# Variations des sous-pressions dans les fissures sismiques des barrages en béton Modélisation numérique

Pierre Léger, Farrokh Javanmardi, René Tinawi

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Pierre Léger, Farrokh Javanmardi, René Tinawi. Variations des sous-pressions dans les fissures sismiques des barrages en béton Modélisation numérique. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812954

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Submitted on 12 Jun 2018

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# Variations des sous-pressions dans les fissures sismiques des barrages en béton

## Modélisation numérique

Pierre Léger* — Farrokh Javanmardi* — René Tinawi *

*Département des génies civil, géologique et des mines
École Polytechnique de Montréal
C.P. 6079 Succursale CV, Montréal, Québec, Canada H3C 3A7
pierre.leger@polymtl.ca

RÉSUMÉ. Un modèle théorique est développé pour la représentation des variations transitoires des sous-pressions dans les fissures de tension dans le béton où l'on connaît le mouvement sismique des parois. Des essais expérimentaux sont effectués pour valider le modèle proposé. Le modèle est par la suite implanté dans un logiciel d'éléments finis nonlinéaire en fissuration discrète pour l'analyse sismique hydromécanique couplée des barrages en béton. Un barrage de 90m de hauteur est par la suite analysé. Les résultats montrent que l'eau peut pénétrer dans une fissure sismique produisant une saturation partielle. De façon globale on note une réduction des sous-pressions lors du mode d'ouverture de la fissure par rapport aux valeurs pré-sismiques, ce qui est favorable pour maintenir la stabilité sismique au glissement vers l'aval.

ABSTRACT. Variations of uplift pressures in seismic cracks of concrete dams: numerical modelling. A theoretical model is developed for transient water pressure variations along tensile seismic concrete cracks with known crack wall motion history. Experimental tests are performed to validate the proposed model. The model is then implemented in a nonlinear discrete crack finite element program for coupled hydromechanical seismic analysis of concrete dams. A 90m high gravity dam is then analysed. Results show that water can penetrate in seismic crack making them partially saturated. However, during the opening mode the magnitude of the uplift force is small with respect to the pre-seismic value such that this condition is favourable to maintain the downstream seismic sliding stability.

MOTS-CLÉS : barrages, béton, fissure, stabilité sismique, sous-pressions, modèle d'interaction sismique fluide-fissure.

KEYWORDS: dams, concrete, cracking, seismic satbility, water uplift pressure, seismic water crack interaction model.
# 1. Introduction

Les variations oscillatoires d'ouverture et de fermeture des fissures en contact avec l'eau du réservoir vont modifier les valeurs pré-sismiques des sous-pressions qui prévalaient avant un séisme affectant un barrage en béton (Fig.1). Les sous-pressions agissant le long d'un joint ou d'une fissure sont susceptibles de favoriser la propagation des fissures et d'affecter la stabilité des ouvrages. Les variations transitoires des sous-pressions lors des séismes demeurent une source majeure d'incertitude lors de l'évaluation de la sécurité des barrages. Le manque de connaissance concernant les sous-pressions lors de l'ouverture d'une fissure sismique est flagrant lorsque l'on compare les différentes directives de sécurité des barrages en vigueur. Ceux-ci stipulent que ces pressions (i) peuvent diminuer à zéro (USBR, 1987), (ii) demeurer inchangées à leurs valeurs pré-sismiques (USACE, 1995), ou (iii) atteindre la pleine valeur de la pression agissant à l'embouchure (ICOLD, 1986).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 1.** *Sous-pressions statiques et transitoires*</figcaption></figure>

Par ailleurs, Slowik et al. (2000) ont mesuré les pressions se développant le long d'une fissure lors d'essais de fendage de blocs de béton. Ils ont développé un modèle théorique pour reproduire les résultats expérimentaux qui est applicable lors de la phase initiale de propagation de la fissure durant le séisme mais les mouvements oscillatoires subséquents d'ouverture et de fermeture n'ont pas été considérés.

Cet article présente le développement et l'application d'un modèle rationnel d'interaction hydromécanique couplée pour les fissures sismiques dans les barrages en béton (Javanmardi et al. 2005a, 2005b, 2003).
## 2. Modélisation de l'écoulement de l'eau et des sous-pressions dans une fissure

Les processus phénoménologiques de la variation de la pression d'eau dans une fissure de longueur $L_{cr}$ où l'eau a pénétré sur la longueur de saturation $L_{sat}$ lors de la phase d'ouverture sont montrés à la Fig.2 où DODF(t) est le déplacement de l'ouverture et $P_{DF}$ est la pression au début de la fissure, respectivement.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 2. Écoulement et pression le long d'une fissure qui s'ouvre</figcaption></figure>

Un modèle d'interaction dynamique fissure-eau adapté de Tinawi et al. (1994) a été formulé. L'évolution transitoire des sous-pressions est modélisée en fonction de l'historique des déplacement de l'ouverture en début de fissure et des pressions frontières en présumant (i) un écoulement 1D le long de la fissure, (ii) les conditions de continuités avec un fluide incompressible de viscosité constante, (iii) une relation pression-débit contrôlée par la conductivité hydraulique de la fissure à l'aide d'une variante de la loi "cubique" d'écoulement tenant compte de la rugosité, des conditions laminaires ou turbulentes d'écoulement selon le nombre de Reynolds et la cavitation, (iv) des parois imperméables et (v) une ouverture hydraulique résiduelle lors des mouvements cycliques. Les expressions suivantes sont utilisées pour décrire le gradient de pression en fonction du débit $Q(x,t)$ et de l'ouverture le long de la fissure $u(x,t)$ (Javanmardi 2005a) :

$$ \left[ \frac{dP(x,t)}{dx} \right]_{\text{laminaire}} = 6\mu \left[ 1 + 8.8 \left( k / 2u(x,t) \right)^{1.5} \right] \frac{Q(x,t)}{u^3(x,t)} \quad [1] $$

$$ \left[ \frac{dP(x,t)}{dx} \right]_{\text{turbulent}} = \frac{\rho Q^2(x,t)}{16 \left( \log \frac{1.9}{k/2u(x,t)} \right)^2 u^3(x,t)} \quad [2] $$

où $\mu$ est la viscosité dynamique de l'eau, $k/2u(x,t)$ est la rugosité relative de la fissure (prise égale à 0.5 pour une fissure rugueuse en tension) et $\rho$ est la densité massique de l'eau. Un logiciel a été développé pour intégrer les équations [1-2] le long de la partie saturée de la fissure tout en assurant la condition de continuité de l'écoulement. À l'aide du logiciel, on peut obtenir la variations de pression le long
d'une fissure aux mouvements des parois connus, u(x,t), et aux conditions frontières de pressions connues au début de la fissure P<sub>DF</sub> (t). Ce modèle constitutif hydromécanique est implanté dans un logiciel d'éléments finis utilisant des éléments de contact pour représenter les fissures dans les barrages. Les équations d'équilibre dynamique prennent alors la forme suivante :

$$[M]\{\ddot{u}\} + [C]\{\dot{u}\} + \{R+Wpr\} = -[M]\{r\}\{\ddot{u}_g\} + \{f_{stat}\} \quad [3]$$

où [M] est la matrice de masse, [C] la matrice d'amortissement, {R} la force mécanique de rappel, {Wpr} la force dynamique causée par l'eau dans les fissures, {f<sub>stat</sub>} le vecteur des forces pré-sismiques, {r} le vecteur unitaire identifiant les degrés de liberté actif, {u}, {\dot{u}}, {\ddot{u}} et {\ddot{u}g} sont les vecteurs de déplacement, de vitesse, d'accélération relatives et d'accélérations sismiques du sol, respectivement. La force de rappel et la force de l'eau {R+Wpr} sont fonctions des déplacements relatifs des éléments de contact qui sont inconnus a priori lors de l'intégration numérique de l'équation [3]. La méthode modifiée de Newton-Raphson est utilisée pour effectuer des itérations à chaque pas de calcul. Un programme expérimental a été réalisé sur des spécimens de petites dimensions afin de valider le modèle d'interaction hydromécanique proposé ci-dessus (voir Javanmardi et al. 2005a).

### 3. Analyse sismique d'un barrage-poids de 90m

La Fig. 3 illustre le barrage poids de 90m soumis à un accélérogramme du séisme du Saguenay 1988 (Qc, Canada) (Fig. 4a) qui est considéré à titre d'exemple.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 3. Barrage-poids de 90m</figcaption></figure>
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 4.** Réponse sismique : a) segment de l'accélérogramme, b) déplacements de l'ouverture en début de fissure (DODF), c) force résultante des sous-pressions, d) facteur de sécurité au glissement (FSG)</figcaption></figure>

Les résultats d'une analyse typique avec et sans sous-pressions (sec) dans la fissure sont montrés à la Fig. 4. Dès que la fissuration débute l'eau pénètre dans la fissure et en sature une petite partie près de l'embouchure. Lors de la phase d'ouverture les sous-pressions diminuent de façon importante, la réponse devient similaire au cas sans sous-pressions (sec). Lors de la fermeture les forces sismiques pointent vers l'amont, les forces de sous-pressions augmentent et ont un pic maximum à chaque cycle de fermeture. Lors du contact mécanique la vitesse de fermeture décroît instantanément. Les forces de sous-pressions sont réduites du pic à une valeur plus petite qui demeure constante lors du contact. La Fig. 4d illustre que
facteur de sécurité au glissement (FSG) n'est pas affecté de façon significative par la pénétration de l'eau dans la fissure.

**4. Conclusions**

Les résultats montrent que la pression d'eau à l'intérieur d'une fissure, dont les parois bougent, et ayant une certaine longueur et rugosité, est fonction de l'ouverture de la fissure, de sa vitesse d'ouverture, de la pression à l'embouchure et de la distance de la pointe de fissure. De façon globale, on note une réduction importante des sous-pressions par rapport aux valeurs pré-sismiques lors de l'ouverture sismique d'une fissure, de sorte que la stabilité des ouvrages n'est pas affectée par la présence des sous-pressions dans ces conditions. Lors de la fermeture de la fissure les forces sismiques sont orientées vers l'amont et les plus grandes valeurs de sous-pressions ont tendance à se développer près de l'embouchure de la fissure de sorte que des effets néfastes pour la stabilité structurale ont peu de chance de se produire (ex. propagation de la fissure par effet de coin causé par la présence de l'eau dans la fissure).

**5. Bibliographie**

ICOLD (International Commission on Large Dams). *Earthquake analysis for dams*. Bulletin 52, Paris, 1986.

Javanmardi F., Léger P., Tinawi R., « Seismic water pressure in cracked concrete gravity dams: experimental study and theoretical modeling », *Journal of Structural Engineering ASCE*, vol. 131, n° 1, 2005a, p.139-150.

Javanmardi F., Léger P., Tinawi R., « Seismic structural stability of concrete gravity dams considering transient uplift pressures in cracks », *Engineering Structures*, 2005b, (In press).

Javanmardi F. Transient uplift pressures in seismic cracks induced in concrete dams: shake table experiments, theoretical modeling, and case study. Ph.D. Thesis, École Polytechnique de Montréal, 2003.

Slowik V., Saouma V.E., « Water pressure in propagating concrete cracks », *Journal of Structural Engineering ASCE*, vol. 126, n° 2, 2000, p. 235-242.

Tinawi R, Guizani L., « Formulation of hydrodynamic pressures in cracks due to earthquakes in concrete dams », *Earthquake Engineering and Structural Dynamics*, vol. 23, n° 7, 1994, p. 699-715.

USBR (US Bureau of Reclamation) 1987. *Design of small dams*. 3rd Edition, Denver, Colorado, USA.

USACE (US Army Corps of Engineers). *Engineering and design, gravity dams*. EM 1110-2-2200, Washington, D.C. USA, 1995.