# Modélisation du Fluage du bois tropical d'Entandrophragma Cylindricum via le modèle fractionnaire de Burger.

Loic Chrislin Nguedjio, Rostand Moutou Pitti, Pierre Kisito Talla

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Loic Chrislin Nguedjio, Rostand Moutou Pitti, Pierre Kisito Talla. Modélisation du Fluage du bois tropical d'Entandrophragma Cylindricum via le modèle fractionnaire de Burger. 3éme Conférence sur les Eco-Matériaux en Afrique – CEMA'2024, EcoMat-Africa, Jun 2024, Libreville, Gabon. hal-04885446

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Submitted on 14 Jan 2025

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# Modélisation du Fluage du bois tropical d'Entandrophragma Cylindricum via le modèle fractionnaire de Burger.

## Creep modelling of tropical Entandrophragma Cylindricum wood through Burger's fractional model.

Loic Chrislin NGUEDJIO<fnref n="1" />, Rostand MOUTOU PITTI<fnref n="2" />, Pierre Kisito TALLA<fnref n="1" />

## 1. Introduction

La demande en matière bois pour la construction a connu une augmentation considérable ces dernières années. En effet, l'utilisateur du bois est non seulement satisfait d'un matériau exceptionnel, mais contribue également à la sauvegarde d'un écosystème protégé [1]. Afin de garantir la sécurité des constructions en matériau bois, il est important de prendre en compte tous les éléments entrant dans le dimensionnement de la structure, le fluage faisant partir des problèmes d'actualité auxquels font face ces structures. Des solutions adressées à ce phénomène récurrent à l'instar de la modélisation rhéologique constituent un impératif pour les sciences de l'ingénieur. L'approche rhéologique de la modélisation du comportement du bois remonte à très longtemps avec les modèles classiques ; ces modèles ont en effet un défaut car nécessitent un nombre élevé de paramètres [2], rendant les simulations et les conceptions onéreuses. Partant de ce constat, les modèles rhéologiques fractionnaires se positionnement comme meilleur candidat car en réduisant le nombre de paramètres, ces modèles apportent aussi satisfactions au niveau de la reconstitution historique des déformations du matériau [3]. Des travaux comme ceux de (Atchounga et al) [4] en 2021 et de (Nguedjio et al) [5] en 2024 témoignent de l'applicabilité de ce type de modélisation aux essences tropicales. Dans ce travail, nous modélisons les déformations viscoélastiques du bois tropical d'Entandrophragma Cylindricum avec comme modèle proposé le modèle fractionnaire de Burger à quatre paramètres.

## 2. Démarche

### 2.1 Démarche analytique : modèle rhéologique fractionnaire de Burger

Le modèle rhéologique fractionnaire de Burger à quatre paramètres est constitué d'un assemblage en série des modèles de base de Maxwell et de Kelvin-Voigt (Fig. 1). Les lois analogiques des circuits électriques linéaires permettent de retrouver l'équation différentielle d'ordre fractionnaire de ce modèle sous la forme de l'équation suivante : (Eq. 1).

<footnote n="1">¹Unité de Recherche de Mécanique et de Modélisation des Systèmes des Physiques (UR2MSP) ;
Département de Physiques, Faculté des Sciences, Université de Dschang, BP 67, Dschang, Cameroun
e-mail : lchristlin2000@gmail.com</footnote>

<footnote n="2">²Université Clermont Auvergne, Clermont Auvergne INP, CNRS, Institut Pascal, F-63000, Clermont-
Ferrand, France
e-mail : rostand.moutou_pitti@uca.fr</footnote>

<footnote n="1">¹Unité de Recherche de Mécanique et de Modélisation des Systèmes des Physiques (UR2MSP) ;
Département de Physiques, Faculté des Sciences, Université de Dschang, BP 67, Dschang, Cameroun
e-mail : tpierrekisito@yahoo.com</footnote>
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 1. Modèle rhéologique fractionnaire de Burger</figcaption></figure>

$$D^{2\alpha}\varepsilon(t) + aD^{\alpha}\varepsilon(t) = bD^{2\alpha}\sigma(t) + cD^{\alpha}\sigma(t) - d\sigma(t), \quad (1)$$

avec $\frac{E_2}{v_2}$, $b = \frac{1}{E_1}$, $c = \frac{E_2}{v_2E_1} + \frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_1}$ et $d = \frac{E_2}{v_1v_2}$. $E_1$ et $E_2$ sont les modules d'élasticité du matériau, $v_1$ et $v_2$ sont les coefficients de viscosité fractionnaire, $D^\alpha$ est la dérivée fractionnaire d'ordre $\alpha$ au sens de Riemann-Liouville. $\varepsilon(t)$ et $\sigma(t)$ représentent respectivement la déformation totale et la contrainte totale.

Pour déterminer la solution $\varepsilon(t)$ (fonction de fluage) de cette équation différentielle, la méthode de la transformée de Laplace a été utilisée en considérant une contrainte constante. La solution est donc sous la forme suivante :

$$\varepsilon(t) = -\sigma(b+c).E_{\alpha,1}(-at^{\alpha}) + \sigma.d.t^{2\alpha}.E_{\alpha,2\alpha+1}(-at^{\alpha}) \quad (2)$$

## 2.2 Démarche expérimentale et démarche numérique

L'essai réalisé ici est une flexion statique quatre points. Deux éprouvettes cylindriques de dimensions (20mm × 20mm × 360mm) d'un même tronc d'arbre d'Entandrophragma cylindricum ont été testées. Dans un environnement aux conditions climatiques de 24°C de température et de 65% de taux d'humidité relatif, cet essai consiste à exercer une contrainte sur une éprouvette, la maintenir constante et mesurer les déformations dans le temps (Fig. 2). Nous obtenons ainsi un ensemble de points expérimentaux représentant les données du fluage du matériau (Fig. 3).

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 3. Courbes expérimentales du fluage : éprouvettes 1 et 2</figcaption></figure>

Les paramètres du modèle E, $\alpha$ et $v$ sont déterminés au moyen de l'algorithme d'optimisation de Levenberg-Marquardt basé sur le machine Learning.

### 3. Résultats

Les simulations du fluage du Sapelli utilisant le modèle fractionnaire de Burger ont permis d'obtenir les résultats suivants représentés sur les courbes de la figure ci-dessous.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 4. Prédiction du fluage via le modèle fractionnaire de Thomson : éprouvettes 1 et 2.</figcaption></figure>

La (Fig. 4) nous donne de constater que le modèle proposé épouse les deux premiers stades (fluage primaire et fluage secondaire) du bois Sapelli. On peut néanmoins observer des points expérimentaux qui n'ont pas été recouvert par le modèle, cela peut être dû à la difficulté à maintenir les conditions environnementales constantes pendant toute la durée de l'essai.
En somme, le modèle fractionnaire de Burger peut être utilisé pour prédire le fluage du Sapelli avec un taux de fiabilité moyen de 97%.

Par ailleurs, les valeurs des paramètres optimaux déterminés par l'algorithme sont présentées dans la (Table.1) où on peut confirmer la souplesse du bois Sapelli car les déformations croissent avec la contrainte.
3ème Conférence sur les Eco-Matériaux en Afrique – CEMA’2024 –
Libreville, Gabon, 12-14 juin 2024

<table><caption>Tab. 1. Paramètres rhéologiques du modèle fractionnaire de Burger.</caption><thead><tr><td>σ(MPa)</td><td>E<sub>1</sub>(10<sup>4</sup>MPa)</td><td>E<sub>2</sub>(MPa)</td><td>ν<sub>1</sub>(10<sup>6</sup>MPa.min<sup>α</sup>)</td><td>ν<sub>1</sub>(10<sup>6</sup>MPa.min<sup>α</sup>)</td><td>α</td></tr></thead><tbody><tr><td>43.9</td><td>2.85</td><td>5.392</td><td>2.8872</td><td>2.8676</td><td>0.429</td></tr><tr><td>22.7</td><td>1.48</td><td>4.019</td><td>1.8137</td><td>1.4216</td><td>0.433</td></tr></tbody></table>

Remerciements

Les auteurs remercient l'Unité de Recherche de Mécanique et de Modélisation des Systèmes Physiques de l'Université de Dschang pour avoir fourni les installations de flexion.

Références

[1] M. Patrick, V. Michel, « Guide d'utilisation des bois africains éco-certifiés en europe tome 1 » artibt, pp. 67-98, 2016.

[2] NS. Tagne, D. Ndapeu, D. Nkemaja, G. Tchemou, D. Fokwa, W. Huisken, « Study of the viscoelastic behaviour of the Raffia vinifera fibres », Industrial Crops and Products, pp.124 :572-581, 2018

[3] A. Krasnobrizha, P. Rozycki, P. Cosson, L. Gornet, « Modélisation des mécanismes d'hystérésis des composites tissés à l'aide d'un modèle collaboratif élasto-plastique endommageable à dérivées fractionnaires », EDP Sciences, pp.104(4) :407, 2016

[4] AK. Prisca, NJ. Michel, E. Foadieng, PK. Talla, « Investigation of nonlinear crepp behaviour of millettia laurentii wood through zener fractional rgheological model », Journal of materials sciences, pp. 01-07, 2021.

[5] LC. Nguedjio, SN. Mabekou, RM. Pitti, B. Blaysat, F. Zemtchou, AK. Mezatio, PK. Talla, « Modeling the nonlinear creep behavior of Entandrophragma cylindricum wood by fractional derivative model », Mechanics of Time-Dependent Materials, accepté pour publication, 2024.