# Étude des bruits dans le détecteur Virgo et de la contribution des CBCs au fond stochastique gravitationnel

Carole Périgois

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Carole Périgois. Étude des bruits dans le détecteur Virgo et de la contribution des CBCs au fond stochastique gravitationnel. Physique [physics]. Laboratoire d'Annnecy de Physique des Particules, 2021. Français. NNT: tel-03899590

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1

UNIVERSITÉ SAVOIE MONT-BLANC

2

MANUSCRIT DE THÈSE

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8

# Etude des bruits dans le détecteur Virgo et de la contribution des CBCs au fond stochastique gravitationnel

Auteur :
Carole PÉRIGOIS

Superviseurs :
Tania REGIMBAU
Michal WAS

9

Laboratoire d'Annecy de Physique des Particules

10

14 décembre 2022
<table><tr><td>37</td><td>Conclusion</td><td>29</td></tr></table>

<table><tr><td>38</td><td>I Etude des bruits dans l'interféromètre Virgo</td><td>34</td></tr></table>

<table><tr><td>39</td><td>2 Principe d'interférométrie dans le détecteur Virgo</td><td>35</td></tr></table>

<table><tr><td>40</td><td>2.1 Principe d'interférométrie dans le détecteur Virgo</td><td>35</td></tr></table>

<table><tr><td>41</td><td>2.1.1 Réponse de l'interféromètre au passage d'une onde gravitationnelle</td><td>36</td></tr></table>

<table><tr><td>42</td><td>2.1.2 Amélioration de la variation de puissance</td><td>39</td></tr></table>

<table><tr><td>43</td><td>Les cavités Fabry-Perot</td><td>39</td></tr></table>

<table><tr><td>44</td><td>Miroir de recyclage</td><td>41</td></tr></table>

<table><tr><td>45</td><td>2.1.3 Point de fonctionnement</td><td>41</td></tr></table>

<table><tr><td>46</td><td>2.2 Définition de la sensibilité</td><td>42</td></tr></table>

<table><tr><td>47</td><td>2.2.1 La densité spectrale de bruit</td><td>42</td></tr></table>

<table><tr><td>48</td><td>Rapport signal sur bruit</td><td>44</td></tr></table>

<table><tr><td>49</td><td>2.2.2 Sensibilité angulaire</td><td>44</td></tr></table>

<table><tr><td>50</td><td>2.3 Les bruits fondamentaux</td><td>46</td></tr></table>

<table><tr><td>51</td><td>2.3.1 Bruits de photons ou bruit de grenaille</td><td>46</td></tr></table>

<table><tr><td>52</td><td>2.3.2 Pression de radiation</td><td>48</td></tr></table>

<table><tr><td>53</td><td>Limite quantique</td><td>49</td></tr></table>

<table><tr><td>54</td><td>2.3.3 Bruit Sismique</td><td>49</td></tr></table>

<table><tr><td>55</td><td>2.3.4 Bruit Newtonien</td><td>50</td></tr></table>

<table><tr><td>56</td><td>2.3.5 Le bruit thermique</td><td>50</td></tr></table>

<table><tr><td>57</td><td>3 Noise Budgets</td><td>54</td></tr></table>

<table><tr><td>58</td><td>3.1 Les bruits d'extraction du signal</td><td>55</td></tr></table>

<table><tr><td>59</td><td>3.1.1 Le bruit des photodiodes</td><td>55</td></tr></table>

<table><tr><td>60</td><td>3.1.2 La démodulation du signal</td><td>55</td></tr></table>

<table><tr><td>61</td><td>3.2 Contrôle de l'interféromètre</td><td>57</td></tr></table>

<table><tr><td>62</td><td>3.2.1 Suspensions et contrôle des éléments optiques</td><td>57</td></tr></table>

<table><tr><td>63</td><td>3.2.2 Degrés de liberté</td><td>58</td></tr></table>

<table><tr><td>64</td><td>CARM</td><td>58</td></tr></table>

<table><tr><td>65</td><td>DARM</td><td>59</td></tr></table>

<table><tr><td>66</td><td>MICH</td><td>60</td></tr></table>

<table><tr><td>67</td><td>PRCL</td><td>60</td></tr></table>

<table><tr><td>68</td><td>3.2.3 Boucles d'asservissement</td><td>61</td></tr></table>

<table><tr><td>69</td><td>SSFS</td><td>61</td></tr></table>

<table><tr><td>70</td><td>3.3 Les autres bruits</td><td>62</td></tr></table>

<table><tr><td>71</td><td>3.3.1 Bruits d'environnement</td><td>62</td></tr></table>

<table><tr><td>72</td><td>3.3.2 Calibration</td><td>62</td></tr></table>

<table><tr><td>73</td><td>3.4 Description du Noise Budgets</td><td>63</td></tr></table>

<table><tr><td>74</td><td>4 Etude des boucles d'asservissement dans le détecteur</td><td>65</td></tr></table>

<table><tr><td>75</td><td>4.1 Modélisation des systèmes de rétroaction</td><td>66</td></tr></table>

<table><tr><td>76</td><td>4.1.1 Fonctions de transfert et projections</td><td>66</td></tr></table>

<table><tr><td>77</td><td>4.1.2 Modélisation d'une boucle d'asservissement</td><td>66</td></tr></table>

<table><tr><td>78</td><td>4.1.3 Fonction de transfert d'une boucle</td><td>67</td></tr></table>

<table><tr><td>79</td><td>4.2 Etude d'une boucle de contrôle longitudinal : MICH</td><td>68</td></tr></table>
<table><tr><td>80</td><td>4.2.1</td><td>Présentation de MICH</td><td>68</td></tr><tr><td>81</td><td>4.2.2</td><td>Dominances des bruits dans la boucle MICH</td><td>69</td></tr><tr><td>82</td><td>4.2.3</td><td>Résultats</td><td>71</td></tr><tr><td>83</td><td>4.3</td><td>Etude d'une boucle de stabilisation en fréquence SSFS</td><td>74</td></tr><tr><td>84</td><td>4.3.1</td><td>Présentation de la boucle SSFS</td><td>74</td></tr><tr><td>85</td><td>4.3.2</td><td>Modélisation de la boucle SSFS</td><td>75</td></tr><tr><td>86</td><td>4.3.3</td><td>Dominance des bruits n<sub>f</sub> et n<sub>s</sub> dans la boucle SSFS</td><td>79</td></tr><tr><td>87</td><td>4.3.4</td><td>Résultats de la modélisation de la boucle SSFS dans le Noise Budget</td><td>80</td></tr></table>

<table><tr><td>88</td><td>II Etude de la contribution des systèmes binaires d'objets compacts au fond gravitationnel</td><td>83</td></tr></table>

<table><tr><td>90</td><td>5</td><td>Formation et évolution de binaires d'objets compacts</td><td>85</td></tr><tr><td>91</td><td>5.1</td><td>Formation stellaire et cosmologie</td><td>85</td></tr><tr><td>92</td><td>5.1.1</td><td>Description de la formation stellaire</td><td>86</td></tr><tr><td>93</td><td>5.1.2</td><td>Caractéristiques de la formation des étoiles</td><td>87</td></tr><tr><td>94</td><td>5.2</td><td>Formation d'objets compacts d'origine stellaire</td><td>87</td></tr><tr><td>95</td><td>5.2.1</td><td>Les vents stellaires</td><td>88</td></tr><tr><td>96</td><td>5.2.2</td><td>Supernovae</td><td>89</td></tr><tr><td>97</td><td>5.3</td><td>Evolution des étoiles en système binaire</td><td>90</td></tr><tr><td>98</td><td>5.3.1</td><td>Evolution des systèmes binaires isolés</td><td>90</td></tr><tr><td>99</td><td></td><td>Transfert de masse</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td></td><td></td><td>91</td></tr><tr><td>101</td><td></td><td>Enveloppe commune CE</td><td></td></tr><tr><td>102</td><td></td><td></td><td>91</td></tr><tr><td>103</td><td>5.3.2</td><td>Evolution dynamique des systèmes binaires</td><td>92</td></tr><tr><td>104</td><td></td><td>Interaction dynamique</td><td></td></tr><tr><td>105</td><td></td><td></td><td>92</td></tr><tr><td>106</td><td></td><td>Formation de trous noirs de masses intermédiaires</td><td></td></tr><tr><td>107</td><td></td><td></td><td>92</td></tr></table>

<table><tr><td>108</td><td>6</td><td>Ondes gravitationnelles émises par des binaires d'objets compacts</td><td>98</td></tr><tr><td>109</td><td>6.1</td><td>Forme d'onde émises lors d'une coalescence circulaire</td><td>98</td></tr><tr><td>110</td><td>6.1.1</td><td>Phase spiralante</td><td>100</td></tr><tr><td>111</td><td>6.1.2</td><td>Evolution avec une orbite quasi-circulaire</td><td>101</td></tr><tr><td>112</td><td>6.1.3</td><td>Phases de fusion et de relaxation des trous noirs</td><td>102</td></tr><tr><td>113</td><td>6.2</td><td>Densité d'énergie émise par une source CBC</td><td>104</td></tr><tr><td>114</td><td>6.2.1</td><td>Densité d'énergie émise par une CBC</td><td>104</td></tr><tr><td>115</td><td>6.2.2</td><td>Correction de la densité d'énergie pour une orbite elliptique Keplerienne</td><td>105</td></tr><tr><td>116</td><td>6.3</td><td>Détections de CBCs par LIGO-Virgo</td><td>108</td></tr><tr><td>117</td><td>6.3.1</td><td>Détectabilité individuelle d'une onde gravitationnelle connue</td><td>109</td></tr><tr><td>118</td><td>6.3.2</td><td>Discussion des résultats obtenus dans O3a</td><td>110</td></tr><tr><td>119</td><td></td><td>GW190814 :</td><td>110</td></tr><tr><td>120</td><td></td><td>GW190521 :</td><td>110</td></tr><tr><td>121</td><td></td><td>GW200105 et GW200115 :</td><td>110</td></tr><tr><td>122</td><td></td><td>Estimation des paramètres</td><td>111</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>7</td>
      <td>Fond stochastique gravitationnel : Formalisme et propriétés spectrales</td>
      <td>114</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1</td>
      <td>Calcul de Ω<sub>gw</sub> pour une population de CBCs</td>
      <td>114</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1.1</td>
      <td>Approche générale</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1.2</td>
      <td>Discrétisation de Ω<sub>gw</sub></td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2</td>
      <td>Détection du fond stochastique</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2.1</td>
      <td>Définition du SNR</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2.2</td>
      <td>Evaluation de μ</td>
      <td>118</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2.3</td>
      <td>Variance σ</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2.4</td>
      <td>Cas général</td>
      <td>120</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3</td>
      <td>Résultats de l'analyse de la troisième prise de donnée</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8</td>
      <td>Contribution des CBCs au fond stochastique gravitationnel avec StarTrack</td>
      <td>124</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1</td>
      <td>Synthèse et propriétés de populations avec StarTrack.</td>
      <td>124</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.1</td>
      <td>Population I/II</td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.2</td>
      <td>Population III.</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.3</td>
      <td>Population qui ne fusionne pas</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Fond stochastique gravitationnel total</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.1</td>
      <td>Calcul du fond stochastique pour StarTrack.</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.2</td>
      <td>Fond stochastique total</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3</td>
      <td>Fond stochastique résiduel et detectabilité</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.1</td>
      <td>Dans les détecteurs 2G</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.2</td>
      <td>Détecteurs 3G</td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.3</td>
      <td>Conclusion préliminaire</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4</td>
      <td>Fond résiduel de la population III dans les détecteurs 3G</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4.1</td>
      <td>Fonds résiduels de la population III.</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4.2</td>
      <td>Comparaison entre la population résiduelle ET+2CE et totale</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4.3</td>
      <td>Proposition de nouveaux filtres</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9</td>
      <td>Impact des binaires évoluant dans les jeunes amas au fond stochastique gravitationnel</td>
      <td>146</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1</td>
      <td>Caractéristiques du catalogue utilisé</td>
      <td>146</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1.1</td>
      <td>Sources isolées</td>
      <td>147</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1.2</td>
      <td>Sources venant des jeunes amas d'étoiles (YCs, Young star Clusters)</td>
      <td>147</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1.3</td>
      <td>Evolution cosmologique</td>
      <td>147</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2</td>
      <td>Prédiction du fond stochastique</td>
      <td>149</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2.1</td>
      <td>Résultats pour le fond total</td>
      <td>150</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2.2</td>
      <td>Etude des paramètres impactant le fond stochastique</td>
      <td>154</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2.2</td>
      <td>Impact de la distribution de masses</td>
      <td>154</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2.2</td>
      <td>Incertitudes quant aux paramètres de formation des étoiles</td>
      <td>154</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tr><td>168</td><td></td><td>Impact de la proportion de binaires formées dans les amas</td><td>156</td></tr><tr><td>169</td><td>9.3</td><td>Fond résiduels et déctectabilité</td><td>157</td></tr><tr><td>170</td><td>9.3.1</td><td>Dans les détecteurs 2G</td><td>158</td></tr><tr><td>171</td><td>9.3.2</td><td>Dans les détecteurs 3G</td><td>159</td></tr><tr><td>172</td><td>9.3.3</td><td>Scénario de détection</td><td>161</td></tr></table>

<table><tr><td>173</td><td>Bibliographie</td><td>171</td></tr></table>
Abstract

Les détecteurs terrestres des collaborations LIGO-Virgo ont terminé début mars 2020, la troisième phase d'observation d'ondes gravitationnelles. Aujourd'hui plus de 50 évènements de coalescences d'objets compacts ont été enregistrés soulevant de nouvelles questions sur les modèles de l'astrophysique actuelle. Les travaux présentés ici se concentrent sur deux domaines, la propagation des bruits dans l'interféromètre Virgo et l'étude de la contribution des coalescences au fond stochastique gravitationnel. La compréhension et la réductions des bruits de l'interféromètre est nécessaire à la compréhension et à la mise en place d'améliorations de Virgo et au design de futurs interféromètres. Dans ces travaux est présentée la modélisation des boucles d'asservissements. Elles sont utilisées pour contrôler la position des éléments optiques ainsi que les caractéristiques du faisceau laser injecté et indispensables au maintient de l'interféromètre à son point de fonctionnement. Cependant elles offrent également un nouveau canal de propagation de bruits dans le détecteur. On distingue trois types d'asservissements : l'asservissement longitu-dinal qui contrôle la position des miroirs, l'asservissement angulaire qui maintient l'orientation des éléments optiques, et l'asservissement en fréquence du laser. Les travaux présentés ici se concentrent sur deux boucles : une boucle d'asservissement longitudinale (MICH) et une boucle d'asservissement en fréquence (SSFS). Les sources non-résolues par les détecteurs sont l'objet d'un signal, le fond stochastique gravitationnel, qui pourra être détecté dans les prochaines années avec la construction de nouveaux interféromètres terrestres de troisième génération (Einstein Telescope et Cosmic Explorer) et spatial (LISA). La contribution des coalescences d'objets compacts dominera ce signal, et ces travaux présentent l'étude de l'impact de différents canaux de formations des objets compacts sur le fond stochastique gravitationnel. Une première étude portera sur l'évaluation du spectre de la densité d'énergie des coalescences d'objets compacts résidus d'étoiles de la population III, prenant en considération deux nouveaux paramètres l'évolution orbitale et celle du redshift. Ces deux pamramètres permettent d'étendre l'étude du spectre aux milliHertz, et ainsi prendre en considération LISA. De plus cette étude inclus la population de binaires qui ne fusionne pas dans un temps de Hubble. La seconde étude concerne les binaires d'objets compacts évoluant dans les jeunes amas d'étoiles. Les jeunes amas d'étoiles sont denses et impliquent de prendre en compte de nouveau phénomènes d'évolution des systèmes binaires telle que les interactions dynamiques. De ce fait les systèmes binaires provenant des amas ont des distributions de paramètres (masses, rayon de l'orbite, spin) qui leurs sont propres et qui ont un impact sur le spectre de la densité d'énergie. Ces deux études montrent que l'excentricité et l'inclusion de ces nouveaux canaux de formation n'ont pas d'impact dans les détecteurs terrestres de seconde génération (LIGO-Virgo) mais la détection de ce fond stochastique avec la troisième génération de détecteurs pourraient apporter des informations cruciales quant à la formation des systèmes binaires.
Abstract

The LIGO-Virgo collaborations detectors ended last march 2020 the third gravitational waves observation run. Today more than 50 events of compacts binaries coalescences have been registered highlighting new questions on current astrophysical models. In this manuscript are studied two main areas the noise propagation in the Virgo interferometer and the study of the impact of different binary population formation channels to the gravitational stochastic background. The understanding and the reduction of the interferometer noises are crucial for detectors understanding and updates, and new interferometer designs. In this manuscript is presented the control loops modeling. They are used to control the position of the interferometer optical elements and the laser beam characteristics, and are essential to maintain the interferometer at its working point. However it offers new opportunities for noises to propagate into the detector. We distinguish three types of controls : longitudinal control aims to constrain the mirrors position, the angular control insure the orientation of optical elements and the laser control maintain the laser frequency and power stable. This study presents two loops : one longitudinal control loop MICH and the frequency control loop SSFS. Non-resolved sources participate to a signal called stochastic gravitational waves background, which will be detected in the next years with the future third generation interferometers (Einstein Telescope and Cosmic Explorer) and the space antenna (LISA). The compact binary coalescences are expected to be the main contribution to this signal, and these studies aim to present the impact of some compact object formation channels to the stochastic background. A first study evaluate the energy density spectra of binary coalescences from population III stars, accounting for two new parameters the orbital and the redshift evolution. These parameters allowed to extend this study in the millihertz frequency range, including then the LISA sensitivity. In addition, a new population of non-merging binaries has been included. A second study concerns compact object binaries from young star cluster. These clusters are dense and imply new phenomena in the stars evolution as dynamical interactions. This new formation channel yields to specific parameter distributions (mass, orbital distance, spin), which are impacting the energy density background spectra. These two studies demonstrate that neither these formation channels nor the orbital evolution have an impact on the stochastic background in 2G detectors (LIGO-Virgo). However, the detection of this background by third generation detectors might reveal crucial informations concerning these formation channels.
## 241 Introduction

Les ondes gravitationnelles prédites par la Relativité Générale d'Albert Einstein, ont été observées pour la première fois en 2015 avec la détection d'une colalescence de deux trous noirs de $36M_\odot$ et $29M_\odot$ par les interféromètres LIGO [1, 2]. Cette observation a été récompensée par un prix Nobel en 2017 attribué conjointement à Rainer Weiss, Barry C. Barish et Kip Thorne. Cette même année le détecteur européen Virgo vient se joindre au réseau américain LIGO, et le 17 août est observée pour la première fois une coalescence de deux étoiles à neutrons avec les contributions d'autres messagers de l'univers [3]. Cet évènement marque la première contribution des ondes gravitationnelles à l'astronomie multimessagère aux cotés du rayonnement électromagnétique, du rayonnement cosmique et des astroparticules (neutrinos, protons, muons etc.). Plus récemment la collaboration LIGO-Virgo a annoncé la première détection de deux colalesances de binaires mixtes (trou noir-étoile à neutrons) [4].

A ce jour la collaboration LIGO-Virgo [5, 6] a terminé sa troisième phase de prises de données et compte maintenant au total 49 détections de coalescences de trous noirs, 2 détections de colaecences d'étoiles à neutrons et 2 de binaires mixte. Pour le moment seules les coalescences de binaires d'objets compacts ont été observées, mais d'autres phénomènes qui sont à l'origine d'émission d'ondes gravitationnelles sont attendus dans les années à venir. Dans ce sens de nouveaux détecteurs sont prévus : Kagra [7], déja construit qui va rejoindre le réseau actuel pour la prochaine prise de données, LIGO-India [8] qui est en cours de construction et qui devrait être opérationnel d'ici 2025, des détecteurs de troisième génération Einstein Telescope et Cosmic Explorer sont actuellement en plannification, et enfin le détecteur spatial LISA dont les tests techniques ont déja été réalisés avec succès. Les ondes gravitationnelles sont également recherchées avec l'observation des binaires de pulsars. Il existe 3 réseaux actuellement PPTA, EPTA, et NANOGrav.

L'observation des ondes gravitationnelles à de multiples enjeux scientifiques quant à la compréhension de notre univers. Leur détection est utilisée pour vérifier la fiabilité de la Relativité Générale. A ce jour les observations réalisées sont en accords avec la Relativité Générale. Notamment [9] mesure de la vitesse des ondes gravitationnelles $v_{gw}$ pour vérifier que ces dernières se propagent à la vitesse de la lumière comme prédit dans la Relativité Générale. Dans cette étude la vitesse mesurée est évalueé comme étant $-3 \times 10^{-15} < \frac{v_{gw}-c}{c} < 7 \times 10^{-16}$ ce qui est toujours en accord avec la théorie. L'observation des ondes gravitationnelles permet également de participer aux mesures quant à l'évolution cosmologique de l'univers. Aussi dans [10, 11, 12] sont présentés les mesures de la constante cosmologique $H_0$ avec les prises de données des ondes gravitationnelles. L'incertitude quant à cette mesure reste importante comparée aux incertitudes réalisées par le détecteur Planck avec les ondes électromagnétiques [13]. On s'attend également avec les futurs détecteurs à observer d'autres sources d'ondes gravitationnelles comme par exemple les cordes cosmiques [14] qui pourraient donner des informations quant à l'évolution de l'univers.
Aujourd'hui les coalescences observées proviennent de résidus d'étoiles et apportent donc des informations quand à leur formation et leur évolution. Par exemple [15] évalue grâce aux ondes gravitationnelles le rayon et l'équation d'état des étoiles à neutrons impliquées. Un sujet à débat aujourd'hui dans la communauté scientifiques concerne la nature de la matière sombre. Certains modèles président que cette matière sombre serait en totalité ou en partie présente dans l'univers sous la forme de trous noirs primordiaux [16, 17] formés avant le début de l'activité stellaire. Aussi on s'attend si ils existent à en observer les coalescences avec les ondes gravitationnelles.

La détection des ondes gravitationnelles par interféromètrie est un challenge intrumental. Il consiste à envoyer un faisceaux laser qui sera scindé sur une séparatrice à 45° pour être envoyé dans les deux bras de l'interféromètre. Au bout de chacun des bras les faisceux rencontrent un miroir, reviennent sur la séparatrice pour interférer et être détectés par une photodiode. Lors du passage d'une onde gravitationnelle les deux signaux sont déphasés et il en résulte une variation de puissance sur la photodiode. Ces variations de puissance peuvent être très faibles et l'interféromètre est soumis à un grand nombre de bruits fondamentaux et instrumentaux qui peuvent nuire aux observations. Dans une première partie de mes travaux j'ai étudié la propagation du bruit au travers des boucles d'asservissement de l'interféromètre Virgo.

Dans les fututres détections avec les interféromètres on s'attend à observer un fond stochastique gravitationnel, qui est le signal résultant de toutes les sources d'ondes gravitationnelles qui ne sont pas résolues individuellement. Grâce aux observations actuelles on sait que ce fond stochastique sera dominé par la contribution des coalescences de binaire d'objets compacts non-résolues, aussi la seconde partie des travaux présentés ici concerne la prédiction du spectre du fond stochastique pour différents modèles de population de systèmes binaires. Selon comment se forment et évoluent les étoiles les caractéristiques des objets compacts résultants peuvent changer, dans mes travaux j'ai étudié deux principaux canaux de formations des objets compacts, ceux qui viennent des étoiles de la population III et ceux qui viennent d'étoiles en amas. Dans chacune de ces études j'ai comparé la densité d'énergie de ces nouveaux canaux avec celle provenant d'une population I/II d'étoiles évoluant isolées. J'ai analysé les fonds stochastiques obtenus pour les différents catalogues notamment leurs dépendances avec les paramètres des objets compacts simulés. Ces résultats font l'objet de deux articles l'un publié dans la revue *Physical Review D* réalisé avec les catalogues simulés par StarTrack, le second concerne les binaires venant des jeunes amas est actuellement en revue interne dans la collaboration.

Ce manuscrit présente une introduction à la physique des ondes gravitationnelles dans le premier chapitre reprenant la théorie de la Relativité Générale, son impact sur la cosmologie et sur l'émission d'ondes gravitationnelles, les différents détecteurs mentionnés plus tôt dans cette introduction et les différentes sources d'ondes gravitationnelles.

Ensuite une première partie de ce manuscrit se concentre sur les travaux que j'ai réalisé sur l'analyse des bruits qui se propagent dans les boucles d'asservissement. Aussi le chapitre 2
315 présente en détail le principe d'interférométrie actuel et les bruits fondamentaux que l'on retrouve
316 dans les détecteurs tels que Virgo. Le troisième chapitre est consacré à la présentation du bilan
317 des bruits internes au détecteur, et décrit le programme utilisé pour simuler leurs propagations
318 jusqu'au signal de sortie de l'interféromètre. Dans le chapitre 4 je présente les résultats obtenus
319 sur la modélisation des boucles d'asservissement de l'interféromètre.

320 Une seconde partie de ce manuscrit reprend les travaux que j'ai effectués sur la contribution des
321 coalescences de binaires d'objets compacts d'origine stellaire au fond stochastique gravitationnel.
322 En ce sens cette partie débute avec le chapitre 5 concernant la formation et l'évolution stellaire,
323 qui sont des paramètres cruciaux pour comprendre les objets compacts observés aujourd'hui.
324 Ensuite le chapitre 6 sera consacré à l'émission d'ondes gravitationnelles lors d'une coalescence
325 à partir de la forme d'onde émise et comment cette dernière est affectée par l'évolution orbitale.
326 Le chapitre 7 présente le formalisme lié au fond stochastique gravitationnel évalué pour des
327 catalogues de coalescences de systèmes binaires. Enfin le chapitre 8 sera consacré aux résultats
328 obtenus lors de mon premier projet. Ces travaux ont été réalisés en collaboration avec Chris Belc-
329 zynski et Tomaz Bulik qui sont à l'origine du programme de simulation StarTrack de catalogues
330 de coalescences des systèmes binaires provenant de la population I/II et III. Le dernier chapitre 9
331 concerne le second projet réalisé pendant ma thèse à savoir l'impact de canal d'évolution dyna-
332 miques sur le fond stochastique gravitationnel. Ces travaux ont été réalisé en collaboration avec
333 l'équipe DemoBlack de Padoue, qui est à l'origine des simulations de populations de coalescences
334 dans les jeunes amas d'étoiles.
1

Bibliographie

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4

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[12] B. P. Abbott et al. A gravitational-wave standard siren measurement of the Hubble constant. Nature, 551(7678):85-88, 2017. doi: 10.1038/nature24471.

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# 1 Chapitre 1

# 2 Introduction à la physique des ondes gravitationnelles

Une des plus grandes découvertes du 20me siècle accompagnée de la mécanique quantique, est sans doute la relativité générale d'Albert Einstein [1]. On se concentre dans cette introduction à la physique des ondes gravitationnelles sur la relation connue sous le nom d'"équation d'Einstein" :

$$R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha\beta}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\alpha\beta}. \qquad (1.1)$$

Cette relation permet de lier dans le terme de gauche une courbure de l'espace temps, avec dans le terme de droite une énergie. Cela à deux grandes implications dans l'introduction que je vais présenter ici. Dans un premier temps cette relation est à l'origine de la cosmologie standard, qui décrit la dynamique de l'univers, c'est l'objet de la première partie de ce chapitre, et dans un second temps elle est à l'origine de la description des ondes gravitationnelles, qui sera, au travers d'une approche géométrique l'objet de la seconde partie de cette introduction. Enfin pour finir, je propose brève présentation des détecteurs actuels et futurs ainsi que des différents phénomènes pouvant être à l'origine d'émission d'ondes gravitationnelles.

Les parties théoriques de ce chapitre ("La cosmologie standard" et "Ondes gravitationnelles en relativité générale") sont basées sur les ouvrages de Michele Maggiore "Gravitational Waves" [2, 3], les notes de cours écrites par Damir Buskulic à destination des élèves de master "Cosmologie et astroparticules" et sur l'ouvrage "Cosmologie : La science de l'univers" [4] de Jean-Yves Daniel et Patrick Peter.
## 1.1 La cosmologie standard

Commençons par développer une première conséquence des équations d'Einstein, à savoir la description de l'univers actuel et son évolution. Les ondes gravitationnelles comme la lumière sont des observations de phénomènes passés, et lointains (spatiallement). Ainsi il me semble approprié de commencer la physique des ondes gravitationnelles avec une description de la cosmologie standard, en accord avec l'expansion de l'univers. Ce formalisme, à l'origine de la distinction entre les grandeurs physiques intrinsèques, et celles observées sur Terre, est indispensable pour comprendre l'observation de phénomènes lointains dans le temps et dans l'espace qui sont l'objet de mes travaux de thèse. Il est également utilisé dans le formalisme du fond stochastique gravitationnel.

L'expansion de l'univers a été observée par la mesure de la vitesse des galaxies [5, 6]. On constate que toutes les galaxies observées semblent s'éloigner de nous, et la vitesse de leur éloignement est d'autant plus grande que ces galaxies sont lointaines. Ainsi ce modèle de cosmologie repose sur des observations qui portent à croire (et aucune observation n'est contradictoire sur ce point) que l'univers est en expansion. Une seconde observation à mon sens pilier fondamental du modèle de la cosmologie standard, est le CMB (Cosmic Microwave Background). Il s'agit de la plus ancienne image de l'univers à l'époque où les photons on pu commencer à circuler librement. Après présentation de la mesure des vitesses des galaxies et du CMB ainsi que de leurs conséquences, je présenterai une approche géométrique du modèle de la cosmologie standard (FLRW) que l'on doit à Alexander Friedmann, Georges Lemaitre, Howard P.Robertson et Arthur Geoffrey Walker. Ensuite seront présentés les outils d'interprétation de l'observation du lointain (spatial et temporel) et finalement, les mesures réalisées qui sont utilisées comme acquises dans les travaux présentés ici.

### 1.1.1 Expansion et contenu de l'univers

**Décalage vers le rouge (redshift)** La lumière qui nous parvient des galaxies est principalement due à la très forte proportion d'hydrogène qu'elles contiennent. Ainsi par spectrométrie il est possible de mesurer la longueur d'onde $\lambda$ de la raie d'hydrogène<fnref n="1" /> venant d'une galaxie, et la comparer avec la longueur d'onde au repos mesurée par une source terrestre $\lambda_0$. La relation de l'effet Doppler nous permet alors de mesurer la vitesse d'éloignement de la galaxie observée.

$$ \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{v}{c}. \qquad (1.2) $$

Dans cette équation c est la vitesse de la lumière et v la vitesse d'éloignement de la galaxie. Connaissant la distance des galaxies observées, en 1929 Hubble [6] réalise ce graphique 1.1 qui

<footnote n="1">1. La raie d'hydrogène vient d'une transition hyperfine de l'hydrogène atomique. Au repos sa valeur est $\lambda_0 = 21\text{cm}$</footnote>
représente leur vitesse en fonction de leur distance. Ces observations permettent d'écrire la

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1.1: Mesure de la vitesse d'éloignement des galaxies en fonction de leur distance.[6]</figcaption></figure>

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relation entre la vitesse d'éloignement d'un objet et sa distance :

$$v = \dot{D} = H_0 D, \qquad (1.3)$$

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avec D la distance de l'objet en question et $H_0$ la constante de Hubble. La mesure la plus récente de cette constante [7] est réalisée avec les données du satellite Planck en 2018 [7] : $H_0 = 67.9$ km.s⁻¹.Mpc⁻¹

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A partir de l'équation 1.2 on définit le redshift d'un objet dans l'univers :

$$z = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0}. \qquad (1.4)$$

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Néanmoins cette approximation n'est valable que pour des petites distances soit $z < 0.01$. A de plus grandes échelles il faut prendre en compte l'effet gravitationnel. Cependant l'effet Doppler est une première approche utile. Les observations ainsi réalisées entre les années 1910-1930 permettent de théoriser l'expansion de l'univers et d'en construire un modèle.

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**Le CMB (Cosmic Microwave Background)** Il existe un moment critique appelé le Big Bang où l'univers était un plasma opaque très dense et par conséquent très chaud. Les théories de cosmologie incluant le Big Bang démontrent par ailleurs que l'expansion de l'univers dilue ce plasma, et abaisse sa température jusqu'à 3700K permettant ainsi la recombinaison des protons et des électrons pour former les premiers atomes. Ce moment est appelé le découplage électromagnétique, l'univers alors agé de ~ 379 000 devient transparent<fnref n="2" />, c'est à dire que les photons circulent librement. Le fond diffus cosmologique est mesuré aujourd'hui comme étant à 3K et l'expansion a dilué la longueur d'onde de ce rayonnement jusqu'aux micro-ondes du spectre électromagnétique. Le CMB mesuré par Planck est présenté sur la figure 1.2.

<footnote n="2">2. Les photons ne sont plus diffusés par les électrons libres.</footnote>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1.2: Carte de la température du rayonnement fossile sur tout le ciel réalisée par la collaboration Planck à partir des données recueillies par les instruments HFI et LFI du satellite. L'échelle de couleur est en millionièmes de degré : c'est l'écart par rapport à la température moyenne de -270.425 °C mesurée par le satellite COBE en 1992.</figcaption></figure>

Crédits : ESA - collaboration Planck

Cette mesure du rayonnement fossile est à l'origine du principe d'homogénéité de l'univers, mais aussi à l'origine de la distribution du contenu de l'univers. La mesure des fluctuations/oscillations de ce CMB nous renseigne sur le contenu de l'univers à une date donnée. On distingue trois grandes catégories des composants de l'univers :

— La matière "ordinaire" : (~ 5%) Elle est composée de la matière baryonique tels que les protons et de neutrons.

— La matière sombre : (~ 25%) Il s'agit de matière dont l'existence est déduite entre autre de l'observation de collisions de galaxies [8]. Son identité est aujourd'hui inconnue, et l'on sait uniquement qu'il ne s'agit pas de matière ordinaire.

— L'énergie sombre : (~ 70%) C'est une composante de l'univers mesurée comme étant l'énergie requise pour expliquer l'accélération de l'expansion [9].

Pour résumer, la physique connue actuellement nous permet d'expliquer seulement 5% de la composition de l'univers. Aussi la compréhension de la cosmologie est un sujet clé de la recherche en physique contemporaine, qui pourrait trouver des éléments de réponse dans l'observation des ondes gravitationnelles. Dans la suite de cette section je présente le modèle standard de la cosmologie qui est celui validé aujourd'hui par les observations et que j'utilise dans mes travaux.

## 1.1.2 Modèle de l'univers

La cosmologie moderne est décrite par le modèle de concordance aussi appelé ΛCDM de la cosmologie. Il décrit un univers homogène et isotrope de courbure nulle contenant de la matière sombre et de l'énergie sombre en plus de la matière ordinaire et repose sur trois piliers fondamentaux.
— La Relativité Générale : Aujourd'hui jamais contredite par les observations locales [10, 11] la Relativité Générale est la seule théorie validée par des observations suceptible de s'appliquer à l'échelle de l'univers et de traiter son évolution en relation avec les propriétés de ses composants.

— L'expansion de l'univers : Décrite précédemment.

— Le principe cosmologique : Postulat fondamental qui affirme l'homogénéité spatiale et l'isotropie de l'univers. Ces hypothèses semblent confirmées par les observations des grandes structures telles que la répartition des galaxies lointaines ou le fond cosmologique (CMB).

On associe au principe cosmologique, le principe d'universalité validé a posteriori par les observations, selon lequel les lois de la physique sont les mêmes partout dans l'univers. Etant donné que l'observation de l'univers revient à observer le passé cela revient à stipuler que ce principe s'applique également à la dimension temporelle.

Le principe de cosmologie standard est théorisé par le modèle de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) et décrit dans le paragrahe suivant.

### 1.1.3 Modèle FLRW

La géometrie de l'univers courbe est décrite par la métrique de Robertson et Walker (RW) :

$$ds^2 = c^2 dt^2 - a^2(t) \left\{ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\phi^2 \right\}, \qquad (1.5)$$

où $a(t)$ représente le facteur d'échelle qui varie au cours du temps et $r$ la distance co-mobile. Les coordonnées co-mobiles sont celles exprimées dans un référentiel qui suit l'expansion de l'univers, de telle sorte qu'elles soient indépendantes du temps. D'après le principe d'isotropie et d'homogénéité de l'univers le facteur d'échelle $a(t)$ est le même en tout point à un instant $t$. Le paramètre $k$ décrit la courbure de l'espace : $k=-1$ correspond à un univers de courbure négative, $k=1$ à une courbure positive, et $k=0$ à un univers plat.

Les équations d'Einstein pour la métrique RW peuvent alors s'écrire :

$$\left\{ \begin{array}{l} \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G\rho}{3} - \frac{k}{a^2} + \frac{\Lambda}{3}, \\ \\ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3} \end{array} \right. , \qquad (1.6)$$

où $\Lambda$ est un terme caractérisant l'impact de l'énergie sombre, $\rho$ est la densité totale d'énergie (matière, rayonnement et énergie sombre), $G$ est la constante de gravitation et $p$ est la pression en considérant une expansion adiabatique.
118 On définit le taux d'expansion de l'univers H aussi appelé paramètre de Hubble comme

$$H(z) = \frac{\dot{a}}{a} \quad \text{avec le redshift} \quad z = \frac{a_0}{a} - 1. \qquad (1.7)$$

119 Il est intéressant de remarquer ici que la constante de Hubble $H_0$ définie précédemment correspond au taux de l'expansion de l'univers aujourd'hui à $z=0$.

121 On peut écrire l'équation de Friedmann à partir de la première équation d'Einstein (1.6) en utilisant les densités d'énergie. La densité d'énergie $\rho$ correspond à la somme entre la densité d'énergie de matière et de rayonnement $\rho = \rho_m + \rho_r$. En définissant la densité d'énergie de courbure $\rho_k = \frac{3k}{a^2 8\pi G}$ et la densité d'énergie sombre $\rho_\Lambda = \frac{\Lambda}{8\pi G}$ on obtient :

$$H^2 = \frac{8\pi G}{3} (\rho_m + \rho_r + \rho_\Lambda - \rho_k). \qquad (1.8)$$

125 Les densités d'énergies varient selon des lois de puissance du facteur d'échelle $a$ :

126 — $\rho_m$: Densité de matière non-relativiste. Elle est diluée avec l'évolution du volume, due à l'expansion et dépend ainsi de $a^{-3}$.

127 — $\rho_r$: La densité de rayonnement relativiste se dilue également avec le volume, mais les photons voient également leur longueur d'onde étendue par cette expansion. Ainsi $\rho_r \propto a^{-4}$.

130 — $\rho_\Lambda$: La densité d'énergie sombre est liée à la constante cosmologique $\Lambda$. Son influence contribue à l'expansion et sa dépendance est en $a^0$.

133 — $\rho_k$: C'est la densité d'énergie liée à la courbure de l'univers. Elle dépend alors d'une surface et son évolution est en $a^{-2}$.

135 On peut également écrire cette variation en facteur de $(1+z)$ avec la relation (1.7), on a alors :

$$\rho_m \propto (1+z)^3, \quad \rho_r \propto (1+z)^4, \quad \rho_\Lambda \propto (1+z)^0, \quad \rho_k \propto (1+z)^2 \qquad (1.9)$$

136 On définit la densité d'énergie critique de l'univers comme celle qui pour un taux d'expansion fixé sépare la géométrie d'un univers fermé ($k>0$), de celle d'un univers ouvert ($k<0$). Elle caractérise ainsi la densité d'énergie totale d'un univers de courbure nulle ($k=0$) et s'exprime :

$$\rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}. \qquad (1.10)$$

139 De même que pour le paramètre de Hubble on remarque que la densité d'énergie critique dépend de $z$. Ainsi sa valeur aujourd'hui est $\rho_c = \frac{3H_0}{8\pi G}$. On peut simplifier l'écriture de l'équation (1.8) et la diviser par $H_0^2$ :
$$ \left(\frac{H}{H_0}\right)^2 = \frac{\rho_m}{\rho_c} + \frac{\rho_r}{\rho_c} - \frac{\rho_k}{\rho_c} + \frac{\rho_\Lambda}{\rho_c}. \qquad (1.11) $$

On utilisera la notation $\Omega_i$, qui représente la proportion de densité d'énergie de chacune des i contributions :

$$ \left(\frac{H}{H_0}\right)^2 = \Omega_r(1+z)^4 + \Omega_m(1+z)^3 + \Omega_k(1+z)^2 + \Omega_\Lambda, \qquad (1.12) $$

avec,

$$ \Omega_m = \frac{\rho_m}{\rho_c(1+z)^3}, \quad \Omega_r = \frac{\rho_r}{\rho_c(1+z)^4}, \quad \Omega_k = -\frac{\rho_k}{\rho_c(1+z)^2} \quad \text{et} \quad \Omega_\Lambda = \frac{\rho_\Lambda}{\rho_c}, \qquad (1.13) $$

tel que :

$$ \Omega = 1 = \Omega_m + \Omega_r + \Omega_k + \Omega_\Lambda. \qquad (1.14) $$

En règle générale on utilise $E(z)$ comme facteur de proportion entre $H$ et $H_0$ :

$$ H = H_0 E(z) \quad \text{avec} \quad E(z) = \sqrt{\Omega_r(1+z)^4 + \Omega_m(1+z)^3 + \Omega_k(1+z)^2 + \Omega_\Lambda}. \qquad (1.15) $$

### 1.1.4 Coordonnées co-mobiles et temps de vol

Les équations de Friedmann permettent également de calculer les distances à une date $t$, correspondant à un redshift $z$ donné d'un objet. Nous utilisons ici les coordonnées co-mobiles d'un objet invariantes quant à l'expansion de l'univers. Ainsi la distance $d_L$ dite distance de luminosité d'un objet peut s'écrire en fonction de sa coordonnée co-mobile $r$ (1.5) :

$$ d_L(t) = a(t)r = c \int_0^z \frac{dz'}{(1+z')H_0 E(z')}. \qquad (1.16) $$

Par ailleurs le redshift et le taux d'expansion permettent également d'évaluer des durées. Ainsi en intégrant les équations (1.7) entre $z_1$ et $z_2$ on retrouve la durée correspondante

$$ dt = \frac{da}{aH}, \qquad (1.17) $$

$$ \Delta t(z_1, z_2) = \int_{z_1}^{z_2} \frac{dz'}{(z' + 1)H(z')} = \int_{z_1}^{z_2} \frac{dz'}{(z' + 1)H_0 E(z')}. \qquad (1.18) $$
### 1.1.5 Correction des grandeurs mesurées en fonction du redshift

Ce paragraphe résume les corrections entre les grandeurs mesurées sur Terre et dans le repère de la source des objets observés en fonction de leur redshift. En terme de distance on définit la distance de luminosité d'un objet à partir de la correction du flux lumineux $\Phi$ d'un objet.

$$ \Phi = \frac{L}{4\pi d_L^2}. \qquad (1.19) $$

Du fait de l'expansion de l'univers le flux mesuré est corrigé et devient en fonction de la distance propre $d_p$

$$ \Phi = \frac{L}{4\pi d_L^2} = \frac{L}{4\pi d_p^2} \frac{a(t)^2}{a(t_0)}. \qquad (1.20) $$

On obtient alors une relation entre la distance propre d'un objet et sa distance de luminosité (observée)

$$ d_L = d_p(1 + z). \qquad (1.21) $$

De même, en reprenant les expressions données par l'effet Doppler on peut établir une relation entre les fréquences (périodes) observées $f_o(T_o)$ et émises $f_e(T_e)$ par le phénomène :

$$ 1 + z = \frac{f_e}{f_o} = \frac{T_o}{T_e}. \qquad (1.22) $$

### 1.1.6 Observations de l'univers

Comme mentionné précédemment les observations jusqu'à ce jour viennent confirmer le modèle cosmologique actuel. Les résultats les plus importants pour l'étude qui suit sont résumées ici.

Sur la figure 1.3 sont représentées les mesures de la constante de Hubble. Pour les travaux réalisés ici nous avons pris la valeur représentée en gris sur ce schéma $H_0 = 67.9 \text{ km.s}^{-1}\text{Mpc}^{-1}$. On peut relever ici, bien que les mesures du satellite Planck soient précises $\pm 0.6\%$, qu'il reste néanmoins un conflit quant à la valeur de cette constante. Comme représenté sur la figure 1.3, certaines mesures (dont celles de Planck) trouvent une constante de $\sim 68 \text{ km.s}^{-1}\text{Mpc}^{-1}$ alors que d'autres expériences s'accordent autour de $\sim 73 \text{ km.s}^{-1}\text{Mpc}^{-1}$.

Sur la figure 1.4 sont représentées les valeurs des densités d'énergie à différents instants de l'univers. Dans la suite des travaux nous avons utilisé les valeurs pour $z=0$ de l'expérience Planck
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 1.3: Résultats de mesures de la constante de Hubble $H_0$, par différentes expériences. En gris la valeur communément utilisée.[7]</figcaption></figure>

176 [7] : $\Omega_m = 0.3153$ (Matière sombre + matière ordinaire) et $\Omega_\Lambda = 0.6847$ (Energie sombre). Les autres contributions $\Omega_k$ et $\Omega_r$ sont négligées.

## 1.2 Ondes gravitationnelles en relativité générale

179 La gravitation peut être définie par le constat que les mouvements de masses matérielles réagissent les uns sur les autres. Aussi l'approche Newtonnienne consiste à exprimer une force à distance $d_{AB}$ d'un objet A de masse $M_A$ sur un objet B de masse $M_B$, qui s'exprime :

$$ \vec{F}_{A/B} = G \frac{M_A M_B}{d_{AB}^2} \vec{r}. \qquad (1.23) $$

182 En plus de redéfinir le temps non plus comme une composante absolue mais une coordonnée relative et de supposer la vitesse de la lumière c constante dans le vide, la Relativité Générale, 183 énonce que la gravitation n'est pas une force mais la conséquence de la courbure de l'espace-184 temps définie par la répartition d'énergie, sous la forme de masses ou bien d'énergie cinétique. 185 On rapelle les équations d'Einstein données au début de ce chapitre :

$$ R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha\beta}R = -\frac{8\pi G}{c^4}T_{\alpha\beta}. \qquad (1.24) $$
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 1.4: Mesures des différentes densités d'énergies Ωᵢ à différents moments de l'univers. Mesures réalisées en 2013 avec les données de Planck, WMAP, ACT, SPT pour le rayonnement fossile et quatre jeux de données pour les oscillations acoustiques baryoniques (le résultat est très proche avec Planck seul).Crédits: PLANCK HFI.</figcaption></figure>

187 Le passage de ces équations à l'expression d'une onde plane passe par différentes étapes qui sont l'objet de cette section : La linéarisation des équations et les choix de jauge (Lorenz et transverse sans trace)

190 **1.2.1 Equation d'Einstein et notations**

191 On repart des équations d'Einstein (1.24) données en introduction. T<sub>αβ</sub> est le tenseur énergie impulsion, G la constante gravitationnelle et c la vitesse de la lumière. On appelle G<sub>αβ</sub> le tenseur d'Einstein tel que :

$$
G_{\alpha\beta} = R_{\alpha\beta} + \frac{1}{2}g_{\alpha\beta}R. \qquad (1.25)
$$
Dans cette dernière équation $R_{\alpha\beta}$ est le tenseur de Ricci et $R$ le scalaire de courbure definis dans la section suivante (1.26,1.30). $g_{\alpha\beta}$ représente la métrique perturbée que l'on définit comme la somme de la métrique de Minkowski $\eta_{\alpha\beta}$ et d'une perturbation $h_{\alpha\beta}$ telle que $|h_{\alpha\beta}| \ll 1$.

## 1.2.2 Linéarisation du tenseur d'Einstein

Pour retrouver une expression d'onde plane, on linéarise les équations d'Einstein.

Le tenseur de Ricci, $R_{\alpha\beta}$ qui apparaît dans ces équations (1.25) s'exprime de la façon suivante

$$R_{\alpha\beta} = \frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\alpha\mu}}{\partial x^{\beta}} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} \Gamma^{\nu}_{\mu\nu} - \Gamma^{\nu}_{\alpha\mu} \Gamma^{\mu}_{\nu\beta}, \qquad (1.26)$$

dans laquelle les termes $\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}$ sont les symboles de Christoffel de le relativité générale définis comme :

$$\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\alpha\sigma} \left( \frac{\partial g_{\sigma\nu}}{\partial x^{\mu}} + \frac{\partial g_{\mu\sigma}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \right). \qquad (1.27)$$

En considérant l'expression de la métrique perturbée précédente et en se limitant au terme du premier ordre en $h$ ($g_{\alpha\beta} \sim \eta_{\alpha\beta} + h_{\alpha\beta}$) on peut exprimer la forme utilisée des symboles de Christoffel

$$\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma} = \frac{1}{2} \eta^{\alpha\nu} \left[ \frac{\partial h_{\nu\gamma}}{\partial x^{\beta}} + \frac{\partial h_{\beta\gamma}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial h_{\gamma\alpha}}{\partial x^{\nu}} \right]. \qquad (1.28)$$

En injectant cette dernière équation dans celle du tenseur de Ricci (1.26) et toujours en se limitant au premier ordre en $h$ on peut obtenir l'expression du tenseur de Ricci :

$$R_{\alpha\beta} = \frac{1}{2} \eta^{\mu\alpha} \left[ \frac{\partial^2 h_{\alpha\beta}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\alpha}} + \frac{\partial^2 h_{\alpha a}}{\partial x^{\beta} \partial x^{\mu}} - \frac{\partial^2 h_{\alpha\beta}}{\partial x^{a} \partial x^{\mu}} \right] - \frac{1}{2} \eta^{\alpha\beta} \frac{\partial^2 h}{\partial x^{\alpha} \partial x^{\beta}}. \qquad (1.29)$$

On obtient également le scalaire de courbure $R = \eta^{\alpha\beta} R_{\alpha\beta}$ :

$$R = \eta^{\alpha\beta} \left( -\frac{\partial^2 h}{\partial x^a \partial x^\mu} + \eta^{\mu a} \frac{\partial^2 h_{\alpha a}}{\partial x^\beta \partial x^\mu} \right). \qquad (1.30)$$

A partir des expressions (1.29) et (1.30) on peut exprimer le tenseur d'Einstein au premier ordre en $h$ et en remplacant $h_{\alpha\beta} = \overline{h_{\alpha\beta}} - \frac{h}{2} \eta_{\alpha\beta}$

$$\begin{align} G_{\alpha\beta} &= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} R \eta_{\alpha\beta} \nonumber \\ &= -\frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \frac{\partial^2 \overline{h}_{\alpha\beta}}{\partial x^\mu \partial x^\nu} + \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \frac{\partial^2 h_{\alpha\nu}}{\partial x^\beta \partial x^\mu} + \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \frac{\partial^2 h_{\beta\nu}}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} - \frac{1}{2} \eta^{\alpha\nu} \eta^{\mu\nu} \frac{\partial^2 \overline{h}_{\alpha\nu}}{\partial x^\nu \partial x^\mu} \eta_{\alpha\beta}. \tag{1.31} \end{align}$$
Finalament en posant $V_α = η^{\mu\nu} \frac{\partial \overline{h_{\alpha\nu}}}{\partial x^\mu}$ et en considérant l'expression du d'Alambertien de la perturbation $\Box \overline{h}_{\alpha\beta} = -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \overline{h}_{\alpha\beta}}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 \overline{h}_{\alpha\beta}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \overline{h}_{\alpha\beta}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \overline{h}_{\alpha\beta}}{\partial z^2}$, on déduit l'expression de l'équation d'Einstein :

$$ \Box \overline{h}_{\alpha\beta} - \frac{\partial V_{\alpha}}{\partial x^{\beta}} - \frac{\partial V_{\beta}}{\partial x^{\alpha}} + \eta^{\mu\nu} \frac{\partial V_{\mu}}{\partial x^{\nu}} \eta_{\alpha\beta} = -\frac{16\pi G}{c^4} T^{\alpha\beta}. \qquad (1.32) $$

$g_{\alpha\beta}$ ne fixe pas les coordonnées $x^\alpha$ dans l'espace-temps, nous allons donc opérer à un changement de coordonnées afin de réaliser une analogie avec l'électromagnétisme pour interpréter au mieux les équations qui vont suivre. Commençons avec un changement de coordonnées infinitésimal $x'^\alpha = x^\alpha + \xi^\alpha$. Les composantes de $g$ deviennent dans les coordonnées de $x'^\alpha$

$$ g'_{\alpha\beta} = g_{\mu\nu} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\alpha}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\beta}} = \eta_{\alpha\beta} + h'_{\alpha\beta}, \qquad (1.33) $$

avec $h'_{\alpha\beta} = h_{\alpha\beta} - \frac{\partial \xi_{\alpha}}{\partial x^{\beta}} - \frac{\partial \xi_{\beta}}{\partial x^{\alpha}}$.

Cette dernière relation rappelle effectivement celle du changement de jauge en électromagnétisme où l'on a $A'_\alpha = A_\alpha + \frac{\partial \psi}{\partial x^\alpha}$ sans modification des champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$. La différence ici est que $h_{\alpha\beta}$ est bilinéaire, le scalaire $\psi$ est ainsi remplacé par une forme linéaire $\xi_\alpha$. On peut également constater par analogie que $R'_{\alpha\beta} = R_{\alpha\beta}$. Autrement dit on peut considérer la gravitation linéarisée comme une théorie des champs sur l'espace-temps de Minkowski avec un potentiel tensoriel $h_{\alpha\beta}$ dont les transformations de jauge sont de la forme $h'_{\alpha\beta} = h_{\alpha\beta} - \frac{\partial \xi_\alpha}{\partial x^\beta} - \frac{\partial \xi_\beta}{\partial x^\alpha}$. $\xi_\alpha$ s'interprète comme le potentiel donnant le changement de jauge. Le champ physique qui dérive du potentiel $h_{\alpha\beta}$ est le tenseur de Riemann $R^\alpha_{\beta\mu\nu} = R'^\alpha_{\beta\mu\nu}$, invariant de jauge. Il représente le champ gravitationnel, de la même manière que les vecteurs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ représentent le champ électromagnétique. Pour cette raison le changement de jauge peut être considéré comme un changement de coordonnées.

### 1.2.3 Jauge de Lorenz

On dit que le potentiel $\overline{h}_{\alpha\beta}$ satisfait à la jauge de Lorenz si et seulement si

$$ \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} (\eta^{\mu\nu} \overline{h}_{\alpha\nu}) = 0, \quad \text{soit} \quad V_{\alpha} = 0. \qquad (1.34) $$

On en déduit les deux lois de transformations pour $\overline{h}_{\alpha\beta}$ et $V_\alpha$ :

$$ \overline{h}_{\alpha\beta}' = \overline{h}_{\alpha\beta} - \frac{\partial \xi_{\alpha}}{\partial x^{\beta}} - \frac{\partial \xi_{\beta}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{\partial \xi_{\alpha}}{\partial x^{a}} \eta_{\alpha\beta}, \qquad (1.35) $$

$$ V'_{\alpha} = V_{\alpha} - \Box \xi_{\alpha}. \qquad (1.36) $$

Par conséquent on obtient

$$ V'_{\alpha} = 0 \Leftrightarrow \Box \xi_{\alpha} = V_{\alpha}. $$
232 Avec cette jauge on peut réduire l'équation d'Einstein a :

$$ \Box \overline{h}_{\alpha\beta} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\alpha\beta}. \qquad (1.37) $$

233 Ce qui nous amène à une équation d'onde qui se propage à la vitesse de la lumière par rapport à l'espace-temps plat dont on considère la perturbation.

### 1.2.4 Jauge transverse et sans trace (TT)

236 L'équation précédente est le résultat de la linéarisation basique des équations d'Einstein. Pour étudier l'effet du passage d'une onde gravitationnelle on se place dans le vide avec $T_{\alpha\beta}=0$. On peut ainsi écrire

$$ \Box \overline{h}_{\alpha\beta} = 0. \qquad (1.38) $$

239 A partir des 6 coordonnées indépendantes définies par $\overline{h}_{\alpha\beta}$ satisfaisant l'équation précédente on peut soustraire les fonctions $\xi_{\alpha\beta}$ qui dépendent des $\xi_{\alpha}$ et respectant $\Box\xi_{\alpha\beta}=0$. On peut donc choisir les fonctions $\xi_{\alpha}$ pour imposer quatre conditions sur $h_{\alpha\beta}$. En particulier on choisit la composante temporelle $\xi^0$ tel que la trace $\overline{h}=0$, impliquant par ailleurs $h_{\alpha\beta} = \overline{h}_{\alpha\beta}$. Les trois autres composantes spatiales $\xi^i$ sont également choisies tel que $h^{0i}=0$ et la condition de Lorenz devient pour $\alpha=0$

$$ \partial^0 h_{00} = \partial^i h_{0i} = 0. \qquad (1.39) $$

245 $h_{00}$ est alors constant dans le temps et représente la partie statique de l'interaction gravitationnelle. Reste à déterminer les coordonnées spatiales dont on sait grâce à la jauge de Lorenz que $\partial^i h_{ij}=0$. La condition sans trace devient alors $h_i^i=0$. Par conséquent les contraintes posées deviennent :

$$ h^{0\mu} = 0, \quad h_i^i = 0, \quad \partial^j h_{ij} = 0. \qquad (1.40) $$

249 Ces conditions définissent la jauge transverse et sans trace. Nous définirons la métrique de cette jauge $h_{\alpha\beta}^{TT}$. L'équation (1.38) présente grâce à ces conditions des solutions d'onde plane

$$ \bar{h}_{\alpha\beta}^{TT} = \mathcal{R} e\{A_{\mu\nu} e^{ik_{\rho}x^{\rho}}\}, \qquad (1.41) $$

251 où $\mathcal{R}$ désigne la partie réelle. En choisissant une direction de propagation selon l'axe $z$ on obtient

$$ \bar{h}_{\alpha\beta}^{TT} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & h_{+} & h_{\times} & 0 \\ 0 & h_{\times} & -h_{+} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}_{\alpha\beta} \cos[w(t - z/c)], \qquad (1.42) $$
que l'on peut écrire plus simplement

$$
\bar{h}_{ab}^{TT} = \begin{pmatrix} h_+ & h_\times \\ h_\times & -h_+ \end{pmatrix}_{ab} \cos[w(t-z/c)], \quad (a=1, b=2). \tag{1.43}
$$

On appelle $h_+$ et $h_\times$ les deux polarisations de l'onde gravitationnelle. Dans la jauge TT l'équation du mouvement est $\Box h_{ij}^{TT}=0$ dont les solutions peuvent être écrites sous la forme

$$
h_{ij}^{\mathrm{TT}}(x) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \left( \mathcal{A}_{ij}(\mathbf{k})e^{ikx} + \mathcal{A}_{ij}^*(\mathbf{k})e^{-ikx} \right). \quad (1.44)
$$

Le quadri-vecteur $k^\mu$, défini par $k^\mu k_\mu = 0$ qui a pour dimension l'inverse d'une longueur est lié
à la fréquence et au vecteur d'onde $\mathbf{k}$ par $k^\mu = (\omega/c, \mathbf{k})$ avec $|\mathbf{k}| = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi f}{c}$ et $\frac{\mathbf{k}}{|\mathbf{k}|} = \hat{\mathbf{n}}$. Ainsi
considérant $d\Omega$ un élément d'angle solide, $d^3\mathbf{k} = |\mathbf{k}|^2 d|\mathbf{k}| d\Omega = (2\pi/c)^3 f^2 df d\Omega$ pour $f > 0$. On
peut alors écrire

$$
h_{ij}^{\mathrm{TT}}(x) = \frac{1}{c^3} \int df \, f^2 \int d^2 \hat{\mathbf{n}} \left( \mathcal{A}_{ij}(f, \hat{\mathbf{n}}) e^{-2\pi i f (t - \hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{x}/c)} + c.c. \right). \quad (1.45)
$$

La condition transverse décrite avec les équations 1.40 impose que seules les composantes perpendiculaires à la direction de propagation sont non nulles. On appellera ces composantes (a, b).
On obtient ainsi :

$$
h_{ab}(t, \mathbf{x}) = \int_{0}^{\infty} df \left( \tilde{h}_{ab}(f, \mathbf{x}) e^{-2\pi i f t} + \tilde{h}_{ab}^{*}(f, \mathbf{x}) e^{2\pi i f t} \right), \quad (1.46)
$$

avec

$$
h_{ab}(f, \mathbf{x}) = \frac{f^2}{c^3} \int d^2 \hat{\mathbf{n}} \mathcal{A}_{ab}(f, \hat{\mathbf{n}}) e^{2i\pi f \hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{x} / c}. \quad (1.47)
$$

A partir de l'équation (1.42) on peut écrire :

$$
\tilde{h}_{ab}(f) = \begin{pmatrix} \tilde{h}_{+}(f) & \tilde{h}_{\times}(f) \\ \tilde{h}_{\times}(f) & -\tilde{h}_{+}(f) \end{pmatrix}. \qquad (1.48)
$$

Afin d'écrire les équations de manière compacte on définit les matrices de polarisations $e_{ij}^A$ pour
$A = +, \times$. Pour une onde se propageant dans la direction $z$ ces matrices s'écrivent :

$$
e_{ab}^{+} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad e_{ab}^{\times} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \qquad (1.49)
$$
Plus généralement pour une direction $\hat{n}$ :

$$ 
\begin{aligned}
e_{ij}^{+}(\hat{n}) &= \hat{u}_i \hat{u}_j - \hat{v}_i \hat{v}_j \\
e_{ij}^{\times}(\hat{n}) &= \hat{u}_i \hat{v}_j - \hat{v}_i \hat{u}_j
\end{aligned} 
\qquad (1.50) $$

Ainsi la forme d'onde généralisée à n'importe quelle direction de propagation $\hat{n}$ s'écrit à partir de (1.45) :

$$ h_{ab}(t) = \sum_{A=+, \times} \int_{-\infty}^{+\infty} df \int d^2\hat{n} \tilde{h}_A(f, \hat{n}) e_{ab}^A(\hat{n}) e^{-2i\pi f(t-\hat{n} \cdot x/c)}. \qquad (1.51) $$

L'effet du passage d'une onde gravitationnelle monochromatique peut être représenté avec des masses tests (masses supposées ponctuelles, dans le vide, sans interactions entre elles) dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation. Les deux polarisations + et × sont représentées sur la figure 1.5.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 1.5: Représentation des deux polarisations $h_+$ et $h_-$ sur des masses test disposées en cercle</figcaption></figure>

### 1.2.5 Energie transportée par une onde gravitationnelle

En repartant de l'équation d'Einstein (1.24) on peut approximer l'énergie transportée par une onde gravitationnelle dans le vide comme une perturbation $t_{\alpha\beta}$ du tenseur énergie impulsion. En réécrivant ces équations incluant les ordres supérieurs on obtient

$$ G_{\alpha\beta}^{(1)} + G_{\alpha\beta}^{(2)} + \dots = -\frac{c^4}{8\pi G} (T_{\alpha\beta} + t_{\alpha\beta}), \qquad (1.52) $$
278 $G_{\alpha\beta}^{(1)}$ est le terme linéaire en $h_{\alpha\beta}$, $G_{\alpha\beta}^{(2)}$ le terme quadratique en $h_{\alpha\beta}$ etc. Par identification et en 279 moyennant sur une petite région de l'espace on a

$$G_{\alpha\beta}^{(2)} = \left\langle R_{\alpha\beta}^{(2)} - \frac{1}{2} \bar{g}_{\alpha\beta} R^{(2)} \right\rangle = -\frac{8\pi G}{c^4} t_{\alpha\beta}. \qquad (1.53)$$

280 On peut exprimer $t_{\alpha\beta}$, en approximant le terme moyenné

$$t_{\alpha\beta} = -\frac{c^4}{8\pi G} \left( \langle R_{\alpha\beta}^{(2)} \rangle - \frac{1}{2} \bar{g}_{\alpha\beta} \langle R^{(2)} \rangle \right). \qquad (1.54)$$

281 On peut simplifier l'expression de $R_{\alpha\beta}^{(2)}$ en intégrant par parties sur les différentes composantes 282 des coordonnées. En utilisant les conditions de jauge transverse (??) et l'équation du mouvement 283 donnée par $\Box h_{\alpha\beta}$ on retrouve

$$\langle R_{\alpha\beta}^{(2)} \rangle = -\frac{1}{4} \langle \partial_{\alpha} h_{\mu\nu} \partial_{\beta} h^{\mu\nu} \rangle, \qquad (1.55)$$

284 et le terme $\langle R^{(2)} \rangle$ s'annule. Par conséquent on a :

$$t_{\alpha\beta} = \frac{c^4}{32\pi G} \langle \partial_{\alpha} h_{\mu\nu} \partial_{\beta} h^{\mu\nu} \rangle. \qquad (1.56)$$

285 Pour une onde se propageant selon l'axe $z$, en utilisant les polarisations $h_+$ et $h_-$ définies 286 précédemment on peut exprimer $t^{00}$

$$t^{00} = \frac{c^2}{16\pi G} \langle \dot{h}_+^2 + \dot{h}_-^2 \rangle. \qquad (1.57)$$

287 On a également pour les autres termes $t^{01} = t^{02} = 0$ et $t^{03} = t^{00}$. On peut à partir de ce tenseur 288 définir le flux d'énergie traversant un volume $V$ par la conservation du tenseur énergie-impulsion :

$$\int_V dx^3 (\partial_0 t^{00} + \partial_i t^{0i}) = 0. \qquad (1.58)$$

289 L'énergie $E_V$ à l'intérieur du volume ainsi défini est

$$E_V = \int_V d^3 x t^{00}, \qquad (1.59)$$

290 et l'on peut écrire

$$\begin{aligned} \frac{1}{c} \frac{dE_V}{dt} &= - \int_V d^3 x \partial_i t^{0i} \\ &= - \int_S dA n_i t^{0i}, \end{aligned} \qquad (1.60)$$
291 en posant $n_i$ les coordonnées du vecteur normal à une surface $S$ et $dA$ l'élément de surface. En 292 supposant cette surface $S$ comme étant une sphère de rayon $r$, de surface élémentaire $dA = r^2 d\Omega$ 293 et $\vec{n} = \vec{r}/|\vec{r}|$ on a $t^{00} = t^{0r}$ et $\frac{dE_V}{dt} = -c \int dA t^{00}$. Ainsi on obtient

$$ 
\begin{aligned}
\frac{dE_V}{dA dt} &= ct^{00} \\
&= \frac{c^3}{16\pi G} \langle \dot{h}_+^2 + \dot{h}_\times^2 \rangle.
\end{aligned} 
\quad (1.61) $$

294 Par intégration sur le temps on peut omettre les opérateurs de moyenne et ainsi écrire

$$ \frac{dE_V}{dA} = \frac{c^3}{16\pi G} \int_{-\infty}^{\infty} dt (\dot{h}_+^2 + \dot{h}_\times^2). \quad (1.62) $$

295 On définit le passage fréquentiel $\Leftrightarrow$ temporel par les transformations de Fourier suivantes

$$ h_{ab}(t) = 2 \int_{0}^{\infty} df \tilde{h}_{ab}(f) e^{-2\pi i f t} \quad (1.63) $$

$$ \tilde{h}_{ab}(f) = \int_{0}^{\infty} dt h_{ab}(t) e^{2\pi i f t} \quad (1.64) $$

297 On peut alors obtenir dans le domaine fréquentiel

$$ \frac{dE}{dA} = \frac{\pi c^3}{2G} \int_0^\infty df f^2 (|\tilde{h}_+(f)|^2 + |\tilde{h}_\times(f)|^2) \quad (1.65) $$

298 Finalement on en déduit l'expression générale du spectre de la densité d'énergie dans le domaine 299 fréquentiel

$$ \frac{dE}{df} = \frac{\pi c^3}{2G} f^2 r^2 \int d\Omega (|\tilde{h}_+(f)|^2 + |\tilde{h}_\times(f)|^2) \quad (1.66) $$

## 1.3 Sources et détections d'ondes gravitationnelles

301 On a vu que la relativité générale prédit l'existence d'ondes gravitationnelles. Dans cette partie 302 nous allons voir quels sont les instruments utilisés pour les détecter et quels sont les phénomènes 303 à l'origine de leur émission.

### 1.3.1 Détection des ondes gravitationnelles

305 **Première détection indirecte** La première détection des ondes gravitationnelles a été réa- 306 lisée à partir du pulsar binaire PSR B1913+16 découvert en 1974 par Russell Alan Hulse et 307 Joseph Hooton Taylor [12] qui est à l'origine du prix Nobel de 1993. La première mesure de la
décroissance du périastron du système a été faite sur 6.5 ans d'observations [13], les résultats acualisés (de 2015, avec une observation sur 38 ans [14]) sont représentés sur la figure 1.6. On remarque que les prédictions de la Relativité Générale incluant une perte d'énergie par émission d'ondes gravitationnelles correspondent parfaitement aux mesures réalisées[14]. Ce qui fait de cette observation la première détection indirecte d'ondes gravitationnelles.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 1.6: Décroissance orbitale du pulsar PSR B1913+16 en fonction du temps. La courbe représente les prédictions de la relativité générale. Les points représentent les mesures effectuées, les barres d'erreurs sont trop petites pour être visibles ici.[14]</figcaption></figure>

### 1.3.1.1 L'interférométrie terrestre

Aujourd'hui les ondes gravitationnelles sont détectées par des interféromètres laser. Il en existe quatre actuellement opérationnels : Deux détecteurs sur le sol américain LIGO, à Hanford et Livingston (US), un européen Virgo à Pise (Italie) et un Japonais KAGRA. La figure 1.8 représente le *range* soit la moyenne de l'horizon<fnref n="3" /> sur le ciel et l'orientation des systèmes binaires de chacun de ces détecteurs pour les différentes prises de données qui ont eu lieu ou qui auront lieu comme plannifié sur la figure 1.7. Dans le chapitre 6, une section spéciale sera attribuée à la discussion autour des résultats obtenus pendant O3.

Un cinquième détecteur de la collaboration LIGO, situé en Inde (Indigo) devrait rejoindre le réseau actuel pour le début de la cinquième prise de donnée prévue pour 2027.

Par ailleurs des détecteurs de troisième génération (3G) sont en cours de plannification. On en compte deux pour le moment : le détecteur européen Einstein Telescope (ET) qui sera souterrain et le détecteur américain Cosmic Explorer (CE) prévu en surface avec des bras de 40km de long.

<footnote n="3">3. L'horizon est calculé comme étant la distance maximale pour qu'une binaire d'étoiles à neutrons de chacune 1.4 masse solaire parfaitement orientée soit résolue.</footnote>
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 1.7: Plannification des prises de données des interféromètres de seconde génération.[15]. Ces estimations diffèrent de celle du texte en raison du retard pris lors de la pandémie de la COVID.</figcaption></figure>

Ces détecteurs prévoient des sensibilités bien meilleures que celles des détecteurs actuels et devraient prendre leurs premières données vers 2035. La sensibilité de ET est représentée sur la figure 1.9 (gauche). Ce détecteur prévoit la combinaison de deux interféromètres (ET-LF et ET-BF) pour être sensible sur une large bande de fréquences. Le projet CE dont la sensibilité est représentée sur la figure 1.9 (droite) prévoit deux phases de prise de données CE1 et CE2, avec une amélioration du détecteur entre les deux.

Un dernier projet moins avancé en terme de plannification pourrait voir le jour en Australie (NEMO). D'autres détecteurs sont présents sur la planète servant de recherche et dévoloppe-ment tels que TAMA ou GEO. La figure 1.10 représente le réseau de détecteurs prévus, et déja opérationnels.

### 1.3.1.2 Le réseau de pulsars

Les pulsars sont des étoiles à neutrons qui émettent un faisceau d'onde radio périodiquement en fonction de leur fréquence de rotation. En utilisant des pulsars bien connus et très stables dans leur fréquence de rotation on peut ainsi mesurer des déviations de quelques nanosecondes dans le temps d'arrivée des faisceaux dues au passage d'ondes gravitationnelles. Les pulsars utilisés (MSPs) ont une période de rotation de l'ordre de la milliseconde extèmement précise, cette spécificité permet de s'affranchir de perturbations telles que l'accrétion de matière où les tremblements de l'étoile. Cette méthode de détection est sensible aux ondes gravitationnelles de basses fréquences de l'ordre du nanohertz. Il existe 3 principales collaborations qui observent les pulsars :

- PPTA (Park Pulsar Timing array) : Collaboration Australienne qui utilise les données des télescopes Parkes, dans l'hemisphère sud.[18]
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 1.8: Sensibilités des interféromètres actuels prévues pour les prochaines prises de données.[15]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 1.9: Sensibilités des interféromètres de 3ᵉ génération. Einstein Telescope (ET)[16] à gauche et Cosmic Explorer[17] (CE) à droite.</figcaption></figure>

348

349

350

- NANOGrav (North American Nanohertz Observatory for Gravitational Waves) : La collaboration américaine, qui utilise les telescopes Green Bank et Arecibo pour observer 49 MSPs.[19]

351

- EPTA (European Pulsar Timing array) : Collaboration Européenne observe 76 MSPs à l'aide des 5 télescopes radio : le Effelsberg Radio Telescope en Allemagne (EFF), le

352
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 1.10: Carte des détecteurs terrestres en opération ou prévus par la communauté.</figcaption></figure>

353 Lovell Radio Telescope au Jodrell Bank Observatory (JBO) en Angleterre, le Nançay
354 Radio Telescope (NRT) en France, le Westerbork Synthesis Radio Telescope (WSRT)
355 aux Pays-Bas et le Sardinia Radio Telescope (SRT) en Italie. [20]

### 1.3.1.3 Le détecteur spatial LISA

357 Le projet de détection spatiale des ondes gravitationnelles LISA[21], est composé de trois modules de détection et d'émission laser en orbite dans l'espace autour d'un point de Lagrange avec 358 une distance de 2.5 millions de kilomètres. Les modules communiquent entre eux par faisceaux 359 laser et peuvent mesurer des déviations de distance entre eux signature du passage d'une onde 360 gravitationnelle. La mission devrait durer 10 ans dont 4 seraient consacrés à la prise de données. 361 Plusieurs configurations du détecteurs sont encore en cours d'étude notamment concernant le 362 nombre de bras du détecteurs 2 ou 3 [22]. En 2017, l'expérience LISA Pathfinder a terminé sa 363 prise de données. L'objectif de cette expérience était de tester les nouvelles technologies pour 364 la faisabilité du projet LISA. La mission est un grand succès, la résolution de LISA Pathfinder 365 supérieure aux attentes entre 60 millihertz et 1 hertz [23]. 366

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 1.11: Vue d'artiste du future détecteur spatial LISA. Crédits : ESA</figcaption></figure>
367

### 1.3.2 Les différentes sources d'ondes gravitationnelles

368

369

370

371

372

En règle générale toute accélération ou variation de masse qui présente une assymétrie sphérique est potentiellement une source d'ondes gravitationnelles. On distingue plusieurs categories de sources d'ondes gravitationnelles, j'ai choisi de construire ces catégories en fonction de la mé-thode d'analyse utilisée. La liste présentée ici n'est pas exhaustive mais présente les principales recherches qui sont faites à ce jour.

373

### Les sources sources impulsionnelles (burst)

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379

Les sources impulsionnelles [24] ont une durée courte (entre quelques millisecondes et quelques dizaines de secondes) et leur forme d'onde est souvent méconnue où mal modelisée. Elles sont recherchées comme des excès de puissance dans le détecteur. Dans cette catégorie nous retrouvons les explosions de supernova de type II (si il y a des mouvements assymétriques de masses). Ces phénomènes, pouvant théoriquement être vus avec les détecteurs aujourd'hui n'ont pas encore été observés. Leur détection est recherchée conjointement avec un signal neutrino.

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Les coalescences d'objets compacts ont une durée d'observation dans les détecteurs terrestres comparable à ces *burst*. Cependant leur forme d'onde est connue et bien modélisée, par consé-quent elles sont détectées avec une autre méthode, et un paragraphe indépendant leur sera consacré.

384

### Les sources périodiques

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Ce sont des sources qui émettent des ondes gravitationnelles en continu. Dans cette catégorie on retrouve les étoiles assymétriques en rotation et plus particulièrement les étoiles à neutrons et les sytèmes binaires d'objets compacts qui n'ont pas encore fusionné ou bien ne fusionneront pas dans le temps de Hubble. Ces sources sont attendues à toutes les fréquences, les étoiles en rotation dans les détecteurs 2G, les binaires compactes dans LISA et les coalescences de galaxies dans les reseaux de pulsars. Les ondes gravitationnelles de ces sources sont supposées quasi-monochromatiques et bien que leur amplitude soit faible elles peuvent être integrées sur une longue durée d'observation (plusieurs années).

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### Les coalescences d'objets compacts

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Les coalescences d'objets compacts de provenance stellaire sont le propos des travaux présentés dans ce manuscrit. Leur formation et les implications qui en découlent seront donc largement détaillées par la suite. Les étoiles en fin de vie, une fois que la nucléosynthèse s'arrête, ce qui rompt l'équilibre hydrodynamique, s'éffondrent pour éventuellement former un objet compact : naine blanche, étoile à neutrons ou trou noir. En système binaire ces objets émettent des ondes gravitationnelles en spiralant l'un autour de l'autre. De ce fait ils se rapprochent et leur fréquence
400 augmente jusqu'à ce qu'ils fusionnent. La durée d'une coalescence tel qu'elle est observée dans les détecteurs, est de quelques secondes pour des trous noirs de quelques masses solaires à quelques 401 minutes pour des étoiles à neutrons qui sont moins massives. Cependant en prenant en compte 402 la fréquence de départ d'émission d'onde gravitationnelles de ces binaires (quelques microhertz) 403 la coalescence de deux objets peut être beaucoup plus longue. Les coalescence de trous noirs 404 et d'étoile à neutrons sont d'ores et déjà observées par les détecteurs terrestres. A ce jour une 405 cinquantaine d'évènements ont été enregistrés en incluant les 3 périodes de prises de données des détecteurs LIGO et Virgo [25]. Certains modèles actuels prévoient également des objets compacts 406 plus exotiques qui ne seront pas étudiés ici tels que des étoiles à bosons [26] ou des quasars[27]. 407 408 plus exotiques qui ne seront pas étudiés ici tels que des

409 Avant le début de l'activité stellaire se serait hypothétiquement formés un autre type de trous 410 noirs dits primordiaux [28, 29]. Leur existence est fortement contrainte par la nature de la matière 411 sombre toujours non-identifiée à l'écriture de ce manuscrit. Ces trous noirs pourraient au même 412 titre que les trous noirs stellaire (avec des masses plus faible, entre quelques millièmes de masses 413 solaires et une dizaine de masses solaires) être en système binaire et ainsi être détectés avec les 414 interféromètres terrestres.

Les coalescences sont recherchées avec une méthode de matched filtering : Cette dernière consiste 415 à prédire les formes d'ondes qui pourraient être observées pour trois paramètres (les masses et le 416 spin effectif) et calculer le produit de corrélation des formes d'ondes théoriques avec les données 417 temporelles des détecteurs. 418

## Les cordes cosmiques

420 Les cordes cosmiques, sont des objets linéiques de longueur infinie ou sous forme de boucle qui se serait formés lors des transitions de phases de brisures de symétries. Si elles existent 421 leurs oscillations seraient à l'orginie d'émission d'ondes gravitationnelles [3] qui infomeraient sur 422 l'évolution de l'univers avant le début de l'activité stellaire. Leur contribution est attendue dans 423 une large bande de fréquence du micro Hertz au kilo Hertz, ce qui en fait une source intéressante 424 pour tous les détecteurs. Il existe plusieurs modèles sur les cordes cosmiques aussi elle sont 425 à la fois recherchées avec le matched filtering, avec les sources impulsionnelles.[30] présente les 426 dernières contraintes sur les modèles de cordes cosmiques mesurées avec les récentes données de 427 LIGO-Virgo (GWTC-2). 428

## Les sources cosmologiques participant au fond stochastique

430 Similairement au CMB détecté pour les ondes électromagnétiques, on s'attend à observer un fond stochastique provenant des ondes gravitationnelles primordiales. Le découplage des ondes 431 gravitationnelles aurait eu lieu quelques seconde après le Big Bang à l'ère de Planck et la période 432 d'inflation qui s'en suit prédit une grande amplification de ces ondes qui les rendrait détectables 433
434
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aujourd'hui. Ce fond stochastique donnerai alors des informations crucales sur les débuts de l'univers. Il est principalement recherché à basses fréquences par les réseaux de pulsars.

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On s'attend également à observer les ondes gravitationnelles venant des transitions de phases qui ont eu lieu dans l'univers primordial. Par exemple la plus récente est la transition QCD (Quantum Chromo-Dynamic), durant laquelle les quarks et les gluons passent d'un état déconfinés sous forme de plasma à un éta confiné sous forme de hadrons [3]. Les transitions de phases sont des évènements violents qui pourraient être à l'origine d'ondes gravitationnelles observables aujourd'hui. Pour plus de détails sur cette partie je recommande le chapitre 22 de [3]. Ces sources sont recherchées comme participant au fond stochastique cosmologique avec les trous noirs primordiaux et les cordes cosmiques non résolues, c'est à dire que l'on cherche un signal commun dans les détecteurs caractérisé par la somme des signaux émis par ces sources. Il est important de noter ici que le fond stochastique contient également des contributions astrophysiques non-résolues mentionnées dans les paragraphes précédents. Le chapitre 7 de ce manuscrit revient plus en détail sur le fond stochastique, le formalisme utilisé ainsi que sa méthode de détection.

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**Conclusion** Le figure 1.12 représente les différents détecteurs d'ondes gravitationnelles et les contributions de différentes sources en fonction de la fréquence.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 1.12: Représentation des sensibilités de différents détecteurs en fonction de la fréquence, et des sources d'ondes gravitationnelles potentiellement détectées. [31]</figcaption></figure>

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451

En résumé il existe des moyens de détection à basses fréquences les "Pulsar Timing array" qui ciblent un fond gravitationnel stochastique cosmologique, le détecteur spatial sensible aux
452 fréquences de l'ordre du millihertz qui espère observer des coalescences de binaires massives

453 telles que des coalescences de naines blanches ou encore des trous noirs supermassifs, et enfin

454 sensibles à quelques dizaines de hertz les détecteurs terrestres de 2ème et 3ème génération qui

455 observent d'ores et déjà des coalescences de trous noirs et d'étoiles à neutrons.
Bibliographie

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76

Première partie

77

Etude des bruits dans l'interféromètre

Virgo

78
# Chapitre 2

## Principe d'interférométrie dans le détecteur Virgo

Ce chapitre a pour objectif d'introduire le principe d'interférométrie appliqué au détecteur Virgo.

Dans une première partie est décrit l'impact du passage d'une onde gravitationnelle sur le signal de sortie de l'interféromètre ainsi que les améliorations instrumentales mise en place pour simplifier leur détection.

La seconde partie est consacrée à la définition de la sensibilité du détecteur au passage d'une onde gravitationnelle. Enfin la troisième partie énumère les bruit fondamentaux qui limite aujourd'hui les interféromètres terrestres de seconde génération.

### 2.1 Principe d'interférométrie dans le détecteur Virgo

Le passage d'une onde gravitationnelle se mesure sur Terre par la distorsion de l'espace-temps qu'elle provoque.

Dans cette partie nous allons développer le principe d'interférométrie utilisé aujourd'hui avec les détecteurs de seconde génération LIGO, Virgo et KAGRA présentés dans le chapitre 1.

L'intermérométrie de Michelson classique vient de l'expérience de Michelson et Morley de 1887 qui avait pour objectif de rechercher des variations de la vitesse de la lumière signature de l'existence de l'éther luminifère [1]. Bien que l'on utilise une version simplifiée de l'expérience réalisée par Michelson et Morley, c'est un montage parfaitement adapté à la mesure d'une perturbation de l'espace-temps. Un faisceau laser est injecté vers une lame semi-réfléchissante orienté à 45° que l'on appelera séparatrice et qui scinde le faisceaux en deux nouveaux faisceaux identiques avec chacun la moitié de la puissance du faisceau incident. Chacun de ces deux faisceaux parcours un des bras *x* ou *y* du détecteur puis est réfléchi par les miroirs $M_x$ et $M_y$ pour revenir sur la séparatrice se recombiner et interférer. Le signal recombiné est mesuré avec un photo-détecteur ici appellé B1 pour mettre en évidence une variation de puissance s'expliquant par un déphasage des signaux dû a une variation de la longueur d'un (ou deux) miroirs.
25 bras de l'interféromètre, signature du passage d'une onde gravitationnelle (OG). Par la suite on notera $\omega_{laser} = 2\pi f_{laser}$ la pulsation du laser, sa longueur d'onde $\lambda_{laser} = \frac{2\pi c}{\omega_{laser}}$ et $\omega_{gw} = 2\pi f_{gw}$ celle de l'onde gravitationnelle.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 2.1: Schéma de principe d'un interféromètre de Michelson. B1 est la photodiode de lecture du signal recombiné (en accord avec l'instrument Virgo), et en rouge est représentée la propagation du faisceau laser.</figcaption></figure>

## 2.1.1 Réponse de l'interféromètre au passage d'une onde gravitationnelle

29 Dans un premier temps nous pouvons évaluer le temps d'un aller-retour d'un photon dans l'un des deux bras du détecteur de longueur $L_x$. Un élément de longueur invariant pour un photon 30 dans un champ $g_{\alpha\beta}$ perturbé par le passage d'une OG s'écrit :

$$ds^2 = 0 = g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx_\beta = \eta_{\alpha\beta}dx^\alpha dx_\beta + h_{\alpha\beta}dx^\alpha dx_\beta. \qquad (2.1)$$

32 Considérons maintenant une OG polarisée '+' d'amplitude $h_+(t)$ se propageant perpendiculairement au plan du détecteur selon l'axe z. Cette onde peut s'écrire :

$$h_+(t) = h_0\cos(\omega_{gw}t). \qquad (2.2)$$

34 L'intervale d'espace-temps dans la jauge transverse et sans trace dans ces conditions s'écrit quant à lui :

$$ds^2 = 0 = -c^2dt^2 + [1 + h_+(t)]dx^2 + [1 - h_+(t)]dy^2 + dz^2. \qquad (2.3)$$
36 Au premier ordre en $h_0$, pour un photon se propageant selon l'axe $x$ l'équation précédente donne

$$dx = \pm c \, dt \left[1 - \frac{1}{2} h_+(t)\right]. \qquad (2.4)$$

37 Avec le + correspondant au voyage aller des photons (de la séparatrice vers le miroir) et le – au
38 voyage retour. On suppose que le photon quitte la séparatrice à $t_0$ et atteint le miroir à $t_1$. Le
39 miroir est placé à une coordonnée $x = L_x$ et la séparatrice à $x = 0$. Ainsi pour le trajet aller en
40 intégrant l'équation (2.4) on obtient :

$$\begin{gathered} \int_0^{L_x} dx = \int_{t_0}^{t_1} c \, dt' - \frac{c}{2} \int_{t_0}^{t_1} h_+(t') \, dt' \tag{2.5} \\ L_x = c(t_1 - t_0) - \frac{c}{2} \int_{t_0}^{t_1} h_+(t') \, dt'. \end{gathered}$$

41 De la même manière on évalue le trajet retour

$$L_x = c(t_2 - t_1) - \frac{c}{2} \int_{t_1}^{t_2} h_+(t') \, dt'. \qquad (2.6)$$

42 Ainsi pour un aller-retour dans le bras $x$ dont on nomme la durée $\tau_{arx}$, on fait la somme des
43 équations (2.5) et (2.6)

$$\begin{gathered} \frac{2L_x}{c} = (t_2 - t_0) - \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_2} h_+(t') dt' \qquad (2.7) \\ \tau_{arx} = t_2 - t_0 = \frac{2L_x}{c} + \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_2} h_+(t') dt'. \end{gathered}$$

44 On définit donc la durée de l'aller-retour dans le bras $x$ et celle dans le bras $y$ par $\tau_{arx}$ et $\tau_{ary}$
45 respectivement. En supposant la variation de longueur due au passage d'une OG très petite
46 $\delta l \ll 2L_x$, on peut approximer la borne supérieure de l'intégrale $t_2 \sim 2L_x/c$.

$$\tau_{arx} = \frac{2L_x}{c} + \frac{1}{2} \int_{t_0}^{2L_x/c} h_+(t) dt. \qquad (2.8)$$

47 Ce qui nous donne en considérant $h_+(t) = h_0 \cos(\omega_{gw}t)$ :

$$\begin{align} \tau_{arx} &= \frac{2L_x}{c} + \frac{h_0}{2\omega_{gw}} [\sin(\omega_{gw}(t_0 + 2L_x/c)) - \sin(\omega_{gw}t_0)] \tag{2.9} \\ \tau_{ary} &= \frac{2L_y}{c} - \frac{h_0}{2\omega_{gw}} [\sin(\omega_{gw}(t_0 + 2L_y/c)) - \sin(\omega_{gw}t_0)] \nonumber \end{align}$$
En utilisant l'identité $\sin(\alpha + 2\beta) - \sin\alpha = 2\sin\beta \cos(\alpha + \beta)$ et la définition du sinus cardinal $\operatorname{sinc}(\alpha) = \sin(\alpha)/\alpha$ on peut ré-écrire les expressions précédentes :

$$ 
\begin{aligned}
\tau_{arx} &= \frac{2L_x}{c} + \frac{L_x}{2c\omega_{gw}}h_+(t_0 + L_x/c)\operatorname{sinc}(\omega_{gw}L_x/c) \\
\tau_{ary} &= \frac{2L_y}{c} - \frac{L_y}{2c\omega_{gw}}h_+(t_0 + L_y/c)\operatorname{sinc}(\omega_{gw}L_y/c)
\end{aligned}
\qquad (2.10) $$

En pratique on fixe $t_2 = t$ et $h(t_0 + L_x/c)$ devient $h(t - 2L_x/c + L_x/c) = h(t - L_x/c)$.

Ainsi le déphasage induit dans les bras $x$ et $y$ peut s'écrire

$$ 
\begin{aligned}
\Delta\phi_x &= \frac{L_x\omega_{gw}}{c}h_+(t - L_x/c)\operatorname{sinc}(\omega_{gw}L_x/c) \\
\Delta\phi_y &= -\frac{L_y\omega_{gw}}{c}h_+(t - L_y/c)\operatorname{sinc}(\omega_{gw}L_y/c)
\end{aligned}
\qquad (2.11) $$

Le déphasage global lors de la recombinaison des signaux dans l'interféromètre est défini par la différence de phases entre les deux bras. En notant $L = \frac{L_x - L_y}{2}$ et en remplaçant dans les calculs temporels $2L_x = 2L + (L_x - L_y)$ et $2L_y = 2L - (L_x - L_y)$ on obtient $\Delta\phi_x = -\Delta\phi_y$ et ainsi une expression de la phase du signal recombiné $\phi(t) = \phi_0 + \Delta\phi_x$ dans laquelle l'information quant à la longueur de chacun des bras $L_x$ et $L_y$ est contenue dans le terme $\phi_0 = \omega_{gw}c(L_x - L_y)$. On notera le déphasage mesuré $\Delta\phi_{Mich}$ :

$$ 
\begin{aligned}
\Delta\phi_{Mich}(t) &= \Delta\phi_x(t) - \Delta\phi_y(t) = 2\Delta\phi_x \\
&= \frac{2h_0\omega_{gw}c}{L}\operatorname{sinc}(\omega_{gw}L/c)\cos[\omega_{gw}(t - L/c)] \qquad (2.12) \\
&\equiv 2|\Delta\phi_x|\cos[\omega_{gw}(t - L/c)],
\end{aligned}
$$

On a ainsi l'amplitude du déphasage

$$ |\Delta\phi_x| = \frac{h_0\omega_{gw}L}{c}\operatorname{sinc}(\omega_{gw}L/c). \qquad (2.13) $$

Ce déphasage est mesuré comme une variation de puissance par le photodétecteur. Soit $r_x$ et $r_y$ les indices de réflexion des miroirs $M_x$ et $M_y$ (voir Fig.2.1). On note $r$ la reflectivité moyenne
61 $r = \frac{r_x+r_y}{2}$ et $\Delta r = \frac{|r_x-r_y|}{2}$. La puissance transmise $P_t$ au photodétecteur est définie comme :

$$P_t = \frac{P_0}{2}(r^2 + \Delta r^2) \left( 1 - \frac{r^2 - \Delta r^2}{r^2 + \Delta r^2} \cos(\phi(t)) \right). \qquad (2.14)$$

62 On peut évaluer les extremums de la puissance à partir de (2.14), et du contraste $C$ :

$$P_{max} = P_0 r^2, \quad P_{min} = P_0 \Delta r^2, \quad C = \frac{r^2 - \Delta r^2}{r^2 + \Delta r^2}. \qquad (2.15)$$

63 Pour simplifier les expressions suivantes on utilisera le contraste dans l'approximation où $r_x \approx r_y \approx 1$ par conséquent $\Delta r \ll 1$ soit $P_{max} \approx P_0$ :

$$C \approx 1 - 2\Delta r^2. \qquad (2.16)$$

65 On peut aussi écrire la puissance totale transmise à la photodiode en fonction de $C$ et de $\Delta\phi_{Mich}$ :

$$\begin{aligned} P_t &= P_0 C \sin^2[\phi_0 + \Delta\phi_x] \\ &= \frac{P_0 C}{2} \{1 - \cos[2\phi_0 + \Delta\phi_{Mich}]\}. \end{aligned} \qquad (2.17)$$

66 On introduit la variation de puissance au passage d'une OG, $\delta P_{GW}$ :

$$\begin{aligned} \delta P_{GW} &= \frac{\partial P_t}{\partial \Delta\phi_{Mich}} \Delta\phi_{Mich}(t) \\ &= P_0 C \sin(2\phi_0) \Delta\phi(t) \\ &= P_0 C \sin(2\phi_0) 2|\Delta\phi_x| \cos[\omega_{gw}(t - L/c)]. \end{aligned} \qquad (2.18)$$

67 Finalement en rempaçant $|\Delta\phi_x|$ par son expression (2.13) on peut écrire la forme globale de la variation de puissance :

$$\delta P_{GW} = \frac{P_0 C \sin(2\phi_0) 2h_0 \omega_{gw} L}{c} \text{sinc}(\omega_{gw} L/c) \cos[\omega_{gw}(t - L/c)]. \qquad (2.19)$$

69 Cette dernière équation propose deux solutions pour amplifier la variation de puissance signature du passage d'une onde gravitationnelle : augmenter la longueur des bras $L$ et la puissance du laser $P_0$.

## 2.1.2 Amélioration de la variation de puissance

73 Les cavités Fabry-Perot Les cavités Fabry-Perot (FP) [2] représentées figure 2.2, consistent à ajouter un miroir d'entrée dans chacun des bras de l'interféromètre pour permettre aux photons
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 2.2: Schéma de principe de l'amélioration d'un interféromètre avec le miroir de recyclage de puissance, les cavités Fabry-Pérot et le miroir de recyclage du signal. Crédits LIGO Caltech</figcaption></figure>

de faire plusieurs aller-retours et ainsi augmenter la distance effective parcourue $L$. La longueur de chacune de ces cavités est ajustée pour être un multiple de $\lambda_{laser}/2$. On peut ainsi définir $<N>$ le nombre moyen d'aller retours du faisceau dans chacun des bras : $<N> = 2F/\pi$ où $F$ est la finesse de la cavité définie à partir des reflectivités $r_1$ et $r_2$ des miroirs d'entrée et de sortie respectivement :

$$F = \frac{\pi \sqrt{r_1 r_2}}{1 - r_1 r_2}. \qquad (2.20)$$

On peut ré-écrire le déphasage en fonction de la finesse de la cavité :

$$ \begin{aligned} \Delta\phi_{FP}(t) &= \langle N \rangle \Delta\phi_{Mich}(t) \\ &= \frac{4F}{\pi} |\Delta\phi_x| \cos[\omega_{gw}(t - L/c)]. \end{aligned} \qquad (2.21) $$

Ces cavités FP peuvent être chacune modelisées par un miroir équivalent dont la reflectivité $r_{FP}$ s'écrit :

$$r_{FP} = -\rho_{FP} e^{i\Delta\phi_{FP}}. \qquad (2.22)$$

Si la cavité est en résonance la phase de la reflectivité du miroir équivalent est $\Delta\phi_{FP}$ (2.21) et le module est :

$$\rho_{FP} = \left| \frac{r_1 - (1 - P_1)r_2}{1 - r_1 r_2} \right|. \qquad (2.23)$$

Dans cette dernière equation $P_1$ représente les pertes de puissance sur le miroir d'entrée de la cavité.
87 Miroir de recyclage Une seconde étape pour améliorer la variation de puissance (2.19) due au passage d'une onde gravitationnelle est d'augmenter la puissance du laser $P_{bs}$ à l'arrivée sur la séparatrice. En ajoutant un miroir de recyclage (power recycling mirror) comme présenté sur la figure 2.2 le faisceau fait plusieurs aller-retours dans la cavité de recyclage avant d'atteindre la séparatrice ce qui lui permet de monter en puissance. On note $G_{rec}$ le facteur de recyclage tel que :

$$P_{bs} = P_0 G_{rec}. \qquad (2.24)$$

93 En notant $t_{rec}$ et $r_{rec}$ le facteur de transmission et la reflectivité du miroir de recyclage on peut exprimer $G_{rec}$ de la façon suivante :

$$G_{rec} = \frac{t_{rec}^2}{(1 - r_{rec} \rho_{FP})^2}. \qquad (2.25)$$

95 A l'aide de ces deux améliorations on peut ré-exprimer la variation de puissance due au passage d'une onde gravitationnelle (2.19) :

$$ \begin{align} \delta P_{GW} &= \frac{\partial P_t}{\partial \phi} \Delta \phi(t) \nonumber \\ &= \frac{P_{bs}}{2} C \sin(2\phi_0) \Delta \phi_{FP}(t) \tag{2.26} \\ &= \frac{P_0 G_{rec}}{2} C \sin(2\phi_0) \frac{4F}{\pi} |\Delta\phi_x| \cos[\omega_{gw}(t - L/c)]. \nonumber \end{align} $$

97 2.1.3 Point de fonctionnement

Le point de fonctionnement de l'interféromètre est un paramètre choisi par les expérimentateurs pour rendre le détecteur sensible à la variation de puissance due au passage d'une onde gravitationnelle. Dans la cas de Virgo il s'agit de fixer la valeur de la phase $\phi_0$ mentionnée précédemment. La figure 2.3 représente le rapport $P(\phi)/P_0$, intuitivement le point de fonctionnement serait $\phi_0 = \pi/4$ pour maximiser la dérivée $\partial P/\partial \phi_0$. Cependant comme l'on mesure la variation de puissance il devient difficile de différencier les variations de puissance dues au passage d'une onde gravitationnelle des fluctuations de puissance du laser. Une seconde idée souvent utilisée pour les instruments de détection est de choisir le point de fonctionnement tel que lorsqu'il n'y a pas d'observation le signal soit nul, dans le cas des interféromètres il s'agit de la frange noire représentée par le point 2 sur la figure 2.3. Alors l'interféromètre devient insensible aux fluctuations de puissance du laser et toute déviation serait due au passage d'une onde gravitationnelle. L'inconvénient de cette seconde approche est que la dépendance du signal serait en $h^2$ ce qui rendrait les ondes gravitationnelles dont l'amplitude est de l'ordre de $10^{-21}$ difficile à détecter. Ainsi dans la cas du détecteur Virgo on place le point de fonctionnement à proximité de la frange
112 noire comme représenté par X sur la figure et la dépendance en h pour de petites variations de la phase devient linéaire (pointillés rouge).

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 2.3: Puissance $P(\phi)/P_0$ en fonction de la phase. 1 : Point de fonctionnement 'intuitif', 2 : Frange noire, X : Point de fonctionnement choisi.</figcaption></figure>

113

## 2.2 Définition de la sensibilité

On caractérise un interféromètre par sa sensibilité au passage d'une onde gravitationnelle. Cette sensibilité est limitée par les bruits instrumentaux ou fondamentaux qui s'appliquent au détecteur. Les bruits fondamentaux seront développés dans la partie suivante de ce chapitre. Dans cette partie je vais définir la sensibilité et développer sa dépendance angulaire.

### 2.2.1 La densité spectrale de bruit

Imaginons le détecteur comme un système linéaire représenté sur le figure 2.4. Le signal récupéré en sortie du détecteur est une série temporelle résultant de la recombinaison des signaux des deux bras. Contrairement aux signaux d'entrée de de sortie qui sont scalaires, l'onde gravitationnelle est décrite par le tenseur $h_{ij}$ et son signal temporel s'écrit :

$$h(t) = D^{ij}h_{ij}(t), \qquad (2.27)$$

où $D^{ij}$ est un tenseur constant dépendant de la géométrie de l'interféromètre.

Le signal de sortie est alors décrit par :

$$\tilde{h}_{out}(f) = T(f)\tilde{h}(f), \qquad (2.28)$$
avec $T(f)$ la fonction de transfert du détecteur. Cependant le signal de sortie $s_{out}(t)$ du système est pollué par du bruit $n_{out}$ :

$$s_{out}(t) = h_{out}(t) + n_{out}(t). \qquad (2.29)$$

On suppose le bruit $\tilde{n}(f)$ le signal d'entrée virtuel dont résulte la quantité $\tilde{n}_{out}(f)$ en sortie du détecteur lorqu'il n'y a aucune génération de bruit dans le système :

$$\tilde{n}(f) = T^{-1}(f)\tilde{n}_{out}(f). \qquad (2.30)$$

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 2.4: Schéma de propagation des signaux dans l'interféromètre.</figcaption></figure>

Le signal virtuel $n(t)$ peut être comparé à $h(t)$ via l'expression du signal d'entrée :

$$s(t) = h(t) + n(t). \qquad (2.31)$$

L'avantage de se référer à $n(t)$ plutôt qu'à $n_{out}(t)$ est que cela nous permet de définir la plus petite quantité $h(t)$ d'un signal pour qu'il soit détectable. Dans ce sens $n(t)$ est le bruit du détecteur que l'on suppose stationnaire, ses différentes composantes de Fourier ne sont pas corrélées entre elles. La moyenne d'ensemble des composantes de Fourier du bruit s'écrit :

$$\langle \tilde{n}^*(f) \tilde{n}(f') \rangle = \delta(f - f') \frac{1}{2} S_n(f). \qquad (2.32)$$

Dans cette dernière équation le facteur $1/2$ vient du fait que $S_n$ n'est défini que sur les fréquences positives. A partir de cette dernière équation on peut définir la densité spectrale de bruit $S_n(f)$ (single-side spectral density) qui a pour dimension $Hz^{-1}$. Pour $f = f'$ on approxime

$$\delta(f = 0) \rightarrow \left[ \int_{-T/2}^{T/2} dt e^{2\pi i f t} \right]_{f=0} = T. \qquad (2.33)$$

Avec $T$ le temps de mesure du signal $\tilde{n}(f)$ on obtient d'après l'équation (2.32)

$$\langle |\tilde{n}(f)|^2 \rangle = \frac{1}{2} S_n(f) T, \qquad (2.34)$$

Avec $\Delta f = \frac{1}{T}$, la résolution en fréquence, la densité spectrale de bruit peut s'écrire :

$$S_n(f) = 2 \langle |\tilde{n}(f)|^2 \rangle \Delta f. \qquad (2.35)$$

Le bruit du détecteur est le plus souvent caractérisé par $\sqrt{S_n(f)}$, appelé le spectre filtré de la sensibilité (spectral strain sensitivity) ou encore amplitude spectrale (spectral amplitude).
142 **Rapport signal sur bruit** A partir de la densité spectrale de bruit définie précédemment on peut introduire la notion de signal sur bruit $\frac{S}{N}$. Par définition on écrit

$$ \left(\frac{S}{N}\right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\tilde{h}(f)|^2}{|\tilde{n}(f)|^2} df, \qquad (2.36) $$

144 ce qui peut s'exprimer en fonction de $S_n(f)$ avec l'équation 2.35 :

$$ \left(\frac{S}{N}\right)^2 = 4 \int_{0}^{\infty} \frac{|\tilde{h}(f)|^2}{S_n(f)} df, \qquad (2.37) $$

145 où bien en terme de variation de puissance entre celle induite par l'onde gravitationnelle $\Delta P_{GW}$ et celle induite par le bruit $\Delta P_{noise}$ :

$$ \left(\frac{S}{N}\right) = \frac{\Delta P_{GW}}{\Delta P_{noise}}. \qquad (2.38) $$

147 Son expression se simplifie selon les différentes méthodes d'analyse utilisées, pour la suite de ce chapitre nous supposons l'analyse d'un signal périodique arrivant avec un angle optimal sur le détecteur. Dans ce cas l'équation (2.37) devient

$$ \frac{S}{N} = \frac{1}{2} \left[ \frac{T}{S_n(f)} \right]^{1/2} h_0. \qquad (2.39) $$

150 **2.2.2 Sensibilité angulaire**

151 Dans le chapitre 1 nous avons montré qu'une onde gravitationnelle qui se propage dans la direction $\hat{n}$ peut s'écrire comme dans (1.51) :

$$ h_{ab}(t) = \sum_{A=+, \times} e_{ab}^{A}(\hat{\mathbf{n}}) \int_{-\infty}^{+\infty} df \tilde{h}_{ab}^{A}(f) e^{-2i\pi f(t-\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{x}/c)}, \qquad (2.40) $$

153 $\mathbf{x}$ est le vecteur de coordonnées spatio-temporelles, et l'on choisit la position du détecteur $\mathbf{x} = 0$. 154 $e_{ab}^A$ sont les matrices des polarisations $+$ et $\times$ du détecteur définies (1.50). Pour les interféromètres 155 terrestres on a $2\pi f \hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{x} = \frac{\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{x}}{\lambda/c} \ll 1$ et l'on peut négliger la dépendance spatiale de $h_{ab}(t, \mathbf{x})$, on a 156 alors $\lambda_{GW} \gg \lambda_{laser}$ et ainsi :

$$ \begin{aligned} h_{ab}(t) &= \sum_{A=+, \times} e_{ab}^{A}(\hat{\mathbf{n}}) \int_{-\infty}^{+\infty} df \tilde{h}_{a}(f) e^{-2\pi i f t} \\ &= \sum_{A=+, \times} e_{ab}^{A}(\hat{\mathbf{n}}) h_{A}(t). \end{aligned} \qquad (2.41) $$
En combinant cette équation avec celle du signal d'entrée dans le détecteur (2.27) on obtient :

$$h(t) = \sum_{A=+, \times} D^{ab} e_{ab}^{A}(\hat{n}) h_{A}(t). \qquad (2.42)$$

On définit alors les facteurs d'antennes du détecteur

$$F_A(\hat{n}) = D^{ab} e_{ab}^A(\hat{n}). \qquad (2.43)$$

Les facteurs d'antennes dépendent de la direction de propagation $\hat{n}$, on peut ré-écrire la forme d'onde $h(t)$ :

$$h(t) = h_{+}(t)F_{+}(\theta, \phi) + h_{\times}(t)F_{\times}(\theta, \phi). \qquad (2.44)$$

En écrivant la rotation d'angle $\theta$ sur $y$ et $\phi$ autour de l'axe $z$ conformément à la figure 2.5, on peut retrouver les expressions des facteurs d'antennes. $h_+$ et $h_\times$ sont définis par rapport au détecteur aussi la matrice de rotation utilisée ici ne prend pas en compte le troisième angle de rotation qui serait nécessaire. On écrit la matrice de rotations $\mathcal{R}$ :

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 2.5: Représentation du système de coordonnées utilisé. Le détecteur est représenté en rouge.</figcaption></figure>

$$\mathcal{R} = \begin{pmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix}. \qquad (2.45)$$
En notant $h'_{ij}$ l'équation d'onde dans son repère initial on peut l'exprimer dans le repère du détecteur comme

165
166

$$h_{ij} = \mathcal{R}_{ik} \mathcal{R}_{jl} h'_{kl} \qquad (2.46)$$

On obtient alors

167

$$ \begin{aligned} h_{xx} &= h_+(\cos^2\theta \cos^2\phi - \sin^2\phi) + 2h_\times \cos\theta \sin\theta \cos\phi \\ h_{yy} &= h_+(\cos^2\theta \sin^2\phi - \cos^2\phi) + 2h_\times \cos\theta \sin\theta \cos\phi \end{aligned} \qquad (2.47) $$

Ce qui nous donne pour l'expression de $h(t)$ :

$$h(t) = \frac{1}{2}(h_{xx} - h_{yy}) = \frac{1}{2}h_+(t)(1 + \cos^2\theta)2 \cos\phi + h_\times(t)\cos\theta \sin(2\phi). \qquad (2.48)$$

On retrouve les expressions des facteurs d'antennes $F_A(\theta, \phi)$

$$ \begin{aligned} F_+(\theta, \phi) &= \frac{1}{2}(1 + \cos^2\theta)\cos2\phi, \\ F_\times(\theta, \phi) &= \cos\theta\sin(2\phi). \end{aligned} \qquad (2.49) $$

L'efficacité angulaire $F$ du détecteur est un paramètre défini comme :

$$F^2 = \langle F_+^2 \rangle + \langle F_-^2 \rangle \qquad (2.50)$$

La figure 2.6 représente les facteurs d'antenne du détecteur Virgo pour les deux polarisations de l'onde gravitationnelle.

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## 2.3 Les bruits fondamentaux

Dans cette partie sont énumérés les bruits fondamentaux qui limitent aujourd'hui les interféromètres terrestres. On distingue deux catégories de bruits : les bruits quantiques qui viennent de la nature quantique de la lumière et les bruits de déplacement qui génèrent un mouvement des miroirs de l'interféromètre.

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### 2.3.1 Bruits de photons ou bruit de grenaille

Le bruit de photon résulte de l'incertitude sur le dénombrement des photons détectés. Le nombre de photons est distribué suivant une loi de Poisson. On a alors une moyenne de $N_\gamma$ photons sur

179
180
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 2.6: Représentation des facteurs d'antennes $F_+$ (gauche) et $F_-$ (droite). La séparatrice du détecteur est supposée en 0 et les bras suivent les axes $x$ et $y$.</figcaption></figure>

181 le photodétecteur avec une incertitude $\sigma_{N_\gamma} = \sqrt{N_\gamma}$. La puissance $P$ reçue par le photodétecteur s'exprime :

$$P = \frac{N_{\gamma} h_{p} \omega_{laser}}{2\pi}, \qquad (2.51)$$

183 où $h_p$ est la constante de Planck, et $T$ la durée d'exposition pour obtenir $N_\gamma$ photons sur le détecteur (en moyenne).

185 Ainsi l'incertitude sur la puissance détectée peut s'écrire :

$$\delta P_{\gamma} = \frac{\sqrt{N} h_{p} \omega_{laser}}{2\pi}. \qquad (2.52)$$

186 En remplaçant $N_\gamma$ par son expression obtenue avec 2.51 on obtient :

$$\delta P_{\gamma} = \left( \frac{P h_{p} \omega_{laser}}{2\pi} \right)^{1/2}. \qquad (2.53)$$

187 En l'absence d'ondes gravitationnelles $P$ peut s'exprimer en fonction de la puissance reçue par la séparatrice $P_{bs}$ et l'efficacité du photodétecteur $\eta$

$$P = \eta P_{bs} |\sin(\phi_0)|^2. \qquad (2.54)$$

189 Prenant en compte le facteur de recyclage de la cavité présenté équation (2.24) on peut écrire :

$$P = \eta G_{rec} P_0 |\sin(\phi_0)|^2. \qquad (2.55)$$
190 Cette dernière équation peut être réinjectée dans (2.53) :

$$ \delta P_{\gamma} = \left( \frac{\eta G_{\text{rec}}}{T} P_0 \frac{h_p \omega_{\text{laser}}}{2\pi} \right)^{1/2} |\sin(\phi_0)|. \qquad (2.56) $$

191 En injectant (2.56) et (2.26) dans l'expression (2.37) on peut écrire le rapport signal sur bruit 192 dans le cas du bruit de photons :

$$ \frac{S}{N} = \left( \frac{P_0 \eta G_{\text{rec}} T}{2\pi h_p \omega_{\text{laser}}} \right)^{1/2} L \cos\phi_0 \frac{4\mathcal{F}}{\pi}. \qquad (2.57) $$

193 En comparant avec l'expression 2.39 on obtient une expression de la densité spectrale du bruit 194 de photons $S_n(f)|_{\gamma}^{1/2}$ :

$$ S_n(f)|_{\gamma}^{1/2} = \frac{\pi}{8\mathcal{F} L \cos\phi_0} \left( \frac{2\pi h_p \omega_{\text{laser}}}{P_0 \eta G_{\text{rec}}} \right)^{1/2} \qquad (2.58) $$

## 2.3.2 Pression de radiation

196 Les photons arrivant sur un miroir exercent une pression sur celui-ci. Cette pression dépend du 197 nombre de photons arrivant sur le miroir, et par conséquent n'est pas constante. La force est 198 dépendante de la puissance du laser, et entraîne des fluctuations quantiques variant en $\sqrt{P}$. Une 199 solution pour réduire le bruit de grenaille détaillé dans le paragraphe précédent est d'augmenter la 200 puissance du laser, ce qui a pour effet d'augmenter également la pression de radiation exarcée par 201 les photons sur les miroirs. Considérons un faisceau laser de puissance P qui arrive sur un miroir 202 perpendiculairement. Lors de la réflexion, chaque photon change sa quantité de mouvement de 203 $-\mathbf{p}$ à $\mathbf{p}$ et transfère alors une impulsion $2|\mathbf{p}|$ au miroir. La force exercée par ce faisceau est alors 204 $F = 2P/c$, et à partir de l'expression (2.56) on peut écrire :

$$ \Delta F = 2\sqrt{\frac{h_p \omega_{\text{laser}} P}{c^2 T}}. \qquad (2.59) $$

205 La densité spectrale de cette force $S_F$ est donnée par :

$$ S_F^{1/2} = 2\sqrt{\frac{2h_p \omega_{\text{laser}} P}{c^2}}. \qquad (2.60) $$
En notant $M$ la masse d'un miroir on obtient pour un interféromètre de Michelson simple la densité spectrale de la pression de radiation $S_n|_{rad\ pres}$ :

$$S_n(f)|_{rad\ pres}^{1/2} = \frac{1}{M L(\pi f)^2} \sqrt{\frac{2\pi h_p \omega_{laser} P}{c^2}}. \qquad (2.61)$$

**Limite quantique** Les deux sources de bruit détaillées précédemment (bruit de grenaille et bruit de pression de radiation) proviennent des effets quantiques de la lumière et contribuent au bruit quantique du détecteur.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 2.7: Représentation du bruit quantique du détecteur.</figcaption></figure>

Le bruit quantique est le bruit dominant de l'interféromètre, et un des enjeux des amélioration de Virgo et des détecteurs futurs est de le réduire. Cependant comme vu précédemment l'augmentation de la puissance du laser permet d'améliorer le bruit de photons mais détériore le bruit de pression de radiation. Une solution pour palier ce problème est d'utiliser le *squeezing* dépendant de la fréquence qui permettrait de diminuer les fluctuations de la phase aux hautes fréquences et d'améliorer le bruit de pression de radiation aux basses fréquences.

### 2.3.3 Bruit Sismique

Autour de 1Hz le bruit sismique vient de différentes contributions : l'activité humaine et l'activité de la mer (vagues qui frappent la côte). Cependant il faut additionner à ce bruit, le fond sismique due aux mouvements de la surface terrestre. La densité spectrale de ce bruit s'écrit de la forme suivante :

$$S_n(f)|_{sis} = \frac{10^{-7}}{L f^2} \qquad (2.62)$$
En pratique ce bruit peut être atténué par l'utilisation de suspensions. Les suspensions sont composées de N étages de pendules ayant chacun une fréquence de résonnance de $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$.

Le facteur d'atténuation de la sensibilité pour la suspension est alors $(f_0^2/f^2)^N$, et l'expression de la contribution de ce bruit à la sensibilité devient alors :

$$S_n(f)|_{sis} = \frac{10^{-7}}{L f^2} \left(\frac{f_0^2}{f^2}\right)^N \qquad (2.63)$$

Pour un fonctionnement optimal il faut alors choisir $f_0$ aussi petit que possible, cela signifie que le bruit sismique est à l'origine de la limite basse de la fréquence de détection ~ 10Hz des interféromètres terrestres.

### 2.3.4 Bruit Newtonien

Le bruit newtonien quant à lui ne peut pas être atténué. Il provient des forces gravitationnelles newtoniennes agissant sur les miroirs dûs aux objets en mouvement, du bruit sismique et des variation de densités de l'atmosphère (par exemple le bruit acoustique). Pour un spectre de mouvement du sol $\tilde{x}_g$, la densité spectrale du bruit Newtonien peut s'écrire [3] en fonction de la densité massique du sol à proximité de l'instrument :

$$S_n(f)|_{newt} = \frac{G}{\sqrt{3\pi}} \frac{\rho \tilde{x}_g}{L f^2} \qquad (2.64)$$

### 2.3.5 Le bruit thermique

Le bruit thermique est généré par les vibrations des atomes liées à la température. Par conséquent ce bruit s'applique aux suspensions et aux miroirs. Cet effet peut être modélisé par le théorème fluctuation-dissipation [4]. Ce théorème permet de construire une relation entre le spectre de puissance des forces de fluctuation thermiques $F(\omega)$ appliquée à une observable $x(\omega)$ du système et l'impédance de ce dernier $Z(\omega)$ de la manière suivante :

$$Z(\omega) = \frac{F(\omega)}{v(\omega)}, \qquad (2.65)$$

où $v(\omega) = i\omega x(\omega)$, $F(\omega)$ est la force appliquée à l'observable $x$ et $\omega$ est la fréquence angulaire. En définissant l'acceptance $Y(f) = Z(f)^{-1}$ on peut écrire le spectre de puissance de la fluctuation de l'observable $x$ :

$$S_n(f)|_{th} = \frac{4k_b T}{\omega^2} \mathcal{R}e\{Y(\omega)\}, \qquad (2.66)$$
244 avec $k_b$ la constante de Boltzmann et $T$ la température. En écrivant dans le domaine temporel la force $F(t) = F_0\cos(\omega t)$, on peut décomposer l'admittance entre partie réelle et imaginaire pour obtenir une expression de $v(t)$ :

$$v(t) = F_0 \mathrm{Re}\{Y(\omega)\} \cos(\omega t) + F_0 \mathrm{Im}\{Y(\omega)\} \sin(\omega t) \quad (2.67)$$

247 La puissance dissipée $W_{diss}$ est la moyenne de l'intégrale temporelle du produit scalaire de $\vec{F}$ et $\vec{v}$.

$$W_{diss} = \left\langle \int \vec{F}(t) \vec{v}(t) dt \right\rangle = \frac{F_0^2}{2} \mathrm{Re}\{Y(\omega)\} \quad (2.68)$$

249 On retrouve ainsi

$$\mathrm{Re}\{Y(\omega)\} = \frac{2W_{diss}}{F_0^2}, \quad (2.69)$$

250 Et la densité spectrale des fluctuations de $x$ s'écrit :

$$S_x(\omega) = \frac{8k_B T W_{diss}}{\omega^2 F_0^2}. \quad (2.70)$$

251 La contribution de ce bruit à la densité spectrale de l'interféromètre devient :

$$S_n(f)|_{therm} = \frac{4k_B T W_{diss}}{L(2\pi f)^2 F_0^2}. \quad (2.71)$$

252 Un exemple d'utilisation de ce théorème est appliqué au mouvement Brownien<fnref n="1" />. Le bruit thermique du revêtement des miroirs génère différentes contributions :

254 — Le mouvement Brownien des miroirs vient de la force de friction qui s'applique sur les miroirs $F_{fric} = \kappa \cdot v$ où $\kappa$ est une petite variation de l'observable $x$. Aussi la force appliquée sur le revêtement est $F = F_{acc} + F_{Hooke} + F_{fric} = m \cdot v \omega + \frac{kv}{iw} + \kappa v$, avec $k$ la constante de rappel de la loi de Hooke. On peut en déduire l'impédance et l'admittance :

$$\begin{align}
Z(\omega) &= \frac{F}{v} = m \cdot v \omega + \frac{k}{i \omega} + \kappa \nonumber \\
Y(\omega) &= \frac{\omega^2 \kappa + i(\omega k - m \omega)^3}{(k - m \omega^2)^2 + \omega^2 \kappa^2} \tag{2.72}
\end{align}$$

<footnote n="1">1. Résumé réalisé à partir des notes privées de Victor HUI qui seront publiées prochainement dans la collaboration</footnote>
On retrouve alors la contribution du bruit brownien a la densité spectrale de bruit :

$$S_n(f)|_{\text{bro}} = \frac{4k_B T}{L (k - m\omega^2)^2 \kappa^2 \omega^2} \qquad (2.73)$$

— Les fluctuations thermo-élastiques proviennent du gradient de température des miroirs.

— Les fluctuations thermo-refractives sont générées par la dépendance de l'indice de réfraction des miroirs en fonction de la température.

Le bruit thermique dans les supensions génère également différentes contributions :

— Les fluctuations thermiques du pendule génère des fluctuations horizontales des suspensions.

— Les fluctuations verticales sont moins importantes car dans le détecteur on s'intéresse principalement aux fluctuations horizontales. Cependant la courbure de la Terre génère un couplage avec les fluctuations horizontales avec un angle de l'ordre de ~$10^{-4}$.

— Les modes violons viennent de la vibration des câbles des suspensions et génèrent des pics dans la sensibilité entre 300Hz et quelques kHz.

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE 2.8: Représentation des bruits fondamentaux dans Advanced Virgo.[5]</figcaption></figure>

Finalement on distingue deux catégories de bruits fondamentaux : Les bruit quantiques (bruit de grenaille et pression de radiation) sont dues à la nature quantique de la lumière, et les bruits de déplacements (bruit sismique, Newtonien, et thermique) qui influencent la position des miroirs. La figure 2.8 représente les contributions des ces différents bruits à la densité spectrale de bruit de l'intèrféromètre en supposant une puissance d'entrée du laser de 125W.

En pratique la position des miroirs et la puissance du laser sont contrôlées par des boucles de rétroactions, et il existe des bruits internes à l'interféromètre dus aux imperfections de ses composants (optique et éléctroniques). Ces deux points seront détaillés dans le prochain chapitre qui abordera les bilans de bruits du détecteurs (Noise Budgets).
Bibliographie

[1] Edward W. Morley Albert A. Michelson. On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether. 1887. URL https://history.aip.org/history/exhibits/gap/PDF/michelson.pdf.

[2] R. W. P. Drever. GRAVITATIONAL RADIATION. PROCEEDINGS, SUMMER SCHOOL, NATO ADVANCED STUDY INSTITUTE, LES HOUCHES, FRANCE, JUNE 2-21, 1982. 1984.

[3] Peter R. Saulson. Terrestrial gravitational noise on a gravitational wave antenna. Phys. Rev. D, 30 :732-736, 1984. doi : 10.1103/PhysRevD.30.732.

[4] Herbert B. Callen and Richard F. Greene. On a Theorem of Irreversible Thermodynamics. Phys. Rev., 86 :702-710, 1952. doi : 10.1103/PhysRev.86.702.

[5] Henrich Heitmann. Status of the Advanced Virgo gravitational wave detector. In Heather K. Marshall and Jason Spyromilio, editors, Ground-based and Airborne Telescopes VII, volume 10700, pages 351 – 358. International Society for Optics and Photonics, SPIE, 2018. doi : 10.1117/12.2312572. URL https://doi.org/10.1117/12.2312572.
## 1 Chapitre 3

## 2 Noise Budgets

Le Noise Budgets (NB) consiste à faire le bilan des différents bruits présent dans l'interféromètre comptant les bruit fondamentaux décrits dans le chapitre précédent ainsi que les bruits dits "internes" dûs aux imperfections des composants (optiques et électroniques) utilisés. L'objectif de l'étude des bruits est de comprendre les signaux en sortie de l'interféromètre, de mettre en place des améliorations pour rendre le détecteur plus sensible à la détection des ondes gravitationnelles où encore de préparer le design des futurs instruments présentés dans le chapitre 0. En pratique le Noise Budget est un programme qui simule la propagation des signaux dans l'interféromètre.

Pour comprendre les bruits dans le détecteur on les modélise dans le programme puis on simule leur propagation et leur impact sur la densité spectrale de bruit. Enfin le résultat de la simulation est comparé à la sensibilité réelle du détecteur ce qui permet de mettre en évidence de nouvelles sources de bruits ou encore d'ajuster la modélisation des bruits existants.

La figure 3.1 représente un NB réalisé le 15 mars 2020. Sur ce graphique on retrouve les deux catégories de bruits fondamentaux décrits dans le chapitre précédent : Les bruits quantiques (Quantum Vaccum) et les bruits de déplacements (Seismic-Thermal). Les autres contributions vinnent des bruits internes à l'interméromètre et j'ai choisi de les classer de la manière suivante :

— Les bruits d'extraction du signal : *Dark* et *Demodulation* sont les bruits générés lors de la lecture du signal par les photodiodes et lors de la démodulation. Ces deux contributions seront présentées dans une première partie.

— Les bruits de contrôle : *ASC*, *DAC*, *LSC* et *SSFS* sont les bruits engendré par l'asservissement de l'interféromètre. Une seconde partie de ce chapitre leur est consacrée.

— Les autres bruits (*Calibration* et *ENV*) seront brièvement décrits dans une troisième partie.
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 3.1: Noise budget du détecteur. En bleu est représenté la mesure du bruit dans l'interféromètre, en rouge l'objectif fixé pour la troisième phase d'observation (O3) et en vert la somme des bruits connus et modélisés. Si j'ai le temps, couper le plot à 8Hz</figcaption></figure>

Enfin une quatrième partie sera consacrée à la présentation du Noise Budget, programme que j'ai utilisé dans mes travaux présentés dans le chapitre suivant sur la modélisation des boucles d'asservissement de l'interféromètre.

## 3.1 Les bruits d'extraction du signal

### 3.1.1 Le bruit des photodiodes

La figure 3.2 représente les bruits des photodiodes B1, B2 et B4 (cf. Fig3.7). Le signal de sortie de l'interféromètre est mesuré sur B1, par conséquent cela affecte directement le signal de frange noire et limite fortement le sensibilité de l'interféromètre. Les mesures réalisées par B2 et B4 sont quant à elles utilisées pour générer des signaux de correction pour assurer la position des miroirs et la stabilité du laser. Ce bruit lu par B2 et B4 se propage donc dans l'interféromètre par le biais des boucles d'asservissement qui seront décrites plus tard dans ce chapitre. Les bruits des photodiodes trouvent leurs origines principalement dans l'étape de pré-amplification du signal et à la chaîne éléctronique de lecture.

### 3.1.2 La démodulation du signal

La figure 3.3 représente la contribution à la densité spectrale de bruit induite par la démodulation du signal. En pratique les modulations du signal réalisées à 56MHz et à 8MHz sont appliquées au
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 3.2: Représentation de l'impact des bruits de lecture des photodiodes sur la densité spectrale de bruit.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 3.3: Représentation de l'impact de la démodulation des signaux sur la densité spectrale de bruit.</figcaption></figure>

faisceau à l'entrée de l'interféromètre créant ainsi des bandes latérales par rapport à la porteuse.

Ces bandes sont réfléchies par les différentes cavités, celle venant de la modulation à 8MHz par la cavité de recyclage de puissance, et celle venant de la modulation à 56MHz par les cavités Fabry-Pérot. Aussi le signal de sortie lu sur la photodiode B1 n'a pas besoin d'être démodulé.

Cependant on utilise les signaux prélevés dans les cavités avec les photodiodes B2 et B4 pour asservir l'interféromètre. Ces signaux doivent être démodulés afin de reconstruire les signaux de contrôle, et le bruit de leur démodulation se propage dans l'interféromètre par ce biais et sa contribution à la densité spectrale de bruit est représenté sur la figure 3.3.
49

## 3.2 Contrôle de l'interféromètre

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Le plus grand challenge de l'instrumentation du détecteur Virgo est de diminuer les bruits techniques qui réduisent la visibilité des ondes gravitationnelles. On a vu dans le chapitre précédent qu'il existait deux catégories de bruits fondamentaux les bruits quantiques et les bruits de déplacements. Dans cette section nous allons nous intéresser à l'instrumentation mise en oeuvre pour contrôler l'interféromètre et les bruits que cela induit. Une première sous-section sera consacrée à l'instrumentation utilisée pour limiter les bruits de déplacements en commençant par une description détaillée des suspensions qui permettent le contrôle de la position des miroirs. Ensuite seront présentés les degrés de libertés de l'interféromètre, qui sont les signaux mesurés qui permettent de construire les signaux d'erreurs utilisés pour contrôler la position de miroirs. Enfin dans une troisième partie seront brièvement introduites les boucles d'asservissement. Le chapitre 4 sera dédié à leur modélisation dans le *Noise Budget*.

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### 3.2.1 Suspensions et contrôle des éléments optiques

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Les miroirs sont suspendus par plusieurs étages de pendules pour s'affranchir du bruit sismique et Newtonien vu dans le chapitre précédent. En pratique on utilise des actionneurs constitués de bobines et d'aimants pour générer un champ magnétique et contrôler la position longitudinale, verticale et angulaire du miroir. La figure 3.4 représente un schéma d'une de ces suspensions. On utilise les actionneurs en trois points des suspensions : Tout d'abord au niveau du premier filtre (*Filter 0*) trois bobines permettent de contrôler les mouvements horizontaux et la rotation autour de l'axe vertical. Ensuite juste au dessus du miroir, la marionnette à laquelle est suspendu le miroir est controlée par des actionneurs situés sur le dernier filtre (*Steering filter*). Ce dispositif permet de contrôler la position angulaire (rotation sur l'axe horizontal et vertical) et le déplacement longitudinal du miroir. Enfin le miroir est suspendu avec sa masse de référence, le tout constituant mécaniquement un système isolé. Des aimants fixés au miroirs sont contrôlés par des bobines situées sur la masse de référence de sorte que le centre de gravité du système reste fixe. Ce dispositif permet de contrôler la position du miroir sans exciter les étages de la suspension.

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Les signaux de correction envoyés à la marionnette (MA) et aux masses de référence des miroirs (MI) subissent une conversion numérique-analogique lors de leur traitement afin d'être interprêtés par les actionneurs. Le processus de cette conversion n'est pas parfait et génère un bruit qui se répercute sur la position des miroirs. Sur la figure 3.5 est représentée la projection de ce bruit sur la mesure du passage d'une onde gravitationnelle.

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De même le signal d'erreur destiné à corriger l'orientation du faisceau par rapport aux miroirs génère du bruit. On utilise deux voies pour maintenir l'alignement des cavités entre elles et avec
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 3.4: Représentation d'une suspension d'un miroir de l'interféromètre Virgo.</figcaption></figure>

83 le faisceau laser injecté : La correction de l'orientation du miroir (AA pour Automatic Alignment et la correction sur l'orientation du laser (BPC pour Beam Pointing Control). Ces deux voies de corrections sont complémentaires car la correction de l'orientation du laser compense également 84 le fait que ce dernier soit scellé au sol tandis que les miroirs sont suspendus. La figure 3.6 85 représente les deux contributions de ces corrections à la densité spectrale de bruit. 86 87

### 3.2.2 Degrés de liberté

88 Les degrés de liberté le long de l'axe optique sont les longueurs qu'il faut contrôler pour assurer un 89 bon fonctionnement de l'interféromètre. La figure 3.7 représente l'interféromètre et les longueur 90 de références dont nous avons besoin pour les définir. 91

92 **CARM** Le signal CARM est prélevé sur la photodiode B2. Il fait la mesure de la moyenne de 93 la longueur des deux bras de l'interféromètre pour maintenir les miroirs WE et NE à la bonne 94 position et assurer la résonnance dans les cavités Fabry-Pérot.

$$CARM = \frac{L_N + L_W}{2} \qquad (3.1)$$
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 3.5: Représentation de la contribution de la conversion analogique-numérique du signal d'erreur envoyé aux miroirs (MI) et aux marionettes (MA) sur la densité spectrale de bruit globale. La courbe bleue représente la densité spectrale de bruit totale de l'interféromètre au moment de la mesure.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 3.6: Représentation de l'impact des signaux de correction angulaire à la densité spectrale de bruit de l'interféromètre.</figcaption></figure>

$$DARM = L_N - L_W \qquad (3.2)$$

<footnote n="95">95 **DARM** Le signal *DARM* est similaire au signal *CARM* mais réalise la différence de longueur entre les deux bras.</footnote>

<footnote n="97">97 Il permet le contrôle de la position des miroirs en bout de bras WE et NE.</footnote>
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 3.7: Représentation du détecteur Virgo et des différents signaux prélevés pour assurer l’asservissement de l’interféromètre.</figcaption></figure>

98 **MICH** Le signal MICH porte son nom de ce que l'on appelle le "petit michelson" délimité par le miroir de sortie de la cavité de recyclage et les miroirs d'entrée dans le cavités Fabry-Pérot.

$$ MICH = l_N - l_W \qquad (3.3) $$

100 Ce signal est relevé par l'intermédiaire de la photodiode B4 et permet de contrôler la position de la séparatrice (BS) et du miroir (PRM).

102 **PRCL** Le signal PRCL (Power recycling cavity length) est également prélevé sur la photodiode B4 et contrôle spécifiquement la position du miroir PRM.

$$ PRCL = l_0 + \frac{l_W + l_N}{2} \qquad (3.4) $$

104 De ce fait le signal est couplé avec MICH.
Ces longueurs sont controlées par des boucles d’asservissement qui portent les même noms et qui
offrent non seulement l’asservissement mais aussi la possibilité aux bruits de se propager dans
l’interféromètre.

3.2.3 Boucles d'asservissement

A partir des degrés de liberté de l'interféromètre on peut reconstruire des signaux d'erreurs
pour maintenir l'interféromètre à son point de fonctionnement. On distingue trois catégories
d'asservissements : L'asservissement longitudinal : Ce sont les signaux d'erreurs décrits dans
la section précédente, destinés à corriger la position longitudinale des miroirs. L'asservissement
angulaire : Il permet de contrôler également les éléments optiques mais cette fois pour corriger
leur position angulaire. Enfin la dernière catégorie d'asservissements concerne le contrôle du laser
qui permet de garder une puissance et une fréquence de ce dernier stables.

116 **SSFS** Contrairement aux signaux précédent, le signal *SSFS*(Second Stage Frequency Stabilisation) renvoie un signal d'erreur au laser pour asservir sa fréquence. Il est mesuré sur la photodiode B1 et se couple au signal *DARM*.

La modélisation de ces boucles est détaillée dans le chapitre suivant. On appelle ces boucles de contrôle en fonction des degrés de liberté utilisés pour évaluer le signal d'erreur. Elles provoquent également la propagation de bruit dans le détecteur, le bruit induit pas les boucles d'asservissement longitudinales projeté sur la mesure du passage d'une onde gravitationnelle est représenté sur la figure 3.8. La contribution de la boucle SSFS sera détaillée dans le chapitre 4.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 3.8: Représentation de l'impact des boucles d'asservissement longitudinal sur la densité spectrale de bruit globale.</figcaption></figure>
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## 3.3 Les autres bruits

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### 3.3.1 Bruits d'environnement

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Dans le batiment principal du détecteur se trouvent des capteurs qui permettent de mesurer l'impact des bruits environnementaux (la température, la météo, la pression, l'humidité, le niveau acoustique....) Les bruits induits par ces différents facteurs lorsqu'ils sont non négligeables sont représentés sur le figure 3.9.

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE 3.9: Représentation de l'impact des bruits environnementaux</figcaption></figure>

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### 3.3.2 Calibration

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Le signal de calibration est envoyé constamment à l'interféromètre pour convertir le signal reçu en sortie sur la photodiode B1 en signal d'onde gravitationnelle. Dans ce sens il est utilisé pour traduire la réponse de B1 en mouvement des différents miroirs.

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Le Noise budget donne également son nom à un programme de modélisation de propagation du signal qui est utilisé dans mes travaux et brièvement décrit dans la partie suivante.
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 3.10: Représentation de l'impact des signaux de calibration sur les éléments optiques.</figcaption></figure>

## 3.4 Description du Noise Budgets

La figure ?? représente la structure globale du Noise Budgets. On distingue sur la figure trois types de blocs : Les petits blocs orange représentent une injection de signal dans le système, les blocs triangulaires sont des gains par lequel le signal est multiplié et les blocs rectangulaires sont des fonctions de transfert qui sont soit calculés analytiquement soit mesurés lors des sessions de Comissioning. Les grands blocs de couleur sont des sous-systèmes contenant une combinaison des éléments décrits ci-dessus. Le bloc Sensing (vert) répertorie tous les effets provenant de la détection. Aussi il prend en entrée les signaux prélevés par les photodiodes, mesure les degrés de liberté définis précédemment et les convertit en signal d'erreur. Ces signaux sont ensuite remaniés en signal de contrôle dans le bloc Control (jaune) pour asservir la position longitudinale et angulaire des éléments optiques (les miroirs et la marionnette). La réaction des miroirs est ensuite calculée dans le bloc Driving (orange) qui va simuler quels sont effectivement les changements de position que les signaux d'asservissement ont provoqué. Enfin le bloc Optickle (violet) contient les réponses optiques de l'interféromètre aux déplacements des miroirs. A partir des informations concernant le laser et éventuellement les corrections de position des miroirs, il simule l'effet des éléments optiques sur la propagation du faisceau qui sera finalement redétecté par le bloc Sensing. Les informations concernant le laser sont tous les blocs blancs en haut à gauche qui simulent l'injection du signal directement dans le bloc Optickle Model. Les blocs Modulation (Rose) et Laser (Bleu) sont les sous-systèmes qui modélisent la modulation du signal et l'injection laser respectivement.

Le programme du Noise budgets est parfaitement adapté pour simuler l'asservissement de l'interféromètre et mesurer les bruits qu'il implique dans la détection. La figure 3.12 montre en
rouge le boucle d'asservissement du laser *SSFS* qui sera étudiée dans le chapitre suivant en plus de la boucle d'asservissement longitudinal *MICH* qui n'est pas représentée ici.

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 3.11: Vue simplifiée du Noise Budget. Voire description paragraphe ??</figcaption></figure>
1 Chapitre 4

2 Etude des boucles d’asservissement
3 dans le détecteur

Dans ce chapitre sont présentés les résultats de mes travaux sur la modélisation des boucles d’asservissement brièvement présentées dans la chapitre précédent à l’aide du Noise Budgets.

Dans une première partie de ce chapitre je vais présenter le formalisme utilisé et comment se modélise une boucle de rétroaction. La seconde partie sera consacrée à l’étude plus spécifique d’une boucle longitudinale MICH. Enfin dans une troisième partie nous verrons l’étude d’une boucle d’asservissement en fréquence SSFS. Pour assurer la lisibilité j’ai choisi d’écrire les éléments de l’interféromètre en écriture mécanographique et les signaux en italique. Aussi B1 est le signal lu par la photodiode B1.
## 4.1 Modélisation des systèmes de rétroaction

Une boucle d'asservissement, aussi appelée système de rétroaction, peut être représentée comme sur la figure 4.1. Sur celle-ci sont symbolisées, les fonctions de transfert représentatives d'un ensemble de composants électroniques, mécaniques et/ou optiques par lesquels le signal passe, les bruits qui viennent s'ajouter à la suite d'un passage par des composants optiques, mécaniques et/ou électroniques et les signaux récupérés. Ces signaux récupérés peuvent être transmis aux actionneurs des miroirs dans le cas d'un contrôle longitudinal ou angulaire ou bien au laser pour assurer la constance de sa fréquence.

### 4.1.1 Fonctions de transfert et projections

On définit la projection d'un bruit ou signal $S$ sur un canal mesuré $M$ à un temps $t$

$$S_{S \to M}^{t}(f) = S^{t}(f)TF_{S \to M}^{t}(f) \quad (4.1)$$

où $TF_{S \to M}^{t}(f)$ est la fonction de transfert de $S$ vers $M$ qui modélise les transformations subies par le signal $S^t$ au travers des éléments optiques et électroniques avant d'être mesurés sur le canal $M$. La fonction de transfert est calculée de la manière suivante :

$$TF_{S \to M}(f) = \frac{P_{SM}(f)}{P_{SS}(f)} \quad (4.2)$$

Avec $P_{XY}(f)$ le spectre de puissance croisée entre les signaux $X$ et $Y$.

### 4.1.2 Modélisation d'une boucle d'asservissement

Dans le modèle général représenté figure 4.1 on notera :

- $P$: La réponse optique de l'interféromètre ainsi que l'enregistrement du signal par les photodiodes.

- $C$: La fonction qui traduit la correction en action, en particulier le filtre numérique d'asservissement et la réponse mécanique des miroirs à l'action des électron-aimants.

- $T$: La fonction de transfert modélisant le couplage avec le signal de frange noire.

- $n_s$: La somme des bruits de mesure introduits dans $P$, notamment dûe aux photodiodes.

- $n_f$: La somme des bruits agissants sur l'interféromètre.

- $S_{err}$: Le signal enregistré numériquement dans les données.

Dans le cadre du Noise Budget on modélise les boucles en injectant le signal $S_{err}$ rectifié par une fonction de transfert $Y$ qui prend en compte les bruits réels $n_f$ et $n_s$ comme représenté sur
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 4.1: Représentation d'une boucle de contrôle réelle</figcaption></figure>

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE 4.2: Boucle de contrôle modélisée dans le Noise Budget</figcaption></figure>

### 4.1.3 Fonction de transfert d'une boucle

<footnote n="38">38 la figure 4.2. L'objectif de cette opération est d'étudier la propagation du bruit dans le système
39 à partir du signal $S_{err}$ mesuré, car les signaux $n_s$ et $n_f$ ne sont pas accessibles directement.</footnote>

<footnote n="41">41 Les diagrammes des boucles permettent d'écrire des relations entre les signaux, les bruits et les fonctions de transfert. Pour une boucle réelle comme représenté sur la figure 4.1, on peut écrire 42 deux relations par l'intermédiaire de $x$ eq.(4.3), une relation générale pour la boucle eq.(4.4), et 43</footnote>
44 une expression du signal $x$ eq.(4.5) :

$$x = S_{err}C + n_f, \quad S_{err} = xP + n_s, \qquad (4.3)$$

45

$$S_{err} = \frac{n_f P + n_s}{1 - PC}, \qquad (4.4)$$

46

$$x = \frac{Cn_s + n_f}{1 - PC}. \qquad (4.5)$$

47 De même dans le cas de la boucle modélisée, on peut écrire l'expression du signal $x$ eq.(4.6) :

$$x = \frac{S_{err}YC}{1 - PC} \qquad (4.6)$$

48 Il est alors possible d'exprimer la fonction de transfert $Y$ à utiliser pour modéliser la boucle d'asservissement indépendamment de $S_{err}$, comme présenté dans eq.(4.7).

49

$$Y = (1 - PC) \frac{Cn_s + n_f}{PCn_f + Cn_s} \qquad (4.7)$$

## 4.2 Etude d'une boucle de contrôle longitudinal : MICH

51 Dans l'interféromètre le signal d'onde gravitationnelle est amplifié par les cavités Fabry-Perot présentes dans chacun des bras et détecté par interférence sur la frange noire des signaux de chacun des bras. Pour assurer la précision de la détection le contrôle longitudinal permet d'asservir les cavités pour les maintenir à résonnance et le signal sur la frange noire. Dans cette partie nous allons étudier la modélisation de la boucle MICH.

### 4.2.1 Présentation de MICH

57 Comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent, le signal MICH mesuré est la différence de longueur des deux bras du petit Michelson $MICH = l_N - l_W$ comme représenté sur la figure 4.3. Il est prélevé par réflexion sur le miroir POP(Pick-off Plate) et lu avec la photodiode B4 dans le but de contrôler les longueurs dans "le petit Michelson". Le signal récupéré est ensuite traité pour envoyer une correction sur les positions de BS et PR et un couplage au signal DARM.

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62 Le diagramme de la boucle MICH dans l'interféromètre peut être représenté par analogie avec la figure 4.1 où $S_{err}$ est l'erreur évaluée et lue, $n_s$ est le bruit de la photodiode B4 composé du bruit quantique de la lumière démodulée à 56MHz et du bruit électronique de la photodiode, et $n_f$ les bruits agissants sur le miroir.

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<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE 4.3: Schéma de principe d'Advanced Virgo. Crédit : The Virgo Collaboration</figcaption></figure>

## 4.2.2 Dominances des bruits dans la boucle MICH

Pour évaluer la fonction Y d'injection du signal d'erreur dans la boucle MICH, on étudie préalablement la contribution des bruits $n_s$ et $n_f$ au signal d'erreur, dans ce cas celui mesuré par la photodiode B4. Par analogie avec la définition eq.(4.1) on exprime la projection d'un bruit $\mathcal{N}$ sur le signal d'erreur B4 de la façon suivante :

$$ \mathcal{N}_{/B4}(f) = \mathcal{N}(f)TF_{\mathcal{N}\to B4}(f) \quad (4.8) $$

Le bruit éléctronique (Electronic noise) est lu par le canal SPRB_B4_PD1_56MHz_Q à un temps ou la photodiode est dans le noir $t_{off}$, et le bruit de grenaille (Shot noise) est calculé analytiquement comme présenté dans le chapitre 2 :

$$ \text{Shot noise} = \sqrt{2 \frac{B4(t_{off})h_p c}{\lambda \tau}} \quad (4.9) $$
où $\overline{B4(t_{off})}$ est la puissance moyenne en Watt sur la photodiode B4 sur la durée de la prise de
donnée (ici 120s), $h_p$ est la constante de Planck, $c$ la vitesse de la lumière, $\tau = 1$s, et $\lambda = 1064$
nm est la longueur d'onde du laser. Le bruit de détection $n_s$ est la somme quadratique des deux
bruits décrits précédemment :

$$n_s^2 = \text{Shot noise}^2 + \text{Electronic noise}^2 \quad (4.10)$$

La figure 4.4 illustre la projection de ces bruits sur la photodiode B4. La contribution du bruit $n_f$ au signal d'erreur est déduite en soustrayant la contribution de $n_s$ au signal B4. On distingue alors 3 zones : les basses fréquences ($f < 20$Hz), ou $n_f$ est dominant, les hautes fréquences ($f > 50$Hz) où $n_s$ domine et une zone intermédiaire (20Hz-100Hz) où les contributions des bruits $n_s$ et $n_f$ au signal B4 sont du même ordre de grandeur. Dans le cas ou l'un des bruits domine, on

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE 4.4: Projections des bruits dans le signal de la photodiode B4</figcaption></figure>

peut approximer la fonction Y à modéliser. Dans le cas où $n_s$ est dominant on peut l'exprimer en fonction de $S_{err}$ eq.(4.4) et écrire la fonction de transfert Y de eq.(4.7) en négligeant le terme en $n_f$. On obtient alors $Y_{n_s \gg n_f}$ :

$$n_s = S_{err}(1 - PC) \quad (4.11)$$

$$Y_{n_s \gg n_f} = 1 - PC \quad (4.12)$$

De même pour le cas où $n_f$ domine et l'on néglige $n_s$ :
88

$$n_f = S_{err}(\frac{1}{P} - C) \qquad (4.13)$$

$$Y_{n_f \gg n_s} = \frac{1}{PC} - 1 \qquad (4.14)$$

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Par la suite nous allons tester ces deux fonctions de transfert pour determiner laquelle est la plus appropriée.

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### 4.2.3 Résultats

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Pour l'étude de la boucle MICH, on utilise le Noise Budget pour comparer les effets de chacune des fonctions de transfert présentées précédemment sur la densité spectrale de bruit. Dans un premier temps l'interféromètre est soumis à une injection volontaire de bruit large band entre P et C (figure 4.1) qui sera modélisé dans l'injection de $S_{err}$ au travers de Y. La figure 4.5 représente la projection des bruits sur la sensibilité calibrée à ce temps avec une injection volontaire. La projection du bruit longitudinal LSC (cyan) est en adéquation avec le bruit mesuré (bleu), ce qui signifie que le bruit mesuré dans le détecteur est très proche de celui évalué par le modèle. La fonction de transfert $Y_{n_s \gg n_f}$ est adaptée à la modélisation de la boucle et $n_s$ est le bruit dominant, car il est volontairement injecté juste après la lecture numérique des signaux de la photodiode.

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Lorsque l'interféromètre est en fonctionnement, il n'y a pas d'injection volontaire de bruit. Par conséquent les deux fonctions de transfert $Y_{n_s \gg n_f}$ (cf. eq.(4.12)) et $Y_{n_f \gg n_s}$ (cf.eq.(4.14)) sont testées. La figure 4.6 représente la projection des bruits de l'interféromètre pour $Y_{n_f \gg n_s}$. On constate qu'entre 50Hz et 110Hz l'amplitude de la contribution de MICH représenté par la courbe LSC (cyan) au bruit général est trop importante. On en déduit que même dans le cas ou il n'y a pas d'injection, les bruits de détection $n_s$ (élétronique et grenaille) sont dominants, ce qui est en accord avec la figure 4.4. Pour confirmer cette hypothèse la figure 4.7 représente la même projection avec la seconde fonction de transfert $Y_{n_s \gg n_f}$. Bien que la modélisation à basses fréquences ($f < 100$Hz) soit imparfaite, la forme de la contribution de LSC à a densité spectrale de bruit est cohérente avec la mesure.
<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE 4.5: Noise budget réalisé lors d'une injection de bruit dans la boucle MICH (logBook #42902) en utilisant la fonction de transfert $Y_{n_s \gg n_f}$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE 4.6: Projection des bruits de l'interféromètre sur $h(t)$ hors injection volontaire avec la fonction de transfert $Y_{n_f \gg n_s}$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE 4.7: Projection des bruits de l'interféromètre sur $h(t)$ hors injection volontaire avec la fonction de transfert $Y_{n_s \gg n_f}$</figcaption></figure>
## 4.3 Etude d'une boucle de stabilisation en fréquence SSFS

La source laser n'étant pas parfaite elle génère un bruit de phase qui est l'intégrale de la fréquence du laser. Ce bruit se propage en raison de l'asymétrie entre les deux bras de l'interféromètre due à la différence de réflectivité des miroirs dans chacun des bras et se couple au signal de sortie DARM. Pour le limiter on utilise des boucles d'asservissement en fréquence du laser. Dans cette partie nous allons étudier la modélisation de la boucle SSFS (Second Stage Frequency Stabilisation).

### 4.3.1 Présentation de la boucle SSFS

La boucle SSFS récupère le signal optique réfléchi sur POP puis numérisé par la photodiode B4 pour évaluer la correction en fréquence du laser. Le bruit de phase se couple au signal DARM et génère ainsi des fluctuations de puissance sur la photodiode B1 mentionnée précédemment. Le diagramme de cette boucle est différent de la boucle générale présentée figure 4.1 car les fonctions de transfert qui sont présentes ne dépendent plus seulement de la fréquence mais aussi du temps à cause des fluctuations de l'asymétrie de l'interféromètre. Cette fluctuation globale est générée par la variation de la réflectivité des miroirs des cavités Fabry-Perot en fonction de la température due à l'effet étalon. La boucle réelle est décrite sur la figure 4.8, où $N_{3345Hz}$ est un bruit permanent volontairement injecté dans l'interféromètre à 3345Hz et $PRE(t)$ et $POST(t)$ sont les mesures du signal respectivement avant et après cette injection. Une autre injection volontaire $N_{1111Hz}$ est effectuée à 1111Hz et peut être modélisée comme étant injectée après la fonction $C(f)$. La modélisation de cette boucle est représentée figure 4.9 sur laquelle on définit

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE 4.8: Diagramme de la boucle SSFS dans l'interféromètre</figcaption></figure>
trois paramètres qui vont influencer la propagation du bruit et modéliser sa dépendance en temps : les gains, représentés par les facteurs multiplicatifs $F_{PC}(t)$ qui intervient entre les blocs des fonctions $P(f)$ et $C(f)$, et $F_{TC}(t)$ le couplage à DARM entre $C(f)$ et $T(f)$ et la fonction de transfert d'injection du signal d'erreur $Y(f, t)$. On utilise les mesures réalisées sur cette boucle

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 4.9: Diagramme de la modélisation de la boucle SSFS</figcaption></figure>

aux temps d'injection $t_{inj}$ où un bruit large bande $N_{inj}$ est injecté au même niveau que $N_{3345Hz}$. A ce temps on choisit de définir les gains $F_{TC}(t)$ et $F_{PC}(t)$ modélisés égaux à 1 par construction. Aux temps de fonctionnement $t$ de l'interféromètre au niveau des canaux PRE, POST et B1, nous allons évaluer les paramètres de la modélisation $Y(f, t)$, $F_{TC}(t)$ et $F_{PC}(t)$.

### 4.3.2 Modélisation de la boucle SSFS

Pour approximer la boucle réelle de la SSFS il faut dans un premier temps évaluer les facteurs multiplicatifs dépendants du temps $F_{PC}(t)$, $F_{TC}(t)$.

Le facteur $F_{PC}$ est isolé entre les signaux POST et PRE de la boucle que l'on appellera la partie PC. En suivant le formalisme décrit section 2.1 et en se basant sur le schéma des figures 4.8 et 4.9 on peut écrire la fonction de transfert du signal POST sur le canal de mesure PRE :

$$TF_{POST→PRE}^{t}(f) = \underbrace{PC(f,t)}_{\text{Boucle réelle}} = \underbrace{PC(f)F_{PC}(t)}_{\text{Boucle modlisée}} \quad (4.15)$$

À 3345 Hz on peut négliger $N_{1111Hz}$ et ainsi obtenir à un temps $t$ de fonctionnement de l'interféromètre :

$$TF_{POST→PRE}^{t}(3345Hz) = PC(3345Hz,t) = PC(3345Hz)F_{PC}(t), \quad (4.16)$$
148 et à un temps d'injection large bande $t_{inj}$ ($F_{PC}$ =1 par construction) le bruit injecté $N_{inj}$ est dominant :

$$TF_{POST→PRE}^{t_{inj}}(3345Hz) = PC(3345Hz, t_{inj}) = PC(3345Hz). \quad (4.17)$$

150 On peut alors exprimer le facteur multiplicatif :

$$F_{PC}(t) = \frac{TF_{POST→PRE}^{t}(3345Hz)}{TF_{POST→PRE}^{t_{inj}}(3345Hz)} \quad (4.18)$$

151 La fonction de transfert entre les signaux PRE et POST peut alors être modélisée à toutes les fréquences comme dans la première équation eq.(4.15).

153 Pour évaluer le facteur $F_{TC}$ on procède de la même manière mais en évaluant la fonction de transfert entre les signaux PRE et B1 aussi appelée la partie TC de la boucle. La fonction de transfert entre ces deux signaux s'écrit par l'intermédiaire du signal virtuel $x$ :

$$ 
\begin{aligned}
TF_{x→PRE}^{t}(f) &= \underbrace{P(f,t)}_{\text{Boucle réelle}} = \underbrace{P(f)F_{PC}(t)}_{\text{Boucle modelisée}} \\
TF_{x→B1}^{t}(f) &= \underbrace{T(f,t)}_{\text{Boucle réelle}} = \underbrace{T(f)F_{TC}(t)}_{\text{Boucle modelisée}}
\end{aligned}
\quad (4.19) $$

156 La fonction de transfert entre PRE et B1 peut s'exprimer :

$$ 
\begin{aligned}
TF_{PRE→B1}^{t}(f) &= \frac{TF_{x→B1}^{t}(f)}{TF_{x→PRE}^{t}(f)} \\
&= \underbrace{\frac{T}{P}(f,t)}_{\text{Boucle réelle}} = \underbrace{\frac{T}{P}(f)\frac{F_{TC}}{F_{PC}}(t)}_{\text{Boucle modelisée}}
\end{aligned}
\quad (4.20) $$

157 L'injection de la ligne à 1111Hz a une amplitude plus grande et on peut comme pour la partie PC réécrire les fonctions de transfert entre PRE et B1 à $t$ et à $t_{inj}$. On rappelle qu'au temps $t_{inj}$ $F_{TC}=F_{PC}=1$ par construction :

$$ 
\begin{aligned}
TF_{PRE→B1}^{t}(1111Hz) &= \frac{T}{P}(1111Hz, t) = \frac{T}{P}(1111Hz)\frac{F_{TC}}{F_{PC}}(t) \\
TF_{PRE→B1}^{t_{inj}}(1111Hz) &= \frac{T}{P}(1111Hz, t_{inj}) = \frac{T}{P}(1111Hz)
\end{aligned}
\quad (4.21) $$

160 On peut alors exprimer $F_{TC}(t)$ :

$$F_{TC}(t) = F_{PC}(t) \frac{TF_{PRE→B1}^{t}(1111Hz)}{TF_{PRE→B1}^{t_{inj}}(1111Hz)} \quad (4.22)$$
Résultats En adaptant le formalisme de la section 2.1 au cas de la SSFS on peut écrire les projections de POST sur PRE et de PRE sur B1 :

$$
\begin{align}
POST_{/PRE}^{t}(f) = POST^{t}(f)TF_{POST \to PRE}^{t}(f) = POST^{t}(f)TF_{POST \to PRE}^{t_{inj}}(f)F_{PC}(t) \nonumber \\
PRE_{/B1}^{t}(f) = PRE^{t}(f)TF_{PRE \to B1}^{t}(f) = PRE^{t}(f)TF_{PRE \to B1}^{t_{inj}}(f)\frac{F_{TC}(t)}{F_{PC}(t)} \tag{4.23}
\end{align}
$$

Sur la figure 4.10 sont comparées les valeurs de ces projections calculées (bleu) via les fonctions de transfert et les facteurs multiplicatifs, et mesurées (rouge) sur les canaux PRE à 3345Hz (haut) et B1 à 1111Hz (milieu) et à 3345Hz (bas). Les mesures sont réalisées sur 57 temps différents d'une durée de 1000s entre le 15 et le 18 mars 2020 où l'interféromètre est asservi avec un interval d'au moins une heure entre chaque mesure. On évalue ici l'erreur de mesure en divisant les 1000s de données en 10 mesures de 100s chacune qui vont permettre d'évaluer un écart type dans la prise de mesure.

Lors d'une injection large bande, le bruit $N_{inj}$ est dominant dans la boucle. L'écart type de la mesure des fonctions de transfert à $t_{inj}$ est considéré indépendant de la fréquence. Il est calculé sur une bande de fréquence ou la fonction de transfert est constante. Pour la partie PC on choisit la bande 1900-2000Hz ce qui correspond à 7000 bins en fréquence et on obtient :
$$ \sigma(TF_{POST \to PRE}^{t_{inj}}) = 0.06(\approx 1\%) $$
De même pour la partie TC sur la bande 2000-3000Hz où l'on a 50 000 bins en fréquence et où l'on obtient :
$$ \sigma(TF_{PRE \to B1}^{t_{inj}}) = 2.6e-5(\approx 4\%) $$
Lors de la construction des gains, le modèle a été calibré sur la ligne à 1111Hz, aussi on supposera nulle l'incertitude de la mesure à un temps d'injection de la fonction de transfert lors de calculs sur la ligne à 1111Hz. En général on calcule l'écart type d'une projection comme définit équation (4.1) de la façon suivante :

$$
\sigma(S_{/M}^{t}(f)) = \sqrt{[S^{t}(f)\sigma(TF_{S \to M}^{t}(f))]^2 + [\sigma(S^{t}(f))TF_{S \to M}^{t}(f)]^2} \quad (4.24)
$$

Plus précisément dans notre cas :

$$
\sigma(S_{/M}^{t}(f)) = \sqrt{[S(f)TF_{S \to M}^{t_{inj}}(f)\sigma(F_X(t))]^2 + [\sigma(S(f))TF_{S \to M}^{t_{inj}}(f)F_X(t)]^2 + [S(f)\sigma(TF_{S \to M}^{t_{inj}})F_X(t)]^2}, \quad (4.25)
$$

où $F_X(t)$ représente un facteur multiplicatif $F_{PC}$ ou $F_{TC}$ défini et approximé comme dans la partie précédente et l'écart type sur la valeur d'un facteur multiplicatif à un temps $t$ :

$$
\sigma(F_X(t)) = \sqrt{\left[ \frac{\sigma(TF_{S \to M}^t(f))}{TF_{S \to M}^{t_{inj}}} \right]^2 + \left[ \frac{TF_{S \to M}^t(f)}{(TF_{S \to M}^{t_{inj}})^2} \sigma(TF_{S \to M}^{t_{inj}}(f)) \right]^2} \quad (4.26)
$$
L'erreur relative entre le calcul de la projection d'un signal $\mathcal{S}$ sur un canal $\mathcal{M}$ est représenté en noir sur la figure 4.10 et définit :

$$ \delta\alpha_r(\mathcal{M}(t)) = \frac{S_{/\mathcal{M}}^t(f)}{\mathcal{M}^t(f)} - 1 \qquad (4.27) $$

L'écart type de cette erreur relative est représenté par les barres d'erreur noires sur la figure 4.10 et calculé de la manière suivante :

$$ \sigma(\delta\alpha_r(\mathcal{M}(t))) = \sqrt{\left[ \frac{S_{/\mathcal{M}}^t(f)}{(\mathcal{M}^t(f))^2} \sigma(\mathcal{M}^t(f)) \right]^2 + \left[ \frac{\sigma(S_{/\mathcal{M}}^t(f))}{\mathcal{M}^t(f)} \right]^2} \qquad (4.28) $$

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE 4.10: Résultats de la projection du bruit de la boucle SSFS sur le spectre PRE à 3345Hz (haut) et sur le spectre de B1 (millieu et bas) à 1111Hz (milieu) et à 3345Hz (bas). Les valeurs projetées/mesurées sont représentées en bleu/rouge et se lisent sur l'axe des ordonnées de gauche, tandis que l'erreur relative en %, $\delta\alpha_r$, entre la valeur projetée et mesurée (astérisques noirs) se lisent sur l'axe des ordonnées de droite. La ligne verte est un repère de la valeur 0 sur cet axe.</figcaption></figure>

Pour la partie PC on a une projection quasi-constante dans le temps, et une erreur relative <0.1% à 3345Hz sur les 57 temps évalués ici. Pour le couplage à DARM de la boucle (i.e. la partie TC), on observe de grandes variations dans le couplage ($B1_{max}/B1_{min} \approx 6.5$) et les gains prédissent les fluctuations avec une marge d'erreur acceptable à la plupart des temps <3% sur les 54 temps à 1111Hz et <5% à 3345Hz. Néanmoins, pour les temps 47, 48 et 49, on a un couplage à DARM plus faible, dans ce cas les autres bruits présents dans le signal de B1 ne sont plus négligeables et sa mesure induit un écart d'au plus 30% à 1111Hz et de 50% à 3345Hz. L'écart type de la distribution de l'erreur relative est de 3.87% à 1111Hz et de 8.80% à 3345Hz, ce qui est raisonnable dans le cadre de notre modélisation. L'erreur reste compatible avec la mesure au
regard des incertitudes, cependant la médiane de l'erreur relative présente un biais de -0.94% à 1111Hz et de -2.25% à 3345Hz c'est à dire que la projection calculée sur B1 est généralement plus faible que la mesure. Pour compléter le modèle il faut déterminer la fonction d'injection du signal d'erreur Y.

### 4.3.3 Dominance des bruits $n_f$ et $n_s$ dans la boucle SSFS

Comme pour la boucle MICH, nous allons ici évaluer la fonction Y en étudiant les contributions des bruits $n_s$ et $n_f$ au signal d'erreur $S_{err}$. Le bruit $n_s$ peut être lu par le canal SSFS_unnorm_Q. A partir de ce signal et du signal d'erreur on peut reconstruire le signal $n_f$ :

$$n_f = \frac{S_{err}(1 - PC) - n_s}{P} \qquad (4.29)$$

Dans le cadre de la SSFS deux signaux PRE et POST sont prélevés et sont candidats pour être le signal d'erreur à réinjecter. Sur la figure 4.11 les graphiques du haut/bas représentent les contributions des bruits $n_s$ et $n_f$ sur les signaux PRE/POST.

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE 4.11: Projection des bruits $n_s$ et $n_f$ sur les signaux d'erreur PRE(haut) et POST(bas)</figcaption></figure>

A hautes fréquences ($f > 1000Hz$) on constate le même comportement des deux projections, tandis qu'aux basses fréquences le signal PRE présente une autre source de bruit issue de la boucle PRCL qui n'est pas représentée dans ce manuscrit. Même si le signal d'erreur est en réalité dominé par $n_s$ sa projection quant à elle ne présente pas de relation de dominance entre $n_s$ et $n_f$ contrairement au cas de l'étude de la boucle MICH. Ainsi on ne peut pas approximer la fonction de transfert Y à modéliser. La fonction Y s'écrit alors comme dans eq.4.7. Dans le cadre du modèle de la SSFS $n_s$ et $n_f$ sont ajoutés à des points distincts de ceux de la boucle modélisée, aussi la fonction à implémenter pour réinjecter le signal d'erreur $S_{err}$ s'écrit de la
215 façon suivante :

$$Y_{SSFS} = (1 - PC) \frac{n_f}{PCn_f + Cn_s} = \frac{S_{err}(1 - PC) - n_s}{PCS_{err}} \quad (4.30)$$

216 4.3.4 Résultats de la modélisation de la boucle SSFS dans le Noise Budget

La figure 4.12 représente l'erreur relative $\delta\alpha_r$ obtenue sur les projections totales des bruits sur $h(t)$ aux lignes 1111Hz (en rouge) et 3345Hz (en bleu) pour les 57 temps étudiés. A ces lignes de fréquences la contribution de la boucle SSFS est largement dominante ce qui nous permet d'évaluer la modélisation de la boucle présentée ici.

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE 4.12: Erreur relatives obtenues avec le Noise Budgets aux lignes 1111Hz (en rouge) et 3345Hz (en bleu). A gauche l'erreur relative en fonction du temps observé, et à droite sa distribution.</figcaption></figure>

220 L'écart type de l'erreur relative est de 9% à 1111Hz et à 3345Hz, ce qui est compatible avec les erreurs calculées sur les facteurs multiplicatifs figure 4.10. Néanmoins la médiane de l'erreur relative témoigne d'un biais (+1.24% à 1111Hz et +3.26% à 3345Hz) qui signifie que les estimations sont généralement un peu trop hautes comparées aux mesures. Ce biais est indépendant de celui mentionné précédemment sur les projections faites sur B1, il vient d'une autre partie de la modélisation dans le Noise Budget. La figure 4.13 reprend les erreurs sur les projections de $h(t)$ (fig.4.12) en incluant les résultats et incertitudes des projections sur B1 présentés figure 4.10. En vert sont représentés les résultats obtenus par le calcul des projections (cf fig.4.10), et en rouge et bleu les résultats des projections sur $h(t)$ évalués à l'aide du Noise Budget. Les incertitudes de l'erreur relative des projections sur B1 sont cohérentes avec l'erreur relative des projections sur $h(t)$. 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231
<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE 4.13: Erreur relatives obtenues avec le Noise Budgets aux lignes 1111Hz (haut) et 3345Hz (bas). A gauche l'erreur relative en fonction du temps observé, et à droite sa distribution.</figcaption></figure>

<footnote>**Conclusion** Finalement, la modélisation des facteurs multiplicatifs $F_{PC}$ et $F_{TC}$ et celle de la fonction d'injections $Y(f)$ sont représentatives de ce que l'on mesure dans l'interféromètre en moyenne on a une erreur inférieure à ±6% sur la projection sur $h(t)$. Malgré les incertitudes importantes mesurées pour les projections sur B1 dues à la lecture des canaux et/ou à un faible couplage de la *SSFS*, le modèle prédit correctement la propagation du bruit due à la boucle *SSFS* dans l'interféromètre.</footnote>
## Conclusion 238

Les boucles d'asservissement dans l'interféromètre sont indispensables pour maintenir ce dernier à son point de fonctionnement. Ces systèmes de rétroactions consistent à mesurer différents paramètres dans l'interféromètre et a envoyer un signal de correction soit sur la position de miroirs dans le cas d'un contrôle angulaire ou longitudinal, ou au laser dans le cas d'un contrôle en fréquence. A l'aide de mesure prélevées dans l'interféromètre, il est possible de déduire les fonctions de transfert d'une série de composants pour modéliser la propagation des bruits dans ces boucles et comprendre leur origine. Dans le cadre de cette étude j'ai exploré deux boucles d'asservissement, une boucle d'asservissement longitudinale MICH, et une boucle d'asservissement en fréquence SSFS.

Dans le cas de la boucle MICH on a une dominance des bruits de détection (bruit éléctronique et de grenaille) dans le signal de sortie B4 pour des fréquences $f > 50$Hz. Avec cette hypothèse j'ai pu approximer la fonction d'injection du signal correctif dans la boucle $Y(f)$ afin de valider le modèle théorique des boucles utilisées et confirmer la dominance des bruits de détection dans l'interféromètre.

Pour l'étude de la boucle de contrôle en fréquence SSFS, on observe une fluctuation de la fonction de transfert due à l'asymétrie de l'alignement global de l'interféromètre. Ainsi nous avons adapté le modèle en ajoutant des gains dépendant du temps dans la boucle ($F_{PC}$ et $F_{PC}$) et en étudiant a nouveau la fonction d'injection du signal de correction de la boucle $Y(f)$. Ce modèle prédit les observations de la projection globale des bruits sur $h(t)$ avec une erreur moyenne de $\pm 6\%$.

Cette étude soulève également de nouvelles questions quant à la compréhension des bruits dans le détecteur Virgo. Notamment à propos de l'origine du biais mentionné précédemment, il serait intéressant de vérifier la systématicité de ce dernier et de comprendre si son origine est un problème de la modélisation du système, d'un couplage inattendu entre les boucles ou encore une nouvelle source de bruit mineure. En général, sur les différentes figures représentant le Noise Budgets les bruits modélisés sont en dessous de celui mesuré, ce qui signifie qu'il reste encore un travail important avant de comprendre et de modéliser correctement toutes les sources de bruits.
265

# Deuxième partie

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## Etude de la contribution des systèmes binaires d'objets compacts au fond gravitationnel

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# Introduction à l'étude de la contribution des systèmes binaires d'origine stellaire au fond stochastique

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE 4.14: Schéma général des hypothèses de travail</figcaption></figure>

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Dans cette seconde partie de mes travaux je me concentre sur un type de source d'ondes gravitationnelles, les coalescences d'objets compacts et leur impact sur le fond stochastique gravitationnel. Les estimations de l'amplitude du fond stochastique basé sur les dernières observations de O3a [] prédissent une possible détection dans les années à venir avec les améliorations des détecteurs actuels et avec les futurs détecteurs de troisième génération. Aussi mes travaux visent à évaluer l'impact des différents canaux de formation des systèmes binaires d'objets compacts sur l'amplitude et la forme du fond stochastique. Dans un premier chapitre je vais introduire les différents canaux possible de leur formation qui propose de suivre les processus à l'origine de la formation des étoiles et de leur évolution. Le second chapitre sera consacré à la forme d'onde gravitationnelle émises par les coalescences des binaires avec notamment une étude de l'impact de l'excentricité et aux différentes observations déjà réalisées par les prises de données précédentes. Ensuite le chapitre 7 a pour objectif d'introduire la notion de fond stochastique, le formalisme utilisé pour le caractériser et ses méthodes de détection. Enfin les chapitres 8 et 9 sont consacrés à l'étude de deux différents canaux qui ont fait l'objet de deux publications scientifiques : Le chapitre 8 présente l'impact de l'inclusion d'objets compacts originaires d'étoiles de la population III, et de la population qui ne fusionne pas dans un temps de Hubble. Ces calculs inclus pour la première fois l'impact de l'évolution orbitale, et de l'expansion de l'univers permettant ainsi de vérifier leur influence sur le spectre en densité d'énergie à basses fréquences notamment dans la bande de sensibilité du détecteur LISA. Ces travaux ont été réalisés en collaboration avec Chis Belczyski et Tomaz Bulik qui sont à l'origine de la simulation des catalogues. Le chapitre 9 présente une étude réalisée en collaboration avec le groupe DemoBlack de Padoue sur la contribution des systèmes formés dynamiquement dans les amas d'étoiles au fond stochastique gravitationnel. En effet les étoiles évoluant dans un milieu dense **subissent des processus** qui sont à l'origine de distributions de paramètres spécifiques.
# 1 Chapitre 5

# 2 Formation et évolution de binaires d'objets compacts

4 L'objectif de ce chapitre est de retracer l'origine des paramètres des coalescences de binaires d'objects compacts observés depuis 2015 avec les détecteurs d'ondes gravitationnelles LIGO-Hanford(H), LIGO-Livingston(L), et Virgo(V). Les objets compacts sont les résidus d'étoiles après leur collapse et éventuelle supernova. Aussi pour comprendre les observations résalisées aujourd'hui, il faut démarrer avec les processus de formation stellaire, présentés dans la première partie de ce chapitre. La seconde partie de ce chapitre sera consacrée à l'évolution d'une étoile jusqu'a son effondrement en objet compact. Enfin d'autre phénomènes liés au fait que les étoiles évoluent en systèmes binaires sont à prendre en compte, et seront détaillés dans une troisième partie de ce chapitre.

## 5.1 Formation stellaire et cosmologie

14 Appuyé par de nombreuses observations astronomiques, le modèle standard de la cosmologie ΛCDM décrit de manière fiable l'univers, son origine, sa structure et son évolution sur 14 milliards d'années. Ce modèle a été décrit dans le chapitre 1, et nous allons principalement revenir sur ses caratctéristiques et leur évolution lors de la phase de la fomation stellaire. Cette dernière débute alors que l'univers est environ agé de 400 000 ans, avec une longue période appelée les Ages sombres où aucune étoile n'est encore créée. La première génération d'étoiles apparait après seulement 400 millions d'années environ, avec les embryons des premières galaxies qui amorcent la formation de grandes structures telles que les amas et les super amas de galaxies grâce notamment au rôle attracteur de la matière sombre.
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIGURE 5.1: Schéma de l'évolution de l'univers. Credits NASA/WMAP Science Team</figcaption></figure>

### 5.1.1 Description de la formation stellaire

La compréhension de l'évolution de l'univers et sa description pendant l'ère stellaire est cruciale pour comprendre les coalescences de binaires observées aujourd'hui avec les détecteurs (ou qui seront possiblement observées). Suite à la formation du fond diffus cosmologique, l'univers est neutre et entre dans les âges sombres où il n'émet aucune lumière. A l'âge de ~ 400 Millions d'années il se ré-ionise et peut éventuellement former des étoiles. Ces dernières se forment le plus souvent en groupes à partir de la contraction gravitationnelle d'une nébuleuse (nuage de gaz et de poussières) qui se fragmente en plusieurs embryons d'étoiles. Aussi les caractéristiques des étoiles formées dépendent principalement de la constitution de la nébuleuse qui elle même dépend de l'abondance des éléments dans l'univers. On définit la métallicité Z comme le ratio d'éléments plus lourds que l'hélium dans l'étoile à sa formation, par simplicité on l'exprime à l'aide des ratios d'hydrogène X et d'hélium Y :

$$Z = 1 - X - Y, \quad X = \frac{N_H}{N_{tot}}, \quad Y = \frac{N_{He}}{N_{tot}} \qquad (5.1)$$

$N_H$ et $N_{He}$ représentent les nombres d'atomes d'hydrogène et d'hélium dans l'étoile et $N_{tot}$ le nombre d'atomes total. On définit alors trois populations : la population I (pop.I) contient les étoiles récentes riches en éléments lourds avec des valeurs typiques $X \approx 0.70$, $Y \approx 0.28$ et $Z \approx 0.02$. La population II (pop.II) est composée d'étoiles formées plus tôt, donc lorsque la quantité l'éléments lourds dans l'univers était plus faible ($X \approx 0.76$, $Y \approx 0.24$, $Z \approx 0.001$). Contrairement aux deux premières populations, la population III (pop.III) n'a jamais été observée. Elle contient les premières étoiles formées dans l'univers (cf Fig.5.1) avec par conséquent une métallicité nulle. Usuellement la métallicité est exprimée en comparaison avec celle du soleil $Z_{\odot}=0.002$.
Pendant cette phase se forment également les amas d'étoiles. On distingue deux types d'amas : les amas ouverts sont des ensembles d'étoiles présents à l'intérieur même d'une galaxie. Ce sont, en général, des étoiles jeunes nées dans un même nuage moléculaire et qui commencent à s'éloigner progressivement les unes des autres. Les amas globulaires quant à eux ne sont pas dans le disque galactique et sont composés d'étoiles plus anciennes, liées entre elles par la gravitation.

## 5.1.2 Caractéristiques de la formation des étoiles

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIGURE 5.2: Observation du taux de formation stellaire (gauche) et de la metallicité des étoiles (droite) avec les rayons gamma X. Les différentes couleurs de points correspondent aux données de différentes études, plus de détails dans [1]</figcaption></figure>

Nous avons vu dans le chapitre 1 que le redshift caractérise l'expansion de l'univers et par conséquent est lié à un temps. Aussi le présent est caractérisé par un redshift de 0. En observant les étoiles avec les rayons gamma X il est possible de retrouver une relation entre le taux de formation des étoiles en masses solaires par an et par megaparsec $M_\odot$.yr$^{-1}$.Mpc$^{-3}$ (SFR Star Formation Rate) et le redshift. De plus ces observations permettent également de tracer l'évolution de la metallicité des étoiles à leur création en fonction du redshift. Les résultats usuellement utilisés par la communauté sont présentés dans l'article [1] et sur la figure 5.2.

L'ajustement optimal de ces données permet de construire un modèle de formation stellaire et ainsi de synthétiser des populations d'étoiles. Lors de la création d'un catalogue de systèmes binaires d'objets compacts, on utilise ces paramètres de formation stellaire puis l'on simule l'évolution des étoiles pour obtenir finalement les caractéristiques des binaires d'objets compacts dont la coalescence est à l'origine de l'émission d'ondes gravitationnelles.

## 5.2 Formation d'objets compacts d'origine stellaire

Les trous noirs et les étoiles à neutrons qui nous intéressent ici sont les résidus d'étoiles massives (> $8M_\odot$). Dans cette section nous allons nous attarder sur les deux principaux phénomènes qui
influencent fortement les paramètres des objets compacts : Les vents stellaires et les supernovae(SN).

## 5.2.1 Les vents stellaires

Les vents stellaires sont des expulsions de gaz de l'atmosphère de l'étoile. Dans les étoiles dites froides, ils sont principalement dus à la pression de radiation formant une couche froide à la surface de l'étoile [2]. Dans les étoiles chaudes et massives il est dû à la puissance du couplage entre le moments des photons et les métaux présents dans la photosphère stellaire. La compréhension des vents stellaires est primordiale pour l'étude des objets compacts, car la masse perdue au travers de ce phénomène détermine la masse de l'étoile à la fin de sa vie, et par conséquent impactera les processus d'effondrement en objet compact. [3, 4, 5, 6].

Pour caractériser la perte de masse induite par les vents stellaires un modèle simple propose de prendre en compte la métallicité de l'étoile et le Facteur d'Eddington de la diffusion électronique définie de la manière suivante :

$$ \Gamma_e = \frac{\kappa_e L}{4\pi c G m}, \qquad (5.2) $$

où $\kappa_e$ est la section efficace pour la diffusion de l'électron, $L$ la luminosité de l'étoile et $m$ la masse de l'étoile. Par exemple le modèle PARSEC[7, 8] adopte une perte de masse évoluant en $\dot{m} = Z^\alpha$, avec $\alpha = 0.85$ si $\Gamma_e < 2/3$ et $\alpha = 2.45-2.4\Gamma_e$ si $2/3 < \Gamma_e < 1$. La figure 5.3 représente l'évolution de la masse $m$ d'une étoile dans le temps pour différentes métallicités $Z$, ces résultats sont tirés de l'article [9]. Suivant cette étude une étoile de même métallicité que le Soleil perd environ 2/3 de sa masse au cours de son évolution.

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIGURE 5.3: Evolution de la masse d'une étoile dans le temps en fonction de sa métallicité. Résultats obtenus sur une population synthétisée par la code SEVN basé sur l'évolution stellaire PARSEC [8].</figcaption></figure>
D'autres phénomènes, qui ne seront pas détaillés ici, peuvent impacter la masse de fin de vie d'une étoile comme la rotation de l'étoile (plus de détails dans [10]) où encore son champ magnétique surfacique [11, 12, 13].

## 5.2.2 Supernovae

Les mécanismes à l'oeuvre lors de l'effondrement des étoiles sont encore mal connus. Lorsque le coeur de l'étoile atteint la masse limite que la pression de dégénérescence d'électrons peut supporter (Chandrasekhar mass)[14], l'effondrement gravitationnel de l'étoile commence. Cela mène le coeur de l'étoile dans un nouvel état principalement composé de neutrons. On appelle ce coeur d'étoile en cours d'effondrement la *proto-neutronstar* (PNS) ou un nouvel équilibre est atteint empêchant l'effondrement complet. Nous allons détailler ici une approche simplifiée dépendante de la masse, des phénomènes qui suivent cette étape. Pour plus de détails ce modèle est présenté dans [15]. Pour une étoile ayant une masse initiale $m_{ini} < 11$ M$_{\odot}$, la PNS créée va rapidement se ré-éffondrer pour finalement donner une étoile à neutrons avec une masse finale $m_{rem} \sim 1$ M$_{\odot}$. Pour des étoiles avec $m_{ini} > 11$ M$_{\odot}$ peuvent se développer des instabilités donnant lieu à des mouvements convectifs autour de la PNS. L'énergie dégagée par la PNS est alors transmise à la région convective et une certaine quantité de matière peut se ré-éffondrer sur le coeur. On considère alors qu'un objet compact de plus de 3 M$_{\odot}$ à ce stade devient un trou noir, tandis que l'objet reste une étoile à neutrons en dessous de cette limite.

Finalement un dernier phénomène à prendre en compte pendant la supernova est l'instabilité de paire. Dans le cas où le noyau d'hélium autour de la PNS atteint $m_{He} = 32$ M$_{\odot}$, il y a un processus de production de paire élélectron-positron qui influence l'évolution de la supernova.

— Si $m_{He} > 135$ M$_{\odot}$, l'effondrement est immédiat et donne un trou noir.

— Si $135 < m_{He} < 64$ M$_{\odot}$, l'effondrement génère une explosion qui amène à la dissolution complete de la PNS, c'est ce que l'on appelle la *pair instability supernova*.

— Si $64 < m_{He} > 32$, la production de paire est à l'origine d'une grande perte de masse. Finalement l'objet compact a une masse bien plus faible que si l'effondrement avait lieu directement.

La figure 5.4 présente les relations obtenues entre la masse de l'étoile à sa naissance $m_{ZAMS}$ et celle de l'objet compact final $m_{rem}$ en prenant en compte les vents stellaires, les supernovae, et la production de paire. Aussi ce que l'on appelle le *pair instability mass-gap* est la partie représentée en gris entre 50 M$_{\odot}$ et 120 M$_{\odot}$, dans laquelle ce phénomène n'autorise pas la création de trous noirs.
<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE 5.4: Graphique de l'impact combiné des vents stellaires et de la production de paire lors de l'effondrement sur la relation entre la masse à la naissance de l'étoile et celle de l'objet compact remanant pour plusieurs métallicités comprise entre $Z = 2 \times 10^{-4}$ et $Z = 2 \times 10^{-2}$. La courbe pleine représente celle qui concerne la métallicité solaire $Z = Z_{\odot} = 1 \times 10^{-2}$[16]</figcaption></figure>

## 5.3 Evolution des étoiles en système binaire

On peut imaginer que les processus présentés dans la section précédente suffisent à décrire les systèmes binaires d'objets compacts. Cependant le fait que les deux étoiles évoluent ensemble a également un impact sur les paremètres des systèmes binaires et notamment sur la distance entre les deux objets et sur leur masses. En pratique pour constituer une population de systèmes binaires il faut combiner les phénomènes d'évolution des étoiles avec ceux qui ont lieu entre les deux étoiles. On distinguera alors deux canaux de formations : lorsque le système est suffisamment éloigné des autres objets son évolution est dite isolée; lorsque les binaires évoluent dans les amas d'étoiles il peut y avoir des interactions dynamiques entre les systèmes et on parle alors d'évolution dynamique. La figure 5.5 représente ces deux canaux qui seront détaillés dans les deux prochaines sous-sections.

### 5.3.1 Evolution des systèmes binaires isolés

Les systèmes binaires isolés n'ont pas d'interaction avec d'autre objets au cours de leur évolution. Cependant les deux étoiles qui le composent n'évoluent pas nécessairement à la même vitesse selon leur masse initiale. Aussi lorsque la première étoile atteint sa phase de géante rouge elle est suceptible de transférer une partie de sa masse à son compagnon. De la même manière lorsque la seconde étoile atteint cette même étape, son compagnon est alors déja un objet compact et il peut se créer une enveloppe autour du système dite enveloppe commune qui amène à de nouveaux échanges de matière.
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE 5.5: Schéma de l'évolution de binaires isolées à droite, et en amas à gauche. [17]</figcaption></figure>

## 134 Transfert de masse

On parle de transfert de masse entre les deux étoiles lorsqu'elles échangent de la matière. Cela peut se produire via deux différents phénomènes, les vents stellaires décrits dans la partie précédente et par remplissage du lobe de Roche (Roche-lobe).

Lorsqu'une étoile massive perd de la masse à cause des vents stellaires une partie de celle-ci peut être transferée à l'étoile compagnon. Ce phénomène dépend de la quantité de masse perdue et de la vitesse des vents stellaires comparée à celle de l'étoile compagnon [18].

Les lobes de Roche de deux étoiles dans un système binaire sont reliés par un point de Lagrange. Comme les lobes de Roche sont des surfaces équipotentielles, toute matière orbitant sur cette surface où au-delà peut passer librement d'une étoile à l'autre. Aussi lors de la phase de géante rouge la taille de l'étoile augmente beaucoup dépassant éventuellement cette surface limite et autorisant des transferts de masse entre les deux étoiles [19].

## 146 Enveloppe commune CE

Si deux étoiles entrent en phase CE il n'y a plus de corotation entre l'enveloppe de l'étoile et le coeur. Les deux cœurs d'étoiles (ou bien le coeur et l'objet compact remanant, si l'une des étoiles s'est déja éffondrée) sont embarqués dans une seule et même enveloppe et commencent à spiraler. Une partie de l'énergie perdue dans le movement spiralant est alors transmise à l'enveloppe qui chauffe et tend à se dissoudre. Ce processus peut continuer jusqu'à l'éjection complète de l'enveloppe qui laisserait alors les deux cœurs d'étoiles nus. Cela induit d'abord une perte de masse des deux objets mais aussi réduit considérablement la distance qui les sépare. Si
cette enveloppe n'est pas éjectée les deux coeurs d'étoiles fusionnent prématurément. Le principal formalisme utilisé $\alpha\lambda$ pour décrire ce phénomène est présenté dans [20]

La figure 5.5 (gauche) résume les phénomènes décrits précédemment. L'acronyme MS désigne une étoile dans la séquence principale.

## 5.3.2 Evolution dynamique des systèmes binaires

Les systèmes binaires évoluant dans les amas d'étoiles [21, 22, 23, 24], sont sujets à de nouveaux processus dûs à la proximité avec les autres étoiles de l'amas. Aujourd'hui il reste encore une grande incertitude quant à la proportion de systèmes binaires d'objets compacts crées via ce canal. Néanmoins, les dernières observations estiment qu'au moins 25% des coalescences observées par LIGO-Virgo pourraient venir des amas d'étoiles.

### Interaction dynamique

Lorsqu'une binaire évolue dans un milieu dense il peut arriver qu'elle rencontre une autre étoile. L'influence de cette étoile sur les paramètres orbitaux dépend de la distance à laquelle elle passe du système binaire. On considère que la binaire est perturbée si le troisième objet passe à une distance inférieure à 3 fois la distance qui sépare les deux étoiles du système. Ce phénomène est à l'origine de plusieurs processus qui peuvent avoir lieu ensuite comme les échanges (*Exchange*) [25], la solidification (*Hardening*) [26] ou encore l'éjection. Lors d'un échange une des deux étoiles du système initial est remplacée par la nouvelle arrivante. Cela mène à une différence dans la distribution de masses des systèmes binaires, en effet plus le troisième objet entrant est massif plus il a de chance de prendre la place de l'objet le plus léger. Cela offre la possibilité pour les trous noirs massifs seuls de trouver un compagnon. De plus ces échanges sont à l'origine de spins non-alignés entre les deux objets compacts. La solidification est un phénomène qui a lieu lorsque le système binaire subit plusieurs passages d'un troisième objet. A chacun de ces passages, la distance entre les deux objets diminue ce qui rend difficile l'intrusion d'un troisième objet.

### Formation de trous noirs de masses intermédiaires

Un dernier phénomène non représenté sur la figure 5.5 qui me semble important de mentionner est la formation de trous noirs de masses intermédiaire. On appelle un trou noir de masse intermédiaire en référence au *pair intability mass gap* évoqué dans la section précédente. Dans les amas d'étoiles il peut y avoir deux processus à l'origine de la formation de trous noirs ayant une masse non prédite par les processus d'évolution stellaire : les collisions fuyantes (*runaway collision*) [16] ou les fusions répétées (*repeated mergers*) [27, 28]. Les collisions fuyantes ont lieu dans les amas d'étoiles et sont dues à la ségrégation de masse. Les étoiles les plus massives ont tendance à être attirées vers le centre de l'amas. Si l'étoile ne s'éffondre pas
avant d'arriver au centre elle a une chance de collisionner créant ainsi un trou noir de masse intermédiaire. Par ailleurs il est possible qu'au cours de l'évolution de l'amas des trous noirs fusionnent donnant ainsi naissance à un trou noir de masse potentiellement non prédite par l'évolution stellaire c'est ce que l'on appelle les fusions répétées.

Dans les deux processus décrits précédemment des trous noirs massifs et isolés sont créés. Aussi ces nouveaux trous noirs étant dans l'amas ils ont une chance d'intervenir dans un autre système binaire et d'être à l'origine d'un échange. Ainsi le nouveau système binaire contiendrait un trou noir de masse non prédite par la description de la formation stellaire. Dans le chapitre suivant une partie sera dédiée à la description des évènements de coalescences détectés par LIGO-Virgo, et je reviendrai sur une détection particulière qui pourrait trouver son origine dans le processus que je viens de décrire.

## 198 Conclusion

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 5.6: Schéma simplifié de la simulation de catalogues de systèmes binaires d'objets compacts. Les blocs en bleu représentent les paramètres liées à la formation stellaire</figcaption></figure>

Une population de binaires compactes est définie par un ensemble de paramètres dont les distributions s'expliquent en fonction du canal de formation de ces systèmes. La figure 5.6 schématise la simulation de catalogue de binaires d'objets compacts. En bleu sont représentés les paramètres initiaux sur la formation des étoiles qui dépendent de **Ou ?** et **Quand ?** se forment ces étoiles. L'indice ZAMS (*Zero Age Main Sequence*) indique que ce sont les grandeurs à la naissance de l'étoile dans la séquence principale.

— $SFR(z,Z)$ : (*Star Formation Rate*), c'est le taux de formation d'étoiles qui dépend principalement du redshift $z$ et de la métallicité $Z$.

— $p(m_{ZAMS})$ : c'est la distribution de la probabilité de la masse des étoiles, elle dépend également de la métallicité et du redshift.
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210

— $p(a_{ZAMS})$, $p(e_{ZAMS})$: la distribution de probabilité des paramètres orbitaux du système binaire : le demi grand axe de la trajectoire $a$ et son excentricité $e$.

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En rouge est représenté le modèle d'évolution stellaire. Lui aussi dépend de l'environnement que l'on considère à savoir quel est l'état de l'univers pendant l'évolution des étoiles, et quelles sont les interactions des étoiles entre elles (et avec d'autre objets si elles évoluent dans un amas). Le modèle d'évolution permet de connaître les différents paramètres des systèmes binaires une fois que le deuxième objet compact a été créé. Enfin en vert sont représentés les principaux paramètres nécessaires pour dériver les ondes gravitationnelles émises par les source du catalogue.

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— $\mathcal{R}(z)$ : Le taux de fusion des étoiles en fonction de leur redshift (ou plus simplement de leur distance)

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— $p(m_1), p(m_2)$ : Les distributions des masses des deux objets compacts $m_1$ et $m_2$ du système après la formation du second objet compact.

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— $p(e), p(a)$ : les distributions de probabilité des paramètres de la trajectoire du système.

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Finalement ce chapitre approfondit les différents phénomènes a prendre en compte lors de la simulation de population d'étoiles. Dans les travaux je vais utiliser des catalogues construits via ce type de simulation pour évaluer le fond stochastique gravitationnel provenant des coalescences de binaires d'objets compacts.
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