# Remarque sur le rapport de combinaisons linéaires de X2

Bruno Baldessari

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Bruno Baldessari. Remarque sur le rapport de combinaisons linéaires de X2. Annales de l'ISUP, 1965, XIV, pp.379-392. hal-04084871

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Submitted on 28 Apr 2023

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# REMARQUE SUR LE RAPPORT DE COMBINAISONS LINÉAIRES DE $\chi^2$ (*)

Bruno BALDESSARI

## I. INTRODUCTION

Dans l'étude de la loi du rapport de 2 formes quadratiques semidéfinies positives qui opèrent sur les éléments (non indépendants) d'un échantillon tiré d'une population gaussienne, nous pouvons être amené à considérer le problème suivant : rechercher les conditions sous lesquelles le rapport de 2 combinaisons linéaires de v.a. (variables aléatoires) qui ont une loi $\chi^2$ suit la même loi du rapport de 2 v.a. $\chi^2$ indépendantes.

Le but de cet article est de donner une réponse à ce problème. En termes précis, soit ($\chi_0^2, \chi_1^2, \dots, \chi_r^2, \ \chi_0^2, \ \chi_1^2, \dots, \ \chi_s^2$), $r+s+2$, ($r \ge 0, s \ge 0$), v.a. mutuellement indépendantes telles que $\chi_1^2$, (resp. $\chi_j^2$), suit une loi du $\chi^2$ à $m_1$, ($i = 0, 1, \dots, r$), (resp. $n_j$, ($j = 0, 1, \dots, s$)), degrés de liberté. Soit, d'autre part, $\alpha_1$, ($i = 0, 1, \dots, r$), et $\beta_j$, ($j = 0, 1, \dots, s$), $r+s+2$ constantes positives.

**PROPOSITION** : Une condition nécessaire et suffisante pour que la v.a. :

$$ U = \frac{\sum_{i=0}^{r} \alpha_i \chi_1^2}{\sum_{j=0}^{s} \beta_j * \chi_j^2} $$

ait la même densité que la v.a. :

$$ V = \frac{\chi_m^2}{*\chi_n^2} $$

DL-284 1957-07381

<footnote>(*) Travail effectué à l'Institut de Statistique de l'Université de Paris avec l'aide financière de l'O. T. A. N. (contrat n° 115).</footnote>
ou $\chi_m^2$, (resp. $\chi_n^2$), suit une loi du $\chi^2$ à $m$, (resp. $n$), de-
grés de liberté, est que :

$$1/ \quad \alpha_0 = \alpha_1 = \dots = \alpha_r = \beta_0 = \dots = \beta_s = \alpha > 0,$$

$$2/ \quad \sum_{i=0}^{r} m_i = m \quad \text{et} \quad \sum_{j=0}^{s} n_j = n.$$

Dans la démonstration de cette proposition, nous utiliserons les résultats de Robbins et Pitman [3] lesquels ont donné, sous forme de série, la densité de la v.a. U et celle de la v.a.

$$\sum_{i=0}^{r} \alpha_i \chi_{m_i}^2.$$

Pour la densité de la v.a. U nous signalons le travail de J.G. Mauldon [2] qui a donné des exemples des v.a. X et Y (différentes des v.a. $\chi_m^2$ et $\chi_n^2$) tels que la densité de la v.a. X/Y est la même que celle de la v.a. $\chi_m^2/\chi_n^2$. Nous signalons également le récent travail de I. Kotlarski [1] qui (moyennant la transformée de Mellin) a donné une fort intéressante caractérisation de l'ensemble des v.a. (X, Y) tels que X/Y ait même densité que la v.a. $\chi_m^2/\chi_n^2$ malheureusement cette caractéristique n'est pas utilisable pour notre article. Dans l'article de I. Kotlarski nous trouvons aussi, une large bibliographie sur cette question.

## 2. DEMONSTRATION DE LA PROPOSITION

Avant de démontrer la proposition, nous exposons un des résultats de Robbins et Pitman [3] et démontrons deux lemmes.

### 2.1 Théorème (Robbins et Pitman) :

Etant donné $F_p(x)$ fonction de répartition (f.r.) d'une v.a. $\chi_p^2$ et la v.a. $\chi = a \sum_{i=0}^{r} a_i \chi_i^2$, (où les v.a. $\chi_i^2$ (à $m_i$ degrés de liberté) sont mutuellement indépendantes et avec $a > 0, a_0 = 1, a_i \ge 1 \sum_{i=0}^{r} m_i = M$), alors nous avons :

$$\mathrm{Pr}\{X < x\} = \sum_{i=0}^{\infty} c_i F_{M+2i} \quad (x/a), \quad \forall x \ge 0 \quad (3)$$

où les constantes $c_1$, ($c_1 \ge 0, 1 = 0, 1, \dots, \sum_{i=0}^{\infty} c_i = 1$) sont définies par l'identité :

$$\prod_{i=1}^{r} \left\{ a_i^{-\frac{m_i}{2}} \left[ 1 - \left( 1 - \frac{1}{a_i} \right) z \right]^{\frac{m_i}{2}} \right\} = \sum_{i=0}^{\infty} c_i z^i, \quad |z| \le 1 \quad (4)$$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
Sur ce théorème nous devons faire les deux observations suivantes :

Observation 1.

En général, nous ne pouvons pas exprimer les coefficients $c_1$ sous une forme simple. En effet, si $r = 1$, nous avons :

$$ \begin{aligned} & a_1^{-\frac{m_1}{2}} \left[ 1 - \left(1 - \frac{1}{a_1}\right) z \right]^{-\frac{m_1}{2}} \\ = & \sum_{i=0}^{\infty} a_1^{-\frac{m_1}{2}} \frac{\frac{m_1}{2} \left( \frac{m_1}{2} + 1 \right) \cdots \left( \frac{m_1}{2} + 1 - 1 \right)}{1!} \left( 1 - \frac{1}{a_1} \right)^i z^i, \quad |z| \le 1, \end{aligned} $$

mais, dans le cas général $r \ge 2$, nous avons (produit des séries de Cauchy) :

$$ c_1 = \sum_{t_1+\dots+t_r=1} \{ c_1^{(1)} t_1^{\frac{m_1}{2}} \cdots c_r^{(1)} t_r^{\frac{m_r}{2}} \} $$

où

$$ c_1^{(1)} = a_1^{-\frac{m_1}{2}} \frac{\frac{m_1}{2} \left( \frac{m_1}{2} + 1 \right) \cdots \left( \frac{m_1}{2} + t_1 - 1 \right)}{t_1!} \left( 1 - \frac{1}{a_1} \right)^{t_1}, $$

avec : $i = 1, \dots, r$ ; $1 = 0, 1, \dots, 0 \le t_i \le 1$ ; $\sum_{i=1}^r t_i = 1$ ; $t_i$ entiers.

Cette difficulté entraîne que la démonstration de notre proposition n'est pas évidente.

Observation 2.

La série [4] est aussi convergente pour :

$$ |z| \le 1 + \epsilon < \min \left\{ \left|1 - \frac{1}{a_1}\right|^{-1}, \dots, \left|1 - \frac{1}{a_r}\right|^{-1} \right\}, $$

avec : $\epsilon > 0$, puisque : $a_1 \ge 1$, $i = 1, \dots, r$.

Cela implique que :

$$ \lim_{r \to \infty} \frac{c_1 + 1}{c_1} < 1, \quad (5) $$

parce que, si nous avions :

$$ \lim_{r \to \infty} \frac{c_1 + 1}{c_1} \ge 1, $$
en prenant : $z = 1 + \frac{\epsilon}{2}$ dans la série [4], nous aurions :

$$ \lim_{1 \to \infty} \frac{c_{1+1} \left(1 + \frac{\epsilon}{2}\right)^{1+1}}{c_1 \left(1 + \frac{\epsilon}{2}\right)^1} = \left(1 + \frac{\epsilon}{2}\right) \lim_{c_1 \to \infty} \frac{c_{1+1}}{c_1} \geq 1 + \frac{\epsilon}{2} > 1, $$

et la série [4] serait divergente pour : $z = 1 + \frac{\epsilon}{2}$ et non pas convergente.

**2.2 Lemme 1 :** Si $M \geq 2$, alors la série (3) est dérivable terme à terme quelque soit $x \geq 0$.

En effet :

a) la série [3] est convergente (uniformément en $x$) parce qu'elle est majorée par 1,

b) chaque terme de la série [3] est dérivable,

c) la série des dérivées terme à terme de la série [3] est uniformément convergente.

Nous démontrons le point c) en considérant que, si $p > 2$, nous avons :

$$ \begin{gather*} \frac{d}{dx} F_p(x/a) = (2a)^{-p/2} \Gamma^{-1}(p/2) x^{\frac{p}{2}-1} e^{-x/2a} \le (2a)^{-1} \Gamma^{-1}(p/2). \\ \left(\frac{p}{2} - 1\right)^{\frac{p}{2}-1} e^{-\left(\frac{p}{2}-1\right)}, \quad \forall x \ge 0, \end{gather*} $$

tandis que, si $p = 2$, nous avons :

$$ \frac{d}{dx} F_p(x/a) = (2a)^{-1} e^{-x/2a} \le (2a)^{-1} \quad \forall x \ge 0, $$

de telle sorte que :

$$ \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} c_1 \frac{d}{dx} F_{M+21}(x/a) &= \sum_{n=0}^{\infty} c_1 (2a)^{-(\frac{M}{2}+1)} \Gamma^{-1}\left(\frac{M}{2}+1\right) x^{\frac{M}{2}+1-1} e^{-x/2a} \\ &\le (2a)^{-1} \left[ \begin{aligned} &c_0 \max \left\{ 1, \Gamma^{-1}(M/2) \left(\frac{M}{2}-1\right)^{\frac{M}{2}-1} e^{-(\frac{M}{2}-1)} \right\}, \\ &+ \sum_{n=1}^{\infty} c_1 \frac{\left(\frac{M}{2}+1-1\right)^{\frac{M}{2}+1-1}}{\Gamma\left(\frac{M}{2}+1\right)} e^{-(\frac{M}{2}+1-1)} \end{aligned} \right], \quad \forall x \ge 0 \end{align*} $$
Le lemme est démontré parce que la dernière série écrite est convergente. En effet, nous avons :

$$
\begin{align*}
\lim_{1 \to +\infty} \frac{c_{1+1} \left(\frac{M}{2} + 1\right)^{\frac{M}{2}+1} e^{-\left(\frac{M}{2}+1\right)}}{c_1 \left(\frac{M}{2} + 1 - 1\right)^{\frac{M}{2}+1-1} e^{-\left(\frac{M}{2}+1-1\right)}} \Gamma\left(\frac{M}{2} + 1\right) = \\
= \lim_{1 \to +\infty} \frac{c_{1+1}}{c_1} e^{-1} \left(1 + \frac{1}{\frac{M}{2} + 1 - 1}\right)^{\frac{M}{2}+1-1} = \lim_{1 \to +\infty} \frac{c_{1+1}}{c_1} < 1,
\end{align*}
$$

d'après la formule [5].

2.3. **Lemme 2** : Si $M \ge 2$, alors nous avons :

$$
E(X^u) = a^u E \left[ \left( \sum_{i=0}^{r} a_i \chi_i^2 \right)^u \right] = (2a)^u \sum_{1=0}^{\infty} c_1 \frac{\Gamma\left(\frac{M}{2} + 1 + u\right)}{\Gamma\left(\frac{M}{2} + 1\right)}, \quad \forall u > -\frac{M}{2}.
$$

En effet :

$$
\begin{align*}
E(X^u) &= \int_0^{+\infty} x^u \left[ \sum_{i=0}^{\infty} c_1 \frac{d}{dx} F_{M+21} (x/a) \right] dx = \\
&= \sum_{i=0}^{\infty} c_1 \int_0^{+\infty} x^u \frac{d}{dx} F_{M+21} (x/a) dx = \\
&= (2a)^u \sum_{i=0}^{\infty} c_1 \frac{\Gamma\left(\frac{M}{2} + 1 + u\right)}{\Gamma\left(\frac{M}{2} + 1\right)}, \quad \forall u > -\frac{M}{2},
\end{align*}
$$

où la première égalité est valable d'après le lemme 1, tandis que
la seconde égalité est valable d'après :

$$
\lim_{1 \to +\infty} \frac{c_{1+1} \Gamma\left(\frac{M}{2} + 1 + 1 + u\right) \Gamma\left(\frac{M}{2} + 1\right)}{c_1 \Gamma\left(\frac{M}{2} + 1 + u\right) \Gamma\left(\frac{M}{2} + 1 + 1\right)} \lim_{1 \to +\infty} \frac{c_{1+1}}{c_1} < 1, \forall u > -\frac{M}{2}.
$$

Dans la suite nous indiquerons avec $\mathcal{L}[U]$ la loi de la v.a.
$U$ (semblablement $\mathcal{L}[V]$), et avec $(\mathcal{L}[U] = \mathcal{L}[V])$ la proposition :
la loi de la v.a. $U$ est égale à la loi de la v.a. $V$. Semblablement
le symbole $(\alpha_0 = \dots = \alpha_r = \beta_0 = \dots = \beta_s = \alpha > 0, M = m, N = n)$
indiquera la proposition : les coefficients $\alpha_i$ et $\beta_j$ sont tous égaux et positifs et $M = m, N = n$. Nous emploierons d'autres symboles semblables avec semblables significations.

**PROPOSITION : Nous avons :**

$$(\mathcal{L}[U] = \mathcal{L}[V]) \iff (\alpha_0 = \dots \alpha_r = \beta_0 = \dots \beta_s = \alpha > 0, N = m, N = n).$$

L'implication $\iff$ est évidente.

Nous démontrons l'implication $\iff$ par des raisonnements par l'absurde.

Tout d'abord il faut noter que dans la v.a. U nous pouvons toujours supposer :

$\alpha_0 \le \alpha_1 \le \dots \le \alpha_r, \beta_0 \le \beta_1 \le \dots \le \beta_s$, et nous pouvons transformer la v.a. U de telle sorte que :

$$U = \frac{X}{Y} = \frac{a \sum_{i=0}^{r} a_i \chi_i^2}{\sum_{j=0}^{s} b_j * \chi_j^2} \quad (7)$$

avec : $a = \frac{\alpha_0}{\beta_0}$, $a_0 = b_0 = 1$, $1 \le a_1 \le \dots \le a_r$, $1 \le b_1 \le \dots \le b_s$.

En outre, nous définissons les constantes $d_k$ par l'identité :

$$\prod_{j=1}^{s} \left\{ b_j^{\frac{n_j}{2}} \left[ 1 - \left(1 - \frac{1}{b_j}\right) z \right]^{-\frac{n_j}{2}} \right\} = \sum_{k=0}^{\infty} d_k z^k, \quad |z| \le 1, \quad (8)$$

avec $d_k \ge 0, k = 0, 1, \dots$ ; $\sum_{k=0}^{\infty} d_k = 1$, et nous avons :

$$p_r\{Y < y\} = \sum_{k=0}^{\infty} d_k F_{N+2k}(y), \quad \forall y \ge 0 \quad (9)$$

et évidemment, tout ce que nous avons dit pour la v.a. X est valable pour la v.a. Y.

Celà dit, nous devons distinguer 4 cas.

**1er cas :** $M = N = 1$

Si $M = N = 1$, alors $U = a \chi_M^2 / *\chi_N^2$ et nous démontrons aisément, la proposition.

**2ème cas :** $M \ge 2, N \ge 2$

Si $M \ge 2, N \ge 2$ alors (par suite de l'indépendance des $\chi^2$ dans les v.a. U et V et par suite du lemme 2) :
$$ (\mathcal{L}[V] = \mathcal{L}[U]) \implies \left( E \left\{ (\chi_m^2)^u \left( * \chi_n^2 \right)^{-u} \right\} = E \left\{ a \sum_{i=0}^r a_i \chi_i^2 \right\}^u \right) \\ E \left\{ \left( \sum_{j=0}^s b_j * \chi_j^2 \right)^{-u} \right\}, \quad -\min \left\{ \frac{m}{2}, \frac{M}{2} \right\} < u < \min \left\{ \frac{n}{2}, \frac{N}{2} \right\} \\ \implies \left( \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)} \quad \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2} - u\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \right) = a^u \left[ \sum_{i=0}^{\infty} c_i \frac{\Gamma\left(\frac{M}{2} + 1 + u\right)}{\Gamma\left(\frac{M}{2} + k\right)} \right] \\ \left[ \sum_{k=0}^{\infty} d_k \frac{\Gamma\left(\frac{N}{2} + k - u\right)}{\Gamma\left(\frac{N}{2} + k\right)} \right], \quad -\min \left\{ \frac{m}{2}, \frac{M}{2} \right\} < u < \min \left\{ \frac{n}{2}, \frac{N}{2} \right\} \quad (10) $$

Nous démontrons maintenant que (10) implique : $M = m$.

$$ \text{En effet, si: } (m < M) \iff \left(-\min\left\{\frac{m}{2}, \frac{M}{2}\right\} = -\frac{m}{2}\right) $$

alors nous avons :

$$ (\mathcal{L}[V] = \mathcal{L}[U]) \implies \left( \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + u\right) \Gamma\left(\frac{n}{2} - u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} - a^u c_0 \frac{\Gamma\left(\frac{M}{2} + u\right)}{\Gamma\left(\frac{M}{2}\right)} \right) $$

$$ \sum_{i=0}^{\infty} d_k \frac{\Gamma\left(\frac{N}{2} + k - u\right)}{\Gamma\left(\frac{N}{2} + k\right)} = a^u \left[ \sum_{i=1}^{\infty} c_i \frac{\Gamma\left(\frac{M}{2} + 1 + u\right)}{\Gamma\left(\frac{M}{2} + 1\right)} \right] \left[ \sum_{k=0}^{\infty} d_k \frac{\Gamma\left(\frac{N}{2} + k - u\right)}{\Gamma\left(\frac{N}{2} + k\right)} \right] \\ - \frac{m}{2} < u < \min \left\{ \frac{n}{2}, \frac{N}{2} \right\}, \quad (11) $$

mais la formule (11) est absurde parce que pour $n$ qui décroît vers $-\frac{m}{2}$, le premier membre de (11) croît au delà de chaque limite tandis que le second membre de (11) est borné.

De même nous prouvons qu'il ne peut pas être : $M < m$ et donc, il est nécessairement : $M = m$.

D'une façon analogue, nous démontrons que la formule (10) implique : $N = n$.

Maintenant nous démontrons que $(\mathcal{L}[V] = \mathcal{L}[U])$ implique que au moins l'une des deux égalités suivantes doit être satisfaite :
$$ a_1 = \dots = a_r = 1, \quad b_1 = \dots = b_s = 1. $$
Par l'absurde, supposons que ni l'égalité : $a_1 = \dots = a_r = 1$, ni l'égalité : $b_1 = \dots = b_s = 1$, soit satisfaite. Par conséquent nous avons : $c_0 > 0$, $c_1 > 0$, ..., $d_0 > 0$, $d_1 > 0$, .... Etant donné que $M = m$, $N = n$, la (10) devient :

$$ (\mathcal{L}[V] = \mathcal{L}[U]) \implies \left( \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + u\right) \Gamma\left(\frac{n}{2} - u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} = a^u \left[ \sum_{k=0}^{\infty} c_k \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1 + u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1\right)} \right] \cdot \left[ \sum_{k=0}^{\infty} d_k \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2} + k - u\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + k\right)} \right] \right) \quad (12) $$

et nous démontrons que la formule (12) implique que :

$$ d_0 = a^{-\frac{n}{2}} \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} c_k \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2} + 1\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1\right)} \right]^{-1} \quad (13) $$

En effet, la formule (12) nous donne :

$$ \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2} - u\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left[ \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)} - a^u \sum_{k=0}^{\infty} c_k \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1 + u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1\right)} \right] = \\ = a^u \left[ \sum_{k=0}^{\infty} c_k \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1 + u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1\right)} \right] \left[ \sum_{k=1}^{\infty} d_k \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2} + k - u\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + k\right)} \right] \cdot \frac{m}{2} < u < \frac{n}{2} \quad (14) $$

Si la (13) n'est pas vérifiée la (14) est absurde parce que pour $u$ qui croît vers $\frac{n}{2}$ le premier membre de la formule (14) croît au-delà de chaque limite tandis que le second membre est borné.

Maintenant nous démontrons que la formule (12) implique :

$$ c_0 = a^{\frac{m}{2}} \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} d_k \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2} + k\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + k\right)} \right]^{-1} \quad (15) $$

En effet la (12) nous donne, aussi :
$$ 
\begin{aligned}
& \frac{\Gamma(\frac{m}{2} + u)}{\Gamma(\frac{m}{2})} \left[ \frac{\Gamma(\frac{n}{2} - u)}{\Gamma(\frac{n}{2})} - a^u c_0 \sum_{k=0}^{\infty} d_k \frac{\Gamma(\frac{n}{2} + k - u)}{\Gamma(\frac{n}{2} + k)} \right] = \\
&= a^u \left[ \sum_{l=1}^{\infty} c_l \frac{\Gamma(\frac{m}{2} + 1 + u)}{\Gamma(\frac{m}{2} + 1)} \right] \left[ \sum_{k=0}^{\infty} d_k \frac{\Gamma(\frac{n}{2} + k - u)}{\Gamma(\frac{n}{2} + k)} \right], \quad -\frac{m}{2} < u < \frac{n}{2}, \quad (16) \\
\text{avec laquelle nous prouvons la formule (15) en faisant décroître u} \\
\text{vers } -\frac{m}{2}.
\end{aligned}
$$

Substituons la (13) dans le premier membre de la (14) et la (15) dans le premier membre de la (16) et, après cela nous pouvons calculer les limites des deux membres des formules (14) et (16) pour $u$ qui tend, respectivement, vers $\frac{n}{2}$ et $-\frac{m}{2}$. Après calculs nous avons, respectivement, les deux équations :

$$ 
\begin{aligned}
\lg a &= \frac{\Gamma'\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)} + \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)} a^{\frac{n}{2}} \left[ \sum_{l=0}^{\infty} c_l \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2}+1+\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}+1\right)} \right] \\
&\qquad \left[ \sum_{k=1}^{\infty} d_k \frac{\Gamma(k)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+k\right)} \right], \\
-\lg a &= \frac{\Gamma'\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)} + \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)} a^{\frac{m}{2}} \left[ \sum_{l=1}^{\infty} c_l \frac{\Gamma(1)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}+1\right)} \right] \\
&\qquad \left[ \sum_{k=0}^{\infty} d_k \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}+k+\frac{m}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+k\right)} \right]
\end{aligned}
\quad (17) $$

et celà est l'absurde cherché parce que les deux seconds membres des équations (17) sont positifs.

Nous avons donc démontré que l'une au moins des deux égalités $a_1 = \dots = a_r = 1$, $b_1 = \dots = b_s = 1$, doit être satisfaite. Pour la suite nous pouvons supposer qu'il est : $b_1 = \dots = b_s = 1$. En effet les autres possibilités sont : 1) $a_1 = \dots = a_r = 1$ et $b_1 = \dots = b_s = 1$, et alors la v. a. U est égale à la v. a. $a_{0}^{*}a_{0}^{2}$ et il est facile de démontrer la proposition ; 2) $a_1 = \dots = a_r = 1$ et
$b_s > 1$, et alors, pour démontrer la proposition, l'on employera un raisonnement analogue au raisonnement que nous employerons, tout de suite, pour le cas : $b_1 = \dots = b_s = 1$.

D'après ce qui a été dit précédemment, nous avons :

$$ (\mathcal{L}[V] = \mathcal{L}[U]) \implies \left( \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)} = a^u \sum_{l=0}^{\infty} c_l \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1 + u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1\right)} - \frac{m}{2} < u < \frac{n}{2} \right), (18) $$

et nous démontrons que (18) implique $c_0 = a^2$.

En effet, de (18), nous tirons :

$$ (\mathcal{L}[V] = \mathcal{L}[U]) \implies \left( \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)} [1 - a^u c_0] = a^u \sum_{l=0}^{\infty} c_l \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1 + u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1\right)} - \frac{m}{2} < u < \frac{n}{2} \right), (19) $$

Si $c_0 \neq a^{m/2}$ la formule (19) est absurde parce que pour $u$ qui décroît vers $-\frac{m}{2}$ le premier membre de (19) croît, en module, au-delà de chaque limite tandis que le second membre est borné.

A partir de (19), nous tirons donc :

$$ (\mathcal{L}[V] = \mathcal{L}[U]) \implies \left( \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)} = c_0^{\frac{2u}{m}} \sum_{l=0}^{\infty} c_l \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1 + u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2} + 1\right)} \quad \forall u > -\frac{m}{2} \right) \implies \left( 1 = c_0^{\frac{2u}{m}} \left[ c_0 + \sum_{l=1}^{\infty} c_l \left(1 + \frac{u}{m/2}\right) \dots \left(1 + \frac{m}{m/(2+1-1)}\right) \right] - \frac{m}{2} < u < \frac{n}{2} \right), (20) $$

et nous démontrons que (20) implique : $a = a_1 = \dots = a_r = 1$.

Il faut, pour démontrer $a = a_1 = \dots = a_r = 1$, distinguer deux cas :

$$ \text{ou bien : } a_1 = \dots = a_r = 1, $$

$$ \text{ou bien } 1 < a \le a \le \dots \le a. $$

Il n'est pas nécessaire de distinguer des cas intermédiaires parce que si $a_1 = a_2 = \dots = a_p = 1$, $1 < a_{p+1} \le \dots \le a_r$, (avec $1 \le p < r$)
nous pouvons nous reporter au cas $1 < a_1 \le a_2 \le \dots \le a_{r-p}$ avec un changement de d.d.l. de $\chi_{01}^2$ en employant la propriété additive des v.a. $\chi^2$ indépendantes.

A ce point, la proposition est démontrée parce que :

ou bien $a_1 = \dots = a_r = 1$ et alors :

$$ (a_1 = \dots = a_r = 1) \Longleftrightarrow (1 = \prod_{i=1}^{r} a_i^{\frac{m_i}{2}} = c_0) \Longrightarrow (a = 1), $$

ce qui démontre la proposition,

ou bien :

$1 < a \le a \le \dots \le a$ et nous arrivons à une contradiction.

En effet, prenons $u = 1$, (ou en faisant tendre $u$ à $1$ si $n=2$), dans (20), alors :

$$ (\mathcal{L}[V] = \mathcal{L}[U]) \Longrightarrow (1 = c_0^2 \left[ 1 + \frac{2}{m} \sum_{i=1}^{\infty} 1c_i \right]) $$

Nous pouvons calculer $\sum_{1=1}^{\infty} 1c_i$ (en tenant compte du fait que le cercle de convergence de la série (4) possède un rayon plus grand que 1) :

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{\infty} 1c_i &= \left[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{d}{dz} (c_i z^i) \right]_{z=1} = \left[ \frac{d}{dz} \prod_{i=1}^{r} \left\{ a_i^{-\frac{m_i}{2}} \left[ 1 - \left(1-\frac{1}{a_i}\right) z \right]^{\frac{m_i}{2}} \right\} \right]_{z=1} \\ &= \left[ \prod_{i=1}^{r} \left\{ a_i^{\frac{m_i}{2}} \left[ 1 - \left(1-\frac{1}{a_i}\right) z \right]^{-\frac{m_i}{2}} \right\} \sum_{t=1}^{r} \frac{m_t}{2} \left(1-\frac{1}{a_t}\right) \left\{ 1-\left(1-\frac{1}{a_t}\right) z \right\} \right]_{z=1} \\ &= \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{2} (a_i - 1), \end{aligned} $$

de telle sorte que :

$$ (\mathcal{L}[V] = \mathcal{L}[U]) , (1 < a \le a \le \dots \le a) $$

$$ \begin{aligned} & \Longrightarrow (1 = c_0^2 \left[ 1 + \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{m} (a-1) \right]) \\ & \Longleftarrow (\prod_{i=1}^{r} a_i^{\frac{m_i}{m}} - \frac{m_0}{m} - \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{m} a_i = 0) , \end{aligned} $$

ce qui est absurde car la dernière équation n'a pas de solution pour $a_r > 1$.

En effet en écrivant :

$$ \prod_{i=0}^{r} a_i^{\frac{m_i}{m}} = \sum_{i=0}^{r} a_i \frac{m_i}{m} $$

nous voyons que cette équation exige l'égalité entre la moyenne géo-
métrique et la moyenne arithmétique des $a_i$, (avec poids $\frac{m_i}{m}$).

[2]

Cette condition implique que tous les $a_i$, $i = 0, 1, ..., r$, soient égaux entre eux et, si $a_r > 1$, celà est absurde parce que : $a_0 = 1$.

[3]

Ceci complète la démonstration de la proposition.

3ème cas : $M = 1, N \ge 2$

Si : $M = 1, N \ge 2$ alors : $U = \frac{X}{Y} = \frac{a \chi_1^2}{\sum_{j=0}^{s} b_j * \chi_j^2}$ et donc d'après (10)

nous avons :

$$ (\mathcal{L}[V] = \mathcal{L}[U]) \implies \left( E\{(\chi_m^2)^u\} E\{(\chi_n^2)^u\} = E\{(a \chi_1^2)^u\} E\left\{\left(\sum_{j=0}^{r} b_j * \chi_j^2\right)^u\right\}, \right. \\ \left. - \frac{1}{2} < u < \min \left\{\frac{n}{2}, \frac{N}{2}\right\} \right) \iff \left( \frac{\Gamma\left(\frac{m}{2} + u\right) \Gamma\left(\frac{n}{2} - u\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} = a^u \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2} + u\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \sum_{k=0}^{\infty} d_k \frac{\Gamma\left(\frac{N}{2} + k - u\right)}{\Gamma\left(\frac{N}{2} + k\right)}, -\frac{1}{2} < u < \min \left\{\frac{n}{2}, \frac{N}{2}\right\} \right), (21) $$

et pour démontrer la proposition nous pouvons suivre la même ligne de raisonnement du cas général : $M \ge 2, N \ge 2$, en prouvant successivement que : $m = \frac{1}{2}, N = n, b_1 = \dots = b_s = 1, a = 1$.

4ème cas : $M \ge 2, N = 1$

La démonstration de la proposition est tout à fait analogue à celle du 3ème cas. Nous remarquons, ici, que nous avons détaché le 3ème et le 4ème cas du cas général $M \ge 2, N \ge 2$, seulement pour simplifier la preuve du cas général. En effet si nous ne détachons pas le 3ème et le 4ème cas du cas général nous sommes obligés, souvent, de tenir compte du fait que les lemmes 1 et 2 ne sont valables que pour M (ou N) plus grand ou égal à 2.

Celà démontre complètement la proposition.

## REFERENCES

[1] KOTLARSKI (I.). - On bivariate random variables where the quotient of their coordinates follows some known distribution. *Ann. Math. Statist.*, (1964), 1673-1684.
[2] MAULDON (J.G.). - Characterizing properties of statistical distributions. *Quarterly J. Math.* (1956), 155-160.

[3] ROBBINS (H.) and PITMAN (E.J.G.). - Application of the method of mixtures to quadratic forms in normal variates. *Ann. Math. Statist.*, (1948), 678-686.

Reçu le 20 septembre 1965

Institut de Statistique
de l'Université de Paris
9, quai Saint-Bernard
Paris (5e)
1.

1.1.

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