On dispose ainsi d'une expression de la variation du bien-être collectif. Il est commode d'utiliser une expression explicite de $\Delta T$ et des autres termes. Par exemple, pour $\Delta T$ :

$$ \Delta T = -Q_{12}(t_1 + t_q) + (Q_{x2} + Q_{12} + Q_{x2T})(t_2 + t_q) + (x' - x)t_x. \quad (20) $$

La contrainte de budget donne par ailleurs :

$$ (x' - x)t_x = -\frac{1}{p_x}(-Q_{12}(p_1 + p_q) + (Q_{x2} + Q_{12} + Q_{x2T})(p_2 + p_q))t_x \quad (21) $$

donc $\Delta T$ s'écrit :

$$ \Delta T = -Q_{12}(t_1 + t_q) + (Q_{x2} + Q_{12} + Q_{x2T})(t_2 + t_q) - \frac{1}{p_x}(-Q_{12}(p_1 + p_q) + (Q_{x2} + Q_{22} + Q_{x2T})(p_2 + p_q))t_x \quad (22) $$

En utilisant les mêmes expressions pour $\Delta E, \Delta B$, il vient :

$$ \begin{aligned} \Delta S = & (Q_{22} + \Phi(Q_{x2}) + \Psi(Q_{12} + \Xi(Q_{x2T}))\frac{1}{\lambda}\beta(a_2 - a'_2) \\ & + (-Q_{12})(t_1 + t_q) + (Q_{x2} + Q_{12} + Q_{x2T})(t_2 + t_q) \\ & -\frac{1}{p_x}((-Q_{12})(p_1 + p_q) + (Q_{x2} + Q_{12} + Q_{x2T})(p_2 + p_q))t_x \\ & + (-Q_{12})(b_1 + b_q) + (Q_{x2} + Q_{12} + Q_{x2T})(b_2 + b_q) \\ & -\frac{1}{p_x}((-Q_{12})(p_1 + p_q) + (Q_{x2} + Q_{12} + Q_{x2T})(p_2 + p_q))b_x \\ & + (-Q_{12})(e_1 + e_q) + (Q_{x2} + Q_{12} + Q_{x2T})(e_2 + e_q) \\ & -\frac{1}{p_x}((-Q_{12})(p_1 + p_q) + (Q_{x2} + Q_{12} + Q_{x2T})(p_2 + p_q))e_x - K \end{aligned} \quad (23) $$

## B.4. Catégorisation des bénéfices

On peut grouper ces termes de manière à faire apparaître des ensembles cohérents liés aux différents trafics (en ligne). On distingue également les effets observables sur le marché des transports et sur les autres marchés (en colonnes).
<table><caption>Tableau 2 : Catégorisation des bénéfices</caption><thead><tr><th></th><th>Transport</th><th>Autres biens</th></tr></thead><tbody><tr><td>Ne se déplacent pas initialement</td><td colspan="2">Non considérés dans cette formulation</td></tr><tr><td rowspan="2">Usagers initiaux</td><td>Déplacements initiaux mode 2</td><td>$Q_2 \frac{1}{\lambda} \beta(a_2 - a'_2)$</td></tr><tr><td>Déplacements induits des usagers initiaux</td><td>$Q_{x2}\phi(\frac{1}{\lambda}\beta(a_2 - a'_2) + Q_{x2}((t_2 + t_q) + (b_2 + b_q) + (e_2 + e_q))$</td></tr><tr><td rowspan="2">Usagers transférés</td><td>Déplacements transférés</td><td>$Q_{12}\psi(\frac{1}{\lambda}\beta(a_2 - a'_2) + Q_{12}((t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1))$</td></tr><tr><td>Déplacements induits des usagers transférés</td><td>$Q_{x2T}\Xi(\frac{1}{\lambda}\beta(a_2 - a'_2) + Q_{x2T}((t_2 + t_q) + (b_2 + b_q) + (e_2 + e_q))$</td></tr><tr><td>Coût du projet</td><td colspan="2">$-K$</td></tr></tbody></table>

On peut aussi écrire :

$$ \begin{aligned} \Delta S = & (Q_{22} + \phi(\frac{1}{\lambda}\beta(a_2 - a'_2)) \\ & + (Q_{x2} + Q_{x2T})((t_2 + t_q) + (b_2 + b_q) + (e_1 + e_q)) \\ & + Q_{12}((t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)) \\ & + (Q_{12}\frac{p_1 - p_2}{p_x} - (Q_{x2} + Q_{x2T})\frac{p_2 + p_q}{p_x})(t_x + b_x + e_x) - K \end{aligned} \quad (24) $$

On remarque un résultat connu pour l'analyse en équilibre partiel : lorsque les distorsions sur les marchés des biens génériques x sont négligeables ou nulles, la mesure du bien-être effectuée sur les marchés 1, 2 et q fournit une mesure valide des avantages de l'ensemble des effets. Plus précisément, si $t_x + b_x + e_x = 0$, les effets sur le marché x, celui de la dernière colonne, s'annulent. Par conséquent, $\Delta S$ se simplifie dans une expression en équilibre partiel $\Delta S^{PE}$ :

$$ \begin{aligned} \Delta S^{PE} = & (Q_{22} + \phi(\frac{1}{\lambda}\beta(a_2 - a'_2)) \\ & + (Q_{x2} + Q_{x2T})((t_2 + t_q) + (b_2 + b_q) + (e_1 + e_q)) \\ & + Q_{12}((t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)) - K \end{aligned} \quad (25) $$

Les formulations obtenues en équilibre général (24) et partiel (25) permettent de vérifier la possibilité des paradoxes identifiés.
<table><caption>Tableau 2 : Catégorisation des bénéfices</caption><thead><tr><th></th><th>Transport</th><th>Autres biens</th></tr></thead><tbody><tr><td>Ne se déplacent pas initialement</td><td colspan="2">Non considérés dans cette formulation</td></tr><tr><td rowspan="2">Usagers initiaux</td><td>Déplacements initiaux mode 2</td><td>$Q_2 \frac{1}{\lambda} \beta(a_2 - a'_2)$</td></tr><tr><td>Déplacements induits des usagers initiaux</td><td>$Q_{x2}\phi(\frac{1}{\lambda}\beta(a_2 - a'_2) + Q_{x2}((t_2 + t_q) + (b_2 + b_q) + (e_2 + e_q))$</td></tr><tr><td rowspan="2">Usagers transférés</td><td>Déplacements transférés</td><td>$Q_{12}\psi(\frac{1}{\lambda}\beta(a_2 - a'_2) + Q_{12}((t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1))$</td></tr><tr><td>Déplacements induits des usagers transférés</td><td>$Q_{x2T}\Xi(\frac{1}{\lambda}\beta(a_2 - a'_2) + Q_{x2T}((t_2 + t_q) + (b_2 + b_q) + (e_2 + e_q))$</td></tr><tr><td>Coût du projet</td><td colspan="2">$-K$</td></tr></tbody></table>

On peut aussi écrire :

$$ \begin{aligned} \Delta S = & (Q_{22} + \phi(\frac{1}{\lambda}\beta(a_2 - a'_2)) \\ & + (Q_{x2} + Q_{x2T})((t_2 + t_q) + (b_2 + b_q) + (e_1 + e_q)) \\ & + Q_{12}((t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)) \\ & + (Q_{12}\frac{p_1 - p_2}{p_x} - (Q_{x2} + Q_{x2T})\frac{p_2 + p_q}{p_x})(t_x + b_x + e_x) - K \end{aligned} \quad (24) $$

On remarque un résultat connu pour l'analyse en équilibre partiel : lorsque les distorsions sur les marchés des biens génériques x sont négligeables ou nulles, la mesure du bien-être effectuée sur les marchés 1, 2 et q fournit une mesure valide des avantages de l'ensemble des effets. Plus précisément, si $t_x + b_x + e_x = 0$, les effets sur le marché x, celui de la dernière colonne, s'annulent. Par conséquent, $\Delta S$ se simplifie dans une expression en équilibre partiel $\Delta S^{PE}$ :

$$ \begin{aligned} \Delta S^{PE} = & (Q_{22} + \phi(\frac{1}{\lambda}\beta(a_2 - a'_2)) \\ & + (Q_{x2} + Q_{x2T})((t_2 + t_q) + (b_2 + b_q) + (e_1 + e_q)) \\ & + Q_{12}((t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)) - K \end{aligned} \quad (25) $$

Les formulations obtenues en équilibre général (24) et partiel (25) permettent de vérifier la possibilité des paradoxes identifiés.
# Annexe C : Analyse des paradoxes

Dans cette section, nous examinons la possibilité de certains paradoxes.

## C.1. Premier paradoxe : une valeur socio-économique négative pour une amélioration sans coût d'investissement

Une amélioration d'une infrastructure peut-elle détériorer le bien-être social ? Cela peut certainement être le cas dans une situation triviale : si le projet est trop coûteux. En dehors de ce cas, le paradoxe étudié peut également se produire en raison d'une externalité de congestion. C'est la situation analysée dans le paradoxe de Braess (1968). Ce résultat peut-il se produire dans d'autres cas, même sans externalité de congestion ?

Pour mieux répondre à cette question, nous considérons un projet sans coût (K=0) et sans congestion et nous examinons s'il peut avoir une valeur sociale négative : une possible explication réside dans les transferts, plus précisément des taxes et des profits. Nous étudions d'abord cette situation en équilibre partiel, puis nous discutons sa généralisation.

En partant de (25), et en réarrangeant les termes :

$$ S^{PE} < 0 \Rightarrow \qquad (26) $$

$$ - \left[ Q_{12} \left( \psi(\cdot) \frac{1}{\lambda} \beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) + (e_2 - e_1) \right) + (Q_{22} + \phi(\cdot) Q_{x2} + \Xi(\cdot) Q_{x2T}) \frac{1}{\lambda} \beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) \right. \\ \left. + (Q_{x2} + Q_{x2T}) ( (t_2 + t_q) + (b_2 + b_q) + (e_1 + e_q) ) \right] $$

Tous les termes entre les crochets à droite sont positifs. Lorsqu'ils sont multipliés par un signe négatif, le résultat obtenu est négatif. La condition pour que $S^{PE}<0$ est donc que l'écart de taxation (et de profit) $(t_2 - t_1) + (b_2 - b_1)$ entre les deux modes soit suffisamment important pour surcompenser les autres effets et produire un résultat négatif.

Nous concluons sur le premier paradoxe : en équilibre partiel, il est possible qu'une amélioration (sans coût et sans congestion) produise une perte socio-économique. Ce résultat se généralise en considérant les effets sur les autres marchés : dans ce cas s'ajoutent des termes supplémentaires qui peuvent rendre plus ou moins restrictive l'inégalité $S^{GE} < 0$, mais n'en déterminent pas l'impossibilité.
# Annexe C : Analyse des paradoxes

Dans cette section, nous examinons la possibilité de certains paradoxes.

## C.1. Premier paradoxe : une valeur socio-économique négative pour une amélioration sans coût d'investissement

Une amélioration d'une infrastructure peut-elle détériorer le bien-être social ? Cela peut certainement être le cas dans une situation triviale : si le projet est trop coûteux. En dehors de ce cas, le paradoxe étudié peut également se produire en raison d'une externalité de congestion. C'est la situation analysée dans le paradoxe de Braess (1968). Ce résultat peut-il se produire dans d'autres cas, même sans externalité de congestion ?

Pour mieux répondre à cette question, nous considérons un projet sans coût (K=0) et sans congestion et nous examinons s'il peut avoir une valeur sociale négative : une possible explication réside dans les transferts, plus précisément des taxes et des profits. Nous étudions d'abord cette situation en équilibre partiel, puis nous discutons sa généralisation.

En partant de (25), et en réarrangeant les termes :

$$ S^{PE} < 0 \Rightarrow \qquad (26) $$

$$ - \left[ Q_{12} \left( \psi(\cdot) \frac{1}{\lambda} \beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) + (e_2 - e_1) \right) + (Q_{22} + \phi(\cdot) Q_{x2} + \Xi(\cdot) Q_{x2T}) \frac{1}{\lambda} \beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) \right. \\ \left. + (Q_{x2} + Q_{x2T}) ( (t_2 + t_q) + (b_2 + b_q) + (e_1 + e_q) ) \right] $$

Tous les termes entre les crochets à droite sont positifs. Lorsqu'ils sont multipliés par un signe négatif, le résultat obtenu est négatif. La condition pour que $S^{PE}<0$ est donc que l'écart de taxation (et de profit) $(t_2 - t_1) + (b_2 - b_1)$ entre les deux modes soit suffisamment important pour surcompenser les autres effets et produire un résultat négatif.

Nous concluons sur le premier paradoxe : en équilibre partiel, il est possible qu'une amélioration (sans coût et sans congestion) produise une perte socio-économique. Ce résultat se généralise en considérant les effets sur les autres marchés : dans ce cas s'ajoutent des termes supplémentaires qui peuvent rendre plus ou moins restrictive l'inégalité $S^{GE} < 0$, mais n'en déterminent pas l'impossibilité.
## C.2. Second paradoxe : un nombre plus important d'usagers détériore le résultat

Un autre paradoxe provient de la comparaison entre plusieurs scénarios : l'analyste considère des scénarios de demande alternatifs ou effectue une analyse de sensibilité. Il observe qu'à un plus grand nombre d'utilisateurs correspond un résultat social net inférieur. Ce résultat est jugé paradoxal. Ce deuxième paradoxe est lié au précédent : un usager transféré peut avoir un effet socio-économique négatif. Dès lors, un nombre plus important d'usagers transférés pourrait avoir un effet négatif.

Pour analyser ce paradoxe, il est utile de catégoriser les différentes causes possibles d'un nombre supérieur d'utilisateurs. Par souci d'exhaustivité, nous partons de situations qui présentent un intérêt limité pour la science des transports.

### C.2.1. Deux cas triviaux

1. La population est plus importante par rapport à la situation de référence : dans ce cas, il est logique que les résultats du modèle soient amplifiés, mais cela est de peu d'intérêt pour l'évaluation du projet.

2. La croissance ou le PIB est plus important que dans la situation de référence. Ce cas est fréquent dans l'évaluation des projets. Logiquement, avec un PIB plus élevé, la quantité totale de déplacements est plus importante, tout comme le transfert modal. Si le bénéfice unitaire par utilisateur transféré est négatif, un plus grand nombre de voyages entraînera une plus grande perte socio-économique. Il convient de noter que l'analyse microéconomique de ce phénomène nécessite de relâcher les hypothèses quasi linéaires sur les préférences. Cette analyse dépasse le cadre du présent document.

### C.2.2. Des cas plus pertinents

Outre les deux cas triviaux, on s'intéresse à des cas plus pertinents. Ceux-ci s'assimilent à des tests de sensibilité, souvent pratiqués dans la planification des transports, où l'on examine l'effet sur la VAN d'hypothèses alternatives : que se passe-t-il s'il y a plus d'usagers intéressés pour se transférer ou si le gain est supérieur à celui initialement considéré ou, enfin, s'ils sont plus sensibles aux gains fournis par le projet ? Ces cas gagnent à être représentés graphiquement. La Figure 4 illustre mieux le rôle des termes $ε_{i1}$ et $ε_{i2}$ dans ce mécanisme.

Sur ce graphique, chaque individu est représenté par un point, localisé en fonction des valeurs des termes $ε_{i1}$ et $ε_{i2}$. Une droite représente la situation d'indifférence : l'ensemble des couples $(ε_{i1} ; ε_{i2})$ pour lesquels il y a indifférence entre les modes $V_1 + ε_1 = V_2 + ε_2$, donc : $ε_2 - ε_1 = V_1 - V_2$.

Cette droite sépare les utilisateurs des modes 1 et 2. Lorsque le mode 2 s'améliore, cette droite se déplace, comme illustré sur la Figure 4.
## C.2. Second paradoxe : un nombre plus important d'usagers détériore le résultat

Un autre paradoxe provient de la comparaison entre plusieurs scénarios : l'analyste considère des scénarios de demande alternatifs ou effectue une analyse de sensibilité. Il observe qu'à un plus grand nombre d'utilisateurs correspond un résultat social net inférieur. Ce résultat est jugé paradoxal. Ce deuxième paradoxe est lié au précédent : un usager transféré peut avoir un effet socio-économique négatif. Dès lors, un nombre plus important d'usagers transférés pourrait avoir un effet négatif.

Pour analyser ce paradoxe, il est utile de catégoriser les différentes causes possibles d'un nombre supérieur d'utilisateurs. Par souci d'exhaustivité, nous partons de situations qui présentent un intérêt limité pour la science des transports.

### C.2.1. Deux cas triviaux

1. La population est plus importante par rapport à la situation de référence : dans ce cas, il est logique que les résultats du modèle soient amplifiés, mais cela est de peu d'intérêt pour l'évaluation du projet.

2. La croissance ou le PIB est plus important que dans la situation de référence. Ce cas est fréquent dans l'évaluation des projets. Logiquement, avec un PIB plus élevé, la quantité totale de déplacements est plus importante, tout comme le transfert modal. Si le bénéfice unitaire par utilisateur transféré est négatif, un plus grand nombre de voyages entraînera une plus grande perte socio-économique. Il convient de noter que l'analyse microéconomique de ce phénomène nécessite de relâcher les hypothèses quasi linéaires sur les préférences. Cette analyse dépasse le cadre du présent document.

### C.2.2. Des cas plus pertinents

Outre les deux cas triviaux, on s'intéresse à des cas plus pertinents. Ceux-ci s'assimilent à des tests de sensibilité, souvent pratiqués dans la planification des transports, où l'on examine l'effet sur la VAN d'hypothèses alternatives : que se passe-t-il s'il y a plus d'usagers intéressés pour se transférer ou si le gain est supérieur à celui initialement considéré ou, enfin, s'ils sont plus sensibles aux gains fournis par le projet ? Ces cas gagnent à être représentés graphiquement. La Figure 4 illustre mieux le rôle des termes $ε_{i1}$ et $ε_{i2}$ dans ce mécanisme.

Sur ce graphique, chaque individu est représenté par un point, localisé en fonction des valeurs des termes $ε_{i1}$ et $ε_{i2}$. Une droite représente la situation d'indifférence : l'ensemble des couples $(ε_{i1} ; ε_{i2})$ pour lesquels il y a indifférence entre les modes $V_1 + ε_1 = V_2 + ε_2$, donc : $ε_2 - ε_1 = V_1 - V_2$.

Cette droite sépare les utilisateurs des modes 1 et 2. Lorsque le mode 2 s'améliore, cette droite se déplace, comme illustré sur la Figure 4.
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 4 : Répartition modale dans la situation avec et sans projet (demande linéaire)</figcaption></figure>

Source : notre élaboration.

En utilisant cette représentation, on peut comprendre ce qu'il advient dans différentes situations d'intérêt, où l'analyste suppose un nombre plus important d'utilisateurs par rapport à une situation de référence.

3. Il y a plus de voyageurs concernés par le transfert modal.

Dans le test de sensibilité considéré, un plus grand nombre d'utilisateurs se trouve dans la zone couverte par le glissement de la courbe d'indifférence par rapport à la situation de référence. Par conséquent, moins d'utilisateurs restent sur leur mode initial. Cette majeure densité d'utilisateurs dans la zone balayée par le glissement de la courbe d'indifférence a un double effet.

(i) Augmentation du nombre d'utilisateurs transférés ; le bénéfice socio-économique de chaque individu transféré est :

$$((t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)) + \psi(\lambda) \frac{1}{\beta}(a_2 - a'_2) \quad (27)$$

L'augmentation des utilisateurs peut réduire le bien-être social, lorsque :

$$((t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)) < -\psi(\lambda) \frac{1}{\beta}(a_2 - a'_2) \quad (28)$$

Ou en considérant aussi les effets sur le marché pour le bien x :

$$((t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)) < -\psi(\lambda) \frac{1}{\beta}(a_2 - a'_2) - \frac{p_1 - p_2}{p_x} (t_x + b_x + e_x) \quad (29)$$

Une situation typique qui pourra expliquer cette configuration sera celle de sur-internalisation sur le mode d'origine $t_1 + b_1 \gg e_1$.
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 4 : Répartition modale dans la situation avec et sans projet (demande linéaire)</figcaption></figure>

Source : notre élaboration.

En utilisant cette représentation, on peut comprendre ce qu'il advient dans différentes situations d'intérêt, où l'analyste suppose un nombre plus important d'utilisateurs par rapport à une situation de référence.

3. Il y a plus de voyageurs concernés par le transfert modal.

Dans le test de sensibilité considéré, un plus grand nombre d'utilisateurs se trouve dans la zone couverte par le glissement de la courbe d'indifférence par rapport à la situation de référence. Par conséquent, moins d'utilisateurs restent sur leur mode initial. Cette majeure densité d'utilisateurs dans la zone balayée par le glissement de la courbe d'indifférence a un double effet.

(i) Augmentation du nombre d'utilisateurs transférés ; le bénéfice socio-économique de chaque individu transféré est :

$$ ((t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)) + \psi(\lambda) \frac{1}{\beta}(a_2 - a'_2) \quad (27) $$

L'augmentation des utilisateurs peut réduire le bien-être social, lorsque :

$$ ((t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)) < -\psi(\lambda) \frac{1}{\beta}(a_2 - a'_2) \quad (28) $$

Ou en considérant aussi les effets sur le marché pour le bien x :

$$ ((t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)) < -\psi(\lambda) \frac{1}{\beta}(a_2 - a'_2) - \frac{p_1 - p_2}{p_x} (t_x + b_x + e_x) \quad (29) $$

Une situation typique qui pourra expliquer cette configuration sera celle de sur-internalisation sur le mode d'origine $t_1 + b_1 \gg e_1$.
(ii) Il y aura aussi, par définition, pour une population donnée, un plus petit nombre d'utilisateurs restant sur leur mode : $Q_{11}, Q_{22}$. Graphiquement, il y aura une moindre densité de points sur les aires du graphique (Figure 4) qui ne sont pas couvertes par le glissement de la droite d'indifférence. S'il y a moins d'usagers $Q_{11}$, cela est sans influence. S'il y a moins d'usagers $Q_{22}$, cela réduira les bénéfices du projet.

Ainsi, si l'on combine les deux effets aux points (i) et (ii), il est possible qu'une concentration majeure des individus dans l'espace des préférences balayé par le projet implique de moindres bénéfices.

4. Le projet améliore le mode plus que ce qui est considéré dans le benchmark. Cela se produit, par exemple, lorsque l'analyste veut comparer deux variantes d'un projet.

Cette situation correspond à un glissement plus important de la ligne représentant l'indifférence entre les deux modes sur la Figure 4. La variation de surplus liée aux usagers transférés est $\Delta SP_{12}^{PE}$ (ou l'on explicite le fait que $Q_{12}$ dépend de $\beta$ et $(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2)$).

$$ \Delta SP_{12}^{PE} = Q_{12}(\beta; \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2, \dots) \left( \psi(\frac{1}{\lambda}(\beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2))) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right) \quad (30) $$

Ou, en équilibre général :

$$ \Delta SP_{12}^{GE} = Q_{12}(\beta; \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) \left( \psi(\frac{1}{\lambda}(\beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2))) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right) + Q_{12} \left( \frac{(p_1 - p_2)}{p_x} (t_x + b_x + e_x) \right) \quad (31) $$

$\beta a$ est un coût. Si $\beta < 0$, $a$ est un avantage. Nous nous plaçons dans ce cas.

Nous devons calculer $\left(\frac{\partial \Delta SP_{12}^{PE}}{\partial a'_2}\right)$ :

$$ \frac{\partial \Delta SP_{12}^{PE}}{\partial a'_2} = \frac{\partial Q_{12}(\beta; \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2, \dots) \left( \psi(\frac{1}{\lambda}(\beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2))) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right)}{\partial a'_2} \quad (32) \\ = \frac{\partial Q_{12}(\frac{1}{\lambda}) \left( \psi(\frac{1}{\lambda}(\beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2))) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right)}{\partial a'_2} \\ + Q_{12}(\frac{\partial \psi(\frac{1}{\lambda})}{\partial a'_2} \left( \beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) \right) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)) \\ + Q_{12}(\frac{\partial \psi(\frac{1}{\lambda})}{\partial a'_2}(-\beta) $$

Si $\beta$ est négatif, le dernier terme correspond à une amélioration du bien-être collectif. Il est inusuel de considérer le second terme (effet du projet sur la courbure de la fonction de demande) et celui-ci est de signe indéterminé. Le premier terme est plus usuel, il est également de signe indéterminé. Cela implique qu'une amélioration plus importante d'un attribut du projet peut améliorer ou détériorer le bénéfice net du projet.

Notons que dans ce calcul, d'autres composantes du bien-être social, relatives à $Q_{2x}, Q_{22}$, changent également. Comme le signe de ces changements ne peut être défini a priori, nous concluons qu'un test de sensibilité fondé sur une hypothèse d'amélioration des attributs plus importante n'améliore pas nécessairement le bien-être social.
(ii) Il y aura aussi, par définition, pour une population donnée, un plus petit nombre d'utilisateurs restant sur leur mode : $Q_{11}, Q_{22}$. Graphiquement, il y aura une moindre densité de points sur les aires du graphique (Figure 4) qui ne sont pas couvertes par le glissement de la droite d'indifférence. S'il y a moins d'usagers $Q_{11}$, cela est sans influence. S'il y a moins d'usagers $Q_{22}$, cela réduira les bénéfices du projet.

Ainsi, si l'on combine les deux effets aux points (i) et (ii), il est possible qu'une concentration majeure des individus dans l'espace des préférences balayé par le projet implique de moindres bénéfices.

4. Le projet améliore le mode plus que ce qui est considéré dans le benchmark. Cela se produit, par exemple, lorsque l'analyste veut comparer deux variantes d'un projet.

Cette situation correspond à un glissement plus important de la ligne représentant l'indifférence entre les deux modes sur la Figure 4. La variation de surplus liée aux usagers transférés est $\Delta SP_{12}^{PE}$ (ou l'on explicite le fait que $Q_{12}$ dépend de $\beta$ et $(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2)$).

$$ \Delta SP_{12}^{PE} = Q_{12}(\beta; \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2, \dots) \left( \psi(\frac{1}{\lambda}(\beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2))) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right) \quad (30) $$

Ou, en équilibre général :

$$ \Delta SP_{12}^{GE} = Q_{12}(\beta; \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) \left( \psi(\frac{1}{\lambda}(\beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2))) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right) + Q_{12} \left( \frac{(p_1 - p_2)}{p_x} (t_x + b_x + e_x) \right) \quad (31) $$

$\beta a$ est un coût. Si $\beta < 0$, $a$ est un avantage. Nous nous plaçons dans ce cas.

Nous devons calculer $\left(\frac{\partial \Delta SP_{12}^{PE}}{\partial a'_2}\right)$ :

$$ \begin{aligned} \frac{\partial \Delta SP_{12}^{PE}}{\partial a'_2} = & \frac{\partial Q_{12}(\beta; \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2, \dots) \left( \psi(\frac{1}{\lambda}(\beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2))) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right)}{\partial a'_2} \\ = & \frac{\partial Q_{12}(\frac{1}{\lambda}(\beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2))) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)}{\partial a'_2} \\ & + Q_{12}(\frac{\partial \psi(\frac{1}{\lambda}(\beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2))) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)}{\partial a'_2} \\ & + Q_{12}(\frac{\partial \psi(\frac{1}{\lambda}(-\beta))) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1)) \end{aligned} \quad (32) $$

Si $\beta$ est négatif, le dernier terme correspond à une amélioration du bien-être collectif. Il est inusuel de considérer le second terme (effet du projet sur la courbure de la fonction de demande) et celui-ci est de signe indéterminé. Le premier terme est plus usuel, il est également de signe indéterminé. Cela implique qu'une amélioration plus importante d'un attribut du projet peut améliorer ou détériorer le bénéfice net du projet.

Notons que dans ce calcul, d'autres composantes du bien-être social, relatives à $Q_{2x}, Q_{22}$, changent également. Comme le signe de ces changements ne peut être défini a priori, nous concluons qu'un test de sensibilité fondé sur une hypothèse d'amélioration des attributs plus importante n'améliore pas nécessairement le bien-être social.
5. Dernier cas, les utilisateurs sont plus sensibles à l'amélioration par rapport à ce qui est considéré dans le calcul de référence.

Ce cas peut être traité de manière similaire au précédent. Pour $\beta < 0$ et $\mathbf{a}$, bénéfice, il correspond à une valeur « plus négative » de $\beta$, donc $\beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2)$ sera plus grand (« plus positif ») que dans le projet de référence. Pour obtenir l'effet d'une sensibilité plus grande, il faut donc considérer $-\frac{\partial \Delta SP_{12}^{PE}}{\partial \beta_k}$.

$$-\frac{\partial \Delta SP_{12}^{PE}}{\partial \beta_k} = -\frac{\partial Q_{12}(\boldsymbol{\beta}; \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2, \dots) \cdot \left( \psi(\cdot)^{\frac{1}{\lambda}} \beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right)}{\partial \beta_k} \quad (33)$$
$$= -\frac{\partial Q_{12}(\cdot) \cdot \left( \psi(\cdot)^{\frac{1}{\lambda}} \beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right)}{\partial \beta_k}$$
$$-Q_{12}(\cdot) \frac{\partial \psi(\cdot)}{\partial \beta_k} \left( \frac{1}{\lambda} \beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right)$$
$$-Q_{12}(\cdot) \psi(\cdot)^{\frac{1}{\lambda}} (\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2)$$

La même conclusion s'applique : lorsque l'on suppose une plus grande sensibilité des utilisateurs à l'amélioration du projet, il n'y a aucune certitude quant au signe de l'effet sur le bien-être socio-économique.

En conclusion sur le second paradoxe, deux résultats peuvent donc être formulés.

1. Un plus grand nombre d'utilisateurs transférés peut correspondre à une augmentation ou à une diminution du bien-être social, selon les caractéristiques du projet, et surtout selon le signe et le poids des différents paramètres impliqués. Dans un modèle cohérent, il est possible qu'un plus grand nombre d'utilisateurs corresponde à une diminution du bien-être.

2. Ce résultat se produit principalement du fait des distorsions $t_1 + b_1 + e_1$ et leurs différences entre les deux modes :

$$(t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \quad (34)$$

On notera que l'ensemble de ces résultats est obtenu dans un cadre simplifié ; on ignore en effet la variation des revenus du travail (salaires distribués). Des simulations numériques réalisées par ailleurs indiquent la subsistance du paradoxe dans ce cas également, mais d'une manière plus complexe. Ce point pourra faire l'objet d'autres écrits.
5. Dernier cas, les utilisateurs sont plus sensibles à l'amélioration par rapport à ce qui est considéré dans le calcul de référence.

Ce cas peut être traité de manière similaire au précédent. Pour $\beta < 0$ et $\mathbf{a}$, bénéfice, il correspond à une valeur « plus négative » de $\beta$, donc $\beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2)$ sera plus grand (« plus positif ») que dans le projet de référence. Pour obtenir l'effet d'une sensibilité plus grande, il faut donc considérer $-\frac{\partial \Delta SP_{12}^{PE}}{\partial \beta_k}$.

$$-\frac{\partial \Delta SP_{12}^{PE}}{\partial \beta_k} = -\frac{\partial Q_{12}(\boldsymbol{\beta}; \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2, \dots) \cdot \left( \psi(\cdot)^{\frac{1}{\lambda}} \beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right)}{\partial \beta_k} \quad (33)$$
$$= -\frac{\partial Q_{12}(\cdot) \cdot \left( \psi(\cdot)^{\frac{1}{\lambda}} \beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right)}{\partial \beta_k}$$
$$-Q_{12}(\cdot) \frac{\partial \psi(\cdot)}{\partial \beta_k} \left( \frac{1}{\lambda} \beta(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2) + (t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \right)$$
$$-Q_{12}(\cdot) \psi(\cdot)^{\frac{1}{\lambda}} (\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}'_2)$$

La même conclusion s'applique : lorsque l'on suppose une plus grande sensibilité des utilisateurs à l'amélioration du projet, il n'y a aucune certitude quant au signe de l'effet sur le bien-être socio-économique.

En conclusion sur le second paradoxe, deux résultats peuvent donc être formulés.

1. Un plus grand nombre d'utilisateurs transférés peut correspondre à une augmentation ou à une diminution du bien-être social, selon les caractéristiques du projet, et surtout selon le signe et le poids des différents paramètres impliqués. Dans un modèle cohérent, il est possible qu'un plus grand nombre d'utilisateurs corresponde à une diminution du bien-être.

2. Ce résultat se produit principalement du fait des distorsions $t_1 + b_1 + e_1$ et leurs différences entre les deux modes :

$$(t_2 - t_1) + (b_2 - b_1) + (e_2 - e_1) \quad (34)$$

On notera que l'ensemble de ces résultats est obtenu dans un cadre simplifié ; on ignore en effet la variation des revenus du travail (salaires distribués). Des simulations numériques réalisées par ailleurs indiquent la subsistance du paradoxe dans ce cas également, mais d'une manière plus complexe. Ce point pourra faire l'objet d'autres écrits.