Le modèle est alors prêt à fonctionner, quelles que soient mes connaissances du concept de fonction et ma capacité à obtenir la formule algébrique de f. C'est tout son intérêt.

Dans ce second exemple, l'espace de travail géométrique est le cadre de construction du modèle, lequel donne naissance à un objet du registre des représentations graphiques des fonctions. La commande "trace" du logiciel, appliquée au point (x, y), visualisera le graphique de la fonction f. Par ailleurs, le recours à un espace de travail géométrique un peu plus avancé permettra d'obtenir f sous forme algébrique ; notons que le statut de cette expression algébrique est donc ici celui d'un aboutissement et non pas, à la différence de ce qui se passe souvent, celui d'une donnée de départ.

Les pratiques qui viennent d'être illustrées sont mises en œuvre dans plusieurs contextes*. Signalons entre autres la Realistic Mathematics Education (RME*) expérimentée aux Pays-Bas au Freudenthal Institut, le cycle ACE (Action, activité en Classe, Exercices) correspondant à la mise en pratique de la théorie APOS (Ed Dubinsky et al.) et l'expérience Weblab, qui a été conduite depuis la Grande-Bretagne dans plusieurs pays. Il est également intéressant de pointer la présence du terme *modèle* dans les standards de la NCTM aux Etats-Unis.

Certaines rubriques mathématiques, comme les probabilités, amènent à naviguer entre simple représentation et modèle. Dans le cas du calcul des probabilités, les arborescences notamment relèvent de ce phénomène. En l'absence de règles opératoires, ce sont des représentations, déjà utiles pour traiter de certains problèmes comme la probabilité d'obtention d'un certain résultat à la suite du lancer de deux dés. Si de tels arbres sont complétés par des probabilités de transition, ils peuvent prétendre au statut de modèle et vont par exemple s'avérer intéressants pour des études de probabilités conditionnelles (voir par exemple Parzysz B. (1993), Des statistiques aux probabilités: exploitons les arbres, Repères-IREM 10, 91-104).

Pour une étude didactique des modèles dans l'enseignement des mathématiques, l'aspect social ne saurait être évacué. Il est ainsi évident que les développements de la présence des mathématiques (et partant, de mathématiciens) au cours des 25 dernières années dans un nombre considérable de secteurs d'activité humaine ne peut manquer d'avoir des répercussions dans le monde de l'enseignement. En particulier, ce sont les modèles et leurs multiples usages, rendus souvent très accessibles grâce à l'informatique, qui sont à la base de cette extension des besoins. Un côté positif pour le professeur de mathématique en est la valorisation de sa discipline. Mais ce peut aussi être un piège, sous forme d'un miroir aux alouettes qui, après d'autres leitmotive (tels learning by doing et problem solving), conduirait à considérer sans examen approfondi de la question que le recours à des modèles est LA réponse aux problèmes de l'enseignement, et à culpabiliser les professeurs qui ne les intégreraient pas dans leurs pratiques professionnelles.

http://standards.nctm.org/document/chapter3/index.htm

Site de l'association américaine des professeurs de mathématique.
<figure><img src="image_28.png" /></figure>
# ANNEXE 2 - Glossaire général

## APPRENTISSAGE SITUE (situated learning) [C2]

Wedege (C2, p. 210) affirme que le concept d'apprentissage situé connecte les deux points de vue des processus d'apprentissage, processus cognitifs et pratique sociale, en s'appuyant sur une citation de Lave and Wenger (1991) : "l'apprentissage comme une partie intégrante d'une pratique sociale générative dans le monde vécu"<fnref n="11" />.

## CHAÎNE DE SIGNIFICATION (Chain of signification) [B]

Un article important quant aux évolutions récentes des Chaînes de signification est celui de Presmeg (2006). La théorie sous-jacente est notamment la sémiotique de Peirce.

Certains articles étudiés [B1, B2] utilisent cette notion en s'appuyant sur des références plus anciennes.

Pour Walkerdine (1988) une chaîne de signification est une succession de signes imbriqués d'une certaine façon. Un signe 1 est constitué par un signifié 1 et un signifiant 1, mais on crée un nouveau signe 2 quand l'étudiant devient capable de prendre le signe 1 comme signifié 2 pour un signifiant 2 plus élaboré [B2]. Il s'agit de faire en sorte que les étudiants créent des liens entre les différents signes, entre deux représentations successives.

Les chaînes de signification permettent d'étudier une "pratique". La figure suivante représente le schéma général (Hall, 2000) où figure l'exemple (en italique) explicité par Presmeg (2006).

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Dans les usages originaux, le premier niveau était nécessairement "une activité de la vie quotidienne". Toutefois, de même que la mathématisation peut être verticale, des chaînes de signification peuvent être envisagées exclusivement au sein des mathématiques, c'est le cas dans B2.

<footnote n="11">¹¹ Learning as an integral part of generative social practice in the lived-in-world (Lave and Wenger, 1991).</footnote>
## CONTEXTE

### CONTEXTE [A1, A2]

Les termes de situation, contexte et expérience sont synonymes. [A2]

L'expérience est tirée de la réalité qui peut s'appuyer sur un artefact ou un objet.

- contexte interne de l'élève. Ses conceptions, ses schèmes... [A1, A2]

- contexte interne du professeur. Ses conceptions, ses objectifs éducatifs... [A1, A2]

- contexte externe. Les signes, objets, contraintes physiques... associés au domaine culturel concerné. [A1, A2]

- contexte de modélisation. Il comprend les raisons du choix des aspects pris en compte dans la modélisation et les artefacts disponibles pour construire le modèle.

### CONTEXTE [C2]

Wedege [C2], dans une approche pédagogico-sociologique de l'éducation mathématique pour des adultes, utilise le mot contexte dans deux expressions :

- contexte de tâche (task-context): contexte évoqué ou convoqué par la tâche, comme par exemple le contexte de la vie réelle, le contexte des mathématiques. Les domaines de réalité et les domaines d'expérience (experience field) sont des contextes de tâche.

- contexte de situation (situation-context): contexte où s'apprennent et s'utilisent des mathématiques. Par exemple l'école, et dans l'école la plage dévolue à la physique ou à la biologie, la vie réelle, la pratique professionnelle sont des contextes de situation.

La plupart des recherches s'intéressent aux contextes de tâche, peu aux contextes de situation, bien que la signification dépende du contexte de situation.

Voir aussi **Enseignement contextualisé et Problème en situation.**

### DÉJA-LÀ (set-before), DÉJÀ-VU (met-before) [C4]

Un déjà-là est un concept mathématique que nous avons dès la naissance ou presque, comme celui de nombre. Ce concept relève de l'inné.

En revanche, un déjà-vu est une construction antérieure rappelée pour aborder une situation nouvelle. Ce concept relève de l'acquis contrairement au déjà-là.

Tall fait une différence de principe entre un déjà-là et un déjà-vu, mais en pratique c'est leur point commun qui est crucial : la manière dont ils nous prédisposent à penser des situations nouvelles.

Tall utilise le terme de déjà-vu pour désigner la même fonction remplie par les déjà-là et déjà-vus.

### DOMAINE DIDACTIQUE D'EXPÉRIENCE (DDE) (field of experience) [A]

C'est un domaine de la culture que l'enseignant et les élèves peuvent reconnaître comme suffisamment unitaire et homogène du point de vue de leurs schèmes de connaissances. Un DDE est constitué par le contexte interne de l'élève, celui du professeur et le contexte externe associé au domaine culturel visé au cours des activités de classe. Un DDE peut être relié à différents contextes ou peut être seulement évoqué. Un DDE peut être construit graduellement en utilisant différents contextes.

Les termes « domaine didactique d'expérience », « domaine d'expérience didactique », « domaine d'expérience » sont utilisés concurremment par les chercheurs de l'équipe génoise de Boero. On notera que le qualificatif « didactique » s'applique plutôt à l'expérience qu'au domaine, et qu'il serait donc plus approprié de parler de « domaine d'expérience didactique ».
ENSEIGNEMENT CONTEXTUALISE [A]

C'est un enseignement construit sur l'activité de modélisation au cours de laquelle le concept est introduit comme modèle ou comme artefact pour construire ce modèle et ceci contrairement à l'enseignement traditionnel construit sur la présentation des concepts.

ENSEIGNEMENT REALISTE DES MATHEMATIQUES
(REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION, RME) [B]

Le courant Realistic Mathematics Education (RME) est une approche pédagogique qui prône le développement des connaissances mathématiques en étroite liaison avec le monde réel (real world). C'est ce dernier terme qui est utilisé dans les travaux du courant RME étudiés alors que le terme réalité (reality) est peu présent – il en est de même dans le monde anglo-saxon en général. Le terme realistic a généré de nombreuses interprétations erronées. Il s'agit en fait de la traduction du mot hollandais zich realiseren qui signifie s'imaginer, se représenter. Cette conception donnera lieu à la notion de modèle étendu où vont intervenir des situations souvent désignées sous le terme de problème en situation (context problem).

Voir Monde réel, Problème en situation, modèle, modélisation.

INCARNATION, INCARNE (embodiment, embodied) [C3]

Pour Nùñez et al. les termes embodiment et embodied sont employé pour exprimer que tout est inscrit dans le corps biologique. Ce point est posé comme un principe de base et son sens est beaucoup plus fort que dans l'utilisation qu'en fait Tall [C4].

Voir Incorporation

INCORPORATION, INCORPORÉ (embodiment, embodied) [C4]

Tall [C4] fait explicitement référence au corps et c'est ce qui lui permet d'initier le processus qui mène au concept. Ce terme diffère donc de l'intériorisation, uniquement intellectuelle. L'usage et le sens des termes embodiment et embodied sont néanmoins plus faibles dans l'approche de Tall que dans celle de Nùñez et al. [C3].

Voir Incarnation

MATHÉMATISATION [B, C1]

Le concept de mathématisation a été introduit dès 1971 par Freudenthal (1971), pour qui les mathématiques ne sont pas seulement un corpus de connaissances mais une activité humaine qui consiste à résoudre et chercher des problèmes et plus généralement à organiser un domaine issu de la réalité ou un domaine des mathématiques. Ce processus est désigné sous le nom de mathématisation.

Dans l'enseignement, il est important de prendre en compte le processus de mathématisation et de ne pas l'envisager simplement en privilégiant la démarche qui part des mathématiques vers le monde réel – démarche descendante (top-down). Pour les tenants de l'enseignement réaliste des mathématiques, il est même essentiel de lui préférer une démarche ascendante (bottom up) qui s'appuie sur le monde réel pour faire construire aux élèves les objets mathématiques.
## MATHÉMATISATIONS VERTICALE ET HORIZONTALE [B]

Deux façons de mathématiser sont utilisées suivant que l'on travaille sur des problèmes issus de la réalité ou sur l'organisation du monde mathématique :

- la mathématisation *horizontale* qui part du *monde réel* pour arriver au monde des mathématiques ;

- la mathématisation *verticale* qui se déplace à l'intérieur du monde des mathématiques pour y introduire des nouveaux concepts mathématiques (et donc des symboles) de plus en plus abstraits.

Voir Mathématisation

## METAPHORE CONCEPTUELLE (Conceptual Metaphor) [C3]

Une métaphore conceptuelle est un ensemble de projections (*mappings*) d'un domaine source sur un domaine cible qui préservent une partie des structures inférentielles. Le domaine cible va se constituer en fonction des rapports existants entre les éléments du domaine source. Ce processus d'élaboration est presque toujours inconscient.

Voir Structure Inférentielle, Schémas-image.

## MODÈLE (Model)

### MODÈLE [A]

Ce terme est utilisé habituellement pour caractériser une forme de métaphore, c'est-à-dire un glissement entre deux espaces sémantiques non disjoints. Boero utilise le terme de modèle pour caractériser une représentation simplifiée d'une portion de la réalité utilisée pour "visualiser" certains aspects de celle-ci, généraliser des propriétés, permettre des comparaisons ...Un modèle est construit sur un Domaine Didactique d'Expérience en utilisant des artefacts matériels ou formels, qui sont eux-mêmes des modèles.

L'utilisation de modèles comme artefacts pour construire de nouveaux modèles, suivie de l'élaboration de modélisations des modèles caractérise des formes de raisonnements élaborés de haut niveau.

### MODÈLE [B]

Dans le cadre théorique de la RME, la notion de modèle est intégrée dans la dynamique des modèles de / modèle pour (model of / model for) et des chaînes de signification. Dans ce cadre, il faut noter quelques variations sur le sens de ces diverses expressions au sein des différents articles, toutefois il semble qu'il soit possible d'en faire une synthèse.

Dans le courant de la RME, les représentations s'inscrivent dans des chaînes de signification avec deux sens légèrement différents selon les auteurs. Les articles B1 et B2 illustrent ces deux tendances :

- Selon Van Den Heuvel [B1], un modèle est une représentation de la situation qui reflète nécessairement les aspects mathématiques essentiels qui sont pertinents pour la situation. Un modèle peut prendre des formes variées : matériel, croquis, situation paradigmatique, schéma, diagramme, symbole, ... recouvrant ainsi une diversité de situations. Un modèle peut donc exister matériellement s' il s'agit d'un artefact, par exemple une maquette, ou relever de la représentation sémiotique, au sens de Raymond Duval, si le langage naturel ou d'autres registres symboliques sont utilisés, seuls ou en combinaison.
- Dans l'article de Yackel et al. [B2] le modèle est présenté avec un sens *a priori* un peu différent (et apparemment moins répandu) : les modèles ne sont pas vus comme des entités qui sont externes aux apprenants, mais sont plutôt engendrés cognitivement à partir des significations que les étudiants créent eux-mêmes. En d'autres termes, quand les étudiants résolvent des tâches qui sont proposées dans le monde concret et qu'ils discutent des problèmes avec leurs pairs, ils développent des modèles de la situation concrète. Toutefois, les exemples donnés pour les modèles relèvent des représentations sémiotiques (dessins de la situation, par exemple) et les auteurs considèrent qu'il y a une relation dialectique entre l'utilisation de symboles et le raisonnement mathématique, au sens de Meira (1995).

L'approche de Yackel et al. rejoint celle de Van den Heuvel quand on considère les représentations sémiotiques que les étudiants produisent des différentes situations.

## MODÈLE DE / MODÈLE POUR (Model of / model for) [B]

Pour étudier une situation particulière, l'étudiant construit un modèle de la situation. Ce modèle peut être objectivé puis être utilisé dans les raisonnements pour étudier une nouvelle situation, il devient alors un modèle pour. Les chaînes de signification, représentations sémiotiques successives pour les différents modèles, sont très impliquées dans ces différents aspects du concept de modèle. Les modèles développés par les étudiants progressent le long de ces chaînes de signification.

Voir Modélisation, Chaîne de signification, Annexe 1

## MODÉLISATION

### MODÉLISATION [A]

Dialectique entre la situation observée et ses représentations à travers différentes étapes d'interprétation (schémas). On suppose alors que ces différentes étapes correspondent à différents modèles [A2, A3].

Les processus de modélisation à différents niveaux d'abstraction sont majoritairement organisés en disciplines. Les mathématiques constituent une exception car elles ne sont pas en général caractérisées par leur domaine d'application mais par le type d'artefacts qu'elles utilisent [A3].

### MODÉLISATION (Modelling, modeling) [B]

C'est la dynamique entre modèle de et modèle pour que les auteurs de la RME qualifient de modélisation. Ce terme n'apparaît pas dans tous les textes et la signification peut varier selon les occurrences. La modélisation peut parfois être entendue en un sens étroit [B3] ou dans un sens plus large [B1]. Il semble cependant que la deuxième signification soit la plus répandue.

Pour Linchevski [B3], la modélisation est une transformation de connaissances spontanées, extérieures à l'école, en connaissances mathématiques scolaires.

Pour Van Den Heuvel [B1], en revanche, si la modélisation inclut le passage du réel aux mathématiques, on ne peut l'y réduire car les transformations successives créent de nouveaux objets, internes aux mathématiques, de plus en plus formels, susceptibles de constituer tour à tour des modèles de / modèles pour.

Ajoutons qu'une approche socio-constructiviste est explicitement nécessaire, d'après Yackel et al. [B2], pour l'élaboration des modèles de et donc de la modélisation.

Voir Modèle, Annexe 1
## MONDE RÉEL (Real world) [A]

Ce terme a été défini avec plus de précision par Blum (2002) en faisant référence au monde des mathématiques. Le monde apparaît ainsi divisé en deux parties : les mathématiques et le reste du monde. Cela conduit à la définition relative suivante de real world, qui est tout ce qui a rapport avec la nature, la société ou la culture, en incluant aussi bien la vie quotidienne que les sujets rencontrés à l'école ou à l'université ou les disciplines scientifiques et savantes différentes des mathématiques (ICMI Study 14 Discussion Document, p. 4).

## LES TROIS MONDES (the three worlds) [C4]

Le monde conceptuel-incorporé (conceptual-embodied world), le monde proceptuel-symbolique (proceptual-symbolic world) et le monde formel-axiomatique (formal-axiomatic world).

Tall (2004) explicite trois mondes pour décrire une vue d'ensemble du développement cognitif en mathématiques au travers de l'analyse de théories psycho-cognitives, d'approches anatomofonctionnelles et l'human embodiment :

- Le premier monde, conceptuel-incorporé, rassemble les perceptions que nous avons des objets physiques, ainsi que les conceptions forgées dans notre propre monde mental de significations et qui utilisent notamment des images visuelles et spatiales.

- Le deuxième monde, proceptuel-symbolique, est le monde des symboles utilisés pour agir en mathématiques (calculer, manipuler etc.). Des actions sont « encapsulées » dans des symboles, par exemple les actions d'énumérer et de compter sont encapsulées dans le nombre. Ainsi, on passe des processus et des actions à un symbolisme pour penser les concepts mathématiques, dans la perspective d'agir sur ces derniers.

- Le troisième monde, formel-axiomatique, est basé sur les définitions formelles des propriétés fondatrices des structures telles que groupe, corps, espace vectoriel etc. On se coupe de l'expérience réelle, ce sont les axiomes qui définissent la base pour l'élaboration de structures mathématiques cohérentes.

## PROBLÈME EN SITUATION (Context Problem) [B4]

Un problème en situation renvoie à une réalité expérimentable par les étudiants. Cette expérimentation n'est pas nécessairement réalisée dans l'univers physique décrit par l'énoncé du problème, elle peut être envisagée sur des modèles, dans une acception très large du terme.

Dans l'ingénierie de la RME, le cahier des charges impose à un problème d'être en situation.

## PROCEPT [C4]

Le monde proceptuel-symbolique (proceptual-symbolic) est fondé sur les actions, il comprime les schémas d'actions en procepts marquant ainsi la dualité processus-concept. Voir Gray et Tall (1994).

Voir Les trois Mondes.

## RÉALITE [A]

La réalité n'est pas nécessairement un objet matériel ou un phénomène naturel ou social. Elle peut se présenter comme une situation sous une forme modélisée, comme un schéma d'un certain phénomène, ou être construite à partir d'un ensemble de modèles.

Voir Enseignement réaliste des mathématiques, Monde réel.
STRUCTURE INFÉRENTIELLE (Inferential Structure) [C3]

Une structure inférentielle provient de notre expérience corporelle et elle peut être considérée comme un organisateur logique de nos expériences physiques. C'est par le biais des métaphores conceptuelles que ces structures inférentielles seront utilisées dans d'autres contextes et domaines.
Une primitive qui permet une organisation des expériences est appelée un schéma d'image (image-schema).

Les auteurs de l'article C3 donnent comme exemple la logique des contenants d'où provient la logique booléenne où le processus métaphorique conduit d'une abstraction de l'expérience physique à un domaine mathématique abstrait. Le schéma du contenant (container-schema) est le domaine source. Il soutient des concepts comme « dedans » (IN) et « dehors » (OUT) et les structures inférentielles associées sont : dedans, dehors, la transitivité.

Voir Métaphore conceptuelle.
## Entrées en anglais

* Bottom-up (ascendante), voir Mathématisation

* Chain of signification (Chaîne de signification)

* Conceptual Metaphor (Métaphore conceptuelle)

* Conceptual-embodied world (monde conceptuel-incorporé), voir les trois Mondes

* Context (Contexte)

* Context Problem (Problème en situation)

* Embodied (Incarné, Incorporé)

* Embodiment (Incarnation, Incorporation)

* Field of experience (Domaine Didactique d'Expérience, DDE)

* Formal-axiomatic world (monde formel-axiomatique), voir les trois Mondes

* Horizontal mathematizing (Mathématisation horizontale)

* Inferential Structure (Structure Inférentielle)

* Image-schema (Schéma d'image), voir Structure Inférentielle

* Mathematizing (Mathématisation)

* Met-before (Déjà-vu)

* Model (Modèle)

* Model for (Modèle pour)

* Modeling, Modelling (Modélisation)

* Model of (Modèle de)

* Procept (Procept)

* Proceptual-symbolic world (monde proceptuel-symbolique), voir les trois Mondes

* Real world (Monde réel)

* Realistic mathematics education (Enseignement réaliste des mathématiques)

* Reality (Réalité)

* Set-before (Déjà-là)

* Situated learning (Apprentissage situé)

* Situation-context (contexte de situation), voir Contexte

* Task-context (contexte de tâche), voir Contexte

* Top-down (descendante), voir Mathématisation

* The three Worlds (Les trois Mondes)

* Vertical mathematizing (Mathématisation verticale)
Bibliographie du glossaire

Blum, W. (2002) ICMI Study 14: Applications and modelling in mathematics education – Discussion document *Educational Studies in Mathematics*, vol 51, 1-2, 149-171

Freudenthal, H. (1971), Geometry between the devil and the deep sea, *Educational Studies in Mathematics*, vol 3, 413-435.

Gray, E.M. & Tall, D.O. (1994) Duality, Ambiguity and Flexibility: A Proceptual View of Simple Arithmetic. *The Journal for Research in Mathematics Education*, 26, 115-141.

Hall, M. (2000). *Bridging the gap between everyday and classroom mathematics: An investigation of two teachers' intentional use of semiotic chains*. Unpublished Ph.D. dissertation, The Florida State University.

Lave, J. & Wenger, E. (1991), *Situated Learning. Legitimate Peripheral Participation*, Cambridge University Press, New York.

Meira, L. (1995), The microevolution of mathematical representations in children's activity, *Cognition and Instruction* **13**, 269-313.

Presmeg, N. (2006), ‘Semiotics and the “connections” standard: significance of semiotics for teachers of mathematics’, *Educational Studies in Mathematics*, Vol. 61n°1-2, p.165.

Tall, D.O. (2004), Thinking through three worlds of mathematics, *Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education*. pp. 281-288, Bergen, Norway.

Walkerdine, V. (1988), *The mastery of reason: cognitive development and the production of rationality*, Routledge, London.
<figure><img src="image_30.png" /></figure>
ANNEXE 3 - Les articles de l'étude

Van Amerom, B.A. (2003), Focusing on informal strategies when linking Arithmetic to early Algebra, *Educational Studies in Mathematics* **54**, 63 – 75. [B5]

Bartolini-Bussi, M. & Boero, P. (1998), Teaching and Learning Geometry in Contexts, *Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century*. ICMI study. Ed. Kluwer (Dordrecht, NL), 52-62. [A1]

Dapuento, C. & Parenti, L. (1999), Contributions and obstacles of contexts in the development of mathematical knowledge, *Educational Studies in Mathematics* **39**, 1-21. [A3]

Douek, N. (1999), Argumentation and conceptualization in context: a case study on sunshadows in primary school, *Educational Studies in Mathematics* **39**, 89-110. [A2]

Gravemeijer, K. & Doorman, M. (1999), Context problems in Realistic Mathematics Education: a calculus course as an example, *Educational Studies in Mathematics* **39**, 111-129. [B4]

Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2003), The didactical use of models in Realistic Mathematics Education: An example from longitudinal trajectory on percentage, *Educational Studies in Mathematics* **54**, 9-35. [B1]

Linchevski, L. & Williams, J. (1999), Using intuition from everyday life in 'filling' the gap in children's extension of their number concept to include the negative numbers, *Educational Studies in Mathematics* **39**, 131-147. [B3]

Molyneux-Hodgson, S., Rojano, T., Sutherland, R. & Ursini, S. (1999) Mathematical modelling : the interaction of culture and practice, *Educational Studies in Mathematics* **39**, 167-183. [C1]

Núñez, R. E., Edwards, L. D. & Matos, J. F. (2003) Embodied cognition as grounding for situatedness and context in Mathematics Education, *Educational Studies in Mathematics* **39**, 9-35. [C3]

Tall, D. (2006), A theory of mathematical growth through embodiment, symbolism and proof, *Annales de Didactique et de Sciences Cognitives* **11**, 195-215. [C4]

Yackel, E., Stephan, M., Rasmussen, C. & Underwood, D. (2003), Didactising: continuing the work of Leen Streefland, *Educational Studies in Mathematics* **54**, 101-126. [B2]

Wedege, T. (1999) To know or not to know-mathematics, that is a question of context, *Educational Studies in Mathematics* **39**, 205-227. [C2]
Table des matières

<table><tbody><tr><td>INTRODUCTION GENERALE</td><td>1</td></tr><tr><td>1. La question de base</td><td>1</td></tr><tr><td>2. Articuler une certaine réalité et un monde extérieur avec les mathématiques</td><td>1</td></tr><tr><td>2.1 Un enseignement contextualisé des mathématiques</td><td>2</td></tr><tr><td>2.2 L'approche de la Realistic Mathematics Education</td><td>2</td></tr><tr><td>2.3 De l'apprentissage situé à l'embodiment</td><td>3</td></tr><tr><td>3. Annexes</td><td>3</td></tr><tr><td>Bibliographie de l'introduction générale</td><td>3</td></tr><tr><td>PARTIE A - Un enseignement contextualisé des mathématiques</td><td>5</td></tr><tr><td>Articles étudiés</td><td>5</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>5</td></tr><tr><td>Notions-clés</td><td>6</td></tr><tr><td>A1 - Teaching and Learning Geometry in Contexts</td><td>7</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>7</td></tr><tr><td>Résumé de l'article</td><td>7</td></tr><tr><td>1. Contextes réels et géométrie</td><td>7</td></tr><tr><td>2. Exemples de DDE</td><td>8</td></tr><tr><td>3. Conclusion</td><td>9</td></tr><tr><td>Discussion</td><td>10</td></tr><tr><td>A2 - Argumentation and conceptualization in context: a case study on sunshadows in primary school</td><td>11</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>11</td></tr><tr><td>Résumé de l'article</td><td>11</td></tr><tr><td>1. Objectifs</td><td>11</td></tr><tr><td>2. L'expérimentation</td><td>12</td></tr><tr><td>Discussion</td><td>14</td></tr><tr><td>A3 - Contributions and Obstacles of Contexts in the Development of Mathematical Knowledge</td><td>15</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>15</td></tr><tr><td>Résumé de l'article</td><td>15</td></tr><tr><td>1. Enseignement en contexte : perspectives générales</td><td>16</td></tr><tr><td>2. Quelques aspects de l'enseignement incorporé</td><td>18</td></tr><tr><td>3. Conclusion : quelles perspectives de développements ?</td><td>19</td></tr><tr><td>Discussion</td><td>20</td></tr><tr><td>Références de la partie A</td><td>21</td></tr><tr><td>PARTIE B - L'approche de la Realistic Mathematics Education (RME)</td><td>23</td></tr><tr><td>Articles étudiés</td><td>23</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>23</td></tr><tr><td>Notions-clés</td><td>24</td></tr><tr><td>B1 - The didactical use of models in Realistic Mathematics Education: An example from longitudinal trajectory on percentage</td><td>25</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>25</td></tr><tr><td>Résumé de l'article</td><td>25</td></tr><tr><td>1. Le cadre théorique</td><td>25</td></tr><tr><td>2. Le cas du bar-model</td><td>27</td></tr><tr><td>Discussion</td><td>27</td></tr><tr><td>B2 - Didactising: Continuing the Work of Leen Streefland</td><td>29</td></tr></tbody></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>Introduction</td>
      <td>29</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Résumé de l'article</td>
      <td>29</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1. Le premier exemple : les deux pré-images, modèle et chaîne de signification</td>
      <td>29</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2. Le deuxième exemple : l'élaboration de l'argumentation comme post-image</td>
      <td>31</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3. Le troisième exemple : l'élaboration de l'écoute générative comme post-image et l'évolution des points de départ réalistes</td>
      <td>32</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Discussion</td>
      <td>33</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B3 - Using intuition from everyday life in 'filling' the gap in children's extension of their number concept to include the negative numbers</td>
      <td>35</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Introduction</td>
      <td>35</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Résumé de l'article</td>
      <td>35</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1. Les modèles</td>
      <td>35</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2. Les expérimentations</td>
      <td>36</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3. Les résultats</td>
      <td>37</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Discussion</td>
      <td>37</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B4 - Context Problems in Realistic Mathematics Education: A Calculus Course as an Example</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Introduction</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Résumé de l'article</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1. L'enseignement des fonctions</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2. L'apport historique</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3. L'expérimentation au lycée</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Discussion</td>
      <td>41</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B5 - Focusing on Informal Strategies when Linking Arithmetic to Early Algebra</td>
      <td>43</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Introduction</td>
      <td>43</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Résumé de l'article</td>
      <td>43</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1. L'enchaînement de l'enseignement proposé</td>
      <td>43</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2. Exemples en classe</td>
      <td>45</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3. Conclusion</td>
      <td>46</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Discussion</td>
      <td>47</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Références de la partie B</td>
      <td>48</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>PARTIE C - De l'apprentissage situé à l'embodiment</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Articles étudiés</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Introduction</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Notions-clés</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>C1 - Mathematical modelling: the interaction of culture and practice</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Introduction</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Résumé de l'article</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1. Cadre de l'étude</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2. Les cultures scolaires : observations Mexique/Grande Bretagne</td>
      <td>54</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3. Les pratiques mathématiques dans l'enseignement des sciences : pré-évaluation</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4. Modélisation mathématique avec feuilles de calcul</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5. Conclusion</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Discussion</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>C2 - To know or not to know-mathematics, that is a question of context</td>
      <td>59</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Introduction</td>
      <td>59</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Résumé de l'article</td>
      <td>59</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1. Les composantes cognitive et sociale</td>
      <td>59</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2. L'activité mathématique</td>
      <td>59</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3. L'exemple de Ruth</td>
      <td>60</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tr><td>4. Conclusion</td><td>60</td></tr><tr><td>Discussion</td><td>60</td></tr><tr><td>C3 - Embodied cognition as grounding for situatedness and context in Mathematics Education</td><td>61</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>61</td></tr><tr><td>Résumé de l'article</td><td>61</td></tr><tr><td>1. Bref historique des approches cognitives</td><td>61</td></tr><tr><td>2 Incarnation et analyse de structures conceptuelles</td><td>62</td></tr><tr><td>3. Etude de cas : la continuité</td><td>63</td></tr><tr><td>4. Conclusion</td><td>65</td></tr><tr><td>Discussion</td><td>66</td></tr><tr><td>C4 - A Theory of Mathematical Growth through Embodiment, Symbolism and Proof</td><td>67</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>67</td></tr><tr><td>Résumé de l'article</td><td>67</td></tr><tr><td>1. Développement cognitif de la pensée mathématique de l'enfant à l'adulte</td><td>67</td></tr><tr><td>2. Implications théoriques</td><td>70</td></tr><tr><td>Discussion</td><td>72</td></tr><tr><td>Références de la partie C</td><td>73</td></tr><tr><td>ANNEXE 1 - Préalables à une analyse didactique de l'emploi des modèles</td><td>77</td></tr><tr><td>ANNEXE 2 - Glossaire général</td><td>81</td></tr><tr><td>Entrées en anglais</td><td>88</td></tr><tr><td>Bibliographie du glossaire</td><td>89</td></tr><tr><td>ANNEXE 3 - Les articles de l'étude</td><td>91</td></tr><tr><td>Table des matières</td><td>93</td></tr></table>
## TITRE :

Du monde réel au monde mathématique – un parcours bibliographique et didactique

## COORDINATEURS :

Alain Kuzniak, Bernard Parzysz, Laurent Vivier

## AUTEUR/S :

Caroline Bulf, Christine Chambris, Jacques Colomb, Bernadette Denys, Catherine Houdement, Alain Kuzniak, Ana Mesquita, Cécile Ouvrier-Buffet, Bernard Parzysz, Marie-Jeanne Perrin-Glorian, François Pluvinage, André Pressiat, Avenilde Romo-Vasquez, Laurent Vivier.

## RESUME :

Ce parcours bibliographique décrit un certain nombre d'approches didactiques qui appuient l'apprentissage des mathématiques sur le monde réel. Sont notamment présentées l'approche des Domaines Didactiques d'Expérience (DDE) proposant un enseignement contextualisé des mathématiques et l'approche de la Realistic Mathematics Education (RME) développée par l'Ecole hollandaise. En complément de ces deux grands courants didactiques, il est présenté des théories fondées sur l'embodiment ou l'apprentissage situé.

Chaque approche est traitée globalement puis approfondie par des résumés commentés d'articles significatifs. L'ensemble de ces résumés est complété par une bibliographie thématique qui permet au lecteur intéressé de poursuivre l'étude de ces théorie. Les termes spécifiques de ces théories sont explicités et traduits dans un glossaire analytique.

## MOTS CLES :

Apprentissage situé, contexte, embodiment, modèle, mathématisation, modélisation, réalité.