# Sur les actions de $PSL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ sur $p$ éléments dans la lettre de Galois à Chevalier

Gaëtan CHENEVIER

**Résumé.** Dans cette note d'exposition, nous revenons sur la classification des actions exceptionnelles de $PSL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ sur un ensemble à $p$ éléments, annoncée par Galois dans sa dernière lettre à Chevalier.

**Abstract.** In this expository note, we return to the classification of exceptional actions of $PSL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ on a set with $p$ elements, announced by Galois in his last letter to Chevalier.

*Mathematics Subject Classification 2020: 20G40 (primary); 05E18 (secondary).*

**Keywords:** groupes linéaires finis, isomorphismes exceptionnels, solides de Platon, Evariste Galois.

## 1. Introduction

Soit $p$ un nombre premier. On considère le groupe

$$L_2(p) := \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})/\{\pm 1\}.$$

On sait bien qu'il agit fidèlement et 2-transitivement sur la droite projective

$$P^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \amalg \{\infty\},$$

qui a $p+1$ éléments. Dans sa fameuse lettre à Chevalier [3] en 1832, Galois pose la question de savoir si $L_2(p)$ peut agir non trivalement sur un ensemble à $\le p$ éléments. Comme $L_2(p)$ est engendré par ses transvections, qui sont d'ordre $p$, la seule possibilité est celle d'une action *transitive* sur $p$ éléments. Il est équivalent de demander si $L_2(p)$ possède un sous-groupe d'indice $p$, i.e., d'ordre $(p^2-1)/2$ pour $p > 2$. La découverte de Galois, annoncée dans sa lettre, est alors la suivante.

**Théorème 1 (Galois).** *Le groupe $L_2(p)$ possède une action transitive sur un ensemble à $p$ éléments si, et seulement si, on a $p \le 11$.*
Ajoutons que pour $p \le 5$, il existe en fait une unique action de $L_2(p)$ sur $p$ éléments à équivalence près, alors que pour $p = 7$ et $11$, il en existe exactement deux, conjuguées extérieures l'une de l'autre sous l'action naturelle de $PGL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ par automorphismes de $L_2(p)$. Ces actions exceptionnelles de $L_2(p)$ pour $p \le 11$ ont fasciné de nombreux mathématiciens : voir par exemple Conway [2] et Kostant [5]. Pour $p = 5, 7$ et $11$, leurs stabilisateurs, qui sont d'ordre $(p^2 - 1)/2 = 12, 24$ et $60$, sont respectivement isomorphes aux groupes $A_4$, $S_4$ et $A_5$ des rotations des solides platoniciens. Nous verrons qu'une manière simple de démontrer l'existence de ces actions, et cette propriété de leurs stabilisateurs, consiste à contempler les polyèdres réguliers de la Figure 1 étiquetés par $P^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$, et à constater que leurs isométries directes sont induites par des homographies de $P^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ appartenant à $L_2(p)$. Ce dernier fait se vérifie aisément sur des rotations génératrices bien choisies, et nous reviendrons en détail sur cette vérification plus loin (Proposition 1).

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>FIGURE 1
Trois solides de Platon judicieusement étiquetés par $P^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$.</figcaption></figure>

Le but de cette modeste note est de donner une démonstration élémentaire du Théorème 1 qui semble dans l'esprit des méthodes de Galois, et qui soit accessible aux étudiants d'un premier cours de théorie des groupes. Notre approche figure peut-être déjà quelque part dans la littérature, mais nous n'avons pas été capable de la localiser. Galois lui-même ne donne que peu d'indications dans [3]. Plusieurs références, dont Conway et Kostant, renvoient à Huppert [4, p. 214] pour une preuve du Théorème ci-dessus. L'approche de Huppert, bien que naturelle, est assez indirecte : elle utilise des éléments de la classification de Dickson des sous-groupes d'ordre premier à $p$ de $PGL_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ (en fait, un tel sous-groupe se plonge dans $SO(3)$, et donc est cyclique, diédral, ou isomorphe à $A_4$, $S_4$ ou $A_5$).

Mentionnons pour finir que les actions exceptionnelles ci-dessus pour $p \le 7$ peuvent aussi s'expliquer à l'aide des isomorphismes exceptionnels classiques :

$$L_2(2) \simeq S_3, \quad L_2(3) \simeq A_4, \quad L_2(5) \simeq A_5 \quad \text{et} \quad L_2(7) \simeq \text{GL}_3(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).$$
Par exemple pour $p = 7$, le groupe $\text{GL}_3(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \simeq \text{L}_2(7)$ agit transitivement sur l'ensemble $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3 - \{0\}$ à 7 éléments, ou encore sur l'ensemble des formes linéaires non nulles sur $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$, aussi à 7 éléments. Ces deux actions sont non isomorphes : les stabilisateurs sont des "paraboliques" non conjugués, et tous deux isomorphes à

$$S_4 \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 \rtimes \text{GL}_2(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).$$

Le cas $p = 11$ est plus subtil, et profondément relié à l'existence du groupe de Mathieu $M_{12}$ : voir [2]. Nous renvoyons aux articles susmentionnés de Conway et Kostant pour de nombreux autres développements et points de vue sur ces constructions. Mentionnons que l'on peut montrer plus généralement, par exemple par réduction modulo $p$, que pour $p > 2$, le groupe $A_4$ se plonge dans $\text{L}_2(p)$, et le groupe $S_4$ (resp., $A_5$) se plonge dans $\text{L}_2(p)$ si, et seulement si, $2$ (resp., $5$) est un carré modulo $p$.

## 2. Démonstration du Théorème 1

Commençons par quelques rappels préliminaires sur $\text{L}_2(p)$. Soit $p$ un nombre premier. On identifiera de manière usuelle la droite projective $\text{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ sur le corps $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ avec l'ensemble $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$. Le groupe

$$\text{L}_2(p)^+ := \text{PGL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = \text{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$$

agit donc naturellement sur $\text{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ par homographies, une action que l'on notera $(g, z) \mapsto g \cdot z$ et qui vérifie $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot z = \frac{az+b}{cz+d}$ avec les conventions usuelles relatives au symbole $\infty$. Pour des raisons générales, cette action est fidèle et exactement 3-transitive. En particulier, de $|\text{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})| = p + 1$ on déduit

$$(1) \qquad |\text{L}_2(p)^+| = (p+1)p(p-1) = p^3 - p.$$

On note $C_p$ le sous-groupe des carrés de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ et $N_p$ l'ensemble des non carrés de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, de sorte qu'on a la partition $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \{0\} \cup C_p \cup N_p$. L'inclusion $\text{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \to \text{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ et le déterminant $\text{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \to (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ induisent une suite exacte courte

$$(2) \qquad 1 \to \text{L}_2(p) \to \text{L}_2(p)^+ \to (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times/C_p \to 1.$$

Nous identifierons ainsi $\text{L}_2(p)$ au sous-groupe de $\text{L}_2(p)^+$ constitué des classes des matrices $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ de déterminant $ad - bc$ dans $C_p$, et on écrira simplement $\text{L}_2(p) \subset \text{L}_2(p)^+$. Traitons à part le cas $p = 2$.
**Exemple 1** (Cas $p = 2$). On a trivialement $L_2(2) = L_2(2)^+$. Le groupe $L_2(2)^+$ a 6 éléments, et son action fidèle sur l'ensemble $P^1(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$, a trois éléments, fournit donc un isomorphisme $L_2(2) \simeq S_3$. Le groupe $S_3$ possède un unique sous-groupe d'ordre 3, et donc une unique action transitive sur l'ensemble $\{1, 2\}$, obtenue en composant la signature $S_3 \to \{\pm 1\}$ et l'isomorphisme $\{\pm 1\} \simeq S_2$.

On suppose donc désormais $p > 2$. Dans ce cas, on sait depuis Euler que $C_p$ est d'indice 2 dans $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$, de sorte que l'on a $|C_p| = |N_p| = \frac{p-1}{2}$, puis $|L_2(p)| = \frac{p^3-p}{2}$ par (1) et (2). Les éléments familiers suivants de $L_2(p)$ joueront un rôle important

$$ \alpha := \pm \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad t_\lambda := \pm \begin{pmatrix} \mu & 0 \\ 0 & \mu^{-1} \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \gamma := \pm \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, $$

où $\lambda$ désigne un élément de $C_p$ quelconque, et $\mu$ est l'élément de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$, unique au signe près, vérifiant $\mu^2 = \lambda$. Pour $z \in P^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$, on a donc $\alpha \cdot z = z + 1$, $t_\lambda \cdot z = \lambda z$ et $\gamma \cdot z = -1/z$. L'élément $\alpha$ est d'ordre $p$ et $\gamma$ est d'ordre 2. La seule chose que l'on utilisera<fnref n="1" /> sur $L_2(p)$ est le fait très classique qu'il est engendré par ses deux transvections standards $\alpha$ et $\gamma\alpha\gamma^{-1}$. En particulier, nous avons le lemme suivant.

**Lemme 1.** Le groupe $L_2(p)$ est engendré par $\alpha$ et $\gamma$.

On notera $T \subset L_2(p)$ le sous-groupe diagonal, constitué des $t_\lambda$ avec $\lambda \in C_p$. Le cas $p = 3$ est un peu particulier, car on a $C_3 = \{1\}$ et donc $T = 1$, c'est pourquoi nous le traitons aussi à part en exemple.

**Exemple 2** (Cas $p = 3$). On a $|L_2(3)^+| = 3^3 - 3 = 24 = |S_4|$ et $|P^1(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})| = 4$. L'action par homographies donne alors l'isomorphisme exceptionnel classique $L_2(3)^+ \simeq S_4$. Mais il est bien connu que $S_n$ a un unique sous-groupe d'indice 2 pour tout $n \ge 2$, à savoir $A_n$, de sorte que l'on a aussi $L_2(3) \simeq A_4$. Le groupe $A_4$ possède un unique sous-groupe d'ordre 4, à savoir celui $\simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ constitué de l'identité et de ses trois doubles-transpositions. Il y a donc bien une action transitive de $L_2(3)$ sur 3 éléments, et elle est unique à équivalence près.

Notre point de départ dans la démonstration du Théorème 1 est le lemme suivant.

**Lemme 2.** Soit $\cdot$ une action non triviale de $L_2(p)$ sur un ensemble à $p$ éléments avec $p > 3$. Alors l'action $\cdot$ est transitive, et il existe $a, b \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ tels que $\cdot$ est équivalente à une action $\star$ de $L_2(p)$ sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ vérifiant :

$$ (i) \quad \alpha \star x = x + 1 \text{ pour tout } x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, $$

<footnote n="1">¹En particulier, nous n'utiliserons pas la simplicité de $L_2(p)$ pour $p > 3$.</footnote>
(ii) $t_{\lambda} \star x = \lambda x \text{ pour tout } \lambda \in C_p \text{ et } x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},$

(iii) $\gamma \star 0 = 0$, $\gamma \star x = a/x \text{ pour } x \in C_p$, et $\gamma \star x = b/x \text{ pour } x \in N_p$.

**Preuve.** Supposons donnée une action non triviale $\cdot$ de $L_2(p)$ sur un ensemble $X$ à $p$ éléments. Quitte à la remplacer par une action équivalente, on peut supposer $X = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Si l'élément $\alpha$ de $L_2(p)$ agit trivialment sur $X$, il en va de même de son conjugué $\gamma\alpha\gamma^{-1}$, puis de tout $L_2(p)$ par le Lemme 1, contredisant la non trivialité de $\cdot$. Ainsi, l'élément $\alpha$, qui est d'ordre $p$ dans $L_2(p)$, agit comme un $p$-cycle sur $X$. Quitte à conjuguer l'action $\cdot$ par un élément de $S_X$, on peut donc supposer $\alpha \cdot x = x + 1$ pour tout $x \in X$, ce qui montre le (i).

Fixons $\lambda \in C_p$. La relation immédiate $t_{\lambda}\alpha = \alpha^{\lambda}t_{\lambda}$ dans $L_2(p)$ entraîne

$$t_{\lambda} \cdot (x + 1) = t_{\lambda} \cdot x + \lambda \quad \text{pour tout } x \in X.$$

On en déduit $t_{\lambda} \cdot x = \lambda x + t_{\lambda} \cdot 0$ pour tout $x \in X$. En particulier, pour $\lambda \neq 1$ l'élément $t_{\lambda}$ a un unique point fixe dans $X$, à savoir $\frac{t_{\lambda} \cdot 0}{1-\lambda}$. Comme $T$ est commutatif, les $t_{\lambda}$ avec $\lambda \in C_p \setminus \{1\}$ ont tous même point fixe dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, notons-le $k$. Quitte à conjuguer l'action $\cdot$ par la bijection $\alpha^k$ de $X$, ce qui ne change pas l'action de l'élément $\alpha$, on peut finalement supposer $k = 0$, et donc $t \cdot 0 = 0$ pour tout $t \in T$. On a montré que $\cdot$ satisfait (i) et (ii).

Enfin, la relation $\gamma t_{\lambda} = t_{\lambda-1} \gamma$ dans $L_2(p)$ pour $\lambda \in C_p$ implique

$$(3) \qquad \gamma \cdot (\lambda x) = \frac{\gamma \cdot x}{\lambda} \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \text{ et tout } \lambda \in C_p.$$

Cette identité entraîne $\gamma \cdot 0 = 0$ en prenant $x = 0$ et $\lambda \neq 1$ (un tel $\lambda$ existe pour $p > 3$). On en déduit $\gamma \cdot (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$, puis l'identité (3) conclut en posant $a := \gamma \cdot 1$ et $b := n(\gamma \cdot n)$ pour $n \in N_p$ quelconque. ■

Dans toute la suite, on suppose définitivement $p > 3$. D'après le Lemme 1, étant donnés $a, b \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ il existe au plus une action de $L_2(p)$ sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ vérifiant les points (i) et (iii) du Lemme 2.

**Définition 1.** Pour $a, b \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$, on note $\star_{a,b}$ l'unique action de $L_2(p)$ sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ vérifiant les assertions (i), (ii) et (iii) du Lemme 2, si elle existe.

**Lemme 3.** Soient $a, a', b, b' \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ tels que $\star_{a,b}$ et $\star_{a',b'}$ existent. On a

$$\star_{a,b} \simeq \star_{a',b'} \Leftrightarrow a = a' \text{ et } b = b'.$$

**Preuve.** Supposons qu'il existe une bijection $\sigma: \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ vérifiant

$$(4) \qquad \sigma(g \star_{a,b} x) = g \star_{a',b'} \sigma(x) \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \text{ et tout } g \in L_2(p).$$
Pour $g = \alpha$ on en déduit $\sigma(x + 1) = \sigma(x) + 1$ pour tout $x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, et donc $\sigma(x) = x + \sigma(0)$. En prenant $g = t_\lambda$ on a aussi $\sigma(\lambda x) = \lambda\sigma(x)$ pour tout $x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et $\lambda \in C_p$. En considérant $\lambda \neq 1$, ce qui est loisible car on a $p > 3$, on a donc $\sigma(0) = 0$, puis $\sigma = \text{id}$, et enfin $(a, b) = (a', b')$ en prenant $g = \gamma$ dans (4). $\blacksquare$

**Lemme 4.** Soient $a, b \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ tels que $\star_{a,b}$ existe. Alors, la conjuguée de $\star_{a,b}$ par un élément de $L_2(p)^+ \setminus L_2(p)$ est isomorphe à $\star_{b,a}$. En particulier, $\star_{b,a}$ existe.

*Preuve.* Fixons $n \in \mathbb{N}_p$ et notons $\theta \in L_2(p)^+$ la classe de l'élément diagonal $\binom{n}{0}$. Alors $\theta$ engendre $L_2(p)^+/L_2(p) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et pour tout $z \in \text{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ on a $\theta \cdot z = nz$. Notons $\bullet$ la conjuguée extérieure de l'action $\star_{a,b}$ par $\theta$. On a

$$g \bullet x = (\theta g \theta^{-1}) \star_{a,b} x \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \text{ et tout } g \in L_2(p)$$

par définition. La relation $\theta\alpha\theta^{-1} = \alpha^n$ dans $L_2(p)$ entraîne $\alpha \bullet x = x + n$. Soit

$$\sigma: \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$

la bijection $x \mapsto nx$, et considérons l'action $\star$ de $L_2(p)$ sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ définie par

$$g \star x = \sigma^{-1}(g \cdot \sigma(x)) = n^{-1}(g \cdot nx).$$

Alors $\star$ est équivalente à $\bullet$ par définition, et satisfait $\alpha \star x = x + 1$. La relation évidente $\theta t_\lambda \theta^{-1} = t_\lambda$ dans $L_2(p)^+$ montre de plus $t_\lambda \star x = \lambda x$. Enfin, la bijection $\sigma$ fixe 0 et échange $C_p$ et $N_p$, et on a la relation $\theta\gamma\theta^{-1} = t_{n^2}\gamma$ dans $L_2(p)^+$. On en déduit $\gamma \star 0 = 0$,

$$\gamma \star x = n^{-1}(n^2 b/(nx)) = b/x \quad \text{pour } x \in C_p,$$

et de même $\gamma \star x = a/x$ pour $x \in \mathbb{N}_p$. On a montré $\star = \star_{b,a}$. $\blacksquare$

Dans tout ce qui suit, on fixe $a, b \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ et on suppose que $\star_{a,b}$ existe. On rappelle en outre $p > 3$. Pour ne pas trop alourdir les notations on posera

$$g(x) := g \star_{a,b} x \quad \text{pour } g \in L_2(p) \text{ et } x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$$

Il ne faudra donc pas confondre $g(x)$ et $g \cdot x$ (action par homographie). L'idée de la démonstration est de considérer l'élément

$$\delta := \alpha\gamma \in L_2(p).$$

Cet élément agit par $\delta \cdot z = 1 - 1/z$ sur $\text{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$, et donc par le 3-cycle $(1 \ 0 \ \infty)$ sur $\{0, 1, \infty\} \subset \text{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. En particulier, on a la relation bien connue $\delta^3 = 1$ dans $L_2(p)$. Concernant l'action $\star_{a,b}$, on a $\delta(0) = 1$, $\delta(x) = 1 + a/x$ pour $x \in C_p$ et $\delta(x) = 1 + b/x$ pour $x \in \mathbb{N}_p$.
**Lemme 5.** La décomposition en cycles de l'élément $\delta$ agissant sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ via $\star_{a,b}$ contient le 3-cycle $(0 \ 1 \ a + 1)$. En particulier, nous avons $a \notin \{0, -1\}$.

*Preuve.* La relation $\delta^3 = 1$ dans $L_2(p)$ montre que $\delta$ agit sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ via $\star_{a,b}$ par un élément d'ordre divisant 3. On conclut car il envoie 0 sur 1 et 1 sur $1 + a$. ■

**Lemme 6.** On $a$ l'égalité $a + b = -1$. De plus, si $-1$ est dans $C_p$ on $a$ en outre $a = b = -1/2$.

*Preuve.* On a $\delta^{-1}(0) = \gamma\alpha^{-1}(0) = \gamma(-1)$. Par le Lemme 5, on a aussi

$$\delta^{-1}(0) = a + 1,$$

et donc $\gamma(-1) = a + 1$. Si $-1$ est un carré, on a donc $-a = 1 + a$, puis $a = -1/2$, et aussi $b = -1/2$ en considérant l'action $\star_{b,a}$ (Lemme 4). Sinon, on a $-b = 1 + a$. Dans tous les cas, on constate $a + b = -1$. ■

**Lemme 7.** Supposons $a = b$. Alors on $a$ $p = 5$ et $a = b = -1/2$.

*Preuve.* L'égalité $a + b = -1$ montre $a = b = -1/2$, puis

$$\delta(x) = 1 - \frac{1}{2x}$$

pour tout $x \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$. Un calcul montre $\delta(-1) = 3/2$, $\delta^2(-1) = 2/3$ et $\delta^3(-1) = 1/4$. On a donc $-1 = 1/4$, puis $5 = 0$. ■

**Lemme 8.** Supposons $a \neq b$. Alors $a$ et $b$ sont dans $C_p$ et on $a - 1 \in N_p$.

*Preuve.* On a $-1 \in N_p$ par le Lemme 6. Par définition, l'involution $\gamma$ de $L_2(p)$ agit sur $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ via $\star_{a,b}$ en préservant $\{C_p, N_p\}$. Si elle échange $C_p$ et $N_p$, on a $a = \gamma(1) \in N_p$ et donc $1 = \gamma^2(1) = b/a$, puis $b = a$: absurde. On a donc

$$\gamma(C_p) = C_p \quad \text{et} \quad \gamma(N_p) = N_p,$$

i.e., $a$ et $b$ sont des carrés.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

On étudie d'abord le cas particulier $\{a, b\} \subset \{-3, -2, 1, 2\}$ avec $a \neq b$. Comme les ensembles $\{-3, -2, 1, 2\}$ et $\{a, b\}$ sont stables par $x \mapsto -1 - x$, il n'y a que deux cas, à savoir $\{a, b\} = \{1, -2\}$, et $\{a, b\} = \{2, -3\}$ pour $p \neq 5$.

**Lemme 9.** Supposons $\{a, b\} = \{1, -2\}$. Alors on $a$ $p = 11$.
**Preuve.** On peut supposer $a = 1$ et $b = -2$ par le Lemme 4. On a $a \neq b$ car $p$ est $> 3$, et donc $-1 \in N_p$ par le Lemme 8, puis $\delta(-1) = 3$ (non nul). Si $3$ est dans $C_p$, on a $\delta(3) = 4/3 \in C_p$ puis $\delta(4/3) = 7/4$. On a donc $-1 = 7/4$, puis $11 = 4 + 7 = 0$ et $p = 11$. Si $3$ est dans $N_p$, on constate $\delta(3) = 1/3 \in N_p$, puis $\delta(1/3) = -5$, et donc $-1 = -5$ et $4 = 0$: une contradiction.

■

**Lemme 10.** Supposons $\{a, b\} = \{2, -3\}$ et $p \neq 5$. Alors on a $p = 7$.

**Preuve.** On peut supposer $a = 2$ et $b = -3$. On a $2 \in C_p$ et $-1 \in N_p$ par le Lemme 8, puis $-2 \in N_p$. On a donc $\delta(-2) = 5/2$ (non nul). Si $5$ est dans $N_p$, on a $5/2 \in N_p$ puis $\delta(5/2) = -1/5 \in C_p$ et $\delta(-1/5) = -9$. On a donc $-2 = -9$ puis $7 = 0$. Si $5$ est dans $C_p$, on a $5/2 \in C_p$ puis $\delta(5/2) = 9/5 \in C_p$ et $\delta(9/5) = 19/9$. On a donc $-2 = 19/9$ puis $37 = 0$, une contradiction car $-1$ est dans $C_{37}$.

■

D'après ces deux derniers lemmes, pour conclure la condition nécessaire $p \le 11$ de l'énoncé du Théorème 1, il ne reste qu'à démontrer le lemme suivant.

**Lemme 11.** On a l'inclusion $\{a, b\} \subset \{-3, -2, 1, 2\}$ dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

**Preuve.** On a $\{a, b\} \cap \{0, -1\} = \emptyset$ par le Lemme 5. Le lemme est donc évident pour $p = 5$, et on peut supposer $p > 5$. Les ensembles $\{-3, -2, 1, 2\}$ et $\{a, b\}$ étant stables par $x \mapsto -1 - x$, il suffit de montrer que $a$ ou $b$ est dans $\{-3, -2, 1, 2\}$. D'après les Lemmes 6, 7 et 8, on a $a \neq b$ ainsi que $a, b \in C_p$ et $-1 \in N_p$. Comme $b$ est dans $C_p$, on a $\delta(b) = 1 + a/b = (a + b)/b = -1/b \in N_p$, puis

$$ \delta(-1/b) = 1 - b^2 = (1 - b)(1 + b) = a(b - 1). $$

Dans le cas $b = 1$, on a terminé. Si $b - 1$ est dans $C_p$, alors $a(b - 1) \in C_p$ puis

$$ b = \delta^3(b) = \delta(a(b - 1)) = 1 + 1/(b - 1) = b/(b - 1). $$

Cela montre $b = b/(b - 1)$ puis $b = 2$, ce qui conclut encore. Supposons enfin $b - 1 \in N_p$. Nous allons voir que ce cas est impossible. On a en effet

$$ b = \delta^3(b) = \delta(1 - b^2) = 1 + b/(1 - b^2). $$

On en déduit que $b$ est racine du polynôme

$$ P = T^3 - T^2 + 1. $$

Par symétrie, i.e., en appliquant le raisonnement ci-dessus à l'action $\star_{b,a}$ qui existe par le Lemme 4, on en déduit que $a$ est aussi racine de $P$. Mais on a $a \neq b$, de sorte que si $c$ désigne la 3-ème racine de $P$, on a $a + b + c = 1$, puis $c = 2$ car $a + b = -1$, et donc $5 = 2^3 - 2^2 + 1 = 0$, ce qui contredit $p > 5$.

■
**Remarque 1.** Donnons un autre argument montrant $p \le 19$ à partir du Lemme 8. Observons d'abord qu'il existe $(p+1)/4$ éléments $x \in C_p$ tels que $x + a \in N_p$. En effet, la conique $u^2 + v^2 = -a$ possède exactement $p+1$ solutions $(u, v) \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$, car elle n'a pas de solutions à l'infini $(-1$ non carré). De plus, $-a$ n'est pas un carré, donc pour tout $(u, v)$ solution on a $u \ne 0$ et $v \ne 0$, d'où l'observation. Considérons maintenant $x \in C_p$ tel que $x + a \in N_p$. On a $\delta(x) = (x + a)/x \in N_p$, donc

$$ \begin{aligned} \delta^2(x) &= 1 + bx/(x+a) = (x+a+bx)/(x+a) \\ &= a(1-x)/(x+a) = \delta^{-1}(x) \end{aligned} $$

Écartons $x = 1$, qui vérifie bien $\delta^3(1) = 1$. On a alors

$$ \delta^{-1}(x) = \gamma \tau^{-1}(x) = \gamma(x-1) = a/(x-1), \quad \text{ou } b/(x-1). $$

Ainsi, que l'on ait $x - 1 \in N_p$ ou $x - 1 \in C_p$, l'équation $\delta^3(x) = x$ est quadratique en $x$ et a donc au plus 2 solutions. Par l'observation précédente, on a

$$ (p+1)/4 \le 1 + 2 + 2 = 5. $$

<table><caption>TABLE 1
Les actions de $\gamma$ et $\alpha\gamma$ sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ via $\star_{a,b}$.</caption><thead><tr><th>p</th><th>(a, b)</th><th>x ∈ C<sub>p</sub></th><th>x ∈ N<sub>p</sub></th><th>γ</th><th>αγ</th><th>f</th></tr></thead><tbody><tr><td>5</td><td>(-1/2, -1/2)</td><td>2/x</td><td>2/x</td><td>(1 2) (3 4)</td><td>(0 1 3)</td><td>2, 4</td></tr><tr><td>7</td><td>(2, -3)</td><td>2/x</td><td>4/x</td><td>(1 2) (3 6)</td><td>(0 1 3) (4 5 6)</td><td>2</td></tr><tr><td>7</td><td>(-3, 2)</td><td>4/x</td><td>2/x</td><td>(1 4) (5 6)</td><td>(0 1 5) (2 3 4)</td><td>6</td></tr><tr><td>11</td><td>(1, -2)</td><td>1/x</td><td>9/x</td><td>(2 10) (3 4) (5 9) (6 7)</td><td>(0 1 2) (3 5 10) (6 8 9)</td><td>4, 7</td></tr><tr><td>11</td><td>(-2, 1)</td><td>9/x</td><td>1/x</td><td>(1 9) (2 6) (4 5) (7 8)</td><td>(0 1 10) (2 7 9) (3 4 6)</td><td>5, 8</td></tr></tbody></table>

Au final, nous avons montré que si $\star_{a,b}$ existe, il y a au plus 5 possibilités pour le triplet $(p, a, b)$, résumées dans la Table 1. Les colonnes 3 et 4 donnent $\gamma(x)$ pour $x \ne 0$, les colonnes 5 et 6 les décompositions en cycles de $\gamma$ et de $\delta = \alpha\gamma$ agissant sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ via $\star_{a,b}$, et la colonne 7 donne les points fixes $f \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ de $\delta$.

**Remarque 2.** Les décompositions en cycles ci-dessus pour $\gamma$ sont exactement celles données par Conway dans [2, p. 266] (notre $\gamma$ est noté $\delta$ par Conway).

Pour terminer la démonstration du Théorème 1, il ne reste qu’à montrer que les cinq cas ci-dessus se produisent vraiment. Il suffit de montrer que pour $p = 5, 7, 11$ le groupe $L_2(p)$ possède un sous-groupe d’indice $p$, i.e., d’ordre $(p^2 - 1)/2$. En effet,
l'action par translations sur les classes à gauche d'un tel sous-groupe est transitive, donc équivalente à l'une des actions ⋆$_{a,b}$ avec (p, a, b) de la Table 1, par ce que nous avons démontré. L'existence et l'inéquivalence des deux actions données pour p = 7 et 11 résultera alors des Lemmes 4 et 3. Au final, nous sommes conduits à poursuivre l'analyse précédente et à examiner ce que doit être le stabilisateur dans L₂(p) du point 0 de Z/pZ pour l'action ⋆$_{a,b}$, si elle existe. Il contient triviallement γ et T, ainsi que, pour tout point fixe f de δ dans Z/pZ, l'élément

$$
\alpha^{-f} \delta \alpha^f = \alpha^{1-f} \gamma \alpha^f,
$$

qui agit sur $\mathrm{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ par $z \mapsto 1 - f - \frac{1}{z+f}$.

**Proposition 1.** Soient $p \in \{5, 7, 11\}$ et S le sous-groupe de $L_2(p)$ engendré par $\gamma$, $T$, et par un élément de la forme $\alpha^{-f}\delta\alpha^f$ avec $f$ comme dans la Table 1. Alors on a $|S| = (p^2 - 1)/2$ et S s'identifie naturellement au groupe des rotations du polyèdre régulier de la Figure 1 étiqueté par $\mathrm{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$.

Preuve. Nous allons démontrer cette proposition au cas par cas en contemplant simplement les polyèdres réguliers de la Figure 1, reproduits dans les Figures 2, 3 et 4. Dans chacun des cas $p = 5, 7$ et $11$, les sommets ou les arêtes du polyèdre correspondant $P$ ont été soigneusement indexés par $\mathrm{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. Il est bien connu<fnref n="2" /> que le groupe $G$ des rotations de $P$ permute fidèlement l'ensemble de ses sommets (resp., de ses arêtes), de sorte que la numérotation choisie nous permet de voir $G$ comme un sous-groupe de bijections de $\mathrm{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. Comme $L_2(p)$ agit aussi fidèlement sur $\mathrm{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ par homographie, il y aura donc un sens à comparer $S$ et $G$ à l'intérieur du groupe des bijections de $\mathrm{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. Nous choisirons enfin dans chaque cas un générateur $\beta$ du groupe cyclique $T \simeq C_p$ et une valeur arbitraire du point fixe $f$ (l'autre choix de $f$, quand il existe, se traiterait de la même manière).

Cas $p=5$. On choisit $\beta \cdot z = 4z$ et $f=2$. En terme de l'action sur $\mathrm{P}^1(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$, on constate

$$
\beta = (1 \ 4) \ (2 \ 3), \quad \gamma = (0 \ \infty) \ (1 \ 4) \quad \text{et} \quad \alpha^{-2}\delta\alpha^2 = (3 \ \infty \ 4) \ (0 \ 1 \ 2).
$$

(Noter $\alpha\gamma = (0 \infty 1) (2\ 3\ 4)$.) Ces trois générateurs de $S$ agissent manifestement sur $\mathrm{P}^1(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ comme des rotations d'ordre $2, 2$ et $3$ du tétraèdre régulier en bleu de la Figure 2 (voir la Remarque 3 pour l'explication du tétraèdre rouge). Ainsi, $S$ est inclus dans le groupe $G$ des rotations de ce tétraèdre. Comme ces trois rotations engendrent trivialment $G$, on en déduit $S = G$. On conclut car on a $G \simeq A_4$ et donc $|S| = 12 = (5^2 - 1)/2$.

<footnote n="2">²Nous renvoyons par exemple à [1, Section 12.5] pour une discussion détaillée des solides de Platon et de leurs groupes d'isométries.</footnote>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2
Le cas $p = 5$.</figcaption></figure>

Cas $p = 7$ et $(a, b) = (-3, 2)$. On a $f = -1$ et disons $\beta \cdot z = 2z$. En terme de l'action sur $\mathrm{P}^1(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})$, on constate

$$ \beta = (1 \ 2 \ 4) (3 \ 6 \ 5), \quad \gamma = (0 \infty) (1 \ 6) (2 \ 3) (4 \ 5) \quad \text{et} \quad \alpha\delta\alpha^{-1} = (1 \infty) (2 \ 3 \ 0). $$

(Noter $\alpha\gamma = (0 \infty 1) (2 4 6)$.) Ces trois générateurs de $S$ agissent manifestement sur $\mathrm{P}^1(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})$ comme des rotations d'ordre 3, 2 et 3 du cube bleu de la Figure 3. Ainsi, $S$ est inclus dans le groupe $G$ des rotations de ce cube. Comme ces trois rotations engendrent trivialement $G$, on a $S = G$. On conclut car on a $G \simeq S_4$ et donc $|S| = 24 = (7^2 - 1)/2$.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3
Le cas $p = 7$.</figcaption></figure>

Cas $p = 11$ et $(a, b) = (-2, 1)$. Disons $f = 5$ et $\beta \cdot z = 3z$. En terme de l'action sur $\mathrm{P}^1(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})$, on constate

$$ \beta = (1 \ 3 \ 9 \ 5 \ 4) (2 \ 6 \ 7 \ 10 \ 8), \quad \gamma = (0 \infty) (1 \ 10) (2 \ 5) (3 \ 7) (4 \ 8) (6 \ 9) $$

et

$$ \alpha^{-5}\delta\alpha^{5} = (6 \infty 7) (8 \ 1 \ 5) (9 \ 3 \ 0) (2 \ 10 \ 4). $$
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4
Le cas $p = 11$.</figcaption></figure>

(Noter $\alpha\gamma = (0 \infty 1) (2 6 10) (3 8 5) (7 4 9)$.) Ces trois générateurs de $S$ agissent manifestement sur $P^1(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})$ comme des rotations d'ordre 5, 2 et 3 de l'icosaèdre régulier en bleu de la Figure 4. Ainsi, $S$ est inclus dans le groupe $G$ des rotations de cet icosaèdre. Comme ces trois rotations engendrent trivialment $G$, on a $S = G$. On conclut car on a $G \simeq A_5$ et donc $|S| = 60 = (11^2 - 1)/2$. ■

Cela termine la démonstration du Théorème 1. La remarque suivante explique les polyèdres en rouge donnés ci-dessus.

**Remarque 3.** Dans chacun des trois cas étudiés ci-dessus, considérons l'action associée $\star_{a,b}$ de $L_2(p)$ sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Le stabilisateur de 0 est d'ordre $(p^2 - 1)/2$ et contient le groupe $S$ de la Proposition 1 par construction : ce stabilisateur coincide donc avec $S$ (c'était fait pour !). Mais il agit aussi naturellement sur $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$, qui a $p-1$ éléments. En considérant dans chacun des cas le polyèdre régulier donné ci-dessus en rouge, étiqueté par $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$, et les permutations données par la Table 1, on retrouve d'une autre manière que ce stabilisateur s'identifie au groupe d'isométries du polyèdre en question. Par exemple, dans les 3 cas considérés, l'élément $\alpha^{-f}\delta\alpha^f$ agit sur $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ respectivement par $(3 \ 4 \ 1)$, $(1 \ 2 \ 6)$, $(3 \ 4 \ 5)$ et $(6 \ 7 \ 5)$, $(8 \ 2 \ 4)$, $(9 \ 10 \ 1)$.

Enfin, on termine par une dernière assertion concernant les actions transitives du groupe $L_2(p)^+ = \text{PGL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ tout entier sur $p$ éléments.

**Corollaire 1.** Le groupe $L_2(p)^+$ possède une action transitive sur un ensemble à $p$ éléments si, et seulement si, on a $p \le 5$.

*Preuve.* Supposons d'abord $p > 3$. Soit $\star$ la restriction à $L_2(p)$ d'une action transitive de $L_2(p)^+$ sur un ensemble à $p$ éléments. Cette action $\star$ est non triviale car on a $p > 2$, puis de la forme $\star_{a,b}$ par le Lemme 2. Mais $\star$ est isomorphe à sa conjuguée extérieure sous $L_2(p)^+ \ltimes L_2(p)$ par définition. On a donc $a = b$ par les Lemmes 3 et 4, puis $p = 5$ par le Lemme 7.
Il reste à voir que pour $p \le 5$ il existe une action transitive de $L_2(p)^+$ sur $p$ éléments (on pourrait même voir qu'elle est unique à équivalence près). Pour $p = 2$, nous l'avons déjà expliqué dans l'Exemple 1, à l'aide d'un isomorphisme $L_2(2)^+ \simeq S_3$. Pour $p = 3$, nous avons rappelé $L_2(3)^+ \simeq S_4$ dans l'Exemple 2, et il existe une action transitive fameuse de $S_4$ sur 3 éléments (par exemple, considérer les 3 couples d'arêtes opposées d'un tétraèdre régulier). Enfin, pour $p = 5$ on a même un isomorphisme $L_2(5)^+ \simeq S_5$. En effet, l'action par homographies réalise $L_2(5)^+$ comme un sous-groupe d'indice 6 dans $S_6$, et on sait que pour $n \ge 2$ un sous-groupe d'indice $n$ de $S_n$ est toujours isomorphe à $S_{n-1}$. ■

**Remerciements.** L'auteur remercie le rapporteur pour ses remarques utiles.

**Financements.** L'auteur est financé par le CNRS et soutenu par le projet ANR-19-CE40-0015-02.

Références

[1] M. BERGER, *Géométrie. Tome 2*. Nathan, Paris, 1990.

[2] J. H. CONWAY and N. J. A. SLOANE, *Sphere packings, lattices and groups*. Third edn., Grundlehren Math. Wiss. 290, Springer, New York, 1999. Zbl 0915.52003 MR 1662447

[3] E. GALOIS, Lettre à Auguste Chevalier, 29 Mai 1832, http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/lettres/lettre-testament/, visited on 8 July 2022.

[4] B. HUPPERT, *Endliche Gruppen*. I. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 134, Springer, Berlin-New York, 1967. Zbl 0217.07201 MR 0224703

[5] B. KOSTANT, *The graph of the truncated icosahedron and the last letter of Galois*. *Notices Amer. Math. Soc.* **42** (1995), no. 9, 959–968. Zbl 1047.52500 MR 1345574

(Reçu le 5 septembre 2022)

Gaëtan CHENEVIER, École Normale Supérieure, DMA, 45 rue d'Ulm, 75005 Paris, France; e-mail: gaetan.chenevier@math.cnrs.fr