de cet essai dans le chapitre 2 que l'essai de traction plane est fortement hétérogène. L'appli-
cation de la méthode d'identification inverse pour déterminer les coefficients d'anisotropie est
une approche assez pertinente pour identifier ces coefficients avec précision et rend compte
du comportement du matériau, si le choix du modèle est judicieux. Cette méthode consiste à
minimiser, par une procédure d'optimisation, la différence entre la réponse du modèle calculée
par la méthode des éléments finis et la réponse expérimentale de l'essai de traction plane.
L'identification des coefficients d'anisotropie sous l'hypothèse d'homogénéité est également
effectuée et ceci pour deux buts : Le premier but est de quantifier l'ampleur de l'adoption de
cette hypothèse sur les coefficients identifiés, pour des fins de comparaison. Le deuxième but
de cette identification homogène est de prendre ces coefficients comme des valeurs initiales
pour démarrer le processus itératif de la méthode d'identification inverse. Ceci permet un gain
en nombre d'itérations si ces valeurs initiales sont prises d'une façon aléatoire ou intuitive.
Les résultats obtenus par cette technique d'identification inverse, montrent une meilleure
prédiction des coefficients d'anisotropie que ceux identifiés par l'approche homogène quand
ils sont comparés aux coefficients expérimentaux.

Toutefois, une différence réside entre les coefficients identifiés par la méthode inverse qui
doit fournir les coefficients le plus représentatifs du comportement des tôles. Nous notons que
les modèles avec plasticité non associée peuvent être satisfaisants pour décrire l'anisotrope
de l'état de contraintes (critère de plasticité) et l'anisotropie des déformations plastiques (le
potentiel plastique est identifié à partir des coefficients expérimentaux de Lankford). Cependant, la validation de ces modèles pour décrire d'autres trajets de chargement (d'autres essais) donne de mauvais résultats. Nous pensons que la capacité des modèles isotropes transverses et quadratiques de Hill est mise en cause, pour tenir compte à la fois de l'anisotropie des contraintes et des déformations plastiques.

Dans la littérature, plusieurs critères de plasticité non quadratiques sont proposés pour
mieux améliorer la prédiction du comportement anisotrope des tôles mieux que celle prévue
par le critère quadratique de Hill. Nous avons implémenté dans notre code maison de calcul
par éléments finis un critère non quadratique relativement récent. Ce critère est proposé par
Barlat et ces collaborateurs (1997). L'identification inverse du modèle est basée sur ce critère
conduit à des résultats, permettant de tenir compte à la fois de l'anisotropie des courbes
d'écrouissage en traction plane ainsi que de l'anisotropie des déformations plastiques.
<figure><img src="image_69.png" /></figure>
# Chapitre 5

## Analyse de sensibilité paramétrique

### 5.1 Introduction

Le calcul de sensibilité est défini comme étant la méthode permettant d'obtenir l'influence de la variation des paramètres d'optimisation sur la réponse (force, déplacement, contrainte, déformation, etc...) fournie par un code de simulation par éléments finis intégrant un modèle de comportement. A partir de cette définition, nous pensons directement au calcul des dérivées de cette réponse simulée du modèle par rapport aux variables d'optimisation. Nous écrivons d'une manière formelle la définition de

$$S = \frac{\partial R}{\partial p} \qquad (5.1)$$

où S représente la matrice de sensibilité (matrice Jacobienne) d'un vecteur de réponses R macroscopiques fournies par un calcul par la méthode des éléments finis par rapport à un vecteur de paramètres p à optimiser. L'analyse de sensibilité joue un rôle important dans les procédés pour l'optimisation des géométries en mise en forme, les problèmes inverses et plus généralement, dans les problèmes d'identification paramétriques.

Les méthodes d'optimisation d'ordre 1 nécessitant le calcul du gradient de la fonction objectif à minimiser. Ceci revient à calculer la sensibilité de cette fonction par rapport aux variables d'optimisation. La qualité de la convergence de ces méthodes est fortement dépendante de la précision du calcul de la dérivée de la fonction objectif (Kleinermann, 2000), (Ghouati et Gelin, 1998).

La méthode la plus classique de dérivation, couramment utilisée, est la méthode de différences finies (MDF) (Forestier et al., 2001), (Boyer, 2001). C'est une méthode de dérivée purement numérique. Son principe consiste à perturber chaque paramètre successivement, positivement puis négativement d'une valeur à définir et à calculer dans chaque cas la réponse de la simulation. Bien que la méthode (MDF), soit facile à implémenter, elle est lourde (le calcul des dérivées par la méthode des différences finis prendrait environ de 80 à 95 % du temps CPU de la résolution du problème d'optimisation) (Kleinermann, 2000) et par conséquent, très lente pour un nombre important de paramètres. Elle sera donc peu intéressante pour un
grand nombre de paramètres (Forestier et al., 2001).

Une deuxième classe de méthode de calcul de sensibilité est la méthode de différenciation directe (MDD). C'est une méthode de dérivation analytique permettant une très bonne précision. Cependant, (Forestier et al., 2001) trouve dans cette méthode les inconvénients suivants : la méthode de dérivation analytique nécessite la connaissance du modèle direct puisque les dérivées sont implémentées au coeur du solveur. Elle semble peu flexible, étant spécifique à la loi de comportement utilisée. Des fois le calcul des dérivées peut se révéler très lourd et donc être source d'erreurs ou imposer l'utilisation d'outils de calculs formels.
Pour palier à ces inconvénients, une autre classe de méthode de calcul de dérivées est proposée. C'est la méthode semi-analytique, qui associe le calcul des dérivées analytiques et numériques (Bakshi, 2000), (Srikanth, 2000), (Law, 1997).

Plusieurs études sont menées sur les méthodes de calcul des sensibilités dans l'analyse des paramètres sur le comportement des structures. Le lecteur trouvera de plus amples détails sur ces méthodes dans les références suivantes : (Tortorelli et Michaleris, 1994a; Tortorelli, 1994b), (Atrek, 1996), (Atrek, 1999).

Une autre méthode d'analyse de sensibilité qui est relativement différente de ces méthodes de dérivation. C'est une méthode d'analyse de sensibilité statistique, encore appelée méthode des plans d'expériences (MPE). Cette méthode s'inscrit comme une technique d'analyse de sensibilité, au sens où elle permet de prédire les effets induits par des changements de valeurs des paramètres sur la réponse simulée. Son apport fondamental a consisté à montrer que le fait de faire varier les paramètres simultanément et non pas successivement permettait d'une part une efficacité beaucoup plus grande et d'autre part la prise en compte d'éventuelles interactions entre les paramètres étudiées. Nous n'évoquons pas dans ce travail, ce type de méthode d'analyse de sensibilité.

Dans ce chapitre, nous présentons une méthode de calcul semi-analytique, spécifique, de la sensibilité de la réponse globale (force de traction) qui découle de manière systématique de la méthode particulière que nous utilisons pour résoudre le problème élastoplastique. La sensibilité de la force de traction plane est étudiée par rapport au coefficient d'anisotropie *r* du modèle isotrope transverse et par rapport aux coefficients d'anisotropie *r*₀, *r*₄₅, *r*₉₀ du modèle orthotrope de Hill. Pour mieux exprimer la capacité d'un essai et mieux identifier les coefficients d'anisotropie d'un matériau par rapport à un autre, nous avons définis un indicateur de sensibilité permettant de classifier les essais de traction plane, d'expansion et de cisaillement simple selon la sensibilité de leurs réponses par rapport au coefficient d'anisotropie.

## 5.2 Méthode spécifique de calcul de sensibilité

Nous présentons une méthode spécifique de calcul de sensibilité permettant de calculer la variation de la réponse globale d'un essai par rapport aux paramètres identifiés. Ceci revient
à calculer la variation des champs de contraintes par rapport à ces paramètres. Le calcul est effectué d'une manière incrémentale. Il est basé sur une méthode spécifique qui découle, de manière systématique de l'algorithme particulier, que nous utilisons dans le calcul des structures par la méthode des éléments finis (Khalfallah et al., 2002b).

L'expression de la force généralisée $\vec{F}$ associée à la vitesse de déplacement $\dot{\vec{U}} \cdot \vec{d}$ est donnée par le principe des puissances virtuelles :

$$F = ||\vec{F}|| = \frac{1}{\dot{\vec{U}}} \int_{\Omega} (\boldsymbol{\sigma} : \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}) \, d\Omega \qquad (5.2)$$

Le calcul de la variation de la force globale par rapport à un paramètre $r$ à partir de la relation (5.2) s'écrit :

$$\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{1}{\dot{\vec{U}}} \int_{\Omega} \left( \frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial r} : \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^p + \boldsymbol{\sigma} : \frac{\partial \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^p}{\partial r} \right) d\Omega \qquad (5.3)$$

### 5.2.1 Calcul de sensibilité

L'évaluation de la quantité $\frac{\partial F}{\partial r}$, nécessite le calcul des termes $\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial r}$ et $\frac{\partial \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^p}{\partial r}$. Le calcul de $\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial r}$ s'effectue d'une manière incrémentale. Si nous supposons que nous connaissons l'incrément initial $(\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial r})_0$, nous calculons l'incrément suivant $(\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial r})_1$ par l'évaluation du terme $\frac{\partial(d\boldsymbol{\sigma})}{\partial r}$ :

$$(\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial r})_1 = (\frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial r})_0 + \frac{\partial(d\boldsymbol{\sigma})}{\partial r} \qquad (5.4)$$

La formulation en déplacement du problème et sa discrétisation par des éléments finis permettent d'écrire la forme discrétisée suivante :

$$\sigma_{ij}^{a} = \vec{U} \sigma_{ij}^{e} + \sum_{b} S_{ijkl}^{ab} \varepsilon_{kl}^{pb} \qquad (5.5)$$

Où $a$ et $b$ désignent des numéros d'éléments, $S$ désigne un tenseur d'ordre 4 ne dépend que de la géométrie de la structure et de ses propriétés élastiques. Cette dernière relation peut s'écrire aussi sous la forme suivante :

$$d\sigma_{ij} = d\vec{U}\sigma_{ij}^{e} + \sum_{b} S_{ijkl}^{ab} d\varepsilon_{kl}^{pb} \qquad (5.6)$$

La dérivation de l'équation (5.5) par rapport au paramètre $r$ permet d'écrire :

$$\frac{\partial(d\boldsymbol{\sigma})}{\partial r} = \sum_{b} S^{ab} : \frac{\partial(d\boldsymbol{\varepsilon}^{pb})}{\partial r} \qquad (5.7)$$

Pour évaluer $\frac{\partial(d\boldsymbol{\varepsilon}^{pb})}{\partial r}$, la dérivation de la loi d'évolution plastique $d\boldsymbol{\varepsilon}^p = d\alpha \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}}$ par rapport au paramètre $r$.

$$\frac{\partial(d\boldsymbol{\varepsilon}^p)}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}(d\alpha)\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}} + d\alpha\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}}\right) \qquad (5.8)$$
L'équation (5.7) s'écrit sous la forme :

$$ \frac{\partial(d\sigma)}{\partial r} = \sum_b S^{ab} : \frac{\partial}{\partial r}(d\alpha) \frac{\partial f}{\partial \sigma} + \sum_b S^{ab} : d\alpha \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) \quad (5.9) $$

Le calcul de $\frac{\partial}{\partial r}(d\alpha)$ est déterminé à partir de la fonction de charge :

$$ f(\sigma_c, \alpha) = \sigma_c(\sigma_{ij} + d\sigma_{ij}) - \sigma_s(\alpha + d\alpha) = 0 \quad (5.10) $$

La dérivation de l'équation (5.10) par rapport au paramètre r donne :

$$ \frac{d\sigma_c}{dr}(\sigma_{ij} + d\sigma_{ij}) = \frac{d\sigma_s}{dr}(\alpha + d\alpha) \quad (5.11) $$

La dérivée de la fonction d'écrouissage $\sigma_s(\alpha)$ par rapport à r conduit :

$$ \frac{\partial \sigma_s}{\partial r} = \frac{\partial \sigma_s}{\partial \alpha} (\alpha + d\alpha) \frac{\partial \alpha}{\partial r} \quad (5.12) $$

La différentielle de la contrainte équivalente s'écrit :

$$ d\sigma_c = \frac{\partial \sigma_c}{\partial r} dr + \frac{\partial \sigma_c}{\partial \sigma} d\sigma \quad (5.13) $$

La dérivée de la contrainte équivalente par rapport au paramètre r s'écrit :

$$ \frac{d\sigma_c}{dr} = \frac{\partial \sigma_c}{\partial r} + \frac{\partial \sigma_c}{\partial \sigma} \frac{d\sigma}{dr} \quad (5.14) $$

Finalement, l'expression (5.11) s'écrit :

$$ \frac{\partial \sigma_c}{\partial r} + \frac{\partial \sigma_c}{\partial \sigma} : \left( \frac{\partial \sigma}{\partial r} + \frac{\partial(d\sigma)}{\partial r} \right) = \frac{\partial \sigma_s}{\partial \alpha} \left( \frac{\partial \alpha}{\partial r} + \frac{\partial(d\alpha)}{\partial r} \right) \quad (5.15) $$

L'expression de $\frac{\partial}{\partial r}(d\alpha)$ s'écrit :

$$ \frac{\partial}{\partial r}(d\alpha) = \frac{\partial \sigma_c}{\partial r} \left( \frac{\partial \sigma_s}{\partial \alpha} \right)^{-1} + \frac{\partial \sigma_c}{\partial \sigma} : \left( \frac{\partial \sigma}{\partial r} + \frac{\partial(d\sigma)}{\partial r} \right) \left( \frac{\partial \sigma_s}{\partial \alpha} \right)^{-1} - \frac{\partial \alpha}{\partial r} \quad (5.16) $$

Si nous substituons l'équation (5.16) dans l'équation (5.15) nous obtenons l'expression suivante :

$$ \frac{\partial(d\sigma)^a}{\partial r} = \sum_b S^{ab} : \frac{\partial f}{\partial \sigma} \left\{ \frac{\partial \sigma_c}{\partial r} \left( \frac{\partial \sigma_s}{\partial \alpha} \right)^{-1} + \frac{\partial \sigma_c}{\partial \sigma} : \left( \frac{\partial \sigma}{\partial r} + \frac{\partial(d\sigma)}{\partial r} \right) \left( \frac{\partial \sigma_s}{\partial \alpha} \right)^{-1} - \frac{\partial \alpha}{\partial r} \right\} + \\ + \sum_b S^{ab} : \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) d\alpha \quad (5.17) $$

$$ \frac{\partial(d\sigma)^a}{\partial r} - \sum_b S^{ab} : \frac{\partial f}{\partial \sigma} \frac{\partial \sigma_c}{\partial \sigma} : \frac{\partial(d\sigma)^b}{\partial r} \left(\frac{\partial \sigma_s}{\partial \alpha}\right)^{-1} = \sum_b S^{ab} : \frac{\partial f}{\partial \sigma} \left(\frac{\partial \sigma_c}{\partial r}\right) \left(\frac{\partial \sigma_s}{\partial \alpha}\right)^{-1} + \\ + \sum_b S^{ab} : \frac{\partial f}{\partial \sigma} \left\{ \left(\frac{\partial \sigma_c}{\partial \sigma} : \frac{\partial \sigma}{\partial r}\right) \left(\frac{\partial \sigma_s}{\partial \alpha}\right)^{-1} - \frac{\partial \alpha}{\partial r} \right\} + \\ + \sum_b S^{ab} : \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) d\alpha \quad (5.18) $$
Ceci est équivalent au système linéaire suivant :

$$ \sum_{b} A_{ab} \frac{\partial}{\partial r} (d\sigma) = B_{a} \qquad (5.19) $$

où

$$ A_{ab} = \left\{ I_d - S^{ab} : \frac{\partial f}{\partial \sigma} : \frac{\partial \sigma_c}{\partial \sigma} \left( \frac{\partial \sigma_s}{\partial \alpha} \right)^{-1} \right\} \qquad (5.20) $$

et

$$ \begin{aligned} B_a = & \sum_b S^{ab} : \frac{\partial f}{\partial \sigma} \frac{\partial \sigma_c}{\partial r} \left( \frac{\partial \sigma_s}{\partial \alpha} \right)^{-1} + \\ & + \sum_b S^{ab} : \frac{\partial f}{\partial \sigma} \left\{ \left( \frac{\partial \sigma_c}{\partial \sigma} : \frac{\partial \sigma}{\partial r} \right) \left( \frac{\partial \sigma_s}{\partial \alpha} \right)^{-1} - \frac{\partial \alpha}{\partial r} \right\} + \\ & + \sum_b S^{ab} : \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) d\alpha \end{aligned} \qquad (5.21) $$

### 5.2.2 Validation de la méthode de calcul

La validation de la méthode de calcul de sensibilité est effectuée sur des cas simples. En effet, nous avons considéré l'essai de traction plane homogène et l'essai de cisaillement simple. Pour ces essais et dans le cas du modèle isotrope transverse, le calcul de sensibilité de la réponse du modèle est déterminé analytiquement. Le même calcul de sensibilité est effectué par la méthode de calcul que nous avons établie pour déterminer la dérivée de la réponse de ce modèle. Les figures (5.1) et (5.2) représentent les tests de validation de la méthode spécifique pour le calcul de la sensibilité des réponses calculées par le code de calcul par éléments finis. Nous remarquons une très bonne coïncidence entre la sensibilité calculée analytiquement à partir des réponses des modèles et celle calculée par la méthode spécifique que nous avons présentée.
<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIG. 5.1: Validation de la méthode numérique du calcul de sensibilité pour l'essai de traction plane homogène.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIG. 5.2: Validation de la méthode numérique du calcul de sensibilité pour l'essai de cisaillement pure.</figcaption></figure>
Comme une première application, nous calculons la sensibilité de la réponse de l'essai de traction plane. C'est à dire la variation de la force globale par rapport au paramètre d'anisotropie, lorsque cette réponse est simulée par le modèle isotrope transverse associé. Nous choisissons un coefficient d'anisotropie $r = 1.41$ pour lequel nous calculons l'évolution de la sensibilité $\frac{\partial F}{\partial r}$ en fonction du déplacement. Nous avons déterminé la sensibilité dans le cas classique où l'hypothèse d'homogénéité est considérée. De même, la courbe de sensibilité de la force par rapport au coefficient $r$ est aussi calculée dans l'essai de traction plane quand il est supposé non homogène. D'après la figure (5.3), nous remarquons l'influence de l'hypothèse d'homogénéité de l'essai de traction plane sur la sensibilité de la force par rapport au paramètre $r$. La courbe représentant la sensibilité de la force de l'essai de traction plane inhomogène par rapport à $r$ est au-dessous, de la courbe de sensibilité de la force de traction, quand l'essai est considéré comme étant homogène. Mais l'allure des courbes de la sensibilité de la force de traction plane, n'est pas modifiée lorsque cette dernière est considérée homogène ou non homogène. Nous constatons que la sensibilité de la force $F$ est une fonction croissante de l'évolution des déplacements pour un coefficient d'anisotropie $r$ donné.

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIG. 5.3: Sensibilité de la force par rapport à $r$ pour l'essai de traction homogène et inhomogène.</figcaption></figure>

## 5.3 Analyse de sensibilité

### 5.3.1 Indicateur de sensibilité

Pour exprimer la capacité d'un essai et mieux identifier les coefficients d'anisotropie d'un matériau par rapport à un autre essai, nous définissons l'indicateur de sensibilité qui s'écrit
sous la forme suivante :

$$s = \sum \left( \frac{\partial F}{\partial r} \right)^2 / \sum \left( \frac{F}{r} \right)^2 \qquad (5.22)$$

Où F est la force globale, désignant la réponse d'un modèle pour un coefficient d'anisotropie r optimal donné et "s" représente l'indicateur de sensibilité qui est une grandeur normalisée. Un indicateur de sensibilité "s" élevé, signifie que la petite perturbation dans le paramètre d'anisotropie impliquera des changements significatifs dans la réponse du modèle. Autrement dit, plus cet indicateur de sensibilité est important, plus la réponse du modèle est sensible au paramètre donné. Nous avons calculé cet indicateur de sensibilité de la force globale pour l'essai de traction plane par rapport au coefficient d'anisotropie r pour le modèle isotrope transverse. La sensibilité de la réponse de ce modèle est déterminée lorsque l'essai de traction plane est supposé homogène et non homogène (figure 5.3). Pour le coefficient d'anisotropie r = 1.41, l'indicateur de sensibilité est $s_{Hom} = 6.93 \times 10^{-2}$ et $s_{Inho} = 4.54 \times 10^{-2}$ pour respectivement le cas homogène et inhomogène. La sensibilité de l'essai de traction plane homogène est supérieure à celle où l'essai est inhomogène. Ceci est attribué au fait que la force de traction dans le cas homogène est aussi élevé par rapport à celle où l'essai de traction est inhomogène.

### 5.3.2 Analyse de sensibilité des essais

L'indicateur de sensibilité "s", peut être considéré comme un indice à partir duquel nous pouvons juger quel essai est plus sensible par rapport à un paramètre identifié d'un modèle donné. Si nous disposons d'un ensemble d'essais expérimentaux (essai de traction simple, essai de traction plane, essai d'expansion équibiaxiale, essai de cisaillement, ...) et un modèle de comportement donné, la question qu'on doit se poser, quel est l'essai le plus fiable permettant d'identifier avec précision un tel paramètre mieux qu'un autre essai ?

Pour répondre à cette question, nous avons considéré trois types d'essais : l'essai de traction plane, l'essai d'expansion et l'essai de cisaillement. Nous avons calculé l'indicateur de sensibilité pour ces essais en fonction du coefficient d'anisotropie pour le modèle isotrope transverse. Nous avons constaté d'après la figure (5.4), que l'indicateur de sensibilité de l'essai d'expansion est plus élevé que celui de l'essai de traction plane, plus élevé encore de l'indicateur de l'essai de cisaillement simple. Nous constatons alors, que l'essai d'expansion équibiaxiale possède l'indicateur le plus élevé, donc c'est l'essai le plus sensible au coefficient d'anisotropie r. L'essai de traction plane arrive en seconde position quand à la sensibilité de cet essai, relativement à ce coefficient d'anisotropie. Donc l'identification du coefficient d'anisotropie du modèle isotrope transverse à partir de l'essai d'expansion est plus précise que celle à partir d'autres essais. Toutefois, la réalisation d'essai d'expansion équibiaxiale pure, pose encore des problèmes techniques, même si cet essai est réalisable, les déformations plastiques atteintes ne sont pas importantes (Toshihiko et al., 1998). L'essai de gonflement hydraulique est un essai alternatif à l'essai d'expansion équibiaxiale pure, quand la pression
appliquée au pôle est prélevée en fonction de la hauteur au pôle. Mais, l'utilisation d'une
méthode inverse pour identifier le coefficient d'anisotropie à partir d'un essai du gonflement
hydraulique est très coûteuse en temps de calcul. Le temps pour effectuer un calcul direct est
très important. Il apparaît que, l'identification inverse des coefficients d'anisotropie à partir
de l'essai de traction plane conduit à un bon compromis entre la précision des coefficients
identifiés et le temps de calcul dans la résolution du problème inverse.

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIG. 5.4: Comparaison de l'indicateur de sensibilité des essais TP, EB et CS en fonction du coefficient d'anisotropie r.</figcaption></figure>

5.3.3 Analyse de sensibilité du modèle de Hill

L'identification du modèle orthotrope quadratique de Hill conduit à la détermination des coefficients d'anisotropie de Lankford $r_ψ$ du modèle. Dans ce paragraphe, nous étudions la sensibilité de la réponse du modèle orthotrope quadratique de Hill par rapport aux coefficients d'anisotropie $r_0$, $r_{45}$ et $r_{90}$, $(\frac{\partial F}{\partial r_0}, \frac{\partial F}{\partial r_{45}}, \text{et } \frac{\partial F}{\partial r_{90}})$. A partir de cette analyse de sensibilité, nous pouvons déterminer quel est le coefficient d'anisotropie le plus influant sur la réponse de l'essai de traction plane. Par la suite, nous choisisons cet essai à partir duquel ce coefficient sera identifié.

Nous avons évalué l'indicateur de sensibilité "s", défini par la relation (5.22) pour l'essai de traction plane, dans le cas homogène et non homogène pour les trois tôles 1, 2 et 3. Nous constatons que la sensibilité de l'essai de traction plane homogène et supérieure à celle dans le cas inhomogène et que la réponse homogène est indépendante du coefficient d'anisotropie $r_{45}$. Cette constatation est observée dans les valeurs des indicateurs de sensibilité présentées dans les tableaux (5.1), (5.2) et (5.3).
<table><caption>TAB. 5.1: Indicateur de sensibilité dans le cas orthotrope (Tôle 1).</caption><thead><tr><th>Tôle 1</th><th></th><th>s<sub>Hom</sub></th><th>s<sub>Inho</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>r<sub>0</sub></td><td>1.20</td><td>1.23 × 10<sup>-2</sup></td><td>1.06 × 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>r<sub>45</sub></td><td>1.17</td><td>0</td><td>1.09 × 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>r<sub>90</sub></td><td>1.21</td><td>1.20 × 10<sup>-2</sup></td><td>9.09 × 10<sup>-3</sup></td></tr></tbody></table>

<table><caption>TAB. 5.2: Indicateur de sensibilité dans le cas orthotrope (Tôle 2).</caption><thead><tr><th>Tôle 2</th><th></th><th>s<sub>Hom</sub></th><th>s<sub>Inho</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>r<sub>0</sub></td><td>1.96</td><td>3.73 × 10<sup>-2</sup></td><td>3.17 × 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>r<sub>45</sub></td><td>1.83</td><td>0</td><td>6.48 × 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>r<sub>90</sub></td><td>1.69</td><td>2.72 × 10<sup>-2</sup></td><td>1.96 × 10<sup>-2</sup></td></tr></tbody></table>

<table><caption>TAB. 5.3: Indicateur de sensibilité dans le cas orthotrope (Tôle 3).</caption><thead><tr><th>Tôle 3</th><th></th><th>s<sub>Hom</sub></th><th>s<sub>Inho</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>r<sub>0</sub></td><td>1.48</td><td>1.63 × 10<sup>-2</sup></td><td>1.36 × 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>r<sub>45</sub></td><td>1.31</td><td>0</td><td>9.43 × 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>r<sub>90</sub></td><td>1.39</td><td>1.75 × 10<sup>-2</sup></td><td>1.41 × 10<sup>-2</sup></td></tr></tbody></table>

La figure (5.5) représente, pour la tôle 1, les courbes de sensibilité de la force de traction plane inhomogène par rapport aux coefficients d'anisotropie $r_0$, $r_{45}$ et $r_{90}$. Il apparaît que le coefficient $r_0$ a une influence plus élevée que le coefficient $r_{90}$ et $r_{45}$ sur la réponse du modèle.

La figure (5.6) présente, pour la tôle 2, les courbes de sensibilité de la force appliquée F dans l'essai de traction plane par rapport aux coefficients d'anisotropie $r_0$, $r_{45}$ et $r_{90}$ aussi bien dans le cas homogène que non homogène. Nous constatons que la réponse de l'essai de traction plane est plus sensible au coefficient $r_0$ qu'au coefficient $r_{90}$. Dans le cas où l'essai de traction plane est supposé homogène, il est alors indépendant du coefficient $r_{45}$, tandis que dans le cas inhomogène, le coefficient $r_{45}$ est presque 50 fois moins sensible que les coefficients $r_0$ et $r_{90}$.

En effet, l'identification du modèle orthotrope quadratique de Hill, nécessite la détermination des coefficients d'anisotropie $a_1$, $a_2$ et $a_3$. Le coefficient $a_3$ est identifié à partir de l'essai de traction plane, ceci apparaît le bon choix pour identifier ce coefficient à partir de la traction plane, puisque le coefficient d'anisotropie $r_0$ est exprimé uniquement en fonction du coefficient d'anisotropie $a_3 : r_0 = \frac{1 - 2a_3}{1 + 2a_3}$.

Cependant, la figure (5.7) représente un cas relativement différent de celui rencontré avec les tôles 1 et 2. Dans ce cas de figure, nous constatons que le coefficient $r_{90}$ a une influence relativement supérieure à celle du coefficient $r_0$ sur la réponse du modèle. Pourtant la différence entre les deux sensibilités n'est pas important, il faut noter que le calcul des
indicateurs de sensibilité ou les courbes de sensibilité dépendent de la valeur des paramètres identifiés.

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIG. 5.5: Sensibilité de la force en traction plane par rapport aux coefficients d'anisotropie $r_0$, $r_{45}$ et $r_{90}$ dans le cas inhomogène (Tôle 1).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>FIG. 5.6: Sensibilité de la force en traction plane par rapport aux coefficients d'anisotropie $r_0$, $r_{45}$ et $r_{90}$ dans le cas homogène et inhomogène (Tôle 2).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIG. 5.7: Sensibilité de la force en traction plane par rapport aux coefficients d'anisotropie $r_0$, $r_{45}$ et $r_{90}$ dans le cas inhomogène (Tôle 3).</figcaption></figure>

### 5.3.4 Analyse de sensibilité des contraintes

Le calcul de la sensibilité de la réponse globale, c'est à dire, la force de traction de l'essai de traction s'effectue à partir du calcul de la sensibilité des composantes du tenseur de contraintes de Cauchy (relation : (5.3)). Dans ce paragraphe, nous avons déterminé la distribution de la variation des contraintes dans la structure (éprouvette de traction plane) après un chargement donné. Ceci revient à représenter les isovaleurs de la sensibilité des contraintes par rapport au coefficient d'anisotropie $r$. Nous avons pris comme exemple de cette représentation, la distribution de $\frac{\partial\sigma_{11}}{\partial r}$, $\frac{\partial\sigma_{22}}{\partial r}$, $\frac{\partial\sigma_{12}}{\partial r}$ dans l'éprouvette de traction plane, pour la tôle 2 et avec $r = 1.83$, qui représente le coefficient identifié du modèle isotrope transverse.

La figure (5.8) représente les isovaleurs de $\frac{\partial\sigma_{11}}{\partial r}$ dans la structure. Nous observons une distribution non homogène dans la totalité de l'éprouvette. Ceci nous semble une preuve supplémentaire sur la non homogénéité de l'essai de traction plane.

La figure (5.9) représente les isovaleurs de $\frac{\partial\sigma_{22}}{\partial r}$ dans l'éprouvette. Nous constatons que la composante $\sigma_{22}$ est plus sensible à la variation du coefficient d'anisotropie $r$ que la composante $\sigma_{11}$. Si nous prenons, à titre d'exemple, un point au centre de l'éprouvette, nous trouvons que $\frac{\partial\sigma_{11}}{\partial r}$ est de l'ordre de 200 MPa, alors que $\frac{d\sigma_{22}}{dr}$ est approximativement égale à 6000 MPa.

La figure (5.10) représente les isovaleurs $\frac{\partial\sigma_{12}}{\partial r}$ dans la structure. Nous remarquons que, contrairement au cas où l'hypothèse d'homogénéité est considérée et où ce terme doit être nul, dans ce cas inhomogène, la variation de la composante $\sigma_{12}$ par rapport à $r$ est presque
du même ordre de grandeur que le terme $\frac{\partial\sigma_{11}}{dr}$.

En effet, au centre de l'éprouvette, $\frac{\partial\sigma_{12}}{dr}$ est de l'ordre de -77 MPa.

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>FIG. 5.8: Représentation des isovaleurs de $\frac{\partial\sigma_{11}}{dr}$ (Tôle 2).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIG. 5.9: Représentation des isovaleurs de $\frac{\partial \sigma_{22}}{\partial r}$ (Tôle 2).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>FIG. 5.10: Représentation des isovaleurs de $\frac{\partial \sigma_{12}}{dr}$ (Tôle 2).</figcaption></figure>

## 5.4 Conclusion

Dans ce chapitre, une méthodologie spécifique pour l'analyse de sensibilité des réponses des modèles de comportement par rapport aux coefficients d'anisotropie identifiés est présentée. Cette méthode de calcul de sensibilité est développée sur la base d'une méthode de différenciation semi analytique de la réponse globale (effort) d'un modèle de comportement par rapport à un coefficient d'anisotropie donné. Cette méthode découle de manière systématique de la méthode particulière que nous utilisons pour résoudre le problème élastoplastique. Cette méthode a la faveur d'être rigoureuse et précise, comparé à une méthode purement numérique et classique, c'est la méthode des différences finis. Cette dernière méthode, bien qu'elle soit facile à implémenter dans des codes de calcul, mais elle est lourde et moins précise dans le calcul de la dérivée d'une réponse donnée.
Pour classer un ensemble d'essais, afin de chercher quel est l'essai le mieux placé, à partir duquel nous identifions les paramètres de comportement avec précision ? Cet essai devra posséder la sensibilité la plus élevée par rapport à ces paramètres, comparé à la sensibilité des autres essais par rapport à ces mêmes paramètres. Nous avons défini un indicateur de sensibilité permettant de qualifier la sensibilité des essais de traction plane, expansion équibiaxiale et le cisaillement simple par rapport au coefficient d'anisotropie.

Nous avons montré que l'essai d'expansion est relativement plus sensible que la traction plane et le cisaillement simple, mais l'expansion reste un essai qu'il faut bien maîtriser expérimentalement.

Une analyse de sensibilité de la réponse de l'essai de traction plane est effectuée. Nous avons considéré dans cette analyse l'hypothèse d'homogénéité et non homogène de l'essai. Nous avons calculé la sensibilité de la force de traction plane où cette force est calculée par le modèle orthotrope quadratique de Hill. Cette sensibilité de la force est évaluée par rapport aux coefficients d'anisotropie $r_0$, $r_{45}$ et $r_{90}$. Généralement, cette force calculée est plus sensible au coefficient d'anisotropie $r_0$ qu'aux coefficients $r_{45}$ et $r_{90}$. D'ailleurs, la réponse de cet essai est sensible au coefficient $a_3$, que nous avons identifié à partir de la traction plane. Toutefois, il ne faut pas perdre de vue que le calcul de sensibilité de la réponse d'un modèle donné dépend de la valeur des coefficients identifiés.

Finalement, et pour conclure, nous avons pu établir une méthode permettant de calculer la dérivée de la force avec précision. Sachant calculer le gradient de la fonction objectif à minimiser avec précision dans un problème d'identification, nous pouvons intégrer toutes les méthodes d'optimisation d'ordre 1 (les méthodes du gradient) pour les coupler enfin, avec la méthode des éléments finis dans une identification inverse envisageable avec toute rigueur.
# Conclusion générale

Le but de ce travail était essentiellement de contribuer à la définition et à la mise en oeuvre d'une stratégie d'identification des lois de comportement de tôles anisotropes à travers une interaction expérience-calcul. Les essais expérimentaux que nous avons utilisés dans cette identification sont relativement complexes (non homogènes). En particulier, nous avons montré que l'essai de traction plane est fortement hétérogène, même au centre de l'éprouvette. L'identification classique des coefficients d'anisotropie à partir de cet essai, lorsqu'il est interprété comme homogène, conduit à des résultats, parfois dérisoires, car cette hypothèse représente une forte approximation.

Dans ce travail, nous avons mis en oeuvre un algorithme d'identification inverse basé sur le couplage d'une méthode particulière pour le calcul de structures par éléments finis et une procédure d'optimisation (méthode du Simplexe). Cet algorithme permet d'identifier les coefficients d'anisotropie d'une manière rigoureuse en surmontant l'hypothèse d'homogénéité qui n'est pas toujours vérifiée pour tous les essais mécaniques réalisés. Nous avons utilisé un algorithme de calcul de structures par éléments finis convivial pour l'intégration de modèles de comportement élastoplastiques. L'idée de base est d'écrire le problème élastoplastique comme une succession de problèmes élastiques linéaires, où la matrice tangente n'est pas utilisée. La méthode d'optimisation du Simplexe que nous avons utilisée pour coïncider la réponse calculée (force de traction) par la méthode des éléments finis avec la réponse expérimentale correspondante, a l'avantage d'être robuste et elle ne nécessite pas l'évaluation du gradient de la fonction objectif à minimiser.

Pour identifier les coefficients d'anisotropie, deux stratégies peuvent être considérées :

- soit que ces coefficients sont identifiés aux coefficients d'anisotropie expérimentaux

- soit qu'ils sont identifiés à partir des courbes d'écrouissage des essais mécaniques

En effet, nous avons défini et mis en oeuvre une méthode basée sur la deuxième stratégie. La première application de l'algorithme d'identification inverse est envisagée pour identifier un modèle de comportement simple, basé sur le critère quadratique isotrope transverse. Dans un premier temps, nous considérons une loi d'évolution plastique associée et un écrouissage isotrope. Dans ce cas, un seul coefficient caractérisant l'anisotropie du matériau est identifié. L'identification inverse de ce modèle simple, nécessite une courbe d'écrouissage à partir de l'essai de traction simple et la courbe expérimentale (force - variation d'épaisseur) de l'essai de traction plane au centre de l'éprouvette. Le but de cette application est double : d'une
part, nous avons testé la capacité de l'algorithme d'identification inverse que nous avons développé, sur un cas simple, afin de s'assurer de la robustesse et la rigueur de l'algorithme, pour l'appliquer à l'identification d'autres modèles de comportement plus complexe ; d'autre part, ce modèle est simple et facile à identifier, donc il est naturel de passer par celui-ci avant d'aller chercher d'autres modèles plus riches. Nous avons également identifié ce modèle, en adoptant l'hypothèse d'homogénéité de l'essai de traction plane. Nous avons constaté que la différence entre l'identification par l'approche homogène et l'approche inhomogène à partir des courbes d'écrouissage en traction plane est très significative au niveau des coefficients d'anisotropie, alors qu'elle est peu importante si nous comparons les courbes d'écrouissage optimales pour chaque approche. Les coefficients d'anisotropie identifiés par la méthode inverse présentent une meilleure approximation des coefficients d'anisotropie expérimentaux. La validation de ce modèle, en utilisant les coefficients d'anisotropie identifiés par la méthode inverse, pour décrire le comportement d'autres essais (trajets de chargement), a montré que ces coefficients permettent de prévoir d'une manière relativement satisfaisante l'anisotropie des courbes d'écrouissage en expansion équibiaxiale, alors qu'ils sont non représentatives pour l'essai de cisaillement simple. Le deuxième modèle que nous avons identifié est le modèle isotrope transverse non associé. Son identification nécessite une courbe d'écrouissage de l'essai de traction simple et deux coefficients d'anisotropie. Ces coefficients représentent respectivement le coefficient d'anisotropie du critère plastique et le coefficient d'anisotropie du potentiel plastique, qui est souvent identifié au coefficient d'anisotropie expérimental de Lankford. Ce modèle permet, généralement, de tenir compte à la fois de l'anisotropie de la courbe d'écrouissage et de l'anisotropie des déformations plastiques. La validation de ce modèle est moins bonne pour prévoir d'autres trajets de chargement. Par conséquent, le passage à d'autres critères plus anisotropes que les deux modèles précédents est nécessaire. Par la suite, nous avons identifié un modèle associé basé sur le critère orthotrope quadratique de Hill. Pour un état de contraintes planes, ce critère présente trois paramètres d'anisotropie indépendants. Afin d'identifier ces paramètres, nous avons développé une stratégie qui consiste à utiliser les courbes d'écrouissage des essais de traction hors axes et l'essai de traction plane inhomogène. Nous avons constaté que les coefficients d'anisotropie de ce modèle de comportement qui sont identifiés par la méthode inverse sont plus proches des coefficients d'anisotropie expérimentaux que ceux identifiés par la méthode d'identification homogène. Le modèle de Hill avec plasticité non associée est identifié. Son identification nécessite une fonction d'écrouissage, trois paramètres d'anisotropie indépendants pour le critère et trois autres paramètres indépendants pour le potentiel plastique. La stratégie d'identification des paramètres du critère plastique que nous définissons est basée sur les courbes d'écrouissage des tractions hors axes et la courbe expérimentale de la traction plane, alors que pour les paramètres du potentiel plastique, nous les identifions à partir des coefficients d'anisotropie expérimentaux dans différentes directions par rapport à la direction du laminage. D'après les résultats obtenus, nous concluions que la forme quadratique du potentiel plastique, similaire à la forme du critère est suffisante pour décrire l'anisotropie des déformations plastiques. Bien que les modèles quadratiques de Hill soient relativement faciles à identifier et utilisés,
ils présentent moins de flexibilité que les critères non quadratiques qui sont en évolution continue. Néanmoins, les critères classiques de Hill restent les critères de base les plus utilisés dans les codes commerciaux de calculs par la méthode des éléments finis. Ces codes sont généralement plus ou moins ouverts pour intégrer d'autres critères de plasticité.

En effet, dans notre code maison de calcul par la méthode des éléments finis, nous avons implémenté, sans difficultés majeures, un critère non quadratique de Barlat relativement récent. Ce critère fait intervenir un coefficient supplémentaire *m*, généralement supérieur à 2 et qui dépend de la nature du réseau cristallographique du matériau. Ce modèle de Barlat qui a été développé pour décrire le comportement anisotrope des alliages d'aluminium et que nous avons utilisé pour nos tôles, permet en effet de tenir compte de la traction plane et de l'anisotropie des déformations plastiques, c'est à dire de prévoir les coefficients d'anisotropie expérimentaux pour au moins deux tôles.

En général, dans les problèmes d'identification des modèles, l'analyse de sensibilité paramétrique est très importante. Pour étudier l'influence de la variation des paramètres d'anisotropie sur la réponse de modèles de comportement identifiés, nous avons développé une nouvelle méthode de calcul de sensibilité permettant de calculer la dérivée de la force de traction simulée par rapport aux paramètres d'anisotropie. Cette approche est semi-analytique, elle découle d'une manière systématique de l'algorithme que nous utilisons pour le calcul de structures par éléments finis. Elle a l'avantage d'être aussi rigoureuse que la méthode de sensibilité purement analytique et plus précise que la méthode des différences finies purement numérique.

Nous avons, également défini et développé un indice de sensibilité permettant de classer un ensemble d'essais mécaniques (la traction plane, l'expansion équibiaxiale, le cisaillement simple ...) selon leur sensibilité par rapport au coefficient d'anisotropie identifié d'un modèle de comportement donné. A partir de cet indice, nous pouvons déterminer quel est l'essai le plus adéquat à partir duquel nous identifions, avec précision, quel coefficient d'anisotropie.

En conclusion, on peut envisager plusieurs perspectives du présent travail, afin de compléter, voire améliorer les résultats obtenus.

Tout d'abord, le calcul par la méthode des éléments finis que nous avons effectué en petites déformations est envisageable dans une formulation des lois de comportement en grandes déformations. Quand aux critères de plasticité, on peut envisager l'implémentation des critères récemment développés pour mieux tenir compte du comportement d'autres matériaux bien anisotropes.

L'identification inverse que nous avons envisagée dans ce travail, peuvent être effectuée par l'utilisation d'autres méthodes d'optimisation du type gradient. Le calcul de sensibilité développé ici, est d'une grande efficacité dans la précision des paramètres à identifier.

Finalement, ce travail présenté dans ce mémoire constitue une approche pour l'identification fine des modèles de comportement à partir d'essais relativement complexes (des
essais inhomogènes) et une stratégie d'identification qui pourra s'exploiter facilement dans la détermination des coefficients d'anisotropie des toiles destinées à l'emboutissage.
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# LISTE DES PUBLICATIONS

## 1. Publication des articles

1. Ali KHALFALLAH, Hédi BEL HADJ SALAH, Abdelwaheb DOGUI
**Parameter identification and sensitivity analysis**
International Journal of Forming Processes (2004)

2. Hédi BEL HADJ SALAH, Ali KHALFALLAH, Amna ZNAIDI, Abdelwaheb DOGUI, François SIDOROFF
**Constitutive parameters identification for elastoplastic materials in finite deformation**
Journal de Physique IV EDP Sciences, Ulis. p.03-10 (2003)

3. Ali KHALFALLAH, Hédi BEL HADJ SALAH, Abdelwaheb DOGUI
**Anisotropic parameter identification using inhomogeneous test**
European Journal of Mechanics A/Solids, pp.927-942 (2002)

## 2. Communications

1. Hédi BEL HADJ SALAH, Ali KHALFALLAH, Amna ZNAIDI, Abdelwaheb DOGUI, François SIDOROFF
**Constitutive parameters identification for elastoplastic materials in finite deformation**
6th Euromech-Mecamat Conference on non-linear Mechanics of Anisotropic materials, University of Liège, September 9-12, 2002, Belgium.

2. Ali KHALFALLAH, Hédi BEL HADJ SALAH, Abdelwaheb DOGUI
**Identification paramétrique et analyse de sensibilité**
JSTMM'02, Octobre 2002, Monastir-Tunisie.

3. Ali KHALFALLAH, Hédi BEL HADJ SALAH, Abdelwaheb DOGUI
**Anisotropic parameter identification using inverse method**
4th International ESAFORM Conference on Material Forming, April 2001, Liège - Belgium.

4. Ali KHALFALLAH, Hédi BEL HADJ SALAH, Abdelwaheb DOGUI
**Identification des coefficients d'anisotropie des matériaux par une méthode inverse**
3ème JMI'00, Avril 2000, Sfax-Tunisie.

5. Hédi BEL HADJ SALAH, Ali KHALFALLAH, Abdelwaheb DOGUI
**A new approach to elastoplastic structure analysis for material behavior identification**
International Conference on Scientific Computations, 1999, Lebanon.
# IDENTIFICATION DES LOIS DE COMPORTEMENT ÉLASTOPLASTIQUES PAR ESSAI S INHOMOGÈNES ET SIMULATIONS NUMÉRIQUES

Auteur : Ali KHALFALLAH

## Résumé :

Le sujet de thèse que nous abordons concerne l'identification des lois de comportement élastoplastiques anisotropes en vue de leur utilisation pour la simulation numérique des procédés de mise en forme par déformation plastique de toiles minces métalliques d'emboutissage. Nous avons essentiellement contribué à la définition et à la mise en oeuvre de stratégies et techniques d'identification des lois de comportement à partir d'essais expérimentaux. Les essais classiquement utilisés pour l'identification des modèles : la traction simple, dans les axes et hors axes, la traction plane et le gonflement hydraulique (un essai alternatif à l'essai d'expansion équibiaxée) sont présentés et analysés du point de vue homogénéité des déformation pour aboutir à la relation contrainte-déformation à partir des mesures globales force-déplacement. L'identification des modèles de comportement à partir des essais inhomogènes nécessite une simulation numérique couplée avec une méthode d'optimisation (méthode du Simplexe) pour minimiser l'écart entre les résultats expérimentaux et la réponse du modèle calculée par une méthode d'éléments finis. Nous avons identifié des lois de comportement élastoplastiques anisotropes avec écrouissage isotrope. Ces lois sont basées, en particulier, sur le choix d'une ou deux fonctions "contrainte équivalente" définissant le critère de plasticité et le potentiel plastique (cadre de la normalité non associée) ayant la même structure que la fonction seuil. Plusieurs critères quadratiques et non quadratiques sont alors utilisés. Nous avons développé une technique spécifique d'analyse de sensibilité des essais par rapport aux différents paramètres à identifier de la loi de comportement. Cette technique est mise en oeuvre sur des exemples pratiques.

**Mots clés :** Identification, traction plane, Elastoplasticité, Anisotropie, Analyse de sensibilité.

## Abstract :

The subject of the thesis deals with the anisotropy elastoplastic constitutive behavior law identification, in the aim of its use for the numerical simulation of the metal sheet deep drawing processes. Essentially, we have contributed to the definition and the application of constitutive behavior identification techniques and strategies from experimental tests. The classical tests used for the identification : Simple tensile test, in the axes and off-axes, plane tensile test and the bulge test (as an alternatif of the equibiaxial test) are presented and analyzed from the point of view of the deformation homogeneity to outcome to the stress-strain relation from the globales measurements force-displacement. The identification of the behavior laws from inhomogeneous tests needs numerical simulation coupled with an optimisation procedure (simplex method) for minimizing the difference between measured results and model responses calculated by finite element method. We have identified anisotropy elastoplastic behaviour laws with isotropy hardening law. These laws are based on the choice of the constitutive functions "equivalent stress" which defines the yield locus and plasticity potential (non associated plasticity) that has the same form as the yield function. Several quadaratic and non quadratic yield loci are then used. We have developed a specific sensitivity analysis method of the tests in relation to the identified behaviour law parameters. This method is applied on practical examples.

**Key Words :** Identification, Plane tensile test, Elastoplasticity, Anisotropy, Sensitivity analysis.