# Mise en oeuvre efficace d'une radiogoniométrie 2D au sens du maximum de vraisemblance via un algorithme parcimonieux quasi Gauss-Newton

Thomas Aussaguès, Anne Ferréol, Alice Delmer, Pascal Larzabal

## ► To cite this version:

Thomas Aussaguès, Anne Ferréol, Alice Delmer, Pascal Larzabal. Mise en oeuvre efficace d'une radiogoniométrie 2D au sens du maximum de vraisemblance via un algorithme parcimonieux quasi Gauss-Newton. XXXème Colloque Francophone de Traitement du Signal et des Images (GRETSI 2025), Aug 2025, Strasbourg, France. hal-05119598

HAL Id: hal-05119598

https://hal.science/hal-05119598v1

Submitted on 18 Jun 2025

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
# Mise en oeuvre efficace d'une radiogoniométrie 2D au sens du maximum de vraisemblance via un algorithme parcimonieux quasi Gauss-Newton

Thomas AUSSAGUÈS¹ Anne FERRÉOL¹,² Alice DELMER¹ Pascal LARZABAL¹

¹Thales, 4 avenue des Louvresses, 92230 Gennevilliers, France

²SATIE, Université Paris-Saclay, UMR CNRS 8029, 4 avenue des Sciences, 91190 Gif-sur-Yvette, France

**Résumé** – La mise en œuvre opérationnelle d'une radiogoniométrie au sens du Maximum de Vraisemblance (MV) est très lourde voire impossible car elle nécessite l'optimisation d'un critère non-convexe et hautement non-linéaire. Dans cette communication, l'équivalence entre le MV et les méthodes parcimonieuses, obtenue après une étape de pré-blanchiment, est exploitée afin de proposer une implémentation à moindres coûts du MV en 2D. Plus particulièrement, nous montrons que l'exploitation des effets du blanchiment accélère substantiellement la convergence de l'algorithme parcimonieux tout en rendant équivalentes les dernières itérations de celui-ci à celles d'une méthode du second-ordre dont le coût computationnel serait bien plus élevé.

**Abstract** – Maximum Likelihood Direction-of-Arrival (DoA) estimation is impractical due to the requirement of highly non-convex multi-dimensional optimization. This work exploits equivalence between ML and sparse DoA estimators, obtained after a pre-whitening step, to propose a low cost 2D ML implementation. Specifically, the pre-whitening transform effects are leveraged to significantly improve the algorithm's speed of convergence. Furthermore, the last iterations of the algorithm are shown to be equivalent with a more computationally demanding second-order algorithm.

# 1 Introduction

La radiogoniométrie est un problème classique de traitement d'antenne pour lequel de nombreuses méthodes d'estimation ont été proposées comme MUSIC [1]. Cependant, cet estimateur voit ses performances se dégrader dans des scénarios difficiles à faible Rapport Signal à Bruit (RSB) ou faible nombre d'échantillons. Le Maximum de Vraisemblance (MV) [2] n'est quant à lui pas appliqué en raison de la complexité de sa mise œuvre.

Certaines limites précédemment évoquées peuvent être levées en utilisant le Modèle de la Matrice de Covariance Vectorisée (MMCV) [3] qui repose sur l'utilisation d'un réseau d'antennes virtuelles offrant de meilleures performances. Les directions d'arrivée des sources peuvent alors être estimées au travers d'un estimateur parcimonieux. À la suite d'une étape de pré-blanchiment, transformant l'erreur d'estimation sur le MMCV, initialement non-blanche, en un bruit blanc gausssien, nous avons montré l'équivalence [4] entre les estimateurs parcimonieux et le MV appliqué au MMCV. L'estimateur parcimonieux des directions d'arrivée peut être formulé comme la minimisation d'un critère quadratique pénalisé par la pseudo-norme $\ell_0$. La minimisation est ensuite effectuée au travers de l'algorithme Forward-Backward Splitting (FBS) [5]. Néanmoins, l'algorithme FBS est une méthode du premier ordre dont la vitesse de convergence est limitée par la valeur du pas utilisé dans l'étape de descente de gradient.

Cette communication se propose d'exploiter les effets du blanchiment [6] par le biais d'un algorithme de descente à pas variable proposé par Ablin [7]. Nous montrons que le blanchiment permet de choisir des pas largement supérieurs accélérant ainsi la convergence. De plus, nous montrons que les dernières étapes de l'algorithme sont équivalentes à celles

d'un algorithme du second ordre dont l'implémentation est bien plus coûteuse.

# 2 Formulation du problème

## 2.1 Modèle de signal

On considère un réseau de $N$ antennes sur lequel sont reçus les signaux de $M$ sources de directions $\theta = \{\theta_1, \dots, \theta_M\}$ avec en 2D $\theta_m = \{\theta_m, \Delta_m\}$ le couple formé par les angles en azimuth $\theta_m$ et en élévation $\Delta_m$ de la $m$-ième source. La sortie du réseau est :

$$ \mathbf{x}(t) = \sum_{m=1}^{M} \mathbf{a}(\theta_m)\mathbf{s}_m(t) + \mathbf{n}(t) = \mathbf{A}(\theta)\mathbf{s}_{\theta}(t) + \mathbf{n}(t) \quad (1) $$

où $\mathbf{A}(\theta) = [\mathbf{a}(\theta_1), \dots, \mathbf{a}(\theta_M)] \in \mathbb{C}^{N \times M}$ est la matrice de mélange des sources, $\mathbf{s}_{\theta}(t) = [s_1(t), \dots, s_M(t)] \in \mathbb{C}^M$ le vecteur formés par les signaux $s_m(t)$ émis par les $M$ sources et $\mathbf{n}(t) \in \mathbb{C}^N$ un bruit complexe blanc gaussien, indépendant de $\mathbf{s}_{\theta}(t)$ i.e. $\mathbb{E}[\mathbf{s}_{\theta}^H(t)\mathbf{n}(t)] = 0$ avec $\mathbb{E}[\cdot] \text{ l'espérance mathématique et de covariance } \mathbb{E}[\mathbf{n}(t)\mathbf{n}^H(t)] = \sigma^2\mathbf{I}_N$. Enfin, sans perte de généralité, nous utiliserons les coordonnées $\{u_m = \cos(\theta_m) \cos(\Delta_m), v_m = \sin(\theta_m) \cos(\Delta_m)\}$ dans ce qui suit pour localiser une source.

La matrice de covariance de (1) est alors :

$$ \mathbf{R}_x = \mathbb{E}[\mathbf{x}(t)\mathbf{x}^H(t)] = \mathbf{A}(\theta)\mathbf{R}_s\mathbf{A}^H(\theta) + \sigma^2\mathbf{I}_N \quad (2) $$

où $\mathbf{R}_s = \mathbb{E}[\mathbf{s}_{\theta}(t)\mathbf{s}_{\theta}^H(t)]$ est la matrice de covariance des sources. N'étant pas accessible, $\mathbf{R}_x$ est remplacée par l'estimée suivante obtenue en supposant les échantillons $\mathbf{x}(t_k), 1 \le$
$k \le K$, indépendant et identiquement distribués :

$$ \hat{\mathbf{R}}_x = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^{K} \mathbf{x}(t_k) \mathbf{x}^H(t_k) = \mathbf{R}_x + \mathbf{\Delta R}_x \quad (3) $$

avec $\mathbf{\Delta R}_x$ une erreur d'estimation suivant une loi de Wishart pouvant être approximée par une loi complexe gaussienne lorsque le nombre d'échantillons est suffisant. En supposant les sources temporellement décorrélées, l'observation issue du MMCV s'obtient en appliquant l'opérateur de vectorisation par colonne $\text{vec}(\cdot)$ à (2) [3] :

$$ \begin{aligned} \mathbf{r} = \text{vec} \left( \hat{\mathbf{R}}_x - \sigma^2 \mathbf{I}_N \right) &= \sum_{m=1}^{M} \mathbf{b}(\theta_m) \gamma_m + \text{vec} (\mathbf{\Delta R}_x) \\ &= \mathbf{B}(\theta) \gamma_{\theta} + \delta \end{aligned} \quad (4) $$

avec $\mathbf{B}(\theta)$ la matrice formée par les vecteurs directeurs du réseau virtuel $\mathbf{b}(\theta_m) = \mathbf{a}^*(\theta_m) \otimes \mathbf{a}(\theta_m)$ avec $\otimes$ le produit de Kronecker, $\gamma_{\theta} = \text{diag}(\mathbf{R}_s) = [\gamma_1, \dots, \gamma_M]^T$ le vecteur des puissances des sources et $\delta = \text{vec}(\mathbf{\Delta R}_x)$ le vecteur associé à l'erreur d'estimation vectorisée de loi complexe gaussienne $\mathcal{CN}(\mathbf{0}_{N^2 \times 1}, \mathbf{\Gamma})$ avec :

$$ \mathbf{\Gamma} = \mathbb{E} \left[ \delta \delta^H \right] = \frac{1}{K} \left( \mathbf{R}_x^T \otimes \mathbf{R}_x \right) \quad (5) $$

## 2.2 Pré-blanchiment

L'équivalence entre les estimateurs parcimonieux et le MV a été obtenue sous l'hypothèse d'un bruit blanc gaussien [4]. Ainsi, une étape de pré-blanchiment est nécessaire afin de traiter l'erreur d'estimation $\delta$ non-blanche (4). Pour cela, l'observation $\mathbf{r}$ (4) est pré-multipliée par la matrice de blanchiment $\hat{\mathbf{W}} = \hat{\mathbf{\Gamma}}^{-1/2} = \sqrt{K} (\hat{\mathbf{R}}_x^{-T/2} \otimes \hat{\mathbf{R}}_x^{-1/2})$ :

$$ \mathbf{y} = \hat{\mathbf{W}}\mathbf{r} = \hat{\mathbf{W}}\mathbf{B}(\theta)\gamma_{\theta} + \hat{\mathbf{W}}\delta = \mathbf{B}_w(\theta)\gamma + \delta_w \quad (6) $$

avec $\mathbf{B}_w(\theta) = \hat{\mathbf{W}}\mathbf{B}(\theta)$ le dictionnaire après blanchiment et $\delta_w = \hat{\mathbf{W}}\delta$ l'erreur d'estimation blanche telle que $\mathbb{E}[\delta_w \delta_w^H] = \mathbf{I}_{N^2}$.

## 2.3 Estimation parcimonieuse

Sous l'hypothèse que les directions des sources $\theta$ soient contenus dans une grille $\varphi = \{\varphi_1, \dots, \varphi_G\}$ de $G$ directions avec $\varphi_G = \{\nu_g, \nu_g\}$ la $g$-ième direction de la grille, une réécriture parcimonieuse de (6) peut être obtenue :

$$ \mathbf{y} = \mathbf{B}_w(\varphi)\gamma_0 + \delta_w \quad (7) $$

où $\mathbf{B}_w(\varphi) = \hat{\mathbf{W}}\mathbf{B}(\varphi)$ avec $\mathbf{B}(\varphi) = [\mathbf{b}(\varphi_1), \dots, \mathbf{b}(\varphi_G)]$ est un dictionnaire de taille $N^2 \times G$, $G \gg N^2$ et $\gamma_0$ un vecteur de parcimonie $M$ dont les $M$ composantes non-nulles sont associées aux directions des sources. Ainsi, l'estimation des directions repose sur celle de $\gamma_0$. En utilisant l'a priori parcimonieux sur $\gamma_0$, le problème d'estimation est formulé comme la minimisation du critère suivant :

$$ \min_{\gamma \in \mathcal{C}^G} \{ \mathcal{J}_{\ell_0}(\lambda, \gamma) = \mathcal{J}_{LS}(\gamma) + \lambda \|\gamma\|_0 \} \quad (8) $$

avec $\mathcal{J}_{LS}(\gamma) = \frac{1}{2}\|\mathbf{y} - \mathbf{B}_w(\varphi)\gamma\|_2^2$ et $\lambda > 0$ un hyperparamètre équilibrant la fidélité aux données par rapport à la parcimonie. Dans ce qui suit, $\lambda$ est réglé selon [4] afin d'obtenir l'équivalence avec le MV ie. les critères MV et $\mathcal{J}_{\ell_0}$ possèdent le même minimum global.

# 3 Accélération de l'algorithme FBS par le blanchiment

## 3.1 Algorithme FBS accéléré

Le problème d'optimisation (8) peut être résolu par l'algorithme Forward-Backward Splitting (FBS) [5] décrit par Alg. 1 avec $\text{prox}_{\ell_0}^{\lambda\beta}(\cdot)$ l'opérateur proximal de la pseudo-norme $\ell_0$,

**Alg. 1:** Algorithme FBS [5]

1. $i = 0$

2. tant que critère d'arrêt pas satisfait faire

3. $$ \nabla \mathcal{J}_{LS}(\gamma^{(i)}) = \mathbf{B}_w^H(\varphi)(\mathbf{B}_w(\varphi)\gamma^{(i)} - \mathbf{y}) \quad (9) $$

4. $$ \tilde{\gamma}^{(i+1)} = \gamma^{(i)} - \beta \nabla \mathcal{J}_{LS}(\gamma^{(i)}) \quad (10) $$

5. $$ \gamma^{(i+1)} = \text{prox}_{\ell_0}^{\lambda\beta}(\tilde{\gamma}^{(i+1)}) \quad (11) $$

6. $i \leftarrow i + 1$

7. fin

$\nabla \mathcal{J}_{LS}$ le gradient et $\beta$ le pas de descente. La convergence de l'algorithme FBS vers un minimum local de $\mathcal{J}_{\ell_0}$ est assurée dès lors que le pas satisfait $\beta \le 1/\mathcal{L}$ avec $\mathcal{L} = \lambda_{max}(\mathcal{H}_w)$ la plus grande valeur propre de la hessienne de $\mathcal{J}_{LS}$ :

$$ \mathcal{H}_w = \mathbf{B}_w^H(\varphi)\mathbf{B}_w(\varphi) \quad (12) $$

D'après [7, 8], connaissant $\gamma^{(i)}$, l'étape de descente de gradient (10) de Alg. 1 peut se reformuler sous la forme de la minimisation d'un majorant $\mathcal{Q}_{\mathcal{L}}$ de la forme quadratique $\mathcal{J}_{LS}$. Le majorant $\mathcal{Q}_{\mathcal{L}}$ est obtenu en procédant à un développement limité au second ordre de $\mathcal{J}_{LS}$ au voisinage de $\gamma^{(i)}$ :

$$ \mathcal{J}_{LS}(\gamma) = \mathcal{J}_{LS}(\gamma^{(i)}) + (\nabla \mathcal{J}_{LS}(\gamma))^H (\gamma - \gamma^{(i)}) + \frac{1}{2} (\gamma - \gamma^{(i)})^H \mathcal{H}_w (\gamma - \gamma^{(i)}) \quad (13) $$

puis en majorant le terme quadratique de (13) :

$$ \mathcal{J}_{LS}(\gamma) \le \mathcal{Q}_{\mathcal{L}}(\gamma) = \mathcal{J}_{LS}(\gamma^{(i)}) + (\nabla \mathcal{J}_{LS}(\gamma))^H (\gamma - \gamma^{(i)}) + \frac{\mathcal{L}}{2} \|\gamma - \gamma^{(i)}\|_2^2 \quad (14) $$

Enfin, en choisisant le pas $\beta = 1/\mathcal{L}$, $\tilde{\gamma}^{(i+1)}$ est obtenu en minimisant $\mathcal{Q}_{\mathcal{L}}$ ce qui donne lieu à (10). Remarquons que dans le cas particulier $\beta = 1/\mathcal{L} = 1/\lambda_{max}(\mathcal{H}_w)$, (10) correspond à une itération de l'algorithme de Gauss-Newton [2] appliqué au majorant $\mathcal{Q}_{\mathcal{L}}$ dont la hessienne est $\mathcal{L} \times \mathbf{I}_G$.

Ablin [7] a proposé une version accélérée de Alg. 1 en exploitant la parcimonie de $\gamma^{(i)}$ à chaque itération. Dans [7], il est montré que le pas $\beta$ peut être remplacé par un pas adaptatif $\beta^{(i)} = 1/\mathcal{L}_{S}^{(i)}$, calculé à chaque itération, en utilisant $\mathcal{L}_{S}^{(i)} = \lambda_{max}(\mathcal{H}_{w,S}^{(i)})$ la plus grande valeur propre de la hessienne $\mathcal{H}_{w,S}^{(i)} = \mathbf{B}_{w,S}^{(i)H}(\varphi)\mathbf{B}_{w,S}^{(i)}(\varphi)$ (12) obtenue en considérant la restriction $\mathbf{B}_{w,S}^{(i)}(\varphi)$ du dictionnaire $\mathbf{B}_w(\varphi)$ aux colonnes dont
les indices appartiennent au support $S^{(i)}$ de $\gamma^{(i)}$ à la i-ième itération que nous définissons comme suit :

$$ 
\begin{aligned}
S^{(i)} &= \text{supp}(\gamma^{(i)}) = \{g \mid \gamma_g^{(i)} \neq 0\}, \quad i > 0 \\
S^{(0)} &= \{1, \dots, G\}, \quad i = 0
\end{aligned} 
\qquad (15) $$

Si la condition [7] :

$$ \text{supp}(\gamma^{(i+1)}) \subset S^{(i)} \qquad (\blacklozenge) $$

où $\gamma^{(i+1)}$ est obtenu en minimisant le majorant $Q_{\mathcal{L}_S}^{(i)}$ calculé en utilisant $\mathcal{L}_S^{(i)}$ dans (13), est vérifiée alors $\beta_S^{(i)} = 1/\mathcal{L}_S^{(i)}$ est un pas valide et $Q_{\mathcal{L}_S}^{(i)} \le Q_{\mathcal{L}}$.

Ainsi, la méthode [7] décrite par Alg. 2 minimise $Q_{\mathcal{L}_S}^{(i)}$ qui est un meilleur majorant de (13) que $Q_{\mathcal{L}}$ tout en bénéficiant d'un pas $\beta_S^{(i)} = 1/\mathcal{L}_S^{(i)}$ supérieur au pas initial $\beta = 1/\mathcal{L}$ permettant donc d'accélérer la convergence de Alg. 1 vers un minimiseur local de $\mathcal{J}_{\ell_0}$. La FIGURE 1 présente les majorants

### Alg. 2 : Algorithme FBS avec pas adaptatif [7]

1. $i = 0$
2. tant que critère d'arrêt pas satisfait faire
3. Calculer $S^{(i)}$ ainsi que $\beta_S^{(i)}$
4. Obtenir $\gamma_{\text{temp}}^{(i+1)}$ via (9), (10), (11) en utilisant $\beta_S^{(i)}$
5. si $\text{supp}(\gamma^{(i+1)}) \subset S^{(i)}$ (♦) alors
6. $\quad | \gamma^{(i+1)} \leftarrow \gamma_{\text{temp}}^{(i+1)}$
7. sinon
8. $\quad | \text{Obtenir } \gamma^{(i+1)} \text{ via (9), (10), (11) en utilisant } \beta$
9. fin
10. $i \leftarrow i + 1$
11. fin

$Q_{\mathcal{L}_S}^{(i)}$ obtenus avant (observation r (4)) et après blanchiment (observation y (6)) pour plusieurs itérations de Alg. 2. Les majorations obtenues après blanchiment sont plus fines que celles obtenues sans cette transformation. De plus, remarquons qu'après blanchiment, les surfaces sont substantiellement plus plates. Ainsi, des pas plus grands peuvent être utilisés pour l'étape de descente de gradient (10) permettant donc d'accélérer l'algorithme.

## 3.2 Justification de l'accélération après blanchiment

Distance entre la surface $\mathcal{J}_{LS}$ et son majorant $Q_{\mathcal{L}_S}^{(i)}$. Dans cette partie, nous allons montrer comment le blanchiment donne lieu à des majorations plus fines de (13) et donc permet d'accélérer la convergence de Alg. 2. Plaçons nous dans le cas particulier de $M = 2$ sources et supposons que le support de $\gamma^{(i)}$, $S^{(i)}$ (15), contienne uniquement les indices associés aux directions des sources ie. $\gamma = [\gamma_1 \ \gamma_2]^T$. Sous l'hypothèse que $\beta_S^{(i)}$ soit un pas valide [7] ie (♦) est satisfaite, nous avons $\text{supp}(\gamma) \subset S^{(i)}$ (15). La distance $\varepsilon_1^{(i)}$ entre le terme quadratique intervenant dans (13) et son majorant est :

$$ 
\begin{aligned}
\varepsilon_1^{(i)} &= \left| \frac{\mathcal{L}_S^{(i)}}{2} \|\gamma - \gamma^{(i)}\|_2^2 - \frac{1}{2}(\gamma - \gamma^{(i)})^H \mathcal{H}_{w,S}^{(i)} (\gamma - \gamma^{(i)}) \right| \\
&= \frac{r_{B_w}(\theta_1, \theta_2)}{1+r_{B_w}(\theta_1, \theta_2)} \times |\gamma_2 - \gamma_2^{(i)}|^2
\end{aligned} 
\qquad (16) $$

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Projections des majorants $Q_{\mathcal{L}_S}^{(i)}$ dans les directions des sources avant et après blanchiment. Le minimum global du critère est représenté par un point rouge pour chaque critère. Pour cet exemple, $M = 2$ sources de directions $\{\theta_1, \theta_2\} = \{(0.5, -0.30), (-0.75, 0.29)\}$ donnant lieu à une corrélation spatiale $r_A^2(\theta_1, \theta_2) = 0.3$) sont considérées avec $K = 400$ échantillons, RSB = 10 dB ainsi que le réseau défini dans la section 4.</figcaption></figure>

en associant la source de direction $\theta_1$ à l'indice 1 dans $S^{(i)}$ ainsi qu'à la plus grande grande valeur propre de $\mathcal{H}_{w,S}^{(i)}$. Réciproquement, la source de direction $\theta_2$ est reliée à l'indice 2 ainsi qu'à la plus faible valeur propre.

**Preuve** Une décomposition en valeurs propres de $\mathcal{H}_{w,S}^{(i)}$ suivie de l'utilisation des expressions des valeurs propres $\mathcal{H}_{w,S}^{(i)}$ dans le cas $M = 2$ sources donne (16). ■

La proposition (16) connecte $\varepsilon_1^{(i)}$ à la corrélation spatiale entre les sources $r_{B_w}(\theta_1, \theta_2) = \frac{\mathbf{b}_w^H(\theta_1)\mathbf{b}_w(\theta_2)}{\|\mathbf{b}_w(\theta_1)\|_2\|\mathbf{b}_w(\theta_2)\|_2}$ calculée pour les vecteurs $\mathbf{b}_w(\theta_1), \mathbf{b}_w(\theta_2)$. À la suite du blanchiment $r_{B_w}(\theta_1, \theta_2) \to 0$ d'où $\varepsilon_1^{(i)} \to 0$. ainsi, la surface majorante se rapproche donc du critère jusqu'à se confondre avec celui-ci. Avant blanchiment, la corrélation spatiale est importante, ce qui donne lieu à une plus grande distance $\varepsilon_1^{(i)}$.

**Équivalence avec un algorithme du second ordre** En plus du résultat (16), il est possible de montrer que les dernières itérations de Alg. 2 après blanchiment sont équivalentes à celles de l'algorithme de Gauss-Newton [2]. En reprenant les hypothèses du paragraphe 3.2, une itération de l'algorithme de Gauss-Newton s'écrit :

$$ \gamma^{(i+1)} = \gamma^{(i)} - (\mathcal{H}_{w,S}^{(i)})^{-1} \nabla \mathcal{J}_{LS,S}^{(i)}(\gamma^{(i)}) \qquad (17) $$

avec $\nabla \mathcal{J}_{LS,S}^{(i)}$ le gradient et $\mathcal{H}_{w,S}^{(i)}$ la hessienne (12) obtenus en se restreignant aux indices associés aux directions des sources. Une itération de la partie gradient (9) de Alg. 2 est :

$$ \gamma^{(i+1)} = \gamma^{(i)} - \frac{1}{\lambda_{\max}(\mathcal{H}_{w,S}^{(i)})} \mathbf{I}_2 \nabla \mathcal{J}_{LS,S}^{(i)}(\gamma^{(i)}) \qquad (18) $$

Les éq. (18) et (17) sont similaires à la différence près que l'inverse de la hessienne est remplacée par $\frac{1}{\lambda_{\max}(\mathcal{H}_{w,S}^{(i)})} \mathbf{I}_2$ dans (18). Ainsi, l'équivalence entre les éq. (18) et (17) s'appuie sur la distance entre les matrices $\frac{1}{\lambda_{\max}(\mathcal{H}_{w,S}^{(i)})} \mathbf{I}_2$ et $(\mathcal{H}_{w,S}^{(i)})^{-1}$
au sens de la norme spectrale $||·|| = λ_{max}(·)$. Nous pouvons
alors déduire le résultat suivant :

$$
\epsilon_2^{(i)} = \|(\mathcal{H}_{w,S}^{(i)})^{-1} - \frac{1}{\lambda_{max}(\mathcal{H}_{w,S}^{(i)})} \mathbf{I}_2\| = \frac{2r_{\mathbf{B}_w}(\theta_1, \theta_2)}{(1+r_{\mathbf{B}_w}(\theta_1, \theta_2))^2} \quad (19)
$$

Preuve En effectuant un développement limité de $(\mathcal{H}_{w,S}^{(i)})^{-1}$ puis en injectant l'expression de $\lambda_{max}(\mathcal{H}_{w,S}^{(i)})$ [9], (19) est obtenue.

Le blanchiment ayant pour effet d'orthogonaliser les vec-
teurs directeurs dans les directions des sources [6, 9] ie.
r<sub>B<sub>w</sub></sub>(<sub>θ<sub>1</sub></sub>, <sub>θ<sub>2</sub></sub>) ≈ 0, il vient que ε<sub>2</sub><sup>(i)</sup> → 0. Ainsi, les dernières
itérations de l'algorithme après blanchiment sont équivalentes
à celles de l'algorithme de Gauss-Newton [2].

4 Résultats numériques

4.1 Paramètres des simulations

Un réseau à 6 antennes dont 5 distribuées sur un cercle de
rayon $r = 0.8\lambda_0$ avec $\lambda_0$ la longueur d'onde et une antenne
centrale est utilisé. $M = 2$ sources de directions $\{\theta_1, \theta_2\} =
\{(0.5, -0.30), (-0.75, 0.29)\}$ donnant lieu à une corrélation
spatiale $r_A^2(\theta_1, \theta_2) = 0.3$ sont considérées avec $K = 400$
échantillons et RSB = 10 dB. Une grille oracle avec un pas
de 0.1 en $u$ et en $v$ contenant les estimées du MV est employée
afin de supprimer le biais lié à l'erreur de grille. La pénalité
$l_0$ est remplacée par la fonctionnelle Continuous Exact $l_0$
penalty (CEL0) [10] qui préserve le minimiseur global de
$l_0$ tout en supprimant de nombreux minima locaux. $\lambda$ est
respectivement choisi via [11] pour l'observation non-blanchie
$r$ (4) et selon [4] après blanchiment (observation $y$ (6)). Le
pas $\beta_S^{(i)} = 1/\mathcal{L}_S^{(i)}$ de Alg. 2 est calculé en utilisant la méthode
des puissances afin de réduire le coût calculatoire. Enfin, les
algorithmes Alg. 1 et Alg. 2 sont initialisés avec $\gamma^{(0)} = 0_{G \times 1}$.

4.2 Analyse numérique de la convergence

La FIGURE 2 présente les courbes de convergence obtenues
avant et après blanchiment pour l’algorithme FBS standard
Alg. 1 [5] et sa version accélérée Alg. 2 [7]. Les pas de
l’étape de gradient (10) correspondants sont également re-
présentés. Premièrement, remarquons que le blanchiment amé-
liore légèrement la vitesse de convergence en réduisant le
nombre d’itérations nécessaires pour atteindre le critère d’ar-
rend, $||\gamma^{(i+1)} - \gamma^{(i)}||_2^2 / ||\gamma^{(i)}||_2^2 \le 10^{-6}$, de 1257 itérations à
759 itérations. L’utilisation de la version accélérée après blan-
chiment Alg. 2 permet une convergence extrêmement rapide et
stable en seulement 12 itérations. Au contraire, avant blanchi-
ment, l’algorithme accéléré est très instable et converge en 253
itérations. Le TABLEAU 1 confirme l’amélioration de la vi-
tesse de convergence obtenue en combinant l’algorithme FBS
accéléré au blanchiment. En effet, pour l’algorithme accéléré,
seulement 12 itérations sont nécessaires pour converger au lieu
des 118,5 requises sans blanchiment.

5 Conclusion

Cette communication propose d'exploiter un algorithme par-
cimonieux à pas variable afin de mettre en œuvre une radio-

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Haut : Courbes de convergence avant et après blanchiment avec J\*<sub>MV</sub> le minimum global de J<sub>LS</sub>. Bas : pas à chaque itération.</figcaption></figure>

<table><caption>TABLEAU 1 – Nombre moyen d’itérations sur 100 réalisations de bruit.</caption>
   <thead>
    <tr>
     <td>
      Algorithme
     </td>
     <td>
      Observation r (4)
     </td>
     <td>
      Observation y (6)
     </td>
    </tr>
   </thead>
   <tbody>
    <tr>
     <td>
      FBS standard [5]
     </td>
     <td>
      1380,0
     </td>
     <td>
      633,5
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      FBS accéléré [7]
     </td>
     <td>
      118,5
     </td>
     <td>
      11,3
     </td>
    </tr>
   </tbody>
  </table>

goniométrie 2D au sens du Maximum de Vraisemblance à
moindres coûts. Plus particulièrement, nous montrons com-
ment l'étape de blanchiment accélère significativement l'algo-
rithme en rendant ses dernières itérations équivalentes à celles
d'une méthode du second ordre dont l'implémentation est bien
plus coûteuse. Des simulations numériques témoignent du gain
en terme de vitesse de convergence.

Références

[1] G. BIENVENU et L. KOPP : Optimality of high resolution array processing using the eigensystem approach. *IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing*, 31(5):1235-1248, 1983.

[2] B. OTTERSTEN, M. VIBERG, P. STOICA et A. NEHORAI : *Exact and Large Sample Maximum Likelihood Techniques for Parameter Estimation and Detection in Array Processing*, pages 99-151. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 1993.

[3] Joseph S. PICARD et Anthony J. WEIS : Direction finding of multiple emitters by spatial sparsity and linear programming. *In 2009 9th International Symposium on Communications and Information Technology*, pages 1258-1262, 2009.

[4] Thomas AUSSAGUËS, Anne FERRÉOL, Alice DELMER et Pascal LARZABAL : Looking for equivalence between maximum likelihood and sparse doa estimators. *In 2024 32nd European Signal Processing Conference (EUSIPCO)*, 2024.

[5] Patrick L. COMBETTES et Jean-Christophe PESQUET : Proximal splitting methods in signal processing, 2010.

[6] Thomas AUSSAGUËS, Anne FERRÉOL, Alice DELMER et Pascal LARZABAL : Whitening effects for ml-doa estimation using a sparse representation of array covariance. *In ICASSP 2025 - 2025 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP)*, 2025.

[7] Pierre ABLIN, Thomas MOREAU, Mathurin MASSIAS et Alexandre GRAMFORT : Learning step sizes for unfolded sparse coding. *In Advances in Neural Information Processing Systems*, volume 32, 2019.

[8] Amir BECK et Marc TEBOULLE : A fast iterative shrinkage-thresholding algo-
rithm with application to wavelet-based image deblurring. *In 2009 IEEE Inter-
national Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing*, pages 693–696,
2009.

[9] Thomas AUSSAGUËS, Anne FERRÉOL, Alice DELMER et Pascal LARZABAL : Ml-doa estimation using a sparse representation of array covariance with a non-standard noise. *Submitted to Signal Processing*, 2025.

[10] Emmanuel SOUBIES, Laure BLANC-FÉRAUD et Gilles AUBERT : A Continuous Exact 10 penalty (CEL0) for least squares regularized problem. *SIAM Journal on Imaging Sciences*, 8(3):pp. 1607-1639 (33 pages), juillet 2015.

[11] Alice DELMER, Anne FERRÉOL et Pascal LARZABAL : On regularization pa-
rameter for 10-sparse covariance fitting based doa estimation. *In ICASSP 2020 -
2020 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing*
(ICASSP), pages 4552-4556, 2020.