1 Chapitre 6

2 Ondes gravitationnelles émises par des
binaires d'objets compacts

Nous avons vu dans le chapitre précédent comment se forment les systèmes binaires d'objets compacts d'origine stellaire. Ces derniers sont à l'origine d'émission d'ondes gravitationnelles détectées aujourd'hui avec LIGO-Virgo. En effet lorsque les deux étoiles ont terminé leur effondrement en trous noirs et/ou étoiles à neutrons, elles commencent à spiraler l'une autour de l'autre provoquant ainsi l'émission d'ondes gravitationnelles. Ce que l'on appelle coalescence est ce processus de la phase spiralante, puis de la fusion des deux objets qui s'ensuit et de la stabilisation de l'objet<fnref n="1" /> qui en résulte. Ces trois phases sont représentées sur la figure 6.1

— La phase spiralante durant laquelle les deux objets se rapprochent et leur vitesse de rotation augmente. La forme d'onde émise durant cette phase est bien décrite par les développements post-Newtoniens.

— La phase de fusion, correspond à la phase où les deux objets se rencontrent, l'orbite n'est alors plus stable et la forme d'onde est décrite par la relativité numérique et ne sera pas détaillée ici.

— Enfin la phase de relaxation, l'objet résultant de la fusion, se stabilise et la forme d'onde de ce regime est décrite par la théorie des perturbations qui ne sera pas non plus détaillée ici.

20 6.1 Forme d'onde émises lors d'une coalescence circulaire

Dans cette partie est présentée la forme d'onde liée aux différentes phases d'une coalescence. Par soucis de simplicité je vais principalement décrire la phase spiralante pour des orbites circulaires.

<footnote n="1">1. La nature de l'objet résultant de la fusion est encore soumise à débats lorsque l'objet à une masse inférieure à 5 M☉.</footnote>
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>FIGURE 6.1: Représentation des différentes phases de la coalescence de deux objets compacts</figcaption></figure>

A partir du développement du tenseur moment $M^{ij} = \mu x_0^i(t)x_0^j(t)$ on peut écrire l'amplitude de l'onde de chacune des polarisations $h_+$ et $h_-$ pour une propagation perpendiculaire au plan du détecteur :

$$ 
\begin{aligned}
h_+ &= \frac{1}{r} \frac{G}{c^4} (\ddot{M}_{11} - \ddot{M}_{22}) \\
h_- &= \frac{2}{r} \frac{G}{c^4} \ddot{M}_{12}
\end{aligned} 
\quad (6.1) $$

où l'on a la masse réduite du système $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ et la distance à la source $r$ supposée constante.

Pour généraliser la direction de propagation de l'onde on opère un changement de coordonnées avec $\vec{n}$ vecteur de direction de propagation, et $\vec{u}, \vec{v}$ ses vecteurs orthogonaux, on a alors :

$$ 
\begin{aligned}
h_+(t, \vec{n}) &= \frac{1}{r} \frac{G}{c^4} (\ddot{M}'_{11} - \ddot{M}'_{22}) \\
h_-(t, \vec{n}) &= \frac{2}{r} \frac{G}{c^4} \ddot{M}'_{12}
\end{aligned} 
\quad (6.2) $$

avec l'indice "i" désignant le nouveau système de coordonnées représenté sur la figure 6.2. Le passage entre les deux référentiels peut s'exprimer par rotation avec la matrice $\mathcal{R}$.

$$ \mathcal{R} = \begin{pmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta \\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad (6.3) $$

On peut ainsi réécrire le tenseur $M^{ij}$ en fonction de ses coordonnées dans le nouveau repère :
<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>FIGURE 6.2: Représentation des coordonnées utilisées pour passer du repère ($\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$) au repère ($\hat{u}, \hat{v}, \hat{w}$).[1]</figcaption></figure>

$$M_{ij} = \mathcal{R}_{ik}\mathcal{R}_{jl}M'_{kl} \qquad (6.4)$$

32 L'écriture des amplitudes est alors généralisée en fonction des angles $\theta$ et $\phi$ :

$$h_{+}(t, \theta, \phi) = \frac{1}{r} \frac{G}{c^4} \left[ \begin{aligned} & \ddot{M}_{11}(\cos^2\phi - \sin^2\phi \cos^2\theta) \\ & + \ddot{M}_{22}(\sin^2\phi - \cos^2\phi \cos^2\theta) \\ & - \ddot{M}_{33}\sin^2\theta \\ & - \ddot{M}_{12}\sin(2\phi)(1 + \cos^2\theta) \\ & + \ddot{M}_{13}\sin\phi \sin(2\theta) \\ & + \ddot{M}_{23}\cos\phi \sin(2\theta) \end{aligned} \right] \qquad (6.5)$$

$$h_{\times}(t, \theta, \phi) = \frac{1}{r} \frac{G}{c^4} \left[ \begin{aligned} & (\ddot{M}_{11} - \ddot{M}_{22})\sin(2\phi)\cos\theta \\ & + 2\ddot{M}_{12}\cos(2\phi)\cos\theta \\ & - 2\ddot{M}_{13}\cos\phi\sin\theta \\ & - 2\ddot{M}_{23}\sin\phi\sin\theta \end{aligned} \right]$$

33 **6.1.1 Phase spiralante**

Pour une masse en orbite circulaire dans le plan $(x,y)$ on peut écrire les composantes du moment en fonction de la distance $a$ entre les deux objets et de la fréquence angulaire orbitale de rotation $\omega_{orb}$. Les seules qui ne s'annulent pas sont les suivantes :

$$ \begin{aligned} M_{11} &= \mu a^2 \frac{1 - \cos(2\omega_{orb}t)}{2} \\ M_{22} &= \mu a^2 \frac{1 + \cos(2\omega_{orb}t)}{2} \\ M_{12} &= -\frac{1}{2} \mu a^2 \sin(2\omega_{orb}t) \end{aligned} \qquad (6.6) $$

37 En supposant la distance entre les deux objets constante, les dérivées secondes s'expriment :
$$
\begin{align}
\ddot{M}_{11} &= 2\mu r^2 \omega_{\text{orb}}^2 \cos(2\omega_{\text{orb}}t) \nonumber \\
\ddot{M}_{12} &= 2\mu r^2 \omega_{\text{orb}}^2 \sin(2\omega_{\text{orb}}t) \tag{6.7} \\
\ddot{M}_{22} &= -\ddot{M}_{11} \nonumber
\end{align}
$$

38 En incluant ces expressions dans la formule générale des amplitudes des deux polarisations (6.5)

39 on obtient les expressions suivantes :

$$
\begin{align}
h_+(t, \theta, \phi) &= \frac{1}{r} \frac{4G\mu\omega_{\text{orb}}^2 r^2}{c^4} \left( \frac{1+\cos^2\theta}{2} \right) \cos(2\omega_{\text{orb}}t + 2\phi) \tag{6.8} \\
h_\times(t, \theta, \phi) &= \frac{1}{r} \frac{4G\mu\omega_{\text{orb}}^2 r^2}{c^4} \cos\theta \sin(2\omega_{\text{orb}}t + 2\phi) \nonumber
\end{align}
$$

40 On peut simplifier les équations précédentes en utilisant la troisième loi de Kepler,

$$
\omega_{\text{orb}}^2 = \frac{GM}{a^3}, \tag{6.9}
$$

41 où $M = m_1 + m_2$ est la masse du système, l'expression de la masse chirp $\mathcal{M}$,

$$
\mathcal{M} = \mu^{3/5} M^{2/5} = \frac{(m_1 m_2)^{3/5}}{(m_1 + m_2)^{1/5}}, \quad (6.10)
$$

42 et la fréquence angulaire de l'onde gravitationnelle $\omega_{gw}$,

$$
f_{gw} = \frac{\omega_{gw}}{2\pi} = \frac{\omega_{orb}}{\pi}. \tag{6.11}
$$

43 On obtient alors l'amplitude de chacune des deux polarisations $h_+(t)$ et $h_\times(t)$ :

$$
\begin{align}
h_+(t) &= \frac{4}{r} \left(\frac{GM}{c^2}\right)^{5/3} \left(\frac{\pi f_{gw}}{c}\right)^{2/3} \frac{1+\cos^2\theta}{2} \cos(2\pi f_{gw} t_{\text{ret}} + 2\phi), \tag{6.12} \\
h_\times(t) &= \frac{4}{r} \left(\frac{GM}{c^2}\right)^{5/3} \left(\frac{\pi f_{gw}}{c}\right)^{2/3} \cos\theta \sin(2\pi f_{gw} t_{\text{ret}} + 2\phi). \notag
\end{align}
$$

44 6.1.2 Evolution avec une orbite quasi-circulaire

L'équation précédente (6.12) nous donne les amplitudes des deux polarisations en supposant une

orbite circulaire Keplerienne. Cependant l'émission d'onde gravitationnelle implique une perte

d'énergie du système. Pour compenser cette perte d'énergie la distance $r$ entre les deux objets

doit diminuer. Alors suivant la troisième loi de Kepler (6.9) on en déduit une augmentation de
49 la fréquence $\omega_{orb}$. On appelle régime quasi-circulaire celui ou l'on a $\dot{\omega}_{orb} \ll \omega_{orb}$, et l'on peut appliquer une approximation circulaire avec une petite variation de la distance $r$. On exprime alors l'évolution de la fréquence des ondes gravitationnelles $f_{gw}$ comme suit :

$$ \dot{f}_{gw} = \frac{96}{5} \pi^{8/3} \left( \frac{GM}{c^3} \right) f_{gw}^{11/3} \qquad (6.13) $$

52 En notant $\tau$ la durée à la fusion des deux objets les solutions de l'équation précédente nous donne :

$$ f_{gw}(\tau) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{5}{256} \frac{1}{\tau} \right)^{3/8} \left( \frac{GM}{c^3} \right)^{-5/8} \qquad (6.14) $$

54 On peut exprimer l'amplitude des deux polarisations dans le domaine des fréquences par l'inter-médiare de la transformée de Fourier :

$$ \begin{aligned} \tilde{h}_{+}(f) &= \sqrt{\frac{5}{24}} \frac{1}{r} \frac{(GM)^{5/6}}{\pi^{2/3} c^{3/2}} f^{-7/6} \frac{1 + \cos^2 \iota}{2} e^{i\psi_{+}(f)} \\ \tilde{h}_{\times}(f) &= \sqrt{\frac{5}{24}} \frac{1}{r} \frac{(GM)^{5/6}}{\pi^{2/3} c^{3/2}} f^{-7/6} \cos \iota e^{i\psi_{\times}(f)} \end{aligned} \qquad (6.15) $$

56 Cependant l'approximation des orbites quasi-circulaires est limitée par la géométrie de Schwarz-schild. On définit alors la dernière orbite stable :

$$ r_{ISCO} = \frac{6GM}{c^2} \qquad (6.16) $$

58 Cela signifie que le phase spiralante de la coalescence prend fin à la fréquence $f_{ISCO}$ déduite de la relation (6.9) :

$$ (f_{ISCO})_{gw} = f_{orb,ISCO} = 4.4 \times 10^3 \frac{1}{M} \frac{[\text{Hz}]}{[\text{M}_\odot]} \qquad (6.17) $$

### 6.1.3 Phases de fusion et de relaxation des trous noirs

61 La coalescence de deux objets compacts se termine avec une phase de fusion puis une phase de relaxation qui peuvent respectivement être modélisées avec la relativité numérique et la théorie des perturbations. Ces deux phases n'ont pas été observées pour les systèmes binaires de deux étoiles à neutrons (BNS Binary Neutron Stars) ni pour les binaires mixtes trou noir - étoile à neutrons (BHNS Black Hole- Neutron Star). Ce manque d'information est principalement dû au fait que les détecteurs actuels ne sont pas sensibles aux fréquences concernées par ces régimes.
67 Le spectre de la forme d'onde générale pour une binaire $k$ est obtenue conformément aux équations vues dans le premier chapitre :

$$ \tilde{h}_k^2(f) = \tilde{h}_{+,k}^2(f) + \tilde{h}_{\times,k}^2(f), \qquad (6.18) $$

69 Chaque régime de la coalescence peut être modélisé par un facteur $\Gamma(f)$ dans l'expression des amplitudes des deux polarisations :

$$ \begin{aligned} \tilde{h}_{+,k}(f) &= h_{z,k} \frac{1 + \cos^2(\iota_k)}{2} \Gamma(f) \\ \tilde{h}_{\times,k}(f) &= h_{z,k} \cos(\iota_k) \Gamma(f), \end{aligned} \qquad (6.19) $$

71 avec

$$ h_{z,k} = \sqrt{\frac{5}{24} \frac{[GM_k]^{5/6}}{\pi^{2/3} c^{3/2} r}} \qquad (6.20) $$

72 Par identification avec la relation (6.15) on retrouve pour la phase spiralante un facteur $\Gamma^{\text{insp}}(f) = f^{-7/6}$. Chaque régime de la coalescence est défini par une fréquence limite $f_k = \{f_{\text{merg}}, f_{\text{ring}}, \sigma, f_{\text{cut}}\}$ dont l'expression est donnée dans l'équation (2) de [2] :

$$ f_k = \frac{c^3}{\pi M} \left( \mu_k^0 + \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=0}^{N} y_k^{ij} \eta^i \chi_{eff}^j \right). \qquad (6.21) $$

75 $N = \min(3-i, 2)$ et $\eta$ est le ratio de masse symétrique du système

$$ \eta = (m_1 m_2) / M^2, \qquad (6.22) $$

76 et $\chi_{\text{eff}}$ son spin effectif, qui est une combinaison des projections des spins de chacun des trous noirs sur le moment angulaire $\vec{L}$

$$ \chi_{\text{eff}} = \frac{(m_1 \vec{s}_1 + m_2 \vec{s}_2)}{M} \cdot \frac{\vec{L}}{L}. \qquad (6.23) $$

Les coefficients $\mu_k^0$ et $y_k^{ij}$ sont définis par la table I du même article [2] reprise sur la figure 6.3 :

<table><caption>FIGURE 6.3: Extrait de la table I de l'article [2], représentant les coefficients utilisés pour déterminer les limites des différents régimes d'une coalescence.</caption><thead><tr><th></th><th>Test-mass limit ($\mu_k^0$)</th><th>$y^{(10)}$</th><th>$y^{(11)}$</th><th>$y^{(12)}$</th><th>$y^{(20)}$</th><th>$y^{(21)}$</th><th>$y^{(30)}$</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f_1$</td><td>1 - 4.455(1 - $\chi$)<sup>0.217</sup> + 3.521(1 - $\chi$)<sup>0.26</sup></td><td>0.6437</td><td>0.827</td><td>-0.2706</td><td>-0.05822</td><td>-3.935</td><td>-7.092</td></tr><tr><td>$f_2$</td><td>[1 - 0.63(1 - $\chi$)<sup>0.3</sup>]/2</td><td>0.1469</td><td>-0.1228</td><td>-0.02609</td><td>-0.0249</td><td>0.1701</td><td>2.325</td></tr><tr><td>$\sigma$</td><td>[1 - 0.63(1 - $\chi$)<sup>0.3</sup>](1 - $\chi$)<sup>0.45</sup>/4</td><td>-0.4098</td><td>-0.03523</td><td>0.1008</td><td>1.829</td><td>-0.02017</td><td>-2.87</td></tr><tr><td>$f_3$</td><td>0.3236 + 0.04894$\chi$ + 0.01346$\chi^2$</td><td>-0.1331</td><td>-0.08172</td><td>0.1451</td><td>-0.2714</td><td>0.1279</td><td>4.922</td></tr></tbody></table>
78

79

Pour les autres phases les expressions sont les suivantes :

$$
\Gamma(f) = \begin{cases}
\left(1 + \sum_{i=2}^{3} \alpha_i (\nu)^i\right) f^{-7/6} & \text{si } f < f_{\text{merg}} \\
\\
w_m \left(1 + \sum_{i=1}^{2} \epsilon_i (\nu)^i\right)^2 f^{-2/3} & \text{si } f_{\text{merg}} \le f_s < f_{\text{ring}}, \\
\\
w_r \mathcal{L}^2(f_s, f_{\text{ring}}, \sigma) & \text{si } f_{\text{ring}} \le f_s < f_{\text{cut}}
\end{cases}, \quad (6.24)
$$

80

avec

$$
\begin{align}
& \nu \equiv (\pi M f)^{1/3}, \nonumber \\
& \epsilon_1 = 1.4547\chi_{eff} - 1.8897, \nonumber \\
& \epsilon_2 = -1.8153\chi_{eff} + 1.6557, \tag{6.25} \\
& \alpha_2 = -323/224 + 451\eta/168, \nonumber \\
& \alpha_3 = (27/8 - 11\eta/6)\chi_{eff}, \nonumber
\end{align}
$$

81

$\mathcal{L}(f, f_{\text{ring}}, \sigma)$ est la fonction de Lorentz centrée en $f_{\text{ring}}$ et avec une largeur $\sigma$, $w_m$ et $w_r$ sont des constantes qui assurent la continuité entre les trois phases de la coalescence.

82

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En résumé nous avons associé à chaque phase de la coalescence une forme d'onde appropriée qui va nous permettre d'exprimer la densité d'énergie émise par une coalescence.

84

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6.2 Densité d'énergie émise par une source CBC

86

Finalement on a vu dans le chapitre 1 que la densité d'énergie dans le domaine fréquentiel (1.66) dépend des expressions de $h_+(f)$ et $h_\times(f)$. Cette section sera donc consacrée à l'expression de cette densité d'énergie avec les formes d'ondes des coalescences détaillées dans la section précédente.

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90

6.2.1 Densité d'énergie émise par une CBC

91

Pour retrouver la densité d'énergie $dE_{gw}/df$ transportée par une onde gravitationnelle, on ré-injecte les expressions (6.19) et (8.11) dans l'expression générale de la densité d'énergie donnée dans le chapitre 1 (1.66). Dans le cadre de l'évaluation de $dE_{gw}/df$ pour une source $k$ on peut s'affranchir d'intégrer sur l'angle solide, ce qui nous donne finalement dans le cas d'une orbite quasi-circulaire pour la phase spiralante :

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$$ \left. \frac{dE_{gw}^{\text{insp},(C)}}{df_{gw}} \right|_{k} (f) = \frac{5(G\pi)^{2/3} M_k^{5/3} F_{\iota_k}}{12} f^{-1/3}, \qquad (6.26) $$

où l'on a défini le facteur d'inclinaison

$$ F_{\iota, k} = \left[ \frac{1 + \cos^2(\iota)}{2} + \cos(\iota) \right]^2. \qquad (6.27) $$

Finalement en prenant en compte les trois phases de la coalescence on obtient :

$$ \left. \frac{dE_{gw}^{k,(C)}}{df_{gw}} \right|_{k} (f) = \frac{5}{12G} f^2 \frac{[GM_k]^{5/3}}{\pi^{1/3}} \Gamma_k^2(f) F_{\iota,k} \qquad (6.28) $$

que l'on peut exprimer plus simplement en fonction de l'expression de la phase spiralante pour une orbite circulaire (C) :

$$ \left. \frac{dE_{gw}^{(C)}}{df_{gw}} \right|_{k} (f) = \left. \frac{dE_{gw}^{\text{insp}, (C)}}{df_{gw}} \right|_{k} (f) \begin{cases} \left(1 + \sum_{i=2}^{3} \alpha_i (\nu)^i\right)^2 & \text{si } f < f_{\text{merg}} \\ f w_m \left(1 + \sum_{i=1}^{2} \epsilon_i (\nu)^i\right)^2 & \text{si } f_{\text{merg}} \le f < f_{\text{ring}}, \\ f^{1/3} w_r \mathcal{L}^2(f, f_{\text{ring}}, \sigma) & \text{si } f_{\text{ring}} \le f < f_{\text{cut}} \end{cases}, \quad (6.29) $$

La figure 6.4 résume ce que l'on a obtenu pour la densité d'énergie émise par un système binaire en orbite quasi-circulaire. Sur ce graphique les lignes verticales représentent les fréquences $f_{merg}$, $f_{ring}$ et $f_{cut}$ délimitant les différents régimes de la coalescence, et donc les différentes expressions de la densité d'énergie.

### 6.2.2 Correction de la densité d'énergie pour une orbite elliptique Keplerienne

Jusqu'à présent nous avons supposé une orbite quasi-circulaire des systèmes binaires, or dans le cadre de mes travaux sera prise en compte l'excentricité de la trajectoire ainsi que son évolution. Dans ce paragraphe je vais détailler l'impact de ce nouveau paramètre sur l'évaluation de la densité d'énergie. Ces calculs sont présentés plus en détail dans l'article [3].

La mécanique Keplerienne permet d'écrire l'évolution du demi-grand axe $a(t)$ d'une orbite elliptique comme définie figure 6.5 en fonction du temps :
<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>FIGURE 6.4: Représentation de la densité d'énergie d'une binaire de deux trous noirs de 30 M☉ chacun. En ligne pleine la contribution des différentes phases de la coalescence dans leurs domaines fréquentiels respectifs.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIGURE 6.5: Représentation d'une orbite elliptique avec un foyer de l'ellipse se trouvant à l'origine du repère</figcaption></figure>

$$ \frac{da}{dt} = -\frac{64 G^3 \mu M^2}{5 a^3 c^5} \psi(e), \qquad (6.30) $$

112 avec

$$ \psi(e) = \frac{1 + 73/24 e^2 + 37/96 e^4}{(1 - e^2)^{7/2}}. \qquad (6.31) $$

113 Par ailleurs la troisième loi de Kepler permet d'avoir une relation entre $a$ et la fréquence orbitale

114 $f_{orb}$

$$ f_{orb} = \frac{1}{2\pi} \left( \frac{GM}{a^3} \right)^{1/2} \qquad (6.32) $$

115 Un système binaire ayant une orbite elliptique émet des ondes gravitationnelles dans un spectre d'harmoniques défini comme :
$$f_{gw}^n = n f_{orb}. \qquad (6.33)$$

On remarque ici que l'on retrouve le cas circulaire pour $n=2$. Cette dernière équation permet d'exprimer l'évolution de la fréquence d'une harmonique $n$ dans le temps :

$$\frac{df_{gw}^n}{dt} = n \frac{df_{orb}}{dt}. \qquad (6.34)$$

En insérant dans l'équation précédente les expressions données par (6.30) et (6.32) on peut retrouver l'expression de l'évolution de la fréquence en fonction du temps prenant en compte l'excentricité du système

$$\frac{df_{gw}^n}{dt} = \frac{96}{5} \left(\frac{2\pi}{n}\right)^{8/3} \frac{f_{gw}^n \ 11/3 \ G^{5/3} \mathcal{M}^{5/3}}{c^5} \psi(e). \qquad (6.35)$$

L'approximation des quadrupoles réalisée dans [4, 5] nous donne une expression de la densité d'énergie d'une harmonique $n$ :

$$\frac{dE}{dt}(n) = \frac{32 G^4 \mu^2 M^3}{5 c^5 a^5} g(n, e) \qquad (6.36)$$

ou $g(n, e)$ est une somme de fonction de Bessel qui s'écrit de la façon suivante

$$g(n, e) = \frac{n^4}{32} \left\{ \begin{aligned} & [J_{n-2}(ne) - 2eJ_{n-1}(ne) + \frac{2}{n}J_n(ne) + 2eJ_{n+1}(ne) - J_{n+2}(ne)]^2 \\ & + (1 - e^2) [J_{n-2}(ne) - 2eJ_n(ne) + J_{n+2}(ne)]^2 + \frac{4}{3n^2} [J_n(ne)]^2 \end{aligned} \right\}. \qquad (6.37)$$

On peut alors retrouver la densité d'énergie émise par une harmonique $n$ en fonction de la fréquence via l'équation suivante :

$$\frac{dE_{gw}}{df_{gw}^n} = \frac{dE}{dt}(n) \frac{dt}{df_{gw}^n}, \qquad (6.38)$$

et l'on retrouve

$$\left. \frac{dE_{gw}}{df_{gw}^n} \right|_{n,k} = \frac{5}{12} \frac{\pi}{G} \left(\frac{4}{n^2}\right)^{1/3} \frac{(GM)^{5/3}}{(f_{gw}^n \pi)^{1/3}} \frac{g(n,e)}{\psi(e)}. \qquad (6.39)$$

Au fur et à mesure que la binaire évolue elle se circularise et l'évolution de son excentricité $e$ en fonction de sa fréquence orbitale $f_{orb}$ s'exprime
$$ \frac{de}{df_{orb}} = -\frac{19}{18} \frac{1}{f_{orb}} \frac{e}{(1 - e^2)^{5/2}} \left( 1 + \frac{121}{304} e^2 \right) \qquad (6.40) $$

Aussi on obtient une expression générale de la densité d'énergie gravitationnelle émise par un système binaire $k$ dans l'approximation de petites excentricités à partir de l'expression $dE_{gw}^{(C)}/df$ la densité pour une orbite circulaire (6.29) :

$$ \left. \frac{dE_{gw}}{df_{gw}} \right|_{k} = \left. \frac{dE_{gw}^{(C)}}{df_{gw}} \right|_{k} \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{4}{n^2} \right)^{1/3} \frac{g(n, e)}{\psi(e)}. \qquad (6.41) $$

La figure 6.6 représente le facteur $(\frac{4}{n^2})^{1/3} \frac{g(n,e)}{\psi(e)}$ en fonction de l'excentricité pour chacune des harmoniques $n$ de 2 à 8. On voit très nettement sur cette figure que pour de petites excentricités $e < 0.1$ les modes supérieurs à 2 ont une contribution négligeable.

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIGURE 6.6: Représentation du facteur $(\frac{4}{n^2})^{1/3} \frac{g(n,e)}{\psi(e)}$ en fonction de l'excentricité pour les harmoniques $n$ de 2 à 8.</figcaption></figure>

## 6.3 Détections de CBCs par LIGO-Virgo

Les évènements d'ondes gravitationnelles, sont aujourd'hui recherchés avec la méthode du *math閶 filtering*. Cela consiste à comparer une banque de calques prédissant les évènements possiblement observables dans un espace de paramètres intrinsèques qui sont les masses des deux objets et leurs spins. On utilise alors un produit de corrélation être le calque $c$ et le signal réel $s$ :
$$S = s(t) * c(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) c(t + \tau) dt \qquad (6.42)$$

142 On peut alors calculer un rapport signal sur bruit SNR :

$$SNR = \frac{S}{\sigma_n}, \qquad (6.43)$$

où $\sigma_n$ est la variance du bruit dans le détecteur. La figure 6.7 représente l'analyse de l'évènement GW170814.

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>FIGURE 6.7: Détection de l'évènement GW170814.</figcaption></figure>

### 6.3.1 Détectabilité individuelle d'une onde gravitationnelle connue

En reprenant les équations (2.36) et (2.44) on peut évaluer le SNR individuel $\rho$ d'un signal d'onde gravitationnelle connue $k$ dans un détecteur $i$ :

$$\frac{S}{N} = \rho_i^k = 4 \int_0^\infty \frac{|F_{+,i}(f)\tilde{h}_+(f) + F_{\times,i}(f)\tilde{h}_\times(f)|}{\sqrt{S_{n,i}}} df. \qquad (6.44)$$

On peut également évaluer $\rho_{Netw}^k$, le rapport signal sur bruit d'un évènement $k$ dans un réseau de $N$ détecteurs Netw, en calculant la racine de la somme quadratique des $\rho_i$ de chacun des
150 détecteurs.

$$
\rho_{\text{Netw}}^2 = \sum_{i=1}^{N} 4 \int_{0}^{\infty} \frac{|F_{+,i}(f)\tilde{h}_{+}(f) + F_{\times,i}(f)\tilde{h}_{\times}(f)|^2}{S_{n,i}} \mathrm{d}f, \qquad (6.45)
$$

151 Avec le réseau de détecteurs actuels, on considère un candidat à une détection comme étant un
152 évènement lorsque son rapport signal sur bruit $\rho > 12$.

153 6.3.2 Discussion des résultats obtenus dans O3a

154 Avec l'accumulation des trois premières prises de données ont été observés 45 évènements de
155 coalescences d'objets compacts dont une cinquantaine de BBHs, 2 BNSs et 2 BHNSs. Certains
156 de ces évènements ouvrent de nouvelles questions sur les différents canaux de formation des
157 objets compacts.

158 GW190814 : Cet évènement a été mesuré comme étant la coalescence de deux objets de
159 23.2<sup>+1.1</sup><sub>-1.0</sub>M<sub>☉</sub>et de 2.59<sup>+0.08</sup><sub>-0.09</sub>M<sub>☉</sub>. La nature de cette coalescence reste incertaine à cause de la masse
160 de l'objet le plus léger, il pourrait s'agir soit du trou noir le plus léger jamais observé, ou bien
161 l'étoile à neutrons la plus lourde jamais observée [6, 7, 8]. Le modèle utilisé par la communauté ce
162 jour prédit qu'un objet ayant une masse m < 2.5M<sub>☉</sub>et une étoile à neutrons tandis qu'un objet
163 m > 3M<sub>☉</sub>est un trou noir. Certaines études proposent également l'observation d'un trou noir
164 primordial [9], ou d'une étoile à neutrons magnétique lourde [10]. D'autres étudient des déviations
165 du modèle d'évolution incluant des interactions dynamiques [11] ou encore une évolution dans
166 un noyau de galaxie active [12] qui pourraient expliquer la formation d'un tel objet.

167 GW190521 : Il recense la coalescence de deux trous noirs de 95.3<sup>+28.7</sup><sub>-18.9</sub>M<sub>☉</sub>et de 69.0<sup>+22.7</sup><sub>-23.1</sub>M<sub>☉</sub>. Comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent le phénomène d'instabilité de paire lors 168 des supernovae interdit la formation de trous noirs de plus de 45M<sub>☉</sub>, et l'un des trous noirs 169 de ce système est au dessus de cette limite. Aussi beaucoup d'hypothèses sont actuellement 170 à l'étude pour comprendre cette détection. Ce trou noir de 95.3M<sub>☉</sub>peut éventuellement avoir 171 comme origine une évolution dans un cluster [13, 14]. Son origine peut aussi venir de la remise 172 en question des modèles d'évolution stellaires ou de la prise en compte de nouveaux phénomènes 173 négligés [15, 16]. Il n'est pas exclu que ce trou noir ne soit pas d'origine stellaire, ca serait 174 alors un trou noir primordial [17, 9]. Sont également étudiées une possible origine d'étoiles de la 175 population III [18] et une évolution dans un noyau de galaxie active [12].

177 GW200105 et GW200115 : Lors de la troisième prise de données ont été observés pour la
178 première fois des BHNS [19]. Ces deux évènements ont été détectés avec des masses de 8.9<sup>+1.2</sup><sub>-1.5</sub>
179 M$_{\odot}$ et 1.9$_{-0.2}^{+0.3}$ M$_{\odot}$ pour GW200105, et 5.7$_{-2.1}^{+1.8}$ M$_{\odot}$ et 1.5$_{-0.3}^{+0.7}$ M$_{\odot}$ pour GW200115. Ces deux nou-
180 veaux évènements permettent pour la première fois une évaluation observationelle du taux de
181 fusion local des BHNS de $R_{NSBH} = 45_{-33}^{+75} \text{Gpc}^{-3} \cdot \text{yr}^{-1}$ en considérant ces évènements repré-
182 sentatifs de la population des BHNS, ou de $R_{NSBH} = 130_{-69}^{+112} \text{Gpc}^{-3} \cdot \text{yr}^{-1}$ en considérant une
183 distribution de masses plus élargie.

184 **Estimation des paramètres** Finalement une étude des paramètres de ces dernières obser-
185 vations a été réalisée [20]. La figure 6.8 représente les distributions de masse des deux objets des
186 systèmes.

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>FIGURE 6.8: Distributions de masse obtenues par l'analyse des observations des trois premières prises de données [20]. (a) : Histogramme de la masse de l'objet le plus léger de chaque système. (b) : Représentation avec une loi de puissance rompue de la distribution de l'objet le plus lourd du système.</figcaption></figure>

187 Par ailleurs cette étude présente la distribution des spins des différents composants. Cela a une
188 importance capitale dans l'estimation des différents canaux de formation des systèmes binaires.
189 En effet les systèmes isolés ont une préférence pour des spins effectifs plutôt faibles comparés à
190 ceux des systèmes évoluant dans les amas. Aussi les dernières observations [20] suggèrent une
191 estimation de la proportion de binaires ayant une évolution dynamique de 25%-93%.

192 Enfin cette étude propose également une évaluation du taux de fusion local de $R_{BBH} = 23.9_{-8.6}^{+14.3} \text{Gpc}^{-3} \cdot \text{yr}^{-1}$
193 pour les BBHs et de $R_{BNS} = 320_{-240}^{+490} \text{Gpc}^{-3} \cdot \text{yr}^{-1}$ pour les BNSs.
Bibliographie
1

2

3

4

[1] Michele Maggiore. *Gravitational Waves. Vol. 1 : Theory and Experiments*. Oxford Master Series in Physics. Oxford University Press, 2007. ISBN 978-0-19-857074-5, 978-0-19-852074-0.

5

6

7

[2] P. Ajith et al. Inspiral-merger-ringdown waveforms for black-hole binaries with non-precessing spins. Phys. Rev. Lett., 106 :241101, 2011. doi : 10.1103/PhysRevLett.106.241101.

8

9

10

[3] I. Kowalska, T. Bulik, and K. Belczynski. Gravitational wave background from Population III binaries. "Astron. Astrophys.", 541 :A120, May 2012. doi : 10.1051/0004-6361/201118604.

11

12

13

[4] P. C. Peters and J. Mathews. Gravitational radiation from point masses in a keplerian orbit. Phys. Rev., 131 :435-440, Jul 1963. doi : 10.1103/PhysRev.131.435. URL https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.131.435.

14

15

16

[5] P. C. Peters. Gravitational radiation and the motion of two point masses. Phys. Rev., 136 : B1224-B1232, Nov 1964. doi : 10.1103/PhysRev.136.B1224. URL https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.136.B1224.

17

18

19

[6] Bhaskar Biswas, Rana Nandi, Prasanta Char, Sukanta Bose, and Nikolaos Stergioulas. GW190814 : On the properties of the secondary component of the binary. 10 2020. doi : 10.1093/mnras/stab1383.

20

21

[7] J. F. Coupechoux, A. Arbey, R. Chierici, H. Hansen, J. Margueron, and V. Sordini. Discriminating same-mass Neutron Stars and Black Holes gravitational wave-forms. 6 2021.

22

23

24

[8] Antonios Nathanail, Elias R. Most, and Luciano Rezzolla. GW170817 and GW190814 : tension on the maximum mass. Astrophys. J. Lett., 908(2) :L28, 2021. doi : 10.3847/abdfc6.

25

26

[9] Sebastien Clesse and Juan Garcia-Bellido. GW190425, GW190521 and GW190814 : Three candidate mergers of primordial black holes from the QCD epoch. 7 2020.
27

28

[10] Ishfaq A. Rather, Usuf Rahaman, V. Dexheimer, A. A. Usmani, and S. K. Patra. Heavy Magnetic Neutron Stars. 4 2021.

29

30

[11] Manuel Arca Sedda. Dynamical Formation of the GW190814 Merger. Astrophys. J. Lett., 908(2):L38, 2021. doi: 10.3847/2041-8213/abdfcd.

31

32

33

[12] Hiromichi Tagawa, Bence Kocsis, Zoltan Haiman, Imre Bartos, Kazuyuki Omukai, and Johan Samsing. Mass-gap Mergers in Active Galactic Nuclei. Astrophys. J., 908(2):194, 2021. doi: 10.3847/1538-4357/abd555.

34

35

36

[13] Marco Dall'Amico, Michela Mapelli, Ugo Niccolò Di Carlo, Yann Bouffanais, Sara Rastello, Filippo Santoliquido, Alessandro Ballone, and Manuel Arca Sedda. GW190521 formation via three-body encounters in young massive star clusters. 5 2021.

37

38

39

[14] Michela Mapelli et al. Hierarchical black hole mergers in young, globular and nuclear star clusters: the effect of metallicity, spin and cluster properties. 3 2021. doi: 10.1093/mnras/stab1334.

40

41

42

[15] Masaru Shibata, Kenta Kiuchi, Sho Fujibayashi, and Yuichiro Sekiguchi. Alternative possibility of GW190521: Gravitational waves from high-mass black hole-disk systems. Phys. Rev. D, 103(6):063037, 2021. doi: 10.1103/PhysRevD.103.063037.

43

44

45

[16] M. Renzo, M. Cantiello, B. D. Metzger, and Y. F. Jiang. The Stellar Merger Scenario for Black Holes in the Pair-instability Gap. Astrophys. J. Lett., 904(2):L13, 2020. doi: 10.3847/2041-8213/abc6a6.

46

47

48

[17] Gabriele Franciolini, Vishal Baibhav, Valerio De Luca, Ken K. Y. Ng, Kaze W. K. Wong, Emanuele Berti, Paolo Pani, Antonio Riotto, and Salvatore Vitale. Quantifying the evidence for primordial black holes in LIGO/Virgo gravitational-wave data. 5 2021.

49

50

51

52

[18] Ataru Tanikawa, Tomoya Kinugawa, Takashi Yoshida, Kotaro Hijikawa, and Hideyuki Umeda. Population III Binary Black Holes: Effects of Convective Overshooting on Formation of GW190521. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 505:2170, 10 2020. doi: 10.1093/mnras/stab1421.

53

54

[19] R. Abbott et al. Observation of gravitational waves from two neutron star-black hole coalescences. Astrophys. J. Lett., 915:L5, 2021. doi: 10.3847/2041-8213/ac082e.

55

56

57

[20] R. Abbott et al. Population Properties of Compact Objects from the Second LIGO-Virgo Gravitational-Wave Transient Catalog. Astrophys. J. Lett., 913(1):L7, 2021. doi: 10.3847/2041-8213/abe949.
# 1 Chapitre 7

# 2 Fond stochastique gravitationnel :

# 3 Formalisme et propriétés spectrales

Le fond stochastique est défini comme la somme de tous les signaux gravitationnels non-résolus par les détecteurs. Il existe deux types de sources d'onde gravitationnelles : Les sources astrophysiques qui viennent de processus de formation stellaire et les sources cosmologiques qui proviennent de phénomènes témoignant de l'évolution cosmologique de l'univers. Dans mes travaux je me suis concentrée sur la contribution des coalescences de binaires d'objets compacts (CBCs) d'origine stellaire au fond stochastique. Aussi dans une première partie je présenterai le formalisme lié au fond stochastique dans le cadre du calcul de la densité spectrale d'énergie des CBCs puis une seconde partie sera consacrée à la méthode de détection du fond stochastique.

Pour caractériser le fond stochastique on utilise le formalisme du modèle cosmologique ΛCDM notamment la densité d'énergie réduit d'onde gravitationnelles Ω<sub>gw</sub> :

$$ \Omega_{gw}(f) = \frac{1}{\rho_c} \frac{d\rho_{gw}}{d\ln f}. \qquad (7.1) $$

ρ<sub>gw</sub> est la densité d'énergie d'ondes gravitationnelles dans un interval de fréquence [f, f + df] et
ρ<sub>c</sub> = (3c<sup>2</sup>H<sub>0</sub><sup>2</sup>) / (8πG) est la densité d'énergie critique de l'univers vue dans le chapitre 1.

## 16 7.1 Calcul de Ω<sub>gw</sub> pour une population de CBCs

Dans cette section je vais présenter deux approches de calcul de Ω<sub>gw</sub> pour les CBCs : une approche avec une estimation du flux de densité d'énergie utilisé principalement lorsque l'on a un catalogue, et une seconde plus théorique qui utilise le taux de fusion.
### 7.1.1 Approche générale

Pour une population caractérisée par un jeu de paramètre $\theta$ tel que les masses des deux objets, leur spin et les paramètres orbitaux, on peut exprimer $\Omega_{gw}$ :

où $z_{up}(\theta)$ est le redshift maximal à laquelle peut se former une source ayant un jeu de paramètres $\theta$, $p(\theta)$ la distribution de probabilité des paramètres $\theta$ et $R(z, \theta)$ le taux de fusion d'une source avec les paramètres $\theta$ à un redshift de $z$. $E_z(z)$ est le facteur de proportion entre $H$ et $H_0$ défini équation (1.15), dont on néglige les contributions de la courbure et du rayonnement

avec les dernières mesures de Planck $\Omega_M = 0.3153$ et $\Omega_\Lambda = 0.6847$. A partir de ce point on utilisera $f_s$ la fréquence de l'onde gravitationnelle estimée dans le référentiel de la source étudiée et $f$ celle que l'on observe. Comme détaillé dans le chapitre 1 ces deux fréquences sont liées par le redshift $z$ de la source par la relation :

On reconnait dans l'équation générale (7.2) l'impact de la densité d'énergie $dE_{gw}/df_{gw}$ calculée pour des sources individuelles dans le chapitre précédent.

### 7.1.2 Discrétisation de $\Omega_{gw}$

En pratique dans mes travaux on utilisera des catalogues de sources pour extraire le spectre en densité d'énergie $\Omega_{gw}$. Pour ce faire nous allons discrétiser la formule générale (7.2) en utilisant l'approche du flux de la densité d'énergie $\Phi$ :

Ce dernier peut s'exprimer sous la forme d'une somme de contributions pour chacune des sources $k$. C'est l'avantage de cette approche lorsque l'on travaille avec un catalogue de $N$ sources.

$$ \Phi(f_s) = T^{-1} \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{4\pi r^2} \frac{dE^k}{df_s}(f_s). \qquad (7.6) $$

$$ \Omega_{gw}(f) = \frac{f}{\rho_c H_0} \int d\theta p(\theta) \int_0^{z_{up}(\theta)} dz \frac{R(z, \theta) \frac{dE_{gw}(f_s, \theta)}{df_s}}{(1+z)E_z(z)}, \qquad (7.2) $$

$$ E_z(z) = \sqrt{\Omega_M(1+z^3) + \Omega_\Lambda}, \qquad (7.3) $$

$$ f = \frac{f_s}{1+z}. \qquad (7.4) $$

$$ \frac{d\rho_{gw}}{d\ln f} = \frac{f}{c}\Phi(f). \qquad (7.5) $$
39 Dans l'équation précédente on note r la distance de la source et T la durée d'observation du catalogue.
40

41 On notera les quantités observées (qui ont subit le redshift) $f_{gw}$, $d_L$ et $M^z$ :

$$ 
\begin{aligned}
f^z &= f/(1+z), \\
d_L &= r(1+z), \\
M^{(z)} &= M(1+z).
\end{aligned} 
\qquad (7.7) 
$$

42 On obtient alors une expression du flux dans le référentiel de l'observateur :

$$ \Phi(f_s) = T^{-1} \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{4\pi r^2} \frac{dE_{gw}}{df_{gw}} \Big|_{k} (f). \qquad (7.8) $$

43 A partir des équations du chapitre précédent on peut exprimer $\Omega_{gw}$ dans le cas général pour de petites excentricités avec $f_n = n f_{orb} / (1+z)$

$$ \Omega_{gw}(f) = T^{-1} \frac{5 \pi^{2/3} G^{5/3}}{18 H_0^2 c^3} \sum_{k=1}^{N} \sum_{n} f_n^3 \frac{[M_k^{(z)}]^{5/3}}{d_L(z_k)^2} \Gamma_k^2(f_n) \frac{g(n, e)}{\psi(e)} F_t. \qquad (7.9) $$

45 Allure d'un spectre de densité d'énergie d'un catalogue

46 La figure 7.1 représente un exemple de spectre obtenu pour un catalogue de sources ayant une distribution de redshift gaussienne centrée sur $\mu_z = 14$ avec une déviation standard de $\sigma_z = 4$ et une masse totale de $M = 80M_\odot$. Grace à ces distributions peu larges de la masse et du redshift on peut clairement distinguer les trois régimes de la coalescence :

50 — La phase spiralante évoluant en $f^{2/3}$.

51 — La phase de fusion évoluant en $f^{5/3}$.

52 — La phase de relaxation, qui correspond en pratique à l'intervalle de fréquence ou la plupart des sources arrêtent d'émettre.

54 Dans l'approximation de distributions peu large ($\sigma \ll \mu$ pour une gaussienne par exemple), on peut relier la fréquence du pic de ce spectre à la fréquence moyenne du début de la phase de ringdown $f_{ring}$ de la population, calculée à partir du redshift moyen et de la masse moyenne :

$$ f_{peak} = f_{ring}(\langle M \rangle, \langle z \rangle) \qquad (7.10) $$
<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>FIGURE 7.1: Représentation d'un spectre de densité d'énergie d'ondes gravitationnelle.</figcaption></figure>

## 7.2 Détection du fond stochastique

Dans cette partie nous allons développer l'évaluation de la détectabilité d'un fond stochastique caractérisé par son spectre en densité d'énergie $\Omega_{gw}$. Ces calculs sont présentés dans l'article [1].

### 7.2.1 Définition du SNR

On peut écrire les données en sortie de chacun des détecteurs $s_i(t)$ et $s_j(t)$.

$$ 
\begin{aligned}
s_i(t) &= h_i(t) + n_i(t) \\
s_j(t) &= h_j(t) + n_j(t).
\end{aligned} 
\qquad (7.11) 
$$

$h_i(t)$ et $h_j(t)$ sont les signaux d'ondes gravitationnelles dues au fond stochastique, et $n_i(t)$, $n_j(t)$ les bruits intrinsèques des détecteurs i et j respectivement.

Les bruits $n_i(t)$ et $n_j(t)$ étant intrinsèques ils sont indépendants. On les suppose pour la suite du développement également gaussiens, stationnaires et très grands devant $h_{i,j}(t)$. A partir des deux signaux $s_i(t)$ et $s_j(t)$ on peut reconstruire le signal virtuel $S$ :

$$ S = \int_{-T/2}^{T/2} dt \, s_i(t) s_j(t). \qquad (7.12) $$
67 Le signal $S$ est proportionnel à la corrélation croisée entre les signaux $s_i(t)$ et $s_j(t)$ pour une durée d'observation $T$. Ce signal à également une valeur moyenne $\mu_{ij}$ et une variance $\sigma_{ij}$.

$$ \mu_{ij} = \langle S \rangle \quad \text{et} \quad \sigma = \langle S^2 \rangle - \langle S \rangle^2, \qquad (7.13) $$

69 qui sont liées aux variations de $n_{i,j}(t)$ et $h_{i,j}(t)$.

70 On définit alors le rapport signal sur bruit $SNR_{ij}$ d'un fond stochastique entre deux détecteurs $i$ et $j$ :

$$ \mathrm{SNR}_{ij} = \frac{\mu_{ij}}{\sigma_{ij}} \qquad (7.14) $$

## 7.2.2 Evaluation de $\mu$

73 On suppose dans un premier temps que les deux détecteurs $i$ et $j$ sont alignés et coïncident, aussi on a

$$ h(t) = h_i(t) = h_j(t). \qquad (7.15) $$

75 Par définition la moyenne $\mu$ s'exprime

$$ \begin{aligned} \mu_{ij} = \langle S \rangle &= \int_{-T/2}^{T/2} dt \langle s_i(t) s_j(t) \rangle \\ &= \int_{-T/2}^{T/2} dt \langle h^2(t) + h(t) n_j(t) + h(t) n_i(t) + n_i(t) n_j(t) \rangle. \end{aligned} \qquad (7.16) $$

76 Les signaux $h(t)$, $n_i(t)$ et $n_j(t)$ étant indépendants on peut simplifier l'équation précédente

$$ \mu_{ij} = \int_{-T/2}^{T/2} dt \langle h^2(t) \rangle. \qquad (7.17) $$

77 De plus en supposant $h(t)$ stationnaire on peut exprimer l'intégrale comme

$$ \mu_{ij} = T \langle h^2(t) \rangle = T \sigma_h^2, \qquad (7.18) $$

78 où $\sigma_h$ est la variance indépendante du temps de $h(t)$.

79 En reprenant la forme généralisée d'onde plane gravitationnelle (1.51) et en supposant le fond stochastique isotropique, apolaire et stationnaire on obtient que $\tilde{h}_A(f, \hat{n})$ satisfait la condition suivante
$$ \langle h_A^*(f, \hat{\mathbf{n}}) h_{A'}(f', \hat{\mathbf{n}}') \rangle = \delta^2(\hat{\mathbf{n}}, \hat{\mathbf{n}}') \delta_{AA'} \delta(f - f') H(f). \quad (7.19) $$

82 De plus on peut différencier l'équation d'onde (1.51) pour obtenir une expression de $\rho_{gw}$ :

$$ \rho_{gw} = \frac{4\pi c^2}{G} \int_0^\infty f^2 H(f) df. \quad (7.20) $$

83 En utilisant la première équation du chapitre (7.1) on peut exprimer $H(f)$ :

$$ H_{ij}(f) = \frac{3 H_0^2}{32\pi^3} |f|^{-3} \Omega_{gw}(|f|). \quad (7.21) $$

84 En réinjectant cette nouvelle expression dans (7.19) on obtient :

$$ \langle h_A^*(f, \hat{\mathbf{n}}) h_{A'}(f', \hat{\mathbf{n}}') \rangle = \frac{3 H_0^2}{32\pi^3} \delta^2(\hat{\mathbf{n}}, \hat{\mathbf{n}}') \delta_{AA'} \delta(f - f') |f|^{-3} \Omega_{gw}(|f|). \quad (7.22) $$

85 Enfin on peut revenir à la définition de $\sigma_h$ :

$$ \sigma_h^2 = \sum_A \sum_{A'} \int_{S^2} \hat{\mathbf{n}} \int_{S'^2} \hat{\mathbf{n}}' \int_{-\infty}^{+\infty} df \int_{-\infty}^{+\infty} df' \langle h_A^*(f, \hat{\mathbf{n}}) h_{A'}(f', \hat{\mathbf{n}}') \rangle e^{-i2\pi f(t-\hat{\mathbf{n}}.x/c)} e^{-i2\pi f'(t-\hat{\mathbf{n}}'.x/c)} F^A(\hat{\mathbf{n}}) F^{A'}(\hat{\mathbf{n}}'), \quad (7.23) $$

86 où l'on reconnait les facteurs d'antenne définis en (2.43) et (2.49). En utilisant l'expression (7.22)

87 et le fait que les détecteurs soient alignés et coïncidents, on peut simplifier l'équation précédente,

88 on obtient :

$$ \sigma_h^2 = \frac{3H_0^2}{32\pi^3} \int_{-\infty}^{\infty} df |f|^{-3} \Omega_{gw}(|f|). \quad (7.24) $$

89 Finalement on trouve une expression de la moyenne $\mu_{ij}$

$$ \mu_{ij} = \frac{3H_0^2}{20\pi^2} T \int_{-\infty}^{\infty} df |f|^{-3} \Omega_{gw}(|f|). \quad (7.25) $$

90 **7.2.3 Variance σ**

91 Pour compléter la définition du SNR il faut maintenant évaluer la variance $\sigma_{ij}$. Pour cela on sup-

92 pose que les amplitudes des bruits intrinsèques $n_i(t)$ et $n_j(t)$ sont très grands devant l'amplitude

93 que l'on souhaite détecter $h(t)$, aussi on approxime :
$$
\begin{align}
\sigma_{ij}^2 &= \langle S^2 \rangle - \langle S \rangle^2 \approx \langle S^2 \rangle \nonumber \\
&= \int_{-T/2}^{T/2} dt \int_{-T/2}^{T/2} dt' \langle s_i(t)s_j(t)s_i(t')s_j(t') \rangle \tag{7.26} \\
&\approx \int_{-T/2}^{T/2} dt \int_{-T/2}^{T/2} dt' \langle n_i(t)n_j(t)n_i(t')n_j(t') \rangle, \nonumber
\end{align}
$$

94 avec l'indépendance statistique entre $n_i(t)$ et $n_j(t)$ on obtient

$$
\sigma_{ij}^2 = \int_{-T/2}^{T/2} dt \int_{-T/2}^{T/2} dt' \langle n_i(t)n_i(t') \rangle \langle n_j(t)n_j(t') \rangle . \qquad (7.27)
$$

95 On peut réécrire l'équation (2.32) dans le domaine temporel, on utilisera la notation $P_i(|f|) =$
96 $S_n(f)$

$$
\langle n_i(t)n_i(t') \rangle = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} df e^{i2\pi f(t-t')} P_i(|f|). \quad (7.28)
$$

97 On peut ainsi re-exprimer $\sigma_{ij}$ avec le spectre en puissance de bruit :

$$
\sigma_{ij}^2 \approx \frac{1}{4} \int_{-T/2}^{T/2} dt \int_{-T/2}^{T/2} dt' \int_{-\infty}^{\infty} df \int_{-\infty}^{\infty} df' e^{i2\pi f(t-t')} e^{-i2\pi f'(t-t')} P_i(|f|) P_j(|f|). \quad (7.29)
$$

98 En intégrant sur $t$ et $t'$ on obtient :

$$
\sigma_{ij}^2 \approx \frac{1}{4} \int_{-\infty}^{\infty} df \int_{-\infty}^{\infty} df' \delta_T^2(f - f') P_i(|f|) P_j(|f|). \quad (7.30)
$$

99

$$
\sigma_{ij}^2 \approx \frac{T}{4} \int_{-\infty}^{\infty} df P_i(|f|) P_j(|f|). \qquad (7.31)
$$

100 Ainsi on obtient une expression de $SNR_{ij}$ pour des détecteurs alignés et coïncidents

$$
SNR_{ij} = \frac{\mu_{ij}}{\sigma_{ij}} = \frac{3H_0^2 \sqrt{T} \frac{\int_{-\infty}^{\infty} df |f|^{-3} \Omega_{gw}(|f|)}{\left[\int_{-\infty}^{\infty} df P_i(|f|) P_j(|f|)\right]^{1/2}}}{10\pi^2} \quad (7.32)
$$

101 **7.2.4 Cas général**

102 En pratique les détecteurs ne sont ni alignés ni coïncidents, il faut donc prendre en compte une
103 correction. Pour ce faire on définit les fonctions réduites de recouvrement (*overlap reduction*
104 function) $\gamma_{ij}(f)$ qui sont évaluées pour chaque paire de détecteurs $ij$ et qui prennent en compte
la distance entre i et j et la différence d'alignement de leurs bras respectifs. Ainsi on peut réécrire
la moyenne $\mu_{ij}$ :

$$
\mu_{ij} = \frac{3H_0^2}{20\pi^2} T \int_{-\infty}^{\infty} df |f|^{-3} \Omega_{gw}(|f|) \gamma_{ij}. \qquad (7.33)
$$

107 On retrouve alors l’expression générale du $SNR_{ij}$

$$
SNR_{ij} = \frac{3H_0^2}{10\pi^2} \sqrt{T} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} df \frac{\Omega_{gw}^2(|f|)\gamma_{ij}^2(f)}{f^6 P_i(|f|)P_j(|f|)} \right]^{1/2}, \quad (7.34)
$$

Cependant les réseaux de détecteurs peuvent compter plus de deux détecteurs, on peut alors
définir pour un reseau *Netw* de *n* détecteurs le *SNR*<sub>Netw</sub> comme étant la racine de la somme
quadratique du SNR de toutes les combinaisons de détecteurs possibles dans le réseau.

$$
SNR_{Netw} = \left[ \sum_{i}^{n} \sum_{j>i}^{N} SNR_{ij}^{2} \right]^{1/2} \qquad (7.35)
$$

Par exemple pour le réseau LIGO-Hanford, LIGO-Livingston, et Virgo (HLV) on calcule le SNR
de la façon suivante :

$$
SNR_{HLV} = [SNR_{HL}^2 + SNR_{LV}^2 + SNR_{HV}^2]^{1/2} \quad (7.36)
$$

7.3 Résultats de l'analyse de la troisième prise de donnée

L'analyse stochastique isotropique permet de contraindre les taux de fusion mesurés par les
analyses des signaux individuels. Les résultats de cette analyse pour O3a sont présentés dans
[2]. Avec ces nouvelles contraintes sur le taux de fusion cette étude présente également le fond
stochastique correspondant sur la figure 7.2. La table 7.1 quant à elle reprend les valeurs de
références Ω<sub>gw</sub>(25Hz) estimées avec le taux de fusion local correspondant <i>R</i>(0) pour chaque type
de binaires. Cet article étant antérieur à l'annonce de l'observation des deux BHNS, le taux de
fusion de ces derniers n'est pas estimé et il est proposé une limite haute de leur contribution à
Ω<sub>gw</sub>.

La figure 7.2 représente les estimations faites sur la contribution des BNSs en rouge, des BBHs en vert et la limite haute de l'éventuelle contribution des BHNS. Pour les BNSs l'incertitude est mesurée quant aux erreurs sur le taux de fusion tandis que pour celle des BBHs est inclue l'évaluation des systématiques comme présenté dans l'article [2]. Sur le graphique de droite est
<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIGURE 7.2: Estimation du fond stochastique à partir de l'analyse isotropique de O3a. [2]</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 7.1: Estimation des valeurs de Ω<sub>gw</sub> pour chaque type de binaires, ainsi que de leur taux de fusion local. [2]</caption><thead><tr><th></th><th>BBH</th><th>BNS</th><th>BHNS(UL)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Ω<sub>gw</sub>(25Hz)</td><td>5.0<sup>+1.7</sup><sub>-1.4</sub>×10<sup>-10</sup></td><td>2.1<sup>+2.9</sup><sub>-1.6</sub>×10<sup>-10</sup></td><td>&lt;8.4×10<sup>-10</sup></td></tr><tr><td>R(0)[Gpc<sup>-3</sup>.yr<sup>-1</sup>]</td><td>19<sup>+18</sup><sub>-8</sub></td><td>320<sup>+490</sup><sub>-240</sub></td><td>-</td></tr></tbody></table>

<footnote n="126">126 représentée l'estimation de Ω<sub>gw</sub> prenant en compte tous les types de binaires en bleu discontinu (incluant la limite haute des BHNS), et uniquement des BNSs et des BBHs en ligne continue.
127 Les courbes noires représentent les puissances de bruits intégrées obtenues durant la deuxième
128 et la troisième phase d'observation et celles évaluées avec le design des détecteurs, qui devraient
129 être atteintes dans les prochaines périodes d'observations.
130</footnote>
Bibliographie
1

[1] Bruce Allen and Joseph D. Romano. Detecting a stochastic background of gravitational radiation : Signal processing strategies and sensitivities. Phys. Rev. D, 59 :102001, 1999. doi : 10.1103/PhysRevD.59.102001.

[2] R. Abbott et al. Upper Limits on the Isotropic Gravitational-Wave Background from Advanced LIGO's and Advanced Virgo's Third Observing Run. 1 2021.
1 Chapitre 8

2 Contribution des CBCs au fond

3 stochastique gravitationnel avec

4 StarTrack

5 StarTrack est un programme qui permet de simuler la formation et l'évolution des étoiles en
6 binaires jusqu'à la production des objets compacts. A partir de différents modèles de plus en
7 plus contraints par les observations d'ondes gritationnelles, il génère des catalogues de systèmes
8 binaires d'objets compacts d'origine stellaire de tout l'univers incluant les populations I,II et III
d'étoiles. Mes travaux avec StarTrack ont trois grands axes d'étude :
9

10 — L'impact d'un nouveau canal de formation des systèmes binaires sur le fond stochastique gravitationnel à savoir les binaires provenant de population III.

12 — L'impact de l'excentricité de l'orbite de rotation des binaires.

13 — L'impact des sources qui ne fusionnent pas et par conséquent qui peuvent être considérées comme des sources continues.

15 Ce chapitre reprend les résultats de mon premier projet qui a fait l'objet d'une publication dans
16 le journal *Phys. Rev. D* [1].

17 8.1 Synthèse et propriétés de populations avec StarTrack.

18 Le modèle utilisé ici suppose que toutes les coalescences proviennent de binaires d'objets com-
pacts sont formés via l'évolution stellaire dans les champs galactiques sans interaction dynamique
19 avec d'autres corps (Evolution isolée décrite section 5.3.1). Aussi le programme StarTrack gé-
nère une population réaliste de coalescences de chaque type de binaire : les binaires de trous
20 noirs (BBHs), les binaires d'étoiles à neutrons (BNSs) et les binaires mixtes étoile à neutrons-
21 trous noirs (BHNSs). On utilisera dans cet étude trois catalogues distincts de populations : la
22
23
population I/II représentée par une métallicité élevée ($Z > 0.001$) comme nous l'avons vu dans le chapitre 5 sera présentée dans la première sous-partie, la population III ayant une métallicité nulle dans la seconde, et enfin une troisième partie présentera la population qui ne coalesce pas dans un temps de Hubble.

## 8.1.1 Population I/II

Le catalogue de la population I/II (popI/II) a été généré avec le scénario standard de StarTrack pour modéliser les systèmes binaires d'objets compacts. Ce modèle a été présenté pour la première fois dans [2] et la version améliorée du code est décrite dans [3]. Comme nous l'avons présenté dans le chapitre 6, le code retrace l'évolution de chacune des binaires d'étoile de la séquence principale Zero age main sequence jusqu'à la formation des objets compacts et leur fusion. La population I/II d'étoiles dans la séquence principale a été générée avec les conditions initiales présentées dans [4] : La distribution de masse pour la première étoile utilisée est celle du modèle [5], puis celle de la seconde est générée par une distribution plate des rapports de masses initiaux entre les deux étoiles. Pour les paramètres orbitaux, la distribution de l'excentricité évolue en $f(e) \propto e^{-0.42}$, et la période orbitale initiale distribuée comme $f(\log P) \propto (\log P)^{-0.5}$.

Lors de l'évolution des étoiles sont pris en compte les transferts de masse, et la phase d'enveloppe commune à été décrite avec le formalisme [6]. Pour les supernovae StarTrack utilise le modèle décrit dans [7]. Les coups natifs (natal kicks) dans les supernovae qui n'ont pas été décrits précédemment sont présentés par la distribution donnée dans [8] et sont redimensionnés avec l'augmentation de la masse des trous noirs [7].

Les calculs sont réalisés sur une grille de métallicité. Pour chacun des calcul $i$, modélisé par une masse totale initiale de la population $M_{sim}^i$ on obtient la formation de $N^i$ objets compacts avec une durée de coalescence $t_k^i$, des masses $m_{1k}^i$, et $m_{2k}^i$, où $k$ désigne la binaire d'objets compacts obtenus $k = 1...N^i$.

Le modèle de formation stellaire utilisé est celui présenté dans le chapitre 5 [9] et repris sur la figure de gauche de 8.1 en rouge. Avec les simulations, est associée à chaque système binaire $k$ du catalogue une densité de fusion $s_i^k$ en Mpc$^{-3}$ yr$^{-1}$ [10] qui dépend des relations métallicité/-redshift et taux de formation stellaire/redshift

$$s_i = \frac{1}{M_{sim}} \int_{\Delta Z} SFR(Z)dZ, \qquad (8.1)$$

ou l'intégrale est l'intervalle du taux de formation stellaire concerné par la métallicité.
53

## 8.1.2 Population III

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La génération des systèmes binaires de la population III (popIII) par StarTrack est décrite dans [11]. Pour le catalogue on a utilisé les paramètres initiaux particuliers liés aux contraintes cosmologiques de la ré-ionisation. La quantité d'éléments lourds dans l'univers à cette époque est très faible soit la métallicité $Z \sim 0$ ce qui donne à ces étoiles un canal d'évolution différent de la population I/II. Les paramètres initiaux des binaires de populations III utilisés par StarTrack sont la masse initiale ($m_1|_{ZAMS}$) de la première étoile, le ratio de masses entre les deux étoiles, le demi-grand axe et l'excentricité de l'orbite du système présentés dans [12]. Cette dernière étude utilise des simulations à N-corps pour simuler la formation des étoiles de population III dans les nuages de gaz (mini-halos). Pour le programme StarTrack ont été utilisés deux scénarios caractérisés par la taille des mini-halos : le modèle fs1 provient de la simulation de grands mini-halos $\sim 2000$ AU [13] et le modèle fs2 de petits mini-halos $\sim 10-20$ AU [14]. Dans notre étude nous utilisons le modèle fs1, plus optimiste quant à la proportion d'objets compacts venant de la population III. Les deux modèles sont décrits dans [15]. Pour obtenir le taux de fusion des trous noirs de la population III, trois ingrédients sont combinés : Le taux de formation stellaire des étoiles de la population III représenté sur la figure 8.1 (gauche), le délai entre la formation des étoiles et la fusion des deux trous noirs représenté figure 8.1 (droite), et enfin l'efficacité<fnref n="1" /> de formation de trous noirs du modèle d'évolution ici $X_{BBH} = 9.5 \times 10^{-5}$.

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>FIGURE 8.1: **Gauche** : Représentation du taux de formation des étoiles de la population I/II utilisée ici [16] (rouge), de population III (rose). Pour comparaison un second modèle de pop(I/II) est représenté en bleu [17]. **Droite** : Représentation du délai entre la formation des étoiles de la population III et la fusion des trous noirs qui en résulte. Les deux figures sont extraites de l'article [15].</figcaption></figure>

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Finalement le taux de fusion des trous noirs à la fin de la simulation est représenté sur la figure 8.2. En comparaison avec la population I/II, les trous noirs provenant de la population III fusionnent à un redshift beaucoup plus élevés en moyenne $<z_{III}> \sim 11$. Cela a une conséquence sur l'énergie gravitationnelle émise par ces systèmes en particulier sur la correction appliquée

<footnote n="1">1. L'efficacité de formation des trous noirs se mesure en $M_{\odot}^{-1}$ et se calcule comme le ratio entre le nombre de trous noirs crées à la fin de la simulation avec la masse totale simulée de départ (Table 4 de [15])</footnote>
dans le calcul des fréquences limites des différents régimes de la coalescence rend ces dernières plus faibles comme décrit dans les équations (1.22), (6.21) et 7.7.

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIGURE 8.2: **Gauche** : Représentation du taux de fusion des trous noirs pour le modèle fs1.</figcaption></figure>

Les simulations de StarTrack permettent également d'évaluer la distribution de masses des trous noirs. Sur les figures 8.3 sont représentées à gauche la densité de probabilité des masses pour des intervalles de redshift $\Delta z=2$ et à droite la distribution de masses pondérée par le taux de fusion.

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIGURE 8.3: Représentation des distributions des masses des trous noirs originaires de la population III pour $\Delta z = 2$, ainsi dans la légende $n$ signifie pour $z \in [n - \frac{\Delta z}{2}, n + \frac{\Delta z}{2}]$. **Gauche** : densité de probabilité de la masse totale $M_{tot}$. **Droite** : Distributions de la masse totale des binaires prenant en compte le taux de fusion de chacune des sous population $n$.</figcaption></figure>

On constate que l'on a une différence entre les deux histogrammes, en effet les distributions des sous populations ayant des redshift faibles $n= (1-5)$ présentent sur la figure 8.3 de gauche un pic dans les masses entre 40 et 60 $M_{\odot}$. Cependant en se référant au taux de fusion de cette population représenté 8.2 on constate que ces sous-populations $n=(1-5)$ ne représentent qu'une petite partie de la population III globale. Aussi cet effet disparaît sur la figure 8.3 de droite lorsque les sous populations sont pondérées par leur taux d'apparition dans la population globale. Finalement la distribution de masses de la population III est plus piquée autour de $80M_{\odot}$. Par ailleurs on peut noter que toutes les sous populations $n > 5$ ont des distributions de masses très similaires, insinuant que l'on a une indépendance entre le redshift d'une binaire et sa masse dans ces cas là (pour des redshift $z > 5$.)
91 **8.1.3 Population qui ne fusionne pas**

92 Le catalogue de la population qui ne fusionnent pas est tirØ des simulations rØalisØes sur la
93 population I/II. A partir de la sØparation orbitale des deux objets à la fin de la simulation,
94 les systŁmes qui ne fusionne pas dans un temps de Hubble ont ØtØ extraits pour former un
95 catalogue spØcifique. Etant donnØe l’Øvolution orbitale trŁs lente des ces sources l’Øvaluation
96 de leur contribution à la densitØ spectrale d’Ønergie Ω$_{gw}$ se fera avec une procØdure distincte
97 dØtaillØe dans la section suivante.

98 **8.2 Fond stochastique gravitationnel total**

99 **8.2.1 Calcul du fond stochastique pour StarTrack.**

100 Les catalogues de StarTrack premettent d'obtenir une liste de classes de binaires k sources
101 d'ondes gravitationnelles chacune caractØrisØe par :

102 — les masses des deux objets $m_1^k$ et $m_2^k$.

103 — le redshift à la formation des deux Øtoiles, $z_f^k$.

104 — Le redshift à la formation du deuxième objet compact, $z_b^k$.

105 — Le redshift au moment de la fusion des deux objets.

106 — Les paramŁtres de l'orbite à la formation du deuxiŁme objet compact $e_0^k$ et $a_0^k$.

107 — le densitØ du taux de fusion $s_i^k$, qui pondŁre chaque classe avec sa probabilitØ d'apparition pour 1 an d'observation comme dØcrit 8.1.

109 En plus de ces paramŁtres nous avons utilisØ une distribution alØatoire de l'inclinaison du systŁme
110 $\iota^k$ ainsi que de sa position dans le ciel. Pour les trous noirs nous avons Øgalement pris des valeurs
111 alØatoires du spin de chacun des composants du systŁme compris entre -1 et 1.

112 La procédure de calcul du fond stochastique prØsentØe ici se base sur les dØveloppements thØo-
113 riques des chapitres prØcØdents. Pour chacune des classes k :

1. Nous calculons la frØquence orbitale au dØbut de l’Ømission d’ondes gravitationnelles $f_{orb,ini}^k$ c’est à dire à la formation du second objet compact, et les frØquences de rØfØrence des diffØrents rØgimes de la coalescence : $f_{orb,merg}^k$, $f_{orb,ring}^k$ et $f_{orb,cut}^k$. Pour les binaires d’étoiles à neutrons (BNSs) et trou noir-Øtoile à neutrons (BHNS) nous avons choisi de ne condidØrer que la phase spiralante jusqu’à $f_{orb,ISCO}^k$ (6.17).

2. Pour une grille de frØquences $f_{orb,j}$ comprises entre $f_{orb,ini}^k$ et $f_{orb,cut}^k$ (où $f_{orb,ISCO}^k$ pour les BNSs et les BHNSs), nous Øvaluons le redshift correspondant $z(j)$ en rØsolvant l’Øquation :

$$
\tau_s(z(j), z_b^k) = \frac{5c^5}{256(2\pi)^{8/3}G^{5/3}} (M_c^k)^{5/3} \left( (f_{\text{orb,ini}}^k)^{-8/3} - (f_{\text{orb,j}})^{-8/3} \right). \quad (8.2)
$$
Pour chaque harmonique $n=2-5$ nous construisons un tableau avec 3 colonnes, la fréquence dans le domaine de la source $f_s = n f_{orb,j}$, le redshift $z(j)$ et la fréquence d'observation correspondante $f = n f_{orb,j}/(1+z)$.

3. Pour chaque fréquence d'observation $f$ nous en déduisons la contribution de la source $k$ à la densité d'énergie en utilisant la forme discrète de la formule (7.2)

$$ \Omega_{gw}^{n,k}(f) = \frac{f}{\rho_c H_0} \frac{s_i^k}{(1+z)E_z(z)} \frac{dz}{dt}(z) \Delta t \frac{dE_{gw}^n}{df_s}(f_{s,n}, \theta^k), \quad (8.3) $$

où $z$ et $f_{s,n}$ sont obtenus à l'aide de la table contruite à l'étape précédente.

4. Pour chacune de ces sources nous évaluons également sa détectabilité dans différents réseaux de détecteurs, avec le rapport signal sur bruit individuel $\rho$ présenté équation (6.45) pour les détecteurs de seconde et troisième génération.

$$ (\rho^k)^2 = \sum_{i=1}^{N} 4 \int_{f_{i,\min}}^{f_{i,\max}} \frac{|F_{+,i}(f, \Theta^k, \psi^k) H_+^k(f) + F_{\times,i}(f, \Theta^k, \psi^k) H_\times^k(f)|^2}{S_{n,i}(f)} df, \quad (8.4) $$

Pour le détecteur LISA le SNR individuel est présenté dans [18] :

$$ (\rho^k)^2 = 4 \int_{f_{in}^k}^{f_{in}^k+\Delta f^k} \frac{|\tilde{h}_+^k(f) + \tilde{h}_\times^k(f)|^2}{S_n(f)} df. \quad (8.5) $$

$f_{in}^k$ est la fréquence de la source lorsqu'elle rentre dans la bande de détection de LISA et $f_{in}^k + \Delta f^k$ sa fréquence après 10 ans d'observation conformément à la durée de la misson du détecteur spatial. La fréquence d'entrée de chacune des sources est calculée en tirant dans une distribution uniforme pour chacune des classes $k$ l'age du système binaire d'objets compacts.

5. Le nombre de sources par an représenté par la classe $k$ est le taux de coalescence total associé aux paramètres de la classe, multiplié par le temps d'observation $T_{obs}$.

$$ N^k = \left[ \frac{s_i^k}{1+z_m^k} \frac{dV}{dz}(z_m^k) \frac{dz}{dt}(z_m^k) \Delta t \right] T_{obs}. \quad (8.6) $$

Pour le détecteur LISA, les fréquences observées sont plus faibles et le temps passé par chaque classe dans le détecteur doit être pris en compte :

$$ N^k = \left[ \frac{s_i^k}{1+z^k} \frac{dV}{dz}(z^k) \frac{dz}{dt}(z^k) \Delta t \right] \tau^k(f_{min}, f_{max}) \quad (8.7) $$

où $\tau^k(f_{min}, f_{max})$ est le temps passé par la classe dans la bande du détecteur et $z^k$ est le redshift correspondant au temps $\tau(z^k)$ où la source est observée. Il est tiré aléatoirement et de manière uniforme entre $\tau(z_b^k) - \tau(z_m^k)$.
Ces calculs sont ensuite recombinØs de la façon suivante pour prendre en compte l’Øvolution du redshift et de l’excentricitØ pour chacune des classes k :

$$
\Omega_{gw}(f) = \sum_{k} \sum_{n=2}^{6} \Omega_{gw}^{n,k}(f), \qquad (8.8)
$$

$$
N = \sum_{k} N_{k}, \tag{8.9}
$$

où l’expression de $\Omega_{gw}^{n,k}$ est donnée dans l’équation (8.3). Pour les sources qui ne fusionnent pas dans un temps de Hubble, on suppose que leur fréquence orbitale est constante et que seul le redshift évolue. Par conséquent on utilise la même procédure que précédemment mais sur une grille de redshift entre 0 et $z_b^k$ au lieu d’une grille de fréquences.

149 8.2.2 Fond stochastique total

Les figures 8.4, 8.5 et 8.7 représentent les spectres en densité d'énergie obtenus à partir des trois populations simulées par StarTrack présentées précédemment. Pour chacune de ces figures les courbes bleues représentent les binaires d'étoiles à neutrons (BNSs), les rouges les binaires de deux trous noirs (BBHs) et les vertes les binaires étoile à neutrons-trou noir (BHNSs). Dans chacun des cas la courbe pleine se réfère aux résultats incluant l'évolution de l'excentricité comme détaillé dans le chapitre 6 et les courbes discontinues la densité spectrale obtenue en supposant une évolution circulaire des systèmes binaires. En pointillés sont représentées les densités spectrales de bruit integrées des différents réseaux de détecteurs 2G (HLV et HLVIK), 3G (ET, ET+2CE) et LISA étudiés ici et présentés dans le chapitre 1 :

— HLV est le réseau de détecteurs de seconde génération composé des interféromètres LIGO-
Hanford (H), LIGO-Livingston (L) et Virgo (V). La sensibilité designée ici est celle de
l'amélioration *Advanced*.

— HLVIK est une extension du réseau HLV incluant les détecteurs LIGO-India (I) et Kagra (K).

— ET est le réseau composé des potentiels interféromètres constituant Einstein Telescope(ET)
conformément à la description faite chapitre 1.

— ET+2CE est le reseau composØ de Einstein Telescope et de deux Cosmic explorer (CE).
On suppose que ET est localisØ à Virgo et les CE aux emplacements actuels de LIGO-
Livingston et de LIGO-Hanford.

Les courbes de puissance integrées sont représentées avec un seuil en SNR de 2 et un temps d'ob-
servation de 1 an (2 ans incluant une efficacité de 50%). Cela signifie qu'une densité spectrale
d'énergie tangente à l'une de ces courbes est détectable avec un SNR = 2 pour une durée d'observation de 1 an. Pour LISA nous avons utilisé un temps d'observation de 3 ans correspondant à la durée prévue de la mission (10 ans) avec une efficacité de 30%.

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIGURE 8.4: Représentation de la densité d'énergie des systèmes binaires issus de la population I/II d'étoiles</figcaption></figure>

Population I/II La figure 8.4 représente le spectre en densité d'énergie Ω$_{gw}$ obtenu avec le catalogue de la population I/II. Contrairement à l'exemple donnée figure 7.1, on ne distingue pas l'évolution en $f^{5/3}$ caractéristique de la phase de fusion dans l'allure du spectre. Cet effet est dû aux distributions de masse et de redshift de popI/II, qui sont plus larges que celles utilisées pour l'exemple. La contribution des BBHs à la densité d'énergie domine le spectre du fond stochastique total jusqu'à ~1000Hz, fréquence à laquelle la plupart des BBHs n'émettent pas d'ondes gravitationnelles. Au delà de 1000Hz, la densité d'énergie est dominée par les BNSs. Ayant des masses plus faibles, les BNSs ont une fréquence de fin d'émission $f_{ISCO}$ (6.17) plus grande que la fréquence de coupure $f_{cut}$ (6.21) des BBHs. Les BHNSs quant à elles sont beaucoup moins nombreuses et avec des masses plus élevées que le BNSs, c'est pourquoi leur fréquence de coupure $f_{ISCO}$ est plus faible que celle des BNSs et que leur contribution au fond stochastique s'arrête vers $f \sim 800Hz$.

La table 8.1 résume les valeurs obtenues aux fréquences de référence des réseaux de détecteurs. Ces valeurs peuvent être comparées aux résultats obtenus par la collaboration concernant le fond stochastique [19] présentés dans la partie 7.3. Les BBHs du modèle de StarTrack (ST) à 25Hz présentent une contribution à la densité d'énergie $\Omega_{gw}^{BBH}|_{ST}$ (25Hz) = $9.56 \times 10^{-10}$, plus élevée que celle estimée par les derniers résultats de la collaboration $\Omega_{gw}^{BBH}|_{LVK}$ (25Hz) = $5.0_{-1.4}^{+1.7} \times 10^{-10}$. Cela s'explique par le facteur ~2 entre le taux de fusion local de StarTrack présenté
<table><caption>TABLE 8.1: Valeurs de référence de la densité d'énergie $\Omega_{gw}$ obtenue pour la population I/II qui coalesce dans un temps de Hubble et pour les différents types de systèmes binaires. On a choisi pout référence les fréquences ou les détecteurs sont les plus sensibles 4mHz (LISA), 10Hz(3G), 25Hz(2G).</caption><thead><tr><th>$f_{ref}$</th><th>4 mHz</th><th>10 Hz</th><th>25 Hz</th><th>$\mathcal{R}(0)(\text{Gpc}^{-3}\cdot\text{yr}^{-1})$</th></tr></thead><tbody><tr><td>BNS</td><td>8.21×10<sup>-14</sup></td><td>1.53×10<sup>-11</sup></td><td>2.82×10<sup>-11</sup></td><td>122.0</td></tr><tr><td>BBH</td><td>3.20×10<sup>-12</sup></td><td>5.46×10<sup>-10</sup></td><td>9.56×10<sup>-10</sup></td><td>43.7</td></tr><tr><td>BH-NS</td><td>8.38×10<sup>-14</sup></td><td>1.54×10<sup>-11</sup></td><td>2.84×10<sup>-11</sup></td><td>11.1</td></tr><tr><td>All</td><td>3.37×10<sup>-12</sup></td><td>5.77×10<sup>-10</sup></td><td>1.01×10<sup>-9</sup></td><td></td></tr></tbody></table>

dans la dernière colonne de 8.1 et celui évalué par la collaboration [19] présenté 7.1. Pour la même raison les BNSs présentent une contribution $\Omega_{gw}^{BNS}|_{ST}$ (25Hz) = $2.82 \times 10^{-11}$ légèrement en dessous de la limite basse proposée par les dernières observations $\Omega_{gw}^{BNS}|_{LVK}$ (25Hz) = $2.1_{-1.6}^{+2.9} \times 10^{-10}$. Cet écart se retrouve en partie dans la proportion entre les deux taux de fusions locaux. Pour les BHNSs on trouve une densité d'énergie $\Omega_{gw}^{BHNS}|_{ST}$ (25Hz) = $2.84 \times 10^{-11}$ du même ordre de grandeur que celle des BNSs, et en dessous de la limite haute imposée par [19] et présentée dans 7.1.

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIGURE 8.5: Représentation de la densité d'énergie des systèmes binaires issus de la population III d'étoiles</figcaption></figure>

**Population III** Tout comme la population I/II, la population III (popIII) est largement dominée par les trous noirs. En effet considérant une formation aux débuts de l'activité stellaire, les étoiles à neutrons sont rares, aussi les seules que l'on a dans le catalogue sont sous la forme de BHNS. On a vu dans la section précédente que les BBHs de la population III ont des redshifts plus élevés (Figure 8.1), ce qui leur donne une fréquence de coupure plus faible que celle attendue pour la population I/II. De plus on a vu également que leur distribution de masse (figure 8.3)
<table><caption>TABLE 8.2: Valeurs de référence de la densité d'énergie $\Omega_{gw}$ obtenue pour la population III et pour les différents types de systèmes binaires. On a choisi pour référence les fréquences où les détecteurs sont les plus sensibles 4mHz (LISA), 10Hz(3G), 25Hz(2G).</caption><thead><tr><th>$f_{ref}$</th><th>4 mHz</th><th>10 Hz</th><th>25 Hz</th><th>$\mathcal{R}(0)$ (Gpc$^{-3}$yr$^{-1}$)</th></tr></thead><tbody><tr><td>BNS</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>0</td></tr><tr><td>BBH</td><td>$5.94 \times 10^{-13}$</td><td>$9.90 \times 10^{-11}$</td><td>$8.37 \times 10^{-11}$</td><td>0.022</td></tr><tr><td>BH-NS</td><td>$3.84 \times 10^{-17}$</td><td>$6.09 \times 10^{-15}$</td><td>$9.13 \times 10^{-15}$</td><td>0.002</td></tr><tr><td>All</td><td>$5.94 \times 10^{-13}$</td><td>$9.90 \times 10^{-11}$</td><td>$8.37 \times 10^{-11}$</td><td></td></tr></tbody></table>

205 était piquée autour de 80 M$_{\odot}$, aussi pour cette population on distingue plus aisément les deux premières phases de la coalescence : l'évolution en $f^{2/3}$ de la phase spirale et l'évolution en $f^{5/3}$ de la phase de fusion. Les valeurs de la densité d'énergie aux fréquences de références des réseaux sont résumées dans la table 8.2. On constate qu'à la fréquence de référence des détecteurs 2G (3G) on a un facteur ~ 12 (6) de différence avec la contribution de la population I/II.

210 **Population qui ne fusionne pas dans un temps de Hubble** La population qui ne fusionne pas dans un temps de Hubble quant à elle présente un spectre en densité d'énergie à plus basses fréquences que les systèmes qui fusionnent. Aussi cette population ne contribue pas à des fréquences au delà du Hz. De plus l'amplitude de leur contribution est beaucoup plus faible que celle des autres populations, ce qui la rend totalement invisible dans les détecteurs que nous étudions ici.

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>FIGURE 8.6: Représentation de la densité d'énergie des systèmes binaires issus de la population I/II d'étoiles qui ne fusionne pas dans le temps de Hubble</figcaption></figure>
**Résumé du fond total obtenu avec StarTrack.** Finalement il est intéressant de représenter ces trois populations sur un même graphique afin de comparer l'amplitude de leurs densités d'énergies respectives. Aussi sur ce graphique on constate qui ni la population III, ni les binaires qui ne coalescent pas dans un temps de Hubble ont un impact sur la forme attendue du spectre en $f^{2/3}$. Cependant nous avons défini le fond stochastique comme étant la contribution des sources non-résolues par les détecteurs. Aussi nous allons évaluer pour chacun des reseaux représentés ici ce que l'on appelle le fond résiduel c'est a dire la densité d'énergie dérivée du catalogue des sources non résolues.

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIGURE 8.7: Représentation des résultats des trois populations population I/II, population III et la population qui ne fusionne pas.</figcaption></figure>

## 8.3 Fond stochastique résiduel et detectabilité

Ce que l'on cherche à détecter aujourd'hui est non pas le fond total de la population décrit dans le paragraphe précédent mais le fond résiduel qui dérive des coalescences qui ne sont pas individuellement résolues par les détecteurs. Aussi pour chaque réseau HLV, HLVIK, ET et ET+2CE nous allons soustraire du catalogue total les sources qui ont un rapport signal sur bruit individuel (8.4) $\rho > 12$ et ainsi évaluer quelle est la densité d'énergie des sources restantes et sa détectabilité.

### 8.3.1 Dans les détecteurs 2G

La figure 8.8 représente les fonds résiduels obtenus pour les réseaux HLV (discontinue) et HLVIK (continue) pour la population I/II en vert olive et la population III en bleu, les valeurs de $\Omega_{gw}$
<table><caption>TABLE 8.3: Valeurs de la densité d'énergie obtenus dans le fond total et residuel 2G à 25Hz.</caption><thead><tr><th></th><th>Total</th><th>HLV</th><th>HLVIK</th></tr></thead><tbody><tr><td>Ω<sub>gw</sub>(25Hz)</td><td>1.09×10<sup>-9</sup></td><td>9.59×10<sup>-10</sup></td><td>8.77×10<sup>-10</sup></td></tr></tbody></table>

à la fréquence de référence $f=25Hz$ sont répertoriées 8.3. On constate qu'il n'y a pas de nette amélioration entre les deux réseaux, c'est à dire que les densités d'énergies des fonds résiduels sont très proches. Cependant on peut noter une différence importante aux hautes fréquences de la population III à $f >100Hz$. Cela est principalement dû au fait que les systèmes binaires de la population III sont plus éloignés comme montré sur la figure 8.2. Ainsi ceux qui sont résolus sont les plus proches, donc avec un redshift plus faible, et par conséquent participant aux plus hautes fréquences. Le même argument explique que les systèmes de la population III participant au bump à $f \sim 15Hz$ sont très peu résolus, il n'y a d'ailleurs aucune différence entre les fonds résiduels des deux réseaux autour de cette fréquence. En conséquence on peut également noter la petite irrégularité sur la somme des deux contributions (noir) à cette même fréquence $f \sim 15Hz$.

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 8.8: Représentation de la densité d'énergie des fonds résiduels des réseaux de détecteurs de seconde génération HLV et HLVIK.</figcaption></figure>

Pour le réseau HLV le modèle utilisé prédit une détection de 2 BNSs, 4 BHNSs et 394 BBHs pour un an d'observation, ce qui semble assez cohérent avec les attentes quant à la quatrième phase d'observation O4. Bien que les fonds résiduels des deux réseaux soient très proches, on s'attend à une amélioration du nombre de source résolues par HLVIK avec 21 BNSs, 18 BHNSs et 1677 BBHs. Sur le graphique 8.9 sont représentés les ratios du nombre de sources (calculé avec (8.6)) restantes dans le catalogue résiduel ainsi que les ratios en terme de densité d'énergie comparés au fond total.
$$r_{\Omega} = \frac{\Omega_{gw,res}(f_{ref})}{\Omega_{gw,tot}(f_{ref})}, \quad r_{Count} = \frac{N_{res}}{N_{tot}} \qquad (8.10)$$

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIGURE 8.9: Représentation de la proportion du nombre de sources restantes dans le fond residuel $r_{Count}$ et de la densité d'énergie restante $r_{\Omega}$ pour les détecteurs 2G.</figcaption></figure>

On remarque que la réduction en terme de densité d'énergie est plus grande que celle concernant le nombre de sources en général. Cela signifie que les sources résolues par les détecteurs sont celles qui participent le plus à la densité d'énergie. Par exemple dans le cas des BBHs dans le réseau HLVIK on constate que seulement ~0.2% des évènements sont résolus entrainant une chute de la densité d'énergie de 20.7%. Finalement en terme de proportion le nombre de sources résolues est très négligeable < 0.1% pour toutes les catégories (excepté les BBHs de HLVIK mentionnés précédemment). Au regard de la densité d'énergie la variation est inférieure à 8% pour les BNSs et les BHNSs mais est plus importante pour les BBHs avec ~13% dans HLV et ~20% dans HLVIK.

Enfin j'ai calculé le SNR, comme décrit dans les équations (7.34) et (7.35) de ces deux populations pour chacun des deux réseaux, supposant un temps effectif d'observation de 6 mois correspondant à un an d'observation avec une efficacité de 50%. Pour la population I/II on trouve un SNR de 0.69 dans HLV et de 0.75 dans HLVIK. Malgré le fait que la sensibilité de HLVIK soit meilleure que celle de HLV, le fait de résoudre plus de sources dans le réseau freine l'amélioration du SNR. Pour la population III on trouve des SNRs négligeables 0.06 dans HLV et 0.07 dans HLVIK.

### 8.3.2 Détecteurs 3G

La figure 8.10 représente les fonds résiduels obtenus avec les réseaux de détecteurs 3G : ET (lignes discontinues) et ET+2CE (lignes continues), pour les deux populations popI/II bleu et popIII en vert, et la somme des deux populations en noir. Les valeurs obtenues $\Omega_{gw}(10Hz)$ sont résumées dans la table 8.4. Pour la population I/II on constate une diminution d'un facteur ~12 entre les densités d'énergie des deux fonds résiduels à 10Hz ce qui signifie qu'une grande
<table><caption>TABLE 8.4: Valeurs de la densité d'énergie obtenue dans le fond total et residuel 3G à 10Hz.</caption><thead><tr><th></th><th>Total</th><th>ET</th><th>ET+2CE</th></tr></thead><tbody><tr><td>Ω<sub>gw</sub> (10Hz)</td><td>6.76×10<sup>-10</sup></td><td>8.96×10<sup>-11</sup></td><td>4.21×10<sup>-11</sup></td></tr></tbody></table>

partie des binaires de la population I/II sont résolues avec ET+2CE. En revanche pour la population III ce facteur est de seulement 1.2 et les conclusions tirées pour les résiduels 2G du paragraphe précédent sont encore plus nettes. On a une réduction des sources contribuant aux hautes fréquences de la densité d'énergie entre 15Hz et 200Hz. Les sources contribuant aux basses fréquences $f < 15Hz$ quant à elles ne sont toujours pas résolues malgré une nette amélioration de la sensibilité comparée à la 2G. On voit également clairement apparaître la contribution de la population III au fond global avec un léger bump à 15Hz dans le fond stochastique de ET et une signature claire dans le réseau ET+2CE. Nous aurons l'occasion de revenir sur cette particularité de ce fond résiduel plus en détail dans la partie 8.4.

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIGURE 8.10: Représentation de la densité d'énergie des fonds résiduels des réseaux de déte cteurs de troisième génération ET et ET+2CE.</figcaption></figure>

Le nombre d'évènements détectés dans ces réseaux étant important (de l'ordre de plusieurs centaines de milliers pour les BBHs et d'une centaine de milliers pour les BNSs) nous avons supposé dans nos calculs que la superposition des signaux d'ondes gravitationnelles ne perturbe pas la résolution. De même que dans le paragraphe précédent j'ai représenté sur la figure 8.11 les proportions du nombre de sources restantes dans les fonds residuels et la proportion de densité d'énergie restante. On observe une réduction de la proportion d'évènements détectés par an variable selon les diffétents types de sources ~ 3% du nombre de BNSs dans ET et ~ 85 % pour les BHNSs dans ET+2CE.
<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIGURE 8.11: Représentation de la proportion du nombre de sources restantes dans le fond résiduel $r_{Count}$ et de la densité d'énergie restante $r_{\Omega}$ pour les détecteurs 3G.</figcaption></figure>

Pour mieux comprendre ces résultats la figure 8.12 représente les contributions des différents types de sources (BNSs en bleu, BBHs en rouge, BHNS en vert) dans les fonds résiduels de ET (gauche) et ET+2CE (droite).

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIGURE 8.12: Présentation des contributions des différents types de binaires au fond résiduel des détecteurs 3G.</figcaption></figure>

On constate que même si la réduction du nombre de BBHs est grande dans ET (~51%), ils restent le type de sources dominant le fond résiduel. D'un autre coté dans le fond résiduel de ET+2CE les BBHs dominantes sont celles non résolues de la population III, aussi passé ce bump à 25Hz ce sont les BNSs de la population I/II qui dominent. Au regard du SNR l'amélioration est importante, dans ET le SNR total atteint ~ 66, et ~ 282 dans ET+2CE. Ce résultat conforte la future détection du fond stochastique dans les décennies à venir.

**LISA** Dans le détecteur LISA le SNR atteint 62 pour la population I/II et 1587 pour la contribution de la population III. Cependant d'autres contributions sont attendues dans la bande de fréquence du détecteur spatial qui pourraient perturber l'observation de la contribution des binaires d'objets compacts au fond stochastique.
### 8.3.3 Conclusion préliminaire

Jusqu'à ce point cette étude a fait l'objet d'un article proposé en annexe de ce manuscrit et publié dans le journal PRD. Sur la figure 8.13 je résume les SNRs des fonds résiduels obtenus dans les différents réseaux 2G et 3G. On constate que dans ET le SNR de la population III (31.2) est du même ordre de grandeur que celui de la population I/II (36.0), alors que dans la seconde génération on avait un facteur 10 entre les SNR des deux populations ($SNR_{HLVIK}^{PopIII} = 0.07$ et $SNR_{HLVIK}^{PopI/II} = 0.75$). Cependant le fait que les deux SNR soient du même ordre de grandeur signifie que la distinction entre les deux populations reste difficile. Dans le fond résiduel ET+2CE en revanche le SNR est dominé par la contribution de la population III $SNR_{ET+2CE}^{PopIII} = 255$ et $SNR_{ET+2CE}^{PopI/II} = 30$. Aussi un nouveau projet est actuellement en cours pour anticiper une analyse spécifique permettant de mettre en évidence la population III dans les futurs détecteurs de troisième génération. Les premiers résultats de cette étude sont l'objet de la partie suivante.

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIGURE 8.13: Présentation des SNRs obtenus pour les différents réseaux de détecteurs.</figcaption></figure>

## 8.4 Fond résiduel de la population III dans les détecteurs 3G

Dans cette partie, je vais présenter l'avancée du projet en cours en collaboration avec Katarina Martinovic et Mairi Sakellariadou de l'université de Londres ainsi que ma directrice Tania Regimbau. L'objectif de ce projet de de mettre en évidence la contribution de la population III si elle existe via la filtration du fond stochastique gravitationnel.

### 8.4.1 Fonds résiduels de la population III

Sur la figure 8.14 j'ai représenté les densités d'énergie totale (lignes discontinues) et résiduelle de ET+2CE (en lignes continue) de la population I/II en vert et le population III en rouge. En noir est représentée la contribution des deux populations au fond résiduel. On constate que la
population III est très nettement dominante pour $f < 20$Hz, où le réseau est très sensible. Aussi il est possible avec un filtre adapté de capter la signature de cette contribution. Cependant comme on peut le voire sur la figure la forme du fond résiduel de la population III est différente de celle du fond total, ce qui peut introduire un biais dans les conclusions astrophysiques.

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>FIGURE 8.14: Présentation du fond de la contribution résiduelle des CBCs au fond stochastique.</figcaption></figure>

## 8.4.2 Comparaison entre la population résiduelle ET+2CE et totale

Dans cette partie je vais explorer les biais introduits par l'analyse du fond résiduel de ET+2CE. On a vu dans la section précédente que les systèmes binaires résolus étaient ceux qui étaient les plus proches donc avec un redshift plus faible. Aussi la description de la population détectée avec le fond résiduel est différente de la population totale de la population III. Sur les figures

<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIGURE 8.15: Présentation des distributions de la masse corrigées à gauche, et du taux de fusion des trous noirs à droite. En bleu la population III totale et en orange la population résiduelle dans ET+2CE.</figcaption></figure>

8.15 sont représentés la distribution de probabilité de la masse corrigée à droite et le taux de fusion à gauche. En utilisant les corrections introduites par ce biais il est possible de reconstruire avec précision la valeur du pic détecté avec le calcul théorique de $f_{ring}$. Sur la figure 8.14 on
<table><caption>TABLE 8.5: Comparaison entre les valeurs du pic $f_{peak}$ de la densité d'énergie, et la valeur moyenne calculée de $f_{ring}^{th}$.</caption><thead><tr><th></th><th>Total</th><th>ET+2CE</th></tr></thead><tbody><tr><td><i>f</i><sub>peak</sub> [Hz]</td><td>17</td><td>14</td></tr><tr><td>&lt;<i>M</i><sup><i>z</i></sup>&gt; [M<sub>☉</sub>]</td><td>970</td><td>1121</td></tr><tr><td><i>f</i><sub>ring</sub><sup><i>th</i></sup> [Hz]</td><td>17.08</td><td>14.78</td></tr></tbody></table>

observe une différence entre la forme du fond résiduel ET+2CE et celle du fond total, notamment entre la fréquence du pic de la population III du fond total $f_{peak}^{tot} = 17$ Hz et celle de la population résiduelle ET+2CE $f_{peak}^{ET+2CE} = 15$Hz. En utilisant la distribution présentée figure 8.15, et l'équation 7.10 on peut recalculer théoriquement $<f_{ring}>$ dans l'approximation de spin nuls et de masses identiques $m_1 = m_2$. Les résultats de ces calculs sont présentés dans la table 8.5.

On constate que l'on a une correspondance entre la valeur de la fréquence du pic et la valeur moyenne de la fréquence au début de la phase de relaxation $<f_{ring}>$. Ce résultat insinue qu'il serait possible en récupérant cette fréquence de déduire une information quant à la population III résiduelle, la valeur moyenne de la masse corrigée.

### 8.4.3 Proposition de nouveaux filtres

Pour ce projet nous avons testé plusieurs fonctions d'ajustements (fit) du fond résiduel dans ET+2CE. Sur la figure 8.16 sont représentées les plus pertinents :

- BPL (Broken power law) : loi de puissance rompue en orange. Ce filtre permet de saisir la contribution de la population III, et notamment d'estimer la fréquence du pic, que sa contribution provoque.

- smooth BPL : loi de puissance rompue lissée en vert : Cet ajustement est très pertinent quant à l'évaluation de la pente négative entre 15 et 20 Hz.

- triple BPL : triple loi de puissance rompue en rouge. L'objectif de ce filtre est de capter la fréquence (~30Hz) de jonction entre la partie du fond résiduel dominé par la population III ($f < 30$Hz) et celle dominée par la population I/II ($f > 30$Hz). Cependant lors de l'ajustement de cette fonction l'évolution en $f^{2/3}$ de la population I/II n'est pas parfaite.

Aussi pour le moment nous avons principalement étudié le filtre BPL, car il permet de retrouver avec précision la fréquence du pic induit par la population III. La figure 8.17 représente les paramètres estimés de la BPL définis par :

$$ \text{BPL}(f) = \begin{cases} \propto f^{\alpha_1} & \text{si } f < f_{\text{peak}} \\ = \Omega_{\text{peak}} & \text{si } f = f_{\text{peak}}, \\ \propto f^{\alpha_2} & \text{si } f > f_{\text{peak}} \end{cases} \qquad (8.11) $$
<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>FIGURE 8.16: Différents tests d'ajustement pour filtrer le fond résiduel ET+2CE. Graphique réalisé par Katarina Martinovic.</figcaption></figure>

Dans le catalogue du fond résiduel ET+2CE de la population III on a calculé une masse moyenne corrigée $<M(1+z)> = 1121.24 \ M_{\odot}$. En supposant que l'on a un spin effectif $\chi_{eff} = 0$ et que les masses des deux composants sont identiques $m_1 = m_2$ on a approximé théoriquement la fréquence $<f_{ring}> = 14.78$ Hz. Cette dernière valeur est très proche de celle donnée par les paramètres de la BPL. Aussi nos investigations se concentrent actuellement sur la liaison entre les paramètres donnés par la BPL et les paramètres astrophysiques de la population III. On remarque que sur la partie avant le pic l'ajustement ne capte pas correctement l'évolution en $f^{5/3}$ de la phase de fusion. Cela vient probablement de l'impact de la phase spiralante qui influence la pente de la droite. Le paramètre $\alpha_2$ est égalment une de nos futures étapes d'investigations, pour savoir si il peut être lié à la largeur de la distribution de la masse corrigée, présentée figure 8.15.

En conclusion cette étude pourraient mener à la création d'une voie d'analyse supplémentaire du fond stochastique pour les détecteurs 3G. La population III n'ayant jamais été observée ses paramètres et son existence restent incertains. Cependant la réalisation de l'analyse stochastique avec ce type de filtre pourrait mener à de précieuses informations quant aux premières étoiles formées dans l'univers.

## Conclusion

Cette étude a été publiée dans le journal scientifique Physical Review D. J'y ai calculé la contribution des CBCs de trois populations différentes simulées par le programme StarTrack : la population I/II actuellement observée par les détecteurs, la population III qui n'a jamais été observée avec aucun messager, et la population qui ne coalesce pas dans un temps de Hubble. Finalement on peut en retenir que ni l'excentricité ni la population qui ne coalesce pas dans un
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIGURE 8.17: Paramètres obtenus avec une loi de puissance rompue (BPL). Calculs et graphique réalisés par Katarina Martinovic.</figcaption></figure>

temps de Hubble n'ont d'impact sur le fond stochastique. Cependant l'évaluation de la contribution de la population III au fond stochastique soulève de nouvelles questions. Bien qu'elle n'impacte pas la forme du fond total, on démontre ici que la prise en compte de nouveaux canaux de formation et d'évolution des étoiles peut mener à des variations quant aux paramètres des systèmes binaires observés aujourd'hui, et par conséquent peut avoir un impact sur le spectre en densité d'énergie. Aussi cela ouvre deux grands axes d'études pour la contributions des CBCs au fond stochastique : Tout d'abord cette population III pourrait si elle existe être résolue avec une analyse spécifique du fond stochastique dans les détecteurs 3G. Le projet qui est en cours avec Tania Regimbau, Mairi Sakellariadou et Katarina Martinovic est préliminaire et vise à étudier la faisabilité d'une telle voie d'analyse. En second lieu, ce projet m'a motivée à étudier plus en détails d'autres canaux de formations des systèmes binaires. Cela m'a menée à mon second article présenté dans la chapitre 9 : Impact des systèmes binaires formés dans les amas d'étoiles sur le fond stochastique gravitationnel.
1

# Bibliographie

2

3

[1] C. Périgois, C. Belczynski, T. Bulik, and T. Regimbau. StarTrack predictions of the stochastic gravitational-wave background from compact binary mergers. 8 2020.

4

5

6

[2] K. Belczynski, V. Kalogera, and T. Bulik. A Comprehensive Study of Binary Compact Objects as Gravitational Wave Sources: Evolutionary Channels, Rates, and Physical Properties. Astrophys. J., 572:407-431, June 2002. doi: 10.1086/340304.

7

8

[3] K. Belczynski et al. Compact object modeling with the startrack population synthesis code. ApJS, 174:223, 2008.

10

11

[4] H. Sana, S. E. de Mink, A. de Koter, N. Langer, C. J. Evans, M. Gieles, E. Gosset, R. G. Izard, J. B. Le Bouquin, and F. R. N. Schneider. Binary Interaction Dominates the Evolution of Massive Stars. Science, 337(6093):444, July 2012. doi: 10.1126/science.1223344.

12

13

[5] Pavel Kroupa and Carsten Weidner. Galactic-Field Initial Mass Functions of Massive Stars. Astrophys. J., 598(2):1076-1078, December 2003. doi: 10.1086/379105.

14

15

[6] R. F. Webbink. Double white dwarfs as progenitors of R Coronae Borealis stars and type I supernovae. Astrophys. J., 277:355-360, February 1984. doi: 10.1086/161701.

16

17

18

19

20

21

22

[7] K. Belczynski, J. Klencki, C. E. Fields, A. Olejak, E. Berti, G. Meynet, C. L. Fryer, D. E. Holz, R. O'Shaughnessy, D. A. Brown, T. Bulik, S. C. Leung, K. Nomoto, P. Madau, R. Hirschi, E. Kaiser, S. Jones, S. Mondal, M. Chruslinska, P. Drozda, D. Gerosa, Z. Doctor, M. Giersz, S. Ekstrom, C. Georgy, A. Askar, V. Baibhav, D. Wysocki, T. Natan, W. M. Farr, G. Wiktorowicz, M. Coleman Miller, B. Farr, and J. P. Lasota. The evolutionary roads leading to low effective spins, high black hole masses, and O1/O2 rates of LIGO/Virgo binary black holes. arXiv e-prints, art. arXiv:1706.07053, June 2017.

23

24

25

[8] G. Hobbs, D. R. Lorimer, A. G. Lyne, and M. Kramer. A statistical study of 233 pulsar proper motions. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 360(3):974-992, July 2005. doi: 10.1111/j.1365-2966.2005.09087.x.

26

27

[9] Piero Madau and Tassos Fragos. Radiation Backgrounds at Cosmic Dawn: X-Rays from Compact Binaries. Astrophys. J., 840(1):39, May 2017. doi: 10.3847/1538-4357/aa6af9.
[10] Krzysztof Belczynski, Serena Repetto, Daniel E. Holz, Richard O'Shaughnessy, Tomasz Bulik, Emanuele Berti, Christopher Fryer, and Michal Dominik. Compact Binary Merger Rates: Comparison with LIGO/Virgo Upper Limits. Astrophys. J., 819(2):108, Mar 2016. doi: 10.3847/0004-637X/819/2/108.

[11] K. Belczynski, T. Ryu, R. Perna, E. Berti, T.L. Tanaka, and T. Bulik. On the likelihood of detecting gravitational waves from Population III compact object binaries. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 471(4):4702-4721, 2017. doi: 10.1093/mnras/stx1759.

[12] Taeho Ryu, Takamitsu L. Tanaka, Rosalba Perna, and Zoltán Haiman. Intermediate-mass black holes from Population III remnants in the first galactic nuclei. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 460(4):4122-4134, 2016. doi: 10.1093/mnras/stw1241.

[13] Athena Stacy and Volker Bromm. Constraining the Statistics of Population III Binaries. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 433:1094, 2013. doi: 10.1093/mnras/stt789.

[14] Thomas H. Greif, Volker Bromm, Paul C. Clark, Simon C. O. Glover, Rowan J. Smith, Ralf S. Klessen, Naoki Yoshida, and Volker Springel. Formation and evolution of primordial protostellar systems. AIP Conf. Proc., 1480(1):51-56, 2012. doi: 10.1063/1.4754327.

[15] K. Belczynski, T. Ryu, R. Perna, E. Berti, T. L. Tanaka, and T. Bulik. On the likelihood of detecting gravitational waves from Population III compact object binaries. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 471(4):4702-4721, 2017. doi: 10.1093/mnras/stx1759.

[16] Piero Madau and Mark Dickinson. Cosmic Star Formation History. Ann. Rev. Astron. Astrophys., 52:415-486, 2014. doi: 10.1146/annurev-astro-081811-125615.

[17] Louis-Gregory Strolger, Adam G. Riess, Tomas Dahlen, Mario Livio, Nino Panagia, Peter Challis, John L. Tonry, Alexei V. Filippenko, Ryan Chornock, Henry Ferguson, Anton Koekemoer, Bahram Mobasher, Mark Dickinson, Mauro Giavalisco, Stefano Casertano, Richard Hook, Stephane Bondin, Bruno Leibundgut, Mario Nonino, Piero Rosati, Hyron Spinrad, Charles C. Steidel, Daniel Stern, Peter M. Garnavich, Thomas Matheson, Norman Grogin, Ann Hornschemeier, Claudia Kretchmer, Victoria G. Laidler, Kyoungsoo Lee, Ray Lucas, Duilia de Mello, Leonidas A. Moustakas, Swara Ravindranath, Marin Richardson, and Edward Taylor. The Hubble Heritage Supernova search: Supernovae toz ≈ 1.6 and constraints on type ia progenitor models. The Astrophysical Journal, 613(1):200-223, sep 2004. doi: 10.1086/422901. URL https://doi.org/10.1086/422901.

[18] Travis Robson, Neil J. Cornish, and Chang Liu. The construction and use of LISA sensitivity curves. Class. Quant. Grav., 36(10):105011, 2019. doi: 10.1088/1361-6382/ab1101.

[19] R. Abbott et al. Upper Limits on the Isotropic Gravitational-Wave Background from Advanced LIGO's and Advanced Virgo's Third Observing Run. 1 2021.
1 Chapitre 9

2 Impact des binaires évoluant dans les
jeunes amas au fond stochastique
gravitationnel

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Ce chapitre reprend les résultats de mon second projet, qui a pour objectif d’étudier un nouveau
canal de formation des systèmes binaires d’objets compacts au fond stochastique : Les systèmes
formés dans les jeunes amas d’étoiles. Lors de la troisième phase d’observation des ondes gravi-
tationnelles par LIGO-Virgo a été observé un évènement singulier GW190521 [1, 2], mettant en
jeu un trou noir ayant une masse dans le fossé de masses dû à l’instabilité de paire pair-instability
mass gap, qui suggère comme nous l’avons vu dans le chapitre 6 une formation par des inter-
actions dynamiques dans un amas dense d’étoiles. Cette détection insinue que la proportion de
systèmes binaires formés dans les amas est peut être plus élevée que celle attendue. Dans le cadre
de cette étude je me suis concentrée sur les jeunes amas d’étoiles décrits dans [3]. Ce sont de
bons lieux candidats pour la formation des étoiles massives [4, 5], et un environnement favorable
aux interactions dynamiques décrites dans la section 5.3.2 [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]. On
distinguera dans cette étude deux catalogues distincts qui seront présentés dans une première
partie : celui résultant de la simulation des systèmes isolés, et celui résultant de formation et
d’évolution dans les jeunes amas. Dans une seconde partie de ce chapitre je vais présenter le fond
total gravitationnel obtenu et ses incertitudes. La troisième partie sera dédiée à l’évaluation des
fonds stochastiques résiduels et leurs détectabilités.

21 9.1 Caractéristiques du catalogue utilisé

22
23
Dans cette partie je vais présenter les catalogues utilisés dans le cadre de cette étude. Les
différents phénomènes modélisés pour simuler le catalogue sont détaillés dans le chapitre 5.
### 9.1.1 Sources isolées

Le catalogue des coalescences de binaires isolées a été simulé avec le programme de synthèse de population MOBSE [16, 17], incluant un modèle récent de modélisation des vents stellaires [18], d'éffondrement de coeurs d'étoiles [19], et d'instabilité de paire dans les supernovae [20]. Ce modèle permet de produire des trous noirs d'une masse minimale de $5M_\odot$ et maximale de $65M_\odot$. Cependant les trous noirs ayant une masse supérieure à $45M_\odot$ ne fusionnent pas dans un temps de Hubble en raison de l'éjection prématurée de leur enveloppe lors de la phase d'enveloppe commune présentée section 5.3.1 [21]. Pour les résultats présentés ici ont été simulés au total $1.2 \times 10^8$ binaires divisées sur 12 métallicités $Z = 0.0002 - 0.02$. La masse initiale de l'étoile est générée avec [22] tandis que la masse de la seconde étoile, la période orbitale et l'excentricité sont tirées des distributions présentées dans [23].

### 9.1.2 Sources venant des jeunes amas d'étoiles (YCs, Young star Clusters)

Le catalogue de CBCs formés dynamiquement est le résultat de simulations à N-corps de jeunes amas d'étoiles décrits dans [24] et [25]. Les jeunes amas d'étoiles sont jeunes ($\le 100$ Myr) et dense (densité centrale $\ge 10^3$ d'étoile. pc$^{-3}$) systèmes stellaires. Même si ils ne sont pas aussi massifs et agés que les amas globulaires ils représentent le canal de formation le plus naturel pour les étoiles massives [4, 5]. Dans [8] et [11], il a été démontré que les interactions dynamiques dans les jeunes amas d'étoiles affectent profondément les propriétés des BBHs : On divise ce catalogue en deux parties, les binaires qui ont subi un échange lors de la simulation Exch et qui représentent environ 50% du catalogue, et celles qui sont restées avec le même partenaire Orig.

En comparaison avec les binaires isolées la figure 9.1 représente à gauche les distributions de masses intrinsèques, du ratio de masses et du taux de fusion en fonction du redshift de chacun des canaux pour les trous noirs. On constate que les distributions de masses et rapports de masses sont très différentes pour les BBHs échangées comparées aux binaires isolées et originales. Comme nous l'avons vu dans la section 5.3.2, plus un trou noir seul est massif plus il a de chance de provoquer un échange avec un système binaire existant. Aussi la distribution de masses des systèmes binaires échangés présente des pics à 18, 30, 50, et $65 M_\odot$. De plus lors d'un échange les trous noirs en binaires à la fin de la simulation n'ont pas évolué ensemble, cela a une forte influence sur le rapport de masses entre les deux objets montré figure 9.1 (droite).

### 9.1.3 Evolution cosmologique

L'évolution des systèmes des deux catalogues précédents dans la durée cosmologique est réalisée avec le code semi-analytique CosmoRate [3, 26]. L'objectif de ce programme est de reconstruire le taux de fusion d'une population en prenant en compte, le taux de formation stellaire en
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>FIGURE 9.1: Représentation des distributions de masses des 3 canaux de formation des systèmes binaires étudiés ici. **A droite**: La distribution de la masse totale intrinsèque des systèmes binaires. **A gauche**: La distribution du ratio de masses symétrique</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 9.1: Résumé des taux de fusion locaux obtenus avec le programme CosmoRate [3, 26].</caption><thead><tr><th></th><th>BBH</th><th>BNS</th></tr></thead><tbody><tr><td><i>R</i><sub>0</sub><sup>Iso</sup> (Gpc<sup>-3</sup>.yr<sup>-1</sup>)</td><td>50<sup>+71</sup><sub>-37</sub></td><td>283<sup>+97</sup><sub>-75</sub></td></tr><tr><td><i>R</i><sub>0</sub><sup>Dyn</sup> (Gpc<sup>-3</sup>.yr<sup>-1</sup>)</td><td>64<sup>+34</sup><sub>-20</sub></td><td>151<sup>+59</sup><sub>-38</sub></td></tr></tbody></table>

57 fonction du redshift et la relation métallicité redshift présentée dans la section 5.1.2. La figure 58 9.3 présente les résultats des taux de fusion obtenus pour les systèmes binaires isolés. En rose 59 sont représentés les taux de fusion pour les différents types de binaires (BBHs, BNSs et BHNSs) 60 tandis que la courbe en gris pointillé représente le taux de formation stellaire. Sur cette figure 61 on distingue également deux types d'incertitudes la zone rouge représente l'incertitude du taux 62 de formation stellaire projetée sur le taux de fusion et le zone hachurée celle provenant de la 63 relation métallicité/redshift présentée dans la section 5.1.2.

64 Les résultats obtenus des taux de fusion locaux pour les deux catalogues et pour les BNSs et 65 BBHs sont résumés dans le tableau 9.1 en Gpc⁻³.yr⁻¹. Pour les BBHs on a un taux de fusion 66 local $R_0^{Iso, BBH} = 50_{-37}^{+71}$ Gpc⁻³.yr⁻¹ supérieur à celui attendu par les observations [27] présentées 67 dans la section 7.3 $R_0^{LVK, BBH} = 19_{-8}^{+18}$ Gpc⁻³.yr⁻¹, mais toujours en accord avec les incertitudes. 68 Les BNSs de ce modèle ont quant à elles $R_0^{Iso, BNS} = 283_{-75}^{+97}$ Gpc⁻³.yr⁻¹ qui est assez proche de 69 celui prédit par la collaboration au regard des incertitudes $R_0^{LVK, BNS} = 320_{-240}^{+490}$ Gpc⁻³.yr⁻¹.

70 La figure 9.2 présente les distributions des redshifts des différents canaux étudiés ici. Finalement 71 on constate que la distribution du redshift de fusion $z_{merg}$ est légèrement différente selon les 72 différents canaux de formations étudiés ici. Pour les binaires échangées la distribution est moins 73 large que celle des binaires isolées et pique à un redshift légèrement plus faible ~1.9. Pour les 74 binaires originales au contraire la distribution est plus large celle des binaires Iso. En terme de 75 distribution ces différences ne sont pas très importantes, mais le redshift est un paramètre qui a 76 beaucoup d'impact sur le fond stochastique comme nous l'avons vu dans l'étude précédente.
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIGURE 9.2: Distribution du redshift de fusion des deux objets des sources étudiées ici *Iso*, *Orig* et *Exch*, en fonction du redshift.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>FIGURE 9.3: Incertitudes quant au taux de fusion des binaires, à partir des erreurs sur la relation metallicité/redshift et taux de formation/redshift. [26]</figcaption></figure>

## 9.2 Prédiction du fond stochastique

78 Les catalogues présentés dans la section précédente produisent une liste de coalescences arrivant

79 sur le détecteur en un an. Pour chacune de ces coalescences *k* on a les paramètres suivants :
— Les masses intrinsèques des deux objets $m_1^k$ et $m_2^k$.

— Leur redshift à la formation du deuxième objet compact $z_b^k$.

— Le redshift à la fusion des deux objets $z_m^k$.

— La distance de luminosité $d_L^k$.

— La séparation orbitale à la formation du second objet compact $a_0^k$.

— L'excentricité initiale, à la formation du second objet compact $e_0^k$.

Par ailleurs pour chacune des sources nous avons choisi une inclinaison $\iota^k$ et une localisation dans le ciel aléatoire. Aussi les amplitudes des spins de chacune des deux étoiles $s_1$ et $s_2$ a été tiré dans une distribution de Maxwell avec une largeur de $\sigma = 0.1$ conformément aux récentes observations [28]. Pour les binaires isolées nous avons supposé que les spins sont alignés, tandis que pour les binaires dynamiques nous avons pris une orientation aléatoire uniforme de chacun des spin.

Enfin dans ces travaux nous avons étudié une combinaison des deux catalogues présentés dans la section précédente aussi en écrivant $\Omega_{gw}^{Cat, \Psi}$ la densité d'énergie dérivée de chaque catalogue $\text{Cat} = \{\text{Iso, Dyn}\}$, pour chaque type de source $\Psi = \{\text{BBH, BNS, BHNS, Tous (All)}\}$ on a :

$$ \Omega_{gw}^{\Psi}(f) = (1 - f_{Dyn}) \times \Omega_{gw}^{Iso, \Psi} + f_{Dyn} \times \Omega_{gw}^{Dyn, \Psi}, \qquad (9.1) $$

où $f_{Dyn}$ est la proportion de binaires formées dynamiquement dans le catalogue total reconstruit.

## 9.2.1 Résultats pour le fond total

Dans cette partie sont présentés les résultats obtenus pour le fond stochastique total de ces catalogues. Les figures 9.4a, 9.4b, 9.4c représentent les contributions à la densité d'énergie totale des différents types de binaires BBHs, BNSs, et BHNS selon leur canaux de formation *Iso* (bleu), *Orig* (vert) et *Exch* (rouge). Les valeurs de $\Omega_{gw}$ à la fréquence de référence 25Hz sont résumées pour chaque type et chaque canal dans la table 9.2.

**BBHs** : La figure 9.4a représente la contribution des BBHs au fond stochastique gravitationnel pour les différents canaux de formation étudiés ici. On constate que le spectre en densité d'énergie présente une forme différente selon les différents canaux de formation. Ces variations sont dues aux différences dans les distributions des paramètres (masses figure 9.1 et redshift figure 9.2) selon les canaux de formation que l'on a détaillés dans la partie précédente. Aussi les BBHs échangées ont une fréquence de coupure plus faible que les autres canaux, et émettent peu aux fréquences $f > 100$Hz. On constate par ailleurs qu'il n'y a pas d'impact de l'excentricité sur la forme de la densité d'énergie au delà de 0.1 mHz.
110 **BNSs** : Sur la figure 9.4b sont représentées les contributions des différents canaux de formation pour les BNSs. La densité d'énergie est dominée par les binaires isolées ($\Omega_{gw}^{Iso, BNS}$(25Hz) = 8.48×10⁻¹¹) tandis que la contribution des BNS échangées est ~30 fois plus faible ($\Omega_{gw}^{Exch, BNS}$(25Hz) = 2.80×10⁻¹²). Comme nous l'avons vu dans le paragraphe 5.3.2, lorsqu'une binaire rencontre un objet solitaire, plus ce dernier objet est massif plus il a de chance de réaliser un échange. Il est donc naturel d'avoir peu de BNSs formées via ce canal dans les simulations, ce qui explique que la contribution du canal *Exch* soit très faible comparée aux canaux *Iso* et *Orig*. Par ailleurs on fait le même constat que pour les BBHs, à savoir que l'excentricité n'a pas d'influence dans les fréquences ou les détecteurs étudiés sont sensibles.

119 **BHNSs** : La contribution à la densité d'énergie des BHNSs est représentée sur la figure 9.4c pour les différents canaux de formation. On constate comme pour les BNSs et pour la même raison que la contribution des BHNSs formés via *Exch* est faible ($\Omega_{gw}^{Exch, BHNS}$(25Hz) = 2.94 × 10⁻¹¹ par rapport aux deux autres canaux ($\Omega_{gw}^{Orig, BHNS}$(25Hz) = 4.40 × 10⁻¹¹ et ($\Omega_{gw}^{Iso, BHNS}$(25Hz) = 1.33 × 10⁻¹⁰). Cependant dans le cas des BHNSs échangées on contate un impact important de l'excentricité aux fréquences ou LISA est sensible. Malheureusement le fait que la contribution de ce canal à la densité d'énergie soit faible fait disparaître dans le fond total induit par les BHNSs.

127 La figure 9.5 résume la contribution de chaque type de binaires BBHs, BNSs et BHNSs au fond stochastique. Sur ce graphique les incertitudes représentées ont été calculées avec CosmoRate (figure 9.3) en prenant le premier et le dernier quartile du taux de fusion calculés comme étant la combinaison des incertitudes sur la relation taux de formation stalling/redshift et métallivité/redshift. On notera ici que la présence d'au moins un trou noir dans la binaire induit une incertitude plus élevée. Pour les BBHs isolées on trouve une amplitude du fond stochastique ($\Omega_{gw}^{Iso, BBH} = 7.96_{-6.31}^{+14.01} \times 10^{-10}$ en accord avec les résultats prédits par StarTrack avec l'étude précédente ($\Omega_{gw}^{popI/II, BBH} = 9.56 \times 10^{-10}$ au regard du taux de fusion local utilisé dans ces modèles. Les dernières observations [27] détaillées dans la section 7.3 présentent un taux de fusion local plus faible ($\mathcal{R}_{0}^{LVK, BBH} = 19_{-8}^{+18} \text{Gpc}^{-3}\text{yr}^{-1}$, ce qui explique la différences d'amplitude avec notre modèle ($\Omega_{gw}^{LVK, BBH} = 5.0_{-1.4}^{+1.7} \times 10^{-10}$). Le facteur de proportion 1.13 que l'on retrouve entre le taux de fusion local des BNSs avec les observations et celui du modèle explique en partie la différence en amplitude dans la densité d'énergie ($\Omega_{gw}^{LVK, BNS} = 2.1_{-1.6}^{+2.9} \times 10^{-10}$). Cependant il reste encore un écart qui s'explique par les distributions des masses et du redshift des BNSs. Pour les BHNSs ($\Omega_{gw}^{Iso, BHNS} = 1.33_{-1.01}^{+1.38} \times 10^{-10}$ les résultats que nous avons obtenus sont en accord avec la limite haute imposée par les observations ($\Omega_{gw}^{LVK, BHNS} < 8.4 \times 10^{-10}$.

143 Finalement la contribution des BBHs représente 86% du fond total et exhibe de petites irrégularités aux fréquences $f > 100$Hz dues à la prise en compte des contributions de binaires
<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>(A) Contribution des diffétents canaux de BBHs à la densité d'énergie gravitationnelle.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>(B) Contribution des diffétents canaux de BNSs à la densité d'énergie gravitationnelle.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>(C) Contribution des diffétents canaux de BHNSs à la densité d'énergie gravitationnelle.</figcaption></figure>

FIGURE 9.4: Contribution des différents types de sources (BBHs, BNSs, BHNSs) à la densité d'énergie du fond stochastique selon leur canal de formation *Iso* (bleu), *Exch* (rouge), *Orig* (vert). La somme des contributions est montrée en noir, et calculée en supposant $f_{Dyn} = 0.5$. Les courbes en pointillés présentent la contribution en supposant une orbite circulaire.
<table><caption>TABLE 9.2: Valeurs de la densité d'énergie obtenue à 25 Hz.</caption><thead><tr><th></th><th><i>Iso.</i></th><th><i>Orig.</i></th><th><i>Exch.</i></th><th><i>Dyn.(Orig.+Exch.)</i></th><th>All (<i>f</i><sub>Dyn.</sub>=0.5)</th></tr></thead><tbody><tr><td>BBH</td><td>7.96×10<sup>-10</sup></td><td>4.74×10<sup>-10</sup></td><td>8.08×10<sup>-10</sup></td><td>1.28×10<sup>-9</sup></td><td>1.04×10<sup>-9</sup></td></tr><tr><td>BNS</td><td>8.48×10<sup>-11</sup></td><td>4.55×10<sup>-11</sup></td><td>2.80×10<sup>-12</sup></td><td>4.83×10<sup>-11</sup></td><td>6.65×10<sup>-11</sup></td></tr><tr><td>BHNS</td><td>1.33×10<sup>-10</sup></td><td>4.40×10<sup>-11</sup></td><td>2.94×10<sup>-11</sup></td><td>7.34×10<sup>-11</sup></td><td>1.03×10<sup>-10</sup></td></tr><tr><td>All</td><td>1.01×10<sup>-9</sup></td><td>5.63×10<sup>-10</sup></td><td>8.40×10<sup>-10</sup></td><td>1.40×10<sup>-9</sup></td><td>1.21×10<sup>-9</sup></td></tr></tbody></table>

145 dynamiques. Aussi le paragraphe suivant est consacré à la contribution des BBHs, ses incertitudes et les variations dues à la prise en compte des binaires dynamiques.
146

<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>FIGURE 9.5: Fond gravitationnel total des catalogues étudiés (Iso.+Orig.+Exch.) pour chaque type de binaires BBHs(rouge), BNSs(bleu), BHNSs(vert) et le fond complet (noir, BBHs+BNSs+BHNSs) avec $f_{Dyn.} = 0.5$. Les courbes discontinues représentent les résultats en supposant une orbite circulaire des systèmes (ie $e = 0$), les courbes continues représentent la densité d'énergie prenant en compte l'évolution orbitale. Enfin les courbes pointillées se réfèrent aux densités spectrales de puissance PSD designées pour différents réseaux.</figcaption></figure>
## 9.2.2 Etude des paramètres impactant le fond stochastique

Les résultats précédents démontrent que ce sont les binaires de trous noirs qui vont dominer le fond gravitationnel que l'on étudie ici. Aussi cette partie est consacrée au différents paramètres des trous noirs qui peuvent impacter la forme et/ou l'amplitude de ce signal.

### Impact de la distribution de masses
Sur les figures 9.6 et 9.7 sont représentées une partie de l'histogramme de la distribution de masses pour les BBHs *Orig* et *Exch* ainsi que la densité d'énergie correspondante. Les distributions de masses complètes (responsable donc de la distribution en gris) sont représentées sur la figure 9.8 pour les différents canaux de formation. Sur cette dernière figure le trait noir représente la masse à laquelle les histogrammes représentés figures 9.6 et 9.7 ont été tronqués.

<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>FIGURE 9.6: Sous populations responsables d'irrégularités dans la forme de la densité d'énergie des BBHs *Orig*.</figcaption></figure>

On constate ici que la présence d'un grand nombre de sources dans un intervalle de masses corrigées spécifique induit une irrégularité dans la forme de la densité d'énergie. Par exemple pour les binaires *Orig* les BBHs présentes entre $155 < [M^2]^5/3 < 295$ sont responsables d'un "bump" à 250Hz. Cependant il semble difficile de relier ces variations à des phénomènes astrophysiques, car l'histogramme représente ici la masse *chirp* corrigé soit une combinaison des distributions de la masse intrinsèque, du ratio de masses et de la distribution du redshift (figures 9.1 et 9.2).

### Incertitudes quant aux paramètres de formation des étoiles
Dans ce paragraphe nous allons étudier l'impact des paramètres de formation des étoiles sur la forme du fond stochastique. Comme nous l'avons vu précédemment les incertitudes présentées sur la figure 9.5 viennent des premiers et derniers quartiles du taux de fusion mesuré par CosmoRate 9.3. Aussi nous
<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>FIGURE 9.7: Sous populations responsables d’irrégularités dans la forme de la densité d’énergie des BBHs Exch.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>FIGURE 9.8: Distributions des masses corrigées à la puissance 5/3 des BBHs pour leur différents canaux de formation.</figcaption></figure>

allons comparer ici les catalogues présentés précédemment pour les BBHs avec deux nouveaux catalogues, le catalogue pessimiste dérivé du premier quartile du taux de fusion, et le catalogue optimiste dérivé du troisième quartile. La figure 9.9 compare ces catalogues avec la catalogue médian (fiducial) utilisé jusqu’alors. Les graphiques du haut représentent la densité d’énergie des différents canaux de formation pour le catalogue pessimiste (gauche) et optimiste (droite) et en dessous le diagramme de dominance des différents canaux correspondants. Sur chaque graphique le catalogue médian est rappelé en pointillé.

Globalement on remarque que les binaires isolées présentent une incertitude plus importante que les autres canaux de formation. On a une amplitude de la densité d’énergie qui varie d’un facteur ~20 entre le catalogue optimiste et pessimiste des BBHs isolées tandis que ce facteur est de ~3 (2) pour les binaires Orig (Exch). Dans le cas du catalogue pessimiste la densité d’énergie est dominée (60%) par les binaires échangées jusqu’à $f \sim 200$ Hz, puis pour $f > 200$Hz par les
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>FIGURE 9.9: Comparaison des densités d'énergies correspondant aux catalogues optimiste (droite) et pessimiste (gauche) avec le catalogue médian (pointillé). **Haut**: Densité d'énergie des catalogues, la courbe noire représente le total Iso + Dyn avec $f_{Dyn}=0.5$. **Bas**: Diagramme de dominance des différents canaux de formation étudiés ici en fonction de la fréquence.</figcaption></figure>

179 binaires *Orig*, tandis que dans le catalogue médian les BBHs *Exch* et *Iso* représentait chacun ~ 40% du fond total et *Orig* ~20%. Aussi le fond total représenté en noir avec $f_{Dyn}=0.5$ présente 180 beaucoup d'irrégularités à partir de $f > 100$Hz. Dans le cas du catalogue optimiste le fond total 181 est dominé par les binaires isolées ~50-65% selon la fréquence. Les irrégularités du fond total en 182 noir sont moins importantes que dans le catalogue pessimiste. 183

184 **Impact de la proportion de binaires formées dans les amas** Une dernière incertitude 185 importante que l'on a dans l'étude de ces catalogues et que j'ai étudiée ici est la proportion 186 de binaires formées dans les amas. Jusqu'alors nous avions considéré une proportion $f_{Dyn}$ = 187 0.5, mais les dernières observations de LIGO-Virgo ont permis de déduire l'intervalle des valeurs 188 possibles de cette proportion $f_{Dyn} \in[0.25, 0.93]$. La figure 9.10 réévalue la densité d'énergie 189 au fond gravitationnel pour chacune des deux bornes de cet intervalle ($f_{Dyn}=0.25$ à gauche et 190 $f_{Dyn}=0.93$ à droite). Sur ces deux figures la courbe noire représentant le fond gravitationnel pour 191 $f_{Dyn} = 0.5$ peut être comparée à la densité calculée avec les valeurs extrèmes de $f_{Dyn}$ représentée 192 en bleu. Les bandes représentent l'incertitude sur les nouvelles densités d'énergie calculées comme 193 décrit précédemment. On retrouve la conclusion précédente à savoir que l'incertitude quand au 194 taux de fusion des BBHs est plus grande pour le canal *Iso* que pour les canaux *Dyn*, aussi 195 plus la proportion de binaires isolées est grande plus l'incertitude sur l'amplitude de la densité 196 d'énergie est grande. Dans le cas de la valeur minimale $f_{Dyn} = 0.25$ on ne constate pas de 197 changement important dans la forme de la contribution au fond stochastique gravitationnel. 198 Cependant dans le cas de la valeur maximale $f_{Dyn} = 0.93$, on remarque que les irrégularités
que l'on a noté précédemment sont plus marquées. La table 9.3 résume les valeurs de la densité d'énergie $\Omega_{gw}(25Hz)$ pour les différentes proportions.

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>FIGURE 9.10: Contribution des BBHs à la densité d'énergie considérant les deux bornes de l'intervalle estimé par les dernières observations $f_{Dyn} = 0.25$ (gauche) et $f_{Dyn} = 0.93$ (droite). La courbe noire rappelle les résultats avec l'hypothèse faite dans cette étude $f_{Dyn.} = 0.5$.</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 9.3: Résultats de la densité d'énergie à 25Hz pour différents scénarios de proportions de binaires formées dans les amas *Dyn*.</caption><tr><td>$f_{Dyn.}/f_{Iso.}$</td><td>0.25/0.75</td><td>0.5/0.5</td><td>0.93/0.07</td></tr><tr><td>$\Omega_{gw}(25Hz)$</td><td>$0.92^{+1.33}_{-0.59} \times 10^{-9}$</td><td>$1.04^{+1.26}_{-0.54} \times 10^{-9}$</td><td>$1.25^{+1.15}_{-0.47} \times 10^{-9}$</td></tr></table>

Ces résultats montrent qu'il reste encore beaucoup d'incertitudes quand à la contribution des BBHs à la densité d'énergie. Cependant nous avons étudié jusqu'alors la contribution totale des catalogues. Aussi comme dans l'étude précédente (Section 8.3) nous allons maintenant évaluer les catalogues résiduels pour les détecteurs 2G et 3G et dériver la détectabilité de la contribution des systèmes binaires au fond stochastique dans ces deux générations de détecteurs.

## 9.3 Fond résiduels et déctectabilité

Comme dans l'étude précédente nous avons calculé les catalogues résiduels correspondants à cette étude. Pour ce faire nous avons utilisé le même procédé à savoir soustraire toutes les sources résolues ($\rho > 12$) par les réseaux envisagés de seconde génération HLV, HLVIK présentés dans une première partie, puis de troisième génération ET et ET+2CE dans une seconde partie. Enfin une troisième partie sera consacrée à un scénario de détection dans les détecteurs de seconde génération.
<table><caption>TABLE 9.4: Résultat de la densité d'énergie et du nombre de sources restantes dans les fonds résiduels des réseaux HLV et HLVIK en supposant $f_{Dyn.} = f_{Iso.} = 0.5$. Entre parenthèses les ratios $r_Ω$ et $r_{count}$ définis dans le texte.</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>BBHs</th><th>BNSs</th><th>BHNSs</th><th>All</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">HLV</td><td>Ω<sub>gw</sub>(r<sub>Ω</sub>)</td><td>8.19×10<sup>-10</sup>(78%)</td><td>6.47×10<sup>-11</sup>(97%)</td><td>1.01×10<sup>-10</sup>(97%)</td><td>9.85×10<sup>-10</sup>(80%)</td></tr><tr><td>#N(r<sub>count</sub>)</td><td>105519 (99.4%)</td><td>275232 (100%)</td><td>151519 (100%)</td><td>532270 (99.9%)</td></tr><tr><td rowspan="2">HLVIK</td><td>Ω<sub>gw</sub>(r<sub>Ω</sub>)</td><td>6.35×10<sup>-10</sup>(61%)</td><td>6.32×10<sup>-11</sup>(95%)</td><td>9.73×10<sup>-11</sup>(94%)</td><td>7.96×10<sup>-10</sup>(65%)</td></tr><tr><td>#N(r<sub>count</sub>)</td><td>102965 (97%)</td><td>275218 (100%)</td><td>151487 (100%)</td><td>529670 (99.4%)</td></tr></tbody></table>

## 9.3.1 Dans les détecteurs 2G

Dans cette partie nous allons étudier deux réseaux de détecteurs 2G HLV et HLVIK comme présentés dans l'étude précédente. La figure 9.11 représente la densité d'énergie obtenue dans les détecteurs de seconde génération en séparant les différents types de binaires BBHs, BNSs et BHNSs. En noir est représenté pour chaque réseau le fond total pour lequel on a supposé $f_{Dyn} = 0.5$. Les valeurs numériques obtenues à 25Hz sont représentées dans la table 9.4 ainsi que le nombre de sources restantes et les ratios $r_Ω$ et $r_{count}$ (Equations (8.10)). Comme dans le cas de l'étude de StarTrack on constate que les sources résolues sont celles qui participent le plus à la densité d'énergie aussi on a une réduction globale de l'amplitude de 20% (35%) à 25 Hz dans le réseau HLV (HLVIK) correspondant à la résolution de 0.1% (0.6%) des sources.

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>FIGURE 9.11: Fonds résiduels obtenus dans les réseaux de détecteurs de seconde génération HLV et HLVIK pour chaque type de binaires. En référence les courbes pleines représentent le fond total.</figcaption></figure>

En raison de leurs masses plus importantes les BBHs sont résolues plus facilement que les BNSs ou les BHNSs, on a 0.6% (3%) des BBHs résolues dans HLV (HLVIK) alors que pour les BHNSs ou les BNSs la proportion de sources résolues est <0.05%. Dans le tableau 9.6 sont résumées
<table><caption>Table 9.5</caption><thead><tr><th></th><th>HLV(Des.)</th><th>HLVIK(Des.)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Total</td><td>1.31</td><td>1.57</td></tr><tr><td>Residual</td><td>1.07</td><td>1.03</td></tr></tbody></table>

<caption>Table 9.6: Calcul des SNR dand les détecteurs 2G</caption>

les rapports signal sur bruits (SNR) obtenus pour le fond total et pour les fonds résiduels. On constate que l'on a une légère baisse du rapport signal sur bruit dans HLVIK (1.03) comparée à HLV (1.07), ce qui vient du fait que l'amélioration de la sensibilité entre les deux réseaux ne suffit pas à compenser la perte en densité d'énergie induite par la soustraction des sources. Cela signifie que même si le SNR évolue avec la durée effective d'observation le fond résiduel serait détectable avec HLV (HLVIK) après 7.8 (8.5) ans avec un niveau de $3\sigma$ et 21.8 (23.6) ans avec un niveau de $5\sigma$. Par chance nous espérons avoir d'ici là des détecteurs plus performants tel que ceux de la troisième génération.

Jusqu'a ce point cette étude a fait l'objet d'un article disponible en annexe de ce manuscrit, dans lequel nous nous sommes concentrés sur la détectabilité dans les détecteurs de seconde génération. Cependant nous avons également réalisé ces calculs pour les détecteurs de troisième génération qui pourraient faire l'objet d'une lettre ou article à venir et que je présente dans la sous-partie suivante.

### 9.3.2 Dans les détecteurs 3G

Nous avons vu dans la partie précédente que la contribution des binaires d'objets compacts simulées par ce modèle ne permettent pas une détection du fond stochastique avant la mise en opération des détecteurs de troisième génération. Aussi ce paragraphe propose d'évaluer le fond résiduel et la détectabilité du modèle étudié dans les futurs détecteurs déja définis dans l'étude précédente ET et ET+2CE. La figure 9.12 présente les contributions obtenues des BBHs, BNSs et BHNSs dans les réseaux ET et ET+2CE. En lignes pleines sont rappelées les contributions du fond total. Le fond global (BBHs+BNSs+BHNSs) en noir est toujours calculé avec la proportion de binaires provenant d'amas $f_{Dyn} = 0.5$. La table 9.7 représente les valeurs obtenues à la fréquence de référence de la sensibilité des détecteurs 3G $f_{ref} = 10Hz$, ainsi que le nombre de sources restantes dans les catalogues résiduels et les ratios conformément au paragraphe précédent.

Dans ces deux réseaux on constate une grande réduction de la densité d'énergie de 92% dans ET et 99% dans ET+2CE. Cependant comme nous l'avons vu précédemment cela correspond à une proportion en nombre de sources plus réduite avec 33% de sources résolues dans ET et 69% dans ET+2CE. La densité d'énergie du fond résiduel de ET est dominée par les BNSs, et
<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>FIGURE 9.12: Fond résiduels obtenus dans les réseaux de détecteurs de troisième génération ET et ET+2CE</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 9.7: Résultats de la densité d'énergie et du nombre de sources restantes dans les fonds résiduels des réseaux ET et ET+2CE en supposant $f_{Dyn.} = f_{Iso.} = 0.5$. Entre parenthèses les ratios $r_Ω$ et $r_{count}$ définis dans le texte calculés à la fréquence de référence $f_{ref} = 10Hz$.</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>BBHs</th><th>BNSs</th><th>BHNSs</th><th>All</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">ET</td><td>Ω<sub>gw</sub>(r<sub>Ω</sub>)</td><td>1.09×10<sup>-11</sup>(2%)</td><td>2.22×10<sup>-11</sup>(60%)</td><td>2.53×10<sup>-11</sup>(39%)</td><td>5.84×10<sup>-11</sup>(8%)</td></tr><tr><td>#N(r<sub>count</sub>)</td><td>22962 (22%)</td><td>262437 (95%)</td><td>124722 (82%)</td><td>410121 (77%)</td></tr><tr><td rowspan="2">ET+2CE</td><td>Ω<sub>gw</sub>(r<sub>Ω</sub>)</td><td>1.48×10<sup>-13</sup>(~0%)</td><td>4.97×10<sup>-12</sup>(22%)</td><td>2.00×10<sup>-12</sup>(3%)</td><td>7.12×10<sup>-12</sup>(1%)</td></tr><tr><td>#N(r<sub>count</sub>)</td><td>898 (&lt;1%)</td><td>135746 (49%)</td><td>26419 (17%)</td><td>163063 (31%)</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Table 9.8</caption><thead><tr><th></th><th>ET(Des.)</th><th>ET+2CE(Des.)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Total</td><td>575.9</td><td>6408.3</td></tr><tr><td>Residual</td><td>47.4</td><td>66.7</td></tr></tbody></table>

<caption>Table 9.9: Calcul des SNR dans les détecteurs 3G</caption>

<footnote>les BHNSs, car la réduction du nombre de BBHs fait chuter leur contributions de 98%, tandis que les BNSs et BHNSs sont plus difficiles à résoudre avec respectivement 5% et 18% de la population résolue. On constate par ailleurs que dans ET+2CE quasiment toutes les BBHs sont résolues $r_{Count}^{BBH,ET+2CE} < 1\%$ et également une grande partie des BHNSs $r_{Count}^{BHNS,ET+2CE} = 83\%$, en conséquence le fond résiduel dans ce réseau est dominé par les BNSs qui représentent 70% de la densité d'énergie restante. La signature (irrégularités) des systèmes binaires formés dans les jeunes amas n'est visible que dans la contributions des BBHs comme nous l'avons vu dans la section 9.2.1. Or une grande proportion de ces derniers est résolue aussi les BBHS ne représentent plus que 19% (2%) du fond résiduel global de ET (ET+2CE). Néanmoins sur la figure 9.12 on</footnote>
remarque que la densité d'énergie du fond résiduel de ET+2CE est tout de même bien au dessus de la sensibilité du réseau de détecteurs ce qui signifie que le fond résiduel sera détectable plus facilement que dans la 2G, malgré la soustraction des sources résolues. Les résultats obtenus pour les SNR correspondants sont présentés dans le tableau 9.9. On constate que la soustraction des sources résolues font chuter le SNR d'un facteur 12 (96) dans ET (ET+2CE). Cependant l'amélioration importante de la sensibilité permet tout de même d'avoir une détection à un niveau de $5\sigma$ en moins d'un an de prise de données.

### 9.3.3 Scénario de détection

Dans cette partie nous avons retracé le planning des prises de données prévu par la collaboration LIGO-Virgo-Kagra présenté figure 1.7 pour scénariser la détection du fond stochastique gravitationnel prédit par notre modèle. A partir du tableau 9.4 on peut évaluer le nombre de sources résolues dans HLV et HLVIK. Dans HLV on a 617 BBHs, 5 BNSs et 6 BHNSs ce qui au regard des derniers résultats semble en accord avec ce qui est attendu dans la prise de données O4. Pour HLVIK on obtient une résolution de 3051 BBHs, 20 BNSs et 37 BHNSs. Aussi on supposera dans notre scénario que la contribution des systèmes binaires au fond stochastique est le fond total dans O3, le fond résiduel de HLV dans O4 et celui de HLVIK dans O5. Sur la figure 9.13 est représentée l'évolution cumulée du SNR avec ces hypothèses et en supposant une efficacité de détection de 50% c'est à dire que pour un an d'observation seuls 6 mois de données sont exploitables. On constate que l'on a bien un SNR cumulé qui évolue en $\sqrt{T}$ dans chacune des prises de données, et cela nous amène à une détection d'un niveau de $3\sigma$ en 2041, en supposant qu'il n'y a pas d'interruption dans la prise de données O5.

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>FIGURE 9.13: Scénario de détection du fond stochastique prédit par ce modèle dans les détecteurs de seconde génération.</figcaption></figure>
## Conclusion

En conclusion nous avons dans cette étude évalué la contribution au fond stochastique des systèmes binaires provenant d'une formation isolée et d'une formation dans les jeunes amas d'étoiles. En supposant la proportion de binaires formées dans les jeunes amas $f_{Dyn}=0.5$ on a trouvé une amplitude de $\Omega_{gw}^{Tot}(25Hz) =1.23_{-1.6}^{+2.9} \times 10^{-9}$ ce qui est en accord avec l'étude précédente avec StarTrack et les prédictions de la collaboration [27] au regard du taux de fusion local de chaque type de source. La présence des binaires formées dynamiquement n'a que très peu d'impact dans les contributions des BHNSs et des BNSs, mais affecte plus particulièrement la contribution des trous noirs qui ont plus de chance d'interagir dynamiquement dans les jeunes amas à cause de leurs masses plus importantes. Finalement on constate dans leur contribution des irrégularités avec un potentiel 'bump' autour de $f=100$ Hz due aux BBHs qui ont subi un échange. Cette forme spécifique vient de la distribution de masses corrigées de ces systèmes (Figure 9.8) et dépend des paramètres de formation stellaire (Figure 9.9) et de la proportion de binaires formées dynamiquement 9.10. Les fond résiduels ont été calculés en soustrayant les sources du catalogue résolues par les détecteurs pour construire un catalogue résiduel. Dans le cas des détecteurs de seconde génération nous avons étudiés les réseaux HLV et HLVIK dans lesquels la proportion de BNSs et de BHNSs résolues est faible en raison de leur masses plus faibles qui les rendent plus difficiles à résoudre. Les BBHs résolues représentent quand à eux 0.6% du nombre de sources total dans HLV et 3% dans HLVIK ce qui correspond à une réduction d'amplitude de leur contribution de 22% et 39% dans HLV et HLVIK respectivement. Dans les détecteurs de troisième génération le nombre de BBHs résolues est plus élevé et par conséquent le fond résiduel n'est plus dominé par leur contribution et ne représente plus que 19% (2%) du fond total dans ET (ET+2CE). Comme les BNSs et BHNSs dominent ces fond résiduels l'impact des systèmes binaires formés dynamiquement dans les jeunes amas devient quasiment invisible. Finalement on prédit avec ce modèle une détection du fond stochastique après $\sim$ 8 ans de prise de données effective pour un niveau de détection à $3\sigma$.

La contribution des coalescences de systèmes binaires au fond stochastique lorsqu'elle sera détec-  
tée pourra donner des informations quand aux différents canaux de formation étudiés ici. Dans  
ces travaux nous avons poursuivi l'étude réalisée avec la population III en incluant les coales-  
cences formées dans les jeunes amas. Dans le futur il serait intéressant d'étudier de nouveaux  
canaux tels que les systèmes binaires formés dans les amas globulaires avec possiblement un canal  
de formation par fusions répétées [29, 30] ou encore la contribution de trous noirs primordiaux  
[31, 32, 33].
Bibliographie

9

10

11

12

[1] R. Abbott, T. D. Abbott, S. Abraham, F. Acernese, K. Ackley, C. Adams, R. X. Adhikari, V. B. Adya, C. Affeldt, M. Agathos, K. Agatsuma, N. Aggarwal, O. D. Aguiar, A. Aich, L. Aiello, A. Ain, P. Ajith, and et al. GW190521: A Binary Black Hole Merger with a Total Mass of 150 M., 125(10):101102, September 2020. doi: 10.1103/PhysRevLett.125.101102.

13

14

15

16

17

18

19

20

[2] R. Abbott, T. D. Abbott, S. Abraham, F. Acernese, K. Ackley, C. Adams, R. X. Adhikari, V. B. Adya, C. Affeldt, M. Agathos, K. Agatsuma, N. Aggarwal, O. D. Aguiar, A. Aich, L. Aiello, A. Ain, P. Ajith, S. Akcay, G. Allen, A. Allocca, P. A. Altin, A. Amato, S. Anand, A. Ananyeva, S. B. Anderson, W. G. Anderson, S. V. Angelova, S. Ansoldi, S. Antier, S. Appert, K. Arai, M. C. Araya, J. S. Areeda, M. Arène, N. Arnaud, S. M. Aronson, K. G. Arun, Y. Asali, S. Ascenzi, G. Ashton, S. M. Aston, P. Astone, and et al. Properties and Astrophysical Implications of the 150 M Binary Black Hole Merger GW190521., 900(1):L13, September 2020. doi: 10.3847/2041-8213/aba493.

21

22

23

24

[3] Filippo Santoliquido, Michela Mapelli, Yann Bouffanais, Nicola Giacobbo, Ugo N. Di Carlo, Sara Rastello, M. Celeste Artale, and Alessandro Ballone. The cosmic merger rate density evolution of compact binaries formed in young star clusters and in isolated binaries. Astrophys. J., 898(2):152, 2020. doi: 10.3847/1538-4357/ab9b78.

25

26

[4] Charles J. Lada and Elizabeth A. Lada. Embedded Clusters in Molecular Clouds., 41:57–115, January 2003. doi: 10.1146/annurev.astro.41.011802.094844.

27

28

[5] Simon F. Portegies Zwart, Stephen L. W. McMillan, and Mark Gieles. Young Massive Star Clusters., 48:431–493, September 2010. doi: 10.1146/annurev-astro-081309-130834.

29

30

31

[6] S. Banerjee, H. Baumgardt, and P. Kroupa. Stellar-mass black holes in star clusters: implications for gravitational wave radiation., 402:371–380, February 2010. doi: 10.1111/j.1365-2966.2009.15880.x.

32

33

34

[7] B. M. Ziosi, M. Mapelli, M. Branchesi, and G. Tormen. Dynamics of stellar black holes in young star clusters with different metallicities - II. Black hole-black hole binaries., 441:3703–3717, July 2014. doi: 10.1093/mnras/stu824.
[8] Michela Mapelli. Massive black hole binaries from runaway collisions : the impact of metallicity. , 459(4) :3432-3446, July 2016. doi : 10.1093/mnras/stw869.

[9] S. Banerjee. Stellar-mass black holes in young massive and open stellar clusters and their role in gravitational-wave generation. , 467 :524-539, May 2017. doi : 10.1093/mnras/stw3392.

[10] S. Banerjee. Stellar-mass black holes in young massive and open stellar clusters and their role in gravitational-wave generation - II. , 473 :909-926, January 2018. doi : 10.1093/mnras/stx2347.

[11] Ugo N. Di Carlo, Michela Mapelli, Yann Bouffanais, Nicola Giacobbo, Filippo Santoliquido, Alessandro Bressan, Mario Spera, and Francesco Haardt. Binary black holes in the pair-instability mass gap. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 497(1) :1043-1049, 2020. doi : 10.1093/mnras/staa1997.

[12] Sambaran Banerjee. Stellar-mass black holes in young massive and open stellar clusters - IV. Updated stellar-evolutionary and black hole spin models and comparisons with the LIGO-Virgo O1/O2 merger-event data. , 500(3) :3002-3026, January 2021. doi : 10.1093/mnras/staa2392.

[13] Jun Kumamoto, Michiko S. Fujii, and Ataru Tanikawa. Gravitational-wave emission from binary black holes formed in open clusters. , 486(3) :3942-3950, Jul 2019. doi : 10.1093/mnras/stz1068.

[14] S. Rastello, P. Amaro-Seoane, M. Arca-Sedda, R. Capuzzo-Dolcetta, G. Fragione, and I. Tosta e Melo. Stellar black hole binary mergers in open clusters. , 483(1) :1233-1246, February 2019. doi : 10.1093/mnras/sty3193.

[15] Jun Kumamoto, Michiko S. Fujii, and Ataru Tanikawa. Merger rate density of binary black holes formed in open clusters. , 495(4) :4268-4278, July 2020. doi : 10.1093/mnras/staa1440.

[16] Michela Mapelli, Nicola Giacobbo, Emanuele Ripamonti, and Mario Spera. The cosmic merger rate of stellar black hole binaries from the Illustris simulation. , 472(2) :2422-2435, December 2017. doi : 10.1093/mnras/stx2123.

[17] Nicola Giacobbo, Michela Mapelli, and Mario Spera. Merging black hole binaries : the effects of progenitor's metallicity, mass-loss rate and Eddington factor. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 474(3) :2959-2974, 2018. doi : 10.1093/mnras/stx2933.

[18] Nicola Giacobbo and Michela Mapelli. The impact of electron-capture supernovae on merging double neutron stars. , 482(2) :2234-2243, January 2019. doi : 10.1093/mnras/sty2848.

[19] Chris L. Fryer, Krzysztof Belczynski, Grzegorz Wiktorowicz, Michal Dominik, Vicky Kaltera, and Daniel E. Holz. Compact Remnant Mass Function : Dependence on the Explosion Mechanism and Metallicity. , 749(1) :91, April 2012. doi : 10.1088/0004-637X/749/1/91.
69

70

71

72

[20] Michela Mapelli, Mario Spera, Enrico Montanari, Marco Limongi, Alessandro Chieffi, Nicola Giacobbo, Alessandro Bressan, and Yann Bouffanais. Impact of the Rotation and Compactness of Progenitors on the Mass of Black Holes. , 888(2) :76, January 2020. doi : 10.3847/1538-4357/ab584d.

73

74

75

76

[21] Yann Bouffanais, Michela Mapelli, Davide Gerosa, Ugo N. Di Carlo, Nicola Giacobbo, Emanuele Berti, and Vishal Baibhav. Constraining the fraction of binary black holes formed in isolation and young star clusters with gravitational-wave data. Astrophys. J., 886(1), 2019. doi : 10.3847/1538-4357/ab4a79.

77

78

[22] Pavel Kroupa. On the variation of the initial mass function. , 322(2) :231–246, April 2001. doi : 10.1046/j.1365-8711.2001.04022.x.

79

80

81

[23] H. Sana, S. E. de Mink, A. de Koter, N. Langer, C. J. Evans, M. Gieles, E. Gosset, R. G. Izard, J. B. Le Bouquin, and F. R. N. Schneider. Binary Interaction Dominates the Evolution of Massive Stars. Science, 337(6093) :444, July 2012. doi : 10.1126/science.1223344.

82

83

84

85

[24] Ugo N. Di Carlo, Michela Mapelli, Nicola Giacobbo, Mario Spera, Yann Bouffanais, Sara Rastello, Filippo Santoliquido, Mario Pasquato, Alessandro Ballone, Alessandro A. Trani, Stefano Torniamenti, and Francesco Haardt. Binary black holes in young star clusters : the impact of metallicity. , 498(1) :495–506, August 2020. doi : 10.1093/mnras/staa2286.

86

87

88

89

[25] Sara Rastello, Michela Mapelli, Ugo N. Di Carlo, Nicola Giacobbo, Filippo Santoliquido, Mario Spera, Alessandro Ballone, and Giuliano Iorio. Dynamics of black hole–neutron star binaries in young star clusters. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 497(2) :1563–1570, 2020. doi : 10.1093/mnras/staa2018.

90

91

92

93

[26] Filippo Santoliquido, Michela Mapelli, Nicola Giacobbo, Yann Bouffanais, and M. Celeste Artale. The cosmic merger rate density of compact objects : impact of star formation, metallicity, initial mass function and binary evolution. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 502 (4) :4877–4889, 2021. doi : 10.1093/mnras/stab280.

94

95

[27] R. Abbott et al. Upper Limits on the Isotropic Gravitational-Wave Background from Advanced LIGO's and Advanced Virgo's Third Observing Run. 1 2021.

96

97

[28] R. Abbott et al. Population Properties of Compact Objects from the Second LIGO-Virgo Gravitational-Wave Transient Catalog. 10 2020.

98

99

100

[29] Fabio Antonini and Mark Gieles. Merger rate of black hole binaries from globular clusters : Theoretical error bars and comparison to gravitational wave data from GWTC-2. , 102 (12) :123016, December 2020. doi : 10.1103/PhysRevD.102.123016.

101

102

[30] Giacomo Fragione, Idan Ginsburg, and Bence Kocsis. Gravitational waves and intermediate-mass black hole retention in globular clusters. The Astrophysical Journal, 856(2) :92,
103 mar 2018. doi: 10.3847/1538-4357/aab368. URL https://doi.org/10.3847/1538-4357/aab368.
104

[31] Martti Raidal, Ville Vaskonen, and Hardi Veermäe. Gravitational waves from primordial black hole mergers., 2017(9):037, September 2017. doi: 10.1088/1475-7516/2017/09/037.

[32] Juan Garcia-Bellido, Marco Peloso, and Caner Unal. Gravitational Wave signatures of inflationary models from Primordial Black Hole Dark Matter. JCAP, 09:013, 2017. doi: 10.1088/1475-7516/2017/09/013.

[33] Sebastien Clesse, Juan García-Bellido, and Stefano Orani. Detecting the Stochastic Gravitational Wave Background from Primordial Black Hole Formation. 12 2018.
## 112 Conclusion

Dans mes projets de thèse j'ai eu l'occasion de travailler sur deux aspects du domaine de la physique des ondes gravitationnelles.

Dans un premier temps j'ai évalué et modélisé la propagation des bruits dans les boucles d'asservissement de l'interféromètre Virgo. Dans une boucle d'asservissement longitudinale MICH on a vu que la source de bruit dominante est celle venant des bruits éléctroniques et de grenaille. Avec cette approximation j'ai implémenté la fonction de transfert adéquate $Y$ pour modéliser la boucle. Dans le cas d'une boucle d'asservissement en fréquence du laser SSFS les bruits étudiés ont le même ordre de grandeur et leurs amplitudes varient dans le temps. Aussi pour compléter la modélisation de cette boucle, j'ai implémenté deux gains dépendants du temps $F_{PC}$ et $F_{TC}$ et une fonction de transfert générale. Finalement avec cette modélisation on retrouve une erreur de $\pm 6\%$ sur la projection du bruit dans la photodiode de prise de données B1. Cependant dans cette étude j'ai mis en avant un biais qui mérite approfondissement. En effet il semble que les estimations de ma boucle modélisée sont généralement plus élevées que les valeurs attendues. L'origine de ce biais peut être un couplage avec une autre boucle, une approximation dans le modélisation ou encore une nouvelle source de bruits mineure.

Les deux projets suivants de ma thèse concernent l'étude de la contribution de différents canaux de formations de coalescences au fond stochastique gravitationnel. Dans un premier article j'ai collaboré avec Chris Belszynski et Tomaz Bulik qui ont simulé un catalogue de systèmes binaires à partir du code StarTrack. Ce catalogue contient trois types de systèmes : les systèmes binaires formés à partir de la population I/II d'étoiles, ceux formés à partir de la population III et ceux qui ne coalescent pas dans un temps de Hubble. Finalement j'ai trouvé une amplitude de la densité spectrale d'énergie pour le population I/II $\Omega_{gw}^{\text{popI/II}}|_{ST}^{\text{(25Hz)}} = 1.01 \times 10^{-9}$ ce qui est plus élevé que les dernières prédicitions de la collaboration [1] $\Omega_{gw}^{\text{BBH+BNS}}|_{LVK}^{\text{(25Hz)}} = 7.1_{-3.0}^{+4.6} \times 10^{-10}$ mais en accord avec les incertitudes. Cette différence s'explique par le taux de fusion local des trous noirs qui est plus élevée pour les BBHs dans les simulations réalisées par StarTrack que celui observé. En revanche la population III présente une forme du spectre en densité d'énergie différente de la population I/II en raison de ses distributions de masse et de redshift spécifiques. Aussi un nouveau projet est en cours pour étudier la faisabilité d'une nouvelle analyse dans le réseau de détecteurs de troisième génération ET+2CE. En effet l'utilisation d'un filtre adapté telle qu'une loi de puissance rompue (Broken power law) ou une triple loi de puissance rompue (Triple broken power law) pourrait mettre en évidence, si elle existe, la présence d'une population III encore jamais observée et donner des informations quand aux caratéristiques des étoiles au début de l'activité stellaire.
Dans un second projet j'ai étudié un second canal de formation des systèmes binaires d'objets compacts à savoir la formation dans les jeunes amas d'étoiles. Ce travail à été réalisé en collaboration avec l'équipe DemoBlack (DB) de Padoue qui a simulé deux catalogues de coalescences. Un premier catalogue suppose que toutes les coalescences proviennent d'une formation isolée, tandis qu'un second, d'une formation dynamique dans les jeunes amas. On retrouve dans le catalogue de binaires isolées une amplitude de la densité spectrale $\Omega_{gw}^{Iso}|_{DB}(25\text{Hz}) = 1.01_{-0.76}^{+1.57} \times 10^{-9}$ en accord avec le catalogue de StarTrack. Néanmoins en supposant que la formation dynamique des binaires représente 50% de la population totale l'amplitude de la densité spectrale d'énergie augmente $\Omega_{gw}^{Iso+Dyn}|_{DB}(25\text{Hz}) = 1.21_{-0.65}^{+1.38} \times 10^{-9}$ et n'est plus en accord avec les dernières observations de LVK. Dans cette étude j'ai recherché quels étaient les paramètres les plus impacants du catalogue sur le fond stochastique qui sont la disrtibution de masses et du redshift et la proportion de systèmes en provenance d'amas. J'ai également calculé la détectabilité de cette population, elle serait détectable après ~8 ans d'observation avec les détecteurs HLVIK à leur sensibilité designée en supposant une efficacité du réseau de 50%. Contrairement à l'étude avec StarTrack les fonds résiduels dans les détecteurs de troisième génération ne présentent pas de signature de la présence des binaires formées dynamiquement.

La détection du fond stochastique des CBCs apportera des informations complémentaires aux détections individuelles. Dans les détecteurs 3G nous avons vu que les BNSs n'étaient que très peu résolues, et domineront le fond résiduel. Aussi la combinaison de la distribution de masses que l'on pourra évaluer avec les détections individuelles et l'amplitude du fond stochastique nous donneront des indices quant au taux de fusion de ce type d'objet et par conséquent des informations sur la formation et l'évolution stellaire. Par ailleurs les prédictions du fond stochastique permetteront également de soustraire la contribution des coalescences de binaires de façon à révéler d'autres types de sources cosmologiques telle que le fond primordial ou encore les cordes cosmiques.

Dans ce sens il reste encore plusieurs canaux de coalescences que je souhaiterais étudier à l'avenir et qui pourraient avoir un impact sur la forme du fond stochastique. Formés avant le début de l'activité stellaire les trous noirs primordiaux peuvent présenter une distribution de masses spécifique [2, 3] qui pourrait être à l'origine d'une signature dans la forme du spectre de la densité d'énergie du fond stochastique. Ces trous noirs ayant été formés avant le début de l'activité stellaire on suppose qu'ils sont très éloignés et donc plus difficiles à résoudre. Par conséquent comme pour la population III il y a fort à parier que s'ils existent leur contribution au fond résiduel ne soit pas négligeable et présente une signature spécifique. Lors de la dernière prise de donnée a été observé un trou noir appartenant au pair instability mass gap suggérant une possible formation dans un amas. Aussi je souhaiterais étudier l'impact des systèmes binaires provenant d'amas globulaires, avec notamment une population de trous noirs formés par fusions répétées ou par la ségrégation de masses. Ces canaux peuvent impliquer une distribution de
<footnote n="183">183 masses différente pour les trous noirs, et par conséquent avoir un impact sur la forme du fond stochastique.

184</footnote>
Bibliographie
1

2 [1] R. Abbott et al. Upper Limits on the Isotropic Gravitational-Wave Background from Advanced LIGO's and Advanced Virgo's Third Observing Run. 1 2021.

3 [2] Sebastien Clesse, Juan García-Bellido, and Stefano Orani. Detecting the Stochastic Gravitational Wave Background from Primordial Black Hole Formation. 12 2018.

6 [3] Sebastien Clesse and Juan García-Bellido. GW190425, GW190521 and GW190814: Three candidate mergers of primordial black holes from the QCD epoch. 7 2020.

7