# La réduction de modèle pour déformer en temps réel une structure à comportement non-linéaire

Jean-Luc Dulong, Frédéric Druesne, Pierre Villon

► To cite this version:

Jean-Luc Dulong, Frédéric Druesne, Pierre Villon. La réduction de modèle pour déformer en temps réel une structure à comportement non-linéaire. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812995

HAL Id: hal-01812995

https://hal.science/hal-01812995v1

Submitted on 12 Jun 2018

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC0 1.0 - Universal - International License
La réduction de modèle pour déformer en temps réel
une structure à comportement non-linéaire

J.L. Dulong, F. Druesne, P. Villon

Département de génie des Systèmes Mécaniques
Laboratoire Roberval - FRE UTC - CNRS n°2833
BP 20319

60206 Compiègne cedex

jean-luc.dulong@utc.fr, frederic.druesne@utc.fr, pierre.villon@utc.fr

RÉSUMÉ. Une approche de type réduction de modèle a été étudiée pour explorer la faisabilité de déformer en temps réel une structure mécanique à non linéarités géométrique et matérielle, dans un environnement virtuel 3D. Le modèle mécanique est quasi-statique, avec un matériau hyper-élastique en grandes déformations. L'approche est basée sur une campagne de pré-calculs par éléments finis sur laquelle nous appliquons la transformation de Karhunen-Loève. L'application sur une durit automobile en caoutchouc fournit des réductions de volume de données importantes pour une précision très satisfaisante sur les déplacements. La déformée de la structure est ici obtenue en temps réel en fonction du chargement appliqué sur cette structure.

ABSTRACT. An approach of model reduction is studied to explore the feasibility of real time deformation of a non linear mechanical structure (geometric and material), in a 3D virtual environment. The mechanical model is quasi-static, for a hyper-elastic material with large deformations. The approach is based on use the finite element pre-computed non-linear analyses, and on the use of the Karhunen-Loève expansion. The application on an automotive hose composed by rubber gives large reductions of data storage for a very satisfying accuracy for the displacements. Thus, the structure deformation is obtained in real time in function of the load applied on this structure.

MOTS-CLÉS : réduction de modèle, transformation de Karhunen-Loève, temps réel, modèle mécanique non linéaire.

KEYWORDS: model reduction, Karhunen-Loève expansion, real time, non linear mechanical model.
# 1 Introduction

Dans le souci d'optimiser la conception des structures, il est intéressant de manipuler en temps réel une structure virtuelle déformable dans sa phase de conception. Jusqu'alors, seules la chirurgie endoscopique (Picinbono et al., 2001) et l'industrie graphique pour l'animation vidéo (James et al., 2002) se sont sérieusement intéressées à déformer des objets en temps réel. Leurs modèles physiques sont extrêmement simplifiés et sont inadaptés aux calculs de structures dans l'industrie mécanique (Mikchevitch et al., 2003).

La réduction de modèle peut être une alternative pour résoudre un problème mécanique complexe en temps réel. L'objectif vise à garder la complexité mécanique initiale du modèle en stockant uniquement des données représentatives, ce qui permet de réduire le volume de stockage et le nombre de calculs à réaliser en temps réel.

Nous nous intéressons donc à la réduction d'un modèle mécanique complexe par une approche fondée sur l'exploitation d'une campagne de pré-calcul, puis cette méthodologie est appliquée à la manipulation d'une durit automobile.

# 2 Méthode de réduction de modèle de Karhunen-Loève

L'approche consiste à réaliser une campagne préliminaire de calculs par la méthode des Eléments Finis. La géométrie de la structure est décrite par N degrés de liberté, et la campagne est composée de S cas de charges, de solutions $u_s \in \mathbb{R}^N$ puis stockée dans une matrice $C$ ($N \times S$).

Pour réduire le volume de ces données, nous proposons d'utiliser la Transformation de Karhunen-Loève (Karhunen, 1946), (Lumley, 1970 ; Picard et al., 2000), (Ma et al., 1999), (Krysl et al., 2001).

Soit le sous-espace $H$ de dimension $m$ tel que $H \subset E$, avec $E=\mathbb{R}^N$, il est engendré par les vecteurs $\varphi_i$, pour $i = 1,...,m$ et passe par le point $P_0$. On définit $P_H$ le projecteur orthogonal sur le sous-espace $H$ par

$$P_H(u_s) = \sum_{i=1}^{m} \varphi_i (u_s^T \varphi_i) + P_0 \quad [1]$$

On cherche à minimiser les distances entre $u_s$ et leur projection $P_H(u_s)$,

$$J = \sum_{s=1}^{S} \|u_s - P_F(u_s)\|^2 \quad [2]$$
J est minimum si les vecteurs $\varphi_i$ sont les m premiers vecteurs propres de corrélation U des solutions centrées $\bar{u}_s$, avec $\Phi$ la matrice modale de $t$ème colonne $\varphi_i$.

$$ \bar{u} = \langle u_i \rangle = \frac{1}{S} \sum_{s=1}^{S} u_s \quad \text{et} \quad \bar{u}_s = u_s - \bar{u} \qquad [3] $$

$$ U = \sum_{s=1}^{S} \bar{u}_s \bar{u}_s^T \qquad [4] $$

En temps réel, le calcul du déplacement approché $\tilde{u}$ est donné par

$$ \tilde{u} = P_H(\bar{u}_s) + \bar{u} = \sum_{i=1}^{m} \varphi_i (\bar{u}_s^T \varphi_i) + \bar{u} = \Phi a_s + \bar{u} \qquad [5] $$

Seuls les m premiers modes sont conservés dans $\Phi$, on stocke donc $\Phi (N \times m)$, $A (m \times S)$ dont la $s$ième colonne est le vecteur $a_s = \Phi^T \bar{u}_s$, et le vecteur $\bar{u} (N)$.

Dans le cadre d'une application en temps réel, pour laquelle le chargement est variable, deux aspects sont à minimiser : le volume des données stockées pour réduire le temps d'accès à ces données, et le nombre d'opérations à effectuer pour réduire le temps de calcul.

Concernant le stockage, l'approche par la campagne de pré-calculs nécessite le stockage de la matrice $C$, de dimensions $N \times S$ ; la réduction de modèle par la Transformation de Karhunen-Loève (TKL) réduit le stockage aux matrices $A$, $\Phi$ et $\bar{u}$, soit $m \times S + m (N + 1)$.

Quant aux opérations à effectuer, sans réduction de modèle, la difficulté est de retrouver en temps réel le déplacement $u_s$ correspondant au chargement dans la matrice $C (N \times S)$, cette recherche est pénalisante ; après réduction de modèle par la TKL, le calcul de [5], de coût $N \times m$, nécessite la recherche de $a_s$ dans la matrice $A$, de taille bien moindre ($m \times S$).

### 3 Application

Cette méthodologie a été appliquée sur une durit automobile en caoutchouc encastrée à ses deux extrémités. La géométrie est modélisée en 2D par 66 éléments poutre à 2 nœuds, soient $N = 201$ ddl. Le matériau est modélisé par un comportement néohookéen incompressible.

Un code de calcul par éléments finis nous permet de déterminer les $S=1900$ pré-calculs d'une campagne de chargement en force $F$ appliquée en un nœud, avec $F_x \in [-74,-71,...,73]$ N et $F_y \in [-70,-68,...,4]$ N.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1. Déformée de la durit selon la méthode TKL (m=7), comparée à la déformée issue du calcul par EF, pour le cas de charge ($F_x$= -20 N, $F_y$= -20 N).</figcaption></figure>

Afin d'analyser la précision des déformées sur l'ensemble des cas de charge de la campagne, on calcule $e^{TKL}$ [6] qui quantifie les maxima des écarts entre les déplacements approchés $\tilde{u}^{j_s}$ et les déplacements observés $u^{j_s}$, sur les n nœuds et sur les S cas de charges, relativement à la longueur initiale de la durit $L_0$.

$$e^{TKL} = \max_{s=1...S} \left( \max_{j=1...n} |u^{j_s} - \tilde{u}^{j_s}| \right) / L_0 \quad [6]$$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
<caption>**Figure 2.** Précision $e^{TKL}$ en déplacement entre les résultats de la campagne et les déplacements approchés TKL en fonction du nombre de modes retenus.</caption>

A partir du nombre de mode retenu $m=7$, on s’intéresse à la précision moyenne $\bar{e}^{TKL}$ en fonction de la norme de la force $F$. Cette précision [7] est la moyenne des écarts maxima sur les $n$ nœuds, pour les observations $p$ avec $F_p \in [F_{min}, F_{max}]$. Elle reste constante (moyenne de 0,14%) quelle que soit la force $F$. Les grands déplacements induits par des forces élevées ne détériorent donc pas la qualité des résultats.

$$ \bar{e}^{TKL}(F_{min}, F_{max}) = \frac{1}{P} \sum_{p} \left( \max_{j=1..n} |u_p^j - \tilde{u}_p^j| / L_0 \right) \quad [7] $$

Les gains de la réduction seront d'autant plus grands que le modèle sera complexe avec l'augmentation du nombre de degrés de liberté $N$ et de cas de charge $S$.

Ici pour notre durit, avec $N=201$ degrés de liberté, $m=7$ modes, et $S=1900$ observations, la taille des matrices à stocker pour réaliser le calcul en temps réel est indiquée dans le tableau suivant,

<table><caption>**Tableau 1.** Taille globale des matrices à stocker pour réaliser le calcul temps réel.</caption><tr><td>Modèle brut</td><td>C</td><td>(N x S)</td><td>381900</td></tr><tr><td>Modèle réduit</td><td>A, Φ et $\bar{u}$</td><td>(m x S + m(N + 1))</td><td>14714</td></tr><tr><td>Gain de la réduction</td><td></td><td></td><td>/ 26</td></tr></table>

## 4 Conclusion

Notre méthodologie, basée sur une campagne de pré-calculs, fournit un volume de données possiblement très important, mais la validité mécanique reste conservée (non linéarités géométrique et matérielle). Une réduction conséquente de ces données est obtenue par la Transformation de Karhunen-Loève afin de permettre une exploitation temps réel. Cette étude montre qu’un faible nombre de modes suffit à décrire, avec une excellente précision, les déplacements de la structure. Des essais en temps réel on été concluants sur un ordinateur pc (pentium 4 2,6GHz, 512 Mo RAM) sous l’environnement virtuel de Matlab.
Ce papier montre donc la faisabilité de déformer en temps réel une structure mécanique complexe, avec l'utilisation de la transformation de Karhunen-Loève. Il est à noter que le modèle de calcul n'est pas forcément le modèle de visualisation en temps réel. Notre modèle de calcul est ici limité à un point de chargement ; il faut ainsi envisager d'appliquer un chargement en un point quelconque de la structure. Cela induit nécessairement une augmentation très significative de la taille de la campagne de pré-calculs. Notre méthodologie pourrait alors gagner en souplesse avec l'utilisation d'une technique d'enrichissement.

## 5 Bibliographie

James D. L. and Pai D. K., DyRT: Dynamic response textures for real time deformation simulation with graphics hardware. ACM Transactions on Graphics (SIGGRAPH 2002), 21(3):582–585, July 2002.

Karhunen K., Zur Spektraltheorie stochasticer Prozesse, Annales Academiae Scientiarum Fennicae, 1946 ; 37.

Krysl P., Lall S. and Marsden J.E., Dimensional model reduction in non-linear finite element dynamics of solids and structures, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 51:479-504, 2001.

Lumley J. L., Stochastic tools in turbulence, New York, Academic Press, 1970.

Ma X. and Vakakis A. F., "System Identification by Means of Karhunen-Loeve Decomposition of the Transient Dynamics of a Multi-Bay Truss," AIAA Journal, 3:2, 939-946, 1999.

Mikchevitch A., Léon J.C., Gouskov A., Realistic force simulation in path planning for virtual assembly of flexible beam parts, Virtual Concept, Biarritz, Novembre 2003.

Picard C. and Delville J., Pressure velocity coupling in a subsonic round jet, International Journal of Heat and Fluid Flow, Volume 21, Issue 3, June 2000, Pages 359-364

Picinbono G., Delingette H., and Ayache N., Non-Linear Anisotropic Elasticity for Real-Time Surgery Simulation. Graphical Models, 65(5):305-321, September 2003.