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# Quantification de la fissuration d'un contact soumis à des sollicitations complexes en fretting wear et fretting fatigue

Krzysztof Kubiak

► To cite this version:

Krzysztof Kubiak. Quantification de la fissuration d'un contact soumis à des sollicitations complexes en fretting wear et fretting fatigue. Sciences de l'ingénieur [physics]. Ecole Centrale de Lyon, 2006. Français. NNT: 2006ECDL0030. tel-04308780

HAL Id: tel-04308780

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Submitted on 27 Nov 2023

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Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
THESE

présentée devant

L'ECOLE CENTRALE DE LYON

pour obtenir le titre de DOCTEUR

spécialité : MATERIAUX

par

Krzysztof KUBIAK

Ingénieur, Maître ès Science Techniques de l'Université Polytechnique de LODZ

QUANTIFICATION DE LA FISSURATION
D'UN CONTACT SOUMIS A DES
SOLLICITATIONS COMPLEXES EN
FRETTING WEAR ET FRETTING FATIGUE

Soutenue le 19 octobre 2006 devant la commission d'examen

MM. Ky DANG VAN,

MM. Claude PRIOUL,

Mme Sylvie POMMIER

MM. Léo VINCENT

MM. Bogdan WENDLER

MM. Siegfried FOUVRY,

MM. Frédéric BUMBIELER

MM. François DEMILLY

Rapporteur

Rapporteur

Membre

Membre - Président

Membre

Directeur de thèse

Invité

Invité
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
<figure><img src="image_4.png" /></figure>
## Remerciements

Ce doctorat est le fruit d'un travail de trois ans, effectuée au sein de l'équipe Fretting Wear et Fretting Fatigue du Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes (LTDS) de l'Ecole Centrale de Lyon.

Tout d'abord, je remercie sincèrement M. Philippe KAPSA, directeur du LTDS, de m'avoir accueilli au sein de Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes.

Je remercie vivement M. Siegfried FOUVRY pour m'avoir accueilli dans son équipe de recherche et de m'avoir donné la possibilité de réaliser ce travail et de m'avoir encadré tout au long de cette thèse. Je le remercie également pour ses conseils et sa disponibilité ainsi que pour l'attention toute particulière qu'il a eu pour mon travail.

Je tiens à remercier chaleureusement Frédéric BUMBIELER, Francois DEMILLY, Jean-Jacques VIET et Anne-Marie MARECHAL pour toute l'aide qu'ils m'ont fourni au cours de ces trois années et d'avoir apporté au jury un point de vue permettant de situer ce travail dans un contexte industriel.

Je remercie amicalement Arsène YAMEOGO pour son soutien et sa collaboration dans ce travail.

Je remercie chaleureusement Jean-Michel VERNET, Bogdan WENDLER, Thomas MATHIA, Cezary RAPIEJKO, Christophe PAULIN, Henry PROUDHON pour leur aide précieuse et pour tous les conseils qui ont permis de faire avancer mon travail.

De la même manière, mes remerciements vont à Matthieu GUIBERT, Cécile REVOL, Jean-Christophe ABRY, Gérard MEILLE, David PHILIPPON, Cédric MEUNIER, Josselin ARTHAUD pour les tous les conseils qu'ils m'ont accordés, leur bonne humeur quotidienne qui, fut pour moi un signe d'encouragement.

Je pense également à l'ensemble du personnel du Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes (LTDS).
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Résumé

Le but de cette étude est la détermination de la durée de vie en l'amorçage et en propagation d'un acier XC38 (EA1N) utilisé comme matériau pour les essieux-axes de TGV soumis à des sollicitations complexes de fretting fatigue. Cette étude est plus précisément orientée sur la prédiction de l'amorçage des fissures en fonction de charges appliquées et la prédiction de la condition d'arrêt de propagation des fissures. Conformément à cette analyse, l'étude expérimentale se divisera en deux grandes parties : l'une aborde la problématique de la condition d'amorçage alors que l'autre traite des phénomènes de propagation. Dans la première partie, des essais spécifiques de fretting simple et fretting fatigue ont été réalisés afin de caractériser les conditions seuil d'amorçage des fissures dans l'acier étudié. Ceci nous conduira à déterminer un seuil d'amorçage en fonction des conditions de chargement. On s'attachera en particulier à la mise en place de méthodes capables de prédire le risque d'amorçage et ainsi pouvoir définir un domaine de sûreté absolue vis à vis de la sollicitation de fretting fatigue.

La deuxième partie de ce travail a concerné le problème de la propagation des fissures. Des essais de fretting simple et fretting fatigue ont été réalisés pour déterminer les lois de propagation des fissures avec notamment la mise en évidence des conditions d'arrêt de propagation. La méthodologie développée, qui intègre la propagation des fissures courtes puis des fissures longues, nous a permis de modéliser les courbes de Wöhler en fretting fatigue et surtout de prédire la condition d'arrêt de propagation des fissures en fretting fatigue.

Ainsi, un nouveau concept de cartes d'endommagement en fretting fatigue a été introduit et formalisé.
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
# ECOLE CENTRALE DE LYON

## Liste des personnes habilitées à diriger des recherches

<table><thead><tr><td>Nom-Prénom</td><td>Corps grade</td><td>Laboratoire ou à défaut département ECL</td><td>Etablissement</td></tr></thead><tbody><tr><td>AURIOL Philippe</td><td>professeur</td><td>CEGELY</td><td>ECL</td></tr><tr><td>BEROUAL Abderrahmane</td><td>professeur</td><td>CEGELY</td><td>ECL</td></tr><tr><td>BURET François</td><td>maître de conférences</td><td>CEGELY</td><td>ECL</td></tr><tr><td>JAFFREZIC-RENAULT Nicole</td><td>directeur de recherche</td><td>CEGELY</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>KRÂHENBÛHL Laurent</td><td>directeur de recherche</td><td>CEGELY</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>MARTELET Claude</td><td>professeur</td><td>CEGELY</td><td>ECL</td></tr><tr><td>NICOLAS Alain</td><td>professeur</td><td>CEGELY</td><td>ECL</td></tr><tr><td>NICOLAS Laurent</td><td>directeur de recherche</td><td>CEGELY</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>SIMONET Pascal</td><td>chargé de recherche</td><td>CEGELY</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>THOMAS Gérard</td><td>professeur</td><td>CEGELY</td><td>ECL</td></tr><tr><td>VOLLAIRE Christian</td><td>maître de conférences</td><td>CEGELY</td><td>ECL</td></tr></tbody></table>

Nbre CEGELY 11

<table><tr><td>HELLOUIN Yves</td><td>maître de conférences</td><td>DER EEA</td><td>ECL</td></tr><tr><td>LE HELLEY Michel</td><td>professeur</td><td>DER EEA</td><td>ECL</td></tr></table>

Nbre DER EEA 2

<table><tr><td>GUIRALDENQ Pierre</td><td>professeur émérite</td><td>DER STMS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>VINCENT Léo</td><td>professeur</td><td>DER STMS</td><td>ECL</td></tr></table>

Nbre DER STMS 2

<table><tr><td>LOHEAC Jean-Pierre</td><td>maître de conférences</td><td>ICJ</td><td>ECL</td></tr><tr><td>MAITRE Jean-François</td><td>professeur émérite</td><td>ICJ</td><td>ECL</td></tr><tr><td>MARION Martine</td><td>professeur</td><td>ICJ</td><td>ECL</td></tr><tr><td>MOUSSAOUI Mohand</td><td>professeur</td><td>ICJ</td><td>ECL</td></tr><tr><td>MUSY François</td><td>maître de conférences</td><td>ICJ</td><td>ECL</td></tr><tr><td>ROUY MIONESCU Elisabeth</td><td>professeur</td><td>ICJ</td><td>ECL</td></tr><tr><td>ZINE Abdel-Malek</td><td>maître de conférences</td><td>ICJ</td><td>ECL</td></tr></table>

Nbre ICJ 7

<table><tr><td>DAVIDBertrand</td><td>professeur</td><td>ICTT</td><td>ECL</td></tr></table>

Nbre ICTT 1

<table><tr><td>CLOAREC Jean-Pierre</td><td>maître de conférences</td><td>LEOM</td><td>ECL</td></tr><tr><td>GAFFIOT Frédéric</td><td>professeur</td><td>LEOM</td><td>ECL</td></tr><tr><td>GAGNAI RE Alain</td><td>maître de conférences</td><td>LEOM</td><td>ECL</td></tr><tr><td>GARRIGUES Michel</td><td>directeur de recherche</td><td>LEOM</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>GENDRY Michel</td><td>directeur de recherche</td><td>LEOM</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>GRENET Geneviève</td><td>directeur de recherche</td><td>LEOM</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>HOLLINGER Guy</td><td>directeur de recherche</td><td>LEOM</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>JOSEPH Jacques</td><td>professeur</td><td>LEOM</td><td>ECL</td></tr><tr><td>KRAWCZYK Stanislas</td><td>directeur de recherche</td><td>LEOM</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>MARTIN Jean-René</td><td>professeur émérite</td><td>LEOM</td><td>ECL</td></tr><tr><td>O'CONNOR Ian</td><td>maître de conférences</td><td>LEOM</td><td>ECL</td></tr></table>
ECOLE CENTRALE DE LYON

Liste des personnes habilitées à diriger des recherches

<table><tr><td>PHANER-GOUTORBE Magali</td><td>professeur</td><td>LEOM</td><td>ECL</td></tr><tr><td>ROBACH Yves</td><td>professeur</td><td>LEOM</td><td>ECL</td></tr><tr><td>SOUTEYRAND Eliane</td><td>directeur de recherche</td><td>LEOM</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>TARDY Jacques</td><td>directeur de recherche</td><td>LEOM</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>VIKTOROVITCH Pierre</td><td>directeur de recherche</td><td>LEOM</td><td>CNRS/ECL</td></tr></table>

Nbre LEOM 16

<table><tr><td>CHENLiming</td><td>professeur</td><td>LIRIS</td><td>ECL</td></tr></table>

Nbre LIRIS 16

<table><tr><td>BAILLY Christophe</td><td>professeur</td><td>LMFA</td><td>ECL</td></tr><tr><td>BERTOGLIO Jean-Pierre</td><td>directeur de recherche</td><td>LMFA</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>BLANC-BENON Philippe</td><td>directeur de recherche</td><td>LMFA</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>CAMBON Claude</td><td>directeur de recherche</td><td>LMFA</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>CARRIERE Philippe</td><td>chargé de recherche</td><td>LMFA</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>CHAMPOUSSIN J-Claude</td><td>professeur émérite</td><td>LMFA</td><td>ECL</td></tr><tr><td>COMTE-BELLOT genevièvre</td><td>professeur émérite</td><td>LMFA</td><td>ECL</td></tr><tr><td>FERRAND Pascal</td><td>directeur de recherche</td><td>LMFA</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>GALLAND Marie-Annick</td><td>maître de conférences</td><td>LMFA</td><td>ECL</td></tr><tr><td>GODEFERD Fabien</td><td>chargé de recherche</td><td>LMFA</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>HENRY Daniel</td><td>directeur de recherche</td><td>LMFA</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>JEANDEL Denis</td><td>professeur</td><td>LMFA</td><td>ECL</td></tr><tr><td>JUVE Daniel</td><td>professeur</td><td>LMFA</td><td>ECL</td></tr><tr><td>LE RIBAULT Catherine</td><td>chargée de recherche</td><td>LMFA</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>LEBOEUF Francis</td><td>professeur</td><td>LMFA</td><td>ECL</td></tr><tr><td>PERKINS Richard</td><td>professeur</td><td>LMFA</td><td>ECL</td></tr><tr><td>ROGER Michel</td><td>professeur</td><td>LMFA</td><td>ECL</td></tr><tr><td>SCOTT Julian</td><td>professeur</td><td>LMFA</td><td>ECL</td></tr><tr><td>SIMOENS Serge</td><td>chargé de recherche</td><td>LMFA</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>TREBINJAC Isabelle</td><td>maître de conférences</td><td>LMFA</td><td>ECL</td></tr></table>

Nbre LMFA 20

<table><tr><td>BENAYOUN Stéphane</td><td>professeur</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>CAMBOU Bernard</td><td>professeur</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>COQUILLET Bernard</td><td>maître de conférences</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>DANESCU Alexandre</td><td>maître de conférences</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>FOUVRY Siegfrid</td><td>chargé de recherche</td><td>LTDS</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>GEORGES Jean-Marie</td><td>professeur émérite</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>GUERRET Chrystelle</td><td>chargé de recherche</td><td>LTDS</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>HERTZ Dominique</td><td>past</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>ICHCHOU Mohamed</td><td>maître de conférences</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>JEZEQUEL Louis</td><td>professeur</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>JUVE Denyse</td><td>ingénieur de recherche</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>KAPSA Philippe</td><td>directeur de recherche</td><td>LTDS</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>LE BOT Alain</td><td>chargé de recherche</td><td>LTDS</td><td>CNRS/ECL</td></tr></table>
ECOLE CENTRALE DE LYON

Liste des personnes habilitées à diriger des recherches

<table><tr><td>LOUBET Jean-Luc</td><td>directeur de recherche</td><td>LTDS</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>MARTIN Jean-Michel</td><td>professeur</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>MATHIA Thomas</td><td>directeur de recherche</td><td>LTDS</td><td>CNRS/ECL</td></tr><tr><td>MAZUYER Denis</td><td>professeur</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>PERRET-LIAUDET Joël</td><td>maître de conférences</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>SALVIA Michelle</td><td>maître de conférences</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>SIDOROFF François</td><td>professeur</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>STREMSDOERFER Guy</td><td>professeur</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>THOUVEREZ Fabrice</td><td>professeur</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>TREHEUX Daniel</td><td>professeur</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr><tr><td>VANNES André-Bernard</td><td>professeur émérite</td><td>LTDS</td><td>ECL</td></tr></table>

Nbre LTDS 24

direction de la recherche
mise à jour le 1 décembre 2006
<figure><img src="image_7.png" /></figure>
# Sommaire

L'objectif de thèse .................................................................................................................. 19

Introduction........................................................................................................................................ 19

## Chapitre 1 Problématique et contexte industriel de la thèse .................................... 21

1.1 Problématique et contexte industriel de la thèse.................................................. 23

1.1.1 Définition de l'essieu-axe.................................................................................. 24

1.1.2 L'opération de calage.................................................................................................... 24

1.1.3 Sollicitations en service de l'essieu monté .................................................... 25

1.1.4 Définition des contraintes de pression au niveau du contact essieu-axe/roue.................................................................................................................. 26

1.1.5 Aspect de la fissuration sous portée de calage.................................................. 27

1.2 Matériaux étudiés........................................................................................................ 29

1.2.1 Composition et propriétés mécaniques de l'alliage étudié ........................ 29

1.2.2 Traitement et microstructure............................................................................ 30

1.2.3 Loi de comportement du matériau et effet d'écrouissage................................. 31

## Chapitre 2 Analyse bibliographique en fretting wear et en fretting fatigue ............ 33

1.3 Analyse bibliographique des sollicitations et de l'amorçage en fretting ........ 35

1.3.1 Caractérisation de la sollicitation de fretting .................................................. 35

1.3.2 Géométrie des interfaces étudiés .................................................................... 36

1.3.3 Caractérisation de différent types d'essais fretting........................................ 37

1.3.4 Conditions de glissement et critères de transition ........................................ 38

1.3.5 Cartes de dégradation en sollicitation de fretting ........................................ 41

1.3.6 Mécanismes de fissuration en fretting ................................................................ 43

1.3.7 Mécanismes d'amorçage de fissures en fretting................................................ 44

1.3.8 Analyse du comportement en fretting fatigue.................................................... 45

1.3.9 Critères multiaxiaux de fatigue polycyclique .................................................. 46

1.3.10 Application de critères aux problématiques du fretting................................. 52

1.4 Analyse bibliographique des mécanismes de propagation des fissures............ 55

1.4.1 Notion du Facteur d'Intensité de Contraintes .................................................. 56

1.4.2 Cinétique de propagation des fissures en fretting fatigue.............................. 58

1.4.3 Influence du rapport de charge et ouverture de fissure.................................... 60

1.4.4 Transition de fissures courtes et fissures longues................................................ 61

1.4.5 Condition d'arrêt de propagation des fissures en fretting................................. 65
# Chapitre 3 Positionnement scientifique et démarche expérimentaux......................69

1.5 Positionnement de l'étude vis-à-vis de la problématique fretting fatigue axe-essieu/roue................................................................................71

1.6 Définition de la configuration de contact....................................................72

1.7 Essais de fretting Wear................................................................................74

1.7.1 Description de l'essai de Fretting Wear LTDS ....................................74

1.7.2 Définition des contacts mis en place....................................................77

1.7.3 Méthodologie de l'expertise des endommagements .................................78

1.7.4 Analyse des conditions limites de fixation des échantillons ....................80

1.8 Essais de Fretting Fatigue LTDS ....................................................................83

1.8.1 Principe de l'essai....................................................................................83

# Chapitre 4 Analyse expérimentale de l'amorçage des fissures sous chargement de fretting wear et fretting fatigue................................................................................91

1.9 Analyse expérimentale de l'amorçage des fissures en sollicitations de fretting wear................................................................................................................93

1.9.1 Démarche expérimentale........................................................................94

1.9.2 Analyse du comportement du frottement en fretting wear......................96

1.9.3 Analyse expérimentale des conditions d'amorçage ................................99

1.10 Approche prédictive de l'amorçage des fissures en fretting wear ..............103

1.10.1 Modélisation Eléments Finis du contact cylindre/plan ......................104

1.10.2 Prédiction du risque d'amorçage........................................................109

1.10.3 Impact de l'effet d'échelle....................................................................110

1.10.4 Formulation en terme de gradient de contrainte..................................116

1.10.5 Frontière d'amorçage des fissures en fretting wear ............................120

1.11 Analyse expérimentale de l'amorçage des fissures en fretting fatigue ........122

1.11.1 Mise en oeuvre des essais de fretting fatigue....................................122

1.11.2 Comportement de l'interface sous chargements de fretting fatigue......123

1.11.3 Excentricité de la zone collée................................................................125

1.12 Approche prédictive de l'amorçage des fissures en fretting fatigue ............129

1.12.1 Modélisation Eléments Finis du contact cylindre/plan en fretting fatigue ................................................................................................................129

1.12.2 Prédiction de l'amorçage pour des chargements de fretting fatigue .....129

1.12.3 Introduction et formalisation d'un concept de carte d amorçage en fretting fatigue................................................................................131
# Chapitre 5 Analyse expérimentale de la propagation des fissures sous chargement de fretting wear et fretting fatigue .................................................................................. 135

1.13 Étude expérimentale de la propagation des fissures en sollicitations de fretting wear.................................................................................................................. 137

1.13.1 Détermination des longueurs de fissuration.................................................. 137

1.13.2 Développement d'une approche expérimentale........................................ 138

1.13.3 Analyse expérimentale de la condition d'arrêt de propagation des fissures .................................................................................................................. 139

1.14 Approche prédictive de la condition d'arrêt de propagation des fissures..... 141

1.14.1 Calcul du Facteur Intensité Contraintes.................................................. 142

1.14.2 Prédiction de la longueur de fissures pour des sollicitations de fretting wear.................................................................................................................. 144

1.15 Étude expérimentale de la propagation de fissures en fretting fatigue......... 148

1.15.1 Caractérisation des fissurations générées par les sollicitations de fretting fatigue.................................................................................................................. 149

1.15.2 Résultats expérimentaux de la durée de vie en fretting fatigue............ 149

1.16 Approche prédictive de la condition d'arrêt des fissures ou du nombre de cycles à la rupture .................................................................................. 151

1.16.1 Prédiction de la condition d'arrêt des fissures ........................................ 152

1.16.2 Prédiction du nombre de cycles à la rupture............................................ 154

1.16.3 L'amorçage des fissures........................................................................ 156

1.16.4 Propagation des fissures courtes ................................................................ 157

1.16.5 Propagation des fissures longues ................................................................ 158

1.16.6 Modélisation de la courbe de Wöhler en sollicitations de fretting fatigue .................................................................................................................. 159

1.16.7 Introduction et formalisation d'un concept de carte d'arrêt de propagation en fretting fatigue................................................................ 160

## **Discussion et Conclusions générales................................................................................ 163**

1.17 Synthèse et conclusions générales ................................................................ 165

1.18 Exploitations technologiques de cette recherche et perspectives ............ 169

## **Publications et rapports lors de cette étude................................................................ 171**

1.19 Publications et rapports lors de cette étude.................................................... 173

1.19.1 Publications et rapports........................................................................ 173

1.19.2 Communications et posters.................................................................... 174
<table><tr><td>1.19.3</td><td>Encadrement de Stage</td><td>175</td></tr><tr><td></td><td><strong>Références bibliographiques</strong></td><td><strong>177</strong></td></tr><tr><td>1.20</td><td>Références bibliographiques</td><td>179</td></tr><tr><td></td><td><strong>Annexe 1 Calcul analytique de contraintes et FIC en configuration cylindre/plan</strong></td><td><strong>191</strong></td></tr><tr><td>1.21</td><td>Calcul analytique de contraintes en configuration cylindre/plan</td><td>193</td></tr><tr><td>2.1</td><td>Calcule analytiques du Facteur d'Intensité de Contraintes</td><td>197</td></tr><tr><td>2.1.1</td><td>Calcul analytique du Facteur d'Intensité de Contraintes</td><td>197</td></tr><tr><td>2.1.2</td><td>Calcul du Facteur d'Intensité de Contraintes par la méthode de Fonction Poids</td><td>200</td></tr><tr><td></td><td><strong>Annexe 2 Description des critères multiaxiaux d'amorçage de fissure</strong></td><td><strong>203</strong></td></tr><tr><td>2.2</td><td>Description des critères multiaxiaux d'amorçage de fissure</td><td>205</td></tr><tr><td>2.2.1</td><td>Crossland (1956)</td><td>205</td></tr><tr><td>2.2.2</td><td>DangVan (1973)</td><td>206</td></tr><tr><td>2.2.3</td><td>Papadopoulos (1994)</td><td>208</td></tr><tr><td></td><td><strong>Annexe 3 Développement informatique lors de cette étude</strong></td><td><strong>211</strong></td></tr><tr><td>2.3</td><td>Développement informatique lors de cette étude</td><td>213</td></tr><tr><td>2.3.1</td><td>Logiciel de pilotage et d'acquisition de données TriboFretting v3.0</td><td>213</td></tr><tr><td>2.3.2</td><td>Logiciel de mesure d'image microscopique Microscala v2.1</td><td>216</td></tr></table>
Nomenclature

<table>
  <tr>
    <td>P</td>
    <td>N/mm</td>
    <td>Force normale dans le contact, normalisée par longueur du contact.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Q*</td>
    <td>N/mm</td>
    <td>Amplitude de la force tangentielle, normalisée par longueur du contact.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Q*<sub>t</sub></td>
    <td>N/mm</td>
    <td>Amplitude de la force tangentielle à la transition GP/GT, normalisée par longueur du contact.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>μ</td>
    <td>ratio</td>
    <td>Coefficient du frottement.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>μ<sub>t</sub></td>
    <td>ratio</td>
    <td>Coefficient du frottement à la transition GP/GT.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>μ<sub>GT</sub></td>
    <td>ratio</td>
    <td>Coefficient du frottement en glissement totale (GT).</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>K</td>
    <td>MPa·√m</td>
    <td>Facteur d'intensité de contrainte (FIC)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ΔK<sub>C</sub></td>
    <td>MPa·√m</td>
    <td>Valeur critique de facteur d'intensité de contrainte</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ΔK<sub>seuil</sub></td>
    <td>MPa·√m</td>
    <td>Seuil de facteur d'intensité de contrainte</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ΔK<sub>eff</sub></td>
    <td>MPa·√m</td>
    <td>Facteur d'intensité de contrainte effectif</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>p<sub>0max</sub></td>
    <td>MPa</td>
    <td>Maximum de pression hertzienne</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>a<sub>h</sub></td>
    <td>μm</td>
    <td>Demi largeur du contact hertzienne</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>c</td>
    <td>μm</td>
    <td>Demi largeur de la zone colée dans le contact</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>E</td>
    <td>GPa</td>
    <td>Module de Young</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ν</td>
    <td>ratio</td>
    <td>Coefficient de Poisson</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Re<sub>0.2</sub></td>
    <td>MPa</td>
    <td>Limite élastique</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Rm</td>
    <td>MPa</td>
    <td>Résistance de matériaux à la traction</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Α<sub>min</sub></td>
    <td>%</td>
    <td>Allongement</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>σ<sub>d</sub></td>
    <td>MPa</td>
    <td>Limite de fatigue en flexion rotative</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>τ<sub>a</sub></td>
    <td>MPa</td>
    <td>Limite de fatigue en torsion alternée</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>C</td>
    <td></td>
    <td>Coefficient de loi de Paris</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>m</td>
    <td></td>
    <td>Coefficient de loi de Paris</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>R<sub>0</sub></td>
    <td>MPa</td>
    <td>Contrainte d'écoulement initiale</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Q<sub>∞</sub></td>
    <td>MPa</td>
    <td>Contrainte d'écoulement stabilisé</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>b<sub>e</sub></td>
    <td>-</td>
    <td>Indice de stabilisation d'écrouissage</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>C</td>
    <td>-</td>
    <td>Coefficient d'écrouissage</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>γ<sub>e</sub></td>
    <td>-</td>
    <td>Coefficient d'écrouissage</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>σ<sub>max</sub></td>
    <td>MPa</td>
    <td>Chargement maximal de fatigue</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>σ<sub>min</sub></td>
    <td>MPa</td>
    <td>Chargement minimal de fatigue</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>R</td>
    <td>ratio</td>
    <td>Rapport de chargements de fatigue</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>δ</td>
    <td>μm</td>
    <td>Déplacement mesuré dans le contact</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>δ*</td>
    <td>μm</td>
    <td>Amplitude de déplacement mesurée dans le contact</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>δ<sub>t</sub></td>
    <td>μm</td>
    <td>Amplitude de déplacement à la transition GP/GT</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>δ<sub>GT</sub></td>
    <td>μm</td>
    <td>Amplitude de déplacement en régime de GT</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>q</td>
    <td>MPa</td>
    <td>Contraintes de cisaillement de contact</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>p</td>
    <td>MPa</td>
    <td>Contraintes de pression de contact</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>A</td>
    <td>ratio</td>
    <td>Critère de transition entre GP/GT</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>B</td>
    <td>ratio</td>
    <td>Critère de transition entre GP/GT</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>C</td>
    <td>ratio</td>
    <td>Critère de transition entre GP/GT</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>lv</td>
    <td>μm</td>
    <td>Volume élémentaire pour calcule du risque d'amorçage</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>r</td>
    <td>μm</td>
    <td>Rayon du point de fissure</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ΔJ</td>
    <td>MPa·m</td>
    <td>Intégrale de conteur</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>a<sub>φ</sub></td>
    <td>μm</td>
    <td>Frontière entre longueur de fissure courtes et fissures longues</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>ΔK<sub>th</sub></td>
    <td>MPa·√m</td>
    <td>Seuil de facteur d'intensité de contrainte</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>E<sub>d</sub></td>
    <td>J</td>
    <td>Energie dissipée</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>τ<sub>a</sub></td>
    <td>MPa</td>
    <td>Amplitude des contraintes de cisaillement</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>σ<sub>n</sub></td>
    <td>MPa</td>
    <td>Amplitude des contraintes normales</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>d<sub>MD</sub></td>
    <td>-</td>
    <td>Paramètre scalaire de risque d'amorçage (critère McDiarmid)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>d<sub>C</sub></td>
    <td>-</td>
    <td>Paramètre scalaire de risque d'amorçage (critère Crossland)</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>d<sub>P</sub></td>
    <td>-</td>
    <td>Paramètre scalaire de risque d'amorçage (critère</td>
  </tr>
</table>
Papadopoulous)

d<sub>SWT</sub> - Paramètre scalaire de risque d'amorçage (critère SWT)

Γ Paramètre de critère Smith-Watson-Topper (SWT)

P<sub>h max</sub> MPa Pression hydrostatique maximale

J<sub>2</sub> Second invariant de dèviateur de contraintes

ρ* [MPa] Tenseur résiduel local

Σ [MPa] Tenseur de contraintes

σ̂ [MPa] Tenseur local de chargement

T<sub>a</sub> MPa Amplitude de la cission

l<sub>v</sub> µm Volume élémentaire

R ratio Rapport de charge minimale et maximale

a µm Longueur de fissures

a<sub>φ</sub> µm Longueur critique de fissures courtes

σ<sub>FF</sub> MPa Contrainte de fatigue

σ<sub>FF_th</sub> MPa Limite d'endurance en fretting fatigue

N<sub>T</sub> cycles Nombre total de cycles de sollicitation fretting fatigue

N<sub>a</sub> cycles Nombre de cycles à l'amorçage

N<sub>FC</sub> cycles Nombre de cycles en propagation de fissures courtes

N<sub>FL</sub> cycles Nombre de cycles en propagation de fissures longues

γ Coefficient de matériau pour la prédiction du risque d'amorçage (Proudhon)

a MPa<sup>-2</sup> Coefficient de matériau pour la prédiction du risque d'amorçage
# L'objectif de thèse

L'objectif de cette thèse est la détermination de la durée de vie à l'amorçage et en propagation d'un acier d'essieu-axe TGV soumis à des sollicitations complexes en fretting simple et en fretting fatigue. L'étude est orienté plus précisément sur la prédiction d'amorçage des fissures en fonction de charges appliques et prédiction de la condition d'arrêt de propagation de fissures pour définir ainsi une domaine de sécurité vis-à-vis des sollicitations de fretting et fatigue.

# Introduction

Conformément à l'objectif de cette étude, l'analyse expérimentale se divisera en deux parties : l'analyse d'amorçage et l'analyse de la propagation des fissures.

Le chapitre 1 présente l'assemblage axe-essieu/roue, les chargements de l'interface du contact, ainsi que le phénomène d'endommagement observé sur l'axe-essieu, et les propriétés mécaniques de l'acier XC38 (EA1N).

Le chapitre 2 traite la bibliographie concernant l'amorçage et la propagation des fissures dans les matériaux tant du point de vue de la fatigue classique que du fretting.

Au cours du chapitre 3, les techniques et méthodes utilisées au cours de ce travail sont présentées, ainsi que les essais fretting et fretting fatigue.

Le chapitre 4 suit avec l'ensemble des résultats expérimentaux obtenus en ce qui concerne l'amorçage de fissures en fretting simple et fretting fatigue. Dans la deuxième partie de chapitre une approche prédictive de l'amorçage est présente.

Le chapitre 5 traite des résultats expérimentaux obtenus en ce qui concerne la propagation des fissures et les conditions d'arrêt de propagation. La modélisation des phénomènes identifiés est effectuée et le modèle d'arrêt de propagation est développé.

Pour finir, le nouveau concept des cartes d'endommagement dans le fretting fatigue est introduit, ainsi que les conclusions faites de la synthèse des mécanismes identifiés et de leur implication respective dans la durée de vie d'un assemblage.
<figure><img src="image_8.png" /></figure>
# Chapitre 1

## Problématique et contexte industriel de la thèse
<figure><img src="image_9.png" /></figure>
## 1.1 Problématique et contexte industriel de la thèse

Le transport ferroviaire est un moyen de transport rapide, confortable et plus écologique. Les voitures ou wagons des trains sont supportés par des bogies (Figure 1a). Chaque bogie consiste de deux essieux-axes et quatre roues. L'expertise des contacts essieu-axe/roue révèle la présence d'amorçage de fissurations induites par le couplage entre la sollicitation de fatigue générée par la rotation de l'axe et l'activation de sollicitations de fretting, dans l'interface du contact fretté (Figure 1b), générées par des sollicitations transverses imposées aux roues.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 1 : a) Un bogie du train, b) zone de la fissuration au chanfrein d'entrée d'un essieu-axe</figcaption></figure>

Les essieux-axes réalisés en acier au carbone XC38 (EA1N) à l'état normalisé, sont soumis à des sollicitations de flexion rotative. Il existe donc un risque de rupture par la propagation de fissures en fatigue. Le dimensionnement actuel est réalisé à partir de méthode de calcul empirique développée par M. Kammerer en 1945. Cette méthodologie a pour objectif d'établir une durée de vie infinie de l'essieu. Cependant, l'augmentation de la vitesse et du poids des trains augmente le risque d'amorçage et de propagation des fissures dans l'essieu. Il devient donc nécessaire d'améliorer la durée de vie des assemblages roue/essieu-axe de façon à garantir la sécurité de la circulation des trains. Cette étude se focalise sur la problématique de la fissuration par fretting et fretting fatigue de l'essieu-axe au niveau de la portée de calage des roues.
### 1.1.1 Définition de l'essieu-axe

L'essieu-axe est une pièce symétrique sur laquelle sont montés des disques de frein et des roues. Les diamètres de section des portées de calages pour les disques de freinage et les roues sont plus grands que le diamètre du corps de l'axe (Figure 2).

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 2 Schéma d'un essieu-axe</figcaption></figure>

### 1.1.2 L'opération de calage

L'assemblage entre l'essieu-axe et la roue est appelé opération de calage. Le serrage entre les deux pièces est obtenu par le fait que l'alésage de l'essieu à caler possède un diamètre légèrement inférieur à celui de la portée de calage de l'axe. La différence entre les deux diamètres définit le serrage. L'essieu-axe et la roue des trains sont assemblés par le mode de calage à la presse (Figure 3).

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 3 : Schéma de l'opération de calage à la presse</figcaption></figure>

La portée de calage est lubrifiée au suif avant assemblage. Le suif présente l'avantage de perdre rapidement ses propriétés lubrifiantes, la liaison roue/essieu s'en
trouve améliorée. Au cours de l'opération, l'effort appliqué par la presse sur la roue est
mesuré au fur et à mesure de la mise en place de celle-ci sur l'axe. On obtient alors la
courbe de calage (Figure 4).

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 4 : Courbe de calage d'une roue sur l'essieu-axe [d'après A. Yameogo 2004]</figcaption></figure>

L'opération de calage est validée si la courbe de calage est comprise entre deux courbes maîtresses.

### 1.1.3 Sollicitations en service de l'essieu monté

Pendent le service, l'essieu subit de multiples efforts présentés sur la Figure 5.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 5 : Schéma de charges apposées sur l'essieu-axe en service</figcaption></figure>
Les charges verticales du véhicule, lorsque le véhicule est en marche et suit des mouvements de roulis, oscillent du $\frac{1}{2}$ P au $\frac{3}{2}$ P, où P représente le poids du véhicule à l'essieu. A ces variations périodiques dues au roulis se superposent d'autres surcharges de la structure générées par les singularités des voies (aiguillages). L'ensemble des forces agissant sur l'essieu monté et la rotation de l'axe, se traduit, du point de vue de l'essieu-axe, par des moments de torsion et de flexion.

### 1.1.4 Définition des contraintes de pression au niveau du contact essieu-axe/roue

On retiendra en particulier que les maxima de pression se situent en bordure de contact.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 6 : Profil de la pression de frettage et de la contraintes radiales près du chanfrein, simulation numérique ($p_{nom}=XXX$ MPa) (d'après A. Yameogo, 2004)</figcaption></figure>

Le modèle d'assemblage essieu-axe/roue par Eléments Finis (EF) réalisé, par Mr. A. Yameogo (thèse, Yameogo 2004) a permis de calculer le profil de pression dans le contact (Figure 6) après calage et un chargement de fatigue représentatif. La valeur
maximale de pression égale à $p_{0max}=450$ MPa après décalage décroît jusqu'à une valeur de 400 MPa après l'application d'un chargement de fatigue.

### 1.1.5 Aspect de la fissuration sous portée de calage

Les expertises par contrôles non destructifs, des composants industriels, révèlent des amorçages très précoces qui n'induisent pourtant pas de ruptures catastrophiques. Ainsi, on peut supposer que le système fonctionne dans les conditions de fissures amorcées non propageantes. L'opération de calage est très sévère pour la surface de essieu et aussi pour la sous-couche du matériau. Malgré la lubrification par du suif, les contraintes de cisaillement sur la surface sont suffisamment importantes pour déformer le matériau dans le sens de glissement de la roue (Figure 7).

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 7 : La zone déformée lorsque du passage de la roue pendant l'opération de calage</figcaption></figure>

La zone déformée (écrouie) de la portée de calage a une profondeur variable mais limitée, comprise entre XX et XX µm. Son étendue est également limitée et en fin de portée de calage, les grains ne sont quasiment pas déformés. La taille de la zone écrouie dépend des propriétés mécaniques de la roue et de l'axe, ainsi que du coefficient de frottement dans le contact lubrifié, d'une part et, d'autre part, des caractéristiques géométriques locales de l'assemblage. Une autre incidence du calage est la génération de contraintes résiduelles importantes dans les deux pièces. Cependant, les évolutions futures du design des axes (augmentation des vitesses) impliquent des niveaux de chargement plus sévères et donc des sollicitations de fretting et de fatigue plus importantes. Ainsi, outre la condition d'amorçage, il devient nécessaire d'appréhender la condition d'arrêt de fissuration.

La position de la fissuration se situe entre la zone corrodée et la zone écrouie de la portée de calage. La propagation de fissures a un caractère transgranulaire (Rapport
SNCF 1994 n° 2, Rapport SNCF 1998). Les fissures sont toujours inclinés et orientées vers le centre de la portée de calage. L'angle de propagation est compris entre 40° et 60°. La plus longue fissure détectée dans un essieu avait 1050 µm de longueur et était orientée à 45° (Yameogo, 2004).

L'expertise effectuée par S. Fouvry en 2000 a montré la présence de corrosion et de transfert de matière entre la roue et l'essieu-axe. Cette zone de transfert se situe entre la zone de corrosion et la zone de fissuration (Figure 8).

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 8 : Représentation des dégradations de contact roue/essieu-axe, portée de calage cote chanfrein (S. Fouvry 2000)</figcaption></figure>

Quatre domaines de dégradations ont été spécifiés :

**Domaine I** : Pas de dégradation particulière, on peut encore observer les stries d'usinage.

**Domaine II** : La surface du métal est perturbée avec la présence de protubérances qui sont le résultat de mécanismes de corrosion par piqûre. L'observation en coupe montre des fissures dans le lit de débris qui sont parallèles à la surface. Ces dernières résultent des mécanismes d'accommodation dans le 3° corps ainsi qu'à l'interface dont l'origine peut être attribuée aux glissements relatifs orientés suivant la direction de l'essieu-axe.

**Domaine III** : Présence de transferts extrêmement fins mais sans jamais mettre en évidence la présence de fissuration. Déformation des grains suite au calage.

**Domaine IV** : Pas de dégradations, seulement la déformation plastique en surface suite au calage.
## 1.2 Matériaux étudiés

Les essieux-axes sont fabriqués à partir d'acier au carbone XC38 à l'état normalisé (EA1N). La microstructure de cet alliage est ferrito-perlitique. La taille moyenne du grain est de l'ordre de 30 µm. Le matériau utilisé pour la fabrication des échantillons a été prélevée à partir de la partie centrale du corps d'un essieu. Les échantillons en forme barre ont été fournis par l'Agence d'Essais Ferroviaire à Vitry sur Seine. Les roues sont fabriquées en acier XC48. Comme pour l'acier XC38 cet alliage fait partie de la famille des aciers mi-durs. L'étude du comportement en frottement entre les couples XC38/XC48 et XC38/100C6 que nous avons effectuée en collaboration avec A. Yameogo (2004) montre que le coefficient de frottement entre ces deux couples est identique. Nous avons donc choisi d'utiliser principalement un contre-corps en 100C6 (acier à roulement). Nous disposions en effet de cylindres (bagues de roulement) en 100C6 avec leur surface rectifiée, alors que notre cylindre en XC48, bien qu'ayant une surface polie, ne nous offrait pas un état de surface satisfaisant. L'emploi de bagues en 100C6 nous a permis de nous affranchir de l'effet de la rugosité. De plus, le 100C6 a des caractéristiques mécaniques supérieures au XC38 de nos plans, de sorte que la dégradation apparaît systématiquement sur le plan plutôt que sur le cylindre, ce qui est préférable pour l'étude en fissuration.

### 1.2.1 Composition et propriétés mécaniques de l'alliage étudié

L'analyse de la fissuration exige de connaître les propriétés mécaniques du matériau. L'étude effectuée par V. Gros en 1996 sur l'acier XC38 (EA1N) a permis d'identifier les valeurs principales des propriétés mécaniques, et du comportement du matériau en fatigue. La composition chimique du matériau utilisé dans le cadre de ce travail est présentée dans le Tableau 1, les propriétés mécaniques sont récapitulées dans le Tableau 2.

<table><caption>Tableau 1 : Composition chimique du matériau étudié</caption><thead><tr><th>Matériau</th><th>C (%)</th><th>Mn (%)</th><th>Cr (%)</th><th>Ni (%)</th><th>Ti (%)</th><th>Cu (%)</th><th>Si (%)</th><th>P max(%)</th><th>S max(%)</th><th>Mo max(%)</th><th>V max(%)</th></tr></thead><tbody><tr><td>XC38 max (%)</td><td>0.38</td><td>1.2</td><td>0.3</td><td>0.3</td><td>-</td><td>0.3</td><td>0.5</td><td>0.02</td><td>0.02</td><td>0.08</td><td>0.06</td></tr><tr><td>100C6 max (%)</td><td>1.0</td><td>0.3</td><td>1.5</td><td>0.4</td><td>1.0</td><td>1.0</td><td>0.2</td><td>0.02</td><td>0.02</td><td>0.1</td><td>0.3</td></tr></tbody></table>
C'est le carbone et le manganèse qui sont principalement à l'origine de la résistance de l'acier XC38. Le manganèse apporte à l'alliage un durcissement. La faible teneur en phosphore limite les risques de fragilisation et la faible teneur en soufre améliore les performances de résilience et de formabilité.

<table><caption>Tableau 2 : Propriétés mécaniques du matériau étudié (¹-FIC- Facteur d'Intensité de Contraintes, V. Gros 1996)</caption><thead><tr><th>Matériau</th><th>XC38</th><th>100C6</th></tr></thead><tbody><tr><td>Module du Young, E (GPa)</td><td>200</td><td>210</td></tr><tr><td>Coefficient de Poisson, v (ratio)</td><td>0.3</td><td>0.29</td></tr><tr><td>Limite élastique, Re<sub>0.2</sub> (MPa)</td><td>350</td><td>1700</td></tr><tr><td>Résistance du matériau, Rm (MPa)</td><td>600</td><td>2000</td></tr><tr><td>Allongement, A<sub>min</sub> (%)</td><td>25</td><td>-</td></tr><tr><td>Limite de fatigue en flexion rotative, σ<sub>d</sub> (MPa)</td><td>XXX</td><td>-</td></tr><tr><td>Limite de fatigue en torsion alternée, τ<sub>d</sub> (MPa)</td><td>XXX</td><td>-</td></tr><tr><td>Seuil de FIC<sup>1</sup>, ΔK<sub>seuil</sub> (MPa·√m)</td><td>XXX</td><td>-</td></tr><tr><td>Valeur critique de FIC<sup>1</sup>, K<sub>c</sub> (MPa·√m)</td><td>XXX</td><td>-</td></tr><tr><td>Coefficient C (Loi de Paris)</td><td>XXX</td><td>-</td></tr><tr><td>Coefficient m (Loi de Paris)</td><td>XXX</td><td>-</td></tr><tr><td>Contrainte d'écoulement initiale, R<sub>0</sub> (MPa)</td><td>XXX</td><td>-</td></tr><tr><td>Contrainte d'écoulement stabilisé, Q<sub>∞</sub> (MPa)</td><td>XXX</td><td>-</td></tr><tr><td>Indice de stabilisation d'écrouissage, b<sub>e</sub></td><td>XXX</td><td>-</td></tr><tr><td>Coefficient d'écrouissage, C (MPa)</td><td>XXX</td><td>-</td></tr><tr><td>Coefficient d'écrouissage, γ<sub>e</sub></td><td>XXX</td><td>-</td></tr></tbody></table>

### 1.2.2 Traitement et microstructure

Les essieux subissent un traitement thermique de normalisation qui consiste à faire subir au métal une austénitisation (chauffage et maintien à 900°C) et un refroidissement à l'air calme. La trempabilité de cet acier est relativement faible.
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 9 : Microstructure ferrito-perlitique d'alliage EA1N</figcaption></figure>

Après refroidissement, la microstructure est ferrito-perlitique à grains fins et à perlite lamellaire.

### 1.2.3 Loi de comportement du matériau et effet d'écrouissage

La limite élasticité de l'acier XC38 est relativement basse (Re₀.₂=350 MPa, Figure 10) et lors du calage à la presse de la roue nous avons montré qu'une importante déformation plastique engendre des contraintes résiduelles au niveau de la portée de calage. Il apparaît donc intéressant de considérer la loi de comportement du matériau vis-à-vis de l'écrouissage et son influence sur la redistribution des contraintes du contact essieu/roue pendant les chargements cycliques de fatigue représentatifs de la circulation ferroviaire.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 10 : Courbe de traction monotone de l'acier XC38 en température ambiante (d'après A. Yameogo, 2004)</figcaption></figure>
La loi de comportement de l'acier de l'essieu, déterminée par A. Yameogo (2004), consiste à combiner un écrouissage isotrope et un écrouissage cinématique non linéaire. Cette loi fut proposée par J-L. Chaboche en 1977 et complétée en 2001.

La loi d'écoulement s'écrit :

$$ \overline{\overline{\varepsilon^{pl}}} = \varepsilon_{eq}^{pl} \cdot \frac{\partial f}{\partial \overline{\sigma}} \qquad (1) $$

Où la surface limite d'élasticité peut se déplacer et se dilater dans l'espace des contraintes, en accord avec la relation :

$$ f = J_2(\overline{\overline{\sigma}} - \overline{\overline{X}}) - R \qquad (2) $$

Les variables d'écrouissage X et R évoluent en suivant les équations suivantes :

$$ \overline{dX} = C d\overline{\varepsilon^{pl}} - \gamma_c \overline{X} |d\overline{\varepsilon^{pl}}| \qquad (3) $$

$$ R = R_0 + Q_{\infty} (1 - e^{-b_c \varepsilon_{eq}^{pl}}) \qquad (4) $$

Il y a donc 5 paramètres pour caractériser le comportement plastique du matériau :

* la contrainte d'écoulement du matériau non écroui $R_0=XX$ MPa,

* la valeur asymptotique correspondant au régime cyclique stabilisé $Q_{\infty}=XX$ MPa,

* l'indice de la rapidité de stabilisation $b_c=XX$,

* le coefficient d'écrouissage $C=XX$ MPa,

* le coefficient d'écrouissage cinématique $\gamma_c=XX$.

Concernant les propriétés d'élasticité, il y a deux paramètres :

* le module d'Young : $E=200$ GPa,

* le coefficient de Poisson : $v=0.3$.

Le modèle proposé par A. Yameogo a été validé au travers des simulations par Eléments Finis des cycles $\sigma-\epsilon$. Les courbes $\sigma-\epsilon$ obtenues numériquement sont en accord avec les courbes expérimentales. Mais, le modèle proposé ne décrit pas parfaitement la relaxation de la contrainte moyenne, la stabilisation est plus lente qu'à contrainte imposée. De plus, le modèle ne permet pas de rendre compte de la dissymétrie du comportement de $\sigma_{max}$ et $\sigma_{min}$. Or, en traction-compression, l'existence d'une contrainte moyenne est non nulle et conditionne en partie l'apparition du phénomène de Rochet (J-L. Chaboche et J. Lemaître, 2001). C'est pourquoi une description imparfaite de la relaxation de la contrainte moyenne est susceptible de ne pas parfaitement décrire le phénomène de Rochet.
# Chapitre 2

## Analyse bibliographique en fretting wear et en fretting fatigue
<figure><img src="image_20.png" /></figure>
## 1.3 Analyse bibliographique des sollicitations et de l'amorçage en fretting

La première étude mentionnée concernant le fretting apparaît au début du XX siècle lorsque E.M. Eden (1911) met en évidence la présence de débris d'oxydes entre deux éprouvettes mises en contact et soumises à des essais de traction. Le phénomène fut associé à un mécanisme de corrosion introduisant le terme de fretting-corrosion.

Actuellement, en tribologie, le terme de fretting est utilisé en référence à toute situation pour laquelle deux surfaces en contact sont soumises à de faibles déplacements oscillants (Figure 11). Ces déplacements sont très faibles comparativement à la taille du contact.

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 11 : Illustration d'un contact cylindre/plan soumis à des sollicitations de fretting</figcaption></figure>

### 1.3.1 Caractérisation de la sollicitation de fretting

Une des difficultés souvent rencontrée est de pouvoir établir une distinction entre la sollicitation de fretting et la condition de glissement alternée observée pour les plus grandes amplitudes. De façon arbitraire on peut définir cette transition en introduisant le ratio e entre l'amplitude de glissement $\delta^*$ et le rayon de contact $a_h$ (ou demi largeur de contact en configuration cylindre/plan).

$$e = \frac{\delta^*}{a_h} \qquad (5)$$

On attribue alors abusivement la condition de fretting à une valeur de e inférieure à 1. Ainsi, pour le fretting il existe une zone centrale jamais exposée à l'atmosphère ambiante. On peut tracer cette frontière en fonction de la force normale et
de l'amplitude de débattement. Dans le cas d'un contact élastique cette frontière peut
être déterminée à partir de la théorie de Hertz (1882) (Figure 12).

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 12 : Définition du fretting par rapport au glissement alterné général</figcaption></figure>

1.3.2 Géométrie des interfaces étudiés

Les contacts réels sont souvent compliqués et difficiles à reproduire. Pour
simplifier la modélisation des dégradations en fretting les chercheurs ont choisi des
géométries plus simples et plus faciles à mettre en œuvre. Différentes géométries
d'essai sont présentées sur la Figure 13.

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 13 : Configurations de géométrie de contacts simplifiées en fretting</figcaption></figure>

* la configuration **Plan/Plan** met en contact deux surfaces planes. L'analyse mécanique montre que les distributions de pression et surtout du cisaillement sont caractérisées par une discontinuité en bordure de contact. De plus, cette configuration engendre des désalignements qui entraînent une accentuation des effets de bords. Les deux configurations ci-dessous seront donc préférées.
* la **configuration Sphère/Plan** reproduit un contact ponctuel. Elle est formalisée par l'analyse de Hertz (Hertz 1882) en indentation normale en appliquant les principes de l'élasticité linéaire (Hamilton 1966, 1983) et (Sackfield 1983). Les distributions des chargements élastiques dans le plan pour cette configuration ont été introduites par Hamilton et Goodman (Hamilton 1983). L'analyse de la fissuration est relativement complexe à modéliser car le contact Sphère/Plan implique une description tridimensionnelle très coûteuse en temps de calcul par la méthode des Eléments Finis. Cette configuration de contact est très souvent utilisée expérimentalement car elle n'implique pas de problème d'alignement.

* la **configuration Cylindre/Plan** reproduit un contact linéique 2D. Elle est décrite par la théorie de Hertz en appliquant les principes de l'élasticité linéaire. Cette configuration est souvent utilisée pour l'analyse de la fissuration car elle permet de considérer une approche bidimensionnelle plus facile à modéliser (Proudhon 2005).

### 1.3.3 Caractérisation de différents types d'essais fretting

Il existe différents types d'essais pour étudier le problème de fretting :

* L'essai de fretting wear décrit une sollicitation de petit débattement entre deux surfaces en contact. L'échantillon est uniquement sollicité par une sollicitation de contact associée à un effort normal et à un débattement relatif imposé de l'extérieur (système hydraulique, ... etc.). Ce type d'essai est souvent utilisé pour étudier l'usure. Cependant différents travaux (Zhou, 1992) ont montré qu'il est possible d'étudier l'amorçage et la propagation de fissures jusqu'à une certaine profondeur.

* L'essai de fretting fatigue (Waterhouse, 1981) correspond à la combinaison d'un chargement de fretting et d'un chargement de fatigue. L'éprouvette de fatigue est soumise à des sollicitations de fatigue et un patin est appliqué avec une force normale spécifique. Le déplacement relatif entre le patin et l'éprouvette de fatigue génère la sollicitation de fretting. Le fretting contrôle l'amorçage des fissures et contribue à la propagation initiale de celles-ci. La rupture d'un échantillon en fretting fatigue est essentiellement due à la contrainte cyclique de fatigue qui permet la propagation des fissures. On peut alors tracer des courbes d'endurance en fretting fatigue ou courbes de Wöhler. La comparaison des courbes d'endurance en fretting fatigue avec la courbe d'endurance en fatigue
simple permet de calculer les coefficients d'abattement en fretting fatigue. Nous verrons dans ce travail que la détermination de l'abattement en fretting fatigue suppose une maîtrise du chargement de fretting par rapport à la sollicitation de fatigue imposée. Autrement dit, l'établissement de coefficients d'abattement représentatifs suppose le tracé de courbes d'abattement en fretting fatigue pour un chargement de fretting constant.

* L'essai de fretting wear sur éprouvette précontrainte a été proposé par Reybet Degat (Reybet 1997). Cet essai consiste à appliquer un chargement de fretting wear sur une éprouvette de fatigue précontrainte. Cette configuration a permis d'évaluer l'influence d'une contrainte statique sur l'amorçage et la propagation des fissures. Certains systèmes industriels tels que les câbles de ponts, les câbles d'ascenseurs, répondent bien à ce type de condition. Il a été démontré que l'introduction d'une contrainte statique de traction favorise l'amorçage et augmente la profondeur de fissuration (Fouvry1997).

Les différents essais reproduisant les sollicitations énoncées précédemment sont présentés sur la Figure 14

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure 14 : Les différents montages reproduisant les sollicitations de fretting rencontrées : a) montage fretting wear, b) montage fretting wear sous contrainte, c) montage fretting fatigue</figcaption></figure>

En conclusion, il est important de souligner que la dénomination de ces essais est relativement trompeuse vis-à-vis des endommagements étudiés. En effet, un essai de fretting wear peut induire la fissuration du contact. De la même façon, un essai de fretting fatigue peut induire l'usure du contact.

### 1.3.4 Conditions de glissement et critères de transition

La complexité des phénomènes générés par la sollicitation de fretting a poussé les chercheurs à mieux quantifier l'impact des conditions de glissement vis-à-vis de la
réponse en endommagements du contact. Il s'ensuit que pour une force normale, une géométrie et un matériau donnés, deux conditions de glissement peuvent être activées au niveau de l'interface en fonction de l'amplitude de déplacement (Figure 15).

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure 15 : Condition de glissement à force normale, géométrie et matériau donnés</figcaption></figure>

Suivant l'amplitude de déplacement les situations suivantes sont possibles :

* Si l'amplitude est inférieure à une amplitude seuil dite de transition $δ_t$, la condition de glissement est le glissement partiel. Le contact est caractérisé par une zone collée entourée d'une zone de glissement. Plus l'amplitude est élevée, plus les zones collées sont restreintes. Dans le cas d'un contact élastique, le cycle de fretting dans le plan force tangentielle-déplacement présente une forme elliptique. Théoriquement, la réponse macroscopique n'est pas purement linéaire à cause du glissement local ou de la déformation plastique des massifs. Cependant, pour de très faibles déplacements relatifs, la réponse mécanique tend à être linéaire, conduisant à des cycles très fermés. On retiendra enfin qu'en glissement partiel, le rapport entre l'amplitude de la force tangentielle et la force normale ne correspond pas à un coefficient de frottement. En effet, le chargement tangentiel est la résultat du frottement dans les zones de glissement mais aussi de l'accommodation élastique au niveau des zones collées. Le coefficient de frottement correspond alors au rapport local entre le cisaillement $q(x,y)$ et la pression $p(x,y)$ dans les zones en glissement effectif.

* Si l'amplitude est supérieure à l'amplitude à la transition $δ_t$, la condition de glissement total est activée. Le glissement est alors généralisé sur la totalité de
l'interface. Le cycle de fretting dans le plan force tangentielle-déplacement présente une forme trapézoïdale. L'amplitude de la force tangentielle est indépendante de l'amplitude de déplacement. Le coefficient de frottement peut alors être classiquement défini comme le rapport entre l'amplitude de la force tangentielle et la force normale appliquée.

La quantification de la condition de glissement est longtemps restée purement qualitative, fondée sur l'observation de la forme du cycle Q(t)-δ(t). Une forme elliptique est traditionnellement associée au glissement partiel alors qu'une forme trapézoïdale est associée à une condition de glissement total. Cette description qualitative est ambiguë et subjective, en particulier au voisinage de la transition. Pour éviter ces inconvénients, Fouvry (en 1997) a proposé trois critères quantitatifs de transition établi à partir du formalisme de Mindlin pour un contact sphère/plan élastique. La formulation de ces différents critères est illustrée dans la Figure 16.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 16 : Critères de transition permettant de quantifier la condition de glissement à partir d'un cycle de fretting (Fouvry 1997)</figcaption></figure>
* le critère énergétique A et le critère d'ouverture du cycle B dépendent de la compliance du montage mais présentent une grande stabilité en termes de détermination de la transition de glissement.

* le critère énergétique C, indépendant du montage, implique un appareillage de fretting très performant en raison de la faible différence entre les valeurs de $E_{d0}$ et de $E_d$.

La comparaison de A, B ou C avec les valeurs critiques associées (indépendantes du matériau) $A_t$, $B_t$, $C_t$ permet de définir la condition de glissement. Le suivi en fonction du temps de A ou B et du rapport entre la force tangentielle et la force normale, facilite d'autre part l'identification des mécanismes tribologiques intervenant au niveau de l'interface pour les différents régimes de glissement. Ce couplage permet en particulier d'accéder à la valeur du coefficient de frottement local en glissement partiel.

### 1.3.5 Cartes de dégradation en sollicitation de fretting

Pour intégrer l'évolution de la condition de glissement dans le temps, la notion de régime a été introduite (Vincent 1994) :

* le régime de glissement partiel est associé à une condition de glissement partiel constante,

* le régime de glissement total est associé à une condition de glissement total constante,

* le régime de glissement mixte est associé à une évolution de la condition de glissement durant l'essai.
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 17 : Approche « cartes » de fretting : a) carte de sollicitation locale, b) carte de réponse du matériau, (Fouvry 1997)</figcaption></figure>

Pour un matériau et une géométrie donnés, les cartes de régimes de sollicitations locales peuvent être tracées dans le plan amplitude de déplacement – force normale. Celles-ci permettent ainsi de définir différents domaines associés aux régimes de glissement. D'autre part, la plupart des auteurs (Fouvry 1997, Zhou 1992, Blanchard 1991, Pellerin 1990 et Vingsbo 1993) s'accordent pour dire que la fissuration est essentiellement observée dans les régimes de glissement partiel et régime mixte (stabilisée en glissement partiel). D'autre part l'usure est principalement observée pour les régimes de glissement total et mixte stabilisé en glissement total.

Dans les conclusions de sa thèse, Pellerin (Pellerin 1990) montre que les deux mécanismes de dégradation principaux que sont la fissuration et l'usure par formation de
débris peuvent être associés respectivement au glissement partiel et au glissement total. L'auteur en comparant l'évolution de la profondeur de fissuration d'un alliage de titane indique que le maximum de fissuration est observé pour les déplacements intermédiaires correspondant au régime de glissement mixte (Figure 18).

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 18 : Carte de réponse du matériau</figcaption></figure>

En glissement total, l'usure est beaucoup plus importante et les profondeurs de fissuration plus faibles. Il confirme ainsi, l'évolution observée par Waterhouse en 1981 en terme d'amplitude de débattement pour l'essai de fretting fatigue mais peut, grâce à une analyse critique de la condition de glissement, associer la dégradation à un régime de glissement donné.

### 1.3.6 Mécanismes de fissuration en fretting

Un endommagement par fissuration est souvent attribué au caractère cyclique de la sollicitation fretting ou de fretting fatigue. Il convient donc de considérer une approche « fatigue » du problème. L'approche la plus conventionnelle pour caractériser la tenue en fatigue d'un matériau est la détermination des courbes d'endurance. Les essais consistent à charger une éprouvette ou une structure simple sous sollicitations cycliques données et à noter le nombre de cycles à la rupture. En répétant l'essai pour des charges différentes, on obtient la courbe de Wöhler du matériau (courbe S-N). Dans le cas de l'essai uniaxial, on définit la limite d'endurance du matériau $\sigma_d$ comme étant l'amplitude de la contrainte qui ne provoque pas la rupture au bout d'un grand nombre
de cycles (10⁷ à 10⁹ cycles). L'indice -1 est relatif au rapport de charge entre la contrainte maximale et la contrainte minimale du cycle. Dans le cas présent il s'agit donc d'un chargement alterné. Toutefois cette approche reste globale. Souvent on lui préfère une approche plus physique du problème consistant à séparer les différents stades associés à l'amorçage et à la propagation des fissures.

### 1.3.7 Mécanismes d'amorçage de fissures en fretting

En général, la rupture des pièces succède à quatre phases de l'endommagement (Lemaître et Chaboche, 2004) :

* **Phase d'accommodation**: des concentrations de contraintes créent des microdéformations plastiques cycliques qui peuvent mettre en jeu des mouvements de dislocations et des élévations de température locales. Ces concentrations peuvent être générées au voisinage des défauts existants ou être induites par la géométrie de la pièce ou par le chargement appliqué.

* **Phase d'amorçage**: L'accommodation de déformations plastiques va induire l'amorçage d'une première fissure. Un point important qui caractérise l'amorçage est la longueur critique de la fissure amorcée. En général on considère une longueur de l'ordre 10 à 20 µm qui correspond à une limite de détection pour les systèmes d'observations conventionnels (microscope optique). Cette longueur correspond aussi et surtout à la dimension d'un grain. On retiendra que la phase d'amorçage est essentiellement contrôlée par le cisaillement.

* **Phase de propagation en mode II (stade I)**: une fois amorcée, la fissure va commencer à se propager. Cette phase initiale de propagation est principalement contrôlée par le cisaillement. Ainsi, la fissure va suivre un plan orienté à 45° par rapport à la direction de la contrainte principale maximale. La cinétique de propagation est contrôlée par une dynamique propre aux fissures courtes (Proudhon 2005). La fissure va ainsi traverser quelques grains.

* **Phase de propagation en mode I (stade II)**: Au delà d'une certaine longueur de fissuration qui dépendra du chargement imposé et de la nature du matériau (sensibilité relative au cisaillement et à la contrainte principale), la propagation est alors principalement gouvernée par le chargement de tension (contrainte principale maximale). On observe alors une rotation de la fissure (passage stade
I – stade II). La fissure propage alors suivant un mode I (stade II) perpendiculaire à la contrainte de traction ceci jusqu’à la rupture de la pièce (éprouvette).

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure 19 : Croissance d'une fissure de fatigue en stade I et II d'après (Forsyth, 1961)</figcaption></figure>

### 1.3.8 Analyse du comportement en fretting fatigue

Peu d'études en fretting fatigue se consacrent uniquement au problème de l'amorçage, qui est pourtant un aspect essentiel dans la plupart des situations industrielles. L'analyse est généralement qualitative, uniquement fondée sur l'expertise du site d'amorçage et de la direction de la première propagation. Nakasawa en 1992, pour une configuration plan-plan, indique que la position du site d'amorçage évolue en fonction de la condition de glissement (Figure 20). Pour les efforts normaux importants et des domaines de glissement faibles, le site d'amorçage se situe en bordure du contact. Au fur et à mesure de l'extension du domaine de glissement, on observe une multi-fissuration et une fissure principale plus rapprochée de la zone collée. Buckley en 1985 considère que l'amorçage se produit en bordure de contact, là où les contraintes de traction sont les plus élevées. Il se produit une déformation plastique locale caractérisée par le cisaillement de bande de glissement. Cette analyse se rapproche fortement de la description de Forsyth. D'autres, au contraire, positionnent le site d'amorçage au centre de la zone de glissement, (Kuno, 1989) ou même à la frontière avec le domaine collé.
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure 20 : Schéma de l'endommagement par fretting fatigue d'un contact plan-plan
(Nakasawa, 1992)</figcaption></figure>

L'analyse globale de nombreuses publications confirme la proposition de Nakasawa : il semble que le site d'amorçage principal dépend énormément de la condition de glissement et de l'extension du domaine de glissement et dans une certaine mesure des caractéristiques du matériau. La condition de glissement influe aussi sur le phénomène de multi-fissuration.

### 1.3.9 Critères multiaxiaux de fatigue polycyclique

Lorsqu'une structure est sollicitée de manière cyclique suivant une direction unique, il existe un seuil, en deçà duquel elle ne subit aucun endommagement. Ce seuil est la limite d'endurance déterminée à partir de la courbe de Wöhler. La plupart des chargements et en particulier les sollicitations de fretting sont multiaxiaux. Ceci implique une description multiaxiale de la fatigue. Un critère multiaxial de fatigue permet donc de distinguer parmi tous les trajets de chargement, ceux qui endommagent la structure. Suivant la nature de l'état limite de la structure, celle-ci sera sollicitée en fatigue oligocyclique (faible nombre de cycles), ou en fatigue polycyclique (grand nombre de cycles). Nous utiliserons des critères relatifs à ce dernier cas. En effet, notre étude concerne essentiellement la détermination de la condition de non amorçage à grand nombre de cycles (10⁶ cycles). Le tenseur de contraintes Σ(t) dans la structure est une fonction de temps périodique $t[Σ(t) = Σ(t + T)]$ donc les approches multiaxiales de fatigue semblent appropriées pour décrire l'amorçage des fissures. Comme pour un chargement de fatigue, un chargement de fretting présente les mêmes caractéristiques de
périodicité. La démarche multiaxiale peut ainsi être transposée. Nous verrons cependant que l'hétérogénéité (gradient de contraintes) du chargement de contact impliquera de prendre en compte des effets d'échelle.

Trois approches de fatigue multiaxiale peuvent être considérées :

• Approches « plan critique »

Cette démarche consiste à considérer que le premier site d'amorçage apparaît sur un plan critique du matériau pour lequel le chargement imposé dépasse un seuil limite. Il existe différentes formulations. Deux critères sont plus généralement appliqués : le critère de Mc Diarmid et le critère de Smith Watson Topper (SWT).

La formulation de fatigue de McDiarmid a été identifiée pour les nombreux essais expérimentaux de fatigue (McDiarmid 1994). Il suppose qu'une fissure s'amorce dans un plan critique $\vec{n}^*$ là où l'amplitude d'effort de cisaillement est la plus grande :

Plan critique $\vec{n}^*$ : $\max_{\vec{n}}\{\tau_a(\vec{n})\}$

$$ \text{Ou } \tau_a(\vec{n}) = \frac{1}{2} \max \left\{ \max \left[ \|(\Sigma(t) - \Sigma(t_0)) \cdot \vec{n}\|^2 - [\vec{n} \cdot (\Sigma(t) - \Sigma(t_0)) \cdot \vec{n}]^2 \right]^{1/2} \right\} \quad (6) $$

Pour prendre en compte l'impact de l'état de tension sur le plan critique, il faut considérer les deux amplitudes et le valeur moyenne de la tension appliquée.

$$ \sigma_{n,m}(\vec{n}^*) = \frac{1}{2} \left\{ \max_{t \in T}(\vec{n}^* \cdot \Sigma(t) \cdot \vec{n}^*) + \min_{t \in T}(\vec{n}^* \cdot \Sigma(t) \cdot \vec{n}^*) \right\} \quad (7) $$

$$ \sigma_{n,a}(\vec{n}^*) = \frac{1}{2} \left\{ \max_{t \in T}(\vec{n}^* \cdot \Sigma(t) \cdot \vec{n}^*) - \min_{t \in T}(\vec{n}^* \cdot \Sigma(t) \cdot \vec{n}^*) \right\} \quad (8) $$

Basée sur une représentation d'ellipsoïde de Gough-Pollard, la condition de non amorçage est exprimée par la relation :

$$ \left[ 1 - \left( \frac{\sigma_{n,m}(\vec{n}^*)}{(\sigma_u / 2)} \right) \right]^{-1/2} \cdot \tau_a(\vec{n}^*) + \alpha_{MD} \cdot \sigma_{n,a}(\vec{n}^*)^{3/2} \le \tau_d \quad (9) $$

où,

$$ \alpha_{MD} = \left[ \frac{\tau_d - (\sigma_d / 2)}{(\sigma_d / 2)^{3/2}} \right] \quad (10) $$

Le risque d'amorçage des fissures peut être quantifié par une variable scalaire :
$$d_{MD} = \frac{\tau_a(\bar{n}^*)}{\left[1 - \left(\frac{\sigma_{n,m}(\bar{n}^*)}{(\sigma_u/2)}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{1}{2}} \cdot \{\tau_d - \alpha_{MD} \cdot \sigma_{n,a}(\bar{n}^*)^{3/2}\}} \quad (11)$$

Les conditions d'amorçage sont alors exprimées:

* si $d_{MD}$ est supérieur ou égal à 1, il existe un risque d'amorçage,

* si $d_{MD}$ est inférieur à 1, le risque d'amorçage n'existe pas.

Le critère de fatigue de Smith-Watson-Topper (SWT) a été également identifié à partir de l'observation expérimentale de l'amorçage (Smith et al. 1970). L'amorçage d'une fissure de fretting se produit dans le plan critique qui maximise le produit entre l'amplitude de déformation normale $\epsilon_a$ et la contrainte normale maximale $\sigma_{max}$ au cours d'un cycle de fretting. Le paramètre SWT $\Gamma$ peut s'écrire comme :

$$\Gamma = \sigma_{\max} \times \epsilon_a = \frac{(\sigma'_f)^2}{E} (2N)^{2b'} + \sigma'_f \epsilon'_f (2N)^{b'+c'} \quad (12)$$

où $\sigma'_f$ est le coefficient de tenue en fatigue, $b'$ est l'exposant de déformation de fatigue, $\epsilon'_f$ est le coefficient de ductilité en fatigue, $c'$ est l'exposant de ductilité en fatigue et $N$ le nombre de cycles considérés.

Pour normaliser le risque d'amorçage, le paramètre scalaire $d_{SWT}$ peut être introduit :

$$d_{SWT}(N) = \frac{\max(\sigma_{\max} \times \epsilon_a)}{\frac{(\sigma'_f)^2}{E} (2N)^{2b'} + \sigma'_f \epsilon'_f (2N)^{b'+c'}} \quad (13)$$

et

$$d_{SWT}(N) = 0 \text{ si } \Gamma \le 0$$

Les conditions d'amorçage sont alors exprimées:

* si $d_{SWT}$ est supérieur ou égal à 1, l'amorçage est censé se produire au bout de N cycles,

* si $d_{SWT}$ est inférieur à 1, il n'y a pas de risque d'amorçage pour les N cycles considérés.
• Approches « tensorielles »

Une seconde approche est basée sur l'analyse des invariantes des contraintes. Le critère le plus utilisé suivant ce principe est le critère de Crossland (1956).

La description du critère de Crossland considère le chemin de chargement macroscopique. Le critère de fissure est exprimé comme une combinaison linéaire du maximum d'amplitude de la deuxième invariante du déviateur $\sqrt{J_2(t)}$ de contraintes et de la valeur maximale de la pression hydrostatique pendant le chemin de chargement.

$$ \xi_a + \alpha_c P_{h \max} < \tau_d \quad (14) $$

où

$$ \alpha_c = \frac{\tau_d - \sigma_d / \sqrt{3}}{\sigma_d / 3} \quad (15) $$

est le maximum des contraintes hydrostatiques

$$ P_{h \max} = \max_{t \in T} \left\{ \frac{1}{3} \mathrm{tr}[\Sigma(t)] \right\} \quad (16) $$

est l'amplitude de $\sqrt{J_2(t)}$ définie à partir de double maximisation par le cycle

$$ \xi_a = \frac{1}{2} \max_{t_0 \in T} \left\{ \max_{t \in T} \left[ \frac{1}{2} (S(t) - S(t_0)) : (S(t) - S(t_0)) \right]^{1/2} \right\} \quad (17) $$

où S est la partie déviatrice de tenseur $\Sigma$ et le symbole : exprime le produit scalaire pour deux tenseurs. Le critère d'amorçage peut être quantifié par une variable:

$$ d_c = \frac{\xi_a}{\tau_d - \alpha_c P_{h \max}} \quad (18) $$

Si $d_c$ est plus grand ou égal à 1, il y a un risque d'amorçage de fissure, si $d_c$ est plus petit que 1 il n'y a pas de risque d'amorçage

Les conditions d'amorçage sont alors exprimées:

* si $d_c$ est supérieur ou égal à 1, il existe un risque d'amorçage,

* si $d_c$ est inférieur à 1, le risque d'amorçage n'existe pas.

• Approches « microscopiques »

Une troisième approche plus physique intègre dans sa formulation l'impact des mécanismes locaux d'adaptation, il s'agit des critères basés sur la démarche Ky Dang Van.
L'approche fatigue de Dang Van considère que l'amorçage de première fissure est observé dans un grain qui présente une direction de plan de glissement facile en ce qui concerne la direction macroscopique de chargement (Dang Van 1993). Entouré par une matrice élastique, le grain subira d'abord une déformation plastique avant d'atteindre un état élastique d'adaptation. La stabilisation élastique et le durcissement associés à la plasticité initiale correspondent à l'introduction d'un tenseur résiduel local $\rho^*$. Le chargement local stabilisé de tenseur $\hat{\sigma}(t)$ de chargement imposé au grain sur lequel l'analyse de fatigue doit être exécutée est par conséquent défini comme la somme du chargement macroscopique et du chargement résiduel stabilisé $\rho^*$:

$$ \hat{\sigma}(t) = \Sigma(t) + \rho^* \qquad (19) $$

A partir du tenseur local de chargement $\hat{\sigma}(t)$, les deux composantes microscopiques de chargement : l'amplitude de cisaillement appliquée sur un plan défini par la normale $\bar{n}$, $\hat{\tau}(\bar{n}, t)$, et la pression hydrostatique $\hat{p}_h(t)$, sont déterminées. La condition de non amorçage est alors exprimée par une double maximisation en ce qui concerne l'orientation de plan $\bar{n}$ et l'évolution du temps (t) au cours de la période T.

$$ \max_{\bar{n}} \left\{ \max_{t \in T} \left[ \| \hat{\tau}(\bar{n}, t) \| + \alpha_{DV} \cdot \hat{p}_h(t) \right] \right\} < \tau_d \qquad (20) $$

Afin de quantifier le risque d'amorçage au travers d'une variable scalaire plus simple à manipuler, Dang Van introduit le paramètre :

$$ d_{DV} = \max_{\bar{n},t} \left\{ \frac{\| \hat{\tau}(\bar{n}, t) \|}{\tau_d - \alpha_{DV} \cdot \hat{p}_h(t)} \right\} \qquad (21) $$

avec

$$ \alpha_{DV} = \frac{\tau_d - \sigma_d / 2}{\sigma_d / 3} \qquad (22) $$

où

$\sigma_d$ est la limite de fatigue en flexion alternée en MPa,

et

$\tau_d$ est la limite de fatigue en torsion alternée en MPa.

Les conditions d'amorçage sont alors exprimées:

- si $d_{DV}$ est supérieur ou égal à 1, il existe un risque d'amorçage,

- si $d_{DV}$ est inférieur à 1, le risque d'amorçage n'existe pas.
En 1994 Papadopoulos propose une modification du critère de Dang Van. Il propose de prendre en compte la valeur moyenne de l'amplitude de la cussion mésoscopique résolue T (Figure 21).

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Figure 21: Définition de la cussion résolue T le long de la direction $\bar{m}$</figcaption></figure>

La valeur moyenne de la cussion T est définie comme :

$$ \sqrt{\langle T_a^2 \rangle} = \sqrt{5} \sqrt{\frac{1}{8\pi^2} \int_{\varphi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{x=0}^{2\pi} (T_a(\varphi, \theta, x))^2 dx \sin\theta d\theta d\varphi} \quad (23) $$

où $(\theta, \varphi)$ sont les angles qui définissent la direction de la normale $n$ et l'angle $\chi$ définit l'orientation de la ligne (0, m) sur le plan $\Delta$.

L'auteur considère que tous les plans contribuent à l'amorçage, l'intégrale de l'amplitude de la cussion résolue moyenne est alors introduite :

$$ \sqrt{\langle T_a^2 \rangle} + \max_{\bar{n},t}\{\alpha_p \cdot \hat{p}_h(t)\} < \tau_d \quad (24) $$

Alors le risque d'amorçage est défini par une valeur scalaire $d_p$ :

$$ d_p = \frac{\sqrt{\langle T_a^2 \rangle}}{\max_{\bar{n},t}\{\tau_d - \alpha_p \cdot \hat{p}_h(t)\}} \quad (25) $$

avec

$$ \alpha_p = \frac{3\tau_d}{\sigma_d} - \sqrt{3} \quad (26) $$

où

$\sigma_d$ est la limite de fatigue en flexion alternée en MPa,

et
$\tau_d$ est la limite de fatigue en torsion alternée en MPa.

Les conditions d'amorçage sont alors exprimées:

- si $d_p$ est supérieur ou égal à 1, il existe un risque d'amorçage,

- si $d_p$ est inférieur à 1, le risque d'amorçage n'existe pas.

Dans le cadre de cette étude, les trois critères seront utilisés : Crossland, Dang Van et Papadopoulos.

### 1.3.10 Application de critères aux problématiques du fretting

Une approche proposée par Petiot en 1994 consiste à transposer des approches classiques multiaxiales de l'amorçage en fatigue (critère de Dang Van) dans le contact soumis au fretting fatigue. Le risque de fissuration est évalué en définissant le trajet de chargement imposé dans le contact à partir duquel on calcule un critère d'amorçage. Spécifique à la condition d'amorçage à grand nombre de cycles, le critère de Dang Van détermine le risque en combinant le chargement de tension et de cission. Définie à partir du chargement complexe, cette combinaison peut être comparée aux limites d'endurance de flexion et de torsion alternées de façon à extraire une variable d capable de quantifier le risque : si d est supérieur à 1, il y a amorçage. La distribution de ce risque permet aussi de localiser le site de premier amorçage.
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure 22 : Evolution du trajet de chargement définie par la pression hydrostatique et la cission</figcaption></figure>

Le calcul de l'amorçage consiste à calculer le trajet de chargement en utilisant un modèle d'Eléments Finis, extrait des champs des contraintes et du calcul du risque d'amorçage. Petiot (Petiot 1994) valide le critère de Dang Van en contact fretting fatigue en comparant le calcul à l'expertise des éprouvettes.

Pour la première fois en 1996 Szolwinski et Farris ont utilisé le critère SWT pour la prédiction de l'amorçage de fissures en fretting fatigue. Mais les résultats des prédiction apparaissent peu satisfaisants.

On peut noter que pour une prédiction fiable du risque d'amorçage des fissures, l'approche de fatigue locale, basée sur l'analyse des contraintes locales, doit être remplacée par la description de fatigue non locale considérant des chargements moyens sur le volume élémentaire $\Gamma_v$ (Figure 23).
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 23: L'approche « contraintes moyennes » sur volume élémentaire (Fouvry 2000)</figcaption></figure>

Cette approche proposée par Fouvry en 1997 a montré qu'en calcul élastique le volume critique de micro-volume élémentaire qui permet une prédiction fiable du risque d'amorçage peut être équivalent à la taille de grain.

Dans une évolution de l'approche Fouvry, la valeur moyenne des contraintes à été proposée par Naboulsi et Mall en 2003 et un modèle d'Eléments Finis des essais fretting fatigue a été utilisé. Dans la zone de contact la valeur du paramètre d de critères a été calculée et en suite une valeur moyenne dans un micro-volume élémentaire a été établie. La valeur du critère est alors obtenue à partir de ces valeurs localement calculées.

Le contact étudié est caractérisé par un champ de contraintes avec un gradient très sévère, qui croît avec l'augmentation de pression dans le contact, le calcul du critère multiaxial de fatigue montre que le risque d'amorçage de fissures suit l'augmentation de la pression. Une approche du gradient des contraintes développé par Proudhon en 2005 présente des résultats très intéressants. L'auteur pour le calcul de volume-élémentaire propose la formule suivante :

$$lv = (a_h - c) \cdot \gamma \qquad (27)$$

où la taille de volume-élémentaire dépend de la longueur de la zone glissante (a<sub>h</sub>-c). Cette approche a été validée pour différents alliages d'aluminium mais présente une certaine instabilité pour l'acier. Une modification de cette approche sera proposée. En effet, le critère de Crossland couplé à l'utilisation du volume critique pour le calcul de
l'effet d'échelle n'est pas capable de prédire précisément la frontière d'amorçage
expérimentale. Cet écart met en doute la validité physique du calcul en particulier dans
sa capacité à capturer les effets de la pression hydrostatique. En développant l'effet de
P, on s'aperçoit que pour deux niveaux de pression P₂ > P₁ et une même force
tangentielle Q*₁ = Q*₂, la taille du volume critique par rapport au contact est modifiée.
Sur la Figure 24, sont tracées les distributions de pression p et de cisaillement q de
contact pour deux valeurs différentes de la charge normale.

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Figure 24: Changement de la zone glissante et gradient de contraintes en fonction de la pression du contact (d'après Proudhon 2005)</figcaption></figure>

Sur les deux tracés de cette figure, il apparaît que la sévérité du gradient de contrainte est différente malgré une valeur constante de Q*.

Une description du modèle sera introduite et explicitée dans le chapitre 4 pour
appréhender les mécanismes d'amorçage pour des sollicitations de fretting et fretting
fatigue.

1.4 Analyse bibliographique des mécanismes de propagation des fissures

L'endommagement par fretting peut se découpler en quatre étapes bien distinctes :

* une phase d'amorçage : qui correspond à l'initiation des premières microfissures au sein du matériau,

* une phase de propagation dans le domaine des fissures courtes : la propagation dans le premiers grains est alors très influencée par la microstructures (cinétique instable liée au franchissement des joints de grain (Zhai 2000, Proudhon 2006),
* une phase de propagation dans le régime des fissures longues : les fissures vont croître de façon stable au fur et à mesure des cycles imposés. L'effet de la microstructure est alors moins marqué,

* une phase de rupture : là où les fissures ont atteint une taille qui provoque la rupture de la pièce.

On retiendra que si les conditions de fretting wear et fretting fatigue permettent d'étudier les trois première phases, seule la sollicitation de fretting fatigue permet d'aborder le stade ultime de la rupture.

### 1.4.1 Notion du Facteur d'Intensité de Contraintes

La direction macroscopique de propagation d'une fissure est généralement perpendiculaire à la contrainte qui contribue à l'ouverture de la fissure. Cette configuration est appelée mode d'ouverture (mode I). Deux autres modes de propagation existent (Figure 25) : le mode de cisaillement plan (mode II) et le mode de cisaillement anti-plan (mode III).

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Figure 25 : Les différents modes de fissuration</figcaption></figure>

Pour les modes I et II, on peut avoir un état de contrainte plane ou un état de déformation plane. En ce qui concerne le mode III seul l'état de déformation plane existe. L'état de contrainte plane existe dans des plaques minces et au voisinage des surfaces épaisses tandis que l'état de déformation plane apparaît au centre des plaques épaisses.

Au début des années 60, la description de la propagation des fissures de fatigue fait déjà appel à des mécanismes microscopiques comme la plasticité en fond de fissure. Fondé sur une description analytique de l'état de contrainte en pointe de fissure, le facteur d'intensité de contrainte K, introduit pour la première fois par Irvin en 1957, s'impose vite comme un paramètre déterminant pour la prédiction de la durée de vie en propagation par fatigue. La
désormais célèbre loi expérimentale de Paris, permet de calculer la vitesse de propagation d'une fissure connaissant la variation du facteur d'intensité de contrainte K en avant de pointe de la fissure. La voie est alors ouverte pour la théorie de la Mécanique Élastique Linéaire de la Rupture (MELR) qui se base sur le calcul du facteur d'intensité de contrainte. Celle-ci facilite le dimensionnement et permet une estimation de la durée de vie en propagation. Différents développements seront réalisés ultérieurement pour étendre son champ d'application et intégrer différents aspects tels que la plasticité, les phénomènes de fermeture de fissure, et même les effets de fissures courtes.

Pour une fissure placée dans une plaque infinie soumise à une charge σ (Figure 26), on peut calculer un développement asymptotique du champ de contrainte en un point situé à une distance r de la pointe de la fissure (r << a).

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Figure 26 : Fissure en mode I dans une plaque infinie, définition du système de coordonnées en front de fissure</figcaption></figure>

On obtient pour le mode I :
$$
\left\{
\begin{aligned}
\sigma_x &= \frac{\sigma\sqrt{\pi a}}{\sqrt{2\pi r}} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left(1 - \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \sin\left(\frac{3\theta}{2}\right)\right) \\
\sigma_y &= \frac{\sigma\sqrt{\pi a}}{\sqrt{2\pi r}} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left(1 + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \sin\left(\frac{3\theta}{2}\right)\right) \\
\sigma_z &= \frac{\sigma\sqrt{\pi a}}{\sqrt{2\pi r}} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \sin\left(\frac{3\theta}{2}\right)
\end{aligned}
\right.
\qquad (28)
$$

Le point remarquable de cette solution est que le terme $\sigma\sqrt{\pi a}$ apparaît dans toutes les composantes du tenseur des contraintes. La distribution des contraintes et des déformations en pointe de fissure, est donc indépendante de la géométrie de la fissure et de la charge appliquée. Seule l'intensité du champ en est directement dépendante. On exprime l'équation sous la forme plus générale :

$$ \sigma_{i,j} = \frac{K}{\sqrt{2\pi r}} \times f_{i,j}(\theta) \qquad (29) $$

où K représente le facteur d'intensité de contrainte du mode considéré :

$$ K = \sigma\sqrt{\pi a} \qquad (30) $$

## 1.4.2 Cinétique de propagation des fissures en fretting fatigue

Paris en 1963 a introduit une courbe permettant de quantifier la vitesse de fissuration en fonction de la variation du facteur d'intensité de contrainte. Cette courbe prédit alors un arrêt de fissuration à partir d'un $\Delta K_{seuil}$ et une rupture du matériau au delà d'une certaine valeur du facteur d'intensité maximal $K_{max}=K_c$. Entre l'arrêt de la fissuration et la rupture du matériau on observe une domaine où le logarithme de la vitesse de fissuration da/dN évolue de façon linéaire vis-à-vis du logarithme du $\Delta K$ (Figure 27).
<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>Figure 27 : Diagramme de Paris représentant la vitesse de fissuration en fonction de la variation du facteur d'intensité de contrainte pour un rapport R=const.</figcaption></figure>

La loi de Paris correspond à une formulation de l'évolution linéaire (partie droite) de la courbe. Cependant, cette formulation n'intègre pas les fissures courtes de quelques microns. Néanmoins, de nombreux auteurs utilisent abusivement cette formulation pour analyser les cinétiques de fissuration dans le domaine des fissures courtes. La formulation de la loi de Paris est exprimée par la relation suivante :

$$ \frac{da}{dN} = C * (\Delta K)^m \qquad (31) $$

où a est la longueur de fissure et N le nombre de cycles. Les constantes C et m sont des données liées au matériau utilisé.

Afin d'observer l'extension de la fissuration en fonction du nombre de cycles, une transformation de la loi de Paris puis son intégration nous permettent d'établir la durée de vie :

$$ N = \int_{a_0}^{a} \frac{da}{C * (\Delta K)^m} + N_0 \qquad (32) $$

$a_0$ correspond à la fissure initiale obtenue au bout de $N_0$ cycles.

Notons ici que c'est une loi empirique basée sur une démarche expérimentale et vérifiée dans de nombreuses situations. Nous verrons dans le chapitre 5 que la détermination du ΔK implique de considérer différents aspects tels que les phénomènes de fermeture des fissures
(Pommier 2002), le frottement entre les lèvres des fissures (Doquet 2006) et surtout le comportement élastoplastique (Pommier 2003, Yameogo 2004).

### 1.4.3 Influence du rapport de charge et ouverture de fissure

Cette influence se traduit expérimentalement par un décalage des courbes de fissuration sur un diagramme de Paris vers la gauche lorsque R croît. En d'autres termes, pour une valeur de $\Delta K$ donnée, un rapport R élevé se traduit par une vitesse de propagation plus forte (Klesnil et Lucas 1972).

L'influence du rapport R s'explique sur la base des travaux d'Elber. Cet auteur a mis en évidence expérimentalement que, même dans le cas d'un chargement globalement en tension en mode I, une fissure de fatigue pouvait rester fermée pendant une partie du cycle. Considérant qu'une fissure ne peut progresser que lorsqu'elle est complètement ouverte, il en déduit que seule une partie du cycle appliqué est efficace du point de vue de la propagation (Figure 28).

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>Figure 28 : Définition de la partie efficace du cycle de chargement (Elber 1971)</figcaption></figure>

Cette partie efficace est définie par :

$$ \Delta K_{\text{eff}} = K_{\text{max}} - K_{\text{ouv}} \qquad (33) $$

Elber attribuait l'origine du phénomène de fermeture aux contraintes résiduelles de compression dans le sillage de la fissure. De nombreuses études ont été menées depuis lors sur la fermeture et ont fait apparaître plusieurs causes principales présentées sur la Figure 29.
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Figure 29 : Représentation schématique des différents mécanismes de fermeture, induite par la plasticité, l'oxydation ou la rugosité. $K_{cl} > K_{min}$ est le facteur d'intensité de contrainte à la fermeture de fissure (d'après Ritchie 1982)</figcaption></figure>

* La fermeture induite par la plastification représente l'explication avancée originellement par Elber. Cette source de fermeture est prédominante aux valeurs élevées de K et dans des conditions proches de l'état de contraintes planes. Elle tend à s'atténuer au voisinage du seuil où l'état de déformations planes prévaut.

* La fermeture induite par l'oxydation des surfaces est prépondérante au voisinage du seuil. Pour les aciers, des mesures de couche d'oxyde sur les surfaces rompues ont montré que cette couche s'épaissit au fur et à mesure que la vitesse de propagation diminue. Près du seuil, elle atteint une taille comparable au déplacement relatif des lèvres de la fissure au cours d'un cycle. Cette surépaisseur d'oxyde serait liée à un phénomène de "fretting" des surfaces dû aux déplacements en mode II.

* La fermeture induite par rugosité est liée au profil parfois sinueux des fissures de fatigue au voisinage du seuil associé au déplacement en mode II apparaissant près du seuil.

Il faut noter que les différents types de fermeture sont aussi fortement liés aux propriétés intrinsèques du matériau (limite élastique, taille de grain...).

### 1.4.4 Transition de fissures courtes et fissures longues

L'incapacité de la mécanique de la rupture en élasticité linéaire LEFM (Linear Elastic Fracture Mechanics) à caractériser le comportement des fissures très courtes est attribuée en particulier au fait que les champs de contraintes élastiques ne peuvent pas décrire
correctement les champs de déformation importante à la pointe des petits défauts dans des matériaux fortement contraints. Pour bien comprendre le comportement des fissures courtes, Miller en 1993 commence par distinguer trois types de fissures :

* les fissures microstructuralement courtes pour lesquelles la longueur de fissure est de l'ordre de grandeur des caractéristiques métallurgiques (taille de grain par exemple),

* les fissures physiquement courtes dont les longueurs varient de 50 à 500 µm,

* et les fissures longues pour lesquelles a est supérieur à une certaine valeur (500 µm) et dont le comportement peut être décrit par la LEFM pour des niveaux de contrainte faibles ou par la mécanique de la rupture élasto-plastique (EPFM) pour des niveaux de contrainte élevés.

La difficulté majeure est cependant de déterminer les frontières de ces trois régimes. Kitagawa et Takahashi (1976) ont proposé une présentation des comportements en fatigue, pour des niveaux de contraintes faibles et élevées, dans un diagramme rappelé sur la Figure 30 qui montre les seuils entre les fissures propageantes et non-propageantes.

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>Figure 30 : Diagramme de Kiragawa-Takahashi</figcaption></figure>

Sur ce diagramme on distingue deux droites :

* la première, horizontale, correspond à la limite de fatigue,

* la deuxième, correspond au seuil de propagation des fissures longues.

La zone inférieure, délimitée par ces droites, représente les conditions pour lesquelles une fissure ne se propage pas. Le point d'intersection permet de distinguer le régime des fissures mécaniquement courtes, de celui des fissures longues. Brown en 1986 a construit un diagramme de ce type pour un acier à 0,4% de carbone. Ce diagramme, représenté sur la
Figure 31, montre les ordres de grandeur des différentes barrières pour un matériau très proche de celui que nous étudions.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>Figure 31 : Diagramme de Kitagawa pour un acier à 0.4% de carbone (d'après Brown 1986)</figcaption></figure>

De nombreux auteurs ont montré que les fissures courtes ont un comportement différent de celui des fissures longues. En effet, elles se propagent en dessous du $\Delta K_{seuil}$ des fissures longues et peuvent avoir, pour un même $\Delta K$, des vitesses supérieures à celles des fissures longues.

Bleuzen en 1988 résume les différentes étapes de fissuration transposées aux courbes de Wöhler en fonction des conditions de sollicitation de fretting fatigue et de la durée de l'essai (Figure 32).
<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>Figure 32 : Schématisation du processus conduisant à la rupture des éprouvettes de fretting fatigue (Bleuzen, 1988)</figcaption></figure>

L'expertise des faciès de dégradation montre deux types de fissures, les fissures courtes de quelques dizaines de microns et des fissures longues qui se propagent. Les conditions d'apparition de ces deux dégradations ne sont pas les mêmes. Les fissures courtes sont observées pour des sollicitations inférieures aux conditions induisant la propagation de fissures longues. Confrontés à des problèmes de rupture de pales sur des générateurs électriques, Nix et Lindley (Nix, 1985 et 1988) montrent qu'il est primordial de définir la condition pour laquelle une fissure courte, déjà, initiée va se propager. Ils observent en particulier la présence de fissures courtes même au-dessous de la limite d'endurance définie par les courbes de Wöhler en fretting fatigue.

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>Figure 33 : Allure caractéristique des courbes de propagation de fissures courtes de fatigue par rapport aux fissures longues (Irwin 1960)</figcaption></figure>
Dowling a corrélé les vitesses de fissurations de fissures longues et courtes (au sens mécanique) en fonction de l'intégrale de conteur ΔJ (Dowling 1976). Dans ce travail, l'extension de fissure est mesurée par réplique et l'intégrale J est évaluée à l'aide des boucles contrainte-déformation du matériau. Dowling et Begley proposent alors une loi de propagation similaire à la loi de Paris dans sa forme (Dowling 1977) :

$$ \frac{da}{dN} \propto \Delta J^{m'} \qquad (34) $$

L'approche est pertinente car elle permet de tracer un continuum entre le régime des fissures courtes et celui des fissures longues.

Une approche plus pratique a été proposée récemment par Vormwald (Döring et Vormwald 2006). La durée de vie en fatigue est calculée au travers d'une expression de type loi de Paris de façon à exprimer la vitesse de propagation de la fissure en fonction de l'intégrale J :

$$ \frac{da}{dN} = C' \cdot (\Delta J)^{m'} \qquad (35) $$

Les paramètres du matériau de cette équation sont identifiés dans le domaine des fissures courtes.

El Haddad en 1979 propose une extension de la mécanique de la rupture dans le domaine des fissures courtes. Une relation entre ΔJ et ΔK est ainsi exprimée :

$$ \Delta J = \frac{\Delta K^2}{\left( \frac{E}{1 - v^2} \right)} \qquad (36) $$

L'application de cette relation présente certaines limitations, elle concerne la domaine élastique et elle est linéaire jusqu'à la valeur ΔJ<5.

### 1.4.5 Condition d'arrêt de propagation des fissures en fretting

Pour des chargements de fretting fatigue, la limite d'endurance peut être soit fonction de la condition d'amorçage soit dépendre de la condition limite d'arrêt de fissuration. Comme indiqué par les travaux de Nix en 1982, pour certaines conditions de fretting fatigue la limite d'endurance ne correspond pas au seuil d'amorçage mais plutôt à une condition d'arrêt de propagation des fissurations. Hirakawa et Toyama (Hirakawa, 1994) observent des résultats similaires pour l'étude de la fissuration induite par fretting sur les surfaces des axes où sont frettées des roues de chemin de fer. Ils montrent en outre l'effet bénéfique d'une contrainte
résiduelle de compression sur la propagation (Figure 34) et aussi l'existence de conditions d'arrêt de fissuration.

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>Figure 34 : Seuils d'amorçage et de propagation en fonction des contraintes résiduelles en surface des axes (Hirakawa, 1994)</figcaption></figure>

Le fretting est caractérisé par de très forts gradients de contraintes. Comme indiquée par les travaux Nix et Hirakawa la problématique est liée au comportement des fissures courtes. Les travaux de El Hadad ont montré que des fissures courtes pouvaient se propager pour des valeurs de $\Delta K$ inférieures au $\Delta K_{seuil}$ identifiée pour des fissures longues. En s'inspirant de l'approche Kitagawa et en considérant une longueur critique associée à une transition entre fissures courtes et longues, ces auteurs ont introduit une correction de seuil d'arrêt de fissuration pour les fissures courtes telles que :

* si $a>a_Ø$ (fissures longues) $\Delta K_{th}= \Delta K_Ø$,

* si $a< a_Ø$ (fissures courtes) $\Delta K_{th}= \Delta K_Ø \cdot \sqrt{a/a_Ø}$.

Reprenant cette formation en 1999 Araujo et Nowell ont développé un formalisme permettant d'appréhender la condition d'arrêt de fissuration en fretting fatigue. Cette méthodologie dans le domaine des fissures courtes ($a<a_Ø$) introduit une frontière d'arrêt de propagation des fissures sous la forme suivante :
$$ \Delta K_{\text{th}} = \Delta K_{\phi} \cdot \sqrt{\frac{a}{a_{\phi}}} \qquad (37) $$

où a exprime la longueur de fissure, $a_0$ la longueur critique de fissures courtes ($a<a_0$ – fissures courtes, $a>a_0$ – fissures longues), $\Delta K_{\text{th}}$ le seuil de propagation des fissures courtes, $\Delta K_{\text{seuil}}$ le seuil d’arrêt de propagation de fissures longues.

La représentation graphique de cette méthodologie est montrée sur la Figure 35.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>Figure 35 : Méthodologie des fissures courtes (Araujo et Nowell, 1999)</figcaption></figure>

Suivant l'évolution du paramètre $\Delta K/\Delta K_0$ pour une fissure courte les deux cas suivants sont possibles :

* si l'évolution du facteur d'intensité de contraintes entre dans une région de non propagation la fissure s'arrête,

* si l'évolution du FIC passe au-dessus de la région de non propagation la fissure propage jusqu'à la rupture de la pièce.
<figure><img src="image_46.png" /></figure>
# Chapitre 3

## Positionnement scientifique et démarche expérimentaux
<figure><img src="image_47.png" /></figure>
## 1.5 Positionnement de l'étude vis-à-vis de la problématique fretting fatigue axe-essieu/roue

La problématique du fretting fatigue des roues frettées n'est pas nouvelle. En fait depuis des décennies les sociétés SNCF et Valdunes travaillent sur cet aspect. Différents essais technologiques ont été mis en œuvre et ont permis d'acquérir une expérience pour la conception des portes de calage. Différents abaques et lois empiriques, fondés sur les conditions de serrage et la géométrie de la porte de calage, ont ainsi été établis. Ces relations permettent de concevoir des axes pour lesquels le risque d'endommagement est parfaitement maîtrisé. On retiendra par exemple que SNCF ne déplore aucun accident de TGV pour cause de fissuration par fretting fatigue. De façon à optimiser leurs méthodes de conception les sociétés SNCF et Valdunes ont soutenu un projet de recherche portant sur la modélisation numérique complète de l'essai technologique axe essieu /roue à échelle 1/3. Ainsi, dans le cadre de la thèse de A. Yameogo (ECP) une modélisation 3D complète intégrant le processus de frettage puis les chargements cycliques de roulage a été mise en œuvre. On retiendra que l'application directe de modèles d'amorçage et propagation des fissures ont permis de retracer les grandes lignes des principes de conception établis par des modèles empiriques.

Cependant si le modèle numérique permet d'appréhender la complexité du chargement réel, il reste tributaire de la stabilité des modèles d'endommagement qui lui sont appliqués. La robustesse de la prédiction numérique du risque de fissuration est désormais fonction de la réponse aux deux questions suivantes :

* Comment prédire le risque d'amorçage indirectement et comment intégrer l'impact des effets d'échelle associés aux gradients de chargement et à la microstructure ?

* Comment prédire la condition d'arrêt de fissuration et indirectement comment intégrer les processus de propagation respectivement en régime de fissures courtes et régime de fissures longues ?

Ce sont ces deux questions qui ont motivé ce travail de recherche et en particulier la démarche expérimentale, aspect essentiel de ce travail.
## 1.6 Définition de la configuration de contact

Les travaux de A. Yameogo ont montré les limites d'une recherche conduite sur un essai technologique basé sur une roue frettée. En effet la mise en place de modèles physiques de l'endommagement requiert de dissocier les chargements de contact et de fatigue ce qui n'est pas possible sur l'essai 'flexion rotative' d'une bague frettée. L'étude bibliographique du chapitre 2 a montré que les essais conventionnels de fretting wear et fretting fatigue, considérés séparément, restent imparfaits. L'essai de fretting wear permet d'analyser l'amorçage et les phases initiales de la propagation. Il ne prend pas en compte le chargement de fatigue et ne permet pas d'appréhender la globalité des phases de propagation. L'essai de fretting fatigue conventionnel permet de superposer la globalité des chargements mais sa forme actuelle ne permet pas de découpler les chargements de fretting et de fatigue.

Cette analyse critique nous a conduit à mettre en œuvre une approche originale qui consiste à coupler des résultats issus d'essais de fretting wear et d'essais de fretting fatigue. Ainsi pour la première fois le couplage de ces deux essais nous a permis d'affiner l'analyse respective des chargements de contact et de fatigue sur le processus 'fretting fatigue'. Un second volet de cette démarche expérimentale a été le développement d'un nouvel essai de fretting fatigue permettant d'étudier de façon découplée les sollicitations de fretting et de fatigue.

Nous verrons que ce développement donnera lieu à un nouveau concept de carte de Réponse du Matériaux en Fretting-Fatigue. De façon à pouvoir modéliser simplement les endommagements la configuration cylindre/plan a systématiquement été appliquée pour les essais de fretting wear et fretting fatigue. Un même jeu de géométries a été appliqué pour ces deux types d'essais de façon à en faciliter l'analyse. Différents rayons de cylindre ont cependant été considérés dans l'analyse en fretting wear de façon à étudier l'impact de l'effet d'échelle. Facile à formaliser, le contact 2D cylindre/plan est cependant éloigné de la situation réelle du contact réel. Ce dernier induit deux pics de pression en chaque bord du contact (Figure 36).
<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>Figure 36 : Profil de pics de pression dans le contact réelle axe essieu/roue (normalisé $p_{nom}=XX$ MPa), calcul en Eléments Finis (Yameogo 2004)</figcaption></figure>

De façon à établir un lien avec la réalité du contact industriel, nous avons mis en œuvre des contacts cylindre/plan hertziens qui se rapprochent d'un des pics du contact réel. Cette similitude a été appliquée en imposant des pressions maximales équivalentes à celles calculées et d'autre part en mettant en œuvre des rayons de cylindre importants de façon à se rapprocher de la largeur latérale des pics du contact réel.
<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Figure 37 : Comparaison entre le contact réel (a) et les contacts cylindre/plan mis en œuvre durant cette étude (b)</figcaption></figure>

Les chargements que nous avons ainsi étudiés sont :

* pression maximale hertzienne dans le contact ($p_0=450-700$ MPa),

* largeur du contact entre le cylindre et le plan ($2a=300-1000$ µm),

* contraintes de cisaillement ($q_0=XX-XX$ MPa représentatif du contact en glissement partiel de la roue frettée),

* pour les essais en fretting fatigue, les contraintes de fatigue ($\sigma_{FF}=XX-XX$ MPa)

* nombre de cycles $N=10^3 - 10^7$.

# 1.7 Essais de fretting Wear

## 1.7.1 Description de l'essai de Fretting Wear LTDS

Les essais de fretting sont réalisés sur une machine MTS (Material Testing System 831-10). Le mouvement de la partie mobile est assuré par un vérin hydraulique commandé par un extensomètre. Le contact entre les deux surfaces est maintenu par l'application d'une force normale (P). Les paramètres de l'essai sont l'amplitude de débattement ($\delta$*) et l'amplitude d'effort tangentiel associé (Q*). La Figure 38 présente le dispositif d'essai.
<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Figure 38 : Représentation schématique de l'essai de fretting wear (a), photo du montage cylindre/plan (b)</figcaption></figure>

Pour tous les essais de fretting wear, la procédure suivante a été mise en oeuvre :

* Préparation des éprouvettes,

* Essai de fretting,

* Analyse des sollicitations à partir des cycles (Q, δ),

* Expertise micrographique des échantillons,

* Observation des surfaces de contact,

* Observation des dégradations en profondeur à partir de coupes micrographiques réalisées dans le sens du débattement (suivant le plan médian).

Tous les essais sont réalisés à la fréquence de 40 Hz. La majorité des essais consiste en 1 000 000 cycles de sollicitations. L'ensemble des essais est réalisé à humidité relative ambiante de 25-35 %. La température est mesurée mais non contrôlée : elle varie entre 20 et 30 °C suivant le saisons de l'année.
Les paramètres imposés :

Les paramètres imposés dans notre système expérimental en configuration simplifiée de fretting wear sont les suivants :

* Le niveau de pression maximale du contact $p_0$ généré par l'effort normal linéique (force normale normalisée par la longueur de génératrice du contact P (N/mm)),

* Les débattements cycliques de type sinusoïdal appliqués dans le contact $\delta^*$ (µm),

* Le nombre de cycles de fretting N,

Le développement spécifique d'un système d'acquisition (présenté dans l'annexe 3.1) que j'ai mis en place sur tous les essais de fretting wear et de fretting fatigue nous permet d'avoir en continu le tracé du cycle de fretting autrement dit l'évolution de la force tangentielle $Q(t)$ en fonction du débattement imposé $\delta(t)$. Il nous permet aussi d'extraite les données quantitatives suivantes :

* l'amplitude du débattement dans le contact ($\delta^*$, µm),

* l'effort normal (Fn, N),

* l'amplitude de la force tangentielle ($Q^*$, N),

* la température ambiante (T, °C),

* l'humidité relative (RH, %),

* le nombre de cycles (N, cycles),

* la fréquence de la sollicitation (F, Hz),

* l'énergie dissipée du cycle ($E_d$, J),

* etc...

L'ensemble de ces données est stocké puis post traité dans un fichier Excel qui compile l'historique de la sollicitation imposée au contact.
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure 39 : (a) Trace d'un cycle de fretting en glissement partiel, (b) Bûche de fretting</figcaption></figure>

La superposition des cycles de fretting permet de tracer des bûches de fretting qui donnent une vision synthétique de l'historique du chargement imposé dans le contact.

## 1.7.2 Définition des contacts mis en place

La géométrie du contact réel étant relativement complexe, nous avons choisi de reproduire le chargement de fretting au travers d'un essai cylindre/plan, capable de reproduire les niveaux de pression imposés dans le contact réel (Figure 40).

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure 40 : Illustration du montage cylindre/plan (rayon du cylindre, R=40mm)</figcaption></figure>

Les échantillons utilisés dans le cadre de cette étude ont été usinés sous une forme parallélépipédique 15x12x12 mm (Figure 41). Une des surfaces a été polie pour obtenir la rugosité Ra<0.1 µm. Une valeur similaire de la rugosité Ra<0.1 µm a été mesurée sur le bague de roulement qui a servi comme surface cylindrique (100C6).
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure 41 : Forme des échantillons plans en acier XC38 (EA1N)</figcaption></figure>

### 1.7.3 Méthodologie de l'expertise des endommagements

Toutes les traces expertisées, présentent une morphologie similaire (Figure 42a).
On observe une zone périphérique, plus au moins endommagée, qui correspond à la
zone de glissement et une partie centrale qui correspond à la zone collée, peu dégradée.
Les fissures apparaissent en bordure du contact (Figure 42b).

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure 42 : Observation d'une trace de fretting en condition de glissement partiel, (a) vue de la surface frottée, (b) vue en coupe, expertise des sites de fissuration</figcaption></figure>

Après chaque essai, une découpe est réalisée au centre de la génératrice du contact (Figure 43). Après polissage des surfaces, l'observation en coupe permet de caractériser la fissuration en fonction de la longueur (l) et de l'angle de propagation.
<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Figure 43 : Méthodologie de l'expertise des traces de fretting (en fretting wear)</figcaption></figure>

L'ensemble des expertises confirme un angle de propagation compris entre 30° et 25° par rapport à la normale de la surface. La structure du matériau étudié, a été révélée au réactif de NITAL (dissolution de 4% d'acide nitrique $HNO_2$ dans l'éthanol $C_2H_5OH$). On confirme une structure perlito-ferritique.

Les fissurations générées en fretting wear ne pouvant se propager, l'expertise des longueurs de fissuration après contrôle destructif d'échantillon, est donc la seule façon de qualifier l'endommagement. A partir de ces données il est possible de tracer un diagramme montrant l'évolution de la longueur de fissuration en fonction des paramètres de chargement tels que l'amplitude de la force tangentielle ou celle du débattement ceci pour un nombre de cycle et une pression donnés.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Analyse de l'endommagement : (a) en fonction du débattement, (b) en fonction du chargement tangentiel</figcaption></figure>
Ainsi il devient possible d'extrapoler la condition seuil d'amorçage Qth* (N), et d'analyser la condition d'arrêt de fissuration à partir des longueurs maximales des fissurations. L'extension de cette démarche en fonction du nombre de cycles permet une analyse 'dynamique' tout autant vis-à-vis de l'amorçage que de la cinétique de propagation. Ces différents aspects seront plus précisément détaillés dans les chapitres suivants.

### 1.7.4 Analyse des conditions limites de fixation des échantillons

Dans les essais fretting wear toutes les contraintes imposées au matériau doivent venir du contact or les échantillons fixés sur le vérin hydraulique sont bridés par l'intermédiaire d'une vis de serrage (Figure 44). Il existe alors un risque de générer des contraintes de compression au niveau du contact analysé.

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>Figure 44 : Fixation des échantillons plan sur l'essai de fretting wear LTDS</figcaption></figure>

En effet le serrage de l'échantillon par une vis métrique M6 engendre une plastification significative de la surface supérieure de l'échantillon (Figure 45).

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>Figure 45 : Observation de l'échantillon fretting wear après serrage (marquage de la surface induit par le bridage (vis M6))</figcaption></figure>
On retiendra que le marquage de la surface est essentiellement lié au cisaillement généré par la rotation de la vis. De façon à évaluer l'impact du bridage sur les chargements imposés au niveau des contacts, une analyse FEM 3D représentative a été réalisée. L'effort de serrage a été mesuré par un capteur monté à la place de l'échantillon. Une valeur maximale de 7000 N a été mesurée.

Les Figure 46 et Figure 47 montrent respectivement les distributions de la contrainte principale maximale et de la contrainte Von Mises. On remarque que la surface sur laquelle les essais de fretting sont réalisés est suffisamment éloignée du point d'application du bridage. Le faible impact du bridage est confirmé par les Figure 48 et Figure 49 qui tracent les contraintes $\sigma_{11}$ et $\sigma_{22}$ suivant l'axe médian de glissement respectivement en surface et à 200 µm en dessous de la surface (profondeur maximale de propagation des fissures expertisée).

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>Figure 46 : Distribution de la contrainte principale maximale dans l'échantillon
fretting wear (après le serrage par une vis M6 avec l'effort 7000 N)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Figure 47 : Distribution des contraintes Von Mises dans l'échantillon fretting wear après le serrage par une vis M6 avec l'effort 7000 N</figcaption></figure>

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Figure 48 : Distribution des contraintes σ11, σ22, et σ33 sur la surface de l'échantillon fretting wear suivant l'axe médian de glissement</figcaption></figure>
<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>Figure 49 : Distribution des contraintes σ11 et σ22 à 200 µm sous la surface de l'échantillon fretting wear suivant l'axe médian de glissement</figcaption></figure>

Les contraintes générées sont suffisamment faibles (<10 MPa) pour ne pas prendre en compte l'impact du bridage dans l'analyse des résultats en fretting wear (amorçage et propagation). Cette analyse confirme par ailleurs cette dernière hypothèse qui avait jusqu'à présent été considérée sans réelle justification (Fouvry 2000, Proudhon 2005).

## 1.8 Essais de Fretting Fatigue LTDS

### 1.8.1 Principe de l'essai

L'essai de fretting fatigue mis en place au LTDS s'inspire d'un principe développé par différentes équipes (Oxford University – D. Nowel, Purdue University – T. Farris). Il consiste à appliquer sur une éprouvette de fatigue deux patins montés symétriquement. On applique sur chacun d'eux une force normale. Le déplacement relatif, entre l'éprouvette de fatigue et le bâti du montage de fretting, génère la sollicitation cyclique de fretting (Figure 50).
<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>Figure 50 : Illustration de l'essai fretting fatigue standard.</figcaption></figure>

Dans les essais conventionnels la raideur tangentielle du montage de fretting n'est en général pas ajustable. Aussi, le chargement tangentiel du contact sera directement dépendant de la déformation de l'éprouvette de fatigue et donc du chargement de fatigue. Enfin on retiendra que les essais conventionnels de fretting fatigue ne permettent pas de mesurer le déplacement relatif au niveau du contact et donc de connaître la condition de glissement du contact. Il est alors impossible de différencier l'impact du fretting sur la réduction de durée de vie en fretting fatigue.

De nombreuses recherches montrent que la sollicitation de fretting tend à réduire fortement la limite de fatigue des matériaux (Figure 51). Pour tenir compte de cette réduction de l'endurance, on considère un coefficient d'abattement tel que :

$$K_{FF(N)}(\%) = \frac{\sigma_{dF}(N) - \sigma_{dFF}(N)}{\sigma_{dF}(N)} \qquad (38)$$

avec :

$\sigma_{dF}(N)$ : Limite de fatigue du matériau pour un chargement de fatigue simple pour un nombre de cycles N,

$\sigma_{dFF}(N)$ : Limite de fatigue du matériau pour un chargement couplé de fretting fatigue pour un nombre de cycles N.
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>Figure 51 : Illustration de l'abattement en fatigue généré par une sollicitation couplée de fretting.</figcaption></figure>

Or une mauvaise connaissance de la condition de glissement ne permet pas d'évaluer l'impact du fretting sur la réduction de la durée de vie. Ceci induit généralement une grande dispersion des résultats et surtout fait apparaître des évolutions souvent mal interprétées. En effet, il n'est pas rare d'observer une remontée de la durée de vie pour des chargements de fatigue plus élevés. Ce résultat, incohérent si l'on n'a pas accès à la mesure du glissement dans l'interface, s'explique très simplement par le fait que de plus fortes sollicitations de fatigue, augmentant le déplacement relatif au niveau du contact, vont induire une mise en glissement total au niveau de l'interface qui, favorisant l'usure, induira une élimination des fissures amorcées par le contact et indirectement une augmentation de la durée de vie.

Tenant compte de tous ces éléments nous avons développé un nouvel essai permettant de résoudre ces différents aspects. La Figure 52 illustre le principe de ce nouvel essai.

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>Figure 52 : Montage d'essais fretting fatigue (configuration cylindre/plan)</figcaption></figure>
On citera les points suivants :

* Il s'agit d'un essai mono-contact avec un seul patin. Le reprise de charge normale est obtenue à partir d'un roulement dimensionné en conséquence. La configuration mono-contact est plus économique car elle réduit le coût des patins par deux. Elle permet surtout de réduire la dispersion sur les endommagements (un seul contact doit être aligné) et sur la mesure du chargement puisqu'un seul contact est analysé,

* Un tête goniométrique permet l'alignement de contacts sphériques, cylindriques et poinçon / plan,

* Une mesure différentielle des forces de chaque coté de l'éprouvette de fatigue avec compensation d'inertie permet de mesurer en continu le chargement tangentiel Q(t) imposé au niveau du contact,

* Un système de mesure de déplacement laser permet de mesurer en continu le déplacement relatif au niveau du contact δ(t), c'est-à-dire entre les points en contact situés sur le pion et l'éprouvette de fatigue,

* Une forme optimisée de l'éprouvette de fretting fatigue permet de travailler en compression et même d'étudier des conditions alternées (avec rapport de charge $R=\sigma_{max}/\sigma_{min}=-1$),
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>Figure 53 : Dessin d'éprouvette Fretting Fatigue</figcaption></figure>

Pendant que l'éprouvette est soumise à la traction, le champ des contraintes dans la partie entaillée reste homogène. Aussi, grâce à un passage doux entre la section de fixation et la section entaillée l'effet de concentration des contraintes a été évité (Figure 54).

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>Figure 54 : Analyse de chargement de traction d'éprouvette fretting fatigue</figcaption></figure>
L'enregistrement en temps réel du déplacement et de la force tangentielle permet de tracer les cycles de fretting en Fretting Fatigue. La superposition de ces cycles suivant un axe nous permet de tracer pour la première fois des bûches de fretting fatigue. On retiendra que lorsque l'éprouvette est sur le point de se rompre on observe une dérive de l'allongement (essai fatigue piloté en force) qui se traduit sur les bûches de fretting par un décalage des cycles. Cette analyse nous a permis de suivre le processus de propagation et de prévoir la rupture finale de l'éprouvette.

L'analyse en temps réel de la condition de glissement en fretting fatigue est une réelle avancée pour quantifier l'impact de la condition de glissement et du chargement de fretting sur la durée de vie en fatigue. Cependant, il est vite apparu que pour bien maîtriser l'impact relatif du fretting vis-à-vis de la fatigue, il était nécessaire de maîtriser le chargement de fretting quelque soit le chargement de fatigue imposé.

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Figure 55 : Cycle de fretting (force tangentielle du contact Q = f (déplacement imposé au niveau du contact δ) mesuré au niveau du contact entre le patin et l'éprouvette de fatigue (mesure du déplacement par capteur laser)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Figure 56 : Bûche de fretting établie au niveau du contact de l'essai de fretting fatigue: superposition des cycles de fretting (force tangentielle du contact Q = f (déplacement imposé au niveau du contact δ) suivant un axe log des cycles de chargement (fatigue). On observe une déviation au moment de la rupture de l'éprouvette de fatigue.</figcaption></figure>

Un des développements les plus importants fut l'introduction d'une raideur de montage ajustable. Ainsi, quelque soit le chargement de fatigue imposé celle-ci permet d'avoir un chargement cyclique de fretting constant (glissement partiel ou glissement total). La mise en place de ce développement expérimental nous a permis de mieux métisser l'impact relatif des chargements de fretting et de fatigue. Il nous a surtout permis d'introduire de nouveaux concepts tel que des « iso-fretting / fretting fatigue endurance courbe) » et d'autre part la mise en place des « cartes de réponse du matériau en fretting-fatigue ».
<figure><img src="image_70.png" /></figure>
# Chapitre 4

## Analyse expérimentale de l'amorçage des fissures sous chargement de fretting wear et fretting fatigue
<figure><img src="image_71.png" /></figure>
## 1.9 Analyse expérimentale de l'amorçage des fissures en sollicitations de fretting wear

L'étude de l'amorçage des fissures sur éprouvette technologique est extrêmement coûteuse. Pour étudier ce phénomène il convient de tester une géométrie similaire mais simplifiée. Ainsi, on propose de simuler le chargement à l'aide d'un contact hertzien de façon à reproduire un des pics de pression de la distribution réelle.

Le principe de l'étude est de choisir des conditions de sollicitation qui induisent la fissuration et à imposer un nombre de cycle suffisant pour vérifier la condition d'amorçage des fissures. On peut ainsi étudier l'amorçage en fonction des chargements appliqués (pression maximale et cisaillement dans le contact) et intégrer l'impact de la taille du contact (rayon du cylindre - Figure 57).

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>Figure 57 : Configurations des contacts fretting wear étudiés (R – rayon du cylindre, L – épaisseur du cylindre)</figcaption></figure>

Les conditions étudiées de chargement sont résumées dans le Tableau 3 :

<table><caption>Tableau 3 : Les paramètres de chargement étudiés</caption><thead><tr><th>Taille du contact<br>(rayon du cylindre),<br>R, mm</th><th colspan="4">Pression Hertzienne maximale p<sub>0max</sub>, MPa</th></tr></thead><tbody><tr><td>XX</td><td>450</td><td>500</td><td>600</td><td>700</td></tr><tr><td>XX</td><td>450</td><td>500</td><td>600</td><td>700</td></tr></tbody></table>
1.9.1 Démarche expérimentale

La démarche expérimentale consiste à définir, dans un premier temps, les cartes
de sollicitation locale. Pour cela la méthodologie ‘Débattement Variable’ a été mise en
œuvre. Cette méthode, développée par Voisin (Voisin 1992), et reprise par Fouvry
(Fouvry 1997), permet de déterminer rapidement les cartes de sollicitation locale. Elle
consiste, pour un même contact, à augmenter progressivement l'amplitude du
débattement et à enregistrer les cycles correspondants Q(t)-δ(t) pour un effort normal
donné. L'augmentation de l'amplitude du débattement se fait par pas et avec stabilisation
de la forme du cycle (Voisin 1992). Ainsi, il suffit d'un seul essai pour définir
l'amplitude de transition associée à un niveau de l'effort normal. Le principe de la
méthode des débattements variables est illustré sur la Figure 58.

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>Figure 58 : Illustration de la méthode du débattement variable</figcaption></figure>

La transition de glissement (δt) est associée à une discontinuité de l'énergie dissipée dans l'interface ainsi qu'une valeur maximale du ratio Q*/P. La discontinuité énergétique observée à la transition de glissement est formalisée par le ratio adimensionnel A=E/d·4·δg·Q*. On étudie plusieurs niveaux de chargement et on détermine ainsi la carte de sollicitation locale définissant les différents domaines de glissement.

Dans la mesure où la fissuration est observée au point le plus chargé c'est-à-dire
en bordure de contact, on peut considérer l'amplitude de la force tangentielle comme un
paramètre pertinent pour quantifier la fissuration. En effet, on montre que pour la
configuration 2D cylindre/plan, l'état de chargement en bordure du contact est
indépendant de l'effort normal et dépend uniquement du chargement tangentiel cyclique. Cette non dépendance de la force normale permet de superposer les résultats obtenus pour différentes forces normales.

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>Figure 59 : Approche expérimentale d'étude de l'amorçage des fissures</figcaption></figure>

Ayant défini les pressions étudiées, on impose différentes amplitudes de débattement (en glissement partiel) associées à différentes amplitudes de forces tangentielles (Figure 59). Cette analyse nous permet de déterminer pour un nombre de cycles de fretting fixé N, le seuil critique d'amorçage des fissures Qth et d'autre part l'extension maximale sous le contact de la fissuration lmax (Figure 60).
<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Figure 60 : Illustration de la méthodologie pour caractériser la fissuration en glissement partiel : définition de l'amplitude seuil d'amorçage $Q_c^*$ et de la longueur maximale de fissuration $l_{max}$</figcaption></figure>

### 1.9.2 Analyse du comportement du frottement en fretting wear

En augmentant progressivement l'amplitude de déplacement dans le contact, nous passons du glissement partiel au glissement total (Figure 61), le coefficient de frottement qui correspond à cette transition ($\mu_t=0.9$) et le coefficient de frottement dans le domaine de glissement total ($\mu_{GT}=0.85$) sont ainsi déterminés.

<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Figure 61 : Détermination de la transition entre glissement partiel et glissement total à partir d'un essai en débattement variable (P=280 N/mm, R=XX mm)</figcaption></figure>
Les Figure 62 et Figure 63 représentent les résultats de l'étude de frottement pour les rayons de cylindre R=XX mm et R=XX mm.

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>Figure 62: Coefficient de frottement à la transition □ (μt) Glissement Partiel/Glissement Total (GP/GT) et en Glissement Total ■ (μGT) (GT), contact XC38/100C6 (cylindre/plan, rayon R=XXmm)</figcaption></figure>

Pour un rayon de cylindre donné le coefficient de frottement augmente légèrement avec la pression imposée, jusqu'à μt=0.96 pour p0=700 MPa (Tableau 4). Le coefficient de frottement après transition diminue et se stabilise (p0=450 – 700 MPa).

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Figure 63: Coefficient de frottement à la transition □ (μt) Glissement Partiel/Glissement Total (GP/GT) et en Glissement Total ■ (μGT) (GT), contact XC38/100C6 (cylindre/plan, rayon R=XXmm)</figcaption></figure>
Le coefficient de frottement moyen en glissement total change en fonction du rayon du cylindre imposé. Ainsi, la valeur moyenne du coefficient en glissement total est égale à $\overline{\mu}_{GT}=0.81$ pour la rayon R=XX mm et diminue pour le rayon R=XX mm à $\overline{\mu}_{GT}=0.73$.

Les résultats expérimentaux associés aux essais en débattement variable sont présentés dans le Tableau 4.

<table><caption>Tableau 4 : Résultats expérimentaux de l'étude du comportement en frottement de la configuration cylindre/plan</caption><thead><tr><th>p<sub>o</sub>, MPa</th><th>R, mm</th><th>P, N/mm</th><th>μ<sub>t</sub></th><th>μ<sub>GT</sub></th><th>δ*, μm</th><th>Q*<sub>t</sub>, N/mm</th><th>Q*<sub>GT</sub>, N/mm</th></tr></thead><tbody><tr><td>450</td><td>XX</td><td>113</td><td>0.81</td><td>0.75</td><td>4.2</td><td>89</td><td>86</td></tr><tr><td>500</td><td>XX</td><td>140</td><td>0.91</td><td>0.81</td><td>5.1</td><td>128</td><td>113</td></tr><tr><td>600</td><td>XX</td><td>202</td><td>0.93</td><td>0.83</td><td>6.5</td><td>186</td><td>169</td></tr><tr><td>700</td><td>XX</td><td>274</td><td>0.96</td><td>0.85</td><td>9.1</td><td>272</td><td>234</td></tr><tr><td>450</td><td>XX</td><td>227</td><td>0.84</td><td>0.73</td><td>10.1</td><td>194</td><td>169</td></tr><tr><td>500</td><td>XX</td><td>280</td><td>0.9</td><td>0.74</td><td>15.5</td><td>253</td><td>211</td></tr><tr><td>600</td><td>XX</td><td>403</td><td>0.92</td><td>0.74</td><td>19.7</td><td>373</td><td>300</td></tr><tr><td>700</td><td>XX</td><td>549</td><td>0.91</td><td>0.71</td><td>25.1</td><td>498</td><td>391</td></tr></tbody></table>

Le comportement le plus stable du coefficient de frottement est observé pour le rayon de cylindre R=XX mm, c'est-à-dire pour la taille de contact la plus importante. Le frottement dans le contact du plus petit cylindre présent un caractère plus local. Pour les cylindres plus grands le frottement et les déformations dans l'interface sont plus homogènes.

Une carte de sollicitation locale pour chacune des géométries peut ainsi être établie :
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Figure 64: Carte de sollicitations locales en glissement partiel et glissement total,</figcaption></figure>

$$R=XX \text{ mm}$$

La fissuration dans le matériau est associée au régime de glissement partiel. Pour modéliser le comportement du matériau nous utiliserons, dans les paragraphes suivants, la valeur moyenne du coefficient de frottement à la transition GP/GT $\bar{\mu}_t=0.9$.

### 1.9.3 Analyse expérimentale des conditions d'amorçage

Les Figure 65 et Figure 66 présentent les résultats d'analyse de l'amorçage des fissures en fretting wear. L'amplitude de la force tangentielle qui correspond à la condition d'amorçage de fissures ($Q_{th}^*$) est associée à la plus grande valeur de la force tangentielle pour laquelle on n'observe pas de fissures. Au delà de ce seuil, une légère augmentation du chargement fait apparaître un premier amorçage de fissure. Notre étude concerne essentiellement l'endurance à très grands nombres de cycles. Ainsi, l'analyse a porté sur des durées d'essais de $2.5 \cdot 10^5$ et $10^6$ cycles.
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Figure 65: Résultats expérimentaux de l'amorçage et de la propagation des fissures du contact XC38/100C6 en glissement partiel, configuration cylindre/plan pour un rayon du cylindre R=XXmm</figcaption></figure>

L'observation de la Figure 66 montre que le seuil d'amorçage des fissures pour les essais de 250 000 cycles est similaire a celui des essais de 1 000 000 cycles (Figure 66). En revanche, la propagation des fissures est plus importante pour les essais de 1 000 000 cycles. On conclura que l'amorçage peut être appréhendé par des essais à 2.5·10⁵ cycles. En revanche l'analyse de la propagation, et en particulier la condition d'arrêt de fissuration, suppose des essais plus longs de l'ordre de 10⁶ cycles. Cette remarque sera confirmée lors de l'étude de la propagation des fissures.
<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Figure 66: Résultats expérimentaux de l'amorçage et de la propagation des fissures du contact XC38/100C6 en glissement partiel, configuration cylindre/plan pour un rayon du cylindre R=XXmm</figcaption></figure>

Cependant de façon à rester cohérent vis-à-vis des différentes études on considère uniquement les résultats à 10⁶ cycles.

Une synthèse des résultats de la condition d'amorçage est présentée dans le Tableau 5.

<table><caption>Tableau 5 : Résultats expérimentaux associés au seuil d'amorçage des fissures
(10⁶ cycles)</caption><thead><tr><td>p<sub>o</sub>, MPa</td><td>R, mm</td><td>P, N/mm</td><td>a<sub>h</sub>, µm (calculé analytiquement)</td><td>Q*<sub>th</sub>, N/mm</td></tr></thead><tbody><tr><td>450</td><td>XX</td><td>114</td><td>160</td><td>51</td></tr><tr><td>500</td><td>XX</td><td>140</td><td>178</td><td>81</td></tr><tr><td>600</td><td>XX</td><td>202</td><td>214</td><td>111</td></tr><tr><td>700</td><td>XX</td><td>274</td><td>250</td><td>147</td></tr><tr><td>450</td><td>XX</td><td>227</td><td>321</td><td>90</td></tr><tr><td>500</td><td>XX</td><td>280</td><td>356</td><td>99</td></tr><tr><td>600</td><td>XX</td><td>403</td><td>428</td><td>140</td></tr><tr><td>700</td><td>XX</td><td>549</td><td>499</td><td>221</td></tr></tbody></table>
La Figure 67 trace l'évolution de l'amplitude de la force tangentielle seuil ($Q^*_{th}$) en fonction de la pression appliquée.

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>Figure 67: Evolution du seuil d'amorçage en fonction de la pression appliquée</figcaption></figure>

(--- R=XX mm, - - - R=XX mm)

Contrairement à ce que laisse présumer l'analyse élastique des contraintes en bordure de contact, on observe une forte dépendance de la pression imposée sur le seuil d'amorçage. Ainsi, on montre que plus la pression est importante, plus la force tangentielle seuil est élevée. De la même façon la taille du contact a aussi un impact. Pour une même pression, le seuil d'amorçage est deux fois plus important pour le rayon $R=XX$ mm que pour le rayon $R=XX$ mm.

La Figure 68 confirme cet aspect. On observe une dépendance entre le seuil d'amorçage et l'aire de contact.
<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Figure 68: Evolution du seuil d'amorçage en fonction de la taille du contact</figcaption></figure>

(- - - - - R=XX mm, - - - - - R=XX mm)

On retiendra donc que la prédiction du seuil d'amorçage implique de considérer une approche élasto-plastique qui intègre le comportement réel du contact. La description hertzienne des chargements est ici mise en défaut. Elle suppose aussi de considérer l'impact de l'effet d'échelle et de considérer un volume de matière représentatif pour prédire le seuil d'amorçage.

## 1.10 Approche prédictive de l'amorçage des fissures en fretting wear

La méthodologie proposée consiste à identifier la condition de nucléation des fissures pour les différentes pressions de contact étudiées et de valider la stabilité de cette approche en fonction de la taille du contact et des gradients de contrainte (étude des différents rayons de cylindre). La prédiction du seuil d'amorçage suppose de connaître le cycle de chargement stabilisé imposé au matériau, puis, d'appliquer un critère multiaxial de fatigue. Ceci implique d'intégrer les propriétés élasto-plastiques du matériau et aussi de connaître les caractéristiques de fatigue.

La modélisation de la prédiction du risque d'amorçage en fretting inclut les étapes suivantes :

* modélisation des contacts expérimentaux,

* modélisation élasto-plastique du cycle de chargement stabilisé,
* détermination du risque d'amorçage par l'application de critères multiaxiaux de fatigue (Crossland, Dang Van, Papadopoulos...)

L'approche utilisée pour prédire le risque d'amorçage est relativement classique. Elle a été, en particulier, appliquée pour le comportement d'alliages de 30NCD16 (Fouvry et al, 1997) et TA6V (Mall et al, 2003 ; Fouvry et al, 2004). Cependant cette recherche qui combine une importante quantité de résultats expérimentaux permettra de mieux appréhender l'impact des gradients de contrainte sur la prédiction du risque d'amorçage.

### 1.10.1 Modélisation Eléments Finis du contact cylindre/plan

Deux modèles Eléments Finis de contacts en fretting wear, R=XX mm et R=XX mm ont été réalisés à partir du code Abaqus (Figure 69).

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Figure 69 : Modèle FEM de essais Fretting Wear en configuration cylindre/plan (maillage de la zone de contact 5µm)</figcaption></figure>

De façon à tenir compte des très forts gradients de contrainte dans l'interface nous avons utilisé un maillage très fin au niveau de l'interface avec des éléments quadratiques de type CPE4 qui permettent de mieux modéliser le comportement plastique du matériau.
<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>Figure 70: Illustration du maillage utilisé pour modéliser le contact</figcaption></figure>

De façon à réduire la taille du modèle, les parties extérieures à la zone de contact sont maillées à partir d'éléments triangulaires avec d'importants coefficients de réduction. Une première étape a consisté à valider le modèle FEM. Pour cela des calculs élastiques ont été réalisés et comparés avec les formulations de Mindlin et de Hertz (Figure 71).
<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>Figure 71 : Comparaison entre le modèle FEM mis en place et les formulation exactes de Mindlin et Hertz, (a) distribution de pression, (b) distribution de cisaillement
(P=280 N/mm, Q*=100 N, R=XX mm)</figcaption></figure>

La Figure 71 confirme la stabilité du modèle FEM mis en place. On retrouve
exactement les distributions développées par les formulations analytiques.

Par la suite nous avons implémenté le modèle visco-élasto-plastique du matériau (cf. paragraphe 1.2.3 dans le chapitre 1). Cette implémentation sous Abaqus a été réalisée par Yameogo dans sa thèse en 2004. La prise en compte de la plasticité modifie fortement le comportement du contact. En effet durant les premiers cycles on observe une extension importante de l'aire de contact. Cette modification de l'interface est aussi associée à une évolution significative des distributions de pression et de cisaillement (Figure 72).
<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>Figure 72 : Impact du comportement plastique sur la distribution des chargements (R=XX mm, P=280 N/mm, Q=99 N), (a) calcul élastique, (b) modélisation élasto-plastique obtenue après 15 cycles (état stabilisé)</figcaption></figure>

On observe un état stabilisé du contact après un nombre de cycles de l'ordre de 15 à 40 cycles suivant la pression appliquée. Cette stabilisation correspond à un état stabilisé du contact et des contraintes de chargement imposées et aussi à une stabilisation des contraintes imposées sous la surface. En effet on assiste à un double effet de stabilisation associé à l'écrouissage du matériau et à l'augmentation de l'interface (réduction de la pression et du cisaillement) par déformations plastiques de cette dernière. De façon à formaliser la stabilisation on considère l'élément le plus sollicité en plasticité du contact (en surface dans la zone de glissement) et on trace l'évolution de la boucle (σ, εp) en fonction du nombre de cycles (Figure 73).
<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>Figure 73 : Evolution des boucles ($\sigma_{xx}$, $\varepsilon^{pl}_{xx}$) de l'élément le plus sollicité sous l'interface en fonction du nombre de cycles (R=XX mm, P=280 N/mm, Q=99 N)</figcaption></figure>

On observe une stabilisation, plastique et géométrique, très rapide du contact. Cette cinétique de stabilisation est illustrée par la Figure 74 qui trace l'évolution du $\varepsilon_p$ pour l'élément de contact le plus chargé de l'interface. On observe une stabilisation du chargement après seulement 15 cycles. L'amplitude de la déformation plastique décroît de $\Delta\varepsilon_p^{N=1} = 0.0032$ à $\Delta\varepsilon_p^{N=20} = 0.0011$.
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>Figure 74 : Illustration de la cinétique de stabilisation plastique et géométrique du contact (R=XX mm, P=280 N/mm, Q=99 N)</figcaption></figure>

L'application des modèles d'endurance à grands nombres de cycles suppose un état stabilisé du chargement. On considère donc les cycles de chargement à l'état stabilisé c'est-à-dire pour une variation $\Delta\epsilon_p$/cycles inférieure à 5 %. Ceci correspond à un nombre de cycle de l'ordre de 15 cycles. Les résultats de l'analyse de la stabilisation de l'interface sont présentés dans le Tableau 6.

<table><caption>Tableau 6: Nombre de cycles de sollicitation à l'état stabilisé pour les conditions des chargements étudiés</caption><thead><tr><th colspan="5">Nombre de cycles de sollicitation en fretting wear – modélisation FEM</th></tr><tr><th></th><th>p<sub>0</sub>=450 MPa</th><th>p<sub>0</sub>=500 MPa</th><th>p<sub>0</sub>=600 MPa</th><th>p<sub>0</sub>=700 MPa</th></tr></thead><tbody><tr><th>R=XX mm</th><td>15</td><td>15</td><td>20</td><td>40</td></tr><tr><th>R=XX mm</th><td>15</td><td>15</td><td>20</td><td>40</td></tr></tbody></table>

### 1.10.2 Prévision du risque d'amorçage

Ayant établi les cycles de chargement stabilisés, on calcule les différents critères d'amorçage précédemment explicités dans le chapitre 2. L'essentiel de notre analyse
portera sur le critère de Crossland cependant les autres critères Dang Van et Papadopoulos seront aussi expertisés.

### 1.10.3 Impact de l'effet d'échelle

Une première approche consiste à appliquer directement le critère sur le trajet de chargement défini sur les éléments de maillage de l'interface. L'analyse conduite sur la largeur du contact confirme que le point critique se situe en surface, en bordure du contact stabilisé (Figure 75).

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>Figure 75: Distribution du critère de Crossland suivant la largeur du contact stabilisé (analyse sur l'élément de maillage $l=5 \ \mu m$)</figcaption></figure>

Considérant ce point particulier, nous avons étendu l'analyse pour l'ensemble des contacts étudiés (Figure 76).
<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>Figure 76: Prédiction du risque d'amorçage des fissures sur le contact stabilisé à partir d'une analyse contrainte sur l'élément de maillage du modèle FEM (l=5 µm). Les conditions étudiées correspondent aux conditions seuils d'amorçage expertisées expérimentalement (pression hertzienne 1 - p₀=450 MPa, 2 - p₀=500 MPa, 3 - p₀=600 MPa, 4 - p₀=700 MPa)</figcaption></figure>

L'analyse des résultats montre que cette méthodologie induit une surestimation du risque d'amorçage. En effet, le contact génère des très forts gradients de contrainte de sorte qu'une analyse trop ponctuelle tend à surestimer l'intensité des chargements imposés au matériau. Pour prendre en compte cet effet, il est nécessaire d'appliquer l'analyse fatigue multiaxiale sur un volume de matériau représentatif. La difficulté est alors d'identifier ce volume. Une première démarche consiste à considérer un volume fixe, équivalent à la taille des grains de la microstructure (Fouvry et al 1998).

Nous avons appliqué cette démarche en considérant un volume de matériau fixe $lv=50 \ \mu m$ équivalent à la taille d'un grain de ferrite de la microstructure. Le principe de cette démarche consiste alors à moyenner un état de contrainte sur ce volume à partir des états de chargements établis en chacun des éléments du maillage (Figure 77).
<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>Figure 77: Illustration de la méthodologie de moyennation des chargements mise en place pour prédire le risque d'amorçage dans le contact</figcaption></figure>

La Figure 78 montre que les prédictions obtenues sont mieux centrées sur la condition seuil d'amorçage (d=1). Cette méthodologie permet une meilleure prise en compte des effets de gradients des contraintes.

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>Figure 78: Prédiction du risque d'amorçage des fissures avec une approche de contrainte considérée dans le volume élémentaire $lv=50$, condition de chargement correspondant à la condition d'amorçage des fissures obtenue expérimentalement (pression hertzienne 1 - $p_0=450$ MPa, 2 - $p_0=500$ MPa, 3 - $p_0=600$ MPa, 4 - $p_0=700$ MPa)</figcaption></figure>
Cependant, on constate que l'augmentation de la force normale tend à accroître le risque prévu. De même l'application de différents rayons de contact engendre une importante dispersion des résultats calculés. La dispersion observée montre que la démarche de moyennation, sur un volume fixe en fonction uniquement de la microstructure, n'est pas suffisamment stable. Proudhon et al (Proudhon 2005), ont souligné cet aspect et montré que le volume caractéristique dépend non seulement de la microstructure mais aussi des gradients imposés et indirectement de la taille du contact ou plus exactement de la taille de la zone de glissement $ls=a_h-c$.

Ils proposent de définir le micro-volume élémentaire à partir de la relation empirique suivante :

$$lv=\gamma \cdot ls \quad (39)$$

avec $ls=a_h-c$, soit :

lv – longueur définissant le volume élémentaire sur lequel le trajet de chargement est moyenné, ls – longueur de la zone de glissement, $a_h$ – demi largeur du contact hertzien, $\gamma$ – constante adimensionnelle associée au matériau (impact de la microstructure) et au critère multiaxial de fatigue considéré.

De façon à établir la constante $\gamma_C$ propre au critère Crossland une démarche inverse a été mise en œuvre. Elle consiste à établir au travers d'une méthode itérative le volume représentatif $lv$ pour chaque contact de telle façon que le critère de Crossland prédira le seuil d'amorçage $dc=1$ (avec une incertitude de $\pm 2.5 \%$) (Tableau 7).

<table><caption>Tableau 7: Résultats des calculs associés à l'identification du volume élémentaire associés au condition d'amorçage des fissures</caption><thead><tr><th>p<sub>0</sub>, MPa</th><th>R, mm</th><th>Q*<sub>th</sub>,<br>N/mm</th><th>a<sub>h</sub>, µm</th><th>c, µm</th><th>lv, µm<br>Crossland</th><th>dc<br>Crossland</th></tr></thead><tbody><tr><td>450</td><td>XX</td><td><strong>51</strong></td><td>190</td><td>140</td><td>15</td><td>1.021</td></tr><tr><td>500</td><td>XX</td><td><strong>81</strong></td><td>235</td><td>135</td><td>65</td><td>0.996</td></tr><tr><td>600</td><td>XX</td><td><strong>111</strong></td><td>305</td><td>180</td><td>105</td><td>0.996</td></tr><tr><td>700</td><td>XX</td><td><strong>147</strong></td><td>375</td><td>225</td><td>155</td><td>1.002</td></tr><tr><td>450</td><td>XX</td><td><strong>90</strong></td><td>370</td><td>270</td><td>35</td><td>1.011</td></tr><tr><td>500</td><td>XX</td><td><strong>99</strong></td><td>410</td><td>325</td><td>30</td><td>1.000</td></tr><tr><td>600</td><td>XX</td><td><strong>140</strong></td><td>530</td><td>405</td><td>65</td><td>0.997</td></tr><tr><td>700</td><td>XX</td><td><strong>221</strong></td><td>695</td><td>480</td><td>160</td><td>1.005</td></tr></tbody></table>
A partir des volumes $lv$ issus des calculs itératifs et des valeurs $a_h$ et $c$ obtenues à partir du calcul FEM du cycle stabilisé, on trace une fonction linéaire $lv=\gamma \cdot ls+\beta$ pour $\beta=0$ on obtient $lv= \gamma \cdot ls$ alors le coefficient de pont $\gamma$ calcule par la méthode des moindres carrés représentée $\gamma_C$. Finalement on détermine une valeur de $\gamma_C=0.72$ supposée représentative du matériau. Ayant identifié une variable $\gamma_C$ représentative une seconde étape consiste à évaluer la stabilité de la démarche. Pour cela on applique une démarche inverse. A partir de la valeur $\gamma_C$ proposée on détermine pour les différentes conditions étudiées le volume représentatif théorique tel que :

$$lv_{th} = \gamma_C \cdot (a_h - c) \qquad (40)$$

<table><caption>Tableau 8: Détermination des volumes représentatifs à partir de la démarche Proudhon et al.</caption><thead><tr><th>p<sub>o</sub>, MPa</th><th>R, mm</th><th>Q*<sub>th</sub>, N/mm</th><th>a<sub>h</sub>, µm</th><th>c, µm</th><th>lv<sub>th</sub>, µm Crossland</th><th>dc</th></tr></thead><tbody><tr><td>450</td><td>XX</td><td><strong>51</strong></td><td>190</td><td>140</td><td>36</td><td>0.882</td></tr><tr><td>500</td><td>XX</td><td><strong>81</strong></td><td>235</td><td>135</td><td>72</td><td>0.959</td></tr><tr><td>600</td><td>XX</td><td><strong>111</strong></td><td>305</td><td>180</td><td>90</td><td>1.046</td></tr><tr><td>700</td><td>XX</td><td><strong>147</strong></td><td>375</td><td>225</td><td>108</td><td>1.113</td></tr><tr><td>450</td><td>XX</td><td><strong>90</strong></td><td>370</td><td>270</td><td>72</td><td>0.863</td></tr><tr><td>500</td><td>XX</td><td><strong>99</strong></td><td>410</td><td>325</td><td>61</td><td>0.865</td></tr><tr><td>600</td><td>XX</td><td><strong>140</strong></td><td>530</td><td>405</td><td>90</td><td>0.937</td></tr><tr><td>700</td><td>XX</td><td><strong>221</strong></td><td>695</td><td>480</td><td>155</td><td>1.013</td></tr></tbody></table>

La Figure 79 trace l'évolution des volumes prédits par le modèle $lv_{th}$ en fonction des volumes identifiés par l'analyse itérative sur chaque condition. Une parfaite stabilité du modèle impliquerait la superposition des résultats une droite de pente égale à 1. La dispersion des résultats par rapport à cette droite permet dévaluer la stabilité de la démarche.
<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>Figure 79: Corrélation entre volume élémentaire observé et le volume prédit par l'approche (Proudhon et al, 2005)</figcaption></figure>

On souligne ici une dispersion encore non négligeable qui montre que la physique associée à l'identification du volume élémentaire demande encore a être optimisée. Nous avons étendu cette analyse aux différents critères étudiés. Ceci nous a permit d'identifier les variables γ associées aux différents critères soit :
Crossland γC=0.72; Dang Van γDV=0.5; Papadopoulos γP=0.97.

La Figure 80 souligne toutefois l'important gain en stabilité de la prédiction du risque d'amorçage. Comparées aux résultats obtenus pour un volume constant lv=50 µm, les dispersions sont beaucoup plus faibles.

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Figure 80: Prédiction du risque d'amorçage des fissures avec une approche de contrainte considérée dans le volume élémentaire variable (approche H. Proudhon et al) (pression hertzienne 1 - p₀=450 MPa, 2 - p₀=500 MPa, 3 - p₀=600 MPa, 4 - p₀=700 MPa)</figcaption></figure>
L'impact de la variation de pression est réduit et l'écart entre les rayons quasiment négligeables.

### 1.10.4 Formulation en terme de gradient de contrainte

La prise en compte du gradient de contrainte à partir de la taille de la zone de glissement partiel, est apparue comme un élément déterminant pour la prédiction du risque d'amorçage. En effet, les démarches proposées dans la littérature (Nowell et al. 2003) n'intègrent l'impact de la dimension du contact qu'au travers de la demi-largeur $a_h$. Ceci n'est plus vrai pour les conditions de glissement partiel en particulier en raison du chargement cyclique de cisaillement. L'analyse mécanique du contact en glissement partiel montre que le chargement cyclique est en fait tributaire de la grandeur $ls=a_h-c$. On explique ainsi la relative stabilité des prédictions obtenues à partir de la formulation de Proudhon. On retiendra cependant que cette formulation, ne fait pas intervenir l'amplitude du chargement associé. De façon à enrichir cette formulation vis-à-vis de cet aspect, nous considérons les deux variables qui contrôlent l'amorçage, c'est-à-dire le cisaillement $q(x)$ et l'état de tension représenté par la pression hydrostatique $p_H$.

En considérant le niveau maximal de chargement imposé au niveau de l'interface durant le cycle, on établit la variation spatiale des sollicitations au niveau de la zone de glissement :

$$ |q(c) - q(a_h)| \text{ pour le cisaillement et } |P_H(c) - P_H(a_h)| \text{ pour l'état de tension.} $$

Reprenant la relation de Proudhon et al, on propose la relation empirique suivante :

$$ \text{lv} = \alpha_c \cdot (a_h - c) \cdot |q(c) - q(a_h)| \cdot |P_H(c) - P_H(a_h)| \quad (41) $$

ou $a_h$ – demi longueur du contact hertzien, $c$ – demi longueur de zone collée du contact, $\alpha_c$ – coefficient associé aux matériaux et critère multiaxial de fatigue utilisé (pour XC38 et critère de Crossland $\alpha_c = X \cdot X \cdot 10^{-6} \text{MPa}^{-2}$), $q$ – contraintes de cisaillement durant le trajet de chargement, $P_H$ – pression hydrostatique aux l'extrémités de la zone glissante.
Cette relation pondère la longueur de glissement par les variation spatiales de cisaillement et de pression hydrostatique dans la zone de glissement considérée (Is=a<sub>h</sub>-c). On retiendra que la variable ‘matériau’, sans dimension dans la formulation de Proudhon et al, est, dans le cas présent exprimée en MPa <sup>(-2)</sup>.

Comme pour l'analyse précédente, pour chacun des contacts étudiés, on détermine les variables q(c), q(a<sub>h</sub>), P<sub>H</sub>(c), P<sub>H</sub>(a<sub>h</sub>).

<table><caption>Tableau 9: Résultats du calcul de risque d'amorçage des fissures – nouvelle approche</caption><thead><tr><th>p<sub>o</sub>,<br>MPa</th><th>R, mm</th><th>P,<br>N/mm</th><th>Q*<sub>th</sub>,<br>N/mm</th><th>a<sub>h</sub>, µm</th><th>c, µm</th><th>q(a<sub>h</sub>),<br>MPa</th><th>q(c),<br>MPa</th><th>P<sub>H</sub>(a<sub>h</sub>),<br>MPa</th><th>P<sub>H</sub>(c),<br>MPa</th></tr></thead><tbody><tr><td>450</td><td>XX</td><td>114</td><td>51</td><td>190</td><td>140</td><td>0</td><td>192</td><td>101</td><td>-177</td></tr><tr><td>500</td><td>XX</td><td>140</td><td>81</td><td>235</td><td>135</td><td>0</td><td>240</td><td>129</td><td>-226</td></tr><tr><td>600</td><td>XX</td><td>202</td><td>111</td><td>305</td><td>180</td><td>0</td><td>265</td><td>144</td><td>-241</td></tr><tr><td>700</td><td>XX</td><td>274</td><td>147</td><td>375</td><td>225</td><td>0</td><td>280</td><td>171</td><td>-264</td></tr><tr><td>450</td><td>XX</td><td>227</td><td>90</td><td>370</td><td>270</td><td>0</td><td>203</td><td>120</td><td>-181</td></tr><tr><td>500</td><td>XX</td><td>280</td><td>99</td><td>410</td><td>325</td><td>0</td><td>191</td><td>121</td><td>-168</td></tr><tr><td>600</td><td>XX</td><td>403</td><td>140</td><td>530</td><td>405</td><td>0</td><td>222</td><td>133</td><td>-201</td></tr><tr><td>700</td><td>XX</td><td>549</td><td>221</td><td>695</td><td>480</td><td>0</td><td>243</td><td>168</td><td>-239</td></tr></tbody></table>

En considérant les grandeurs lv expérimentales déduites de l'encadrement de la condition d'amorçage, on détermine la variable α<sub>Ci</sub> associée au critère de Crossland (Tableau 9) telle que :

$$ \alpha_{Ci} = \frac{lv_i}{(a_{hi} - c_i)} \cdot |q_i(c) - q_i(a_h)| \cdot |P_{Hi}(c) - P_{Hi}(a_h)| \quad (42) $$

Comme pour la variable γ on détermine la valeur de la grandeur α<sub>C</sub>=X.X·10<sup>-6</sup> MPa<sup>-2</sup>. Comparée aux résultats obtenus par la constante γ la grandeur α présente une très faible dispersion. Cette première comparaison semble confirmer l'idée de la nécessité de prendre en compte l'intensité de la variation des contraintes dans la zone de glissement. En considérant la seule valeur moyenne α<sub>C</sub> on détermine à posteriori les volumes représentatifs théoriques associés à chacune des conditions étudiées (Tableau 10).
<table><caption>Tableau 10: Résultats du calcul de risque d'amorçage des fissures – nouvelle approche</caption><thead><tr><th>P<sub>o</sub>, MPa</th><th>R, mm</th><th>P, N/mm</th><th>Q*<sub>th</sub>, N/mm</th><th>a<sub>h</sub>, µm</th><th>c, µm</th><th>q(a<sub>h</sub>), MPa</th><th>q(c), MPa</th><th>P<sub>H</sub>(a<sub>h</sub>), MPa</th><th>P<sub>H</sub>(c), MPa</th><th>lv<sub>K</sub>, µm</th><th>dc</th></tr></thead><tbody><tr><td>450</td><td>XX</td><td>114</td><td>51</td><td>190</td><td>140</td><td>0</td><td>192</td><td>101</td><td>-177</td><td>21</td><td>0.988</td></tr><tr><td>500</td><td>XX</td><td>140</td><td>81</td><td>235</td><td>135</td><td>0</td><td>240</td><td>129</td><td>-226</td><td>66</td><td>0.988</td></tr><tr><td>600</td><td>XX</td><td>202</td><td>111</td><td>305</td><td>180</td><td>0</td><td>265</td><td>144</td><td>-241</td><td>98</td><td>1.017</td></tr><tr><td>700</td><td>XX</td><td>274</td><td>147</td><td>375</td><td>225</td><td>0</td><td>280</td><td>171</td><td>-264</td><td>141</td><td>1.033</td></tr><tr><td>450</td><td>XX</td><td>227</td><td>90</td><td>370</td><td>270</td><td>0</td><td>203</td><td>120</td><td>-181</td><td>47</td><td>0.956</td></tr><tr><td>500</td><td>XX</td><td>280</td><td>99</td><td>410</td><td>325</td><td>0</td><td>191</td><td>121</td><td>-168</td><td>36</td><td>0.969</td></tr><tr><td>600</td><td>XX</td><td>403</td><td>140</td><td>530</td><td>405</td><td>0</td><td>222</td><td>133</td><td>-201</td><td>71</td><td>0.984</td></tr><tr><td>700</td><td>XX</td><td>549</td><td>221</td><td>695</td><td>480</td><td>0</td><td>243</td><td>168</td><td>-239</td><td>164</td><td>1.001</td></tr></tbody></table>

La Figure 81 trace l'évolution de la longueur $lv_{th}$ théorique en fonction de celle déduite expérimentalement par itération $lv_{exp}$.

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>Figure 81: Corrélation entre le volume élémentaire observé et le volume prédit par l'approche « gradients de contraintes » proposée</figcaption></figure>

On observe une très bonne corrélation linéaire avec un écart type de dispersion extrêmement faible. Toujours à partir de cette formulation, on calcule le risque d'amorçage pour chacune des conditions seuil d'amorçage (Tableau 10). Les prédicitions obtenues sont extrêmement fiables (Figure 82a). Pour toutes les conditions expertisées on détermine un risque d'amorçage égal à 1.
Nous avons généralisé l'application de cette démarche et identifié pour chacun des critères le paramètre α associé (Tableau 11).

<table><caption>Tableau 11: Valeurs des coefficients matériaux pour la prédiction du risque d'amorçage dans la sollicitation fretting wear (cylindre/plan) pour l'acier XC38</caption><thead><tr><th></th><th>Critère<br>Crossland</th><th>Critère<br>DangVan</th><th>Critère<br>Papadopoulos</th></tr></thead><tbody><tr><td>Approche Proudhon et al lv=γ(a<sub>h</sub>-c)</td><td>γ<sub>C</sub>=0.72</td><td>γ<sub>DV</sub>=0.5</td><td>γ<sub>P</sub>=0.97</td></tr><tr><td>Approche proposée<br>lv = α<sub>C</sub> · (a<sub>h</sub> - c) · |q(c) - q(a<sub>h</sub>)| · |P<sub>H</sub>(c) - P<sub>H</sub>(a<sub>h</sub>)|</td><td>α<sub>C</sub>=X.X·10<sup>-6</sup><br>MPa<sup>-2</sup></td><td>α<sub>DV</sub>=X.X·10<sup>-6</sup><br>MPa<sup>-2</sup></td><td>α<sub>P</sub>=X.X·10<sup>-6</sup><br>MPa<sup>-2</sup></td></tr></tbody></table>

L'analyse comparative des différents critères (Figure 82) confirme encore une fois la stabilité de la démarche proposée. En particulier tous les critères présentent des stabilités similaires.

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>Figure 82: Prédiction du risque d'amorçage des fissures à partir de l'approche de volume élémentaire variable intégrant l'impact des gradient de contraintes dans la zone de glissement (lv = α<sub>C</sub> · (a<sub>h</sub> - c) · |q(c) - q(a<sub>h</sub>)| · |P<sub>H</sub>(c) - P<sub>H</sub>(a<sub>h</sub>)|)</figcaption></figure>

Ceci indique que les variations précédemment observées étaient uniquement induites par une mauvaise estimation du volume représentatif et indirectement une mauvaise intégration des gradients de contrainte.
1.10.5 Frontière d'amorçage des fissures en fretting wear

Une dernière illustration de la stabilité du modèle porte sur la modélisation des cartes de
réponse des matériaux. La Figure 83 trace les frontières d'amorçage des fissures en
glissement partiel pour les rayons R=XX mm et R=XX mm.

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>Figure 83 : Carte d'amorçage des fissures en fretting wear (configuration cylindre/plan, critère de Crossland)</figcaption></figure>

On montre que l'application du critère de Crossland, associé à une analyse élasto-plastique du contact et intégrant la pris en compte des gradients de contrainte au travers de la formulation que nous avons introduite de lv, permet une prédiction extrêmement fiable des frontières d'amorçage. Cette formulation permet de tenir compte de la pression ainsi que de l'aire de contact sur l'évolution de la frontière d'amorçage en glissement partiel. Elle permet en particulier de formaliser la pente positive souvent observée dans de nombreux résultats expérimentaux (Xu 2001, Fridrici 2005 et Zhou 2006) que les approches actuelles sont incapables d'appréhender.

La formulation empirique que nous proposons consiste à relier la longueur
caractéristique lvth à la dimension de la zone de glissement pondérée par les variations
dans ce domaine du cisaillement et de la pression hydrostatique. Elle permet d'intégrer
l'impact de la microstructure au travers de la constante α mais aussi et surtout de
prendre en compte les gradients de contrainte générés dans le contact en glissement
partiel. Il s'agit d'une formulation empirique spécifique au contact étudié. La stabilité des prédictions obtenues souligne néanmoins la pertinence de cette démarche, autrement dit l'intérêt de considérer les grandeurs variations de cisaillement et variation de pression hydrostatique dans la zone de glissement pour estimer le volume sur lequel le trajet de chargement doit être moyenné afin d'obtenir une prédiction fiable du risque d'amorçage.

L'étude suivante couplant des chargements hétérogènes de fretting et homogènes de fatigue tendra à confirmer cet aspect. Nous retiendrons cependant que pour approfondir ce résultat expérimental, une approche théorique plus aboutie, travaillant sur des grandeurs intrinsèques des invariants, pourrait être mise en place. Toute en confortant la description physique de ce résultat, une telle démarche théorique permettrait une généralisation à différentes géométries de contact voire aux problématiques générales des fortes hétérogénéités de chargement. Ce travail mathématique implique une forte collaboration avec des équipes de mécaniciens théoriques. Malheureusement ce travail n'a pu être conduit dans le cadre de cette thèse mais nous espérons pouvoir la finaliser par la suite.
## 1.11 Analyse expérimentale de l'amorçage des fissures en fretting fatigue

L'étude conduite pour des chargements de fretting simple nous a permis de mettre en place une démarche combinant une analyse multiaxiale du risque d'amorçage avec une approche 'pondérée' de la détermination du volume représentatif. Cependant, la plupart des problématiques industrielles combinent des chargements hétérogènes de fretting et des sollicitations homogènes de fatigue. L'objectif de ce paragraphe est donc d'étudier les mécanismes d'amorçage en fretting fatigue et d'évoluer comment la démarche mise en œuvre pour des chargements de fretting simples pourrait être étendue aux conditions de fretting fatigue.

### 1.11.1 Mise en oeuvre des essais de fretting fatigue

Un niveau de pression constant, équivalent aux chargements déterminés dans l'application industrielle, et identique aux sollicitations de fretting simple, a été appliqué : pression Hertzienne maximale $p_{0max}=450$ MPa. Cette pression équivaut à une force normale fixe égale à $P=230$ N/mm et donne lieu à une demi largeur de contact égale à $a_h=328$ µm. Tous les essais ont été réalisés à la fréquence de 20 Hz. Considérant les résultats obtenus durant l'étude en fretting nous avons appliqué un nombre de cycle constant égal à 1 000 000. L'ensemble des essais a été réalisé à humidité relative ambiante de 25-35 %, la température mesurée étant comprise entre 20 et 25 °C. Afin de faciliter l'analyse mécanique, on choisit d'imposer des chargements de fatigue alternée avec un rapport de charge $R_{(fatigue)} =-1$ et en même temps d'imposer une sollicitation de fretting elle aussi alternée, avec un rapport de charge $R_{(fretting)} = -1$ (Figure 84).
<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Figure 84 : Rapport de charge dans les essais fretting fatigue mono contact</figcaption></figure>

L'avantage, de pouvoir appliquer une sollicitation de fretting alternée, est de permettre une comparaison directe avec l'étude en fretting wear et d'autre part de faciliter l'analyse mécanique. En effet, les essais classiques de fretting fatigue, ne permettent pas l'asservissement de la sollicitation de fretting, ce qui complique singulièrement le calcul des chargements imposés dans l'interface.

### 1.11.2 Comportement de l'interface sous chargements de fretting fatigue

Dans un premier temps nous avons cherché à caractériser le comportement tribologique du contact. Ainsi, la mesure de la force tangentielle et du débattement au niveau du contact nous a permis de réaliser des essais de fretting fatigue en débattement variable. En fixant une condition de contact donnée, (P=232 N/mm) on augmente progressivement la sollicitation de fatigue ce qui a pour conséquence d'augmenter l'amplitude du débattement au niveau du contact. On obtient ainsi des cycles de fretting $Q(t)=f(\delta(t))$ qui, reportés suivant un axe de temps (nombre de cycles), donne lieu à une bûche pour des sollicitations de fretting fatigue. Comme pour l'analyse en fretting wear, on trace l'évolution du ratio $Q^*/P$ et du critère énergétique de transition A (glissement partiel / glissement total) en fonction du débattement au niveau de l'interface (Figure 85).
<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>Figure 85: Détermination de la transition entre glissement partiel et glissement total pour des sollicitation fretting fatigue : extension au fretting fatigue de la méthodologie 'débattement variable'</figcaption></figure>

On détermine ainsi l'amplitude du débattement à la transition de glissement $\delta_t^*$ ainsi que les valeurs de coefficient de frottement à la transition $\mu_{t FF}$ et en glissement total $\mu_{GS FF}$.

Le Tableau 12 compare les résultats obtenus pour des contacts similaires à ceux mis en ouvre pour des chargements simples de fretting et des sollicitations de fretting fatigue.

<table><caption>Tableau 12 : Comparaison du comportement de frottement en fretting simple et fretting fatigue</caption><thead><tr><th>σ<sub>FF</sub>,<br>MPa</th><th>p<sub>o</sub>, MPa</th><th>R, mm</th><th>P,<br>N/mm</th><th>μ<sub>t</sub></th><th>μ<sub>GT</sub></th><th>δ<sup>*</sup><sub>t</sub>, μm</th><th>Q<sup>*</sup><sub>t</sub>,<br>N/mm</th><th>Q<sup>*</sup><sub>GT</sub>,<br>N/mm</th></tr></thead><tbody><tr><td>-</td><td><strong>450</strong></td><td><strong>XX</strong></td><td><strong>227</strong></td><td><strong>0.84</strong></td><td><strong>0.73</strong></td><td><strong>10.1</strong></td><td><strong>194</strong></td><td><strong>169</strong></td></tr><tr><td>-</td><td>500</td><td>XX</td><td>280</td><td>0.9</td><td>0.74</td><td>15.5</td><td>253</td><td>211</td></tr><tr><td>-</td><td>600</td><td>XX</td><td>403</td><td>0.92</td><td>0.74</td><td>19.7</td><td>373</td><td>300</td></tr><tr><td>-</td><td>700</td><td>XX</td><td>549</td><td>0.91</td><td>0.71</td><td>25.1</td><td>498</td><td>391</td></tr><tr><th>σ<sub>FF</sub> R=-1,<br>MPa</th><th>p<sub>o</sub>, MPa</th><th>R, mm</th><th>P,<br>N/mm</th><th>μ<sub>FFt</sub></th><th>μ<sub>FFGT</sub></th><th>δ<sup>*</sup><sub>t</sub>, μm</th><th>Q<sup>*</sup><sub>t</sub>,<br>N/mm</th><th>Q<sup>*</sup><sub>GT</sub>,<br>N/mm</th></tr><tr><td><strong>67.5</strong></td><td><strong>450</strong></td><td><strong>XX</strong></td><td><strong>232</strong></td><td><strong>0.55</strong></td><td><strong>0.54</strong></td><td><strong>6.3</strong></td><td><strong>123</strong></td><td><strong>125</strong></td></tr></tbody></table>
### 1.11.3 Excentricité de la zone collée

La Figure 86 montre la trace de fretting fatigue obtenue pour une amplitude de force tangentielle égale à $Q*=90$ N/mm et une amplitude de contrainte de fatigue égale à $\sigma_{FF}=50$ MPa. On observe un décalage de la zone collée par rapport à l'axe médian du contact. On définit ainsi une excentricité de la zone collée 'e' équivalente à la distance entre l'axe médian du contact et l'axe médian de la zone collée normalisée par la demie-largeur de contact $a_h$.

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>Figure 86: Phénomène d'excentricité de trace de fretting fatigue : (a) – image microscopique d'une trace de fretting après essais fretting fatigue 1 000 000 cycles, (b) – Schéma d'un phénomène d'excentricité de contact</figcaption></figure>

Cette excentricité est associée à une dissymétrie entre la zone de glissement en amont et en aval du chargement de fatigue. L'expertise de la trace étudiée nous donne une valeur d'excentricité de l'ordre de :

$$e = a_h - (S_1 + c) = 439 - (239 + 179) = 21\mu m \qquad (43)$$

Hills et Nowell (Hills et al 1994) ont largement étudié cet aspect. Ils montent que cette excentricité est induite par la déformation relative de l'éprouvette soumise au chargement de fatigue (Figure 87).
<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Figure 87: Influence du chargement de fatigue sur la zone de glissement pendant le cycle de fretting fatigue</figcaption></figure>

Considérant une description élastique du contact en fretting fatigue, ils explicitent la valeur de l'excentricité 'e' aux travers des relations suivantes :

$$e = \frac{\sigma \cdot a_h}{4 \cdot \mu \cdot p_0} \qquad (44)$$

avec : $\sigma$ – contrainte de fatigue, $a$ – demi largeur du contact, $p_0$ – pression hertzienne. Cette excentricité, de la zone collée, implique que pour un contact tel que $x \in [-a, a]$ la zone collée est comprise entre les positions $x=e-c$ et $x=e+c$.

On rappelle que la demie-largeur de la zone collée est exprimée par la relation :

$$\frac{c}{a_h} = \left( 1 - \frac{Q^*}{\mu \cdot P} \right)^{\frac{1}{2}} \qquad (45)$$

La distribution du cisaillement pour cette condition de glissement partiel est alors exprimée par la relation suivante :

$$q(x) = \mu \cdot p_0 \cdot \left( 1 - \left( \frac{x}{a_h} \right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} + q'(x) \qquad (46)$$

Où $q'(x)$ représente la perturbation induite par la zone collée. Ainsi dans la zone collée : $x \in [e-c, e+c]$ autrement dit $|x-e| < c$, $q'(x) = 0$

Dans les zones latérales de glissement telles que $x \in [-a_h, e-c]$ et $x \in [e+c, a_h]$ soit $a_h > |x-e| > c$, l'expression de $q'(x)$ est donnée par la relation :
$$ q'(x) = -\mu \cdot p_0 \cdot \frac{c}{a_h} \left( 1 - \left[ \frac{(x - e)}{c} \right]^2 \right)^{\frac{1}{2}} \quad (47) $$

On retiendra que cette formulation reste valide uniquement pour $e+c \le a$ soit :

$$ \frac{\sigma \cdot a_h}{\mu \cdot p_0} \le 4 \cdot \left[ 1 - \left( 1 - \frac{Q^*}{\mu \cdot P} \right)^{\frac{1}{2}} \right] \quad (48) $$

L'application numérique pour la condition étudiée donne une valeur égale à $e_{FF A}=9.8 \ \mu m$ (Tableau 13).

L'analyse de Nowell et Hills est élastique et ne permet pas de prendre en compte le comportement élasto-plastique du matériau. Des calculs FEM, intégrant le comportement visco-élasto-plastique du matériau ont été réalisés. On observe une extension conséquente de l'aire de contact liée aux déformations plastiques activées par les chargements de fatigue et de fretting. L'analyse des profils de cisaillement obtenus donne une excentricité de l'ordre de $e_{FF B}=20 \ \mu m$.

<table><caption>Tableau 13 : Comparaison de calcul d'excentricité de la zone collée en fretting fatigue ($P=232 \ N/mm$, $\sigma_{FF}=50 \ MPa$, $Q*=82 \ N/mm$, $a_h=320 \ \mu m$)</caption><thead><tr><th colspan="3">Excentricité de la zone collée 'e'</th></tr><tr><th>Calcul élastique, e (μm)</th><th>Calcul élasto-plastique, e (μm)</th><th>Résultat expérimental, e (μm)</th></tr></thead><tbody><tr><td>9.8</td><td>20</td><td>21</td></tr></tbody></table>

On retiendra que pour ces conditions l'écart entre le calcul analytique et l'analyse FEM élasto-plastique est important et que la valeur d'analyse FEM correspond au résultat expérimental.
<figure><img src="image_103.png" /></figure>

<figure><img src="image_104.png" /></figure>

Figure 88: Distributions des contraintes de cisaillement générées dans les contacts soumis à des chargements de fretting wear et de fretting fatigue (R=XX mm, p₀=450 MPa, Q*=80 N/mm et σ FF =100 MPa), (a)-analyse élastique, (b)-analyse élasto-plastique
## 1.12 Approche prédictive de l'amorçage des fissures en fretting fatigue

Ayant établi expérimentalement l'impact relatif du fretting et de la fatigue sur les conditions d'amorçage des fissures, notre objectif est d'évaluer dans quelle mesure il est possible de prédire le seuil d'amorçage des fissures en fretting fatigue.

### 1.12.1 Modélisation Eléments Finis du contact cylindre/plan en fretting fatigue

A partir du code mis en place pour l'étude des chargements en fretting simple, nous avons réalisé le modèle de essais fretting fatigue mono contact étudié expérimentalement (Figure 89) en respectant en particulier l'ensemble des conditions limites de l'essai. On retiendra que les chargements de fretting sont pilotés indépendamment de façon à reproduire exactement le cycle de chargement expérimental.

<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>Figure 89 : Modèle Eléments Finis de l'essais fretting fatigue mono contact</figcaption></figure>

### 1.12.2 Prédiction de l'amorçage pour des chargements de fretting fatigue

Comme pour l'analyse en fretting, après stabilisation du contact élasto-plastique nous appliquons différents critères multiaux. La Figure 90 trace l'évolution des différents critères en surface du contact. On remarque que le décalage de la zone collée induit une dissymétrie de la distribution des critères d'amorçage.

On note en particulier que le risque maximal se situe en bordure de contact du côté de l'application du chargement de fatigue.
<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>Figure 90 : Distribution des risques d'amorçage en surface du contact pour un chargement de fretting fatigue (P=232 N/mm, Q*=80, σ<sub>FF</sub>=100 MPa).</figcaption></figure>

Ce résultat confirme les observations expérimentales ainsi que les conclusions de Rajasekaran et Nowell 2006, Navarro et al. 2006.

Pour établir une prédiction fiable du seuil d'amorçage nous appliquons la démarche introduite précédemment basée sur la détermination d'un volume représentatif 'pondéré', intégrant l'impact de la microstructure mais aussi les gradients du cisaillement et de la pression hydrostatique dans la zone de glissement.

$$lv = \alpha_c \cdot (a_h - c) \cdot |q(c) - q(a_h)| \cdot |P_H(c) - P_H(a_h)| \quad (49)$$

Ainsi, pour les trois conditions de fatigue étudiées $\sigma_{FF}=50$, 100 et 120 MPa nous trouvons respectivement $lv=59$, 67 et 67 µm.

Dans la mesure où le chargement de fatigue est homogène, seul le chargement hétérogène de contact intervient dans la détermination de la grandeur $lv$.

La Figure 91 compare les prédicitions obtenues par les 3 critères étudiées, ceci pour les trois chargements de fretting fatigue expertisés. On remarque une bonne stabilité des prédicitions obtenues.
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>Figure 91: Prédiction du risque d'amorçage des fissures en fretting fatigue basée sur la définition d'un volume élémentaire variable liée au gradient des contraintes dans le zone glissante ($\sigma_{FF}$, MPa, $R=-1$)</figcaption></figure>

On observe juste une légère augmentation du risque prévu avec les contraintes de fatigue imposée. Cette tendance, assez marquée pour le critère de Dang Van, est pratiquement négligeable pour les critères de Crossland et de Papadopoulos. De fait cette analyse qui combine un chargement homogène de fatigue et hétérogène de fretting souligne la problématique de la prédiction des risques d'amorçage des fissures pour des chargements combinés. Des recherches plus approfondies, impliquant différentes configurations de chargements permettraient de mieux appréhender ces aspects.

En conclusions, on montre que la démarche empirique que nous proposons, qui reste à approfondir d'un point de vue physique, permet une prédiction relativement fiable du risque d'amorçage en fretting fatigue. On remarque que le critère de Papadopoulos permet une meilleur 'centrage' des prédictions sur les valeurs seuils. En effet, le critère de Crossland présente une tendance 'optimiste' alors que le critère de Dang Van est systématiquement pessimiste (prédiction supérieure à 1). En revanche dans le cadre d'un dimensionnement sécurisé, l'application du critère de Dang Van présente l'avantage de fournir un résultat plus conservatif.

### 1.12.3 Introduction et formalisation d'un concept de carte d'amorçage en fretting fatigue

Reprenant la démarche mise en œuvre pour l'étude de la fissuration sous chargements simples de fretting fatigue, nous avons cherché à identifier pour les différents niveaux de sollicitation de fatigue le seuil d'amorçage associé à un chargement critique de fretting ($\sigma_{FF1}$, $Q^{*}_{FF1}$), ($\sigma_{FF2}$, $Q^{*}_{FF2}$), ...
L'application extensive de cette démarche, rendue possible par la mise en place d'un essai adopté nous permet de dissocier les chargements de fretting vis-à-vis des chargements de fatigue, et d'introduire le concept de carte d'amorçage en fretting fatigue (Fouvry et al. 2006). Ainsi, pour le contact étudié on identifie la frontière seuil d'amorçage des fissures (Figure 92).

<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>Figure 92 : Frontière expérimentale d'amorçage des fissures en sollicitations complexes fretting et fatigue</figcaption></figure>

Cette représentation combinant l'impact des chargements de fatigue et de fretting, nous permet de définir un domaine de non-amorçage et un domaine d'amorçage des fissures. Nous pouvons en déduire qu'un couple de chargement fretting fatigue ($\sigma_{FF}$, $Q^*_{FF}$) situé en dessous de la frontière d'amorçage, c'est-à-dire dans le domaine de sécurité, sera par définition une condition de non endommagement. En considérons la démarche prédictive de la condition d'amorçage combinant une approche multiaxiale et la prise en compte de l'effet d'échelle telle que nous l'avons explicitée, il est alors possible de modéliser la frontière de non amorçage. Ainsi, cette modélisation, fondée sur le critère de Crossland (critère présentant la meilleure stabilité dans le cas présent) peut être comparée avec les résultats expérimentaux obtenus (Figure 92). On observe une très
bonne corrélation qui confirme la démarche prédictive en terme d'amorçage des fissures.

En revanche, un couple de chargement situé au-delà de ce seuil impliquera un amorçage de fissure. La question alors, sera d'établir les conditions de l'évolution de cet endommagement. Autrement dit, dans quelle mesure une fissure amorcée va se propager ou pas ? Cette question sera abordée dans le prochain chapitre. D'un point de vue pratique, ces résultats sont extrêmement importants pour l'assemblage axe/roue. En effet, l'analyse conduite par Yameogo 2004 montre qu'après calage à la presse, le chargement cyclique de fatigue se stabilise à ±120 MPa. L'expertise des axes met en évidence la présence des fissures qui amorcées, se propagent avant de s'arrêter pour des longueurs inférieures à lmax<1050 µm. Nous en déduisons que les conditions opératoires (fretting fatigue) du système industriel étudié se situe au-delà du seuil d'amorçage mis en évidence par cette étude. En revanche cela souligne que si il y a eu amorçage le chargement imposé n'implique par la propagation jusqu'à rupture et donc qu'il existe une seconde frontière d'endommagement associée à un seuil d'arrêt de fissuration.
<figure><img src="image_109.png" /></figure>
# Chapitre 5

## Analyse expérimentale de la propagation des fissures sous chargement de fretting wear et fretting fatigue
<figure><img src="image_110.png" /></figure>
## 1.13 Étude expérimentale de la propagation des fissures en sollicitations de fretting wear

Ayant établi la condition d'amorçage des fissures en sollicitation fretting nous abordons l'étude de la propagation des fissures en fonction des chargements appliqués (pression maximale et cisaillement dans le contact). L'analyse de la propagation des fissures s'effectuera pour des conditions de chargement hertziennes identiques à celles mises en œuvre pour l'analyse de l'amorçage des fissures : deux rayons de cylindre R=XX mm et R=XX mm, et quatre niveaux de pression p₀max=450, 500, 600, et 700 MPa seront considérés.

### 1.13.1 Détermination des longueurs de fissuration

L'ensemble des essais expérimentaux associés à l'étude de la propagation est effectué en régime de glissement partiel pour des chargements tangentiels (Q*) appliqués dans le contact supérieur au chargement du seuil d'amorçage (Q*th) mais inférieur au chargement induisant la transition de glissement (GP/GT) (Q*t). L'expertise des traces de fretting confirme que les fissures apparaissent au bord du contact dans la zone de glissement (Figure 93) et se propagent vers le centre du contact (Figure 94).

<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>Figure 93: Image MEB d'une trace de fretting, fissure en bordure du contact cylindre/plan</figcaption></figure>
Après chaque essai, une découpe est réalisée au centre de la génératrice du contact. Après polissage des surfaces, l'observation en "cross section" permet de caractériser la fissuration tant vis à vis de la longueur (a) que de l'angle de propagation. L'ensemble des expertises confirme un angle de propagation compris entre 25° et 35° par rapport à la normale de la surface (Figure 94).

<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>Figure 94 : Caractérisation d'une fissuration en bordure du contact</figcaption></figure>

### 1.13.2 Développement d'une approche expérimentale

Une première étape a consisté à établir les cinétiques de propagation et surtout à caractériser la condition d'arrêt de propagation, condition qui est systématiquement observée pour des chargements simples de fretting.

Le principe de l'étude consiste à choisir une condition de sollicitation qui induise la fissuration et à imposer différents nombres de cycles de façon à estimer la cinétique de propagation. La mesure des longueurs de fissuration nous permet ainsi de suivre l'évolution de la fissuration en fonction du nombre de cycles. La Figure 95 présente les résultats expérimentaux de l'analyse de cinétique de propagation.
<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>Figure 95 : Evolution de la fissuration en fonction du nombre de cycles imposé pour une condition de fretting wear fixée (R=XX mm, p<sub>0max</sub>=700 MPa, Q*=280 N/mm)</figcaption></figure>

L'amorçage des fissures débute après quelques milliers de cycles, nous avons montré dans le chapitre précédent que pour étudier l'amorçage il suffit d'essais de 250 000 cycles. Cependant, pour bien identifier les conditions d'arrêt de fissuration, on observe qu'il est nécessaire de mener des essais jusqu'à 1 000 000 de cycles.

On remarque que la fissuration progresse rapidement au début du chargement puis se stabilise à partir de 1000000 de cycles donnant lieu à une longueur de l'ordre de 75 µm pour le chargement étudié. On met très clairement en évidence le phénomène d'arrêt de fissuration. En effet, au-delà d'une certaine profondeur, le chargement de contact devient négligeable de sorte que la fissuration s'arrête inévitablement. (NB : En revanche, on peut supposer qu'en imposant un chargement extérieur de fatigue, cette propagation puisse se prolongée).

### 1.13.3 Analyse expérimentale de la condition d'arrêt de propagation des fissures

Les Figure 96 et Figure 97 présentent les résultats d'analyse de la propagation des fissures en fretting wear. On observe que les longueurs de fissure sont fonction de l'amplitude de la force tangentielle et indirectement du chargement de cisaillement
appliqué. Les fissures les plus longues sont observées pour des amplitudes de force tangentielles légèrement inférieures à l'amplitude de transition (GP/GT).

En effet, le contact à la transition de glissement est relativement instable et l'activation ponctuelle de glissements locaux. Notre étude concerne essentiellement l'état stabilisé de la sollicitation de fretting pour de très grands nombres de cycles, là où on l'observe l'arrêt de propagation des fissures. Ainsi, l'analyse a porté sur des durées d'essai de $10^6$ cycles.

<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>Figure 96: Résultats expérimentaux de l'amorçage et de la propagation des fissures en glissement partiel, configuration cylindre/plan pour un rayon de cylindre $R=XXmm$</figcaption></figure>

On observe que la longueur maximale de propagation dépend avant tout du chargement tangentiel appliqué dans le contact, mais aussi de la pression hertzienne. Ainsi, pour la même amplitude de force tangentielle, on peut noter que pour une pression plus importante, la longueur de fissure diminue. Autrement dit la propagation des fissures peut être réduite par l'application d'une pression plus importante.
<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>Figure 97: Résultats expérimentaux de l'amorçage et de la propagation des fissures en glissement partiel, configuration cylindre/plan pour un rayon de cylindre $R=XXmm$</figcaption></figure>

Les résultats expérimentaux confirment aussi l'impact de la taille du contact sur la propagation des fissures. Pour le contact plus important on observe un retardement de la propagation des fissures. Les effets couplés de la pression et de la taille du contact sont en fait directement associés à l'extension sous l'interface des domaines soumis à des états compressifs. On retiendra en particulier qu'une augmentation de la pression, en favorisant un chargement tangentiel donne l'extension des fissurations.

## 1.14 Approche prédictive de la condition d'arrêt de propagation des fissures

L'objectif de cette étude est de voir comment en transposant des modèles conventionnels, il est possible de prédire la propagation des fissurations sous sollicitations de fretting (cinétique de fissuration et condition d'arrêt de fissuration). Une approche basée sur l'analyse de la concentration des contraintes a ainsi été mise en oeuvre. Elle porte sur le calcul des Facteurs d'Intensité de Contraintes (FIC) selon le chemin de propagation des fissures. On associera la condition seuil d'arrêt de fissuration pour une variation de facteur d'intensité de contraintes calculé en pointe de fissure $\Delta K$ inférieur à un $\Delta K_{seuil}$.
### 1.14.1 Calcul du Facteur Intensité Contraintes

Parmi différentes méthodes pour le calcul du FIC il est apparu que la méthode d'interpolation par les Fonctions de Poids à partir d'un champ de contraintes généré par des calcules éléments finis est apparu comme la plus efficace et la plus pertinente.

#### 1.14.1.1 Méthode de interpolation par la Fonction de poids

La méthode des fonctions de poids est un moyen de calculer le facteur d'intensité de contraintes. Cette méthode semi-analytique a été introduite par Hans F.Bueckner. Le principe des fonctions de poids est de considérer une structure sans fissure, de considérer un chemin le long duquel on suppose une fissure, puis de relever les contraintes le long de ce chemin. Selon l'orientation du chemin et les sollicitations extérieures, la fissure virtuelle sera sollicitée en mode 1 et/ou en mode 2. Le mode de sollicitation donne alors l'information sur le type de fonctions de poids à choisir. La fonction de poids étant choisie, celle-ci vient pondérer le champ de contraintes le long du chemin.

Dans le cas d'une fissure droite débouchante à la surface, la fonction de poids d'après Hans F.Bueckner est la suivante :

$$M(t) = t^{-\frac{1}{2}} \left[ 1 + m_1 * \frac{t}{h} + m_2 * \left( \frac{t}{h} \right)^2 \right] \quad (50)$$

avec h – la longueur totale de la fissure, t – la variable parcourant la fissure, H – la différence entre la largeur du massif et la longueur de fissure totale.

Ces notations sont illustrées sur la Figure 98.

<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>Figure 98 : Définition des variables pour l'étude d'une fissure par la méthode des fonctions de poids.</figcaption></figure>

$m_1$ et $m_2$ sont des constantes dépendantes du rapport $r = h/w$. On suppose que la longueur totale de la fissure h n'est pas infinie. Les expressions de ces deux paramètres sont alors les suivantes :
$$m_1 = A_1 + B_1 r^2 + C_1 r^6 \tag{51}$$

et

$$m_2 = A_2 + B_2 r^2 + C_2 r^6 \tag{52}$$

où

$$ \begin{align*} A_1 &= 0.6147 & B_1 &= 17.1844 & C_1 &= 8.7822 \\ A_2 &= 0.2502 & B_2 &= 3.2889 & C_2 &= 70.0444 \end{align*} $$

Ces approximations sont utiles pour $0 \le r \le 0.5$. Pour des valeurs de r supérieures à 0.5 la fonction de poids devient :

$$M(t) = (Hs) - \frac{1}{2}(1 + A_1 s + A_2 s^2) \tag{53}$$

avec $s = \frac{t}{t+H}$.

En appliquant la méthode des fonctions de poids pour une fissure débouchante à la surface, on obtient la formule du facteur d'intensité de contraintes:

$$K1 = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{h} M(t) \cdot \sigma_{x}(t) dt \tag{54}$$

$$K2 = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{h} M(t) \cdot \sigma_{y}(t) dt \tag{55}$$

où $\sigma_x(t)$ est le chargement normal à la fissure et $\sigma_y(t)$ est le chargement tangentiel à la fissure.

Une valeur effective du FIC ($\Delta K_{eff}$) peut alors être calculée au travers de la relation suivante :

$$\Delta K_{\text{eff}} = \sqrt{K1_{\text{max}}^2 + \Delta K2^2} \tag{56}$$

Utilisant cette démarche nous avons cherché à formaliser la propagation des fissures et prédire la condition d'arrêt de fissuration. Les données matériaux utilisées sont issues de la thèse de V. Gros (Gros 1996).
### 1.14.2 Prédiction de la longueur de fissures pour des sollicitations de fretting wear

De nombreux auteurs ont montré que les fissures courtes ont un comportement différent de celui des fissures longues. En effet, elles se propagent en dessous du $\Delta K_{seuil}$ des fissures longues et peuvent avoir, pour un même $\Delta K$, des vitesses supérieures à celles des fissures longues. Nix et Lindley (Nix, 1985 et 1988) montrent qu'il est primordial de définir la condition pour laquelle une fissure courte, déjà, initiée va se propager. Ils observent en particulier la présence de fissures courtes même au-dessous de la limite d'endurance définie par les courbes de Wöhler en fretting fatigue. En 1999 Araujo et Nowell ont développé un modèle (présenté dans le chapitre 2) permettant de prédire la condition d'arrêt de fissuration en fretting dans le domaine des fissures courtes (Figure 99).

<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>Figure 99: Modèle théorique d'arrêt de propagation des fissures courtes proposé par Araujo et Nowell en 2000</figcaption></figure>

Suivant cette approche on prédit l'arrêt de propagation des fissures, si l'évolution du FIC croise la frontière définissant le domaine 'non propagation' dans ce cas, la fissure s'arrête. Sinon la fissure se propage jusqu'à la rupture de la pièce. A partir des modèles Eléments Finis des essais fretting wear, nous avons réalisé une série de calculs représentatifs des conditions de chargement associées aux longueurs maximales de fissures expertisées (Figure 96 et Figure 97). Sous sollicitations cycliques de fretting
le mode I de propagation des fissures est dominant. L'angle de propagation des fissures expertisées est compris entre 25-30°, cependant pour simplifier le modèle on va considéré une fissure droite (perpendiculaire à la surface) (Figure 100) dont la longueur effective est égale à la projetée de la fissure oblique considérée. L'analyse effectuée par Fouvry et al. (Fouvry 2006) confirme la stabilité de cette démarche. Le modèle de fissure droite peut ensuite être facilement appliqué aux résultats associés aux essais de fretting simple (wear) et de fretting fatigue. En effet, l'expertise des fissures générées par les sollicitations de fretting fatigue révèle une propagation en mode I perpendiculaire au chargement, ceci jusqu'à la rupture de l'éprouvette.

<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>Figure 100 : Modelisation des fissures droites : a) fissure réelle, b) fissure modélisée</figcaption></figure>

La méthodologie mise en oeuvre pour prédire la longueur des fissures consiste à
tracer l'évolution du facteur d'intensité des contraintes en fonction de la longueur de
fissure b et à trouver le point d'intersection avec une courbe théorique du modèle d'arrêt
de propagation. Si le point d'intersection existe, il est associé à la longueur de fissure
prédite (Figure 101).
<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>Figure 101: Prédiction de la condition d'arrêt de fissuration</figcaption></figure>

Le résultat des prédictions des longueurs de fissuration est présenté sur la Figure 102. On remarque que les conditions de chargement associées aux arrêts de fissurations expertisés encadrent de façon tout à fait cohérente la frontière théorique d'arrêt de fissuration. L'ensemble des longueurs de fissure expertisées reste dans le domaine des fissures courtes (a<a₀). La dispersion des points expérimentaux peut être associée aux effets induits par les différentes largeurs de contact et niveaux de pression imposés (R=XX mm, R=XX mm, p₀max=450, 500, 600, 700 MPa).
<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>Figure 102: Frontières expérimentales et théoriques d'arrêt de propagation des fissures</figcaption></figure>

Les résultats de la modélisation de la condition d'arrêt de propagation en fretting wear sont compilés dans le Tableau 14.

<table><caption>Tableau 14 : Résultats d'analyse de propagation des fissures en fretting wear</caption><thead><tr><th>R</th><th>p<sub>o</sub></th><th>P</th><th>Q*<sub>th</sub></th><th>a<sub>h</sub></th><th>l<sub>exp</sub></th><th>ΔK<sub>eff</sub></th><th>l<sub>pred</sub></th><th>ΔK<sub>eff</sub></th></tr><tr><th>mm</th><th>MPa</th><th>N/mm</th><th>N/mm</th><th>μm</th><th>μm</th><th>MPa·√m</th><th>μm</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>XX</td><td>450</td><td>114</td><td>77</td><td>-210</td><td>61</td><td>2.09</td><td>27</td><td>2</td></tr><tr><td>XX</td><td>500</td><td>140</td><td>101</td><td>-250</td><td>74</td><td>2.46</td><td>40</td><td>2.4</td></tr><tr><td>XX</td><td>600</td><td>202</td><td>146</td><td>-320</td><td>122</td><td>2.89</td><td>63</td><td>3</td></tr><tr><td>XX</td><td>700</td><td>274</td><td>217</td><td>-410</td><td>197</td><td>4.17</td><td>130</td><td>4.4</td></tr><tr><td>XX</td><td>450</td><td>227</td><td>169</td><td>-420</td><td>68</td><td>3.17</td><td>67</td><td>3.17</td></tr><tr><td>XX</td><td>500</td><td>280</td><td>147</td><td>-440</td><td>53</td><td>2.71</td><td>49</td><td>2.68</td></tr><tr><td>XX</td><td>600</td><td>403</td><td>246</td><td>-590</td><td>44</td><td>3.4</td><td>95</td><td>3.73</td></tr><tr><td>XX</td><td>700</td><td>549</td><td>283</td><td>-690</td><td>75</td><td>3.91</td><td>105</td><td>3.97</td></tr><tr><td>XX</td><td>450</td><td>340</td><td>214</td><td>-600</td><td>135</td><td>3.5</td><td>75</td><td>3.33</td></tr></tbody></table>
## 1.15 Étude expérimentale de la propagation de fissures en fretting fatigue

L'étude de la propagation des fissures en fretting fatigue a été conduite suivant les mêmes procédures expérimentales que celles décrites pour l'étude de l'amorçage (chapitre 4, paragraphe 4.3). Contrairement à l'analyse de l'amorçage, l'expertise de la propagation implique de conduire les essais jusqu'à la rupture des éprouvettes de fatigue. On observe que la propagation, en modifiant la rigidité de l'éprouvette de fatigue, modifie aussi la complaisance du contact (Figure 103).

<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>Figure 103: Fretting log en sollicitations de fretting fatigue, observation de la rupture de l'éprouvette de fatigue</figcaption></figure>

Ainsi, lorsque l'éprouvette est sur le point de casser on remarque un décalage significatif des cycles de fretting. En fait, l'analyse des bûches de fretting peut indirectement être considérer comme un traceur d'endommagement en fatigue et permettre éventuellement de calibrer les cinétiques de propagation. Nous n'avons pas pu approfondir cet aspect en revanche le décalage significatif des cycles de fretting nous a permis de mettre en place une méthodologie d'arrêt sécurisé des essais de fretting fatigue.