- Feuilleter

- Série 6 : Tome 33 (2024)

- no. 4

- p. 897-913

- Suivant

- Résumé (VO)

- Abstract

Cet article concerne des équations aux dérivées partielles linéaires singulières à coefficients holomorphes au voisinage de l’origine de ℂ t ×ℂ x n . La singularité au point t=0 provient d’opérateurs de la forme (t a D t ) l où a est un entier ≥2, l∈ℕ. Les racines du polynôme caractéristique étant supposées non nulles, on établit l’existence et l’unicité d’une solution formelle Gevrey en t. L’indice de Gevrey dépend de a, de l’ordre des dérivées en x et de l’écriture des coefficients par rapport à t. Le problème est mis sous la forme (I-T)u=v et on montre que l’opérateur T est un endomorphisme de norme <1 dans un espace de Banach défini par une série majorante convenable.

This article concerns singular linear partial differential equations with holomorphic coefficients in a neighborhood of the origin of ℂ t ×ℂ x n . The point t=0 is singular by operators of the form (t a D t ) l where a is an integer ≥2, l∈ℕ. We only assume that the characteristic polynomial admits non-zero roots ; then we establish existence and uniqueness of a formal power series solution that is Gevrey in t. The Gevrey index depends on a, on the order of the derivatives in x and on the writing of the coefficients with respect to t. The problem is turned into the form (I-T)u=v and we show that operator T is an endomorphism of norm <1 in a Banach space defined by a suitable majorant series.

- Détail

- Export

- Comment citer

Patrice Pongérard 1 ; Teddy Wong-Yim-Chéong 1

- BibTeX

- RIS

- EndNote

- Bibliographie

- Cité par

[1] Mohammed Salah Baouendi; Charles Goulaouic Cauchy problems with characteristic initial hypersurface, Commun. Pure Appl. Math., Volume 26 (1973), pp. 455-475 | Zbl | DOI | MR

[2] Mohammed Salah Baouendi; Charles Goulaouic Singular Nonlinear Cauchy Problems, J. Differ. Equations, Volume 22 (1976), pp. 268-291 | DOI | MR

[3] Faiza Derrab; Abdallah Nabaji; Patrice Pongérard; Claude Wagschal Problème de Cauchy Fuchsien dans les espaces de Gevrey, J. Math. Sci., Tokyo, Volume 11 (2004) no. 4, pp. 401-424 | Zbl | MR

[4] Raymond Gérard Une classe d’équations différentielles non linéaires à singularité régulière, Funkc. Ekvacioj, Ser. Int., Volume 29 (1986), pp. 55-76 | MR | Zbl

[5] Raymond Gérard; Hidetoshi Tahara Singular nonlinear partial differential equations, Aspects of Mathematics, E28, Vieweg, 1996, viii+269 pages | Zbl | DOI | MR

[6] Yusaku Hamada; Jean Leray; Claude Wagschal Systèmes d’équations aux dérivées partielles à caractéristiques multiples : problème de Cauchy ramifié, hyperbolicité partielle, J. Math. Pures Appl., Volume 55 (1976), pp. 297-352 | Zbl | MR

[7] Yukiko Hasegawa On the initial-value problems with data on a characteristic hypersurface, J. Math. Kyoto Univ., Volume 13 (1973), pp. 579-593 | Zbl | MR

[8] Alberto Lastra; Hidetoshi Tahara Maillet type theorem for nonlinear totally characteristic partial differential equations, Math. Ann., Volume 377 (2020) no. 3-4, pp. 1603-1641 | DOI | MR | Zbl

[9] Masatake Miyake; Yoshiaki Hashimoto Newton polygons and Gevrey indices for linear partial differential operators, Nagoya Math. J., Volume 128 (1992), pp. 15-47 | Zbl | DOI | MR

[10] Masatake Miyake; Akira Shirai Structure of formal solutions of nonlinear first order singular partial differential equations in complex domain, Funkc. Ekvacioj, Ser. Int., Volume 48 (2005) no. 1, pp. 113-136 | DOI | MR | Zbl

[11] Sunao Ōuchi Genuine solutions and formal solutions with Gevrey type estimates of nonlinear partial differential equations, J. Math. Sci., Tokyo, Volume 2 (1995) no. 2, pp. 375-417 | MR | Zbl

[12] Patrice Pongérard Sur une classe d’équations de Fuchs non linéaires, J. Math. Sci., Tokyo, Volume 7 (2000) no. 3, pp. 423-448 | MR | Zbl

[13] Patrice Pongérard Problème de Cauchy caractéristique à solution entière, J. Math. Sci., Tokyo, Volume 8 (2001) no. 1, pp. 89-105 | MR | Zbl

[14] Jean-Pierre Ramis Théorèmes d’indices Gevrey pour les équations différentielles ordinaires, Memoirs of the American Mathematical Society, 296, American Mathematical Society, 1984, 95 pages

[15] Akira Shirai A Maillet type theorem for first order singular nonlinear partial differential equations, Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 39 (2003) no. 2, pp. 275-296 | DOI | MR | Zbl

[16] Claude Wagschal Une généralisation du problème de Goursat pour des systèmes d’équations intégro-différentielles holomorphes ou partiellement holomorphes, J. Math. Pures Appl., Volume 53 (1974), pp. 99-131 | Zbl | MR

Cité par Sources :