# Des positions typiques d'une variable aléatoire

Saad K. Nasr

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Saad K. Nasr. Des positions typiques d'une variable aléatoire. Annales de l'ISUP, 1956, V (1), pp.33-42. hal-04095332

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# DES POSITIONS TYPIQUES D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE

par

Saad K. NASR

## 1. - INTRODUCTION

Une définition de la moyenne d'une variable aléatoire située dans un espace de Banach a été donnée par Mourier (9). D'autre part, une seconde définition de cette moyenne a été exprimée dans Espace métrique par Doss (2). On sait (10) qu'une moyenne dans le sens de Mourier, si elle existe, est aussi une moyenne dans le sens de Doss. Fréchet (3), généra- lisa la définition de la moyenne de Doss en vue de définir les positions typiques d'une variable aléatoire située dans un espace métrique (ses positions : moyenne, centrale, équiprobable, dominante, etc...).

Nous définirons sous la définition -2-, dans les conditions les plus générales, les positions typiques d'une variable aléatoire quelconque de telle manière qu'une position typique existant dans le sens de Fréchet, sera aussi dans notre sens une position typique (proposition 2).

## 2. -

Soit $(f_i)_{i \in I}$ une famille de fonctions numériques (finies) définie sur un ensemble $\mathcal{X}$, telle que pour deux éléments différents $x$ et $y$ appartenant à $\mathcal{X}$, il existe un $i \in I$ pour lequel $f_i(x) \neq f_i(y)$. On définit alors une structure uniforme séparée ($(1)$, Ch. IX, parag. §1) sur $\mathcal{X}$ par la famille $(g_i)_{i \in I}$ des écarts $g_i(x,y) = |f_i(x) - f_i(y)|$. Inversement, étant donnée une structure uniforme séparée sur $\mathcal{X}$, une famille d'écarts est alors définie sur $\mathcal{X}$ ($(1)$, Ch. IX, parag. §1).

2.1. Plus généralement étant donnée une variable aléatoire $X$ située dans l'ensemble $\mathcal{X}$, on supposera qu'une structure uniforme séparée est définie sur $\mathcal{X}$ par la famille d'écarts finis $d_i(x,y)$ avec $i \in I$. La classe $K$ des transformations

$$d_{\alpha}(x) = d_{(i,o)}(x) = d_i(x,a) \quad (1)$$

définie dans $\mathcal{X}$ pour toute paire d'éléments $\alpha = (i,a)$ avec $i \in I$ et $a$ élément fixe de $\mathcal{X}$, est alors une classe séparative ($(8)$, p. 29).
## Définition (1)

LA CLASSE K DE TRANSFORMATIONS $d_α(x)$, définie sous le paragraphe 2.1, est appelée classe séparative de transformations métriques.

On écrira par la suite $T(N)$ pour la position typique d'un nombre aléatoire $N$ en supposant que pour tout $\alpha$, $d_α(X)$ est un nombre aléatoire pour lequel une position typique $T(d_α(X))$ existe.

## Définition (2)

Un élément $\tau(x)$ est dit position typique (correspondant au symbole $T$) d'une variable aléatoire $X$ située dans un ensemble $\mathcal{X}$, s'il existe une classe séparative $K = \{d_\alpha(x)\}$ avec $x \in \mathcal{X}$ de transformations métriques, de telle manière que l'on ait

$$d_{\alpha}(\tau(X)) \leq T(d_{\alpha}(X)) \quad ; \quad \tau(X) \in \mathcal{X}$$

indépendamment de $\alpha$.

2.2. Considérons la variable aléatoire $X$ située dans un espace métrique $(\mathcal{D})$ défini par la distance $d$. Un élément $\bar{x} \in \mathcal{D}$ est une moyenne dans le sens de Doss (2), si pour tout élément fixe $a \in \mathcal{D}$ on a $d(\bar{x}, a) \leq \eta d(X, a)$ où $\eta$ indique la moyenne classique d'un nombre aléatoire. Or $K = (d_\alpha(x)) = (d(x, a))$ étant une classe séparative de transformations métriques, on voit que toute moyenne dans le sens de Doss, est moyenne dans le sens de notre définition (2). D'où, plus généralement :

## PROPOSITION I

TOUTE POSITION TYPIQUE D'UNE VARIABLE ALEATOIRE $X$ DANS LE SENS DE FRECHET (3) EST UNE POSITION TYPIQUE DE $X$ DANS LE SENS DE LA DEFINITION (2).

2.3. Afin de justifier la condition que la classe $K$ soit nécessairement une classe séparative, nous donnerons l'exemple suivant :

Soit une classe $K$ définie par le seul écart $g(x,y) = |f(x) - f(y)|$ où

-x pour $x < 0$

$f(x) = 0$ pour $0 \leq x \leq 2$

$x-2$ pour $x > 2$

Pour une variable aléatoire $X$ qui prend les valeurs 0, 1 et 2, avec une probabilité égale à 1/3 dans chaque cas, on a

$$\eta g(X, a) = f(a) \quad \text{pour tout a réel.}$$

Autrement dit, la moyenne classique $\bar{x} = 1$ de la variable aléatoire $X$ n'est pas l'unique solution de l'inégalité

$$g(\tau, a) \leq \eta g(X, a)$$

puisque celle-ci est satisfaite par tout élément $\tau$ dans l'intervalle $(0, 2)$.
### 3. -

Considérons à présent la variable aléatoire X située dans l'espace de Banach (X). Un élément $\bar{x} \in (X)$ est une moyenne dans le sens de Mourier (9) si l'égalité

$$x^*(\bar{x}) = \eta(x^*(X)) \quad (1)$$

est satisfaite pour toute fonctionnelle linéaire continue $x^*$ définie dans (X).

3.1. On sait que (10) toute moyenne dans le sens de Mourier est aussi moyenne dans le sens de Doss, d'où, d'après la Proposition I, elle l'est aussi dans le sens de la Définition (2). D'ailleurs ceci peut être prouvé directement comme suit :

## PROPOSITION II

LA MOYENNE DE MOURIER D'UNE VARIABLE ALEATOIRE $X \in (X)$, si elle existe, EST AUSSI UNE MOYENNE DANS LE SENS DE LA DEFINITION (2).

En effet, pour n'importe quelle paire d'éléments distincts x et y de (X), il existe ((6), p. 19) une fonctionnelle linéaire $x^*$ telle que

$$|x^*(x-y)| = |x-y| > 0 \quad (2)$$

On peut donc dire qu'il existe un écart $d^*(x,y)$ défini par

$$d^*(x,y) = |x^*(x) - x^*(y)| \quad (3)$$

tel que l'on ait

$$d^*(x,y) = |x^*(x) - x^*(y)| = |x^*(x-y)| > 0$$

D'où la famille des écarts $\{d^*(x,y)\} = \{|x^*(x) - x^*(y)|\}$ où $x^*$ appartient à l'espace $(X^*)$ conjugué ((6), p. 21) de (X), définit une classe de transformations métriques.

Si $\bar{x} \in (X)$ est une moyenne de Mourier d'une variable aléatoire X, on aura de l'égalité (1)

$$x^*(\bar{x}) - x^*(a) = \eta(x^*(X) - x^*(a)) \quad (4)$$

indépendamment de $a \in (X)$.

De (3) et (4) on a

$$d^*(\bar{x},a) = |\eta(x^*(X) - x^*(a))| \le \eta d^*(X,a) \quad (5)$$

ce qui démontre la proposition

### 3.2. LA DEFINITION DE FRECHET DE LA MOYENNE D'UNE VARIABLE ALEATOIRE X SITUEE DANS L'ESPACE DE BANACH ((2), parag. 5)

Dans ce qui suit, E dénote l'ensemble d'évènements élémentaires $\xi$, d'après la terminologie de Kolmogoroff (7). Une variable aléatoire X est dite appartenir à la classe (I F), si quelque soit $\varepsilon > 0$, on peut trouver une décomposition $\Delta(=\Delta_{\varepsilon,X})$ de l'ensemble E en une suite dénombrable d'en-
sembles disjoints probabilisables $e_1, e_2, \dots$ ($E = \bigcup_{r=1}^{\infty} (e_r)$) pour laquelle la
condition suivante est satisfaite :

$$
\{ p(e_r) = \text{Prob.}(e_r) = 0 \text{ ou } \max_{\xi, \xi' \in e_r} \| \xi x - \xi' x \| < \varepsilon \}, r=1,2,\dots,n(i)
$$

de telle façon que la série

$$
\sigma_{\varepsilon} = \sum_{r=1}^{\infty} p(e_r) \| \xi_r x \| , \quad \xi_r \in e_r, \qquad (ii)
$$

soit convergente.

Si la somme $\sigma_{\varepsilon}$ existe pour au moins une décomposition $\Delta_{\varepsilon,X}$, elle
existe pour toute autre décomposition $\Delta_{\varepsilon,X'}$ (2).

L'espace de Banach étant complet, quand $\varepsilon \to 0$, la limite de

$$
S_{\varepsilon} = \sum_{r=1}^{\infty} p(e_r) \xi_r x \quad , \quad \xi_r \in e_r, \qquad (iii)
$$

existe indépendamment de $\Delta_{\varepsilon,X}$. Cette limite $I(X)$ est la moyenne (IF) de $X$.

Si l'espace $(\mathcal{X})$ est un espace de Banach séparable, une telle décomposition $\Delta$ satisfaisant (i) est équivalente à l'affirmation que $X$ est presque sûrement contenu dans un sous-ensemble séparable $(\mathcal{X}_1)$ d'un espace de Banach $\mathcal{X}$.

On sait que si (10, Théorème 3) la variable aléatoire $X$ de la classe (IF) est faiblement mesurable ((6), p. 36), la moyenne $I(X)$ est aussi une moyenne dans le sens de Mourier. Il en découle de la proposition II la

PROPOSITION III

SI LA VARIABLE ALEATOIRE X DE LA CLASSE (I,F) EST FAIBLEMENT MESURABLE, LA MOYENNE I (X) EST AUSSI UNE MOYENNE DANS LE SENS DE LA DEFINITION (2).

4.-

Il est important de savoir si une position typique $\tau(X)$ d'une variable
aléatoire $X$ existant relativement à une classe $K_1$ dans le sens de la défini-
tion (2), existe de même relativement à une autre classe $K_2$, où $K_1$ et $K_2$
sont deux classes séparatives de transformations métriques, seules trans-
formations prises en considération par nous.

4.1. L'exemple suivant montre que cela n'est pas toujours le cas.

Soit le nombre aléatoire X prenant les valeurs $x_1$ et $x_2$ ($x_1 \neq x_2$) avec les probabilités respectives p et q ($p+q=1$). Considérons les deux classes $K_1$ et $K_2$ définement respectivement par les deux distances $d_1$ et $d_2$ avec

$$
\begin{align*}
d_1 (x, y) &= |x - y| \\
\text{et } d_2 (x, y) &= 0 \qquad \text{si } x = y \\
&= 1 \qquad \text{si } x \neq y.
\end{align*}
$$

On a alors $d_2(\bar{x}, x_1) = 1$ où $\bar{x} = px_1 + qx_2$, la moyenne classique de $X$.
Comme $\eta_1 d_2(X, x_1) = q$, $d_2(\bar{x}, x_1) > \eta_1 d_2(X, x_1)$. Ceci montre que la moyenne
classique $\bar{x}$, qui est une moyenne dans le sens de la définition 2, relative-
ment à la classe $K_1$ n'est pas une moyenne relative à la classe $K_2$.
En particulier, on remarque qu'une moyenne dans le sens de Doss relative à une certaine distance, n'est pas nécessairement une moyenne dans le même sens relative à l'importe quelle autre distance.

4.2. Etant donnée une famille $(f_i)_{i \in I}$ d'écarts sur $\mathcal{X}$, soit $g_H$ l'enveloppe supérieure de la famille $(f_i)_{i \in H}$, où $H$ est une partie finie quelconque de $I$. La famille d'écarts $(g_H)$ est équivalente ((1) Ch. IX, parag. 1) à la famille $(f_i)$; on dit que c'est la famille d'écarts obtenue en saturant $(f_i)$ et que $(g_H)$ est une famille d'écarts saturée.

### Définition (3)

Soient $K_1$ et $K_2$ deux classes différentes définies par les deux familles saturées $(f_i)_{i \in I}$ et $(g_x)_{x \in K}$ sur le même ensemble $\mathcal{X}$. Si $U_1$ et $U_2$ sont les deux structures uniformes induites par $(f_i)$ et $(g_x)$ respectivement, on dit alors que $K_1$ est moins fine que $K_2$, si $U_1$ est moins fine que $U_2$. $K_1$ est dite strictement moins fine que $K_2$, si pour tout $i \in I$ il existe un $x \in \mathcal{X}$ tel que $f_i \le g_x$.

4.3. Soit $(\mathcal{X})$ un système linéaire ((6) p. 9) sur lequel on définit les deux classes $K_1$ et $K_2$ comme suit :

$$ 
\begin{aligned}
K_1 &= \{ \| x - a \| \}, \\
K_2 &= \{ d_i(x,a) \}_{i \in I} \quad , a \in (\mathcal{X}), \quad (1)
\end{aligned}
 $$

où $\| x \|$ est la norme de $x$, $(d_i)$ la famille d'écarts saturée telle que pour tout $i$, étant donnés des éléments $x_1, x_2, y_1, y_2$ de $(\mathcal{X})$ on ait :

$$ d_i(x_1+x_2, y_1+y_2) \le d_i(x_1, y_1) + d_i(x_2, y_2) $$

$$ d_i(kx, ky) \le k |d_i(x, y) $$

pour tout nombre réel $k$.

Remarque : Nous entendons par position typique d'une variable aléatoire celle admise dans la définition (2), sauf affirmation contraire.

## PROPOSITION IV

SOIT X UNE VARIABLE ALEATOIRE SITUEE DANS UN SYSTEME LINEAIRE $(\mathcal{X})$, SUR LEQUEL ON A DEFINI LES DEUX CLASSES $K_1$ ET $K_2$ INTRODUITES PAR LES RELATIONS (1) CI-HAUT. SI $K_2$ EST MOINS FINE QUE $K_1$, ET SI L'ON SUPPOSE QUE $\eta(d_\alpha(x))$ EXISTE INDEPENDAMMENT DE $\alpha=(i,a)$, TOUTE MOYENNE (IF) DE X EXISTANT RELATIVEMENT A $K_1$ EST AUSSI UNE MOYENNE RELATIVE A $K_2$.

En effet la classe $K_2$ étant moins fine que $K_1$, pour tout écart $d_i$ et tout $\epsilon > 0$ ((1) Ch. IX, parag. 1), il existe un $\epsilon > 0$ tel que

$$ \|x-y\| < \epsilon \quad \text{implique} \quad d_i(x,y) < \epsilon' \quad (2) $$

La variable aléatoire X étant de la classe (IF), on peut dire de (3.2.) que pour tout $\epsilon > 0$, il existe une décomposition $\Delta_{\epsilon,x}$ de E en une $\epsilon_0$ suite dénombrable d'ensembles disjoints probabilisables $e_1, e_2, \dots$ ($E = \bigcup_{i=1}^\infty (e_i)$) pour laquelle la condition (i) de 3.2. est satisfaite.
$d_i$ étant un écart, de (2) on obtient

$$ \max_{\xi, \xi' \in \mathcal{E}_r} |d_i(\xi x, a) - d_i(\xi' x, a)| < \max_{\xi, \xi' \in \mathcal{E}_r} d_i(\xi x, \xi' x) < \varepsilon', \quad (3) $$
$r = 1, 2, \dots,$

pour tout élément fixe $a$ de $\mathcal{X}$.

De (3) et de (i) de 3.2. on voit que pour tout $\varepsilon' > 0$ il existe une décom-
position $\Delta_{\varepsilon',X} (=\Delta_{\varepsilon,X})$ de $E$ en une suite dénombrable d'ensembles disjoints
probabilisables $e_1, e_2, \dots$ ($E = \bigcup_{r=1}^{\infty} (e_r)$) ; pour laquelle la condition

$$ \{ p(e_r) = 0 \text{ ou } \max_{\xi, \xi' \in \mathcal{E}_r} | d_i(\xi x, a) - d_i(\xi' x, a) | < \varepsilon' \}, r = 1, 2, \dots \quad (4) $$

est satisfait.

$$ \text{Posons } s_{\varepsilon}^{(n)} = \sum_{r=1}^{n} p(e_r)_{\xi_r} x \quad \text{et} \quad a_{\varepsilon}^{(n)} = a \cdot \sum_{r=1}^{n} p(e_r) \quad (5) $$

Avec les conditions imposées à $K_2$ on obtient :

$$ \begin{aligned} d_i(s_{\varepsilon}^{(n)}, a_{\varepsilon}^{(n)}) &= d_i\left(\sum_{r=1}^{n} p(e_r)_{\xi_r} x, \sum_{r=1}^{n} p(e_r) \cdot a\right) < \\ &< \sum_{r=1}^{n} d_i\left(p(e_r)_{\xi_r} x, p(e_r) \cdot a\right) < \sum_{r=1}^{n} p(e_r) d_i(\xi_r x, a) \end{aligned} \quad (6) $$

Comme la série (ii) de 3.2. est convergente, on a

$$ \lim_{n \to \infty} s_{\varepsilon}^{(n)} = s_{\varepsilon} \quad (\varepsilon \text{ fixe}) \quad (7) $$

On a de plus

$$ \|a - a_{\varepsilon}^{(n)}\| = \| \sum_{r=n+1}^{\infty} p(e_r) \cdot a \| = \| a \| \sum_{r=n+1}^{\infty} p(e_r) \to 0 \quad \text{as } n \to \infty \quad (8) $$

La topologie définie par $K_2$ étant moins fine que celle définie par $K_1$,
on a des relations (7) et (8)

$$ \lim_{n \to \infty} d_i(s_{\varepsilon}^{(n)}, s_{\varepsilon}) = \lim_{n \to \infty} d_i(a_{\varepsilon}^{(n)}, a) = 0 \quad (9) $$

Or $d_i$ est un écart

$$ | d_i(s_{\varepsilon}^{(n)}, a_{\varepsilon}^{(n)}) - d_i(s_{\varepsilon}, a) | \le d_i(s_{\varepsilon}^{(n)}, s_{\varepsilon}) + d_i(a_{\varepsilon}^{(n)}, a) \quad (10) $$

Le passage à la limite $n \to \infty$ dans l'inégalité (6), et de (9) et (10) il découle

$$ \begin{aligned} d_i(s_{\varepsilon}, a) &= \lim_{n \to \infty} d_i(s_{\varepsilon}^{(n)}, a_{\varepsilon}^{(n)}) < \lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^{n} p(e_r) d_i(\xi_r x, a) \\ &= \sum_{r=1}^{n} p(e_r) d_i(\xi_r x, a) \end{aligned} \quad (11) $$

Comme $\lim_{\varepsilon' \to 0} s_{\varepsilon} = I(X)$ (de la relation (iii) de 3.2.), relative à la topologie définie par $K_1$, alors quand $\varepsilon' \to 0$, (11) donne

$$ d_i(I(X), a) \le \lim_{\varepsilon' \to 0} \sum_{r=1}^{\infty} p(e_r) d_{\alpha}(\xi_r x) \quad , \quad \begin{array}{l} \xi_r \in \mathcal{E}_r, \\ \alpha \equiv (i, a) \end{array} \quad (12) $$

Or $\mathfrak{M} d_{\alpha}(X)$ existe pour tout $\alpha = (i, a)$. $I(d_{\alpha}(X))$ existe ((2) parag. 5) et égale $\mathfrak{M} d_{\alpha}(X)$. Ceci entraine que le membre de droite de l'inégalité (11) existe et admette pour limite $\mathfrak{M} d_{\alpha}(X)$ quand $\varepsilon' \to 0$.

c.q.f.d.
4.4. Nous donnons ici un exemple important de classes $K_1$ et $K_2$ satisfaisant les conditions (1) de 4.3.

## PROPOSITION V

SOIT X UNE VARIABLE ALÉATOIRE SITUEE DANS UN SYSTEME LINEAIRE (X) SUR LEQUEL DEUX CLASSES $K_1$ et $K_2$ SONT DEFINIES RESPECTIVEMENT PAR LES NORMES $\|x\|$, ET $\|x\|_2$. SI $K_2$ EST MOINS FINE QUE $K_1$, TOUTE MOYENNE (IF) DE X EXISTANT RELATIVEMENT A $K_1$ EST AUSSI MOYENNE RELATIVEMENT A $K_2$, AVEC LA SUPPOSITION QUE POUR TOUT $a \in (X)$, $d_a(X) = \|X - a\|_2$ SOIT UN NOMBRE ALÉATOIRE.

$\|x\|_2$ étant moins fine que $\|x\|_1$, il existe ((1), Ch. IX, parag. 3) un nombre réel $b > 0$ tel que

$$ \|x\|_2 \le b \|x\|_1 \quad (1) $$

pour tout $x \in (X)$. D'où pour tout $\varepsilon' > 0$, il existe $\varepsilon = (\varepsilon' / b)$ tel que $\|x-y\|_1 < \varepsilon$ implique $\|x-y\|_2 < \varepsilon'$.

En utilisant les mêmes notations que celles de la proposition IV, pour tout élément fixe a de (X), nous avons l'inégalité

$$ \|s_{\varepsilon} - a\|_2 \le \sum_{r=1}^{\infty} p(e_r) \|s_{\varepsilon_r} - a\|_2, \quad \xi_r \in e_r, \quad (2) $$

qui est analogue à l'inégalité (11) de la proposition IV.

Comme $I(X)$ est une moyenne relative à $K_1$, alors $\|X-a\|$, existe pour tout $a \in (X)$. D'où la série $\sum p(e_r) \|s_{\varepsilon_r} - a\|$, $\xi_r \in e_r$, existe et en conséquence l'existence du membre de droite de (2) découle de (1).

Comme $\lim_{\varepsilon \to 0} \|s_{\varepsilon} - I(X)\| = 0$, $\lim_{\varepsilon \to 0} \|s_{\varepsilon} - I(X)\|_2 = 0$. En prenant les limites des deux membres de l'inégalité (2) quand $\varepsilon' \to 0$, on obtient

$$ \|I(X) - a\|_2 \le I(\|X - a\|_2) \quad (3) $$

L'existence de la moyenne classique du nombre aléatoire $\|X-a\|_2$ résulte de l'existence de la moyenne classique du nombre aléatoire $\|X-a\|_1$, grâce à la relation (1) ; il en résulte de (3) la démonstration recherchée.

# 5. - LES POSITIONS TYPIQUES D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE SITUÉE DANS L'ESPACE EUCLIDIEN $\mathbb{R}^n$

Une position typique $\tau(X)$ d'une variable aléatoire X existant relative à une classe K définie par une norme $\|x\|$ sera dite exister relativement à $\|x\|$.

Différentes normes sont définies dans l'espace euclidien ; nous choisisons la norme $\|x\|_1 = \sup_{i=1}^n |x_i|$, $x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ pour déterminer relativement à lui quelques positions typiques d'une variable aléatoire X située dans $\mathbb{R}^n$.

5.1. La moyenne : Soit $X = (X_1, \dots, X_n) \in \mathbb{R}^n$ tel que $\bar{X}_i = \eta X_i$ existe pour tout $i = 1, 2, \dots, n$, $\bar{X} = (\bar{X}_1, \dots, \bar{X}_n)$ est une moyenne de X relativement à la norme $\|X\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |X_i|^2}$.

On peut facilement prouver, soit directement, soit au moyen de la proposition V, que $\bar{X}$ est aussi une moyenne relativement à $\|X\|_1$.
5.2. **Position centrale** : Soit X une variable aléatoire stochastiquement bornée (3) située dans $\mathbb{R}^n$, sur lequel une norme $\|x\|$, ($x \in \mathbb{R}^n$) est définie. Une position centrale $\gamma \in \mathbb{R}^n$ de X, existe dans le sens de la définition (2) relativement à $\|x\|$, si $\|\gamma - a\| \le \hat{N}$ avec $N = \|X - a\|$, indépendamment de $a \in \mathbb{R}^n$, $\hat{N}$ étant la valeur centrale du nombre aléatoire N.

En général, relativement à $\|x\|_2$, une position centrale d'une variable aléatoire stochastiquement bornée $X \in \mathbb{R}^n$, n'existe que ((3) p. 232) dans certains cas particuliers. Par contre, relativement à $\|x\|$, qui est strictement moins fine (définition 3) que $\|x\|_2$, si $X \equiv (X_1, \dots, X_n)$ est stochastiquement bornée, $\dot{X} \equiv (\dot{X}_1, \dots, \dot{X}_n)$ où $\dot{X}_i$ ($i = 1, \dots, n$) est la valeur centrale du nombre aléatoire $X_i$, est aussi une position centrale de X. Car, $\dot{X}_i$ étant la position centrale de $X_i$, on a (5) :

$$|\dot{X}_i - a_i| \le \hat{N}_i \qquad N_i = |X_i - a_i|$$

pour tout $i = 1, 2, \dots, n$ avec $a_i$ un nombre réel fixe quelconque.

Et si $a \equiv (a_1, \dots, a_n)$ est un élément fixe quelconque de $\mathbb{R}^n$, on a alors

$$0 \le N_i \le \|X - a\|_1 = N \quad \text{d'où} \quad \dot{N}_i \le \dot{N}$$

Ceci entraine finalement que $|X_i - a_i| \le \hat{N}$ pour $i = 1, \dots, n$, prouvant l'affirmation ci-haut.

On remarque qu'une position centrale de $X \in \mathbb{R}^n$, si elle existe (3) relativement à $\|x\|_1$, existe aussi relativement à $\|x\|_1$, mais que l'inverse n'est pas nécessairement vrai, comme on peut le voir par les exemples particuliers donnés par Fréchet ((3) p. 232).

De plus, la position centrale $\dot{X} \equiv (\dot{X}_1, \dots, \dot{X}_n)$ de $X \in \mathbb{R}^n$, relativement à $\|x\|_1$ est unique. En effet, s'il existe une autre position centrale $\gamma \equiv (\gamma_1, \dots, \gamma_n) \in \mathbb{R}^n$ de X, ($\gamma \ne \dot{X}$), relativement à $\|x\|_1$, $\gamma_j \ne \dot{X}_j$ pour un certain entier j, ($1 \le j \le n$). La variable aléatoire X étant stochastiquement bornée, on peut choisir un nombre réel c assez grand ($c > 2K$ si $\|x\|_1 < K$) de telle manière que

$$|\xi x_i| \le \|\xi x\|_1 < K < |\xi x_j - c|$$

pour tout $i \ne j$ et $\xi \in E$ (l'ensemble des évènements élémentaires).

Pour $a_0 \equiv (a_1, \dots, a_n)$ avec $a_j = c$ et $a_i = 0$ ($i \ne j$), on a

$$N_0 = \|X - a_0\|_1 = |X_j - c|$$

Comme $\gamma$ est une position centrale de X, $|\gamma_j - c| \le \|\gamma - a_0\|_1 \le \hat{N}_0$, ou

$$|\gamma_j - c| \le \hat{N}_j \quad \text{où} \quad N_j = |X_j - c| \quad (1)$$

Ceci est contradictoire puisque $\dot{X}_j$ est la solution unique (5) de l'inégalité (1).

5.3. **Position équitable** : Rappelons d'abord, afin d'éviter toute confusion, qu'on appelle valeur équitable d'un nombre aléatoire N, tout nombre certain v tel que l'on ait simultanément

$$\{ \text{Prob} [ N \le v ] \} \ge \frac{1}{2} \le \text{Prob} [ N \ge v ]$$

On représente un tel point v par la notation $\overline{\hat{N}}$.
Comme au paragraphe 5.2. on a vu que relativement à $\|x\|_2$, une
position équiprobable ((3) p.235) d'une variable aléatoire $X = (X_1, \dots, X_n) \in \mathbb{R}^n$
ne existe pas en général, mais qu'elle n'existe que dans certains cas parti-
culiers. Mais relativement à $\|x\|_1$, $\bar{X} = (\bar{X}_1, \dots, \bar{X}_n)$ où $\bar{X}_i = (1, \dots, n)$
est une valeur équiprobable du nombre aléatoire $N_i$, est une position équi-
probable de $X$.

En effet, pour $N_i = |X_i - a_i|$ avec $a_i$ = nombre fixe réel quelconque et
$i = 1, \dots, n$ on a (5)

$$
| \bar{X}_i - a_i | \le \bar{N}_i
$$

et la validité de l'affirmation ci-haut se trouve établie à l'aide de la pro-
position suivante, puisque $N_i \le N = \|x - a\|_1$.

PROPOSITION VI

SOIENT $\mu'(N)$ et $\mu''(N)$ LES VALEURS EQUIPROBABLES INFERIEURE
ET SUPERIEURE D'UN NOMBRE ALEATOIRE N ((4), p. 45). SI
$\{\text{PROB}[X \le Y]\} = 1$, X ET Y ETANT DEUX NOMBRES ALEATOIRES,
ON A

$$
\mu'(X) \le \mu'(Y) \quad \text{ET} \quad \mu''(X) \le \mu''(Y)
$$

En effet, si $\mu'(X) > \mu'(Y)$, comme $\{\text{Prob}[X \le Y]\} = 1$, on a

$$
\{ \text{Prob}[Y > \mu'(Y)] \} \geq \{ \text{Prob}[X > \mu'(Y)] \} \geq \text{Prob}[X > \mu'X] - \epsilon
$$

$$
\text{où } 2\epsilon = \mu'(X) - \mu'(Y) > 0.
$$

$$
D'\text{où } \{ \text{Prob}[Y > \mu'(Y)] \} > 1/2
$$

ce qui mène à une contradiction puisque $\mu'(Y)$ est valeur équiprobable inférieure de $Y$. De même, si $\mu''(X) > \mu''(Y)$, comme $\{\text{Prob}[X \le Y]\} = 1$, on a

$$
\{ \text{Prob}[X \ge \mu'(X)] \} \le \{ \text{Prob}[Y \ge \mu''(X)] \} \le \text{Prob}[Y > \mu''(Y) + \eta]
$$

$$
\text{où } 2\eta = \mu''(X) - \mu''(Y) > 0.
$$

Donc $\{ \text{Prob}[X \ge \mu''(X)] \} < 1/2,$

ce qui est aussi contradictoire, puisque $\mu''(X)$ est la valeur équiprobable supérieure de $X$.
BIBLIOGRAPHIE

(1) N. BOURBAKI : Les structures fondamentales de l'analyse. Tome 3. Topologie générale - Paris, Hermann, 1940.

(2) S. DOSS : Sur la moyenne d'un élément aléatoire dans un espace distancié (Bull. Sc. Math. 73, 1949, 48-72).

(3) M. FRECHET : Positions typiques d'un élément aléatoire de nature quelconque (Ann. Ec. Norm. Sup. 56-1948, 211-237)

(4) M. FRECHET : Recherches théoriques modernes sur le calcul des probabilités, Livre I, 2e édition (1950), Paris

(5) M. FRECHET : Une propriété des valeurs typiques d'un nombre aléatoire (Ann. Ec. Norm. (3) LXV - Fasc. 3)

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(10) SAAD K. NASR : On random elements (Thesis) - Alexandrie, 1953.