (a, b)] \times L_1^r|$ vérifiant les hypothèses du corollaire 1 (du théorème 1) excepté l'hypothèse b (b ou c) pour $r > 3$.

Nous établirons maintenant les règles de transformation des objets géométrique du type $(1, 1, r)$ pour $r > 3$ qui ne vérifient pas seulement
l'hypothèse b dans le corollaire 1 ou l'une des hypothèses b et c dans le théorème 1. Ces objets ne sont pas équivalents à ceux qui admettent la règle de transformation (17). Désignons par $R_0$ l'ensemble des nombres réels a l'exception de zéro. Il est facile de vérifier que l'ensemble

$$ (18) \qquad \{\langle a_1, 0, \dots, 0, a_r \rangle\}_{a_1 \in R_0, a_r \in R} $$

est un sous-groupe du groupe $L_1^r$ que nous désignerons par $\bar{L}_1^r$. Désignons par $a_p$ l'ensemble

$$ (19) \qquad \{\langle a_1, 0, \dots, 0, p(a_1^r - a_1) \rangle\}_{a_1 \in R_0} $$

où $p$ est un nombre réel arbitrairement fixé. Il est facile de vérifier que l'ensemble $a_p$ est un sous-groupe du groupe $\bar{L}_1^r$ (voir aussi [4]) et par suite aussi un sous-groupe du groupe $L_1^r$. On peut montrer (voir [4]) que les seules classes d'équivalence à gauche par rapport au sous-groupe $a_p$ du groupe $\bar{L}_1^r$ sont les ensembles de la famille

$$ (20) \qquad \{\{\langle a_1, 0, \dots, 0, ta_1^r - pa_1 \rangle\}_{a_1 \in R_0}\}_{t \in R} $$

Les ensembles de la famille (20) qui correspondent aux $t_1$ et $t_2$ différents sont disjoints. Il s'ensuit que la famille des classes d'équivalence à gauche par rapport au sous-groupe $a_p$ du groupe $\bar{L}_1^r$ (20) a la puissance du continu. Il résulte de cela et du fait que la puissance du groupe $L_1^r$ est le continu que la famille des classes d'équivalence à gauche par rapport au sous-groupe $a_p$ du groupe $L_1^r$ a aussi la puissance du continu. Désignons par $g(\langle a_1, \dots, a_r \rangle)$ la fonction qui transforme l'ensemble $L_1^r$ en l'intervalle $(a, b)$ (ensemble $z \cup (a, b)$) et qui est constante sur les classes d'équivalence à gauche par rapport au sous-groupe $a_p$ du groupe $L_1^r$, tout en prenant des valeurs différentes pour les éléments appartenant aux classes différentes d'équivalence à gauche par rapport au sous-groupe $a_p$ du groupe $L_1^r$. Désignons par $g_1^{-1}(a)$ la fonction transformant l'intervalle $(a, b)$ (ensemble $z \cup (a, b)$) au groupe $L_1^r$, de telle manière que $g_1^{-1}(x) \in g_1^{-1}(\{x\})$ (5). Il est facile de vérifier que la fonction

$$ (21) \qquad f(x, \langle a_1, \dots, a_r \rangle) = g[\langle a_1, \dots, a_r \rangle \cdot g_1^{-1}(x)] $$

est la solution de l'équation (2) (voir aussi [2]) sur l'ensemble $(a, b) \times L_1^r$ ($[z \cup (a, b)] \times L_1^r$) remplissant la condition (4). L'ensemble

$$ \{\langle 1, 0, \dots, 0, a_r \rangle\}_{a_r \in R} $$

n'a qu'un seul élément commun avec chaque élément de la famille (20). Il s'ensuit du lemme 1 et du théorème 4 de [3] que la fonction

$$ f(x, \langle 1, 0, \dots, 0, a_r \rangle) = g[\langle 1, 0, \dots, a_r \rangle \cdot g_1^{-1}(x)] $$

<footnote>(5) $g^{-1}(\{x\}) = [\langle a_1, \dots, a_r \rangle: g(\langle a_1, \dots, a_r \rangle) = x]$.</footnote>
est biunivoque pour tout $x$ fixé de l'intervalle $(a, b)$. Nous avons donc montré que la fonction (21) vérifie les hypothèses du corollaire 1 (théorème 1) excepté l'hypothèse b (b ou c).

## Travaux cités

[1] J. Aczél und S. Gołąb, *Funktionalgleichungen der Theorie der geometrischen Objekte*, Warszawa 1960.

[2] S. Łojasiewicz, *Sur le problème d'itération*, Coll. Math. 2 (1955), pp. 176-177.

[3] S. Midura, *Sur les solutions de l'équation de translation, Aequationes Mathematicae*, Waterloo, Vol. I, fasc. 1/2 (1968), pp. 77-84.

[4] — *O rozwiązaniach niektórych równań funkcyjnych w teorii klasyfikacji obiektów geometrycznych, I et II, Rocznik Naukowo-Dydaktyczny Wyższej Szkoły Pedagogicznej w Krakowie 31 (1968), pp. 37-80.*

Reçu par la Rédaction le 12. 1. 1968