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# Les notations des dérivées partielles

Michel Lévy

► To cite this version:

Michel Lévy. Les notations des dérivées partielles. 2025. hal-05351759

HAL Id: hal-05351759

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Preprint submitted on 6 Nov 2025

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# Les notations des dérivées

Michel Lévy

30 novembre 2023

## Table des matières

<table><tr><td>1 Dérivées partielles des fonctions</td><td>2</td></tr><tr><td>2 Dérivées des expressions</td><td>3</td></tr><tr><td>3 Dérivées des dérivées</td><td>4</td></tr><tr><td>4 Symétrie des dérivées de tous ordres</td><td>5</td></tr><tr><td>5 Dérivation et composition des fonctions</td><td>7</td></tr><tr><td>Références</td><td>8</td></tr></table>
Résumé

On critique les notations usuelles des dérivées, car elles sont basées sur une
confusion entre fonctions et expressions. On propose d'autres notations qui res-
pectent la différence entre fonctions et expressions. Ma reflexion a été stimulée par
la lecture du polycopié de Kevin Santugini. Il critique l'incohérence des notations
des dérivées partielles mais renonce à en changer, car, écrit-il, "ces notations sont
maintenant trop ancrées dans l'usage pour les remplacer". Je partage sa critique
mais, contrairement à lui, je pense qu'il serait utile de changer ces anciennes nota-
tions, pour des notations plus conformes à l'usage des logiciels de calcul formel et
aux essais de formaliser l'analyse dans les assistants de preuves.

1 Dérivées partielles des fonctions

Dès le début de l'article de wikipédia sur les dérivées partielles, la définition de ces dérivées est incorrecte. Je cite ce début : la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ses variables, les autres étant gardées constantes. Ce que je critique ici, c'est l'oubli de la différence entre les expressions, qui ont des variables, et les fonctions, qui n'ont pas de variables.

Dans la suite, je ne considère que des fonctions sur les réels. Une fonction à n
arguments est une application de D → R où D ⊂ Rⁿ. À mes yeux, l'expression "fonction
de plusieurs variables" n'a aucun sens.

Soit $f$ une fonction à deux arguments. Je note la dérivée partielle de $f$ par rapport à son premier argument par $\frac{\partial f}{\partial x_0}$. Cette dérivée partielle peut aussi être notée $\frac{\partial}{\partial x_0}(f)$.

La dérivée partielle de $f$ par rapport à son deuxième argument est notée $\frac{\partial f}{\partial x_1}$. Cette dérivée partielle peut aussi être notée $\frac{\partial}{\partial x_1}(f)$.

Ces deux dérivées sont aussi des fonctions à deux arguments et sont définies ainsi :

$$
\text{— pour tous } x,y \in \mathbb{R}, \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}
$$

$$
\text{— pour tous } x,y \in \mathbb{R}, \frac{\partial f}{\partial x_1}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}
$$

On étend ces notations aux fonctions à *n* arguments où *n* est un entier strictement positif. Soit *f* une telle fonction et *i* un entier tel que $0 \le i \le (n-1)$.

Pour tous $x_0, \dots, x_{n-1} \in \mathbb{R}$, $\frac{\partial f}{\partial i}(x_0, \dots, x_{n-1}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, \dots, x_{i-1}, x_i+h, x_{i+1}, \dots, x_{n-1}) - f(x_1, \dots, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, \dots, x_{n-1})}{h}$

Lorsque $f$ est une fonction à un seul argument, la fonction $\frac{\partial f}{\partial x_0}$ à un seul argument est aussi notée $f'$.

Soit $f$ une fonction à deux arguments. Puisqu'alors les fonctions $\frac{\partial f}{\partial x_0}$ et de $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ sont comme $f$ des fonctions à deux arguments, on peut définir les fonctions $\frac{\partial^2 f}{\partial x_0 \partial x_0}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_0}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_0 \partial x_1}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_1}$, aussi à deux arguments, qui sont abrégées respectivement en $\frac{\partial^2 f}{\partial x_0 \partial x_0}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_1}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_0 \partial x_0}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_1}$.

Notons par $\epsilon$ la liste vide. Par récurrence sur les listes $u$ de 0 et 1, on peut définir
$\frac{\partial f}{\partial u}$ ainsi :

$$
\frac{\partial f}{\partial \epsilon} = f
$$

$$
- \frac{\partial f}{\partial \theta u} = \frac{\partial \frac{\partial f}{\partial u}}{\partial \theta}
$$

$$
- \frac{\partial f}{\partial 1u} = \frac{\partial \frac{\partial f}{\partial u}}{\partial 1}
$$
On peut facilement généraliser ces notations pour des fonctions avec un nombre $n$ d'arguments, en remplaçant ci-dessus les suites de 0 et 1 par des suites de 0, 1, ..., $n-1$.

**Remarque 1** Une liste d'éléments, dont chaque élément est représenté par un seul caractère, peut être représentée par la concatenation de ses éléments. Par exemple la liste des éléments 1 2 3 2 peut être représentée par 1232. Mais lorsque certains éléments sont représentés par plus d'un caractère, la liste est mise entre parenthèses et ses éléments sont séparés par une virgule. Par exemple la liste des éléments 1 21 3 22 est représentée par (1,21,3,22). Suivant le contexte, nous prendrons l'une ou l'autre représentation des listes.

Pour un complément sur les fonctions de plusieurs variables, sur les notions de continuité et sur une présentation des dérivées partielles avec les notations classiques, je recommande la lecture du cours de Bernard Ycart.

# 2 Dérivées des expressions

## Définition 2 Expression

Une expression est une constante, une variable ou une fonction appliquée à des expressions.

On suppose que l'ensemble des constantes et celui des variables sont disjoints. La syntaxe concrète des expressions n'est pas définie. Par exemple la somme des deux expressions $e1$ et $e2$ est notée par la syntaxe abstraite, dite aussi préfixée, somme($e1, e2$), la fonction somme est appliquée aux deux expressions $e1$ et $e2$, ou par la syntaxe concrète, appelée encore infixée, $e1 + e2$. De même le produit de ces deux expressions est notée par la syntaxe abstraite produit($e1, e2$) ou par l'une des trois syntaxes concrètes $e1 * e2$, $e1.e2$, $e1e2$.

Soit $e$ une expression à valeur réelle et $x$ une variable de type réel. La dérivée, de l'expression $e$ par rapport à la variable $x$, est notée $\frac{de}{dx}$ et parfois aussi $\frac{d}{dx}(e)$.

Dans le logiciel xcas [1], la dérivée $\frac{de}{dx}$ est notée $diff(e,x)$. Dans le logiciel wolfram, cette dérivée est notée $D[e,x]$. On notera que la documentation de wolfram est incohérente, puisqu'elle indique que $e$ est une fonction, alors que $e$ doit être une expression.

## Définition 3

Soit $e$ une expression, $x$ une variable et $f$ la fonction définie par $f(x) = e$.

Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. $\frac{de}{dx}$ est une expression qui vérifie : $f'(x) = \frac{de}{dx}$.

Exemple 4 Soit $f(x) = x^2$. Nous avons $f'(x) = \frac{dx^2}{dx} = 2 \cdot x$.

## Lemme 5

Soit $f$ une fonction à deux arguments et $x,y$ deux variables distinctes.

La première dérivée partielle de $f$ est définie par : $\frac{\partial f}{\partial 0}(x,y) = \frac{d(f(x,y))}{dx}$

La dauxième dérivée partielle de $f$ est définie par : $\frac{\partial f}{\partial 1}(x,y) = \frac{d(f(x,y))}{dy}$
**Preuve :** Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = f(x, y)$. D'après la définition 3, $\frac{d(g(x))}{dx} = g'(x)$. Par définition de $g$, $g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$. Par définition de la première dérivée partielle de $f$, et puisque $g(x) = f(x, y)$, nous avons donc :

$$ \frac{\partial f}{\partial 0}(x, y) = \frac{d(f(x,y))}{dx}. $$

On prouve de façon analogue que $\frac{\partial f}{\partial 1}(x, y) = \frac{d(f(x,y))}{dy}$. $\square$

On généralise le lemme ci-dessus aux fonctions ayant $n$ arguments.

**Lemme 6** Soit $f$ une fonction d'un domaine inclus dans $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ et soient $x_0, \dots, x_{n-1}$ $n$ variables distinctes.

Nous avons pour tout $i$ tel que $0 \le i \le n-1 : = \frac{\partial f}{\partial i}(x_0, \dots, x_{n-1}) = \frac{d(f(x_0, \dots, x_{n-1})}{dx_i}.$

La preuve est omise car c'est une simple généralisation de la preuve du lemme précédent. Dans la notation traditionnelle, la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial i}$ est abusivement notée $\frac{\partial f}{\partial x_i}$, en utilisant des variables arbitraires pour désigner les arguments de la fonction $f$.

## 3 Dérivées des dérivées

Puisque la dérivée d'une expression est une expression, on peut dériver la dérivée d'une expression.

**Exemple 7** dérivée de dérivée d'une expression

$$ \frac{d\left(\frac{d(x*y^2+y*x^2)}{dx}\right)}{dy} = \frac{d(y^2+y*2*x)}{dy} = 2*y + 2*x $$

On abrège $\frac{d\left(\frac{d(x*y^2+y*x^2)}{dx}\right)}{dy}$ en $\frac{d(x*y^2+y*x^2)}{dyx}$

Soit $e$ une expression et $x, y$ deux variables. On abrège $\frac{d\left(\frac{de}{dx}\right)}{dx}$ en $\frac{de}{dxy}$. Et plus généralement, on définit par récurrence la dérivée d'une expression par rapport à une liste de variables.

**Définition 8** dérivée d'une expression par rapport à une liste de variables

Soit $\epsilon$ la liste vide, soit $x$ une variable, soit $u$ une liste de variables, soit $e$ une expression.

$$ 1. \frac{de}{de} = e $$

$$ 2. \frac{d\frac{de}{du}}{dx} = \frac{de}{dxu} $$

On généralise le lemme 5 au cas de composition de plusieurs dérivations. On commence par le cas des fonctions à deux arguments.

**Lemme 9** Soit $f$ une fonction à deux arguments. Nous avons : $\frac{d(f(x,y))}{dxy} = \frac{\partial f}{\partial 01}(x,y)$,

$$ \frac{d(f(x,y))}{dx x} = \frac{\partial f}{\partial 00}(x,y), \quad \frac{d(f(x,y))}{dy x} = \frac{\partial f}{\partial 10}(x,y), \quad \frac{d(f(x,y))}{dy y} = \frac{\partial f}{\partial 11}(x,y). $$
Preuve : Par définition des dérivées de dérivées des expressions, nous avons

$$ \frac{d(f(x,y))}{dxy} = \frac{d\left(\frac{d(f(x,y))}{dy}\right)}{dx} $$

D'après le lemme 5, nous avons

$$ \frac{d(f(x,y))}{dy} = \frac{\partial f}{\partial 1}(x,y) $$

D'après ce même lemme, appliquée à l'expression $\frac{\partial f}{\partial 1}(x,y)$ (au lieu de l'expression $f(x,y)$) et à la fonction $\frac{\partial f}{\partial 1}$ (au lieu de la fonction $f$), nous avons

$$ \frac{d\left(\frac{\partial f}{\partial 1}(x,y)\right)}{dx} = \frac{\partial\left(\frac{\partial f}{\partial 1}\right)}{\partial 0}(x,y) $$

Par définition des dérivées des fonctions (voir paragraphe 1) nous avons

$$ \frac{\partial\left(\frac{\partial f}{\partial 1}\right)}{\partial 0}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial 01}(x,y) $$

D'après les quatre équations ci-dessus, nous avons $\frac{d(f(x,y))}{dxy} = \frac{\partial f}{\partial 01}(x,y)$. On prouve de façon analogue les autres égalités du lemme. $\square$

Nous généralisons le lemme ci-dessus, à un nombre quelconque d'arguments et de dérivations.

**Lemme 10** Soit $f$ une fonction à $n$ arguments. Pour tous les entiers $i_1, \dots, i_k$ compris entre 0 et $n-1$, nous avons :

$$ \frac{\partial f}{\partial i_1 \dots i_k} (x_0, \dots, x_{n-1}) = \frac{d(f(x_0, \dots, x_{n-1}))}{dx_{i_1} \dots x_{i_k}} $$

Nous ne faisons pas la preuve de ce lemme, car c'est une simple généralisation du lemme précédent. La dérivée $\frac{d(f(x_1, \dots, x_n))}{dx_{i_1} \dots x_{i_k}}$ de l'expression $f(x_1, \dots, x_n)$ est une dérivée d'ordre $k$ de l'expression. De même la dérivée $\frac{\partial f}{\partial i_1 \dots i_k}$ de la fonction $f$ est aussi appelée dérivée d'ordre $k$ de la fonction.

# 4 Symétrie des dérivées de tous ordres

Soit $f$ une fonction sur un domaine inclus dans $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$. Il avait été affirmé par Bernouilli, Clairault, Young, avec des preuves incorrectes, ainsi qu'il est constaté dans la version anglaise de wikipedia que pour tous $i, j$ où $0 \le i, j \le n-1$,

$$ \frac{\partial f}{\partial i j} = \frac{\partial f}{\partial j i} \qquad (1) $$
Attention, j'emploie ici la notation des dérivées partielles définie au paragraphe 1. Dans la version usuelle, la dernière égalité est notée $\frac{\partial f}{\partial x_i x_j} = \frac{\partial f}{\partial x_j x_i}$. Les variables sont utilisées (à tord à mon avis) pour désigner les arguments de la fonction $f$, ce qui crée une confusion entre les expressions qu'on dérive relativement à une variable et les fonctions qu'on dérive relativement à un de leurs arguments.

Le théorème de Schwarz donne des conditions suffisantes pour que l'égalité 1 soit vérifiée.

**Théorème 11 (Théorème de Schwarz)**

Soit $f$ une fonction sur les réels définie sur un ouvert $D$ où $D \subset \mathbb{R}^n$. Soient $i, j$ deux entiers tels que $0 \le i < j \le n-1$. Supposons que les deux dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial i j}$ et $\frac{\partial f}{\partial j i}$ sont continues sur $D$. Alors, pour tout $a \in D$, $\frac{\partial f}{\partial i j}(a) = \frac{\partial f}{\partial j i}(a)$

La preuve de ce théorème est (très bien) faite dans l'article du wikipedia anglais référencée ci-dessus. Puisqu'une permutation d'une liste d'entiers est une combinaison de transpositions élémentaires, le théorème de Schwarz peut être généralisé aux dérivations de tous ordres.

**Définition 12 Fonction de classe k (où k ≥ 0) sur un domaine**

Une fonction $f$ définie sur domaine ouvert $D$ où $D \subset \mathbb{R}^n$ est de classe k sur ce domaine, si elle et ses dérivées partielles d'ordre au plus k sont continues sur ce domaine.

**Théorème 13 (Théorème de Schwarz généralisé)**

Soit $f$ une fonction sur les réels de classe k sur le domaine ouvert $D$ où $D \subset \mathbb{R}^n$. Si $u$ et $v$ sont des listes de longueur $p$, où $p \le k$ d'entiers entre 0 et $n-1$ et si ces listes sont des permutations l'une de l'autre, alors pour tout $a \in D$, $\frac{\partial f}{\partial u}(a) = \frac{\partial f}{\partial v}(a)$

*Preuve:* Une transposition élémentaire est un échange entre deux éléments consécutifs d'une liste. Puisque toute permutation est un produit de transpositions élémentaires, il suffit de vérifier le théorème lorsque $v$ est obtenue par une transposition élémentaire effectuée sur $u$, autrement dit lorsqu'il existe deux listes $w$ et $x$, deux entiers $i$ et $j$ tels que $u = w j x$ et $v = w j i$.

Soit $a \in D$. Par définition des dérivées partielles des fonctions, nous avons

$$ \frac{\partial f}{\partial w j x}(a) = \frac{\partial(\frac{\partial f}{\partial i j x})}{\partial w}(a) \qquad (2) $$

$$ = \frac{\partial(\frac{\partial f}{\partial i j})}{\partial w}(a) \qquad (3) $$

Puisque la fonction $f$ est de classe $k$ sur $D$, la fonction dérivée $\frac{\partial f}{\partial x}$ est continue et deux fois dérivable sur ce domaine. Par suite on peut lui appliquer le théorème de Schwarz et par conséquent pour tout $a \in D$

$$ \frac{\partial(\frac{\partial f}{\partial x})}{\partial i j}(a) = \frac{\partial(\frac{\partial f}{\partial x})}{\partial j i}(a) \qquad (4) $$
D'après la définition des dérivées partielles des fonctions, il en résulte que pour tout $a \in D$ nous avons

$$ \frac{\partial f}{\partial i_j x}(a) = \frac{\partial f}{\partial j_i x}(a) \qquad (5) $$

En dérivant par $w$, on en déduit que pour tout $a \in D$, $\frac{\partial f}{\partial w_i j_x}(a) = \frac{\partial f}{\partial w_j j_x}(a)$, ce qu'il fallait prouver pour la transposition élémentaire de $ij$ en $ji$. $\square$

Le logiciel xcas, voir [1] et [2], écrit et maintenu par Bernard Parisse, est un logiciel de calcul formel, avec d'innombrables possibilités. J'indique ici comment dériver une expression relativement à des variables.

Le calcul de $\frac{d(x^3 * y^2)}{dyxx}$ est réalisé par la commande `diff(x^3 * y^2, y, x, x)`.

Le corollaire suivant montre que l'ordre des dérivations est sans importance, c'est-à-dire que $\text{diff}(x^3 * y^2, y, x, x) = \text{diff}(x^3 * y^2, x, y, x) = \text{diff}(x^3 * y^2, x, x, y)$.

Cela justifie la notations par xcas de cette dérivation par la commande `diff(x^3 * y^2, x$2, y$1)`, les indications `x$2` et `y$1` précisent qu'il faut faire deux dérivations selon `x` et une dérivation selon `y`, l'ordre de ces dérivations étant sans importance.

**Corollaire 14 (Théorème de Schwartz et dérivées des expressions)**

Soit $D$ un domaine ouvert inclus dans $\mathbb{R}^n$ et soit $f$ une fonction de classe $k$ (où $k \ge 2$) sur ce domaine. Soit $p$ un entier où $p \le k$, soit $i_1, \dots, i_p$ une liste d'entiers entre $0$ et $n-1$. Nous avons

$$ \frac{d(f(x_0, \dots, x_{n-1}))}{dx_{i_1} \dots x_{i_p}} = \frac{d(f(x_0, \dots, x_{n-1}))}{dx_{j_1} \dots x_{j_p}} \qquad (6) $$

où $j_1, \dots, j_p$ est une permutation quelconque de $i_1, \dots, i_p$.

*Preuve :* D'après le lemme 10, nous avons $\frac{d(f(x_0, \dots, x_{n-1}))}{dx_{i_1} \dots x_{i_k}} = \frac{\partial f}{\partial i_1 \dots i_k}(x_0, \dots, x_{n-1})$.

D'après le théorème de Schwartz généralisé, nous avons $\frac{\partial f}{\partial i_1 \dots i_k}(x_0, \dots, x_{n-1}) = \frac{\partial f}{\partial j_1 \dots j_k}(x_0, \dots, x_{n-1})$. D'après le lemme 10, nous avons $\frac{\partial f}{\partial j_1 \dots j_k}(x_0, \dots, x_{n-1}) = \frac{d(f(x_0, \dots, x_{n-1}))}{dx_{j_1} \dots x_{j_p}}$

D'après ces trois égalités, on a $\frac{d(f(x_0, \dots, x_{n-1}))}{dx_{i_1} \dots x_{i_p}} = \frac{d(f(x_0, \dots, x_{n-1}))}{dx_{j_1} \dots x_{j_p}} \square$

# 5 Dérivation et composition des fonctions

**Théorème 15** Soient $e_1, \dots, e_n$ une suite d'expressions. Soit $x$ une variable. Soit $f$ une fonction sur les réels définie sur un domaine $D$ inclus dans $\mathbb{R}^n$. Supposons que $f$ est de classe $C_1$ sur le domaine $D$ et que $(e_1, \dots, e_n)$ est dans ce domaine. Supposons que pour tout $i$ et pour $x$ les dérivées $\frac{d(e_i)}{dx}$ sont définies. Lorsque ces conditions sont vérifiées, nous avons :

$$ \frac{d(f(e_1, \dots, e_n))}{dx} = \sum_{i=0}^{n-1} \left(\frac{\partial f}{\partial i}\right) (e_1, \dots, e_n) * \frac{d(e_i)}{dx} $$
Ce théorème est souvent énoncé comme une relation entre différentielles :

$$d(f(e_1, \dots, e_n)) = \sum_{i=0}^{n-1} \left(\frac{\partial f}{\partial i}\right) (e_1, \dots, e_n) * d(e_i)$$

En divisant par $dx$, on obtient le théorème ci-dessus.

Le théorème reste vrai lorsque $f$ au lieu d'être une fonction d'un domaine $D$ où $D \subset \mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ est une fonction de $D$ dans $\mathbb{R}^p$.

**Exemple 16** Vérifions le théorème 15 sur un exemple. Soit $f$ définie par $f(x,y) = 2xy$.

Calculons de deux manières distinctes $\frac{d(f(2x,3y))}{dx}$.

Par définition de $f$, $\frac{d(f(2x,3y))}{dx} = \frac{d(12xy)}{dx} = 12y$.

D'après le lemme 5, nous avons

$$-\frac{\partial f}{\partial 0}(x,y) = \frac{d(f(x,y))}{dx} = \frac{d(2xy)}{dx} = 2y$$

$$-\frac{\partial f}{\partial 1}(x,y) = \frac{d(f(x,y))}{dy} = \frac{d(2xy)}{dy} = 2x$$

$$\text{Calculons } \frac{\partial f}{\partial 0}(2x, 3y) * \frac{d(2x)}{dx} + \frac{\partial f}{\partial 1}(2x, 3y) * \frac{d(3y)}{dx}.$$

L'expression $\frac{d(3y)}{dx}$ valant 0, $\frac{\partial f}{\partial 1}(2x, 3y)$ valant 6y, $\frac{d(2x)}{dx}$ valant 2, la somme ci-dessus vaut 12y, ce qui est bien la valeur de $\frac{d(f(2x,3y))}{dx}$.

Lorsque la fonction $f$ n'a qu'un argument, le théorème 15 implique le corollaire suivant qui, en français, est le théorème de la dérivée des fonctions composées et, en anglais, est la Chain rule.

**Corollaire 17** Soit $f$ et $g$ deux fonctions à un argument. Si $g$ est dérivable en $x$ et $f$ est dérivable en $g(x)$ alors $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)$.

*Preuve :* Posons $g(x) = e$. Puisque $g$ est dérivable en $x$ et que $g'(x) = \frac{d(e)}{dx}$, l'expression $\frac{d(e)}{dx}$ est définie. Puisque $f$ est dérivable en $g(x)$ et que $f'(g(x)) = \frac{d(f(e))}{dx}$, l'expression $\frac{d(f(e))}{dx}$ est aussi définie. Donc, par application de théorème 15 dans le cas où $n = 1$, nous avons $\frac{d(f(e))}{dx} = f'(e) * \frac{de}{dx}$. En remplaçant $e$ par $g(x)$, nous obtenons
$$\frac{d(f(g(x)))}{dx} = \frac{d(f \circ g)(x)}{dx} = (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) * \frac{d(g(x))}{dx} = f'(g(x)) * g'(x). \quad \square$$

## Références

[1] Bernard PARISSE. xcas.doc. URL: https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac_fr.html (visité le 27/11/2021).

[2] Bernard PARISSE. xcas en ligne. URL: https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html (visité le 19/11/2021).

[3] Kevin SANTUGINI-REPIQUET. PolyDeriveesPartielles. URL: https://www.math.u-bordeaux.fr/~ksantugi/downloads/PolyDeriveesPartielles.pdf (visité le 30/11/2021).

[4] Bernard YCART. Fonctions de plusieurs variables. URL: https://membres.ljk.imag.fr/Bernard.Ycart/mel/fp/ (visité le 19/11/2021).