Contact et adhésion cicatrisante

Mathieu Schryve, Michel Raous

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Mathieu Schryve, Michel Raous. Contact et adhésion cicatrisante. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01492459

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>
Contact et adhésion cicatrisante

Mathieu Schryve — Michel Raous

Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique LMA (CNRS)
31, Chemin Joseph Aiguier
13402 Marseille Cedex 20
{schryve,raous}@lma.cnrs-mrs.fr

RÉSUMÉ. Nous considérons ici le contact adhésif cicatrisant entre deux corps. L'adhésion est décrite par la variable d'état interne intersurfacique β introduite par M. Frémond (Frémond, 1987). Le modèle RCCM (Raous et al., 2002), (Raous et al., 1999) est étendu au cas de la cicatrisation des liens adhésifs. Le modèle thermodynamique considéré s'inscrit dans le cadre cinématique développé dans (Curnier et al., 1995), (Bretelle et al., 2001) et couple contact unilatéral et adhésion. La loi d'adhésion cicatrisante a été implémentée dans la plateforme LMGC90 (Dubois et al., 2003). Nous considérons l'étude du col d'adhésion lors du contact sous vide entre une bille de verre et un bloc élastomère (Barquins et al., 1986).

ABSTRACT. We consider two bodies with a recoverable adhesive interaction. Adhesion is described by the internal state variable β introduced by M. Frémond (Frémond, 1987). The RCCM model (Raous et al., 2002), (Raous et al., 1999) is extended to the healing of adhesive bonds. We consider a thermodynamic model using the contact kinematics developed in (Curnier et al., 1995), (Bretelle et al., 2001) involving unilateral contact and adhesion. The model has been implemented in the LMGC90 code (Dubois et al., 2003). We consider the study of the neck of adhesion for contact between a sphere of glass and a rubber block (Barquins et al., 1986).

MOTS-CLÉS : Adhésion cicatrisante, contact unilatéral, élastomère.

KEYWORDS: Recoverable adhesion, unilateral contact, rubber.
# 1. Introduction

Le modèle d'adhésion cicatrisante présenté ici est une extension du modèle RCCM (Raous et al., 1999), (Raous et al., 2002). L'intérêt est maintenant porté à la restauration des liens adhésifs lorsque les corps s'approchent. Dans ce cas, l'interaction adhésive se produit avant contact. Une nouvelle équation d'évolution de la variable d'état d'intensité d'adhésion $\beta$ (Frémond, 1987) est introduite. Elle permet l'augmentation de $\beta$ lors de l'approche des corps (cicatrisation) et sa diminution lors de leur séparation (endommagement). L'évolution de $\beta$ est contrôlée par une équation différentielle à seuil qui prend en compte un effet visqueux (paramètre $b$). Dans ce modèle d'adhésion cicatrisante, l'énergie dissipée est uniquement d'origine visqueuse. Le caractère non régulier de la loi d'interface nécessite l'écriture thermodynamique du modèle en terme d'inclusions différentielles, ce qui est présenté en section 2.

Le modèle a été implémenté dans la plateforme LMGC90 (http://www.lmgc.univ-montp2.fr/~dubois/LMGC90/), dédiée au traitement dynamique des problèmes de contact. L'intégration temporelle repose sur une $\theta$-méthode. Dans notre cas, le solueur « Non Smooth Contact Dynamics » est placé au sein d'une boucle de point fixe sur la variable $\beta$ (section 3). L'équation d'évolution de $\beta$ est intégrée implicitement.

Lors du contact bille de verre/élastomère, le col d'adhésion est observé au bord du contact (Barquins et al., 1986). Ce phénomène est du à la présence d'interactions de type van der Waals. Le modèle d'adhésion cicatrisante permet une approximation du comportement de ces interactions. Dans la section 4, on simule la formation du col.

# 2. Le modèle d'adhésion cicatrisante et son cadre thermodynamique

La formulation du problème dynamique en grandes déformations est classique. Nous présentons ici la formulation des équations du contact avec adhésion cicatrisante. Le cadre est restreint aux faibles rayons de courbure et aux faibles rotations relatives des surfaces en interaction. Dans ce cas, le principe d'action réaction généralisé (Curnier et al., 1995) se simplifie ($j_p \approx 1$) et la vitesse relative est objective ($dn/dt \approx 0$). $\Gamma_{t,C}^1$ et $\Gamma_{t,C}^2$ sont les zones potentielles d'interaction de normale unitaire sortante $n^1$ et $n^2$ respectivement. A chaque instant $t$, on suppose que tout point candidat $x^1$ de $\Gamma_{t,C}^1$ se projette de façon unique en $x_p^2 = \phi_p(x^1)$ sur $\Gamma_{t,C}^2$ tel que

$$ \forall t, g = (x^1 - x_p^2)n^2, \text{ avec } g \ge 0 \text{ (condition de non pénétration).} $$

La surface $\Gamma_{t,C}^2$ est paramétrisée de manière à définir une base locale ou repère de contact $(\tau^1, \tau^2, n)$ en $x_p^2$, où $n := n^2$. La vitesse relative $[v]$ et le principe d'action réaction généralisé simplifié s'écrivent, en introduisant la contrainte interfaciale $\sigma n$,

$$ \begin{gathered} [v] := \frac{\partial x^1}{\partial t} - \frac{\partial x_p^2}{\partial t}, \quad \text{c'est à dire } [v] = \dot{g}n + \dot{\xi}_T^i \tau^i, \\ \sigma n := \begin{cases} (\sigma^2 n^2)_p = -\sigma^1 n^1 \quad \text{sur } \phi_p(\Gamma_{t,C}^1) \\ (\sigma^2 n^2)_p = 0 \quad \text{sur } \Gamma_{t,C}^2 \setminus \phi_p(\Gamma_{t,C}^1) \end{cases}, \quad \text{on note} \quad \begin{cases} \sigma_N := \sigma n \cdot n \\ \sigma_T := \sigma n - \sigma_N n \end{cases} \end{gathered} $$
L'intégration de la composante tangentielle de $[v]$ sur l'intervalle de temps $[0, t]$ permet d'obtenir $\xi_T(t)$, le déplacement relatif tangentiel à l'instant $t$. Les variables d'état sont le saut normal $g$, le déplacement relatif tangentiel $\xi_T$ et l'intensité d'adhésion $\beta$ définis sur $\Gamma_{t,C}^2$. Posons $(.)^r$ et $(.)^{ir}$ respectivement les parties réversible et irréversible. Soient $\sigma_N^r, \sigma_T^r$ les forces thermodynamiques associées respectivement à $g, \xi_T$, et $G_\beta$ la force thermodynamique d'adhésion associée à $\beta$. Les parties irréversibles des forces de contact sont $\sigma_N^{ir} = \sigma_N - \sigma_N^r$ et $\sigma_T^{ir} = \sigma_T - \sigma_T^r$. Seuls l'adhésion et le frottement sont sources de dissipation intersurfacique, donc $\sigma_N^{ir} = 0$. Pour obtenir les lois complémentaires compatibles avec l'inégalité de Clausius Duhem, on choisit le pseudo-potentiel surfacique de dissipation $\Phi = \Phi(\dot{\xi}_T, \dot{\beta}; \chi)$, avec $\chi = (\sigma, g, \beta)$, positif, convexe en $(\dot{\xi}_T, \dot{\beta})$ et nul en $(0, 0)$, ce qui correspond à une extension du cadre des matériaux standard généralisés. Les formes suivantes sont choisies pour l'énergie libre surfacique $\Psi$ et le potentiel de dissipation surfacique $\Phi$

$$ \Psi(g, \xi_T, \beta) = \frac{C_N}{2} g^2 \beta^2 + \frac{C_T}{2} \|\xi_T\|^2 \beta^2 - w\beta + I_{\tilde{K}}(g) + I_P(\beta), $$

$$ \Phi(\dot{\xi}_T, \dot{\beta}; \chi) = \mu(1 - \beta) |\sigma_N - C_N g \beta^2| \|\dot{\xi}_T\| + \frac{b}{2} \dot{\beta}^2, $$

où $\tilde{K} = \{v; v \ge 0\}$ et $P = \{\gamma; 0 < \gamma \le 1\}$. Les coefficients $C_N$ et $C_T$ sont les rigidités interfaciales initiales normale et tangentielle, $w$ l'énergie d'adhésion, $\mu$ le coefficient de frottement de Coulomb, et $b$ le coefficient de viscosité. Les lois d'état et les lois complémentaires s'écrivent

$$ \sigma_N^r \in \partial_g \Psi, \sigma_T^r \in \partial_{\xi_T} \Psi, \text{ et } -G_\beta \in \partial_\beta \Psi, $$

$$ \sigma_N^{ir} = 0, \sigma_T^{ir} \in \partial_{\dot{\xi}_T} \Phi(\dot{\xi}_T, \dot{\beta}; \chi), \text{ et } G_\beta \in \partial_{\dot{\beta}} \Phi(\dot{\xi}_T, \dot{\beta}; \chi), $$

où $\partial_z(\cdot)$ est le sous-gradient de $(\cdot)$ selon la variable $z$. Si $\beta = 0$ le comportement de la loi d'adhésion cicatrisante correspond à un comportement de contact de type Signorini Coulomb classique. La figure 1 décrit le comportement normal de la loi d'adhésion cicatrisante. Pour $b = 0$, les processus d'endommagement et de cicatrisation des liens sont identiques. Pour $b \ne 0$, ils diffèrent, c'est l'hystérésis d'adhésion.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** Comportement normal du modèle d'adhésion cicatrisante lors d'une sollicitation séparation/approche/séparation (pointillé : cas $b = 0$ / plein : cas $b \ne 0$).</figcaption></figure>
3. Résolution numérique

La plateforme LMGC90 (Dubois et al., 2003) permet le traitement des problèmes
de dynamique en présence de conditions de contact avec frottement ou de modèle de
zone cohésive (méthode Non Linear Gauss Seidel avec solveur Non Smooth Contact
Dynamics). Ces méthodes numériques (Jean, 1999), (Acary et al., 2001) sont étendues
pour résoudre le problème de contact avec adhésion cicatrisante (tableau 1). Actuelle-
ment, le traitement est valable pour les cas 2D uniquement.

Les équations de la dynamique sont condensées en chaque point de contact
α dans le repère local (τα, nα). Les relations de passage des variables globales
(Χ̇i+1, ΔT Ṙi+1) aux variables locales de contact, vitesses relatives et impulsions de
contact ([v̇]α, ΔT r̃α), sont obtenues lors de la projection, réalisée à un temps inter-
médiaire t̃i, avec t̃i = tᵢ + ΔT(1 - θ). L'indice ~ représente la valeur des inconnues à
l'instant intermédiaire t̃i+1. Ces relations conduisent aux systèmes d'inconnues prin-
cipales ([v̇]α, ΔT r̃α) suivants

$$
\left\{
\begin{array}{l}
[\tilde{v}]^\alpha = v_{free}^\alpha + \sum_{\delta \neq \alpha}^{N_c} w^{\alpha\delta} \Delta T \tilde{r}^\delta + w^{\alpha\alpha} \Delta T \tilde{r}^\alpha, \\
\\
\text{éq. du contact en } \tilde{g}_n^\alpha, \tilde{\xi}_T^\alpha \text{ et } \tilde{\xi}_T^\alpha / \Delta T \text{ dans le repère local } (\tau_{(\tilde{t}_i)}^\alpha, n_{(\tilde{t}_i)}^\alpha), \\
\\
\tilde{\beta}^\alpha = f(\beta_{(\tilde{t}_i)}^\alpha, \tilde{g}_n^\alpha, \tilde{\xi}_T^\alpha) \text{ intégration implicite de l'éq. d'évolution de } \beta^\alpha.
\end{array}
\right.
$$

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Tableau 1.** *Méthode NLGS et point fixe.*</figcaption></figure>
Une boucle de type point fixe d'indice $\nu$ est réalisée sur la valeur de la variable $\tilde{\beta}^{\alpha}$. L'intégration de cette boucle dans l'algorithme de la méthode NLGS ne pose aucune difficulté (tableau 1). Lors de la première itération $\nu = 0$, $\tilde{\beta}_{0}^{\alpha} = \beta^{\alpha}(\tilde{t}_{i})$. A la fin de chaque résolution NLGS les valeurs convergées de $\tilde{g}^{\alpha}(\nu + 1)$ et $\tilde{\xi}_{T}^{\alpha}(\nu + 1)$ permettent de calculer $\tilde{\beta}_{\nu+1}^{\alpha}$ par résolution implicite de l'équation d'évolution. La convergence est obtenue dès que $\tilde{\beta}_{\nu+1}^{\alpha} - \tilde{\beta}_{\nu}^{\alpha}$ est inférieure à la tolérance fixée, et alors $\tilde{\beta}^{\alpha} = \tilde{\beta}_{\nu+1}^{\alpha}$. Pour la suite on se place au sein de l'itération $\nu + 1$.

La méthode NLGS résout les systèmes précédents par une méthode itérative de Gauss Seidel d'indice $p$ sur les points de contact $\alpha$. A chaque itération le solveur NSCD est appelé pour résoudre le système précédent, avec $\Delta T \tilde{r}^{\delta}$ fixées, dans le cas où les variables en entrée du solveur ($[\dot{x}]_{NSCD}^{\alpha}, \Delta T r_{NSCD}^{\alpha}$) respectent les graphes de Signorini et Coulomb. Les changements de variable suivants sont effectués,

$$[\dot{x}]_{NSCD}^{\alpha} = \left| \begin{array}{l} \tilde{\xi}_{T}^{\alpha} / \Delta T \\ \tilde{g}^{\alpha} / \Delta T \end{array} \right. , \quad \Delta T r_{NSCD}^{\alpha} = \Delta T \tilde{r}^{\alpha} - \begin{pmatrix} k_{T} & 0 \\ 0 & k_{N} \end{pmatrix} [\dot{x}]_{NSCD}^{\alpha}$$

où $k_{T/N} = -l \cdot C_{T/N} \cdot (\beta_{\nu}^{\alpha})^{2} \cdot (\Delta T)^{2}$, avec $l$ la taille de l'élément Candidat. Le solveur NSCD présenté dans (Jean, 1999) permet d'obtenir la valeur de $\Delta T r_{NSCD}^{\alpha}$. Par changement de variable inverse on obtient, après convergence des boucles de Gauss Seidel, puis convergence sur $\tilde{\beta}^{\alpha}$, les valeurs des inconnues locales du problème ($[\tilde{v}]^{\alpha}, \Delta T \tilde{r}^{\alpha}$).

## 4. Etude du col adhésif, expérience de M. Barquins

La plateforme LMGC90 (Dubois et al., 2003) est couplée à la bibliothèque MatLib afin de traiter le comportement hyperélastique (Stainier et al., 2003). Dans l'exemple présenté, comme l'interaction adhésive est essentiellement de comportement normal, nous considérons $\mu = 0$ et $C_T = 0$. Le paramètre d'intégration $\theta$ est pris égal à 1.

La modélisation retenue considère le traitement 2D axisymétrique du contact adhésif entre une bille de verre rigide de rayon 2,19 mm et un plan élastomère hyperélastique de module d'Young $E = 5$ MPa (figure 2). Le modèle d'adhésion choisi, qui a été intégré dans LMGC90, est celui de Dugdale (Maugis, 1992). C'est une approximation simplifiée du modèle d'adhésion cicatrisante (figure 3). Dans ce modèle, $\sigma_N = w/\delta$ tant que $g \le \delta$, où $\delta$ est la distance d'interaction, et $\sigma_N = 0$ si $g > \delta$. Le maillage de l'élastomère (10500 ddls) est raffiné au niveau de la zone de contact (710 éléments de contact, dont 600 de taille $0,1 \mu m$) afin d'obtenir le col (figure 4). Les résultats pour $w = 75$ mJ/m$^2$ et $\delta = 1/10 \mu m$ sont proches de la théorie JKR en accord avec l'expérience de M. Barquins (Barquins et al., 1986) (figure 5). Le rayon de contact vaut 88, 8 $\mu m$. L'étude avec le modèle d'adhésion cicatrisante est en cours.

## 5. Conclusion

Un modèle d'adhésion cicatrisante a été présenté. Il permet de caractériser les effets de col d'adhésion lors du contact des élastomères. Les simulations numériques portant sur les phénomènes « pull-out », « jump-on », et « jump-off » sont en cours. Notre effort porte maintenant sur le couplage comportement tangentiel adhésif et frottement, en vue de la modélisation des ondes de Schallamach (Schallamach, 1971).
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 2.** Sphére rigide et plan élastomère uniquement soumis à l'adhésion.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 4.** Le col d'adhésion est formé.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 3.** Approximations de l'interaction de van der Waals.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Figure 5.** Comparaison avec la théorie.</figcaption></figure>

## 6. Bibliographie

Acary V., Monerie Y., « Formulation dynamique d'un modèle de zone cohésive tridimensionnelle couplant endommagement et interface », *Revue européenne des éléments finis*, vol. 10, p. 489-503, 2001.

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Bretelle A.-S., Cocou M., Monerie Y., « Unilateral contact with adhesion and friction between two hyperelastic bodies », *Int. J. of Eng. Sci.*, vol. 39, p. 2015-2032, 2001.

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Dubois F., Jean M., « LMGC90 une plateforme de développement dédiée à la modélisation de problèmes d'interaction », *VI coll. nat. calcul des struct.*, Giens, vol. 1, p. 111-118, 2003.

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