# Des prophéties mathématiques ?

1 Pierre Hérigone, Cursus mathematicus : Tomus primus, Continens Euclidis Elementorum Lib. XV […] Dat (...) 2 La structure des données est également reprise de manière originale par Pascal ; à ce propos, voir (...) 3 Hérigone, Cursus mathematicus […], op. cit., p. 801-802. 1En 1634, dans son édition des Données d’Euclide, Pierre Hérigone écrit : « Le donné, l’hypothèse, l’ordonné, le porime, le poriste, l’effable, le cognu, signifient presque la même chose1. » Plus qu’une traduction, il s’agit certes d’une reformulation du traité d’Euclide, de sorte qu’une nouvelle conception des « données » en mathématiques apparaît2. Les termes employés par Hérigone attirent l’attention ; chacun d’eux est défini, et en particulier on peut lire : « L’effable est ce qui peut estre exprimé par nombres rationaux3. »

4 Éléments, livre X, définition 3. 5 Voir la citation de Sébastien Maronne dans la note précédente. 2Tout en mathématiques n’est pas directement exprimable : que faire par exemple de la relation entre la circonférence du cercle et son rayon ? Comme l’on sait, un tel rapport ne saurait être exprimé par un nombre rationnel. L’histoire des mathématiques connaît plusieurs termes qui indiquent un « obstacle », tel que les nombres « irrationnels » ou les « imaginaires ». Chez Euclide4, nous retrouvons les termes de ῥητός et ἄλογος, quelquefois traduits par « rationnel » et « irrationnel »5, mais dont les termes en général comportent bien les notions, respectivement, de ce qui peut être dit, et de ce qui est privé de lógos, à savoir, de raison, mais aussi de parole. Les mathématiques comporteraient donc, dans un sens, ce qui ne peut pas être dit.

Dans cet article, nous verrons comment Pascal cherche à montrer l’« ineffable » en mathématiques, à savoir, ce qui ne peut pas être directement exprimé, mais qu’il essaie néanmoins de faire d’une certaine manière, notamment en faisant appel à des figures et à des comparaisons.

6 Selon la 1re édition du Dictionnaire de l’Académie française (1694), le prophète est « Celuy qui pr (...) 7 Il serait certainement important de considérer également le langage figuré dans les ouvrages scient (...) 4Dans ce sens, il est possible de s’interroger sur la manière dont on pourrait « prophétiser » en mathématiques : si le « prophète » parle pour révéler des vérités cachées6, Pascal ne saurait s’empêcher de « prophétiser7 ». Il met à l’avance (pro) ce qui peut être dit (du verbe phêmi), même si cette énonciation n’est pas directe – dans cette perspective, on pourrait dire que Pascal place les mathématiques entre l’« effable » et l’ineffable.

# Comparer et figurer en mathématiques

Comment le recours aux comparaisons, et de manière plus générale aux figures et au langage figuré, permet à Pascal d’accéder à des entités mathématiques qui sembleraient ne pas être atteignables ?

8 « La raison en nombres est la comparaison qu’on fait de deux nombres par rapport à leur quantité » (...) 9 Je me permets de renvoyer à João F. N. B. Cortese, Infini et disproportion chez Pascal, Paris, Hono (...) 6Le terme « comparaison » peut être employé en mathématiques, y compris par Pascal8 ; plus généralement, nous pouvons regarder plusieurs comparaisons faites dans son œuvre, autant dans les ouvrages littéraires que dans les ouvrages scientifiques et mathématiques9.

Quant à la figure, notion centrale pour Pascal, un fragment célèbre semble être crucial pour la discussion :

> 10 Sel. 303. Les références aux Pensées sont données d’après l’édition Sellier-Ferreyrolles (Paris, Li (...) Figures.Quand la parole de Dieu, qui est véritable, est fausse littéralement, elle est vraie spirituellement. Sede a dextris meis : cela est faux littéralement, donc cela est vrai spirituellement.En ces expressions il est parlé de Dieu à la manière des hommes. Et cela ne signifie autre chose sinon que l’intention que les hommes ont en faisant asseoir à leur droite, Dieu l’aura aussi. C’est donc une marque de l’intention de Dieu, non de sa manière de l’exécuter. […]Ainsi iratus est, Dieu jaloux, etc. Car les choses de Dieu étant inexprimables, elles ne peuvent être dites autrement et l’Église aujourd’hui en use encore, quia confortavit seras, etc.--------Il n’est pas permis d’attribuer à l’Écriture les sens qu’elle ne nous a pas révélé qu’elle a. Ainsi de dire que le ם d’Isaïe signifie 600 cela n’est pas révélé. Il n’est pas dit que les צ et les ח deficientes signifieraient des mystères. Il n’est donc pas permis de le dire. Et encore moins de dire que c’est la manière de la pierre philosophale. Mais nous disons que le sens littéral n’est pas le vrai parce que les prophètes l’ont dit eux-mêmes10.

11 Rappelons qu’il faut considérer chez Pascal autant la notion de sens figuré que celle de sens spiri (...) 12 Étienne Pascal écrit même que l’Écriture est remplie de « saintes métaphores », quoique la métaphor (...) 13 Ibid., chapitre 1. 14 Voir Sel. 291 : « Un portrait porte absence et présence, plaisir et déplaisir. La réalité exclut ab (...) Pascal indique bien dans ce fragment le caractère limité du langage humain quand il est appliqué aux choses divines : on emploie les mêmes termes pour l’homme et pour Dieu, sans que cela dise exactement la même chose. Ce qui est pareil dans chaque cas n’est que « l’intention de Dieu », marque du sens spirituel qui doit être confronté au sens littéral11. Cela est important et fait appel à un mode particulier d’expression (remarquons par ailleurs que Pascal fait mention aux « prophètes ») ; la raison la plus profonde réside dans le caractère ineffable du divin : « car les choses de Dieu étant inexprimables, elles ne peuvent être dites autrement ». À proprement parler, on ne peut pas exprimer les choses divines. Une option serait de se taire, comme par la voie négative de la théologie apophatique. Une autre voie est celle d’assumer le caractère figuratif du langage, parlant de Dieu par des modes indirects, tels que les comparaisons, les figures et les analogies12. Les choses de Dieu sont bien « inexprimables », et donc elles ne peuvent être dites autrement – mais en même temps il y a une tension, car elles sont dites autrement quoiqu’inexprimables. Voici le problème qui peut être identifié au cœur de la perspective pascalienne sur le langage, que j’ai essayé de caractériser comme une « comparaison des incomparables13 ». De manière plus générale, on peut rappeler qu’une tension est toujours également présente entre la ressemblance et la dissemblance dans n’importe quelle comparaison14.

Les comparaisons et les figures sont les ressources de Pascal pour donner à voir ce qui n’est pas directement exprimable. Il faudra par la suite voir comment cela se passe pour les mathématiques pascaliennes.

# Peut-on tout définir en géométrie ?

Dans l’opuscule De l’Esprit géométrique, Pascal mène une discussion sur la méthode géométrique, qui lui servira y compris pour élucider la nature des indivisibles. Le rôle des définitions y est crucial, car Pascal y propose que

> 15 De l’Esprit géométrique (dorénavant EG), OC III, p. 395. […] cet ordre [de la géométrie], le plus parfait entre les hommes, consiste non pas à tout définir ou à tout démontrer, mais à se tenir dans ce milieu de ne point définir les choses claires et entendues de tous les hommes, et de définir toutes les autres […]15.

Si la définition est fondamentale pour les termes géométriques, on ne peut pas tout définir, sous peine de tomber dans une régression infinie. Ce qui est intéressant est que Pascal ne voit pas les termes sans définition comme un problème dans la structure des définitions géométriques ; bien au contraire, il écrit que

> 16 EG, OC III, p. 401. […] le manque de définition est plutôt une perfection qu’un défaut, parce qu’il ne vient pas de leur obscurité [des objets principaux de la géométrie], mais au contraire de leur extrême évidence […]16.

17 Ce qui serait à considérer ensemble avec l’indéfini des Lettres de A. Dettonville, qui s’oppose au (...) 11Il s’agit de principes indéfinissables, mais connus par tous, de sorte qu’ils peuvent bien prendre un rôle de principe et servir à la définition d’autres termes. Curieusement, on part alors en géométrie de l’« indéfini » : de ce qui ne peut pas être défini17. En tout cas, il est intéressant de voir que l’ordre de la géométrie, « le plus parfait entre les hommes », ne peut pas tout définir.

18 EG, OC III, p. 409. 12Pour montrer la nature des indivisibles, en particulier, Pascal va chercher dans l’opuscule à faire les bonnes comparaisons. C’est ainsi qu’il ne faut pas comparer le rapport d’un indivisible à sa grandeur correspondante (par exemple un point par rapport à une ligne) au rapport entre l’unité et les nombres – car, étant multipliée, l’unité peut surpasser les nombres, tandis que cela n’est pas le cas pour un point, qui ne saurait par répétition constituer une ligne : « d’où l’on voit combien il y a peu de raison de comparer le rapport qui est entre l’unité et les nombres à celui qui est entre les indivisibles et l’étendue18 ». Il faut bien en revanche considérer le zéro comme ayant un certain rapport aux nombres qui est semblable à celui entre l’indivisible et l’étendue.

19 L’analogie de disproportion indique une ressemblance entre des différences plutôt qu’une ressemblan (...) 13Pascal procède alors par une suite de comparaisons entre des éléments hétérogènes l’un à l’autre, c’est-à-dire, des couples dont l’un ne pourrait pas surpasser l’autre en étant multiplié : à l’indivisible et l’étendue correspondent ainsi d’une part le zéro et les nombres, mais aussi le repos et le mouvement, et finalement l’instant et le temps. Dans chaque cas, entre les deux éléments il y a un manque de rapport dans un sens, et néanmoins il est possible de l’exprimer par le moyen de ce type de comparaison que j’ai proposé de nommer « l’analogie de disproportion19 ».

20 EG, OC III, p. 410. 14Au-delà des comparaisons analogiques à quatre termes (même si elles sont « retournées » dans l’analogie de disproportion), Pascal fait aussi un usage figuré du terme « indivisible » par le moyen d’un recours à la métaphore : le zéro, écrit Pascal, n’est pas du même genre que les nombres, « parce qu’étant multiplié, il ne peut les surpasser : de sorte que c’est un véritable indivisible de nombre, comme l’indivisible est un véritable zéro d’étendue20 ». La « condensation » métaphorique (qui dit « directement » ce qui apparaît en quatre termes par l’analogie) permet ici de nommer un élément géométrique dont la conceptualisation pourrait courir le risque de ne pas être bien comprise ; la rigueur géométrique est néanmoins bien gardée au sein de la comparaison : il s’agit d’un véritable indivisible de nombre, d’un véritable zéro d’étendue.

21 EG, OC III, p. 393. 15Il faut donc conclure que l’impossibilité de la méthode parfaite ne saurait empêcher l’existence d’une certaine « méthode » géométrique, qui fait recours y compris au langage figuratif : « […] car ce qui passe la géométrie nous surpasse ; et néanmoins il est nécessaire d’en dire quelque chose, quoiqu’il soit impossible de le pratiquer21 ».

# La géométrie des coniques

De la géométrie des coniques sur laquelle Pascal a travaillé dans sa jeunesse à la suite de Girard Desargues, ne nous sont pas restés des documents abondants ; cela n’empêche pas cependant que des expressions très intéressantes y peuvent être retrouvées. Pascal travaille avec des courbes coniques telles que l’ellipse, la parabole, et l’hyperbole comme des projections de la circonférence du cercle, ce qui permet une unification des connaissances géométriques (de sorte que ce qui est démontré pour une courbe l’est également pour l’autre). Cette unification n’est possible que grâce à l’introduction de points à distance infinie, qui permettent de voir comme « fermées » des courbes telles que la parabole et l’hyperbole.

Il est ainsi qu’écrit Pascal dans la Generatio conisectionum :

> 22 Generatio conisectionum, OC II, p. 1114 (trad. Mesnard) : « Inde fit ut parabola, in infinitum exte (...) De là résulte que la parabole s’étend à l’infini et engendre un espace infini, quoiqu’elle soit l’image de la circonférence du cercle, qui est finie et embrasse un espace fini22.

Il s’agit d’une correspondance étonnante (la concession marquée par le terme quamvis l’indique bien), mais en même temps possible, grâce au rôle unificateur de l’infini lors de la géométrie pascalienne des coniques : la parabole est bien une image de la circonférence du cercle.

Ce qui étonne par ailleurs dans le texte de la Generatio conisectionum est que Pascal, pour ainsi dire, peut « faire comme si » en mathématiques, par moyen de deux expressions qui ne semblent pas avoir attiré beaucoup d’attention dans les commentaires.

Pascal déclare d’une part qu’un élément géométrique peut « jouer le rôle » (vice fungitur) d’un autre. À chaque droite tangente d’une circonférence correspond par projection une droite tangente à la parabole qui est son image ; fait exception une seule droite, qui ne se rencontrerait comme une « tangente » qu’au point à l’infini de la parabole – Pascal peut néanmoins la nommer, comme une « droite manquante » :

> 23 Ibid., p. 1117 (trad. Mesnard) : « Est ergo in parabola recta deficiens, quae quidem vice fungitur (...) Il y a donc sur la parabole une droite manquante, laquelle joue le rôle d’une tangente, puisqu’elle est l’image d’une tangente23.

Quoique cette droite ne soit pas une tangente à proprement parler, car le point de la parabole qu’elle toucherait est à l’infini, elle ne laisse pas de « jouer le rôle » d’une tangente.

D’autre part, quand Pascal parle du même problème pour l’hyperbole (qui à son tour possède deux droites correspondantes aux tangentes de la circonférence qui ne toucheraient l’hyperbole qu’à des points à distance infinie), il écrit :

> 24 OC II, p. 1118 (trad. de Mesnard modifiée) : « Colligendum hinc asymptotos censeri et sumi pro tang (...) Il faut conclure de là que les asymptotes sont à considérer comme, et à être prises en tant que, des tangentes à distance infinie24.

Pascal explicite ici que les asymptotes doivent être « considérées comme », et être « prises en tant que », des tangentes à la distance infinie – car en principe cela ne peut pas se dire.

Dans les deux cas, nous nous retrouvons face à un langage qui, comme celui des affirmations sur les attributs divins, doit être limité à la voie disponible à l’homme pour parler de ce qui le surpasse, langage qui ne laisse cependant pas pour cela d’être employé, et de donner lieu à la réalisation des mathématiques, même avec des aspects figurés.

# Un triangle, arithmétique

25 Voir par exemple, dans les publications récentes, Dominique Descotes, « Les lettres du Triangle ari (...) 22Le rapport entre arithmétique et géométrie, ainsi que de manière plus générale le passage entre différents domaines des mathématiques, sont importants dans le Traité du Triangle arithmétique. Je souligne ici deux aspects sur cet ouvrage liés à notre propos, rappelant que, sur ce sujet, il faut consulter les travaux de Dominique Descotes25.

Tout d’abord, il faut rappeler que la « figure » apparaît également ici, mais par moyen de la notion de la figure géométrique en rapport à des nombres. Pascal y présente des nombres figurés, c’est-à-dire, des nombres qui sont caractérisés comme une figure grâce à la disposition de « points », tels que les nombres triangulaires (1, 3, 6, 10…) et les nombres pyramidaux (1, 4, 10, 20…) – voir Figure 1.

Fig. 1. Représentation des quatre premiers nombres triangulaires : 1, 3, 6 et 10.

26 Voir Anthony W. F. Edwards, Pascal’s Arithmetical Triangle : The Story of a Mathematical Idea, Balt (...) Certes Pascal n’est pas le créateur de ces nombres, dont la tradition peut remonter même aux pythagoriciens ; l’importance de son usage par Pascal consiste néanmoins en ce que ce dernier lui a donné une très forte puissance dans le contexte du triangle arithmétique26.

27 Une autre dimension de la relation entre arithmétique et géométrique apparaît dans la Sommation des (...) 24La « figure » apparaît ici donc non pas comme un aspect du langage qui donne à voir autre chose que le sens littéral, mais comme forme géométrique. En même temps, chez Pascal cela gagne aussi la puissance de faire croiser des domaines, donnant à voir des liens entre l’arithmétique et la géométrie27 : on « prophétise » encore en mathématiques, révélant des vérités cachées.

28 Dominique Descotes, « Construction du triangle arithmétique de Pascal », in Michel Serfati et Domin (...) 29 À savoir, les usages (i) pour les ordres numériques, (ii) pour les combinaisons, (iii) pour détermi (...) 25En deuxième lieu, on peut considérer le triangle arithmétique comme « un outil de traduction des vérités mathématiques28 ». Cela apparaît par rapport aux divers « usages » du triangle arithmétique29, qui apparaissent dans la deuxième version du traité pascalien comme des « applications » du triangle dans différents domaines. Bien que le triangle arithmétique fût connu bien avant Pascal, il l’emploie d’une nouvelle manière.

30 En termes anachroniques, Pascal propose, pour un résultat particulier, qu’une proportion du type a/ (...) 26De manière plus précise, il faut considérer ici aussi un passage dans lequel Pascal commente une équivalence, pour ainsi dire, entre une proportion et une égalité entre des produits30 :

> 31 Numeri figurati seu ordines numerici, OC II, p. 1202-1203 (trad. Mesnard modifiée). On peut faire une infinité d’autres remarques au sujet de ces propositions, et transformer la proposition qu’on veut dans plusieurs autres […]. Ainsi se multiplient les propositions, et non sans utilité ; car des énoncés différents, encore que relatifs à une même proposition, se prêtent à différents usages. […] Qui ne possède pas ce talent de tourner les énoncés à tous sens pratiquera péniblement la géométrie […]31.

Pour bien pratiquer la géométrie, écrit Pascal, il faut savoir « transformer » (mutari) des propositions, et « tourner les énoncés à tous sens » : voici un langage bien figuré qui permet de rendre compte des relations entre les différents domaines mathématiques.

# Des sommes bien figurées

Si nous nous penchons sur le dernier ouvrage mathématique de la vie de Pascal, les Lettres de A. Dettonville (1659), nous retrouvons encore un autre type de figure : des sommes figurées.

32 Pascal y présente également des sommes pyramidales, qui sont des sommes de sommes triangulaires, de (...) 28Rappelons que, dans le Traité du Triangle arithmétique, Pascal faisait référence à des nombres figurés. Dans les Lettres de A. Dettonville, à son tour, Pascal présente des sommes triangulaires, à savoir, des sommes de quantités qui peuvent être disposées selon la forme d’un triangle32. La somme triangulaire des quantités A, B, C, D, en commençant par A, est ainsi présentée par Pascal :

A B C D

B C D

C D

D

33 La richesse des Lettres de A. Dettonville consiste à traiter ensemble géométrie et arithmétique, et (...) 29On peut voir que cette somme arrive au même résultat qu’en faisant la somme des mêmes quantités multipliées par les nombres naturels : 1.A + 2.B + 3.C + 4.D ; par le moyen d’une riche connexion entre géométrie et arithmétique, cependant, Pascal présente la somme comme définie par une disposition triangulaire, qui en fait une somme figurée. C’est dire que la figure géométrique est ici part de l’expression d’un contenu qui, de soi-même, pourrait être dit arithmétique33.

34 Voir par exemple Claude Merker, Le Chant du cygne des indivisibles. Le calcul intégral dans la dern (...) 35 Le résultat en question sera donc que deux fois la somme pyramidale d’une suite de quantités égale (...) 30Un deuxième aspect doit être remarqué par rapport aux Lettres de A. Dettonville. Pascal y présente une méthode des indivisibles, mais le mot « indivisible » tout seul (hors des expressions comme « langage des indivisibles » ou « doctrine des indivisibles ») n’apparaît qu’une seule fois, et cela dans un contexte bien précis34. Pascal présente un résultat selon lequel deux fois la somme pyramidale d’une suite de quantités, moins une fois leur somme triangulaire, est égal à la somme de ces mêmes quantités multipliées chacune par le carré du nombre entier associé à son rang (1, 4, 9, etc.). Néanmoins, il déclare qu’on peut négliger la somme triangulaire dans cette équivalence35, en le justifiant à la faveur d’une expression de grand intérêt ici :

> 36 Lettres de A. Dettonville, OC IV, p. 431. Or cette somme triangulaire n’est qu’un indivisible à l’égard des sommes pyramidales, puisqu’il y a une dimension de moins, et que c’est la même chose qu’un point à l’égard d’une ligne, ou qu’une ligne à l’égard d’un plan, ou qu’un plan à l’égard d’un solide, ou enfin qu’un fini à l’égard de l’infini ; ce qui ne change point l’égalité36.

37 Claude Merker (Le Chant du cygne des indivisibles, op. cit., p. 219), propose de considérer qu’« au (...) 38 Voir João F. N. Cortese et David Rabouin, « Sur les indivisibles chez Pascal », art. cit. Le mot « indivisible » apparaît ici à l’intérieur d’une expression qu’indique une caractéristique relationnelle : n’être un indivisible qu’à l’égard de. Du fait que la somme triangulaire a une « dimension de moins » que les sommes pyramidales, on peut la négliger pour le calcul, car quand on traite des quantités en nombre indéfini cela ne change rien. La notion technique d’indivisible gagne ici un nouveau sens figuré37, qui permet de rendre compte d’un résultat mathématique par la possibilité de négliger un des termes d’une équivalence (usage figuré qui ne saurait cependant pas enlever la rigueur de la méthode pascalienne38).

# Conclusion : il y a des choses à la rigueur inexprimables, « et néanmoins il est nécessaire d’en dire quelque chose »

Nous avons vu que Pascal fait appel dans son œuvre mathématique aux figures pour donner à voir des êtres mathématiques et des relations entre de différents domaines mathématiques, l’expression desquels ne saurait pas être faite de manière directe. C’est ainsi qu’au défaut des définitions, aux points à distance infinie, à la différence entre arithmétique et géométrie, au problème des différents ordres de sommes, Pascal répond par des figures et des comparaisons.

Selon De l’Esprit géométrique, on possède la liberté des définitions en géométrie – mais l’infini est, « par définition », indéfinissable, ce qui vaut également pour d’autres notions en géométrie. Comment alors faire référence à des êtres mathématiques tels que les indivisibles ? Cela ne saurait pas faire taire Pascal, car « tout ce qui est incompréhensible ne laisse pas d’être » (Sel. 182). C’est ainsi que le recours aux figures et à des comparaisons d’incomparables est nécessaire : « car les choses de Dieu étant inexprimables », nous l’avons vu, « elles ne peuvent être dites autrement » (Sel. 303).

C’est dire que le manque de définition ou de référence directe n’empêche pas le développement des mathématiques, et que la difficulté de faire référence à des êtres mathématiques tels que l’infini ne saurait taire Pascal. L’infini, l’indéfini, l’indivisible, le rapport entre la circonférence du cercle et son rayon, la relation entre les différents domaines mathématiques, les différents ordres… Rien de cela n’est directement exprimable, « et néanmoins il est nécessaire d’en dire quelque chose », d’où le recours aux figures et aux comparaisons : Pascal arrive ainsi à « prophétiser » en mathématiques – à savoir, exprimer ce qui semblerait être inexprimable, en faisant des comparaisons entre des incomparables.