<table><thead><tr><th></th><th>Pagina</th></tr></thead><tbody><tr><td>S. Agou, Sur une classe de polynômes hyponormaux sur un corps fini</td><td>105-111</td></tr><tr><td>F. Beukers, On the generalized Ramanujan-Nagell equation, II</td><td>113-123</td></tr><tr><td>M. Neubrand, Scharen quadratischer Zahlkörper mit gleichgebauten Einheiten</td><td>125-132</td></tr><tr><td>C. Reutenauer, Propriétés arithmétiques de séries rationnelles et ensembles denses</td><td>133-144</td></tr><tr><td>R. W. K. Odoni, A problem of Erdös on sums of two squarefull numbers</td><td>145-162</td></tr><tr><td>S. Graham, On Linnik's constant</td><td>163-179</td></tr><tr><td>H. P. Schlickowei, p-adic T-numbers do exist</td><td>181-191</td></tr><tr><td>J. Wolfart, Transzendente Zahlen als Fourierkoeffizienten von Heekes Modulformen</td><td>193-205</td></tr></tbody></table>

La revue est consacrée à la Théorie des Nombres

The journal publishes papers on the Theory of Numbers

Die Zeitschrift veröffentlicht Arbeiten aus der Zahlentheorie

Журнал посвящен теории чисел

L'adresse de
la Rédaction
et de l'échange

Address of the
Editorial Board
and of the exchange

Die Adresse der
Schriftleitung und
des Austausches

Адрес редакции
и книгообмена

ACTA ARITHMETICA
ul. Śniadeckich 8, 00-950 Warszawa

Les auteurs sont priés d'envoyer leurs manuscrits en deux exemplaires

The authors are requested to submit papers in two copies

Die Autoren sind gebeten um Zusendung von 2 Exemplaren jeder Arbeit

Рукописи статей редакция просит предлагать в двух экземплярах

© Copyright by Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa 1981

ISBN 83-01-01338-9

ISSN 0065-1036

PRINTED IN POLAND

WROCLAWSKA DRUKARNIA NAUKOWA

Sur une classe de polynômes hyponormaux
sur un corps fini

par

S. AGOU (Lyon)

Dans ce qui suit on note $F_{p^s}$ le corps fini à $p^s$ éléments, par $\bar{F}_p$ la clôture algébrique de $F_{p^s}$.

**0. Introduction.** Les polynômes composés $f(g(X))$ où $f(X)$ est un polynôme irréductible de $F_{p^s}[X]$ et où $g(X)$ est un polynôme non nul de $F_{p^s}[X]$, $t$ divisant $s$, de la forme $g(X) = \sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^r}$, que nous appelons un $p^r$-polynôme de $F_{p^s}[X]$, ont été étudiés il y a fort longtemps avec des conditions restrictives liant les entiers $r, s$ et $t$. Sans faire un historique détaillé et exhaustif de la question, on peut mentionner certains travaux de Serret, [11], parus en 1873 dans le cas $r = s = t = 1$; puis ceux de Dickson, [5], en 1887 dans le cas $t = 1, r = s$. Ensuite Ore, [10], en 1933, avec les conditions $r = s = t$, en introduisant la notion de $p^s$-polynôme de $F_{p^s}[X]$, a considérablement fait avancer l'étude de ce type de polynômes. En s'appuyant sur la théorie d'Ore, en étendant des résultats de Dickson, [6], A. F. Long, [7], a montré que l'on pouvait expliciter les degrés des irréductibles de $F_{p^s}[X]$, factorisant $f(X^{p^r} - X)$ sur $F_{p^s}$ dans le cas $t = 1, s$ divisant $r$. Généralisant ce précédent travail A. F. Long, [8], a montré que l'on pouvait régler le cas $t = 1$ avec $r$ et $s$ arbitraires, pour les polynômes $f(X^{p^r} - X)$ de $F_{p^s}[X]$. En utilisant la notion d'hyponormalité définie dans cet article, nous avons généralisé, [2], le travail de Long en étudiant le polynôme $f(X^{p^r} - aX)$ de $F_{p^s}[X]$, en n'imposant aucune condition aux entiers $r, s, t$, hormis bien entendu la condition $t$ divisant $s$.

En s'appuyant sur la théorie d'Ore, A. F. Long et T. P. Vaughan, [9], ont donné des résultats sur la factorisation des polynômes $f(g(X))$ avec la condition $r | t$. Enfin, récemment, Carlitz et A. F. Long, [4], ont obtenu des résultats dans l'étude de certains polynômes à plusieurs indéterminées $X_1, \dots, X_k$ sur un corps $F_{p^s}$, lorsqu'on substitue à chaque indéterminée $X_i$, le même $p^s$-polynôme de $F_{p^s}[X]$.

Par ailleurs, nous avons pu obtenir dans [3] et [3'], des conditions explicites d'irréductibilité des polynômes $f(X^{p^r} - aX)$ et $f(X^{p^2r} - aX^{p^r} - bX)$
sur un corps $F_{p^s}$. Si on veut s'affranchir du cadre de la théorie d'Ore, pour atteindre les résultats les plus généraux, on est conduit naturellement compte tenu des travaux précités, à la notion de $p^r$-polynômes de $F_{p^s}[X]$, avec $r$ et $s$ arbitraires, et à celle d'hyponormalité. Cet article a justement pour but de donner des résultats dans cette direction.

N. B. On trouvera dans les références ci-dessus une volumineuse bibliographie concernant ces questions.

**1. DÉFINITION 1.1.** On dit que $u \in F_{p^s}[X]$ est hyponormal sur $F_{p^s}$ si l'ensemble des $F_{p^s}(\omega)$, où $\omega \in \bar{F}_p$ est une racine de $u$, possède un plus petit élément (quand on l'ordonne par inclusion).

Soit $u(X) = u_1(X) \dots u_i(X)$ la factorisation sur $F_{p^s}$, en irréductibles, du polynôme $u(X)$. Il résulte aisément de cette définition que l'on a la propriété suivante.

Pour que le polynôme $u(X)$ soit hyponormal sur $F_{p^s}$ il faut et il suffit qu'il existe un indice $i$, tel que le degré du polynôme $u_i(X)$ divise le degré du polynôme $u_j(X)$, pour tout entier $j$ tel que $1 \le j \le l$.

Voici des exemples de polynômes hyponormaux. Soit $f \in F_{p^s}[X]$ un polynôme irréductible, les polynômes $f(X^m)$ (cf. [1]), pour $m \in \mathbb{N}^*$, et $f(X^{p^r} - aX)$ pour $r \in \mathbb{N}^*$ et $a \in F_{p^s}^\times$ sont hyponormaux; on reviendra plus loin sur ce dernier exemple.

**LEMME 1.2.** Soit $f \in F_{p^s}[X]$ un polynôme irréductible de degré $n$ et soit $g \notin F_{p^s}^*$ et $g \in F_{p^s}[X]$; soit $\theta$ une racine de $f$ dans $F_{p^{sn}} = F_{p^s}(\theta)$. Alors, pour que $f(g(X))$ soit hyponormal sur $F_{p^s}$, il faut et il suffit que $g(X) - 0$ soit hyponormal sur $F_{p^{sn}}$.

La condition est nécessaire. En effet, supposons $f(g(X))$ hyponormal sur $F_{p^s}$. Il existe $w_0 \in \bar{F}_p$ tel que $f(g(w_0)) = 0$ et que, pour toute racine $w$ de $f(g(X))$, on ait

$$[F_{p^s}(w_0) : F_{p^s}][F_{p^s}(\omega) : F_{p^s}].$$

Le polynôme minimal de $w_0$ sur $F_{p^s}$ se décompose dans $F_{p^{sn}}[X]$ en produit de polynômes irréductibles de degrés $[F_{p^s}(w_0) : F_{p^s}]_n$.

De même, le polynôme minimal de $w$ sur $F_{p^s}$ se décompose dans $F_{p^{sn}}[X]$ en produit de polynômes irréductibles de degrés $[F_{p^s}(\omega) : F_{p^s}]_n$. Alors $[F_{p^s}(w_0) : F_{p^s}]_n$ divise $[F_{p^s}(\omega) : F_{p^s}]_n$.

La condition est suffisante; si $g - \theta$ est hyponormal sur $F_{p^{sn}}$, soit $d_0$ le degré d'un polynôme irréductible de $F_{p^{sn}}[X]$ divisant $g - \theta$, $d_0$ divisant le degré de tout polynôme irréductible de $F_{p^{sn}}[X]$, factorisant $g - \theta$. Il existe dans la décomposition de $f(g(X))$ en produit de polynômes irréductibles un facteur de degré $\delta_0 n$ tel que $\delta_0 n / \text{pgcd}(\delta_0 n, n) = d_0$. Soit $\delta n$ le degré d'un polynôme irréductible de $F_{p^s}[X]$ factorisant $f(g(X))$; ce polynôme se décompose dans $F_{p^{sn}}[X]$ en produit de facteurs irréductibles

de degrés $d = \delta n / \text{pgcd}(\delta n, n)$. L'un de ces facteurs divise $g - \theta$. Donc $\delta_0 n$, divise $\delta n$ puisque $d_0$ divise $d$.

**DÉFINITION 1.3.** Soit $r \in \mathbb{N}^*$. On appelle $p^r$-polynôme à coefficients dans le corps fini $F_{p^s}$, tout polynôme $g \in F_{p^s}[X]$, non nul, de la forme

$$g(X) = \sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^{ri}}.$$

On notera que dans cette définition, les entiers $r$ et $s$ ne sont liés par aucune condition.

**2.** On se propose, dans cette partie, d'établir le théorème suivant:

**THÉORÈME 2.0.** Soit $f(X)$ un polynôme irréductible de degré $n$ de $F_{p^s}[X]$ et soit $g(X)$ un $p^r$-polynôme de $F_{p^s}[X]$. Alors le polynôme $f(g(X))$ est hyponormal sur $F_{p^s}$.

Avant d'aborder la démonstration de ce théorème, extrayons de [2] une partie des résultats obtenus dans l'étude des polynômes $f(X^{p^r} - aX)$, où $a \in F_{p^s}^\times$.

**RAPPELS 2.1.** On a montré que dans la décomposition de $f(X^{p^r} - aX)$ en produit de facteurs irréductibles de $F_{p^s}[X]$, trois cas et trois seulement apparaissaient, ces cas s'excluant d'ailleurs mutuellement.

**1er cas.** Il y a un unique polynôme irréductible de degré $n$ de $F_{p^s}[X]$, divisant $f(X^{p^r} - aX)$. Il existe un irréductible de $F_{p^s}[X]$ de degré $\lambda n$ ($\lambda > 1$), divisant $f(X^{p^r} - aX)$ et tous les autres irréductibles de $F_{p^s}[X]$ factorisant $f(X^{p^r} - aX)$, qui ne sont pas de degré $n$, ont des degrés multiples de $\lambda n$.

**2ème cas.** Les degrés des polynômes irréductibles de $F_{p^s}[X]$ factorisant $f(X^{p^r} - aX)$ sont les entiers de l'ensemble $\{n \mid \frac{t}{(t, ns)}\}_{t|r}$.

**3ème cas.** Si $k$ est l'unique entier tel que

$$\text{pgcd}(r, \text{snp}^{k+1}) = p^k \text{pgcd}(r, sn),$$

alors les degrés des polynômes irréductibles de $F_{p^s}[X]$ factorisant $f(X^{p^r} - aX)$ sont les entiers de l'ensemble $\{np^{k+1} \mid \frac{t}{(t, ns^{p^{k+1}})}\}_{t|r}$.

Ceci étant on a le

**LEMME 2.2.** Soient $n$ et $s$ des entiers $> 0$ et $d$ un diviseur de $sn$. Le polynôme $u + vX + wX^{p^d}$ de $F_{p^{sn}}[X]$ est hyponormal sur $F_{p^{sn}}$.

Preuve. Si $u + vX + wX^{p^d}$ a une racine dans $F_{p^{sn}}$, il est évidemment hyponormal sur $F_{p^{sn}}$. On va donc supposer que ce polynôme n'a pas de racine dans $F_{p^{sn}}$. Les rappels montrent qu'alors on est dans le 3ème cas. $u + vX + wX^{p^d}$ se décompose donc en $p^{d-1}$ facteurs irréductibles de $F_{p^{sn}}[X]$ de degrés $p$, d'où l'hyponormalité sur $F_{p^{sn}}$.
LEMME 2.3. Soient $f(X)$ un polynôme irréductible de $F_{p^s}[X]$ de degré $n$, $m$ un entier et $d$ un diviscur de $sn$. Soit $g(X) = \sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^d} \text{ un } p^d\text{-polynôme de } F_{p^s}[X]$. Alors le polynôme $f(g(X))$ est hyponormal sur $F_{p^s}$.

Preuve. On raisonne par récurrence sur l'entier $m$. En vertu du lemme 1.2, il faut et il suffit de montrer que $\sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^d} - 0$ est hyponormal sur $F_{p^s n}$.

Si $m=1, -\theta + a_0 X + a_1 X^d$ est hyponormal sur $F_{p^s n}$: c'est le lemme 2.2. Supposons donc $m \ge 2$ et l'hyponormalité sur $F_{p^s n}$ de tout polynôme de la forme $b + \sum_{i=0}^{M} a_i X^{p^d} \text{ de } F_{p^s n}[X]$, avec $M < m$. Si $\sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^d} - 0$ a une racine dans $F_{p^s n}$, l'hyponormalité sur $F_{p^s n}$ est immédiate. Supposons le contraire; soit $\mu_0$ le degré d'un polynôme irréductible de $F_{p^s n}[X]$ divisant $\sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^d} - \theta$, et qui soit minimal parmi les degrés $\mu$ des autres polynômes irréductibles de $F_{p^s n}[X]$ factorisant $\sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^d} - \theta$.

Si $\sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^d} - \theta | X^{p^s n \mu_0} - X$, alors $\mu | \mu_0$ et, comme $\mu \ge \mu_0$, on a $\mu = \mu_0$; d'où l'hyponormalité. De plus, on a $\mu_0 = p^{a_0} (1 \le a_0 \le dm)$. Sinon, soit $m'$ un entier tel que $m'sn \ge dm$ et premier à tous les degrés des polynômes irréductibles de $F_{p^s n}[X]$ divisant $\sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^d} - \theta$.

On a dans $F_{p^s n}[X]$ la congruence

$$X^{p^s n \mu_0 m'} - X \equiv b + \sum_{i=0}^{m-1} b_i X^{p^d} \mod \left( \sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^d} - \theta \right).$$

Si $b + \sum_{i=0}^{m-1} b_i X^{p^d} = 0$, alors $\mu | \mu_0$, donc $\mu = \mu_0$, et $\mu_0$ est une puissance de $p$;

Si $b + \sum_{i=0}^{m-1} b_i X^{p^d} \neq 0$, soit $\gamma(X) = \text{pgcd}(X^{p^s n \mu_0 m'} - X, \sum_{i=0}^{n} a_i X^{p^d} - \theta)$; il est clair que $\gamma(X) - \gamma(0)$ est un $p^d$-polynôme de $F_{p^s n}[X]$; par hypothèse de récurrence, le polynôme $\gamma(X)$ est hyponormal sur $F_{p^s n}$; de plus il n'a pas de racine dans $F_{p^s n}$; $\mu_0$ est donc le plus petit des degrés des polynômes irréductibles de $F_{p^s n}[X]$ factorisant $\gamma(X)$; $\mu_0$ est donc une puissance de $p$, non nulle.

De même si $\sum_{i=0}^{n} a_i X^{p^d} - \theta | X^{p^s n \mu} - X$, alors $\mu_0 | \mu$ et le polynôme est hyponormal.

Sinon si $\sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^d} - \theta | X^{p^s n \mu} - X$, on a comme précédemment dans $F_{p^s n}[X]$ la congruence

$$X^{p^s n \mu'} - X \equiv b' + \sum_{i=0}^{m-1} b'_i X^{p^d} \mod \left( \sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^d} - \theta \right).$$

Si $b' + \sum_{i=0}^{m-1} b'_i X^{p^d} = 0$, alors $\mu_0 | \mu$ et on a l'hyponormalité. Sinon, $\gamma'(X) = \text{pgcd}(X^{p^s n \mu'} - X, \sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^d} - \theta)$, n'a pas de racine dans $F_{p^s n}$, mais pos-sède, par hypothèse de récurrence, une racine de degré minimal $p^\alpha$; on a donc $p^\alpha | \mu$. D'autre part, on a $p^\alpha \ge \mu_0$ et on a vu que $\mu_0$ était toujours une puissance de $p$, non nulle. Il en résulte que $\mu_0 | p^\alpha$ et a fortiori $\mu_0 | \mu$. ■

On est maintenant en mesure de démontrer le théorème 2.0.

Preuve du théorème 2.0. Si $g(X) = \sum_{i=0}^{m} a_i X^{p^d}$ est un $p^r$-polynôme de $F_{p^s}[X]$, on peut le considérer, si $d|(r, sn)$, comme un $p^d$-polynôme de $F_{p^s}[X]$, en écrivant

$$g(X) = \sum_{i=0}^{m} a_i X^p d^{\left(\frac{r}{d} i\right)} = \sum_{j=0}^{\frac{r}{d} m} b_j X^{p^j d}.$$

Le lemme 2.3 montre alors que $f(g(X))$ est hyponormal sur $F_{p^s}$. ■

### 3. Un exemple de polynôme hyponormal mixte.

PROPOSITION 3.1. Soient $f(X)$ un polynôme irréductible de $F_{p^s}[X]$, de degré $n$, $r$ un entier, $m$ un diviseur de $p^r-1$, et a un élément de $F_{p^s}^\times$.

Alors le polynôme $f((X^{p^r} - aX)^m)$ est hyponormal sur $F_{p^s}$.

Preuve. Si $f(X) = X$ la proposition est évidente. Supposons donc $f(0) \neq 0$. Soit $\theta$ une racine de $f(X)$ dans $F_{p^s} \text{deg}(f) = F_{p^s'} = F_{p^s n}$.

Le polynôme $X^m - \theta$ est hyponormal sur $F_{p^s'}$. Les degrés des irréductibles qui le factorisent dans $F_{p^s'}[X]$ sont de la forme $v = \frac{1}{s'}[h\sigma, \ell, s']$

où $\ell$ est l'ordre de $p$ dans $(\frac{Z}{dZ})^\times$ avec $d|m$, où $h$ est le plus petit entier tel que $\theta^{(v^{h\sigma-1})(m,p^{h\sigma-1})} = 1$ et où $\sigma$ est tel que $F_p(\theta) = F_{p^s}$.

Soit maintenant $f_v$ un irréductible de degré $v$ factorisant $X^m - \theta$ dans $F_{p^s'}[X]$ et $f_v$ un irréductible de $F_{p^s'}[X]$ divisant $X^m - \theta$, et dont le degré $v_0$ divise tous les degrés $v$.

Si $a^{(p^s v_0 - 1)/(p(r, s'v_0) - 1)} \neq 1$ alors $f_{v_0}(X^{p^r} - aX)$ possède dans sa factorisation un irréductible de degré $v_0$, il en résulte que $(X^{p^r} - aX)^m - \theta$ est hyponormal sur $F_{p^s'}$ (cf. [2]).

On observera que dans ce cas l'hypothèse $m|p^r-1$ n'est pas intervenue. Si $a^{(p^s v_0 - 1)/(p(r, s'v_0) - 1)} = 1$ alors pour tout $v$ on a $a^{(p^s v_0 - 1)/(p(r, s'v_0) - 1)} = 1$; La décomposition de $f_{v_0}(X^{p^r} - aX)$ ou de $f_v(X^{p^r} - aX)$ dépend alors de l'élément $\xi \in F_{p^s v_0} \subset F_{p^s v'}$ tel que $\xi^{p^r - 1} = \alpha$ et des quantités $\ell_{\delta_{v_0}, \delta_{v_0}}(\omega_0)$ et $\ell_{\delta_{v'}, \delta_{v'}}(\omega_0 \eta)$ où $\omega_0$ est une racine de $f_{v_n}$ où $\delta_{v_n}, \delta_{v'}, \delta_{v_n}$ sont des entiers
tels que: $\bar{d}_v = (r, s'v)$, $\delta_v \cdot \bar{d}_v = s'v$, et de même pour

$$ \bar{d}_{v_0} = (r, s'v_0), \quad \delta_{v_0} \cdot \bar{d}_{v_0} = s'v_0, $$

en observant que si $x_0$ est une racine de $f_{v_0}$, donc de $X^m - \theta$, $x_0 \not\equiv \theta$ est une racine de $X^n - \theta$, lorsque $\eta$ est une racine $m^{\text{lème}}$ de l'unité, et donc $\eta \in F_{p^r}^\times$ puisqu'il a été supposé que $m|p^r-1$, et où enfin $\varrho_{\delta_v, d_v}(X)$ est le polynôme $\sum_{j=0}^{\delta_v-1} (\xi^{-p^r}X)^{p^{\delta_v j}}$.

Compte tenu des expressions de $v$ et de $v_0 = \frac{[h\sigma, s']}{s'}$ on a:

$$ r \delta_v = [r, s'v] = [h\sigma, s', r] \quad \text{car } m|p^r-1. $$

Ainsi $\delta_v$ ne dépend pas de $v$.

Comme

$$ \varrho_{\delta_v, \bar{d}_v}(x_0 \eta) = \varrho_{\delta_v, r}(x_0 \eta) \quad \text{et} \quad \varrho_{\delta_v, v_0}(x_0) = \varrho_{\delta_v, r}(x_0) $$

et que $\varrho_{\delta_v, r}(x_0 \eta) = \eta \varrho_{\delta_v, r}(x_0)$ puisque $\delta_v = \delta_{v_0}$, on en déduit que les polynômes $f_v(X^{p^r} - aX)$ et $f_{v_0}(X^{p^r} - aX)$ ont des décompositions similaires dans $F_{p^s}[X]$ lorsque $a^{(n^{s'v_0-1})/(p(r,s'v_0)-1)} = 1$.

Si $\varrho_{\delta_v, r}(x_0) = 0$ alors chaque $f_v(X^{p^r} - aX)$ comporte un irréductible de degré $v$ dans sa décomposition, d'où l'hyponormalité.

Si $\varrho_{\delta_v, r}(x_0) \neq 0$, il y a dans la factorisation de $f_v(X^{p^r} - aX)$ un irré-ductible de $F_{p^s}[X]$ de degré $vp^{k_v+1}$, divisant les degrés de tous les autres irréductibles factorisant $f_v(X^{p^r} - aX)$ où $k_v$ est l'entier tel que $\frac{r}{(r, s'v)} = p^{k_v} \cdot \omega_v$ avec $(\omega_v, p) = 1$.

On a donc

$$ [r, s'v] = s'v p^{k_v} \cdot \omega_v \quad \text{et} \quad [r, s'v_0] = s'v_0 p^{k_{v_0}} \cdot \omega_{v_0}. $$

Comme $[r, s'v] = [r, s'v_0]$ il en résulte que

$$ vp^{k_v} \cdot \omega_v = v_0 p^{k_{v_0}} \cdot \omega_{v_0} \quad \text{et donc} \quad p^{k_{v_0}} \left|_{v_0} \frac{v}{v_0} p^{k_v}. $$

Par conséquent $v_0 p^{k_{v_0}+1}$ divise $v p^{k_v+1}$ ce qui établit l'hyponormalité dans ce cas là.

On a donc montré que le polynôme $(X^{p^r} - aX)^m - \theta$ était hyponormal sur $F_{p^s}$, d'où, par le lemme 1.2, il résulte que $f((X^{p^r} - aX)^m)$ est hyponormal sur $F_{p^s}$.

Remarque. On constate que l'on peut donner une description complète des degrés pour $m = p^{r'} - 1$, où $r' \nmid r$.

Bibliographie

[1] S. Agou, *Factorisation sur un corps fini $F_{p^n}$ des polynômes composés $f(X^s)$ lorsque $f(X)$ est un polynôme irréductible de $F_{p^n}[X]$*, Enseignement Math. (2) 22 (1976), pp. 305-312.

[2] — Factorisation sur un corps fini $F_{p^n}$ des polynômes composés $f(X^{p^r} - aX)$ lorsque $f(X)$ est un polynôme irréductible de $F_{p^n}[X]$, Journ. Number Theory 9 (1977), pp. 229-239.

[3] — *Irréductiblité des polynômes $f(X^{p^r} - aX)$ sur un corps fini $F_{p^s}$*, Journ. Reine Angew. Math. 292 (1977), pp. 191-195.

[3'] — *Irréductiblité des polynômes $f(X^{p^2r} - aX^{p^r} - bX)$ sur un corps fini $F_{p^s}$*, Journ. Number Theory 10 (1976), pp. 64-69.

[4] L. Carlitz et A. F. Long, *The factorization of $Q(L(x_1), ..., L(x_k))$ over a finite field where $Q(x_1, ..., x_k)$ is of first degree and $L(x)$ is linear*, Acta Arith. 32 (1977), pp. 407-420.

[5] L. E. Dickson, *Higher irreducible congruences*, Bull. Amer. Math. Soc. 3 (1897), pp. 381-389.

[6] — *Linear groups with an exposition of the Galois Field Theory*, Dover, New York 1958.

[7] A. F. Long, *Factorization of irreducible polynomials over a finite field with the substitution $x^p - x$ for $x$, Acta Arith.* 25 (1973), pp. 65-80.

[8] — *Factorization of irreducible polynomials over a finite field with the substitution $x^{p^r} - x$ for $x$, Duke Math. J.* 40 (1973), pp. 63-76.

[9] A. F. Long and T. P. Vaughan, *Factorization of $Q(h(T(x)))$ over GF($q$) where $Q(x)$ is irreducible an $h(T)(x)$ is linear II*, Linear Algebra and its applications 11 (1975), pp. 53-72.

[10] O. Ore, *Contributions to the theory of finite fields*, Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), pp. 243-274.

[11] J. A. Serret, *Détermination des fonctions entières irréductibles suivant un module premier, dans le cas où le degré est égal au module*, Journal de Mathématiques, (2) 18 (1873), p. 301-305.

Reçu le 15.3.1978
et dans la forme modifiée le 10.7.1978
(1054)