# QED, QCD en pratique

P. Aurenche, J.-Ph Guillet, E. Pilon

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P. Aurenche, J.-Ph Guillet, E. Pilon. QED, QCD en pratique. 3ème cycle. Beyrout, Liban. 2016. cel-01440544v2

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# QED, QCD en pratique

P. Aurenche$^a$, J.-Ph. Guillet$^b$, E. Pilon$^c$

LAPTh, Univ. Grenoble Alpes, Univ. Savoie Mont Blanc, CNRS,
74940 Annecy Cedex, France

## Résumé

Ces notes sont une introduction à l'application de l'électrodynamique quantique (QED) et de la chromodynamiques quantique (QCD) aux réactions de diffusion aux hautes énergies. Le premier thème abordé est celui des divergences ultraviolettes et de la renormalisation à une boucle, avec comme conséquence pour QCD la liberté asymptotique. Le deuxième thème est celui des divergences infrarouges et colinéaires qui dans QCD sont traitées dans le cadre du modèle des partons avec l'introduction des fonctions de structure d'un hadron. On montre comment la violation d'invariance d'échelle est engendrée par les corrections radiatives et on discute le théorème de factorisation dans l'approximation à une boucle. Plusieurs applications phénoménologiques dans les collisions $e^+e^-$, $e^p$ et $pp$ sont présentées, avec notamment la production de bosons de jauge, de gerbes hadroniques ("jets") et de particules à grande impulsion transverse dans les collisionneurs hadroniques. Dans tous les cas les prédictions sont confrontées avec les résultats expérimentaux récents.

<footnote>$^a$ aurenche@lapth.cnrs.fr</footnote>

<footnote>$^b$ guillet@lapth.cnrs.fr</footnote>

<footnote>$^c$ pilon@lapth.cnrs.fr</footnote>
Avertissement

Les notes qui suivent donnent suffisamment de détails pour qu’un étudiant qui ne bénificie pas d’un environnement académique très fourni en théorie quantique des champs ni en physique des particules puisse y trouver un intérêt. Ces notes supposent la connaissance du spineur de Dirac ainsi que celle de la procédure de construction de l’approche perturbative pour le calcul d’une amplitude de diffusion en théorie quantique des champs.

Ce cours est aussi disponible à l'URL suivante : https://lectures.lapth.cnrs.fr/qed_qcd.
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# Table des matières

<table><tr><td>1 Introduction</td><td>7</td></tr><tr><td>2 Lagrangien QED, Règles de Feynman</td><td>13</td></tr><tr><td>2.1 Invariance de jauge et le Lagrangien QED</td><td>13</td></tr><tr><td>2.2 Le spineur de Dirac libre</td><td>17</td></tr><tr><td>2.3 Le propagateur du fermion</td><td>23</td></tr><tr><td>2.4 Le champ du photon libre</td><td>28</td></tr><tr><td>2.5 Le propagateur du photon</td><td>34</td></tr><tr><td>2.5.1 Remarques sur le propagateur du photon</td><td>36</td></tr><tr><td>2.5.2 Indépendance de jauge et conservation du courant</td><td>37</td></tr><tr><td>2.6 Règles de Feynman de QED</td><td>38</td></tr><tr><td>2.7 Appendice : propriétés des matrices γμ</td><td>40</td></tr><tr><td>3 Divergences ultraviolettes, renormalisation</td><td>43</td></tr><tr><td>3.1 Divergences ultraviolettes et renormalisation en λφ<sup>4</sup></td><td>45</td></tr><tr><td>3.1.1 Divergences des diagrammes en boucle</td><td>45</td></tr><tr><td>3.1.2 Principes de la procédure de renormalisation</td><td>48</td></tr><tr><td>3.1.3 Renormalisation de la masse et de la fonction d'onde</td><td>51</td></tr><tr><td>3.1.4 Conséquence de la procédure de renormalisation : couplage mobile</td><td>55</td></tr><tr><td>3.1.5 Discussion</td><td>56</td></tr><tr><td>3.2 Techniques de calcul des diagrammes en boucle</td><td>57</td></tr><tr><td>3.2.1 Paramétrage de Feynman</td><td>58</td></tr><tr><td>3.2.2 Rotation de Wick</td><td>60</td></tr><tr><td>3.2.3 Intégrales en régularisation dimensionnelle</td><td>60</td></tr><tr><td>3.2.4 Analyse dimensionnelle</td><td>64</td></tr><tr><td>3.2.5 Règles de Feynman pour QED</td><td>64</td></tr><tr><td>3.2.6 Diracologie en n-dimensions</td><td>65</td></tr><tr><td>3.3 Renormalisation du modèle λφ<sup>4</sup> à une boucle</td><td>65</td></tr><tr><td>4 Renormalisation de QED à une boucle</td><td>67</td></tr><tr><td>4.1 Polarisation du vide : calcul de Z<sub>3</sub></td><td>68</td></tr><tr><td>4.1.1 Conséquence et application</td><td>71</td></tr><tr><td>4.2 Self-énergie du fermion : calcul de Z<sub>0</sub> et Z<sub>2</sub></td><td>75</td></tr><tr><td>4.3 Correction au vertex : calcul de Z<sub>1</sub></td><td>83</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>4.3.1 Correction au vertex : calcul complet</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.2 Moment magnétique anomal de l'électron, du muon et application</td>
      <td>87</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4 Renormalisation : la fonction β(α) et le couplage mobile</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5 Identités de Ward-Takahashi</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.6 Degré superficiel de divergence d'un diagramme</td>
      <td>95</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>5 Compensation des divergences infrarouges</b></td>
      <td><b>99</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1 Terme de Born</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2 Corrections virtuelles</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3 Corrections réelles</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4 Définition de la section efficace</td>
      <td>104</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>6 Hadrons et quarks + ...</b></td>
      <td><b>107</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1 Spectroscopie et modèle des quarks</td>
      <td>108</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2 La diffusion profondément inélastique (DIS).</td>
      <td>116</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2.1 Cinématique de la diffusion lepton-nucléon</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2.2 Dynamique</td>
      <td>118</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2.3 Résultats de l'expérience</td>
      <td>120</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3 Le modèle des partons dans l'inélastique profond</td>
      <td>122</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.1 Section efficace électron-parton</td>
      <td>124</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.2 Section efficace électron-proton</td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.3 Identification partons ≡ quarks + ...</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4 Diffusion neutrino-nucléon et modèle des partons</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.1 Diffusion neutrino-nucléon : courant chargé</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.2 Modèle des partons</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.3 Discussion</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.4 Règles de somme</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.5 Application du modèle des partons</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.6 Le modèle des partons : formulation générale</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.7 Conclusions</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>7 Chromodynamique Quantique : QCD</b></td>
      <td><b>141</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1 Lagrangien QCD</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2 Quantification : théorie scalaire</td>
      <td>146</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3 Quantification : chromodynamique quantique</td>
      <td>151</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.4 Règles de Feynman en QCD</td>
      <td>157</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.5 Invariance BRS-T : Becchi-Rouet-Stora et Tyutin</td>
      <td>163</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.6 Exemples de processus en arbre</td>
      <td>165</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.7 Hadrons et quarks colorés</td>
      <td>173</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.8 Appendice I : Résumé des règles de Feynman en QCD</td>
      <td>173</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.9 Appendice II : Facteurs de couleur pour SU(N)</td>
      <td>175</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tbody><tr><td>10.3.1 Corrections d'ordre α<sub>s</sub> : termes virtuels</td><td>251</td></tr><tr><td>10.3.2 Corrections d'ordre α<sub>s</sub> : termes réels</td><td>252</td></tr><tr><td>10.3.3 Corrections d'ordre α<sub>s</sub> : production inclusive d'un hadron</td><td>254</td></tr><tr><td><b>11 Unitarité, règles de coupure</b></td><td><b>257</b></td></tr><tr><td>11.1 Matrice S, unitarité, théorème optique</td><td>257</td></tr><tr><td>11.2 Relations de dispersion</td><td>263</td></tr><tr><td>11.3 Diagrammes et unitarité : règles de coupure de Cutkosky</td><td>265</td></tr><tr><td>11.4 Règles de Cutkosky et compensation des divergences</td><td>268</td></tr><tr><td><b>12 Equations du groupe de renormalisation</b></td><td><b>271</b></td></tr><tr><td>12.1 Equations du groupe de renormalisation</td><td>272</td></tr><tr><td>12.2 Calcul de la fonction β et des dimensions anomales</td><td>273</td></tr><tr><td>12.3 Solution des équations du groupe de renormalisation</td><td>275</td></tr><tr><td>12.4 Applications</td><td>277</td></tr><tr><td>12.5 Comportement asymptotique des fonctions de Green</td><td>279</td></tr><tr><td>12.6 Comportement asymptotique du couplage mobile</td><td>280</td></tr><tr><td>12.7 Violation d'invariance d'échelle</td><td>281</td></tr><tr><td><b>13 Modèle des partons amélioré et applications.</b></td><td><b>283</b></td></tr><tr><td>13.1 Processus de Drell-Yan</td><td>283</td></tr><tr><td>13.2 Production de photons directs à grands transferts</td><td>290</td></tr><tr><td>13.3 Production de jets dans les collisions hadroniques</td><td>301</td></tr><tr><td>13.4 Production de hadrons dans les collisions hadroniques</td><td>308</td></tr><tr><td>13.5 Conclusion</td><td>311</td></tr><tr><td><b>14 Bibliographie</b></td><td><b>313</b></td></tr></tbody></table>
# Chapitre 1

# Introduction

Le cours qui va suivre est une introduction à la **chromodynamique quantique** qui est une des composante du **Modèle Standard** de la physique des particules. Le principe de base qui guide la construction de modèles en physique des particules est le **principe d'invariance de jauge locale** selon lequel la physique ne dépend pas de la phase que l'on peut associer aux champs de particules. Le Modèle Standard est un exemple particulier de théorie de jauge caractérisée par un certain **groupe de symétrie de jauge**. Le groupe de jauge qui sous-tend le Modèle Standard est

$$SU(3) \otimes SU(2)_L \otimes U_Y(1)$$

c'est-à-dire le produit direct de 3 groupes simples.

- Le groupe $SU(3)$ ou **groupe de couleur** est le groupe de symétrie des interactions fortes. Le groupe $SU(3)$ agit sur les quarks qui sont les constituants élémentaires de la matière et la force d'interaction entre les quarks est portée par les gluons qui sont les bosons de jauge du groupe de symétrie. On a donc **des quarks et gluons colorés**. Le paramètre qui caractérise la "force" de l'interaction entre quarks et gluons est dénoté $\alpha_s$ et il peut être, dans certaines conditions, $\sim 1$ (interactions fortes). Dans d'autres conditions que l'on spécifiera plus tard $\alpha_s < 1$. La symétrie $SU(3)$ de couleur est exacte et donc, nécessairement, les gluons sont de masse nulle.

- Le groupe $SU(2)_L \times U_Y(1)$ est le **groupe des interactions faibles et électromagnétiques** où $SU(2)_L$ est le groupe d'isospin et $U_Y(1)$ est le groupe d'hypercharge. A basse énergie ($M < 250$ GeV) la **symétrie est spontanément brisée** et le groupe de symétrie résiduel est $U_{EM}(1)$ dont le générateur est une combinaison du générateur de $U_Y(1)$ et d'un générateur de $SU(2)_L$. Le boson de jauge correspondant est évidemment le photon. Le couplage caractéristique est $\alpha \simeq \frac{1}{137}$. La brisure de symétrie implique que les autres bosons de jauge du groupe initial acquièrent une masse : ce sont les bosons $W^{\pm}, Z$ découverts au CERN dans les années 1980. Le mécanisme de brisure est associé aux noms de Brout, Englert, Guralnik, Hagen, Higgs, Kibble mais il est dit "mécanisme de Brout-Englert-Higgs" du nom des trois premiers auteurs par ordre chronologique. Il est responsable de l'existence de la "goddamned particle"<fnref n="1" /> de Higgs, annoncée au CERN

<footnote n="1">1. Due à Leon Lederman cette expression a été déformée par des journalistes américains imbéciles en "God's particle" pour être "politiquement correcte". Cette dernière forme a ensuite été reprise par le suiviste troupeau de veaux de la presse internationale. Une traduction plus appropriée serait cette "p... de particule".</footnote>
en décembre 2012 suite aux résultats expérimentaux des collaborations ATLAS et CMS.

Ce qui suit concerne le groupe de couleur et les interactions fortes, c'est-à-dire la **chromodynamique quantique (QCD)**. La problématique de **QCD** est assez différente de celle du modèle de **Glashow-Weinberg-Salam (GWS)** qui décrit les interactions électrofaibles : le couplage est relativement grand et quand on calcule une quantité physique en termes d'une série perturbative (dénotée symboliquement) :

$$ \sigma = a_0 + a_1\alpha_s + a_2\alpha_s^2 + a_3\alpha_s^3 + \dots $$

les termes en $\alpha_s^n$, ..., jouent un rôle important. Une bonne partie du cours concernera donc le calcul des termes d'ordre supérieur et leurs conséquences phénoménologiques. Dans le modèle de **GWS** le couplage est petit (donc le rôle des corrections est moins crucial, bien que les corrections d'ordre supérieur soient maintenant absolument nécessaires pour l'interprétation des résultats expérimentaux) et l'aspect le plus intéressant sera la brisure de symétrie et le mécanisme par lequel non seulement les bosons, mais aussi les quarks acquièrent une masse et le boson de Higgs apparaît.

## La Chromodynamique Quantique

QCD est la théorie qui est supposée décrire les hadrons ainsi que les interactions entre ces derniers c'est-à-dire les interactions fortes. Les problèmes qu'une théorie des interactions fortes doit résoudre sont de deux types :

1. — comprendre le spectre de masse des hadrons : $m_\pi, m_\rho, \dots, m_p, m_\Delta, \dots$;

— comprendre la durée de vie ("largeur" de désintégration) des hadrons :

$$ \rho \rightarrow \pi\pi, \quad \omega \rightarrow \rho\pi, \quad \Delta \rightarrow p\pi, \dots $$

Ce sont des problèmes caractérisés par une échelle de masse $M \sim M_h \sim 1$ GeV ($m_\rho \sim .75$ GeV, $m_p \sim .940$ GeV, $m_\Delta \sim 1.23$ GeV, $m_\pi \sim .14$ GeV est l'exception).

2. comprendre l'interaction entre les hadrons :

$$ pp \rightarrow \text{hadrons}, \quad pp \rightarrow \gamma^*, W, Z + \text{hadrons} $$

et entre lepton et hadron :

$$ e p \rightarrow e + \text{hadrons}, \quad e e \rightarrow \text{hadrons} $$

En plus de l'échelle $M_h$, ces processus sont caractérisés par l'échelle d'énergie de la collision : $M \sim \sqrt{s} = E_{CM}$.

La tendance a toujours été d'explorer des énergies de plus en plus grandes car, par la relation d'incertitude de Heisenberg $\Delta x \Delta p \sim \hbar$, cela revient à sonder la matière avec une résolution de plus en plus fine. En effet, on a<fnref n="2" />

$$ \Delta x = \frac{\hbar}{\Delta p} = \frac{\hbar c [\text{GeV fm}]}{c \Delta p [\text{GeV}]} \approx \frac{.2 [\text{GeV fm}]}{c \Delta p [\text{GeV}]}, $$

ce qui donne les ordres de grandeur suivants :

<footnote n="2">2. $\hbar = 6,58\,211\,928\,10^{-22}$ MeV s, $c = 299\,792\,458\,\text{m s}^{-1}$. Pour une liste des constantes fondamentales et de leur valeur voir : http://pdg.lbl.gov/2014/reviews/rpp2014-rev-phys-constants.pdf, in K.A. Olive et al. (Particle Data Group), Chin. Phys. C, 38, 090001 (2014).</footnote>
— LEP : $\Delta p \sim 200 \text{ GeV/c} \Rightarrow \Delta x \sim 10^{-3} \text{ fm} = 10^{-18} \text{ m}$

— LHC : $\Delta p \sim 2 \text{ TeV/c} \Rightarrow \Delta x \sim 10^{-4} \text{ fm} = 10^{-19} \text{ m}$

(L'énergie des collisions entre protons au LHC est de 14 TeV, mais l'énergie effective des collisions entre constituants est de l'ordre de 2 TeV). La physique des particules actuelle peut donc être qualifiée d'attophysique = (nano)²-physique.

En fait, les expériences à haute énergie ont depuis longtemps montré que les hadrons sont des
objets composites, et qu'ils sont formés de constituants ponctuels aux échelles explorées : les quarks
et les gluons. La QCD est la théorie qui décrit les interactions entre quarks et gluons, de même
que l'électrodynamique quantique (QED) décrit l'interaction entre électrons et photons. La force
de l'interaction est décrite par le couplage e pour QED et le couplage g pour QCD

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

avec en général $e \ll g$ ($\alpha = e^2/(4\pi\hbar c) \ll \alpha_s = g^2/(4\pi\hbar c)$). On verra par la suite (voir chapitres 3 et 8) que les corrections d'ordre supérieur et la renormalisation imposent $\alpha \to \alpha(M)$, $\alpha_s \to \alpha_s(M)$ où $M$ est l'échelle caractéristique du processus étudié : $\alpha(M)$, $\alpha_s(M)$ sont appelés **couplage mobile** de QED et de QCD respectivement. Une différence fondamentale entre les deux est que, contrairement à QED, le couplage mobile en QCD décroît quand l'échelle de masse croît et il tend vers 0 aux énergies asymptotiques. On est donc amené à distinguer deux régimes en QCD :

1. $M \gg 1$ GeV, $\alpha_s(M) \ll 1$ : les quarks et gluons observés à l'intérieur des hadrons à cette échelle apparaissent quasi libres puisque $\alpha_s$ est petit. On pourra donc utiliser la théorie des perturbations :

$$
\sigma \sim a_0 + a_1 \alpha_s + a_2 \alpha_s^2 + \dots
$$

Les méthodes de calcul seront donc similaires à QED. C'est ce régime de **liberté asymptotique** que nous allons étudier. Il concerne l'interaction entre hadrons, et entre leptons et hadrons à haute énergie.

2. $M \le 1$ GeV, $\alpha_s(M) \ge 1$ : l'interaction est tellement forte que les quarks et gluons sont confinés dans les hadrons. C'est donc un régime non perturbatif pour lequel il n'existe pas de méthodes de calcul analytique. Actuellement, ces problèmes sont abordés numériquement par le biais des théories de jauge sur réseau.

Avant d'entrer dans le vif du sujet, il est intéressant de remarquer que la notion de "constituants élémentaires" des hadrons est apparue "indépendamment" dans les deux régimes :

— En 1964, Gell-Mann et Zweig proposent le "modèle des quarks" comme méthode de classification des très nombreuses résonances hadroniques que l'on découvrait expérimentalement ;

— En 1968, Feynman et Bjorken propose le "modèle des partons" qui permet de comprendre la propriété d"invariance d'échelle" de la réaction "profondément inélastique"

$e + p \rightarrow e + \text{hadrons}$
étudiée expérimentalement au SLAC à haute énergie (pour l'époque !).

A priori, les partons de Feynman ne sont pas reliés aux "quarks" de Gell-Mann ou aux "as" de Zweig. Ce n'est qu'après de nombreux travaux théoriques et expérimentaux que l'on peut, dans une certaine mesure, identifier les partons de Feynman aux quarks et aux gluons de QCD (voir chap. 6).

En prélude à QCD on considère l'electrodynamique quantique qui permet d'illustrer de façon relativement simple de nombreux aspects de la chromodynamique quantique. Les premiers chapitres sont donc consacrés à QED. Le chapitre 1 résume la construction du Lagrangien de QED où le principe d'invariance de jauge joue un rôle fondamental. On dérive aussi succintement les règles de Feynman. Le chapitre suivant traite de façon qualitative des **divergences ultraviolettes** qui apparaissent dans les calculs d'ordre supérieur en théorie des perturbations, divergences qui seront éliminées par la procédure de **renormalisation** : le concept de **couplage mobile**, qui dépend de l'échelle d'énergie du processus considéré, apparaît naturellement. Les outils techniques sont ensuite introduits et appliqués, dans le chapitre 3, à la renormalisation de QED à une boucle. Cela est suivi par un chapitre montrant comment les **divergences infrarouges** apparaissant dans le calcul des boucles sont éliminées quand l'observable est correctement défini.

Le chapitre 5 est une brève introduction au **modèle des partons** et sert de justification au fait que la physique des interactions entre hadrons et entre hadrons et leptons est ramenée à la discussion d'une théorie des interactions entre quarks et gluons et entre ces derniers et les leptons. La notion de **fonction de structure** d'un hadron, et de son **invariance d'échelle**, est présentée. Le lagrangien de QCD est ensuite construit sur la base de l'invariance de jauge non abélienne SU(3) et la théorie est quantifiée suivant l'approche des intégrales fonctionnelles. Les règles de Feynman sont obtenues et appliquées au calcul des amplitudes de diffusion $2 \text{corps} \rightarrow 2 \text{corps}$ (chapitre 6). Elles sont ensuite utilisées pour évaluer certains diagrammes en boucle qui permettent d'obtenir le couplage mobile de QCD et de prouver la **propriété de liberté asymptotique** de QCD (chapitre 7). Puis on considère le problème des **divergences colinéaires** qui sont liées au fait que les quarks et les gluons sont supposés être de masse nulle. La discussion est conduite dans le cadre du modèle des partons et, par une procédure reminiscente de la renormalisation, on peut éliminer ces divergences au prix de l'introduction de **violation de l'invariance d'échelle** : c'est le **théorème de factorisation** dans le modèle des partons. Les résultats du chapitre 8 justifient, en fait, l'usage du modèle des partons et de ses corrections QCD pour la description des interactions lepton-hadron et hadron-hadron : c'est l'**universalité des fonctions de structure** qui est "prouvée" par l'étude de la diffusion Drell-Yan. Le chapitre 9, sur le calcul de quelques observables de la diffusion $e^{+} e^{-} \rightarrow \text{hadrons}$ est l'occasion de montrer comment sont traitées les divergences infrarouges et colinéaires en QCD et d'introduire le concept de **gerbe hadronique** ou **jet** et de **fonctions de fragmentation** des quarks et des gluons. Il est suivi d'une discussion sur l'**unitarité** qui définit la structure analytique de l'amplitude de diffusion dans le plan d'énergie complexe et sur les règles de coupure. Une brève introduction aux **relations de dispersion** est également donnée. Le chapitre 11 contient une introduction aux **équations du groupe de renormalisation**. Le chapitre 12 est consacré à quelques applications de QCD à la phénoménologie des collisions proton-proton.
## Conventions

Dans la suite on utilisera les conventions habituelles $\hbar = c = 1$ de telle sorte que les variables d'énergie $E$, d'impulsion $p$ et de masse $m$ sont toutes exprimées en unité de masse et sont de dimension 1,

$$[E] = [p] = [m] = 1.$$

Par conséquent, d'après les relations de Heisenberg, $\Delta p \Delta x \sim 1$, $\Delta E \Delta t \sim 1$, les variables de longueur et de temps sont de dimension -1,

$$[x] = [t] = -1.$$

La métrique est définie par la matrice diagonale $4 \times 4$ :

$$g_{\mu\nu} = g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

On note un quadrivecteur :

$$V^{\mu} = (v^{0}, v^{1}, v^{2}, v^{3}) = (v^{0}, v^{i}) = (v^{0}, \vec{v})$$

d'où :

$$V_{\mu} = g_{\mu\nu} V^{\nu} = (v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3}) = (v_{0}, v_{i}) = (v_{0}, -\vec{v})$$

On définit les opérateurs différentiels $\partial_{\mu} = \partial/\partial x^{\mu}$ et $\partial^{\mu} = \partial/\partial x_{\mu}$ et donc

$$\partial_{\mu} V^{\mu} = \partial_{0} v^{0} + \partial_{i} v^{i} = \partial_{0} v^{0} + \vec{\nabla} \cdot \vec{v} \qquad (1.0.1)$$
# Chapitre 2

## Lagrangien QED, Règles de Feynman

Avant d'entrer dans le détail de l'interaction entre quarks et gluons nous allons faire quelques rappels sur l'electrodynamique quantique. Le principe de construction de la théorie, l'invariance de jauge, est le même dans les deux cas mais le cas abélien de QED est beaucoup plus simple à écrire que le cas non abélien de QCD. Le comportement asymptotique (infra-rouge et ultra-violet) des deux théories est cependant complètement différent.

Toute la physique perturbative est contenue dans la densité lagrangienne, $\mathcal{L}(\phi(x), \partial_\mu\phi(x))$, une fonction des champs $\phi(x)$ et de leurs premières dérivées, à partir de laquelle on construit l'action :

$$S = \int d^4 x \mathcal{L}(\phi(x), \partial_\mu \phi(x)).$$

L'action est une quantité sans dimension. Si on impose que l'action est stationnaire sous une variation du champ (principe de Maupertuis), on obtient les équations d'Euler-Lagrange :

$$\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \phi(x)} - \partial_{\mu} \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial_{\mu} \phi(x)} = 0$$

qui décrivent l'évolution classique du champ $\phi(x)$. C'est à partir de ces équations, qu'en formalisme de la seconde quantification, on obtient les règles de Feynman qui permettent de calculer perturbativement n'importe quel processus en théorie des champs.

### 2.1 Invariance de jauge et le Lagrangien QED

Pour QED, on part d'un spineur de Dirac massif $\psi(x)$ et du lagrangien libre

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i \not\partial - m)\psi$$

avec les conventions $\bar{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0, \not\partial = \gamma^\mu\partial/\partial x_\mu = \partial_\mu\gamma^\mu$, et les matrices $(4 \times 4)$ $\gamma_\mu$ définies par

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} \mathbf{1}_2 & 0 \\ 0 & -\mathbf{1}_2 \end{pmatrix}, \quad \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{pmatrix}, \qquad (2.1.1)$$

où les $\sigma_i$ sont les matrices de Pauli. On a les propriétés suivantes :

$$\{\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}\} = 2g_{\mu\nu} \mathbf{1}_4, \quad \gamma_0 = \gamma_0^\dagger \gamma_0, \quad \gamma_\mu^\dagger \gamma_0 = \gamma_\mu. \qquad (2.1.2)$$
D'autres propriétés des matrices $\gamma_\mu$ sont données en appendice. L'équation d'Euler-Lagrange obtenue en variant l'action $S$ par rapport à $\bar{\psi}$ est :

$$(i \not\partial - m)\psi = 0, \qquad (2.1.3)$$

et celle par rapport à $\psi$ est :

$$i\partial_{\mu}\bar{\psi}\gamma^{\mu} + m\bar{\psi} = 0. \qquad (2.1.4)$$

Ces deux équations sont équivalentes car la première peut être obtenue à partir de la seconde en prenant l'hermitienne conjuguée et en multipliant à droite par $\gamma^0$.

• Invariance par changement de phase globale

On voit que la physique ne dépend pas de la phase du champ $\psi$ puisque le lagrangien $\mathcal{L}$ est invariant sous la transformation globale suivante :

$$\begin{aligned} \psi(x) &\rightarrow e^{i\alpha}\psi(x) \\ \bar{\psi}(x) &\rightarrow e^{-i\alpha}\bar{\psi}(x), \end{aligned}$$

où $\alpha$ est une constante réelle arbitraire, indépendante du point $x$. Ceci est une transformation de jauge rigide ou de première espèce. D'après le théorème de Noether, à toute invariance sous une famille continue de transformations de ce type correspond un courant conservé dont la forme est obtenue en partant des transformations infinitésimales de $\psi$ et $\bar{\psi}$ ($\alpha$ arbitraire, $\alpha \ll 1$) :

$$\begin{aligned} \delta\psi &= i\alpha\psi \\ \delta\bar{\psi} &= -i\alpha\bar{\psi}. \end{aligned}$$

La variation correspondante du lagrangien est

$$\delta\mathcal{L} = \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\psi}\delta\psi + \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\partial_{\mu}\psi}\partial_{\mu}\delta\psi + \delta\bar{\psi}\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\bar{\psi}} + \partial_{\mu}\delta\bar{\psi}\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\partial_{\mu}\bar{\psi}},$$

où on a utilisé la définition $\delta\partial_\mu\psi = \partial_\mu\delta\psi$ au numérateur. Le dernier terme est nul (pas de dependence en $\partial_\mu\bar{\psi}$ de $\mathcal{L}$) ainsi que l'avant dernier (le coefficient de $\delta\bar{\psi}$ est l'équation du mouvement). Utilisant Euler-Lagrange, les deux premiers se combinent en

$$\delta\mathcal{L} = \partial_{\mu}\left(\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\partial_{\mu}\psi}\right)\delta\psi + \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\partial_{\mu}\bar{\psi}}\partial_{\mu}\delta\bar{\psi} = \partial_{\mu}\left(\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\partial_{\mu}\psi}\delta\psi\right) = i\alpha\partial_{\mu}(i\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi). \qquad (2.1.5)$$

Puisque $\mathcal{L}$ est invariant sous les transformations rigides, $\psi \rightarrow e^{i\alpha}\psi$, le courant $J^\mu$ associé à cette invariance,

$$J^{\mu} = \bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi, \qquad (2.1.6)$$

est conservé : $(\partial_\mu J^\mu = \partial_0 J^0 + \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = 0)$. On définit la charge $Q(t)$ associée à ce courant par :

$$Q(t) = Q = \int d^3x J^0(t, \vec{x}). \qquad (2.1.7)$$
En effet, il est aisé de montrer qu'elle est constante dans le temps,

$$ \frac{dQ}{dt} = - \int_{\Omega} d^3 x \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = - \int_{\partial \Omega} \vec{d}s \cdot \vec{J}(t, \vec{x}) = 0. $$

Pour obtenir la première égalité on utilise la conservation du courant, $\partial_0 J^0 + \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = 0$, et pour la dernière on suppose qu'il n'y a pas de charges à l'infini et que $\vec{J}$ est à décroissance suffisamment rapide à l'infini.

### • Invariance par changement de phase locale

On va maintenant refaire le même travail pour un paramètre $\alpha$ qui dépend de la coordonnée d'espace-temps, $\alpha \to \alpha(x)$, c'est-à-dire que l'on peut choisir arbitrairement la phase du champ $\psi$ en chaque point de l'espace sans que cela affecte les prédicitions physiques (transformation de jauge propre, ou de seconde espèce). Les transformations locales sont donc les suivantes

$$ \begin{aligned} \psi(x) &\to \psi'(x) = e^{ie\alpha(x)}\psi(x) \\ \bar{\psi}(x) &\to \bar{\psi}'(x) = e^{-ie\alpha(x)}\bar{\psi}(x) \end{aligned} \qquad (2.1.8) $$

et, si le terme de masse reste invariant ($\bar{\psi}\psi \to \bar{\psi}'\psi$), le terme cinétique ne l'est plus ($\bar{\psi}\partial_\mu\psi \neq \bar{\psi}'\partial_\mu\psi'$) à cause de l'action de la dérivée sur le paramètre $\alpha(x)$ :

$$ \partial_{\mu} \psi' = \partial_{\mu} (e^{ie\alpha(x)} \psi) = e^{ie\alpha(x)} \partial_{\mu} \psi + ie(\partial_{\mu} \alpha(x)) \psi. $$

La variation du lagrangien prend donc la forme suivante :

$$ \delta \mathcal{L} = -e \bar{\psi} (\partial_{\mu} \alpha(x)) \gamma^{\mu} \psi, $$

qui n'est ni nulle ni une dérivée totale. On peut néanmoins rétablir cette invariance en introduisant un champ vecteur, $A_\mu(x)$, et en modifiant le lagrangien :

$$ \mathcal{L} \to \bar{\psi}(x) (i(\partial_{\mu} - ieA_{\mu}(x))\gamma^{\mu} - m) \psi(x) \equiv \bar{\psi}(x) (iD_{\mu}\gamma^{\mu} - m) \psi(x), $$

où $D_\mu = \partial_\mu - ieA_\mu(x)$ est la dérivée covariante, dont la variation est $\delta(D_\mu\psi(x)) = ie\alpha(x)D_\mu\psi(x)$, par définition. Sous l'action d'un élément du groupe de jauge le champ $A_\mu(x)$ devient donc :

$$ A_{\mu}(x) \to A'_{\mu}(x) = A_{\mu}(x) + \partial_{\mu} \alpha(x). $$

Ainsi, sous une transformation infinitésimale, la variation du lagrangien est nulle, puisque la variation associée au champ de jauge compense celle due au fermion. Les équations du mouvement sont :

$$ (i \not\partial - m) \psi(x) = \underbrace{-e \not A(x) \psi(x)}_{\text{terme d'interaction}} \qquad (2.1.9) $$

$$ e \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi = 0. \qquad (2.1.10) $$

où la deuxième équation résulte de la variation du champ $A_\mu$. Physiquement, (2.1.10) impose soit $e = 0$ (pas de charge électrique), soit $\psi = 0$ (pas de champ fermionique)! On peut résoudre ce
problème si l'on ajoute à $\mathcal{L}$ un terme dérivatif qui contient $\partial_\mu A_\nu$ et qui spécifie comment le champ de jauge se propage (terme cinétique). Pour préciser la forme de ce terme, nous allons utiliser le fait que l'action que nous voulons construire est censée être un scalaire de Lorentz, sans dimension et invariante de jauge. Il faut donc trouver un terme quadratique en $\partial_\mu A_\nu$, de dimension 4 (pour compenser la dimension de la mesure d'intégration $d^4x$ qui vaut -4 en unités de masse, sachant que $[\partial_\mu A_\nu] = 2$), invariant de jauge et scalaire de Lorentz. On vérifie facilement que le terme $F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ avec

$$F^{\mu\nu}(x) = \partial^{\mu} A^{\nu}(x) - \partial^{\nu} A^{\mu}(x)$$

invariant de jauge, satisfait à toutes les conditions énoncées ci-dessus. Ce terme n'est pas le seul candidat, mais les autres possibilités sont en désaccord avec nos exigences. Par exemple,

- $(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu})^2$ est un scalaire de Lorentz, mais il est de dimension 8 : dans la densité lagrangienne il entrerait donc avec un couplage de dimension -4 (par exemple $(F \cdot F)^2/M^4$). Mais une théorie qui possède un couplage de dimension négative est non-renormalisable (voir sec. 4.6).

- $\tilde{F}^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ avec $\tilde{F}^{\mu\nu} = \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}$<fnref n="1" /> satisfait à toutes les conditions énoncées plus haut, mais c'est un pseudo-scalaire qui viole la parité alors que QED la préserve. On peut aussi noter que ce terme ne résoud pas le problème (2.1.10) puisqu'il ne contribue pas aux équations de mouvement (terme topologique) : en fait il se réduit à une dérivée totale<fnref n="2" />.

Finalement, $\mathcal{L}_{\text{QED}}$ pour un champ $\psi$ s'écrit

$$\mathcal{L}_{\text{QED}} = -\frac{1}{4} F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} + \bar{\psi}(i \not\partial - m)\psi \qquad (2.1.11)$$

où le facteur $-\frac{1}{4}$ est choisi de manière à obtenir la normalisation habituelle pour la charge $e$. A priori, on aurait pu considérer un champ $A^\mu$ massif, mais il est facile de montrer qu'un terme de la forme $m^2 A_\mu A^\mu$ n'est pas invariant sous une transformation de jauge. C'est donc l'invariance de jauge qui impose un champ de jauge (photon) de masse nulle. Les équations du mouvement pour le photon sont :

$$\frac{\delta \mathcal{L}_{\text{QED}}}{\delta A_{\nu}(x)} - \partial_{\mu} \frac{\delta \mathcal{L}_{\text{QED}}}{\delta \partial_{\mu} A_{\nu}(x)} = 0 \quad \Rightarrow \quad (\partial^2 g^{\mu\nu} - \partial^\mu \partial^\nu) A_\mu(x) = e J^\nu(x),$$

qui peuvent aussi s'écrire $\partial_\mu F^{\mu\nu}(x) = eJ^\nu(x)$, ce qui requiert, par cohérence, la conservation du cou- rant puisque $\partial_\mu \partial_\nu F^{\mu\nu} = 0$ ($F^{\mu\nu}$ est un tenseur antisymétrique). Finalement les équations d'Euler-Lagrange pour QED sont :

$$\begin{aligned} (i \not{D} - m)\psi &= 0 & \Leftrightarrow & (i \not{\partial} - m)\psi &= -e A(x)\psi(x) \\ \partial_\mu F^{\mu\nu}(x) &= eJ^\nu(x) & \Leftrightarrow & \partial_\mu F^{\mu\nu}(x) &= -e\bar{\psi}(x)\gamma^\nu\psi(x) \end{aligned} \qquad (2.1.12)$$

Il faut rajouter aussi à ces équations

$$\partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu}(x) = 0 \qquad (2.1.13)$$

qui est évidente d'après la définition de $\tilde{F}^{\mu\nu}$.

<footnote n="1">1. Le tenseur $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ totalement antisymétrique en ses indices est défini par $\epsilon^{0123} = 1$. On a donc $\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} = -\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$.</footnote>

<footnote n="2">2. $\tilde{F}^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 4\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(\partial_\mu A_\nu)(\partial_\rho A_\sigma) = 4\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu(A_\nu\partial_\rho A_\sigma) - 4\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}A_\nu\partial_\mu\partial_\rho A_\sigma$ où on a fait une intégration par partie.</footnote>

<footnote>Le dernier terme est évidemment nul puisque il y a contraction d'un tenseur antisymétrique en $\mu\rho$ avec un tenseur symétrique en ces mêmes indices.</footnote>
### Remarques :

Une forme utile pour le tenseur électromagnétique est

$$F_{\mu\nu} = \frac{i}{e}[D_{\mu}, D_{\nu}], \qquad (2.1.14)$$

une définition qui s'avèrera pratique pour QCD.

Introduisant les champs électrique et magnétique $\vec{E}, \vec{B}$, on peut écrire :

$$F^{\mu\nu}(x) = \begin{pmatrix} 0 & E_1 & E_2 & E_3 \\ -E_1 & 0 & -B_3 & B_2 \\ -E_2 & B_3 & 0 & -B_1 \\ -E_3 & -B_2 & B_1 & 0 \end{pmatrix}$$

### Exercice : Démontrer que

$$\partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0, \quad \vec{\nabla} \wedge \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad \text{éqs. de Maxwell homogènes}$$

$$\partial_{\mu} F^{\mu\nu}(x) = e J^{\nu}(x) \Leftrightarrow \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \varphi, \quad \vec{\nabla} \wedge \vec{B} = \vec{j} + \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad \text{éqs. de Maxwell inhomogènes.}$$

où le courant covariant est $J^{\mu}(x) = (\varphi, \vec{j})$.

## 2.2 Le spineur de Dirac libre

On recherche les solutions de l'équation de Dirac libre ($e = 0$) sous forme d'ondes planes et on introduit

$$\begin{align*} \psi_k^+(x) &= e^{-ik \cdot x} u(k) \\ \psi_k^-(x) &= e^{+ik \cdot x} v(k) \end{align*} \quad \text{avec } k \cdot x = \omega_k x_0 - \vec{k} \cdot \vec{x}, \quad \omega_k = \sqrt{m^2 + \vec{k}^2}$$

$u(k), v(k)$ sont les spineurs de Dirac à 4 composantes que l'on va définir. L'action de l'opérateur $i\partial_{\mu} \equiv i\partial/\partial x^{\mu}$, agit seulement sur la phase

$$i \partial_{\mu} e^{\pm ik \cdot x} = \mp k_{\mu} e^{\pm ik \cdot x}$$

L'équation de Dirac libre devient alors

$$(\not k - m) u(k) = 0 \qquad (2.2.15)$$

$$(\not k + m) v(k) = 0$$

On considère le cas au repos : $k_{\mu} = (m, \vec{0})$. On obtient alors

$$(\not k - m)u(k) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2m \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -\mathbf{1}_2 \end{pmatrix} u = 0$$

$$(\not k + m)v(k) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2m \begin{pmatrix} \mathbf{1}_2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} v = 0.$$
Le spineur $\psi_k^+(x)$ correspond aux solutions d'énergie positive (phase $e^{-ik.x}$) et les spineurs

$$u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad u_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

forment une base des solutions de l'équation de Dirac correspondante. $u_1, u_2$ représentent les deux états de spin possibles du spineur. $\psi_k^-(x)$ correspond aux solutions d'énergie négative (phase $e^{ikx}$) et les spineurs $v$ correspondants sont

$$v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

Plus généralement, relâchant la condition $\vec{k} = 0$, les spineurs

$$u_{\alpha}(k) \propto (k + m)u_{\alpha}$$

sont, à un facteur de normalisation près, les deux solutions de Dirac d'énergie positive puisque

$$(k - m)u_{\alpha}(k) \equiv (k^2 - m^2)u_{\alpha} = 0$$

par condition de couche de masse

$$k k = \frac{1}{2} k^{\mu} k^{\nu} \{\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}\} = k^2 = m^2$$

et

$$v_{\alpha}(k) \propto (k - m)v_{\alpha}$$

sont les solutions d'énergie négative car

$$(k + m) v_{\alpha}(k) = (k^2 - m^2) v_{\alpha} = 0.$$

On peut définir les projecteurs d'énergie

$$\Lambda_{+} = \frac{k + m}{2m}, \quad \Lambda_{-} = -\frac{k - m}{2m} \qquad (2.2.16)$$

qui satisfont

$$\Lambda_{+}^{2} = \Lambda_{+}, \quad \Lambda_{-}^{2} = \Lambda_{-}, \quad \Lambda_{+} \Lambda_{-} = \Lambda_{-} \Lambda_{+} = 0 \\ \Lambda_{+} + \Lambda_{-} = \mathbf{1}_{4}$$

Exercice : Démontrer les propriétés ci-dessus.
Le développement en ondes planes d'une solution générale de l'équation de Dirac s'écrit

$$ \psi(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_k} \sum_{\alpha=1}^{2} \left( b_{\alpha}(k) \psi_k^{+\alpha}(x) + d_{\alpha}^{\dagger}(k) \psi_k^{-\alpha}(x) \right) \quad (2.2.17) $$

avec

$$ \begin{gathered} \psi_k^{+\alpha}(x) = e^{-ik \cdot x} u_{\alpha}(k) \\ \omega_k = \sqrt{m^2 + \vec{k}^2} \quad (2.2.18) \\ \psi_k^{-\alpha}(x) = e^{ik \cdot x} v_{\alpha}(k), \end{gathered} $$

où :

— $\int d^3k/2\omega_k = \int d^4k \theta(k^0) \delta(k^2 - m^2)$ est l'élément d'intégration invariant

— $b_\alpha(k), d_\alpha^\dagger(k)$ sont en physique classique les coefficients de la superposition linéaire

— on utilise parfois la normalisation $m/\omega_k$ au lieu de $1/2\omega_k$ dans l'intégrant définissant $\psi(x)$.

Il est nécessaire de normaliser les spineurs solutions de l'équation de Dirac libre. une possibilité est<fnref n="3" /> :

$$ \begin{aligned} u_{\alpha}(k) &= \frac{1}{\sqrt{m + \omega_k}} (k + m) u_{\alpha} \\ v_{\alpha}(k) &= \frac{1}{\sqrt{m + \omega_k}} (-k + m) v_{\alpha}, \end{aligned} \quad (2.2.19) $$

ou, de façon équivalente,

$$ \begin{aligned} \bar{u}_{\alpha}(k) &= \frac{1}{\sqrt{m + \omega_k}} \bar{u}_{\alpha}(k + m) \\ \bar{v}_{\alpha}(k) &= \frac{1}{\sqrt{m + \omega_k}} \bar{v}_{\alpha}(-k + m). \end{aligned} $$

On obtient alors les conditions de normalisation :

$$ \begin{aligned} \bar{u}_{\alpha}(k) \quad u_{\beta}(k) &= 2m \delta_{\alpha\beta} \\ \bar{v}_{\alpha}(k) \quad v_{\beta}(k) &= -2m \delta_{\alpha\beta} \end{aligned} \qquad \bar{u}_{\alpha}(k)v_{\beta}(k) = \bar{v}_{\alpha}(k)u_{\beta}(k) = 0 \quad (2.2.20) $$

Démonstration :

$$ \begin{aligned} \bar{u}_{\alpha}(k)u_{\beta}(k) &= \frac{1}{m + \omega_k} \bar{u}_{\alpha}(k + m)^2 u_{\beta} \\ &= \frac{2m}{m + \omega_k} \bar{u}_{\alpha}(m + \omega_k \gamma^0 - \vec{k} \cdot \vec{\gamma}) u_{\beta} \end{aligned} $$

Le terme en $\vec{k} \cdot \vec{\gamma}$ ne contribue pas puisqu'il est anti-diagonal et que les deux derniers éléments du $u_{\alpha,\beta}$ sont toujours nuls. De plus la forme de la matrice $\gamma^0$ permet d'écrire

$$ \bar{u}_{\alpha}(k) u_{\beta}(k) = \frac{2m}{m + \omega_k} (m + \omega_k) u_{\alpha}^{T} u_{\beta} = 2m \delta_{\alpha\beta} $$

<footnote n="3">3. En association avec le facteur de normalisation $m/\omega_k$ dans l'éq. (2.2.17) on utilise, dans certains livres, la définition $u_\alpha(k) = (k + m) u_\alpha / \sqrt{2m(m + \omega_k)}$. L'éq. (2.2.20) devient alors $\bar{u}_\alpha(k) u_\beta(k) = \delta_{\alpha\beta}$, $\bar{v}_\alpha(k) v_\beta(k) = -\delta_{\alpha\beta}$.</footnote>
On prouve de même

$$ \bar{u}_{\alpha}(k)v_{\beta}(k) \approx \bar{u}_{\alpha}(k+m)(k-m)v_{\beta} = 0 $$

**Exercice :** Montrer que

$$ \begin{aligned} u_{\alpha}^{\dagger}(k) u_{\beta}(k) &= 2\omega_k \delta_{\alpha\beta} \\ v_{\alpha}^{\dagger}(k) v_{\beta}(k) &= 2\omega_k \delta_{\alpha\beta} \end{aligned} \qquad (2.2.21) $$

On remarque que $\bar{u}_{\alpha}(k)u_{\beta}(k) = 2m\delta_{\alpha\beta}$ est un scalaire sous une transformation de Lorentz alors que $u_{\alpha}^{\dagger}(k)u_{\beta}(k) = 2\omega_k \delta_{\alpha\beta}$ ne l'est pas puisqu'il se transforme comme une énergie. On prouve maintenant une relation concernant la matrice formée par $\sum_{\alpha=1}^{2} u_{\alpha}(k)\bar{u}_{\alpha}(k)$. On remarque d'abord par inspection que :

$$ \sum_{\alpha=1}^{2} u_{\alpha} \bar{u}_{\alpha} = \frac{1}{2} (\mathbf{1} + \gamma^{0}), \qquad \sum_{\alpha=1}^{2} v_{\alpha} \bar{v}_{\alpha} = -\frac{1}{2} (\mathbf{1} - \gamma^{0}) $$

et par suite

$$ \begin{aligned} \sum_{\alpha=1}^{2} u_{\alpha}(k) \bar{u}_{\alpha}(k) &= \frac{1}{(m + \omega_k)} (k + m) \frac{1}{2} (\mathbf{1} + \gamma^0) (k + m) \\ &= \frac{1}{(m + \omega_k)} \frac{1}{2} (2m(k + m) + (k + m)\gamma^0(k + m)). \end{aligned} \qquad (2.2.22) $$

On utilise alors la relation $k\gamma^0k = -m^2\gamma^0 + 2\omega_k k$ pour factoriser $(m + \omega_k)$ au numérateur, d'où les relations très utiles et importantes,

$$ \sum_{\alpha=1}^{2} u_{\alpha}(k) \bar{u}_{\alpha}(k) = k + m = 2m\Lambda_{+}, \qquad (2.2.23) $$

$$ \sum_{\alpha=1}^{2} v_{\alpha}(k) \bar{v}_{\alpha}(k) = k - m = -2m\Lambda_{-}, \qquad (2.2.24) $$

valables avec la normalisation des spineurs choisie en éq. (2.2.19). La somme sur les états de polarisation des $u_{\alpha}\bar{u}_{\alpha}$, $v_{\alpha}\bar{v}_{\alpha}$ est proportionnelle aux projecteurs d'énergie positive et négative. Ces relations sont utilisées dans les calculs d'amplitude de diffusion avec fermions externes ainsi que dans la dérivation du propagateur du fermion.

## • Quantification du champ de Dirac (rappels)

Dans le formalisme de la seconde quantification les coefficients $b_{\alpha}$, $d_{\alpha}^{\dagger}$ deviennent des opérateurs agissant sur un espace de Fock à définir. La procédure de seconde quantification du champ de Dirac
consiste à imposer les relations d'anticommutation entre les coefficients $b_\alpha(k)$, $d_\alpha(k)$, $b_\alpha^\dagger(k)$, $d_\alpha^\dagger(k)$ du développement en ondes planes du champ de Dirac :

$$ \begin{aligned} \{b_\alpha(k), b_\beta^\dagger(q)\} &= (2\pi)^3 2\omega_k \delta_{\alpha\beta} \delta^{(3)}(k-q) \\ \{d_\alpha(k), d_\beta^\dagger(q)\} &= (2\pi)^3 2\omega_k \delta_{\alpha\beta} \delta^{(3)}(k-q) \\ \{b_\alpha, b_\beta\} &= \{d_\alpha, d_\beta\} = \{b_\alpha, d_\beta\} = \{b_\alpha, d_\beta^\dagger\} = 0 \end{aligned} \qquad (2.2.25) $$

Ceci permet d'écrire l'anticommutateur entre le champ $\psi(x)$ et son moment conjugué $\Pi(x) = \delta\mathcal{L}/\delta\partial_0\Psi(x) = i\psi^\dagger(x)$. En terme des composantes $\psi_i$, $i = 1, 2, 3, 4$ l'anticommutateur à temps égal est :

$$ \{\psi_i(t, \vec{x}), \psi_j^\dagger(t, \vec{y})\} = \delta_{ij} \delta^{(3)}(x-y) \qquad (2.2.26) $$

On démontre d'abord la relation :

$$ \{\psi(t, \vec{x}), \bar{\psi}(t, \vec{y})\} = \gamma^0 \delta^{(3)}(x-y). \qquad (2.2.27) $$

dont l'éq. (2.2.26) est la conséquence immédiate.

### Démonstration

Partant de la représentation éq. (2.2.17) pour $\psi(x)$ et pour $\bar{\psi}(y)$ de :

$$ \bar{\psi}(y) = \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_q} \sum_{\beta=1}^{2} \left( b_{\beta}^{\dagger}(q) \bar{u}_{\beta}(q) e^{iq \cdot y} + d_{\beta}(q) \bar{v}_{\beta}(q) e^{-iq \cdot y} \right) $$

l'anticommutateur à temps égal est :

$$ \{\psi(t, \vec{x}), \bar{\psi}(t, \vec{y})\} = \sum_{\alpha, \beta} \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_k} \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_q} \left( \begin{aligned} & \{b_\alpha(k), b_\beta^\dagger(q)\} u_\alpha(k) \bar{u}_\beta(q) e^{-ik \cdot x + iq \cdot y} \\ & + \{d_\alpha^\dagger(k), d_\beta(q)\} v_\alpha(k) \bar{v}_\beta(q) e^{ik \cdot x - iq \cdot y} \end{aligned} \right) $$

On anticommute uniquement les opérateurs création et annihilation et non les fonctions d'onde car il faut garder la structure matricelle de l'expression. Les relations d'anticommutation éqs. (2.2.25) permettent de faire l'intégrale $\int d^3 q$, d'utiliser les formules éqs. (2.2.23), (2.2.24) et de contraindre les énergies $\omega_q = \omega_k$ de sorte que la composante en $x_0$ disparaît dans les facteurs exponentiels. On a alors :

$$ \{\psi(t, \vec{x}), \bar{\psi}(t, \vec{y})\} = \sum_{\alpha} \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_k} \left( (\not k + m) e^{i\vec{k} \cdot (\vec{x} - \vec{y})} + (\not k - m) e^{-i\vec{k} \cdot (\vec{x} - \vec{y})} \right) \qquad (2.2.28) $$

Faisant le changement de variable $\vec{k} = -\vec{k}$ dans le deuxième terme permet de compenser les composantes spatiales de $\not k$. Utilisant alors :

$$ \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} e^{\pm i \vec{k} \cdot (\vec{x} - \vec{y})} = \delta^{(3)}(x-y), $$

on obtient immédiatement le résultat recherché.

On peut également montrer les relations plus générales :

$$ \{\psi(x), \bar{\psi}(y)\} = (i \not\partial - m) i \Delta(x - y); \quad \{\psi(x), \psi(y)\} = 0. \qquad (2.2.29) $$
avec la définition

$$i\Delta(x-y) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k} [e^{-ik \cdot (x-y)} - e^{ik \cdot (x-y)}]. \qquad (2.2.30)$$

On construit l'espace de Fock par application des $b_\alpha^\dagger$, $d_\alpha^\dagger$ sur le vide avec la définition que les opérateurs $b_\alpha$ et $d_\alpha$ annihilent le vide :

$$b_{\alpha}(k)|0\rangle = d_{\alpha}(k)|0\rangle = 0; \quad <0|b_{\alpha}^{\dagger}(k) = <0|d_{\alpha}^{\dagger}(k) = 0 \quad \forall k, \alpha.$$

On a, par exemple, deux états à un fermion d'impulsion $k$ et deux états à un anti-fermion :

$$b_{\alpha}^{\dagger}(k)|0\rangle, \quad d_{\alpha}^{\dagger}(k)|0\rangle, \quad \alpha = 1, 2.$$

A noter qu'à cause des relations d'anticommutation, on ne peut pas avoir deux fermions dans le même état physique (même impulsion, même polarisation). On peut définir la charge et l'hamiltonien. Par exemple la charge est définie par (voir éq. (2.1.7) ) :

$$Q := \int d^3x \, J^0(t, \vec{x}) := \int d^3x \, \psi^\dagger\psi :$$

en utilisant la forme du courant fermionique introduite à l'éq. (2.1.6). Introduisant le développement en ondes planes de $\psi$ on trouve

$$Q := \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_k} \sum_{\alpha} \left( b_{\alpha}^{\dagger}(k) b_{\alpha}(k) + d_{\alpha}(k) d_{\alpha}^{\dagger}(k) \right) :$$

où on a utilisé les relations de normalisation $u_\alpha^\dagger$ et de $v_\beta$. Le symbole : ... : s'appelle produit normal et implique que tous les opérateurs annihilation $b_\alpha$, $d_\beta$ soient à droite et les opérateurs création $b_\alpha^\dagger$, $d_\beta^\dagger$ soient à gauche. On doit changer les signes en anticommutant les opérateurs. Il vient alors

$$Q = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_k} \sum_{\alpha} \left[ b_{\alpha}^{\dagger}(k) b_{\alpha}(k) - d_{\alpha}^{\dagger}(k) d_{\alpha}(k) \right]$$

On vérifie $Q|0\rangle = 0$ et le vide est bien de charge nulle. On prouve que :

$$[Q, b_{\alpha}(k)] = -b_{\alpha}(k); \quad [Q, d_{\alpha}(k)] = +d_{\alpha}(k)$$

$$[Q, b_{\alpha}^{\dagger}(k)] = +b_{\alpha}^{\dagger}(k); \quad [Q, d_{\alpha}^{\dagger}(k)] = -d_{\alpha}^{\dagger}(k)$$

Utilisant ces relations d'anticommutation il est facile de voir et que

$$Q b_{\alpha}^{\dagger}|0\rangle = b_{\alpha}^{\dagger}|0\rangle, \quad Q d_{\alpha}^{\dagger}|0\rangle = -d_{\alpha}^{\dagger}|0\rangle, \qquad (2.2.31)$$

on dira alors que $b_\alpha^\dagger|0\rangle$, respectivement $d_\alpha^\dagger|0\rangle$, sont des états de charge +1, respectivement -1. De la même façon on voit que (pas de somme sur l'indice $\alpha$) :

$$Q b_{\alpha} b_{\alpha}^{\dagger}|0\rangle = |0\rangle, \quad Q d_{\alpha} d_{\alpha}^{\dagger}|0\rangle = |0\rangle, \qquad (2.2.32)$$

ce qui montre que $b_\alpha$, respect. $d_\alpha$, annihile un état de charge +1, respect. -1.

**En conclusion :**
— $b_{\alpha}^{\dagger}$ crée une particule d'impulsion $k$, de charge +1, dont la fonction d'onde est $\bar{u}_{\alpha}(k)$

— $b_{\alpha}$ détruit une particule d'impulsion $k$, de charge +1, dont la fonction d'onde est $u_{\alpha}(k)$

— $d_{\alpha}^{\dagger}$ crée une antiparticule d'impulsion $k$, de charge -1, dont la fonction d'onde est $v_{\alpha}(k)$

— $d_{\alpha}$ détruit une antiparticule d'impulsion $k$, de charge -1, dont la fonction d'onde est $\bar{v}_{\alpha}(k)$.

On peut donc dire que $\psi(x)$ porte une charge -1 puisqu'il détruit une particule de charge positive et crée une particule de charge négative.

On définit aussi l'hamiltonien

$$ 
\begin{aligned}
H &= : \int d^3 x \, i \, \psi^\dagger \partial_0 \psi : \\
  &= \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_k} \omega_k \sum_\alpha \left[ b_\alpha^\dagger(k) b_\alpha(k) + d_\alpha^\dagger(k) d_\alpha(k) \right]
\end{aligned}
$$

On vérifie que $H|0> = 0$, et que l'hamiltonien de tout état (non vide) est défini positif.

## 2.3 Le propagateur du fermion

D'après la discussion précédente on voit que $\psi(x)$ détruit une particule à la coordonnée d'espace-temps $x$ et crée une antiparticule en $x$ et vice-versa pour $\bar{\psi}(x)$. $\psi, \bar{\psi}$ sont solutions de l'équation de Dirac libre et donc décrivent le mouvement d'une particule libre. On peut alors utiliser $\psi\bar{\psi}$ pour décrire la propagation d'une particule libre. On définit

$$ \theta(t-t') < 0 | \psi(x) \bar{\psi}(x') | 0 > \sim < 0 | (b_{\alpha} + d_{\alpha}^{\dagger})(b_{\beta}^{\dagger} + d_{\beta}) | 0 > $$

qui crée à l'instant $t'$, à la coordonnée $\vec{x}'$ une particule ($b_{\beta}^{\dagger}|0>$) et, à un instant ultérieur $t$, la détruit à la coordonnée $\vec{x}$. On décrit donc ainsi la propagation de la particule du point $(t', \vec{x}')$ au point $(t, \vec{x})$. De même,

$$ \theta(t' - t) < 0 | \bar{\psi}(x') \psi(x) | 0 > \sim < 0 | (d_{\beta} + b_{\beta}^{\dagger})(d_{\alpha}^{\dagger} + b_{\alpha}) | 0 > $$

décrit la propagation de l'antiparticule ($d_{\beta}^{\dagger}|0>$) de la coordonnée $(t, \vec{x})$ à la coordonnée $(t', \vec{x}')$. On définit alors le produit chronologique de deux opérateurs de type fermionique par :

$$ \mathcal{T} \psi(x) \bar{\psi}(x') = \theta(t-t') \psi(x) \bar{\psi}(x') - \theta(t'-t) \bar{\psi}(x') \psi(x) \quad (2.3.33) $$

On remarque le signe (-), réminiscence des relations d'anticommutation. Le propagateur de Feynman est, par définition, la valeur sur le vide du produit chronologique de deux opérateurs :

$$ \tilde{S}_F(x - x') = < 0 | \mathcal{T} \, \psi(x) \bar{\psi}(x') | 0 > \quad (2.3.34) $$

On va maintenant trouver l'expression du propagateur de Feynman libre mais on montre, auparavant, que $\tilde{S}_F(x - x')$ satisfait l'équation (la notation $\partial_x$ indique que l'opérateur différentiel n'agit que sur la variable $x)$ :

$$ (i \not\partial_x - m) \tilde{S}_F(x - x') = i \delta^{(4)}(x - x') \quad (2.3.35) $$
c'est à dire que le propagateur de Feyman est une fonction de Green de l'équation de Dirac.

Démonstration :

$$
\begin{align*}
& (i \not\partial_x - m) [\theta(t-t') \psi_x \bar{\psi}_{x'} - \theta(t'-t) \bar{\psi}_{x'} \psi_x] \\
&= i\gamma_0 \left(\frac{\partial}{\partial t} \theta(t-t')\right) \psi_x \bar{\psi}_{x'} + \theta(t-t')(i \not\partial_x - m) \psi_x \bar{\psi}_{x'} \\
&\quad -i\gamma_0 \underbrace{\left(\frac{\partial}{\partial t} \theta(t'-t)\right)}_{\text{action de } \partial' \text{ sur les fonctions } \theta} \bar{\psi}_{x'} \psi_x - \underbrace{\theta(t'-t) \bar{\psi}_{x'} (i \not\partial_x - m) \psi_x}_{\text{nul par éq. de Dirac sur } \psi} \\
&= i\gamma_0 \delta(t-t') \{\psi_x, \bar{\psi}_{x'}\} = i\delta^{(4)}(x-x')
\end{align*}
$$

où la dernière égalité vient de l'expression de l'anticommutateur à temps égaux (2.2.27). (c.q.f.d.)

• Propagateur dans l'espace des impulsions

Pour trouver la solution de l'éq. (2.3.35) on introduit la transformée de Fourier du propagateur :

$$
\tilde{S}_F(x - x') = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik \cdot (x-x')} S_F(k) \quad (2.3.36)
$$

et dans l'espace des impulsions l'équation de Green (2.3.35) devient :

$$
\begin{gather*}
(k-m) S_F(k) = i \\
S_F(k) = \frac{i}{k-m} = i \frac{k+m}{k^2-m^2}.
\end{gather*}
$$

La transformation de Fourier inverse de $S_F$ n'est pas définie à cause de la singularité $k^2 - m^2$. Il
faut donc trouver une prescription pour contourner les pôles $k_0 = \pm\sqrt{m^2 + k^2}$. Celle-ci est imposée,
en fait, par la causalité. Pour obtenir cette prescription, on retourne à la définition du propagateur
de Feynman, éq. (2.3.34), dans laquelle on développera le champ $\psi$ en ses composantes de Fourier.
On rappelle les solutions de l'équation de Dirac libre :

$$
\begin{align*}
\psi(x) &= \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_k} \sum_{\alpha=1}^{2} \left( b_{\alpha}(k) u_{\alpha}(k) e^{-ik \cdot x} + d_{\alpha}^{\dagger}(k) v_{\alpha}(k) e^{ik \cdot x} \right), \\
\bar{\psi}(x') &= \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_q} \sum_{\beta=1}^{2} \left( b_{\beta}^{\dagger}(q) \bar{u}_{\beta}(q) e^{iq \cdot x'} + d_{\beta}(q) \bar{v}_{\beta}(q) e^{-iq \cdot x'} \right),
\end{align*}
$$

et celle du propagateur :

$$
\tilde{S}_F(x - x') = \langle 0 | \theta(t - t') \psi(x) \bar{\psi}(x') - \theta(t' - t) \bar{\psi}(x') \psi(x) | 0 \rangle \quad (2.3.37)
$$

On considère le premier terme soit,

$$
\begin{align*}
S_F^+(x - x') &= \theta(t - t') \langle 0 | \psi(x) \bar{\psi}(x') | 0 \rangle \\
&= \theta(t - t') \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_k} \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_q} \sum_{\alpha, \beta} \langle 0 | \\
&\qquad \left( b_\alpha u_\alpha(k) e^{-ik \cdot x} + d_\alpha^\dagger v_\alpha(k) e^{ik \cdot x} \right) \\
&\qquad \left( b_\beta^\dagger \bar{u}_\beta(q) e^{iq \cdot x'} + d_\beta \bar{v}_\beta(q) e^{-iq \cdot x'} \right) | 0 \rangle
\end{align*}
$$
Les opérateurs $d_\alpha$ annihilent le vide, $\Rightarrow d_\beta|0> = 0$, $<0|d_\alpha^\dagger = 0$. On peut donc écrire

$$... <0|b_{\alpha}(k)b_{\beta}^{\dagger}(q)|0> = ... + <0|\{b_{\beta}(k), b_{\beta}^{\dagger}(q)\}|0> - <0|b_{\beta}^{\dagger}(q)b_{\alpha}(q)|0>$$

Les relations d'anticommutation (2.2.25) donnent :

$$\{b_{\alpha}(k), b_{\beta}^{\dagger}(q)\} = (2\pi)^3 2\omega_k \delta_{\alpha\beta} \delta^{(3)}(k-q),$$

un scalaire que l'on peut sortir de $<0|...|0>$. On peut alors utiliser $<0|0> = 1$.

**Remarque** : en permutant $\psi(x)$ et $\bar{\psi}(x')$ pour construire $\bar{\psi}(x')\psi(x)$ on a permuté uniquement les opérateurs $b_\alpha, d_\alpha^\dagger, ...$ mais non les spineurs. C'est-à-dire que l'on garde toujours les spineurs colonnes $u_\alpha, v_\alpha$ à gauche et les spineurs lignes $\bar{u}_\beta, \bar{v}_\beta$ à droite de telle sorte que $S_F$ est bien une matrice $4 \times 4$ (et non un scalaire que l'on aurait obtenu si on avait considéré $\bar{u}_\alpha u_\alpha$!).

On a donc :

$$S_F^+(x - x') = \theta(t - t') \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_k} \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_q} \left( \sum_{\alpha, \beta} u_\alpha(k) \bar{u}_\beta(q) \delta_{\alpha\beta} \right) e^{iqx'} e^{-ikx} (2\pi)^3 2\omega_k \delta^{(3)}(k-q) \quad (2.3.38)$$

$$\text{— On fait l'intégration } \int d^3 k \, \delta^{(3)}(k-q) \Rightarrow k=q$$

$$\text{— On utilise l'équation (2.2.23) pour réduire } \sum_{\alpha} u_{\alpha}(q) \bar{u}_{\alpha}(q) = (q + m).$$

Il vient alors :

$$S_F^+(x - x') = \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_q} (q + m) e^{-iq(x-x')} \theta(t-t').$$

Dans cette équation :

$$\begin{aligned} q(x - x') &= \omega_q (t - t') - \vec{q} \cdot (\vec{x} - \vec{x}') \\ \notag d &= \omega_q \gamma^0 - \vec{q} \cdot \vec{\gamma} \end{aligned}$$

La variable énergie est $\omega_q = \sqrt{(m^2 + \vec{q}^2)}$, i.e. la particule est sur couche de masse quand elle se propage de $(t', \vec{x}')$ à $(t, \vec{x})$. On peut alors écrire :

$$S_F^+(x - x') = \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_q} (q + m) e^{i\vec{q} \cdot (\vec{x} - \vec{x}')} [e^{-i\omega_q(t-t')} \theta(t-t')] \quad (2.3.39)$$

On va maintenant trouver une représentation intégrale de la fonction de Heavyside. Pour cela on considère dans le plan complexe $q_0$ l'intégrale suivante (voir figure) :

$$F^+(t - t') = \frac{1}{2\pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} dq^0 \frac{e^{-iq^0(t-t')}}{q^0 - \omega_q + i\epsilon} \quad (2.3.40)$$

qui a un pôle simple dans le demi-plan inférieur et pas d'autre singularité.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Contour d’intégration dans le plan d’énergie $q^0$ complexe.</figcaption></figure>

— Si $t - t' < 0$, on peut évaluer l’intégrale en fermant le contour dans le demi plan supérieur par un demi grand cercle qui ne contribue pas, puisque $\mathrm{Im}q^0(t - t') \to -\infty$ :

$$e^{-iq^0(t-t')} \sim e^{(\mathrm{Im}q_0)(t-t')} \to 0$$

Puisqu'il n'y a pas de singularité dans le demi-plan supérieur cette intégrale est nulle, par le théorème des résidus (de Cauchy) :

$$F^+(t - t') \equiv 0, \quad \text{si } t - t' < 0.$$

— On suppose maintenant $t - t' > 0$, et on ferme le contour dans le demi plan inférieur le long du demi grand cercle, dont la contribution tend exponentiellement vers 0 quand le contour tend vers l’infini. Par déformation du contour il suffit alors d’évaluer l’intégrale le long d’un petit cercle, autour du pôle, dont le rayon tend vers 0. Le théorème de Cauchy donne alors :

$$F^+(t - t') = -e^{-i\omega_q(t-t')} \quad \text{si } t - t' > 0$$

On a donc finalement :

$$F^+(t - t') = -\theta(t - t')e^{-i\omega_q(t-t')} = \frac{1}{2\pi i} \int_{-\infty}^{\infty} dq^0 \frac{e^{-iq^0(t-t')}}{q^0 - \omega_q + i\epsilon} \quad (2.3.41)$$

On peut remarquer le signe $(-)$ dans cette équation, qui vient du fait que le contour $C$ est orienté dans le sens opposé au sens trigonométrique. On utilisera aussi plus tard le résultat :

$$F^-(t - t') = \theta(t' - t) e^{i\omega_q(t-t')} = \frac{1}{2\pi i} \int dq^0 \frac{e^{-iq_0(t-t')}}{q^0 + \omega_q - i\epsilon} \quad (2.3.42)$$
qui se démontre de la même manière que la formule précédente. Revenant au propagateur on peut écrire :

$$ 
\begin{align} 
S_F^+(x-x') &= -\frac{1}{i} \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_q} \int \frac{dq^0}{2\pi} \frac{e^{-iq_0(t-t') + i\vec{q}\cdot(\vec{x}-\vec{x}')}}{q^0 - \omega_q + i\epsilon} (\not q + m) \nonumber \\
&= i \int \frac{d^4 q}{(2\pi)^4} \frac{1}{2\omega_q} \frac{e^{-iq\cdot(x-x')}}{q^0 - \omega_q + i\epsilon} (\not q + m) \tag{2.3.43}
\end{align} 
$$

où maintenant :

$$ 
\begin{align*}
q\cdot(x-x') &= q^0(t-t') - \vec{q}(\vec{x}-\vec{x}') \\
\not q &= q^0\gamma_0 - \vec{q}\vec{\gamma}
\end{align*} 
$$

donc, dans le numérateur, on considère que la particule est "hors-couche" puisque $q^0 \neq \omega_q$.

On considère maintenant l'autre partie du propagateur :

$$ S_F^-(x-x') = \theta(t'-t) <0|\bar{\psi}(x')\psi(x)|0> $$

On peut voir aisément que seul le terme proportionnel à :

$$ <0|d_{\beta}(q) d_{\alpha}^{\dagger}(k)|0> $$

ne s'annule pas et utilisant les relations d'anticommutation on a :

$$ S_F^-(x-x') = \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_q} e^{iq\cdot(x-x')} \sum_{\alpha} v_{\alpha}(q) \bar{v}_{\alpha}(q) \theta(t' - t) $$

Après usage de l'équation (2.2.23) on a :

$$ 
\begin{align*}
S_F^-(x-x') &= \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_q} e^{-i\vec{q}\cdot(\vec{x}-\vec{x}')} (\not q - m) [e^{i\omega_q(t-t')}\theta(t' - t)] \\
&= i \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_q} e^{-i\vec{q}\cdot(x-x')} \frac{dq_0}{2\pi} (-\not q + m) \frac{e^{-iq_0(t-t')}}{q^0 + \omega_q - i\epsilon}
\end{align*} 
$$

où la fonction $\theta$ a été éliminée via l'éq. (2.3.42). Jusqu'à maintenant, dans l'expression $-\not q + m$ on avait considéré la particule sur couche de masse c'est à dire que :

$$ -\not q + m = -\omega_q \gamma^0 + \vec{q} \cdot \vec{\gamma} + m $$

que l'on peut maintenant écrire :

$$ -\not q + m = q^0 \gamma^0 + \vec{q} \cdot \vec{\gamma} + m $$

à cause du pôle $q^0 = -\omega_q$. Pour reconstruire la bonne combinaison $q^0 \gamma^0 - \vec{q} \cdot \vec{\gamma}$, de même que le bon exposant dans l'exponentielle, on fait dans l'intégrale $\int d^3 q$ le changement de variable $\vec{q} = -\vec{q}'$ et $\int d^3 q = \int d^3 q'$. Revenant à la notation $\vec{q}' = \vec{q}$ on peut alors écrire

$$ 
\begin{align*}
S_F^-(x-x') &= i \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{dq^0}{2\pi} \frac{1}{2\omega_q} e^{-iq_0(t-t') + i\vec{q}\cdot(\vec{x}-\vec{x}')} \frac{(q^0\gamma^0 - \vec{q}\cdot\vec{\gamma} + m)}{q^0 + \omega_q - i\epsilon} \\
&= i \int \frac{d^4 q}{(2\pi)^4} \frac{1}{2\omega_q} e^{-iq\cdot(x-x')} \frac{\not q + m}{q^0 + \omega_q - i\epsilon}
\end{align*} 
$$
où le vecteur $q = (q^0, \vec{q})$ est maintenant hors-couche. On peut remarquer alors que les numérateurs de $S_F^+$ et $S_F^-$ sont identiques. On peut donc les combiner pour obtenir

$$
\begin{align*}
\tilde{S}_F(x - x') &= S_F^+(x - x') - S_F^-(x - x') \\
&= i \int \frac{d^4 q}{(2\pi)^4} e^{-iq \cdot (x-x')} (\not q + m) \frac{1}{2\omega_q} \left( \frac{1}{q^0 - \omega_q + i\epsilon} - \frac{1}{q^0 + \omega_q - i\epsilon} \right),
\end{align*}
$$

soit,

$$
\tilde{S}_F(x - x') = i \int \frac{d^4 q}{(2\pi)^4} e^{-iq \cdot (x-x')} \frac{(\not q + m)}{q^2 - m^2 + i\epsilon} \quad (2.3.44)
$$

où on a écrit

$$
\begin{align*}
\frac{1}{2\omega_q} \left( \frac{1}{q^0 - \omega_q + i\epsilon} - \frac{1}{q^0 + \omega_q - i\epsilon} \right) &= \frac{1}{q^0 - \omega_q^2 + 2\omega_q i\epsilon}, \quad \epsilon \to 0_+ \\
&= \frac{1}{q^2 - m^2 + i\epsilon}, \quad \epsilon \to 0_+,
\end{align*}
$$

en notation covariante. Par comparaison avec l'éq. (2.3.36), on en tire la forme du propagateur dans l'espace des impulsions (transformation de Fourier)

$$
S_F(q) = i \frac{\not q + m}{q^2 - m^2 + i\epsilon} = \frac{i}{\not q - m + i\epsilon} \quad (2.3.45)
$$

On voit que sous la forme éq. (2.3.37), définie dans l'espace des coordonnées, le propagateur cor-
respond,

— quand $t' < t$, à la propagation d'une particule sur couche de masse ($q^0 = \omega_q$) des coordonnées ($t', \vec{x}'$) à ($t, \vec{x}$)

— quand $t' > t$ à la propagation d'une antiparticule sur couche de masse ($q^0 = -\omega_q$), des coordonnées ($t, \vec{x}$) à ($t', \vec{x}'$).

En revanche, sous la forme éq. (2.3.45), écrite dans l'espace des impulsions, le propagateur est
interprété comme décrivant la propagation d'une particule virtuelle ($q^0 \neq \pm\omega_q$). On passe d'une
forme à l'autre, via l'éq. (2.3.36) et le théoreme de Cauchy, qui permet par fermeture du contour
d'intégration dans le plan de l'énergie complexe, d'isoler le pôle d'énergie positive ou le pôle d'énergie
négative suivant le signe de $t-t'$. Ceci est encapsulé dans la prescription "$i\epsilon$" de Feynman où $\epsilon \to 0_+$.

2.4 Le champ du photon libre

On rappelle l'équation du mouvement du champ du photon en QED (éq.(2.1.12)) :

$$
\begin{align}
\partial_{\mu} F^{\mu\nu}(x) &\equiv (\partial^2 g^{\mu\nu} - \partial^{\nu} \partial^{\mu}) A_{\mu}(x) \nonumber \\
&= e \bar{\psi}(x) \gamma^{\nu} \psi(x) = e J^{\nu}(x) \quad \text{théorie en interaction} \nonumber \\
&= 0 \qquad \text{théorie libre} \tag{2.4.46}
\end{align}
$$

Le champ $A_\mu(x)$ (potentiel vecteur en théorie classique) qui décrit la polarisation du photon, a
quatre composantes indépendantes ($A_0, A_1, A_2, A_3$) soit quatre degrés de liberté. Or, on sait que le
photon n'a que deux degrés de liberté correspondant à ses deux états de polarisation transverse : cf. la théorie des représentations du groupe de Poincaré pour une particule de masse nulle. La physique est indépendante du choix de la jauge c'est à dire du choix :

$$A'_{\mu}(x) \text{ ou } A_{\mu}(x) = A'_{\mu}(x) + \partial_{\mu} \alpha(x).$$

En effet, si $A'_{\mu}$ est solution de l'équation ci-dessus (libre ou en interaction) $A_{\mu}(x)$ est aussi solution puisque :

$$(\partial^2 g_{\mu\nu} - \partial_{\mu}\partial_{\nu})\partial^{\nu}\alpha(x) \equiv 0 \quad \forall \alpha(x).$$

On peut donc utiliser cette invariance de jauge pour réduire le nombre de degrés de liberté de $A_{\mu}$ en imposant la condition de Lorentz $\partial_{\mu}A^{\mu} = 0$ par le choix $\partial^2\alpha = -\partial_{\mu}A'^{\mu}(x)$. L'équation du photon libre devient alors ($\square = \partial_{\mu}\partial^{\mu}$) :

$$\square A_{\mu}(x) = 0.$$

On peut éliminer un autre degré de liberté en annulant une des coordonnées de $A_{\mu}$ ($A_0$ par exemple) à l'aide de la translation :

$$A_{\mu} \rightarrow A_{\mu} + \partial_{\mu}\lambda(x), \quad \lambda(x) \text{ telle que } \square\lambda(x) = 0$$

(choisir $\lambda(x) = iae^{-ik \cdot x}$ par exemple) de sorte que l'on reste avec deux coordonnées indépendantes.

### Quantification

Le lagrangian du photon libre, cependant, pose problème lorsque l'on veut quantifier la théorie. Introduisant la variable conjuguée de $A_{\nu}(x)$,

$$\pi_{\nu} = \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial_{0} A^{\nu}} = -\partial_{0} A_{\nu} + \partial_{\nu} A_{0} = F_{\nu 0} \qquad (2.4.47)$$

les relations de commutation à temps égal ($x_0 = y_0$) sont :

$$[A_{\mu}(x), \pi_{\nu}(y)] = ig_{\mu\nu} \delta^{(3)}(x-y), \quad [A_{\mu}(x), A_{\nu}(y)] = [\pi_{\nu}(x), \pi_{\nu}(y)] = 0. \qquad (2.4.48)$$

On voit que la relation $[A_0(x), \pi_0(y)] = i \delta^{(3)}(x-y)$ ne peut être satisfaite puisque $\pi_0(y) = 0$.

### • Gauges covariantes

Une solution consistera à briser l'invariance de jauge au niveau des opérateurs et on la restaurera uniquement quand on considèrera la valeur des opérateurs sur des états physiques. C'est la méthode de Gupta-Bleuler. On considèrera donc le lagrangien modifié (photon libre) "cassant" l'invariance de jauge,

$$\mathcal{L}_{\lambda} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}(x) F^{\mu\nu}(x) - \frac{\lambda}{2} (\partial_{\mu} A^{\mu}(x))^{2}, \qquad (2.4.49)$$

où le terme $(\partial_{\mu}A^{\mu})^2$ est le terme de "fixation" de jauge pour une jauge covariante. L'impulsion conjuguée devient :

$$\pi_{\nu}(x) = F_{\nu 0}(x) - \lambda g_{\nu 0} \partial_{\mu} A^{\mu}(x), \quad \text{soit,} \\ \pi_{0} = -\lambda \partial_{\rho} A^{\rho} = -\lambda (\dot{A}_{0} + \vec{\nabla} \cdot \vec{A}) \quad \text{et} \quad \pi_{i} = \partial_{i} A_{0} - \dot{A}_{i}. \qquad (2.4.50)$$
$\pi_0$ est non nul en général et les $\pi_i(x)$ ne sont pas affectés car ils ne dépendent pas de $\lambda$. L'équation du mouvement de la théorie modifiée devient :

$$ \Box A_{\mu} - (1 - \lambda) \partial_{\mu} \partial_{\nu} A^{\nu} = 0 \qquad (2.4.51) $$

Si on choisit $\lambda = 1$ l'équation du mouvement se simplifie en :

$$ \Box A_{\mu} = 0. \qquad (2.4.52) $$

qui sont les équations des composantes du champ du photon en jauge de Feynman. Cela correspond à quatre équations de Klein-Gordon indépendantes, une pour chaque composante de $A_\mu(x)$. On cherche évidemment la solution sous forme d'une superposition d'ondes planes. Pour cela on introduit, dans le repère où le photon est longitudinal, $k = (k_0, 0, 0, k)$, une base de quatre vecteurs linéairement indépendants :

$$ \begin{align} \epsilon^{(0)}_{\mu} &= (1, 0, 0, 0), & \text{vecteur de polarisation "scalaire"} \nonumber \\ \epsilon^{(1)}_{\mu} &= (0, 1, 0, 0), \quad \epsilon^{(2)}_{\mu} = (0, 0, 1, 0), & \text{vecteurs de polarisation "transverse"} \tag{2.4.53} \\ \epsilon^{(3)}_{\mu} &= (0, 0, 0, 1), & \text{vecteur de polarisation "longitudinale"}. \nonumber \end{align} $$

Ces vecteurs satisfont à $\epsilon_\mu^{(\kappa)} \epsilon^{(\kappa')\mu} = 0$ si $\kappa \neq \kappa'$, $\epsilon_\mu^{(0)} \epsilon^{(0)\mu} = 1$ et $\epsilon_\mu^{(i)} \epsilon^{(i)\mu} = -1$ pour chaque $i = 1, 2, 3$. On écrit la solution de l'éq. (2.4.52) :

$$ A_{\mu}(x) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega} \sum_{\kappa=0}^{3} \left( a^{(\kappa)} \epsilon_{\mu}^{(\kappa)} e^{-ik \cdot x} + a^{(\kappa)\dagger} \epsilon_{\mu}^{(\kappa)} e^{ik \cdot x} \right) \qquad (2.4.54) $$

avec $\omega = |\vec{k}|$ (équation Klein-Gordon de masse nulle).

**Normalisation :**

$$ \epsilon_{\mu}^{(\kappa)} \epsilon^{(\kappa')\mu} \equiv \epsilon^{(\kappa)} \cdot \epsilon^{(\kappa')} = g_{\kappa\kappa'} ; \quad \text{soit } \epsilon^{(0)} \cdot \epsilon^{(0)} = 1, \quad \epsilon^{(i)} \cdot \epsilon^{(i)} = -1 \qquad (2.4.55) $$

Le tenseur somme sur les polarisations satisfait à :

$$ \sum_{\kappa, \kappa'=0}^{3} g_{\kappa\kappa'} \epsilon_{\mu}^{(\kappa)} \epsilon_{\nu}^{(\kappa')} = g_{\mu\nu} \Leftrightarrow \sum_{\kappa=0}^{3} \xi_{\kappa} \epsilon_{\mu}^{(\kappa)} \epsilon_{\nu}^{(\kappa)} = -g_{\mu\nu}, \quad \xi_0 = -1, \xi_i = +1 \qquad (2.4.56) $$

Les deux formulations sont strictement équivalentes et nous utiliserons l'une ou l'autre suivant le contexte.

**Exercice :** Vérifier explicitement les relations (2.4.55) et (2.4.56).

Pour le choix de jauge $\lambda = 1$ (jauge de Feynman) on peut obtenir, à partir des relations de commutation canoniques (2.4.48) et de la forme éq. (2.4.54) de $A_\mu(x)$, les relations de commutation entre les opérateurs $a^{(\kappa)}$ et $a^{(\kappa)\dagger}$ qui seront interprétés comme opérateurs d'annihilation et de création du
photon. Pour le cas d'une jauge covariante générale, $\lambda \neq 1$, la solution de l'équation du mouvement n'a pas une forme simple et l'obtention des relations de commutation des opérateurs est beaucoup plus compliquée.

### Quantification du champ du photon en jauge de Feynman

Partant de la solution, éq. (2.4.54), de l'équation du mouvement et utilisant les relations de quantification canonique (éqs. (2.4.48)) entre $A_\mu$ et $\pi_\nu$, on montre que les opérateurs $a^{(\kappa)}$, $a^{(\kappa)\dagger}$ de la décomposition en ondes planes de $A_\mu$ satisfont les relations de commutation :

$$ 
\begin{aligned}
[a^{(\kappa)}(k), a^{(\kappa')\dagger}(k')] &= -2\omega_k(2\pi)^3 g^{\kappa\kappa'} \delta^{(3)}(k-k') \\
[a^{(\kappa)}, a^{(\kappa')\dagger}] &= [a^{(\kappa)\dagger}, a^{(\kappa')\dagger}] = 0.
\end{aligned} 
\quad (2.4.57) 
$$

### Démonstration

On extrait d'abord $a^{(\kappa)}(q)$ de $A^{\mu}(x)$ par une transformation de Fourier inverse en considérant :

$$ \int d^3x e^{iq \cdot x} i \overleftrightarrow{\partial}_0 \epsilon^{(\kappa)}_{\mu} A^{\mu}(x). $$

avec $f(x) \overleftrightarrow{\partial}_0 g(x) = f(x) \partial_0 g(x) - (\partial_0 f(x)) g(x)$. Injectant la représentation éq. (2.4.54) de $A^{\mu}(x)$, on en tire facilement :

$$ 
\begin{aligned}
a^{(\kappa)}(q) &= -\xi_{\kappa} \int d^3x e^{iq \cdot x} i \overleftrightarrow{\partial}_0 \epsilon_{\mu}^{(\kappa)}(q) A^{\mu}(x) \\
a^{(\kappa)\dagger}(q) &= \xi_{\kappa} \int d^3x e^{-iq \cdot x} i \overleftrightarrow{\partial}_0 \epsilon_{\mu}^{(\kappa)}(q) A^{\mu}(x)
\end{aligned} 
$$

où $\xi_{\kappa}$ est défini en éq. (2.4.56). Pour construire les commutateurs entre opérateurs création et annihilation il est nécessaire maintenant de trouver les commutateurs entre les $A^{\mu}(x)$ et les $\dot{A}^{\nu}(y) = \partial_0 A^{\nu}(x)$ à partir des éqs. (2.4.48) et de la définition éq. (2.4.50) des $\Pi^{\nu}(y)$. On trouve ainsi que :

$$ [A^{\mu}(x), \dot{A}^{\nu}(y)] = -ig^{\mu\nu} \delta^{(3)}(x-y), \quad (2.4.58) $$

tous les autres commutateurs étant nuls. On peut alors évaluer :

$$ 
\begin{aligned}
[a^{(\kappa)}(q), a^{(\kappa')\dagger}(q')] &= -\xi_{\kappa} \xi_{\kappa'} \int d^3x d^3y [e^{iq \cdot x} i \overleftrightarrow{\partial}_0 \epsilon_{\mu}^{(\kappa)}(q) A^{\mu}(x), e^{-iq \cdot y} i \overleftrightarrow{\partial}_0 \epsilon_{\nu}^{(\kappa')}(q') A^{\nu}(y)] \\
&= -\xi_{\kappa} \xi_{\kappa'} \int d^3x d^3y \epsilon_{\mu}^{(\kappa)}(q) \epsilon_{\mu}^{(\kappa)}(q') e^{i(q \cdot x - q' \cdot y)} g^{\mu\nu} \delta^{(3)}(x-y)(\omega_q + \omega_{q'}) \\
&= -2\omega_q (2\pi)^3 g^{\kappa\kappa'} \delta^{(3)}(q-q').
\end{aligned} 
\quad (2.4.59) 
$$

On prouve la nullité des autres commutateurs suivant la même procédure.

Les $a^{(\kappa)}$, $a^{(\kappa)\dagger}$ deviennent les opérateurs de destruction et d'annihilation habituels d'un champ de Klein-Gordon : e.g. $a^{(0)\dagger}$ crée un $\gamma$ "scalaire", $a^{(3)\dagger}$ un $\gamma$ "longitudinal" et $a^{(1)\dagger}$, $a^{(2)\dagger}$ créent un $\gamma$ en état de polarisation transverse. Il faut cependant remarquer le facteur $-g^{\kappa\kappa'}$ dans la première relation ci-dessus qui est (-1) pour $\kappa = \kappa' = 0$ alors qu'il est +1 pour les autres valeurs $\kappa = \kappa' = 1, 2, 3$ en accord avec les relations de commutation d'un champ scalaire (ce facteur vient
des condition de normalisation des vecteurs $\epsilon_{\mu}^{(\kappa)}$ données ci-dessus). Si on considère un état à une particule de polarisation $\kappa$ :

$$|1\rangle_{\kappa} = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2\omega_k} f(k) a^{(\kappa)\dagger}(k) |0\rangle$$

on peut calculer sa normalisation :

$$ \begin{aligned} \langle 1 | 1 \rangle_{\kappa} &= \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2\omega_k} \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3 2\omega_q} f(k)^* f(q) \langle 0 | [a^{(\kappa)}, a^{(\kappa)\dagger}] | 0 \rangle \\ &= + \xi_{\kappa} \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2\omega_k} |f(k)|^2 \end{aligned} $$

L'état de polarisation scalaire a donc une norme négative $\xi_0 = -1$ alors que les autres états de polarisation ont une norme positive comme il se doit. On peut construire l'hamiltonien de façon habituelle :

$$H =: \int d^3 x (\pi^\mu \partial_\mu A_\mu - \mathcal{L}) :$$

et trouver :

$$H = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2\omega_k} \sum_{\kappa} \omega_k \xi_{\kappa} a^{(\kappa)\dagger}(k) a^{(\kappa)}(k).$$

Appliqué à l'état à 1 photon d'impulsion $k$, de polarisation $\kappa$ :

$$H |1_{\kappa}^{\kappa} \rangle = \omega_k \xi_{\kappa} a_{\kappa}^{(\kappa)\dagger} |0 \rangle$$

Le signe $\xi_0 = -1$, associé au mode scalaire, dans l'expression de $H$ est nécessaire pour que l'énergie soit définie positive puisque l'énergie de tout état à une particule (y compris celui de polarisation scalaire) contribue une énergie $\omega_k$. De même l'opérateur de comptage est défini par :

$$N_k = \xi_k a^{(\kappa)\dagger}(k) a^{(\kappa)}(k).$$

## • Etats physiques

Pour que la théorie fondée sur le lagrangien $\mathcal{L}_{\lambda}$ qui brise l'invariance de jauge dérive bien QED dont le lagrangien est $\mathcal{L} = -(1/4)F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ on va imposer la condition de Lorentz uniquement lorsque les opérateurs agissent sur des états physiques (méthode de Gupta-Bleuler) c'est-à-dire :

$$\langle \phi | \partial_{\mu} A^{\mu}(x) | \phi \rangle = 0, \quad |\phi\rangle \text{ état physique}$$

Il est suffisant en fait de choisir :

$$\partial_{\mu} A^{+\mu}(x) |\phi\rangle = 0 \qquad (2.4.60)$$

où

$$A_{\mu}^{+}(x) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2\omega_k} \sum_{k=0}^{3} \epsilon_{\mu}^{(\kappa)} a^{(\kappa)} e^{-ik \cdot x}.$$

En effet on a alors :

$$\langle \phi | \partial^{\mu} A_{\mu}^{-} = 0.$$
On voit aisément que :

$$ \partial^{\mu} A_{\mu}^{+}(x) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2\omega_k} \sum_{\kappa=0}^{3} (k^{\mu} \cdot \epsilon_{\mu}^{(\kappa)}) a^{(\kappa)} e^{-ik \cdot x} $$

où la somme ne concerne que les états scalaire et longitudinal puisque l'on a les relations de transversité :

$$ k \cdot \epsilon^{(1)} = k \cdot \epsilon^{(2)} = 0. $$

Sur les états physiques on aura alors nécessairement (voir la définitions des $\epsilon_{\mu}^{(\kappa)}$) :

$$ \begin{align} \partial_{\mu} A^{+\mu}(x) |\phi\rangle = 0 \quad &\Rightarrow \quad (\omega_k a^{(0)} - k a^{(3)}) |\phi\rangle = 0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow \quad (a^{(0)} - a^{(3)}) |\phi\rangle = 0 \quad \forall k. \tag{2.4.61} \end{align} $$

Pour calculer l'énergie d'un état physique on peut remarquer :

$$ \langle \phi | a^{(3)\dagger} a^{(3)} - a^{(0)\dagger} a^{(0)} | \phi \rangle = \langle \phi | a^{(3)\dagger} (a^{(3)} - a^{(0)}) | \phi \rangle = 0 $$

et

$$ \langle \phi | H | \phi \rangle = \langle \phi | \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2\omega_k} \sum_{\kappa=1}^{2} \omega_k a^{(\kappa)\dagger} a^{(\kappa)} | \phi \rangle \quad (2.4.62) $$

Seuls les photons transverses contribuent à l'énergie. Ceci est vrai pour n'importe quel observable. De façon qualitative on peut dire que les contributions de photons scalaires et longitudinaux se compensent dans tout observable physique.

### • Jauges non covariantes<fnref n="4" />

Dans ce cas, le terme de fixation de jauge est, par exemple, de la forme $n_{\mu}A^{\mu}$ où $n_{\mu}$ est un quadrivecteur arbitraire constant et le lagrangien est :

$$ \mathcal{L}_{\lambda} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}(x) F^{\mu\nu}(x) - \frac{\lambda}{2} (n_{\mu} A^{\mu}(x))^2, \quad (2.4.63) $$

de sorte que l'équation du mouvement devient :

$$ \Box A_{\mu}(x) - \partial_{\mu} \partial_{\nu} A^{\nu}(x) - \lambda n_{\mu} n_{\nu} A^{\nu}(x) = 0. \quad (2.4.64) $$

Avec ce choix le moment conjugué $\pi^0(x)$ est toujours nul et on n'a pas résolu le problème qui motivait l'introduction dans le lagrangien d'un terme brisant la symétrie ! On peut cependant éliminer les coordonnés temporelles si l'on choisit $n_{\nu}A^{\nu} = 0$ avec $n_{\nu} = (1,0,0,0)$. Si on impose de plus la condition de Lorentz $\partial_{\nu}A^{\nu}(x) = -\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0$ (jauge de Coulomb) on élimine les états de polarisation scalaire et longitudinale et l'équation du mouvement se simplifie ($\Box A_{\mu}(x) = 0$) et on peut écrire :

$$ A_i(x) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2k_0} \sum_{\kappa=1}^{2} \left( a^{(\kappa)} \epsilon_i^{(\kappa)} e^{-ik \cdot x} + a^{(\kappa)\dagger} \epsilon_i^{(\kappa)} e^{ik \cdot x} \right) \quad (2.4.65) $$

<footnote n="4">4. Pour une revue, voir G. Leibbrandt, Rev. Mod. Phys. 59 (1987) 1067</footnote>
avec seulement les polarisations transverses (physiques). Il faut alors quantifier le système sous les contraintes $n \cdot A = \partial \cdot A = 0$ ce qui est une tâche ardue.

Un peu de terminologie : la condition $n \cdot A = 0$ avec,

* $n^2 < 0$, jauge axiale pure

* $n^2 = 0$, jauge du cône de lumière

* $n^2 > 0$, jauge temporelle.

## 2.5 Le propagateur du photon

Comme pour le cas du fermion on définit le produit chronologique de deux champs $A_\mu(x)$ et $A_\nu(y)$ et le propagateur du photon qui est la valeur sur le vide de ce produit :

$$ \begin{aligned} \tilde{G}_{\mu\nu}(x-y) &\equiv \langle 0 | \mathcal{T}(A_\mu(x) A_\nu(y)) | 0 \rangle \\ &= \langle 0 | \theta(x_0 - y_0) A_\mu(x) A_\nu(y) + \theta(y_0 - x_0) A_\nu(y) A_\mu(x) | 0 \rangle \end{aligned} \quad (2.5.66) $$

### • Jauges covariantes

On montre que le propagateur, en jauge covariante, satisfait à l'équation de Green :

$$ (\Box g_{\mu\nu} - (1-\lambda)\partial_{\mu}\partial_{\nu}) \tilde{G}^{\nu\rho}(x-y) = i g_{\mu}^{\rho} \delta^{(4)}(x-y) \quad (2.5.67) $$

**Exercice** : Pour vérifier explicitement l'équation ci-dessus, c'est un peu plus compliqué que dans le cas du fermion à cause des opérateurs $\partial_0^2$ et $\partial_\mu\partial_\nu$ qui, on le rappelle, n'agissent que sur la variable $x$.

**Démonstration**

On considère dans un premier temps :

$$ \begin{aligned} \Box g_{\mu\nu} \tilde{G}^{\nu\rho}(x-y) &= (\partial_0^2 - \partial_i^2) \tilde{G}_{\mu}^{\rho}(x-y) \\ &= \partial_0 \{ \delta(x_0 - y_0) [A_\mu(x), A^\rho(y)] + \theta(x_0 - y_0) \partial_0 A_\mu(x) A^\rho(y) + \theta(y_0 - x_0) A^\rho(y) \partial_0 A_\mu(x) \} \\ &\quad - \theta(x_0 - y_0) \partial_i^2 A_\mu(x) A^\rho(y) - \theta(y_0 - x_0) A^\rho(y) \partial_i^2 A_\mu(x) \end{aligned} $$

L'opérateur $\partial_i$ n'agit pas sur les fonction $\theta$ tandis que $\partial_0\theta(\pm x_0 \mp y_0) = \pm\delta(x_0 - y_0)$, d'où l'apparition du commutateur de deux champs qui est, en fait, nul par l'éq. (2.4.48). L'action de l'opérateur $\partial_0$ de la deuxième ligne donne de nouveau la fonction $\delta(x_0 - y_0)$ avec comme coefficient le commutateur du champ et de sa dérivée temporelle, d'où :

$$ \Box g_{\mu\nu} \tilde{G}^{\nu\rho}(x-y) = \delta(x_0 - y_0) [\partial_0 A_\mu(x), A^\rho(y)] + \theta(x_0 - y_0) \Box g_{\mu\nu} A^\nu(x) A^\rho(y) + \theta(y_0 - x_0) A^\rho(y) \Box g_{\mu\nu} A^\nu(x), $$

où on a reconstruit l'action de l'opérateur $\Box g_{\mu\nu}$ sur le champ $A^\nu(x)$. De façon similaire on montre facilement que :

$$ \partial_\nu \tilde{G}^{\nu\rho} = \theta(x_0 - y_0) \partial_\nu A^\nu(x) A^\rho(y) + \theta(y_0 - x_0) A^\rho(y) \partial_\nu A^\nu(x) $$

puisque même si $\nu = 0$ et agit sur la fonction $\theta$, la fonction $\delta(x_0 - y_0)$ produite aura comme coefficient un commutateur de champs qui est nul. Finalement on a :

$$ \partial_{\mu} \partial_{\nu} \tilde{G}^{\nu\rho} = g_{\mu 0} \delta(x_0 - y_0) [\partial_{\nu} A^{\nu}(x), A^{\rho}(y)] + \theta(x_0 - y_0) \partial_{\mu} \partial_{\nu} A^{\nu}(x) A^{\rho}(y) + \theta(y_0 - x_0) A^{\rho}(y) \partial_{\mu} \partial_{\nu} A^{\nu}(x). $$
Recollant tous les morceaux pour construire le membre de gauche de l'éq. (2.5.67) on remarque que le coefficient des fonctions $\theta(\pm x_0 \mp y_0)$ est nul par l'équation du mouvement en jauge covariante,

$$ (\Box g_{\mu\nu} - (1 - \lambda)\partial_{\mu}\partial_{\nu}) A^{\nu}(x) = 0, $$

de sorte qu'il reste un commutateur un peu compliqué :

$$ (\Box g_{\mu\nu} - (1 - \lambda)\partial_{\mu}\partial_{\nu}) \tilde{G}^{\nu\rho}(x - y) = \delta(x_0 - y_0)[\partial_0 A_{\mu}(x) - (1 - \lambda)g_{\mu 0}\partial_{\nu}A^{\nu}(x), A^{\rho}(y)]. $$

Pour $\mu = 0$, le membre de droite est :

$$ \begin{aligned} \delta(x_0 - y_0)[\partial_0 A_{\mu}(x) - (1 - \lambda)g_{\mu 0}\partial_{\nu}A^{\nu}(x), A^{\rho}(y)] &= \delta(x_0 - y_0)\{-[\vec{\nabla} \cdot \vec{A}(x), A^{\rho}(y)] - [\pi_0(x), A^{\rho}(y)] \\ &= i g_0^{\rho} \delta^{(4)}(x - y). \end{aligned} $$

Pour obtenir ce résultat on a utilisé la définition de $\pi_0(x)$ (éq. (2.4.50)), la relation de commutation (2.4.48) et le fait que $[\vec{\nabla} \cdot \vec{A}(x), A^{\rho}(y)] = \vec{\nabla} \cdot [\vec{A}(x), A^{\rho}(y)] = 0$. Pour le cas $\mu = i$, le membre de droite est :

$$ \begin{aligned} \delta(x_0 - y_0)[\partial_0 A_i(x), A^{\rho}(y)] &= \delta(x_0 - y_0)[\partial_i A_0(x) - \pi_i(x), A^{\rho}(y)] \\ &= \delta(x_0 - y_0)[A^{\rho}(y), \pi_i(x)] = i g_i^{\rho} \delta^{(4)}(x - y), \end{aligned} $$

en faisant référence aux mêmes équations que pour le cas $\mu = 0$.

On résout l'équation de Green en introduisant la transformée de Fourier :

$$ \tilde{G}_{\mu\nu}(x - y) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik \cdot (x-y)} G_{\mu\nu}(k) $$

qui satisfait à l'équation :

$$ [-k^2 g_{\mu\nu} + (1 - \lambda)k_{\mu} k_{\nu}] G^{\nu\rho}(k) = i g_{\mu}^{\rho}. $$

La solution la plus générale a la forme :

$$ G^{\nu\rho}(k) = A(k^2)g^{\nu\rho} + B(k^2)k^{\nu}k^{\rho}. $$

L'équation de Green contraint les coefficients scalaires $A(k^2)$ et $B(k^2)$ et on trouve finalement :

$$ G_{\mu\nu}(k) = -\frac{i}{k^2} g_{\mu\nu} - i \left(\frac{1-\lambda}{\lambda}\right) \frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^4} $$

Il faut choisir une prescription pour contourner le pôle (à masse nulle) $k^2 = 0$. Comme dans le cas du propagateur du fermion, la causalité impose le choix $"+i\epsilon"$ et donc $k^2 \to k^2 + i\epsilon$, soit :

$$ G_{\mu\nu}(k) = -\frac{i}{k^2 + i\epsilon} \left( g_{\mu\nu} - \left(1 - \frac{1}{\lambda}\right) \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^2 + i\epsilon} \right) \qquad (2.5.68) $$

qui est la forme la plus générale du propagateur en jauge covariante. Dans la discussion précédente on avait choisi $\lambda = 1$, jauge de Feynman et donc,

$$ G_{\mu\nu}(k) = -i \frac{g_{\mu\nu}}{k^2 + i\epsilon}. \qquad (2.5.69) $$
Si $\lambda \to \infty$, on a la jauge de Landau :

$$ G_{\mu\nu}(k) = -i \frac{g_{\mu\nu} - k_{\mu}k_{\nu}/k^2}{k^2 + i\epsilon}. \qquad (2.5.70) $$

### • Jauges non covariantes

Dans ce cas, la densité lagrangienne éq. (2.4.63) conduit, à l'équation de Green suivante :

$$ (\Box g_{\mu\nu} - \partial_{\mu}\partial_{\nu} - \lambda n_{\mu}n_{\nu}) \tilde{G}^{\nu\rho}(x-y) = i g_{\mu}^{\rho} \delta^{(4)}(x-y), \qquad (2.5.71) $$

et après avoir effectué la transformée de Fourier, à :

$$ [-k^2 g_{\mu\nu} + k_{\mu} k_{\nu} - \lambda n_{\mu} n_{\nu}] G^{\nu\rho}(k) = i g_{\mu}^{\rho}. $$

On cherche la solution sous la forme d'une combinaison linéaire des tenseurs $g^{\nu\rho}$, $k^{\nu}n^{\rho}+k^{\rho}n^{\nu}$, $k^{\nu}k^{\rho}$ et $n^{\nu}n^{\rho}$. On trouve finalement le propagateur :

$$ G_{\mu\nu}(k) = -\frac{i}{k^2} \left( g_{\mu\nu} - \frac{k_{\mu}n_{\nu} + k_{\nu}n_{\mu}}{k \cdot n} + \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{(k \cdot n)^2} (n^2 + \frac{k^2}{\lambda}) \right). \qquad (2.5.72) $$

#### Exercice

On peut remarquer que si on avait considéré, au lieu de $\mathcal{L}_{\lambda}$ (qui ne respecte pas l'invariance de jauge), le lagrangien $\mathcal{L}_{QED}$ initial, on n'aurait pas pu définir le propagateur car l'équation

$$ (-k^2 g_{\mu\nu} + k_{\mu}k_{\nu}) G^{\nu\rho} = i g_{\mu}^{\rho} $$

n'a pas de solution pour $G^{\mu\rho}$. Le prouver.

### 2.5.1 Remarques sur le propagateur du photon

Comme on l'a fait pour le fermion on peut construire explicitement le propagateur en jauge de Feynman dans l'espace des coordonnées et extraire ensuite sa forme dans l'espace des impulsions. Pour cela on utilise la représentation éq. (2.4.54) du champ du photon, avec le choix éqs. (2.4.53) des vecteurs polarisation. On trouve alors :

$$ G_{\mu\nu}(k) = i \frac{\mathcal{P}_{\mu\nu}}{k^2 + i\epsilon}, \qquad (2.5.73) $$

avec

$$ \mathcal{P}_{\mu\nu} = - \sum_{\kappa, \kappa'=0}^{3} g_{\kappa\kappa'} \epsilon_{\mu}^{(\kappa)} \epsilon_{\nu}^{(\kappa')}. \qquad (2.5.74) $$

Le tenseur $\mathcal{P}_{\mu\nu}$ apparaît comme la somme sur les états de polarisation de $\epsilon_{\mu}^{(\kappa)} \epsilon_{\nu}^{(\kappa)}$ et le facteur $g_{\kappa\kappa'}$ est la conséquence des relations de commutation (2.4.57). D'après l'éq. (2.4.56), on a :

$$ G_{\mu\nu}(k) = -i \frac{g_{\mu\nu}}{k^2 + i\epsilon}, \qquad (2.5.75) $$
et on retrouve bien la forme (2.5.69) du propagateur. On remarque que la trace de $-\mathcal{P}_{\mu\nu} = g_{\mu}^{\mu}$ compte simplement le nombre d'états de polarisation du champ $A_{\mu}$, à savoir 4.

En *jauge de Landau* on remarque que le propagateur satisfait à la relation $k^{\mu}G_{\mu\nu} = 0$ ce qui implique une contrainte sur le champ $A_{\mu}$. Corrélativement, la trace du numérateur :

$$ \mathrm{Tr}(g_{\mu\nu} - k_{\mu}k_{\nu}/k^2) = 3 \qquad (2.5.76) $$

ce que l'on interprète par le fait le champ du photon contient 3 degrés de liberté dont un non physique.

En *jauge axiale* on fait d'habitude le choix $\lambda \to \infty$ et le propagateur devient (éq. (2.5.72)) :

$$ G_{\mu\nu}(k) = -i \frac{\mathcal{P}_{\mu\nu}}{k^2 + i\epsilon} \quad \text{avec} \quad \mathcal{P}_{\mu\nu} = \left( g_{\mu\nu} - \frac{(k_{\mu}n_{\nu} + n_{\mu}k_{\nu})}{k \cdot n} + \frac{n^2 k_{\mu}k_{\nu}}{(k \cdot n)^2} \right), \qquad (2.5.77) $$

qui satisfait deux contraintes $n^{\mu}\mathcal{P}_{\mu\nu}(k) = 0$ et, pour $k^2$ de genre lumière, $k^{\mu}\mathcal{P}_{\mu\nu}(k) = 0$. On vérifie facilement que la trace du tenseur entre parenthèses est bien égale à 2 comme il se doit lorsque le photon est sur couche de masse. Avec ce choix de jauge seuls les degrés de polarisation physique sont inclus dans le calcul.

### 2.5.2 Indépendance de jauge et conservation du courant

Les différentes formes du propagateur diffèrent par des termes contenant $k_{\mu}$ et on peut se demander si les prédictions physiques en QED vont dépendre du choix du propagateur. La réponse est négative puisque le photon est couplé à un courant conservé, $k_{\mu}J^{\mu} = 0$, où $J^{\mu}(x) = -e\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$. On peut le voir de la façon suivante en ce qui concerne les jauges covariantes. Du lagrangien $\mathcal{L}_{\lambda}$, voir éq. (2.4.49), du photon en interaction :

$$ \mathcal{L}_{\lambda} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}(x) F^{\mu\nu}(x) - \frac{\lambda}{2} (\partial_{\mu} A^{\mu}(x))^2 + \bar{\psi}(x) (i\not\partial - m) \psi(x) + e \bar{\psi}(x) \not A(x) \psi(x), \qquad (2.5.78) $$

on tire facilement l'équation du mouvement du photon :

$$ (\Box g_{\mu\nu} - (1 - \lambda)\partial_{\mu}\partial_{\nu}) A^{\nu}(x) = e J_{\mu}(x), $$

dont la solution s'exprime à l'aide de la fonction de Green :

$$ A_{\nu}(x) = \int d^4 y \, \tilde{G}_{\nu\mu}(x-y) J^{\mu}(y) $$

Ceci est évident par simple substitution dans l'équation du mouvement. Introduisant la transformée de Fourier du courant :

$$ J^{\mu}(y) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} j^{\mu}(k) e^{-ik \cdot y} $$

ainsi que celle du propagateur avec la solution s'écrit alors :

$$ A_{\nu}(x) = -i \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik \cdot x} \left[ \frac{g_{\nu\mu}}{k^2 + i\epsilon} + \frac{1 - \lambda}{\lambda} \frac{k_{\nu}k_{\mu}}{(k^2 + i\epsilon)^2} \right] j^{\mu}(k) $$
et il devient évident que les termes dépendant de jauge s'annulent par conservation du courant $k_{\mu}j^{\mu}(k) = 0$. En conclusion, les résultats des calculs ne doivent pas dépendre du choix particulier fait pour la forme du propagateur du photon. A cause de cette propriété il n'est pas nécessaire dans les calculs perturbatifs d'imposer la condition de Lorentz sur le champ $A_{\mu}(x)$ puisque le photon étant soit émis soit absorbé par un courant conservé les états de polarisation scalaire et longitudinale sont automatiquement découplés du monde physique.

### • Remarque

On considère le lagrangien $\mathcal{L}_{\lambda}$ éq. (2.5.78) avec le terme d'interaction $-J_{\mu}(x)A^{\mu}(x)$. Ce terme est invariant est si on change "la jauge du photon" c'est à dire si on fait $A_{\mu} \rightarrow A_{\mu} + \partial_{\mu}\alpha(x)$. On a alors :

$$ \delta \int d^4 x J_{\mu} A^{\mu} = \int d^4 x J_{\mu}(x) \partial^{\mu} \alpha(x) = \int d^4 x [\partial^{\mu} (J_{\mu}(x) \alpha(x)) - (\partial^{\mu} J_{\mu}(x)) \alpha(x)] = 0. $$

Dans la dernière forme de l'intérale ci-dessus, la dérivée totale $\partial^{\mu}(J_{\mu}(x)\alpha(x))$ ne contribue pas (pas de sources à l'infini) et le terme $(\partial^{\mu}J_{\mu}(x))$ est nul par conservation du courant. Ceci illustre bien le rôle fondamental joué par la conservation du courant en QED.

## 2.6 Règles de Feynman de QED

Nous avons dérivé ci-dessus les éléments de base qui permettent de construire le développement perturbatif en QED. Ce développement s'exprime à l'aide de règles qui permettent d'écrire "l'élément de matrice invariant" $M_{fi}$, relié à la matrice $S$ par

$$ \begin{aligned} S_{fi} &= \delta_{fi} + i T_{fi} \\ T_{fi} &= (2\pi)^4 \delta(\Sigma p_{ext}) M_{fi}, \end{aligned} $$

à tout ordre de la théorie des perturbations. Les règles de Feynman sont simplement énoncées ici. Pour une démonstration on peut consulter les livres de Bjorken et Drell ou Mandl et Shaw ou Ryder ou ... On remarque seulement qu'au point d'interaction les particules entrantes sont annihilées (on attachera donc la fonction d'onde $u_{\alpha}(p)$ pour un fermion, $\bar{v}_{\alpha}(p)$ pour un antifermion et $\epsilon_{\mu}^{(\kappa)}(k)$ pour un photon) et les particules sortantes sont crées (soit $\bar{u}_{\alpha}(p)$ pour un fermion, $v_{\alpha}(p)$ pour un antifermion et $\epsilon_{\mu}^{(\kappa)}(k)$ pour un photon). Deux points d'interaction sont reliés par un propagateur.
<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Les règles de Feynman en QED (jauge covariante).

Un moyen mnémonique de se rappeler du couplage consiste à partir du lagarangien d'interaction :

$$i \int d^4 x \mathcal{L}_I = i \int d^4 x \bar{\psi}(x) e A_\mu(x) \gamma^\mu \psi(x) \qquad (2.6.79)$$

et à prendre la dérivée fonctionnelle par rapport aux champs pour trouver :

$$\frac{\delta}{\delta \psi(y)} \frac{\delta}{\delta \psi(y)} \frac{\delta}{\delta A_\mu(y)} = -i e \gamma^\mu \qquad (2.6.80)$$

où le signe (-) vient de l'anticommutation $\delta/\delta\psi(y)$ avec $\bar{\psi}(x)$ lorsque l'on effectue la dérivée. Les règles générales pour obtenir vertex et propagateurs seront données en sec. 7.2 et 7.3.
**Exercice** : écrire l'élément $M_{fi}$ pour

$$- e^{+}e^{-} \rightarrow \mu^{+}\mu^{-}$$

$$- e^{+}e^{-} \rightarrow e^{+}e^{-}$$

$$- \gamma e^{-} \rightarrow \gamma e^{-} \text{ et montrer l'invariance de l'amplitude quand on fait la translation } \epsilon_{\mu}^{(\kappa)} \rightarrow \epsilon_{\mu}^{(\kappa)} + k_{\mu}, \text{ où } \epsilon_{\mu}^{(\kappa)} \text{ et } k_{\mu} \text{ sont les vecteurs polarisation et impulsion d'un photon.}$$

Calculer $\sum_{polarisations} |M_{fi}|^2$ dans chacun des cas.

## 2.7 Appendice : propriétés des matrices $\gamma^\mu$

Dans la représentation de Dirac les matrices $\gamma^\mu$ sont des matrices 4 × 4 définies par :

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} \mathbf{1}_2 & 0 \\ 0 & -\mathbf{1}_2 \end{pmatrix}, \quad \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}, \qquad (2.7.81)$$

où les $\sigma^i$ sont les matrices de Pauli :

$$\sigma^1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma^2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. \qquad (2.7.82)$$

Les matrices de Pauli obéissent aux relations de commutation et d'anticommutation suivantes :

$$[\frac{\sigma^i}{2}, \frac{\sigma^j}{2}] = i \epsilon^{ijk} \frac{\sigma^k}{2}, \qquad \{\frac{\sigma^i}{2}, \frac{\sigma^j}{2}\} = \delta^{ij} \frac{\mathbf{1}_2}{2} \qquad (2.7.83)$$

Les matrices $\gamma^\mu$ ont les propriétés suivantes,

$$\gamma^0 \gamma^{\mu \dagger} \gamma^0 = \gamma^\mu, \quad \gamma^{02} = \mathbf{1}_4, \quad \gamma^{i2} = -\mathbf{1}_4, \quad \gamma_\mu \gamma^\mu = 4 \mathbf{1}_4, \quad \mu = 0, 1, 2, 3, \qquad (2.7.84)$$

et elles satisfont les relations d'anticommutation :

$$\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2 g^{\mu\nu} \mathbf{1}_4. \qquad (2.7.85)$$

Il est utile d'introduire les notations suivantes :

$$\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2}[\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}], \quad \gamma^5 = \gamma_5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & \mathbf{1}_2 \\ \mathbf{1}_2 & 0 \end{pmatrix}. \qquad (2.7.86)$$

On prouve aisément :

$$\begin{align*} \bullet \quad & \gamma_{\mu}\gamma_{\alpha}\gamma^{\mu} = -2 \gamma_{\alpha} \\ \bullet \quad & \gamma_{\mu}\gamma_{\alpha}\gamma_{\beta}\gamma^{\mu} = 4 g_{\alpha\beta} \mathbf{1}_4 \tag{2.7.87} \end{align*}$$

$$\bullet \quad \gamma_{\mu}\gamma_{\alpha}\gamma_{\beta}\gamma_{\delta}\gamma^{\mu} = -2 \gamma_{\delta}\gamma_{\beta}\gamma_{\alpha}.$$
Pour l'évaluation des traces des produits de matrices $\gamma_\alpha\gamma_\beta...$ on a les relations :

$$
\begin{align*}
\mathrm{Tr}(\gamma_{\alpha}\gamma_{\beta}) &= 4 g_{\alpha\beta} \\
\mathrm{Tr}(\gamma_{\alpha}\gamma_{\beta}\gamma_{\delta}\gamma_{\lambda}) &= 4 [g_{\alpha\beta} g_{\delta\lambda} - g_{\alpha\delta} g_{\beta\lambda} + g_{\alpha\lambda} g_{\beta\delta}] \\
\mathrm{Tr}(\gamma_{\alpha}\gamma_{\beta}\dots) &= 0 \quad \text{pour un nombre impair de matrices} \tag{2.7.88} \\
\mathrm{Tr}(\gamma^5\gamma^\alpha\gamma^\beta\dots) &= 0 \quad \text{for an odd number of } \gamma^\alpha \text{ matrices} \\
\mathrm{Tr}(\gamma^5\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\delta\gamma^\lambda) &= -4i\epsilon^{\alpha\beta\delta\lambda},
\end{align*}
$$

où $\epsilon^{\alpha\beta\delta\lambda}$ est totalement antisymétrique sous la permutation de deux indices. Par convention on prend $\epsilon^{0123} = +1$. On a alors $\epsilon_{\alpha\beta\delta\lambda} = -\epsilon^{\alpha\beta\delta\lambda}$ et, en particulier, $\epsilon_{0123} = -1$. Une relation utile est :

$$ \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} \epsilon^{\rho\sigma\alpha\beta} = -2(\delta_{\mu}^{\rho} \delta_{\nu}^{\sigma} - \delta_{\nu}^{\rho} \delta_{\mu}^{\sigma}) \quad (2.7.89) $$

Il existe d'autres représentations dues à Weyl et à Majorana qui satisfont les relations éq. (2.7.85) à éq. (2.7.88). En règle générale, il n'est pas nécessaire dans les calculs d'utiliser la forme explicite des matrices $\gamma^\mu$.
# Chapitre 3

## Divergences ultraviolettes, renormalisation

Dans ce qui suit nous allons appliquer les règles de Feynman qui décrivent l'interaction entre électrons et photons (QED) et entre quarks et gluons (QCD) à l'étude des processus à haute énergie. Par exemple, si on étudie la diffusion $e^+\mu^-$ aux deux premiers ordre de la théorie perturbative on est amené au calcul des diagrammes

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

La section efficace est proportionnelle à l'amplitude de diffusion au carré $|M|^2$ qui s'écrit :

$$ \begin{aligned} |M|^2 &= |M_0 + M_2|^2 + |M_1|^2 \\ &= |M_0|^2 + |M_1|^2 + 2 \operatorname{Re} M_0 M_2^* + \mathcal{O}(e^8). \end{aligned} $$

Le premier terme est d'ordre $e^4$, les deux suivants d'ordre $e^6$. On négligera $|M_2|^2$ qui est d'ordre $e^8$, donc d'un ordre plus élevé.
## • Nomenclature

Les termes d'ordre le plus bas sont habituellement appelés "termes de Born". Les diagrammes avec une ou plusieurs particules émises, en plus de celles présentes dans le terme de Born, sont dits "diagrammes réels", tandis que ceux avec un champ émis et ré-absorbé dans le même diagramme sont dits "diagrammes virtuels" ou en "boucles". Un calcul cohérent en théorie des perturbations nécessite la prise en compte de tous les diagrammes à un ordre donné, ainsi, évidemment, que de tous ceux d'ordre plus bas. Dans la suite, nous ne considérerons que les deux premiers ordres de la série perturbative, c'est-à-dire, dans l'exemple ci-dessus, les termes d'ordre $e^4$ et $e^6$ de l'élément de matrice au carré.

L'évaluation des diagrammes d'ordre supérieur présente de nombreuses difficultés à cause de l'ap-
partition de divergences.

Dans les diagrammes en boucles ces divergences peuvent être de trois types :

- ultraviolettes (UV) qui reflètent le comportement aux courtes distances ou grandes impul-
sions de la théorie; elles n'apparaissent que dans les termes virtuels où l'impulsion dans la
boucle n'a pas de limite supérieure. Pour les diagrammes réels il n'y a pas de divergences
ultraviolettes puisque l'énergie des particules finales est nécessairement finie (on calcule des
processus à énergie finie);

- infrarouges (IR) qui sont engendrées lorsque l'impulsion d'un photon ou d'un gluon réel ou virtuel tend vers 0; elles reflètent le comportement de la théorie aux petites énergies ou grandes distances;

- colinéaires lorsque l'on considre un fermion de masse nulle emettant un photon ou un gluon d'impulsion parallèle à celle du fermion.

Chaque type de divergence fait l'objet d'une procédure spécifique :

- La renormalisation permet d'évacuer les divergences ultraviolettes au prix d'une redéfinition des paramètres du lagrangien et permet de construire un développement perturbatif à coefficients finis (chapitres 3, 4, 8);

- les divergences infrarouges sont éliminées, ordre par ordre, en combinant termes réels et virtuels lorsqu'on construit un observable : c'est le théorème de Lee-Kinoshita-Nauenberg (chapitre 5);

- les divergences colinéaires sont une caractéristique de QCD où on suppose les quarks légers de masse nulle : elles sont absorbées dans les fonctions de structure (objets non-perturbatifs) qui donnent la distribution des quarks et gluons dans un hadron : c'est le théorème de factorisation (chapitres 6, 9, 10).

Dans le reste du chapitre nous nous intéresserons, de façon "qualitative", aux divergences ultra-
violettes et à la procédure de renormalisation qui permet de donner un sens à la théorie et par
conséquent d'obtenir des prédicitions finies. Nous illustrerons d'abord la procédure de renormali-
sation sur un modèle scalaire (pas de complication due au spin). Nous introduirons ensuite les
outils qui permettent de calculer les diagrammes en boucles et de donner un sens mathématique
aux divergences.
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Diffusion $2 \to 2$ à une boucle dans le modèle $\lambda\phi^4$. Les invariants de Mandelstam sont $(p_1 - p_3)^2 = q^2 = t$, $(p_1 + p_2)^2 = s$, $(p_1 - p_4)^2 = u$.</figcaption></figure>

## 3.1 Divergences ultraviolettes et renormalisation en $\lambda\phi^4$.

### 3.1.1 Divergences des diagrammes en boucle

La densité lagrangienne du modèle $\lambda\phi^4$ est :

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi(x))^2 - \frac{m^2}{2}\phi^2(x) - \frac{\lambda}{4!}\phi^4(x) \qquad (3.1.1) $$

où $\phi(x)$ est un champ scalaire réel. Les règles de Feynman correspondantes sont :

$$ \text{vertex : } \times = -i\lambda; \text{ propagateur : } \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon} $$

Aux deux premiers ordres de la théorie des perturbations la diffusion de deux particules est représentée par les diagrammes de la figure 3.1. À noter que pour les besoins de notre discussion qualitative il n’est pas nécessaire de considérer les diagrammes avec insertion d’une boucle sur les pattes externes du terme de Born. Si on dénote $q = p_1 - p_3$ l’impulsion de transfert entre particules entrante et sortante on a $q^2 = t < 0$. L’amplitude de diffusion s’écrit :

$$ M = -i\lambda + \frac{\lambda^2}{2} \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \frac{1}{(p^2 - m^2 + i\epsilon)((p+q)^2 - m^2 + i\epsilon)} + \dots \qquad (3.1.2) $$

où $p$ est l’impulsion dans la boucle et où "..." dénote la contribution des deux derniers diagrammes (le facteur $1/2$ devant l’intégrale tient compte du fait des particules identiques dans la boucle). Il faut intégrer, dans le deuxième terme du membre de droite sur une région où toutes les composantes
de l'impulsion interne $p$ tendent vers l'infini, que l'on dénote schématiquement par $|p| \to \infty$. Une analyse dimensionnelle élémentaire montre que, dans ce domaine, la contribution dominante sera :

$$ \frac{\lambda^2}{2} \int_{|p| \to \infty} \frac{d^4 p}{p^4} \sim \frac{\lambda^2}{2} \int_{|p| \to \infty} \frac{p^3 dp}{p^4} \qquad (3.1.3) $$

qui diverge logarithmiquement (on a ignoré la contributions angulaire dans l'intégrale). Pour régulariser la divergence ultraviolette de cette intégrale on introduit un cut-off $\Lambda$ sur la norme de $p$ de telle sorte que l'amplitude de diffusion peut s'écrire :

$$ \mathcal{M} = -i\lambda + i \frac{3\lambda^2}{2(4\pi)^2} \left( \ln \frac{\Lambda^2}{-q^2} + \text{termes finis} \right). \qquad (3.1.4) $$

où $-q^2$ agit comme un cut-off de l'intégrand quand l'impulsion $p$ est petite et où nous définissons comme termes finis les termes indépendants du cut-off $\Lambda^1$. Chaque diagramme en boucle donnant une contribution $\sim \ln \frac{\Lambda^2}{-q^2}$, on a donc introduit un facteur 3. On a aussi fait l'hypothèse dans la dernière équation ci-dessus que $-q^2 \gg m^2$. Le résultat du calcul dépend de l'invariant physique $q^2$ et du cut-off ultraviolet arbitraire $\Lambda$. On le notera donc :

$$ -ig(q^2, \Lambda^2) = -i\lambda + \frac{3i}{2} \frac{\lambda^2}{(4\pi)^2} \left( \ln \frac{\Lambda^2}{-q^2} + \text{termes finis} \right), \qquad (3.1.5) $$

pour faire apparaître explicitement ces dépendances. Le module $|\lambda|^2$ du membre de gauche est relié à la section efficace qui est une observable. On a donc le résultat paradoxal que la prédiction théorique de la section efficace dépend d'un cut-off non physique, introduit pour régulariser les expressions mathématiques !

Si on considère maintenant le même processus à l'échelle $q'^2$, la prédiction régularisée est évidem-ment :

$$ g(q'^2, \Lambda^2) = \lambda - \frac{3}{2} \frac{\lambda^2}{(4\pi)^2} \left( \ln \frac{\Lambda^2}{-q'^2} + \text{termes finis} \right). \qquad (3.1.6) $$

Eliminant $\lambda$ à l'aide de l'équation (3.1.5) on a :

$$ g(q'^2, \Lambda^2) = g(q^2, \Lambda^2) + \frac{3}{2} \frac{g^2}{(4\pi)^2} \ln \frac{-q'^2}{-q^2} + \text{termes finis d'ordre } g^2 + \mathcal{O}(g^3) \qquad (3.1.7) $$

Dans le terme en $\lambda^2$ on a substitué $\lambda = g + \mathcal{O}(g^2)$ ce qui est tout à fait justifié puisque le calcul est mené aux deux premiers ordres de la théorie des perturbations et que l'on néglige les termes d'ordre supérieur en $\lambda^3 \sim g^3$.

• Ré-interprétation de la série perturbative

Il est remarquable que dans l'expression (3.1.7) toute dépendence explicite en $\Lambda$ a disparu. Ceci suggère d'interpéter cette équation de la façon suivante. On suppose que l'on fait une expérience de diffusion et que l'on mesure la section efficace à une impulsion de transfert $\sqrt{-q^2}$ : reliant le résultat

<footnote n="1">1. L'origine du factor $i$ devant le deuxième terme deviendra évidente dans la section suivante.</footnote>
de cette mesure à $g(q^2)$, on obtient la valeur de $g(q^2)$. La théorie prédit alors, par l'équation (3.1.7),
quel sera le résultat d'une expérience à $q'^2$, la relation entre les deux fonctions $g(q^2)$ et $g(q'^2)$ étant
finie, indépendante du cut-off $\Lambda$.

En général, la série perturbative pour une quantité physique, par exemple $g(q'^2)$ où $q'^2$ est une
échelle qui caractérise l'énergie du processus étudié, construite à l'aide du paramètre $\lambda$ ($\lambda$ couplage
dans le lagrangien) n'est pas bien définie car les coefficients du développement sont dépendants du
cut-off non physique $\Lambda$, introduit pour régulariser les divergences ultraviolettes. En revanche, la
série perturbative pour $g(q'^2)$ construite à l'aide de $g(q^2)$, ($q^2 \neq q'^2$) est parfaitement définie, les
coefficients de la série étant finis. Ce que prédit la théorie n'est donc pas la valeur de l'amplitude
de diffusion, en fonction de $\lambda$ et des autres paramètres du lagrangien, mais seulement la variation
de l'amplitude avec l'échelle d'énergie, connaissant cette amplitude à une énergie donnée.

• Définitions, nomenclature

Le paramètre de couplage $\lambda$ dans le lagrangien est appelé le "couplage nu" : suivant la tradition on
le notera $\lambda_B$ (bare = nu en anglais). On introduit un "couplage renormalisé" dénoté $\lambda_R$ fonction
de l'échelle $q^2$ du processus étudié : par exemple $g(q^2)$ joue le rôle du couplage renormalisé dans la
discussion ci-dessus. La relation entre les deux couplages est écrite (renormalisation multiplicative) :

$$
\lambda_B = Z_{\lambda} \lambda_R \tag{3.1.8}
$$

où le facteur $Z_\lambda$ admet un développement perturbatif à "coefficients divergents" $^2$ :

$$
Z_{\lambda} = 1 + c_{\lambda} \lambda_{R}. \tag{3.1.9}
$$

Par exemple, inversant l'éq. (3.1.5) on obtient :

$$
\lambda_B = g(q^2) \left[ 1 + \frac{3}{2} \frac{g(q^2)}{(4\pi)^2} \left( \ln \frac{\Lambda^2}{-q^2} + \text{termes finis} \right) \right], \quad (3.1.10)
$$

qui définit la relation entre couplage nu et "couplage renormalisé" $g(q^2)$ : dans ce cas $c_\lambda = (3g(q^2)/2(4\pi)^2) (\ln(\Lambda^2/-q^2) + \text{termes finis})$. Plus simplement on peut ne garder que les termes divergents dans la relation entre couplages nu et renormalisé et définir $\lambda_R(q^2)$ par :

$$
\lambda_B = \lambda_R(q^2) \left[ 1 + \frac{3}{2} \frac{\lambda_R(q^2)}{(4\pi)^2} \ln \frac{\Lambda^2}{-q^2} \right], \quad (3.1.11)
$$

soit :

$$
c_{\lambda} = \frac{3}{2(4\pi)^2} \ln \frac{\Lambda^2}{-q^2}. \qquad (3.1.12)
$$

En résumé, si l'on construit la série à l'aide de $\lambda_B$ on a :

$$
g(q'^2) = \lambda_B + \frac{3}{2} \frac{\lambda_B^2}{(4\pi)^2} \ln \frac{-q'^2}{\Lambda^2} + \text{termes finis d'ordre } \lambda_B^2 \quad (3.1.13)
$$

<footnote n="2">2. Si la théorie est renormalisable $Z_\lambda$ admet un développement à tous les ordres. Dans notre discussion (approximation à une boucle) il suffit de garder les deux premiers termes.</footnote>
où $\lambda_B$ est la contribution du diagramme en arbre tandis que le terme en $\lambda_B^2$ vient des diagrammes à une boucle. Si on l'exprime en termes de $\lambda_R$ on aura, utilisant les éqs. (3.1.11) et (3.1.13) :

$$g(q'^2) = \left[ \lambda_R(q^2) + \frac{3}{2} \frac{\lambda_R^2}{(4\pi)^2} \ln \frac{\Lambda^2}{-q^2} \right] + \frac{3}{2} \frac{\lambda_R^2}{(4\pi)^2} \ln \frac{-q'^2}{\Lambda^2} + \text{termes finis d'ordre } \lambda_R^2 + \mathcal{O}(\lambda_R^3). \quad (3.1.14)$$

Le facteur entre [ ] est la contribution du terme en arbre, exprimé en fonction du couplage renormalisé : le premier terme est le diagramme en arbre renormalisé tandis que le second est la contribution du *contre-terme* dont le rôle est de compenser la divergence venant des diagrammes en boucles. Le développement en fonction de $\lambda_R$ de l'élément de matrice (ou d'une quantité physique) est à coefficients finis, à tous les ordres, si la théorie est renormalisable. Le prix à payer est que, dans notre exemple, $\lambda_R(q^2)$ doit être obtenu à partir de l'expérience.

La forme (3.1.14) est la forme sous laquelle on va construire la série perturbative, c'est-à-dire directement en fonction du couplage renormalisé, défini par rapport au couplage nu par une relation de type éq. (3.1.8). Pour cela, on doit réorganiser le lagrangien pour faire apparatre $\lambda_R$ au lieu de $\lambda_B$. La différence entre couplage nu et renormalisé est appelé *contre-terme* et ce dernier est choisi pour compenser les divergences ultraviolettes des diagrammes en boucles.

### 3.1.2 Principes de la procédure de renormalisation

Une analyse systématique montre qu'il faut aussi introduire une masse renormalisée et un champ renormalisé. Par exemple, considérant le propagateur et la correction à une boucle associée, on trouve que le terme en boucle est divergent dans l'ultraviolet ce qui implique, comme on le verra dans la section suivante, qu'il faut renormaliser le paramètre de masse et éventuellement la fonction d'onde pour donner un sens à la théorie perturbative. En fait, pour chaque paramètre, dit paramètre nu, apparaissant dans le lagrangien il faut introduire son équivalent renormalisé. On écrit donc la densité lagrangienne :

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \phi_{B})^{2} - \frac{m_{B}^{2}}{2} \phi_{B}^{2} - \frac{\lambda_{B}}{4!} \phi_{B}^{4} \qquad (3.1.15)$$

où l'indice B dénote les quantités nues. On exprime la relation entre paramètres nus et les paramètres renormalisés par une généralisation de l'équation (3.1.8) :

$$\begin{aligned} \phi_B &= Z_3^{1/2} \phi_R \\ m_B^2 &= Z_m m_R^2 \\ \lambda_B &= Z_\lambda \lambda_R. \end{aligned} \qquad (3.1.16)$$

Les $\phi_R$, $m_R$ et $\lambda_R$ sont les quantités renormalisées. Pour des raisons qui vont devenir évidentes, on écrit habituellement :

$$Z_m = \frac{Z_0}{Z_3}, \quad Z_\lambda = \frac{Z_1}{Z_3^2} \qquad (3.1.17)$$

Les $Z_i$ sont de la forme éq. (3.1.9), c'est-à-dire qu'ils admettent un développement perturbatif en $\lambda_R$. Pour calculer les boucles on introduit une procédure de régularisation qui donne un sens mathématique aux divergences ultraviolettes. Ci-dessus on a introduit un cut-off $\Lambda$, méthode qui
n'est pas recommandée car elle brise l'invariance de Lorentz. Pour QED, QCD, l'approche moderne consiste à travailler en $n \neq 4$ dimensions (voir section suivante). Puisque l'on veut travailler directement avec les quantités renormalisées on va ré-écrire le lagrangien en fonction des $\phi_R$, $m_R$, $\lambda_R$. On trouve immédiatement :

$$ \mathcal{L} = \frac{Z_3}{2} (\partial_\mu \phi_R)^2 - \frac{Z_0}{2} m_R^2 \phi_R^2 - \frac{Z_1}{4!} \lambda_R \phi_R^4 \quad (3.1.18) $$

Il est naturel d'écrire

$$ Z_i = 1 + \delta Z_i, \quad \text{avec } i = 0, 1, 3 \quad (3.1.19) $$

où les *contre-termes* $\delta Z_i$ sont exprimés sous la forme d'une série perturbative, $\delta Z_i = \sum_n c_i^{(n)} \lambda_R^n$. Le lagrangien s'écrit alors :

$$ \mathcal{L} = \mathcal{L}_R + \delta\mathcal{L} \quad (3.1.20) $$

avec :

$$ \mathcal{L}_R = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi_R)^2 - \frac{m_R^2}{2} \phi_R^2 - \frac{\lambda_R}{4!} \phi_R^4 \quad (3.1.21) $$

et :

$$ \delta\mathcal{L} = \frac{\delta Z_3}{2} (\partial_\mu \phi_R)^2 - \frac{\delta Z_0}{2} m_R^2 \phi_R^2 - \frac{\delta Z_1}{4!} \lambda_R \phi_R^4. \quad (3.1.22) $$

Par définition, $\mathcal{L}_R$ est identique à $\mathcal{L}$ sauf qu'il est exprimé en fonction des quantités renormalisées tandis que $\delta\mathcal{L}$ contient les *contre-termes*. Pour un calcul à l'approximation d'une boucle on ne gara-dera que le premier terme du développement perturbatif des $\delta Z_i$. Au lieu maintenant de construire la série perturbative à partir de la forme éq. (3.1.15), comme on l'a fait dans l'exemple précédent, on va la construire à partir de la décomposition éq. (3.1.20) de la densité lagrangienne sans suppo-ser à priori la valeur des *contre-termes*. Les règles de Feynman pour $\mathcal{L}_R$ sont les mêmes que celles pour $\mathcal{L}$ sous la forme éq. (3.1.15), sauf qu'elles concernent maintenant les quantités renormalisées. Il faudra alors ajouter la contribution des *contre-termes* qui sont traités comme de nouveaux cou-plages et correspondent à de nouveaux diagrammes de Feynman. Pour les obtenir<fnref n="3" />, une recette est de considérer, comme en éq. (2.6.79), l'expression <fnref n="4" /> :

$$ i \int d^4 x \, \delta \mathcal{L} = i \int d^4 x \left[ -\frac{\delta Z_3}{2} \phi_R \partial^2 \phi_R - \frac{\delta Z_0}{2} m_R^2 \phi_R^2 - \frac{\delta Z_1}{4!} \lambda_R \phi_R^4 \right]. \quad (3.1.23) $$

Introduisant $\phi_R(x) = \int dp_1 \phi_R(p) \exp(-ipx)$ (on utilise la notation simplifiée $dp = d^4p/(2\pi^4)$) l'exp-pression ci-dessus devient (après intégration sur $x$ qui fait sortir le facteur de conservation d'énergie-impulsion) :

$$ \begin{aligned} & \int dp_1 dp_2 \delta(p_1 + p_2) \left[ i \frac{\delta Z_3}{2} p_1^2 - i \frac{\delta Z_0}{2} m_R^2 \right] \phi_R(p_1) \phi_R(p_2) \\ & \int dp_1 dp_2 dp_3 dp_4 \delta(p_1 + p_2 + p_3 + p_4) \left[ -i \frac{\delta Z_1}{4!} \lambda_R \right] \phi_R(p_1) \phi_R(p_2) \phi_R(p_3) \phi_R(p_4). \end{aligned} \quad (3.1.24) $$

<footnote n="3">3. Voir sec. (7.2) pour une dérivation scientifique.</footnote>

<footnote n="4">4. On ré-écrit $(\partial_\mu \phi_R)^2 = -\phi_R \partial^2 \phi_R$ à une dérivée totale près qui ne contribue pas à l'intégrale $\int d^4 x$.</footnote>
Prenant la dérivée $(\delta/\delta\phi_R(p))$ autant de fois que nécessaire et factorisant les fonctions $\delta$ de conservation d'impulsion on obtient les règles suivantes :

$$ 
\begin{aligned}
\text{Contre-terme de la fonction d'onde} \\
&= i p^2 \delta Z_3, \\
\text{Contre-terme de masse} \\
&= -i m_R^2 \delta Z_0, \\
\text{Contre-terme du vertex} \\
&= -i \lambda_R \delta Z_1,
\end{aligned} 
\qquad (3.1.25) $$

Par exemple, pour la fonction à 4-points déjà considérée on aura à calculer la série de diagrammes de la fig. 3.2 où, dans ce cas, seul le contre-terme de vertex entre en jeu. L'application des règles

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – La fonction à 4-points à une boucle en terme des quantités renormalisées.</figcaption></figure>

de Feynman donne alors,

$$ -ig(q'^2) = -i\lambda_R + i\frac{3}{2(4\pi)^2}\ln\frac{\Lambda^2}{-q'^2}\lambda_R^2 + \text{termes finis d'ordre } \lambda_R^2 - i\delta Z_1\lambda_R \quad (3.1.26) $$

où les boucles contribuent les deuxième terme et troisième termes du membre de droite tandis que le contre-terme de vertex est le dernier. Puisque la séparation du lagrangien initial entre $\mathcal{L}_R$ et $\delta\mathcal{L}$ est arbitraire on est libre de choisir, par exemple, $\delta Z_1 = (3/2(4\pi)^2) \ln(\Lambda^2/(-q^2))\lambda_R(q^2)$ qui compense la divergence ultraviolette et l'on trouve :

$$ 
\begin{aligned}
g(q'^2) &= \lambda_R(q^2) + \frac{3}{2(4\pi)^2} \ln \frac{-q'^2}{-q^2} \lambda_R^2 + \text{termes finis d'ordre } \lambda_R^2 && (3.1.27) \\
g(q^2) &= \lambda_R(q^2) + \text{termes finis d'ordre } \lambda_R^2.
\end{aligned} $$

Le couplage renormalisé $\lambda_R$ peut être déterminé, à une valeur particulière $q^2$, par comparaison avec les données via la deuxième des équations ci-dessus. On dit alors qu'on a renormalisé la théorie à $q^2$. C'est un exercice intéressant de s'assurer que si on "renormalise" le couplage à une valeur différente, $q_0^2$ au lieu de $q^2$ par exemple, on aura une valeur du couplage renormalisé $\lambda_{R_0}$ différente mais la prédiction pour $g(q'^2)$ sera (perturbativement) inchangée.

Une condition nécessaire pour que la théorie soit renormalisable est que les divergences des diagrammes d'ordre supérieur aient la même forme/structure que les termes du lagrangien de sorte qu'elles puissent être compensées par les contre-termes. Ainsi, les prédictions obtenues à partir de la forme éq. (3.1.20) de la densité lagrangienne seront finies par un choix approprié des $\delta Z_i$. Il est important de noter que le couplage renormalisé est fonction de l'échelle de masse $q^2$ puisque $\delta Z_\lambda$
est lui même fonction de $q^2$ mais $\lambda_B = (1 + \delta Z_\lambda)\lambda_R(q^2)$ en est indépendant.

Dans la procédure de renormalisation que nous suivrons pour QCD, les contre-termes seront choisis sans faire référence à un processus "physique", contrairement à ce qui est fait dans la discussion ci-dessus, mais ils seront choisis de façon la plus commode pour éliminer les divergences associées aux boucles. Comme on peut toujours arbitrairement ajouter des termes finis aux contre-termes, ou changer la valeur du point $-q^2$ où on "soustrait" la divervence ultraviolette, on définit ainsi de nombreux schémas de renormalisation. A l'ordre auquel on conduit le calcul tous les schémas de renormalisation sont équivalents : ils conduisent au même résultat pour le calcul d'une quantité physique.

En résumé, renormaliser une théorie c'est choisir les contre-termes de telle sorte que la série perturbative exprimée en fonction des paramètres renormalisés soit à coefficients finis. Si la théorie est renormalisable tous les observables peuvent alors s'exprimer par une série dont les coefficients ne contiennent pas de divergences ultraviolettes.

### 3.1.3 Renormalisation de la masse et de la fonction d'onde

Avant de d'entrer dans les détails de la procédure il est utile de rappeler la relation entre le champ $\phi(x)$ et le propagateur de Feynman défini comme le produit chronologique :

$$ 
\begin{aligned}
\tilde{G}(x-y) &= \langle 0 | \mathcal{T} \phi(x) \phi(y) | 0 \rangle \\
&= \theta(x_0 - y_0) \langle 0 | \phi(x) \phi(y) | 0 \rangle + \theta(y_0 - x_0) \langle 0 | \phi(y) \phi(x) | 0 \rangle.
\end{aligned} 
\quad (3.1.28) 
$$

On considère le champ nu $\phi_B$ que l'on développe en ondes planes,

$$ \phi_B(x) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 2\omega_p} (a_p e^{-ip \cdot x} + a_p^\dagger e^{ip \cdot x}) \quad (3.1.29) $$

où $p = (\omega_p, \vec{p})$, $\omega_p = \sqrt{\vec{p}^2 + m_B^2}$, $p \cdot x = \omega_p x_0 - \vec{p} \cdot \vec{x}$. Les opérateurs de création et annihilation satisfont les relations de commutation usuelles,

$$ [a_p, a_{p'}^\dagger] = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(p - p') 2\omega_p, \quad (3.1.30) $$

qui fixe aussi la normalisation du champ $\phi_B(x)$. Suivant la procédure mise en oeuvre pour le fermion au chapitre précédent on trouve :

$$ 
\begin{aligned}
\tilde{G}(x-y) &= \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 2\omega_p} (\theta(x_0 - y_0) e^{-i\omega_p(x_0-y_0)+i\vec{p}(\vec{x}-\vec{y})} + \theta(y_0 - x_0) e^{i\omega_p(x_0-y_0)-i\vec{p}(\vec{x}-\vec{y})}) \\
&= \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 2\omega_p} \frac{idp_0}{2\pi} \left[ \frac{e^{-ip_0(x_0-y_0)+i\vec{p}(\vec{x}-\vec{y})}}{p_0 - \omega_p + i\epsilon} - \frac{e^{-ip_0(x_0-y_0)-i\vec{p}(\vec{x}-\vec{y})}}{p_0 + \omega_p - i\epsilon} \right],
\end{aligned} 
\quad (3.1.31) 
$$

où pour obtenir la dernière équation on a utilisé la représentation intégrale suivante (éqs. (2.3.41) et (2.3.42)),

$$ \theta(\pm(x_0 - y_0)) e^{\mp i\omega_p(x_0 - y_0)} = \mp \frac{1}{2\pi i} \int_{-\infty}^{\infty} dp^0 \frac{e^{-ip_0(x_0 - y_0)}}{p_0 \mp \omega_p \pm i\epsilon}. \quad (3.1.32) $$
Combinant les termes entre crochets dans l'expression du propagateur et simplifiant on arrive alors
à :

$$
\tilde{G}(x-y) = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} e^{-ip \cdot (x-y)} \frac{i}{p^2 - m_B^2 + i\epsilon}. \qquad (3.1.33)
$$

Sous cette forme, il faut noter que $p \cdot (x-y) = p_0(x_0-y_0) - \vec{p} \cdot (\vec{x}-\vec{y})$ avec $p_0 \neq \omega_p$, l'impulsion $p$ est
hors couche de masse : $p^2 \neq m_B^2$. On obtient alors trivalement la forme générale du propagateur
de Feynman dans l'espace des impulsions, qui est donc le transformé de Fourier de l'éq. (3.1.28) :

$$
G(p) = \frac{i}{p^2 - m_B^2 + i\epsilon}. \tag{3.1.34}
$$

• Relation entre les propagateurs des champs nu et renormalisé : cas libre

On introduit plusieurs propagateurs du champ libre dans l'espace des impulsions. Celui du champ nu, construit à partir des deux premiers termes du lagrangien éq. (3.1.15) est le transformé de Fourier de < 0 |T φ<sub>B</sub>(x) φ<sub>B</sub>(y)|0 > :

$$
G_B(p) = \frac{i}{p^2 - m_B^2 + i\epsilon}. \qquad (3.1.35)
$$

Il y a également le propagateur du champ renormalisé qui, lui, est donné par :

$$
G_R(p) = Z_3^{-1} G_B(p), \tag{3.1.36}
$$

puisque $\phi_R(x) = Z_3^{-1/2} \phi_B(x)$ d'après la première des éqs. (3.1.16). Ce propagateur s'écrit donc
simplement :

$$
\begin{align}
G_R(p) &= \frac{i Z_3^{-1}}{p^2 - m_B^2 + i\epsilon} \tag{3.1.37} \\
&= \frac{i Z_3^{-1}}{p^2 - (Z_0/Z_3)m_R^2 + i\epsilon} \nonumber
\end{align}
$$

où on a introduit le paramètre $m_R$ d'après les éqs. (3.1.16, 3.1.17). Finalement il vient :

$$
G_R(p) = \frac{i (1 - \delta Z_3)}{p^2 - m_R^2 (1 + \delta Z_0 - \delta Z_3) + i\epsilon}, \quad (3.1.38)
$$

Le facteur $(1-\delta Z_3)$ au numérateur relie la normalisation du champ renormalisé à celle du champ nu.
Comparant avec l'éq. (3.1.37) on voit que la combinaison $m_R^2(1+\delta Z_0 - \delta Z_3)$, pôle du propagateur du
champ renormalisé, est indépendant du schéma de renormalisation, en d'autres termes la procédure
de renormalisation n'affecte pas la position du pôle du propagateur renormalisé. Finalement, on
introduit le propagateur obtenu à partir des deux premiers termes de la densité lagrangienne $\mathcal{L}_R$
de l'éq. (3.1.21) :

$$
G(p) = \frac{i}{p^2 - m_R^2 + i\epsilon}. \qquad (3.1.39)
$$

C'est le propagateur libre du lagrangien $\mathcal{L}_R$: pour être cohérent avec le lagrangian initial $\mathcal{L}$ il doit
toujours être utilisé en association avec les contre-termes correspondants. C'est un intermédiaire
de calcul qui servira à construire le propagateur renormalisé de la théorie en interaction, comme on va maintenant le voir.

• Propagateur du champ en interaction

On construit maintenant le propagateur du champ en interaction dans l'approximation à une boucle. Pour cela on part du lagrangien sous la forme éq. (3.1.20), $\mathcal{L}_R + \delta\mathcal{L}$. A l'ordre le plus bas on a le terme (3.1.39) auquel il faudra ajouter la correction à une boucle et l'insertion des contre-termes de $\delta\mathcal{L}$ associés à la fonction à 2-points. On doit donc inclure les diagrammes de la fig. 3.3, où

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 3.3 – Le propagateur à une boucle en terme des quantités renormalisées.</figcaption></figure>

$\Pi^{\text{boucle}}(p^2, m_R^2)$, d'ordre $O(\lambda_R)$, est la contribution de la boucle en général divergente. Le premier terme est le propagateur obtenu à partir de $\mathcal{L}_R$, éq. (3.1.21), soit,

$$G(p) = \frac{i}{p^2 - m_R^2 + i\epsilon}. \qquad (3.1.40)$$

Incluant tous les termes de la figure, le résultat à une boucle s'écrit :

$$G^{(1)}(p) = \frac{i}{p^2 - m_R^2 + i\epsilon} + \frac{i}{p^2 - m_R^2 + i\epsilon} (-i \Pi^{\text{boucle}}(p^2, m_R^2) + i p^2 \delta Z_3 - i m_R^2 \delta Z_0) \frac{i}{p^2 - m_R^2 + i\epsilon} \qquad (3.1.41)$$

Dénotant la totalité des termes d'ordre supérieur par :

$$\Pi(p^2, m_R^2) = \Pi^{\text{boucle}}(p^2, m_R^2) - p^2 \delta Z_3 + m_R^2 \delta Z_0 \qquad (3.1.42)$$

le propagateur prend la forme :

$$\begin{align}
G^{(1)}(p) &= \frac{i}{p^2 - m_R^2 + i\epsilon} \left[ 1 + \frac{\Pi(p^2, m_R^2)}{p^2 - m_R^2 + i\epsilon} \right] \nonumber \\
&= \frac{i}{p^2 - m_R^2 - \Pi(p^2, m_R^2) + i\epsilon} + \mathcal{O}(\lambda_R^2) \tag{3.1.43}
\end{align}$$

où on n'a gardé que les termes d'ordre $\lambda_R$ (la dernière ligne revient en fait à sommer l'insertion $\Pi(p^2, m_R^2)$ à tous les ordres de la théorie des perturbations). Afin d'étudier le comportement du propagateur près du pôle il est traditionnel de faire le développement :

$$\Pi^{\text{boucle}}(p^2, m_R^2) = \Pi^{\text{boucle}}(m_R^2, m_R^2) + (p^2 - m_R^2) \frac{d\Pi^{\text{boucle}}}{dp^2} \Big|_{m_R^2} \qquad (3.1.44)$$
de telle sorte que le propagateur devient :

$$
\begin{align}
G^{(1)}(p) &= \frac{i}{(p^2 - m_R^2)(1 - d\Pi^{\text{boucle}}/dp^2|_{m_R^2} + \delta Z_3) - \Pi^{\text{boucle}}(m_R^2, m_R^2) - m_R^2(\delta Z_0 - \delta Z_3) + i\epsilon} + \mathcal{O}(\lambda_R^2) \nonumber \\
&= \frac{i}{[p^2 - m_R^2 - \Pi^{\text{boucle}}(m_R^2, m_R^2) - m_R^2(\delta Z_0 - \delta Z_3)] [1 + \delta Z_3 - d\Pi^{\text{boucle}}/dp^2|_{m_R^2}] + i\epsilon} + \mathcal{O}(\lambda_R^2) \tag{3.1.45}
\end{align}
$$

Les équations ci-dessus sont équivalentes au sens perturbatif car elles diffèrent par des termes d'ordre supérieur à celui auquel on a mené le calcul. Finalement, le propagateur renormalisé incluant les corrections à une boucle prend la forme :

$$
G^{(1)}(p) = i \frac{1 - \delta Z_3 + d\Pi^{\text{boucle}}/dp^2|_{m_R^2}}{p^2 - m_R^2(1 + \delta Z_0 - \delta Z_3) - \Pi^{\text{boucle}}(m_R^2, m_R^2) + i\epsilon} + \mathcal{O}(\lambda_R^2). \quad (3.1.46)
$$

On remarque qu'après ce raisonnement standard mais un peu lourd on retrouve la structure en contre-
termes dérivée très simplement en (3.1.38). En général, les corrections à une boucle $\Pi^{\text{boucle}}(m_R^2, m_R^2)$
et $d\Pi^{\text{boucle}}/dp^2|_{m_R^2}$ ont une divergence ultraviolette qui sera éliminée par un choix approprié des
contres-termes $^5$. Un choix de schéma de renormalisation possible est par exemple (schéma physique
ou sur-couche ou on-shell),

$$
\begin{align}
\delta Z_3 &= \left. \frac{d\Pi^{\text{boucle}}}{dp^2} \right|_{m_R^2} \nonumber \\
\delta Z_0 &:\quad m_R^2(1 + \delta Z_0 - \delta Z_3) + \Pi^{\text{boucle}}(m_R^2, m_R^2) = m_{\text{phys}}^2, \tag{3.1.47}
\end{align}
$$

de telle sorte que le propagateur, incluant les corrections, est

$$
G^{(1)}(p) = \frac{i}{p^2 - m_{\text{phys}}^2 + i\epsilon} . \qquad (3.1.48)
$$

Plus généralement, on peut choisir comme conditions de renormalisation :

$$
\begin{align}
& -\delta Z_3 + \left. \frac{d\Pi^{\text{boucle}}}{dp^2} \right|_{m_R^2} \sim \text{fini} \nonumber \\
& m_R^2 (1 + \delta Z_0 - \delta Z_3) + \Pi^{\text{boucle}} (m_R^2, m_R^2) \sim \text{fini}. \tag{3.1.49}
\end{align}
$$

On montrera explicitement plus bas que la combinaison :

$$
m_R^2 (1 + \delta Z_0 - \delta Z_3) + \Pi^{\text{boucle}} (m_R^2, m_R^2) \quad (3.1.50)
$$

ne dépend pas du schéma de renormalisation : c'est donc un invariant. Le pôle du propagateur qui définit la masse physique de la particule est donc bien indépendant du schéma.

<footnote n="5">5. Dans le modèle $\lambda\phi^4$ on verra que la fonction $\Pi^{\text{boucle}}(p^2, m_R^2)$, à une boucle, est indépendante de $p^2$, donc la dérivée par rapport à $p^2$ est nulle et la fonction d'onde n'est pas renormalisée puisque $\delta Z_3$ est alors égal à 0.</footnote>
### 3.1.4 Conséquence de la procédure de renormalisation : couplage mobile

Revenant à l'équation (3.1.11) on a le choix de définir la constante de couplage renormalisée à $q^2$ ou à $q'^2 = q^2 + \delta q^2$. La relation entre les deux couplages est :

$$ \lambda_R(q^2 + \delta q^2) = \lambda_R(q^2) + c \lambda_R^2(q^2) \ln\left(1 + \frac{\delta q^2}{q^2}\right) + \mathcal{O}(\lambda_R^3), $$

avec

$$ c = \frac{3}{2(4\pi)^2} \quad \text{en théorie } \lambda\phi^4, $$

soit

$$ \delta\lambda_R(q^2) = c \lambda_R^2(q^2) \frac{\delta q^2}{q^2} + \mathcal{O}(\lambda_R^3) \iff \frac{\delta\lambda_R}{\lambda_R^2} = c \frac{\delta q^2}{q^2} + \mathcal{O}(\lambda_R). $$

En intégrant on obtient :

$$ \lambda_R(q^2) = \frac{\lambda_R(q_0^2)}{1 - c \lambda_R(q_0^2) \ln(q^2/q_0^2)} + \mathcal{O}(\lambda_R^3). \qquad (3.1.51) $$

Ceci est la forme générique de la dépendance en l'échelle de masse du couplage renormalisé dans une théorie renormalisable. C'est ce que l'on appelle le "couplage mobile" (running coupling). Si on considère deux schémas de renormalisation, l'un où on normalise la théorie au point $q_0^2$ et l'autre au point $q^2$, alors les deux couplages $\lambda_R(q_0^2)$ et $\lambda_R(q^2)$ sont reliés par l'éq. (3.1.51) : cela garantit que les prédictions fondées sur ces deux schémas sont identiques. On revient sur ce point dans le chapitre suivant.

#### • Exemples

La figure ci-dessous illustre le cas des théories $\lambda\phi^4$ et QED où le couplage croît avec l'énergie, c'est-à-dire que la constante $c$ dans l'éq. (3.1.51) est positive. On peut noter l'existence d'un pôle dans le couplage mobile : le pôle de Landau. En QED la position du pôle est :

$$ \sqrt{q_{\text{Landau}}^2} \sim m_e 10^{280}. $$

L'échelle d'énergie correspondante peut être comparée à la masse baryonique de l'univers observable qui est estimée à :

$$ M_{\text{univers}} \sim m_e 10^{82}. $$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>
Le monde physique est heureusement loin du pôle de Landau ! En fait, dans le cadre de l'unification des interactions faible et electromagnétique, à une échelle d'énergie de l'ordre du TeV, le couplage de la théorie unifiée est caractéristique d'une théorie non abélienne et le couplage est asymptotiquement décroissant.

En revanche, le cas $c < 0$ s'applique à la théorie $\lambda\phi^3$ à six dimensions, à QCD et au modèle de Weinberg-Salam. Le couplage décroît quand l'énergie augmente et la théorie est dite "asymptotiquement libre" puisque le couplage s'annule quand $|q^2| \to \infty$.

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Si maintenant l'énergie décroît, le couplage augmente et pour QCD, par exemple, il devient $\simeq 1$ pour des masses de l'ordre du GeV : on entre dans la région du "confinement" où la théorie des perturbations n'est plus applicable.

### 3.1.5 Discussion

L'origine des divergences ultraviolettes est lié au fait que l'on suppose la théorie valable quelque soit l'échelle d'énergie considérée, en particulier quand $|q^2| \to \infty$. Par les relations d'incertitude de Heisenberg,

$$ \Delta E \Delta l \sim 0.2 \text{ GeV fm}, \qquad (3.1.52) $$

cela correspond à des distances infiniment petites. Ceci est à contraster avec la situation habituelle en physique où les lois ont un domaine de validité limité. Par exemple, pour

- la physique atomique : $\Delta E \sim 2 \text{ eV} \Leftrightarrow \Delta l \simeq 1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m}$

- la physique nucléaire : $\Delta E \sim 200 \text{ MeV} \Leftrightarrow \Delta l \simeq 1 \text{ fm} = 10^{-15} \text{ m}$

- physique des particules : $\Delta E \ge 20 \text{ GeV} \Leftrightarrow \Delta l \simeq 10^{-17} \text{ m}$.

Toute la connaissance de la physique nucléaire nécessaire à la physique atomique se résume à quelques constantes comme la masse et la charge du noyau. De même, la physique des particules utile à la physique nucléaire se réduit à la connaissance de la masse du proton, du neutron, du pion et du couplage $\pi NN$. Donc l'étude de la physique à une échelle donnée n'a pas besoin des détails de
la physique à une échelle de distance beaucoup plus petite : seule la valeur de quelques paramètres suffit. La procédure de renormalisation ramène le cas de la théorie des champs à une situation habituelle en physique puisque toutes les complications liées aux divergences ultraviolettes peuvent être éliminées par une re-définition de quelques paramètres tels que masse, couplage, normalisation de la fonction d'onde.

Avant de passer aux détails des calculs on peut faire la remarque suivante concernant le couplage mobile. Si dans le lagrangien, éq. (3.1.1) on avait choisi $m = 0$, il n'y aurait pas eu d'échelle de masse explicite dans la théorie puisque $\lambda$ est sans dimension. On aurait pu définir le couplage mobile et on aurait alors trouvé l'éq. (3.1.51) qui dépend explicitement d'une échelle de masse. Ceci peut paraître paradoxal mais c'est une conséquence de la procédure de renormalisation car, pour donner un sens à la théorie perturbative il a fallu d'abord la régulariser par l'introduction d'un cut-off ce qui a implicitement introduit une échelle de masse.

En résumé, la procédure de renormalisation se fait en deux étapes :

1. Régularisation de la théorie pour donner un sens mathématique aux divergences ultraviolettes (ou autres) ; la méthode moderne de régularisation dimensionnelle est présentée dans la section suivante.

2. Redéfinition des paramètres du modèle qui est la renormalisation proprement dite, pour obtenir une série perturbative à coefficients finis. Il y a beaucoup de redéfinitions possibles, c'est à dire de schémas de renormalisation, suivant les quantités finies que l'on absorbe avec les quantiés "infinies". Les expressions obtenues dépendent explicitement du schéma de renormalisation mais les prédicitions pour un observable physique ne doivent pas en dépendre. Cette contrainte fondamentale est exprimée par les équations du groupe de renormalisation que nous n'aborderons que de façon très simple dans ces notes (voir le chapitre 12).

## 3.2 Techniques de calcul des diagrammes en boucle.

Dans cette section nous décrivons toutes les techniques mises en œuvre pour évaluer n'importe quel diagramme en boucle en régularisation dimensionnelle 6 qui consiste à travailler dans un espace à $n$ dimensions,

$$n = 4 - 2\epsilon$$

de telle sorte qu'à la limite $\epsilon \to 0$ on se retrouve dans l'espace-temps à 4 dimensions qui est le cas qui nous intéresse. La métrique de l'espace à $n$-dimensions est définie par

$$g_{\mu\nu} = (1, \underbrace{-1, -1, \dots, -1}_{n-1 \text{ fois}}) \qquad (3.2.1)$$

de telle sorte de la norme

$$g_{\mu}^{\mu} = n = 4 - 2\epsilon, \qquad (3.2.2)$$

un résultat dont il faudra se rappeler lors du calcul des traces de diagrammes en QED et QCD. Il existe plusieurs autres méthodes de régularisation : cut-off, Pauli-Villars, ... Il est important de

<footnote n="6">6. C.G. Bollini, J.J. Giambiagi, Nuovo Cim. B12 (1972) 20; G. 't Hooft, M.J.G. Veltman, Nucl. Phys. B44 (1972) 189.</footnote>
choisir une procédure qui respecte les invariances de la théorie. Le cut-off utilisé précédemment brise l'invariance sous les translations, puisqu'il donne une borne sur l'intégration de l'impulsion interne. Pour QED et QCD, théories covariantes de Lorentz, ce choix n'est pas approprié pour les calculs perturbatifs<fnref n="7" /> et l'on préfère utiliser la régularisation dimensionnelle qui respecte l'invariance de la théorie sous les translations, ainsi que l'invariance de jauge.

On va être amené à considérer des diagrammes du type :

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

En $n$-dimensions l'intégrale correspondante est :

$$ \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{F(k)}{(k^2 - m^2 + i\epsilon)((k+p_1)^2 - m_1^2 + i\epsilon)((k+p_1+p_2)^2 - m_2^2 + i\epsilon)...} $$

$n$ étant choisi de façon à ce que l'intégrale soit convergente. Le numérateur $F(k)$ est un facteur qui prend en compte la structure des vertex et des propagateurs de la théorie considérée.

### 3.2.1 Paramétrage de Feynman.

Pour évaluer l'intégrale ci-dessus on introduit le "paramètre" de Feynman, $x$, qui permet de linéariser le dénominateur dans l'intégrand à l'aide de la formule suivante :

$$ \frac{1}{ab} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(ax + b(1 - x))^2}. \qquad (3.2.3) $$

Par dérivation successive par rapport à $a$ ou $b$ on prouve

$$ \frac{1}{a^p b^q} = \frac{\Gamma(p+q)}{\Gamma(p)\Gamma(q)} \int_0^1 dx \frac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{(ax+b(1-x))^{p+q}}, \quad \text{avec } \Gamma(p) = (p-1)! . \qquad (3.2.4) $$

Par récurence et usage de l'éq. (3.2.4) on prouve

$$ \frac{1}{abc} = \int_{0}^{1} 2ydy \int_{0}^{1} dx \frac{1}{(axy + b(1-x)y + c(1-y))^3}. \qquad (3.2.5) $$

<footnote n="7">7. C'est cependant le choix fait pour les "calculs sur réseau" qui permettent d'étudier le régime non-perturbatif de QCD.</footnote>
Exemples :

$$
\begin{align*}
& \int d^nk \frac{1}{(k^2 - m^2 + i\epsilon)((p_1 + k)^2 - m_1^2 + i\epsilon)} \\
&= \int d^nk \int_0^1 dx \frac{1}{[k^2 + 2x p_1 \cdot k + xp_1^2 - m_1^2x - m^2(1-x) + i\epsilon]^2} \\
&= \int d^nk \int_0^1 dx \frac{1}{[(k + xp_1)^2 + p_1^2x(1-x) - m_1^2x - m^2(1-x) + i\epsilon]^2} \\
&= \int dx \int d^nk \frac{1}{[k^2 - C + i\epsilon]^2} \tag{3.2.6}
\end{align*}
$$

Dans l'avant-dernière ligne on a ré-écrit le dénominateur de façon à faire disparaître les termes explicitement linéaires en $k$ en introduisant l'expression $(k + xp_1)^2$ et dans la dernière ligne on a fait le changement de variable $k+xp_1 \rightarrow k$ qui est justifié si l'intégrale est convergente et, finalement, on a permuté l'ordre d'intégration. Le terme $C$ est indépendant de $k$, mais dépend seulement de $x$, des masses et des invariants externes $p_i^2$ :

$$ C = m^2(1-x) + m_1^2 x - p_1^2 x(1-x) \quad (3.2.7) $$

Avec la même technique on peut écrire :

$$
\begin{align}
& \int d^nk \frac{1}{(k^2 - m^2 + i\epsilon)((p_1 + k)^2 - m_1^2 + i\epsilon)((p_1 + p_2 + k)^2 - m_2^2 + i\epsilon)} \nonumber \\
&= \int_0^1 dx \int_0^1 2ydy \int d^nk \frac{1}{[k^2 - C' + i\epsilon]^3} \tag{3.2.8}
\end{align}
$$

où on a fait le changement de variable $k + y(p_1 + xp_2) \rightarrow k$ et où $C'$ est la pas très lumineuse expression :

$$ C' = (m_1^2(1-x) + m_2^2 x)y + m^2(1-y) - p_2^2 x(1-x)y - (p_1 + xp_2)^2 y(1-y). \quad (3.2.9) $$

Remarques importantes :

Après translation sur le vecteur $k$ le dénominateur se ramène toujours à la forme $(k^2 - C + i\epsilon)^n$, où $C$ dépend des masses et des impulsions externes mais pas de $k$. On note :

— l'absence de dépendance angulaire au dénominateur facilite grandement l'évaluation de l'intégrale $\int d^nk$;

— la phase est toujours $+i\epsilon$ quelque soit le nombre de propagateurs que l'on combine. Ceci est crucial pour l'évaluation de l'intégrale.

On considère maintenant les intégrales scalaires de type :

$$ I_{r,m} = \int \frac{d^nk \ k^{2r}}{(2\pi)^n [k^2 - C + i\epsilon]^m}, \quad (3.2.10) $$

et on supposera toujours $n$ tel que l'intégrale soit convergente, $n < 2(m-r)$. On supposera de plus $C > 0$, le passage éventuel à $C < 0$ se fera sur la forme intégrée.
### 3.2.2 Rotation de Wick.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

On peut écrire

$$I_{r,m} = \int \frac{d^{n-1}k}{(2\pi)^n} \int_{-\infty}^{\infty} dk_0 \frac{k^{2r}}{[k_0^2 - C - \vec{k}^2 + i\epsilon]^m}$$

Dans le plan $k^0$ complexe, l'intégrand a des pôles multiples :

$$k_0 = \pm ((\vec{k}^2 + C)^{\frac{1}{2}} - i\epsilon)$$

Au lieu d'intégrer le long de l'axe réel on peut déformer le contour de façon à inclure les quarts de cercle à l'infini (qui ne contribuent pas puisque l'intégrand est suffisamment convergent à l'∞) et l'axe imaginaire. Comme la déformation du contour ne rencontre pas de singularités, l'intégrale $\int_{-\infty}^{\infty} dk_0$ se réduit à une intégrale le long de l'axe imaginaire (c.f. le théorème de Cauchy). On peut donc écrire

$$k^0 = i\omega \quad \text{avec} \quad \int_{-\infty}^{\infty} dk^0 \rightarrow i \int_{-\infty}^{\infty} d\omega$$

et $k^2 = -\omega^2 - \vec{k}^2 = -\bar{k}^2$ où $\bar{k} = (\omega, \vec{k})$ est un vecteur euclidien (métrique euclidienne). On a alors

$$I_{r,m} = i(-)^{r-m} \int \frac{d^n \bar{k}}{(2\pi)^n} \frac{\bar{k}^{2r}}{[\bar{k}^2 + C - i\epsilon]^m}$$

Dans la suite, pour alléger l'écriture, on omettra souvent le terme $+i\epsilon$, ce qui est justifié si C est supposé positif. Dans le cas contraire le facteur $+i\epsilon$ pourra facilement être rétabli.

### 3.2.3 Intégrales en régularisation dimensionnelle.

On paramètre le vecteur $\bar{k}$ à l'aide d'une généralisation des angles d'Euler,

$$\bar{k} = k(\cos \theta_1, \sin \theta_1 \cos \theta_2, \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos \theta_3, \dots, \sin \theta_1 \dots \sin \theta_{n-1}) \quad (3.2.11)$$

$$\int d^n \bar{k} = \int k^{n-1} dk \, d\Omega_{n-1} \quad (3.2.12)$$
où $k^{n-1}dk$ est l'intégrale sur la longueur du vecteur et où $d\Omega_{n-1}$ est l'élément d'angle solide dans un espace à $n$ dimensions. On peut faire l'intégrale angulaire aisément puisque l'intégrand ne dépend que de la longueur $k$.

$$ \int d\Omega_{n-1} = \int_{0}^{\pi} (\sin \theta_1)^{n-2} d\theta_1 \dots \int_{0}^{2\pi} d\theta_{n-1} \qquad (3.2.13) $$

Usant de

$$ \int_{0}^{\pi} \sin \theta^{m} d\theta = \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2})}{\Gamma(\frac{m+2}{2})}, \qquad (3.2.14) $$

on trouve

$$ \int d\Omega_{n-1} = 2 \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}. \qquad (3.2.15) $$

L'intégrale $\int dk$ se fait à l'aide de la formule suivante (voir une bonne table d'intégrales, russe de préférence)

$$ \int_0^\infty dx \frac{x^p}{(x^n + a^n)^q} = \pi(-1)^{q-1} a^{p+1-nq} \frac{\Gamma((p+1)/n)}{n \sin(\pi \frac{p+1}{n}) \Gamma(q) \Gamma(\frac{p+1}{n} - q + 1)}. $$

Rassemblant tout on trouve finalement

$$ I_{r,m} = \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{k^{2r}}{[k^2 - C + i\epsilon]^m} = i (C - i\epsilon)^{r-m+\frac{n}{2}} \frac{(-1)^{r-m}}{(4\pi)^{\frac{n}{2}}} \frac{\Gamma(r+\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})} \frac{\Gamma(m-r-\frac{n}{2})}{\Gamma(m)} \quad (3.2.16) $$

Remarque : La représentation intégrale de $I_{r,m}$ n'est pas définie pour $m - r - \frac{n}{2} < 0$ car l'intégrand ne s'annule pas assez vite quand $k \to \infty$. La forme intégrée de $I_{r,m}$ est définie pour toute valeur de $n$ telles que

$$ m - r - \frac{n}{2} \neq 0, -1, -2, \dots $$

puisque la fonction $\Gamma(z)$ (ici $\Gamma(m - r - \frac{n}{2})$) est définie $\forall z \neq 0, -1, -2, \dots$.

• La fonction $\Gamma(z)$

La fonction $\Gamma(z)$ de Euler est une généralisation à une variable complexe de la factorielle $\Gamma(n) = (n - 1)!$. Elle admet la représentation intégrale :

$$ \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} dt \, t^{z-1} e^{-t} , \quad \text{Re } z > 0. \qquad (3.2.17) $$

On peut facilement démontrer la relation de récurrence :

$$ \Gamma(z) = \frac{\Gamma(z+1)}{z}, \qquad (3.2.18) $$

qui permet la continuation analytique de $\Gamma(z)$ définie par l'éq. (3.2.17) dans tout le plan complexe sauf aux valeurs $z = 0, -1, -2, \dots$ qui sont des poles simples (voir la figure). On a les relations utiles :

$$ \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin \pi z} \qquad (3.2.19) $$
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 3.4 – Représentation de la fonction $\Gamma(z)$ pour $z$ réel.</figcaption></figure>

$$ \Gamma(1 + \varepsilon) = 1 - \gamma\varepsilon + \left(\gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}\right) \frac{\varepsilon^2}{2!} + \dots, \quad \varepsilon \to 0 \qquad (3.2.20) $$

où $\gamma$ = constante d'Euler.

• **Intégrales tensorielles**

On peut facilement prouver, en exercice, les intégrales suivantes qui seront très utiles dans le calcul des boucles :

$$ \begin{gathered} \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{k^\mu}{(k^2 - C + i\epsilon)^m} = 0, \\ \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{k^\mu k^\nu k^\zeta}{(k^2 - C + i\epsilon)^m} = 0 \end{gathered} \qquad (3.2.21) $$

qui s'évaluent par intégration symétrique - faire $k \to -k$ dans l'intégrand. En revanche les intégrales avec un nombre pair de $k_\mu$ au numérateur ne sont pas nulles. Par exemple :

$$ \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{k^\mu k^\nu}{(k^2 - C + i\epsilon)^m} = \frac{g^{\mu\nu}}{n} \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{k^2}{(k^2 - C)^m} \qquad (3.2.22) $$

est proportionnelle à $g^{\mu\nu}$ qui est le seul tenseur à notre disposition et le coefficient de proportionnalité s'obtient facilement en considérant la trace.

On utilise d'habitude la notation : $n = 4 - 2\varepsilon \Leftrightarrow \varepsilon = 2 - \frac{n}{2}$, qui permet d'écrire l'éq. (3.2.16) sous la forme très utile

$$ I_{r,m} = \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{k^{2r}}{[k^2 - C + i\epsilon]^m} = i \frac{(-1)^{r-m}}{(4\pi)^2} \left(\frac{4\pi}{C - i\epsilon}\right)^{\varepsilon} C^{2+r-m} \frac{\Gamma(2+r-\varepsilon)}{\Gamma(2-\varepsilon)} \frac{\Gamma(m-r-2+\varepsilon)}{\Gamma(m)}. \qquad (3.2.23) $$
La divergence ultraviolette est contenue dans le facteur $\Gamma(m - r - 2 + \epsilon)$ qui a un pôle en $\epsilon$ si $m - r - 2 \le 0$. En pratique on développera de telles expressions en $\epsilon$ jusqu'aux termes d'ordre 0, par exemple

$$ \left( \frac{4\pi}{C - i\epsilon} \right)^{\epsilon} \Gamma(\epsilon) = \frac{1}{\epsilon} + \ln(4\pi) - \gamma - \ln(C - i\epsilon) + \mathcal{O}(\epsilon), \qquad (3.2.24) $$

et $i\epsilon$ dans le terme logarithmique indique la prescription pour définir ce terme quand $C$ est négatif :

$$ \ln(C - i\epsilon) = \ln|C| - i\pi \theta(-C). \qquad (3.2.25) $$

### • Applications

On aura souvent besoin de :

$$ I_{0,2} = \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{1}{(k^2 - C + i\epsilon)^2} = \frac{i}{(4\pi)^2} \left( \frac{4\pi}{C - i\epsilon} \right)^{\epsilon} \Gamma(\epsilon) = \frac{i}{(4\pi)^2} \left( \frac{4\pi}{C - i\epsilon} \right)^{\epsilon} \frac{\Gamma(1 + \epsilon)}{\epsilon} \qquad (3.2.26) $$

Le pôle en $\epsilon$ est la manifestation d'une divergence ultraviolette. En effet on remarque que cette intégrale n'est pas définie en 4 dimensions puisque :

$$ \int \frac{d^4 k}{k^4} \sim \int \frac{d\bar{k}}{\bar{k}}, \quad k \to \infty, $$

diverge logarithmiquement. Il faudra aussi calculer dans la suite :

$$ I_{1,2} = \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{k^2}{(k^2 - C)^2} \qquad (3.2.27) $$

qui diverge quadratiquement en 4 dimensions. En régularisation dimensionelle on trouve :

$$ I_{1,2} = \frac{i}{(4\pi)^2} \left( \frac{4\pi}{C - i\epsilon} \right)^{\epsilon} \frac{(2-\epsilon)}{(1-\epsilon)} \frac{1}{\epsilon} \Gamma(1+\epsilon) C \qquad (3.2.28) $$

qui converge avec un pôle simple à $\epsilon = 0$, le pôle à $\epsilon = 1$ étant la marque de la divergence quadratique.

### • Intégrales sur la variable de Feynman

Une fois l'intégrale sur la boucle effectuée et les divergences ultraviolettes extraites il reste à évaluer les intégrales sur le(s) paramètre(s) de Feynman, ce qu'il n'est pas toujours possible de faire de façon simple. Cependant dans le cas d'une théorie sans masse, les expressions se simplifient et le facteur $C^{-\epsilon}$ dans l'éq. (3.2.23) conduit à évaluer des expressions de la forme, par exemple, :

$$ \int_{0}^{1} dx x^{a-\epsilon} (1-x)^{b-\epsilon} = \frac{\Gamma(a+1-\epsilon) \Gamma(b+1-\epsilon)}{\Gamma(a+b+2-2\epsilon)}. \qquad (3.2.29) $$

Il peut arriver que $a$ ou $b$ soient des entiers négatifs ce qui implique que l'intégrale est divergente dans la limite à 4 dimensions. Un tel comportement est associé à la présence de divergences infrarouges ou colinéaires. On en verra un exemple en QED dans la discussion de la self-énergie et de la correction au vertex.
### 3.2.4 Analyse dimensionnelle

Comme il est de coutume en physique des particules on travaille dans le système d’unités où $\hbar = c = 1$ de telle sorte que énergie $E$, impulsion $p$ et masse $m$ ont toutes la même dimension exprimée en unité de masse, $[E] = [p] = [m] = 1$, où le symbole $[$] dénote la dimension de la quantité entre crochets. Par la relation de Heisenberg on voit qu’une longueur $L$ a une dimension inverse de celle d’une impulsion, d’où $[L] = -1$.

On rappelle que l’action est une quantité sans dimension qui s’écrit en $n$ dimensions :

$$S = \int d^n x \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi, \lambda).$$

Les paramètres (champs, couplage) voient donc leur dimension, exprimée en unité de masse, affectée lorsque l’on passe de $\int d^4 x$ à $\int d^n x$. Pour la théorie scalaire éq. (3.1.1) on a, utilisant $[S] = 0$, $[d^n x] = -n$,

$$ 
\begin{aligned}
0 = -n + 2 + 2[\phi] &\Rightarrow [\phi] = \frac{n-2}{2} = 1 - \epsilon \quad \text{pour le terme cinétique} \\
0 = -n + [\lambda] + 4[\phi] &\Rightarrow [\lambda] = 4 - n = 2\epsilon \quad \text{pour le terme d'interaction.}
\end{aligned}
\qquad (3.2.30) $$

Dans la théorie $\lambda\phi^4$ regularisée on écrira alors le couplage $[\lambda\mu^{2\epsilon}]$ avec $\mu$ un paramètre de masse arbitraire.

Dans le cas de QED on obtient de façon évidente (voir la densité lagrangienne éq. (4.0.6)),

$$ 
\begin{aligned}
[\bar{\psi}\partial_{\mu}\psi] &= n & \Rightarrow & [\psi] &= \frac{n-1}{2} & \text{au lieu de } \frac{3}{2} & \text{en un monde à 4 dimensions} \\
[\partial_{\mu}A_{\nu}\partial^{\mu}A^{\nu}] &= n & \Rightarrow & [A_{\mu}] &= \frac{n-2}{2} & \text{au lieu de 1 à 4 dimensions} \\
[e\bar{\psi}A\psi] &= n & \Rightarrow & [e] &= \frac{4-n}{2} = \epsilon & \text{au lieu de 0 à 4 dimensions} \\
[m\bar{\psi}\psi] &= n & \Rightarrow & [m] &= 1
\end{aligned}
\qquad (3.2.31) $$

Le résultat important est que la charge électrique (couplage) acquiert une dimension $\epsilon$. Dans la théorie régularisée à $n$-dimensions, la charge sera alors écrite

$$e\mu^{\epsilon}.$$

Il en sera de même pour le couplage fort $g \to g\mu^\epsilon$ en QCD.

### 3.2.5 Règles de Feynman pour QED

Les propagateurs, dans l'espace des impulsions, sont les transformées de Fourier :

$$P(p) = \int d^n x e^{-ip \cdot x} \langle 0 | T \phi(x) \phi(0) | 0 \rangle.$$

Donc

$$[P] = -n + 2[\phi] \quad , \quad \phi = A_{\mu}, \psi.$$

Se reportant aux relations (3.2.31) on remarque que la dimension des propagateurs n’est pas affectée quand on travaille en $n$ dimensions et on vérifie que le propagateur du fermion a dimension
avec $C_t = m_R^2 - tx(1-x) - i\epsilon$; le terme entre crochets représente la correction de la boucle par rapport au terme de Born. On voit l'importance du paramètre $\mu$ pour établir la dimension correcte des expressions en $n$ dimensions puisque la quantité $\mu/C_t$ est sans dimension, comme il se doit. Les deux autres diagrammes donnent une contribution similaire où $t$ dans le facteur $C_t$ est remplacé respectivement par $s = (p_1 + p_2)^2$ et $u = (p_1 - p_4)^2$. On a alors pour la contribution des boucles :

$$ 
\begin{aligned}
& i\lambda_R \mu^{2\epsilon} \left\{ \frac{\lambda_R}{2(4\pi)^2} \Gamma(\epsilon) \int_0^1 dx \left[ \left( \frac{4\pi\mu^2}{C_t} \right)^\epsilon + \left( \frac{4\pi\mu^2}{C_s} \right)^\epsilon + \left( \frac{4\pi\mu^2}{C_u} \right)^\epsilon \right] \right\} \\
& = i\lambda_R \mu^{2\epsilon} \left\{ \frac{3\lambda_R}{2(4\pi)^2} \frac{1}{\epsilon} + \frac{\lambda_R}{2(4\pi)^2} \left[ 3\ln(4\pi) - 3\gamma + \int_0^1 dx \left( \ln \frac{\mu^2}{C_t} + \ln \frac{\mu^2}{C_s} + \ln \frac{\mu^2}{C_u} \right) \right] \right\} \quad (3.3.34)
\end{aligned}
$$

où dans la dernière ligne on a fait un d'eveloppement de Taylor en $\epsilon$ (voir l'éq. (3.2.24)) pour séparer le terme "divergent" (en $1/\epsilon$) des facteurs "finis". Rassemblant, comme indiqué à la fig. 3.2, tous les termes nécessaires au calcul de la fonction à 4-points on a :

$$ -i\lambda_R \mu^{2\epsilon} \left\{ 1 - \frac{3\lambda_R}{2(4\pi)^2} \frac{1}{\epsilon} - \frac{\lambda_R}{2(4\pi)^2} \left[ 3\ln(4\pi) - 3\gamma + \int_0^1 dx \left( \ln \frac{\mu^2}{C_t} + \ln \frac{\mu^2}{C_s} + \ln \frac{\mu^2}{C_u} \right) \right] + \delta Z_1 \right\}. \quad (3.3.35) $$

Le choix du contre-terme :

$$ \delta Z_1 = \frac{3\lambda_R}{2(4\pi)^2} \frac{1}{\epsilon}, \quad (3.3.36) $$

éliminera la divergences ultra-violette et le résultat sera :

$$ -i\lambda_R \left\{ 1 - \frac{\lambda_R}{2(4\pi)^2} \left[ 3\ln(4\pi) - 3\gamma + \int_0^1 dx \left( \ln \frac{\mu^2}{C_t} + \ln \frac{\mu^2}{C_s} + \ln \frac{\mu^2}{C_u} \right) \right] \right\} \quad (3.3.37) $$

où l'on a fait $\epsilon = 0$ puisque l'expression n'a plus de divergence. L'expression sera finie quelque soit la valeurs de $s, t, u$. On prouvera plus bas que la dépendance en $\mu$ des termes finis est compensée par celle, implicite, du couplage renormalisé $\lambda_R = \lambda_R(\mu^2)$.

Si l'on se tourne maintenant vers l'étude du propagateur à une boucle, éq. (3.1.46), on doit calculer :

$$ 
\begin{aligned}
-i \Pi^{\text{boucle}}(p^2, m_R^2) &= -i \lambda_R \mu^{2\epsilon} \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{i}{k^2 - m_R^2 + i\epsilon} = i m_R^2 \frac{\lambda_R}{(4\pi)^2} \frac{\Gamma(\epsilon)}{1-\epsilon} \left(\frac{4\pi\mu^2}{m^2}\right)^\epsilon \\
&= i m_R^2 \frac{\lambda_R}{(4\pi)^2} \left[ \frac{1}{\epsilon} + \ln(4\pi) - \gamma + 1 + \ln \frac{\mu^2}{m^2} \right], \quad (3.3.38)
\end{aligned}
$$

indépendante de l'impulsion externe $p$. On a donc $d\Pi^{\text{boucle}}/d\,p^2 = 0$ et se reportant à l'éq. (3.1.46) on voit qu'il n'y a pas, à cet ordre du calcul, de renormalisation de la fonction d'onde : $\delta Z_3 = 0$. Quant au contre-terme de masse le choix :

$$ \delta Z_0 = \frac{\lambda_R}{(4\pi)^2} \frac{1}{\epsilon}, \quad (3.3.39) $$

compensera la divergence ultraviolette.

**Attention** : ne pas confondre $\epsilon$ de la régularisation dimensionnelle et $\epsilon$ de la prescription de Feynman dans les propagateurs!!!
# Chapitre 4

# Renormalisation de QED à une boucle

En jauge covariante le lagrangien QED, exprimé en fonction des quantités nues, est (éq. (2.5.78)) :

$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{B\mu\nu} F^{\mu\nu} + \bar{\psi}_B (i \not\partial + e_B A_B) \psi_B - m_B \bar{\psi}_B \psi_B - \frac{\lambda_B}{2} (\partial_\mu A_B^\mu)^2. \quad (4.0.1) $$

On introduit les champs, couplage et masse renormalisés et leur relation avec leur équivalent nu :

$$ A_B^\mu = Z_3^{1/2} A^\mu \qquad m_B = \frac{Z_0}{Z_2} m \qquad \lambda_B = \frac{1}{Z_3} \lambda \quad (4.0.2) $$

$$ \psi_B = Z_2^{1/2} \psi \qquad e_B = \frac{Z_1}{Z_2 Z_3^{1/2}} e \mu^\varepsilon. \quad (4.0.3) $$

On n'inclut pas de facteur de renormalisation spécifique pour le terme de fixation de jauge, car on peut montrer par des arguments généraux qu'il n'est pas renormalisé. Les notations et le choix des fonctions $Z_i$ sont conventionnels. En fonction de ces nouvelles variables la densité lagrangienne s'écrit :

$$ \mathcal{L} = -\frac{Z_3}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + Z_2 \bar{\psi} i \not\partial \psi + Z_1 e \mu^\varepsilon \bar{\psi} A \psi - Z_0 m \bar{\psi} \psi - \frac{\lambda}{2} (\partial_\mu A^\mu)^2. \quad (4.0.4) $$

que l'on décompose alors en

$$ \mathcal{L} = \mathcal{L}_R + \delta\mathcal{L} \quad (4.0.5) $$

avec

$$ \mathcal{L}_R = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \bar{\psi} (i \not\partial + e \mu^\varepsilon A) \psi - m \bar{\psi} \psi - \frac{\lambda}{2} (\partial_\mu A^\mu)^2, \quad (4.0.6) $$

qui a la même forme que la densité éq. (4.0.1) exprimé en fonction des quantités renormalisées, et

$$ \delta\mathcal{L} = -\frac{1}{4}(Z_3 - 1)F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + (Z_2 - 1)\bar{\psi}i\not\partial\psi + (Z_1 - 1)e\mu^\varepsilon\bar{\psi}A\psi - (Z_0 - 1)m\bar{\psi}\psi, \quad (4.0.7) $$

qui contient les "contre-termes". Le lagrangien renormalisé $\mathcal{L}_R$ donnent les règles de Feynman usuelles tandis que $\delta\mathcal{L}$ introduit de nouvelles règles associées aux contre-termes. Ceux-ci sont traités
comme des termes d'interaction, c'est-à-dire de façon perturbative, et on obtient les diagrammes suivants :

$$
\begin{array}{l@{\qquad}l@{\quad}l}
(Z_0 - 1)m\bar{\psi}\psi & \xrightarrow{\text{X}} & -im(Z_0 - 1) & \text{c.terme de masse} \\
(Z_2 - 1)\bar{\psi}i\partial\bar{\psi} & \xrightarrow{\text{L}} & i \not p(Z_2 - 1) & \text{c.terme de fn. d'onde} \\
& \xrightarrow{\text{R}} & & \\
(Z_1 - 1)e\mu^\epsilon\bar{\psi}A\psi & \xrightarrow{\text{L}} & -ie\mu^\epsilon\gamma_\alpha(Z_1 - 1) & \text{c.terme de couplage} \\
-\frac{1}{4}(Z_3 - 1)F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} & \xrightarrow{\text{R}} & i(q_\mu q_\nu - q^2 g_{\mu\nu})(Z_3 - 1) & \text{c.terme de fonction} \\
& & \text{d'onde du photon} & \\
& & & \hfill (4.0.8)
\end{array}
$$

Dans la suite, nous allons extraire les divergences des diagrammes à une boucle et définir les contre-
termes $\delta Z_i$ dans différents schémas de renormalisation. Pour simplifier on ne prendra en compte
qu'une espèce de leptons, l'électron par exemple.

4.1 Polarisation du vide : calcul de Z₃

On considère "la polarisation du vide" donnée par les diagrammes à 2 photons externes, à
l'ordre d'une boucle. On suppose les photons externes hors-couche $q^2 < 0$ :

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

On dénote $i\Pi_{\mu\nu}(q)$ ces contributions et on a donc,

$$
i\Pi_{\mu\nu}(q) = i\Pi_{\mu\nu}^{\text{boucle}}(q) + i(Z_3 - 1)(q_{\mu}q_{\nu} - q^2g_{\mu\nu}). \quad (4.1.9)
$$

L'application des règles de Feynman donne immédiatement :

$$
i\Pi_{\mu\nu}^{\text{boucle}}(q^2) = (-1)(-ie\mu^\epsilon)^2 \int \frac{d^n p}{(2\pi)^n} \frac{\text{Tr}(\gamma_\mu i(\not p + m) \gamma_\nu i(\not q - m))}{(p^2 - m^2 + i\epsilon)((p-q)^2 - m^2 + i\epsilon)}. \quad (4.1.10)
$$

Le facteur (-1) a son origine dans la règle de Feynman pour une boucle fermionique (voir sec. 2.6).

• Invariance de jauge

On prouve d'abord la relation $q^\nu \Pi_{\mu\nu}(q) = 0$. C'est évident pour le contre-terme. Pour la boucle il suffit d'écrire :

$$
i q^{\nu} \Pi_{\mu\nu}^{\text{boucle}}(q^2) = -(-ie\mu^{\epsilon})^2 \int \frac{d^n p}{(2\pi)^n} \text{Tr} \left[ \gamma_{\mu} \frac{i}{(p\!\!\!\!\slash - m + i\epsilon)} q \frac{i}{(p\!\!\!\!\slash - q - m + i\epsilon)} \right]. \quad (4.1.11)
$$
En ajoutant et retranchant $p-m$ à $q$ au numérateur puis en simplifiant avec les dénominateurs on trouve :

$$iq^{\nu}\Pi_{\mu\nu}^{\text{boucle}}(q^2) = -(-ie\mu^{\varepsilon})^2 \int \frac{d^n p}{(2\pi)^n} \text{Tr} \left[ \gamma_{\mu} \left( \frac{i}{(p-q-m+i\epsilon)} - \frac{i}{(p-m+i\epsilon)} \right) \right], \quad (4.1.12)$$

qui est nul comme on peut le voir en faisant le changement de variable $p-q \to p$ dans le premier terme (en $n$ dimensions les intégrales sont convergentes). En fait, la propriété $q^{\nu}\Pi_{\mu\nu}(q) = 0$ est une conséquence de la conservation du courant (voir sec. 2.5). On en conclut que $\Pi_{\mu\nu}^{\text{boucle}}$, dont la forme la plus générale est du type $a g^{\mu\nu} + b q^{\mu}q\nu$, est nécessairement de la forme :

$$\Pi_{\mu\nu}^{\text{boucle}}(q) = (q_{\mu}q_{\nu} - q^2g_{\mu\nu}) \Pi^{\text{boucle}}(q^2) \quad (4.1.13)$$

où $\Pi^{\text{boucle}}(q^2)$ est une fonction scalaire. Il suffira alors de calculer la trace,

$$\begin{aligned} \Pi_{\mu}^{\mu}(q^2)|^{\text{boucle}} &= q^2(1-n) \Pi^{\text{boucle}}(q^2) \\ &= (2\varepsilon - 3) q^2 \Pi^{\text{boucle}}(q^2). \end{aligned}$$

pour avoir la forme complète de $\Pi_{\mu\nu}(q) = (q_{\mu}q_{\nu} - q^2g_{\mu\nu})(\Pi^{\text{boucle}}(q^2) + \delta Z_3)$.

### Remarque

On s'attend, d'après l'éq. (4.1.10) à une divergence quadratique dans la boucle, $\int d^n p/p^2 \to \int p \, dp$ en 4-dimensions. Une simple analyse dimensionnelle montre que, à cause du terme $q^{\mu}q^{\nu}$ en facteur de $\Pi^{\text{boucle}}$, la divergence sera du type $q^2 \int d^n p/p^4 \to \int dp/p$ qui est logarithmique.

Prenant la trace de l'éq. (4.1.10), on a :

$$\Pi_{\mu}^{\mu}(q^2)|^{\text{boucle}} = i(e\mu^{\varepsilon})^2 \int \frac{d^n p}{(2\pi)^n} \frac{\text{Tr}(\gamma_{\mu} (p+m) \gamma^{\mu} (p-q+m))}{(p^2-m^2+i\epsilon)((p-q)^2-m^2+i\epsilon)}. \quad (4.1.14)$$

### • Paramétrage de Feynman

Suivant l'éq. (3.2.3), on écrit immédiatement

$$\frac{1}{p^2 - m^2 + i\epsilon} \frac{1}{(p-q)^2 - m^2 + i\epsilon} = \int_0^1 dx \frac{1}{(p'^2 + q^2x(1-x) - m^2 + i\epsilon)^2} \quad (4.1.15)$$

où on a fait la translation $p' = p - qx$.

### • Calcul de la trace en $n$-dimensions

$$\text{Tr}( ) = 8 \left( (2 - \varepsilon)m^2 - (1 - \varepsilon)(p'^2 - q^2x(1-x)) + p'q(2x - 1) \right)$$

On peut négliger le terme linéaire en $p'$ qui s'annule sous $\int d^n p'$ (voir éqs. (3.2.21)).
• Intégration

Rassemblant tout, on a (après avoir fait le changement $p' \to p$) :

$$
\begin{align}
(2\varepsilon - 3)q^2 \Pi^{\text{boucle}}(q^2) &= i(e\mu^\varepsilon)^2 \int_0^1 dx \int \frac{d^n p}{(2\pi)^n} \nonumber \\
&\qquad \frac{8[-(1-\varepsilon)p^2 + (2-\varepsilon)m^2 + (1-\varepsilon)q^2x(1-x)]}{[p^2 - (m^2 - q^2x(1-x)) + i\epsilon]^2} \tag{4.1.16} \\
&= -\frac{e^2}{(4\pi)^2} (4\pi)^\varepsilon \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} 8 \int_0^1 dx \left( \frac{\mu^2}{m^2 - q^2x(1-x) + i\epsilon} \right)^\varepsilon (3-2\varepsilon)q^2x(1-x) \nonumber
\end{align}
$$

après application des équations (3.2.26), (3.2.28). Combinant la contribution de la boucle et du
contre-terme on a, après simplification par $(3-2\varepsilon)q^2$ (définissant $\alpha = e^2/4\pi$)<fnref n="1" /> :

$$
\Pi(q^2) = \delta Z_3 + 2 \frac{\alpha}{\pi} \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} (4\pi)^{\varepsilon} \int_0^1 dx \, x(1-x) \left( \frac{\mu^2}{m^2 - q^2x(1-x) + i\varepsilon} \right)^{\varepsilon} . \quad (4.1.17)
$$

On peut, à ce point, développer l'intégrand en $\epsilon$ :

$$
(X)^{\epsilon} = 1 + \epsilon \ln(X) + \mathcal{O}(\epsilon^2)
$$

et :

$$
\frac{\Gamma(1 + \varepsilon)}{\varepsilon} (4\pi)^{\varepsilon} = \frac{1}{\varepsilon} + \ln 4\pi - \gamma + \mathcal{O}(\varepsilon^2)
$$

pour écrire :

$$
\Pi(q^2) = \delta Z_3 + \frac{1}{3} \left(\frac{1}{\epsilon} + \ln 4\pi - \gamma\right) \frac{\alpha}{\pi} - \frac{2\alpha}{\pi} \int_0^1 dx \, x(1-x) \ln \frac{m^2 - q^2x(1-x) + i\epsilon}{\mu^2} \quad (4.1.18)
$$

• Schémas de renormalisation

Le choix du contre-terme pour compenser la divergence en 1/ε définit le schéma de renormalisation :
— schéma *MS* : "minimal subtraction scheme" ('t Hooft, Veltman)

$$
\boxed{\delta Z_3^{MS} = -\frac{\alpha_{MS}}{3\pi\epsilon}} \Rightarrow \Pi^{MS}(q^2) = \frac{\alpha_{MS}}{3\pi}(\ln 4\pi - \gamma) - 2\frac{\alpha_{MS}}{\pi} \int_0^1 dx \, x(1-x) \ln \frac{m_{MS}^2 - q^2x(1-x)}{\mu^2} \quad (4.1.19)
$$

— schéma $\overline{MS}$ : "modified minimal subtraction scheme" (Buras, Bardeen, ...)

$$
\delta Z_3^{\overline{MS}} = - \frac{\alpha_{\overline{MS}}}{3\pi} \left( \frac{1}{\epsilon} + \ln 4\pi - \gamma \right) \tag{4.1.20}
$$

$$
\Rightarrow \Pi^{\overline{MS}}(q^2) = - \frac{2\alpha_{\overline{MS}}}{\pi} \int_0^1 dx x(1-x) \ln \frac{m_{\overline{MS}}^2 - q^2 x(1-x)}{\mu^2} \quad (4.1.21)
$$

Il permet de se débarasser d'inutiles facteurs ln 4π − γ dans les quantités renormalisées.

<footnote n="1">1. En écho à la remarque sur invariance de jauge et degré de divergence de la boucle, on voit comment elle est réalisée en pratique : dans l'éq. (4.1.16) le terme en $p^2$ au numérateur mène à une divergence quadratique dans l'intégration sur $p$ : cette divergence se manisfeste comme un pôle en $(1 - \varepsilon)$ qui est en fait annulé par le coefficient $(1 - \varepsilon)$.</footnote>
— schéma ON (= on-shell, schéma physique ou sur couche de masse) : c'est le schéma adopté dans la discussion de $\lambda\phi^4$. On soustrait le contre-terme à $q^2 = 0$ (condition "on shell") en imposant la contrainte

$$ \Pi^{ON}(q^2 = 0) = 0, \qquad (4.1.22) $$

d'où

$$ Z_3^{ON} - 1 = - \frac{\alpha_{ON}}{3\pi} \left( \frac{1}{\epsilon} + \ln 4\pi - \gamma \right) + \frac{\alpha_{ON}}{3\pi} \ln \frac{m_{ON}^2}{\mu^2} \qquad (4.1.23) $$

et donc

$$ \begin{aligned} \Pi^{ON}(q^2) &= -\frac{2\alpha_{ON}}{\pi} \int_0^1 dx \, x(1-x) \ln \frac{m_{ON}^2 - q^2 x(1-x)}{m_{ON}^2} \\ &\approx -\frac{\alpha_{ON}}{3\pi} \ln \frac{|q^2|}{m_{ON}^2} \quad \text{quand } q^2 \to \infty, \quad (-q^2 \gg m_{ON}^2) \end{aligned} \qquad (4.1.24) $$

Le schéma ON est dit physique car la fonction $\Pi^{ON}(q^2)$ ne dépend pas de la masse arbitraire $\mu$ introduite par le schéma de régularisation mais seulement des variables physiques du problème, $m^2$ et $q^2$. Ce genre de conditions est souvent utilisé en QED.

On voit que les différents schémas de renormalisation diffèrent par des termes constants.

### • Remarque

Pour alléger l'écriture nous n'avons pas gardé le facteur $i\epsilon$ qui accompagne le terme $C = m^2 - q^2x(1-x)$ dans les expressions ci-dessus. Ce terme peut être facilement rétabli si nécessaire en faisant $m^2 \to m^2 - i\epsilon$ et il devient important dans le cas où $C$ est négatif car il fixe la prescription pour définir les logarithmes d'argument négatif (voir éq. (3.2.25)) :

$$ \ln(m^2 - q^2x(1-x) - i\epsilon) = \ln|m^2 - q^2x(1-x)| - i\pi\theta(q^2x(1-x) - m^2). \qquad (4.1.25) $$

Dans ce cas, puisque $0 \le x \le 1$, l'expression $(m^2 - q^2x(1-x))$ ne devient négative que quand $q^2 > 4m^2$, c'est à dire au dessus du seuil de production d'une paire de fermions. On peut montrer que la partie imaginaire ainsi engendrée a une interprétation physique : ici elle est proportionnelle au taux de désintégration d'un photon virtuel en une paire de fermions<fnref n="2" />.

### 4.1.1 Conséquence et application

Le propagateur du photon est modifié par l'insertion de boucles et contre-termes. On peut calculer la série complète :

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

<footnote n="2">2. Voir la section 1 du chapitre 11 pour une discussion détaillée.</footnote>
On travaille en jauge de Landau. Pour simplifier la notation on introduit le tenseur

$$ \mathcal{P}_{\mu\nu}(q) = g_{\mu\nu} - \frac{q_{\mu}q_{\nu}}{q^2} \qquad (4.1.26) $$

qui satisfait

$$ \mathcal{P}_{\mu\mu'}(q) \mathcal{P}^{\mu'\nu}(q) = \mathcal{P}_{\mu}^{\nu}(q) \qquad (4.1.27) $$

de telle sorte que le propagateur prend la forme $-i \mathcal{P}_{\mu\nu}(q)/(q^2 + i\epsilon)$. Quant à l'insertion de la boucle et du contre-terme elle s'écrit

$$ -i q^2 (\delta Z_3 + \Pi^{\text{boucle}}(q^2)) \mathcal{P}_{\mu\nu}(q). $$

Le propagateur devient

$$ -\frac{i \mathcal{P}_{\mu\nu}(q)}{q^2 + i\epsilon} + \left( -\frac{i \mathcal{P}_{\mu\mu'}(q)}{q^2 + i\epsilon} \right) \left( -i q^2 (\delta Z_3 + \Pi^{\text{boucle}}(q^2)) \mathcal{P}^{\mu'\nu'}(q) \right) \left( -\frac{i \mathcal{P}_{\nu'\nu}(q)}{q^2 + i\epsilon} \right) + \dots \\ = -\frac{i \mathcal{P}_{\mu\nu}(q)}{q^2 + i\epsilon} \left( 1 - (\delta Z_3 + \Pi^{\text{boucle}}(q^2)) + \dots \right) \qquad (4.1.28) $$

$$ = -\frac{i \mathcal{P}_{\mu\nu}(q)}{q^2 + i\epsilon} \frac{1}{1 + \delta Z_3 + \Pi^{\text{boucle}}(q^2)} \qquad (4.1.29) $$

Dans la dernière expression on a "resommé" la série géométrique des insertions de boucles et contre-termes. Le propagateur du photon "complet" garde la même forme que le propagateur à l'ordre le plus bas (i.e. pôle en $1/(q^2 + i\epsilon)$) mais il est "renormalisé" par un facteur multiplicatif. Après renormalisation dans le schéma R, le propagateur du photon s'écrit simplement

$$ -\frac{i \mathcal{P}_{\mu\nu}(q)}{q^2 + i\epsilon} \frac{1}{1 + \Pi^R(q^2)} \qquad (4.1.30) $$

Le photon reste donc bien de masse nulle et l'invariance de jauge n'est pas brisée. Ceci est une conséquence de la forme éq. (4.1.13) de la polarisation du vide.

On considère maintenant un processus physique tel que la diffusion $e^-(p_1) + \mu^-(p_2) \rightarrow e^-(p_3) + \mu^-(p_4)$ par exemple. Prenant en compte les corrections au propagateur du photon les diagrammes à calculer sont donnés ci-dessous :

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

L'amplitude de diffusion s'obtient immédiatement et on trouve

$$ \mathcal{M} = \frac{e_R^2}{1 + \Pi^R(q^2)} \bar{u}_3 \gamma_\mu u_1 \frac{i}{q^2 + i\epsilon} \mathcal{P}^{\mu\nu} \bar{u}_4 \gamma_\nu u_2 = \frac{e_R^2}{1 + \Pi^R(q^2)} \bar{u}_3 \gamma_\mu u_1 \frac{i}{q^2 + i\epsilon} \bar{u}_4 \gamma^\mu u_2. \qquad (4.1.31) $$
La section efficace totale est, à haute énergie ($s = (p_1 + p_2)^2$), :

$$ \sigma = \frac{1}{2s} \int \frac{dp_3^3}{(2\pi)^3 2E_3} \frac{dp_4^3}{(2\pi)^3 2E_4} (2\pi)^4 \delta^4(p_1 + p_2 - p_3 - p_4) |\mathcal{M}|^2, \qquad (4.1.32) $$

d'où on tire la section efficace différentielle pour une diffusion à un angle $\theta$ ($q^2 = (p_1 - p_3)^2 = -(s/2)(1 - \cos\theta)$) (négligeant la masse des fermions) :

$$ \frac{d\sigma}{d\cos\theta} = \left( \frac{\alpha_R}{1 + \Pi^R(q^2)} \right)^2 \frac{\pi}{s} \frac{4 + (1 + \cos\theta)^2}{(1 - \cos\theta)^2}, \quad \text{où } \alpha_R = \frac{e_R^2}{4\pi}. \qquad (4.1.33) $$

On considère d'abord le schéma de renormalisation ON (physique). Ce schéma est défini par le choix $\Pi^{ON}(q^2 = 0) = 0$ (voir éq. (4.1.22)). Prenant la limite de la section efficace à petit angle, $\theta \to 0, q^2 \to 0$, on trouve :

$$ (1 - \cos\theta)^2 \frac{d\sigma}{d\cos\theta} \Big|_{\theta \to 0} = \alpha_{ON}^2 \frac{8\pi}{s}. $$

Le membre de gauche peut être mesuré expérimentalement ce qui fixe la valeur de la constante de couplage renormalisée dans le schéma ON. On trouve (valeur en 2016 du Particle Data Group) :

$$ \alpha_{ON} = \frac{1}{137,035999139(31)}, \qquad (4.1.34) $$

valeur que l'on dénote habituellement par $\alpha$. Il faut noter qu'en réalité la valeur de $\alpha$ n'est pas déterminée à l'aide de la diffusion $e+\mu$ mais dans des expériences de physique atomique. Si on avait effectué la renormalisation dans le schéma $\overline{MS}$ la relation entre la section efficace $e^-+\mu^- \to e^-+\mu^-$ et théorie aurait été :

$$ (1 - \cos\theta)^2 \frac{d\sigma}{d\cos\theta} \Big|_{\theta \to 0} = \left( \frac{\alpha_{\overline{MS}}(\mu^2)}{1 - (\alpha_{\overline{MS}}(\mu^2)/3\pi) \ln(m^2/\mu^2)} \right)^2 \frac{8\pi}{s}. \qquad (4.1.35) $$

ce qui permet de déterminer $\alpha_{\overline{MS}}(\mu^2)$ une fois la variable $\mu$ choisie. Bien que l'on ne l'ait pas mentionné explicitement, on voit que la charge renormalisée dans un schéma de type $\overline{MS}$ ou $MS$ est fonction de $\mu$ puisque le membre de gauche est indépendant de $\mu$. On va voir maintenant comment $\alpha_{\overline{MS}}(\mu^2)$ varie et on reviendra sur cette question de façon plus formelle en sec. 4.4.

**Remarque :** On n'a considéré qu'une partie des diagrammes à une boucle ce qui est, comme on le verra plus bas, justifié en QED car les autres diagrammes, bien qu'ils donnent des corrections finies, n'affectent pas la définition de la charge.

### • Invariance de la charge effective et variance de la charge renormalisée

Il est facile de prouver, en général, que la charge effective

$$ \overline{\alpha}_R(q^2, \alpha_R) = \alpha_R / (1 + \Pi^R(q^2)) \equiv \overline{\alpha}(q^2) \qquad (4.1.36) $$

est indépendante du choix du schéma de renormalisation où $e_R$ dénote le paramètre de charge renormalisée et $\alpha_R = e_R^2/4\pi$. On prouvera plus bas (éq. (4.3.95)) l'égalité $Z_1 = Z_2$ de telle sorte que la relation entre charge nue et charge renormalisée est pour QED (cf. l'éq. (4.0.3)) :

$$ e_R \mu^\epsilon = (Z_3^R)^{1/2} e_B = \left(1 + \frac{1}{2} \delta Z_3^R\right) e_B \quad \Rightarrow \quad \alpha_R \mu^{2\epsilon} = Z_3^R \alpha_B = \left(1 + \delta Z_3^R\right) \alpha_B. \qquad (4.1.37) $$
Eliminant $\alpha_B$, deux schémas $R_1$ et $R_2$ ont donc leur charges renormalisées reliés par :

$$ \alpha_{R_1} (1 + \delta Z_3^{R_2}) = \alpha_{R_2} (1 + \delta Z_3^{R_1}) \qquad (4.1.38) $$

qui décrit la renormalisation finie entre les deux schémas. Substituant cette équation dans la charge effective calculée dans le schéma $R_2$ on obtient :

$$ \begin{aligned} \frac{\alpha_{R_2}}{1 + \Pi^{R_2}(q^2)} &= \frac{\alpha_{R_1}(1 + \delta Z_3^{R_2})}{(1 + \delta Z_3^{R_1})(1 + \Pi^{R_2}(q^2))} \\ &= \frac{\alpha_{R_1}}{1 + \delta Z_3^{R_1} - \delta Z_3^{R_2} + \Pi^{R_2}(q^2)} + \mathcal{O}(\alpha^3). \end{aligned} \qquad (4.1.39) $$

Mais $\Pi^R$ est le reste fini de la combinaison $\delta Z_3^R + \Pi^{\text{boucle}}$, éq. (4.1.17), quand on a choisi le schéma :

$$ \Pi^{R_1} = \delta Z_3^{R_1} + \Pi^{\text{boucle}}, \qquad \Pi^{R_2} = \delta Z_3^{R_2} + \Pi^{\text{boucle}}, $$

d'où :

$$ \delta Z_3^{R_1} - \Pi^{R_1} = \delta Z_3^{R_2} - \Pi^{R_2}, \qquad (4.1.40) $$

ce qui, injecté dans l'éq. (4.1.39) prouve :

$$ \frac{\alpha_{R_2}}{1 + \Pi^{R_2}(q^2)} = \frac{\alpha_{R_1}}{1 + \Pi^{R_1}(q^2)} + \mathcal{O}(\alpha^3) \qquad (4.1.41) $$

On a donc bien démontré, dans l'approximation une boucle, que la charge effective est, au sens perturbatif, indépendante du shéma de renormalisation : en effet la différence entre deux prédicitions est d'un ordre supérieur à celui auquel on mène le calcul. Revenant à l'éq. (4.1.38) que l'on peut écrire :

$$ \alpha_{R_2} = \frac{\alpha_{R_1}}{1 + \delta Z_3^{R_1} - \delta Z_3^{R_2}} + \mathcal{O}(\alpha^3) \qquad (4.1.42) $$

et spécifiant $R_2 = \overline{MS}$ et $R_1 = ON$, on trouve à l'aide des équations (4.1.20) et (4.1.23) :

$$ \alpha_{\overline{MS}}(\mu^2) = \frac{\alpha_{ON}}{(1 + \delta Z_3^{ON} - \delta Z_3^{\overline{MS}})} + \mathcal{O}(\alpha^3) = \frac{\alpha_{ON}}{1 - \frac{\alpha_{ON}}{3\pi} \ln \frac{\mu^2}{m^2}} + \mathcal{O}(\alpha^3), \qquad (4.1.43) $$

ce qui donne la valeur de la charge renormalisée dans le schéma $\overline{MS}$ en fonction de celle dans le schéma $ON$. La charge renormalisée $\alpha_{\overline{MS}}(\mu^2)$ dépend de la variable non physique $\mu$, que l'on peut choisir à sa guise, et cette dépendance garantit que les prédicitions pour une quantité physique telle $\overline{\alpha}_{\overline{MS}}(q^2)$, sont indépendantes du choix de $\mu$.

### Application

On considère la réaction $e^+(p_1) + e^-(p_2) \rightarrow \mu^+(p_3) + \mu^-(p_4)$ à très haute énergie, $\sqrt{s} \sim 100$ à 200 GeV, au LEP. Dans l'approximation à une boucle et pour le schéma de renormalisation $R$, l'élément de matrice est

$$ \mathcal{M} = \frac{e_R^2}{1 + \Pi^R(s)} \bar{\nu}_1 \gamma_\mu u_2 \frac{i}{s} \bar{u}_4 \gamma^\mu v_3, \qquad (4.1.44) $$
$$= \frac{i}{\not{p} - m + i\epsilon} \frac{1}{1 - \Sigma(p) / (\not{p} - m + i\epsilon)},$$

après sommation de la série géométrique. Rappelant que si $a, b$ sont des matrices, alors $\frac{1}{ab} = \frac{1}{ba}$, et on a donc pour le propagateur complet

$$S_F(p) = \frac{i}{\not{p} - m - \Sigma(p) + i\epsilon}. \qquad (4.2.48)$$

## • Calcul de la boucle

On calcule $-i\Sigma^{\text{boucle}}(p)$ en jauge covariante,

$$-i\Sigma^{\text{boucle}}(p) = (-ie\mu^\epsilon)^2 \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \gamma_\mu \frac{i(\not{p} + \not{k} + m)}{(p+k)^2 - m^2 + i\epsilon} \gamma_\nu \frac{-i(g^{\mu\nu} - (1-\xi)k^\mu k^\nu / k^2)}{k^2 + i\epsilon} \quad (4.2.49)$$

où $\xi = 1$ pour la jauge de Feynman et $\xi = 0$ pour celle de Landau. L'application des méthodes habituelles (paramétrage de Feynman, contraction des indices $\mu$ dans $\gamma_\mu...\gamma_\mu$ par les éqs. (3.2.32)), translation $k + px = l$, donne

$$-i\Sigma^{\text{boucle}}(p) = -(e\mu^\epsilon)^2 \int_0^1 dx \int \frac{d^n l}{(2\pi)^n} \left[ \frac{(2(2-\epsilon)-(1-\xi))m - (2(1-\epsilon)(1-x)-(1-\xi)(1+x))\not{p}}{[l^2-C]^2} \right. \\ \left. -4 \frac{(1-\xi)(1-x)}{[l^2-C]^3} \left( \frac{l^2}{2(2-\epsilon)} + x^2 p^2 \right) \not{p} \right], \quad (4.2.50)$$

avec $C = m^2x - p^2x(1-x) - i\epsilon$. Etant donné la complexité des expressions nous allons traiter deux cas particuliers : cas massif en jauge de Feynman d'une part, et cas de masse nulle en jauge covariante d'autre part.

## • Renormalisation dans le cas massif en jauge de Feynman

Faisant le choix $\xi = 1$ dans l'éq. (4.2.50), on a seulement besoin de l'intégrale $I_{0,2}$ (éq.(3.2.26)) pour trouver la contribution de la boucle :

$$\Sigma^{\text{boucle}}(p) = \frac{\alpha}{2\pi} \frac{\Gamma(1+\epsilon)}{\epsilon} (4\pi)^\epsilon \int_0^1 dx \left[ \frac{m^2 x - p^2 x (1-x)}{\mu^2} \right]^{-\epsilon} \left( (2-\epsilon)m - (1-\epsilon)(1-x) \not{p} \right). \quad (4.2.51)$$

Pour étudier le comportement du propagateur (éq. (4.2.48)) près du pôle, qui doit correspondre à la masse physique du fermion, on développe la fonction $\Sigma^{\text{boucle}}(p)$ au voisinage de $p^2 = m^2$ ou de façon équivalente $\not{p} = m$ où $m$ est le paramètre de masse renormalisée. On définit donc les coefficients scalaires :

$$\begin{aligned} \Sigma_0 &= \Sigma^{\text{boucle}}(\not{p} = m) \\ \Sigma_1 &= \frac{d\Sigma^{\text{boucle}}}{dp}|_{\not{p}=m} \Leftrightarrow \gamma_\alpha \Sigma_1 = \frac{d\Sigma^{\text{boucle}}}{dp^\alpha}|_{\not{p}=m}, \end{aligned} \quad (4.2.52)$$

de sorte que la boucle de self-énergie peut s'écrire :

$$\Sigma^{\text{boucle}}(p) = \Sigma_0 + (\not{p} - m) \Sigma_1 + \dots$$
Le propagateur du fermion dans l'approximation à une boucle devient alors :

$$ 
\begin{aligned}
S_F(p) &= \frac{1}{(\not{p} - m)(1 + \delta Z_2 - \Sigma_1) - m(\delta Z_0 - \delta Z_2) - \Sigma_0 + i\epsilon} \\
&= \frac{1}{(\not{p} - m - \Sigma_0 - m(\delta Z_0 - \delta Z_2) + i\epsilon)(1 + \delta Z_2 - \Sigma_1)} + \mathcal{O}(\alpha^2).
\end{aligned} 
\quad (4.2.53) 
$$

A la suite de manipulations identiques à celles qui ont mené à l'éq. (3.1.46) on trouve :

$$ S_F(p) = \frac{1 - \delta Z_2 + \Sigma_1}{\not{p} - m - \Sigma_0 - m(\delta Z_0 - \delta Z_2) + i\epsilon} + \mathcal{O}(\alpha^2). \quad (4.2.54) $$

Les deux formes de l'équation sont identiques au sens perturbatif puisque les $\delta Z_i$ et les $\Sigma_i$ sont tous d'ordre $\alpha$. L'expression pour $\Sigma_0$ est facile à calculer et on trouve :

$$ 
\begin{aligned}
\Sigma_0 &= m \frac{\alpha}{2\pi} \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} \left(\frac{4\pi\mu^2}{m^2}\right)^{\varepsilon} \left(\frac{3}{2} + 2\varepsilon\right) \\
&= m \frac{3\alpha}{4\pi} \left(\frac{1}{\varepsilon} - \gamma + \ln(4\pi) + \ln\frac{\mu^2}{m^2} + \frac{4}{3}\right).
\end{aligned} 
\quad (4.2.55) 
$$

Quant au calcul de $\Sigma_1$, utilisant la relation $dF(p^2)/dp = 2 \not{p} dF(p^2)/dp^2$, on obtient après quelques manipulations :

$$ 
\begin{aligned}
\Sigma_1 &= \frac{\alpha}{2\pi} \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} (4\pi\mu^2)^{\varepsilon} \int_0^1 dx \left[ -(1-\varepsilon)(1-x)(m^2x^2)^{-\varepsilon} \right. \\
&\qquad \left. + 2m^2\varepsilon x(1-x)(m^2x^2)^{-\varepsilon-1}(1+(1-\varepsilon)x) \right] \\
&= \frac{\alpha}{2\pi} \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} \left(\frac{4\pi\mu^2}{m^2}\right)^{\varepsilon} \int_0^1 dx (1-x)x^{-2\varepsilon} \left[ -(1-\varepsilon)(1-2\varepsilon) + 2\varepsilon x^{-1} \right].
\end{aligned} 
\quad (4.2.56) 
$$

L'intégrale se fait trivialement à l'aide de l'éq. (3.2.29) et l'on voit que le deuxième terme présente un pôle en $\varepsilon$ (associé au comportement "divergent" quand $x \to 0$) qui sera indexé par le symbole "ir" pour le distinguer du pôle en $\varepsilon$ d'origine ultraviolette qui vient de l'intégrale sur l'impulsion de la boucle. On note que ce terme divergent dans l'infrarouge est proportionnel au facteur $\varepsilon$ qui "tue" la divergence ultraviolette de sorte qu'il n'y a pas de double pôle $1/\varepsilon \varepsilon_{ir}$, comme il se doit puisque ces deux divergences ont leur origine dans différentes régions de l'espace des impulsions. On trouve finalement :

$$ 
\begin{aligned}
\Sigma_1 &= \frac{\alpha}{2\pi} \Gamma(1+\varepsilon) \left(\frac{4\pi\mu^2}{m^2}\right)^{\varepsilon} \left[-\frac{1}{2\varepsilon} - \frac{1}{\varepsilon_{ir}} - 2\right] \\
&= -\frac{\alpha}{4\pi} \left[\left(\frac{1}{\varepsilon} - \gamma + \ln(4\pi)\right) + 2\left(\frac{1}{\varepsilon_{ir}} - \gamma + \ln(4\pi)\right) + 3\ln\frac{\mu^2}{m^2} + 4\right].
\end{aligned} 
\quad (4.2.57) 
$$

Les conditions de renormalisation seront choisies telles qu'il ne reste plus de divergences ultraviolettes (mais il peut rester des divergences infrarouges) :

$$ \delta Z_2 - \Sigma_1 \sim \text{fini dans l'ultraviolet} \quad (4.2.58) $$

$$ m(\delta Z_0 - \delta Z_2) + \Sigma_0 \sim \text{fini dans l'ultraviolet} \quad (4.2.59) $$
Nous avons maintenant tous les éléments pour définir différents schémas de renormalisation.

### Renormalisation ON

Pour le schéma ON, sur "couche de masse", on choisit les contre-termes de telle sorte que le propagateur garde, après les corrections à une boucle la même forme qu'à l'ordre le plus bas. Les contre-termes sont donc (voir éq. (4.2.54)) :

$$ \delta Z_2^{ON} = \Sigma_1 \qquad (4.2.60) $$

$$ m_{ON} (\delta Z_0^{ON} - \delta Z_2^{ON}) = -\Sigma_0, \qquad (4.2.61) $$

et ils sont obtenus facilement à partir des éqs. (4.2.55, 4.2.57), c'est à dire que toute la dépendance en les quantités non physiques (divergences ultraviolette et infrarouge, dépendance en $\mu$) est absorbée dans les contre-termes. Le propagateur de la théorie renormalisée est donc simplement :

$$ S_F^{ON} = \frac{i}{\not p - m_{ON} + i\epsilon} \qquad (4.2.62) $$

Comme le pôle du propagateur est par définition la masse physique de la particle, on a $m_{ON} = m_{phys}$.

### Renormalisation $\overline{MS}$

Dans ce cas, seules les divergences ultraviolettes et leur cortège de $\ln(4\pi) - \gamma$ sont absorbées sans les contre-termes ;

$$ \delta Z_0^{\overline{MS}} = -\frac{\alpha}{\pi} \left( \frac{1}{\epsilon} + \ln 4\pi - \gamma \right) $$

$$ \delta Z_2^{\overline{MS}} = -\frac{\alpha}{4\pi} \left( \frac{1}{\epsilon} + \ln 4\pi - \gamma \right), \qquad (4.2.63) $$

et le propagateur de l'électron prend une forme compliquée :

$$ S_F^{\overline{MS}} = i \frac{1 + \Sigma_1^{\overline{MS}}}{\not p - m_{\overline{MS}} - \Sigma_0^{\overline{MS}} + i\epsilon}, \qquad (4.2.64) $$

avec

$$ \Sigma_0^{\overline{MS}} = m \frac{3\alpha}{4\pi} \left( \ln \frac{\mu^2}{m^2} + \frac{4}{3} \right) \qquad (4.2.65) $$

et

$$ \Sigma_1^{\overline{MS}} = \frac{\alpha}{2\pi} \left[ -\left( \frac{1}{\epsilon_{ir}} - \gamma + \ln(4\pi) \right) - \frac{3}{2} \ln \frac{\mu^2}{m^2} - 2 \right]. \qquad (4.2.66) $$

### Invariance du pôle du propagateur, relation entre $m_{\overline{MS}}$ et $m_e$

Il est facile de montrer que le pôle du propagateur dans un shéma arbiraire est à la masse physique $m_{phys}$. On considère dans le dénominateur de l'éq. (4.2.54) l'expression $\Sigma_0 + m(\delta Z_0 - \delta Z_2)$. Après avoir choisi les contre-termes $\delta Z_0$ et $\delta Z_2$ dans le schéma $R_1$ on aura :

$$ \Sigma_0^{R_1} = \Sigma_0 + m_{R_1} (\delta Z_0^{R_1} - \delta Z_2^{R_1}), \qquad (4.2.67) $$
où $\Sigma_0^{R_1}$ est la partie finie de $\Sigma_0$ restant après soustraction des termes divergents. De même pour un schéma $R_2$ on aura :

$$ \Sigma_0^{R_2} = \Sigma_0 + m_{R_2}(\delta Z_0^{R_2} - \delta Z_2^{R_2}), \qquad (4.2.68) $$

d'où on tire, éliminant $\Sigma_0$ :

$$ m_{R_1}(\delta Z_0^{R_1} - \delta Z_2^{R_1}) - \Sigma_0^{R_1} = m_{R_2}(\delta Z_0^{R_2} - \delta Z_2^{R_2}) - \Sigma_0^{R_2}. \qquad (4.2.69) $$

Mais la relation,

$$ m_B = \frac{Z_0^{R_1}}{Z_2^{R_1}} m_{R_1} = \frac{Z_0^{R_2}}{Z_2^{R_2}} m_{R_2}, \qquad (4.2.70) $$

s'écrit perturbativement :

$$ m_{R_1} (1 + \delta Z_0^{R_1} - \delta Z_2^{R_1}) = m_{R_2} (1 + \delta Z_0^{R_2} - \delta Z_2^{R_2}). \qquad (4.2.71) $$

Combinant avec les équations précédentes il en ressort :

$$ m_{R_1} + \Sigma_0^{R_1} = m_{R_2} + \Sigma_0^{R_2}, \qquad (4.2.72) $$

ce qui démontre l'invariance du pôle du propagateur. Choisissant $R_1 = \overline{MS}$ et $R_2 = ON$ on a bien

$$ m_{ON} = m_{\text{phys}} = m_{\overline{MS}} + \Sigma_0^{\overline{MS}}. \qquad (4.2.73) $$

Le propagateur du fermion, dans le schéma $\overline{MS}$ s'écrit donc :

$$ S_F^{\overline{MS}} = i \frac{1 + \Sigma_1^{\overline{MS}}}{\not{p} - m_{\text{phys}} + i\epsilon} \qquad (4.2.74) $$

La relation entre les paramètres de masse dans les différents schémas est d'après les éqs. (4.2.73) et (4.2.65),

$$ m_{\text{phys}} = m_{\overline{MS}} \left( 1 + \frac{3\alpha}{4\pi} \left( \ln \frac{\mu^2}{m^2} + \frac{4}{3} \right) \right). \qquad (4.2.75) $$

Inversant cette équation on obtient :

$$ m_{\overline{MS}}(\mu) = m_{\text{phys}} \left( 1 - \frac{3\alpha}{4\pi} \left( \ln \frac{\mu^2}{m_{\text{phys}}^2} + \frac{4}{3} \right) \right) \qquad (4.2.76) $$

qui donne la dépendance explicite du paramètre de masse du schéma $\overline{MS}$ en la variable arbitraire $\mu$ de façon que la physique soit indépendante du choix de cette variable. Dans un schéma tel que $\overline{MS}$, il faut bien distinguer, le paramètre de masse renormalisée de la masse physique, observable.

### Renormalisation de la fonction d'onde de l'électron

Le facteur $1 + \Sigma_1^{\overline{MS}}$ qui apparaît au numérateur de l'éq. (4.2.74) renormalise la fonction d'onde de l'électron (le spineur de Dirac). En effet, on peut ré-écrire cette équation :

$$ S_F^{\overline{MS}} = i \frac{(\not{p} + m_{\text{phys}})(1 + \Sigma_1^{\overline{MS}})}{p^2 - m_{\text{phys}}^2 + i\epsilon}, \qquad (4.2.77) $$
mais comme on l'a montré en sec. 2.3, le numérateur n'est autre que la somme sur les états de polarisation $\alpha$ de la combinaison $u_{\alpha}(p)|_{\overline{MS}} \bar{u}_{\alpha}(p)|_{\overline{MS}}$, ce qui conduit à normaliser la fonction d'onde du fermion dans le schéma $\overline{MS}$ par la condition :

$$ \sum_{\alpha=1,2} u_{\alpha}(p)|_{\overline{MS}} \bar{u}_{\alpha}(p)|_{\overline{MS}} = (\not{p} + m_{\text{phys}})(1 + \Sigma_{1}^{\overline{MS}}), \qquad (4.2.78) $$

d'où,

$$ \begin{aligned} u_{\alpha}(p)|_{\overline{MS}} &= (1 + \frac{1}{2}\Sigma_{1}^{\overline{MS}}) u_{\alpha}(p) \\ v_{\alpha}(p)|_{\overline{MS}} &= (1 + \frac{1}{2}\Sigma_{1}^{\overline{MS}}) v_{\alpha}(p), \end{aligned} \qquad (4.2.79) $$

où les $u_{\alpha}(p), v_{\alpha}(p)$ sont les spineurs ordinaires, définis en sec. 2.2, normalisés par $u_{\alpha}(p)\bar{u}_{\alpha}(p) = (\not{p} + m_{\text{phys}})$ et $v_{\alpha}(p)\bar{v}_{\alpha}(p) = (\not{p} - m_{\text{phys}})$. Pour $\Sigma_{1}^{\overline{MS}}$ il est justifié d'utiliser sa valeur au pôle du propagateur $m_{\text{phys}}$ au lieu de $m_{\overline{MS}}$ et on a donc :

$$ \Sigma_{1}^{\overline{MS}} = \frac{\alpha}{2\pi} \left[ -\left( \frac{1}{\varepsilon_{\text{ir}}} - \gamma + \ln(4\pi) \right) - \frac{3}{2} \ln \frac{\mu^2}{m_{\text{phys}}^2} - 2 \right]. \qquad (4.2.80) $$

En résumé, lors du calcul à une boucle avec électrons externes il faudra inclure les corrections sur les pattes fermioniques externes comme indiqué sur le graphe ci-dessous :

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Pour prendre en compte ce type de contributions il suffira de remplacer dans les diagrammes à l'ordre le plus bas le spineur du fermion par le spineur renormalisé défini par les éqs. (4.2.79). Le propagateur et le spineur ainsi définis ne peuvent être des quantités physique car ils dépendent de quantités non-physiques : pôle en $1/\varepsilon_{\text{ir}}$, dépendance en $\mu$. On peut montrer, lors du calcul d'une quantité physique telle que section efficace ou taux de décroissance, que ces termes se compensent et le résultat est indépendant de la procédure de renormalisation.

En règle générale, pour un schéma de renormalisation arbitraire, on note que l'éq. (4.2.54) implique que les spineurs renormalisés soient modifiés de la façon suivante :

$$ \begin{aligned} u_{\alpha}(p) &\rightarrow (1 + \frac{1}{2}(-\delta Z_2 + \Sigma_1)) u_{\alpha}(p) \\ v_{\alpha}(p) &\rightarrow (1 + \frac{1}{2}(-\delta Z_2 + \Sigma_1)) v_{\alpha}(p), \end{aligned} \qquad (4.2.81) $$

mais, dans le schéma de renormalisation ON, les spineurs ne sont, par définition, pas modifiés.
### Divergence infrarouge

Nous avons vu que $\Sigma_1$ contient un pôle en $\varepsilon$ dont l'origine est le comportement de l'intégrand de l'éq. (4.2.56) quand $x \to 0$. On peut relier le comportement singulier de l'intégrale sur $x$ au comportement divergent de l'intégrale sur l'impulsion de la boucle de self-énergie quand le fermion externe est sur couche de masse $p^2 = m^2$. En effet si on calcule la fonction $\Sigma_1$ par l'éq. (4.2.52), avant intégration sur l'impulsion dans la boucle, elle contient un terme de la forme :

$$ 
\begin{align} 
\Sigma_1 &\sim \int d^m k \int_0^1 dx \frac{d}{dp} \left[ \frac{1}{((p+k)^2 - m^2)x + k^2(1-x))^2} \right]_{p^2=m^2} \nonumber \\
&\sim \int d^m k \int_0^1 dx \left[ \frac{m x}{(2 p \cdot k x + k^2)^3} + \dots \right] \nonumber \\
&\sim \int d^m k \left[ m \left( \frac{1}{2p \cdot k} \right)^2 \frac{1}{k^2} + \text{termes } \mathcal{O}(\frac{1}{k^3}) \right], \tag{4.2.82}
\end{align} 
$$

où le terme explicité vient de la borne inférieure de l'intégrale $x = 0$, qui fait apparaître le facteur $1/k^2$. Il est clair que l'intégrale sur $k$ divergerait logarithmiquement pour $k \to 0$ dans un espace à 4 dimensions mais conduit à un pôle en $\varepsilon$ en $n$ dimensions. Si le photon était massif, la masse du photon jouerait le rôle de régulateur de cette divergence logarithmique dans un espace à 4 dimensions. De même, si l'on était resté hors couche de masse le régulateur aurait été $(p^2 - m^2)$, et on aurait obtenu un $\ln(p^2 - m^2)$.

### Renormalisation dans le cas $m = 0$ en jauge covariante

Revenant à l'éq. (4.2.50), on a dans ce cas $\mathcal{C} = -p^2x(1-x) - i\epsilon$ et les intégrales sur l'impulsion $l$ de type $I_{0,2}$, $I_{0,3}$, $I_{1,3}$, de l'éq. (3.2.23), se font très facilement. On obtient :

$$ 
\begin{align} 
-i \Sigma^{\text{boucle}}(p) = -i \frac{e^2}{(4\pi)^2} \left(\frac{4\pi\mu^2}{-p^2}\right)^\varepsilon 2 \notag \\
\int_0^1 dx x^{-\varepsilon} (1-x)^{-\varepsilon} \left[ \Gamma(\varepsilon) - (1-\varepsilon)(1-x) + (1-\xi)x \right] \notag \\
- \Gamma(1+\varepsilon)(1-\xi)x \notag \\
\end{align} 
\tag{4.2.83} 
$$

qui exhibe une divergence ultraviolette dans le premier terme. Cette intégrale est facile à évaluer grâce à l'éq. (3.2.29) pour donner :

$$ 
\begin{align} 
-i \Sigma^{\text{boucle}}(p) &= i \xi \frac{e^2}{(4\pi)^2} \left(\frac{4\pi\mu^2}{-p^2}\right)^\varepsilon \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} (1+\varepsilon) \notag \\
&\quad + \mathcal{O}(\varepsilon) \tag{4.2.84} \\
&= -i \Sigma^{(1)}(p) \notag \\
&\quad + \mathcal{O}(\varepsilon) \notag 
\end{align} 
$$

où on a négligé un facteur $\Gamma(1-\varepsilon)^2/\Gamma(1-2\varepsilon)$ issu de l'intégrale sur $x$ qui ne contribue pas puisqu'il est d'ordre $1+\varepsilon^2$. A une boucle, le propagateur du fermion de masse nulle s'écrira donc en général :

$$ 
\begin{align} 
S_F(p) &= \frac{i}{p + i\epsilon} \left( 1 + i(\delta Z_2 - \Sigma^{(1)}(p)) \right) \notag \\
&= \frac{i}{p + i\epsilon} (1 - \delta Z_2 + \Sigma^{(1)}(p)) \tag{4.2.85} \\
\end{align} 
$$
Comme il n'y a pas de modification du dénominateur il n'y a pas de renormalisation de masse. Si on travaille en jauge de Landau $\xi = 0$, alors il n'est pas nécessaire d'introduire un contre-terme puisque $\Sigma^{\text{boucle}}(p) = 0$ et le propagateur du fermion à une boucle est $i/(\not{p} + i\epsilon)$ comme à l'ordre le plus bas. Dans le cas général, renormaliser sur couche de masse et obtenir la forme des spineurs est plus subtil car cela implique de prendre la limite $p^2 = 0$, ce qui est assez délicat. La procédure consiste à d'abord effectuer la renormalisation off-shell ($p^2 \neq 0$) et, ensuite à prendre la limite $p^2 \to 0$ de la théorie renormalisée. On écrira donc :

$$ -\delta Z_2 + \Sigma^{(1)}(p) = -\delta Z_2 - \xi \frac{e^2}{(4\pi)^2} \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} (4\pi)^{\varepsilon} \\ -\xi \frac{e^2}{(4\pi)^2} \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} (4\pi)^{\varepsilon} \left( \left( \frac{\mu^2}{-p^2} \right)^{\varepsilon} - 1 \right) - \xi \frac{e^2}{(4\pi)^2}, \quad (4.2.86) $$

où on a explicité la divergence ultraviolette :

$$ \Sigma_{UV} = -\xi \frac{e^2}{(4\pi)^2} \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} (4\pi)^{\varepsilon}. \quad (4.2.87) $$

Le contre-terme dans le schéma $\overline{MS}$ sera choisi pour compenser ce terme :

$$ \delta Z_2^{\overline{MS}} = -\xi \frac{e^2}{(4\pi)^2} (4\pi)^{\varepsilon} \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} = -\xi \frac{\alpha}{4\pi} \left( \frac{1}{\varepsilon} + \ln(4\pi) - \gamma \right). \quad (4.2.88) $$

Une fois l'expression renormalisée on peut faire, dans l'éq. (4.2.86), la continuation $\varepsilon < 0$ ce qui permet alors de prendre la limite $p^2 \to 0$ de telle sorte que $(\mu^2/(-p^2))^\varepsilon \to 0$. Le propagateur d'un fermion de masse nulle dans le schéma $\overline{MS}$ est donc :

$$ S_F^{\overline{MS}} = \frac{i}{\not{p} + i\varepsilon} \left[ 1 + \xi \frac{\alpha}{4\pi} \left( \frac{1}{\varepsilon_{\text{ir}}} + \ln(4\pi) - \gamma - 1 \right) \right]. \quad (4.2.89) $$

La notation $\varepsilon_{\text{ir}}$ au lieu de $\varepsilon$ rappelle l'origine de cette divergence qui n'est pas associée au comportement ultraviolet du diagramme en boucle mais plutôt à son comportement lorsque la virtualité du fermion tend vers 0.

### • Remarque

Nous allons conclure cette discussion par une remarque qui sera utile pour la section suivante. Si on considère les équations (4.1.18), (4.2.55) et (4.2.57) on remarque que la structure de la divergence ultraviolette, dans le schéma $\overline{MS}$, est la suivante :

$$ \text{boucle} \left( \begin{array}{c} \text{dépendante} \\ \text{des impulsions} \\ \text{externes} \end{array} \right) = K (4\pi)^{\varepsilon} \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} + \text{termes finis} \left( \begin{array}{c} \text{dépendants} \\ \text{des impulsions} \\ \text{externes} \end{array} \right) \quad (4.2.90) $$

et K est une constante qui ne dépend pas explicitement des impulsions externes. Cette structure est naturelle puisque la divergence étant liée au comportement de l'intégrand quand l'impulsion de la boucle tend vers l'infini, cette divergence est insensible à la valeur des impulsions externes finies. Si on s'intéresse uniquement au calcul des contre-termes (détermination de K) on peut faire un choix des impulsions qui simplifient le calcul. On va utiliser cette remarque pour simplifier le calcul de $Z_1$.
## 4.3 Correction au vertex : calcul de $Z_1$

Les diagrammes à considérer sont :

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

L'application des règles de Feynman pour le diagramme en boucle donne en jauge de Feynman :

$$ -ie\mu^\varepsilon \Lambda_\alpha^{\text{boucle}}(p; p') = (-ie\mu^\varepsilon)^3 \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \gamma_\rho i \frac{(p'+k+m)}{(p'+k)^2 - m^2 + i\epsilon} \gamma_\alpha i \frac{(p+k+m)}{(p+k)^2 - m^2 + i\epsilon} \gamma_\sigma \frac{-ig^{\rho\sigma}}{k^2 + i\epsilon} \quad (4.3.91) $$

### • Extraction de la singularité ultraviolette

D'après le commentaire autour de l'éq. (4.2.90), il suffira, pour déterminer la partie divergente, de choisir une cinématique particulière simple, par exemple

$$ q = 0 \Rightarrow p = p' $$

On peut alors écrire :

$$ \begin{aligned} \Lambda_{\alpha}(p; p) &= \Lambda_{\alpha}^{\text{boucle}}(p; p) + (Z_1 - 1)\gamma_{\alpha} \\ &= (Z_1 - 1)\gamma_{\alpha} - i(e\mu^{\varepsilon})^2 \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \gamma_{\rho} \frac{1}{p + k - m + i\epsilon} \gamma_{\alpha} \frac{1}{p + k - m + i\epsilon} \gamma^{\rho} \frac{1}{k^2 + i\epsilon}. \end{aligned} \quad (4.3.92) $$

On prouve facilement la relation :

$$ \frac{1}{p + k - m + i\epsilon} \gamma_{\alpha} \frac{1}{p + k - m + i\epsilon} = - \frac{d}{dp^{\alpha}} \frac{1}{p + k - m + i\epsilon}. \quad (4.3.93) $$

En effet :

$$ \text{— } \frac{d}{dp^{\alpha}}(p+k-m+i\epsilon) = \gamma_{\alpha}, $$

Si $a(p)$ est une matrice (ici $a(p) = p + k - m + i\epsilon$) alors

$$ \frac{d}{dp^{\alpha}}(a(p) a^{-1}(p)) = 0 $$

donc la dérivée de l'inverse est :

$$ \frac{d}{dp^{\alpha}} a^{-1}(p) = -a^{-1}(p) \left( \frac{da(p)}{dp^{\alpha}} \right) a^{-1}(p) $$

d'où l'équation (4.3.93).