Sur les ensembles linéaires dénombrables non équivalents par décomposition finie.

Par

Wacław Sierpiński (Warszawa).

**Théorème 1.** Soit $E$ un ensemble linéaire infini. Il existe un sous-ensemble infini $H$ de $E$, tel que les ensembles $E$ et $H$ ne sont pas équivalents par décomposition finie, c.-à-d. il n'existe aucun nombre naturel $m$ tel qu'on ait

$$ (1) \qquad E=E_1+E_2+\dots+E_m \quad \text{et} \quad H=H_1+H_2+\dots+H_m, $$

où $E_k E_l = H_k H_l = 0$ pour $1 \le k<l \le m$, et où l'ensemble $E_k$ est superposable (par translation ou rotation) avec $H_k$ (pour $k=1,2,...$). (c.-à-d. $E_k \cong H_k$ pour $k=1,2,...$).

Démonstration. Distinguons deux cas. .

1) L'ensemble $E$ n'est pas borné. L'ensemble linéaire $E$ étant infini, il existe, pour tout $n$ naturel, un intervalle $d_n$ de longueur $\bar{d}_n$ contenant au moins $n$ points distincts de $E$. Je définirai par l'induction une suite infinie $p_1, p_2, \dots$ de points de $E$ comme il suit. Soit $p_1$ un point quelconque de $E$. Soit $n$ un nombre naturel $>1$, et supposons que nous avons déjà défini les points $p_1, p_2, \dots, p_{n-1}$. L'ensemble $E$ étant pas borné, il existe dans $E$ des points dont la distance à chacun des points $p_1, p_2, \dots, p_{n-1}$ surpasse chacun des nombres $\bar{d}_1, \bar{d}_2, \dots, \bar{d}_n$: soit $p_n$ un de ces points.

Posons $H=\{p_1, p_2, \dots\}$. On voit sans peine que, si $k \ge m > 1$ et si $n$ est un nombre naturel $\ne k$, la distance de $p_k$ à $p_n$ est $> \bar{d}_m$. Il en résulte tout de suite qu'il n'existe dans $H$ aucun système de $m>1$ points distincts ayant deux à deux des distances $\le \bar{d}_m$ (puisque un au moins de ces points aurait l'indice $k \ge m$).

Admettons qu'on a les formules (1), où $m$ est un nombre naturel que nous pouvons supposer $>1$. L'intervalle $\bar{d}_m^2$ contenant au moins $m^2$ points distincts de $E$, un au moins des ensembles $E_1, E_2, \dots, E_m$ contient au moins $m$ points de $\bar{d}_m^2$, soit $E_k$. Si l'on avait $E_k \cong H_k$, l'ensemble $H_k$ et, à plus forte raison, l'ensemble $H$
contiendrait au moins *m* points distincts ayant deux des distances $\le \bar{d}_{m^2}$, ce qui est, comme nous avons démontré, impossible. Les ensembles *E* et *H* ⊂ *E* ne sont donc pas équivalents par décomposition finie.

2) L'ensemble *E* est borné. L'ensemble *E* étant infini (et borné), il existe, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, un point d'accumulation *a* de *E* (c.-à-d. *a* ∈ *E*'). Nous définirons une suite infinie $p_1, p_2, ...$ des points de *E* par l'induction comme il suit. Soit $p_1$ un point quelconque de *E* autre que *a*. Soit *n* un nombre naturel >1 et supposons que nous avons déjà défini les points $p_1, p_2, ..., p_{n-1}$, et qu'ils sont tous distincts de *a*. Soit $\epsilon_n$ un nombre positif tel que $2\epsilon_n$ est plus petit que la distance entre deux quelconques des points $a, p_1, p_2, ..., p_{n-1}$. Comme $a \in E'$, il existe un point $p_n$ de *E* dont la distance $\varrho(p_n, a)$ au point *a* est moindre que chacun des nombres $\epsilon_1, \epsilon_2, ..., \epsilon_n$. Posons

$$H = \{p_{2^{n+1}}, p_{3^{n+1}}, \dots, p_{n+1}, \dots\}.$$

Si *H* contenait $m > 1$ points distincts, deux au moins d'entre eux, soient $p_{k+1}$ et $p_{r+1}$, auraient des indices $\ge m^2+1$, et, vu la définition des points $p_n$, on aurait $\varrho(p_{k+1}, a) < \epsilon_{m+1}^2$ et $\varrho(p_{r+1}, a) < \epsilon_{m+1}^2$ d'où $\varrho(p_{k+1}, p_{r+1}) < 2\epsilon_{m+1}^2$. Il n'existe donc pas dans *H* pour *m* naturel >1, *m* points distincts ayant deux à deux la distance $\ge 2\epsilon_{m+1}^2$.

Admettons qu'on a les formules (1), où *m* est un nombre naturel >1. La distance entre deux points (distincts) de la suite $p_1, p_2, ..., p_{m^2}$ étant $> 2\epsilon_{m+1}^2$, un au moins des ensembles $E_1, E_2, ..., E_m$, soit $E_k$, contient au moins *m* points de *E* ayant deux à deux une distance $> 2\epsilon_{m+1}^2$. Il est donc de même de l'ensemble $H_k \cong E_k$ et, à plus forte raison, de l'ensemble *H*, ce qui est, comme nous avons démontré, impossible.

Dans les cas 1) et 2) les ensembles *E* et *H* ne sont donc pas équivalents par décomposition finie et notre théorème se trouve démontré. Il peut être généralisé sans peine aux ensembles infinis situés dans les espaces euclidiens à un nombre fini quelconque de dimensions, mais pas aux espaces métriques infinis quelconques.

**Théorème 2.** $E_1, E_2, ...$ étant une suite infinie d'ensembles linéaires infinies tels que pour tout *n* naturel l'ensemble $E_{n+1}$ est équivalent par décomposition finie à un sous-ensemble de $E_n$, il existe un ensemble infini *E* tel que pour tout *n* naturel *E* est équivalent par décomposition finie à un sous-ensemble de $E_n$, mais ne l'est pas à $E_n$.

**Démonstration.** D'après l'hypothèse il existe un ensemble $H_2 \subset E_1$, tel que $E_2 \subset H_2$ (c.-à-d. que $E_2$ est équivalent par décomposition finie à $H_2$) Pareillement, il existe un ensemble $H \subset E_2$, tel que $E_3 \subset H$. Les formules $E_3 \subset H$, $H \subset E_2$ et $E_2 \subset H$ prouvent qu'il existe un ensemble $H_3 \subset H_2$, tel que $E_3 \subset H_3$. Par l'induction on arrive ainsi à une suite infinie d'ensembles (infinis) $E_1 = H_1 \supset H_2 \supset H_3 \supset ...$ tels que $E_n \subset H_n$ pour $n=1,2,...$

Nous définirons maintenant par l'induction deux suites infinies de points $p_1, p_2, ...$ et $q_1, q_2, ...$, comme il suit. Soient $p_1$ et $q_1$ deux points distincts de $H_1$. Soit *n* un nombre naturel >1 et supposons que nous avons déjà défini tous les points $p_1, p_2, ..., p_{n-1}$ et $q_1, q_2, ..., q_{n-1}$. L'ensemble $H_n$ étant infini (en tant qu'équivalent par décomposition finie à l'ensemble infini $E_n$), il existe des points distincts $p_n$ et $q_n$ de $H_n$, distincts de chacun des points $p_1, p_2, ..., p_{n-1}$, $q_1, q_2, ..., q_{n-1}$. Posons $H_0 = \{p_1, p_2, ...\}$: vu que $H_1 \supset H_2 \supset ...$, on aura évidemment, pour tout *n* naturel:

$$\{p_n, p_{n+1}, p_{n+2}, ...\} \subset H_n \text{ et } \{q_n, q_{n+1}, q_{n+2}, ...\} \subset H_n - H_0.$$

D'après le théorème 1, il existe un sous-ensemble infini *E* de $H_0$ qui n'est pas équivalent par décomposition finie à $H_0$.

Vu les propriétés des suites $p_1, p_2, ...$ et $q_1, q_2, ...$, on trouve sans peine les décompositions en deux ensembles disjoints

$$\begin{gathered} H_0 = \{p_1, p_2, \dots, p_{n-1}\} + \{p_n, p_{n+1}, \dots\} \\ \text{et} \\ T_n = \{q_n, q_{n+1}, \dots, q_{2n-2}\} + \{p_n, p_{n+1}, \dots\}, \end{gathered}$$

où évidemment $\{p_1, p_2, \dots, p_{n-1}\} = \{q_n, q_{n+1}, \dots, q_{2n-1}\}$ ($A \subset B$ désignant que les ensembles *A* et *B* sont équivalents par décomposition en *k* parties). On en déduit tout de suite que l'ensemble $H_0$ est équivalent par décomposition en *n* parties au sous-ensemble $T_n$ de $H_n$. Comme $E \subset H_0$ et $H_n \subset E_n$, on en conclut que l'ensemble *E* est équivalent par décomposition finie à un sous-ensemble de $E_n$ (pour $n=1,2,...$).

Or, admettons que pour un nombre naturel *n* on a $E \subset E_n$. Comme $E \subset H_0$ et $H_0 \subset T_n \subset H_n$, il existe un ensemble *G* tel que $E \subset G \subset T_n \subset H_n$ et, comme $E \subset E_n$ et $E_n \subset H_n$, cela donne, comme on sait 1) $T_n \subset H_n$, donc, vu que $H_0 \subset T_n$ et $H_n \subset E_n$, on trouve $H_0 \subset E_n$, et, comme $E \subset E_n$, cela donne $H_0 \subset E$, contrairement à la définition de l'ensemble *E*.

Le théorème 2 est ainsi démontré.

<footnote n="1">1) Voir S. Banach and A. Tarski, Fund. Math. **6**, p. 252 (Cor. 9); aussi W. Sierpiński, Fund. Math. **33**, p. 230, Lemme 1.</footnote>
Il résulte facilement des théorèmes 1 et 2 par l'induction transfinie qu'il existe pour tout ensemble linéaire infini E une suite transfinie du type Ω d'ensembles $E_\xi \subset E$ ($\xi < \Omega$), tels que pour $\xi < \eta < \Omega$ l'ensemble $E_\eta$ est équivalent par décomposition finie à un sous-ensemble de $E_\xi$, mais qu'on a $E_\eta$ non $\subsetneq E_\xi$.

**Théorème 3.** Un ensemble borné de nombres rationnels n'est équivalent par décomposition finie à aucune de ses parties aliquotes.

Démonstration. Soit A un ensemble borné de nombres rationnels et supposons que $A \subset B$, où $BCA$ et $B+A$. Il existe donc un nombre naturel $n$ et des décompositions en ensembles disjoints (non vides)

$$A = A_1 + A_2 + \dots + A_n \text{ et } B = B_1 + B_2 + \dots + B_n,$$

où $A_k \approx B_k$ pour $k=1,2,\dots,n$.

Il existe donc pour $k=1,2,\dots,n$ une transformation $f_k$ de $A_k$ en $B_k$ qui est une translation ou une rotation. On en déduit tout de suite qu'il existe (pour $k=1,2,\dots,n$) un nombre réel $a_k$ tel que $f(x) = a_k + x$ ou bien $f(x) = a_k - x$ pour $x \in A_k$, et, vu que les ensembles $A_k$ et $B_k$ sont formés de nombres rationnels, on voit que $a_k$ est un nombre rationnel.

Posons $f(x) = f_k(x)$ pour $x \in A_k$; la fonction $f(x)$ sera ainsi définie pour $x \in A$ et, comme on voit sans peine, elle transforme de façon biunivoque l'ensemble $A$ en $B$. On constate aussi que, pour $x \in A$:

$$f(x) = l_1(x) \cdot a_1 + l_2(x) \cdot a_2 + \dots + l_n(x) \cdot a_n \pm x,$$

où $l_i(x), l_2(x), \dots, l_n(x)$ sont des entiers dépendants de $x$ (en effet, pour $x \in A_k$ on a: $l_k(x) = 1$ et $l_i(x) = 0$ si $i \neq k$), et le signe $\pm$ dépend de $x$.

En désignant par $f^{(m)}(x)$ la m-ième itérée de la fonction $f(x)$, on en déduit tout de suite que pour $x \in A$ on a:

$$f^{(m)}(x) = k_1(x) \cdot a_1 + k_2(x) \cdot a_2 + \dots + k_n(x) \cdot a_n \pm x,$$

où $k_l(x)$ ($l=1,2,\dots,n$) sont des entiers dépendants de $x$ (et de $m$) et le signe $\pm$ dépend de $x$ (et de $m$).

Soit $q$ le dénominateur commun des nombres rationnels $a_1, a_2, \dots, a_n$. On a donc:

$$f^{(m)}(x) = \frac{c(x)}{q} \pm x \text{ pour } x \in A,$$

où $c(x)$ est un entier (dépendant de $x$ et de $m$).

## Equivalence par décomposition

L'ensemble $A$ étant borné, on en déduit aussitôt que la fonction $c(x)$ est également bornée, donc, en tant que fonction à valeurs entières, elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs distinctes. On en conclut sans peine que, $x$ étant un nombre donné de $A$, la suite infinie

$$x, f(x), ff(x), fff(x), \dots$$

ne peut pas être formée de nombres deux à deux distincts.

Comme $BCA$ et $B+A$, il existe un nombre $x_0 \in A-B$. Il existe donc des nombres naturels $k$ et $p$, tels que

$$f^{k-1}(x_0) = f^{k-1+p}(x_0)$$

et, la fonction $f$ étant à valeurs distinctes dans $A$, on en déduit tout de suite que

$$x_0 = f^{(p)}(x_0),$$

ce qui est impossible, puisque $x_0$ non $\in B$ et $f^{(p)}(x) \in B$ pour $x \in A$ et $p$ naturel. L'hypothèse que $A \subset B$ implique donc une contradiction et le théorème 3 se trouve démontré.

Soit, pour $x$ réel, $0 \le x < 1$, $E_x$ l'ensemble de tous les nombres rationnels $>x$ et $<1$, et soit $F$ la famille de tous les ensembles $E_x$, où $0 \le x < 1$. D'après le théorème 3 deux ensembles distincts de la famille $F$ sont non équivalents par décomposition finie.

Il existe donc une famille de puissance du continu d'ensembles de nombres rationnels de l'intervalle $(0,1)$ deux à deux non équivalents par décomposition finie.

Il est à remarquer qu'il existe des ensembles linéaires bornés dénombrables équivalents par décomposition finie à une de ses parties aliquotes.

Tel est p. e. l'ensemble $E=\{p_1, p_2, \dots\}$, où $p_k=ka-Eka$ pour $k=0,1,2,\dots$, et où $a$ est un nombre irrationnel de l'intervalle $(0,1)$ (p. e. $a=\sqrt{2}-1$). On a en effet, $E_{\frac{1}{2}}E-\{p_0\}$. Pour s'en convaincre, désignons par $E_1$ l'ensemble de tous les nombres $p_k < 1 - a$ de $E$ et posons $E_2=E-E_1$.

On vérifie facilement que

$$E=E_1+E_2, E_1E_2=0, E-\{p_0\}=E_1(a)+E_2(a-1), E_1(a) \cdot E_2(a-1)=0, \text{ ce qui donne tout de suite } E_{\frac{1}{2}}E-\{p_0\}.$$

**Théorème 4.** Il existe une famille de puissance du continu d'ensembles infinis de nombres naturels deux à deux non équivalents par décomposition finie.
Telle est la famille de tous les ensembles {$E\alpha, E2\alpha, E3\alpha, ...$}, où $\alpha$ parcourt tous les nombres réels $\ge 1$ (et où $\text{Et désigne l'entier le plus grand} \le t$).

Démonstration. Soient $A$ et $B$ deux ensembles infinis de nombres naturels équivalents par décomposition finie. On a donc des décompositions en ensembles disjoints:

$$A=A_1+A_2+...+A_m, \quad B=B_1+B_2+...+B_m,$$

où $A_i \approx B_i$ pour $i=1,2,...,m$.

Admettons que pour $i=1,2,...,p$ les ensembles $A_i$ et $B_i$ sont superposables par translation, soit $B_i=A_i(a_i)$ pour $i=1,2,...,p$, et que, pour $i=p+1,p+2,...,m$, il le sont par rotation. Les nombres $a_i$ ($i=1,2,...,p$) sont évidemment des entiers, et les ensembles $A_i$ ($i=p+1,p+2,...,m$) sont finis (deux ensembles infinis de nombres naturels ne pouvant pas être superposables par rotation).

n étant un nombre naturel donné, désignons par $P^{(n)}$ le nombre de tous les nombres de l'ensemble de nombres naturels $P$ qui sont $\le n$. On voit sans peine que pour tout $a$ entier on a $|P^{(n)}(a)-P^{(n)}| \le |a|$. Il en résulte tout de suite que $|B_i^{(n)}-A_i^{(n)}| \le |a_i|$ pour $i=1,2,...,p$, et on en conclut que

$$|A^{(n)}-B^{(n)}| \le q, \quad \text{où } q=|a_1|+|a_2|+...+|a_p|+\overline{A_{p+1}}+\overline{A_{p+2}}+...+\overline{A_m}$$
est un entier indépendant de $n$.

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels distincts $\ge 1$, p. e. $x<y$, et

$$\text{posons } A=\{E\alpha, E2\alpha, E3\alpha, ...\} \text{ et } B=\{Ey, E2y, E3y, ...\}.$$

On vérifie facilement que

$$E \frac{n+1}{x} - 1 \le A^{(n)} \le E \frac{n+1}{w} \quad \text{et} \quad E \frac{n+1}{y} - 1 \le B^{(n)} \le E \frac{n+1}{y}, \\ \text{d'où} \\ A^{(n)} > \frac{n+1}{x} - 2, \quad B^{(n)} \le \frac{n+1}{y}, \quad \text{donc} \quad A^{(n)} - B^{(n)} > (n+1) \frac{y-x}{xy} - 2,$$

ce qui donne

$$\lim_{n \to \infty} (A^{(n)} - B^{(n)}) = +\infty,$$

contrairement à l'inégalité $|A^{(n)}-B^{(n)}| \le q$ trouvée plus haut dans l'hypothèse que $A \le B$. Les ensembles $A$ et $B$ ne peuvent donc être équivalents par décomposition finie et le théorème 4 se trouve démontré.

## On the inducing of homomorphisms by mappings.

By

Roman Sikorski (Warszawa).

Let $X$ and $Y$ be two fields of subsets of sets $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ respectively and let $f$ be a homomorphism (i. e. an additive and complementative transformation) of $Y$ in $X$. I say that the homomorphism $f$ is *induced* by a mapping $y=\varphi(x)$ of $\mathcal{X}$ into $\mathcal{Y}$ if

$$(*) \quad f(Y) = \varphi^{-1}(Y) \quad \text{for every } Y \in \mathcal{Y}.$$

More generally, if $\mathcal{I}$ and $\mathcal{J}$ are two ideals of sets of the fields $X$ and $\mathcal{I}$ respectively and $f$ is a homomorphism of the quotient algebra $\mathcal{Y}/\mathcal{J}$ in $X/\mathcal{I}$, I say that a mapping $\varphi$ of $\mathcal{X}$ into $\mathcal{Y}$ *induces* the homomorphism $f$ if

$$(**) \quad \varphi^{-1}(Y) \in \mathcal{X} \quad \text{and} \quad f([Y]) = [\varphi^{-1}(Y)] \quad \text{for every } Y \in \mathcal{Y}.$$

$[Y]$ denotes here the element of $X/J$ (i. e. a class of sets belonging to $Y$) which contains the set $Y \in \mathcal{Y}$ and $[\varphi^{-1}(Y)]$ denotes the element of $X/\mathcal{I}$ which contains the set $\varphi^{-1}(Y) \in \mathcal{X}$.

This paper contains several theorems 2) on the inducing of homomorphisms by mappings 3).

**Terminology and notation.** A mapping $f$ of a Boolean algebra $A$ in a Boolean algebra $B$ is called a homomorphism, if

$$f(A_1+A_2)=f(A_1)+f(A_2) \quad \text{and} \quad f(A'_1)=f(A_1)'$$

for every $A_1, A_2 \in \mathcal{A}$. The symbols ",+" and "," denote here the Boolean operations of addition and complementation which correspond to the operations of addition and complementation of sets in the general theory of sets.

<footnote n="1">1) Hence $\varphi^{-1}(Y) \in \mathcal{X}$ for any $Y \in \mathcal{Y}$. Conversely, if $\varphi^{-1}(Y) \in \mathcal{X}$ for every $Y \in \mathcal{Y}$, then the formula (*) defines a homomorphism $f$ of $Y$ in $X$.</footnote>

<footnote n="2">2) An application of one of these theorems (th. 3.1) to the theory of the integral is given in my paper [1].</footnote>

<footnote n="3">3) This paper was presented by me at a session of the Warsaw Section of the Polish Mathematical Society on December 12, 1947.</footnote>

<footnote>A similar problem on the inducing of isomorphisms between fields of sets has been considered by E. Marczewski in paper [2].</footnote>