### 1.15.1 Caractérisation des fissurations générées par les sollicitations de fretting fatigue.

Une découpe réalisée après chaque essai de fretting fatigue nous a permis de déterminer l'arrêt de propagation des fissures. Elle permet de caractériser la longueur des fissurations et l'angle de propagation. L'ensemble des expertises confirme un angle initial de propagation compris entre 20° et 30° par rapport à la verticale (Figure 104). On retiendra que ces angles sont sensiblement plus faibles que ceux expertisés pour des essais simples de fretting (compris entre 25° et 30°). Cette diminution de l'angle initial de propagation souligne l'impact du chargement homogène de fatigue qui tend à favoriser le mode I de propagation.

<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>Figure 104: Observations optiques de la propagation des fissures sous chargements de fretting fatigue</figcaption></figure>

### 1.15.2 Résultats expérimentaux de la durée de vie en fretting fatigue

Comme pour l'étude de l'amorçage, nous avons choisi de fixer un chargement de contact et cherché à évaluer l'impact du chargement de fatigue sur l'évolution des endommagements. Notre objectif étant d'identifier la condition seuil d'arrêt de fissuration, nous avons choisi d'établir les limites d'endurance pour un nombre de cycles de $10^7$.

Considérant une pression constante $p_0=450$ MPa, trois niveaux d'amplitude de force tangentielle ($Q*=100$N/mm, $Q*=125$N/mm, $Q*=145$N/mm,) ont été analysés. Le résultat de cette analyse est présenté dans les Figure 105, Figure 106 et Figure 107.
<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>Figure 105: Courbe de Wöhler en fretting fatigue (condition fretting R=XX mm, P=232 N/mm, Q*=100 N/mm)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>Figure 106: Courbe de Wöhler en fretting fatigue (condition fretting R=XX mm, P=232 N/mm, Q*=125 N/mm)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>Figure 107: Courbe de Wöhler en fretting fatigue (condition fretting R=XX mm, P=232 N/mm, Q*=145 N/mm)</figcaption></figure>

L'analyse des résultats obtenus montre que la limite d'endurance à 10⁷ cycles est constante avec un chargement critique de fatigue de l'ordre 120 MPa pour le trois contacts étudiés. En revanche pour des niveaux de fatigue de l'ordre de σ<sub>FF</sub>=130 MPa, on observe une forte dépendance de la cinétique de propagation avec le chargement de fretting imposé. Plus le chargement de fatigue est élevé plus la durée de vie est faible. Ainsi, pour Q*=145 N/mm on observe une rupture après 5.3·10⁶ cycles alors que pour un chargement Q*=100 N/mm la rupture se situe à 9·10⁶ cycles. Pour interpréter ces résultats on peut considérer que le seuil σ<sub>FF_th</sub>=120 MPa correspond à une condition d'arrêt de fissuration pour des fissures relativement longues (fissures longues – chargement de fatigue faible). La pointe de fissure, très éloignée de l'interface n'est alors pratiquement plus influencée par la sollicitation du contact mais uniquement tributaire de la sollicitation de fatigue. On peut ainsi expliquer le très faible impact du fretting sur les limites d'endurance à 10⁷ cycles pour les contacts étudiés.

1.16 Approche prédictive de la condition d'arrêt des fissures ou du nombre de cycles à la rupture

A partir du code mis en place pour l'étude d'amorçage en fretting fatigue, nous avons réalisé le modèle FEM des essais de fretting fatigue mono contact étudié
expérimentalement (Figure 108) Cette modélisation respecte l'ensemble des conditions limites des essais. On retiendra que les chargements de fretting et de fatigue sont pilotés indépendamment de façon à reproduire exactement les cycles expérimentaux de fretting et de fatigue.

<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>Figure 108 : Modèle Eléments Finis de l'essais fretting fatigue mono contact</figcaption></figure>

Comme pour l'essai fretting wear, une approche basée sur l'analyse de la concentration de contrainte est utilisée. Elle consiste à déterminer l'évolution du Facteur d'Intensité de Contraintes (FIC) selon le chemin de propagation des fissures à partir du modèle FEM simulant les sollicitations de fretting fatigue.

### 1.16.1 Prédiction de la condition d'arrêt des fissures

Les évolutions des variations des facteurs d'intensité de contrainte effectives (ΔK<sub>eff</sub>), calculées pour les trois conditions de chargement fretting expertisées, sont tracées sur la Figure 109.
Frontière d'arrêt de propagation des fissures

<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>Figure 109: Modélisation des trajets de chargement associés aux conditions d'arrêt de fissuration établies pour les trois contacts de fretting Q*=100, 125, 145 N/mm et une sollicitation de fatigue σ<sub>FF</sub>=120 MPa</figcaption></figure>

En appliquant la démarche proposée par Araujo et Nowell on peut noter que les trois courbes des évolutions du FIC entrent dans la zone d'arrêt de fissuration. Les longueurs de fissures déterminées expérimentalement sont reportées sur les évolutions du FIC par les points ronds (●). On peut remarquer que l'arrêt des fissures se situe dans le domaine des fissures courtes. En revanche, l'augmentation progressive des chargements de fatigue, pour des conditions identiques de fretting, peut provoquer la propagation des fissures jusqu'à la rupture des éprouvettes. Les résultats associés à l'évolution des FIC pour le chargement de fatigue σ<sub>FF</sub>=130 MPa sont présentés sur la Figure 110.
<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>Figure 110: Modélisation des trajets de chargement associés aux conditions d'arrêt de fissuration établies pour les trois contacts de fretting Q*=100, 125, 145 N/mm et une sollicitation de fatigue σ<sub>FF</sub>=130 MPa</figcaption></figure>

On observe que les trajets des FIC passent à proximité des frontières théoriques d'arrêt de propagation sans pénétrer dans la zone d'arrêt des fissures. Les fissures se propagent ensuite dans le domaine des fissures longues ceci jusqu'à la rupture des éprouvettes. Les résultats expérimentaux confirment cette analyse.

L'observation de la Figure 109 souligne la pertinence du modèle proposé. En effet, les conditions d'arrêt de fissuration identifiées expérimentalement sont très proches de la frontière théorique. A part le résultat obtenu pour Q*=100 N/mm, on remarque que les longueurs de fissure associées aux conditions d'arrêt de propagation sont importantes et correspondent à la transition fissures courtes /fissures longues. Ce résultat tends à confirmer l'hypothèse introduite précédemment pour expliquer le fait que ces fissures, très longues, ne sont pratiquement plus influencées par le chargement de contact et donc que la condition d'arrêt de fissuration apparaît essentiellement gouvernée par la contrainte de fatigue.

1.16.2 Prédiction du nombre de cycles à la rupture

La durée de vie en fretting-fatigue est associée à une physique de
l'endommagement similaire à celle de la fatigue. On peut considérer les trois étapes
suivantes :
* Amorçage de la fissure,

* Propagation dans le domaine des fissures courtes,

* Propagation dans le domaine des fissures longues,

* Rupture brutale de la pièce.

Connaissant l'évolution du facteur d'intensité des contraintes, il devient possible d'approximer une loi de propagation des fissures, dans le domaine des fissures courtes et dans le domaine des fissures longues. La condition de rupture est associée à la condition telle que le facteur d'intensité des contraintes atteint la valeur critique de rupture $K_c$ du matériau soit pour l'acier XC38 (EA1N) $K_c=117$ MPa·√m. Finalement, on considère que la durée de vie totale en fretting fatigue ($N_T$) dans le domaine de l'endurance limitée intègre les phases d'amorçage ($N_a$) de propagation en fissures courtes ($N_{FC}$) et fissures longues ($N_{FL}$).

$$N_T = N_a + N_{FC} + N_{FL} \qquad (57)$$

où : $N_T$ – nombre total de cycles de sollicitation fretting fatigue, $N_a$ – nombre de cycles à l'amorçage, $N_{FC}$ – nombre de cycles en propagation dans le régime des fissures courtes, $N_{FL}$ – nombre de cycles en propagation dans le régime des fissures longues.

Une illustration du calcul de la durée de vie en fretting fatigue est présentée sur la Figure 111.

<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>Figure 111: Détermination du nombre de cycles à rupture des éprouvettes de fretting fatigue</figcaption></figure>
La Figure 112 illustre l'organigramme du calcul de la durée de vie mis en œuvre
dans le cadre de cette recherche.

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>Figure 112: Schéma de la modélisation de l'endurance en fretting fatigue, calcul du nombre de cycles à rupture ou prédiction de la condition d'arrêt de propagation des fissures.</figcaption></figure>

1.16.3 L'amorçage des fissures

Pour les sollicitations de fretting simple, les sites d'amorçage des fissures sont
symétriques. La sollicitation de fretting fatigue induit en revanche une dissymétrie du
chargement qui provoque un amorçage toujours en bordure de contact mais
systématiquement du coté du chargement de fatigue. Le nombre de cycles à l'amorçage
a été établi expérimentalement à partir des résultats obtenus en fretting simple (Figure
95). Ainsi on considère une longueur de fissure amorcée de 10 µm, on extrapole un
nombre de cycles à l'amorçage égal à N<sub>a</sub>=50000 cycles. Des recherches plus
approfondies ont été conduites sur ce sujet en particulier par H. Proudhon et al. qui, en
adaptant le critère SWT, ont permis de prédire le nombre de cycles à l'amorçage. Notre
recherche, essentiellement axée sur l'endurance à grands nombres de cycles ne nous a
pas permis d'affiner cet aspect. Nous nous contenterons donc de considérer uniquement
le résultat expérimental.

1.16.4 Propagation des fissures courtes

La cinétique de propagation des fissures dans le domaine des fissures courtes est différente de celle généralement considérée dans le domaine des fissures longues. Une loi de propagation en fissures courtes a été proposée récemment par Vormwald (chapitre 2). La durée de vie en fatigue est alors calculée au travers d'une expression de type loi de Paris de façon à exprimer la vitesse de propagation des fissures en fonction de l'intégrale J :

$$
\frac{da}{dN} = C'(\Delta J)^{m'} \qquad (58)
$$

Les paramètres du matériau de cette équation ont été identifiés au traverse de l'analyse
de la cinétique de propagation en fretting fatigue dans le domaine des fissures courtes.
A partir des cinétiques de propagation des fissures courtes (Figure 113) expertisées en
fretting fatigue pour les essais à 10⁶ cycles, on calcule le coefficient C' et m'.
L'ensemble des longueurs de fissure expertisées amax reste dans le domaine des fissures
courtes (amax<a₀=330 µm).

<figure><img src="image_131.png" /><figcaption>Figure 113: Cinétique de propagation de fissures courtes en fretting fatigue</figcaption></figure>
<table><caption>Tableau 15: Cinétique de propagation des fissures courtes en fretting fatigue (essais
fretting fatigue N=10⁶ cycles)</caption>
   <thead>
    <tr>
     <td>
      σ
      <sub>
       FF
      </sub>
      , MPa
     </td>
     <td>
      Q*, N/mm
     </td>
     <td>
      a
      <sub>
       max
      </sub>
      , μm
     </td>
     <td>
      N, cycles
     </td>
     <td>
      da/dN, m/cycles
     </td>
     <td>
      ΔJ, √m
     </td>
    </tr>
   </thead>
   <tbody>
    <tr>
     <td>
      50
     </td>
     <td>
      90
     </td>
     <td>
      17.0
     </td>
     <td>
      1000000
     </td>
     <td>
      1.7E-11
     </td>
     <td>
      2.43E-05
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      100
     </td>
     <td>
      100
     </td>
     <td>
      10.5
     </td>
     <td>
      1000000
     </td>
     <td>
      1.053E-11
     </td>
     <td>
      2.45E-05
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      100
     </td>
     <td>
      110
     </td>
     <td>
      2.8
     </td>
     <td>
      1000000
     </td>
     <td>
      2.8E-12
     </td>
     <td>
      4.04E-06
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      100
     </td>
     <td>
      115
     </td>
     <td>
      83.3
     </td>
     <td>
      1000000
     </td>
     <td>
      8.334E-11
     </td>
     <td>
      1.04E-04
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      120
     </td>
     <td>
      90
     </td>
     <td>
      17.5
     </td>
     <td>
      1000000
     </td>
     <td>
      1.75E-11
     </td>
     <td>
      3.73E-05
     </td>
    </tr>
   </tbody>
  </table>

Les coefficients de la loi de Vormwald sont alors les suivants : C' = 2.3 · 10⁻⁷ et
m' = 0.917

L'intégration de cette loi nous permet de calculer le nombre de cycles en propagation
des fissures courtes.

$$
N_{\text{FC}} = \int_{0}^{a_{\phi}} \frac{da}{C' \cdot (\Delta J)^{m'}} \quad (59)
$$

1.16.5 Propagation des fissures longues

La vitesse de propagation des fissures dans le domaine des fissures longues
(a>a₀) peut être quantifiée en appliquant la loi de Paris. Cette loi prédit alors un arrêt de
fissuration à partir d'un seuil ΔKseuil et une rupture du matériau au delà d'une certaine
valeur du facteur d'intensité maximal Kmax=Kc.

Dans le domaine linéaire de la loi, la cinétique de propagation est exprimée par la
relation suivante :

$$
\frac{da}{dN} = C * (\Delta K)^m \qquad (60)
$$

où a est la longueur de fissure et N le nombre de cycles. Les constantes C et m sont des données matériaux issues de la littérature (Gros et al 1996).

Afin d'observer l'extension de la fissuration en fonction du nombre de cycles,
une transformation de la loi de Paris puis son intégration nous permettent d'établir la
durée de vie en propagation dans le régime des fissures longues:
$$N_{FL} = \int_{a_{\phi}}^{a} \frac{da}{C \cdot (\Delta K)^{m}} \qquad (61)$$

$a_{\phi}$ correspond à la fissure initiale ou la longueur associée à la transition fissure courte/fissure longue.

### 1.16.6 Modélisation de la courbe de Wöhler en sollicitations de fretting fatigue

Le modèle élasto-plastique Eléments Finis mis en oeuvre nous permet de calculer l'évolution des FIC en fonction de la longueur des fissures. L'intégration de la loi de Vormwald dans le domaine des fissures courtes puis l'intégration de la loi de Paris dans le domaine des fissures longues, nous permet de calculer la durée de vie en fretting fatigue ou de prédire l'arrêt de propagation des fissures.

Cette approche consiste à calculer le nombre de cycles à l'amorçage des fissures, le nombre de cycles en propagation dans le régime des fissures courtes et le nombre de cycles dans le régime de la propagation des fissures longues. Le couplage de ces différentes approches nous permet en fin de modéliser la courbe de Wöhler sous sollicitations complexes de fretting fatigue. Les résultats de cette modélisation sont présentés dans la Figure 114.

<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>Figure 114 : Modélisation d'une courbe de Wöhler sous sollicitations complexes de fretting fatigue</figcaption></figure>
Les résultats de modélisation obtenus par cette approche sont conservatifs. En revanche l'estimation de la condition d'arrêt de propagation est relativement précise.

Les résultats de la modélisation de la courbe de Wöhler en fretting fatigue sont compilés dans le Tableau 16.

<table><caption>Tableau 16: Résultats de la modélisation de courbe de Wöhler en fretting fatigue</caption><thead><tr><th>σ<sub>FF</sub>, MPa</th><th>amorçage</th><th>fissures courtes</th><th>fissures longues</th><th>rupture</th></tr><tr><th></th><th>N<sub>a</sub>, cycles</th><th>N<sub>FC</sub>, cycles</th><th>N<sub>FL</sub>, cycles</th><th>N<sub>T</sub>, cycles</th></tr></thead><tbody><tr><td>270</td><td>50000</td><td>2232380</td><td>18464</td><td>2300844</td></tr><tr><td>260</td><td>50000</td><td>2336210</td><td>20439</td><td>2406649</td></tr><tr><td>250</td><td>50000</td><td>2448000</td><td>22693</td><td>2520693</td></tr><tr><td>240</td><td>50000</td><td>2568640</td><td>25277</td><td>2643917</td></tr><tr><td>230</td><td>50000</td><td>2699130</td><td>28252</td><td>2777382</td></tr><tr><td>220</td><td>50000</td><td>2840660</td><td>31693</td><td>2922353</td></tr><tr><td>210</td><td>50000</td><td>2994560</td><td>35692</td><td>3080252</td></tr><tr><td>200</td><td>50000</td><td>3162420</td><td>40365</td><td>3252785</td></tr><tr><td>190</td><td>50000</td><td>3346090</td><td>45854</td><td>3441944</td></tr><tr><td>180</td><td>50000</td><td>3547730</td><td>52343</td><td>3650073</td></tr><tr><td>170</td><td>50000</td><td>3769950</td><td>60062</td><td>3880012</td></tr><tr><td>160</td><td>50000</td><td>4015820</td><td>69310</td><td>4135130</td></tr><tr><td>150</td><td>50000</td><td>4289090</td><td>80474</td><td>4419564</td></tr><tr><td>140</td><td>50000</td><td>4594280</td><td>94064</td><td>4738344</td></tr><tr><td>130</td><td>50000</td><td>4936960</td><td>110756</td><td>5097716</td></tr><tr><td><strong>127</strong></td><td><strong>50000</strong></td><td><strong>5048060</strong></td><td><strong>arrêt</strong></td><td><strong>arrêt</strong></td></tr></tbody></table>

### 1.16.7 Introduction et formalisation d'un concept de carte d'arrêt de propagation en fretting fatigue

Les conclusions de nos recherches montrent que la limite d'endurance associée au seuil d'arrêt de fissuration dépend de la condition de fretting imposée. Cependant contrairement à l'amorçage, cette condition d'arrêt sera dépendante de la longueur de la fissure associée. Plus cette longueur sera importante, plus l'éloignement du contact sera conséquent et plus l'influence du fretting sera diminuée. Ainsi, pour les conditions
expérimentales étudiées on remarque que le seuil d'arrêt de fissuration dépend uniquement du chargement de fatigue ($\sigma_{FF}=120$ MPa).

Des recherches plus approfondies devront étendre cette recherche dans le domaine des faibles sollicitations de fretting et des forts chargements de fatigue.

De façon à rationaliser cette description, on introduit un concept de carte d'arrêt de propagation des fissures en fretting fatigue. Le seuil d'arrêt de fissuration est reporté en fonction du chargement de fatigue et de fretting. Il est alors possible de comparer les résultats expérimentaux avec le modèle proposé (Figure 115).

<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>Figure 115 : Frontière d'arrêt de propagation des fissures en fretting fatigue.</figcaption></figure>

On observe une bonne corrélation entre le modèle et les résultats expérimentaux. On confirme en particulier qu'il existe un seuil de chargement de fretting (dans le cas présent $Q*=100$ N/mm) au-delà duquel la condition d'arrêt de fissuration semble uniquement contrôlée par la sollicitation de fatigue. Pour les chargements de fretting plus faibles, la dépendance vis-à-vis du fretting semble plus marquée. Enfin, on montre que la frontière d'arrêt de fissuration, contrairement à l'analyse en amorçage, n'intercepte pas l'axe des ordonnées (sollicitation de fretting). Ceci est cohérent avec l'analyse expérimentale puisque aucune rupture d'échantillon n'a été observée en fretting simple.
Ainsi, la frontière d'arrêt de fissuration tend vers une évolution verticale pour une limite de fatigue de $\sigma_{FF}=120$ MPa jusqu'à intercepter la condition seuil de transition glissement partiel/glissement total.

Finalement, au travers de cette représentation il devient possible d'identifier un domaine d'arrêt de fissuration et un domaine de propagation des fissures.
# Discussion et Conclusions générales
<figure><img src="image_134.png" /></figure>
## 1.17 Synthèse et conclusions générales

L'objectif de cette recherche a été de formaliser les endommagements générés par les sollicitations de fretting en intégrant les phases d'amorçage et de propagation des fissures. L'originalité de notre démarche a été de coupler une approche expérimentale et une modélisation des mécanismes d'endommagement. Elle a surtout porté sur un couplage entre une analyse en fretting wear (chargement de contact seul) et une analyse en fretting fatigue. Ceci nous a permis d'appréhender de façon dissociée le chargement hétérogène de fretting et le chargement homogène de fatigue. Cette recherche expérimentale a pu être mise en œuvre grâce au développement unique au monde d'un essai de fretting fatigue mono contact permettant un asservissement découplé des sollicitations de fretting et de fatigue. Par ailleurs, la mesure in situ des déplacements au niveau du contact nous a permis d'étendre la démarche 'carte de fretting' et 'analyse de la condition de glissement' à la problématique fretting fatigue.

Outre d'importantes avancées expérimentales de la modélisation des endommagements nous nous sommes attachés à intégrer le comportement visco-elasto-plastique des contacts étudiés et ainsi à mieux intégrer le comportement matériau.

L'établissement d'une expérimentation parfaitement instrumentée et contrôlée, couplée à une modélisation suffisamment riche, nous a permis de proposer une description formalisée des mécanismes d'amorçage et de propagation des fissures.

### Analyse de l'amorçage

Nous retiendrons les points suivants concernant l'étude et la formalisation de l'amorçage des fissures impliquant des sollicitations de fretting et fretting fatigue :

* La mise en place d'un protocole adapté en fretting simple et fretting fatigue nous a permis de quantifier les conditions seuils de l'amorçage des fissures. On montre que l'établissement de ces seuils implique des durées d'essais de l'ordre de 250 000 cycles que nous avons sécurisé en appliquant des durées de 1 000 000 cycles.

* L'impact de différentes pressions et différentes dimensions de contact nous a permis d'illustrer l'effet des gradients de contraintes et les effets d'échelle sur les mécanismes d'amorçage des fissures.
* La modélisation FEM élasto-plastique des contacts nous a permis d'identifier une double stabilisation de l'interface. En effet, la stabilisation du contact fait intervenir une stabilisation 'classique' du matériau mais aussi et surtout de l'interface au travers d'une déformation conséquente de la géométrie du contact, un 'adoucissement' des chargements de pression et de cisaillement. Une méthodologie spécifique a été mise en œuvre pour rationaliser cet état stabilisé en fonction des niveaux de pression imposés.

* Reprenant les approches 'moyennations' introduites par Fouvry et al. (1998), complétées par Proudhon et al. (2005), nous avons proposé une nouvelle approche pour identifier le volume élémentaire sur lequel le trajet des chargements doit être moyenné pour appliquer de façon pertinente une prédiction du seuil d'amorçage des fissures. Cette approche considère l'aspect matériau (micro-structure du matériau) mais aussi et surtout le gradients du cisaillement et de la pression hydrostatique dans la zone de glissement. Cette formulation, empirique et extrêmement simple démontre une remarquable stabilité en terme de prédiction du risque d'amorçage. Couplée à différents critères multiaxiaux elle nous a permis de formaliser de façon tout à fait pertinente les seuils d'amorçage en fretting

* Le couplage entre une étude expérimentale et la mise en place d'une modélisation adaptée nous a permis d'introduire une nouvelle représentation, appelée 'Carte d'amorçage en Fretting Fatigue' qui en dissociant le chargement de fretting et le chargements de fatigue permet une meilleure intégration des sollicitations hétérogènes du contact et homogènes de fatigue. Cette représentation permet enfin, pour la première fois, un lien entre des études en fretting simple et les études en fretting fatigue. On retiendra que la très bonne corrélation entre les résultats expérimentaux et le modèle décrivant le seuil d'amorçage des fissures conforte la stabilité du modèle proposé pour intégrer les effets d'échelle.
Analyse de la propagation

Toujours à partir d'une approche couplée fretting wear et fretting fatigue, nous avons étudié les phénomènes de propagation des fissures. Cette analyse a impliqué une double démarche d'expertise des longueurs de fissure (fretting wear et sollicitations de fretting fatigue n'ayant pas généré la rupture) et d'autre part une analyse en durée de vie en fretting fatigue porté jusqu'à la rupture.

* Nous avons montré que l'application d'approches conventionnelles (fonction de poids) couplées à l'analyse EFM du contact permettait une bonne description des phénomènes de fissuration. Ainsi, malgré une description très rudimentaire des effets de fermeture au travers de la relation de Elber, il a été possible de formaliser l'extension des fissurations sous sollicitations de fretting wear.

* La prédiction du comportement en fretting fatigue a justifié de décrire les cinétiques de propagation en deux phases : une phase en propagation dans le régime de fissures courtes que nous avons explicité au travers de la relation de Vormwald et al. (2006) ($N_{FC}$), puis au delà de la transition fissures courtes/fissures longues, l'application directe d'une loi de Paris et al. (1963) ($N_{FL}$). En intégrant la phase de l'amorçage ($N_a$) nous avons explicité une relation de la durée de vie en fretting fatigue.

$$N_T = N_a + N_{FC} + N_{FL}$$

Cette démarche nous a permis de formaliser les courbes de Wöhler en fretting fatigue ceci avec une remarquable stabilité en particulier vis-à-vis de la valeur limite de l'endurance illimitée (objet principal de nos recherches). On retiendra que la méthodologie mise en place a permis d'initier pour la première fois une démarche inverse d'identification des cinétiques de propagation à partir de résultats de fretting et fretting fatigue. Cet aspect, très novateur va être généralisé, car il apparaît que la sollicitation de fretting est tout à fait adaptée pour identifier le comportement particulier des fissures courtes et peut servir de moyen expérimental à ce seul objectif scientifique.

* Finalement, l'intégration du modèle au travers de la prédiction du seuil d'arrêt de fissuration nous a permis d'étendre le concept de carte d'endommagement en fretting fatigue. Ainsi, à partir du concept d'arrêt de fissuration, introduit par Araujo et al. (1999) nous avons pu formaliser la carte d'arrêt de fissuration dans
le diagramme fretting fatigue. Une très bonne corrélation entre les résultats expérimentaux et le modèle confirme la stabilité de la démarche mise en œuvre.

## Approche couplée amorçage & propagation des endommagements générés par les sollicitations de fretting fatigue

L'intégration des démarches amorçage et propagation (arrêt de propagation) nous permet finalement de proposer une description globale des endommagements générés par les sollicitations de fretting fatigue (Figure 116). La superposition des deux frontières d'amorçage et d'arrêt de propagation dans le diagramme fretting fatigue met en évidence trois domaines :

I. Un domaine de non amorçage,

II. Un domaine d'amorçage mais arrêt de propagation des fissures,

III. Un domaine de propagation.

Une formalisation complète de ces frontières nous permet donc pour un couple de chargement (fretting-fatigue) d'établir l'évolution de l'endommagement du contact étudié.

<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>Figure 116: Concept de « Carte Fretting Fatigue »</figcaption></figure>
Le résultat est importante et répond aux objectifs que nous nous sommes fixés. Ainsi, l'expertise du contact industriel montre que ce système travaille dans le domaine II (domaine d'amorçage mais arrêt de propagation des fissures). La démarche formalisée que nous avons proposée permet donc de rationaliser un comportement jusqu'à présent abordé d'un point de vue empirique. Cette analyse nous permet aussi d'envisager d'autres aspects tant du point vu technologique que scientifique.

## 1.18 Exploitations technologiques de cette recherche et perspectives

Différents volets peuvent être abordés :

* L'analyse mécanique complète de l'endommagement par fretting fatigue nous permet d'envisager une optimisation géométrique du contact. Ce travail a été initié dans le cadre de la thèse de A. Yameogo (2004). Cependant les éléments apportés par ce travail permettent une meilleure formalisation des endommagements.

* Outre l'aspect géométrie du contact, il est possible d'appréhender de façon quantitative l'impact d'un traitement de surface. Différentes stratégies peuvent être envisagées : soit introduire un dépôt qui limite l'amorçage des fissures et ainsi permet d'étendre le domaine de non amorçage (dépôts HVOF), soit considérer des traitements de surface qui bloquent la propagation des fissures (traitement de grenaillage) et donc repoussent la frontière d'arrêt de propagation (II). Une double stratégie amorçage et propagation peut ainsi être envisagée.

### Extensions Scientifiques de cette recherche

Comme souligné dans la rédaction de ce manuscrit la mise en place des modèles a été réalisée sur la base d'hypothèses simplificatrices relativement fortes. Ainsi, les trajet de chargements considérés bien que stabilisés, comportent toujours une composante de déformation plastique. Certes petite, celle-ci pose la question d'un seuil au-delà duquel il est possible ou pas d'appliquer une démarche "élastique" de l'endommagement que ce soit vis-à-vis de l'amorçage mais surtout de la propagation des fissures. La démarche utilisée pour quantifier la propagation est basée sur une
approche très rudimentaire des effets de fermeture des fissures. D'autre part, la loi de propagation des fissures courtes est elle aussi, très rudimentaire. En effet, de nombreux travaux (S. Pommier 1992, K. Tokaji et al. 1994, S. Savelli 2000, Proudhon et al. 2005) soulignent le caractère discontinu de la propagation est alors tributaire de la microstructure et des passages au niveau des joints de grain. Ceci indique une fluctuation des cinétiques de propagation qui pourrait expliquer la forte dispersion des longueurs de fissuration observées en fretting wear. Des approches microstructurales (Proudhon et al. 2005) ont été mises en œuvre et pourraient être associées à notre démarche. Enfin, un dernier point concerne la mise en place d'une formulation plus physique du volume représentatif associé au calcul du risque d'amorçage. Nos travaux ont permis de souligner la nécessité d'une pris en compte des gradients de contrainte qui intègre le cisaillement et l'état de tension. La formulation empirique que nous proposons, satisfaisante sur le plan pratique n'est cependant pas suffisante sur le plan du formalisme mécanique. Des recherches complémentaires basées sur une approche 'invariant de contraintes' apparaît comme une opportunité à considérer.

Nous retiendrons finalement que la mise en place de cette recherche nous a permis de mieux formaliser les endommagements en fretting fatigue. Une double démarche amorçage – arrêt de fissuration permet pour la première fois de formaliser l'endommagement dans sa globalité. Cette recherche souligne aussi, que les recherches en fretting fatigue devront, pour progresser, aborder les grandes questions posées par la science de la fatigue.
Publications et rapports lors de cette étude
<figure><img src="image_136.png" /></figure>
# 1.19 Publications et rapports lors de cette étude

## 1.19.1 Publications et rapports

1. **K. Kubiak**, S. Fouvry, A-M. Marechal, "A practical methodology to select fretting palliatives: application to shot peening, hard chromium and WC-Co coatings", Wear, 259, (2005), p. 367-376.

2. **K. Kubiak**, S. Fouvry, "A fast fretting methodology to compare friction, cracking and wear behaviours of surface treatments", Proceeding of "24th Journées de Printemps" of French Association of Metallurgy and Materials, 2005.

3. **K. Kubiak**, S. Fouvry, B.G. Wendler, "Comparison of shot peening and nitriding surface treatments under complex fretting loadings", Materials Science Forum, Vol.513, (May 2006), p. 105-118.

4. S. Fouvry, D. Nowell, **K. Kubiak**, D.A. Hills, "Prediction of fretting crack propagation based on a short crack methodology", 2006, accepted to Engineering Fracture Mechanics).

5. **K. Kubiak**, S. Fouvry, A-M. Marechal, J-M. Vernet, "Tribological behaviour of shot peening + WC-Co sprayed coating under complex fretting wear and fretting fatigue loading conditions", Proceeding of ICMCTF 2006 Conference, Surface & Coatings Technology Vol.201 (2006) p.4323-4328.

6. **K. Kubiak**, S. Fouvry, "Analysis of the crack nucleation and propagation on XC38 steel under fretting loading conditions", **Rapport Industriel**, 03-10-2003, No. Ref: LTDS_SNCF_Axe_Kubiak_1a.

7. **K. Kubiak**, S. Fouvry, "Analyse et prédiction de la fissuration du XC38 générée par des sollicitations de Fretting Wear", **Rapport Industriel**, 15-09-2004, No. Ref: LTDS_SNCF_Axe_Kubiak_2a.

8. **K. Kubiak**, S. Fouvry, "Analyse d'amorçage de fissures sur l'acier XC38 en configuration cylindre/plan", **Rapport Industriel**, 07-11-2005, No. Ref: LTDS_SNCF_Axe_Kubiak_3a.

9. **K. Kubiak**, S. Fouvry, "Etude de la fissuration et de l'usure, sélection d'un traitement de surface (Application au Contact Arbre Rotor / Bague de Roulement)", **Rapport Industriel**, 10-02-2003, No. Ref: SNCF_LTDS_ARBRE_KUBIAK_1b.
10. **K. Kubiak**, S. Fouvry "Analyse fretting fatigue : impact d'un traitement de surface sur le coefficient d'abattement en fretting fatigue", **Rapport Industriel**, 29-11-2004, No. Ref: SNCF_LTDS_ARBRE_KUBIAK_2a.

11. **K. Kubiak**, S. Fouvry "Analyse d'amorçage et propagation de fissures sur l'acier XC38 - Résultat fretting wear et fretting fatigue ", **Rapport Industriel**, 30-05-2006, No. Ref: LTDS_SNCF_Axe_Kubiak_5a.

**1.19.2 Communications et posters**

1. **K. Kubiak**, T. Liskiewicz, S. Fouvry, B. Wendler, "Development of a coating strategy to palliate the fretting damages", 17th Physical Metallurgy and Materials Science Conference, **Advanced Materials & Technologies, AMT 2004, 20-24 June 2004, Lodz, Poland**, http://www.amt-2004.p.lodz.pl

2. **K. Kubiak**, S. Fouvry, A.M. Marechal, "A practical methodology to select fretting palliatives: application to shot peening, hard chromium and WC-Co coatings", The 15th International Conference on Wear of Materials, **WOM 2005,24-28 April 2005, San Diego - California, USA**, http://www.wom-conference.elsevier.com

3. **Troisième Séminaire Transalpin de Physique, Dolomieu, France**, 27 February - 4 March 2005, From Micro to Nano-Photonic, **Poster: K. Kubiak**, S. Fouvry, "Complex investigation of damage in the contact under fretting loading condition".

4. **Société Française de Métallurgie et de Matériaux, 24es Journées de Printemps, CETIM Senlis, France**, 10-11 mai 2005, Fatigue et état de surface, Article et **Poster: K. Kubiak**, S. Fouvry, "A fast fretting methodology to compare friction, cracking and wear behaviors of surface treatments", http://www.sf2m.asso.fr

5. **K. Kubiak**, S. Fouvry, A-M. Marechal, J-M. Vernet, "Behaviour of shot peening + WC-Co HVOF sprayed coating under complex fretting wear and fretting fatigue loading conditions ", International Conference on Metallurgical Coatings and Thin Films, May 1-5 May 2006, **ICMCTF 2006, San Diego - California, USA**, http://www2.avs.org/conferences/icmctf/call

6. **K. Kubiak**, S Fouvry, "Prediction of the Fretting Fatigue Endurance Based on a Combined Crack Nucleation and Crack Arrest Formulation: Application to AIS1 1034 Steel for a Rail Train Application", **33rd Leeds-Lyon Symposium on Tribology, 12-15 September 2006 Leeds, United Kingdom**, http://www.mech-eng.leeds.ac.uk/tribology/leeds-lyon
7. **K. Kubiak**, S. Fouvry, F. Bumbieler, "Prediction of fretting wear and fretting fatigue crack initiation conditions", **International Conference on Fatigue Damage of Structural Materials VI**, 17-22 September 2006 Hyannis, MA, USA, http://www.fatiguedamage.elsevier.com

**1.19.3 Encadrement de Stage**

1. Stage IUT, Louis Paturle, April-July 2005, "Influence of the size of contact for crack nucleation and propagation under fretting loading conditions"
<figure><img src="image_137.png" /></figure>
Références bibliographiques
<figure><img src="image_138.png" /></figure>
1.20 Références bibliographiques

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<table>
  <tr>
    <td>Fouvry S.</td>
    <td>1997</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Etude quantitative des dégradations en fretting</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Thèse de Doctorat de l'Ecole Centrale de Lyon</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Fouvry S., Kapsa Ph., Sidoroff F., Vincent L.</td>
    <td>1998</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Identification of the characteristic length scale for fatigue cracking in fretting contacts</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Journal of Physics IV France 8, Pr8-159-166</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Fouvry S., Kapsa P.</td>
    <td>2000</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Etude des dégradations sur l'axe essieu des TGV Ouest</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Rapport final d'expertise</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Fouvry S., Kapsa Ph., Vincent L.</td>
    <td>2000</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>A multiaxial fatigue analysis of fretting contact taking into account the size effect</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>American Society for Testing Materials, special issue</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Fouvry S., Elleuch K., Simeon G.</td>
    <td>2002</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Prediction of crack nucleation under partial slip fretting conditions</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Journal of Strain Analysis, vol. 37 no 6, p. 549-564</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Fouvry S., Duó P., Perruchaut Ph.</td>
    <td>2004</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>A quantitative approach of Ti-6Al-4V fretting damage: friction, wear and crack nucleation</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Wear, vol. 257, p. 916-929</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Fouvry S., Nowell D., Kubiak K., Hills D.A.</td>
    <td>2006</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Prediction of fretting crack propagation based on a short crack methodology</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Engineering Fracture Mechanics, (in press)</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Fouvry S., Kubiak K.</td>
    <td>2006</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Prediction of Fretting and Fretting Fatigue crack initiation conditions</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>International Journal of Fatigue, (in press)</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Fridrici V., Fouvry S., Kapsa P., Perruchaut P.</td>
    <td>2005</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Prediction of cracking in Ti-6Al-4V alloy under fretting-wear: use of the SWT criterion</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Wear, vol. 259, p. 300-308</td>
    <td></td>
  </tr>
</table>
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<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td><b>Kubiak K.,</b> Fouvry S.</td>
      <td>2003</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Analysis of the crack nucleation and propagation on XC38 steel under fretting loading conditions</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Rapport industriel No. Ref: LTDS SNCF Axe Kubiak_1, p.19</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Kuno M.,</b> Waterhouse R. B., Nowell D., Hills D. A.</td>
      <td>1989</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Initiation and Growth of fretting Fatigue Cracks in the partial Slip Regime</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct., vol. 12, p. 387-398</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>L</b></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Leis B.N.</b></td>
      <td>1977</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">An energy-based fatigue and creep-fatigue damage parameter</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">J. Pressure Vessel Tech., Trans. ASME, vol. 99, p. 524-530</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Lemaitee J. et</b> Chaboche J-L.</td>
      <td>2004</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Mécanique des matériaux solides</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Dunod 2° édition</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Lindley T. C.,</b> Nix K. J.</td>
      <td>1985</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">The role of fretting in the initiation and early growth of fatigue cracks in turbo-generator materials</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Conference : Multiaxial fatigue, ASTM, Philadelphia, USA, 340-360</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>M</b></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Mcdiarmid D.L.</b></td>
      <td>1994</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">A general criterion for high-cycle multiaxial fatigue failure</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct., vol. 14, p. 429-453</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Miller K. J.</b></td>
      <td>1993</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Material science perspective of metal fatigue resistance</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Material Science and Technology, Vol. 9, p. 453-462</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Minakawa K. et all</b></td>
      <td>1981</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">On Crack closure in the near-threshold</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Script Met. Vol. 15, p.633-636</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Mindlin R.</b></td>
      <td>1949</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Compliance of elastic bodies in contact</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Journal of applied mechanics, vol. 16, p. 259-268</td>
    </tr>
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    <td>1990</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Petiot, C.<br>Développement d'une méthodologie prévisionnelle du comportement en fretting-fatigue couplant les approches expérimentales et théoriques<br>Thèse Ecole Centrale de Lyon</td>
    <td>1994</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Pommier S.<br>Tenue à la fatigue du n18 à température ambiante,<br>Rapport de DEA, Birmingham : IRC, University of Birmingham</td>
    <td>1992</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Pommier S.<br>Plane strain crack closure and cyclic hardening,<br>Engineering Fracture Mechanics, vol. 69, p. 25-44</td>
    <td>2002</td>
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    <td>Proudhon H.<br>Identification des mécanismes de fissuration dans un alliage d'aluminium sollicité en fretting et en fatigue<br>Thèse de doctorat de l'Institut National des Sciences Appliquées de Lyon</td>
    <td>2005</td>
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*Identification des mécanismes et approche quantitative de la fatigue d'alliages modèles d'aluminium de moulage*

Thèse de Doctorat, Lyon : Insa Lyon
<table><tr><td><b>Szolwinski M. P.</b>, Farris T. N.</td><td>1996</td></tr><tr><td colspan="2"><i>Mechanics of fretting fatigue crack formation</i><br/>Wear, vol. 198, p. 93-107</td></tr><tr><td><b>Sines G.</b>, Waisman, J.L.</td><td>1959</td></tr><tr><td colspan="2"><i>Behaviour of metals under complex static and alternating stresses,</i><br/>Metal Fatigue, McGraw Hill, p. 145-169</td></tr><tr><td><b>Smith K.N.</b>, Watson P., Topper T.H.</td><td>1970</td></tr><tr><td colspan="2"><i>A stress-strain function for the fatigue of metals</i><br/>J. Mater., vol. 5 p. 767-778</td></tr><tr><td><b>Suresh S.</b>, Ritchie O.</td><td>1984</td></tr><tr><td colspan="2"><i>Propagation of short fatigue cracks</i><br/>International Metals Reviews, vol. 29 (6), pp. 445-475</td></tr></table>

T

<table><tr><td><b>Tokaji K.</b>, Ogawa K., Ohya T.</td><td>1994</td></tr><tr><td colspan="2"><i>The effect of grain size on small fatigue crack growth in pure titanium</i><br/>Fatigue, vol. 16, p. 571-578</td></tr></table>

V

<table><tr><td><b>Vincent L.</b></td><td>1994</td></tr><tr><td colspan="2"><i>Material and fretting</i><br/>ESIS, 18, Mechanical Engineering Publication, p. 323-337</td></tr><tr><td><b>Vingsbo O.</b>, Schön J.</td><td>1993</td></tr><tr><td colspan="2"><i>Gross slip Criteria in fretting</i><br/>Wear, vol. 126, p. 347-356</td></tr><tr><td><b>Voisin J.M.</b></td><td>1992</td></tr><tr><td colspan="2"><i>Méthodologie pour l'étude de l'endommagement d'un contact tube-grille</i><br/>Thèse Ecole Centrale de Lyon, 1992</td></tr><tr><td><b>Vormwald M.</b>, Döring R., Hoffmeyer J., Seeger T.</td><td>2006</td></tr><tr><td colspan="2"><i>Short fatigue crack growth under nonproportional multiaxial elastic-plastic strains</i><br/>International Journal of Fatigue, vol. 28, p. 972-982</td></tr></table>
W

**Waterhouse R.B.**

*Fretting Fatigue*

1981

Edited by Waterhouse, Applied Science Published, UK

X

**Xu Gui-Zhen**, Liu Jia-Jun, Zhou Zhong-Rong

2001

*Prediction of the fretting fatigue resistance of various surface-modification layers on 1045 steel: the role of fretting maps*

Tribology International, vol. 34, p. 569-575

Y

**Yameogo A.**

2004

*Etude expérimentale et numérique de l'amorçage et de la propagation de fissures de fretting dans un assemblage roue/essieu ferroviaire*

Thèse de Doctorat de l'Ecole Centrale de Paris

Z

**Zhou Z.R.**

1992

*Fissuration induite en petits déplacements: application au cas d'alliages d'aluminium aéronautiques*

Thèse Ecole Centrale de Lyon, N° 92-50

**Zhou Z.R.**, Nakazawa K., Zhu M.H., Maruyama N., Kapsa Ph., Vincent L.

2006

*Progress in fretting maps*

Tribology International, in press

**Zhai T.**, Wilkinson A. J., Martin J. W.

2000

*A crystallographic mechanism for fatigue crack propagation through grain boundaries*

Acta Materialia, vol. 48, p. 4917-4927

**Rapports d'expertises de la SNCF**

MR4R1 94 L2 81 (rapport n°2), Essieu type 561 (TGV A)

1994

MR4R1 98 L2 106, Essieu type 561 (TGV A)

1998
<figure><img src="image_139.png" /></figure>
# Annexe 1

## Calcul analytique de contraintes et FIC
en configuration cylindre/plan
<figure><img src="image_140.png" /></figure>
## 1.21 Calcul analytique de contraintes en configuration cylindre/plan

Le contact est constitué d'une zone centrale toujours collée, de rayon c, et d'une
zone de glissement définie par un front de glissement de rayon a qui oscille durant un
cycle entre a et c (Figure 117).

2

<figure><img src="image_141.png" /></figure>

### Hypothèses :

- les surfaces en contact sont continues et non-conformes.

- loi de comportement linéaire élastiquement.

- les matériaux sont homogènes et isotropes.

- les solides sont considérés comme semi infinis (la taille du contact reste faible par rapport au rayon du cylindre et par rapport aux dimensions du plan).

- le coefficient de frottement est constant dans le contact.

- les deux solides ont les mêmes propriétés mécaniques.
Hills et Novell [D.A. Hills & D. Novell, 1994] ont développé les formules analytiques suivantes :

## Contact cylindre-plan en glissement total

Les contraintes ci-dessous sont écrites dans le repère (x,y,z) de la figure 2-12.

Contraintes dans le matériau :

$$ \frac{\sigma_{xx}^n}{p_0} = \frac{z}{a} \left\{ 2 - \frac{s}{\sqrt{a^2 + s^2}} - \frac{\sqrt{a^2 + s^2}}{s} - \frac{x^2 s^3 a^2}{(a^2 + s^2)^{\frac{3}{2}} (s^4 + z^2 a^2)} \right\} $$

$$ \frac{\sigma_{yy}^n}{p_0} = \frac{-2\nu z}{a} \left\{ \frac{\sqrt{a^2 + s^2}}{s} - 1 \right\} $$

$$ \tau_{xy}^n = \tau_{zy}^n = 0 $$

$$ \frac{\sigma_{zz}^n}{p_0} = \frac{-z^3 a \sqrt{a^2 + s^2}}{s(s^4 + z^2 a^2)} $$

$$ \frac{\tau_{xz}^n}{p_0} = \frac{x * z^2 * s * a}{\sqrt{a^2 + s^2} (s^4 + z^2 a^2)} $$

$$ \frac{\sigma_{xx}^t}{\mu * p_0} = \frac{-2x}{a} \left( 1 - \frac{s}{\sqrt{a^2 + s^2}} \right) + \frac{x * z^2 * s * a}{\sqrt{a^2 + s^2} (s^4 + z^2 a^2)} $$

$$ \frac{\sigma_{yy}^t}{\mu * p_0} = \frac{-2\nu x}{a} \left( 1 - \frac{s}{\sqrt{a^2 + s^2}} \right) $$

$$ \frac{\sigma_{zz}^t}{\mu} = \tau_{xz}^n $$
$$ \frac{\tau_{xz}^t}{\mu} = \sigma_{xx}^n $$

$$ \tau_{xy}^t = \tau_{zy}^t = 0 $$

$$ \text{Avec} \quad s^2 = \frac{1}{2} \left\{ -(a^2 - x^2 - z^2) + \sqrt{(a^2 - x^2 - z^2)^2 + 4z^2} \right\} $$

$$ p_o = \frac{2P}{\pi a} $$

$$ a = 2 \left( \frac{PR^*}{\pi E^*} \right)^{\frac{1}{2}} $$

P₀ : pression maximale au centre de contact ;

a : demi-largeur de contact ;

μ : coefficient de frottement.

Contraintes à la surface z=0 :

$$ \frac{\sigma_{xx}^n}{p_0} = \frac{\sigma_{zz}^n}{p_0} = \frac{\sigma_{xz}^t}{p_0} = -\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a} $$

$$ \frac{\sigma_{xx}^t}{\mu^* p_0} = -2 \frac{x}{a} $$

$$ \frac{\sigma_{zz}^t}{\mu^* p_0} = \frac{\tau_{xz}^n}{p_0} = 0 $$

$$ \frac{\sigma_{yy}^n}{p_0} = -2\nu \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a} $$

$$ \frac{\sigma_{yy}^t}{\mu^* p_0} = -2\nu \frac{x}{a} $$
## Contact cylindre/plan en glissement partiel

La formulation d'un contact en glissement partiel nécessite l'utilisation du principe de superposition car la partie centrale du contact est collée et les bords sont en glissement total. La formulation élastique du contact permet d'appliquer le principe de superposition. La formulation du contact en glissement partiel (cf. : Figure 2-11) est alors obtenue en additionnant la formulation de deux contacts en glissement total pour un déplacement respectif $\delta_1$ et $\delta_2$ où $\delta_2$ est inférieur à $\delta_1$, puis de soustraire deux fois le profil d'un contact en glissement total pour un déplacement $\delta$ compris entre $\delta_1$ et $\delta_2$.

Le principe de superposition et les contraintes analytiques écrites précédemment donnent la formule générale suivante :

$$ \sigma_{ij}(x, z) = p_0 * \left( \frac{\sigma_{ij}^{n} \left( \frac{x}{a}, \frac{z}{a} \right)}{p_0} \right) + \mu * p_0 * \left( \frac{\sigma_{ij}^{t} \left( \frac{x}{a}, \frac{z}{a} \right)}{\mu * p_0} \right) - \mu * p_0 * \frac{c}{a} * \left( \frac{\sigma_{ij}^{t} \left( \frac{x}{c}, \frac{z}{c} \right)}{\mu * p_0} \right) $$

où i,j = 1,2,3.
## 2.1 Calcule analytiques du Facteur d'Intensité de Contraintes

### 2.1.1 Calcul analytique du Facteur d'Intensité de Contraintes

Une fissure centre

<figure><img src="image_142.png" /></figure>

$$K1 = \sigma \cdot \sqrt{\pi a} \cdot F(\frac{a}{b})$$

$$K2 = \tau \cdot \sqrt{\pi a} \cdot F(\frac{a}{b})$$

$$F(\frac{a}{b}) = \frac{1 - 0.5(\frac{a}{b}) + 0.370(\frac{a}{b})^2 - 0.044(\frac{a}{b})^3}{\sqrt{1 - (\frac{a}{b})^2}}$$

Précision 0.3% pour tout $(\frac{a}{b})$, avec $\frac{h}{b} \ge 3$ (Tada 1973)
Deux fissures débouchant aux surfaces

<figure><img src="image_143.png" /></figure>

$$
K1 = \sigma \cdot \sqrt{\pi a} \cdot F\left(\frac{a}{b}\right)
$$

$$
K2 = \tau \cdot \sqrt{\pi a} \cdot F\left(\frac{a}{b}\right)
$$

$$
F(\frac{a}{b}) = \frac{1.122 - 0.561(\frac{a}{b}) - 0.205(\frac{a}{b})^2 + 0.471(\frac{a}{b})^3 - 0.190(\frac{a}{b})^3}{\sqrt{1 - (\frac{a}{b})^2}}
$$

Précision 0.3% pour tout (a/b), avec h/b ≥ 3 (Tada 1973)
Une fissure débouchant à la surface

<figure><img src="image_144.png" /></figure>

$$K1 = \sigma \cdot \sqrt{\pi a} \cdot F\left(\frac{a}{b}\right)$$

$$K2 = \tau \cdot \sqrt{\pi a} \cdot F\left(\frac{a}{b}\right)$$

$$F\left(\frac{a}{b}\right) = 1.122 - 0.231\left(\frac{a}{b}\right) + 10.550\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 21.710\left(\frac{a}{b}\right)^3 + 30.382\left(\frac{a}{b}\right)^3$$

Précision 0.5% pour $(a/b) \le 0.6$, avec $h/b \ge 3$ (Gross 1964)

$$F\left(\frac{a}{b}\right) = \sqrt{\frac{2b}{\pi a} \tan \frac{\pi a}{2b}} \cdot \frac{0.752 + 2.02\left(\frac{a}{b}\right) + 0.37\left(1 - \sin \frac{\pi a}{2b}\right)^3}{\cos \frac{\pi a}{2b}}$$

Précision 0.5% pour tout $(a/b)$, avec $h/b \ge 3$ (Tada 1973)
### 2.1.2 Calcul du Facteur d'Intensité de Contraintes par la méthode de Fonction Poids

La méthode des fonctions poids est un autre moyen de calculer le facteur d'intensité de contrainte. Cette méthode semi-analytique a été introduite par Hans F.Bueckner. Le principe des fonctions poids est de considérer une structure sans fissure, de considérer un chemin le long duquel on suppose une fissure, puis de relever les contraintes le long de ce chemin. Selon l'orientation du chemin et les sollicitations extérieures, la fissure virtuelle sera sollicitée en mode 1 et/ou mode 2. Le mode de sollicitation donne alors l'information sur le type de fonctions poids à choisir. La fonction poids étant choisie, celle-ci vient pondérer le champ de contrainte le long du chemin.

Dans le cas d'une fissure droite débouchant à la surface, la fonction poids d'après Hans F.Bueckner est la suivante :

$$M(t) = t^{-\frac{1}{2}} \left[ 1 + m_1 * \frac{t}{h} + m_2 * \left( \frac{t}{h} \right)^2 \right]$$

avec h la longueur totale de la fissure, t la variable parcourant la fissure, H la différence entre la largeur du massif et la longueur de fissure totale.

Ces notations sont visibles sur la Figure 118.

<figure><img src="image_145.png" /><figcaption>Figure 118 : Définition des variables pour l'étude d'une fissure par la méthode des fonctions poids.</figcaption></figure>

$m_1$ et $m_2$ sont des constantes dépendant du rapport $r = h/w$. On suppose que la longueur totale de la fissure h n'est pas infinie. Les expressions des ces deux paramètres sont alors les suivantes :

$$m_1 = A_1 + B_1 r^2 + C_1 r^6$$

et

$$m_2 = A_2 + B_2 r^2 + C_2 r^6$$
où

$$
\begin{array}{l@{\hspace{1em}}c@{\hspace{1em}}l}
A_1 = 0.6147 & B_1 = 17.1844 & C_1 = 8.7822 \\
A_2 = 0.2502 & B_2 = 3.2889 & C_2 = 70.0444
\end{array}
$$

Ces approximations sont utiles pour $0 \le r \le 0.5$. Pour des valeurs de r supérieures à 0.5
la fonction poids devient :

$$
M(t) = (Hs) - \frac{1}{2} (1 + A_1 s + A_2 s^2)
$$

avec $s = \frac{t}{t+H}$.

En appliquant la méthode des fonctions poids pour une fissure débouchante à la surface,
on obtient la formule du facteur d'intensité de contrainte:

$$
K1 = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{h} M(t) \cdot \sigma_{x}(t) dt
$$

$$
K2 = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{h} M(t) \cdot \sigma_{y}(t) dt
$$

où $\sigma_x(t)$ est le chargement normale à la fissure et $\sigma_y(t)$ est le chargement tangentiel à la fissure.
<figure><img src="image_146.png" /></figure>
Annexe 2

Description des critères multiaux d'amorçage de fissure
<figure><img src="image_147.png" /></figure>
## 2.2 Description des critères multiaux d'amorçage de fissure

### 2.2.1 Crossland (1956)

La description du critère de Crossland considère le chemin de chargement macroscopique. Le risque de fissure est exprimé comme une combinaison linéaire du maximum d'amplitude du deuxième invariant du déviateur $\sqrt{J_2(t)}$ de contraintes et de la valeur maximale de la pression hydrostatique pendant le chemin de chargement.

$$ \xi_a + \alpha_C P_{h \max} < \tau_d $$

où

$$ \alpha_C = \frac{\tau_d - \sigma_d / \sqrt{3}}{\sigma_d / 3} $$

est le maximum des contraintes hydrostatiques

$$ P_{h \max} = \max_{t \in T} \left\{ \frac{1}{3} \mathrm{tr}[\Sigma(t)] \right\} $$

est l'amplitude de $\sqrt{J_2(t)}$ définie à partir de double maximisation par le cycle

$$ \xi_a = \frac{1}{2} \max_{t_0 \in T} \left\{ \max_{t \in T} \left[ \frac{1}{2} (S(t) - S(t_0)) : (S(t) - S(t_0)) \right]^{1/2} \right\} $$

où S est la partie déviatrice de $\Sigma$ et le symbole : exprime le produit scalaire pour deux tenseurs. Le risque d'amorçage peut être quantifié par une variable:

$$ d_c = \frac{\xi_a}{\tau_d - \alpha_C P_{h \max}} $$

Si $d_c$ est plus grand ou égal à 1, il y a un risque d'amorçage de fissure, si $d_c$ est plus petit que 1 il n'y a pas de risque d'amorçage (Fouvry 200).
### 2.2.2 Dang Van (1973)

#### Le critère de Dang Van 1

Le critère de Dang Van, dans sa première version (1973) est le premier critère de fatigue à avoir été introduit dans l'industrie française (PSA). Justifié par des considérations établies à l'échelle microscopique, le critère utilise des grandeurs macroscopiques des contraintes qui sont la partie alternée du cisaillement et la pression hydrostatique. Comme pour le critère de Yokobori, la fonction de fatigue est une maximisation d'un indicateur de dommage par plan $E_h$ défini par :

$$E_h = \max_{t \in T} \left\{ \frac{\tau_a(t) + \alpha \cdot P_h(t)}{\beta} \right\}$$

avec:

$$P_h(t) = \frac{1}{3} \text{tr}[\Sigma(t)]$$

La fonction de fatigue du critère s'écrit alors :

$$d_{DV1} = \max_h \{E_h\}$$

Par définition, la fonction de fatigue du critère est égale à l'unité à la limite de fatigue du matériau, en particulier pour les limites de fatigue en traction et en torsion alternées symétriques qui servent au calage du critère. Les constantes $\alpha$ et $\beta$ ainsi établies sont données par:

$$\alpha = 3 \left( \frac{\tau_d}{\sigma_d} - \frac{1}{2} \right) \\ \beta = \tau_d$$

La condition de validité du critère de Dang Van 1 est réalisée lorsque $\frac{\tau_d}{\sigma_d} > \frac{1}{2}$.

#### Le critère de Dang Van 2

Dang Van, Griveau et Message proposent une nouvelle version du critère de Dang Van 2 en 1989. L'objectif de cette version est d'accélérer les calculs en évitant de balayer l'ensemble des plans physiques pour la détermination du plan critique. Dans l'espace du tenseur déviateur des contraintes $s_{ij}(t)$, un algorithme permet de définir la plus petite hypersphère circonscrite au trajet de charge décrit au cours d'un cycle multiaxial, la
notion de distance dans l'espace à 6 dimensions du tenseur déviateur des contraintes étant établie à l'aide du second invariant $J_2$. Le trajet de charge désigne ici l'ensemble des états de contraintes (dans l'espace des déviateurs) du cycle considéré. Le centre de l'hypersphère constitue l'état moyen du tenseur déviateur $s_{ijm}$ pour le cycle considéré et le tenseur déviateur alterné est défini par $s_{ija}(t) = s_{ij}(t) + s_{ijm}$. Les auteurs utilisent ensuite le critère de Tresca, appliqué aux valeurs principales des parties alternées du tenseur déviateurs $s_{ija}(t)$, afin d'en déduire le cisaillement maximal alterné. Il s'agit là d'une propriété du cercle de Mohr : la plus grande des demi-différences entre deux quelconques contraintes principales ou entre deux valeurs principales du tenseur déviateur des contraintes, prise en valeur absolue, est égale au cisaillement maximal dû à l'état de contrainte. Le critère de Dang Van est identique à la première version quant aux résultats obtenus (fonction de fatigue). La détermination de l'hypersphère circonscrite au trajet de charge conduit à la même amplitude de cisaillement que celle obtenue avec le plus petit cercle circonscrit.

$$E_{DV2} = \max_{t \in T} \left\{ \frac{\tau_{pr}(t) + \alpha \cdot P_h(t)}{\beta} \right\}$$

avec:

$$\tau_{pr}(t) = \frac{1}{2} \max\{ |s_{Ia}(t) - s_{IIa}(t)|, |s_{IIa}(t) - s_{IIIa}(t)|, |s_{IIIa}(t) - s_{Ia}(t)| \}$$

où $s_{Ia}(t)$, $s_{IIa}(t)$, $s_{IIIa}(t)$ sont les valeurs principales du tenseur déviateur alterné $s_{ija}(t)$ à l'instant $t$.

Les deux constantes $\sigma$ et $\beta$ ainsi que le domaine de validité $\frac{\tau_d}{\sigma_d} > \frac{1}{2}$ restent inchangés pour le critère, par rapport au première version du critère Dang Van.
### 2.2.3 Papadopoulos (1994)

#### Le critère de Papadopoulos 1

Le premier critère de Papadopoulos date de 1987. Proche du critère de type plan critique de Dang Van 2 car faisant partie des critères microscopiques, l'auteur propose la formulation suivante :

$$E_{PA1} = \frac{k^* + \alpha \cdot P_{h \max}}{\beta}$$

où $k^*$ est le rayon de la plus petite hypersphère contenant le cycle multiaxial de contraintes dans l'espace du déviateur des contraintes : celle-ci est obtenue à l'aide d'un algorithme itératif particulier. Dans le cas de chargements multiaxiaux proportionnels, le critère de Papadopoulos 1 coïncide avec le critère de Crossland puisque $k^* = \max_{t \in T} \sqrt{J_{2a}(t)}$. Les constantes, toujours obtenues avec les limites de fatigue $\sigma_d$ et $\tau_d$, sont d'ailleurs identiques au rapport 3 près pour la constante $\alpha$ puisque le critère utilise $P_{h \max}$, au lieu de $I_{l \max}$.

$$\beta = \tau_d$$

$$\alpha = 3 \frac{\tau_d}{\sigma_d} - \sqrt{3}$$

Le critère est valide lorsque le rapport $\frac{\tau_d}{\sigma_d}$ est supérieur à $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

#### Le critère de Papadopoulos 2

Le deuxième critère de Papadopoulos est établi en 1993. Le critère se compose en fait de deux expressions, respectivement pour les métaux doux et durs (la distinction est faite en fonction du rapport $\frac{\tau_d}{\sigma_d}$ des deux limites d'endurance propres au matériau).

* Cas des métaux doux ($0.5 < \frac{\tau_d}{\sigma_d} < 0.6$)

Dans le cas de métaux doux, le critère de Papadopoulos 2 s'écrit :

$$E_{PA2} = \frac{\max_{\phi, \gamma}\{T_{\sigma}(\phi, \gamma)\} + \alpha_1 \cdot P_{h \max}}{\beta_1}$$
où $T_σ(φ, γ)$ est la valeur efficace, sur le plan physique de normale h définie par les angles $φ$ et $γ$, des amplitudes de la contrainte tangentielle $τ_a(φ, γ, ψ)$ de l'ensemble des directions $ψ$.

On note $τ_{hψ}(t)$ la projection du vecteur contrainte tangentielle $τ_h(t)$, agissant à l'instant $t$ sur le plan de normale $h$. sur la droite affine orientée par l'angle $ψ$ (Figure 119).

<figure><img src="image_148.png" /><figcaption>Figure 119 : Projection de $τ_h(t)$ sur la droite orientée par l'angle $ψ$, définition de $τ_a(φ, γ, ψ)$</figcaption></figure>

L'amplitude de la contrainte tangentielle $τ_a(φ, γ, ψ)$ dans la direction $ψ$ est alors définie par :

$$τ_a(φ, γ, ψ) = \frac{1}{2} \left[ \max_{t \in T} \{τ_{hψ}(t)\} - \min_{t \in T} \{τ_{hψ}(t)\} \right]$$

La valeur efficace $T_σ(φ, γ)$ sur le plan considéré est alors donnée par :

$$T_σ(φ, γ) = \sqrt{\int_0^{2\pi} \tau_a^2(φ, γ, ψ)dψ}$$

Le critère combine les valeurs maximales de la pression hydrostatique $P_{hmax}$ et de $T_σ(φ, γ)$. Son calage, réalisé avec les limites de fatigue en traction et en torsion alternées symétriques, conduit aux expressions suivantes des constantes $α_1$ et $β_1$ :

$$α_1 = \sqrt{π} \cdot τ_d$$

$$β_1 = \sqrt{π} \cdot \frac{τ_d - \frac{σ_d}{2}}{\frac{σ_d}{3}}$$
Le domaine de validité est donné par l'intervalle de définition des métaux doux, c'est à
dire : $0.5 < \frac{\tau_d}{\sigma_d} < 0.6$.

* Cas des métaux durs ($0.6 < \frac{\tau_d}{\sigma_d} < 0.8$)

Dans le cas des métaux durs, le critère s'écrit :

$$E_{PA2} = \frac{M_{\sigma} + \alpha_{2} \cdot P_{h \max}}{\beta_{2}}$$

où $M_σ$ représente la valeur efficace, sur l'ensemble des plans physiques possibles, de la valeur efficace $T_σ(\varphi, \gamma)$. La quantité $M_σ$ est donc définie par :

$$M_{\sigma}(\varphi, \gamma) = \sqrt{\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\pi} T_{\sigma}^{2}(\varphi, \gamma) \sin(\gamma) d\gamma d\varphi}$$

Le calage est ici aussi réalisé avec les limites de fatigue en traction et en torsion alternées symétriques. Les expressions obtenues des constantes $\alpha_2$ et $\beta_2$ sont :

$$\alpha_2 = \pi \sqrt{\frac{8}{5}} \cdot \tau_d$$

$$\beta_2 = \pi \sqrt{\frac{8}{5}} \cdot \frac{\tau_d - \frac{\sigma_d}{\sqrt{3}}}{\frac{\sigma_d}{3}}$$

Le domaine de validité est donné par la condition $\alpha_2 > 0$, c'est à dire pour l'intervalle

$$\frac{\tau_d}{\sigma_d} > 0.6$$
Annexe 3

Développement informatique lors de cette étude
<figure><img src="image_149.png" /></figure>
## 2.3 Développement informatique lors de cette étude

### 2.3.1 Logiciel de pilotage et d'acquisition de données TriboFretting v3.0

A mon arrivée au sein du laboratoire LTDS un logiciel d'acquisition de données existait, mais c'était une version obsolète (Turbo Pascal sur DOS). Le développement de nouveaux essais de fretting (fretting fatigue, micro fretting, fretting électrique, fretting orthodontique, fretting wear forte charge) m'a conduit à développer un logiciel capable de répondre aux exigences du moment, c'est-à-dire de pouvoir faire du pilotage et de l'acquisition. Une première version du logiciel TriboFretting a vu le jour en 2002 et depuis il a constamment évolué jusqu'à une version 3 qui permet l'acquisition, le pilotage et le stockage de données avec visualisation, en cours d'essai.
La fenêtre principale du programme est présentée sur la Figure 120.

<figure><img src="image_150.png" /><figcaption>Figure 120 : Fenêtre principale du logiciel de pilotage et d'acquisition de données
TriboFretting v3.0</figcaption></figure>

Les fonctions générales du programme sont les suivantes :

* Acquisition des données des essais de fretting,

* Visualisation des données en temps réel,

* Pilotage des essais de fretting (moteurs linéaires, electro-shaker),
* Post traitement des résultats,

* Visualisation des résultats (évolution des paramètres d'essai, tracé de boucle de fretting, tracé de loop de fretting...)

* Module d'étalonnage de capteurs.

## Les options d'acquisition et de pilotage

* Fonctionnement en mode déterministe jusqu'à 100 kHz

* Fonctionnement en mode buffer jusqu'à 1Mhz

* Pilotage et acquisition simultanés des entrées/sorties numériques et analogiques

* Génération du signal sinus de pilotage (fréquence 1-500Hz),

* Régulation du signal de commande PID

* Pilotage manuel

* Filtrage numérique des signaux en temps réel

## Fonctions et modules complémentaires

Pour compléter les performances du logiciel, TriboFretting possède également :

* Un module de contrôle de l'humidité,

* Un module de contrôle de température,

* Un module de contrôle d'application de la force normale (une moteur à vitesse continue),

* Un module de mesure de résistance électrique des interfaces frottées (mesure de « small resistance »),

* Un module de commande numérique d'electro-valve pour le refroidissement des capteurs (pour les essais à hautes températures)

* Un module de commande numérique d'une pompe à salive pour les essais médicaux
<figure><img src="image_151.png" /><figcaption>Figure 121 : Fenêtre d'acquisition des données (TriboFretting v3.0)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_152.png" /><figcaption>Figure 122 : Fenêtre des modules complémentaires appliquée dans le système d'acquisition et de pilotage d'essais TriboFretting v3.0</figcaption></figure>
### 2.3.2 Logiciel de mesure d'image microscopique Microscala v2.1

Un autre logiciel quel j'ai développé pendent mon travail de thèse permet de faire l'acquisition d'image microscopique et d'effectuer des mesures de longueurs et d'angles sur ces images. Une courte description en anglais du logiciel Microscala se trouve ci-dessous.

MicroScala is freeware software which can capture picture from video or photo cameras, scanners etc. You can also load your own picture from disk (for example from SEM microscope) and measure linear dimensions and angles on those pictures; really useful feature of this software is the scale box. In the version 2.1 of Microscala the support for any video camera installed in system were implemented.

This program can be very useful in metalography, biology, physics etc... for preparation microscopy picture. MicroScala have support for JPG, BMP, GIF, WMF picture formats. You can save your picture as JPG and BMP files.

<figure><img src="image_153.png" /><figcaption>Figure 123 : Microscala v2.1, view of the main window of software</figcaption></figure>

In the new version of Microscala v2.1 many new features were implemented:
* new calibration module for 10 microscope and 10 magnification for each microscope support,

* scales definitions are separated for horizontal and vertical dimensions,

* calibration data are stored in configuration file: "MicroScala.ini",

* calibration help file include in last release version (not in beta version),

* optimization for better and faster functionality,

* removed many smaller errors and bugs

<figure><img src="image_154.png" /><figcaption>Figure 124 : Camera acquisition module</figcaption></figure>

## MicroScala v2.1 – Calibration procedure

Perform Calibration in the following steps:

1. In menu Option-Calibration you have to add the new name of microscope (name of your calibration). You are able to define the 10 different microscope calibrations.

2. In the second step you have to define the magnifications of objective at yours microscope. (The standard magnifications of optical objective are the following: 0.5, 1.0, 2.0, 50, 80, 100...)

3. Program can calculate only pixels on yours pictures, so the next step is to define the relation between the pixels and the real dimension observed at photo. You can find this relation by taking the photo of "end gauge" or some other scale.

4. When you have putted the first scale you can use "Scale auto calculation" button to calculate the scale for all other define previously magnifications or you can put the horizontal or/and vertical scale manually.
5. Verified that your scale is well calibrated for all microscope and magnifications your have defined.

<figure><img src="image_155.png" /><figcaption>Figure 125 : Photo of the 1 mm end gauge.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_156.png" /><figcaption>Figure 126 : Calibration options dialog windows with defined name of microscope, the magnifications, and the scale (620 pixels correspond to the 2000 microns at 2.5x magnification objective).</figcaption></figure>

Revision of History Version of program

* 1.0 beta - First beta version MiscroScala

* 1.0 - First full version MiscroScala

* 2.0 beta - Add Video Camera and photo camera capture modules.

* Add JPG compression setup dialog.

* Removed many errors (save function, paste function etc...)

* 2.1 beta - Add calibration module for 10 microscopes and magnifications

* Support for separated scale definition for horizontal and vertical dimensions

* calibration data saved in configuration file "MicroScala.ini",
* calibration help file included in release, better functionality,

* removed many smaller errors.

More information about this program can be find at MicroScala HomePage:

www.microscala.com

If you have any comments or suggestions regarding MicroScala software, send me a
message to info@microscala.com
<figure><img src="image_157.png" /></figure>
AUTORISATION DE SOUTENANCE

Vu les dispositions de l'arrêté du 25 avril 2002,

Vu la demande du Directeur de Thèse

Monsieur S. FOUVRY

et les rapports de

Monsieur K. DANG VAN
Directeur de Recherche - Laboratoire de Mécanique des Solides - CNRS UMR 7649 –
Ecole Polytechnique - 91128 Palaiseau Cedex

Monsieur C.PRIOUL
Professeur - Laboratoire de Mécanique de Sols Structure et Matériaux - CNRS UMR 8579 -
Ecole Centrale de Paris - Grande Voie des Vignes - 92295 Châtenay-Malabry Cedex

Monsieur

Monsieur KUBIAK Krzysztof

est autorisé à soutenir une thèse pour l'obtention du grade de DOCTEUR

Ecole doctorale Matériaux

Fait à Ecully, le 13 octobre 2006

P/Le Directeur de l'E.C.L.
Le Directeur des Etudes

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J. JOSEPH

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## Résume

Le but de cette étude est la détermination de la durée de vie en l'amorçage et en propagation d'un acier XC38 (EA1N) utilisé comme matériau pour les essieux-axes de TGV soumis à des sollicitations complexes de fretting fatigue. Cette étude est plus précisément orientée sur la prédiction de l'amorçage des fissures en fonction de charges appliquées et la prédiction de la condition d'arrêt de propagation des fissures. Conformément à cette analyse, l'étude expérimentale se divisera en deux grandes parties : l'une aborde la problématique de la condition d'amorçage alors que l'autre traite des phénomènes de propagation. Dans la première partie, des essais spécifiques de fretting simple et fretting fatigue ont été réalisés afin de caractériser les conditions seuil d'amorçage des fissures dans l'acier étudié. Ceci nous conduira à déterminer un seuil d'amorçage en fonction des conditions de chargement. On s'attachera en particulier à la mise en place de méthodes capables de prédire le risque d'amorçage et ainsi pouvoir définir un domaine de sûreté absolue vis à vis de la sollicitation de fretting fatigue.

La deuxième partie de ce travail a concerné le problème de la propagation des fissures. Des essais de fretting simple et fretting fatigue ont été réalisés pour déterminer les lois de propagation des fissures avec notamment la mise en évidence des conditions d'arrêt de propagation. La méthodologie développée, qui intègre la propagation des fissures courtes puis des fissures longues, nous a permis de modéliser les courbes de Wöhler en fretting fatigue et surtout de prédire la condition d'arrêt de propagation des fissures en fretting fatigue.

Ainsi, un nouveau concept de Cartes d'Endommagement en Fretting Fatigue a été introduit et formalisé.

**Mots clés :** fretting wear, fretting fatigue, amorçage de fissure, arrêt de propagation de fissure.

## Abstract

The objective of this research focuses on the quantification of the fretting fatigue endurance of XC38 (EA1N) steel alloy used in the TGV axles components. This study mainly concerns the prediction of the crack nucleation and crack arrest conditions under complex fretting and fretting fatigue loadings. Combining experiments and modeling aspect it includes the following two parts.

In the first part, fretting wear and fretting fatigue tests have been undertaken and modelized. It was demonstrated a threshold loading condition associated to the crack nucleation process. A specific formulation has been proposed to capture the size effect and provide pertinent and reliable crack nucleation predictions. From this analysis a fretting fatigue crack nucleation boundary has been defined and formalized.

The second contribution of this work concerns the formalization of the crack propagation behavior under fretting and fretting fatigue conditions. Specific experiments have been developed to quantify the crack arrest boundaries. By combining crack nucleation, short crack propagation and long crack formulations, the endurance under complex fretting fatigue global situation has been derived. Hence, the fretting fatigue endurance curves have been quantified taking into accounts the respective contribution of fretting and fatigue loadings.

Finally a global fretting fatigue chart has been introduced to rationalize the different cracking damages activated under complex fretting fatigue situations.

**Keywords:** fretting wear, fretting fatigue, crack nucleation, arrest of crack propagation.