# Chapitre 1. Charles-Ange Laisant au-delà de l'identité polytechnicienne et des réseaux polytechniciens

Jérôme Auvinet

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

OpenEdition
Journals

## Édition électronique

URL : https://journals.openedition.org/sabix/3254
DOI : 10.4000/sabix.3254
ISSN : 2114-2130

## Éditeur

Société des amis de la bibliothèque et de l'histoire de l'École polytechnique (SABIX)

## Édition imprimée

Date de publication : 1 mai 2023
Pagination : 13-21
ISSN : 0989-3059

## Référence électronique

Jérôme Auvinet, « Chapitre 1. Charles-Ange Laisant au-delà de l'identité polytechnicienne et des réseaux polytechniciens », *Bulletin de la Sabix* [En ligne], 70 | 2023, mis en ligne le 28 octobre 2023, consulté le 21 septembre 2025. URL : http://journals.openedition.org/sabix/3254 ; DOI : https://doi.org/10.4000/sabix.3254

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
# Charles-Ange Laisant
au-delà de l'identité polytechnicienne
et des réseaux polytechniciens

Jérôme Auvinet*

Charles-Ange Laisant<fnref n="1" /> a suivi, par son passage à l'École polytechnique, un chemin relativement classique des savants du XIXe siècle qui semblait le destiner aux carrières d'ingénieur militaire, de mathématicien ou d'enseignant promises à la sphère polytechnicienne. Ce qu'il fit. Mais sa vie et son œuvre dépassent largement ce cadre convenu, parfois anonyme. Ils l'ont conduit vers un parcours plus romanesque et en ont fait un personnage de grande importance pour la communauté des savants de la Troisième République. Parce qu'il embrassa rapidement une longue carrière politique, riche et mouvementée; parce qu'il s'inscrit pleinement dans la communauté mathématique nationale et internationale de l'époque, liant des collaborations multiples et diverses, investissant des thèmes novateurs et variés; parce qu'il adopte une réflexion globale sur l'enseignement des mathématiques ou encore parce que ses convictions sur le lien entre Science et Société sont le moteur de ses choix dans le dernier quart de son existence, le parcours de Laisant est à la fois hétéroclite et cohérent, aussi bien que saisissant.

Nous exposerons dans un premier temps les caractéristiques de sa forte identité polytechnicienne : l'École reste la matrice originelle et le cadre d'évolution de nombre de ses itinéraires aussi bien que le terreau de multiples réseaux.

Mais nous nous attacherons surtout à souligner sa propension pour la nouveauté en mathématique, pour l'inédit scientifique, pour les innovations en matière d'édition scientifique, de sociabilité entre savants ou de pédagogie. Ce modernisme est le tropisme qui l'amène à améliorer parfaire son identité première et à développer d'autres réseaux.

## Un membre de la famille polytechnicienne

Né dans un quartier ouvrier de Basse-Indre, tout près de Nantes, d'un père clerc de notaire, Laisant n'est pas prédestiné par sa généalogie à embrasser un parcours de polytechnicien (voir chap. 13).

## De Nantes à Metz, une formation polytechnicienne

Élève au lycée de Nantes, c'est ensuite à l'École Sainte-Barbe que Laisant prépare le concours d'entrée à l'École polytechnique, Camille Gérono est un de ses professeurs. Il accède en 1859 à l'École et y reçoit des enseignements marquants, comme celui de Jean-Marie Constant Duhamel (X 1814), ou celui d'Amédée Mannheim (X 1848) alors répétiteur. L'École est une première opportunité de tisser un solide réseau. Laisant y ren-

<footnote>* Laboratoire de Mathématiques Jean Leray UMR 6629, Université de Nantes.</footnote>

<footnote n="1">1. [Auvinet, 2013].</footnote>
contre Émile Lemoine (X 1860), cofondateur de L'Intermédiaire des mathématiciens (L'IM) ou encore Hermann Laurent (X 1860) avec qui il dirige la partie mathématique de La Grande Encyclopédie (voir chap. 7). Il est en correspondance avec Paul Peigné (X 1859), franc-maçon comme lui, et le parraine en 1888 pour son entrée à la Société mathématique de France (SMF). Son parcours compte bien des similarités avec celui de Paul Guieysse (X 1860) (voir chap. 13). Il partage des sujets de recherche communs avec d'autres polytechniciens de la même génération, même s'ils ne sont pas condisciples. Il échange avec Ernest Laquière (X 1858) sur les équipollences ou sur la géométrie des quinconces et partage un résultat de combinatoire avec Charles Moreau (X 1857), qu'il présentera également en 1888 à la SMF.

La véritable proximité des uns et des autres peut être mise en doute, même si dans le cas de Lemoine par exemple, elle est effective. Tous ces hommes n'en partagent pas moins un passé commun : celui de la formation à l'École polytechnique. Ainsi, Adolphe Bühl insiste dans sa nécrologie de Laisant sur les liens de sociabilité qu'il entretient, en compagnie de Lemoine, avec d'autres polytechniciens, notamment à travers une société de musique de chambre<fnref n="2" />.

## De la difficulté de concilier carrière militaire et politique

Laisant intègre en 1861 l'École d'application de l'artillerie et du génie à Metz pour deux ans. Membre du génie, il va enchaîner les affectations, notamment à Brest et Nantes où il adhère à la franc-maçonnerie. Il se distingue lors de la guerre de 1870 en participant aux travaux de défense du Fort d'Issy, près de Paris, ce qui lui vaudra une nomination au grade de chevalier de la Légion d'honneur en 1871. Il débute sa carrière de mathématicien en publiant dans la revue Nouvelles annales de Mathématiques (NAM), journal des candidats aux écoles polytechnique et normal des articles principalement d'arithmétique ou de géométrie, de « mathématiques intermédiaires », dont plusieurs illustrent son travail quotidien de jeune mathématicien. Mais déjà, sa carrière politique prend naissance, à Nantes, avec l'appui d'Ange Guépin (voir chap. 2 et chap. 13), également franc-maçon, puisqu'il est élu conseil-

ler général en 1871 sous l'étiquette républicaine. Le jeune élu retrouve notamment au Conseil Jules Maillard de la Gournerie (X 1833) qui fut son professeur de géométrie descriptive puis de stéréotomie à l'École polytechnique.

Ses prises de positions radicales, y compris durant les séances du Conseil, provoquent la défiance de sa hiérarchie et plusieurs affectations à Bourges, Tours ou Bastia, ce qui ne l'empêche pas d'assumer ses fonctions politiques. Finalement, Laisant est en poste en Algérie en 1875³ où il rencontre un autre polytechnicien, chargé du bureau central météorologique: Henri Brocard (X 1865). Partageant la même culture d'ingénieur polytechnicien, ils échangent dans un premier temps sur l'instrumentation mathématique et le principe du compas trisecteur (voir chap. 5) avant de sceler une collaboration éditoriale déterminante et durable.

Les élections législatives de 1876 vont être décisives pour le capitaine Laisant: il est démissionnaire en janvier puis élu député en février. Il entame alors une tumultueuse carrière de député, étant réélu quatre fois, en Loire-Inférieure puis dans la Seine, passant de l'étiquette républicaine à la gauche radicale. Une tribune lui est offerte par le journal Le Petit Parisien, dont il est directeur entre 1877 et 1881, puis par La République radicale, qu'il fonde en 1883. Connu pour ses projets, restés sans suite, d'une réforme du service militaire, il n'en demeure pas moins mathématicien, défendant la publication des œuvres de Pierre de Fermat, une chaire en calcul infinitésimal à la Faculté des sciences de Paris ou une autre de théorie des nombres au Collège de France, destinée à son ami Édouard Lucas (1842-1891).

Se ralliant au boulangisme (le général Boulanger est aussi un ancien élève du lycée de Nantes) car souhaitant un renversement de la bourgeoisie parlementariste, il collabore avec Alfred Naquet et Paul Déroulède. Lassé par le parlementarisme et un opportunisme en vigueur qu'il espérait voir disparaître avec une victoire de Boulanger, Laisant quitte, amer, la vie politique en 1893 et se fendra d'un portrait au vitriol de la « chambre infâme », par exemple dans son ouvrage L'Illusion parlementaire<fnref n="4" />.

<footnote n="2">2. [Bühl, 1920, 77-78].</footnote>

<footnote n="3">3. [Auvinet, 2019].</footnote>

<footnote n="4">4. [Laisant, 1924].</footnote>
## Un itinéraire d'enseignant, un retour à l'École polytechnique

Avec l'abandon de la députation, Laisant va se tourner vers l'enseignement et occuper divers postes : tout d'abord comme « interrogateur pour les candidats aux Écoles du Gouvernement » de 1895 à 1897 à l'École Monge, établissement aux méthodes novatrices créé par Aimé Godart (X 1857) puis, comme professeur à l'institution Sainte-Barbe et comme examinateur à l'Institut agronomique. Il retrouve par la suite l'École polytechnique, d'abord comme répétiteur de mécanique en 1895, puis comme suppléant d'Henri Léauté (X 1866) pour son cours de mécanique, avant d'être examinateur d'admission en 1899 (il en avait été suppléant l'année précédente). Sa longévité à ce poste jusqu'en 1913 l'amène à de nombreux déplacements partout en France, parfois en compagnie de Laurent<fnref n="5" />.

Son rapprochement avec le milieu des classes préparatoires s'illustre aussi par ses activités d'homme de presse : il devient en 1896 directeur des NAM<fnref n="6" />. Il avait publié avec Xavier Antomari, co-directeur des NAM dès 1896, un manuel à destination des candidats aux concours, les Questions de mécanique à l'usage des élèves de la Classe de mathématiques spéciales<fnref n="7" /> (1895). Il sera, entre autres, successivement épaulé par plusieurs polytechniciens pour rédiger les NAM : comme Ernest Duporcq (X 1892) ou Raoul Bricard (X 1888). En 1896, face à la concurrence d'autres publications et aux bouleversements de l'enseignement supérieur, les directeurs procèdent à un changement profond de la ligne éditoriale de la revue, qui devient Journal des candidats aux Écoles spéciales, à la licence et à l'agrégation. En 1915, la revue veut promouvoir des échanges entre universités et poursuit son ouverture vers un public toujours plus large en prônant la diffusion d'une véritable « culture mathématique ». La direction assumée durant 24 ans par Laisant, parfois de manière distendue, se solde par un succès mitigé et une baisse des abonnements.

Laisant cultive ainsi tout au long de sa carrière une forte identité polytechnicienne et les réseaux correspondants. Il porte notamment un regard particulier sur l'École et particulièrement sur

son concours d'admission à travers des articles publiés dans les NAM ou la revue L'Enseignement mathématique.

## S'engager dans la nouveauté à travers de multiples réseaux

### Diffuser des mathématiques nouvelles

À côté de la production déjà mentionnée, Charles-Ange Laisant s'investit dans la diffusion de mathématiques venues de l'étranger, alors que leur méconnaissance en France est souli-gnée après la défaite de 1870. C'est un premier tournant pour son œuvre mathématique. Cet acte fondateur de diffusion concerne principalement le calcul géométrique, d'abord dans le plan puis dans l'espace. Laisant va être l'un des principaux diffuseurs, avec Jules Houël, archiviste de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux qu'il rejoint en 1874 (voir chap. 2), de la méthode des équipollences de l'Italien Giusto Bellavitis. En traduisant en 1874, d'abord dans les NAM, l'Exposition de la méthode des équipollences de Bellavitis, puis en proposant sa propre présen-tation de ce calcul en 1887, dans Théorie et appli-cations des équipollences<fnref n="8" />, il s'engage pour faire connaître cette « algèbre des faits géométriques du plan<fnref n="9" /> » où les grandeurs géométriques sont exprimées en longueur, direction et sens. Il mul-tiplie les communications sur leurs applications (en cinématique notamment) lors des congrès de l'Association française pour l'avancement des sciences (AFAS), débattant de la nature de ce calcul avec Laquière, mais toujours avec l'objectif de le faire pénétrer dans l'enseignement.

La généralisation du calcul géométrique à l'es-pace réalisée par William Rowan Hamilton va susciter son intérêt: en 1877, il prolonge les travaux de l'Irlandais dans sa thèse sur les Applications mécaniques du calcul des quaternions. Voulant élargir le lectorat de la Théorie des quan-tités complexes de Houël (1867), il publie là aussi en 1881 sa propre Introduction à l'étude des quater-nions<fnref n="10" />, qui s'appuie sur une présentation essen-tiellement géométrique des bases de la théorie en usant de la notion de biradiale. Paul Genty

<footnote n="5">5. [Bühl, 1920, 78-79].</footnote>

<footnote n="6">6. [Nabonnand, Rollet, 2013].</footnote>

<footnote n="7">7. [Laisant, Antomari, 1895].</footnote>

<footnote n="8">8. [Laisant, 1887].</footnote>

<footnote n="9">9. [Laisant, 1887, 61].</footnote>

<footnote n="10">10. [Laisant, 1881].</footnote>
(X 1881) sera de ceux qui enrichissent les apports de Laisant : tous deux collaborent à l'Association internationale pour la propagation de l'étude des quaternions et des méthodes qui s'y rattachent.

Le thème du calcul géométrique va irriguer nombre de ses travaux parmi les plus originaux. Un exemple en est l'article « Aire d'une courbe gauche fermée<fnref n="11" /> » où il associe à une courbe une grandeur vectorielle donnant son orientation moyenne. Ces travaux, qui nous semblent prolonger la notion d'« hodographe aréolaire » exposée dans sa thèse, sont proches de ceux de Peano et seront notamment remarqués par Maurice Fréchet et Henri Lebesgue.

Cet engagement premier de Laisant, manifeste dans l'article « Vecteur » de La Grande Encyclopédie (voir chap. 7), illustre l'importance à ses yeux de l'enseignement de la théorie vectorielle alors que s' annonce la réforme de l'enseignement secondaire de 1902 (voir chap. 10).

## S'engager pour la visualisation de mathématiques nouvelles

Laisant investit aussi progressivement l'arithmétique, la combinatoire et la théorie des nombres<fnref n="12" />. Son approche élémentaire, c'est-à-dire sans outil avancé d'analyse, de ces questions se distingue de celle des recherches académiques d'alors. Laisant choisit de souligner l'importance de la visualisation dans ces mathématiques discrètes, les rapportant à une science d'observation, d'expérimentation où la schématisation permet d'établir un lien direct, intuitif, sans calcul fastidieux vers les objets considérés, leur construction algorithmique ou leurs propriétés. Cette visualisation est conçue comme un atout précieux dans la recherche de nouveaux résultats ou de définitions éclairantes. Les travaux originaux correspondants trouvent fréquemment un écho dans des recherches ultérieures, sans que le nom de Laisant ne soit cité.

Répondant à une question de Catalan, Laisant étudie par exemple en 1881 pour l'AFAS le signe du n-ième terme du développement :

$$ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)...=1-a-b+ab-c+ac+bc-abc-d+... $$

Il substitue aux signes les lettres A et B et construit par itération un mot composé de ces lettres en remplaçant dans la mot précédent la lettre A par la paire AB et la lettre B par la paire BA. Il obtient la suite de mots :

AB; ABBA; ABBABAAB; ABBABAABBAABABBA...

Le problème est alors de déterminer la valeur de la n-ième lettre et peut être généralisé sur un alphabet de n lettres où les mots sont construits de manière itérative en remplaçant chaque lettre par une permutation donnée des n lettres de l'alphabet. Laisant exhibe ainsi la suite dite « de Prouhet-Thue-Morse », utilisée en combina-toire des mots ou en stratégie de jeu d'échec. Il adopte ensuite une démarche encore plus visuelle en considérant des cases d'un échiquier colorée d'une certaine couleur (blanc correspondant au signe – et noir au signe +). Cette approche esthé-tisante lui apparaît, entre autre, apte à séduire un large public (voir chap. 3).

Les exemples d'une telle démarche sont nombreux. Le système de numération factorielle qu'il bâtit en 1888 a pour objectif d'obtenir « à vue » une classification des permutations et est rapprocher des résultats ultérieurs de Derrick Henry Lehmer. Le « tétraèdre arithmétique », qui lui est propre, est quant à lui une généralisation du triangle de Pascal à l'espace, qu'il présente au regard du lecteur comme une pyramide de sphères coefficientées donnant le développement de $(a+b+c)^n$. Ceci annonce d'autres généralisations du triangle arithmétique et du carré de Fermat, en lien avec les tableaux de nombres étudiés par Lucas.

Beaucoup de ces recherches fécondes naissent en effet au sein d'une communauté de cette « géométrie de situation<fnref n="13" /> », où des considérations graphiques interviennent en théorie des nombres. Laisant va y apparaître comme le lien entre des réseaux émergeant au sein de la SMF et d'autres internes à l'AFAS, cette dernière lui permettant de toucher l'auditoire hétéroclite de ses congrès annuels en province. Lucas, soutenu dans sa carrière par le député Laisant, est l'autre figure forte d'un réseau composé de mathématiciens d'horizons divers : Laquière, l'ancien militaire

<footnote n="11">11. [Laisant, 1899].</footnote>

<footnote n="12">12. [Barbin, Goldstein, Moyon, Schwer, Vinatier, 2017, 43-67].</footnote>

<footnote n="13">13. [Laisant, 1898, 105].</footnote>
Camille de Polignac, l'administrateur en Algérie Gaston Tarry, l'ancien officier de Marine Gabriel Arnoux (voir chap. 4), l'intendant militaire Auguste Delannoy (X1853) mais aussi Henri Halphen (X1862), Eugène Catalan ou Maurice d'Ocagne (X 1880). Les échanges épistolaires de Laisant avec Lucas sur les problèmes liés aux dominos, tout comme les considérations de Tarry à l'AFAS sur les chemins dans un labyrinthe, préfigurent ainsi les travaux sur les parcours d'un graphe<fnref n="14" />. Ses travaux de 1887 sur la géométrie des quinconces et les réseaux particuliers de points du plan font également suite à ceux de Lucas ou Laquière et trouvent des échos en cristallographie<fnref n="15" />.

Ces pratiques originales voire divertissantes permettent également de clarifier les bases des mathématiques, y compris pour l'enseignement des plus jeunes, comme Laisant le proclamera encore dans son *Initiation mathématique* de 1906 (voir chap. 4). Elles ont pour vocation à susciter chez un large public le goût pour une culture mathématique ravivée, notamment à partir de son histoire. Ces objectifs sont un moteur de l'activisme éclectique de Laisant sur le sujet, de la rédaction de nombreux articles dans *La Grande Encyclopédie* à sa participation en 1894 à la création d'une éphémère Société des sciences récréatives (voir chap. 3).

## Innover en matière de sociabilité savante et de pédagogie

### Renouveler l'offre éditoriale dans la presse mathématique

Dans la presse mathématique, Laisant se distingue également par sa volonté de fonder des publications créatives, capables de faciliter les échanges entre mathématiciens. En 1894, il crée avec Lemoine *L'Intermédiaire des mathématiciens*<fnref n="16" />. L'originalité éditoriale de cette publication mensuelle repose sur le choix de la baser exclusivement sur un système de questions/réponses, et non pas sur des problèmes relevant d'exercices, par exemple de préparation aux concours (c'est le modèle des NAM). Elle permet aux lecteurs, quels que soient leurs notoriétés ou leurs champs de

recherche, de soumettre des questions ouvertes au moyen d'un véritable forum qui va rapidement dépasser une audience franco-française. Lectorat et autorat s'y confondent pour traiter de sujets divers, avec une prédominance de la théorie des nombres et de l'arithmétique. Notons que nous retrouvons Brocard comme un contributeur de première importance à la revue. Les fondateurs historiques vont progressivement s'effacer pour laisser la place à d'autres rédacteurs parmi lesquels Edmond Maillet (X1884) ou Auguste Boulanger (X1885), polytechniciens et répéteurs à l'École polytechnique.

Avec la revue *L'Enseignement mathématique* fondée par Henri Fehr et Laisant en 1899 (voir chap. 16), ce dernier se lance une fois de plus dans une entreprise éditoriale novatrice par deux aspects. Son caractère explicitement international, revendiqué et illustré par son comité de patronage, est la modalité nécessaire à son principal objectif : jeter partout des ponts entre savoirs académiques et pédagogie, sciences pures et appliquées, mathématiques et autres disciplines, notamment la psychologie. Un deuxième caractère en découle : avec la volonté de susciter, à une échelle internationale, le débat nécessaire aux réformes à accomplir après les récents développements scientifiques et industriels, cette revue propose de facto un mode original d'échanges préalables à une entreprise de réforme, multipliant les acteurs, dépassant les cadres institutionnels sans les rejeter. La revue deviendra l'organe officiel de l'International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) après 1908.

### Accompagner les évolutions de la communauté mathématique

Les engagements éditoriaux de Laisant sont à rapprocher de son implication durable au sein de la communauté mathématique, nationale et internationale. Dans un premier temps, il participe activement à des sociétés savantes officielles créées dès après la défaite de 1870 dans le but d'élever le niveau scientifique de la France, jugé responsable de cette même défaite. Il devient en 1873 membre de la SMF<fnref n="17" />, puis de l'AFAS en 1875. Il s'illustre dans chacune d'entre elles par son implication tant sur le plan scientifique, pro-

<footnote n="14">14. [Barbin, Goldstein, Moyon, Schwer, Vinatier, 2017, 119-144].</footnote>

<footnote n="15">15. [Décaillot, 2002].</footnote>

<footnote n="16">16. [Pineau, 2004].</footnote>

<footnote n="17">17. [Gispert, 2015].</footnote>
duisant un grand nombre de communications, qu'administratif, siégeant dans leurs instances décisionnelles sur le temps long. Il accèdera, comme Émile Borel ou Paul Appell, à chacune de leur présidence, en 1888 pour la SMF et 1904 pour l'AFAS. Il s'inscrit dans l'évolution de ces sociétés, parrainant un grand nombre de membres, notamment étrangers, pour la SMF; rédigeant en 1879 puis en 1887 des notices historiques recensant l'ensemble des travaux mathématiques de l'AFAS, tout en soulignant leurs originalités et leurs postérités<fnref n="18" />.

Grâce à cette situation institutionnelle, Laisant s'engage dans des projets novateurs à dimension internationale qui illustrent son action pour promouvoir, de manière pragmatique, les échanges entre mathématiciens, face à l'explosion des connaissances, à la ramification extrême et à l'internationalisation des recherches.

Il est secrétaire de la commission permanente chargée de la publication d'un projet novateur : le *Répertoire bibliographique des sciences mathématiques*<fnref n="19" /> porté par la SMF depuis 1885. Il expose à plusieurs occasions les avancées de cette « sorte d'inventaire général des travaux mathématiques<fnref n="20" /> ». Il soutient aussi, notamment dans les pages de L'IM, un projet initié à l'AFAS de création d'une « Bibliothèque mathématique des travailleurs », créée en 1895.

C'est à son initiative que Georg Cantor est invité au congrès de l'AFAS en 1894, première invitation d'un scientifique allemand depuis le conflit de 1870. Avec Lemoine et Cantor, Laisant partice, en s'appuyant sur L'IM, aux fondements du premier Congrès international des mathématiciens qui se tient à Zürich en 1897 (voir chap. 15). Il travaille alors pour sa pérennité avec l'aide d'autres mathématiciens étrangers (le 28e congrès international des mathématiciens a eu lieu en juillet 2022, à Saint Pétersbourg). Cette entreprise sera suivie en 1902 de la rédaction d'un *Annuaire des mathématiciens*<fnref n="21" /> visant à recenser les coordonnées et les statuts de tous les praticiens

des mathématiques sur la planète. Cette première tentative dans l'histoire, élaborée à l'aide de Bühl avec qui il dirige la revue *L'EM*, support de l'opération, offre un moyen de mettre en relation environ 6 000 mathématiciens, selon le sens large que Laisant donne à ce terme.

Internationaliste, il l'est également par ses convictions espérantistes<fnref n="22" /> qu'il partage avec Charles Méray, Carlo Bourlet ou Jacques Camescasse, souhaitant que cette langue investisse les échanges entre mathématiciens, « dont les sujets d'étude sont internationaux par excellence<fnref n="23" /> », comme cela est proclamé dans les *NAM*.

## « Libérer l'enfance », vers une nouvelle école

Celui qui est examinateur d'entrée à l'École polytechnique va embrasser au tournant du siècle la question de l'enseignement mathématique des plus jeunes. L'écriture en 1895 avec Lemoine d'un *Traité d'arithmétique*<fnref n="24" /> vise à présenter aux enfants les bases du calcul, de la notion de quantité à celle de fraction en passant par quelques éléments de théorie des nombres. Après les conférences données à l'Institut psycho-physiologique de Paris entre 1899 et 1903, à savoir « L'Initiation mathématique », « L'Initiation à l'étude des sciences physiques », « Éducation scientifique et psychologie » et « Le Problème de l'éducation », et fort des éléments qu'il expose dans *La Mathématique. Philosophie-Enseignement*<fnref n="25" />, en particulier l'origine expérimentale des mathématiques (voir chap. 10), il s'engage dans une réflexion inventive et personnelle sur l'éducation mathématique des enfants de moins de douze ans. Les pratiques suggérées dans *l'Initiation mathématique*<fnref n="26" /> (1906) (voir chap. 11), basées sur l'expérimentation, la manipulation, la visualisation, constituent les fondements de cet « ouvrage étranger à tout programme, dédié aux amis de l'enfance » qui sera diffusé de l'Italie au Brésil (voir chap. 12). Adressé donc à tous les éducateurs, y compris au sein des familles, l'ouvrage de 1906 réfute l'idée de programme et les méthodes dogmatiques, souhaite

<footnote n="18">18. [Auvinet, 2013, 148-150].</footnote>

<footnote n="19">19. [Rollet, Nabonnand, 2002].</footnote>

<footnote n="20">20. [Laisant, Lemoine, 1893, 720].</footnote>

<footnote n="21">21. [Laisant, Bühl, 1902].</footnote>

<footnote n="22">22. [Lescure, 2003, 529-530].</footnote>

<footnote n="23">23. [La rédaction, 1903, 337].</footnote>

<footnote n="24">24. [Laisant, Lemoine, 1895].</footnote>

<footnote n="25">25. [Laisant, 1898].</footnote>

<footnote n="26">26. [Laisant, 1906].</footnote>
« libérer l'enfance » en suscitant la curiosité par l'amusement. Alors qu'il est un rouage important de la formation polytechnicienne en tant qu'examenateur, il propose donc un manuel novateur, puis la collection des *Initiations scientifiques* composé de six ouvrages et autant d'auteurs, comme Camille Flammarion, fondateur de la Société astronomique de France dont Laisant a été vice-président entre 1907 et 1909.

Se rapprochant des mouvements libertaires et anarchistes par l'intermédiaire de son fils unique Albert, l'ancien député radical noue des liens avec Sébastien Faure ou Francisco Ferrer, fondateur en 1901 de L'École moderne à Barcelone. Sa participation à la revue *L'École rénovée* (1910) marque son rapprochement avec le milieu syndical enseignant en pleine construction, ainsi que sa position d'acteur du mouvement de l'éducation nouvelle<fnref n="27" />.

Progressivement dans son parcours, Laisant souhaite voir les évolutions de la communauté mathématique s'accompagner d'une dimension civilisatrice. Il donne ainsi une finalité à plusieurs de ses engagements : celui du développement de la société tout entière, réévaluant la place des mathématiques dans la civilisation industrielle, promouvant une « culture mathématique » accessible au plus grand nombre et synonyme de progrès sociétaux. C'est le propos de son discours « Le rôle social de la Science », prononcé à l'AFAS et publié dans L'EM en 1904²⁸.

## Éléments de conclusion : réseaux et héritage

Signataire du « Manifeste des Seize » rédigé par Pierre Kropotkine et d'autres anarchistes qui condamnent l'agression allemande de 1914, sa véritable position au sujet de la Grande Guerre est néanmoins véritablement donnée à travers le manifeste de l'Union fédérative de transformation sociale, publié en 1917 dans l'unique numéro de son bulletin, *La Solidarité mondiale*, dont il est rédacteur. Récusant les va-t-en-guerre tout comme les pacifistes béats, l'entente confraternelle entre les peuples et la transformation sociale restent ses principaux buts.

Laisant propose à travers ses nombreux itinéraires et ses engagements « impulseurs » de projets innovants une fenêtre remarquable sur la vie mathématique nationale et internationale sous la Troisième République. Membre de la famille polytechnicienne, qui apparaît comme le réseau élémentaire de son parcours, il multiplie les appartenances à des communautés variées, aux caractéristiques parfois éloignées : réseaux institutionnalisés de mathématiciens mais également réseaux d'amateurs, de passionnés de sciences récréatives ; réseaux d'ingénieurs mais aussi de pédagogues impliqués dans l'enseignement de la jeunesse ; réseaux de députés mais également d'anarchistes. D'autres communautés se nourrissent entre elles : celle d'acteurs de l'édition mathématique irrigue celle des internationalistes, parfois d'espérantistes. À travers toutes ces collaborations, il apparaît comme une figure précieuse pour l'historien des sciences de cette période.

Outre le « déterminant de Laisant » ou la « formule de récurrence de Laisant », Laisant laisse derrière lui une revue toujours publiée et des congrès internationaux toujours en cours. Son action en faveur des échanges entre scientifiques contient les germes de nouvelles modalités permises par l'évolution des moyens de communication. La place de la Science dans la Société qu'il défend, les liens entretenus entre la recherche et sa vulgarisation, la problématique de la médiation scientifique restent des questions vives. Enfin, c'est sa pensée pédagogique, ambitieuse et moderne par la place qu'elle donne à l'individu, qui nous apparaît comme un héritage particulier toujours d'actualité.

<footnote n="27">27. [Lamandé, 2011].</footnote>

<footnote n="28">28. [Laisant, 1904].</footnote>
# Références

## Sources primaires

**Bühl Adolphe**, (1920). « Charles-Ange Laisant 1841-1920 », *L'Enseignement mathématique*, 1re série, 21, 72-80.

**Laisant Charles-Ange**, (1881). *Introduction à la méthode des quaternions*, Paris, Gauthier-Villars.

—, (1887). *Théorie et applications des équipollences*, Paris, Gauthier-Villars.

—, (1898). *La Mathématique. Philosophie-Enseignement*, Paris, G. Carré et Naud.

—, (1899). « Aire d'une courbe gauche fermée », compte-rendu des congrès de l'AFAS, Boulogne, vol. 2, 135-140.

—, (1904). « Le rôle social de la Science », *L'Enseignement mathématique*, 1re série, 6, 337-362.

—, (1906). *L'Initiation mathématique*, Paris, Carré et Naud.

—, (1924). « L'Illusion parlementaire », *La Brochure mensuelle*, n° 17A.

**Laisant Charles-Ange, Antomari Xavier**, (1895). *Questions de mécanique à l'usage des élèves de la Classe de Mathématiques spéciales*, Paris, Nony.

**Laisant Charles-Ange, Bühl, Adolphe**, (1902). *Annuaire des mathématiciens*, Paris, C. Naud.

**Laisant Charles-Ange, Lemoine Émile**, (1893). « Sur l'orientation actuelle de la science et de l'enseignement mathématique », *Revue générale des sciences pures et appliquées*, 4, 719-722.

**Laisant Charles-Ange, Lemoine Émile**, (1895). *Traité d'arithmétique*, Paris, Gauthier-Villars et Fils.

**La rédaction**, (1903). « L’"Esperanto" et les mathématiques », *NAM*, Sér. 4, 3, 337-339.

## Sources secondaires

**Auvinet Jérôme**, (2013). *Charles-Ange Laisant – Itinéraires et engagements d'un mathématicien de la Troisième République*, Paris, Hermann.

**Auvinet Jérôme**, (2019). « Charles-Ange Laisant: difficultés et potentialités d'une affectation en Algérie », in *Polytechniciens en Algérie au xIXe siècle*, *Bulletin de la SABIX*, 64, 93-107.

**Barbin Évelyne, Goldstein Catherine, Moyon Marc, Schwer Sylviane, Vinatier Stéphane**, (éd.) (2017). *Les travaux combinatoires de l'entre-deux guerres 1870 et 1914, actes du colloque de Guéret (30 septembre - 2 octobre 2015)*, Limoges, PULIM.

**Décaillot Anne-Marie**, (2002). « Géométrie des tissus. Mosaiques. Échiquiers. Mathématiques curieuses et utiles », *Revue d'histoire des mathématiques*, 8, 145-206.

**Gispert Hélène**, (2015). *La France mathématique de la IIIe République avant la Grande Guerre*, Paris, SMF.

**Lamandé Pierre**, (2011). « Une personnalité du monde de l'Éducation nouvelle : Charles-Ange Laisant (1841-1920) et son combat politique pour une éducation rationnelle fondée sur la science », *Paedagogica Historica*, vol. 47, n° 3, 283-301.
**Lescure Jean-Claude**, (2003). « La création d'un réseau culturel transnational : les débuts de l'espéranto », *Relations internationales*, 16, 515-533.

**Nabonnand Philippe**, **Rollet Laurent**, (2013). « Un journal pour les mathématiques spéciales : les *Nouvelles annales de mathématiques* (1842-1927) », *Bulletin de l'Union des Professeurs de Spéciales*, 86, 5-18.

**Pineau François**, (2004). *L'Intermédiaire des Mathématiciens : un forum de mathématiciens au xixᵉ siècle*, mémoire de DEA, Épistémologie et histoire des sciences et des techniques, Université de Nantes.

**Rollet Laurent**, **Nabonnand Philippe**, (2002). « Une bibliographie mathématique idéale ? Le *Répertoire bibliographique des sciences mathématiques* », *Gazette des mathématiciens*, 92, 11-26.
# ESSAI

SUR LES

## FONCTIONS HYPERBOLIQUES

### PREMIÈRE PARTIE.

#### Trigonométrie de l'hyperbole équilatère.

##### *Définitions et notations.*

1. On sait que dans les fonctions circulaires sin $u, \dots$ l'argument $u$ peut être considéré comme représentant l'aire du double secteur circulaire $2AOM$ (fig. 1). C'est ce que nous ferons dans toute la suite de cette étude.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 1.</figcaption></figure>

Si nous supposons deux axes rectangulaires passant par le centre du cercle (l'axe des $x$ étant dirigé suivant le cosinus OP), nous pourrons dire que la sécante est le segment intercepté sur l'axe des $x$, à partir de l'origine, par la tangente au cercle au point M; car $OD=OT$.

De même, la cosécante sera pour nous le segment intercepté sur l'axe des $y$ par la même tangente.