# SUR LE SPECTRE D'UN
OPÉRATEUR QUASILINÉAIRE
ELLIPTIQUE “DÉGÉNÉRÉ”

A. ANANE, A. BENAZZI and O. CHAKRONE
UNIVERSITÉ MOHAMED I, MAROC

## Abstract

We study an eigenvalue problem involving an operator $A_p^0$ that generalizes the pseudo-Laplacian $\Delta_p^0$ and the $p$-Laplacian. In particular, we will prove the isolation and simplicity of the first eigenvalue. We will treat with more details the particular case of $\Delta_p^0$ on a domain $\Omega$ which is a cube.
# 1. Introduction

Nous nous intéressons à l'étude des valeurs propres $\lambda$ et des fonctions propres associées u solutions du problème :

$$ (VP) \left\{ \begin{array}{ll} A_p^0 u = - \sum_{i,k,l=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_l} \left[ \left( \sum_{r,s=1}^{N} a_{rs}^i(x) \frac{\partial u}{\partial x_r} \frac{\partial u}{\partial x_s} \right)^{\frac{p-2}{2}} a_k^i(x) \frac{\partial u}{\partial x_k} \right] & \quad \text{dans } \Omega \\ \\ = \lambda m(x) |u|^{p-2} u & \quad \text{dans } \Omega \\ \\ u = 0 & \quad \text{sur } \partial \Omega \end{array} \right. $$

où $\Omega$ est un domaine borné de $\mathbb{R}^N$, $1 < p < \infty$, $m$ est une fonction poids et les $a_{kl}^i \in L^\infty(\Omega)$ sont des fonctions données. L'opérateur $A_p^0$ est une généralisation du $p$-Laplacien $\Delta_p$ et du pseudo-Laplacien

$$ \Delta_p^0 u = \sum_{i=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \left| \frac{\partial u}{\partial x_i} \right|^{p-2} \frac{\partial u}{\partial x_i} \right) $$

Nous montrons l'existence d'une suite de valeurs propres qui tend vers l'infini, l'isolation et la simplicité de la première valeur propre.

Des travaux analogues ont été fait par Anane [1] pour l'opérateur $\Delta_p$ en 1987 contrairement au pseudo-Laplacien qui n'a jamais fait l'objet d'une telle étude en particulier, et l'opérateur $A_p^0$ de manière générale. Signalons également l'amélioration apportée par Linqdvist sur le domaine pour l'étude de la simplicité de la première valeur propre de $\Delta_p$.

# 2. Préliminaires

## 2.1. Définition de l'opérateur $A_p^0$

Nous définissons l'opérateur $A_p^0$ sur $W_0^{1,p}(\Omega)$ par :

$$ A_p^0 u = - \sum_{i,k,l=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_l} \left[ \left( \sum_{r,s=1}^{N} a_{rs}^i(x) \frac{\partial u}{\partial x_r} \frac{\partial u}{\partial x_s} \right)^{\frac{p-2}{2}} a_k^i(x) \frac{\partial u}{\partial x_k} \right] $$
où les $a_{kl}^i$ sont des fonctions $L^\infty(\Omega)$ telles que :

$$a_{kl}^{i}(x) = a_{lk}^{i}(x), \quad \text{pour } i, k, l = 1, \dots, N$$

de sorte que pour $i = 1, \dots, N$ la forme bilinéaire

$$a_i(\xi, \xi') = \sum_{k,l}^{N} a_{kl}^{i}(x) \xi_k \cdot \xi_l', \quad \xi, \xi' \in \mathbf{R}$$

soit symétrique.

Il est clair que l'opérateur $A_p^0$ est bien défini sur $W_0^{1,p}(\Omega)$ à valeurs dans $W^{-1,p'}(\Omega)$.

Nous supposons dans toute la suite que pour tout $i = 1, \dots, N$

$$a_i(\xi, \xi) \ge |\xi_i|^2, \quad \text{pour tout } \xi \in \mathbf{R}^N$$

où $\xi_i$ est la $i$-ème composante de $\xi$.

Nous noterons pour tout $i = 1, \dots, N$, $a_{kl}^i(x) := a_{kl}^i$ et $a_i(\xi, \xi) := |\xi_i|^2$.

$|\cdot|_i$ est une semi-norme sur $\mathbf{R}^N$ ainsi pour tout $u$ et tout $v$ dans $W^{-1,p'}(\Omega)$

$$\langle A_p^0 u, v \rangle = \sum_{i,k,l=1}^{N} \int_{\Omega} |\nabla u|_i^{p-2} a_{kl}^i \frac{\partial u}{\partial x_k} \frac{\partial v}{\partial x_l} dx$$

Quand $a_{kl}^i = \delta_{i,k,l}$, $A_p^0 = \Delta_p^0$, quand $a_{kl}^i = \frac{1}{N}\delta_{k,l}$, $A_p^0 = \Delta_p$, et quand $a_{kl}^i = \frac{1}{N}a_{kl}$, $A_p^0 = A_p$, $\delta$ réfère au symbole de Kronecker.

**Remarque 1.** Nous pouvons facilement vérifier que

$$[ (\langle A_p^0 u, v \rangle)^{1/p} = \left( \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla u|_i^p dx \right)^{1/p} ]$$

est une norme équivalente à la norme $W_0^{1,p}(\Omega)$. Nous noterons cette norme par $||\cdot||_{A_p}$ et que $(W_0^{1,p}(\Omega), ||\cdot||)$ est convexe uniformément.
## 2.2. Propriétés élémentaires de $\mathcal{A}_p^0$

i) L'opérateur $\mathcal{A}_p^0$ est un homéomorphisme de $W_0^{1,p}(\Omega)$ sur $W^{-1,p'}(\Omega)$.

ii) $\mathcal{A}_p^0$ est strictement monotone dans le sens suivant :

Pour $u \neq v \in W_0^{1,p}(\Omega)$, $\langle \mathcal{A}_p^0 u - \mathcal{A}_p^0 v, u - v \rangle$ est strictement positif.

iii) $\mathcal{A}_p^0$ est coercif dans le sens suivant :

$$ \lim_{\|u\|_{\mathcal{A}_p} \to +\infty} \frac{\langle \mathcal{A}_p^0 u, u \rangle}{\|u\|_{\mathcal{A}_p}} = +\infty $$

La démonstration de ces résultats est une adaptation des méthodes utilisées pour le traitement des opérateurs variationnels (cf. [5])

iv) Considérons la fonctionnelle suivante : $\mathcal{A}_p : W_0^{1,p}(\Omega) \to \mathbf{R}$ définie par

$$ \mathcal{A}_p(u) = \frac{1}{p} \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla u|_i^p dx $$

Alors $\mathcal{A}_p^0(u)$ n'est autre que la dérivée au sens de Fréchet de $\mathcal{A}_p$.

$$ \mathcal{A}'_p(u) = \mathcal{A}_p^0(u) $$

donc $\mathcal{A}_p^0$ dérive d'un potentiel.

# 3. Existence d'une suite de valeurs propres qui tend vers l'infini

Dans cette section nous montrons qu'il existe une suite de valeurs propres qui tend vers l'infini par la méthode de Ljusternik-Schnirelman et en utilisant le théorème fondamental de multiplicité.

## 3.1. Préliminaires

Définissons la fonctionnelle $\Phi$ de la manière suivante :

$$ \Phi(u) = [\mathcal{A}_p(u)]^2 - B(u) $$
où

$$B(u) = \frac{1}{p} \int_{\Omega} m |u|^p dx$$

Il est clair que $A_p$ et $B$ sont de classe $C^1$ sur $W_0^{1,p}(\Omega)$. Leurs dérivées respectives en un point $u \in W_0^{1,p}(\Omega)$ sont

$$A'_{p}(u) = A_{p}^{0}(u)$$

et

$$B'(u) = m|u|^{p-2}u$$

et $\Phi$ est paire et de classe $C^1$ sur $W_0^{1,p}(\Omega)$.

Nous supposons que

$$(3.1) \qquad \text{mes} (\{x \in \Omega; m(x) > 0\}) \neq 0$$

Et nous nous intéressons aux solutions faibles du problème (V.P.) défini par :

$$(V.P.) \quad \begin{cases} (\lambda, u) \in \mathbf{R}_+ \times W_0^{1,p}(\Omega) \\ \sum_{i,k,l=1}^{N} \int_{\Omega} |\nabla u|^2 a_{kl}^i(x) \frac{\partial u}{\partial x_k} \frac{\partial v}{\partial x_l} dx = \lambda \int_{\Omega} m |u|^{p-2} uv dx \\ \text{pour tout } v \text{ appartenant à } W_0^{1,p}(\Omega) \end{cases}$$

**Definition 1.** Nous dirons que $\lambda$ est une valeur propre, s'il existe une fonction u non nulle de $W_0^{1,p}(\Omega)$ telle que le couple $(\lambda, u)$ soit une solution de (V. P.). u sera dite une fonction propre associée à la valeur propre $\lambda$.

## 3.2. Existence d'une suite de valeurs propres qui tend vers l'infini

Sous l'hypothèse 3.1, nous montrons qu'il existe une suite de valeurs propres qui tend vers l'infini.

La démonstration est analogue à celle donnée par Anane dans [1]. Nous transformons le problème aux valeurs propres et fonctions propres en un problème aux points critiques et valeurs critiques.

Nous vérifions facilement que si $u \neq 0$ est un point critique de $\phi$ et $c$ est la valeur critique associée, alors $\lambda = \frac{1}{2\sqrt{-c}}$ est une valeur propre et $u$ est une fonction propre associée du problème (V.P.) et vice-versa.
Maintenant, montrons l'existence de ces points critiques. Pour cela posons

$$ (3.2) \qquad c_k = \inf_{K \in A_k} \max_{v \in K} \Phi(v) $$

où

$$ A_k = \{ K \text{ compact symétrique de } W_0^{1,p}(\Omega) \setminus \{0\}; \delta(K) \ge k \} \quad k \ge 1 $$

$\delta$ étant le genre de Krasnosel'skii.

**Lemme 1.** Pour $n \ge 1$, $c_n$ défini par 2 est une valeur critique de $\Phi$, de plus nous avons

$$ -\infty < \inf_{W_0^{1,p}(\Omega)} \Phi = c_1 \le c_2 \le \dots \le c_n < 0 = \Phi(0) = 0 $$

**Preuve.**

La suite $(A_k)_{k \ge 1}$ est décroissante donc

$$ -\infty \le c_1 \le c_2 \le c_k \le c_n $$

$\Phi$ est paire, de classe $C^1$. Pour démontrer ce lemme, nous allons appliquer le théorème fondamental de multiplicité. Il suffit donc que $\Phi$ vérifie les conditions suivantes :

1. $\Phi$ est minorée.

2. $\Phi$ vérifie la condition de Palais-Smale.

3. Pour tout $k \ge 1$, il existe un compact $K$ symétrique de $W_0^{-1,p}(\Omega)$ tel que

$$ \delta(K) = k \text{ et } \sup_k \Phi(v) < 0 $$

**Verification**

1. Nous avons

$$ \begin{align*} pB(u) = \int_{\Omega} m|u|^p dx &\le ||m||_{\infty} \int_{\Omega} |u|^p dx \\ &\le c_1 ||m||_{\infty} \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla u_i|^p dx \\ &\le c_2 ||m||_{\infty} \int_{\Omega} |\nabla u|^p dx \\ &\le c_2 ||m||_{\infty} pA_p(u) \end{align*} $$

où $c_1$ et $c_2$ sont des constantes.
Ceci grâce à l'inégalité de Sobolev et le fait que la norme $||.||_{A_p}$ est équivalente à la norme $||.||_{1,p}$ sur $W_0^{1,p}(\Omega)$.

Nous avons

$$ 
\begin{aligned}
p\Phi(u) &= (A_p(u))^2 - pB(v) \\
&\geq p(A_p(u))^2 - c_3||m||_{\infty}A_p(u)
\end{aligned}
$$

d'où

$$ (A_p(u)^2) - B(v) \geq A_p(u) \left[ A_p(u) - \frac{1}{p} c_3 ||m||_{\infty} \right] $$

or $A_p$ est coercive et minorée et il en est de même pour $\Phi$, donc

$$ \inf_{W_0^{1,p}(\Omega)} \Phi(u) > -\infty $$

**2. Condition (P. S.)** Soit $(u_n)_n$ une suite dans $W_0^{1,p}(\Omega)$ telle que $\Phi(u_n)$ est bornée et $\Phi'(u_n) \to 0$ dans $W^{-1,p'}(\Omega)$. $(u_n)_n$ est bornée car $\Phi$ est coercive (voir 1.).

Donc, il existe une sous suite notée aussi $(u_n)_n$ qui converge faiblement vers $u$ dans $W_0^{1,p}(\Omega)$. Donc fortement dans $L^p(\Omega)$ et $||u_n||_{A_p}$ converge vers $\ell \ge 0$.

Si $\ell = 0$, i.e. $u_n \to 0$ dans $W_0^{1,p}(\Omega)$, (P.S.) est satisfaite.

Si $\ell > 0$, il existe $n_0$ tel que $||u_n||_{A_p} \neq 0$ pour $n \ge n_0$.

$$ 
\begin{aligned}
\Phi'(u_n) &= 2A_p'(u)A_p(u) - B'(u_n) \\
A'(u_n) &= \frac{p \frac{\Phi'(u_n)+m|u_n|^{p-1}-u_n}{||u||_{A_p}}}{2} \\
A_p^0(u_n) &= \frac{p \frac{\Phi'(u_n)+m|u_n|^{p-2}-u_n}{||u||_{A_p}}}{2}
\end{aligned}
$$

d'où

$$ u_n = (A_p^0)^{-1} \frac{\Phi'(u_n) + m|u_n|^{p-2} - u_n}{||u||_{A_p}} $$

or $\frac{p \Phi'(u_n) + m|u_n|^{p-2} - u_n}{2||u||_{A_p}}$ converge fortement dans $W^{-1,p'}(\Omega)$. La réciproque $(A_p^0)^{-1}$ étant continue. Donc $u_n$ converge fortement vers $u$ dans $W_0^{1,p}(\Omega)$.

**3.** Soit $n$ un entier tel que $n \ge 1$ et soient $u_1, \dots, u_n$ n fonctions définies sur $\Omega$ telles que :

$$ \mathrm{supp}(u_i) \cap \mathrm{supp}(u_j) = \emptyset $$
et

$$ \int_{\Omega} m|u_i|^p dx > 0 \text{ pour tout } i \in \{1, \dots, n\} $$

$u_i$ peut être obtenue par approximation dans $L^2(\Omega)$ de la fonction caractéristique de l'ensemble

$$ B_i \cap \{x \in \Omega; m(x) > 0\} $$

où $(B_i)_{1 \le i \le n}$ sont des boules de $\Omega$ disjointes deux à deux et telles que :

$$ \text{mes} (B_i \cap \{x \in \Omega; m(x) > 0\}) \neq 0 $$

Nous normaliserons les fonctions $u_i$ de sorte que $B(u_i) = 1$. Soit $F_n$ le sous espace de $W_0^{1,p}(\Omega)$ engendré par les fonctions $u_i$.

$$ \text{Pour tout } v \in F_n, v = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i u_i $$

$$ B(v) = \sum_{i=1}^{n} |\alpha_i| B(u_i) = \sum_{i=1}^{n} |\alpha_i|^p $$

Ainsi l'application $v \mapsto (B(v))^{1/p}$ est une norme sur $F_n$.

Comme $F_n$ est un espace de dimension finie et que toutes les normes sont équivalentes sur un espace de dimension finie, il existe $c$ tel que

$$ cA_p(v) \le B(v) \le \frac{1}{c}A_p(v) \text{ pour tout } v \in F_n $$

Soit le compact

$$ K = \{v \in F_n; \frac{c^2}{4} \le B(v) \le \frac{c^2}{3}\} $$

**Montrons que** $\sup_{v \in K} \Phi(v) < 0$ :

Soit $v \in K$, nous avons

$$ \Phi(v) = (A_p(v))^2 - B(v) \le \frac{1}{c^2}(B(v))^2 - B(v) $$

Soit $f: \left[\frac{c^2}{4}, \frac{c^2}{3}\right] \to \mathbf{R}$ définie par

$$ f(t) = \frac{t^2}{c^2} - t $$
donc

$$f'(t) = \frac{2t}{c^2} - 1$$

et par suite

$$f'(t) = 0 \iff t = \frac{c^2}{2}$$

donc sur $[\frac{c^2}{4}, \frac{c^2}{3}]$ $f$ est décroissante. Comme

$$f(t) \le f\left(\frac{c^2}{4}\right) = -\frac{3c^2}{16}$$

Il s'en suit que pour tout $v \in K$

$$\Phi(v) \le f(t) \le -\frac{3c^2}{4} < 0$$

D'autre part, comme $F_n$ est isomorphe à $\mathbf{R}^n$, nous identifions $K$ à une couronne $K'$ de $\mathbf{R}^n$ telle que $S^{n-1} \subset K' \subset \mathbf{R}^n \setminus \{0\}$ où $S^{n-1}$ est la sphère unité de $\mathbf{R}^n$. Nous avons alors

$$\delta(K) = n$$

d'où le lemme. $\square$

**Lemme 2.**

Nous avons $\lim_{n\to\infty} c_n = 0$ où $c_n$ est défini par 2.

**Preuve.**

Nous montrons que pour tout $\varepsilon$ il existe $n_\varepsilon \ge 1$ tel que pour tout $k \in A_{n_\varepsilon}$ avec $k \subset E$

$$\sup_{v \in k} \Phi(v) \ge -\varepsilon$$

où

$$E = \{v \in W_0^{1,p}(\Omega); \Phi(v) \le 0\}$$

Nous aurons le résultat car $\Phi$ est coercive et $E$ est borné dans $W_0^{1,p}(\Omega)$ et en utilisant le fait que $I: W_0^{1,p}(\Omega) \to L^p(\Omega)$ est compacte, $I$ est l'injection canonique.

Nous avons pour tout $\eta > 0$, il existe un espace $F_\eta$ de $L^p(\Omega)$ de dimension finie et une application $I_\eta: E \to F_\eta$ continue et telle que

$$\sup_{v \in E} ||v - I_\eta(v)||_p \le \eta$$
Posons

$$
\tilde{I}_{\eta}(v) = \frac{1}{2} (I_{\eta}(v) - I_{\eta}(-v))
$$

Nous vérifions facilement que pour tout $v \in E$, $\tilde{I}_{\eta}: E \to F_{\eta}$ est bien
définie (car $E$ est symétrique) impaire continue et satisfait

$$
\sup_{v \in E} ||v - I_{\eta}(v)||_p \leq \eta
$$

Étant donné maintenant $\varepsilon > 0$ puisque $E$ est relativement compacte dans $L^p(\Omega)$, il résulte de cette dernière inégalité qu'il existe $n_\varepsilon > 0$ tel que:

$$
|B(v) - B(\tilde{I}_{\eta_{\varepsilon}}(v))| < \frac{\varepsilon}{2}
$$

pour tout $v \in E$. Soit $\delta_{\varepsilon} > 0$ tel que $B(v) \le \frac{\varepsilon}{2}$ pour $||v-x||_p \le \delta_{\varepsilon}$.
Donc pour tout $v \in E$ avec

$$
||\tilde{I}_{\eta}(v)||_p \leq \delta_{\varepsilon}
$$

Nous avons

$$
B(v) \leq ||B(v) - B(\tilde{I}_{\eta_{\epsilon}}(v))|_{p} + B(\tilde{I}_{\eta_{\epsilon}}(v)) < \epsilon
$$

Ce qui implique que pour tout compact symétrique $k$ avec

$$
k \subset E \cap \{v \in W_0^{1,p}(\Omega) ; B(v) \geq \varepsilon\}
$$

Nous avons

$$
\tilde{I}_{\eta_{\epsilon}}(k) \subset \{v \in F_{\eta_{\epsilon}}; ||v - ||_{p} \geq \delta_{\epsilon}\}
$$

puisque $\tilde{I}_{\eta_{\epsilon}}(k)$ est symétrique et compact dans $L^p(\Omega)$, il découle de
cette dernière inclusion que

$$
\delta^0(\tilde{I}_{\eta_{\epsilon}}(k)) \leq \dim(F_{\eta_{\epsilon}})
$$

où $\delta^0$ est le genre dans $L^p(\Omega)$ d'une partie compacte symétrique $K' \subset L^p(\Omega)$. Finalement, puisque l'applications $\tilde{I}_{\eta_\epsilon}$ est impaire et continue, il résulte de la définition de $\delta$ et $\delta^0$ que

$$
\delta(k) \leq \delta^0(\tilde{I}_{\eta_{\epsilon}}(k)) \leq \dim(F_{\eta_{\epsilon}})
$$
où $\delta^0$ est le genre dans $L^p(\Omega)$ d'une partie compacte symétrique $K' \subset L^p(\Omega)$. Finalement, puisque l'applications $\tilde{I}_{\eta_\epsilon}$ est impaire et continue, il résulte de la définition de $\delta$ et $\delta^0$ que

$$ \delta(k) \leq \delta^0(\tilde{I}_{\eta_{\epsilon}}(k)) \leq \dim(F_{\eta_{\epsilon}}) $$

Donc pour tout compact symétrique $K \subset E$ tel que

$$ \delta(k) \geq \dim(F_{\eta_{\epsilon}}) + 1 $$

Il existe $v_0 \in k$ tel que

$$ \inf_{v \in k} B(v) \leq B(v_0) < \epsilon $$

et par suite, puisque $\Phi(v) \geq -B(v)$ nous avons

$$ \sup_{v \in k} \Phi(v) \geq \inf_{v \in k} B(v) > -\epsilon $$

d'où le résultat.

**Théorème 3.**

Le problème (V. P.) admet une infinité de valeurs propres positives $(\lambda_n)$ telle que

$$ \lim_{n \to \infty} \lambda_n = +\infty $$

**Preuve.**

Nous avons $\lambda_n = \frac{1}{2\sqrt{-c_n}}$, d'après le lemme précédent nous avons le résultat. $\square$

**Remarque 2.**

1. Si nous remplaçons $m$ par $-m$ dans (V.P.) et que $-m$ satisfait

$$ mes(\{x \in \Omega; -m(x) > 0\}) \neq 0 $$

le problème (V.P.) admet une suite $(\lambda_{-n})_n$ de valeurs propres négatives, avec $\lim_{n \to \infty} \lambda_{-n} = -\infty$.
2. Soit $(\lambda_n)_n$ la suite de valeurs propres donnée par le théorème précédent, c-à-d $\lambda_n = 1/2\sqrt{-c_n}$ où $c_n$ est défini par (2).

Nous avons [4].

$$ \lambda_n = \inf_{k \in A_n} \left( \sup \left\{ \mathcal{A}_p(v); v \in k \text{ et } B(v) = 1 \right\} \right) $$

En particulier

$$ \lambda_1 = \inf \left\{ \mathcal{A}_p(v); v \in W_0^{1,p}(\Omega) \text{ et } B(v) = 1 \right\} $$

où $\lambda_1$ est la première valeur propre de (V.P.). Elle correspond à la valeur critique $c_1$. En effet, soit $\lambda \ge 0$ une valeur propre et soit $u$ une fonction propre associée à $\lambda$ telle que $B(u) = 1$. Donc $u$ vérifie en particulier

$$ \mathcal{A}_p(u) - \lambda B(u) = 0 $$

donc $\lambda = \mathcal{A}_p(u)$, or $\mathcal{A}_p(u) > 0$ car $u \neq 0$ donc $\lambda > 0$ (en particulier $\lambda_1 > 0$) donc $\lambda \ge \lambda_1$ par définition de $\lambda_1$.

## 4. Simplicité de la première valeur propre

Dans cette section, nous montrons que la première valeur propre $\lambda_1$ est simple et que toute fonction propre associée à $\lambda_1$ garde un signe constant.

### Théorème 4.

On a :

i) $\lambda_1$ est une valeur propre du problème (V.P.).

ii) $u \neq 0$ est une fonction propre associée à $\lambda_1$ si et seulement si :

$$ \mathcal{A}_p(u) - \lambda_1 B(u) = 0 = \inf_{v \in W_0^{1,p}(\Omega)} (\mathcal{A}_p(v) - \lambda_1 B(v)) $$

iii) Toute fonction propre associée à $\lambda_1$ garde un signe constant. (c-à-d $u > 0$ ou bien $u < 0$ dans $\Omega$.)
**Preuve.**

L'assertion i) est déjà établie (Voir au dessus).

Pour ii), puisque $\mathcal{A}_p$ est f.s.c. et coercive, $B$ est faiblement continue dans $W_0^{1,p}(\Omega)$, l'infimum dans la définition de $\lambda_1$ est atteint par un élément $u \neq 0$. En tenant compte de la $p$-homogéinité de $\mathcal{A}_p$ et $B$ et de la définition de $\lambda_1$ nous avons :

$$ \mathcal{A}_p(u) - \lambda_1 B(u) = 0 = \inf_{v \in W_0^{1,p}(\Omega)} (\mathcal{A}_p(v) - \lambda_1 B(v)) $$

donc

$$ \mathcal{A}'_p(u) = \lambda_1 B'(u) $$

et par suite $u$ est une fonction propre associée à $\lambda_1$.

iii) Soit $u$ une fonction propre associée à $\lambda_1$. Nous avons par définition $u^+ \neq 0$ ou $u^- \neq 0$. Supposons $u^+ \neq 0^1$. Posons $v = u^+$ dans (V.P.), nous obtenons

$$ \mathcal{A}_p(u^+) - \lambda_1 B(u^+) = 0 $$

donc d'après (3) $u^+$ est une fonction propre, d'après le principe du maximum [3] $u^+ > 0$ sur $\Omega$ et par suite $u^+ = u$. $\square$

**Théorème 5.**

Supposons que l'hypothèse de régularité.

(4.1) Toute solution du problème (VP) est de classe $C^1(\Omega)$

est satisfaite, alors :

$\lambda_1$ est une valeur propre simple de $\mathcal{A}_p^0$.

c-à-d si $u$ et $v$ sont deux fonctions propres associées à $\lambda_1$ alors il existe un réel $\alpha$ tel que $u = \alpha v$

**Preuve.**

Soient $u$ et $v$ deux fonctions propres positives associées à $\lambda_1$. Nous avons $u > 0$ et $v > 0$ (Voir principe du maximum plus haut). De même $||u||_\infty < +\infty$ et $||v||_\infty < +\infty$ (Voir estimation $L^\infty$ au chapitre 1). Soit $\varepsilon > 0$, posons

$$ u_{\varepsilon} = u + \varepsilon \quad v_{\varepsilon} = v + \varepsilon $$

$$ \eta(u, v) = \frac{(u + \varepsilon)^p - (v + \varepsilon)^p}{(u + \varepsilon)^{p-1}} $$
$$ \eta(v, u) = \frac{(v + \varepsilon)^p - (u + \varepsilon)^p}{(v + \varepsilon)^{p-1}} $$

**Lemme 6.**

La fonction $\eta(u, v)$ est à valeurs dans $W_0^{1,p}(\Omega)$.

**Preuve.**

Soient $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ deux suites dans $C_0^\infty$ telles que :

$$ u_n \to u \text{ et } v_n \to v \text{ pour la norme de } W_0^{1,p}(\Omega) $$

et

$$ \forall n \quad 0 \le u_n, v_n \le M < +\infty $$

donc

$$ \eta_n = \frac{(u_n + \varepsilon)^p - (v_n + \varepsilon)^p}{(u_n + \varepsilon)^{p-1}} \in W_0^{1,p}(\Omega) $$

La suite $(||\eta_n||_{1,p})_n$ est bornée dans $W_0^{1,p}(\Omega)$, donc une sous suite notée aussi $(\eta_n)_n$ converge faiblement vers $\omega$ dans $W_0^{1,p}(\Omega)$, donc fortement dans $L^p(\Omega)$ et presque partout vers $\omega$ dans $\Omega$. D'autre part $(\eta_n)_n$ converge presque partout vers $\eta$ dans $\Omega$, donc $\omega = \eta$ et par suite $\eta \in W_0^{1,p}(\Omega)$.

**Suite de la preuve du théorème :**

Les couples $(\lambda_1, u)$ et $(\lambda_1, v)$ sont solutions du problème (V.P.),
donc en particulier ils vérifient :

$$ \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla u|_{i}^{p-2} a_{i}(\nabla u, \nabla \eta(u, v)) \, dx = \lambda_{1} \int_{\Omega} m(x) u^{p-1} \eta(u, v) \, dx $$

et

$$ \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla v|_{i}^{p-2} a_{i}(\nabla v, \nabla \eta(v, u)) \, dx = \lambda_{1} \int_{\Omega} m(x) v^{p-1} \eta(v, u) \, dx $$

Nous avons

$$ \eta(u, v) = \frac{u_{\varepsilon}^{p} - v_{\varepsilon}^{p}}{u_{\varepsilon-1}^{p}} = u_{\varepsilon} - \left(\frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}}\right)^{p-1} v_{\varepsilon} $$

donc

$$ \nabla \eta(u, v) = \left\{ 1 + (p-1) \left( \frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}} \right)^{p} \right\} \nabla u_{\varepsilon} - p \left( \frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}} \right)^{p-1} \nabla v_{\varepsilon} $$
De même

$$ \nabla \eta(v, u) = \left\{ 1 + (p-1) \left(\frac{u_\varepsilon}{v_\varepsilon}\right)^p \right\} \nabla v_\varepsilon - p \left(\frac{u_\varepsilon}{v_\varepsilon}\right)^{p-1} \nabla u_\varepsilon $$

Nous avons

$$ \nabla u_{\varepsilon} = \nabla u \quad \text{et} \quad \nabla v_{\varepsilon} = \nabla v $$

d'où

$$ \begin{aligned} & \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla u|_{i}^{p-2} a_{i}(\nabla u, [1 + (p-1) \left(\frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}}\right)^{p}] \nabla u_{\varepsilon} + a_{i} \left[\nabla u, p \left(\frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}}\right)^{p-2} \nabla v_{\varepsilon}\right] dx \\ &= \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla u|_{i}^{p-2} \left[1 + (p-1) \left(\frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}}\right)^{p} a_{i}(\nabla u, \nabla u) - p \frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}}\right]^{p-2} a_{i}(\nabla u, \nabla v) dx \\ &= \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla u|_{i}^{p-2} \left[1 + (p-1) \left(\frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}}\right)^{p} - p \frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}}\right]^{p-2} |\nabla u|_{i}^{p-2} a_{i}(\nabla u, \nabla v) dx \\ &= \lambda_{1} \int_{\Omega} m u^{p-1} \eta(u, v) dx \quad \text{car pour } i = 1, \dots, N, a_{i}(\nabla u, \nabla u) = |\nabla u|_{i}^{2}. \end{aligned} $$

Donc

$$ \begin{aligned} & \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla u|_{i}^{p-2} \left[ 1 + (p-1) \left(\frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}}\right)^{p} - p \frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}} \right]^{p-2} |\nabla u|_{i}^{p-2} a_{i}(\nabla u, \nabla v) dx \\ &= \lambda_{1} \int_{\Omega} m u^{p-1} \eta(u, v) dx \end{aligned} $$

De même, nous avons

$$ \begin{aligned} & \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla v|_{i}^{p-2} \left[ 1 + (p-1) \left(\frac{u_{\varepsilon}}{v_{\varepsilon}}\right)^{p} - p \frac{u_{\varepsilon}}{v_{\varepsilon}} \right]^{p-2} |\nabla v|_{i}^{p-2} a_{i}(\nabla v, \nabla u) dx \\ &= \lambda_{1} \int_{\Omega} m v^{p-1} \eta(v, u) dx \end{aligned} $$

Et par suite en faisant la somme de ces deux dernières équations, nous obtenons

$$ \begin{aligned} & \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} \left( \left\{ 1 + (p-1) \left(\frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}}\right)^{p} \right\} |\nabla u|_{i}^{p-2} + 1 + (p-1) \left(\frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}}\right)^{p} |\nabla u|_{i}^{p} \right) dx \\ & \quad - \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} \left[ 1 + (p-1) \left(\frac{v_{\varepsilon}}{u_{\varepsilon}}\right)^{p-1} |\nabla u|_{i}^{p-2} (\nabla u, \nabla v) + p \left(\frac{u_{\varepsilon}}{v_{\varepsilon}}\right) \right] dx \\ &= \lambda_{1} \int_{\Omega} m \left[ \left(\frac{u}{u+\varepsilon}\right)^{p-1} \right] - \left(\frac{v}{v+\varepsilon}\right)^{p-1} \end{aligned} $$
Posons

$$I_{\varepsilon} = \int_{\Omega} m \left[ \left( \frac{u}{u + \varepsilon} \right)^{p-1} \right] - \left( \frac{v}{v + \varepsilon} \right)^{p-1} \cdot (u_{\varepsilon}^{p} - v_{\varepsilon}^{p})$$

Nous avons

$$\nabla \log u_{\varepsilon} = \frac{1}{u_{\varepsilon}} \nabla u_{\varepsilon} = \frac{1}{u_{\varepsilon}} \nabla u$$

$$\lambda_1 I_{\varepsilon}(x) = \sum_{i=1}^{N} \int_{\Omega} u_{\varepsilon}^{p} \left[ |\nabla \log u_{\varepsilon}|_{i}^{p} - |\nabla \log v_{\varepsilon}|_{i}^{p} - p|\nabla \log v_{\varepsilon}|_{i}^{p-2} \right]$$

$$a_i(\nabla \log u_{\varepsilon}, \nabla u_{\varepsilon} - \nabla \log v_{\varepsilon}) dx + \sum_{i=1}^{N} \int_{\Omega} v_{\varepsilon}^{p} \left[ |\nabla \log v_{\varepsilon}|_{i}^{p} - |\nabla \log u_{\varepsilon}|_{i}^{p} - p|\nabla \log u_{\varepsilon}|_{i}^{p-2} a_i(\nabla \log v_{\varepsilon}, \nabla v_{\varepsilon} - \nabla \log u_{\varepsilon}) dx$$

pour la suite de la démonstration, nous avons besoin du lemme suivant

**Lemme 7.**

Pour tout $\xi_1, \xi_2 \in \Omega$ et pour presque tout $x \in \Omega$, nous avons :
$$\text{Si } p \ge 2$$

$$|\xi_2|_i^p \geq |\xi_1|_i^p + p|\xi_1|_i^{p-2}a_i(\xi_1, (\xi_2 - \xi_1)) + \frac{C(p)|\xi_2 - \xi_1|_i^2}{(2^{p-1} - 1)^{2-p}}$$

et si $1 < p < 2$

$$|\xi_2|_i^p \geq |\xi_1|_i^p + p|\xi_1|_i^{p-2}a_i(\xi_1, (\xi_2 - \xi_1)) + \frac{C(p)|\xi_2 - \xi_1|_i^2}{(|\xi_1|_i - |\xi_2|_i)^{2-p}}$$

où $C(p) > 0$ ne dépend pas de $\xi_1, \xi_2, x \in \Omega$ et $N$.

**Proof.** [Preuve du lemme] Pour la démonstration de ce lemme, voir [5]. □ Suite de la démonstration du théorème
D'après le lemme précédent, nous avons pour $p \ge 2$

$$(4.2) \quad \lambda_1 I_{\varepsilon}(m) \ge C(p) \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} \frac{(u_{\varepsilon}^{p} + v_{\varepsilon}^{p})}{(2^{p-1} - 1)} \cdot |\nabla \log u_{\varepsilon} - \nabla \log v_{\varepsilon}|_{i}^{p} dx$$

et pour tout $1 < p < 2$

$$(4.3) \quad \lambda_1 I_{\varepsilon}(m) \ge C(p) \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} \frac{(u_{\varepsilon}^{p} + v_{\varepsilon}^{p}) |\nabla \log u_{\varepsilon} - \nabla \log v_{\varepsilon}|_{i}}{(|\nabla \log u_{\varepsilon} - \nabla \log v_{\varepsilon}|_{i})^{p-2}} dx$$
Puisque

$$ \nabla \log u_{\varepsilon} = \frac{1}{u_{\varepsilon}} \nabla u \quad \text{et} \quad \nabla \log v_{\varepsilon} = \frac{1}{v_{\varepsilon}} \nabla v $$

Alors pour $p \ge 2$, nous avons

$$ \lambda_1 I_{\varepsilon}(m) \ge \frac{C(p)}{(2^{p-1}-1)} \sum_{i=1}^{N} \int_{\Omega} \left[ \frac{1}{(u+1)^p} + \frac{1}{(v+1)^p} \right] |u_{\varepsilon} \nabla v - v_{\varepsilon} \nabla u| \, dx \ge 0 \quad (4.4) $$

et pour $1 < p < 2$ nous avons

$$ (4.5) \lambda_1 I_{\varepsilon}(m) \ge C(p) \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} \frac{(u_{\varepsilon} \cdot v_{\varepsilon})(u_{\varepsilon}^p + v_{\varepsilon}^p) |v_{\varepsilon} \nabla u - u_{\varepsilon} \nabla v|_i^2}{(v_{\varepsilon} |\nabla u_{\varepsilon}|_i + u_{\varepsilon} |\nabla v_{\varepsilon}|_i + 1)^{2-p}} \, dx \ge 0 $$

Comme les suites $(u_\varepsilon)$ et $(v_\varepsilon)$ convergent uniformément vers $u$ et $v$ quand $\varepsilon \to 0$ et par application du lemme de Fatou nous obtenons :
Pour $p \ge 2$

$$ \lambda_1 \lim_{\varepsilon \to 0} I_{\varepsilon} \ge \frac{1}{2^{p-1}-1} \sum_{i=1}^{N} \int_{\Omega} \left[ \frac{1}{(u+1)^p} + \frac{1}{(v+1)^p} \right] u \nabla v - v \nabla u \, dx \ge 0 \quad (4.6) $$

et pour $1 < p < 2$

$$ (4.7) \quad \lambda_1 \lim_{\varepsilon \to 0} I_{\varepsilon} \ge C(p) \sum_{i=1}^{N} \int_{\Omega} \frac{u \cdot v (u^p + v^p) |u \nabla v - v \nabla u|_i^2}{(v |\nabla u|_i + u |\nabla v|_i + 1)^{2-p}} \, dx \ge 0 $$

Montrons que

$$ \lim_{\varepsilon \to 0} I_{\varepsilon}(m) = 0 $$

Nous avons

$$ I_{\varepsilon}(m) = \int_{\Omega} m u^{p-1} u_{\varepsilon} \, dx + \int_{\Omega} m v^{p-1} v_{\varepsilon} \, dx - \int_{\Omega} m \left( \frac{v}{v_{\varepsilon}} \cdot u_{\varepsilon} \right)^{p-1} u_{\varepsilon} \, dx - $$

$\int_{\Omega} m \left( \frac{u}{u_{\varepsilon}} \cdot v_{\varepsilon} \right)^{p-1} v_{\varepsilon} \, dx$ Puisquem$\in L^{\infty}(\Omega)$, grâce au théorème de la convergence dominée nous obtenons

$$ \lim_{\varepsilon \to 0} I_{\varepsilon}(m) = 0 $$
et d'après (4.6) et (4.7) nous avons

$$ \sum_{i=1}^{N} |v\nabla u - u\nabla v|_{i} = 0, $$

et puisque $\frac{u}{v} \in L^\infty$ (d'après le principe du maximum), nous avons

$$ \nabla \left( \frac{u}{v} \right) = 0, \text{ donc il existe } k > 0 \text{ tel que} $$

$$ u = kv $$

d'où le résultat. $\square$

## 5. Isolation de la première valeur propre

Nous montrerons d'abord que toute fonction propre associée à une valeur propre positive autre que la première valeur propre change de signe. Ensuite, nous montrerons que $\lambda_1$ est isolée.

**Théorème 8.** Si $v$ est une fonction propre associée à une valeur propre $\lambda > 0$ telle que $\lambda \neq \lambda_1$ alors $v$ change de signe, c-à-d $v^+ \neq 0$ et $v^- \neq 0$ dans $\Omega$, de plus nous avons

$$ (5.1) \qquad \min \{ mes(\Omega^+), mes(\Omega^-) \} \geq (\lambda ||m||_\infty C^p)^\sigma $$

où

$$ \Omega^+ = \{x \in \Omega; v(x) > 0\} \qquad \Omega^- = \{x \in \Omega; v(x) < 0\} $$

et $C$ est une constante indépendante de $v$ et de $\lambda$, et $\sigma = -N/p$ si $p < N$ et $\sigma = -2$ si $p \geq N$.

**Proof.** [Preuve] Soit $u$ une fonction propre associée à $\lambda_1$ telle que

$$ \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla u|_{i}^{p} = 1 $$

Supposons qu'il existe une valeur propre $\lambda > 0$ telle que $\lambda \neq \lambda_1$ ayant une fonction propre $v \geq 0$ vérifiant

$$ \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla v|_{i}^{p} = 1 $$
En particulier nous avons

$$
(5.2) \quad \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla u|_{i} a_{i}(\nabla u, \nabla \eta(u, v)) \, dx = \lambda_{1} \int_{\Omega} m u^{p-1} \eta(u, v) \, dx
$$

et

$$
(5.3) \quad \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla v|_{i} a_{i}(\nabla v, \nabla \eta(v, u)) \, dx = \lambda_{1} \int_{\Omega} m v^{p-1} \eta(v, u) \, dx
$$

avec

$$
\eta(u, v) = \frac{(u + \varepsilon)^p - (v + \varepsilon)^p}{(u + \varepsilon)^{p-1}} \quad \text{et} \quad \eta(v, u) = \frac{(v + \varepsilon)^p - (u + \varepsilon)^p}{(v + \varepsilon)^{p-1}}
$$

La somme de (5.2) et de (5.3) nous donne

$$
J_{\varepsilon} = \int_{\Omega} m \left[ \lambda_{1} \left( \frac{u}{u_{\varepsilon}} \right)^{p-1} - \lambda \left( \frac{v}{v_{\varepsilon}} \right)^{p-1} \right] (u_{\varepsilon}^{p} - v_{\varepsilon}^{p}) \, dx \geq 0
$$

et

$$
\lim_{\epsilon \to 0} J_{\epsilon}(m) = (\lambda_{1} - \lambda) \int_{\omega} m(u^{p} - v^{p}) \, dx \geq 0
$$

Il s'en suit que :

$$
(\lambda_1 - \lambda) \left( \frac{1}{\lambda_1} \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla u_i|^p dx - \frac{1}{\lambda} \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{N} |\nabla v_i|^p dx \right) \ge 0
$$

donc

$$
(\lambda_1 - \lambda) \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda} \right) \geq 0
$$

donc $\lambda = \lambda_1$, ce qui est absurde. Donc $v$ change de signe.

Montrons maintenant l'estimation (5.1). pour cela nous remplaçons
dans (V.P.), $v$ par $v^+$, puis par $v^-$. L'inégalité de Hölder nous donne

$$
\|v^+\|_p = \lambda \int_{\Omega} m |v^+|^p dx \le \lambda \|v^+\|_{p^*}^p ((\Omega^+))^{1-p/p^*}
$$

Puis par l'inégalité de Sobolev

$$
\|v^+\|_{1,p^*} \le \|\nabla v^+\|_{1,p}
$$
et en utilisant le fait que $(\Omega^+)^\neq 0$ car $v^+ \neq 0$, nous obtenons

$$mes(\Omega^+) \geq (\lambda ||m||_\infty C^p)^\sigma$$

De même pour $v^-$. Ce qui nous donne l'estimation (5.1). □

**Théorème 9.** La valeur propre $\lambda_1$ est isolée, c-à-d $\lambda_1$ est l'unique valeur propre du problème (V.P.) dans un certain intervalle $[0, a]$ où $a > \lambda_1$.

**Proof.** [Preuve] Soit $(\lambda, u)$ une solution du problème (VP). Il est clair que si $\lambda = 0$, $\lambda$ n'est pas une valeur propre.

Par définition de $\lambda_1$, nous avons

$$\|v\|_{A_p}^p \geq \lambda_1 \int_{\Omega} m |v|^p dx$$

D'autre part, nous avons

$$\|v\|_{A_p}^p = \lambda \int_{\Omega} m |v|^p dx$$

d'où

$$\lambda_1 \leq \lambda$$

donc $\lambda_1$ est isolée à gauche.

Supposons maintenant qu'il existe une suite $(\lambda_n)_n$, $(\lambda_n \neq \lambda_1)$ de valeurs propres qui converge vers $\lambda_1$.

Soit $u_n$ la fonction propre associée à $\lambda_n$ telle que $||u_n||_{1,p} = 1$ pour tout $n$. Pour une sous suite encore notée $(u_n)_n$, $(u_n)_n$ converge faiblement dans $\Omega$ vers une fonction $u \in W_0^{1,p}$.

Comme:

$$u_n = (A_p^0)^{-1} (\lambda_n m(x) |u_n|^{p-2} u_n)$$

et puisque $(\lambda_n m(x) |u_n|^{p-2} u_n)$ converge fortement dans $L^{p'}(\Omega)$ donc dans $W^{-1,p'}(\Omega)$ et $(A_p^0)^{-1}: W^{-1,p'} \to W_0^{1,p}$ est continue.

Donc $(u_n)_n$ converge fortement dans $W_0^{1,p}$ vers $u$ avec $u$ une fonction propre de norme 1 associée à $\lambda_1$, puisque $u$ garde un signe constant (Voir §précédent.), supposons $u > 0$ par exemple.

Soit $\varepsilon > 0$ étant strictement positive, donc il existe un réel $\eta_\varepsilon > 0$ et un ensemble $\Omega_\varepsilon \subset \Omega$ avec $mes(\Omega \setminus \Omega_\varepsilon) \leq \frac{\varepsilon}{2}$ et $u(x) \geq 2\eta_\varepsilon$
pour tout $x \in \Omega_{\varepsilon}$. et comme $(u_n)_n$ converge presque partout dans $\Omega$ vers $u$, par le théorème d'Egorov, nous avons la suite $(u_n)_n$ qui converge fortement vers $u$ uniformément à l'extérieur d'un ensemble de mesure arbitrairement petite, donc il existe un entier $N_{\varepsilon}$ et un ensemble mesurable $\Omega'_{\varepsilon} \subset \Omega$ avec

$$mes(\Omega \setminus \Omega'_{\varepsilon}) \leq \frac{\varepsilon}{2}$$

tels que $|u_n(x) - u(x)| \leq \eta_{\varepsilon}$

Pour tout $x \in \Omega'_{\varepsilon}$ et $\eta \geq N_{\varepsilon}$ nous avons

$$u_n(x) \geq \eta_{\varepsilon} > 0$$

pour tout $x \in \Omega_{\varepsilon} \cap \Omega'_{\varepsilon}$ et $n \geq N_{\varepsilon}$, en particulier pour tout $n \geq N_{\varepsilon}$, nous avons

$$mes(\{x \in \Omega; u_n(x) > 0\}) \geq mes(\Omega_{\varepsilon} \cap \Omega'_{\varepsilon}) \geq mes(\Omega) - \varepsilon$$

or d'après l'estimation (5.1)

$$mes(\{x \in \Omega; u_n(x) > 0\}) \geq (||m||_{\infty} C^p \sup(\lambda_n))^{\sigma}$$

Si nous prenons $\varepsilon = \frac{1}{2} (\varepsilon^p ||m||_{\infty})^{\sigma}$ nous aboutissons à une contradiction. $\square$
References

[1] A. Anane Étude des valeurs propres et de la croissance pour l'opérateur p-Laplacien, Thèse de doctorat, Université Libre de Bruxelles, 1987.

[2] H. Brezis et F. Browder, Sur une propriété des espaces de Sobolev, C.R.A.S. Paris, 287, 113-115, 1998.

[3] A. Benazzi, Thèse d'état, Université Mohamed I, Oujda, en préparation.

[4] O. Chakrone, Spectre d'ordre supérieur dans des problèmes aux limites quasilinéaires, et sur un théorème de points critique et application à un problème de non-résonance entre deux valeurs propres du p-Laplacien, Thèse d'état, Université Mohamed I, Oujda, 1998.

[5] P. Lindqvist, On the equation div (|∇u|^{p-2}∇u) + λu^{p-2}u = 0 Prog. A.M.S., 1, 109, 1960

Received : March, 2000.

**A. Anane**

and

**O. Chakrone**

Département de mathématiques
Faculté des sciences
Université Mohamed I
Oujda - Maroc

e-mail: anane@sciences.univ-oujda.ac.ma

**A. Benazzi**

Département génie électrique
École supérieure de technologie
Oujda - Maroc

e-mail: benazzi@est.univ-oujda.ac.ma