ANNALES
DE LA FACULTÉ
DES SCIENCES
DE TOULOUSE
Mathématiques

JEAN-MARC DRÉZET

Courbes multiples primitives et déformations de courbes lisses

Tome XXII, n° 1 (2013), p. 133-154.

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# Courbes multiples primitives et déformations de courbes lisses

JEAN-MARC DRÉZET$^{(1)}$

**RÉSUMÉ.** — Une courbe multiple primitive est une variété de Cohen-Macaulay $Y$ telle que $C = Y_{red}$ soit une courbe lisse irréductible, et que $Y$ puisse être localement plongée dans une surface lisse. Soient $T$ une courbe lisse et $t_0 \in T$. Soient $\mathcal{D} \to T$ une famille plate de courbes lisses irréductibles, et $C = \mathcal{D}_{t_0}$. Alors le $n$-ième voisinage infinitésimal de $C$ dans $\mathcal{D}$ est une courbe multiple primitive de multiplicité $n$, et le faisceau d'idéaux $\mathcal{I}_C$ de $C$ dans $C_n$ est le fibré trivial sur la courbe induite $C_{n-1}$ de multiplicité $n-1$. Réciproquement, on montre que toute courbe multiple primitive $Y = C_n$ de multiplicité $n$ telle que $\mathcal{I}_C$ soit trivial sur $C_{n-1}$ peut être construite de cette façon.

**ABSTRACT.** — A *primitive multiple curve* is a Cohen-Macaulay scheme $Y$ over $\mathbb{C}$ such that $C = Y_{red}$ is a smooth curve, and that $Y$ can be locally embedded in a smooth surface. Let $T$ be a smooth curve and $t_0 \in T$. Let $\mathcal{D} \to T$ be a flat family of projective smooth irreducible curves, and $C = \mathcal{D}_{t_0}$. Then the $n$-th infinitesimal neighbourhood of $C$ in $\mathcal{D}$ is a primitive multiple curve $C_n$ of multiplicity $n$, and the ideal sheaf $\mathcal{I}_C$ of $C$ in $C_n$ is the trivial line bundle on the induced curve $C_{n-1}$ of multiplicity $n-1$. Conversely, we prove that every projective primitive multiple curve $Y = C_n$ such that $\mathcal{I}_C$ is the trivial line bundle on $C_{n-1}$ can be obtained in this way.

<footnote>$^{(1)}$ Institut de Mathématiques de Jussieu, Case 247, 4 place Jussieu, F-75252 Paris, France.
drezet@math.jussieu.fr</footnote>
# Sommaire

<table><tr><td>1</td><td>Introduction</td><td>134</td></tr><tr><td>2</td><td>Préliminaires</td><td>137</td></tr><tr><td>3</td><td>Le faisceau canonique d'une courbe multiple primitive</td><td>144</td></tr><tr><td>4</td><td>Courbes multiples et familles de courbes lisses</td><td>149</td></tr><tr><td></td><td>Bibliographie</td><td>153</td></tr></table>

## 1. Introduction

### 1.1. Courbes multiples primitives

Une courbe multiple primitive est une variété algébrique complexe $Y$, de Cohen-Macaulay et telle que la sous-variété réduite associée $C = Y_{red}$ soit une courbe lisse irréductible, et que tout point fermé de $Y$ possède un voisinage pouvant être plongé dans une surface lisse. Ces courbes ont été définies et étudiées par C. Bănică et O. Forster dans [1]. On s'intéresse plus particulièrement ici au cas où $C$, et donc $Y$, sont projectives.

Soient $P$ un point fermé de $Y$, et $U$ un voisinage de $P$ pouvant être plongé dans une surface lisse $S$. Soit $z$ un élément de l'idéal maximal de l'anneau local $O_{S,P}$ de $S$ en $P$ engendrant l'idéal de $C$ dans cet anneau. Il existe alors un unique entier $n$, indépendant de $P$, tel que l'idéal de $Y$ dans $O_{S,P}$ soit engendré par $(z^n)$. Cet entier $n$ s'appelle la *multiplicité* de $Y$. Si $n = 2$ on dit que $Y$ est une *courbe double*. Il existe une filtration canonique

$$C = C_1 \subset \cdots \subset C_n = Y,$$

où au voisinage de chaque point $P$ l'idéal de $C_i$ dans $O_{S,P}$ est $(z^i)$. Donc $C_i$ est une courbe multiple primitive de multiplicité $i$.

Soit $\mathcal{I}_C$ le faisceau d'idéaux de $C$ dans $Y$. Alors le faisceau conormal de $C$, $L = \mathcal{I}_C/\mathcal{I}_C^2$ est un fibré en droites sur $C$, dit *associé* à $Y$, et $\mathcal{I}_C$ est un fibré en droites sur $C_{n-1}$.

Les exemples les plus simples de courbes multiples primitives sont les courbes de Cohen-Macaulay de courbe réduite associée lisse et plongées dans une surface lisse. En particulier, soit $L \in \text{Pic}(C)$. On peut voir $C$ comme
plongée dans le fibré vectoriel $L^*$, qui est une surface lisse, au moyen de
la section nulle. Alors le *-ième voisinage infinitésimal* de $C$ dans $L^*$ est
une courbe primitive de multiplicité $n$ et de fibré en droites associé $L$. On
l'appelle la *courbe primitive triviale* de fibré associé $L$.

## 1.2. Courbes définies par des familles de courbes lisses

En général une courbe multiple primitive ne peut pas être plongée dans une surface lisse. D'après [2], theorem 7.1, la seule courbe double non triviale de courbe réduite associée $\mathbb{P}_1$ pouvant être plongée dans une surface lisse est la courbe double déduite d'une conique plane. Or il existe beaucoup d'autres courbes doubles de courbe réduite associée $\mathbb{P}_1$.

On s'intéresse dans cet article aux courbes multiples définies par les familles de courbes lisses. Ce sont des cas particuliers de courbes multiples primitives plongées dans une surface lisse. Soient $T$ une courbe lisse (ou un germe de courbe lisse), $t_0$ un point fermé de $T$, et $\mathcal{D} \to T$ une famille plate de courbes projectives lisses et irréductibles paramétrée par $T$. Soit $C = \mathcal{D}_{t_0}$. Pour tout entier $n \ge 2$, le n-ième voisinage infinitésimal $C_n$ de $C$ dans $\mathcal{D}$ est une courbe primitive de multiplicité $n$, de courbe lisse associée $C$. Pour cette courbe primitive le faisceau d'idéaux $\mathcal{I}_C$ est le fibré trivial sur $C_{n-1}$. On dit d'une telle courbe qu'elle provient d'une famille de courbes lisses.

Le principal résultat de cet article est le

1.2.1. **THÉORÈME.** — *Soit $C_n$ une courbe multiple primitive de multiplicité $n$, de courbe lisse sous-jacente $C$. Alors $C_n$ provient d'une famille de courbes lisses si et seulement si le faisceau d'idéaux de $C$ dans $C_n$ est trivial sur $C_{n-1}$.*

La démonstration repose sur la paramétrisation des courbes multiples primitives. Les courbes doubles ont été décrites dans [2]. Le théorème 1.2.1 pour les courbes doubles en découle aisément. On fait ensuite une démonstration par récurrence sur $n$, en s'appuyant sur la description des courbes de multiplicité $n > 2$ donnée dans [4].

Les courbes multiples primitives provenant de familles de courbes lisses peuvent aussi être construites de la façon suivante : on part d'une famille plate $\pi : \mathcal{D} \to S$ de courbes lisses paramétrée par une variété lisse $S$. Soit $s_0 \in S$ un point fermé tel que $\mathcal{D}_{s_0} \simeq C$. Soit $Z_n = \text{spec}(\mathbb{C}[t]/(t^n)) \hookrightarrow S$ un plongement tel que l'image du point fermé de $Z_n$ soit $s_0$. Alors $\pi^{-1}(Z_n)$ est une courbe multiple primitive de multiplicité $n$ provenant d'une famille de courbes lisses (cela revient à inclure $Z_n$ dans une courbe lisse de $S$).
Soit $C_n$ une courbe multiple primitive de multiplicité $n$ telle que le faisceau d'idéaux $\mathcal{I}_C$ soit trivial sur $C_{n-1}$. On a une suite exacte canonique de faisceaux cohérents sur $C_{n-1}$

$$0 \to \mathcal{O}_C \to \Omega_{C_n|C_{n-1}} \to \Omega_{C_{n-1}} \to 0.$$

A tout prolongement de $C_{n-1}$ en courbe de multiplicité $n$ correspond un certain type d'extension de $\Omega_{C_{n-1}}$ par $\mathcal{O}_C$ sur $C_{n-1}$ dont le terme du milieu est localement libre. On montre que cette correspondance est bijective (un résultat analogue a été obtenu dans [4], 6-).

On considère ensuite une famille plate de courbes lisses $\mathcal{D} \to S$ comme précédemment, telle que le morphisme de Kodaïra-Spencer $KS : T_{s_0}S \to H^1(C, T_C)$ soit surjectif. On suppose que $C_{n-1}$ provient d'un plongement $Z_{n-1} \hookrightarrow S$. On fait ensuite le lien entre les prolongements de ce plongement à $Z_n \hookrightarrow S$ et les extensions de $\Omega_{C_{n-1}}$ par $\mathcal{O}_C$.

Soit $g$ le genre de $C$, et supposons que $g \ge 2$. Alors les prolongements de $C_{n-1}$ en courbes de multiplicité $n$ telles que $\mathcal{I}_C$ soit trivial sur $C_{n-1}$ forment un espace de dimension $3g - 3$ si $C_2$ est triviale, et $3g - 4$ sinon.

## 1.3. Motivation

Soient $S$ une courbe lisse, $\pi : \mathcal{C} \to S$ une famille plate de courbes projectives, et $s_0 \in S$ tel que $\mathcal{C}_{s_0}$ soit une courbe multiple primitive de multiplicité $n > 0$, de courbe lisse associée $C$. Soient $\mathcal{O}(1)$ un fibré en droites très ample sur $\mathcal{C}$ et $P$ un polynôme en une variable à coefficients rationnels. On a alors une variété de modules relative

$$\rho : \mathbf{M}_{\mathcal{O}(1)}(P) \to S$$

des faisceaux semi-stables sur les fibres de $\pi$ de polynôme de Hilbert $P$ (cf. [13]). En général $\rho$ n'est pas plat (cf. [12]). Par exemple, si les courbes $\mathcal{C}_s$, $s \neq s_0$, sont lisses, $\mathcal{O}_C$, vu comme faisceau sur $\mathcal{C}_{s_0}$, est stable, mais ne se déforme pas en faisceaux stables sur les autres fibres $\mathcal{C}_s$.

Je conjecture que si les fibres $\mathcal{C}_s$, $s \neq s_0$, ont exactement $n$ composantes irréductibles qui sont lisses, alors $\rho$ est plat. Les faisceaux (semi-)stables sur ce genre de courbe sont bien connus (cf. [14]). Il reste cependant à classifier les courbes multiples primitives qui sont des déformations de courbes réductibles à composantes lisses.

Il est facile de voir que les courbes multiples provenant de déformations de courbes lisses étudiées ici sont des cas particuliers de déformations de courbes réductibles à composantes lisses. C'est l'exemple le plus simple, et la classification est donc donnée dans ce cas.
## 2. Préliminaires

### 2.1. Cohomologie de Čech

On donne ici plusieurs façons de représenter des faisceaux ou des classes de cohomologie en utilisant différentes variantes de la cohomologie de Čech.

**2.1.1. Définition de faisceaux par recollements.** — Soient $X$ une variété algébrique et $(X_i)_{i \in I}$ un revouvrement ouvert de $X$. Pour tout $i \in I$, soient $U_i$ une variété algébrique et $\alpha_i : X_i \to U_i$ un isomorphisme. Pour tous $i, j \in I$ distincts, soit $U_{ij}^{(i)} = \alpha_i(X_{ij})$.

La variété $X$ est obtenue en « recollant » les variétés $U_i$ au moyen des isomorphismes

$$ \alpha_{ij} = \alpha_j \circ \alpha_i^{-1} : U_{ij}^{(i)} \to U_{ij}^{(j)}. $$

Soit $\mathcal{F}$ un faisceau cohérent sur $X$. On en déduit $\mathcal{F}_i = (\alpha_i^{-1})^*(\mathcal{F})$, faisceau cohérent sur $U_i$. On a des isomorphismes canoniques

$$ \Theta_{ij} : \mathcal{F}_{i|U_{ij}^{(i)}} \xrightarrow{\approx} (\alpha_{ij})^*(\mathcal{F}_{j|U_{ij}^{(j)}}) $$

tels que

$$ \Theta_{ik} = (\alpha_{ij})^*(\Theta_{jk}) \circ \Theta_{ij} $$

sur $U_{ijk}^{(i)} = \alpha_i(X_{ijk})$.

Réciproquement, étant donnés des faisceaux $\mathcal{F}_i$ sur $U_i$ et des isomorphismes $\Theta_{ij}$ possédant les propriétés précédentes, on construit aisément un faisceau $\mathcal{F}$ sur $X$ en recollant les $\alpha_i^*(\mathcal{F}_i)$.

**2.1.2. Définition de classes de cohomologie.** — On conserve les notations de 2.1.1. Soit $u \in H^1(X, \mathcal{F})$, représenté par un cocycle $(u_{ij})$, avec $u_{ij} \in H^0(X_{ij}, \mathcal{F})$. Soit $v_{ij} \in H^0(U_{ij}^{(i)}, \mathcal{F}_i)$ correspondant à $u_{ij}$. Alors on a dans $H^0(U_{ijk}^{(i)}, \mathcal{F}_i)$

$$ v_{ik} = v_{ij} + \Theta_{ij}^{-1}(v_{jk}). $$

Réciproquement, toute famille $(v_{ij})$ vérifiant les égalités précédentes définit un élément de $H^1(X, \mathcal{F})$.

Soit $\mathcal{L}$ un fibré en droites sur $X$, représenté par une famille $(\lambda_{ij})$, $\lambda_{ij} \in H^0(U_{ij}^{(i)}, \mathcal{O}_{U_i}^*)$, comme dans 2.1.1. (le faisceau sur $U_i$ pour $\mathcal{L}$ étant donc $\mathcal{O}_{U_i}$). On a donc des ismorphismes canoniques $(\alpha_i^{-1})^*(\mathcal{L}) \simeq \mathcal{O}_{U_i}$.
Soit $\mathbf{u} \in H^1(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L})$, représenté par un cocycle $(\mathbf{u}_{ij})$, avec
$\mathbf{u}_{ij} \in H^0(X_{ij}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L})$. On déduit de $\mathbf{u}_{ij}$ et des isomorphismes
$\mathcal{F}_i \simeq (\alpha_i^{-1})^*(\mathcal{F})$, $O_{U_j} \simeq (\alpha_j^{-1})^*(\mathcal{L})$ (bien noter que $i$ est utilisé pour $\mathcal{F}$ et $j$
pour $\mathcal{L}$) un élément $\mathbf{v}_{ij}$ de $H^0(U_{ij}^{(i)}, \mathcal{F}_i)$. Plus précisément, $\mathbf{v}_{ij}$ est obtenu
au moyen d'un isomorphisme $(\alpha_i^{-1})^*(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}) \simeq \mathcal{F}_i$ sur $U_{ij}^{(i)}$ : si $x \in X_{ij}$,
$f \in \mathcal{F}_x$, $\ell \in \mathcal{L}_x$, on en déduit $y = \alpha_i(x) \in U_{ij}^{(i)}$, $f_i \in \mathcal{F}_{i,y}$, $\ell_j \in O_{U_j, \alpha_j(x)}$,
$\ell_i = \Theta_{ij}^*(\ell_j) \in O_{U_j, \alpha_j(x)}$. D'où $\ell_i f_i \in \mathcal{F}_{i,y}$.

On a alors dans $H^0(U_{ijk}^{(i)}, \mathcal{F}_i)$

$$
\mathbf{v}_{ik} = \Theta_{ij}^{*}(\lambda_{jk})\mathbf{v}_{ij} + \Theta_{ij}^{-1}(\mathbf{v}_{jk}).
$$

Réciproquement, toute famille $(\mathbf{v}_{ij})$ vérifiant les égalités précédentes définit
un élément de $H^1(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L})$.

2.2. Courbes multiples primitives

Soit $C$ une courbe lisse irréductible et projective. Soit $Y$ une courbe
multiple primitive de multiplicité $n$, de courbe lisse associée $C$ et de fibré
en droites sur $C$ associé $L$. Soit

$C = C_1 \subset \dots \subset C_n = Y$

la filtration canonique. Pour $2 \le i \le n$, $C_i$ est une courbe multiple primitive de multiplicité $i$. On notera $\mathcal{O}_i = \mathcal{O}_{C_i}$.

2.2.1. *Structure locale.* — D’après [4], théorème 5.2.1, l’anneau $\mathcal{O}_{Y,P}$ est isomorphe à $\mathcal{O}_{C,P} \otimes (\mathbb{C}[t]/(t^n))$.

2.2.2. Courbes de multiplicité 2. — (cf. [2]) Deux courbes multiples primi-
tives $C_2$, $C'_2$ de courbe lisse associée $C$ sont dites isomorphes s’il existe un
isomorphisme $C_2 \simeq C'_2$ induisant l’identité de $C$. Dans ce cas les fibrés en
droites sur $C$ associés à $C_2$, $C'_2$ sont isomorphes.

Soient $C$ une courbe lisse irréductible et $L \in \mathrm{Pic}(C)$. Soit $C_2$ une courbe multiple primitive de multiplicité 2, de courbe lisse associée $C$ et de fibré en droites sur $C$ associé $L$. Soit $E = (\Omega_{C_2|C})^*$, qui est un fibré vectoriel de rang 2 sur $C$. On a une suite exacte canonique

$0 \rightarrow T_C \rightarrow E \rightarrow L^* \rightarrow 0$

associée à un élément de $\mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_C}(L^*, T_C) = H^1(C, T_C \otimes L)$.

Réciproquement, on montre que pour toute suite exacte (S) du type précédent,
il existe une courbe $C_2$ dont la suite exacte associé est (S).
On montre que deux courbes $C_2, C'_2$, de courbe lisse et fibré associés $C$ et $L$, sont isomorphes si et seulement si les éléments correspondants de $H^1(T_C \otimes L)$ sont proportionnels. La courbe correspondant à 0 est la courbe triviale. Les courbes doubles non triviales de courbe lisse associée $C$ et de fibré en droites associé $L$ sont donc paramétrées par l'espace projectif $\mathbb{P}(H^1(T_C \otimes L))$.

**2.2.3. Filtration canonique d'un faisceau cohérent.** — Le faisceau $\mathcal{I}_C$ est un fibré en droites sur $C_{n-1}$. Il existe d'après [3], théorème 3.1.1, un fibré en droites $\mathbb{L}$ sur $C_n$ dont la restriction à $C_{n-1}$ est $\mathcal{I}_C$. On a alors, pour tout faisceau de $\mathcal{O}_n$-modules $\mathcal{E}$ un morphisme canonique

$$ \mathcal{E} \otimes \mathbb{L} \to \mathcal{E} \qquad (2.1) $$

qui en chaque point fermé $P$ de $C$ est la multiplication par $z$.

Soit $\mathcal{E}$ un faisceau cohérent sur $C_n$. Pour tout entier $i \ge 0$ on note $\mathcal{E}^{(i)}$ le noyau du morphisme $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \otimes \mathbb{L}^{-i}$ déduit de (2.1). Au point $P$, $\mathcal{E}_P^{(i)}$ est donc le sous-module de $\mathcal{E}_P$ constitué des éléments annulés par $z^i$. La filtration

$$ \mathcal{E}^{(0)} = 0 \subset \mathcal{E}^{(1)} \subset \dots \subset \mathcal{E}^{(n)} = \mathcal{E} $$

s'appelle la *seconde filtration canonique* de $\mathcal{E}$. Ses gradués sont des faisceaux sur $C$ (cf. [5], 3.).

## 2.3. Fibré déterminant

On conserve les notations de 2.2.

Soit $\mathcal{E}$ un faisceau cohérent sur $C_n$. On pose

$$ \det_C(\mathcal{E}) = \bigotimes_{i=1}^{n} \det(\mathcal{E}^{(i)}/\mathcal{E}^{(i-1)}). $$

**2.3.1. PROPOSITION.** — Soit $\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \dots \subset \mathcal{F}_m = \mathcal{E}$ une filtration de $\mathcal{E}$ dont les gradués sont des faisceaux sur $C$. Alors on a

$$ \det_C(\mathcal{E}) = \bigotimes_{i=1}^{m} \det(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i-1}). $$

*Démonstration.* — On a $\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{E}^{(1)}$. Soit $F = \mathcal{E}^{(1)}/\mathcal{F}_1$. On a un diagramme commutatif avec lignes et colonnes exactes
<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Supposons que le résultat soit vrai pour le faisceau $\mathcal{E}/\mathcal{F}_1$. On considère la filtration de $\mathcal{E}/\mathcal{F}_1$

$$0 \subset F \subset \mathcal{E}^{(2)}/\mathcal{F}_1 \cdots \subset \mathcal{E}/\mathcal{F}_1.$$

On en déduit que

$$\bigotimes_{i=2}^{m} \det(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i-1}) = \det_C(\mathcal{E}/\mathcal{F}_1) = \det(F) \otimes \det_C(\mathcal{E}/\mathcal{E}^{(1)}).$$

Donc

$$ \begin{align*} \bigotimes_{i=1}^{m} \det(\mathcal{F}_i/\mathcal{F}_{i-1}) &= \det(\mathcal{F}_1) \otimes \det(F) \otimes \det_C(\mathcal{E}/\mathcal{E}^{(1)}) \\ &= \det(\mathcal{E}^{(1)}) \otimes \det_C(\mathcal{E}/\mathcal{E}^{(1)}) \\ &= \det_C(\mathcal{E}). \end{align*} $$

Donc le résultat est vrai pour $\mathcal{E}$.

Il suffit donc de prouver le résultat pour $\mathcal{E}/\mathcal{F}_1$, qui lui-même découle de celui pour $\mathcal{E}/\mathcal{F}_2$. On se ramène ainsi à prouver le résultat pour $\mathcal{F}_m$. Mais c’est bien connu pour les faisceaux sur $C$. $\square$

**2.3.2. COROLLAIRE.** — Soit $0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0$ une suite exacte de faisceaux cohérents sur $C_n$. Alors on a

$$\det_C(\mathcal{E}) = \det_C(\mathcal{E}') \otimes \det_C(\mathcal{E}'').$$
## 2.4. Construction des courbes multiples primitives (cf. [4])

Soit $n \ge 2$ un entier. On pose $Z_n = \text{spec}(\mathbb{C}[t]/(t^n))$. Pour toute variété algébrique affine $U = \text{spec}(\mathcal{A})$, on a $U \times Z_n = \text{spec}(\mathcal{A}[t]/(t^n))$. Si $u \in A[t]/(t^n)$, on notera $u_i$ le coefficient de $t^i$ dans $u$.

Soit $C_n$ une courbe multiple primitive de multiplicité $n$, de courbe réduite associée $C$ et de fibré en droites sur $C$ associé $L$. Soit $(U_i)$ un recouvrement ouvert de $C$ tel que chaque $U_i$ soit affine (c'est-à-dire distinct de $C$ si $C$ est projective), et que les restrictions $\omega_{C|U_i}$ et $L_{|U_i}$ soient triviales. Alors $C_n$ peut se construire en recollant les variétés $U_i \times Z_n$ au moyen d'automorphismes $\sigma_{ij}$ des $U_{ij} \times Z_n$ laissant $U_{ij}$ invariant, la famille $(\sigma_{ij})$ vérifiant la relation de cocycle

$$ \sigma_{ik} = \sigma_{jk} \circ \sigma_{ij}. $$

Soit $U$ un ouvert affine de $C$ tel que $\omega_{C|U}$ soit trivial, et soit $x \in \mathcal{O}_C(U)$ tel que $dx$ engendre $\omega_{C|U}$. Alors les automorphismes d'algèbres de $\mathcal{O}(U \times Z_n) \simeq \mathcal{O}_C(U)[t]/(t^n)$ sont de la forme $\phi_{\mu,\nu}$, avec $\mu, \nu \in \mathcal{O}_C(U)[t]/(t^{n-1})$, $\nu$ inversible, où, pour tout $\alpha \in \mathcal{O}_C(U)$,

$$ \phi_{\mu,\nu}(\alpha) = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{i!} (\mu t)^i \frac{\partial^i \alpha}{\partial^i x}, $$

et $\phi_{\mu,\nu}(t) = \nu t$. Remarquons que $\phi_{\mu,\nu}$ est entièrement déterminé par

$$ \phi_{\mu,\nu}(x) = x + \mu t \quad \text{et} \quad \phi_{\mu,\nu}(t) = \nu t. $$

En toute rigueur on devrait noter ce morphisme $\phi_{\mu,\nu}^{dx}$, car $\mu$ dépend du choix de $x$.

Supposons que $\sigma_{ij}^{-1}$ corresponde à $\phi_{\mu_{ij},\nu_{ij}}$. On a alors les relations de cocycle

$$ \phi_{\mu_{ik}, \nu_{ik}} = \phi_{\mu_{jk}, \nu_{jk}} \circ \phi_{\mu_{ij}, \nu_{ij}}. $$

La famille $(\nu_{ij})$ n'est pas en général un cocycle de $\mathcal{O}_{n-1}^*$, mais $(\nu_{ij,0})$ est un cocycle de $\mathcal{O}_C^*$, et l'élément induit de $H^1(\mathcal{O}_C^*)$ est le fibré en droites $L$.

**2.4.1. Propriétés des automorphismes $\phi_{\mu,\nu}$.** — Si $\mu, \mu' \in \mathcal{O}_C(U)[t]/(t^{n-1})$ et $\nu, \nu' \in \mathcal{O}_C(U)[t]/(t^{n-1})$ sont inversibles, on a

$$ \phi_{\mu'\nu'} \circ \phi_{\mu\nu} = \phi_{\mu''\nu''}, $$

avec

$$ \mu'' = \mu' + \nu' \phi_{\mu',\nu'}(\mu), \quad \nu'' = \nu' \phi_{\mu',\nu'}(\nu). $$
On a $\phi_{\mu\nu}^{-1} = \phi_{\bar{\mu},\bar{\nu}}$, avec

$$ \bar{\mu} = -\phi_{\mu\nu}^{-1}(\frac{\mu}{\nu}), \quad \bar{\nu} = \phi_{\mu\nu}^{-1}(\frac{1}{\nu}). $$

**2.4.2. Prolongement de courbes multiples.** — On suppose que $n \ge 3$. Soit $C_{n-1}$ une courbe multiple primitive de multiplicité $n-1$, de courbe réduite associée $C$ et de fibré en droites sur $C$ associé $L$. On note comme dans 2.2.2 $E = (\Omega_{C_2|C})^*$.

Soit $C_n$ une courbe multiple de multiplicité $n$ dont la courbe de multiplicité $n-1$ sous-jacente est $C_{n-1}$. On dit qu'une telle courbe est un prolongement de $C_{n-1}$ en courbe multiple primitive de multiplicité $n$. Deux tels prolongements $C_n, C'_n$ sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme $C_n \simeq C'_n$ induisant l'identité de $C_{n-1}$. On définit dans [4], $C_n$ étant donné, une paramétrisation des classes d'isomorphisme de prolongements de $C_{n-1}$ en courbe multiplicité $n$ par $H^1(E \otimes L^{n-1}) (C_n$ correspondant à 0).

On peut retrouver ce résultat à partir des cocycles. Supposons que $C_n$ soit obtenue à partir d'une famille $(\sigma_{ij})$ comme précédemment. Une autre extension $C'_n$ de $C_{n-1}$ provient d'une autre famille $(\sigma'_{ij})$, où $\sigma'_{ij} = \phi_{\mu'_{ij},\nu'_{ij}}^{-1}$, $\mu'_{ij}, \mu'_{ij}$ étant de la forme

$$ \mu'_{ij} = \mu_{ij} + \alpha_{ij} t^{n-2}, \quad \nu'_{ij} = \nu_{ij} + \beta_{ij} t^{n-2}, $$

avec $\alpha_{ij}, \beta_{ij} \in \mathcal{O}_C(U_{ij})$. En utilisant 2.4.1, on voit que la relation $\sigma'_{ik} = \sigma'_{jk} \circ \sigma'_{ij}$, compte tenu du fait que $\sigma_{ik} = \sigma_{jk} \circ \sigma_{ij}$, équivaut à l'égalité

$$ \begin{pmatrix} \alpha_{ik} \\ \beta_{ik} \end{pmatrix} = \nu_{ij,0}^{n-1} \begin{pmatrix} \alpha_{jk} \\ \beta_{jk} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & \mu_{jk,0} \\ 0 & \nu_{jk,0} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{ij} \\ \beta_{ij} \end{pmatrix}. \quad (2.2) $$

D'après 2.1.2 et la construction de $\Omega_{C_2|C}$ donnée dans 3.1, ces relations montrent que $((\alpha_{ij}, \beta_{ij}))$ définit un élément $u$ de $H^1(E \otimes L^{n-1})$. En reprenant la paramétrisation des extensions de $C_n$ donnée dans [4] on voit aisément que $u$ est précisément l'élément de $H^1(E \otimes L^{n-1})$ correspondant à $C'_n$.

**2.4.3. Notation.** — On notera $C'_n = C_n(u)$ (et donc $C_n = C_n(0)$).

**2.4.4. Prolongements à faisceau d'idéaux constant.** — Le faisceau d'idéaux $\mathcal{I}_{C,C_n}$ de $C$ dans $C_n$ est un fibré en droites sur $C_{n-1}$. Il est construit en recollant les idéaux $(t)$ des faisceaux $\mathcal{O}_{U_i \times Z_n}$ au moyen des isomorphismes $\phi_{\bar{\mu}_{ij},\bar{\nu}_{ij}}$, où $\bar{\mu}_{ij},\bar{\nu}_{ij}$ sont les images de $\mu_{ij},\nu_{ij}$ respectivement dans $\mathcal{O}_C(U_{ij})[t]/(t^{n-2})$. On en déduit aisément que les extensions $C_n(u)$ de $C_{n-1}$ telles que $\mathcal{I}_{C,C_n}(u) = \mathcal{I}_{C,C_n}$ sont celles correspondant aux $u$ définis par des
familles (($\alpha_{ij}$, $\beta_{ij}$)) où les $\beta_{ij}$ sont nuls. C'est-à-dire que ce sont les courbes $C_n(u)$, où $u$ appartient à l'image de $H^1(T_C \otimes L^{n-1})$ dans $H^1(E \otimes L^{n-1})$.

**2.4.5. Courbes multiples à faisceau d'idéaux trivial.** — Si $\mathcal{I}_{C,C_n}$ est trivial (sur $C_{n-1}$), le fibré en droites sur $C$ associé à $C_n$ est $\mathcal{O}_C$. Soit $C_2$ une courbe double de fibré en droites associé $\mathcal{O}_C$. Si $E = (\Omega_{C_2|C})^*$, on a une suite exacte

$$0 \to T_C \to E \to \mathcal{O}_C \to 0,$$

correspondant à $\sigma \in H^1(T_C)$. Soit $D = \mathbb{C}\sigma \subset H^1(T_C)$. On a vu dans 2.2.2 que $C_2$ est entièrement déterminée par $D$.

On suppose maintenant que $n \ge 3$. Soit $C_n$ une courbe multiple primitive de multiplicité $n$ de courbe lisse associée $C$, telle que $\mathcal{I}_{C,C_n}$ soit trivial sur $C_{n-1}$. On a vu précédemment que les prolongements de $C_{n-1}$ en courbe $C'_n$ de multiplicité $n$ telle que $\mathcal{I}_{C,C'_n}$ soit trivial étaient paramétrées par l'image de $H^1(T_C)$ dans $H^1(E)$, c'est-à-dire par $H^1(T_C)/D$.

**2.5. Un lemme sur les extensions**

Soient $X$ une variété algébrique, et $G, F, \mathbb{E}, \mathcal{U}$ des faisceaux cohérents sur $X$. On suppose qu'on a une suite exacte

$$0 \to G \oplus F \xrightarrow{\beta} \mathbb{E} \to \mathcal{U} \to 0.$$

Pour tout morphisme $\psi : G \to F$, on note $\mathcal{E}_\psi$ le conoyau du morphisme composé

$$G \xrightarrow{(I_G, -\psi)} G \oplus F \xrightarrow{\beta} \mathbb{E}.$$

On a donc un diagramme commutatif avec lignes et colonnes exactes

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
**2.5.1. LEMME.** — Soient $\sigma = (\sigma_F, \sigma_G)$ l'élément de $\text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{U}, F) \oplus \text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{U}, G)$ correspondant à la ligne exacte du bas, et $\eta(\psi) \in \text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{U}, F)$ celui correspondant à la colonne exacte de droite. Alors on a

$$ \eta(\psi) - \eta(0) = \bar{\psi}(\sigma_G), $$

$\bar{\psi}$ désignant le morphisme $\text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{U}, G) \to \text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{U}, F)$ induit par $\psi$.

*Démonstration.* — Soit

$$ \mathcal{U}_2 \xrightarrow{f_2} \mathcal{U}_1 \xrightarrow{f_1} \mathcal{U}_0 \longrightarrow \mathcal{U} $$

une résolution localement libre de $\mathcal{U}$, telle que

$\text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{U}_0, G \oplus F) = \{0\}$. De la suite exacte

$0 \to \mathcal{U}_1/\text{im}(f_2) \to \mathcal{U}_0 \to \mathcal{U} \to 0$, on déduit la suite exacte

$$ \text{Hom}(\mathcal{U}_0, G \oplus F) \longrightarrow $$

$$ \text{Hom}(\mathcal{U}_1/\text{im}(f_2), G \oplus F)^{\delta=(\delta_G, \delta_F)} \to \text{Ext}^1_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{U}, G \oplus F) \longrightarrow 0. $$

Soient $\lambda : \mathcal{U}_1/\text{im}(f_2) \to G, \mu : \mathcal{U}_1/\text{im}(f_2) \to F$ tels que $\delta(\lambda, \mu) = \sigma$. Soient $f'_1 : \mathcal{U}_1/\text{im}(f_2) \to \mathcal{U}_0$ le morphisme induit par $f_1$ et

$$ \gamma = (f'_1, \lambda, \mu) : \mathcal{U}_1/\text{im}(f_2) \to \mathcal{U}_0 \oplus F \oplus G. $$

Alors on a $\mathbb{E} = \text{coker}(\gamma)$, les morphismes $G \oplus F \to \mathbb{E}$ et $\mathbb{E} \to \mathcal{U}$ étant les morphismes évidents. Soit $\nu = \psi \circ \lambda + \mu \in \text{Hom}(\mathcal{U}_1/\text{im}(f_2), F)$. Alors on a un diagramme commutatif avec ligne exacte

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

d'où on déduit que $\mathcal{E}_\psi = \text{coker}(f'_1, \nu)$. En faisant $\psi = 0$ on obtient $\eta(0) = \delta_F(\mu)$, et en général

$$ \eta(\psi) = \delta_F(\mu) + \delta_F(\psi \circ \lambda) = \eta(0) + \bar{\psi}(\sigma_G). $$

□

**3. Le faisceau canonique d'une courbe multiple primitive**

Soit $C_n$ une courbe multiple primitive de multiplicité $n$, de courbe réduite associée $C$ et de fibré en droites sur $C$ associé $L$. On suppose comme dans
2.4 que $C_n$ est obtenue en recollant les variétés $U_i \times Z_n$ au moyen des automorphismes $\sigma_{ij}$ de $U_{ij} \times Z_n$. On note $\mathbf{U}_i$ l'ouvert de $C_n$ correspondant à $U_i$.

Pour tout entier $k \ge 2$, on note $\mathcal{O}_{0,k}$ le faisceau structural de $C \times Z_k$.

Le faisceau canonique $\Omega_{C_n}$ est quasi localement libre (cf. [5], 3.4), localement isomorphe à $\mathcal{O}_n \oplus \mathcal{O}_{n-1}$. Soient $P$ un point fermé de $C$, $z \in \mathcal{O}_{nP}$ une équation de $C$ et $x \in \mathcal{O}_{nP}$ au dessus d'un générateur de l'idéal maximal de $\mathcal{O}_{C,P}$. Alors $\Omega_{C_n,P}$ est engendré par $dx$ (le facteur $\mathcal{O}_n$) et $dz$ (le facteur $\mathcal{O}_{n-1}$).

## 3.1. Construction à partir de cocycles

On va construire le faisceau canonique $\Omega_{C_n}$ par la méthode de 2.1.1. On considère les isomorphismes $\Omega_{C_n|U_i} \simeq \sigma_i^*(\Omega_{U_i \times Z_n})$. On en déduit les isomorphismes

$$ \Theta_{ij} : \Omega_{U_{ij} \times Z_n} \to \sigma_{ij}^*(\Omega_{U_{ij} \times Z_n}). \qquad (3.1) $$

On a $\Omega_{U_i \times Z_n} \simeq (\mathcal{O}_{0,n} \oplus \mathcal{O}_{0,n-1})_{|U_i}$, avec des générateurs $dx, dt$, le premier engendrant $\mathcal{O}_{0,n|U_i}$ et le second $\mathcal{O}_{0,n-1|U_i}$. Le faisceau $\Omega_{C_n}$ est obtenu en recollant les faisceaux $(\mathcal{O}_{0,n} \oplus \mathcal{O}_{0,n-1})_{|U_i}$ au moyen des isomorphismes $\Theta_{ij}$ par le procédé décrit dans 2.1.1.

Pour tout $f \in \mathcal{O}_C(U_{ij})[t]/(t^n)$, on a

$$ \Theta_{ij}(df) = d(f \circ \sigma_{ij}^{-1}) = d(\phi_{\mu_{ij}, \nu_{ij}}(f)). $$

Donc

$$ \begin{aligned} \Theta_{ij}(dx) &= d(\phi_{\mu_{ij}, \nu_{ij}}(x)) \\ &= d(x + \mu_{ij}t) \\ &= (1 + \frac{\partial \mu_{ij}}{\partial x}t)dx + (\mu_{ij} + \frac{\partial \mu_{ij}}{\partial t})dt, \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \Theta_{ij}(dt) &= d(\phi_{\mu_{ij}, \nu_{ij}}(t)) \\ &= d(\nu_{ij}t) \\ &= \frac{\partial \nu_{ij}}{\partial x}t \cdot dx + (\nu_{ij} + \frac{\partial \nu_{ij}}{\partial t})t \cdot dt, \end{aligned} $$

(exprimés dans le système de générateurs $(dx, dt)$ du $\Omega_{U_{ij} \times Z_n}$ de droite dans (3.1)). Mais, pour tenir compte de $\sigma_{ij}^*$ il faut appliquer $\phi_{\mu_{ij}, \nu_{ij}}^{-1}$ aux
coefficients de $dx, dt$. On obtient finalement que $\Theta_{ij}$ est l'automorphisme
de $(\mathcal{O}_{0,n} \oplus \mathcal{O}_{0,n-1})|_{U_{ij}}$ défini par la matrice

$$
\begin{pmatrix}
1 + \phi'\left(\frac{\partial \mu_{ij}}{\partial x}\right) \nu_{ji} t & \phi'\left(\frac{\partial \nu_{ij}}{\partial x}\right) \nu_{ji} t \\
-\frac{\mu_{ji}}{\nu_{ji}} + \phi'\left(\frac{\partial \mu_{ij}}{\partial t}\right) \nu_{ji} t & \frac{1}{\nu_{ji}} + \phi'\left(\frac{\partial \nu_{ij}}{\partial t}\right) \nu_{ji} t
\end{pmatrix}
\qquad (3.2)
$$

en posant $\phi' = \phi_{\mu_{ij}, \nu_{ij}}^{-1}$ (on utilise 2.4.1).

En particulier $\Omega_{C_n|C}$ s'obtient en recollant les fibrés $(\omega_C \oplus \mathcal{O}_C)|_{U_i}$ au moyen des automorphismes définis par les matrices $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \mu_{ij,0} & \nu_{ij,0} \end{pmatrix}$ (d'après 2.4.1 on a $-\frac{\mu_{ji,0}}{\nu_{ji,0}} = \mu_{ij,0}$ et $\frac{1}{\nu_{ji,0}} = \nu_{ij,0}$).

3.2. Faisceau canonique et prolongements de courbes multiples

**3.2.1. PROPOSITION.** — Le noyau du morphisme surjectif canonique $\rho_n : \Omega_{C_n|C_{n-1}} \to \Omega_{C_{n-1}}$ est isomorphe à $L^{n-1}$.

Démonstration. — Soit $\mathcal{I}$ le faisceau d'idéaux de $C_{n-1}$ dans $C_n$. On a une suite exacte

$$
\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \xrightarrow{i} \Omega_{C_n|C_{n-1}} \longrightarrow \Omega_{C_{n-1}} \longrightarrow 0.
$$

Soient $P$ un point fermé de $C$ et $z \in \mathcal{O}_{nP}$ une équation de $C$. Alors $\mathcal{I}_{C,P} = (z^{n-1})$ et $\mathrm{im}(i_P) = (z^{n-2}dz)$. Dans les cartes $(\mathcal{O}_{0,n} \oplus \mathcal{O}_{0,n-1})|_{U_i}$, $\mathrm{im}(i)$ correspond aux sous-faisceaux engendrés par $t^{n-2}dt$. D’après 3.1 ces sous-faisceaux isomorphes à $\mathcal{O}_{U_i}$ se recollent par les isomorphismes

$$
\begin{array}{rcl}
\mathcal{O}_{U_{ij}} & \longrightarrow & \mathcal{O}_{U_{ij}} \\
u & \longmapsto & \nu_{ij,0}^{n-1} u ,
\end{array}
$$

ce qui montre que $\mathrm{im}(i) \simeq L^{n-1}$. $\square$

On a donc une suite exacte

$$
0 \to L^{n-1} \to \Omega_{C_n|C_{n-1}} \to \Omega_{C_{n-1}} \to 0. \quad (3.3)
$$

Notons que $\Omega_{C_n|C_{n-1}}$ est un fibré vectoriel de rang 2 sur $C_{n-1}$, et que $\rho_n$
induit un isomorphisme $\Omega_{C_n|C} \simeq \Omega_{C_{n-1}|C}$.

Réciproquement, si $\mathbb{E}$ est un fibré vectoriel de rang 2 sur $C_{n-1}$, et si
$\phi: \mathbb{E} \to \Omega_{C_{n-1}}$ est un morphisme surjectif, $\phi$ induit un isomorphisme entre
les restrictions à $C$ et $\ker(\phi) \simeq L^{n-1}$ ($\ker(\phi)$ se calcule en utilisant 2.3).
On étudie maintenant les extensions $0 \to L^{n-1} \to \mathcal{E} \to \Omega_{C_{n-1}} \to 0$. D'abord localement :

**3.2.2. LEMME.** — Soit P un point fermé de C.

1 - On a $\mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{n-1,P}}(\mathcal{O}_{n-1,P} \oplus \mathcal{O}_{n-2,P}, \mathcal{O}_{C,P}) \simeq \mathcal{O}_{C,P}$.

2 - Soit $0 \to \mathcal{O}_{C,P} \to M \to \mathcal{O}_{n-1,P} \oplus \mathcal{O}_{n-2,P} \to 0$ une suite exacte de $\mathcal{O}_{n-1,P}$-modules, associée à $\alpha \in \mathcal{O}_C$. Alors on a $M \simeq 2\mathcal{O}_{n-1,P}$ si et seulement si $\alpha$ est inversible.

On a $\mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{n-1,P}}(\mathcal{O}_{n-1,P}, \mathcal{O}_{C,P}) = \{0\}$, donc il suffit de prouver :

(i) On a $\mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{n-1,P}}(\mathcal{O}_{n-2,P}, \mathcal{O}_{C,P}) \simeq \mathcal{O}_{C,P}$.

(ii) Soit $0 \to \mathcal{O}_{C,P} \to N \to \mathcal{O}_{n-2,P} \to 0$ une suite exacte de $\mathcal{O}_{n-1,P}$-modules, associée à $\alpha \in \mathcal{O}_C$. Alors on a $N \simeq \mathcal{O}_{n-1,P}$ si et seulement si $\alpha$ est inversible.

*Démonstration*. — Soit $z \in \mathcal{O}_{n-1,P}$ un générateur de l'idéal de C. Alors (i) découle immédiatement de la résolution libre de $\mathcal{O}_{n-2,P}$

$$ \dots \mathcal{O}_{n-1,P} \xrightarrow{z} \mathcal{O}_{n-1,P} \xrightarrow{z^{n-2}} \mathcal{O}_{n-1,P} \longrightarrow \mathcal{O}_{n-2,P}. $$

Démontrons maintenant (ii). On a une suite exacte

$$ \mathcal{O}_{C,P} \xrightarrow{\delta} \mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{n-1,P}}(\mathcal{O}_{n-2,P}, \mathcal{O}_{C,P}) = \mathcal{O}_{C,P} \longrightarrow \mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{n-1,P}}(N, \mathcal{O}_{C,P}), $$

obtenue en appliquant $\mathrm{Hom}(\cdot, \mathcal{O}_{C,P})$ à la suite exacte de (ii). Le morphisme $\delta$ est la multiplication par $\alpha$.

Si $\alpha$ n'est pas inversible, coker($\delta$) $\neq 0$, donc $\mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{n-1,P}}(N, \mathcal{O}_{C,P}) \neq 0$, et $N \neq \mathcal{O}_{n-1,P}$.

La suite exacte canonique

$$ 0 \to \mathcal{O}_{C,P} \xrightarrow{\sim} (z^{n-2}) \to \mathcal{O}_{n-1,P} \xrightarrow{\alpha_0/\alpha} \mathcal{O}_{n-2,P} \to 0 $$

est donc associée à un élément inversible de $\mathcal{O}_{C,P}$.

Supposons que $\alpha$ est inversible. La suite exacte

$$ 0 \to \mathcal{O}_{C,P} \xrightarrow{\sim} (z^{n-2}) \to \mathcal{O}_{n-1,P} \xrightarrow{\alpha_0/\alpha} \mathcal{O}_{n-2,P} \to 0 $$

est associée à $\alpha$, donc $N \simeq \mathcal{O}_{n-1,P}$. $\square$
On a une suite exacte canonique

$$
\begin{align*}
0 \to H^1(\operatorname{Hom}(\Omega_{C_{n-1}}, L^{n-1})) \to \\
\xrightarrow{\text{Ext}_{\mathcal{O}_{C_{n-1}}}^1(\Omega_{C_{n-1}}, L^{n-1})} \pi \to H^0(\mathcal{E}xt^1(\Omega_{C_{n-1}}, L^{n-1})) \to 0.
\end{align*}
$$

d'après la suite spectrale des Ext (cf. [8], 7.3).

**3.2.3. LEMME.** — On a $\mathcal{E}xt^1(\Omega_{C_{n-1}}, L^{n-1}) \simeq \mathcal{O}_C$ et
$\mathcal{H}om(\Omega_{C_{n-1}}, L^{n-1}) \simeq E \otimes L^{n-1}$.

Démonstration. — Soit $\mathbb{L}$ un fibré en droites sur $C_{n-1}$ tel que $\mathbb{L}|_{\mathcal{C}} \simeq \mathcal{L}$ (cf. [3], 3.1.1). On a une résolution localement libre de $\mathcal{L}$

$$
\dots \to \mathbb{L}^n \to \mathbb{L}^{n-1} \to L^{n-1},
$$

d'où, en utilisant la suite exacte (3.3) la résolution localement libre de $\Omega_{C_{n-1}}$

$$
\dots \to \mathbb{L}^n \xrightarrow{f_1} \mathbb{L}^{n-1} \xrightarrow{f_0} \Omega_{C_n|C_{n-1}} \to \Omega_{C_{n-1}}
$$

avec laquelle on peut calculer $\mathcal{E}xt^1(\Omega_{C_{n-1}}, L^{n-1})$. Le premier résultat découle
du fait que $f_{0|C}$ et $f_{1|C}$ s'annulent.

Le second est immédiat car $\Omega_{C_{n-1}|C} = \Omega_{C_2|C} = E^*$. $\square$

Soit $\sigma(C_n)$ l'élément de $\mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_{C_{n-1}}}(\Omega_{C_{n-1}}, L^{n-1})$ correspondant à la suite exacte (3.3). On a $H^0(\mathcal{E}xt^1(\Omega_{C_{n-1}}, L^{n-1})) = \mathbb{C}$ d'après le lemme 3.2.3, et d'après le lemme 3.2.3 on peut supposer que $\pi(\sigma(C_n)) = 1$.

Soit maintenant $C'_n$ une autre courbe multiple primitive de multi-
plicité $n$ extension de $C_{n-1}$. On a alors
$\sigma(C'_n) - \sigma(C_n) \in H^1(E \otimes L^{n-1})$.

On conserve les notations de 2.4.2.

D'après 3.1, $\Omega_{C_n|C_{n-1}}$ est obtenu en recollant les faisceaux
$(\mathcal{O}_{0,n-1} \oplus \mathcal{O}_{0,n-1})|_{U_{ij}}$ au moyen des automorphismes définis par les matri-
ces (3.2), qu'on note $M_{ij}$. On note $M'_{ij}$ les matrices (3.2) pour $\Omega_{C'_n|C_{n-1}}$.
Un calcul simple montre que

$$
M'_{ij} - M_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ (n-1)\alpha_{ij}\nu_{ij,0}^{2-n}t^{n-2} & (n-1)\beta_{ij}\nu_{ij,0}^{2-n}t^{n-2} \end{pmatrix}
$$

On en déduit aisément, avec la discussion de 2.4.2 la

**3.2.4 PROPOSITION.** — Pour tout $u \in H^1(E \otimes L^{n-1})$ on a
$\sigma(C_n(u)) - \sigma(C_n) = (n-1)u$.
# 4. Courbes multiples et familles de courbes lisses

## 4.1. Courbes multiples provenant d'une famille de courbes lisses

Soit $\pi : \mathcal{D} \to S$ une famille de plate de courbes projectives lisses irréductibles paramétrée par une variété lisse irréductible $S$ de dimension $d > 0$. Soient $s_0$ un point fermé de $S$ et $C = \pi^{-1}(s_0)$.

Soit $n \ge 3$ un entier. On pose $Z_n = \text{spec}(\mathbb{C}[t]/(t^n))$. Soit $\phi : Z_n \hookrightarrow S$ un plongement tel que l'image du point fermé de $Z_n$ soit $s_0$. Alors $C_n = \pi^{-1}(Z_n)$ est une courbe multiple primitive de multiplicité $n$, de courbe lisse associée $C$, et le faisceau d'idéaux de $C$ dans $C_n$ est $\mathcal{O}_{n-1}$. Soient $t_1, \dots, t_d$ des éléments de l'idéal maximal $\mathbf{m}_{s_0}$ de $\mathcal{O}_{S,s_0}$ formant une base de $\mathbf{m}_{s_0}/\mathbf{m}_{s_0}^2$. Soit $\Phi : \mathcal{O}_{S,s_0} \to \mathbb{C}[t]/(t^n)$ le morphisme correspondant à $\phi$. Il est entièrement déterminé par $\Phi(t_1) \dots, \Phi(t_d)$. En changeant $t_1, \dots, t_d$ on se ramène aisément au cas où $\Phi(t_2) = \dots = \Phi(t_d) = 0$ et $\Phi(t_1) = \pi$. Soit $\mathcal{I}_{C_n}$ le faisceau d'idéaux de $C_n$ dans $\mathcal{D}$. On a $\mathcal{I}_{C_n} = \langle t_1^n, t_2, \dots, t_d \rangle$.

Soit $\phi' : Z_n \hookrightarrow S$ un autre plongement tel que $\Phi'_{|Z_{n-1}} = \Phi_{|Z_{n-1}}$. Si $\Phi' : \mathcal{O}_{S,s_0} \to \mathbb{C}[t]/(t^n)$ est le morphisme correspondant, il existe $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_d \in \mathbb{C}$ tels que

$$ \Phi'(t_1) = t + \alpha_1 t^{n-1}, \quad \Phi'(t_2) = \alpha_2 t^{n-1}, \dots, \Phi'(t_d) = \alpha_d t^{n-1}. $$

Si $C'_n$ est la courbe multiple définie par $\phi'$, on a

$$ \mathcal{I}_{C'_n} = \langle t_1^n, t_2 - \alpha_2 t_1^{n-1}, \dots, t_d - \alpha_d t_1^{n-1} \rangle. $$

## 4.2. Faisceaux canoniques

On a une suite exacte canonique

$$ \mathcal{I}_{C_n} / \mathcal{I}_{C_n}^2 \xrightarrow{A_n} \Omega_{\mathcal{D}|C_n} \longrightarrow \Omega_{C_n} \longrightarrow 0. $$

Le faisceau $\Omega_{\mathcal{D}|C_n}$ est localement libre de rang $d+1$ et la structure de $\Omega_{C_n}$ est donnée dans 3.

On pose $\Gamma = \langle t_2, \dots, t_d \rangle \subset \mathbf{m}_{s_0}/\mathbf{m}_{s_0}^2$. Soient $P \in C$ et $z \in \mathcal{O}_{DP}$ au dessus d'un générateur de l'idéal maximal de $\mathcal{O}_{C,P}$. Alors $(dz, dt_1, \dots, dt_d)$ est une base de $\Omega_{\mathcal{D}|C_n, P}$. On a donc

$$ \mathrm{im}(A_n) = \langle t_1^{n-1} dt_1, dt_2, \dots, dt_d \rangle \simeq \mathcal{O}_C \oplus (\mathcal{O}_n \otimes \Gamma). $$

On en déduit la suite exacte

$$ 0 \longrightarrow \mathcal{O}_{n-1} \otimes \Gamma \xrightarrow{\beta} \mathcal{O}_{\mathcal{D}|C_{n-1}} \longrightarrow \mathcal{O}_{C_n|C_{n-1}} \longrightarrow 0. $$
On a $\mathrm{im}(\beta) = \langle dt_2, \dots, dt_d \rangle$. On obtient le diagramme commutatif avec lignes et colonnes exactes

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

avec $G = \mathcal{O}_{n-1} \otimes \Gamma$, $\mathrm{im}(\beta) = \langle t_1^{n-2}dt_1, dt_2, \dots, dt_d \rangle$. Pour la courbe $C'_n$ on a le diagramme suivant

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

où $\psi = ((n-1)\alpha_2, \dots, (n-1)\alpha_d) : \mathcal{O}_{n-1} \otimes \Gamma \to \mathcal{O}_C$.

### 4.3. Démonstration du théorème 1.2.1

On utilise le résultat suivant :
**4.3.1. PROPOSITION.** — Il existe une famille de courbes lisses $\pi : \mathcal{D} \to S$ paramétrée par une variété lisse $S$, telle qu'il existe $s_0 \in S$ tel que $\mathcal{D}_{s_0} \simeq C$, et que le morphisme de Kodaïra-Spencer $KS : T_{s_0}S \to H^1(T_C)$ soit surjectif.

*Démonstration.* — Soit $\mathcal{L}$ un fibré en droites très ample sur $C$, et $C \hookrightarrow \mathbb{P}_n = \mathbb{P}(H^0(\mathcal{L})^*)$ le plongement induit. On suppose que $H^1(\mathcal{L}) = \{0\}$. En considérant la suite exacte canonique

$$0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}_n} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}_n}(1) \otimes H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}_n}(1))^* \to T\mathbb{P}_n \to 0$$

on voit que $H^1(T\mathbb{P}_{n|C}) = \{0\}$. Soient $P$ le polynôme de Hilbert de $\mathcal{O}_C$ et Hilb$^P(\mathbb{P}_n)$ le schéma de Hilbert correspondant. D'après les propriétés différentielles de ce schéma (cf. [10]), Hilb$^P(\mathbb{P}_n)$ est lisse au point $s_0$ correspondant à $C$, et le schéma universel $\mathcal{D}$ au voisinage de $s_0$ est la famille de courbes lisses recherchée. $\square$

On suppose donnée une famille de courbes lisses $\mathcal{D}$ comme dans la proposition 4.3.1. Soit $X$ une sous-variété lisse de $S$ contenant $s_0$, et $\mathcal{D}_X$ l'image inverse de $X$ dans $\mathcal{D}$. Alors on a une suite exacte canonique

$$0 \to \mathcal{O}_C \otimes [T_{s_0}X]^* \to \Omega_{X|C} \to \omega_C \to 0, \quad (4.1)$$

et l'élément associé de

$$\mathrm{Ext}^1_{\mathcal{O}_C}(\omega_C, \mathcal{O}_C \otimes [T_{s_0}X]^*) = \mathrm{Hom}(T_{s_0}X, H^1(T_C))$$

n'est autre que le morphisme de Kodaïra-Spencer de $\mathcal{D}_X$ en $s_0$, qui est la restriction à $T_{s_0}X$ de celui de $\mathcal{D}$.

Le théorème 1.2.1 se démontre le résultat par récurrence sur $n$.

D'après 4.1, il suffit de montrer que pour toute courbe multiple primitive $C_n$ de multiplicité $n$ telle que le faisceau d'idéaux de $C$ dans $C_n$ soit le fibré trivial sur $C_{n-1}$, il existe un plongement $\phi : Z_n \hookrightarrow S$ tel que l'image du point fermé de $Z_n$ soit $s_0$ et que $C_n \simeq \pi^{-1}(Z_n)$.

Traitons d'abord le cas $n=2$. On suppose que $C_2$ est une courbe double de courbe lisse associée $C$, telle que $\mathcal{I}_C = L$ soit trivial sur $C$. Si $C_2$ est triviale, la famille triviale de courbes $C \times \mathbb{C}$ répond aux conditions du théorème 1.2.1. Supposons que $C_2$ n'est pas triviale. Soit $D \subset H^1(T_C)$ la droite engendrée par l'élément de $H^1(T)$ correspondant à l'extension

$$0 \to \mathcal{O}_C \to \Omega_{C_2|C} \to \omega_C \to 0. \quad (4.2)$$

Soit $Y \subset S$ une courbe lisse passant par $s_0$ et telle que $KS(T_{s_0}Y) = D$. Soit $C'_2$ le second voisinage infinitésimal de $C$ dans $\mathcal{D}_Y$. Si $z \in \mathcal{O}_{Y,s_0}$ est
un générateur de l'idéal maximal, le faisceau d'idéaux de $C'_2$ dans $\mathcal{D}_Y$ est engendré par $z^2$. On a donc $\Omega_{C'_2|C} = \Omega_{\mathcal{D}_Y|C}$, et la suite exacte (4.1) pour $Y$ est la même que la suite exacte (4.2) pour $C'_2$. Il en découle que la droite de $H^1(T)$ définie par l'extension

$$0 \to \mathcal{O}_C \to \Omega_{C'_2|C} \to \omega_C \to 0$$

est égale à $D$. D'après 2.2.2, $C'_2$ est isomorphe à $C_2$, ce qui démontre le théorème 1.2.1 pour $n=2$.

Supposons le théorème 1.2.1 démontré pour les courbes de multiplicité $n-1$. Soit $C_{n-1}$ une courbe multiple primitive de multiplicité $n-1$ telle que le faisceau d'idéaux de $C$ dans $C_{n-1}$ soit le fibré trivial sur $C_{n-2}$. Il faut montrer que toute extension $C_n^0$ de $C_{n-1}$ en courbe multiple primitive de multiplicité $n$ telle que le faisceau d'idéaux de $C$ dans $C_n^0$ soit le fibré trivial sur $C_{n-1}$ provient d'une famille de courbes lisses. On peut supposer que $C_{n-1}$ provient d'un plongement $Z_{n-1} \hookrightarrow S$ tel que l'image du point fermé de $Z_n$ soit $s_0$, et que ce plongement est étendu à un plongement $\phi: Z_n \hookrightarrow S$ correspondant à la courbe multiple $C_n$, extension de $C_{n-1}$. On reprend les notations de 4.1 et 4.2.

On a un diagramme commutatif avec lignes et colonnes exactes

$$\begin{array}{ccccl}
0 & \to & G \oplus \mathcal{O}_C & \xrightarrow{\alpha} & \Omega_{\mathcal{D}|C_{n-1}} \\
& \bigdownarrow_A & & \bigdownarrow & \bigdownarrow_r \\
0 & \to & \mathcal{O}_C \otimes [T_{s_0}S]^* & \to & \Omega_{\mathcal{D}|C} \\
& \bigdownarrow & & \bigdownarrow & \omega_C
\end{array} \to 0$$

Le morphisme $A$ est nul sur $\mathcal{O}_C$, et provient de l'inclusion $\Gamma \subset [T_{s_0}S]^*$ sur $G$.

La suite exacte du haut est associée à

$$(\sigma_G, \sigma_{\mathcal{O}_C}) \in \operatorname{Ext}^1_{\mathcal{O}_{n-1}}(\Omega_{\mathcal{D}|C_{n-1}}, G \oplus \mathcal{O}_C).$$

Il existe des sections locales de $\alpha|_G$, donc on a
$$\sigma_G \in H^1(\operatorname{Hom}(\Omega_{\mathcal{D}|C_{n-1}}, G)).$$

La suite exacte du bas est associée à

$$\sigma' \in \operatorname{Ext}^1_{\mathcal{O}_{n-1}}(\omega_C, \mathcal{O}_C \otimes [T_{s_0}S]^*).$$

Puisque cette suite est localement scindée, on a

$$\sigma' \in H^1(\operatorname{Hom}(\omega_C, \mathcal{O}_C \otimes [T_{s_0}S]^*)) = \operatorname{Hom}(T_{s_0}S, H^1(T_C)),$$

et $\sigma'$ n'est autre que le morphisme de Kodaïra-Spencer
$KS: T_{s_0}S \to H^1(T)$ de $\mathcal{D}$ en $s_0$.
De $\sigma'$ on déduit

$$r(\sigma') \in H^1(\operatorname{Hom}(\Omega_{\mathcal{D}|C_{n-1}}, \mathcal{O}_C \otimes [T_{s_0}S]^*)) = \operatorname{Hom}(T_{s_0}S, H^1(E)),$$

qui est le composé

$$T_{s_0}S \xrightarrow{KS} H^1(T_C) \longrightarrow H^1(T_C)/D \hookrightarrow H^1(E) \\ \text{(cf. 2.4.5).}$$

De $\sigma_G$ on déduit

$$A(\sigma_G) \in H^1(\operatorname{Hom}(\omega_C, \mathcal{O}_C \otimes [T_{s_0}S]^*)) = \operatorname{Hom}(T_{s_0}S, H^1(T_C)).$$

D'après le diagramme commutatif précédent, on a $r(\sigma') = A(\sigma_G)$. En particulier, $A(\sigma_G)$ se factorise par $\Gamma^*$ :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

et $\lambda$ est surjective.

On considère maintenant la courbe $C'_n$ de 4.2. Elle est de la forme $C'_n = C_n(u)$, avec $u \in H^1(T_C)/D \subset H^1(E)$ (cf. 3.2). D'après le lemme 2.5.1 et la proposition 3.2.4, on a $u = \frac{\lambda(\psi)}{n-1}$.

D'après 2.4.5, il existe $u_0 \in H^1(T_C)/D$ tel que $C_n^0 = C_n(u_0)$. Puisque $\lambda$ est surjective, on peut choisir $\psi$ tel que $\frac{\lambda(\psi)}{n-1} = u_0$, ce qui prouve que $C_n^0$ provient bien d'une famille de courbes lisses.

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