# Du constructivisme au neuroconstructivisme mathématique : Dehaene intuitionniste ?

Stéphane Ange Gondo

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Stéphane Ange Gondo. Du constructivisme au neuroconstructivisme mathématique : Dehaene intuitionniste?. Théoréthiques. Revue africaine d'épistémologie, 2024, 1 (6). hal-04813325

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Submitted on 2 Dec 2024

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# Du constructivisme au neuroconstructivisme mathématique : Dehaene intuitionniste ?

Stéphane Ange GONDO<fnref n="1" />

## Résumé

Cet article se consacre à l'exploration des aspects cognitifs liés à la construction et à la compréhension des mathématiques. Il aborde le constructivisme intuitionniste de Poincaré, qui souligne l'importance de l'interaction entre les intuitions intellectuelle et sensible dans la construction des nombres et le neuroconstructivisme de Dehaene, qui intègre les découvertes récentes des neurosciences cognitives. Selon Dehaene, les intuitions numériques sont enracinées dans les structures cérébrales innées, et la construction ainsi que l'acquisition des nombres sont en partie influencées par ces bases neurologiques. L'objectif de cet article est de réévaluer les principes de l'intuitionnisme mathématique de Poincaré à la lumière de cette théorie neurocognitive, en se demandant si Dehaene, qui relie l'intuition mathématique à des fondements biologiques, peut être considéré comme un intuitionniste moderne. On constate alors qu'en dépit de leurs différences essentielles, la théorie neurocognitive de Dehaene apporte un nouvel éclairage qui renforce la théorie intuitionniste poincaréenne selon laquelle l'intuition est au fondement des mathématiques.

**Mots-clés** : Aspects cognitifs, constructivisme, intuition du nombre, intuition, neuroconstructivisme.

## Abstract

This article explores the cognitive aspects of mathematical construction and understanding. It discusses Poincaré's mathematical constructivism, which emphasizes the importance of the interaction between intellectual and sensible intuitions in the construction of mathematical thought, and Dehaene's neuroconstructivism, which incorporates recent findings from cognitive neuroscience. According to Dehaene, mathematical intuitions are rooted in innate brain structures, and the construction and understanding of mathematics are influenced by these neurological foundations. The aim of this article is to reassess the principles of Poincaré's mathematical intuitionism in the light of neurocognitive theories, asking whether Dehaene, who links mathematical intuition to biological foundations, can be considered a modern intuitionist. We then see that, despite their essential differences, Dehaene's neurocognitive theory sheds new

<footnote n="1">¹ Ange Stéphane GONDO est docteur en philosophie, professeur certifié de philosophie et membre associé du Laboratoire d'Histoire des Sciences et de Philosophie-Archives Henri Poincaré (UMR 7117- LHSP).</footnote>
light that reinforces Poincaré's intuitionist theory that intuition is at the foundation of
mathematics.

**Keywords** : Cognitive aspects, constructivism, number intuition, intuition, neuroconstructivism
## Introduction

Le constructivisme en philosophie des mathématiques est une approche épistémologique qui insiste sur le rôle actif du sujet dans la construction des objets mathématiques. Entre la fin du XIXe et le début du XXe siècle, Poincaré a développé un constructivisme mathématique dans lequel les mathématiques (l'arithmétique et la géométrie) sont considérées comme résultant d'une construction basée sur une opération mentale combinant l'esprit humain et l'expérience. Opposé au formalisme et au logicisme, son constructivisme intuitionniste<fnref n="2" />, développé en arithmétique, repose sur l'idée que les nombres découlent d'une activité mentale dans laquelle l'intuition pure et l'intuition sensible interagissent.

Le neuroconstructivisme est l'approche des neurosciences cognitives visant à expliquer le processus de construction et de compréhension de la connaissance à partir d'une description des mécanismes neuronaux et des différents niveaux cognitifs. Appliqué au domaine des mathématiques, le neuroconstructivisme mathématique soutient que la connaissance ou la pensée mathématique résulte des mécanismes neurobiologiques. Afin de justifier cette thèse, les neuroscientifiques cognitivistes cherchent à déterminer les corrélats neuronaux ou fondements cognitifs des mathématiques et à expliquer comment la cognition mathématique, plus précisément la cognition numérique et spatiale, émerge à partir des mécanismes neuronaux qui se déroulent dans le cerveau. Pour atteindre ces deux buts, les spécialistes de la cognition se sont servi des nouvelles méthodes qui permettent de détecter les mécanismes de la pensée ou des états psychiques. Ce sont entre autres les méthodes d'imagerie cérébrale, telles que l'imagerie par résonance magnétique fonctionnelle (IRMF), l'électro-encéphalographie (EEG) etc., qui sont, en fait, des méthodes de visualisation du cerveau. Ces nouvelles techniques, bien que souvent critiquées pour leur aspect formel et les nombreux problèmes philosophiques<fnref n="3" /> qu'elles soulèvent, offrent une explication plausible de l'émergence des processus cognitifs à partir de l'activité neuronale. Elles montrent également comment le cerveau et ses neurones génèrent la pensée mathématique. Dans cette analyse, nous avons choisi de nous concentrer sur la théorie de l'intuition du nombre de Dehaene, qui s'appuie sur les travaux de Poincaré pour décrire les fondements cognitifs de l'arithmétique.

<footnote n="2">² Dans le cadre de cette analyse, nous utilisons le terme « intuitionnisme » pour souligner le rôle de l'intuition et de l'expérience dans la construction mathématique. À cet égard, l'intuitionnisme de Brouwer et Weyl nous serons moins utiles par rapport à celui de Poincaré, car dans les positions radicales de l'intuitionnisme mathématique adoptées par ces deux auteurs, l'intuition est séparée de l'expérience.</footnote>

<footnote n="3">³ Pour une critique détaillée des méthodes des neurosciences cognitives, voir A. REVONSUO, 2008, p. 57-63.</footnote>
Si du point de vue historique, contextuel et méthodologique, la vision neuroconstructiviste de Dehaene, qui propose une explication mécaniste causale<fnref n="4" /> des fondements de l'arithmétique, s'oppose à la vision intuitionniste de Poincaré, axée sur une explication théorique de la genèse et des fondements des nombres, ces deux approches convergent néanmoins sur certains points, principalement sur le fait que les mathématiques ont leur origine dans l'intuition et qu'elles ne sont pas des entités abstraites existant dans un monde platonicien. Dès lors, comment les découvertes récentes en neurosciences cognitives, notamment les travaux de Stanislas Dehaene en psychologie cognitive, remodèlent-elles la construction et la compréhension des mathématiques ? Dans quelle mesure la conception neuroconstructiviste des mathématiques de Dehaene s'intègre ou s'oppose-t-elle à l'intuitionnisme mathématique ? Notre objectif est d'examiner l'approche neuroconstructiviste de Dehaene par rapport à l'intuitionnisme arithmétique de Poincaré, en déterminant les « aspects cognitifs » de la constitution de la pensée arithmétique.

Dans la première partie, nous présenterons le constructivisme intuitionniste de Poincaré. En nous focalisant sur la construction des nombres naturels et rationnels, nous montrerons comment ces nombres découlent d'une activité mentale combinant l'intuition pure et l'intuition sensible. La deuxième partie présentera le neuroconstructivisme de Dehaene, en illustrant l'implication des structures neuronales d'intuition numérique dans le processus de construction et de compréhension des nombres. La troisième partie examinera si la position neuroconstructiviste de Dehaene, selon laquelle l'intuition du nombre serait responsable de la perception directe de la numérosité et de la construction des nombres, fait de lui un intuitionniste moderne. À ce stade, nous verrons que même si Dehaene renforce la position intuitionniste de Poincaré dans la controverse contre les logicistes et les formalistes au sujet des fondements des mathématiques, sa théorie neuro-intuitionniste diffère de celle de Poincaré sur certains points.

<footnote n="4">⁴ L'explication mécaniste causale est la méthode propre aux neurosciences fondamentales. Opposée à une explication théorique des phénomènes scientifiques, cette méthode cherche à donner une explication mécanique des causes immédiates des phénomènes neurobiologiques. Cf. A. REVONSUO, 2008, p. 43.</footnote>
# I-Le constructivisme intuitionniste de Poincaré

Dans cette première partie, nous explorerons les « aspects cognitifs » présupposés dans le constructivisme intuitionniste de Poincaré. Le terme « cognitif », tel que nous l'utilisons ici, fait référence aux processus mentaux impliqués dans le processus de construction de la connaissance mathématique. Les neuroscientifiques cognitivistes l'utilisent souvent pour décrire l'étude de la manière dont le cerveau produit ou construit les mathématiques à partir des stimuli externes. Bien que la cognition reste étroitement liée à l'activité neuronale ou cérébrale dans le domaine des neurosciences cognitives, ce terme est également utilisé pour fait référence à l'activité de l'esprit humain couplée au monde extérieur (l'esprit étant considéré, bien entendu, comme un processus neurobiologique du cerveau). Dans le cadre de cette analyse, nous utiliserons le terme « aspects cognitifs » pour souligner l'interaction entre l'esprit humain et l'expérience dans le processus de construction des nombres.

Dans leur quête d'un fondement purement logique pour l'arithmétique, les logicistes tels que Frege, Russell et Couturat se heurtaient à une opposition résolue de Poincaré<fnref n="5" />, qui soutenait que les nombres sont le résultat d'une opération mentale où l'intuition pure interagit avec l'intuition sensible. Or pour Poincaré, l'intuition pure se distingue de l'intuition kantienne par le fait qu'elle est une faculté intellectuelle et non sensible au sens de Kant. Même si l'intuition pure (ou intellectuelle) est, selon Poincaré, au fondement des nombres, l'intuition empirique en constitue une composante structurelle, analogue à la construction kantienne. Adoptant la conception intuitionniste kantienne dans ses premiers écrits, Poincaré considère les propositions arithmétiques comme des propositions synthétiques *a priori*<fnref n="6" />. Cette conception mathématique implique philosophiquement que les nombres ne préexistent pas à l'activité mentale, mais en sont le produit. C'est sur la base de cette conception que Poincaré s'opposait aux conceptions « cantoriennes » des mathématiques, qui supposent que les nombres existent indépendamment de l'esprit. Sa thèse principale dirigée contre les cantoriens<fnref n="7" /> est que les nombres sont des artefacts

<footnote n="5">⁵ Le lecteur soucieux de connaître en détail les raisons de cette controverse est prié de se référer à S. Gondo, 2023, p. 27-64.</footnote>

<footnote n="6">⁶ Dans le débat qui opposait les défenseurs de Leibniz (les logicistes) aux défenseurs de Kant (les intuitionnistes), Poincaré lui-même prenait explicitement la défense de Kant en affirmant : « dire qu'ils [les logiciens] ont définitivement tranché le débat entre Leibnitz et Kant et ruiné la théorie kantienne, c'est évidemment inexact ». (H. Poincaré, 2000, p. 152). Dans le cadre de cette analyse, nous déplorons une telle déclaration de Poincaré, car une telle défense de Kant est inconcevable si on tient compte de son refus de l'intuition intellectuelle. Contre Kant, Poincaré réhabilite l'intuition intellectuelle en mettant en évidence la puissance et la capacité itérative de l'esprit humain dans la construction mathématique. Selon l'analyse de Mooij, conforme au point de vue que nous défendons ici, l'intuition chez Poincaré est de nature intellectuelle. Ce qui l'oppose à Kant qui rejette systématiquement cette forme d'intuition. (J. Mooij, 1966, p. 124).</footnote>

<footnote n="7">⁷ Poincaré nommait « cantoriens » les mathématiciens et philosophes qui soutenaient que les entités mathématiques y compris les nombres préexistent à l'esprit humain. Ainsi, lorsqu'il parlait de « cantoriens », il</footnote>
de l'intuition pure et sensible. Mais que recouvre le terme « intuition » dans le constructivisme de Poincaré ?

Il convient de noter que Poincaré ne présente pas l'intuition de manière systématique. Ainsi, il est difficile de savoir exactement ce qu'il entend par ce terme. Toutefois, en étudiant ses écrits, on peut observer qu'il considère l'intuition comme la capacité de compréhension instantanée qui se produit dans l'esprit humain sans recourir à un raisonnement logique. Autrement dit, Poincaré perçoit l'intuition comme un processus mental permettant de résoudre des problèmes complexes sans avoir recours à un raisonnement logique. Étant donné que, selon Poincaré, l'intuition intervient dans plusieurs domaines, il distingue plusieurs types d'intuition comme suit :

> Nous croyons dans nos raisonnements ne plus faire appel à l'intuition ; les philosophes nous diront que c'est là une illusion. La logique toute pure ne nous mènerait jamais qu'à des tautologies ; elle ne pourrait créer du nouveau ; ce n'est pas d'elle toute seule qu'aucune science peut sortir.

> Ces philosophes ont raison dans un sens ; pour faire l'arithmétique, comme pour faire la géométrie, ou pour faire une science quelconque, il faut autre chose que la logique pure. Cette autre chose, nous n'avons pour la désigner d'autre mot que celui d'intuition. Mais combien d'idées différentes se cachent sous ces mêmes mots ?

> Comparons ces quatre axiomes :

1. Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles ;

2. Si un théorème est vrai du nombre 1 et si l'on démontre qu'il est vrai de $n + 1$, pourvu qu'il le soit de n, il sera vrai de tous les nombres entiers ;

3. Si sur une droite le point C est entre A et B et le point D entre A et C, le point D sera entre A et B ;

4. Par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite.

Tous quatre doivent être attribués à l'intuition, et cependant le premier est l'énoncé d'une des règles de la logique formelle ; le second est un véritable jugement synthétique à priori, c'est le fondement de l'induction mathématique rigoureuse ; le troisième est un appel à l'imagination ; le quatrième est une définition déguisée. (H. Poincaré, 1990, p. 32-33).

Dans ce passage, Poincaré présente quatre types d'intuition en se référant à quatre axiomes : le premier axiome correspond à l'intuition logique, qui englobe des présuppositions non déductibles logiquement, telles que la symétrie de l'égalité (A = B et C = B alors A = C). Le deuxième axiome correspond à l'intuition du nombre pur ou l'intuition pure, qui nous permet de comprendre les principes mathématiques sans nécessiter de démonstrations. Le troisième axiome correspond à l'intuition de l'imagination, c'est-à-dire l'intuition sensible présente dans la pensée, et enfin le quatrième axiome correspond également à l'intuition sensible nécessaire pour les conventions en géométrie.

Dans la suite de notre analyse, nous examinerons comment Poincaré décrit l'articulation de l'intuition sensible et de l'intuition du nombre pur (également connue sous le nom d'intuition

<footnote>faisait référence aux logicistes tels que Frege, Russell, Couturat, etc. qui soutenaient que la construction du nombre se fait indépendamment de l'intuition.</footnote>
pure), qu'il considère comme l'origine et le fondement des nombres. Contrairement aux
logicistes qui considèrent que l'intuition n'intervient pas dans le processus de construction et
de démonstration mathématique, la considération de Poincaré est que l'intuition du nombre pur
(que nous appellerons dans la suite l'intuition pure) est la forme d'intuition sous-jacente à la
construction des nombres et des démonstrations arithmétiques, car le principe d'induction qui
est caractérisé par l'intuition pure repose sur l'itération. En adoptant cette perspective, l'objectif
de Poincaré était de mettre en évidence la capacité de l'esprit humain à créer les nombres à
partir de l'itération. L'itération, également appelée « répétition indéfinie » par Poincaré, est un
processus consistant à effectuer des opérations ou une séquence d'opérations de manière
continue ou indéfinie. Itérer, c'est donc recommencer, reprendre la même chose ou répéter
continuellement la même chose. Ainsi, dans la construction des nombres naturels, l'acte auquel
fait référence l'itération consiste à ajouter sans fin un nouvel élément à ce qui a été obtenu
précédemment :

le théorème est vrai du nombre 1.

Or s'il est vrai de 1, il est vrai de 2.

Donc il est vrai de 2.

Or s'il est vrai de 2, il est vrai de 3.

Donc il est vrai de 3, et ainsi de suite. (H. Poincaré, 2000, p. 20).

Une autre formulation du même principe d'itération, donnée par G. Heinzmann (2013, p. 123),
est :

RN : a) N(I) [I est un « nombre »]

b) N(n) → N(nI) [si n est un « nombre », son successeur est également un « nombre »].

Dans ces deux exemples, nous pouvons observer l'application du principe d'itération à
deux niveaux distincts. Au niveau 1, il permet d'ajouter continuellement un nombre à ce qui a
déjà été obtenu, à condition que ce nombre soit donné. Au niveau 2, il permet de générer un
nombre indéfini de syllogismes. Cependant, cette loi de l'itération ne suffit pas encore à affirmer
le principe d'induction. Pour que cela soit possible, une généralisation est nécessaire, celle-ci
consiste à passer du fini à l'infini, ou dans la formulation RN, à la clause finale : « c) on peut
obtenir tous les « nombres » par l'application de a) et b) » (G. Heinzmann, 2013, p. 123). Si le
principe d'itération permet la construction de tous les nombres naturels, il faut toutefois se
demander quelle est la faculté qui nous fait passer du domaine fini à l'infini ou qui nous fait
savoir que tous les nombres naturels peuvent être construits selon RN ? L'opération itérative
consistant à ajouter continuellement un nombre à un autre est possible grâce à la puissance de
l'intuition pure, tandis que le passage à l'infini représente une autre application de l'intuition
pure au méta-niveau.
Chez Poincaré, il est important de souligner que l'intuition pure est une faculté qui comporte une force, voire une puissance innée. Cette puissance innée rend l'intuition poincaréienne active, contrairement à l'intuition kantienne qui est passive<fnref n="8" />. En considérant l'intuition comme une faculté activement portée vers la création indéfinie des nombres naturels, sans une structuration préalable des représentations sensorielles, Poincaré opère un renversement de la théorie kantienne par la défense d'une intuition pure et intellectuelle. Si l'on peut observer une apparente analogie entre Poincaré et Brouwer qui se réfère à l'intuition primordiale pour expliquer comment les nombres naturels, entiers, ordinaux et cardinaux sont construits par l'intermédiaire d'une itération de séquences emboitées les unes dans les autres, il est important de souligner que la position intuitionniste de Brouwer diffère de celle de Poincaré, pour qui l'intuition pure est inséparable de l'intuition sensible<fnref n="9" />. Dans un passage de *La science et l'hypothèse*, H. Poincaré (2000, p. 41), affirme ceci concernant la certitude apportée par l'intuition pure par rapport au principe d'induction complète :

> pourquoi donc ce jugement s'impose à nous avec une irrésistible évidence ? C'est qu'il n'est que l'affirmation de la puissance de l'esprit qui se fait capable de concevoir la répétition indéfinie d'un même acte dès que cet acte est une fois possible. L'esprit a de cette puissance une intuition directe et l'expérience ne peut être pour lui qu'une occasion de s'en servir et par là d'en prendre conscience.

Ce passage montre que le processus d'itération, qui implique une répétition indéfinie, n'est pas réalisé de manière détachée de l'expérience<fnref n="10" />. Quelle que soit la puissance de l'intuition pure, elle doit être nécessairement connectée à l'expérience pour vérifier la validité des nombres naturels créés. Ainsi, les nombres naturels sont construits par une interaction entre l'intuition pure et intellectuelle et l'intuition sensible. Cela s'applique également à la construction des nombres rationnels, qui font partie des continus du premier ordre.

Dans son ouvrage *La science et l'hypothèse*, Poincaré a montré que, contrairement à la façon dont l'École de Berlin introduit les incommensurables en tant que création pure de l'esprit, sans aucune implication de l'expérience, l'itération de l'intuition, qui implique l'activité conjointe de l'esprit et de l'expérience, peut expliquer simultanément l'origine cognitive des

<footnote n="8">⁸ Chez Kant, l'intuition est rattachée à la sensibilité. Cela implique que l'intuition est passive, puisqu'elle n'a pas la possibilité d'intuitionner directement les choses. Or, chez Poincaré, l'intuition est active, elle est capable d'intuitionner directement les choses sans recourir à l'expérience, elle anticipe, elle guide et elle permet de voir loin, c'est-à-dire faire des prévisions.</footnote>

<footnote n="9">⁹ Chez Brouwer, l'intuition primordiale jouit d'une autonomie, étant déconnectée du monde extérieur. Chez Poincaré en revanche, l'intuition pure reste rattachée à l'intuition sensible.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ Cela ne signifie pas que Poincaré rejoint Kant. Nous avons vu que Kant refuse complètement à l'intuition intellectuelle un rôle quelconque dans la construction des mathématiques. C'est le lieu de rappeler que son caractère a priori de l'arithmétique est directement dû aux données empiriques. Ce qui est l'opposé de Poincaré qui reconnaît à la fois le rôle joué par l'intuition pure et l'intuition sensible dans la construction mathématique.</footnote>
nombres rationnels (les nombres de premier ordre) et des nombres réels (les nombres de second ordre). Portons notre attention sur les nombres rationnels et demandons-nous comment l'itération permet de les concevoir. Selon Poincaré, la construction des nombres rationnels se fait par le biais de l'itération, de la même manière que la construction des nombres naturels.

Tout se passe comme pour la suite des nombres entiers<fnref n="11" />. Nous avons la faculté de concevoir qu'une unité peut être ajoutée à une collection d'unités ; c'est grâce à l'expérience que nous avons l'occasion d'exercer cette faculté et que nous prenons conscience, mais dès ce moment, nous sentons que notre pouvoir n'a pas de limite et que sentons que nous pourrions compter indéfiniment, quoique nous n'ayons jamais eu à compter qu'un nombre fini d'objets. De même, dès que nous avons été amenés à intercaler des moyens entre deux termes consécutifs d'une série, nous sentons que cette opération peut être poursuivie au-delà de toute limite et qu'il n'y a pour ainsi dire aucune raison intrinsèque de s'arrêter. (H. Poincaré, 2000, p. 53).

Ainsi pour Poincaré, l'esprit humain est doté de ressources internes lui permettant de créer un nombre infini de symboles pouvant prendre la forme des nombres rationnels. Bien que la capacité de l'esprit à construire les nombres rationnels puisse être attribuée à sa puissance créatrice interne, il est pertinent de souligner que cette construction est rendue possible grâce à l'expérience. Ce qui intéresse Poincaré, c'est déterminer à la fois l'origine et le fondement des nombres. Pour lui, la construction des nombres (naturels, rationnels) requiert non seulement les facultés intellectuelles créatives nécessaires à la conception des symboles pouvant prendre la forme des nombres, mais aussi les données sensibles de l'expérience externe. Bien que Poincaré accorde de l'importance aux données sensibles, cela ne le place pas dans le camp des empiristes. Il peut sembler difficile de comprendre comment, selon Poincaré, les données sensibles sont impliquées dans la construction des nombres, tout en s'opposant à l'idée empirique qui tient les mathématiques pour une science expérimentale.

Afin de clarifier la position de Poincaré sur cette prétendue incompréhension, A. Schmid (2001, p. 22.) fait remarquer que l'expérience « n'intervient pas à l'intérieur de la théorie mathématique (...) son rapport avec les mathématiques se pose sous le couvert d'une autre question, celle de l'origine des notions ». Autrement dit, l'expérience n'intervient pas directement dans l'acte de création des nombres ou des théories mathématiques, bien qu'elle soit considérée par Poincaré comme un élément important. Au fait, Poincaré considère que l'expérience, étant toujours définie par son rapport aux sens, est à l'origine du processus de construction des nombres, mais elle ne joue pas un rôle décisif dans l'acte de création. L'acte décisif consistant à créer les nombres est en effet une œuvre de l'esprit humain ou l'intuition pure. Bien que les mathématiques aient quelque chose à voir avec la réalité, il serait erroné de

<footnote n="11">¹¹ Ce que Poincaré désigne par "les nombres entiers" correspond aux nombres naturels dans le langage mathématique actuel.</footnote>
penser qu'elles sont une science empirique. En associant l'expérience et l'esprit humain dans
le processus de construction mathématique, Poincaré adopte une position intermédiaire entre
les rationalistes et les empiristes : pour lui, l'expérience fournit à l'esprit des données
sensorielles nécessaires à la construction des nombres, mais la capacité de création de l'esprit
n'est aucunement déterminée par elle. L'intuition sensible est à l'origine des nombres, mais
c'est l'intuition pure qui en constitue le fondement. En résumé, la construction des nombres
naturels et rationnels relève d'une interaction entre l'intuition pure et l'intuition sensible.

Voyons maintenant comment le neuroconstructivisme de Dehaene contribue à la
compréhension de la construction et la compréhension des nombres.

II-Le neuroconstructivisme mathématique de Dehaene

Le neuroconstructivisme mathématique selon Dehaene repose sur l'idée que les bases cognitives des mathématiques, en particulier de l'arithmétique, se trouvent dans les structures neuronales du cerveau. À partir de cette hypothèse, Dehaene s'efforce d'identifier les fondements biologiques de l'arithmétique élémentaire. Sa méthodologie inclut des expériences neurobiologiques, neuropsychologiques et psychophysiques pour déterminer les substrats cognitifs essentiels à l'acquisition des connaissances arithmétiques. Les nombreuses expériences qu'il a menées avec son équipe de recherche ont mis en évidence l'existence de deux systèmes neuronaux de numérosités : l'un est la subitisation ou « le système de petits ensembles », présenté comme étant le substrat cognitif des petites numérosités (≥ à 3 *objets*). L'autre est l'estimation ou « le système approximatif du nombre », présenté comme le substrat cognitif des grandes numérosités (< à 3 *objets*). Selon Dehaene, ces résultats suggèrent que les nouveau-nés possèdent l'intuition du nombre dès les premiers jours de leur naissance. Cela signifie qu'ils ont des capacités numériques précoces leur permettant de distinguer *a priori* un ensemble d'objets. Bien que les nouveau-nés ne puissent pas effectuer de comptage précis à la naissance, ils seraient capables d'additionner et de soustraire de 1 à 3 objets, voire plus, grâce à la subitisation ou à l'estimation. Il est donc important de distinguer la numérosité, perçue de manière non symbolique et non verbale, du nombre symbolique, qui est acquis par l'éducation et l'apprentissage.

Si les psychologues cognitivistes s'accordent sur l'existence de ces deux systèmes
neuronaux de numérosités, ils divergent cependant quant à la prédominance de l'un ou l'autre
dans le processus d'appréhension et d'acquisition des nombres. Contrairement aux
psychologues cognitivistes comme Carey et Pylyshyn pour qui la subitisation est le mécanisme
neuronal principal permettant la construction et l'acquisition des nombres, Dehaene, Gallistel
et Wynn, soutiennent que c'est l'estimation (ou le système approximatif de numérosité) qui
joue ce rôle prédominant<fnref n="12" />. Cette position adoptée par le groupe de Dehaene est renforcée par le fait que l’intégration de la subitisation dans la représentation des petites numérosités est moins évidente chez les enfants. C’est pourquoi l’intégration de la subitisation dans les petites numérosités reste un sujet de débat parmi les psychologues cognitivistes<fnref n="13" />. En revanche, des études neurophysiologiques montrent clairement que le sillon intrapariétal est la zone la plus importante pour la représentation approximative des numérosités. La déclaration suivante de S. Dehaene (2006, p. 13) sur les zones cérébrales activées lors des manipulations numériques est remarquable :

> toutes les tâches qui évoquent un sens de la quantité- addition, soustraction, comparaison, mais aussi simple vision d'un chiffre ou dénombrement d'un nuage de point- activent un réseau reproductible de région, au premier rang desquelles figure le fond du sillon interpariétal.

Si l'existence des circuits neuronaux d'intuition numérique est prouvée par plusieurs études expérimentales, il reste la question de savoir comment ces systèmes neuronaux de numérosités rendent compte du processus d'appréhension et d'acquisition des nombres symboliques<fnref n="14" />. Dès lors, comment passe-t-on de la représentation de la numérosité qui intervient à l'âge de l'enfance à l'acquisition des nombres symboliques qui intervient à l'âge adulte ?

Pour expliquer comment les adultes acquièrent et comprennent les nombres symboliques, Dehaene propose un modèle basé sur l'évolution phylogénétique et le développement ontogénétique des nombres précis. Du point de vue phylogénétique, il soutient que les mathématiques résultent d'une longue évolution génétique. Les humains possédant une intuition numérique héritée de l'évolution, Dehaene considère que leurs capacités mathématiques précoces se développent et se précisent grâce à l'apprentissage et à l'éducation. Du point de vue ontogénétique, Dehaene postule une connexion précoce entre l'intuition du nombre, un système de numérosité inné, et les nombres symboliques. Cette connexion expliquerait la capacité des enfants et des adultes à acquérir le système de comptage et la signification précise des nombres. Dans ces explications phylogénétique et ontogénétique, Dehaene cherche à montrer que la construction et l'acquisition des nombres proviennent à la fois de l'intuition du nombre (innée) et des facteurs empiriques liés à l'éducation. Et c'est bien dans cette perspective qu'il déclare :
> « les nombres sont des intuitions primitives que notre architecture cérébrale rend inévitable et

<footnote n="12">¹² Pour plus de détails sur cette divergence, voir H. SINACEUR, 2014, p. 103-144.</footnote>

<footnote n="13">¹³ Voir par exemple S. Dehaene, 2008, « Psychologie cognitive expérimentale », L'annuaire du Collège de France.</footnote>

<footnote n="14">¹⁴ Un nombre symbolique, selon Stanislas Dehaene, fait référence à la représentation des nombres par des symboles spécifiques, tels que les chiffres (1, 2, 3) et les mots ("un", "deux", "trois"). Il est utilisé pour communiquer, écrire, et manipuler des nombres de manière formelle.</footnote>
que nous projetons sur le monde extérieur » (S. Dehaene, 2008, p. III). En mettant en avant l'importance de l'intuition du nombre ainsi que des facteurs empiriques dans le processus de construction des nombres, il apparaît clairement que Dehaene adopte une position intuitionniste et anti-réaliste. Reste à déterminer si l'intuition décrite par ce neuroscientifique cognitiviste correspond à celle décrite par le mathématicien.

Pour relier ces deux phénomènes biologiques, Dehaene propose une continuité phylogénétique et ontogénétique dans le processus d'appréhension et de construction des nombres. Il pense que la capacité de dénombrement à l'âge adulte résulte de l'intégration de l'intuition numérique avec la signification des symboles numériques (1, 2, 3, 4, etc.), un produit de l'éducation culturelle et de l'apprentissage. Par exemple, un adulte éduqué apprend le système de comptage numérique en associant la signification symbolique acquise par l'éducation culturelle avec l'intuition numérique innée. Ainsi, il décrit le passage de la numérosité (chez l'enfant) à l'acquisition des nombres symboliques (chez l'adulte) comme suit :

> dès qu'un adulte éduqué perçoit un nom de nombre ou un nombre en notation arabe, cette entrée symbolique est rapidement et automatiquement traduite mentalement en une quantité approximative dont la manipulation interne obéit aux mêmes lois que celles de la manipulation des numérosités perçues sous forme d'ensembles d'objets. (S. Dehaene, 2008, p. 281).

Ainsi pour Dehaene, le processus d'acquisition des nombres symboliques à l'âge adulte suit un processus similaire à la représentation approximative de la numérosité qui a lieu chez les nourrissons. Convaincu sans preuve que le processus d'acquisition de la connaissance arithmétique suit un tel processus, Dehaene établit une homologie entre la capacité des adultes à représenter les symboles numériques et la capacité des nourrissons à représenter les quantités numériques. Bien vrai que l'interprétation ontogénétique proposée par Dehaene pour expliquer l'acquisition des nombres symboliques à l'âge adulte a été invalidée par les études expérimentales réalisées en 2007 par Susan Carey et Le Core<fnref n="15" /> et celles réalisées en 2016 par Leibovich<fnref n="16" />, les psychologues cognitivistes sont pratiquement unanimes sur le fait que le processus de construction et/ou d'acquisition des nombres symboliques intègre l'intuition du nombre, héritée au cours de l'évolution (phylogenèse), le développement individuel qui

<footnote n="15">15 Nous renvoyons le lecteur à M. LE CORRE & S. CAREY. One, two, three, four, nothing more: An investigation of the conceptual sources of the verbal counting principles. *Cognition*. 2007, 105 (2), p. 395-438.</footnote>

<footnote n="16">16 En effet, ces études comportementales ont montré conjointement que les enfants acquièrent la signification des nombres entiers un peu plus tard après l'acquisition de la cardinalité. Ce qui veut dire que « le système approximatif du nombre » et les nombres symboliques ne sont pas précocement reliés chez les enfants comme le défendait Dehaene. Pour aller plus loin, voir T. LEIBOVICH et D. ANSARI. The symbol-grounding problem in numerical cognition: A review of theory, evidence, and outstanding questions. *Canadian Journal of Experimental Psychology/Revue canadienne de psychologie expérimentale*. 2016, 70 (1), p. 12-23.</footnote>
intervient au cours de l'évolution post-natale (ontogenèse) et le processus d'apprentissage et d'éducation qui implique l'expérience sensible.

Après avoir présenté la théorie neurocognitive de Dehaene, il est pertinent de se demander si celle-ci est compatible ou opposée à la perspective intuitionnisme de Poincaré. La partie suivante sera consacrée à l'examen de cette question.

### III-Dehaene : un intuitionniste moderne ?

La théorie neurocognitive de Dehaene que nous venons d'analyser présente de frappantes similitudes avec l'intuitionnisme arithmétique de Poincaré. Le point de convergence le plus important concerne indiscutablement le fondement des nombres. Comme on le sait, les nombreuses observations et expériences réalisées sur des humains et certains animaux ont montré l'existence de systèmes de numérosités, plus spécifiquement, le système approximatif du nombre qui leur confère l'intuition du nombre. Ce qui a conduit Dehaene à suggérer que le système approximatif de numérosités précéderait la compréhension et l'acquisition des nombres symboliques. Il va même plus loin en affirmant que ce système de numérosités est « au fondement de la construction ultérieure des concepts arithmétiques de plus haut niveau ». (S. Dehaene, 2010, p. 314). Cela signifie que, selon Dehaene, l'intuition du nombre que nous possédons dès les premiers stades de notre existence, joue un rôle essentiel dans le processus de construction et d'acquisition des nombres (naturels et rationnels), qui intervient lors de l'évolution post-natale. Si l'on prend en compte le fait que Dehaene accorde un rôle crucial à l'intuition du nombre (innée) et à l'éducation post-natale (expérience) dans le processus de construction des nombres, alors il est évident que la perspective intuitionniste en filigrane de sa conception correspond à l'intuitionnisme poincaréin. D'ailleurs, il souligne son rapprochement avec l'intuitionnisme mathématique de Poincaré, lorsqu'il déclare :

> la position que j'ai défendue (...), et que l'on pourrait qualifier d'intuitionniste (...) postule que les fondements cognitifs des mathématiques doivent être recherchés dans une série d'intuitions fondamentales de l'espace, du temps, et du nombre, partagées par de nombreuses espèces animales, et que nous héritons d'un lointain passé où ces intuitions jouaient un rôle essentiel à la survie. Les mathématiques se constituent par la formalisation et la mise en liaison consciente de ces différentes intuitions. Ainsi cette position se rattachet-elle, (...), à l'intuitionnisme mathématique de (...) Poincaré. (S. Dehaene, 2008, p. 277-278).

Cependant, la perspective intuitionniste de ce psychologue cognitiviste diffère considérablement de celle du mathématicien sur plusieurs points.

La première différence concerne l'intuition comme structure neuronale présente dans le cerveau dès la naissance. Rappelons que l'intuition numérique permet la représentation *a priori* des numérosités (c'est-à-dire la représentation directe et automatique des numérosités). Cette forme d'intuition se distingue de celle de Poincaré, car elle repose sur l'évolution biologique.
En effet, chez Dehaene, l'intuition qui sous-tend le mécanisme de représentation *a priori* des numérosités est déterminée par l'évolution génétique. En revanche, chez Poincaré, l'intuition pure ou intellectuelle, qui constitue le fondement des nombres (naturels et rationnels), n'est déterminée par rien d'autre et se caractérise par sa capacité à transcender l'expérience sensible pour effectuer des constructions *a priori*, non pas au sens kantien, mais par le biais d'une intuition intellectuelle.

La seconde différence concerne principalement la définition et la nature de l'intuition. Comme mentionné précédemment, Poincaré conçoit l'intuition comme un processus mental permettant de résoudre les problèmes complexes sans avoir recours à un raisonnement logique. En revanche, Dehaene considère l'intuition comme une représentation inconsciente de la numérosité. Plus précisément, il emploie le terme « intuition » pour désigner la capacité des sujets humains ou non humains à reconnaître la quantité d'un ensemble d'objets sans recourir à une introspection (c'est-à-dire à la conscience). Ainsi pour Dehaene, l'intuition fait référence à une évaluation automatique ou spontanée du nombre d'objets présents dans un ensemble, indépendamment de toute activité consciente. Dans sa leçon inaugurale prononcée le 6 avril 2006, S. Dehaene (2006, p. 6.) a clarifié ce concept en précisant que l'intuition est une « forme proto-mathématique » présente dans les circuits neuronaux dès la naissance.

En conséquence, l'intuition de Dehaene diffère également de celle de Poincaré par son rôle. Dans la théorie phylogénétique de Dehaene, l'intuition sert à la reconnaissance spontanée ou automatique de la numérosité, contrairement à la théorie intuitionniste de Poincaré où elle sert de base à la construction des nombres. Comme on le sait, Poincaré associe l'intuition à des jugements synthétiques *a priori*, permettant la création infinie de nombres et les démonstrations mathématiques par induction complète. Cette intuition ne correspond pas à celle de Dehaene, qui se limite à une représentation approximative des quantités numériques. On voit que la forte proximité apparente entre Dehaene et Poincaré s'effondre sous cet angle, car l'intuition du nombre n'est pas l'intuition pure créant ou produisant les nombres, mais une représentation approximative de la quantité numérique.

De plus, la conception de l'intuition mathématique de Dehaene diffère méthodiquement de celle de Poincaré. Afin de rendre compte de nos capacités cognitives à effectuer les opérations arithmétiques élémentaires, Dehaene s'intéresse à la construction formelle des mathématiques à partir de nos capacités « proto-arithmétiques ». Son objectif est d'élaborer, à partir des observations et expériences neuropsychologiques, un modèle architectural du traitement des nombres. C'est dans cette perspective qu'il a élaboré, en collaboration avec Cohen, le modèle du *Triple code* qui est un modèle basé sur le modèle computationnel. Cela
montre que Dehaene utilise le terme « mathématique » dans un sens différent de celui de Poincaré. En effet, dans la théorie phylogénétique de Dehaene, « mathématique » signifie exécution des tâches élémentaires comme l'addition, la soustraction, la division et la multiplication. Poincaré, en revanche, voit l'arithmétique comme une construction *a priori* suggérée par l'expérience. Dans la perspective de Poincaré, la distinction entre les mathématiques pures et appliqués n'est pas nécessaire, puisque les mathématiques soi-disant « pures » chez Poincaré ne se limitent pas à l'arithmétique, mais elles englobent aussi la géométrie dans la mesure où d'une part le concept de groupe a la même fonction que l'intuition pure de l'itération et que d'autre part ces deux catégories de l'esprit sont suggérées par l'expérience.

Un autre aspect marquant l'opposition entre ces deux conceptions intuitionnistes concerne la nature de l'intuition. Les expériences précédemment évoquées montrent que l'intuition numérique des humains et de certains animaux repose sur deux circuits neuronaux : le système de subitisation et le système approximatif de numérosités. En soutenant que l'acquisition des nombres symboliques est prioritairement déterminée par le système approximatif du nombre, Dehaene considère ainsi le nombre comme étant un produit neuronal dérivant de ce système. Considérer le nombre comme un produit neuronal signifie que sa construction ne se fait pas par l'intuition qui, selon Poincaré, permet des constructions synthétiques *a priori*, mais plutôt au sein des circuits neuronaux indépendamment de l'intuition intellectuelle. Dans ce contexte, il est évident que la perspective intuitionniste de Dehaene ne coïncide pas avec celle de Poincaré. Car l'intuition, selon Dehaene, est un processus mécanique ou automatique, ne nécessitant ni introspection ni activité consciente, alors que l'intuition de Poincaré est un processus intellectuel conscient, impliquant réflexion et compréhension profonde. Ainsi, l'intuition de Dehaene possède une nature biologique, contrastant avec l'intuition intellectuelle de Poincaré. Au vu de cela, il convient de dire que ces deux visions intuitionnistes sont distinctes : celle de Dehaene relève du neuro-intuitionnisme, mettant l'accent sur l'universalité et l'objectivité des capacités cognitives, tandis que celle de Poincaré appartient à l'intuitionnisme qui insiste sur la subjectivité et la créativité individuelle dans la construction mathématique.
## Conclusion

En somme, Dehaene partage avec Poincaré l'idée que l'intuition et l'expérience joue un rôle essentiel dans la construction et l'appréhension des nombres, mais il apporte une perspective intuitionniste différente en intégrant des éléments issus des neurosciences cognitives, ce qui introduit des différences fondamentales entre ces deux auteurs. Malgré ces différences, Dehaene laisse entrevoir une connexion possible entre ces deux approches intuitionnistes par cette déclaration : « l'intuition arithmétique que nous héritons de l'évolution est continue et approximative, l'apprentissage des mots et des chiffres la rend digitale et précise. Les symboles nous donnent accès à des algorithmes séquentiels de calcul exact ». (S. Dehaene, 2006, p. 21.).

Ici, Dehaene montre comment l'éducation joue un rôle crucial dans la transformation de l'intuition numérique primitive en compétences mathématiques avancées basées sur des algorithmes précis et séquentiels. Son opinion est que l'intuition arithmétique, héritée de l'évolution, est continue et approximative. Mais grâce à l'éducation et l'apprentissage, cette intuition approximative se transforme en intuition digitale et précise. Cette transformation permet à notre esprit d'accéder à des mathématiques pures, où chaque opération mathématique peut être réalisée de manière rigoureuse et précise à l'aide des concepts mathématiques purement abstraits. On peut donc supposer que les mathématiques pures, telles que mentionnées par Poincaré et impliquant les opérations complexes/abstraites, sont acquises grâce à l'influence des facteurs épigénétiques sur l'intuition numérique d'origine phylogénétique et approximative.

Dehaene ouvre ainsi la voie à une compatibilité potentielle avec l'intuitionnisme de Poincaré, en suggérant que, par le biais de l'éducation et l'apprentissage, nous passons de l'intuition numérique approximative à une intuition mathématique authentique, qui permet de construire les nombres (naturels, rationnels) et de produire les concepts mathématiques abstraits. En cela, Dehaene prolonge l'intuitionnisme mathématique de Poincaré en le consolidant face aux critiques des logicistes et des formalistes.
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