# Forma Diferencial, Grupo de Lie, Sistema Dinâmico e Blockchain

Por: João Paulo da Silva Pereira

## Resumo

Neste artigo, investiguei por meio de precisas definições, como a definição de uma variedade topológica, as relações sutis entre elas, como o fato de que se definirmos classicamente uma variedade como um espaço topológico que é localmente euclidiano, Hausdorff e ainda 2-enumerável, teremos a existência de uma base enumerável e a condição de ser um Hausdorff, o que implica que $X$ é paracompacto. Porém, isso poderia ser obtido por meio da definição de subcobertura. A fim de chegar na conclusão de que os conceitos apresentados estão em consonância. Assim, é possível a união e, por conseguinte, possíveis aplicações, basta perceber que numa variedade diferenciável, as operações de produto vetorial e produto externo estão interligadas. A aplicação, única, neste trabalho se deu em descrever as transações de criptomoedas no blockchain, utilizando formas diferenciais para representar a disseminação de transações na rede. Utilizei o produto exterior para representar a interação entre as transações e um conjunto de equações diferenciais condensada em uma para descrever a evolução temporal do hash. Assim, fez-se necessário a descrição de um sistema dinâmico. Este trabalho proporciona uma nova perspectiva sobre a segurança e a eficiência do blockchain, permitindo uma análise precisa e robusta das mudanças do hash ao longo do tempo.

**Palavras-chave:** Análise em Variedades; Formas Diferenciais; Sistemas Dinâmicos; Transações na Blockchain; Hash.

## Abstract

In this article, I investigated, through precise definitions, such as the definition of a topological manifold, the subtle relationships between them, such as the fact that if we classically define a manifold as a topological space that is locally Euclidean,
Hausdorff and also 2-enumerable, we will have the existence of an enumerable
basis and the condition of being a Hausdorff, which implies that X is paracompact.
However, this could be obtained through the definition of subcovering. In order to
reach the conclusion that the concepts presented are in agreement. Thus, the union
is possible and, consequently, possible applications, it is enough to realize that in a
differentiable manifold, the operations of vector product and external product are
interconnected. The unique application in this work was to describe cryptocurrency
transactions on the blockchain, using differential forms to represent the
dissemination of transactions in the network. I used the external product to represent
the interaction between transactions and a set of differential equations condensed
into one to describe the temporal evolution of the hash. Thus, it was necessary to
describe a dynamic system. This work provides a new perspective on blockchain
security and efficiency, allowing an accurate and robust analysis of hash changes
over time.

**Keywords:** Manifold Analysis; Differential Forms; Dynamic Systems; Blockchain Transactions; Hash.

Introdução

Na primeira parte deste trabalho relembrei os principais e mais básicos
conceitos por meio de definições que o leitor deve dominar para compreender o
trabalho. São eles: variedade topológica, espaço topológico paracompacto,
variedade diferenciável, grupo de Lie, atlas, vetores na análise em variedades,
produto vetorial e produto exterior. Além disso, fiz algumas observações de
fundamental importância para o decorrer do trabalho.

Na segunda parte defini um homeomorfismo local por meio das cartas $\varphi_i$ e a
coleção de cartas, neste contexto, que cobre X. No início da terceira parte é
fundamental ter uma boa compreensão do que é o grupo de Lie para entender como
o produto vetorial e exterior proporcionam a comunicação entre todos os conceitos
vistos até o momento.

Proponho em seguida uma aplicação destes conceitos. Primeiro apresento os conceitos necessários para o cálculo a seguir nos dois tópicos, que são blockchain e redes de grupos e sistema dinâmico no blockchain, este com a introdução do sistema dinâmico por meio das equações diferenciais. Por fim, basicamente, ao chegar na função de hash, variação de hash, obter a variação em termos de t, usando para isso a regra da cadeia, e ao usar o produto exterior das formas diferenciais, cheguei nas equações diferenciais.

Desenvolvimento

1º Parte

Antes de apresentar as minhas ideias, irei fazer algumas definições a fim de
relembrar alguns conceitos que o leitor deve dominar para entender este trabalho.

Definição 1: Um espaço topológico $X$ é uma variedade topológica se, para todo ponto $x \in X$, $\exists U \in \phi: U \to V$, onde $V$ é um aberto de $R^n$, $U$ é uma vizinhança aberta e $\phi: U \to V$, um homeomorfismo.

Definição 2: Um espaço topológico $X$ é dito paracompacto se, $\forall \{U_\alpha\}, \exists \{V_\beta\} | \forall U \subset X \cap V_\beta$, isto é, para toda toda cobertura de $X$, existe uma subcobertura finita tal que para cada $x$ em $X$, podemos encontrar uma vizinhança que intersecta um número finito de conjuntos da subcobertura.

Definição 3: Um espaço topológico $X$ que é localmente euclidiano, Hausdorff
e 2-enumerável é uma variedade. A existência de uma base enumerável e a
condição de ser um Hausdorff implica que $X$ é paracompacto.
**Definição 4:** Um grupo de Lie $G$ é uma variedade suave $G$ equipada com operações $m: G \times G \to G$ (multiplicação) e $i: G \to G$ (inversão), que são funções $C^\infty$ (suaves).

**Definição 5:** Suponha que $\{U_i\}$ seja uma cobertura aberta de $X$ com homeomorfismos $\varphi_i: U_i \to V_i$, onde $V_i$ são abertos de $R^n$. A união dessas cartas $\varphi_i$ cobre $X$, fornecendo um atlas que define a estrutura de variedade diferenciável em $X$.

**Definição 6:** Seja $w_1, w_2 \in \Omega^1(R^3)$. As correspondências $w_1^#, w_2^# \in X \subset R^3$ representam vetores em $X$.

**Definição 7:** O produto vetorial $w_1^# \times w_2^# \in X$ é uma operação entre vetores.

**Definição 8:** O produto exterior $w_1 \wedge w_2 \in \Omega^2(R^3)$ generaliza o conceito de produto vetorial.

**Definição 9:** Se $X$ for uma variedade diferenciável, a relação entre produto vetorial e produto exterior é capturada pela estrutura das formas diferenciais.

Tenho algumas considerações a fazer. A primeira é que dado $w_1, w_2 \in \Omega^1(R^3)$, que são 1-formas diferenciais em $R^3$. Temos que suas correspondentes $w_1^#, w_2^# \in X$, onde $X$ é um espaço topológico diferencial de $R^3$. Além disso, o produto vetorial $w_1^# \times w_2^# \in X$ pode ser visto como um elemento de $X$, refletindo como as direções associadas a essas 1-formas se combinam de forma vetorial.

Segundo, a notação $(w_1 \wedge w_2)^#$ sugere o uso do produto exterior para generalizar esse conceito. O produto exterior $\wedge$ de duas 1-formas $w_1$ e $w_2$ em $\Omega^1(R^3)$ é uma 2-forma em $R^3$. E quanto a $w_1 \wedge w_2 \in \Omega^2(R^3)$, esta 2-forma pode ser vista como uma generalização do produto vetorial. Quando mapeada de volta (pullback) através das correspondências #, pode refletir propriedades topológicas e diferenciais de $X$. Dito isso, faz-se possível desde já ter um vislumbre de que as operações diferenciais e vetoriais estão interligadas, especialmente ao considerar
variedades diferenciáveis. Além disso, essa relação entre formas diferenciais e vetores é fundamental em muitas áreas da matemática, como a teoria de Lie, e até na física teórica.

## 2º Parte

Agora irei introduzir mais duas definições fundamentais para a compreensão da terceira e última parte.

**Definição 10:** Defino um homeomorfismo local $\varphi_i: U_i \to V_i$ tal que $U_i \subset X$ e $V_i \subset R^n$. A união dessas cartas $\varphi_i$ cobre $X$. Assim, é possível construir um homeomorfismo global a partir da combinação dessas cartas.

**Definição 11:** Imagine que as funções $f_1, f_2, ..., f_n$ representam a união dos abertos em $X$ mapeados para os de $Y$, com $U_i$ e $V_i$ abertos. Essas funções formam um atlas, que é uma coleção de cartas que cobre $X$ e proporciona uma estrutura de variedade diferenciável, essencial para definir um grupo de Lie.

## 3º Parte

Lembrando que um grupo de Lie é uma variedade diferenciável que também possui uma estrutura de grupo, onde as operações de grupo (multiplicação e inversão) são funções suaves (classe $C^\infty$). No contexto de $R^3$, podemos definir essas operações de forma a satisfazer as propriedades de um grupo de Lie.

**Definição 12:** O produto vetorial $w_1^\# \times w_2^\# \in X$, representa a combinação vetorial dessas 1- formas.

**Definição 13:** O produto exterior $w_1 \wedge w_2 \in \Omega^2(R^3)$ generaliza o produto vetorial. Essa 2-forma captura a interação entre as direções associadas a $w_1$ e $w_2$.
Portanto, genericamente, a interconexão entre esses conceitos se dá ao perceber que em uma variedade diferenciável (potencialmente um grupo de Lie), as operações de produto vetorial e produto exterior estão interligadas por meio das propriedades diferenciais e topológicas da variedade.

Irei agora relacionar os principais conceitos até aqui estudados em uma aplicação que visa modelar a transação na blockchain, acrescentando, para isso, algumas ideias da teoria dos sistemas dinâmicos. Primeiro farei isso conceitualmente.

## Blockchain e Redes de Grupos

**Operações e Espaço de Fase:** Cada bloco na rede blockchain pode ser interpretado como um ponto em um espaço de fase. As transações representam as variáveis que alteram o estado do sistema, expressas por coordenadas em uma gama variada.

**Grupos de Lie:** As tarefas de adicionar blocos e validar transações podem ser consideradas operações de grupo em um grupo de Lie. A adição de um bloco e a inversão de uma transação são operações suaves que preservam a integridade do sistema.

**Formas Diferenciais:** Podemos empregar formas diferenciais para representar a disseminação de transações na rede, registrando as interações entre os diversos nós da rede através de formas diferenciais de 1º ordem. O resultado final dessas formas pode simbolizar as relações complexas e os padrões de interação.

## Sistema Dinâmico na Blockchain

**Hashing e Equações Diferenciais:** O procedimento de hashing pode ser representado como um sistema em evolução, no qual as equações diferenciais retratam a mudança do estado do hash ao longo do tempo. O grupo de Lie poderia ser visto como um fluxo suave para a função hash.

**Segurança e Cálculo Diferencial:** A proteção de um blockchain, sustentada por funções de hash criptográficas, pode ser explicada através de formas
diferenciais e propriedades topológicas da variedade que representa o espaço de
estados das operações.

Imagine que $H(t)$ é o estado do hash em um determinado tempo $t$. A função hash pode ser descrita como um fluxo suave $f$ no grupo de Lie. Ou seja, o hashing é posto como um sistema dinâmico. Segue a expressão matemática:

$$H(t + 1) = f(H(t)) \text{ (Função de Hash).}$$

Seja $\omega$ uma 1-forma diferencial que representa a variação do hash ao longo do tempo, isto é, pondo as formas diferenciais. Segue a expressão:

$$dH = \Omega \text{ (Variação do Hash).}$$

Usando a regra da cadeia, podemos expressar a variação em termos de coordenadas $t$: $\omega = (\partial H/\partial t)dt$, onde $\omega$ representa a 1-forma diferencial que descreve a variação do hash, $\partial H/\partial t$ é a derivada parcial do hash $H$ em relação ao tempo $t$. Isso nos dá a taxa de mudança do hash ao longo do tempo. E $dt$ representa um pequeno incremento no tempo. A expressão significa que a 1-forma diferencial $\omega$ captura como o hash $H$ varia em relação ao tempo $t$. Essencialmente, isso nos permite analisar e modelar a dinâmica da mudança do hash com precisão, usando conceitos de formas diferenciais.

Para capturar as interações complexas entre as transações, podemos usar o produto exterior das formas diferenciais. Se $\omega_1$ e $\omega_2$ são 1-formas diferenciais, seu produto exterior $\omega_1 \wedge \omega_2$ é uma 2-forma que representa a interação. Segue a expressão:

$$\omega_1 \wedge \omega_2 = ((\partial H/\partial t_1)dt_1) \wedge ((\partial H/\partial t_2)dt_2).$$
Podemos agora formular um sistema de equações diferenciais para
descrever a evolução temporal do hash. Segue a expressão:

$$
\frac{dH}{dt} = f(H).
$$

Com estas equações, temos uma maneira robusta de modelar como o estado do hash muda com o tempo em resposta às transações na rede. A partir dessas definições e cálculos, podemos ver como a variação do hash (que garante a segurança do blockchain) pode ser tratada como um sistema dinâmico dentro de um grupo de Lie, e como as formas diferenciais e seu produto exterior capturam a interação entre diferentes transações. Essa abordagem matemática pode ser usada para analisar e prever comportamentos complexos no blockchain, oferecendo uma nova perspectiva sobre a segurança e a eficiência do sistema.

Conclusão e Considerações Finais

A função f(H) representa a dinâmica que descreve a evolução do hash ao longo do tempo. No entanto, a função específica f(H) pode variar dependendo do sistema ou das regras do blockchain que está sendo modelado. Para definir f(H), faz-se necessário um modelo ou uma formulação que descreva como o hash é afetado por variáveis específicas, como transações, entradas de dados ou outros fatores que influenciam o sistema. Sem uma definição concreta de f(H), a equação diferencial dH/dt = f(H) permanece geral.

Este trabalho se destaca pela sua inovação ao empregar conceitos
avançados de matemática, como grupos de Lie e formas diferenciais, para modelar
a evolução do hash em sistemas de blockchain. Essa abordagem oferece uma
perspectiva inovadora sobre a segurança e a eficiência do blockchain, permitindo
uma análise precisa e robusta das alterações no hash ao longo do tempo. Ao
considerar o hash como um sistema dinâmico, esta abordagem pode auxiliar na previsão de comportamentos complexos, além de aprimorar a resiliência e a integridade dos sistemas blockchain. A utilização de métodos matemáticos avançados para a compreensão e modelagem do comportamento do hash no blockchain constitui um progresso substancial na área.

Ao adotar esta abordagem, é viável não somente uma compreensão mais aprofundada da dinâmica do hash, mas também o desenvolvimento de ferramentas que aprimorem a segurança e a eficiência de sistemas de blockchain.

Referências

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NAGLE, Kent; SAFF, Edward; SNIDER, Arthur. **Equações Diferenciais**. 8° edição. São Paulo: Pearson Education, 2012. p. 563.

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