* les forces exercées sur la surface $\partial V$, qui se réduisent aux forces de pression pour un fluide parfait.

* la résultante des forces en volume de densité volumique $f$ (par exemple la gravité, $f = \rho g$).

* le flux de quantité de mouvement à travers $\partial V$.

En tenant compte de l'ensemble de ces contributions,

$$ \frac{d\mathbf{P}}{dt} = \frac{d}{dt} \int_V \rho \mathbf{V}(M) dV = \int_{\partial V} -p(M) \mathbf{n} dS + \int_V \mathbf{f} dV - \int_{\partial V} \rho \mathbf{V}(M) (\mathbf{V}(M) \cdot \mathbf{n}) dS. \quad (8.6) $$

Cette équation n'est bien sûr rien d'autre que le principe fondamental de la dynamique appliqué au volume de contrôle de fluide.

*Remarque :*

Cette équation suppose uniquement le fluide parfait. Elle reste vraie s'il est compressible, et quelle que soit la nature de l'écoulement.

### 8.3.3 Equation de Bernouilli

Nous allons démontrer la forme la plus simple de cette équation, valable pour l'écoulement *permanent* et *laminaire* d'un fluide *parfait incompressible*. Contrairement à (8.4) et (8.6), l'équation de Bernouilli sous sa forme (8.7) n'est donc valable que sous ces conditions, très restrictives.

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure 8.6: Tube de flux dans un écoulement permanent.</figcaption></figure>

Considérons comme sur la Fig. 8.6 un tube de flux de section infinitésimale<fnref n="2" />, limité par une surface tangente en chacun de ses points M à la vitesse du fluide $\mathbf{V}(M)$. Le fluide contenu à un instant $t$ donné entre les points A, où la section du tube est $dS$ perpendiculairement à ses génératrices, et $A'$ où elle est $dS'$, est contenu à l'instant $t + dt$ entre les points B et $B'$. Tout se passe comme si le fluide compris entre A et B se retrouvait entre $A'$ et $B'$. En A (resp. $A'$) la vitesse du fluide est $\mathbf{V}$ (resp. $\mathbf{V}'$), normale à $dS$ (resp. $dS'$), la pression $p$ (resp. $p'$) et l'altitude $z$ (resp. $z'$) La conservation de la masse impose

$$ dm = \rho dS V dt = \rho dS' V' dt. $$

<footnote n="2">²Un tube de flux est une enveloppe de lignes de courant, qui sont les lignes de champ du champ de vitesse, par définition tangentes en chacun de leurs points $\mathbf{r}$ à la vitesse du fluide $\mathbf{V}(\mathbf{r})$ en ce point.</footnote>
Ecrivons alors le théorème de l'énergie cinétique. La variation d'énergie cinétique est due au travail des forces de pesanteur, et à celui des forces de pression, soit

$$ \frac{1}{2} \mathrm{d}m (V'^2 - V^2) = \mathrm{d}m(z - z')g + \mathrm{pdSV}dt - p' \mathrm{d}S'V'dt. $$

En utilisant l'équation précédente on aboutit à l'équation de Bernouilli,

$$ gz + \frac{p}{\rho} + \frac{1}{2}V^2 = gz' + \frac{p'}{\rho} + \frac{1}{2}V'^2 = C_{\text{ste}}. \qquad (8.7) $$

Pour un écoulement permanent de fluide parfait incompressible, la quantité $gz + p/\rho + V^2/2$ est constante *le long d'une ligne de courant*.

## 8.3.4 Exemples

### Tube de Pitot

Ce dispositif, schématisé en Fig. 8.7, permet de mesurer la vitesse au sein d'un écoulement par une simple mesure de pression.

Nous faisons l'hypothèse d'un écoulement permanent et laminaire de fluide par-fait.

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure 8.7: Tube de Pitot. En traits fins, on a représenté quelques lignes de champs de l'écoulement laminaire autour du tube.</figcaption></figure>

L'appareil présente une symétrie de révolution autour de l'axe passant par C, ce qui fait que le fluide s'écoule de part et d'autre de C, mais qu'en ce point la vitesse est nulle. Si l'ouverture B est peu éloignée de C, la différence d'altitude entre ces deux points est négligeable. Si nous suivons un tube de flux passant au voisinage de C et B, nous pouvons écrire en utilisant l'équation de Bernoulli

$$ \frac{p_C}{\rho} + 0 = \frac{p_B}{\rho} + \frac{1}{2}V_B^2 \quad \Rightarrow \quad V_B = \sqrt{2\frac{p_A - p_B}{\rho}}. $$

Nous avons remplacé dans l'expression finale la pression en C par la pression en A, qui sont sensiblement identiques si le canal CA est suffisamment fin pour que l'écoulement y soit négligeable.

Un manomètre différentiel permet alors de déduire la vitesse relative entre le fluide et le tube de Pitot. Ce type de dispositif est utilisé dans les (petits) avions<fnref n="3" />.

<footnote n="3">³Le positionnement GPS rend quelque peu obsolète ce système pour les avions de ligne</footnote>
## Force exercée sur une conduite

Considérons l'écoulement permanent d'un fluide parfait dans une conduite faiblement coudée (le rayon de courbure du coude est supposé nettement plus grand que le rayon intérieur du tube).

Sous ces hypothèses, l'écoulement est laminaire si le débit n'est pas trop fort, ce que nous supposerons.

L'angle entre les deux axes des tubes est $\theta$.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Figure 8.8: Ecoulement dans une conduite coudée.</figcaption></figure>

Comme volume de contrôle, prenons la portion de fluide comprise entre les deux sections du tube sur le dessins, normales à l'axe du tube, d'aires respectives $S_1$ et $S_2$. La conservation de la masse se traduit par

$$S_1V_1 = S_2V_2 \qquad (8.8)$$

Pour un écoulement permanent, et en négligeant les forces de pesanteur (ou en supposant la conduite horizontale), l'équation (8.6) devient

$$\int_{\partial V} -p(M) \mathbf{n} dS = \int_{\partial V} \rho \mathbf{V}(M) (\mathbf{V}(M) \cdot \mathbf{n} dS).$$

soit $\mathbf{F}_p$ la résultante des forces de pressions exercées par les parois de la conduite sur le fluide contenu entre les sections $S_1$ et $S_2$. Les forces surfaciques sont alors :

$$F_S^x = p_1S_1 - p_2S_2 \cos \theta + F_p^x,$$

$$F_S^y = -p_2S_2 \sin \theta + F_p^y,$$

Nous cherchons la force $\mathbf{R}$ exercée par le fluide sur la conduite, donc $\mathbf{R} = -\mathbf{F}_p$.

Le flux de quantité de mouvement à travers le volume de contrôle ne comporte pas de contribution des parois du tube, puisque l'écoulement est tangent à la paroi.

$$\int_{\partial V} \rho V_x(\mathbf{V}(M) \cdot \mathbf{n} dS) = \rho S_2 V_2^2 \cos \theta - \rho S_1 V_1^2,$$

$$\int_{\partial V} \rho V_y(\mathbf{V}(M) \cdot \mathbf{n} dS) = \rho S_2 V_2^2 \sin \theta$$

et l'équation pour la quantité de mouvement (8.6) donne

$$R_x = p_1S_1 - p_2S_2 \cos \theta + \rho S_1 V_1^2 \left(1 - \frac{S_1}{S_2} \cos \theta \right),$$

$$R_y = -p_2S_2 \sin \theta - \rho \frac{S_1^2}{S_2} V_1^2 \sin \theta,$$
où nous avons utilisé la conservation de la masse (8.8).

Notons quand même que nous avons supposé la vitesse uniforme sur la section du tube, ce qui est cohérent avec l'hypothèse de fluide parfait, mais assez loin de la réalité (la viscosité fait que la vitesse est nulle à la paroi).

## Force exercée par un jet sur une plaque inclinée

Nous nous plaçons maintenant dans la configuration de la Fig. 8.9. Un jet vient frapper une plaque inclinée d'un angle $\theta$ par rapport à la direction incidente du jet. Nous supposerons l'écoulement permanent, laminaire, et le fluide sans viscosité.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Figure 8.9: Plaque inclinée déviant un jet.</figcaption></figure>

Soient $S_i, i \in \{1, 2, 3\}$ les sections du jet, et définissons un axe $Ox$ parallèle à la plaque, dirigé dans le sens de $V_3$, et $Oy$ normal à la plaque dirigé vers le jet. Prenons comme volume de contrôle celui délimité par les trois sections droites du dessin 8.9, par les surfaces libres du jet, et enfin par la plaque.

La conservation de la masse donne

$$S_1V_1 = S_2V_2 + S_3V_3$$

On peut écrire l'équation de Bernouilli en suivant une ligne de champ à la surface libre du jet, joignant les sections 1 et 2, puis une autre joignant les sections 1 et 3. Nous obtenons

$$\frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2}V_1^2 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2}V_2^2, \quad \text{et} \quad \frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2}V_1^2 = \frac{p_3}{\rho} + \frac{1}{2}V_3^2,$$

en négligeant la gravité (ou en supposant le plan de la figure horizontal). Dans un jet de liquide la pression à la surface libre du jet est nécessairement égale à la pression atmosphérique, et les deux équations que nous venons d'écrire se réduisent à

$$V_1 = V_2 = V_3 \equiv V.$$

Ecrivons maintenant l'équation de la quantité de mouvement pour le volume de contrôle. L'écoulement se fait tangentiellement à la plaque, et nous négligeons les forces visqueuses. Il n'y a donc aucune force exercée sur le fluide selon la direction $Ox$. On a donc

$$F_x = 0 = \rho S_2 V_2^2 - \rho S_3 V_3^2 - \rho S_1 V_1^2 \cos \theta \implies S_2 - S_3 = S_1 \cos \theta$$
Utilisant l'équation donnée par la conservation de la masse, nous avons

$$S_2 = \frac{1}{2}(1 + \cos \theta)S_1, \quad S_3 = \frac{1}{2}(1 - \cos \theta)S_1.$$

Ces équations donnent les sections du jet, mais ne servent pas à calculer la force $R_y$ appliquée par le jet sur la plaque. Elle est donnée par (8.6),

$$R_y = -F_y \quad \text{où} \quad F_y = \rho S_1 V^2 \sin \theta.$$