# Methodes conformes d'elements finis pour des problemes elliptiques du quatrieme ordre avec integration numerique

Michel Bernadou, Yves Ducatel

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## To cite this version:

Michel Bernadou, Yves Ducatel. Methodes conformes d'elements finis pour des problemes elliptiques du quatrieme ordre avec integration numerique. [Rapport de recherche] IRIA-RR-195, IRIA. 1976, pp.50. hal-04716376

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MÉTHODES CONFORMES
D'ÉLÉMENTS FINIS
POUR DES
PROBLÈMES ELLIPTIQUES
DU QUATRIÈME ORDRE
AVEC INTÉGRATION NUMÉRIQUE

M. BERNADOU, Y. DUCATEL

Rapport de Recherche N° 195
Octobre 1976
# MÉTHODES CONFORMES D'ÉLÉMENTS FINIS POUR DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES DU QUATRIÈME ORDRE AVEC INTÉGRATION NUMÉRIQUE

M. Bernadou, Y. Ducatel

## Résumé :

On étudie l'effet de l'intégration numérique dans l'approximation de problèmes elliptiques du quatrième ordre par des méthodes conformes d'éléments finis. On donne des conditions suffisantes qui préservent l'ordre de convergence de la méthode. Ces conditions prennent en compte l'approximation de la solution et le degré de précision du schéma d'intégration numérique. Cette analyse s'applique en particulier aux éléments d'ARGYRIS et de BELL.

## Abstract :

We study the effect of numerical integration in conforming finite element methods for elliptic problems of fourth order. Sufficient conditions are then given which preserve the order of convergence of the method. These conditions involve both the approximation of the components of the displacement and the degree of accuracy of the numerical quadrature schemes. In particular, the present analysis applies to the ARGYRIS and BELL triangles.
## INTRODUCTION

L'approximation de **problèmes elliptiques du 4ᵉ ordre** par des méthodes conformes d'éléments finis pour lesquelles la fonction interpolée est **un polynôme sur chaque triangle** nécessite l'utilisation d'éléments finis de haut degré. Suivant l'étude de ŽENIŠEK [1] l'élément le plus simple est le triangle de BELL [1] déduit du triangle d'ARGYRIS [1] par suppression des dérivées normales au milieu des côtés. Si, à ces bases polynomiales de haut degré, on ajoute la présence éventuelle de coefficients variables dans la définition des formes $a(\cdot, \cdot)$ et $f(\cdot)$, il est coûteux ou tout simplement impossible de calculer exactement les intégrales définissant ces formes.
C'est pourquoi on est amené à utiliser des schémas d'intégration numérique. Nous justifions ici la convergence de ces méthodes d'approximation et montrons qu'un choix convenable de schémas d'intégration numérique permet d'obtenir une **estimation asymptotique** de l'erreur du même ordre que celle obtenue dans le cas d'intégrations exactes. Pour ce faire, nous utilisons les méthodes de CIARLET-RAVIART [1] [2] [3] [4] et nous explicitons la plupart de nos références à CIARLET [1], pour simplifier.

Dans le paragraphe 1 nous définissons le problème continu considéré, puis, nous proposons comme cas particulier le problème de la **plaque encastrée**.

Le paragraphe 2 rassemble l'essentiel des notations et des résultats relatifs à l'approximation du problème étudié par une méthode conforme d'éléments finis avec **intégration exacte**. Nous rappelons en particulier la définition des éléments finis d'ARGYRIS et de BELL.

La prise en compte de l'intégration numérique intervient au paragraphe 3.
Le Théorème 3.1 donne une estimation "abstraite" de l'erreur moyennant une condition de $V_h$-ellipticité sur la forme bilinéaire approchée. Nous montrons dans le Théorème 3.2 que cette condition de $V_h$-ellipticité est vérifiée pour des schémas d'intégration numérique convenables. Les Théorèmes 3.3 et 3.4 préparent l'évaluation des termes de consistance des schémas d'approximation
des formes $a(\cdot, \cdot)$ et $f(\cdot)$, respectivement. A partir du Théorème 3.3 nous donnons une nouvelle démonstration de la condition de $V_h$-ellipticité, dans le cas où l'espace d'interpolation sur chaque triangle est l'ensemble des polynômes de degré $n, n \in N$. L'estimation asymtotique explicite de l'erreur est obtenue au Théorème 3.5, dans le cas général, aux Corollaires 3.1 et 3.2 dans les cas particuliers des éléments finis d'ARGYRIS et de BELL, respectivement. L'étude de ces deux éléments montre que certains de leurs degrés de liberté ne sont pas invariants par transformation affine. Nous montrons comment la distinction entre les notions de *triangle de référence* et d'**élément fini de référence** permet de leur appliquer les méthodes de la théorie "affine".

Nous tenons à remercier Monsieur P.G. CIARLET qui nous a suggéré l'idée de ce travail et s'est intéressé à sa mise au point, ainsi que Mme F. WEBER qui en a assuré la présentation matérielle.
# 1. LE PROBLEME CONTINU

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^2$. Nous considérons le problème modèle suivant :

$$ (1.1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\sum_{i+j=2} \frac{\partial^2}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} \sum_{k+l=2} a_{ijkl} \frac{\partial^2 u}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^l} = f \quad \text{dans } \Omega, \\[1em] u = \frac{\partial u}{\partial n} = 0 \quad \text{sur } \Gamma = \partial \Omega, \end{array} \right. $$

et nous posons

$$ (1.2) \quad a(u,v) = \int_{\Omega} \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+l=2}} a_{ijkl}(x) \frac{\partial^2 u}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} \frac{\partial^2 v}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^l} dx_1 dx_2 , $$

$$ (1.3) \quad f(v) = \int_{\Omega} fv \, dx. $$

Nous supposons que les données f, $a_{ijkl}$ appartiennent à l'espace $C^0(\bar{\Omega})$ (régularité liée à l'utilisation de schémas d'intégration numérique) et que l'opérateur défini en (1.1) est uniformément elliptique (NECAS [1], p. 23) : il existe une constante $\beta > 0$ telle que l'inégalité

$$ (1.4) \quad \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+l=2}} a_{ijkl}(x) \xi_1^i \xi_2^j \xi_1^k \xi_2^l \ge \beta (\xi_1^2 + \xi_2^2)^2 $$

soit vérifiée partout sur l'ensemble $\bar{\Omega}$, pour tout $(\xi_1, \xi_2) \in \mathbb{R}^2$. Dès lors, la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$, définie en (1.2), est $H_o^2(\Omega)$-elliptique et le problème (1.1) admet une solution unique $u$, i.e.

$$ (1.5) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \forall v \in H_o^2(\Omega), \text{ il existe } u \in H_o^2(\Omega) \text{ unique, telle que} \\[1em] a(u,v) = f(v'). \end{array} \right. $$
Par la suite nous étudions l'approximation de la solution u de ce problème par analogie avec CIARLET [1, N° 8].

Pour terminer ce paragraphe nous proposons l'exemple de la plaque encastrée qui entre exactement dans le cadre de cette étude.

**Exemple 1.1 : plaque encastrée :**

La composante normale u du déplacement des points de la surface moyenne d'une plaque soumise à l'action d'une force perpendiculaire f est la solution unique d'un problème du type (1.5) avec :

$$ (1.6) \quad \left\{ \begin{aligned} a(u,v) &= \frac{1}{12} \int_{\Omega} \frac{Ee^3}{1-\nu^2} \left\{ \Delta u \Delta v + (1-\nu) \left( 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_2} - \frac{\partial^2 v}{\partial x_1 \partial x_2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} \frac{\partial^2 v}{\partial x_2^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} \frac{\partial^2 v}{\partial x_1^2} \right) \right\} dx \\ &= \frac{1}{12} \int_{\Omega} \frac{Ee^3}{1-\nu^2} \left\{ \nu \Delta u \Delta v + (1-\nu) \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} \frac{\partial^2 v}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} \frac{\partial^2 v}{\partial x_2^2} + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_2} \frac{\partial^2 v}{\partial x_1 \partial x_2} \right) \right\} d\chi \end{aligned} \right. $$

$$ (1.7) \quad f(v) = \int_{\Omega} fv \, dx. $$

Dans la définition (1.6) de la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ les coefficients variables $E(x), v(x)$ designent respectivement le module de Young et le coefficient de Poisson du matériau constituant la plaque. Ils vérifient les inégalités $0 < E(x), 0 \le v(x) < \frac{1}{2}$, pour tout $x \in \Omega$. Le coefficient variable $e(x) > 0$ désigne l'épaisseur de la plaque. L'équivalence entre les deux formulations de $a(\cdot, \cdot)$ résulte de l'égalité des deux intégrandes et la vérification de la propriété (1.4) d'uniforme ellipticité est immédiate à partir de la seconde formulation de $a(\cdot, \cdot)$. ■

**Remarque 1.1 :** L'opérateur différentiel (1.1) ne comporte que des termes d'ordre 4. Il est possible d'adapter notre étude au cas d'un opérateur comportant en outre des termes d'ordre inférieur à 4. Nous revenons sur ce problème à la Remarque 3.8. ■
## 2. METHODE CONFORME D'ELEMENTS FINIS

Dans ce paragraphe nous rappelons l'essentiel des notations et des résultats relatifs à l'approximation du Problème (1.5) par une **méthode conforme** d'éléments finis.

Nous supposons désormais que le domaine $\Omega$ est **polygonal** ce qui permet de le recouvrir **exactement** par des triangulations $\mathcal{T}_h$. Par la suite nous considérons une **famille régulière** de triangulations $\mathcal{T}_h$ au sens suivant :

(i) Il existe une constante $\alpha$ telle que

$$ (2.1) \qquad \forall h, \forall K \in \mathcal{T}_h, \quad \frac{h_K}{\rho_K} \le \alpha, $$

où $h_K = \text{diam.}(K)$ et $\rho_K = \sup\{\text{diam.}(C) ; C \text{ est un cercle contenu dans } K\}$.

$$ (2.2) \qquad \text{(ii) La quantité } h = \max_{K \in \mathcal{T}_h} h_K \text{ approche zéro.} $$

A chaque triangulation $\mathcal{T}_h$ on associe un espace d'éléments finis $V_h$ dont les fonctions sont déterminées par les conditions suivantes :

$$ (2.3) \quad \left\{ \begin{array}{ll} (i) & \text{Sur chaque } K \in \mathcal{T}_h, \text{ elles appartiennent à l'espace } P_K \subset H^2(K); \\ (ii) & \text{Sur chaque } K \in \mathcal{C}_h, \text{ elles sont déterminées par leurs valeurs et par les valeurs de leurs dérivées sur l'ensemble des degrés} \\ & \text{de liberté de l'élément } K; \\ (iii) & \text{Elles sont telles que } V_h \subset C^1(\bar{\Omega}); \\ (iv) & \text{Elles s'annulent ainsi que leurs dérivées premières sur la frontière } \Gamma. \end{array} \right. $$

Il s'ensuit par analogie avec CIARLET [1, Théorème 2, N° 3] que

$$ (2.4) \qquad V_h \subset H_o^2(\Omega), $$

d'où l'appellation de **méthode conforme** d'éléments finis.
Le **problème discret** associé au problème continu (1.5) et au sous-espace de
dimension finie $V_h$ de $H_o^2(\Omega)$, consiste à trouver une fonction $u_h \in V_h$ telle
que

$$
(2.5) \quad \forall v_h \in V_h, \ a(u_h, v_h) = f(v_h) .
$$

L'inclusion (2.4) et les propriétés des formes $a(\cdot, \cdot)$ et $f(\cdot)$ assurent
l'existence et l'unicité d'une solution $u_h$ pour le problème discret
(2.5). Le problème est alors d'estimer l'erreur $\|u-u_h\|_{2,\Omega}$.

Avant d'aborder ce problème d'estimation rappelons deux exemples classiques
d'éléments finis triangulaires satisfaisant les conditions (2.3). Ce sont
les exemples d'éléments finis de plus bas degré (degré 5) assurant l'inclu-
sion $V_h \subset C^1(\bar{\Omega})$ et pour lesquels la fonction interpolée est **un polynôme** **sur**
**chaque triangle** $K \in \mathcal{T}_h$. Ces deux exemples sont décrits en détail dans
CIARLET [1, N° 4] et nous en rappelons les caractéristiques principales
dans les Figures 2.1 et 2.2, respectivement. Pour un triangle $K \in \mathcal{T}_h$ nous
notons $P_K$ l'espace fonctionnel et $\Sigma_K$ l'ensemble des degrés de liberté de
l'élément fini associé. Enfin $P_n(K)$ désigne l'espace des polynômes de
degrés inférieurs ou égaux à n en les variables $x_1, x_2, \text{tandis que } \frac{\partial}{\partial v}$
est l'opérateur de dérivée normale extérieure unitaire.
**Exemple 2.1 : Élément fini d'ARGYRIS [1]**

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

$$
\left\{
\begin{array}{l}
P_K = P_5(K) ; \dim P_K = 21 \\[1em]
\Sigma_K = \{p(a_i), \frac{\partial p}{\partial x_1}(a_i), \frac{\partial p}{\partial x_2}(a_i), \frac{\partial^2 p}{\partial x_1^2}(a_i), \frac{\partial^2 p}{\partial x_1 \partial x_2}(a_i), \frac{\partial^2 p}{\partial x_2^2}(a_i), \dots, \frac{\partial^2 p}{\partial v^2}(a_i), \dots, \frac{\partial p}{\partial v}(a_{ij}) \mid 1 \le i < j \le 3 \} \\[1em]
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{et } \dim P_K = 21
\end{array}
\right.
$$

<caption>Figure 2.1</caption>

Comme les dérivées première et seconde $Dp(a_i)$ et $D^2p(a_i)$ sont connues aux
trois sommets du triangle il est loisible de prendre d'autres définitions
pour l'ensemble des degrés de liberté, en particulier :

$$
(2.6) \left\{
\begin{array}{l}
\Sigma'_{K} = \{p(a_i), 1 \le i \le 3; Dp(a_i) \cdot (a_j-a_i), 1 \le i,j \le 3, j \ne i\}; \\[2ex]
D^2 p(a_i) \cdot (a_j-a_i, a_k-a_i), 1 \le i,j,k \le 3, j \ne i, k \ne i; \\[2ex]
\frac{\partial p}{\partial v}(a_{ij}), 1 \le i < j \le 3\},
\end{array}
\right.
$$
ou encore, l'ensemble utilisé par ARGYRIS [1]

$$
(2.7) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\Sigma_K'' = \{p(a_i), Dp(a_i) \cdot (a_i - a_i^{-1}), Dp(a_i) \cdot (a_i + a_i^{-1}), 1 \le i \le 3, \\
\qquad D^2 p(a_i) \cdot (a_j - a_j^{-1})^2, 1 \le i, j \le 3; Dp(a_{ij}) \cdot v_i, 1 \le i < j \le 3 \} ,
\end{array}
\right.
$$

où dans la dernière expression les indices sont numérotés modulo 3, et
le vecteur $v_i$ est la hauteur issue du sommet $a_i$.

Exemple 2.2 : Élément fini de BELL [1] (ou élément fini à 18 degrés de liberté)

Cet élément fini est déduit de l'élément d'ARGYRIS par élimination des trois
degrés de liberté $\frac{\partial p}{\partial v}(a_{ij})$, $1 \le i < j \le 3$, conformément aux résultats du
Théorème 2.1 ci-dessous, ce qui assure encore $V_h \subset C^1(\bar{\Omega})$.

Théorème 2.1 (CIARLET [2, Théorème 2.2-12]) :

Tout polynôme de l'espace

$$
(2.8) \quad P_5'(K) = \{ p \in P_5(K) ; \frac{\partial p}{\partial v} \in P_3(K') \text{ sur chaque côté } K' \text{ de } K \}
$$

est déterminé de manière unique par l'ensemble suivant à 18 degrés de
liberté :

$$
\Sigma_K = \{ \partial^\alpha p(a_i) , |\alpha| \le 2 , 1 \le i \le 3 \} .
$$

Cet espace $P_5'(K)$ satisfait l'inclusion

$$
(2.9) \qquad P_4(K) \subset P_5'(K). \blacksquare
$$

Nous indiquons sur la Figure 2.2 trois ensembles possibles de degrés de
liberté respectivement associés aux trois ensembles décrits dans la
définition de l'élément fini d'ARGYRIS.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 2.2.</figcaption></figure>

$$ P_K = P_5'(K) \text{ (cf. (2.8)) ; dim } P_K = 18 ; $$

$$ \Sigma_K = \{p(a_i), \frac{\partial p}{\partial x_1}(a_i), \frac{\partial p}{\partial x_2}(a_i), \frac{\partial^2 p}{\partial x_1^2}(a_i), \frac{\partial^2 p}{\partial x_1 \partial x_2}(a_i), \frac{\partial^2 p}{\partial x_2^2}(a_i), 1 \le i \le 3 \} $$

$$ \Sigma_K' = \{p(a_i), 1 \le i \le 3 ; Dp(a_i)(a_j-a_i), 1 \le i,j \le 3, i \ne j \} $$

$$ D^2 p(a_i)(a_j-a_i, a_k-a_i), 1 \le i,j,k \le 3, j \ne i, k \ne i \} $$

$$ \Sigma_K'' = \{p(a_i), Dp(a_i)(a_{i-1}-a_i), Dp(a_i)(a_{i+1}-a_i), 1 \le i \le 3 \} $$

$$ D^2 p(a_i)(a_{j+1}-a_j)^2, 1 \le i,j \le 3 \} . $$
Pour résoudre le problème de l'estimation d'erreur CIARLET [1, N° 6] utilise l'idée de **famille affine régulière** d'éléments finis. Cette appellation recouvre en fait deux notions distinctes qu'il convient de bien mettre en évidence et d'utiliser judicieusement :

(i) **Triangle de référence** $\hat{K}$ : c'est un triangle qui peut être choisi quelconque dans le plan $\mathbb{R}^2$ mais qui, pour simplifier, est habituellement le triangle rectangle isocèle unité [(0,0);(1,0);(0,1)]. Alors tout triangle $K \in \mathcal{T}_h$, supposé d'intérieur non vide, est l'image du triangle de référence $\hat{K}$ par une application affine inversible $F_K$, définie par

$$ (2.10) \qquad F_K : \hat{x} \in \hat{K} \mapsto F_K(\hat{x}) = B_K \hat{x} + b_K, $$

où $B_K$ est une matrice inversible et $b_K$ un vecteur de $\mathbb{R}^2$, telle que

$$ (2.11) \qquad F_K(\hat{a}_i) = a_i, \quad i = 1,2,3. $$

Les points $\hat{a}_i$, $a_i$ sont les sommets respectifs des triangles $\hat{K}$ et $K$.

(ii) **Elément fini de référence** $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$ :

Cette notion se rattachera à la précédente puisque aussi bien tout triangle $K \in \mathcal{T}_h$ est associé à un triangle de référence $\hat{K}$ par l'application affine inversible $F_K$ définie en (2.10)(2.11). Mais cette notion est plus restric- tive que la précédente car la correspondance porte cette fois-ci, non seulement sur la géométrie des triangles, mais aussi sur l'espace fonction- nel d'interpolation et sur les degrés de liberté utilisés.

Plus précisément, soit des ensembles $\Sigma$ de degrés de liberté constitués par des formes linéaires du type suivant :

$$ (2.12) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \phi_i^0 : p \to p(a_i^0), \\ \\ \phi_{ik}^1 : p \to Dp(a_i^1) \xi_{ik}^1, \\ \\ \phi_{ikl}^2 : p \to D^2 p(a_i^2) (\xi_{ik}^2, \xi_{il}^2), \end{array} \right. $$
où les points $a_i^r$, $r = 0,1,2$, appartiennent au triangle K et les vecteurs non nuls $\xi_{ik}^1, \xi_{ik}^2, \xi_{il}^2$ sont construits ou bien à partir de la géométrie du triangle, ou bien à partir de vecteurs fixés de $\mathbb{R}^2$. Alors nous disons que deux éléments finis $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$ et $(K,P,\Sigma)$, avec des degrés de liberté de la forme (2.12), sont _affine-équivalents_ s'il existe une application affine inversible $F_K$ de type (2.10)(2.11) telle que :

$$ (2.13) \quad \left\{ \begin{array}{l} K = F_K(\hat{K}) , \\[1em] a_i^r = F(\hat{a}_i^r) , \ r = 0,1,2, \\[1em] \xi_{ik}^1 = B\hat{\xi}_{ik}^1 , \ \xi_{ik}^2 = B\hat{\xi}_{ik}^2 , \ \xi_{il}^2 = B\hat{\xi}_{il}^2 , \end{array} \right. $$

où les noeuds $a_i^r$ (resp. $\hat{a}_i^r$), et les vecteurs $\xi_{ik}^1, \xi_{ik}^2, \xi_{il}^2$ (resp. $\hat{\xi}_{ik}^1, \hat{\xi}_{ik}^2, \hat{\xi}_{il}^2$) proviennent de la définition des ensembles $\Sigma$(resp. $\hat{\Sigma}$), et où

$$ P = \{ p : K \to \mathbb{R} ; p = \hat{p} \circ F_K^{-1}, \hat{p} \in \hat{P} \}. $$

On dit alors que l'on a défini une famille _affine_ régulière d'éléments finis si pour toute famille régulière de triangulations $\mathcal{T}_h$ il est possible de définir un élément fini (de référence) affine-équivalent à tout élément fini $(K,P,\Sigma)$, $K \in \mathcal{T}_h$, de la famille.

Ces deux notions étant explicitées revenons aux Exemples 2.1 et 2.2. Il est facile de vérifier que l'on peut construire une _famille régulière_ d'éléments finis du type ARGYRIS ou du type BELL et qu'à chaque famille on peut associer un triangle de référence $\hat{K}$. Mais il n'est pas possible de construire une _famille affine régulière_ d'éléments finis du type ARGYRIS ou du type BELL. En effet dans l'ensemble des degrés de liberté de l'élément fini d'ARGYRIS figurent les trois dérivées normales au milieu des côtés et ces degrés de liberté ne sont pas invariants par transformation affine, d'où l'impossibilité, dans le cas général, de définir des éléments affine-équivalents. Il en va de même pour l'élément fini de BELL
où les dérivées normales aux milieux des côtés apparaissent de façon implicite dans la relation (2.8).

Cependant cette situation n'est pas gênante car, si la notion de famille *affine* régulière est utilisée pour l'estimation du terme d'approximation $|v-\pi_h v|_{m,\Omega}$ (CIARLET [1, N° 6, Théorème 5]), on sait adapter cette étude au cas des familles non affines construites à partir des éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL (CIARLET [1, N° 13, Théorème 1 ou Problème 1]). Par ailleurs, nous verrons que la prise en compte de l'intégration numérique n'utilise que la notion de triangle de référence $\hat{K}$, à l'exclusion de la notion d'élément fini de référence $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$, et s'applique de la sorte indifféremment à des familles affines ou non affines, régulières d'éléments finis.

Nous terminons ce paragraphe en rappelant le résultat d'estimation de l'erreur dans le cas où on n'utilise pas de schémas d'intégration numérique, i.e., pour le problème (2.5).

**Théorème 2.2** : Soit une famille affine régulière d'éléments finis et $V_h$ l'espace d'éléments finis associés vérifiant les conditions (2.3).
Nous supposons en outre que

$$ (2.14) \qquad \left\{ \begin{array}{l} P_m(K) \subset P_K \quad \text{où } m \in \mathbb{N}, m \ge 2, \\ H^{m+1}(K) \subset C^s(K), \end{array} \right. $$

où s est l'ordre maximal des dérivées partielles intervenant dans la définition de l'ensemble des degrés de liberté $\Sigma_K$.

Alors si la solution $u$ du problème (1.5) appartient à $H^{m+1}(\Omega)$ il existe une constante $\hat{c}$ indépendante de $h$ telle que

$$ (2.15) \qquad \|u-u_h\|_{2,\Omega} \le \hat{c}h^{m-1} |u|_{m+1,\Omega}, $$

où $u_h$ est la solution du problème discret (2.5).
**Démonstration** : Compte tenu des hypothèses, en particulier de l'hypothèse
de famille **affine**, il est loisible d'utiliser le Théorème 6 de CIARLET
[1, N° 6] : Il existe une constante $\hat{C}$ telle que pour tous les éléments
finis de la famille, toutes les fonctions $v \in H^{m+1}(\Omega)$ et tout entier
$q \le m+1$, on ait :

$$
(2.16) \qquad |v - \pi_K v|_{q, K} \le \hat{C} h_K^{m+1-q} |v|_{m+1, K},
$$

où $\pi_K v = \pi_h v|_K$, $\pi_h$ = opérateur de $V_h$-interpolation. En particulier,
avec la relation (2.2) :

$$
\|v - \pi_K v\|_{2, K} \le \hat{C} h_K^{m-1} |v|_{m+1, K} \le \hat{C} h^{m-1} |v|_{m+1, K},
$$

et par suite :

$$
\begin{align*}
\|v - \pi_h v\|_{2, \Omega} &= \left( \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \|v - \pi_K v\|_{2, K}^2 \right)^{\frac{1}{2}} \le \hat{C} h^{m-1} \left( \sum_{K \in \mathcal{K}_h} |v|_{m+1, K}^2 \right)^{\frac{1}{2}} \\
&= \hat{C} h^{m-1} |v|_{m+1, K} .
\end{align*}
$$

Mais par analogie avec CIARLET [1, N° 3] on obtient

$$
(2.17) \quad \|u-u_h\|_{2, \Omega} \le C \inf_{v_h \in V_h} \|u-v_h\|_{2, \Omega},
$$

d'où le résultat, en observant que

$$
\inf_{v_h \in V_h} \|u - v_h\|_{2, \Omega} \le \|u - \pi_h u\|_{2, \Omega}. \blacksquare
$$

**Corollaire 2.1** : Soit une famille régulière d'éléments finis du type ARGYRIS (resp. du type BELL), et soit $V_h$ l'espace d'éléments finis associé vérifiant les conditions (2.3).

Alors si la solution u du problème (1.5) appartient à $H^6(\Omega)$
 resp. $H^5(\Omega)$ il existe une constante $\hat{C}$ indépendante de h telle que

$$
(2.18) \qquad \|u - u_h\|_{2, \Omega} \le \hat{C} h^4 |u|_{6, \Omega},
$$
$$
(2.19) \qquad (\text{resp. } |u-u_h|_{2,\Omega} \le \hat{\text{Ch}}^3 |u|_{5,\Omega}),
$$

où $u_h$ est la solution du problème discret (2.5).

**Démonstration** : Comme on l'a souligné plus haut la famille d'éléments finis est cette fois-ci non affine. Pour obtenir une estimation de l'approximation sur chaque triangle K on procède alors en deux temps (cf. CIARLET [1, N°13, Théorème 1]) : Par exemple, pour la famille d'éléments d'ARGYRIS

(i) on introduit la famille _affine_ régulière des triangles d'Hermite de type (5) à laquelle on applique le Théorème 5, N° 6 de CIARLET [1] :

$$
| v - \Lambda_K v |_{2,K} \leq \hat{\text{Ch}}^4 | v |_{6,K},
$$

pour toute fonction $v \in H^6(K)$ et pour une certaine constante $\hat{\text{Ch}}$ indépendante
de K et de h. L'opérateur $\Lambda_K$ est l'opérateur de $P_5$-interpolation correspon-
dant au triangle d'Hermite de type (5).

(ii) on montre ensuite que

$$
| \pi_K v - \Lambda_K v |_{2,K} \le \hat{\text{Ch}}^4 |v|_{6,K},
$$

où $\pi_K$ est l'opérateur de $P_5$-interpolation correspondant au triangle
d'ARGYRIS.

Par suite $|v-\pi_K v| \le \hat{\text{Ch}}^4 |v|_{6,K}$, d'où l'estimation (2.18) par analogie avec la démonstration du Théorème 2.2.Il en irait de même pour la démonstration de l'estimation (2.19).

Par la suite, nous montrons que l'utilisation de schémas d'intégration
numérique convenables conduit aux mêmes estimations d'erreur asymptotiques
que l'intégration exacte, soit (2.15) pour une famille affine régulière
d'éléments finis vérifiant les hypothèses du Théorème 2.2, soit (2.18) ou
(2.19) pour une famille régulière d'éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL,
vérifiant les hypothèses du Corollaire 2.1.
### 3. PRISE EN COMPTE DE L'INTEGRATION NUMERIQUE :

Les méthodes conformes d'éléments finis pour les problèmes d'ordre 4 utilisent des bases polynomiales de haut degré (5 pour les Exemples 2.1 et 2.2). Si l'on ajoute à cela la présence de coefficients variables dans la définition des formes $a(\cdot, \cdot)$ et $f(\cdot)$ (cf. (1.2)(1.3)) il est coûteux ou tout simplement impossible de calculer exactement les intégrales qui apparaissent dans (2.5). C'est pourquoi nous sommes conduits à utiliser des schémas d'intégration numérique, ce qui revient à résoudre un nouveau problème discret :

$$ (3.1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u_h \in V_h \text{ tel que pour tout } v_h \in V_h \\ a_h(u_h, v_h) = f_h(v_h), \end{array} \right. $$

où $a_h(\cdot, \cdot)$ et $f_h(\cdot)$ sont des formes bilinéaire et linéaire approchées définies sur l'espace $V_h$ (ces formes approchées seront définies en (3.14) et (3.15)).

Pour préparer l'obtention d'estimations explicites de l'erreur nous donnons dans le Théorème suivant une majoration abstraite de l'erreur.

**Théorème 3.1** : Soit une famille de problèmes discrets (3.1) pour laquelle les formes bilinéaires $a_h(\cdot, \cdot)$ sont $V_h$-elliptiques, uniformément par rapport à h, i.e., il existe une constante $\alpha > 0$ indépendante de h telle que

$$ (3.2) \qquad \forall v_h \in V_h, \quad \alpha \|v_h\|_{2,\Omega}^2 \le a_h(v_h, v_h). $$

Alors il existe une constante C indépendante de h telle que

$$ (3.3) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \|u-u_h\|_{2,\Omega} \le C \left[ \begin{array}{@{}l@{}} \displaystyle \inf_{v_h \in V_h} \left\{ \|u-v_h\|_{2,\Omega} + \sup_{w_h \in V_h} \frac{|a(v_h,w_h)-a_h(v_h,w_h)|}{\|w_h\|_{2,\Omega}} \right\} \\ \\ \displaystyle + \sup_{w_h \in V_h} \frac{|f(w_h)-f_h(w_h)|}{\|w_h\|_{2,\Omega}} \end{array} \right] . \end{array} \right. $$
**Démonstration** : Soit $v_h$ un élément arbitraire de l'espace $V_h$. Nous pouvons écrire

$$ 
\begin{align*}
\alpha \| u_h - v_h \|_{2,\Omega}^2 &\le a_h (u_h - v_h, u_h - v_h) \\
&= a(u-v_h, u_h - v_h) + [a(v_h, u_h - v_h) - a_h(v_h, u_h - v_h)] \\
&\quad + [f_h(u_h - v_h) - f(u_h - v_h)],
\end{align*}
$$

de telle sorte que la continuité de la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ entraîne

$$ 
\begin{align*}
\alpha \| u_h - v_h \|_{2,\Omega} &\le M \| u - v_h \|_{2,\Omega} + \frac{|a(v_h, u_h - v_h) - a_h(v_h, u_h - v_h)|}{\| u_h - v_h \|_{2,\Omega}} \\
&\quad + \frac{|f_h(u_h - v_h) - f(u_h - v_h)|}{\| u_h - v_h \|_{2,\Omega}} \\
&\le M \| u - v_h \|_{2,\Omega} + \sup_{w_h \in V_h} \frac{|a(v_h, w_h) - a_h(v_h, w_h)|}{\| w_h \|_{2,\Omega}} \\
&\quad + \sup_{w_h \in V_h} \frac{|f_h(w_h) - f(w_h)|}{\| w_h \|_{2,\Omega}}.
\end{align*}
$$

En combinant cette inégalité avec l'inégalité triangulaire

$$ \| u - u_h \|_{2,\Omega} \le \| u - v_h \|_{2,\Omega} + \| v_h - u_h \|_{2,\Omega} $$

et en prenant l'infiniimum par rapport à $v_h \in V_h$ on obtient l'inégalité (3.3). ■

**Remarque 3.1** : L'inégalité (3.3) généralise l'estimation d'erreur (2.17). Ainsi, au terme usuel de la théorie de l'approximation, i.e., $\inf_{v_h \in V_h} \|u-v_h\|_{2,\Omega}$, il convient d'ajouter les deux termes évaluant la consistance des schémas d'approximation des formes bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ et linéaire $f(\cdot)$, respectivement. ■
Dans toute la suite de ce paragraphe nous supposons vérifiées ou bien les hypothèses du Théorème 2.2 relatives à une famille affine régulière d'éléments finis, ou bien les hypothèses du Corollaire 2.1 relatives à une famille régulière d'éléments finis du type ARGYRIS ou BELL. Sauf mention explicite du contraire les résultats qui suivent sont établis en utilisant la seule notion de triangle de référence, à l'exclusion de la notion d'élément fini de référence (cf. paragraphe 2). Ces résultats seront donc valables tant pour les familles affines régulières d'éléments finis que pour les familles régulières d'éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL. Pour toutes ces familles (affines ou non affines) d'éléments finis nous associons à l'espace fonctionnel $P_K$ défini sur le triangle K et vérifiant

$$ (3.4) \qquad P_m(K) \subset P_K \subset P_n(K), \ m,n \in \mathbb{N}, \ 2 \le m \le n, $$

l'espace fonctionnel $\hat{P}_K$ défini sur le triangle de référence $\hat{K}$ par

$$ (3.5) \qquad \hat{P}_K = \{ \hat{p}_K : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{p}_K = p_K \circ F_K, p_K \in P_K \}, $$

où $F_K$ est l'application affine définie par les relations (2.10)(2.11). Il s'ensuit que

$$ (3.6) \qquad P_m(\hat{K}) \subset \hat{P}_K \subset P_n(\hat{K}), \ m,n \in \mathbb{N}, \ 2 \le m \le n, $$

et l'on notera que les relations (3.6) sont indépendantes du triangle $K \in \mathcal{C}_h$ considéré.

Pour trouver une estimation explicite de l'erreur dans le cas où l'on utilise des schémas d'intégration numérique nous vérifions dans le Théorème 3.2 que l'hypothèse (3.2) est satisfaite pour des schémas convenables. Ensuite, dans les Théorèmes 3.3 et 3.4 nous préparons l'évaluation des termes de consistance relatifs à l'approximation des formes bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ et linéaire $f(\cdot)$. Enfin, dans le Théorème 3.5 nous obtenons l'estimation cherchée en regroupant les résultats des quatres théorèmes précédents ainsi que ceux du Théorème 2.2 ou du Corollaire 2.1.
Définissons donc les schémas d'intégration numérique utilisés et par là même les formes $a_h(\cdot, \cdot)$ et $f_h(\cdot)$. Soit un schéma d'intégration numérique sur le triangle de référence $\hat{K}$ :

$$ (3.7) \qquad \int_{\hat{K}} \hat{\phi}(\hat{x}) d\hat{x} \sim \sum_{q=1}^{Q} \hat{\omega}_q \hat{\phi}(\hat{b}_q) . $$

A la fonction $\phi$ définie sur $K$ nous associons la fonction $\hat{\phi}_K$ définie sur le triangle $\hat{K}$ par $\hat{\phi}_K = \phi \circ F_K$, et inversement $\phi = \hat{\phi}_K \circ F_K^{-1}$, où $F_K : \hat{K} \to K$ désigne l'application affine définie par les relations (2.10)(2.11). En supposant $\det(B_K) > 0$, ce qui ne restreint pas la généralité des résultats, on obtient :

$$ (3.8) \qquad \int_K \phi(x) dx = \det(B_K) \int_{\hat{K}} \hat{\phi}_K(\hat{x}) d\hat{x}. $$

Ainsi le schéma d'intégration numérique (3.7) sur le triangle de référence $\hat{K}$ induit le schéma d'intégration numérique suivant sur le triangle $K$ :

$$ (3.9) \qquad \int_K \phi(x) dx \sim \sum_{q=1}^{Q} \omega_{q,K} \phi(b_{q,K}) , $$

avec

$$ (3.10) \qquad \omega_{q,K} = \det(B_K) \hat{\omega}_q \text{ et } b_{q,K} = F_K(\hat{b}_q) , \quad 1 \le q \le Q. $$

Parallèlement, nous définissons les fonctionnelles d'erreur

$$ (3.11) \qquad E_K(\phi) = \int_K \phi(x) dx - \sum_{q=1}^Q \omega_{q,K} \phi(b_{q,K}) , $$

$$ (3.12) \qquad \hat{E}(\hat{\phi}) = \int_{\hat{K}} \hat{\phi}(\hat{x}) d\hat{x} - \sum_{q=1}^{Q} \hat{\omega}_q \hat{\phi}(\hat{b}_q) , $$

de telle sorte que

$$ (3.13) \qquad E_K(\phi) = \det (B_K) \hat{E}(\hat{\phi}) . $$

Les formes bilinéaire et linéaire approchées sont alors définies par :
$$
(3.14) \quad a_h(u_h, v_h) = \sum_{K \in \mathcal{T}_h} \sum_{q=1}^{Q} \omega_{q,K} \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+l=2}} a_{ijk\ell} \frac{\partial^2 u_h}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} \frac{\partial^2 v_h}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^\ell} (b_{q,K})
$$

$$
(3.15) \qquad f_h(v_h) = \sum_{K \in \mathcal{T}_h} \sum_{q=1}^{Q} \omega_{q,K} (fv_h)(b_{q,K}) .
$$

Vérifions maintenant que l'hypothèse (3.2) de $V_h$-ellipticité uniforme est
satisfaite pour des schémas d'intégration numérique convenables.

Theorème 3.2 : Nous faisons les hypothèses suivantes :

(i) L'espace $P_K$ vérifie l'inclusion $P_K \subset P_n(K)$, $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$, ce qui entraîne
que l'espace associé $\hat{P}_K$ par la relation (3.5) vérifie l'inclusion $\hat{P}_K \subset P_n(\hat{K})$,
ceci pour tout $K \in \mathcal{T}_h$;

(ii) Le schéma d'intégration numérique donné sur le triangle de référence
$\hat{K}$ par $\int_{\hat{K}} \hat{\phi}(\hat{x})d\hat{x} \sim \sum_{q=1}^{Q} \hat{w}_q \hat{\phi}(\hat{b}_q)$ avec $\hat{w}_q > 0, 1 \le q \le Q$, est tel que la réunion
$\bigsqcup_{q=1}^{Q} \{\hat{b}_q\}$ contienne un sous-ensemble $P_{n-2}(\hat{K})$-unisolvant ou/et le schéma
d'intégration numérique soit exact sur l'espace $P_{2n-4}(\hat{K})$.

Alors il existe une constante $\alpha > 0$, indépendante de $h$, telle que pour toutes
les formes bilinéaires approchées du type (3.14) et pour tous les espaces $V_h$
on ait

$$
(3.16) \quad \forall v_h \in V_h, \quad \alpha \|v_h\|_{2,\Omega}^2 \le a_h(v_h,v_h).
$$

Démonstration : (en 4 étapes)

Etape 1 : Supposons tout d'abord que la réunion $\bigsqcup_{q=1}^Q \{\hat{b}_q\}$ contienne un sous-
ensemble $P_{n-2}(\hat{K})$-unisolvant. En utilisant la stricte positivité des poids
$\hat{w}_q$ il vient :
$$
\hat{p} \in P_n(\hat{K}) \text{ et } \sum_{q=1}^{Q} \hat{\omega}_q \sum_{i+j=2} \left( \frac{\partial^2 \hat{p}}{(\partial \hat{x}_1)^i (\partial \hat{x}_2)^j} (\hat{b}_q)^j \right)^2 = 0
$$

$$
\Rightarrow \frac{\partial^2 \hat{p}}{(\partial \hat{x}_1)^i (\partial \hat{x}_2)^j} (\hat{b}_q) = 0 \text{ pour } 0 \le i,j \le 2, i+j = 2, 1 \le q \le Q.
$$

Pour chaque couple (i,j) ∈ {0,1,2} × {0,1,2} avec i+j=2, la fonction

$$
\frac{\partial^2 \hat{p}}{(\partial \hat{x}_1)^i (\partial \hat{x}_2)^j}
$$

est dans l'espace $P_{n-2}(\hat{K})$ grâce à l'hypothèse (i), et comme elle s'annule
sur un sous ensemble $P_{n-2}(\hat{K})$-unisolvant (hypothèse (ii)), elle est identi-
quement nulle. Par suite, l'application

$$
\hat{p} \rightarrow \left( \sum_{q=1}^{Q} \hat{\omega}_q \sum_{i+j=2} \left( \frac{\partial^2 \hat{p}}{(\partial \hat{x}_1)^i (\partial \hat{x}_2)^j} (\hat{b}_q)^j \right)^2 \right)^{1/2}
$$

définit une norme sur l'espace quotient $P_n(\hat{K})/P_1(\hat{K})$. Etant donné que
l'application $\hat{p} \to |\hat{p}|^2_{2,\hat{K}}$ est aussi une norme sur cet espace (cf. CIARLET
[1, Théorème 1, N° 6]) et étant donné que cet espace est de dimension
finie, il existe une constante $\hat{C} > 0$ telle que

$$
(3.17) \quad \forall \hat{p} \in P_n(\hat{K}), \hat{C} |\hat{p}|^2_{2,\hat{K}} \le \sum_{q=1}^{Q} \hat{\omega}_q \sum_{i+j=2} \left( \frac{\partial^2 \hat{p}}{(\partial \hat{x}_1)^i (\partial \hat{x}_2)^j} (\hat{b}_q)^j \right)^2 .
$$

Si l'on suppose que le schéma d'intégration numérique est exact pour
l'espace $P_{2n-4}(\hat{K})$, l'inégalité ci-dessus devient une égalité avec $\hat{C}=1$.
En effet, la fonction

$$
\sum_{i+j=2} \left( \frac{\partial^2 \hat{p}}{(\partial \hat{x}_1)^i (\partial \hat{x}_2)^j} (\hat{b}_q)^j \right)^2
$$

appartient à l'espace $P_{2n-4}(\hat{K})$ pour tout $\hat{p} \in P_n(\hat{K})$ et l'expression
$$
\sum_{q=1}^{Q} \hat{\omega}_q \sum_{i+j=2} \left( \frac{\partial^2 \hat{p}}{(\partial \hat{x}_1)^i (\partial \hat{x}_2)^j} (\hat{b}_q) \right)^2
$$

est alors la formule d'intégration exacte de l'intégrale

$$
\int_{\hat{K}} \sum_{i+j=2} \left( \frac{\partial^2 \hat{p}}{(\partial \hat{x}_1)^i (\partial \hat{x}_2)^j} \right)^2 d\hat{x} = |\hat{p}|^2_{2, \hat{K}} .
$$

Etape 2 : Considérons maintenant pour un triangle K donné ∈ ζ_h l'approxi-
mation de l'intégrale

$$
\int_K \sum_{i+j=2} \sum_{k+l=2} a_{ijkl} \frac{\partial^2 u}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} \frac{\partial^2 v}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^l} dx.
$$

Pour une fonction arbitraire v_h ∈ V_h nous posons v_h|_K = p_K. Soit p_K ∈ P_K
la fonction associée à p_K par p_K = p_K o F_K (cf. (3.5)). Il est loisible de
supposer det(B_K) > 0 ce qui entraîne avec l'hypothèse ω_q > 0 et l'égalité
(3.10), ω_q,K > 0. Alors l'hypothèse d'ellipticité (1.4) implique

$$
(3.18) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \sum_{q=1}^{Q} \omega_{q,K} \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+l=2}} \left( a_{ijk\ell} \frac{\partial^2 p_K}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} \frac{\partial^2 p_K}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^\ell} \right) (b_{q,K}) \\
\ge & \beta \sum_{q=1}^{Q} \omega_{q,K} \sum_{i+j=2} \left( \frac{\partial^2 p_K}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} (b_{q,K}) \right)^2 .
\end{aligned}
\right.
$$

Mais, par définition il vient :

$$
\frac{\partial^2 \hat{p}_K}{\partial \hat{x}_i \partial \hat{x}_j} (\hat{x}) = D^2 \hat{p}_K(\hat{x}) \cdot (\vec{e}_i, \vec{e}_j) , \quad 1 \le i,j \le 2 ,
$$
ou encore, comme $\hat{p}_K = p_K^0 F_K$, et en utilisant les règles de dérivation d'un produit (CARTAN [1]) :

$$D^2 \hat{p}_K(\hat{x}) \cdot (\hat{e}_i, \hat{e}_j) = D p_K(x) \cdot (D^2 F_K(\hat{x}) \cdot (\hat{e}_i, \hat{e}_j)) + D^2 p_K(x) \cdot (DF_K(\hat{x}) \cdot \hat{e}_i, DF_K(\hat{x}) \cdot \hat{e}_j).$$

Comme $F_K$ est affine il vient avec (2.10) :

$$D^2 \hat{p}_K(\hat{x}) \cdot (\hat{e}_i, \hat{e}_j) = D^2 p_K(x) \cdot (B_K \hat{e}_i, B_K \hat{e}_j).$$

En interprétant $D^2 p_K(x)$ comme la matrice

$$\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 p_K}{(\partial x_1)^2} (x) & \frac{\partial^2 p_K}{\partial x_1 \partial x_2} (x) \\ \frac{\partial^2 p_K}{\partial x_2 \partial x_1} (x) & \frac{\partial^2 p_K}{(\partial x_2)^2} (x) \end{pmatrix}$$

il vient la majoration

$$\left( \frac{\partial^2 \hat{p}_K}{\partial \hat{x}_i \partial \hat{x}_j} (\hat{x}) \right)^2 \le ||B_K||^4 \left( \left( \frac{\partial^2 p_K}{(\partial x_1)^2} \right)^2 + 2 \left( \frac{\partial^2 p_K}{\partial x_1 \partial x_2} \right)^2 + \left( \frac{\partial^2 p_K}{(\partial x_2)^2} \right)^2 \right), \quad 1 \le i,j \le 2.$$

D'où

$$\sum_{i+j=2} \left( \frac{\partial^2 \hat{p}_K}{(\partial \hat{x}_1)^i (\partial \hat{x}_2)^j} (\hat{x}) \right)^2 \le 4 ||B_K||^4 \sum_{i+j=2} \left( \frac{\partial^2 p_K}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} (x) \right)^2.$$

En reportant ces inégalités dans (3.18) il vient avec (3.10) :

$$\sum_{q=1}^{Q} \omega_{q,K} \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+l=2}} \left( a_{ijk\ell} \frac{\partial^2 p_K}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} \frac{\partial^2 p_K}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^l} \right)_{(b_{q,K})} \\ \geq \hat{C} \det(B_K) ||B_K||^{-4} \sum_{q=1}^{Q} \hat{\omega}_q \sum_{\substack{i+j=2}} \left( \frac{\partial^2 \hat{p}_K}{(\partial \hat{x}_1)^i (\partial \hat{x}_2)^j} (\hat{b}_q) \right)^2$$
$$
\geq \hat{C} \det(B_K) ||B_K||^{-4} |\hat{p}_K|_{2,\hat{K}}^2, \text{ grâce aux inégalités (3.17),}
$$

$$
\geq \hat{C} \, ||B_K||^{-4} \, ||B_K^{-1}||^{-4} \, |p_K|^2_{2,K},
$$

où $\hat{C}$ est ici, et par la suite, une constante indépendante du triangle $K \in \mathcal{T}_h$
et de $h$. Pour cette dernière inégalité nous utilisons le théorème 3 de
CIARLET [1, N° 6] , i.e. ,

$$
|\hat{p}_K|_{2,\hat{K}} \geq \hat{C} ||B_K^{-1}||^{-2} \left(\det(B_K)\right)^{-\frac{1}{2}} |p_K|_{2,K}.
$$

En outre, le Théorème 4 de CIARLET [1, N° 6] entraîne

$$
\| B_K \| \| B_K^{-1} \| \le \frac{\hat{h}}{\rho} \frac{h_K}{\rho_K},
$$

soit, avec l'hypothèse (2.1) de régularité de la famille de triangulations,

$$
\| B_K \| \| B_K^{-1} \| \le \hat{C} .
$$

En définitive il existe une constante $\alpha$ indépendante de $K$ et de $h$ telle
que pour tout $p_K \in P_K$ on ait :

$$
(3.19) \quad \sum_{q=1}^{Q} \omega_{q,K} \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+l=2}} \left( a_{ijk\ell} \frac{\partial^2 p_K}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} - \frac{\partial^2 p_K}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^l} \right) (b_{q,K}) \ge \alpha |p_K|^2_{2,K}.
$$

Etape 3 : En utilisant les inégalités (3.19) pour tous les triangles
$K \in \mathcal{T}_h$ et en observant que $v_{h|K} = p_K$, nous obtenons :

$$
\begin{align*}
\forall v_h \in V_h, \quad a_h(v_h, v_h) &= \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \sum_{q=1}^{Q} \omega_{q,K} \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+l=2}} \left( a_{ijk\ell} \frac{\partial^2 v_h}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} - \frac{\partial^2 v_h}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^l} \right) (b_{q,K}) \\
&\geq \alpha \sum_{K \in \mathcal{K}_h} |v_h|^2_{2,K} = \alpha |v_h|^2_{2,\Omega}.
\end{align*}
$$
**Etape 4** : La prise en compte des conditions aux limites, de type Dirichlet, entraîne l'équivalence des normes $|v_h|_{2,\Omega}$ et $|||v_h|||_{2,\Omega}$ sur $H_0^2(\Omega)$ (inégalité de Poincaré), d'où :

$$ \forall v_h \in V_h, a_h(v_h, v_h) \geq \alpha ||v_h||^2_{2,\Omega}, $$

où $\alpha$ désigne une nouvelle constante indépendante de $h$. ♦

**Remarque 3.2** : Au cours de la démonstration nous avons utilisé successivement les Théorèmes 1, 3 et 4 de CIARLET [1, N° 6]. Observons que les démonstrations de ces théorèmes n'utilisent que la notion de **triangle de référence** à l'exclusion de la notion d'élément fini de référence (cf. discussion du Paragraphe 2).

La $V_h$-ellipticité uniforme de la forme bilinéaire approchée $a_h(\cdot, \cdot)$ étant établie nous préparons, avec les deux théorèmes suivants, l'évaluation des termes de consistance de l'inégalité (3.3).

**Théorème 3.3** : Supposons que l'espace $P_K$ vérifie les inclusions (3.4) ce qui entraîne que l'espace $\hat{P}_K$ associé, défini en (3.5), vérifie les inclusions (3.6). Supposons en outre que

$$ (3.20) \qquad \forall \hat{\phi} \in P_{m+n-4}(\hat{K}) , \hat{E}(\hat{\phi}) = 0. $$

Alors il existe une constante $\hat{C}$ indépendante de $K \in \mathcal{C}_h$ et de $h$ telle que

$$ (3.21) \quad \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \forall a \in W^{m-1,\infty}(K), \forall p \in P_K, \forall p' \in P_K, \forall i,j,k,l \in \mathbb{N}, i+j=k+l=2: \\ \left| E_K \left( a \frac{\partial^2 p'}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} - \frac{\partial^2 p}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^l} \right) \right| \le \hat{C} h_K^{m-1} \|a\|_{m-1,\infty, K} \|p'\|_{m+1,K} |p|_{2,K} \end{array} \right. $$

**Démonstration** (en 3 étapes) :

**Etape 1** : Première estimation sur le triangle de référence

Compte tenu des inclusions (3.4) nous allons chercher une estimation d'erreur pour $E_K(\text{avw})$ avec
$a \in W^{m-1, \infty}(K)$, $v \in P_{n-2}(K)$, $w \in P_{n-2}(K)$.

Mais à partir de (3.13) il vient

$$ (3.22) \qquad E_K(\text{avw}) = \det(B_K) \hat{E}(\hat{a}\hat{v}\hat{w}) , $$

avec $\hat{a} \in W^{m-1, \infty}(\hat{K})$, $\hat{v} \in P_{n-2}(\hat{K})$, $\hat{w} \in P_{n-2}(\hat{K})$. Pour un $\hat{w} \in P_{n-2}(\hat{K})$ et tout $\hat{\phi} \in W^{m-1, \infty}(\hat{K})$, nous avons comme $m \ge 2$ entraîne $W^{m-1, \infty}(\hat{K}) \subset C^0(\hat{K})$ :

$$ \begin{aligned} |\hat{E}(\hat{\phi}\hat{w})| &= \left| \int_{\hat{K}} \hat{\phi}\hat{w}d\hat{x} - \sum_{q=1}^{Q} \hat{\omega}_q(\hat{\phi}\hat{w})(\hat{b}_q) \right| \\ &\le \hat{C}|\hat{\phi}\hat{w}|_{0,\infty,\hat{K}} \le \hat{C}|\hat{\phi}|_{0,\infty,\hat{K}}|\hat{w}|_{0,\infty,\hat{K}}, \end{aligned} $$

où la lettre $\hat{C}$ représente des constantes qui ne dépendent que du triangle de référence. Etant donné que $|\hat{\phi}|_{0,\infty,\hat{K}} \le \|\hat{\phi}\|_{m-1,\infty,\hat{K}}$ et étant donné que toutes les normes sont équivalentes sur l'espace de dimension finie $P_{n-2}(\hat{K})$, on en déduit

$$ |\hat{E}(\hat{\phi}\hat{w})| \le \hat{C} \|\hat{\phi}\|_{m-1,\infty,\hat{K}} |\hat{w}|_{0,\hat{K}} . $$

Ainsi, pour un $\hat{w} \in P_{n-2}(\hat{K})$ donné, la forme linéaire

$$ \hat{\phi} \in W^{m-1, \infty}(\hat{K}) \rightarrow \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) $$

est continue avec une norme $\le \hat{C}|\hat{w}|_{0,\hat{K}}$ d'une part, et elle s'annule sur l'espace $P_{m-2}(\hat{K})$ d'autre part, grâce à l'hypothèse (3.20). Par suite, en utilisant le lemme de Bramble-Hilbert (cf. CIARLET [1, N° 8, Théorème 3]), il existe une constante $\hat{C}$ telle que

$$ \forall \hat{\phi} \in W^{m-1, \infty}(\hat{K}), \forall \hat{w} \in P_{n-2}(\hat{K}), |\hat{E}(\hat{\phi}\hat{w})| \le \hat{C}|\hat{\phi}|_{m-1, \infty, \hat{K}}|\hat{w}|_{0, \hat{K}}. $$
### Etape 2 : Deuxième estimation sur le triangle de référence.

Soit maintenant $\hat{\phi} = \hat{a}\hat{v}$ avec $\hat{a} \in W^{m-1,\infty}(\hat{K})$ et $\hat{v} \in P_{n-2}(\hat{K})$. Alors $\hat{\phi} \in W^{m-1,\infty}(\hat{K})$. En appliquant la formule de Leibnitz il vient

$$ egin{aligned} |\hat{\phi}|_{m-1,\infty, \hat{K}} &= |\hat{a}\hat{v}|_{m-1,\infty, \hat{K}} \le \hat{C} \sum_{j=0}^{m-1} |\hat{a}|_{m-1-j,\infty, \hat{K}} |\hat{v}|_{j,\infty, \hat{K}} \\ &\le \hat{C} \sum_{j=0}^{m-1} |\hat{a}|_{m-1-j,\infty, \hat{K}} |\hat{v}|_{j,\hat{K}} \end{aligned} $$

où, dans la dernière inégalité, nous avons utilisé l'équivalence de normes sur l'espace de dimension finie $P_{n-2}(\hat{K})$. Par suite, nous obtenons

$$ (3.23) \quad \left\{ \begin{array}{l} \forall \hat{a} \in W^{m-1,\infty}(\hat{K}) , \quad \forall \hat{v} \in P_{n-2}(\hat{K}) , \quad \forall \hat{w} \in P_{n-2}(\hat{K}) , \\ |\hat{E}(\hat{a}\hat{v}\hat{w})| \le \hat{C} \left( \sum_{j=0}^{m-1} |\hat{a}|_{m-1-j,\infty,\hat{K}} |\hat{v}|_{j,\hat{K}} \right) |\hat{w}|_{0,\hat{K}} . \end{array} \right. $$

### Etape 3 : "Estimation d'erreur sur le triangle K"

De l'estimation d'erreur (3.23) sur le triangle de référence $\hat{K}$ on déduit l'estimation d'erreur sur le triangle K en utilisant les inégalités suivantes (cf. CIARLET [1, N° 6, Théorèmes 3 et 4] ) :

$$ egin{align*} |\hat{a}|_{m-1-j, \infty, \hat{K}} &\le \hat{C} h_K^{m-1-j} |a|_{m-1-j, \infty, \hat{K}}, \quad 0 \le j \le m-1, \\ |\hat{v}|_{j, \hat{K}} &\le \hat{C} h_K^j (\det(B_K))^{-1/2} |v|_{j, \hat{K}}, \quad 0 \le j \le m-1, \\ |\hat{w}|_{0, \hat{K}} &\le \hat{C} (\det(B_K))^{-1/2} |w|_{0, \hat{K}}. \end{align*} $$

En combinant ces inégalités avec les relations (3.22) et (3.23) il vient

$$ \left. \begin{array}{l} \forall a \in W^{m-1,\infty}(K), \forall v \in P_{n-2}(K), \forall w \in P_{n-2}(K), \exists \text{ une constante } \hat{C} \\ \text{independante de } K \in \mathcal{C}_h \text{ et de h telle que :} \end{array} \right\} $$
$$
(3.24) \quad \left\{
\begin{aligned}
|E_K(\text{avw})| &\le \hat{C} h_K^{m-1} \left( \sum_{j=0}^{m-1} |a|_{m-1-j, \infty, K} |v|_{j,K} \right) |w|_{0,K} \\
&\le \hat{C} h_K^{m-1} \|a\|_{m-1, \infty, K} \|v\|_{m-1, K} |w|_{0,K}.
\end{aligned}
\right.
$$

On obtient alors l'estimation d'erreur (3.21) en remplacant v par

$$
\frac{\partial^2 p'}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} \quad \text{et w par} \quad \frac{\partial^2 p}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^\ell} \quad \text{dans l'inégalité ci-dessus.} \blacksquare
$$

Remarque 3.3 : Pour la démonstration du Théorème 3.3 la Remarque 3.2
reste valable. ■

Remarque 3.4 : Cas où m=n :

Lorsque m=n le terme $|\hat{v}|_{m-1, \hat{K}}$ de l'inégalité (3.23) est identiquement nul. L'inégalité (3.24) s'écrit alors

$$
|E_K(\text{avw})| \le C h_K^{m-1} \|a\|_{m-1, \infty, K} \|v\|_{m-2, K} |w|_{0, K}
$$

et l'estimation d'erreur (3.21) est remplacée par :

$$
(3.21 \text{ bis}) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\forall a \in W^{m-1, \infty}(K), \forall p \in P_K, \forall p' \in P_K, \\
\\
|E_K \left( a \frac{\partial^2 p'}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} : \frac{\partial^2 p}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^\ell} \right| \le C h_K^{m-1} \|a\|_{m-1, \infty, K} \|p'\|_{m, K} |p|_{2, K} .
\end{array}
\right.
$$

Cette Remarque 3.4 et le Lemme 3.1 suivant sont à l'origine du Théorème
3.2 bis qui donne dans le cas où m=n, une nouvelle démonstration de la
propriété (3.16) de $V_h$-ellipticité uniforme.
**Lemme 3.1** : Soit une famille régulière de triangulations $\mathcal{T}_h$ vérifiant les hypothèses (2.1)(2.2) pour laquelle il existe une constante C telle que

$\forall h, \forall K \in \mathcal{T}_h, h = \max_{K \in \mathcal{T}_h} h_K \le Ch_K$. Soit $V_h$ l'espace d'éléments finis associé satisfaisant les conditions (2.3). Alors il existe une constante $\hat{C}$ indépendante de $K$ et de $h$ telle que

$$ \forall v \in V_h, \forall h, |v|_{m,\Omega} \le \frac{\hat{C}}{h^m} |v|_{o,\Omega}, m \in \mathbb{N}. $$

**Démonstration** : Posons $v|_K = p_K \in P_K$ et soit $\hat{p}_K$ et $\hat{P}_K$ les fonction et espace fonctionnel associés sur le triangle de référence $\hat{K}$ par les relations (3.5). Sur l'espace de dimension finie $P_n(\hat{K})$ (qui contient $\hat{P}_K$) les normes $||\hat{p}_K||_{m,\hat{K}}$ et $|\hat{p}_K|_{o,\hat{K}}$ sont équivalentes, i.e., il existe une constante $\hat{C}$, indépendante de $K$ et de $h$ telle que

$$ ||\hat{p}_K||_{m,\hat{K}} \le \hat{C} |\hat{p}_K|_{o,\hat{K}}, $$

d'où, en particulier

$$ |\hat{p}_K|_{m,\hat{K}} \le \hat{C} |\hat{p}_K|_{o,\hat{K}}. $$

Mais, d'après le Théorème 3 de CIARLET [1,N° 6] il vient

$$ ||B_K^{-1}||^{-m} |\det(B_K)|^{-1/2} |p_K|_{m,K} \le \hat{C} |\hat{p}_K|_{m,\hat{K}} $$

et :

$$ |\hat{p}_K|_{o,\hat{K}} \le \hat{C} |\det(B_K)|^{-1/2} |p_K|_{o,K}. $$

Par suite

$$ |p_K|_{m,K} \le \hat{C} ||B_K^{-1}||^m |p_K|_{o,K}, $$
ou encore, avec le Théorème 4 de CIARLET [1, N° 6]

$$|p_K|_{m,K} \le \hat{c} \left(\frac{\hat{h}}{\rho_K}\right)^m |p_K|_{o,K}.$$

L'hypothèse (2.1), jointe à $h \le Ch_K$, entraîne alors

$$|p_K|_{m,K} \le \frac{\hat{c}}{h^m} |p_K|_{o,K},$$

d'où l'on déduit immédiatement l'inégalité cherchée. ■

**Théorème 3.2 bis** (une autre démonstration de la propriété de $V_h$-ellipticité uniforme lorsque $m=n$) :

Soit un schéma d'intégration numérique donné sur le triangle de référence $\hat{K}$ par

$$\int_{\hat{K}} \hat{\phi}(\hat{x}) d\hat{x} \sim \sum_{q=1}^{Q} \hat{\omega}_q \hat{\phi}(\hat{b}_q) \text{ avec } \hat{\omega}_q > 0, 1 \le q \le Q.$$

On suppose que

(i) $P_K = P_n(K), n \in \mathbb{N}$,

(ii) $\forall \hat{\phi} \in P_{2n-4}(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0$,

(iii) les coefficients $a_{ijk\ell}$ de la forme bilinéaire (1.2) apparaissent à $W^{n-1,\infty}(K), \forall K \in \mathcal{T}_h$.

Alors, il existe une constante $\alpha > 0$, indépendante de $h$, telle que pour toutes les formes bilinéaires approchées du type (3.14) et pour tous les espaces $V_h$ on ait

$$\forall v_h \in V_h, \alpha \|v_h\|_{2,\Omega}^2 \le a_h(v_h, v_h).$$
**Démonstration** : Nous sommes dans les conditions d'application du Théorème 3.3 et de la Remarque 3.4, d'où

$$
\forall a \in W^{n-1,\infty}(K), \forall v \in P_{n-2}(K), \forall w \in P_{n-2}(K),
$$

il existe une constante $\hat{C}$ indépendante de $K \in \mathcal{C}_h$ et de $h$ telle que

$$
|E_K(\text{avw})| \le \hat{C} h_K^{n-1} \|a\|_{n-1,\infty, K} \|v\|_{n-2, K} |w|_{O,K},
$$

ou encore, avec le Lemme 3.1 :

$$
|E_K(\text{avw})| \le \hat{C} h \|a\|_{n-1,\infty,K} |v|_{O,K} |w|_{O,K} .
$$

Les relations (1.2)(3.14) et (3.11) impliquent pour tous $v_h, w_h \in V_h$ :

$$
|a(v_h, w_h) - a_h(v_h, w_h)| \le \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+l=2}} \left| E_K \left( a_{ijk\ell} \frac{\partial^2 v_h}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} \frac{\partial^2 w_h}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^\ell} \right) \right|,
$$

soit, avec la majoration ci-dessus et l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

$$
|a(v_h, w_h) - a_h(v_h, w_h)| \le \hat{C} h \left( \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+l=2}} \|a_{ijk\ell}\|_{n-1,\infty,\Omega} \right) \|v_h\|_{2,\Omega} \|w_h\|_{2,\Omega} .
$$

La propriété d'ellipticité uniforme (1.4) entraîne la $H_o^2(\Omega)$-ellipticité
de la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ :

$$
\exists \text{ une constante } \gamma > 0 \text{ telle que } a(v,v) \geq \gamma ||v||^2_{2,\Omega}, \forall v \in V.
$$

Par suite, $\forall v_h \in V_h \subset V$ on a

$$
\begin{align*}
a_h(v_h, v_h) &\ge a(v_h, v_h) - |a(v_h, v_h) - a_h(v_h, v_h)| \\
&\ge \gamma ||v_h||^2_{2,\Omega} - \hat{C}h ||v_h||^2_{2,\Omega} \ge \alpha ||v_h||^2_{2,\Omega},
\end{align*}
$$

dès que h est assez petit, ce qui établit la propriété cherchée. ■
**Théorème 3.4.** : Supposons que l'espace $P_K$ vérifie les inclusions (3.4) ce qui entraîne que l'espace $\hat{P}_K$ associé, défini en (3.5), vérifie les inclusions (3.6). Soit $m$ un nombre entier $\ge 2$ et $q$ un nombre réel quelconque vérifiant l'inégalité

$$ (3.25) \qquad q > \frac{2}{m-1} \qquad (\implies m-1 - \frac{2}{q} > 0). $$

Supposons en outre que

$$ (3.26) \qquad \forall \hat{\phi} \in P_{m+n-4}(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0. $$

Alors il existe une constante $\hat{C}$ indépendante de $K \in \mathcal{C}_h$ et de $h$ telle que

$$ (3.27) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \forall f \in W^{m-1,q}(K), \forall p \in P_K, \\ |E_K(fp)| \le \hat{C} h_K^{m-1} (\text{mes}(K))^{1/2-1/q} \|f\|_{m-1,q,K} \|p\|_{2,K}. \end{array} \right. $$

**Démonstration** : (en 3 étapes)

Pour tout $f \in W^{m-1,q}(K)$ et tout $p \in P_K$, nous avons grâce à (3.13)

$$ (3.28) \qquad E_K(fp) = \det(B_K) \hat{E}(\hat{f}_K \hat{p}_K), $$

avec $\hat{f}_K \in W^{m-1,q}(\hat{K})$, $\hat{p}_K \in \hat{P}_K \subset P_n(\hat{K})$. Mais

$$ (3.29) \qquad \hat{E}(\hat{f}_K \hat{p}_K) = \hat{E}(\hat{f}_K \hat{\pi} \hat{p}_K) + \hat{E}(\hat{f}_K [\hat{p}_K - \hat{\pi} \hat{p}_K]) , $$

où $\hat{\pi}$ est l'opérateur de projection orthogonale de $L^2(\hat{K})$ sur le sous-espace $P_2(\hat{K})$.

**Etape 1 :** Estimation de $\hat{E}(\hat{f}_K \hat{\pi} \hat{p}_K)$ :

Pour tout $\hat{\psi} \in W^{m-1,q}(\hat{K})$, nous avons

$$ |\hat{E}(\hat{\psi})| \le \hat{C} |\hat{\psi}|_{0,\infty,\hat{K}} \le \hat{C} \|\hat{\psi}\|_{m-1,q,\hat{K}} , $$
étant donné que l'inégalité (3.25) entraîne $m-1 - \frac{2}{q} > 0$ d'où $w^{m-1,q}(\hat{K}) \subset C^\circ(\hat{K})$.
L'hypothèse (3.26) entraîne, en particulier, que $\hat{E}(\hat{\psi}) = 0$ pour tout
$\hat{\psi} \in P_{m-2}(\hat{K})$, d'où avec le lemme de Bramble-Hilbert (cf. CIARLET [1, N° 8,
Théorème 3]) :

$$
\forall \hat{\psi} \in W^{m-1,q}(\hat{K}) , |\hat{E}(\hat{\psi})| \le \hat{C}|\hat{\psi}|_{m-1,q,\hat{K}} .
$$

Soit maintenant $\hat{\psi} = \hat{f}\hat{\pi}\hat{p}$ avec $\hat{f} \in W^{m-1,q}(\hat{K})$, $\hat{p} \in \hat{P}_n(\hat{K})$. En utilisant la
formule de Leibnitz et en remarquant que toutes les semi-normes
$|\hat{\pi}\hat{p}|_{\ell,\infty,\hat{K}}$ sont nulles pour $\ell \ge 3$ ($\hat{\pi}\hat{p} \in P_2(\hat{K})$), on obtient :

$$
|\hat{f}\hat{\pi}\hat{p}|_{m-1,q,\hat{K}} \le \hat{C} \sum_{j=0}^{2} |\hat{f}|_{m-1-j,q,\hat{K}} |\hat{\pi}\hat{p}|_{j,\infty,\hat{K}} .
$$

Ou encore, en utilisant l'équivalence de normes sur l'espace de dimension
finie P₂(Ξ) :

$$
|\hat{f}\hat{\pi}\hat{p}|_{m-1,q,\hat{K}} \le \hat{C} \sum_{j=0}^{2} |\hat{f}|_{m-1-j,q,\hat{K}} |\hat{\pi}\hat{p}|_{j,\hat{K}} .
$$

Comme $\hat{\pi}$ est un opérateur de projection en norme $|\cdot|_{0,\hat{K}}$, nous avons

$$
|\hat{\pi}\hat{p}|_{0,\hat{K}} \leq |\hat{p}|_{0,\hat{K}}.
$$

D'autre part,

$$
|\hat{\pi}\hat{p}|_{1,\hat{K}} \leq |\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p}|_{1,\hat{K}} + |\hat{p}|_{1,\hat{K}} .
$$

L'opérateur $\hat{\pi}$ laisse invariant l'espace $P_o(\hat{K})$: Il existe une constante $\hat{C}$
telle que (CIARLET [1, Théorème 2, N° 6]):

$$
|\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p}|_{1,\hat{K}} \leq \hat{C}|\hat{p}|_{1,\hat{K}},
$$
d'où

$$
|\hat{\pi} \hat{p}|_{1, \hat{K}} \leq \hat{C} |\hat{p}|_{1, \hat{K}} .
$$

Un raisonnement analogue permet d'établir l'inégalité

$$
|\hat{\pi} \hat{p}|_{2, \hat{K}} \leq \hat{C} |\hat{p}|_{2, \hat{K}} .
$$

En combinant alors les inégalités précédentes on en déduit l'existence
d'une constante $\hat{C}$ telle que

$$
\forall \hat{f} \in W^{m-1,q}(\hat{K}) , \forall \hat{p} \in \hat{P}_n(\hat{K}) , |\hat{E}(\hat{f}\hat{\pi}\hat{p})| \le \hat{C} \sum_{j=0}^{2} |\hat{f}|_{m-1-j,q,\hat{K}} |\hat{p}|_{j,\hat{K}} .
$$

En particulier, pour $\hat{f} = \hat{f}_K \in W^{m-1,q}(\hat{K})$ et $\hat{p} = \hat{p}_K \in \hat{P}_K \subset P_n(\hat{K})$ on obtient :

$$
(3.30) \quad |\hat{E}(\hat{f}_K \hat{\pi} \hat{p}_K)| \le \hat{C} \sum_{j=0}^{2} |\hat{f}_K|_{m-1-j,q,\hat{K}} |\hat{p}_K|_{j,\hat{K}} .
$$

Étape 2 : Estimation de $\hat{E}(\hat{f}_K(\hat{p}_K - \hat{\pi}\hat{p}_K))$ :

Si $m \ge 4$ il existe un nombre réel $\rho \in [1, +\infty]$ tel que les propriétés d'in-
jection continue suivantes soient vérifiées :

$$
W^{m-1,q}(\hat{K}) \subset W^{m-3,\rho}(\hat{K}) \subset C^0(\hat{K}) .
$$

Tout d'abord avec le théorème de Sobolev on a dès que $q \ge 1$

$$
W^{2,q}(\hat{K}) \subset L^{p}(\hat{K}), \forall \rho \in [1, +\infty[,
$$

d'où $W^{m-1,q}(\hat{K}) \subset W^{m-3,\rho}(\hat{K})$. Il suffit ensuite de choisir $\rho$ tel que
$$ \frac{1}{q} - \frac{1}{\rho} = 1 \text{ pour que } W^{m-3,\rho}(\hat{K}) \subset C^0(\hat{K}) : \text{En effet } m-3 - \frac{2}{\rho} = m-1 - \frac{2}{q} > 0 $$
d'après l'inégalité (3.25).
Par analogie avec le raisonnement de l'Etape 1 nous trouvons par exemple
que

$$
\begin{align*}
& \forall \hat{f} \in W^{m-3}, \rho(\hat{K}) \subset C^0(\hat{K}) , \forall \hat{p} \in P_n(\hat{K}) , \\
& \qquad |\hat{E}[\hat{f}(\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p})]| \le \hat{C}|\hat{f}(\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p})|_{o,\infty,\hat{K}} \le \hat{C}|\hat{f}|_{o,\infty,\hat{K}}|\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p}|_{o,\infty,\hat{K}} \\
& \qquad \le \hat{C} \|\hat{f}\|_{m-3,\rho,\hat{K}} |\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p}|_{o,\infty,\hat{K}} .
\end{align*}
$$

Ainsi, pour une fonction $\hat{p} \in \hat{P}_n(\hat{K})$ donnée, la forme linéaire

$$
\hat{f} \in W^{m-3, \rho}(\hat{K}) \rightarrow \hat{E}[\hat{f}(\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p})].
$$

est continue avec une norme $\le \hat{C}|\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p}|_{o,\infty,\hat{K}}$ d'une part, et elle s'annule
sur l'espace $P_{m-4}(\hat{K})$ grâce à l'hypothèse (3.26), d'autre part. Une
nouvelle application du lemme de Bramble-Hilbert montre que

$$
\forall \hat{f} \in W^{m-3, \rho}(\hat{K}) , \forall \hat{p} \in P_n(\hat{K}) , |\hat{E}[\hat{f}(\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p})]| \le \hat{C}|\hat{f}|_{m-3, \rho, \hat{K}}|\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p}|_{o, \hat{K}} .
$$

Comme l'opérateur $\hat{\pi}$ laisse invariant l'espace $P_1(\hat{K})$, en particulier, on
aura (CIARLET [1, N° 6, Théorème 2]) :

$$
|\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p}|_{o,\hat{K}} \leq \hat{C}|\hat{p}|_{2,\hat{K}}.
$$

Par ailleurs, l'inclusion $W^2, q(\hat{K}) \subset L^p(\hat{K})$ entraîne

$$
\forall \hat{g} \in W^{2,q}(\hat{K}) , |\hat{g}|_{o,\rho,\hat{K}} \le \hat{C}(|\hat{g}|_{o,q,\hat{K}} + |\hat{g}|_{1,q,\hat{K}} + |\hat{g}|_{2,q,\hat{K}})
$$

et ainsi, comme $W^{m-1,q}(\hat{K}) \subset W^{m-3,\rho}(\hat{K})$,

$$
\forall \hat{f} \in W^{m-1,q}(\hat{K}) , |\hat{f}|_{m-3,\rho,\hat{K}} \le \hat{C}(|\hat{f}|_{m-3,q,\hat{K}} + |\hat{f}|_{m-2,q,\hat{K}} + |\hat{f}|_{m-1,q,\hat{K}}).
$$

En combinant toutes les inégalités précédentes, nous obtenons
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\forall \hat{f} \in W^{m-1,q}(\hat{K}) , \forall \hat{p} \in P_n(\hat{K}) \\
\qquad |\hat{E}[\hat{f}(\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p})]| \le \hat{C} \left( |\hat{f}|_{m-3,q,\hat{K}} + |\hat{f}|_{m-2,q,\hat{K}} + |\hat{f}|_{m-1,q,\hat{K}} \right) |\hat{p}|_{2,\hat{K}} .
\end{array}
\right.
$$

d'où, en particulier, pour $\hat{f} = \hat{f}_K \in W^{m-1,q}(\hat{K})$ et $\hat{p} = \hat{p}_K \in \hat{P}_K \subset P_n(\hat{K})$

$$
(3.31) \quad |\hat{E}[\hat{f}_K(\hat{p}_K - \hat{\pi}\hat{p}_K)]| \le \hat{C}(|\hat{f}_K|_{m-3,q,\hat{K}} + |\hat{f}_K|_{m-2,q,\hat{K}} + |\hat{f}_K|_{m-1,q,\hat{K}}) |\hat{p}_K|_{2,\hat{K}}.
$$

Si $m=3$ l'hypothèse (3.25) entraîne $W^{m-1,q}(\hat{K}) \subset C^\alpha(\hat{K})$ d'où

$$
\forall \hat{f} \in W^{m-1,q}(\hat{K}) , \forall \hat{p} \in \hat{P}_n(\hat{K}) , |\hat{E}[\hat{f}(\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p})]| \le \hat{C}|\hat{f}|_{0,\infty,\hat{K}}|\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p}|_{0,\infty,\hat{K}}
$$

ou encore, par analogie avec ce qui précède,

$$
|\hat{E}[\hat{f}(\hat{p}-\hat{\pi}\hat{p})]| \le \hat{C} \|\hat{f}\|_{2,q,\hat{K}} |\hat{p}|_{2,\hat{K}} .
$$

En particulier, pour $\hat{f} = \hat{f}_K \in W^{m-1,q}(\hat{K})$ et $\hat{p} = \hat{p}_K \in \hat{P}_K \subset P_n(\hat{K})$ on obtient
l'inégalité

$$
|\hat{E}[\hat{f}_K(\hat{p}_K - \hat{\pi}\hat{p}_K)]| \le \hat{C} ||\hat{f}_K||_{2,q,\hat{K}} |\hat{p}_K|_{2,\hat{K}},
$$

qui n'est autre que l'inégalité (3.31) dans le cas $m=3$.

Si $m=2$, alors $P_2(\hat{K}) \subset \hat{P}_K \subset P_n(\hat{K})$, $2 \le n$. Les monômes $\hat{p}_K$ de degré $\le 2$ vérifient
$\hat{p}_K = \hat{\pi}\hat{p}_K$, soit $\hat{E}[\hat{f}_K(\hat{p}_K - \hat{\pi}\hat{p}_K)] = 0$, et les monômes de degré compris entre
3 et n vérifient une inégalité du type (3.31).

Ainsi, pour tout $m \ge 2$, l'inégalité (3.31) est vérifiée.
### Etape 3 : Estimation de $E_K(	ext{fp})$

Pour obtenir (3.27) il suffit alors de combiner les égalités (3.28), (3.29), les inégalités (3.30)(3.31) et (cf. CIARLET [1, N° 6, Théorèmes 3 et 4])

$$|\hat{f}_K|_{m-1-j,q,\hat{K}} \le \hat{C} h_K^{m-1-j} (\det(B_K))^{-1/q} |f|_{m-1-j,q,K}, \quad j=0,1,2,$$

$$|\hat{p}_K|_{j,\hat{K}} \le \hat{C} h_K^j (\det(B_K))^{-1/2} |p|_{j,K}, \quad j=0,1,2. \blacksquare$$

**Remarque 3.5** : Au cours de la démonstration du Théorème 3.4, nous utilisons les Théorèmes 2, 3 et 4 du N° 6, le Théorème 3 du N° 8 de CIARLET [1]. Les démonstrations de ces théorèmes utilisent seulement la notion de **triangle de référence** à l'exclusion de la notion d'élément fini de référence, le Théorème 3.4 est donc valable aussi bien pour des familles affines régulières d'éléments finis que pour des familles régulières d'éléments finis du type ARGYRIS ou BELL. ■

En combinant les résultats des théorèmes précédents nous obtenons l'estimation explicite de l'erreur :

**Théorème 3.5** : Supposons que les hypothèses (2.1)(2.2)(2.3) relatives à la régularité de la triangulation $\mathcal{T}_h$ et à la construction de la famille d'espaces d'éléments finis $V_h$ soient satisfaites. Supposons aussi qu'il existe des entiers $m, n, 2 \le m \le n$ tels que les relations suivantes soient satisfaites pour tous les triangles $K \in \mathcal{T}_h$ :

$$P_m(K) \subset P_K \subset P_n(K),$$

$$H^{m+1}(K) \subset C^S(K),$$

où s est l'ordre maximal des dérivées partielles intervenant dans la définition des ensembles $\Sigma_K$.

Supposons enfin que l'une des deux conditions suivantes soit satisfaite :
$$
(3.32) \qquad \forall \hat{\phi} \in P_{2n-4}(\hat{K}) , E(\hat{\phi}) = 0 ,
$$

$$
(3.32 \text{ bis}) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\forall \hat{\phi} \in P_{m+n-4}(\hat{K}) , & E(\hat{\phi}) = 0 \\[1em]
\text{et} & \displaystyle\underbrace{\text{la réunion } \bigcup_{q=1}^Q \{\hat{b}_q\}}_{\text{contient un sous-ensemble } P_{n-2}(\hat{K})\text{-unisolvant.}} \\[1em]
& \text{la solution } u \in H_o^2(\Omega) \text{ du problème variationnel (1.5) appartient}
\end{array}
\right.
$$

Alors si la solution $u \in H_o^2(\Omega)$ du problème variationnel (1.5) appartient
à l'espace $H^{m+1}(\Omega)$, si $a_{ijk\ell} \in W^{m-1,\infty}(\Omega)$, $i+j=2, k+\ell=2$, et si
$f \in W^{m-1,q}(\Omega)$ pour un certain nombre $q \ge 2$ ($q>2$ si $m=2$) il existe une
constante $\hat{C}$ indépendante de $h$ telle que

$$
(3.33) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\|u-u_h\|_{2,\Omega} \le \hat{C} h^{m-1} \left\{ |u|_{m+1,\Omega} + \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+\ell=2}} \|a_{ijk\ell}\|_{m-1,\infty,\Omega} \|u\|_{m+1,\Omega} \right. \\
\phantom{\|u-u_h\|_{2,\Omega} \le \hat{C} h^{m-1} \left\{ |u|_{m+1,\Omega} + \right.} \left. + \|f\|_{m-1,q,\Omega} \right\},
\end{array}
\right.
$$

où $u_h \in V_h$ est la solution du problème discret (3.1).

Démonstration :

Tout d'abord les conditions d'application du Théorème 2.1 sont vérifiées,
d'où :

$$
\|u - \pi_h u\|_{2, \Omega} \le \hat{C} h^{m-1} |u|_{m+1, \Omega},
$$

où, ici et par la suite, $\hat{C}$ désigne une constante indépendante de $h$.

Ensuite, les relations (1.2)(3.14) et (3.11) nous permettent d'écrire

$$
|a(\pi_h u, w_h) - a_h(\pi_h u, w_h)| \le \sum_{K \in \mathcal{G}_h} \sum_{i+j=2 \atop k+\ell=2} \left| E_K \left( a_{ijk\ell} \frac{\partial^2 (\pi_h u|_K)}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} - \frac{\partial^2 w_h}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^\ell} \right) \right|
$$
où $\pi_h u$ est l'interpolée de $u$ dans $V_h$ et $w_h$ un élément quelconque de $V_h$.

Le Théorème 3.3 entraîne alors

$$ \left| E_K \left( a_{ijk\ell} \frac{\partial^2 (\pi_h u)_K}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} - \frac{\partial^2 w_h}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^\ell} \right) \right| \le \hat{C} h_K^{m-1} \|a_{ijk\ell}\|_{m-1,\infty,K} \|\pi_h u\|_{m+1,K} |w_h|_{2,K} $$

ou encore, avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz et l'hypothèse (2.2) :

$$ |a(\pi_h u, w_h) - a_h(\pi_h u, w_h)| \le \hat{C} h^{m-1} \left( \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+\ell=2}} \|a_{ijk\ell}\|_{m-1,\infty,\Omega} \right) \|\pi_h u\|_{m+1,\Omega} |w_h|_{2,\Omega} $$

En utilisant le fait que l'opérateur de $P_K$-interpolation préserve l'espace $P_m(K)$ nous avons

$$ \|\pi_h u\|_{m+1, \Omega} \le \|u\|_{m+1, \Omega} + \|u - \pi_h u\|_{m+1, \Omega} \le \hat{C} \|u\|_{m+1, \Omega} $$

et ainsi

$$ (3.34) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \inf_{v_h \in V_h} \left( \|u-v_h\|_{2,\Omega} + \sup_{w_h \in V_h} \frac{|a(v_h,w_h) - a_h(v_h,w_h)|}{\|w_h\|_{2,\Omega}} \right) \\[2ex] \le \|u-\pi_h u\|_{2,\Omega} + \sup_{w_h \in V_h} \frac{|a(\pi_h u,w_h) - a_h(\pi_h u,w_h)|}{\|w_h\|_{2,\Omega}} \\[2ex] \le \hat{C} h^{m-1} \left\{ |u|_{m+1,\Omega} + \left( \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+\ell=2}} \|a_{ijk\ell}\|_{m-1,\infty,\Omega} \right) \|u\|_{m+1,\Omega} \right\} . \end{array} \right. $$

Par analogie, les relations (1.3)(3.15)(3.11) et le Théorème 3.4 entraînent :
$$
\begin{align*}
|f(w_h) - f_h(w_h)| &\le \sum_{K \in \mathcal{T}_h} |E_K(fw_h)| \\
&\le \hat{C} \sum_{K \in \mathcal{T}_h} h_K^{m-1} (\text{mes}(K))^{1/2-1/q} \|f\|_{m-1,q,K} \|w_h\|_{2,K} \\
&\le \hat{C} h^{m-1} (\text{mes}(\Omega))^{1/2-1/q} \|f\|_{m-1,q,\Omega} \|w_h\|_{2,\Omega} .
\end{align*}
$$

Pour cette dernière inégalité on utilise l'inégalité

$$
\sum_K |a_K b_K c_K| \le ( \sum_K |a_K|^\alpha )^{\frac{1}{\alpha}} ( \sum_K |b_K|^\beta )^{\frac{1}{\beta}} ( \sum_K |c_K|^\gamma )^{\frac{1}{\gamma}} ,
$$

valable pour tous les nombres réels $\alpha \ge 1$, $\beta \ge 1$, $\gamma \ge 1$ satisfaisant

$$
\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = 1. \text{ On prend ici } \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{2} - \frac{1}{q}, \beta=q, \gamma=2, \text{ d'où la condition} \\
q \ge 2. \text{ Ainsi}
$$

$$
(3.35) \quad \sup_{w_h \in V_h} \frac{|f(w_h) - f_h(w_h)|}{\|w_h\|_{2,\Omega}} \le \hat{C} h^{m-1} (\text{mes}(\Omega))^{\frac{1}{2}-\frac{1}{q}} \|f\|_{m-1,q,\Omega}
$$

Nous sommes dans les conditions d'application du Théorème 3.1 et l'on
obtient l'estimation (3.33) en reportant les inégalités (3.34)(3.35)
dans la majoration abstraite (3.3). •

Remarque 3.6 - Cas où m=n :

Deux observations sont à faire dans ce cas. D'une part, la Remarque 3.3 permet de remplacer au second membre de l'estimation explicite de l'erreur (3.33) le terme $||u||_{m+1,\Omega}$ par $||u||_{m,\Omega}$. D'autre part, la condition (3.32) s'interprête simplement : elle signifie que toutes les intégrales

$$
\int_K a_{ijk\ell} \frac{\partial^2 u_h}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} \frac{\partial^2 v_h}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^\ell} \, dx
$$

doivent être calculées exactement lorsque les coefficients $a_{ijk\ell}$ sont
constants. ■
### Remarque 3.7 - Cas où $m < n$ :

Dans ce cas la condition (3.32 bis) peut être plus avantageuse que la condition (3.32). ■

### Remarque 3.8 :

Il est possible d'étendre les résultats de ce travail au cas d'un opérateur du quatrième ordre uniformément elliptique (i.e. vérifiant l'inégalité (1.4)) du type

$$ Au = \sum_{i+j \le 2} \frac{\partial^2}{(\partial x_1)^i (\partial x_2)^j} \sum_{k+l \le 2} a_{ijkl} \frac{\partial^2 u}{(\partial x_1)^k (\partial x_2)^l} $$

Pour ce faire on procédera comme dans BERNADOU [1], en supposant notamment que la forme bilinéaire associée est V-elliptique. En particulier, l'obtention d'une estimation d'erreur asymptotique du même ordre que celle donnée en (3.33), est possible en utilisant les mêmes schémas d'intégration numérique (i.e., vérifiant les conditions (3.32) et (3.32 bis). ■

Les deux Corollaires suivants donnent l'estimation explicite de l'erreur lorsqu'on utilise une famille régulière d'éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL, respectivement.

### Corollaire 3.1 (estimation d'erreur pour l'élément d'ARGYRIS)

Soit une famille régulière d'éléments finis du type ARGYRIS et soit $v_h$ l'espace d'éléments finis associé vérifiant les conditions (2.3). Soit un schéma d'intégration numérique tel que

$$ (3.36) \qquad \forall \hat{\phi} \in P_6(\hat{K}) , E(\hat{\phi}) = 0 . $$

Alors si la solution $u \in H_0^2(\Omega)$ du problème variationnel (1.5) appartient à l'espace $H^6(\Omega)$, si $a_{ijkl} \in W^{4,\infty}(\Omega)$, $i+j=k+l=2$, et si $f \in W^{4,q}(\Omega)$ pour un certain nombre $q \ge 2$, il existe une constante $C$ indépendante de $h$ telle que
$$
(3.37) \quad \|u-u_h\|_{2,\Omega} \le \hat{C} h^4 \{|u|_{6,\Omega} + \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+l=2}} \|a_{ijk\ell}\|_{4,\infty,\Omega} \|u\|_{6,\Omega} + \|f\|_{4,q,\Omega}\} ,
$$

où $u_h \in V_h$ est la solution du problème discret (3.1).

**Démonstration** : Le raisonnement est en tous points analogue à celui suivant dans la démonstration du Théorème 3.5. Il suffit de prendre $m=n=5$, d'utiliser la mojoration (2.18) et les Théorèmes 3.1 à 3.4, ce qui est loisible. ■

**Corollaire 3.2 (estimation d'erreur pour l'élément de BELL) :**

Soit une famille régulière d'éléments finis du type BELL et soit $V_h$
l'espace d'éléments finis associé vérifiant les conditions (2.3). Soit
un schéma d'intégration numérique tel que

$$
(3.36) \quad \text{ou bien,} \quad \forall \hat{\phi} \in P_6(\hat{K}) , E(\hat{\phi}) = 0 ,
$$

$$
(3.38) \quad \text{ou bien,} \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \forall \hat{\phi} \in P_5(\hat{K}) , E(\hat{\phi}) = 0 \\
  \text{et} \\
  \quad \text{la réunion } \bigsqcup_{q=1}^Q \{\hat{b}_q\} \text{ contient un sous-ensemble } P_3(\hat{K}) - \\
  \quad \quad \text{-unisolvant.}
\end{array}
\right.
$$

Alors si la solution $u \in H_0^2(\Omega)$ du problème variationnel (1.5) appartient
à l'espace $H^5(\Omega)$, si $a_{ijk\ell} \in W^{3,\infty}(\Omega)$, $i+j=k+l=2$, et si $f \in W^{3,q}(\Omega)$ pour un
certain nombre $q \ge 2$, il existe une constante $\hat{C}$ indépendante de $h$ telle
que

$$
(3.39) \quad \|u-u_h\|_{2,\Omega} \le \hat{C} h^3 \{|u|_{5,\Omega} + \sum_{\substack{i+j=2 \\ k+l=2}} \|a_{ijk\ell}\|_{3,\infty,\Omega} \|u\|_{5,\Omega} + \|f\|_{3,q,\Omega}\} ,
$$

où $u_h \in V_h$ est la solution du problème discret (3.1).
**Démonstration** : Le raisonnement est en tous points analogue à celui suivi dans la démonstration du Théorème 3.5. Il suffit de prendre m=4, n=5, d'utiliser la majoration (2.19) et les Théorèmes 3.1 à 3.4, ce qui est loisible. ■

Les résultats du Théorème 3.5 et des Corollaires 3.1 et 3.2 sont en particulier valables pour _le problème de la plaque encastrée_, décrit dans l'Exemple 1.1.

Nous donnons en Annexe deux schémas d'intégration numérique vérifiant la condition (3.36), i.e., SCHIN 1 et SCHIN 2. La question de l'existence de schémas plus simples que SCHIN 1 et SCHIN 2 et vérifiant la condition (3.38) est ouverte, à notre connaissance (cf. Remarque A.1).

**Remarque 3.9.**

Pour l'utilisation d'autres types d'éléments finis de classe $C^1$ nous renvoyons à BERNADOU [1]. ■
ANNEXE

Nous donnons ci-après deux schémas d'intégration numérique (SCHIN 1 et SCHIN 2) vérifiant la condition (3.36). La question de l'existence de schémas d'intégration numérique vérifiant la condition (3.38) et comportant moins de 12 noeuds est ouverte, à notre connaissance (cf. Remarque A.1 ci-après).

SCHIN 1

{ COWPER [1], LYNES-JESPERSEN [1],
Exact pour les polynômes de degré 6, 12 noeuds

SCHIN 1

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<table><thead><tr><th>Poids</th><th colspan="2">Coordonnées barycentriques des noeuds (ζ<sub>3</sub>=1-ζ<sub>1</sub>-ζ<sub>2</sub>)</th><th>Multiplicité</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,1167862757263407</td><td>ζ<sub>1</sub>=5.014265096581342Q-01</td><td>ζ<sub>2</sub>=2.492867451709329Q-01</td><td>3</td></tr><tr><td>0,0508449063702055</td><td>ζ<sub>1</sub>=8.738219710169965Q-01</td><td>ζ<sub>2</sub>=6.308901449150177Q-02</td><td>3</td></tr><tr><td>0,0828510756183929</td><td>ζ<sub>1</sub>=6.365024991213939Q-01</td><td>ζ<sub>2</sub>=5.314504984483216Q-02</td><td>6</td></tr></tbody></table>
SCHIN 2
$$ \begin{cases} \text{LYNESS-JESPERSEN [1],} \\ \text{Exact pour les polynômes de degré 6, 13 noeuds} \end{cases} $$

SCHIN 2

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<table><thead><tr><th>Poids</th><th>Coordonnées barycentriques des noeuds (ζ<sub>3</sub>=1-ζ<sub>1</sub>-ζ<sub>2</sub>)</th><th>Multiplicité</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,1527089667883523</td><td>ζ<sub>1</sub>=3.33333333333333Q-01 ; ζ<sub>2</sub>=3.33333333333333Q-01</td><td>1</td></tr><tr><td>0,0981358680788921</td><td>ζ<sub>1</sub>=5.233837209269747Q-02 ; ζ<sub>2</sub>=4.738308139536513Q-01</td><td>3</td></tr><tr><td>0,1295684292806255</td><td>ζ<sub>1</sub>=6.557646607383649Q-01 ; ζ<sub>2</sub>=1.721176696308175Q-01</td><td>3</td></tr><tr><td>0,0273630235221825</td><td>ζ<sub>1</sub>=0 ; ζ<sub>2</sub>=8.653073540834571Q-01</td><td>6</td></tr></tbody></table>

Ce schéma d'intégration numérique SCHIN 2 comporte un noeud de plus que le schéma SCHIN 1. L'avantage du schéma SCHIN 2 est que six de ses noeuds se trouvent sur les côtés du triangle ce qui permet, lors de l'implémentation, de ne faire qu'un seul calcul pour les noeuds communs à deux triangles adjacents.
Remarque A.1 : "Sur la condition (3.38)"

Il existe deux schémas d'intégration numérique classiques sur le triangle, exacts pour les polynômes de degré 5. Ce sont le schéma de RADON [1], HAMMER, MARLOWE et STROUD [1] rappelé dans STROUD [1, page 314] et STRANG-FIX [1, page 184] d'une part, le schéma 3 × 3 de GAUSS, construit à partir du schéma de Gauss à 3 points pour la dimension 1 selon le Théorème 2.4-1 de STROUD [1, page 29], et rappelé dans STRANG-FIX [1, page 184], d'autre part. Ces deux schémas comportent respectivement 7 et 9 noeuds d'intégration ; de ce fait la seconde condition (3.38), i.e., la réunion $\bigcup_{\ell=1}^L \{\hat{b}_{\ell}\}$ contient un sous ensemble $P_3(\hat{K})$-unisolvant, n'est pas vérifiée.
En outre, LYNESS-JESPERSEN [1] proposent le schéma ci-dessous, exact pour les polynômes de degré 5 et comportant 10 noeuds :

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<table><thead><tr><th>Poids</th><th colspan="3">Coordonnées barycentriques des noeuds</th><th>Multiplicité</th></tr></thead><tbody><tr><td>81/320</td><td>1/3</td><td>1/3</td><td>1/3</td><td>1</td></tr><tr><td>1/90</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td></tr><tr><td>16/225</td><td>0</td><td>1/2</td><td>1/2</td><td>3</td></tr><tr><td>2401/14400</td><td>5/7</td><td>1/7</td><td>1/7</td><td>3</td></tr></tbody></table>
Mais les 10 noeuds de ce schéma ne sont pas $P_3$-unisolvants puisque
le produit des 3 équations des trois diagonales du triangle est un
polynôme de degré 3 qui s'annule sur l'ensemble des noeuds d'inté-
gration sans pour autant être identiquement nul.
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