# Une nouvelle approche multiéchelle pour la résolution de problèmes d'acoustique

Benjamin Sourcis, Pierre Ladevèze, Hervé Riou, Béatrice Faverjon

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Benjamin Sourcis, Pierre Ladevèze, Hervé Riou, Béatrice Faverjon. Une nouvelle approche multiéchelle pour la résolution de problèmes d'acoustique. CFM 2007 - 18ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2007, Grenoble, France. pp.CDRom. hal-03360471

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# Une nouvelle approche multiéchelle pour la résolution de problèmes d'acoustique

Benjamin Sourcis, Pierre Ladevèze†, Hervé Riou et Béatrice Faverjon

LMT-Cachan (ENS de Cachan/CNRS UMR8535/Université Paris 6)
61, avenue du Président Wilson, F-94235 CACHAN CEDEX, France
{sourcis, ladeveze, riou, faverjon}@lmt.ens-cachan.fr

† Chaire de la Fondation EADS 'Advanced Computational Structural Mechanics'

## Résumé :

Récemment une nouvelle approche multiéchelle appelée "Théorie Variationnelle des Rayons Complexes" a été développée pour l'analyse vibratoire de structures élastiques légèrement amorties dans le domaine des moyennes fréquences. Cette méthode a été largement étudiée dans le cadre des vibrations des structures. On propose ici une extension de cette méthode aux problèmes d'acoustique. On propose également une version hiérarchique de la méthode, ainsi que la construction d'un estimateur d'erreur dans le but de mener une démarche adaptative de calcul.

## Abstract :

Recently, a new approach called the "Variational Theory of Complex Rays" was proposed in order to calculate the vibrations of slightly damped elastic structures in the medium-frequency range. This method was fully developed for structural vibrations. In this paper, we extend it to acoustic problems. We also propose a hierarchical version of the method. An error indicator is built which permits one to use an adaptative procedure for solving the Helmholtz problem.

## Mots-clefs :

acoustique ; moyennes fréquences ; multiéchelle

## 1 Introduction

La méthode des éléments finis (FEM) et la méthode des éléments de frontière (BEM) sont les deux méthodes les plus utilisées pour résoudre des problèmes d'acoustique. En utilisant des approximations polynômiales continues par morceaux, la FEM conduit à des problèmes de grande taille, ce qui restreint en pratique son utilisation au domaine des basses fréquences. De plus, l'effet de pollution réduit la robustesse de la FEM quand le nombre d'onde augmente [Babuška et Sauter (1997)]. La BEM, quant à elle, utilise des fonctions de Green très délicates à manipuler, ce qui rend le calcul aussi coûteux que pour la FEM [Harari et Hughes (1992)]. Différentes approches ont été proposées pour pallier les problèmes inhérents à la méthodes des éléments finis standards. On peut citer la méthode des éléments finis généralisés (GFEM) [Strouboulis et al. (2006)], ou encore les méthodes de réduction [Soize (1998)]. Même si ces approches permettent une réduction considérable de la complexité et de la taille du calcul, des problèmes d'intégration numérique ou de conditionnement des matrices conduisent à l'utilisation de stratégies numériques spécifiques, ce qui restreint pratiquement ces méthodes au domaine des basses fréquences.

D'autres approches visent à approximer la solution du problème de vibration à l'aide de fonctions oscillantes vérifiant exactement l'équilibre dynamique. Parmi elles, on
peut citer, par exemple, la discontinuous enrichment method (DEM) [Fahrat et al. (2004)], ou encore la wave based method [Desmet et al. (2001)]. La Théorie Variationnelle des Rayons Complexes (TVRC) présentée dans cet article est une de ces méthodes. La principale différence entre toutes ces méthodes est l'utilisation de différentes formulations (variationnelles) du problème de référence et l'utilisation de différentes fonctions de forme qui peuvent être discontinues à la frontière entre les éléments du maillage.

La TVRC a été introduite dans [Ladevèze (1996)] pour la résolution de problèmes de vibrations dans le domaine des moyennes fréquences. Elle est basée sur une nouvelle formulation variationnelle du problème initial et a été développée dans le but de rendre les approximations utilisées sur chaque sous-domaine *a priori* indépendantes les unes des autres. De fait, n'importe quelles fonctions de forme peuvent être utilisées dans chacune des sous-structures, ce qui confère à la TVRC une grande souplesse et une grande robustesse. La TVRC utilise également une base de fonctions oscillantes appelées rayons complexes. Ces fonctions présentent deux échelles. Seule l'échelle lente est discrétisée, l'échelle rapide étant prise en compte de manière analytique. Une discrétisation grossière permet d'obtenir des solutions de qualité. Ainsi les tailles de calcul restent très petits comparés à la FEM ou à la BEM. Les récents développements réalisés au LMT-Cachan concernent une stratégie de calcul sur une large bande de fréquence [Ladevèze et Riou (2005)], et une extension à la dynamique transitoire [Ladevèze et Chevreuil (2005)]. Une première application à l'acoustique a été faite dans [Riou et al. (2006)]. Ici on va plus loin dans l'analyse des performances et des améliorations de la méthode. Nous introduisons une démarche adaptative basée sur la construction d'un estimateur d'erreur. Une version hiérarchique de la TVRC est également développée. Les résultats obtenus montrent une bonne performance de la TVRC pour le traitement de problèmes d'acoustique.

## 2 Principes de la TVRC

### 2.1 Le problème de référence

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – Géométrie du problème de référence.</figcaption></figure>

Par souci de simplicité, nous présentons ici la théorie d'une cavité acoustique fermée Ω séparée en deux domaines Ω₁ et Ω₂ par une interface Γ. On considère le problème aux dérivées partielles suivant : trouver p₁ et p₂ dans H¹ (Ω) tels que

$$ \Delta p_e + k^2 p_e = 0 \quad \text{dans } \Omega_e, e \in \{1, 2\} \qquad (1) $$

$$ p_e = p_{ed} \quad \text{sur} \quad \partial_p \Omega_e, e \in \{1, 2\} \qquad \frac{i}{\rho_0 \omega} \frac{\partial p_1}{\partial \mathbf{n}} + \frac{i}{\rho_0 \omega} \frac{\partial p_2}{\partial \mathbf{n}} = 0 \quad \text{sur} \quad \Gamma \qquad (2) $$

$$ \frac{i}{\rho_0 \omega} \frac{\partial p_e}{\partial \mathbf{n}} = v_{ed} \quad \text{sur} \quad \partial_v \Omega_e, e \in \{1, 2\} \qquad p_1 = p_2 \quad \text{sur} \quad \Gamma $$

où ω désigne la pulsation, k le nombre d'onde ($k = ω / c$, c la vitesse du son), ρ₀ la masse volumique du fluide, **n** la normale sortante, pₐd et vₐd les pressions et vitesses normales imposées, et $i = \sqrt{-1}$ l'unité imaginaire. (1) est l'équation homogène de Helmholtz.
## 2.2 Présentation de la TVRC

La formulation variationnelle du problème de référence permet de choisir de manière indépendantes les approximations sur chacun des sous-domaines. Soient $S_{e,ad}$ les espaces des champs $p_e$ vérifiant (1). Le problème aux dérivées partielles (1)-(2) est équivalent au problème variationnel suivant (voir [Ladevèze (1996)] pour la démonstration) : trouver $(p_1, p_2) \in S_{1,ad} \times S_{2,ad}$ tels que :

$$ \sum_{e=1,2} \int_{\partial_p \Omega_e} (p_e - p_{ed}) \delta v_e^* ds + \sum_{e=1,2} \int_{\partial_v \Omega_e} \delta p_e (v_e - v_{ed})^* ds + \frac{1}{2} \int_{\Gamma} \left( (p_1 - p_2) (\delta v_1 - \delta v_2)^* + (\delta p_1 - \delta p_2) (v_1 - v_2)^* \right) ds = 0, \quad \forall \delta p_e \in S_{e,ad} \quad (3) $$

où $v_e = \frac{i}{\rho_0 \omega} \frac{\partial p_e}{\partial \mathbf{n}}$, et $*$ désigne le conjugué d'une quantité complexe.

La TVRC cherche une solution du problème sous la forme : $p_e(\mathbf{x}) = \int_{C_{ea}} p_{ea}(\mathbf{k}_{ea}) e^{\mathbf{k}_{ea} \cdot \mathbf{x}} dC_{ea}$, $\mathbf{x} \in \Omega_e$; où $\mathbf{k}_{ea}$ est le vecteur d'onde tel que $e^{\mathbf{k}_{ea} \cdot \mathbf{x}}$ vérifie exactement (1), et $C_{ea}$ désigne la courbe décrite par le vecteur d'onde $\mathbf{k}_{ea}$ quand ce dernier parcoure toutes les directions du plan. Dans le cadre de l'acoustique 2-D, seuls les rayons propagatifs sont pris en compte (voir figure 2(a)) : $\mathbf{k}_{ea} = ik[\cos \theta, \sin \theta]$, $\theta \in [0, 2\pi]$ et $C_{ea}$ est alors un cercle. Les fonctions de forme

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – Exemple de fonction de forme et discrétisation du problème.</figcaption></figure>

utilisée dans la TVRC sont des fonctions à deux échelles : le terme $p_{ea}(\mathbf{k}_{ea})$ correspond aux amplitudes des rayons et varie lentement quand $\mathbf{k}_{ea}$ varie, il correspond donc à l'échelle lente, tandis que le terme $e^{\mathbf{k}_{ea} \cdot \mathbf{x}}$ caractérise la partie oscillante des rayons et varie rapidement quand $\mathbf{k}_{ea}$ et $\mathbf{x}$ varient, il est donc associé à l'échelle rapide. Seule l'échelle lente est discrétisée. L'échelle rapide est prise en compte par une technique d'intégration ad hoc. La pression $p_e^h$ est discrétisée de la façon suivante :

$$ p_e^h(\mathbf{x}) = \sum_{l=1}^{L_e} p_{ea}^l \int_{C_{ea}^l} e^{\mathbf{k}_{ea} \cdot \mathbf{x}} dC_{ea}^l \quad (4) $$

où $\{C_{ea}^l\}_l$ correspond à une discrétisation de la courbe $C_{ea}$. La figure 2(b) illustre cette discrétisation. Etant donné que $p_{ea}$ est une quantité variant lentement, le nombre de quantités constantes $p_{ea}^l$ nécessaires pour la représenter de façon correcte est petit ; ce qui conduit la TVRC à la ré solution numérique de systèmes de petite taille.
### 3 Résultats numériques

Afin d'illustrer les performances de la méthode, on considère une cavité acoustique carrée $\Omega = [0, a] \times [0, a]$, sur les bords de laquelle on impose une pression $p_d$, telle que la solution exacte du problème soit $p^{ex} = e^{k^{ex}\cdot x}$, $k^{ex} = i[\cos \theta^{ex}, \sin \theta^{ex}]$, $\theta^{ex} = 32^{\circ}$. On compare les résultats de la TVRC avec ceux de la FEM et de la DEM qu'on peut trouver dans [Fahrat et al. (2004)]. Pour étudier les performances de chacune de ces méthodes, on mesure la norme modifiée qui suivante : $||p - p^{ex}|| = \sqrt{||p - p^{ex}||_{H^1}^2 + ||[p]||_{L^2}^2}$, où la norme $H^1$ est calculée sur chacun des sous-domaines, et la norme $L^2$ sur les bords et interfaces de tous les sous-domaines afin de prendre en compte les discontinuités. La figure 3 montre les résultats pour $ka = 80$. On voit que la TVRC a un meilleur taux de convergence que les autres méthodes : la convergence exponentielle d'une $p$-méthode (augmentation du nombre de rayons) est plus rapide que celle d'une $h$-méthode (raffinement du maillage) [Strouboulis et al. (2006)].

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 3 – Comparaison des taux de convergence de la FEM, de la DEM et de la TVRC.</figcaption></figure>

### 4 Une version hiérarchique de la TVRC

La TVRC se distingue des autres méthodes en particulier par l'utilisation de faisceaux de vibration. Ces fonctions ont la particularité d'être dépendantes de leur origine, d'autant plus que la largeur du faisceau est grande. Il est donc tout à fait possible que l'erreur commise par le calcul augmente lors d'une sous-structuration. Afin de pallier ce problème, une version hiérarchique de la TVRC a été développée. On considère $N + 1$ partitions de $\Omega_0$ ($\Omega_0, \Omega_1, \dots, \Omega_N$) qui vont constituer $N + 1$ niveaux de définitions des fonctions de forme (voir figure 4(a)). En se plaçant au niveau N, la solution du problème consiste à trouver $(p_1, p_2, \dots, p_\alpha) \in S_{1,ad} \times S_{2,ad} \times \dots \times S_{\alpha,ad}$, tel que :

$$ \forall \delta p_e \in S_{e,ad}, \quad \sum_{e=1}^{\alpha} \left( \int_{\partial_p \Omega_{Ne}} (p_e - p_{ed}) \delta v_e^* ds + \int_{\partial_v \Omega_{Ne}} \delta p_e (v_e - v_{ed})^* ds \right) + \frac{1}{2} \left( \sum_{i=1}^{\alpha} \sum_{j<i}^{\alpha} \int_{\Gamma_{i-j}} ((p_i - p_j) (\delta v_i - \delta v_j)^* + (\delta p_i - \delta p_j) (v_i - v_j)^*) ds \right) = 0 \quad (5) $$

où $\Gamma_{i-j} = \emptyset$ si $\Omega_{N_i}$ et $\Omega_{N_j}$ n'ont pas de frontières communes. On cherche une solution approchée du problème sous la forme :

$$ \forall \mathbf{x} \in \Omega_{N\beta}, \quad p_{\beta}^{h}(\mathbf{x}) = P_{0}^{h}(\mathbf{x}) + P_{1i}^{h}(\mathbf{x}) + P_{2j}^{h}(\mathbf{x}) + \dots + P_{N\beta}^{h}(\mathbf{x}) \quad (6) $$
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 4 – Calcul hiérarchique.</figcaption></figure>

$$
\text{avec } \Omega_{N\beta} \subset \dots \subset \Omega_{2j} \subset \Omega_{1i} \subset \Omega_0 \quad \text{et} \quad P_{\gamma i}^h(\mathbf{x}) = \sum_{l=1}^{L_{\gamma i}} \int_{C_{\gamma i}^l} P_{\gamma i}^l e^{\mathbf{k}_{\gamma i} (\mathbf{x} - \mathbf{x}_{0_{\gamma i}})} dC_{\gamma i}^l \quad \forall \mathbf{x} \in \Omega_{\gamma i}
$$

où $P_{\gamma i}^h$ désigne l'approximation classique définie sur le domaine $\Omega_{\gamma i}$ et $\mathbf{x}_{0_{\gamma i}}$ désigne la position du barycentre du domaine $\Omega_{\gamma i}$ dans le repère du domaine $\Omega_0$.

En injectant l'approximation (6) dans la formulation (5), beaucoup de termes s'annulent sur les interfaces, à savoir dès qu'une fonction de forme est continue à la traversée d'une interface. On obtient donc une matrice assez creuse comparée à la matrice TVRC classique. Pour un coût de calcul légèrement supérieur, on assure une convergence stricte de la méthode lors d'une approche de type *h* comme le montre la figure 4(b).

5 Vers une démarche adaptative

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 5 – Calcul adaptatif pour l’exemple de la partie 3.</figcaption></figure>

Afin d'améliorer les performances de la méthode, les travaux en cours s'attachent à déve-
lopper une démarche adaptative de calcul. La première étape consiste à construire un estimateur
d'erreur pertinent. La seconde à adapter la discrétisation (voir figure 2(b)) en fonction de l'es-
timateur. Le gain en termes de degrés de liberté est conséquent, en particulier pour le 3-D. La
figure 5 illustre un calcul adaptatif pour l'exemple de la partie 3. Grâce à l'estimateur d'erreur, on capte quasiment la solution exacte.

## 6 Conclusion

Ce papier présente une extension de la TVRC aux problèmes d'acoustique en deux dimensions, où la solution est approchée par une superposition de rayons propagatifs vérifiant exactement l'équation d'équilibre dynamique. La TVRC est une approche multiéchelle où seule l'échelle lente des fonctions de forme est discrétisée, l'échelle rapide étant traitée analytiquement. La TVRC permet ainsi d'obtenir des solutions précises avec peu de degrés de liberté. Les travaux en cours s'attachent à étendre la méthode au 3-D. Pour éviter un coût de calcul trop important, un estimateur d'erreur est construit de manière à mener un calcul adaptatif. En d'autres termes, si la solution comporte des directions de propagation privilégiées, cet estimateur permet de les détecter et donc de raffiner la courbe (2(b)) dans les bonnes directions. Le coût de calcul s'en trouve ainsi réduit.

## Références

* Babuška, I., Sauter, S.A. 1997 Is the pollution effect of the FEM avoidable for the Helmholtz equation considering high wave numbers? *SIAM Review.* **42**(3) 451-484

* Desmet, W., Sas, P., Vandepitte, D. 2001 An indirect Trefftz method for the steady-state dynamic analysis of coupled vibro-acoustic systems. *Computer assisted Mechanics and Engineering Sciences.* **8** 271-288

* Farhat, C., Wiedemann-Goiran, P., Tezaur, R. 2004 A discontinuous Galerkin method with plane waves and Lagrange multipliers for the solution of short wave exterior Helmholtz problems on unstructured meshes. *Wave Motion.* **39** 307-317

* Harari, I., Hughes, T. J. R. 1992 A cost comparison of boundary element and finite element methods for problems of time-harmonic acoustics. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.* **97**(1) 77-102

* Ladevèze, P. 1996 A new computational approach for structure vibrations in the medium frequency range. *Compte Rendus de l'Académie des Sciences de Paris.* **322**(II b) 849-856

* Ladevèze, P., Riou. 2003 Calculation of medium-frequency vibrations over a wide frequency range. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.* **194**(27-29) 3167-3191

* Ladevèze, P., Chevreuil, M. 2005 A new computational method for transient dynamics including the low- and the medium-frequency ranges. *International Journal for Numerical Methods in Engineering.* **64**(4) 503-527

* Riou, H., Ladevèze, P., Sourcis, B. 2006 A new multiscale computational approach for structural and acoustical mid-frequency vibrations. *ICSV 13 - 13th International Congress on Sound and Vibration.*

* Soize, C. 1998 Reduced models in the medium frequency range for the general dissipative structural dynamic systems. *European Journal of Mechanics, A/Solids.* **17** 657-685

* Strouboulis, T., Babuška, I., Hidajat, R. 2006 The generalized finite element method for Helmholtz equation : Theory, computation, and open problems. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.* **195** 4711-4731