$$V(x,t) = -A(t) \frac{V_0}{2} \cos \left( \frac{2\pi x}{d} + \varphi(t) \right). \qquad (F.1)$$

avec $V_0$ l'amplitude typique du potentiel (par la suite, on donne cette profondeur en unité de l'énergie caractéristique $E_L$ via le paramètre $s_0 = V_0/E_L$ ; voir p. 18), $d$ sa périodicité spatiale, $A(t)$ une fonction de modulation de l'amplitude du potentiel et $\varphi(t)$ une fonction de modulation de sa phase.

Nous adressons dans un premier temps le cas d'une particule classique dans un tel potentiel. Après un bref rappel de mécanique classique hamiltonienne, nous introduisons la notion d'espace des phases position-impulsion, un outil puissant qui encapsule la dynamique du système. Dans le cas d'un potentiel statique unidimensionnel ($A(t) = 1$ et $\varphi(t) = 0$ dans l'Éq. (F.1)), le tracé de l'espace des phases $(x, p)$ permet d'afficher de manière concise la dynamique d'un système (voir Fig. 1.1, p. 14), qui est dans ce cas complètement intégrable. À l'inverse, lorsque le potentiel varie dans le temps, des trajectoires chaotiques peuvent exister dans l'espace des phases, qui devient un espace $(x, p, t)$ car l'évolution d'une configuration $(x, p)$ dépend du potentiel à l'instant $t$. Nous terminons cette partie de mécanique classique avec la notion de *portrait de phase stroboscopique* : dans le cas particulier où la dépendance du potentiel est périodique dans le temps (i.e. $V(x, t+T) = V(x, t)$), on peut considérer des sections $(x, p, t_0 + nT)$ de l'espace des phases et ainsi tracer un portrait de phase stroboscopique (voir Fig. 1.2, p. 15 pour un schéma de la procédure). La figure F.1 présente deux exemples de portraits de phase stroboscopiques qui correspondent aux cas du potentiel sinusoidal modulé périodiquement en amplitude (panneaux (a)) :

$$A(t) = 1 + \varepsilon_0 \cos(2\pi\nu t) \quad \text{et} \quad \varphi(t) = 0, \qquad (F.2)$$

ou en phase (panneaux (b)) :

$$A(t) = 1 \quad \text{et} \quad \varphi(t) = \varphi_0 \cos(2\pi\nu t). \qquad (F.3)$$

On y voit la coexistence de trajectoires intégrables (ou “régulières”, identifiables par des traits continus) et de trajectoires chaotiques (identifiables par une “mer chaotique” de points dispersés). Lorsque chaos et intégrabilité ainsi coexistent, on parle de dynamique mixte.

La suite de ce premier chapitre traite de la dynamique d'une fonction d'onde dans un potentiel périodique dans l'espace et éventuellement modulé dans le temps. Nous commençons par rappeler le théorème de Bloch, qui énonce que les fonctions d'ondes $\psi_q(x, t)$ qui évoluent dans un potentiel de période spatiale $d$ s'écrivent, dans un sous-espace donné de quasi-moment $q$, comme le produit d'une onde plane et d'une fonction d'amplitude de périodicité spatiale $d$. En conséquence directe de cette périodicité, ces fonctions d'ondes dans un système de Bloch s'écrivent sous la forme de leur série de Fourier
<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>**Figure F.1 | Exemples de portraits de phase stroboscopiques.** En haut : potentiels sinusoïdaux, modulés périodiquement dans le temps, représentés sur trois périodes spatiales. En bas : portraits de phase stroboscopiques correspondants, représentés sur une période spatiale. (a) Modulation de l'amplitude du potentiel, une configuration associée aux Éqs. (F.1) et (F.2), avec les paramètres de modulation $\gamma = 0.375$, $\epsilon_0 = 0.24$ et un temps de référence pour l'observation sous-stroboscopique $\tilde{t}_0 = 0$. (b) Modulation de la phase du potentiel, associée aux Éqs. (F.1) et (F.3), avec $\gamma = 0.44$, $\phi_0 = 2\pi/24 = 15^\circ$ et $\tilde{t}_0 = 0$. Les grandeurs "tildées" adimensionnées et le paramètre $\gamma$ sont obtenus à partir des grandeurs dimensionnées en suivant la procédure résumée p. 34.</figcaption></figure>

$$ \psi_q(x, t) = \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} c_{q,\ell}(t) \frac{e^{i(\ell k_L + q)x}}{\sqrt{d}}, \qquad (F.4) $$

avec le nombre d'onde du potentiel (F.1) $k_L = 2\pi/d$ et les coefficients des ondes planes $c_{q,\ell}(t) \in \mathbb{C}$, $\sum_{\ell} |c_{q,\ell}(t)|^2 = 1$. À l'aide du théorème de Bloch, on peut chercher les états propres associés à un potentiel périodique (dits états propres de Bloch) sous la forme (F.4), et nous donnons une méthode numérique pour calculer la structure de bande du potentiel sinusoïdal statique à partir du spectre de l'hamiltonien, comme montré sur la figure F.2(a) (ainsi qu'avec plus de détails sur le figure 1.5, p. 22).

Nous poursuivons avec l'étude de l'évolution temporelle d'un état arbitraire $|\psi_q(t_0)\rangle$ dans un tel système. Dans le cas d'indépendance temporelle du potentiel, l'évolution d'un tel état est complètement déterminée par sa décomposition sur les états propres de Bloch à l'instant $t_0$. Ce n'est plus le cas lorsque l'on considère un potentiel qui dépend du temps de manière arbitraire. Nous exposons néanmoins une approche numérique pour calculer cette évolution, en construisant de manière itérative un opérateur d'évolution sur des intervalles de temps suffisamment brefs, lors desquels il est peut être valide de considérer constant le potentiel. Nous adressons
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>**Figure F.2 |** *Structure de bande et spectres de quasi-énergie.* (a) Structure de bande (lignes colorées continues) pour le potentiel sinusoïdal statique de profondeur $s_0 = 4$. Les cinq bandes de plus basse énergie sont en bleu, orange, vert, rouge et violet respectivement. Les flèches sont placées aux quasi-moments où les bandes sont séparées par une énergie $|E_{i,q} - E_{j,q}| = k \times h\nu$ correspondant à l'énergie de transition associée aux spectres de Floquet des panneaux (b) et (c) (avec $k = 1$ en noir et trait continu et $k = 2$ en gris et tireté). Ces flèches ne sont montrées que pour $q < 0$ par souci de lisibilité. Les lignes tiretées horizontales marquent la périodicité énergétique des spectres de Floquet des panneaux (b) et (c). (b,c) Spectres de quasi-énergie pour le potentiel sinusoïdal modulé périodiquement en amplitude au cours du temps (Éq. (1.40), p. 26), pour deux amplitudes de modulation $\varepsilon_0$ différentes et autres paramètres communs $s_0 = 4$ and $\nu = 4\nu_L$ (voir p. 18). Les amplitudes de modulation sont $\varepsilon_0 = 0$ (b) et $\varepsilon_0 = 0.15$ (c).</figcaption></figure>

ensuite le cas particulier des systèmes de Floquet, pour lesquels la dépendance temporelle du potentiel est périodique. On s'intéresse dans ce cas à l'opérateur d'évolution sur une période de modulation (l'opérateur de Floquet), et nous montrons comment ses états propres (dits de Floquet) permettent d'étudier de façon stroboscopique la dynamique d'un état quantique dans un tel système, à la manière des états propres de l'hamiltonien dans le cas statique. Nous détaillons notamment comment calculer et représenter le spectre de quasi-énergie associé à un opérateur de Floquet, dont la périodicité en quasi-énergie est similaire, dans l'espace des énergies, à la notion de zone de Brillouin pour un spectre associé à un potentiel périodique dans l'espace. La figure F.2(b,c) montre des exemples de spectres de quasi-énergie, où les quasi-énergies sont représentées en fonction de la projection entre leur état de Floquet associé et les états de Bloch de plus basse énergie (qui correspondent aux bandes du panneau (a) ; une procédure détaillée dans la section 1.3.2).

Pour terminer ce premier chapitre, nous considèrons la représentation d'états quantiques dans l'espace des phases d'un système dynamique. Nous expliquons dans cette section comment, en conséquence du principe d'incertitude d'Heisenberg $\Delta x \Delta p \ge \hbar/2$, la constante de Planck réduite $\hbar$ limite l'étendue minimale que peut avoir la distribution d'un état quantique
<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>**Figure F.3** | Représentations de Husimi d'états de Floquet-Bloch dans le cas du potentiel sinusoïdal modulé en amplitude (Éqs. (F.1), p. 176) avec les paramètres $\gamma = 0.375$, $\epsilon_0 = 0.24$ and $\hbar_{eff} = 0.2$ (voir l'adimensionnement p. 18). (a) Un état de Floquet-Bloch localisé sur des îlots réguliers. (b) Un état de Floquet-Bloch délocalisé sur la mer chaotique.</figcaption></figure>

dans l'espace des phases. Nous introduisons les quasi-distributions de probabilité de Wigner (figure 1.7, p. 30) et de Husimi (figure 1.8, p. 32) pour représenter un état dans l'espace des phases, ainsi que la notion de constante de Planck effective $\hbar_{eff}$, un paramètre qui permet de régler la prévalence des effets quantiques dans la dynamique d'un système (figure 1.8, p. 32). Enfin, nous montrons comment les outils introduits dans ce premier chapitre permettent de représenter, pour un système de Floquet-Bloch, les états de Floquet vis-à-vis du portrait de phase stroboscopique (Fig. F.3), c'est-à-dire vis-à-vis de la dynamique classique du système.

## Chapitre 2 : Montage expérimental

Nous présentons dans ce deuxième chapitre l'expérience de refroidissement d'atomes de $^{87}$Rb développée par l'équipe Atomes Froids au LCAR qui nous permet de réaliser au laboratoire les sytèmes étudiés au chapitre 1. Cette expérience, en fonctionnement depuis 2016, a déjà fait l'objet d'exhaustives descriptions dans les thèses de mes prédécesseurs [93, 94, 115, 67, 68], et nous choisissons, par souci de concision, de ne procéder ici qu'à une succincte description de ce montage expérimental.

Nous commençons par un bref rappel de notions sur la condensation de Bose-Einstein, et revenons sur la longueur d'onde de de Broglie thermique

$$ \Lambda_T = \sqrt{\frac{2\pi\hbar^2}{mk_B T}}, \qquad (F.5) $$
une quantité qui rend compte de la longueur d'onde typique des atomes de masse *m* dans un gaz à température *T* (avec $k_B$ la constante de Boltzmann). La condensation de Bose-Einstein a lieu lorsque $\Lambda_T \ge l = n^{-1/3}$, avec *l* la distance moyenne entre les atomes dans le gaz et *n* la densité du gaz. L'enjeu d'une expérience d'atomes ultrafroids est donc de refroidir un gaz d'atomes tout en conservant suffisamment importante la densité *n*, de sorte à ce que la longueur d'onde de de Broglie thermique devienne supérieure à la distance moyenne entre les particules. Pour le piège dans lequel sont maintenus les atomes dans notre expérience, on calcule (voir p. 40) que la température critique en dessous de laquelle il nous faut refroidir le gaz est d'environ 130 nK.

L'expérience de l'équipe Atomes Froids au LCAR permet d'obtenir des CBE composés d'approximativement $5 \cdot 10^5$ atomes de $^{87}$Rb toutes les 22 secondes. La séquence de refroidissement atomique peut être décomposée en trois parties : une première étape de refroidissement dans un piège magnéto-optique, suivie d'une étape d'évaporation micro-onde dans un piège magnétique avant une dernière étape d'évaporation dans un piège dipolaire dans lequel la condensation de Bose-Einstein est atteinte. Afin de rendre davantage robuste l'obtention des CBE sur l'expérience, nous avons durant ma thèse changé la géométrie du piège dipolaire dans lequel cette dernière étape de refroidissement a lieu. Cette modification, avec les ancienne et nouvelle géométries, est schématisée sur la figure 2.1 (p. 44). Nous caractérisons cette nouvelle géométrie, et donnons les fréquences harmoniques du piège dans lequel se trouvent les CBE à la fin de la séquence de refroidissement.

Nous détaillons ensuite comment nous sommes capables de remonter à la distribution d'impulsion de l'ensemble atomique au cours des expériences via un système d'imagerie par absorption (figure 2.2, p. 47) réalisée après un temps de vol. Lorsque nous souhaitons mesurer cette distribution d'impulsion, nous coupons subitement tous les pièges, et les atomes qui commencent à chuter sous l'effet de la gravité entrent en expansion. Après un temps d'expansion suffisamment long, la mesure de la dispersion spatiale du nuage atomique reflète directement la dispersion en vitesse qu'avaient les atomes avant la coupure du piège. Pour un nuage thermique (i.e. avant transition vers un CBE), nous décrivons comment la mesure de cette expansion en fonction de la durée du temps de vol permet de mesurer la température du nuage. Pour un CBE, l'imagerie du nuage après un temps de vol revient à échantillonner statistiquement, en représentation impulsion, la fonction d'onde macroscopiquement partagée par les atomes condensés.

Nous poursuivons avec la présentation du réseau optique unidimensionnel qui nous permet de réaliser les potentiels étudiés au chapitre 1 : ce réseau est formé par l'interférence de deux faisceaux laser contrapropageants dont la longueur d'onde $\lambda = 1064$ nm est fortement désaccordée vers le rouge par rapport à la transition atomique $D_2$ du $^{87}$Rb (voir appendice A). Cela crée, pour les atomes, un potentiel dipolaire [8, 79] attractif vers les maxima d'intensité de l'interférence lumineuse, résultant en un potentiel sinusoïdal le long de l'axe de propagation des faisceaux. À l'aide de trois modulateurs acousto-optiques, nous pouvons contrôler l'intensité du réseau optique (et donc sa profondeur) ainsi que sa phase (voir appendice C). Tel que discuté ci-dessus, notre système d'imagerie après temps de vol nous permet d'accéder à la distribution en impulsion des atomes dans le réseau optique. Travaillant avec des CBE (i.e. des fonctions
<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>**Figure F.4** | Chargement adiabatique du réseau optique et diffraction d'onde de matière.

(a) Rampe de profondeur du réseau optique pour le chargement adiabatique de l'état fondamental du réseau optique de profondeur $s_0$ (voir texte). (b) Simulation numérique de la distribution d'impulsion au cours du chargement adiabatique du réseau. (c) (respectivement (e)) Image d'absorption expérimentale après temps de vol montrant les atomes avant (respectivement après) le chargement du réseau optique. Les rectangles gris délimitent les régions dans lesquels les populations dans les ondes planes $|c_ℓ|^2$ sont extraites. (f) (respectivement (e)) Diagramme en barres comparant les populations expérimentales (bleu) et théoriques (rouge) des ondes planes avant (respectivement après) le chargement du réseau optique. La profondeur du réseau est ici $s_0 = 8.06 \pm 0.10$, la durée du temps de vol est $t_{\text{TOF}} = 35$ ms et les cartes de couleurs pour les images d'atomes sont tronquées à 0.8 de leur valeur maximale respective afin de révéler les détails.</figcaption></figure>

d'ondes) dans un système de Bloch, nous remontons ainsi aux modules carrés des coefficients des ondes planes $|c_{q,ℓ}|^2$, comme montré sur la figure F.4 (dans un cas pour lequel $q = 0$).

Je conclue ce chapitre de présentation de l'expérience avec quelques techniques expérimentales usuelles lorsqu'on travaille avec des atomes froids dans un réseau optique, à savoir :

• une technique de chargement adiabatique de l'état fondamental du réseau optique (c'est-à-dire de l'état propre de Bloch de plus basse énergie) (figure F.4),

• deux méthodes pour calibrer, l'une rapidement [108] et l'autre finement [112, 113] , la profondeur du réseau optique (voir figures 2.5 et 2.6, p.54 et 56),

• la méthode dite de *band-mapping* afin d'imager la structure de bande du réseau optique [107, 114, 79] (voir figure 2.7, p. 57).
Les trois chapitres suivants présentent une partie des résultats de recherche auxquels j'ai contribué durant ma thèse. Le reste de ces résultats publiés (à savoir les premières observations de résonance d'effet tunnel assisté par le chaos [61] et une étude du contrôle des halos de collisions quantifiés en impulsion qui apparaissent sur les figures de diffraction [62]) sont détaillés dans les thèses de M. Arnal [67] et G. Chatelain [68].

# Chapitre 3 : Contrôle optimal quantique d'ondes de matières dans un réseau optique unidimensionnel

Ce chapitre s'inscrit dans le développement de méthodes pour le contrôle de l'état quantique d'un système d'atomes ultrafroids. Nous y détaillons la mise en place d'un protocole de contrôle optimal pour calculer la façon dont nous devons déplacer le réseau optique au cours du temps afin de contrôler arbitrairement l'état externe des CBE dans le réseau.

Nous commençons le chapitre par une introduction à la théorie du contrôle optimal quantique. Étant donné un système dont l'équation d'évolution est paramétrisée :

$$ \dot{x}(t) = f(x(t), u(t), t), \qquad (F.6) $$

avec $x(t)$ le vecteur d'état du système, $u(t)$ un vecteur de paramètres et $f$ la fonction d'évolution, la théorie du contrôle optimal permet de calculer le champ de contrôle optimal $u^*(t)$ qui amène le système d'un état initial $x(t_0 = 0)$ à un état cible $x(t_c)$ (avec $t_c$ la durée du contrôle) tout en minimisant une fonctionnelle de coût. La détermination du champ de contrôle optimal s'énonce à l'aide du principe du maximum de Pontryagin que nous rappelons (voir section 3.1.1). Dans notre cas, nous souhaitons amener un état initial $|\psi_0\rangle$ (généralement l'état fondamental du réseau optique que nous savons préparer de manière fiable comme illustré sur la figure F.4) le plus proche possible d'une certaine cible, avec la phase du réseau optique $\varphi(t)$ comme unique champ de contrôle, le tout en un temps de contrôle fixé. Nous tâchons donc de maximiser une fidélité $\mathcal{F}$ entre l'état préparé et la cible. La détermination du champ de contrôle optimal n'est généralement pas simple, et nous recourons à une approche numérique itérative de montée de gradient sur cette fidélité. Nous détaillons notre méthode dans les sections 3.1.2 et 3.1.3, et notre algorithme numérique est résumé p. 72.

Nous présentons dans la suite de ce chapitre une série d'expériences qui démontre notre capacité de contrôle de l'état externe des CBE dans le réseau optique.

**Contrôle de la distribution en impulsion.** Une première section de résultats (section 3.2) concerne le contrôle de la distribution en impulsion du CBE. Dans notre sytème de Bloch où la fonction d'onde du CBE s'écrit selon l'Éq. F.4, nous ciblons dans cette section<fnref n="1" /> des ensembles

<footnote n="1">¹Ici dans le sous-espace de quasi-moment $q = 0$.</footnote>
<figure><img src="image_92.png" /></figure>

**Figure F.5 | "Controle" écrit avec des diffractions d'ondes de matière.** Concaténation de 44 images d'absorption expérimentales obtenues après temps de vol, chaque colonne montrant la distribution en impulsion des atomes après application d'un champ de contrôle préalablement calculé via le formalisme du contrôle optimal quantique pour le réalisation d'une superposition équiprobable donnée de composantes d'impulsion.

donnés de probabilités $\{|c_\ell|^2\}$ (i.e. des ensembles donnés de nombre réels). Nous sommes ainsi capables de préparer :

* des ondes planes spécifiques, c'est-à-dire des états où tous les atomes sont mesurés dans le même ordre de diffraction (ce que nous démontrons jusqu'à une impulsion du paquet d'onde de $10 \hbar k_L$, voir Fig. 3.3, p.76),

* des superpositions équiprobables de composantes d'impulsion, comme illustré sur la figure F.5 (ainsi qu'avec davantage de détails sur la figure 3.4, p. 78),

* une superposition arbitraire de composantes d'impulsion (également sur la figure 3.4, p. 78).

**Contrôle complet de l'état quantique.** Nous nous intéressons dans un second temps au contrôle complet de l'état quantique externe des CBE selon l'axe du réseau, c'est-à-dire au contrôle de l'ensemble de nombres complexes $\{c_{q,\ell}\}$. Se pose ici la question de la certification des préparations : étant donné que nous n'accédons, par nos mesures après temps de vol, qu'aux modules carrés des coefficients $|c_{q,\ell}|^2$, comment attester de la réalisation d'un état donné présentant une certaine relation de phase entre ses coefficients $c_{q,\ell}$ ?

Nous démontrons premièrement un tel contrôle complet d'état quantique en préparant des cibles pour lesquelles il est simple de remonter aux phases relatives entre les coefficients $c_{q,\ell}$, avec :

* La préparation des superpositions des ondes planes d'impulsion $\pm 1 \hbar k_L$ (dans le sous-espace de quasi-moment $q = 0$) avec pour phase relative $\arg\{c_{-1}/c_1\} = \Delta\phi = j \times \pi/8$ et $j \in \{0, 1, ..., 15\}$ (voir figure 3.5, p. 81). Alors que la mesure des états préparés au terme de la préparation donne le même résultat (c'est-à-dire environ 50 % des atomes dans les ordres de diffraction associés aux impulsions $\pm 1 \hbar k_L$), les évolutions subséquentes des distributions d'impulsion de ces états dans le réseau optique maintenu statique diffèrent fortement les unes des autres. L'ajustement de cette évolution avec pour paramètre ajustable la phase relative effectivement préparée entre les composantes d'impulsion nous permet de
<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>**Figure F.6 | Reconstruction d'un état quantique dans un système de Bloch par maximisation de la vraisemblance.** (a-b) Matrices densité $\hat{\rho}$ avec $\arg\{\hat{\rho}_{i,j}\}$ encodé en couleur et $|\hat{\rho}_{i,j}|$ encodé en taille (pas à l'échelle entre les panneaux). (a) Matrice identité $1_{d_H}/d_H$ (où $d_H$ est la dimension de l'espace de Hilbert, avec $d_H = 11$ ici) comme matrice densité d'essai. (b) Matrice densité de plus grande vraisemblance. (c) Concaténation d'images d'absorption expérimentales intégrées acquises durant l'évolution de l'état préparé dans le réseau maintenu statique à la profondeur $s = 5.5 \pm 0.5$. (d) Simulation numérique de l'évolution de l'état de plus grande vraisemblance dans le même réseau statique.</figcaption></figure>

remonter à celle-ci. Ces mesures sont proches de ce que nous ciblons (voir figure 3.5, p. 81), démontrant un contrôle complet des états quantiques préparés dans ce cas simple.

* La préparation d'états propres du réseau (figure 3.6, p. 83). Étant donné que nous ciblons ici des états stationnaires du système, l'absence d'évolution atteste la bonne préparation. Nous préparons aussi des superpositions données de deux états propres du réseau, et observons une seule fréquence d'évolution pour les ordres de diffraction, qui est associée à la différence entre les énergies propres des états propres superposés.

Pour aller plus loin et démontrer notre capacité à préparer de manière arbitraire des états quantiques donnés, nous mettons en place un protocole dédié de reconstruction d'états par maximisation de vraisemblance. À nouveau, nous nous servons de l'évolution de la distribution en impulsion de l'état expérimentalement préparé lorsque celui-ci est maintenu dans le réseau statique au terme de la préparation. L'idée est de déterminer l'état théorique le plus susceptible de donner cette évolution, cette fois-ci de façon systématique. Notre approche itérative (inspirée de [138, 140, 141]) est résumée p. 86 et illustrée sur la figure F.6.

Nous appliquons cette méthode de reconstruction à plusieurs préparations. Nous com-
<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>**Figure F.7** | Préparation expérimentale et reconstruction d'états gaussiens comprimés. (a-e) Représentations de Husimi dans l'espace des phases du réseau statique. En haut (rouge) : états théoriques préparés par l'application du champ de contrôle préalablement calculé via le formalisme du contrôle optimal quantique pour le réalisation d'une compression donnée. En bas (vert) : états reconstruits de plus grande vraisemblance avec les mesures expérimentales (obtenue via la procédure illustrée sur la figure F.6). Les cartes de couleurs pour chaque fonction de Husimi vont de 0 à la valeur maximale que prend cette fonction sur l'espace des phases. Les facteurs de compressions sont $1/\xi = (0.44, 0.62, 1.65, 2.75, 4.34)$ pour (a-e) respectivement. Les fidélités des états reconstruits aux états théoriques sont $\mathcal{F}_{\text{exp}} = (0.99, 0.96, 0.98, 0.93, 0.75)$ et la pureté des états reconstruits est $\gamma = (1.00, 1.00, 1.00, 0.92, 0.72)$ (voir section 3.3.3, p. 82).</figcaption></figure>

mençons par cibler des translations ainsi que des superpositions d'états gaussiens non comprimés dans l'espace des phases associé à chaque site du réseau optique. On définit l'absence de compression comme le rapport d'aspect position-impulsion de l'état gaussien qui est l'état fondamental des potentiels harmoniques approximant localement le fond des puits du réseau optique sinusoïdal, c'est à dire un état dont les écarts-types en position $\Delta x_0$ et en impulsion $\Delta p_0$ s'écrivent, dans un réseau de profondeur $s_0$ :

$$k_L \Delta x_0 = s_0^{-1/4} \quad \text{et} \quad \Delta p_0 / \hbar k_L = s_0^{1/4} / 2. \qquad (F.7)$$

Les résultats de ces expériences sont présentés dans le section 3.3.4 (voir figure 3.8, p. 88). Nous poursuivons avec la préparation d'état gaussiens comprimés. Dans un réseau optique de profondeur $s_0$, on associe à un état d'écart-type en position $\Delta x$ le facteur de compression $\xi = \Delta x / \Delta x_0$. On prépare ainsi des états gaussiens comprimés en impulsion ($\xi > 1$) ainsi que des états comprimé en position ($\xi < 1$) dans un réseau de profondeur $s_0 \approx 5.5$. Ces résultats sont montrés sur la figure F.7. Nous démontrons notamment notre capacité à préparer fidèlement ($\mathcal{F}_{\text{exp}} \ge 0.75$) des états comprimés en position jusqu'à un facteur $1/\xi = 4.34$. Il s'agit, d'après nos connaissances, de la première réalisation d'un tel état, qui est impossible à obtenir de façon adiabatique. On peut en effet chercher la profondeur effective $s_{\text{eff}}$ à laquelle l'état fondamental du réseau possède la même dispersion en position que celle réalisée expérimentalement. D'après
l'Éq. F.7, on trouve $s_{\text{eff}} = s_0/\xi^4 \approx 2000$. On note qu'il nous faudrait sur l'expérience du LCAR un laser de puissance $P \approx 750$ W pour réaliser un réseau de cette profondeur !

Nous avons également réalisé des états comprimés et inclinés dans l'espace des phases. Ces préparations et reconstructions sont présentées, ainsi que deux autres expériences mises de côté afin de fluidifier la lecture de ce chapitre, dans l'appendice E.

**Application à la simulation quantique.** Nous concluons ce premier chapitre de résultats par la présentation d'une expérience où nous appliquons notre protocole de préparation d'états quantiques à une étude d'effet tunnel dynamique [142, 89] dans le réseau modulé en amplitude. L'effet tunnel dynamique est une généralisation de l'effet tunnel usuel, où l'impossibilité classique du transport ne relève pas d'un défaut d'énergie mécanique (comme dans le cas usuel) mais de la traversée de surfaces KAM [89] dans un espace des phases présentant une dynamique mixte (c'est-à-dire de la traversée d'orbites régulières, classiquement impossible car impliquant une violation du principe de détermination ; voir section 1.1). L'effet tunnel dynamique peut avoir lieu dans un tel système lorsque deux états de Floquet non-dégénérés occupent les mêmes régions régulières du portrait de phase. Dans une telle situation, une particule quantique initialisée dans l'une de ces régions se mettra à osciller, avec une fréquence d'oscillation proportionnelle à la différence de quasi-énergie entre les états de Floquet impliqués.

Nous réalisons ici une expérience d'effet tunnel dynamique où nous initialisons, grâce au contrôle optimal quantique, les CBE dans l'idéale superposition des deux états de Floquet associés à ce phénomène pour des paramètres donnés de modulation d'amplitude du potentiel sinusoïdal. On compare cette approche optimale avec une approche plus traditionnelle [154, 155, 61] de translation soudaine du réseau optique afin de charger une des régions régulières entre lesquelles l'effet tunnel dynamique a lieu. Cette méthode simple est limitée en ceci qu'une translation de l'état fondamental du réseau statique ne se projette que partiellement dans le sous-espace composé des deux états de Floquet qui entraînent l'effet tunnel dynamique, ainsi que par l'asymétrie des projections sur ces deux états. Les résultats de cette comparaison de méthodes sont présentés sur la figure 3.13, p. 95, où nous observons une nette amélioration du signal d'oscillation tunnel à l'aide du contrôle optimal.

**Publications en lien avec ce chapitre.** Les travaux présentés dans ce chapitre résultent d'une collaboration avec Dominique Sugny du Laboratoire Interdisciplinaire de Carnot Bourgogne (Dijon). Ces études ont fait l'objet de deux publications :

[63] N. Dupont, G. Chatelain, L. Gabardos, M. Arnal, J. Billy, B. Peaudecerf, D. Sugny and D. Guéry-Odelin, *Quantum State Control of a Bose-Einstein Condensate in an Optical Lattice*, PRX Quantum, 2:040303, (2021)

[64] N. Dupont, F. Arrouas, L. Gabardos, N. Ombredane, J. Billy, B. Peaudecerf, D. Sugny and D. Guéry-Odelin. *Phase-space distributions of Bose-Einstein condensates in an optical lattice: Optimal shaping and reconstruction*, actuellement en processus de revue (2022)
# Chapitre 4 : Ratchet hamiltonien non-diffusif

La deuxième étude présentée dans ce manuscrit traite d'un effet *ratchet* (rochet) non-diffusif dans un système hamiltonien. L'effet *ratchet* est l'émergence d'un courant de particules dans un potentiel duquel aucune force nette n'est dérivée [161, 162, 163]. Dans ce travail, nous corrélons les modulations d'amplitude et de phase du potentiel sinusoïdal afin de faire émerger, dans l'espace des phases du système, une îlot de trajectoires régulières qui transite d'un site au suivant en s'arrêtant périodiquement au centre du site. Nous présentons ici les premières étude théorique et réalisation expérimentale d'un tel effet *ratchet* déterministe, non-dissipatif et porté par des trajectoires non-chaotiques entraînant un déplacement linéaire dans l'espace pour des particules initialement au repos<fnref n="2" />. Avec ce système, nous faisons l'observation expérimentale d'un transport linéaire et non-diffusif d'ondes de matière dans le réseau optique.

Dans ce chapitre, nous considérons l'hamiltonien suivant, associé à un potentiel sinusoïdal modulé en amplitude et en phase :

$$H(x, p, t) = \frac{p^2}{2m} - [1 + \varepsilon_0 \cos(2\pi\nu t)] \frac{V_0}{2} \cos \left[ \frac{2\pi x}{d} + \varphi_0 \cos(2\pi\nu t + \Delta\phi) + \Delta\varphi \right]. \quad (F.8)$$

Nous commençons par chercher des paramètres de modulation ($V_0, \varepsilon_0, \varphi_0, \nu, \Delta\phi, \Delta\varphi$) tels qu'une particule classique initialisée au repos au fond d'un site de ce potentiel se retrouve, après une période de modulation, au repos au fond du prochain site. L'intérêt d'une telle modulation est qu'elle peut alors être répétée pour entraîner un transport directif. Nous développons une méthode systématique pour déterminer de tels paramètres (section 4.1) et nous convergeons vers le jeu

$$(\gamma, \varepsilon_0, \varphi_0, \Delta\phi, \Delta\varphi) = (1.2, 0.3, 1.7, \pi/2, 0), \quad (F.9)$$

qui est celui que nous étudions dans le reste du chapitre (avec l'amplitude dynamique adimensionnée $\gamma = V_0/2md^2\nu^2$). Ces paramètres donnent un exemple de la dynamique classique que nous requérons, comme présenté sur les portraits de phase stroboscopiques de la figure F.8 (voir aussi la figure 4.3, p. 107). De manière plus forte encore que l'absence de force nette globale inhérente aux systèmes présentant l'effet *ratchet*, on obtient ici, pour la trajectoire périodique au centre de l'îlot de transport, une absence de force nette *le long de la trajectoire sur chaque période* (voir notamment la figure 4.3, p. 107).

Nous poursuivons ce chapitre avec l'étude du transport quantique le long de l'îlot *ratchet* de cet espace des phases. On montre comment ce transport dépend la constante de Planck

<footnote n="2">²L'effet *ratchet* que nous étudions système se rapproche de l'effet *ratchet* "accélérateur" [183, 184, 185] observé dans le système du rotateur frappé (*kicked rotor*) avec lequel il est possible de faire émerger un transport non-diffusif, cette fois le long de l'axe des impulsions, en déplaçant savamment le potentiel sinusoïdal entre les flashs du potentiel.</footnote>
<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Figure F.8 | Évolution sous-stroboscopique du portrait de phase stroboscopique d'un système présentant un effet ratchet régulier. (a-e) Portraits de phase stroboscopiques associés à l'hamiltonien (F.8) (avec les paramètres de l'Éq. (F.9)) et les références de temps d'observation sous-stroboscopique $vt_0 = 0, 0.25, 0.5, 0.75$ et 1. On représente sur chaque panneau la trajectoire au centre de l'ilot ratchet pour tout temps (ligne noire tiretée).</figcaption></figure>

effective introduite au chapitre 1 (avec ici $\hbar_{eff} = h/mv^2$), en ceci que ce paramètre règle la surface relative entre l'étendue minimale que peuvent avoir les états dans l'espace des phases et les structures classiques dans ce dernier. L'analyse de ce transport en fonction de $1/\hbar_{eff}$ (c'est-à-dire proportionnellement à l'action classique dans le système, voir section 1.4) est présentée sur la figure F.9. On y représente :

* la projection de l'état fondamental du réseau statique avec l'état de Floquet associé à l'ilot ratchet (une sorte de mesure de la centricité de cet état de Floquet, stroboscopiquement stationnaire comme le transport classique dont nous avons fait l'ingénierie en début de chapitre) (panneau (a)),

* le transport périodique de cet état de Floquet (panneau (b)),

* les représentations de Husimi de l'état fondamental du réseau statique et de l'état de Floquet ratchet pour les trois valeurs de $\hbar_{eff}$ identifiées en sur les panneaux (a) et (b).

On observe une dépendance non-monotone de ces métriques de transport semi-classique en fonction de $\hbar_{eff}$. Cet effet est lié au phénomène de mélange d'états de Floquet (et notamment avec des états de Floquet localisés dans la mer chaotique) que nous présentons dans la section 4.2.2 et illustrons sur la figure 4.6, p 112.

Fort de ces analyse, nous procédons enfin à des expériences de transport de CBE dans le réseau optique dont nous corrélons les modulations d'amplitude et de phase afin de réaliser l'hamiltonien *ratchet* (Éq. (F.8)), ce dans un premier temps à partir de l'état fondamental du réseau statique. Ces expériences sont réalisées pour les deux valeurs de $\hbar_{eff}$ correspondant aux panneaux (d) et (e) de la figure F.9, c'est-à-dire dans un cas idéal pour observer un transport ratchet semi-classique et dans un cas davantage défavorable à l'observation de ce transport contrôlé. Le cas favorable est présenté sur la figure F.10, où nous observons un très bon accord entre l'expérience et la simulation numérique des dynamiques à la fois quantique et classique (ce
<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>**Figure F.9** | Influence de la constante de Planck effective sur le transport ratchet. (a) Projection entre l'état de Floquet $|\varphi_r\rangle$ associé à l'ilot ratchet et l'état fondamental du réseau static $|\phi_0\rangle$ en fonction de $1/\hbar_{eff}$. (b) Transport périodique $\Delta\tilde{x}_{0,2\pi}$ de $|\varphi_r\rangle$ sur une période de modulation (voir Éq. 4.22, p. 109) en fonction de $1/\hbar_{eff}$. (c-e) Représentations de Husimi de $|\phi_0\rangle$ (en haut, bleu) et de $|\varphi_r\rangle$ (en bas, vert) vis-à-vis du portrait de phase stroboscopique du système pour les valeurs de $1/\hbar_{eff}$ identifiée sur les panneaux (a,b). Les fonctions de Husimi dans les encadrés sont tronquées à un quart de leur valeur maximale afin de visualiser les détails. La zone grisée des panneaux (a,b) marque l'intervalle de $1/\hbar_{eff}$ sur lequel le phénomène de mélange d'états de Floquet est étudié (voir figure 4.6). Les grandeurs "tildées" adimensionnées sont obtenues à partir des grandeurs dimensionnées en suivant la procédure résumée p. 34.</figcaption></figure>

qui s'explique par la semi-classicalité attendue pour le transport à cette valeur de $\hbar_{eff}$). La comparaison du transport pour les deux valeurs de $\hbar_{eff}$ étudiées expérimentalement est présentée sur la figure 4.8, p. 116. Pour la valeur de $\hbar_{eff}$ correspondant à la figure F.9(d), nous observons une évolution quasi-périodique de la distribution en impulsion. Pour la valeur de $\hbar_{eff}$ correspondant à la figure F.9(e), nous mesurons une forte croissance apériodique de la dispersion en impulsion, associée à une fuite vers la mer chaotique (comme suggéré par la représentation de Husimi de l'état Floquet ratchet illustré sur la figure F.9(e)).

Dans un second et dernier temps, nous appliquons notre protocole de contrôle optimal
<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>**Figure F.10** | Transport *ratchet* semi-classique et non-diffusif à partir de l'état fondamental du réseau optique. (a-d) Portraits de phase stroboscopiques (à gauche) et images d'absorption expérimentales après temps de vol (à droite) pour les temps sous-stroboscopiques $vt = n + r$, avec $n \in \mathbb{N}$ et $r = 0, 0.25, 0.5$ et $0.75$ pour les panneaux (a) à (d) respectivement. Les images expérimentales ont été prises lors de la première période de modulation $n = 0$. (e) Quantité de mouvement en fonction du temps, montrant la valeur moyenne de la distribution d'impulsion expérimentale (bleu) et numérique (rouge) ainsi que la quantité de mouvement de la trajectoire au centre de l'îlot ratchet (noir).</figcaption></figure>

quantique mis en place dans le chapitre 3 afin d'optimiser le transport *ratchet*. Nous ciblons alors, avant l'application de la modulation, l'état de Floquet associé à l'îlot de transport (voir figure F.9(c-e)). Ces résultats sont présentés sur la figure 4.9, p. 117. Nous montrons comment le protocole de contrôle optimal quantique permet de restaurer la périodicité du transport *ratchet*, et ce, même dans le cas de fort couplage avec la mer chaotique (figure F.9(e)).

**Publication en lien avec ce chapitre.** L'étude présentée dans ce chapitre résulte d'un travail de recherche que je mène sur l'effet ratchet depuis mon stage de pré-thèse réalisé au LCAR en 2019. Une publication est en cours de préparation :

[65] N. Dupont, L. Gabardos, F. Arrouas, B. Peaudecerf, J. Billy and D. Guéry-Odelin, *Matter wave transport from non-diffusive Hamiltonian ratchet effect*, In preparation, (2022)
# Chapitre 5 : Émergence d'un ordre supercrystallin de pas accordable dans un système de Floquet-Bloch

La dernière étude que nous présentons dans ce manuscrit se place dans un régime dans lequel il n'est plus possible de négliger les interactions entre les atomes du CBE. Nous y démontrons comment, dans un réseau optique modulé sinusoidalement en phase à une fréquence couplant la bande fondamentale à une bande excitée du système, les interactions interatomiques à courte-portée peuvent entraîner, sur de longs temps d'expérience, l'émergence d'un ordre supercrystallin de pas accordable via un processus de mélange à quatre ondes contrôlé. Cette travail s'inscrit dans l'étude des instabilités dynamiques dans un système de Floquet-Bloch [198, 199, 196, 201, 197].

Nous illustrons sur la figure F.11 le protocole typique pour les expériences présentées dans ce chapitre, ainsi que les observations qui en résultent. On commence par charger l'état fondamental du réseau optique en $q = 0$. Celui-ci est ensuite modulé en phase à une fréquence qui couple la bande fondamentale à une bande excitée (ici la bande 2 ou 3) en $q \neq 0$. Sur les premières dizaines de périodes de modulation, on observe inchangée, ou peu s'en faut, la distribution en impulsion de l'état fondamental du réseau statique (comme on peu s'y attendre étant donné que la modulation n'est pas résonante pour la bande fondamentale en $q = 0$, là où sont initialement chargés les atomes). Cependant après un certain temps d'expérience<fnref n="3" />, on observe la nucléation d'ordres de diffraction entre les ordres associés à l'état fondamental du réseau statique, à des valeurs d'impulsion $\hbar k^*$ qui ne sont pas des multiples entiers du quantum d'impulsion $\hbar k_L = h/d$ (de nouveaux ordres de diffractions qu'on qualifie de "décimaux"). Cette nouvelle périodicité plus fine dans l'espace réciproque (observée après temps de vol) suggère l'émergence d'une structuration avec un pas $d^*$ supérieur à la périodicité $d$ du réseau optique.

Pour comprendre ce phénomène, nous modélisons ce système à l'aide d'un système effectif à deux bandes couplées, fortement liées et avec interactions. Dans un formalisme de seconde quantification, ce système est régi par l'hamiltonien effectif $\hat{H}_{\text{eff}} = \hat{H}_0 + \hat{H}_{\text{int}}$, où

$$ \hat{H}_0 = -J_0 \sum_{j=0}^{L-1} (\hat{a}_{j+1}^\dagger \hat{a}_j + \hat{a}_j^\dagger \hat{a}_{j+1}) - J_1 \sum_{j=0}^{L-1} (\hat{b}_{j+1}^\dagger \hat{b}_j + \hat{b}_j^\dagger \hat{b}_{j+1}) \quad (\text{F.10}) \\ + \Delta E_1 \sum_{j=0}^{L-1} \hat{b}_j^\dagger \hat{b}_j + iW \sum_{j=0}^{L-1} (\hat{b}_j^\dagger \hat{a}_j - \hat{a}_j^\dagger \hat{b}_j), $$

et

<footnote n="3">³De l'ordre de la millisecunde, là où la période de modulation du réseau optique est de l'ordre de la dizaine de microsecondes.</footnote>
<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>Figure F.11 | Protocole expérimental et observation typique de nucléation d'ordres décimaux. (a) Profondeur $s(t)$ et (b) phase $\varphi(t)$ du réseau optique au cours du temps, montrant le chargement adiabatique de l'état fondamental du réseau, la modulation de phase pour un nombre entier de périodes et l'extinction du réseau pour l'imagerie par temps de vol. (c,d) Concaténation d'images d'absorption expérimentales après temps de vol montrant l'évolution stroboscopique de la distribution en impulsion en fonction du nombre $n$ de périodes de modulation $T$. Les paramètres expérimentaux sont donnés sur la figure 5.2, p. 127. (e) Structure de bande du réseau statique à la profondeur des expériences (lignes colorées) et principales transitions induites sur la bande fondamentale par les modulations des expériences (c) et (d) (flèches noires).</figcaption></figure>

$$ \hat{H}_{\text{int}} = \frac{U}{2} \sum_{j=0}^{L-1} \hat{a}_j^\dagger \hat{a}_j^2, \qquad (\text{F.11}) $$

avec $L$ le nombre de sites peuplés du réseau, $\hat{a}_j$ et $\hat{b}_j$ les opérateurs de créations sur les deux bandes au site $j$, $J_0$ et $J_1$ les amplitudes tunnel des bandes, $\Delta E_1$ un décalage d'énergie pour la bande modélisant le niveau excité, $W$ l'amplitude de couplage entre les bandes et $U$ le paramètre d'interaction sur site pour la bande initialement peuplée. Nous montrons dans un premier temps comment, les interactions mises de côté, l'hamiltonien $\hat{H}_0$ permet de modéliser les spectres de quasi-énergie des systèmes modulés à la manière des expériences de la figure F.11. Ce processus de modélisation est détaillé sur la figure 5.3, p. 130 (et peut être observé sur la figure F.12 ci-dessous).

Nous procédons ensuite à un traitement perturbatif des interactions à la manière de Bogoliubov [202, 90], que nous présentons en détail. Nous obtenons un jeu de quatre équations
<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>**Figure F.12** | Résultats de l'étude de la stabilité du système pour des paramètres de modèle réalistes. (a,d) Spectres de quasi-énergie. (b,e) Spectres de l'hamiltonien $H_0$, avec paramètres ajustés afin de reproduire le comportement des spectres (a,d) aux abords des croisements principaux de la bande associé à l'état fondamentale (bleu). (c,f) Paramètre d'instabilité $w(q)$ correspondant, tracé en fonction de $q$ et du paramètre d'interaction $nU$ (voir section 5.2.4, p. 137, avec $n$ le nombre d'atomes par site du réseau, supposé ici ne pas dépendre de l'indice du site). Les lignes verticales noires tiretées marquent la position des croisements évités.</figcaption></figure>

d'évolution d'Heisenberg couplées pour les perturbations le long de la zone de Brillouin. L'étude du spectre $\lambda_i(q)$ (avec $i = 1, 2, 3, 4$) de la matrice de couplage de ces équations différentielles d'ordre 1 nous permet de déterminer les régions de la zone de Brillouin où le système présente des instabilités dynamiques (via le paramètre $w(q) = \max_i\{|\operatorname{Im}\{\lambda_i(q)\}|\}$, voir résumé p. 136). Cette analyse renseigne sur les quasi-moments en lesquels on peut s'attendre à ce que se peuplent des modes dynamiquement instables. La figure F.12 présente le résultat de cette modélisation. On y observe le comportement général qui ressort de notre étude, à savoir que de *fines* régions d'instabilité sont localisées au voisinage des croisement évités dans les spectres de $\hat{H}_0$ (qui modélisent eux-mêmes les spectres de quasi-énergie du système réel).

Nous poursuivons avec une série de prédictions sur le comportement des pics de diffraction décimaux en fonction des paramètres du système (voir section 5.2.5, p. 138). Notamment, on s'attend à ce que la fréquence de modulation du potentiel, qui a pour principale conséquence de
<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>**Figure F.13** | Déplacement de l'instabilité avec la fréquence de modulation. (a) Concaténation d'images d'absorption expérimentales (post temps de vol et moyennées sur 3 réalisations), après un nombre fixe de *n* = 100 périodes de modulation, en fonction de la fréquence de modulation *v*. (b) Comparaison entre la position moyenne de l'instabilité (en terme du quasi-moment réduit *k*/*k*<sub>L</sub> dans la structure de bande dépliée) extraite à partir d'un ajustement de la position des quatre ordres décimaux dans l'intervalle 1 ≤ |*p*|/*ħ*(*k*<sub>L</sub>) ≤ 3 (points bleus, les barres d'erreur correspondant à un écart-type sur la statistique de 12 points) et le quasi-moment de résonance entre les bandes d'intérêt (ligne noire) en fonction de *v*. (c) Diagramme de transition à partir de la bande fondamentale tracé sur les deux premières zones de Brillouin (lignes noires) et transitions adressées pour les données *b*₁, *b*₂ et *b*₃ (bleu). Voir figure 5.7, p. 142, pour davantage de détails.</figcaption></figure>

déplacer les croisements évités dans la zone de Brillouin (comme suggéré par le graphe F.11(e)),
nous permette d'accorder la position des pics décimaux dans les figures de diffraction (voir
figure 5.5, p. 139).

Nous présentons à une série d'expériences qui confirment ces prédictions (voir section 5.3),
comme illustré sur la figure F.13 dans le cas énoncé ici du déplacement des motifs émergents en
fonction de la fréquence de modulation du potentiel. Ces expériences confirment nos prédictions,
et la justesse de notre modèle à deux bandes fortement liées avec interactions.

Pour conclure, nous discutons de la nature de l'état réalisé dans le système, et confrontons
l'hypothèse de l'émergence d'un ordre *in-situ* de période *d*\* supérieur au pas *d* du réseau optique.
Pour évaluer ces points, des simulations *Truncated-Wigner* [201] ont été réalisées par notre col-
laborateur Peter Schlagheck de l'Université de Liège. Ces simulations confirment l'émergence
d'une structuration à longue portée dans le système, présentant une période *d*\* ≈ 2π/*q*\* (avec
*q*\* le quasi-moment des instabilités). De façon inhérente aux simulations *Truncated-Wigner* (de
par la considération *in fine* d'une moyenne sur de nombreuses trajectoires simulées), cette struc-
turation est invisible sur la densité *in-situ*, mais peut être retrouvée en calculant une corrélation
d'ordre deux (voir figure 5.12, p. 149). Ces simulations pointent aussi que la cohérence est
préservée dans les modes instables, comme suggéré en premier lieu expérimentalement par
l'observation des pics décimaux sur les figures de diffraction.

Ce travail résulte d'une collaboration avec Peter Schlagheck de l'unité de recherche CESAM
à l'Université de Liège. Une publication est en préparation :

[66] N. Dupont, L. Gabardos, F. Arrouas, G. Chatelain, M. Arnal, J. Billy, P. Schlagheck, B. Peaudecerf, and D. Guéry-Odelin, *Emergence of a tunable supercrystalline order in a Floquet-Bloch system*, In preparation, (2022)
<figure><img src="image_101.png" /></figure>
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**Abstract:** The field of quantum simulation aims at emulating complex quantum systems on platforms that are easier to control and observe. In the last twenty years, ultracold atoms in optical lattices have established themselves as a versatile controllable system for quantum simulation. The three experimental studies presented in this manuscript take place in the development of this field. They are performed using Bose-Einstein condensates (BECs) in a one-dimensional optical lattice that can be precisely controlled in amplitude and phase.

In the first study, we use the optimal control formalism to compute the way in which to continuously
shift the lattice in order to arbitrarily shape the BEC distribution in the phase space of the system.
We apply this method to different targets, among which squeezed Gaussian states more than four times
narrower in position than the ground state of the system, as well as the ideal Floquet state superposition
to perform quantum simulation of dynamical tunneling is the modulated lattice.

The second study concerns the realization of a non-diffusive Hamiltonian ratchet. The ratchet effect consists in the emergence of a directed current of particles in a system with no net force. In this second work, we correlate the amplitude and phase modulations of the lattice to produce, in the phase space of the system, a region of non-chaotic trajectories that travels between lattice sites, resting periodically in the center of each sites. We experimentally implement this system and observe non-diffusive ratchet transport of matter waves in the optical lattice.

Finally, we show how short-range interactions between atoms in the BECs lead to the emergence of a supercrystalline order in a sinusoidally modulated optical lattice for a modulation frequency coupling two energy levels. We develop a two-band tight-binding model which predicts that collisions occuring between the atoms of the BECs can lead to the growth of unstable Bogoliubov modes in the vicinity of avoided crossings in the quasi-energy spectrum of the modulated system. Interestingly, we experimentally demonstrate that the periodicity of the emergent order can be tuned through Floquet engineering of these crossings.

**Résumé :** Le domaine de la simulation quantique vise à émuler des systèmes quantiques complexes sur des systèmes plus simples à observer et à contrôler. Ces vingt dernières années, les gaz d'atomes ultrafroids sur réseau optique se sont démarqués comme une plateforme versatile et contrôlable pour la simulation quantique. Les trois études expérimentales présentées dans ce manuscrit s'inscrivent dans le développement de ce domaine. Elles sont réalisées avec des condensats de Bose-Einstein (CBE) placés dans un réseau optique unidimensionnel dont on peut contrôler finement la phase et l'amplitude.

Dans la première étude, nous utilisons le formalisme du contrôle optimal pour calculer la phase variable
que doit avoir le réseau optique au cours du temps afin de préparer des distributions arbitraires de CBE
dans l'espace des phases du système. Avec cette méthode, nous réalisons différents états, parmi lesquels
des états gaussiens jusqu'à quatre fois plus comprimés en position que l'état fondamental du réseau
optique, ou encore la superposition idéale d'états de Floquet pour faire une simulation quantique d'effet
tunnel dynamique dans le réseau optique modulé.

La deuxième étude traite d'un effet *ratchet* (rochet) non-diffusif dans un système hamiltonien. L'effet *ratchet* est l'émergence d'un courant de particules dans un potentiel duquel aucune force nette n'est dérivée. Dans ce travail, nous corrélons les modulations d'amplitude et de phase du réseau afin de faire émerger, dans l'espace des phases du système, une région de trajectoires non-chaotiques qui transite d'un site au suivant en s'arrêtant périodiquement au centre du site. Nous réalisons expérimentalement ce système et observons le transport *ratchet* non-diffusif d'ondes de matière dans le réseau optique.

La dernière étude présentée dans cette thèse démontre comment, dans un réseau optique modulé
sinusoïdalement à une fréquence couplant deux bandes du système, les interactions à courte-portée entre
atomes du CBE peuvent entraîner l'émergence d'un ordre supercristallin. Nous développons un modèle
de bandes fortement liées à deux niveaux prédisant que les collisions interatomiques dans le CBE peuvent
mener à la croissance de modes instables de Bogoliubov situés à proximité des croisements évités dans le
spectre de quasi-énergie du système modulé. Notamment, nous montrons expérimentalement comment
la périodicité de cet ordre émergent peut être accordée en procédant à l'ingénierie de Floquet de ces
croisements.