# Sur un système d'équations aux différences finies

par ZYGMUNT BUTLEWSKI (Poznań)

Résumé. On considère le système d'équations aux différences finies

$$ (*) \qquad \Delta y = hA(x)z, \quad \Delta z = hB(x)y, $$

où les coefficients $A(x)$, $B(x)$ sont des fonctions continues dans l'intervalle $J$ et la distance $h$ est une constante positive. Soit $y(x)$, $z(x)$ une solution continue et oscillante du système (*) pour $x \in J$. On suppose que les inégalités suivantes sont remplies:

$$ (*) \qquad 0 < A_1 < A(x), \quad B(x) < -B_1 < 0 \quad (A_1, B_1 = \text{Const}), \quad x \in J. $$

Dans ces conditions on démontre que la longueur de tout intervalle entre deux zéros consécutifs de la fonction $y(x)$ (resp. $z(x)$) ne dépasse pas $2h(2+1/p)$, où l'on a $0 < p = h^2 A_1 B_1 < 2$.

On obtient aussi le résultat suivant: tout sous-intervalle de $J$ dont la longueur dépasse $\lambda = \pi/m + 3h$ ($m = \sqrt{A_1 B_1}$), contient un zéro au moins de la fonction $y(x)$ (resp. $z(x)$).

Enfin, en supposant que l'on a

$$ A(x) > 0, \quad B(x) < 0, \quad \Delta A(x) > 0, \quad \Delta B(x) < 0 \quad \text{pour } x \in J, $$

on obtient quelques inégalités pour les expressions

$$ \sqrt{|B|}|y|, \quad \sqrt{|A|}|z| \quad \text{et} \quad |\Delta y(x)|, \quad |\Delta z(x)|. $$

Les propriétés analogues pour les solutions des équations différentielles sont bien connues.

**Introduction.** Dans cet article nous considérons le système d'équations aux différences finies

$$ (I) \qquad \Delta y = hA(x)z, \quad \Delta z = hB(x)y, $$

où les fonctions $A(x)$ et $B(x)$ sont continues dans l'intervalle $J$ et $h$ est une constante positive. Soit $y(x)$, $z(x)$ une solution continue du système (I).

Nous appelons une solution $y(x)$, $z(x)$ *oscillante* dans l'intervalle $(x_0, \infty)$, si les deux fonctions $y(x)$ et $z(x)$ changent de signe + et – une infinité de fois dans l'intervalle $(x_0, \infty)$.

Supposons remplies les inégalités

$$ (II) \qquad 0 < A_1 \le A(x), \quad B(x) \le -B_1 < 0, \quad x \in (x_0, \infty), $$

où $A_1, B_1$ sont des constantes positives.
Dans notre travail [2] nous avons obtenu, entre autres, les résultats suivants: 1° Si les inégalités (II) sont satisfaites, toute solution du système (I) est oscillante. Désignons par $x_1, x_2, ..., x_n, ...$ ($x_1 < x_2 < ... < x_n < ...$) et $\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n, ...$ ($\xi_1 < \xi_2 < ... < \xi_n < ...$) les zéros consécutifs plus grands que $x_0$ des fonctions $y(x)$ et $z(x)$ respectivement. Soient remplies les inégalités

$$ (III) \qquad x_{n+1} - x_n > h, \quad \xi_{n+1} - \xi_n > h \quad (n = 1, 2, 3, \dots). $$

Si les conditions (II) et (III) sont satisfaites les zéros des fonctions $y(x)$ et $z(x)$ se séparent alternativement et de plus on a $x_n < \xi_n < x_{n+1}$ ($n = 1, 2, 3, ...$) dans l'intervalle $\langle x_0, \infty \rangle$.

2° Considérons les deux systèmes d'équations: (I) et

$$ (IV) \qquad \begin{aligned} \Delta u &= ha(x)v \\ \Delta v &= hb(x)u \end{aligned} \quad (h > 0), $$

où les coefficients $a(x)$ et $b(x)$ sont des fonctions continues dans l'intervalle $J$. Supposons remplies les inégalités.

$$ (V) \qquad 0 < a(x) \le A(x), \quad B(x) \le b(x) < 0 $$

dans le sous-intervalle $(a, \beta)$ de $J$.

**THÉORÈME T (DE COMPARAISON).** Supposons remplies les inégalités (V). Si de plus les conditions suivantes sont satisfaites:

1° $\Delta A(x) \ge 0$, $\Delta a(x) \le 0$ dans un intervalle $J$;

2° $y(x) > 0$ pour $x \in \langle a, \beta \rangle$;

3° il existe une solution $u(x), v(x)$ de (IV) telle que $y(a) = u(a)$, $z(a) \le v(a) \le 0$;

4° $n$ est un entier positif tel que $nh \le \beta - a < (n+1)h$. Dans ces conditions on a $y(a+ih) \le u(a+ih)$ ($i = 1, 2, ..., n$).

Désignons par $a, b$ et $c_1, c$ les zéros consécutifs de la fonction $y(x)$ et $z(x)$ respectivement et, de plus, soit $x_0 < c_1 < a < c < b < \infty$.

Dans le § 1 nous avons démontré que la longueur de tous les intervalles $(c_1, a)$, $(a, c)$ et $(c, b)$ ne dépasse pas $(2+1/p)h$, où $p = h^2 A_1 B_1 > 0$.

Ensuite (§ 2 et § 3) nous trouvons des conditions suffisantes pour que soient remplies les inégalités

$$ (VI) \qquad y(c+ih) \le u(c+ih) \quad (i = 0, 1, 2, \dots, n; n \ge 2), $$

où $u(x)$ est une solution de l'équation différentielle du second ordre

$$ (VII) \qquad u''(x) + A_1 B_1 u(x) = 0. $$

Nous avons obtenu aussi (§ 3 et § 4) des conditions suffisantes pour que les longueurs des intervalles $(a, c)$ et $(c, b)$ ne surpassent pas $\frac{3}{2}h + \pi/2\sqrt{A_1B_1}$ pour $0 < p \le 2$.
Enfin (§ 5) nous avons obtenu quelques inégalités pour les différences $|\Delta y(x)|, |\Delta z(x)|$ et pour $|B|^{1/2}|y|, A^{1/2}|z|$ dans l'intervalle $(a, b)$.

M. Biernacki a considéré [1] des problèmes analogues dans le cas de l'équation aux différences finies: $\Delta^2 y + h^2 A(x)y = 0$.

## § 1. Considerons le système d'équations aux différences finies

$$ (1.1) \qquad \begin{aligned} \Delta y &= hA(x)z \\ \Delta z &= hB(x)y \end{aligned} \qquad (h > 0), $$

où les coefficients $A(x)$ et $B(x)$ sont des fonctions continues pour $x \in J$. Nous supposons de plus que ces coefficients remplissent les inégalités suivantes:

$$ (1.2) \qquad 0 < A_1 \le A(x), \quad B(x) \le -B_1 < 0 $$

$(A_1$ et $B_1$ sont des constantes positives) pour $x \in J$.

Soit $y(x), z(x)$ une solution continue et oscillante du système (1.1) dans l'intervalle $J$. Nous supposons que les zéros de ces fonctions se séparent alternativement. Désignons par $a, b$ et $c_1, c$ les zéros consécutifs de la fonction $y(x)$ et $z(x)$ respectivement, c'est-à-dire on a $z(c_1) = y(a) = z(c) = y(b) = 0$, où $c_1 < a < c < b$.

Nous allons maintenant démontrer le

### THÉORÈME I. Si les conditions (1.2) sont remplies, nous avons les inégalités

$$ a - c_1 < P, \quad c - a < P, \quad b - c < P, $$

où $P = (2+1/p)h$ et $p = h^2 A_1 B_1$ c'est-à-dire $b-a < 2P, c-c_1 < 2P$. En particulier si $h_1 = \sqrt{2/A_1 B_1}$, on a $2P = 5h_1$.

#### Démonstration.

1.° Définissons l'entier positif $n$ par les inégalités

$$ (1.3) \qquad nh \le b - c < (n+1)h. $$

Il suffit de considérer le cas $y(x) > 0$ pour $x \in (a, b)$. Or, nous avons

$$ (1.4) \qquad y(c+ih) > 0 \quad (i = 0, 1, 2, \dots, n-1). $$

D'après (1.1) et (1.2) on obtient l'inégalité (1)

$$ (1.5) \qquad \Delta z(c+ih) = h(By)_{c+ih} < 0 \quad (i = 0, 1, 2, \dots, n-1). $$

Il vient donc

$$ z(c+nh) < z(c+(n-1)h) < \dots < z(c+h) < 0, $$

d'où on déduit la relation

$$ |\Delta y(c+ih)| = h(A|z|)_{c+ih} \ge hA_1|z(c+h)| \quad (i = 1, 2, \dots, n-1), $$

<footnote>(1) Nous posons: $\varphi_y \equiv \varphi(y)$.</footnote>
et par suite nous obtenons l'inégalité

$$ (1.6) \qquad (n-1)hA_1|z(c+h)| \le \sum_{i=1}^{n-1} |\Delta y(c+ih)| \le y(c). $$

En posant dans la relation (1.5) $i = 0$ et en tenant compte de l'hypothèse $B(x) \le -B_1 < 0$ nous aurons

$$ (1.7) \qquad hB_1y(c) \le h(|B|y)_c = |z(c+h)|. $$

Or, d'après (1.6) et (1.7) on a l'inégalité

$$ (1.8) \qquad (n-1)p \le 1 $$

et par conséquent

$$ (1.9) \qquad n \le 1 + \frac{1}{p}, $$

d'où selon (1.3), on déduit l'inégalité

$$ (1.10) \qquad b-c < \left(2 + \frac{1}{p}\right)h. $$

En particulier, si $h_1 = \sqrt{2/A_1B_1}$ on obtient l'inégalité

$$ b-c < \frac{5}{2}h_1. $$

2° La démonstration de la deuxième partie du théorème I est tout analogue à celle de 1°. Définissons l'entier positif $r$ par les inégalités

$$ (1.11) \qquad rh \le c-a < (r+1)h. $$

Nous avons $y(a) = 0$ et $y(x) > 0$ pour $x \in (a, c)$ de plus on a $z(c) = 0$. Il vient donc

$$ (1.12) \qquad y(c-ih) > 0 \quad (i = 0, 1, 2, \dots, r-1; r \ge 2). $$

D'après (1.1), (1.2) et (1.12) nous obtenons les inégalités

$$ \Delta z(c-ih) = h(By)_{c-ih} < 0 \quad (i = 1, 2, \dots, r-1), $$

d'où on déduit

$$ (1.13) \qquad 0 < z(c-ih) < z(c-(i+1)h) \quad (i = 1, 2, \dots, r-1). $$

De l'équation $\Delta y = hA(x)z$ nous obtenons les relations

$$ (1.14) \qquad \Delta y(c-ih) = h(\Delta z)_{c-ih} \quad (i = 1, 2, \dots, r) $$

et par suite d'après (1.13) on a

$$ (1.15) \qquad \Delta y(c-ih) \ge hA_1z(c-h) > 0 \quad (i = 1, 2, \dots, r). $$
Nous posons dans (1.15) successivement $i = 2, 3, ..., r$ et faisons la somme des inégalités obtenues; il résulte donc

$$
(1.16) \qquad y(c-h) - y(c-rh) \ge (r-1)hA_1z(c-h).
$$

D'après l'hypothèse $B(x) \le -B_1 < 0$ et en vertu de la relation

$$
\Delta z(c-h) = z(c) - z(c-h) = h(By)_{c-h},
$$

nous obtenons l'inégalité

$$
(1.17) \qquad z(c-h) \ge h B_1 y(c-h).
$$

En tenant compte des inégalités (1.12) et (1.17) on peut écrire l'iné-
galité (1.16) sous la forme suivante :

$$
y(c-h) \ge (r-1)h^2 A_1 B_1 y(c-h),
$$

d'où on déduit l'inégalité

$$
r \le 1 + \frac{1}{p}
$$

et ensuite, d'après (1.11),

$$
c - a < \left( 2 + \frac{1}{p} \right) h.
$$

Dans le cas particulier où $h_1 = \sqrt{2/A_1B_1}$ nous obtenons l'inégalité

$c - a < \frac{5}{2}h_1.$

3º Supposons maintenant que $c_1$ et $c$ sont deux zéros consécutifs de la fonction $z(x)$, c'est-à-dire $z(c_1) = z(c) = 0$ ($c_1 < a < c < b$). Il suffit de considérer le cas $z(x) > 0$ pour $x \in (c_1, c)$.

En posant $y(x) = -\eta(x)$, $z(x) = -\zeta(x)$ dans le système (1.1) nous
obtenons le système suivant

$$
\begin{equation} \tag{1.18}
\begin{aligned}
\Delta \eta &= h A(x) \zeta(x) \\
\Delta \zeta &= h B(x) \eta(x)
\end{aligned}
\qquad (h > 0).
\end{equation}
$$

Dans ce cas nous avons η(a) = y(a) = 0 et η(x) > 0 pour x ∈ (c₁, a),
parce que l'inégalité y(x) < 0 est remplie pour x ∈ (c₁, a); on a aussi ζ(c₁)
= z(c₁) = 0 et de plus ζ(x) < 0 pour x ∈ (c₁, a), car l'inégalité z(x) > 0
est satisfaite pour x ∈ (c₁, a). En appliquant pour le système (1.18) un
raisonnement analogue à celui employé dans le cas 1° on obtient l'iné-
galité

$$
a - c_1 < \left( 2 + \frac{1}{p} \right) h.
$$

Le théorème I est donc démontré.
## § 2. Considérons un système (1.1)

$$ 
\begin{aligned}
\Delta y &= h A(x) z \\
\Delta z &= h B(x) y
\end{aligned}
\quad (h > 0)
$$

et supposons que les inégalités (1.2) sont remplies. Soit $y(x), z(x)$ une solution du système (1.1). Nous supposons dans la suite que chacune des fonctions $y(x)$ et $z(x)$ est continue et qu'entre deux zéros consécutifs de $y(x)$ il y a un seul zéro de $z(x)$, entre deux zéros consécutifs de $z(x)$ un seul zéro de $y(x)$.

Nous allons maintenant comparer la fonction $y(x)$ et une solution $u(x)$ de l'équation différentielle du second ordre

$$ (2.1) \qquad u''(x) + m^2 u(x) = 0 \quad (m = \sqrt{A_1 B_1}). $$

Supposons dans la suite que l'on a $p = h^2 A_1 B_1 \le 2$. Soit $y(a) = y(b) = 0$ et $y(x) > 0$ pour $x \in (a, b)$. Il existe un point $c = a < c < b$ où $z(c) = 0$.

D'après (1.1) et (1.3) on obtient (2) $y(c) = y(c+h) > 0$. De la condition $p \le 2$ on déduit qu'il existe une solution $u(x)$ de l'équation (2.1) qui satisfait aux conditions

$$ (2.2) \qquad u(c) = y(c), \quad u(c+h) = y(c+h). $$

En effet, cette solution est de la forme suivante

$$ (2.3) \qquad u(x) = \frac{y(c)}{\cos \frac{mh}{2}} \cos \left[ m \left( x - c - \frac{h}{2} \right) \right] $$

où l'on a les inégalités $0 < \frac{1}{2} mh \le \sqrt{2}/2 < \pi/4$.

La distance entre deux zéros consécutifs de $u(x)$ est égale à $\pi/m$, cependant d'après notre hypothèse on a $h \le \sqrt{2}/m$. Il résulte donc que la solution considérée $u(x)$ ne s'annule pas dans l'intervalle $(c, c+h)$. Nous allons maintenant remplacer l'équation différentielle (2.1) par un système d'équations aux différences finies. En effet, d'après la formule d'interpolation de Lagrange nous avons

$$ \Delta^2 u(x) = h^2 u''(\xi), \quad \xi \in (x, x+2h), $$

par conséquent nous pouvons écrire l'équation (2.1) sous la forme suivante

$$ \Delta^2 u(x) + m^2 h^2 \frac{u(\xi)}{u(x)} u(x) = 0 $$

<footnote>(2) Cf. [2], p. 130.</footnote>
et nous la remplaçons par le système d'équations aux différences finies

$$
\begin{equation} \tag{2.4}
\begin{aligned}
\Delta u(x) &= h A_1 v(x) && (h > 0) \\
\Delta v(x) &= h b_1(x) u(x)
\end{aligned}
\end{equation}
$$

$$
\text{où nous avons posé } b_1(x) \equiv -B_1 \frac{u(\xi)}{u(x)}.
$$

Soient $\gamma$ et $\delta$ les zéros consécutifs de la fonction $u(x)$ et de plus soit
$\gamma < c < c + h < \delta$. La fonction $b_1(x)$ est continue dans l'intervalle $(\gamma, \delta)$.
Il est evident que $u(x) > 0$ et $u(x+h) > 0$ dans l'intervalle $(\gamma, \delta-h)$.

Nous allons maintenant démontrer le

LEMME 1. Si $0 < p \le 2$, l'inégalité $-B_1 < b_1(x) < 0$ est remplie pour $x \in (c, \delta-h)$ et $\xi \in (x, x+2h)$.

Démonstration. La constante $B_1$ est positive et $u(x) > 0$, $u(x+h) > 0$ pour $x \in (c, \delta-h)$. Il suffit donc de démontrer que $u(\xi) > 0$ pour $x \in (c, \delta-h)$ et $\xi \in (x, x+2h)$. En effet, selon (2.4) on obtient l'équation

$$
(2.5) \qquad \Delta v(x) = -h B_1 u(\xi), \quad \xi \in (x, x+2h).
$$

D'après (2.5) il suffit de démontrer que l'on a $\Delta v(x) < 0$ pour $x$
$\in (c, \delta - h)$. De la formule (2.3) il vient donc

$$
u(x+h) = \frac{y(c)}{\cos(\frac{1}{2}mh)} \cos \left[ m \left( x - c + \frac{h}{2} \right) \right],
$$

d'où il résulte que l'on a

$$
\Delta u(x) = -2y(c) \operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} m h\right) \sin \left[m\left(x-c\right)\right], \quad x \in (c, \delta-h).
$$

Or, selon (2.4) nous obtenons

$$
(2.6) \quad v(x) = - \frac{2y(c)}{hA_1} \operatorname{tg}\left(\frac{1}{2}mh\right) \sin[m(x-c)], \quad x \in (c, \delta-h)
$$

et ensuite

$$
v(x+h) = - \frac{2y(c)}{hA_1} \operatorname{tg}\left(\frac{1}{2}mh\right) \sin[m(x+h-c)]
$$

d'où on obtient

$$
(2.7) \qquad \Delta v(x) = - \frac{4}{hA_1} \sin^2\left(\frac{1}{2}mh\right) u(x+h).
$$

On voit immédiatement de la formule (2.7) que l'inégalité $\Delta v(x) < 0$
est remplie dans l'intervalle $c < x < \delta - h$, car $u(x+h) > 0$ pour $x \in (c, \delta-h)$.
La fonction $b_1(x)$ est donc négative dans l'intervalle $(c, \delta-h)$.

Dans ce qui suit nous allons démontrer que l'on a

$$
(2.8) \qquad -B_1 < b_1(x) < 0, \quad x \in (c, \delta-h).
$$
En effet, nous avons

$$b_1(x) = \frac{\Delta v(x)}{hu(x)}, \quad x \in (c, \delta - h)$$

et selon la relation (2.7) il vient

$$(2.9) \qquad b_1(x) = - \frac{4}{h^2 A_1} \sin^2(\frac{1}{2}mh) \cdot \frac{u(x+h)}{u(x)}.$$

Si $p = h^2 A_1 B_1 \le 2$, c'est-à-dire si $0 < \frac{1}{2}mh \le \frac{1}{2}\sqrt{2} < \pi/4$, on obtient l'inégalité

$$0 < \sin(\frac{1}{2}mh) < \frac{1}{2}mh$$

et par conséquent

$$(2.10) \qquad \sin^2(\frac{1}{2}mh) < \frac{1}{4}h^2 A_1 B_1.$$

D'après la formule (2.6) on a $v(c) = 0$ et ensuite il résulte de (2.7) que $v(x) < 0$ dans l'intervalle $(c, \delta - h)$. En tenant compte de (2.4) nous obtenons donc

$$\Delta u(x) = hA_1v(x) < 0, \quad x \in (c, \delta - h),$$

c'est-à-dire

$$u(x+h) < u(x), \quad x \in (c, \delta - h),$$

d'où on déduit que l'on a

$$(2.11) \qquad 0 < \frac{u(x+h)}{u(x)} < 1, \quad x \in (c, \delta - h).$$

En tenant compte de (2.10) et (2.11) dans (2.9) nous obtenons les inégalités

$$-B_1 = - \frac{4}{h^2 A_1} \cdot \frac{1}{4} h^2 A_1 B_1 < b_1(x) < 0,$$

c'est-à-dire

$$B(x) \le -B_1 < b_1(x) < 0, \quad x \in (c, \delta - h).$$

Le lemme 1 est donc démontré.

**§ 3.** Considérons maintenant les deux systèmes d'équations aux différences finies

$$(1.1) \qquad \begin{aligned} \Delta y(x) &= hA(x)z(x) \\ \Delta z(x) &= hB(x)y(x) \end{aligned} \qquad (h > 0),$$

et

$$(2.4) \qquad \begin{aligned} \Delta u(x) &= hA_1v(x) \\ \Delta v(x) &= hb_1(x)u(x) \end{aligned} \qquad (h > 0),$$
où

$$b_1(x) = -B_1 \frac{u(\xi)}{u(x)}, \quad x \in (a, b), \quad \xi \in (x, x+2h).$$

D'après les conditions initiales (2.2) on obtient la relation $\Delta y(c) = \Delta u(c)$ et par conséquent, en vertu de (1.1) et (2.4), on a $A(c)z(c) = A_1v(c)$. Lorsque $z(c) = 0$ il vient

$$(3.1) \qquad z(c) = v(c) = 0.$$

Selon le lemme 1 et l'hypothèse (1.2) nous avons

$$(3.2) \qquad B(x) \le -B_1 < b_1(x) < 0, \quad x \in (c, \delta-h).$$

On peut appliquer aux deux systèmes (1.1) et (2.4) le théorème T (de comparaison) (3).

En effet, le système d'équations (1.1) est le même que (I) et le système (2.4) est aussi identique à (IV) si l'on pose $a(x) \equiv A_1$, $b(x) \equiv b_1(x)$. Dans ce cas $\Delta a(x) \equiv 0$. On peut écrire les hypothèses (V) sous la forme suivante

$$0 < A_1 \le A(x), \quad B(x) < b_1(x) < 0.$$

Ensuite nous remplaçons dans le théorème T $a$ par $c$, $\beta$ par $b$. Nous pouvons donc énoncer le théorème de comparaison suivant pour les systèmes (1.1) et (2.4):

**THÉORÈME II.** *Supposons remplies les conditions suivantes: 1°* $0 < A_1 \le A(x)$, $B(x) \le -B_1 < 0$ et $\Delta A(x) \ge 0$ dans l'intervalle $J$, 2° $y > 0$ pour $c \le x < b$, 3° $n$ est un entier positif tel que $nh \le b - c < (n+1)h$, 4° soient encore remplies les conditions $y(c) = u(c)$, $y(c+h) = u(c+h)$, $z(c) = 0$. Dans ces conditions on a les inégalités $y(c+ih) \le u(c+ih)$ ($i = 1, 2, \dots, n$).

Nous allons maintenant démontrer que l'on a

$$b-c < \frac{\pi}{2\sqrt{A_1B_1}} + \frac{3}{2}h.$$

En effet, la distance entre les zéros consécutifs $\gamma$, $\delta$ d'une solution $u(x)$ de l'équation différentielle

$$(2.1) \qquad u''(x) + m^2u(x) = 0 \quad (m = \sqrt{A_1B_1}),$$

égale $\delta - \gamma = \pi/m$. Nous avons considéré plus haut la solution $u(x)$ de l'équation (2.1) donnée sous la forme

$$(2.3) \qquad u(x) = \frac{y(c)}{\cos(\frac{1}{2}mh)} \cos \left[ m \left( x - c - \frac{h}{2} \right) \right]$$

pour $0 < p \le 2$, c'est-à-dire $0 < \frac{1}{2}mh \le \sqrt{2}/2 < \pi/4$.

<footnote>(3) Voir l'introduction.</footnote>
D'après le théorème II on a $u(c+ih) \ge 0$ ($i = 0, 1, 2, \dots, n$) et de la formule (2.3) il résulte

$$ \max_{y<x<\delta} u(x) = u(c + \frac{1}{2}h) > 0, $$

par conséquente nous obtenons l'inégalité

$$ \delta = c + \frac{1}{2}h + \frac{\pi}{2\sqrt{A_1 B_1}} \ge c + nh, $$

c'est-à-dire $nh \le \frac{\pi}{2\sqrt{A_1 B_1}} + \frac{1}{2}h$. Selon l'hypothèse 3º du théorème II nous avons $b-c < (n+1)h$. Nous obtenons donc l'inégalité

$$ (3.3) \qquad b-c < \frac{\pi}{2\sqrt{A_1 B_1}} + \frac{3}{2}h. $$

Dans le cas particulier où $h = \sqrt{\frac{2}{A_1 B_1}}$ l'inégalité (3.3) se réduit à la suivante

$$ b-c < \frac{3\sqrt{2}+\pi}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{A_1 B_1}}. $$

Dans ce § nous avons obtenu une limitation de $b-c$.

**§ 4.** Nous allons maintenant chercher une limite supérieure de $c-a$. Le raisonnement est tout pareil à celui employé dans les § 2 et § 3.

Soit donné un système d'équations aux différences finies

$$ \begin{aligned} \Delta y(x) &= hA(x)z(x), \\ \Delta z(x) &= hB(x)y(x), \end{aligned} $$

où les coefficients $A(x)$ et $B(x)$ satisfont aux conditions

$$ (1.2) \qquad 0 < A_1 \le A(x), \quad B(x) \le -B_1 < 0 \quad (x \in J). $$

Considérons une solution continue et oscillante $y(x), z(x)$ du système (1.1) et supposons que l'on a : $y(a) = y(b) = 0$ et $y(x) > 0$ pour $x \in (a, b)$. Il existe un seul point $x = c$ ($a < c < b$) tel que $z(c) = 0$. Par conséquent, d'après (1.1), on obtient $z(x) > 0$ pour $x \in (a, c)$ et $z(a) = z(a+h) > 0$; de plus, selon (1.11), nous avons les inégalités

$$ z(a+ih) > 0 \quad \text{pour} \quad (i = 2, 3, \dots, r-1), \quad z(a+rh) \ge 0. $$

En supposant que $0 < p \le 2$ on peut comparer la fonction $z(x)$ et une solution $v_1(x)$ de l'équation différentielle

$$ (2.1\alpha) \qquad v_1''(x) + m^2 v_1(x) = 0 \quad (m = \sqrt{A_1 B_1}) $$
qui satisfait aux conditions

$$
(4,1) \qquad v_1(a) = z(a), \quad v_1(a+h) = z(a+h).
$$

Cette solution prend la forme

$$
(4.2) \qquad v_1(x) = \frac{z(a)}{\cos \frac{mh}{2}} \cos \left[ m \left( x - a - \frac{h}{2} \right) \right],
$$

où $0 < \frac{1}{2}mh \le \sqrt{2}/2 < \pi/4$. On peut remplacer l'équation (2.1α) par le
système d'équations aux différences finies :

$$
\begin{equation} \tag{4.3}
\begin{aligned}
\Delta v_1(x) &= hB_1 w(x), \\
\Delta w(x) &= h a_1(x) v_1(x),
\end{aligned}
\qquad x \in \langle a, c \rangle,
\end{equation}
$$

où nous avons posé

$$
(4.4) \qquad a_1(x) \equiv -A_1 \frac{v_1(\xi_1)}{v_1(x)} \quad \text{pour } x \in (a, c), \xi_1 \in (x, x+2h).
$$

En effet, selon la formule d'interpolation de Lagrange on a $\Delta^2 v_1(x) = h^2 v_1''(\xi_1)$, $\xi_1 \in (x, x+2h)$ et par conséquent d'après (2.1α) il vient

$$
(4.5) \qquad h^{-2} \Delta^2 v_1(x) + m^2 \frac{v_1(\xi_1)}{v_1(x)} v_1(x) = 0, \quad x \in (a, c).
$$

On voit immédiatement que l'équation (4.5) et le système (4.3) sont
équivalents.

En posant $\eta(x) = -y(x)$ dans le système (1.1) nous obtenons

$$
\begin{equation} \tag{4.6}
\begin{aligned}
\Delta z(x) &= -hB(x)\eta(x), \\
\Delta \eta(x) &= -hA(x)z(x).
\end{aligned}
\end{equation}
$$

Dans le cas considéré la solution $z(x)$, $\eta(x)$ du système (4.6) dans
l'intervalle $\langle a, c \rangle$ et la solution $y(x)$, $z(x)$ du système (1.1) dans l'inter-
valle $\langle c, b \rangle$ possedent les mêmes propriétés. Il en est de le même de la
solution $v_1(x)$, $w(x)$ du système (4.3) dans l'intervalle $\langle a, c \rangle$ et $u(x)$, $v(x)$
du système (2.4) dans l'intervalle $\langle c, b \rangle$. Par conséquent le théorème II
dans le cas des systèmes (4.6) et (4.3) peut être énoncé comme il suit:

THÉORÈME III. Supposons satisfaites les conditions suivantes: 1° $0 < A_1 \le A(x)$, $B(x) \le -B_1 < 0$ et $\Delta B(x) \le 0$ dans l'intervalle J, 2° $y(x) > 0$ pour $a < x \le c$, 3° soit r l'entier positif tel que $rh \le c - a < (r+1)h$, 4° les conditions suivantes sont remplies: $z(a) = v_1(a)$, $z(a+h) = v_1(a+h)$, $y(a) = 0$. Dans ces hypothèses on a les inégalités $z(a+ih) \le v_1(a+ih)$ ($i = 2, 3, ..., r$).
Dans ce qui suit nous allons indiquer une application du théorème III. Nous démontrerons qu'il existe une limitation de la longueur de l'intervalle $(a, c)$, c'est-à-dire que l'on a l'inégalité

$$ (4.7) \qquad c - a < \frac{\pi}{2\sqrt{A_1 B_1}} + \frac{3}{2} h. $$

En effet, désignons par $\gamma_1 \delta_1$ ($\gamma_1 < a < a+h < \delta_1$) les zéros consécutifs de la solution $v_1(x)$, donnée par la formule (4.2). On sait que l'on a

$$ \delta_1 - \gamma_1 = \frac{\pi}{\sqrt{A_1 B_1}}. $$

De la formule (4.2) il vient donc

$$ (4.8) \qquad \delta_1 = a + \frac{1}{2}h + \frac{\pi}{2\sqrt{A_1 B_1}}. $$

D'après le théorème III on obtient

$$ 0 \le z(a+rh) \le v_1(a+rh) $$

et par conséquent

$$ (4.9) \qquad a+rh \le \delta_1. $$

En substituant (4.8) dans (4.9) nous avons l'inégalité

$$ (4.10) \qquad rh \le \frac{1}{2}h + \frac{\pi}{2\sqrt{A_1 B_1}}. $$

Selon l'hypothèse 3º du théorème III et en vertu de (4.10) nous obtenons l'inégalité

$$ c - a < \frac{\pi}{2\sqrt{A_1 B_1}} + \frac{3}{2}h $$

c'est-à-dire l'inégalité (4.7).

En particulier, si $h = \sqrt{\frac{2}{A_1 B_1}}$ l'inégalité (4.7) prend la forme

$$ c - a < \frac{3\sqrt{2} + \pi}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{A_1 B_1}}. $$

En tenant compte des inégalités (3.3) et (4.7) nous pouvons énoncer le

**COROLLAIRE.** *Si les conditions (1.2) et $\Delta A(x) \ge 0$, $\Delta B(x) \le 0$ ($x \in I$) sont satisfaites, toute sous-intervalle de J dont la longueur dépasse*

$$ \lambda = \frac{\pi}{\sqrt{A_1 B_1}} + 3h $$
contient un zéro au moins de la fonction $y(x)$ ou $z(x)$, c'est-à-dire nous avons
les inégalités

$b-a < \lambda, \quad c-c_1 < \lambda.$

$$
\text{Dans le cas particulier où } h = \sqrt{\frac{2}{A_1 B_1}} \text{ on a } \lambda = \frac{3\sqrt{2}+\pi}{2\sqrt{A_1 B_1}}.
$$

§ 5. Considérons le système d'équations aux différences finies

$$
\begin{equation} \tag{1.1}
\begin{aligned}
\Delta y(x) &= h \Delta (x) z(x) \\
\Delta z(x) &= h B(x) y(x)
\end{aligned}
\qquad (h > 0).
\end{equation}
$$

Supposons ensuite que l'on a

$$
(5.1) \qquad A(x) > 0, \quad B(x) < 0, \quad \Delta A(x) \ge 0, \quad \Delta B(x) \le 0
$$

dans l'intervalle J.

Soit une solution $y(x)$, $z(x)$ du système (1.1) continue et oscillante
dans l'intervalle $\langle x_0, \infty \rangle$. Nous désignons par $a, b$ et $c_1, c$ des zéros consé-
cutifs des fonctions $y(x)$ et $z(x)$ respectivement; soit de plus

$$
(5.2) \qquad x_0 < c_1 < a < c < b < \infty.
$$

Nous allons maintenant démontrer le

THÉORÈME IV. Supposons que les inégalités (5.1) et (5.2) sont remplies.
Soient les entiers $r$ et $n$ définis par les inégalités $rh \le c-a < (r+1)h$ et
$nh \le b-c < (n+1)h$. Soit $k$ l'un des nombres $1, 2, \dots, r$. Supposons
qu'il existe un entier $s$ ($1 \le s \le n$) tel que l'on ait:

$$
|y(c+(s-1)h)| \ge |y(c-kh)| \ge |y(c+sh)|.
$$

Dans ces conditions nous avons l'inégalité

$$
A^{1/2}(c-kh)|z(c-kh)| < A^{1/2}(c+sh)|z(c+sh)|
$$

et a fortiori

$$
|\Delta y(c - kh)| < |\Delta y(c + sh)|.
$$

Démonstration. On peut facilement vérifier que l'on a

$$
(5.3) \qquad \Delta(Az^2) = 2Az \Delta z + A(\Delta z)^2 + (z + \Delta z)^2 \Delta A
$$

et

$$
(5.4) \quad \Delta (By^2) = 2By \Delta y + B (\Delta y)^2 + (y + \Delta y)^2 \Delta B.
$$

En faisant la différence de (5.3) et (5.4) nous obtenons

$$
\begin{equation} \tag{5.5}
\begin{split}
\Delta(Az^2) - \Delta(By^2) = {}& 2(Az \Delta z - By \Delta y) + \Delta(Az)^2 - \Delta(By)^2 + \\
& \qquad + (z + \Delta z)^2 \Delta A - (y + \Delta y)^2 \Delta B.
\end{split}
\end{equation}
$$
D'après le système (1.1) on a l'égalité

$$Az\Delta z - By\Delta y = 0$$

et, par conséquent, de la relation (5.5) résulte l'inégalité

$$(5.6) \qquad \Delta(Az^2) > \Delta(By^2) + (z + \Delta z)^2 \Delta A - (y + \Delta y)^2 \Delta B.$$

En posant dans l'inégalité (5.6) successivement

$$x = c - kh, \quad x = c - (k-1)h, \dots, x = c + (s-1)h$$

et en faisant la somme des inégalités obtenues nous avons

$$(5.7) \qquad (Az^2)_{c+sh} - (Az^2)_{c-kh} > (By^2)_{c+sh} - (By^2)_{c-kh} + \\ \qquad \qquad + \sum_{i=-k}^{s-1} [(z + \Delta z)^2 \Delta A - (y + \Delta y)^2 \Delta B]_{c+ih}.$$

D'après (5.1) et en vertu de l'inégalité $y^2(c+sh) \le y^2(c-kh)$ il vient:

$$(5.8) \qquad (By^2)_{c+sh} - (By^2)_{c-kh} \ge (B_{c+sh} - B_{c-kh})y_{c+sh}^2 = y_{c+sh}^2 \sum_{i=-k}^{s-1} \Delta B(c+ih).$$

En profitant de (5.8) dans l'inégalité (5.7) on obtient a fortiori

$$(5.9) \qquad (Az^2)_{c+sh} - (Az^2)_{c-kh} > \sum_{i=-k}^{s-1} [(z + \Delta z)^2 \Delta A]_{c+ih} + \\ \qquad \qquad + \sum_{i=-k}^{s-1} \{[y^2(c+sh) - (y + \Delta y)^2] \Delta B\}_{c+ih}.$$

Les deux suites

$$\{(y + \Delta y)^2\}_{c-ih} \quad (i = 1, 2, \dots, r)$$

et

$$\{(y + \Delta y)^2\}_{c+jh} \quad (j = 0, 1, 2, \dots, n-1)$$

sont non croissantes. Par conséquent nous obtenons les inégalités

$$(5.10) \qquad y^2(c+sh) \le (y + \Delta y)_{c+ih}^2 \quad (i = -k, \dots, -1, 0, +1, \dots, s-1).$$

Donc en tenant compte des inégalités (5.9) et (5.10) il vient:

$$(5.11) \qquad (A^{1/2}|z|)_{c-kh} < (A^{1/2}|z|)_{c+sh}$$

et ensuite

$$h(A|z|)_{c-kh} < h(A|z|)_{c+sh},$$

c'est-à-dire

$$|\Delta y(c - kh)| < |\Delta y(c + sh)|.$$

Le théorème III est donc démontré.
§ 6. Nous avons obtenu plus haut quelques propriétés de la fonction $y(x)$. Dans ce qui suit nous allons obtenir des résultats analogues pour $z(x)$.

Nous démontrérons en effet le

THÉORÈME V. Désignons par $a_1$ et $b_1$ des zéros consécutifs de la fonction $z(x)$ ($x_0 < a_1 < b_1 < \infty$) et soit $x = c_1$ ($a_1 < c_1 < b_1$) le seul point dans l'intervalle ($a_1, b_1$) où l'on a $y(c_1) = 0$. Soient définis les entiers $r_1$ et $n_1$ par les inégalités: $r_1h \le c_1 - a_1 < (r_1+1)h$, $n_1h \le b_1 - c_1 < (n_1+1)h$. Soit ensuite $k_1$ l'un des nombres 1, 2, ..., $r_1$ et supposons qu'il existe un entier $s_1$ ($1 \le s_1 \le n_1$) tel que l'an ait:

$$|z(c_1 + (s_1 - 1)h)| \ge |z(c_1 - k_1 h)| \ge |z(c_1 + s_1 h)|.$$

Dans ces hypothèses nous avons l'inégalité

$$|B(c_1 - k_1 h)|^{1/2} |y(c_1 - k_1 h)| < |B(c_1 + s_1 h)|^{1/2} |y(c_1 + s_1 h)|$$

et a fortiori on obtient

$$|\Delta z(c_1 - k_1 h)| < |\Delta z(c_1 + s_1 h)|.$$

Démonstration. Le raisonnement est toute pareil à celui du théorème IV. L'inégalité (5.6) peut être écrite sous la forme

$$(6.1) \quad -\Delta (By^2) > -\Delta (Az^2) + (z + \Delta z)^2 \Delta A - (y + \Delta y)^2 \Delta B.$$

Posons dans (6.1) successivement

$$x = c_1 - k_1 h, \quad c_1 - (k-1)h, \dots, c_1 + (s_1 - 1)h$$

et faisons la somme des inégalités obtenues; on a donc

$$(By^2)_{c_1-k_1h} - (By^2)_{c_1+s_1h} > (Az^2)_{c_1-k_1h} - (Az^2)_{c_1+s_1h} + \sum_{i=-k_1}^{s_1-1} [(z + \Delta z)^2 \Delta A - (y + \Delta y)^2 \Delta B]_{x=c_1+ih}$$

et par conséquent

$$(6.2) \quad (By^2)_{c_1-k_1h} - (By^2)_{c_1+s_1h} > \sum_{i=-k_1}^{s_1-1} \{[(z + \Delta z)^2 - z^2(c_1 + s_1h)] \Delta A\}_{x=c_1+ih}.$$

D'après les équations (1.1) il vient

$$(6.3) \quad z^2(c_1 + s_1 h) \le (z + \Delta z)_{c_1+ih}^2 \quad (i = -k_1, \dots, -1, 0, 1, \dots, s_1 - 1).$$

En tenant compte des inégalités (6.3) et de l'hypothèse $\Delta A \ge 0$, nous obtenons d'après (6.2) l'inégalité suivante:

$$(6.4) \quad |B(c_1 - k_1 h)|^{1/2} |y(c_1 - k_1 h)| < |B(c_1 + s_1 h)|^{1/2} |y(c_1 + s_1 h)|.$$
Selon (5.1) nous avons $B < 0$, $\Delta B \le 0$ et, par conséquent, en vertu de (6.4) nous obtenons a fortiori l'inégalité

$$ (6.5) \quad h|B(c_1-k_1h)||y(c_1-k_1h)| < h|B(c_1+s_1h)||y(c_1+s_1h)|. $$

Des équations (1.1) il résulte immédiatement que l'inégalité (6.5) peut être écrite sous la forme suivante:

$$ |\Delta z(c_1 - k_1 h)| < |\Delta z(c_1 + s_1 h)|. $$

Le théorème V est donc démontré.

### Travaux cités

[1] M. Biernacki, *Sur l'équation $h^{-2} \Delta^2 y(x) + \Delta(x)y(x) = 0$, Prace Mat.-Fiz.* 47 (1949), p. 49-53.

[2] Z. Butlewski, *Théorème de comparaison pour un système d'équations aux différences finies*, Comm. Math. 14 (1970), p. 127-136.

Reçu par la Réaction le 24. 6. 1973