# Modélisation mathématique en biologie (MOMAB)

Tamara Servi, Pierre Poulain

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Tamara Servi, Pierre Poulain. Modélisation mathématique en biologie (MOMAB). Licence. Modélisation mathématique en biologie (MOMAB), Paris, France. 2020, pp.193. [hal-03263031](https://hal.science/hal-03263031v1)

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Licence Sciences, Technologies, Santé
Mention : Sciences de la Vie

SV01U040
Modélisation mathématique
en biologie (MOMAB)

Cours de Tamara Servi & Pierre Poulain

servi@math.univ-paris-diderot.fr

pierre.poulain@u-paris.fr

2020/2021

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# Table des matières

## I Modèles mathématiques (Tamara Servi) 6

### 1 COURS I 7

1.1 Le langage mathématique 7

1.2 L'alphabet 9

1.2.1 Les nombres 9

1.3 Les expressions 11

1.3.1 Opérations arithmétiques 11

1.3.2 Valeur absolue 12

1.4 Les phrases 13

1.4.1 Manipulations arithmétiques des égalités et des inégalités 13

1.4.2 Équations et inéquations avec valeurs absolues 14

1.5 Ensembles et opérations ensemblistes 16

1.5.1 Les ensembles 16

1.5.2 Opérations ensemblistes 18

1.6 Pourcentages et taux 20

1.6.1 Pourcentages 20

1.6.2 Taux d'augmentation/diminution 20

1.7 Formulaire de géométrie plane et solide 22

1.8 Trigonométrie 25

1.9 La droite réelle 28

### 2 COURS II 31

2.1 Fonctions 31

2.1.1 Graphe 33

2.2 Systèmes dynamiques continus 33

2.2.1 Proportionnalité 34

2.3 Modèles polynomiales 35

2.3.1 Modèle linéaire 35

2.3.2 Modèle quadratique 35

2.3.3 Modèle polynomial de degré n 36

2.4 Rappels sur les limites et les dérivées 38

2.4.1 Limites et continuité 38
<table><tr><td>2.4.2</td><td>Calcul des limites</td><td>40</td></tr><tr><td>2.4.2.1</td><td>Croissance des limites</td><td>40</td></tr><tr><td>2.4.2.2</td><td>Théorème des gendarmes</td><td>40</td></tr><tr><td>2.4.2.3</td><td>Opérations arithmétiques et limites</td><td>41</td></tr><tr><td>2.4.3</td><td>La dérivée</td><td>42</td></tr><tr><td>2.4.4</td><td>Calcul des dérivées</td><td>42</td></tr><tr><td>2.4.4.1</td><td>Opérations arithmétiques et dérivées</td><td>42</td></tr></table>

### 3 COURS III 43

<table><tr><td>3.1</td><td>Exponentielles, logarithmes, parties entières</td><td>43</td></tr><tr><td>3.1.1</td><td>Puissances ou exponentielles</td><td>43</td></tr><tr><td>3.1.2</td><td>Logarithmes</td><td>45</td></tr><tr><td>3.1.3</td><td>Égalités et inégalités avec puissances et logarithmes</td><td>46</td></tr><tr><td>3.1.4</td><td>Parties entières</td><td>46</td></tr><tr><td>3.2</td><td>Modèles de type puissance, exponentiel et logarithmique</td><td>47</td></tr><tr><td>3.2.1</td><td>Modèle de type puissance</td><td>47</td></tr><tr><td>3.2.2</td><td>Modèle exponentiel (en base e)</td><td>50</td></tr><tr><td>3.2.3</td><td>Modèle logarithmique (en base e)</td><td>51</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Suites</td><td>52</td></tr><tr><td>3.4</td><td>Systèmes dynamiques discrets</td><td>53</td></tr><tr><td>3.4.1</td><td>Suites arithmétiques</td><td>54</td></tr><tr><td>3.4.2</td><td>Suites géométriques</td><td>57</td></tr><tr><td>3.4.3</td><td>Suites arithmético-géométriques</td><td>59</td></tr><tr><td>3.4.4</td><td>La suite de Fibonacci</td><td>61</td></tr></table>

### 4 COURS IV 63

<table><tr><td>4.1</td><td>Notation scientifique</td><td>63</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Encadrements</td><td>65</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Ordres de grandeur</td><td>68</td></tr><tr><td>4.4</td><td>Approximations</td><td>69</td></tr><tr><td>4.5</td><td>Érreurs</td><td>70</td></tr><tr><td>4.6</td><td>Différence entre encadrements et approximations</td><td>72</td></tr></table>

### 5 COURS V 73

<table><tr><td>5.1</td><td>Étude graphique de fonction</td><td>73</td></tr><tr><td>5.1.1</td><td>Bornes</td><td>73</td></tr><tr><td>5.1.2</td><td>Croissance</td><td>74</td></tr><tr><td>5.1.3</td><td>Symétries et périodicité</td><td>74</td></tr><tr><td>5.2</td><td>Transformations élémentaires</td><td>75</td></tr><tr><td>5.3</td><td>Modèles homographiques, exponentiels, logarithmiques, sinusoïdales</td><td>78</td></tr><tr><td>5.3.1</td><td>Modèles homographiques</td><td>78</td></tr><tr><td>5.3.2</td><td>Modèles exponentiels</td><td>79</td></tr><tr><td>5.3.3</td><td>Modèles logarithmiques</td><td>80</td></tr></table>
<table><tbody><tr><td>5.3.4 Modèles sinusoïdales</td><td>80</td></tr><tr><td>5.4 Résolution graphique d'équations et inéquations</td><td>83</td></tr><tr><td>5.5 Rappels sur l'étude de fonction</td><td>85</td></tr><tr><td>5.5.1 Domaine et image</td><td>85</td></tr><tr><td>5.5.2 Limites aux bornes et asymptotes</td><td>85</td></tr><tr><td>5.5.3 Croissance et décroissance</td><td>86</td></tr><tr><td>5.5.4 Concavité et convexité</td><td>87</td></tr><tr><td>5.5.5 Bornes et extrema</td><td>87</td></tr><tr><td>5.6 Exemples d'étude de fonction</td><td>89</td></tr><tr><td>5.6.1 Fonction gaussienne</td><td>89</td></tr><tr><td>5.6.2 Fonction logistique</td><td>90</td></tr><tr><td><b>6 COURS VI</b></td><td><b>91</b></td></tr><tr><td>6.1 Résolution des formes indéterminées</td><td>91</td></tr><tr><td>6.1.1 Arithmétique infinie et formes indéterminées</td><td>91</td></tr><tr><td>6.1.2 Résolution des formes indéterminées</td><td>93</td></tr><tr><td>6.1.2.1 Terme dominant</td><td>93</td></tr><tr><td>6.1.2.2 La règle de l'Hôpital</td><td>96</td></tr><tr><td>6.2 Types de croissance</td><td>97</td></tr><tr><td>6.2.1 Comparaison de croissance aux bord du domaine</td><td>97</td></tr><tr><td>6.2.2 Propriétés de l'équivalence</td><td>98</td></tr><tr><td>6.2.3 Types de croissance</td><td>100</td></tr><tr><td>6.2.3.1 Croissance polynomiale</td><td>100</td></tr><tr><td>6.2.3.2 Croissance de type puissance (positive ou négative)</td><td>101</td></tr><tr><td>6.2.3.3 Croissance exponentielle</td><td>101</td></tr><tr><td>6.2.3.4 Croissance logarithmique</td><td>102</td></tr><tr><td>6.2.4 Comparaison entre les différents types de croissance</td><td>102</td></tr><tr><td>6.2.5 Comparaison de croissance sur un temps long</td><td>104</td></tr><tr><td>6.3 Fonctions rationnelles</td><td>106</td></tr><tr><td><b>7 COURS VII</b></td><td><b>113</b></td></tr><tr><td>7.1 Composition</td><td>113</td></tr><tr><td>7.1.1 Limite de la composition</td><td>114</td></tr><tr><td>7.1.2 Dérivée de la composition</td><td>114</td></tr><tr><td>7.2 La dérivée comme vitesse de variation</td><td>115</td></tr><tr><td>7.3 Vitesse de changement en fonction d'une fonction du temps et des para-mètres</td><td>117</td></tr><tr><td>7.4 Fonctions de plusieurs variables</td><td>119</td></tr><tr><td>7.4.1 Dérivées partielles</td><td>120</td></tr><tr><td>7.4.2 Dérivée d'une composée de deux fonctions</td><td>121</td></tr></tbody></table>
II Modèles de populations (Pierre Poulain) 124

8 COURS VIII 125

8.1 Ordres de grandeurs et calculs simples en biologie 125

8.1.1 Préfixes 125

8.1.2 Ordre de grandeurs et unités 126

8.1.3 Règle de proportionnalité, règle de 3 et produit en croix 127

8.1.4 Conversion d'unités 128

8.2 Modélisation mathématique en biologie 129

8.2.1 Notion de modèle 129

8.2.2 Utilité et limites des modèles 130

8.2.3 Quatre grandes étapes 130

8.2.4 Modélisation de l'évolution d'une population 131

8.2.4.1 Modèles discrets 131

8.2.4.2 Modèles continus 131

8.3 Modèles discrets de croissance 132

8.3.1 Choix du modèle discret 132

8.3.1.1 Modélisation d'après le contexte 133

8.3.1.2 Modélisation d'après des données expérimentales 133

8.3.2 Écart avec les points expérimentaux 137

8.3.3 Interpolation / extrapolation 138

8.3.4 Exemple : croissance de la masse moyenne d'une population de poissons 139

8.3.5 Croissance d'une population de bactéries 140

8.3.5.1 Approche théorique 140

8.3.5.2 Temps de génération de quelques espèces de bactéries 142

8.3.5.3 Représentation graphique 142

8.3.5.4 Méthodes de comptage expérimental de bactéries 144

8.3.6 Exemple : évolution d'une population de bactéries 145

8.3.6.1 Détermination du modèle et de ses paramètres 145

8.3.6.2 Détermination du temps de doublement 147

8.4 Ressources 149

9 COURS IX 151

9.1 Modèles continus d'évolution d'une population isolée 151

9.1.1 Modèle de Malthus 151

9.1.1.1 Évolution exponentielle 152

9.1.1.2 Décroissance exponentielle : la radioactivité 153

9.1.1.3 Croissance exponentielle de population 154

9.1.2 Modèle de Verhulst 157

9.1.2.1 Équation logistique 158
<table><tr><td>9.1.2.2</td><td>Rôle de la capacité biotique (K) : exemple d'une population de lapins</td><td>159</td></tr><tr><td>9.1.2.3</td><td>Effet de la population initiale</td><td>160</td></tr><tr><td>9.1.2.4</td><td>Détermination et stabilité des points d'équilibre</td><td>160</td></tr><tr><td>9.1.2.5</td><td>Exemple : croissance d'une population de bactéries</td><td>161</td></tr><tr><td>9.1.2.6</td><td>Exemple : croissance d'une population d'éléphants</td><td>162</td></tr><tr><td>9.1.2.7</td><td>Théorie de la sélection r/K</td><td>164</td></tr><tr><td>9.1.3</td><td>Modèle logistique avec effet de Allee</td><td>165</td></tr><tr><td>9.1.3.1</td><td>Dépendance positive à la population</td><td>165</td></tr><tr><td>9.1.3.2</td><td>Effet de Allee modéré</td><td>166</td></tr><tr><td>9.1.3.3</td><td>Effet de Allee fort</td><td>167</td></tr><tr><td>9.2</td><td>Ressources</td><td>168</td></tr></table>
Première partie

Modèles mathématiques (Tamara Servi)
# Chapitre 1

## COURS I

### 1.1 Le langage mathématique

Les mathématiques sont un langage, comme le français ou l'anglais.

Il y a un **alphabet** (les nombres, les lettres, les symboles...) qu'on utilise pour construire des mots ou **expressions** ($\frac{3}{4}$ ; 5,1 ; $3x^2 - \frac{1}{2}$ ; $a + b \cdot c$, ...) en suivant certaines règles de syntaxe ("$a+$" n'est pas une expression compréhensible). On peut combiner les expressions en **phrases** en utilisant les **verbes** ("être égal à...", "être plus petit que", "appartenir à l'ensemble de...",...), en obéissant aux règles de la grammaire. Comme en français, on peut **nier** une phrase, on peut combiner plusieurs phrases en utilisant des **connecteurs** ("...et...", "...ou...", "si...alors...", "...si et seulement si...") et on peut compléter une phrase en utilisant des **quantificateurs** ("il existe x tel que...", "pour tout nombre réel, on a...").

Une **assertion** est une phrase dont on peut affirmer sans ambiguïté si elle est vraie ou fausse : "3 > 0" est une assertion (vraie), "4 + 5 = 8" est une assertion (fausse!), "$x - y = 3$" n'est pas une assertion car sa vérité dépend des valeurs de $x$ et $y$.

Nous n'allons pas insister ici sur les règles de grammaire et sur comment établir la vérité ou la fausseté d'une assertion. Dans le type de problèmes que nous allons considérer tout cela sera clair de façon intuitive.

Cependant, nous allons utiliser le langage mathématique pour modéliser des problèmes scientifiques. Il est donc important d'apprendre à s'en servir correctement.

*Notation.*

o Comme en français, quand on dit en mathématiques "une chose **et** une autre", on entend aussi que les deux choses sont vérifiées au même temps. Le connecteur "et" s'appelle aussi une **conjonction**.

o En français quand on dit "une chose **ou** une autre" d'habitude on entend que l'une des deux choses est vérifiée mais pas les deux en même temps. Par contre, en mathématiques on n'exclut pas que les deux choses soient vérifiées en même temps. Le connecteur "ou" s'appelle aussi une **disjonction**.
* Soient $A$ et $B$ deux assertions. Pour abréger la phrase “si $A$ est vérifiée, alors $B$ est aussi vérifiée” on dit aussi que “$A$ implique $B$”, et on écrit $A \Rightarrow B$. Pour démontrer que l’**implication** $A \Rightarrow B$ est vraie, on peut procéder de trois façons différentes :

— Par raisonnement direct : on suppose que $A$ est vraie et on montre, sous cette hypothèse, que $B$ est aussi vraie;

— Par contraposée : on suppose que $B$ est fausse et on montre, sous cette assomption, que $A$ est aussi fausse;

— Par l'absurde : on suppose que $A$ est vraie et $B$ est fausse, et on déduit une contradiction.

* Soient $A$ et $B$ deux assertions. Pour abréger la phrase “$A$ est vérifiée si et seulement si $B$ est vérifiée” on dit aussi que “$A$ est équivalente à $B$”, et on écrit $A \Leftrightarrow B$. Pour démontrer que l’**équivalence** $A \Leftrightarrow B$ est vraie on peut aussi démontrer que $A$ est fausse si et seulement si $B$ est fausse. Au lieu d'écrire "si et seulement si" nous allons souvent écrire "ssi".

## Exemples 1.1.1.

* Nous verrons plus tard dans ce chapitre des exemples d'utilisation de la conjonction et de la disjonction dans des problèmes mathématiques.

* Démontrons, selon les trois méthodes différentes, que pour tout nombre réel $x$, si $x < 0$ alors $x^3 < 0$. Nous utilisons les règles de calcul de la section 1.3.

**Méthode directe** : supposons que $x < 0$. Par les règles de calcul, on a que $x \cdot x > 0$. Encore par les même règles, $x \cdot (x \cdot x)$ a le même signe que $x$, donc négatif.

**Par contraposée** : supposons que $x^3 \ge 0$. Nous avons deux cas : si $x^3 = 0$, alors, par les règles de calcul, $x = 0$. En particulier $x \ge 0$, et nous avons fini ce cas. Si $x^3 > 0$, alors ré-écrivons $x^3 = x^2 \cdot x$. Nous savons, par les règles de calcul, que tout carré est positif. Donc le signe de $x$ est le même que le signe de $x^3$, et nous avons fini.

**Par l'absurde** : supposons que $x < 0$ et $x^3 \ge 0$. Clairement $x^3$ ne peut pas être nul, si $x \ne 0$, donc nous pouvons supposer que $x^3 > 0$. Mais $x^3 = x^2 \cdot x$ et $x^2 > 0$, donc si $x < 0$ on a que le produit $x^2 \cdot x$ est aussi négatif. Ceci contredit notre hypothèse que $x^3 \ge 0$.

Une **équation** est une **question**, sous forme d'une égalité entre deux expressions qui contiennent une ou plusieurs **variables** (ou **inconnues**). Résoudre l'équation consiste à déterminer les valeurs des variables pour lesquelles l'égalité est vérifiée. Autrement dit, résoudre une équation consiste à chercher toutes ses **solutions**.

Les expressions qui apparaissent à droite et à gauche du symbole “=” dans une équation contiennent, en plus des variables, des constantes numériques et parfois des **paramètres**. Un paramètre est un symbole (une lettre d'un alphabet, d'habitude) qui désigne une valeur numérique que l'on suppose connue et fixée.
**Exemple 1.1.2.** Considérons l'équation $ax = 2b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels fixés (avec $a \neq 0$) et $x$ est une variable. Cette équation a une unique solution, c'est-à-dire la valeur $\frac{2b}{a}$. En effet, si on remplace la variable $x$ par le nombre réel $\frac{2b}{a}$, nous obtenons une assertion vraie et si on remplace la variable $x$ par n'importe quel autre nombre réel nous obtenons une assertion fausse. Les nombres réels $a$ et $b$ (qui sont fixés mais pas donnés de façon explicite dans notre problème) sont des paramètres. Pour tout choix de $a$ et de $b$, nous avons une équation et la solution associée : si $a = b = 2$ alors la solution est $x = 2$, si $a = 2$ et $b = 3$ alors la solution est $x = 3$, etc.

Une **inéquation** est aussi une question, cette fois sous la forme d'une inégalité entre deux expressions qui contiennent des variables, des valeurs numériques et des paramètres. A nouveau, résoudre une inéquation consiste à trouver toutes ses solutions, c'est-à-dire, toutes les valeurs des variables pour lesquelles l'inégalité est vérifiée.

**Exemple 1.1.3.** L'inéquation $ax < b$, où $x$ est une variable et $a, b$ sont des paramètres, a comme solution tous les nombres réels qui sont strictement plus petits que le nombre réel $\frac{b}{a}$. Tout nombre qui est plus grand ou égal à $\frac{b}{a}$ n'est pas solution de cette inéquation.

## 1.2 L'alphabet

### 1.2.1 Les nombres

Pour débuter, nous allons étudier les différents types de **nombres** que nous utilisons pour décrire des phénomènes biologiques.

Les nombres les plus simples sont les nombres **naturels**, que nous utilisons pour compter :

0, 1, 2, 3, 4, ..., 25, ..., 117, ..., 10000, ...

L'ensemble des nombres naturels est désigné par le symbole $\mathbb{N}$.

On se rend compte tout de suite que pour mesurer la température en hiver ou le niveau d'endettement d'un compte bancaire, on a aussi besoin de nombres négatifs. Plus généralement, si l'on soustrait deux nombres naturels dont le deuxième est plus grand que le premier, le résultat sera négatif.

Pour cette raison on introduit les nombres **entiers** :

$-200, ..., -1, 0, 1, ..., 450, ...$

L'ensemble des nombres entiers est désigné par le symbole $\mathbb{Z}$.

Si l'on fait la somme, la soustraction ou le produit de deux nombres entiers, le résultat est à nouveau un nombre entier :

$$ 
\begin{array}{l}
3 + 6 = 9 ; \quad 5 + (-8) = -3 ; \quad 4 \times 5 = 20 \\
3 \times (-2) = -6 ; \quad (-2) \times (-2) = 4 ; \quad (-2) - 8 = -10
\end{array}
$$
Mais si l'on divise deux nombres entiers on peut obtenir comme résultat un nombre qui n'est pas entier, c'est à dire, une fraction :

$$ \frac{1}{\frac{3}{\frac{7}{\frac{75}{\frac{1}{11}}}}} $$

Les fractions sont aussi appelées nombres **rationnels** et l'ensemble des nombres rationnels est désigné par le symbole $\mathbb{Q}$.

Un nombre rationnel peut être représenté comme une fraction mais aussi par sa représentation décimale :

$$ \begin{array}{l} \frac{1}{2} = 0,5 ; \quad \frac{3}{4} = 0,75 ; \\ \frac{7}{5} = 1,4 ; \quad \frac{75}{11} = 6,81818181... \end{array} $$

En France les développements décimaux s'écrivent avec une virgule comme séparateur : par exemple, $\frac{1}{2} = 0,5$. Dans les pays anglo-saxons on utilise plutôt un point comme séparateur décimal : $\frac{1}{2} = 0.5$. Il est important de bien connaître ces deux notations.

La représentation décimale d'un nombre rationnel a la propriété suivante : soit elle est *finie* (c'est à dire qu'il y a un nombre fini de chiffres non-nuls après la virgule ; par exemple, $\frac{1}{2} = 0,5 = 0,5000...$), soit elle est * périodique* (c'est à dire qu'à partir d'un certain point, les chiffres après la virgule se répètent ; par exemple, $\frac{75}{11} = 6,818181...$, que l'on écrit aussi comme $6,\overline{81}$, pour indiquer que le groupe "81" se répète indéfiniment).

Il existe aussi des nombres dont la représentation décimale est ni finie ni périodique. Il s'agit des nombres *irrationnels*, et ceux-ci ne peuvent pas être représentés par une fraction.

L'ensemble de **tous** les nombres qui ont une représentation décimale, qu'ils soient rationnels ou irrationnels, s'appelle l'ensemble des nombres **réels** et il est désigné par le symbole $\mathbb{R}$.

## Exemples 1.2.1.

* Le nombre $0,\overline{3}$ est rationnel. Il correspond à la fraction $\frac{1}{3}$.

* Le nombre $0,294\overline{01} = 0,29401010101...$ est rationnel. En effet, à partir du deuxième chiffre après la virgule, il y a un groupe, le "01", qui se répète périodiquement.

* Le nombre 1,756 est rationnel. Puisque il a un développement décimal fini, il est possible de trouver facilement une fraction qui lui correspond. Comment ?

* Les nombres

$$ \sqrt{2} = 1,4... $$

$$ \sqrt{3} = 1,7... $$

$$ \sqrt{5} = 2,2... $$
sont irrationnels.

$\sqrt{2}$ est la taille de la diagonale d'un carré de côté 1.

$\sqrt{3}$ est la taille de la hauteur d'un triangle équilatère de côté 2.

$\sqrt{5}$ intervient dans le **nombre d'or**, qui apparaît dans plusieurs manifestation de la nature (nous verrons des exemples plus tard).

○ Le nombre

$\pi = 3,141592653...$

est irrationnel.

$\pi$ est la longueur de la circonférence d'un cercle de diamètre 1.

○ Le nombre

$$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \dots = 2,718281828459045\dots$$

est irrationnel. Le nombre $e$ est appelé **nombre de Néper** et joue un rôle fondamentale dans la définition de la fonction exponentielle et du logarithme naturel.

## 1.3 Les expressions

### 1.3.1 Opérations arithmétiques

Nous connaissons déjà quelques opérations élémentaires entre nombres réels.

La somme, la soustraction, la multiplication (ou produit) et la division (ou quotient) sont des **opérations arithmétiques**.

Rappelons quelques propriétés de ces opérations et quelques **règles de calcul**.

○ Quand on additionne des nombres réels, l'ordre dans lequel on fait la somme n'est pas important : $4 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + 4$.

○ De même pour la multiplication : $5 \times 1,2 = 1,2 \times 5$.

○ De plus, si l'on additionne plusieurs nombres réels, on peut le faire en plusieurs étapes, et le choix de l'ordre de ces étapes ne change pas le résultat. Pour calculer $2 + 4, 5 + \frac{6}{5}$, je peux d'abord calculer $2 + 4,5$ et en suite ajouter $\frac{6}{5}$ au résultat obtenu. Mais je peux aussi d'abord calculer la somme $4,5 + \frac{6}{5}$ et ensuite ajouter 2. Avec les deux méthodes j'obtiens le même résultat à la fin.

○ De même pour la multiplication : $2 \times 3 \times 5 = 6 \times 5 = 2 \times 15$.

○ Si dans une même expression on a des sommes et des soutractions, on peut choisir librement dans quel ordre exécuter les opérations : $7 - 5 + 3 = 2 + 3 = 7 - 2$. En effet, si $a$ et $b$ sont deux nombres réels, alors faire la soustraction $a - b$ est la même chose que faire la somme $a + (-b)$. Pour tout nombre réel $a$, on a : $a + (-a) = 0$.
○ De même si l'expression contient des produits et des divisions : $\frac{2 \times 3}{4} = \frac{2}{4} \times 3 = \frac{6}{4}$.
En effet, si $a$ et $b$ sont deux nombres réels, alors faire la division $\frac{a}{b}$ est la même chose que faire le produit $a \times \frac{1}{b}$. Pour tout nombre réel $a$ différent de zéro, on a :
$$a \times \frac{1}{a} = 1.$$

○ Par contre, si l'expression contient des sommes/soutractions et des multiplications/divisions, il existe des règles de priorité : pour calculer l'expression $3 \times 4 + 5$, je dois d'abord exécuter la multiplication $3 \times 4$ et ensuite additionner au résultat obtenu le nombre 5. Les multiplications/divisions ont la priorité sur les additions/soutractions. Pour donner la priorité à la somme, il faut ajouter des **pa-renthèses** : dans l'expression $3 \times (4 + 5)$, je dois d'abord exécuter la somme $4 + 5$ et ensuite multiplier par 3 le résultat obtenu.

○ On peut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par la même quantité non nulle, sans changer la valeur de la fraction : le nombre rationnel 0,5 s'écrit comme la fraction $\frac{1}{2}$, mais aussi comme la fraction $\frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$ ou comme la fraction $\frac{1 \times 1,5}{2 \times 1,5} = \frac{1,5}{3}$, ou encore comme la fraction $\frac{1}{2}$. etc. La fraction $\frac{1}{2}$ est **réduite**, car il n'est plus possible de simplifier le numérateur et le dénominateur par des produits et des divisions.

○ Pour faire la somme/différence de deux fractions, il faut trouver un **dénominateur commun**. La façon la plus simple d'y parvenir est de faire le produit des dénominateurs et la somme/différence des produits croisés des numérateurs et dénominateurs : $\frac{1}{2} + \frac{4}{5} = \frac{1 \times 5 + 4 \times 2}{2 \times 5} = \frac{5+8}{10} = \frac{13}{10}$.

○ Pour faire le produit de deux fractions, il suffit de faire le produit des numérateurs et le produit des dénominateurs : $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$.

○ Pour faire le quotient de deux fractions, il suffit de multiplier la première fraction par l'inverse de la deuxième : $\frac{2}{3} \div \frac{5}{4} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15} = \frac{4}{15}$.

*Notation* 1.3.1. À partir de maintenant, nous utiliserons aussi le symbole “·” pour indiquer la multiplication. Quand on fait des calculs avec des expressions symboliques, on peut aussi omettre le symbole de multiplication : si $a$ et $b$ sont deux nombres réels, alors on écrit de façon interchangeable $a \times b$ ou $a \cdot b$, ou tout simplement $ab$, pour indiquer le produit de $a$ et $b$.

## 1.3.2 Valeur absolue

**Exemple 1.3.2.** Un couple $a$ deux enfants : une fille, Anne, et un garçon, Pierre. L'écart entre leurs âges respectifs est de trois ans, mais nous ne savons pas lequel des deux enfants est l'aîné. Si $a_A$ est l'âge de Anne et $a_P$ est l'âge de Pierre, alors $a_A - a_P = \pm 3$ ans. La différence d'âge est habituellement considérée commun nombre positif (ce serait bizarre de dire que leur différence d'âge est de -3 ans!). Nous cherchons donc une façon d'indiquer la valeur de cette différence sans nous occuper du signe. Pour cela nous pouvons utiliser la valeur absolue.
Rappelons que la **valeur absolue** d'un nombre réel $a$ est définie comme :

$$|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \ge 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases}.$$

Dans l'exemple ci-dessus nous indiquerons donc que la différence d'âge entre les deux enfants est $|a_A - a_P|$.

**Rappels.** La valeur absolue $a$ les propriétés suivantes : pour tout choix arbitraire de deux nombres réels $a$ et $b$, on a

$$|a| = 0 \text{ si et seulement si } a = 0$$

$$|a| \le |b| \text{ si et seulement si } -|b| \le a \le |b|$$

$$|a| \ge |b| \text{ si et seulement si } (a \le -|b| \text{ ou } a \ge |b|)$$

$$||a| - |b|| \le |a + b| \le |a| + |b|$$

$$|a| = |b| \text{ si et seulement si } (a = b \text{ ou } a = -b)$$

$$|-a| = |a| \text{ ; } \sqrt{a^2} = |a|$$

$$|a \cdot b| = |a| \cdot |b| \text{ ; } \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$$

## 1.4 Les phrases

### 1.4.1 Manipulations arithmétiques des égalités et des inégalités

Étant donnés deux nombres réels $a$ et $b$, nous savons dire s'ils sont égaux ou distincts. S'ils sont distincts, nous savons dire lequel des deux est le plus grand.

*Notation* 1.4.1. Si $a$ est **égal** à $b$, alors on écrit $a = b$. On utilise la notation $a < b$ pour dire que $a$ est **strictement plus petit que** $b$. Si $a$ est **strictement plus grand que** $b$, alors on écrit $a > b$. La notation $a \le b$ signifie que $a$ est **plus petit ou égal à** $b$. De façon analogue, on définit la notation $a \ge b$.

Rappelons comment les opérations arithmétiques se comportent par rapport aux égalités et aux inégalités entre nombres ou entre expressions symboliques.

Soient $a, b, c$ des nombres réels. Supposons que $a = b$. Nous pouvons alors déduire que :

$$\circ -a = -b;$$

$$\circ a \pm c = b \pm c \text{ et } ac = bc, \text{ pour tout } c;$$
◦ $\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$, si $a, b$ sont $\neq 0$;

◦ $a = c$ si et seulement si $b = c$.

Supposons que $a, b$ soient deux nombres réels. Alors $a \cdot b = 0$ si et seulement si $a = 0$ ou $b = 0$. De plus, $a \cdot b > 0$ si et seulement si $a$ et $b$ ont le même signe et $a \cdot b < 0$ si et seulement si $a$ et $b$ sont de signes différents.

Supposons maintenant que $a, b$ soient deux nombres réels, avec $b \neq 0$. Alors $\frac{a}{b} = 0$ si et seulement si $a = 0$. De plus, $\frac{a}{b} > 0$ si et seulement si $a$ et $b$ ont le même signe et $\frac{a}{b} < 0$ si et seulement si $a$ et $b$ sont de signes différents.

Rappelons aussi que pour tous nombres réels $a, b, c$ nous avons

$$c(a+b) = ca + cb.$$

L'expression de gauche est factorisée, l'expression de droite est développée.

Soient $a, b, c$ des nombres réels. Supposons que $a \leq b$. Nous pouvons alors déduire que :

◦ $-a \geq -b$;

◦ $a \pm c \leq b \pm c$, pour tout $c$;

◦ $ac \leq bc$, pour tout $c > 0$;

◦ $\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}$, si $a, b > 0$.

Pour conclure, soient $a_1, a_2, b_1, b_2$ des nombres réels. Si $a_1 \leq a_2$ et $b_1 \leq b_2$, alors :

◦ $a_1 + b_1 \leq a_2 + b_2$.

◦ $a_1 - b_2 \leq a_2 - b_1$. Par contre, nous ne pouvons rien dire sur les différences $a_1 - b_1$ et $a_2 - b_2$.

◦ $a_1 b_1 \leq a_2 b_2$, si tous les nombres sont $> 0$.

## 1.4.2 Équations et inéquations avec valeurs absolues

Dans cette section nous illustrons le rôle de la conjonction et de la disjonction dans un problème mathématique assez courant.

Soient $A(x)$ et $B(x)$ deux expressions qui contiennent la variable $x$.

◦ un nombre réel $x$ est solution de l'équation $|A(x)| = B(x)$ ssi $x$ satisfait l'un des deux systèmes ci-dessous :

$$ \begin{cases} A(x) \geq 0 \\ A(x) = B(x) \end{cases} \text{ ou } \begin{cases} A(x) < 0 \\ -A(x) = B(x) \end{cases}. $$

◦ un nombre réel $x$ est solution de l'inéquation $|A(x)| > B(x)$ ssi $x$ satisfait l'un des deux systèmes ci-dessous :

$$ \begin{cases} A(x) \geq 0 \\ A(x) > B(x) \end{cases} \text{ ou } \begin{cases} A(x) < 0 \\ -A(x) > B(x) \end{cases}. $$
* un nombre réel $x$ est solution de l'équation $|A(x)| < B(x)$ ssi $x$ satisfait le système ci-dessous :

$$ \begin{cases} A(x) < B(x) \\ A(x) > -B(x) \end{cases} . $$

Exemples 1.4.2.

* $x$ est solution de l'équation $|3x - 5| = 7x - 1$ ssi

$$ \begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ 3x - 5 = 7x - 1 \end{cases} \text{ ou } \begin{cases} 3x - 5 < 0 \\ -3x + 5 = 7x - 1 \end{cases}, $$

ssi

$$ \begin{cases} x \ge \frac{5}{3} \\ 4x = -4 \end{cases} \text{ ou } \begin{cases} x < \frac{5}{3} \\ 10x = 6 \end{cases}. $$

Le premier système n'a pas de solution, car la solution de l'équation, $x = -1$, ne satisfait pas l'inéquation $x \ge \frac{5}{3}$. Le deuxième système a comme solution $x = \frac{3}{5}$. En effet, telle est la solution de l'équation, qui s'avère aussi vérifier l'inégalité $x < \frac{5}{3}$. Donc l'équation $|3x - 5| = 7x - 1$ a une unique solution $x = \frac{3}{5}$.

* $x$ est solution de l'équation $|2x - 5| = x^2 - 4$ ssi

$$ \begin{cases} 2x - 5 \ge 0 \\ 2x - 5 = x^2 - 4 \end{cases} \text{ ou } \begin{cases} 2x - 5 < 0 \\ -2x + 5 = x^2 - 4 \end{cases}, $$

ssi

$$ \begin{cases} x \ge \frac{5}{2} \\ x = 1 \end{cases} \text{ ou } \begin{cases} x < \frac{5}{2} \\ x = 1 \pm \sqrt{10} \end{cases}. $$

Le premier système n'a pas de solution et le deuxième a deux solutions, $x = 1 + \sqrt{10}$ et $x = 1 - \sqrt{10}$.

* $x$ est solution de l'inéquation $|4x - 1| > 2x$ ssi

$$ \begin{cases} 4x - 1 \ge 0 \\ 4x - 1 > 2x \end{cases} \text{ ou } \begin{cases} 4x - 1 < 0 \\ -4x + 1 > 2x \end{cases}, $$

ssi

$$ \begin{cases} x \ge \frac{1}{4} \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} \text{ ou } \begin{cases} x < \frac{1}{4} \\ x < \frac{1}{6} \end{cases}. $$

Le premier système a comme solutions tous les $x$ tels que $x > \frac{1}{2}$ et le deuxième système a comme solutions tous les $x$ tels que $x < \frac{1}{6}$. Donc les solutions de l'inéquation initiale sont tous les $x$ qui sont plus petits que $\frac{1}{6}$ ou plus grands que $\frac{1}{2}$.
* $x$ est solution de l'inéquation $|2x+3| < 4$ ssi, en appliquant la définition de la valeur absolue,

$$ \begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ 2x+3 < 4 \end{cases} \text{ ou } \begin{cases} 2x+3 < 0 \\ -2x-3 < 4 \end{cases}, $$

ssi

$$ \begin{cases} x \ge -\frac{3}{2} \\ x < \frac{1}{2} \end{cases} \text{ ou } \begin{cases} x < -\frac{3}{2} \\ x > -\frac{7}{2} \end{cases}. $$

Donc tous les $x$ qui vérifient $-\frac{7}{2} < x < \frac{1}{2}$ sont solutions. En effet, on obtient le même résultat en appliquant la règle générale ci-dessus : $x$ est solution ssi $-4 < 2x + 3 < 4$.

* $x$ est solution de l'inéquation $|3x+9| < -1$ ssi... cette inéquation n'a pas de solution, car la valeur absolue de n'importe quelle quantité est toujours $\ge 0$!

## 1.5 Ensembles et opérations ensemblistes

### 1.5.1 Les ensembles

Nous avons déjà utilisé de façon un peu informelle la notion d'ensemble. Un ensemble est tout simplement une collection d'objets.

**Exemple 1.5.1.** $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ sont des ensembles de nombres. Vous formez un ensemble d'étudiants. Une population est un ensemble d'individus. Un cercle, une droite, un triangle sont des ensembles de points du plan et une sphère est un ensemble de points de l'espace.

Nous allons maintenant introduire un peu de terminologie liée aux ensembles.

Si $A$ est un ensemble et $a$ est un objet qui fait partie de l'ensemble $A$, nous allons écrire

$$ a \in A \text{ (a \textbf{appartient} à } A, a \text{ est un élément de l'ensemble } A). $$

Nous écrivons $a \notin A$ si $a$ n'est pas un élément de l'ensemble $A$.

Si $B$ est un autre ensemble et tout élément de $B$ appartient aussi à $A$, alors nous allons écrire

$$ B \subseteq A \text{ (B est un sous-ensemble de } A, B \text{ est \textbf{inclu} dans } A, A \text{ contient } B). $$

Si de plus $B$ n'est pas égal à $A$ (c'est à dire, $A$ a des éléments qui ne sont pas dans $B$), alors nous allons dire que $B$ est un sous-ensemble *propre* de $A$. Pour souligner que $B \ne A$, nous pouvons écrire $B \subsetneq A$.

Deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux (et on écrit $A = B$) ssi ils ont exactement les mêmes éléments.

L'ensemble vide est l'ensemble qui n'a pas d'élément et on le note $\emptyset$.
## Exemples 1.5.2.

* Soit $F$ l'ensemble de tous les félins. Le chat Félix est un félin, et donc il appartient à $F$: en symboles, Félix $\in F$. Par contre, le chien Snoopy n'est pas un félin, donc Snoopy $\notin F$. Soit $G$ l'ensemble de tous les chats domestiques. Tout chat est un félin, donc $G \subseteq F$. Les guépards sont aussi des félins mais ne sont pas des chats domestiques, donc $G \subsetneq F$, $G$ est un sous-ensemble propre de $F$. Il n'y a pas de félins volants : si $V$ est l'ensemble des félins volants, alors $V = \emptyset$.

* $2 \in \mathbb{N}$, mais aussi $2 \in \mathbb{Z}$, $2 \in \mathbb{Q}$, $2 \in \mathbb{R}$. En effet, $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$. Puisque $-2 \in \mathbb{Z}$ mais $-2 \notin \mathbb{N}$, nous avons $\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z}$. Puisque $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ mais $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$, nous avons $\mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q}$. Puisque $\pi \in \mathbb{R}$ mais $\pi \notin \mathbb{Q}$, nous avons $\mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}$.

Nous avons deux façons de représenter la composition d'un ensemble :

* Nous pouvons faire une liste des éléments de l'ensemble entre accolades, en séparant un élément de l'autre par une virgule :

Responsables de ce cours $R = \{\text{Pierre, Tamara}\}$

Étudiants de ce cours $E = \{\text{Agathe, Anton, Arthur, ..., Yannis, Yasmine, Zakia}\}$

$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$

$\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$

$\mathbb{R} = \{\dots, -e, \dots, -1, \dots, \pi, \dots, \frac{27}{2}, \dots, e^{45}, \dots\}$

Cette façon de procéder n'est pas très appropriée si l'ensemble a un nombre élevé ou infini d'éléments : dans ce cas on est forcé de mettre des "...", ce qui ne correspond pas à une notation mathématique précise.

* Nous pouvons caractériser les éléments de l'ensemble par la propriété, ou les propriétés, qu'ils partagent :

$$E = \{x \text{ tel que } x \in L1 - SDV\}$$

$$P = \{x \in \mathbb{N} \text{ t.q. } x \text{ est pair}\}$$

$$\mathbb{R}^{>0} = \{x \in \mathbb{R} \text{ t.q. } x > 0\}$$

Plus généralement, si $A$ est un ensemble et $B$ est le sous-ensemble de $A$ des objets caractérisés par la propriété $p$, nous écrivons

$$B = \{x \in A \text{ t.q. } x \text{ a la propriété } p\}.$$

Dans cette écriture $x$ est une variable (on peut choisir n'importe quelle lettre à la place de $x$) et à la place de "tel que" on écrit souvent une barre verticale "|" ou les deux points ":". Donc l'ensemble $B$ ci-dessus est aussi désigné par l'écriture

$$B = \{x \in A \mid x \text{ a la propriété } p\}, \text{ ou}$$

$$B = \{x \in A : x \text{ a la propriété } p\}$$
*Remarque 1.5.3.* Attention aux ensembles composés d'un seul élément : l'ensemble $\{\text{Félix}\}$ est différent du chat Félix (l'ensemble ne miaule pas, le chat si!). Cette différence se voit bien dans la notation que nous avons introduite : alors que Félix $\in G$, car Félix est un chat (Félix est un élément de l'ensemble de tous les chats), nous devons écrire $\{\text{Félix}\} \subseteq G$, puisque l'ensemble qui contient comme élément le seul chat Félix est un sous-ensemble de G.

## 1.5.2 Opérations ensemblistes

*Remarque 1.5.4.* Comme pour les nombres, on peut aussi faire des opérations élémentaires sur les ensembles. Celles qui nous concernent sont les suivantes :

* L'**intersection** $A \cap B$ des ensembles A et B est l'ensemble qui a comme éléments tous les objets qui sont à la fois dans A et dans B, c'est-à-dire

$$A \cap B = \{x : x \in A \text{ et } x \in B\}.$$

Ici le “et” est le connecteur logique de conjonction.

Si $A \cap B = \emptyset$ alors on dit que A et B sont **disjoints**.

* L'**union** $A \cup B$ des ensembles A et B est l'ensemble qui a comme éléments tous les objets qui sont dans A et tous les objets qui sont dans B, c'est-à-dire

$$A \cup B = \{x : x \in A \text{ ou } x \in B\}.$$

Ici le “ou” est le connecteur logique de disjonction.

On remarque que si $x$ est un élément à la fois de A et de B, alors en particulier $x$ appartient à A. Donc :

$$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B.$$

* La **différence** $A \setminus B$ des ensembles A et B est l'ensemble qui a comme éléments tous les objets qui sont dans A mais pas dans B, c'est à dire

$$A \setminus B = \{x : x \in A \text{ et } x \notin B\}.$$

* Le **produit cartésien** $A \times B$ des ensembles A et B est l'ensemble de toutes les paires ordonnées de la forme $(a, b)$ telles que $a$ est un élément quelconque de A et $b$ est un élément quelconque de B, c'est à dire

$$A \times B = \{(a, b) : a \in A \text{ et } b \in B\}.$$

Attention : les éléments d'un produit cartésien sont des *paires ordonnées* d'objets. On utilise aussi la notation abrégée

$$A \times A = A^2 \text{ et } \underbrace{A \times A \times \dots \times A}_{n \text{ fois}} = A^n.$$
**Exemples 1.5.5.** Considérons les ensembles

$$A = \{n \in \mathbb{N} : n \text{ est pair et } n < 8\} = \{0, 2, 4, 6\}$$

$$B = \{n \in \mathbb{N} : n < 3\} = \{0, 1, 2\}$$

$$C = \{n \in \mathbb{N} : n \text{ est impair et } n < 5\} = \{1, 3\}.$$

$$\circ A \cap B = \{0,2\}, A \cup B = \{0,1,2,4,6\}, A \setminus B = \{4,6\}, B \setminus A = \{1\}$$

$$\circ A \cap C = \emptyset, B \subseteq A \cup C, A \setminus C = A, B \setminus C \subseteq A$$

$$\circ B \times C = \{(0,1), (0,3), (1,1), (1,3), (2,1), (2,3)\}$$

$$C \times B = \{(1,0), (1,1), (1,2), (3,0), (3,1), (3,2)\}$$

**Exemple 1.5.6.** Quand nous résolvons un système d'équations et inéquations, l'ensemble de toutes les solutions du système est l'intersection des ensembles des solutions de chaque équation/inéquation du système. Par exemple, considérons le système

$$\begin{cases} 4x^2 - 25 = 0 & (\text{éq. 1}) \\ x > -1 & (\text{inéq. 2}) \\ x \le 5 & (\text{inéq. 3}) \end{cases}$$

La première équation a comme ensemble des solutions $S_1 = \{-\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\} = \{x \in \mathbb{R} : x = -\frac{5}{2} \text{ ou } x = \frac{5}{2}\}$.

La deuxième inéquation a comme ensemble des solutions $S_2 = \{x \in \mathbb{R} : x > -1\}$.

La troisième inéquation a comme ensemble des solutions $S_3 = \{x \in \mathbb{R} : x \le 5\}$.

Le système a comme ensemble des solutions l'ensemble

$$S = S_1 \cap S_2 \cap S_3 = \{x \in \mathbb{R} : (x = -\frac{5}{2} \text{ ou } x = \frac{5}{2}) \text{ et } -1 < x \le 5\} = \{\frac{5}{2}\}.$$

Dans l'exemple ci-dessus nous avons implicitement utilisé certaines des propriétés suivantes :

$$\begin{align*} A \cup (B \cup C) &= (A \cup B) \cup C, & A \cup B &= B \cup A \\ A \cap (B \cap C) &= (A \cap B) \cap C, & A \cap B &= B \cap A \\ A \cup (B \cap C) &= (A \cup B) \cap (A \cup C), & A \cap (B \cup C) &= (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ A \cup \emptyset &= A & A \cap \emptyset &= \emptyset \end{align*}$$

*Remarque 1.5.7.* Une façon de se souvenir des règles ci-dessus est la suivante : on peut faire une analogie entre les opérations ensemblistes et les opérations sur les nombres, où on considère l'union comme la somme de nombres et l'intersection comme le produit de nombres (et en considérant l'ensemble vide comme le nombre zéro). Cette analogie marche pour toutes les propriétés ci-dessus, sauf une : laquelle ?
# 1.6 Pourcentages et taux

## 1.6.1 Pourcentages

L'écriture “p%”, où p est un nombre réel, est un raccourci pour représenter la fraction $\frac{p}{100}$.

On utilise les pourcentages pour comparer la taille respective de deux entités du même type :

y est le p% de x
si et seulement si

$$y = \frac{p}{100}x. \qquad (1.1)$$

En particulier, pour trouver le p% d'une quantité x il faut multiplier x par $\frac{p}{100}$.

**Exemple 1.6.1.** La phrase “une solution contient 7% de sulfate de cuivre” veut dire que, si $x$ est le poids en grammes de la solution, alors la solution contient $y = \frac{7}{100}x$ grammes de sulfate de cuivre.

*Remarque 1.6.2.* Pour indiquer un pourcentage d'une certaine quantité on utilise aussi le mot “taux”. Ainsi, la solution de l'exemple ci-dessus a un taux de sulfate de cuivre de 7%.

Si on connaît deux quantités du même type $x$ et $y$, comment calculer quel pourcentage de $x$ est constitué par $y$ ? Autrement dit, comment établir quel est le taux de $y$ dans $x$ ?

Il suffit d'inverser la formule (1.1) : $y$ constitue le p% de $x$, où

$$p = \frac{y}{x} \times 100.$$

**Exemple 1.6.3.** En France, le taux maximal d'alcool dans le sang autorisé pour le conducteur d'un véhicule est de 0,5 grammes par litre de sang. Un litre de sang a, en moyenne, une masse de 1,06 kg, donc le taux d'alcool dans le sang permis par la loi est de p%, où

$$p = \frac{0,5 \text{ g}}{1,06 \times 10^3 \text{ g}} \times 100 \approx 0,047.$$

## 1.6.2 Taux d'augmentation/diminution

### Exemples 1.6.4.

* Le prix du ticket de métro a augmenté de 10% cette année. On dit aussi que le **taux d'augmentation** du prix du ticket de métro cette année est de 10%. Ceci veut dire que, si l'année dernière un ticket de métro coûtait $x$ euros, cette année
il va coûter $x$ plus les 10% de $x$. Le nouveau prix du ticket de métro est donné par

$$x + \frac{10}{100}x = \left(1 + \frac{10}{100}\right)x = 1,1 \cdot x.$$

Ainsi, si le prix était, l'année dernière, de 1,3 euros, cette année le ticket va coûter $1,1 \times 1,3$ eur $= 1,43$ eur.

* Le **taux de croissance** d'une population de cerfs est de 20% par année. Ceci veut dire que si une année il y a une population de $x$ cerfs, l'année suivante on aura une population de $(1 + \frac{20}{100}) \times x$ cerfs.

* Une population de cobayes est infectée avec un virus. Le **taux de mortalité** de la population est de 5% chaque mois. Ceci veut dire que, si en janvier il y avait $x$ cobayes, en février il y aura $y = x - \frac{5}{100}x = (1 - \frac{5}{100}) \times x$ cobayes. En mars il y aura donc $z = (1 - \frac{5}{100}) \times y = (1 - \frac{5}{100})^2 \times x$ cobayes qui auront survécu.

Le **taux d'augmentation/diminution** est le rapport, exprimé en pourcentage, entre la partie augmentée/diminuée et la quantité initiale : si une quantité $x$ augmente/diminue d'une quantité $x_0$ (au cours d'une unité de temps), alors la quantité finale sera $x \pm x_0$ et le taux d'augmentation/diminution sera de $(\frac{x_0}{x} \times 100)\%$.

**Exercice 1.6.5.** Un capital de 5000 euros est placé dans une banque. Après un an, le capital disponible est de 5150 euros. Quel est le taux d'intérêt ?

En un an le capital a augmenté de $x_0 = 5150 - 5000 = 150$ euros. Donc le taux d'intérêt est de $(\frac{150}{5000} \times 100)\% = 3\%$.

Si une quantité $x$ augmente d'abord de $p\%$ et en suite de $q\%$, la quantité finale sera, si on applique la règle,

$$y = \left(1 + \frac{q}{100}\right) \left(1 + \frac{p}{100}\right) x = \left(1 + \frac{p+q}{100} + \frac{pq}{10^4}\right) x.$$

Donc le taux d'augmentation final n'est pas la somme des deux taux d'augmentation !

**Exemple 1.6.6.** Une population de cerfs augmente de 20% chaque année. Après deux ans la population de cerfs n'a pas augmenté de 40%, mais de $(20 + 20 + \frac{400}{10^4})\% = 40,04\%$. En effet, au bout de la première année la quantité de cerfs avait déjà augmenté par rapport à la quantité initiale $x$, et donc pour calculer l'augmentation la deuxième année on a calculé le 20% d'une quantité plus grande que $x$. Le taux de croissance totale sur deux ans s'avère donc être supérieur à la somme des deux pourcentages.

En particulier, une augmentation de 50% suivie par une diminution de 50% ne ramène pas au résultat initial ! En effet,

$$y = \left(1 - \frac{50}{100}\right) \left(1 + \frac{50}{100}\right) x = \left(1 - \left(\frac{50}{100}\right)^2\right) x = \frac{75}{100}x.$$
En effet, lors de l'augmentation nous arrivons à avoir la quantité $\frac{3}{2}x$, que nous allons ensuite, lors de la diminution, multiplier par $\frac{1}{2}$ : ainsi nous retrouvons que le 75% de $x$.

*Remarque 1.6.7.* Puisque dans un produit l'ordre des facteurs n'est pas important, augmenter une quantité $x$ de $p\%$ et ensuite effectuer une diminution de $q\%$ nous donne le même résultat que si on fait d'abord une diminution de $q\%$ puis une augmentation de $p\%$.

### Exercice 1.6.8.

1. Dans un zoo il y a 2000 animaux. Parmi eux, 1200 sont des mammifères. Quel est le pourcentage de mammifères dans le zoo ?

Réponse : $\left(\frac{1200}{2000} \times 100\right)\% = 60\%$.

2. Les reptiles représentent 10% des animaux du zoo. Combien y a-t-il de reptiles ?

Réponse : $2000 \times \frac{10}{100} = 200$.

3. Parmi les 2000 animaux, 25% sont des oiseaux, et 3% des oiseaux sont des aigles. Combien y a-t-il d'aigles ?

Réponse : $2000 \times \frac{25}{100} \times \frac{3}{100} = 15$.

4. Une année s'écoule et on compte alors 2030 animaux dans le zoo. Quel est le taux de croissance du nombre d'animaux ?

Réponse : $\left(\frac{2030 - 2000}{2000} \times 100\right)\% = 1,5\%$.

5. Après un an le nombre de reptiles a augmenté de 15%, mais l'année suivante il diminue de 10%. Quel est le nombre de reptiles à la fin de la deuxième année ?

Réponse : $200 \times \left(1 + \frac{15}{100}\right)\left(1 - \frac{10}{100}\right) = 207$.

## 1.7 Formulaire de géométrie plane et solide
<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Périmètre $p = 4l$
Aire $A = l^2$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Périmètre $p = 2(b + h)$
Aire $A = bh$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Périmètre $p = 2\pi r$
Aire $A = \pi r^2$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Périmètre $p = a + b + c$
Aire $A = \frac{bh}{2}$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

$a^2 + b^2 = c^2$
Théorème de Pythagore
<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Surface totale $S_{\text{tot}} = 6\ell^2$
Volume $V = \ell^3$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Surface latérale $S_{\text{lat}} = 2c(a+b)$
Surface totale $S_{\text{tot}} = 2(ab + ac + bc)$
Volume $V = abc$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Surface latérale $S_{\text{lat}} = 2\pi rh$
Surface totale $S_{\text{tot}} = 2\pi rh + 2\pi r^2$
Volume $V = \pi r^2 h$

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Surface totale $S_{\text{tot}} = 4\pi r^2$
Volume $V = \frac{4}{3}\pi r^3$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Surface latérale $S_{\text{lat}} = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$
Surface totale $S_{\text{tot}} = \pi r^2 \left( 1 + \sqrt{1 + \frac{h^2}{r^2}} \right)$
Volume $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Surface latérale $S_{\text{lat}} = 2\ell a = \ell \sqrt{4h^2 + \ell^2}$
Surface totale $S_{\text{tot}} = 2\ell a + \ell^2$
Volume $V = \frac{\ell^2 h}{3}$
1.8 Trigonométrie

Faisons quelques rappels de trigonométrie.

Dessinons le cercle trigonométrique : il s'agit d'un cercle de centre le point O = (0, 0)
du plan cartésien et de rayon 1.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Dans le dessin ci-dessus, nous avons un triangle rectangle dont les côtés mesurent
respectivement 1 (côté oblique), cos x (côté horizontal) et sin x (côté vertical). Les angles
de ce triangle mesurent x, π/2 et (π/2 - x) (on rappelle que la somme des trois angles d'un
triangle est égale à 180°).

Puisque 2π = 360°, nous avons

$$
\begin{array}{l@{\quad}l@{\quad}l}
\pi & = 180^{\circ}, & \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}, \quad \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}, \\
\frac{\pi}{3} & = 60^{\circ}, & \frac{\pi}{6} = 30^{\circ}, \quad \text{etc.}
\end{array}
$$
<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Considérons $x = \frac{\pi}{3}$.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Le triangle dans l'image ci-dessus a un angle de 60° (en bas à gauche), un angle droit (en bas à droite) et un angle de 30° (en haut).

En faisant une symétrie par rapport à l'axe vertical, nous obtenons un triangle équilatère de côté égal à 1.
<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Grâce à cette remarque, nous voyons que le côté horizontal du triangle ci-dessous

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

mesure la moitié du côté oblique, c'est-à-dire

$$ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}. $$

Ensuite, on observe que le côté vertical du triangle ci-dessus se trouve grâce au théorème de Pythagore :

$$ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Si on procède de façon analogue (en faisant cette fois une symétrie par rapport à l'axe horizontal), nous trouvons que

$$ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ et } \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}. $$
Pour ce qui concerne $x = \frac{\pi}{4}$, on remarque que dans ce cas le triangle est isoscèle (les côtés horizontal et vertical ont la même longueur), donc $\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4}$.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Par le théorème de Pythagore,

$$1 = \sqrt{\left(\sin \frac{\pi}{4}\right)^2 + \left(\cos \frac{\pi}{4}\right)^2} = \sqrt{2 \left(\sin \frac{\pi}{4}\right)^2},$$

d'où

$$\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

## 1.9 La droite réelle

Les nombres réels ont une propriété fondamentale : il y a une correspondance entre les nombres réels et les points d'une droite. De plus, cette correspondance est *bijективe* : à tout nombre réel correspond un et un seul point de la droite, et vice versa.

Le procédé qui nous permet d'établir cette correspondance est très intéressant pour nous. Il s'agit de choisir une *échelle de mesure*. Décrivons donc ce procédé.

Dessinons une droite.

Nous allons d'abord choisir un point de la droite, désigné par la lettre $O$ majuscule, que l'on va appeler **origine**. Le choix du point $O$ est totalement arbitraire. Cependant, selon le problème que l'on cherche à modéliser, il pourrait y avoir un choix particulièrement convenable.

**Exemple 1.9.1.** Supposons qu'on veut représenter les distances temporelles relatives des stations de métro sur la ligne 14. Autrement dit, on veut exprimer graphiquement combien de temps il faut pour aller d'une station à la suivante, à partir, disons, du terminus Olympiades. Dans ce cas, nous allons dessiner une droite horizontale, et choisir la station d'Olympiades comme origine.

Supposons maintenant qu'on veut représenter la hauteur d'une montagne. Nous allons alors dessiner une droite verticale et prendre comme origine le niveau de la mer.
Si par contre on veut représenter la hauteur d'un gratte-ciel, il est plus intéressant de choisir comme origine la base du gratte-ciel, même si celle-ci n'est pas au niveau de la mer.

La deuxième étape du procédé consiste à choisir une **unité de mesure**. Ceci veut dire qu'on va choisir un autre point A sur la droite, différent de l'origine, et on va lui associer le nombre réel 1. A nouveau, ce choix est totalement arbitraire, mais certains choix sont plus convenables que d'autres, selon le problème traité.

**Exemple 1.9.2.** Si l'on veut mesurer la hauteur des montagnes, le mètre est une unité de mesure convenable. Mais si on mesure la taille des cellules, le micromètre est sans doute plus adapté.

En choisissant une unité de mesure, on choisit aussi implicitement une **orientation** de la droite : vers la gauche ou la droite, si la droite est horizontale, et vers le haut ou vers le bas, si la droite est verticale. Pour une droite horizontale, d'habitude on choisit l'orientation vers la droite, mais ce n'est qu'une convention.

Une fois que nous avons choisi une unité de mesure, nous pouvons facilement continuer notre procédé : pour trouver le point auquel on va associer le nombre 2, on va tout simplement reporter l'unité de mesure deux fois sur la droite à partir de l'origine. Pour le nombre -1, on va se déplacer d'une unité de mesure vers la gauche à partir de O. Pour les fractions de la forme $a/b$, on va diviser l'unité de mesure en b parties de la même longueur, et ensuite reporter cette longueur $a$ fois sur la droite, s'il s'agit d'un nombre positif, ou $a$ fois sur la gauche, s'il s'agit d'un nombre négatif.

De cette façon, nous arrivons à associer à chaque nombre rationnel un et un seul point de la droite. Il reste tout de même des trous sur la droite. Ces trous sont remplis par les nombres irrationnels, avec un procédé que l'on décrira plus tard, à l'aide des limites.

Nous avons donc représenté les nombres réels comme les points d'une droite. Ceci nous permet de donner une interprétation géométrique à des concepts algébriques.

Par exemple, si $x$ est un nombre réel, alors $|x|$ représente la distance entre le point de la droite associé au nombre $x$ et l'origine.

Ou encore, si $a$ et $b$ sont deux nombre réels et $a < b$, alors l'ensemble des nombres réels strictement compris entre $a$ et $b$ est le segment de la droite qui rejoint le point associé à $a$ avec le point associé à $b$ (sans les deux extrémités). Cet ensemble s'appelle aussi un **intervalle ouvert**, et il sera désigné par le symbole $]a, b[$ :

$$]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}.$$

De façon similaire, on définit l'**intervalle fermé** $[a, b]$ comme le même segment mais cette fois en incluant aussi les deux extrémités, et les deux intervalles **demi-ouverts** $]a, b]$ et $[a, b[$ respectivement, où l'on exclu l'extrémité de gauche mais pas celle de droite,
et vice versa, respectivement :

$$[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}$$

$$]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}$$

$$[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}.$$

Si maintenant on considère tous les nombres réels strictement plus grands que $a$, on obtient la **demi-droite** $]a, +\infty[$, $c$'est à dire le segment infini qui a $a$ comme extrémité gauche et qui s'étend indéfiniment vers la droite. On définit de façon similaire la demi-droite $]-\infty, a[$, qui s'étend indéfiniment à la gauche de $a$.

$$]a, +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} : x > a\}$$

$$[a, +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} : x \ge a\}$$

$$]-\infty, a[ = \{x \in \mathbb{R} : x < a\}$$

$$]-\infty, a] = \{x \in \mathbb{R} : x \le a\}$$

A partir de maintenant, nous allons toujours identifier les nombres réels avec les points d'une droite, nous parlerons donc de la **droite réelle**.
# Chapitre 2

## COURS II

### 2.1 Fonctions

Une fonction

$$f : A \to B,$$

où $A$ et $B$ sont deux ensembles, est une loi qui à tout élément de $A$ associe un unique élément de $B$. Pour tout $a \in A$ on désigne par $f(a) \in B$ l'unique élément de $B$ qui est associé à $a$ par $f$ (on dit que $f(a)$ est l'élément image de $a$ par $f$).

L'ensemble $A$ est appelé le **domaine** de la fonction $f$ et le sous-ensemble de $B$ constitué par tous les éléments de $B$ qui sont des éléments image d'un certain élément de $A$ s'appelle **ensemble image** :

$$\mathrm{Im}(f) = \{b \in B : b = f(a) \text{ pour un quelque } a \in A\} \subseteq B.$$

#### Exemples 2.1.1.

1. La loi qui associe à chaque jour du mois d'août la température maximale à Paris le jour en question, est une fonction de domaine $\{x \in \mathbb{N} : 1 \le x \le 31\}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ (et son ensemble image est contenu dans $\mathbb{R}^0 = \{x \in \mathbb{R} : x > 0\}$).

2. La loi qui à chaque jour de l'année associe le prix de l'essence à Paris n'est pas une fonction : en effet chaque pompe à essence parisienne fixe son propre prix; donc on ne peut pas associer à chaque jour un unique prix. Par contre, la loi qui à chaque jour de l'année associe le prix moyen de l'essence à Paris, est une fonction.

3. La loi qui exprime la pression atmosphérique en fonction de la hauteur depuis le niveau de la mer, est une fonction de domaine $\mathbb{R}^0$ et à valeurs dans $\mathbb{R}^0$.

4. La loi qui associe à chaque endroit sa latitude et sa longitude est une fonction de domaine une sphère (approximativement !) et à valeurs dans $\mathbb{R}^2$.

*Remarque 2.1.2.* Une fonction $f : A \to B$ est comme une boîte magique, avec une entrée et une sortie. A chaque fois qu'un élément $a \in A$ du domaine entre dans la boîte,
la magie s'opère et un élément $b = f(a) \in B$ est expulsé de la boîte. Ce qui se passe à l'intérieur de la boîte n'est pas important. Ce qui compte est que le procédé magique est toujours le même : à chaque fois qu'on fait rentrer $a$, à la sortie nous allons retrouver toujours le même $b$.

Cette analogie nous permet de dire quand deux fonctions (avec le même domaine) sont égales : puisque nous ne pouvons pas voir à l'intérieur des boîtes magiques, pour nous deux fonctions sont égales si et seulement si elles ont le même comportement, c'est-à-dire si et seulement si à chaque fois que l'élément $a \in A$ entre dans chacune des deux boîtes, on trouve le même élément $b \in B$ à la sortie de chacune des deux boîtes. Autrement dit, $f : A \to B$ et $g : A \to B$ sont égales si et seulement si pour tout $a \in A$ on a $f(a) = g(a)$.

Soit $f : A \to B$ une fonction, avec $A, B \subseteq \mathbb{R}$. Soit $A_0 \subseteq A$ un sous-ensemble du domaine de $f$. La fonction $f_0 : A_0 \to B$ qui coïncide avec $f$ sur tous les éléments de $A_0$, est aussi une fonction ($f_0$ s'appelle la **restriction** de $f$ à l'ensemble $A_0$).

**Exemple 2.1.3.** Considérons l'écriture

$$f(x) = x^2 + 1.$$

Quels sont le domaine et l'image de $f$ ? Pour le domaine, plusieurs réponses sont possibles :

Dom($f$) = $\mathbb{R}$, ou

Dom($f$) = $\mathbb{R}$, ou

Dom($f$) = $\mathbb{R}^{>0}$, ou

Dom($f$) = $\mathbb{N}$, ...

Est-ce qu'il y a une réponse plus naturelle, ou qui donne plus d'informations qu'une autre ?

La réponse qui donne le plus d'informations est celle qui indique le **domaine maximal de définition**. Puisque la fonction $f$ est bien définie pour tout $x \in \mathbb{R}$, autant dire que le domaine est $\mathbb{R}$.

Nous pouvons trouver l'ensemble image de $f$ une fois qu'on a déclaré que $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$ :

$$\text{Im}(f) = \{y \in \mathbb{R} : y \geq 1\}.$$

En effet, soit $b \geq 1$. On cherche $x \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) = b$. Il suffit de prendre $x = \sqrt{b-1}$ (qui est un nombre réel bien défini, puisque $b-1 \geq 0$).

*Remarque 2.1.4.* Soient $f, g$ deux fonctions avec $\text{Dom}(f) = \text{Dom}(g) \subseteq \mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$. Nous pouvons faire la somme, la soustraction, le produit et aussi, si $g(x) \neq 0$ pour tout $x \in \text{Dom}(g)$, le quotient de $f$ par $g$. Par exemple, $(f+g)$ est la fonction qui associe à tout $x \in \text{Dom}(f)$ le nombre $(f(x)+g(x)) \in \mathbb{R}$. Ou encore : $f^2$ est la fonction qui associe à tout $x \in \text{Dom}(f)$ le nombre $(f(x))^2 \in \mathbb{R}$.
## 2.1.1 Graphe

A toute fonction $f : A \to B$ nous allons associer un sous-ensemble du produit cartésien $A \times B$, qui s'appelle le **graphe** de $f$ :

$$ \Gamma_f = \{(a, b) \in A \times B : f(a) = b\}. $$

### Exemples 2.1.5.

* Le graphe de la fonction qui exprime la quantité de sucre en fonction de la quantité de farine dans une recette de gâteau est une droite : en effet, si on double, triple, quadruple la quantité de farine, il faut aussi doubler, tripler, quadrupler la quantité de sucre.

* Le graphe de la fonction qui à chaque étudiant associe son groupe sanguin est l'ensemble (fini) des paires de la forme $(x, y)$, où $x$ est un étudiant et $y$ est le groupe sanguin de l'étudiant $x$.

Le graphe de $f$ est donc un sous-ensemble de $A \times B$. Mais tout sous-ensemble de $A \times B$ n'est pas nécessairement le graphe d'une fonction. En effet, un sous-ensemble $X \subseteq A \times B$ est le graphe d'une fonction $f : A \to B$ si et seulement si pour tout $a \in A$ il existe un unique $b \in B$ tel que $(a, b) \in X$. Dans ce cas, $b = f(a)$.

Si nous représentons les éléments de l'ensemble $A$ comme les points d'une droite horizontale et les éléments de $B$ comme les points d'une droite verticale, alors les éléments de $A \times B$ sont tous les points d'intersections entre les droites verticales qui passent par les éléments de $A$ et les droites horizontales qui passent par les éléments de $B$. Dans cette représentation graphique, un ensemble $X \subseteq A \times B$ est le graphe d'une fonction si et seulement si toute droite verticale qui passe par un élément de $A$ intersecte $X$ en exactement un point.

## 2.2 Systèmes dynamiques continus

Un **système dynamique** est un ensemble de composants en interaction (un système), qui évolue selon une loi.

**Exemple 2.2.1.** Le pourcentage de graines de tomate qui germent sur une certaine plante dépend de la température ambiante. Pour la tomate cerise, le pourcentage $P_c$% de graines qui germent dépend de la température $T$ (exprimée en degrés Celsius) selon la loi

$$ P_c(T) = 10T - 200. $$

Par exemple, à 25 degrés Celsius, on a

$$ P_c(25) = 10 \cdot 25 - 200 = 50, $$
donc 50% des graines de tomate cerise germent à cette température.
Pour la tomate de Marmande par contre la loi est la suivante :

$$P_m(T) = \sqrt{T^3} - 60.$$

Donc à 25 degré Celsius on a

$$P_m(25) = 25^{\frac{3}{2}} - 60 = 125 - 60 = 65,$$

donc 65% des graines de tomate de Marmande germent à cette température.

Les lois d'évolution de l'exemple ci-dessus sont des **fonctions réelles**, et la variable indépendante est la température (exprimée en degrés Celsius).

Dans ce chapitre nous allons considérer des unités de mesure **continues** (des nombres réels arbitraires).

La représentation graphique nous aidera à interpréter les données et à formuler un modèle.

### 2.2.1 Proportionnalité

**Exemple 2.2.2.** Le prix au kg des pommes Reinettes est de 2 euros. Ceci veut dire que si j'achète 1 kg de pommes, je vais payer 2 euros, si j'en achète 2 kg, je vais payer 2 · 2 euros,..., si j'en achète 15 kg, je vais payer 15 · 2 euros.

Le coût de mes courses en pommes est **directement proportionnel** au poids des pommes achetées. Ceci veut dire qu'il existe une constante $K$ telle que, si $C$ est le coût de mes courses et $P$ est le poids des pommes achetées, alors

$$C = K \cdot P.$$

La constante $K$ est la **constante de proportionnalité**, dans cet exemple sa valeur est 2 (le prix au kg). Le coût $C$ des courses dépend du poids des pommes achetées : $C$ est une fonction de la variable $P$. Nous sommes en train de dire que $C$ est une fonction linéaire de la variable $P$.

**Exemple 2.2.3.** La température dans une pièce est **inversement proportionnelle** à la distance du radiateur. Ceci veut dire qu'il existe une constante $K$ telle que, si $T$ est la température à une certaine distance $d$ du radiateur, alors

$$T = \frac{K}{d}.$$

La température $T$ à un certain endroit est une fonction de la variable $d$. Nous sommes en train de dire que $T$ est une fonction linéaire de la variable $\frac{1}{d}$.
## 2.3 Modèles polynomiales

### 2.3.1 Modèle linéaire

Soient $m, q \in \mathbb{R}$. On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = mx + q.$$

Il s'agit d'une fonction linéaire, son graphe est une droite.

Si $m > 0$ alors $f$ est croissante, si $m < 0$ alors $f$ est décroissante, si $m = 0$ alors $f$ est constante.

Étant donnés deux points du plan $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$, on peut trouver l'équation de l'unique droite qui passe par ces deux points en résolvant le système

$$\begin{cases} y_1 = mx_1 + q \\ y_2 = mx_2 + q \end{cases}$$

où $m$ est $q$ sont les variables et $x_1, x_2, y_1, y_2$ sont les paramètres. On trouve

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \text{ et donc } q = y_1 - mx_1.$$

#### Exemples

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

### 2.3.2 Modèle quadratique

Soient $a, b, c \in \mathbb{R}$, avec $a \neq 0$. On considère la fonction $f$ définie par :
$$f(x) = ax^2 + bx + c.$$

Il s'agit d'une fonction quadratique, son graphe est une parabole.

Si $a > 0$ alors la parabole est convexe (le creux est vers le haut) et son point de minimum est $x = -\frac{b}{2a}$.

Si $a < 0$ alors la parabole est concave (le creux est vers le bas) et son point de maximum est $x = -\frac{b}{2a}$.

Étant donnés trois points du plan non alignés, on peut trouver l'équation de l'unique parabole qui passe par ces trois points en résolvant un système, comme dans le cas linéaire.

### Exemples

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

#### 2.3.3 Modèle polynomial de degré n

Soient $n \in \mathbb{N}$ et $a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}$, avec $a_n \neq 0$. On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0.$$

Il s'agit d'une fonction polynomiale de degré $n$. Si $n = 1$, on retrouve une fonction linéaire. Si $n = 2$, on retrouve une fonction quadratique. Si $n = 3$, on parle d'une fonction cubique, etc.
La forme du graphe dépend du polynôme considéré.

Exemples

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

$$f(x) = -x^{3} + 4x - 1$$

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

$$f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)x$$

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

$$f(x) = -3x^{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3)$$
## 2.4 Rappels sur les limites et les dérivées

### 2.4.1 Limites et continuité

Soient $f: A \to B$ une fonction, avec $A, B \subseteq \mathbb{R}$, et $x_0 \in \text{Dom}(f)$. On dit que $f$ est **continue** en $x_0$ si la valeur de $f$ en les points suffisamment proches de $x_0$ est arbitrairement proche de $f(x_0)$. Pour formaliser cette affirmation, nous avons besoin d'introduire la notion de **limite**.

Soient $f$ une fonction réelle, $x_0, l \in \mathbb{R}$. On dit que $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ si la valeur de $f(x)$ s'approche autant que l'on veut de $l$ lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $x_0$.

*Remarque 2.4.1.* La définition de limite ci-dessus n'est pas très précise mathématiquement. Elle fait appel à l'expression “autant que l'on veut”, qu'il faudrait expliquer un peu mieux. L'idée est la suivante : dire que “$\lim_{x \to x_0} f(x) = l$” signifie que pour tout choix d'un nombre réel positif $\varepsilon$ arbitrairement petit, on peut trouver un nombre réel positif $\eta$ suffisamment petit de façon à ce que

$$ \text{si } |x - x_0| < \eta, \text{ alors } |f(x) - l| < \varepsilon. $$

Autrement dit, en choisissant $x$ suffisamment proche de $x_0$, on arrive à rendre $f(x)$ arbitrairement proche de $l$.

L'écriture $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ se lit aussi “$f$ tend vers $l$, lorsque $x$ tend vers $x_0$”.

Nous avons aussi toutes les variantes suivantes (essayez par exercices de traduire les phrases suivantes en formules mathématiques) :

* On écrit $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l$ si la valeur de $f(x)$ s'approche autant que l'on veut de $l$ lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $x_0$ par la droite.

* On écrit $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l$ si la valeur de $f(x)$ s'approche autant que l'on veut de $l$ lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $x_0$ par la gauche.

* On écrit $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ si la valeur de $f(x)$ s'approche autant que l'on veut de $l$ lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $x_0$ (de n'importe quelle direction).

* On écrit $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$ si la valeur de $f$ est aussi grande que l'on veut lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $x_0$ par la droite.

* On écrit $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$ si la valeur de $f$ est aussi grande que l'on veut lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $x_0$ par la gauche.

* On écrit $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ si la valeur de $f$ est aussi grande que l'on veut lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $x_0$ (de n'importe quelle direction).

* On écrit $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$ si la valeur de $f$ est de aussi petite que l'on veut lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $x_0$ par la droite.
○ On écrit $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$ si la valeur de $f$ est de aussi petite que l'on veut lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $x_0$ par la gauche.

○ On écrit $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$ si la valeur de $f$ est aussi petite que l'on veut lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $x_0$ (de n'importe quelle direction).

○ On écrit $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$ si la valeur de $f(x)$ s'approche autant que l'on veut de $l$ lorsque $x$ est de plus en plus grand.

○ On écrit $\lim_{x \to -\infty} f(x) = l$ si la valeur de $f(x)$ s'approche autant que l'on veut de $l$ lorsque $x$ est de plus en plus petit.

○ On écrit $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ si la valeur de $f$ est aussi grande que l'on veut lorsque $x$ est de plus en plus grand.

○ On écrit $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ si la valeur de $f$ est aussi petite que l'on veut lorsque $x$ est de plus en plus grand.

○ On écrit $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ si la valeur de $f$ est aussi grande que l'on veut lorsque $x$ est de plus en plus petit.

○ On écrit $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ si la valeur de $f$ est aussi petite que l'on veut lorsque $x$ est de plus en plus petit.

*Remarque 2.4.2.* Soit $l \in \mathbb{R}$. L'écriture $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l^+$ signifie que lorsque $x \to x_0$, les valeurs de $f(x)$ sont de plus en plus proches de $l$, tout en restant *plus grandes* que $l$. L'écriture $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = l^-$ signifie que lorsque $x \to x_0$, les valeurs de $f(x)$ sont de plus en plus proches de $l$, tout en restant *plus petites* que $l$.

**Exemple 2.4.3.** $\lim_{x \to 0^+} x = 0^+$, car, lorsqu'on s'approche de 0 depuis la droite, la fonction $x$ atteint que des valeurs positives. Par contre $\lim_{x \to 0^-} x = 0^-$, car, lorsqu'on s'approche de 0 depuis la gauche, la fonction $x$ atteint que des valeurs négatives. On a aussi $\lim_{x \to 0} x^2 = 0^+$, car, lorsqu'on s'approche de 0 depuis n'importe quel côté, la fonction $x^2$ atteint que des valeurs positives.

Nous pouvons maintenant exprimer de façon précise la notion de fonction continue.

**Définition 2.4.4.** Soient $f : A \to B$ une fonction, avec $A, B \subseteq \mathbb{R}$, et $x_0 \in \text{Dom}(f)$. Alors $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si

$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0). $$

De façon intuitive, $f$ ne fait pas un saut en $x_0$.

On dit que $f$ est continue si elle est continue en tous points de son domaine.
## 2.4.2 Calcul des limites

Si $f$ est une fonction réelle et $x_0 \in \mathbb{R}$, on dit que $f$ est **définie au voisinage de x_0** s'il existe un intervalle ouvert $I$ tel que $x_0 \in I$ et $I \subseteq \text{Dom}(f)$. On étend cette définition à $x_0 = \pm\infty$ en disant que $f$ est définie au voisinage de $+\infty$ (resp. $-\infty$) s'il existe une demi-droite ouverte $I$ de la forme $]a, +\infty[$ (resp. $]-\infty, a[$) telle que $I \subseteq \text{Dom}(f)$.

De façon similaire, on dit que $f$ a une certaine propriété P **au voisinage de $x_0$** s'il existe $I$ comme ci-dessus tel que la *restriction* de $f$ à $I$ a la propriété P.

On dit que $f$ a une certaine propriété P **au voisinage épointé de $x_0$** s'il existe $I$ comme ci-dessus tel que la *restriction* de $f$ à $I \setminus \{x_0\}$ a la propriété P (autrement dit, la propriété P est valable en tous les points de $I$ sauf au plus en le point $x_0$).

On dit que $f$ a une certaine propriété P **au voisinage à droite de $x_0$** (resp. **au voisinage épointé à droite de $x_0$**) s'il existe un intervalle $I$ de la forme $[x_0, a[$ (resp. de la forme $]x_0, a[$), pour un certain nombre réel $a > x_0$, tel que la restriction de $f$ à $I$ a la propriété P.

De façon similaire on peut définir la notion de $f$ ayant une propriété **au voisinage à gauche de $x_0$** (resp. **au voisinage épointé à gauche de $x_0$**).

Un théorème fondamental sur les limites nous dit que si une fonction admet une limite, alors cette limite est **unique**.

Quelle sont les règles fondamentales de calcul des limites ?

Tous les résultats de cette section ont aussi des versions analogues, où on remplace l'expression "au voisinage (épointé) de $x_0$" par l'expression "au voisinage (épointé) à droite (resp. gauche) de $x_0$" et où on remplace $\lim_{x \to x_0}$ par $\lim_{x \to x_0^+}$ (resp. $\lim_{x \to x_0^-}$).

### 2.4.2.1 Croissance des limites

Soit $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$ et soient $f, g$ deux fonctions définies au voisinage de $x_0$ et vérifiant $f \le g$ au voisinage de $x_0$. Si les limites en $x_0$ de $f$ et de $g$ existent, alors elles satisfont $\lim_{x \to x_0} f(x) \le \lim_{x \to x_0} g(x)$.

### 2.4.2.2 Théorème des gendarmes

Soit $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$. Soient $f, g$ et $h$ trois fonctions définies au voisinage de $x_0$ et vérifiant $f \le g \le h$ au voisinage de $x_0$. Si $f$ et $h$ ont la même limite $\ell$ (finie ou infinie) en $x_0$ alors $g$ a aussi $\ell$ pour limite en $x_0$.

Soient $f, g$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$ et supposons que les limites en $x_0$ de $f$ et de $g$ existent (finies ou infinies). Soit $\ell \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
### 2.4.2.3 Opérations arithmétiques et limites

Soient $f, g$ deux fonctions réelles et soit $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$ un point dans les domaines de $f$ et de $g$. Si les limites en $x_0$ de $f$ et de $g$ existent et sont finies, alors

$$ \lim_{x \to x_0} (f + g)(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x), $$

$$ \lim_{x \to x_0} (f \cdot g)(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x), $$

$$ \lim_{x \to x_0} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) \quad (\text{si } c \in \mathbb{R}), $$

si $\lim_{x \to x_0} g(x) \neq 0$, alors

$$ \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f}{g} \right) (x) = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)} $$

*Remarque* 2.4.5. Les formules ci-dessus ont aussi un sens dans certains cas quand les limites de $f$ et/ou de $g$ ne sont pas finies. En particulier,

* la formule de la somme a un sens sauf si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$ et $\lim_{x \to x_0} g(x) = \mp\infty$

* la formule du produit a un sens sauf si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$ et $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ (ou vice versa)

* la formule du quotient a un sens sauf si $\lim_{x \to x_0} f(x) = (\pm) \infty$ et $\lim_{x \to x_0} g(x) = (\pm) \infty$

*Notation* 2.4.6. Nous allons utiliser une notation raccourcie pour les limites infinies.

Par exemple, l'écriture $(+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$ est un raccourci pour la phrase suivante : si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = +\infty$.

En utilisant la définition de limite, on démontre que

$$ \lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^{\pm}} x^n = (0^{\pm})^n = 0^{\pm} \quad (n \text{ entier positif pair}) $$

$$ \lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty, \quad \lim_{x \to 0^{\pm}} x^n = (0^{\pm})^n = 0^{\pm} \quad (n \text{ entier positif impair}). $$

$$ \lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty, \quad (n \text{ entier positif}) $$

En utilisant les règles rappelées ci-dessus, on en déduit que

$$ \lim_{x \to 0^{\pm}} x^{-n} = +\infty \quad (n \text{ entier positif pair}) $$

$$ \lim_{x \to 0^+} x^{-n} = +\infty \quad \lim_{x \to 0^-} x^{-n} = -\infty \quad (n \text{ entier positif impair}). $$

$$ \lim_{x \to \pm\infty} x^{-n} = \frac{1}{\lim_{x \to \pm\infty} x^n} = \frac{1}{\pm\infty} = 0^{\pm} \quad (n \text{ entier positif}) $$
### 2.4.3 La dérivée

Si la limite dans la formule

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$

existe et est finie, alors on dit que $f$ est **dérivable** en $x_0$. La valeur de cette limite est la **dérivée** $f'(x_0)$ de $f$ en $x_0$.

La plus part des fonctions qu'on va considérer dans ce cours sont dérivables sur tout leur domaine. Cependant, il y a une fonction continue très utile pour nous qui n'est pas dérivable en zéro : il s'agit de la fonction valeur absolue.

Une fonction qui est dérivable en tout point de son domaine est dite dérivable, et la **fonction dérivée** $f'$ est la fonction qui associe à tout $x \in \text{Dom}(f)$ le nombre $f'(x) \in \mathbb{R}$.

Toute fonction dérivable est aussi continue.

### 2.4.4 Calcul des dérivées

En utilisant la définition de dérivée, on démontre que

$$ (x^n)' = nx^{n-1}, \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}. $$

#### 2.4.4.1 Opérations arithmétiques et dérivées

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables et soit $c \in \mathbb{R}$. Les fonctions $f \pm g$, $c \cdot f$, $f \cdot g$ sont dérivables et

$$ (f \pm g)' = f' \pm g' $$

$$ (c \cdot f)' = c \cdot f' $$

$$ (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' $$

Si $g$ ne s'annule jamais, alors la fonction $\frac{f}{g}$ est dérivable et

$$ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$

#### Exemples 2.4.7.

* Si $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ est un polynôme, alors $p'(x) = n \cdot a_n x^{n-1} + (n-1) \cdot a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1$.

* Si $f$ est la fonction constante $f(x) = c$, pour un certain $c \in \mathbb{R}$, alors $f'(x) = 0$, c'est-à-dire, la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle.

Vice versa, une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ qui a comme dérivée la fonction nulle est forcément une fonction constante.
# Chapitre 3

## COURS III

### 3.1 Exponentielles, logarithmes, parties entières

#### 3.1.1 Puissances ou exponentielles

Soient $a$ un nombre réel et $n$ un nombre naturel. Quand on multiplie $a$ par lui même $n$ fois, on utilise la notation des **puissances** ou notation **exponentielle** :

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ fois}}.$$

Le nombre $a$ s'appelle la **base** de la puissance et le nombre $n$ s'appelle l'exposant. On rappelle les propriétés suivantes :

$$ \begin{gathered} a^n \cdot a^m = a^{n+m} ; \quad (a^n)^m = a^{n \cdot m} ; \quad (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \\ \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} ; \quad a^0 = 1 ; \quad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \end{gathered} \quad (3.1) $$

On remarque que si $n < m$ alors dans l'une des égalités ci-dessus on est en train d'introduire des puissances négatives. Plus précisément, pour tout nombre naturel $n$, on pose

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

et on remarque que les propriétés dans (3.1) restent aussi valides si on prend des exposants entiers, positifs ou négatifs.

Nous voulons maintenant généraliser cette notation, quand $a \ge 0$, à tout exposant rationnel, tout en respectant les propriétés dans (3.1). Si $n$ est un nombre naturel, on voit tout de suite que nécessairement

$$(a^{1/n})^n = a^{\frac{n}{n}} = a^1 = a.$$
Donc pour définir $a^{1/n}$ la seule possibilité est de prendre l'unique racine $n$-ème positive de $a$ :

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}.$$

Si $n, m$ sont entiers, alors nous sommes obligés de définir

$$a^{\frac{n}{m}} = (a^{1/m})^n = \sqrt[n]{a^n}.$$

**Exemples 3.1.1.**

$$ \begin{aligned} 2^{1/2} &= \sqrt{2} \\ 27^{1/3} &= \sqrt[3]{27} = 3 \\ 8^{-5/6} &= (8^{1/3})^{-5/2} = \frac{1}{2^2 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \end{aligned} $$

La notation en puissances rationnelles est plus commode que la notation avec les racines $n$-èmes et permet de faire moins d'erreurs de calcul.

Cette notion peut être aussi généralisée à tout exposant réel, de façon que, encore une fois, les propriétés dans (3.1) soient respectées (nous verrons plus tard comment le faire).

**Exemples 3.1.2.**

$$ \begin{aligned} (2^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} &= 2^2 = 4 \\ 3^{2\sqrt{3}} &= 9^{\sqrt{3}} \\ 5^{2-\pi} &= \frac{25}{5\pi} \end{aligned} $$

**Question 3.1.3.** Pourquoi avons nous donné une interprétation de cette notation seulement pour $a \ge 0$ ? Sauriez-vous définir la valeur de $(-2)^{1/2}$ ?

*Remarque 3.1.4.* Attention : pour tout nombre réel positif $a$ et pour tout nombre réel (positif ou négatif) $b$ on a **toujours** $a^b > 0$. Ceci peut être expliqué de façon intuitive comme suit : si $b \ge 0$ alors $a^b$ n'est rien d'autre que le nombre positif $a$ multiplié par lui-même $b$ fois ; si $b < 0$ alors $a^b$ n'est rien d'autre que le nombre positif $\frac{1}{a}$ multiplié par lui même $(-b)$ fois !

On rappelle les **identités remarquables** suivantes :

$$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$$

$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

$$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$$
Remarque 3.1.5. Les puissances ont la priorité sur les produits et les divisions : ainsi,
$2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9$ et pas $6^2$!

3.1.2 Logarithmes

L'opération inverse de la puissance est le logarithme.

**Exemple 3.1.6.** Soit $r$ le nombre réel tel que $4^r = \frac{7}{5}$. Quelle est la valeur de $r$ ?

$$
r = \log_{4} \left( \frac{7}{5} \right) = 0,242713\ldots
$$

Étant donnés deux nombre réels **positifs** a et b, on peut calculer le **logarithme de**
b **en base** a : sa valeur est l'unique nombre réel r tel que a^r = b.

On rappelle les propriétés fondamentales des logarithmes : pour tout a, b, c > 0, avec
a ≠ 1, et pour tout nombre réel r,

$$
\begin{align*}
\log_a (b \cdot c) &= \log_a (b) + \log_a (c) \\
\log_a \left( \frac{b}{c} \right) &= \log_a (b) - \log_a (c) \\
\log_a (1) &= 0 \; ; \log_a (a) = 1 \\
\log_a (a^r) &= r \; ; \ a^{\log_a (b)} = b \\
\log_a (b^r) &= r \log_a (b) \\
\log_a (b) &= \frac{\log_c (b)}{\log_c (a)}
\end{align*}
$$

En particulier,

$$
\log_a (b) = - \log_a \left( \frac{1}{b} \right) = - \log_{\frac{1}{a}} (b) = \log_{\frac{1}{a}} \left( \frac{1}{b} \right) = \frac{1}{\log_b (a)}
$$

Lorsque $a = e$, on écrit $\ln(b)$ pour $\log_e(b)$ (le **logarithme naturel**).

Remarque 3.1.7. Les calculatrices souvent ne calculent que le logarithme naturel et le logarithme en base 10. Grâce à la dernière propriété dans (3.2), pour calculer $\log_a(b)$ il suffit de calculer le quotient $\frac{\ln(b)}{\ln(a)}$ ou encore le quotient $\frac{\log_{10}(b)}{\log_{10}(a)}$.

De plus, toujours grâce à la même propriété nous avons une façon facile de passer, par
exemple, du logarithme en base 10 au logarithme naturel et vice versa : si c est un
nombre réel, alors

$$
\ln c = \frac{\log_{10} c}{\log_{10} e} \text{ et } \log_{10} c = \frac{\ln c}{\ln 10}.
$$

Maintenant nous pouvons donner la définition précise de $a^b$, quand $a, b \in \mathbb{R}$.
**Définition 3.1.8.** Soient $a, b \in \mathbb{R}$, avec $a > 0$. On définit

$$a^b = e^{b \ln(a)}.$$

Cette définition est cohérente avec tout ce qu'on a dit jusqu'à maintenant, car

$$a^b = e^{\ln(a^b)} \text{ et } \ln(a^b) = b \ln(a).$$

### 3.1.3 Égalités et inégalités avec puissances et logarithmes

Soient $a, b, c \in \mathbb{R}$ des nombres réels strictement positifs.

Si $a = b$ alors :

$$\circ a^c = b^c, a^{-c} = b^{-c} \text{ et } c^a = c^b, c^{-a} = c^{-b};$$

$$\circ \log_a c = \log_b c \text{ et } \log_c a = \log_c b.$$

Comment se comportent les puissances et les logarithmes par rapport aux inégalités ?

Si $a < b$ alors :

$$\circ \text{ si } c > 1 \text{ alors } c^a < c^b \text{ et donc } c^{-a} = \frac{1}{c^a} > \frac{1}{c^b} = c^{-b};$$

$$\circ \text{ si } c < 1 \text{ alors } \frac{1}{c} > 1, \text{ et donc } c^a = \left(\frac{1}{c}\right)^{-a} > \left(\frac{1}{c}\right)^{-b} = c^b \text{ et } c^{-a} < c^{-b};$$

$$\circ a^c < b^c \text{ et donc } a^{-c} = \frac{1}{a^c} > \frac{1}{b^c} = b^{-c};$$

$$\circ \log_c a < \log_c b \text{ et donc } \log_a c = \frac{\ln c}{\ln a} > \frac{\ln c}{\ln b} = \log_b c.$$

*Remarque 3.1.9.* Comment faire pour se souvenir des règles ci-dessus ? Nous verrons plus tard que les fonctions exponentielle, logarithme et puissance à exposants positifs sont *strictement croissantes*. Donc, il suffit de se souvenir du fait que, si $x < y$ et $c > 0$, alors

$$\begin{aligned} e^x &< e^y \\ \ln x &< \ln y \\ x^c &< y^c \end{aligned}.$$

En effet, $c^x = e^{\ln(c^x)} = e^{x \ln c} = (e^x)^{\ln c}$. Or, $c > 1$ si et seulement si $\ln c > 0$. Donc on peut utiliser la première et la dernière des formules centrées ci-dessus pour déduire que $c^x < c^y$ si $c > 1$ et $x < y$. Un raisonnement analogue vaut si $c < 1$.

Pour le logarithme, on observe que $\log_c x = \frac{\ln x}{\ln c}$ et, en utilisant la deuxième des formules centrées ci-dessus on en déduit que $\log_c x < \log_c y$ si $x < y$.

### 3.1.4 Parties entières

#### Exemple 3.1.10.
1. Quand on vous demande quel âge vous avez, vous ne répondez pas “19 ans, 4 mois, 3 jours, 5 heures et 3 minutes”, mais tout simplement “19 ans”, c’est à dire, le plus grand nombre entier qui est plus petit ou égal à votre âge.

2. Le médecin vous dit de faire une cure d'une pilule de fer par jour pendant un mois et demi, le pharmacien ne vend que des boîtes de 30 pilules. Vous allez alors acheter deux boîtes, c'est à dire, le plus petit nombre entier de boîtes qui est plus grand ou égal à 1, 5.

La **partie entière inférieure** d'un nombre réel $x$ est le plus grand nombre entier $y$ tel que $y \le x$.

Elle est désignée par le symbole $\lfloor x \rfloor$.

La **partie entière supérieure** d'un nombre réel $x$ est le plus petit nombre entier $y$ tel que $y \ge x$. Elle est désignée par le symbole $\lceil x \rceil$.

Notons que $\lfloor x \rfloor$ est l'entier qu'on obtient si on oublie tous les chiffres après la virgule dans la représentation décimale de $x$.

Remarquons aussi que si $x$ est un nombre entier, alors $\lfloor x \rfloor = \lceil x \rceil = x$. Si $x$ n'est pas entier, alors $\lfloor x \rfloor = \lceil x \rceil + 1$.

En général,

$$ \lfloor x \rfloor \le x < \lceil x \rceil. $$

**Question 3.1.11.** Est-ce que la partie entière (inférieure/supérieure) de la somme de deux nombres réels est égale à la somme des parties entières (inférieures/supérieures) des deux nombres ? Et pour la différence, le produit, le quotient ?

## 3.2 Modèles de type puissance, exponentiel et logarithmique

Si $\lim_{x \to x_0} f(x) > 0$ alors

$$ \lim_{x \to x_0} (f(x))^{g(x)} = \left( \lim_{x \to x_0} f(x) \right)^{\lim_{x \to x_0} g(x)} . $$

*Remarque 3.2.1.* La formule de la puissance a un sens sauf si :

$$ \circ \lim_{x \to x_0} f(x) = 1 \text{ et } \lim_{x \to x_0} g(x) = \pm\infty $$

$$ \circ \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \text{ et } \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 $$

$$ \circ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 \text{ et } \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 $$

### 3.2.1 Modèle de type puissance

Soit $r \in \mathbb{R}$. On considère la fonction $f$ définie par :
$$f(x) = x^r$$

Le domaine de $f$ est $\begin{cases} \mathbb{R} & \text{si } r \in \mathbb{N} \\ \mathbb{R} \setminus \{0\} & \text{si } r \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \text{ et son image est} \\ \mathbb{R}^{>0} & \text{si } r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} \end{cases}$
$$ \begin{cases} \mathbb{R}^{\ge 0} & \text{si } r \in \mathbb{N} \text{ et } r \text{ est pair} \\ \mathbb{R} & \text{si } r \in \mathbb{N} \text{ et } r \text{ est impair} \\ \mathbb{R}^{>0} & \text{si } r \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \text{ et } r \text{ est pair} \\ \mathbb{R} \setminus \{0\} & \text{si } r \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \text{ et } r \text{ est impair} \\ \mathbb{R}^{>0} & \text{si } r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} \end{cases} $$

En utilisant la définition de limite, on démontre que

$$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{si } r \in \mathbb{N} \text{ et } r \text{ est pair} \\ -\infty & \text{si } r \in \mathbb{N} \text{ et } r \text{ est impair} \\ 0 & \text{si } r \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \end{cases} $$

$$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{si } r \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \text{ et } r \text{ est pair} \\ -\infty & \text{si } r \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \text{ et } r \text{ est impair} \end{cases} $$

$$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \text{ si } r < 0 $$

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{si } r > 0 \\ 0 & \text{si } r < 0 \end{cases} $$

Les fonctions puissances sont dérivables sur tout leur domaine et

$$(x^a)' = ax^{a-1}, \text{ pour tout } a \in \mathbb{R}.$$

Pour $a = 0$, nous obtenons $(1)' = 0$, c'est-à-dire : la dérivée de la fonction constante 1 est la fonction nulle.

Le graphe de $f$ est symétrique par rapport à l'axe vertical si $r \in \mathbb{Z}$ et $r$ est pair, et symétrique par rapport à l'origine si $r \in \mathbb{Z}$ et $r$ est impair.

Exemples
<figure><img src="image_26.png" /></figure>

$f(x) = x^3$

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

$f(x) = x^{\pi}$

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

$f(x) = 1/x$

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

$f(x) = x^{-\sqrt{2}}$
<figure><img src="image_30.png" /></figure>

3.2.2 Modèle exponentiel (en base e)

On considère la fonction $f$ définie par :
$$f(x) = e^x.$$

$f$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$, est croissante et positive pour tout $x \in \mathbb{R}$.

En utilisant la définition de limite, on démontre que $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et que $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0^+$.

La fonction exponentielle est dérivable sur tout son domaine et

$$(e^x)' = e^x,$$

### Graphe

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

### 3.2.3 Modèle logarithmique (en base $e$)

On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \ln x.$$

$f$ est définie pour tout $x > 0$, est croissante et son image est $\mathbb{R}$.

En utilisant la définition de limite, on démontre que $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ et que $\lim_{x \to -\infty} \ln x = -\infty$.

La fonction logarithme est dérivable sur tout son domaine et

$$(\ln x)' = \frac{1}{x}.$$
## Graphe

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

*Remarque 3.2.2.* Grâce aux règles des dérivée, nous pouvons calculer les dérivées suivantes.

◦ Si $f(x) = \log_a x$, pour un certain $a \in \mathbb{R}^{>0}$, alors $f'(x) = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot x$

◦ Si $f(x) = x^3 \cdot e^x$, alors $f'(x) = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x$.

◦ Si $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} \cdot \ln x$, alors

$$ 
\begin{aligned}
f'(x) &= -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} \cdot \ln x + x^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \ln x + x^{-\frac{3}{2}} \\
&= x^{-\frac{3}{2}} \left( -\frac{1}{2} \ln x + 1 \right) = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}.
\end{aligned}
$$

## 3.3 Suites

Nous allons considérer un type spécial de fonctions réelles : les suites. Une *suite* est une fonction de domaine $\mathbb{N}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$

$$f : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}.$$

Puisque la variable est un nombre naturel, d'habitude on la note par $n$ et non pas par $x$.

L'élément image de $n$ est souvent noté $x_n$ (ou $a_n$, $b_n$, $c_n$, etc.) et non pas $f(n)$. De cette façon, une suite devient une collection de nombres réels indicés par des nombres naturels : $x_0, x_1, x_2, \dots, x_n, \dots$
Ce n’est qu’un choix de notation, ne vous laissez pas confondre : dans l’écriture $x_n$ la variable indépendante est $n$ et la valeur de la fonction $f$ en $n$ est $x_n$.

Une suite est une fonction réelle comme une autre. Le graphe d’une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donc l’ensemble (infini) des paires $(n, x_n)$.

**Exemples 3.3.1.** On définit :

$$a_n = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

$$b_n = n^2$$

$$c_n = \text{le } n\text{-ème nombre premier}$$

$$d_n = \sqrt{n}$$

Donc on a :

$$(a_n)_{n \in \mathbb{N}} = 0, 1, 3, 6, 10, \dots$$

$$(b_n)_{n \in \mathbb{N}} = 0, 1, 4, 9, 16, \dots$$

$$(c_n)_{n \in \mathbb{N}} = 1, 2, 3, 5, 7, \dots$$

$$(d_n)_{n \in \mathbb{N}} = 0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \dots$$

Les suites dans les exemples sont exprimées en tant que fonctions : on donne de façon explicite la loi qui associe à la variable $n$ son image $x_n$. On peut aussi exprimer le terme général d'une suite par rapport à des termes précédents. Par exemple :

$$x_{n+1} = 2x_n.$$

Dans ce cas, il faut aussi spécifier le premier terme. Par exemple :

$$x_0 = 1.$$

La suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donnée par récurrence : on défini le terme initial et la loi qui nous permet de passer d'un terme au terme successif. Dans l'exemple ci-dessus :

$$x_0 = 1$$

$$x_1 = 2x_0 = 2 \cdot 1 = 2$$

$$x_2 = 2x_1 = 2 \cdot 2 = 4.$$

$$x_3 = 2x_2 = 2 \cdot 4 = 8$$

...

## 3.4 Systèmes dynamiques discrets

**Exemple 3.4.1.** Le taux de croissance annuel d'une population de cerfs est de 20% et le problème n'indique aucune cause externe de mortalité. Nous allons supposer qu'au
début la population de cerfs est constituée de $x_0$ individus.
Après un an la population de cerfs sera de

$$x_1 = \left(1 + \frac{20}{100}\right) x_0.$$

Après deux ans, on aura $x_2 = (1 + \frac{20}{100}) x_1 = (1 + \frac{20}{100})^2 x_0$ et après trois ans, $x_3 = (1 + \frac{20}{100}) x_2 = (1 + \frac{20}{100})^3 x_0$.

Nous pouvons résumer la situation en disant que pour tout nombre naturel $n$,

$$x_{n+1} = \left(1 + \frac{20}{100}\right) x_n \qquad (3.3)$$

Nous voyons que pour calculer la valeur de $x_n$ pour une année $n$ donnée, nous n'avons pas besoin de calculer d'abord $x_{n-1}, x_{n-2}, \dots, x_1$ mais nous savons trouver une formule explicite qui exprime $x_n$ en fonction de $n$ et de la donnée initiale $x_0$. Il s'agit de la formule

$$x_n = \left(1 + \frac{20}{100}\right)^n x_0. \qquad (3.4)$$

Le système dynamique décrit ci-dessus est un exemple de système dynamique **discret**. Le mot “discret” indique que le temps est mesuré en unités fixées (dans ce cas, les années) et on ne se demande pas ce qui se passe après une fraction de l’unité de temps (par exemple, après quelques mois, ou jours, ou secondes).

L'équation (3.3), qui nous dit comment évolue le système entre deux unités de temps successives s'appelle **équation de récurrence**. Pour pouvoir prédire le comportement du système pour des temps très grands, il est utile de savoir déterminer aussi une **solution explicite**, comme dans l'équation (3.4). La valeur $x_0$ représente la **condition initiale**.

Comme l'exemple ci-dessus l'indique, pour décrire un système dynamique discret nous utilisons une **suite**.

Nous allons voir quelques exemples de problèmes qui se modélisent avec les suites.

### 3.4.1 Suites arithmétiques

**Exemple 3.4.2.** La masse d'un poisson croît de 100 g par an. A la naissance, le poisson pèse 45 g. Combien pèse-t-il à l'âge de 4 ans ?

Nous notons $x_n$ le poids du poisson (en grammes) à l'âge de $n$ ans. Nous avons l'équation de récurrence

$$x_{n+1} = x_n + 100 \qquad (3.5)$$
et la condition initiale $x_0 = 45$ g. Écrivons

$$x_1 = x_0 + 100$$

$$x_2 = x_1 + 100$$

$$x_3 = x_2 + 100$$

$$x_4 = x_3 + 100.$$

Si nous faisons la somme des termes de gauche et des termes de droite de ces quatre équations, nous obtenons

$$x_4 + x_3 + x_2 + x_1 = x_3 + x_2 + x_1 + x_0 + 4 \times 100.$$

En simplifiant,

$$x_4 = x_0 + 4 \times 100 = 445 \text{ g.}$$

Une suite **arithmétique** de facteur additif $b$ et valeur initiale $x_0$ est une suite qui satisfait l'équation de récurrence

$$x_{n+1} = x_n + b. \qquad (3.6)$$

La solution explicite de cette équation de récurrence est

$$x_n = x_0 + n \cdot b. \qquad (3.7)$$

On utilise les suites arithmétiques pour modéliser des situations où il y a une augmentation/diminution *constante* de la quantité mesurée, à chaque unité de temps. Une augmentation correspond à une valeur positive de $b$ et une diminution correspond à une valeur négative de $b$.

**Exemple 3.4.3.** Considérons le poisson de l'exemple précédant. Après combien d'années va-t-il avoir un poids $\ge 1$ kg ?

L'équation de récurrence (3.5) a comme solution explicite

$$x_n = 45 + n \cdot 100.$$

On se demande au bout de combien d'années le poids du poisson va franchir les 1000 g. D'abord voyons à quelle âge le poisson va peser exactement 1 kg : ceci revient à résoudre l'équation

$$1000 = 45 + n \cdot 100 \qquad (3.8)$$

par rapport à la variable $n$. La solution est

$$n = \frac{1000 - 45}{100} = 9,55.$$

Donc le poisson pèsera 1 kg à l'âge de 9 ans, 6 mois, 18 jours et quelques heures. Or, nous sommes intéressés seulement par des valeurs entières de la variable $n$, car nous pesons le poisson seulement une fois par an. Ce sera donc après 10 ans de vie du poisson que nous allons mesurer pour la première fois un poids supérieur ou égal à 1 kg.
On remarque que 10 est la partie entière supérieure de 9,55, noté ⌊9,55⌋.

**Exemple 3.4.4.** Dans l'exemple ci-dessus, étant donné un nombre naturel $M$, jusqu'à quelle année notre poisson aura-t-il un poids inférieur ou égal à $M$ g ? A partir de quelle année aura-t-il un poids $\geq M$ g ?

La réponse à la première question est donnée par

$$n = \left\lfloor \frac{M - 45}{100} \right\rfloor,$$

la réponse à la deuxième question est donnée par

$$n = \left\lfloor \frac{M - 45}{100} \right\rfloor.$$

Au fur et à mesure des années, notre poisson devient de plus en plus gros. Nous pouvons fixer un poids $M$ arbitrairement grand et nous trouverons toujours un entier $n$ tel qu'après $n$ ans le poisson ait un poids $\geq M$.

Cette intuition se traduit de façon précise avec le concept de *limite*, que nous allons voir plus tard. Les remarques ci-dessus nous conduisent à affirmer qu'une suite arithmétique de raison $r$ tend vers $+\infty$ si $b > 0$ et tend vers $-\infty$ si $b < 0$, lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

**Exercice 3.4.5.** Le prix de vente d'une voiture commercialisée initialement en 1995 diminue tous les ans de la même valeur. En 2002, elle est affichée au prix de 13 200 euros. On relève en 2006 un prix de vente de 11 600 euros. On note $x_n$ le prix de vente de ce modèle l'année (1995 + $n$).

1. Quelle est la valeur de la diminution annuelle du prix de la voiture ?

Comme le prix de vente diminue tous les ans de la même valeur, nous pouvons modéliser ce problème avec une suite arithmétique, d'équation de récurrence

$$x_{n+1} = x_n + b,$$

dont la solution est

$$x_n = x_0 + nb.$$

Voilà nos données : $x_7 = 13200$ euros et $x_{11} = 11600$ euros. La première question nous demande d'établir la valeur de $b$. Nous avons donc à résoudre le système

$$\begin{cases} 13200 = x_0 + 7b \\ 11600 = x_0 + 11b \end{cases}$$

par rapport à la variable $b$. Faisons la soustraction terme à terme des deux équations :

$$1600 = -4b,$$

soit $b = -400$. Le prix diminue donc de 400 euros chaque année.
2. Quel était le prix initial de vente en 1995 ?

Il s'agit d'établir la valeur de $x_0$. Maintenant que nous connaissons la valeur du facteur additif, nous pouvons résoudre n'importe laquelle des deux équations dans le système ci-dessus. Nous trouvons $x_0 = 16000$ euros.

3. A partir de quelle année sera-t-il possible d'acquérir la voiture pour moins de 10 000 euros ?

Le prix sera exactement 10000 euros quand

$$n = \frac{16000 - 10000}{400} = 15,$$

donc en 2010. Donc à partir de 2011 le prix sera strictement inférieur à 10000 euros.

4. Quelle sera la dernière année pendant laquelle il sera possible de vendre cette voiture ?

Il s'agit d'une suite arithmétique de facteur additif négatif, donc la suite tend vers $-\infty$. Le prix va donc descendre jusqu'à arriver à zéro : à ce moment vendre la voiture n'aura plus de sens, il faudrait payer l'acheteur ! Le prix sera exactement 0 quand $n = \frac{16000}{400} = 40$, donc en 2035.

*Remarque* 3.4.6. Après l'année 2035 (et donc pour $n > 40$) notre modèle mathématique continue à avoir un sens, simplement les valeurs de la suite seront négatives. Par contre, du point de vue de la modélisation, le modèle cesse d'être pertinent, car l'interprétation ne nous donne plus des résultats sensés par rapport à notre problème initial. Il faut donc toujours se souvenir des contraintes implicites dans notre problème. Dans cet exemple, on pourrait dire que le problème nous intéresse uniquement pour $x_n \ge 0$.

### 3.4.2 Suites géométriques

Une suite **géométrique** de facteur multiplicatif $a > 0$ et valeur initiale $x_0$ est une suite qui satisfait l'équation de récurrence

$$x_{n+1} = ax_n. \qquad (3.9)$$

La solution explicite de cette équation de récurrence est

$$x_n = a^n x_0. \qquad (3.10)$$

On utilise les suites géométriques pour modéliser des situations où on a une augmentation/diminution en pourcentage de la quantité mesurée, à chaque unité de temps. La croissance d'une population, comme dans l'exemple 3.4.1, est un problème que typiquement nous modélisons à l'aide d'une suite géométrique.

Si le taux d'augmentation/diminution est de $\pm p\%$, alors le facteur multiplicatif de la suite sera $a = (1 \pm \frac{p}{100})$.
**Exemple 3.4.7.** La population des otaries de Steller décroît de 5% par an. Combien de temps faudra-t-il pour que la population se réduise de moitié ?

Nous notons $x_0$ la taille de la population d'otaries aujourd'hui (que nous ne connaissons pas) et par $x_n$ la taille de la population dans $n$ ans. Nous avons l'équation de récurrence

$$x_{n+1} = \left(1 - \frac{5}{100}\right) x_n,$$

dont la solution explicite est

$$x_n = (0,95)^n x_0.$$

On se demande pour quelle valeur de $n$ on aura $x_n = \frac{1}{2}x_0$. On résout donc l'équation

$$\frac{1}{2}x_0 = (0,95)^n x_0$$

par rapport à la variable $n$ (en supposant naturellement que $x_0 > 0$) et on trouve

$$n = \log_{0,95} \left( \frac{1}{2} \right) \approx 13,5.$$

Après $\lceil \log_{0,95} \left(\frac{1}{2}\right) \rceil = 14$ ans, la population d'otaries sera moins importante que la moitié de la population actuelle.

Lorsque le temps passe, la taille de la population diminue de plus en plus : elle sera réduite à un dixième de sa taille initiale après $\lceil \log_{0,95} \left(\frac{1}{10}\right) \rceil = 45$ ans, à un centième après $\lceil \log_{0,95} \left(\frac{1}{100}\right) \rceil = 90$ ans et à un millième après $\lceil \log_{0,95} \left(\frac{1}{1000}\right) \rceil = 135$ ans.

De plus, quelle que soit la valeur de $x_0$, il existe un nombre naturel $n$ tel que après $n$ ans il reste moins de 100 otaries : il suffit de résoudre l'équation

$$100 = (0.95)^n x_0$$

par rapport à la variable $n$ en considérant $x_0$ comme un paramètre :

$$n = \log_{0,95} \left( \frac{100}{x_0} \right).$$

Donc après $\lceil \log_{0,95} \left(\frac{100}{x_0}\right) \rceil$ ans il y aura moins de 100 otaries, après $\lceil \log_{0,95} \left(\frac{10}{x_0}\right) \rceil$ ans il y aura moins de 10 otaries et après $\lceil \log_{0,95} \left(\frac{1}{x_0}\right) \rceil$ ans il y aura moins d'une otarie (et on peut donc considérer que à partir de ce moment cette espèce aura disparu).

Encore une fois, cette intuition se traduit de façon précise à travers le concept de limite, que nous verrons plus tard. Une suite géométrique de facteur multiplicait $a$ tend vers $+\infty$ si $a > 1$ (autrement dit, si le taux de croissance est positif) et tend vers 0 si $0 < a < 1$ (autrement dit, si le taux de croissance est négatif), lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Remarque 3.4.8. Dans un modèle à croissance géométrique la variable n n'indique pas toujours une unité de temps. Elle peut aussi indiquer une unité de longueur, ou de masse ou d'une autre quantité physique.

**Exercice 3.4.9.** Au niveau de la mer, la pression atmosphérique est de 1013 hPa (hectopascals). On admet que la pression atmosphérique diminue de 1,25% à chaque élévation de 100 m. On note $x_n$ la pression en hectopascal à 100n mètres d'altitude.

1. Déterminer les pressions $x_0, x_1, x_2$ aux altitudes respectives de 0 m, 100 m et 200 m.

$$x_0 = 1013 \text{ hPa}; x_1 = \left(1 - \frac{1,25}{100}\right) x_0 \approx 1000 \text{ hPa}; x_2 = \left(1 - \frac{1,25}{100}\right)^2 x_0 \approx 987 \text{ hPa}.$$

2. Trouver l'équation de récurrence et sa solution explicite.

Il s'agit d'une suite géométrique. L'équation de récurrence est

$$x_{n+1} = \frac{98,75}{100} x_n$$

et sa solution est

$$x_n = \left( \frac{98,75}{100} \right)^n \cdot 1013 \text{ hPa.}$$

3. Déterminer à partir de quelle altitude la pression atmosphérique devient inférieure à 600 hPa.

Résolvons par rapport à la variable n l'équation

$$600 = \left( \frac{98,75}{100} \right)^n \cdot 1013.$$

Nous trouvons $n = \log_{0,9875}(\frac{600}{1013}) = \log_{0,9875}(0,5923) \approx 41,6$. Donc à partir de 4200 m la pression sera inférieure à 600 hPa.

### 3.4.3 Suites arithmétique-géométriques

**Exemple 3.4.10.** Une perfusion de pénicilline est donnée à un patient, où une dose de 10 mg de pénicilline est délivrée toutes les 5 minutes. Pendant cet intervalle de temps, les reins du patient éliminent 20% de la pénicilline déjà présente dans le sang. On suppose qu'à l'instant zéro le patient n'a pas encore reçu aucun apport de pénicilline. Étudions l'évolution dans le temps de la présence de pénicilline dans le sang du patient.

Notre unité de temps est ici l'intervalle de temps de 5 minutes. Soit $x_n$ la quantité de pénicilline présente dans le sang du patient après $5n$ minutes. Notre hypothèse est que $x_0 = 0$, donc pendant les premières 5 minutes les reins du patient n'ont pas de pénicilline à éliminer. Après 5 minutes, c'est-à-dire pour $n = 1$, le patient reçoit une dose de 10 mg de pénicilline. Nous pouvons résumer la situation en disant que

$$x_1 = 10 \text{ mg},$$
mais nous allons ré-écrire cette équation de la façon suivante :

$$x_1 = (1 - 20\%) x_0 + 10 .$$

Après les 5 minutes qui suivent (c'est à dire pour $n = 2$), les reins du patient ont éliminé 20% de la quantité de pénicilline qui était présente à l'instant $n = 1$ et le patient reçoit une nouvelle perfusion de 10 mg. Donc,

$$x_2 = (1 - 20\%) x_1 + 10 = 0,8x_1 + 10 = 18 \text{ mg.}$$

Après un quart d'heure la situation sera la suivante :

$$x_3 = 0,8x_2 + 10 = 24,4 \text{ mg.}$$

Avec la même méthode on calcule $x_4 = 29,52 \text{ mg}$, $x_8 \approx 39,51 \text{ mg}$, $x_{12} \approx 46,56 \text{ mg}$, $x_{15} \approx 48,24 \text{ mg}$, $x_{20} \approx 49,42 \text{ mg}$, $x_{30} \approx 49,94 \text{ mg}$, $x_{50} \approx 49,99 \text{ mg}$, ...

Une suite **arithmétique-géométrique** de facteur multiplicatif $a > 0$, de facteur additif $b$ et de valeur initiale $x_0$ est une suite qui satisfait l'équation de récurrence

$$x_{n+1} = ax_n + b. \qquad (3.11)$$

On utilise les suites arithmétique-géométriques pour modéliser des situation où on a une augmentation/diminution en pourcentage de la quantité mesurée (facteur multiplicatif) ainsi qu'un apport externe (facteur additif), à chaque unité de temps.

Si le taux d'augmentation/diminution est de $\pm p\%$, alors le facteur multiplicatif de la suite sera $a = (1 \pm \frac{p}{100})$.

Dans l'exemple ci-dessus nous avons un apport externe constant (la perfusion de pénicilline), qui se traduit en un facteur additif de $b = 10 \text{ mg}$, et un phénomène de décroissance, qui se traduit en un facteur multiplicatif $a = 80\%$.

Nous voulons maintenant trouver la solution explicite de l'équation de récurrence (3.11). Reprenons l'exemple ci-dessus. Nous remarquons que pour $n$ de plus en plus grand, la valeur de la suite semble approcher de plus en plus la valeur de 50 mg. Autrement dit, pour $n$ suffisamment grand, $x_{n+1} \approx x_n \approx 50 \text{ mg}$.

Comment faire pour trouver la valeur limite sans calculer les valeurs de $x_n$ pour $n$ de plus en plus grand ? Reformulons le problème : nous cherchons un nombre réel $e$ tel que $e = ae + b$, soit

$$e = \frac{b}{1-a}. \qquad (3.12)$$

Le nombre $e$ s'appelle **valeur d'équilibre**. Si $0 < a < 1$, alors la suite tend vers sa valeur d'équilibre $e$, lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Si $a > 1$, alors la suite tend vers $+\infty$, lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Nous allons utiliser la valeur d'équilibre pour trouver la solution explicite de l'équation de récurrence (3.11). Étudions la suite

$$y_n = x_n - e.$$

Nous remarquons que $y_{n+1} = x_{n+1} - e = ax_n + b - e = ax_n + e(1 - a) - e = ax_n - ae = ay_n$. Donc la suite $y_n$ est géométrique, de raison $a$. Nous connaissons la solution explicite de cette équation, à savoir

$$y_n = a^n y_0.$$

En remplaçant les valeurs de $y_n$ et $y_0$, nous obtenons $x_n - e = a^n (x_0 - e)$, c'est à dire

$$x_n = a^n (x_0 - e) + e. \qquad (3.13)$$

**Exemple 3.4.11.** Dans l'exemple ci-dessus la valeur d'équilibre est $e = 50$ mg et la quantité de pénicilline présente dans le sang après $5n$ minutes se calcule avec la formule

$$x_n = (0,8)^n (0 - 50) + 50 \text{ mg.}$$

Combien de temps faut-il attendre avant que la quantité de pénicilline dans le sang du patient dépasse les 90% de la valeur d'équilibre ?

Résolvons par rapport à l'inconnue $n$ l'équation

$$0,9 \cdot 50 = (0,8)^n \cdot (-50) + 50,$$

soit $n = \log_{0,8} 0,1 \approx 10,3$. Il faut donc attendre $\lceil 10,3 \times 5 \rceil = \lceil 51,5 \rceil = 52$ minutes pour mesurer une quantité de pénicilline dans le sang supérieure à 45 mg.

### 3.4.4 La suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent :

$$x_{n+2} = x_{n+1} + x_n \qquad (3.14)$$

Puisque le terme général de la suite dépend des deux termes précédents, il faut donner deux conditions initiales : généralement, on pose $x_0 = 0$ et $x_1 = 1$.

Cette suite doit son nom à Leonardo Fibonacci, un mathématicien italien du XIIIe siècle qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le *Liber Abaci*, décrit la croissance d'une population de lapins : « *Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?*».

Le problème de Fibonacci est à l'origine de la suite dont le $n$-ième terme correspond au nombre de paires de lapins au $n$-ème mois. Dans cette population (idéale), on suppose que :
- au (début du) premier mois, il y a juste une paire de lapereaux;

- les lapereaux ne procréent qu’à partir du (début du) troisième mois;

- chaque (début de) mois, toute paire susceptible de procréer engendre effectivement une nouvelle paire de lapereaux;

- les lapins ne meurent jamais (donc la suite de Fibonacci est *strictement croissante*).

Jusqu’à la fin du deuxième mois, la population se limite à un couple (ce qui donne $x_2 = 1$).

Dès le début du troisième mois, le couple de lapins a deux mois et il engendre un autre couple de lapins; on a donc $x_3 = 1 + 1 = 2$.

Plaçons-nous maintenant au mois $n$ et cherchons à exprimer ce qu’il en sera deux mois plus tard, soit au mois $n + 2$ : la valeur de $x_{n+2}$ sera la somme des couples de lapins au mois $n + 1$ et des couples nouvellement engendrés. Or, n’engendrent au mois $(n + 2)$ que les couples pubères, c’est-à-dire ceux qui existent deux mois auparavant.

On a donc, pour tout entier $n$ strictement positif, $x_{n+2} = x_{n+1} + x_n$.

Nous donnons maintenant (sans faire ici les détails des calculs) la solution expliquée de l’équation de récurrence (3.14), c’est-à-dire une expression telle que le calcul du nombre de couples pour une valeur de $n$ donnée ne présuppose la connaissance d’aucun nombre de couples pour une quelconque autre valeur de $n$, ce que ne permet pas l’équation de récurrence.

La solution est donnée par la Formule de Binet :

$$x_n = \frac{1}{\sqrt{5}} (\varphi^n - (1 - \varphi)^n),$$

où $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,62$ est le célèbre nombre d'or.
4. S'il n'y a que zéro avant la virgule, alors on calcule le nombre $m$ de zéros consécutifs immédiatement après la virgule (à droite). On prend comme $b$ le nombre qu'on obtient à partir de $a$ en déplaçant la virgule vers la droite de $m + 1$ places et on prend $c = -m - 1$.

**Exemples 4.1.4.** Si $a = 101,386$, alors $n = 2$; donc $b = 1,01386$ et $c = 2$.

Si $a = 9,365$, alors $a$ est déjà en notation scientifique, donc $b = a$ et $c = 0$.

Si $a = 0,0003005$, alors $m = 3$; donc $b = 3,005$ et $c = -4$.

* Passer de la notation scientifique à la notation décimale est très facile : si $c \ge 0$ alors on déplace la virgule dans $b$ de $c$ places vers la droite (en ajoutant des zéros si nécessaire). Si $c < 0$ alors on ajoute $c$ zéros à la gauche de $b$ et on déplace la virgule de $-c$ places vers la gauche.

**Exemples 4.1.5.** Si $a = 1,02 \times 10^5$, alors on ajoute d'abord 3 zéros "inutiles" sur la droite : $a = 1,02000 \times 10^5$; ensuite, on déplace la virgule de 5 places vers la droite : $a = 102000$.

Si $a = 2,3 \times 10^{-3}$ alors on ajoute d'abord 3 zéros "inutiles" à gauche : $a = 0002,3 \times 10^{-3}$; ensuite, on déplace la virgule de 3 places vers la gauche : $a = 0,0023$.

La notation scientifique est très utile pour simplifier les calculs de sommes et de produits de nombres (et en déduire rapidement l'ordre de grandeur). Soient $a_1 = b_1 \times 10^{c_1}$ et $a_2 = b_2 \times 10^{c_2}$ deux nombres réels en notation scientifique.

* Pour calculer la somme $a_1 + a_2$, il faut se rendre dans une situation où les puis-
sances de 10 ont le même exposant. Pour faire ceci, on écrit

$$a_2 = b_2 \times 10^{c_2} = b_2 \times 10^{c_2} \times 10^{-c_1} \times 10^{c_1} = (b_2 \times 10^{c_2-c_1}) \times 10^{c_1}.$$

Ensuite, on calcule la somme $b = b_1+b_2 \times 10^{c_2-c_1}$. Le résultat sera $a_1+a_2 = b \times 10^{c_1}$.
Pour terminer, on écrit le résultat en notation scientifique.

* Le même procédé marche pour la soustraction.

**Exemples 4.1.6.**

1. Soient $a_1 = 3,4 \times 10^{-2}$ et $a_2 = 9,2 \times 10^{-2}$. Les deux quantités ont le même exposant, il suffit de faire la somme des deux mantisses. La somme $a_1 + a_2$ est clairement égale à $12,6 \times 10^{-2}$. Le résultat n'est pas encore en notation scientifique. En notation scientifique, $a_1 + a_2 = 1,26 \times 10^{-1}$. Donc nous sommes montés d'un ordre de grandeur.
2. Soient $a_1 = 4,5 \times 10^3$ et $a_2 = 8,2 \times 10^5$. Pour calculer $a_1 - a_2$, on voudrait pouvoir factoriser une puissance de 10. Laquelle ? Prenons la plus grande, $10^5$. Écrivons donc $a_1 - a_2 = (4,5 \times 10^{3-5} - 8,2) \times 10^5$. Calculons la quantité entre parenthèses : $0,045 - 8,2 = -8,155$. Cette quantité est déjà en notation scientifique. N'oublions pas maintenant la puissance de 10 : le résultat sera $a_1 - a_2 = -8,155 \times 10^5$. L'ordre de grandeur de la différence dans ce cas est le même que celui de la quantité la plus grande, $a_2$.

3. Soient $a_1 = 9,9 \times 10^4$ et $a_2 = 2 \times 10^3$. Avec la même méthode que précédemment, on a $a_1 + a_2 = 10,1 \times 10^4 = 1,01 \times 10^5$. Donc l'ordre de grandeur de la somme n'est pas toujours le même que celui de la quantité la plus grande.

4. Soient $a_1 = 5,2 \times 10^{-5}$ et $a_2 = 9,3 \times 10^{-8}$. Sauriez-vous, sans faire les calculs, deviner l'ordre de grandeur de la somme $a_1 + a_2$ ? Vérifions : $a_1 + a_2 = (5,2 + 9,3 \times 10^{-8} - (-5)) \times 10^{-5} = 5,2093 \times 10^{-5}$.

o Pour calculer le produit/quotient de deux nombres en notation scientifique, on multiplie/divise les mantisses entre elles et on additionne/soustrait les exposants entre eux. Pour conclure, on écrit le résultat en notation scientifique.

**Exemples 4.1.7.** Calculons le produit de $a_1$ et $a_2$ dans les exemples 1. et 2. ci-dessus et le quotient de $a_1$ et $a_2$ dans les exemples 3. et 4.

$$1. a_1 \cdot a_2 = 3,4 \times 10^{-2} \times 9,2 \times 10^{-2} = 31,28 \times 10^{-2+(-2)} = 3,128 \times 10^{-3}.$$

$$2. a_1 \cdot a_2 = 4,5 \times 10^3 \times 8,2 \times 10^5 = 36,9 \times 10^{3+5} = 3,69 \times 10^9.$$

$$3. \frac{a_1}{a_2} = \frac{9,9 \times 10^4}{2 \times 10^3} = 4,95 \times 10^{4-3}.$$

$$4. \frac{a_1}{a_2} = \frac{5,2 \times 10^{-5}}{9,3 \times 10^{-8}} = 0,559 \dots \times 10^{-5-(-8)} = 5,59 \dots \times 10^2.$$

## 4.2 Encadrements

**Exemple 4.2.1.** Nous souhaitons comparer les nombres $a = \frac{4587,64}{3}$ et $b = \frac{758926,5}{643,8}$ sans utiliser de calculatrice et en faisant le moins possible de calculs. Comment procéder ?

Nous allons d'abord écrire le numérateur et le dénominateur de $a$ et de $b$ en notation scientifique :

$$a = \frac{4,58764 \times 10^3}{3 \times 10^0} = \frac{4,58764}{3} \times 10^3$$

$$b = \frac{7,589265 \times 10^5}{6,438 \times 10^2} = \frac{7,589265}{6,438} \times 10^3$$
Puisque $a \approx \frac{5}{3} \times 10^3 = 1, \dots \times 10^3$ et $b \approx \frac{8}{6} \times 10^3 = 1, \dots \times 10^3$, nous voyons tout de suite que $a$ et $b$ ont le même exposant. Par contre, il n'est pas immédiatement clair lequel des deux nombres est plus grand que l'autre.

Puisque $a$ et $b$ ont le même exposant, il suffit de comparer les deux mantisses (c'est à dire qu'on oublie la puissance de 10).

Soient donc maintenant

$$a = \frac{4,58764}{3} \text{ et } b = \frac{7,589265}{6,438}.$$

Considérons d'abord $a$. Puisque $4,5 < 4,58764 < 4,6$, nous avons (d'après les règles apprises dans le cours précédent)

$$A_1 = \frac{4,5}{3} < a < \frac{4,6}{3} = A_2.$$

Or, les deux fractions ci dessus sont faciles à calculer à la main : $A_1 = 1,5$. Pour $A_2$, il suffit en fait de le majorer : puisque (si on commence à faire le calcul) on a $4,6 : 3 = 1,53...$, nous allons déduire que $A_2 < 1,6$.

Donc,

$$1,5 < a < 1,6.$$

Considérons maintenant $b$. Comme tout à l'heure, on peut remarquer que

$$\frac{7,5}{6,438} < b < \frac{7,6}{6,438}.$$

Regardons maintenant le dénominateur de $b$ : $6 < 6,438 < 7$. D'après les règles apprises dans le cours précédent, nous pouvons en déduire que

$$B_1 = \frac{7,5}{7} < b < \frac{7,6}{6} = B_2.$$

Nous allons minorer $B_1$ : puisque $7,5 : 7 = 1,0...$, nous allons déduire que $B_1 > 1$. Pour $B_2$, il est facile de le majorer : $7,6 : 6 = 1,2...$, donc $B_2 < 1,3$. Donc

$$1 < b < 1,3.$$

Puisque $1,3 < 1,5$, nous pouvons déduire que $b < a$.

Étant donnés deux nombre réels $a, b$, pour établir si $a < b$ ou $b < a$, il est suffisant de trouver des encadrements des deux nombres

$$A_1 \le a \le A_2 \text{ et } B_1 \le b \le B_2$$

tels que soit $A_2 < B_1$ (et dans ce cas $a < b$), soit $B_2 < A_1$ (et dans ce cas $b < a$).
**Remarque 4.2.2.** On rappelle que quand on compare deux fractions $a = \frac{n_1}{d_1}$ et $b = \frac{n_2}{d_2}$, alors si $n_1 \le n_2$ et $d_1 \ge d_2$, nous pouvons conclure que $a \le b$.

**Exemple 4.2.3.** On souhaite comparer les nombres $a = \ln \frac{1}{27}$ et $b = -\sqrt{2} - 1$, en se souvenant que $\lfloor e \rfloor = 2$. Nous allons donc chercher des encadrements de $a$ et de $b$ qui nous permettent de comprendre lequel des deux nombres est le plus grand.

Considérons $a = \ln \frac{1}{27} = \ln (3^{-3}) = -3\ln 3$. Il nous suffira donc de trouver un encadrement pour $c = \ln 3$. Remarquons que

$$2 < e^1 < 3 = e^c \text{ et } e^c < 4 = 2^2 < e^2.$$

$$\text{Donc } 1 < c < 2, \text{ d'ou } -6 < a < -3.$$

Considérons maintenant $b$.

$$\text{Puisque } 1 = 1^2 < 2 = (\sqrt{2})^2 < 4 = 2^2, \text{ nous en déduisons que } 1 < \sqrt{2} < 2,$$

d'où

$$-3 = -2 - 1 < b = -\sqrt{2} - 1 < -1 - 1 = -2.$$

$$\text{Donc } a < b.$$

Nous allons maintenant considérer un problème auquel une calculatrice standard ne peut pas répondre.

**Problème 4.2.4.** Nous souhaitons estimer la taille de $2^{2400}$. Une calculatrice standard ne va pas pouvoir calculer de telles puissances. Nous allons donc essayer d'utiliser uniquement des raisonnements pour répondre à cette question.

Écrire $2^{2400}$ en notation scientifique serait trop difficile. Nous cherchons alors à encadrer $2^{2400}$ entre deux puissances de 10, qui ne soient pas trop différentes de l'exposant de $2^{2400}$.

Voyons comment procéder.

Nous remarquons que $2^{2400} = (2^3)^{\frac{2400}{3}} = 8^{800} < 10^{800}$. Nous avons majoré la quantité $2^{2400}$ avec $10^{800}$.

Nous remarquons que $2^{2400} = (2^4)^{600} = 16^{600} > 10^{600}$. Nous avons minoré la quantité $2^{2400}$ avec $10^{600}$.

On en déduit que

$$10^{600} < 2^{2400} < 10^{800}.$$

Donc l'exposant de $2^{2400}$, écrit en notation scientifique, se trouve entre 600 et 800.

Nous pouvons généraliser cette méthode de la façon suivante. Étant donnés trois nombres réels positifs $a, b, c$, cherchons des encadrements des nombres $2^a, 3^b, 5^c$ entre deux puissances de 10.

$$1. \text{ On remarque que } 2^a = (8)^{\frac{a}{3}} < 10^{\frac{a}{3}} \le 10^{\left\lfloor \frac{a}{3} \right\rfloor} \text{ et } 2^a = (2^4)^{\frac{a}{4}} = 16^{\frac{a}{4}} > 10^{\frac{a}{4}} \ge 10^{\left\lceil \frac{a}{4} \right\rceil}.$$
On peut conclure donc que

$$10^{\lfloor \frac{a}{4} \rfloor} < 2^a < 10^{\lfloor \frac{a}{3} \rfloor}.$$

2. De même, $3^b = (9)^{\frac{b}{2}} < 10^{\frac{b}{2}} \le 10^{\lfloor \frac{b}{2} \rfloor}$ et $3^b = (3^3)^{\frac{b}{3}} = 27^{\frac{b}{3}} > 10^{\frac{b}{3}} \ge 10^{\lfloor \frac{b}{3} \rfloor}$. On peut conclure donc que

$$10^{\lfloor \frac{b}{3} \rfloor} < 3^b < 10^{\lfloor \frac{b}{2} \rfloor}.$$

3. Pour finir, puisque $5^c = (\frac{10}{2})^c = 10^c \cdot 2^{-c}$, on a

$$10^{\lfloor \frac{2c}{3} \rfloor} \le 10^{\frac{2c}{3}} = 10^{c-\frac{c}{3}} < 5^c < 10^{c-\frac{c}{4}} = 10^{\frac{3c}{4}} \le 10^{\lfloor \frac{3c}{4} \rfloor}.$$

## 4.3 Ordres de grandeur

La notation scientifique permet de comparer rapidement les **ordres de grandeur**.

**Définition 4.3.1.** Soit $a = b \times 10^c$ un nombre réel écrit en notation scientifique. Si $1 \le b < 5$, alors on dit que l'ordre de grandeur de $a$ est $10^c$. Par contre, si $5 \le b < 10$, alors on dit que l'ordre de grandeur de $a$ est $10^{c+1}$.

**Exemple 4.3.2.** L'ordre de grandeur de 354,6 est $10^2$, celui de 758,5 est $10^3$. L'ordre de grandeur de 0,00457 = $4,57 \times 10^{-3}$ est $10^{-3}$, celui de 0,009 = $9,9 \times 10^{-3}$ est $10^{-2}$.

**Remarque 4.3.3.** Deux quantités peuvent donc avoir le même ordre de grandeur même si elles n'ont pas le même exposant. Par exemple $9 \times 10^3$ et $2 \times 10^4$ ont le même ordre de grandeur : les deux quantités sont de l'ordre de 10000.

**Exemple 4.3.4.** Une vache a en moyenne une masse de 350 kg et un taureau a en moyenne une masse de 450 kg. Autrement dit,

$$m_v = 3,5 \times 10^5 \text{ g et } m_t = 4,5 \times 10^5 \text{ g}.$$

Donc les deux masses sont du même ordre de grandeur. Par contre un mouton a une masse moyenne de 45 kg, soit $m_m = 4,5 \times 10^4 \text{ g}$, donc d'un ordre de grandeur plus petit par rapport à la masse d'une vache ou d'un taureau.

**Remarque 4.3.5.** Attention : le concept d'ordre de grandeur dépend du choix de l'unité de mesure. Un abricot a, en moyenne, une masse triple de celle d'une prune verte. Si on mesure les deux masses en grammes, dans les deux cas on obtient quelques dizaines grammes (disons, 30 g pour l'abricot et 10 g pour la prune verte), donc de l'ordre de $10^1 \text{ g}$. Mais si on prend comme unité de mesure la masse d'un abricot moyen (qu'on note am), alors la masse de la prune est de approximativement $3 \times 10^{-1} \text{ am}$ et la masse de l'abricot est naturellement de 1 am. Donc avec ce choix d'unité de mesure les deux masses n'ont pas le même ordre de grandeur ! Naturellement, le bon sens nous guide dans la pratique pour choisir des unités de mesure appropriées au problème en considération.
**Exercice 4.3.6.** Un réservoir d'eau cylindrique a un diamètre de 8 m et une hauteur de 15 m. En se souvenant qu'un litre équivaut à un volume de 1 dm³, établir l'ordre de grandeur (en litres) de la quantité de liquide que l'on peut stocker dans le réservoir.

Estimons d'abord le volume du réservoir : $V = \left(\frac{\text{diamètre}}{2}\right)^2 \cdot \pi \cdot \text{hauteur} = 16 \cdot 15\pi \text{ m}^3 \approx 16 \cdot 15 \cdot 3 \text{ m}^3 = 720 \times 10^3 \text{ dm}^3 = 7,2 \times 10^5 \text{ dm}^3$.

Donc on peut stocker une quantité de l'ordre de $10^6$ litres de liquide dans ce réservoir.

*Remarque 4.3.7.* Comment change l'ordre de grandeur lorsque on passe d'une mesure de longueur à une mesure d'aire et à une mesure de volume ?

**Exemple 4.3.8.** Combien de $\text{cm}^3$ y a-t-il dans $1 \text{ m}^3$ ?

$1 \text{ m}^3 = (10^2 \text{ cm})^3 = 10^6 \text{ cm}^3$. Donc la réponse est 1 millions de $\text{cm}^3$.

## 4.4 Approximations

Nous avons vu que l'on peut représenter un nombre rationnel par une quantité finie de données : en effet, en représentant le nombre sous forme de fraction, nous avons un nombre entier au numérateur et un nombre entier au dénominateur. Même si on considère la représentation décimale périodique d'un nombre rationnel, on peut identifier le groupe (fini) de chiffres qui se répète, et donc représenter le nombre par une quantité finie de données.

Par contre, un nombre irrationnel peut être seulement représenté par une suite *infinie* de chiffres, sans aucun motif qui se répète. Pour pouvoir représenter un nombre irrationnel sur un support fini (une feuille de papier, un ordinateur...) nous sommes obligés d'utiliser une notation imprécise :

$$ \pi = 3,141592653... $$

La signification de “...” n'est pas claire du tout. Heureusement, dans la pratique nos calculs sont toujours pertinents à un certain ordre de grandeur près. Pour faire des calculs nous pouvons donc *approximer* les nombres réels.

Il y a deux façons de faire ceci :

* Première méthode : par **troncation**. Tout simplement, on oublie les chiffres après la virgule à partir d'un certain point.

**Exemple 4.4.1.** On considère le nombre $\pi = 3,14159265...$ et on oublie les chiffres à partir du 5ème chiffre après la virgule. Nous obtenons donc la troncation 3,1415, qui nous donne une valeur approximée du nombre $\pi$.

On voit tout de suite que ce procédé peut introduire une erreur importante : dans l'exemple ci-dessus, le premier chiffre oublié est un 9, et donc $\pi$ est beaucoup plus proche de la valeur 3,1416 que de la valeur 3,1415. Pour éviter d'introduire une erreur trop grande, nous n'allons pas utiliser la méthode d'approximation par troncation, mais plutôt la méthode suivante.
* Deuxième méthode : en arrondissant. Si le premier chiffre oublié est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors on fait une approximation par défaut, comme dans la troncation. Si par contre le premier chiffre oublié est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors on fait une approximation par excès, c'est à dire qu'on ajoute 1 au dernier chiffre non oublié.

**Exemple 4.4.2.** Le nombre 3,1416 est la valeur arrondie de $\pi$ à quatre décimales près.

*Remarque 4.4.3.* Puisque $\pi$ n'est pas égal à 3,1416 mais seulement *proche de* 3,1416, nous allons écrire $\pi \approx 3,1416$ et **jamais** écrire $\pi = 3,1416$. A droite du symbole “≈” on trouve la valeur arrondie de la quantité à gauche du même symbole. La formule “$a \approx b$” se lit “$a$ est approximativement égal à $b$”.

**Exemple 4.4.4.** Si vous utilisez la calculatrice basique de votre ordinateur pour calculer $\sqrt{3}$ vous obtenez la valeur 1,732 050 808. Si vous demandez à une calculatrice scientifique de calculer $\sqrt{3}$ la réponse sera 1,732 050 807 568 877. Dans les deux cas il s'agit de valeurs arrondies, mais dans le premier cas à 9 décimales près et dans le deuxième cas à 15 décimale près. En effet, le 9e chiffre après la virgule n'est pas le même dans les deux cas.

*Remarque 4.4.5.* Les deux méthodes d'approximations montrent une propriété fondamentale des nombres réels : *pour tout nombre réel* $r$ et *tout nombre naturel* $n$, *il existe un nombre rationnel* $q$ *qui approxime* $r$ *à n décimales près*. Donc nous pouvons toujours approximer un nombre réel avec une précision arbitraire. En particulier, nous pouvons définir la valeur $a^r$, pour tout $a > 0$ et tout nombre réel $r$, comme l'unique nombre réel approximé par les nombres $a^{q_n}$, où $q_n$ est la troncation de $r$ à n décimales près.

## 4.5 Erreurs

Lorsqu'on arrondi un nombre réel, on commet une erreur.

**Exemple 4.5.1.** Soit $a$ un nombre réel et supposons que la valeur arrondie de $a$ à 3 décimales près soit $v = 1,732$. En remplaçant dans nos calculs $a$ par $v$, nous avons commis une erreur. Quelle est la taille de cette erreur ? Voyons les cas limite : si $a = 1,7324\overline{9} = 1,73249999...$ ou si $a = 1,7315\overline{0} = 1,7315000000...$, alors on a commis une erreur de $5 \times 10^{-4}$. Dans tous les autres cas on a commis une erreur plus petite. Donc quand nous arrondissons un nombre réel à $n$ décimales près, nous commettons une erreur $e \le 5 \times 10^{-n-1}$.

Plus généralement, quand nous faisons des expériences scientifiques, les mesures relevées sont toujours approximées : nous avons déjà remarqué que tous les instruments de mesure ont une précision finie (à un certain nombre de décimales près). Donc toute mesure est connue avec une erreur (qu'on espère être petite!). Dans la pratique, il est fondamental de savoir suivre l'évolution des ces erreurs lorsqu'on fait des calculs avec des valeurs approximées.
**Exemple 4.5.2.** Imaginons qu'on veut mesurer le volume d'une boîte avec une règle qui a une précision au centimètre, mais pas au millimètre. Nous mesurons les trois côtés et nous relevons entre 5 et 6 cm pour le premier côté, entre 15 et 16 cm pour le deuxième et entre 8 et 9 cm pour le troisième. Puisque nous ne savons pas dire exactement si la mesure du premier côté est plus proche de 5 ou de 6, nous prenons la valeur du milieu 5,5. Si nous calculons ainsi le volume et si nous ne tenons pas compte des erreurs commises, nous obtenons un volume de $5,5 \text{ cm} \times 15,5 \text{ cm} \times 8,5 \text{ cm} = 7,2 \times 10^2 \text{ cm}^3$. Supposons maintenant que nous connaissions les mesures exactes des trois côtés, et qu'elles soient de $5,840 \text{ cm}$, $15,790 \text{ cm}$ et $8,450 \text{ cm}$. La valeur exacte du volume est donc de $779,204920 \text{ cm}^3$, soit $\approx 7,8 \times 10^2 \text{ cm}^3$. La différence entre les deux valeurs calculées est importante.

Il faut donc déclarer que la mesure obtenue pourrait s'éloigner de la valeur réelle. De combien ?

Dans l'exemple 4.5.2, dans chaque mesure on a commis une erreur d'au plus $\pm 0,5 \text{ cm}$. Nous allons donc écrire que la valeur du premier côté est de $5,5 \pm 0,5 \text{ cm}$. La valeur 5,5 s'appelle **valeur estimée** et la valeur (positive) 0,5 s'appelle **l'erreur absolue**. Autrement dit, si nous appelons $x$ la valeur réelle, $v$ la valeur estimée et $e$ l'erreur absolue, l'écriture

$$x = v \pm e,$$

veut dire que

$$v - e \leq x \leq v + e.$$

* Comment déterminer la valeur estimée ? Dans l'exemple 4.5.2, notre instrument était capable de nous indiquer que la mesure du premier côté était entre 5 et 6 cm. Nous avons donc pris comme valeur estimée la valeur qui se trouve exactement à mi-chemin entre la valeur minimale et la valeur maximale. Plus généralement, dans une expérience scientifique on fait d'habitude plusieurs mesures et comme valeur estimée nous pouvons prendre la valeur à mi-chemin entre la valeur la plus petite et la valeur la plus grande parmi toutes les valeurs mesurées :

$$v = \frac{x_{\text{max}} + x_{\text{min}}}{2}.$$

* Comment déterminer l'erreur absolue ? L'exemple 4.5.2 nous suggère de définir

$$e = \frac{x_{\text{max}} - x_{\text{min}}}{2}.$$

Il est important de savoir établir si l'instrument que nous utilisons a une précision adaptée à l'expérience que l'on veut faire. Autrement dit, nous voulons que l'erreur absolue soit “petite” par rapport aux valeurs mesurées. Que signifie “petite” ? Une réponse raisonnable à cette question est la suivante : nous voulons que le rapport entre $e$ et $v$ soit au plus de $10^{-1}$. Dans la plupart des problèmes que nous allons considérer, cela est suffisant.
La quantité $e^{\text{rel}} = \frac{e}{v}$ s'appelle l'**erreur relative** et nous allons dire que $e^{\text{rel}}$ est
petite si $e^{\text{rel}} \le 10^{-1}$. Dans ce cas, l'instrument choisi est adapté à l'expérience que nous
voulons faire.

**Exercice 4.5.3.** Est-ce que la règle de l'exemple 4.5.2 est adaptée au problème en question ? Voyons : l'erreur relative la plus grande s'obtient pour la mesure la plus petite, c'est à dire celle du premier côté. Dans ce cas nous avons $\frac{0.5}{5.5} = 0.09... \le 0,1 = 10^{-1}$, donc nous sommes satisfaits de la précision de l'instrument, au moins pour mesurer les côté de la boîte.

**4.6 Différence entre encadrements et approximations**

Nous mesurons la longueur d'une rue avec un instrument qui a la précision d'un
mètre. Le résultat de l'expérience est que la rue mesure entre 503 et 504 mètres, et
il nous semble que la longueur soit plus proche de 503 que de 504 mètres. Soit $x$ la
longueur de la rue. L'affirmation

$$
503 \leq x \leq 504
$$

est une affirmation mathématique précise. Par contre, l'affirmation

$x \approx 503$

n'est pas une affirmation mathématique précise.

Le premier est un encadrement, la deuxième est une approximation. Selon la situation, il peut être opportun d'utiliser un encadrement ou une approximation. Par exemple, si nous souhaitons mettre des haies le long de toute la rue, si nous prenons seulement 503 mètres de haies, nous en aurons pas assez. Si notre priorité est celle de longer vraiment toute la rue, alors un encadrement est plus utile : dans le doute, je prends 504 mètres de haies. Par contre, si nous n'avons que 503 mètres de haies, l'approximation nous dit qu'il restera une portion "très petite" (affirmation pas précise) de la rue qui ne sera pas longée par les haies.

Pour l'encadrement, nous pouvons calculer l'erreur absolue et l'erreur relative com-
mise : l'erreur absolue de l'encadrement est égal à $\frac{504 - 503}{2} = 0,5$ et la valeur estimée
de l'encadrement est $\frac{504 + 503}{2} = 503,5$, donc l'erreur relative de l'encadrement est
$$e^{\text{rel}} = \frac{0,5}{503,5} \approx 0,00099.$$
# Chapitre 5

## COURS V

### 5.1 Étude graphique de fonction

Certaines propriétés de la fonction $f$ se traduisent en propriétés géométriques du
graphe de $f$.

#### 5.1.1 Bornes

* $f$ est **bornée supérieurement** s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in \text{Dom}(f)$ on a

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

$$f(x) \leq M.$$

* $f$ est **bornée inférieurement** s'il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in \text{Dom}(f)$ on a

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

$$f(x) \geq m.$$
### 5.1.2 Croissance

* $f$ est **croissante** si pour tout $x_1, x_2 \in \text{Dom}(f)$ tels que $x_1 < x_2$ on a

$$f(x_1) \le f(x_2).$$

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

* $f$ est **décroissante** si pour tout $x_1, x_2 \in \text{Dom}(f)$ tels que $x_1 < x_2$ on a

$$f(x_1) \ge f(x_2).$$

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

* si l'inégalité est stricte, alors on dit **strictement croissante/décroissante**.

### 5.1.3 Symétries et périodicité

* $f$ est une fonction **paire** si pour tout $x \in \text{Dom}(f)$ on a

$$-x \in \text{Dom}(f) \text{ et } f(-x) = f(x).$$

Dans ce cas, le graphe de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : si $(x, y) \in \Gamma_f$ alors $(-x, y) \in \Gamma_f$.

<figure><img src="image_37.png" /></figure>
○ *f* est une fonction **impaire** si pour tout $x \in \text{Dom}(f)$ on a

$$ -x \in \text{Dom}(f) \text{ et } f(-x) = -f(x). $$

Dans ce cas, le graphe de *f* est symétrique par rapport à l'origine : si $(x, y) \in \Gamma_f$ alors $(-x, -y) \in \Gamma_f$.

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

○ *f* est **périodique**, de période $p > 0$, si pour tout $x \in \text{Dom}(f)$ on a

$$ x + p \in \text{Dom}(f) \text{ et } f(x + p) = f(x). $$

Dans ce cas, le graphe de *f* est invariant par translation horizontale de *p* unités de longueur : si $(x, y) \in \Gamma_f$ alors $(x + p, y) \in \Gamma_f$.

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

## 5.2 Transformations élémentaires

Les fonctions que nous étudions dans ce cours sont souvent (mais pas toujours !) obtenues à partir des fonctions élémentaires par une suite de transformations élémentaires, que nous décrivons maintenant.

Supposons qu'on a dessiné le graphe de *f*.

○ **Translation verticale** : soit $c \in \mathbb{R}$ et supposons qu'on veut tracer le graphe de la fonction $g(x) = f(x) + c$. Le graphe de *g* s'obtient en translatant le graphe de *f* verticalement : vers le haut de *c* unités, si *c* est positif, et vers le bas de *c* unités
si $c$ est négatif.

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

○ **Translation horizontale** : soit $c \in \mathbb{R}$ et supposons qu'on veut tracer le graphe de la fonction $g(x) = f(x + c)$. La valeur de $g$ en 0 est égale à la valeur de $f$ en $c$. Le graphe de $g$ s'obtient en translatant le graphe de $f$ horizontalement : vers la gauche de $c$ unités, si $c$ est positif, et vers la droite de $c$ unités si $c$ est négatif.

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

○ **Symétrie par rapport à l'axe horizontal** : le graphe de la fonction $g(x) = -f(x)$ est le symétrique du graphe de $f$ par rapport à l'axe des abscisses.

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

○ **Symétrie par rapport à l'axe vertical** : le graphe de la fonction $g(x) = f(-x)$ est le symétrique du graphe de $f$ par rapport à l'axe des ordonnées.
<figure><img src="image_43.png" /></figure>

○ **Contraction ou dilatation verticale** : soit $c \in \mathbb{R}^{>0}$ et supposons qu'on veut tracer le graphe de la fonction $g(x) = cf(x)$. Si $0 < c < 1$, alors le graphe de $g$ s'obtient en **contractant** verticalement le graphe de $f$ d'un facteur $c$. Si $c > 1$, alors le graphe de $g$ s'obtient en **dilatant** verticalement le graphe de $f$ d'un facteur $c$.

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

○ **Contraction ou dilatation horizontale** : soit $c \in \mathbb{R}^{>0}$ et supposons qu'on veut tracer le graphe de la fonction $g(x) = f(cx)$. La valeur de $g$ en 0 est la même que la valeur de $f$ en 0, et la valeur de $g$ en 1 est égale à la valeur de $f$ en $c$. Si $0 < c < 1$, alors le graphe de $g$ s'obtient en **dilatant** horizontalement le graphe de $f$ d'un facteur $1/c$. Si $c > 1$, alors le graphe de $g$ s'obtient en **contractant** horizontalement le graphe de $f$ d'un facteur $1/c$.

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

○ **Fonction réciproque** : si $g$ est la fonction réciproque de $f$, alors le graphe de $g$ est le symétrique du graphe de $f$ par rapport à la droite d'équation $y = x$.
<figure><img src="image_46.png" /></figure>

### Exemples 5.2.1.

1. La fonction $g$ telle que $g(x) = x^2 + bx + c$ peut être obtenue à partir de la fonction $f$ telle que $f(x) = x^2$ à partir d'une translation horizontale suivie par une translation verticale : soient $f_1$ la fonction telle que $f_1(x) = f(x + \frac{b}{2})$ et $f_2$ la fonction telle que $f_2(x) = f_1(x) + (c - \frac{b^2}{4})$. On a alors

$$g(x) = f_2(x).$$

2. Le graphe de la fonction $e^{-x}$ est le symétrique du graphe de la fonction $e^x$ par rapport à l'axe des ordonnées.

## 5.3 Modèles homographiques, exponentiels, logarithmiques, sinusoïdales

### 5.3.1 Modèles homographiques

Soient $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, avec $ad - bc \neq 0$. On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$$

Pour étudier cette fonction, considérons d'abord le cas $a = d = 0$ et $b = c = 1$, donc la fonction puissance

$$g(x) = \frac{1}{x},$$

dont le graphe est le suivant :
<figure><img src="image_47.png" /></figure>

Les homographies peuvent être obtenues à partir de $g(x) = \frac{1}{x}$, grâce à une suite d'opérations élémentaires. Soit $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$. Soient $f_1(x) = g(x + \frac{d}{c})$, $f_2(x) = \frac{bc-ad}{c^2}$. $f_1(x)$ et $f_3(x) = \frac{a}{c} + f_2(x)$. On a alors

$$f(x) = f_3(x),$$

donc $f$ peut être obtenue à partir de $g$ grâce à une translation horizontale, suivie par une contraction/dilatation verticale (et éventuellement une symétrie par rapport à l'axe vertical), suivie par une translation verticale.

### Exemples

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

### 5.3.2 Modèles exponentiels

Soit $a \in \mathbb{R}^{>0}$. On considère la fonction exponentielle $g(x) = a^x$.

Si $f(x) = e^x$ et $f_1(x) = f(x \cdot \ln a)$, alors

$$g(x) = f_1(x).$$
Donc on obtient $g$ en contractant/dilatant horizontalement $f$.

### 5.3.3 Modèles logarithmiques

Soit $a \in \mathbb{R}^{>0}$. On considère la fonction logarithmique $g(x) = \log_a x$.

Puisque $g$ est la réciproque de la fonction $a^x$, le graphe de $g$ est le symétrique du graphe de $a^x$ par rapport à la droite d'équation $y = x$. On peut aussi obtenir le graphe de $g$ à partir du graphe de la fonction $\ln$ par contraction/dilatation verticale, en remarquant que $g(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x$.

### 5.3.4 Modèles sinusoïdales

On rappelle les propriétés des fonctions

$$f_0(x) = \sin x \text{ et } g_0(x) = \cos x.$$

$f_0$ et $g_0$ sont définies pour tout $x \in \mathbb{R}$ et leur image est l'intervalle $[-1, 1]$.

On a

$$(\sin)'(x) = \cos x \text{ et } (\cos)'(x) = -\sin x.$$

Il s'agit de fonctions périodiques, de période $2\pi$.

$f_0$ atteint la valeur maximale 1 en les points de la forme $x_{\max} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ et la valeur minimale en les points de la forme $x_{\min} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$.

Graphe

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

Une fonction *sinusoïdale* est une fonction $f$ de la forme

$$f(x) = a + b \sin(c(x + d)),$$

avec $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ et $b, c > 0$.

Nous allons d'abord expliquer comment on peut obtenir $f$ à partir de la fonction sinus grâce à une suite finie de transformations élémentaires. Soit $f_0(x) = \sin x$.
<figure><img src="image_51.png" /></figure>

Nous faisons les transformations suivantes :

Contraction/dilatation horizontale de facteur $\frac{1}{c}$ : $f_1(x) = f_0(cx)$

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

Translation horizontale : $f_2(x) = f_1(x + d)$.

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

Contraction/dilatation verticale de facteur $b$ : $f_3(x) = bf_2(x)$

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

Translation verticale : $f_4(x) = f_3(x) + a$
<figure><img src="image_55.png" /></figure>

Donc $f_4(x) = f(x)$.

Nous allons maintenant étudier la fonction $f$ : trouver le domaine, l'image, les extrema locaux et globaux, les limites aux bornes, les asymptotes, la dérivée et les autres propriétés notables de la fonction, en fonction des valeurs des paramètres $a, b, c, d$.

Utilisons les transformations élémentaires ci-dessus pour comprendre les propriétés de $f$ :

o puisque $f$ est obtenue à partir de la fonction sinus grâce à une suite de transformations élémentaires, la forme du graphe de $f$ n'est pas très différente de la forme du graphe du sinus. En particulier : le domaine de $f$ est $\mathbb{R}$, l'image de $f$ est un intervalle borné et $f$ est une fonction périodique;

o pour trouver l'image de $f$, on considère l'image de la fonction sinus, qui est l'intervalle fermé $[-1, 1]$. Les transformations horizontales agissent sur le domaine de la fonction et non pas sur l'image de la fonction, donc $\text{Im}(f_2) = \text{Im}(f_0) = [-1, 1]$. Considérons les transformations verticales que nous avons faites : puisque nous avons fait une contraction/dilatation verticale de facteur $b$, suivie d'une translation verticale de facteur $a$, on a que $\text{Im}(f) = [a - 1 \cdot b, a + 1 \cdot b]$;

o $f$ est une fonction périodique. Sa période $T$ dépend du facteur de dilatation/contraction horizontale, à savoir $c$. En particulier, la période de $f$ est aussi la période de $f_1$ (les transformations suivantes ne changent plus la période de la fonction). Nous pouvons donc travailler avec $f_1$. Puisque $f_1$ est obtenue à partir de $f_0$ en faisant une contraction/dilatation horizontale de facteur $\frac{1}{c}$, la période $T$ de $f_1$ est obtenue en contractant/dilatant la période de $f_0$ d'un facteur $\frac{1}{c}$. La période de $f_0$ est de $2\pi$. Donc

$$T = \frac{1}{c} \cdot 2\pi = \frac{2\pi}{c}.$$

o pour trouver les points $x$ où $f$ atteint son maximum et son minimum, on remarque que cette information se lit déjà sur le graphe de $f_2$ (les transformations suivantes ne changent pas les endroits où la fonction atteint ses extrema). Comme la fonction $f_0$, la fonction $f_1$ aussi atteint son maximum à un quart de sa période, à savoir en $x_0 = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2c}$. Puisque $f_2$ est obtenue à partir de $f_1$ en faisant une translation
horizontale de facteur $d$, la fonction $f_2$ va atteindre son maximum en $x_0 - d$ (en effet, $f_2(x_0 - d) = f_1(x_0 - d + d) = f_1(x_0)$), à savoir quand

$$x = \frac{\pi}{2c} - d$$

(et donc aussi en tous les points de la forme $x = \frac{\pi}{2c} - d + kT$, avec $k \in \mathbb{Z}$). De façon analogue on trouve que $f_2$ atteint son minimum quand $x = -\frac{\pi}{2c} - d + kT$, avec $k \in \mathbb{Z}$. On retrouve ce résultat en regardant les points où $f'$ s'annule :

$$f'(x) = bc \cos(c(x+d)).$$

$f'$ s'annule en les points tels que $\cos(c(x + d)) = 0$, c'est-à-dire

$$c(x+d) = \frac{\pi}{2} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z},$$

c'est-à-dire,

$$x = \left(\frac{T}{4} - d\right) + k\frac{T}{2}, \ k \in \mathbb{Z}.$$

Chacun de ces points est un point d'extremum local (maximum ou minimum, selon la parité de $k$).

Pour conclure,

$$f \text{ est périodique, de période } T = \frac{2\pi}{c}$$

$$f \text{ atteint son maximum en } x_{\max} = \frac{\pi}{2c} - d$$

$$f \text{ atteint son minimum en } x_{\min} = \frac{3\pi}{2c} - d$$

$$\text{Le maximum de } f \text{ est } a + b$$

$$\text{Le minimum de } f \text{ est } a - b$$

*Remarque 5.3.1.* N'essayez pas de mémoriser les formules ci-dessus ! Apprenez plutôt la méthode pour les retrouver.

## 5.4 Résolution graphique d'équations et inéquations

* Supposons qu'on veut résoudre l'équation $f(x) = 0$. Autrement dit, on cherche tous les $x \in \text{Dom}(f)$ tels que $(x, 0) \in \Gamma_f$. Donc on cherche les points d'intersection du graphe de $f$ avec l'axe des abscisses.
* De façon analogue, si nous voulons résoudre l'équation $f(x) = c$, pour un certain $c \in \mathbb{R}$ fixé, nous cherchons tous les $x \in \text{Dom}(f)$ tels que le graphe de $f$ intersecte la droite horizontale d'équation $y = c$.

* Si nous voulons trouver les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$, alors il faut chercher les abscisses de tous les points d'intersection des graphes de $f$ et de $g$.

* Si on veut résoudre l'inéquation $f(x) \ge 0$, alors il faut chercher les abscisses de tous les points du graphe de $f$ dont l'ordonnée est positive ou nulle. Autrement dit, on cherche tous les points du graphe de $f$ qui se trouvent dans le *demi-plan supérieur* $y \ge 0$ et on considère les abscisses de ces points.

* Si on veut résoudre l'inéquation $f(x) > c$, pour un certain $c \in \mathbb{R}$ fixé, alors il faut dessiner la droite d'équation $y = c$ et trouver les abscisses de tous les points du graphe de $f$ qui se trouvent strictement au dessus de cette droite.

* Si nous voulons trouver les solutions de l'inéquation $f(x) \ge g(x)$, alors il faut chercher les abscisses de tous les points du graphe de $f$ qui se trouvent au dessus des points du graphe de $g$.

*Remarque 5.4.1.* Ce genre d'interprétation géométrique ne sert pas forcément à trouver la ou les solutions de façon *explicite*. Par contre, cela donne une bonne idée de la situation : y a-t-il des solutions ? Combien sont-elles ? Où se trouvent-elles, par rapport aux axes ?

**Exemple 5.4.2.** Résolvons graphiquement l'inéquation

$$e^x > -x + 2.$$

Pour cela, traçons le graphe approximatif des deux fonctions :

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

On remarque qu'il y a un pont $P$, d'abscisse $a$, où les graphes s'intersectent. Autrement dit,

$$e^a = -a + 2.$$
Nous pouvons donc dire que l'ensemble des solutions de l'inéquation ci-dessus est de la
forme

$$
]a, +\infty[,
$$

où *a* est un paramètre approprié.

Si on souhaite être un peu plus précis, on peut essayer d’estimer $a$. Par exemple, on remarque que, si $f(x) = e^x$ et $g(x) = -x + 2$, alors

$$
f(0) = e^0 = 1 < 2 = -0 + 2 = g(0)
$$

et que

$$
f(1) = e^1 = e > 2 > 1 = -1 + 2 = g(1).
$$

Puisque $f(0) < g(0)$ et $f(1) > g(1)$, on en déduit que

$0 < a < 1.$

5.5 Rappels sur l'étude de fonction

Nous allons réviser les étapes de l'étude de fonction.

5.5.1 Domaine et image

On identifie le domaine et, si possible, l'image.

5.5.2 Limites aux bornes et asymptotes

Pour dessiner correctement le graphe d'une fonction, il est souvent utile de connaître
le comportement de la fonction aux bornes de son domaine.

Pour cette raison, on calcule

$$
\lim_{x \to a} f(x)
$$

pour $a = \pm\infty$ et pour tout $a \in \mathbb{R} \setminus \text{Dom}(f)$.

**Exemples 5.5.1.** Les valeurs de la fonction $f(x) = 3x+5$ sont de plus en plus grandes lorsque $x$ est de plus en plus grand. En effet, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Les valeurs de cette même fonction sont de plus en plus petites lorsque $x$ est de plus en plus petit. En effet, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. Par contre, les valeurs de la fonction $g(x) = -2x^2 + 59$ sont de plus en plus petites lorsque $x$ est de plus en plus grand, puisque $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$. Les valeurs de la fonction $h(x) = \frac{1}{x}$ sont de plus en plus grandes lorsque $x$ s'approche de zéro par la droite, et de plus en plus petites lorsque $x$ s'approche de zéro par la gauche. En effet, $\lim_{x \to 0^+} h(x) = \pm\infty$.
Une **asymptote** de $f$ est une droite dont le graphe de $f$ s'approche de plus en plus, lorsque $x$ s'approche de plus en plus d'un point de $\mathbb{R}$ qui se trouve près du domaine de $f$ mais pas dans le domaine de $f$ (sur le *bord* du domaine de $f$, ou aux bornes du domaine de $f$). Plus précisément,

○ Une **asymptote verticale** est une droite verticale d'équation $x = x_0$, pour un certain $x_0 \in \mathbb{R} \setminus \text{Dom}(f)$, telle qu'on a $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$.

○ Une **asymptote horizontale** est une droite horizontale d'équation $y = l$, pour un certain $l \in \mathbb{R}$, telle qu'on a $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$ ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = l$.

○ Une **asymptote oblique** est une droite d'équation $y = mx + q$ telle qu'on a $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (mx + q)) = 0$ ou $\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (mx + q)) = 0$.

### 5.5.3 Croissance et décroissance

Une autre caractéristique importante des fonctions est la croissance : sur quels intervalles la fonction croît-elle ? Sur quels intervalles décroît-elle ? Sur quels intervalles est-elle constante ? La réponse à ces questions a naturellement des conséquences sur le comportement du modèle qu'on étudie.

Soient $f$ une fonction réelle et $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervalle.

○ $f$ est **croissante sur** $I$ si pour tout $x, x' \in I$, si $x < x'$ alors $f(x) \le f(x')$.

○ $f$ est **strictement croissante sur** $I$ si pour tout $x, x' \in I$, si $x < x'$ alors $f(x) < f(x')$.

○ $f$ est **décroissante sur** $I$ si pour tout $x, x' \in I$, si $x < x'$ alors $f(x) \ge f(x')$.

○ $f$ est **strictement décroissante sur** $I$ si pour tout $x, x' \in I$, si $x < x'$ alors $f(x) > f(x')$.

○ $f$ est **constante sur** $I$ si pour tout $x, x' \in I$ on a $f(x) = f(x')$.

*Remarque 5.5.2.* Une fonction strictement croissante ne tend pas forcément vers $+\infty$, lorsque $x \to +\infty$. Par exemple, une telle fonction pourrait avoir une asymptote horizontale, lorsque $x \to +\infty$.

La dérivée première $f'$ est utile pour l'étude de la croissance/décroissance de $f$.

Soient $f$ une fonction dérivable au moins deux fois et $I \subseteq \text{Dom}(f) \subseteq \mathbb{R}$ un intervalle.

○ Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

○ Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

○ Si $f'(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est croissante sur $I$.

○ Si $f'(x) \le 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.

*Remarque 5.5.3.* Si $f$ est strictement croissante (resp. décroissante) sur $I$, alors on peut seulement conclure que $f'(x) \ge 0$ (resp. $f(x) \le 0$). En effet, $f$ pourrait être strictement
croissante sur tout un intervalle $I$ même si $f'$ s'annule en un point de $I$. Par exemple, pour la fonction

$$f : x \mapsto x^3$$

on a que $f'(0) = 0$ mais $f$ est strictement croissante sur tout son domaine.

### 5.5.4 Concavité et convexité

La dérivée première d'une fonction $f$ donne la variation instantanée de $f$.

La dérivée seconde de $f$ donne la variation instantanée de $f'$. Donc, si la dérivée seconde de $f$ est positive, c'est que la variation instantanée de la pente de la tangente au graphe de $f$ est positive et donc la pente de la tangente augmente (la fonction est **convexe**). Si la dérivée seconde est négative, la pente de la tangente diminue (la fonction est **concave**).

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

*Remarque* 5.5.4. L'étude de la dérivée seconde n'est pas toujours nécessaire pour comprendre le comportement de la fonction.

### 5.5.5 Bornes et extrema

Une autre information importante concerne les valeurs atteintes par la fonction. Une fonction qui tend vers $+\infty$ au bord de son domaine, par définition va atteindre toute valeur positive. Elle n'est donc pas **bornée supérieurement**. De même, une fonction qui tend vers $-\infty$ n'est pas **bornée inférieurement**.

Soit $f$ une fonction bornée supérieurement et soit $M \in \mathbb{R}$ un nombre tel que :

- il existe $x \in \text{Dom}(f)$ tel que $f(x) = M$;

- pour tout $x \in \text{Dom}(f)$ on a $f(x) \le M$.

On dit que $M$ est le **maximum absolu** ou **global** de la fonction $f$.

De façon analogue on définit le **minimum absolu** ou **global**, pour une fonction bornée inférieurement.
Remarque 5.5.5. Toute fonction bornée supérieurement n'a pas forcement un maximum : par exemple, une fonction croissante qui a une asymptote horizontale d'équation $y = l$ lorsque $x \to +\infty$, n'atteint jamais la valeur $l$.

Soit $x_0 \in \text{Dom}(f)$. On dit que $x_0$ est un point de **maximum local** ou **relatif** de $f$ si $f(x) \le f(x_0)$ pour tout $x$ suffisamment proche de $x_0$.

On dit que $x_0$ est un point de **minimum local** ou **relatif** de $f$ si $f(x) \ge f(x_0)$ pour tout $x$ suffisamment proche de $x_0$.

Il s'en suit de la discussion ci-dessus que si $f$ admet un extremum local en un point $x_0 \in \text{Dom}(f)$, alors forcément $f'(x_0) = 0$.

D'autre part, si $x_0 \in \text{Dom}(f)$ est tel que $f'(x_0) = 0$, on peut en déduire les informations suivantes :

* si $f''(x_0) < 0$, alors $f$ admet un maximum local en $x_0$;

* si $f''(x_0) > 0$, alors $f$ admet un minimum local en $x_0$;

* si $f''(x_0) = 0$, alors en général on ne peut rien dire. Si $f''(x)$ change de signe lorsqu'on passe de $x_0^-$ à $x_0^+$, alors on dit que $f$ admet un point d'inflexion en $x_0$.

Pour conclure, si on considère une fonction continue $f$ sur un intervalle fermé de la forme $[a, b] \subseteq \text{Dom}(f)$, avec $a, b \in \mathbb{R}$, alors $f$ est bornée supérieurement et inférieurement. De plus, elle admet un maximum global et un minimum global. Comment trouver les extrema globaux ? Considérons le maximum global.

* D'abord on cherche tous les points de maximum local dans l'intervalle ouvert $(a, b)$. Si $f$ est dérivable deux fois, alors nous pouvons étudier le signe des dérivées première et seconde, comme indiqué ci-dessus.

* On calcule la valeur de la fonction en les points de maximum local.

* On compare toutes ces valeurs avec les valeurs $f(a)$ et $f(b)$.

* On prend comme maximum global la plus grande de toutes les valeurs considérés dans les deux points précédents.

De façon similaire, on trouve le minimum global.

<figure><img src="image_58.png" /></figure>
# 5.6 Exemples d'étude de fonction

## 5.6.1 Fonction gaussienne

On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = e^{-x^2}$$

**Domaine** $\mathbb{R}$

**Image** $]0, 1]$

**Limites aux bornes** $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$

**Asymptotes** $y = 0$ est une asymptote horizontale.

**Croissance** $f$ est strictement croissante sur $]-\infty, 0[$ et strictement décroissante sur $]0, +\infty[$.

**Bornes et extrema globaux** $f$ est bornée inférieurement par 0 mais n'admet pas de minimum absolu.

$f$ est bornée supérieurement par 1 et atteint son maximum en 0, c'est-à-dire $f(0) = 1$.

**Autres propriétés** $f$ est une fonction paire.

**Graphe**

<figure><img src="image_59.png" /></figure>
### 5.6.2 Fonction logistique

On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$$

**Domaine** $\mathbb{R}$

**Image** $]0, 1[$

**Limites aux bornes** $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$$

**Asymptotes** $y = 0$ est une asymptote horizontale pour $x \to -\infty$.

$y = 1$ est une asymptote horizontale pour $x \to +\infty$

**Croissance** $f$ est strictement croissante sur tout son domaine.

**Bornes et extrema globaux** $f$ est bornée inférieurement par 0 et supérieurement par 1, mais n'admet ni de minimum absolu ni de maximum absolu.

**Graphe**

<figure><img src="image_60.png" /></figure>
# Chapitre 6

## COURS VI

### 6.1 Résolution des formes indéterminées

#### 6.1.1 Arithmétique infinie et formes indéterminées

Nous rappelons la notation raccourcie pour les limites infinies.

Par exemple, l'écriture $(+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$ est un raccourci pour la phrase suivante :
$$ \text{si } \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty, \text{ alors } \lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = +\infty. $$

Soit $\ell \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Dans les cas suivants, la limite existe et on peut dire quelle est sa valeur :

$$ \ell \pm \infty = \pm \infty \quad 0 \pm \infty = \pm \infty \quad \pm \infty \pm \infty = \pm \infty. $$

$$ \ell \cdot \pm \infty = \pm \infty \quad \text{si } \ell > 0 $$

$$ \ell \cdot \pm \infty = \mp \infty \quad \text{si } \ell < 0 $$

$$ \pm \infty \cdot \pm \infty = \pm \infty \quad \pm \infty \cdot \mp \infty = - \infty $$

$$ \frac{\ell}{\pm \infty} = 0 \qquad \frac{0}{\pm \infty} = 0 $$

$$ \frac{\pm \infty}{\ell} = \pm \infty \quad \text{si } \ell > 0 $$

$$ \frac{\pm \infty}{\ell} = \mp \infty \quad \text{si } \ell < 0 $$
$$ (+\infty)^{\ell} = +\infty \quad \text{si } \ell > 0 $$

$$ (+\infty)^{\ell} = 0 \quad \text{si } \ell < 0 $$

$$ (+\infty)^{+\infty} = +\infty \quad (+\infty)^{-\infty} = 0 $$

$$ \ell^{+\infty} = +\infty \quad \text{si } \ell > 1 $$

$$ \ell^{+\infty} = 0 \quad \text{si } 0 < \ell < 1 $$

$$ \ell^{-\infty} = \frac{1}{\ell^{+\infty}} \quad (0^{+})^{+\infty} = 0 $$

Si $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0^{\pm}$ et $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq 0$, alors

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty. $$

Le signe du résultat dépend du signe du numérateur et du dénominateur.

**Exemple 6.1.1.** Si $f(x) = e^x$ et $g(x) = x^3$, alors $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{x^3} = \frac{\lim_{x \to 0^+} e^x}{\lim_{x \to 0^+} x^3} = \frac{1}{0^\pm} = \pm\infty$.

Par contre, si $g \to 0$ en changeant de signe (par exemple, si $g$ oscille près de $x_0$), alors la limite du quotient $\frac{f}{g}$ pourrait ne pas exister.

**Exemple 6.1.2.** Si $f(x) = 1$ et $g(x) = x \sin(\frac{1}{x})$, alors $\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0$, mais $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{g(x)}$ n'existe pas, car $g$ continue de changer de signe lorsque $x \to 0^+$. Par contre, $\lim_{x \to 0^+} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$ existe et vaut $+\infty$.

Pour résumer,

$$ \frac{\ell}{0^{\pm}} = \pm\infty \quad \text{si } \ell > 0 $$

$$ \frac{\ell}{0^{\pm}} = \mp\infty \quad \text{si } \ell < 0 $$

$$ \frac{+\infty}{0^{\pm}} = \pm\infty \quad \frac{-\infty}{0^{\pm}} = \mp\infty $$

Dans certains cas, on ne peut pas dire en général si la limite existe, et même quand elle existe, on ne peut pas dire en général quelle est sa valeur (on parle de *forme*
indéterminée) :

$$ \begin{array}{ccc} (+\infty) + (-\infty) & (-\infty) + (+\infty) & \\ \frac{\pm\infty}{\pm\infty} & \frac{\pm\infty}{\mp\infty} & (\pm\infty) \cdot 0 \\ \\ \frac{\ell}{0} & \frac{0}{0} & \frac{\pm\infty}{0} \\ \\ 1^{\pm\infty} & (+\infty)^{0} & 0^{0} \end{array} $$

*Remarque 6.1.3.* Quand on fait de l'arithmétique avec $\pm\infty$, et qu'on ne se souvient plus des formules, une façon de retrouver la valeur de la limite est de remplacer $+\infty$ (resp. $-\infty$) par un nombre entier très grand (resp. dont l'opposé est très grand) et de remplacer $0^+$ (resp. $0^-$) par l'inverse multiplicatif d'un nombre entier très grand (resp. dont l'opposé est très grand). Si la forme n'est pas indéterminée, souvent cette méthode aide à en comprendre la valeur. Attention : si la forme est indéterminée, cette méthode ne va pas marcher ! Pour cette raison, il faut apprendre à résoudre les formes indéterminées.

**Exemple 6.1.4.** Pour vérifier que $\frac{0}{+\infty} = 0$, on va remplacer le zéro au numérateur par $10^{-n}$ (avec $n$ un nombre naturel très grand) et on va remplacer $+\infty$ par $10^m$ (avec $m$ un nombre naturel très grand). Le quotient vaut donc $10^{-(n+m)}$, donc un nombre réel positif très petit. La conclusion ne change par si on remplace les nombres $n$ et $m$ par d'autres nombres naturels $n'$ et $m'$. En particulier, la conclusion ne dépend pas du fait que $n$ soit plus grand ou plus petit que $m$.

Essayons d'appliquer la même méthode à la forme indéterminée $\frac{\pm\infty}{+\infty}$ : remplaçons le $+\infty$ à numérateur avec $10^n$ et le $+\infty$ au dénominateur avec $10^m$. Le résultat du calcul est donc $10^{n-m}$. Attention : si $n < m$ alors le résultat est petit, si $n = m$ alors le résultat est 1 et si $n > m$ alors le résultat est grand. Cette méthode donc ne nous dit pas quelle est la valeur de $\frac{\pm\infty}{+\infty}$.

Si on applique la même méthode à la forme $\frac{\pm\infty}{0}$, alors il faut d'abord savoir que la limite qu'on est en train d'étudier existe. C'est le cas par exemple si le dénominateur tend vers $0^+$. Dans ce cas, la méthode va nous dire combien vaut la limite : on va remplacer le zéro au dénominateur par $10^{-n}$ (avec $n$ un nombre naturel très grand) et on va remplacer $+\infty$ par $10^m$ (avec $m$ un nombre naturel très grand). Le quotient vaut donc $10^{(n+m)}$, donc un nombre réel positif très grand. On peut donc conclure dans ce cas que la limite vaut $+\infty$.

## 6.1.2 Résolution des formes indéterminées

### 6.1.2.1 Terme dominant

#### Exemples 6.1.5.
o Nous voulons calculer $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 2x)$. Pour appliquer la règle de la limite d'une somme, nous calculons d'abord les limites des deux termes de la somme :

$$ \lim_{x \to +\infty} (3x^2) = +\infty $$

$$ \lim_{x \to +\infty} (-2x) = -\infty $$

Nous trouvons la forme indéterminée $(+\infty - \infty)$. Comment faire ? L'idée est la suivante : la fonction $3x^2$ croît plus vite que la fonction $2x$ (une parabole est plus “pentue” qu'une droite), la fonction $3x^2$ va “tirer vers le haut” plus fort que la fonction $-2x$ ne “tire vers le bas”. Comment formaliser cette intuition ? Écrivons

$$ 3x^2 - 2x = 3x^2 \left(1 - \frac{2}{3x}\right). $$

De cette façon, en utilisant la règle de la limite d'un produit, nous pouvons calculer

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 2x) &= \left( \lim_{x \to +\infty} (3x^2) \right) \cdot \left( \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{2}{3x}\right) \right) \\ &= (+\infty) \cdot \left( 1 - \frac{2}{3 \cdot (+\infty)} \right) = (+\infty) \cdot (1 - 0) = +\infty. \end{aligned} $$

Nous avons mis en facteur le terme **dominant** de la somme : quand on met en facteur ce terme, ce qui reste entre parenthèses tend vers 1. Nous avons donc résolu cette forme indéterminée.

o Nous voulons calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$. Pour appliquer la règle de la limite d'un quotient, nous calculons d'abord les limites du numérateur et du dénominateur :

$$ \lim_{x \to +\infty} (2x + 1) = +\infty $$

$$ \lim_{x \to +\infty} (x^2 + 2) = +\infty $$

Nous trouvons la forme indéterminée $\frac{+\infty}{+\infty}$. Comment faire ? L'idée est la suivante : la fonction $x^2 + 2$ croît plus vite que la fonction $2x + 1$ (une parabole est plus “pentue” qu'une droite), la fonction $x^2 + 2$, qui est à dénominateur, va donc “tirer vers zéro” plus fort que la fonction $2x + 1$, qui est à numérateur, ne “tire vers $+\infty$”. Comment formaliser cette intuition ? Mettons d'abord en facteur les termes dominants du numérateur et du dénominateur

$$ 2x + 1 = 2x \left(1 + \frac{1}{2x}\right) $$

$$ x^2 + 2 = x^2 \left(1 + \frac{2}{x^2}\right) $$
Réécrivons ainsi le quotient et simplifions :

$$ \frac{2x+1}{x^2+2} = \frac{2x\left(1+\frac{1}{2x}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)} = \frac{2}{x} \cdot \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{1}{x^2}}\right). $$

De cette façon, en utilisant la règle de la limite d'un produit, nous pouvons calculer

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x^2+2} = \left( \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to +\infty} \frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{2}{x^2}} \right) = 0 \cdot 1 = 0. $$

Nous avons fait le quotient des termes **dominants** du numérateur et du dénominateur, et ce qui reste entre parenthèses tend vers 1. Nous avons donc résolu cette forme indéterminée.

**Définition 6.1.6.** Le **terme dominant** d'une somme, lorsque $x \to x_0$, est le terme tel que, quand on le met en facteur, ce qui reste entre parenthèses tend vers 1, lorsque $x \to x_0$. Le terme dominant d'un produit est le produit des termes dominants des facteurs. Le terme dominant d'un quotient est le quotient des termes dominants du numérateur et du dénominateur.

**Exemple 6.1.7.** Nous voulons calculer $\lim_{x \to +\infty} (3e^{2x} + 4e^{-2x} - 5e^x + 2)$. Dans cette somme, la limite du premier terme est $+\infty$, la limite du deuxième terme est zéro, la limite du troisième terme est $-\infty$ et le dernier terme est constant. Donc, à cause du premier et du troisième terme, on trouve la forme indéterminée $+\infty - \infty$. Nous allons procéder comme dans le cas du polynôme ci-dessus : nous mettons en facteur le terme qui croît le plus vite en $+\infty$ (le terme dominant), c'est à dire le premier terme. En effet, $e^{2x} = (e^x)^2$, donc le premier terme est plus grand, en valeur absolue, que le troisième terme, quand $x$ est grand. Donc,

$$ 3e^{2x} + 4e^{-2x} - 5e^x + 2 = 3e^{2x} \left( 1 + \frac{4}{3}e^{-4x} - \frac{5}{3}e^{-x} + \frac{2}{3}e^{-2x} \right). $$

On remarque que la limite pour $x \to +\infty$ de la fonction entre parenthèses est égale à 1. Nous pouvons donc conclure que

$$ \lim_{x \to +\infty} (3e^{2x} + 4e^{-2x} - 5e^x + 2) = \lim_{x \to +\infty} 3e^{2x} = +\infty. $$

Nous voulons maintenant calculer $\lim_{x \to -\infty} (3e^{2x} + 4e^{-2x} - 5e^x + 2)$ ? Attention, le premier et le troisième terme tendent maintenant vers zéro et le deuxième terme tend vers $+\infty$, lorsque $x$ tend vers $-\infty$. Cette fois nous n'avons même pas de forme indéterminée à résoudre :

$$ \lim_{x \to -\infty} (3e^{2x} + 4e^{-2x} - 5e^x + 2) = 0 + \infty - 0 + 2 = +\infty. $$
### 6.1.2.2 La règle de l'Hôpital

Nous présentons maintenant une méthode pour résoudre les formes indéterminées du type $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$, qui peut être utile quand la méthode des fonctions équivalentes ne permet pas de conclure.

Soient $f, g$ deux fonctions définies et dérivables au voisinage épointé de $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$. Supposons que :

1. $g'$ ne s'annule pas au voisinage épointé de $x_0$;

2. la limite $\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe et vaut $\ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$;

3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ ou $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = \pm\infty$.

Alors

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \ell. $$

**Exemple 6.1.8.** Nous souhaitons calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{3x}$. Il s'agit d'une forme indéterminée de type $\frac{+\infty}{+\infty}$. Soient $f(x) = e^{2x}$ et $g(x) = 3x$. Les deux fonctions sont dérivables, avec $f'(x) = 2e^{2x}$ et $g'(x) = 3$. Les trois conditions ci-dessus sont vérifiées. En effet, $g'$ ne s'annule pas au voisinage de $+\infty$ et la limite du quotient des dérivées existe. D'après la règle de l'Hôpital, nous avons donc

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{3x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2e^{2x}}{3} = +\infty. $$

Ce résultat a l'interprétation suivante : les fonctions $f$ et $g$ de l'exemple croissent vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Toutefois, la fonction $f$ croît beaucoup plus vite que la fonction $g$.

*Remarque 6.1.9.* La règle de l'Hôpital peut être utilisée pour résoudre les formes indéterminées $\frac{0}{0}$ et $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ (quand les hypothèses 1., 2., 3. sont vérifiées, bien entendu). Elle peut aussi être utilisée pour résoudre la forme indéterminée $0 \cdot \pm\infty$, grâce à l'identité

$$ f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, $$

et pour résoudre la forme indéterminée $+\infty - \infty$, grâce à l'identité

$$ f(x) - g(x) = \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x) \cdot g(x)}}. $$
## 6.2 Types de croissance

### 6.2.1 Comparaison de croissance aux bord du domaine

Grâce aux méthodes de résolution des formes indéterminées, nous pouvons maintenant comparer la vitesse de croissance de plusieurs fonctions qui ont la même limite en un point qui se trouve au bord de leur domaine.

**Exemple 6.2.1.** Soient

$$f_1(x) = x^2 + 2x; \quad f_2(x) = 3x^3; \quad f_3(x) = 3x^2 - 10.$$

Nous souhaitons comparer la croissance de ces trois fonctions lorsque $x \to +\infty$. Nous remarquons que

$$\lim_{x \to +\infty} f_1(x) = \lim_{x \to +\infty} f_2(x) = \lim_{x \to +\infty} f_3(x) = +\infty.$$

Comment comparer donc la croissance des trois fonctions en $+\infty$ ? Nous avons besoin d'une définition.

**Définition 6.2.2.** Soient $f, g$ deux fonctions définies au voisinage épointé de $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$ et supposons que $g$ ne s'annule pas au voisinage épointé de $x_0$.

* On dit que $f$ est **équivalente à** $g$ au voisinage de $x_0$ si

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1.$$

Dans ce cas, on écrit

$$f \sim_{x_0} g.$$

* On dit que $f$ est **comparable à** $g$ au voisinage de $x_0$ s'il existe une constante $K > 0$, avec $K \neq 1$, telle que

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = K.$$

Dans ce cas, on écrit

$$f \sim_{x_0} Kg.$$

* On dit que $f$ est **négligeable devant** $g$ au voisinage de $x_0$ si

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0.$$

Dans ce cas, on écrit

$$f = o_{x_0}(g).$$
Remarque 6.2.3. $f \sim_{x_0} g$ si et seulement si $g \sim_{x_0} f$.

$f \sim_{x_0} Kg$ si et seulement si $g \sim_{x_0} \frac{1}{K}f$.

$f = o_{x_0}(g)$ si et seulement si $\lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = \infty$.

Reprenons l'exemple ci-dessus. Calculons $\lim_{x \to +\infty} \frac{f_1(x)}{f_2(x)}$, en mettant en facteur les termes dominants de $f_1$ et de $f_2$ :

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f_1(x)}{f_2(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 \left(1 + \frac{2}{3x^2}\right)}{3x^3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(1 + \frac{2}{3x^2}\right)}{3x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3x} = 0. $$

Nous en déduisons que $f_1$ est négligeable devant $f_2$. Un calcul similaire montre que $f_3$ est négligeable devant $f_2$ au voisinage de $+\infty$.

Pour comparer $f_1$ et $f_3$, nous calculons

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f_1(x)}{f_3(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 \left(1 + \frac{2}{3x^2}\right)}{3x^2 \left(1 - \frac{10}{3x^2}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{3x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. $$

Donc $f_1$ et $f_3$ sont comparables au voisinage de $+\infty$ et précisément $f_3$ croît 3 fois plus vite que $f_1$.

Ce résultat a l'interprétation suivante : la croissance de $f_2$ en $+\infty$ est de type polynomial de dégrée 3, alors que la croissance de $f_1$ et de $f_3$ est de type polynomial de dégrée 2, donc une croissance plus lente.

## 6.2.2 Propriétés de l'équivalence

La **propriété fondamentale de l'équivalence** de fonctions (et donc l'intérêt de cette définition) est la suivante :

$$ \text{si } \lim_{x \to x_0} g(x) = \ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\} \text{ et } f \sim_{x_0} g, \text{ alors } \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. $$

Nous avons déjà utilisé cette propriété dans les exemples 6.1.5 pour remplacer une limite par une limite plus simple, et ainsi résoudre certaines formes indéterminées.

Fait 6.2.4. Soient $f, \hat{f}, g, \hat{g}$ des fonctions définies au voisinage de $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$, telles que $f \sim_{x_0} \hat{f}$ et $g \sim_{x_0} \hat{g}$. Alors on peut en déduire que :

$$ \circ f \cdot g \sim_{x_0} \hat{f} \cdot \hat{g} $$

$$ \circ \frac{f}{g} \sim_{x_0} \frac{\hat{f}}{\hat{g}} \text{ si } g \text{ et } \hat{g} \text{ ne s'annulent pas au voisinage épointé de } x_0 $$

$$ \circ f^n \sim_{x_0} \hat{f}^n, \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} $$

$$ \circ f^a \sim_{x_0} \hat{f}^a \text{ pour tout } a \in \mathbb{R}, \text{ si } f \text{ et } \hat{f} \text{ sont strictement positives au voisinage épointé de } x_0. $$
Attention : on ne peut pas en général déduire que $f + g \sim_{x_0} \hat{f} + \hat{g}$, ni que $e^f \sim_{x_0} e^{\hat{f}}$, ni que $\ln(f) \sim_{x_0} \ln(\hat{f})$.

**Exemples 6.2.5.**

o Soit $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ un polynôme, avec $a_n \neq 0$. Nous avons

$$p(x) \sim_{\pm\infty} a_n x^n.$$

En effet, on peut écrire

$$p(x) = a_n x^n \left( 1 + \frac{a_{n-1}}{a_n} x^{-1} + \dots + \frac{a_1}{a_n} x^{-n+1} + \frac{a_0}{a_n} x^{-n} \right).$$

Par exemple, $4x^4 - 3x^3 + 1 \sim_{\pm\infty} 4x^4$.

o Soit $j \in \mathbb{N}$ le plus petit indice tel que $a_j \neq 0$. Alors $p(x) \sim_0 a_j x^j$. Par exemple, $3x^6 + 7x^4 + 1 \sim_0 1$ et $4x^4 + 3x^2 \sim_0 3x^2$.

o Soit $q(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0$ un autre polynôme, avec $b_m \neq 0$. Alors

$$\frac{p(x)}{q(x)} \sim_{\pm\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m} = \frac{a_n}{b_m} x^{n-m}.$$

o Soit $i \in \mathbb{N}$ le plus petit indice tel que $b_i \neq 0$. Alors

$$\frac{p(x)}{q(x)} \sim_0 \frac{a_j}{b_i} x^{j-i}.$$

o Soit $g(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 + a_{-1} x^{-1} + \dots + a_{-m} x^{-m}$ une somme de puissances positives et négatives. Nous avons montré ci-dessus que

$$g \sim_{\pm\infty} a_n x^n \text{ et } g \sim_0 a_{-m} x^{-m}.$$

Cette règle est valable pour les puissances entières, mais aussi pour les puissances réelles (ordonnées selon l'ordre décroissant, de la plus grande à la plus petite).

o Soient $f(x) = x^3$ et $\hat{f}(x) = x^3 + x$. Nous avons montré que $f \sim_{+\infty} \hat{f}$. Par contre,

$$e^{\hat{f}(x)} = e^{x^3} \cdot e^x = f(x) \cdot e^x$$

et donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{\hat{f}(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0 \neq 1$. Donc $e^f \sim_{+\infty} e^{\hat{f}}$.

o Soit $h(x) = a_n e^{nx} + a_{n-1} e^{(n-1)x} + \dots + a_1 e^x + a_0 + a_{-1} e^{-x} + \dots + a_{-m} e^{-mx}$ une somme d'exponentielles. L'exemple 6.1.7 montre que

$$h \sim_{+\infty} a_n e^{nx} \text{ et } h \sim_{-\infty} a_{-m} e^{-mx}.$$
### 6.2.3 Types de croissance

#### 6.2.3.1 Croissance polynomiale

**Exemple 6.2.6.** On considère les fonctions

$$f(x) = 2x + 3 \quad g(x) = \frac{3x^2 + x}{4x - 1} \quad h(x) = \sqrt{x^2 - e^{-x}}.$$

Trouvons les termes dominants de ces fonctions lorsque $x \to +\infty$ :

$$f(x) = 2x \left(1 + \frac{3}{2x}\right) \sim_{+\infty} 2x$$

$$g(x) = \frac{3x^2\left(1+\frac{1}{3x}\right)}{4x\left(1-\frac{1}{4x}\right)} \sim_{+\infty} \frac{3}{4}x.$$

$$h(x) = \sqrt{x^2 \left(1 - \frac{1}{x^2 e^x}\right)} \sim_{+\infty} x$$

La fonction $f$ est une fonction affine, la fonction $g$ est une fonction rationnelle et la fonction $h$ est la somme d'une fonction polynomiale et d'une fonction exponentielle.

Cependant, ces trois fonctions ont le même type de croissance qualitative lorsque $x \to +\infty$ : $f$ est comparable à $2h$ et $g$ est comparable à $\frac{3}{4}h$.

**Définition 6.2.7.** On dit que une fonction $f$ a une **croissance linéaire** (ou **polynomiale de degré 1**) lorsque $x \to +\infty$ s'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que

$$f \sim_{+\infty} cx.$$

On dit que une fonction $f$ a une **croissance quadratique** (ou **polynomiale de degré 2**) lorsque $x \to +\infty$ s'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que

$$f \sim_{+\infty} cx^2.$$

On dit que une fonction $f$ a une **croissance cubique** (ou **polynomiale de degré 3**) lorsque $x \to +\infty$ s'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que

$$f \sim_{+\infty} cx^3.$$

Plus généralement, si $n \in \mathbb{N}$, on dit que une fonction $f$ a une **croissance polynomiale de degré $n$** lorsque $x \to +\infty$ s'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que

$$f \sim_{+\infty} cx^n.$$
### 6.2.3.2 Croissance de type puissance (positive ou négative)

**Définition 6.2.8.** On dit que une fonction $f$ a une **croissance de type puissance** lorsque $x \to +\infty$ s'il existe $a, c \in \mathbb{R}$ tel que

$$f \sim_{+\infty} cx^a.$$

Le nombre $a$ est l'exposant de la puissance.

**Exemple 6.2.9.** Puisque

$$\sqrt{x+1} = \sqrt{x\left(1+\frac{1}{x}\right)} \sim_{+\infty} \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}},$$

la fonction $\sqrt{x+1}$ a une croissance de type puissance, avec exposant $\frac{1}{2}$.

La fonction $\frac{1}{x} = x^{-1}$ a une croissance de type puissance, avec exposant $-1$.

Puisque

$$\frac{\sqrt{x^3}}{x^2+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)} \sim_{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}},$$

cette fonction a une croissance de type puissance, avec exposant $-\frac{1}{2}$.

### 6.2.3.3 Croissance exponentielle

**Exemple 6.2.10.** On considère les fonctions

$$f(x) = 2e^x + 3 \quad g(x) = \frac{3x^2e^{2x} + xe^x}{x^2e^x - 2x} \quad h(x) = e^{3x}.$$

Trouvons les termes dominants de ces fonctions lorsque $x \to +\infty$ :

$$f(x) = 2e^x \left(1 + \frac{3}{2e^x}\right) \sim_{+\infty} 2e^x$$

$$g(x) = \frac{3x^2e^{2x}\left(1+\frac{1}{3xe^x}\right)}{x^2e^x\left(1-\frac{2}{xe^x}\right)} \sim_{+\infty} 3e^x.$$

$$h(x) = e^{3x}$$

Ces trois fonctions ont une croissance exponentielle.

**Définition 6.2.11.** On dit que une fonction $f$ a une **croissance exponentielle** lorsque $x \to +\infty$ s'il existe $b, c \in \mathbb{R}$ tels que

$$f \sim_{+\infty} ce^{bx}.$$

Puisque $e^{bx} = (e^x)^b$, on va appeler le nombre $b$ l'exposant de l'exponentielle.
### 6.2.3.4 Croissance logarithmique

**Définition 6.2.12.** On dit que une fonction $f$ a une **croissance logarithmique** lorsque $x \to +\infty$ s'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que

$$f \sim_{+\infty} c \ln (x).$$

**Exemple 6.2.13.** Puisque $\ln(2x^3) = \ln(2) + 3\ln(x)$, la fonction $\ln(2x^3)$ a une croissance logarithmique.

## 6.2.4 Comparaison entre les différents types de croissance

o On remarque que

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{x^m} = \lim_{x \to +\infty} x^{n-m} = \begin{cases} +\infty & \text{si } n > m \\ 1 & \text{si } n = m. \\ 0 & \text{si } n < m \end{cases}$$

Soit $p(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ un polynôme (avec $a_n > 0$) de degré $n$. Puisque

$$p(x) \sim_{+\infty} a_n x^n,$$

la croissance de $p$ est comparable à la croissance de $x^n$ (croissance polynomiale de degré $n$). Puisque si $m > n$ alors

$$p(x) = o_{+\infty}(x^m),$$

on en déduit que la croissance de tout polynôme de degré $n$ est négligeable devant la croissance de tout polynôme de degré $m > n$, lorsque $x \to +\infty$.

o On remarque que, pour $a, b \in \mathbb{R}$,

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^a}{x^b} = \lim_{x \to +\infty} x^{a-b} = \begin{cases} +\infty & \text{si } a > b \\ 1 & \text{si } a = b. \\ 0 & \text{si } a < b \end{cases}$$

Puisque, pour $a, b \in \mathbb{R}$,

$$x^a = o_{+\infty}(x^b) \iff a < b,$$

on en déduit que la croissance d'une puissance d'exposant $a$ est négligeable devant la croissance de toute puissance d'exposant $b > a$, lorsque $x \to +\infty$.
○ On remarque que, pour $a, b \in \mathbb{R}$,

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{ax}}{e^{bx}} = \lim_{x \to +\infty} e^{(a-b)x} = \begin{cases} +\infty & \text{si } a > b \\ 1 & \text{si } a = b. \\ 0 & \text{si } a < b \end{cases}. $$

Puisque, pour $a, b \in \mathbb{R}$,

$$ e^{ax} = o_{+\infty}(e^{bx}) \iff a < b, $$

on en déduit que la croissance d'une exponentielle d'exposant $a$ est négligeable devant la croissance de toute exponentielle d'exposant $b > a$, lorsque $x \to +\infty$.

○ Soit $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. En utilisant la règle de l'Hôpital $n$ fois, on montre que

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0. $$

Soit $p(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ un polynôme (avec $a_n > 0$). Puisque $p(x) \sim_{+\infty} a_n x^n$, on en déduit que

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{p(x)}{e^x} = 0. $$

De la même façon on montre que, pour tout $b, c > 0$,

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{p(x)}{c e^{bx}} = 0. $$

Autrement dit, les fonctions exponentielles d'exposant positif croissent beaucoup plus vite que n'importe quel polynôme, lorsque $x \to +\infty$. Puisque

$$ p(x) = o_{+\infty}(c e^{bx}), $$

on en déduit que la croissance polynomiale est négligeable devant la croissance exponentielle d'exposant positif, indépendamment du degré du polynôme et de l'exposant $b > 0$ de l'exponentielle, lorsque $x \to +\infty$.

○ Soit $a \in \mathbb{R}^{>0}$. En utilisant l'encadrement

$$ \lfloor a \rfloor \le a \le \lceil a \rceil $$

et le Théorème des gendarmes, on voit tout de suite que, pour tout $b > 0$ et tout $c, d \in \mathbb{R}$,

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{dx^a}{c e^{bx}} = 0. $$
Autrement dit, les fonctions exponentielles d'exposant positif croissent beaucoup plus vite que n'importe quelle fonction puissance, lorsque $x \to +\infty$. Puisque pour tout $a, c, d \in \mathbb{R}$ et tout $b > 0$, on a

$$dx^a = o_{+\infty}(ce^{bx}),$$

donc la croissance en puissance est négligeable devant la croissance exponentielle d'exposant positif, indépendamment des exposants, lorsque $x \to +\infty$.

On remarque que si $a, b > 0$, alors

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{ce^{-bx}}{dx^a} = \frac{0}{\infty} = 0$$

et

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{ce^{-bx}}{dx^{-a}} = \frac{c}{d} \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{x^a}{e^{bx}} = 0.$$

Donc la croissance exponentielle d'exposant négatif est négligeable devant la croissance en puissance (et polynomiale), indépendamment des exposants, lorsque $x \to +\infty$.

* Soit $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. En utilisant la règle de l'Hôpital une fois, on montre que

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0.$$

En raisonnant comme ci-dessus, on voit que la fonction logarithme Népérien croît beaucoup moins vite que tout quel polynôme, lorsque $x \to +\infty$. Puisque pour tout $c \in \mathbb{R}$ et pour tout polynôme $p(x)$

$$c \ln (x) = o_{+\infty} (p(x)),$$

on en déduit que la croissance logarithmique est négligeable devant la croissance polynomiale, indépendamment du degré du polynôme $p(x)$, lorsque $x \to +\infty$.

### 6.2.5 Comparaison de croissance sur un temps long

**6.2.14.** Les effectifs de trois populations $F, G$ et $H$ de bactéries évoluent, respectivement, selon les lois

$$f(x) = 300x + 150, g(x) = e^x, h(x) = 150x + 500$$

où $x$ mesure le temps.
Au début de l'expérience ($x = 0$), la population $F$ est composée par $f(0) = 150$ bactéries, la population $G$ est composée par $g(0) = 1$ bactérie et la population $H$ est composée par $h(0) = 500$ bactéries.

Que va se passer sur un temps très long ?

Nous avons

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty. $$

Pour comparer la croissance des trois populations, on calcule :

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}, \lim_{x \to +\infty} \frac{h(x)}{g(x)}, \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{h(x)}. $$

Nous trouvons dans les trois cas la forme indéterminée :

$$ \frac{+\infty}{+\infty}. $$

Dans les deux premières limites, nous savons résoudre cette forme indéterminée en utilisant la règle de l'Hôpital :

$$ \frac{f}{g} \sim_{+\infty} \frac{f'}{g'} = \frac{300}{e^x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0 $$

$$ \frac{h}{g} \sim_{+\infty} \frac{h'}{g'} = \frac{150}{e^x} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0 $$

Donc la règle de l'Hôpital nous dit aussi que, dans ce cas, comparer la croissance et comparer la *vitesse* de croissance des deux populations sur des temps longs revient à la même chose.

Autrement dit, nous avons que $f, h = o_{+\infty}(g)$ et aussi $f', h' = o_{+\infty}(g')$. Donc $f$ et $h$ sont négligeables devant $g$, lorsque $x \to +\infty$. En effet, $f$ et $h$ ont une croissance linéaire, alors que $g$ a une croissance exponentielle.

Pour calculer la troisième limite, nous utilisons la méthode des termes dominants :

$$ \frac{f(x)}{h(x)} = \frac{300x \left(1 + \frac{150}{x}\right)}{150x \left(1 + \frac{500}{x}\right)} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 2. $$

Donc $f \sim_{+\infty} 2h$, c'est à dire que $f$ est comparable à $h$, lorsque $x \to +\infty$. En effet $f$ et $h$ ont le même type de croissance (linéaire).

**Interprétation (point de vue qualitatif et point de vue quantitatif).** Sur des temps longs,

* la croissance des populations $F$ et $H$ est **qualitativement** la même (croissance linéaire). Du point de vue **quantitatif**, la population $F$ croit deux fois plus vite que la population $H$.
○ la croissance des populations F et H est très différente de la croissance de la population G, à la fois **du point de vue qualitatif et quantitatif**. En effet, la croissance des populations F et G (croissance linéaire) et négligeable devant la croissance de la population G (croissance exponentielle).

**6.2.15.** Deux populations F et G de souris sont infectées par le même virus, mais réagissent de façon différente : les effectifs évoluent dans le temps (mesuré en semaines) selon les lois

$$ 
\begin{aligned}
f(x) &= 100e^{-x} \\
g(x) &= \frac{200}{x+1}
\end{aligned}
$$

Comment vont évoluer les deux populations à long terme ?

Calculons les limites deux deux fonctions lorsque $x \to +\infty$ :

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0. $$

Comme il était prévisible, les deux populations décroissent jusqu'à la disparition. Comparons leurs comportements lorsque $x \to +\infty$. Pour cela, calculons

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{100e^{-x}}{200(x+1)^{-1}} = \frac{1}{2} \lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{e^x} = 0. $$

Donc $f = o_{+\infty}(g)$.

**Interprétation (point de vue qualitatif et point de vue quantitatif).** Sur des temps longs, qualitativement et quantitativement les deux populations décroissent de façon très différente ($F$ a une décroissance exponentielle et $G$ a une décroissance de type puissance d'exposant $-1$).

On en déduit que la population F va disparaître beaucoup plus rapidement que la population G.

## 6.3 Fonctions rationnelles

On considère deux polynômes

$$ 
\begin{aligned}
p_1(x) &= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \text{ avec } a_n \neq 0 \\
p_2(x) &= b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0, \text{ avec } b_m \neq 0
\end{aligned}
$$

tels que $p_1$ et $p_2$ n'ont pas de racines communes, c'est-à-dire, il n'existe pas un nombre réel $r$ tel que $p_1(r) = p_2(r) = 0$.

Le quotient

$$ f = \frac{p_1}{p_2} $$

définit alors une **fonction rationnelle**.
Voilà quelques exemples :

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

$$f(x) = \frac{x^3 + 3x - 1}{2x^2 - 3}$$

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

$$f(x) = \frac{4x^2}{x^3 + 1}$$

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

$$f(x) = \frac{x^2}{x - 10}$$

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

$$f(x) = \frac{4x^3 - 2x + 1}{2x^2 + 1}$$
<figure><img src="image_65.png" /></figure>

On peut remarquer en regardant les graphes que le comportement change beaucoup selon le choix des deux polynômes.

## Domaine

La fonction $f = \frac{p_1}{p_2}$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{r \in \mathbb{R} : p_2(r) = 0\}$.

## Image

Ça dépend des polynômes considérés.

Voilà quelques considérations :

* soit $b \in \mathbb{R}$, on veut savoir si $b \in \text{Im}(f)$. Autrement dit, on se demande si l'équation

$$f(x) = b$$

admet une solution. Ré-écrivons l'équation de la façon suivante :

$$p_1(x) - p_2(x) \cdot b = 0.$$
Le polynôme $p_b(x) = p_1(x) - p_2(x) \cdot b$ a un degré $d \le \max\{n, m\}$. On se demande si le polynôme $p_b$ admet au moins une racine.

**FAIT IMPORTANT :** *Tout polynôme de degré impair admet au moins une racine.*

Nous pouvons donc conclure que, si le degré du polynôme $p_b$ est impair, alors $b \in \text{Im}(f)$. Si le degré du polynôme $p_b$ est pair, alors nous ne savons pas procéder en général : il faudrait comprendre si le polynôme $p_b$ a au moins une racine, et ceci peut être un problème difficile.

* Si tous les monômes qui apparaissent dans $p_1$ et $p_2$ ont degré pair et tous les coefficients sont positifs, alors on peut conclure que $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in \text{Dom}(f)$. En particulier, dans ce cas nous avons $\text{Im}(f) \subseteq \mathbb{R}^{\ge 0}$.

## Limites et asymptotes

On remarque que

$$f(x) = \frac{p_1(x)}{p_2(x)} = \frac{x^n (a_n + a_{n-1}x^{-1} + \dots + a_1x^{1-n} + a_0x^{-n})}{x^m (b_m + b_{m-1}x^{-1} + \dots + b_1x^{1-m} + b_0x^{-m})}.$$

On en déduit que

$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{p_1(x)}{p_2(x)} = \begin{cases} +\infty & \text{si } n > m \text{ et } n - m \text{ est pair} \\ \pm\infty & \text{si } n > m \text{ et } n - m \text{ est impair} \\ \frac{a_n}{b_n} & \text{si } n = m \\ 0 & \text{si } n < m \end{cases}.$$

Si $n < m$ alors $y = 0$ est une asymptote horizontale.

Si $n = m$ alors $y = \frac{a_n}{b_n}$ est une asymptote horizontale.

Si $n \le m$ ou si $n > m + 1$, alors il n'y a pas d'asymptotes obliques.

Si $n = m+1$ alors on a une asymptote oblique d'équation $y = \frac{a_{m+1}}{b_m}x + \frac{a_m b_m - a_{m+1}b_{m-1}}{b_m^2}$ (nous verrons dans le prochain chapitre comment on trouve cette formule).

Si $r \in \mathbb{R}$ est tel que $p_2(r) = 0$ alors $x = r$ est un asymptote verticale. En effet, puisque $p_1(r) \ne 0$ par hypothèse, nous pouvons conclure que les limites $\lim_{x \to r^\pm} \frac{p_1(x)}{p_2(x)}$ existent et sont infinies (le signe dépend des signes des coefficients de $p_1$ et de $p_2$).

**Exemple 6.3.1.** Étudions la fonction $f$ définie par

$$f(x) = \frac{3x^3 - 3x}{x^2 - 4}.$$

Soient $p_1(x) = 3x^3 - 3x$ et $p_2(x) = x^2 - 4$.
On remarque que

$$ 
\begin{aligned}
p_1(x) &= 3x(x-1)(x+1) \\
p_2(x) &= (x-2)(x+2)
\end{aligned} 
$$

Donc $f$ s'annule en $x = 0, x = -1$ et $x = 1$.

En particulier, $p_1$ et $p_2$ n'ont pas de racines communes.

## Domaine

$$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{\pm 2\} $$

## Image

Soit $b \in \mathbb{R}$. L'équation $f(x) = b$ s'écrit aussi comme $p_b(x) = 0$, où $p_b(x) = 3x^3 - bx^2 - 3x + 4b$. Puisque $p_b$ est de degré 3 (impair) pour tout $b \in \mathbb{R}$, on peut conclure que $\text{Im}(f) = \mathbb{R}$.

## Limites et asymptotes

$x = -2$ et $x = 2$ sont des asymptotes verticales.

Calculons les limites $\lim_{x \to \pm 2^+} f(x)$.

Calculons par exemple $\lim_{x \to 2^+} f(x)$. On remarque que $p_1(2) = 3 \cdot 8 - 3 \cdot 2 = 18 > 0$ et quand $x \to 2^+$, alors $p_2(x) \to 0^+$. Donc $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$.

En raisonnant de la même manière, on trouve que $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty$.

En appliquant la règle ci-dessus, on trouve que $f$ a une asymptote oblique d'équation $y = 3x$.

## Autres propriétés

On remarque que $f(-x) = -f(x)$, donc $f$ est impaire.

Avec ces informations et le calcul des valeurs de $f$ en quelques points de coordonnées simples, nous pouvons déjà nous faire une idée de la forme du graphe de $f$.

Pour avoir des informations plus précises, on calcule $f'$.

$$ f'(x) = \frac{x^4 - 11x^2 + 4}{(x^2 - 4)^2} $$

Nous pouvons calculer les racines de $f'$.

Soit $y = x^2$ et considérons l'équation $y^2 - 11y + 4 = 0$. Elle a deux solutions distinctes : $y = \frac{11 \pm \sqrt{(11)^2 - 16}}{2}$. On remarque que $\sqrt{(11)^2 - 16} < 11$, donc les deux
solutions sont positives. On en déduit que $f'$ a quatre racines :

$$ \pm\sqrt{\frac{11 + \sqrt{(11)^2 - 16}}{2}} ; \pm\sqrt{\frac{11 - \sqrt{(11)^2 - 16}}{2}} $$

Il y a donc au plus quatre points d'extrema locaux. Essayons d'estimer où ils se trouvent.

D'abord, $(11)^2 - 16 = (10 + 1)^2 - 16 = 100 + 20 + 1 - 16 = 105$. On va donc estimer $\sqrt{105} \approx 10$.

Ensuite,

$$ \pm\sqrt{\frac{11 + \sqrt{105}}{2}} \approx \pm\sqrt{\frac{21}{2}} \approx \pm\sqrt{10} \approx \pm3 $$

et

$$ \pm\sqrt{\frac{11 - \sqrt{105}}{2}} \approx \pm\sqrt{\frac{1}{2}} \approx \pm\frac{2}{3} $$

Puisque $f$ est impaire, il suffit de se concentrer sur le demi-plan $x > 0$.

Avec les données que nous avons, sans faire d'autres calculs nous pouvons déduire que $f$ a un point de maximum local en $x \approx \frac{2}{3}$ et un point de minimum local en $x \approx 3$.

Calculons donc la valeur de $f$ en ces points.

$$ f\left(\frac{2}{3}\right) = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 1}{\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4} = 2 \cdot \frac{2^2 - 3^2}{2^2 - 4 \cdot 3^2} = 2 \cdot \frac{-5}{-4 \cdot 8} = \frac{5}{16} \approx \frac{1}{3} $$

$$ f(3) = 3 \cdot 3 \cdot \frac{3^2 - 1}{3^2 - 4} = 9 \cdot \frac{8}{5} = \frac{72}{5} \approx 14 $$

Où se trouve le graphe de $f$ par rapport au graphe de la fonction $g$ qui représente l'asymptote oblique $y = 3x$ ?

$f'(0) = \frac{1}{4} < 3 = g'(0)$, donc pour $x \in ]0, 2[$, le graphe de $f$ se trouve au dessous de l'asymptote oblique.

$f(3) \approx 14 > 9 = g(3)$, donc pour $x \in ]2, +\infty[$, le graphe de $f$ se trouve au dessus de l'asymptote oblique.

Nous avons maintenant une idée assez précise de comment dessiner le graphe de $f$, même sans utiliser la calculatrice.
<figure><img src="image_66.png" /></figure>

$$f(x) = \frac{3x^3 - 3x}{x^2 - 4}$$
# Chapitre 7
## COURS VII

### 7.1 Composition

Supposons qu'on a deux fonctions $f : A \to B$ et $g : C \to D$ telles que

$$ \mathrm{Im}(f) \subseteq \mathrm{Dom}(g) = C $$

(c'est le cas, par exemple, si $B = C$). Dans ce cas, nous pouvons définir une nouvelle fonction : la **composition**

$$ g \circ f : A \to D, $$

définie comme la fonction qui envoie tout $a \in A$ sur l'élément $g(f(a)) \in D$. Il s'agit bien d'une fonction, de domaine $\mathrm{Dom}(f)$ et à valeurs dans $D$, car à tout élément de $A$ on associe un unique élément de $D$.

*Remarque 7.1.1.* Pour reprendre l'analogie des boîtes magiques, pour faire la composition $g \circ f$ on met les boîtes magiques de $f$ et de $g$ côte à côte, avec la sortie de la boîte de $f$ en correspondance avec l'entrée de la boîte de $g$. Pour tout élément $a \in A$, quand $a$ entre dans la boîte de $f$, l'élément $f(a) \in B$ en sort et, puisque $\mathrm{Im}(f) \subseteq C$, on a que $f(a) \in \mathrm{Dom}(g)$; donc $f(a)$ entre ensuite dans la boîte de $g$ et l'élément $g(f(a))$ en sort à la fin.

**Exemple 7.1.2.** Soit $f$ la fonction qui associe à toute ville de France son maire et soit $g$ la fonction qui associe à tout être humain son groupe sanguin. Puisque les maires sont des êtres humains, l'image de $f$ est contenue dans le domaine de $g$. Nous pouvons donc faire la composition $g \circ f$ : il s'agit de la fonction qui à toute ville de France associe le groupe sanguin de son maire.

*Remarque 7.1.3.* Attention à l'ordre : faire $g \circ f$ n'est pas la même chose que faire $f \circ g$ ! D'abord, le fait que $g \circ f$ soit bien définie n'implique pas que $f \circ g$ le soit aussi : dans l'exemple ci-dessus, faire $f \circ g$ reviendrait à considérer le maire d'un groupe sanguin...

Ensuite, même si les deux compositions $g \circ f$ et $f \circ g$ sont bien définies, en général elles ne définissent pas la même fonction. Par exemple, considérons les deux fonctions
suivantes, de domaine et à valeurs dans l'ensemble $\mathbb{R}$ : $f(x) = x+3$ et $g(x) = x^2$. On a que $g \circ f(x) = (x+3)^2 = x^2+6x+9$ et $f \circ g(x) = x^2+3$. Donc les deux compositions donnent deux fonctions différentes comme résultat.

Si $f : A \to B$ est une fonction bijective, alors la fonction réciproque $g : B \to A$ est l'unique fonction qui satisfait

pour tout $a \in A$, $g \circ f(a) = a$ et pour tout $b \in B$, $f \circ g(b) = b$.

### 7.1.1 Limite de la composition

Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = a \in \mathbb{R}$ et $g$ est définie et continue au voisinage de $a \in \mathbb{R}$, alors

$$ \lim_{x \to x_0} g(f(x)) = g(a). $$

**Exemple 7.1.4.** $\lim_{x \to +\infty} e^{3x^2} = e^{\lim_{x \to +\infty} 3x^2} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^{5x^3} = e^{\lim_{x \to -\infty} 5x^3} = 0$.

### 7.1.2 Dérivée de la composition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables telle que $\text{Im}(f) \subseteq \text{Dom}(g)$. La composée $g \circ f$ est dérivable sur $\text{Dom}(f)$ et

$$ (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x). $$

**Exemples 7.1.5.**

* Si $f(x) = a^x$, pour un certain $a \in \mathbb{R}^{>0}$, alors $f'(x) = (e^{x \cdot \ln a})' = e^{x \cdot \ln a} \cdot \ln a = \ln a \cdot a^x$.

* Si $f$ est dérivable, alors $(e^{f(x)})' = f'(x) \cdot e^{f(x)}$.

* Si $f$ est dérivable et strictement positive, et $a \in \mathbb{R}$, alors $((f(x))^a)' = a \cdot f'(x) \cdot (f(x))^{a-1}$ et $(\ln f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)}$.

* Si $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ alors $f'(x) = ((x^2+1)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot (x^2+1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

* Si $f(x) = e^{3x^2+x}$ alors $f'(x) = e^{3x^2+x} \cdot (6x+1)$.

* La dérivée de la fonction $f(x) = e^{-x^2}$ est $f'(x) = -2xe^{-x^2}$.

* La dérivée de la fonction $f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$ est la fonction $f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$.