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# Sur quelques variances attachées aux systèmes d'ovales

Marius I. Stoka

► To cite this version:

Marius I. Stoka. Sur quelques variances attachées aux systèmes d'ovales. Annales de l'ISUP, 1976, XXI (3-4), pp.71-76. hal-04082391

HAL Id: hal-04082391

https://hal.science/hal-04082391

Submitted on 26 Apr 2023

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SUR QUELQUES VARIANCES ATTACHEES AUX SYSTEMES
D'OVALES

Marius I. STOKA

Soit $R_2$ le plan euclidien de coordonnées x,y,$K_o$ un ovale
xe d'aire $S_o$ et de longueur $L_o$ et $K_1, \dots, K_m$, un système de
ovales aléatoires comme position, indépendants, uniformément
partis dans $R_2$, congruents avec un ovale K d'aire S et
le longueur L et rencontrant $K_o$.

La mesure élémentaire cinématique dans $R_2$ est [2]

$$
dK = dx \wedge dy \wedge d\varphi \quad (1)
$$

d x, y sont les composantes de la translation et φ l'angle
le rotation.

Si nous notons par $s_m$ l'aire de l'ovale $K_m = K_o \cap (K_1 \cap \dots \cap K_m)$
est une variable aléatoire.

L.A. Santalò a démontré que l'espérance mathématique de $s_m$ est [3]

$$
E[s_m] = \frac{(2\pi S)^m S_o}{[2\pi(L_o S) + L_o S]^m} \quad (2)
$$

Dans ce travail nous déterminerons la variance de $s_m$.

1. Soit

$$
I = \int \int dP_1 dP_2 \dots dK_m, \\
\{ K_i \cap K_o \neq \emptyset; P_1, P_2 \in K_m \}
$$

les points $P_1$ et $P_2$ étant indépendants.

Nous avons
(3)

$$
I = \int \int \int dK_1 \dots dK_m \int dP_1 \dots \int dP_2 = \int \int \int s_m^2 dK_1 \dots dK_m \cdot \\
\{ K_i \cap K_o \neq \emptyset \} \quad \{ P_1 \in K_m \} \quad \{ P_2 \in K_m \} \quad \{ K_i \cap K_o \neq \emptyset \}
$$
D'autre part

$$I = \int_{\{P_1, P_2 \in K_o\}} \int_{\overline{P_1 P_2} \subset K_1} \int_{\overline{P_1 P_2} \subset K_m} dK_1 \dots dK_m,$$

où $\overline{P_1 P_2}$ est le segment de droite déterminé par les points $P_1$ et $P_2$.

Si nous notons par $\mu(K, \ell)$ la mesure de l'ensemble des segments de longueur constante $\ell$ intérieurs à l'ovale K, compte tenu des propriétés d'invariance de la mesure cinématique, cette mesure est égale avec la mesure de l'ensemble des ovales congruents à K qui contient un segment fixe de longueur $\ell$. Nous avons donc

$$\int_{\{\overline{P_1 P_2} \subset K\}} dK = \mu(K, \overline{P_1 P_2})$$

et par conséquence

$$I = \int_{\{P_1, P_2 \in K_o\}} [\mu(K, \overline{P_1 P_2})]^m dP_1 dP_2 \quad (4)$$

Nous notons maintenant par G la droite qui passe par les points $P_1, P_2$, par $p, \varphi$ ses coordonnées normales et par $t_1, t_2$ les distances entre le point $P_1$ respectivement $P_2$ et la projection orthogonale de l'origine O sur la droite G. Alors nous avons [4]

$$dP_1 \wedge dP_2 = |t_2 - t_1| \, dG \wedge dt_1 \wedge dt_2,$$
où $dG = dp \wedge d\varphi$ est la mesure élémentaire de l'ensemble de droites du plan $\mathbb{R}_2$.

Avec cette notation nous avons $\overline{P_1P_2} = |t_2 - t_1|$.

Alors si nous notons par $\alpha$ et $\beta$, ($\alpha < \beta$), les distances entre les points d'intersection de la droite $G$ avec $K_o$ et la projection du point $O$ sur $G$, la formule (4) devient

$$ I = \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} dG \qquad \int_{\alpha}^{\beta} \int_{\alpha}^{\beta} [\mu(K, |t_2-t_1|)]^m |t_2-t_1| dt_1 dt_2. $$

En notant, par $\lambda = \beta - \alpha$ la longueur de la corde interceptée par $K_o$ sur la droite $G$, on a

$$ I = 2 \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \Phi (K,m, \lambda) \, dG, $$

où

$$ \Phi (K,m, \lambda) = \int_{0}^{\lambda} \int_{0}^{v} [\mu (K,u)]^m u du dv. \quad (5) $$

En substituant cette expression en (3) nous avons

$$ \int_{\{K_i \cap \bigcup_o \neq \emptyset\}} s_m^2 \, dK_1 \dots s_m^2 \, dK_m = 2 \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \Phi (K,m,\lambda) \, dG. \quad (6) $$
Tenant compte que $K_1, \dots, K_m$ sont indépendants, il en résulte

$$ \int_{\{K_i \cap K_o \neq \emptyset\}} dK_1 \dots dK_m = \left[ \int_{K_1 \cap K_o \neq \emptyset} dK \right]^m $$

Mais, nous avons la formule de Santalò [2]

$$ \int dK = 2\pi (S_o + S) + L_o L, \\ \{K \cap K_o \neq \emptyset\} $$

donc

$$ \int dK_1 \dots dK_m = [2 \pi (S_o + S) + L_o L]^m . \quad (7) \\ \{K_i \cap K_o \neq \emptyset\} $$

Les formules (6) et (7) nous fournissent

$$ E[S_m^2] = \frac{2}{[2\pi(S_o+S)+L_oL]^m} \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \Phi(K,m,\lambda) dG. \quad (8) $$

Les formules (2) et (8) nous donnent la variance de $S_m$ (9)

$$ \sigma^2(S_m) = \frac{1}{[2\pi(S_o + S) + L_o L]^m} \cdot 2 \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \Phi(K, m, \lambda) dG - \frac{(2\pi S)^{2m} S^2_o}{[2\pi(S_o + S) + L_o L]^m} \quad (9) $$

2. Nous calculons maintenant la variance $\sigma^2(s_m)$ dans le cas $K_o$ = cercle de rayon $R_o$, K=rectangle de dimensions a,b.

La mesure $\mu(K, \ell)$ est $[1]$

$$ \mu(K, \ell) = \frac{\ell^2}{2} - (a+b)\ell + \frac{\pi a b}{2} . $$
La formule (5) devient

$$
\Phi(K, m, \lambda) = \frac{1}{2^m} \sum_{h_1+h_2+h_3=m} \frac{m!}{h_1! h_2! h_3!} (-1)^{h_2+h_3} (a+b)^{h_2} (\pi ab)^{h_3} \frac{2h_1+h_2+3}{(2h_1+h_2+2)(2h_1+h_2+3)}
$$

Pour déterminer la variance σ²(s_m) nous avons besoin de
calculer les intégrales de la forme

$$
I_n = \int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \lambda^n dG
$$

$K_o$ étant un cercle de rayon $R_o$ et la droite $G$ ayant les coordonnées normales $p, \phi$, nous avons

$$
\lambda = 2 \sqrt{R_o^2 - p^2},
$$

$$
\text{donc}
\begin{equation}
I_n = 2^n \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R (R_o^2 - p^2)^{\frac{n}{2}} dp = 2^n \pi R_o^{n+1} B(\frac{1}{2}, \frac{n}{2} + 1). \tag{10}
\end{equation}
$$

$$
\text{Il en résulte :}
\[
\int_{\{G \cap K_o \neq \emptyset\}} \Phi(K,m,\lambda) dG = \frac{\pi R_o}{2^{m-4}} \sum_{\substack{h_1+h_2+h_3=m \\ h_1+h_2+h_3=\lambda}} \frac{m!}{h_1! h_2! h_3!}
\]
\[
\frac{(-1)^{h_2}(a+b)^{h_2}(\pi ab)^{h_3}(2R_o)^{2h_1+h_2}}{(2h_1+h_2+2)(2h_1+h_2+3)} B\left(\frac{h_2+1}{2}, \frac{h_2+1}{2} + h_1 + 2\right)
\]
$$
et la formule (9) nous donne

$$ \sigma^2(s_m) = \frac{R_o^4}{\pi^{m-1} [\pi R_o^2 + 2(a+b)R_o + ab]^m} \left[ \sum_{h_1+h_2+h_3=m} \frac{m!}{h_1! h_2! h_3!} (-1)^{h_2} \left(\frac{\pi ab}{4}\right)^{h_3} (a+b)^{h_2} R_o^{2h_1+h_2} \frac{B\left(\frac{1}{2}, \frac{h_2+1}{2} + h_1 + 2\right)}{(2h_1+h_2+2)(2h_1+h_2+3)} - \frac{\pi^{m+1} (ab)^{2m}}{[\pi R_o^2 + 2(a+b)R_o + ab]^m} \right] $$

BIBLIOGRAPHIE

1 - DELTHEIL, R. : Probabilités géométriques. Gauthier-Villars, Paris, 1926.

2 - SANTALÓ, L.A. : Sobre la medida cinematática en el plano. Abh.Math.Sem.Hans.Univ.Hamburg, 11, 1936.

3 - " " Sobre unas fórmulas integrales y valores medios referentes a figuras convexas moviles en el plano. Univ.de Buenos Aires, Contr.Cientificas,A.1, n°2, 1950.

4 - " " Introduction to integral geometry.Act.Sci. et Ind., n°1198, Hermann, Paris, 1953.

Reçu en Janvier 1973

Université des Sciences Sociales
Place Anatole France
31070 TOULOUSE

<footnote>Travail élaboré en qualité de Maître de recherche à l'Institut de Statistique des Universités de Paris.</footnote>