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1984

GENERALISATIONS ET GENERALITES

Florentin Smarandache

University of New Mexico, smarand@unm.edu

Eleonora Smarandache

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Recommended Citation

Smarandache, Florentin and Eleonora Smarandache. "GENERALISATIONS ET GENERALITES." (1984).

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FLORENTIN SMARANDACHE

GENERALISATIONS
ET
GENERALITES

Traduit du roumain
par l'auteur
et
Eleonora Smarandache

Assistés par
Sophie Mugnier

ÉDITION NOUVELLE 1984
FLORENTIN SMARANDACHE

Professeur de Mathématiques

Membre de l'Association Américaine de Mathématiques

GENERALISATIONS

ET

GENERALITES

Traduit du roumain
par l'auteur
et

Eleonora Smarandache

Assistés par
Sophie Mugnier

ÉDITION NOUVELLE 1984
(C) Edition Nouvelle, Fès (maroc), 1984

La reproduction, l'adaptation et la traduction partielles ou entières de cet ouvrage sont autorisées, à condition toutefois de citer le nom de l'auteur.
# TABLE DES MATIÈRES

## GENERALISATIONS

- Une généralisation de l'inégalité de Hölder: 5

- Une généralisation de l'inégalité de Minkovski: 7

- Une généralisation d'une inégalité de Tchebychev: 8

- Une généralisation du théorème d'Euler: 9

- Une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Bouniakovski-Schwartz: 14

- Une généralisation du théorème de Céva: 15

- Une application de la généralisation du théorème de Céva: 13

- Une généralisation d'un théorème de Carnot: 21

- Quelques propriétés des médianes: 23

- Coefficients k-nomiaux: 24

- Une classe d'ensembles récursifs: 27

## GENERALITES

- Sur quelques progressions: 34

- Sur la résolution dans l'ensemble des naturels des équations linéaires: 36

- Sur la résolution d'équations du second degré à deux inconnues dans Z: 39

- Convergence d'une famille de séries: 41

- Des fantaisies mathématiques: 44

- La fréquence des lettres (par groupes égaux) dans les textes juridiques roumains: 45

- Hypothèses sur la détermination d'une règle pour les jeux de mots croisés: 46

- Où se trouve la faute (équations diophantiennes)?: 48

- Où se trouve la faute (sur les intégrales)?: 50

- Où se trouve la faute (dans ce raisonnement par raccourcement)?: 51

- Paradoxe mathématique?: 52
UNE GENERALISATION DE L'INEGALITE DE HÖLDER

On généralise l'inégalité de Hölder grâce à un raisonnement par récurrence. Comme cas particuliers, on obtient une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Buniakovski-Schwartz, et des applications intéressantes.

**Théorème :** Si $a_i^{(k)} \in \mathbb{R}_+ $ et $p_k \in ]1, +\infty[$, $i \in \{1, 2, \dots, n\}$, $k \in \{1, 2, \dots, m\}$, tels que : $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + \dots + \frac{1}{p_m} = 1$, alors :

$$ \sum_{i=1}^{n} \prod_{k=1}^{m} a_i^{(k)} \ll \prod_{k=1}^{m} \left( \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(k)} \right)^{p_k} \right) \frac{1}{p_k} \quad \text{avec } m \gg 2. $$

**Preuve :** Pour $m=2$ on obtient justement l'inégalité de Hölder, qui est vraie. On suppose l'inégalité vraie pour les valeurs in-férieures strictement à un certain $m$. Alors :

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} \prod_{k=1}^{m} a_i^{(k)} &= \sum_{i=1}^{n} \left( \left( \prod_{k=1}^{m-2} a_i^{(k)} \right) \cdot \left( a_i^{(m-1)} \cdot a_i^{(m)} \right) \right) \ll \\ &\le \left( \prod_{k=1}^{m-2} \left( \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(k)} \right)^{p_k} \right)^{\frac{1}{p_k}} \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(m-1)} \cdot a_i^{(m)} \right)^p \right)^{\frac{1}{p}} , \end{aligned} $$

$$ \text{où } \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + \dots + \frac{1}{p_{m-2}} + \frac{1}{p} = 1 \text{ et } p_h > 1, \ 1 < h < m-2, \ p > 1; $$

$$ \text{mais } \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(m-1)} \right)^p \cdot \left( a_i^{(m)} \right)^p \ll \left( \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(m-1)} \right)^{p_1} \right)^{\frac{1}{p_1}} \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(m)} \right)^{p_2} \right)^{\frac{1}{p_2}} $$

$$ \text{où } \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = 1 \text{ et } t_1 > 1, t_2 > 1. \text{ Il en résulte :} $$

$$ \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(m-1)} \right)^p \left( a_i^{(m)} \right)^p \ll \left( \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(m-1)} \right)^{pt_1} \right)^{\frac{1}{pt_1}} \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(m)} \right)^{pt_2} \right)^{\frac{1}{pt_2}} , $$

$$ \text{avec } \frac{1}{pt_1} + \frac{1}{pt_2} = \frac{1}{p}. $$

Notons $pt_1 = p_{m-1}$ et $pt_2 = p_m$. Donc $\frac{1}{p_1} + \dots + \frac{1}{p_m} = 1$, et on a $p_j > 1$ pour $1 < j < m$ : il en résulte l'inégalité du théorème.

**Remarque :** Si on pose $p_j = m$ pour $1 < j < m$ et si on élève à la puissance $m$ cette inégalité, on obtient une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Buniakovski-Schwartz :
$$ \left( \sum_{i=1}^{n} \prod_{k=1}^{m} a_i^{(k)} \right)^{m} \lesssim \prod_{k=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(k)} \right)^{m} . $$

**Application :** Soient les réels positifs $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$.

Montrer que :

$$ (a_1 b_1 c_1 + a_2 b_2 c_2)^6 \lesssim 8 (a_1^6 + a_2^6) (b_1^6 + b_2^6) (c_1^6 + c_2^6) . $$

Solution :

Utilisons le théorème antérieur. Posons $p_1=2, p_2=3, p_3=6$, il en découle que :

$$ a_1 b_1 c_1 + a_2 b_2 c_2 \lesssim (a_1^2 + a_2^2)^{\frac{1}{2}} (b_1^3 + b_2^3)^{\frac{1}{3}} (c_1^6 + c_2^6)^{\frac{1}{6}}, \text{ ou encore :} $$

$$ (a_1 b_1 c_1 + a_2 b_2 c_2)^6 \lesssim (a_1^2 + a_2^2)^3 (b_1^3 + b_2^3)^2 (c_1^6 + c_2^6), $$

$$ \text{et sachant que } (b_1^3 + b_2^3)^2 \lesssim 2(b_1^6 + b_2^6) $$

$$ \text{et que } (a_1^2 + a_2^2)^3 = a_1^6 + a_2^6 + 3(a_1^4 a_2^2 + a_1^2 a_2^4) \lesssim 4(a_1^6 + a_2^6), $$

$$ \text{puisque } a_1^4 a_2^2 + a_1^2 a_2^4 \lesssim a_1^6 + a_2^6 \text{ (parce que : } \\ - (a_2^2 - a_1^2)^2 (a_1^2 + a_2^2) \lesssim 0), $$

il en résulte l'exercice proposé.
UNE GENERALISATION DE L'INEGALITE DE NINKOWSKI

Théorème : Si p est un nombre réel $\ge 1$ et $a_i^{(k)} \in \mathbb{R}^+$, avec $i \in \{1, 2, ..., n\}$ et $k \in \{1, 2, ..., m\}$, alors :

$$ \left( \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{k=1}^{m} a_i^{(k)} \right)^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^{m} \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^{(k)} \right)^p \right)^{1/p} $$

Démonstration par récurrence sur $m \in \mathbb{N}^*$.

Tout d'abord on montre que :

$$ \left( \sum_{i=1}^{n} (a_i^{(1)})^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{i=1}^{n} (a_i^{(1)})^p \right)^{1/p} , \text{ ce qui est évident} $$

et prouve que l'inégalité est vraie pour $m=1$.

(Le cas $m=2$ constitue justement l'inégalité de Minkowski, qui est naturellement vraie !).

On suppose l'inégalité vraie pour toutes les valeurs inférieures ou égales à m.

$$ \left( \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{m+1}{k=1} a_i^{(k)} \right)^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{i=1}^{n} (a_i^{(1)})^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=2}^{m+1} \left( \frac{m+1}{k=2} a_i^{(k)} \right)^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{i=1}^{n} (a_i^{(1)})^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=2}^{m+1} \left( \frac{n}{k=1} a_i^{(k)} \right)^p \right)^{1/p} $$

$$ \text{et cette dernière somme vaut } \left( \sum_{k=1}^{m+1} \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^{(k)} \right)^p \right)^{1/p} $$

donc l'inégalité est vraie au rang $m+1$.
UNE GENERALISATION D'UNE INEGALITE DE TCHEBYCHEV

Enoncé : Si $a_i^{(k)} \ge a_{i+1}^{(k)}$, $i \in \{1, 2, \dots, n-1\}$, $k \in \{1, 2, \dots, m\}$,
alors : $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \prod_{k=1}^{m} a_i^{(k)} \ge \frac{1}{n} \prod_{n}^{m} \sum_{k=1}^{m} a_i^{(k)}$.

Démonstration par récurrence sur $m$.

$$ \text{Cas } m=1 \text{ évident : } \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i^{(1)} \ge \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i^{(1)} $$

Quant au cas $m=2$, c'est l'inégalité de Tchebychev elle-même:

Si $a_1^{(1)} \ge a_2^{(1)} \ge \dots \ge a_n^{(1)}$ et $a_1^{(2)} \ge a_2^{(2)} \ge \dots \ge a_n^{(2)}$, alors :
$$ \frac{a_1^{(1)} a_2^{(1)} + a_1^{(2)} a_2^{(2)} + \dots + a_1^{(1)} a_n^{(2)}}{n} \ge \frac{a_1^{(1)} + a_1^{(2)} + \dots + a_1^{(1)} a_2^{(2)}}{n} \times \frac{a_2^{(1)} + a_2^{(2)} + \dots + a_2^{(1)} a_n^{(2)}}{n} $$

On suppose l'inégalité vraie pour toutes les valeurs inférieures ou égales à n. Il faut passer au rang m+1 :

$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \prod_{k=1}^{m+1} a_i^{(k)} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \prod_{k=1}^{m} a_i^{(k)} \right) \cdot a_i^{(m+1)} $$

$$ \text{Ceci est } \ge \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \prod_{k=1}^{m} a_i^{(k)} \right) \cdot \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i^{(m+1)} \right) \ge \left( \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} a_i^{(k)} \right) \cdot \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i^{(m+1)} \right) $$

$$ \text{et ceci vaut justement } \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{m+1} \sum_{i=1}^{n} a_i^{(k)} \quad (\text{cqfd}). $$
# UNE GENERALISATION DU THEOREME D' EULER

Dans les paragraphes qui suivent nous allions démontrer un résultat qui remplace le théorème d'Euler :

$$ "Si $(a,m) = 1$, alors $a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m$ " $$

dans le cas où a et m ne sont pas premiers entre eux.

## A - Notions introductives.

On suppose $m > 0$. Cette supposition ne nuit pas à la généralité, parce que l'indicatrice d'Euler satisfait l'égalité :

$\phi(m) = \phi(-m) \pmod{m}$ (cf [1]), et que les congruences vérifient la propriété suivante :

$$ a \equiv b \pmod m \Longleftrightarrow a \equiv b \pmod{-m} \pmod{m} \quad (\text{cf } [1] \text{ pp } 12-13). $$

Quant à la relation de congruence modulo 0, c'est la relation d'egalité. On note $(a,b)$ le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers $a$ et $b$, et on choisit $(a,b) > 0$.

## B - Lemmes, théorème.

### Lemme 1 : Soit $a$ un nombre entier et $m$ un naturel $> 0$. Il existe $d_0, m_0$ de way tels que $a = a_0 d_0, m = m_0 d_0$ et $(a_0, m_0) = 1$.

Preuve : il suffit de choisir $d_0 = (a_0, m_0)$. En conformité avec la définition du PGCD, les quotients $a_0$ et $m_0$ de $a$ et $m$ par leur PGCD sont premiers entre eux (cf [3] pp 25-26).

### Lemme 2 : Avec les notations du lemme 1, si $d_0 \neq 1$ et si :

$d_0 = d_0^1 d_1, m_0 = m_0^1 d_1^1, (d_0^1, m_1) = 1 \text{ et } d_1 \neq 1$, alors $d_0 > d_1$ et $m_0 > m_1$, et si $d_0 = d_1$, alors après un nombre limité de pas i on a $d_0^i > d_1^{i+1} = (d_1^i, m_1^i)$.

Preuve :

$$ (0) \left\{ \begin{array}{l} a = a_0 d_0 \\ m = m_0 d_0 \end{array} \right. ; \quad (a_0, m_0) = 1 \\ d_0 \neq 1 \right\} $$

$$ (1) \left\{ \begin{array}{l} d_0 = d_0^1 d_1 \\ m_0 = m_1 d_1^1 \end{array} \right. ; \quad (d_0^1, m_1) = 1 \\ d_1 \neq 1 \right\} $$

De (0) et de (1) il résulte que $a = a_0 d_0 = a_0^1 d_1^1$ donc $d_0 = d_0^1 d_1$ donc $d_0 > d_1$ si $d_0^1 \neq 1$.

De $m_0 = m_1 d_1$ on déduit que $m_0 > m_1$.

$$ \text{Si } d_0 = d_1 \text{ alors } m_0 = m_1 d_0 = k \cdot d_0^z \quad (z \in \mathbb{N}^* \text{ et } d_0 \nmid k). $$

Donc $m_1 = k \cdot d_0^{z-1}$ ; $d_2 = (d_1, m_1) = (d_0, k \cdot d_0^{z-1})$. Après $i=z$ pas il vient $d_{i+1} = (d_0, k) < d_0$.
**Lemme 3** : Pour chaque nombre entier $a$ et chaque nombre naturel $m > 0$ on peut construire la séquence suivante des relations :

$$ (0) \quad \begin{cases} a = a_0 d_0 \\ m = m_0 d_0 \end{cases} \quad ; \quad (a_0, m_0) = 1 $$

$$ (1) \quad \begin{cases} d_0 = d_0^1 d_1 \\ m_0 = m_1 d_1 \end{cases} \quad ; \quad (d_0^1, m_1) = 1 $$

$$ (s-1) \quad \begin{cases} d_{s-2} = d_{s-2}^1 d_{s-1} \\ m_{s-2} = m_{s-1} d_{s-1} \end{cases} \quad ; \quad (d_{s-2}^1, m_{s-1}) = 1 $$

$$ (s) \quad \begin{cases} d_{s-1} = d_{s-1}^1 d_s \\ m_{s-1} = m_s d_s \end{cases} \quad ; \quad (d_{s-1}^1, m_s) = 1 $$

Preuve : On peut construire cette séquence en appliquant le lemme 1. La séquence est limitée, d'après le lemme 2, car après $r_1$ pas on a : $d_0 > d_{r_1}$ et $m_0 > m_{r_1}$, et après

$r_2$ pas on a: $d_{r_1} > d_{r_1+r_2}$ et $m_{r_1} > m_{r_1+r_2}$, etc...

et les $m_i$ sont des naturels. On arrive à $d_s = 1$ parce que si $d_s \neq 1$ on va construire de nouveau un nombre limité de relations $(s+1), \dots, (s+r)$, avec $d_{s+r} < d_s$.

**Théorème** : Soient $a, m \in \mathbb{Z}$ et $m \neq 0$. Alors $a^{\phi(m_s)+s} \equiv a^s \pmod m$ où $s$ et $m_s$ sont les mêmes que dans les lemmes ci-dessus.

Preuve : Comme dans ce qui précède on peut supposer $m > 0$ sans nuire à la généralité. De la séquence de relations du lemme 3 il résulte que :

$$ (0) \quad (1) \quad (2) \quad (3) \quad (s) \quad a = a^0 d_0 = a^1 d_1 d_0 = a^1 d_1 d_1 d_2 = \dots = a^1 d_1 d_1 \dots d_1 d_1 \quad s-1 \quad s $$

$$ (0) \quad (1) \quad (2) \quad (3) \quad (s) \quad a = a^0 d_0 = a^1 d_1 d_0 = a^1 d_1 d_1 d_2 = \dots = a^1 d_1 d_1 \dots d_1 d_1 \quad s-1 \quad s $$

$$ \text{et } m = m^0 d_0 = m^1 d_1 d_0 = m^1 d_1 d_1 d_0 = \dots = m^1 d_1 d_1 \dots d_1 d_1 \quad s \quad s-1 \quad s $$

$$ \text{et } m^1 d_1 d_0 = m^1 d_1 d_1 \dots d_1 d_1 \quad s-1 \quad s \quad s-1 \quad s $$

De (0) il découle que $d_0 = (a,m)$, et de (i) que $d_i = (d_{i-1}, m_{i-1})$, ce pour tout $i$ de $\{1,2,\dots,s\}$.

$$ d_0 = d_0^1 d_1^1 d_2^1 \dots d_{s-1}^1 d_s $$

$$ d_1 = d_1^1 d_2^1 \dots d_{s-1}^1 d_s $$

$$ d_{s-1} = \dots = d_1^1 d_1 \dots d_{s-1}^1 d_s $$

$$ d_s = \dots = d_1^s d_1 \dots d_{s-1}^s d_s $$
$$
\text{Donc } \stackrel{\cdot}{a}_0 \stackrel{\cdot}{a}_1 \stackrel{\cdot}{a}_2 \dots \stackrel{\cdot}{a}_{s-1} \stackrel{\cdot}{d}_s = (\stackrel{\cdot}{a}_0^1)^1 (\stackrel{\cdot}{a}_1^1)^2 (\stackrel{\cdot}{a}_2^1)^3 \dots (\stackrel{\cdot}{a}_{s-1}^1)^s (\stackrel{\cdot}{d}_s)^{s+1} \\
= (\stackrel{\cdot}{d}_0^1)^1 (\stackrel{\cdot}{d}_1^1)^2 (\stackrel{\cdot}{d}_2^1)^3 \dots (\stackrel{\cdot}{d}_{s-1}^1)^s \quad \text{car } \stackrel{\cdot}{d}_s = 1.
$$

$$
\text{Donc } m = (d_0^1)^1 (d_1^1)^2 (d_2^1)^3 \dots (d_{s-1}^1)^s m_s \quad ; \text{ donc } m_s \mid m ;
$$

$$
(d_s, m_s) \stackrel{(s)}{=} (1, m_s) = 1 \quad \text{et} \quad (d_{s-1}^1, m_s) \stackrel{(s)}{=} 1
$$

$$
l^{(s-1)}(d_{s-2}^1, m_{s-1}) = (d_{s-2}^1, m_s d_s) \quad \text{donc} \quad (d_{s-2}^1, m_s) = 1
$$

$$
1^{(s-2)}(d_{s-3}^1, m_{s-2}) = (d_{s-3}^1, m_{s-1} d_{s-1}^1) = (d_{s-3}^1, m_s d_{s-1}^1), \\
\text{donc } (d_{s-3}^1, m_s) = 1
$$

$$
\begin{align*}
l^{(i+1)}(d_i^1, m_{i+1}) &= (d_i^1, m_{i+2} d_{i+2}) = (d_i^1, m_{I+3} d_{i+3}^1) = \dots = \\
&= (d_i^1, m_s d_{s-1}^1 \dots d_{i+2}^1) \quad \text{donc} \quad (d_i^1, m_s) = 1 \text{, et ce} \\
&\text{pour tout } i \text{ de } \{0,1,\dots,s-2\} \text{.}
\end{align*}
$$

$$
1^{(0)}(a_o, m_o) = (a_o, d_1, \dots, d_{s-1} d_{s} m_s) \quad \text{donc} \quad (a_o, m_s) = 1.
$$

Du théorème d'Euler il résulte que :

$$
(d_i^1)^{\varphi(m_s)} \equiv 1 \pmod{m_s} \quad \text{pour tout } i \text{ de } \{0,1,\dots,s\},
$$

$$
a_o \stackrel{\varphi(m_s)}{\equiv} 1 \pmod{m_s}
$$

$$
mais \quad a \stackrel{\varphi(m_s)}{=} a_o \stackrel{(d_o^1)^{\varphi(m_s)}}{=} (d_o^1)^{\varphi(m_s)} (d_1^1)^{\varphi(m_s)} \cdots (d_{s-1}^1)^{\varphi(m_s)}
$$

$$
done \quad \varphi(m_s) \equiv \underbrace{1 \cdots 1}_{s+1 \text{ fois}} \pmod{m_s}
$$

$$
a \stackrel{\varphi(m_s)}{\equiv} 1 \pmod{m_s}.
$$

$$
a_o^s (d_o^1)^{s-1} (d_1^1)^{s-2} (d_2^1)^{s-3} \dots (d_{s-2}^1)^{1} a \equiv
$$

$$
\equiv a_o^s (d_o^1)^{s-1} (d_1^1)^{s-2} \dots (d_{s-2}^1)^{1} \cdot 1 \pmod{m_s}.
$$

On multiplie par :

$$
(d_0^1)^1 (d_1^1)^2 (d_2^1)^3 \dots (d_{s-2}^1)^{s-1} (d_{s-1}^1)^s \quad \text{et on obtient :}
$$

$$
a_o^s (d_o^1)^s (d_1^1)^s \dots (d_{s-2}^1)^s (d_{s-1}^1)^s a \equiv a_o^s (d_o^1)^s (d_1^1)^s \dots (d_{s-2}^1)^s (d_{s-1}^1)^s \pmod{(d_o^1)^1 \dots (d_{s-1}^1)^s m_s}
$$
mais $a_o^s(d_o^l)^s(d_l^l)^s \dots (d_{s-1}^l)^s \cdot a \equiv a \pmod{s}$ et
$a_o^s(d_o^l)^s(d_l^l)^s \dots (d_{s-1}^l)^s \equiv a \pmod{s}$ donc $a \equiv a^s \pmod{m}$,
pour tous a, m de $\mathbb{Z}$ ($m \neq 0$).

### Observations :

(1) $\text{Si } (a, m) = 1 \text{ alors } d_o=1$. Donc $s=0$, et d'après le théorème $\varphi(d_o)+0 \equiv a \pmod{m}$.

on a $\varphi(m)+0 \equiv a \pmod{m}$ car $a \equiv 1 \pmod{m}$.

Mais $m = m \cdot d_o \equiv m \cdot 1 = m_o$. Donc :

$a \equiv 1 \pmod{m}$, et on obtient le théorème d'Euler.

(2) Soient $a$ et $m$ deux nombres entiers, $m \neq 0$ et $(a, m) = d_o \neq 1$, $\varphi(m)+1$ et $m = m \cdot d_o$. Si $(d_o, m_o) = 1$, alors $a \equiv a \pmod{m}$.

En effet, vient du théorème avec $s=1$ et $m_1 = m_o$.

Cette relation a une forme semblable au théorème de Fermat :
$$ \varphi(p)+1 \qquad a \equiv a \pmod{p}. $$

## C - UN ALGORITHME POUR RESCUdre LEs CONGRuENCEs.

On va construire un algorithme et montrer le schéma logique permettant de calculer $s$ et $m_s$ du théorème.

Données à entrer : deux nombres entiers $a$ et $m$, $m \neq 0$.

$$ \varphi(m_s)+s \pmod{s} $$

Résultats en sortie : $s$ et $m_s$ ainsi que $a \equiv a^s \pmod{m}$.

$$ \text{Méthode :} \quad \begin{array}{l} (1) \ A := a \\ M := m \\ i := 0 \end{array} $$

(2) Calculer $d = (A, \mathcal{M})$ et $M' = M/d$.

(3) Si $d=1$ prendre $S=i$ et $m_s=M'$; stop. Si $d \neq 1$ prendre $A := d$, $M := M'$, $i := i+1$, et aller en (2).

Rem : la correction d'algorithme résulte du lemme 3 et du théorème.

Voir organigramme page suivante.

Dans cet organigramme, SUBROUTINE CMMDC calcule $D = (A,M)$ et choisit $D>0$.

**Application** : Dans la résolution des exercices on utilise le théorème et l'algorithme pour calculer $s$ et $m_s$.

$$ \text{Exemple : } 6^{25604} \equiv ? \pmod{105765} $$

Il ne peut pas

appliquer Fermat ou Euler car $(6,105765) = 3 \neq 1$.

On applique donc l'algorithme pour calculer $s$ et $m_s$ et puis
le théorème antérieur :

$$ d_o = (6,105765) = 3 \qquad m_o = 105765/3 = 35255 $$

$$ i = 0 \ ; \ 3 \neq 1 \text{ donc } i = 0 + 1 = 1 \ , \ d_l = (3,35255)' = 1 \ , $$

$$ m_l = 35255/1 = 35255. $$
Donc
$$ \begin{aligned} & p(35255)+1 \equiv 1 \pmod{105765} \\ & 25604 \equiv 4 \pmod{105765} \\ & 6 \equiv 6 \pmod{105765} \end{aligned} $$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Organigramme :

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

BIBLIOGRAPHIE :

[1] Popovici, Constantin P. - "Teoria numerelor", Curs, Bucarest, Editura didactică si pedagogică, 1973.

[2] Popovici, Constantin P. - "Logica si teoria numerelor", Editura didactică si pedagogică, Bucarest, 1970.

[3] Creangă I, Cazacu C, Mihut P, Opait Gh, Reischer Corina - "Introducere în teoria numerelor", Editura didactică si pedagogică, Bucarest, 1965.

[4] Rusu E. - "Arithmetica si teoria numerelor", Editura didactică si pedagogică, Editia a 2-a, Bucarest, 1963.
UNE GENERALISATION DE L'INEGALITE CAUCHY-BOUNIAKOVSKI-SCHWARTZ

Enoncé : Soient les réels $a_i^{(k)}$, $i \in \{1, 2, \dots, n\}$, $k \in \{1, 2, \dots, m\}$, avec $m \ge 2$. Alors :

$$ \left( \sum_{i=1}^{n} \prod_{k=1}^{m} a_i^{(k)} \right)^2 \le \prod_{k=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(k)} \right)^2 . $$

Démonstration. On note A le membre de gauche de l'inégalité et B le membre de droite. On a :

$$ A = \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(1)} \cdots a_i^{(m)} \right)^2 + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{k=i+1}^{n} \left( a_i^{(1)} \cdots a_i^{(m)} \right) \left( a_k^{(1)} \cdots a_k^{(m)} \right) $$

$$ \text{et } B = \sum_{(i_1, \dots, i_m) \in E} \left( a_{i_1}^{(1)} \cdots a_{i_m}^{(m)} \right)^2 , $$

$$ \text{où } E = \{ (i_1, \dots, i_m) \mid i_k \in \{1, 2, \dots, n\}, 1 \le k \le m \} . \text{ D'où :} $$

$$ B = \sum_{i=1}^{n} \left( a_i^{(1)} \cdots a_i^{(m)} \right)^2 + \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{k=i+1}^{n} \left[ \left( a_i^{(1)} \cdots a_i^{(m-1)} \right) \left( a_k^{(1)} \cdots a_k^{(m)} \right) \right]^2 + \\ + \left( a_k^{(1)} \cdots a_k^{(m-1)} \right) \left( a_i^{(m)} \right)^2 + \sum_{\substack{i_1, \dots, i_m \in E \\ \sum_{i=1}^{m} i = n}} \left( a_{i_1}^{(1)} \cdots a_{i_m}^{(m)} \right)^2 , $$

$$ \text{avec } \Delta_E = \left\{ \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i^{(k)}}{n} \right) / \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^{(k)} \right) \mid k = 1, 2, \dots, n \right\} $$

$$ \text{et } L = \left\{ \left( \frac{a_1^{(1)} \cdots a_{n-1}^{(1)}}{a_n^{(1)}} \right) \left( \frac{a_1^{(2)} \cdots a_{n-1}^{(2)}}{a_n^{(2)}} \right) / \left( \frac{a_1^{(1)} \cdots a_{n-1}^{(1)}}{a_n^{(1)}} \right) \right\} \text{ et } \alpha \in \{0, 1\} $$

$$ \text{Alors } \Lambda - B = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{k=i+1}^{n} \left[ - \left( a_i^{(1)} \cdots a_i^{(m-1)} \right) \left( a_k^{(1)} \cdots a_k^{(m-1)} \right) \right]^2 - \sum_{(i_1, \dots, i_m) \in E - (\Delta_E \cup L)} \left( a_{i_1}^{(1)} \cdots a_{i_m}^{(m)} \right)^2 \le 0 . $$

Remarque ; pour $m=2$ on obtient l'inégalité de Cauchy-Bouniakovski-Schwartz.
## GENERALISATIONS DU THÉOREME DE CEVA

Dans ces paragraphes on présente trois généralisations du célèbre théorème de Ceva, dont l'on noncera est :

"Si dans un triangle ABC on trace les droites concourantes $AA_1$,

$$ BB_1, CC_1 \text{ alors } \frac{\overline{AA_1} \cdot \overline{BB_1}}{\overline{AA_1} \cdot \overline{CC_1}} = -1 $$.

**Théorème :** Soit le polygone $A_1A_2...A_n$ un point M dans son plan, et une permutation circulaire $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \dots & n & 1 \end{pmatrix}$. On note $M_{ij}$ les intersections de la droite A.M avec les droites $AA_1, AA_2, ..., A_{i+s}A_{i+s+1}, ...$ et $M_{i+s+1}M_{i+s+2}...M_{i+n} = (\text{pour tout } i \text{ tel que } j \in \{i+s, ..., i+s+t-1\})$.

Si $M_{ij} \neq A_n$ pour tous les indices respectifs, et si $2s+t = n$, on a :

$$ \frac{n, i+s+\frac{1}{2}, \dots, \frac{n}{2}, i, \frac{n}{2}, i+\frac{1}{2}, \dots, \frac{n}{2}}{i, j = 1, i \neq j} = (-1)^n \text{ (s et t naturels non nuls).} $$

**Démonstration analytique :** Soit M un point dans le plan du triangle ABC, tel qu'il satisfasse aux conditions du théorème. On choisit un système cartésien d'axes, tel que les deux parallèles aux axes qui passent par M ne passent par aucun point $A_i$ (ce qui est possible).

On considère $M(a,b)$, où a et b sont des variables réelles, et $A_i(X_i, Y_i)$, où $X_i$ et $Y_i$ sont connues, $i \in \{1, 2, ..., n\}$.

Le choix extérieur nous assure les relations suivantes :

$X_i - a \neq 0$ et $Y_i - b \neq 0$ pour tout $i$ de $\{1, 2, ..., n\}$.

L'équation de la droite $A_iM$ ($1 \leq i \leq n$) est :

$$ \frac{x-a}{x_i-a} - \frac{y-b}{y_i-b} = 0 \text{ . On la note } d(x,y;X_i,Y_i) = 0 \text{.} $$

$$ \text{On a } \frac{\overline{M_i A_j}}{M_i A_j} = \frac{\oint (A_j \cdot A_i M)}{\oint (A_j p(j) \cdot A_i M)} = \frac{\oint d(X_j, Y_j; X_i, Y_i)}{\oint (X_p(j), Y_p(j); X_i, Y_i)} = \frac{D(j,i)}{D(p(j),i)} $$

Où $\oint (A_i, ST)$ est la distance de A à la droite ST, et où l'on note $D(a,b)$ pour $d(X_a, Y_a; X_b, Y_b)$.

Calculons le produit, où nous utiliserons la convention suivante :

$a+b$ signifie $p(p(...p(a)...))$ et $a-b$ signifie $\underbrace{p^{-1}(p^{-1}(...p^{-1}(a)...))}_{b \text{ fois}}$

$$ \frac{i+s+t-1}{j=i+s} \cdot \frac{\overline{M_i A_j}}{\overline{ij} \cdot \overline{j+i}} = \frac{i+s+t-1}{j=i+s} \cdot \frac{D(j,i)}{D(j+1,i)} = $$

$$ \frac{D(i+s,i)}{D(i+s+1,i)} \cdot \frac{D(i+s+1,i)}{D(i+s+2,i)} \cdots \frac{D(i+s+t-1,i)}{D(i+s+t,i)} \cdot \frac{D(i+s,i)}{D(i+s+t,i)} = \frac{D(i+s,i)}{D(i-s,i)} $$
Le produit initial est égal à :

$$
\begin{align*}
\prod_{i=1}^{n} \frac{D(i+s,i)}{D(i-s,i)} &= \frac{D(1+s,1)}{D(1-s,1)} \frac{D(2+s,2)}{D(2-s,2)} \cdots \frac{D(2s,s)}{D(n,s)} \frac{D(2s+1,s+1)}{D(1,s+1)} \\
&\quad \frac{D(2s+2,s+2)}{D(2,s+2)} \cdots \frac{D(2s+t,s+t)}{D(t,s+t)} \frac{D(2s+t+1,s+t+1)}{D(t+1,s+t+1)} \frac{D(2s+t+2,s+t+2)}{D(t+2,s+t+2)} \cdots \\
&\quad \cdots \frac{D(2s+t+s,s+t+s)}{D(t+s,s+t+s)} = \frac{D(1+s,1)}{D(1,1+s)} \frac{D(2+s,2)}{D(2,2+s)} \cdots \frac{D(2s+t,s+t)}{D(s+t,2s+t)} \cdots \frac{D(s,n)}{D(n,s)} =
\end{align*}
$$

$$
\prod_{i=1}^{n} \frac{D(i+s,i)}{D(i,i+s)} = \prod_{i=1}^{n} \left( - \frac{P(i+s)}{P(i)} \right) = (-1)^n \quad \text{parce que :}
$$

$$
\frac{D(r,p)}{D(p,r)} \frac{\frac{X-a}{r} - \frac{Y-b}{r}}{\frac{X-a}{p} - \frac{Y-b}{p}} = - \frac{(X-a)(Y-b)}{(X-a)(Y-b)} = - \frac{P(r)}{P(p)},
$$

la dernière égalité résultant de ce que l'on note :
$(X_t - a)(Y_t - b) = P(t)$. De (1) il résulte que $P(t) \neq 0$ pour tout $t$
de $\{1, 2, \dots, n\}$. La démonstration est terminée.

Commentaires sur le théorème :

t représente le nombre des droites du polygone qui sont coupées
par une droite $A_1 M$ ; si on note les côtés $A_1 A_{1+1}$ du polygone $a_1$,

alors s+1 représente l'ordre de la première droite coupée par la
droite $A_1 M$ (c'est à说 la première droite coupée par $A_1 M$).

Exemple : Si s = 5 et t = 3, le théorème dit que :

- la droite $A_1 M$ coupe les côtés $A_6 A_7, A_7 A_8, A_8 A_9$.

- la droite $A_2 M$ coupe les côtés $A_7 A_8, A_8 A_9, A_9 A_{10}$.

- la droite $A_3 M$ coupe les côtés $A_8 A_9, A_9 A_{10}, A_{10} A_{11}$,
etc...

Observation : la condition restrictive du théorème est nécessaire
pour l'existence des rapports $\frac{M_{ij}A_i}{M_{ij}A_j}$.

$$
\frac{M_{ij} A_i}{M_{ij} A_j}(j)
$$

Conséquence 1 : Soient un polygone $A_1A_2\cdots A_{2k+1}$ et un point M dans son plan. Pour tout i de {1,2,...,2k+1}, on note $M_i$ l'intersection de la droite $A_iA_{p(i)}$ avec la droite qui passe par M et par le sommet opposé à cette droite. Si $M_i \in \{A_i, A_{p(i)}\}$ alors on a :

$$
\prod_{i=1}^{n} \frac{M_i A_i}{M_i A_i p(i)} = -1
$$

La démonstration résulte immédiatement du théorème, puisqu'
on a s = k et t = 1, c'est-à-dire n = 2k+1.

La réciproque de cette conséquence n'est pas vraie.
D'où il résulte immédiatement que la réciproque du théorème n'est pas non plus vraie.

Contre-exemple :

On considère un polygone de 5 côtés. On trace les droites $A_1M_1^M$, $A_2M_2^M$ et $A_3M_3^M$ concourantes en M.

$$ \text{Soit } K = \frac{\overline{M_3A_3}}{\overline{M_3A_4}} \cdot \frac{\overline{M_4A_4}}{\overline{M_4A_5}} \cdot \frac{\overline{M_5A_5}}{\overline{M_5A_1}} $$

Puis on trace la droite $A_4M_1^M$ telle qu'elle ne passe pas par M et telle qu'elle forme le rapport $\angle A_4M_1^M$ : (2)

$$ \frac{\overline{M_1A_1}}{\overline{M_1A_2}} = 1/K \text{ ou } 2/K. \text{ (on choisit l'une de ces valeurs, pour que } A_4M_1^M \text{ ne passe pas par M). } \frac{\overline{M_2A_2}}{\overline{M_2A_3}} = -1 \text{ ou } -\frac{1}{2} $$

A la fin on trace $A_5M_2^M$ qui forme le rapport $\angle A_5M_2^M$ :

en fonction de (2). Donc le produit :

$$ \prod_{i=1}^{5} \frac{\overline{M_iA_i}}{\overline{M_iA_{p(i)}}} = -1 \text{ sans que les droites respectives soient concourantes.} $$

Conséquence 2 : Dans les conditions du théorème, si pour tout i et $j, j \notin \{i, p^{-1}(i)\}$, on note $M_{ij} = A_i^M \cap A_j^A$, et

$M_{ij} \notin \{A_j^A, A_{p(j)}^A\}$, alors on a :

$$ \prod_{i,j=1}^{n} \frac{\overline{M_{ij}A_{ij}}}{\overline{M_{ij}A_{p(j)}}} = (-1)^n . $$

$$ j \notin \{i, p^{-1}(i)\} $$

En effet on a $s=1, t=n-2$, et donc $2s+t = n$.

Conséquence 3 : Pour $n=3$, il vient $s=1$ et $t=1$, car on obtient (comme cas particulier) le théorème de Céva.
UNE APPLICATION DE LA GENERALISATION
DU THEOREME DE CEVA

Théorème : Soit un polygone $A_1A_2...A_n$ inscrit dans un cercle. Soient s et t deux naturels non nuls tels que $2s + t = n$. Par chaque sommet $A_i$ passe une droite $d_i$ qui coupe les droites $A_{i+s}A_{i+s+1}$, ..., $A_{i+s+t-1}A_{i+s+t}$ aux points $M_{i,1+s}$, ..., respectivement $M_{i+s+t-1}$, et le cercle au point $M'_i$. Alors on a :

$$ \prod_{i=1}^{n} \prod_{j=i+s}^{i+s+t-1} \frac{M_{ij}A_j}{M_{ij}A_{j+1}} = \prod_{i=1}^{n} \frac{M'_{i}A_{i+s}}{M'_{i}A_{i+s+t}} $$

Preuve :

Soit i fixé.

1°) Cas où le point $A_{i,i+s}$ se trouve à l'intérieur du cercle :

On a les triangles $A_i M_{i,i+s}^A$, $A_{i+s}^A$, $A_{i+s+1}^A$ et $M'_{i,i+s}^A$, $M'_{i,i+s+1}^A$ semblables, puisque les angles $M_{i,i+s}^A$, $M'_{i,i+s}^A$, $M_{i+s+1,i+s}^A$, $M'_{i+s+1,i+s}^A$ sont égaux. Il en résulte que :

et $M_{i,i+s}^A$, $A_{i+s}^A$, $M'_{i,i+s+1}^A$ d'une part, et $A_i M_{i,i+s}^A$, $A_{i+s}^A$, et $A_{i+s+1}^A$, $M_{i+s+1,i+s}^A$ d'autre part.

$$ (1) \frac{M_{i,i+s}^A A_i}{M_{i,i+s}^A A_{i+s+1}} = \frac{A_i A_{i+s}}{M'_{i,i+s+1}} $$

De manière analogue, on montre que les triangles $M_{i,i+s}^A$, $A_i A_{i+s}^A$, $A_{i+s+1}^A$, $M'_{i,i+s+1}^A$ et $M_{i,i+s}^A$, $A_{i+s}^A$, $M'_{i,i+s}^A$ sont semblables, d'où :

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

$$ (2) \frac{M_{i,i+s}^A A_i}{M_{i,i+s}^A A_{i+s}} = \frac{A_i A_{i+s+1}}{M'_{i,i+s}} \quad \text{On divise (1) par (2) et on obtient :} $$

$$ (3) \frac{M_{i,i+s}^A A_i}{M_{i,i+s}^A A_{i+s+1}} = \frac{M'_{i,i+s} A_i}{M'_{i,i+s+1} A_{i+s}} \cdot \frac{A_i A_{i+s}}{A_i A_{i+s+1}} $$

2°) Le cas où $M_{i,i+s}^A$ est extérieur au cercle est similaire au premier, parce que les triangles (notés comme au 1°) sont semblables aussi dans ce nouveau cas. On a les mêmes raisonnements et les mêmes rapports, donc on a aussi la relation (3).
$$ \prod_{i=1}^{n} \frac{\sum_{i} M'_{i} A_{i+\sum s}}{\sum_{i} M'_{i} A_{i+\sum s+t}} = (-1)^{n} $$
(Pour cela, voir [2]).

Bibliographie :

[1] Dan Barbilian, Ion Barbu - "Pagini inedite", Editura Albatros, Bucarest, 1981 (Edition ingrijită de Gerda Barbilian, V.Protopopescu, Viorel Gh.Vodă).

[2] Florentin Smarandache - "Généralisations du théorème de Céva".
UNE GENERALISATION D'UN THEOREME DE CARNOT

**Théorème de Carnot** : Soit un point M sur la diagonale AC d'un quadrilatère quelconque ABCD. Par M on trace une droite qui coupe AB en $\alpha$ et BC en $\beta$. Puis on trace une autre droite, qui coupe CD en $\gamma$ et AD en $\delta$. Alors on a :

$$ \frac{\overline{AC}}{\overline{BC}} \cdot \frac{\overline{BC}}{\overline{CD}} \cdot \frac{\overline{CD}}{\overline{DA}} \cdot \frac{\overline{DA}}{\overline{AE}} = 1 $$

**Généralisation** : Soit un polygone $A_1...A_n$. Sur une diagonale $A_1A_k$ de celui-ci on prend un point M par lequel on trace une droite $d_1$ qui coupe les droites $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_{k-1}A_k$ respectivement aux points $P_1, P_2, ..., P_{k-1}$, et une autre droite $d_2$ qui coupe les autres droites $A_kA_{k+1}, ..., A_{n-1}A_n, A_nA_1$ respectivement aux points $P_k, ..., P_{n-1}P_n$. Alors on a :

$$ \left| \sum_{i=1}^{n} \frac{A_i P_i}{A_i P_i (i)} \right| = 1, \text{ où } \phi \text{ est la permutation circulaire } \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \dots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \dots & n & 1 \end{array} \right). $$

**Démonstration** : Soit $1 \le j \le k-1$. On montre facilement que :

$$ \frac{A_j P_j}{A_{j+1} P_j} = \frac{D(A_j, d_1)}{D(A_{j+1}, d_1)} \quad \text{où } D(A_j, d) \text{ représente la distance du point } A_j \text{ à la droite } d, \text{ puisque les triangles } P_jA_jA_{j+1} \text{ et } P_{j+1}A_{j+1}A_j \text{ sont semblables. (On note } A_j' \text{ et } A_{j+1}' \text{ les projections des points } A_j \text{ et } A_{j+1} \text{ sur la droite } d_1 \text{.)} $$

Il en résulte que :

$$ \frac{A_1 P_1}{A_2 P_1} \cdot \frac{A_2 P_2}{A_3 P_2} \cdots \frac{A_{k-1} P_{k-1}}{A_k P_{k-1}} = \frac{D(A_1, d_1)}{D(A_2, d_1)} \cdot \frac{D(A_2, d_1)}{D(A_3, d_1)} \cdots \frac{D(A_{k-1}, d_1)}{D(A_k, d_1)} = \\ = \frac{D(A_1, d_1)}{D(A_k, d_1)} $$

De manière analogue, pour $k \le h \le n$, on a :

$$ \frac{A_h P_h}{A_h P_h (h)} = \frac{D(A_h, d_2)}{D(A_h, d_2) (h)} \quad \text{et} \quad \left| \sum_{h=k}^{n} \frac{A_h P_h}{A_h P_h (h)} \right| = \frac{D(A_k, d_2)}{D(A_k, d_2) (h)} $$

Le produit du théorème est égal à :

$$ \frac{D(A_1, d_1)}{D(A_k, d_1)} \cdot \frac{D(A_k, d_2)}{D(A_1, d_2)} , \text{ mois } \frac{D(A_1, d_1)}{D(A_k, d_1)} = \frac{A_1 M}{A_k M} \quad \text{puisque les} $$
triangles $\overline{MA_1A_1'}$ et $\overline{MA_kA_k'}$ sont semblables. De même, puisque les

triangles $\overline{MA_1A_1''}$ et $\overline{MA_kA_k''}$ sont semblables (on note $A_1''$ et $A_k''$ les projections respectives de $\overline{A_1}$ et $\overline{A_k}$ sur la droite $d_2$), on a :

$$ \frac{D(\overline{A_k}, d_2)}{D(\overline{A_1}, d_2)} = \frac{\overline{A_k} \cdot \overline{M}}{\overline{A_1} \cdot \overline{M}} . $$

Le produit de l'énoncé est donc bien égal à 1.

Remarque : si on remplace n par 4 dans ce théorème, on retrouve le théorème de Carnot.
JUELJUES PROPRIETES DES MÉDIANES

Cet article généralise ceratins résultats sur les médianes (voir
[1] p.97-99). On appelle médianes les segments de droite qui pas-
sent par un sommet du triangle et partagent le côté opposé en n
parties égales. Une médiane est appelée d'ordre i si elle partage
le côté opposé dans le rapport i/n.

Pour $1 < i < n-1$, les médianes d'ordre $i$ (c'est-à-dire $AA_i$, $BB_i$ et $CC_i$) ont les propriétés suivantes :

1° Avec ces 3 segments on peut cons-
truire un triangle.

$$
2^{\circ} \left| \AA_i !^2 + |\overrightarrow{BB_i}|^2 + |\overrightarrow{CC_i}|^2 = \frac{i^2 - i \cdot n + n^2}{n^2} (a^2 + b^2 + c^2) \right.
$$

B

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Preuves.

$$
\overrightarrow{AA_i} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA_i} = \overrightarrow{AB} + \frac{i}{n} \overrightarrow{BC} \quad (1)
$$

$$
\overrightarrow{BB_i} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB_i} = \overrightarrow{BC} + \frac{i}{n} \overrightarrow{CA} \quad (2)
$$

$$
\overrightarrow{CC_i} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AC_i} = \overrightarrow{CA} + \frac{i}{n} \overrightarrow{AB} \quad (3)
$$

En additionnant ces 3 relations, il vient :

$$
\overrightarrow{AA_i} + \overrightarrow{BB_i} + \overrightarrow{CC_i} = \frac{i+n}{n} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}) = 0
$$

donc les 3 médianes peuvent être les côtés d'un triangle.

(2) En élevant au carré les 3 relations et en faisant la somme
on obtient :

$$
\begin{align*}
\left| \overrightarrow{AA_i} \right|^2 + \left| \overrightarrow{BB_i} \right|^2 + \left| \overrightarrow{CC_i} \right|^2 &= a^2 + b^2 + c^2 + \frac{i^2}{n^2} (a^2 + b^2 + c^2) + \\
&\quad + \frac{i}{n} (2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} + 2 \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} + 2 \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}) \tag{4}
\end{align*}
$$

Puisque $2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -2 ca \cos B = b^2 - c^2 - a^2$ (th. du cosinus),
en reportant ceci dans la relation (4) on a la relation cher-
chée.

Bibliographie :

[1] Voda, Dr. Viorel Gh. - "Surprize în matematica elementară", Editura Albatros, Bucarest, 1981.
COEFFICIENTS K-NOMIAUX

Dans cet article on élargit les notions de "coefficients bi-
nomiaux" et de "coefficients trinomiaux" à la notion de"co-
efficients k-nomiaux", et on obtient quelques propriétés géné-
rales de ceux-ci. Comme application, on généralisera le "tri-
angle de Pascal".

On considère un nombre naturel $k \ge 2$ ; soit $P(x) = 1 + x + x^2 + ... + x^{k-1}$
le polynôme formé de k monômes de ce type : on l'appellera "k-nôme".

On appelle **coefficients k-nomiaux** les coefficients des puissances de x de $(1+x+x^2+...+x^{k-1})^n$, pour n entier positif. On les notera $C_k^n$ avec $h \in \{0,1,2,...,2pn\}$.

Par la suite on va construire par récurrence un triangle de nombres
qui va être appelé "triangle des nombres d'ordre k".

$$
\text{CAS } 1 \colon k = 2p + 1.
$$

Sur la première ligne du triangle on écrit 1 et on l'appelle "li-
gne 0".

(1) On convient que toutes les cases qui se trouvent à gauche et à droite du premier (respectivement du dernier) nombre de chaque ligne seront considérées comme contenant 0. Les lignes suivantes sont appelées "ligne 1", "ligne 2", etc... Chaque ligne contiendra 2P nombres de plus que la précédente : p nombres à gauche du premier nombre, p nombres à droite du dernier nombre de la ligne précédente. Les nombres de la ligne i+1 s'obtiennent à partir de ceux de la ligne i de la façon suivante :

$C_{i+1}^j$ est égal à l'addition des p nombres situés à sa gauche sur la
ligne i et des p nombres situés à sa droite sur la ligne i, au nom-
bre situé au-dessus de lui (voir fig.1). On va tenir compte de la
convention 1.

Fig.1 : ligne i
ligne i+1

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

**Exemple** pour k=5 :

1
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 4 3 2 1
1 3 6 10 15 18 19 18 15 10 6 3 1
1 4 10 20 35 52 68 80 85 80 68 52 35 20 10 4 1
...

Le nombre $C_5^0 = 0+0+0+0+1 = 1$ ; $C_5^3 = 0+1+0+0+0 = 1$ ,

$C_5^3 = 0+1+1+1+1 = 4$ ; $C_5^7 = 4+5+4+3+2 = 18$ , etc...
Propriétés du triangle de nombres d'ordre k :

1) La ligne i a 2pi+1 éléments.

2) $Ck_n^h = \sum_{i=0}^{2p} Ck_{n-1}^{h-i}$ où par convention $Ck_n^t = 0$ pour $\begin{cases} t < 0 & \text{et} \\ t > 2pr & \text{et} \end{cases}$.
Ceci est évident d'après la construction du triangle.

3) Chaque ligne est symétrique par rapport à l'élément central.

4) Les premiers éléments de la ligne i sont 1 et i.

5) La ligne i du triangle de nombres d'ordre k représente les coefficients k-nomiaux de $(1+x+x^2+...+x^{k-1})^i$. La démonstration se fait par récurrence sur i de $N^i$ :

a) Pour i=1 c'est évident, (en fait la propriété serait encore vraie pour i=0).

b) Supposons la propriété vraie pour n. Alors

$$ 
\begin{aligned}
(1+x+x^2+...+x^{k-1})^{n+1} &= (1+x+x^2+...+x^{k-1})(1+x+x^2+...+x^{k-1})^n \\
&= (1+x+x^2+...+x^{2p}) \cdot \sum_{j=0}^{2pn} Ck_n^j \cdot x^j = \sum_{t=0}^{2p(n+1)} \sum_{i+j=t} Ck_n^i \cdot x^i \cdot x^j \\
&= \sum_{t=0}^{2p(n+1)} \left( \sum_{j=0}^{2p} Ck_n^{t-j} \right) x^t = \sum_{t=0}^{2p(n+1)} Ck_{n+1}^t \cdot x^t
\end{aligned}
$$

6) La somme des éléments situés sur la ligne n est égale à $k^n$. La première méthode de démonstration utilise le raisonnement par récurrence. Pour n=1 l'assertion est évidente. On suppose la propriété vraie pour n, c'est-à-dire que la somme des éléments situés sur la ligne n est égale à $k^n$. La ligne n+1 se calcule à partir des éléments de la ligne n. Chaque élément de la ligne n fait partie de la somme qui calcule chacun des p éléments situés à sa gauche sur la ligne n+1, chacun des p éléments situés à sa droite sur la ligne n+1 et celui qui est situé en dessous : donc il est utilisé pour calculer k nombres de la ligne n+1. Donc la somme des éléments de la ligne n+1 est k fois plus grande que la somme de ceux de la ligne n, donc elle vaut $k^{n+1}$.

7) La différence entre la somme des coefficients k-nomiaux de rang pair et la somme des coefficients k-nomiaux de rang impair situés sur la même ligne $(Ck_n^0-Ck_n^1+Ck_n^2-Ck_n^3+...)$ est égale à 1. On l'obtient si dans $(1+x+x^2+...+x^{k-1})^n$ on prend $x = -1$.

$$ 
\begin{gathered}
8) Ck_n^0 \cdot Ck_n^h + Ck_n^1 \cdot Ck_m^{h-1} + \dots + Ck_n^h \cdot Ck_m^0 = Ck_{n+m}^h \\
\text{Ceci résulte de ce que, dans l'identité} \\
(1+x+x^2+\dots+x^{k-1})^n \cdot (1+x+x^2+\dots+x^{k-1})^m = (1+x+x^2+\dots+x^{k-1})^{n+m}
\end{gathered}
$$
le coefficient de $x^h$ dans le membre de gauche est $\sum_{i=0}^{h} Ck_n^i \cdot Ck_m^{h-i}$
et celui de $x^h$ à droite est $Ck_{n+m}^h$.

9) La somme des carrés des coefficients k-nomiaux situés sur la ligne n est égale au coefficient k-nomial situé au milieu de la ligne 2n.

Pour la preuve on prend $n=m=h$ dans la propriété 8.

On peut trouver beaucoup de propriétés et applications de ces coefficients k-nomiaux parce qu'ils élargissent les coefficients binomiaux dont les applications sont connues.

CAS 2 : $k = 2p$.

La construction du triangle de nombres d'ordre k est analogue :
Sur la première ligne on écrit $1$ ; on l'appelle ligne 0.
Les lignes suivantes sont appelées ligne 1, ligne 2, etc... Chaque
ligne aura $2p-1$ éléments de plus que la précédente ; comme $2p-1$ est
un nombre impair, les éléments de chaque ligne seront placés entre
les éléments de la ligne précédente (à la différence du cas $1$ où ils
se plaçaient en-dessous).

Les éléments situés sur la ligne i+1 s'obtiennent en utilisant ceux
de la ligne i de la façon suivante :

$Ck_{i+1}^j$ est égal à l'addition des $p$ éléments situés à sa gauche sur la ligne $i$ aux $p$ éléments situés à sa droite sur la ligne $i$. (Fig.2).

$$
\begin{array}{c}
\text{Fig.2 :} \\
\text{ligne i} \\
\text{ligne i+1}
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{p nbres} \\
\text{\Large$\frac{\cdot\cdot\cdot\cdot}{\bullet}$} \\
\text{p nbres} \\
\text{\Large$\frac{\cdot\cdot\cdot\cdot}{\bullet}$} \\
\bullet Ck_{i+1}^j
\end{array}
$$

Exemple pour $k=4$ :

$$
\begin{array}{r@{\quad}l}
 & 1 \\
1 & 1 \\
2 & 3 \\
3 & 4 \\
6 & 10 \\
12 & 12 \\
10 & 3 \\
6 & 2 \\
3 & 1 \\
20 & 40 \\
10 & 44 \\
4 & 40 \\
1 & 31 \\
4 & 20 \\
1 & 10 \\
\end{array}
$$

D'où la propriété 1' : $Ck_n^h = \sum_{i=0}^{2p-1} Ck_{n-1}^{h-i}$

En réunissant les propriétés 1 et 1' : $Ck_n^h = \sum_{i=0}^{k-1} Ck_{n-1}^{h-i}$

Les autres propriétés du Cas 1 se conservent dans le cas 2, avec des
preuves analogues. Cependant dans la propriété 7, on voit que la
différence entre la somme des coefficients k-nomiaux de rang pair
et celle des coefficients k-nomiaux de rang impair situés sur la mê-
me ligne est égale à 0.
# UNE CLASSE D'ENSEMBLES RÉCURSIFS

Dans cet article on construit une classe d'ensembles récursifs, on établit des propriétés de ces ensembles et on propose des applications. Cet article élargit quelques résultats de [1].

## 1) Définitions, propriétés.

On appelle ensembles récursifs les ensembles d'éléments qui se construisent de manière récursive ; soit $T$ un ensemble d'éléments et $f_i$ pour $i$ compris entre 1 et $s$, des opérations $n_i$-aires, cad que $f_i : T \xrightarrow{n_i} T$. Construisons récursivement l'ensemble $M$ inclus dans $T$ et tel que :

(déf.1) 1°) certains éléments $a_1, \dots, a_n$ de $T$, appartiennent à $M$.

2°) si $\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_n}$ appartiennent à $M$, alors

$f_i(\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_n})$ appartient à $M$ pour tout $i \in \{1, 2, \dots, s\}$.

3°) chaque élément de $M$ s'obtient en appliquant un nombre fini de fois les règles 1° ou 2°.

Nous allons démontrer plusieurs propriétés de ces ensembles $M$, qui découlent de la façon d'or ils ont été définis.

L'ensemble $M$ est le représentant d'une classe d'ensembles récursifs parce que dans les règles 1° et 2°, en particularisant les éléments $a_1, \dots, a_n$, respectivement $f_1, \dots, f_s$, on obtient des ensembles différents.

**Observation 1** : Pour obtenir un élément de $M$, il faut nécessairement appliquer d'abord la règle 1.

(déf.2) Les éléments de $M$ s'appellent éléments $M$-récursifs.

(déf.3) On appelle ordre d'un élément $a$ de $M$ le plus petit naturel $p \ge 1$ qui a la propriété que $a$ s'obtient en appliquant $p$ fois les règles 1° ou 2°.

On note $M_1$ l'ensemble qui contient tous les éléments d'ordre $p$ de $M$. Il est évident que $M_1 = \{a_1, \dots, a_n\}$.

$$M_2 = \bigcup_{i=1}^{s} \left\{ \bigcup_{(\alpha_{i1}, \dots, \alpha_{in_i}) \in M_1} f_i(\alpha_{i1}, \dots, \alpha_{in_i}) \right\} \times_{M_1} M_1$$

On soustrait $M_1$ car il est possible que $f_j(a_{j1}, \dots, a_{jn_j}) = a_i$ qui appartient à $M_1$, et donc pas à $M_2$.

On démontre que pour $k \ge 1$ on a :
$$M_{k+1} = \bigcup_{i=1}^{s} \left\{ \left( \bigcup_{j=1}^{r} \alpha_{i_j} \right) \in \Pi_k^{(i)} : f_i(\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_{n_i}}) \right\} \setminus \bigcup_{M_h=1}^{k} M_h$$

$$\text{où chaque } \prod_{k}^{(i)} = \left\{ (\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_{n_i}}) \mid \alpha_{i_j} \in M_{q_j} \text{ j}\in\{1,2,\dots,n_i\}; \text{ 1} \le q_j \le k \text{ et au moins un élément } \alpha_{i_j} \in M_k, 1 \le j_0 \le n_i \right\}.$$

Les ensembles $M_p, p \in \mathbb{N}^*$, forment une partition de l'ensemble M.

**Théorème 1 :**
$$M = \bigcup_{p \in \mathbb{N}^*} M_p, \text{ où } N^* = \{1,2,3,\dots\}.$$

Preuve. De la règle 1° il résulte que $M_1 \subseteq M$.

On suppose que cette propriété est vraie pour des valeurs inférieures à p. Il en résulte que $M_1 \subseteq M$, parce que $M$ est obtenu en appliquant la règle 2° aux éléments de $\bigcup_{p=1}^{p-1} M_p$.

Donc $\bigcup_{p \in \mathbb{N}^*} M_p \subseteq M$. Réciproquement, on a l'inclusion en sens contraire en accord avec la règle 3°.

**Théorème 2 :** L'ensemble $M$ est le plus petit ensemble qui ait les propriétés 1° et 2°.

Preuve : soit $R$ le plus petit ensemble ayant les propriétés 1° et 2°. On va démontrer que cet ensemble est unique.

Supposons qu'il existe un autre ensemble $R'$ ayant les propriétés 1° et 2° et qui soit le plus petit. Comme $R$ est le plus petit ensemble ayant ces propriétés, et puisque $R'$ les possède aussi, il en résulte que $R \subseteq R'$ ; de manière analogue, il vient $R' \subseteq R$ : donc $R = R'$.

Il est évident que $M_1 \subseteq R$. On suppose que $M_i \subseteq R$ pour $1 \le i \le p$.

Alors (règle 3°), et en tenant compte du fait que chaque élément de $M_p$ est obtenu en appliquant la règle 2° à certains éléments de $M_i$, $1 \le i \le p$, il en résulte que $M_p \subseteq R$. Donc

$$\bigcup_{p} M_p \equiv R (p \in \mathbb{N}^*), \text{ où } M \subseteq R. \text{ Et comme R est unique, } M = R.$$

**Observation 2.** Le théorème 2 remplace la règle 3° de la définition récursive de l'ensemble $M$ par : "$M$ est le plus petit ensemble satisfaisant les propriétés 1° et 2°".

**Théorème 3 :** $M$ est l'intersection de tous les ensembles de $T$ qui satisfont aux conditions 1° et 2°.

Preuve : soit $T_{12}$ la famille de tous les ensembles de $T$ satisfaisant les conditions 1° et 2°. Soit $I = \bigcap_{A \in T_{12}} A$.

I a les propriétés 1° et 2° parce que :

1) Pour tout $i \in \{1,2,\dots,n\}$, $a_i \in I$, parce que $a_i \in A$ pour tout $A$ de $T_{12}$.
2) Si $\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_n} \in I$, il en résulte que $\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_n}$ appartiennent à A quel que soit $A$ de $T_{12}$. Donc, $\forall i \in \{1, 2, \dots, s\}$ $f_i(\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_n}) \in A$ quel que soit $A$ de $T_{12}$, donc $f_i(\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_n}) \in I$ pour tout $i$ de $\{1, 2, \dots, s\}$.

Du théorème 2 il en résulte que $M \subseteq I$.

Puisque $M$ remplit les conditions 1° et 2°, il en résulte que $M \in T_{12}$, d'où $I \subseteq M$. Donc $M = I$.

Déf. 2' ) Un ensemble $A \subseteq I$ est dit fermé pour l'opération $f_i \cup ssi$ pour tout $\alpha_{i_0}, \dots, \alpha_{i_n}$ de $A$, on a : $f_{i_0}(\alpha_{i_0}, \dots, \alpha_{i_n}, f_{i_n})$ appartient à A.

(Déf.5) Un ensemble $A \subseteq T$ est dit fermé M-récursif ssi :

1) $\{a_1, \dots, a_n\} \subseteq A$.

2) A est fermé par rapport aux opérations $f_1, \dots, f_s$.

Avec ces définitions, les théorèmes précédents deviennent :

**Théorème 2'** : L'ensemble $M$ est le plus petit ensemble fermé M-récursif.

**Théorème 3'** : $M$ est l'intersection de tous les ensembles fermés M-récursifs.

(Déf.6) Le système d'éléments $\langle \alpha_1, \dots, \alpha_m \rangle$, $m \ge 1$ et $\alpha_i \in T$ pour $i \in \{1, 2, \dots, m\}$, constitue une description M-récursive pour l'élément $\alpha$, si $\alpha_m = \alpha$ et que chaque $\alpha_i$ ($i \in \{1, 2, \dots, m\}$) satis-fait au moins l'une des propriétés :

1) $\alpha_i \in \{a_1, \dots, a_n\}$.

2) $\alpha_i$ s'obtient à partir des éléments qui le précèdent dans le système en appliquant les fonctions $f_j$, $1 \le j \le s$, définies par la propriété 2° de (déf.1).

(Déf.7) Le nombre $m$ de ce système s'appelle la longueur de la description M-récursive pour l'élément $\alpha$.

**Observation 3** : Si l'élément $\alpha$ admet une description M-récursive, alors il admet une infinité de telles descriptions.

En effet, si $\langle \alpha_1, \dots, \alpha_m \rangle$ est une description M-récursive de $\alpha$, alors $\langle a_1, \dots, a_m, \alpha_1, \dots, \alpha_m \rangle$ est aussi une description M-récursive pour $\alpha$, h fod

tion M-récursive pour $\alpha$, h pouvant prendre toute valeur de $N$.

**Théorème A** : L'ensemble $M$ est confondu avec l'ensemble de tous les éléments de $T$ qui admettent une description M-récursive.

Preuve : soit D l'ensemble de tous les éléments qui admettent une description M-récursive. Nous allons démontrer par récurrence que $M \subseteq D$ pour tout $p$ de $N^*$.

Pour $p=1$ on a : $M_1 = \{a_1, \dots, a_n\}$, et les $a_j$, $1 \le j \le n$,
admettent comme description M-récursive : $\langle a_j \rangle$. Ainsi

$M_1 \subseteq D$. Supposons que la propriété est vraie pour les valeurs inférieures à $p$. $M$ est obtenu en appliquant la règle 2º aux éléments de $\bigcup_{i=1}^{p-1} M_i$ ; $\alpha \in M_p$ entraîne $\alpha \in f_i(\alpha_{i1}, \dots, \alpha_{in_i})$ et $\alpha_{ij} \in M_{h_j}$ pour $h_j < p$ et $1 \le j \le n_i$.

Mais $\alpha_{ij'} < j \le n_i$, admet des descriptions M-récursives d'après l'hypothèse de récurrence, soit $\langle \beta_{j_1}, \dots, \beta_{js} \rangle$.

Alors $\langle \beta_{11}, \dots, \beta_{1s_1}, \beta_{21}, \dots, \beta_{2s_2}, \dots, \beta_{n_1 1}, \dots, \beta_{n_i s_i} \rangle$, $\alpha >$

constitue une description M-récursive pour l'élément $\alpha$.

Donc si $\alpha$ appartient à $D$, alors $M_p \subseteq D$, cad $M = \bigcup_{p \in N^*} M_p \subseteq D$.

Réciproquement, soit $x$ appartenant à $D$. Il admet une description M-récursive $\langle b_1, \dots, b_t \rangle$ avec $b_t = x$. Il en résulte par récurrence sur la longueur $t$ de la description M-récursive de l'élément $x$, que $x \in M$. Pour $t=1$, on a $\langle b_1 \rangle$, $b_1 = x$, et $b_1 \in \{a_1, \dots, a_n\} \subseteq M$. On suppose que tous les éléments $y$ de $D$ qui admettent une description M-récursive de longueur inférieure à $t$ appartiennent à $M$. Soit $x \in D$, décrit par un système de longueur $t$: $\langle b_1, \dots, b_t \rangle$, $b_t = x$. Alors $x \in \{a_1, \dots, a_n\} \subseteq M$, ou bien $x$ est obtenu en appliquant la règle 2º aux éléments qui le précédent dans le système : $b_1, \dots, b_{t-1}$. Mais ces éléments admettent des descriptions M-récursives de longueurs inférieures à $t$: $\langle b_1 \rangle$, $\langle b_1, b_2 \rangle$, \dots, $\langle b_1, \dots, b_{t-1} \rangle$. D'après l'hypothèse de récurrence, $b_1, \dots, b_{t-1}$ appartiennent à $M$.

Donc $b_t$ appartient aussi à $M$. Il en résulte que $M \supseteq D$.

**Théorème 5** : Soient $b_1, \dots, b_q$ des éléments de $T$ qui s'obtiennent à partir des éléments $a_1, \dots, a_n$ en appliquant un nombre fini de fois les opérations $f_1, f_2, \dots$, ou $f_s$. Alors $M$ peut être défini récursivement de la façon suivante :

1) Certains éléments $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_q$ de $T$ appartiennent à $M$.

2) $M$ est fermé pour les applications $f_i$, avec $i \in \{1, 2, \dots, s\}$.

3) Chaque élément de $M$ est obtenu en appliquant un nombre fini de fois les règles (1) ou (2) qui précédent.

**Prouve** : évidente. Comme $b_1, \dots, b_q$ appartiennent à $T$, et s'obtiennent à partir des éléments $a_1, \dots, a_n$ de $M$ en appliquant un nombre fini de fois les opérations $f_i$, il en résulte que $b_1, \dots, b_q$ appartiennent à $M$.
**Théorème 6 :** Soient $g_j, 1 < j < r$, des opérations $n_j$-aires, cadèd $g_j : T^j \to T$, telles que M soit fermé par rapport à ces opérations. Alors M peut être défini récursivement de la façon suivante :

1) Certains éléments $a_1, \dots, a_n$ de T appartiennent à M.

2) M est fermé pour les opérations $f_i, i \in \{1, 2, \dots, s\}$ et $g_j, j \in \{1, 2, \dots, r\}$.

3) Chaque élément de M est obtenu en appliquant un nombre fini de fois les règles précédentes.

Pruve facile : comme M est fermé pour les opérations $g_j$ (avec $j \in \{1, 2, \dots, r\}$), on a, quels que soient $\alpha_{j_1}, \dots, \alpha_{j_n}$ de $M$, $g_j(\alpha_{j_1}, \dots, \alpha_{j_n}) \in M$ pour tout $j \in \{1, 2, \dots, r\}$.

Les théorèmes 5 et 6 entraînent :

**Théorème 7 :** L'ensemble M peut être défini récursivement de la façon suivante :

1) Certains éléments $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_q$ de T appartiennent à M.

2) M est fermé pour les opérations $f_i$ ($i \in \{1, 2, \dots, s\}$) et pour les opérations $g_j$ ($j \in \{1, 2, \dots, r\}$) définies précédemment.

3) Chaque élément de M est défini en appliquant un nombre fini de fois les 2 règles précédentes.

**Déf. 8) L'opération $f_i$ conserve la propriété P si quels que soient les éléments $\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_n}$ ayant la propriété P, $f_i(\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_n})$ a la propriété P.**

**Théorème 8 :** Si $a_1, \dots, a_n$ ont la propriété P, et si les fonctions $f_1, \dots, f_s$ conservent cette propriété, alors tous les éléments de M ont la propriété P.

rreuve : $M = \bigcup_{P \in N^*} M$. Les éléments de $M_1$ ont la propriété P.

Supposons que les éléments de $M_1$ pour $i < p$ ont la propriété P.

Alors les éléments de $M_1$ l'ont aussi parce que $M_1$ s'obtient en appliquant les opérations $f_1, \dots, f_s$ aux éléments de :

$\bigcup_{i=1}^p M_i$, éléments qui ont la propriété P. Donc, quel que soit $p$ de N, les éléments de $M_1$ ont la propriété P.

Donc tous les éléments de M l'ont.

**Conséquence 1 :** Soit la propriété P : "x peut être représenté sous la forme $F(x)$".

Si $a_1, \dots, a_n$ peuvent être représentés sous la forme $F(a_1), \dots$, respectivement $F(a_n)$, et si $f_1, \dots, f_s$ conservent la propriété P, alors tout élément $\alpha$ de M peut être représenté sous la forme $F(\alpha)$.

**Rem :** on peut trouver encore d'autres déf. équivalentes de M.
## 2 - APPLICATIONS, EXEMPLES.

Dans les applications, certaines notions générales comme : élément M-récursif, description M-récursive, ensemble fermé M-récursif seront remplacés par les attributs caractérisant l'ensemble M. Par exemple dans la théorie des fonctions récursives, on trouve des notions comme : fonctions primitives récursives, description primitive récursive, ensemble fermé primitivement récursif. Dans ce cas "M" a été remplacé par l'attribut "primitif" qui caractérise cette classe de fonctions, mais il peut être remplacé par les attributs "général", "partiel".

En particularisant les règles 1º et 2º de la déf.1, on obtient plusieurs ensembles intéressants :

**Exemple 1** : (voir [2] , pages 120-122, problème 7.97).

**Exemple 2** : L'ensemble des termes d'une suite définie par une relation de récurrence constitue un ensemble récursif.

Soit la suite : $a_{n+k} = f(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+k-1})$, pour tout n de $N^*$, avec $a_i = a_i^0, 1 \le i \le k$. On va construire récursivement l'ensemble $A = \{a_m\}_{m \in N^*}$ et on va définir en même temps la position d'un élément dans l'ensemble $A$ :

1º) $a_1^0, \dots, a_k^0$ appartiennent à $A$, et chaque $a_i^0$ ($1 \le i \le k$) occupe la position i dans l'ensemble $A$;

2º) si $a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+k-1}$ appartiennent à $A$, et chaque $a_j$, pour $n \le j \le n+k-1$, occupe la position j dans l'ensemble $A$, alors $f(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+k-1})$ appartient à $A$ et occupe la position $n+k$ dans l'ensemble $A$.

3º) chaque élément de $B$ s'obtient en appliquant un nombre fini de fois les règles 1º ou 2º.

**Exemple 3** : Soit $G = \{e, a^1, a^2, \dots, a^p\}$ un groupe cyclique engendré par l'élément $a$. Alors $(G, \cdot)$ peut être défini récursivement de la façon suivante :

1º) $a$ appartient à $G$.

2º) si $b$ et $c$ appartiennent à $G$ alors $b \cdot c$ appartiennent à $G$.

3º) chaque élément de $G$ est obtenu en appliquant un nombre fini de fois les règles 1 ou 2.

**Exemple 4** : Chaque ensemble fini $ML = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ peut être défini récursivement (avec $ML \subseteq T$) :

1º) Les éléments $x_1, \dots, x_n$ de $T$ appartiennent à $ML$.

2º) Si $a$ appartient à $ML$, alors $f(a)$ appartient à $ML$, où $f: T \to T$ telle que $f(x) = x$;

3º) Chaque élément de $ML$ est obtenu en appliquant un nombre fini de fois les règles 1º ou 2º.

**Exemple 5** : Soit $L$ un espace vectoriel sur le corps commutatif $K$ et $\{x_1, \dots, x_m\}$ une base de $L$. Alors $L$ peut être défini récursivement de la façon suivante :
1) $x_1, \dots, x_m$ appartiennent à L ;

2) si $x, y$ appartiennent à L et si $a$ appartient à K, alors $x \perp y$ appartient à L et $ax$ appartient à L.

3) chaque élément de L est obtenu récursivement en appliquant un nombre fini de fois les règles 1° ou 2°.

(Les lois $\perp$ et $ax$ sont respectivement les lois interne et externe de l'espace vectoriel L).

**Exemple 6** : Soient X un A-module, et $M \subset X$ ($M \neq \emptyset$), avec $M = \{x_i\}_{i \in I}$. Le sous-module engendré par M est :

$$ \langle M \rangle = \{ x \in X / x = a_1 x_1 + \dots + a_n x_n , a_i \in A, x_i \in M, i \in \{1, \dots, n\} \} $$

peut être défini récursivement de la façon suivante :

1) pour tout $i$ de $\{1, 2, \dots, n\}$, $x_i \in \langle M \rangle$ ;

2) si $x$ et $y$ appartiennent à $\langle M \rangle$ et $a$ appartient à $A$, alors $x + y$ appartient à $\langle M \rangle$, et $ax$ aussi ;

3) chaque élément de $\langle M \rangle$ est obtenu en appliquant un nombre fini de fois les règles 1° ou 2°.
En accord avec le paragraphe 1 de cet article, $\langle M \rangle$ est le plus petit sous-ensemble de X vérifiant les conditions 1° et 2°, c'est-à-dire que $\langle M \rangle$ est le plus petit sous-module de X incluant M. $\langle M \rangle$ est aussi l'intersection de tous les sous-ensembles de X vérifiant les conditions 1° et 2°, c'est-à-dire que $\langle M \rangle$ est l'intersection de tous les sous-modules de X qui contiennent M. On retrouve ainsi directement quelques résultats classiques d'algèbre.

On peut aussi parler de sous-groupes ou d'idéal engendré par un ensemble : on obtient ainsi quelques applications importantes en algèbre.

**Exemple 7** : On obtient aussi comme application la théorie des langages formels, parce que, comme on le sait, chaque langage régulier (linéaire à droite) est un ensemble régulier et réciproquement.

Mais un ensemble régulier sur un alphabet $\Sigma = \{a_1, \dots, a_n\}$ peut être défini récursivement de la façon suivante :

1) $\emptyset, \{\epsilon\}, \{a_1\}, \dots, \{a_n\}$ appartiennent à R.

2) si $P$ et $Q$ appartiennent à $R$, alors $P \cup Q$, $PQ$, et $P^\times$ app. à $R$, avec $P \cup Q = \{x/x \in P \text{ ou } x \in Q\}$ ; $PQ = \{xy/x \in P \text{ et } y \in Q\}$, et

$$ P^{\times} = \bigcup_{n=0}^{\infty} P^n \quad \text{avec } P^n = \underbrace{P \cdot \dots \cdot P}_{n \text{ fois}} \quad \text{et, par convention, } P^0 = \{\epsilon\}. $$

3) Rien d'autre n'appartient à $R$ que ce qui est obtenu à l'aide de 1° ou de 2°.

D'où plusieurs propriétés de cette classe de langages avec applications aux langages de programmation.

Bibliographie:

[1] C.P.Popovici, L.Livovschi, H.Georgescu, N.Tăndăreanu - "Curs de bazele informaticii (funcții booleene și circuite combinaționale)" , Tipografia Universității din Bucarest, 1976.

[2] F.Smarandache - "Problèmes avec et sans... problèmes !" - Somi-press, Fès (Maroc), 1983.
## SUR QUELQUES PROGRESSIONS

Dans cet article on construit des ensembles qui ont la propriété suivante : quel que soit leur partage en deux sous-ensembles, au moins l'un de ces sous-ensembles contient au moins trois éléments en progression arithmétique (ou bien géométrique).

**Lemme 1** : L'ensemble des nombres naturels ne peut pas être partagé en deux sous-ensembles ne contenant ni l'un ni l'autre 3 nombres en progression arithmétique.

Supposons le contraire, et soient $M_1$ et $M_2$ les deux sous-ensembles. Soit $k \in M_1$.

a) Si $k+1 \in M_1$, alors $k-1$ et $k+2$ sont dans $M_2$, sinon on pourrait construire une progression arithmétique dans $M_1$. Pour la même raison, puisque $k-1$ et $k+2$ sont dans $M_2$, alors $k-4$ et $k+5$ sont dans $M_1$. Donc :

$k+1$ et $k+5$ sont dans $M_1$ donc $k+3$ est dans $M_2$;

$k-4$ et $k$ sont dans $M_1$ donc $k+4$ est dans $M_2$;

on a obtenu que $M_2$ contient $k+2$, $k+3$ et $k+4$, ce qui est contraire à l'hypothèse.

b) si $k+1 \in M_1$ alors $k+1 \in M_2$. Analysons l'élément $k-1$.

Si $k-1 \in M_1$, on est dans le cas (a) où deux éléments consécutifs appartiennent au même ensemble.

Si $k-1 \in M_2$. Alors, puisque $k-1$ et $k+1$ sont dans $M_2$, il en résulte que $k-3$ et $k+3 \in M_2$, donc $\in M_1$. Mais on obtient la progression arithmétique $k-3, k, k+3$ dans $M_1$, contradiction.

**Lemme 2** : Si on met à part un nombre fini de termes de l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble obtenu garde encore la propriété du lemme 1.

Dans le lemme 1, le choix de $k$ était arbitraire, et pour chaque $k$ on obtenait, au moins dans l'un des ensembles $M_1$ ou $M_2$, un triplet d'éléments en progression arithmétique : donc au moins un de ces deux ensembles contient une infinité de tels triplets.

Si on met à part un nombre fini de naturels, on met aussi à part un nombre fini de triplets en progression arithmétique.

Mais l'un au moins des deux ensembles $M_1$ ou $M_2$ conservera un nombre infini de triplets en progression arithmétique.

**Lemme 3** : Si $i_1, \dots, i_s$ sont des naturels en progression arithmétique, et si $a_1, a_2, \dots$ est une progression arithmétique (respectivement géométrique), alors $a_i, \dots, a_i$ est aussi une progression arithmétique (respectivement géométrique).
**Démonstration :** pour chaque $j$ on a : $2i_j = i_{j-1} + i_{j+1}$.

a) Si $a_1, a_2, \dots$ est une progression arithmétique de raison $r$ :
$$ 2a_j = 2 (a_1 + (i_j - 1)r) = (a_1 + (i_{j-1} - 1)r) + (a_1 + (i_{j+1} - 1)r) $$
$$ = a_1 + \dots + a_{j-1} + a_{j+1} $$

b) Si $a_1, a_2, \dots$ est une progression géométrique de raison $r$ :
$$ (a_i)^2 = (a \cdot r^{i_j})^2 = a^2 \cdot r^{2i_j - 2} = (a \cdot r^{i_{j-1} - 1}) \cdot (a \cdot r^{i_{j+1} - 1}) $$
$$ = a_i \cdot a_{j-1} \cdot a_{j+1} $$

**Théorème 1 :** N'importe la manière dont on partage l'ensemble des termes d'une progression arithmétique (respectivement géométrique) en 2 sous-ensembles : dans l'un au moins de ces sous-ensembles il y aura au moins 3 termes en progression arithmétique (respectivement géométrique).

**Démonstration :** D'après le lemme 3, il suffit d'étudier le partage de l'ensemble des indices des termes de la progression en 2 sous-ensembles, et d'analyser l'existence (ou non) d'au moins 3 indices en progression arithmétique dans l'un de ces sous-ensembles.

Mais l'ensemble des indices des termes de la progression est l'ensemble des nombres naturels, et on a démontré au lemme 1 qu'il ne peut pas être partagé en 2 sous-ensembles sans qu'il y ait au moins 3 nombres en progression arithmétique dans l'un de ces sous-ensembles : le théorème est démontré.

**Théorème 2 :** Un ensemble $M$ qui contient une progression arithmétique (respectivement géométrique) infinie, non constante, conserve la propriété du théorème 1.

En effet, cela découle directement du fait que tout partage de $M$ implique le partage des termes de la progression.

**Application :** quelle que soit la façon dont on partage l'ensemble $A = \{1^m, 2^m, 3^m, \dots\}$ ($m \in \mathbb{N}$) en 2 sous-ensembles, au moins l'un de ces sous-ensembles contient 3 termes en progression géométrique.

(Généralisation du problème 0:255 de la "Gazeta Matematica", Bucarest, n°10/1981, p.400).

La solution résulte naturellement du théorème 2, si on remarque que $A$ contient la progression géom. $a = (2^m)^n$, $(n \in \mathbb{N}^*)$.

De plus on peut démontrer que dans l'un au moins des sous-ensembles il y a une infinité de triplets en progression géométrique, parce que $A$ contient une infinité de progressions géométriques différentes :

$$ a_n^{(p)} = (p^m)^n \quad \text{avec p premier et n \in \mathbb{N}^*}, \text{ auxquelles on peut appliquer les théorèmes 1 et 2.} $$
SUR LA RESOLUTION DANS L'ENSEMBLE DES NATURELS
DES EQUATIONS LINEAIRES

L'utilité de cet article est qu'il établit si le nombre des solutions naturelles d'une équation linéaire est limité ou non. On expose aussi une méthode de résolution en nombres entiers de l'équation ax - by = c (qui représente une généralisation des lemmes 1 et 2 de [4]), un exemple de résolution d'équation à 3 inconnues, et quelques considérations sur la résolution en nombres entiers naturels des équations à n inconnues.

Soit l'équation :

$$
(1) \sum_{i=1}^{n} a_i x_i = b \quad \text{avec tous les } a_i, b \text{ dans } \mathbb{Z}, a_i \neq 0, \text{ et} \\
\phantom{(1) \sum_{i=1}^{n} } (a_1, \dots, a_n) = d. \quad i
$$

**Lemme 1** : L'équation (1) admet au moins une solution dans l'ensemble des entiers, si d divise b.

Ce résultat est classique.

Dans (1), on ne nuit pas à la généralité en preant $(a_1, \dots, a_n) = 1$, parce que dans le cas où $d \neq 1$ on divise l'équation par ce nombre ; si la division n'est pas entière, alors l'équation n'admet pas de solutions naturelles.

Il est évident que chaque équation linéaire homogène admet des solutions dans $N$ : au moins la solution banale !

PROPRIETES SUR LE NOMBRE DE SOLUTIONS NATURELLES D'UNE
EQUATION LINEAIRE GENERALE.

On va introduire la notion suivante :

**Déf. 1** : L'équation (1) a des variations de signe s'il y a au moins deux coefficients $a_i, a_j$ avec $1 < i, j < n$, tels que $a_i \cdot a_j < 0$.

**Lemme 2** : Une équation (1) qui a des variations de signe admet une infinité de solutions naturelles (généralisation du lemme 1 de [4]).

Preuve : De l'hypothèse du lemme résulte que l'équation a h termes positifs non nuls, $1 < h < n$, et k = n-h termes négatifs non nuls. On a $1 \le k \le n$. On suppose que les h premiers termes sont positifs et les k suivants négatifs.
On peut alors écrire :

$$
\sum_{t=1}^{h} a_t x_t - \sum_{j=h+1}^{n} a_j' x_j = b \quad \text{où } a_j' = -a_j \ge 0.
$$

$$
\text{Soit } 0 < M = [a_1, \dots, a_n] \text{ et } c_i = |M/a_i|, \ i \in \{1, 2, \dots, n\}.
$$

Soit aussi $0 < P = [h, k]$, et $h_1 = P/h$ et $k_1 = P/k$.

$$
\text{Prenant } \begin{cases} x_t = h_1 c_t \cdot z + \frac{x_0}{t}, & 1 < t < h, \\ x_j = k_1 c_j \cdot z + \frac{x_0}{j}, & h+1 < j < n, \end{cases}
$$

$$
\text{où } z \in N, z \ge \max_{t,j} \left\{ \left[ \frac{-x_0}{h_1 c_t} \right], \left[ \frac{x_0}{k_1 c_j} \right] \right\} + 1,
$$
et $x_i^o$, i $\in$ $\{1,2,...,n\}$ une solution particulière entière (qui existe d'après le lemme 1), on obtient une infinité de solutions dans l'ensemble des naturels pour l'équation (1).

**Lemme 3** : a) Une équation (1) qui n'a pas de variation de signe a au maximum un nombre limité de solutions naturelles.

b) Dans ce cas, pour b $\neq$ 0, constant, l'équation a le nombre maximum de solutions si et seulement si $a_i = 1$ pour i $\in$ $\{1,2,...,n\}$.
Preuve (voir aussi [6]).

a) On considère tous les $a_i > 0$ (dans le cas contraire, multiplier l'équation par -1)$^i$.

Si b < 0, il est évident que l'équation n'a aucune solution (dans N).

Si b = 0, l'équation admet seulement la solution banale.

Si b > 0, alors chaque inconnue $x_i$ prend des valeurs entières positives comprises entre 0 et $b/a_i = d_i$ (fini), et pas nécessairement toutes ces valeurs. Donc le nombre maximum de solutions est inférieur ou égal à :

$$ \prod_{i=1}^{n} (1+d_i) \text{ qui est fini.} $$

b) Pour b $\neq$ 0, constant, $\prod_{i=1}^{n} (1+d_i)$ est maximum ssi les $d_i$

sont maximums, car ssi $a_i=1$ pour tout i de $\{1,2,...,n\}$.

**Théorème 1** : L'équation (1) admet une infinité de solutions naturelles si et seulement si elle n'est des variations de signe.

Ceci résulte naturellement de ce qui précède.

**Méthode de résolution.**

**Théorème 2** : Soit l'équation à coefficients entiers ax - by = c, où a et b > 0 et (a,b) = 1. Alors la solution générale en nombres naturels de cette équation est :

$$ \begin{cases} x = bk + x_0 \\ y = ak + y_0 \end{cases} \text{ où } (x_0,y_0) \text{ est une solution particulière entière de l'équation,} \\ \text{et } k \ge \max \{ \lfloor -x_0/b \rfloor, \lfloor -y_0/a \rfloor \} + 1 \text{ est un paramètre entier (généralisation du lemme 2 de [4]).} $$

Preuve. Il résulte de [1] que la solution générale entière de l'équation est $\begin{cases} x = bk + x_0 \\ y = ak + y_0 \end{cases}$ où $(x_0,y_0)$ est une solution particulière entière de l'équation et k $\in$ Z. Puisque x et y sont des entiers naturels, il nous faut imposer des conditions à k, d'où la suite du théorème.

**SYSTEMATISONS !** Pour résoudre dans l'ensemble des naturels une équation linéaire à n inconnues on utilise les résultats antérieurs de la façon suivante :

a) Si l'équation n'a pas de variation de signe, comme elle n'a un nombre limité de solutions naturelles, la résolution est faite par épreuves (voir aussi [6]).

b) Si elle n'est des variations de signe et que b divisible par d, alors elle admet une infinité de solutions naturelles. On détermine
d'abord sa solution générale entière (voir [2], [5]):

$$x_i = \sum_{j=1}^{n-1} \alpha_{ij} k_j^k + \beta_i, \quad 1 < i < n, \text{ où tous les } \alpha_{ij}, \beta_i \in \mathbb{Z}$$
et les $k_j$ sont des paramètres entiers.

En appliquant la restriction $x_i \ge 0$ pour tout $i$ de $\{1, 2, \dots, n\}$, on détermine les conditions qui doivent être réalisées par les paramètres entiers $k_j$ pour tout $j$ de $\{1, 2, \dots, n-1\}$. (c)

Le cas $n=2$ et $n=3$ peut être traité par cette méthode, mais quand $n$ augmente, les conditions (c) deviennent de plus en plus difficiles à trouver.

**Exemple 1** : Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'équation $3x - 7y + 2z = -18$.

Sol. : dans $\mathbb{Z}$ on obtient la solution générale entière :

$$\begin{cases} x = k_1 \\ y = k_1 + 2 k_2 \\ z = 2 k_1 + 7 k_2 - 9 \end{cases} \quad \text{avec } k_1 \text{ et } k_2 \text{ dans } \mathbb{Z}.$$

Les conditions (c) résultent des inégalités $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$. Il en résulte $k_1 \ge 0$, et aussi $k_2 \ge [-k_1/2] + 1$ et $k_2 \ge [(9-2k_1)/7] + 1$, c'est-à-dire $k_2 \ge [(2-2k_1)/7] + 2$.

Avec ces conditions sur $k_1$ et $k_2$, on a la solution générale en nombres naturels de l'équation.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

## BIBLIOGRAPHIE :

[1] Creangă I., Cazacu C., Mihut P., Opaită Gh., Reisher, Corina - "Introducere in teoria numerelor ", Editura didactică și pedagogică, Bucarest, 1965.

[2] Ion D., Ion, Niță C. - "Elemente de aritmetică cu aplicatii in tehnici de calcul", Editura tehnică, Bucarest, 1978.

[3] Popovici C.P. - "Logica și teoria numerelor", Editura didactică și pedagogică, Bucarest, 1970.

[4] Andrica, Dorin și Andreescu, Titu - "Existența unei soluții de bază pentru ecuarea ax² - by² = 1", Gazeta Matematică, n° 2/1981.

[5] Smarandache, Florentin Gh. - "Un algorithme de résolution ds l'ensemble des nombres entiers des équations linéaires", A-nalele Universității din Craiova, 1981.

[6] Smarandache, Florentin Gh. - Problema E : 6919, G.M 7/1980.
SUR LA RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS DU SECOND DEGRE
A DEUX INCONSUES DANS Z

**Propriété 1** : L'équation $x^2-y^2 = c$ admet des solutions entières si et seulement si c appartient à 4Z ou est impair.

Preuve : l'équation $(x-y)(x+y) = c$ admet des solutions dans Z ssi il existe $c_1$ et $c_2$ de Z tels que $x-y = c_1$, $x+y = c_2$, et

$$c_1c_2 = c \text{. D'où } x = \frac{c_1+c_2}{2} \text{ et } y = \frac{c_2-c_1}{2} \text{. Mais x et y sont des entiers ssi } c_1+c_2 \in 2\mathbb{Z} \text{, } c_2-c_1 \in 2\mathbb{Z} \text{, c'est-à-dire :}$$

1) ou bien $c_1$ et $c_2$ sont impairs, d'où c impair (et réciproquement).

2) ou bien $c_1$ et $c_2$ sont pairs, d'où $c \in 4\mathbb{Z}$. Réciproquement, si $c \in 4\mathbb{Z}$, alors on peut décomposer c en deux facteurs $c_1$ et $c_2$ pairs, et tels que $c_1c_2 = c$.

**Remarque 1** :

La propriété 1 est vraie aussi pour la résolution dans $\mathbb{N}$, puisqu'on peut supposer $c \ge 0$ (dans le cas contraire, on multiplie l'équation par (-1)), et on prend $c_2 \ge c_1 \ge 0$, d'où $x \ge 0$ et $y \ge 0$.

**Propriété 2** : L'équation $x^2 - dy^2 = c$ ($où d$ n'est pas un carré par-fait), admet une infinité de solutions dans $\mathbb{N}$.

Preuve : soient $x = ck_1$, $k_1 \in \mathbb{N}$ et $y = ck_2$, $k_2 \in \mathbb{N}$, $c \in \mathbb{N}$.

Il en résulte que $k_1^2 - dk_2^2 = 1$, où l'on reconnaît l'équation de Pell-Fermat, qui admet une infinité de solutions dans $\mathbb{N}$, $(u_n, v_n)$. Alors $x = cu_n$ et $y = cv_n$ constituent une infinité de solutions naturelles de notre équation.

**Propriété 3** : L'équation $ax^2-by^2 = c$ ($a \ne 0$), où $ab = k^2$ ($k \in \mathbb{Z}$), admet un nombre fini de solutions naturelles.

Preuve : on peut considérer a,b,c comme des nombres positifs : dans le cas contraire, on multiplie éventuellement l'équation par (-1) et on change le nom des variables. Multiplions l'équation par a, on aura :

$$z^2-t^2 = d \text{ avec } z = ax \in \mathbb{N}, t = ky \in \mathbb{N} \text{ et } d = ac > 0. \quad (1)$$

On résout comme dans la propriété 1, ce qui donne z et t. Mais dans (1) on a un nombre fini de solutions naturelles, parce qu'il existe un nombre fini de diviseurs entiers pour un nombre de $\mathbb{N}^x$. Comme les couples $(z,t)$ sont en nombre limité, bien sûr les couples $(z/a,t/k)$ aussi, ainsi que les couples $(x,y)$.
**Propriété 4** : Si $ax^2-by^2 = 0$, où $ab \neq k^2$ ($k \in \mathbb{Z}$), admet une solution particulière non triviale dans $N$, alors elle admet une infinité de solutions dans $N$.

$$ \text{Preuve : on pose :} \qquad (2) \begin{cases} x_n = x_0 u_n + by_0 v_n \\ y_n = y_0 u_n + ax_0 v_n \end{cases} \qquad (n \in \mathbb{N}) $$

où $(x_0, y_0)$ est la solution particulière naturelle pour l'équation initiale, et $(u_n, v_n)$ est la solution générale naturelle pour l'équation : $u_n^2 - abv_n = 1$, nommée la résolution Pell, qui admet une infinité de solutions.

$$ \text{Alors } ax_n^2-by_n^2 = (ax_0^2-by_0^2)(u_n^2-abv_n^2) = 0. $$

Donc (2) vérifie l'équation initiale.
# CONVERGENCE D'UNE FAMILLE DE SERIES

Dans cet article, on construit une famille d'expressions $\mathcal{E}(n)$.

Pour chaque élément $E(n)$ de $\mathcal{E}(n)$, la convergence de la série $\sum_{n=n_E}^{\infty} E(n)$ pourra être décidée d'après les théorèmes de l'article. L'article donne aussi des applications.

## (1) Préliminaire.

Pour rendre l'expression plus aisée, nous utiliserons les fonctions récursives. Quelques notations et notions seront introduites pour simplifier et réduire la matière de cet article.

## (2) Définitions et lemmes.

Nous construisons récursivement une famille d'expressions $\mathcal{E}(n)$.

Pour chaque expression $E(n) \in \mathcal{E}(n)$, le degré de l'expression est défini récursivement et noté $d^o E(n)$, et son coefficient dominant est noté $c(E(n))$.

1. Si $a$ est une constante réelle, alors $a \in \mathcal{E}(n)$. d'où $a = 0$ et $c(a) = a$.

2. L'entier positif $n \in \mathcal{E}(n)$. d'où $n = 1$ et $c(n) = 1$.

3. Si $E_1(n)$ et $E_2(n)$ appartiennent à $\mathcal{E}(n)$, avec $d^o E_1(n) = r_1$ et $d^o E_2(n) = r_2$, $c(E_1(n)) = a_1$ et $c(E_2(n)) = a_2$, alors :

a) $E_1(n)E_2(n) \in \mathcal{E}(n)$ ; $d^o(E_1(n)E_2(n)) = r_1+r_2$ ; $c(E_1(n)E_2(n))$ vaut $a_1 a_2$.

b) si $E_2(n) \neq 0$ $\forall n \in N (n \ge n_E)$, alors $\frac{E_1(n)}{E_2(n)} \in \mathcal{E}(n)$ et $d^o \left( \frac{E_1(n)}{E_2(n)} \right) = r_1 - r_2$, $c \left( \frac{E_1(n^2)}{E_2(n)} \right) = \frac{a_1}{a_2}$.

c) Si : $\alpha$ est un réel constant et si l'opération utilisée a un sens $(E_1(n))^{\alpha}$ (pr. $\lim_{n \to \infty} n \in N$, $n \ge n_E$), alors $(E_1(n))^{\alpha} \in \mathcal{E}(n)$, $d^o((E_1(n))^{\alpha}) = r_1^{\alpha}$, $c((E_1(n))^{\alpha}) = a_1^{\alpha}$.

d) Si $r_1 \neq r_2$, alors $E_1(n)^{\alpha} E_2(n) \in \mathcal{E}(n)$, $d^o(E_1(n)^{\alpha} E_2(n))$ est le max de $r_1$ et $r_2$, et $c(E_1(n)^{\alpha} E_2(n)) = a_1^{\alpha}$, respectivement $a_2^{\alpha}$, suivant que le degré est $r_1$ ou $r_2$.

e) si $r_1 = r_2$ et $a_1+a_2 \neq 0$, alors $E_1(n)+E_2(n) \in \mathcal{E}(n)$, $d^o(E_1(n)+E_2(n)) = r_1$ et $c(E_1(n)+E_2(n)) = a_1+a_2$.

f) Si $r_1 = r_2$ et $a_1-a_2 \neq 0$, alors $E_1(n)-E_2(n) \in \mathcal{E}(n)$, $d^o(E_1(n)-E_2(n)) = r_1$ et $c(E_1(n)-E_2(n)) = a_1-a_2$.
4. Toute expression obtenue par application un nombre fini de fois du pas 3 appartient à $\mathcal{E}(n)$.

**Note 1.** De la définition de $\mathcal{E}(n)$ il résulte que, si $E(n) \in \mathcal{E}(n)$, alors $c(E(n)) \neq 0$ et que $c(E(n)) = 0$ si et seulement si $E(n) \neq 0$.

**Lemme 1.** Si $E(n) \in \mathcal{E}(n)$ et $c(E(n)) > 0$, alors il existe $n' \in \mathbb{N}$, tel que pour tout $n > n'$, $E(n) > 0$.

Preuve : soit $c(E(n)) = a_1 > 0$ et $d^0(E(n)) = r$.

Si $r > 0$, alors $\limite_{n \to \infty} E(n) = \limite_{n \to \infty} n^{r} \frac{E(n)}{n^r} =$
$= \limite_{n \to \infty} a_1 n^r = +\infty$, donc il existe $n' \in \mathbb{N}$ tel que, qqst $n \geq n'$
on ait $E(n) > 0$.
Si $r < 0$, alors $\limite_{n \to \infty} \frac{1}{E(n)} = \limite_{n \to \infty} \frac{n^{-r}}{E(n)} = \frac{1}{a_1} \limite_{n \to \infty} n^{-r} = +\infty$

donc il existe $n' \in \mathbb{N}$, tel que pour tout $n \ge n'$, $\frac{1}{E(n)} > 0$, ou encore $E(n) > 0$.

Si $r = 0$, alors ou bien $E(n)$ est une constante réelle positive,
ou bien $\frac{E_1(n)}{E_2(n)} = E(n)$, avec $d^0 E_1(n) = d^0 E(n) = r \neq 0$, et
d'après ce que nous venons de voir, $c(\frac{E_1(n)^2}{E_2(n)}) = \frac{c(E_1(n))}{c(E_2(n))} =$
$= c(E(n)) > 0$. Alors :

× ou bien $c(E_1(n)) > 0$ et $c(E_2(n)) > 0$ : il en résulte
il existe $n_{E1} \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}$ et $n \ge n_{E1}$, $E_1(n) > 0$
il existe $n_{E2} \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}$ et $n \ge n_{E2}$, $E_2(n) > 0$
$\left. \begin{array}{l} E_1(n) \\ E_2(n) \end{array} \right\} \Rightarrow$
il existe $n_E = \max(n_{E1}, n_{E2}) \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, n \ge n_E, E(n) = \frac{E_1(n)}{E_2(n)} > 0$.

× ou bien $c(E_1(n)) < 0$ et $c(E_2(n)) < 0$ et alors :
$$ E(n) = \frac{E_1(n)}{E_2(n)} = \frac{-E_1(n)}{-E_2(n)}, \text{ ce qui nous ranène au cas précédent.} $$

**Lemme 2.** Si $E(n) \in \mathcal{E}(n)$ et $c(E(n)) < 0$, alors il existe $n' \in \mathbb{N}$, tel que $c(E(n)) < 0$.

Preuve : l'expression $-E(n)$ a la propriété que $c(-E(n)) > 0$,
d'après la définition récursive. D'après le lemme 1 :
il existe $n' \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, n \ge n'$, $-E(n') > 0$, c'est-à-dire
$+E(n) < 0$, cqfd.

**Note 2.** Pour prouver le théorème suivant, nous supposons connu le critère de convergence des séries et certaines propriétés de ces dernières.

### (3) Théorème de convergence et applications.

**Théorème :** soit $E(n) \in \mathcal{E}(n)$ avec $d^0 E(n) = r$ et soit les séries $\sum E(n)$, $E(n) \neq 0$. Alors :
A) si $r < -1$ la série est absolument convergente.

B) si $r > -1$ elle est divergente où $E(n)$ a un sens $\nexists$ $n \ge n_E$, $n \in \mathbb{N}$.
Preuve : d'après les lemmes 1 et 2, et parce que :

la série $\sum_{n \ge n_E} E(n)$ converge (=$\Rightarrow$) la série $-\sum_{n \ge n_E} E(n)$ converge, nous pouvons considérer la série $\sum_{n \ge n_E} E(n)$ comme une série à termes positifs. Nous allons prouver que la série $\sum_{n \ge n_E} E(n)$ a la même nature que la série $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^r}$. Appliquons le second critère de comparaison :

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{E(n)}{\frac{1}{n^r}} = \lim_{n \to \infty} \frac{E(n)}{r} = c(E(n)) \neq \pm\infty. $$ D'après la note 1 si $E(n) \neq 0$ alors $c(E(n)) \neq 0$ et donc la série $\sum_{n \ge n_E} E(n)$ a la même nature que la série $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^r}$, c'est-à-dire :

A) si $r < -1$, alors la série est convergente ;

B) si $r > -1$, alors la série est divergente.

Pour $r < -1$, la série est absolument convergente car c'est une série à termes positifs.

**Applications** : On peut en trouver beaucoup. En voici quelques-unes intéressantes :

Si $P_q(n)$, $R_s(n)$ sont des polynômes en $n$ de degré $q, s$, et que

$P_q(n)$ et $R_s(n)$ appartiennent à $\mathcal{E}(n)$ :

$$ 1^\circ \sum_{n \ge n_{PR}} \frac{k \sqrt{P_q(n)}}{\sqrt{R_s(n)}} \text{ est } \begin{cases} \text{convergent, si } s/h - q/k > 1 \\ \text{divergent, si } s/h - q/k < 1 \end{cases}. $$

$$ 2^\circ \sum_{n \ge n_R} \frac{1}{R_s(n)} \text{ est } \begin{cases} \text{convergent, si } s > 1 \\ \text{divergent, si } s < 1 \end{cases}. $$

**Exemple** : la série $\sum_{n \ge 2} \frac{2\sqrt{n+1} - 3\sqrt{n}-7}{\sqrt[5]{n^2} - 17}$ est divergente parce que

$\frac{2}{5} - (1/2 + 1/3) < 1$, et si on appelle $E(n)$ chaque quotient de cette série, $E(n)$ appartient à $\mathcal{E}(n)$ et a un sens pour $n \gg 2$.
DES FANTAISIES MATHEMATIQUES

Trouvez une "logique" aux énoncés suivants :

(1) $4 - 5 \approx 5$ !

(2) 8 divisé par deux est égal à zéro !

(3) 10 moins 1 égale 0. !

(4) $2 \int f(x) dx = f(x)$ !

(5) $8 + 8 = 8$ !

Solutions :

Ces fantaisies mathématiques sont des divertissements, des problèmes amusants : elles font abstraction de la logique courante, mais elles ont quand même leur "logique", une logique fantaisiste : ainsi

(1) s'explique si l'on ne considère pas "4 - 5" comme l'écriture de "4 moins 5" mais comme celle de "de 4 à 5" ; d'où une lecture de l'énoncé "4-5 ≈ 5" : "entre 4 et 5, mais plus près de 5".

(2) 8 peut être divisé par deux... de la façon suivante : $\begin{array}{r} 8 \\ \times \\ \hline\end{array}$, c'est-à-dire qu'il sera coupé en deux parties égales, qui sont 6-gales à "0" au-dessus et au-dessous de la barre !

(3) "10 moins 1" peut s'entendre comme : les deux caractères typographiques 1,0 moins le 1, ce qui justifie qu'il reste le caractère 0.

(4) Le signe $\Sigma$ sera considéré comme la fonction inverse de l'intégrale.

(5) L'opération $"\infty+\infty=\infty"$ est vraie : on va l'écritre verticalement :
$$ \begin{array}{r} \infty \\ + \\ \hline \infty \\ = \\ \hline \infty \end{array} $$

ce qui, transposé horizontalement (par une rotation mécanique des signes graphiques), donnera bien l'énoncé : "8 + 8 = 8".
LA FREQUENCE DES LETTRES ( PAR GROUPES EGAUX )
DANS LES TEXTES JURIDIQUES ROUMAINS

Analysant le degré de détérioration des touches d'une machine à écrire qui a fonctionné plus de 40 ans au greffe d'un tribunal d'un district roumain (Vilcea), on les a réparties dans les groupes suivants :

1) Lettres complètement détériorées (on ne peut plus rien lire sur la touche).

2) Lettres dont on voit un seul point, à peine perceptible.

10) Lettres dont il manque un seul point.

11) Lettres qui se voient parfaitement, sans aucun manque.

12) Lettres qui, n'étant presque pas utilisées, étaient couvertes de poussière.

On a obtenu les résultats suivants :

1) E, A

7) O,C,U,D,Z

2) I

8) N

3) R

9) L

4) T

10) V,M

5) S

11) F,G,B,H,X,J,K

6) P

12) W,Q,Y

Cette classification est un peu différente de celle de [1] , parce que les lettres A, ˜A, ˜A sont ici cumulées en une seule lettre : ˜A, de même I et ˜I dans I, S et ˜S dans S, T et ˜T dans T.

En étudiant l'écart de ces textes (cf. [2]), on obtient :

$$ \mathcal{L}(j) = \frac{1}{23} \sum_{i=1}^{23} \left| \mathcal{L}(A_i) \right| \approx 2,348, $$

donc l'écart du langage juridique des fréquences courantes de la langue est beaucoup plus grand que celui du langage des mots croisés : $\mathcal{L}(g) \approx 1,391$ et $\mathcal{L}(d_p) \approx 1,185$.

Les sauts les plus spectaculaires sont réalisés par les lettres P, Z et N :

$$ \mathcal{L}(P) = 6, \quad \mathcal{L}(Z) = 7, \quad \mathcal{L}(N) = -8. $$

Cet article surprend peut-être par sa banalité. Mais, alors que les autres auteurs ont fait des mois de calculs à l'aide d'ordinateurs, choisissant certains livres et faisant copter les lettres (!) par l'ordinateur, moi j'ai déduit cette fréquence des lettres en quelques minutes (!), par une simple observation.

Bibliographie:

[1] Marcus, Salomon - "Poetica matematica", Editura Academiei, Bucarest, 1970 (traduit en allemand, Athens, Frankfurt, 1973).

[2] Smarandache, Florentin - "A mathematical linguistic approach to rebus", article publié dans la revue "revue roumaine de linguistique", Tome XXVIII, 1983, la collection "Cahiers de linguistique théorique et appliquée", Tome XX, 1983, n°1, p. 57-75, Bucarest.
HYPOTHESES SUR LA DETERMINATION D'UNE REGLE
POUR LES JEUX DE MOTS CROISES

Les problèmes de mots croisés sont composés, on le sait, de grilles et de définitions. Dans la langue roumaine on impose la condition que le pourcentage de cases noires par rapport au nombre total de cases de la grille ne dépasse pas 15 %.

Pourquoi 15 %, et pas plus ou moins ? C'est la question à laquelle cet article tente de répondre. (Cette question est dûe au Professeur Solomon MARCUS - symposium national de mathématiques "Traîn Lalesco", Université de Craiova, 10 juin 82.)

Voici tout d'abord un tableau qui présente de manière synthétique une statistique sur les grilles contenant un très faible pourcentage de cases noires (cf. [2], pages 27-29):

<table><caption>LES GRILLES-RECORDS:</caption><thead><tr><td>Dimension de la grille</td><td>Nombre minimum de cases noires enregistré</td><td>Pourcentage de cases noires</td><td>Nombre des grilles-records réalisés au 1 juin 82</td></tr></thead><tbody><tr><td>8 x 8</td><td>0</td><td>0,000 %</td><td>24</td></tr><tr><td>9 x 9</td><td>0</td><td>0,000 %</td><td>3</td></tr><tr><td>10 x 10</td><td>3</td><td>3,000 %</td><td>2</td></tr><tr><td>11 x 11</td><td>4</td><td>3,305 %</td><td>1</td></tr><tr><td>12 x 12</td><td>8</td><td>5,555 %</td><td>1</td></tr><tr><td>13 x 13</td><td>12</td><td>7,100 %</td><td>1</td></tr><tr><td>14 x 14</td><td>14</td><td>7,142 %</td><td>1</td></tr><tr><td>15 x 15</td><td>17</td><td>7,555 %</td><td>1</td></tr><tr><td>16 x 16</td><td>20</td><td>7,812 %</td><td>2</td></tr></tbody></table>

Dans ce tableau, plus la dimension est grande, plus le pourcentage de cases noires augmente, parce que le nombre de mots de grand longueur est réduit.

Les dimensions courantes des grilles vont de 10x10 à 15x15.

On peut remarquer que le nombre des grilles ayant un pourcentage de cases noires inférieur à 8 % est très réduit : les totaux de la dernière colonne cumulent toutes les grilles réalisées en Roumanie depuis 1925 (apparition des premiers problèmes de mots croisés en Roumanie), jusqu'à nos jours. On voit donc que le nombre des grilles-records est négligeable quand on le compare aux milliers de grilles créées. Pour cette raison, la règle qui imposait le pourcentage des cases noires, devait l'établir supérieur à 8 %.

Mais les mots croisés étant des jeux, devaient gagner un large public, il ne fallait donc pas rendre les problèmes trop difficiles. D'oh un pourcentage de cases noires au moins égal à 10 %.
Ils ne devaient pas non plus être trop faciles, c'est-à-dire ne nécessiter aucun effort de la part de celui qui les composerait, d'où un pourcentage de cases noires inférieur à 20 %. (Sinon en effet il devient possible de composer des grilles formées en totalité de cases mots de 2 ou 3 lettres).

Pour soutenir la deuxième assertion, on a établi que la longueur moyenne des mots d'une grille nxm avec p cases noires est sensiblement égale à $\frac{2(n.m - p)}{n + m + 2p}$ (cf. [3], §1, Prop.4).

Pour nous, p est 20 % de n.m, il en résulte que

$$ \frac{2(n.m - \frac{20}{100} n.m)}{n + m + 2 \cdot \frac{20}{100} n.m} \le 3 \quad (\Longleftarrow) \quad \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right) \ge \frac{2}{15} $$

Donc pour des grilles courantes ayant 20 % de cases noires, la longueur moyenne des mots serait inférieure à 3.

Même dans les commencements des jeux de mots croisés, le pourcentage de cases noires n'était pas trop grand : ainsi dans une grille de 1925 de 11x11, on compte 33 cases noires, soit un pourcentage de 27,272 % (cf. [2], p. 27).

En se développant, ce jeu s'est imposé des conditions "plus fortes" - c'est-à-dire une diminution des cases noires.

Pour choisir un pourcentage entre 10 et 20 %, il ne reste plus qu'à supposer que la prédilection des gens pour les chiffres ronds a joué (les mots croisés sont un jeu, pas besoin de la précision thématique des sciences). D'où la règle des 15 %.

Une statistique (cf. [3], § 2), montre que le pourcentage de cases noires dans les grilles actuelles est de environ 13,591 %. La règle est donc relativement aise à suivre et ne peut qu'attirer de nouveaux cruciverbistes.

Pour répondre complètement à la question posée, il faudrait considérer aussi certains aspects philosophiques, psychologiques, et surtout sociologiques, surtout ceux liés à l'histoire de ce jeu, à son développement ultérieur, aux traditions.

Bibliographie:

[1] Marcus Solomon, Edmond Nicolau, S.Stasi - "Introducere în lingvistice matematice", Bucarest, 1956 (traduit en italien, Pa-tron, Bologna, 1971 ; en espagnol, Teide, Barcelona, 1978).

[2] Andrei, Dr.N. - "Indreptar rebusist", Editura Sport-Turism, Bucarest, 1981.

[3] Smarandache, Florentin - "A mathematical linguistic approach to Rebus", publié dans la "Revue roumaine de linguistique", Tome XXVIII, 1983, collection "Chiers de linguistique théorique et appliquée", Tome XX, 1983, n°1, p.67-76, Bucarest.
# OU SE TROUVE LA FAUTE ?
(EQUATIONS DIOPHANTIENNES)

Enoncé :

(1) Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation : $14x + 26y = -20$.

"Résolution" : La solution générale entière est :

$$ \begin{cases} x = -26k + 6 \\ y = 14k - 4 \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

(2) Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation : $15x - 37y + 12z = 0$.

"Résolution" : La solution générale entière est :

$$ \begin{cases} x = k + 4 \\ y = 15k \\ z = 45k - 5 \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

(3) Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation : $3x - 6y + 5z - 10w = 0$.

"Résolution" : l'équation s'écrit :

$$ 3(x - 2y) + 5z - 10w = 0. $$

Puisque $x,y,z,w$ sont des variables entières, il en résulte que $3$ divise $z$ et que $3$ divise $w$. C'est-à-dire :

$$ z = 3 t_1 (t_1 \in \mathbb{Z}) \text{ et } w = 3 t_2 (t_2 \in \mathbb{Z}). $$

Donc : $3(x - 2y) + 3(5t_1 - 10t_2) = 0$ ou $x - 2y + 5t_1 - 10t_2 = 0$.

$$ \text{Alors : } \begin{cases} x = 2k_1 + 5k_2 - 10k_3 \\ y = k_1 \\ z = 3k_2 \\ w = 3k_3 \end{cases} \quad \text{avec } (k_1,k_2,k_3) \in \mathbb{Z}^3, $$

constitue la solution générale entière de l'équation.

Trouver la faute de chaque "résolution" ?

## SOLUTIONS.

(1) $x = -26k + 6$ et $y = 14k - 4$ ($k \in \mathbb{Z}$), est une solution entière pour l'équation (parce qu'elle la vérifie), mais elle n'est pas la solution générale : puisque $x = -7$ et $y = 3$ vérifient l'équation, ils en sont une solution entière particulière, mais :

$$ \begin{cases} -26k + 6 = -7 \\ 14k - 4 = 3 \end{cases} \quad \text{implique que } k = 1/2 \text{ (n'appartient pas à } \mathbb{Z}). $$

Donc on ne peut pas obtenir cette solution particulière de la "solution générale" antérieure.

$$ \text{La vraie solution générale est : } \begin{cases} x = -13k + 6 \\ y = 7k - 4 \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}). \quad (\text{of } [1]) $$

(2) De même, $x= 5$ et $y = 3$ et $z = 3$ est une solution particulière de l'équation, mais qui ne peut pas se tirer de la "solution générale" puisque :
$$ \begin{cases} k + 4 = 5 \\ 15k = 3 \\ 45k - 5 = 3 \end{cases} \quad \begin{aligned} & \Rightarrow k = -1 \\ & \Rightarrow k = 1/5 \\ & \Rightarrow k = 8/45 \end{aligned} $$
, contradictions.
$$
\text{La solution générale entière est : } \begin{cases} x = k_1 \\ y = 3 k_1 + 12 k_2 \\ z = 8 k_1 + 37 k_2 \end{cases} \quad \text{(avec } (k_1, k_2) \in \mathbb{Z}^2 \text{)} \\
\text{of. [1].}
$$

(3) L'erreur est que : "3 divise (5z - 10 w)" n'implique pas que "3 divise z et 3 divise w". Si on le croit on perd des solutions, ainsi (x,y,z,w) = (-5,0,5,1) constitue une solution entière par- ticulière qui ne peut pas s'obtenir à partir de la "solution" de l'énoncé.

La résolution correcte est :

$$
\text{3(x - 2y) + 5(z - 2w) = 0, c'est-à-dire } 3p_1 + 5p_2 = 0 \text{,}
$$
$$
\text{avec } p_1 = x - 2y \text{ dans } \mathbb{Z} \text{, et } p_2 = z - 2w \text{ dans } \mathbb{Z} \text{.}
$$

$$
\text{Il en résulte : } \left\{ \begin{array}{l} p_1 = -5k = x - 2y \\ p_2 = 3k = z - 2w \end{array} \right. \text{ avec } k \in \mathbb{Z}. \text{ et } y \text{ est la solution générale entière.}
$$

D'où l'on tire la solution générale entière :

$$
\begin{cases}
x = 2k_1 - 5k_2 \\
y = k_1 \\
z = 3k_2 + 2k_3 \\
w = k_3
\end{cases}
\quad \text{avec } (k_1, k_2, k_3) \in \mathbb{Z}^3.
$$

[1] On peut trouver ces solutions en utilisant :

Florentin SMARANDACHE -"Un algorithme de résolution dans l'ensemble des nombres entiers pour les équations linéaires".
OU SE TROUVE LA FAUTE SUR LES INTEGRALES ???

Soit la fonction $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, définie par $f(x) = 2 \sin x \cos x$.
Calculons la primitive de celle-ci :

(1) Première méthode :

$$ \int 2 \sin x \cos x \, dx = 2 \int u \, du = 2 \frac{u^2}{2} = u^2 = \sin^2 x, \text{ avec } u=\sin x. $$
On a donc $F_1(x) = \sin^2 x$.

(2) Deuxième méthode :

$$ \int 2 \sin x \cos x \, dx = -2 \int \cos(-\sin x) \, dx = -2 \int v \, dv = -v^2, $$
donc $F_2(x) = - \cos^2 x$.

(3) Troisième méthode :

$$ \begin{align*} \int 2 \sin x \cos x \, dx &= \int \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 2x) \cdot 2 \, dx \\ &= \frac{1}{2} \int \sin t \, dt = -\frac{1}{2} \cos t \quad \text{donc } F_3(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x. \end{align*} $$

On a ainsi obtenu 3 primitives différentes de la même fonction.
Comment est-ce possible ?

**Réponse** : Il n'y a aucune faute ! On sait qu'une fonction admet une infinité de primitives (si elle en admet une), qui ne diffèrent que par une constante.

Dans notre exemple on a :

$$ F_2(x) = F_1(x) - 1 \quad \text{pour tout réel } x, $$

$$ \text{et } F_3(x) = F_1(x) - \frac{1}{2} \quad \text{pour tout réel } x. $$
OU SE TROUVE LA FAUTE DANS CE RAISONNEMENT
L'AI RÉCURRENCE ???

A un concours d'entrée en faculté on a posé le problème suivant :

" Trouver les polynômes P(x) à coefficients réels tels que xP(x-1) = (x-3)P(x) , pour tout x réel. "

Quelques candidats ont cru pouvoir démontrer par récurrence que les polynômes de l'énoncé sont ceux qui vérifient la propriété suivante : P(x) = 0 pour tout entier naturel.

En effet, disent-ils, si on pose x= 0 dans cette relation, il en résulte que O.P(-1) = -3.P(0), donc P(0) = 0.

De même, avec x = 1, on a :

1.P(0) = -2.P(1) , donc P(1) = 0, etc...

On suppose que la propriété est vraie pour (n-1), cad que P(n-1) = 0, et on regarde ce qu'il en est pour n :

On a : n.P(n-1) = (n-3).P(n) , et puisque P(n-1) = 0 , il en résulte que P(n) = 0.

Où la démonstration pèche-t-elle ???

Réponse : Si les candidats avaient essayé le rang n = 3, ils su-
raient trouvé :

3.P(2) = 0. P(3) donc O = 0.P(3), ce qui n'entraîne pas que
P(3) est nul : on effectue cette égalité est vraie pour tout réel
P(3).

L'erreur se réduit donc de ce qui l'implication :

"(n-3).P(n) = n.P(n-1) = 0 = ⇒ P(n) = 0" n'est pas juste.

On peut trouver facilement que P(x) = x(x-1)(x-2)k, k ∈ R.
# PARADOXE MATHEMATIQUE ?

**Propriété** : Les axes radicals de n cercles d'un même plan, pris deux à deux, dont les centres ne sont pas alignés, sont concourants.

**"Démonstration"** par récurrence sur $n \ge 3$.

Pour le cas $n=3$ on sait que les 3 axes radicals sont concourants en un point qui s'appelle le centre radical. On suppose la propriété vraie pour les valeurs inférieures ou égales à un certain $n$.

Aux n cercles on ajoute le $(n+1)^{\text{e}}$ cercle.

On a (1) : les axes radicaux des n premiers cercles sont concourants en M.

Prenons 4 cercles quelconques, parmi lesquels figure le $(n+1)^{\text{e}}$.

Ceux-ci ont les axes radicals concourants, conformément à l'hypothèse de récurrence, et au point M (puisque les 3 premiers cercles, qui font partie des n cercles de l'hypothèse de récurrence, ont leurs axes radicals concourrant en M).

Donc les axes radicals des $(n+1)$ cercles sont concourants, ce qui montre que la propriété est vraie pour tout $n \ge 3$ de $\mathbb{N}$.

ET POURTANT, on peut construire le **Contre-exemple** suivant :

On considère le parallélogramme ABCD qui n'a aucun angle droit. Puis on construit 4 cercles de centres respectifs A, B, C et D, et de même rayon. Alors les axes radicals des cercles C(A) et C(B), respectivement C(C) et C(D), sont deux droites, médiatrices respectivement des segments AB et CD.

Comme (AB) et (CD) sont parallèles, et que le parallélogramme n'a aucun angle droit, il en résulte que les deux axes radicals sont parallèles ... c'est-à-dire qu'ils ne se coupent jamais.

Expliquer cette (apparente !) contradiction avec la propriété antrieure ?

**Réponse** : La "propriété" est vraie seulement pour $n = 3$. Or dans la demonstration proposée on utilise la prémisse (fausse) selon laquelle pour $n=4$ la propriété serait vraie. Pour achever la preuve par récurrence il faudrait pouvoir montrer que $P(3) \Rightarrow P(4)$, ce qui n'est pas possible puisque $P(3)$ est vraie mais que le contre-exemple prouve que $P(4)$ est fausse.
BIBLIOGRAPHIE

DU MÊME AUTEUR

LIVRES DE MATHEMATIQUES :

1) "Problèmes avec et sans... problèmes !", Somipress, Fès (Maroc), 1983.

2) "Généralisations et généralités", Fès (Maroc), 1984.

ARTICLES ET NOTES MATHEMATIQUES :

1) "Deducibility theorems in mathematics logic", dans la revue "Analele Universității Timișoara", seria șt. matematice, Vol. XVII, fasc. 2, p. 163-168, 1979. (x)

2) "A function in the numbers theory", in "An.Univ.Timișoara", seria șt. matematice, Vol.XVIII, fasc.1, p.79-88, 1980. Article recensé dans "M.R":83a:10008.

3) "Baze de soluții pentru congruențe liniare", in revue "Buletinul Universității din Brașov", seria C-Matematica, Vol.XXII, p.25-31, 1980. Republié dans la revue "Bulet.șt. și tehn. al Inst. Polit. "Traian Vuia" Timișoara", seria Matematica-Fizică, Tom.26(40), fasc.2, p. 13-16, 1981. Reçensé dans "M.R":83e:10024.

4) "O familie de serii convergente", in revue "Licăriri" (Craiova), nr.30/1980.

5) "Criterii ca un număr natural să fie prim", in revue "Gazeta Matematică", p.49-52, nr. 2/1981. Republié dans "Matematikai lapok" (Cluj-Napoca). Article recensé dans "M.R":83a:10007.

6) "Unde este greșeala ?", in revue "Gazeta Matematică", nr.7/1981. Republié dans "Matematikai Lapok" (Cluj-Napoca).

7) "O generalizare a teoremei lui Euler referitoare la congruențe", in revue "Bulet. Univ. Brașov", seria C-Matematica, Vol.XXIII, p.07-12, 1981.

8) "O generalizare a inegalității Cauchy-Buniakovsky-Schwarz", in revue "Gazeta Matematică", p.385, nr.9-10/1982. Republié dans "Matematikai Lapok" (Cluj-Napoca).

9) "A mathematical linguistic approach to Rebus", in "Revue roumaine de linguistique", Tome XXVIII, 1983, collection "Cahiers de linguistique théorique et appliquée", Tome XX, nr.1, p.67-75, 1983.

PROBLEES PROPOSES :

Publiés dans les revues : "Gazeta Matematică" (Bucarest), "R. H. T" (Timișoara), "Licăriri" (Craiova), "Matematikai Lapok" (Cluj-Napoca), "Știința și tehnica" (Bucarest), "Năzuințe" (Craiova), "Enigmistică" (Craiova), "Caiet 32" (Craiova).

<footnote>(x) Article recensé dans "Mathematical Reviews" (USA):82a:03012. Cette revue figure dans la suite sous l'abréviation "M.R".</footnote>