# Etude numérique de la capacité portante d'une fondation filante au bord d'une pente

Abdelhak Mabrouki, Djamel Benmeddour, Roger Frank, Mekki Mellas

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Abdelhak Mabrouki, Djamel Benmeddour, Roger Frank, Mekki Mellas. Etude numérique de la capacité portante d'une fondation filante au bord d'une pente. Journées nationales de géotechnique et géologie de l'ingénieur JNGG, Jul 2010, Grenoble, France. pp.489-496. hal-00544306

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# ETUDE NUMERIQUE DE LA CAPACITE PORTANTE D'UNE FONDATION FILANTE AU BORD D'UNE PENTE

## NUMERICAL STUDY OF THE BEARING CAPACITY OF A STRIP FOOTING NEAR A SLOPE

Abdelhak MABROUKI¹, Djamel BENMEDDOUR¹, Roger FRANK², Mekki MELLAS¹
1 Université de Biskra, Département de Génie Civil et Hydraulique, Biskra, Algérie
2 Université Paris-Est, Ecole des Ponts ParisTech, Navier - (CERMES)

**RÉSUMÉ** – La présente étude s'intéresse au calcul numérique de la capacité portante d'une fondation filante sous charge verticale centrée au bord d'une pente, en utilisant le code FLAC³D (Fast Lagrangian Analysis of Continua). Les études théoriques et expérimentales ont montré que, lorsqu'une fondation superficielle est située au bord d'une pente, sa portance doit être affectée d'un coefficient réducteur. La présente étude a été effectuée en faisant varier plusieurs paramètres géométriques et mécaniques, afin d'évaluer l'effet de la pente sur la capacité portante. Les valeurs numériques obtenues ont été comparées aux formulations disponibles dans la littérature. Les résultats de la présente étude permettent de mettre en évidence l'influence de la position de la fondation et de la pente sur la capacité portante.

**ABSTRACT** – This study focuses on the numerical analysis of the bearing capacity for a strip footing near a slope, subjected to a centered vertical load, using the explicit finite difference code FLAC³D (Fast Lagrangian Analysis of Continua). Theoretical and experimental studies confirm that, when a strip footing is near a slope, the bearing capacity must be assessed using reduction coefficients. In this study, several geometrical and mechanical parameters have been considered in order to evaluate the effect of the slope on the bearing capacity. The numerical values have been compared with those available in the literature. The results show the influence on the bearing capacity of the location of the footing with respect to the slope.

## 1. Introduction

L'évaluation de la capacité portante d'une fondation superficielle constitue l'un des problèmes majeurs en géotechnique. De nombreuses méthodes ont été développées pour le calcul de la capacité portante d'une fondation superficielle filante, posée sur un sol horizontal; ces méthodes ont une allure identique puisqu'elles suivent la superposition des trois termes introduite par Terzaghi (1943). On trouve la méthode d'équilibre limite (Terzaghi, 1943), la méthode des caractéristiques ou ligne de glissement (Sokolovskii, 1960), la méthode d'analyse limite (Michalowski, 1997) et les méthodes numériques, qui sont basées en général sur la méthode des éléments finis ou la méthode des différences finies (de Borst et Vermeer, 1984; Frydman et Burd, 1997). Terzaghi (1943) est le premier qui a proposé une expression générale pour l'évaluation de la capacité portante des fondations superficielles, cette expression prend la forme :
$$ q_u = \frac{\gamma B}{2} N_\gamma + c N_c + q N_q \quad (1) $$

Avec: $q_u$ = contrainte de rupture (capacité portante); $B$ = largeur de fondation; $\gamma$ = poids volumique du sol; $q$ = surcharge verticale latérale à la fondation; $c$ = cohésion du sol sous la base de la fondation; $N_\gamma$, $N_c$ et $N_q$ = facteurs de portance ne dépendant que de l'angle de frottement interne $\varphi$ du sol sous la base de la fondation.

La configuration particulière d'une fondation située au voisinage d'une pente est un cas fréquemment rencontré dans la pratique. Ce problème a fait l'objet d'essais en vraie grandeur ou sur modèles réduits centrifugés ou à gravité normale. Par ailleurs, certains auteurs ont développé des méthodes théoriques pour l'évaluation de la portance d'une fondation filante au bord d'une pente.

Pour calculer la capacité portante d'une fondation établie en bord d'une pente, Meyerhof (1957) a proposé une expression associant les facteurs de portance $N_\gamma$, $N_q$ d'une part, et $N_c$, $N_q$ d'autre part. La capacité portante est donnée selon Meyerhof (1957) par :

$$ q_u = 0,5 \gamma B N_{\gamma q} + c N_{cq} \quad (2) $$

L'évolution de $N_{\gamma q}$ et $N_{cq}$ a été présenté par Meyerhof (1957) pour différentes configurations géométriques, ces facteurs dépendent de l'angle de frottement interne du sol. Hansen (1970) a proposé des coefficients correcteurs pour les fondations filantes non encastrées, établies en tête d'un talus et soumises à une charge verticale centrée, Hansen donne un même coefficient de correction pour le terme de surface et le terme d'encastrement, sous la forme :

$$ i_{q\beta} = i_{\gamma\beta} = (1 - 0,5 \tan \beta)^5 \quad (3) $$

Où $\beta$ est l'angle de la pente par rapport à l'horizontale.

Pour l'étude d'une fondation au bord d'un talus, Giroud et Tran-Vo-Nhiem (1971), Graham et al. (1988) ont développé des méthodes de calcul basées sur le concept des lignes de glissement. Par ailleurs, Kusakabe et al. (1981), Saran et al. (1989), Narita et Yamaguchi (1990), de Buhan et Garnier (1994) et de Buhan et Garnier (1998) ont étudié ce problème par l'approche cinématique de la théorie du calcul à la rupture. Un calcul élasto-plastique par éléments finis a été effectué par Maloum et Sieffert (2002), en utilisant le code CESAR-LCPC, pour l'étude d'une fondation superficielle filante au voisinage d'un talus, sollicité par un chargement vertical et incliné centré.

Récemment, Magnan et al. (2004) ont obtenu des résultats pour le cas d'une fondation superficielle filante, établie à proximité d'un talus et sollicité par un chargement vertical, incliné et excentré, en utilisant des calculs par éléments finis avec le code CESAR-LCPC, basés sur les calculs élasto-plastique (module MCNL), ainsi que l'analyse cinématique régularisée (module LIMI). Le concours de prévision organisé à l'occasion du symposium international, FONDSUP 2003 (Droniuc et Magnan, 2004) a permis de traiter la portance d'une fondation superficielle filante et carrée, placée à proximité d'un talus et soumise à une charge excentrée et inclinée.

Bakir et al. (1994) ont présenté une synthèse de recherches expérimentales, effectuées pour l'étude d'une fondation filante à proximité d'un talus. La plupart des
essais ont été réalisés sur des modèles centrifugés; dans la littérature on trouve les travaux de Gemperline (1988) et Bakir (1993). Par ailleurs, Giroud et Tran-Vo-Nhiem (1971) et Lebègue (1973) ont réalisé des expérimentations sur un modèle réduit. Dans le domaine des expérimentations en vraie grandeur on trouve les travaux de Shields et al. (1977) et Bauer et al. (1981).

Gemperline (1988) a réalisé une importante série d'essais sur des modèles centrifugés, en considérant un sol pulvérulent et en faisant varier les paramètres géométriques et mécaniques. Ces essais ont permis de proposer une expression analytique pour évaluer le coefficient réducteur de portance $i_β$ en fonction de l'angle $β$ de la pente, par rapport à l'horizontale et par rapport à la distance relative $d/B$ de la fondation du bord du talus. L'expression proposée par Gemperline pour le coefficient réducteur $i_β$ a la forme suivante:

$$i_{\beta} = 1 - 0,8[1 - (1 - \tan \beta)^2] \frac{2}{2 + (d/B)^2 \tan \beta} \quad (4)$$

Il est à noter que cette expression ne dépend pas de l'angle de frottement interne $φ$ du sol.

Par ailleurs, les essais réalisés en centrifugeuse du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées (LCPC) à Nantes par Bakir (1993), ont permis de proposer une autre expression pour déterminer le coefficient réducteur $i_β$, en fonction de la distance relative $d/B$ et l'angle de la pente $β$, cette expression reflète bien l'ensemble des résultats expérimentaux obtenus, elle est présentée sous la forme suivante, avec $α = 6$:

$$\begin{cases} d/B \le \alpha & i_{\beta} = 1 - 0,9 \tan \beta (2 - \tan \beta) \left\{1 - \frac{d}{\alpha B}\right\}^2 \\ d/B > \alpha & i_{\beta} = 1 \end{cases} \quad (5)$$

On note qu'elle ne dépend pas non plus de $φ$. Cette expression a été adoptée par le règlement français de conception et calcul des fondations et des ouvrages de génie civil, le Fascicule 62 Titre V (1993), en utilisant $α = 8$, ce qui introduit une minoration de la capacité portante de la fondation au bord d'un talus. Il est vraisemblable que cette expression sera reprise dans la future norme française sur les fondations superficielles, complétant l'Eurocode 7 (2005).

La présente étude traite, par le code FLAC³D, le problème d'interaction sol frottant-fondation superficielle filante, non encastrée, de largeur $B$, soumise à une charge verticale centrée et établie à une distance $d$ de la crête d'une pente, caractérisée par un angle $β$ inférieur à l'angle de frottement interne $φ$ du sol (figure.1). Cette étude vise l'estimation numérique des facteurs de portance, ainsi que les facteurs réducteurs de portance pour deux pentes, afin de les comparer aux valeurs de Gemperline (1988) et Bakir (1993).

## 2. Simulation numérique

Le code FLAC³D (2006) (Fast Lagrangian Analysis of Continuain in 3 Dimensions), a été utilisé. FLAC³D est un code en différences finies explicites, développé par la société ITASCA Consulting Group. FLAC³D a été utilisé à la place de FLAC²D
(2005), car la présente étude fait partie d'une étude plus large comprenant, notamment, des semelles rectangulaires et il était souhaitable de garder les mêmes code et maillage générique.

Dans cette étude on considère une fondation filante non encastrée, rigide et rugueuse de largeur B, repose sur un massif de sol frottant et située à une distance d de la crête d'une pente qui fait l'angle $\beta$ avec l'horizontale. Cette fondation est soumise à une charge verticale centrée (figure 1). Le massif étudié ne présentant aucune symétrie géométrique, il est donc modélisé dans son intégralité (figure 2). Le maillage est raffiné au voisinage de la fondation, sous sa base, ainsi que près de la crête du talus. Les dimensions du maillage ont été définies de façon à éviter une influence sur la formation des mécanismes de rupture dans le sol. Plusieurs configurations géométriques ont été analysées, avec une pente d'angle $\beta$ = 26,6° et 33,7° (pente 1/2 et 2/3), une fondation filante de largeur $B$ = 1 m, le rapport $d/B$ variant entre 0 et 6 par pas de 1.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1. Géométrie du problème.</figcaption></figure>

Pour des raisons de lisibilité la figure 2 montre une représentation simplifiée du maillage dans le cas $d/B = 1$ et $\beta = 26,6°$, le maillage adopté pour le calcul de la capacité portante est plus raffiné. Les conditions aux limites sont prises en compte en bloquant le déplacement horizontal pour la limite qui correspond au plan $x = 0$, pour $z = 0$ les déplacements sont bloqués dans les directions x et z. Le déplacement dans la troisième dimension est bloqué pour traiter le problème en déformation plane (figure 2).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2. Maillage du modèle bidimensionnel et conditions aux limites, cas de $\beta = 26,6°$, $d/B = 1$.</figcaption></figure>

Le comportement du sol est régi par une loi élastique-parfaitement plastique et le critère de Mohr-Coulomb avec la règle d'écoulement associée. Les valeurs suivantes sont retenues : poids volumique $\gamma$ = 16 kN/m$^3$, un module volumique $K$ = 26,7 MPa, un module de cisaillement $G$ = 12,3 MPa ($E$ = 32 MPa, $v$ = 0,3) et cohésion = 0.
Les calculs ont été menés pour les différentes valeurs de l'angle de frottement interne : $\varphi = 35°, 40°$ et $45°$, et l'angle de dilatance $\psi = \varphi$ (associativité), l'interface sol-fondation est supposée parfaitement rugueuse, en bloquant le déplacement dans la direction horizontale des nœuds qui représentent la fondation.

Pour évaluer la capacité portante $q_u$, une vitesse de déplacement très faible a été appliquée sur les nœuds des éléments qui discrétisent la fondation; l'accroissement progressif du déplacement vertical de la fondation est accompagné par l'augmentation de la contrainte verticale au-dessous de la fondation; cette contrainte se stabilise pour une valeur qui indique un palier; ce palier correspond à la capacité portante $q_u$. Pour une fondation filante dans un sol frottant, établie en bord d'une pente, la formule de la capacité portante est donnée par la relation suivante:

$$q_u = \frac{1}{2} \gamma B N_{\gamma} i_{\gamma\beta} \qquad (6)$$

Avec :

$N_\gamma$ : facteur de portance d'une fondation établie sur un sol à surface horizontale ;

$i_{\gamma\beta}$ : coefficient réducteur de portance; par définition, c'est le rapport de la capacité portante d'une fondation établie en bord d'une pente à la capacité portante de la même fondation, établie sur le même sol à surface horizontale; il correspond donc à l'expression suivante:

$$i_{\gamma\beta} = \frac{[q_u]_{d/B,\beta}}{[q_u]_{\beta=0}} \qquad (7)$$

# 3. Résultats et discussion

## 3.1. Facteurs de portance

Les résultats du facteur de portance $N'_\gamma = N_\gamma \cdot i_{\gamma\beta}$, pour $\beta = 26,6°$, $d/B = 0, 2$ et $4$ et $\varphi = 35°, 40°$ et $45°$, obtenus par la présente étude sont comparés à ceux trouvés dans la littérature (tableau 1 adopté de Bakir et al., 1994). L'analyse de ces résultats montre une dispersion importante des facteurs de portance $N'_\gamma$, ce dernier; croît régulièrement lorsque la distance relative $d/B$ de la fondation au bord du talus augmente, à l'exception des résultats de Graham et al. (1988), où le talus n'a aucun effet à partir de $d/B = 2$. Les valeurs de Giroud et Tran-Vo-Nhiem (1971) obtenues en utilisant la méthode des lignes de glissement, sont les plus basses, sauf pour le seul cas de Magnan et al. (2004), où $\varphi = 35°$ et $d/B = 0$. Pour $d/B = 0$, les résultats de la présente étude sont en bon accord avec ceux de Graham et al. (1988); la différence ne dépasse pas 6% dans le cas de $\varphi = 35°$. Pour $d/B = 2$ et $4$ les valeurs de la présente étude sont très proches de celles de Meyerhof (1957); lorsque l'angle de frottement du sol $\varphi = 35°$ et $d/B = 2$, la différence n'est que de 1%.

<table><caption>Tableau I. Comparaison des valeurs des facteurs de portance $N'_\gamma$ (d'après Bakir et al., 1994).</caption><thead><tr><th rowspan="2">Référence</th><th colspan="3">φ = 35°</th><th colspan="3">φ = 40°</th><th colspan="3">φ = 45°</th></tr><tr><th>0</th><th>2</th><th>4</th><th>0</th><th>2</th><th>4</th><th>0</th><th>2</th><th>4</th></tr></thead><tbody><tr><td>d/B</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>Meyerhof (1957)</td><td>11</td><td>35</td><td>41</td><td>26</td><td>70</td><td>105</td><td>61</td><td>140</td><td>220</td></tr><tr><td>Hansen (1970)</td><td>10</td><td>-</td><td>-</td><td>24</td><td>-</td><td>-</td><td>78</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Giroud et Tran-Vo-Nhiem (1971)</td><td>10</td><td>16</td><td>28</td><td>21</td><td>35</td><td>52</td><td>50</td><td>72</td><td>100</td></tr><tr><td>Graham et al. (1988)</td><td>19</td><td>55</td><td>55</td><td>44</td><td>100</td><td>100</td><td>123</td><td>247</td><td>410</td></tr><tr><td>Kusakabe et al. (1981)</td><td>13</td><td>33</td><td>55</td><td>29</td><td>66</td><td>105</td><td>69</td><td>138</td><td>213</td></tr><tr><td>Narita et Yamaguchi (1990)</td><td>16</td><td>48</td><td>84</td><td>36</td><td>96</td><td>162</td><td>92</td><td>209</td><td>334</td></tr><tr><td>Magnan et al. (2004) (MCNL)</td><td>9,1</td><td>29,9</td><td>50,8</td><td>24,6</td><td>61,5</td><td>95,6</td><td>59,8</td><td>125</td><td>202</td></tr><tr><td>Magnan et al. (2004) LIMI</td><td>10,8</td><td>32</td><td>53,4</td><td>25,1</td><td>63,6</td><td>99,3</td><td>62,7</td><td>128</td><td>210</td></tr><tr><td>Présente étude</td><td>17,8</td><td>34,9</td><td>41,5</td><td>44</td><td>79,6</td><td>100,7</td><td>118,3</td><td>197,1</td><td>251,8</td></tr></table>

## 3.2. Coefficient réducteur de portance

Les figures 3(a et b) montrent les coefficients réducteurs de portance $i_{\gamma\beta}$ en fonction de la distance relative $d/B$ de la fondation au bord du talus pour les deux valeurs $\beta = 26,6°$ et $33,7°$ (pentes 1/2 et 2/3) obtenus tant par la présente étude que par Bakir (1993), ainsi que Gemperline (1988). Les valeurs du coefficient réducteur de portance décroissent lorsque la pente du talus $\beta$ augmente et cela dans tous les cas présentés sur les figures 3(a et b). Il est intéressant de noter que les résultats obtenus par la présente étude montrent un effet de l'angle de frottement interne du sol $\varphi$ sur le coefficient réducteur de portance $i_{\gamma\beta}$; cette influence devient faible lorsque $d/B = 0$; par exemple pour $d/B = 0$, $\beta = 26,6°$, $\varphi = 35°,40°$ et $45°$ le coefficient $i_{\gamma\beta}$ varie entre 0,38 et 0,42. Bakir (1993) a comparé ses résultats avec ceux de Lebègue (1973), Giroud et Tran-Vo-Nhiem (1971) et Gemperline (1988), lorsque $d/B = 0$ et $26° \le \varphi \le 43°$ et a trouvé que les valeurs de $i_{\gamma\beta}$ sont proches.

Les résultats de cette étude montrent qu'avec l'augmentation de l'angle de frottement interne $\varphi$ du sol, le coefficient réducteur $i_{\gamma\beta}$ décroît, et l'écart atteint sa valeur maximale égale à 0,24, dans le cas $d/B = 4$ et $\beta = 33,7°$ et égale à 0,22 pour $d/B = 3$ et $\beta = 26,6°$. Par ailleurs, Bakir et al. (1994) ont indiqué que, pour une pente donnée, l'évaluation des coefficients $i_{\gamma\beta}$ avec l'éloignement $d/B$ de la fondation du bord du talus dépend peu des caractéristiques du sol et $\Delta i_{\gamma\beta} \approx 0,10$. Dans le cas de la présente étude, ainsi que Gemperline (1988) la valeur de $i_{\gamma\beta}$ est inférieure à 1 pour $d/B = 6$ et $\varphi = 45°$; ce n'est pas le cas pour les résultats obtenus par l'expression de Bakir (1993), où la fondation à proximité d'un talus se comporte comme une fondation sur sol horizontal ($d$ infini) lorsque $d/B = 6$.

La figure 4 donne la comparaison, présentée par Bakir et al. (1994), des coefficients réducteurs de portance $i_{\gamma\beta}$, pour $d/B = 0$, et $\beta = 26,6°$, et $\varphi$ compris entre $35°$ et $45°$, à laquelle ont été ajoutés les résultats de cette étude. La plupart des résultats indiquent la petite influence de l'angle de frottement interne $\varphi$ du sol sur le coefficient $i_{\gamma\beta}$; d'une manière générale, les résultats de la présente étude s'accordent bien avec ceux de Gemperline (1988).
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3. Evolution du coefficient réducteur de portance en fonction de la distance à la crête du talus. (a) $\beta = 26,6°$ (pente 1/2), (b) $\beta = 33,7°$ (pente 2/3).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4. Comparaison des résultats de $i_{\gamma\beta}$ dans le cas $d/B = 0$, et $\beta = 26,6°$ (d'après Bakir et al., 1994).</figcaption></figure>

## 4. Conclusions

Dans cette étude ont été déterminés par le code FLAC3D les facteurs de portance et les coefficients réducteurs pour une fondation établie au voisinage d'une pente, afin de les comparer à ceux obtenus par les méthodes et les expressions proposées dans la littérature. La comparaison des facteurs de portance obtenus par différentes approches, pour le cas d'un talus de pente 1/2 ($\beta = 26,6°$) et $d/B = 0, 2$ et 4, révèle un écart important entre les différents auteurs. Pour une fondation en crête de talus ($d/B = 0$), les résultats de cette étude sont en bonne concordance avec ceux de Graham et al. (1988). L'évaluation des coefficients réducteurs de portance $i_{\gamma\beta}$, montre la faible influence de l'angle de frottement $\varphi$ sur le coefficient $i_{\gamma\beta}$ pour le cas particulier $d/B = 0$. Ceci dit, en faisant varier $\varphi$, les valeurs de $i_{\gamma\beta}$ obtenues par cette étude, encadrent bien celles de Bakir (1993) et Gemperline (1988). La poursuite de cette recherche comporte, notamment, la prise en compte de l'effet de la non-associativité sur les facteurs de portance, ainsi que sur les coefficients réducteurs $i_{\gamma\beta}$, les premiers calculs ont été déjà exécutés.
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