# Approximation de faible rang d'un échantillon de solution d'une équation paramétrée

Loïc Giraldi, Anthony Nouy, Olivier Zahm

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Loïc Giraldi, Anthony Nouy, Olivier Zahm. Approximation de faible rang d'un échantillon de solution d'une équation paramétrée. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01517284

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Submitted on 3 May 2017

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# Approximation de faible rang d'un échantillon de solution d'une équation paramétrée

L. Giraldi<fnref n="1" />, A. Nouy<fnref n="1" />, O. Zahm<fnref n="1" />

**Résumé** — Un échantillon de solution d'une équation paramétrée est approché par un tenseur de faible rang. On s'intéresse tout d'abord à l'approximation en norme $L^2$ et $L^\infty$ d'un échantillon d'apprentissage. Ensuite, plusieurs méthodes sont envisagées en fonction des informations disponibles sur la structure de l'équation. Elles s'appuient toutes sur l'accès au résidu, mais sont raffinées si des informations complémentaires sont accessibles.

**Mots clés** — équations paramétriques, approximation de faible rang, échantillon de solution.

On s'intéresse ici à la propagation d'incertitudes à travers un modèle numérique régit par une équation paramétrée. L'objectif est de calculer une approximation de la solution pour toutes les valeurs d'un échantillon de paramètre en minimisant les interfaces aux codes existants, l'information minimale requise étant une évaluation du résidu.

Pour un paramètre $\xi \in \Xi \subset \mathbb{R}^d$ donné, le problème paramétrique s'écrit formellement : trouver $u(\xi) \in \mathcal{U}$ tel que

$$R(u(\xi); \xi) = 0,$$

où $R$ est le résidu, $\Xi = \{\xi_z\}_{z=1}^Z$ est l'échantillon de paramètres et $\mathcal{U}$ un espace de Hilbert. L'échantillon de solution $U = \{u(\xi)\}_{\xi \in \Xi}$ appartient à un espace produit tensoriel $\mathcal{U}^Z \simeq \mathcal{U} \otimes \mathbb{R}^Z$ et peut être approché par un tenseur de faible rang, c'est-à-dire

$$U \approx U_r = \sum_{i=1}^{r} v_i \otimes \lambda_i, \quad \text{avec } v_i \in \mathcal{U}, \lambda_i \in \mathbb{R}^Z \text{ et } r \le Z.$$

Idéalement, $U_r$ est la meilleure approximation de $U$ pour une norme donnée, classiquement

$$\|U - U_r\|_p = \min_{w_i \in \mathcal{U}, \gamma_i \in \mathbb{R}^Z} \|U - \sum_{i=1}^r w_i \otimes \gamma_i\|_p, \quad p \in \{2, \infty\},$$

où

$$\|U\|_2^2 = \sum_{\xi \in \Xi} \|U(\xi)\|^2 \quad \text{et} \quad \|U\|_{\infty} = \sup_{\xi \in \Xi} \|U(\xi)\|.$$

Résoudre ce problème d'optimisation nécessite la connaissance de l'échantillon de la solution et ne peut se faire qu'a posteriori. Une stratégie possible pour réduire la complexité de la résolution a priori est d'utiliser un algorithme itératif avec compression des itérés [1, 4, 5]. Soit un solveur itératif tel que la suite $\{u^{(k)}(\xi)\}_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $u(\xi)$, de la forme

$$U^{(k+1)} = U^{(k)} - P_k^{-1} R(U^{(k)}),$$

où $R(U^k)$ est l'échantillon de résidu, $P_k^{-1}$ un préconditionneur. On introduit alors un opérateur $\Pi_{p,\varepsilon}$ fournissant une approximation avec une précision de $\varepsilon$ en norme $p$. L'algorithme est alors remplacé par une version perturbée

$$U^{(k+1)} = \Pi_{p,\varepsilon}(U^{(k)} - P_k^{-1} R(U^{(k)})).$$

$\Pi_{p,\varepsilon}$ est typiquement la décomposition en valeurs singulières (SVD) dans le cas $p = 2$ ou la méthode d'interpolation empirique (EIM) dans le cas $p = \infty$ [2].

<footnote n="1">¹ Ecole Centrale Nantes, GeM UMR 6183, Nantes, France
[loic.giraldi, anthony.nouy, olivier.zahm]@ec-nantes.fr</footnote>
Cette stratégie est efficace si le résidu se développe sous la forme

$$R\left(\sum_{j=1}^{r} v_j \lambda_j(\xi); \xi\right) = \sum_{i=1}^{s} R_i(v_1, \dots, v_r) \theta_i(\lambda_1, \dots, \lambda_r)(\xi).$$

Il suffit alors d'assembler les éléments $\{R_i(v_1, \dots, v_r)\}_{i=1}^s$ pour calculer le résidu sur l'échantillon $\Xi$. Si l'on sait que le résidu admet un tel développement avec les fonctions $\{\theta_i\}_{i=1}^s$ connues, mais que les vecteurs $\{R_i\}_{i=1}^s$ ne sont pas directement accessibles dans le code, une méthode d'interpolation permet de retrouver ce développement à partir de simple évaluations du résidu [3]. Enfin, dans le cas où le résidu n'a pas de structure connue, celle-ci doit être retrouvée à chaque itération. On propose pour cela des méthodes de faible rang utilisant peut d'évaluations du résidu. En ce qui concerne le préconditionneur, il est interpolé s'il est directement accessible, sinon une méthode de quasi-Newton est employée.

L'efficacité des stratégies proposées est enfin illustrée sur des exemples numériques.

## Références

[1] J. Ballani, L. Grasedyck. A projection method to solve linear systems in tensor format, Numerical Linear Algebra with Applications, 20(1), 27-43, 2013.

[2] M. Barrault, Y. Maday, N. C. Nguyen, A. T. Patera. An 'empirical interpolation' method : application to efficient reduced-basis discretization of partial differential equations, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Ser. I 339, 667-672, 2004.

[3] F. Casenave, A. Ern, T. Lelièvre, G. Sylvand. A nonintrusive method to approximate linear systems with non-linear parameter dependence, arXiv:1307.4330 [math.NA], 2013.

[4] D. Kressner, C. Tobler. Low-Rank Tensor Krylov Subspace Methods for Parametrized Linear Systems, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 32(4), 1288-1316, 2011.

[5] H. G. Matthies, E. Zander. Solving stochastic systems with low-rank tensor compression, Linear Algebra and its Applications, 436(10), 3819-3838, 2012.