## B.2.1 Définition et notations

Un point $M$ de l'espace est repéré par 3 réels $r, \theta$ et $\phi$ définis sur la figure B.2.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. B.2 – Système de coordonnées sphériques</figcaption></figure>

À chaque point $M$ on associe une base locale orthonormée $\{e_r, e_\theta, e_\phi\}$ définie par :

$$e_r = \partial_r OM = \cos \varphi u + \sin \varphi k = \cos \theta \cos \varphi i + \sin \theta \cos \varphi j + \sin \varphi k$$

$$e_{\theta} = \frac{\partial_{\theta}OM}{r \cos \varphi} = -\sin \theta i + \cos \theta j$$

$$e_{\phi} = \frac{\partial_{\phi}OM}{r} = -\sin \varphi u + \cos \varphi k = -\cos \theta \sin \varphi i + \sin \theta \cos \varphi j + \sin \varphi k$$

Le point courant est :

$$OM = r \cos \varphi \cos \theta i + r \cos \varphi \sin \theta j + r \sin \varphi k = r e_r$$

Sur la base locale en $M$, on a :

$$dM = dr e_r + r de_r = dr e_r + r \cos \varphi d\theta e_\theta + r d\varphi e_\varphi$$

## B.2.2 Champs scalaires

Soit $f$ un champ scalaire :

$$f : M \in \mathbb{V}_3 \to f(M) = f(r, \theta, \varphi) \in \mathbb{R}$$

$$\mathbf{grad} f = \partial_r f e_r + \frac{\partial_{\theta} f}{r \cos \varphi} e_{\theta} + \frac{\partial_{\varphi} f}{r} e_{\varphi}$$

$$\Delta f = \partial_{rr} f + \frac{\partial_{\theta\theta} f - \sin \varphi \partial_{\varphi} f}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{2 \partial_r f}{r} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} f}{r^2}$$
### B.2.3 Champs vectoriels

Soit $v$ un champ vectoriel :

$$ v : M \in \mathbb{V}_3 \longrightarrow v(M) = v_r(r, \theta, \varphi) e_r + v_{\theta}(r, \theta, \varphi) e_{\theta} + v_{\varphi}(r, \theta, \varphi) e_{\varphi} \in \mathbb{V}_3 $$

$$ [(\mathbf{grad} \, v)_{ij}] = \begin{bmatrix} \partial_r v_r & \frac{1}{r \cos \theta} \partial_{\theta} v_r - \frac{1}{r} v_{\theta} & \frac{1}{r} (\partial_{\varphi} v_r - v_{\varphi}) \\ \partial_r v_{\theta} & \frac{1}{r \cos \varphi} (\partial_{\theta} v_{\theta} - \sin \varphi v_{\varphi}) + \frac{1}{r} v_r & \frac{1}{r} \partial_{\varphi} v_{\theta} \\ \partial_r v_{\varphi} & \frac{1}{r \cos \varphi} (\partial_{\theta} v_{\varphi} + \sin \varphi v_{\theta}) & \frac{1}{r} (\partial_{\varphi} v_{\varphi} + v_r) \end{bmatrix}_{\{e_r, e_{\theta}, e_{\varphi}\}} $$

$$ \mathrm{div} \, v = \partial_r v_r + \frac{\partial_{\theta} v_{\theta} - \sin \varphi v_{\varphi}}{r \cos \varphi} + \frac{\partial_{\varphi} v_{\varphi} + 2 v_r}{r} $$

$$ \mathrm{rot} \, v = \left( \frac{\partial_{\theta} v_{\varphi} + \sin \varphi v_{\theta}}{r \cos \varphi} - \frac{\partial_{\varphi} v_{\theta}}{r} \right) e_r + \left( \frac{\partial_{\varphi} v_r - v_{\varphi}}{r} - \partial_r v_{\varphi} \right) e_{\theta} + \left( \partial_r v_{\theta} - \frac{\partial_{\theta} v_r}{r \cos \varphi} + \frac{v_{\theta}}{r} \right) e_{\varphi} $$

$$ \begin{aligned} \Delta v = & \left( \partial_{rr} v_r + \frac{\partial_{\theta\theta} v_r}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} v_r - 2\partial_{\varphi\varphi} v_r - 2v_r}{r^2} + \frac{2\sin\varphi v_{\varphi} - 2\partial_{\theta}v_{\theta} - \sin\varphi\partial_{\varphi}v_r}{r^2 \cos\varphi} + \frac{2\partial_r v_r}{r} \right) e_r \\ & + \left( \partial_{rr} v_{\theta} + \frac{\partial_{\theta\theta} v_{\theta} - 2\sin\varphi\partial_{\theta}v_{\theta} - v_{\theta}}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} v_{\theta}}{r^2} + \frac{2\partial_{\theta}v_r - \sin\varphi\partial_{\varphi}v_{\theta}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2\partial_r v_{\theta}}{r} \right) e_{\theta} \\ & + \left( \partial_{rr} v_{\varphi} + \frac{\partial_{\theta\theta} v_{\varphi} + 2\sin\varphi\partial_{\theta}v_{\theta} - v_{\varphi}}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} v_{\varphi} + 2\partial_{\varphi\varphi} v_r}{r^2} - \frac{\sin\varphi\partial_{\varphi}v_{\varphi}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2\partial_r v_{\varphi}}{r} \right) e_{\varphi} \end{aligned} $$

### B.2.4 Champs tensoriels du second ordre symétriques

Soit $T$ un champ tensoriel du second ordre *symétrique* :

$$ T : M \in \mathbb{V}_3 \longrightarrow T(M) \in \mathbb{S} \subset \mathbb{V}_3^{\otimes 2} $$

Les composantes de $T$ dans la base $\{e_r, e_{\theta}, e_{\varphi}\}$ sont :

$$ \begin{bmatrix} T_{rr}(r, \theta, \varphi) & T_{r\theta}(r, \theta, \varphi) & T_{r\varphi}(r, \theta, \varphi) \\ T_{r\theta}(r, \theta, \varphi) & T_{\theta\theta}(r, \theta, \varphi) & T_{\theta\varphi}(r, \theta, \varphi) \\ T_{r\varphi}(r, \theta, \varphi) & T_{\theta\varphi}(r, \theta, \varphi) & T_{\varphi\varphi}(r, \theta, \varphi) \end{bmatrix}_{\{e_r, e_{\theta}, e_{\varphi}\}} \quad \text{(matrice symétrique)} $$

$$ \begin{aligned} \mathrm{div} T = & \left( \partial_r T_{rr} + \frac{\partial_{\theta} T_{r\theta} - \sin \varphi T_{r\varphi}}{r \cos \varphi} + \frac{\partial_{\varphi} T_{r\varphi} + 2 T_{rr} - T_{\theta\theta} - T_{\varphi\varphi}}{r} \right) e_r \\ & + \left( \partial_r T_{r\theta} + \frac{\partial_{\theta} T_{\theta\theta} - 2 \sin \varphi T_{\theta\varphi}}{r \cos \varphi} + \frac{\partial_{\varphi} T_{\theta\varphi} + 3 T_{r\theta}}{r} \right) e_{\theta} \\ & + \left( \partial_r T_{r\varphi} + \frac{\partial_{\theta} T_{\theta\varphi} + \sin \varphi T_{\theta\theta} - \sin \varphi T_{\varphi\varphi}}{r \cos \varphi} + \frac{\partial_{\varphi} T_{\varphi\varphi} + 3 T_{r\varphi}}{r} \right) e_{\varphi} \end{aligned} $$

$$ \mathrm{rot} T = \begin{bmatrix} \frac{\partial_{\theta} T_{r\varphi} + \sin \varphi T_{r\theta}}{r \cos \varphi} - \frac{\partial_{\varphi} T_{r\theta}}{r} & \frac{\partial_{\varphi} T_{rr} - 2 T_{r\varphi}}{r} - \partial_r T_{r\varphi} & \partial_r T_{r\theta} - \frac{\partial_{\theta} T_{rr}}{r \cos \varphi} + \frac{2 T_{r\theta}}{r} \\ \frac{\partial_{\theta} T_{\theta\varphi} + \sin \varphi (T_{\theta\theta} - T_{\varphi\varphi})}{r \cos \varphi} - \frac{\partial_{\varphi} T_{\theta\theta} - T_{r\varphi}}{r} & \frac{\partial_{\varphi} T_{r\theta} - T_{\theta\varphi}}{r} - \partial_r T_{\theta\varphi} & \partial_r T_{\theta\theta} - \frac{\partial_{\theta} T_{r\theta} - \sin \varphi T_{r\varphi}}{r \cos \varphi} + \frac{T_{\theta\theta} - T_{rr}}{r} \\ \frac{\partial_{\theta} T_{\varphi\varphi} + 2 \sin \varphi T_{\theta\varphi}}{r \cos \varphi} - \frac{\partial_{\varphi} T_{\theta\varphi} + T_{r\theta}}{r} & \frac{\partial_{\varphi} T_{r\varphi} + T_{rr} - T_{\varphi\varphi}}{r} - \partial_r T_{\varphi\varphi} & \partial_r T_{\theta\varphi} - \frac{\partial_{\theta} T_{r\varphi} + \sin \varphi T_{r\theta}}{r \cos \varphi} + \frac{T_{\theta\varphi}}{r} \end{bmatrix}_{\{e_r, e_{\theta}, e_{\varphi}\}} $$
$$ (\Delta T)_{rr} = \partial_{rr} T_{rr} + \frac{\partial_{\theta\theta} T_{rr}}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} T_{rr} - 4 \partial_{\varphi} T_{r\varphi} - 4 T_{rr} + 2 T_{\theta\theta}}{r^2} \\ + \frac{\sin \varphi \partial_{\varphi} T_{rr} + 4 \sin \varphi T_{r\varphi} - 4 \partial_{\theta} T_{r\theta}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_{r} T_{rr}}{r} $$

$$ (\Delta T)_{r\theta} = (\Delta T)_{\theta r} = \partial_{rr} T_{r\theta} + \frac{\partial_{\theta\theta} T_{r\theta} - 2 \sin \varphi \partial_{\theta} T_{r\varphi} - T_{r\theta}}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} T_{r\theta} - 2 \partial_{\varphi} T_{\theta\varphi} - 4 T_{r\theta}}{r^2} \\ + \frac{2 \partial_{\theta} T_{rr} - 2 \partial_{\theta} T_{\theta\theta} - \sin \varphi \partial_{\varphi} T_{r\theta} + 4 \sin \varphi T_{\theta\varphi}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_{r} T_{r\theta}}{r} $$

$$ (\Delta T)_{r\varphi} = (\Delta T)_{\varphi r} = \partial_{rr} T_{r\varphi} + \frac{\partial_{\theta\theta} T_{r\varphi} + 2 \sin \varphi \partial_{\theta} T_{r\varphi} - T_{r\varphi}}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} T_{r\varphi} + 2 \partial_{\varphi} T_{rr} - 2 \partial_{\varphi} T_{\varphi\varphi} - 4 T_{r\varphi}}{r^2} \\ + \frac{-2 \partial_{\theta} T_{\theta\varphi} - \sin \varphi \partial_{\varphi} T_{r\varphi} - 2 \sin \varphi T_{\theta\theta} + 2 \sin \varphi T_{\varphi\varphi}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_{r} T_{r\varphi}}{r} $$

$$ (\Delta T)_{\theta\theta} = \partial_{rr} T_{\theta\theta} + \frac{\partial_{\theta\theta} T_{\theta\theta} - 4 \sin \varphi \partial_{\theta} T_{\theta\varphi} - 2 T_{\theta\theta} + 2 T_{\varphi\varphi}}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} T_{\theta\theta} + 2 T_{rr} - 2 T_{\varphi\varphi}}{r^2} \\ + \frac{4 \partial_{\theta} T_{r\theta} + \sin \varphi \partial_{\varphi} T_{\theta\theta} - 4 \sin \varphi T_{r\varphi}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_{r} T_{\theta\theta}}{r} $$

$$ (\Delta T)_{\theta\varphi} = (\Delta T)_{\varphi\theta} = \partial_{rr} T_{\theta\varphi} + \frac{\partial_{\theta\theta} T_{\theta\varphi} + 2 \partial_{\theta} T_{\theta\theta} - 2 \partial_{\theta} T_{\varphi\varphi} - 4 T_{\theta\varphi}}{r^2 \cos^2 \varphi} + \frac{\partial_{\varphi\varphi} T_{\theta\varphi} + 2 \partial_{\varphi} T_{r\theta} + 2 T_{\theta\varphi}}{r^2} \\ + \frac{2 \partial_{\theta} T_{r\varphi} - \sin \varphi \partial_{\varphi} T_{\theta\varphi} + 2 \sin \varphi T_{r\theta}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_{r} T_{\theta\varphi}}{r} $$

$$ (\Delta T)_{\varphi\varphi} = \partial_{rr} T_{\varphi\varphi} + \frac{\partial_{\theta\theta} T_{\varphi\varphi} + 4 \sin \varphi \partial_{\theta} T_{\theta\varphi} + 2 T_{\theta\theta} - 2 T_{\varphi\varphi}}{r^2 \cos^2 \varphi} \\ + \frac{\partial_{\varphi\varphi} T_{\varphi\varphi} + 4 \partial_{\varphi} T_{r\varphi} + 2 T_{rr} - 2 T_{\theta\theta}}{r^2} - \frac{\sin \varphi \partial_{\varphi} T_{\varphi\varphi}}{r^2 \cos \varphi} + \frac{2 \partial_{r} T_{\varphi\varphi}}{r} $$
Table des matières

<table><tbody><tr><td><b>1</b></td><td><b>Rappels de mécanique milieux continus</b></td><td><b>5</b></td></tr><tr><td>1.1</td><td>Descriptions du mouvement</td><td>5</td></tr><tr><td>1.1.1</td><td>Description de Lagrange des champs</td><td>5</td></tr><tr><td>1.1.2</td><td>Description d'Euler des champs</td><td>6</td></tr><tr><td>1.2</td><td>Tenseurs de déformations</td><td>6</td></tr><tr><td>1.3</td><td>Vitesse de déformations</td><td>7</td></tr><tr><td>1.4</td><td>Principe de la conservation de la masse</td><td>7</td></tr><tr><td>1.5</td><td>Principe fondamental de la mécanique</td><td>8</td></tr><tr><td>1.5.1</td><td>Tenseur des contraintes</td><td>8</td></tr><tr><td>1.5.2</td><td>Théorèmes généraux</td><td>8</td></tr><tr><td>1.6</td><td>Premier principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie)</td><td>9</td></tr><tr><td>1.7</td><td>Second principe de la thermodynamique</td><td>10</td></tr><tr><td>1.7.1</td><td>Formes globales et locales</td><td>10</td></tr><tr><td>1.7.2</td><td>Nécessité de l'existence d'une loi de comportement thermique (loi de conduction thermique)</td><td>11</td></tr><tr><td>1.7.3</td><td>Chaleur massique locale dans une évolution</td><td>11</td></tr><tr><td>1.8</td><td>Le problème de la mécanique des milieux continus</td><td>12</td></tr><tr><td><b>2</b></td><td><b>Construction du modèle « gaz parfait »</b></td><td><b>13</b></td></tr><tr><td>2.1</td><td>Variables d'état</td><td>13</td></tr><tr><td>2.2</td><td>Conséquences du second principe de la thermodynamique</td><td>13</td></tr><tr><td>2.2.1</td><td>Conséquences de Φ<sub>th</sub> ≥ 0</td><td>14</td></tr><tr><td>2.2.2</td><td>Conséquences de Φ<sub>int</sub> ≥ 0</td><td>14</td></tr><tr><td>2.3</td><td>Choix d'un modèle de comportement mécanique : les fluides newtoniens</td><td>15</td></tr><tr><td>2.4</td><td>Choix des fonctions d'état f<sub>e</sub> et f<sub>s</sub> : les gaz parfaits</td><td>16</td></tr><tr><td><b>3</b></td><td><b>Éléments de thermodynamique des milieux continus solides</b></td><td><b>19</b></td></tr><tr><td>3.1</td><td>Système thermodynamique</td><td>20</td></tr><tr><td>3.2</td><td>Variables d'état thermodynamique</td><td>20</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Potentiel et fonctions d'état thermodynamique</td><td>21</td></tr><tr><td>3.4</td><td>Premier principe de la thermodynamique</td><td>22</td></tr><tr><td>3.5</td><td>Second principe de la thermodynamique et inégalité de Clausius-Duhem</td><td>22</td></tr><tr><td>3.6</td><td>Hypothèses supplémentaires ; dissipations thermique et intrinsèque ; modèles de comportement thermique et mécanique</td><td>23</td></tr><tr><td><b>4</b></td><td><b>Thermoélasticité et élasticité linéaires</b></td><td><b>33</b></td></tr><tr><td>4.1</td><td>Thermoélasticité linéaire isotrope</td><td>33</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Élasticité linéaire</td><td>34</td></tr><tr><td><b>5</b></td><td><b>Viscoélasticités linéaires</b></td><td><b>39</b></td></tr><tr><td>5.1</td><td>Viscoélasticité linéaire sans variable interne</td><td>39</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td>5.2</td><td>Viscoélasticité linéaire avec variable interne</td><td>40</td></tr><tr><td><b>6</b></td><td><b>Élastoviscoplasticité et élastoplasticité</b></td><td><b>45</b></td></tr><tr><td>6.1</td><td>Principales caractéristiques de l'élasto(visco)pasticité</td><td>45</td></tr><tr><td>6.2</td><td>Élasto(visco)plasticité avec écrouissage cinématique linéaire</td><td>48</td></tr><tr><td><b>A</b></td><td><b>Tenseurs Euclidiens dans</b> <i>&#x2112;</i><sup>3</sup></td><td><b>55</b></td></tr><tr><td>A.1</td><td>Rappels d'algèbre</td><td>55</td></tr><tr><td>A.2</td><td>Rappels d'analyse</td><td>56</td></tr><tr><td>A.3</td><td>Complément d'analyse</td><td>57</td></tr><tr><td>A.3.1</td><td>Définition</td><td>57</td></tr><tr><td>A.3.2</td><td>Calcul des composantes dans une base orthonormée</td><td>58</td></tr><tr><td>A.3.3</td><td>Quelques résultats utiles</td><td>59</td></tr><tr><td>A.3.4</td><td>Dérivée « contrainte »</td><td>59</td></tr><tr><td>A.3.5</td><td>Fonctions réelles de plusieurs tenseurs</td><td>60</td></tr><tr><td><b>B</b></td><td><b>Formulaire</b></td><td><b>61</b></td></tr><tr><td>B.1</td><td>Système de coordonnées cylindriques</td><td>61</td></tr><tr><td>B.1.1</td><td>Définition et notations</td><td>61</td></tr><tr><td>B.1.2</td><td>Champs scalaires</td><td>62</td></tr><tr><td>B.1.3</td><td>Champs vectoriels</td><td>62</td></tr><tr><td>B.1.4</td><td>Champs tensoriels du second ordre symétriques</td><td>63</td></tr><tr><td>B.2</td><td>Système de coordonnées sphériques</td><td>63</td></tr><tr><td>B.2.1</td><td>Définition et notations</td><td>64</td></tr><tr><td>B.2.2</td><td>Champs scalaires</td><td>64</td></tr><tr><td>B.2.3</td><td>Champs vectoriels</td><td>65</td></tr><tr><td>B.2.4</td><td>Champs tensoriels du second ordre symétriques</td><td>65</td></tr></tbody></table>