# Influence de la fréquence d'acquisition et de la vitesse de déplacement sur la trajectoire simulée d'un fauteuil roulant manuel

Nicolas de Saint Rémy, Philippe Vaslin, Mariano Cid, Michel Dabonneville

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Nicolas de Saint Rémy, Philippe Vaslin, Mariano Cid, Michel Dabonneville. Influence de la fréquence d'acquisition et de la vitesse de déplacement sur la trajectoire simulée d'un fauteuil roulant manuel. Journée Thématique de la Société de Biomécanique: "Biomécanique du mouvement et Handicap Moteur", Laboratoire de Biomécanique et de Mécanique des Chocs (LBMC), May 2005, Lyon, France. hal-05013483

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# Influence de la fréquence d'acquisition et de la vitesse de déplacement sur la trajectoire simulée d'un fauteuil roulant manuel.

N. de SAINT REMY(1), P. VASLIN(1), M. CID(2) & M. DABONNEVILLE(1)

(1) L.I.M.O.S., UMR 6258 CNRS - Université Blaise Pascal Clermont-Ferrand II

(2) L.M.P., UMR 5469 CNRS - Université Bordeaux I.

## INTRODUCTION

Les rares études portant sur les paramètres cinématiques de la locomotion en fauteuil roulant en situation réelle étaient, jusqu'à présent, centrées sur la mesure ou le calcul de la vitesse du fauteuil lors de déplacements rectilignes (Coutts, 1990; Faupin et coll., 2020; Vanderthommen et coll., 2020; Moss et coll., 2020). Dans le but de mesurer directement sur le terrain les facteurs mécaniques de ce moyen de locomotion, un fauteuil roulant ergomètre autonome (Dabonneville et coll., 2004) a été équipé de plusieurs capteurs de type cinématique : un accéléromètre triaxial fixé sous le siège (Vaslin et coll., 2000) et des potentiomètres angulaires qui mesurent la position angulaire des roues arrière par rapport au châssis du fauteuil. L'accélérométrie s'étant révélée inadaptée au calcul des déplacements du fauteuil (de Saint Rémy et coll., 2003), il était nécessaire de développer une méthode de reconstruction de la trajectoire à partir des mesures effectuées par les potentiomètres. Dans un premier temps, une simulation numérique a permis de valider le modèle de reconstruction de la trajectoire, d'une part, et d'étudier les influences de la fréquence d'acquisition et de la vitesse de déplacement du fauteuil sur la précision de la trajectoire calculée, d'autre part.

## METHODE

* **Reconstruction de la trajectoire : influence de la vitesse et de la fréquence d'acquisition**

Les positions angulaires successives des roues arrière droite et gauche du fauteuil par rapport au châssis étant notées $\delta_i$ et $\varphi_i$ respectivement ; le déplacement angulaire de la roue droite ($\Delta\delta_i$) entre deux instants successifs de mesure ($i$ et $i-1$) s'écrit par exemple :

$$ \Delta\delta_i = \delta_i - \delta_{i-1} \quad (\text{radians}) $$

La trajectoire du fauteuil est reconstruite à partir d'une succession de vecteurs $\vec{D}_i$, représentant le déplacement du centre de l'axe des deux roues arrière du fauteuil. Tant que les
roues arrière roulent sans glisser et ne décollent pas du sol, $\vec{D}_i$, exprimé dans le référentiel lié au fauteuil $R_f$ dont l'axe antéro-postérieur est défini par le vecteur unitaire $\vec{i}_f$, est calculé en fonction du rayon ($R$) et des déplacements angulaires des deux roues arrières :

$$ (\vec{D}_i)_{R_f} = \frac{R}{2}(\Delta\delta_i + \Delta\varphi_i)\vec{i}_f $$

Il est possible d'exprimer l'orientation ($\beta_i$) du fauteuil autour de l'axe vertical commun au référentiel absolu ($R$) et à $R_f$ en fonction des angles $\delta_i$ et $\varphi_i$ et de la distance entre les axes des roues arrière, $d$ :

$$ \beta_i = \frac{R}{d}(\varphi_i - \delta_i) \quad (\text{radian}) $$

La trajectoire du fauteuil est ensuite reconstruite dans $R$ :

$$ (\vec{D}_i)_R = \begin{bmatrix} \cos \beta_i & 0 & \sin \beta_i \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \beta_i & 0 & \cos \beta_i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{R}{2}(\Delta\delta_i + \Delta\varphi_i) \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

La dérivée de $\vec{D}$ donne l'expression de la vitesse du fauteuil $\vec{V}_f$ exprimée dans $R_f$ :

$$ (\vec{V}_f)_{R_f} = \frac{R}{2}(\dot{\delta} + \dot{\varphi})\vec{i}_f $$

Ainsi, la vitesse ($\vec{V}$) du centre de l'axe la roue droite, exprimée dans $R_f$ s'écrit :

$$ \vec{V} = R\dot{\delta}\vec{i}_f \quad \text{ou} \quad V_i = \frac{R\Delta\delta_i}{\Delta t} \quad (\text{m.s}^{-1}) $$

Puisque l'intervalle de temps entre deux mesures successives ($\Delta t$) est l'inverse de la fréquence d'acquisition ($f$) choisie par l'expérimentateur, la vitesse s'écrit :

$$ V_i = fR\Delta\delta_i \quad (\text{m.s}^{-1}) $$

Le déplacement angulaire entre deux mesures successives ($\Delta\delta_i$) dépend donc à la fois de la vitesse de déplacement de l'axe de la roue et de la fréquence d'acquisition choisie :

$$ \Delta\delta_i = \frac{V_i}{fR} \quad (\text{radians}) $$

Les déplacements élémentaires, $\vec{D}_i$, doivent être les plus petits possibles afin de se confondre avec la trajectoire réelle du fauteuil. Le rayon des roues arrière ($R$) étant supposé constant, l'expérimentateur doit donc choisir la fréquence d'acquisition de telle sorte que les
déplacements angulaires ($\Delta\delta_i$) restent faibles en regard de la vitesse du fauteuil au cours de la trajectoire étudiée :

$$f = \frac{V_i}{\Delta\delta_i R} \quad (Hz)$$

Un des objectifs de la simulation numérique suivante a été de déterminer le déplacement angulaire maximum ($\Delta\delta_{max}$), correspondant à la valeur maximale que doit prendre $\Delta\delta_i$ afin que la trajectoire reconstruite soit la plus proche possible de la trajectoire du fauteuil. La valeur de $\Delta\delta_{max}$ a ensuite permis de calculer la fréquence d'acquisition optimale ($f_{opt}$) en fonction de $R$ et de la vitesse maximale du fauteuil lors du déplacement ($V$) :

$$f_{opt} = \frac{V}{\Delta\delta_{max} \times R} \quad (Hz)$$

* Comparaison des trajectoires théorique et calculée du fauteuil à partir d'une simulation numérique

La détermination de $\Delta\delta_{max}$ ainsi que la validation du modèle cinématique de reconstruction de la trajectoire du fauteuil ont été effectuées à l'aide d'une simulation numérique comparant une trajectoire théorique avec une trajectoire calculée à partir des déplacements angulaires $\Delta\delta_i$ et $\Delta\phi_i$. Cette comparaison a été effectuée sur la base des erreurs de déplacement (Ed) et d'orientation (Eo) de la trajectoire calculée par rapport à la trajectoire théorique.

Ed correspond à la différence entre les distances théorique ($D_{th}$) et calculée ($D_{cal}$), exprimée en pourcentage de la distance théorique parcourue par $O_f$ (figure 41) :

$$Ed = \frac{D_{cal} - D_{th}}{D_{th}} \times 100 \quad (%)$$

Eo correspond à la différence entre les orientations finales théorique ($\beta_{th}$) et calculée ($\beta_{cal}$) du fauteuil dans le plan horizontal, exprimée en pourcentage de l'orientation théorique :

$$Eo = \frac{\beta_{cal} - \beta_{th}}{\beta_{th}} \times 100 \quad (%)$$

Le déplacement théorique consistait en un parcours fermé comportant deux lignes droites et deux demi-tours à droite (figure 1). La première ligne droite correspondait à un tour de roue, soit un déplacement linéaire du fauteuil de 1,915 mètres alors que le demi-tour sur la droite, d'un rayon de 0,9 m, correspondait à deux tours pour la roue gauche et un tour complet pour la roue droite. La deuxième moitié du déplacement était identique à la première et
permettait de replacer le fauteuil dans sa position initiale. Ainsi, $D_{th}$ était égale à 9,485 m et $β_{th}$ correspondait à un tour complet, soit 2Π radians.

Les valeurs de *Ed* et de *Eo* permettant de déterminer $\Delta\delta_{max}$ ont été calculées en faisant varier $\Delta\delta_i$ de 0,001 à 1,570 radians (ou 90°) par pas de 0,001 radian. Pour chaque valeur de $\Delta\delta_i$, la trajectoire de l'origine du référentiel lié au fauteuil, $O_f$, et des centres de rotation de chacune des roues arrière, $O_D$ et $O_G$ (figure 1) a été simulée à l'aide du logiciel de calcul Matlab 5.2 (The MathWorks, Inc).

## RESULTATS

Comme l'erreur relative du déplacement de $O_f$ (*Ed*) était légèrement inférieure à celle de l'orientation du fauteuil (*Eo*), cette dernière a été utilisée pour déterminer $\Delta\delta_{max}$. Le tracé de *Eo* en fonction du déplacement angulaire choisi (figure 2) met clairement en évidence l'influence de $\Delta\delta$. En fixant 0,5 % comme limite acceptable de *Eo*, la valeur de $\Delta\delta_{max}$ est immédiatement déterminée et s'élève à 0,065 radian (inférieur à 4°).

Le tracé de l'évolution de $f_{opt}$ en fonction de la vitesse maximale estimée des déplacements étudiés (figure 3) montre par exemple que lors d'un déplacement à une vitesse inférieure à 2 m.s⁻¹ (allure de confort), une fréquence d'acquisition de 100 Hz est suffisante, alors que 400 Hz serait nécessaire dans le cas d'un sprint sur une courte distance ($V = 8$ m.s⁻¹).

## DISCUSSION ET CONCLUSION

Les résultats de cette simulation numérique montrent que la méthode utilisée permet effectivement de calculer les déplacements du fauteuil sur un plan horizontal. Ils mettent aussi en évidence la nécessité de mesurer les positions angulaires de chacune des roues arrière avec une fréquence d'acquisition adaptée à la vitesse du déplacement étudié. Dans le cas d'un déplacement quelconque, en trois dimensions, il serait également nécessaire de contrôler l'orientation du fauteuil dans les trois directions de l'espace de façon à calculer les angles indispensables à la détermination de la matrice de passage entre le référentiel lié au fauteuil, $R_f$, et le référentiel absolu, $R$.

## REFERENCES

Dabonneville M., Vaslin Ph., Kauffmann Ph., de Saint Rémy N., Couétard Y. & Cid M. A self-contained wireless wheelchair ergometer designed for biomechanical measures in real life conditions. *Technology and Disability*, à paraître.

Coutts K.D. (1990) Kinematics of sport wheelchair propulsion. J.Rehabil.Res.Dev. 27, 21-26.
Faupin A., Campillo P., Weissland T. & Micallef J.P. (2002) Effet de l'inclinaison latérale des roues du fauteuil roulant sur la vitesse linéaire et sur la vitesse de pivot du basketteur. Cinésiologie 4-6.

Moss A.D., Fowler N.E. & Tolfrey V.L. (2003) A telemetry-based velocimeter to measure wheelchair velocity. J.Biomech. 36, 253-257.

de Saint Rémy N., Vaslin P., Dabonneville M., Roux D., Hou K.M. & Cid M. (2003) Can the distance run by a wheelchair be calculated from the measurements of a 3-D accelerometer? Arch. Physiol. Bioch., 111, suppl. p. 99.

Vanderthommen M., Francaux M., Colinet C., Lehance C., Lhermerout C., Crielaard J.M., & Theisen D. (2002) A multistage field test of wheelchair users for evaluation of fitness and prediction of peak oxygen consumption. J.Rehabil.Res.Dev. 39, 685-692.

Vaslin P. & Dabonneville M. (2000) Use of a 3D accelerometer for kinetic analysis of wheelchair propulsion., XIIth Conference of the European Society of Biomechanics, Trinity College, Dublin (Ireland).
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 : Trajectoires théorique (en gras) de $O_f$ et calculées (traits fins avec les points successifs de calcul) de $O_f$, $O_D$ et $O_G$ du fauteuil ; la fréquence d'acquisition lors de ce calcul est faible (8 Hz) et la vitesse de déplacement élevée (4 m.s⁻¹) afin de bien visualiser la différence de trajectoire ainsi que l'erreur d'orientation du fauteuil ($\beta_{cal}-\beta_{th}$).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 : Erreurs d'orientation finale du fauteuil (Eo) en fonction du pas angulaire choisi pour la simulation.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 : Fréquence d'acquisition optimale ($f_{opt}$) en fonction de la vitesse de déplacement du fauteuil étudié (V) afin que l'erreur due à la méthode de calcul de la trajectoire du fauteuil soit inférieure à 0,5%.</figcaption></figure>