L'espace des phases devient alors

$$
\begin{align}
\mathrm{PS3} &= \frac{1}{(2\pi)^{2n-3}} \frac{\pi^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma(\frac{n-1}{2})} \frac{\pi^{\frac{n-2}{2}}}{\Gamma(\frac{n-2}{2})} \int d\omega_1 \omega_1^{n-3} dk k^{n-3} d\cos\theta_1 (1-\cos^2\theta_1)^{\frac{n-4}{2}} \delta^+((q-p_1-k)^2) \nonumber \\
&= \frac{\pi^{n-\frac{3}{2}}}{(2\pi)^{2n-3}} \frac{1}{\Gamma(\frac{n-1}{2})\Gamma(\frac{n-2}{2})} \int d\omega_1 \omega_1^{n-3} dk k^{n-3} d\cos\theta_1 (1-\cos^2\theta_1)^{\frac{n-4}{2}} \delta^+(Q^2 - 2(\omega_1+k)\sqrt{Q^2} + 2\omega_1 k(1-\cos\theta_1)), \tag{10.1.11}
\end{align}
$$

ce qui contraint l'angle polaire :

$$1 - \cos \theta_1 = - \frac{Q^2 - 2(\omega_1 + k)\sqrt{Q^2}}{2\omega_1 k}, \quad (10.1.12)$$

laissant finalement comme variable d'intégration les énergies $\omega_1$ et $k$.

• Cinématique

Les éqs. (10.1.9) impliquent les contraintes $0 < \omega_1, \omega_2, k < \sqrt{Q^2}/2$. Si on substitue par conservation d'énergie $\omega_2 = \sqrt{Q^2 - \omega_1 - k}$ on a alors les conditions $\sqrt{Q^2} > \omega_1 + k > \sqrt{Q^2}/2$. Il est pratique d'introduire les variables sans dimension $z_i$ via :

$$k = \frac{\sqrt{Q^2}}{2} z, \quad \omega_1 = \frac{\sqrt{Q^2}}{2} z_1, \quad \omega_2 = \frac{\sqrt{Q^2}}{2} z_2 = \frac{\sqrt{Q^2}}{2} (2 - z - z_1), \quad (10.1.13)$$

le domaine de variation des $z_i$ étant $0 < z, z_1, z_2 < 1$ et $2 > z + z_1 > 1$. Les invariants et angles du problème s'écrivent :

$$
\begin{align}
\hat{s}_1 &= (p_1 + k)^2 = (q - p_2)^2 = Q^2(z + z_1 - 1), \nonumber \\
\hat{s}_2 &= (p_2 + k)^2 = (q - p_1)^2 = Q^2(1 - z_1), \nonumber \\
\hat{s}_3 &= (p_1 + p_2)^2 = (q - k)^2 = Q^2(1 - z), \nonumber \\
1 - \cos \theta_1 &= 2 \frac{z + z_1 - 1}{z z_1}, \quad 1 + \cos \theta_1 = 2 \frac{(1-z)(1-z_1)}{z z_1}. \tag{10.1.14}
\end{align}
$$

L'intégrale d'espace de phase (10.1.11) devient alors après intégration sur l'angle :

$$
\begin{align}
\mathrm{PS3} &= \frac{\pi^{n-\frac{3}{2}}}{(2\pi)^{2n-3}} \frac{1}{\Gamma(\frac{n-1}{2})\Gamma(\frac{n-2}{2})} \int d\omega_1 \omega_1^{n-3} dk k^{n-3} (1-\cos^2\theta_1)^{\frac{n-4}{2}} \frac{1}{2\omega_1 k} \nonumber \\
&= \left[ \frac{1}{(4\pi)^2} \frac{\pi^{3/2-\epsilon}}{\Gamma(\frac{3}{2}-\epsilon)} \left(\frac{16\pi^2}{Q^2}\right)^{\epsilon} \right] \frac{Q^2}{(4\pi)^2} \left(\frac{4\pi}{Q^2}\right)^{\epsilon} \frac{1}{\Gamma(1-\epsilon)} \int_0^1 dz (1-z)^{-\epsilon} \tag{10.1.15} \\
&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \int_{1-z}^1 dz_1 (1-z_1)^{-\epsilon} (z+z_1-1)^{-\epsilon}, \nonumber
\end{align}
$$

où on a organisé le coefficient devant l'intégrale de façon à faire apparaître des termes déjà présents dans PS2. Pour faciliter la suite du calcul on choisit des variables telles que les deux intégrales se découpulent et que leurs bornes d'intégration soient 0 et 1. Pour cela on fait l'ultime changement de variable :

$$z_1 = 1 - z u, \quad (10.1.16)$$
de sorte l'espace de phase s'écrit :

$$
PS3 = \left[ \frac{1}{(4\pi)^2} \frac{\pi^{3/2-\epsilon}}{\Gamma(\frac{3}{2}-\epsilon)} \left(\frac{16\pi^2}{Q^2}\right)^{\epsilon} \right] \frac{Q^2}{(4\pi)^2} \left(\frac{4\pi}{Q^2}\right)^{\epsilon} \frac{1}{\Gamma(1-\epsilon)} \int_0^1 dz \, z^{1-2\epsilon} (1-z)^{-\epsilon} \int_0^1 du \, u^{-\epsilon} (1-u)^{-\epsilon}. \tag{10.1.17}
$$

Les variables cinématiques ont alors l’expression :

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{s}_1 &= Q^2 z(1-u), & \hat{s}_2 &= Q^2 zu, & \hat{s}_3 &= Q^2(1-z), \\
1 + \cos \theta_1 &= 2 \frac{(1-z)u}{1-zu}, & 1 - \cos \theta_1 &= 2 \frac{1-u}{1-zu}.
\end{aligned}
\tag{10.1.18}
\end{equation}
$$

Avec ces nouvelles variables le carré de l'élément de matrice s'écrit :

$$
\begin{align}
\Sigma |\mathcal{M}_{(1)}^{\text{réel}}|^2 &= (ee_q \mu^\epsilon)^2 (g\mu^\epsilon)^2 <N c_F > 8 (1-\epsilon) \left[ (1-\epsilon) \left( \frac{1-u}{u} + \frac{u}{1-u} \right) + 2 \frac{1-z}{z^2 u(1-u)} - 2\epsilon \right] \nonumber \\
&= (ee_q \mu^\epsilon)^2 (g\mu^\epsilon)^2 <N c_F > 8 (1-\epsilon) \left[ \left( \frac{(z-1)^2+1}{z^2} - \epsilon \right) \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{1-u} \right) - 2 \right] \tag{10.1.19}
\end{align}
$$

• Divergences infrarouge et colinéaire

Il est facile d'identifier les régions d'intégration qui engendreront des singularités. La limite $u \to 1$
$\Leftrightarrow \cos \theta_1 \to 1$ implique la colinéarité des vecteurs $k$ et $p_1$ ($\hat{s}_1 = 0$) et celle $u \to 0$
$\Rightarrow \cos \theta_1 \to -1$ implique la colinéarité des vecteurs $k$ et $p_2$ ($\hat{s}_2 = 0$) d'où l'apparition de divergences lors de
l'intégration de l'élément de matrice ci-dessus. La condition $z \to 0 \Leftrightarrow k \to 0$ est la limite infrarouge
qui produit également une divergence à cause du pôle en $z$. En revanche, la limite $z \to 1 \Leftrightarrow \hat{s}_3 \to 0$,
qui est celle de la collinéarité du quark et de l'antiquark est parfaitement régulière. La contribution
des termes réels au taux de désintégration sera donc :

$$
\begin{align}
e_q^2 \Gamma_1^{\text{réels}}(Q^2, \varepsilon) &= \frac{1}{2\sqrt{Q^2}} PS_3 \Sigma |\mathcal{M}_{(1)}^{\text{réel}}|^2 \nonumber \\
&= e_q^2 \Gamma_0(Q^2, \varepsilon) <c_F> \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^\varepsilon \frac{1}{\Gamma(1-\varepsilon)} \int_0^1 dz \int_0^1 du \nonumber \\
&\qquad \times z^{1-2\varepsilon} (1-z)^{-\varepsilon} u^{-\varepsilon} (1-u)^{-\varepsilon} \left[ \left(\frac{(z-1)^2+1}{z^2} - \varepsilon\right) \left(\frac{1}{u} + \frac{1}{1-u}\right) - 2 \right] \tag{10.1.20}
\end{align}
$$

On voit que les deux intégrales se factorisent et sont de la forme éq. (3.2.29) : elles peuvent être
effectuées à l'aide de fonctions Γ, puisqu'elles ne font intervenir que des monômes u, 1 − u, z, 1 − z.
La structure du résultat sera claire : les pôles en u et 1 − u engendrent les divergences colinéaires
en 1 /ε, quant au terme en 1 /z 2 il présente une divergence infrarouge et le produit des deux sera
un terme en 1 /ε $^{2}$. On trouve finalement :

$$
e_q^2 \Gamma_1^{\text{réels}}(Q^2, \varepsilon) = e_q^2 \Gamma_0(Q^2, \varepsilon) <c_F> \left[ \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^\varepsilon \frac{\Gamma(1-\varepsilon)}{\Gamma(1-2\varepsilon)} \right] \left[ \frac{2}{\varepsilon^2} + \frac{3}{\varepsilon} + \frac{19}{2} - \frac{2\pi^2}{3} \right]. \quad (10.1.21)
$$

Quelques explications sont nécessaires : on a factorisé l’expression $\Gamma(1-\varepsilon)/\Gamma(1-2\varepsilon)$ qui apparaît déjà dans la contribution virtuelle (10.1.5) ce qui amènera à évaluer l’expression :

$$
\frac{\Gamma(1-\varepsilon)\Gamma(1-2\varepsilon)}{\Gamma(1-3\varepsilon)} = 1 - \frac{\pi^2}{3}\varepsilon^2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3), \quad (10.1.22)
$$
d'après la relation (3.2.20). Dans la dernière ligne de (10.1.21) on a évidemment ignoré les termes d'ordre $\epsilon$.

### 10.1.3 Taux de désintégration en hadrons

Au premier ordre en QCD perturbatif, pour une saveur de quark de masse nulle, la largeur de désintégration sera finalement :

$$ 
\begin{align} 
e_q^2 \Gamma_1(Q^2) &= e_q^2 \left[ \Gamma_0(Q^2, \epsilon) + \Gamma_1^{\text{réels}}(Q^2, \epsilon) + \Gamma_1^{\text{virtuels}}(Q^2, \epsilon) \right] \nonumber \\ 
&= e_q^2 \Gamma_0(Q^2, 0) \left[ 1 + \frac{\alpha_s}{2\pi} \left< c_F \right> \frac{3}{2} \right] \nonumber \\ 
&= e_q^2 \Gamma_0(Q^2, 0) \left[ 1 + \frac{\alpha_s}{\pi} \right], \tag{10.1.23}
\end{align} 
$$

où tous les termes divergents ont été compensés entre contributions réelle et virtuelle et la correction à la prédiction à l'ordre 0 est un simple facteur multiplicatif. Au premier ordre en QCD, on identifiera $\sum_q e_q^2 \Gamma_1(Q^2)$ à la largeur de désintégration du photon virtuel en hadrons puisque les quarks et les gluons se matérialisent en hadrons avec une probabilité unité. Le rapport de la production hadronique sur celle d'une paire de muons, défini en éq. (6.5.1) sera donc :

$$ R = \langle 3 \rangle \sum_q e_q^2 \left(1 + \frac{\alpha_s}{\pi}\right) \tag{10.1.24} $$

où on a sorti le facteur $N=3$ de couleur contenu dans $\Gamma_0$. On peut citer le résultat à l'orde $\alpha_s^3$ qui est<fnref n="1" /> :

$$ 
\begin{align} 
R = 3 \sum_q e_q^2 \left[ 1 + \frac{\alpha_s}{\pi} + \left(\frac{\alpha_s}{\pi}\right)^2 \left(1.9857 - 0.1153N_f\right) - \left(\frac{\alpha_s}{\pi}\right)^3 \left(6.6368 + 1.2001N_f + 0.0052N_f^2\right) \right. \nonumber \\ 
\left. - \left(\frac{\alpha_s}{\pi}\right)^3 1.2395 \left(\sum_q e_q\right)^2 \right] \tag{10.1.25}
\end{align} 
$$

where $N_f$ is the number of active quark flavors. Ce résultat est valable pour des quarks de masse nulle, dans le schéma $\overline{MS}$ avec le choix d'échelle de normalisation $\mu^2 = Q^2$.

### 10.1.4 Compensation des divergences et généralisation

Il est intéressant de voir plus en détail le mécanisme de compensation des divergences. Pour cela on revient à $e_q^2 \Gamma_1^{\text{réels}}(Q^2, \epsilon)$, éq. (10.1.20), ne gardant que les termes menant à des pôles en $\epsilon$ :

$$ e_q^2 \Gamma_1^{\text{réels}}(Q^2, \epsilon)|_{\text{div}} \approx \frac{\langle c_F \rangle}{\Gamma(1-\epsilon)} \int_0^1 dz \, z^{-2\epsilon} (1-z)^{-\epsilon} \frac{(z-1)^2+1}{z} \int_0^1 du \, u^{-\epsilon} (1-u)^{-\epsilon} \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{1-u} \right). $$

L'intégrale angulaire se fait trivialment pour obtenir :

$$ e_q^2 \Gamma_1^{\text{réels}}(Q^2, \epsilon)|_{\text{div}} \approx \langle c_F \rangle \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \left(\frac{-2}{\epsilon}\right) \int_0^1 dz' (1-z')^{-2\epsilon} z'^{-\epsilon} \frac{z'^2+1}{1-z'}, $$

<footnote n="1">1. voir par exemple, K.G. Chetyrkin, J.H. Kuhn and A.Kwiatkowski, Phys. Rept. **277** (1996) 189.</footnote>
où on fait le changement de variable $z' = 1 - z$ qui, dans une configuration colinéaire $u = 1$ ou $u = 0$, est la fraction d'impulsion emportée par le quark ou l'antiquark produit de la fragmentation $q \to q + G$ ou $\bar{q} \to \bar{q} + G^2$. Combinant maintenant cette expression avec la partie divergente de la contribution virtuelle, comme en éq. (10.1.23), on a :

$$e_q^2 \left( \Gamma_1^{\text{réels}}(Q^2, \epsilon)|_{\text{div}} + \Gamma_1^{\text{virtuels}}(Q^2, \epsilon)|_{\text{div}} \right) \approx <c_F> \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \int_0^1 dz' \left\{ \left(\frac{-2}{\epsilon}\right) (1-z')^{-2\epsilon} z'^{-\epsilon} \frac{z'^2+1}{1-z'} - \left(\frac{2}{\epsilon^2} + \frac{3}{\epsilon}\right) \delta(1-z') \right\},$$

qui se réduit, après extraction de la divergence infrarouge suivant la méthode usuelle de l'éq. (9.2.96), à :

$$e_q^2 \left( \Gamma_1^{\text{réels}}(Q^2, \epsilon)|_{\text{div}} + \Gamma_1^{\text{virtuels}}(Q^2, \epsilon)|_{\text{div}} \right) \approx \left(\frac{-2}{\epsilon}\right) <c_F> \int_0^1 dz' \left\{ \frac{z'^2+1}{(1-z')_+} + \frac{3}{2}\delta(1-z') \right\}, \qquad (10.1.26)$$

où on a ignoré les termes non divergents en $\epsilon$. Le coefficient du pôle (divergence colinéaire) est simplement l'intégrale $\int_0^1 dz P_{qq}(z)$ du noyau d'Altarelli-Parisie, éq. (9.1.46), qui décrit la fragmentation colinéaire d'un quark. Mais on a déjà mentionné que cette intégrale est nulle. C'est la règle de somme, éq. (9.1.49), qui garantit la conservation du nombre de quarks de valence lorsqu'on prend en compte les corrections QCD au modèle des partons et qui garantit également ici la compensation des divergences infrarouges.

La discussion ci-dessus concerne la correction à la production d'un quark dur par émission d'un gluon. La configuration (quasi-)colinéaire de la fragmentation $q \to q + G$ induit une terme divergent de la forme :

$$\frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{-1}{\epsilon}\right) \int_0^1 dz P_{qq}(z). \qquad (10.1.27)$$

S'inspirant de ce résultat on peut "deviner" qu'elle doit être la forme de la correction à la production d'un gluon dans un processus dur. Dans ce cas, les corrections d'ordre supérieur qui contribuent à une divergence colinéaire sont les fragmentations $G \to G + G$ et $G \to q + \bar{q}$ où il faut sommer sur les $N_f$ saveurs de quarks produits : les deux engendrent une divergence colinéaire, la première ayant aussi une divergence infrarouge. La cinématique étant identique au cas $q \to q + G$ on aura alors un terme :

$$\frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{-1}{\epsilon}\right) \int_0^1 dz \left( P_{GG}(z) + 2 N_f P_{qG}(z) \right), \qquad (10.1.28)$$

où $P_{GG}(z)$ et $P_{qG}(z)$ sont les noyaux d'Altarelli-Parisie associés à la fragmentation du gluon. D'après la règle de somme éq. (9.1.50) on voit que le résidu au pôle en $\epsilon$ s'annule et la divergence colinéaire disparaît.

## • Exercice

Calculer la section efficace $e^+e^- \to \text{hadrons}$ au premier ordre en QCD supposant les quarks de masse nulle. Calculer le rapport $R = e^+e^- \to \text{hadrons}/e^+e^- \to \mu^+\mu^-$ en fonction de $Q^2$. Est-ce-que

<footnote n="2">2. Si $u = 1$, $\cos\theta_1 = 1$ et $z' = z_1 = 1 - z$; si $u = 0$, $\cos\theta_1 = -1$ et $z' = z_2 = 1 - z$.</footnote>
la correction en $\alpha_s$ améliore l'accord avec les données expérimentales de la figure 6.2 ? On prendra en compte l'évolution du couplage $\alpha_s(Q^2)$ en fonction de $Q^2$ ainsi que de façon naïve le seuil de production du quark $c$ de masse $m_c = 1,275$ GeV et du quark $b$ de masse $m_b = 4,65$ GeV. A quel diagramme est dû le terme en $(\sum_q e_q)^2$ dans l'éq. 10.1.25.

## 10.2 Production de gerbes hadroniques ou "jets"

On a vu en QED (chap. 5) que la définition de la section efficace de diffusion d'un électron d'énergie $E$, faisait intervenir la précision de l'appareil de mesure : la section efficace observable est définie théoriquement comme la section de production d'un électron d'énergie exactement égale $E$ et d'un électron d'énergie plus faible accompagné d'un photon mou (non détecté) dont l'énergie maximale est définie par la résolution de l'appareil de mesure. La section efficace ainsi construite est finie dans l'infrarouge, mais il reste dans l'expression théorique des termes du type $\log(E/m_e)$ associés à la colinéarité du photon avec l'électron. En QCD de tels termes ne sont pas définis, en quatre dimensions, puisque la masse du fermion est supposée nulle. Dans ce cas l'observable sera construit de façon à ce que l'état à un quark et celui à un quark accompagné d'un gluon quasi-colinéaire et/ou mou soient indistinguishables et donc considérés comme un seul état physique (observable).

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>FIGURE 10.1 – Evènements à deux jets (à gauche) et à trois jets (à droite) dans la désintégration du boson Z au LEP (Collaboration DELPHI).</figcaption></figure>

En QCD, les quarks et les gluons ne sont pas observables directement mais seulement par leurs produits de désintégration hadronique. Ainsi dans une collision $e^{+}e^{-}$ à grand $Q^2$, on observera
la production de deux ou plusieurs gerbes hadroniques (voir Fig. 10.1), une gerbe ou "jet" étant défini comme un ensemble de particules quasi colinéaires c'est à dire dont l'impulsion transverse par rapport à l'axe de la gerbe est petite, chaque gerbe ou "jet" étant associé à l'hadronisation d'un parton. Ainsi la production de deux jets correspond théoriquement à la production d'une paire quark-antiquark, trois jets à une paire quark-antiquark et un gluon, quatre jets à deux paires quark-antiquark ou une paire quark-antiquark et deux gluons, etc. Mais un évènement à deux jets peut aussi correspondre à la production d'une paire quark-antiquark associée à un gluon où ce dernier est quasi colinéaire au quark ou à l'antiquark : expérimentalement on ne peut pas distinguer une gerbe hadronique produite par un quark à haute énergie de celle produite par l'association d'un quark et d'un gluon quasi colinéaires. Dans le calcul perturbatif il est donc naturel d'introduire deux classes d'événements :

- ceux à deux jets qui recevront une contribution des :

terme de Born + contributions virtuelles
+ réels avec gluon mou ou quasi colinéaire au quark ou quasi colinéaire à l'antiquark

- ceux à trois jets :

termes réels à 3 partons, tous d'énergie supérieure à une valeur minimale et non colinéaires

Ceci est illustré sur le schéma suivant où les vecteurs représentent l'impulsion des partons finals :

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>2 gerbes hadroniques</figcaption></figure>

<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>3 gerbes hadroniques</figcaption></figure>

On va montrer par calcul explicite que les singularités infrarouge et colinéaire se compensent dans la classe des événements à deux jets. De façon simple, on évalue d'abord la largeur de désintégration en trois jets, qui est régulière et donc calculable en 4-dimensions, et par soustraction de celle ci de la largeur totale, éq. (10.1.23), on obtient la largeur de désintégration en deux jets.

### • Taux de production de 3 jets

Un parton est "observable" en tant que "jet" s'il a une énergie suffisante et s'il est géométriquement séparé des autres, ce qui conduit à introduire la notion de "distance" entre deux partons. Cette "distance" peut être définie de plusieurs façons. On peut par exemple choisir les invariants comme mesure et on imposera alors que les invariants satisfassent à $\hat{s}_i > s_0$ : si pour une paire de partons
$\hat{s}_i < s_0$ alors cette paire formera un seul jet et l'évènement aura une topologie à deux gerbes. Il est plus physique d'utiliser la méthode de Sterman et Weinberg<fnref n="3" /> qui introduisent deux paramètres, $\epsilon$ et $\delta$, que l'on suppose petits : $\epsilon$ est la fraction d'énergie minimale portée par un parton et $\delta$ définit l'angle minimal de séparation entre deux jets. Cela va introduire des restrictions sur l'espace de phase PS3. Ces conditions impliquent en particulier :

$$ 
\begin{gathered}
z > \epsilon, \quad \text{cut-off infrarouge} \\
1 - \cos \theta_1 = \frac{2(1-u)}{1-zu} > 1 - \cos \delta \approx \frac{\delta^2}{2}, \quad \text{cut-off angulaire } \vec{k} \parallel \vec{p}_1 \\
1 - \cos \theta_2 = \frac{2u}{1-z(1-u)} > 1 - \cos \delta \approx \frac{\delta^2}{2}, \quad \text{cut-off angulaire } \vec{k} \parallel \vec{p}_2.
\end{gathered}
\quad (10.2.29) 
$$

Ces conditions angulaires se traduisent par :

$$ \frac{(1-z) \delta^2/4}{1-z \delta^2/4} < u < \frac{1-\delta^2/4}{1-z \delta^2/4} \Rightarrow u_0 = (1-z) \delta^2/4 < u < (1-z) \delta^2/4 = u_1, $$

où dans les dernières inégalités on a négligé des termes d'ordre $\delta^4$. Avec la contrainte $z > \epsilon$ ces conditions sont suffisantes pour éviter les singularités en $z$ et $u$ dans l'intégrale sur l'espace de phase PS3. On peut alors prendre $\epsilon = 0$ ($n = 0$) dans l'expression éq. (10.1.20) de $e_q^2 \Gamma_1^{\text{réels}}(Q^2, \epsilon)$ et évaluer simplement :

$$ e_q^2 \Gamma^{3 \text{jets}}(Q^2, \epsilon, \delta) = e_q^2 \Gamma_0(Q^2) \frac{2\alpha_s}{3\pi} \int_{\epsilon}^{1} dz \int_{u_0}^{u_1} du \left[ \frac{1+(1-z)^2}{z} \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{1-u} \right) - 2 \right]. \quad (10.2.30) $$

Les intégrales sont faciles à calculer et on trouve :

$$ 
\begin{align}
e_q^2 \Gamma^{3 \text{jets}}(Q^2, \epsilon, \delta) &= e_q^2 \Gamma_0(Q^2) \frac{4\alpha_s}{3\pi} \left\{ 2 \ln \frac{4}{\delta^2} \left( \ln \frac{1}{\epsilon} - \frac{3}{4} + \epsilon - \frac{\epsilon^2}{4} \right) + \frac{\pi^2}{3} - \frac{5}{4} \right. \nonumber \\
&\qquad \left. - \frac{\delta^2}{4} \left( 2 \ln \frac{1}{\epsilon} - \frac{23}{3} + 6\epsilon - \frac{5}{2}\epsilon^2 \right) - 2\epsilon + \epsilon^2 \right\} \nonumber \\
&\sim e_q^2 \Gamma_0(Q^2) \frac{4\alpha_s}{3\pi} \left\{ 2 \ln \frac{4}{\delta^2} \ln \frac{1}{\epsilon} - \frac{3}{2} \ln \frac{4}{\delta^2} + \frac{\pi^2}{3} - \frac{5}{4} \right\}. \tag{10.2.31}
\end{align}
$$

Dans cette expression on a imposé les contraintes cinématiques uniquement sur l'énergie du gluon et sur l'angle entre impulsions du gluon et des quark/antiquark mais non sur l'énergie des quark/antiquark et leur angle relatif. Prendre ces dernières contraintes en compte induirait des corrections à l'éq. (10.2.31) d'ordre $\epsilon$ et $\delta^2$, sans "grands" facteurs logarithmiques puisque les régions d'espace de phase concerné ne présentent pas de comportement divergent. Ces corrections sont négligeables.

## • Taux de production de 2 jets

A l'ordre auquel le calcul a été mené la largeur de désintégration d'un photon virtuel en deux jets s'obtient facilement par soustraction :

$$ e_q^2 \Gamma^{2 \text{jets}}(Q^2, \epsilon, \delta) = e_q^2 \Gamma_1(Q^2) - e_q^2 \Gamma^{3 \text{jets}}(Q^2, \epsilon, \delta) \quad (10.2.32) $$

<footnote n="3">3. G.F. Sterman et S. Weinberg, Phys.Rev.Lett. **39** (1977), 1436</footnote>
de celle à trois jets de la largeur totale, $\Gamma_1(Q^2)$, donnée par l'éq. (10.1.23). Le résultat est régulier et dépend bien sûr des paramètres caractérisant le jet. La comparaison du résultat pertubatif avec les données expérimentales est non trivial. Une possibilité est de coupler un programme de génération de deux et trois jets au sens ci-dessus avec un code d'hadronisation de jets tel que PYTHIA<fnref n="4" /> et en imposant ensuite le même algorithme de reconstruction de jets sur les données simulées et les donnés expérimentales.

Le résultat éq. (10.2.32) sera valable seulement si $\Gamma^{3\text{jets}}(Q^2, \epsilon, \delta)$, d'ordre $\alpha_s$, est inférieure à $\Gamma_1(Q^2)$ ou plutôt à $\Gamma^{2\text{jets}}(Q^2, \epsilon, \delta)$ qui est d'ordre 1. Cela suppose que $\epsilon$ et $\delta$ ne soient pas trop petits. Ce type de problème a déjà été rencontré en QED. Pour améliorer la situation il faudrait faire le calcul aux ordres supérieurs et introduire les topologies à quatre jets, ..., $n$ jets. Un calcul à tous les ordres mènerait à l'"exponentiation" des "grands logarithmes" comme en QED. Cela résulte du fait que pour qu'un événement à $n$ partons produise une topologie à trois jets par exemple, il faut contraindre $n - 3$ partons à rester invisibles ce qui introduit un facteur de suppression qui sommé $\forall n$ s'exponentie (facteur de Sudhakov) <fnref n="5" />.

### Discussion

Le taux de production de deux gerbes hadroniques a été construite comme le complément de

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>FIGURE 10.2 – Espace de phase des topologies à 2 gerbes et 3 gerbes.</figcaption></figure>

la largeur à 3 gerbes. Ceci est illustré par la figure où on a représenté l'espace de phase total avec $0 < u < 1$, la variable angulaire en abcisse et $0 < z < 1$, l'énergie du gluon en ordonnée. Les configurations où le gluon est quasi colinéaire au quark ou à l'antiquark sont les deux bandes

<footnote n="4">4. T. Sjöstrand *et al.*, An introduction to PYTHIA 8.2, arxiv:1410.3012 [hep-ph].</footnote>

<footnote n="5">5. G. Parisi et R. Petronzio, Nucl.Phys. B154 (1979), 427.</footnote>
verticales $0 < u < u_0$ et $u_1 < u < 1$ et celle à 3 jets est le domaine en gris foncé. On voit clairement que la configuration à 2 jets comprend en plus des deux bandes verticales (gluon colinéaire) aussi la portion d'espace de phase où le gluon est mou $z < \epsilon$ mais n'est colinéaire à aucun des quarks. Ceci est nécessaire pour que la contribution des termes réels compense la divergence infrarouge du terme virtuel. On peut le vérifier explicitement en intégrant les termes réels sur l'espace de phase :

$$ \int_0^1 dz \int_0^{u_0} du + \int_0^1 dz \int_{u_1}^1 du + \int_0^\epsilon dz \int_{u_0}^{u_1} du \quad (10.2.33) $$

Du point de vue observationnel, un parton mou engendre des hadrons de petite énergie qui contribuent au bruit de fond hadronique et non à la constitution de jets de sorte que les définitions théorique et expérimentale d'un évènement à 2 jets sont compatibles.

Nous reviendrons sur la définition d'un "jet" lors de la discussion sur la production de gerbes hadroniques dans les collisions proton-proton.

## 10.3 Production inclusive d'un hadron

On s'intéresse à l'observable $e^+e^- \to hX$. Comme précédemment on ne considèrera en fait que la partie $\gamma^* \to hX$. Dans l'esprit du modèle des partons naïf on supposera que le photon virtuel se casse en une paire quark-antiquark et que quark et antiquark se fragmentent, indépendamment, colinéairement en un hadron plus d'autres particules que l'on n'observe pas : ceci est paramétré par une "fonction de fragmentation" $D_0^{h/q}(z)$ où $z$ est la fraction d'impulsion du quark (ou antiquark)

<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>FIGURE 10.3 – Production inclusive d'un hadron dans une collision $e^+ e^-$. Le hadron observé est contenu dans les fragments de la désintégration de n'importe lequel des partons, quark, antiquark ou gluon produits dans l'annihilation $e^+ e^-$.</figcaption></figure>

emportée par le hadron h détecté. La fonction de fragmentation paramètre en quelque sorte le processus croisé de celui décrit par la densité partonique $q_0(z)$ introduite dans la discussion sur
DIS. Toujours dans l'esprit du modèle des partons où on convolue des probabilités et non des amplitudes, la production d'un hadron h d'énergie $E = y\sqrt{Q^2}/2$, fragment de désintégration d'un quark q ou d'un anti-quark $\bar{q}$, est donnée par la convolution suivante :

$$ \frac{d\Gamma_0^h}{dy}(Q^2, y) = \sum_q \int_y^1 dz e_q^2 \frac{d\hat{\Gamma}_0^q}{dz} D_0^{h/q}(\frac{y}{z}) + \sum_{\bar{q}} \int_y^1 dz e_q^2 \frac{d\hat{\Gamma}_0^{\bar{q}}}{dz} D_0^{h/\bar{q}}(\frac{y}{z}) \quad (10.3.34) $$

où $d\hat{\Gamma}_0^q/dz$ est le taux de production d'un quark (ou antiquark) d'impulsion $\omega = z\sqrt{Q^2}/2$. L'argument $y/z$ dans les fonctions de fragmentation est bien la fraction dénergie du parton transférée au hadron avec, évidemment, la condition $y/z < 1$. Intuitivement la création de la paire quark-antiquark est un processus dur, à courte distance ($\sqrt{Q^2}$ grand), tandis que l'hadronisation est un phénomène à longue distance d'échelle caractéristique de l'ordre du GeV, ce qui justifie la factorisation éq. (10.3.34). Tous les ingrédients pour calculer ce taux de production sont donnés en section 10.1 : l'élément de matrice au carré est donné en (10.1.2) et l'intégrale sur l'espace de phase en (10.1.3) où on a omis d'effectuer l'intégration sur l'énergie du quark ou de l'antiquark $\omega = z\sqrt{Q^2}/2$. L'intégrale sur l'espace de phase peut s'écrire :

$$ \frac{dPS2}{dz} = \frac{1}{(4\pi)^2} \frac{\pi^{3/2-\epsilon}}{\Gamma(3/2-\epsilon)} \left(\frac{16\pi^2}{Q^2}\right)^{\epsilon} \delta(1-z). \quad (10.3.35) $$

Combinant espace de phase et élément de matrice on obtient le taux de production d'un quark (antiquark) :

$$ e_q^2 \frac{d\hat{\Gamma}_0^q}{dz} = \langle N \rangle \frac{\alpha}{2\pi} e_q^2 \sqrt{Q^2} (1-\epsilon) \frac{\pi^{3/2-\epsilon}}{\Gamma(3/2-\epsilon)} \left( \frac{16\pi^2\mu^2}{Q^2} \right)^{\epsilon} \delta(1-z), $$

soit

$$ e_q^2 \frac{d\hat{\Gamma}_0^q}{dz} = e_q^2 \Gamma_0(Q^2, \epsilon) \delta(1-z). \quad (10.3.36) $$

où $\Gamma_0(Q^2, \epsilon)$ a été définie à l'éq. (10.1.4). Finalement le taux de production d'un hadron se réduit donc simplement à :

$$ \frac{d\Gamma_0^h}{dy}(Q^2, y, \epsilon) = \Gamma_0(Q^2, \epsilon) \left[ \sum_q e_q^2 D_0^{h/q}(y) + \sum_{\bar{q}} e_q^2 D_0^{h/\bar{q}}(y) \right]. \quad (10.3.37) $$

### 10.3.1 Corrections d'ordre $\alpha_s$ : termes virtuels

Les corrections virtuelles ne changent pas la topologie du processus et on a vu que leur contribution est simplement un facteur multiplicatif au terme de Born de la production quark-antiquark : leur expression est donnée en éq. (10.1.5) de sorte qu'au premier ordre en QCD on a :

$$ e_q^2 \frac{d\hat{\Gamma}_1^{q \text{ virtuels}}}{dz} = e_q^2 \Gamma_0(Q^2, \epsilon) \delta(1-z) < c_F > \left[ \frac{\alpha_s}{2\pi} \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^{\epsilon} \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \right] \left\{ -\frac{2}{\epsilon^2} - \frac{3}{\epsilon} - 8 + 2\frac{\pi^2}{3} \right\}, \quad (10.3.38) $$

qu'il faudra convoluer avec les fonctions de fragmentation comme en éq. (10.3.34) pour obtenir la contribution à la production de hadrons.
### 10.3.2 Corrections d'ordre $\alpha_s$: termes réels

Au premier ordre en QCD, $\gamma^* \to q\bar{q}G$, le hadron pourra être émis par le quark, l'antiquark ou le gluon. On contruira donc cette contribution au taux de production sous la forme :

$$ \frac{d\hat{\Gamma}_1^{h\text{réels}}}{dy} = \sum_q \int_y^1 dz e_q^2 \frac{d\hat{\Gamma}_1^{q\text{réels}}}{dz} D_0^{h/q}(\frac{y}{z}) + \sum_{\bar{q}} \int_y^1 dz e_q^2 \frac{d\hat{\Gamma}_1^{\bar{q}\text{réels}}}{dz} D_0^{h/\bar{q}}(\frac{y}{z}) + \int_y^1 dz \frac{d\hat{\Gamma}_1^G}{dz} D_0^{h/G}(\frac{y}{z}), \qquad (10.3.39) $$

où dans ces intégrales la variable $z$ n'est autre que l'énergie du parton normalisée par $\sqrt{Q^2}/2$ comme en éqs. (10.1.13). On a introduit la fonction $D_0^{h/G}$ qui paramètre la fragmentation du gluon en hadron. On évalue maintenant successivement les sections efficaces partoniques à l'ordre $\alpha_s$.

#### • Calcul de $d\hat{\Gamma}_1^G/dz$

Cette contribution peut facilement être obtenue à partir de l'éq. (10.1.20) : il suffit de ne pas évaluer l'intégrale sur la variable $z$ d'énergie du gluon. L'intégration sur $u$ engendre des termes en $1/\epsilon$ d'origine colinéaire tandis que la condition $z > y$ élimine toute divergence infrarouge : on trouve alors facilement :

$$ \frac{d\hat{\Gamma}_1^G}{dz} = \sum_q e_q^2 \Gamma_0(Q^2, \epsilon) \langle c_F \rangle \left[ \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^\epsilon \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \right] z^{-2\epsilon} (1-z)^{-\epsilon} \left(-\frac{2}{\epsilon}\right) \frac{1+(1-z)^2}{z}. $$

Développant en $\epsilon$, le résultat recherché s'écrit :

$$ \frac{d\hat{\Gamma}_1^G}{dz} = \sum_q e_q^2 \Gamma_0(Q^2, \epsilon) \frac{\alpha_s}{2\pi} 2 \left\{ -\frac{1}{\epsilon} \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^{\epsilon} \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} P_{Gq}(z) + d_G(z) \right\} \qquad (10.3.40) $$

où on a introduit le noyau d'Altarelli-Parisi $P_{Gq}(z)$, déjà rencontré dans la discussion sur l'inélastique profond, éq. (9.1.46) :

$$ P_{Gq}(z) = \langle c_F \rangle \frac{1 + (1 - z)^2}{z}, \qquad (10.3.41) $$

et le terme régulier

$$ d_G(z) = \langle c_F \rangle P_{Gq}(z) \ln(z^2(1-z)). \qquad (10.3.42) $$

La présence de la fonction $P_{Gq}(z)$ qui décrit l'émission colinéaire d'un gluon par un quark dans l'éq. (10.3.40) est claire : lors de l'intégration sur la variable $u$, pour un gluon d'impulsion $z$ fixée, on inclut la configuration où le quark est colinéaire au gluon ($u=1$) ou à l'antiquark colinéaire au gluon ($u=0$), chacune de ces configurations engendrant un facteur $-P_{Gq}(z)/\epsilon$ comme dans le cas des corrections QCD à la fonction de structure d'un hadron.

#### • Calcul de $d\hat{\Gamma}_1^q/dz$

Le calcul est similaire au cas précédent et on s'attend à l'apparition de singularités lorsque le gluon sera colinéaire au quark émettant le hadron. Mais il y a deux complications : d'une part la variable d'énergie $z$ est maintenant celle du quark qui n'est pas une des variables d'intégration de l'éq. (10.1.20) (dans laquelle $z$ est l'énergie du gluon), d'autre part à énergie du quark fixée l'énergie du gluon s'annule lors de l'intégration sur la variable restante ce qui engendre une divergence infrarouge qu'il faut extraire et on a vu en subsection 9.2.4 que cette opération est loin d'être triviale ! En
fait, on avait estimé en section (10.1.4) qu'après intégration sur la variable angulaire il restait une partie divergente $-P_{qq}(z)/\epsilon$. On va l'extraire explicitement ici en s'attachant à garder également les termes constants.

Pour le choix de la bonne variable on revient à l'intégrale d'espace de phase éq. (10.1.15) où les variables d'énergie du gluon et du quark jouent un rôle symétrique et, au lieu d'éliminer $z_1$ comme en éq. (10.1.16), on élimine $z$ par le changement de variable

$$z = 1 - z_1 u, \qquad (10.3.43)$$

de sorte que l'espace de phase PS3 sera comme en (10.1.17) dans lequel $z_1$ joue le rôle de la variable $z$. Les invariants s'écrivent alors :

$$ \begin{gathered} \hat{s}_1 = Q^2 z_1 (1-u), \qquad \hat{s}_2 = Q^2 (1-z_1), \qquad \hat{s}_3 = Q^2 z_1 u \\ 1 + \cos \theta_1 = 2 \frac{(1-z_1)u}{1-z_1 u}, \qquad 1 - \cos \theta_1 = 2 \frac{1-u}{1-z_1 u}, \end{gathered} \qquad (10.3.44) $$

et l'élément de matrice devient, ignorant les termes d'ordre $\epsilon$ :

$$ \Sigma |\mathcal{M}_{(1)}^{r\acute{e}el}|^2 = (ee_q \mu^\epsilon)^2 (g\mu^\epsilon)^2 < 3 c_F > 8 (1-\epsilon) \left[ (1-\epsilon) \frac{z_1(1-u)}{1-z_1} + \frac{1-z_1}{z_1(1-u)} + 2 \frac{u}{(1-z_1)(1-u)} \right]. \qquad (10.3.45) $$

La relation entre variables et singularités est moins directe qu'auparavant : les divergences co- linéaires seront engendrées quand $u = 1 \Leftrightarrow \cos \theta_1 = 1$ c'est à dire $\vec{k} \parallel \vec{p}_1$ et $z_1 = 1 \Rightarrow \cos \theta_1 = -1$ c'est à dire $\vec{k} \parallel \vec{p}_2$. Quant à la singularité infrarouge $z = 0$ elle sera atteinte pour $z_1 = u = 1$ ($\vec{k}$ colinéaire à la fois à $\vec{p}_1$ et $\vec{p}_2$, donc nul !). On remarque que $u = 0$ implique $\hat{s}_3 = 0$ et $z = 1$, soit $\vec{p}_1 \parallel \vec{p}_2$ tous deux opposés à $\vec{k}$, configuration qui ne conduit pas à une singularité de l'élément de matrice. Convoluant l'expression (10.3.45) avec PS3 et après intégration sur la variable $u$ on obtient :

$$ e_q^2 \frac{d\hat{\Gamma}_1^{q\acute{r}eel}}{dz_1} = e_q^2 \Gamma_0(Q^2, \epsilon) < c_F > \left[ \frac{\alpha_s}{2\pi} \left(\frac{4\pi\mu^2}{Q^2}\right)^\epsilon \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \right] z_1^{-2\epsilon} (1-z_1)^{-\epsilon} \left\{ -\frac{1}{\epsilon} \frac{1+z_1^2}{1-z_1} - \left(\frac{3}{2} + \frac{7}{2}\epsilon\right) \frac{1}{1-z_1} + \frac{5}{2} - \frac{3}{2}z_1 \right\}. \qquad (10.3.46) $$

Lors de la convolution de cette section efficace partonique avec la fonction de fragmentation du quark, comme en éq. (10.3.39), le point singulier $z_1 = 1$ sera atteint et il faut donc recourir à un développement en $\epsilon$ similaire à celui de l'éq. (9.3.140) pour extraire le comportement divergent et les termes finis. Par exemple, pour le premier terme entre accolades on écrira :

$$ \int_y^1 dz_1 z_1^{-2\epsilon} (1-z_1)^{-\epsilon} \left\{ -\frac{1}{\epsilon} \frac{1+z_1^2}{1-z_1} \right\} D_0^{h/q} \left( \frac{y}{z_1} \right) = \int_y^1 dz_1 \left\{ \frac{2}{\epsilon^2} \delta(1-z_1) - \frac{1+z_1^2}{\epsilon(1-z_1)_+} + (1+z_1^2) \left[ \left( \frac{\ln(1-z_1)}{1-z_1} \right)_+ + 2 \frac{\ln z_1}{1-z_1} \right] \right\} D_0^{h/q} \left( \frac{y}{z_1} \right), $$

et pour le deuxième terme,

$$ \int_y^1 dz_1 z_1^{-2\epsilon} (1-z_1)^{-\epsilon} \left\{ -\left(\frac{3}{2} + \frac{7}{2}\epsilon\right) \frac{1}{1-z_1} \right\} D_0^{h/q} \left(\frac{y}{z_1}\right) = \int_y^1 dz_1 \left\{ \frac{3}{2\epsilon} \delta(1-z_1) + \frac{7}{2}\delta(1-z_1) - \frac{3}{2} \frac{1}{(1-z_1)_+} \right\} D_0^{h/q} \left(\frac{y}{z_1}\right), $$
tandis que le troisième terme est régulier et on peut donc prendre $\epsilon = 0$. La contribution, au premier ordre en $\alpha_s$ d'une saveur de quark à la production d'un hadron comprendra le terme de Born (10.3.36), les virtuels (10.3.38) et les réels, qui après compensation des doubles pôles en $\epsilon$ s'écrit :

$$ 
\begin{aligned}
e_q^2 \frac{d\hat{\Gamma}_1^q}{dz_1} &= e_q^2 \frac{d\hat{\Gamma}_0^q}{dz_1} + e_q^2 \frac{d\hat{\Gamma}_1^{q \text{ virtuels}}}{dz_1} + e_q^2 \frac{d\hat{\Gamma}_1^{q \text{ réels}}}{dz_1} && (10.3.47) \\
&= e_q^2 \Gamma_0(Q^2, \epsilon) \left\{ \delta(1-z_1) + \left[ \frac{\alpha_s}{2\pi} \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^\epsilon \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \right] \left( -\frac{1}{\epsilon} \right) P_{qq}(z_1) + \frac{\alpha_s}{2\pi} d_q(z) \right\},
\end{aligned}
$$

où la fonction $P_{qq}(z)$ est le noyau d'Altarelli-Parisi, éq. (9.1.46), déjà rencontré plus haut en (10.1.26) et

$$ d_q(z) = \langle c_F \rangle \left\{ \left( \frac{2\pi^2}{3} - \frac{9}{2} \right) \delta(1-z) + (1+z^2) \left[ \left( \frac{\ln(1-z)}{1-z} \right)_+ + 2 \frac{\ln z}{1-z} \right] - \frac{3}{2} \frac{1}{(1-z)_+} + \frac{5}{2} - \frac{3}{2} z \right\}. \quad (10.3.48) $$

Ces expressions sont aussi valables pour la section efficace de production d'un antiquark.

### 10.3.3 Corrections d'ordre $\alpha_s$: production inclusive d'un hadron

Pour obtenir le taux de production d'un hadron on doit convoluer les éqs. (10.3.47) et (10.3.40) avec les fonctions de fragmentation appropriées comme en (10.3.39). Ne gardant pour le moment que le terme de Born et ceux d'ordre $\alpha_s$ avec un pôle en $\epsilon$ on trouve :

$$ \frac{d\Gamma_1^h}{dy}\Big|_{div} = \sum_q e_q^2 \Gamma_0(Q^2, \epsilon) \int_y^1 dz \left\{ \delta(1-z) \left( D_0^{h/q}(\frac{y}{z}) + D_0^{h/\bar{q}}(\frac{y}{z}) \right) \right. \\ \left. + \left[ \frac{\alpha_s}{2\pi} \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^\epsilon \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \right] \left( -\frac{1}{\epsilon} \right) \left[ P_{qq}(z) \left( D_0^{h/q}(\frac{y}{z}) + D_0^{h/\bar{q}}(\frac{y}{z}) \right) + 2P_{Gq}(z) D_0^{h/G}(\frac{y}{z}) \right] \right\}. \quad (10.3.49) $$

S'inspirant du cas de l'inélastique profond en sec. 9.2.6 on définit la fonction de fragmentation d'un quark $q$, violant l'invariance d'échelle par (voir l'éq. (9.2.118)) :

$$ D^{h/q}(y, Q^2) = D_0^{h/q}(y) + \left[ \frac{\alpha_s}{2\pi} \left( \frac{4\pi\mu^2}{Q^2} \right)^\epsilon \frac{\Gamma(1-\epsilon)}{\Gamma(1-2\epsilon)} \right] \left( -\frac{1}{\epsilon} \right) \int_y^1 dz \left[ P_{qq}(z) D_0^{h/q}(\frac{y}{z}) + P_{Gq}(z) D_0^{h/G}(\frac{y}{z}) \right], \quad (10.3.50) $$

et *idem* pour l'antiquark. A l'aide de ces fonctions on obtient le spectre inclusif d'un hadron dans la désintégration du $\gamma^*$ incluant les termes "constants" issus des éqs. (10.3.40) et (10.3.47) :

$$ \frac{d\Gamma_1^h}{dy} = \Gamma_0(Q^2, \epsilon) \sum_q e_q^2 \left\{ D^{h/q}(y, Q^2) + \frac{\alpha_s}{2\pi} \int_y^1 dz \left[ d_q(z) D^{h/q}(\frac{y}{z}, Q^2) + d_G(z) D^{h/G}(\frac{y}{z}, Q^2) \right] \right. \\ \left. + D^{h/\bar{q}}(y, Q^2) + \frac{\alpha_s}{2\pi} \int_y^1 dz \left[ d_q(z) D^{h/\bar{q}}(\frac{y}{z}, Q^2) + d_G(z) D^{h/G}(\frac{y}{z}, Q^2) \right] \right\}. \quad (10.3.51) $$
Plusieurs points méritent discussion, points que l'on mentionnera cependant sans explications puisqu'ils ont déjà été commentés dans le cas de la diffusion inélastique profonde. On a introduit partout en éq. (10.3.51) les fonctions de fragmentation avec violations d'invariance d'échelle ce qui est pertubativement justifié. On pourrait choisir une échelle de factorisation $M^2 \neq Q^2$ où un schéma de factorisation différent du schéma $\overline{MS}$ utilisé ici : il faudrait alors modifier convenablement le second membre de l'éq. (10.3.51) (voir sec. 9.2.7).

Revenant à l'éq. (10.3.50) et poursuivant l'analogie avec DIS on calcule la dérivée logarithmique de $D^{h/q}(y, Q^2)$ par rapport à $Q^2$ pour obtenir l'équation dévolution DGLAP, indépendante de $\epsilon$, donc finie :

$$Q^2 \frac{D^{h/q}(y, Q^2)}{dQ^2} = \frac{\alpha_s}{2\pi} \int_y^1 dz \left[ P_{qq}(z) D^{h/q}(\frac{y}{z}, Q^2) + P_{Gq}(z) D_0^{h/G}(\frac{y}{z}, Q^2) \right]. \quad (10.3.52)$$

La violation d'invariance d'échelle de la fonction de fragmentation est engendrée lorsque le hadron est émis par le quark ou par le gluon, produits de désintégration du quark initial. Intégrant cette équation, on obtiendra la fonction de fragmentation $D^{h/q}(y, Q^2)$ finie que l'on utilisera pour calculer la production inclusive d'un hadron. La fonction de fragmentaion du gluon obéit aussi à une équation de type DGLAP :

$$Q^2 \frac{D^{h/G}(y, Q^2)}{dQ^2} = \frac{\alpha_s}{2\pi} \int_y^1 dz \left[ P_{qG}(z) D^{h/q}(\frac{y}{z}, Q^2) + P_{GG}(z) D_0^{h/G}(\frac{y}{z}, Q^2) \right]. \quad (10.3.53)$$

avec, dans l'approximations des logarithmes dominants, les noyaux $P_{ij}$ donnés en éqs. (9.1.46)).

Il existe plusieurs paramétrages des fonctions de fragmentation avec évolution au NLO : Kretzer$^6$, BFGW$^7$, HKNS$^8$, DSS$^9$, AKK$^{10}$. Ils sont obtenus à partir de spectres inclusifs de hadrons mesurés dans les collisions $e^+e^-$, $e^+/-p$ et/ou $pp$. Ils peuvent différer dans leurs prédictions pour certains observables puisqu'ils ne sont pas obtenus à partir des mêmes données initiales$^{11}$ (voir la section 13.4).

<footnote n="6">6. S. Kretzer, Phys. Rev. D62 (2000), 054001, [hep-ph/0003177v2]</footnote>

<footnote n="7">7. BFGW: L. Bourhis, M. Fontannaz, J.-Ph. Guillet, M. Werlen, Eur. Phys. J. C19 (2001), 89, [hep-ph/0009101]</footnote>

<footnote n="8">8. HKNS: M. Hirai, S. Kumano, T.-H. Nagai, K. Sudoh, Phys. Rev. D75 (2007), 094009, [hep-ph/0702250v2]</footnote>

<footnote n="9">9. DSS: D. De Florian, R. Sassot, M. Stratmann, Phys. Rev. D76 (2007), 114010, [arXiv:0707.1506v1]</footnote>

<footnote n="10">10. AKK: S. Albino, B. Kniehl, G. Kramer, Nucl. Phys. B803 (2008), 42, [arXiv:0803.2768v2]</footnote>

<footnote n="11">11. F. Arleo, M. Fontannaz, J.-Ph. Guillet, Chi Linh Nguyen, JHEP 1404 (2014), 147, [arXiv:1311.7356]</footnote>
# Chapitre 11

## Unitarité, règles de coupure

On a vu dans l'étude des boucles en QED et QCD qu'il apparaissait des logarithmes des invariants de la réaction dont l'argument pouvaient être négatif. La prescription $i\epsilon$ de Feynman, fondée sur la causalité, permettait de donner un sens mathématique au logarithme d'argument négatif. Ainsi un terme tel que $\ln(m^2 - q^2 - i\epsilon)$ comme en éq. (4.1.25) est défini par :

$$ \ln(m^2 - (q^2 + i\epsilon)) = \ln|m^2 - q^2| - i\pi\Theta(q^2 - m^2). $$

Le point $q^2 = m^2$ est un point de branchement et, dans le plan $q^2$ complexe, on définit une coupure le long de l'axe réel de $q^2 = m^2$ à l'∞, de sorte que la partie imaginaire est la moitié de la discontinuité de la fonction à travers la coupure :

$$ 2i\operatorname{Im}f(q^2) = f(q^2 + i\epsilon) - f(q^2 - i\epsilon) $$

Le logarithme ainsi défini est monovalué dans le plan complexe. En fait, la partie imaginaire qui apparaît dans le calcul des boucles a une interprétation physique qui est une conséquence des contraintes d'unitarité que doivent satisfaire les amplitudes de diffusion. Pour voir cela, il est utile de revenir à la théorie de la matrice $S$ dont les composants fondamentaux sont les amplitudes de diffusion et non les champs.

Avant la formulation de la chromodynamique quantique et la découverte de la liberté asymptotique il n'était possible d'utiliser la théorie des perturbations pour étudier les interactions fortes. L'approche suivie était alors fondée sur la matrice $S$ qui dans un processus de diffusion connecte les états asymptotiques entrant et sortant. Du fait de la conservation des probabilités la matrice $S$ est unitaire. L'unitarité $SS^\dagger = S^\dagger S = 1$ implique des relations non-linéaires entre les amplitudes de diffusion et, comme on le verra, cela joue un rôle fondamental pour déterminer la structure analytique de ces amplitudes. Le postulat de base de l'approche de la matrice $S$ est que les amplitudes de diffusion sont des fonctions analytiques des invariants de la réaction, fonctions analytiques dont les singularités sur l'axe réel sont données par les contraintes d'unitarité. Ce postulat est satisfait en théorie quantique des champs dans l'approche perturbative.

### 11.1 Matrice S, unitarité, théorème optique

On considère un processus de diffusion de deux particles $1+2 \to 3+4$. On suppose l'interaction entre particules à suffisamment courte portée pour que les états entrant ($t \to -\infty$) et sortant
$(t \to \infty)$ soient considérés comme formés de particules libres entièrement caractérisées par leur impulsion (on traite le cas de particules scalaires, à spin et isospin nuls)<fnref n="1" />. Pour simplifier l'écriture on note les états par un symbole discret $|m\rangle$ et on suppose que l'ensemble de ces états forme une base complète orthonormée :

$$ \langle m | n \rangle = \delta_{mn}, \quad \sum_m |m\rangle\langle m| = 1. \qquad (11.1.1) $$

D'après le principe de supersposition de mécanique quantique l'état final peut être écrit $S|m\rangle$ où $S$ est un opérateur linéaire. La probabilité de trouver le système dans un état final $|n\rangle$ est donnée par le carré de l'élément de matrice :

$$ \langle n | S | m \rangle. \qquad (11.1.2) $$

Pour un état initial quelconque qui peut être écrit $|i\rangle = \sum_m a_m|m\rangle$, avec $\sum_m |a_m|^2 = 1$, la probabilité que le système soit mesuré dans n'importe quel état $|n\rangle$ est unité (conservation des probabilités) :

$$ \sum_n \langle i | S^\dagger | n \rangle \langle n | S | i \rangle = \langle i | S^\dagger S | i \rangle = \sum_{m,m'} a_m^* a_{m'} \langle m | S^\dagger S | m' \rangle = 1. \qquad (11.1.3) $$

Ceci doit être vrai $\forall$ état initial (ou pour tout état final si on somme sur les états initiaux), d'où on tire $S^\dagger S = SS^\dagger = 1$: la matrice $S$ est unitaire. Si on considère une transformation de Lorentz $L, L|m\rangle = |m'\rangle$, on demande que les observables soient indépendantes du choix du repère :

$$ \langle n' | S | m' \rangle^2 = \langle n | S | m \rangle^2. \qquad (11.1.4) $$

Puisque le choix de la phase est arbitraire on impose plutôt la condition :

$$ \langle n' | S | m' \rangle = \langle n | S | m \rangle, \qquad (11.1.5) $$

ce qui implique que l'élément de matrice ne dépend, si on exclut la fonction $\delta$ de conservation d'énergie-impulsion, que des invariants du problème, soit :

$$ s = (p_1 + p_2)^2, \quad t = (p_1 - p_3)^2, \quad u = (p_1 - p_4)^2, \quad \text{avec } s + t + u = \sum_i m_i^2. \qquad (11.1.6) $$

Ceci est aussi vrai pour des particules avec spin si on somme sur tous les états de polarisation des particules. Comme on a choisi de caractériser les états par leur impulsion les particules sont très probablement séparées dans l'espace et elles ont peu de chance d'interagir. On introduit la matrice d'interaction $T$ à l'aide de laquelle on définira la section efficace de collision entre particules interagissantes :

$$ S = 1 + iT, \qquad (11.1.7) $$

de sorte que :

$$ i(T^\dagger - T) = T^\dagger T = TT^\dagger. \qquad (11.1.8) $$

<footnote n="1">1. Cette section suit le chapitre 1 de *The Analytic S-Matrix* par R.J. Eden, P.V. Landshoff, D.I. Olive, J.C. Polkinghorne, Cambridge University Press 1966.</footnote>
Si on considère la transition d'un état initial $|i\rangle$ à un état final $|f\rangle$ on a :

$$ 
\begin{aligned}
i(\langle f|T^\dagger|i\rangle - \langle f|T|i\rangle) &= \sum_n \langle f|T^\dagger|n\rangle\langle n|T|i\rangle \\
\Leftrightarrow i(\langle i|T|f\rangle^* - \langle f|T|i\rangle) &= \sum_n \langle n|T|f\rangle^*\langle n|T|i\rangle,
\end{aligned} 
\quad (11.1.9) 
$$

avec $\sum_n |n\rangle\langle n|$ un ensemble complet d'états compatibles avec les différentes lois de conservation. Comme cas particulier on choisit $|f\rangle = |i\rangle$ et on a donc :

$$ 2 \operatorname{Im} \langle i|T|i\rangle = \sum_n |\langle n|T|i\rangle|^2, \quad (11.1.10) $$

ce qui implique que la partie imaginaire de l'amplitude de transition élastique vers l'avant est proportionnelle à la somme des carrés des transitions de l'état initial en tous les états physiques permis par les lois de conservation, c'est à dire la section efficace totale.

On introduit l'élément de matrice invariant $\mathcal{M}_{12\to34}$ obtenu à partir de l'élément de matrice de transition par troncation de la fonction $\delta$ de conservation d'énergie-impulsion :

$$ \langle 34|T|12\rangle = (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_3 + p_4 - p_1 - p_2) \mathcal{M}_{12\to34} \quad (11.1.11) $$

avec la normalisation des états à une particule libre :

$$ 
\begin{aligned}
\langle q|p\rangle &= (2\pi)^3 2\omega_p \delta^{(3)}(q-p) \\
|p\rangle &= \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3 2\omega_q} |q\rangle\langle q|p\rangle = \int \frac{d^4 q}{(2\pi)^3} \Theta(q_0) \delta(q^2 - m^2) |q\rangle\langle q|p\rangle .
\end{aligned} 
\quad (11.1.12) 
$$

Pour simplifier, on ne considère dans la suite qu'un seul type de particule scalaire de masse $m$. Injectant ces relations dans l'éq. (11.1.10) et ne gardant, pour le moment, que deux particules dans l'état intermédiaire on trouve après simplification du facteur de conservation d'énergie-impulsion globale<fnref n="2" /> :

$$ 
\begin{aligned}
2 \operatorname{Im} \mathcal{M}_{12 \to 12}(s, t=0) &= \int \frac{d^3 p_3}{(2\pi)^3 2\omega_3} \frac{d^3 p_4}{(2\pi)^3 2\omega_4} (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_1 + p_2 - p_3 - p_4) |\mathcal{M}_{12 \to 34}|^2 \\
&= \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{d^3 p_3}{2\omega_3} \delta^{(+)}((p_1 + p_2 - p_3)^2 - m^2) |\mathcal{M}_{12 \to 34}|^2 \\
&= \frac{1}{(2\pi)^2} \frac{p}{4\sqrt{s}} \int d\Omega |\mathcal{M}_{12 \to 34}|^2,
\end{aligned} 
\quad (11.1.13) 
$$

où on a fait l'intégrale sur l'énergie dans le centre de masse où l'impulsion des particules est dénotée $p$. Une fois divisé par le flux de particules entrantes $4\sqrt{((p_1 \cdot p_2)^2 - m^4)} = 4p\sqrt{s}$ dans le centre de masse, le membre de droite n'est autre que $\sigma_{2\to2}$ la section efficace de diffusion du processus 2 particules $\to$ 2 particules intégrée sur tout l'espace de phase. On obtient donc :

$$ \operatorname{Im} \mathcal{M}_{12 \to 12}(s, t=0) = 2p\sqrt{s} \sigma_{2 \to 2}, \quad \text{pour } 4m^2 < s < 9m^2 \quad (11.1.14) $$

<footnote n="2">2. On définit $\delta^{(+)}(p^2 - m^2) = \Theta(p_0)\delta(p^2 - m^2)$.</footnote>
qui exprime la partie imaginaire de l'amplitude élastique vers l'avant en fonction de la section efficace totale du processus $2 \to 2$. Ceci est valable à basse énergie pour $4m^2 < s < 9m^2$. En effet, au dessus du seuil de production de 3 particules la section efficace $\sigma_{2\to3}$ contribuera et plus généralement, au dessus de chaque seuil de production d'une particule supplémentaire on aura une nouvelle contribution de sorte que :

$$ \mathrm{Im}\mathcal{M}_{12\to12}(s, t=0) = 2p\sqrt{s} \sum_{n} \sigma_{2\to n} = 2p\sqrt{s} \sigma_{tot}, \qquad (11.1.15) $$

La partie imaginaire de l'amplitude élastique vers l'avant, $t=0$, est à un facteur près à la section efficace totale. Ce résultat est connu sous le nom de théorème optique. Il est très important car il indique la structure de l'amplitude de diffusion considérée comme fonction de la variable d'énergie complexe $s$. En résumé, choisissant la variable de transfert dans la région physique, $t < 0$, (on peut facilement généraliser l'éq. (11.1.15) à $t < 0$) on voit que pour $0 < s < 4m^2$ l'amplitude est réelle puisque la diffusion $2 \to 2$ n'est pas possible. Pour $s > 4m^2$ l'amplitude acquiert une partie imaginaire : on introduit une coupure de $s = 4m^2$ à l'∞ le long de l'axe réel et on définit la partie imaginaire comme :

$$ 2i\mathrm{Im}\mathcal{M}_{12\to12}(s,t) = \mathcal{M}_{12\to12}(s+i\epsilon,t) - \mathcal{M}_{12\to12}(s-i\epsilon,t), \qquad (11.1.16) $$

c'est à dire comme la discontinuité de la fonction à travers la coupure. Cette prescription est dictée par la causalité et elle est reliée, en théorie quantique des champs, à la prescription de Feynman dans les propagateurs<fnref n="3" /> (voir l'exemple du logarithme en début de chapitre).

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>FIGURE 11.1 – Structure analytique dans le plan d'énergie $s$ complexe de l'amplitude invariante à $t$ fixé. La coupure de droite est la conséquence de l'unitarité dans la voie $s$ et celle de gauche dans la voie $u$.</figcaption></figure>

On a défini plus haut les invariants, $s$, $t$, $u$ dont le domaine de variation pour le processus $1+2 \to 3+4$ est $s > 4m^2$, $4m^2 - s < t < 0$, $4m^2 - s < u < 0$. Si on renverse le signe des impulsions $p_1$ et $p_3$, les variables $u > 4m^2$, $4m^2 - u < s < 0$ et $4m^2 - u < t < 0$ correspondront à la région physique de la réaction $\bar{3} + 2 \to \bar{1} + 4$. Sous cette opération $t$ reste inchangé et, à $t$ fixé, $s$ et $u$ ne sont pas indépendants puisque $s = 4m^2 - t - u$ par la relation (11.1.6). L'amplitude de diffusion $\mathcal{M}_{\bar{3}2\to\bar{1}4}(u,t)$ n'est autre que $\mathcal{M}_{12\to34}(s,t)$ où les invariants sont évalués dans la

<footnote n="3">3. On rappelle la discussion sur les propagateurs du fermion et du photon au chapitre 2.</footnote>
région physique de la réaction $\bar{3} + 2 \rightarrow \bar{1} + 4$. Cette amplitude a donc une partie imaginaire quand $u > 4m^2$, soit $s < -t$ et on a alors une deuxième coupure d'unitarité dans le plan $s$ complexe de $s < -t$ à $-l'\infty$. On dit que les réactions $\bar{3} + 2 \rightarrow \bar{1} + 4$ et $1 + 2 \rightarrow 3 + 4$ sont reliées par croisement et leur amplitude de diffusion est la même fonction analytique prise à des valeurs de $s$ différentes. Les points de branchement ne sont pas les seules singularités dans le plan des invariants complexes : si les nombres quantiques permettent la transition $\phi + \phi \rightarrow \phi$ on aura alors un pôle dans la voie $s$ à $s = m^2 - i\epsilon$ et éventuellement dans la voie $u$ si $\bar{\phi} + \phi \rightarrow \phi$ est permis : ce pôle à $u = m^2 - i\epsilon$ sera donc à $s = 3m^2 - t + i\epsilon$. On définira l'amplitude physique pour la voie $s$ comme la limite pour $\epsilon \rightarrow 0^+$ de $M(s+i\epsilon, t)$ pour $s > 4m^2$ et celle de la voie $u$ comme $M(s-i\epsilon, t)$ pour $s < 0$.

• Exemple

Le diagramme de polarisation du vide en sec. 4.1 permet d'illustrer cette discussion très simplement. On avait alors introduit le tenseur $\Pi_{\mu\nu}(q)$. Sommer sur la polarisation du photon revient à considérer :

$$-g^{\mu\nu}\Pi_{\mu\nu}(q) = 3 q^2 \Pi(q^2),$$

d'après l'éq. (4.1.13). Cette fonction n'est autre que 2 fois la transition $M_{\gamma^* \rightarrow \gamma^*}$ puisque sommé sur la polarisation du photon. Ignorant le contre-terme on avait trouvé en (4.1.18) pour la fonction scalaire :

$$\Pi(q^2) = \frac{\alpha}{3\pi} \left( \frac{1}{\epsilon} + \ln 4\pi - \gamma - \ln \frac{m^2}{\mu^2} \right) - \frac{2\alpha}{\pi} \int_0^1 dx \, x(1-x) \ln \frac{m^2 - q^2 x(1-x) - i\epsilon}{m^2}. \quad (11.1.17)$$

D'après l'éq. (4.1.25) la partie imaginaire est :

$$i \operatorname{Im}\Pi(q^2) = -\frac{2\alpha}{\pi}(-i\pi) \int_0^1 dx \, x(1-x) \Theta(q^2x(1-x) - m^2), \quad (11.1.18)$$

qui est finie. Le maximum de $x(1-x)$ dans l'intervalle $[0, 1]$ est $1/4$ de sorte la partie imaginaire sera non nulle dès que $q^2 > 4m^2$. Les racines de l'argument de la fonction $\Theta$ sont :

$$x_+ = \frac{1 + \sqrt{1 - 4m^2/q^2}}{2}, \qquad x_- = \frac{1 - \sqrt{1 - 4m^2/q^2}}{2}, \qquad (11.1.19)$$

et on peut alors exprimer la partie imaginaire du diagramme de polarisation comme :

$$\begin{aligned} -\operatorname{Im}\Pi_{\mu}^{\mu}(q) &= 6 \alpha q^2 \int_0^1 dx \, x(1-x) \Theta((x_+ - x)(x - x_-)) \\ &= \alpha \sqrt{1 - \frac{4m^2}{q^2}} (q^2 + 2m^2), \quad q^2 \ge 4m^2. \end{aligned} \quad (11.1.20)$$

D'après la discussion ci-dessus, $-\operatorname{Im}\Pi_{\mu}^{\mu}(q) = 2 \operatorname{Im}M_{\gamma^* \rightarrow \gamma^*}$ doit être égal, à un facteur de normalisation près, au taux de désintégration d'un photon virtuel en une paire de leptons, $\gamma^* \rightarrow l + \bar{l}$. On peut aisément le vérifier en calculant directement le carré de l'élément de matrice $M_{\gamma^* \rightarrow l\bar{l}} = (-ie) \epsilon^{\mu}(q) \bar{u}(l) \gamma_{\mu} v(\bar{l})$ intégré sur tout l'espace de phase des impulsions $l, \bar{l}$ finales. On trouve bien finalement, en accord avec (11.1.13), que :

$$2 \operatorname{Im} M_{\gamma^* \rightarrow \gamma^*} = \int \frac{d^3 l}{(2\pi)^3 2l_0} \frac{d^3 \bar{l}}{(2\pi)^3 2\bar{l}_0} (2\pi)^4 \delta^{(4)}(q - l - \bar{l}) \bar{\Sigma} |M_{\gamma^* \rightarrow l\bar{l}}|^2 \quad (11.1.21)$$
Le résultat éq. (11.1.20) est instructif. Il a deux parties : un facteur "dynamique", $(q^2 + 2m^2)$, qui est simplement le carré de l'élément de matrice et un facteur cinématique, $\sqrt{1 - 4m^2/q^2}$, dont l'origine est l'intégrale sur l'espace de phase qui s'annule, comme l'impulsion des particules produites, au seuil de production des particules $q^2 = 4m^2$.

## • Application : propagateur d'une particule instable

On considère une particule scalaire $\Phi$ de masse $M$ qui peut se désintégrer en deux particules plus légères $\phi$ de masse $m$, $\Phi \to \phi + \phi$ avec un couplage $-ig$. Après renormalisation le propagateur aura la forme éq. (3.1.46) :

$$ G^{(1)}(p) = i \frac{1 - \delta Z_3 + d \Pi^{\text{boucle}} / d p^2 |_{M^2}}{p^2 - M^2 - i \text{Im}\Pi^{\text{boucle}}(M^2)} \quad (11.1.22) $$

Dans cette expression on a fait la renormalisation de masse et utilisé le fait que dans tout schéma de renormalisation la singularité du propagateur est à la masse physique $M$ (voir la discussion sur l'invariance du pôle du propagateur autour de l'éq. (4.2.72)). On a aussi explicité l'éventuelle partie imaginaire de $\Pi(p^2)$ évaluée sur couche de masse. Au premier ordre de la théorie des perturbations $\Pi(p^2)$ est simplement donné par la boucle de champs $\phi$ et on trouve en utilisant les techniques du chapitre 3 :

$$ \Pi(q^2) = -\frac{g^2}{32\pi^2}(\frac{1}{\epsilon} + \ln 4\pi - \gamma) + \frac{g^2}{32\pi^2} \int_0^1 dx \ln \frac{m^2 - q^2x(1-x) - i\epsilon}{\mu^2}. \quad (11.1.23) $$

La partie imaginaire est donc (voir l'évaluation de (11.1.20)) :

$$ \text{Im}\Pi(p^2) = -\frac{g^2}{32\pi} \sqrt{1 - 4m^2/p^2}, \quad p^2 > 4m^2, \quad (11.1.24) $$

qui est bien non nulle quand $p^2 = M^2 > 4m^2$. D'après la discussion précédente cette quantité est bien reliée au taux de désintégration de la particule $\Phi$. On le vérifie facilement en calculant explicitement la largeur de désintégration de la particule $\Phi$ définie par<fnref n="4" /> :

$$ \begin{aligned} \Gamma &= \frac{1}{2M} \frac{1}{(2\pi)^2} \frac{1}{2} \int \frac{d^3 p'}{2p'_0} \Theta(p'_0) \delta^{(+)}((p-p')^2 - m^2) |M_{\Phi \to \phi\phi}|^2 \\ &= \frac{1}{2M} \frac{g^2}{16\pi} \sqrt{1 - 4m^2/M^2}. \end{aligned} \quad (11.1.25) $$

On a alors en accord<fnref n="5" /> avec l'éq. (11.1.13) :

$$ - \text{Im}\Pi(M^2) = M \Gamma $$

et le propagateur de la particule instable s'écrit finalement :

$$ G^{(1)}(p) = i \frac{1 - \delta Z_3 + d \Pi^{\text{boucle}} / d p^2 |_{M^2}}{p^2 - M^2 + i M \Gamma} \quad (11.1.26) $$

Ceci est la forme qu'on utilise, par exemple, pour les bosons de jauge $W^\pm$ et $Z$. Le pôle dans le plan complexe est déplacé par rapport à l'axe réel d'une distance proportionnelle à $-iM\Gamma$: il est à $p^2 = M^2 - iM\Gamma$ au lieu de $p^2 = M^2 - i\epsilon$ pour une particule stable.

<footnote n="4">4. On utilise le facteur de normalisation habituel $1/2M$ qui relie la largeur au carré de l'élément de matrice.</footnote>

<footnote n="5">5. Le signe $-$ vient du choix $-i\Pi(p^2)$ pour dénoter la boucle.</footnote>
## 11.2 Relations de dispersion

Si, comme c'est le cas en théorie des champs, on suppose que les seules singularités de l'amplitude de diffusion sont les pôles et les coupures et si on connaît par unitarité les discontinuités à travers les coupures, alors par le théorème de Cauchy on peut calculer la fonction complète. En effet, on peut représenter la fonction $M(s, t)$ par l'intégrale le long du petit contour orienté $C_0$ comme indiqué sur la figure :

$$ M(s,t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C_0} ds' \frac{M(s',t)}{s' - s}. \qquad (11.2.27) $$

Si $M(s, t) \to 0$ au moins comme $1/s$ quand $|s| \to \infty$ on peut déformer le contour à l'infini. Prenant l'exemple de la structure analytique de la figure 11.1 avec deux coupures et un pôle, le contour $C_1$ comprend les grands demi-cercles "à l'infini", les demi-droites le long de l'axe réel et le petit cercle autour du pôle : la contribution des demi-cercles à l'infini est nulle et l'intégrale s'écrit :

$$ \begin{aligned} M(s,t) &= \text{Rés} + \frac{1}{2\pi i} \int_{4m^2}^{\infty} ds' \frac{M(s'+i\epsilon,t) - M(s'-i\epsilon,t)}{s'-s} \\ &\quad - \frac{1}{2\pi i} \int_{-t}^{-\infty} ds' \frac{M(s'+i\epsilon,t) - M(s'-i\epsilon,t)}{s'-s} \\ &= \text{Rés} + \frac{1}{2\pi i} \int_{4m^2}^{\infty} ds' \frac{\text{Disc } M(s',t)}{s'-s} + \frac{1}{2\pi i} \int_{4m^2}^{\infty} du' \frac{\text{Disc } M_u(u',t)}{u'-u}, \end{aligned} \qquad (11.2.28) $$

où Rés est la valeur du résidu au pôle. La fonction $M_u(u, t)$ est définie comme $M(4m^2 - t - u, t)$

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>FIGURE 11.2 – Contour dans le plan s complexe, à t fixé, pour l'évaluation de la relation de dispersion. Après déformation de $C_0$ à $C_1$ le petit contour $C_1$ autour du pôle est orienté dans le sens contraire du sens trigonométrique.</figcaption></figure>

et la discontinuité d'une fonction comme $\text{Disc}f(x) = f(x + i\epsilon) - f(x - i\epsilon) = 2i\text{Im}f(x)$. Ce type
de représentation est appelé relation de dispersion. Si l'amplitude $M(s, t)$ n'est pas suffisamment convergente mais si $M(s, t)/(s-s_1)$ ($s_1$ arbitraire) l'est, on peut alors écrire la relation de dispersion pour cette dernière fonction. Cela introduit dans la relation de dispersion, lors de la déformation du contour $C_0$ en $C_1$ un nouveau pôle à $s_1$ dont le résidu n'est pas connu mais qui contribuera un terme constant à $M(s, t)$. Ce coefficient est appelé constante de soustraction et la fonction $M(s, t)$ sera connue à une constante près : cet arbitraire est l'équivalent de l'arbitraire du choix du contre-terme en théorie de la renormalisation, comme on va le voir sur l'exemple suivant.

### Application : reconstruction de la boucle en théorie scalaire

On revient à la désintégration $\Phi \to \phi + \bar{\phi}$ dont on a calculé la partie imaginaire Im$\Pi(s)$ en éq. (11.1.24). Dans le plan complexe $\Pi(s)$ a une structure simple, seulement une coupure pour $s > 4m^2$. La convergence à l'infini de Im$\Pi(s)$ n'étant pas suffisante il faut écrire la relation de dispersion avec une soustraction au point $s_1$ :

$$ \frac{\Pi(s)}{s - s_1} = \frac{\text{Rés}}{s - s_1} - \frac{1}{2\pi i} \int_{4m^2}^{\infty} ds' \frac{2i(g^2/32\pi)\sqrt{1 - 4m^2/s'}}{(s' - s)(s' - s_1)} \quad (11.2.29) $$

où Rés est le résidu arbitraire au pôle $s_1$. On fait l'intégration par partie pour faire apparaître des logarithmes de type $\ln(s' - s)$, d'où :

$$ \frac{\Pi(s)}{s - s_1} = \frac{\text{Rés}}{s - s_1} + \frac{g^2}{32\pi^2} \frac{1}{s - s_1} \int_{4m^2}^{\infty} \frac{ds'}{\sqrt{1 - 4m^2/s'}} \frac{2m^2}{s'^2} \ln \frac{s' - s}{s' - s_1}, \quad (11.2.30) $$

puisque le terme intégré s'annule aux bornes de l'intégration. Faisant le changement de variable $s' = 4m^2/z$ on arrive à :

$$ \Pi(s) = \text{Rés} + \frac{g^2}{64\pi^2} \int_0^1 \frac{dz}{\sqrt{1-z}} \ln \frac{4m^2 - zs}{4m^2 - zs_1}. \quad (11.2.31) $$

On peut choisir le paramètre arbitraire Rés de sorte que Re$\Pi(M^2) = 0$ (condition de renormalisation dans le schéma ON), et on aura alors :

$$ \Pi^{ON}(s) = \frac{g^2}{64\pi^2} \int_0^1 \frac{dz}{\sqrt{1-z}} \ln \frac{4m^2 - zs}{4m^2 - zM^2}. \quad (11.2.32) $$

On peut comparer ce résultat avec celui obtenu par calcul direct de $\Pi(s)$, éq. (11.1.23), qui est :

$$ \Pi^{ON}(s) = \frac{g^2}{32\pi^2} \int_0^1 dx \ln \frac{m^2 - sx(1-x) - i\epsilon}{m^2 - M^2x(1-x) - i\epsilon}. \quad (11.2.33) $$

Pour montrer l'équivalence des deux résultats on divise l'intervalle d'intégration en deux parties $[0, 1/2]$ et $[1/2, 1]$ et on prend comme variable d'intégration :

$$ z = 4x(1-x), \quad \text{qui a deux solutions, } x^{\pm} = \frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1-z}). \quad (11.2.34) $$

On écrit :

$$ \Pi^{ON}(s) = \frac{g^2}{32\pi^2} \int_0^{\frac{1}{2}} dx^{-} \dots + \frac{g^2}{32\pi^2} \int_{\frac{1}{2}}^{1} dx^{+} \dots, \quad (11.2.35) $$
et passant à la variable d'intégration $z$ on voit facilement que :

$$ \int_0^{\frac{1}{2}} dx^- = \frac{1}{4} \int_0^1 \frac{dz}{\sqrt{1-z}} \quad \text{et} \quad \int_0^{\frac{1}{2}} dx^+ = \frac{1}{4} \int_0^1 \frac{dz}{\sqrt{1-z}} \qquad (11.2.36) $$

ce qui mène bien au résultat recherché.

### Exercice

Reconstruire la polarisation du vide en QED dans le schéma ON à l'aide de la relation de dispersion utilisant (voir éq. (11.1.20)) :

$$ - \mathrm{Im} \Pi_{\mu}^{\mu}(s) = \alpha \sqrt{1 - \frac{4m^2}{s}} (s + 2m^2), \quad s \ge 4m^2. \qquad (11.2.37) $$

## 11.3 Diagrammes et unitarité : règles de coupure de Cutkosky

On peut donner une représentation diagrammatique simple des différents termes qui constituent le carré de l'amplitude du processus. Pour cela, on observe d'abord que le complexe conjugué de l'amplitude $M_{12 \to 3 \cdots n}$ construite à l'aide des règles de Feynman est simplement $M_{3 \cdots n \to 12}^*$ qui dénote l'amplitude où les particules 3 $\cdots n$ sont entrantes et 12 sortantes et où tous les $i$ des vertex et propagateurs sont changés en $-i$: par exemple en QED/QCD pour une amplitude de la forme $(\bar{u}(p_3)\mathcal{F}_1 u(p_1) \bar{v}(p_2)\mathcal{F}_2 v(p_4))^* = \bar{u}(p_1)\mathcal{F}_1^* u(p_3) \bar{v}(p_2)\mathcal{F}_2^* v(p_4)$ avec $\mathcal{F}_i^*$ le complexe conjugué de $\mathcal{F}_i$. Dans l'opération de conjugaison complexe une (anti-)particule entrante devient une (anti-)particule sortante et vice-versa. Du point de vue de la représentation graphique on aura donc :

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>FIGURE 11.3 – Représentation de la convolution d'une amplitude avec sa complexe conjuguée.</figcaption></figure>

Comme indiqué sur la figure, on représente la convolution du membre de droite par un diagramme où toutes les lignes internes sont connectées mais "coupées" pour indiquer qu'elles sont mises sur couche de masse : par exemple, pour une ligne fermionique d'impulsion $p_j$ dans l'état final on associe à la ligne coupée le facteur :

$$ (\not{p}_j + m) \frac{dp_j^4}{(2\pi)^3} \Theta(p_{j0}) \delta(p_j^2 - m^2) \quad \text{au lieu de} \quad \frac{i(\not{p}_j + m)}{p_j^2 - m^2 - i\epsilon} \frac{dp_j^4}{(2\pi)^4} \quad \text{pour une ligne non coupée.} $$
Le facteur $(p_j + m)$ est la somme sur les états de polarisation du fermion $j$ et

$$ \frac{dp_j^4}{(2\pi)^3} \Theta(p_{j0}) \delta(p_j^2 - m^2) \quad \text{qui n'est autre que} \quad \frac{dp_j^3}{(2\pi)^3 2|p_{j0}|}, \qquad (11.3.38) $$

est le facteur d'espace de phase associé à particule sur couche de masse d'énergie positive. Ceci est la conséquence de la relation :

$$ \mathrm{Disc} \frac{i}{p_j^2 - m^2 - i\epsilon} = 2\pi\delta(p_j^2 - m^2). \qquad (11.3.39) $$

En théorie des perturbations $F$ sera une somme de diagrammes écrits avec les règles de Feynman tandis que $F^*$ le sera en faisant la substitution $i \to -i$ dans les règles de Feynman. Il faut finalement intégrer avec la condition $(2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_1 + p_2 - p_3 - \cdots p_n)$ pour obtenir la, contribution à la partie imaginaire de l'amplitude $2 \to 2$. On a ainsi une représentation graphique de la relation d'unitarité :

$$ 2\mathrm{Im}\mathcal{M}_{12 \to 12} = \sum_n \int \left( \prod_{3 \le j \le n} \frac{dp_j^3}{(2\pi)^3 2|p_{j0}|} \right) (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_1 + p_2 - p_3 - \cdots p_n) |\mathcal{M}_{12 \to 3 \cdots n}|^2 . \quad (11.3.40) $$

• Exemple

On peut préciser la relation entre diagrammes et le calcul d'une section efficace sur un exemple simple que l'on a déjà discuté en détail au chapitre 10 : $e^+ + e^- \to \text{hadrons}$ ou plus simplement encore $\gamma^* \to \text{hadrons}$. Prenant en compte terme de Born, contributions virtuelles et réelles,

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>FIGURE 11.4 – Amplitudes de diffusion partonique au premier ordre en QCD pour le processus $\gamma^* \to \text{hadrons}$</figcaption></figure>
l'amplitude au niveau partonique est représentée en fig. 11.4 et elle sécrit :

$$ \mathcal{M} = \mathcal{M}_{(0)} + \mathcal{M}_{(1)}^{V} + \mathcal{M}_{(1)}^{R}, \qquad (11.3.41) $$

et son carré :

$$ \mathcal{M}^2 = \mathcal{M}_{(0)}^2 + 2\mathrm{Re}(\mathcal{M}_{(1)}^V \mathcal{M}_{(0)}^*) + 2\mathrm{Re}(\mathcal{M}_{(1)}^R \mathcal{M}_{(1)}^{R*}) + \dots, \qquad (11.3.42) $$

où on a, comme d'habitude, négligé les termes $\mathcal{M}_{(1)}^V \mathcal{M}_{(1)}^{V*}$ qui sont d'ordre supérieur. La convolu-

<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>FIGURE 11.5 – Carré de la somme des amplitudes de diffusion partonique au premier ordre en QCD pour le processus $\gamma^* \to \text{hadrons}$</figcaption></figure>

tion de l'amplitude virtuelle avec le terme de Born est représentée sur les deux premières lignes de la fig. 11.5 (convolution avec les diagrammes de self-énergie en première ligne et avec le vertex en deuxième) tandis que le carré des termes réels est en dernière ligne. Par construction, on voit que les deux premiers diagrammes sont complexes conjugés et leur somme est donc réelle et de même pour les troisième et quatrième et ceux de la deuxième ligne. A cet ordre de la théorie des perturbations on est conduit à considérer les diagrammes à deux boucles de deux types de topologie, correction au propagateur et correction au vertex. Pour chaque topologie, deux fois la partie imaginaire du diagramme est la somme de toutes les discontinuités c'est à dire la somme des contributions obtenues en coupant le diagramme de toutes les façons possibles en deux parties disjointes. Par définition, les contributions réelles sont obtenues en mettant toutes les lignes internes sur couche de masse et les virtuelles en gardant au moins une ligne interne non coupée. Ceci est une illustration des règles de coupure de Cutkosky<fnref n="6" /> selon lesquelles deux fois la partie imaginaire d'un diagramme est la somme

<footnote n="6">6. R.E. Cutkosky, J.Math.Phys. **1** (1960) 429; Annales Institut Poincaré Phys.Théor. **A29** 211.</footnote>
<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>FIGURE 11.6 – a) : Coupure correspondant à la contribution des termes virtuels ; b) coupure correspondant au terme réel : terme d’interférence.</figcaption></figure>

de toutes ses discontinuités.

Une présentation générale des règles de coupure a été donnée par 't Hooft et Veltman<fnref n="7" /> et on en trouve une version simple dans le livre de Le Bellac<fnref n="8" />. On va voir maintenant comment la compensation des divergences infrarouges et colinéaires peut se comprendre à l'aide des diagrammes coupés.

## 11.4 Règles de Cutkosky et compensation des divergences

On a vu au chapitre 10 par un calcul explicite la compensation des divergences infrarouges et colinéaires pour une section efficace suffisamment intégrée. Pour cela on avait effectué les intégrales sur l'espace des phases séparément pour chaque type de termes (réels et virtuels) ce qui avait nécessité de travailler en $n \neq 4$ dimensions pour donner un sens aux divergences induites par l'intégration. Dans l'approche que nous allons suivre maintenant nous regroupons la contribution des termes réels et virtuels dans un même intégrand que l'on montrera être fini dans les configurations singulières, infrarouge et/ou colinéaire. On se place dans le repère où l'impulsion du photon virtuel est $q = (Q, 0, 0, 0)$ et où l'impulsion $p$ du quark produit définit l'axe Oz de sorte que l'intégrale angulaire de $p$ donne simplement $4\pi$. On suppose les quarks de masse nulle. On considère toutes les coupures d'un diagramme d'une topologie donnée et nous appliquons cela au diagramme de type vertex. La contribution de la coupure "réelle" vient de l'interférence des deux diagrammes en $M_{(1)}^R$ de la figure 11.4, comme indiqué sur la figure 11.6-b). La cinématique pour le terme réel est définie par $\gamma^*(q) \to q(p) + \bar{q}(p') + G(k)$ et la contribution de ces termes s'écrit donc :

$$ 
\begin{align} 
\mathbf{R} &= 2\operatorname{Re} \left\{ (-ie)(ie)(-ig)(ig) \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2p} \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2k} \frac{d^3p'}{(2\pi)^3} \Theta(p'_0) \delta(p'^2) (2\pi)^4 \delta(q-p-p'-k) \right. \nonumber \\
&\qquad \left. \frac{i}{(p+k)^2+i\epsilon} \frac{-i}{(p-q)^2+i\epsilon} \operatorname{TR} \right\} \nonumber \\
&= \frac{e^2 g^2}{(2\pi)^4} \int pdp \frac{d^3k}{k} \Theta(Q-p-k) \frac{\delta((p+k-q)^2)}{(p+k)^2 (p-q)^2} \operatorname{TR} \tag{11.4.43}
\end{align} 
$$

où on fait l'intégrale sur $p'$ ainsi que celle sur les angles de $p$. Le symbole TR est simplement la trace :

$$ \mathrm{TR} = (-g^{\mu\nu})(-g^{\alpha\beta})\mathrm{Tr}[\gamma_{\beta}\not{p}\gamma_{\mu}(\not{p}+\not{k})\gamma_{\alpha}(\not{p}+\not{k}-\not{q})\gamma_{\nu}(\not{p}-\not{q})]. \quad (11.4.44) $$

<footnote n="7">7. G. 't Hooft, M.J.G.Veltman, *Diagrammar*, CERN Yellow report, https://cds.cern.ch/record/186259.</footnote>

<footnote n="8">8. Michel Le Bellac, *Des phénomènes critiques aux champs de jauge*, EDP Science, 1998.</footnote>
L'expression (11.4.43) est à comparer à la contribution des termes virtuels en a) sur la figure :

$$
\begin{align*}
\mathbf{V} &= 2\operatorname{Re} \left\{ (-ie)(ie)(-ig)(-ig) \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2p} \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{d^3p'}{(2\pi)^3} \frac{i}{(p+k)^2+i\epsilon} \Theta(p'_0) \delta(p'^2) (2\pi)^4 \delta(q-p-p') \right. \\
&\qquad \left. \frac{i}{(p+k)^2+i\epsilon} \frac{i}{(p+k-q)^2+i\epsilon} \frac{i}{k^2+i\epsilon} \operatorname{TR} \right\} \\
&= \frac{e^2 g^2}{(2\pi)^4} \int pdp d^4k \Theta(Q-p) \delta((p-q)^2) \\
&= \frac{e^2 g^2}{(2\pi)^4} \frac{1}{4} \int d^4k \left[ \frac{\delta(k^2)}{(p+k)^2(p+k-q)^2} + \frac{\delta((p+k)^2)}{k^2(p+k-q)^2} + \frac{\delta((p+k-q)^2)}{k^2(p+k)^2} \right] \operatorname{TR} \quad (11.4.45)
\end{align*}
$$

où pour obtenir les dernières lignes on utilise la relation de type :

$$
\frac{1}{p^2 - m^2 + i\epsilon} = \frac{1}{p^2 - m^2} - i\pi\delta(p^2 - m^2), \quad (11.4.46)
$$

le premier terme du membre de droite étant compris au sens de partie principale. Pour simplifier
on ignore le facteur TR, ce qui revient à considérer une théorie scalaire par exemple. On calcule
d'abord **R** en évaluant l'intégrale sur **p** grâce à la fonction $\delta((p+k-q)^2)$ qui contraint :

$$
2p = \frac{Q(Q - 2k)}{Q - k(1 - \cos \theta)}, \quad (11.4.47)
$$

et on trouve :

$$
\mathbf{R} = \frac{e^2 g^2}{(2\pi)^3} \frac{1}{4Q^2} \int \frac{dk}{k} \frac{d \cos \theta}{1 - \cos^2 \theta} \Theta(Q - p - k) \quad (11.4.48)
$$

où $\theta$ est l'angle entre $\mathbf{p}$ et $\mathbf{k}$. On évalue également facilement le premier terme de $\mathbf{V}$, proportionnel à $\delta(k^2)$ en tenant compte des deux solutions $k_0 = \pm k$ :

$$
\mathbf{V}_{k^2=0} = - \frac{e^2 g^2}{(2\pi)^3} \frac{1}{4Q^2} \int \frac{dk}{k} \frac{d \cos \theta}{1 - \cos^2 \theta} \quad (11.4.49)
$$

Combinée avec **R**, les divergences à *k* = 0 et cos θ = ±1 se compensent. En effet ces valeurs singulières des variables d'intégration sont toujours compatibles avec la contrainte de positivité de la combination *Q* − *p* − *k* dans **R**. Il est important de noter que si dans **R** le gluon a une énergie positive, *k*₀ = *k*, dans le cas de **V** il est nécessaire de prendre en compte les deux cas *k*₀ = ±*k*.
On peut montrer maintenant que les deux autres contributions de **V**, en δ((*p* + *k*)²) et δ(((*q* − *p*) + *k*)²) sont égales et chacune est finie. Par exemple, ne gardant que le terme d'espace de phase et les dénominateurs, on a :

$$
\begin{align*}
\mathbf{V}_{(p+k)^2=0} &= \frac{e^2 g^2}{(2\pi)^4} \frac{1}{4} \int d^4 k \frac{\delta((p+k)^2)}{k^2 (p+k-q)^2}, \\
&= \frac{e^2 g^2}{(2\pi)^3 8Q^2} \int k^2 dk \frac{d \cos \theta}{\sqrt{Q^2 + 4k(Q \cos \theta + k)}} \left[ \frac{1}{k_0^+(k_0^+ - k \cos \theta)} + \frac{1}{k_0^-(k_0^- - k \cos \theta)} \right],
\end{align*}
$$
où $k_0^{\pm}$ sont les solutions de la contrainte $(p+k)^2 = 0$, soit :

$$k_0^{\pm} = \frac{1}{2} \left( -Q \pm \sqrt{Q^2 + 4k(Q \cos \theta + k)} \right). \qquad (11.4.50)$$

Combinant les termes en $k_0^{\pm}$ on fait apparaître au dénominateur le facteur $(1 - \cos^2 \theta)$. Ramenant l'intégrale angulaire à l'intervalle $[0, 1]$ et faisant le changement de variable $\cos \theta = 1-z$ l'expression ci-dessus prend la forme :

$$V_{(p+k)^2=0} = \frac{e^2 g^2}{(2\pi)^3} \frac{1}{8Q^2} \int_0^\infty \frac{dk}{k} \int_0^1 \frac{dz}{z(2-z)} \frac{-2Qkz}{Q^2 - k^2} + \dots, \qquad (11.4.51)$$

où on a gardé uniquement les termes potentiellement divergents en configuration infrarouge et colinéaire. Les intégrales sont bien finies comme annoncé. Cet exemple simple est une illustration du théorème prouvé à tous les ordres par Kinoshita<fnref n="9" /> selon lequel les divergences infrarouges et colinéaires se compensent entre les coupures d'un même diagramme à condition d'intégrer sur un espace de phase suffisant.

### • Amusement

On considère la réaction $q(p_1) + \bar{q}(p_2) \rightarrow q(p_3) + q(p_4) + \bar{q}(p_5) + \bar{q}(p_6)$ de quarks identiques. Quelques diagrammes de l'amplitude de diffusion sont représentés en figure 11.7. Utilisant la représentation

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>FIGURE 11.7 –</figcaption></figure>

de la figure 11.3 pour le carré de l'amplitude, il est facile montrer que $|M_i|^2$ est le produit de trois traces, $M_1 M_2^*$ de deux traces et $M_1 M_3^*$ est constitué d'une seule trace. En effet, une fois tracés le diagramme et son complexe conjugué il suffit de connecter les lignes de même impulsion y compris celle des particules initiales ; dès qu'une ligne fermionique se ferme en boucle on obtient une trace. On suit une procédure identique pour les diagrammes d'interférence.

### • Note

Des outils ont été développés pour calculer les amplitudes à N-points dans l'approximation à une boucle, outils fondés sur l'unitarité et la connaissance des différentes coupures des diagrammes (voir, par exemple C. F. Berger, Z. Bern, L. J. Dixon et al., Phys. Rev. D78 (2008) 036003 [arXiv:08034180].)

<footnote n="9">9. T. Kinoshita, J. Math. Phys. 3 (1962) 650.</footnote>
# Chapitre 12

## Equations du groupe de renormalisation

Les équations du groupe de renormalisation sont obtenues de la façon suivante : on écrit la relation entre la fonction de Green exprimée en fonction des quantités "nues" et celle exprimée en fonction des quantités renormalisées. Imposant que la fonction de Green "nue" ne dépend pas du paramètre de masse introduit lors de la renormalisation permet d'obtenir une équation d'évolution de la fonction de Green renormalisée. C'est en fait une généralisation de l'éq. (4.4). On verra que l'équation obtenue permet de prédire le comportement asymptotique des fonction de Green et par conséquent des amplitudes (après un certain nombre de manipulations !).

Pour une théorie avec un champ $\phi$, la relation entre champ nu et renormalisé dans un schéma $R$ est :

$$ \phi_B = Z^{\frac{1}{2}}(R)\phi_R. \qquad (12.0.1) $$

Les champs renormalisés dans deux schémas $R_1$ et $R_2$ satisfont :

$$ \phi_{R_2} = Z^{\frac{1}{2}}(R_2, R_1)\phi_{R_1}, \qquad (12.0.2) $$

avec :

$$ Z(R_2, R_1) = Z(R_2)/Z(R_1) \qquad (12.0.3) $$

et on a la loi de composition évidente :

$$ Z(R_3, R_1) = Z(R_3, R_2) * Z(R_2, R_1). \qquad (12.0.4) $$

Il arrive cependant, que pour certains shémas de renormalisation, notamment les schémas MOM ("momentum subtraction scheme") ou ON ("on-shell subtraction scheme") pour une théorie massive où les facteurs $Z$ dépendent de la masse, que le produit $Z(R_4, R_3) * Z(R_2, R_1)$ ne soit pas un élément du groupe c'est à dire qu'il n'existe pas de shéma $R$ et $R'$ tel que :

$$ Z(R_4, R_3) * Z(R_2, R_1) = Z(R', R). \qquad (12.0.5) $$

Le terme de "groupe" est donc abusif dans certains cas.
## 12.1 Equations du groupe de renormalisation

Nous dériverons les équations du "groupe de renormalisation" dans le cas où les contre-termes $Z_i$ ne dépendent pas des masses mais uniquement du couplage et implicitement d'une l'échelle arbitraire introduite dans la procédure de renormalisation, ce qui est la cas dans les schémas MS ou $\overline{MS}$ appliqués à QED ou QCD que nous allons considérer maintenant. Une fonction de Green avec $n_F$ fermions massifs et $n_B$ champs de jauge externes satisfait à :

$$G_B^{(n_F, n_B)}(p_i, g_B, m_B, \varepsilon) = Z_2^{n_F/2}(g, \varepsilon) Z_3^{n_B/2}(g, \varepsilon) G^{(n_F, n_B)}(p_i, g, m, \mu), \quad (12.1.6)$$

où les $p_i$ sont les impulsions externes. $G_B^{(n_F, n_B)}$ est la fonction de Green "nue" régularisée d'où sa dépendance en $\varepsilon$, et $G^{(n_F, n_B)}$ est la fonction de Green renormalisée qui dépend du couplage $g$ et de la masse $m$ renormalisées ainsi que du paramètre $\mu$. Toutes les divergences sont contenues dans les contre-termes. Comme on a exclu toute dépendance en masse des facteurs $Z$ ils ne peuvent dépendre explicitement de $\mu$ puisqu'ils sont sans dimension. Leur dépendance en $\mu$ est implicite, via la constante de couplage renormalisée $g$. Au lieu de travailler avec les fonctions $G$ on travaille plutôt avec les fonctions de Green irréductibles à une particule que l'on dénote $\Gamma$. On peut montrer que dans ce cas la relations entre fonctions nues et renormalisées est :

$$\Gamma_B^{(n_F, n_B)}(p_i, g_B, m_B, \varepsilon) = Z_2^{-n_F/2}(g, \varepsilon) Z_3^{-n_B/2}(g, \varepsilon) \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, g, m, \mu). \quad (12.1.7)$$

$\Gamma_B$ est indépendante de l'échelle $\mu$ introduite en régularisation dimensionnelle, d'où :

$$0 = Z_2^{-n_F/2}(g, \varepsilon) Z_3^{-n_B/2}(g, \varepsilon) \left[ \mu \frac{d}{d\mu} - \frac{n_B}{2} \frac{\mu}{Z_3} \frac{dZ_3}{d\mu} - \frac{n_F}{2} \frac{\mu}{Z_2} \frac{dZ_2}{d\mu} \right] \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, g, m, \mu). \quad (12.1.8)$$

Mais la dérivée totale par rapport à $\mu$ de $\Gamma^{(n_F, n_B)}$ s'écrit explicitement :

$$\mu \frac{d}{d\mu} \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, g, m, \varepsilon) = \left[ \mu \frac{\partial}{\partial \mu} + \mu \frac{dg}{d\mu} \frac{\partial}{\partial g} + \mu \frac{dm}{d\mu} \frac{\partial}{\partial m} \right] \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, g, m, \mu). \quad (12.1.9)$$

Introduisant la fonction de Gell-Mann/Low déjà rencontrée :

$$\lim_{\varepsilon \to 0} \mu \frac{dg}{d\mu} = \lim_{\varepsilon \to 0} \beta(g, \varepsilon) = \beta(g) \quad (12.1.10)$$

et les dimensions anomales du fermion et du boson :

$$\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{2} \frac{\mu}{Z_i} \frac{dZ_i}{d\mu} = \lim_{\varepsilon \to 0} \gamma_i(g, \varepsilon) = \gamma_i(g) \quad (12.1.11)$$

et finalement :

$$\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\mu}{m} \frac{dm}{d\mu} = \lim_{\varepsilon \to 0} \gamma_m(g, \varepsilon) = \gamma_m(g). \quad (12.1.12)$$

L'équation du groupe de renormalisation devient :

$$\left[-\frac{\partial}{\partial t} + \beta(g) \frac{\partial}{\partial g} + \gamma_m(g) m \frac{\partial}{\partial m} - n_B \gamma_3(g) - n_F \gamma_2(g)\right] \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, g, m, \mu_0 e^{-t}) = 0, \quad (12.1.13)$$
où on a introduit la variable $t = -\ln(\mu/\mu_0)$ avec $\mu_0$ une échelle fixée. Pour les fonctions de Green $G^{(n_F, n_B)}$ définies comme produits chronologiques des champs qui satisfont l'éq. (12.1.6) on aura évidemment :

$$ \left[ -\frac{\partial}{\partial t} + \beta(g) \frac{\partial}{\partial g} + \gamma_m(g) m \frac{\partial}{\partial m} + n_B \gamma_3(g) + n_F \gamma_2(g) \right] G^{(n_F, n_B)}(p_i, g, m, \mu_0 e^{-t}) = 0. \quad (12.1.14) $$

On rappelle que cette forme des équations n'est valable que si les contre-termes ne dépendent pas explicitement des masses du modèle. Par exemple, elles ne seraient pas valables pour QED dans le schéma ON.

## 12.2 Calcul de la fonction $\beta$ et des dimensions anomales

Les différentes fonctions $\beta$, $\gamma_m$ et $\gamma_i$ sont facilement calculables, dans l'approximation à une boucle, à partir des résultats des chapitres précédents. On donne ici une dérivation valable à tous les ordres de la théorie des perturbations. On calcule d'abord la fonction $\beta(g)$. Pour cela on rappelle la relation déjà introduite entre couplage nu et renormalisé :

$$ g_B = Z_g(g, \varepsilon) \mu^\varepsilon g, \quad (12.2.15) $$

où le contre-terme est de la forme :

$$ Z_g(g, \varepsilon) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_g^{(n)}(g)}{\varepsilon^n} \quad (12.2.16) $$

avec $c_g^{(n)}(g)$ un polynome en $g$. Le couplage $g_B$ étant indépendant de la variable $\mu$ on obtient la relation (cf éq. (4.4.129)) :

$$ \beta(g, \varepsilon) \frac{d(gZ_g(g, \varepsilon))}{dg} + \varepsilon g Z_g(g, \varepsilon) = 0. \quad (12.2.17) $$

On recherche $\beta(g, \varepsilon)$ sous la forme $\beta(g, \varepsilon) = \beta(g) + \beta_1(g) \varepsilon + \cdots$ que l'on injecte dans l'équation ci-dessus et on annule les coefficients des termes en puissance (positive, nulle ou négative) de $\varepsilon$. On trouve que seuls les deux premiers termes du développement de $\beta(g, \varepsilon)$ sont non nuls et que :

$$ \beta_1(g) = -g; \qquad \beta(g) = g^2 \frac{d c_g^{(1)}(g)}{dg}; \qquad \frac{d c_g^{(n+1)}(g)}{dg} = \frac{d c_g^{(1)}}{dg} \frac{d (g c_g^{(n)})}{dg}. \quad (12.2.18) $$

Une remarque importante est que la fonction $\beta$ est entièrement donnée par le résidu au pôle simple du développement en $1/\varepsilon$ de $Z_g(g, \varepsilon)$ et, d'autre part, les résidus des pôles multiples sont calculables à partir du résidu au pôle simple.

On procède de la même façon pour les dimensions anomales. Si on écrit

$$ Z_i = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_i^{(n)}(g)}{\varepsilon^n}, \quad (12.2.19) $$
et on injecte ce développement dans la définition de la dimension anomale il vient

$$ \gamma_i(g) = -\frac{1}{2} g \frac{d c_i^{(1)}(g)}{d g}; \qquad \frac{1}{2} g \frac{d c_i^{(n+1)}}{d g} = \frac{1}{2} \beta(g) \frac{d c_i^{(n)}}{d g} - \gamma_i(g) c_i^{(n)}. \qquad (12.2.20) $$

Comme la fonction $\beta$, la dimension anomale est entièrement donnée par le residu au pôle simple du développement en $1/\epsilon$ du contre terme $Z_i(g, \epsilon)$ correspondant. Finalement pour $\gamma_m$ on trouve (les notations sont évidentes) :

$$ \gamma_m(g) = g \frac{d c_m^{(1)}(g)}{d g}. \qquad (12.2.21) $$

### • Note

En QED/QCD le développement perturbatif fait intervenir la carré de la constante de couplage $g^2$ ou, plutôt, $\alpha = g^2/4\pi$. Les contre-termes sont de la forme :

$$ Z_i = 1 + \sum_{n=1} \frac{c_i^{(n)}(\alpha)}{\epsilon^n}, \qquad (12.2.22) $$

et la relation entre couplage nu et renormalisée est notée :

$$ \alpha_B = Z_\alpha \mu^{2\epsilon} \alpha. \qquad (12.2.23) $$

L'opérateur de dérivation est $\mu^2/d\mu^2$ au lieu de $\mu/d\mu$. Ainsi on définit les fonctions :

$$ \beta(\alpha) = \mu^2 \frac{d\alpha}{d\mu^2}; \qquad \gamma_i(\alpha) = \frac{1}{2} \frac{\mu^2 d Z_i}{d\mu^2}; \qquad \gamma_m(\alpha) = \frac{\mu^2}{m^2} \frac{d m^2}{d\mu^2}, \qquad (12.2.24) $$

et, par analogie avec le raisonnement précédent ($g \to \alpha, \mu \to \mu^2$), on en déduit facilement :

$$ \beta(\alpha) = \alpha^2 \frac{d c_{\alpha}^{(1)}(\alpha)}{d \alpha}; \quad \gamma_i(\alpha) = -\frac{1}{2} \alpha \frac{d c_i^{(1)}(\alpha)}{d \alpha}; \quad \gamma_m(\alpha) = \alpha \frac{d c_m^{(1)}(\alpha)}{d \alpha}. \qquad (12.2.25) $$

Explicitement, en QED au premier ordre, d'après le résultats du chapitre 3, on trouve (jauge de Feynman, $N_L$ saveurs de leptons) :

$$ \beta(\alpha) = \frac{N_L}{3\pi} \alpha^2; \quad \gamma_3(\alpha) = -\frac{N_L}{3\pi} \alpha, \text{ photon}; \quad \gamma_2(\alpha) = -\frac{1}{4\pi} \alpha, \text{ fermion}; \quad \gamma_m(\alpha) = -\frac{3}{2\pi} \alpha, \qquad (12.2.26) $$

Pour QCD, des expressions similaires peuvent facilement être obtenues à partir des résultats du chapitre 8, par exemple pour $N_F$ saveurs de quarks, on a :

$$ \beta(\alpha_s) = -\frac{33 - 2 N_F}{12 \pi} \alpha_s^2. \qquad (12.2.27) $$

### • Remarque

En sec. 4.4, on avait donné une dérivation de la fonction $\beta$ au premier ordre non trivial de la théorie des perturbations, qui reposait sur un développement tel que $1/(1+c\alpha) \sim 1-c\alpha$. Dans la demonstration ci-dessus, valable à tous les ordres, on voit qu'il n'est pas nécessaire d'avoir recours à cette approximation.
12.3 Solution des équations du groupe de renormalisation

On cherche d'abord la solution générale de l'équation homogène<fnref n="1" /> :

$$ \left[ -\frac{\partial}{\partial t} + \beta(g) \frac{\partial}{\partial g} + \gamma_m(g) m \frac{\partial}{\partial m} \right] \Gamma(p_i, g, m, \mu_0 e^{-t}) = 0 \qquad (12.3.28) $$

Pour simplifier l'écriture on note l'opérateur de dérivation entre crochets dans l'équation ci-dessus par :

$$ \mathcal{D} = -\frac{\partial}{\partial t} + \beta(g) \frac{\partial}{\partial g} + \gamma_m(g) m \frac{\partial}{\partial m}. \qquad (12.3.29) $$

On rappelle que $g$ et $m$ sont les paramètres renormalisés à une échelle $t = 0$ particulière. On va voir que la dépendance en $\mu$, ou de façon équivalente en $t$, de la fonction de Green renormalisée $\Gamma^{(n_F, n_B)}$ apparaît seulement implicitement par l'intermédiaire de deux fonctions $\bar{g}(t, g)$ et $\bar{m}(t, g, m)$ ap- pelées respectivement couplage (ou charge) mobile ("running coupling") et masse mobile ("running mass"). La première est définie implicitement par :

$$ t = \int_g^{\bar{g}(t,g)} \frac{dx}{\beta(x)} \qquad (12.3.30) $$

et la deuxième est donnée par :

$$ \bar{m}(t, g, m) = m \exp \left( \int_g^{\bar{g}(t,g)} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_m(x) \right) \qquad (12.3.31) $$

Dérivant ces deux équations par rapport à $t$ on obtient :

$$ \frac{\partial \bar{g}(t, g)}{\partial t} = \beta(\bar{g}) \qquad (12.3.32) $$

$$ \frac{\partial \bar{m}(t, g, m)}{\partial t} = m \exp \left( \int_g^{\bar{g}(t,g)} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_m(x) \right) \frac{\partial \bar{g}(t, g)}{\partial t} \frac{\gamma_m(\bar{g})}{\beta(\bar{g})} $$

soit :

$$ \frac{\partial \bar{m}(t, g, m)}{\partial t} = \bar{m}(t, g, m) \gamma_m(\bar{g}), \qquad (12.3.33) $$

avec comme conditions initiales ($t = 0, \mu_0 = \mu$) :

$$ \bar{g}(0, g) = g; \qquad \bar{m}(0, g, m) = m. \qquad (12.3.34) $$

La charge mobile $\bar{g}$ et la masse mobile $\bar{m}$ satisfont à une équation différentielle en $t$ avec la condition initiale d'être respectivement égales à la charge $g$ et la masse $m$ renormalisées au point $t = 0$. Si on dérive maintenant l'éq. (12.3.30) par rapport à $g$ il vient :

$$ \frac{\partial \bar{g}}{\partial g} \frac{1}{\beta(\bar{g})} - \frac{1}{\beta(g)} = 0, \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial \bar{g}}{\partial t} = \beta(g) \frac{\partial \bar{g}}{\partial g} \qquad (12.3.35) $$

<footnote n="1">1. L.V. Ovsyannikov, Doklady Akademii Nauk SSSR 01/1956</footnote>
qui exprime que $\bar{g}$ ne dépend pas explicitement de $t$. On peut ré-écrire cette équation :

$$ \mathcal{D} \bar{g}(t, g) = 0, \qquad (12.3.36) $$

puisque $\bar{g}$ ne dépend pas de $m$. De même pour la masse mobile :

$$ \begin{aligned} \frac{\partial \bar{m}}{\partial g} &= \bar{m} \left( \frac{\partial \bar{g}}{\partial g} \frac{\gamma_m(\bar{g})}{\beta(\bar{g})} - \frac{\gamma_m(g)}{\beta(g)} \right) \\ &= \frac{\bar{m}}{\beta(g)} (\gamma_m(\bar{g}) - \gamma_m(g)), \end{aligned} \qquad (12.3.37) $$

où on a utilisé l'éq. (12.3.36). Cette équation est équivalente à :

$$ \mathcal{D} \bar{m}(t, g, m) = 0, \qquad (12.3.38) $$

que l'on établit facilement à l'aide de (12.3.33) et de l'identité $\gamma_m \bar{m} = \gamma_m m(\partial \bar{m}/\partial m)$. La présence du terme en $\gamma_m$ dans l'équation d'évolution de $\bar{m}$ est due au fait que la masse a une dimension, alors qu'un tel terme est absent de l'évolution de $\bar{g}$. On note maintenant que toute fonction $\Gamma(p_i, \bar{g}(t, g), \bar{m}(t, g, m), \mu_0)$ (attention aux arguments !) de la charge et de la masse mobiles satisfait à l'équation (12.3.28). En effet :

$$ \mathcal{D} \Gamma(p_i, \bar{g}(t, g), \bar{m}(t, g, m), \mu_0) = \frac{\partial \Gamma}{\partial \bar{g}} \mathcal{D} \bar{g} + \frac{\partial \Gamma}{\partial \bar{m}} \mathcal{D} \bar{m} = 0, \qquad (12.3.39) $$

par les deux équations ci-dessus. De plus cette fonction est égale à $\Gamma(p_i, g, m, \mu_0)$ à $t = 0$.

### • Solution de l'équation inhomogène

On la recherche sous la forme :

$$ \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, g, m, \mu_0 e^{-t}) = \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, \bar{g}, \bar{m}, \mu_0) \exp \left( -n_3 \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_3(x) - n_2 \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_2(x) \right). \qquad (12.3.40) $$

On peut vérifier que cette fonction satisfait à :

$$ (\mathcal{D} - n_2 \gamma_2(g) - n_3 \gamma_3(g)) \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, g, m, \mu_0 e^{-t}) = 0 \qquad (12.3.41) $$

qui est équivalente à l'éq. (12.1.13).

#### Preuve

$$ (\mathcal{D} - n_i \gamma_i(g)) \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, \bar{g}, \bar{m}, \mu_0) \exp \left( -n_i \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_i(x) \right) = \left\{ [\mathcal{D} \Gamma^{(n_F, n_B)}] - n_i \left\{ [\mathcal{D} \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_i(x)] + \gamma_i(g) \right\} \Gamma^{(n_F, n_B)} \right\} \exp \left( -n_i \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_i(x) \right). $$

Le premier terme du membre de droite est nul du fait de l'équation (12.3.39). Le deuxième terme entre $\{\cdots\}$ est également nul puisque

$$ \begin{aligned} [\mathcal{D} \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_i(x)] + \gamma_i(g) &= [\mathcal{D} \bar{g}] \frac{\gamma_i(\bar{g})}{\beta(\bar{g})} - [\mathcal{D} g] \frac{\gamma_i(g)}{\beta(g)} + \gamma_i(g) \\ &= -\gamma_i(g) + \gamma_i(g) \end{aligned} \qquad (12.3.42) $$
car $\mathcal{D}\bar{g} = 0$ et $\mathcal{D}g = \beta(g)$. La relation (12.3.40) relie la fonction de Green renormalisée exprimée en fonction des paramètres renormalisés $g, m$ à l'échelle $t = 0$ à la fonction de Green renormalisée (la même fonction) exprimée en fonction des paramètres $\bar{g}(t, g)$ et $\bar{m}(t, g, m)$ correspondant à l'échelle $\mu e^t$. On peut ainsi l'écrire :

$$ \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, g, m, \mu) = \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, \bar{g}, \bar{m}, \mu e^t) \exp \left( -n_3 \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_3(x) - n_2 \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_2(x) \right). \quad (12.3.43) $$

L'évolution des masse et couplage mobiles assure que les prédicitions physiques ne dépendent pas du choix de $t$, c'est à dire du point de renormalisation.

## 12.4 Applications

Les équations RGE peuvent être utilisées pour prouver l'invariance des quantités physiques. Dans le cadre de notre discussion, nous travaillons dans les schémas $MS$ ou $\overline{MS}$ et l'arbitraire du schéma de renormalisation est paramétré par l'échelle $\mu$. On retrouvera ainsi, de façon générale, divers résultats déjà obtenus de façon artisanale.

### • Invariance de la masse physique, pôle du propagateur

On a vu que le propagateur renormalisé avait la forme, pour un fermion par exemple,

$$ S_F^R(p, g, m, \mu) = \frac{i \mathcal{Z}^R}{\not{p} - m_{\text{pôle}} + i\epsilon}, \quad (12.4.44) $$

où (voir éq. (4.2.64) à (4.2.66) pour QED) $m_{\text{pôle}} = m_R(1 + \Sigma_0^R)$ est ce qui reste, dépendant de $\mu$, après le choix des contre-termes de fonction d'onde et de masse, et $\mathcal{Z}^R = 1 + \Sigma_1^R$ est le résidu au pôle. On a :

$$ \mathcal{D} S_F^R = \frac{i \mathcal{D} \mathcal{Z}^R}{\not{p} - m_{\text{pôle}} + i\epsilon} + \frac{i \mathcal{Z}^R \mathcal{D} m_{\text{pôle}}}{(\not{p} - m_{\text{pôle}} + i\epsilon)^2} \quad (12.4.45) $$

Mais le propagateur satisfait à une équation de type (12.1.14) :

$$ [\mathcal{D} + 2 \gamma_2(g)] S_F^R = 0. \quad (12.4.46) $$

Substituant à $\mathcal{D}S_F^R$ dans l'éq. (12.4.45) son expression donnée par (12.4.46) on voit que le membre de gauche de (12.4.45) est un pôle simple. Égalant les résidus des pôles du même ordre, on obtient pour le pôle simple :

$$ [\mathcal{D} + 2 \gamma_2(g)] \mathcal{Z}^R = 0. \quad (12.4.47) $$

et pour le pôle double :

$$ \mathcal{D} m_{\text{pôle}} = 0, \quad (12.4.48) $$

qui est le résultat recherché. On note dans la suite cette masse "$m_{\text{phys}}$", puisque, par définition, le pôle du propagateur est la masse physique de la particule. Cela est justifié parcequ'elle est indépendente du schéma de renormalisation.
• Invariance des amplitudes de diffusion

On considère pour simplifier la fonction de Green à n-points d'une théorie scalaire renormalisée
dans le shéma R, soit $G^{(n)}(p_i, g, m, \mu)$ qui satisait donc à l'équation de type :

$$
[\mathcal{D} + n \gamma_2(g)] G^{(n)} = 0 \qquad (12.4.49)
$$

L'élément de matrice de diffusion s'obtient en tronquant la fonction de Green des propagateurs externes :

$$
\mathcal{M}(p_i, g, m, \mu) = \lim_{p_i^2 \to m_{\text{phys}}^2} \prod_i^n \left( \frac{p_i^2 - m_{\text{phys}}^2}{i \mathcal{Z}^{\mathcal{R}}} \right) \mathcal{Z}^{\mathcal{R}n/2} G^{(n)}(p_i, g, m, \mu). \quad (12.4.50)
$$

On montre facilement par application des équations (12.4.47), (12.4.49) et prenant note de l'inva-
riance de la masse physique sous l'opérateur $\mathcal{D}$ que :

$$
\mathcal{D} \mathcal{M}(p_i, g, m, \mu) = \mu \frac{d \mathcal{M}(p_i, g, m, \mu)}{d \mu} = 0, \quad (12.4.51)
$$

et donc que l'élément de matrice est indépendant de l'échelle arbitraire $\mu$. D'autre part, il satisfait
l'équation homogène de type (12.3.28). Si le calcul de cet élément dans un schéma de renormalisa-
tion avec couplage et masse définis à l'échelle $\mu$, s'écrit $\mathcal{M}(p_i, g, m, \mu)$, alors son expression dans un
schéma à l'échelle $\mu e^t$ sera la même fonction mais avec couplage et masse mobiles (voir la discussion
après l'éq. (12.3.42)), $\mathcal{M}(p_i, \bar{g}(t, g), \bar{m}(t, g, m), \mu e^t)$.

• Où il est question de jauge

Dans toute la discussion précédente on a omis le fait que les fonctions de Green pouvaient dépendre
du paramètre de jauge ξ normalisant le terme de cassure de jauge − (∂$^{µ}$A$_{µ}$ ) $^{2}$/ 2 ξ dans la densité
lagrangienne. On peut prouver, dans les schémas de type MS ou MS, l'indépendance de jauge de
la fonction β. On exprime que le couplage nu, g$_{B}$ = µ $^{ε}$Z$_{g}$ g, est indépendant de ξ, ce qui permet
d'écrire

$$
\frac{d Z_g}{d \xi} g + Z_g \frac{d g}{d \xi} = 0. \tag{12.4.52}
$$

Injectant dans cette relation le développement en 1/ε de Zg dans un schéma de type MS :

$$
Z_g = 1 + \frac{a_1(g, \xi)}{\varepsilon} + \frac{a_2(g, \xi)}{\varepsilon^2} + \dots, \quad (12.4.53)
$$

et égalant les termes constant d'une part, et les résidus aux différents pôles d'autre part, on trouve :

$$
\boxed{\frac{dg}{d\xi} = 0} \qquad \frac{da_1(g, \xi))}{d\xi} = 0. \tag{12.4.54}
$$

Le couplage *g* est donc indépendant du paramètre ξ et, par conséquent *β*(*g*) = *μd* *g*/*d* *μ* l'est aussi.
On prouve de la même façon l'indépendance des *γ*<sub>*i*</sub>(*g*) et *γ*<sub>*m*</sub>(*g*).
## 12.5 Comportement asymptotique des fonctions de Green

La discussion précédente permet d'obtenir l'évolution des fonctions de Green lorsque l'on modifie l'échelle de renormalisation $\mu$. On va voir que ce résultat peut être utilisé pour obtenir le comportement d'une fonction de Green, dans un schéma de renormalisation fixé, quand on dilate toute les impulsions du processus considéré par un même facteur $p_i \to \lambda p_i$. C'est à dire que l'on va relier $\Gamma^{(n)}(\lambda p_i, \dots, \mu)$ à $\Gamma^{(n)}(p_i, \dots, \mu)$. Pratiquement, ce résultat est très intéressant puisque cela permet de faire des prédicitions pour de nombreux processus. Par exemple, le processus $e^+ e^- \to \text{hadrons}$ où plutôt $\gamma^* \to \text{hadrons}$ est donné par la partie imaginaire de $\Gamma^{(n_F=0,n_B=2)}(q, g, \mu)$ et on pourra obtenir son comportement quand $q^2 \to \infty$. La diffusion inélastique profonde implique la fonction $\Gamma^{(n_F=2,n_B=2)}(p, q, g, \mu)$ où $p$ est l'impulsion du parton et $q$ celle du photon virtuel entrants : on pourra alors étudier son comportement quand $p \to \lambda p$, $q \to \lambda q$, c'est à dire quand $pq \to \lambda^2 pq$, $q^2 \to \lambda^2 q^2$ tels que la variable de Bjorken $x = -q^2/2pq$ est fixée, ce qui est le cas dans les expériences.

Les fonctions de Green sont des fonctions homogènes de degré, exprimé en masse, $D$. C'est à dire, si on mesure toutes les quantités dimensionnées (impulsions, masses) par rapport à l'échelle $\mu$ on a

$$ \Gamma^{(n_F, n_B)}(\lambda p_i, m, g, \mu) = \mu^D \gamma^{(n_F, n_B)}(\lambda \frac{p_i}{\mu}, \frac{m}{\mu}, g), \quad (12.5.55) $$

qui explicite la dimension en masse de $\Gamma^{(n_F, n_B)}$, la fonction $\gamma^{(n_F, n_B)}$ étant sans dimension puisque toutes ses variables le sont. En dérivant par rapport à $\lambda$ on a :

$$ \lambda \frac{\partial \gamma^{(n_F, n_B)}}{\partial \lambda} = \lambda \frac{p_i}{\mu} \frac{\partial \gamma^{(n_F, n_B)}}{\partial (\lambda p_i / \mu)}, \quad (12.5.56) $$

et par rapport à $\mu$ :

$$ \mu \frac{\partial \gamma^{(n_F, n_B)}}{\partial \mu} = - \left( \lambda \frac{p_i}{\mu} \frac{\partial}{\partial (\lambda p_i / \mu)} + \frac{m}{\mu} \frac{\partial}{\partial (m / \mu)} \right) \gamma^{(n_F, n_B)} \quad (12.5.57) $$

Combinant les deux équations on obtient :

$$ \left( \mu \frac{\partial}{\partial \mu} + \lambda \frac{\partial}{\partial \lambda} + m \frac{\partial}{\partial m} \right) \gamma^{(n_F, n_B)} = 0, \quad (12.5.58) $$

qui relie la variation en $\lambda$, facteur de changement d'échelle, à celle en $\mu$. Revenant à la fonction de Green $\Gamma^{(n_F, n_B)}$ on a :

$$ \begin{aligned} -\frac{\partial}{\partial t} \Gamma^{(n_F, n_B)}(\lambda p_i, m, g, \mu) &= \mu \frac{\partial}{\partial \mu} \Gamma^{(n_F, n_B)} = \mu^D \left( D + \mu \frac{\partial}{\partial \mu} \right) \gamma^{(n_F, n_B)} \\ &= \left( D - \lambda \frac{\partial}{\partial \lambda} - m \frac{\partial}{\partial m} \right) \Gamma^{(n_F, n_B)} \end{aligned} \quad (12.5.59) $$

Combinant cette dernière équation avec l'équation du groupe de renormalisation (12.1.13) pour éliminer le terme en $\mu \partial/\partial\mu$ on a finalement :

$$ \left[ -\lambda \frac{\partial}{\partial \lambda} + \beta(g) \frac{\partial}{\partial g} + (\gamma_m(g) - 1) m \frac{\partial}{\partial m} - n_B \gamma_3(g) - n_F \gamma_2(g) + D \right] \Gamma^{(n_F, n_B)}(\lambda p_i, g, m, \mu) = 0, \quad (12.5.60) $$
qui est l'équation recherchée. On peut la résoudre comme on l'a fait précédemment pour l'éq. (12.1.13) ou bien se rappeler la solution éq. (12.3.43) :

$$ \Gamma^{(n_F, n_B)}(e^t p_i, g, m, \mu) = \Gamma^{(n_F, n_B)}(e^t p_i, \bar{g}, \bar{m}, \mu e^t) \exp \left( -n_3 \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_3(x) - n_2 \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_2(x) \right). \quad (12.5.61) $$

et utilisant la propriété de $\Gamma^{(n_F, n_B)}$ sous la dilatation des impulsions et des masses :

$$ \Gamma^{(n_F, n_B)}(e^t p_i, g, m, \mu) = \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, \bar{g}, \bar{m}, \mu) \exp \left( t D - n_3 \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_3(x) - n_2 \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_2(x) \right), \quad (12.5.62) $$

où $\bar{m} = e^{-t} \bar{m}$, qui relie la fonction de Green définie dans le même shéma de renormalisation mais évaluée à des valeurs des impulsions différentes. On note que pour une théorie de masse nulle est sans interaction on a simplement :

$$ \Gamma^{(n_F, n_B)}(e^t p_i, \mu) = e^{tD} \Gamma^{(n_F, n_B)}(p_i, \mu), \quad (12.5.63) $$

mais pour une théorie renormalisable avec interaction la dimension de la fonction est affectée et on a :

$$ t D \rightarrow t D - n_3 \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_3(x) - n_2 \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma_2(x), \quad (12.5.64) $$

d'où le nom de dimension anomale donnée aux fonctions $\gamma_i(g)$. Cette modification du comportement vient de la nécessité d'introduire une échelle de masse dans la procédure de renormalisation. Le comportement asymptotique des fonctions de Green est contrôlé par la fonction $\beta(g)$, donc le couplage mobile, et les fonctions $\gamma_i(g)$.

## 12.6 Comportement asymptotique du couplage mobile

Se reportant à l'éq. (12.3.32) qui donne l'évolution du couplage mobile en fonction de l'échelle on voit que, si $\beta(\bar{g})$ (qui est proportionnel à une puissance du couplage) est positif comme c'est le cas en QED, le couplage croît avec $t$ tandis qu'il décroit dans le cas contraire, comme en QCD par exemple. Au premier ordre de la théorie des perturbations, valable quand le couplage est petit, on peut donc tracer les graphes suivants, $\beta(\bar{g})$ en fonction de $\bar{g}$ qui indique également le sens de variation du couplage quand l'échelle varie.

<figure><img src="image_102.png" /></figure>

<figure><img src="image_103.png" /></figure>
On voit qu'en QED, $\bar{g}$ décroît quand $t$ décroît et tend asymptotiquement vers $0$: $g=0$ est un point fixe dans l'infrarouge car la dérivée du couplage tend vers $0$ quand $t \to -\infty$ et donc le couplage devient constant (nul). En revanche en QCD, $g=0$ est un point fixe ultraviolet puisque le couplage et sa dérivée tendent vers $0$ quand $t \to \infty$.

Pour étudier le comportement de la fonction $\beta(\bar{g})$ lorsque le couplage devient grand, il faut aller aux ordres plus élevés de la théorie des perturbations. Si la fonction croît ou décroît de façon monotone le couplage devient éventuellement trop grand (cas de QCD dans l'infrarouge et QED aux énergies plus que cosmologiques) et la théorie des perturbations cesse d'être valable. Dans certains modèles les cas dans les figures ci-dessous peuvent se produire où la fonction $\beta(\bar{g})$ s'annule pour une valeur $g^*$ :

<figure><img src="image_104.png" /></figure>

Dans la figure de gauche $g^*$ est un point fixe ultraviolet puisque, quelque soit le point de départ de l'évolution, $g_1$ ou $g_2$, un accroissement de l'échelle $t$ conduit le couplage effectif au point $g^*$, tandis que l'origine est un point fixe infrarouge. Pour la figure de droite, le même raisonnement montre que $g^*$ est un point fixe infrarouge et l'origine un point fixe ultraviolet.

## 12.7 Violation d'invariance d'échelle

Se tournant maintenant vers l'étude d'une fonction de Green, on considère pour simplifier une fonction d'un seul champ de masse nulle (voir éq. (12.5.62)) :

$$ \Gamma^{(n)}(e^t p_i, g, \mu) = \Gamma^{(n)}(p_i, \bar{g}, \mu) \exp \left( t D - n \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma(x) \right), \quad (12.7.65) $$

Après intégration de l'éq. (12.3.32) on peut écrire :

$$ \begin{aligned} t D - n \int_g^{\bar{g}} \frac{dx}{\beta(x)} \gamma(x) &= t D - n \int_0^t dt' \gamma(\bar{g}(t')) \\ &= t(D - n \gamma(g^*)) - n \int_0^t dt' [\gamma(\bar{g}(t')) - \gamma(g^*)], \end{aligned} \quad (12.7.66) $$

où on a introduit la valeur de la dimension anomale au point fixe $g^*$. Plusieurs cas sont possibles.
• $\gamma(g^*) = 0$ et $\int_0^t dt' [\gamma(\bar{g}(t')) - \gamma(\bar{g}^*)]$ est fini quand $t \to \infty$ :

$$ 
\begin{aligned}
\Gamma^{(n)}(e^t p_i, g, \mu) &\sim \Gamma^{(n)}(p_i, \bar{g}, \mu) e^{t D} \\
&\sim \Gamma^{(n)}(p_i, \bar{g}, \mu) \lambda^D,
\end{aligned} 
\qquad (12.7.67) 
$$

et on retrouve la loi de dilatation naïve qui n’est donc pas modifiée par l’interaction, le facteur $\int_0^t dt' [\gamma(\bar{g}(t')) - \gamma(\bar{g}^*)]$ ne contribuant pas à la dépendance en $t$;

• $\gamma(g^*) = 0$ et $\int_0^t dt' [\gamma(\bar{g}(t')) - \gamma(\bar{g}^*)]$ est non borné quand $t \to \infty$. Un cas typique est QED dans l'infrarouge ou QCD dans l'ultraviolet. Par exemple on a :

$$ \gamma(\bar{g}) = \gamma_0 \bar{g}^2, \quad \beta(\bar{g}) = \beta_0 \bar{g}^3 \qquad (12.7.68) $$

d'où

$$ \int_0^t dt' [\gamma(\bar{g}(t')) - \gamma(\bar{g}^*)] = \frac{\gamma_0}{\beta_0} \int_g^{\bar{g}} \frac{dg'}{g'} = \frac{\gamma_0}{\beta_0} \ln \frac{\bar{g}}{g}, \qquad (12.7.69) $$

et l’on a donc :

$$ 
\begin{aligned}
\Gamma^{(n)}(e^t p_i, g, \mu) &= \Gamma^{(n)}(p_i, \bar{g}, \mu) e^{t D - n \frac{\gamma_0}{\beta_0} \ln \frac{\bar{g}}{g}} \\
&= \Gamma^{(n)}(p_i, \bar{g}, \mu) e^{t D} \left( \frac{\bar{g}}{g} \right)^{-n \frac{\gamma_0}{\beta_0}}
\end{aligned} 
\qquad (12.7.70) 
$$

et on a une violation logarithmique de la loi d'échelle naïve puisque $\bar{g}^2/g^2 = (1 - 2\beta_0 g^2 t)^{-1}$. C'est le comportement que l'on avait obtenu pour la fonction de structure de l'inélastique profond (voir éqs. (9.1.17) et/ou (9.1.32)) dans le cadre du modèle des partons;

• $\gamma(g^*) \neq 0$ : on a alors :

$$ \Gamma^{(n)}(e^t p_i, g, \mu) \sim \Gamma^{(n)}(p_i, \bar{g}, \mu) e^{t D + n \gamma(g^*)}, \qquad (12.7.71) $$

et dans ce cas, on a une violation en puissance de la loi naïve de dilation accompagnée ou non d'une violation logarithmique selon la valeur de l'intégrale $\int_0^t dt' [\gamma(\bar{g}(t')) - \gamma(\bar{g}^*)]$.

L'approche ci-dessus est utilisée pour étudier la violation d'invariance d'échelle des fonctions de stucture dans la diffusion inélastique profonde : c'est une alternative à l'approche fondée sur le modèle des partons naïf présentée dans le chapitre précédent mais elle est beaucoup plus rigoureuse mais également plus lourde à mettre en œuvre. On part de la transformée de Fourier de la fonction $W_{\mu\nu}(P, q)$ (produit de courants hadroniques) définie en sec. (6.2.2) que l'on développe en produits d'opérateurs sur le cône de lumière : les coefficients de ce développement sont les "coefficients de Wilson" susceptibles d'un traitement perturbatif via les équations du groupe de renormalisation tandis que les opérateurs contiennent la partie non-perturbative (équivalent des distributions partoniques à $Q_0^2$). Il est intéressant de remarquer que si dans l'approche "modèle des partons naïf" la violation d'invariance d'échelle reflète la structure infra-rouge de la théorie, dans l'approche "groupe de renormalisation" cette même violation en est la conséquence du comportement ultraviolet. Comme ils disent à l'IN2P3, "les deux infinis" se rejoignent !
# Chapitre 13

## Modèle des partons amélioré et
applications.

Le modèle des partons amélioré par les corrections QCD s'applique à d'autres processus que le DIS et le mécanisme de Drell-Yan, pourvu que ces processus mettent en jeu des échelles de masse ou des impulsions de transfert importantes. On revient d'abord sur le cas de la production de paires de leptons dans les collisions hadroniques par le mécanisme de Drell-Yan, qui a joué un rôle fondamental dans la découverte des bosons de jauge W et Z au CERN dans les années 80 et dans la découverte d'un boson qui a toutes les caractéristiques du boson de Higgs en 2012, toujours au CERN. On passera ensuite en revue la production de photons directs à grande impulsion transverse et la production de gerbes hadroniques ("jets") dans les collisions hadroniques. Ces différents processus sont utiles pour déterminer avec précision la distribution des quarks et des gluons dans les hadrons ainsi que la valeur de Λ, la constante fondamentale des interactions fortes. Nous ne considérerons pas ici la production de saveurs lourdes pour laquelle le modèle des partons s'applique aussi, ni les réactions de photoproduction qui jouent un rôle très important à HERA. Le fait que les innombrables observables mesurées dans toutes les réactions ci-dessus, et d'autres, sont en accord avec QCD perturbatif au NLO est une formidable preuve de la validité expérimentale de la théorie. Les physiciens espèrent cependant trouver, un jour, une déviation entre théorie et expérience ce qui serait une preuve de nouvelle physique!

On présentera les différents processus dans le cadre de l'approximation des logarithmes dominants ("leading order" LO) et au delà des logarithmes dominants ("next-to-leading order" NLO) et on discutera quelques applications phénoménologiques. Comme on le verra l'approximation des logarithmes dominants est, au mieux qualitative, et la discussion phénoménologique n'est en fait justifiée que si les expressions sont calculées au delà des logarithmes dominants.

### 13.1 Processus de Drell-Yan

Dans notre étude précédente du processus Drell-Yan nous avions construit la section efficace à l'ordre dominant et au delà de l'ordre dominant pour le processus $hadron + hadron \rightarrow \gamma^{*} + X$ ce
qui n'est pas vraiment une observable physique puisque le photon virtuel ne peut être observé que par ses produits de désintégration. On considère ici la réaction $hadron + hadron \rightarrow l^{+} + l^{-} + X$ où la paire de leptons chargés est le produit de désintégration du photon virtuel et où on intègre sur la masse du système leptonique $l^{+}l^{-}$ dans un certain intervalle. Le modèle des partons s'applique quand la masse invariante $Q$ de la paire de leptons produite est grande car, alors, le photon virtuel de genre temps a un haut pouvoir de résolution et il peut "voir" les constituants des hadrons A, B. D'après l'hypothèse du modèle des partons on écrit la section efficace de production sous la forme

<figure><img src="image_105.png" /></figure>

$$ \frac{d\sigma}{dQ^2} = \sum_q \int dx_1 dx_2 (F_{q/A}(x_1)F_{\bar{q}/B}(x_2) + F_{\bar{q}/A}(x_1)F_{q/B}(x_2)) \frac{d\hat{\sigma}^{q\bar{q}}}{dQ^2} \quad (13.1.1) $$

où les $F_{i/H}$ sont les fonctions de structure et où on doit sommer sur toutes les saveurs de quarks dans les hadrons A et B.

### Calcul de la section efficace partonique

Il faut calculer l'amplitude de diffusion $q(p_1) + \bar{q}(p_2) \rightarrow l(l_1) + \bar{l}(l_2)$ :

$$ \mathcal{M}_0^{\gamma*} = -ie^2 e_q \bar{v}(p_2) \gamma_{\mu} u(p_1) \frac{1}{\hat{s}} \bar{u}(l_1) \gamma^{\mu} v(l_2) \quad (13.1.2) $$

où la charge du quark $q$ est mesurée par rapport à celle du proton. Son carré sommé et moyenné sur hélicités et couleurs est,

$$ \bar{\Sigma} |\mathcal{M}_0^{\gamma*}|^2 = \frac{2}{N} e^4 e_q^2 \frac{\hat{t}^2 + \hat{u}^2}{\hat{s}^2}, \quad (13.1.3) $$

avec $\hat{s} = 2p_1 \cdot p_2$, $\hat{t} = -2p_1 \cdot l_1$, $\hat{u} = -2p_1 \cdot l_2$. Puisque la section efficace $d\hat{\sigma}^{q\bar{q}}/dQ^2$ est un invariant de Lorentz on peut la calculer dans n'importe quel repère. On choisit celui du centre de masse du système $q\bar{q}$ où :

$$ p_1 = (\sqrt{s}/2, 0_{\perp}, \sqrt{s}/2), \quad p_2 = (\sqrt{s}/2, 0_{\perp}, -\sqrt{s}/2), \quad l_1 = (\sqrt{s}/2, \sin\theta\sqrt{s}/2, 0, -\cos\theta\sqrt{s}/2). \quad (13.1.4) $$

On a alors :

$$ \begin{aligned} \frac{d\hat{\sigma}^{q\bar{q}}}{dQ^2} &= \frac{1}{2\hat{s}} \int \frac{d^3 l_1}{2l_1} \frac{d^3 l_2}{2l_2} (2\pi)^{-2} \delta^{(4)}(p_1 + p_2 - l_1 - l_2) \bar{\Sigma} |\mathcal{M}_0|^2 \delta(\hat{s} - Q^2) \\ &= \frac{\pi \alpha^2 e_q^2}{N} \frac{1}{2\hat{s}} \int d\cos\theta (1 + \cos^2\theta) \delta(\hat{s} - Q^2) \\ &= \frac{4\pi\alpha^2 e_q^2}{3Q^2\hat{s} N} \delta(1 - \frac{Q^2}{\hat{s}}). \end{aligned} \quad (13.1.5) $$
(On rappelle que $\alpha = e^2/4\pi$.)

• Section efficace hadronique dans l'approximation des logarithme dominants

Dans le repère du centre de masse AB les impulsions des partons incidents sont

$$ 
\begin{aligned}
p_1 &= (x_1\sqrt{s}/2, 0_\perp, x_1\sqrt{s}/2) \\
p_2 &= (x_2\sqrt{s}/2, 0_\perp, -x_2\sqrt{s}/2)
\end{aligned} 
\qquad \Rightarrow \quad \hat{s} = x_1x_2 s. \qquad (13.1.6) 
$$

La section efficace hadronique éq. (13.1.1) s'écrit alors :

$$ \frac{d\sigma}{dQ^2} = \frac{4\pi\alpha^2}{3Q^2s} \frac{1}{N} \sum_q \int \frac{dx_1}{x_1} \frac{dx_2}{x_2} \delta\left(1 - \frac{\tau}{x_1x_2}\right) e_q^2 \left[ F_{q/A}(x_1)F_{\bar{q}/B}(x_2) + F_{\bar{q}/A}(x_1)F_{q/B}(x_2) \right] \quad (13.1.7) $$

où on a introduit la variable sans dimension $\tau$ (dénotée $x$ dans le chapitre sur la violation d'invariance d'échelle) :

$$ \tau = \frac{Q^2}{s}. $$

On note la similarité de forme entre cette équation et celle ultra simplifiée de l'éq. (9.3.133) : la seule différence est le préfacteur devant l'intégrale qui tient maintenant compte de la désintégration du photon virtuel en leptons chargés. Il est instructif d'étudier la variation en $\tau$ de la section efficace qui est simplement donnée par :

$$ s \frac{d\sigma}{d\tau} = \frac{4\pi\alpha^2}{3\tau} \frac{1}{N} \sum_q \int \frac{dx_1}{x_1} \frac{dx_2}{x_2} \delta\left(1 - \frac{\tau}{x_1 x_2}\right) e_q^2 \left[ F_{q/A}(x_1) F_{\bar{q}/B}(x_2) + F_{\bar{q}/A}(x_1) F_{q/B}(x_2) \right] \quad (13.1.8) $$

Cette expression, à $\tau$ fixé est indépendante de l'énergie $\sqrt{s}$. Elle présente donc la propriété d'invariance d'échelle, ce qui expérimentalement n'est pas vérifié. Si on prend en compte les corrections QCD, c'est-à-dire si on inclut les diagrammes de type

<figure><img src="image_106.png" /></figure>

dans l'approximation des logarithmes dominants, les seuls changements sont, on l'a vu, $F_{i/H}(x) \to F_{i/H}(x, Q^2)$, fonctions que l'on peut en principe mesurer dans les réactions de l'inélastique profond, et on a

$$ s \frac{d\sigma}{d\tau} = \frac{4\pi\alpha^2}{3\tau} \frac{1}{N} \sum_q \int \frac{dx_1}{x_1} \frac{dx_2}{x_2} \delta\left(1 - \frac{\tau}{x_1 x_2}\right) e_q^2 \left[ F_{q/A}(x_1, Q^2) F_{\bar{q}/B}(x_2, Q^2) + F_{\bar{q}/A}(x_1, Q^2) F_{q/B}(x_2, Q^2) \right] \quad (13.1.9) $$
On peut alors prédire $s d\sigma/d\tau$ dont la dépendance en $Q^2$ est la conséquence de la violation d'invariance d'échelle des fonctions de structure. Si on étudie la variation de $s d\sigma/d\tau$ à $\tau$ fixé quand $s$ augmente, la seule chose qui change dans l'équation ci-dessus est la valeur de $Q$ car $Q^2 = x_1x_2s$ augmente : on prédit alors que, pour $\tau$ suffisamment grand (ou de façon équivalente des $x_i$ suffisamment grands comme dans le cas des expériences sur cibles fixes), $s d\sigma/d\tau$ décroit à cause de la décroissance des $F_{q/H}(x, Q^2)$ et ceci est en accord avec l'expérience.

On peut également étudier une section efficace "moins intégrée" et fixer, par exemple, la rapidité de la paire de leptons définie par ($q = p_1 + p_2$),

$$y = \frac{1}{2} \ln \frac{q^0 + q^z}{q^0 - q^z} = \frac{1}{2} \ln \frac{x_1}{x_2} \qquad (13.1.10)$$

Revenant à l'équation (13.1.7) il vient :

$$\begin{aligned} \frac{d\sigma}{dQ^2dy} &= \frac{4\pi\alpha^2}{3Q^2s} \frac{1}{N} \int \frac{dx_1}{x_1} \frac{dx_2}{x_2} \delta\left(1 - \frac{\tau}{x_1x_2}\right) \delta\left(\frac{1}{2}\ln\frac{x_1}{x_2} - y\right) \sum_q e_q^2 [\dots] \\ &= \frac{4\pi\alpha^2}{3Q^2s} \frac{1}{N} \int \frac{dx_1}{x_1} \delta\left(\frac{1}{2}\ln\frac{x_1^2}{\tau} - y\right) \sum_q e_q^2 [\dots]_{x_2=\frac{\tau}{x_1}}, \end{aligned}$$

d'où (puisque $x_1 = \sqrt{\tau}e^y$, $x_2 = \sqrt{\tau}e^{-y}$)

$$\frac{d\sigma}{dQ^2dy} = \frac{4\pi\alpha^2}{3Q^2s} \frac{1}{N} \sum_q e_q^2 \left[ F_{q/A}(\sqrt{\tau}e^y, Q^2) F_{\bar{q}/B}(\sqrt{\tau}e^{-y}, Q^2) + F_{\bar{q}/A}(\sqrt{\tau}e^y, Q^2) F_{q/B}(\sqrt{\tau}e^{-y}, Q^2) \right] \qquad (13.1.11)$$

qui n'implique aucune intégrale dans le membre de droite. En principe $F_{q/p}$, $F_{\bar{q}/p}$ sont mesurables en DIS. En pratique $F_{\bar{q}/p}$ n'est pas obtenu avec précision dans DIS puisque l'on mesure $F_{q/p} + F_{\bar{q}/p}$ avec $F_{q/p}$ grand et $F_{\bar{q}/p}$ petit (pour des valeurs de $x$ suffisamment grandes). Dans les collisions proton–proton la section efficace Drell-Yan peut être et est utilisée pour contraindre la distribution des antiquarks et en étudiant un domaine $\tau, y$ suffisamment grand on peut en principe mesurer $F_{\bar{q}/p}(x, Q^2)$ point par point. Au contraire dans $p\bar{p} \to \gamma^* \to l^+l^-$, comme au Tevatron, la section efficace peut être prédite avec précision car elle ne dépend essentiellement que de la distribution des quarks dans le proton puisque

$$F_{\bar{q}/\bar{p}} \sim F_{q/p} \gg F_{\bar{q}/p} \sim F_{q/\bar{p}}.$$

Aux énergies de Fermilab et du LHC on produit par ce mécanisme les bosons de jauge chargés $W^+$ (resp. $W^-$) par annihilation d'une paire quark-antiquark $u\bar{d}$, $c\bar{s}$ (resp. $d\bar{u}$, $s\bar{c}$) ou le boson neutre $Z^0$ par annihilation $u\bar{u}$, $d\bar{d}$, $s\bar{s}$ ou $c\bar{c}$. Pour la production d'une paire de leptons chargés de grande masse, la production peut se faire par l'intermédiaire d'un photon virtuel ou d'un $Z$ et dans ce cas l'amplitude partonique doit inclure la somme cohérente des deux amplitudes. L'amplitude de diffusion pour la production du boson $Z$ s'écrit<fnref n="1" /> :

$$M_0^Z = ie^2 \bar{v}(p_2)\gamma_\mu (v_q - a_q\gamma_5)u(p_1) \frac{1}{\hat{s} - m_Z^2 + im_Z\Gamma_Z} \bar{u}(l_1)\gamma^\mu (v_l - a_l\gamma_5)v(l_2), \qquad (13.1.12)$$

<footnote n="1">1. Voir la section (11.1) pour une discussion sur la forme du propagateur.</footnote>
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>FIGURE 13.1 – Section efficace Drell-Yan dans les collisions pp à 7 TeV, au LHC, normalisée à la section efficace de production du Z, en fonction de la masse de la paire de leptons (Collaboration CMS, JHEP 10 (2011), 007, [arXiv:1108.0566]). La prédiction théorique est calculée au NNLO.</figcaption></figure>

et calculant le module au carré de $M_0^{\gamma*} + M_0^Z$, on trouve pour la section partonique (on suppose les quarks de masse nulle) :

$$ \frac{d\hat{\sigma}^{q\bar{q}}}{dQ^2} = \frac{4\pi\alpha^2}{3Q^2\hat{s}} \frac{1}{N} \left[ e_q^2 + (a_l^2 + a_{\bar{l}}^2)(v_q^2 + a_q^2) \frac{Q^4}{(Q^2 - m_Z^2)^2 + \Gamma_Z^2 m_Z^2} - 2e_q v_l v_q \frac{Q^2(Q^2 - m_Z^2)}{(Q^2 - m_Z^2)^2 + \Gamma_Z^2 m_Z^2} \right] \delta\left(1 - \frac{Q^2}{\hat{s}}\right), \quad (13.1.13) $$

où la deuxième ligne représente le terme d’interférence Z-photon virtuel qui s’annule, comme il se doit au pôle du Z. Les paramètres $a_q, v_q, a_l, v_l$ sont les couplages axiaux et vecteurs du boson Z au quark et au lepton, de l’ordre de grandeur de la charge e. On obtiendra la section efficace hadronique en substituant à $e_q^2$, dans l’éq. (13.1.7), l’expression entre crochets ci-dessus. Le spectre en $Q^2$ du dilepton a une forme caractéristique : à petites valeurs, $Q^2 \ll m_Z^2$ ($m_Z \approx 91$ GeV), la production est dominée par le photon virtuel, le premier terme de l’équation (13.1.13) ; au contraire pour $Q^2 \sim m_Z^2$, c’est le deuxième terme qui domine à cause du facteur d’accroissement $m_Z^2/\Gamma_Z^2 \approx (91/2, 5)^2 \approx 1300$,
<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>FIGURE 13.2 – Spectre en masse invariante dielectron (haut) et dimuon (bas) dans les collisions proton-proton à 8 TeV (collaboration ATLAS, arXiv:1405.4123) comparé à la somme de tous les fonds standards ; on montre également l’empreinte d’un hypothétique boson Z’ de 1,5 TeV et 2,5 TeV ; pour chaque figure le diagramme du bas montre le rapport données sur fond attendu.</figcaption></figure>

d'où le pic observé dans la figure 13.1 ; à grande valeur de $Q^2$ on retrouve la décroissance en $Q^2$ de la section efficace partonique.

• Au delà des logarithme dominants

Pour obtenir la distribution $s d\sigma/dQ^2$ à ce niveau d'approximation il faudra, dans l'éq. (13.1.7),
faire la substitution

$$ \delta\left(1 - \frac{\tau}{x_1 x_2}\right) \rightarrow \delta\left(1 - \frac{\tau}{x_1 x_2}\right) + \frac{\alpha_s(Q^2)}{2\pi} f_{q\bar{q}}\left(\frac{\tau}{x_1 x_2}\right) \qquad (13.1.14) $$

et ajouter les termes proportionnels à la distribution du gluon comme indiqué dans l'éq. (9.3.159). Les coefficients sont donnés en (9.3.154) et (9.3.155) si les distributions partoniques sont définies dans le schéma $\overline{MS}$ avec l'échelle de factorisation $Q^2$. On voit que la section de production d'une paire de Drell-Yan acquiert une faible sensibilité à la distribution du gluon dans le hadron puisqu'elle est d'ordre $\alpha_s$. La section efficace Drell-Yan mesurée par la collaboration CMS est montrée en fig. 13.1 : elle couvre un domaine cinématique considérable, $15 < \sqrt{Q^2} [GeV] < 1500$, pour une variation de la section efficace de huit ordres de grandeur : l'accord avec la théorie au "next-to-next-to-leading logarithm" (c'est à dire incluant les corrections d'ordre $\alpha_s^2$) est remarquable. Le pic du Z à $m_Z = 91,1876$ GeV, $\Gamma_Z = 2,4952$ GeV, reflète la structure du terme de Born en $1/((Q^2 - m_Z^2)^2 + m_Z^2 \Gamma_Z^2)^2$ associé à la production du boson de jauge dans la voie s.

## Applications

Une fois la validité du Modèle Standard établie pour cette distribution, le spectre de dileptons chargés peut être utilisé pour la recherche d'un nouveau boson de jauge comme illustré sur la fig. 13.2. La partie en bleu est la contribution du processus Drell-Yan proprement dit, qui domine nettement les autres mécanismes produisant des paires de leptons comme par exemple la production d'une paire de bosons $W^+W^-$, $W^\pm Z$, $ZZ$ ou la production et désintégration leptonique ou semi leptonique d'une paire de quarks top. Les extensions du Modèle Standard sont fondées sur des groupe de jauge plus étendus auquels sont associés de nouveaux bosons de jauge : ainsi une extension simple dite "supersymétrique minimale" (MSSM) contient un boson neutre $Z'$ de masse très élevée qui, dans le spectre dilepton, donnerait les pics de distributions apparents à droite sur les figures. Visiblement un boson $Z'$ de masse de 1,5 TeV est exclu par les données actuelles (2014). Une analyse statistique détaillée montre que, dans le cadre du modèle MSSM, on peut exclure avec un degré de confiance de 95% un boson neutre de masse inférieures à 2,7 TeV.

D'autre part, c'est par un mécanisme de type Drell-Yan mais impliquant l'annihilation de deux gluons, gluon + gluon → Higgs → $\gamma + \gamma$, que l'on a mis en évidence en 2012 au LHC le fameux boson de Higgs, dont il ne fallait pas alors dire qu'il était LE boson de Higgs tant qu'on aurait pas montré expérimentalement que ses divers rapports d'embranchement sont ceux du Modèle Standard. Le mécanisme de production, au niveau de Born, est schématisé par le diagramme suivant

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

où les gluons sont couplés au boson de Higgs via une boucle de quarks top virtuels. Le boson est détecté par ses produits de désintégration : bien que la voie Higgs → b+b soit dominante le boson
<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>FIGURE 13.3 – Section efficace de production du boson de Higgs dans les collisions au LHC, sur un fond de paires photon – photon (Collaboration CMS arXiv :1407.0558, Collaboration ATLAS, arXiv :1406.3827).</figcaption></figure>

a été mis en évidence dans la voie $H \to \gamma+\gamma$ pour laquelle le fonds est bien moindre tout en restant considérable comme on le voit sur les figures 13.3, produites par les collaborations CMS et ATLAS : on mesure la difficulté de l'analyse pour extraire le signal (courbe rouge) du fond. La grande largeur du "pic" du Higgs ne reflète pas la largeur de la résonance mais l'incertitude expérimentale sur l'énergie et la position des photons. D'autres observables, moins inclusives, peuvent être mesurées, par exemple Higgs + jets qui permettent de tester le mécanisme de production plus finement. Le boson de Higgs a également été observé dans d'autres voies de désintégration comme Higgs $\to Z + Z^* \to 4$ leptons et de production. Une analyse combinée ATLAS + CMS<fnref n="2" /> des voies $H \to \gamma\gamma$ et $H \to ZZ^* \to 4$ leptons permet d'estimer la masse du Higgs avec précision :

$$m_H = 125,09 \pm 0,24(\text{stat.}) \pm 0,11(\text{syst.}). \qquad (13.1.15)$$

## 13.2 Production de photons directs à grands transferts

Le processus considéré ici est la réaction $A B \to \gamma X$, où X représente les hadrons produits non observés. Au niveau partonique, il faut calculer les diffusions $qg \to \gamma q$, $\bar{q}g \to \gamma \bar{q}$ (diffusion de type Compton) et $q\bar{q} \to \gamma g$ (annihilation) qui ont la représentation diagrammatique suivante,

<footnote n="2">2. ATLAS et CMS collaborations, arXiv:1503.07589.</footnote>
<figure><img src="image_111.png" /></figure>

On considère le cas où le photon est produit à grande impulsion transverse.

• Cinématique

Si on dénote $P_1$ et $P_2$ l'impulsion des hadrons incidents tels que $2P_1 \cdot P_2 = s$, $p_1$ et $p_2$ celle des partons correspondants et $k$ celle du photon dans l'état final on a dans le repère du collisionneur :

$$p_1 = \frac{\sqrt{s}}{2}(x_1, 0, 0, x_1)$$

$$p_2 = \frac{\sqrt{s}}{2}(x_2, 0, 0, -x_2)$$

$$k = (k_T \cosh y, \vec{k}_T, k_T \sinh y)$$

avec $y_γ = y = \frac{1}{2} \ln \frac{k^0+k^z}{k^0-k^z}$, la rapidité du photon et $k_T$ son impulsion transverse. Le choix impulsion transverse et rapidité pour contrôler la cinématique du photon est naturel, la variable $k_T$ jouant le rôle de l'échelle dure de la réaction. Les variables de Mandelstam au niveau partonique sont :

$$\hat{s} = x_1 x_2 s \geq 4 k_T^2$$

$$\hat{u} = (p_1 - p)^2 = (p_2 - k)^2 = -2p_2 \cdot k = -x_2 \sqrt{s} k_T e^y$$

$$\hat{t} = (p_2 - p)^2 = (p_1 - k)^2 = -2p_1 \cdot k = -x_1 \sqrt{s} k_T e^{-y}$$

tandis que les variables de Mandelstam hadroniques sont :

$$s = 2P_1 \cdot P_2$$

$$u = -2P_2 \cdot k = -\sqrt{s} k_T e^y$$

$$t = -2P_1 \cdot k = -\sqrt{s} k_T e^{-y}$$

Pour $\sqrt{s}$, $k_T$ grands, $\hat{s}$, $\hat{t}$ et $\hat{u}$ sont grands et le quark échangé a une grande virtualité $\hat{s}$, $\hat{t}$ ou $\hat{u}$ : il joue le rôle du photon virtuel à grand $Q^2$ dans l'inélastique profond. Le quark a un haut pouvoir de résolution et on se trouve donc dans le domaine de validité du modèle des partons.

**Digression** : Pour une particule de quadri-impulsion $k$ on distingue la rapidité :

$$y = \frac{1}{2} \ln \frac{k^0 + k^z}{k^0 - k^z} \qquad (13.2.16)$$

de la pseudo-rapidité :

$$\eta = \frac{1}{2} \ln \frac{|\vec{k}| + k^z}{|\vec{k}| - k^z} = - \ln \left( \tan \frac{\theta}{2} \right). \qquad (13.2.17)$$

Pour une particule de masse nulle les deux se confondent. Du point expérimental l'avantage de la pseudorapidité pour une particule massive tient au fait qu'elle ne fait intervenir qu'une mesure de
l'angle polaire $\theta$ et non la mesure des coordonnées de l'impulsion moins précises.

## • Le modèle des partons amélioré

L'élément d'intégration invariant s'écrit :

$$ \frac{dk^3}{k^0} = dk_T^2 dy = 2\pi k_T dk_T dy, \qquad (13.2.18) $$

où, dans la dernière égalité, on a utilisé le fait que la réaction a une symétrie azimutale par rapport à l'axe de la collision. La section hadronique inclusive est donnée par

$$ \frac{k^0 d\sigma}{dk_T^2 dy} = \frac{d\sigma}{dk_T^2 dy} = \sum_{i,j} \int dx_1 dx_2 F_{i/A}(x_1, k_T^2) F_{j/B}(x_2, k_T^2) \frac{d\hat{\sigma}^{ij}}{dk_T^2 dy}, \qquad (13.2.19) $$

où l'on a inclus les corrections QCD à l'approximation des logarithmes dominants et on a choisi $k_T$ comme échelle de factorisation dans les fonctions de structure. Pour construire la section partonique différentielle, on part de

$$ \begin{aligned} \frac{d\hat{\sigma}^{ij}}{dk_T^2 dy} &= \frac{1}{2\hat{s}} \frac{1}{2} \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{d^3 p}{2p^0} \delta^{(4)}(p_1 + p_2 - p - k) \bar{\Sigma} |M|_{ij}^2 \\ &= \frac{1}{\hat{s}} \delta(\hat{s} + \hat{t} + \hat{u}) \frac{1}{(4\pi)^2} \bar{\Sigma} |M|_{ij}^2 \end{aligned} \qquad (13.2.20) $$

où

$$ \delta(\hat{s} + \hat{t} + \hat{u}) = \frac{1}{s} \delta(x_1 x_2 - x_1 x_T e^{-y} - x_2 x_T e^y) $$

avec $x_T = k_T / \sqrt{s}$. Si on substitue l'éq. (13.2.20) dans la section hadronique éq. (13.2.19), on trouve :

$$ \frac{d\sigma}{dk_T^2 dy} = \frac{1}{s(-t)} \sum_{i,j} \int_{x_1^{\min}}^{1} \frac{dx_1}{x_1^2} F_{i/A}(x_1, k_T^2) F_{j/B}(x_2, k_T^2) \frac{1}{(4\pi)^2} \bar{\Sigma} |M|_{ij}^2 $$

avec la contrainte :

$$ x_2 = \frac{x_1 x_T e^{-y}}{x_1 - x_T e^y}. $$

Les conditions aux limites sont :

1. $x_2 \le 1 \Rightarrow x_1^{\min} = x_T e^y / (1 - x_T e^{-y})$ qui ne dépend que des variables externes;

2. $x_1^{\min} \le 1 \Rightarrow y_{\text{ext}} = \ln \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x_T} \pm \sqrt{\frac{1}{x_T^2} - 4} \right)$, les valeurs extrêmes de la rapidité.

## • Dynamique

Les éléments de matrice invariants correspondant aux diagrammes ci-dessus sont donnés par (voir
éqs. (7.6.164) et (7.6.165)) :

$$ \begin{aligned} \frac{1}{(4\pi)^2} \bar{\Sigma} |M|_{q\bar{q}}^2 &= e_q^2 \alpha \alpha_s(k_T^2) 2 \frac{c_F}{N} \left( \frac{\hat{t}}{\hat{u}} + \frac{\hat{u}}{\hat{t}} \right) \\ &= e_q^2 \alpha \alpha_s(k_T^2) \frac{8}{9} \left( \frac{x_1 e^{-y} - x_T}{x_T} + \frac{x_T}{x_1 e^{-y} - x_T} \right) \end{aligned} \quad (13.2.21) $$

$$ \begin{aligned} \frac{1}{(4\pi)^2} \bar{\Sigma} |M|_{G(x_1)q(x_2)}^2 &= e_q^2 \alpha \alpha_s(k_T^2) \frac{1}{N} \left( \frac{\hat{s}}{-\hat{u}} + \frac{-\hat{u}}{\hat{s}} \right) \\ &= e_q^2 \alpha \alpha_s(k_T^2) \frac{1}{3} \left( \frac{x_1 e^y}{x_T} + \frac{x_T}{x_1 e^y} \right). \end{aligned} \quad (13.2.22) $$

On a choisi pour l'échelle de renormalisation la même que celle de factorisation, soit $k_T$.

## • Phénoménologie

La section efficace différentielle s'écrit finalement :

$$ \begin{aligned} \frac{d\sigma}{dk_T^2 dy} ={}& \alpha \alpha_s(k_T^2) \frac{1}{s^2} \frac{e^{-y}}{x_T} \sum_q e_q^2 \int \frac{dx_1}{x_1^2} \left\{ F_{q/A}(x_1, k_T^2) F_{\bar{q}/B}(x_2, k_T^2) \frac{8}{9} \left( \frac{x_1 e^{-y} - x_T}{x_T} + \frac{x_T}{x_1 e^{-y} - x_T} \right) \right. \\ & \left. + F_{G/A}(x_1, k_T^2) (F_{q/B}(x_2, k_T^2) + F_{\bar{q}/B}(x_2, k_T^2)) \frac{1}{3} \left( \frac{x_1 e^y}{x_T} + \frac{x_T}{x_1 e^y} \right) \right. \\ & \left. + [A, x_1] \leftrightarrow [B, x_2] \right\}. \end{aligned} \quad (13.2.23) $$

Elle est proportionnelle à $\alpha_s$ et la comparaison avec les données expérimentales permet de contraindre fortement le couplage QCD. Ceci est à contraster avec l'inélastique profond où, dans l'expression de $F_2(x, Q^2)$, le couplage $\alpha_s$ n'entre qu'au niveau des corrections NLO, ou dans l'évolution de la violation d'invariance d'échelle :

$$ \frac{dF_2}{d \ln Q^2}(x, Q^2) = \frac{\alpha_s(Q^2)}{2\pi} \int_x^1 \frac{dz}{z} F_2(z, Q^2) P_{qq}(\frac{x}{z}), \quad (13.2.24) $$

Pour faciliter la discussion phénoménologique on introduit une notation simplifiée et on écrit symboliquement la section efficace hadronique de production de photons :

$$ d\sigma \sim \alpha \alpha_s (q \otimes \bar{q} \ d\sigma^{q\bar{q}} + G \otimes (q + \bar{q}) \ d\sigma^{Gq}), $$

où $q, \bar{q}$ et $G$ dénotent respectivement la distribution des quarks, antiquarks et gluons dans le proton. On a vu dans le chapitre sur les violations d'invariance d'échelle dans le proton que la distribution de quarks se décompose en quarks de valence et quarks matelots (quarks de la mer), $q = q_v + q_s$, et que $\bar{q} = q_s = \bar{q}_s \ll q_v$ (voir fig. 9.3) au moins pour des valeurs de $x > 0,05$ : ce domaine couvre toutes les données des expériences sur la production de photon jusqu'à l'énergie du Tevatron puisque, typiquement $x_i \ge x_T \ge 0,1$. Dans les collisions proton-proton, le processus de type Compton $G+q \to \gamma+q$ représente environ 90% de la contribution à la section différentielle. En effet le processus d'annihilation $q+\bar{q} \to \gamma+G$ est considérablement affaibli du fait de la suppression de la distribution d'antiquarks matelots dans le proton. On a alors avec une bonne approximation

$$ d\sigma^{pp} \sim \alpha \alpha_s G \otimes q \ d\sigma^{Gq}, $$
<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>FIGURE 13.4 – A gauche : différence des spectres inclusifs de photon dans les collisions $\bar{p}p$ et $pp$ à 24 GeV et détermination de $\alpha_s$ ; à droite : spectres inclusifs de photon dans les collisions $\bar{p}p$ et $pp$ à 24 GeV et détermination de la distribution du gluon (Collaboration UA6). La valeur de $\Lambda_{\overline{\text{MS}}}^{(4)}$ citée dans ces figures préliminaires est compatible avec celle de l’analyse finale mentionnée dans le texte où $\Lambda_{\overline{\text{MS}}}^{(4)} = 210 \pm 22$ (stat.) $\pm 44$ (syst.) MeV.</figcaption></figure>

qui permet de conclure que les collisions proton-proton sont très sensibles à la distribution du gluon contrairement au DIS où le gluon apparaît au NLO. Dans le cas de la diffusion $\bar{p}p$, au contraire, les deux mécanismes ont un poids similaire. Il est alors intéressant, comme l'a fait la collaboration UA6 au CERN de mesurer le spectre de photon inclusif dans les collisions antiproton-proton et proton-proton et de considérer la différence

$$d\sigma^{\bar{p}p-pp} \sim \alpha\alpha_s q_v \otimes q_v d\sigma^{q\bar{q}}$$

qui fait intervenir seulement la convolution des quarks de valence dans le proton et antiquarks de valence dans l'antiproton<fnref n="3" />. Dans le domaine couvert par l'expérience, $\sqrt{s} = 24$ GeV, $x_i > 0,35$, la distribution des quarks de valence est bien mesurée dans la diffusion DIS et $d\sigma^{\bar{p}p-pp}$ permet alors une mesure indépendante de $\alpha_s$ comme l'a montré UA6 en 1999, pour trouver une valeur de $\alpha_s(m_Z) = 0,112 \pm 0,0016$ (stat.) $\pm 0,0033$ (syst.) tout à fait en acord avec la détermination actuelle citée en éq. (8.2.67). Cela est illustré par la fig. 13.4 (à gauche). Le couplage $\alpha_s$ ainsi déterminé, la réaction $pp \to \gamma X$ paraît donc idéale pour ajuster la distribution du gluon comme cela est illustré par la figure de droite.

En fait, il est intéressant de discuter un peu plus précisément la corrélation entre la détermination de $\alpha_s(Q^2)$ et celle de la distribution du gluon $xG(x, Q^2)$ dans le proton. Dans DIS la fonction $F_2(x, Q^2)$ est mesurée très précisément mais le gluon y apparaît comme un terme correctif (voir éq. (9.1.25)) et il n'est donc pas très contraint surtout aux grandes valeurs de $x$. Quant à $\alpha_s$ il est

<footnote n="3">3. UA6 Collaboration, M. Werlen et al., Phys.Lett. B452 (1999), 201 ; voir aussi Phys.Lett. B436 (1998), 222.</footnote>
<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>FIGURE 13.5 – Exemples de diagrammes réels à inclure pour le calcul de la section efficace de production d'un photon.</figcaption></figure>

proportionnel aux violations d'invariance d'échelle et grâce au grand domaine en $Q^2$ disponible il est relativement bien déterminé. Pour la production de photons directs dans les collisions p p, la section efficace est proportionnelle à $\alpha_s(Q^2) \otimes G(Q^2)$. Si on choisit comme paramétrage initial<fnref n="4" /> $xG(x, Q_0^2) \approx (1-x)^{c_g}$ on a évidemment une corrélation forte entre le paramètre $c_g$ et $\Lambda_{MS}$ : si $c_g$ augmente (gluon plus "mou") alors la section efficace décroît et pour compenser $\alpha_s$ doit augmenter donc $\Lambda_{MS}$ aussi. On voit donc qu'une détermination précise de $\Lambda_{MS}$ sera très utile pour contraindre le gluon dans d'autres observables telle que la production de photon direct ou de jets. De plus, combinant des expériences à plusieurs énergies permettra de sonder le gluon pour différents domaines de x. Cette discussion illustre comment, en combinant différentes données on peut déconvoluer le rôle des paramètres de la théorie et obtenir avec une relativement bonne précision un ensemble de distributions partoniques au NLO<fnref n="5" />.

• **Production de photons dans l'approximation au delà des logarithmes dominants**

Bien que présentée dans le formalisme LO, l'étude phénoménologique ci-dessus a été menée au NLO où apparaît une complication supplémentaire peu importante aux expériences sur cibles fixes mais qu'il faut traiter correctement aux énergies des collisionneurs Fermilab et LHC. La figure 13.5 montrent quelques diagrammes "réels" d'ordre supérieur : ceux de la première ligne sont obtenus en greffant un gluon supplémentaire sur les diagrammes de Born tandis que ceux de la deuxième ligne correspondent à des états initiaux nouveaux tels que $qq$ et $GG$. Pour certains de ces diagrammes le photon est rayonné par un quark produit à grande impulsion transverse. Ces derniers conduisent, dans la section efficace, à une singularité logarithmique, quand le quark devient colinéaire au photon, lors de l'intégration sur l'espace de phase des partons finals à une impulsion du photon fixée. Ceci a été discuté en détail en sec. 10.3.2 où on a calculé le taux $d\hat{\Gamma}_1^G/dz$ de production d'un gluon colinéaire à un quark. Ici cette singularité est d'origine purement électromagnétique et perturbative, mais elle joue le rôle de la composante non-perturbative de l'émission d'un hadron par un parton. Elle est absorbée dans la définition d'une fonction de fragmentation d'un quark en

<footnote n="4">4. La normalisation de la distribution du gluon est fixée par une règle de somme : la somme des impulsions des partons doit être égale à celle du proton.</footnote>

<footnote n="5">5. P. Aurenche, R. Baier, M. Fontannaz, J.F. Owens, M. Werlen Phys.Rev. D39 (1989), 3275.</footnote>
un photon d'une façon reminiscente du mécanisme de définition de la fonction de fragmentation d'un parton en un hadron (voir sec. 10.3). On définit donc la fonction :

$$D^{\gamma/q}(z, k_T^2) = \frac{\alpha}{2\pi} e_q^2 d_{\gamma/q}(z) \ln \frac{k_T^2}{m_0^2}, \qquad (13.2.25)$$

où $m_0$ est le régulateur de la divergence de masse qui est choisi de l'ordre d'une masse hadronique typique et qui sera déterminé par comparaison avec l'expérience. La fonction $d_{\gamma/q}(z)$ est identique, à un facteur de couleur près, à $d_{G/q}(z)$ définie en éq. (9.1.46) :

$$d_{\gamma/q}(z) = \frac{1 + (1 - z)^2}{z}, \quad \text{avec } z = \frac{k_T}{k_{Tq}} \qquad (13.2.26)$$

On représente la production de photon par fragmentation d'un quark par les diagrammes tels que ceux de la fig. 13.6 où la boule grisée symbolise la fragmentation colinéaire $q \to q + \gamma$. Le photon n'est pas couplé directement aux processus durs qui n'impliquent donc que des quarks et des gluons. Techniquement, bien qu'ayant son origine dans les corrections NLO, les diagrammes de cette figure

<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>FIGURE 13.6 – Exemples de diagrammes de Born pour la production d'un photon par fragmentation d'un parton.</figcaption></figure>

apportent à la section efficace une contribution du même ordre de grandeur que les termes LO de l'éq. (13.2.23)). En effet elle est proportionnelle à :

$$\alpha_s(k_T^2)^2 \alpha \ln(k_T^2) + \text{termes non-logarithmiques} \sim \alpha_s(k_T^2) \alpha,$$

puisque le facteur $\ln(k_T^2)$ de la fonction de fragmentation compense un des facteurs $\alpha_s(k_T^2)$ de la diffusion parton+parton. Pour un calcul cohérent au NLO il faudra donc inclure les corrections au processus de type parton+parton $\to$ parton+parton dont un tout petit nombre de diagrammes est représenté en figure 13.7 : ce sont les mêmes que les diagrammes NLO pour la production inclusive d'un hadron à grande impulsion transverse (voir la section suivante). Il faudra également définir les équations d'évolution de la fonction de fragmentation du photon au delà des logarithmes dominants ce qui amènera à introduire la fragmentation d'un gluon en photon qui est même ordre que celle du quark en photon.

En résumé, au NLO et au delà, on peut distinguer deux mécanismes de production d'un photon : soit le photon observé est couplé directement au processus dur, soit il est produit par rayonnement (bremsstrahlung) d'un parton couplé au processus dur : dans les deux cas on parle de photon direct ou photon prompt. Du fait de sa cinématique plus compliquée ce dernier processus est relativement
<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>FIGURE 13.7 – Exemple de diagrammes d'ordre supérieur pour la production de photons par le mécanisme de fragmentation.</figcaption></figure>

supprimé aux énergies des cibles fixes mais il joue un rôle important aux collisioneurs quand la valeur de la variable $k_T/\sqrt{s}$ est petite. Au niveau de l'observation, ce photon de bremsstrahlung sera vu comme produit dans un jet de hadrons, puisqu'éventuellement le parton émetteur du photon se fragmentera en hadrons, par opposition au photon issu directement du processus dur qui est, en général, isolé.

### Photon isolé

La composante bremsstrahlung de production d'un photon direct complique la mesure du signal expérimental. En effet le parton émetteur du photon quasi-colinéaire produit une gerbe de hadrons, dont des $\pi^0$ et des $\eta$ qui se désintègrent en paires de photons contribuant au spectre inclusif. Pour réduire ce bruit de fond d'origine hadronique au signal de photon direct on introduit le concept d'isolement qui consiste à exclure l'activité hadronique autour du photon. Un photon est dit isolé si aucun hadron satisfait les conditions :

$$ \begin{gathered} r_{i\gamma} = \sqrt{(y_i - y_{\gamma})^2 + (\phi_i - \phi_{\gamma})^2} < R, \\ k_{Ti} > \epsilon k_T, \end{gathered} \qquad (13.2.27) $$

où la rapidité $y_i$, l'angle azimutal $\phi_i$ et l'impulsion transverse $k_{Ti}$ sont les coordonnées de la particle $i$. Dans les calculs théoriques de production de photon direct on applique les mêmes critères mais sur les partons : la première des équations ci-dessus est un critère de colinéarité (fondé sur les angles polaire et azimutal) qui éliminera les configurations où le parton est quasi-colinéaire au photon : le facteur $\ln k_T^2/m_0^2$ de l'éq. (13.2.25) sera alors remplacé par $\ln(1/R)$; la deuxième permet d'accepter dans le cône d'isolement des gluons de petite impulsion, ce qui est nécessaire pour la compensation des divergences infrarouges entre diagrammes réels et virtuels. Ainsi un gluon émis quasi-colinéairement au photon sera accepté dans le cône d'isolement et l'intégrale sur son énergie entre 0 et $\epsilon k_T$ sera suffisante pour compenser la divergence infrarouge laissant un facteur
<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>FIGURE 13.8 – Spectre inclusif de photon direct ou isolé dans les collisions $\bar{p}p$ et $pp$ pour les énergies $21 \text{ GeV} < \sqrt{s} < 1800 \text{ GeV}$ (données pré-2006).</figcaption></figure>

$\alpha_s \ln(1/\epsilon)$, ce qui implique de choisir $\epsilon$ pas trop petit. Typiquement, suivant les expériences on choisit $0,4 < R < 1$, $\epsilon \sim 0,1$. Le critère d'isolement introduit pour éliminer le fond de photons provenant de la décroissance des hadrons va donc également modifier le signal de photon prompt et on parle dans de cas de spectre de photon isolé. Toutes les expériences aux collisionneurs de Fermilab et LHC utilisent un critère d'isolement comme ci-dessus ou une de ses variantes. La figure 13.8 montre le spectre en $x_T$, défini comme $x_T = 2k_T/\sqrt{s}$, des données pré-2006 : l'observable est le spectre inclusif de photon prompt sauf pour CDF et D0 pour lesquelles le photon est isolé, tandis que la figure 13.9 montre les mêmes spectres normalisés par les prédictions théoriques au delà de l'ordre dominant. Les résultats expérimentaux sont en bon accord avec la théorie sauf ceux de la collaboration E706 de Fermilab à $\sqrt{s} = 31,5$ et 38,9 GeV qui sont 2 à 3 fois plus élevés que les prédictions, surtout aux petites valeurs de $x_T$ alors que les expériences aux énergies plus faibles (WA70 et UA6) et plus élevées (R110, R806, AFS aux ISR ($\sqrt{s} = 63$ GeV), PHENIX à Brookhaven ($\sqrt{s} = 200$ GeV) et CDF et D0 ($\sqrt{s} = 1800$ GeV)) sont toutes en accord avec la théorie. Il n'est pas convaincant d'attribuer l'anomalie de E706 à un effet physique qui ne serait visible qu'entre 30 and 40 GeV : cela est plutôt dû à des problèmes dans la difficile analyse des données. Il est intéressant de remarquer que même, les expérimentateurs peuvent quelquefois faire des erreurs ! Les données plus récentes de la collaboration ATLAS au LHC apparaissent en parfait accord avec
<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>FIGURE 13.9 – Rapport données sur théorie au NLO pour le spectre inclusif de photon dans les collisions $\bar{p}p$ et $pp$ pour les énergies $21 \text{ GeV} < \sqrt{s} < 1800 \text{ GeV}$ (données pré-2006).</figcaption></figure>

les calculs théoriques au NLO (fig. 13.10, haut) sur 14 ordres de grandeur. Cependant si regarde
le rapport théorie/données l'accord est moins spectaculaire puisque les calculs au NLO (JetPhox$^6$)
sous-estiment les données de 10 à 20% mais les calculs quasi-NNLO (Peter$^7$) rétablissent l'accord
surtout aux rapidités centrales.

La collaboration Alice, dû à l'extrême finesse de son calorimètre, peut extraire le spectre jusqu'à
des $k_T$ aussi bas que 10 GeV, soit $x_T > 2 \ 10^{-3}$ tandis que ATLAS et CMS observent des photons
jusqu'à 1 TeV, $x_T < 0,2$. La figure 13.11 résume le domaine cinématique considérable couvert par
les expériences de production de photon direct, qui permettent ainsi de tester QCD sur un grand
domaine de $(x, Q^2)$ : on voit que les hautes énergies permettent d'accéder aux petites valeurs de $x$.
L'accord observé de la théorie avec les résultats de l'inélastique profond, la production de paires de
leptons et la production de photons directs sont un test extrêmement convaincant de la validité de

<footnote n="6">6. Z. Belghobsi, M. Fontannaz, J.-Ph. Guillet, G. Heinrich, E.Pilon, M. Werlen, Phys. Rev. D **79** 114024, [arXiv:0903.4834]; https://lapth.cnrs.fr/PHOX_FAMILY/main.html.</footnote>

<footnote n="7">7. T. Becher, C. Lorentzen and M. D. Schwartz, Phys. Rev. D **86** (2012) 054026; M. D. Schwartz, [arXiv:1606.02313].</footnote>
QCD sur plus d'une dizaine d'ordres de grandeur. La production de gerbes hadroniques que l'on va brièvement discuter confirme cet accord remarquable entre théorie et données.

Utilisant la même approche on peut étudier la production d'une paire de photons dans les collisions $pp \to \gamma\gamma + X$ qui, comme on l'a déjà mentionné est le fond dominant à la recherche du boson de Higgs. La section efficace s'obtient à partir des diagrammes ci-dessus où on substitue un photon à un gluon final : par exemple à l'approximation LO seuls les diagrammes d'annihilation $q\bar{q} \to \gamma\gamma$ contribuent. On peut ainsi calculer le spectre en fonction de la masse de la paire, comme pour le procesus Drell-Yan ou, pour une masse fixée la distribution en impulsion transverse de cette dernière.

<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>FIGURE 13.10 – Section efficace inclusive de production d'un photon isolé en fonction de l'énergie transverse du photon dans les collisions $pp$ à 8 TeV, au LHC (Collaboration ATLAS, JHEP 06 (2016) 005; [arXiv:1605.03495]).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>FIGURE 13.11 – Domaine en “(x, Q²)” couvert par les données de production de photons prompts dans les collisions hadroniques. Les données LHC (ALICE, ATLAS, CMS) sont à 7 TeV. Avec l’aimable autorisation de Monique Werlen.</figcaption></figure>

13.3 Production de jets dans les collisions hadroniques

Dans l’approximation au logarithme dominant la gerbe hadronique est identifiée à un parton final (quark ou gluon) produit à grande impulsion transverse $k_T$. Aucun effet de fragmentation du parton en hadrons n’est pris en compte. La cinématique est donc la même que pour la production d’un photon mais on doit sommer sur tous les types de partons de l’état final :

$$k^0 \frac{d\sigma^3}{dk} = \frac{1}{s(-t)} \sum_{i,j,k,l} \int_{x_i^{\min}}^{1} \frac{dx_1}{x_1^2} F_{i/A}(x, k_T^2) F_{j/B}(x_2, k_T^2) \frac{1}{(4\pi)^2} \bar{\Sigma} |\mathcal{M}|^2_{ij \to kl}$$

où k est l’impulsion du parton (jet) observé. La dynamique au niveau partonique est assez complexe car il y a un grand nombre de processus en jeu, $qq \to qq, q\bar{q} \to q\bar{q}, \bar{q}\bar{q} \to \bar{q}\bar{q}, q\bar{q} \to gg, gq \to gq, gg \to q\bar{q}, gg \to gg :$
<figure><img src="image_120.png" /></figure>

La dominance relative d'un processus partonique dépend de l'énergie transverse du jet : ainsi, au LHC, pour un jet de $k_T \approx 100$ GeV la diffusion gluon-gluon représente 60% de la section efficace comparée aux processus gluon-quark (35%) et quark-quark (5%), tandis que pour $k_T \approx 2$ TeV la diffusion quark-quark domine (50%) devant la diffusion gluon-quark (40%) et gluon-gluon (10%). Pour exemple on montre dans la figure 13.12 une compilation des sections efficaces de production de jet pour les collisionneurs $p\bar{p}$ et $pp$ : on remarque l'accroissement considérable, d'un facteur environ 3500, de la section efficace entre $\sqrt{s} = 546$ GeV et $\sqrt{s} = 7$ TeV pour $k_T = 100$ GeV (et de 5000 entre $\sqrt{s} = 546$ GeV et $\sqrt{s} = 8$ TeV (voir fig. 13.13)). Qualitativement on estime que la valeur moyenne de l'impulsion des partons initiaux dans la collision est $\langle x \rangle \approx 2k_T/\sqrt{s}^8$ et donc quand l'énergie augmente $\langle x \rangle$ décroît et corrélativement les densités partoniques augmentent notamment celle du gluon (voir figs. 9.1 et 9.2) : c'est ce qui explique l'accroissement spectaculaire de la production d'un jet de $k_T = 100$ GeV à $\sqrt{s} = 8$ TeV, dominée par la diffusion gluon-gluon, comparée à celle à $\sqrt{s} = 546$ GeV dominée par le processus quark-antiquark de valence. C'est pour cela que l'on dit quelquefois que le LHC est une machine à produire des gluons. En général les processus initiés par les gluons dominent aux "basses" valeurs de $k_T$ tandis que ceux initiés par les quarks (de valence) dominent à "grands" $k_T$. Il faut aussi signaler que la section efficace de production de jets est proportionnelle à $\alpha_s^2$ et elle est donc très sensible à la valeur de $\Lambda$, ou de façon équivalente à la valeur de $\alpha_s(m_Z^2)$.

Si on calcule la section efficace de jet inclusif au NLO on rencontre les mêmes problèmes de divergences infrarouges et colinéaires que dans la diffusion $e^+e^-$. Comme dans ce dernier cas, on va donc définir un jet comme un parton ou une association de deux partons quasi-colinéaires. La contrainte supplémentaire est que cette définition doit être invariante sous une transformation de Lorentz longitudinale puisque les jets sont produits par une collision parton-parton mais sont reconstruits expérimentalement dans le centre de masse proton-proton. Pour définir la distance entre deux partons et savoir quand les recombiner en un seul jet on va définir leur cinématique à l'aide de l'impulsion transverse, la rapidité et l'angle azimutal. Soient deux partons, de masse nulle, de coordonnées :

$$k_i = (k_{iT} \cosh y_i, k_{iT} \cos \phi_i, k_{iT} \sin \phi_i, k_{iT} \sinh y_i)$$

$$k_j = (k_{jT} \cosh y_j, k_{jT} \cos \phi_j, k_{jT} \sin \phi_j, k_{jT} \sinh y_j).$$

<footnote n="8">8. On estime que $\hat{s} \approx \langle x \rangle^2 s \approx 4k_T^2$, d'où le résultat.</footnote>
<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>FIGURE 13.12 – Compilation par la collaboration ATLAS des données sur la production inclusive de gerbes hadroniques aux collisionneurs du CERN et Fermilab pour des énergies de $\sqrt{s} = 546$ GeV à 7 TeV.</figcaption></figure>

Le carré de la masse invariante des deux partons est :

$$s_{ij} = 2k_i \cdot k_j = 2k_{iT}k_{jT} [\cosh(y_j - y_i) - \sin(\phi_j - \phi_i)] \\ \sim k_{iT}k_{jT} [\delta y_{ij}^2 + \delta \phi_{ij}^2]$$

avec $\delta y_{ij} = (y_j - y_i)$, $\delta \phi_{ij} = (\phi_j - \phi_i)$ supposés "petits". A partir de cette expression il est usuel de définir la distance entre les partons comme :

$$d_{ij} = \min(k_{iT}, k_{jT}) \sqrt{\delta y_{ij}^2 + \delta \phi_{ij}^2}/R. \qquad (13.3.28)$$

On a introduit dans cette mesure un paramètre numérique $R$ dont on précisera la valeur plus bas. Cette mesure est bien invariante sous une transformation de Lorentz longitudinale puisque chacune des variables, $\delta y_{ij}$, $\delta \phi_{ij}$, $k_{iT}$ et $k_{jT}$ l'est. Choisir de normaliser la distance par l'impulsion mimmale plutôt que par la racine carré du produit est plus physique car cela rend le cut-off infrarouge indépendant de la valeur de l'impulsion maximale. C'est une "bonne" mesure puisqu'elle s'annule si l'un des partons est d'impulsion nulle ou si les partons sont colinéaires, c'est à dire s'ils ne forment qu'un seul parton. Intuitivement, on voit que deux partons formeront deux jets observables si $d_{ij}$ est suffisament grand et coalesceront en un seul jet dans le cas contraire. Cette condition sur $d_{ij}$
<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>FIGURE 13.13 – Section efficace inclusive de production d'un jet en fonction de l'énergie transverse du jet dans les collisions pp à 8 TeV, au LHC (Collaboration CMS, voir https://twiki.cern.ch/twiki/bin/genpdf/CMSPublic/PhysicsResultsSMP12012.</figcaption></figure>

combine en fait celles sur les deux cut-offs (infrarouge $\epsilon$ et colinéaire $\delta$) de la définition à la Sterman-Weinberg.

Plus précisément, pour classer les événements selon le nombre de jets on procède la façon suivante. On définit la distance d'un parton $i$ au faisceau par :

$$d_i = k_{iT}, \qquad (13.3.29)$$

et on ordonne les distances $d_i$ et $d_{ij}$ par ordre croissant. Si c'est un $d_{ij}$ qui est la plus petite valeur on combine les deux partons en un jet $l$ dont on calcule en général les cordonnées de la façon suivante<fnref n="9" /> :

$$ \begin{aligned} k_{lT} &= k_{iT} + k_{jT} \\ y_l &= (k_{iT}y_i + k_{jT}y_j)/k_{lT} \\ \phi_l &= (k_{iT}\phi_i + k_{jT}\phi_j)/k_{lT}, \end{aligned} \qquad (13.3.30) $$

et la configuration à 3 partons est considérée comme un événement à 2 jets. Si c'est un $d_i$ qui a la valeur minimale on compare alors la distance entre les deux autres partons à leur distance par rapport au faisceau et si elle est la plus petite on combine les partons en un jet à l'aide de (13.3.30), sinon chacun des partons est interprété comme un jet. La valeur du paramètre $R$ introduit en (13.3.28)

<footnote n="9">9. On peut aussi définir l'impulsion du jet en ajoutant les vecteurs impulsion de chaque parton</footnote>
<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>FIGURE 13.14 – Section efficace inclusive de production d'un jet en fonction de l'énergie transverse du jet normalisée à la prédiction de QCD perturbatif au NLO, dans les collisions pp à 8 TeV, au LHC (Collaboration CMS, https://twiki.cern.ch/twiki/bin/genpdf/CMSPublic/PhysicsResultsSMP12012).</figcaption></figure>

est choisie de l'ordre de 0.3 à 0.7 au LHC et jusqu'à 1 aux énergies de Fermilab. La procédure de combinaison de partons ci-dessus suit "l'algorithme $k_T$"<fnref n="10" /> qu'utilise les expérimentateurs pour construire de façon récursive les jets à partir des impulsions des particules ou "protojets". Il existe d'autres algorithmes comme celui dit de "cône" dérivé de la définition de jets à la Sterman-Weinberg (voir la section 10.2) mais ils souffrent d'ambiguités et ils sont moins utilisés aujourd'hui.

En fait, avec les progrès expérimentaux qui permettent d'assigner une saveur aux jets de désintégration de quarks lourds (charme, bottom) grâce aux détecteurs "micro-strip" et à la mesure des "vertex déplacés", une nouvelle mesure de la distance et de la construction des jets ont été proposées, connues sous le nom d'algorithme "anti-$k_T$"<fnref n="11" />. Elle permet d'associer un parton mou et/ou colinéaire au jet de saveur lourde tout en préservant la saveur du jet et la stabilité infrarouge et colinéaire. A l'éq. (13.3.28) on substitue :

$$ 
\begin{align*}
d_{ij}^{S} &= \max(k_{iT}, k_{jT}) \sqrt{\delta y_{ij}^2 + \delta \phi_{ij}^2} / R, \quad \text{si le plus mou du } i \text{ ou } j \text{ porte une saveur, (13.3.31)} \\
&= \min(k_{iT}, k_{jT}) \sqrt{\delta y_{ij}^2 + \delta \phi_{ij}^2} / R, \quad \text{si le plus mou du } i \text{ ou } j \text{ ne porte pas de saveur.}
\end{align*}
$$

Un parton ne portant pas de saveur peut être un gluon ou un quark léger $(u, d, s)$. Pour la reconstruction expérimentale du jet il faut également modifier la définition du jet par rapport au faisceau

<footnote n="10">10. S.D. Ellis, D.E. Soper, Phys. Rev. D48 (1996), 3160</footnote>

<footnote n="11">11. A. Banfi, G.P. Salam, G. Zanderighi, Eur. Phys. J. C47 (2006), 116, [hep-ph/0601139]</footnote>
<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>FIGURE 13.15 – Spectre inclusif, en $k_T$ et en $y$, d'un jet à $\sqrt{s} = 2,76$ TeV normalisé par les prédictions théoriques au NLO avec les fonctions de structure CT10. Les bandes hachurées et en pointillés colorés sont les pré/post-dictions obtenues avec les distributions partoniques CT10, HERA et HERA ajustées au spectre du jet (ATLAS Collaboration, EPJC 73 (2013) 2509 [arXiv:1304.4739]).</figcaption></figure>

(voir Banfi *et al.* cité plus haut, pour plus de détails).

Pour les nouveaux résultats du LHC on utilise maintenant l’algorithme ”anti-$k_T$” comme on peut le voir sur les figures 13.13 à 13.16 avec des valeurs de $R = 0,6$ ou $R = 0,7$ suivant les collaborations (les valeurs $R = 0,3$ ou $R = 0,4$ sont aussi utilisées). Dans ces figures on montre les incertitudes théoriques obtenues en faisant varier les échelles de renormalisation et factorisation entre .5 $k_T$ et 2 $k_T$. On compare dans la figure 13.13 le spectre inclusif en $k_T$ d’un jet, dans plusieurs domaines de rapidité, mesuré par la collaboration CMS au LHC ($\sqrt{s} = 8$ TeV), avec les prédictions théoriques à l’approximation au delà des logarithmes dominants : l’accord entre théorie et expérience sur presque 11 ordres de grandeur est remarquable (comparaison entre la section efficace à grand et petit $k_T$, pour $y \sim 0$). Cependant, la représentation des résultats sur un graphe dont l’échelle verticale couvre 13 ordres de grandeur n’est pas très sélective. Aussi utilise-t-on souvent le rapport données/théorie comme en figure 13.14, en fonction de $k_T$ pour un intervalle de rapidité donné. Cela permet une comparaison beaucoup plus fine entre expérience et pré/postdictions théoriques : on voit ainsi que le résultat obtenu en utilisant les distributions partoniques CT10 (une variante de CTEQ ajustée aux données du LHC) montrent un accord remarquable avec l’expérience alors que celles fondées sur
<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>FIGURE 13.16 – Données et prédicitions de QCD perturbatif au NLO pour le rapport des spectres inclusifs d'un jet à $\sqrt{s} = 2.76$ TeV et $\sqrt{s} = 7$ TeV. Les points expérimentaux (●) sont $\rho^{\text{ATLAS}}(y, k_T)$ normalisés par $\rho^{\text{CT10}}(y, k_T)$ et la bande grise les erreurs expérimentales systématiques associées. Les rapports théoriques pour les distributions partoniques CT10, HERA et HERA contraintes par le spectre de jet de ATLAS sont indiqués par la bande colorée et les pointillés (ATLAS Collaboration, EPJC 73 (2013) 2509 [arXiv:1304.4739]).</figcaption></figure>

une variante des distributions ALEKHIN (ABM11 non ajustées aux données) diffèrent jusqu'à 20% aux grandes valeurs de $k_T$. Une étude similaire pour ATLAS à $\sqrt{s} = 2,76$ TeV est montrée en figure 13.15 : l'accord est de nouveau excellent, sauf peut-être aux grandes valeurs de rapidité ($y > 2,8$) mais toujours à l'intérieur des erreurs. On remarque par ailleurs que les incertitudes expérimentales sont supérieures à celles théoriques. Ce bon accord est valable pour toutes distributions partoniques considérées (voir la légende de la figure pour les détails). La collaboration remarque qu'ajuster les distributions partoniques HERA au spectre inclusif d'un jet permet de réduire les incertitudes sur la distribution du gluon, notamment aux petites valeurs de $x < 10^{-3}$. Poursuivant cette étude ATLAS compare ces données à celles à $\sqrt{s} = 7$ TeV ainsi qu'aux prédicitions théoriques. Pour cela ils définissent le rapport :

$$ \rho^{\text{exp}}(y, k_T) = \frac{d^2\sigma/dydk_T(2, 76 \text{ TeV})}{d^2\sigma/dydk_T(7 \text{ TeV})}, $$

et un rapport similaire $\rho^{\text{théo}}(y, k_T)$ pour la théorie au NLO utilisant différents ensembles de fonctions de structure du proton. Ils construisent alors le rapport des deux rapports $\rho^{\text{exp}}/\rho^{\text{théo}}$ où $^{\text{théo}} = \text{CT10}$
dont le résultat est montré en figure 13.16. La première chose que l'on remarque est que, pour $\rho^{\text{exp}}(y, k_T)$, les incertitudes systématiques (bandes grises) sont beaucoup plus petites que celles sur le spectre inclusif du jet, car beaucoup d'erreurs systématiques se compensent dans le rapport, ce qui permet une étude plus fine. La deuxième remarque est que cette quantité n'est pas égale à 1 aux petites valeurs de la rapidité ($y < 0,8$), Si l'on admet l'accord parfait entre expérience et théorie à $\sqrt{s} = 2,76$ TeV (figure 13.15) alors on est obligé de conclure que les distributions partoniques utilisées surestiment très légèrement, mais systématiquement, les données à 7 TeV pour les rapidités centrales. Cependant, si on prend en compte les incertitudes associées aux paramétrages et à la théorie (bandes colorées sur la figure), alors le désaccord observé reste à l'intérieur des barres d'erreur. Il ne fait pas de doute que, après ajustement adoptant si nécessaire un paramétrage plus souple que celui des éqs. (9.1.54), on construira un accord parfait aux deux énergies et cela sans détruire les analyses faites à plus basse énergie dans d'autres expériences. Cette discussion, un peu technique, illustre comment affiner les prédictions de QCD pertubatif en considérant le plus grand nombre de résultats dans le plus grand domaine cinématique possible. On peut dire mi-sérieusement que ce type d'analyse tient de la science autant que de l'art, notamment en ce qui concerne l'estimation relative des erreurs d'une expérience à l'autre et d'une prédiction théorique à l'autre.

## 13.4 Production de hadrons dans les collisions hadroniques

Comme dans le cas de la diffusion $e^+ e^-$ on peut étudier dans les collisions pp, en QCD au NLO, la distribution d'une particule à grand $k_T$ $^{12}$. Cela permet de mieux contraindre les fonctions de fragmentation de partons en hadrons déjà introduites en sec. 10.3. Les collisions hadroniques sont complémentaires des collisions $e^+ e^-$ pour ce genre d'étude. En effet les collisions leptoniques permettent de déterminer avec précision la fragmentation du quark en hadrons à petit $z$ mais non à grand $z$ dû à la faible statistique. Quant à la fragmentation du gluon, elle est très peu contrainte puisque la transition $gluon \to hadron + X$ est associée à un processus correctif au terme de Born comme on l'a vu en sec. 10.3. Dans les collisions pp les sections efficaces partoniques sont très fortement décroissantes avec l'impulsion transverse et pour compenser ceci le parton doit céder une grande partie de son énergie au hadron, c'est à dire que la réaction est sensible aux grandes valeurs de $z$ de la fonction de fragmentation $^{13}$. D'autre part on a vu que les sections partoniques avec gluons initial et final jouent un rôle tout à fait dominant dans les collisions hadroniques dès le terme de Born et il est donc évident que la fragmentation du gluon sera fortement contrainte. On montre en figure 13.17 un exemple de spectre hadronique chargé à différentes énergies du LHC. Les prédictions théoriques au NLO utilisent les fonctions de fragmentation de DSS $^{14}$. On remarque un très bon accord sauf peut-être à $\sqrt{s} = 7$ TeV où les prédictions tendent à surestimer les données aux plus grandes valeurs de $k_T$. Cependant l'incertitude théorique, estimée par une variation des différentes échelles arbitraires reste grande. Ce qui est remarquable (et sans doute accidentel !) est l'excellent accord théorie/expérience aux petites valeurs de $k_T$ où l'on s'attendrait plutôt à l'effondrement de l'approche strictement perturbative : en effet une valeur de $k_t \sim 1,5$ GeV, équivaut

<footnote n="12">12. F. Aversa, P. Chiappetta, Mario Greco, J.Ph. Guillet, Nucl.Phys. B327 (1989), 105</footnote>

<footnote n="13">13. Pour une impulsion transverse hadronique $k_T^{\text{had}}$ donnée, l'impulsion partonique $k_T^{\text{parton}} = k_T^{\text{had}}/z$ doit être aussi petite que possible, donc $z$ aussi grand que possible, pour maximiser la section efficace.</footnote>

<footnote n="14">14. D. de Florian, R. Sassot, M. Stratmann, Phys.Rev. D76 (2007), 074033.</footnote>
<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>FIGURE 13.17 – Données et prédicitions de QCD perturbatif au NLO pour le spectre inclusif de hadrons chargés au LHC. Les incertitudes théoriques sont quantifiées par la variation $0,5 k_T < \mu < 2 k_T$ où $\mu$ est l'échelle commune de renormalisation, factorisation et fragmentation. Les fonctions de fragmentation sont celles de DSS. Les figures sont extraites de R. Sassot, P. Zurita, M. Stratmann, Phys.Rev. D82 (2010), 074011, [arXiv:1008.0540], et les données des collaborations ATLAS, Phys.Lett. B688 (2010), 21 et CMS, JHEP 1002 (2010), 041, [arXiv:1005.3299].</figcaption></figure>

à $x \sim 5 \times 10^{-4}$ ce qui implique de "grands" termes correctifs de l'ordre de $\alpha_s \ln(1/x)$ qu'il faudrait sommer à tous les ordres pour un résultat crédible. Il est en principe possible de mesurer au LHC le spectre inclusif d'une grandes variété de hadrons : $\pi$, $K$, $D^{\pm}$, $D^0$, $\Psi$, $B^{\pm}$, $B^0$, $\Upsilon$, $p$, $\bar{p}$, ... et donc de faire une étude fine de la fragmentation des différents partons.

Si un bon accord données/théorie est observé sur le spectre inclusif de hadron chargé au LHC, on a montré cependant qu'il existe une grande dispersion des prédicitions, suivant le choix des fonctions de fragmentation, pour des observables de corrélations que l'on peut construire lorsque l'on étudie, par exemple, la réaction $pp \to h jet X^{15}$. Ainsi la figure 13.18 a), montre la distribution $d\sigma/dz_h$ en fonction de :

$$z_h = \frac{\vec{k}_T^h \cdot \vec{k}_T^{jet}}{|\vec{k}_T^{jet}|^2}, \qquad (13.4.32)$$

où le hadron chargé est pris dans le jet : cette dispersion des prédicitions est encore magnifiée quand on normalise point à point les distributions par celle de DSS (figure de droite). Un autre aspect

<footnote n="15">15. F. Arleo, M. Fontannaz, J.-Ph. Guillet, Chi Linh Nguyen, JHEP 1404 (2014), 147, [arXiv:1311.7].</footnote>
<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>FIGURE 13.18 – a) Distribution de hadrons chargés à l'intérieur d'un jet à $\sqrt{s} = 8$ TeV. La référence au paramétrage des fonctions de fragmentation est donnée à la fin de la sec. 10.3. La bande grisée indique la variation des prédictions de QCD au NLO avec les fonctions de fragmentation DDS quand les échelles arbiraires varient dans l'intervalle $[0, 5 k_T^{jet}, 2 k_T^{jet}]$ ; b) distribution de kaons chargés avec les mêmes conventions.</figcaption></figure>

saillant est la grande variabilité des prédictions quand on modifie les échelles, variabilité qui reste cependant moindre que celle associée au choix des fonctions de fragmentation : DSS, BFGW et
HKNS sont compatibles mais AKK08 et Kretzer sont assez différentes. Si on s'intéresse maintenant à la production de $K^{\pm}$ chargés on observe une situation assez différente avec HKNS largement au dessus des autres distributions$^{16}$.

Les fonctions de fragmentation sont obtenues par comparaison avec un grand nombre de données. Cependant combiner les données de plusieurs expériences leptoniques et hadroniques, prises avec des détecteurs très différents, couvrant un domaine d'énergie très grand, est un art subtil et dangereux : toutes les expériences ne sont pas compatibles entre elles et le phénoménologue n'ayant pas le droit de décider quelles sont les "bonnes" et les "mauvaises" expériences sera forcé de chosisir selon des critères personnels (donc non scientifiques) les données à analyser. Cela conduit à une assez grande dispersion des paramétrages.

## 13.5 Conclusion

En conclusion, dans les collisions de type hadron-hadron, un grand nombre d'observables dépendent des fonctions de structure des partons dans les hadrons (et éventuellement des fonctions de fragmentation) et de la valeur de $\Lambda$. Pour que QCD soit validée en tant que théorie des interactions fortes il faut que les prédictions soient en accord avec toutes les observables. Les données devenant de plus en plus précises et couvrant un domaine cinématique de plus en plus étendu, les tests de QCD deviennent de plus en plus contraignants. Lors d'une analyse phénoménologique il ne faut oublier de prendre en compte les incertitudes théoriques qui sont dûes au fait que la série pertubative est tronquée au deuxième ou troisième ordre (exceptionnellement à des ordres plus élevés) et associé à cette troncature prendre en compte l'effet de l'arbitraire des échelles de renormalisation, de factorisation et éventuellement de fragmentation. La variation des échelles est tradionnellement comprise entre 0,5 à 2 fois "l'échelle dure" du processus considéré. On laisse au lecteur le soin de réfléchir à ce qu'on appelle "échelle dure" dans un processus donné et de trouver une explication pourquoi l'incertitude théorique estimée ne prend en compte qu'une variation d'un facteur 4 de cette échelle !

<footnote n="16">16. Chi Linh Nguyen, thèse de doctorat, LAPTh, Université de Grenoble, https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00986981.</footnote>
# Chapitre 14

## Bibliographie .................................... très incomplète !

### Théorie quantique des champs : introductif

- F. Mandl, G. Shaw, Quantum field theory,
  *John Wiley and sons*

- L.H. Ryder, Quantum field theory,
  *Cambridge University Press*

- L.S. Brown, Quantum field theory,
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### Théorie quantique des champs : plus avancé

- M. Le Bellac, Des phénomènes critiques aux champs de jauge,
  *Savoirs Actuels, Interditions/Editions du CNRS*

- S. Pokorski, Gauge field theories,
  *Cambridge monographs on mathematical physics*

- T. Muta, Foundations of QCD, an introduction to perturbative methods in gauge theories,
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- M. E. Peskin, D.V. Schroeder, An introduction to quantum field theory,
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- M. D. Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model,
  *Cambridge University Press*

### Théorie quantique des champs : classique

- J.D. Bjorken, S.D. Drell, vol 1 : Relativistic quantum mechanics, vol. 2 : Relativistic quantum fields,
  *Mac-Graw & Hill*

- C. Itzykson, J.B. Zuber, Quantum field theory,
  *Dover publications*
Physique des particules

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*Oxford Science Press Publications, Clarendon press, Oxford*

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*Oxford Science Press Publications, Clarendon press, Oxford*

— E. Leader, E. Predazzi, An introduction to gauge theories and modern particle physics, 2 volumes, *Cambridge monographs in particle physics, nuclear physics, cosmology*

— C. Quigg, Gauge theory of the strong, weak and electromagnetic interactions,
*Addison-Wesley Publishing Company (Advanced book classics)*

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— R. K. Ellis, J. Stirling, B. Webber,
*Cambridge monographs in particle physics, nuclear physics, cosmology*