References

[1] L. Euler, *Opera omnia*, Series Prima, Vol. VIII, p. 334.

[2] C. G. J. Jacobi, *Gesammelte Werke*, Vol. 1, pp. 232-234.

[3] — ibid., pp. 236-237.

[4] S. Ramanujan, *Collected Papers*, pp. 210-212.

Received on 30. 5. 75

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Remarques sur les nombres de Pisot-Vijayaraghavan

par

JEAN COQUET (Valenciennes)

**1. Introduction.** Dans [3], Mendès-France donne la caractérisation suivante des nombres de Pisot-Vijayaraghavan:

THÉORÈME. Soit $\theta$ un réel $> 1$. Soit

$$n = \sum_{r=0}^{+\infty} a_r(n) q^r$$

le développement de $n$ en base $q$. Posons

$$f_{(\theta)}(n) = \sum_{r=0}^{+\infty} a_r(n) \theta^r.$$

Une condition nécessaire et suffisante pour que $\theta$ soit un nombre de Pisot est que la suite $(f_{(\theta)}(n))_{n \in N}$ ne soit pas équirépartie modulo 1.

C'est ce résultat que nous généralisons. Nous avons besoin de quelques définitions et notations:

(1) $\|x\|$ désigne la distance du réel $x$ à l'entier qui lui est le plus proche.

(2) $\varphi = (q_i)_{i \in N^*}$ est une suite d'entiers $\ge 2$. Posons $p_0 = 1$, et pour tout $i \in N^*$, $p_i = \prod_{j=1}^i q_j$.

Tout entier naturel $n$ se développe de manière unique sous la forme:

$$n = \sum_{r=0}^{+\infty} a_r(n) p_r \quad \text{où} \quad \forall r \in N, a_r(n) \in \{0, \dots, q_{r+1}-1\}.$$

Ce développement est appelé développement de $n$ en base $\varphi$.

(3) Une application $f$ de $N$ dans $C$ est dite $\varphi$-additive si, pour tout $i \in N^*$, on a:

$$f(ap_i+b) = f(ap_i)+f(b)$$

quel que soit le couple d'entiers $(a, b)$ satisfaisant à:

$$a \in \{1, \dots, q_{i+1}-1\} \quad \text{et} \quad b \in \{0, \dots, p_i-1\}.$$
Une application $g$ de $N$ dans $C$ est dite $\varphi$-multiplicative si,

$$g(0) = 1$$

et si, pout tout $i \in \mathbb{N}^*$,

$$g(ap_i+b) = g(ap_i)g(b),$$

quel que soit le couple d'entiers $(a, b)$ satisfaisant à:

$$a \in \{1, \dots, q_{i+1}-1\} \text{ et } b \in \{0, \dots, p_i-1\}.$$

Remarquons que, si $f$ est $\varphi$-additive,

$$f(n) = \sum_{r=0}^{+\infty} f(a_r(n)p_r)$$

et si $g$ est $\varphi$-multiplicative,

$$g(n) = \prod_{r=0}^{+\infty} g(a_r(n)p_r).$$

(4) Posons, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout réel $\theta > 1$:

$$f_{\varphi, \theta}(n) = \sum_{r=0}^{+\infty} a_r(n) \theta^r,$$

les $a_r(n)$ étant les coefficients du développement de $n$ en base $\varphi$.

Posons également, pour $\alpha$ réel:

$$g_{\alpha, \varphi, \theta}(n) = \exp(2i\pi\alpha f_{\varphi, \theta}(n)).$$

Remarquons que $f_{\varphi, \theta}$ est $\varphi$-additive et que $g_{\alpha, \varphi, \theta}$ est $\varphi$-multiplicative de module 1.

**THÉORÈME 1.** Soit $\theta$ un réel $> 1$. Supposons que la suite $\varphi$ soit telle que

$$(i) \quad \mathcal{V}_{q_r}^{\lambda} \underset{r \to +\infty}{\longrightarrow} \lambda, \quad \lambda \text{ étant un réel } \ge 1,$$

(ii) il existe $C > 0$ tel que, pour tout $r \in \mathbb{N}^*$:

$$q_r/\lambda^r \ge C.$$

Alors, une condition nécessaire et suffisante pour que $\theta$ soit un nombre de Pisot dont tous les conjugués sont de module $< 1/\lambda$ est que la suite $(f_{\varphi,\theta}(n))_{n \in \mathbb{N}}$ ne soit pas équirépartie modulo 1.

**THÉORÈME 2.** Soit $\theta$ un réel $> 1$. Supposons que la suite $\varphi$ soit telle que

$$\mathcal{V}_{q_r}^{\lambda} \underset{r \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty.$$

Alors une condition nécessaire et suffisante pour que $\theta$ soit un entier naturel est que la suite $(f_{\varphi,\theta}(n))_{n \in \mathbb{N}}$ ne soit pas équirépartie modulo 1.

Remarque. Dans le théorème 1, si (i) est réalisée avec $\lambda = 1$, (ii) est réalisée avec $C = 2$.

## 2. Lemmes et démonstration des théorèmes

**LEMME 1.** Une application $g$, $\varphi$-multiplicative de module $\le 1$, $a$ une valeur moyenne nulle si et seulement si:

$$\pi_k(g) = \prod_{r=1}^{k} \left[ \frac{1}{q_r} \sum_{a=0}^{q_r-1} g(ap_{r-1}) \right] \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} 0.$$

Démonstration. Ce lemme est le corollaire de la proposition I.2 de [1]. Il se démontre en généralisant aux fonctions $\varphi$-multiplicatives la proposition 2 de [2].

**LEMME 2.** Soit $\varrho_1, \dots, \varrho_s$ des nombres de module 1. Posons:

$$\Delta_k = \varrho_1^k + \dots + \varrho_s^k.$$

Il existe une infinité d'indices $k$ tels que

$$|\Delta_k| \ge s/2.$$

Démonstration. Posons, pour tout $j \in \{1, \dots, s\}$, $\varrho_j = \exp(2i\pi\beta_j)$.

1er cas: $\beta_1, \dots, \beta_s$ sont rationnels. Alors il existe $m \in \mathbb{N}^*$ tel que $m\beta_1, \dots, m\beta_s$ soient entiers. Il en résulte que, si $m|k$, $\Delta_k = s$.

2ème cas: l'un au moins des nombres $\beta_1, \dots, \beta_s$ est irrationnel. Parmi ces $s$ nombres, on peut en trouver $t$ ($1 \le t \le s$) (disons $\beta_1, \dots, \beta_t$) tels que:

(a) $1, \beta_1, \dots, \beta_t$ soient rationnellement indépendants,

(b) pour tout entier $j$ satisfaisant à: $t+1 \le j \le s$:

$$\beta_j = a_{j1}\beta_1 + \dots + a_{jt}\beta_t + bj,$$

les nombres $a_{j1}, \dots, a_{jt}, b_j$ ($t+1 \le j \le s$) étant rationnels.

Soit $D$ le dénominateur commun des nombres:

$$a_{j1}, \dots, a_{jt}, b_j \quad (t+1 \le j \le s).$$

Pour $u \in \{1, \dots, t\}$ et $t+1 \le j \le s$ posons:

$$a_{ju} = a'_{ju} |D \quad \text{et} \quad b_j = b'_{j} |D$$

de sorte que les nombres $a'_{ju}$ et $b'_{j}$ sont entiers.

Posons:

$$M = \max_{t+1 \le j \le s} (|a'_{j1}| + \dots + |a'_{jt}| + |b'_{j}|).$$
D'après le théorème de Kronecker, quel que soit $\varepsilon > 0$, il existe une infinité d'entiers $k$ tels que:

$$ \|k\beta_j\| < \varepsilon/\max(D, M) \quad \text{pour} \quad 1 \le j' \le t. $$

Pour un tel $k$, on a:

$$ \|Dk\beta_j\| < \varepsilon \quad \text{pour} \quad 1 \le j' \le t $$

et

$$ \|Dk\beta_j\| < \frac{\varepsilon}{\max(D, M)} \{ |a'_{j1}| + \dots + |a'_{jt}| + |b'_{j1}| + \dots + |b'_{js}| \} \le \varepsilon \quad \text{pour} \quad t+1 \le j \le s. $$

Utilisant alors l'inégalité :

$$ |1 - e^{2i\pi\omega}| \le 2\pi\|\omega\|, $$

on déduit qu'il existe une infinité d'entiers $k$ pour lesquels :

$$ |s - \Delta_k| < 2\pi\varepsilon s. $$

Le lemme est démontré.

**LEMME 3.** Soit $\theta > 1$ un nombre de Pisot et soit $r \in \mathbb{N}^*$. Si $\theta^r$ est rationnel, $\theta$ est entier.

**Démonstration.** Ce lemme est évident.

**Démonstration du théorème 1.** Nous distinguerons 3 cas :

1. $\theta$ n'est pas un nombre de Pisot.

2. $\theta$ est un nombre de Pisot dont tous les conjugués (s'il en existe) sont de module $< 1/\lambda$.

3. $\theta$ est un nombre de Pisot dont un conjugué au moins est de module $\ge 1/\lambda$.

1er cas: On sait alors que $\prod_{k=0}^{\infty} |\cos(\pi h \theta^k)|$ diverge pour tout $h \in \mathbb{N}^*$ (voir [4]).

D'après le critère de Weyl et le lemme 1, nous devons montrer que, quel que soit $h \in \mathbb{N}^*$

$$ \prod_{r=1}^{k} \left[ \frac{1}{q_r} \sum_{a=0}^{q_{r-1}} g_{h, \varphi, \theta}(a p_{r-1}) \right] \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} 0. $$

Il est facile de voir que ceci équivaut à :

$$ \prod_{r=0}^{k} \frac{\sin(\pi q_{r+1} h \theta^r)}{h^{\theta^r} Z} \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} 0 \quad \text{quel que soit } h \in \mathbb{N}^*. $$

Fixons $h \in \mathbb{N}^*$; si $\|h\theta^r\| > \frac{1}{4}$ pour une infinité d'indices $r$, on a bien :

$$ \prod_{r=0}^{+\infty} \left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} h \theta^r)}{q_{r+1} \sin(\pi h \theta^r)} \right| = 0 $$

car ce produit contient une infinité de termes $\le \frac{1}{2\sin(\pi/4)}$.

Dans le cas contraire il existe $r_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que :

$$ r \ge r_0 \Rightarrow \|h\theta^r\| \le \frac{1}{4}. $$

Donc, si $r \ge r_0$, on a :

$$ \left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} h \theta^r)}{q_{r+1} \sin(\pi h \theta^r)} \right| \le \left| \frac{\sin(2\pi h \theta^r)}{2 \sin(\pi h \theta^r)} \right| = |\cos(h\pi\theta^r)|. $$

La divergence de $\prod_{k=0}^{+\infty} |\cos(\pi h \theta^k)|$ implique celle de

$$ \prod_{r=0}^{+\infty} \left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} h \theta^r)}{q_{r+1} \sin(\pi h \theta^r)} \right|. $$

La suite $(f_{\varphi,\theta}(n))_{n \in \mathbb{N}}$ est équirépartie modulo 1.

2ème cas: $\theta > 1$ est un nombre de Pisot dont tous les conjugués $\theta_1, \dots, \theta_m$ sont de module $< 1/\lambda$ (si $\theta$ n'a pas de conjugué, $\theta$ est un entier naturel et le résultat est trivial).

Posons $\mu = \max_{1 \le i \le m} |\theta_i|$. Il est évident que $\mu \in ]0, 1/\lambda[$.

Comme, pour tout $r \in \mathbb{N}^*$, $\theta^r + \theta_1^r + \dots + \theta_m^r$ est un entier relatif, on a, pour tout $r \in \mathbb{N}_1^*$

$$ (1) \qquad \|\theta^r\| \le m\mu^r. $$

Nous allons montrer que la fonction $\varphi$-multiplicative de module 1, $g_{1,\varphi,\theta}$ définie par :

$$ g_{1,\varphi,\theta}(n) = \exp(2i\pi f_{\varphi,\theta}(n)) $$

n'a pas une valeur moyenne nulle.

Le critère de Weyl permettra alors de conclure.

D'après le lemme 1, il suffit de vérifier que :

$$ \prod_{r=0}^{k} \left| \frac{1}{q_{r+1}} \sum_{a=0}^{q_{r+1}-1} \exp(2i\pi a \theta^r) \right| $$

ne tend pas vers 0 lorsque $k \to +\infty$.
Ceci revient à prouver que:

$$ \prod_{r=0}^{k} \left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} \theta^r)}{q_{r+1} \sin(\pi \theta^r)} \right| $$

ne tend pas vers 0 lorsque $k$ tend vers $+\infty$.

(Remarquons que chaque terme du produit est défini et non nul car $\theta$ est supposé non entier naturel — voir lemme 3.)

Il suffit donc de montrer la convergence de la série:

$$ \sum_{r=0}^{+\infty} \left[ 1 - \left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} \theta^r)}{q_{r+1} \sin(\pi \theta^r)} \right| \right] $$

Remarquons que, d'après (1),

$$ q_{r+1} \|\theta^r\| \xrightarrow[r \to +\infty) 0. $$

On a, pour $r \ge r_1$,

$$ (2) \qquad 1 \ge \left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} \theta^r)}{q_{r+1} \sin(\pi \theta^r)} \right| \ge \left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} m \mu^r)}{q_{r+1} \sin(\pi m \mu^r)} \right| $$

d'après (1) et la décroissance de la fonction

$$ \psi_q(x) = \left| \frac{\sin(\pi q x)}{q \sin(\pi x)} \right| \quad \text{sur} \quad ]0, \frac{1}{2q}]. $$

On est ramené à prouver la convergence de:

$$ (3) \qquad \sum_{r=r_1}^{+\infty} \left[ 1 - \left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} m \mu^r)}{q_{r+1} \sin(\pi m \mu^r)} \right| \right] $$

Observons que:

$$ \frac{\sin(\pi q_{r+1} m \mu^r)}{q_{r+1}} = \pi m \mu^r + O(q_{r+1}^2 \mu^{3r}) $$

et

$$ \sin(\pi m \mu^r) = \pi m \mu^r + O(\mu^{3r}), $$

de sorte que:

$$ 1 - \left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} m \mu^r)}{q_{r+1} \sin(\pi m \mu^r)} \right| = O(q_{r+1}^2 \mu^{2r}). $$

L'hypothèse faite sur les $q_r$ implique la convergence de $\sum_{r=0}^{+\infty} q_{r+1}^2 \mu^{2r}$ donc celle de (3).

3ème cas: On suppose ici que $\lambda$ est $> 1$ et que $\theta > 1$ est un nombre de Pisot dont un conjugué au moins est de module $\ge 1/\lambda$. Nous posons $\mu = \max_{1 \le i \le m} |\theta_i|$ comme précédemment. Rangeons les conjugués de manière que:

$$ |\theta_1| = \dots = |\theta_s| = \mu > |\theta_{s+1}| \ge \dots \ge |\theta_m|. $$

Le lemme 2 permet de montrer qu'il existe une infinité $\mathcal{R}$ d'indices $r$ tels que:

$$ |\theta_1^r + \dots + \theta_m^r| \ge \frac{s}{4} \mu^r \ge \frac{\mu^r}{4}. $$

En effet

$$ |\theta_{s+1}^r + \dots + \theta_m^r| = o(\mu^r) \quad \text{lorsque } r \to +\infty. $$

Soit alors $h \in \mathcal{N}^*$. On doit montrer que:

$$ \prod_{r=0}^{k} \left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} h \theta^r)}{q_{r+1} \sin(\pi h \theta^r)} \right| \xrightarrow[r \to +\infty) 0. $$

On constate que $\|h\theta^r\| \xrightarrow[r \to +\infty) 0$ et que, pour une infinité $\mathcal{R}_1$ d'indices $r$:

$$ \|h\theta^r\| > h\mu^r/4. $$

Donc, pour une infinité d'indices $r$,

$$ \left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} h \theta^r)}{q_{r+1} \sin(\pi h \theta^r)} \right| \le \frac{1}{q_{r+1} \sin\left(\frac{\pi h \mu^r}{4}\right)} \le \frac{2}{q_{r+1} h \mu^r} \quad (\text{dès que } h\mu^r \le 2). $$

$$ \text{Si } \mu > 1/\lambda, $$

$$ \frac{1}{q_{r+1} \mu^r} \xrightarrow[r \to +\infty) 0. $$

Le résultat est alors évident.

$$ \text{Si } \mu = 1/\lambda, $$

$$ q_{r+1} \|h\theta^r\| \ge \frac{h}{4} q_{r+1} \mu^r \ge \frac{Ch}{4} $$

pour une infinité $\mathcal{R}_1$ d'indices $r$ (d'après l'hypothèse 2 du théorème). Donc, pour une infinité d'indices $r$,

$$ \left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} \|h\theta^r\|)}{\pi q_{r+1} \|h\theta^r\|} \right| \le T < 1 \quad \text{où} \quad T = \sup_{x \ge hC/4} \left| \frac{\sin \pi x}{\pi x} \right| $$
Comme, $\sin(\pi h \theta^r) \sim \pi \|h \theta^r\|$, on a, pour une infinité $\mathfrak{R}_2$ d'indices $r$:

$r \to +\infty$

$$
\left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} h \theta^r)}{q_{r+1} \sin(\pi h \theta^r)} \right| \le \frac{T+1}{2} < 1.
$$

Le théorème est démontré.

Démonstration du théorème 2. Si $\theta$ est entier naturel, $(f_{\varphi,\theta}(n))_{n\in\mathbb{N}}$
n'est pas équirépartie modulo 1. Dans le cas contraire,

1er cas: $\theta$ n'est pas un nombre de Pisot. La démonstration du 1er
cas du théorème 1 peut être reconduite car on n'y utilise aucune hypo-
thèse sur $\varphi$.

2ème cas: $\theta$ est un nombre de Pisot ayant au moins un conjugué.
Posons

$$
\mu = \max_{1 \le i \le m} |\theta_i| \quad (\theta_1, \dots, \theta_m \text{ sont les conjugués de } \theta).
$$

On a, quel que soit $h \in \mathbb{N}^*$,

$$
\|h\theta^r\| \ge \frac{h\mu^r}{4} \quad \text{pour une infinit\e} \ \text{d'indices } r.
$$

Pour un tel indice,

$$
\begin{align*}
\left| \frac{\sin(\pi q_{r+1} h \theta^r)}{q_{r+1} \sin(\pi h \theta^r)} \right| &\le \frac{1}{q_{r+1} \sin(\pi \|h\theta^r\|)} \\
&\le \frac{1}{q_{r+1} \sin(\pi h \mu^r / 4)} \le \frac{2}{q_{r+1} h \mu^r} \quad \text{dès que } h\mu^r \le 2.
\end{align*}
$$

Il est clair que $q_{r+1} \mu^r \xrightarrow{r \to +\infty} +\infty$.

Le théorème est démontré.

3. Remarques

1. Dans la démonstration du théorème 1, on a prouvé que, si $\theta$ n'était pas un nombre de Pisot, la suite $(f_{\varphi,\theta}(n))_{n\in\mathbb{N}}$ était équirépartie modulo 1 sans faire d'hypothèse sur $\varphi$.

2. En modifiant légèrement la démonstration du théorème 1, on
peut démontrer avec l'hypothèse plus faible:

$$
\limsup_r \sqrt[r]{q_r} = \lambda \ge 1,
$$

que:

Si $\theta > 1$ est un nombre de Pisot dont tous les conjugués sont de
module $< 1/\lambda$, la suite $(f_{\varphi,\theta}(n))_{n\in\mathbb{N}}$ n'est pas équirépartie modulo 1.

Si $\theta > 1$ est un nombre de Pisot ayant un conjugué $\theta_1$ de module
$\ge 1/\lambda$ et si ses autres conjugués $\theta_2, \dots, \theta_m$ satisfont à: $|\theta_i| < |\theta_1|$ quel
que soit $i \in \{2, \dots, m\}$, la suite $(f_{\varphi,\theta}(n))_{n\in\mathbb{N}}$ est équirépartie modulo 1.

Références

[1] J. Coquet, *Thèse de troisième cycle*, Orsay 1975.

[2] H. Delange, *Sur les fonctions q-additives ou q-multiplicatives*, Acta Arith. 21 (1972), p. 285-298.

[3] M. Mendès-France, *Deux remarques concernant l'équirépartition des suites*, ibid., 14 (1968), p. 163-167.

[4] Ch. Pisot, *La répartition modulo 1 et les nombres algébriques*, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Série 2, 7 (1938), p. 205-248.

Reçu le 5. 6. 1975
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