# Systèmes rapides-lents en mécanique vibratoire

Baptiste Bergeot

► To cite this version:

Baptiste Bergeot. Systèmes rapides-lents en mécanique vibratoire : Application à l'étude du contrôle passif non linéaire de vibrations et des phénomènes transitoires dans les instruments de musique à anche. Mécanique [physics]. Université de Tours, 2024. tel-04459911v2

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Submitted on 29 Apr 2024

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# HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES

Discipline : Mécanique

Année universitaire : 2023/2024

Présentée et soutenue publiquement par :

Baptiste BERGEOT

Le 7 février 2024

## SYSTÈMES RAPIDES-LENTS EN MÉCANIQUE VIBRATOIRE

Application à l'étude du contrôle passif non linéaire de vibrations et des phénomènes transitoires dans les instruments de musique à anche

### JURY :

M. Sébastien BERGER

M. Nils BERGLUND

M. Thomas HÉLIE

M. Claude-Henri LAMARQUE

M. Pierre-Oliver MATTEI

M. Stéphane MÉO

Mme Emeline SADOULET-REBOUL

M. Christophe VERGEZ

Professeur des Universités

Professeur des Universités

Directeur de Recherche

Professeur ENTPE

Chargé de Recherche-HDR

Professeur des Universités

Maître de Conférences-HDR

Directeur de Recherche

INSA Centre Val de Loire

Univ. Orléans

CNRS, IRCAM

ENTPE, Univ. Lyon

CNRS, Univ. Aix-Marseille

Univ. Tours

Univ. Franche-Comté

CNRS, Univ. Aix-Marseille
À Anna-Laure,
Suzanne, Madeleine et Colette

À ma famille
# SYSTÈMES RAPIDES-LENTS EN MÉCANIQUE VIBRATOIRE

## Application à l'étude du contrôle passif non linéaire de vibrations et des phénomènes transitoires dans les instruments de musique à anche

## RÉSUMÉ

Le fil conducteur des travaux de recherche présentés dans ce mémoire est la mise en œuvre de méthodes analytiques et numériques permettant de décrire le comportement dynamique de systèmes mécaniques non linéaires, possédant plusieurs échelles de temps caractéristiques et pouvant être stochastiques. J'ai développé ces activités dans le cadre de deux thématiques en vibrations et en acoustique.

La première thématique concerne l'atténuation passive de vibrations à l'aide d'absorbeurs non linéaires de type NES (*Nonlinear Energy Sink*, traduction anglaise de « puits d'énergie non linéaire »). Dans ce contexte, je m'intéresse en particulier au contrôle d'oscillations auto-entretenues. Ces dernières se produisent en général dans des systèmes dynamiques dont la solution d'équilibre devient instable au profit d'une solution oscillante, en général périodique. L'amplitude de ces oscillations pouvant être très importante, il est souhaitable de pouvoir les atténuer. Les NES sont également des oscillateurs avec la particularité de posséder une raideur essentiellement non linéaire qui leur confère la capacité de résonner à n'importe quelle fréquence. Lorsqu'un NES est couplé à un oscillateur auto-entretenu, le système dynamique résultant possède un certain nombre de solutions dont certaines correspondent à des oscillations de faible amplitude. L'objectif est donc de comprendre comment favoriser ces solutions par rapport à d'autres où le NES est presque inopérant.

La seconde thématique porte sur l'étude des phénomènes transitoires dans les instruments de musique à anche simple de type clarinette ou saxophone. Ce travail se situe dans le contexte général de l'étude des stratégies suivies par les musiciens lors des phases transitoires : attaques de notes, transitions entre deux notes, transitoires d'extinction, etc. En particulier, cela vise à corriger les gestes (ou évolutions temporelles de paramètres de contrôle) aux résultats sonores. Dans ce contexte mon travail se focalise sur l'étude des transitoires d'attaque. Du point de vue des systèmes dynamiques cela nous conduit à étudier l'influence de la variation dans le temps des paramètres de bifurcation sur l'émergence d'une solution périodique mais également sur les bassins d'attraction en cas de multistabilité.

Bien qu'éloignées en termes d'application, il s'avère que les systèmes étudiés dans ces deux thématiques (le système mécanique auto-oscillant couplé à un NES d'une part et l'instrument en régime transitoire d'autre part) possèdent une caractéristique commune. En effet, ils sont tous les deux modélisés par des systèmes d'équations différentielles qui une fois adimensionnés font apparaitre un petit paramètre mettant en évidence leur nature rapide-lente. L'évolution dans le temps des variables d'état de tels systèmes rapides-lents se caractérise par une succession de phases rapides et de phases lentes. Cette nature commune permet également l'étude de ces systèmes dans un cadre mathématique commun. Au sein de la communauté des mécaniciens et des acousticiens, l'originalité de ma démarche réside surtout dans l'appropriation de résultats théoriques connus des mathématiciens sur les équations différentielles ordinaires singulièrement perturbées dans le but de comprendre les comportements complexes des systèmes mécaniques concrets considérés.

Pour chacune des thématiques mentionnées ci-dessus, mes contributions principales par rapport à l'état de l'art sont présentées ainsi que les perspectives que j'envisage à court et moyen terme.
# FAST-SLOW SYSTEMS IN VIBRATION MECHANICS

## Application to the study of nonlinear passive vibration control and transient phenomena in reed musical instruments

### ABSTRACT

The common thread of the research work presented in this thesis is the implementation of analytical and numerical methods to describe the dynamic behavior of nonlinear mechanical systems, which have several characteristic time scales and may be stochastic. I have developed these activities within the framework of two research areas in vibration and acoustics.

The first area concerns the passive attenuation of vibrations using nonlinear absorbers known as NESs (Nonlinear Energy Sinks). In this context, I am particularly interested in the control of self-sustained oscillations. The latter generally occur in dynamical systems whose equilibrium solution becomes unstable in favor of an oscillating solution, usually periodic. As the amplitude of these oscillations can be very large, it is desirable to be able to attenuate them. NESs are also oscillators with the particularity of possessing an essentially nonlinear stiffness, which gives them the ability to resonate at any frequency. When an NES is coupled to a self-sustaining oscillator, the resulting dynamic system has a number of solutions, some of which correspond to low-amplitude oscillations. The aim is to understand how to favor these solutions over others where the NES is almost inoperative.

The second area concerns the study of transient phenomena in single-reed musical instruments such as clarinets and saxophones. This work is situated within the general context of the study of strategies followed by musicians during transient phases: note attacks, transitions between two notes, extinction transients, etc. In particular, it aims to correlate gestures (or time evolutions of control parameters) with sound results. In this context, my work focuses on the study of attack transients. From the point of view of dynamical systems, this leads me to study the influence of the time variation of bifurcation parameters on the emergence of a periodic solution, but also on the basins of attraction when multistability occurs.

Although far apart in terms of application, it turns out that the systems studied in these two research areas (the self-oscillating mechanical system coupled to a NES on the one hand, and the instrument during attack transients on the other) have a common feature. Both are modeled by systems of differential equations, which reveal a small parameter highlighting their fast-slow nature. The time evolution of state variables in such fast-slow systems is characterized by a succession of fast and slow epochs. This common nature also enables these systems to be studied within a common mathematical framework. Within the mechanics and acoustics community, the originality of my approach lies above all in the appropriation of theoretical results known to mathematicians on singularly perturbed ordinary differential equations with the aim of understanding the complex behaviors of the concrete mechanical systems under consideration.

For each of the above-mentioned areas of research, my main contributions to the state of the art are presented, together with the prospects I envisage for the short- and medium- terms.
# AVANT-PROPOS

La rédaction de ce mémoire d'HDR est l'occasion pour moi de dresser un bilan de mes activités de recherche dix ans après ma soutenance de thèse. Il est divisé en trois parties. La Partie I expose justement une synthèse de ces activités de recherche. Elle contient deux chapitres principaux où mes travaux sur les systèmes dynamiques non linéaires rapides-lents sont décrits en fonction de l'application concernée : le Chapitre 1 concerne l'étude du contrôle passif non linéaire de vibrations et le Chapitre 2 celle des phénomènes transitoires dans les instruments de musique à anche. Le Chapitre 3 présente un travail de recherche périphérique sur le chaos polynomial résultant d'en encadrement de thèse. La Partie II fournit une sélection d'articles publiés, soumis pour publication ou en fin d'écriture et dont les résultats principaux sont présentés aux Chapitres 1 et 2. La majorité des travaux présentés correspond donc à des résultats publiés, ce qui peut expliquer les inhomogénéités de notations d'une section à l'autre. Enfin, en Partie III une notice personnelle est présentée.

Concernant les références bibliographiques, celles auxquelles j'ai participé en tant qu'auteur ou encadrant sont notées :

* [a1], [a2], ... pour les articles dans des revues internationales à comité de lecture;

* [p1], [p2], ... pour les articles en cours de relecture ou en fin d'écriture;

* [ci1], [ci2], ... pour les communications dans des congrès internationaux à comité de lecture;

* [cn1], [cn2], ... pour les communications dans des congrès nationaux à comité de lecture;

* [e1], [e2], ... pour les travaux encadrés (thèses ou stages de Master 2);

* [t1] pour ma thèse de doctorat.

Tous ces travaux sont listés dans la section BIBLIOGRAPHIE PERSONNELLE de ce rapport (page 301). Les références restantes sont listées dans la section BIBLIOGRAPHIE GÉNÉRALE (page 317) et notées simplement [1], [2], ... dans le corps du texte. Dans chacune des bibliographies, les articles sont rangés par ordre alphabétique des noms des auteurs puis par dates croissantes et enfin si nécessaire par ordre alphabétique des titres.
REMERCIEMENTS

J'adresse mes premiers remerciements à Thomas HÉLIE, Claude-Henri LAMARQUE et Pierre-Oliver MATTEI pour l'intérêt qu'ils ont porté à mon travail en acceptant d'en être les rapporteurs. Je remercie également Evelyne AUBRY, Sébastien BERGER, Nils BERGLUND, Emeline SADOULET-REBOUL et Christophe VERGEZ d'avoir accepté de faire partie du jury et Stéphane MÉO d'être mon référent d'HDR pour l'Université de Tours. Merci à tous de m'avoir fait l'honneur d'examiner ce travail.

La majorité des travaux présentés dans ce mémoire sont bien évidemment le fruit de collaborations scientifiques (et amicales). Je souhaite donc remercier particulièrement Christophe VERGEZ qui était déjà présent lors de ma soutenance de stage Master 2 au Mans puis co-directeur de ma thèse. Il a été un référent scientifique et ami pendant toute ma carrière et continue de l'être encore aujourd'hui, merci notamment pour les relectures et conseils pendant la rédaction de ce mémoire. Je remercie aussi Sergio BELLIZZI avec qui j'ai énormément appris durant nos quelques années de collaboration. Je suis reconnaissant à Sébastien BERGER de m'avoir permis d'encadrer mes premières thèses (notamment celle de Chérif SNOUN pour laquelle j'ai pu proposer un sujet personnel). Il m'a aussi assuré une intégration rapide à l'INSA Centre Val de Loire tout en m'encourageant à développer mes propres activités de recherche. Je le remercie également pour les relectures et conseils pendant la rédaction de ce mémoire. Je tiens aussi à remercier Soizic TERRIEN, avec qui (et Christophe VERGEZ) nous avons créé un groupe de travail sur le thème : dynamique non linéaire et physique des instruments de musique. Je pense que cette collaboration sera encore longue et fructueuse. Je remercie enfin Nils BERGLUND de m'avoir donné l'opportunité d'encadrer une thèse sous sa direction durant laquelle, j'en suis sûr, la doctorante ne sera pas la seule à beaucoup apprendre.

Concernant la vie à l'INSA Centre Val de Loire, je remercie en particulier Sébastien BERGER, Marie-Laure GOBERT et Jean-Mathieu MENCIK pour les studieux mais non pas moins chaleureux moments passés dans le bureau.
# TABLE DES MATIÈRES

Résumé / Abstract v

Avant-propos / Remerciements vii

I SYNTHÈSE DES TRAVAUX DE RECHERCHE 1

Introduction 3

1 Contrôle passif non linéaire de vibrations auto-entretenues 5

1.1 Contexte 5

1.2 Analyse rapide-lente d'un système auto-entretenu couplé à un ou plusieurs NES 8

1.2.1 Avant-propos et résultats préliminaires 8

1.2.2 Cas d'un système mécanique auto-entretenu connecté à un réseau de NES 17

1.2.3 Cas d'un système mécanique auto-entretenu à deux modes instables connecté à un NES 22

1.2.4 Cas d'un système mécanique auto-entretenu connecté à un NES bistable 29

1.2.5 Prédiction de la limite d'atténuation tenant compte de la valeur du paramètre de perturbation 39

1.2.6 Effet d'un forçage stochastique faible sur le phénomène de pompage énergétique 43

1.2.7 Autres résultats 49

1.3 Conception robuste de NES en présence d'incertitudes paramétriques 50

1.3.1 Contexte et problématique 50

1.3.2 Éléments de théorie du chaos polynomial 50

1.3.3 Prédiction de la propension à être dans un régime atténué par des méthodes basées sur le chaos polynomial 51

1.3.4 Optimisation de NES sous incertitudes 52

2 Phénomènes transitoires dans les instruments de musique à anche 57

2.1 Contexte 57

2.2 Bref état de l'art sur le modèle physique élémentaire d'un instrument à anche 60

2.2.1 L'excitateur 60

2.2.2 Le résonateur 62

2.2.3 Modèles adimensionnés d'un instrument à anche simple 63

2.2.4 Modèles simples utilisés 65

2.3 Résultats préliminaires : analyse de stabilité statique du modèle à un mode 67

2.3.1 Analyse de stabilité locale : naissance des oscillations 67

2.3.2 Analyse de stabilité globale : compétition entre régimes 71

2.4 Retard à la bifurcation 72

2.4.1 Synthèse des travaux de recherche publiés 72

2.4.2 Note sur la seconde définition du point de bifurcation dynamique 78

2.5 Bassins d'attraction dynamiques 80

2.5.1 Introduction 80

2.5.2 Bassin d'attraction dynamique du modèle à un mode 82

2.5.3 Bassin d'attraction dynamique dans de la cas d'un « rate-induced transitions » 91
3 Travail de recherche périphérique sur le chaos polynomial 95

4 Conclusion générale et perspectives 97

4.1 Bilan des activités de recherche 97

4.2 Perspectives à court et moyen terme 97

4.2.1 Perspectives concernant le contrôle passif non linéaire de vibrations 97

4.2.2 Perspectives concernant les phénomènes transitoires dans les instruments de musique à anche 103

II SELECTION D'ARTICLES 109

A Mech Syst Sig Process 131 (2019) 111

A.1 Introduction 111

A.2 The system under study 112

A.2.1 The initial model 112

A.2.2 Model reduction 114

A.3 Asymptotic analysis 115

A.3.1 The slow-flow 116

A.3.2 The Critical Manifold 117

A.3.3 Critical Manifold properties and stability 118

A.3.4 The fixed points of the slow-flow 121

A.3.5 Prediction of the steady-state regimes 122

A.4 Applications 123

A.4.1 Mode coupling instability mitigation in a friction system using two NESs 124

A.4.2 Flutter mitigation in an airfoil system using M NESs 126

A.5 Conclusion 128

A.6 Appendix A. The nonlinear Hultèn's model with two NESs 131

A.7 Appendix B. The airfoil-M-NESs model 133

B Commun Nonlinear Sci Numer Simul 95 (2021) 135

B.1 Introduction 135

B.2 The system under study 136

B.2.1 The mechanical model 136

B.2.2 The reduced model 138

B.3 Asymptotic analysis 139

B.3.1 The complexification-averaging method and the slow-fast system 139

B.3.2 The critical manifold 141

B.3.3 Stability of critical manifold 142

B.3.4 Fixed points of the slow-flow in C₀ 143

B.3.5 Relaxation oscillations 144

B.4 Numerical results 146

B.4.1 Competition between two stable fixed points of the slow flow 147

B.4.2 Competition between a sustained relaxation oscillation and a stable fixed point of the slow flow 148

B.4.3 Competition between two kinds of sustained relaxation oscillations 149

B.4.4 Bifurcation of a fixed point to a limit cycle of the slow subsystem 151

B.5 Conclusion 154

B.6 Appendix A. Coefficients of the slow-flow system (B.19) 155
<table><tbody><tr><td>C</td><td>Physica D (2024)</td><td>157</td></tr><tr><td>C.1</td><td>Introduction</td><td>157</td></tr><tr><td>C.2</td><td>Equations and dynamic behavior of the model</td><td>159</td></tr><tr><td>C.2.1</td><td>Equations of motion of a Van der Pol oscillator coupled to a BNES</td><td>159</td></tr><tr><td>C.2.2</td><td>Response regimes of a Van der Pol oscillator coupled to a BNES</td><td>160</td></tr><tr><td>C.3</td><td>Equations of the amplitude-phase modulation dynamics</td><td>164</td></tr><tr><td>C.4</td><td>Fast-slow analysis of the amplitude-phase modulation dynamics</td><td>166</td></tr><tr><td>C.4.1</td><td>The critical manifold</td><td>166</td></tr><tr><td>C.4.2</td><td>Stability analysis of the critical manifold</td><td>169</td></tr><tr><td>C.4.3</td><td>Asymptotic analytical expression of the fixed points of the amplitude-phase modulation dynamics</td><td>172</td></tr><tr><td>C.5</td><td>Asymptotic global stability analysis of the amplitude-phase modulation dynamics</td><td>173</td></tr><tr><td>C.6</td><td>Conclusion</td><td>176</td></tr><tr><td>C.7</td><td>Appendix A. Approximate analytical solution of the Van der Pol oscillator</td><td>179</td></tr><tr><td>C.8</td><td>Appendix B. Analytical expressions of some quantities that appear in Section C.4</td><td>180</td></tr><tr><td>C.9</td><td>Appendix C. Expression of the regular non normally hyperbolic fixed point of M<sub>02</sub></td><td>182</td></tr><tr><td>D</td><td>J Sound Vib 503 (2021)</td><td>185</td></tr><tr><td>D.1</td><td>Introduction</td><td>185</td></tr><tr><td>D.2</td><td>Equations of the model</td><td>187</td></tr><tr><td>D.2.1</td><td>The initial model</td><td>187</td></tr><tr><td>D.2.2</td><td>Reduction of the dynamics</td><td>187</td></tr><tr><td>D.3</td><td>Asymptotic analysis: the zeroth-order approximation of the slow flow</td><td>189</td></tr><tr><td>D.3.1</td><td>Governing equations of the slow flow</td><td>189</td></tr><tr><td>D.3.2</td><td>Critical manifold and fold points of the slow flow</td><td>191</td></tr><tr><td>D.3.3</td><td>Fixed points and fold singularities of the slow flow</td><td>192</td></tr><tr><td>D.3.4</td><td>The possible responses</td><td>192</td></tr><tr><td>D.3.5</td><td>Zeroth-order analytical prediction of the mitigation limit</td><td>193</td></tr><tr><td>D.4</td><td>Scaling law for the slow flow near a fold point</td><td>194</td></tr><tr><td>D.4.1</td><td>Center manifold reduction of the slow flow at the left fold point</td><td>194</td></tr><tr><td>D.4.2</td><td>Analytical solution for the normal form of the dynamic saddle-node bifurcation</td><td>196</td></tr><tr><td>D.4.3</td><td>New theoretical prediction of the mitigation limit</td><td>197</td></tr><tr><td>D.5</td><td>Application to an aeroelastic aircraft wing system coupled to an NES</td><td>198</td></tr><tr><td>D.5.1</td><td>Equations of the aircraft wing model coupled to one NES</td><td>198</td></tr><tr><td>D.5.2</td><td>Comparison between theoretical results and numerical simulations</td><td>200</td></tr><tr><td>D.6</td><td>Conclusion</td><td>203</td></tr><tr><td>E</td><td>Int J Non Linear Mech 150 (2023)</td><td>207</td></tr><tr><td>E.1</td><td>Introduction</td><td>207</td></tr><tr><td>E.2</td><td>Equations of the model</td><td>209</td></tr><tr><td>E.3</td><td>The stochastic slow flow dynamics</td><td>210</td></tr><tr><td>E.4</td><td>Problem statement and preliminary results</td><td>213</td></tr><tr><td>E.4.1</td><td>Reminder of the deterministic behavior of the system</td><td>213</td></tr><tr><td>E.4.2</td><td>Influence of noise on the system behavior</td><td>215</td></tr><tr><td>E.5</td><td>Probability of being in a harmless regime</td><td>216</td></tr><tr><td>E.6</td><td>First-Passage Time to reach a harmful regime</td><td>218</td></tr><tr><td>E.7</td><td>Conclusion</td><td>220</td></tr><tr><td>E.8</td><td>Appendix A. Expressions of functions</td><td>221</td></tr><tr><td>E.9</td><td>Appendix B. General formulation of the standard stochastic averaging method</td><td>222</td></tr><tr><td>E.10</td><td>Appendix C. Elements of the classical deterministic analysis of the slow flow dynamics</td><td>222</td></tr></tbody></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>F Eur J Mech A Solids 93 (2022)</td>
      <td>225</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.1 Introduction</td>
      <td>225</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.2 The friction system under study</td>
      <td>226</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.2.1 The primary system</td>
      <td>227</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.2.2 Mechanical model with Nonlinear Energy Sinks</td>
      <td>227</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.3 Possible steady-state regimes</td>
      <td>228</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.4 Multi-Element Polynomial Chaos based algorithm to detect a discontinuity</td>
      <td>229</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.4.1 Elements of the Polynomial Chaos theory</td>
      <td>229</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.4.2 Detection of a discontinuity in the QoI with the ME-gPC</td>
      <td>230</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.5 Optimization strategy under uncertainties</td>
      <td>231</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.5.1 Deterministic design variables</td>
      <td>232</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.5.2 Stochastic design variables</td>
      <td>233</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.6 Results for deterministic design variables</td>
      <td>234</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.6.1 Optimization of the NES damping coefficient</td>
      <td>234</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.6.2 Optimization of the NES nonlinear stiffness</td>
      <td>236</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.7 Results for stochastic design variables</td>
      <td>239</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.7.1 Optimization of the NES damping coefficient</td>
      <td>239</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.7.2 Optimization of the NES nonlinear stiffness</td>
      <td>241</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F.8 Conclusion</td>
      <td>243</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G Nonlinear Dyn 107 (2022)</td>
      <td>245</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.1 Introduction</td>
      <td>246</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.2 Single reed instrument model with a white noise forcing</td>
      <td>247</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.2.1 Deterministic model of single reed instrument and its static bifurcation point</td>
      <td>247</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.2.2 One-mode stochastic single-reed instrument model with a linearly increasing blowing pressure</td>
      <td>249</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.3 Equations governing the stochastic slow dynamics</td>
      <td>249</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.4 Analytical expression of the dynamic pitchfork bifurcation points of the averaged system</td>
      <td>251</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.4.1 Solution of the linearized averaged system</td>
      <td>252</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.4.2 Dynamic bifurcation point in the deterministic case</td>
      <td>253</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.4.3 Dynamic bifurcation point in the stochastic case</td>
      <td>256</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.4.4 Domains of existence of the regimes</td>
      <td>258</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.4.5 Probability density function of the stochastic averaged amplitude</td>
      <td>259</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.5 Comparison between theoretical results and numerical simulation</td>
      <td>260</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.5.1 Comparison in term of the expected value of the squared amplitude</td>
      <td>260</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.5.2 Comparison in term of probability density function</td>
      <td>263</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.6 Discussion and conclusion</td>
      <td>263</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.7 Appendix A. The 1-dimensional Itô's formula</td>
      <td>264</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.8 Appendix B. General formulation of the stochastic averaging method</td>
      <td>264</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.9 Appendix C. Derivation of the expression of the deterministic dynamic bifurcation point</td>
      <td>265</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.10 Appendix D. Derivation of the expression of the stochastic dynamic bifurcation point</td>
      <td>266</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.11 Appendix E. Static bifurcation diagram</td>
      <td>267</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H Chaos (2023)</td>
      <td>269</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H.1 Introduction</td>
      <td>269</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H.2 Background on the physical model of reed instrument</td>
      <td>271</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H.3 Static bifurcation diagram of the model</td>
      <td>272</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H.4 Elements of geometric singular perturbation theory</td>
      <td>272</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H.5 Separatrix between dynamic basins of attraction</td>
      <td>275</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H.5.1 Definitions and method for computing separatrix between DBAs</td>
      <td>275</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H.5.2 Illustration of SDBAs in the averaged clarinet model with slowly time varying blowing pressure</td>
      <td>276</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tr><td>H.6 Discussion</td><td>278</td></tr><tr><td>H.6.1 Case of a blowing pressure saturating in the bistability domain</td><td>278</td></tr><tr><td>H.6.2 DBA and SDBA to more realistic models</td><td>279</td></tr><tr><td>H.7 Conclusion</td><td>281</td></tr><tr><td>H.8 Appendix A. Derivation of the model</td><td>282</td></tr><tr><td>H.8.1 Classical single reed instrument model</td><td>282</td></tr><tr><td>H.8.2 Averaged dynamics with a slowly time-varying control parameter</td><td>283</td></tr><tr><td>H.9 Appendix B. Details on the averaging procedure</td><td>284</td></tr></table>

III NOTICE PERSONNELLE

287

5 Curriculum vitæ

289

5.1 Cursus académique 289

5.2 Parcours professionnel 289

5.3 Encadrements doctoraux et scientifiques 290

5.3.1 Doctorats 290

5.3.2 Stages de recherche de Master 290

5.4 Liste des contrats de recherche 291

5.4.1 Contrats de recherche évalués à la suite d'appels à projets 291

5.4.2 Contrats de recherche de gré à gré 292

5.5 Responsabilités 292

5.5.1 Responsabilités scientifiques 292

5.5.2 Responsabilités pédagogiques 293

5.6 Expertise scientifique 293

5.6.1 Relecture d'articles 293

5.6.2 Participation à des jurys de thèse 293

5.7 Rayonnement et diffusion scientifique 293

6 Activités d'enseignement

295

6.1 Introduction 295

6.2 À l'INSA Centre Val de Loire 295

6.3 À l'Université de Tours 297

6.4 À l'Université du Mans 298

Bibliographie personnelle

301

Articles dans des revues internationales à comité de lecture 301

Articles en cours de relecture ou en fin d'écriture 302

Communications dans des congrès internationaux à comité de lecture 302

Communications dans des congrès nationaux à comité de lecture 303

Thèse de doctorat 303

Travaux de recherche encadrés 303

Bibliographie générale

305
PREMIÈRE PARTIE

SYNTHÈSE DES TRAVAUX DE RECHERCHE
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
# INTRODUCTION

Le fil conducteur des travaux de recherche présentés dans ce mémoire est la mise en œuvre de méthodes analytiques et numériques permettant de décrire le comportement dynamique de systèmes mécaniques non linéaires, possédant plusieurs échelles de temps caractéristiques et pouvant éventuellement être stochastiques. J’ai développé ces activités dans le cadre de deux applications en vibrations et en acoustique.

La première application concerne l’atténuation passive de vibrations à l’aide d’absorbeurs non linéaires de type NES (*Nonlinear Energy Sink*, traduction anglaise de « puits d’énergie non linéaire »). Dans ce contexte, je m’intéresse plus particulièrement au contrôle d’oscillations auto-entretenu. Ces dernières se produisent en général dans des systèmes dynamiques dont la solution d’équilibre devient instable au profit d’une solution oscillante. L’amplitude de ces oscillations pouvant être très importante, il est souhaitable de pouvoir les atténuer. Les NES sont également des oscillateurs avec la particularité de posséder une raideur essentiellement non linéaire qui leur confère la capacité de résonner à n’importe quelle fréquence. Lorsqu’un NES est couplé à un oscillateur auto-entretenu, le système dynamique résultant possède un certain nombre de solutions dont certaines correspondent à des oscillations de faible amplitude. L’objectif est donc de comprendre comment favoriser ces solutions par rapport à d’autres où le NES est presque inopérant. J’ai débuté cette thématique pendant mon post-doctorat à l’École Centrale Marseille (ECM) au sein du Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique (UMR 7031). Cette mission a été effectuée dans le cadre de la chaire industrielle *Dynamique des systèmes mécaniques complexes* financée par la FONDATION AIRBUS GROUP ce qui m’a fourni une expérience de recherche partenariale avec le monde industriel. J’ai ensuite développé cette thématique à mon arrivée à l’INSA Centre Val de Loire en tant que Maître de Conférences, tout d’abord au sein du Laboratoire de Mécanique et de Rhéologie (LMR, EA 2640) puis, à sa création, au sein du Laboratoire de Mécanique Gabriel Lamé<fnref n="1" /> (LaMé EA 7494) et en collaboration avec le LMA.

La seconde application porte sur l’étude des phénomènes transitoires dans les instruments de musique à anche simple de type clarinette ou saxophone. Cette activité a été initiée pendant mon doctorat préparé au Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Mans (LAUM, UMR 6613) dans le cadre du projet ANR SDNS-AIMV (Systèmes Dynamiques Non-Stationnaires – Application aux Instruments de Musique à Vent). Ce dernier avait pour objectif l’étude des stratégies suivies par les musiciens lors des phases transitoires : attaques de notes, transitions entre deux notes, transitoires d’extinction, etc. En particulier, il visait à corréler les gestes (ou évolutions temporelles de paramètres de contrôle) aux résultats sonores. Dans ce contexte mon travail de thèse s’est focalisé sur l’étude des transitoires d’attaque. Du point de vue des systèmes dynamiques cela nous conduit à étudier l’influence de la variation dans le temps des paramètres de bifurcation sur l’émergence d’une solution périodique mais également sur les bassins d’attraction en cas de multistabilité. Ce n’est qu’en 2019 que j’ai repris cette activité de recherche en collaboration avec le LMA et le LAUM.

Aussi éloignées que ces deux thématiques puissent paraître, il s’avère que les systèmes étudiés (le système mécanique auto-oscillant couplé à un NES d’une part et l’instrument en régime transitoire d’autre part) possèdent une caractéristique commune. En effet, ils sont tous les deux modélisés par des systèmes d’équations différentielles qui une fois adimensionnés font apparaître un petit paramètre (dont la nature sera explicitée par la suite) mettant en évidence leur nature *rapide-lente*. L’évolution dans le temps des variables d’état de tels systèmes rapides-lents se caractérise par une succession de phases rapides et de phases lentes. Cette nature commune permet également l’étude de ces systèmes dans un cadre mathématique commun. Dans ce contexte, l’originalité de ma démarche réside il me

<footnote n="1">1. Le LaMé a été créé en 2018 dans le but de réunir au sein d'un laboratoire unique les équipes de recherches de la région la Centre Val de Loire travaillant dans le domaine de la mécanique des matériaux, des structures et du génie civil. Ce laboratoire est sous la tutelle des Universités d'Orléans et de Tours, ainsi que de l'INSA Centre Val de Loire.</footnote>
semble dans l'appropriation de résultats théoriques connus des mathématiciens sur les équations différentielles ordinaires singulièrement perturbées dans le but de comprendre les comportements complexes de systèmes mécaniques concrets.

Ces activités de recherche sont détaillées dans les chapitres qui suivent, au Chapitre 1 pour l'étude de l'atténuation passive de vibrations auto-entretenues à l'aide d'absorbeurs non linéaires de type NES et au Chapitre 2 pour celle des phénomènes transitoires dans les instruments de musique à anche simple. Un travail de recherche périphérique sur le chaos polynomial résultant d'un encadrement doctoral est présenté au Chapitre 3.
# CONTRÔLE PASSIF NON LINÉAIRE DE VIBRATIONS AUTO-ENTRETENUES

## Sommaire

<table><tr><td>1.1 Contexte</td><td>5</td></tr><tr><td>1.2 Analyse rapide-lente d'un système auto-entretenu couplé à un ou plussieurs NES</td><td>8</td></tr><tr><td>1.2.1 Avant-propos et résultats préliminaires</td><td>8</td></tr><tr><td>1.2.2 Cas d'un système mécanique auto-entretenu connecté à un réseau de NES</td><td>17</td></tr><tr><td>1.2.3 Cas d'un système mécanique auto-entretenu à deux modes instables connecté à un NES</td><td>22</td></tr><tr><td>1.2.4 Cas d'un système mécanique auto-entretenu connecté à un NES bistable</td><td>29</td></tr><tr><td>1.2.5 Prédiction de la limite d'atténuation tenant compte de la valeur du paramètre de perturbation</td><td>39</td></tr><tr><td>1.2.6 Effet d'un forçage stochastique faible sur le phénomène de pompage énergétique</td><td>43</td></tr><tr><td>1.2.7 Autres résultats</td><td>49</td></tr><tr><td>1.3 Conception robuste de NES en présence d'incertitudes paramétriques</td><td>50</td></tr><tr><td>1.3.1 Contexte et problématique</td><td>50</td></tr><tr><td>1.3.2 Éléments de théorie du chaos polynomial</td><td>50</td></tr><tr><td>1.3.3 Prédiction de la propension à être dans un régime atténué par des méthodes basées sur le chaos polynomial</td><td>51</td></tr><tr><td>1.3.4 Optimisation de NES sous incertitudes</td><td>52</td></tr></table>

## 1.1 CONTEXTE

Les absorbeurs passifs de vibrations les plus répandus sont des absorbeurs linéaires dits à masse accordée ou TMD (*Tuned Mass Damper*). Cependant, les limitations de ces derniers (fonctionnement sur une seule fréquence de vibrations) conduisent les chercheurs et les industriels à développer des alternatives. L'une d'entre elles se base sur l'utilisation d'absorbeurs essentiellement non linéaires (dans ce manuscrit elle sera purement cubique) appelés NES (*Nonlinear Energy Sink*).

Le concept de NES est relativement récent. Il a été proposé en 2001 [77, 203] : son principe repose sur le couplage entre un système primaire - dont on souhaite limiter les vibrations - et un élément fortement non linéaire (en général comme évoqué ci-dessus c'est un système masse-ressort-amortisseur à raideur purement non linéaire). Parce qu'il n'a pas (ou très peu) de terme de raideur linéaire, la fréquence propre d'un NES dépend de l'amplitude de ses oscillations et peut prendre n'importe quelle valeur. Le NES peut donc générer un nombre infini de conditions de résonance non linéaires, c.-à-d. :

$$m\omega_{\text{SP}}^{(k)} \approx n\omega_{\text{NES}} \quad (1.1)$$

où $\omega_{\text{SP}}^{(k)}$ ($k = 1...N$) et $\omega_{\text{NES}}$ sont respectivement les pulsations propres du système primaire et du NES, $n$ et $m$ sont des entiers. $N$ est le nombre de degrés de liberté (ddl) ou de modes<fnref n="1" /> du système

<footnote n="1">1. Dans ce cas, si nous considérons un système mécanique continu, $N$ peut tendre vers l'infini.</footnote>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1.1. Oscillateur de Van de Pol (système primaire) couplé à un NES.</figcaption></figure>

primaire. Lorsque le NES possède une amplitude (ou énergie) suffisante pour que l'une des relations (1.1) soient respectées on parle de **résonance interne m : n**. Cette condition de résonance interne est nécessaire pour que le phénomène de **capture de résonance m : n** [205] puisse apparaître. Une capture de résonance peut être considérée comme une forme de résonance interne transitoire pendant laquelle, grâce à la dissipation, un transfert quasi-irréversible de l'énergie vibratoire ou acoustique du système à protéger vers le NES se produit. En effet, le NES dissipant ensuite cette énergie, son amplitude diminue et sa pulsation est modifiée, ce qui rompt l'égalité (1.1) et empêche le retour de l'énergie vers le système primaire. Ce phénomène est appelé **pompage énergétique** (energy pumping ou Targeted Energy Transfer, TET). Ci-après, nous nous focaliserons sur le phénomène de pompage énergétique dit fondamental impliquant une capture de résonance 1 : 1. Les NES ont donc un avantage déterminant pour certaines applications car ils s'adaptent automatiquement à la fréquence du système primaire, fonctionnant ainsi sur une large gamme fréquentielle. Ce type d'absorbeur apparaît également comme un moyen alternatif intéressant pour atténuer passivement des oscillations auto-entretenues. On peut citer par exemple une série d'articles précurseurs [123, 124] qui montrent qu'un NES couplé à une aile d'avion peut être en mesure d'atténuer les cycles limites résultant d'une instabilité de flottement.

Afin de comprendre l'effet d'un NES sur un système mécanique auto-oscillant, et ainsi contextualiser d'avantage mon travail de recherche, nous allons détailler le comportement d'un système très simple constitué d'un oscillateur de Van der Pol (VdP, utilisé ici comme un archétype de système auto-entretenu) couplé à un NES dont les équations du mouvement sont :

$$m_1 \frac{d^2 \hat{x}}{dt^2} - c_1 \frac{d\hat{x}}{dt} + c_1^{\text{NL}} \frac{d\hat{x}}{dt} \hat{x}^2 + k_1 \hat{x} + c_2 \left( \frac{d\hat{x}}{dt} - \frac{d\hat{y}}{dt} \right) + k_2^{\text{NL}} (\hat{x} - \hat{y})^3 = 0, \quad (1.2a)$$

$$m_2 \frac{d^2 \hat{y}}{dt^2} + c_2 \left( \frac{d\hat{y}}{dt} - \frac{d\hat{x}}{dt} \right) + k_2^{\text{NL}} (\hat{y} - \hat{x})^3 = 0. \quad (1.2b)$$

Le système est schématisé en Fig. 1.1. Les équations du mouvement (1.2) sont ensuite adimensionnées, ce qui donne :

$$\ddot{x} - \epsilon \rho \dot{x} + \epsilon \lambda \dot{x} x^2 + x + \epsilon \mu (\dot{x} - \dot{y}) + \epsilon \alpha (x - y)^3 = 0, \quad (1.3a)$$

$$\epsilon \ddot{y} + \epsilon \mu (\dot{y} - \dot{x}) + \epsilon \alpha (y - x)^3 = 0. \quad (1.3b)$$

où $x = \hat{x}/L$, $y = \hat{y}/L$ (avec $L$, une longueur caractéristique du mouvement), $\omega_1 = \sqrt{k_1/m_1}$, $t = \omega_1 \hat{t}$, $\dot{\{\hat{x}\}} = d\{\}/dt'$, $\epsilon = m_2/m_1$ le rapport de masse entre le NES et le VdP, $\rho = c_1/(m_2\omega_1)$, $\lambda = c_1^{\text{NL}}L^2/(m_2\omega_1)$, $\mu = c_2/(m_2\omega_1)$, $\beta = k_2/(m_2\omega_1^2)$ et $\alpha = k_2^{\text{NL}}L^2/(m_2\omega_1^2)$.

Le rapport de masse $\epsilon$ est supposé petit (c.-à-d. $0 < \epsilon \ll 1$). Le coefficient d'amortissement de l'oscillateur de VdP, le coefficient d'amortissement et la raideur non linéaire du NES sont également supposés petits et par conséquent notés $\epsilon\rho$, $\epsilon\mu$ et $\epsilon\alpha$ respectivement (avec $\rho$, $\mu$ et $\alpha \sim \mathcal{O}(1)$).

Le diagramme du bifurcation du système, représentant l'amplitude de $x$ en régime établi en fonction du paramètre de bifurcation considéré (ici $\rho$), est représenté en Fig. 1.2(a) (courbe bleue).
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**FIGURE 1.2.** Diagramme de bifurcation du système ; représentant (a) l'amplitude de *x* en régime établi en fonction du paramètre *ρ* : VdP seul (vert) et VdP couplé au NES (bleu) ; (b) l'amplitude de *x* (bleu) et *y* (orange) du VdP couplé au NES. Les paramètres du NES sont : $\alpha = 1, \mu = 0.4$ et $\epsilon = 0.01$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**FIGURE 1.3.** Haut : $x(t)$ résultant de l'intégration numérique de (1.3) (bleu) et de l'oscillateur de VdP seul (vert). Bas : $x(t)$ (bleu) et $y(t)$ (orange) résultant de l'intégration numérique de (1.3). (a) $\rho = 0.15$, (b) $\rho = 0.8$, (c) $\rho = 1.2$ et (d) $\rho = 2.7$. Les paramètres du NES sont les mêmes que dans la Fig. 1.2.</figcaption></figure>

Pour rappel, la solution d'équilibre triviale (i.e. $(x, \dot{x}) = (0,0)$) du VdP seul est stable si $\rho < 0$ et instable si $\rho > 0$. Dans ce cas un cycle limite apparaît. Le diagramme correspondant au VdP seul est également représenté en Fig. 1.2(a) (courbe verte).

La Fig. 1.3 (haut) montre la série temporelle $x(t)$ résultant de l'intégration numérique de (1.3) (bleu) et de l'oscillateur de VdP seul (vert). Les séries temporelles $x(t)$ (bleue) et $y(t)$ (orange) résultant de l'intégration numérique de (1.3) sont représentées en Fig. 1.3 (bas). Les Figs. 1.2 et 1.3 permettent d'illustrer l'effet du NES : alors que l'équilibre trivial du VdP seul devient instable à $\rho = 0$ d'où émerge un cycle limite d'amplitude égal à 2. L'équilibre trivial du système couplé devient instable pour une valeur du paramètre de bifurcation un peu plus grande, $\rho \approx 0.25$ (cf. Fig. 1.3(a). Cet effet est dû à l'amortissement linéaire ajouté par le NES et pourrait donc être obtenu par un simple ajout d'amortissement). Peu après la perte de stabilité de l'équilibre trivial, le système couplé
$t = \omega_{SP}^{(k)} \hat{t}$ (comme cela a également été fait en Section 1.1), on peut distinguer deux échelles de temps adimensionnées : une rapide $t$ et une lente $\tau = \epsilon t$.

**REMARQUE 1.1 (ÉCHELLES DE TEMPS).** Dans la littérature trois échelles de temps sont parfois mentionnées. Aux deux échelles adimensionnées précédemment évoquées, on rajoute l'échelle de temps physique (avec dimension) $\hat{t}$ comme échelle de temps intermédiaire entres les échelles lente et rapide. Ces échelles sont décrites ainsi : $t = \omega_{SP}^{(k)} \hat{t}$ est toujours l'échelle de temps rapide, $\hat{t}$ et $\tau$ deviennent les échelles de temps lente et super-lente, respectivement. En réalité il n'est pas possible de hiérarchiser ainsi des échelles dont certaines sont adimensionnées et d'autres pas. Dans le système étudié (1.3), le seul petit paramètre adimensionné permettant de hiérarchiser les échelles de temps est le rapport des masses $\epsilon$. Par conséquent seules les échelles $t$ et $\tau$ existent.

## 1.2.1.2 Flot de modulation : définition

Toujours dans le cadre de l'hypothèse d'une capture de résonance 1 : 1, il est possible de simplifier le système en supposant qu'il oscille, par rapport à l'échelle de temps $t$, majoritairement à la pulsation 1 (i.e., $\omega_{SP}^{(k)}$ la pulsation naturelle de la structure primaire à laquelle à lieu la capture de résonance 1 : 1 à l'échelle de temps physique $\hat{t}$). Afin de négliger les composantes fréquentielles d'ordres supérieures, pour ne décrire que les modulations lentes d'amplitude et de phase de la composante fréquentielle fondamentale, des méthodes de perturbation sont utilisées. Les plus courantes sont : (i) la méthode *Complexification-Moyennisation* (*Complexification-Averaging Method* (CAM)) [135, 206] qui est une méthode de moyennisation de type Krylov-Bogolyubov [143] et (ii) la méthode dite *Échelles multiple/Équilibrage Harmonique* (*Multiple Scale/Harmonic Balance Method* (MSHBM)) [130, 228]. La CAM, utilisée dans cette section, est plus facile à mettre en œuvre mais la MSHBM est plus facilement généralisable, comme nous le verrons en Section 1.2.4. Le système obtenu après application de l'une de ces méthodes, appelé ici *flot de modulation*, est ensuite analysé au moyen de techniques de perturbations singulières. La partition de la dynamique du flot de modulation en deux échelles de temps (une rapide $t$ et une lente $\tau$) est le premier point clé de ces traitements analytiques.

**REMARQUE 1.2 (FLOT DE MODULATION).** Dans la littérature le *flot de modulation* est souvent appelé *flot lent* ou *dynamique lente* car il décrit les modulations lentes d'amplitude et de phase de la composante fréquentielle fondamentale. Cependant pour éviter les confusions (le terme lent étant déjà utilisé pour désigner l'échelle de temps lente $\tau$) le terme de *flot de modulation* est introduit dans ce manuscript.

## 1.2.1.3 Analyse lente-rapide du flot de modulation

Dans cette représentation à deux échelles de temps, l'évolution temporelle du flot de modulation est ainsi décrite comme une succession de phases lentes et de phases rapides qui sont analysées indépendamment. Le deuxième point clé de cette analyse est la *variété critique*, c.-à-d. le sous-espace de l'espace des phases dont les trajectoires du système se rapprochent pendant les phases lentes.

On se propose maintenant de décrire les grandes étapes de cette analyse en considérant toujours l'oscillateur de VdP couplé à un NES (cf. Éq. (1.3)). Même si ces résultats ne sont pas originaux, leur présentation dans le cadre de l'*approche géométrique des perturbations singulières* [62, 107] (AGPS) est personnelle.
**Expression du flot de modulation.** En passant en coordonnées barycentriques (c.-à-d. $u = x+\epsilon y$ et $v = x-y$), l'Éq. (1.3) devient

$$ \ddot{u} + u + \epsilon [-u - \rho \dot{u} + \lambda \dot{u} u^2 + v] = 0, \quad (1.4a) $$

$$ \ddot{v} + \mu \dot{v} - \beta v + \alpha v^3 + u, + \epsilon [-\beta \dot{u} + \lambda u^2 \dot{u} - u + \mu \dot{v} + \alpha v^3 + v] = 0. \quad (1.4b) $$

Le flot de modulation du système est obtenu ici par la CAM. Pour cela les amplitudes complexes

$$ \phi_1 = (\dot{u} + ju) e^{-jt} \quad \text{et} \quad \phi_2 = (\dot{v} + jv) e^{-jt} \quad (1.5) $$

sont introduites [135]. Après avoir exprimé les équations du mouvement en terme de $\phi_1$ et $\phi_2$, puis en moyennant sur une période par application de l'approximation de Krylov-Bogolyubov (voir par exemple [143]), les équations du flot de modulation complexe sont obtenues comme suit :

$$ \dot{\phi}_1 = \frac{1}{8}\epsilon [4\beta\phi_1 - 4j(\phi_1 - \phi_2) - \lambda\phi_1|\phi_1|^2], \quad (1.6a) $$

$$ \begin{aligned} \dot{\phi}_2 = & \frac{1}{8}j (4\phi_1 - 4\phi_2 3\alpha\phi_2 |\phi_2|^2) - \frac{1}{2}\mu\phi_2 \\ & + \frac{1}{8}\epsilon [4\beta\phi_1 - 4j\phi_1 - 4\mu\phi_2 + 4j\phi_2 3j\alpha\phi_2 |\phi_2|^2 - \lambda\phi_1 |\phi_1|^2]. \end{aligned} \quad (1.6b) $$

**REMARQUE 1.3.** Le système (1.6) n'a pas tout à fait la forme requise pour appliquer l'approximation de Krylov-Bogolyubov, il faudrait pour cela que le membre de droite de l'Éq. (1.6b) soit aussi d'ordre $O(\epsilon)$. L'hypothèse d'une capture de résonance 1 : 1 permet de justifier ici la moyennisation.

Afin d'obtenir une représentation réelle du flot de modulation, les amplitudes complexes $\phi_1$ et $\phi_2$ sont écrites sous les formes polaires suivantes : $\phi_1 = re^{j\theta_1}$ et $\phi_2 = se^{j\theta_2}$. En introduisant ces dernières dans (1.6), le flot de modulation, exprimé avec les variables réelles $r_1, r_2$ et $\Delta = \theta_1 - \theta_2$, est obtenue :

$$ \dot{r} = \epsilon f(r, s, \Delta) \quad (1.7a) $$

$$ \dot{s} = g_1(r, s, \Delta, \epsilon) \quad (1.7b) $$

$$ \dot{\Delta} = g_2(r, s, \Delta, \epsilon) \quad (1.7c) $$

où $r$ et $s$ représentent les amplitudes de $u$ et $v$ respectivement et $\Delta$ la différence de phase entre $u$ et $v$. Les fonctions $f, g_1$ et $g_2$ sont données par

$$ f(r, s, \Delta) = \frac{1}{8} (4\rho r - \lambda r^3 + 4s \sin \Delta) \quad (1.8a) $$

$$ g_1(r, s, \Delta, \epsilon) = -\frac{1}{2}(\mu s + r \sin \Delta) + \frac{1}{8}\epsilon [(4\rho r - \lambda r^3) \cos \Delta + 4r \sin \Delta - 4\mu s] \quad (1.8b) $$

$$ g_2(r, s, \Delta, \epsilon) = \frac{4s - 4r \cos \Delta - 3\alpha s^3}{8s} + \epsilon \frac{\lambda(r^4 - 4\rho r^2) \sin \Delta + (4r^2 + 4s^2) \cos \Delta - 3\alpha r s^3 - 8rs}{8rs} \quad (1.8c) $$

La nature lente-rapide est mise en évidence par le fait que le membre de droite de (1.7a) est d'ordre $O(\epsilon)$ et ceux de (1.7b) et (1.7c) sont d'ordre $O(1)$. Ceci implique que les variations temporelles de $r$ (qui est donc la variable lente) sont lentes par rapport à celles de $s$ et $\Delta$ (qui sont donc les variables rapides). On dit dans ce cas que (1.7), qui est tridimensionnel (3D), est un système (2, 1)-rapide-lent dont les points fixes (ou positions d'équilibre) non triviaux (c.-à-d. correspondant à une amplitude nulle) caractérisent les solutions périodiques de (1.3). La position d'équilibre triviale est en effet commune au système initial (1.3) et au système moyenné (1.7).
**Variété critique du flot de modulation.** En écrivant l'Éq. (1.7) à l'échelle de temps lente $\tau = \epsilon t$, on obtient :

$$r' = f(r, s, \Delta) \qquad (1.9a)$$

$$\epsilon s' = g_1(r, s, \Delta, \epsilon) \qquad (1.9b)$$

$$\epsilon \Delta' = g_2(r, s, \Delta, \epsilon) \qquad (1.9c)$$

où $(\cdot)' = \frac{d(\cdot)}{d\tau}$. À ce stade les systèmes (1.7) et (1.9) sont équivalents.

En posant $\epsilon = 0$ dans (1.9) et (1.7) respectivement, on obtient le sous-système lent :

$$r' = f(r, s, \Delta) \qquad (1.10a)$$

$$0 = g_1(r, s, \Delta, 0) \qquad (1.10b)$$

$$0 = g_2(r, s, \Delta, 0) \qquad (1.10c)$$

et le sous-système rapide :

$$\dot{r} = 0 \qquad (1.11a)$$

$$\dot{s} = g_1(r, s, \Delta, 0) \qquad (1.11b)$$

$$\dot{\Delta} = g_2(r, s, \Delta, 0) \qquad (1.11c)$$

Les sous-systèmes lent et rapide ne sont plus équivalents ce qui met en évidence la nature singulièrement perturbée<fnref n="2" /> du problème. En effet, ni (1.10) ni (1.11) ne permet d'approcher complètement le comportement de (1.7) (ou (1.9)). Chacune deux équations permet en revanche de décrire une partie du mouvement : le sous sous-système rapide approche le comportement de (1.7) (ou (1.9)) pendant les phases rapides et le sous-système lent l'approche pendant les phases lentes.

La variété critique du flot de modulation est la solution de la partie algébrique de (1.10), soit

$$M_0 = \left\{ (r, s, \Delta) \in \mathbb{R}^{+2} \times [-\pi, \pi] \mid g_1(r, s, \Delta, 0) = 0 \text{ et } g_2(r, s, \Delta, 0) = 0 \right\}. \qquad (1.12)$$

La résolution de (1.10b) et (1.10c) aboutit à

$$\sin \Delta = \frac{\mu s}{r} \quad \text{et} \quad \cos \Delta = \frac{s(4 - 3\alpha s^2)}{4r} \qquad (1.13)$$

dont on peut déduire les équations suivantes :

$$r = s\sqrt{\mu^2 + \left(1 - \frac{3\alpha s^2}{4}\right)^2} = H(s) \quad \text{et} \quad \tan \Delta = \frac{4\mu}{3\alpha s^2 - 4}. \qquad (1.14)$$

À noter que les membres de droite des deux équations dans (1.14) ne dépendent que de $s$, par conséquent la variété critique est unidimensionnelle. Un exemple typique de la fonction $H(s)$ est représenté en Fig. 1.4.

Des points de la variété critique ont une importance particulière pour la description du flot de modulation. Il s'agit des points-col gauche et droit $p^{CG} = (s^{CG}, r^{CG}, \Delta^{CG})$ et $p^{CD} = (s^{CD}, r^{CD}, \Delta^{CD})$, respectivement, des points $p^U = (s^U, r^{CG}, \Delta^U)$ et $p^D = (s^D, r^{CD}, \Delta^D)$ (les projections des points $p^{CG}$, $p^{CD}$, $p^U$ et $p^D$ dans le plan $(s, r)$ sont représentés en Fig. 1.4) et des points fixes du flot de modulation (1.7) (non représentés en Fig. 1.4). Ces différents points sont calculés dans la suite.

La résolution de $\frac{dH(s)}{ds} = 0$ permet d'obtenir les expressions des points-col gauche et droit ($s^{CG}$ et $s^{CD}$, respectivement) de $M_0$, soient :

$$s^{CG} = \frac{2}{3\sqrt{\alpha}}\sqrt{2 - \sqrt{1 - 3\mu^2}} \quad \text{et} \quad s^{CD} = \frac{2}{3\sqrt{\alpha}}\sqrt{2 + \sqrt{1 - 3\mu^2}} \qquad (1.15)$$

<footnote n="2">2. En mathématiques et en physique, un problème de perturbation singulière est un problème dépendant d'un petit paramètre (en général noté $\epsilon$) qui ne peut être approché en fixant ce paramètre à zéro. Dans ce contexte, les systèmes dynamiques dits rapides-lents tel que (1.7) sont parmi les systèmes les plus étudiés.</footnote>
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**FIGURE 1.4.** Exemple typique de variété critique dans le plan $(s, r)$, c.-à-d. graphe de $r = H(s)$ (voir Éq. (1.14)) pour $\mu = 0.25$ et $\alpha = 5$.</figcaption></figure>

si l'inégalité suivante est respectée

$$ \mu < \frac{1}{\sqrt{3}}. \qquad (1.16) $$

ce que nous supposerons être la cas dans ce travail.

Les expressions des abscisses $s^D$ et $s^U$ sont obtenues en résolvant $H(s^{CD}) = H(s^D)$ et $H(s^{CG}) = H(s^U)$, respectivement, ce qui donne :

$$ s^D = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{\alpha}}\sqrt{1 - \sqrt{1 - 3\mu^2}} \quad \text{et} \quad s^U = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{\alpha}}\sqrt{1 + \sqrt{1 - 3\mu^2}}. \qquad (1.17) $$

**Stabilité de la variété critique.** Étant donnée l'Éq. (1.11a), la variable $r$ est un paramètre pour le sous-système rapide (1.11) qui est donc bidimensionnel (2D), ses variables d'état étant $s$ et $\Delta$. La détermination de la stabilité de ces positions d'équilibre permet de déterminer les parties attractive et répulsive de $M_0$, cela est possible analytiquement. Pour ce faire, on pose $g_1(r, s, \Delta, 0) = H_1(s) - \frac{r}{2}\sin\Delta$ et $g_2(r, s, \Delta, 0) = H_2(s) - \frac{r}{2s}\cos\Delta$. On a donc :

$$ \sin \Delta = \frac{2H_1(s)}{r}, \quad \cos \Delta = \frac{2sH_2(s)}{r}, \quad H(s) = 2\sqrt{H_1^2(s) + H_2^2(s)}. \qquad (1.18) $$

Dans ce cas $\mathbf{J}_g(p)$, la matrice jacobienne de (1.11b)-(1.11c) évaluée en un point $p$ de $M_0$, s'écrit :

$$ \mathbf{J}_g(p) = \begin{pmatrix} \frac{dH_1(s)}{ds} & -sH_2(s) \\ \frac{H_2(s)}{s} + \frac{dH_2(s)}{ds} & \frac{H_1(s)}{s} \end{pmatrix}, \qquad (1.19) $$

dont le déterminant est :

$$ \det(\mathbf{J}_g(p)) = \frac{H(s)}{4s} \frac{dH(s)}{ds}. \qquad (1.20) $$

Par conséquent, det $(\mathbf{J}_g(p))$ s'annulent aux points-col gauche et droit (1.15) où se produit donc des bifurcations nœud-col du sous-système rapide. Il est ensuite possible de montrer que les points $p$ de $M_0$ sont stables si $s \in [0, s^{CG}[\cup]s^{CD}; +\infty[$ et instable si $s \in ]s^{CG}, s^{CD}[$. La variété critique est dite attractive et notée $M_0^a$ pour $s \in [0, s^{CG}[\cup]s^{CD}; +\infty[$; et dite répulsive et notée $M_0^r$ si $s \in ]s^{CG}, s^{CD}[$ (cf. Définition 1.2). La variété critique est normalement hyperbolique quand les parties réelles des valeurs propres de $\mathbf{J}_g(p)$ sont toutes non nulles. La variété critique n'est donc pas normalement
hyperbolique au niveau des points col gauche et droit, elle peut ainsi est décrite de la façon suivante :

$$ M_{01} = M_{0}^{a,1} \cup p^{\text{LF}} \cup M_{0}^{r} \cup p^{\text{RF}} \cup M_{0}^{a,2} \quad (1.21) $$

comme indiqué en Fig. 1.4.

**DÉFINITION 1.2 (VARIÉTÉS ATTRACTIVES, RÉPULSIVES ET SADDLE-TYPE).** Soit le système $(m, n)$-rapide-lent suivant :

$$ \mathbf{r} = \epsilon \mathbf{f}(\mathbf{r}, \mathbf{s}, \epsilon), \quad (1.22a) $$

$$ \dot{\mathbf{s}} = \mathbf{g}(\mathbf{r}, \mathbf{s}, \epsilon), \quad (1.22b) $$

avec $\mathbf{r} \in \mathbb{R}^m$, $\mathbf{s} \in \mathbb{R}^n$ et $0 < \epsilon \ll 1$. Les fonctions $\mathbf{f}: \mathbb{R}^{m+n+1} \to \mathbb{R}^m$ et $\mathbf{g}: \mathbb{R}^{m+n+1} \to \mathbb{R}^n$ sont supposées être suffisamment régulières. Les sous-systèmes systèmes rapide et lent associés à (1.22) sont :

$$ \dot{\mathbf{r}} = \mathbf{0}, \quad (1.23a) $$

$$ \dot{\mathbf{s}} = \mathbf{g}(\mathbf{r}, \mathbf{s}, 0), \quad (1.23b) $$

et

$$ \mathbf{r}' = \mathbf{f}(\mathbf{r}, \mathbf{s}, 0), \quad (1.24a) $$

$$ \mathbf{0} = \mathbf{g}(\mathbf{r}, \mathbf{s}, 0), \quad (1.24b) $$

respectivement.

La variété critique de (1.22) est donc :

$$ M_0 = \{ (\mathbf{r}, \mathbf{s}) \in \mathbb{R}^{m+1} \mid \mathbf{g}(\mathbf{r}, \mathbf{s}, 0) = \mathbf{0} \}. \quad (1.25) $$

Nous notons de nouveau $\mathbf{J}_g(p)$ la matrice jacobienne de (1.23b), évaluée en un point $p$ de $M_0$. Une branche $S \subset M_0$ est dite *normalement hyperbolique* si pour $p \in S$, aucune des valeurs propres de $\mathbf{J}_g(p)$ n'a sa partie réelle nulle. Le mot « normalement » signifie que la partie réelle d'une valeur propre correspondant à une direction propre tangente à $M_0$ peut être nulle. La branche $S$ sera dite *attractive* (resp. *répulsive*) si les parties réelles de toutes les valeurs propres de $\mathbf{J}_g(p)$ sont strictement négatives (resp. positives). Quand $S$ n'est ni attractive ni répulsive, elle dite *saddle-type* (je me permet un anglicisme en utilisant de ce mémoire *saddle-type* au lieu de sa traduction en français : de type selle).

**REMARQUE 1.4.** À noter que la définition usuelle de la stabilité d'une solution d'équilibre [127] stipule qu'un point appartenant à une branche attractive de $M_0$ est une solution *stable* de (1.23) et qu'un point appartenant à une branche répulsive ou *saddle-type* est une solution *instable* de (1.23).

L'étude de la variété critique (forme et stabilité) permet de prédire partiellement le comportement du flot de modulation. Dans l'espace des phases $(r, s, \Delta)$ si la trajectoire du flot de modulation n'est pas dans le voisinage de la variété critique, alors elle évolue rapidement vers un point d'une branche attractive de $M_0$ (le comportement asymptotique $\epsilon \to 0$ de cette phase rapide est décrit par l'Éq. (1.11)). La trajectoire évolue ensuite lentement dans le voisinage de $M_0$ (le comportement asymptotique $\epsilon \to 0$ de cette phase lente est décrit par l'Éq. (1.10)).
**REMARQUE 1.5 (THÉORÈME DE FENICHEL).** C'est le Théorème de Fenichel [62] qui permet d'obtenir ce résultat. Il stipule en effet que si la variété critique $M_0$ est attractive, répulsive ou saddle-type alors il existe une variété invariante $M_\epsilon$ (c.-à-d. une solution du flot de modulation quand $0 < \epsilon \ll 1$) qui se trouve à une distance de l'ordre de $O(\epsilon)$ de $M_0$. Cette variété invariante $M_\epsilon$ est normalement hyperbolique et possède les mêmes propriétés de stabilité par rapport aux variables rapides que $M_0$ (attractive, répulsive ou saddle-type).

**Point fixes du flot de modulation.** Il s'agit maintenant de calculer les points fixes du flot de modulation (1.7). Puisque $0 < \epsilon \ll 1$, ces points fixes peuvent être approchés par ceux du sous-système lent (1.10). Notez que dans ce cas, celui de l'approximation d'ordre 0, les points fixes sont nécessairement situés sur la variété critique. En considérant l'oscillateur de VdP linéarisé autour de la position d'équilibre triviale (c.-à-d. en linéarisant la fonction $f(r, s, \Delta)$ dans (1.10a) autour de $r = 0$), une expression analytique peut être obtenue. En introduisant l'Éq. (1.14) de l'Éq. (1.10a) on obtient $(H(s))' = f(H(s), s, \Delta)$ ou encore $\frac{dH(s)}{ds} s' = f_s(s)$ avec :

$$f_s = \frac{s \left( \rho \left( 16\mu^2 + (4 - 3\alpha s^2)^2 \right) - 16\mu \right)}{8\sqrt{16\mu^2 + (4 - 3\alpha s^2)^2}} \quad (1.26)$$

Les points fixes de (1.10) sont donc les racines de $f_s(s)$ avec $\frac{dH(s)}{ds} \neq 0$. En plus de la solution triviale, les solutions de $f_s(s) = 0$ sont :

$$s_1^e = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{\rho - \sqrt{\mu\rho(1-\mu\rho)}}{\alpha\rho}} \quad \text{et} \quad s_2^e = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{\rho + \sqrt{\mu\rho(1-\mu\rho)}}{\alpha\rho}}, \quad (1.27)$$

avec $s_1^e < s_2^e$. La stabilité des points fixes est ensuite déterminée en examinant le signe de $\frac{d}{ds} \left( \frac{f_s(s)}{H'(s)} \right)$. Notez que les points fixes $s_1^e$ et $s_2^e$ n'existent plus (physiquement) lorsqu'ils deviennent complexes. Cela se produit pour

$$\rho^S = \frac{1}{\mu}. \quad (1.28)$$

Dans l'exemple étudié ici, le flot de modulation possède au maximum quatre points fixes réels. Il y a le point fixe trivial (s'il est atteint on se trouve dans la situation de la Fig. 1.3(a)) et trois points fixes non triviaux. D'abord, un point dit de grande amplitude, s'il est atteint on se trouve dans la situation non atténuée de la Fig. 1.3(d). Il faut noter que ce point n'existe pas pour le système linéarisé évoqué ci-dessus, car il correspond justement à la solution périodique du VdP seul et que l'on souhaite éviter. Par conséquent, en situation non atténuée, le modèle linéarisé diverge. Il y a enfin deux autres points fixes non triviaux que l'on note $M_1^e = (s_1^e, r_1^e)$ et $M_2^e = (s_2^e, r_2^e)$.

**Prédictions des régimes de fonctionnement.** C'est la stabilité de ces points fixes ainsi que la position de $M_1^e$ et $M_2^e$ par rapport aux points d'arrivée qui permet de prédire le comportement asymptotique du flot de modulations et ainsi de connaitre le régime qui sera effectivement atteint parmi les quatre décrits en Fig 1.3. Ceci est illustré en Fig. 1.5 qui reprend les exemples de la Fig. 1.3 : les deux premières lignes correspondent au résultat de la simulation temporelle du système initial (1.3) et du système moyenné (1.7) et la troisième ligne montre la comparaison entre la variété critique - sur laquelle sont indiqués les points-col (en magenta), les points d'arrivée (en orange) et les points fixes du flot de modulation (verts quand ils sont stables et gris quand ils sont instables) - et la trajectoire du flot de modulation dans le plan $(s, r)$. Dans chaque situation une condition initiale proche de zéro est considérée et en dehors de la variété critique (cf. points bleus dans la ligne du bas de la Fig 1.5). Par conséquent, une phase rapide horizontale (en accord avec le fait que $\dot{r} = 0$ dans (1.11)) se produit pendant laquelle la trajectoire du flot de modulation rejoint la branche attractive gauche $M_0^{a,1}$ de la variété critique. On observe sur la Fig 1.5 les quatre scénarios suivants en fonction de la valeur de $\rho$ :
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**FIGURE 1.5.** Première ligne : $u_1(t) = x(t) + \epsilon y(t)$ (en bleu) et $r(t)$ (en rouge) issus de l'intégration temporelle numérique du système initial (1.3) et du système moyenné (1.7) respectivement. Deuxième ligne : $u_2(t) = x(t) - y(t)$ (en bleu) et $s(t)$ (en rouge) issus de l'intégration temporelle numérique du système initial (1.3) et du système moyenné (1.7) respectivement. Troisième ligne : comparaison entre la variété critique (c.-à-d. $r = H(s)$ donnée par (1.14) et représentée en pointillés noirs) - sur laquelle sont indiqués les points-col (en magenta), les points d'arrivée (en orange) et les points fixes du flot de modulation (verts quand ils sont stables et gris quand ils sont instables) - et la trajectoire du flot de modulation (en rouge) dans le plan $(s, r)$. Les quatre colonnes correspondent aux situations décrites en Fig. 1.3, c.-à-d. de droite à gauche : $\rho = 0.15$, $\rho = 0.8$, $\rho = 1.2$ et $\rho = 2.7$.</figcaption></figure>

* La première colonne correspond à la stabilisation de l'équilibre trivial du SP par le NES décrite en Fig. 1.3(a). On observe en Fig. 1.5(e) que le point fixe trivial est l'unique point fixe du système et il est stable, il est donc obligatoirement atteint après une phase lente où la trajectoire longe $M_0^{a,1}$.

* La deuxième colonne correspond au régime périodique de faible amplitude décrit en Fig. 1.3(b). On observe en Fig. 1.5(f) que le point fixe trivial est maintenant instable et la présence d'un point fixe non trivial stable qui est donc atteint également après une phase lente où la trajectoire longe $M_0^{a,1}$. Ce scenario pour le flot de modulation explique la présence d'un régime périodique stable pour le système initial.

* La troisième colonne correspond au SMR décrit en Fig. 1.3(c). On observe en Fig. 1.5(g) qu'il n'y a plus de point fixe stable sur la partie attractive gauche de la variété critique. Par conséquent, après une phase lente où de nouveau la trajectoire longe $M_0^{a,1}$, le point-col gauche $p^{\text{CG}}$ est
atteint et la variété critique devient répuslive. Le flot de modulation effectue donc un saut horizontal rapide vers $p^U$. Une deuxième phase lente sur $M_0^{a,2}$ se produit jusqu'au point-col droit $p^{CD}$ où un second saut se produit. Une troisième phase lente se produit sur $M_0^{a,1}$ jusqu'à $p^G$ et ainsi de suite. Ce scénario d'oscillations de relaxations du flot de modulation est rendu possible par la présence d'un point fixe instable sur la partie attractive droite $M_0^e$ de la variété critique et situé au delà du point $p^U$ (cf. Fig. 1.5(g)) ce qui empêche la trajectoire d'atteindre le point fixe stable de grande amplitude.

* La quatrième colonne correspond au régime périodique de grande amplitude décrit en Fig. 1.3(d). Contrairement au scénario précédent, le point fixe instable le plus à droite est maintenant situé avant le point d'arrivée ($p^U$ sur la variété critique et la trajectoire atteint le point fixe stable de grande amplitude. Ce scénario se produit également si les point fixes $M_1^e$ et $M_2^e$ n'existent plus, ce qui se produit quand on augmente encore la valeur de $\rho$.

**REMARQUE 1.6 (RÉGIMES INOFFENSIFS ET DANGEREUX).** Nous qualifierons parfois les situations présentées dans les trois premières colonnes de la Fig. 1.5 de situations (ou régimes) inoffensives (harmless situations) et celle de la quatrième colonne de situation (ou régime) dangereuse (harmful situation).

L'analyse précédemment décrite peut être qualifiée d'analyse de stabilité globale. Il y a en effet présence, pour certaines valeurs du paramètre de bifurcation, de deux solutions stables pour le flot de modulation : une solution périodique (les oscillations de relaxation) et un point fixe (c'est le cas montré en Fig. 1.5(g)). Dans un tel cas de stabilité multiple, l'analyse locale (qui détermine la stabilité locale des positions d'équilibre) n'est pas suffisante pour savoir quel régime sera effectivement atteint. Il est nécessaire pour cela de connaître les trajectoires du système dans l'espace des phases, ce qui est rendu possible ici d'une part par la partition du flot de modulation en deux échelles de temps et d'autre part par le fait que la variété critique soit unidimensionnelle. Ceci permet en effet de déduire aisément la trajectoire du système car sur un objet unidimensionnel il n'y a que deux sens possibles, à droite ou à gauche, ce qui n'est plus le cas pour un objet au moins bidimensionnel où il y a une infinité de trajectoires possibles (ce cas sera étudié en Section 1.2.3 ci-dessous).

**Prédiction théorique de la limite de fonctionnement.** À partir de la description des deux derniers scénarios précédents (cf. Figs 1.5, troisième et quatrième colonnes) nous pouvons définir la limite d'atténuation (notée $\rho_0^*$) comme la valeur du paramètre de bifurcation $\rho$ pour laquelle l'ordonnée $r_2^e$ du point fixe $M_2^e$ devient plus petit que $r^{CG}$ ou celle où les points fixes $M_1^e$ et $M_2^e$ n'existent plus (voir Éq. (1.28)).

À partir des Éqs. (1.17) et (1.27) la solution de $r_2^e = r^{CG}$, ou de façon équivalente $s_2^e = s^U$, est obtenue et s'écrit :

$$ \rho_0^U = \frac{\mu \left( 5 - 3\mu^2 + 4\sqrt{1 - 3\mu^2} \right)}{(\mu^2 + 1)^2} \qquad (1.29) $$

L'expression (conditionnelle) de $\rho_0^*$ est donc finalement :

$$ \rho_0^* = \begin{cases} \rho_0^U (\text{Éq. (1.29)}), & \text{si } \mu < \frac{1}{2} \\ \rho_0^S (\text{Éq. (1.28)}), & \text{si } \mu > \frac{1}{2}, \end{cases} \qquad (1.30a) $$

avec $\mu = \frac{1}{2}$ la valeur de $\mu$ solution de $\rho_0^U = \rho^S$.

L'expression précédente de la limite d'atténuation ne dépend pas de la raideur non linéaire $\alpha$ du NES mais seulement de son coefficient d'amortissement $\mu$. Ceci peut paraître contre-intuitif mais il faut noter que la méthode présentée ci-dessus ne se base que sur la nature des régimes et non sur l'amplitude de ces derniers. Il se peut donc par exemple qu'un SMR ait une amplitude (reliée elle à la raideur cubique du NES) proche du cycle limite que l'on souhaite atténuer et que le NES perde son
intérêt. Il est important d'avoir ceci en tête si l'on souhaite utiliser ce genre de méthode analytique pour la conception d'un NES.

Nous disons ici que l'expression est obtenue en faisant appel à une approximation d'ordre 0 car elle est déduite du comportement asymptotique du flot de modulation quand $\epsilon \to 0$. Nous verrons en Section 1.2.5 que cette prédiction peut être améliorée en sortant du cadre de l'approximation d'ordre 0.

### 1.2.2 Cas d'un système mécanique auto-entretenu connecté à un réseau de NES

Cette section décrit les résultats principaux publiés dans deux articles co-écrits avec Sergio Bellizzi (ancien Directeur de Recherche CNRS au LMA et aujourd'hui retraité). Dans le premier [a7] nous étendons l'analyse précédente au cas d'un oscillateur de VdP couplé à un réseau de NES en parallèle. Le second [a8] (reproduit an Annexe A) généralise l'approche proposée dans [a7] à l'analyse du comportement d'un système mécanique auto-entretenu à plusieurs N ddl (le système primaire ou SP) et connecté à un ensemble de M NES. Les équations du modèle sont détaillées en Section D.2.1.

#### 1.2.2.1 Réduction de la dynamique du système primaire

Dans [a8], nous faisons l'hypothèse que le système primaire (SP) ne possède qu'un mode instable, c.-à-d. que l'analyse modale de ce dernier ne met en évidence qu'un seul mode dont la valeur propre a une partie réelle qui peut devenir positive. Dans ce cas il est possible de réduire la dynamique du SP en ne conservant que le mode instable. Cette étape, détaillée en Annexe A.2.2, est brièvement rappelée ici. Elle consiste à écrire le SP dans l'espace des phases. Dans ce cas les équations du mouvement du système couplé (SP + réseau de NES) s'écrivent de la manière suivante :

$$ \dot{\mathbf{y}} = \mathbf{A}\mathbf{y} + \epsilon\mathbf{F}(\mathbf{y}, \mathbf{w}, \dot{\mathbf{w}}) \quad (1.31a) $$

$$ \mathbf{G}(\mathbf{y}, \mathbf{w}, \dot{\mathbf{w}}, \ddot{\mathbf{w}}) = 0 \quad (1.31b) $$

où $\mathbf{y} = (v_1, \dots, v_N, \dot{v}_1, \dots, \dot{v}_N)^T$ est le vecteur d'état du SP (cf. Éq. (A.10a)) et $\mathbf{F}$ est une fonction vectorielle prenant en compte les non-linéarités du SP et le couplage avec le réseau de NES, ici représenté par le vecteur des déplacements relatifs $\mathbf{w}$ (cf. Éq. (A.10b)). La fonction $\mathbf{F}$ est explicitée par l'Éq. (D.6). La fonction vectorielle $\mathbf{G}$ représente la dynamique du réseau de NES couplé au SP. Le paramètre $\epsilon$ est encore reli au rapport de masse entre le SP et le réseau de NES et est supposé petit, c.-à-d. $0 < \epsilon \ll 1$. La matrice $\mathbf{A}$ n'étant pas symétrique, sa diagonalisation doit nécessairement être effectuée en utilisant la propriété de biorthogonalité des vecteurs propres à droite $\mathbf{r}_i$ ($i = 1, \dots, 2N$) et à gauche $\mathbf{l}_j$ ($j = 1, \dots, 2N$) de $\mathbf{A}$ correspondant respectivement aux problèmes aux valeurs propres suivants :

$$ \mathbf{A}\mathbf{R} = \mathbf{R}\mathbf{\Lambda} \quad \text{et} \quad \mathbf{A}^T\mathbf{L} = \mathbf{L}\mathbf{\Lambda}. \quad (1.32) $$

avec

$$ \mathbf{R} = [\mathbf{r}_1 \ \mathbf{r}_1^* \ \dots \ \mathbf{r}_N \ \mathbf{r}_N^*] \quad \text{et} \quad \mathbf{L} = [\mathbf{l}_1 \ \mathbf{l}_1^* \ \dots \ \mathbf{l}_N \ \mathbf{l}_N^*] \quad (1.33) $$

les matrices de vecteurs propres à droite et à gauche et $\mathbf{\Lambda} = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_1^*, \dots, \lambda_N, \lambda_N^*)$ où les $(\lambda_i, \lambda_i^*)$ ($i = 1, \dots, N$) sont les paires de valeurs propres complexes conjuguées correspondantes.

Les vecteurs propres à droite et à gauche, normalisés judicieusement, satisfont aux propriétés de biorthogonalité suivantes :

$$ \mathbf{L}^T\mathbf{R} = \mathbf{I}_N, \quad (1.34) $$

et

$$ \mathbf{L}^T\mathbf{A}\mathbf{R} = \mathbf{\Lambda}. \quad (1.35) $$

La transformation biorthogonale consiste à introduire les variables complexes $q_n$ et $q_n^*$ ($n = 1, \dots, N$) comme suit :

$$ \mathbf{y} = \mathbf{R}\mathbf{q} \Leftrightarrow \mathbf{q} = \mathbf{L}^T\mathbf{y}, \quad (1.36) $$
où

$$
\mathbf{q} = (q_1, q_1^*, \dots, q_N, q_N^*)^T. \tag{1.37}
$$

L'Éq. (1.36) est introduite dans l'Éq. (1.31a), ce qui donne :

$$
\dot{\mathbf{q}} = \mathbf{\Lambda} \mathbf{q} + \epsilon \mathbf{L}^T \mathbf{F} (\mathbf{R} \mathbf{q}, \mathbf{w}, \dot{\mathbf{w}}) \quad (1.38a)
$$

$$
\mathbf{G}(\mathbf{R}\mathbf{q}, \mathbf{w}, \dot{\mathbf{w}}, \ddot{\mathbf{w}}) = 0 \quad (1.38\text{b})
$$

En supposant que les termes du vecteurs **L**^T**F** (R**q**, **w**, **w**̇) restent d'ordre O(1), nous tirons de
(1.38a) que qᵢ(t) = qᵢ(0)e^(λᵢt) + O(ε) (i = 1..., N). Nous supposons de plus que seule la première paire
de valeurs propres (λ₁, λ₁*) peut avoir une partie réelle positive. Par conséquent, après un certain
temps les composantes qₙ et qₙ* (n = 2, ..., N) deviennent d'ordre O(ε) et sont ignorées. Nous avons
donc y ≈ Rq = r₁q₁ + r₁*q₁* et nous obtenons :

$$
\dot{q}_1 = \lambda_1 q_1 + \epsilon F(q_1, q_1^*, \mathbf{w}, \mathbf{\dot{w}}) \quad (1.39a)
$$

$$
\mathbf{G}(\mathbf{r}_1 q_1 + \mathbf{r}_1^* q_1^*, \mathbf{w}, \dot{\mathbf{w}}, \ddot{\mathbf{w}}) = 0 \quad (1.39\text{b})
$$

où $F(q_1, q_1^*, \mathbf{w}, \dot{\mathbf{w}})$ est la première composante du vecteur $\mathbf{L}^T \mathbf{F}(\mathbf{r}_1 q_1 + \mathbf{r}_1^* q_1^*, \mathbf{w}, \dot{\mathbf{w}})$.

1.2.2.2 Flot de modulation et sa variété critique

Dans l'hypothèse d'une résonance interne 1 : 1 entre le mode instable du système primaire et le
NES, le flot de modulation (appelé slow flow dans l'Annexe A) est calculé par la CAM. Pour cela
nous notons $\lambda_1 = \epsilon\rho + j\omega$ (dans l'hypothèse d'une instabilité faible) et nous introduisons le vecteur
complexe $\zeta$ tel que $\zeta = \dot{\mathbf{w}} + j\omega\mathbf{w}$. Nous posons ensuite $q_1 = \phi e^{j\omega t}$ et $\zeta = \xi e^{j\omega t}$, et enfin $\phi = se^{j\delta}$ et
$\xi = \mathbf{diag}(e^{j\theta_m}) \mathbf{r}$. Après quelques étapes de calcul détaillées en Annexe A.3.1, nous obtenons :

$$
\dot{s} = \epsilon f(s, \mathbf{r}, \mathbf{\Delta}) \tag{1.40a}
$$

$$
\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{g}_1 (s, \mathbf{r}, \mathbf{\Delta}, \epsilon) \quad (1.40\text{b})
$$

$$
\dot{\Delta} = g_2 (s, \mathbf{r}, \Delta, \epsilon) \qquad (1.40c)
$$

où *s* est la variable lente reliée au mode instable du système primaire, **r** = (r₁, ..., rₘ)ᵀ avec rₘ
(n = 1 ..., M) des variables rapides reliées à l'amplitude des oscillations de chacun des M NES et
**Δ** = (Δ₁, ..., Δₘ)ᵀ avec Δₘ = θₘ - δ (m = 1 ..., M) des variables rapides reliées à la différence de
phase entre le système primaire et chacun des M NES. Le flot de modulation décrite par l'Éq. (1.40)
est donc un système (2M, 1)-rapide-lent.

Les sous-systèmes rapide et lent associés à (1.40) s'écrivent respectivement :

$$
\dot{s} = 0 \tag{1.41a}
$$

$$
\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{g}_1 (s, \mathbf{r}, \mathbf{\Delta}, 0) \tag{1.41b}
$$

$$
\dot{\Delta} = g_2 (s, \mathbf{r}, \Delta, 0) \tag{1.41c}
$$

et

$$
s' = f(s, \mathbf{r}, \mathbf{\Delta}) \tag{1.42a}
$$

$$
\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{0} \tag{1.42b}
$$

$$
\dot{\Delta} = \mathbf{0} \tag{1.42c}
$$

où comme précédemment (.)' = d(.) / dτ avec τ = εt.

Attention :

* pour rester fidèle aux notations utilisées dans [a8], dans cette section les notations *r* et *s* sont inversées par rapport à l'exemple décrit en Section. 1.2.1;

* f, g₁, g₂ et Δ sont respectivement notés F, G, H et ϑ en Annexe A (cf. Éq. (A.35)).
Le fait de ne considérer qu'un seul mode instable pour le système primaire implique que la variété critique $M_0$ de (1.40), définie comme suit

$$M_0 = \left\{ (s, \mathbf{r}, \mathbf{\Delta}) \in \mathbb{R}^{1+M} \times [-\pi, \pi]^M \mid \mathbf{g}_1(s, \mathbf{r}, \mathbf{\Delta}, 0) = \mathbf{0}, \mathbf{g}_2(s, \mathbf{r}, \mathbf{\Delta}, 0) = \mathbf{0} \right\}, \quad (1.43)$$

reste unidimensionnelle. La résolution de $\mathbf{g}_1(s, \mathbf{r}, \mathbf{\Delta}, 0) = \mathbf{0}$ et $\mathbf{g}_2(s, \mathbf{r}, \mathbf{\Delta}, 0) = \mathbf{0}$ conduit en effet aux relations suivantes :

$$s^2 = H_m(r_m) \quad (1.44a)$$

$$\Delta_m = G_m(r_m) \quad (m = 1, \dots, M) \quad (1.44b)$$

où chaque fonction $\sqrt{H_m}$ a une forme similaire à la fonction $H$ évoquée en Section 1.2.1.3 (voir Fig. 1.4).

### 1.2.2.3 Comportement asymptotique du flot de modulation

La variété critique restant unidimensionnelle, une analyse globale de stabilité du flot de modulation (1.40) peut être effectuée en se basant sur les propriétés de la variété critique (cf. Annexe A.3.3) et sur l'étude du sous-système lent (1.42) (cf. Annexe B.3.4). Cela montre que la variété critique unidimensionnelle est composée de branches successivement attractives $M_0^{a,k}$ ($k = 1, \dots, 2^M$) et saddle-type. $M_0^{\text{st},l}$ ($l = 1, \dots, 3^M - 2^M$). En Annexe A, ces branches sont qualifiées de stable and instable par rapport à la stabilité du point de la variété critique pour le sous-système rapide. Ce vocabulaire est également utilisé dans le cadre de l'AGPS mais je lui préfère maintenant les qualifications attractive, répulsive et saddle-type (cf. Définition 1.2). Sur la variété critique, la dynamique lente est décrite par le sous-système lent (1.42) (notamment par ses points fixes qui approchent ceux du flot de modulation global (1.40)). Cette analyse conduit à la prédiction de la limite d'atténuation du réseau de NES (cf. Annexe A.3.5) et plus généralement du comportement asymptotique du flot de modulation. Le mouvement de ce dernier est composé de phases lentes où le flot de modulation évolue dans le voisinage des branches $M_0^{a,k}$. À la fin de chaque phase lente, la trajectoire arrive sur un point non hyperbolique et effectue un saut (c.-à-d. une phase rapide) vers une autre branche $M_0^{a,k}$ où débute une nouvelle phase lente.

La méthode est appliquée dans [a8] respectivement à un système frottant à deux ddl reproduisant le phénomène de couplage de mode qui explique le crissement de frein (cf. Annexe A.4.1) couplé à deux NES et à un modèle d'aile d'avion à deux ddl subissant une instabilité de flottement et connecté à un réseau de un à quatre NES (cf. Annexe A.4.2).

Pour illustration, nous reprenons le second exemple dans le cas où trois NES sont utilisés. Le schéma et les équations du modèle sont donnés en Fig. D.3 et par l'Éq. (A.72), respectivement. Le paramètre de bifurcation est $\Theta$ la vitesse adimensionnée de l'écoulement d'air dans lequel se situe l'aile et qui crée l'instabilité de flottement. Le modèle sans NES subit une bifurcation de Hopf à $\Theta = 0.933$ après laquelle un cycle limite (que l'on souhaite atténué) est observé. Comme il y a trois NES, le flot de modulation (1.40) est un système (6, 1)-rapide-lent. Pour la variété critique une représentation dans l'espace $(r_1, r_2, r_3)$ est choisie (ce qui reviendrait à une représentation unidimensionnelle pour un cas à un NES comme celui décrit en Section. 1.2.1). La Fig. 1.6 montre la trajectoire du flot de modulation dans l'espace $(r_1, r_2, r_3)$ obtenue par l'intégration numérique de (1.40) (en rouge), la variété critique (partie attractive en gris et saddle-type en noir), les points fixes de (1.42) (stables en magenta et instables en bleu), qui approchent ceux de (1.40), et ce pour quatre valeurs du paramètre $\Theta$. Comme dans le cas d'un seul NES, la dynamique de (1.40) est décomposée en phases rapides et en phases lentes. Le comportement asymptotique quand $\epsilon \to 0$ du flot de modulation pendant les phases rapides et lentes est décrit respectivement par les sous-système rapide (1.41) et lent (1.42). Ceci permet de déduire la trajectoire théorique du flot de modulation (en vert en Fig. 1.6).

Toujours en considérant une condition initiale proche de zéro les quatre régimes suivants sont observés :
<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>(a) $\Theta = 0.9372$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>(b) $\Theta = 0.9434$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>(c) $\Theta = 0.9458$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>(d) $\Theta = 0.9474$</figcaption></figure>

**FIGURE 1.6.** Trajectoire du flot de modulation dans l'espace $(r_1, r_2, r_3)$ obtenue par l'intégration numérique de (1.40) (en rouge), variété critique (partie attractive en gris et répulsive en noir), les point fixes de (1.40) (stables en magenta et instables en bleu) et trajectoire théorique issue de l'analyse de bifurcation globale de (1.40) pour quatre valeurs du paramètre de bifurcation $\Theta$.

**Scénario 1, Fig. 1.6(a)** : un point fixe stable est présent sur la première partie attractive de la variété critique. Ce point fixe est atteint après une phase lente, ce qui conduit à un régime périodique de faible amplitude pour le système initial.

**Scénario 2, Fig. 1.6(b)** : un premier cycle d'oscillations de relaxation est observé pour la trajectoire simulée de (1.40) qui est en accord avec le cycle prédit. Ceci correspond à un premier type de SMR pour le système initial.

**Scénario 3, Fig. 1.6(c)** : un second cycle d'oscillations de relaxation est observé pour la trajectoire du système moyenné (également en accord avec la trajectoire théorique) qui correspond donc à
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>**FIGURE 1.7.** Intégration numérique du modèle de référence (A.72) (ligne bleue continue) et du flot de modulation (1.40) (ligne rouge). Paramètres : (a) (resp. (b)) les mêmes que ceux utilisés en Fig. 1.6(c) (resp. Fig. 1.6(d)).</figcaption></figure>

un second type de SMR pour le système initial. Le résultat de l'intégration numérique du modèle d'aile d'avion couplé à trois NES Éq. (A.72) et du flot de modulation (1.40) correspondant à ce scénario est montré en Fig. 1.7(a).

**Scénario 4, Fig. 1.6(d) :** le point fixe de grande amplitude situé sur la dernière branche attractive de la variété critique est finalement atteint par les trajectoires simulée et théorique. Comme dans le cas à un NES, ce scénario se produit car il n'y a pas de point fixe instable sur la dernière branche attractive de la variété critique pour empêcher le point fixe de grande amplitude d'être atteint. Cependant, cette non présence n'est pas toujours synonyme de non action du réseau de NES car la trajectoire peut avoir été bloquée plus en amont de la variété critique. Ce dernier scénario correspond à un régime périodique pour le système initial d'amplitude comparable à celui du cas sans NES.

Pour des valeurs plus faible de Θ une stabilisation peut également être observée (comme dans le cas de la Fig. 1.3(d)).
1.2.2.4 Discussion

En général, il n’est pas possible ici d’obtenir une expression littérale de la limite d’atténuation. La valeur théorique de cette dernière est définie dans ce cas comme la première valeur du paramètre de bifurcation pour laquelle le scénario 4 précédent est observé pour la trajectoire théorique. Une expression littérale est par contre obtenue dans le cas particulier, étudié dans [a7], d’un oscillateur de VdP (où tout autre oscillateur auto-entretenu à un ddl) couplé un réseau de NES en parallèle. Il est montré (ce qui confirme l’intuition) qu’en terme de limite d’atténuation l’utilisation de *M* NES identiques est équivalent à un NES dont les paramètres de masse, et d’amortissement sont *M* fois plus grand.

Les résultats théoriques obtenus dans ces travaux ont permis d'avancer dans la compréhension du comportement dynamique d'un système auto-entretenu couplé à un réseau de NES. Le caractère général de la méthode proposée dans [a8] fait qu'elle pourrait s'inclure dans le cadre plus général de la conception d'un réseau de NES en vue d'application industrielle, où le système primaire pourrait par exemple être un modèle en éléments finis. Il faudrait dans ce cas lever les limitations suivantes de la méthode :

(i) Les systèmes auto-entretenus complexes comme les systèmes tournants (turbomachines, éolienes...) ou frottants (modèles de frein ou d'embrayage automobile par exemple) peuvent posséder plusieurs modes instables. Il faudrait donc étendre l'analyse précédente à cette situation.

(ii) Les résultats qui découlent de l'analyse asymptotique précédente se déprécient pour les plus « grandes » valeurs du paramètre de perturbation ce qui diminue leur pouvoir prédictif (voir le Tab. A.2 et la Fig. A.9). Ceci s'observe pour une valeur donnée de $\epsilon$ lorsque le nombre de NES augmente (voir le Tab. A.3). Il conviendrait donc de proposer une méthode d'analyse basée sur une hypothèse moins restrictive et prenant en compte la valeur du paramètre de perturbation.

C'est deux points sont abordés dans les Sections 1.2.3 et 1.2.5 qui suivent.

En plus des deux articles précédemment cités, ces travaux ont fait l'objet de communications dans des congrès internationaux [ci6, ci7].

1.2.3 Cas d'un système mécanique auto-entretenu à deux modes instables connecté à un NES

1.2.3.1 Contexte et équations du modèle

Dans cette section, sont repris les résultats majeurs de [a9] (reproduit en Annexe B), écrit en collaboration avec Sergio Bellizzi et Sébastien Berger (Professeur des Universités à l'INSA Centre Val de Loire). L'originalité de ce travail est d'une part de montrer la capacité d'un unique NES à limiter les vibrations auto-entretenues causées par deux modes instables simultanément et d'autre part de proposer une analyse permettant la compréhension des régimes de fonctionnement complexes du système causés par le couplage entre les deux modes instables et le NES.

Le modèle d'étude, présenté en Fig. B.1, est un modèle phénoménologique de système de frein à quatre ddl [53] (c.-à-d. le nombre minimal de ddl qui peut être utilisé pour étudier le phénomène de multi-instabilités dans de tels systèmes frottants) couplé à un NES. La dynamique du système primaire est réduite à ses deux modes instables par une transformation biorthogonale similaire à celle présentée en Section 1.2.2. La différence est qu'ici les deux premières paires de valeurs propres ($\lambda_1, \lambda_1^*$) et ($\lambda_2, \lambda_2^*$) peuvent avoir leurs parties réelles positives. Par conséquent, après un certain temps les composantes $q_n$ et $q_n^*$ ($n = 3, ..., N$) deviennent d'ordre $O(\epsilon)$ et sont ignorées. Nous avons donc $\mathbf{y} \approx \mathbf{Rq} = \mathbf{r}_1 q_1 + \mathbf{r}_1^* q_1^* + \mathbf{r}_2 q_2 + \mathbf{r}_2^* q_2^*$. En reprenant les notations utilisées en Section 1.2.2 les équations
du modèle de réduisent à

$$ \dot{q}_1 = \lambda_1 q_1 + \epsilon F_1 (q_1, q_1^*, q_2, q_2^*, w, \dot{w}) \quad (1.45a) $$

$$ \dot{q}_2 = \lambda_2 q_2 + \epsilon F_2 (q_1, q_1^*, q_2, q_2^*, w, \dot{w}) \quad (1.45b) $$

$$ \mathbf{G}(\mathbf{r}_1 q_1 + \mathbf{r}_1^* q_1^* + \mathbf{r}_2 q_2 + \mathbf{r}_2^* q_2^*, w, \dot{w}, \ddot{w}) = 0 \quad (1.45c) $$

où $F_1(q_1, q_1^*, q_2, q_2^*, w, \dot{w})$ et $F_2(q_1, q_1^*, q_2, q_2^*, w, \dot{w})$ sont les deux premières composantes du vecteur $\mathbf{L}^T \mathbf{F}(\mathbf{r}_1 q_1 + \mathbf{r}_1^* q_1^* + \mathbf{r}_2 q_2 + \mathbf{r}_2^* q_2^*, w, \dot{w})$. Comme il n'y a qu'un NES, la variable correspondant au mouvement relatif de ce dernier est maintenant scalaire et notée $w$. Les détails de cette étape de réduction de la dynamique du système primaire à ses deux modes instables sont détails en Section B.2.2 (attention, encore un fois les notations diffèrent par rapport à celles utilisées dans cette section, notamment $w$ y est noté $v$).

Nous arrangeons ensuite les valeurs propres de manière à ce que $\lambda_1^R > 0$ et $\lambda_2^R > 0$ où $\lambda_i = \lambda_i^R + j\lambda_i^I$ pour $i = 1, 2$ et nous supposons que

$$ \lambda_1^R = \epsilon \rho_1 \quad \text{et} \quad \lambda_2^R = \epsilon \rho_2 \quad (1.46) $$

et dont les pulsations $\lambda_1^I$ et $\lambda_2^I$ sont incommensurables.

Nous supposons maintenant que chaque mode instable oscille à sa pulsation propre $\lambda_1^I$ ($i = 1, 2$), c.-à-d. :

$$ q_1 = \phi_1 e^{j\lambda_1^I t} \quad (1.47a) $$

$$ q_2 = \phi_2 e^{j\lambda_2^I t} \quad (1.47b) $$

### 1.2.3.2 Le flot de modulation et sa variété critique

Le flot de modulation est ensuite calculé à partir d'une hypothèse de résonance interne de type 1 : 1 – 1 : 1. Cela signifie que le mouvement du NES, par accordage à l'une ou l'autre des pulsations $\lambda_1^I$ et $\lambda_2^I$, ne contient que deux composantes fréquentielles. La variable $w$ est donc écrite de la façon suivante :

$$ w = w_1 + w_2 \quad (1.48) $$

et les amplitudes complexe $\xi_1$ and $\xi_2$ sont introduites telles que :

$$ \xi_1 e^{j \lambda_1^I t} = \dot{v}_1 + j \lambda_1^I v_1 \quad (1.49a) $$

$$ \xi_2 e^{j \lambda_2^I t} = \dot{v}_2 + j \lambda_2^I v_2. \quad (1.49b) $$

En introduisant les Éqs. (B.14), (1.48) et (1.49) dans l'Éq. 1.45 puis en équilibrant les termes en puissance de $e^{j\lambda_1^I t}$ et $e^{j\lambda_2^I t}$ pour n'en conserver que ceux d'ordre zéro et un, cela aboutit au flot de modulation sous sa forme complexe. Finalement nous introduisons :

$$ \phi_1 = s_1 e^{j\delta_1} \quad (1.50a) $$

$$ \phi_2 = s_2 e^{j\delta_2} \quad (1.50b) $$

$$ \xi_1 = r_1 e^{j\theta_1} \quad (1.50c) $$

$$ \xi_2 = r_2 e^{j\theta_2}, \quad (1.50d) $$

ce qui conduit à un flot de modulation réel à six ddl qui est un système (4, 2)-rapide-lent et qui s'écrit de la façon suivante :

$$ \dot{s} = \epsilon \mathbf{f}(s, t) \quad (1.51a) $$

$$ \dot{t} = g(s, t, \epsilon) = g_0(s, t) + \epsilon g_1(s, t) \quad (1.51b) $$

avec $s = (s_1, s_2)^T$ où $s_1$ et $s_2$ sont les variables lentes correspondant aux modes instables du système primaires et $t = (r_1, r_2, \Delta_1, \Delta_2)^T$ où $r_1$ et $r_2$ sont des variables rapides correspondant à l'amplitudes
des oscillations de chacune des composantes fréquentielles du mouvement du NES. Enfin, $\Delta_1 = \delta_1 - \theta_1$ et $\Delta_2 = \delta_2 - \theta_2$ sont les différences de phase entre chaque mode instable du système primaire et les composantes fréquentielles du mouvement du NES correspondantes.

Les sous-systèmes rapide et lent associés à (1.49) s'écrivent respectivement :

$$ \dot{s} = 0 \qquad (1.52a) $$

$$ \dot{t} = g_0(s, t) \qquad (1.52b) $$

er

$$ s' = f(s, t) \qquad (1.53a) $$

$$ 0 = g_0(s, t) \qquad (1.53b) $$

où comme précédemment (.)' = $\frac{d(.)}{d\tau}$ avec $\tau = \epsilon t$.

Attention, comme en Section 1.2.2, les notations $r$ et $s$ sont inversées par rapport à l'exemple décrit en Section. 1.2.1. Par ailleurs, la variété critique n'est plus notée $M_0$ mais $C_0$.

La variété critique est définie comme suit

$$ C_0 := \{ (s, t) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^4 \mid g_0(s, t) = 0 \}. \qquad (1.54) $$

La résolution de $g_0(s, t) = 0$ conduit aux relations suivantes (voir les détails en Annexes C.4.1) :

$$ \cos \Delta_1 = - \frac{a_8 H_{03}(r_1, r_2) + a_7 H_{01}(r_1)}{s_1 (a_7^2 + a_8^2)} \quad \text{et} \quad \sin \Delta_1 = - \frac{a_8 H_{01}(r_1) - a_7 H_{03}(r_1, r_2)}{s_1 (a_7^2 + a_8^2)}, \qquad (1.55) $$

$$ \cos \Delta_2 = - \frac{a_{10} H_{04}(r_1, r_2) + a_9 H_{02}(r_1)}{s_2 (a_9^2 + a_{10}^2)} \quad \text{et} \quad \sin \Delta_2 = - \frac{a_{10} H_{02}(r_1) - a_9 H_{04}(r_1, r_2)}{s_2 (a_9^2 + a_{10}^2)}. \qquad (1.56) $$

et

$$ s_1^2 = \frac{H_1(r_1, r_2)}{a_7^2 + a_8^2} \qquad (1.57a) $$

$$ s_2^2 = \frac{H_2(r_1, r_2)}{a_9^2 + a_{10}^2} \qquad (1.57b) $$

### 1.2.3.3 Informations tirées de l'analyse du sous-système rapide

La variété critique $C_0$ relie donc les variables $s_1, s_2, \Delta_1$ et $\Delta_2$ à $r_1$ et $r_2$ (voir les Éqs. (1.55) à (1.57)) et apparaît comme une variété de dimension 2 (c.-à-d. une surface) paramétrée par les deux variables rapides $r_1$ et $r_2$ et évoluant dans un espace des phases de dimension 6. Ici encore, chaque point constituant $C_0$ est un point fixe du sous-système rapide (1.52) dont les propriétés de stabilité peuvent être déduites de l'analyse de la matrice jacobienne de $g_0(s, t)$ par rapport à $t$, notée $D_t g_0(s, t)$, et évaluée en chaque point de $C_0$. L'expression de $g_0(s, t)$ est :

$$ D_t g_0(s, t) = \begin{pmatrix} \frac{dH_{01}}{dr_1}(r_1) & -H_{03}(r_1, r_2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{dH_{02}}{dr_2}(r_2) & -H_{04}(r_1, r_2) \\ \frac{1}{r_1} \frac{\partial H_{03}}{\partial r_1}(r_1, r_2) & \frac{H_{01}(r_1)}{r_1} & \frac{1}{r_1} \frac{\partial H_{03}}{\partial r_2}(r_1, r_2) & 0 \\ \frac{1}{r_2} \frac{\partial H_{04}}{\partial r_1}(r_1, r_2) & 0 & \frac{1}{r_2} \frac{\partial H_{04}}{\partial r_2}(r_1, r_2) & \frac{H_{02}}{r_2}(r_2) \end{pmatrix}. \qquad (1.58) $$

L'analyse des valeurs propres de $D_t g_0(s, t)$ met en évidence la structure suivante de $C_0$ :

$$ C_0 = C_{0,r}^a \cup (F^1 \cup C_{0,r}^{st,1}) \cup (F^2 \cup C_{0,r}^{st,2}) \cup (F^3 \cup C_{0,r}^{st,3}) \cup (N_r \cup C_{0,r}^{st,4}) \qquad (1.59) $$

illustrée dans le plan $(r_1, r_2)$ en Fig. 1.8. Il y a donc :
* la région attractive $C_{0,r}^a$ (fond blanc en Fig. 1.8) correspondant aux points de $C_0$ pour lesquels les valeurs propres de $D_{tg0}(\mathbf{s}, \mathbf{t})$ sont toutes à partie réelle negatives;

* les régions saddle-type $C_{0,r}^{st,i}$ ($i = 1, 2, 3$) (fond saumon en Fig. 1.8) correspondant aux points de $C_0$ pour lesquels certaines valeurs propres de $D_{tg0}(\mathbf{s}, \mathbf{t})$ sont à parties réelles négatives et d'autres à parties réelles positives. Ces régions sont entourées de fold curves $F^i$ ($i = 1, 2, 3$) (lignes pleines et pointillées rouges en Fig. 1.8) correspondant à des points de $C_0$ non hyperbolique dits singuliers car impliquant $\det(D_{tg0}(\mathbf{s}, \mathbf{t})) = 0$;

* la région saddle-type $C_{0,r}^{st,4}$ (fond vert en Fig. 1.8). Cette région est entourée d'une courbe notée $N_r$ (ligne pleine verte en Fig. 1.8) correspondant à des points de $C_0$ non hyperbolique dits réguliers car impliquant $\det(D_{tg0}(\mathbf{s}, \mathbf{t})) \neq 0$.

Dans la logique de ce qui a été présentée dans les sections précédentes, à partir de la présente analyse du sous-système rapide, il est possible d'obtenir les éléments suivants sur le comportement du flot de modulation : si l'orbite de ce denier n'est pas sur $C_0$, l'évolution dans le temps est rapide jusqu'à un point de $C_{0,r}^a$ où débute un phase lente décrite par le sous-système lent (cf. section suivante). Nous supposons qu'à la fin de cette phase lente l'orbite arrive en un point d'une des fold curves $F^i$ ($i = 1, 2, 3$) appelé point de saut et noté $\mathbf{r}^J = (r_1^J, r_2^J)^T$. En $\mathbf{r}^J$, $C_0$ devenant singulière, l'orbite quitte $C_0$ et saute rapidement sur un autre point $C_{0,r}^a$, dit point d'arrivée et noté $\mathbf{r}^D = (r_1^D, r_2^D)$. De façon similaire à ce qui est effectué dans le cas à un mode instable pour obtenir (1.17), les points de saut et d'arrivée sont les points fixes de l'Éq. (1.52) correspondant aux mêmes valeurs de $\Delta_1, \Delta_2, s_1$ et $s_2$ obtenus par les Éqs. (1.55) à (1.57), respectivement. Par conséquent, les points d'arrivée sont calculés en résolvant l'équation suivante :

$$H_1(r_1^D, r_2^D) = H_1(r_1^J, r_2^J) \qquad (1.60a)$$

$$H_2(r_1^D, r_2^D) = H_2(r_1^J, r_2^J), \qquad (1.60b)$$

Résoudre (1.60) pour chaque point de chaque fold curve $F^i$ ($i = 1, 2, 3$) permet d'obtenir les courbes d'arrivée notée $A_j^i$ (lignes pleines et pointillées bleues en Fig. 1.8).

### 1.2.3.4 Informations tirées de l'analyse du sous-système lent

En suivant la méthodologie déjà décrite plusieurs fois, comme $0 < \epsilon \ll 1$, les points fixes du flot de modulation (1.51) peuvent être approchés par ceux du sous-système lent (1.53).

Le variété critique $C_0$ relie les variables $s_1, s_2, \Delta_1$ et $\Delta_2$ aux variables $r_1$ et $r_2$. Par conséquent, en substituant l'Éq. (B.36) dans l'Éq. (E.30), le sous-système lent peut être écrit uniquement en fonction des variables $r_1$ et $r_2$ comme suit :

$$D_r \mathbf{H}(\mathbf{r}) \mathbf{r}' = \mathcal{F}(\mathbf{r}) \qquad (1.61)$$

où $\mathbf{r} = (r_1, r_2)^T$,

$$D_r \mathbf{H}(\mathbf{r}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial H_1}{\partial r_1}(r_1, r_2) & \frac{\partial H_1}{\partial r_2}(r_1, r_2) \\ \frac{\partial H_2}{\partial r_1}(r_1, r_2) & \frac{\partial H_2}{\partial r_2}(r_1, r_2) \end{pmatrix} \qquad (1.62)$$

est la matrice jacobienne de $\mathbf{H}(\mathbf{r}) = (H_1(\mathbf{r}), H_2(\mathbf{r}))^T$ et

$$\mathcal{F}(\mathbf{r}) = \begin{pmatrix} 2\sqrt{H_1(r_1, r_2)(a_7^2 + a_8^2)} \\ 2\sqrt{H_2(r_1, r_2)(a_9^2 + a_{10}^2)} \end{pmatrix} \mathbf{h}(\mathbf{r}). \qquad (1.63)$$

Dans l'équation ci-dessus, la fonction vectorielle $\mathbf{h}(\mathbf{r})$ est obtenue en remplaçant dans $\mathbf{f}(\mathbf{s}, \mathbf{r})$ les variables $s_1, s_2, \cos \Delta_1, \sin \Delta_1, \cos \Delta_2$ et $\sin \Delta_2$ par leurs expressions en fonction de $r_1$ et $r_2$ (cf. Éqs. (1.55)-(1.57)).
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>**FIGURE 1.8.** Les différentes régions de la variété critique $C_0$ représentées dans le plan $(r_1, r_2)$. Les points rouges où la condition de transversalité (transversality condition) n'est pas respectée sont des points où le champ de vecteur $D_r H^{-1} \mathcal{F}(r)$ est colinéaire à une fold curve. Ceci est discuté en Annexe B.3.5.1. La nature du point orange correspondant à $\text{adj}(D_r H) \mathcal{F}(r) = 0$ est également expliquée en Annexe B.3.5.1. La légende (à droite) de la figure originale en anglais est ici conservée. Une trajectoire arrivant en un point d'une fold curve en trait continu (resp. discontinu) effectue un saut rapide avant d'arriver en un point de l'arrival curve opposée également en trait continu (resp. discontinu).</figcaption></figure>

Les point fixes dit régulier de l'Éq. (1.61) sont solutions de :

$$ \mathcal{F}(r) = 0, \tag{1.64a} $$

$$ \det(D_r H(r)) \neq 0. \tag{1.64b} $$

Le cas où $\mathcal{F}(r) = 0$ et $\det(D_r H(r)) = 0$ est discuté en Annexe B.3.4.

Les ligne de champ de $D_r H^{-1} \mathcal{F}(r)$ sont représentées en Fig. 1.8 par des flèches grises et les points fixes réguliers instables sont représentés par des points bleus. Dans l'exemple de la Fig. 1.8 il n'y a que des points fixes instables. Dans la suite, les potentiels points fixes stables seront représentés par des points magentas.

### 1.2.3.5 Exemples de régimes observés

La correspondance entre les régimes du flot de modulation (1.51) et ceux de la dynamique originale (1.45) est présentée au Tab. 1.1. Pour comparaison, le cas d'un système primaire ne possédant qu'en seul mode instable est aussi présenté. Avant tout analyse, le système primaire est ici linéarisé, c'est la raison pour laquelle une divergence exponentielle est indiquée lorsqu'il n'y a pas d'atténuation.

Comme les pulsations $\lambda_1^I$ et $\lambda_2^I$ sont incommensurables, contrairement au cas à un seul mode instable étudié précédemment, les points fixes du flot de modulation (1.51) caractérisent des solutions périodiques (si l'une de ses composante est nulle) mais aussi quasi-périodiques de la dynamique originale de (1.45). Il est aussi possible d'avoir des oscillations de relaxation du flot de modulation qui correspondent à des SMR pour la dynamique originale. Contrairement au cas d'un seul mode instable pour lequel un seul scénario est possible, dans le cas de deux modes instables il y a plusieurs scénarios possibles et davantage complexes. Dans le cas d'un seul mode instable, parce que le sous-système lent se réduit à un système unidimensionnel, seules des solutions d'équilibre peuvent exister à l'échelle de temps lente. Dans le cas de deux modes instables, le sous-système lent se réduit à un
système de dimension 2 et des cycles limites peuvent donc être observés à l'échelle de temps lente. Si c'est le cas, cela produit un régime atténué quasi-périodique pour le système la dynamique originale

<table><caption>**TABLEAU 1.1.** Correspondance entre les régimes du flot de modulation et ceux de la dynamique originale dans le cas d'un et de deux modes instables.</caption><thead><tr><th>Flot de modulation</th><th>Dynamique originale si un mode instable</th><th>Dynamique originale si deux modes instables</th></tr></thead><tbody><tr><td>Le point fixe trivial est atteint</td><td>Stabilisation</td><td>Stabilisation</td></tr><tr><td>Un point fixe non trivial est atteint</td><td>Régime périodique</td><td>Régime (quasi-)periodique</td></tr><tr><td>Oscillations de relaxation</td><td>SMR (un seul scénario possible)</td><td>SMR (plusieurs scénarios possibles et plus complexes)</td></tr><tr><td>Divergence exponentielle</td><td>Pas d'attenuation</td><td>Pas d'attenuation</td></tr><tr><td>Solutions périodiques à l'échelle de temps lente</td><td>Pas possible</td><td>Régime quasi-périodique</td></tr></tbody></table>

Un autre élément important dans le cas de deux modes instables, est qu'en général de la multistabilité est observée, c.-à-d. la coexistence de plusieurs solutions stables pour un même jeu de paramètre. Ceci est illustré par les Figs. 1.9 et 1.10 où l'on voit des trajectoires du flot de modulation obtenues par l'intégration numérique de l'Éq. (1.51). Ces deux figures montrent respectivement deux régimes d'oscillations de relaxations différents obtenus pour un même jeu de paramètre du modèle avec des conditions initiales différentes. En Fig. 1.9 la condition initiale est sur la variété critique avec $(r_1(0), r_2(0)) = (0.05, 0.05)$. Dans ce cas, un premier scénario d'oscillations de relaxation est observé conduisant à l'extinction de la deuxième composante fréquentielle, c.-à-d. à $r_2 = 0$ (voir Fig. 1.9(a)). Dans le plan $(r_1, r_2)$, nous observons à nouveau les oscillations de relaxation. En effet, à partir de la condition (point bleu), après un phase lente, la trajectoire atteint une première fois la *fold curve* puis effectue un saut (phase rapide) vers la courbe d'arrivée. Une autre phase lente est observée jusqu'à la *fold curve* opposée; et ainsi de suite jusqu'à la suppression complète de la deuxième composante fréquentielle.

En Fig. 1.10 la condition initiale est également sur la variété critique mais avec $(r_1(0), r_2(0)) = (0.05, 0.15)$. Nous observons un deuxième scénario d'oscillations dans lequel deux composantes fréquentielles persistent. En Fig. 1.10(a), nous voyons que les trajectoires de chaque composante alternent des phases de grandes et petites amplitudes (quand une composante a une grande amplitude celle de l'autre est petite). Nous observons sur le plan $(r_1, r_2)$ qu'en régime établi (en noir), le cycle d'oscillations de relaxation s'effectue par rapport à deux régions *saddle-type* de la variété critique. De plus, des oscillations à l'échelle de temps rapide sont observées. Ce phénomène, appelé *bursting oscillations* [40], se produit lorsque le point d'arrivée se trouve dans $C_{0,r}^{st,4}$ et donc correspond à un point fixe instable du sous-système rapide qui possède par contre une solution périodique stable.

Davantage de scénarios, ainsi que la comparaison entre comportement du flot de modulation et celui de la dynamique originale est effectuée en Annexe B.4.

### 1.2.3.6 Discussion

Le fait que la variété critique soit de dimension 2 (i) entraîne une explosion du nombre de comportements possibles du flot de modulation (et donc du système mécanique initial) et (ii) empêche d'obtenir simplement la prédiction théorique de ces derniers. En effet, beaucoup de cas de stabilité multiples sont observés ce qui nécessite une analyse de stabilité globale pour connaitre les régimes effectivement atteints par le système à partir d'une condition initiale. L'infinité de trajectoires possibles sur une variété à deux dimensions ne permet pas de connaitre ces trajectoires (comme c'était le cas dans les exemples précédents) sans passer par des intégrations temporelles numérique où une analyse plus poussée du flot de modulations. Sur ce dernier point, on observe par exemple dans les
<figure><img src="image_15.png" /></figure>

**FIGURE 1.9.** (a) Trajectoires temporelles du flot de modulation obtenues par l'intégration numérique de l'Éq. (1.51) avec une condition sur la variété critique et ($r_1(0)$, $r_2(0)$) = (0.05, 0.05). En haut : $s_1(t)$ et $r_1(t)$ correspondant à la première composante fréquentielle. En bas : $s_2(t)$ et $r_2(t)$ correspondant à la seconde composante fréquentielle. (b) Même simulation représentée dans le plan ($r_1, r_2$) et superposée à la représentation de la variété critique similaire à celle de la Fig. 1.8. Le point bleu clair correspond à la condition initiale.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

**FIGURE 1.10.** Comme en Fig. 1.9 mais avec ($r_1(0)$, $r_2(0)$) = (0.05, 0.15). Le phénomène de bursting oscillations (c.-à-d. solution oscillante de la dynamique rapide (1.52)) est observable.

situations illustrées en Sections B.4.1 et B.4.2 que la variété stable du point fixe instable<fnref n="3" /> en bas à gauche des Fig. B.4 et B.5. Ce genre de raisonnement semble plus compliqué à tenir quand il s'agit

<footnote n="3">3. Dans un système dynamique de dimension 2, une variété stable d'un point fixe instable correspond à une trajectoire arrivant sur le point fixe de façon tangente à une direction propre correspondant à une valeur propre à partie réelle négative, dite direction stable du point fixe instable.</footnote>
de multistabilité impliquant deux cycles stables d'oscillations de relaxation.

L'analyse du flot de modulation dans le cadre de l'approche géométrique des perturbations sin-
gulières (qui peut s'avérer assez technique) proposée dans cette section permet la compréhension et
la description fine des nombreux régimes observés à l'aide de simulations numériques du modèle.

En plus de l'article précédemment cité, ces travaux ont fait l'objet de communications dans
des congrès internationaux [ci6, ci8].

1.2.4 Cas d'un système mécanique auto-entretenu connecté à un NES bistable

Cette section résume les résultats principaux de [a13] reproduis en Annexe C. Le comportement
d'un système auto-oscillant couplé à un NES bistable y est étudié.

1.2.4.1 Équations du modèle

Un NES bistable (ou BNES) est un NES avec une raideur cubique tel que considéré dans les sections précédentes auquel un élément de raideur linéaire négative est ajouté. Encore une fois le système primaire considéré est l'oscillateur de VdP (1.3). En notant le paramètre de bifurcation σ à la place de ρ et −β (avec β > 0) la raideur linéaire négative, les équations du mouvement adimensionnées du système s'écrivent :

$$
\ddot{x} - \epsilon\sigma\dot{x} + \epsilon\lambda\dot{x}^2 + x + \epsilon\mu(\dot{x} - \dot{y}) - \epsilon\beta(x - y) + \epsilon\alpha(x - y)^3 = 0 \quad (1.65a)
$$

$$
\epsilon\ddot{y} + \epsilon\mu(\dot{y} - \dot{x}) - \epsilon\beta(y - x) + \epsilon\alpha(y - x)^3 = 0 \quad (1.65b)
$$

Les solutions d'équilibre de l'Éq. (E.3) sont la solution triviale :

$$
p_0^{\text{st}} = (x_0^{\text{st}}, y_0^{\text{st}}) = (0, 0) \tag{1.66}
$$

qui est instable et les deux solutions non triviales suivantes

$$
p_1^{\text{st}} = (x_1^{\text{st}}, y_1^{\text{st}}) = \left(0, \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\right) \quad \text{and} \quad p_2^{\text{st}} = (x_2^{\text{st}}, y_2^{\text{st}}) = \left(0, -\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\right). \qquad (1.67)
$$

qui sont stables s'il n'y a pas d'oscillations auto-entretenues. Pour un NES cubique classique, c.-à-d.
$\beta = 0$, la seule position d'équilibre est $p_0^{\text{st}}$ est stable s'il n'y a pas d'oscillations auto-entretenues.

1.2.4.2 Comparaison entre NES et BNES en terme de limite d'atténuation

Les spécificités du BNES par rapport au NES sont d'abord présentées en Fig. 1.11 dans laquelle,
en fonction de σ, les amplitudes maximales en régime permanent de l'oscillateur VdP seul A<sub>x</sub><sup>wo</sup>,
couplé à un NES A<sub>x</sub><sup>wNES</sup> et à un BNES A<sub>x</sub><sup>wBNES</sup> sont comparées. Ces amplitudes sont obtenues à
partir de simulations numériques (voir les détails en Annexe C.2.2). L'amplitude théorique du VdP
seul (voir l'Éq. (C.6)) est également représentée. Nous pouvons tout d'abord constater que la limite
d'atténuation du BNES (σ<sub>ml</sub> ≈ 6.35) est plus grande que celle du NES (σ<sub>ml</sub>σ<sub>ml</sub> ≈ 2). De plus, dans
les cas inoffensifs - solution périodique (PR pour periodic regime) ou SMR (la différence entre ces
deux régimes n'est pas visible sur la figure) : de σ ≈ 0.4 à σ ≈ 3 pour le NES et de σ ≈ 1.75 à
σ ≈ 7.86 pour le BNES - l'amplitude maximale A<sub>x</sub><sup>wBNES</sup> est presque 10 fois plus petite que A<sub>x</sub><sup>wNES</sup>.
Cette dernière observation est bien sûr intéressante du point de vue de l'atténuation des vibrations,
mais nous verrons dans ce qui suit que cela peut avoir un impact négatif sur la robustesse du BNES.

La Fig. 1.12 représente la limite d'atténuation σ<sub>ml</sub> en fonction de β et μ dans le cas d'un NES
et d'un BNES pour différentes conditions initiales. Ces dernières sont respectivement (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) =
p<sub>0</sub><sup>st</sup> + (per, per) pour le NES et (x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) = p<sub>1</sub><sup>st</sup> + (per, per) pour le BNES. La valeur du paramètre de
perturbation est respectivement per = 0.001, 0.01 et 01 dans les figures C.3(a) à C.3(c). La limite
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>**FIGURE 1.11.** Amplitudes maximales en régime permanent de l'oscillateur VdP seul $A_x^{wo}$ (en vert), couplé à un NES $A_x^{wNES}$ (en rouge) et à un BNES $A_x^{wBNES}$ (en bleu) en fonction du paramètre de bifurcation $\sigma$. L'amplitude théorique du VdP seul (voir l'Éq. (C.6)) est également représentée.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>**FIGURE 1.12.** Limite d'atténuation $\sigma_{ml}$, en fonction de $\beta$ et $\mu$, d'un NES (surface bleue) et d'un BNES (surface orange). Les conditions initiales sont $(x_0, y_0) = p_0^{st} + (per, per)$ pour le NES et $(x_0, y_0) = p_1^{st} + (per, per)$ pour le BNES, respectivement. Le paramètre de perturbation est $per = 0.001, 0.01$ et $0.1$ dans (a) à (c), respectivement.</figcaption></figure>

d'atténuation $\sigma_{ml}$ est calculée en localisant les sauts sur les profils d'amplitude tels que ceux montrés dans la Fig. 1.11 dans laquelle les résultats ont été obtenus de la même manière avec $per = 0.001$. La limite d'atténuation du NES (en bleu en Fig. C.3) n'est pas affectée par le changement des conditions initiales et, bien sûr, ne dépend pas de $\beta$. Au contraire, la limite d'atténuation du BNES (en orange en Fig. C.3) est fortement affectée par le changement des conditions initiales. En effet, un maximum très élevé est présent lorsque $per$ est petit. Ce maximum diminue jusqu'à disparaître lorsque $per$ augmente. Cela montre que le BNES peut être très efficace mais que cela n'est pas robuste puisqu'une petite perturbation peut faire basculer le système d'une situation inoffensive à une situation dangereuse. Cependant, même dans le cas de $per = 0.1$ (voir la Fig. C.3(c)), il est possible de trouver un jeu de paramètres pour lequel le BNES est plus performant que le NES.

### 1.2.4.3 Identification des régimes de fonctionnement

Les résultats globaux de la Fig 1.12, en terme de limite d'atténuation, ne mettent pas en évidence le comportement dynamique complexe du VdP couplé au BNES. Comme dans le cas d'un NES classique,
lorsque $\sigma > \sigma_{ml}$ le système (E.3) subit un régime dans lequel le VdP oscille périodiquement avec une amplitude proche de celle qu'il aurait s'il était seul. Cependant, lorsque $\sigma < \sigma_{ml}$ une multitude de régimes inoffensifs peut être observée, alors qu'il n'existe que trois réponses dans le cas d'un NES. La figure C.4 (non reproduite dans le corps du texte dans un souci de synthèse) présente sept de ces régimes. La figure montre la série temporelle $y(t)$ obtenue à partir de l'intégration numérique de l'Éq. (1.88), seuls les régimes permanents éant représentés. Les positions d'équilibre $y_1^{st}$ et $y_2^{st}$ (voir Eq. (1.67)) sont également représentés. Les conditions initiales sont les mêmes que celles utilisées en Fig. 1.12(a), c.-à-d. avec per = 0.001. De la Fig. C.4(a) à la Fig. C.4(g) les régimes suivants sont identifiés :

* **Fig. C.4(a).** La stabilisation de $p_2^{st}$.

* **Fig. C.4(b).** Un PR centré en $y = 0$ (PR1).

* **Fig. C.4(c).** Un SMR centré $y = 0$ (SMR1).

* **Fig. C.4(d).** Un PR centré en $y = y_1^{st}$ (PR2).

* **Fig. C.4(e).** Un SMR centré en $y = y_1^{st}$) (SMR2), représentée en Fig. 1.13(a);

* **Fig. C.4(f).** Un régime chaotique intermittent de type 1 (CR1) représentée en Fig. 1.13(b) et correspondant à une succession d'oscillations non chaotiques centrées sur $y = 0$, d'oscillations chaotiques puis d'oscillations non chaotique centrées sur $y = y_1^{st}$ ou $y = y_2^{st}$. Un zoom de la Fig. C.4(f) est présenté en Fig. 1.14(a). On y voit d'abord des oscillations non chaotiques autour de $y = y_2^{st}$, puis un mouvement chaotique suivi d'oscillations non chaotiques autour de zéro et à nouveau des oscillations non chaotiques autour de $y = y_2^{st}$. Concernant ces oscillations autour de $y = y_2^{st}$, on observe d'abord des oscillations modulées en amplitude qui diminuent brusquement jusqu'à devenir presque nulles ; on voit ensuite des oscillations qui croissent exponentiellement puis le mouvement redevient chaotique. La phase dans laquelle les oscillations autour de $y = y_2^{st}$ (ou $y = y_1^{st}$) sont modulées en amplitude n'apparaît que rarement.

* **Fig. C.4(g).** Un régime chaotique intermittent de type 2 (CR2) correspondant à une succession de phases d'oscillations non chaotiques centrées sur $y = 0$ et d'oscillations chaotiques. Ce scénario apparaît plus clairement en Fig. C.5(b) qui montre un zoom de la Fig. C.4(g).

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>**FIGURE 1.13.** Série temporelle $y(t)$ (ligne bleue) obtenues à partir de la simulation numérique de l'Éq. (E.3), seuls les régimes permanents sont représentés. Positions d'équilibre $y_1^{st}$ (ligne pointillée verte) et $y_2^{st}$ (ligne pointillée rouge). Nous avons : (a) un SMR centré sur $y = y_2^{st}$ (SMR2) et (b) un régime chaotique intermittent de type 1 (CR1), c.-à-d. une succession d'oscillations non chaotiques centrées sur $y = 0$, d'oscillations chaotiques puis d'oscillations non chaotique centrées sur $y = y_1^{st}$ ou $y = y_2^{st}$. Les paramètres utilisés sont $\lambda = 0.5$, $\alpha = 2$ et ceux donnés dans le Tab. C.1. Les conditions initiales sont les mêmes qu'en Fig. C.3(a), c.-à-d. per = 0.001.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 1.14. Zooms de : (a) Figs. C.4(f) and (b) C.4(g).</figcaption></figure>

Concernant les régimes des Fig. C.4(d) et (e), les oscillations non chaotiques observées sont centrés sur $y_1^{st}$ mais des régimes similaires centrés sur $y_2^{st}$ peuvent également être observés, cela des dépend des conditions initiales choisies. Enfin, les régimes (a) à (c) sont également observés avec un NES cubique classique (bien sûr dans ce cas la stabilisation concerne la solution triviale $y_0^{st}$) alors que les régimes (d) à (g) sont spécifiques au BNES.

Le maximum de $\sigma_{ml}$ observé en Fig. C.3(a) correspond à une stabilisation de l'équilibre $y = y_1^{st}$ (ou $y = y_2^{st}$). Les régimes observés juste avant de grandes valeurs de $\sigma_{ml}$ sont les SMR2 ou plus rarement les PR2 (pour des valeurs encore plus faibles du paramètre de perturbation *per*, ces deux peuvent correspondre aux valeurs les plus élevées de $\sigma_{ml}$). Les SMR2 correspondent aux situations les plus efficaces dans les cas des Figs. C.3(b) et C.3(c).

#### 1.2.4.4 Calcul du flot de modulation et de sa variété critique

Dans la littérature, la CAM (ou MSHBM) est utilisée pour calculer le flot de modulation d'un système impliquant un BNES dans le cadre l'atténuation d'oscillations libres, forcées et plus récemment d'oscillation auto-entretenues [70] (davantage de références sont fournies en Annexe C.1). Cependant, dans ces études, la CAM (ou MSHBM) est utilisée de la même manière que si un NES classique était considéré, c.-à-d. en supposant que le mouvement du BNES est centré sur $y = 0$. Cela oublie donc une caractéristique essentielle du mouvement d'un système dynamique bistable, à savoir qu'il peut être de moyenne non nulle. L'analyse qui en résulte ne peut donc expliquer que partiellement le comportement dynamique du système. Dans [a13] et dans l'Annexe C le flot de modulation est désigné par l'acronyme AMPD pour *amplitude-phase modulation dynamics*.

Nous proposons ici une méthodologie, basée sur la MSHB que nous avons adaptée pour prendre en compte un mouvement de moyenne non nulle. Pour résumer, la MSHBM se base elle même sur la méthode des échelles de temps multiples (MS pour *multiple scales*) introduite par Nayfeh (voir par exemple [143]). Cette méthode permet de trouver des solutions analytiques approchées d'oscillateurs faiblement non linéaires en supposant que les variables du modèle, notées $u_n$ ($n = 1, ..., N$ avec $N$ le nombre de ddl du modèle) ici pour l'exemple, dépendent de plusieurs variables de temps $T_n = \epsilon^n t$ (avec $t$ le temps physique et $\epsilon$ un paramètre sans dimension du modèle tel que $0 < \epsilon \ll 1$). Comme $0 < \epsilon \ll 1$ les variables $T_n$ représentent différentes échelles de temps : $T_0$ l'échelle de temps rapide, $T_1$ l'échelle de temps lente, $T_2$ une échelle de temps encore plus lente, etc. Les variables sont ensuite développées en séries entières de $\epsilon$ telles que $u_i = \sum_k \epsilon^k u_{i,k}$. Ces séries sont introduites dans les équations du mouvement puis les termes en puissance de $\epsilon$ sont équilibrés. Il faut ensuite résoudre à chaque ordre des équations différentielles permettant de calculer successivement les termes $u_{i,k}$ ($k = 0, ..., K$ où $K$ est l'ordre maximal considéré). En supposant justement des systèmes faiblement
non linéaires, la méthode est en général mise en œuvre pour qu’à chaque ordre les équations à résoudre soient linéaires. Dans le cas d’un NES (ou d’un BNES), cela n’est pas possible car ce dernier est fortement non linéaire. Lorsqu’une équation est non linéaire, la MSHBM approche sa solution par la méthode de l’équilibrage harmonique (HBM pour harmonic balance method). Cela consiste à développer les termes $u_{i,k}$ en séries de Fourier dans lesquelles les coefficients ne sont pas constants (contrairement à la HBM classique) mais lentement variables. Classiquement dans la littérature, ces séries de Fourier sont tronquées à l’ordre 1 sans termes d’ordre 0 (c.-à-d. la moyenne). La méthode proposée ici consiste donc à rajouter ces termes d’ordre 0.

Cette approche est utilisée en Annexe C.3 pour calculer le flot de modulation de l’Éq. (1.88), écrite au préalable avec les variables $u = x + \epsilon y$ et $v = x - y$. Seule la variable $v$ est supposée pouvoir être de moyenne non nulle. Dans sa forme réelle, le flot de modulation prend la forme suivante :

$$ \dot{a} = \epsilon f(a, c, \delta) \qquad (1.68a) $$

$$ \dot{b} = g_1(b, c, \epsilon) \qquad (1.68b) $$

$$ \dot{c} = g_2(a, b, c, \delta) \qquad (1.68c) $$

$$ \dot{\delta} = g_3(a, b, c, \delta, \epsilon) \qquad (1.68d) $$

où $a$ est l'amplitude des oscillations de la variable $u$ (similaire à la variable $r$ de l'Éq. (1.7)), $b$ représente la partie non oscillante de $v$ et $c$ l'amplitudes de ses oscillations (similaire à la variable $s$ de l'Éq. (1.7)) et $\delta$ est la différence de phase entre $u$ et la partie oscillante de $v$ (similaire à la variable $\Delta$ de l'Éq. (1.7)). La variable $a$ est la variable lente et $b, d$ et $\delta$ étant les variables rapides du flot de modulation. Par rapport aux cas du NES où le flot de modulation (1.7) est (2,1)-rapide-lent, l'Éq. (1.68) est ici (3,1)-rapide-lent du fait de la prise en compte du possible déplacement de la moyenne de la variable $v$ et donc de l'ajout de la variable $b$.

Les sous-systèmes rapide et lent associés à (1.68) s’écrit respectivement :

$$ \dot{a} = 0 \qquad (1.69a) $$

$$ \dot{b} = g_1(a, b, c, \delta, 0) \qquad (1.69b) $$

$$ \dot{c} = g_2(a, b, c, \delta) \qquad (1.69c) $$

$$ \dot{\delta} = g_3(a, b, c, \delta, 0). \qquad (1.69d) $$

et

$$ a' = f(a, c, \delta) \qquad (1.70a) $$

$$ 0 = g_1(a, b, c, \delta, 0) \qquad (1.70b) $$

$$ 0 = g_2(a, b, c, \delta) \qquad (1.70c) $$

$$ 0 = g_3(a, b, c, \delta, 0) \qquad (1.70d) $$

où comme précédemment $(.)' = \frac{d(.)}{d\tau}$ avec $\tau = \epsilon t$.

En Annexe C.4 nous montrons que la variété critique $M_0$ de (1.68) s’écrit sous la forme $M_0 = M_{01} \cup M_{02}$ avec :

$$ M_{01} = \{ (a, b, c, \delta) \in \mathbb{R}^{+3} \times [-\pi, \pi] \mid a = H_1(c), b = 0, \sin \delta = G_1^s(c), \cos \delta = G_1^c(c) \}, \quad (1.71a) $$

$$ M_{02} = \left\{ (a, b, c, \delta) \in \mathbb{R}^{+2} \times [0, \sqrt{\frac{2\beta}{3\alpha}}] \times [-\pi, \pi] \mid a = H_2(c), b = H_{01}(c), \sin \delta = G_2^s(c), \cos \delta = G_2^c(c) \right\}. \quad (1.71b) $$

Les fonctions intervenant dans (1.71) sont données aux Éqs. (C.38) à (C.42). De plus, notons que les deux branches se croisent lorsque $H_{01}(c) = 0$, c.-à-d. pour $c = c^I$ (voir l'Éq. (C.39)).
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE 1.15. Exemple typique de variété critique. (a) Dans le plan (c, a). Les branches $a = H_1(c)$ ($M_{01}$) et $a = H_2(c)$ ($M_{02}$) sont tracées en rouge et en vert, respectivement. Les points-col ($c_i^{LF}$, $a_i^{LF}$) et ($c_i^{RF}$, $a_i^{RF}$) ($i = 1, 2$) (points bleus), les points ($c_i^U$, $a_i^{LF}$) et ($c_i^D$, $a_i^{RF}$) (points gris) et le point ($c^I$, $a^I$) (avec $a^I = H_1(c^I) = H_2(c^I)$, voir Eq. (C.39)) (point magenta) sont également représentés. Un zoom est effectué pour mieux voir la forme de $M_{02}$. (b) Dans l'espace (b, c, a). (c) Zoom de (b) correspondant à la zone parallélépipédique orange. Les paramètres suivants sont utilisés : $\mu = 0.1$, $\beta = 0.65$ et $\alpha = 2$.</figcaption></figure>

Un exemple typique de variété critique dans le plan (c, a) est montré en Fig. C.6(a). Les points-col ($c_i$LF, $a_i$LF) et ($c_i^{RF}$, $a_i^{RF}$) ($i = 1, 2$), les points ($c_i^U$, $a_i^{LF}$) et ($c_i^D$, $a_i^{RF}$) et le point ($c^I$, $a^I$) sont représentés. De plus, un zoom a été effectué pour mieux voir la forme de $M_{02}$. Le même exemple de variété critique dans l'espace (b, c, a) est représenté en Fig. C.6(b).

L'analyse de stabilité de la variété critique est effectuée en Annexe C.4.2. Elle permet de déterminer les partie attractives et saddle-type des $M_{01}$ et $M_{02}$. Les résultats obtenus sont résumés en Fig. 1.16 dans laquelle la $M_{01}$ se décompose comme suit :

$$M_{01} = M_{01}^{\text{st},1} \cup p^I \cup M_{01}^{\text{a},1} \cup p_1^{\text{LF}} \cup M_{01}^{\text{st},2} \cup p_1^{\text{RF}} \cup M_{01}^{\text{a},2} \quad (1.72)$$

avec $p^I = (a^I, 0, c^I, \delta^I)$ (où $a^I$ and $\delta^I$ sont obtenus à partir de $c^I$ en utilisant les Éqs. (C.41a) et (C.42a). De plus, $b$ est nul par l'Éq. (C.38a)). La branche $M_{02}$ est décomposée de la façon suivante :

$$M_{02} = M_{02}^{\text{a},1} \cup p_2^{\text{LF}} \cup M_{02}^{\text{st},1} \cup p_1^{\text{RF}} \cup M_{01}^{\text{a},2} \cup p^{\text{FP}} \cup M_{02}^{\text{st},2} \cup p^I \quad (1.73)$$

avec $p^{\text{FP}} = (a^{\text{FP}}, b^{\text{FP}}, c^{\text{FP}}, \delta^{\text{FP}})$ (où $a^{\text{FP}}$, $b^{\text{FP}}$ et $\delta^{\text{FP}}$ sont obtenus à partir de $a^I$ par les Éqs. (C.38b), (C.41b) and (C.42b)). Dans les deux expressions précédentes, les exposants « st » et « a » indiquent respectivement les nature saddle-type et attractive de la variété critique.
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>**FIGURE 1.16.** Les différentes parties de la variété critique $M_0$. (a) Dans le plan (c, a). Pour la branche $M_{01}$ (en rouge) on a (voir Éq. (C.52)) de gauche à droite : la première branche saddle-type $M_{01}^{\text{st},1}$, la première branche attractive $M_{01}^{\text{a},1}$, la seconde branche saddle-type $M_{01}^{\text{st},2}$ et la seconde branche attractive $M_{01}^{\text{a},2}$. Ces branches sont respectivement reliées entre elles par le point $p^I$ (point magenta) et les points-col gauche et droit $p_1^{\text{LF}}$ et $p_1^{\text{RF}}$ (points bleus). Concernant la branche $M_{02}$ (en vert), on a (voir Éq. (C.53)) de gauche à droite : la première branche attractive $M_{02}^{\text{a},1}$, la première branche saddle-type $M_{02}^{\text{st},1}$, la deuxième branche attractive $M_{02}^{\text{a},2}$ et la deuxième branche saddle-type $M_{02}^{\text{a},2}$ qui se termine au point $p^I$. Ces branches sont respectivement reliées entre elles par les points-col gauche et droit $p_2^{\text{LF}}$ et $p_2^{\text{RF}}$ (points bleus) et le point $p^\text{FP}$ (point vert). (b) Dans l'espace (b, c, a). (c) Zoom de (b) correspondant à la zone parallélépipédique orange.</figcaption></figure>

**REMARQUE 1.7.** La branche $M_{01}$ (avec $b=0$) va décrire des situations où le mouvement du BNES est centré en $y=0$. La branche $M_{02}$ correspond à des régimes où les BNES oscille autour de l'une de ses positions d'équilibre stables $y_1^\text{st}$ ou $y_2^\text{st}$, ce qui correspond à des valeurs non nulles de $b$.

Cette analyse de stabilité de $M_0$ nous permet déjà de donner une description partielle du comportement du flot de modulation. Dans l'espace des phases, si sa trajectoire n'est pas dans le voisinage de $M_0$, elle évolue rapidement vers une partie attractive de $M_0$. Ces phases rapides sont approximativement décrites par le sous-système rapide (1.69). De la bistabilité est observée car plusieurs points de $M_0$ peuvent être stables pour un jeu donné de paramètres et une valeur donnée de la variable lente $a$ (qui, en raison de (C.31a), est un paramètre du sous-système rapide). Dans ce travail, les bassins d'attraction de chaque branche attractive du collecteur critique ne sont pas rigoureusement étudiés. Les autres types de solutions possibles du sous-système rapide (tels que des solutions périodiques, quasi-périodiques ou même chaotiques) ne sont pas non plus explorés.

Dans le voisinage de $M_0$, la trajectoire du flot de modulation évolue lentement. Ces phases lentes sont approximativement décrites par le sous-système lent (1.70), dont l'analyse est effectuée en
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>**FIGURE 1.17.** Série temporelle $y(t)$ reconstruite à partir de la simulation numérique du flot de modulation (pour cela l'Eq. (C.57) est utilisée). Positions d'équilibre $y_1^{st}$ (ligne pointillée verte) et $y_2^{st}$ (ligne pointillée rouge). En (a) les paramètres utilisés sont les mêmes qu'en Figs. 1.13(a). En (b) la valeur de $\sigma$ a due être diminuée pour retrouver un comportement similaire à celui de la Fig. 1.13(b).</figcaption></figure>

Annexe C.4.3. En linéarisant le VdP autour de la solution d'équilibre triviale, c.-à-d. en linéarisant $f(a, c, \delta)$ dans (1.70a) autour de $a = 0$, cette analyse permet d'obtenir les expressions analytiques approchées des point fixes non triviaux de flot de modulation (cf. Éqs. (C.71) et (C.72)). Comme évoqué après l'Éq. (1.28), la linéarisation du VdP implique que le point fixe de grande amplitude (correspondant à la solution périodique du VdP seul et que l'on souhaite éviter) n'est pas prédit par cette analyse.

### 1.2.4.5 Analyse de la stabilité asymptotique globale du flot de modulation

La connaissance des points fixes du flot de modulation et de leur stabilité, ainsi que la structure (forme et stabilité) de la variété critique permet d'effectuer l'analyse stabilité globale du flot de modulation, toujours de façon asymptotique dans le cas de $\epsilon \to 0$. Cela va nous permettre d'interpréter les observations faites sur la Fig. C.4 et décrites en Section 1.2.4.3. Encore une fois, cette analyse est possible car la variété critique est de dimension 1.

L'interprétation des sept régimes observés en Fig C.4 à partir de l'analyse résumée en Section 1.2.4.4 et détaillée en Annexe C.4 est effectuée en Annexe C.5. Nous ne reprenons ici que les deux exemples de la Fig. 1.13.

D'abord, en Fig. 1.17 la série temporelle $y(t)$ est reconstruite à partir de la simulation numérique du flot de modulation (1.68). Pour cela l'Éq. (C.57) qui exprime $y(t)$ en fonctions des variables du flot de modulation est utilisée. Les Figs. 1.17(a) et 1.17(b) montrent respectivement un SMR2 et un CR1. La comparaison avec la Fig. 1.13 montre que le flot de modulation permet de reproduite le comportement du système original (1.88). À noter qu'en Fig. 1.17(b), pour le CR1, la valeur du paramètre de bifurcation $\sigma$ a due être diminuée pour retrouver un comportement similaire à celui de la Fig. 1.13(b).

Ensuite, en Fig. 1.18, la trajectoire du flot de modulation dans le plans $(c, a)$ est superposé à la variété critique. La structure de la variété critique y est représentée de la même manière qu'aux Figs. 1.15 et 1.16.

* **Fig. 1.18(a).** Un scénario d'oscillations de relaxation par rapport à $M_{02}$ est observé (similaire à celui observé sur $M_0$ dans le cas d'un NES classique en Fig. 1.5(g)) en accord avec le SMR2 observé en Fig. 1.13(a). Tant que la condition initiale fait que la trajectoire du flot de modulation arrive sur $M_{02}^{a,2}$ en dessous du point fixe instable non trivial (point orange le plus à droite dans le zoom de la Fig. 1.18(a)), ces oscillations de relaxation se produiront.

* **Fig. 1.18(b).** Pour des raisons de lisibilité de la figure, seul le régime permanent est représenté. Ce scénario est également illustré en Fig. 1.19 où la trajectoire du flot de modulation est
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>**FIGURE 1.18.** Trajectoires du flot de modulation dans le plan (c, a) (obtenues à partir des mêmes simulations qu'en Fig. 1.17) superposées à la variété critique définie par l'Éq. (C.41). La structure de la variété critique est représentée de la même manière que dans les Figs. 1.15 et 1.16. Les points fixes du flot de modulation obtenus en Section C.4.3, c.-à-d. les points fixes triviaux (0, 0) et non triviaux $(c_{1,i}^*, H_1(c_{1,i}^*))$ (en noir) et $(c_{2,i}^*, H_2(c_{2,i}^*))$ (en orange) avec $i = 1, 2$ et $c_{1,i}^*$ et $c_{2,i}^*$ donnés par les Éqs. (C.71) et (C.72), respectivement. Ces points fixes sont représentés par ⋆ lorsqu'ils sont stables et par ● lorsqu'ils sont instables.</figcaption></figure>

représentée dans l'espace (b, c, a). Pour ce scénario, lorsque nous parlons d'un régime d'équilibre (resp. périodique) pendant une phase lente du flot de modulation, cela signifie que pour l'ensemble des paramètres et la valeur de a considérés, le sous-système rapide a une solution d'équilibre (resp. périodique) stable. La trajectoire du flot de modulation longe donc une variété invariante qui suit une famille de solutions d'équilibre (resp. périodiques) et qui est paramétrée par la variable lente a. Pour la dynamique « complète » (notée FOD dans la suite pour full order dynamics), c.-à-d. qui inclut les oscillations à la fréquence naturelle du VdP, cela correspond à des variétés invariantes qui suivent des familles de solutions périodiques (resp. quasi-périodiques). Les phases successives du mouvement sont décrites en Fig. 1.20 où FE signifie fast epoch (phase rapide) et SR slow epoch (phase lente). Pendant un cycle complet, la trajectoire du flot de modulation (certain mots en anglais sont conservé pour être en accord avec la figure) :

- (SE1) longe $M_{02}^{a,1}$ (flot de modulation, equilibrium 1; FOD, periodic 1);

- (FE2) effectue un saut rapide partant de $(c_2^{LF}, a_2^{LF})$ et la branche attractive gauche de $M_{02}$ est saddle-type (i.e., $M_{02}^{st,2}$);

- (SE2) est périodique (quasi-périodique pour la FOD), justement parce que $M_{02}$ est saddle-type, puis chaotique;

- (FE3) effectue un saut rapide jusqu'à $M_{01}^{a,2}$;

- (SE3) longe $M_{01}^{a,2}$ (flot de modulation, equilibrium 2; FOD, periodic 2);

- (FE1') effectue finalement un saut rapide de $(c_1^{RF}, a_1^{RF})$ à $M_{02}^{a,1}$ et ainsi de suite.

À chaque cycle, il est possible d'atteindre l'une ou l'autre des branches opposées de $M_{02}$. En ce qui concerne le début des phases chaotiques, nous ne savons pas s'il s'agit réellement d'un mouvement chaotique du sous-système rapide ou d'une solution quasi-périodique. Ce scénario pour le flot de modulation est en accord avec ce que nous avons observé en Fig. 1.14(a) à la différence que les phases Periodic 1 et Quasiperiodic 1 semblent être inversées.

Dans chacune des situations précédentes, on constate que s'il y a un passage de l'orbite du flot de modulation sur $M_{01}$, c'est le plus grand point fixe instable (• sur $M_{01}^{a,2}$) qui empêche le système de
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>**FIGURE 1.19.** Même simulation numérique qu'en Fig. 1.18(b) mais représentée ici dans l'espace (b, c, a) et également superposée à la variété critique $M_{01}$ (attractive : ligne continue rouge; *saddle-type* : ligne pointillée rouge) et $M_{02}$ (attractive : ligne continue verte; *saddle-type* : ligne pointillée verte). Seuls les points fixes instables du flot de modulation sur $M_{01}$ sont représentés (• noirs). Les acronymes suivants sont utilisés : FOD pour full order dynamics, FE pour fast epoch et SE pour slow epoch (voir aussi la Fig. 1.20).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>**FIGURE 1.20.** Même simulation numérique qu'en Fig. 1.17(b). De haut en bas : séries temporelles $b(t)$ (gris), $(c)$ (gris) et $y(t)$ (bleu). Les positions d'équilibre $y_1^{st}$ (ligne pointillée verte) et $y_2^{st}$ (ligne pointillée rouge) sont représentées en haut et en bas. Les acronymes suivants sont utilisés : FOD pour full order dynamics, FE pour fast epoch et SE pour slow epoch.</figcaption></figure>
basculer dans une situation dangereuse. En effet, si l'orbite se retrouve sur $M_{01}^{a,2}$ au-dessus de ce point fixe, elle va longer $M_{01}^{a,2}$ jusqu'à l'infini lorsque le VdP linéarisé est considérée (voir Section C.4.3). Si l'on considère le VdP non linéarisé, la trajectoire atteint alors un point fixe stable correspondant à une grande amplitude d'oscillation pour le VdP, similaire à celle qu'il aurait s'il n'était pas connecté au BNES (cela correspond donc à une situation dangereuse).

Bien entendu, l'analyse de stabilité globale présentée ici n'est que partielle. Dans le futur, il sera nécessaire de rechercher rigoureusement les solutions du sous-système rapide, ainsi que leur stabilité. Il sera alors nécessaire de calculer les variétés invariantes qui suivent ces solutions. Cette présente étude permet cependant d'interpréter un certain nombre de régimes observés sur les simulations numériques originale.

## 1.2.5 Prédiction de la limite d'atténuation tenant compte de la valeur du paramètre de perturbation

Cette section synthétise les résultats de [a2] (reproduit en Annexe D) et de [cn1]. Dans le premier la structure primaire est un système mécanique ne possédant qu'un seul mode instable identique à celui présenté en Section 1.2.2. Dans le second, et comme dans cette présente section, le système primaire est l'oscillateur de VdP (1.3).

### 1.2.5.1 Contexte et problématique

L'analyse asymptotique décrite notamment en Section 1.2.1.3 peut être qualifiée d'analyse à l'ordre zéro. Le comportement du flot de modulation y est en effet approché par ceux des sous-systèmes lent et rapide obtenus en posant $\epsilon = 0$. Par conséquent, les résultats qui en découlent sont indépendants de la valeur de $\epsilon$ et se déprécent pour les plus « grandes » valeurs de ce dernier ce qui diminue leur pouvoir prédictif. Ceci est illustré en Fig. 1.21. En Fig. 1.21(a) la trajectoire du flot de modulation dans le plan $(s, r)$ obtenue par la simulation numérique de l'Éq. (1.9) pour des paramètres identiques à ceux utilisés en Section 1.2 et $\epsilon = 0.15$. Dans le cadre de l'analyse à l'ordre zéro, le point d'arrivée sur la partie attractive droite de la variété critique est supposé être $p^U = (s^{CG}, r^U = r^{CG})$. On observe en Fig. 1.21(a) que l'ordonnée de point d'arrivée est fortement sous-estimée par l'analyse à l'ordre 0. Ceci à pour conséquence la sur-estimation de la limite d'atténuation telle que prédite par l'Éq. (1.2.1.3) et tracée en orange en Fig. 1.21(b) et comparée à la limite d'atténuation calculée à partir de simulations numériques temporelles de la dynamique originale (1.3) (points rouges).

### 1.2.5.2 Loi d'échelle de la dynamique moyennée au voisinage du point-col gauche de la variété critique

La théorie de Fenichel [62] garantit la persistance des oscillations de relaxation, décrites à la fin de la Section D.3.2, pour $0 < \epsilon \ll 1$ en prouvant que l'Éq. (1.94) a une variété invariante $M_\epsilon$ au voisinage $O(\epsilon)$ de $M_0$ et possédant les mêmes propriétés de stabilité que $M_0$ vis-à-vis des variables rapides. Dans ce cas, concernant le premier saut décrit précédemment, le point de saut à partir duquel la trajectoire quitte la branche attractive de $M_\epsilon$ n'est plus le point-col $(s^{CG}, r^{CG})$. Le point d'arrivée sur lequel la trajectoire de la dynamique arrive après le saut n'est plus $(s^U, r^{CG})$. L'objectif de ce travail est de déterminer ces points de saut et d'arrivée afin d'obtenir une prédiction analytique de la limite d'atténuation qui, contrairement à (D.36), prenne en compte la valeur de $\epsilon$. Pour cela, il faut tout d'abord déterminer la loi d'échelle de la dynamique lente au voisinage du point-col $(s^{CG}, r^{CG})$, c.-à-d. une loi qui décrit la dépendance $\epsilon$ de la distance entre $M_0$ et la trajectoire réelle. Les points de saut et d'arrivée sont alors déduits de cette loi d'échelle. La littérature sur les systèmes dynamiques montre que dans le cas d'une bifurcation col-nœud dynamique cette loi d'échelle est non triviale impliquant des exposants fractionnaires 1/3 et 2/3 de $\epsilon$ (voir par exemple [22]). Les paramètres utilisés pour obtenir les illustrations de cette section sont : $\lambda = 1$, $\rho = 1.8$, $\mu = 0.4$ et $\alpha = 2$
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 1.21. (a) Trajectoire du flot de modulation dans le plan (s, r) obtenue par la simulation numérique l'Éq. (1.9) pour des paramètres identiques à ceux utilisés en Section 1.2 et $\epsilon = 0.15$ et superposée à la variété critique $M_0$ (en noir). (b) Limite d'atténuation telle que prédite par l'Éq. (1.2.1.3) (linge orange) et comparée à la limite d'atténuation calculée à partir de simulations numériques temporelles de la dynamique originale (1.3) (points rouges).</figcaption></figure>

**Réduction à la variété centrale.** Dans cette section, le théorème de la variété centrale (voir par exemple [22, 88]) est utilisé pour réduire la dynamique lente (1.9), au voisinage du point-col ($r^{CG}$, $s^{CG}$, $\Delta^{CG}$), à la forme normale d'une bifurcation col-nœud dynamique.

Dans un premier temps on pose $\epsilon = 0$ dans les membres de droite des Éqs. (1.9b) et (1.9c), ce qui donne :

$$r' = f(r, s, \Delta) \qquad (1.74a)$$

$$\epsilon s' = g_1(r, s, \Delta, 0) = g_1(r, s, \Delta), \qquad (1.74b)$$

$$\epsilon \Delta' = g_2(r, s, \Delta, 0) = g_2(r, s, \Delta). \qquad (1.74c)$$

Le but est de réduire la dimension de la dynamique lente par rapport aux variables rapides $s$ et $\Delta$, c'est-à-dire d'obtenir un système équivalent qui ne dépend que d'une seule variable. Pour y parvenir, la matrice jacobienne $\mathbf{J}_g$ de (1.74b-1.74c), évaluée au point-col ($r^{CG}$, $s^{CG}$, $\Delta^{CG}$), est donnée par (C.47). Cette dernière a deux valeurs propres réelles $\lambda_a = 0$ et $\lambda_b = -\mu$.

Pour continuer il faut obtenir des non-linéarités polynomiales. En effet, la réduction à la variété centrale nécessite d'isoler les termes linéaires. Un développement limité des fonctions $g_1$ et $g_2$ est donc effectué, jusqu'à l'ordre 2 pour les variables $s$ et $\Delta$ et jusqu'à l'ordre 1 pour la variable $r$. En notant $\mathbf{t} = (s, \Delta)^T$ et $\mathbf{t}^{CG} = (s^{CG}, \Delta^{CG})^T$, les Éqs. (1.74b) et (1.74c) peuvent s'écrire sous la forme matricielle suivante :

$$\epsilon \mathbf{t}' = (\mathbf{t} - \mathbf{t}^{CG}) \mathbf{J}_g(r^{CG}, \mathbf{t}^{CG}) + \tilde{\mathbf{G}} (r - r^{CG}, \mathbf{t} - \mathbf{t}^{CG}) \qquad (1.75)$$

avec $\tilde{\mathbf{G}} = (\tilde{G}_1, \tilde{G}_2)^T$ où les fonctions $\tilde{G}_1$ et $\tilde{G}_2$ contiennent des termes quadratiques en ($s - s^{CG}$) et ($\Delta - \Delta^{CG}$) et linéaires en ($r - r^{CG}$).

La partie linéaire de l'Éq. (1.75) est diagonalisée par une transformation bi-orthogonale. Pour cela les matrices $\mathbf{R} = [\mathbf{r}_a \ \mathbf{r}_b]$ et $\mathbf{L} = [\mathbf{l}_a \ \mathbf{l}_b]$ des vecteurs propres droite et gauche de $\mathbf{J}_g(r^{CG}, \mathbf{t}^{CG})$ respectivement sont calculées. La transformation bi-orthogonale consiste à définir les variables $q_a$ et
$q_b$ telles que : $\mathbf{t} - \mathbf{t}^{\text{CG}} = \mathbf{Rq}$ avec $\mathbf{q} = \mathbf{L}^T (\mathbf{t} - \mathbf{t}^{\text{CG}})$ et $\mathbf{q} = (q_a, q_b)^T$. Les variables $q_a$ et $q_b$ sont associées aux valeurs propres $\lambda_a = 0$ et $\lambda_b = -\mu$ respectivement. De plus les vecteurs propres sont normalisés tels que $\mathbf{L}^T \mathbf{R} = \mathbf{I}$ et $\mathbf{L}^T \mathbf{J}_g(r^{\text{CG}}, \mathbf{t}^{\text{CG}}) \mathbf{R} = \mathbf{\Lambda}$ avec $\mathbf{\Lambda} = \text{diag}(\lambda_a, \lambda_b) = \text{diag}(0, -\mu)$.

Exprimée en fonction de $q_a$ et $q_b$, l'Éq. (1.75) devient :

$$ \epsilon \mathbf{q}' = \mathbf{\Lambda} \mathbf{q} + \mathbf{G}(u, \mathbf{q}) \qquad (1.76) $$

avec $\mathbf{G}(u, \mathbf{q}) = \mathbf{L}^T \tilde{\mathbf{G}}(r - r^{\text{CG}}, \mathbf{Rq})$ et $u = r - r^{\text{CG}}$. Ce dernier changement de variable implique l'annulation des termes linéaires en $q_a$ et $q_b$ dans $\mathbf{G}$.

La matrice jacobienne $\mathbf{J}_g(r^{\text{CG}}, \mathbf{t}^{\text{CG}})$ possédant une valeur propre nulle et une valeur propre négative, le théorème de la variété centrale stipule qu'au voisinage du point-col ($r^{\text{CG}}$, $s^{\text{CG}}$, $\Delta^{\text{CG}}$) le système (1.76) est topologiquement équivalent à $\epsilon q_a' = G_1(q_a, \ell(q_a), u)$. La fonction $\ell$ ne peut pas être obtenue explicitement et doit donc être approchée. Par souci de simplicité on choisit $q_b = \ell(q_a) = 0$.

Nous supposons finalement que $f(r, s, \Delta) = f(r^{\text{CG}}, s^{\text{CG}}, \Delta^{\text{CG}}) = f^{\text{CG}}$. De plus, seuls les termes d'ordre 2 en $q_a$ et d'ordre 1 en $u$ sont conservés dans $G_1$ conduisant à $G_1 \approx a_1 q_a^2 + a_2 u$ où $a_1$ et $a_2$ sont donnés par des expressions simples qui dépendent des coefficients $\mu$ et $\alpha$ du NES. On obtient ainsi la forme normale de la bifurcation col-nœud dynamique :

$$ \hat{\epsilon} q_a' = h(q_a, v) = q_a^2 + v, \qquad (1.77a) $$

$$ v' = 1 \qquad (1.77b) $$

avec $v = \frac{a_2}{a_1} u$, $\hat{\epsilon} = \epsilon f^{\text{CG}} \frac{a_2}{a_1^2}$ et où le changement d'échelle de temps $\tau \to \frac{a_2 f^{\text{CG}}}{a_1} \tau$ a été effectué.

**REMARQUE 1.8 (BIFURCATION DYNAMIQUE).** Le système obtenu s'écrit sous la forme normale d'une bifurcation col-nœud pour la variable rapide du système (celle liée au mouvement du NES) dont le paramètre de bifurcation est la variable lente (liée au mode instable du système primaire). La bifurcation est dite *dynamique* par opposition au cas *statique* où le paramètre de bifurcation serait constant. Nous retrouverons ces notions liées à la théorie de la bifurcation dynamique au Chapitre 2.

La variété critique de (1.77) consiste en une branche attractive $M_{0,a} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^- \times \mathbb{R}^- | x = -\sqrt{-y}\}$ et une branche répulsive $M_{0,r} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^- | x = \sqrt{-y}\}$. La variété critique est hyperbolique excepté en $(0, 0)$.

Pour résoudre analytiquement l'Éq. (1.77) (voir par exemple [22]) on commence par diviser (1.77a) par (1.77b) :

$$ \hat{\epsilon} \frac{dq_a}{dv} = q_a^2 + v. \qquad (1.78) $$

On définit ensuite les variables $z$ et $s$ telles que $q_a = \hat{\epsilon}^{1/3}z$ et $v = -\hat{\epsilon}^{2/3}s$, ce qui conduit à $\frac{dz}{ds} = -z^2 + s$. En posant $z(s) = \varphi'(s)/\varphi(s)$ dans l'équation précédente on obtient $\varphi''(s) = s\varphi(s)$, dont la solution s'exprime à l'aide des fonctions d'Airy. Par conséquent, la solution par rapport à la variable originale $q_a$, notée $q_a^*(v)$, est donnée par

$$ q_a^*(v) = \hat{\epsilon}^{1/3} \frac{\text{Ai}'(-\hat{\epsilon}^{-2/3}v)}{\text{Ai}(-\hat{\epsilon}^{-2/3}v)}. \qquad (1.79) $$

Finalement l'expression analytique approchée de la solution de (1.74) au voisinage de $(r^{\text{CG}}, s^{\text{CG}}, \Delta^{\text{CG}})$ est

$$ s^*(r) = s^{\text{CG}} + \mathbf{r}_{a,1} \hat{\epsilon}^{1/3} \frac{\text{Ai}'\left(-\hat{\epsilon}^{-2/3} \frac{a_2}{a_1} (r - r^{\text{CG}})\right)}{\text{Ai}\left(-\hat{\epsilon}^{-2/3} \frac{a_2}{a_1} (r - r^{\text{CG}})\right)} \qquad (1.80) $$

où $\mathbf{r}_{a,1}$ est la première coordonnée du vecteur $\mathbf{r}_a$.
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 1.22. (a) Variété critique $M_0$ (1.14) (ligne noire), intégration numérique de la dynamique lente (1.74) (ligne pointillée rouge) et Éq. (1.80) (ligne bleue) et ses asymptotes horizontales (ligne bleue pointillée). Les valeurs de $r^{\text{CG}}$, $r^0$ et $r^{\infty}$ sont représentées par des lignes horizontales orange, magenta et verte, respectivement. (b) Séries temporelles de $s(\tau)$ (ligne bleue) et $r(\tau)$ (ligne verte) issues de l'intégration numérique de (1.74).</figcaption></figure>

Deux valeurs particulières de $r$ peuvent être déduites de Éq. (1.80) : la valeur pour laquelle $s^*(r) = s^{\text{LF}}$, notée $r^0$, et celle où $s^*(r)$ tend vers l'infini, notée $r^{\infty}$. Ces valeurs de $r$ correspondent aux premiers zéros de $Ai'$ et $Ai$, respectivement, et qui sont des valeurs tabulées [1]. Nous avons donc :

$$s^*(r) = s^{\text{LF}} \quad \text{pour} \quad r = r^0 = r^{\text{LF}} + K^0 \epsilon^{2/3} \qquad (1.81)$$

$$\text{où } K^0 = 1.01879 \times \frac{a_1}{a_2} \left( f^{\text{LF}} \frac{a_2}{a_1} \right)^{2/3} \text{ et}$$

$$s^*(r) \to \infty \quad \text{pour} \quad r = r^{\infty} = r^{\text{LF}} + K^{\infty} \epsilon^{2/3} \qquad (1.82)$$

$$\text{où } K^{\infty} = 2.33810 \times \frac{a_1}{a_2} \left( f^{\text{LF}} \frac{a_2}{a_1} \right)^{2/3}.$$

La variété critique $M_0$ (1.14) (ligne noire), l’intégration numérique de la dynamique lente (1.74) (ligne rouge) et la loi d’échelle (1.80) sont comparées en Fig. 1.22.

**Nouvelle prédiction de la limite d’atténuation.** Comme nous l’avons vu précédemment, la limite d’atténuation est la valeur de $\rho$ pour laquelle le point fixe $s_2^e$ devient inférieur à $s^A$ (l’abscisse du point d’arrivée de la trajectoire sur la variété critique) ou pour lequel $s_2^e$ n’existe plus (voir Éq. (1.28)). Dans l’approximation d’ordre 0, le point d’arrivée est $s^A = s^U$ défini par (1.17). Il n’est pas facile d’obtenir une nouvelle expression de $s^A$ à partir de (1.80). Cependant, on peut supposer que le point d’arrivée branche attractive droite de $M_0$ a une ordonnées située entre $r^0$ et $r^{\infty}$. En bornant ainsi l’ordonnée du point d’arrivée, nous allons aussi borner la limite d’atténuation.

Alors que dans le cadre de l’analyse d’ordre 0 la limite d’atténuation était la solution de $r_2^e = r^{\text{CG}}$ (voir Éq. (1.29)), ici la borne supérieure $\rho_{\epsilon, \text{sup}}^*$ est obtenue en résolvant $r_2^e = r^0$, soit :

$$H(s_2^e(\rho_{\epsilon, \text{sup}}^*)) = r^0 = r^{\text{CG}} + K^0(\rho_{\epsilon, \text{sup}}^*)\epsilon^{2/3} = H(s^{\text{CG}}) + K^0(\rho_{\epsilon, \text{sup}}^*)\epsilon^{2/3}, \qquad (1.83)$$
et la borne inférieure $\rho_{\epsilon, \inf}^*$ en résolvant $r_2^e = r^\infty$, soit

$$H(s_2^e(\rho_{\epsilon, \inf}^*)) = r^\infty = r^{CG} + K^\infty(\rho_{\epsilon, \inf}^*)\epsilon^{2/3} = H(s^{CG}) + K^\infty(\rho_{\epsilon, \inf}^*)\epsilon^{2/3}. \quad (1.84)$$

À l'exception des très petites valeurs de $\epsilon$ pour lesquelles l'approximation d'ordre zéro est suffisante, la valeur particulière de $\mu$, solution de $\rho_\epsilon^U = \rho^S$, est en général supérieure à $1/\sqrt{3}$ (voir Éq. (1.16)).

**REMARQUE 1.9.** Dans [a2] et de [cn1] seule la limite inférieure $\rho_{\epsilon, \inf}^*$ est utilisée et supposée être directement la limite d'atténuation.

La Fig. 1.23 montre la comparaison entre les résultats théoriques proposés ici et des résultats issus de l'intégration temporelle du flot de modulation (1.74) et du système initial (1.3) en terme de limite d'atténuation en fonction de $\mu$ (Fig. 1.22(a)) et de $\epsilon$ (Fig. 1.22(b)).

On observe que les limites d'atténuation obtenues à partir de simulations temporelles de la dynamique originale sont effectivement bornées par $\rho_{\epsilon, \inf}^*$ et $\rho_{\epsilon, \sup}^*$ et que chacune de ces bornes est plus proche de la valeur numérique que ne l'est la prédiction obtenue à l'ordre zéro $\rho_0^*$.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>**FIGURE 1.23.** Comparaison entre les résultats théoriques et ceux issus de l'intégration temporelle du flot de modulation (1.74) et du système initial (1.3) en terme de limite d'atténuation (a) en fonction de $\mu$ et (b) en fonction de $\epsilon$.</figcaption></figure>

### 1.2.6 Effet d'un forçage stochastique faible sur le phénomène de pompage énergétique

#### 1.2.6.1 Contexte et équations du modèle

Dans cette section qui résume les résultats de [a3] (reproduit en Annexe E), l'influence d'un forçage stochastique de type bruit blanc gaussien sur le comportement dynamique d'un oscillateur de Van der Pol (dont l'équation diffère un peu de celle utilisée dans les sections précédentes). Les
équations du modèle ont la forme suivante :

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& m_1 \frac{d^2 y_1}{dt^2} + c_1^{\text{NL}} \frac{dy_1}{dt} (ry_1^2 - R^2) + k_1 y_1 + \\
& \qquad c_2 \left( \frac{dy_1}{dt} - \frac{dy_2}{dt} \right) + k_2^{\text{NL}} (y_1 - y_2)^3 = \hat{\nu} \xi(t)
\end{aligned}
\tag{1.85a}
\end{equation}
$$

$$
m_2 \frac{d^2 y_2}{dt^2} + c_2 \left( \frac{dy_2}{dt} - \frac{dy_1}{dt} \right) + k_2^{\text{NL}} (y_2 - y_1)^3 = 0 \quad (1.85\text{b})
$$

où $m_1$ and $m_2$ sont les masses de l'oscillateur de VdP et du NES, respectivement. Le paramètre $k_1$ est la raideur linéaire de l'oscillateur de VdP et $c_1^{\text{NL}}$ et $rc_1^{\text{NL}}$ caractérisant respectivement ses amortissements négatifs et non linéaires. Le NES est un oscillateur purement cubique caractérisé par son coefficient d'amortissement linéaire $c_2$ et sa raideur non linéaire $k_2^{\text{NL}}$. Le terme $\xi(t)$ est un bruit blanc unitaire de moyenne nulle, c.-à-d.

$$
\mathbb{E}[\xi(t)] = 0 \quad \text{et} \quad \mathbb{E}[\xi(t)\xi(t+\tau)] = \delta(\tau) \tag{1.86}
$$

avec $\hat{\nu}$ le niveau de bruit. $\mathbb{E}[X]$ est l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et $\delta$ la distribution de Dirac.

$$
\ddot{x}_1 + \epsilon \rho \dot{x} (rx_1^2 - 1) + x_1 + \epsilon \mu (\dot{x}_1 - \dot{x}_2) + \epsilon \alpha (x_1 - x_2)^3 = \epsilon \nu \xi(t') \quad (1.87a)
$$

$$
\epsilon \ddot{x}_2 + \epsilon \mu (\dot{x}_2 - \dot{x}_1) + \epsilon \alpha (x_2 - x_1)^3 = 0. \quad (1.87b)
$$

L'Éq. (G.8) est réécrite sous la forme sans dimension suivante :

$$
\ddot{x}_1 + \epsilon \rho \dot{x} (rx_1^2 - 1) + x_1 + \epsilon \mu (\dot{x}_1 - \dot{x}_2) + \epsilon \alpha (x_1 - x_2)^3 = \epsilon \nu \xi(t') \quad (1.88a)
$$

$$
\epsilon \ddot{x}_2 + \epsilon \mu (\dot{x}_2 - \dot{x}_1) + \epsilon \alpha (x_2 - x_1)^3 = 0 \quad (1.88b)
$$

où $x_i = y_i/R$ ($i=1,2$), $\omega_1 = \sqrt{k_1/m_1}$, $t' = \omega_1 t$, $\{\cdot\} = d\{\cdot\}/dt'$, $\epsilon = m_2/m_1$ qui est ici encore le rapport de masse entre l'oscillateur NES et l'oscillateur VdP, $\rho = c_1^{\text{NL}}R^2/(m_2\omega_1)$, $\mu = c_2/(m_2\omega_1)$, $\alpha = k_2^{\text{NL}}R^2/(m_2\omega_1^2)$ et $\nu = \hat{\nu}/(m_2R\omega_1^{3/2})$. Dans ce dernier cas, l'exposant $3/2$ est obtenu en rappelant qu'un bruit blanc normalisé $\xi(t)$ est défini comme la dérivée temporelle du processus de Wiener normalisé $W(t')$ (aussi appelé mouvement brownien). En utilisant la propriété d'échelle du processus de Wiener (voir [153], Chap. 7) qui stipule que $W(t'/\omega_1)$ et $1/\sqrt{\omega_1}W(t')$ correspondent aux mêmes processus stochastiques, nous avons donc :

$$
\begin{align}
\xi(t) &= \frac{dW(t)}{dt} \sim \omega_1 \frac{dW\left(\frac{t'}{\omega_1}\right)}{dt'} \sim \sqrt{\omega_1} \frac{dW(t')}{dt'} \nonumber \\
&= \sqrt{\omega_1} \xi(t') \tag{1.89}
\end{align}
$$

qui explique l'expression du paramètre $\nu$ ci-dessus.

Enfin, en utilisant le changement de variable $u_1 = x_1 + \epsilon x_2$ et $u_2 = x_1 - x_2$ les équations du mouvement (E.3) deviennent :

$$
\ddot{u}_1 + u_1 - \epsilon [\rho \dot{u}_1 (ru_1^2 - 1) + u_1 - u_2] = \epsilon \nu \xi(t') \quad (1.90a)
$$

$$
\ddot{u}_2 + \mu \dot{u}_2 + \alpha u_2^3 -
$$

$$
\epsilon [\rho \dot{u}_1 (ru_1^2 - 1) + u_1 - \mu \dot{u}_2 - u_2 - \alpha u_2^3] = \epsilon \nu \xi(t') \quad (1.90\text{b})
$$

dans laquelle un développement limite du premier ordre autour de $\epsilon = 0$ a été réalisé en supposant encore un faible rapport de masse entre le NES et l'oscillateur primaire (c'est-à-dire $0 < \epsilon \ll 1$).

Dans les sections suivantes, le temps $t'$ est désigné par $t$ par souci de concision.
### 1.2.6.2 Équation du flot de modulation stochastique

La méthode de moyennisation stochastique standard (standard stochastic averaging method) [169, 191], dont la formulation générale est rappelée en Annexe G.8, est utilisée pour obtenir les équations régissant la flot de modulations stochastique (appelé stochastic slow flow en Annexe E) associé à l'Éq. (1.90). Contrairement à la CAM (mais de façon totalement équivalente), la moyennisation est effectuée ici sans l'introduction de variables complexes (voir Section 1.2.1.3) en utilisant le représentation amplitude-phase suivante :

$$u_1 = a_1 \cos(t + \varphi_1) \qquad (1.91a)$$

$$\dot{u}_1 = -a_1 \sin(t + \varphi_1) \qquad (1.91b)$$

et

$$u_2 = a_2 \cos(t + \varphi_2) \qquad (1.92a)$$

$$\dot{u}_2 = -a_2 \sin(t + \varphi_2). \qquad (1.92b)$$

Après les étapes de calcul décrites en Annexe G.3, le flot de modulation stochastique, qui décrit l'évolution dans le temps des variables $a_1$, $a_2$ et $\varphi = \varphi_1 - \varphi_2$, s'écrit sous la forme suivante :

$$\dot{a}_1 = \epsilon f(a_1, a_2, \varphi) + \epsilon \sigma \xi(t) \qquad (1.93a)$$

$$\dot{a}_2 = g_1(a_1, a_2, \varphi) \qquad (1.93b)$$

$$\dot{\varphi} = g_2(a_1, a_2, \varphi) \qquad (1.93c)$$

avec $\sigma = \frac{\nu}{\sqrt{2}}$ (voir le texte après l'Éq. (E.28)).

Eq. (1.93) est donc un système (2,1)-rapide-lent dont $a_2$ et $\varphi$ sont les variables rapides et $a_1$ la variable lente sur laquelle le bruit agit. La partie déterministe de (1.93) est équivalente à celle de l'Éq. (1.7). Notons qu'en raison des hypothèses formulées (c.-à-d. un bruit qui n'agit que sur la structure primaire avec un niveau de l'ordre de $O(\epsilon)$), l'effet du bruit sur les variables rapides $a_2$ et $\varphi$ a été négligé.

À l'échelle de temps lente $\tau = \epsilon t$, l'Éq. (1.93) s'écrit

$$a'_1 = f(a_1, a_2, \varphi) + \sqrt{\epsilon \sigma \xi(\tau)} \qquad (1.94a)$$

$$\epsilon a'_2 = g_1(a_1, a_2, \varphi) \qquad (1.94b)$$

$$\epsilon \varphi' = g_2(a_1, a_2, \varphi) \qquad (1.94c)$$

où (.)' représente aussi ici la dérivée par rapport au temps lent $\tau$. De plus, la propriété d'échelle du processus de Wiener a de nouveau été utilisée, c'est-à-dire que $\xi(t) = \sqrt{\epsilon\xi(\tau)}$.

Poser $\epsilon = 0$ respectivement dans les Éqs. (1.93) et (1.94) donne le sous-système lent :

$$a'_1 = f(a_1, a_2, \varphi) \qquad (1.95a)$$

$$0 = g_1(a_1, a_2, \varphi) \qquad (1.95b)$$

$$0 = g_2(a_1, a_2, \varphi), \qquad (1.95c)$$

et le sous-système rapide :

$$\dot{a}_1 = 0 \qquad (1.96a)$$

$$\dot{a}_2 = g_1(a_1, a_2, \varphi) \qquad (1.96b)$$

$$\dot{\varphi} = g_2(a_1, a_2, \varphi). \qquad (1.96c)$$

**REMARQUE 1.10.** Les sous-systèmes lents et rapides sont déterministes. Cela a deux conséquences majeures. Tout d'abord, la variété critique est également déterministe et peut donc être obtenue avec l'approche habituelle décrite en Section 1.2. Ensuite, cela signifie que le rôle du bruit ne peut pas être étudié dans le cadre de l'approximation d'ordre zéro.
<figure><img src="image_30.png" /></figure>

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

1.2.6.3 Influence du bruit sur la limite de fonctionnement du NES

Nous mettons en évidence ici la façon dont le bruit affecte le comportement du système et plus précisément la façon dont il influence la limite d'atténuation. Pour cela, nous montrons en Fig 1.24 le résultat des simulations numériques du flux lent stochastique (1.94) réalisées avec la fonction ItoProcess du logiciel Mathematica [216].

Dans les Figs. 1.24(a), 1.24(b), 1.24(e) et 1.24(f), deux réalisations sont montrées pour $\rho = 1.8$, une valeur du paramètre de bifurcation plus petite que la limite d'atténuation du système déterministe correspondant valant $\rho_{ml} = 1.9$. Par conséquent, dans le cas déterministe, nous observerions des oscillations de relaxation persistantes, où tous les cycles d'oscillations de relaxation sont équivalents. Dans le cas stochastique, la trajectoire du flot de modulation, en raison de la présence de bruit, est légèrement différente à chaque cycle. Les deux réalisations montrent que des oscillations de relaxation persistantes peuvent encore se produire. Nous pouvons voir sur la Fig. 1.24(e) que sur les huit cycles observés (voir Fig. 1.24(a)), sept correspondent à un scénario similaire au cas déterministe (c.-à-d. que le point d'arrivée sur la partie attractive droite de $M_0$ est en dessous du plus grand point fixe du flot de modulation). Il y a cependant un cycle où le point d'arrivée est au-dessus mais où la trajectoire descend quand même vers le point-col droit au lieu de monter vers le point fixe stable de grande amplitude (qui n'apparait pas sur la figure). Pour le second échantillon (voir les Figs. 1.24(b) et 1.24(f)) c'est le contraire. En effet, nous observons un cycle et demi, et au milieu du second, nous constatons que même si le point d'arrivée est inférieur au point fixe instable, la trajectoire remonte et il n'y a finalement pas d'atténuation.

Dans les Figs. 1.24(c), 1.24(d), 1.24(g) et 1.24(h), deux échantillons sont représentés pour $\rho = 2$, une valeur du paramètre de bifurcation cette fois plus grande que la limite d'atténuation déterministe $\rho_{ml} = 1.9$. Dans le cas déterministe, il n'y a donc pas d'atténuation. Le premier échantillon (voir les Figs. 1.24(c) et 1.24(g)) montre qu'au cours du premier cycle, le bruit empêche la trajectoire de
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>**FIGURE 1.25.** Probabilité $p_{h,0}$ en fonction de $\rho$ pour trois valeurs du niveau de bruit $\sigma$.</figcaption></figure>

monter vers le point fixe stable de grande amplitude, il est finalement atteint au cours du deuxième cycle. Dans cet exemple, à chaque cycle, le régime effectivement atteint peut être déduit de la même manière que dans le cas déterministe en comparant la position relative du point d'arrivée par rapport à celle du plus grand point fixe instable. Cependant, comme dans l'exemple précédent où $\rho = 1.8$, ce raisonnement peut être contredit de manière positive (favorisant les oscillations de relaxation) ou de manière négative (favorisant les régimes sans atténuation). Par exemple, dans le deuxième échantillon (voir les Figs. 1.24(d) et 1.24(h)) nous pouvons voir que pendant le premier cycle, le point d'arrivée est au-dessus du plus grand point fixe mais que la trajectoire descend quand même vers le point-col droit.

Pour résumer, ces simulations mettent en évidence que le raisonnement qui permet de prédire le comportement du système dans le cas déterministe peut être contredit en présence de bruit.

Dans les sections suivantes, la méthode de Monte Carlo est utilisée pour étudier l'effet du bruit de manière plus systématique. Pour ce faire, deux quantités sont introduites : (i) la *probabilité d'être dans un régime inoffensif (probability of being in a harmless regime)* et (ii) le *temps de premier passage pour atteindre un régime dangereux (First-Passage Time to reach a harmful regimes)*.

### 1.2.6.4 Probabilité d'être dans un régime inoffensif

**DÉFINITION 1.3 (PROBABILITÉ D'ÊTRE DANS UN RÉGIME INOFFENSIF).** La probabilité d'être dans un régime inoffensif (PBHR pour *probability of being in a harmless regime*), notée $p_{h,n}$, est la probabilité que le système se trouve dans un régime inoffensif (voir la Rémarque 1.6) après un nombre donné $n$ de cycles complets d'oscillations de relaxation.

Par exemple, dans le cas illustré par les figures 1.24(b) et 1.24(f), la trajectoire du flot de modulation remonte vers le point fixe stable à la moitié du deuxième cycle d'oscillations de relaxation, donc après un cycle complet. En fonction du paramètre de bifurcation $\rho$, dans le cas déterministe nous avons $p_{h,n} = 1$ si $\rho < \rho_{ml}$ et $p_{h,n} = 0$ si $\rho > \rho_{ml}$. Pour plus de détails se référer à l'Annexe E.5.

La Fig. 1.25 montre $p_{h,0}$ en fonction de $\rho$ pour trois valeurs du niveau de bruit $\sigma$. Nous pouvons constater que la forme de type fonction de Heaviside du cas déterministe (pour rappel la limite d'atténuation déterministe vaut ici $\rho_{ml} = 1.9$) s'arrondit dans le cas stochastique avec une forme de type fonction erreur. Pour les deux plus petites valeurs du niveau de bruit l'allure de $p_{h,0}$ reste symétrique par rapport à la limite d'atténuation déterministe $\rho_{ml}$. Cela signifie qu'en moyenne les régimes dangereux dûs à la présence de bruit quand $\rho < \rho_{ml}$ sont compensés par les régimes inoffensifs dûs également à la présence de bruit quand $\rho > \rho_{ml}$. Pour la plus grande valeur de $\sigma$, la courbe subit une translation vers la gauche, dans ce cas la présence de bruit favorise donc le régime dit dangereux.

L'évolution de $p_{h,n}$ en fonction de $n$ est également discutée en Section E.5.
1.2.6.5 Temps de premier passage pour atteindre un régime dangereux

Le temps passé dans un régime inoffensif, c.-à-d. le temps pendant lequel la sureté du système est assurée, est également intéressant à connaître du point de vue de l'ingénieur. Nous le quantifions dans cette section en introduisant la notion de temps de premier passage pour atteindre un régime dangereux.

Notons ($a_1^e, a_2^e, \varphi^e$) les coordonnées du plus grand point fixe stable du flot de modulation déter-
ministe. Rappelons aussi que si la trajectoire de ce dernier atteint ($a_1^e, a_2^e, \varphi^e$), le système est dans un
régime dangereux. Nous choisissons que la sureté du système est assurée tant que $a_1 < a_1^{th} = 0, 5a_1^e$.
Ce choix est arbitraire et peut être ajusté en fonction de la structure primaire instable étudiée.

DÉFINITION 1.4 (TEMPS DE PREMIER PASSAGE POUR ATTEINDRE UN RÉGIME DANGEREUX). Si le processus (1.94) débute en $a_1(0) = a_{1,0}$, la première fois qu'il atteint la valeur du seuil $a_1^{th}$ est appelé temps de premier passage pour atteindre un régime dangereux (FPTHR pour First-Passage Time to reach a harmful regimes) et est noté $T$.

À l'échelle de temps lente $\tau$ et d'après la définition précédente, la probabilité $\text{Pr}(\tau < T)$ que $\tau < T$ est la probabilité $\text{Pr}(a_1 < a_1^{\text{th}})$ que $a_1 < a_1^{\text{th}}$, nous avons donc :

$$
\mathrm{Pr}(T < \tau) = \mathrm{Pr}(a_1 > a_1^{\mathrm{th}}) := P(\tau). \qquad (1.97)
$$

Par conséquent, la probabilité que le FPTHR $T$ soit compris entre le temps $\tau$ et $\tau + d\tau$ est $R(\tau)d\tau$
telle que :

$$
R(\tau) = \frac{dP(\tau)}{d\tau} \tag{1.98}
$$

est la densité de probabilité associée au FPTHR (FPTHRD pour *First-Passage Time to reach a Harmful Regime Density*. La moyenne du FPTHR (MFPTHR pour *Mean First-Passage Time to reach a Harmful Regime*) et notée $\mathbb{E}[T]$ est donc définie par :

$$
\mathbb{E}[T] = \int_{0}^{\infty} \tau R(\tau) d\tau. \tag{1.99}
$$

La valeur déterministe du FPTHR, notée $T_{\text{det}}$, est définie comme le moment où $a_1(\tau)$, obtenu
à partir de l'intégration numérique de l'Éq. (1.94) pour $\sigma = 0$ et $a_1(0) = a_{1,0}$, atteint le seuil $a_1^{\text{th}}$.
Pour des conditions initiales données, $T_{\text{det}}$ a une valeur finie unique si $\rho > \rho_{\text{ml}}$ et tend vers l'infini si
$\rho < \rho_{\text{ml}}$ (c'est-à-dire que le système déterministe n'atteint jamais le seuil $a_1^{\text{th}}$).

Des exemples d'histogrammes représentant $R(\tau)$ et $P(\tau)$ sont présentés et discutés en Annexe E.6.
Ce qu'il faut retenir de ces résultats est le fait que même si le système est supposé être dans un régime
inoffensif d'un point de vue déterministe, l'amplitude de l'oscillateur auto-entretenu peut atteindre
une valeur néfaste en un temps relativement court avec une probabilité non négligeable.

Par ailleurs, la Fig. 1.26 compare $T_{\text{det}}$, $\mathbb{E}[T]$ et $\mathbb{E}[T] \pm \sqrt{\mathbb{V}[T]}$ où $\sqrt{\mathbb{V}[T]}$ est l'écart-type du FPTHR défini tel que

$$
\mathbb{V}[T] = \mathbb{E}[T^2] - \mathbb{E}[T]^2 \tag{1.100}
$$

est la variance.

Nous observons une discontinuité sur le graphe de $T_{\text{det}}$ à $\rho = \rho_{\text{ml}}$ qui n'apparaît pas dans les graphes de $\mathbb{E}[T]$ et $\mathbb{E}[T] \pm \sqrt{\mathbb{V}[T]}$. Notons encore que la valeur constante du DPTHR, c'est-à-dire $T_{\text{det}} = 140$ pour $\rho < \rho_{\text{ml}}$, est un artefact numérique. En effet, lorsque le système déterministe est dans un régime inoffensif, nous avons $T_{\text{det}} \to +\infty$ en théorie. En pratique, $T_{\text{det}}$ est détecté comme le temps final de l'intégration numérique qui est ici $\tau = 140$. La moyenne et l'écart-type augmentent lorsque $\rho$ diminue, s'éloignant ainsi de la limite d'atténuation déterministe $\rho_{\text{ml}}$. Enfin, nous constatons que lorsque $\rho > \rho_{\text{ml}}$, on a $\mathbb{E}[T] \approx T_{\text{det}}$. Ici encore, contrairement au cas déterministe, dans le cas stochastique nous n'observons aucune différence qualitative entre les résultats obtenus avant et après la limite d'atténuation $\rho_{\text{ml}}$.

Les suites données à ce travail seront évoquées en Section 4.2.1.
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>**FIGURE 1.26.** Comparaison entre $T_{det}$ (ligne bleue), $E[T]$ (ligne pointillée verte), $E[T] - \sqrt{V}[T]$ (ligne rouge) et $E[T] + \sqrt{V}[T]$ (ligne orange) en fonction du paramètre de bifurcation $\rho$.</figcaption></figure>

## 1.2.7 Autres résultats

En plus des résultats précédents, je présente ici des travaux où l'atténuation passive de vibrations auto-entretenues à l'aide de NES a été étudiée dans le cadre d'applications particulières.

Tout d'abord, pendant mon post-doctorat, nous avons montré que le pompage énergétique pouvait permettre d'atténuer passivement la résonance sol d'hélicoptère (qui est en fait une instabilité dynamique causée par un couplage de modes entre le fuselage et le rotor de l'hélicoptère lorsque ce dernier est posé au sol). Deux configurations ont été étudiées. Dans la première, le NES est attaché au fuselage de l'aéronef, les résultats obtenus ont fait l'objet de deux publications [a10, a11] et de deux communications dans des congrès internationaux [ci9, ci10]. La deuxième configuration consiste à mettre un NES sur chaque pale de l'hélicoptère et a donné lieu à une publication [a12]. Dans ces travaux le flot de modulation du modèle est obtenu puis décomposé en deux échelles de temps. Il est analysé dans le cadre de l'approche géométrique des perturbations singulières afin de caractériser les régimes permanents du modèle. Les régimes que l'on observe lorsqu'un ou plusieurs NES sont couplés à un système mécanique auto-entretenu (voir Section 1.1) sont obtenus. Il est donc montré que dans des conditions appropriées, les auto-oscillations crées par la résonance sol d'hélicoptère peuvent être complètement ou partiellement supprimées.

Une seconde application, déjà évoquée plus haut, est celle de l'atténuation du bruit de crissement causé par le frottement dans les systèmes de frein. Pour cela un modèle phénoménologique de système de frein à deux ddl et connecté à deux NES est étudié. Ce travail montre dans un premier temps, à l'aide de simulations numériques, que les NES peuvent être utilisés pour contrôler efficacement le bruit de crissement. Une étude théorique est ensuite présentée permettant la compréhension des réponses observées sur les simulations numériques [cn2, a14]. Dans un second temps, dans le cadre de la méthode générale proposée dans [a8] et décrite à la Section 1.2.2, la limite d'atténuation du même système frottant connecté à un et deux NES a été prédite dans [ci7] et [a8] respectivement.
## 1.3 CONCEPTION ROBUSTE DE NES COUPLÉS À UN SYSTÈME MÉCANIQUE AUTO-OSCILLANT SOUMIS À DES INCERTITUDES PARAMÉTRIQUES

Ce travail de recherche s'est effectué dans le cadre de la thèse de Chérif Snoun, encadrée par Sébastien Berger (directeur de thèse) et moi même, intitulée : « Contrôle passif des vibrations des systèmes mécaniques à l'aide d'absorbeurs dynamiques non linéaires avec prise en compte des incertitudes » [e9] et soutenue le 16 juillet 2020.

Le manuscrit de thèse est disponible au lien suivant : https://theses.fr/2020TOUR4001

Ce travail de thèse a donné lieu à deux publications [a17, a18] dont la seconde est reproduite en Annexe F.

### 1.3.1 Contexte et problématique

Nous avons vu précédemment qu'au voisinage de la discontinuité d'amplitude observée en Fig. 1.2, une faible variation du paramètre de bifurcation peut entrainer une très forte augmentation de l'amplitude des oscillations. Par conséquent, le comportement dynamique du système couplé constitué d'un NES et d'un système primaire auto-entretenu peut s'avérer très sensible aux paramètres qui admettent une dispersion importante. Il est donc important d'être en mesure, en prenant en compte les incertitudes paramétriques auxquelles le système primaire et le NES peuvent être confrontés, de concevoir un ensemble système primaire-NES qui soit robuste. Ce qui veut dire qu'il fonctionne au maximum dans la région de l'espace des paramètres de bifurcation correspondant à des régimes atténués avec prise en compte des paramètres incertains. La notion de limite d'atténuation évoquée précédemment est ici étendue au cas où plusieurs paramètres de bifurcation sont pris en compte. Dans ce cas elle n'est plus ponctuelle mais définie comme la frontière, dans l'espace des paramètres de bifurcation, entre la région correspondant aux régimes atténués et celle correspondant aux régimes non atténués.

### 1.3.2 Éléments de théorie du chaos polynomial

Le formalisme du chaos polynomial a été développé par Wiener dans le cadre de sa théorie sur le chaos homogène [213] pour des processus gaussiens. Ce chaos a ensuite été généralisé par Xiu et Karniadakis [220] à des processus stochastiques quelconques, ce qui conduit au chaos polynomial généralisé (gPC pour generalized polynomial chaos). Ce dernier permet d'estimer l'expression de tout processus stochastique $X(\xi)$ à variance finie et de variables stochastiques $\xi$ en le décomposant sur une base de polynômes orthogonaux comme suit :

$$X(\xi) = \sum_{j=0}^{N_p} \bar{x}_j \phi_j(\xi). \qquad (1.101)$$

où $\phi_j(\xi)$ représente une famille de polynômes orthogonaux construits en fonction du type de loi de probabilité des variables aléatoires $\xi$ selon le schéma dit d'Askey et $\bar{x}_j$ sont les coefficients de la série, appelés coefficients du chaos et correspondant à la partie déterministe du processus aléatoire $X(\xi)$. Le nombre $N_p + 1$ de termes dans (1.101) est donné par :

$$N_p + 1 = \frac{(p + r)!}{p!r!} \qquad (1.102)$$

où $r$ est le nombre de paramètres incertains et $p$ est l'ordre du chaos.

La méthode du Chaos polynomial généralisé multi-éléments (ME-gPC pour multi-element polynomial chaos) a été développée par Wan et Karniadakis afin d'améliorer la précision et de réduire
<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE 1.27. Amplitudes $A_1^{wNES}$ et $A_1^{woNES}$ en fonction du coefficient de frottement $\mu$. L'ensemble des paramètres Eq. (F.4) est utilisé.</figcaption></figure>

le coût de calcul dans le cas où il y a beaucoup de paramètres incertains dans un système non linéaire [209]. La méthode consiste à décomposer l'espace aléatoire en plusieurs éléments et ensuite à construire les coefficients de chaos dans chaque élément. La valeur du processus stochastique globale peut être estimée à partir de celle calculée dans chaque élément :

$$X_k(\bar{\xi}^k) \approx \sum_{j=0}^{N_p} \bar{x}_{k,j} \phi_j(\bar{\xi}^k), \qquad (1.103)$$

où $X_k(\bar{\xi}^k)$ est le processus aléatoire correspondant au k-ième élément. Davantage de détails mathématiques sur le méthodes chaos polynomial sont fournis en Annexe F.4.1.

L'utilisation de développements en chaos polynomial pour modéliser un processus stochastique associé à un modèle incertain nécessite la détermination des coefficients du chaos $\bar{x}_j$. Dans la littérature, il existe deux approches pour les calculer : intrusive et non intrusive. Les méthodes intrusives consistent à projeter le modèle incertain dans la base du chaos polynomial et ainsi obtenir un système d'équations couplées et déterministes dont les inconnues comportent les coefficients du chaos [9]. Ainsi cette méthode nécessite d'utiliser des techniques de projection de Galerkin et peut être délicate à mettre en oeuvre. Les méthodes non-intrusives (retenue dans la thèse de Chérif Snoun) permettent de calculer les coefficients du chaos sans aucune manipulation du modèle mais uniquement à partir de certaines mesures du processus en des points particuliers.

### 1.3.3 Prédiction de la propension à être dans un régime atténué par des méthodes basées sur le chaos polynomial

Tout d'abord, des méthodes basées sur le formalisme du chaos polynomial sont proposées pour la prédiction de la limite d'atténuation. Cela permet ainsi le calcul de la *propension du système couplé à être dans un régime atténué*, c.-à-d. la probabilité d'obtenir un régime atténué étant donné les lois de probabilité régissant la dispersion des paramètres du système primaire et des NES. Dans la suite l'acronyme PHSSR, pour *Propensity to be in a Harmless Steady-State Regime*, sera aussi utilisé pour désigner cette propension. Les méthodes développées sont ensuite appliquées aux cas d'un système primaire frottant à deux degrés de liberté couplé à deux NES identiques (c'est le même que celui utilisé dans [a14] et évoqué en Section 1.2.7). Le modèle de système frottant en question est le modèle dit de Hultèn, un modèle très simple qui explique l'apparition de vibrations induites par le frottement (*friction-induced vibrations*) par un phénomène d'instabilité dû à un couplage de mode.
Les amplitudes $A_1^{wNES}$ et $A_1^{woNES}$ (calculées selon l'Éq. (F.3)) correspondant à ce modèle avec et sans NES, respectivement, sont tracées en fonction du coefficient de frottement $\mu$ en Fig. 1.27 (attention $\mu$ ne représente plus le coefficient d'amortissement du NES, cf. Fig. F.1). $\mu_b^{wo}$ et $\mu_b^w$ représentent les valeurs des points de bifurcation de Hopf des systèmes sans et avec NES, respectivement. La figure montre clairement les quatre régimes permanents illustrés aux Figs. 1.2 et 1.3 et met à nouveau en évidence un saut (ou une discontinuité) dans le profil d'amplitude $A_1^{wNES}$. Ici encore, cette discontinuité correspond à la transition d'un régime atténué (ou inoffensif) à un régime régime non atténué (ou dangereux). Comme précédemment, la valeur de $\mu$ pour laquelle le saut se produit est appelée *limite d'atténuation* (mitigation limit) et notée $\mu_{ml}$. Cette limite d'atténuation sépare l'espace des paramètres incertains (ici un espace unidirectionnel selon le paramètre $\mu$) en deux régions, l'une où l'instabilité est atténuée et l'autre où elle ne l'est pas.

Les résultats montrent d'une part que les méthodes basées sur le chaos polynomial permettent de réduire significativement le coût de calcul par rapport à la méthode de référence en conservant une bonne précision et d'autre part que la méthode basée sur le chaos polynomial multi-éléments décrite dans [a17] est la plus appropriée.

Cette méthode utilise un métamodèle de l'amplitude $A_1$ des oscillations construit par la théorie du chaos polynomial généralisé multi-éléments avec un ordre 1 utilisé sur chaque élément, c.-à-d. que les polynômes $\phi_j(\xi^k)$ dans (1.101) sont d'ordre 1. Le but n'est pas de représenter finement l'amplitude mais de localiser la limite d'atténuation. L'algorithme de la méthode est présenté en Fig. F.4, il consiste à chaque itération à calculer la variance (donnée directement de façon théorique par les coefficients du chaos, cf. Éq. (F.11)) et la taille de chaque élément. Nous supposons que si la variance d'un élément est élevée, cet élément contient la discontinuité. Par conséquent, la variance de chaque élément est comparée à un seuil $\theta_1$. Si elle est inférieure au seuil, l'élément ne contient pas de discontinuité et est donc retiré de l'algorithme ; si elle est supérieure, l'élément est conservé. Nous regardons ensuite si la taille de l'élément est supérieure à un second seuil $\theta_2 J_0$ (avec $\theta_2$ un pourcentage de la taille $J_0$ de l'élément initial) : si oui, l'élément est conservé pour l'itération suivante, sinon cela signifie que l'élément contenant la discontinuité est suffisamment petit pour donner une estimation de la frontière correspondant à la discontinuité. Les éléments conservés sont ensuite divisés par deux dans chaque dimension de l'espace des paramètres incertain et une nouvelle itération commence. L'algorithme s'arrête quand il n'y plus d'éléments à diviser par deux. La méthode, dont davantage de détails sont donnés en Annexe F.4.2, est illustrée en Fig. 1.28 sur le même exemple que celui montré en Fig. 1.27. Nous voyons les itérations successives de l'algorithme dans lequel les seuils suivants sont utilisés : $\theta_1 = 0,7 \cdot 10^{-3}$ et $\theta_2 = 1\%$. L'algorithme s'arrête à la huitième itération, ce qui signifie que la variance du dernier élément est supérieure à $\theta_1$ mais que sa taille est inférieure à $\theta_2 = 1\%$ de la taille de l'élément initial. Par conséquent, nous concluons que la limite d'atténuation $\mu_{ml}$ se situe dans cet élément.

### 1.3.4 Optimisation de NES sous incertitudes

Ensuite, en s'inspirant du travail de Missoum et coll. [30, 162], une méthodologie d'optimisation des NES sous incertitudes est développée. Deux approches sont proposées, à chaque fois basées sur la maximisation, sous incertitudes des paramètres du système primaire, de la propension du système couplé à être dans un régime atténué. La première approche considère que les paramètres des NES sont déterministes et sont donc les variables de conception à optimiser. La seconde méthode considère que les paramètres des NES sont également incertains mais avec une loi de probabilité connue. Ainsi, les variables de conception à optimiser ne sont plus directement les paramètres des NES mais l'une de leurs statistiques (la moyenne est retenue dans ce travail) appelées *hyperparamètres*. Les résultats obtenus sont comparés à une optimisation déterministe de référence. L'efficacité des méthodes proposée, basées sur le chaos polynomial, à réduire significativement le coût de calcul en gardant une bonne précision est mise en évidence. Ce travail est détaillé en Annexe F et résumé ici en considérant le coefficient de frottement $\mu$ comme paramètre de bifurcation incertain.
<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE 1.28. Huit itérations jusqu'à l'arrêt de l'algorithme de la Fig. F.4 pour la détection de la limite d'atténuation.</figcaption></figure>

### 1.3.4.1 Cas de variables de conceptions déterministes

Dans ce cas, les variables de conception du problème d'optimisation sont directement les paramètres physiques de conception du NES dont on suppose qu'ils peuvent être connus de façon certaine. L'objectif de la méthode est de trouver les valeurs optimales des paramètres des NES en maximisant la valeur de la PHSSR. Pour cela, pour chaque valeur de $x_d \in [x_d^{(min)}, x_d^{(max)}]$ la PHSSR est déterminée dans l'espace des paramètres incertains $x_u$. On détecte ensuite le maximum de la PHSSR qui correspond à la valeur optimale de $x_d$. Il est possible de résumer la méthode de la façon suivante :

$$
\begin{array}{ll}
\text{Maximiser} & \text{PHSSR } (A(x_d, x_u)) \\
\text{Sujet à} & x_d^{(min)} \le x_d \le x_d^{(max)} \\
\text{où} & x_d = \{\eta_h, \varphi_h\}, \\
& x_u = \{\mu\}
\end{array}
\qquad (1.104)
$$

où :
* les variables de conception $\eta_h$ et $\phi_h$ sont respectivement le coefficient d'amortissement et la raideur cubique des NES (voir l'Éq. (F.2),

* PHSSR est la propension du système à être dans un régime atténué, c'est le critère utilisé pour optimiser le système,

* $A(x_d, x_u)$ est l'amplitude de déplacement du système primaire couplé (F.2) définie par l'équation (F.3) (on écrit maintenant $A$ et non $A_1^{wNES}$ pour alléger les notations). Cette amplitude dépend à la fois des paramètres incertains $x_u$ (ici $\mu$ uniquement) et des variables de conception $x_d$,

* $x_d^{(min)}$ et $x_d^{(max)}$ sont respectivement les valeurs minimales et maximales des variables de conceptions $x_d$. Ce sont dans les intervalles $[x_d^{(min)}; x_d^{(max)}]$, appelé intervalles de conception, que les valeurs optimales de paramètres de conceptions sont recherchées.

En Annexe F.6, cette méthode d'optimisations où la PHSSR est calculée par la méthode basée sur le ME-gPC (décrite en Section 1.3.3) sont comparés à une optimisation de référence où la PHSSR est obtenue à partir de l'intégration numérique du modèle. Nous montrons ici une partie de ces résultats dans le Tab. 1.2 où $\eta_h$ est considéré comme paramètre de conception. Dans ce tableau nous avons la valeur maximale PHSSR$^{max}$ (et donc optimale) de la PHSSR à laquelle correspond la valeur optimale $\eta_h^{opt}$ du paramètre de conception (cf. Éq. (F.21)) et l'erreur relative sur la PHSSR maximale notée $E_{PHSSR}^{max}$ (cf. Éq. (F.20)). L'utilisation du ME-gPC permet de réduire considérablement le coût de calcul en conservant une bonne précision sur la valeur optimale du paramètre de conception.

Le profils de la PHSSR en fonctions de $\eta_h$ correspondant à cette optimisation sont tracés en Fig. F.8. Les plateaux observés sont dus au fait que pour deux valeurs proches de $\eta_h$ la limite d'atténuation est observée dans le même élément. Ceci est donc lié à la valeur du seuil $\theta_2$, plus il est faible plus nous pouvons localiser finement la limite d'atténuation, avec en contrepartie une augmentation du coût de calcul.

<table><caption>TABLEAU 1.2. Comparaison entre l'optimisation de référence et celle obtenue avec la méthode ME-gPC. Le paramètre de conception est $\eta_h$.</caption><thead><tr><th></th><th>Nb de simulations</th><th>Temps de calcul</th><th>PHSSR<sup>max</sup></th><th>E<sub>PHSSR<sup>max</sup></sub></th><th>η<sub>h</sub><sup>opt</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>Reference</td><td>150 000</td><td>2.15 jours</td><td>50.10% ± 0.02%</td><td>—</td><td>0.0240 ± 3.33%</td></tr><tr><td>ME-gPC<br>(θ<sub>1</sub> = 2 · 10<sup>-3</sup><br>and θ<sub>2</sub> = 1%)</td><td>4324</td><td>1.70 heures</td><td>50.78% ± 1.97%</td><td>1.35%</td><td>0.0241 ± 15.14%</td></tr><tr><td>ME-gPC<br>(θ<sub>1</sub> = 2 · 10<sup>-3</sup><br>and θ<sub>2</sub> = 0.1%)</td><td>5165</td><td>2.06 heures</td><td>50.09% ± 0.2%</td><td>0.02%</td><td>0.0241 ± 15.14%</td></tr><tr><td>ME-gPC<br>(θ<sub>1</sub> = 2 · 10<sup>-3</sup><br>and<br>θ<sub>2</sub> = 0.001%)</td><td>7026</td><td>3.23 heures</td><td>50.09% ± 0.02%</td><td>0.02%</td><td>0.0237 ± 3.33%</td></tr></tbody></table>

### 1.3.4.2 Cas de variables de conceptions stochastiques

On considère dans cette section que les paramètres physiques de conception sont aléatoires de loi de probabilité connue, ce qui se rapproche d'avantage d'une situation réelle. Nous savons notamment qu'il est presque impossible d'obtenir une valeur exacte d'un coefficient d'amortissement. Les paramètres à optimiser sont alors l'une des caractéristiques statistiques de ces paramètres (moyenne, variance...) et sont appelés hyperparamètres.
<table><caption>**TABLEAU 1.3.** Comparaison entre l'optimisation référence et celle obtenue avec la méthode ME-gPC. L'hyperparamètre de conception est $\hat{\eta}_h$.</caption><thead><tr><th></th><th>Nb de simulations</th><th>Temps de calcul</th><th>Gain en coût de calcul (%)</th><th>E[PHSSR]<sup>max</sup></th><th>E<sub>E</sub>[PHSSR]<sup>max</sup></th><th>η<sub>h</sub><sup>opt</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>Reference</td><td>500 000</td><td>7.86 jours</td><td>-</td><td>50.07% ± 0.02%</td><td>-</td><td>0.0237</td></tr><tr><td>ME-gPC<br>(θ<sub>1</sub> = 1 · 10<sup>-3</sup><br>and θ<sub>2</sub> = 1%)</td><td>4 613</td><td>1.92 heures</td><td>98.98</td><td>50.78% ± 2%</td><td>1.41%</td><td>0.0237</td></tr><tr><td>ME-gPC<br>(θ<sub>1</sub> = 1 · 10<sup>-3</sup><br>and<br>θ<sub>2</sub> = 0.001%)</td><td>8 006</td><td>3.29 heures</td><td>98.38</td><td>50.07% ± 0.02%</td><td>0%</td><td>0.0237</td></tr></tbody></table>

Le processus d'optimisation consiste à diviser l'espace de conception en sous-espaces. Dans chaque sous-espace un tirage de N valeurs des paramètres de conception est effectué selon leurs lois de probabilité (dans ce travail nous utilisons des lois uniformes). Pour chacune de ses valeurs la PHSSR est calculée et la valeur optimale de $x_d$ correspond au sous-espace où la moyenne des N valeurs de la PHSSR est maximale. Cela peut se résumer ainsi :

$$
\begin{array}{ll}
\text{Maximiser} & \mathbb{E}[\text{PHSSR}(A(x_d, x_u))] \\
\text{Sujet à} & x_d^{(\text{min})} \le x_d \le x_d^{(\text{max})} \\
\text{où} & x_d = \{\hat{\eta}_h, \hat{\phi}_h\}, \\
& x_u = \{\mu\}
\end{array}
\qquad (1.105)
$$

où :

* $\mathbb{E}$ est la valeur de l'espérance mathématique (la moyenne) de l'ensemble des évaluations de la PHSSR.

* $\hat{\eta}_h$ est la moyenne de l'ensemble des valeurs du coefficient d'amortissement du NES.

* $\hat{\phi}_h$ est la moyenne de l'ensemble des valeurs de la raideur non linéaire du NES.

Cette méthode d'optimisations utilisant le ME-gPC est comparée à une optimisation de référence en Annexe F.7. Le Tab. 1.3 résume les résultats quand l'hyperparamètres considéré est la moyenne $\hat{\eta}_h$ du coefficient d'amortissement des NES. Dans ce tableau sont présentées les grandeurs suivantes : la valeur maximale $\mathbb{E}[\text{PHSSR}]^{\text{max}}$ (et donc optimale) de l'espérance de la PHSSR à la quelle correspond la valeur optimale $\hat{\eta}_h^{\text{opt}}$ du l'hyperparamètre de conception, l'erreur relative sur l'espérance de la PHSSR maximale notée $E_{\mathbb{E}[\text{PHSSR}]^{\text{max}}}$.

Ici encore l'optimisation utilisant le ME-gPC permet un gain important en coût de calcul en permettant d'obtenir précisément la valeur optimale de l'hyperparamètre $\hat{\eta}_h$.

Pour être applicable à des systèmes industriels il faudra étendre la méthode à une optimisation multi-paramètres (et multi-hyperparamètres). Ce travail a été commencé durant la thèse de Chérif Snoun mais non finalisé. Les chaos polynomial creux (comme utilisé dans la thèse de Duc Thinh Kieu [e6] décrite au Chapitre 3) pourrait aussi être associé à la méthode pour gagner encore en terme de coût de calcul.

En plus des articles précédents, cette recherche doctorale a fait l'objet de deux communications, l'une dans un congrès international [ci11] et l'autre dans un congrès national [cn5].
## PHÉNOMÈNES TRANSITOIRES DANS LES INSTRUMENTS DE MUSIQUE À ANCHE

### Sommaire

<table><tr><td>2.1 Contexte</td><td>57</td></tr><tr><td>2.2 Bref état de l'art sur le modèle physique élémentaire d'un instrument à anche</td><td>60</td></tr><tr><td>2.2.1 L'excitateur</td><td>60</td></tr><tr><td>2.2.2 Le résonateur</td><td>62</td></tr><tr><td>2.2.3 Modèles adimensionnés d'un instrument à anche simple</td><td>63</td></tr><tr><td>2.2.4 Modèles simples utilisés</td><td>65</td></tr><tr><td>2.3 Résultats préliminaires : analyse de stabilité statique du modèle à un mode</td><td>67</td></tr><tr><td>2.3.1 Analyse de stabilité locale : naissance des oscillations</td><td>67</td></tr><tr><td>2.3.2 Analyse de stabilité globale : compétition entre régimes</td><td>71</td></tr><tr><td>2.4 Retard à la bifurcation</td><td>72</td></tr><tr><td>2.4.1 Synthèse des travaux de recherche publiés</td><td>72</td></tr><tr><td>2.4.2 Note sur la seconde définition du point de bifurcation dynamique</td><td>78</td></tr><tr><td>2.5 Bassins d'attraction dynamiques</td><td>80</td></tr><tr><td>2.5.1 Introduction</td><td>80</td></tr><tr><td>2.5.2 Bassin d'attraction dynamique du modèle à un mode</td><td>82</td></tr><tr><td>2.5.3 Bassin d'attraction dynamique dans de la cas d'un « rate-induced transitions »</td><td>91</td></tr></table>

### 2.1 CONTEXTE

U Ne question récurrente qui se pose quand on étudie un système oscillant est de savoir sous quelles conditions le système va se mettre à osciller. Par exemple, pour un instrument à vent, que doit faire le musicien en termes de contrôle pour faire jouer l'instrument ? Si on se focalise sur un paramètre comme la pression dans la bouche (c'est le paramètre de contrôle considéré dans ce travail), il est intuitif de penser qu'en dessous d'une valeur précise, l'instrument ne joue pas, et qu'à cette valeur précisément, le son émerge.

D'un point de vue mathématique un instrument de musique à anche simple (comme les clarinettes ou saxophones) peut être décrit comme un système dynamique auto-oscillant, c.-à-d. un jeu d'équations différentielles non linéaires reliant des paramètres de contrôle (ou de bifurcation, comme la pression dans la bouche du musicien) à des variables de sortie (ou variables d'état comme la pression dans le bec<fnref n="1" />). Dans la littérature, les études théoriques d'analyse de la production du son s'effectuent en général en considérant que les paramètres de contrôle sont constants dans le temps, une situation que nous qualifions de *statique*. Ainsi, le jeu d'équations différentielles décrivant le modèle

<footnote n="1">1. C'est elle qui après avoir interagi avec le résonateur et une fois rayonnée en dehors de l'instrument correspond à l'onde sonore que nous percevons.</footnote>
est autonome (c.-à-d. ne faisant pas apparaître une dépendance explicite au temps) et peut s'écrire formellement comme suit :

$$ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \gamma), \qquad (2.1) $$

où $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ (avec $n$ la dimension du système) est le vecteur des variables d'état du système dynamique (dans le cas d'instruments à anche où la dynamique de l'anche est ignorée), il s'agit en général des coordonnées modales de la pression dans le bec et de leur dérivées premières dans le temps) ; $\mathbf{f}$ est une fonction vectorielle non linéaire représentant la physique du problème (sa forme sera explicitée dans le cas du modèle dit « à un mode » en Section 2.2.4.2) ; enfin le paramètre de bifurcation $\gamma \in \mathbb{R}$ représente la pression dans la bouche du musicien. Ce paramètre est le paramètre de bifurcation considéré dans l'ensemble de ce chapitre.

L'apparition d'un son musical (c.-à-d., ici un régime périodique) dans un instrument à anche simple s'explique par la perte de stabilité de la solution d'équilibre triviale de l'Éq. (2.1) (c.-à-d. solution de $\dot{\mathbf{x}} = 0$, en général $\mathbf{x} = \mathbf{0}$) correspondant au silence au profit d'une solution périodique (c.-à-d. la note jouée par l'instrument). Le perte de stabilité de la solution d'équilibre s'effectue via une bifurcation de Hopf<fnref n="2" />. La valeur précise du paramètre de contrôle $\gamma$ qui correspond à la bifurcation peut être déterminée en calculant le changement de stabilité locale de cette position d'équilibre triviale.

Les diagrammes de bifurcation sont aussi très utilisés en acoustique musicale car ils représentent de façon synthétique les différentes solutions d'un modèle donné (de la forme de (2.1)) en fonction du paramètre $\gamma$. Un diagramme de bifurcation permet donc de connaître pour chaque valeur constante de la pression dans la bouche les sons (c.-à-d. les solutions stables non triviales du modèle) potentiellement jouable par l'instrument. Le chapitre 9 de l'ouvrage de Chaigne et Kergomard [37] fournit les éléments de bases de l'analyse des bifurcations des modèles communs d'instruments à anche. Pour compléter cet état de l'art, les travaux suivants de la communauté peuvent être cités : [91] pour le calcul de stabilité de solutions périodiques associant la méthode de l'équilibrage harmonique et la théorie de Floquet et [90] qui propose une méthode de continuation de solutions quasi-périodiques basée également sur la méthode de l'équilibrage harmonique. Par ailleurs, ces diagrammes de bifurcations montrent en général des situations de multistabilité, c.-à-d. que plusieurs solutions stables du modèle d'instrument (2.1) coexistent pour un même jeu de paramètres. Dans ce cas, en plus de la stabilité locale de chaque solution, qui renseigne si une solution donnée va attirer ou repousser dans l'espace des phases les trajectoires du système qui sont dans son voisinage, il est nécessaire d'étudier les bassins d'attraction des solutions stables. Le bassin d'attraction d'une solution stable donnée correspond à l'ensemble des conditions initiales conduisant la trajectoire du système dans l'espace des phases (ou orbite) vers cette solution. Les bassins d'attraction, qui renseignent sur la « jouabilité » d'un régime stable donné, sont relativement peu explorés en acoustique musicale. Quelques références seront données dans la suite.

Cette vision statique, majoritaire en acoustique musicale avant mes travaux de thèse, n'est pas complètement représentative de ce qui se passe en réalité en situation de jeu. Pendant un transitoire d'attaque par exemple, le musicien va en effet plutôt augmenter la pression dans sa bouche jusqu'à une valeur nécessaire pour que l'instrument joue. On a donc une augmentation dans le temps du paramètre « pression dans la bouche ». Il s'agit donc d'un cas dit dynamique. En considérant le même modèle d'instrument que celui décrit par l'Éq. (2.1), le cas dynamique peut être modélisé par l'équation non-autonome suivante :

$$ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, y(\epsilon t)) \qquad (2.2) $$

où le paramètre $\gamma$, noté $y$, varie lentement dans le temps. Cette variation lente étant ici mise en évidence par la présence du petit paramètre $\epsilon$ (avec $0 < \epsilon \ll 1$) dont la nature sera précisée dans la suite. Il est également possible d'écrire le cas dynamique sous la forme du système autonome suivant :

<footnote n="2">2. Quand des modèles à temps continu comme (2.1) sont considérés. Pour des modèles à temps discret, il s'agit d'une bifurcation à doublement de période (cf. Section 2.2.4.1).</footnote>