# Abaques numériques : visualisation et post-traitement de solutions à variable séparée. Application visualisation web.

Felipe Bordeu, Adrien Leygue, Francisco Chinesta

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Felipe Bordeu, Adrien Leygue, Francisco Chinesta. Abaques numériques: visualisation et post-traitement de solutions à variable séparée. Application visualisation web. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01706214

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Submitted on 10 Feb 2018

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# Abaques Numériques : Visualisation et Post-Traitement de solutions à Variable Séparée. Application Visualisation Web.

F. Bordeu<fnref n="1" />, A. Leygue<fnref n="1" />, P. Chinesta<fnref n="1" />

**Résumé** — Actuellement il existe plusieurs méthodes de calcul qui de manière interne représentent les différents champs en utilisant la séparation de variables. Ce type de représentation permet, dans un grand nombre de cas, une réduction considérable de la quantité des données à stocker. Mais l'exploitation et le post-traitement de ce type de solutions n'est pas toujours évident. Principalement, parce que les logiciels de visualisation disponibles actuellement sont incapables de prendre en compte la structure « séparée » des solutions. Dans ce travail nous proposons des outils capables de stocker et post-traiter des solutions à variable séparée de façon très efficace. Ces outils permet aussi à différentes équipes (laboratoires, industriels) de partager des solutions issu de méthodes de reduction de modèles. Actuellement trois plate-formes de visualisation sont disponibles : Logiciels fixe (Linux/Max OS X/Windows), portable (Android) et dans un navigateur (Firefox).

**Mots clés** — visualisation, séparation de variables, transfert technologique.

## 1 Introduction

La méthode PGD appliquée à des problèmes multidimensionnels [1] utilise la séparation de variables pour représenter les différentes quantités du problème à résoudre. Dans la plupart des cas, ceci consiste à décomposer les différentes quantités en une somme finie des produits des fonctions. Par exemple, une séparation possible est :

$$u(x_1, \dots, x_{dim}) = \sum_{m=1}^{modes} f_i^m(x_1) \times \dots \times f_{dim}^m(x_{dim}) \quad (1)$$

Cette séparation, appelée canonique, n'est pas la seule décomposition possible. Une approximation du type Tucker ou Tucker-hiérarchique [2] peut être utilisée. Ici on s'intéresse aux représentations canoniques (1), qui sont principalement utilisées dans le cadre de la méthode PGD.

## 2 Problèmes multidimensionnelle et PGD

La méthode PGD est capable de résoudre de problèmes multidimensionnels de manières très efficaces. Ceci permet d'envisager de simulations très ambitieuses. Par exemple d'intégrer des paramètres (propriétés matériaux, conditions limites, paramètres procédés, paramètres géométriques) comme coordonnées supplémentaires dans le problème d'origine. Ces solutions multidimensionnelles appelées « Abaques Numériques » (par exemple $u(x,y,z,t,p,w)$) peuvent être utilisées ensuite pour la résolution de problèmes d'intérêt pour l'ingénieur. Des exemples sont : 1) le calcul de paramètres optimaux pour un procédé, 2) l'identification de propriétés matériaux, 3) le contrôle prédictif en temps réel, 4) l'aide à la prise de décision sur le terrain en utilisant des plates-formes légères, 5) support à l'enseignement. Toutes ces applications vont ensuite explorer ces abaques numériques de différentes façons. Il faut remarquer que le calcul de la sensibilité de la solution par rapport aux coordonnés est direct :

$$\frac{\partial u(x_1, \dots, x_{dim})}{\partial x_{dim}} = \sum_{m=1}^{modes} f_i^m(x_1) \times \dots \times \frac{\partial f_{dim}^m(x_{dim})}{\partial x_{dim}} \quad (2)$$

La méthode PGD peut être définie comme une technique de séparation de variables pour trouver une représentation séparée des champs inconnus, en ne connaissant que l'opérateur de l'équation différen-

<footnote n="1">¹ GeM, Ecole Centrale Nantes, {Felipe.Bordeu,Adrien.Leygue,Francisco.Chinesta}@ec-nantes.fr</footnote>
tielle et le second membre. La résolution d'un problème par la méthode PGD se fait en deux étapes. Premièrement, on exprime toutes les quantités du problème dans une forme séparée (similaires à l'équation 1) Ensuite, la méthode dans sa déclinaison la plus simple consiste à calculer un terme de la somme (appelé "mode") à la fois (étape d'enrichissement). Le calcul d'un mode est un problème non linéaire et il est adressé classiquement par une méthode de point fixe. Le point le plus important est que pendant les itérations du point fixe, seulement de problèmes de dimensions réduites doivent être résolus (dimension de chaque espace de coordonnée $x_i$). Ceci permet la résolution de problèmes multidimensionnels à très bas coût.

## 3 Exploitation d'un abaque numérique

Les solutions multidimensionnelles générées par la PGD sont très riches, et elles doivent rester en représentation séparée pour assurer une empreinte mémoire minimale pendant l'exploitation.

Pour pouvoir stocker ces solutions un nouveau format de fichier appelé PXDMF<fnref n="1" /> a été créé. Il est basé sur le format XDMF (eXtensible Data Model and Format)<fnref n="2" /> et il hérite tous les avantages du format original comme par exemple le stockage compressé binaire.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Structure interne du format PXDMF</figcaption></figure>

La visualisation 3D d'une solution à variables séparées passe par la reconstruction de la solution multidimensionnelle dans un espace de dimension inférieur. Ceci est fait en fixant les coordonnés de certaines dimensions, de manière à reconstruire des espaces toujours de faible dimension.

Actuellement trois plate-formes sont capables de gérer ce type de fichier :

- Un module complémentaire (plug-in) pour ParaView <fnref n="3" />.

- Une application Android.

- Une interface web capable de traiter des solutions séparé dans un navigateur (Firefox).

## 4 Application : ParaView

Le plug-in ParaView est actuellement l'outil le plus abouti. Il permet le traitement de solutions séparés avec une grande souplesse. Le plug-in ajoute à ParaView la capacité de lire des fichier PXDMF et de reconstruire les solutions en fonction de besoins. Une fois la solution reconstruite (generations du maillage et reconstruction de champs), les donnés peuvent être visualisés avec tous les outils disponibles dans ParaView (Figure 2).

Au delà de la reconstruction, le plug-in permet aussi de post-traiter les solution en gardant la structure séparée. Ceci nous permet de calculer de quantités d'intérêt et les exporter (en format séparé) pour ensuite être utilisée dans les autres plates-formes (web, app Android).

<footnote n="1">1. rom.ec-nantes.fr</footnote>

<footnote n="2">2. www.xdmf.org</footnote>

<footnote n="3">3. www.paraview.org</footnote>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Visualisation de la pression sous un patin hydrodynamique dans ParaView</figcaption></figure>

# 5 Application : Android

L'application Android peut être utilisé pour une visualisation sur une plate-forme légère (Figure 3).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Visualisation de la pression sous un patin hydrodynamique dans l'application Android</figcaption></figure>

# 6 Application : Web

L'interface web permet aux utilisateurs l'exploration et la visualisation de résultats en format pxdmf dans un navigateur web (de préférence Firefox). Cette interface est actuellement utilisée pour le transfert de solutions entre partenaires d'un même projet.

Au sein de l'Ecole Centrale de Nantes, cette interface est utilisée dans le cadre de travaux pratiques afin de permettre aux élèves ingénieurs de confronter des mesures réelles aux prédictions numériques d'un modèle (voir figure 4).

# 7 Conclution

Le principal objectif de ces outils est de faciliter la post-traitement de solutions générées par les méthodes de reduction de modèles comme la PGD. La création d'un format « standard » permet le transfert facile entre different équipes.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Visualisation de la pression sous un patin hydrodynamique dans Firefox</figcaption></figure>

Références

[1] A. Ammar, B. Mokdad, F. Chinesta, R. Keunings. *A new family of solvers for some classes of multidimensional partial differential equations encountered in kinetic theory modeling of complex fluids*, Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, Vol. 139, No. 3 pp. 153-176, 2006.

[2] L. Grasedyck. *Hierarchical Singular Value Decomposition of Tensors*, SIAM. J. Matrix Anal. & Appl., Vol. 31, No. 4 pp.2029-2054, 2010.