a été donnée avec suffisamment de détails pour obtenir "facilement" le couplage à quatre gluons et on trouvera qu'il est proportionnel à $-ig^2$ fois une structure tensorielle en indices de couleur et de Lorentz relativement compliquée qui sera donnée plus bas. On remarque la différence de phase entre les couplages à trois et quatre gluons : l'absence de facteur $i$ dans le cas de trois gluons est liée au fait que les dérivées $\partial^{\mu'}, \partial^{\nu'}$ dans l'éq. (7.4.120) font "descendre" les facteurs $-ik_i^{\mu'}$ dans le résultat final.

## Fantômes

Pour le couplage, en jauge covariante, des fantômes aux gluons, on part de la densité lagrangienne d'interaction que l'on lit facilement de l'éq. (7.3.94) :

$$ \mathcal{L}_{FP_I} = -g f^{a'b'c'} (\partial^{\mu'} \chi^{*a'}) \chi^{b'} A_{\mu'}^{c'} \quad (7.4.123) $$

La partie de la génératrice fonctionnelle à considérer pour extraire le couplage sera donc d'après l'éq. (7.2.42)

$$ W[J, \zeta, \zeta^*] = -ig f^{a'b'c'} \int dx \left( \partial^{\mu'} \frac{\delta}{i\delta\zeta^{*a'}(x)} \right) \left( \frac{\delta}{-i\delta\zeta^{b'}(x)} \right) \frac{\delta}{i\delta J^{c'\mu'}(x)} W_0[J] W_0[\zeta, \zeta^*] \quad (7.4.124) $$

avec la génératrice des champs libres des gluons et des fantômes :

$$ W_0[J] W_0[\zeta, \zeta^*] = \exp i \int dy dz [\zeta^{*d}(y) \mathcal{P}^{de}(y, z) \zeta^e(z) + \frac{1}{2} J^{dp}(y) \mathcal{P}_{\rho\sigma}^{dc}(y, z) J^{e\sigma}(z)], \quad (7.4.125) $$

donnée par les éqs. (7.4.99), (7.4.109). La fonction à 3-points fantôme-fantôme-gluon est obtenue suivant l'éq. (7.2.37) par :

$$ G_{FP,FP,\mu}^{abc}(x_1, x_2, x_3) = \left[ \frac{\delta}{i\delta\zeta^{*c}(x_3)} \left( \frac{\delta}{-i\delta\zeta^b(x_2)} \right) \frac{\delta}{i\delta J^{a\mu}(x_1)} W[J, \zeta, \zeta^*] \right]_{J, \zeta, \zeta^*=0} \quad (7.4.126) $$

ce qui permet de dériver le couplage après troncation des propagateurs et de la fonction de conservation d'énergie imclusion :

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

On remarque que ce couplage ne dépend que de l'impulsion $r$ du champ de fantôme sortant en accord avec l'éq. (7.4.123) où l'opérateur de dérivation n'agit que sur le champ $\chi^*$. On remarque également qu'il est valable dans la jauge de Landau aussi bien que dans la jauge de Feynman puisqu'indépendant du paramètre $\xi$ de l'éq. (7.4.105).

Dans le cas de la jauge axiale, avec le choix $n \cdot A^c = 0$, les fantômes ne se couplent pas aux gluons comme on le voit en éq. (7.3.97). N'ayant pas d'interaction non plus avec les fermions, ils
ne se couplent donc à aucun champ "physique" et on peut les ignorer dans les calculs.

### Fermions

On peut utiliser les techniques ci-dessus pour dériver le couplage du gluon aux fermions. On peut beaucoup plus simplement comparer le terme d'interaction d'un photon avec un fermion $\psi$ de charge $e$ dans $\mathcal{L}_{QED}$ et celui d'un gluon avec un fermion $\psi = \{\psi_i\}$ de charge $gT^a$ ($gT^a_{ji}$ en composantes de couleur) dans $\mathcal{L}_{QCD}$, pour facilement en déduire par analogie le couplage recherché :

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

où un gluon de couleur $a$ est absorbé par un fermion de couleur $i$ pour donner un fermion de couleur $j$ comme indiqué sur le schéma.

### • Remarques sur le propagateur du gluon

On peut se reporter à la section 2.5.1 pour discuter la relation entre la forme du propagateur du gluon et le nombre de degrés de liberté des vecteurs polarisation. On a vu que les formes covariantes du propagateur :

$$G_{\mu\nu}^{ab}(k) = -i \frac{\delta^{ab} g_{\mu\nu}}{k^2 + i\epsilon} \quad \text{et} \quad G_{\mu\nu}^{ab}(k) = -i \frac{\delta^{ab} g_{\mu\nu} - k_{\mu}k_{\nu}/k^2}{k^2 + i\epsilon}, \qquad (7.4.127)$$

respectivement en jauge de Feynman et de Landau contenaient des composantes de polarisation (scalaire, longitudinale) non physiques. En QED, le photon est couplé à un courant fermionique conservé et on a vu que ces composantes non physiques ne contribuent pas aux observables. Il en de même pour un gluon couplé à un fermion. Mais un gluon interagit également avec les gluons par un couplage qui ne filtre pas les états non physiques. Il est donc nécessaire d'éliminer ces contributions par les champs de fantômes couplés aux gluons. En revanche, en jauge axiale dans la limite $\xi \to 0$,

$$G_{\mu\nu}^{ab}(k) = -\frac{i \delta^{ab}}{k^2 + i\epsilon} \left( g_{\mu\nu} - \frac{k_{\mu}n_{\nu} + k_{\nu}n_{\mu}}{n \cdot k} + n^2 \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{(n \cdot k)^2} \right), \qquad (7.4.128)$$

les degés de polarisation non physiques sont éliminés (comme en QED, voir la discussion suivant l'éq. (2.5.77)) et les fantômes ne sont pas nécessaires.

## 7.5 Invariance BRS-T : Becchi-Rouet-Stora et Tyutin

L'interaction entre quarks et gluons a été construite au niveau classique en imposant l'invariance de jauge sous une transformation locale du groupe de couleur SU(3) : la densité lagrangienne éq. (7.1.30) de la section (7.1) est bien invariante sous la tranformation de jauge définie par les équations (7.1.32). Mais on a vu que la procédure de quantification, respectant l'invariance de jauge, nécessite l'extension de ce lagrangien à la forme éq. (7.3.91) contenant la combinaison $\mathcal{L}_{GF} + \mathcal{L}_{FP}$ qui n'est pas invariante. On peut cependant montrer que ce lagrangien est invariant sous la transformation
BRS (Becchi-Rouet-Stora et plus tard Tyutin) qui est une extension de la transformation de jauge usuelle. Pour définir ces transformations on écrit, en toute généralité, le paramètre de jauge

$$ \alpha^a(x) = \epsilon \chi^a(x) \qquad (7.5.129) $$

où $\epsilon$ est une variable de Grassman et $\chi^a(x)$ le champ de fantôme. On peut vérifier que les transformations BRS :

$$ \begin{aligned} \delta\psi &= ig\epsilon\chi^a T^a\psi \\ \delta A_{\mu}^{a} &= \epsilon D_{\mu}^{ab} \chi^{b} \\ \delta\chi^{a} &= -\frac{1}{2}gf^{abc}\epsilon\chi^{b}\chi^{c} \\ \delta\chi^{*a} &= -\frac{1}{\xi}(\partial^{\mu}A_{\mu}^{a})\epsilon \end{aligned} \qquad (7.5.130) $$

laissent $\mathcal{L}_{QCD}$ invariant. Ceci est évident pour la partie $\mathcal{L}_G + \mathcal{L}_F$ (les deux premières équations sont identiques aux deux premières lignes des éqs. (7.1.32), mais cela nécessite un peu de travail pour les autres termes. On ré-écrit d'abord $\mathcal{L}_{FP} = -\chi^{*a}\partial^{\mu}(\mathcal{D}_{\mu}^{ab}\chi^b)$ qui est équivalent à l'éq. (7.3.94) à une dérivée totale près que l'on néglige. On doit donc prouver que :

$$ \delta(\mathcal{L}_{GF} + \mathcal{L}_{FP}) = -\frac{1}{\xi}(\partial^{\mu} A_{\mu}^{a})(\partial^{\nu} \delta A_{\nu}^{a}) - (\delta \chi^{*a}) \partial^{\mu}(\mathcal{D}_{\mu}^{ab} \chi^{b}) - \chi^{*a} \partial^{\mu} \delta(\mathcal{D}_{\mu}^{ab} \chi^{b}) \quad (7.5.131) $$

est nulle. On voit facilement que, substituant $\delta A_{\mu}^{a}$ et $\delta \chi^{*a}$ des éqs. (7.5.130) respectivement dans le premier et deuxième terme du membre de droite, ces deux termes s'annulent de sorte qu'il s'agit de montrer maintenant que $\delta(\mathcal{D}_{\mu}^{ab}\chi^b) = 0$. On a

$$ \begin{aligned} \delta(\mathcal{D}_{\mu}^{ab} \chi^b) &= \partial_{\mu}(\delta \chi^a) - g f^{abc} [(\delta A_{\mu}^c) \chi^b + A_{\mu}^c \delta \chi^b] \\ &= -\frac{1}{2} g f^{abc} \epsilon \partial_{\mu} (\chi^b \chi^c) - g f^{abc} [(\epsilon \mathcal{D}_{\mu}^{cd} \chi^d) \chi^b - \frac{1}{2} g f^{bde} A_{\mu}^c \epsilon \chi^d \chi^e] \\ &= -g f^{abc} \epsilon \left[ \frac{1}{2} \left( (\partial_{\mu} \chi^b) \chi^c + \chi^b \partial_{\mu} \chi^c \right) + (\partial_{\mu} \chi^c) \chi^b - g f^{cde} A_{\mu}^e \epsilon \chi^d \chi^b - \frac{1}{2} g f^{bde} A_{\mu}^c \epsilon \chi^d \chi^e \right]. \end{aligned} $$

Le terme linéaire en $g$ de la dernière ligne s'annule du fait de l'antisymétrie de $f^{abc}$ et de l'anticommutation des $\chi^i$. Quant auc terme en $g^2$, il faut pour le réduire utiliser l'identité de Jacobi (cf éq. (7.1.22)) :

$$ f^{abc} f^{bde} = f^{cb} f^{ade} + f^{ad} f^{cbe} \qquad (7.5.132) $$

qui permet de d'écrire

$$ g^2 \epsilon [f^{abc} f^{cde} A_{\mu}^{e} \chi^{d} \chi^{b} + \frac{1}{2} f^{d'c'b'} f^{ab'e'} A_{\mu}^{c'} \chi^{d'} \chi^{e'} - \frac{1}{2} f^{ad'b'} f^{c'b'e'} A_{\mu}^{c'} \chi^{d'} \chi^{e'}], \qquad (7.5.133) $$

où on a "primé" certains indices pour changement de notation ultérieur. Si l'on fait maintenant $(b', c', d', e') = (c, e, d, b)$ dans le deuxième facteur et $(b', c', d', e') = ((c, e, b, d)$ dans le troisième, alors on reconstruit

$$ g^2 f^{abc} \epsilon [f^{cde} A_{\mu}^{e} \chi^{d} \chi^{b} - \frac{1}{2} f^{dec} A_{\mu}^{e} \chi^{d} \chi^{b} + \frac{1}{2} f^{ecd} A_{\mu}^{e} \chi^{b} \chi^{d}] = g^2 f^{abc} f^{cde} \epsilon [\chi^{d} \chi^{b} - \frac{1}{2} \chi^{d} \chi^{b} + \frac{1}{2} \chi^{b} \chi^{d}], $$
qui est bien nul.

On remarque que si on applique deux fois les transformations BRS c'est à dire si on calcule $\delta^2\psi$, ... alors le résultat est nul puisqu'il apparaît la combinaison $\epsilon\epsilon$ qui s'annule. Les transformations BRS sont dites nilpotentes. Il est possible de déduire des transformations BRS les identités de Slavnov-Taylor, l'équivalent des identités de Ward-Takahashi pour les théories de jauge non abéliennes, à l'aide desquelles on prouve la renormalisabilité de ces dernières à tous les ordres de perturbation.

## 7.6 Exemples de processus en arbre

A l'aide des règles ci-dessus on peut "facilement" calculer les éléments de matrice de diffusion $2 \to 2$ qui seront utiles pour le calcul des sections efficaces de processus hadroniques au niveau de Born. On donnera suffisamment de détails pour les premiers cas étudiés de façon à familiariser le lecteur avec les règles de Feynman en QCD et on sera plus expéditif à la fin. Les particules entrantes sont labelées 1 et 2 et les sortantes 3 et 4. Les variables cinématiques sont :

$$s = 2p_1 \cdot p_2 = 2p_3 \cdot p_4, \quad t = -2p_1 \cdot p_3 = -2p_2 \cdot p_4, \quad u = -2p_1 \cdot p_4 = -2p_2 \cdot p_3. \quad (7.6.134)$$

On suppose les quarks de masse nulle.

$$\bullet \quad q_1 q'_2 \to q_3 q'_4$$

Les quarks $q$ et $q'$ ne sont pas identiques. Il existe un seul diagramme de Feynman avec échange d'un gluon dans la voie $t$ :

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

L'amplitude de diffusion s'écrit :

$$M = (-ig)^2 (\bar{u}_3 T^a \gamma_\mu u_1) (-\frac{i}{t}) (\bar{u}_4 T^a \gamma^\mu u_2), \quad (7.6.135)$$

où $T^a$ est le facteur de couleur du vertex quark-quark-gluon. Cette expression est valable quelque soit la forme du propagateur du gluon (éq. (2.5.73) à 2.5.77)) puisque les termes dépendants de son impulsion s'annulent aux vertex. L'élément de matrice au carré sommé sur les états de polarisation et couleurs initiales et finales est :

$$\Sigma |M|^2 = \frac{g^2}{t^2} \sum_{\substack{\text{spin, couleur} \\ \text{spin, couleur}}} \langle T_{ji}^a T_{i'j'}^b \rangle (\bar{u}_{3j} \gamma_\mu u_{1i} \bar{u}_{1i'} \gamma_\nu u_{3j'}) \langle T_{lk}^a T_{k'l'}^b \rangle (\bar{u}_{4k} \gamma^\mu u_{2l} \bar{u}_{2l'} \gamma^\nu u_{4k'})$$

où on a specifié l'indice de couleur des fermions. Usant de $u_{1i}\bar{u}_{1i'} = \delta_{ii'} \not p_1$ et autres relations
similaires on trouve finalement :

$$
\begin{align*}
\Sigma |\mathcal{M}|^2 &= g^4 < \text{Tr}(T^a T^b) \text{Tr}(T^a T^b) > \text{Tr}(\not p_3 \gamma_\mu \not p_1 \gamma_\nu) \frac{1}{t^2} \text{Tr}(\not p_4 \gamma^\mu \not p_2 \gamma^\nu) \\
&= g^4 < \frac{\delta^{ab}}{2} \frac{\delta^{ab}}{2} > 8 \frac{4 p_1 \cdot p_3 p_2 \cdot p_4 + 4 p_1 \cdot p_2 p_3 \cdot p_4}{t^2} \\
&= g^4 < \frac{N^2 - 1}{4} > 8 \frac{s^2 + u^2}{t^2} \tag{7.6.136}
\end{align*}
$$

où on a systématiquement écrit le facteur de couleur entre < > (N est le nombre de couleurs).
Pour obtenir le résultat recherché il faut diviser par le nombre d'états de polarisation et de couleur
du système initital soit 1/4N² et on trouve,

$$
\overline{\Sigma |\mathcal{M}|^2} = g^4 < \frac{C_F}{2N} > 2 \frac{s^2 + u^2}{t^2} = g^4 \frac{4}{9} \frac{s^2 + u^2}{t^2}, \quad (7.6.137)
$$

où le symbole $\overline{\Sigma}|\mathcal{M}|^2$ dénote le carré d'une amplitude sommé sur les états de polarisation et cou-
leur finals et moyenné sur états initiaux. Ce résultat est valable pour la diffusion $q_1 \bar{q}'_2 \to q_3 \bar{q}'_4$ et
$q_1 \bar{q}'_2 \to q_3 \bar{q}_4$.

• $q_1 q_2 \rightarrow q_3 q_4$ : quarks identiques

Dans ce cas il y a deux diagrammes avec l'échange d'un gluon dans la voie $t$ ou dans la voie $u$ :
l'élément de matrice est la différence de deux termes $M = M_1 - M_2$,

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

et s'écrit :

$$
\mathcal{M} = (-ig)^2 [(\bar{u}_3 T^a \gamma_\mu u_1) (-\frac{i}{t}) (\bar{u}_4 T^a \gamma^\mu u_2) - (\bar{u}_4 T^a \gamma_\mu u_1) (-\frac{i}{u}) (\bar{u}_3 T^a \gamma^\mu u_2)], \quad (7.6.138)
$$

où le signe – relatif entre les deux termes vient de l’interchange des quarks 3 et 4 qui obéissent
à la statistique de Fermi-Dirac. Le calcul du carré de chacun de ces termes est similaire au cas
précédent. Le terme d’interférence a une forme différente puisqu’il implique une seule trace et il
s’écrit :

$$
-2g^2 < \mathrm{Tr} T^a T^b T^a T^b > \frac{1}{ut} \mathrm{Tr} \not{p}_3 \gamma_\mu \not{p}_1 \gamma_\nu \not{p}_4 \gamma^\mu \not{p}_2 \gamma^\nu. \quad (7.6.139)
$$

Le réduction du facteur de couleur donne (voir l'appendice sec. 7.9) :

$$
\begin{align*}
\mathrm{Tr} \, T^a T^b T^a T^b &= \mathrm{Tr} \, T^b T^a T^a T^b + i \, f^{abc} \mathrm{Tr} \, T^c T^a T^b \\
&= c_F \mathrm{Tr} \, T^b T^b + \frac{i}{2} f^{abc} \mathrm{Tr} \, T^c [T^a, T^b] \\
&= c_F^2 N - \frac{1}{2} f^{abd} f^{abc} \mathrm{Tr} \, T^c T^d \\
&= -\frac{c_F}{2}, \tag{7.6.140}
\end{align*}
$$
<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 7.1 – Diffusion de deux quarks identiques : à gauche représentation de $M_1 M_1^*$, à droite celle de $M_1 M_2^*$.</figcaption></figure>

tandis que la trace sur les matrices de Dirac ne présente pas de difficultés et ce terme d’interférence est simplement

$$ -\frac{c_F}{2} g^2 16 \frac{s^2}{ut}. \qquad (7.6.141) $$

Prenant la moyenne sur les états initiaux (il faut diviser par $4N^2$) on trouve pour la diffusion de deux quarks identiques

$$ \begin{aligned} \bar{\Sigma}|\mathcal{M}|^2 &= g^4 < \frac{C_F}{2N} > 2 \left[ \frac{s^2+u^2}{t^2} + \frac{s^2+t^2}{u^2} - \left\langle \frac{1}{N} \right\rangle 2 \frac{s^2}{ut} \right] \\ &= g^4 \left[ \frac{4}{9} \left( \frac{s^2+u^2}{t^2} + \frac{s^2+t^2}{u^2} \right) - \frac{8}{27} \frac{s^2}{ut} \right]. \end{aligned} \qquad (7.6.142) $$

qui est également valable pour la diffusion $q_1 \bar{q}_2 \rightarrow q_3 \bar{q}_4$.

On peut donner une représentation graphique du carré de l’élément de matrice. Le complexe conjugué de l’amplitude $1+2 \rightarrow 3+4$ est celle de $3+4 \rightarrow 1+2$ que l’on peut représenter par des diagrammes similaires à ceux de l’amplitude originale. Rapprochant un diagramme de son complexe conjugé et refermant les lignes qui portent le même label on obtient le diagramme de gauche de la figure 7.1 avec deux boucles de fermions (correspondant à deux traces), à chacune des desquelles on associe un facteur $N$ de couleur. Le terme d’interférence, représenté par le diagramme de droite, comprend au contraire une seule boucle (une seule trace) et un seul facteur $N$, d’où le $1/N$ relatif dans l’éq. (7.6.142).

• $q_1 \bar{q}_2 \rightarrow G_3 G_4$; $q_1 G_2 \rightarrow q_3 G_4$; $G_1 G_2 \rightarrow q_3 q_4$ : diffusion quark-gluon

Ce processus est intéressant puisqu’il permet d’illustrer les subtilités des calculs QCD en faisant intervenir explicitement la structure non-abélienne de la théorie. Les trois diagrammes à considérer sont indiqués dans la figure :
<figure><img src="image_53.png" /></figure>

et l'amplitude de diffusion pour des gluons de polarisation $\kappa_3, \kappa_4$ s'écrit

$$ \mathcal{M}^{(\kappa_3, \kappa_4)} = \mathcal{M}^{ab, \mu\nu} \epsilon_{\mu}^{a, (\kappa_3)}(p_3) \epsilon_{\nu}^{b, (\kappa_4)}(p_4) \quad (7.6.143) $$

où on suppose que les vecteurs polarisation des gluons d'impulsion $p_3$ et $p_4$ satisfont la condition de Lorentz :

$$ p_3 \cdot \epsilon^{a,(\kappa_3)}(p_3) = 0 \quad \text{et} \quad p_4 \cdot \epsilon^{b,(\kappa_4)}(p_4) = 0. \quad (7.6.144) $$

L'amplitude pour $q_1 \bar{q}_2 \to G_3 G_4$ (le résultat pour les autres processus se déduit par croisement) s'écrit :

$$ \begin{aligned} \mathcal{M}^{ab, \mu\nu} = & (-ig) \bar{v}_2 [(-ig) T^b T^a \gamma^\nu \frac{\not p_1 - \not p_3}{t} \gamma^\mu + (-ig) T^a T^b \gamma^\mu \frac{\not p_3 - \not p_2}{u} \gamma^\nu \\ & + g T^d \gamma^\sigma \frac{G_{\sigma\rho}^{dc}(p_3 + p_4)}{s} f^{abc} V^{\mu\nu\rho}(p_3, p_4, -p_3 - p_4)] u_1, \end{aligned} \quad (7.6.145) $$

avec $G_{\sigma\rho}^{dc}(p_3 + p_4)$ l'une des trois formes du propagateur du gluon (éqs. (7.4.127) et (7.4.128)) et la fonction $V^{\mu\nu\rho}(p, q, r) = (p-q)^\rho g^{\mu\nu} + (q-r)^\mu g^{\nu\rho} + (r-p)^\mu g^{\rho\nu}$ est la partie dépendant des impulsions du couplage à 3 gluons, les impulsions $p, q, r$ étant supposées sortantes du vertex.

• **1ère remarque** : Seul le terme $g_{\sigma\rho}$ dans le propagateur du gluon contribue : en effet, les termes contenant $(p_1 + p_2)_\sigma$ contractés avec $\bar{v}_2 \gamma^\sigma u_1$ s'annulent par l'équation de Dirac (conservation du courant fermionique) et les termes en $(p_1 + p_2)_\rho$ contractés avec $F^{\mu\nu\rho}(p_3, p_4, -p_1 - p_2)$ se réduisent à $(p_4^\mu p_4^\nu - p_3^\mu p_3^\nu)$ qui s'annule quand contracté avec les vecteurs polarisation des gluons. Dans la suite on utilisera la forme éq. (7.4.127) pour le propagateur du gluon.

• **2ème remarque** : On vérifie, comme pour QED, que si on substitue l'impulsion à l'un des vecteurs polarisation les quantités $\mathcal{M}^{ab,\mu\nu} p_{3\mu} \epsilon_{4\nu}^{b,(\kappa_4)} = \mathcal{M}^{ab,\mu\nu} \epsilon_{\mu}^{a,(\kappa_3)} p_{4\nu} = 0$, mais, contrairement à QED, le terme impliquant le couplage à 3 gluons est nécessaire pour compenser la contribution des 2 premiers termes d'apparence abélienne dans la figure ci-dessus. En détail,

$$ \begin{aligned} \mathcal{M}^{ab, \mu\nu} p_{3\mu} \epsilon_{4\nu}^{b,(\kappa_4)} = & -ig^2 \bar{v}_2 [T^b T^a \not g^{b,(\kappa_4)} \frac{\not p_1 - \not p_3}{t} \not p_3 + T^a T^b \not p_3 \frac{\not p_3 - \not p_2}{u} \not g^{b,(\kappa_4)} \\ & -if^{abc} T^c \frac{1}{s} ((\not p_3 - \not p_4)p_3 \cdot \epsilon_4 + (p_3 + 2p_4) \cdot p_3 \not g^{b,(\kappa_4)} - (p_4 + 2p_3) \cdot \epsilon^{b,(\kappa_4)} \not p_3)] u_1. \end{aligned} \quad (7.6.146) $$

On effectue facilement la "diracologie" en prouvant que

$$ \frac{\not p_1 - \not p_3}{t} \not p_3 = -1 \quad \text{et} \quad \frac{\not p_3 - \not p_2}{u} \not p_3 = 1 \quad (7.6.147) $$
quand évalué dans $\bar{v}_2[\cdots] u_1$, et que le coefficient de $-if^{abc}T^c/s$ se réduit à $s \not{\epsilon}^{b,(\kappa_4)}$ ce qui permet d'écrire :

$$ \begin{aligned} \mathcal{M}^{ab,\mu\nu} p_{3\mu} \epsilon_{4\nu}^{b,(\kappa_4)} &= -ig^2 \bar{v}_2 [(-T^b T^a + T^a T^b) \not{\epsilon}^{b,(\kappa_4)} - i f^{abc} T^c \not{\epsilon}^{b,(\kappa_4)}] u_1 \\ &= -ig^2 \bar{v}_2 [i f^{abc} T^c - i f^{abc} T^c] \not{\epsilon}^{b,(\kappa_4)} u_1 = 0. \end{aligned} \quad (7.6.148) $$

Cette vérification ne prouve pas l'invariance de jauge QCD, comme c'était le cas en QED, mais seulement l'invariance par la translation $\epsilon_\mu^{a,(\kappa)}(p) \to \epsilon_\mu^{a,(\kappa)}(p) + p_\mu$. En fait, les vecteurs $\epsilon_\mu^{a,(\kappa)}(p)$ contraints par l'éq. (7.6.144) contiennent un état de polarisation non physique, somme des polarisations scalaire et longitudinale, $(\epsilon_\mu^{a,(0)}(p) + \epsilon_\mu^{a,(3)}(p)) \propto p$ (voir éqs. (2.4.53) et la relation telle que :

$$ \mathcal{M}^{ab,\mu\nu} p_{3\mu} \epsilon_{4\nu}^{b,(\kappa_4)} = 0 $$

signifie que cet état de polarisation ne contribue pas aux processus physiques.

• **Calcul de $\bar{\Sigma}\mathcal{M}^2$** : On calcule maintenant explicitement le carré de l'élément de matrice sommé sur polarisation et couleur. On travaille en jauge de Feynman éq. (7.4.127). Pour la somme sur la polarisation des gluons externes on choisit également $g_{\mu\nu}$ (voir éq. 2.4.56) ce qui implique<fnref n="4" /> que l'on somme sur les états de polarisation non physiques et il faudra donc les compenser en incluant dans le calcul la production de fantômes (voir plus bas). On décompose l'amplitude en trois termes :

$$ \mathcal{M}^{ab,\mu\nu} = \mathcal{M}_1^{ab,\mu\nu} + \mathcal{M}_2^{ab,\mu\nu} + \mathcal{M}_3^{ab,\mu\nu} \quad (7.6.149) $$

les deux premiers d'apparence abélienne et le troisième contenant le couplage à trois gluons. En notation simplifiée on a

$$ \begin{aligned} \Sigma |\mathcal{M}_1 + \mathcal{M}_2|^2 ={}& g^4 \left[ \mathrm{Tr}(\not{p}_2 \gamma^\nu \frac{\not{p}_4 - \not{p}_2}{t} \gamma^\mu \not{p}_1 \gamma_\mu \frac{\not{p}_4 - \not{p}_2}{t} \gamma_\nu) \mathrm{Tr}(T^b T^a T^a T^b) \right. \\ & \left. \qquad + \mathrm{Tr}(\not{p}_2 \gamma^\mu \frac{\not{p}_3 - \not{p}_2}{u} \gamma^\nu \not{p}_1 \gamma_\nu \frac{\not{p}_3 - \not{p}_2}{u} \gamma_\mu) \mathrm{Tr}(T^a T^b T^b T^a) \right. \\ & \left. \qquad + \mathrm{Tr}(\not{p}_2 \gamma^\nu \frac{\not{p}_4 - \not{p}_2}{t} \gamma^\mu \not{p}_1 \gamma_\nu \frac{\not{p}_3 - \not{p}_2}{u} \gamma_\mu) \mathrm{Tr}(T^b T^a T^b T^a) \right] \end{aligned} \quad (7.6.150) $$

Les traces sur les matrices $\gamma$ s'effectuent facilement et on trouve pour les deux premières qu'elles sont simplement égales à $8tu$ quant à la troisième elle est tout simplement nulle. Les traces sur les matrices de couleur sont triviales $\mathrm{Tr}(T^b T^a T^a T^b) = \mathrm{Tr}(T^a T^b T^b T^a) = c_F^2 N$. de sorte que :

$$ \Sigma |\mathcal{M}_1 + \mathcal{M}_2|^2 = g^4 < c_F^2 N > = 8 \left(\frac{u}{t} + \frac{t}{u}\right). \quad (7.6.151) $$

Le carré du terme contenant le couplage à 3 gluons est

$$ \begin{aligned} |\Sigma \mathcal{M}_3|^2 &= g^4 f^{abc} f^{abd} \mathrm{Tr}(T^c T^d) \frac{1}{s^2} \mathrm{Tr}(\not{p}_2 \gamma_\rho \not{p}_1 \gamma^\sigma) [(p_3 - p_4)^\rho g^{\mu\nu} + (p_3 + 2p_4)^\mu g^{\nu\rho} - (p_4 + 2p_3)^\nu g^{\rho\mu}] \\ & \quad [(p_3 - p_4)_\sigma g_{\mu\nu} + (p_3 + 2p_4)_\mu g_{\nu\sigma} - (p_4 + 2p_3)_\nu g_{\sigma\mu}] \\ &= g^4 < c_F N^2 > \frac{1}{s^2} \mathrm{Tr}(\not{p}_2 \gamma_\rho \not{p}_1 \gamma^\sigma) [12p_4^\rho p_4^\sigma + 4sg^{\rho\sigma} + p_3^\rho p_4^\sigma + p_4^\rho p_3^\sigma] \\ &= -g^4 < c_F N^2 > \frac{4}{s^2} (4(t^2 + u^2) + 3tu]. \end{aligned} \quad (7.6.152) $$

<footnote n="4">4. Avec ce choix on n'impose pas la contrainte $p_i \cdot \epsilon^{a,(\kappa_i)}(p_i) = 0$ aux vecteurs polarisation.</footnote>
Il faut encore évaluer le terme d'interférence

$$2 \operatorname{Re}\mathcal{M}_1 \mathcal{M}_3^* = g^4 \frac{2}{ts} (if^{abc} \operatorname{Tr}(T^b T^a T^c) \operatorname{Tr}(\not p_2 \gamma^\nu (\not p_1 - \not p_3) \gamma^\mu \not p_1 \gamma^\rho) \nonumber \\ \qquad \qquad \qquad [(p_3 - p_4)_\rho g_{\mu\nu} + (p_3 + 2p_4)_\mu g_{\nu\rho} - (p_4 + 2p_3)_\nu g_{\rho\mu}]. \tag{7.6.153}$$

La réduction des traces de matrices de Dirac est un peu longue mais on trouve finalement

$$2 \operatorname{Re}\mathcal{M}_1 \mathcal{M}_3^* = g^4 \left\langle \frac{c_F N^2}{2} \right\rangle > (-16 \frac{t}{s}) \\ 2 \operatorname{Re}\mathcal{M}_2 \mathcal{M}_3^* = g^4 \left\langle \frac{c_F N^2}{2} \right\rangle > (-16 \frac{u}{s}). \tag{7.6.154}$$

Le calcul n'est malheureusement pas encore terminé car on a sommé sur des états de polarisation non physiques en utilisant éq. 2.4.56. Pour compenser leur contribution dans le calcul précédent il faut inclure la contribution des fantômes en évaluant la contribution des diagrammes suivants :

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

Ces diagrammes correspondent respectivement à la production des couples $\chi^a\chi^{b*}$ et $\chi^b\chi^{a*}$. Il n'interferent donc pas ni d'ailleurs avec les diagrammes de production de gluons et il suffira donc d'évaluer le carré de chacun pour s'approcher de la fin du calcul. Les amplitudes correspondant à ces diagrammes sont respectivement :

$$\begin{align}
\mathcal{M}_{gh1} &= (-ig) \bar{v}_2 T^c \gamma_\rho u_1 \left(\frac{-i}{s}\right) (-g f^{cba} p_3^\rho) \nonumber \\
\mathcal{M}_{gh2} &= (-ig) \bar{v}_2 T^c \gamma_\rho u_1 \left(\frac{-i}{s}\right) (-g f^{cab} p_4^\rho). \tag{7.6.155}
\end{align}$$

Le carré de ces termes est

$$\begin{align}
\mathcal{M}_{gh1}^2 + \mathcal{M}_{gh2}^2 &= g^4 \langle f^{cba} f^{dba} \operatorname{Tr}(T^c T^d) \rangle > \frac{\operatorname{Tr}(\not p_2 \not p_3 \not p_1 \not p_3)}{s^2} + 3 \leftrightarrow 4 \nonumber \\
&= g^4 \langle N \operatorname{Tr}(T^c T^c) \rangle > \frac{2p_1 \cdot p_3 \operatorname{Tr}(\not p_2 \not p_3)}{s^2} + 3 \leftrightarrow 4 \nonumber \\
&= g^4 \langle c_F N^2 \rangle > 4 \frac{tu}{s^2} \tag{7.6.156}
\end{align}$$

Cette contribution doit être soustraite de celle des diagrammes de production de gluons de sorte que l'amplitude carré de $q\bar{q} \to G G$ sommée sur polarisation et couleur est

$$\begin{align}
\Sigma \mathcal{M}^2 &= \Sigma |\mathcal{M}_1 + \mathcal{M}_2|^2 + \Sigma |\mathcal{M}_3|^2 + 2 \operatorname{Re} \Sigma (\mathcal{M}_1 + \mathcal{M}_2) \mathcal{M}_3^* - \Sigma |\mathcal{M}_{gh1}|^2 - \Sigma |\mathcal{M}_{gh2}|^2 \nonumber \\
&= g^4 \langle c_F N \rangle > 8 \left[ \langle c_F \rangle \left( \frac{t}{u} + \frac{u}{t} \right) - \langle N \rangle \frac{t^2 + u^2}{s^2} \right]. \tag{7.6.157}
\end{align}$$

On reconnaît dans cette expression une partie de type QED proportionnelle à $c_F$ et l'autre de type non-abélien proportionnelle à $N$. On peut facilement obtenir alors le carré des éléments de matrice
moyennés sur les états initiaux pour les différents cas, après croisement approprié des particules initiales et finales.

- $q(p_1) \bar{q}(p_2) \rightarrow G(p_3) G(p_4)$ : il faut multiplier l'éq. (7.6.157) par $\frac{1}{4N^2}$

$$ \bar{\Sigma}\mathcal{M}^2 = 2g^4 \left\langle \frac{c_F}{N} \right\rangle \left[ \left\langle c_F \right\rangle \left( \frac{t}{u} + \frac{u}{t} \right) - \left\langle N \right\rangle \frac{t^2 + u^2}{s^2} \right] = g^4 \left[ \frac{32}{27} \left( \frac{t}{u} + \frac{u}{t} \right) - \frac{8}{3} \frac{t^2 + u^2}{s^2} \right] \quad (7.6.158) $$

- $G(p_1) q(p_2) \rightarrow G(p_3) q(p_4)$ : il faut multiplier l'éq. (7.6.157) par $\frac{1}{4N(N^2-1)}$

$$ \bar{\Sigma}\mathcal{M}^2 = -g^4 \left\langle \frac{1}{N} \right\rangle \left[ \left\langle c_F \right\rangle \left( \frac{s}{u} + \frac{u}{s} \right) - \left\langle N \right\rangle \frac{s^2 + u^2}{t^2} \right] = g^4 \left[ -\frac{4}{9} \left( \frac{s}{u} + \frac{u}{s} \right) + \frac{s^2 + u^2}{t^2} \right] \quad (7.6.159) $$

- $G(p_1) G(p_2) \rightarrow q(p_3) \bar{q}(p_4)$ : il faut multiplier l'éq. (7.6.157) par $\frac{1}{4(N^2-1)^2}$

$$ \bar{\Sigma}\mathcal{M}^2 = g^4 \left\langle \frac{1}{N^2-1} \right\rangle \left[ \left\langle c_F \right\rangle \left( \frac{t}{u} + \frac{u}{t} \right) - \left\langle N \right\rangle \frac{t^2 + u^2}{s^2} \right] = g^4 \left[ \frac{1}{6} \left( \frac{t}{u} + \frac{u}{t} \right) - \frac{3}{8} \frac{t^2 + u^2}{s^2} \right] \quad (7.6.160) $$

Pour dériver ces résultats une alternative aurait été de travailler avec seulement des états de polarisation physiques, c'est à dire d'utiliser l'expression

$$ \left( g_{\mu\nu} - \frac{k_{\mu}n_{\nu} + k_{\nu}n_{\mu}}{n.k} + n^2 \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{(n.k)^2} \right) $$

pour la somme sur les états de polarisation (voir éq. (7.4.128)). Dans ce cas il n'y a pas lieu d'introduire de fantômes, puisqu'il n'y a pas de contributions non physiques à soustraire, en accord avec la discussion sur les règles de Feynman en jauge "physique" (sec. 7.4). Le vecteur $n_{\mu}$ peut être choisi de façon à simplifier le calcul, ainsi pour la réaction $G_1 q_2 \rightarrow G_3 q_4$ on peut imposer $p_2 \cdot \epsilon^{a,(\kappa_1)}(p_1)$, $p_4 \cdot \epsilon^{b,(\kappa_3)}(p_3) = 0$ de sorte que

$$ \begin{align} \sum_{\kappa=1}^{2} \epsilon_{\mu}^{a,(\kappa)}(p_1) \epsilon_{\nu}^{a',(\kappa')}(p_1) &= - \delta^{aa'} (g_{\mu\nu} - \frac{p_1 p_{2\nu} + p_{2\mu} p_{1\nu}}{p_1 \cdot p_2}), \nonumber \\ \sum_{\kappa=1}^{2} \epsilon_{\mu}^{a,(\kappa)}(p_3) \epsilon_{\nu}^{a',(\kappa')}(p_3) &= - \delta^{aa'} (g_{\mu\nu} - \frac{p_3 p_{4\nu} + p_{4\mu} p_{3\nu}}{p_3 \cdot p_4}). \tag{7.6.161} \end{align} $$

On laisse le lecteur retrouver les formules éqs. (7.6.158) à (7.6.160) avec ce choix de vecteurs polarisation (voir l'exercice).

• $G G \rightarrow G G$ : diffusion gluon-gluon

Les diagrammes à évaluer sont :

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

<figure><img src="image_58.png" /></figure>
avec éventuellement les diagrammes impliquant les fantômes si on travaille en jauge covariante. On trouve :

$$ \overline{\Sigma} M^2 = g^4 < \frac{16N^2}{N^2 - 1} > \frac{1}{4} \left[ 3 - \frac{tu}{s^2} - \frac{us}{t^2} - \frac{st}{u^2} \right] = g^4 \frac{9}{2} \left[ 3 - \frac{tu}{s^2} - \frac{us}{t^2} - \frac{st}{u^2} \right] \quad (7.6.162) $$

Par compléture nous citons ici les résultats pour la diffusion de partons impliquant l'émission ou l'absorption d'un photon.

• $q \bar{q} G \gamma \to 0$ : diffusion photon-parton

Ces processus sont de type QED,

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

Il n'y a pas de couplage à 3 bosons de jauge et donc pas de terme non abélien dans l'élément de matrice : on ignore donc le terme proportionnel à N dans la partie entre [...] de l'éq. (7.6.157) et la sommation sur la couleur de tous les partons contribue le facteur :

$$ \mathrm{Tr}(T^a T^a) = \delta^{aa}/2 = \frac{N^2 - 1}{2} = c_F N, \quad (7.6.163) $$

au lieu de $<c_F^2 N>$. Pour les différents processus on a donc, après moyenne sur polarisation et couleur initiales,
- $q(p_1) \bar{q}(p_2) \to \gamma(p_3) G(p_4)$ (il faut multiplier par $\frac{1}{4N^2}$) :

$$ \overline{\Sigma} M^2 = e_q^2 g^2 < \frac{c_F}{N} > 2 \left[ \frac{t}{u} + \frac{u}{t} \right] = e_q^2 g^2 \frac{8}{9} \left[ \frac{t}{u} + \frac{u}{t} \right] \quad (7.6.164) $$

- $G(p_1) q(p_2) \to \gamma(p_3) q(p_4)$ (il faut multiplier par $\frac{1}{4N(N^2-1)}$) :

$$ \overline{\Sigma} M^2 = -e_q^2 g^2 < \frac{1}{2N} > 2 \left[ \frac{u}{s} + \frac{s}{u} \right] = -e_q^2 g^2 \frac{1}{3} \left[ \frac{u}{s} + \frac{s}{u} \right] \quad (7.6.165) $$

- $\gamma(p_1) q(p_2) \to G(p_3) q(p_4)$ (il faut multiplier par $\frac{1}{4N}$) :

$$ \overline{\Sigma} M^2 = e_q^2 g^2 < c_F > 2 \left[ \frac{u}{s} + \frac{s}{u} \right] = e_q^2 g^2 \frac{8}{3} \left[ \frac{u}{s} + \frac{s}{u} \right] \quad (7.6.166) $$
## 7.7 Hadrons et quarks colorés

On a vu dans la section 6.1 qu’un méson est composé d’une paire quark-antiquark et un baryon d’un triplet de quarks avec la contrainte que leur fonction d’onde est invariante sous l’action d’un élément du groupe de couleur, c’est à dire que méson et baryon sont respectivement de la forme :

$$ M = \sum (\bar{q}_i q'_i), \qquad B = \epsilon_{ijk} q_i q'_j q''_k \qquad (7.7.167) $$

avec l’indice de couleur $i, j, k = 1, 2, 3$. Sous une transformation de type éq. (7.1.3) $M$ est bien invariant puisque $U$ est unitaire. Pour le cas du baryon si on paramètre la matrice $U = (u_{ij})$, alors sous l’action d’un élément du groupe $B$ devient

$$ B' = \epsilon_{ijk} u_{il} u_{jm} u_{kn} q_l q'_m q''_n. \qquad (7.7.168) $$

On vérifie facilement que si deux parmi les indices $l, m, n$ sont égaux alors la combinaison est nulle et si on fait $q_l q'_m \to q_m q'_l$ alors $B' \to -B'$. Finalement pour $l = 1, m = 2, n = 3$ on a $\epsilon_{ijk} u_{i1} u_{j2} u_{k3} q_1 q'_2 q''_3 = \det U q_1 q'_2 q''_3$. Combinant toutes ces observations on prouve que, sous une transformation de type éq. (7.1.3), $B' = \det U (\epsilon_{lmn} q_l q'_m q''_n) = \det U B$ qui est bien invariant si le groupe est spécial unitaire puisque $\det U = 1$. Si on avait choisi $U(3)$ plutôt que $SU(3)$ comme groupe d’invariance locale on aurait eu un problème de normalisation de la fonction d’onde du baryon mais, plus important encore, on aurait un “gluon incolore” de masse nulle qui aurait engendré une interaction à longue portée entre hadrons singulets de couleur ce qui est physiquement exclu car on sait que l’interaction forte entre hadrons est de portée finie de l’ordre de $1/m_{\text{pion}}$. On rappelle finalement que le groupe d’invariance n’aurait pas pu être $O(3)$ ou $SO(3)$ puisque, dans ce cas, les quarks et les antiquarks appartiennent à la même représentation et on pourrait alors construire des systèmes à deux quarks, $\sum (q_i q'_i)$, singulets de couleur, qui ne sont pas observés.

## 7.8 Appendice I : Résumé des règles de Feynman en QCD

— Propagateur du fermion
$$ \begin{array}{rcl} \xrightarrow{i} & \xrightarrow{j} & = \delta_{ij} \frac{i}{p - m + i\epsilon} \end{array} $$

— Propagateur du gluon, *jauge covariante*

$$ G_{\mu\nu}^{ab}(k) = \delta^{ab} \frac{-i}{k^2 + i\epsilon} (g_{\mu\nu} - (1-\xi) \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}) = \delta^{ab} G_{\mu\nu}(k). \qquad (7.8.169) $$

où $\xi = 0$ *jauge de Landau*, $\xi = 1$ *jauge de Feynman*

— Propagateur du gluon, *jauge axiale*, $n \cdot A_\mu^a(x) = 0$

$$ G_{\mu\nu}^{ab}(k) = \delta^{ab} \frac{-i}{k^2 + i\epsilon} \left(g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu n_\nu + k_\nu n_\mu}{k \cdot n} + n^2 \frac{k_\mu k_\nu}{(k \cdot n)^2}\right). \qquad (7.8.170) $$

— Propagateur du fantôme
$$ \begin{array}{c} \mathbf{a} \quad \mathbf{b} \\ \mathbf{p} \end{array} = -\delta_{ab} \frac{i}{p^2 + i\epsilon}. $$
— Vertex gluon-fermion-fermion

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

$$= -igT_{ji}^{a}\gamma^{\mu},$$

— Vertex à 3 gluons

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

$$gf^{abc}[(p-q)g_{\lambda\mu} + (q-r)g_{\mu\lambda} + (r-p)g_{\nu\lambda}] = gf^{abc}V_{\lambda\mu\nu}(p, q, r)$$

— Vertex à 4 gluons

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

$$-ig^2 \left[ f^{abe} f^{cde} (g_{\lambda\nu} g_{\mu\rho} - g_{\lambda\rho} g_{\mu\nu}) + f^{ace} f^{bde} (g_{\lambda\mu} g_{\nu\rho} - g_{\lambda\rho} g_{\mu\nu}) + f^{ade} f^{bce} (g_{\lambda\mu} g_{\nu\rho} - g_{\lambda\nu} g_{\mu\rho}) \right] = -ig^2 V_{\lambda\mu\nu\rho}^{abcd}$$

— Vertex gluon-fantôme-fantôme, *jauge covariante*

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

$$= -g f^{abc} r_{\mu}.$$

— Boucle de fantômes, *jauge covariante*

Les fantômes obéissant à la statistique de Fermi-Dirac il faut associer un facteur $-1$ à chaque boucle de fantômes (comme pour les fermions).
## 7.9 Appendice II : Facteurs de couleur pour SU(N)

Les relations suivantes sont utiles pour le calcul des facteurs de couleur des diagrammes en QCD :

$$[T^a, T^b] = if^{abc}T^c, \quad f^{abc} \text{ totalement antisymétrique}$$

$$\{T^a, T^b\} = \frac{\delta^{ab}}{N} + d^{abc}T^c, \quad d^{abc} \text{ totalement symétrique}$$

$$\mathrm{Tr} T^a = 0$$

$$\mathrm{Tr} T^a T^b = \frac{\delta^{ab}}{2}$$

$$\sum_a (T^a T^a)_{ij} = c_F \delta_{ij}, \quad c_F = \frac{N^2 - 1}{2N}, \text{ Casimir de la représentation fondamentale}$$

$$\sum_{cd} f^{acd} f^{bcd} = c_A \delta^{ab}, \quad c_A = N, \text{ Casimir de l' adjointe}$$

$$\sum_{cd} d^{acd} d^{bcd} = \left(N - \frac{4}{N}\right) \delta^{ab}$$

Une représentation utile des générateurs de SU(3) est $T^a = \lambda^a/2$ avec $\lambda^a$, les matrices de Gell-Mann.
# Chapitre 8

## Chromodynamique Quantique : Renormalisation à une boucle

### 8.1 Introduction

Le but de ce chapitre est d'identifier les divergences ultraviolettes des diagrammes à une boucle de QCD et après avoir défini un schéma de renormalisation d'introduire le couplage mobile et démontrer la propriété de liberté asymptotique. Comme pour QED, on suppose que le lagrangien éq. (7.3.91) de la section 7.3,

$$ \mathcal{L}_{QCD} = \mathcal{L}_G + \mathcal{L}_{GF} + \mathcal{L}_{FP} + \mathcal{L}_F, \qquad (8.1.1) $$

est exprimé en termes des quantités nues et on introduit à priori des quantités renormalisées en relation avec ces dernières. On contruira le développement perturbatif à l'aide des quantités renormalisées. Ceci est un peu fastidieux mais nécessaire ! On définit donc :

$$ \psi_B = Z_2^{1/2} \psi ; \quad A_{B\mu}^a = Z_3^{1/2} A_\mu^a ; \quad \chi_B^a = \tilde{Z}_3^{1/2} \chi^a ; \quad m_B = \frac{Z_0}{Z_2} m \qquad (8.1.2) $$

$$ g_B = \frac{Z_{1F}}{Z_2 Z_3^{1/2}} g \mu^\varepsilon = \frac{Z_1}{Z_3^{3/2}} \tilde{g} \mu^\varepsilon = \frac{\tilde{Z}_1}{\tilde{Z}_3 Z_3^{1/2}} \tilde{g} \mu^\varepsilon ; \quad \xi_B = Z_3 \xi. \qquad (8.1.3) $$

On a introduit trois constantes renormalisées : $g$ couplage gluon-fermion, $\tilde{g}$ autocouplage des gluons et $\tilde{g}$ couplage gluon-fantômes. On peut montrer qu'il n'est pas nécessaire d'introduire une constante de renormalisation spécifique pour le paramètre de jauge. En fonction des ces nouvelles variables la densité lagrangienne s'écrit :

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}_{QCD} = & -\frac{1}{4} Z_3 \left( \partial_{\mu} A_{\nu}^{a} - \partial_{\nu} A_{\mu}^{a} + \left( \frac{Z_1}{Z_3} \tilde{g} \right) f^{abc} A_{\mu}^{b} A_{\nu}^{c} \right)^2 \\ & + \tilde{Z}_3 (\partial^{\mu} \chi^{*a}) \left( \delta^{ab} \partial_{\mu} - \left( \frac{\tilde{Z}_1}{\tilde{Z}_3} \tilde{g} \right) f^{abc} A_{\mu}^{c} \right) \chi^b - \frac{1}{2\xi} (\partial^{\mu} A_{\mu}^{a})^2 \\ & + Z_2 \bar{\psi} i \left( \partial_{\mu} - i \left( \frac{Z_{1F}}{Z_2} g \right) A_{\mu}^{b} T^{b} \gamma^{\mu} \right) \psi - Z_0 \bar{\psi} m \psi. \end{aligned} \qquad (8.1.4) $$
La transformation BRS sur les champs nus, éqs. (7.5.130), implique la transformation sur les champs renormalisés :

$$
\begin{align*}
\delta\psi &= ig \frac{Z_{1F}}{Z_2} \epsilon\chi^a T^a\psi \\
\delta A_{\mu}^{a} &= \partial_{\mu}\epsilon\chi^a - \tilde{g} \frac{Z_1}{Z_3} f^{abc}\epsilon\chi^b A_{\mu}^c \\
\delta\chi^a &= -\frac{1}{2}\tilde{g} \frac{\tilde{Z}_1}{\tilde{Z}_3} f^{abc}\epsilon\chi^b\chi^c \\
\delta\chi^{*a} &= -\frac{1}{\xi}(\partial^{\mu}A_{\mu}^{a})\frac{1}{\tilde{Z}_3}\epsilon \tag{8.1.5}
\end{align*}
$$

où $\epsilon = (\tilde{Z}_3/Z_3)^{1/2}\epsilon_B$, qui laissera le lagrangien éq. (8.1.4) invariant. Si la théorie est renormalisable,
les constantes $g, \tilde{g}, \tilde{\tilde{g}}$ doivent être finies. Si c'est le cas, on peut choisir un schéma tel que $g = \tilde{g} = \tilde{\tilde{g}}$,
et donc nécessairement, par (8.1.3),

$$
\frac{Z_{1F}}{Z_2} = \frac{Z_1}{Z_3} = \frac{\tilde{Z}_1}{\tilde{Z}_3}, \qquad (8.1.6)
$$

qui est l'équivalent de Z₁ = Z₂ en QED. Ces relations peuvent être prouvées par un calcul ex-
plicite à une boucle. On peut le prouver à tous les ordres grâce aux identités de Slavnov-Taylor
conséquences de l'invariance BRS.

Introduisant les contre-termes et notant tous les couplages renormalisés par $g$ on a (avec la notation $\delta Z_i = Z_i - 1$)

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\mathcal{L}_{QCD} ={}& -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + (\partial^\mu \chi^{*a}) \mathcal{D}_\mu^{ab} \chi^b - \frac{1}{2\xi} (\partial^\mu A_\mu^a)^2 + \bar{\psi} (i \not D - m) \psi \\
& -\frac{1}{4} \delta Z_3 (\partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a)^2 + \delta \tilde{Z}_3 (\partial^\mu \chi^{*a}) (\partial_\mu \chi^a) + i \delta Z_2 \bar{\psi} \not D \psi \\
& -\frac{1}{2} \delta Z_1 g \mu^\epsilon (\partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a) f^{abc} A_\mu^b A_\nu^c - \frac{1}{4} (2 \delta Z_1 - \delta Z_3) (g \mu^\epsilon)^2 f^{abc} A_\mu^b A_\nu^c f^{ade} A^{d\mu} A^{e\nu} \\
& - \delta \tilde{Z}_1 g \mu^\epsilon (\partial^\mu \chi^{*a}) f^{abc} A_\mu^c \chi^b + \delta Z_1 g \mu^\epsilon \bar{\psi} A^a T^a \psi
\end{split}
\tag{8.1.7}
\end{equation}
$$

où la première ligne est identique au lagrangien éq. (8.1.1) mais exprimé en fonction des quantités renormalisées, la deuxième ligne contient les contre-termes de fonctions d'onde et les dernières les contre-termes de couplage. Les diagrammes de Feynman corespondant à ces contre-termes sont faciles à écrire puisque qu'ils ont la même forme que les termes du lagrangien initial :

— Contre-terme du champ de gluon :

$$
i \delta Z_3 \delta^{ab} (q_\mu q_\nu - q^2 g_{\mu\nu}) = a \circ\circ\circ\circ\circ\circ\circ\circ\circ b
$$

— Contre-terme du champ de fantôme :

$$
i \delta \tilde{Z}_3 \delta^{ab} q^2 = a \rightarrow \bullet \xrightarrow{q} \bullet
$$

— Contre-terme du champ de fermion :

$$
i \delta Z_2 \delta^{ji} \not{p} = i \longrightarrow \bullet \xrightarrow{\not{p}} j
$$
diagrammes en boucles potentiellement divergents :

- polarisation du gluon, polarisation du fantôme, self-énergie du quark;

- vertex à 3 gluons, vertex gluon-fantôme-fantôme, vertex gluon-quark-quark;

- vertex à 4 gluons.

Toutes ces topologies correspondent à des contre-termes dans le lagrangien ce qui suggère que la théorie peut être renormalisable.

On ne calculera que quelques contre-termes et s'assurera qu'ils peuvent être choisis pour annuler les divergences. On supposera, pour simplifier, que les quarks sont de masse nulle ($m_B = m = 0$, voir éq. (8.1.3), et il n'y aura pas lieu d'introduire $Z_0$). On commence par les termes les plus faciles à savoir le couplage gluon-fermion et qui permettra de définir le couplage renormalisé par

$$g_B = \frac{Z_{1F}}{Z_2\sqrt{Z_3}} g\mu^\epsilon. \qquad (8.1.10)$$

## 8.2 Calcul des $Z_i$

Le calcul est effectué en jauge covariante, le propagateur du gluon étant choisi de la forme

$$\delta^{ab} \frac{i}{q^2 + i\epsilon} \left( -g_{\mu\nu} + (1-\xi) \frac{q_\mu q_\nu}{q^2 + i\epsilon} \right)$$

où $\xi$ dénote, dans la suite, le paramètre de jauge avec $\xi = 0$ en jauge de Landau et $\xi = 1$ en jauge de Feynman. Avec ce choix de jauge il faudra donc inclure les boucles de "fantômes". Les contre-termes seront définis dans le shéma $\overline{MS}$ ou éventuellement $MS$. Cela n'a pas de sens de définir le schéma ON, sur couche de masse, puisque les partons sont confinés dans des hadrons et sont donc hors couche.

### 8.2.1 Calcul de $Z_2$

Dans cette section nous évaluons le contre-terme de la fonction d'onde du quark. On rappelle que le contre-terme $\delta Z_0 = 0$ puisque la masse est supposée nulle. Les diagrammes à considérer sont similaires à ceux de QED avec essentiellement le facteur de couleur en plus :

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

$$-i \Sigma_{ji}^{\text{boucle}}(p) = -i \Sigma_{ji}^{\text{boucle}}(p) + i(Z_2 - 1) \delta_{ji} \not p$$

Le diagramme en boucle s'écrit :

$$-i \Sigma_{ji}^{\text{boucle}} = (-ig\mu^\epsilon)^2 \langle T_{jk}^a T_{ki}^a \rangle > \int \frac{d^n l}{(2\pi)^n} \gamma_\mu \frac{i(\not p + \not l)}{(p+l)^2 + i\epsilon} \gamma_\nu \frac{i}{l^2 + i\epsilon} (-g^{\mu\nu} + (1-\xi) \frac{l^\mu l^\nu}{l^2})$$
Dans une notation évidente on décompose le diagramme de polarisation du gluon en une série de termes

$$ \Pi^{\alpha\beta,ab}(q) = \Pi_{F}^{\alpha\beta,ab}(q) + \Pi_{g}^{\alpha\beta,ab}(q) + \Pi_{gh}^{\alpha\beta,ab}(q) + \Pi_{4g}^{\alpha\beta,ab}(q) + (Z_3 - 1)\delta^{ab}(q^\alpha q^\beta - q^2 g^{\alpha\beta}). \quad (8.2.17) $$

### • $\Pi_F^{\alpha\beta,ab}(q)$

Ce diagramme contient une boucle fermionique et du point de vue structure de Lorentz il est similaire au diagramme de polarisation du vide en QED. Aucun nouveau calcul n'est, en principe, nécessaire pour évaluer l'intégrale sur l'impulsion interne : il suffit de se reporter à l'éq. (4.1.17) et de choisir $m = 0$ avant le développement en $\epsilon$ ce qui permet de faire très facilement l'intégrale sur le paramètre de Feynman. Quant à la partie de couleur, elle est simplement

$$ T_{ji}^{a}T_{ij}^{b} = \mathrm{Tr} T^{a}T^{b} = \frac{\delta^{ab}}{2}. $$

Ainsi, on obtient :

$$ \begin{aligned} \Pi_F^{\alpha\beta,ab}(q) &= \left\langle \frac{\delta^{ab}}{2} \right\rangle \frac{g^2}{2\pi^2} \left( \frac{4\pi\mu^2}{-q^2} \right)^{\epsilon} \Gamma(\epsilon) \int_0^1 dx \, x^{1-\epsilon} (1-x)^{1-\epsilon} (q^\alpha q^\beta - q^2 g^{\alpha\beta}) \\ &= \left\langle \frac{\delta^{ab}}{2} \right\rangle \frac{g^2}{2\pi^2} \left( \frac{4\pi\mu^2}{-q^2} \right)^{\epsilon} \Gamma(\epsilon) \frac{\Gamma(2-\epsilon)\Gamma(2-\epsilon)}{\Gamma(4-2\epsilon)} (q^\alpha q^\beta - q^2 g^{\alpha\beta}) \quad (8.2.18) \\ &= \left\langle \frac{\delta^{ab}}{2} \right\rangle \frac{g^2}{12\pi^2} \frac{\Gamma(1-\epsilon)\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \left( \frac{4\pi\mu^2}{-q^2} \right)^{\epsilon} \Gamma(\epsilon) \left(1 + \frac{5}{3}\epsilon\right) (q^\alpha q^\beta - q^2 g^{\alpha\beta}). \end{aligned} $$

Chaque espèce de quark léger contribue à part égale (quarks de masse nulle) à la boucle fermionique et il faudra multiplier le résultat précédent par $N_f$, le nombre de saveurs considérées. Ainsi, on trouve finalement

$$ \Pi_F^{\alpha\beta,ab}(q) = \left\langle N_f \frac{\delta^{ab}}{2} \right\rangle \frac{g^2}{(4\pi)^2} \left( \frac{4\pi\mu^2}{-q^2} \right)^{\epsilon} \frac{(\Gamma(1-\epsilon))^2}{\Gamma(1-2\epsilon)} \Gamma(\epsilon) \frac{4}{3} \left(1 + \frac{5}{3}\epsilon\right) (q^\alpha q^\beta - q^2 g^{\alpha\beta}) \quad (8.2.19) $$

### • $\Pi_{4g}^{\alpha\beta,ab}(q)$

C'est le diagramme de type "tadpole", le seul qui fasse intervenir le couplage à quatre gluons. Il se trouve être égal à 0 en régularisation dimensionnelle. En effet, si on ignore le détail des facteurs de couleur, la partie de Lorentz est de la forme :

$$ \Pi_{4g}^{\alpha\beta,ab}(q) \sim \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{ag^{\alpha\beta} + bk^{\alpha}k^{\beta}/k^2}{k^2 + i\epsilon} = (a + \frac{b}{4-2\epsilon})g^{\alpha\beta} \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{1}{k^2 + i\epsilon}, $$

d'après les éqs. (3.2.16), (3.2.21). On introduit maintenant une faible masse $m$ pour évaluer l'intégrale

$$ \lim_{m \to 0} \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{1}{k^2 - m^2 + i\epsilon} = m^{2-2\epsilon} \Gamma(-1 + \epsilon) $$

et on prend $m \to 0$ après l'intégration. On trouve donc bien

$$ \Pi_{4g}^{\alpha\beta,ab}(q) = 0. $$
Remarque : Attention à l'ordre des limites ! Il faut d'abord prendre le régulateur infrarouge vers 0 ($m \to 0$) avant de prendre (le régulateur ultraviolet) $\epsilon \to 0$.

### • $\Pi_g^{\alpha\beta,ab}(q)$

Le calcul de l'intégrale sur l'impulsion est très long mais ne présente aucune difficulté majeure. Nous nous bornons à citer le départ et l'arrivée. Les notations sont définies dans la figure ci-dessous :

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

En lettres cela devient :

$$ 
\begin{aligned}
i \Pi_g^{\alpha\beta,ab}(q) = & (g\mu^\epsilon)^2 \frac{1}{2} \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \\ 
& \times \left( f^{adc} \left[ g^{\alpha\delta}(q+k)^\gamma + g^{\delta\gamma}(q-2k)^\alpha + g^{\gamma\alpha}(k-2q)^\delta \right] \right. \\ 
& \left. \times \frac{-i}{k^2+i\epsilon} \left[ g^{\delta\delta'} - (1-\xi) \frac{k^\delta k^{\delta'}}{k^2+i\epsilon} \right] \right. \\ 
& \left. \times \frac{-i}{(k-q)^2+i\epsilon} \left[ g^{\gamma\gamma'} - (1-\xi) \frac{((k-q)^\gamma)(k-q)^{\gamma'}}{(k-q)^2+i\epsilon} \right] \right. \\ 
& \left. \times f^{c'd'b} \left[ g^{\gamma'\delta'}(q-2k)^\beta + g^{\delta'\beta}(q+k)^\gamma + g^{\beta\gamma'}(k-2q)^{\delta'} \right] \right)
\end{aligned} 
\quad (8.2.20) 
$$

On note le facteur 1/2 global pour la symétrisation de particules identiques dans la boucle. L'intégrale sur l'impulsion interne et la variable de Feynman se font suivant les règles habituelles et on trouve, après un pénible calcul :

$$ 
\begin{aligned}
\Pi_g^{\alpha\beta,ab}(q) = & <N \delta^{ab} > \frac{g^2}{(4\pi)^2} \left(\frac{4\pi\mu^2}{-q^2}\right)^\epsilon \frac{(\Gamma(1-\epsilon))^2}{\Gamma(1-2\epsilon)} \Gamma(\epsilon) \\ 
& \frac{1}{1-2\epsilon} \left[ q^2 g^{\alpha\beta} \left(\frac{19}{12} + \frac{1}{18}\epsilon\right) - q^\alpha q^\beta \left(\frac{11}{6} + \frac{1}{18}\epsilon\right) \right. \\ 
& \left. + (1-\epsilon) \left(q^2 g^{\alpha\beta} - q^\alpha q^\beta\right) \left(\frac{1}{2} - 2\epsilon\right) \right. \\ 
& \left. + \frac{1}{4} (1-\epsilon)^2 \left(q^2 g^{\alpha\beta} - q^\alpha q^\beta\right) \epsilon \right]
\end{aligned} 
\quad (8.2.21) 
$$

La contribution provenant de la boucle de gluons n'est pas transverse.

### • $\Pi_{gh}^{\alpha\beta,ab}(q)$

L'application des règles de Feynman permet d'écrire facilement avec les conventions de la figure (attention aux signes et au facteur (-) associé à la boucle de fantômes !) :
<figure><img src="image_66.png" /></figure>

En lettres on a :

$$i\Pi_{gh}^{\alpha\beta,ab}(q) = -(g\mu)^{2\epsilon} \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \left( f^{acd} k^{\alpha} \frac{-i\delta^{cc'}}{k^2 + i\epsilon} f^{bd'c'} (k-q)^{\beta} \frac{-i\delta^{dd'}}{(k-q)^2 + i\epsilon} \right) \quad (8.2.22)$$

Le calcul est beaucoup plus simple que le cas précédent. Après intégration sur $x$, on obtient :

$$\Pi_{gh}^{\alpha\beta,ab}(q) = \langle N \delta^{ab} \rangle = \frac{g^2}{(4\pi)^2} \left( \frac{4\pi\mu^2}{-q^2} \right)^{\epsilon} \frac{(\Gamma(1-\epsilon))^2}{\Gamma(1-2\epsilon)} \Gamma(\epsilon) \\ \frac{1}{1-2\epsilon} \left[ q^2 g^{\alpha\beta} \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{18}\epsilon \right) - q^{\alpha} q^{\beta} \left( -\frac{1}{6} + \frac{1}{18}\epsilon \right) \right]. \quad (8.2.23)$$

## • Résultat

Dans tous les résultats précédents apparaît le facteur $(\Gamma(1-\epsilon))^2/\Gamma(1-2\epsilon)$, typique de l’intégrale sur la variable de Feynman dans le cas d’une masse nulle. Il admet le développement en $\epsilon$ (voir éq. (3.2.20)),

$$\frac{(\Gamma(1 - \epsilon))^2}{\Gamma(1 - 2\epsilon)} = 1 - \frac{\pi^2}{6} \epsilon^2 + \mathcal{O}(\epsilon^3), \quad (8.2.24)$$

et ce terme peut donc être remplacé par 1 car la divergence de toutes les contributions à la polarisation du gluon est d'ordre $1/\epsilon$ puisque $\Gamma(\epsilon) = \Gamma(1+\epsilon)/\epsilon$. Regroupant toutes les contributions en boucle à l'éq. (8.2.17) on peut les écrire :

$$\Pi_{\text{boucle}}^{\alpha\beta,ab}(q) = (\Pi_{\text{UV}} + \Pi_{\text{rest}}) \langle \delta^{ab} \rangle = (q^\alpha q^\beta - q^2 g^{\alpha\beta}) \quad (8.2.25)$$

avec

$$\Pi_{\text{UV}} = - \frac{g^2}{(4\pi)^2} \frac{\Gamma(1+\epsilon)}{\epsilon} \left( \frac{4\pi\mu^2}{-q^2} \right)^{\epsilon} \left( \left( \frac{13}{6} - \frac{\xi}{2} \right) \langle N \rangle - \frac{4}{3} \frac{\langle N_f \rangle}{2} \right) \quad (8.2.26)$$

$$\Pi_{\text{rest}} = - \frac{g^2}{(4\pi)^2} \left( \left( \frac{22}{9} + \xi + \frac{1}{4}(1-\xi)^2 \right) \langle N \rangle - \frac{20}{9} \frac{\langle N_f \rangle}{2} \right) \quad (8.2.27)$$

Elles ont bien la forme transverse canonique. La constante de renormalisation dans le schéma $\overline{MS}$ compense la divergence UV :

$$Z_3^{\overline{MS}} = 1 + c_3 \frac{\alpha_s}{4\pi} \frac{\Gamma(1+\epsilon)}{\epsilon} (4\pi)^{\epsilon}, \quad (8.2.28)$$

avec

$$c_3 = \left( \left( \frac{13}{6} - \frac{\xi}{2} \right) \langle N \rangle - \frac{4}{3} \frac{\langle N_f \rangle}{2} \right) \quad (8.2.29)$$
et

$$ \Pi^{\overline{MS}} = c_3 \frac{\alpha_s}{4\pi} \ln\left(\frac{-q^2}{\mu^2}\right) + \Pi_{\text{rest.}} \qquad (8.2.30) $$

Comme pour QED (voir sec. 4.1.1) la correction des termes de polarisation du gluon apportera un facteur multipicatif au couplage $\alpha_{\overline{MS}}(\mu^2) \to -\alpha_{\overline{MS}}(\mu^2) \Pi^{\overline{MS}}$, mais contrairement à QED ce couplage recevra aussi des contributions du vertex et de la self-énergie du fermion.

### 8.2.3 Calcul de $Z_{1F}$

Il y a trois diagrammes :

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

$$ -ig\mu^\varepsilon \Lambda_{ji}^{\alpha,a}(p, p')|_{\text{boucle}} + (-ig\mu^\varepsilon) (Z_{1F} - 1) T_{ji}^a \gamma^\alpha $$

Nous supposons les fermions externes sur couche de masse, $p^2 = p'^2 = 0$, mais le gluon virtuel $(p - p')^2 = q^2 \neq 0$.

- La première boucle (avec 2 fermions internes) est identique au vertex QED à part un facteur multiplicatif de couleur que l'on spécifiera plus bas. La partie divergente dans l'ultraviolet est donc en relation avec celle de la self-energie du fermion (8.2.11)) et on pourrait avoir immédiatement sa contribution au facteur $Z_{1F}$. Cependant, il est intéressant d'évaluer ce diagramme plus précisement pour illustrer les complications associées aux divergences infrarouge et colinéaire. Cela peut être fait facilement, en jauge de Feynman, à partir de l'éq. (4.3.98) en posant $m = 0$ dans cette équation. Ignorant pour le moment les facteurs de couleur, il faut donc évaluer,

$$ \Lambda_{ji}^{\alpha,a}(p; p')|_{\text{boucle, QED}} \approx -i (g\mu^\varepsilon)^2 \int_0^1 dx \int_0^1 dy \, 2y \int \frac{d^n l}{(2\pi)^n} \gamma_\alpha \frac{[2\frac{(1-\varepsilon)^2}{2-\varepsilon} l^2 - 2q^2(1-y) - 2q^2y^2x(1-x)]}{(l^2 + q^2y^2x(1-x) + i\varepsilon)^3} \quad (8.2.31) $$

Comme en QED, le premier terme du numérateur contient toutes les divergences ultraviolettes et on trouve

$$ \Lambda_{ji}^{\alpha,a}|_{\text{boucle, QED}} \approx \frac{g^2}{(4\pi)^2} \gamma_\alpha \left(\frac{4\pi\mu^2}{-q^2}\right)^\varepsilon \frac{(\Gamma(1-\varepsilon))^2}{\Gamma(1-2\varepsilon)} \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} (1+\varepsilon), \quad (8.2.32) $$

qui est bien similaire à l'éq. (8.2.11) pour $\xi = 1$.

Le deuxième terme du numérateur de (8.2.31), $-2q^2(1-y)$, est régulier dans l'ultraviolet mais contient toutes les divergences infrarouge et colinéaire (voir éq. (4.3.103)). On trouve après intégration
sur l'impulsion de la boucle

$$
\begin{align}
\Lambda_{ji}^{\alpha,a|\text{boucle, "QED"}} &\approx \frac{g^2}{(4\pi)^2} \gamma_\alpha \left(\frac{4\pi\mu^2}{-q^2}\right)^\varepsilon 2 \Gamma(1+\varepsilon) \int_0^1 dy \, y^{-1-2\varepsilon} (1-y) \int_0^1 dx \, x^{-1-\varepsilon} (1-x)^{-1-\varepsilon} \nonumber \\
&\approx -\frac{g^2}{(4\pi)^2} \gamma_\alpha \left(\frac{4\pi\mu^2}{-q^2}\right)^\varepsilon \Gamma(1+\varepsilon) \frac{(\Gamma(1-\varepsilon))^2}{\Gamma(1-2\varepsilon)} \left(\frac{2}{\varepsilon_{\text{ir}}^2} + \frac{4}{\varepsilon_{\text{ir}}} + 8\right). \tag{8.2.33}
\end{align}
$$

On voit que les intégrales sur les paramètres de Feynman sont toutes deux divergentes quand $\epsilon \to 0$. La divergence en $y=0$ reflète la divergence infrarouge, $l \to 0$ du diagramme (voir la discussion autour de l'expression éq. (4.3.105)) tandis que celles en $x=0$ et $x=1$ sont associées à la divergence de masse $m=0$. Il suffit de se reporter à l'éq. (4.3.103) pour voir que l'intégrale $I_1$, coefficient de $1/\epsilon_{ir}$ n'est pas définie quand $m=0$. Pour lui donner un sens il faut évaluer les expressions avant de faire le développement en $\epsilon$, comme nous l'avons fait dans l'équation ci-dessus, ce qui mène à un pôle en $\epsilon$ (voir aussi éq. (4.3.102)). On utilise le même symbole ir pour noter l'origine des divergences infrarouge et colinéaire mais on rappelle que ce n'est qu'un mnémonique et l'on a bien $\epsilon = \epsilon_{ir}$.

Le troisième terme du numérateur de (8.2.31), $-2q^2y^2x(1-x)$ est régulier et s'évalue facilement :

$$
\Lambda_{ji}^{\alpha,a|\text{boucle, "QED"}} \approx -\frac{g^2}{(4\pi)^2} \gamma_\alpha \left(\frac{4\pi\mu^2}{-q^2}\right)^\epsilon .
$$

Il reste maintenant à introduire le facteur de couleur qui s'écrit :

$$
\begin{align}
(T_{jl}^b T_{lk}^a T_{ki}^b) &= (T_b T_a T_b)_{ji} = (T^b T^b T^a + i f^{abc} T^b T^c)_{ji} \nonumber \\
&= c_F T_{ji}^a + \frac{i}{2} f^{abc} ([T^b, T^c] + \{T^b, T^c\})_{ji} \nonumber \\
&= c_F T_{ji}^a - \frac{1}{2} f^{abc} f^{bce} T_{ji}^e \nonumber \\
&= \langle (c_F - \frac{N}{2}) T_{ji}^a \rangle. \tag{8.2.34}
\end{align}
$$

Finalement, rassemblant tout on trouve que, en jauge de Feynman, la contribution au vertex de la
boucle de type QED est :

$$
\Lambda_{ji}^{\alpha,a}(p,p')|_{\text{boucle, "QED"}} = \langle (c_F - \frac{N}{2}) T_{ji}^a \rangle
&> \frac{g^2}{(4\pi)^2} \gamma_\alpha \left(\frac{4\pi\mu^2}{-q^2}\right)^\epsilon \frac{(\Gamma(1-\epsilon))^2}{\Gamma(1-2\epsilon)} \Gamma(1+\epsilon) \\
&\left[ \left(\frac{1}{\epsilon} + 1\right) - \left(\frac{2}{\epsilon_{\text{ir}}^2} + \frac{4}{\epsilon_{\text{ir}}} + 9\right) \right]. \tag{8.2.35}
$$

On remarque qu'en QCD, même si les divergences ultraviolettes du vertex et de la self-ENERGIE
sont identiques, elles ne se compensent pas à cause du facteur de couleur différent pour les deux
diagrammes : <c<sub>F</sub> pour la self comparé à <c<sub>F</sub> - N/2 pour le vertex de type QED.
- La seconde boucle (avec 2 gluons internes) a le facteur de couleur

$$ 
\begin{align*}
f^{abc} T_{jl}^b T_{li}^c = f^{abc}(T^b T^c)_{ji} &= f^{abc} \frac{1}{2} [T^b, T^c]_{ji} \\
&= \frac{1}{2} f^{abc} i f^{bcd} T_{ji}^d \\
&= \frac{i}{2} c_A T_{ji}^a = \frac{i}{2} N T_{ji}^a \tag{8.2.36}
\end{align*}
$$

Nous ne détaillerons pas le calcul fastidieux de ce diagramme mais citerons seulement le résultat du vertex complet (c'est à dire comprenant les deux diagrammes en boucle), en jauge covariante. On peut l'exprimer sous la forme :

$$ \Lambda_{ji}^{\alpha,a}(p; p')|_{\text{boucle}} = (\Lambda_{\text{UV}} + \Lambda_{\text{rest}}) T_{ji}^{a} \gamma_{\alpha} \quad (8.2.37) $$

avec

$$ \Lambda_{\text{UV}} = \frac{g^2}{(4\pi)^2} \left( \frac{4\pi\mu^2}{-q^2} \right)^{\varepsilon} \frac{(\Gamma(1-\varepsilon))^2}{\Gamma(1-2\varepsilon)} \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} \left( \left(c_F - \frac{N}{2}\right)\xi + \frac{3}{4}N(1+\xi) \right) \quad (8.2.38) $$

$$ \Lambda_{\text{rest}} = \frac{g^2}{(4\pi)^2} \left( \frac{4\pi\mu^2}{-q^2} \right)^{\varepsilon} \frac{(\Gamma(1-\varepsilon))^2}{\Gamma(1-2\varepsilon)} \Gamma(1+\varepsilon) \left( \frac{a_2}{\varepsilon_{\text{ir}}^2} + \frac{a_1}{\varepsilon_{\text{ir}}} + a_0 \right) \quad (8.2.39) $$

avec :

$$ 
\begin{align}
a_2 &= -2 \left( c_F - \frac{N}{2} \right) \nonumber \\
a_1 &= -(3 + \xi) \left( c_F - \frac{N}{2} \right) - 2N \nonumber \\
a_0 &= -8 \left( c_F - \frac{N}{2} \right) - N \left( 1 - \frac{1}{2}(1-\xi) + \frac{1}{4}(1-\xi)^2 \right) \tag{8.2.40}
\end{align}
$$

Concernant les pôles en $\varepsilon_{ir}$ seul le diagramme de type QED contribue au double pôle (singularité infrarouge et singularité de masse) puisqu'il est associé au facteur de couleur ($c_F - N/2$). Le vertex à trois gluons est, en effet, moins divergent dans l'infrarouge puisque le couplage correspondant contient un facteur d'impulsion interne supplémentaire suffisant pour compenser la singularité infrarouge, de sorte qu'il ne survit qu'une singularité de masse. D'autre part on note que le facteur $(\Gamma(1-\varepsilon))^2/\Gamma(1-2\varepsilon)$ peut être ignoré dans $\Lambda_{UV}$, du fait de l'éq. (8.2.24), et de même dans $\Lambda_{\text{rest}}$ pourvu que l'on fasse $a_0 \to a_0 - a_2\pi^2/6$.

### • Résultat

La correction à une boucle au vertex étant :

$$ \Lambda_{ji}^{\alpha,a}(p, p') = (\Lambda_{\text{UV}} + \Lambda_{\text{rest}} + Z_{1F} - 1) T_{ji}^{a} \gamma^{\alpha}, \quad (8.2.41) $$

le choix

$$ Z_{1F}^{MS} = 1 + c_1 \frac{\alpha_s}{4\pi} \frac{\Gamma(1+\varepsilon)}{\varepsilon} (4\pi)^{\varepsilon} \quad (8.2.42) $$
avec

$$c_1 = -(\langle c_F \rangle \xi + \langle N \rangle \frac{3+\xi}{4}), \qquad (8.2.43)$$

annulera la divergence et il restera

$$\Lambda^{\overline{MS}} = c_1 \frac{\alpha_s}{4\pi} \ln \left( \frac{-q^2}{\mu^2} \right) + \Lambda_{\text{rest}} \qquad (8.2.44)$$

qui est seulement un facteur multiplicatif au vertex $T_{ji}^a \gamma^\alpha$ à l'ordre de Born. Les termes divergents d'origine infrarouge restant dans l'expression du vertex se compenseront dans le calcul d'une observable physique comme on l'a vu dans le chapitre 5 et ceux d'origine colinéaire seront traités dans le chapitre suivant.

De fastidieux calculs similaires à ceux que l'on vient de discuter permettront de déterminer $Z_1, \tilde{Z}_1, \tilde{Z}_3$ et on peut vérifier les égalités (8.1.6), d'où il s'ensuit, d'après les éqs. (8.1.3), que l'on peut identifier les couplages $g, \tilde{g}, \tilde{\tilde{g}}$.

## • Application

On considère la diffusion quark-quark' à grands transferts d'énergie $t = -q^2$. Les diagrammes virtuels à considérer aux deux premiers ordres des perturbations sont<fnref n="1" />

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

Comme on l'a vu, ces corrections ne sont que des facteurs multiplicatifs : $\Sigma^{\overline{MS}}/2$ pour chaque spineur externe, $\Lambda^{\overline{MS}}$ pour chaque vertex, $-\Pi^{\overline{MS}}$ pour le couplage $\alpha_s(\mu^2)$. L'amplitude de diffusion, corrigée des termes virtuels, est donc aux deux premiers ordres de la théorie des perturbations :

$$ \begin{aligned} 4\pi \alpha_s(\mu^2) \mathcal{M}_{0}^{q_1 q'_2 \to q_3 q'_4} &= 4\pi \alpha_s(\mu^2) \left\{ 1 + 2\Sigma^{\overline{MS}} + 2\Lambda^{\overline{MS}} - \Pi^{\overline{MS}} \right\} \mathcal{M}_{0}^{q_1 q'_2 \to q_3 q'_4} \\ &= 4\pi \alpha_s(\mu^2) \left\{ 1 + 2\Sigma^{\overline{MS}} + 2c_1 \frac{\alpha_s}{4\pi} \ln\left(\frac{-q^2}{\mu^2}\right) + 2\Lambda_{\text{rest}} \right. \\ & \qquad \left. -c_3 \frac{\alpha_s}{4\pi} \ln\left(\frac{-q^2}{\mu^2}\right) - \Pi_{\text{rest}} \right\} \mathcal{M}_{0}^{q_1 q'_2 \to q_3 q'_4}. \quad (8.2.45) \end{aligned} $$

Dans cette équation, $\mathcal{M}_0^{q_1 q'_2 \to q_3 q'_4}$ dénote l'amplitude à l'approximation de Born. Si on garde $\mu^2$ fixe et que l'on s'intéresse aux hautes énergies ($-q^2$ grand) on peut avoir de grandes corrections logarithmiques. Un choix astucieux consiste à prendre $\mu^2 = -q^2$ de sorte que tous les grands logarithmes disparaissent et on aura pour l'élément de matrice

$$4\pi \alpha_s(-q^2) \{1 + \mathcal{O}(\alpha_s(-q^2))\} \mathcal{M}_0^{q_1 q'_2 \to q_3 q'_4} \qquad (8.2.46)$$

<footnote n="1">1. On ignore les diagrammes avec échange de deux gluons entre $q_1$ et $q_2$ qui n'ont pas de divergences ultraviolettes.</footnote>
Dans l'approximation des logarithmes dominants (leading logarithm approximation), notée LO, on ne garde que le premier terme de l'équation, c'est à dire le terme de Born mais avec le couplage fort évalué à l'échelle caractéristique du processus. La section efficace calculée, en incluant l'effet des corrections à une boucle, a alors exactement la même expression que celle calculée en ne considérant que les diagrammes d'ordre le plus bas : la seule différence entre les deux expressions est que, dans le premier cas, le couplage dépend de l'échelle caractéristique du processus dur étudié qui est ici l'impulsion de transfert de la réaction. Si on travaille à l'approximation suivante (next-to-leading logarithmic approximation), dite NLO, le terme correctif, d'ordre $\alpha_s^2$, contient en fait des divergences infrarouges et colinéaires : les pôles d'origine infrarouge seront compensées par des termes similaires venant des diagrammes réels lorsque l'on construira la section efficace, comme on l'a vu au chapitre 5 ou comme on le verra sur des exemples dans les chapitres suivants. Les divergence colinéaires doivent, suivant les observables, se compenser ou bien être "factorisées" dans des fonctions de structure.

### 8.2.4 Le couplage mobile $\alpha_s$ et application

Revenant à la première des éqs. (8.1.3) reliant le couplage nu au couplage renormalisé, on a la relation :

$$g_B = \frac{Z_{1F}}{Z_2 Z_3^{1/2}} g(\mu^2) \mu^\epsilon. \qquad (8.2.47)$$

Reprenant les notations de la section 4.4 et définissant $\alpha_B = g_B^2/4\pi$ et $\alpha_s = g^2/4\pi$,

$$\alpha_B = \frac{Z_{1F}^2}{Z_2^2 Z_3} \alpha_s(\mu^2) \mu^{2\epsilon} = Z_\alpha \alpha_s(\mu^2) \mu^{2\epsilon} \qquad (8.2.48)$$

avec

$$Z_\alpha = \left(1 + \frac{c_\alpha(\epsilon)}{\epsilon} \alpha_s(\mu^2)\right) \qquad (8.2.49)$$

où $c_\alpha(\epsilon)$ est calculé à partir des éqs. (8.2.15), (8.2.29), (8.2.43) :

$$c_{\alpha}(\epsilon) = \frac{2c_1 - 2c_2 - c_3}{4\pi} \Gamma(1 + \epsilon) (4\pi)^{\epsilon} = - \frac{11N - 2N_f}{12\pi} \Gamma(1 + \epsilon) (4\pi)^{\epsilon}. \qquad (8.2.50)$$

Nous sommes maintenant en mesure de calculer l'évolution du couplage de QCD et de prouver la propriété de liberté asymptotique invoquant l'éq. (4.4.133). On trouve :

$$\begin{aligned} \beta(\alpha_s) &= c_\alpha(0)\alpha_s^2(\mu^2) + \mathcal{O}(\alpha_s^3) \\ &= -\frac{11N - 2N_f}{12\pi} \alpha_s^2(\mu^2) + \mathcal{O}(\alpha_s^3) \end{aligned} \qquad (8.2.51)$$

et d'après l'éq. (4.4.134) :

$$\alpha_s(\mu^2) = \frac{\alpha_s(\mu_0^2)}{1 + \frac{(11N - 2N_f)}{12\pi} \alpha_s(\mu_0^2) \ln(\mu^2/\mu_0^2)} + \mathcal{O}(\alpha_s^3 \ln(\mu^2/\mu_0^2)). \qquad (8.2.52)$$
Le couplage décroît quand $\mu$ croît si $11N - 2N_f > 0$, c'est à dire si le nombre $N_f$ de saveurs de quarks est inférieur à 17 : dans ces conditions la théorie est dite asymptotiquement libre.

### • Remarques

On retrouve le résultat pour QED si $N = 0$ (pas de couleur, théorie abélienne, pas de couplage entre bosons de jauge) et $N_f < \frac{1}{2} >= 1$ (voir le calcul de facteur de couleur de la boucle fermionique de $\Pi_F^{\alpha\beta,ab}$).

Le terme proportionnel à $N$ dans l'équation ci-dessus, qui vient des termes "non-abéliens" avec couplage à trois gluons, est responsable de la propriété de liberté asymptotique (il est positif) tandis que le terme dépendant de $N_f$, qui vient uniquement de la boucle fermionique, est négatif comme en QED. On peut se rappeler le signe relatif entre ces deux types de contributions en se souvenant que les boucles de fermions ont un facteur $(-1)$ supplémentaire dû à la statistique de Fermi-Dirac.

On remarque que $\beta(\alpha_s)$ et par conséquent $\alpha_s$ ne dépendent pas du paramètre de jauge $\xi$. Ce résultat est vrai à tous les ordres de la théorie des perturbations comme on le montre en section 12.4.

La signification physique de l'équation (8.2.52) est la suivante : pour faire les calculs à une boucle en QCD nous avons dû choisir un schéma de régularisation (régularisation dimensionnelle) ce qui a introduit une échelle de masse arbitraire $\mu$; pour faire des prédictions que l'on veut comparer à l'expérience il faudra choisir une valeur particulière de $\mu$, soit $\mu_0$, ainsi que la valeur des impulsions du processus que l'on considère, et choisir la valeur numérique $\alpha_s(\mu_0)$ de façon que les expressions mathématiques reproduisent le résultat expérimental. La relation éq. (8.2.52) exprime la valeur que doit avoir le couplage $\alpha_s(\mu)$ de la théorie renormalisée à l'échelle $\mu$, pour que les prédictions de cette théorie soient identiques aux prédictions de la théorie renormalisée à $\mu_0$. En d'autres termes, la théorie renormalisée à $\mu_0$ et celle renormalisée à $\mu_1$ seront équivalentes au sens perturbatif, si les couplages renormalisés $\alpha_s(\mu_0^2)$ et $\alpha_s(\mu_1^2)$ sont reliés par l'éq. (8.2.52).

### 8.2.5 Définition de $\Lambda_{QCD}$

Le couple de valeurs $(\mu, \alpha_s(\mu))$ ne correspond pas à deux variables indépendantes mais à une seule puisqu'elles sont contraintes par une relation pour pouvoir décrire la même physique quelque soit $\mu$. Mathématiquement cela s'exprime par le fait que l'on peut introduire une échelle de masse unique qui déterminera complètement le couplage mobile. En effet, on peut écrire l'équation (8.2.52) :

$$ 
\begin{aligned}
\alpha_s(\mu^2) &= \frac{1}{\frac{1}{\alpha_s(\mu_0^2)} + \frac{11N-2N_f}{12\pi} \ln \frac{\mu^2}{\mu_0^2}} \\
&= \frac{12\pi}{(11N - 2N_f) \ln \frac{\mu^2}{\Lambda^2}},
\end{aligned} 
\quad (8.2.53) 
$$

avec

$$ \Lambda^2 = \mu_0^2 \exp \left( - \frac{12\pi}{(11N - 2N_f) \alpha_s(\mu_0^2)} \right). \quad (8.2.54) $$
$\Lambda$ est la constante fondamentale de QCD que l'on détermine expérimentalement. Dans l'approximation des logarithmes dominants on écrit

$$ \alpha_s(\mu^2) = \frac{1}{b \ln(\mu^2/\Lambda^2)} \quad \text{avec} \quad b = -c_\alpha(0) = \frac{11N - 2N_f}{12\pi} \qquad (8.2.55) $$

L'échelle de masse $\Lambda$ contrôle l'ordre de grandeur des interactions fortes mais sa valeur numérique, exprimée en MeV ou GeV, dépend du schéma de renormalisation dans lequel on travaille. On va prouver ceci en comparant le valeur de $\Lambda$ dans les schémas $MS$ et $\overline{MS}$. Revenant à la relation entre couplages nu et renormalisé on a,

$$ \begin{aligned} \alpha_B &= Z_{\alpha}^{\overline{MS}} \alpha_{\overline{MS}}(\mu^2) \mu^{2\epsilon} \\ &= Z_{\alpha}^{MS} \alpha_{MS}(\mu^2) \mu^{2\epsilon} \end{aligned} \qquad (8.2.56) $$

avec pour $Z_{\alpha}^{\overline{MS}}$ (voir les éqs. (8.2.50) et (8.2.52)),

$$ Z_{\alpha}^{\overline{MS}} = 1 + \alpha_{\overline{MS}}(\mu^2) c_{\alpha} \left( \frac{1}{\epsilon} + \ln 4\pi - \gamma \right), \qquad (8.2.57) $$

tandis que pour le schéma $MS$ on aura :

$$ Z_{\alpha}^{MS} = 1 + \alpha_{MS}(\mu^2) c_{\alpha} \left(\frac{1}{\epsilon}\right), \qquad (8.2.58) $$

la valeur de $c_\alpha$ étant, par définition, commune aux deux cas. On en tire immédiatement :

$$ \begin{aligned} \alpha_{MS}(\mu^2) &= \frac{Z_{\alpha}^{\overline{MS}}}{Z_{\alpha}^{MS}} \alpha_{\overline{MS}}(\mu^2) \\ \Rightarrow \quad \frac{1}{\alpha_{MS}(\mu^2)} &= \frac{1}{\alpha_{\overline{MS}}(\mu^2)} \left(1 + \alpha_{\overline{MS}}(\mu^2) b \left(\ln 4\pi - \gamma\right)\right) + \mathcal{O}\left(\alpha_{\overline{MS}}(\mu^3)\right). \end{aligned} \qquad (8.2.59) $$

Utilisant la forme $\alpha(\mu^2) = 1/b \ln(\mu^2/\Lambda^2)$ pour chacun des schémas on obtient facilement la relation

$$ \Lambda_{\overline{MS}}^2 \approx 4\pi e^{-\gamma} \Lambda_{MS}^2. \qquad (8.2.60) $$

Cette relation est nécessaire pour que les prédictions physiques dans le schéma $MS$ soient identiques à celles dans le schéma $\overline{MS}$.

### 8.2.6 Au-delà des logarithmes dominants

Techniquement parlant, on note que la distinction entre schéma $MS$ et schéma $\overline{MS}$ ne peut se faire que si on travaille dans l'approximation "au-delà des logarithmes dominants" : en effet à l'approximation des logarithmes dominants, par convention, on ne distingue pas $\ln(\mu^2/\Lambda_{\overline{MS}}^2)$ de $\ln(\mu^2/\Lambda_{MS}^2)$ et les deux schémas sont équivalents.

La fonction $\beta(\alpha_s)$ de Gell-Mann-Low admet un développement perturbatif de la forme :

$$ \beta(\alpha_s) = \frac{\mu^2 d\alpha_s(\mu^2)}{d\mu^2} = -b \alpha_s^2 (1 + b' \alpha_s + b'' \alpha_s^2 + b''' \alpha_s^3 + \dots). \qquad (8.2.61) $$
En QCD ce développement est connu jusqu'à 5 boucles<fnref n="2" />, c'est à dire jusqu'au coefficient $b'''$. On cite la valeur des deux premiers :

$$b = \frac{11N - 2N_f}{12\pi}; \quad b' = \frac{17N^2 - N_f(5N + 3c_F)}{2\pi(11N - 2N_f)} \qquad (8.2.62)$$

Le paramètre $b$ étant défini comme $b = -c_\alpha(0)$ de l'éq. (8.2.50) et intégrant l'équation ci-dessus on obtient :

$$b \ln \frac{\mu^2}{\mu_0^2} = \frac{1}{\alpha_s(\mu^2)} - \frac{1}{\alpha_s(\mu_0^2)} + b' \ln \frac{\alpha_s(\mu^2)}{\alpha_s(\mu_0^2)} - b' \ln \frac{1 + b' \alpha_s(\mu^2)}{1 + b' \alpha_s(\mu_0^2)} \qquad (8.2.63)$$

Regroupant tous les termes du membre de droite en $\alpha_s(\mu_0^2)$, qui dépendent des conditions initiales, avec le terme $b(\ln \mu^2 / \ln \mu_0^2)$ du membre de gauche, on introduit $\Lambda_{MS}^2$ tel que

$$b \ln \frac{\mu^2}{\Lambda_{\text{MS}}^2} \sim \frac{1}{\alpha_s(\mu^2)} + b' \ln \frac{\alpha_s(\mu^2)}{1 + b' \alpha_s(\mu^2)}, \qquad (8.2.64)$$

définition valable à l'approximation "au-delà des logarithmes dominants" (NLO). On peut alors obtenir $\alpha_s(\mu^2)$ en fonction de $t = \ln(\mu^2/\Lambda_{MS}^2)$ en inversant numériquement cette équation. Une expression analytique approchée est obtenue en résolvant l'équation perturbativement et itérativement :

$$\alpha_s(\mu^2) = \frac{1}{b t} \left( 1 - \frac{b'}{b t} \ln t + \frac{b'^2}{b^2 t^2} (\ln^2 t - \ln t - 1) + \frac{b''}{b^2 t^2} \right), \qquad (8.2.65)$$

où on s'est payé le luxe d'inclure la contribution du calcul à trois boucles proportionnelle à $b''$. Cette expression donne la dépendance du couplage en fonction de la masse $\mu$ à l'approximation NNLO (next-to-next-to-leading logarithm). A l'approximation NLO seuls les deux premiers termes sont gardés.

### 8.2.7 Résultats

De très nombreuses expériences ont été réalisées qui permettent de mesurer $\Lambda_{MS}$. Une compilation<fnref n="3" /> des données expérimentales donne, pour cinq saveurs actives ($N_f = 5$) à l'approximation NNLO :

$$\Lambda_{\text{MS}} = 210 \pm 11 \text{ MeV}, \qquad (8.2.66)$$

ou, de façon équivalente, il est devenu usuel de donner la valeur de $\alpha_s$ à la masse du Z :

$$\alpha_s(M_z^2) = 0,1181 \pm 0,0011 \qquad (8.2.67)$$

Comme le montre la figure 8.1, ce résultat est fondé des expériences couvrant un très grand domaine d'énergie, du GeV à l'énergie du LHC, et une variété d'observables : inélastique profond, diffusion $e^+ e^-$, collisions hadroniques, désintégrations de particules lourdes, désintégration du lepton $\tau$.

<footnote n="2">2. P.A. Baikov, K.G. Chetyrkin, J.H. Kühn, Phys. Rev. Lett. **118** (2017) 082002, arXiv: 1606.08659 [hep-ph]; F. Herzog, B. Ruijl, T. Ueda, J.A.M. Vermaseren, A. Vogt, JHEP **1702** (2017) 090, arXiv: 1701.01404 [hep-ph]; T. Luthe, A. Maier, P. Marquard, Y. Schroder, JHEP **1703** (2017) 020, arXiv: 1701.07068 [hep-ph].</footnote>

<footnote n="3">3. C. Patrignani et al. (Particle Data Group), Chin. Phys. C40 100001 (2016).</footnote>
On peut comparer la situation en QCD avec celle en QED. La constante de structure fine de QED $\alpha = 1/137,035999074$ pourrait paraître plus fondamentale que celle de QCD $\alpha_s(M_Z^2)|_{\overline{MS}} = 1/8,467$ pour laquelle il faut spécifier le schéma de renormalisation ainsi qu'une valeur de masse. En fait il n'en n'est rien et la situation est identique dans les deux cas (hormis la précision des mesures expérimentales !). En effet, la valeur de $\alpha$ ci-dessus est donnée, de façon traditionnelle dans le schéma de renormalisation sur couche de masse (schéma ON de la section 4) dans la limite où l'échelle de masse $\to 0$. Comme c'était, pendant longtemps, le seul schéma de renormalisation utilisé en QED on "oubliait" de le préciser. Dans le schéma $\overline{MS}$ la valeur de $\alpha$ serait différente et elle peut être calculée avec les formules de la section 4. La différence avec QCD réside dans le fait qu'il n'est pas possible de définir un schéma ON en chromodynamique car les quarks et les gluons étant confinés dans les hadrons ils ne sont pas sur leur couche de masse. D'autre part il n'est pas possible de prendre la limite de masse nulle pour l'échelle de renormalisation car la théorie perturbative ne serait plus définie puisqu'alors le couplage $\to \infty$.
<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 8.1 – Compilation des données expérimentales de $\alpha_s$, C. Patrignani et al. (Particle Data Group), Chin. Phys. C40 100001 (2016).</figcaption></figure>
# Chapitre 9

## Violations de l'invariance d'échelle

Dans la discussion précédente nous n'avons étudié que les diagrammes en boucles : polarisation du vide, self-énergie du fermion et correction au vertex. Nous avons extrait de ces diagrammes la partie divergente dans l'ultraviolet ($\sim 1/\epsilon + \ln 4\pi - \gamma$) et nous avons vu que, par la renormalisation, on pouvait absorber ces singularités et définir un couplage renormalisé dépendant de l'échelle d'énergie du processus étudié. On a vu que si on considère les diagrammes suivants de la diffusion $qq \to qq$ à grande impulsion de transfert $[Q = -\sqrt{-q^2}]$ :

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

leur contribution à la section efficace est de la forme :

$$ \sigma_V \approx |M_B + M_V|^2 = |M_B|^2 + 2\mathrm{Re} \, M_B M_V^* + |M_V|^2 \\ = \alpha_{\overline{MS}}^2 (Q^2) (|A_B|^2 + 2 \alpha_{\overline{MS}} (Q^2) \mathrm{Re} A_B B_V) + \mathcal{O}(\alpha^4) $$

si l'on a effectué la renormalisation dans le schéma $\overline{MS}$, et la contribution $B_V$ des diagrammes en boucle n'a plus de singularité ultraviolette. A ce point, cependant, le calcul de la section efficace n'est pas complet, car au même ordre contribuent aussi les diagrammes "réels" correspondant à la production de quanta sur couche de masse ("réels"). Ce sont les processus du type $2 \text{ corps} \to 3 \text{ corps tels que :}$
<figure><img src="image_71.png" /></figure>

dont la contribution à $\sigma$ est de la forme $\sigma_R \sim |M_R|^2$ qui est d'ordre $\alpha_{MS}^3$. Ces termes ne peuvent avoir de divergences ultraviolettes puisque l'énergie des partons finals est limitée par l'énergie initiale finie, en particulier l'énergie du gluon émis est $k < \sqrt{s}$. En revanche, ils possèdent des "divergences colinéaires" ou "singularités de masse" ainsi que des "divergences infrarouges". De façon similaire à la diffusion discutée en sec. 5.3, pour chaque gluon de vecteur polarisation $\epsilon(k)$ émis par un quark d'impulsion $p$ on a un facteur $gp.\epsilon(k)/p.k$ (éq. (5.3.3)) ce qui contribue au carré de l'amplitude (interférence des deux premiers diagrammes ci-dessus) un facteur (voir l'éq. (5.3.6)) :

$$g^2 \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2k} \frac{2 p \cdot p'}{p \cdot k p' \cdot k} \qquad (9.0.1)$$

On suppose une petite masse aux quarks et on se place dans le centre de masse quark-quark. La cinématique est :

$$p = (\omega, 0, 0, p), \quad p' = (\omega, 0, 0, -p), \quad \omega = \frac{\sqrt{s}}{2}, \quad p \approx \omega - \frac{m^2}{\sqrt{s}}; \quad k = (k, k \sin \theta, 0, k \cos \theta)$$

L'expression ci-dessus devient :

$$\frac{g^2}{(2\pi)^3} \frac{1}{2} \int_{\lambda}^{\sqrt{s}} \frac{k^2 dk}{k} \int_{-1}^{1} d \cos \theta \int_{0}^{2\pi} d\phi \frac{s}{k^2(\omega - p \cos \theta)(\omega + p \cos \theta)} \qquad (9.0.2)$$

où on a introduit un cut-off $\lambda$ pour régulariser l'intégrale sur l'impulsion $k$ dans l'infrarouge. Toutes les intégrales se font trivialment pour trouver :

$$\frac{g^2}{(2\pi)^2} \frac{1}{2} \ln \frac{\sqrt{s}}{\lambda} \frac{s}{\omega p} \ln \frac{\omega + p}{\omega - p} \approx \frac{g^2}{(2\pi)^2} \ln \frac{s}{\lambda^2} \ln \frac{s}{m^2} \qquad (9.0.3)$$

Il apparaît que :

- Le facteur $\ln \frac{s}{m^2}$, résulte de l'intégrale sur $\cos \theta$ : il diverge quand $m \to 0$, comme on le suppose en QCD, et la divergence vient de la configuration où le gluon est colinéaire au quark qui émet ce gluon ($\cos \theta = \pm 1$). On parle alors de "singularité de masse" ou de "singularité colinéaire".

- Le facteur $\ln \frac{s}{\lambda^2}$ reflète la divergence infrarouge, c'est-à-dire la singularité de $|M_R|^2$ quand le gluon émis devient "mou". Cette singularité est caractéristique de l'émission de boson de jauge et il n'y a pas de singularité infrarouge associée à l'émission de quark d'impulsion nulle.
On rappelle que les divergences colinéaires et infrarouges apparaissent aussi dans le calcul des boucles, en particulier self-énergie d'un fermion et correction au vertex, car les intégrales correspondantes impliquent de prendre en compte la région où le photon ou le gluon virtuel devient mou.

En général la structure d'un calcul perturbatif aux deux premiers ordres, avant renormalisation, est la suivante, dans le cas où on introduit $\Lambda_{UV}$ régulateur ultraviolet, $\lambda$ régulateur I.R., $m = m_{\text{quark}}$ régulateur colinéaire ($F$ symbolise les fonctions de structure et $\otimes$ la convolution avec les sections partoniques),

$$ 
\begin{align*}
\sigma_B &= \alpha^p F \otimes \hat{\sigma} \\
\sigma_V &= \alpha^{p+1} F \otimes \left[ \hat{\sigma} \left( a \ln \frac{\Lambda_{UV}}{Q} + \text{contre-termes} + b_1 \ln \frac{Q}{\lambda} \ln \frac{Q}{m} + b_2 \ln \frac{Q}{\lambda} + b_3 \ln \frac{Q}{m} \right) + c \right] \\
\sigma_R &= \alpha^{p+1} F \otimes \left[ \hat{\sigma} \left( b'_1 \ln \frac{Q}{\lambda} \ln \frac{Q}{m} + b'_2 \ln \frac{Q}{\lambda} + b'_3 \ln \frac{Q}{m} \right) + c' \right]
\end{align*}
$$

où la première ligne est la section efficace dans l'approximation de Born, c'est à dire à l'ordre le plus bas en $\alpha$ (ici d'ordre $p$), tandis que les deux lignes suivantes symbolisent respectivement la contribution des diagrammes virtuels et réels d'ordre supérieur. On peut noter qu'il n'y a pas de terme tel que $\ln \Lambda_{UV} \ln \lambda$ ou $\ln \Lambda_{UV} \ln m$ car les divergences viennent de régions disjointes de l'espace de phase. Par exemple,

$$ \int_{\lambda}^{\Lambda_{UV}} \frac{dk}{k} = \ln \frac{\Lambda_{UV}}{Q} + \ln \frac{Q}{\lambda}. $$

On peut prouver que

$$ b_1 + b'_1 = b_2 + b'_2 = 0. $$

C'est le théorème de Lee-Kinoshita-Nauenberg déjà introduit au chapitre 5 : dans le calcul d'un observable les divergences infrarouges se compensent entre diagrammes réels et virtuels. Donc, après renormalisation, et après compensation des singularités I.R. on a

$$ \sigma = \alpha_{\overline{MS}}^{p}(Q^2) F \otimes \left[ \hat{\sigma} \left( 1 + \alpha_{\overline{MS}}(Q^2)(b_3 + b'_3) \ln \frac{Q}{m} \right) + \alpha_{\overline{MS}}(Q^2)(c + c') \right] $$

où on a effectué la renormalisation dans le schéma $\overline{MS}$ et on a choisi $Q$ comme échelle de renormalisation. De façon similaire à la renormalisation, on verra que l'on peut éliminer de cette expression les divergences colinéaires par une redéfinition des fonctions de structure qui acquièrent alors une dépendence en une variable de masse, ici $Q$. Ainsi définissant la fonction :

$$ F_{\overline{MS}}(Q^2) = F \otimes \left[ 1 + \alpha_{\overline{MS}}(Q^2)(b_3 + b'_3) \ln \frac{Q}{m} \right] $$

la section efficace hadronique s'écrit alors simplement :

$$ \sigma = \alpha_{\overline{MS}}^{p}(Q^2) F_{\overline{MS}}(Q^2) \otimes [\hat{\sigma} + \alpha_{\overline{MS}}(Q^2)(c + c')] \quad (9.0.4) $$

On dit que les fonctions de structure ainsi définies violent l'invariance d'échelle. Comme dans le cas du couplage mobile, on pourra définir $F(Q^2)$ de plusieurs façons (par exemple, $F_{\overline{MS}}(Q^2)$, $F_{\overline{MS}}(Q^2)$,
$F_{DIS}(Q^2)$, ...) suivant les termes finis que l'on inclut dans la relation entre $F$ et $F_i(Q^2)$. Cette propriété, qui consiste à définir $F_i(Q^2)$ à partir de $F$ est une illustration du théorème de factorisation : les divergences de masse peuvent être factorisées du sous-processus partonique dur (c'est-à-dire de la série $\hat{\sigma} + \alpha_{\overline{MS}}(c+c') + ...$) et associées aux pattes externes modifiant ainsi les distributions des partons dans les hadrons. Ce théorème a d'abord était prouvé aux deux premiers ordres de la théorie par H.D. Politzer<fnref n="1" /> puis, à tous les ordres, par plusieurs<fnref n="2" /> groupes<fnref n="3" />.

Dans les calculs effectifs on utilisera évidemment la régularisation dimensionnelle pour extraire les divergences infrarouges et colinéaires. La formule éq. (9.0.1) devient alors :

$$g^2 \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2k} \frac{2 p \cdot p'}{p \cdot k \ p' \cdot k} \rightarrow (g\mu^\epsilon)^2 \int \frac{d^n k}{(2\pi)^{n-1} 2k} \frac{2 p \cdot p'}{p \cdot k \ p' \cdot k}.$$

Cette dernière intégrale s'évalue facilement en usant des formules de la sec. 3.2.3 :

$$\frac{g^2}{(2\pi)^2} \frac{(4\pi\mu)^\epsilon}{\Gamma(1-\epsilon)} \int_0^{\sqrt{s}} \frac{dk}{k^{1+2\epsilon}} 2 \int_0^1 d\cos\theta (1-\cos^2\theta)^{-1-\epsilon} \\ = \frac{g^2}{(2\pi)^2} \frac{(4\pi)^\epsilon}{\Gamma(1-\epsilon)} \left[ \frac{1}{-2\epsilon_{ir}} \left( \frac{s}{\mu^2} \right)^\epsilon \right] \left[ \frac{2\sqrt{\pi}}{-\epsilon_{col}} \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma[1/2-\epsilon]} \right]$$

où le premier crochet est la "singularité" infrarouge avec $\epsilon$ noté $\epsilon_{ir}$ et le deuxième est la "singularity" colinéaire avec $\epsilon$ noté $\epsilon_{col}$ (pour faire l'intégrale angulaire il suffit de choisir comme variable $y = \cos^2 \theta$ et d'appliquer la formule (3.2.29)). On retrouve bien une divergence en $1/\epsilon^2$ comme dans la correction au vertex éq. (8.2.39) en QCD et ces deux termes se compenseront dans le calcul de la section efficace.

On va illustrer cette discussion par l'étude qualitative de la diffusion inélastique profonde à l'ordre $\alpha_s$: on rappelle les résultats à l'ordre le plus bas puis on se tourne vers la discussion des résultats à l'ordre $\alpha_s$. Dans un deuxième temps on fera un calcul exact à l'ordre $\alpha_s$ en régularisation dimensionnelle qui est le prototype des calculs perturbatifs actuels.

# 9.1 Violations d'invariance d'échelle : les logarithmes dominants

## 9.1.1 Terme de Born

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

<footnote n="1">1. H.David Politzer, Nucl.Phys. **B129** (1977), 301.</footnote>

<footnote n="2">2. D. Amati, R. Petronzio, G. Veneziano, Nucl.Phys. **B140** (1978), 54; ibid **B146** (1978), 29.</footnote>

<footnote n="3">3. R.K. Ellis, H. Georgi, Marie Machacek, H.D. Politzer, G. G. Ross, Nucl.Phys. **B152** (1979), 285.</footnote>
Cet exemple a été traité en détail, à l'approximation de Born, au chapitre 6 dans la section 6.3. On simplifie par rapport à cette étude en ne gardant que le vertex hadronique, c'est-à-dire en ne considérant que le tenseur $W_{\mu\nu}(P, q)$ qui décrit $\gamma^* + p \rightarrow hadrons$ et, dans le cadre du modèle des partons, le tenseur $\hat{W}_{\mu\nu}(p, q)$ qui décrit $\gamma^*(q) + quark(p) \rightarrow quark(p')$ (pour alléger l'écriture, on ne prend en compte qu'une seule saveur de quarks de charge $ee_q$, où $e_q$ est la charge du quark normalisée à celle $e$ du proton : $e_u = e_c = 2/3$, $e_d = e_s = -1/3$). On rappelle les limites de validité du modèle des partons :

$$ 
\begin{aligned}
Q^2 &= -q^2 \rightarrow \infty \\
2Pq &= s \rightarrow \infty \quad \text{tels que } x = \frac{Q^2}{2P.q} \text{ fixé,} \qquad (9.1.5)
\end{aligned}
$$

et l'on suppose le hadron incident de masse nulle $P^2 = 0$. De plus on sommera sur la polarisation du photon virtuel, ce qui nous amène à construire la section efficace partonique (fictive !) :

$$ \hat{\sigma}_{0}^{\gamma^{*}q}(p, q) = \frac{1}{\text{flux}} (-g^{\mu\nu}) \hat{W}_{\mu\nu} = \frac{-1}{4p \cdot q} \hat{W}_{\mu}^{\mu}(p, q), \qquad (9.1.6) $$

avec $p$ l'impulsion du quark entrant et $q$ celle du photon virtuel. La section hadronique est une superposition de sections efficaces au niveau partonique :

$$ \sigma_{0}^{\gamma^{*}p}(P, q) = \int dy \, q_0(y) \hat{\sigma}_{0}^{\gamma^{*}q}(yP, q) \qquad (9.1.7) $$

où $q_0(y)$ est la densité de quarks dans le hadron [on dit aussi fonction de structure du hadron] et $y$ est la fraction d'impulsion du proton portée par le quark interagissant, $p = yP$. Au niveau partonique la section efficace s'écrit (voir section 6.3) :

$$ 
\begin{aligned}
\hat{\sigma}_{0}^{\gamma^{*}q} &= (ee_q)^2 \frac{1}{<N> 4p.q} \int \frac{d^3 p'}{2E'} (2\pi) \delta^{(4)}(p' - q - p) \frac{-g^{\mu\nu}}{2} \text{Tr}(\not p\gamma_\mu \not p'\gamma_\nu) \\
&= (ee_q)^2 \frac{1}{4p.q} 2\pi\delta(-Q^2 + 2p.q) 4p.q \\
&= (ee_q)^2 \frac{2\pi z}{Q^2} \delta(1 - z),
\end{aligned}
\qquad (9.1.8) $$

avec $z = Q^2/2p.q$, la variable de Bjorken au niveau partonique. Insérant dans l'éq. (9.1.7), avec $z = Q^2/2yP.q = x/y$, la section hadronique est le produit de la section partonique "dure" fois la distribution du quark évaluée à $y = x$ :

$$ \sigma_{0}^{\gamma^{*}p}(P, q) = \hat{\sigma}_{0} (ee_{q})^{2} q_{0}(x), \text{ avec } \hat{\sigma}_{0} = \frac{2\pi x}{Q^{2}} \qquad (9.1.9) $$

où nous avons introduit l'indice 0 pour rappeler que le calcul a été fait à l'ordre le plus bas.

La section suivante est consacrée à une présentation et interprétation des résultats sans détailler les calculs. On supposera une petite masse $m$ au quark ($m^2 \ll Q^2$), ce qui permet de régulariser la divergence colinéaire qui survit dans l'expression de la section efficace lorsqu'on inclut les corrections
QCD. Cette divergence sera absorbée dans une redéfinition de la distribution du quark dans le proton par une procedure similaire à celle qui permet d'absorber la divergence ultraviolette par une redéfinition de la constante de couplage. Le calcul détaillé fait l'objet d'un chapitre ultérieur dans le cadre de la régularisation dimensionnelle en cohérence avec la méthode utilisée pour le calcul des diagrammes virtuels au chapitre précédent.

## 9.1.2 Corrections radiatives d'ordre $\alpha_s$ : violation de l'invariance d'échelle

Au premier ordre des interactions fortes, c'est-à-dire à l'ordre $\alpha_s$, il faut considérer les diagrammes réels suivants :

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

ainsi que les diagrammes virtuels contribuant au même ordre. Les calculs sont compliqués, comme on le verra plus bas mais le résultat est relativement simple et, surtout, il admet une interprétation physique simple. En effet on trouve que la section efficace hadronique est proportionnelle à la section partonique "dure" $\hat{\sigma}_0 (ee_q)^2$ fois une fonction compliquée dépendant logarithmiquement de $Q^2$ :

$$ \sigma_1^{\gamma^* p}(P, q) = \hat{\sigma}_0 (ee_q)^2 \int_x^1 \frac{dy}{y} q_0(y) \left\{ \delta\left(1 - \frac{x}{y}\right) + \frac{\alpha_s}{2\pi} P_{qq}\left(\frac{x}{y}\right) \ln \frac{Q^2}{m^2} + \frac{\alpha_s}{2\pi} f_q\left(\frac{x}{y}\right) \right\}. \quad (9.1.10) $$

Par analogie avec l'éq. (9.1.9) il est naturel d'introduire une distribution de quark violant l'invariance d'échelle :

$$ q(x, Q^2) = \int_x^1 \frac{dy}{y} q_0(y) \left[ \delta\left(1 - \frac{x}{y}\right) + \frac{\alpha_s}{2\pi} P_{qq}\left(\frac{x}{y}\right) \ln \frac{Q^2}{m^2} \right], \quad (9.1.11) $$

de sorte que la section efficace $\gamma^* \text{proton}$, incluant les corrections QCD, a la même forme que la section efficace de Born $\sigma_0^{\gamma^* p}$ modulo une correction d'ordre $\alpha_s^4$ :

$$ \sigma_1^{\gamma^* p}(P, q) = \hat{\sigma}_0 (ee_q)^2 \left( q(x, Q^2) + \frac{\alpha_s}{2\pi} \int_x^1 \frac{dy}{y} q(y, Q^2) f_q\left(\frac{x}{y}\right) \right). \quad (9.1.12) $$

Dans les équations ci-dessus les fonctions $P_{qq}(x/y)$ et $f_q(x/y)$ sont le résultat du calcul. Elles seront spécifiées plus tard. On a explicité le terme proportionnel au "grand" logarithme $\ln(Q^2/m^2)$ dont l'origine est la divergence colinéaire (singularité de masse) lorsque le gluon émis est parallèle au quark initial : en effet le calcul du carré de l'élément de matrice fait apparaître une expression qui

<footnote n="4">4. Dans le deuxième terme du membre de droite de l'équation on a substitué $q(y, Q^2)$ à $q(y)$ ce qui est perturbativement justifié puisque les termes négligés sont d'ordre $\alpha_s^2$.</footnote>
contient :

$$
\begin{align}
\int \frac{d^3 k}{k (p-k)^2 - m^2} \frac{1}{|p|} &\approx \int dk \, d \cos \theta \, d\phi \frac{1}{\omega - p \cos \theta} \nonumber \\
&\approx 2\pi \int dk \ln \frac{\omega + p}{\omega - p} \sim \int dk \ln \frac{Q^2}{m^2 z (1-z)}. \tag{9.1.13}
\end{align}
$$

Pour voir cela on se place dans de repère du centre de masse du système $\gamma^* - quark$ où $|\vec{p}| = |\vec{q}|$, $\omega - |\vec{p}| \approx m^2/2|\vec{q}|$, $\omega + |\vec{p}| \approx 2|\vec{q}|$, et on peut prouver que $4|\vec{q}|^2 = Q^2/z(1-z)$ où $z$ est la variable de Bjorken au niveau partonique (voir l'éq. (9.1.8) pour la cinématique).

Interprétation

La fonction $q(x, Q^2)$ est la distribution des quarks dans le proton et elle dépend maintenant lo-
garithmiquement de l'échelle d'énergie du processus considéré : on parle alors de "violation loga-
rithmique de l'invariance d'échelle". Ceci est à contraster avec l'invariance d'échelle de la distri-
bution de quarks $q(x)$ introduit dans le modèle des partons naïf. L'interprétation de l'éq. (9.1.11)
est la suivante : le quark qui interagit avec le photon virtuel avec une fraction $x$ de l'impulsion
du proton résulte soit d'un quark qui interagit directement, soit d'un quark portant la fraction
$y > x$ de l'impulsion du proton et qui a perdu une fraction $x/y$ de son impulsion après avoir
émis un gluon "quasi-colinéaire". On peut estimer la "probabilité" de rayonnement d'un gluon à
$(\alpha_s/2\pi)P_{qq}(x/y)\ln(Q^2/m^2)$. La divergence en $\ln(Q^2/m^2)$ apparue dans le calcul du processus par-
tonique dur, $\gamma^*+quark \rightarrow quark+gluon$, peut en fait être associée à la distribution du quark dans
le proton, éq. (9.1.11), plutôt qu'au processus dur : on dit alors que cette "divergence" est factorisée
dans la fonction de structure. On peut deviner que le calcul au premier ordre n'est pas suffisant
puisque la "probabilité" d'émission du gluon est d'${\cal O}(\alpha_s \ln(Q^2/m^2)) \sim 1$ si on suppose, comme
cela paraît raisonable, que $\alpha_s \sim 1/\ln Q^2$. Il faut alors sommer de tels termes à tous les ordres. On
peut montrer que la propriété de factorisation est vraie à tous les ordres de perturbation et elle est
connue sous le nom de "théorème de factorisation".

En fait, de même que l'on a plusieurs schémas de renormalisation (relations entre couplage nu et renormalisé) on peut définir différents "schémas de factorisation" c'est à dire différentes relations entre distributions partoniques invariante et violant l'invariance d'échelle. Par exemple, si on choisit :

$$
q(x, Q^2) = \int_x^1 \frac{dy}{y} q_0(y) \left[ \delta\left(1 - \frac{x}{y}\right) + \frac{\alpha_s}{2\pi} P_{qq}\left(\frac{x}{y}\right) \ln\frac{Q^2}{m^2} + \frac{\alpha_s}{2\pi} f_q\left(\frac{x}{y}\right) \right] \quad (9.1.14)
$$

la section efficace $\gamma^*$ *proton* devient alors dans ce schéma simplement :

$$
\sigma_1^{\gamma^* p}(P, q) = \hat{\sigma}_0 (ee_q)^2 q(x, Q^2). \tag{9.1.15}
$$

Un dernier commentaire concernant les éqs. de type (9.1.11) et (9.1.14) : techniquement elles ne sont pas définies dans la limite $m = 0$ qui nous intéresse mais si on compare $q(x, Q^2)$ à la même distribution définie à une échelle de référence $Q_0^2$ et que l'on exprime $q(x, Q^2)$ en fonction de $q(x, Q_0^2)$, alors toute dépendance en $m^2$ a disparu et on peut, en principe, prédire la distribution partonique à tout $Q^2$ une fois la distribution connue expérimentalement à un $Q_0^2$ donné.
Le calcul de la section efficace $\gamma^* \text{ proton}$ n'est, en fait, pas encore complet car, à l'ordre auquel on travaille, il faut prendre en compte la composante gluon du proton qui contribue à la fonction de structure par le processus $\gamma^* + \text{gluon} \rightarrow \text{quark} + \text{antiquark}$ :

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

Deux diagrammes de Feynman sont à prendre en compte. Il n'existe pas, à l'ordre auquel on mène la discussion, de termes virtuels associés. Sans faire de calcul on peut deviner la forme que prendra cette contribution à la section efficace $\gamma^* \text{ proton}$. Le gluon se fragmente en une paire quark-antiquark qui peut être en configuration colinéaire suivie de l'interaction dure du photon virtuel avec le quark ou l'antiquark. Comme dans le cas précédent, cette fragmentation colinéaire a une singularité de masse régularisée par le paramètre $m$ et engendre un terme de la forme $\alpha_s P_{qG}(x/y) \ln Q^2/m^2$. Si on note $G_0(y)$ la fonction de distribution du gluon ce processus apporte donc une nouvelle contribution puisque il engendre un quark d'impulsion $x$ avec une "probabilité" d'ordre $G_0(y) \alpha_s P_{qG}(x/y) \ln Q^2/m^2$. Sa contribution s'ajoutera à la section hadronique éq. (9.1.10) qui devient alors :

$$ \sigma_1^{\gamma^*p}(P, q) = \hat{\sigma}_0 (ee_q)^2 \int_x^1 \frac{dy}{y} \left\{ \begin{aligned} & q_0(y) \left[ \delta\left(1 - \frac{x}{y}\right) + \frac{\alpha_s}{2\pi} P_{qq}\left(\frac{x}{y}\right) \ln \frac{Q^2}{m^2} + \frac{\alpha_s}{2\pi} f_q\left(\frac{x}{y}\right) \right] \\ & + G_0(y) \left[ \frac{\alpha_s}{2\pi} P_{qG}\left(\frac{x}{y}\right) \ln \frac{Q^2}{m^2} + \frac{\alpha_s}{2\pi} f_G\left(\frac{x}{y}\right) \right] \end{aligned} \right\} \quad (9.1.16) $$

On peut alors définir, en prenant en compte les réactions $\gamma^*+\text{quark} \rightarrow \text{gluon}+\text{quark}$ et $\gamma^*+\text{gluon} \rightarrow \text{quark}+\text{antiquark}$, la distribution de quark dépendante de $Q^2$ :

$$ q(x, Q^2) = \int_x^1 \frac{dy}{y} \left\{ q_0(y) \left[ \delta\left(1 - \frac{x}{y}\right) + \frac{\alpha_s}{2\pi} P_{qq}\left(\frac{x}{y}\right) \ln \frac{Q^2}{m^2} \right] + \frac{\alpha_s}{2\pi} G_0(y) P_{qG}\left(\frac{x}{y}\right) \ln \frac{Q^2}{m^2} \right\}. \quad (9.1.17) $$

au lieu de l'éq. (9.1.11) : le gluon d'impulsion $y$ apparaît donc comme une source de quarks d'impulsion $x < y$. La section efficace hadronique s'écrira donc :

$$ \sigma_1^{\gamma^*p}(P, q) = \hat{\sigma}_0 (ee_q)^2 \left( q(x, Q^2) + \frac{\alpha_s}{2\pi} \int_x^1 \frac{dy}{y} \left[ q(y, Q^2) f_q\left(\frac{x}{y}\right) + G(y, Q^2) f_G\left(\frac{x}{y}\right) \right] \right). \quad (9.1.18) $$

Dans cette expression, on a supposé que la distribution du gluon, comme celle du quark, était également dépendante de l'échelle caractéristique du processus dur. On note, en passant, que ce processus de création d'une paire $q\bar{q}$ est aussi une source d'antiquarks d'impulsion $x$ avec une "probabilité" $\int_x^1 \frac{dy}{y} \frac{\alpha_s}{2\pi} G_0(y) P_{qG}(\frac{x}{y}) \ln \frac{Q^2}{m^2}$ qui s'ajoutera à la distribution $\bar{q}(x)$ du proton.
Note technique

Les équations ci-dessus s'écrivent également, après le changement de variable $x/y \to y$,

$$ q(x, Q^2) = \int_x^1 \frac{dy}{y} \left\{ q_0\left(\frac{x}{y}\right) \left[ \delta(1-y) + \frac{\alpha_s}{2\pi} P_{qq}(y) \ln \frac{Q^2}{m^2} \right] + \frac{\alpha_s}{2\pi} G_0\left(\frac{x}{y}\right) P_{qG}(y) \ln \frac{Q^2}{m^2} \right\}. \quad (9.1.19) $$

$$ \sigma_1^{\gamma^* p}(P, q) = \hat{\sigma}_0 (ee_q)^2 \left( q(x, Q^2) + \frac{\alpha_s}{2\pi} \int_x^1 \frac{dy}{y} \left[ q\left(\frac{x}{y}, Q^2\right) f_q(y) + G\left(\frac{x}{y}, Q^2\right) f_G(y) \right] \right). \quad (9.1.20) $$

### 9.1.3 Equations d'évolution de la distribution de quark : équation DGLAP

La divergence colinéaire a été factorisée, dans l'éq. (9.1.17), à l'échelle $Q^2$. On aurait pu aussi bien choisir .5 $Q^2$ ou 4 $Q^2$. Plus généralement, on introduit une "échelle de factorisation" $M$ arbitraire, mais d'ordre $\sqrt{Q^2}$ et, après avoir décomposé $\ln(Q^2/m^2) = \ln(M^2/m^2) + \ln(Q^2/M^2)$ et défini :

$$ q(x, M^2) = \int_x^1 \frac{dy}{y} \left\{ q_0(y) \left[ \delta\left(1 - \frac{x}{y}\right) + \frac{\alpha_s}{2\pi} P_{qq}\left(\frac{x}{y}\right) \ln \frac{M^2}{m^2} \right] + \frac{\alpha_s}{2\pi} G_0(y) P_{qG}\left(\frac{x}{y}\right) \ln \frac{M^2}{m^2} \right\}, \quad (9.1.21) $$

on peut ré-écrire la section efficace $\gamma^* proton$ :

$$ \sigma_1^{\gamma^* p}(P, q) = \hat{\sigma}_0 (ee_q)^2 \int_x^1 \frac{dy}{y} \left\{ q(y, M^2) \left[ \delta\left(1 - \frac{x}{y}\right) + \frac{\alpha_s}{2\pi} P_{qq}\left(\frac{x}{y}\right) \ln \frac{Q^2}{M^2} + \frac{\alpha_s}{2\pi} f_q\left(\frac{x}{y}\right) \right] \right. \\ \left. + G(y, M^2) \left[ \frac{\alpha_s}{2\pi} P_{qG}\left(\frac{x}{y}\right) \ln \frac{Q^2}{M^2} + \frac{\alpha_s}{2\pi} f_G\left(\frac{x}{y}\right) \right] \right\} \quad (9.1.22) $$

A l'ordre auquel est fait le calcul, la section efficace $\sigma_1^{\gamma^* p}$ est strictement indépendante du choix de l'échelle de factorisation. L'introduction de l'échelle $M$ peut paraître artificielle à ce point mais on discutera son rôle plus bas. On considère maintenant la dérivée par rapport à $M^2$ de l'éq. (9.1.21). On trouve :

$$ M^2 \frac{dq(x, M^2)}{dM^2} = \frac{\alpha_s}{2\pi} \int_x^1 \frac{dy}{y} \left[ q_0(y) P_{qq}\left(\frac{x}{y}\right) + G_0(y) P_{qG}\left(\frac{x}{y}\right) \right], \quad (9.1.23) $$

L'expression obtenue est parfaitement finie même quand le cut-off infrarouge $m$ est pris égal à 0, car ce dernier n'apparaît pas dans l'équation intégro-différentielle. A l'ordre auquel on a fait le calcul cette équation est équivalente à :

$$ M^2 \frac{dq(x, M^2)}{dM^2} = \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dy}{y} \left[ q(y, M^2) P_{qq}\left(\frac{x}{y}\right) + G(y, M^2) P_{qG}\left(\frac{x}{y}\right) \right], \quad (9.1.24) $$

puisque $q_0(y)$ et $q(y, M^2)$ (idem pour $G_0(y)$ et $G(y, M^2)$) diffèrent par des termes d'${\cal O}(\alpha_s)$, et donc les termes négligés dans la substitution sont d'ordre $\alpha_s^2$. On a d'autre part choisi de renormaliser la théorie à $M^2$, d'où le choix $\alpha_s \to \alpha_s(M^2)$. Cette équation est une des équations DGLAP (Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi) 5 qui donne l'évolution en fonction de l'échelle de la

<footnote n="5">5. Yu.L. Dokshitzer, Sov.Phys. JETP 46 (1977), 641, Zh.Eksp.Teor.Fiz. 73 (1977), 1216; G. Altarelli, G. Parisi, Nucl.Phys. B126 (1977), 298.</footnote>
distribution du quark dans le proton mais ne dit rien sur la dépendance en $x$. On peut obtenir la distribution elle-même en résolvant l'équation intégro-différentielle avec comme condition aux limites la valeur de la fonction à une échelle $M_0$, $q(x, M_0^2)$, qui sera prise par comparaison aux données expérimentales (voir sec. 9.1.8). L'approximation à laquelle on a dérivé cette équation est dite "ordre des logarithmes dominants (LO leading logarithm order)" puisqu'on n'a gardé que les termes d'ordre $\alpha_s$.

Finalement, si on revient à la fonction de structure $\nu W_2$ avec $N_f$ saveurs de quarks, introduite lors de la discussion de la diffusion profondément inélastique, elle prend dans le schéma de factorisation défini par l'éq. (9.1.17) la forme suivante (comparer l'éq. (6.3.23) à (9.1.18)) :

$$ 
\begin{align} 
\frac{1}{x} \nu W_2(x, Q^2) &\equiv F_2(x, Q^2) \tag{9.1.25} \\ 
&= \sum_{i, \bar{i}}^{N_f} (ee_i)^2 \left\{ q_i(x, Q^2) + \frac{\alpha_s(Q^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dy}{y} \left[ q_i(y, Q^2) f_q\left(\frac{x}{y}\right) + G(y, Q^2) f_G\left(\frac{x}{y}\right) \right] \right\}, \nonumber 
\end{align} 
$$

où on a remplacé la distribution partonique dénotée $F_i$ en éq. (6.3.23) par celle $q_i(x, Q^2)$ violant l'invariance d'échelle et pris en compte les corrections d'ordre $\alpha_s$. Pour les quarks de masse nulle les fonctions $P_{qq}$, $P_{qG}$, $f_q$ et $f_G$ sont indépendantes de la saveur $i$ du quark. Dans l'équation ci-dessus on a choisi pour l'échelle de factorisation $M = Q$. On laisse au lecteur le soin de d'écrire la formule générale pour une échelle arbitraire $M$ (voir l'éq. (9.1.22)).

Utilisant pour $q_i(x, M^2)$ la solution de l'équation intégro-différentielle plutôt que l'éq. (9.1.21) permet de troquer l'arbitraire du choix du cut-off $m$ pour l'arbitraire d'une échelle de masse plus physique $M$ qui sera choisie lorsqu'on fera l'ajustement des distributions partoniques aux données. Ceci est reminiscent de la relation entre un couplage renormalisé et un couplage nu, où on a ajusté la constante de couplage renormalisée aux données pour pouvoir faire des prédicitions : alors on ajustait un point, ici on ajuste une fonction ! L'arbitraire du choix de l'échelle de factorisation est similaire à celui du choix de l'échelle de renormalisation et les observables ne doivent pas dépendre, à des termes d'ordre supérieur près, du choix de $M$.

### 9.1.4 Solution de l'équation d'évolution par la méthode des moments.

On peut ramener l'équation intégro-différentielle (9.1.24) à une équation différentielle ordinaire en considérant les moments :

$$ M_n(\tau) = \int_0^1 dx \, x^{n-1} q(x, M^2) \qquad (9.1.26) $$

où on a introduit la variable naturelle $\tau = \ln(M^2/\Lambda^2)$ avec $\Lambda$ tel que défini dans l'éq. (8.2.55) par exemple. Pour simplifier la discussion on étudie l'évolution de la distribution d'un quark de valence $q_v(x, M^2) = q(x, M^2) - \bar{q}(x, M^2)$ où $q(x, M^2)$ et $\bar{q}(x, M^2)$ sont les distributions d'une saveur de quark et d'antiquark dans le proton : la contribution du gluon se compense dans cette combinaison et l'équation DGLAP est simplement :

$$ M^2 \frac{dq_v(x, M^2)}{dM^2} = \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dz}{z} q_v(z, M^2) P_{qq}\left(\frac{x}{z}\right), \qquad (9.1.27) $$
En terme des moments on obtient :

$$ \frac{dM_n(\tau)}{d\tau} = \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} M_n(\tau) d_{qq}^{(n)} \quad (9.1.28) $$

avec $d_{qq}^{(n)}$, appelé n-ième moment de la dimension anomale, donnée par :

$$ d_{qq}^{(n)} = \int_{0}^{1} dy \, y^{n-1} P_{qq}(y). \quad (9.1.29) $$

La solution est obtenue par :

$$ \frac{1}{M_n(\tau)} \frac{dM_n(\tau)}{d\tau} = \frac{d_{qq}^{(n)}}{2\pi} \frac{1}{b\tau} $$

où on a substitué à $\alpha_s(M^2)$ sa dépendance explicite en fonction de l'échelle, éq. (8.2.53),

$$ \alpha_s(M^2) = \frac{1}{b \ln(M^2/\Lambda^2)} = \frac{1}{b\tau} \quad \text{avec } b = \frac{11N - 2N_f}{12\pi}, \quad (9.1.30) $$

d'où on tire :

$$ \ln \frac{M_n(\tau)}{M_n(\tau_0)} = \frac{d_{qq}^{(n)}}{2\pi b} \ln \frac{\tau}{\tau_0} $$

soit :

$$ \frac{M_n(\tau)}{M_n(\tau_0)} = \left( \frac{\alpha_s(M^2)}{\alpha_s(M_0^2)} \right)^{-\frac{d_{qq}^{(n)}}{2\pi b}}. \quad (9.1.31) $$

On peut montrer que :

$$ d_{qq}^{(1)} = 0, \quad d_{qq}^{(n)} < 0 \quad \text{pour} \quad n \ge 2. \quad (9.1.32) $$

Plus $n$ est grand, plus le poids de la région à grand $x$ est important dans l'intégrale (9.1.26). Donc l'évolution en $M$ de $M_n(\tau)$ à grand $n$ reflète l'évolution en $M$ de $q(x, M^2)$ à grand $x$. L'éq. (9.1.31) donne

$$ M_n(\tau) \sim \left( \frac{1}{\ln M^2 / \Lambda^2} \right)^{-\frac{d_{qq}^{(n)}}{2\pi b}} \quad (9.1.33) $$

qui décroît quand $M$ croît pour $n \ge 2$. D'où $q(x, M^2)$ décroît à grand $x$ quand $M$ croît. La dépendance en $M$ est lente puisque logarithmique. On peut comprendre cette variation car, en QCD, le quark perd de son énergie par émission de gluon et se retrouve à plus bas $x$.

Le comportement en $M$ du moment de l'éq. (9.1.31) correspond à la sommation à tous les ordres des termes en $\alpha_s \ln \frac{M^2}{M_0^2}$. On peut voir ceci en utilisant la forme éq. (8.2.52) du couplage $\alpha_s(M^2)$, ce qui mène à :

$$ \begin{aligned} M_n(\tau) &= M_n(\tau_0) \left( 1 + b \alpha_s(M_0^2) \ln \frac{M^2}{M_0^2} \right)^{\frac{d_{qq}^{(n)}}{2\pi b}} \\ &= M_n(\tau_0) \left( 1 + \frac{\alpha_s(M_0^2)}{2\pi} d_{qq}^{(n)} \ln \frac{M^2}{M_0^2} + \dots \left( \frac{\alpha_s(M_0^2)}{2\pi} \ln \frac{M^2}{M_0^2} \right)^2 + \dots \right). \end{aligned} \quad (9.1.34) $$
La forme éq. (9.1.31) de la distribution partonique correspond bien à un développement en série à tous les ordres en $\alpha_s$ mais à chaque ordre on n'a gardé que les termes $\alpha_s \ln(M^2)$ : on dit alors que l'on a fait "l'approximation des logarithmes dominants" ou que l'on a resommé les logarithmes dominants. Si on ne garde que les deux premiers termes on retrouve bien sous forme de moments la relation entre $q(z, M^2)$ et $q(z, M_0^2)$ obtenue à partir de l'équation (9.1.21 (où on a évidemment ignoré la contribution du gluon puisqu'on a discuté seulement l'évolution du quark de valence)).

### 9.1.5 Approche intuitive

L'équation (9.1.31) peut également être obtenue en sommant explicitement les diagrammes en échelle du type ci-dessous : Soit $q_0$ l'impulsion du quark dans le proton avant emission de gluon et $q_1$ celle après émission du premier gluon, ..., $q_i$ l'impulsion du quark après émission du gluon d'impulsion $k_i$. On peut montrer que :

$$q_i^2 \sim q_{i-1}^2 - k_{iT}^2 / x_i \qquad (9.1.35)$$

où on a supposé $q_i \to \infty$, $x_i \sim k_i/q_i \ll 1$ et on mesure l'impulsion transverse du gluon par rapport à la direction du quark.

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

A chaque émission de gluon la virtualité du quark est négative et croît en module, de sorte que l'on a la hiérarchie $-q_{i+1}^2 = Q_{i+1}^2 > Q_i^2 = -q_i^2$. Comme pour l'émission d'un gluon en éq. (9.1.11), à chaque émission on a un facteur :

$$\frac{\alpha_s(Q_i^2)}{2\pi} \frac{dQ_i^2}{Q_i^2} P_{qq}(z_i) dz_i \qquad (9.1.36)$$

où $z_i$ est la fraction d'impulsion du quark $q_{i-1}$ cédée au quark $q_i$ ($z_i = 1 - x_i$). On a "amélioré" la théorie des perturbations en choisissant $Q_i^2$ comme échelle dans la constante de couplage (voir sec.
8.2.4). Si on somme sur toutes les émissions de gluon on a :

$$ \sum_{p=0}^{\infty} \int_{Q_0^2}^{Q^2} \frac{\alpha_s(Q_1^2)}{2\pi} \frac{dQ_1^2}{Q_1^2} P_{qq}(z_1) dz_1 \cdots \int_{Q_{i-1}^2}^{Q^2} \frac{\alpha_s(Q_i^2)}{2\pi} \frac{dQ_i^2}{Q_i^2} P_{qq}(z_i) dz_i \cdots \int_{Q_{p-1}^2}^{Q^2} \frac{\alpha_s(Q_n^2)}{2\pi} \frac{dQ_n^2}{Q_n^2} P_{qq}(z_p) dz_p $$

Utilisant la forme $\alpha_s(Q_i^2) = 1/b \ln(Q_i^2/Q_0^2)$ on montre que le résultat s'écrit :

$$ \begin{align} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{p!} \left( \frac{\tilde{P}}{2\pi b} \ln \frac{\ln Q^2}{\ln Q_0^2} \right)^p &= \left( \frac{\ln Q^2}{\ln Q_0^2} \right)^{\frac{\tilde{P}}{2\pi b}} \nonumber \\ &= \left( \frac{\alpha_s(Q^2)}{\alpha_s(Q_0^2)} \right)^{-\frac{\tilde{P}}{2\pi b}} \tag{9.1.37} \end{align} $$

où la notation $\tilde{P} = \int P_{qq}(z_i) dz_i$. Cette expression est un cas particulier, avec $p = 1$, de l'éq. (9.1.31) obtenue dans l'espace des moments mais elle donne une image de la cinématique à l'œuvre dans l'approximation des logarithmes dominants : le parton issu du proton porte une fraction d'impulsion $z$ et une petite virtualité d'ordre $Q_0^2$. A chaque émission d'un gluon le quark gagne en virtualité négative et perd une petite partie (négligée dans notre approche semi-quantitative) de son impulsion. Lors de l'interaction avec le photon il aura une virtualité d'ordre $Q^2$ et une impulsion $x < z$. De façon équivalente une discussion plus fine montre l'émision des gluons est ordonnée en angle par rapport à la direction du quark : une grande virtualité étant associé à un grand angle.

## 9.1.6 Equations d'évolution couplées des quarks et des gluons

S'affranchissant des détails de la collision dure on peut résumer l'étude précédente par les diagrammes

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

Le symbole

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

indique la collision "dure" du parton : dans le cas précédent ce processus est simplement
<figure><img src="image_78.png" /></figure>

L'éq. (9.1.17) exprime le fait que toutes les singularités de masse sont absorbées dans la distribution du quark indépendemment du processus dur auquel le quark participe. La même propriété est vraie pour la distribution de gluon mais auparavant il est utile de définir la distribution "singulet" pour $N_f$ saveurs :

$$ \Sigma(x, M^2) = \sum_{i}^{N_f} (q_i(x, M^2) + \bar{q}_i(x, M^2)) \qquad (9.1.38) $$

qui est la probabilité de trouver un quark ou un antiquark dans le hadron, quelque soit sa saveur, et de façon évidente, à l'ordre $\alpha_s$, il vient par analogie avec l'éq. (9.1.17) :

$$ \Sigma(x, M^2) = \int_x^1 \frac{dy}{y} \left\{ \Sigma(y) \left[ \delta\left(1 - \frac{x}{y}\right) + \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} P_{qq}\left(\frac{x}{y}\right) \ln \frac{M^2}{m^2} \right] \right. \\ \left. + G(y) \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} P_{qG}\left(\frac{x}{y}\right) \ln \frac{M^2}{m^2} \times \underbrace{2}_{q_i+\bar{q}_i} \times \underbrace{N_f}_{\text{nb. de saveurs}} \right\} \qquad (9.1.39) $$

Sous forme différentielle on trouve

$$ \frac{d\Sigma(x, M^2)}{d \ln M^2} = \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dy}{y} \left\{ \Sigma(y, M^2) P_{qq}\left(\frac{x}{y}\right) + G(y, M^2) 2N_f P_{qG}\left(\frac{x}{y}\right) \right\} \qquad (9.1.40) $$

et de même pour la quantité "non-singulet" ou de valence

$$ V_i(x, M^2) = q_i(x, M^2) - \bar{q}_i(x, M^2) \qquad (9.1.41) $$

dont l'évolution est gouvernée par

$$ \frac{dV_i(x, M^2)}{d \ln M^2} = \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dy}{y} V_i(y, M^2) P_{qq}\left(\frac{x}{y}\right) \qquad (9.1.42) $$

Dans cette dernière équation le terme proportionnel à $G(y, M^2)$ disparait puisqu'il contribue autant à $q_i(x, M^2)$ qu'à $\bar{q}_i(x, M^2)$.

Jusqu'à maintenant nous n'avons considéré que le cas où le quark participe directement à la sous-collision dure (absorption du photon virtuel) mais on peut imaginer des processus, purement hadroniques, où le gluon peut lui aussi participer à la diffusion dure et on a alors à prendre en compte les diagrammes suivants :
<figure><img src="image_79.png" /></figure>

qui mènent aux équations d'évolution pour le gluon :

$$ \frac{dG(x, M^2)}{d \ln M^2} = \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dy}{y} \left\{ G(y, M^2) P_{GG}(\frac{x}{y}) + \Sigma(y, M^2) P_{Gq}(\frac{x}{y}) \right\}. \quad (9.1.43) $$

Le premier terme du membre de droite est la contribution du gluon dans le hadron qui participe à la collision dure après émission d'un gluon quasi-colinéaire tandis que le deuxième terme vient du cas où le gluon est émis par un quark ou un antiquark du hadron initial.

Regroupant tout, on obtient les équations DGLAP :

$$ \frac{dV_i(x, M^2)}{d \ln M^2} = \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dy}{y} P_{qq}(\frac{x}{y}) V_i(y, M^2) \quad (9.1.44) $$

pour chaque saveur, et les équations intégro-différentielles couplées pour les distributions du singulet et du gluon

$$ \frac{d}{d \ln M^2} \left( \begin{array}{c} \Sigma(x, M^2) \\ G(x, M^2) \end{array} \right) = \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dy}{y} \left( \begin{array}{cc} P_{qq}(\frac{x}{y}) & 2N_f P_{qG}(\frac{x}{y}) \\ P_{Gq}(\frac{x}{y}) & P_{GG}(\frac{x}{y}) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \Sigma(y, M^2) \\ G(y, M^2) \end{array} \right) \quad (9.1.45) $$

Les $P_{ij}(z)$, appelés noyaux d'Altarelli-Parisi, sont prédits par la théorie et dans l'approximation des logarithmes dominants on trouve :

$$ \begin{align} P_{qq}(z) &= \langle c_F \rangle \left( \frac{1+z^2}{(1-z)_+} + \frac{3}{2} \delta(1-z) \right) \notag \\ P_{qG}(z) &= \langle \frac{1}{2} \rangle (z^2 + (1-z)^2) \tag{9.1.46} \\ P_{Gq}(z) &= \langle c_F \rangle \frac{1+(1-z)^2}{z} \notag \\ P_{GG}(z) &= \langle 2N \rangle \left( \frac{z}{(1-z)_+} + \frac{1-z}{z} + z(1-z) \right) + \left\langle \frac{11N-2N_f}{6} \right\rangle \delta(1-z) \notag \end{align} $$

où la prescription "+" est la notation habituelle pour la régularisation des divergences infrarouges et elle est définie au sens des distributions par :

$$ \int_0^1 dz \frac{h(z)}{(1-z)_+} = \int_0^1 dz \frac{h(z) - h(1)}{1-z}, \quad (9.1.47) $$

$h(z)$ étant une fonction test régulière en $z = 1$.
### 9.1.7 Stabilité de l'interprétation partonique : règles de somme

Dans le modèle des partons naïf on était conduit aux règles de somme suivantes :

$$ \int_0^1 dx V_i(x) = n_i \equiv \text{nombre de quarks de valence de type } i $$

$$ \int_0^1 dx x (\Sigma(x) + G(x)) = 1 \equiv \text{conservation de l'impulsion.} $$

Ces lois de conservation sont indépendantes de l'échelle $Q$ de la collision dure. Est-ce vrai après corrections QCD, c'est-à-dire est-ce que les relations :

$$ \frac{d}{d \ln Q^2} \int_0^1 dx V_i(x, Q^2) = 0; \quad \frac{d}{d \ln Q^2} \int_0^1 dx x (\Sigma(x, Q^2) + G(x, Q^2)) = 0 $$

sont vérifiées ? On peut facilement voir que :

$$ \begin{aligned} \frac{d}{d \ln Q^2} \int_0^1 dx V_i(x, Q^2) &= \frac{\alpha_s(Q^2)}{2\pi} \int_0^1 dx \int_x^1 \frac{dz}{z} V_i(\frac{x}{z}, Q^2) P_{qq}(z) \\ &= \frac{\alpha_s(Q^2)}{2\pi} \int_0^1 dz P_{qq}(z) \int_0^1 dy V_i(y, Q^2), \quad \text{avec } z = x/y, \\ &= 0 \end{aligned} \qquad (9.1.48) $$

puisqu'on peut montrer que :

$$ \int_0^1 dz P_{qq}(z) = 0. \qquad (9.1.49) $$

— De même, la deuxième loi de conservation est satisfaite car :

$$ \begin{aligned} \int_0^1 dz \, z [P_{qq}(z) + P_{Gq}(z)] &= 0 \\ \int_0^1 dz \, z [P_{GG}(z) + 2N_f P_{qG}(z)] &= 0. \end{aligned} \qquad (9.1.50) $$

L'interprétation physique du modèle naïf est bien préservée par les corrections QCD au premier ordre, et même à tous les ordres.

Les fonctions $P_{Gq}(z)$ et $P_{GG}(z)$ ne sont pas définies pour $z = 0$. On peut introduire une forme régularisée :

$$ P_{Gq}(z) = \langle c_F \rangle \left( \frac{1 + (1-z)^2}{z_+} + \frac{3}{2} \delta(z) \right) \qquad (9.1.51) $$

$$ P_{GG}(z) = \langle 2N_f \rangle \left( \frac{z}{(1-z)_+} + \frac{1-z}{z_+} + z(1-z) \right) + \left\langle \frac{11N-2N_f}{6} \right\rangle (\delta(1-z) + \delta(z)), $$

Ces fonctions satisfont les relations de symétrie :

$$ \begin{aligned} P_{Gq}(z) &= P_{qq}(1-z), & 0 \le z \le 1 \\ P_{GG}(z) &= P_{GG}(1-z), & 0 \le z \le 1. \end{aligned} \qquad (9.1.52) $$
qui sont évidentes dans l'interprétation partonique des noyaux d'Altarelli-Parisi. Utilisant également la relation $P_{qG}(z) = P_{qG}(1-z)$, on prouve facilement à partir des éqs. (9.1.46) et (9.1.51) les règles de somme suivantes :

$$ 
\begin{aligned}
\int_0^1 dz [P_{qq}(z) + P_{Gq}(z)] &= 0 \\
\int_0^1 dz [P_{GG}(z) + 2N_f P_{qG}(z)] &= 0.
\end{aligned}
\qquad (9.1.53)
$$

qui seront utiles plus bas dans la discussion sur la compensation des divergences infrarouge et colinéaire.

## 9.1.8 Phénoménologie

La figure 9.1 montre une compilation des données récentes sur la fonction de structure du proton obtenues dans les collisions $e^+p, e^-p$ et $\mu^-p$. On peut remarquer l'étendue du domaine en $x$ couvert par les expériences, $5, 0 \ 10^{-5} < x < 0, 85$, ainsi que la remarquable précision expérimentale qui est de quelques % dans un grand domaine en $x$ et $Q^2$, $2 < Q^2[\text{GeV}^2] < 2 \ 10^4$. Pour mesurer les progrès accomplis depuis les premières mesures de SLAC on peut se reporter à la figure 6.1. La violation de l'invariance d'échelle a tendance à faire décroître $F_2(x, Q^2)$ à $x > 0, 25$ quand $Q^2$ augmente, en accord avec la discussion suivant l'éq. (9.1.33), tandis qu'aux petites valeurs de $x$ la fonction de structure $F_2(x, Q^2)$ croît rapidement avec $Q^2$ (augmentation de la densité de quarks matelots, produits de désintégration des gluons rayonnés). L'apparente invariance d'échelle pour $0, 05 < x < 0, 25$ n'est en fait que la limite entre les deux régimes. La détermination du comportement de $F_2(x, Q^2)$ aux petites valeurs de $x$ fait actuellement l'objet de nombreuses études théoriques : à petits $x$, dans le calcul perturbatif, des termes de la forme $\alpha_s(Q^2) \ln(1/x)$ deviennent importants et il faut, en principe, les sommer à tous les ordres : c'est le régime BFKL<fnref n="6" /> pertinent dans le domaine "petits $x$, petits $Q^2$", en contraste avec le régime DGLAP qui concerne la sommaion des "grands" $\alpha_s(Q^2) \ln Q^2$.

A partir de ces données, et en utilisant aussi d'autres réactions comme on le discutera dans le chapitre sur les applications du modèle des partons, il est possible d'extraire la distribution des quarks $u, d, ...$ et du gluon dans le proton. Une façon de procéder est la suivante : on fait une hypothèse sur la forme en $x$ des distributions partoniques, par exemple<fnref n="7" /> :

$$ 
\begin{aligned}
xu_v(x) &= a_u x^{b_u} (1-x)^{c_u} (1+d_u x^2), \quad \text{quark } u \text{ de valence,} \\
xd_v(x) &= a_d x^{b_d} (1-x)^{c_d}, \quad \text{quark } d \text{ de valence,} \\
xq_s(x) &= a_s x^{b_s} (1-x)^{c_s}, \quad \text{quark matelot, on approxime souvent } u_s = \bar{u}_s = d_s = \dots = q_s, \\
xG(x) &= a_{g1} x^{b_{g1}} (1-x)^{c_{g1}} - a_{g2} x^{b_{g2}} (1-x)^{c_{g2}},
\end{aligned}
\qquad (9.1.54)
$$

<footnote n="6">6. I.I. Balitsky, L.N. Lipatov, Sov.J.Nucl.Phys. **28** (1978), 822, Yad.Fiz. **28** (1978) 1597; E. A. Kuraev, L. N. Lipatov, Victor S. Fadin, Sov.Phys. JETP **44** (1976) 443, Zh.Eksp.Teor.Fiz. **71** (1976), 840, Erratum-ibid. **45** (1977), 199.</footnote>

<footnote n="7">7. Si on ne s'intéresse qu'aux données $F_2$ de la diffusion inélastique sur cible iso-scalaire d'un électron ou d'un muon il suffit de paramétrer $\Sigma(x, Q_0^2)$ et $G(x, Q_0^2)$ mais on ne peut alors pas accéder au résultat individuellement pour chaque saveur. Pour cela il faut inclure d'autres donnés, en particulier la DIS neutrino-proton ou neutrino-neutron qui distingue la diffusion sur un quark de celle sur un antiquark</footnote>
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIGURE 9.1 – Fonction de structure du proton mesurée dans les collisions e p par les collaborations SLAC, NMC, E665, BCDMS, H1 et ZEUS, compilation des données expérimentales par le Particle Data Group, J. Beringer et al. Phys. Rev. D86, 01001 (2012).</figcaption></figure>

à une valeur de $Q^2 = Q_0^2$ (typiquement $Q_0^2 = 2 \text{ GeV}^2$). Utilisant les équations DGLAP et comparant aux données $F_2(x, Q^2)$ telles que celles de la figure 9.2, on peut déterminer les paramètres $a, b, c, \dots$ ainsi que la valeur de $\Lambda_{\overline{MS}}$. Un excellent accord est obtenu, ce qui est une bonne vérification expérimentale des équations DGLAP et donc de QCD. Actuellement les ajustements sont faits à l'ordre NLO et même NNLO (next-to-next leading order) avec des techniques de régression et d'estimations d'erreurs sur les paramétrages très élaborées. On trouvera sur la base de données "HEPDATA - PARTON DISTRIBUTIONS" : http://durpdg.dur.ac.uk/hepdata/cteq.html ou LHAPDF : http://lhapdf.hepforge.org/pdfsets.html différents ensembles de distributions partoniques avec évolution au LO ou au NLO ou au NNLO,
les plus couramment utilisés étant ceux de CTEQ<fnref n="8" />, MRSTW<fnref n="9" />, ALEKHIN<fnref n="10" />, HERAPDF<fnref n="11" /> ou les nouvelles distributions NNPDF<fnref n="12" /> qui attachent une importance particulière àla réduction des biais de la méthode.

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>FIGURE 9.2 – Ajustement des distributions partoniques aux données e$^{+}$p de la collaboration H1 et àdes données sur cible fixe.</figcaption></figure>

<footnote n="8">8. CTEQ : J. Pumplin, D.R. Stump, J. Huston, H.L. Lai, P. Nadolsky, W.K. Tung, JHEP 0207 (2002), 012, [hep-ph/0201195]</footnote>

<footnote n="9">9. MRSTW : A. D. Martin, W. J. Stirling, R.S. Thorne, G. Watt, Eur.Phys.J. C70 (2010), 51, [arXiv:1007.2624]</footnote>

<footnote n="10">10. ALEKHIN : S. Alekhin, J. Blümlein, S. Klein, S. Moch, Phys. Rev. D81, (2010), 014032, [arXiv:0908.3128]</footnote>

<footnote n="11">11. HERAPDF : H1 and ZEUS collaborations, Eur. Phys. J. C73 (2013), 2311, [arXiv :1211.1182]; [arXiv :1506.06042]</footnote>

<footnote n="12">12. NNPDF : R. Ball et al., [arXiv:1410.8849].</footnote>
<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>FIGURE 9.3 – Fonctions de distributions des quarks u, d et gluon dans le proton (collaboration CTEQ)</figcaption></figure>

La figure 9.3 montre la dépendance en $x$ des distributions des quarks $u, d$ et le gluon $xG(x, Q^2)$ dans le proton, contraintes par l'ajustement aux données DIS. On a choisi deux valeurs de $Q^2$: $Q^2 = 100 \text{ GeV}^2$, valeur typique pour les expériences sur cible fixe et $Q^2 = 10^6 \text{ GeV}^2$ d'intérêt pour la physique au LHC. Pour le quark $u$ la distinction est faite entre la composante de valence $u_v$ qui domine au delà de $x = 0,05$ mais tend vers 0 à $x = 0$, et celle de la mer (quarks matelots) $u_s = \bar{u}_s$). Les quarks matelots dominent largement aux petites valeurs de $x$: ils sont engendrés essentiellement par le processus $\text{gluon} \to q \bar{q}$ ce qui explique la quasi égalité
$u(x, Q^2) \sim d(x, Q^2)$ à petits $x$. Comparant la distribution des quarks et du gluon, on voit la dominance des quarks $u$ et $d$ sur le gluon aux grandes valeurs de $x$, alors que le gluon devient important pour $x < 0,2$ et domine déjà d'un ordre de grandeur les distributions de quarks pour $x < 0,001$. A grands $Q^2$ toutes les distributions tendent à devenir "piquées" aux petites valeurs de $x$: en première approximation les distributions décroissent quand $Q^2$ augmente pour $x > 0,05$ et croissent aux valeurs de $x$ inférieures. Techniquement, cela vient du fait que les termes diagonaux $P_{qq}$ et $P_{GG}$, qui jouent un rôle prédominant dans l'équation d'évolution (9.1.45), sont négatifs à grand $x$. Physiquement, cela s'interprète en disant que plus $Q^2$ est élevé, plus les partons "rayonnent" en se cassant en deux partons d'impulsion plus basse. Ceci explique la présence du pic qui apparaît dans la distribution des quarks à $x = 0$, pic dû aux quarks de la mer produits de désintégration du gluon comme déjà observé plus haut. Il faut se rappeler que ces distributions partoniques, surtout celle du gluon, sont entachées d'erreurs expérimentales (statistiques et systématiques) et théoriques (arbitraire du choix des échelles de renormalisation et factorisation). En fait tous les paramétrages modernes utilisent des méthodes très élaborées pour quantifier les erreurs, un problème hautement non trivial.

### 9.1.9 Conclusions

Dans cette section nous avons donné une présentation qualitative et phénoménologique de la violation d'invariance d'échelle de la fonction de structure du proton $\nu W_2 = F_2$ et par conséquent de la distribution des quarks et du gluon dans un hadron. On a mentionné que l'hypothèse du modèle des partons naïf, à savoir la factorisation de la section hadronique entre distributions partoniques et processus durs, est préservée par les corrections QCD du premier ordre, mais ces distributions acquièrent une dépendance en une échelle de factorisation qui est donnée par les équations DGLAP. La discussion a été menée à l'approximation des logarithmes dominants c'est à dire que les fonctions $P_{ij}(z)$, éqs. (9.1.46), sont les coefficients des divergences colinéaires logarithmiques d'un calcul des corrections QCD au premier ordre de la théorie des perturbations. Poursuivre les calculs aux ordres supérieurs conduirait à un développement en $\alpha_s$ des $P_{ij}(z)$. Cette dépendance des fonctions de structure en l'échelle de masse est universelle c'est-à-dire qu'elle est la même quelque soit le processus dur où apparaissent ces fonctions de structure. Résoudre les éqs. DGLAP (9.1.44) et (9.1.45) revient à sommer tous les termes de la série perturbative en $(\alpha_s \ln M^2)^p$. Cela introduit une dépendance résiduelle des prédictions théoriques pour la section hadronique d'un ordre supérieur à celui auquel on travaille. Cela peut se voir en se reportant à l'éq. (9.1.25) :

$$ \frac{1}{x} \nu W_2(x, Q^2) = \sum_{i, \bar{i}}^{N_f} e_i^2 \left\{ q_i(x, M^2) + \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dz}{z} \left[ q_i(z, M^2) \left( P_{qq}(\frac{x}{z}) \ln \frac{Q^2}{M^2} + f_q(\frac{x}{z}) \right) + G(z, M^2) \left( P_{qG}(\frac{x}{z}) \ln \frac{Q^2}{M^2} + f_G(\frac{x}{z}) \right) \right] \right\}. $$

Prenant la dérivée de cette équation par rapport à $\ln M^2$ et usant de l'éq. (9.1.24), on voit que le membre de droite est d'ordre $\alpha_s^2$ pour un calcul mené à l'ordre $\alpha_s$. Ceci est une conséquence inéluctable la théorie des perturbations : tout série perturbative tronquée à l'ordre $\alpha_s^p$ souffre d'une ambiguïté, due au choix de l'échelle de factorisation, d'ordre $\alpha_s^{p+1}$. En d'autres termes, les résultats pour deux échelles de factorisation différentes diffèrent par des termes d'ordre $\alpha_s^{p+1}$. Cette ambiguïté est souvent l'une des incertitudes dominantes des calculs perturbatifs qu'il est essentiel de
prendre en compte quand on compare théorie et expérience.

La section suivante est consacrée à la dérivation de certains résultats présentés ci-dessus, notamment l'équation d'évolution DGLAP de la distribution du quark. Les calculs seront conduits dans le cadre de la régularisation dimensionnelle.

## 9.2 Violations d'invariance d'échelle : calcul exact

On rappelle le paramétrage, introduit dans la section 6.2, éq. (6.2.7), de l'interaction entre un photon virtuel et un hadron avec les fonctions de structure $W_1$ et $W_2$. Par analogie, pour l'interaction $\gamma^* quark(p_1) \to quark(p_2)$ on écrit<fnref n="1" /> :

$$ \widehat{W}^{\mu\nu} = -\widehat{W}_1 \left(g^{\mu\nu} - \frac{q^{\mu}q^{\nu}}{q^2}\right) + \widehat{W}_2 \left(p_1^{\mu} - \frac{p_1 q}{q^2}q^{\mu}\right) \left(p_1^{\nu} - \frac{p_1 q}{q^2}q^{\nu}\right). \qquad (9.2.55) $$

Pour notre étude il suffira de considérer la trace en $n$ dimensions :

$$ -g_{\mu\nu} \widehat{W}^{\mu\nu} = (3 - 2\epsilon) \widehat{W}_1 + \frac{(p_1 q)^2}{q^2} \widehat{W}_2, \qquad (9.2.56) $$

qui revient à sommer sur les états de polarisation du photon en jauge de Feynman. Introduisant, pour notre convenance, les fonctions de structure :

$$ \hat{\mathcal{F}}_1 = 2 \widehat{W}_1, \qquad \hat{\mathcal{F}}_2 = \frac{p_1 q}{z} \widehat{W}_2, \qquad (9.2.57) $$

on trouve

$$ -g_{\mu\nu} \widehat{W}^{\mu\nu} = (1 - \epsilon) \hat{\mathcal{F}}_2 + \left(\frac{3}{2} - \epsilon\right) \left(\hat{\mathcal{F}}_1 - \hat{\mathcal{F}}_2\right). \qquad (9.2.58) $$

### 9.2.1 Calcul du terme de Born

Dans le cadre du modèle des partons naïf l'amplitude de diffusion $\gamma^* quark \to quark$ est

$$ V_{(0)}^{\mu} = -i e e_{q} \mu^{\epsilon} \bar{u}(p_{2})_{j} \gamma^{\mu} u(p_{1})_{i} \delta_{ij}, \qquad (9.2.59) $$

où on a explicité les indices de couleur $i$ et $j$ des fermions. On ne considère dans la suite qu'un seul type de quark de charge $ee_q$. Pour construire la section efficace partonique on doit évaluer, comme en éq. (9.1.6) :

$$ \begin{aligned} -g_{\mu\nu} \widehat{W}^{\mu\nu} &= -g_{\mu\nu} \int \frac{d^{n-1}p_2}{(2\pi)^{n-1}2p_2} (2\pi)^n \delta^{(n)}(p+q-p_2) V_{(0)}^{\mu} (V_{(0)}^{\nu})^{*} \\ &= -(ee_q \mu^{\epsilon})^2 \int \frac{d^{n-1}p_2}{(2\pi)^{n-1}2p_2} (2\pi)^n \delta^{(n)}(p+q-p_2) \langle \frac{\delta_{jj}}{3} \rangle \left[ \frac{1}{2} \text{Tr}((\not p_1 + \not q)\gamma^{\mu} \not p_1 \gamma_{\mu}) \right] \\ &= (ee_q \mu^{\epsilon})^2 2\pi \delta^{(+)}(q^2 + 2p_1 q) [4(1-\epsilon)p_1 q], \end{aligned} \qquad (9.2.60) $$

<footnote n="1">1. Notez la normalisation différente des fonctions $W_1$ et $W_2$ introduite ici comparée à la notation "historique" utilisée dans la section 6.2</footnote>
où la trace est évaluée en $n$ dimensions et la moyenne sur le spin et la couleur du fermion a été faite. On définit la section efficace $\gamma^* \text{ quark}$ en normalisant par le facteur de flux :

$$ 
\begin{align}
\hat{\sigma}_0^{\gamma^* q} &= \frac{1}{4p_1 q} (-g_{\mu\nu} \hat{W}^{\mu\nu}) \nonumber \\
&= \frac{2\pi}{2p_1 q} (1 - \varepsilon) (ee_q \mu^\varepsilon)^2 \delta(1-z) \nonumber \\
&= \frac{2\pi z}{Q^2} (1 - \varepsilon) (ee_q \mu^\varepsilon)^2 \delta(1-z), \tag{9.2.61}
\end{align}
$$

avec la variable de Bjorken définie au niveau partonique,

$$ z = \frac{Q^2}{2p_1 q}. \tag{9.2.62} $$

On donne un nom spécifique au coefficient de la fonction $\delta(1-z)$, qui dépend de "l'échelle dure", car il apparaîtra systématiquement dans tous les calculs d'ordre supérieur :

$$ \hat{\sigma}_0(Q^2, z, \varepsilon) = \frac{2\pi z}{Q^2} (1 - \varepsilon) \mu^{2\varepsilon}. \tag{9.2.63} $$

La section efficace partonique, dans l'approximation d'ordre 0 en QCD, est donc simplement :

$$ \hat{\sigma}_0^{\gamma^* q} = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, z, \varepsilon) \delta(1-z), \tag{9.2.64} $$

qui se réduit bien à l'éq. (9.1.8) quand $\varepsilon \to 0$. Le modèle des partons permet d'écrire la section efficace hadronique en convoluant la section efficace partonique avec la distribution du quark $q_0(z')$, $z'$ fraction d'impulsion du proton portée par le parton. L'impulsion du quark est alors $p_1 = z'P$ d'où $z = Q^2/2z'Pq = x/z'$ avec $x = Q^2/2Pq$ la variable de Bjorken. La section efficace hadronique, calculée à l'ordre le plus bas, est donc :

$$ 
\begin{align}
\sigma_{\text{Born}}^{\gamma^* p}(Q^2, x, \varepsilon) &= (ee_q)^2 \int_0^1 dz' q_0(z') \hat{\sigma}_0(Q^2, \frac{x}{z'}, \varepsilon) \delta\left(1 - \frac{x}{z'}\right) \nonumber \\
&= \hat{\sigma}_0(Q^2, x, \varepsilon) (ee_q)^2 q_0(x), \tag{9.2.65}
\end{align}
$$

qui est factorisée en un terme "courte distance", $\hat{\sigma}_0$ (section efficace "dure" dépendant de $Q^2$ et de $x$), et un terme "longue distance" indépendant de $Q^2$, $q_0(x)$ la distribution de quark$^{13}$. Ceci est la version en $n$ dimensions de l'éq. (9.1.9). On note en passant, par comparaison avec l'éq. (9.2.58), l'absence de terme en $3/2 - \varepsilon$ dans l'équation d'où on obtient la relation :

$$ \hat{F}_1(x) = \hat{F}_2(x), \tag{9.2.66} $$

conséquence du fait que le parton est de spin $1/2$.

Il s'agit maintenant de calculer les corrections au premier ordre en QCD au terme de Born. Les calculs sont compliqués et peu de détails seront épargnés au lecteur éventuel. On calculera d'abord

<footnote n="13">13. Par rapport à la section 9.1 on a changé la notation des arguments des sections efficaces.</footnote>
la contribution des diagrammes réels : processus Compton $\gamma^* quark \to gluon quark$, d'une part et processus de création de paires $\gamma^* gluon \to quark antiquark$, d'autre part. Le premier cas fera apparaître des divergences infrarouges et colinéaires d'où la présence de termes en $1/\epsilon^2$. Les divergences infrarouges seront compensées par la contribution des diagrammes virtuels pour ne laisser que des termes en $1/\epsilon$, les divergences colinéaires, dont on montrera qu'ils peuvent tous être absorbés dans une redéfinition de la distribution du quark dans le proton.

### 9.2.2 Corrections d'ordre $\alpha_s$ : contribution de $\gamma^* quark \to gluon quark$

On doit calculer les deux diagrammes de type Compton :

<figure><img src="image_83.png" /></figure>

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

L'élément de matrice est

$$ \mathcal{M}^{a,\mu} = (-iee_q\mu^\epsilon)(-ig\mu^\epsilon)\bar{u}_2(p_2)_j \left[ \gamma_\mu \frac{i(\not p_1 - \not k)}{(p_1-k)^2 + i\epsilon} \gamma_\rho \epsilon^\rho + \gamma_\rho \epsilon^\rho \frac{i(\not p_2 + \not k)}{(p_2+k)^2 + i\epsilon} \gamma_\mu \right] T^a_{ji} u_1(p_1)_i, (9.2.67) $$

où on note $k^\rho$ et $\epsilon^\rho$ respectivement l'impulsion et le vecteur polarisation du gluon. $T^a$ est la matrice de couleur associée au couplage du gluon de couleur a aux quarks de couleur i, j. On vérifie d'abord l'invariance de cette amplitude sous la translation $\epsilon^\rho \to \epsilon^\rho + k^\rho$ ce qui signifie que son carré sera indépendant du choix fait pour la somme sur les états de polarisation du gluon. Pour simplifier on choisira la jauge de Feynman avec la relation $\Sigma_{polar} \epsilon^\rho \epsilon^{\rho'} = -g^{\rho\rho'}$. Il faut maintenant trouver l'expression pour $-g_{\mu\nu} \mathcal{M}^{a,\mu}(\mathcal{M}^{a,\nu})^*$ où on a moyenné/sommé sur les états de polarisation et de couleur des quarks et du gluon. Le terme de couleur (on moyenne sur la couleur du quark initial) se factorise et il s'évalue très facilement : c'est simplement

$$ \text{facteur de couleur} = \frac{1}{3} \text{Tr} T^a T^a = \frac{1}{3} c_F \delta_{ii} = c_F \qquad (9.2.68) $$

Pour simplifier l'écriture de la partie Lorentz du résultat il est utile d'introduire les variables de Mandelstam :

$$ \begin{align} (p_1 + q)^2 &= q^2 + 2p_1q = (p_2 + k)^2 = 2p_2k = \hat{s} \notag \\ (p_2 - q)^2 &= q^2 - 2p_2q = (p_1 - k)^2 = -2p_1k = \hat{t} \notag \\ (q - k)^2 &= q^2 - 2qk = (p_2 - p_1)^2 = -2p_1p_2 = \hat{u}. \tag{9.2.69} \end{align} $$

En jauge de Feynman pour le gluon et se rappelant les règles de diracologie en n-dimensions pour l'évaluation des traces on trouve,

1. carré du premier terme :

$$ (ee_q\mu^\epsilon)^2(g\mu^\epsilon)^2 4(1-\epsilon)^2 \frac{\hat{s}}{-\hat{t}} $$
2. carré du premier terme :

$$(ee_q\mu^\epsilon)^2(g\mu^\epsilon)^2 4(1-\epsilon)^2 \frac{-\hat{t}}{\hat{s}}$$

3. terme d'interférence :

$$(ee_q\mu^\epsilon)^2(g\mu^\epsilon)^2(-8)(1-\epsilon) \left[ \frac{\hat{u}q^2}{\hat{s}\hat{t}} - \epsilon \right]$$

où on a pris la moyenne sur le spin du quark initial. Regroupant tous les termes, couleur et Lorentz, on trouve

$$ 
\begin{align}
\bar{\Sigma} |\mathcal{M}_{\gamma^* q}^2| &= -\bar{\Sigma}_{couleur,polar} \mathcal{M}_{\mu,\mu}^{a,\mu} (\mathcal{M}_{\mu}^a)^* \nonumber \\
&= (ee_q \mu^\epsilon)^2 (g\mu^\epsilon)^2 c_F 4(1-\epsilon) \left[ (1-\epsilon) \left( \frac{-\hat{t}}{\hat{s}} + \frac{\hat{s}}{-\hat{t}} \right) - 2 \frac{\hat{u}q^2}{\hat{s}\hat{t}} + 2\epsilon \right] . \tag{9.2.70}
\end{align}
$$

Cette expression est indépendante du choix de la jauge pour le gluon.

### • Choix du repère

Pour calculer la section efficace $\gamma^* \text{ quark}$ on peut se placer dans le repère du centre de masse de la collision photon-parton. Les coordonnées des vecteurs sont définies, en n-dimensions, par :

$$p_1 = (e_1, 0, \dots, e_1); \quad q = (q^0, 0, \dots, -e_1); \quad k = (k, \dots, k \cos \theta_1), \qquad (9.2.71)$$

de sorte que les invariants prennent la forme :

$$e_1 = \frac{\hat{s} + Q^2}{2\sqrt{\hat{s}}}; \quad \hat{t} = -\frac{(\hat{s} + Q^2)}{2} (1 - \cos \theta_1); \quad \hat{u} = -\frac{(\hat{s} + Q^2)}{2} (1 + \cos \theta_1). \qquad (9.2.72)$$

L'élément de matrice au carré dépend uniquement de l'angle polaire $\theta_1$, et non de l'angle azimutal ou des angles non-physiques.

### • Intégrale sur l'espace de phase

On doit intégrer sur l'espace de phase en n dimensions pour le quark et le gluon finals :

$$ 
\begin{align}
PS &= \int \frac{d^{n-1}p_2}{(2\pi)^{n-1}2e_2} \frac{d^{n-1}k}{(2\pi)^{n-1}2k} (2\pi)^n \delta^{(n)}(p_1 + q - p_2 - k) \nonumber \\
&= (2\pi)^{2-n} \int \frac{d^{n-1}k}{2k} d^n p_2 \delta^+((p_1 + q - k)^2) \delta^{(n)}(p_1 + q - p_2 - k) \nonumber \\
&= (2\pi)^{2-n} \int \frac{k^{n-3}}{2} dk \, d\Omega_{n-2} \delta(\hat{s} - 2\sqrt{\hat{s}}k) \tag{9.2.73} \\
&= (2\pi)^{2-n} \frac{(\sqrt{\hat{s}})^{n-4}}{2^{n-1}} \int d\Omega_{n-2} \nonumber
\end{align}
$$

où $d\Omega_{n-2}$ est l'élément d'angle solide dans un espace à n-1 dimensions (cf éq. (3.2.12)). L'impulsion du gluon est contrainte par la relation $k = \sqrt{\hat{s}}/2$. Contrairement au calcul, en régulation dimensionnelle, des intégrales des diagrammes en boucles on ne peut pas faire ici l'intégrale sur tous les angles puisque l'angle polaire apparaît explicitement dans l'élément de matrice. On peut
néamoins adapter les expressions éqs. (3.2.13), (3.2.14) pour faire les intégrales sur les angles non physiques et azimutal et ne garder comme variable que l'angle polaire $\theta_1$ de sorte que :

$$ 
\begin{aligned}
\int d\Omega_{n-2} &= \int_0^\pi (\sin \theta_1)^{n-3} d\theta_1 \int d\Omega_{n-3}, \\
&= 2 \frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma((n-2)/2)} \int_0^\pi (\sin \theta_1)^{n-3} d\theta_1
\end{aligned} 
\qquad (9.2.74) $$

d'après (3.2.14). Faisant le changement de variable $\cos \theta_1 = 2y-1$ et usant de $n = 4-2\epsilon$ on trouve :

$$ \int d\Omega_{n-2} = \frac{(4\pi)^{1-\epsilon}}{\Gamma(1-\epsilon)} \int_0^1 dy \, y^{-\epsilon} (1-y)^{-\epsilon} \qquad (9.2.75) $$

de sorte que l'intégrale sur l'espace de phase devient :

$$ PS = \frac{1}{8\pi} \left(\frac{4\pi}{\hat{s}}\right)^{\epsilon} \frac{1}{\Gamma(1-\epsilon)} \int_{0}^{1} dy \, y^{-\epsilon} (1-y)^{-\epsilon}, \qquad (9.2.76) $$

valable pour la production de deux partons de masse nulle dans un processus $2 \to 2$. La contribution du processus Compton à la section efficace photon-quark est la convolution du facteur d'espace de phase et de l'amplitude au carré :

$$ \hat{\sigma}_1^{\gamma^* q}(Q^2, z, \epsilon) = \frac{1}{4p_1 q} PS \bar{\Sigma} |M|_{\gamma^* q}^2, \qquad (9.2.77) $$

que l'on va maintenant évaluer.

### Cinématique

Se rappelant la définition de la variable de Bjorken au niveau partonique, $z = Q^2/2p_1q$, on peut exprimer tous les invariants du problème à l'aide de $Q^2$ et des variables sans dimensions $y$ et $z$ :

$$ \hat{s} = Q^2 \frac{1-z}{z} ; \quad \hat{t} = -Q^2 \frac{1-y}{z} ; \quad \hat{u} = -Q^2 \frac{y}{z}. \qquad (9.2.78) $$

La positivité de $\hat{s}$ impose $z \le 1$. D'autre part, se rappelant que le parton porte une fraction $z' \le 1$ de l'impulsion du proton et que reliant les variables de Bjorken partonique et hadronique on a $z' = z/x$ la condition $z' \le 1$ impose la restriction

$$ x \le z \le 1. \qquad (9.2.79) $$

Le carré de l'élément de matrice s'écrit :

$$ \bar{\Sigma} |M|_{\gamma^* q}^2 = (ee_q \mu^\epsilon)^2 (g\mu^\epsilon)^2 < c_F > 4(1-\epsilon) \left[ (1-\epsilon) \left( \frac{1-y}{1-z} + \frac{1-z}{1-y} \right) + 2 \frac{yz}{(1-y)(1-z)} + 2\epsilon \right]. \qquad (9.2.80) $$
### Divergences colinéaire et infrarouge

Se concentrant sur l'intégrale angulaire il faut donc évaluer, à l'aide de l'éq. (3.2.29),

$$ 
\begin{aligned}
& \int_0^1 dy \, y^{-\epsilon} (1-y)^{-\epsilon} \left[ (1-\epsilon) \left( \frac{1-y}{1-z} + \frac{1-z}{1-y} \right) + 2 \frac{yz}{(1-y)(1-z)} + 2\epsilon \right] \\
& = \frac{\Gamma(1-\epsilon)^2}{\Gamma(1-2\epsilon)} \left[ -\frac{1}{\epsilon} \frac{1+z^2}{1-z} - \frac{3}{2} \frac{1}{1-z} + 3-z - \frac{7}{2} \frac{\epsilon}{1-z} + 2\epsilon \right],
\end{aligned} 
\quad (9.2.81) 
$$

où on n'a gardé que les termes jusqu'à l'ordre $\epsilon$. On voit que les termes en $1/(1-y)$ seraient divergents en $y=1$ ($\Leftrightarrow \hat{t}=0 \Leftrightarrow \cos\theta=1$) si $\epsilon$ était nul : on a donc bien une divergence colinéaire, quand le gluon est émis parallèlement au quark initial. Rassemblant tous les termes on trouve :

$$ \hat{\sigma}_1^{\gamma * q}(Q^2, z, \epsilon) = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, z, \epsilon) \left[ \frac{\alpha_s}{2\pi} \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^\epsilon \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} z^\epsilon (1-z)^{-\epsilon} H_q(z, \epsilon) \right], \quad (9.2.82) $$

où on a mis en évidence le facteur $\hat{\sigma}_0$, éq. (9.2.63) caractéristique de la section efficace à l'ordre de Born. Le terme entre crochets contient la contribution QCD, proportionnelle à $\alpha_s$ et a une expression compliquée :

$$ H_q(z, \epsilon) = \langle c_F \rangle \left[ -\frac{1}{\epsilon} \frac{1+z^2}{1-z} - \frac{3}{2} \frac{1}{1-z} + 3-z - \frac{7}{2} \frac{\epsilon}{1-z} + 2\epsilon \right] \quad (9.2.83) $$

L'origine du terme $z^\epsilon(1-z)^{-\epsilon}$ dans l'équation ci-dessus est la substitution

$$ \left(\frac{1}{\hat{s}}\right)^{\epsilon} = \left(\frac{1}{Q^2}\right)^{\epsilon} z^{\epsilon} (1-z)^{-\epsilon} \quad (9.2.84) $$

dans le facteur d'espace de phase éq. (9.2.76). Ce terme est important car il permettra la régularisation des divergences infrarouges lors du calcul de la diffusion $\gamma^* proton$ qui nécessitera l'intégration sur la variable $z'$, donc sur $z = x/z'$. En effet, l'impulsion $k$ du gluon est, d'après la contrainte de la fonction $\delta$ dans l'équation (9.2.73),

$$ k = \frac{\sqrt{\hat{s}}}{2} = \frac{\sqrt{Q^2}}{2} \sqrt{\frac{1-z}{z}} \quad (9.2.85) $$

qui s'annule en $z=1 \Rightarrow k=0$. Les termes en $1/(1-z)$ dans la fonction $H_q(z, \epsilon)$ conduisent à une divergence quand on intègre sur l'impulsion du quark initial pour construire la section efficace au niveau hadronique.

### 9.2.3 Corrections d'ordre $\alpha_s$ : contribution de $\gamma^* \text{ gluon} \rightarrow \text{quark antiquark}$

Les deux diagrammes à évaluer sont :

<figure><img src="image_85.png" /></figure>
Le carré de l'élément de matrice de ce processus peut être obtenu par croisement à partir de l'éq. (9.2.70) : le gluon sortant d'impulsion $k$ du processus Compton devient entrant d'impulsion $p_1$, d'où $k \to -p_1$, tandis que le quark entrant d'impulsion $p_1$ devient un antiquark sortant d'impulsion $k$, d'où $p_1 \to -k$, les autres impulsions restant inchangées, de sorte que les variables de Mandelstam deviennent :

$$
\begin{align*}
\begin{array}{c} \text{Compton} \\ (q+p_1)^2 = \hat{s} \\ (q-p_2)^2 = \hat{t} \\ (q-k)^2 = \hat{u} \end{array} \quad \rightarrow \quad \begin{array}{c} \text{création de paire} \\ (q-k)^2 = \hat{u} \\ (q-p_2)^2 = \hat{t} \\ (q+p_1)^2 = \hat{s} \end{array} \tag{9.2.86}
\end{align*}
$$

Avant de substituer ces nouvelles variables dans l'éq. (9.2.70) il faut se rappeler de modifier la normalisation du fait de la moyenne sur les états de couleur et polarisation des particules entrantes :

- pour la couleur : $\text{Compton} = \frac{1}{3}\Sigma_{\text{couleur}} \rightarrow \text{création de paire} = \frac{1}{8}\Sigma_{\text{couleur}}$

- pour le spin : pas de changement car quark et gluon ont chacun deux états de polarisation,
Donc au lieu du facteur $c_F$ on aura $3 c_F / 8 = 1/2$ et ainsi le carré de l'élément de matrice pour la création d'une paire $q \bar{q}$ est :

$$
\begin{align}
\bar{\Sigma} |\mathcal{M}_{\gamma^* G}^2| &= -\bar{\Sigma}_{\text{couleur,polar}} \mathcal{M}_{a,\mu}^{a,\mu} (\mathcal{M}_{\mu}^{a})^* \nonumber \\
&= (ee_q \mu^\varepsilon)^2 (g\mu^\varepsilon)^2 <\frac{1}{2}> 4(1-\varepsilon) \left[ (1-\varepsilon) \left(\frac{\hat{t}}{\hat{u}} + \frac{\hat{u}}{\hat{t}}\right) + 2 \frac{\hat{s} q^2}{\hat{u} \hat{t}} - 2\varepsilon \right], \tag{9.2.87}
\end{align}
$$

où on n'a pas oublié un facteur $-1$ global du fait que l'on a croisé un fermion (le carré de l'élément de matrice doit être positif). On utilise ensuite les relations éqs. (9.2.78) pour écrire notre expression en fonction des variables invariantes d'échelle $y$ et $z$ :

$$
\bar{\Sigma} |\mathcal{M}|_{\gamma^* G}^2 = (ee_q \mu^\epsilon)^2 (g\mu^\epsilon)^2 <\frac{1}{2}> 4(1-\epsilon) \left[ (1-\epsilon) \left(\frac{1}{1-y} + \frac{1}{y} - 2\right) - 2z(1-z) \left(\frac{1}{1-y} + \frac{1}{y}\right) - 2\epsilon \right]. \tag{9.2.88}
$$

• Intégrale sur l'espace de phase

L'intégrale sur l'impulsion des partons finals se fait de la même façon que pour la diffusion Compton,
à l'aide de l'éq. (9.2.76). Négligeant pour le moment la normalisation, on a pour l'intégrale sur la
variable angulaire $y$ :

$$
\begin{align}
& \int_0^1 dy \, y^{-\epsilon} (1-y)^{-\epsilon} \left[ (1-\epsilon) \left( \frac{1}{1-y} + \frac{1}{y} - 2 \right) - 2z(1-z) \left( \frac{1}{1-y} + \frac{1}{y} \right) - 2\epsilon \right] \nonumber \\
& = \frac{\Gamma(1-\epsilon)^2}{\Gamma(1-2\epsilon)} \left[ -\frac{2}{\epsilon}(z^2 + (1-z)^2) + \mathcal{O}(\epsilon) \right]. \tag{9.2.89}
\end{align}
$$

Le facteur $-2/\epsilon$ est issu des divergences colinéaires à $y=0$ ($\hat{t}=0 \Rightarrow \bar{q} \parallel \text{gluon}$, diffusion dure $\gamma^* \text{ quark}$) et $y=1$ ($\hat{u}=0 \Rightarrow \bar{q} \parallel \text{gluon}$, diffusion dure $\gamma^* \text{ antiquark}$). D'autre part, il n'y a dans ce processus pas de divergences infrarouges car les conditions cinématiques empêchent le gluon d'avoir une énergie nulle : en effet, cette dernière est d'après les éqs. (9.2.72) et (9.2.78) :

$$
e_1 = \frac{\sqrt{Q^2}}{2} \frac{1}{\sqrt{z(1-z)}} \qquad (9.2.90)
$$
avec $x < z < 1$. On reconstruit alors la section efficace au niveau partonique avec tous les facteurs de normalisation (de l'élément de matrice, de l'espace des phases et du flux) pour trouver :

$$ \hat{\sigma}_1^{\gamma^* G}(Q^2, z, \varepsilon) = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, z, \varepsilon) \left[ \frac{\alpha_s}{2\pi} \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^\varepsilon \frac{\Gamma(1-\varepsilon)}{\Gamma(1-2\varepsilon)} z^\varepsilon (1-z)^{-\varepsilon} H_G(z, \varepsilon) \right] \quad (9.2.91) $$

avec

$$ H_G(z, \varepsilon) = \left\langle \frac{1}{2} \right\rangle \left[ -\frac{1}{\varepsilon}(z^2 + (1-z)^2) + \mathcal{O}(\varepsilon) \right]. \quad (9.2.92) $$

Il n'y a pas de singularité en $z$ dans l'intervalle $x \le z \le 1$ donc pas de divergence infrarouge dans le processus de création de paire $q \bar{q}$.

### 9.2.4 Diffusion $\gamma^*$ proton : contribution des termes réels

Regroupant toutes les contributions déjà calculées, Born éq. (9.2.61), Compton éq. (9.2.82) et création de paire éq. (9.2.91), et appliquant l'hypothèse du modèle des partons naïf pour construire la section $\gamma^*$ proton, on peut écrire, en rappelant que $z = x/z'$ :

$$ \sigma_{\text{réel}}^{\gamma^* p}(Q^2, x, \varepsilon) = \int_x^1 dz' \left\{ q_0(z') \left[ \hat{\sigma}_0^{\gamma^* q}(Q^2, \frac{x}{z'}, \varepsilon) + \hat{\sigma}_1^{\gamma^* q}(Q^2, \frac{x}{z'}, \varepsilon) \right] + G_0(z') \hat{\sigma}_1^{\gamma^* G}(Q^2, \frac{x}{z'}, \varepsilon) \right\}. \quad (9.2.93) $$

Les bornes d'intégration sont données par l'éq. (9.2.79). Faisant le changement de variable d'intégration $z' \to z$ et substituant les expressions pour les différentes composantes de la section efficace on a :

$$ \sigma_{\text{réel}}^{\gamma^* p}(Q^2, x, \varepsilon) = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, x, \varepsilon) \int_x^1 \frac{dz}{z} \left\{ q_0\left(\frac{x}{z}\right) \delta(1-z) \right. \\ \left. + \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^\varepsilon \frac{\Gamma(1-\varepsilon)}{\Gamma(1-2\varepsilon)} z^\varepsilon (1-z)^{-\varepsilon} \left[ q_0\left(\frac{x}{z}\right) H_q(z, \varepsilon) + G_0\left(\frac{x}{z}\right) H_G(z, \varepsilon) \right] \right\}. \quad (9.2.94) $$

On reconnaît facilement que cette expression est factorisée en une section efficace dure, la même que celle du terme de Born, et une intégrale qui contient, à l'ordre $\alpha_s$, des divergences colinéaires et, dans le terme $H_q(z, \varepsilon)$, des divergences à $z = 1$ qu'il s'agit maintenant d'extraire.

#### Extraction des divergences infrarouges de la diffusion Compton

Pour cela il est nécessaire d'évaluer des expressions potentiellement divergentes telles que :

$$ \int_0^1 dz \, z^\varepsilon (1-z)^{-\varepsilon} \frac{F(z)}{1-z}, \quad \text{ou} \quad -\frac{1}{\varepsilon} \int_0^1 dz \, z^\varepsilon (1-z)^{-\varepsilon} \frac{F(z)}{1-z}, \quad (9.2.95) $$

qui apparaissent dans la fonction $H_q(z, \varepsilon)$ de l'éq. (9.2.83). Il s'agit de les exprimer sous la forme de pôles en $\varepsilon$ et de termes finis. Dans les expressions ci-dessus la fonction $F(z)$ est une fonction
arbitraire supposée régulière à z = 1. Pour cela on développe l'intégrand de la façon suivante :

$$
\begin{align*}
\int_0^1 dz \, z^\varepsilon (1-z)^{-\varepsilon} \frac{F(z)}{1-z} &= \int_0^1 dz \frac{F(z)}{(1-z)^{1+\varepsilon}} (1+\varepsilon \ln z) \tag{9.2.96} \\
&= \int_0^1 dz \frac{F(z)-F(1)}{(1-z)^{1+\varepsilon}} + F(1) \int_0^1 dz \frac{1}{(1-z)^{1+\varepsilon}} + \varepsilon \int_0^1 dz \, F(z) \frac{\ln z}{(1-z)^{1+\varepsilon}} \\
&= \int_0^1 dz \frac{F(z)-F(1)}{(1-z)} (1-\varepsilon \ln(1-z)) - \frac{1}{\varepsilon} F(1) + \varepsilon \int_0^1 dz \, F(z) \frac{\ln z}{(1-z)}.
\end{align*}
$$

Puisque le terme $(F(z) - F(1))/(1-z)$ est régulier en $z=1$, le développement en $\varepsilon$ de l'intégrand du premier terme est justifié. Le deuxième terme est evalué grâce à l'éq. (3.2.29), quant au dernier, le facteur $\ln z/(1-z)$ est régulier en $z=1$ et on peut donc prendre $\varepsilon=0$ dans l'exposant du dénominateur. On introduit les notations standards suivantes :

$$
\int_0^1 dz \frac{F(z)}{(1-z)_+} = \int_0^1 dz \frac{F(z)-F(1)}{(1-z)}
$$

$$
\int_0^1 dz \, F(z) \left( \frac{\ln(1-z)}{(1-z)} \right)_+ = \int_0^1 dz \, (F(z) - F(1)) \frac{\ln(1-z)}{(1-z)}. \quad (9.2.97)
$$

On peut donc écrire l’intégrale ci-dessus de la façon suivante :

$$
\int_0^1 dz \, z^\epsilon (1-z)^{-1-\epsilon} F(z) = \int_0^1 dz \, F(z) \left\{ -\frac{1}{\epsilon} \delta(1-z) + \frac{1}{(1-z)_+} + \epsilon \frac{\ln z}{1-z} - \epsilon \left( \frac{\ln(1-z)}{1-z} \right)_+ \right\}. \quad (9.2.98)
$$

En fait, l'expression des sections efficaces, telles que (9.2.93), implique une intégrale sur la variable $z$ de $x \neq 0$ à 1. On définira donc :

$$
\int_x^1 dz \frac{F(z)}{(1-z)_+} = \int_0^1 dz \frac{F(z)}{(1-z)_+} - \int_0^x dz \frac{F(z)}{(1-z)}
$$

$$
\int_x^1 dz \, F(z) \left( \frac{\ln(1-z)}{(1-z)} \right)_+ = \int_0^1 dz \, F(z) \left( \frac{\ln(1-z)}{(1-z)} \right)_+ - \int_0^x dz \, F(z) \frac{\ln(1-z)}{(1-z)}. \quad (9.2.99)
$$

L'application de cette technique à l'évaluation de la contribution du terme Compton éq. (9.2.83) à
la section efficace hadronique permet d' obtenir le résultat suivant :

$$
\int_0^1 \frac{dz}{z} q_0(\frac{x}{z}) z^\epsilon (1-z)^{-\epsilon} H_q(z, \epsilon) = \int_0^1 \frac{dz}{z} q_0(\frac{x}{z}) F_q(z, \epsilon) \quad (9.2.100)
$$

où on a défini :

$$
F_q(z, \epsilon) = \langle c_F \rangle \left[ \begin{aligned}
& \frac{2}{\epsilon^2} \delta(1-z) - \frac{1}{\epsilon(1-z)_+} + \frac{3}{2\epsilon} \delta(1-z) + \frac{7}{2} \delta(1-z) \\
& \quad + (1+z^2) \left( \frac{\ln(1-z)}{1-z} \right)_+ - \frac{3}{2} \frac{1}{(1-z)_+} - \frac{1+z^2}{1-z} \ln z + 3-z
\end{aligned} \right]. \quad (9.2.101)
$$
La présence de termes en $\delta(1-z)$ et des distributions "+" sont caractéristiques des divergences infrarouges. Si de plus on a une divergence colinéaire, cela engendre des facteurs tels que $\delta(1-z)/\epsilon^2$ ainsi que $(\ln(1-z)/(1-z))_+^+$.

L'intégrale sur $z$ de $H_G(z, \epsilon)$, éq. (9.2.92), ne présente pas de difficultés (pas de divergence infrarouge) et on trouve :

$$ \int_0^1 \frac{dz}{z} G_0\left(\frac{x}{z}\right) z^{\epsilon} (1-z)^{-\epsilon} H_G(z, \epsilon) = \int_0^1 \frac{dz}{z} G_0\left(\frac{x}{z}\right) F_G(z, \epsilon) \quad (9.2.102) $$

avec

$$ F_G(z, \epsilon) = \left\langle \frac{1}{2} \right\rangle (z^2 + (1-z)^2) \left[ -\frac{1}{\epsilon} + \ln \frac{1-z}{z} \right]. \quad (9.2.103) $$

Regroupant toutes les contributions réelles, après avoir extrait les divergences infrarouges, l'équation (9.2.94) devient :

$$ \sigma_{\text{réel}}^{\gamma^* p}(Q^2, x, \epsilon) = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, x, \epsilon) \int_x^1 \frac{dz}{z} \left\{ q_0\left(\frac{x}{z}\right) \delta(1-z) \right. \\ \left. + \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^{\epsilon} \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \left[ q_0\left(\frac{x}{z}\right) F_q(z, \epsilon) + G_0\left(\frac{x}{z}\right) F_G(z, \epsilon) \right] \right\}. \quad (9.2.104) $$

Les fonctions $F_q$ et $F_G$, ne sont autres que, respectivement, $z^\epsilon(1-z)^\epsilon H_q$ et $z^\epsilon(1-z)^\epsilon H_G$ de l'éq. (9.2.94) où on a explicité le comportement infrarouge.

### 9.2.5 Corrections d'ordre $\alpha_s$: contribution des termes virtuels

Les diagrammes à calculer sont :

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

On travaille en jauge de Landau : on a vu qu'alors la correction de self-énergie est strictement nulle (éq. 8.2.11) pour des fermions de masse nulle. En revanche le calcul de la correction au vertex est long et pénible. Avec le choix des impulsions de la figure le terme à calculer est (voir la section (4.3.1) pour le calcul QED en jauge de Feynman) :

$$ \mathcal{V}_{(1)}^{\mu} = -iee_q \mu^{\epsilon} (-ig\mu^{\epsilon})^2 \bar{u}(p_2)_j \int \frac{d^m k}{(2\pi)^n} \left\{ \frac{\gamma_{\rho}(\not p_2 + \not k)\gamma^{\mu}(\not p_1 + \not k)\gamma^{\rho}}{(p_2+k)^2 (p_1+k)^2 k^2} \right. \\ \left. - \frac{\not k(\not p_2 + \not k)\gamma^{\mu}(\not p_1 + \not k) \not k}{(p_2+k)^2 (p_1+k)^2 (k^2)^2} \right\} T_{jk}^a T_{ki}^a u(p_1)_i, \quad (9.2.105) $$
où on somme les couleurs $i$ et $j$ des quarks et $a$ du gluon. Le facteur de couleur se réduit à $c_F \delta_{ji}$.
Introduisant deux paramètres de Feynman, on peut linéariser les dénominateurs :

$$ 
\begin{aligned}
& \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{1}{(p_2+k)^2 (p_1+k)^2 k^2} = \int_0^1 dx \, 2y \, dy \int \frac{d^{nl}}{(2\pi)^n} \frac{1}{(l^2 + q^2 y^2 x (1-x) + i\epsilon)^3} \\
& \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \frac{1}{(p_2+k)^2 (p_1+k)^2 (k^2)^2} = \int_0^1 dx \, 6y (1-y) \, dy \int \frac{d^{nl}}{(2\pi)^n} \frac{1}{(l^2 + q^2 y^2 x (1-x) + i\epsilon)^4},
\end{aligned}
$$

où l'impulsion dans la boucle $l$ est définie par $l = k + y$ ($xp_1 + (1-x)p_2$). Après réduction de la trace on peut réécrire le vertex à une boucle, en supposant les quarks $p_1$ et $p_2$ sur couche de masse (i.e. $\not{p}_1 u(p_1)_i = \bar{u}(p_2)_j \not{p}_2 = 0$),

$$ 
\begin{aligned}
\mathcal{V}_{(1)}^{\mu} = & -ee_q \mu^{\epsilon} (g\mu^{\epsilon})^2 < c_F > \bar{u}(p_2)_j \int_0^1 dx \, dy \, 2y \int \frac{d^{nl}}{(2\pi)^n} \left\{ \frac{(1-2\epsilon)l^2\gamma^{\mu} - 4(1-\epsilon)l\ell l^{\mu}}{(l^2 + q^2 y^2 x(1-x) + i\epsilon)^3} \right. \\
& \left. + \frac{(-2+y-(1-2\epsilon)y^2x(1-x))q^2}{(l^2 + q^2 y^2 x(1-x) + i\epsilon)^3} \gamma^{\mu} - 3(1-y) \frac{4p_1 l p_2 l + y^2 x(1-x)(q^2)^2}{(l^2 + q^2 y^2 x(1-x) + i\epsilon)^4} \gamma^{\mu} \right\} u(p_1)_j.
\end{aligned}
\quad (9.2.106) $$

Seul le premier terme est potentiellement divergent dans l'ultraviolet, $\int dl^n/l^4 \sim \int dl/l^{1+2\epsilon}$ : il est facilement évalué à l'aide de l'éq. (3.2.22) qui permet de réduire le terme $\ell l^\mu$ à $l^2\gamma^\mu/2(2-\epsilon)$ et de l'éq. (3.2.23) qui permet d'effectuer l'intégrale sur l'impulsion de la boucle. Sa contribution au vertex est alors :

$$ 
\begin{aligned}
- iee_q \mu^\epsilon (g\mu^\epsilon)^2 < c_F > \bar{u}(p_2)_j \gamma^\mu u(p_1)_j & \int_0^1 dx \, dy \, y \frac{1}{(4\pi)^2} \left( \frac{4\pi}{-q^2 y^2 x(1-x) + i\epsilon} \right)^\epsilon (-3\epsilon + 2\epsilon^2) \frac{\Gamma(1+\epsilon)}{\epsilon} \\
= - iee_q \mu^\epsilon < c_F > & \frac{g^2}{(4\pi)^2} \left( \frac{4\pi\mu^2}{-q^2 + i\epsilon} \right)^\epsilon \bar{u}(p_2)_j \gamma^\mu u(p_1)_j \int_0^1 dx \, dy \, y^{1-2\epsilon} x^{-\epsilon} (1-x)^{-\epsilon} (-3+2\epsilon) \frac{\Gamma(1+\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \\
= - iee_q \mu^\epsilon < c_F > & \frac{g^2}{(4\pi)^2} \left( \frac{4\pi\mu^2}{-q^2 + i\epsilon} \right)^\epsilon (-\frac{3}{2}) \frac{\Gamma(1+\epsilon)(\Gamma(1-\epsilon))^2}{\Gamma(1-2\epsilon)} \bar{u}(p_2)_j \gamma^\mu u(p_1)_j,
\end{aligned}
\quad (9.2.107) $$

où on a négligé des termes d'ordre $\epsilon$. On observe que la divergence ultraviolette de l'intégrale sur l'impulsion (voir la première ligne) est compensée par le coefficient d'ordre $\epsilon$. Ceci est en accord avec le résultat obtenu en QED où on a montré que vertex et self-énergie avaient les mêmes divergences ultraviolettes (voir sec. 4.3) : en l'occurence, en jauge de Landau, ni le vertex ni la self-énergie n'ont de divergences UV. Si les deux derniers termes de l'équation (9.2.106) ne présentent pas de divergences lors de l'intégration sur l'impulsion $l$, cette dernière engendre cependant des termes de type $y^{-1-2\epsilon}x^{-1-\epsilon}(1-x)^{-1-\epsilon}$ et $y^{-2\epsilon}x^{-1-\epsilon}(1-x)^{-1-\epsilon}$ qui conduisent finalement à des termes $1/\epsilon^2$ et $1/\epsilon$, signes de singularités colinéaires et infrarouges. L'éq. (3.2.29) permet de faire les intégrales $\int dx dy$ et un usage immodéré de la formule de récursion sur les fonctions $\Gamma$, éq. (3.2.18), conduit finalement au résultat relativement simple où on a inclus tous les termes de l'éq. (9.2.105) :

$$ \mathcal{V}_{(1)}^{\mu} = \mathcal{V}_{(0)}^{\mu} < c_F > \frac{g^2}{(4\pi)^2} \left( \frac{4\pi\mu^2}{-q^2 + i\epsilon} \right)^{\epsilon} \frac{\Gamma(1+\epsilon)(\Gamma(1-\epsilon))^2}{\Gamma(1-2\epsilon)} \left\{ -\frac{2}{\epsilon^2} - \frac{3}{\epsilon} - 8 + \mathcal{O}(\epsilon) \right\}. \quad (9.2.108) $$

On remarque que la contribution des termes en boucle à la diffusion $\gamma^* quark \to quark$ est simplement un facteur multiplicatif à l'amplitude de Born et on peut écrire :

$$ \mathcal{V}_{(1)}^{\mu} = \mathcal{V}_{(0)}^{\mu} \frac{\alpha_s}{2\pi} \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^{\epsilon} \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} V_1(\epsilon) \quad (9.2.109) $$
avec (en jauge de Landau)

$$V_1(\varepsilon) = \langle c_F \rangle \frac{1}{2} \left\{ -\frac{2}{\varepsilon^2} - \frac{3}{\varepsilon} - 8 - \frac{\pi^2}{3} \right\} \qquad (9.2.110)$$

où on a utilisé la relation

$$\Gamma(1 + \varepsilon)\Gamma(1 - \varepsilon) = 1 + \varepsilon^2 \frac{\pi^2}{6}, \qquad (9.2.111)$$

et le fait que $-q^2 = Q^2 > 0$ permet d'ignorer le facteur $i \epsilon$ associé à $-q^2$. Finalement la contribution des termes virtuels à la section efficace qui est deux fois la partie réelle de l'interférence du terme de Born avec la correction au vertex est donc simplement :

$$\hat{\sigma}_{\text{virtuel}}^{\gamma^* q}(Q^2, z, \varepsilon) = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, z, \varepsilon) \delta(1-z) \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^\varepsilon \frac{\Gamma(1-\varepsilon)}{\Gamma(1-2\varepsilon)} 2V_1(\varepsilon) \qquad (9.2.112)$$

On remarque que la structure de cette équation est très similaire à celle des contributions partoniques réelles.

### 9.2.6 Diffusion $\gamma^*proton$ au premier ordre de QCD

Regroupant tous les termes, Born, contributions réelles éq. (9.2.104) et contributions virtuelles éq. (9.2.112) on a :

$$\sigma^{\gamma^* p}(Q^2, x, \varepsilon) = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, x, \varepsilon) \int_x^1 \frac{dz}{z} \left\{ q_0\left(\frac{x}{z}\right) \delta(1-z) + \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^\varepsilon \frac{\Gamma(1-\varepsilon)}{\Gamma(1-2\varepsilon)} \left[ q_0\left(\frac{x}{z}\right) \left(F_q(z, \varepsilon) + 2V_1(\varepsilon)\delta(1-z)\right) + G_0\left(\frac{x}{z}\right) F_G(z, \varepsilon) \right] \right\} \qquad (9.2.113)$$

Se reportant aux éqs. (9.2.101) et (9.2.110) on voit facilement que le terme en $1/\varepsilon^2$ de la correction virtuelle $V_1(\varepsilon)$ compense un terme équivalent mais de signe opposé inclus dans la contribution Compton $F_q(z, \varepsilon)$. D'autre part, les morceaux en $1/\varepsilon$ de ces deux contributions se combinent pour former l'expression :

$$-\frac{1}{\varepsilon} P_{qq}(z) = -\frac{1}{\varepsilon} \langle c_F \rangle \left( \frac{1+z^2}{(1-z)_+} + \frac{3}{2} \delta(1-z) \right). \qquad (9.2.114)$$

L'autre terme divergent subsistant dans l'éq. (9.2.113) est contenu dans $F_G(z, \varepsilon)$ et on le note :

$$-\frac{1}{\varepsilon} P_{qG}(z) = -\frac{1}{\varepsilon} \langle \frac{1}{2} \rangle (z^2 + (1-z)^2). \qquad (9.2.115)$$

Rétablissant tous les impedimenta associés à ces termes divergents on peut ré-écrire la diffusion $\gamma^* proton$ en séparant termes divergents et finis quand $\varepsilon \to 0$ :

$$\sigma^{\gamma^* p}(Q^2, x, \varepsilon) = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, x, \varepsilon) \int_x^1 \frac{dz}{z} \left\{ q_0\left(\frac{x}{z}\right) \delta(1-z) + \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^\varepsilon \frac{\Gamma(1-\varepsilon)}{\Gamma(1-2\varepsilon)} \left(-\frac{1}{\varepsilon}\right) \left[q_0\left(\frac{x}{z}\right) P_{qq}(z) + G_0\left(\frac{x}{z}\right) P_{qG}(z)\right] + \frac{\alpha_s}{2\pi} \left[q_0\left(\frac{x}{z}\right) f_q(z) + G_0\left(\frac{x}{z}\right) f_G(z)\right] \right\}. \qquad (9.2.116)$$
Les termes finis,

$$
\begin{align}
f_q(z) &= \langle c_F \rangle \left( \frac{7}{2} \delta(1-z) + (1+z^2) \left( \frac{\ln(1-z)}{(1-z)} \right)_+ - \frac{3}{2} \frac{1}{(1-z)_+} - \frac{1+z^2}{1-z} \ln z + 3-z \right) \nonumber \\
f_G(z) &= \langle \frac{1}{2} \rangle (z^2 + (1-z)^2) \ln \frac{1-z}{z}, \tag{9.2.117}
\end{align}
$$

sont obtenus à partir des équations (9.2.101), (9.2.110) et (9.2.103). Dans l'esprit du modèle des partons on donne un nom à l'intégrale contenant le terme de Born et tous les morceaux divergents : c'est une fonction de $x$ et de $Q^2$ que l'on suppose finie (comme on le justifiera plus bas) et qui est notée, sans surprise (c'est la version en régularisation dimensionnelle de l'éq. (9.1.17) :

$$
q(x, Q^2) = q_0(x) - \frac{1}{\varepsilon} \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^{\varepsilon} \frac{\Gamma(1-\varepsilon)}{\Gamma(1-2\varepsilon)} \int_x^1 \frac{dz}{z} \left(q_0\left(\frac{x}{z}\right) P_{qq}(z) + G_0\left(\frac{x}{z}\right) P_{qG}(z)\right), \quad (9.2.118)
$$

de telle sorte que la section efficace s'écrit relativement simplement :

$$
\sigma^{*p}(Q^2, x) = \left[ \frac{2\pi x}{Q^2} \right] (ee_q)^2 \left[ q(x, Q^2) + \frac{\alpha_s(Q^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dz}{z} \left( q\left(\frac{x}{z}, Q^2\right) f_q(z) + G\left(\frac{x}{z}, Q^2\right) f_G(z) \right) \right]. \quad (9.2.119)
$$

Pour obtenir cette expression on a fait une certain nombre d'approximations toutes parfaitement
justifiées dans le cadre d'un développement perturbatif. Il y a également un brin d'anticipation.
Le premier terme est évident : il résulte trivialement de la substitution de l'éq. (9.2.118) dans l'éq.
(9.2.116) et l'on a pris ε = 0 puisque les pôles en ε ont disparu. Ce terme est identique à l'expression
du modèle des partons naïf sauf que la distribution partonique dépend de l'échelle Q². Le deuxième
terme d'ordre αs est la première corrections QCD à la diffusion profondément inélastique et les
fonctions fq(z) et FG(z) sont calculables et données en (9.2.117). A l'ordre auquel le calcul est
conduit il est justifié d'avoir fait, dans ce terme, la substitution q₀(x/z) → q(x/z, Q²) qui engendre
des corrections d'ordre αs² qui sont donc hors du cadre de l'approximation d'ordre as que l'on
considère ici. De même pour la substitution G₀(x/z) → G(x/z, Q²), anticipant le fait que l'on a une
relation similaire à l'éq. (9.2.118) pour la distribution du gluon. Finalement le choix as → as(Q²)
est (relativement) arbitraire et montre seulement que l'on a choisi de travailler dans le cadre d'une
théorie renormalisée à μ² = Q². Il est inutile de préciser que l'on a pris ε = 0 partout puisque tous
les termes dans (9.2.119) sont finis. L'équation dérivée ci-dessus est bien l'éq. (9.1.18), assénée au
lecteur en sec. 9.1.

9.2.7 Schémas de factorisation et équation DGLAP

La relation (9.2.118) définit le schéma de factorisation $\overline{MS}$ (par analogie avec le schéma de renormalisation). En effet, développant en $\epsilon$ les termes singuliers on a :

$$
q(x, Q^2) = q_0(x) + \frac{\alpha_s}{2\pi} \left( -\frac{1}{\epsilon} - \ln 4\pi + \gamma + \ln \frac{Q^2}{\mu^2} \right) \int_x^1 \frac{dz}{z} \left( q_0\left(\frac{x}{z}\right) P_{qq}(z) + G_0\left(\frac{x}{z}\right) P_{qG}(z) \right), \quad (9.2.120)
$$

et l'on voit que tous les termes $1/\epsilon + \ln 4\pi - \gamma$ sont absorbés dans la redéfinition de la distribution
de quarks avec le choix $\mu^2 = Q^2$. On aurait pu définir la distribution partonique à une échelle
$M^2 \neq Q^2$ et/ou inclure des termes finis $c_q(z)$, $c_G(z)$ arbitraires, par exemple :

$$ q(x, M^2) = q_0(x) + \frac{\alpha_s}{2\pi} \left( -\frac{1}{\epsilon} - \ln 4\pi + \gamma + \ln \frac{M^2}{\mu^2} \right) \int_x^1 \frac{dz}{z} \left( q_0\left(\frac{x}{z}\right) P_{qq}(z) + G_0\left(\frac{x}{z}\right) P_{qG}(z) \right), \\ + \frac{\alpha_s}{2\pi} \int_x^1 \frac{dz}{z} \left( q_0\left(\frac{x}{z}\right) c_q(z) + G_0\left(\frac{x}{z}\right) c_G(z) \right) \qquad (9.2.121) $$

auquel cas l'expression de la section efficace hadronique aurait été (avec un couplage renormalisé à $M^2$) :

$$ \sigma^{\gamma * p}(Q^2, x) = (ee_q)^2 \left[ \frac{2\pi x}{Q^2} \right] \left\{ q(x, M^2) + \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dz}{z} \left( q\left(\frac{x}{z}, M^2\right) \left(P_{qq}(z) \ln \frac{Q^2}{M^2} + f_q(z) - c_q(z)\right) \right. \right. \\ \left. \left. + G\left(\frac{x}{z}, M^2\right) \left(P_{qG}(z) \ln \frac{Q^2}{M^2} + f_G(z) - c_G(z)\right) \right) \right\} \quad (9.2.122) $$

qui est l'expression la plus générale de la section efficace, pour un choix arbitraire de l'échelle de factorisation $M$ et du schéma de factorisation défini par $c_q(z)$ et $c_G(z)$. Le choix $f_q(z) = c_q(z)$, $f_G(z) = c_G(z)$ et $M^2 = Q^2$, autrefois populaire, définit le schéma de renormalisation DIS dans lequel la section efficace garde la même forme, à l'ordre $\alpha_s$, qu'à l'ordre de Born

$$ \sigma^{\gamma * p} = (ee_q)^2 \left[ \frac{2\pi x}{Q^2} \right] q(x, Q^2) \qquad (9.2.123) $$

toutes les corrections d'ordre supérieur ayant été absorbées dans la définition de la distribution partonique avec violation de l'invariance d'échelle. Il est évident qu'un changement d'échelle $M^2$ n'affecte pas les prédicitions puisque la variation du premier terme $q(x, M^2)$, est compensée exactement par une variation opposée des termes en $\ln Q^2/M^2$.

### • Equation DGLAP

Prenant la dérivée par rapport à $M^2$ de l'éq. (9.2.121) on trouve

$$ M^2 \frac{dq(x, M^2)}{dM^2} = \frac{\alpha_s(M^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dz}{z} \left( q\left(\frac{x}{z}, M^2\right) P_{qq}(z) + G\left(\frac{x}{z}, M^2\right) P_{qG}(z) \right), \qquad (9.2.124) $$

où toutes les divergences de l'éq. (9.2.121) ont disparu. La solution de cette équation intégrodifférentielle permettra de "prédire" $q(x, M^2)$, $\forall x, M^2$, connaissant $q(x, M_0^2)$ à une valeur de référence de l'échelle de masse : on a vu que cela revenait à faire une sommation à tous les ordres des corrections dominantes. On peut noter qu'à ce niveau d'approximation (LO) l'équation d'évolution est indépendante du schéma de factorisation, $\overline{MS}$ ou DIS ou autre. Revenant à l'éq. (9.2.122), on observe que la prédiction théorique pour $\sigma^{\gamma * p}(Q^2, x)$, connaissant $q(x, M^2)$ solution de l'éq. (9.2.124), exhibera une dépendance en l'échelle de factorisation $M$ puisque maintenant la variation de $q(x, M^2)$ est sommée à tous les ordres tandis que le terme compensatoire n'est évalué qu'au premier ordre en $\alpha_s$, mais l'ambiguité est en principe petite puisque d'ordre $\alpha_s^2$. Il est courant lors de l'étude d'un processus caractérisé par une échelle $Q^2$ de faire varier l'échelle de factorisation entre $Q^2/4$ et $4Q^2$ (le facteur 4 est totalement arbitraire!) et d'appeler la variation correspondante
”erreur théorique”.

On rappelle que l'éq. (9.2.124) fait référence à une seule saveur de quark. Les équations DGLAP complètes sont données en éqs. (9.1.45) et (9.1.44). Espérons que le lecteur n'est pas trop déprimé par la lourdeur des calculs présentés dans cette section et qu'il ne renoncera pas à approfondir ses connaissances en QCD perturbatif.

## 9.3 Diffusion Drell-Yan

Ce processus du type hadron hadron → γ* X fait donc intervenir la convolution de deux distributions partoniques dans l'état initial et on montrera que les divergences colinéaires subsistant dans un calcul d'ordre supérieur se factorisent comme dans l'éq. (9.2.121) ce qui permet d'affirmer l'universalité de la définition des distributions violant l'invariance d'échelle puisque la relation entre les distribution partoniques "nues" et celles renormalisés ne dépendent pas du processus auquel elles participent.

### 9.3.1 Calcul du terme de Born

Le diagramme à l'ordre le plus bas est :

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

L'élément de matrice de la réaction $q(p_1) + \bar{q}(p_2) \rightarrow \gamma^*(q)$ est :

$$ \mathcal{M}_0 = -iee_q \mu^\varepsilon \bar{v}(p_2)_j \gamma_\nu u(p_1)_j \epsilon^\nu. \qquad (9.3.125) $$

Son carré, sommé/moyenné sur les polarisations et les couleurs est donc :

$$ \bar{\Sigma} |\mathcal{M}_0|^2 = (ee_q \mu^\varepsilon)^2 < \frac{1}{3} > (1 - \varepsilon) \hat{s}. \qquad (9.3.126) $$

L'intégrale sur l'espace de phase de la particule finale de masse carrée $Q^2$ est en n-dimensions :

$$ \begin{aligned} PS_0 &= \int \frac{d^{n-1}q}{(2\pi)^{n-1}2q^0} (2\pi)^n \delta^{(n)}(p_1 + p_2 - q) \\ &= \frac{2\pi}{\hat{s}} \delta(1-z) \end{aligned} \qquad (9.3.127) $$

où on a défini la variable sans dimension :

$$ z = \frac{Q^2}{\hat{s}}, \quad \text{avec } q^2 = Q^2 > 0. \qquad (9.3.128) $$
La section efficace partonique à l'approximation de Born est donc :

$$
\begin{align}
\hat{\sigma}_0^{q\bar{q}} &= \frac{1}{2\hat{s}} P S_0 \bar{\Sigma} |\mathcal{M}_0|^2 \nonumber \\
&= \frac{\pi z}{Q^2} \langle \frac{1}{3} \rangle (1 - \varepsilon) (ee_q \mu^\varepsilon)^2 \delta(1 - z). \tag{9.3.129}
\end{align}
$$

On note la similarité de cette expression avec celle, éq. (9.2.61), de la diffusion inélastique profonde
ce qui est naturel puisque ces processus sont reliés par croisement. Pour les mêmes raisons que dans
l'inélastique on donne un nom au terme contenant l'échelle dure :

$$
\hat{\sigma}_0(Q^2, z, \varepsilon) = \frac{\pi z}{Q^2} \left\langle \frac{1}{3} \right\rangle (1 - \varepsilon) \mu^{2\varepsilon}. \qquad (9.3.130)
$$

Au niveau hadronique, introduisant seulement un type de quark de distribution $q_0(x)$, on doit
convoluer la section partonique avec le produit des distributions $q_0(x_1) \bar{q}_0(x_2)$ :

$$
\sigma_{\text{Born}}^{pp} = (ee_q)^2 \int dx_1 dx_2 \hat{\sigma}_0(Q^2, z, \epsilon) \delta(1-z) \{q_0(x_1) \bar{q}_0(x_2) + [1 \leftrightarrow 2]\} \quad (9.3.131)
$$

La variable d'énergie partonique $\hat{s}$ est donnée par $\hat{s} = x_1 x_2 s$ de sorte que définissant :

$$
x = \frac{Q^2}{s} \quad \text{on a} \quad \frac{Q^2}{\hat{s}} = z = \frac{x}{x_1 x_2}, \qquad (9.3.132)
$$

et la section hadronique s'écrit alors :

$$
\sigma_{\text{Born}}^{pp}(Q^2, x, \epsilon) = \hat{\sigma}_0(Q^2, x, \epsilon)(ee_q)^2 \int \frac{dx_1}{x_1} \frac{dx_2}{x_2} \delta\left(1 - \frac{x}{x_1 x_2}\right) \{q_0(x_1) \bar{q}_0(x_2) + [1 \leftrightarrow 2]\} \quad (9.3.133)
$$

9.3.2 Corrections d'ordre $\alpha_s$: contribution de quark antiquark $\to \gamma^*$ gluon

Les diagrammes d'annihilation de la paire $q(p_1) + \bar{q}(p_2) \to \gamma^*(q) + G(k)$ sont :

<figure><img src="image_88.png" /></figure>

L'élément de matrice s'obtient très facilement à partir de celui du processus de création de paire traité dans une section précédente : il suffit de renverser le signe de toutes les impulsions et donc les invariants $\hat{s}$, $\hat{t}$, $\hat{u}$ gardent la même signification. Quant à la somme/moyenne sur spin et couleur il faut mutliplier l'éq. (9.2.87) par 8 (nombre de couleurs du gluon) et 2 (nombre de degrés de
polarisation du gluon) et diviser par 9 (couleur des quarks initiaux) et 4 (polarisation). On trouve finalement (cf éq. pour le cas $Q^2 = 0$) :

$$ \bar{\Sigma} |\mathcal{M}|_{q\bar{q}}^2 = (ee_q\mu^\epsilon)^2(g\mu^\epsilon)^2 < \frac{1}{3} c_F > 2(1-\epsilon) \left[ (1-\epsilon)(\frac{\hat{t}}{\hat{u}} + \frac{\hat{u}}{\hat{t}}) + 2\frac{\hat{s}q^2}{\hat{u}\hat{t}} - 2\epsilon \right], \quad (9.3.134) $$

avec $c_F = 4/3$.

## • Intégrale sur l'espace de phase

On se place dans le repère du centre de masse des partons initiaux où les cordonnées sont :

$$ p_1 = (\sqrt{\hat{s}/2}, 0, \dots, \sqrt{\hat{s}/2}) \ ; \ p_2 = (\sqrt{\hat{s}/2}, 0, \dots, -\sqrt{\hat{s}/2}) \ ; \ k = (k, \dots, k \cos \theta_1). \quad (9.3.135) $$

Pour évaluer l'intégrale sur les impulsions finales on suit la même procédure que celle des éqs. (9.2.73) la seule différence étant que maintenant l'une des particules finales, le photon, est massive :

$$ \begin{aligned} PS &= \int \frac{d^{n-1}k}{(2\pi)^{n-1}2k} \frac{d^{n-1}q}{(2\pi)^{n-1}2q^0} (2\pi)^n \delta^{(n)}(p_1 + p_2 - q - k) \\ &= (2\pi)^{2-n} \int \frac{d^{n-1}k}{2k} \delta^+( (p_1 + p_2 - k)^2 - Q^2 ) \\ &= \frac{(2\pi)^{2-n}}{4\sqrt{s}} \left( \frac{\hat{s} - Q^2}{2\sqrt{s}} \right)^{n-3} \int d\Omega_{n-2}. \end{aligned} \quad (9.3.136) $$

L'intégrale angulaire se fait comme en éq. (9.2.75) pour trouver, définissant comme auparavant $\cos \theta_1 = 2y - 1$,

$$ PS = \frac{1}{8\pi} \left(\frac{4\pi}{Q^2}\right)^{\epsilon} \frac{z^{\epsilon}(1-z)^{1-2\epsilon}}{\Gamma(1-\epsilon)} \int_0^1 dy \, y^{-\epsilon}(1-y)^{-\epsilon}, \quad (9.3.137) $$

En terme des variables sans dimension les invariants sont :

$$ \hat{s} = \frac{Q^2}{z} \ ; \ (p_1 - k)^2 = \hat{t} = -\frac{Q^2}{z}(1-y)(1-z) \ ; \ (p_2 - k)^2 = \hat{u} = -\frac{Q^2}{z}(1-z)y \quad (9.3.138) $$

de sorte que le carré de l'élément de matrice s'écrit :

$$ \bar{\Sigma} |\mathcal{M}|_{q\bar{q}}^2 = (ee_q \mu^\epsilon)^2 (g \mu^\epsilon)^2 < \frac{1}{3} c_F > 2(1-\epsilon) \left[ (1-\epsilon) \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{1-y} - 2 \right) + \frac{z}{(1-z)^2} \frac{2}{y(1-y)} - 2\epsilon \right]. \quad (9.3.139) $$

## • Divergences colinéaire et infrarouge

Combinant alors élément de matrice et espace de phase on construit la section efficace au niveau partonique pour trouver après intégration angulaire :

$$ \begin{aligned} PS \bar{\Sigma} |\mathcal{M}|_{q\bar{q}}^2 &= \frac{1}{8\pi} \left(\frac{4\pi}{Q^2}\right)^{\epsilon} \frac{z^{\epsilon}(1-z)^{1-2\epsilon}}{\Gamma(1-\epsilon)} \int_0^1 dy \, y^{-\epsilon}(1-y)^{-\epsilon} \bar{\Sigma} |\mathcal{M}|_{q\bar{q}}^2 \\ &= \left[ (1-\epsilon) (ee_q \mu^\epsilon)^2 <\frac{1}{3}> \right] <c_F> \frac{g^2}{8\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^{\epsilon} \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \left(-\frac{4}{\epsilon}\right) \\ &\qquad \left\{ 2 \frac{z^{1+\epsilon}}{(1-z)^{1+2\epsilon}} + z^{\epsilon}(1-z)^{1-2\epsilon} \right\} \end{aligned} $$
Le pôle en $\epsilon$ résulte de la divergence colinéaire $y = 1 \Leftrightarrow \cos\theta_1 = 1$ quand le gluon est émis parallèlement au quark initial ou $y = 0 \Leftrightarrow \cos\theta_1 = -1$ quand le gluon est parallèle à l'antiquark. On remarque, d'autre part, que le premier terme entre accolades a une singularité qui serait non intégrable à $z = 1$ en 4 dimensions. Cela correspond à $\hat{s} = Q^2$: dans ce cas l'énergie du gluon final est nécessairement nulle (seuil de production du photon virtuel par la paire $q\bar{q}$) et cela engendre une singularité infrarouge lors de l'intégration sur l'impulsion des quark et antiquark de l'état initial dans la construction de la section efficace hadronique. De façon similaire à l'éq. (9.2.98) on écrit pour un terme singulier en $z = 1$ :

$$z^{\epsilon}(1-z)^{-1-2\epsilon}F(z) = F(z) \left\{ -\frac{1}{2\epsilon} \delta(1-z) + \frac{1}{(1-z)_+} + \epsilon \frac{\ln z}{1-z} - 2\epsilon \left( \frac{\ln(1-z)}{1-z} \right)_+ \right\}, \quad (9.3.140)$$

où ici $F(z) = 2z$. La différence entre ce résultat et celui de l'éq. (9.2.98) provient du facteur d'espace de phase qui reflète une cinématique différente : pour le voir il suffit de comparer les facteurs PS des éqs. (9.2.76) et (9.3.137). Pour le deuxième terme entre accolades qui est régulier, il suffit pour le calculer de faire le développement en $\epsilon$

$$z^{\epsilon}(1-z)^{1-2\epsilon} = (1-z)(1+\epsilon \ln z - 2\epsilon \ln(1-z)). \quad (9.3.141)$$

Finalement la contribution du processus d'annihilation à la section efficace partonique est donc

$$\begin{aligned} \hat{\sigma}_1^{q\bar{q}}(Q^2, z, \epsilon) &= \frac{1}{2\hat{s}} PS \bar{\Sigma} |M|_{q\bar{q}}^2 \\ &= (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, z, \epsilon) \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^{\epsilon} \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} F_{q\bar{q}}(z, \epsilon) \end{aligned} \quad (9.3.142)$$

avec

$$F_{q\bar{q}}(z, \epsilon) = \langle c_F \rangle_2 \left[ \frac{1}{\epsilon^2} \delta(1-z) - \frac{1}{\epsilon} \frac{1+z^2}{(1-z)_+} + 2(1+z^2) \left( \frac{\ln(1-z)}{1-z} \right)_+ - (1+z^2) \frac{\ln z}{1-z} \right] \quad (9.3.143)$$

### 9.3.3 Corrections d'ordre $\alpha_s$: contribution de quark gluon $\to \gamma^* quark$

L'élément de matrice pour le processus $q(p_1) + g(k) \to q(p_2) + \gamma^*(q)$ s'obtient de la réaction précédente par croisement :

$$\hat{s} \to \hat{t} ; \quad \hat{t} \to \hat{s} ; \quad \hat{u} \to \hat{u} \quad (9.3.144)$$

et on trouve (ne pas oublier le facteur -1 pour le croisement de la ligne fermionique) :

$$\begin{aligned} \bar{\Sigma} |M|_{qG}^2 &= (1-\epsilon) (ee_q \mu^\epsilon)^2 (g\mu^\epsilon)^2 <\frac{1}{6}> 2 \left[ (1-\epsilon) \left(-\frac{\hat{s}}{\hat{u}} - \frac{\hat{u}}{\hat{s}}\right) - 2 \frac{\hat{t} q^2}{\hat{u} \hat{s}} + 2\epsilon \right] \\ &= (1-\epsilon) (ee_q \mu^\epsilon)^2 (g\mu^\epsilon)^2 <\frac{1}{6}> 2 \left[ (1-\epsilon) \left(\frac{1}{y(1-z)} + y(1-z)\right) - 2 \frac{1-y}{y} z + 2\epsilon \right], \end{aligned} \quad (9.3.145)$$

après prise en compte de la moyenne sur les couleurs et polarisations et utilisation la définition des invariants éq. (9.3.138). Comme d'habitude on construit la section efficace partonique et après
intégration sur la variable angulaire on trouve :

$$
\begin{align}
\hat{\sigma}_1^{qG}(Q^2, z, \epsilon) &= \frac{1}{2\hat{s}} PS \bar{\Sigma} |M|_{qG}^2 \nonumber \\
&= \left[ (1-\epsilon) (ee_q \mu^\epsilon)^2 <\frac{1}{3}> \frac{\pi}{\hat{s}} \right] <\frac{1}{2}> \frac{g2}{8\pi^2} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^\epsilon \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} z^\epsilon (1-z)^{-2\epsilon} \nonumber \\
&\qquad \left(-\frac{1}{\epsilon}(z^2+(1-z)^2+z+\frac{3}{2}(1-z^2))\right) \tag{9.3.146}
\end{align}
$$

que l'on peut ré-écrire :

$$
\hat{\sigma}_1^{qG}(Q^2, z, \epsilon) = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, z, \epsilon) \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^\epsilon \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} F_{qG}(z, \epsilon) \quad (9.3.147)
$$

avec

$$
F_{qG}(z, \epsilon) = \left\langle \frac{1}{2} \right\rangle \left[ -\frac{1}{\epsilon}(z^2 + (1-z)^2) + (z^2 + (1-z)^2) \ln \frac{(1-z)^2}{z} + z + \frac{3}{2}(1-z^2) \right] \quad (9.3.148)
$$

Ces deux dernières équations sont aussi valables pour $\hat{\sigma}_1^{\bar{q}G}(Q^2, z, \epsilon)$.

9.3.4 Corrections d'ordre α_s : contributions des termes virtuels

Elles sont très faciles à obtenir à partir des termes équivalents de la diffusion profondément
inélastique. C'est simplement un facteur multiplicatif à l'amplitude de Born (9.3.125). Sans refaire
le calcul, la correction de la boucle au vertex s'écrit de façon similaire à (9.2.108), avec comme
résultat :

$$
\mathcal{M}_{(1)} = \mathcal{M}_{(0)} \langle c_F \rangle \frac{g^2}{(4\pi)^2} \left( \frac{4\pi\mu^2}{-q^2 + i\epsilon} \right)^{\epsilon} \frac{\Gamma(1+\epsilon)(\Gamma(1-\epsilon))^2}{\Gamma(1-2\epsilon)} \left\{ -\frac{2}{\epsilon^2} - \frac{3}{\epsilon} - 8 + \mathcal{O}(\epsilon) \right\}. \tag{9.3.149}
$$

Mais $-q^2 = -Q^2$ est maintenant négatif et il faut faire une petite manipulation pour simplifier le facteur $(\cdots)^\epsilon$. On a :

$$
\begin{align*}
\left( \frac{4\pi\mu^2}{-Q^2 - i\epsilon} \right)^{\epsilon} &= (4\pi)^{\epsilon} e^{\epsilon \ln(-Q^2/\mu^2 - i\epsilon)} \\
&= (4\pi)^{\epsilon} e^{\epsilon(\ln(Q^2/\mu^2) - i\pi)} = \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^{\epsilon} e^{-i\pi\epsilon} \\
&= \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^{\epsilon} \left( 1 - i\pi\epsilon - \frac{\pi^2}{2}\epsilon^2 \right), \tag{9.3.150}
\end{align*}
$$

où on a utilisé le fait que la prescription $-i\epsilon$ impose une partie imaginaire $-i\pi$ au logarithme d'argument négatif. D'où (en jauge de Landau) :

$$
\mathcal{M}_{(1)} = \mathcal{M}_{(0)} \frac{\alpha_s}{4\pi} \langle c_F \rangle \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^{\epsilon} \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \left\{ -\frac{2}{\epsilon^2} - \frac{3}{\epsilon} - 8 + 2\frac{\pi^2}{3} \right\}, \quad (9.3.151)
$$
expression dans laquelle on a utilisé la relation (9.2.111). On a omis dans cette équation une partie
imaginaire car ce qui est recherché est deux fois la partie réelle de l’interférence de la boucle avec
le terme de Born ce qui apportera à la section efficace partonique la contribution :

$$
\hat{\sigma}_{\text{virtuel}}^{q\bar{q}}(Q^2, z, \varepsilon) = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, z, \varepsilon) \delta(1-z) \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^\varepsilon \frac{\Gamma(1-\varepsilon)}{\Gamma(1-2\varepsilon)} 2 V_1(\varepsilon) \quad (9.3.152)
$$

avec, par analogie avec l'inélastique profond, on a défini :

$$
V_1(\varepsilon) = \langle c_F \rangle \frac{1}{2} \left\{ -\frac{2}{\varepsilon^2} - \frac{3}{\varepsilon} - 8 + 2 \frac{\pi^2}{3} \right\}. \qquad (9.3.153)
$$

On remarque que les sections partoniques $\hat{\sigma}_1^{q\bar{q}}$, $\hat{\sigma}_{virtuel}^{q\bar{q}}$ and $\hat{\sigma}_1^{qG}$ ne dépendent que de $z = Q^2/(sx_1x_2)$ et donc sont invariantes sous l'échange $x_1 \to x_2$. On a donc $\hat{\sigma}_{1, virtuel}^{q\bar{q}} = \hat{\sigma}_{1, virtuel}^{q\bar{q}}$ et $\hat{\sigma}_1^{qG} = \hat{\sigma}_1^{Gq}$.

9.3.5 Diffusion Drell-Yan au premier ordre de QCD

La section efficace hadronique sera la somme des sections partoniques, ”Born + virtuelle + annihilation + QCD Compton” convoluées avec le produit des distributions partoniques initiales :

$$
\sigma^{pp} = \int dx_1 dx_2 \left\{ [q_0(x_1)\bar{q}_0(x_2)(\hat{\sigma}_0^{q\bar{q}} + \hat{\sigma}_1^{q\bar{q}} + \hat{\sigma}_{virtuel}^{q\bar{q}}) + (q_0(x_1) + \bar{q}_0(x_1))G_0(x_2))\hat{\sigma}_1^{qG}] + [1 \leftrightarrow 2] \right\}.
$$

En détail on aura donc avec $\sigma_0(Q^2, z, \epsilon) = \sigma_0(Q^2, x, \epsilon)/(x_1 x_2)$ :

$$
\sigma^{pp} = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, x, \epsilon) \int \frac{dx_1}{x_1} \frac{dx_2}{x_2} \left\{ \left[ q_0(x_1) \bar{q}_0(x_2) \delta(1-z) + \frac{\alpha_s}{2\pi} \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^\epsilon \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \right. \right. \\
\left. \left. \cdot \left[ q_0(x_1) \bar{q}_0(x_2) (F_{q\bar{q}}(z,\epsilon) + 2V_1(\epsilon)\delta(1-z)) + (q_0(x_1) + \bar{q}_0(x_1)) G_0(x_2) F_{qG}(z,\epsilon) \right] + [1 \leftrightarrow 2] \right\}
$$

On voit que les termes en 1/ε² se compensent entre la contribution virtuelle et F_q̄q(z, ε) de l'éq.
(9.3.143) et que les termes divergents restant sont proportionnels aux fonctions P_qq(z) et P_qg(z)
donnés en éqs. (9.2.114) et (9.2.115). Quant aux termes finis on les note :

$$
f_{q\bar{q}}(z) = \langle c_F \rangle \left[ \left( \frac{2\pi^2}{3} - 8 \right) \delta(1-z) + 4(1+z^2) \left( \frac{\ln(1-z)}{1-z} \right)_+ - 2(1+z^2) \frac{\ln z}{1-z} \right] \quad (9.3.154)
$$

$$
f_{qG}(z) = \left\langle \frac{1}{2} \right\rangle \left[ \left( z^2 + (1-z)^2 \ln \frac{(1-z)^2}{z} \right) + z + \frac{3}{2}(1-z^2) \right] \quad (9.3.155)
$$

de sorte que la section efficace hadronique devient :

$$
\sigma^{pp} = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, x, \epsilon) \int \frac{dx_1}{x_1} \frac{dx_2}{x_2} \left\{ \left[ q_0(x_1) \bar{q}_0(x_2) \delta(1-z) + \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^\epsilon \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \right. \right. \\
\left. \left. \cdot \left( q_0(x_1) \bar{q}_0(x_2) \left(-\frac{2}{\epsilon}\right) P_{qq}(z) + (q_0(x_1) G_0(x_2) + G_0(x_1) \bar{q}_0(x_2)) \left(-\frac{1}{\epsilon}\right) P_{qG}(z) \right) \right. \right. \\
\left. \left. + \frac{\alpha_s}{2\pi} (q_0(x_1) \bar{q}_0(x_2) f_{q\bar{q}}(z) + (q_0(x_1) G_0(x_2) + G_0(x_1) \bar{q}_0(x_2)) f_{qG}(z)) \right] + [1 \leftrightarrow 2] \right\}
$$
où on a regroupé les termes divergents et pris la limite $\epsilon = 0$ dans les termes finis de la dernière ligne. On a également réarrangé les termes reliés par symétrie en faisant apparaître explicitement la combinaison $(G_0(x_1) \bar{q}_0(x_2) + q_0(x_1) G_0(x_2))$. Se concentrant maintenant sur le terme de Born et les facteurs qui ont un pôle en $\epsilon$ on les écrit, utilisant comme variables d'intégration, plutôt que $x_1$ et $x_2$, soit $x_1$ et $z = x/x_1x_2$, soit $x_2$ et $z$,

$$ \sigma_{\text{div}}^{pp} = (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, x, \epsilon) \left\{ \left[ \begin{aligned} & \int \frac{dx_1}{x_1} q_0(x_1) \bar{q}_0\left(\frac{x}{x_1}\right) \\ & + \int \frac{dx_1}{x_1} q_0(x_1) \left(-\frac{1}{\epsilon}\right) \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^{\epsilon} \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \int \frac{dz}{z} \left(\bar{q}_0\left(\frac{x/x_1}{z}\right) P_{qq}(z) + G_0\left(\frac{x/x_1}{z}\right) P_{qG}(z)\right) \\ & + \int \frac{dx_2}{x_2} \bar{q}_0(x_2) \left(-\frac{1}{\epsilon}\right) \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^{\epsilon} \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \int \frac{dz}{z} \left( q_0\left(\frac{x/x_2}{z}\right) P_{qq}(z) + G_0\left(\frac{x/x_2}{z}\right) P_{qG}(z)\right) \end{aligned} \right] \\ + \left[ 1 \leftrightarrow 2 \right] \right\} \qquad (9.3.156) $$

Les intégrales des deux premières lignes se combinent simplement en :

$$ \int \frac{dx_1}{x_1} q_0(x_1) \bar{q}\left(\frac{x}{x_1}, Q^2\right) = \int \frac{dx_2}{x_2} \bar{q}(x_2, Q^2) q_0\left(\frac{x}{x_2}\right), \qquad (9.3.157) $$

où on a introduit la distribution d'antiquark avec violation d'invariance d'échelle grâce à l'éq. (9.2.118). Substituant alors dans la troisième ligne $\bar{q}(x_2, Q^2)$ à $\bar{q}_0(x_2)$, négligeant les termes d'${\cal O}(\alpha_s^2)$ ainsi introduits, et combinant avec la deuxième forme de l'éq. (9.3.157) on voit que l'expression $\sigma_{\text{div}}^{pp}$ se réduit à :

$$ (ee_q)^2 \hat{\sigma}_0(Q^2, x, \epsilon) \int \frac{dx_1}{x_1} \frac{dx_2}{x_2} \left\{ \left[ q(x_1, Q^2) \bar{q}(x_2, Q^2) \delta(1-z) \right] + \left[ 1 \leftrightarrow 2 \right] \right\}, \qquad (9.3.158) $$

où toutes les singularités ont disparu. Le résultat de cette longue discussion est que la section efficace de production d'une paire de leptons dans les collisions proton-proton s'écrit relativement simplement comme :

$$ \sigma^{pp}(Q^2, x) = \frac{\pi x}{Q^2} \left\langle \frac{1}{3} \right\rangle (ee_q)^2 \int \frac{dx_1}{x_1} \frac{dx_2}{x_2} \left\{ \left[ q(x_1, Q^2) \bar{q}(x_2, Q^2) \delta(1-z) \right. \right. \\ \left. + \frac{\alpha_s(Q^2)}{2\pi} \left[ q(x_1, Q^2) \bar{q}(x_2, Q^2) f_{q\bar{q}}(z) + (G(x_1, Q^2) \bar{q}(x_2, Q^2) + q(x_1, Q^2) G(x_2, Q^2)) f_{qG}(z) \right] \right] \\ \left. + \left[ 1 \leftrightarrow 2 \right] \right\}. \qquad (9.3.159) $$

où la deuxième ligne est la correction, au premier ordre, à l'approximation des logarithmes dominants (LO) de la première. Le choix de l'échelle dans le couplage fort est arbitraire mais il est naturel de choisir $Q^2$. Dans les manipulations ci-dessus on a systématiquement ignoré tous les termes d'ordre $\alpha_s^2$ et on a supposé que la distribution de gluon avait aussi une dépendance en
l'échelle caractéristique du processus considéré. On voit qu'on a donc bien absorbé les termes divergents du processus Drell-Yan dans la même redéfinition de la distribution de quarks que celle utilisée dans la diffusion inélastique profonde via l'éq. (9.2.118) : ceci est une démonstration, au premier ordre, du "théorème" général de factorisation qui affirme que, à tous les ordres de la théorie des perturbations, les singularités de masse sont absorbées par l'introduction des distributions partoniques violant l'invariance d'échelle et que la relation entre distributions nues et distributions violant l'invariance d'échelle sont indépendantes du processus dur considéré. La conséquence fondamentale en est que les distributions partoniques sont universelles : ce sont les mêmes quelque soit le processus de diffusion dur dans lesquelles elles apparaissent. Elles sont universelles mais leur forme explicite dépend cependant du choix de schéma de factorisation. En effet, pour un choix de schéma de factorisation défini comme en éq. (9.2.121) et d'échelle de factorisation arbitraire $M^2 \neq Q^2$, on montre facilement que la section efficace est obtenue à partir de la formule ci-dessus où on substitue $M^2$ à $Q^2$ et :

$$ 
\begin{aligned}
f_{q\bar{q}}(z) &\rightarrow f_{q\bar{q}}(z) + 2P_{qq}(z) \ln \frac{Q^2}{M^2} - 2c_q(z) \\
f_{qG}(z) &\rightarrow f_{qG}(z) + P_{qG}(z) \ln \frac{Q^2}{M^2} - c_G(z).
\end{aligned} 
\qquad (9.3.160) 
$$

Les fonctions de stucture ainsi définies satisferont aux mêmes équations d'évolution mais les conditions initiales à $Q_0^2$ seront différentes.

A l'approximation des logarithmes dominants où on néglige les termes d'ordre $\alpha_s$ on a l'expression très simple :

$$ \sigma^{pp}(Q^2, x) = (ee_q)^2 < \frac{1}{3} > \frac{\pi}{s} \int \frac{dx_1}{x_1} \frac{dx_2}{x_2} \left\{ q(x_1, M^2) \bar{q}(x_2, M^2) \delta\left(1 - \frac{x}{x_1 x_2}\right) + [1 \leftrightarrow 2] \right\} \quad (9.3.161) $$

mais on perd en pouvoir prédictif car si on varie l'échelle de factorisation arbitraire $M$ la section efficace calculée varie de façon monotone car on n'a plus le mécanisme de compensation entre les termes d'ordre $\alpha_s \ln(Q^2/M^2)$ et la variation des distributions partoniques induite par les équations DGLAP.
# Chapitre 10

## Annihilation $e^+ e^- \to hadrons$

On a déjà brièvement mentionné dans la section 6.5 la réaction $e^+ e^- \to hadrons$ comme test du modèle des partons naïf. Dans ce chapitre on va étudier, au premier ordre en QCD, différents observables tels que la section efficace totale, la section efficace de production de "jet" et celle inclusive de production d'un hadron, ce qui nécessitera, dans les deux derniers cas, l'introduction d'une part de la notion d'algorithmme de définition de "jet" ou gerbe hadronique et d'autre part de la fonction de fragmentation d'un parton en hadron. Dans tous les cas il s'agit de traiter les divergences infrarouges et colinéaires qui surgissent dans les étapes intermédiaires des calculs, soit par compensation complète entre diagrammes réels et virtuels (section totale, production de jet), soit par absorption des divergences colinéaires restantes dans une fonction de structure non perturbative (production inclusive d'un hadron). Pour simplifier les expressions, de façon similaire à DIS, on va discuter la désintégration d'un photon virtuel $\gamma^* \to hadrons$ plutôt que $e^+ e^- \to hadrons$ puisque la partie QCD est complètement découplée de la partie électromagnétique dans la mesure où on somme sur l'état de polarisation des particules initiales et finales.

Comme pour calculs précédents on trouve d'abord l'expression de la contribution à l'ordre le plus bas en n-dimensions puis celle au premier ordre en QCD. Les différents observables partagent tous la même dynamique (amplitude de diffusion) mais diffèrent par l'espace de phase final considéré.

### 10.1 Section efficace totale

L'élément de matrice à l'approximation de Born de la désintégration d'un photon virtuel en une paire quark-antiquark, $\gamma^*(q) \to q(p_1) + \bar{q}(p_2)$, est :

$$ \mathcal{M}_{(0)} = -iee_q\mu^\epsilon \bar{u}(p_1)_j\gamma_\nu v(p_2)_j \epsilon^\nu. \qquad (10.1.1) $$

C'est évidemment le processus croisé de Drell-Yan éq. (9.3.125) où on a renversé le signe de toutes les impulsions. Le carré sommé sur les polarisations et les couleurs est donc (voir éq. (9.3.126))

$$ \Sigma |\mathcal{M}_{(0)}|^2 = (ee_q\mu^\epsilon)^2 4 \langle N \rangle (1 - \epsilon) Q^2, \qquad (10.1.2) $$

où $q^2 = Q^2$ est la masse carrée du photon virtuel. Le facteur 4 concerne la polarisation des quarks. Par convention, en accord avec notre pratique dans le DIS, on a sommé sur la polarisation du
photon initial $(\epsilon^\nu \epsilon^{\nu'} = -g^{\nu\nu'})$. L'espace de phase est (voir éqs. (9.2.73)) :

$$
\begin{align}
PS2 &= \int \frac{d^{n-1}p_1}{(2\pi)^{n-1}2\omega_1} \frac{d^{n-1}p_2}{(2\pi)^{n-1}2\omega_2} (2\pi)^n \delta^{(n)}(p_1 + p_2 - q) \nonumber \\
&= (2\pi)^{2-n} \int \frac{\omega_1^{n-3}}{2} d\omega_1 d\Omega_{1n-2} \delta(Q^2 - 2\sqrt{Q^2}\omega_1) \nonumber \\
&= \frac{1}{(4\pi)^2} \frac{\pi^{3/2-\epsilon}}{\Gamma(3/2-\epsilon)} \left(\frac{16\pi^2}{Q^2}\right)^{\epsilon}, \tag{10.1.3}
\end{align}
$$

où on a fait l'intégration angulaire grâce à l'éq. (3.2.15) et utilisé la notation habituelle $n = 4 - 2\epsilon$. Combinant espace de phase et élément de matrice on trouve pour le taux de désintégration du photon en une saveur de quark :

$$
\begin{align}
e_q^2 \Gamma_0(Q^2, \epsilon) &= \frac{1}{2\sqrt{Q^2}} PS2 \Sigma |M_{(0)}|^2 \nonumber \\
&= \langle N \rangle \frac{\alpha}{2\pi} e_q^2 \sqrt{Q^2} (1-\epsilon) \frac{\pi^{3/2-\epsilon}}{\Gamma(3/2-\epsilon)} \left(\frac{16\pi^2\mu^2}{Q^2}\right)^{\epsilon}. \tag{10.1.4}
\end{align}
$$

On remarque que pour $\epsilon = 0$ l'expression devient très simple, $\langle N \rangle \propto e_q^2 \sqrt{Q^2}$ puisque $\pi^{3/2}/\Gamma(3/2) = 2\pi^{3/2}/\Gamma(1/2) = 2\pi$ d'après l'éq. (3.2.19). On aurait presque pû l'écrire directement : le facteur $\alpha e_q^2$ est évident de même que $N$ qui compte le nombre d'états de couleur final et $\sqrt{Q^2}$ qui est la seule variable dimensionné qui donne la bonne dimension à la largeur de désintégration. Finalement, seule la normalisation (un facteur 1!) n'aurait pû être devinée.

### 10.1.1 Corrections d'ordre $\alpha_s$ : termes virtuels

Il est trivial d'obtenir la contribution des termes virtuels : ça sera le même terme multiplicatif à l'amplitude de Born que pour la production Drell-Yan ($Q^2 > 0$), comme en éq. (9.3.151), où $M_{(0)}$ est maintenant donné par le terme d'ordre 0 de $\gamma^* \to q + \bar{q}$, éq. (10.1.2). Le double de l'interférence avec le terme de Born sera donc :

$$
e_q^2 \Gamma_1^{\text{virtuel}}(Q^2, \epsilon) = e_q^2 \Gamma_0(Q^2, \epsilon) \langle c_F \rangle \left[ \frac{\alpha_s}{2\pi} \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^\epsilon \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \right] \left\{ -\frac{2}{\epsilon^2} - \frac{3}{\epsilon} - 8 + 2\frac{\pi^2}{3} \right\}. \quad (10.1.5)
$$

### 10.1.2 Corrections d'ordre $\alpha_s$ : termes réels

Les diagrammes à considérer sont :

<figure><img src="image_89.png" /></figure>
Pour obtenir directement le carré de l'amplitude des termes réels, $\gamma^* \to q(p_1) + \bar{q}(p_2) + G(k)$ on peut partir de la diffusion $q(p_1) + \bar{q}(p_2) \to \gamma^*(q) + G(k)$, éq. (9.3.134), et renverser le signe de toutes les impulsions sauf celle du gluon qui reste une particule finale :

$$ 
\begin{aligned}
p_1 \to -p_2 \quad ; \quad \hat{t} &= (p_1 - k)^2 \quad \to \quad \hat{s}_2 = (p_2 + k)^2 = (q - p_1)^2 \\
p_2 \to -p_1 \quad ; \quad \hat{u} &= (p_2 - k)^2 \quad \to \quad \hat{s}_1 = (p_1 + k)^2 = (q - p_2)^2 \\
q \to -q \quad ; \quad \hat{s} &= (p_1 + p_2)^2 \quad \to \quad \hat{s}_3 = (p_1 + p_2)^2 = (q - k)^2,
\end{aligned} 
\quad (10.1.6) $$

pour obtenir :

$$ \Sigma |\mathcal{M}_{(1)}^{\text{réel}}|^2 = (ee_q \mu^\varepsilon)^2 (g\mu^\varepsilon)^2 < N c_F > 8 (1-\varepsilon) \left[ (1-\varepsilon) \left(\frac{\hat{s}_1}{\hat{s}_2} + \frac{\hat{s}_2}{\hat{s}_1}\right) + 2 \frac{\hat{s}_3 q^2}{\hat{s}_1 \hat{s}_2} - 2\varepsilon \right], \quad (10.1.7) $$

où on a modifié de façon appropriée les facteurs de polarisation et de couleur.

### • Intégrale sur l'espace de phase

Dans tous les cas précédents l'espace de phase final comptait deux particules et les calculs étaient relativement faciles. Ici, pour obtenir la contribution des termes réels au taux de production ha-dronique il faut intégrer l'espace de phase à 3 corps en n-dimensions, soit évaluer :

$$ PS3 \quad \Sigma |\mathcal{M}_{(1)}^{\text{réel}}|^2 = \int \frac{d^{n-1}p_1}{(2\pi)^{n-1}2\omega_1} \frac{d^{n-1}p_2}{(2\pi)^{n-1}2\omega_2} \frac{d^{n-1}k}{(2\pi)^{n-1}2k} (2\pi)^n \delta^{(n)}(p_1 + p_2 + k - q) \Sigma |\mathcal{M}_{(1)}^{\text{réel}}|^2 \quad (10.1.8) $$

Pour cela on se place dans le repère au repos du photon virtuel, $\vec{q} = 0$, et on est libre de choisir l'axe Oz le long de l'impulsion finale $p_1$ puisqu'il n'y a pas d'impulsion initiale privilégiée (car on a sommé sur les états de polarisation du photon). Tous les vecteurs du problème seront dans un plan, soit $xOz$, et on pourra ainsi faire trivialment l'intégrale sur tous les angles sauf sur l'angle (polaire) $\theta_1$ entre $\vec{p}_1$ et $\vec{k}$. C'est la seule variable angulaire dont dépend $|\mathcal{M}_{(1)}^{\text{réel}}|^2$. On a :

$$ \hat{s}_1 = 2\omega_1 k (1 - \cos \theta_1) = Q^2 - 2\sqrt{Q^2} \omega_2; \quad \hat{s}_2 = Q^2 - 2\sqrt{Q^2} \omega_1; \quad \hat{s}_3 = Q^2 - 2\sqrt{Q^2} k. \quad (10.1.9) $$

Dans l'éq. (10.1.8) on peut se débarasser de $p_2$ en écrivant comme d'habitude :

$$ \int \frac{d^{n-1}p_2}{2\omega_2} = \int d^n p_2 \delta^+(p_2^2), \quad (10.1.10) $$

et en effectuant cette intégrale avec la conservation d'énergie-impulsion $\delta^{(n)}(p_1 + p_2 + k - q)$. Tous les angles de $p_1$ se font trivialment à l'aide de la relation (3.2.14) :

$$ 
\begin{aligned}
\int \frac{d^{n-1}p_1}{2\omega_1} &= \frac{1}{2} \int d\omega_1 \omega_1^{n-3} d\Omega_{1n-2} \\
&= \frac{\pi^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma(\frac{n-1}{2})} \int d\omega_1 \omega_1^{n-3}
\end{aligned}
 $$

et de même pour les angles de $k$, sauf l'angle polaire $\theta_1$ que l'on doit garder :

$$ 
\begin{aligned}
\int \frac{d^{n-1}k}{2k} &= \frac{1}{2} \int dk k^{n-3} d\theta_1 (\sin \theta_1)^{n-3} d\Omega_{n-3} \\
&= \frac{\pi^{\frac{n-2}{2}}}{\Gamma(\frac{n-2}{2})} \int dk k^{n-3} d\cos \theta_1 (1 - \cos^2 \theta_1)^{\frac{n-4}{2}}.
\end{aligned}
 $$