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BLAISE PASCAL

MOHAMED AIT OUAHRA, ABDELGHANI KISSAMI & AISSA SGHIR

Un principe d'invariance de type Donsker dans une classe
d'espaces de Besov-Orlicz

Volume 19, n° 1 (2012), p. 263-269.

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Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l'université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
# Un principe d'invariance de type Donsker dans une classe d'espaces de Besov-Orlicz

MOHAMED AIT OUAHRA

ABDELGHANI KISSAMI

AISSA SGHIR

## Résumé

Dans ce papier, nous allons étendre le principe classique d'invariance de Donsker [4] dans une classe des espaces de Besov-Orlicz associés à la $N$-fonction exponentielle $M_2(x) = \exp(x^2) - 1$.

## 1. Introduction

Le résultat classique connu sous le nom du théorème de la limite centrale assure que pour toute suite de variables aléatoires réelles i.i.d $(X_n)_{n \ge 1}$ centrées, de variance $\sigma^2$ finie, la suite $(\frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n X_k)_{n \ge 1}$ converge en loi vers une variable aléatoire suivant une loi normale standard. La version fonctionnelle du théorème de la limite centrale connue sous le nom de principe d'invariance a été établie par Donsker [4], dans l'espace des fonctions continues $C([0, 1])$, muni de la topologie de la convergence uniforme, et dans l'espace $D([0, 1])$, muni de la topologie de Skorohod pour les processus discontinus.

**Théorème 1.1.** Soit $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d centrées, de variance $\sigma^2$ finie et soit $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ et $S_0 = 0$. Alors, la suite des processus

$$ \{ \xi_n(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} S_{[nt]}, \ 0 \le t \le 1 \}, $$

converge faiblement, lorsque $n \to +\infty$, vers un mouvement Brownien standard, dans l'espace $D([0, 1])$.

<footnote>Mots-clés: Espaces de Besov-Orlicz, Principe d'invariance de type Donsker, Convergence faible, Tension.</footnote>

<footnote>Classification math.: 46E30, 60F17.</footnote>
**Théorème 1.2.** Soit $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d centrées, de variance $\sigma^2$ finie et soit $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ et $S_0 = 0$. Alors, la suite des processus

$$ \{ \gamma_n(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} (S_{[nt]} + (nt - [nt])X_{[nt]+1}), \ 0 \le t \le 1 \}, $$

converge faiblement, lorsque $n \to +\infty$, vers un mouvement Brownien standard, dans l'espace $C([0, 1])$.

Ce genre de théorèmes ont été étudiés par Hamadouche [5] et Lamperti [7] dans l'espace de Hölder et Morel [8] dans les espaces de Besov standard. D'autre part, Kerkyacharian et Roynette [6] ont donné une autre démonstration du résultat de Lamperti [7] en utilisant la base de Schauder. Dans ce papier, nous allons étendre ces deux théorèmes à la topologie des espaces de Besov-Orlicz associés à la $\mathcal{N}$-fonction exponentielle $M_2(x) = \exp(x^2) - 1$.

Soit la $\mathcal{N}$-fonction $M_\beta$ définie par :

$$ M_{\beta}(x) = \begin{cases} e^{|x|^{\beta}} - 1 & \text{si } \beta \ge 1, \\ E_{\beta}(x) - E_{\beta}(0) & \text{si } 0 < \beta < 1, \end{cases} $$

où $E_\beta(x) = E_\beta(-x)$ est le prolongement de la partie convexe de $e^{|x|^{\beta}}$ sur $[x_\beta, +\infty[$ par sa tangente au point $x_\beta > 0$. ($e^{|x|^{\beta}}$ change de concavité en $x_\beta$).

Le reste de ce papier est organisé comme suit : Dans la deuxième partie, nous présentons quelques notions de base sur la théorie des espaces de Besov-Orlicz, associés à la $\mathcal{N}$-fonction exponentielle $M_\beta$, pour $\beta > 0$. La dernière partie est réservée à la démonstration de nos résultats.

## 2. Espaces de Besov-Orlicz

Pour la théorie de base des espaces de Besov-Orlicz, nous renvoyons le lecteur à Boufoussi [2] et Ciesielski et al. [3]. Cependant, nous présentons un bref aperçu sur ces espaces.

Soit $(\Omega, \Sigma, \mu)$ un espace de mesure finie. L'espace d'Orlicz $L_{M_\beta(d\mu)}(\Omega)$ associé à la $\mathcal{N}$-fonction $M_\beta$, pour $\beta > 0$, est l'espace de Banach des fonctions $f : \Omega \to \mathbb{R}$ mesurables muni de la norme

$$ \|f\|_{M_\beta(d\mu)} = \inf_{\lambda>0} \left\{ \int_{\Omega} M_\beta\left(|\frac{f(\cdot)}{\lambda}|\right) d\mu(\cdot) < 1 \right\}. $$
PRINCIPE D'INVARIANCE DE TYPE DONSKER

Dans le cas d'un espace probabilisé $(\Omega, \Sigma, P)$, on a

$$ \|f\|_{M_{\beta}(dP)} = \inf_{\lambda>0} \left\{ \mathbb{E}(M_{\beta}\left(|\frac{f}{\lambda}|\right)) < 1 \right\}. $$

Le module de continuité d'une fonction $f$ définie sur $[0, 1]$ en norme d'Orlicz est défini pour tout $h \in \mathbb{R}$ par :

$$ \omega_{M_{\beta}}(f, t) = \sup_{|h| \le t} \|\Delta_h f\|_{M_{\beta}(dx)}, $$

où $\Delta_h f(x) = \mathbf{1}_{[0,1-h]}(x)[f(x+h) - f(x)]$ et $dx$ est la mesure de Lebesgue sur $[0, 1]$.

Pour tout $0 < \mu < 1$ et $\nu > 0$, l'espace de Besov-Orlicz noté $\mathbf{B}_{M_{\beta}, \infty}^{\omega_{\mu, \nu}}$, est l'espace de Banach des fonctions continues $f \in \mathbf{L}_{M_{\beta}(dx)}([0, 1])$ muni de la norme

$$ \|f\|_{M_{\beta}, \infty}^{\omega_{\mu, \nu}} = \|f\|_{M_{\beta}(dx)} + \sup_{0<t \le 1} \frac{\omega_{M_{\beta}}(f, t)}{\omega_{\mu, \nu}(t)}, $$

où

$$ \omega_{\mu, \nu}(t) = t^{\mu} \left(1 + \log\left(\frac{1}{t}\right)\right)^{\nu}. $$

Muni de cette norme, l'espace $\mathbf{B}_{M_{\beta}, \infty}^{\omega_{\mu, \nu}}$ n'est pas séparable. Par contre, il contient un sous espace fermé et séparable noté $\mathbf{B}_{M_{\beta}, \infty}^{\omega_{\mu, \nu}, 0}$ qui correspond aux fonctions $f$ telles que $\omega_{M_{\beta}}(f, t) = o(\omega_{\mu, \nu}(t))$, quand $t \to 0$.

Nous savons que toute fonction $f$ continue sur $[0, 1]$, se décompose dans la base de Schauder $\{\varphi_n = \varphi_{j,k}, j \ge 0, k = 1, ..., 2^j\}$

$$ f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} C_n(f) \varphi_n(t), $$

où la convergence est uniforme et les coefficients dans cette base sont donnés par

$$ \left\{ \begin{array}{l} C_0(f) = f(0), \quad C_1(f) = f(1) - f(0), \\ n = 2^j + k, \quad j \ge 0, k = 1, \dots, 2^j, \\ C_n(f) = f_{j,k} = 2^{\frac{j}{2}} \left[ 2f\left(\frac{2k-1}{2j+1}\right) - f\left(\frac{2k-2}{2j+1}\right) - f\left(\frac{2k}{2j+1}\right) \right]. \end{array} \right. $$

Les preuves des deux théorèmes suivants se trouvent dans Ait Ouahra et al. [1], le premier caractérise la régularité Besov-Orlicz des trajectoires du mouvement Brownien standard et le deuxième donne un critère de tension dans les espaces de Besov-Orlicz.
**Théorème 2.1.** Soit {$B_t, t \ge 0$} un mouvement Brownien standard. Alors p.s, la trajectoire $t \to B_t$ appartient à l'espace de Besov-Orlicz $B_{M_2, \infty}^{\omega_{\frac{1}{2}, \nu}, 0}$, $\forall \nu > 1$.

**Théorème 2.2.** Soit $(X_t^n : t \in [0, 1])_{n \ge 1}$ une suite de processus stochastiques définis sur $(\Omega, \Sigma, P)$ satisfaisant les hypothèses suivantes

$$ (1) \quad X_0^n = 0, \text{ pour tout } n \ge 1. $$

(2) Il existe une constante $C > 0$ telle que pour tous $t, s \in [0, 1]$, on a,

$$ \|X_t^n - X_s^n\|_{M_\beta(dP)} \le C|t - s|^\mu. $$

Alors, la famille des lois de $(X_t^n : t \in [0, 1])$ est tendue dans $B_{M_\beta, \infty}^{\omega_{\mu, \nu}, 0}$, pour tous $\beta \ge 1, 0 < \mu < 1$ et $\nu > 1$.

### 3. Les résultats principaux

**Théorème 3.1.** Soit $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d centrées, de variance $\sigma^2$ finie, et soit $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ et $S_0 = 0$. Alors, la suite des processus

$$ \{\xi_n(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} S_{[nt]}, \quad 0 \le t \le 1\}, $$

converge faiblement, lorsque $n \to +\infty$, vers un mouvement Brownien standard, dans l'espace de Besov-Orlicz $B_{M_2, \infty}^{\omega_{\frac{1}{2}, \nu}, 0}$, pour tout $\nu > 1$.

**Théorème 3.2.** Soit $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d centrées, de variance $\sigma^2$ finie, et soit $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ et $S_0 = 0$. Alors, la suite des processus

$$ \{\gamma_n(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} (S_{[nt]} + (nt - [nt])X_{[nt]+1}\}, \quad 0 \le t \le 1\}, $$

converge faiblement, lorsque $n \to +\infty$, vers un mouvement Brownien standard, dans l'espace de Besov-Orlicz $B_{M_2, \infty}^{\omega_{\frac{1}{2}, \nu}, 0}$, pour tout $\nu > 1$.

On a besoin du lemme suivant de Morrow [9] dont la preuve se trouve dans Zhonggen Su [10].
PRINCIPE D'INVARIANCE DE TYPE DONSKER

**Lemme 3.3.** Soit $0 < \beta \le 2$. Si $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de variables aléatoires i.i.d centrées telles que $\|X_1\|_{M_\beta(dP)} < \infty$, alors il existe une constante $0 < C_\beta < \infty$ telle que

$$ \left\| \frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt{n}} \right\|_{M_\beta(dP)} \le C_\beta \|X_1\|_{M_\beta(dP)}. $$

*Remarque 3.4.* Si $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de variables aléatoires i.i.d centrées telles que pour tout $p \ge 1$, $\|X_1\|_p < \infty$, alors il existe une constante $0 < C_p < \infty$ telle que

$$ \left\| \frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt{n}} \right\|_p \le C_p \|X_1\|_p. $$

C'est l'inégalité de Marcinkiewicz-Zygmund.

*Preuve du Théorème 3.1.* Il suffit d'établir que la famille $(\xi_n(t))$ est tendue dans l'espace $\mathbf{B}_{M_2, \infty}^{\omega_{\frac{1}{2}, \nu}, 0}$, pour tout $\nu > 1$.

$$ \begin{aligned} \|\xi_n(t) - \xi_n(s)\|_{M_2(dP)} &= \left\| \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \sum_{k=\lfloor ns \rfloor}^{\lfloor nt \rfloor - 1} X_k \right\|_{M_2(dP)} \\ &= \left| \frac{\sqrt{\lfloor nt \rfloor - \lfloor ns \rfloor}}{\sigma\sqrt{n}} \right| \left\| \sum_{k=\lfloor ns \rfloor}^{\lfloor nt \rfloor - 1} \frac{X_k}{\sqrt{\lfloor nt \rfloor - \lfloor ns \rfloor}} \right\|_{M_2(dP)}. \end{aligned} $$

Remarquons que pour $n$ assez grand,

$$ \left| \frac{\sqrt{\lfloor nt \rfloor - \lfloor ns \rfloor}}{\sqrt{n}} \right| \le |t - s|^{\frac{1}{2}}. $$

Il suffit donc de montrer qu'il existe une constante $0 < C < \infty$, telle que pour tout $n$ assez grand,

$$ \left\| \sum_{k=\lfloor ns \rfloor}^{\lfloor nt \rfloor - 1} \frac{X_k}{\sqrt{\lfloor nt \rfloor - \lfloor ns \rfloor}} \right\|_{M_2(dP)} \le C, $$

ce qui est le cas d'après Lemme 3.3. $\square$

*Preuve du Théorème 3.2.* Il suffit d'établir que la famille $(\gamma_n(t))$ est tendue dans l'espace $\mathbf{B}_{M_2, \infty}^{\omega_{\frac{1}{2}, \nu}, 0}$, pour tout $\nu > 1$.
Premier cas : $[nt] = [ns]$.

Dans ce cas $[nt] \le ns \le nt < [nt] + 1$, et par suite $\frac{[nt]}{n} \le s \le t < \frac{[nt]+1}{n}$, ce qui implique que $\sqrt{n}|t-s| \le 1$. Donc,

$$ \|\gamma_n(t) - \gamma_n(s)\|_{M_2(dP)} = \sqrt{n}|t-s| \frac{\|X_{[nt]+1}\|_{M_2(dP)}}{\sigma} \le \frac{\|X_1\|_{M_2(dP)}}{\sigma} |t-s|^{\frac{1}{2}}. $$

Deuxième cas : $[ns] < [nt]$.

Dans ce cas $[ns] \le ns < [ns] + 1 \le [nt] \le nt < [nt] + 1$, et par suite $\frac{[ns]}{n} \le s < \frac{[ns]+1}{n} \le \frac{[nt]}{n} \le t < \frac{[nt]+1}{n}$. Donc,

$$ \begin{aligned} \|\gamma_n(t) - \gamma_n(s)\|_{M_2(dP)} &\le \|\gamma_n(t) - \gamma_n(\frac{[nt]}{n})\|_{M_2(dP)} \\ &\quad + \|\gamma_n(\frac{[nt]}{n}) - \gamma_n(\frac{[ns]}{n})\|_{M_2(dP)} + \|\gamma_n(s) - \gamma_n(\frac{[ns]}{n})\|_{M_2(dP)}. \end{aligned} $$

D'après le premier cas, il existe une constante $0 < C < \infty$ telle que

$$ \|\gamma_n(t) - \gamma_n(\frac{[nt]}{n})\|_{M_2(dP)} \le C|t-s|^{\frac{1}{2}}, $$

et

$$ \|\gamma_n(s) - \gamma_n(\frac{[ns]}{n})\|_{M_2(dP)} \le C|t-s|^{\frac{1}{2}}, $$

en remarquant que $[nt] = [nt']$ et $[ns] = [ns']$, avec $t' = \frac{[nt]}{n}$ et $s' = \frac{[ns]}{n}$.

Pour le terme du milieu, la même technique utilisée dans la démonstration du Théorème 3.1, entraîne qu'il existe une constante $0 < C' < \infty$ telle que

$$ \|\gamma_n(\frac{[nt]}{n}) - \gamma_n(\frac{[ns]}{n})\|_{M_2(dP)} = \|\gamma_n(t') - \gamma_n(s')\|_{M_2(dP)} \le C'|t-s|^{\frac{1}{2}}. $$

La preuve du Théorème 3.2 est ainsi achevée. □

Références

[1] M. AIT OUAHRA, A. KISSAMI & A. SGHIR – « Un critère de tension dans les espaces de Besov-Orlicz et applications au problème du temps d'occupations », Ann. Math. Blaise. Pascal 18(2) (2011), p. 237–257.

[2] B. BOUFOUSSI – « Espaces de Besov : Caractérisations et Applications. », Thèse, Université Henri Poincaré. Nancy. France, 1994.

[3] Z. CIESIELSKI, G. KERKYACHARIAN & B. ROYNETTE – « Quelques espaces fonctionnels associés à des processus gaussiens », Studia Mathematica 107(2) (1993), p. 171–204.
PRINCIPE D'INVARIANCE DE TYPE DONSKER

[4] M. D. DONSKER – « An invariance principle for certain probability limit theorems », *Mem. Amer. Math. Soc.*, **1951** (1951), no. 6, p. 12.

[5] D. HAMADOUCHE – « Invariance principles in Hölder spaces », *Portugal. Math* **57*(2) (2000), p. 127–151.

[6] G. KERKYACHARIAN & B. ROYNETTE – « Une démonstration simple des théorèmes de Kolmogorov, Donsker et Itô-Nisio », *C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I* **312** (1991), p. 877–882.

[7] J. LAMPERTI – « On convergence of stochastic processes », *Trans. Amer. Math. Soc* **104** (1962), p. 430–435.

[8] B. MOREL – « Weak convergence of summation processes in Besov spaces », *Studia Mathematica* **165** (2004), p. 19–37.

[9] J. G. MORROW – « On a central limit theorem motivated by somme Fourier series with dependent coefficients », *Unpublished manuscript*, 1984.

[10] Z. SU – « Central limit theorems for random processes with sample paths in exponential Orlicz spaces », *Stochastic Processes and their applications* **66** (1997), p. 1–20.

MOHAMED AIT OUAHRA

Laboratoire de Modélisation Stochastique
et Déterministe et URAC 04
Faculté des Sciences Oujda
B.P. 717
Maroc
ouahra@ucam.ac.ma

ABDELGHANI KISSAMI

Laboratoire de Modélisation Stochastique
et Déterministe et URAC 04
Faculté des Sciences Oujda
B.P. 717
Maroc
Kissami@fso.ump.ma

AISSA SGHIR

Laboratoire de Modélisation Stochastique
et Déterministe et URAC 04
Faculté des Sciences Oujda
B.P. 717
Maroc
semastai@hotmail.fr