Le vertex devient alors :

$$ \Lambda_{\alpha}(p; p) = (Z_1 - 1)\gamma_{\alpha} + i(e\mu^{\epsilon})^2 \frac{d}{dp^{\alpha}} \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} \gamma_{\rho} \frac{1}{p + k - m + i\epsilon} \gamma^{\rho} \frac{1}{k^2 + i\epsilon} $$

On reconnaît immédiatement dans l'intégrale l'expression de $\Sigma^{\text{boucle}}(p)$ (voir équation (4.2.49)) en jauge de Feynman ce qui permet d'écrire

$$ \begin{aligned} \Lambda_{\alpha}(p; p) &= (Z_1 - 1)\gamma_{\alpha} - \frac{d}{dp^{\alpha}}\Sigma^{\text{boucle}}(p) \\ &= (Z_1 - 1)\gamma_{\alpha} - \Sigma_1\gamma_{\alpha}, \end{aligned} \qquad (4.3.94) $$

d'après l'éq. (4.2.52). On voit que la condition sur $Z_1$ qui rend cette quantité finie est identique à la condition (4.2.58) sur $Z_2$, d'où

$$ Z_1 = Z_2 + \text{termes finis.} $$

Il est usuel de choisir alors simplement $Z_1 = Z_2$ et on trouve, dans le schéma $\overline{MS}$ par exemple,

$$ Z_1|_{\overline{MS}} = Z_2|_{\overline{MS}} = 1 - \frac{\alpha}{4\pi} \left( \frac{1}{\epsilon} + \ln 4\pi - \gamma \right) \qquad (4.3.95) $$

### Remarque

La relation $Z_1 = Z_2$ est une relation générale, valable à tous les ordres de la théorie des perturbations. Elle exprime le fait que la théorie construite à partir des quantités renormalisés est invariante de jauge. En effet, cette condition garantit que sous une transformation de jauge des champs renormalisés la variation des termes suivants dans le lagrangien (4.0.4) se compensent :

$$ Z_2 \bar{\psi} i \not\partial \psi - Z_1 e \bar{\psi} A \psi. \qquad (4.3.96) $$

C'est un cas particulier des identités de Ward-Takahashi. Une démonstration de cette identité est proposée plus bas.

### 4.3.1 Correction au vertex : calcul complet

Pour simplifier le calcul, nous supposons les pattes fermioniques externes sur couche de masse, $p^2 = p'^2 = m^2$, et nous supposons implicitement que le diagramme est inséré entre les spineurs $\bar{u}(p')$ à gauche et $u(p)$ à droite, de telle sorte que par anticommutation des impulsions $\not{p}$ vers la droite et $\not{p}'$ vers la gauche on puisse utiliser les relations $\not{p}u(p) = mu(p)$ et $\bar{u}(p') \not{p}' = m\bar{u}(p')$ dans la réduction du numérateur de l'éq. (4.3.91). Le photon est supposé de genre espace $q^2 < 0$.

#### • Paramétrage de Feynman

On revient à l'équation (4.3.91). La linéarisation du dénominateur fait intervenir deux paramètres de Feynman (utiliser l'équation (3.2.5) : on regroupe d'abord les deux premiers facteurs du dénominateur avec la variable $x$ puis on introduit $y$). On trouve

$$ \frac{1}{(p' + k)^2 - m^2 + i\epsilon} \frac{1}{(p + k)^2 - m^2 + i\epsilon} \frac{1}{k^2 + i\epsilon} = \int_0^1 dx \int_0^1 dy \, 2y \frac{1}{[l^2 - C + i\epsilon]^3} \qquad (4.3.97) $$
avec $l = k + y(xp' + (1-x)p)$ et $C = y^2(m^2 - q^2x(1-x))$. Le calcul est faisable mais devient compliqué à cause des deux paramètres de Feynman et de la complexité du numérateur (produit de cinq matrices $\gamma$).

• Calcul du numérateur

Réduire le numérateur est un exercice pénible, la seule simplification étant que l'on peut ignorer les termes linéaires en $l$ qui s'annulent dans l'intégration sur l'impulsion $l$ de la boucle. Il restera un terme quadratique qui contient la divergence ultraviolette et des termes indépendants de $l$ dont certains seront divergents dans l'infrarouge. On peut alors montrer que :

$$ \Lambda_{\alpha}^{\text{boucle}}(p; p') = -i (e\mu^{\epsilon})^2 \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1} dy 2y \int \frac{d^{n}l}{(2\pi)^{n}} \left[ \overbrace{\underbrace{2 \frac{(1-\epsilon)^2}{2-\epsilon} l^2 \gamma_{\alpha}}_{\text{UV}} + \underbrace{2(2m^2-q^2)\gamma_{\alpha}}_{\text{ir}} + \underbrace{y f_{\alpha}(p, p', x, y)}_{\text{rég}}}^{\text{rég}} \right] \quad (4.3.98) $$

où $f_\alpha$ a la forme peu transparente :

$$ f_{\alpha}(p, p', x, y) = [2(y(m^2 - q^2x(1-x)) - (4m^2 - q^2))\gamma_{\alpha} + 4m(p_{\alpha}(x-y(1-x)) + p'_{\alpha}(1-x-yx))] \quad (4.3.99) $$

On voit facilement que le premier terme de l'expression entre crochets dans l'éq. (4.3.98) contient toute les divergences ultraviolettes. On le calcule facilement à l'aide de l'éq. (3.2.23) et le résultat, après développement en $\epsilon$ est :

$$ \Lambda_{\alpha}^{\text{UV}}(p; p') = \frac{\alpha}{4\pi} \gamma_{\alpha} \left( \left[ \frac{1}{\epsilon} + \ln(4\pi) - \gamma \right] - 1 - I_{0} \right) \quad (4.3.100) $$

avec

$$ I_0 = \int_0^1 dx \ln \frac{m^2 - q^2 x (1-x)}{\mu^2} \quad (4.3.101) $$

Quant au deuxième terme, proportionnel à $2(2m^2 - q^2)\gamma_\alpha$, il a un pôle en $\epsilon$ du fait de l'intégrale en $y$ qui signale une divergence infrarouge :

$$ \Lambda_{\alpha}^{\text{ir}}(p; p') = - \frac{e^2}{(4\pi)^2} \Gamma(1+\epsilon)(4\pi)^{\epsilon} \gamma_{\alpha} \int_{0}^{1} dx \frac{2(2m^2 - q^2)\mu^{2\epsilon}}{(m^2 - q^2x(1-x))^{1+\epsilon}} \int_{0}^{1} dy y^{-1-2\epsilon} \quad (4.3.102) $$

On trouve alors :

$$ \begin{aligned} \Lambda_{\alpha}^{\text{ir}}(p; p') &= \frac{e^2}{(4\pi)^2} \frac{\Gamma(1+\epsilon)}{\epsilon} (4\pi)^{\epsilon} (2m^2 - q^2) \gamma_{\alpha} \int_{0}^{1} dx \frac{1-\epsilon \ln((m^2 - q^2x(1-x))/\mu^2)}{m^2 - q^2x(1-x)} \\ &= \frac{\alpha}{4\pi} (2m^2 - q^2) \gamma_{\alpha} \left( \left[ \frac{1}{\epsilon_{\text{ir}}} + \ln(4\pi) - \gamma \right] I_1 - I_2 \right) \end{aligned} \quad (4.3.103) $$

avec :

$$ I_1 = \int_0^1 dx \frac{1}{m^2 - q^2 x(1-x)} \quad \text{et} \quad I_2 = \int_0^1 dx \frac{\ln((m^2 - q^2 x(1-x))/\mu^2)}{m^2 - q^2 x(1-x)} \quad (4.3.104) $$
Le pôle en $\epsilon$, dénoté $1/\epsilon_{ir}$ pour rappeler son origine. En effet, dans l'éq. (4.3.98), si l'on fait d'abord l'intégrale sur $y$ il apparaît la combinaison :

$$ \int d^ml \left( \frac{1}{(l^2)^2} - \frac{1}{(l^2 - m^2 + q^2x(1-x))^2} \right), \qquad (4.3.105) $$

le premier terme venant de borne inférieure $y = 0$ de l'intégrale. Cette expression exhibe bien une singularité infrarouge associée au comportement divergent quand $l \to 0$ du premier terme mais elle est régulière dans l'ultraviolet du fait de la compensation entre les deux termes. On note que le terme en $f_\alpha$ de l'éq. (4.3.98), que l'on va évaluer maintenant, est protégé d'une telle divergence par le facteur $y$ supplémentaire. Etant régulier on pourra prendre $\epsilon = 0$ et on trouve :

$$ \Lambda_{\alpha}^{\text{régulier}}(p; p') = -\frac{\alpha}{4\pi} \left( \gamma_{\alpha} (1 - 2(3m^2 - q^2)I_1) - im\sigma_{\alpha\beta}q^{\beta}I_1 \right), \qquad (4.3.106) $$

où $\sigma_{\alpha\beta} = i[\gamma_\alpha, \gamma_\beta]/2$. Cette dernière expression requiert quelques explications : l'intégrale sur $y$ du dernier terme fait apparaître des combinaisons du type $p_\alpha(1-x) + p'_\alpha x$ et $p'_\alpha(1-x) + p_\alpha x$, le reste de l'intégrand étant symétrique dans l'échange $x \leftrightarrow 1-x$ on peut facilement montrer que ce terme sera finalement proportionnel à $p'_\alpha + p_\alpha$. On peut alors utiliser l'identité de Gordon qui permet d'écrire

$$ p'_{\alpha} + p_{\alpha} = 2m\gamma_{\alpha} - i\sigma_{\alpha\beta}q^{\beta} \qquad (4.3.107) $$

lorsque l'expression est insérée entre les spineurs $\bar{u}(p')$ à gauche et $u(p)$ à droite. Le diagramme de vertex à une boucle, y compris le contre-terme peut alors s'écrire en introduisant les facteurs de forme électrique $F_1(q^2)$ et magnétique $F_2(q^2)$ :

$$ \Lambda_{\alpha}(p; p') = \gamma_{\alpha} F_{1}(q^{2}) + \frac{i}{2m} \sigma_{\alpha\beta} q^{\beta} F_{2}(q^{2}), \qquad (4.3.108) $$

avec

$$ F_1(q^2) = \frac{\alpha}{4\pi} \left\{ \left[ \frac{1}{\epsilon} + \ln(4\pi) - \gamma \right] + (2m^2 - q^2) \left( \left[ \frac{1}{\epsilon_{ir}} + \ln(4\pi) - \gamma \right] I_1 - I_2 \right) \right. \\ \left. \qquad + 2(3m^2 - q^2) I_1 - 2 - I_0 + (Z_1 - 1) \right\}, \\ F_2(q^2) = \frac{\alpha}{2\pi} m^2 I_1. \qquad (4.3.109) $$

Les divergences sont contenues dans le terme proportionnel à $\gamma_\alpha$ qui a la même forme que le vertex à l'ordre le plus bas tandis qu'un nouveau terme fini, $F_2(q^2)$, avec une forme différente apparaît.

### Renormalisation dans le schéma $\overline{MS}$

Le choix

$$ Z_1^{\overline{MS}} = 1 - \frac{\alpha}{4\pi} \left[ \frac{1}{\epsilon} + \ln(4\pi) - \gamma \right] \qquad (4.3.110) $$

compense le terme divergent dans l'ultraviolet et l'on retrouve bien par calcul direct $Z_1 = Z_2$ (éq.(4.2.63) comme annoncé. Le vertex à une boucle a alors une forme compliquée et contient des
termes divergents dans l'infra-rouge mais qui n'est qu'un facteur multiplicatif du vertex de Born. On trouve :

$$F_1^{\overline{MS}}(q^2) = \frac{\alpha}{4\pi} \left\{ (2m^2 - q^2) \left( \left[ \frac{1}{\varepsilon_{ir}} + \ln(4\pi) - \gamma \right] I_1 - I_2 \right) + 2(3m^2 - q^2) I_1 - 2I_0 \right\}. \quad (4.3.111)$$

### Renormalisation dans le schéma ON

Ce schéma est défini par la condition :

$$F_1(q^2) = 1 \text{ à } q^2 = 0. \qquad (4.3.112)$$

Dans ces conditions on a :

$$I_0 = \ln \frac{m^2}{\mu^2}, \quad I_1 = \frac{1}{m^2}, \quad I_2 = \frac{1}{m^2} \ln \frac{m^2}{\mu^2} \qquad (4.3.113)$$

et on trouve :

$$Z_1^{ON} = 1 - \frac{\alpha}{4\pi} \left( \left[ \frac{1}{\varepsilon} + \ln(4\pi) - \gamma \right] + 2 \left[ \frac{1}{\varepsilon_{ir}} + \ln(4\pi) - \gamma \right] + 4 + 3 \ln \frac{\mu^2}{m^2} \right), \quad (4.3.114)$$

ce qui coincide avec les équations (4.2.60) et (4.2.57). Le vertex à une boucle ainsi défini ne contient alors plus de divergences infrarouges à $q^2 = 0$ mais elles subsistent pour tout autre valeur de $q^2$.

## 4.3.2 Moment magnétique anomal de l'électron, du muon et application

Contrairement au facteurs de forme électrique $F_1(q^2)$ qui dépend du shéma de renormalisation, le terme $F_2(q^2)$ en est indépendant<fnref n="3" /> et sa valeur à $q^2 = 0$ ($I_1(q^2 = 0) = 1/m^2$) dénotée $a_e$ ou $(g-2)/2$ est le moment magnétique anomal de l'électron :

$$a_e = \frac{\alpha}{2\pi} \sim 1,16110^{-3} \qquad (4.3.115)$$

dans l'approximation à une boucle. Le moment anomal de l'électron constitue actuellement un des tests les plus précis de QED. Sa valeur expérimentale (en 2016 d'après le Particle Data Group) est :

$$a_e|_{\text{exp}} = (1\,159\,652\,180\,91 \pm 0\,000\,000\,26)\,10^{-6}. \qquad (4.3.116)$$

La précision actuelle est comparable à celle qui consiste à mesurer la distance de la terre à la lune avec une erreur de l'épaisseur d'un cheveu. Le moment anomal a été calculé jusqu'à l'ordre $\alpha^5$ par Kinoshita et al.<fnref n="4" /> et ce calcul peut être utilisé pour obtenir la valeur de la constante de structure fine à partir de l'éq. (4.3.116). On trouve alors pour $\alpha$ (dans le shéma ON) :

$$\alpha^{-1} = 137,035\,999\,1727 \pm 0,000\,000\,0341. \qquad (4.3.117)$$

<footnote n="3">3. En fait l'expression de $a_e$ dépend du shéma de renormalisation car la valeur de $\alpha$ en dépend mais la valeur de $a_e$ ne dépend pas du shéma, ou plutôt sa dépendance est d'un ordre supérieur à celui calculé.</footnote>

<footnote n="4">4. T. Aoyama, M. Hayakawa, T. Kinoshita and M. Nio, Physical Review D85, 03300 (2012)</footnote>
Ce résultat représente à ce jour la détermination la plus précise de $\alpha$. D'autre part, on peut mesurer la constante de stucture fine dans les expériences de physique atomique (mesure du rapport $h/m_{Rb}$ du rapport de la contante de Planck sur la masse de l'atome de $^{87}$Rb$^5$) et on trouve

$$ \alpha^{-1} = 137,035\,999\,049 \pm 0,000\,000\,090. \qquad (4.3.118) $$

Avec cette valeur on prédit le moment anomal de l'électron :

$$ a_e|_{\text{th}} = (1\,159\,652\,181\,78 \pm 0\,000\,000\,77)\,10^{-6}, \qquad (4.3.119) $$

résultat compatible avec la mesure expérimentale ci-dessus.

Le moment magnétique du muon est mesuré à une précision moindre que celle de $a_e$ mais malgré cela il joue un rôle important dans les contraintes sur la "nouvelle physique" (c'est à dire la physique au-delà du Modèle Standard). Sa valeur expérimentale est (Particle Data Group) :

$$ a_{\mu} = (1\,165\,920\,09 \pm 0,000\,06)\,10^{-6}. \qquad (4.3.120) $$

Il existe actuellement un désaccord entre théorie et expérience qui est estimé à$^6$

$$ a_{\mu}^{\text{exp}} - a_{\mu}^{\text{th}} = \delta a_{\mu} = (0,002\,87 \pm 0,000\,80)\,10^{-6}, \qquad (4.3.121) $$

soit un écart de 3,5 déviations standards$^7$. Cette différence peut être due soit à une mauvaise estimation des erreurs expérimentales et/ou théoriques (soit à une erreur dans la mesure et/ou dans le calcul dans le cadre du Modèle Standard!), soit à une contribution de "nouvelle physique" à $a_\mu$. En effet on peut estimer, de façon qualitative, que la contribution à une boucle de diagrammes impliquant une nouvelle particule $Z'$ de masse $M'$, avec un couplage $g'$ aux muons ($\alpha' = g'^2/4\pi$)

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

induit, en général, une correction de l'ordre de $(\alpha'/2\pi)m_\mu^2/M'^2$ en plus des contributions du Modèle Standard. Pour que ce nouveau terme "explique" la différence entre expérience et prédiction du Modèle Standard il faudrait que

$$ \frac{\alpha' m_{\mu}^2}{2\pi M'^2} \sim \delta a_{\mu} \sim 3 \cdot 10^{-9}, \qquad (4.3.122) $$

<footnote n="5">5. R. Bouchendira, P.Clade, S. Guellalti-Khelifa, F. Nez and F.Biraben, Phys. Rev. Lett. **106**, 080801 (2011).</footnote>

<footnote n="6">6. F. Jegerlehner et A. Nyffeler, Phys. Rep. **377**, 1, 2009 [arXiv:0902.3360).</footnote>

<footnote n="7">7. Dans une revue récente, P. Masjuan [arXiv:1411.6397], cite la valeur théorique $a_\mu = (1\,165\,918\,52 \pm 0,000\,059)\,10^{-6}$ ce qui réduit un peu le désaccord entre théorie et expérience, $\delta a_\mu = 0,001\,57$, soit un écart d'environ $2,8\,\sigma$.</footnote>
avec, dans le schéma $\overline{MS}$, des $Z_i$ de la forme

$$Z_i = 1 + c_i \frac{\Gamma(1+\varepsilon)(4\pi)^\varepsilon}{\varepsilon} \alpha \qquad (4.4.125)$$

Dans le cadre de l'approximation à une boucle (approximation d'ordre $\alpha$) on peut toujours ré-écrire

$$\frac{Z_1^2}{Z_2^2 Z_3} \equiv Z_\alpha = 1 + \frac{c_\alpha(\varepsilon)}{\varepsilon} \alpha \qquad (4.4.126)$$

où la constante $c_\alpha(\varepsilon)$ est connue dès que les $Z_i$ le sont, puisque

$$c_{\alpha}(\varepsilon) = (2c_1 - 2c_2 - c_3) \Gamma(1 + \varepsilon)(4\pi)^{\varepsilon}. \qquad (4.4.127)$$

Dans nos notations simplifiées on a donc

$$\alpha_B = \alpha \mu^{2\varepsilon} Z_\alpha(\alpha, \varepsilon)$$

où $\alpha(\mu)$, le couplage renormalisé, est une fonction de $\mu$. On introduit de façon traditionnelle la fonction $\beta(\alpha)$, dite fonction $\beta$ de Gell-Mann/Low,

$$\beta(\alpha) \equiv \mu^2 \frac{d\alpha}{d\mu^2} = \frac{d\alpha}{d\ln \mu^2}.$$

Le couplage $\alpha_B$ est évidemment indépendant de $\mu^2$: en effet, la masse $\mu$ et le couplage renormalisé ne sont introduits que lorsqu'on sépare la densité lagrangienne, exprimée en fonction des quantités nues, en une partie "renormalisée" et les contre-termes (voir l'éq. (4.0.5)) :

$$\mathcal{L}(\psi_B, \alpha_B, A_B^\mu) = \mathcal{L}(\psi, \alpha, A^\mu; \mu^2) + \delta\mathcal{L}(\psi, \alpha, A^\mu; \delta Z_i; \mu^2).$$

On a donc

$$\mu^2 \frac{d\alpha_B}{d\mu^2} \equiv 0 \qquad (4.4.128)$$

ce qui implique

$$\mu^2 \frac{d}{d\mu^2} (\alpha \mu^{2\varepsilon} Z_{\alpha}(\alpha, \varepsilon)) \equiv \beta(\alpha) \mu^{2\varepsilon} Z_{\alpha}(\alpha, \varepsilon) + \varepsilon\alpha\mu^{2\varepsilon}Z_{\alpha}(\alpha, \varepsilon) + \alpha\mu^{2\varepsilon}\mu^2 \frac{dZ_{\alpha}(\alpha, \varepsilon)}{d\mu^2} = 0.$$

On simplifie par $\mu^{2\varepsilon}$ et écrivant, puisque $Z_\alpha$ ne dépend que de façon implicite de $\mu^2$,

$$\mu^2 \frac{dZ_\alpha(\alpha, \varepsilon)}{d\mu^2} = \frac{dZ_\alpha(\alpha, \varepsilon)}{d\alpha} \frac{\mu^2 d\alpha}{d\mu^2} = \beta_\alpha \frac{dZ_\alpha(\alpha, \varepsilon)}{d\alpha},$$

on trouve

$$\beta(\alpha) Z_{\alpha}(\alpha, \varepsilon) + \varepsilon \alpha Z_{\alpha}(\alpha, \varepsilon) + \alpha \beta(\alpha) \frac{dZ_{\alpha}(\alpha, \varepsilon)}{d\alpha} = 0, \qquad (4.4.129)$$

soit

$$\beta(\alpha) = - \frac{\varepsilon \alpha}{1 + \alpha \frac{dZ_{\alpha}(\alpha, \varepsilon)}{d\alpha} / Z_{\alpha}(\alpha, \varepsilon)} \qquad (4.4.130)$$
Puisque l'on fait un calcul perturbatif en le couplage $\alpha$, ne gardant que les deux premiers ordres, il est justifié de faire l'approximation $Z_\alpha(\alpha, \varepsilon) \simeq 1$ dans l'équation ci-dessus et d'écrire de plus

$$ \beta(\alpha) \simeq -\varepsilon\alpha \left(1 - \alpha \frac{dZ_{\alpha}(\alpha, \varepsilon)}{d\alpha}\right). \qquad (4.4.131) $$

Substituant alors (voir l'éq. (4.4.126))

$$ \frac{dZ_{\alpha}(\alpha, \varepsilon)}{d\alpha} = \frac{c_{\alpha}(\varepsilon)}{\varepsilon} $$

il vient :

$$ \beta(\alpha) \simeq -\varepsilon\alpha + c_{\alpha}(\varepsilon) \alpha^2 + \mathcal{O}(\alpha^3). \qquad (4.4.132) $$

On peut alors prendre la limite $\varepsilon \to 0$ partout puisqu'il n'y a plus de divergence dans l'expression et on voit que

$$ \beta(\alpha) \equiv \frac{d\alpha}{d\ln \mu^2} = c_{\alpha}(0) \alpha^2 + \mathcal{O}(\alpha^3). \qquad (4.4.133) $$

$c_\alpha(0)$, dénoté maintenant simplement par $c_\alpha$, est connu via l'équation (4.4.127). Ceci est la forme générique de la fonction de Gell-Mann/Low au premier ordre non trivial de la théorie des perturbations. Le signe de la constante $c_\alpha(0)$ détermine la variation du couplage renormalisé en fonction de l'échelle d'énergie : croissant avec $\mu$ si $c_\alpha$ est positif, décroissant dans le cas contraire. Si $c_\alpha(0) = 0$ la théorie est dite invariante conforme. Intégrant l'éq. différentielle (4.4.133),

$$ -\frac{1}{\alpha(\mu^2)} + \frac{1}{\alpha(\mu_0^2)} = c_\alpha(0) \ln \frac{\mu^2}{\mu_0^2} + \mathcal{O}(\ln(\alpha(\mu^2)/\alpha(\mu_0^2))) $$

on obtient le couplage mobile sous sa forme usuelle,

$$ \alpha(\mu^2) = \frac{\alpha(\mu_0^2)}{1 - c_\alpha(0) \alpha(\mu_0^2) \ln(\mu^2/\mu_0^2)} + \mathcal{O}(\alpha^3 \ln(\mu^2/\mu_0^2)) \qquad (4.4.134) $$

où on a utilisé l'approximation $\ln(\alpha(\mu^2)/\alpha(\mu_0^2)) \sim \alpha(\mu_0^2) \ln(\mu^2/\mu_0^2) \sim \alpha(\mu^2) \ln(\mu^2/\mu_0^2)$. Pour QED, on aura donc,

$$ \alpha(\mu^2) = \frac{\alpha(\mu_0^2)}{1 - \frac{\alpha(\mu_0^2)}{3\pi} \ln(\mu^2/\mu_0^2)} + \mathcal{O}(\alpha^3 \ln(\mu^2/\mu_0^2)) \qquad (4.4.135) $$

qui montre que le couplage $\alpha$ croît avec $\mu$. On peut comparer cette équation qui relie, dans le schéma $\overline{MS}$, le couplage renormalisé évalué à deux échelles différentes, à l'équation (4.1.43) exprimant le couplage $\overline{MS}$ en fonction du couplage $\overline{ON}$ : la dépendance en $\mu^2$ est évidemment identique.

### • Remarque

La dérivation du couplage mobile que l'on vient de donner s'applique uniquement au schéma de renormalisation de type $MS$ ou $\overline{MS}$ ou plus généralement aux schémas dont les contre-termes n'ont pas de dépendance explicite en une échelle de masse. Par exemple, dans le schéma $\overline{ON}$, le contre-terme $Z_3$ contient un terme fini en $\ln(m^2/\mu^2)$ qui introduirait un facteur supplémentaire
dans la fonction $\beta(\alpha)$.

### • Remarque

La relation du type $\frac{d\beta}{d\mu} \equiv 0$ (éq. (4.0.3) n'est qu'un cas particulier des équations du groupe de renormalisation qui jouent un rôle fondamental en théorie des champs. Elles expriment que les prédicitions physiques (observables) ne doivent pas dépendre du choix de la procédure de régularisation ni du schéma de renormalisation. En particulier, l'éq. (4.4.134) exprime comment le couplage $\alpha(\mu)$ doit varier en fonction de $\mu$ pour que, quand le "point de renormalisation" $\mu$ varie, les prédicitions physiques soient indépendantes de $\mu$.

### • Remarque : invariance de la charge effective

Suite à la discussion sur la correction de polarisation du vide, on avait introduit de façon très pédestre une charge effective (4.1.36) et on avait montré qu'elle était indépendante du schéma de renormalisation, du moins au premier ordre correctif de la théorie des perturbations. Un argument plus général, valable à tous les ordres, est le suivant. On considère la combinaison $\alpha_B G_B^{\mu\nu}(q)$ où charge et propagateur sont les quantités nues. Introduisant maintenant les quantités renormalisées dans un schéma quelconque $R$ on a (dans la limite $\epsilon = 0$),

$$ \begin{aligned} \alpha_R G_R^{\mu\nu}(q) &= \frac{Z_3 Z_2^2}{Z_1^2} \alpha_B \frac{1}{Z_3} G_B^{\mu\nu}(q) \\ &= \alpha_B G_B^{\mu\nu}(q), \end{aligned} \qquad (4.4.136) $$

en vertu des éqs. (4.0.3), (3.1.36) et de l'indentité de Ward $Z_1 = Z_2$. Le produit de la charge au carré et du propagateur est donc indépendant du schéma de renormalisation. Paramétrant le propagateur comme dans la discussion après l'équation (4.1.27), on voit que, après sommation à tous les ordres de l'insertion de polarisation du vide, l'expression prend la forme :

$$ \alpha_R G_R^{\mu\nu}(q) = \frac{\alpha_R}{1 + \Pi_R(q^2)} (-i) \frac{\mathcal{P}_{\mu\nu}(q)}{q^2 + i\epsilon}. \qquad (4.4.137) $$

Comme la forme tensorielle et le pôle en $q^2$ ne sont pas modifiés par les corrections (invariance de jauge oblige) on a bien prouvé l'invariance de la charge effective en QED définie par :

$$ \bar{\alpha}_R(q^2, \alpha_R) = \frac{\alpha_R}{1 + \Pi^R(q^2)}. \qquad (4.4.138) $$

## 4.5 Identités de Ward-Takahashi

Ce sont des relations entre fonctions de Green avec un nombre différent de pattes externes, par exemple, fonction à trois points (vertex) et fonction à deux points (self-énergie). On considère un diagramme quelconque avec $m$ lignes d'électrons et $n$ photons externes, la structure interne étant arbitraire (voir fig. 4.1). On se concentrera sur la ligne électronique d'impulsion $p$ entrante et $q = p_n$ sortante et on suppose les pattes externes hors couche c'est à dire couplées à un propagateur et non à une fonction d'onde. L'objet en question sera donc de la forme :

$$ \mathcal{F}_0(p, \dots; q, \dots) = \frac{1}{\not{q} - m_e} \dots \frac{1}{\not{p} - m_e} \qquad (4.5.139) $$
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – a) L’amplitude $\mathcal{F}_0(p, \dots; q, \dots)$ ; b) une composante de la fonction $k^\mu \mathcal{F}_\mu(p, \dots; q, \dots; k)$. Le photon (en rouge) d’impulsion $k_\mu$ et de polarisation $\epsilon_\mu$ doit être inséré de toutes les façons possibles sur la ligne fermionique.</figcaption></figure>

où les $\dots$ dans $\mathcal{F}_0$ dénotent tous les impulsions externes qu’il n’est pas nécessaire d’expliciter. On va considérer l’insertion d’un photon d’impulsion $k$ et de vecteur polarisation $\epsilon^\mu(k)$ de toutes les façons possibles de long de la ligne fermionique $(p, q)$. La quantité ainsi définie sera de la forme :

$$ \epsilon^{\mu}(k) \mathcal{F}_{\mu}(p, \dots; q, \dots; k). \qquad (4.5.140) $$

En fait, on va plutôt étudier $k^\mu \mathcal{F}_\mu(p, \dots; q, \dots; k)$ où on a remplacé le vecteur polarisation du photon par son impulsion. L’insertion du photon sur la ligne externe d’impulsion $p$ contribuera :

$$ \dots \frac{i}{\not p_1 - \not k - m_e} \gamma^{\lambda_1} \frac{i}{\not p - \not k - m_e} (-ie \not k) \frac{i}{\not p - m_e} = \dots \frac{i}{\not p_1 - \not k - m_e} \gamma^{\lambda_1} e \left[ -\frac{i}{\not p - m_e} + \frac{i}{\not p - \not k - m_e} \right]. \dots $$

L’insertion du photon sur la ligne interne d’impulsion $p_1$ contribuera :

$$ \dots \gamma^{\lambda_2} \frac{i}{\not p_1 - \not k - m_e} (-ie \not k) \frac{i}{\not p_1 - m_e} \gamma^{\lambda_1} \frac{i}{\not p - m_e} = \dots \gamma^{\lambda_2} e \left[ -\frac{i}{\not p_1 - m_e} + \frac{i}{\not p_1 - \not k - m_e} \right] \gamma^{\lambda_1} \frac{i}{\not p - m_e}. \dots $$
...

L'insertion du photon sur l'impulsion $q = p_n$ contribuera :

$$ \frac{i}{q - m_e} (-ie \not k) \frac{i}{q + \not k - m_e} \gamma^{\lambda_n} \frac{i}{\not p_{n-1} - m_e} \cdots = e \left[ - \frac{i}{q + \not k - m_e} + \frac{i}{q - m_e} \right] \gamma^{\lambda_n} \frac{i}{\not p_{n-1} - m_e} \cdots $$

Le résultat de l'insertion du photon sur la ligne fermionique sera la somme des termes ci-dessus, mais on voit que les termes se compensent 2 à 2 (le terme de gauche dans le crochet d'une ligne compense le terme de droite de la ligne inférieure) de sorte que l'expression recherchée sera de la forme :

$$ k^{\mu} \mathcal{F}_{\mu}(p, \dots; q, \dots; k) = e[\mathcal{F}_{0}(p-k, \dots; q, \dots) - \mathcal{F}_{0}(p, \dots; q+k, \dots)] \quad (4.5.141) $$

Le photon doit également être couplé aux boucles internes de fermions, mais on sait qu'une boucle fermionique ne peut être couplée à un nombre impair de photons, donc de telles insertions ne contribuent pas puisque l'insertion d'un photon sur une boucle du diagramme aura forcément un nombre impair de photons. Dans l'éq. (4.5.141) le membre de gauche a un pôle à $\not p = m$ et un autre à $q = m$ tandis que chacun des membres de droite n'a qu'un de ces pôles<fnref n="8" />.

### Application : amplitude de diffusion avec photons externes

Si on ampute la fonction de Green $\mathcal{F}_{\mu}(p, \dots; q, \dots; k)$ des propagateurs externes on obtient la fonction de Green tronquée $\mathcal{M}_{\mu}(p, \dots; q, \dots; k)$, et si de plus on met les fermions sur couche de masse, c'est à dire

$$ \mathcal{M}_{\mu}(p, \dots; q, \dots; k) = (\not p - m) (q - m) \mathcal{F}_{\mu}(p, \dots; q, \dots; k)|_{\not p, q \to m} \quad (4.5.142) $$

on obtient

$$ k^{\mu} \mathcal{M}_{\mu}(p, \dots; q, \dots; k) = 0 \quad (4.5.143) $$

puisque qu'aucun des termes du membre de droite de l'éq. (4.5.141) n'a les deux pôles. En fait l'expression $\epsilon^{\mu}(k)\mathcal{M}_{\mu}(p, \dots; q, \dots; k)$ est proportionnelle à une amplitude de diffusion et l'éq. ci-dessus montre que si l'on substitue à la polarisation du photon l'impulsion du photon (réel ou virtuel) alors la combinaison est nulle. C'est une contrainte que doit satisfaire toute amplitude avec photons externes.

### Application : identité de Ward et relation $Z_1 = Z_2$

L'éq. (4.5.141) permet de trouver une relation entre la fonction vertex $\Lambda^{\mu}(p; q)$ étudiée en sec. 4.3 et le propagateur du fermion $S_F(q)$. Cette discussion est valable à n'importe quel ordre de la théorie des perturbations étant entendu que les diagrammes considérés sont régularisés mais ne contiennent pas les contre-termes. Dans ce cas, la fonction $\mathcal{F}_0(p, \dots; q, \dots)$ est simplement le propagateur du fermion et $\mathcal{F}^{\mu}$ de l'éq. (4.5.141) est le vertex fermion-fermion-photon incluant les propagateurs des fermions externes. On peut alors écrire :

$$ k^{\mu} S_{F}(q)[-ie\Lambda^{\mu}(p; q)]S_{F}(p) = e(S_{F}(p-k) - S_{F}(q+k)) \quad (4.5.144) $$

que l'on simplifie en

$$ k^{\mu}[-ie\Lambda^{\mu}(p; q)] = e(S_{F}^{-1}(q+k) - S_{F}^{-1}(q)), \quad (4.5.145) $$

<footnote n="8">8. Le raisonnement ci-dessus peut être répété pour toutes les lignes fermioniques du diagramme.</footnote>
où on a utilisé le fait que $p - k = q$. Cette égalité est évidente à l'ordre le plus bas de la théorie des perturbations où $\Lambda^\mu(p; q) = \gamma^\mu$. Aux ordres plus élevés elle implique que les termes divergents dans le vertex sont les mêmes que ceux de la combinaison de l'inverse des propagateurs du membre de droite. Après avoir substitué dans le membre de droite la forme éq. (4.2.54) du propagateur du fermion où l'on a omis les contre-termes,

$$S_F(p) = \frac{i}{(\not p - m - \Sigma_0 + i\epsilon)(1 - \Sigma_1)},$$

on trouve :

$$ \begin{aligned} k^\mu \Lambda_\mu(q+k;q) &= k^\mu (\gamma_\mu + \Lambda_\mu^{\text{boucles}}(q+k;q)) \\ &= k - k\Sigma_1, \end{aligned} \qquad (4.5.146) $$

ce qui permet de conclure que :

$$ \Lambda_{\mu}^{\text{boucles}}(q+k;q) = -\gamma_{\mu}\Sigma_{1}, \qquad (4.5.147) $$

c'est à dire que les divergences ultraviolettes du vertex sont proportionnelles à $\gamma_\mu$ et que, de plus, elles sont les mêmes que celles qui affectent $\Sigma_1$. Le contre-terme qui compensera les divergences du vertex sera donc de la forme $\delta Z_1 \gamma_\mu$ et $\delta Z_1$ contiendra les mêmes termes divergents que le contre-terme de la fonction d'onde du fermion qui satisfait $\delta Z_2 - \Sigma_1 \sim \text{fini}$ dans l'ultraviolet, éq. (4.2.58), et ceci quelque soit l'ordre des perturbations. Il est conventionnel de choisir alors $\delta Z_1 = \delta Z_2$.

## 4.6 Degré superficiel de divergence d'un diagramme

Dans la section précédente on a identifié trois diagrammes divergents dans l'ultraviolet ? Sont ils les seuls ? D'autre part, il est intéressant de pouvoir identifier tous les les diagrammes potentiellement divergents dans l'ultraviolet à tous les ordres. Pour cela on introduit le degré superficiel de divergence $\omega(G)$ d'un graphe $G$ comme la dimension en terme d'impulsion ou de masse de l'intégrale correspondant à ce graphe. On prend $\hbar = c = 1$ comme d'habitude et on étudie le comportement du diagramme supposant que toutes les composantes des impulsions internes tendent vers l'infini. En effet, on s'attend à ce que cette configuration produise la divergence maximale : si $\omega(G) \ge 0$ le diagramme est potentiellement divergent. On peut le calculer sur la base d'une analyse dimensionnelle des différents éléments de ce graphe. Le résultat s'applique aux diagrammes irréductibles à une particule c'est à dire à ceux qui ne peuvent pas être séparés en deux parties disjointes en coupant une ligne interne. On travaille dans un espace-temps à 4 dimensions.

On considère un diagramme arbitraire caractérisé par :

1. $E_F$ fermions externes et $E_B$ bosons externes;

2. $I_F$ propagateurs fermioniques et $I_B$ propagateurs bosoniques : pour chaque propagateur de fermion on associe un facteur $1/p$ et chaque propagateur de boson un facteur $1/p^2$;

3. $n_i$ vertex de type $i$ avec $N = \sum_i n_i$ le nombre total de vertex. Certains vertex peuvent dépendre des impulsions et donc avoir une dimension $d_i$ comme en QCD, par exemple, où le vertex à 3 gluons est linéaire en les impulsions et apporte en conséquence un facteur $p$ à chaque vertex ($d_i = 1$ dans ce cas). En QED le vertex est sans dimension;
4. L le nombre de variables d'impulsions indépendantes sur lesquelles il faut intégrer, chacune de ces impulsions contribuant un facteur $d^4p$.

Le degré superficiel de divergence du diagramme est donc :

$$ \omega(\mathbf{G}) = 4L - I_F - 2I_B + \sum_i n_i d_i. \qquad (4.6.148) $$

Si $\omega(\mathbf{G}) = 0$ la divergence est potentiellement logarithmique ($\int dq/q$), pour $\omega(\mathbf{G}) = 1$ elle serait linéaire et quadratique pour $\omega(\mathbf{G}) = 2$. En QED, le dernier terme est absent car l'unique type de couplage est sans dimension.

On a la relation :

$$ L = I_B + I_F - (N - 1) \qquad (4.6.149) $$

qui exprime le fait que le nombre d'impulsions indépendantes est égal au nombre d'impulsions internes moins le nombre de contraintes sur la conservation d'énergie-impulsion. Il y a une contrainte par vertex mais les N vertex n'apportent que N − 1 contraintes du fait de la conservation d'énergie-impulsion globale. Il est utile de relier le nombre de propagateurs au nombre de pattes externes de même type. Pour cela on compte le nombre de fermions de deux façons différentes en se rappelant qu'un propagateur compte pour deux fermions. Ainsi on a :

$$ E_F + 2I_F = \sum_i n_i f_i \qquad (4.6.150) $$

où le vertex de type i a $f_i$ fermions attachés. De même pour les bosons :

$$ E_B + 2I_B = \sum_i n_i b_i \qquad (4.6.151) $$

où le vertex de type i a $b_i$ bosons attachés. Par exemple, pour QED il y a un seul type de vertex, $i = 1$, et $f_i = 2$ et $b_i = 1$. La combinaison des équations ci-dessus permet d'écrire :

$$ \omega(\mathbf{G}) = 4 - E_B - \frac{3}{2}E_F + \sum_i n_i (b_i + d_i + \frac{3}{2}f_i - 4) \qquad (4.6.152) $$

Il existe une contrainte sur le dernier terme que l'on obtient par une analyse dimensionnelle similaire à celle de la section 3.2.4 : en effet si le vertex de type i provient d'un terme du lagrangien de la forme :

$$ g_i \underbrace{\psi \cdots \psi}_{f_i} \underbrace{A \cdots A}_{b_i} \underbrace{\partial_{\mu} \cdots \partial_{\mu}}_{d_i} \qquad (4.6.153) $$

couplant $f_i$ fermions et $b_i$ bosons avec $d_i$ dérivées et un couplage $g_i$ qui peut être dimensionné de dimension $[g_i]$, alors on a la relation :

$$ 0 = -4 + [g_i] + b_i + d_i + \frac{3}{2}f_i, \qquad (4.6.154) $$

d'où le résultat final :

$$ \omega(\mathbf{G}) = 4 - E_B - \frac{3}{2}E_F - \sum_i n_i [g_i]. \qquad (4.6.155) $$
qui montre que le degré superficiel de divergence ne dépend que du nombre de pattes externes et des constantes de couplage dimensionnés, et qu'il est d'autant plus petit que le nombre de pattes est grand. En QED le résultat est encore plus simple puisqu'aucun couplage n'est dimensionné et le dernier terme peut donc être ignoré. Le cas de QCD est un peu particulier et il est discuté au chapitre 8 (voir la discussion menant à l'éq. (8.1.9)).

D'après l'équation ci-dessus, en QED, les seuls diagrammes superficiellement divergents sont :

$$
\text{— pour } E_B = 0, E_F = 2 \quad \Rightarrow \quad \omega(\mathbf{G}) = 1, \quad \text{la self-énergie du fermion ;}
$$

$$
\text{— pour } E_B = 1, E_F = 2 \Rightarrow \omega(\mathbf{G}) = 0, \text{ le vertex;}
$$

$$
— \text{ pour } E_B = 2, E_F = 0 \Rightarrow \omega(\mathbf{G}) = 2, \text{ la polarisation du vide ;}
$$

$$
— \text{ pour } E_B = 3, E_F = 0 \Rightarrow \omega(\mathbf{G}) = 1, \text{ diagramme à 3 photons ;}
$$

$$
— \text{ pour } E_B = 4, E_F = 0 \Rightarrow \omega(\mathbf{G}) = 0, \text{ diagramme en boîte à quatre photons.}
$$

Les trois premiers diagrammes ont été calculés et on a vérifié qu'ils sont effectivement divergents. Pour les deux dernier cas, si les diagrammes à trois ou quatre photons sont individuellement divergents, l'amplitude ou la fonction de Green correspondante ne l'est pas. En effet, dans le cas à trois photons l'amplitude (à une boucle) est la somme de deux diagrammes dont on peut explicitement se convaincre qu'elle est nulle. Plus généralement, le photon ayant une parité C négative ($A_μ(x) \rightarrow -A_μ(x)$ par tranformation de parité C) l'amplitude à un nombre impair de photons est nulle puisque l'interaction électromagnétique conserve la parité. Dans le cas à quatre photons, l'amplitude ou la fonction de Green correspondante est la somme de trois diagrammes qui est finie. Ceci est une conséquence de l'invariance de jauge. L'amplitude, tronquée des vecteurs polarisation, $M_{μνρσ}(p_1, p_2, p_3, p_4)$ peut être écrite comme une somme de tenseurs (correctement symétrisés), $g_{μν}g_{ρσ}$, $p_{iμ}p_{jν}g_{ρσ}$, $p_{iμ}p_{jν}p_{kρ}p_{lσ}$ à coefficients scalaires. Les contraintes :

$$
p_i^\mu \mathcal{M}_{\mu\nu\rho\sigma}(p_1, p_2, p_3, p_4) = 0,
$$

par exemple, implique que le coefficient des termes en $g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma}$ est proportionnel aux $p_i \cdot p_j$ et le
résulat final sera de la forme $p_i \cdot p_j \int d^4p/p^6$ ou $p_i \cdot p_j p_k \cdot p_l \int d^4p/p^8$ donc convergent. En fait
comme pour la polarisation du vide, qui n'a qu'une divergence logarithmique au lieu de quadra-
tique (voir la discussion sur la contrainte d'invariance de jauge en sec. 4.1), l'invariance de jauge
réduit le degré de divergence de l'amplitude à quatre photons. Si cette amplitude avait été diver-
gente, QED n'aurait pas été renormalisable puisqu'il n'y a pas dans le lagrangien de contre-terme
(terme en $(A_\mu)^4$) pour compenser une telle divergence !

On peut avoir un diagramme superficiellement convergent avec $\omega(\mathbf{G}) < 0$ dont des sous-diagrammes sont divergents comme par exemple l'insertion d'une self-énergie sur une ligne fermionique interne ou bien d'une correction au vertex. De telles divergences sont compensées par les contre-termes calculés dans les sections précédentes. Par exemple, le diagramme de diffusion de deux fermions ci-dessous est fini après inclusion des contre-termes $\delta Z_i$ de QED.
<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Dans un diagramme avec $\omega(\mathbf{G}) < 0$, une fois la renormalisation des sous-diagrammes divergents à deux et à trois points effectuée il n'apparaît pas de nouvelle divergence. Pour les trois diagrammes avec $\omega(\mathbf{G}) \ge 0$ les divergences aux ordres supérieurs de la théorie des perturbations sont compensées par le choix des contre-termes $Z_i$ exprimés sous la forme d'un développement perturbatif à coefficients divergents.

Il existe des théories ou modèles avec un couplage dimensionné : par exemple, dans le modèle de Fermi de l'interaction faible, la constante de Fermi $G_F = 1,166 \ 10^{-5} \text{GeV}^{-2}$ ou, en relativité, la constante gravitationnelle (de Newton) $G_N = 6,708 \ 10^{-39} \text{GeV}^{-2}$ dans le système d'unité $\hbar = c = 1$ ($[G_N] = [G_F] = -2$). Le degré de divergence $\omega(\mathbf{G})$, éq. (4.6.155), croît alors avec le nombre de vertex et la théorie est non renormalisable. Par exemple, dans le modèle de Fermi le terme d'interaction est de la forme $G_F \bar{\psi}\psi\bar{\psi}\psi$, qui doît aussi être la forme du contre-terme. Il cependant facile de se convaincre que l'amplitude à 6 fermions a un degré de divergence $\omega(\mathbf{G}) = 1$ et que la divergence ultraviolette associée n'est pas compensée par un contre-terme du lagrangien.
# Chapitre 5

## Compensation des divergences infrarouges

Dans ce chapitre nous allons illustrer sur un exemple concret le théorème de Lee-Kinoshita-Nauenberg<fnref n="1" />, selon lequel les divergences infrarouges se compensent entre termes réels et virtuels lorsque l'on définit correctement l'observable. Nous considérons la diffusion d'un électron sur un noyau de charge Ze et de masse M beaucoup plus grande que toute autre échelle d'énergie du processus. Seule la radiation d'un photon par l'électron sera prise en compte. Le calcul est mené dans le cadre de la régularisation dimensionnelle et du schéma de renormalisation $\overline{MS}$.

### 5.1 Terme de Born

On travaille dans le repère du noyau au repos et on définit la cinématique comme suit :

$$ \begin{array}{ll} \text{noyau initial : } P = (M, \vec{0}), & \text{noyau final : } P = (E', \vec{P}') \\ \text{électron entrant : } p = (\omega, \vec{p}), & \text{électron sortant : } p' = (\omega', \vec{p}'), \\ \text{impulsion de transfert : } q^2 = (p - p')^2 = 2m_e^2 - 2(\omega\omega' - pp'\cos\theta) & (5.1.1) \end{array} $$

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Pour simplifier l'écriture et les calculs on se place dans la limite

$$ M^2 \gg \omega\omega' \sim -q^2 \gg m_e^2 \qquad (5.1.2) $$

<footnote n="1">1. T. Kinoshita, J.Math.Phys. **3** (1962), 650; T.D. Lee, M. Nauenberg Phys.Rev. **133** (1964), B1549.</footnote>
de telle sorte qu'on puisse considérer le noyau comme statique et $q^2 \sim -2\omega\omega'(1 - \cos\theta)$. L'élément de matrice à l'ordre le plus bas s'écrit :

$$ \mathcal{M}^{(0)} = Z(-ie)^2 \bar{u}(P')\gamma_{\mu}u(P) \frac{-i}{q^2 + i\epsilon} \bar{u}(p')\gamma^{\mu}u(p) \quad (5.1.3) $$

Du fait que le noyau est statique l'interaction photon-noyau se réduit à $\bar{u}(P)\gamma_0 u(P)$ et le module de l'élément de matrice au carré moyenné sur les états de spins initiaux et sommé sur les spins finals de l'électron et le noyau devient alors :

$$ \begin{aligned} \bar{\Sigma}|\mathcal{M}^{(0)}|^2 &= \frac{1}{4}Z^2 e^4 \operatorname{Tr} \not P' \gamma_0 \not P \gamma_0 \frac{1}{(q^2)^2} \operatorname{Tr} \not p' \gamma^0 \not p \gamma^0 \\ &= Z^2 e^4 \frac{M^2}{\omega\omega'} \frac{1 + \cos\theta}{(1 - \cos\theta)^2}. \end{aligned} \quad (5.1.4) $$

La section efficace s'écrit :

$$ \sigma^{(0)} = \frac{1}{4M\omega} \int \frac{d^3P'}{(2\pi)^3 2E'} \frac{d^3p'}{(2\pi)^3 2\omega'} (2\pi)^4 \delta^{(4)}(P + p - P' - p') \bar{\Sigma}|\mathcal{M}^{(0)}|^2, \quad (5.1.5) $$

où le facteur de flux est $4\sqrt{(p \cdot P)^2 - m_e^2 M^2} \simeq 4M\omega$ dans le cadre des approximations (5.1.2). On peut faire l'intégrale sur l'impulsion finale $P'$ du noyau à l'aide de la fonction $\delta$ de conservation d'énergie-impulsion pour obtenir $\delta(2M(\omega - \omega') + q^2)$ qui se simplifie en $\delta(\omega - \omega')/2M$ toujours dans le cadre de nos approximations. La section efficace différentielle en l'angle solide $\Omega = (\theta, \phi)$ de diffusion de l'électron devient finalement :

$$ \frac{d\sigma^{(0)}}{d\Omega} = \frac{Z^2 \alpha^2 \cos^2(\theta/2)}{8 \omega^2 \sin^4(\theta/2)} \int d\omega' \delta(\omega - \omega'), \quad (5.1.6) $$

que l'on écrira pour un usage ultérieur :

$$ \frac{d\sigma^{(0)}}{d\Omega d\omega'} = \frac{d\sigma^{\text{Born}}}{d\Omega} \delta(\omega - \omega'). \quad (5.1.7) $$

## 5.2 Corrections virtuelles

Ces corrections ont été calculées au chapitre précédent. Elles sont illustrées dans la figure ci-dessous à laquelle il faut ajouter les diagrammes avec les contre-termes. Ce sont :

- correction au vertex : elle est donnée par l'éq. (4.3.108) et, ignorant le moment magnétique anomal de l'électron qui est fini et dont le calcul de la contribution à la section efficace ne présente pas de difficultés, ce sera le facteur multiplicatif $F_1^{\overline{MS}}(q^2)$ au vertex $\gamma_\mu$ de la ligne d'électron ;

- correction de self-énergie sur les pattes externes : il faudra utiliser $u(p)|_{\overline{MS}}$ et $\bar{u}(p')|_{\overline{MS}}$ (éq. (4.2.80)) comme spineurs pour les électrons, soit pour prendre en compte les deux diagrammes ainsi que le terme de Born :

$$ \bar{u}(p')|_{\overline{MS}} \gamma_{\mu} u(p)|_{\overline{MS}} = \bar{u}(p') \gamma_{\mu} u(p) (1 + \Sigma_{1}^{\overline{MS}}); \quad (5.2.1) $$
— correction au propagateur du photon : elle est prise en compte, comme discuté en sec. (4.1.1), en utilisant dans l'expression de $\mathcal{M}^{(0)}$, non pas la charge renormalisée $\alpha_{\overline{\text{MS}}}$ mais la charge effective définie en éq. (4.1.36) :

$$ \overline{\alpha}(q^2, \alpha_{\overline{\text{MS}}}) = \alpha_{\overline{\text{MS}}}/(1 + \Pi^{\overline{\text{MS}}}(q^2)) \sim \alpha_{\overline{\text{MS}}}(\mu^2)/(1 - \frac{\alpha_{\overline{\text{MS}}}}{3\pi} \ln \frac{q^2}{\mu^2}) $$

qui comme on l'a vu est indépendante du schéma de renormalisation, donc du paramètre arbitraire $\mu$.

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

En résumé les corrections virtuelles sont donc un facteur multiplicatif au terme de Born et on a :

$$ \mathcal{M}^{(0)} + \mathcal{M}_V^{(1)} = \mathcal{M}^{(0)} (1 + F_1^{\overline{\text{MS}}}(q^2) + \Sigma_1^{\overline{\text{MS}}}) \quad (5.2.2) $$

On rappelle l'expression du facteur $\Sigma_1^{\overline{\text{MS}}}$ éq. (4.2.80) :

$$ \Sigma_1^{\overline{\text{MS}}} = \frac{\alpha}{2\pi} \left[ -\left( \frac{1}{\varepsilon_{\text{ir}}} - \gamma + \ln(4\pi) \right) - \frac{3}{2} \ln \frac{\mu^2}{m_e^2} - 2 \right]. \quad (5.2.3) $$

On simplifiera $F_1^{\overline{\text{MS}}}(q^2)$, en accord avec nos hypothèses cinématiques, en prenant la limite $-q^2 \gg m_e^2$ de sorte que les intégrales $I_0$, $I_1$ et $I_2$ se réduisent à (voir éqs. (4.3.101), (4.3.104) respectivement) :

$$ I_0 \sim \ln \frac{-q^2}{\mu^2}, \quad I_1 \sim -\frac{2}{q^2} \ln \frac{-q^2}{m_e^2}, \quad I_2 \sim -\frac{2}{q^2} \ln \frac{-q^2}{\mu^2} \ln \frac{-q^2}{m_e^2} - \frac{1}{q^2} \ln^2 \frac{-q^2}{m_e^2}, \quad -q^2 \gg m_e^2 \quad (5.2.4) $$

et :

$$ F_1^{\overline{\text{MS}}}(q^2) = \frac{\alpha}{4\pi} \left( 2 \left[ \frac{1}{\varepsilon_{\text{ir}}} - \gamma + \ln(4\pi) \right] \ln \frac{-q^2}{m_e^2} - 2 \ln \frac{-q^2}{\mu^2} \ln \frac{-q^2}{m_e^2} - \ln^2 \frac{-q^2}{m_e^2} - \ln \frac{-q^2}{\mu^2} + 4 \ln \frac{-q^2}{m_e^2} \right). \quad (5.2.5) $$

On note la présence de deux types de logarithmes : ceux, non physiques, associés au shéma de renormalisation en $\ln(-q^2/\mu^2)$ et ceux, cinématiques, associés à la masse de l'électron qui seraient
divergents dans le cas d'une masse nulle (singularité de masse ou colinéaire). Le résultat exact de $F_1^{\overline{MS}}(q^2)$ contient évidemment d'autres termes "finis", non logarithmiques, indépendants de $\mu$ et réguliers dans la limite $m_e \to 0$. La contribution des diagrammes virtuels à la section efficace est l'interférence entre l'amplitude de Born et $M_V^{(1)}$ et elle s'écrira donc :

$$ \frac{d\sigma_V^{(1)}}{d\Omega} = \frac{d\sigma^{\text{Born}}}{d\Omega} \int d\omega' \delta(\omega - \omega') (2 F_1^{\overline{MS}} + 2 \Sigma_1^{\overline{MS}}). \qquad (5.2.6) $$

Regroupant avec le terme de Born on aura donc la contribution à la section efficace différentielle :

$$ \frac{d\sigma_V^{(0)+(1)}}{d\Omega d\omega'} = \frac{d\sigma^{\text{Born}}}{d\Omega} (1 + 2 F_1^{\overline{MS}} + 2 \Sigma_1^{\overline{MS}}) \delta(\omega - \omega'). \qquad (5.2.7) $$

## 5.3 Corrections réelles

Elles sont obtenues en prenant en compte les deux diagrammes où un photon réel est émis par le lepton :

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

L'amplitude correspondante est :

$$ \mathcal{M}_R^{(1)} = iZe^2 \bar{u}(P')\gamma_0 u(P) \frac{1}{q^2 + i\epsilon} \bar{u}(p') \left[ \gamma^0 \frac{\not p - \not k + m_e}{(p-k) - m_e^2 + i\epsilon} \gamma^\alpha + \gamma^\alpha \frac{\not p' + \not k + m_e}{(p'+k) - m_e^2 + i\epsilon} \gamma^0 \right] u(p) \varepsilon_\alpha(k) \qquad (5.3.1) $$

où $\varepsilon_\alpha(k)$ est le vecteur polarisation du photon. Pour étudier le comportement infrarouge de cette amplitude on néglige $k$ devant $p$ ou $p'$ dans le numérateur ("approximation du photon mou") ce qui permet de simplifier considérablement la partie entre crochets par les manipulations suivantes :

$$ \begin{aligned} (\not p + m_e)\gamma^\alpha u(p)\varepsilon_\alpha(k) &= (-\gamma^\alpha \not p + m_e\gamma^\alpha + 2p^\alpha) u(p) \varepsilon_\alpha(k) \\ &= 2p \cdot \varepsilon(k) u(p) \end{aligned} \qquad (5.3.2) $$

après usage de l'équation de Dirac. Ceci permet d'écrire la contribution des diagrammes réels comme un facteur multiplicatif à l'amplitude de Born :

$$ \mathcal{M}_R^{(1)} = e \left[ \frac{p' \cdot \varepsilon(k)}{p' \cdot k} - \frac{p \cdot \varepsilon(k)}{p \cdot k} \right] \mathcal{M}^{(0)}, \qquad (5.3.3) $$
expression valable dans l'approximation infrarouge (on a négligé un terme en $k^2$ devant $p \cdot k$ ou $p' \cdot k$ dans les dénominateurs). L'amplitude au carré sera alors après sommation sur la polarisation du photon (on utilise l'éq. (2.4.56)) :

$$ \bar{\Sigma}|\mathcal{M}_R^{(1)}|^2 = \bar{\Sigma}|\mathcal{M}^{(0)}|^2 e^2 \left[ \frac{2 p \cdot p'}{p \cdot k p' \cdot k} - \frac{m_e^2}{(p \cdot k)^2} - \frac{m_e^2}{(p' \cdot k)^2} \right]. \quad (5.3.4) $$

On obtient la section efficace par :

$$ \sigma_R^{(1)} = \frac{1}{4M\omega} \int \frac{d^3P'}{(2\pi)^3 2E'} \frac{d^3p'}{(2\pi)^3 2\omega'} (2\pi)^4 \delta^{(4)}(P + p - P' - p' - k) \bar{\Sigma} |\mathcal{M}^{(0)}|^2 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2k} e^2 \left[ \frac{2 p \cdot p'}{p \cdot k p' \cdot k} - \frac{m_e^2}{(p \cdot k)^2} - \frac{m_e^2}{(p' \cdot k)^2} \right]. \quad (5.3.5) $$

L'intégration sur les impulsions finales $P'$ et $p'$ du noyau et de l'électron se fait de la même manière qu'en éqs. (5.1.5) et (5.1.6) ce qui permet d'écrire :

$$ \frac{d\sigma_R^{(1)}}{d\Omega} = \frac{d\sigma^{\text{Born}}}{d\Omega} \int d\omega' \delta(\omega - \omega' - k) \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2k} e^2 \left[ \frac{2 p \cdot p'}{p \cdot k p' \cdot k} - \frac{m_e^2}{(p \cdot k)^2} - \frac{m_e^2}{(p' \cdot k)^2} \right], \quad (5.3.6) $$

où on a factorisé dans la section efficace une partie proportionnelle à la section efficace de Born (dans laquelle on a pris $\omega' = \omega$, négligeant ainsi la dépendance en $k$ en accord avec l'approximation qui mène à l'éq. (5.3.3)). Il est évident que chacun des termes entre crochets est divergent quand l'impulsion $k$ du photon tend vers 0 puisque chacun des termes se comporte comme $\int dk/k$ : ces sont des termes singuliers dans l'infrarouge. Pour régulariser ces divergences on va évaluer l'intégrale dans un espace à $n-1$ dimensions avec, comme dans le chapitre précédent, $n = 4-2\epsilon$ ce qui amène à faire la substitution :

$$ e^2 \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2k} \rightarrow e^2 \mu^{2\epsilon} \frac{d^{n-1}k}{(2\pi)^{n-1} 2k} \quad (5.3.7) $$

où l'introduction du facteur $\mu^{2\epsilon}$ est nécessaire pour que la section efficace garde la bonne dimension. Pour évaluer de telles intégrales on se reporte aux éqs. (3.2.12), (3.2.13) avec la différence que l'on a ici un vecteur euclidien en $(n-1)$ dimensions et que l'intégrale sur l'angle polaire $\theta_1$ du photon avec l'électron ne peut être faite à l'aide de l'éq. (3.2.14) puisque l'intégrand en dépend. Considérons par exemple le terme :

$$ e^2 \mu^{2\epsilon} \int \frac{d^{n-1}k}{(2\pi)^{n-1} 2k} \frac{m_e^2}{(p \cdot k)^2} = \frac{e^2 \mu^{2\epsilon}}{(2\pi)^{n-1}} \int \frac{k^{n-3}dk}{2} \int_0^\pi (\sin \theta_1)^{n-3} d\theta_1 \int d\Omega_{n-3} \frac{m_e^2}{k^2(\omega - p \cos \theta_1)^2}. \quad (5.3.8) $$

Faisant l'intégrale sur l'angle solide $d\Omega_{n-3}$ à l'aide de l'éq. (3.2.14) et passant à la notation en $\epsilon$ il faudra alors calculer :

$$ \frac{\alpha}{2\pi} \frac{(4\pi\mu^2)^\epsilon}{\Gamma(1-\epsilon)} \int \frac{dk}{k^{1+2\epsilon}} \int_{-1}^{1} (1-\cos^2\theta_1)^{-\epsilon} d\cos\theta_1 \frac{m_e^2}{(\omega-p\cos\theta_1)^2}. \quad (5.3.9) $$

On remarque que les intégrales sur l'impulsion et l'angle polaire se factorisent, la première donnant lieu à la divergence infrarouge régularisée $-1/\epsilon_{ir}$. La section efficace différentielle de production avec émission d'un photon pourra alors s'écrire :

$$ \frac{d\sigma_R^{(1)}}{d\Omega d\omega'} = \frac{d\sigma^{\text{Born}}}{d\Omega} \mu^{2\epsilon} \int \frac{dk}{k^{1+2\epsilon}} \delta(\omega - \omega' - k) (2J_1 + J_2) \quad (5.3.10) $$
avec :

$$
\begin{align}
J_1 &= -\frac{\alpha (4\pi)^\epsilon}{2\pi \Gamma(1-\epsilon)} \int_{-1}^{1} (1-\cos^2\theta_1)^{-\epsilon} d\cos\theta_1 \frac{m_e^2}{(p \cdot \hat{k})^2} \nonumber \\
J_2 &= \frac{\alpha (4\pi)^\epsilon}{2\pi \Gamma(1-\epsilon)} \int_{-1}^{1} (1-\cos^2\theta_1)^{-\epsilon} d\cos\theta_1 \frac{2p \cdot p'}{p \cdot \hat{k} p' \cdot \hat{k}}, \tag{5.3.11}
\end{align}
$$

où $\hat{k} = (1, \vec{k} / |k|)$ définit l'angle $\theta_1$ du photon avec l'impulsion de l'électron. Pour évaluer facilement $J_2$ on peut choisir un repère tel que $\vec{p} + \vec{p}' = 0$.

5.4 Définition de la section efficace

Avant d'évaluer ces expressions il convient de définir l'observable que l'on veut calculer. On mesure
le taux de diffusion d'un électron relativiste d'énergie ω' à un angle solide Ω = (θ, φ) après diffusion
sur un noyau statique. On distingue deux possibilités. Si ω' < ω, seules les corrections réelles
apportent une contribution et on a d'après l'éq. (5.3.10) :

$$
\frac{d\sigma^{(1)}}{d\Omega d\omega'} = \frac{d\sigma^{\text{Born}}}{d\Omega} \frac{1}{\omega - \omega'} (2J_1 + J_2), \quad \omega' < \omega, \qquad (5.4.1)
$$

où on a fait $\epsilon = 0$ puisque $\omega - \omega'$ agit comme cut-off infra-rouge. On rappelle que cette expression est valable pour une énergie du photon $\omega - \omega'$ pas trop grande devant $\omega$ du fait de nos hypothèses cinématiques simplificatrices. En fait, le détecteur a une certaine résolution $\delta\omega$ en énergie, c’est à dire que la section efficace observée sera définie comme la moyenne de la section efficace mesurée dans le petit intervalle $[\omega' - \delta\omega, \omega']$ soit :

$$
\frac{d\sigma^{\text{obs}}}{d\Omega d\omega'} = \frac{1}{\delta\omega} \int_{\omega'-\delta\omega}^{\omega'} d\omega'' \frac{d\sigma^{(1)}}{d\Omega d\omega''} \approx \frac{d\sigma^{(1)}}{d\Omega d\omega'}. \quad (5.4.2)
$$

Si maintenant $\omega' = \omega$, alors Born, réels et virtuels contribuent de sorte que on a :

$$
\frac{d\sigma^{\text{obs}}}{d\Omega d\omega} = \frac{1}{\delta\omega} \int_{\omega-\delta\omega}^{\omega} d\omega' \frac{d\sigma}{d\Omega d\omega'}. \quad (5.4.3)
$$

où l'intégrand est la somme des contributions éqs. (5.2.7) et (5.3.10). Dans le calcul il faudra
donc prendre en compte le cas où l'électron est produit avec une énergie exactement ω par les
diagrammes de Born et virtuels, ainsi que celui où l'électron est diffusé avec émission d'un photon
de faible énergie. La prédiction théorique est donc :

$$
\begin{align}
\frac{d\sigma^{\text{obs}}}{d\Omega d\omega} &= \frac{d\sigma^{\text{Born}}}{d\Omega} \frac{1}{\delta\omega} \int_{\omega-\delta\omega}^{\omega} d\omega' \left[ (1 + 2 F_1^{\overline{MS}} + 2 \Sigma_1^{\overline{MS}}) \delta(\omega - \omega') \right. \nonumber \\
&\qquad \left. + \mu^{2\epsilon} \int_0^{\omega} \frac{dk}{k^{1+2\epsilon}} \delta(\omega - \omega' - k) (2J_1 + J_2) \right] \nonumber \\
&= \frac{d\sigma^{\text{Born}}}{d\Omega \delta\omega} [1 + 2 F_1^{\overline{MS}} + 2 \Sigma_1^{\overline{MS}} + \mu^{2\epsilon} \int_0^{\delta\omega} \frac{dk}{k^{1+2\epsilon}} (2J_1 + J_2)]. \tag{5.4.4}
\end{align}
$$
L'énergie du photon est contrainte par la résolution du détecteur, $k < \delta\omega$, résolution supposée très petite devant $\omega$ ce qui justifie l'approximation $\omega = \omega'$ que l'on fera dans l'évaluation des intégrales réelles. Ainsi on aura par exemple<fnref n="2" /> :

$$ 
\begin{aligned}
\int_0^{\delta\omega} \mu^{2\epsilon} \frac{dk}{k^{1+2\epsilon}} J_1 &= -\frac{\alpha}{2\pi} \frac{(4\pi\mu^2)^\epsilon}{\Gamma(1-\epsilon)} \int_0^{\delta\omega} \frac{dk}{k^{1+2\epsilon}} \int_{-1}^{1} (1-\cos^2\theta_1)^{-\epsilon} d\cos\theta_1 \frac{m_e^2}{(\omega-p\cos\theta_1)^2} \\
&= -\frac{\alpha}{2\pi} \frac{(4\pi)^\epsilon}{\Gamma(1-\epsilon)} \left[ -\frac{1}{2\epsilon_{ir}} + \ln\frac{\delta\omega}{\mu} \right] \left[ 2 + 2\epsilon \frac{\omega}{p} \ln\frac{(\omega+p)^2}{4m_e^2} \right] \quad (5.4.5)
\end{aligned}
$$

Le premier crochet est le résultat de $\int dk$ et contient la "divergence" infrarouge (la notation $\epsilon_{ir}$ est un mnémonique pour rappeler l'origine de la singularité) accompagnée du terme "non-physique" en $\ln \mu$. On note que le terme en $1/\epsilon_{ir}$ est également à l'origine d'un $\ln (\omega + p)^2/4m_e^2$ par compensation avec le terme en $\epsilon$ du deuxième crochet. On peut se rendre compte que les termes linéaires en $k$ négligés dans les numérateurs de l'éq. (5.3.1) sont de la forme $\int dk \, k^{-2\epsilon}$ et ne donnent donc pas lieu à une divergence infrarouge ni à un terme logarithmique. Après simplification $p \sim \omega$ et ne gardant que les "grands" termes logarithmiques on arrive à :

$$ \int_0^{\delta\omega} \mu^{2\epsilon} \frac{dk}{k^{1+2\epsilon}} J_1 = -\frac{\alpha}{2\pi} \left[ -\left(\frac{1}{\epsilon_{ir}} - \gamma + \ln 4\pi\right) + \ln \frac{(\delta\omega)^2}{\mu^2} - \ln \frac{\omega^2}{m_e^2} \right] \quad (5.4.6) $$

et de façon similaire :

$$ \int_0^{\delta\omega} \mu^{2\epsilon} \frac{dk}{k^{1+2\epsilon}} J_2 = \frac{\alpha}{\pi} \left[ -\left(\frac{1}{\epsilon_{ir}} - \gamma + \ln 4\pi\right) \ln \frac{-q^2}{m_e^2} + \ln \frac{(\delta\omega)^2}{\mu^2} \ln \frac{-q^2}{m_e^2} + \frac{1}{2} \ln^2 \frac{-q^2}{m_e^2} \right]. \quad (5.4.7) $$

On peut alors injecter dans l'éq. (5.4.4) les résultats ci-dessus et on trouve finalement :

$$ \frac{d\sigma^{\text{obs}}}{d\Omega d\delta\omega} = \frac{d\sigma^{\text{Born}}}{d\Omega d\delta\omega} \left[ 1 + \frac{\alpha}{\pi} \left( -\ln \frac{-q^2}{\delta\omega^2} \ln \frac{-q^2}{m_e^2} + \ln \frac{-q^2}{\delta\omega^2} + \frac{3}{2} \ln \frac{-q^2}{m_e^2} + \text{termes finis} \right) \right], \quad (5.4.8) $$

qui est le résultat recherché. On voit que les termes en $1/\epsilon_{ir}$ ainsi que les termes dépendant de $\mu$ sont compensés entre contributions réelles et virtuelles. Le paramètre non physique $\mu$ a été remplacé par la résolution en énergie $\delta\omega$ de l'appareil de mesure. Les termes en $\ln^2(-q^2/m_e^2)$ se compensent aussi mais il reste des facteurs en $\ln -q^2/m_e^2$ qui seraient divergents dans la limite $m_e$ nulle : leur origine est l'intégrale angulaire sur $\cos\theta_1$ dans l'éq. (5.4.5). Si on supposait $m_e = 0$, alors $\omega = p$ et l'intégrale angulaire divergerait en 4 dimensions (divergences en masse ou colinéaires). Si $-q^2$ est trop grand, ou si le détecteur a une résolution trop fine ($\delta\omega$ trop petit), la correction en $\alpha$ de l'équation précédente peut devenir grande et la section efficace calculée au deuxième ordre de la théorie des perturbations est négative ce qui n'a aucun sens. On peut en fait montrer que ces termes, restes de divergences infrarouges, peuvent être "re-sommés" à tous les ordres de la théorie des perturbations et s'exponentient pour trouver le résultat :

$$ \frac{d\sigma^{\text{obs}}}{d\Omega} = \frac{d\sigma^{\text{Born}}}{d\Omega} \exp \left[ -\frac{\alpha}{\pi} \left( \ln \frac{-q^2}{\delta\omega^2} \ln \frac{-q^2}{m_e^2} + \ln \frac{-q^2}{\delta\omega^2} \right) \right] + \dots \quad (5.4.9) $$

$$ \int \frac{\ln x}{(a+bx)^2} = \frac{x \ln x}{a(a+bx)} - \frac{1}{ab} \ln(a+bx) $$

<footnote n="2">2. Le terme en $\epsilon$ de l'intégrale angulaire peut facilement être obtenu à l'aide de</footnote>
qui montre que la section efficace élastique tend vers 0, à petit $\delta\omega$ ou à grands $|q^2|$, du fait de l'émission de photons mous.

• Conclusions

Les calculs perturbatifs engendrent deux types de "grands logarithmes" :

- d'origine infrarouge

- d'origine colinéaire

de sorte qu'après compensation entre termes réels et virtuels les termes résiduels dominants ont la structure suivante :

$$ \frac{\alpha}{\pi} \left( \ln \frac{-q^2}{\delta\omega^2} \ln \frac{-q^2}{m_e^2} (+) \ln \frac{-q^2}{\delta\omega^2} (+) \ln \frac{-q^2}{m_e^2} \right), \qquad (5.4.10) $$

où $\delta\omega$ est la résolution en énergie. Les termes d'origine infrarouge s'exponentient. En QCD, on suppose les quarks légers de masse nulle ce qui conduit à des divergences colinéaires qui seront régularisées soit par l'introduction d'une résolution angulaire comme dans le cas de la section efficace de production de jets (voir secs. 10.2 et 13.3), soit par l'introduction de fonction de structure de partons dans les hadrons (secs. 9.1 et 9.2) ou de hadrons dans les partons (sec. 10.3).
# Chapitre 6

## Hadrons et quarks + ...

Jusque dans les années 1950 on pouvait croire que l'électron, le proton et le pion, découvert en 1947, étaient des constituants élémentaires de la matière. A partir des années 1960, de nombreuses résonances hadroniques ou hadrons furent découverts et on compte maintenant plus d'une centaine de mésons et plus d'une centaine de baryons (cf. Review of Particle Properties 2014). Un si grand nombre d'états hadroniques ne peuvent évidemment pas tous être élémentaires. Pour essayer d'établir un certain ordre dans l'accumulation des données expérimentales, deux approches complémentaires ont été suivies.

La première a consisté à classer les hadrons c'est à dire a en faire la spectroscopie. L'échelle d'énergie caractéristique associée est de l'ordre de la masse des hadrons, soit approximativement le GeV. En 1964, Gell-Mann<fnref n="1" /> et Zweig<fnref n="2" /> suggèrent indépendamment que les hadrons étaient en fait composés de constituants plus fondamentaux : les quarks. Le modèle des quarks était alors plus une méthode de classification des hadrons qu'un modèle dynamique capable de décrire les interactions entre hadrons. Peu avant que le modèle des quarks ait été proposé, Gell-Mann<fnref n="3" /> et Ne'eman<fnref n="4" /> avaient indépendamment montré que les hadrons pouvaient être classés dans des représentations irréductibles du groupe de symétrie SU(3). Ainsi les mésons appartenaient à la représentation singulet 1 ou octet 8 tandis que les baryons appartenaient à la représentation 8 ou décuplet 10 de SU(3). Le modèle des quarks est une réalisation explicite de la symétrie SU(3) de saveur.

L'autre approche a consisté à faire des expériences de diffusion aux plus hautes énergies possibles pour casser le hadron et libérer ses constituants, s'ils existent. C'est ce qui a conduit au modèle des partons de J.D. Bjorken<fnref n="5" /> et R.P. Feynman<fnref n="6" />, formulé en 1969-1972, faisant suite à la découverte, en 1968, de la structure granulaire du proton dans la diffusion *électron-proton* à l'accélérateur linéaire du SLAC par Friedman, Kendall, Taylor et al.<fnref n="7" />.

<footnote n="1">1. M. Gell-Mann Phys. Lett. **8** (1964) 214.</footnote>

<footnote n="2">2. G. Zweig, prétirage CERN-TH-412 (1964) ; cet article a été refusé à la publication.</footnote>

<footnote n="3">3. M. Gell-Mann Phys. Rev. **125** (1962) 1067.</footnote>

<footnote n="4">4. Y. Ne'eman Nuc. Phys. **26** (1961) 222.</footnote>

<footnote n="5">5. J. D. Bjorken, Phys. Rev. **179** (1969) 1547.</footnote>

<footnote n="6">6. R.P. Feynman, Photon-hadron interactions, Frontiers in Physics, W.A. Benjamin, Reading, Massachusetts, 1972.</footnote>

<footnote n="7">7. E. D. Bloom et al., Phys. Rev. Lett. **23** (1969) 930; M. Breidenbach et al., ibid. 935.</footnote>
## 6.1 Spectroscopie et modèle des quarks

Considérons d'abord le système plus simple du proton et du neutron. On les distingue essentiellement par leurs propriétés électromagnétiques puisqu'ils subissent la même interaction forte et qu'ils ont presque la même masse.

### • L'isospin

Pour "comprendre" ceci Heisenberg a introduit la notion d'**isospin** et a considéré que le proton et le neutron étaient les deux membres d'un même doublet (2) d'isospin :

$$ 
\begin{array}{l@{\qquad}l}
p \equiv (I = \frac{1}{2}; I_3 = +\frac{1}{2}) & \text{isospin "up", proton} \\
n \equiv (I = \frac{1}{2}; I_3 = -\frac{1}{2}) & \text{isospin "down", neutron}
\end{array}
$$

Du point de vue des interactions fortes le proton et le neutron apparaissent comme une seule et même particule, le nucléon d'isospin $I = \frac{1}{2}$, leur seule différence étant la charge électrique. Ceci est en analogie formelle avec la notion de spin où une particule de spin $s = \frac{1}{2}$ a deux états de polarisation $s_3 = \pm \frac{1}{2}$. Ceci est illustré par le diagramme

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

Isospin

Pour former le noyau des atomes on combine protons et neutrons et les règles pour obtenir l'isospin d'un système à plusieurs nucléons sont analogues à celles utilisées pour additionner le spin. En particulier, $I_3$ est un nombre quantique additif. Ainsi pour un système de deux nucléons on a

$$ 
\left. 
\begin{array}{lcl}
(pp) & \equiv & (I = 1; I_3 = 1) \\
\frac{1}{\sqrt{2}}(pn + np) & \equiv & (I = 1; I_3 = 0) \\
(nn) & \equiv & (I = 1; I_3 = -1)
\end{array}
\right\} \text{triplet (3) d'isospin} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}(pn - np) \equiv (I = 0; I_3 = 0) \text{ singulet (1) d'isospin}
$$

### • Le groupe SU(2)

En langage mathématique on dit que le proton et le neutron appartiennent à la représentation fondamentale du groupe de symétrie SU(2). Les deux éléments de cette représentation sont dénotés

$$ \zeta^1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \text{ pour le proton et } \zeta^2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ pour le neutron,} $$

et l'action d'un élément du groupe sur la représentation fondamentale est donnée par

$$ U(\theta_i) = e^{-i\theta_i \frac{\sigma_i}{2}}, \quad i = 1, 2, 3 $$

où les générateurs $\sigma_i$ sont les matrices de Pauli

$$ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$
qui satisfont

$$ \left[ \frac{\sigma_i}{2}, \frac{\sigma_j}{2} \right] = i \epsilon_{ijk} \frac{\sigma_k}{2}. $$

Le tenseur $\epsilon_{ijk}$ est totalement antisymétrique avec $\epsilon_{123} = 1$. Les $\theta_i$, introduits plus haut, sont des nombres réels. L'opérateur d'isospin $I_3$ est donc représenté par $I_3 = \frac{\sigma_3}{2}$ puisque

$$ I_3 \zeta^1 = \frac{1}{2} \zeta_1, \quad I_3 \zeta^2 = -\frac{1}{2} \zeta^2 $$

en accord avec les nombres quantiques $I_3$ assignés au proton et au neutron. On peut remarquer que la matrice $U(\theta_i)$ est unitaire ($U^\dagger U = 1$) puisque les matrices $\sigma_i$ sont hermitiennes ($\sigma_i = \sigma_i^\dagger$). Les transformations du groupe préservent donc la forme $\zeta^\dagger\zeta$. De plus, puisque $\det U(\theta_i) = 1$ on a affaire au groupe SU(2) et non U(2).

Les représentations d'ordre supérieur sont construites comme produits tensoriels de représentations fondamentales. Ainsi la collection des éléments $\zeta^i\zeta^j$ peut être décomposée en

$$ \zeta^i \zeta^j = \zeta^{\{ij\}} + \zeta^{[ij]} $$

où $\{ij\}$ ($[ij]$) dénote respectivement la symétrisation (l'antisymétrisation) sur les indices $ij$. On peut facilement montrer que les propriétés de symétrie et d'antisymétrie sont préservées par l'action d'un élément du groupe et qu'aucun sous-ensemble des $\zeta^{\{ij\}}$, $\zeta^{[ij]}$ n'est invariant sous l'action du groupe : on dit que les $\zeta^{\{ij\}}$ et $\zeta^{[ij]}$ sont des représentations irréductibles du groupe SU(2). L'équation ci-dessus signifie simplement que le produit de deux représentations fondamentales se décompose en somme directe de deux représentations irréductibles que l'on écrit

$$ 2 \otimes 2 = 3 \oplus 1 $$

où l'on caractérise chaque représentation **n** par le nombre d'éléments $n$ qu'elle contient. Ainsi, la représentation symétrique a 3 éléments et la représentation antisymétrique un seul élément qui est donc invariant sous l'action du groupe ($I = 0$). On peut généraliser la construction ci-dessus et écrire, par exemple,

$$ \begin{aligned} 2 \otimes 2 \otimes 2 &= (3 \oplus 1) \otimes 2 \\ &= 4 \oplus 2 \oplus 2 \end{aligned} $$

La représentation **4** est composée des éléments totalement symétriques $\zeta^{\{ijk\}}$ alors que chacune des représentations **2** est de symétrie mixte, composée respectivement des éléments $\zeta^{\{[ij]k\}}$ et $\zeta^{\{[ij]k\}}$.

### • L'étrangeté

Parmi tous les hadrons apparaissant dans la table des particules certains ont un temps de vie "extrêmement" long : par exemple le baryon $\Sigma^- \to n\pi^-$ avec un temps de vie $\tau \sim 10^{-10}$ sec est à contraster avec le baryon $\Delta(1232)$, de masse similaire, qui se désintègre aussi en $n\pi$ avec une largeur de l'ordre de $\Gamma = 100$MeV, soit un $\tau \sim 10^{-23}$ sec (on rappelle $\tau = \hbar/\Gamma = 0,67 \ 10^{-23}$[MeVsec]/$\Gamma$[MeV]) qui est une valeur typique pour une résonance hadronique. De même le méson $K$, de masse 494 MeV, a un temps de vie $\tau \sim 10^{-8}$ sec qui est à comparer avec celui du méson $\rho(770)$, par exemple, qui est $\tau \sim 10^{-23}$ sec. Ces particules sont cependant produites en paires avec une section efficace typique des interactions fortes : ainsi la réaction $\pi p \to K\Sigma$ a une
section efficace du même ordre de grandeur que $\pi p \to \rho\Delta$. Pour décrire ce phénomène, Gell-Mann et Nishijima introduisirent, indépendamment, un nouveau nombre quantique additif, l'étrangeté. Toutes les observations expérimentales pouvaient "se comprendre" si l'on supposait que l'étrangeté était une symétrie exacte des interactions fortes (ainsi que des interactions électromagnétiques) c'est-à-dire que le nombre quantique d'étrangeté était conservé lors d'un processus d'interactions fortes. On a assigné l'étrangeté

$$S = 0 \quad \text{à} \quad \pi, \rho, \dots, N, \Delta, \dots \quad (\text{particules ordinaires})$$

$$S = 1 \quad \text{à} \quad K^+, K^0$$

$$S = -1 \quad \text{à} \quad \Lambda, \Sigma^{\pm}, \Sigma^0$$

Les antiparticules ont l'étrangeté $-S$ de la particule. Ainsi les réactions $\pi^- p \to K^+ \Sigma^-$ et $K^- p \to K^0 n$ qui ont une étrangeté $S = 0$ ou $-1$ respectivement sont des processus d'interactions fortes normaux. En revanche les désintégrations $K^+ \to \pi^+ \pi^-$ ou $\Sigma^- \to n \pi^-$ violent la conservation d'étrangeté et ne sont donc pas des processus d'interactions fortes : le taux de désintégration est alors très petit (caractéristiques des interactions faibles) correspondant à un temps de vie très long.

Avec ce nouveau nombre quantique additif à notre disposition, l'idée a alors été d'élargir le groupe de symétrie SU(2) d'isospin. Un candidat "naturel" était SU(3).

## • Le groupe SU(3)

La représentation fondamentale du groupe SU(3) est un triplet 3 d'éléments dénotés

$$\zeta^1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \zeta^2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \zeta^3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

Les éléments du groupe agissant sur cette représentation fondamentale sont paramètrés par les matrices $3 \times 3$

$$U(\theta_j) = e^{-i\theta_j \frac{\lambda_j}{2}} \quad j = 1, \dots, 8; \quad \theta_j \text{ paramètres réels.}$$

Les huit matrices $3 \times 3$ de Gell-Mann, $\lambda_j$, sont pour le groupe SU(3) l'équivalent des matrices de Pauli du groupe SU(2). Elles satisfont les relations d'anticommutation

$$\left[ \frac{\lambda_i}{2}, \frac{\lambda_j}{2} \right] = i f_{ijk} \frac{\lambda_k}{2}$$

où les constantes de structure $f_{ijk}$ du groupe sont totalement antisymétriques sur les indices. Il peut être intéressant d'avoir la forme explicite de certaines matrices $\lambda_j$. Ainsi

$$\lambda_j = \begin{pmatrix} \sigma_j & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad j = 1, 2, 3; \quad \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}; \quad \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$$

On peut construire les représentations d'ordre plus élevé par produit tensoriel de la représentation fondamentale,

$$3 \otimes 3 = 6 \oplus \bar{3}$$
où la représentation **6** est totalement symétrique et la représentation $\bar{\mathbf{3}}$ est la représentation conjuguée de la représentation fondamentale (l'action du groupe sur les éléments de la représentation conjuguée est paramètrée par les matrices $U(\theta_i)^*$). On a de plus

$$ \mathbf{3} \otimes \bar{\mathbf{3}} = \mathbf{8} \oplus \mathbf{1} $$

et

$$ \mathbf{3} \otimes \mathbf{3} \otimes \mathbf{3} = \mathbf{10} \oplus \mathbf{8} \oplus \mathbf{8} \oplus \mathbf{1} $$

où la représentation **10** est totalement symétrique et la représentation singulet **1** est totalement antisymétrique.

On a observé que tous les mésons pouvaient être classés dans les représentations octet et singulet, c'est-à-dire dans des représentations irréductibles construites à partir du produit $\mathbf{3} \otimes \bar{\mathbf{3}}$ tandis que tous les baryons appartenaient à des octets ou des décuplets qui peuvent être construits à partir du produit $\mathbf{3} \otimes \mathbf{3} \otimes \mathbf{3}$. Aucun hadron n'apparaissait comme membre de la représentation fondamentale. Ces observations ont conduit Gell-Mann et Zweig à introduire les quarks comme éléments de la représentation fondamentale de SU(3) et à construire les hadrons à partir des quarks. C'est ce que l'on appelle la symétrie SU(3) de saveur où la saveur dénote ici l'isospin et l'étrangeté. Nous ne parlerons pas des saveurs lourdes telles que le charme, la beauté, le "top" pour lesquelles on peut introduire le groupe SU(4), ....

### Le modèle des quarks de Gell-Mann et Zweig.

On introduit trois quarks<fnref n="8" /> avec les nombres quantiques suivants :

<table><thead><tr><th>quark</th><th>saveur</th><th>spin</th><th>I</th><th>I<sub>3</sub></th><th>S</th><th>B</th><th>Y</th><th>Q</th></tr></thead><tbody><tr><td>u</td><td>up</td><td>1/2</td><td>1/2</td><td>1/2</td><td>0</td><td>1/3</td><td>1/3</td><td>2/3</td></tr><tr><td>d</td><td>down</td><td>1/2</td><td>1/2</td><td>-1/2</td><td>0</td><td>1/3</td><td>1/3</td><td>-1/3</td></tr><tr><td>s</td><td>étrange</td><td>1/2</td><td>0</td><td>0</td><td>-1</td><td>1/3</td><td>-2/3</td><td>-1/3</td></tr></tbody></table>

Le nombre quantique baryonique $B$ est additif et a pour valeur

- $B = 0$ pour les mésons (résonances hadroniques de spin entier ou nul),

- $B = 1$ pour les baryons (résonances de spin $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, ...$)

- $B = -1$ pour les antibaryons.

Il est introduit pour "expliquer" pourquoi le nucléon et plus généralement les baryons ne se désintègrent pas en pions. On a également l'étrangeté $S$ et l'hypercharge, $Y$, qui n'est pas un nombre quantique indépendant puisqu'elle satisfait :

$$ Y = B + S $$

de sorte qu'avec le choix $B = \frac{1}{3}$ pour les quarks la somme de l'hypercharge des membres du triplet de quarks est nulle. Finalement la charge est reliée aux autres nombres quantiques par

$$ Q = I_3 + \frac{Y}{2}. $$

Dans le plan d'isospin et d'hypercharge, les triplets de quarks et d'antiquarks ont la représentation

<footnote n="8">8. Zweig les appelait les as.</footnote>
<figure><img src="image_26.png" /></figure>

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

En termes des éléments de la représentation fondamentale de SU(3) on fait l'identification suivante :

$$u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, d = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, s = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

et les générateurs d'isospin $I_3$ et d'hypercharge sont les matrices diagonales,

$$I_3 = \frac{\lambda_3}{2} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \frac{\lambda_8}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

de telle sorte que

$$\begin{align*} I_3 u &= \frac{1}{2} u, & Y u &= \frac{1}{2} u \\ I_3 d &= -\frac{1}{2} d, & Y d &= \frac{1}{3} d \\ I_3 s &= 0, & Y s &= -\frac{2}{3} s \end{align*}$$

en accord avec les nombres quantiques assignés aux quarks dans le tableau ci-dessus. Les antiquarks, dénotés $\bar{u}$, $\bar{d}$, $\bar{s}$ appartiennent à la représentation conjuguée $\bar{3}$ et, écrits comme vecteurs lignes, se transforment sous l'action de $U^\dagger$ à droite.

## • Les hadrons

Ils sont composés de quarks et d'antiquarks de sorte que leur charge et leur nombre baryonique aient des valeurs entières.

Les mésons, qui ont un nombre baryonique nul ($B=0$) sont des états liés quark-antiquark, soit

$$M = (q_i \bar{q}_j) \qquad i, j = u, d, s...$$

Ils appartiennent donc aux représentations irréductibles **8** et **1** de SU(3)$_{saveur}$ puisque

$$\mathbf{3} \otimes \bar{\mathbf{3}} = \mathbf{8} \oplus \mathbf{1}.$$
Le "nonet" (8 + 1) de mésons a dans le plan $(I_3, Y)$ la représentation suivante

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

Le nonet du $\pi$ (pseudoscalaire de spin$^{parité}$ $J^P = 0^−$)

Il y a trois états neutres c'est-à-dire des états avec $I_3 = Y = 0$ :

1. le singulet dont la fonction d'onde s'écrit

$$1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(u\bar{u} + d\bar{d} + s\bar{s})$$

Cet état est invariant sous l'action du groupe SU(3) et c'est donc aussi un singulet d'isospin, $I = 0$.

2. deux membres de l'octet, l'un d'isospin $I = 1$, de fonction d'onde $\frac{1}{\sqrt{2}}(u\bar{u} - d\bar{d})$ que l'on identifie au $\pi^0$, l'autre, d'isospin $I = 0$, avec la fonction d'onde $\frac{1}{\sqrt{6}}(u\bar{u} + d\bar{d} - 2s\bar{s})$.

La symétrie SU(3)$_{saveur}$ n'étant en fait pas une symétrie exacte (elle est brisée en particulier par les termes de masse des quarks $m_d \sim m_u \neq m_s$) les deux états avec $I = 0$ de l'octet et du singulet se mélangent pour former les mésons $\eta$ et $\eta'$.

On peut classer de cette façon les mésons vecteurs ($J = 1$) associés au méson $\rho$ (nonet du $\rho$) et, prenant en compte le moment angulaire orbital entre les quarks et antiquarks, classer en principe tous les mésons. Il est amusant de constater que le modèle des quarks exclut les états avec les nombres quantiques $J^{PC} = 0^{+-}, 0^{--}$ et $1^{-+}$ (parité P, conjugaison de charge C) pour lesquels il n'existe toujours pas "d'évidence expérimentale" certaine (cf. table de classification des mésons).

Les baryons, de nombre quantique baryonique 1, sont constitués de trois quarks

$$B = (q_i q_j q_k) \quad i, j, k = u, d, s...$$

et du point de vue des représentations on rappelle

$$3 \otimes 3 \otimes 3 = 10 + 8 \oplus 8 \oplus 1$$

Il n'existe pas de baryons correspondant à la représentation **1** totalement antisymétrique. L'octet du proton ($J = \frac{1}{2}$) et le décuplet du $\Delta(J = \frac{3}{2})$ ont la composition suivante
<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Il est à noter que le baryon $\Omega = (sss)$ a été prédit par le modèle des quarks avant sa découverte expérimentale.

### La couleur

L'exemple du décuplet permet d'illustrer de façon simple un problème fondamental du modèle des quarks tel que décrit ci-dessus. Considérons, par exemple, la particule $\Delta^{++} = (uuu)$ et plus précisément le $\Delta^{++}$ en un état de spin $s_z = \frac{3}{2}$ (chaque quark a son spin orienté vers le haut, ce que l'on écrit dans le modèle

$$ \Delta^{++}(s_z = \frac{3}{2}) = (u^\dagger u^\dagger u^\dagger) $$

et la fonction d'onde du $\Delta^{++}$ est symétrique par échange de deux quarks, en contradiction avec la statistique de Fermi-Dirac qui demande que la fonction d'onde soit antisymétrique. Pour résoudre ce problème, on introduit un nouveau nombre quantique, la couleur $^9$. Chaque quark existe en trois variétés de couleurs $i = R, G, B$ de sorte que l'on a

$$ u = \begin{pmatrix} u_R \\ u_G \\ u_B \end{pmatrix} \quad d = \begin{pmatrix} d_R \\ d_G \\ d_B \end{pmatrix} \quad s = \begin{pmatrix} s_R \\ s_G \\ s_B \end{pmatrix} $$

A ce nouveau nombre quantique est associé le groupe de symétrie de couleur SU(3), quelquefois dénoté $SU(3)_c$ pour le distinguer de la symétrie SU(3) de saveur opérant sur les $u, d, s$. Chaque quark est donc un triplet de couleur et on postule que les hadrons sont des **1** de couleur (les hadrons sont incolores) c'est à dire que leur fonction d'onde est invariante sous l'action d'un élément du groupe$^{10}$.

<footnote n="9">9. H. Fritzsch, M. Gell-Mann, H. Leutwyler, Phys. Lett. **47B** (1973) 365.</footnote>

<footnote n="10">10. Avant l'hypothèse de couleur à la Fritzsch/Gell-Mann/Leutwyler, O. W. Greenberg avait introduit les quarks comme parafermions d'ordre 3 (Phys. Rev. Lett. **13** (1964) 598); un peu plus tard, M.Y. Han et Y. Nambu ont proposé un modèle à trois triplets de quarks de charge entière fondé sur une double symétrie SU(3) (Phys. Rev. **139** (1965) B1006); en Union Soviétique le nombre quantique de couleur avait été proposé indépendamment par N. N. Bogoliubov, B. Struminsky et A. Tavkhelidze, in High Energy Physics and Elementary Particles, IAEA, Vienna (1965).</footnote>
Ainsi la fonction d'onde du $\Delta^{++}$ est :

$$ \begin{aligned} \Delta^{++} &= \frac{1}{\sqrt{6}} u_i^\uparrow u_j^\uparrow u_k^\uparrow = \\ &= \frac{1}{\sqrt{6}} (u_R^\uparrow u_G^\uparrow u_B^\uparrow - u_R^\uparrow u_B^\uparrow u_G^\uparrow + u_B^\uparrow u_R^\uparrow u_G^\uparrow - u_B^\uparrow u_G^\uparrow u_R^\uparrow + u_G^\uparrow u_B^\uparrow u_R^\uparrow - u_G^\uparrow u_R^\uparrow u_B^\uparrow) \end{aligned} $$

qui est antisymétrique sous la permutation de deux éléments. De manière générale, la fonction d'onde du baryon est construite de façon qu'elle soit totalement antisymétrique dans l'espace des couleurs mais totalement symétrique en ce qui concerne le moment orbital $\otimes$ spin $\otimes$ saveur. On "comprend" aussi qu'il n'existe pas de baryon dans la représentation **1** de saveur, associé à l'octet du proton et au décuplet du $\Delta$, car sa fonction d'onde serait globalement symétrique, puisqu'antisymétrique à la fois dans l'espace des couleurs et des saveurs.

Les mésons sont aussi des singulets de SU(3)$_c$, et leur fonction d'onde s'écrit, du point de vue de la couleur

$$ M = \frac{1}{\sqrt{3}} \sum_{i}^{3} \bar{q}_{i} q'_{i} = \frac{1}{\sqrt{3}} (\bar{q}_{R} q'_{R} + \bar{q}_{G} q'_{G} + \bar{q}_{B} q'_{B}) $$

Les règles ci-dessus "expliquent" pourquoi il n'existe pas d'états hadroniques ($qq$) ou ($qq\bar{q}$) puisqu'ils ne sont pas des **1** de couleur, mais n'exclut pas l'existence de mésons ($qq\bar{q}\bar{q}$) (tetraquarks) ou de baryons ($qq\bar{q}\bar{q}$) (pentaquarks). Ces états "exotiques" auraient des signatures particulières : mésons doublement chargés, baryons triplement chargés ou avec des nombres quantiques interdits par le modèle : $J^{PC} = 0^{+-}, 0^{--}$ et $1^{-+}$. La recherche de ces états fait l'objet de nombreuses études expérimentales et théoriques mais la situation est en constante évolution, certaines résonances observées dans une expérience n'étant pas vues dans une autre<fnref n="11" />.

On reviendra dans le chapitre consacré à QCD sur le choix de SU(3) plutôt que U(3) ou 0(3) comme groupe de couleur (sec. 7.7).

Si la couleur est nécessaire pour la cohérence interne du modèle des quarks elle est aussi nécessaire du point de vue expérimental comme on peut le voir sur l'exemple suivant et comme on le verra dans les expériences à haute énergie telles que l'annihilation $e^{+} + e^{-} \rightarrow \text{hadrons}$.

* La désintégration $\pi^0 \rightarrow \gamma\gamma$

Le diagramme correspondant à ce processus est

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

<footnote n="11">11. Cependant la collaboration LHCb au CERN a récemment annoncé la découverte non ambigüe de deux états pentaquarks, $P_c(4380)$ et $P_c(4450)$, respectivement de spin 3/2 et 5/2; R. Aaij et al., *Observation of J/ψp resonances consistent with pentaquark states in $\Lambda_b^0 \rightarrow J/\psi K^- p$ decays*, Phys. Rev. Lett. **115** (2015) 072001.</footnote>
Comme la fonction d'onde du $\pi^0 \sim u\bar{u} - d\bar{d}$, l'élément de matrice est de la forme

$$ \mathcal{M}(\pi^0 \to \gamma\gamma) \sim (e_u^2 - e_d^2)N $$

où $e_u, e_d$ sont la charge des quarks et $N = 3$ le nombre de couleurs. Le calcul complet donne

$$ \Gamma(\pi^0 \to \gamma\gamma) = \left(\frac{\alpha}{2\pi}\right)^2 \frac{m_\pi^3}{8\pi f_\pi} (N(e_u^2 - e_d^2))^2 $$

où $f_\pi \approx 93$ MeV est la constante de désintégration du pion (mesurée dans la voie $\pi \to \mu\nu$) qui est une mesure du facteur de forme de la transition $\pi^0$ en $q\bar{q}$. La charge des quarks apparaît au carré dans l'élément de matrice car la boucle de quark se couple à deux photons et le facteur $N$ est nécessaire pour prendre en compte la somme sur toutes les couleurs possibles des quarks dans la boucle. Pour $N = 3$ on trouve un bon accord avec le résultat expérimental alors que l'absence de couleur ($N = 1$) aurait conduit à un résultat 9 fois trop petit.

## 6.2 La diffusion profondément inélastique (DIS).

L'observation que les hadrons ne sont pas élémentaires mais composés de constituants "plus petits" vient aussi des processus de diffusion à haute énergie : comme on le sait, par les relations de Heisenberg, les hautes énergies sont équivalentes aux courtes distances et permettent d'explorer la matière aux petites échelles de longueur. Historiquement, l'expérience qui a joué un rôle fondamental est la diffusion profondément inélastique du nucléon (Deep Inelastic Scattering : DIS) années 1960. Le processus considéré est :

$$ e^{-}N \to e^{-}X \text{ (ou } \mu^{-}N \to \mu^{-}X) $$

où N est un nucléon et X un système hadronique non détecté. En diagramme, nous avons :

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Le photon virtuel émis par l'électron (ou le muon) est absorbé par le nucléon qui se casse en de nombreux hadrons. Cette expérience a été faite dans plusieurs laboratoires (SLAC, CERN, FERMILAB) sur des cibles fixes et plus récemment au collisionneur HERA électron-proton et positon-proton du laboratoire DESY à Hambourg dont les derniers résultats par les collaborations H1 et ZEUS ont été publiés en 2010. Les domaines d'énergie couverts sont typiquement :

<table><tr><td>SLAC</td><td>E<sub>e-</sub> ≈ quelques GeV</td><td>, N au repos</td><td>√s<sub>eN</sub> ~ 5 GeV</td><td>1968</td></tr><tr><td>CERN</td><td>E<sub>μ</sub> ≈ 100 GeV</td><td>, N au repos</td><td>√s<sub>eN</sub> ~ 15 GeV</td><td></td></tr><tr><td>FERMILAB</td><td>E<sub>μ</sub> ≈ 300 GeV</td><td>, N au repos</td><td>√s<sub>eN</sub> ~ 25 GeV</td><td></td></tr><tr><td>HERA</td><td>E<sub>e-</sub> ≈ 27 GeV</td><td>, E<sub>p</sub> ≈ 820 GeV</td><td>√s<sub>eP</sub> ~ 300 GeV</td><td>2010</td></tr></table>
### 6.2.1 Cinématique de la diffusion lepton-nucléon

Du point de vue expérimental, on n'observe que le lepton sortant à haute énergie et on ne regarde pas les détails du système hadronique. Dans le référentiel du laboratoire on a les impulsions suivantes pour les différentes particules en jeu :

<table><tr><td>nucléon, N</td><td>P = (M, 0̄)</td></tr><tr><td>e<sup>-</sup> entrant,</td><td>k = (ω, 0, 0, k) ≃ (ω, 0, 0, ω), ω &gg; m, masse du lepton</td></tr><tr><td>e<sup>-</sup> sortant,</td><td>k' = (ω', ω' sin θ, 0, ω' cos θ)</td></tr><tr><td>photon virtuel,</td><td>q = (ω - ω', -ω' sin θ, 0, ω - ω' cos θ), impulsion du transfert,</td></tr></table>

où θ est l'angle de diffusion du lepton. On utilise habituellement les variables suivantes :

$$ \begin{gathered} Q^2 = -q^2 = 4\omega\omega' \sin^2 \frac{\theta}{2}, \quad \text{carré de l'impulsion de transfert} \\ \nu = \omega - \omega', \qquad \text{énergie du } \gamma^* \text{ dans le laboratoire} \\ y = \frac{2Pq}{2Pk} = \frac{\nu}{\omega}, \qquad \text{fraction d'énergie de } e^- \text{ transférée au système hadronique} \quad (6.2.1) \end{gathered} $$

$$ x = \frac{Q^2}{2Pq} = \frac{Q^2}{2M\nu}, \qquad \text{variable de Bjorken, sans dimension} $$

La variable de Bjorken joue un rôle très important dans l'analyse des données de l'inélastique profond et elle aura une signification physique dans le cadre du modèle des partons. On peut alors écrire, pour la collision $γ^*N → X$,

$$ M_X^2 = (P+q)^2 = M^2 + Q^2 \frac{(1-x)}{x} $$

On observe que puisque $M_X^2 > M^2$ (le nucléon étant le plus léger des baryons), on a nécessairement

$$ 0 \le x \le 1, $$

le cas $x = 1$ étant celui de la diffusion élastique. On a aussi la contrainte $0 < y < 1$.

On va considérer le cas où $ν$, l'énergie du photon virtuel dans le laboratoire, et $Q^2$, la virtualité du photon, sont grandes, telles que $x = Q^2/(2Mν)$ fini soit $\neq 0, 1$. Cela correspond également à une grande énergie invariante $M_X$ du système photon-hadron. Pourquoi cette limite est-elle intéressante ? D'après les relations de Heisenberg on a

$$ \Delta l \sim \frac{0,2 \text{ GeV fm}}{|\vec{q}| [\text{GeV}]} $$

Si $|\vec{q}|$ varie de $\sim 2$ à $\sim 200$ GeV, alors $\Delta l$ varie de $\sim 10^{-1}$ à $\sim 10^{-3}$ fermi, à comparer à la dimension du proton qui est d'environ 1 fermi $= 10^{-15}$ mètre. Dans cette limite, à haute énergie, le photon a un grand pouvoir de résolution et sert donc à explorer la structure du proton. On peut aussi estimer le temps d'interaction dans le laboratoire qui est de l'ordre de :

$$ \Delta t \sim \frac{6,6 \times 10^{-25} \text{ GeV sec}}{\nu [\text{GeV}]}, \quad \nu \text{ énergie du } \gamma^*, $$
soit $\Delta t \sim 3,310^{-27}$ seconde pour $\nu \sim 200$ GeV. La limite "profondément inélastique" est définie par

$$Q^2 \to \infty$$

$$2M\nu = 2P.q \to \infty \quad \text{de telle sorte que} \quad x = \frac{Q^2}{2P.q} \text{ fini, } \neq 0,1,$$

aussi appelée limite de Bjorken.

### 6.2.2 Dynamique

La section efficace totale de la diffusion $e^-N \to e^-X$ est

$$ \begin{aligned} \sigma &= \frac{1}{4P.k} \int \frac{d^3k'}{(2\pi)^3 2\omega'} \frac{d^4P_X}{(2\pi)^3} (2\pi)^4 \delta^{(4)}(P+q-P_X) \overline{\sum} |\mathcal{M}|^2 \\ &= \frac{1}{4P.k} \int \frac{d^3k'}{(2\pi)^2 2\omega'} \overline{\sum} |\mathcal{M}|^2 \end{aligned} \quad (6.2.2) $$

où $\overline{\sum} |\mathcal{M}|^2$ est le carré de l'élément de matrice de la transition $e^-N \to e^-X$, sommé sur tous les états $X$ et intégré sur l'impulsion du lepton final ainsi que sur la masse et l'impulsion du système $X$. La variable d'intégration est $d^4P_X$ plutôt que le traditionnel $d^3P_X/(2E_X)$ puisque la masse du système $X$ n'est pas fixée (on rappelle $d^3P_X/(2E_X) = d^4P_X\delta(P_X^2 - M_X^2)\theta(E_X)$). Enfin, $1/4P.k$ est le facteur de flux (on néglige la masse des particules initiales). La carré de l'élément de matrice est représenté par

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

et on l'écrit sous forme factorisée,

$$ \overline{\sum}_{\text{spin}} |\mathcal{M}|^2 = \frac{e^4}{(Q^2)^2} L^{\mu\nu} W_{\mu\nu}. \quad (6.2.3) $$

Le facteur $e^4$ est conventionnel. L'interaction photon-lepton $L^{\mu\nu}$ est connue et par application des règles de QED on a, supposant $m_{\text{lept}} = 0$,

$$ L^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \text{Tr}(k'\gamma^\mu k\gamma^\nu) = 2(k^\mu k'^\nu + k^\nu k'^\mu - k.k'g^{\mu\nu}) \quad (6.2.4) $$

qui est un tenseur symétrique en $\mu$ et $\nu$. Le propagateur du photon contribue un facteur $1/(Q^2)^2$ au carré de l'élément de matrice. L'interaction photon-hadron, en revanche, est inconnue et on va donc la paramétrer. Après sommation sur les spins et prise en compte de la contrainte $P_X = P+q$,
$W^{\mu\nu}$ ne dépend plus que des impulsions $P, q$. Le tenseur le plus général que l'on peut construire est le suivant :

$$W^{\mu\nu}(P, q) = V_1 g^{\mu\nu} + V_2 P^{\mu} P^{\nu} + V_3 (q^{\mu} P^{\nu} + q^{\nu} P^{\mu}) + V_4 (q^{\mu} P^{\nu} - q^{\nu} P^{\mu}) + V_5 q^{\mu} q^{\nu} + V_6 \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} P_{\rho} q_{\sigma} \quad (6.2.5)$$

où les $V_i$ sont des fonctions des invariants $V_i(Q^2, P, q, P^2)$ ($\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ est le tenseur totalement antisymétrique défini par $\epsilon^{0123} = 1$). La conservation du courant impose les contraintes $q_{\mu}W^{\mu\nu} = q_{\nu}W^{\mu\nu} = 0$, ce qui implique que les coefficients des vecteurs $q^{\mu}, P^{\mu}$ dans les équations ci-dessus soient nuls, d'où :

$$(V_1 + V_3 P, q + V_4 P, q + V_5 q^2)q^{\mu} + (V_2 P, q + V_3 q^2 - V_4 q^2)P^{\mu} = 0,$$

$$(V_1 + V_3 P, q - V_4 P, q + V_5 q^2)q^{\nu} + (V_2 P, q + V_3 q^2 + V_4 q^2)P^{\nu} = 0.$$

Comme $P^{\mu}$ et $q^{\mu}$ sont deux vecteurs indépendants, on aura :

$$V_4 = 0, \quad V_1 + V_3 P, q + V_5 q^2 = 0, \quad V_2 P, q + V_3 q^2 = 0, \quad (6.2.6)$$

ce qui implique deux fonctions indépendantes parmi les $V_1, \dots, V_5$. D'autre part $V_6$ n'est pas contraint puisque $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}q_{\nu}P_{\rho}q_{\sigma} = 0$, mais il ne contribuera pas à la convolution $L^{\mu\nu}W_{\mu\nu}$ puisque $L^{\mu\nu}$ est symétrique en $\mu\nu$ et ce terme antisymétrique (terme de violation de la parité qui existe effectivement dans la diffusion $\nu N \to eX$, mais pas dans $eN \to eX$). Il est traditionnel de paramétrer le tenseur hadronique par :

$$W^{\mu\nu} = -2MW_1\left(g^{\mu\nu} - \frac{q^{\mu}q^{\nu}}{q^2}\right) + \frac{2W_2}{M}\left(P^{\mu} - \frac{P, q}{q^2}q^{\mu}\right)\left(P^{\nu} - \frac{P, q}{q^2}q^{\nu}\right) \quad (6.2.7)$$

qui est la forme la plus générale pour l'amplitude $W^{\mu\nu}$ qui (i) respecte la parité et (ii) l'invariance de jauge de QED. On a les relations suivantes entre les fonctions $V_i$ et $W_j$ :

$$W_1 = -\frac{V_1}{2M}, \quad W_2 = \frac{M}{2}V_2, \quad V_3 = -\frac{P, q}{q^2}V_2, \quad V_5 = \frac{(P, q)^2}{q^4}V_2 - \frac{V_1}{q^2}. \quad (6.2.8)$$

Les fonctions de structure $W_1, W_2$ dépendent des scalaires $Q^2, 2P, q, P^2 = M^2$ mais on choisit plutôt comme arguments $x = Q^2/2P, q, Q^2, M^2$ et on écrit donc $W_1(x, Q^2, M^2), W_2(x, Q^2, M^2)$. On note que chacun des deux tenseurs composant $W^{\mu\nu}$ satisfait à la condition $q_{\mu}T^{\mu\nu} = 0$. Contractant avec le tenseur leptonique on obtient :

$$\frac{e^4}{(Q^2)^2} L^{\mu\nu} W_{\mu\nu} = \frac{e^4}{(Q^2)^2} 2M \left[ 2W_1 Q^2 + W_2 \left( \frac{4(P, k)(P, k')}{M^2} - Q^2 \right) \right], \quad (6.2.9)$$

avec $k, q = -k', q = -k, k' = q^2/2 = -Q^2/2$. Dans le repère du laboratoire, on a donc $(2P, k = 2M\omega, 2P, k' = 2M\omega')$ :

$$\frac{e^4}{(Q^2)^2} L^{\mu\nu} W_{\mu\nu} = 8M\omega\omega' \frac{e^4}{(Q^2)^2} \left( 2W_1 \sin^2 \frac{\theta}{2} + W_2 \cos^2 \frac{\theta}{2} \right) \quad (6.2.10)$$

Reportant cette expression dans la section efficace lepton-proton éq. (6.2.2) on obtient :

$$\sigma = 2e^4 \int \frac{d^3 k'}{(2\pi)^2 2\omega'} \frac{\omega'}{(Q^2)^2} \left( 2W_1 \sin^2 \frac{\theta}{2} + W_2 \cos^2 \frac{\theta}{2} \right), \quad (6.2.11)$$
d'où, avec $|\vec{k}'| = \omega'$ et $d^3k' = \omega'^2 d\omega'd\cos\theta d\varphi \rightarrow 2\pi\omega'^2 d\omega'd\cos\theta$ ($|M|^2$ ne dépend pas de $\varphi$), on obtient la section efficace différentielle dans le repère du laboratoire :

$$ \frac{d\sigma}{d\omega'd\cos\theta} = \frac{2\pi\alpha^2}{4\omega^2\sin^4\frac{\theta}{2}} \left( 2W_1(x, Q^2, M^2)\sin^2\frac{\theta}{2} + W_2(x, Q^2, M^2)\cos^2\frac{\theta}{2} \right). $$

En utilisant $dQ^2d\nu = 2\omega\omega'd\omega'd\cos\theta$, on peut écrire la section efficace différentielle comme

$$ \frac{d\sigma}{dQ^2d\nu} = \frac{4\pi\alpha^2}{(Q^2)^2} \frac{\omega - \nu}{\omega} \left( 2W_1(x, Q^2, M^2)\sin^2\frac{\theta}{2} + W_2(x, Q^2, M^2)\cos^2\frac{\theta}{2} \right). $$

### Remarques :

- La dynamique de l'interaction $\gamma^*N$ est entièrement contenue dans les fonctions $W_1, W_2$.

- La section efficace décroit quand $\omega$ ou $\theta$ augmente, ou de façon équivalente, quand $Q, \nu$ augmente. Puisque la section efficace à mesurer est très petite il faudra des faisceaux de leptons à très haute luminosité pour obtenir des données à grands $\omega, \theta \leftrightarrow$ grands $Q^2, \nu$.

- à énergie intiale $\omega$ fixée, en jouant sur $\omega', \theta$ on fait varier $x$ et $Q^2$ et on peut extraire $W_1(x, Q^2, M^2), W_2(x, Q^2, M^2)$ expérimentalement.

- les fonctions $W_1, W_2$ ont la dimension de l'inverse d'une masse, en GeV$^{-1}$ par exemple, puisque, si le symbole [...] dénote la dimension en unité de masse d'une quantité on a

$$ \left[ \frac{d\sigma}{dQ^2 d\nu} \right] = \left[ \frac{1}{M^5} \right] = \left[ \frac{W_1}{M^4} \right] = \left[ \frac{W_2}{M^4} \right]. $$

$MW_1, MW_2, \nu W_1 \nu W_2$ sont alors sans dimension. Ne considérant que les fonctions $MW_1$ et $\nu W_2$, qui joueront un rôle plus bas, on peut les exprimer comme fonctions de variables sans dimension et on est en droit d'écrire

$$ MW_1 \left( x, \frac{M^2}{Q^2} \right) = \mathcal{F}_1 \left( x, \frac{M^2}{Q^2} \right), \quad \nu W_2 \left( x, \frac{M^2}{Q^2} \right) = \mathcal{F}_2 \left( x, \frac{M^2}{Q^2} \right). $$

où $MW_1$ et $\nu W_2$ sont les notations historiques et $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ les notations modernes.

### 6.2.3 Résultats de l'expérience

L'expérience permet de mettre en évidence les deux faits importants suivants :

1.

$$ \boxed{\nu W_2 \left( x, \frac{M^2}{Q^2} \right) \equiv \nu W_2(x)} \qquad (6.2.12) $$

c'est-à-dire qu'il n'y a pas de dépendance explicite en $Q^2$, à l'intérieur des barres d'erreurs expérimentales (voir Fig. 6.1). C'est la propriété d'invariance d'échelle. On a même une invariance d'échelle précoce puisque cette propriété est vérifiée pour des valeurs de $Q$ aussi petite que la masse du proton ($\sim 1$ GeV). Si on avait fait un modèle prenant en compte le rayon $R$ du proton on aurait eu une dépendance du type $\exp(-R^2Q^2)$ qui n'est pas observée. Tout se passe donc comme si le photon virtuel était insensible à la taille du proton, en d'autres termes le photon virtuel qui a un pouvoir de résolution meilleur que $10^{-1}$ fermi se couple à un constituent du proton, sans structure, sans dimension, plutôt qu'au proton.
2. La relation

$$2MW_1(x) \equiv \frac{\nu W_2(x)}{x} = \frac{P.q W_2(x)}{Mx} \qquad (6.2.13)$$

est satisfaite expérimentalement (relation de Callan-Gross). Le dernière expression est simplement la forme invariante de $\nu W_2(x)/x$.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 2.1: Résultats expérimentaux de SLAC montrant l'invariance d'échelle de la fonction $\nu W_2$.</figcaption></figure>

FIGURE 6.1 – Résultats expérimentaux de SLAC en 1968, montrant l'invariance d'échelle de la fonction $\nu W_2$ à la valeur de $x = 1/\omega = 0,25$.

Avant de montrer comment ces deux propriétés se comprennent dans le modèle des partons de spin $\frac{1}{2}$, il est utile d'étudier la section différentielle sous forme invariante de Lorentz (⇒ dans un repère général). D'après (6.2.9) et (6.2.2), la section efficace s'écrit

$$\sigma = \frac{1}{4P.k} \frac{e^4}{(2\pi)^2} \int \frac{d^3k'}{2\omega'} \frac{2M}{(Q^2)^2} \left( 2W_1Q^2 + W_2 \left( \frac{4(k.P)(k'.P)}{M^2} - Q^2 \right) \right).$$
Introduisons les "variables de Mandelstam" s, t, u de la diffusion électron-proton,

$$ 
\begin{align} 
(P + k)^2 &= s & 2k.P &= s - M^2 & 2k.q &= -Q^2 \nonumber \\ 
(k - k')^2 &= t &= -Q^2 & & & \nonumber \\ 
(P - k')^2 &= u & 2k'.P &= M^2 - u & 2k'.q &= Q^2, \tag{6.2.14} 
\end{align} 
$$

où l'on a systématiquement négligé la masse des leptons. Le coefficient de $W_2$ devient

$$ - \left( \frac{(s - M^2)(u - M^2)}{M^2} + Q^2 \right) $$

et, en utilisant la relation $s + t + u = M_X^2 + M^2$, $\Rightarrow s + u = Q^2/x + M^2 \sim Q^2/x$ quand $Q^2 \to \infty$, on trouve :

$$ \frac{\omega' d\sigma}{d^3k'} = \frac{\alpha^2}{s} \frac{2}{(Q^2)^2} \left\{ Q^2 \left( 2MW_1 - \frac{W_2 P.q}{M x} \right) + \frac{W_2}{2M} (s^2 + u^2) \right\}. \quad (6.2.15) $$

On remarque que le coefficient du terme en $Q^2$ dans l'expression entre accolades n'est autre que la formulation sous forme invariante de $2MW_1 - \nu W_2/x$ en terme des variables du laboratoire, qui est nul par l'expérience. On obtient donc

$$ \frac{\omega' d\sigma^{\text{exp}}}{d^3k'} = \frac{\alpha^2 (s^2 + u^2) W_2}{s (Q^2)^2 M} \quad (6.2.16) $$

qui est l'expression sous forme invariante de la section efficace $e^{-}N \to e^{-}X$ ou $\mu^{\pm}N \to \mu^{\pm}X$ en tenant compte de la contrainte expérimentale (6.2.13).

**Note** : La forme invariante est nécessaire car le modèle des partons n'est pas formulé dans le repère du laboratoire mais dans le repère où $P^0 = E_{\text{nucléon}} \to \infty$.

## 6.3 Le modèle des partons dans l'inélastique profond

Feynman a proposé de considérer le proton (ou le nucléon) comme composé de partons, qui sont des objets sans structure (ponctuels) dont les nombres quantiques sont a priori inconnus (spin, charge ...), mais qui doivent cependant former un objet de spin, charge, ... connus. On va donc supposer le proton composé de partons de type i portant chacun une impulsion $p_i$ :

$$ p_i = y_i P $$

avec $\sum_i y_i = 1$ et $P = (E, 0, 0, E)$ = impulsion du proton. Toute l'impulsion du proton est portée par les partons. On se place dans un repère où les composantes de $P \to \infty$ et on négligera éventuellement les masses du proton et des partons.

Le postulat de base consiste à décrire l'interaction $\gamma^*$-hadron en termes d'interaction $\gamma^*$-parton puisque le photon très virtuel a un pouvoir de résolution très élevé et qu'il peut donc "voir" les constituants du proton. Ceci est symbolisé par le diagramme suivant où le photon virtuel est absorbé par le parton d'impulsion $p_i$.
<figure><img src="image_34.png" /></figure>

On peut faire le raisonnement très, très, très intuitif (à la russe) suivant pour comparer la durée de l'interaction électromagnétique avec celle caractéristique de l'interaction qui lie les partons entre eux dans le proton :

— Le "temps de vie du photon virtuel" dans le repère d'énergie nulle est $1/\sqrt{Q^2}$ et dans le repère du centre de masse photon-proton il peut être estimé à $(q_0/\sqrt{Q^2}$ est le facteur de "boost" du repère du photon d'énergie nulle à celui du centre de masse) :

$$ \Delta\tau_{\text{em}} \sim \frac{1}{\sqrt{Q^2}} \frac{q_0}{\sqrt{Q^2}} \sim \frac{1}{\sqrt{Q^2}}, $$

où on a négligé un facteur multiplicatif fonction de $x$ d'ordre 1. $\Delta\tau_{\text{em}}$ peut être considéré comme le temps que dure l'interaction électromagnétique dans le repère du centre de masse $\gamma^*-$proton et $\Delta\tau_{\text{em}} \to 0$, quand $\sqrt{Q^2} \to \infty$;

— Le temps caractéristique de l'interaction forte qui confine les partons dans le proton dans le repère au repos du proton est $1/M$ ($M$, masse du proton est la seule échelle de masse-énergie!); dans le repère $\gamma^*-$proton, c'est donc :

$$ \Delta\tau_{\text{int. forte}} \sim \frac{1}{M} \frac{E}{M} \sim \frac{\sqrt{Q^2}}{M^2} $$

Si on compare les temps caractéristiques, on a :

$$ \Delta\tau_{\text{em}} \sim \frac{1}{\sqrt{Q^2}} \ll \Delta\tau_{\text{int. forte}} \sim \frac{\sqrt{Q^2}}{M^2}. $$

On peut donc supposer que pendant le temps $\Delta\tau_{\text{em}}$ que dure l'interaction $\gamma^* p_i$, on va pouvoir négliger l'interaction hadronique qui prend place sur une échelle de temps beaucoup plus grande : les partons apparaissent libres et indépendants. Bien après l'interaction électromagnétique, les partons se recomblivent pour donner des hadrons avec une probabilité unité puisque l'on n'observe que des hadrons dans le système X comme indiqué par le diagramme suivant :
<figure><img src="image_35.png" /></figure>

Les interactions fortes de confinement n'affectent pas l'interaction du $\gamma^*$ avec le parton. Il suffira donc de calculer

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

et d'ajouter ensuite de façon incohérente les sections efficaces invariantes $ep_i$ pour reconstituer la section efficace électron-proton.

### 6.3.1 Section efficace électron-parton

On va décomposer l'amplitude invariante de la manière suivante (cf. éq. 6.2.2) :

$$ | \mathcal{M} |^2_{ep_i} = \frac{e_i^2 e^4}{Q^4} L^{\mu\nu} \underbrace{\hat{W}_{\mu\nu}}_{\text{interact.}\gamma^*-\text{parton}} . $$

où $e_i$ est la charge du parton mesurée par rapport à celle du proton $e$. La charge de l'électron est prise égale à $-e$. On suppose pour le moment que les partons ont un spin $\frac{1}{2}$ (certains partons doivent avoir un spin $\frac{1}{2}$, puisque le proton a $S = \frac{1}{2}$). On suppose que l'interaction photon-parton est de la forme $e_i e \gamma_\mu$ ce qui conduit à poser par analogie avec QED (éq. 6.2.4),

$$ \hat{W}_{\mu\nu} = 2(p_{i\mu}p'_{i\nu} + p_{i\nu}p'_{i\mu} - p_i.p'_i g_{\mu\nu}), $$

où l'impulsion du parton final est $p'_i = p_i + q$. Pour des partons de masse nulle on a alors,

$$ | \mathcal{M} |^2_{ep_i} = 8 \frac{e^4 e_i^2}{Q^4} ((p_i \cdot k)^2 + (p_i \cdot k')^2) = 2 \frac{e^4 e_i^2}{Q^4} (\hat{s}^2 + \hat{u}^2), $$
avec les invariants partoniques $\hat{s} = (p_i + k)^2$ et $\hat{u} = (p_i - k')^2$. La section efficace sera donc :

$$ \hat{\sigma} = \frac{1}{2\hat{s}} \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{d^3 k'}{2\omega'} \frac{d^3 p_i}{2p_i^0} \delta^{(4)}(k + p_i - k' - p_i') |\mathcal{M}|_{ep_i}^2 \quad (6.3.17) $$

$$ = 2 \frac{\alpha^2 e_i^2}{Q^4} \int \frac{d^3 k'}{\omega'} \delta(2p_i \cdot q - Q^2) \frac{\hat{s}^2 + \hat{u}^2}{\hat{s}}. \quad (6.3.18) $$

Au niveau partonique, la section efficace différentielle invariante aura donc la forme :

$$ \frac{\omega' d\hat{\sigma}}{d^3 k'} = 2 \frac{\alpha^2 e_i^2}{Q^4} \frac{\hat{s}^2 + \hat{u}^2}{\hat{s}} \delta(2p_i \cdot q - Q^2). \quad (6.3.19) $$

### 6.3.2 Section efficace électron-proton

Pour obtenir la section efficace hadronique, on va sommer de façon incohérente les diverses contributions partoniques et calculer :

$$ \frac{\omega' d\sigma}{d^3 k'} = \sum_i \int_0^1 dy F_i(y) \left. \frac{\omega' d\hat{\sigma}}{d^3 k'} \right|_{p_i=yP}, \quad (6.3.20) $$

où on exprime les invariants hadroniques en fonction des invariants partoniques et la fraction y d'impulsion du quark dans le proton initial : $\hat{s} = ys$ et $\hat{u} = yu$, $2p_i \cdot q = y2P \cdot q$. Les $F_i(y)$ sont les probabilités de trouver dans le proton un parton de type i portant la fraction d'impulsion y du proton. Dans notre modèle la section hadronique vaut donc :

$$ \begin{align} \frac{\omega' d\sigma}{d^3 k'} &= 2 \frac{\alpha^2}{Q^4} \sum_i e_i^2 \int_0^1 \frac{dy}{y} F_i(y) y^2 \frac{s^2 + u^2}{s} \delta(2yP \cdot q - Q^2) \nonumber \\ &= 2 \underbrace{\frac{\alpha^2}{s} \frac{s^2 + u^2}{Q^4}}_{\text{indep. } y_i} \sum_i e_i^2 \int_0^1 dy F_i(y) y \delta(2yP \cdot q - Q^2) \nonumber \\ &= \frac{\alpha^2}{s} \frac{s^2 + u^2}{Q^4} \sum_i e_i^2 \frac{x}{P \cdot q} F_i(x) \tag{6.3.21} \end{align} $$

avec $y = Q^2/2Pq = x$. Si on compare avec la formule de la section efficace différentielle invariante électron-proton (6.2.16), on peut identifier :

$$ \frac{W_2}{M}(x, \frac{M^2}{Q^2}) = \sum_i e_i^2 \frac{x}{P \cdot q} F_i(x) \quad (6.3.22) $$

qui est équivalent à (dans les variables du laboratoire $P \cdot q = M\nu$ :

$$ \frac{1}{x} \nu W_2(x, \frac{M^2}{Q^2}) = \sum_i e_i^2 F_i(x) \quad (6.3.23) $$
et, comme il n'y a pas de termes en $Q^2$ dans $\frac{\omega' d\sigma}{d^3k'}$ (voir éq. (6.2.15)), on retrouve aussi

$$2MW_1(x, \frac{M^2}{Q^2}) = \frac{1}{x} \nu W_2(x). \qquad (6.3.24)$$

**Remarques :**

- On voit donc que le modèle des partons reproduit bien l'invariance d'échelle, c'est-à-dire $W_2(x, M^2/Q^2) = W_2(x)$;

- La variable $x = Q^2/2P.q$ prend un sens physique : c'est l'impulsion normalisée du parton, dans le proton, qui a subi l'interaction électromagnétique;

- $\nu W_2/x$ est la somme, pondérée par le carré de la charge $e_i^2$, des probabilités de trouver un parton de type $i$, ayant absorbé le photon, à un $x$ donné.

- La relation $2MW_1(x) = \nu W_2(x)/x$ est une conséquence directe du spin $\frac{1}{2}$ des partons et elle montre que, dans le modèle des partons naïf, les seuls partons chargés dans le proton sont de spin $\frac{1}{2}$.

**Exercice :** Montrer que pour des partons de spin 0 (couplage au $\gamma$ donné par $e_i(p_i + p'_i)$) on a $W_1 \equiv 0$.

### 6.3.3 Identification partons ≡ quarks + ...

Il est tentant d'identifier les partons de Feynman aux quarks de Gell-Mann et Zweig et de supposer que le proton et le neutron, dans les expériences d'inélastique profond s'expriment comme dans le modèle des quarks par :

$$\text{proton} = (uud) \\ \text{neutron} = (udd).$$

Ce sont les quarks de valence et on dénote $u_v(x)$ et $d_v(x)$ la distribution de ces quarks $u$ et $d$ dans le proton. Avec le choix standard des charges, $e_u = 2/3$ et $e_d = -1/3$, on voit que le proton et le neutron portent bien la charge 1 et 0 respectivement. Les nombres quantiques du nucléon (charge, spin) sont portés par les quarks de valence. Par la symétrie d'isospin on a les relations entre les densités partoniques du proton ($p$) et du neutron ($n$) :

$$F_u^p(x) = F_d^n(x) = u_v(x) \\ F_d^p(x) = F_u^n(x) = d_v(x)$$

L'expérience montrent que proton et neutron sont plus complexes que le modèle à 3 quarks ci-dessus et qu'ils contiennent également des antiquarks. Ce sont les quarks de la mer, ou "quarks matelots", dont la distribution est $u_m(x) = \bar{u}_m(x)$, $d_m(x) = \bar{d}_m(x)$. La somme des nombres quantiques portés par les quarks de la mer est nulle ce qui explique les égalités précédentes. On définit :

$$u(x) = u_v(x) + u_m(x) \\ d(x) = d_v(x) + d_m(x).$$
En négligeant le rôle des quarks étranges, charmés, "bottom", on peut écrire suivant le modèle des partons (voir éq. (6.3.23)) :

$$ 
\begin{aligned}
\frac{1}{x} \nu W_2^{ep} &= \frac{4}{9} (u(x) + \bar{u}(x)) + \frac{1}{9} (d(x) + \bar{d}(x)) \\
\frac{1}{x} \nu W_2^{en} &= \frac{1}{9} (u(x) + \bar{u}(x)) + \frac{4}{9} (d(x) + \bar{d}(x)).
\end{aligned}
\qquad (6.3.25) $$

où on utilise la notation simplifiée : $u_m = \bar{u}_m = \bar{u}, d_m = \bar{d}_m = \bar{d}$. D'autre part, il est possible de mesurer expérimentalement par la diffusion inélastique sur une cible (isoscalaire) de deutérium $= p + n$ :

$$ \frac{1}{x} \nu W_2^{ep+en} = \frac{5}{9} (u(x) + \bar{u}(x) + d(x) + \bar{d}(x)) $$

et ainsi calculer l'intégrale :

$$ \frac{9}{5} \int_{0}^{1} dx \, \nu W_{2}^{ep+en} = \int_{0}^{1} dx \, x (u(x) + \bar{u}(x) + d(x) + \bar{d}(x)) $$

qui mesure l'impulsion totale, normalisée à celle du proton, portée par les quarks u, d, $\bar{u}$ et $\bar{d}$ dans le nucléon. Si le proton et le neutron étaient formés seulement de quarks et d'antiquarks alors le membre de droite devrait être égal à 1. Mais le résultat de cette expérience est :

$$ \langle x \rangle_{q+\bar{q}} \approx 0.45 \neq 1. \qquad (6.3.26) $$

ce qui signifie que les quarks portent à peine la moitié de l'impulsion du nucléon, le reste étant porté par des partons neutres : il est tentant, alors, d'identifier ces partons neutres aux "gluons" qui lient les quarks entre eux dans le nucléon On peut alors proposer l'image suivante pour le proton :

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

Les quarks sont liés entre eux par une force portée par les gluons en QCD qui mènent à la création de paires virtuelles $u\bar{u}, d\bar{d}$ ($s\bar{s}, c\bar{c}, b\bar{b}$) comme schématisé ci-dessus. On ne sait pas calculer perturbativement de telles interactions dans le proton.
## 6.4 Diffusion neutrino-nucléon et modèle des partons

En complément à cette succinte introduction au modèle des partons naïf, on peut noter que la diffusion $\nu$-nucléon est susceptible d'une description similaire à celle de $e$-nucléon à condition de remplacer l'échange d'un photon virtuel par l'échange d'un boson de jauge $W^{\pm}$ ou $Z$ virtuel suivant que l'on étudie les courants chargé ou neutre. Le cas des diffusions $\nu_{\mu}$-nucléon $\rightarrow \mu^{-}$-nucléon ou $\bar{\nu}_{\mu}$-nucléon $\rightarrow \mu^{+}$-nucléon peuvent s'écrire particulièrement simplement<fnref n="12" />. Dans le premier cas, au vertex leptonique, un $W^{+}$ virtuel est émis qui, dans le cas du modèle des partons, ne peut interagir avec le proton que par $W^{+} + d \rightarrow u$ et $W^{+} + \bar{u} \rightarrow \bar{d}$, tandis que dans le deuxième cas on a, au contraire $W^{-} + u \rightarrow d$ et $W^{-} + \bar{d} \rightarrow \bar{u}$ comme représenté sur la figure ci-dessous :

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

On s'attend alors, de manière similaire à la diffusion $e^{-}$-proton, à avoir les relations de type (cf. équ. (6.3.25)) :

$$ \frac{\nu}{x} W_2^{\nu p}(x) \sim d(x) + \bar{u}(x) \quad \text{et} \quad \frac{\nu}{x} W_2^{\bar{\nu} p}(x) \sim u(x) + \bar{d}(x). \qquad (6.4.27) $$

### 6.4.1 Diffusion neutrino-nucléon : courant chargé

Il existe plusieurs ensembles de données sur la diffusion $\nu$ ou $\bar{\nu}$ sur nucléon ou noyaux<fnref n="13" />. Ils couvrent cependant un domaine en $Q^2$ relativement restreint, typiquement $Q^2 < 200 \text{ GeV}^2$, comparé à la diffusion $e^{\pm}-N$ où on atteint des valeurs de $Q^2 = 3 \ 10^4 \text{ GeV}^2$ à HERA. D'autre part, du fait de la non-conservation de la parité par l'interaction faible, la structure de la diffusion $\nu$ ou $\bar{\nu}$ avec production d'un lepton chargé, est différente de celle de $e^{-}-N$. Suivant l'approche des sections précédentes on va d'abord dériver la forme générale de la section efficace $\nu-N$ et en ensuite celle dans le modèle des partons. La structure de l'amplitude de diffusion est donné par le diagramme

<footnote n="12">12. Les neutrinos sont produits par désintégration des pions chargés (aussi des kaons) et la désintégration du pion en muon ($\pi^{+} \rightarrow \mu^{+} + \nu_{\mu}$, $\pi^{-} \rightarrow \mu^{-} + \bar{\nu}_{\mu}$) est $\sim 10^4$ plus importante qu'en électron ($\pi^{+} \rightarrow e^{+} + \nu_{e}$, $\pi^{-} \rightarrow e^{-} + \bar{\nu}_{e}$).</footnote>

<footnote n="13">13. Collaboration CDHSW, P. Berge et al., Zeit. Phys. C49 (1991) 187; Collaboration E665, M.R. Adams et al., Phys. Rev. D54(1996) 3006; Collaboration Chorus, G. Onengut et al., Phys. Lett. B632 (2006) 65; Collaboration NuTeV, M. Tzanov et al., Phys. Rev. D74(2006) 012008.</footnote>
<figure><img src="image_39.png" /></figure>

où on reconnaît le vertex leptonique, le propagateur du boson W et l'interaction inconnue W-nucléon. Le vertex leptonique est :

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

où on a introduit le couplage $g_W$ du boson W dont on specifiera la forme plus bas. Le propagateur du boson de jauge est :

$$ -i \frac{g^{\alpha\beta} - q^{\alpha} q^{\beta} / M_W^2}{q^2 - M_W^2 + i \Gamma_W M_W} \qquad (6.4.28) $$

Contracté avec le vertex leptonique on voit que les termes proportionnels à $q^\alpha q^\beta / M_W^2$ ne contribuent pas si on néglige la masse des leptons. Comme pour la diffusion $e^-N$ on écrit, sous forme factorisée, le carré de l'amplitude de diffusion intégré sur tout l'espace de phase du système hadronique X, voir éq. (6.2.2) :

$$ \begin{aligned} \int \frac{d^4 P_X}{(2\pi)^3} \sum_{spin} |\mathcal{M}|^2 (2\pi)^4 \delta^{(4)}(P+q-P_X) &= \frac{2\pi g_W^4}{(Q^2+M_W^2)^2 + \Gamma_W^2 M_W^2} L_\nu^{\alpha\beta} W_{\alpha\beta}^{\nu} \\ &= \frac{2\pi g_W^4}{M_W^4} L_\nu^{\alpha\beta} W_{\alpha\beta}^{\nu} \end{aligned} \qquad (6.4.29) $$

où on a substitué le couplage et le propagateur du W à celui du photon. La deuxième ligne est la forme appropriée pour les expériences actuelles où $Q^2 \ll M_W^2$ (on a aussi $\Gamma_W^2 \ll M_W^2$). Le tenseur leptonique est construit à partir du vertex et on trouve :

$$ \begin{aligned} L_{\nu}^{\alpha\beta} &= \mathrm{Tr}[\bar{u}(k')\gamma^{\alpha}(1-\gamma_5)u(k)\bar{u}(k)(1+\gamma_5)\gamma^{\beta}u(k')] \\ &= 8(k'^{\alpha}k^{\beta} + k'^{\beta}k^{\alpha} - g^{\alpha\beta}k.k' - i\epsilon^{\mu\alpha\nu\beta}k'_{\mu}k_{\nu}) \end{aligned} \qquad (6.4.30) $$

où on a introduit le tenseur totalement antisymétrique $\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$ tel que $\mathrm{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma_5) = -4i\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$. On peut voir facilement que pour la diffusion initiée par un $\bar{\nu}$ le signe du dernier terme est modifié (cela revient à permuter $k$ et $k'$) de sorte qu'on peut écrire en toute généralité :

$$ L_{\nu/\bar{\nu}}^{\alpha\beta} = 8(k'^{\alpha}k^{\beta} + k'^{\beta}k^{\alpha} - g^{\alpha\beta}k.k' - i\epsilon_{\nu} \epsilon^{\mu\alpha\nu\beta}k'_{\mu}k_{\nu}) \qquad (6.4.31) $$

avec $\epsilon_\nu = +1$ pour la transition $\nu \to \mu^-$ et $\epsilon_\nu = -1$ pour la transition $\bar{\nu} \to \mu^+$. Quant au tenseur hadronique la forme la plus générale est donnée par l'éq. (6.2.5) mais, après contraction avec $L_\nu^{\alpha\beta}$,
seuls survivent trois termes que l'on écrit (M la masse du nucléon) :

$$W_{\alpha\beta}^{\nu} = -2MW_1g_{\alpha\beta} + \frac{2W_2}{M}P_{\alpha}P_{\beta} + i\frac{W_3}{M}\epsilon_{\rho\alpha\sigma\beta}P^{\rho}q^{\sigma}. \quad (6.4.32)$$

On note la différence d'avec l'éq. (6.2.7) et on a ici une troisième fonction de structure associée au tenseur antisymétrique, conséquence de la violation de parité induite par le couplage $\gamma_\alpha\gamma_5$. Contractant les deux tenseurs on trouve :

$$\frac{g_W^4}{M_W^4} L_\nu^{\alpha\beta} W_{\alpha\beta}^\nu = 8M \frac{g_W^4}{M_W^4} \left[ 2W_1 Q^2 + W_2 \left( \frac{4(k.P)(k'.P)}{M^2} - Q^2 \right) + W_3 \frac{Q^2}{M^2} (k+k').P \right], \quad (6.4.33)$$

le dernier terme issu de la contraction $\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon^{\rho\sigma\alpha\beta} = -2(\delta_{\mu}^{\rho}\delta_{\nu}^{\sigma} - \delta_{\nu}^{\rho}\delta_{\mu}^{\sigma})$. Dans le Modèle Standard, le couplage faible est proportionnel à la charge électrique :

$$g_W = \frac{e}{2\sqrt{2} \sin \theta_W} \quad (6.4.34)$$

avec $\theta_W$, l'angle de mélange faible (souvent appelé angle de Weinberg bien qu'introduit par Glashow). Puisque seul le rapport $g_W/M_W$ intervient dans les expressions il est usuel d'introduire la constante de Fermi définie par :

$$\frac{G_F}{\sqrt{2}} = \frac{e^2}{8 \sin^2 \theta_W M_W^2} \quad (6.4.35)$$

de sorte que l'on a finalement :

$$\frac{g_W^4}{M_W^4} = \frac{G_F^2}{2}. \quad (6.4.36)$$

La section efficace $\nu$-nucléon est alors donnée par (voir éq. (6.2.2)) :

$$\sigma^{\nu} = \frac{1}{4Pk} \int \frac{d^3k'}{(2\pi)^3 2\omega'} 8\pi M G_F^2 L_{\nu}^{\alpha\beta} W_{\alpha\beta}^{\nu} \quad (6.4.37)$$

A partir de ces résultats on obtient facilement la section efficace différentielle exprimée en fonction des invariants éqs. (6.2.14), dans l'approximation $M^2 \ll Q^2$ :

$$\frac{\omega' d\sigma^{\nu/\bar{\nu}}}{d^3k'} = \frac{1}{(2\pi)^2} \frac{G_F^2}{s} \left( Q^2(2MW_1 - \frac{W_2 P.q}{M x}) + \frac{W_2}{2M}(s^2 + u^2) + \epsilon_{\nu}x \frac{W_3}{2M}(s^2 - u^2) \right). \quad (6.4.38)$$

On remarque que les deux premiers termes sont identiques à ceux de l'éq. (6.2.15) de la section efficace de la diffusion $e^-$-nucléon, ce qui se comprend aisément du fait que ces termes ne dépendent que de la partie vectorielle du couplage du boson de jauge W. Il est traditionnel de présenter cette section efficace sous plusieurs formes selon le choix fait pour les variables cinématiques. Se reportant à la section 6.2.1 pour la définition de ces variables on trouve :

**Variables $\omega'$, $\theta$ :**

$$\frac{d\sigma^{\nu/\bar{\nu}}}{d\omega' d\theta} = \frac{G_F^2}{\pi} \omega'^2 \left( 2W_1 \sin^2 \frac{\theta}{2} + W_2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + \epsilon_\nu W_3 \frac{\omega + \omega'}{M} \sin^2 \frac{\theta}{2} \right) \quad (6.4.39)$$
**Variables $Q^2$, $\nu$ :**

$$ \frac{d\sigma^{\nu/\bar{\nu}}}{dQ^2 d\nu} = \frac{G_F^2}{2\pi} \frac{1}{4\omega^2} \left( 2W_1Q^2 + W_2(4\omega(\omega-\nu) - Q^2) + \epsilon_\nu W_3 \frac{2\omega-\nu}{M} Q^2 \right) \quad (6.4.40) $$

**Variables $x$, $y$ :**

$$ \frac{d\sigma^{\nu/\bar{\nu}}}{dxdy} = \frac{G_F^2}{\pi} M\omega \left( \mathcal{F}_1 xy^2 + \mathcal{F}_2(1-y) + \epsilon_\nu \mathcal{F}_3 xy(1-\frac{y}{2}) \right) \quad (6.4.41) $$

avec les définitions :

$$ \mathcal{F}_1 = MW_1, \quad \mathcal{F}_2 = \nu W_2, \quad \mathcal{F}_3 = \nu W_3. \quad (6.4.42) $$

Dans cette dernière formulation on a négligé $Q^2 = 2M\nu x$ devant l'expression $4\omega(\omega - \nu)$.

### 6.4.2 Modèle des partons

Dans le modèle des partons on suppose que le couplage du boson de jauge $W$ aux quarks et antiquarks est universel, identique au couplage leptonique :

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

de sorte que le tenseur partonique par analogie avec l'éq. (6.4.31) s'écrit :

$$ \tilde{W}_{\alpha\beta}^{q/\bar{q}} = 8(p'_{i\alpha}p_{i\beta} + p'_{i\beta}p_{i\alpha} - g_{\alpha\beta}p_i p'_i - i\epsilon_i \epsilon^{\mu\alpha\nu\beta} p'_{i\mu}p_{i\nu}) \quad (6.4.43) $$

avec $\epsilon_i = \pm$ selon que l'on a une diffusion sur un quark ou un antiquark. L'élément de matrice de la diffusion $\nu(k) + quark(p_i) \to \mu^-(k') + quark(p'_i)$ est :

$$ \mathcal{M} = (-ig_W)^2 \bar{u}(k')\gamma_\alpha(1-\gamma_5)u(k) \frac{i}{M_W^2} \bar{u}(p'_i)\gamma^\alpha(1-\gamma_5)u(p_i), \quad (6.4.44) $$

où on a simplifié le propagateur du boson de jauge sous l'hypothèse réaliste $Q^2 \ll M_W^2$. Son carré s'écrit, après somme et moyenne sur les spins :

$$ \bar{\Sigma}|\mathcal{M}|^2 = \frac{1}{4} \frac{g_W^4}{M_W^4} \text{Tr}[\gamma_\alpha(1-\gamma_5) \not k(1+\gamma_5)\gamma_\beta \not k'] \text{Tr}[\gamma^\alpha(1-\gamma_5) \not p_i(1+\gamma_5)\gamma_\beta \not p'_i]. $$

L'évaluation des traces conduit à :

$$ \begin{aligned} \bar{\Sigma}|\mathcal{M}|^2 &= \frac{g_W^4}{M_W^4} \left\{ \text{Tr}[\not k' \gamma_\alpha \not k \gamma_\beta] \text{Tr}[\not p' \gamma^\alpha \not p \gamma^\beta] + \epsilon_\nu \epsilon_i \text{Tr}[\gamma_\alpha \not k \gamma_\beta \not k' \gamma_5] \text{Tr}[\gamma^\alpha \not p_i \gamma^\beta \not p'_i \gamma_5] \right\} \\ &= 8 \frac{g_W^4}{M_W^4} \{ \hat{s}^2 + \hat{u}^2 + \epsilon_\nu \epsilon_i (\hat{s}^2 - \hat{u}^2) \}, \end{aligned} \quad (6.4.45) $$
avec les notations $\hat{s} = 2p_i.k = 2p'_i.k'$, $u = -2p'_i.k = -2p_i.k'$. On a aussi écrit le cas général pour la diffusion $\nu$ ($\varepsilon_\nu = 1$) ou $\bar{\nu}$ ($\varepsilon_\nu = -1$) sur un quark ($\varepsilon_i = 1$) ou un antiquark ($\varepsilon_i = -1$). On calcule la section efficace partonique comme en éq. (6.3.17) ce qui permet de dériver la section efficace différentielle :

$$ \frac{\omega' d\hat{\sigma}^{\nu/\bar{\nu},i}}{d^3 k'} = \frac{1}{(2\pi)^2} \frac{G_F^2}{\hat{s}} \{\hat{s}^2 + \hat{u}^2 + \varepsilon_\nu \varepsilon_i (\hat{s}^2 - \hat{u}^2)\} \delta(2p_i.q - Q^2). \quad (6.4.46) $$

Quant à la section efficace hadronique elle est obtenue via l'éq. (6.3.20) qui permet d'écrire :

$$ \frac{\omega' d\sigma^{\nu/\bar{\nu}}}{d^3 k'} = \frac{1}{(2\pi)^2} \frac{G_F^2}{s} \sum_{i=q,\bar{q}} \int dz F_i(z) z \{s^2 + u^2 + \varepsilon_\nu \varepsilon_i (s^2 - u^2)\} \delta(2zP.q - Q^2), \quad (6.4.47) $$

où on a utilisé $\hat{s} = zs$, $\hat{u} = zu$, $2p_i.q = z2P.q$. On trouve alors finalement :

$$ \frac{\omega' d\sigma^{\nu/\bar{\nu}}}{d^3 k'} = \frac{1}{(2\pi)^2} \frac{G_F^2}{s} \frac{x}{2P.q} \sum_{i=q,\bar{q}} F_i(x) \{s^2 + u^2 + \varepsilon_\nu \varepsilon_i (s^2 - u^2)\}, \quad (6.4.48) $$

où $z = x = Q^2/2P.q$ est comme d'habitude la variable de Bjorken. La comparaison avec l'éq. (6.4.38) permet d'obtenir l'expression des fonctions de structure $W_i$ en fonction des distributions partoniques $F_i(x)$ :

* absence de terme en $Q^2$, voir (éq. (6.2.15)) ⇒ $2MW_1 = \nu W_2/x$ : cette relation est identique à celle de la diffusion $e^-$-nucléon car elle repose sur la composante $\gamma_\alpha$ du couplage du boson W;

* coefficient du terme en $s^2 + u^2 \Rightarrow \nu W_2/x = \sum_{i=q,\bar{q}} F_i(x)$;

* coefficient du terme en $s^2 - u^2 \Rightarrow \nu W_3 = \sum_{i=q,\bar{q}} \varepsilon_i F_i(x)$,

où on rappelle que les $F_i(x)$ sont les probabilités de trouver dans le proton un parton de type $i$ portant la fraction d'impulsion $x$ du nucléon.

Comme application, on considère les diffusion $\nu$-proton → $\mu^-$X et $\bar{\nu}$-proton → $\mu^+$X. Des relations précédentes on tire :

$$ \begin{aligned} \nu W_2^{\nu p} &= x(d(x) + \bar{u}(x)), & \nu W_3^{\nu p} &= d(x) - \bar{u}(x) \\ \nu W_2^{\bar{\nu} p} &= x(u(x) + \bar{d}(x)), & \nu W_3^{\bar{\nu} p} &= u(x) - \bar{d}(x). \end{aligned} \quad (6.4.49) $$

et la section différentielle exprimée en termes des invariants est d'après l'éq. (6.4.48) :

$$ \begin{aligned} \frac{\omega' d\sigma^{\nu p}}{d^3 k'} &= \frac{G_F^2 s x}{(2\pi)^2 P.q} [d(x) + \bar{u}(x)(1-y)^2] \\ \frac{\omega' d\sigma^{\bar{\nu} p}}{d^3 k'} &= \frac{G_F^2 s x}{(2\pi)^2 P.q} [u(x)(1-y)^2 + \bar{d}(x)], \end{aligned} \quad (6.4.50) $$
où on rappelle que $u = -s(1 - y)$ avec $y = P.q/P.k$ ou $\nu/\omega$ dans le laboratoire. En fonction de l'énergie $\omega'$ et l'angle de diffusion du lepton final dans le laboratoire on trouve :

$$ 
\begin{aligned}
\frac{d\sigma^{\nu p}}{d\omega' d\cos\theta} &= \frac{G_F^2}{\pi} \frac{\omega' x}{\omega - \omega'} \frac{1}{\omega^2} [d(x)\omega^2 + \bar{u}(x)\omega'^2] \\
\frac{d\sigma^{\bar{\nu} p}}{d\omega' d\cos\theta} &= \frac{G_F^2}{\pi} \frac{\omega' x}{\omega - \omega'} \frac{1}{\omega^2} [u(x)\omega'^2 + \bar{d}(x)\omega^2].
\end{aligned}
\quad (6.4.51) $$

Il n'y a pas de dépendance explicite en l'angle $\theta$ qui apparaît seulement via la variable $x$. Finalement en fonction des invariants sans dimension $x$, $y$ on a :

$$ 
\begin{aligned}
\frac{d\sigma^{\nu p}}{dxdy} &= \frac{G_F^2}{\pi} s x [d(x)] + \bar{u}(x)(1 - y)^2] \\
\frac{d\sigma^{\bar{\nu} p}}{dxdy} &= \frac{G_F^2}{\pi} s x [u(x)(1 - y)^2 + \bar{d}(x)].
\end{aligned}
\quad (6.4.52) $$

### 6.4.3 Discussion

On remarque, d'après les équations ci-dessus, que la diffusion d'un neutrino sur un quark/antiquark est similaire à celle d'un antineutrino sur un antiquark/quark, car associée à la même dépendance en $y$. Si on suppose que les partons matelots ont la même distribution $\bar{u}(x) = \bar{d}(x) = u_m(x) = d_m(x)$ alors on voit que la fonction de structure $W_3$ ne dépend que des quarks de valence avec d'après l'éq. (6.4.49) :

$$ W_3^{\nu p} = d_v(x), \quad \nu W_3^{\bar{\nu} p} = u_v(x). \quad (6.4.53) $$

Les expériences neutrinos sont donc très importantes pour déconvoluer la dépendance en $x$ d'un quark de valence de celle d'un quark de la mer de même saveur.

#### Exercice

Prouver dans un modèle à deux saveurs de quarks, $u$ et $d$, que

$$ \nu W_2^{\nu p}(x) = \nu W_2^{\bar{\nu} n}(x). \quad (6.4.54) $$

Cette relation est-elle valable dans un modèle à quatre saveurs $u, d, s$ et $c$ ?

### 6.4.4 Règles de somme

A l'aide des relations (6.4.49) et de celles en éqs. (6.3.25) on peut alors reconstruire, en combinant les résultats de plusieurs exériences, les distributions des quarks et antiquarks dans le nucléon. L'interprétation des fonctions $u(x), d(x)$ comme probabilités de trouver des quarks dans le nucléon permet d'écrire de nombreuses "règles de somme". Par exemple, la différence :

$$ \frac{\nu}{x} W_2^{ep}(x) - \frac{\nu}{x} W_2^{en}(x) = \frac{\nu}{x} W_2^{ep-en}(x) = \frac{1}{3} (u(x) + \bar{u}(x) - d(x) - \bar{d}(x)) = \frac{1}{3} (u_v(x) - d_v(x)) $$

dont l'intégrale donne :

$$ 3 \int_0^1 \frac{dx}{x} \nu W_2^{ep-en}(x) = \int_0^1 dx (u_v(x) - d_v(x)) = 1 $$
qui correspond bien à la différence du nombre de quarks de valence de type $u$ et $d$. Si l'on connaît $u$, $d$, $\bar{u}$ et $\bar{d}$ indépendamment, on peut également vérifier les règles de somme de charge :

$$ \int_0^1 dx \left[ \frac{2}{3}(u - \bar{u}) - \frac{1}{3}(d - \bar{d}) \right] = 1 = \text{charge du proton} $$

$$ \int_0^1 dx \left[ \frac{2}{3}(d - \bar{d}) - \frac{1}{3}(u - \bar{u}) \right] = 0 = \text{charge du neutron} $$

Ces règles de somme sont assez bien vérifiées expérimentalement.

## 6.5 Application du modèle des partons

On peut considérer le processus croisé de DIS, à savoir $e^+e^- \to$ hadrons :

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

Pour $E_{e^+e^-} = \sqrt{Q^2} \to \infty$ on peut appliquer le modèle des partons : le photon virtuel de genre temps ($Q^2 > 0$) se couplera à une paire quark-antiquark qui, "longtemps" après l'interaction électromagnétique, se désintègrera en hadrons :

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

La transition $q_i \bar{q}_i \to$ hadrons se fait avec probabilité 1. On peut donc écrire :

$$ \sigma^{e^{+}e^{-} \to had} = \sum_{q} \sigma^{e^{+}e^{-} \to q\bar{q}}. $$

Il est traditionnel de définir le rapport sans dimension :

$$ R = \frac{\sigma^{e^{+}e^{-} \to had.}}{\sigma^{e^{+}e^{-} \to \mu^{+}\mu^{-}}} = \sum_{i} e_{i}^{2}. \qquad (6.5.1) $$

On voit que les seules différences entre le processus hadronique et le processus purement leptonique sont les facteurs de charge (les facteurs cinématiques, $\gamma^\mu$, espace de phase sont identiques pour les
quarks et les muons car ce sont des particules de spin 1/2, et on néglige les masses). On trouve alors en dessous du seuil de production des particules charmées, $\sqrt{Q^2} < 3,5$ GeV,

$$R = \underbrace{\frac{4}{9}}_{u} + \underbrace{\frac{1}{9}}_{d} + \underbrace{\frac{1}{9}}_{s} = \frac{2}{3}$$

et au dessus :

$$R = \underbrace{\frac{4}{9}}_{u} + \underbrace{\frac{1}{9}}_{d} + \underbrace{\frac{1}{9}}_{s} + \underbrace{\frac{4}{9}}_{c} + \underbrace{\frac{1}{9}}_{b} = \frac{11}{9}$$

où le quark bottom contribue pour $\sqrt{Q^2} > 10$ GeV (le seuil de production du quark top est beaucoup plus élevé et correspond à $\sqrt{Q^2} > 350$ GeV). Ce résultat est en désaccord avec les résultats expérimentaux comme on peut le voir sur la fig. 6.2, plus bas, (les pics correspondent à la production de résonances près du seuil d'une saveur additionnelle). En fait, dans le calcul ci-dessus, on n'a pas tenu compte du fait que l'on a à faire à des quarks colorés. Prenant ceci en compte il faut donc sommer sur les $N = 3$ types de couleur, ce qui donne :

$$R = N \sum_{q} e_{q}^{2} = 2, \text{ au-dessous du seuil de production d'une paire } c\bar{c}$$

$$R = N \sum_{q} e_{q}^{2} = \frac{11}{3}, \text{ au-dessus du seuil de production d'une paire } b\bar{b}, \qquad (6.5.2)$$

ce qui est en relativement bon accord avec l'expérience. L'accroissement de $R$ aux grandes valeurs de $Q = E_{cm}$ est du à l'interférence entre la production d'un photon virtuel et celle d'un $Z_0$ dans la voie d'annihilation $e^+e^-$.

**Note** : si l'on prend en compte la couleur dans la discussion de la diffusion inélastique profonde le résultat reste inchangé car sommer sur la couleur du quark final et moyenner sur celle du quark initial revient à multiplier la sections efficace par $3/3 = 1!$

## 6.6 Le modèle des partons : formulation générale

1. Sous certaines conditions que l'on précisera ci-dessous, on considère qu'un hadron est constitué de partons. On travaille dans le repère d'impulsion infinie du hadron. On a donc

$$H = \{p_i\} \quad i = 1, \infty \\ P = \sum_i p_i \quad \text{où les } P, p_i \text{ sont les impulsions du hadron et des partons respectivement.}$$

On néglige toutes les masses (du hadron et des partons) et on peut alors écrire

$$p_i = x_i P \quad \text{avec} \quad \sum_i x_i = 1.$$

Les partons sont sans structure et on ignore leurs interactions à l'intérieur du hadron.
2. L'interaction entre hadrons se réduit à une interaction entre partons selon le diagramme suivant

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

$\hat{\sigma}_{ij}$ est la section efficace de l'interaction "dure" entre partons. La section efficace hadronique est une superposition incohérente des sections efficaces partoniques c'est-à-dire que l'on ajoute les probabilités et non les amplitudes. On écrit alors :

$$ \sigma^{H_1 H_2} = \sum_{i,j} \int dx_1 dx_2 F_i^{H_1}(x_1) F_j^{H_2}(x_2) \alpha_s^p \hat{\sigma}_{ij}(x_1, x_2, s). $$

La fonction $F_i^H(x)$ est la densité partonique c'est-à-dire la probabilité de trouver dans le hadron $H$ un parton de type $i$ portant la fraction $x$ de l'impulsion du hadron. On néglige les effets d'impulsion transverse. La fonction $F_j^H(x)$ est invariante d'échelle, c'est-à-dire indépendante des variables (dimensionnées) de Mandelstam $s, t, u$. Elle contient les effets à "longue distance" (confinement) et la dépendance en $x$ n'est pas prédite par la théorie perturbative. Les effets de "courte distance" sont contenus dans la section efficace partonique "dure" $\hat{\sigma}_{ij}$ d'où on a extrait la constante de couplage forte : par exemple pour le processus partonique $q \bar{q} \to \text{photon photon}$ l'exposant $p=0$, tandis que $q \bar{q} \to \text{gluon gluon}$ l'exposant $p=2$. Cette séparation (factorisation) entre physique à longue distance et physique à courte distance est analogue à celle réalisée par l'approche beaucoup plus rigoureuse mais plus restrictive du développement en produit d'opérateurs sur le cône de lumière (K. Wilson).

3. Le modèle des partons est un postulat valable quand toutes les variables dimensionnées $s, t, u$ sont grandes comparées à l'échelle de masse des hadrons ($\sim 1 \text{ GeV}^2$).

La Chromodynamique Quantique perturbative entre en jeu lorsque l'on étudie l'interaction entre partons à haute énergie : dans ce cas on verra que la constante de couplage de QCD $\alpha_s \to 0$ quand $s, t, u \to \infty$. Le résultat fondamental de l'application de QCD au modèle des partons est que l'interprétation probabilistique du modèle est préservée par les corrections QCD. Le résultat final est :

$$ \sigma^{H_1 H_2} = \sum_{i,j} \int dx_1 dx_2 F_i^{H_1}(x_1, M) F_j^{H_2}(x_2, M) \alpha_s^p(\mu) \left[ \hat{\sigma}_{ij}(x_1, x_2, s) + \alpha_s(\mu) \hat{\sigma}_{ij}^{(1)}(x_1, x_2, s; \mu, M) + \alpha_s^2(\mu) \hat{\sigma}_{ij}^{(2)}(s) \dots \right] \quad (6.6.1) $$
où M est l'échelle de masse de factorisation, $M^2 \simeq s, t, u$, et $\mu$ l'échelle de masse de renormalisation, $\mu^2 \simeq s, t, u$. Plus précisément,

— les densités partoniques acquièrent une dépendance logarithmique en M : c'est la fameuse "violation de l'invariance d'échelle" qui est prédite et calculable en QCD;

— la section efficace partonique admet un développement en puissance de $\alpha_s$ à coefficients finis et calculables;

— la propriété de factorisation entre physique à courte distance et physique à longue distance est préservée par les corrections QCD.

Un des buts du cours sera de dériver la formule ci-dessus.

## 6.7 Conclusions

Nous avons essayé dans ce chapitre de décrire quelques résultats qui indiquent que les hadrons sont constitués d'entités plus fondamentales. En effet, on peut comprendre un grand nombre de phénomènes physiques aux échelles de masse de $M \sim 1$ GeV aussi bien que $M \gg 1$ GeV si l'on suppose que les hadrons sont constitués de quarks qui ont été définis comme des objets ponctuels de spin $\frac{1}{2}$, et de charge fractionnaire. Ces quarks sont groupés en trois familles :

$$ \begin{pmatrix} u \\ d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ b \end{pmatrix} $$

(le quark $t$ ayant été officiellement découvert à Fermilab au printemps 1995). On peut décomposer ces spineurs de Dirac $q$ en deux spineurs de Weyl $q_L, q_R$. Alors, les composantes $q_L$ de chaque famille forment des doublets sous le groupe SU(2) des interactions faibles tandis que les $q_R$ sont des singulets.

D'autre part, dans le Modèle Standard, un quark de saveur donnée vient en 3 couleurs

$$ q = (q_i), \quad i = 1, 2, 3, $$

$q$ appartenant à la représentation fondamentale **3** du groupe SU(3)$_{couleur}$. Les autres candidats possibles pour le groupe de couleur comme O(3), SO(3) et U(3) sont éliminés car ils sont en désaccord avec les résultats expérimentaux :

— O(3) et SO(3) permettent l'existence d'états $[qq]$ singulets de couleur de charge fractionnaire, car il ne distingue pas la couleur de l'anti-couleur. De tels états ne sont pas observés expérimentalement.

— U(3) sera exclu ultérieurement lorsqu'on étudiera les gluons et le problème du confinement.

A priori, le Modèle Standard n'était pas la seule possibilité. En particulier, Han et Nambu ont proposé une alternative où les quarks ont une charge entière (cf. table 6.1). La version jaugée du modèle de Han-Nambu (due à Pati et Salam) a eu une certaine vogue : toutes les prédicitions $\sim \sum_q e_q^2$ coïncident avec celle du Modèle Standard. Elle a néanmoins été éliminée lorsque des mesures précises de quantités expérimentales dépendant de $\sum_q e_q^4$ sont apparues (p. ex. dans les processus $\gamma + p \to \gamma + X, pp \to \gamma + \gamma + X$).

Jusqu'à présent, on ne s'est pas du tout intéressé à l'interaction entre quarks : à $M \sim 1$ GeV les quarks apparaissent essentiellement comme des entités algébriques et à $M \gg 1$ GeV, ils apparaissent
<table><caption>TABLE 6.1 – Charge des différents quarks colorés dans le modèle de Han-Nambu</caption><thead><tr><th></th><th>R</th><th>G</th><th>B</th></tr></thead><tbody><tr><th>u</th><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><th>d</th><td>-1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><th>s</th><td>-1</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

libres. Si l'on s'intéresse à ces interactions, on verra que l'on doit inclure des particules neutres qui, de façon similaire au photon de QED, sont les vecteurs de la force hadronique. Ces particules neutres peuvent être identifiées aux constituants neutres du proton qui portent la moitié de son impulsion comme nous l'avons déjà discuté dans la section concernant le modèle des partons. Nous savons que la QED est basée sur la notion d'invariance de jauge. En effet, l'existence d'un photon de masse nulle est intimement liée à l'invariance de $\mathcal{L}_{QED}$ sous la transformation

$$ \psi_e(x) \rightarrow e^{ie\alpha(x)} \psi_e(x). $$

De même pour QCD, si on impose l'invariance de $\mathcal{L}_{QCD}$ sous la transformation

$$ \psi_q(x) \rightarrow U \psi_q(x), \qquad \psi_q = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \end{pmatrix}, \qquad \text{triplet de couleur} $$

pour $U$ une transformation locale, on obtient des bosons vecteurs de masse nulle dans la représentation adjointe du groupe de jauge : les gluons (8 pour SU(3), 9 pour U(3)).
<figure><img src="image_45.png" /></figure>

**Figure 36.16:** Selected measurements of $R \equiv \sigma(e^+e^- \to \text{hadrons})/\sigma(e^+e^- \to \mu^+\mu^-)$, where the annihilation in the numerator proceeds via one photon or via the Z. Measurements in the vicinity of the Z mass are shown in the following figure. The denominator is the calculated QED single-photon process; see the section on Cross-Section Formulae for Specific Processes. Radiative corrections and, where important, corrections for two-photon processes and $\tau$ production have been made. Note that the ADONE data ($\gamma\gamma2$ and MEA) is for $\ge 3$ hadrons. The points in the $\psi(3770)$ region are from the MARK I—Lead Glass Wall experiment. To preserve clarity only a representative subset of the available measurements is shown—references to additional data are included below. Also for clarity, some points have been combined or shifted slightly ($< 4\%$) in $E_{cm}$, and some points with low statistical significance have been omitted. Systematic normalization errors are not included; they range from ~5–20%, depending on experiment. We caution that especially the older experiments tend to have large normalization uncertainties. Note the suppressed zero. The horizontal extent of the plot symbols has no significance. The positions of the $J/\psi(1S)$, $\psi(2S)$, and the four lowest $\Upsilon$ vector-meson resonances are indicated. Two curves are overlaid for $E_{cm} > 11$ GeV, showing the theoretical prediction for R, including higher order QCD [M. Dine and J. Sapirstein, Phys. Rev. Lett. 43, 668 (1979)] and electroweak corrections. The $\Lambda$ values are for 5 flavors in the $\overline{\text{MS}}$ scheme and are $\Lambda_{\overline{\text{MS}}}^{(5)} = 60$ MeV (lower curve) and $\Lambda_{\text{MS}}^{(5)} = 250$ MeV (upper curve). (Courtesy of F. Porter, 1992.) References (including several references to data not appearing in the figure and some references to preliminary data):

**AMY:** T. Mori et al., Phys. Lett. B218, 499 (1989);

**CELLO:** H.-J. Behrend et al., Phys. Lett. 144B, 297 (1984); and H.-J. Behrend et al., Phys. Lett. 183B, 400 (1987);

**CLEO:** R. Giles et al., Phys. Rev. D29, 1285 (1984); and D. Besson et al., Phys. Rev. Lett. 54, 381 (1985);

**CUSB:** E. Rice et al., Phys. Rev. Lett. 48, 906 (1982);

**CRYSTAL BALL:** A. Osterheld et al., SLAC-PUB-4160; and Z. Jakubowski et al., Z. Phys. C40, 49 (1988);

**DASP:** R. Brandelik et al., Phys. Lett. 76B, 361 (1978);

**DASP II:** Phys. Lett. 116B, 383 (1982);

**DCI:** G. Cosme et al., Nucl. Phys. B152, 215 (1979);

**DHHM:** P. Bock et al. (DESY-Hamburg-Heidelberg-MPI München Collab.), Z. Phys. C6, 125 (1980);

**$\gamma\gamma2$:** C. Bacci et al., Phys. Lett. 86B, 234 (1979);

**HRS:** D. Bender et al., Phys. Rev. D31, 1 (1985);

**JADE:** W. Bartel et al., Phys. Lett. 129B, 145 (1983); and W. Bartel et al., Phys. Lett. 160B, 337 (1985);

**LENA:** B. Niczporuk et al., Z. Phys. C15, 299 (1982).

**MAC:** E. Fernandez et al., Phys. Rev. D31, 1537 (1985);

**MARK J:** B. Adeva et al., Phys. Rev. Lett. 50, 799 (1983); and B. Adeva et al., Phys. Rev. D34, 681 (1986);

**MARK I:** J.L. Siegrist et al., Phys. Rev. D26, 969 (1982);

**MARK I + Lead Glass Wall:** P.A. Rapidis et al., Phys. Rev. Lett. 39, 526 (1977); and P.A. Rapidis, thesis, SLAC-Report-220 (1979);

**MARK II:** J. Patrick, Ph.D. thesis, LBL-14585 (1982);

**MD-1:** A.E. Blinov et al., Z. Phys. C70, 31 (1996);

**MEA:** B. Esposito et al., Lett. Nuovo Cimento 19, 21 (1977);

**PLUTO:** A. Bäcker, thesis Gesamthochschule Siegen, DESY F33-77/03 (1977); C. Gerke, thesis, Hamburg Univ. (1979); Ch. Berger et al., Phys. Lett. 81B, 410 (1979); and W. Lackas, thesis, RWTH Aachen, DESY Pluto-81/11 (1981);

**TASSO:** R. Brandelik et al., Phys. Lett. 113B, 499 (1982); and M. Althoff et al., Phys. Lett. 138B, 441 (1984);

**TOPAZ:** I. Adachi et al., Phys. Rev. Lett. 60, 97 (1988); and

**VENUS:** H. Yoshida et al., Phys. Lett. 198B, 570 (1987).

<caption>**FIGURE 6.2** – Compilation par le "Particle Data Group" des données expérimentales sur le rapport R au dessous du pic du $Z_0$.</caption>
# Chapitre 7

# Chromodynamique Quantique : QCD

## 7.1 Lagrangien QCD

Comme pour QED, nous partons du Lagrangien pour un fermion libre

$$ \mathcal{L} = \bar{\psi}(i \not\partial - m)\psi \qquad (7.1.1) $$

mais $\psi$ dénote maintenant un triplet de spineurs de Dirac,

$$ \psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \end{pmatrix}. $$

On a donc;

$$ \mathcal{L} = \bar{\psi}_1(i \not\partial - m)\psi_1 + \bar{\psi}_2(i \not\partial - m)\psi_2 + \bar{\psi}_3(i \not\partial - m)\psi_3. \qquad (7.1.2) $$

On suppose que $\psi$ appartient à la représentation fondamentale du groupe (spécial unitaire) SU(3), c'est un triplet de SU(3) : $\psi \in \mathbf{3}^1$. L'action sur $\psi$ d'un élément $U$ du groupe est donnée par

$$ \psi \rightarrow \psi' = U\psi; \quad \bar{\psi} \rightarrow \bar{\psi}' = \bar{\psi} U^{\dagger} \qquad (7.1.3) $$

et l'invariance de $\mathcal{L}$ sous la transformation globale (rigide) découle directement de la propriété d'unitarité de $U$ :

$$ U^{\dagger} = U^{-1}. $$

D'après un résultat fondamental sur les groupes de Lie, tout élément $U$ du groupe peut s'écrire,

$$ U = e^{ig \sum_a \alpha^a T^a}, \quad a = 1, \dots, 8, \qquad (7.1.4) $$

avec $g$ le couplage, $\alpha^a$ des constantes réelles arbitraires et $T^a$, les générateurs de l'algèbre. La condition d'unitarité impose

$$ T^a = T^{a\dagger}. $$

<footnote n="1">1. On aurait pu choisir O(3) ou U(3) comme groupe de symétrie mais ils sont exclus par les données expérimentales (voir sec. 7.7)</footnote>
Appliquée à un élément de la représentation fondamentale de SU(3), les générateurs $T^a$ sont donc des matrices hermitiennes $3 \times 3$. Puisque que l'on considère le groupe spécial SU(3), on a de plus la condition, $\det U = 1$ ce qui impose

$$ \mathrm{Tr} \, T^a = 0. $$

On a donc bien 8 matrices $T^a$, $a = 1, \dots, 8$ pour SU(3), qui satisfont aux relations de commutation d'une algèbre de Lie,

$$ [T^a, T^b] = if^{abc}T^c, \qquad (7.1.5) $$

avec $f^{abc}$ totalement antisymétrique et réel. De plus, les générateurs $T^a$ sont orthogonaux dans le sens où

$$ \mathrm{Tr}(T^a T^b) = \frac{1}{2} \delta^{ab}. \qquad (7.1.6) $$

Si on travaillait avec le groupe U(3) on aurait une neuvième générateur qui serait la matrice unité, $\mathbf{1}$, $3 \times 3$ qui commute avec tous les $T^a$.

$$ [\mathbf{1}, T^a] = 0, $$

et qui est donc un singulet de couleur (invariant) sous une transformation de SU(3).

### • Invariance par changement de phase locale

On suppose maintenant que les paramètres $\alpha^a$ deviennent des fonctions de la coordonnée d'espace-temps, $\alpha^a \to \alpha^a(x)$ et on note :

$$ U(x) = e^{ig\alpha^a(x)T^a}, \quad a = 1, \dots, 8, \qquad (7.1.7) $$

où la sommation sur les indices de couleur $a$ est implicite. L'action d'un élément du groupe sur les fermions est :

$$ \psi(x) \to \psi'(x) = U(x)\psi(x), \quad \bar{\psi}(x) \to \bar{\psi}'(x) = \bar{\psi}(x)U^{\dagger}(x) \qquad (7.1.8) $$

Il est pratique de considérer une transformation de jauge infinitésimale :

$$ U(x) = 1 + ig\alpha^a(x)T^a \qquad (7.1.9) $$

de sorte que la variation des différents termes du lagrangien éq. (7.1.1) s'écrit :

$$ \begin{gathered} \delta\psi(x) = ig\alpha^a(x)T^a\psi(x), \quad \delta\bar{\psi}(x) = \bar{\psi}(x)(-ig\alpha^a(x)T^a) \qquad (7.1.10) \\ \delta\{\partial_\mu\psi(x)\} = \partial_\mu\delta\psi(x) = ig\alpha^a(x)T^a\partial_\mu\psi(x) + ig(\partial_\mu\alpha^a(x))T^a\psi(x) \end{gathered} $$

et celle du lagrangien est donc :

$$ \begin{aligned} \delta\mathcal{L} &= \delta\bar{\psi}(x) i \not\partial\psi(x) + \bar{\psi}(x) i\gamma^\mu \delta\{\partial_\mu\psi(x)\} - \delta\bar{\psi}(x)m\psi - \bar{\psi}m\delta\psi(x) \\ &= \bar{\psi}(x) \{-g(\partial_\mu\alpha^a(x))T^a\gamma^\mu\} \psi(x). \end{aligned} $$

Le lagrangien n'est donc plus invariant à cause du terme dérivatif proportionnel à $\partial_\mu \alpha^a(x)$. Par analogie avec QED, on introduit des champs vecteurs, $A_\mu^b(x)$, et on ajoute dans le lagrangien un terme qui a la même structure de groupe SU(3) et de Lorentz que le terme en $\partial_\mu \alpha^a(x))T^a$, soit :

$$ \mathcal{L} = \bar{\psi}(x) (i(\partial_{\mu} - igA_{\mu}^{b}(x)T^{b})\gamma^{\mu} - m) \psi(x), \quad b = 1, \dots, 8, $$
et on choisit la loi de transformation de ces champs de façon à rétablir l'invariance du lagrangien. Pour cela on introduit la notation :

$$ \mathcal{D}_{\mu}\psi(x) = (\partial_{\mu} - igA_{\mu}^{b}(x)T^{b})\psi(x), \qquad (7.1.11) $$

et on impose que $\mathcal{D}_{\mu} = \partial_{\mu} - igA_{\mu}^{b}(x)T^{b}$ soit une dérivée covariante, c'est à dire que l'on impose la loi de transformation :

$$ (\mathcal{D}_{\mu}\psi(x))' := \mathcal{D}'_{\mu} \psi'(x) = \mathcal{D}'_{\mu} U(x)\psi = U(x)\mathcal{D}_{\mu}\psi(x), \quad \forall \psi(x). \qquad (7.1.12) $$

Sous une transformation de jauge $\mathcal{D}_{\mu}\psi(x)$ se transforme comme $\psi(x)$. Comme cela est vrai pour tout $\psi(x)$ on en déduit au niveau des opérateurs :

$$ \mathcal{D}'_{\mu} = U(x)\mathcal{D}_{\mu}U^{-1}(x) = U(x)\mathcal{D}_{\mu}U^{\dagger}(x) \qquad (7.1.13) $$

Pour éviter la manipulation d'indices de couleur on introduit les matrices $3 \times 3$, locales hermitiennes de trace nulle :

$$ \mathcal{A}_{\mu}(x) = A_{\mu}^{a}(x)T^{a}, \qquad \tilde{\alpha}(x) = \alpha^{a}(x)T^{a}, \qquad (7.1.14) $$

avec sommation implicite sur les indices de couleur. On a alors :

$$ \begin{aligned} \mathcal{D}'_{\mu} &= U(x) (\partial_{\mu} - ig\mathcal{A}_{\mu}) U^{-1}(x) \\ &= \partial_{\mu} + U(x)(\partial_{\mu}U^{-1}(x)) - igU(x)\mathcal{A}_{\mu}(x)U^{-1}((x)). \end{aligned} \qquad (7.1.15) $$

$\mathcal{D}'_{\mu}$ est donc de la forme $\partial_{\mu} - ig\mathcal{A}'_{\mu}(x)$ avec :

$$ \mathcal{A}'_{\mu}(x) = \frac{i}{g}U(x)(\partial_{\mu}U^{-1}(x)) + U(x)\mathcal{A}_{\mu}(x)U^{-1}(x), \qquad (7.1.16) $$

qui pour une transformation infinitésimale s'écrit :

$$ \mathcal{A}'_{\mu}(x) - \mathcal{A}_{\mu}(x) = \delta\mathcal{A}_{\mu}(x) = \partial_{\mu}\tilde{\alpha}(x) - ig[\mathcal{A}_{\mu}(x), \tilde{\alpha}(x)]. \qquad (7.1.17) $$

Pour obtenir cette relation en terme des composantes colorées on considère $\text{Tr}(T^a \delta\mathcal{A}_\mu(x))$ qui, après usage des relations de commutation éq. (7.1.5) et de (7.1.6), mène à :

$$ \delta A_{\mu}^{a}(x) = \partial_{\mu} \alpha^{a}(x) + g f^{abc} A_{\mu}^{b}(x) \alpha^{c}(x). \qquad (7.1.18) $$

Sous la transformation de jauge définie par les éqs. (7.1.10) et (7.1.18) on a donc bien rétabli la propriété d'invariance du lagrangian : $\delta\mathcal{L} = 0$. Le dernière équation montre que $A_{\mu}^{a}(x)$ appartient à la représentation adjointe (octet 8) de SU(3). Le deuxième terme (non abélien) de l'équation illustre la différence fondamentale entre QED et QCD car il permet, comme on le verra plus bas, le couplage des bosons de jauge entre eux ce qui conduira à la propriété de liberté asymptotique. Mais comme pour QED, on vérifie facilement qu'un terme de masse de type $m^2\Sigma_a A_{\mu}^a A^{a\mu}$ associé aux champs $A_{\mu}^a(x)$ n'est pas invariant de jauge. Les gluons sont donc des champs de masse nulle, autocouplés, qui induisent des interactions à longue portée entre les quarks. Ce dernier argument est déterminant pour le choix du groupe de jauge. En effet, si U(3) était le groupe d'invariance,
on aurait une interaction hadronique à longue portée qui serait singulet 1 de couleur. Ceci est contraire aux observations expérimentales : la force nucléaire forte entre les hadrons est à courte portée : ~ 1/m<sub>π</sub>. Cet argument exclut donc le groupe U(3) comme groupe de couleur et on reste avec SU(3) et 8 gluons colorés de masse nulle couplant à des champs de matière colorés, les quarks.

Il est utile d'introduire les générateurs du groupe opérant sur la représentation adjointe. Ce sont des matrices 8 × 8 dont les éléments sont donnés par :

$$ (\mathcal{T}^c)^{ab} = -if^{cab}. \qquad (7.1.19) $$

Il est facile de vérifier qu'elles satisfont les relations de commutation de SU(3), éq. (7.1.5) :

$$ [\mathcal{T}^a, \mathcal{T}^b] = if^{abd}\mathcal{T}^d \qquad (7.1.20) $$

qui sont équivalentes à

$$ f^{abd} f^{cde} + f^{bcd} f^{ade} + f^{cad} f^{bde} = 0. \qquad (7.1.21) $$

Cette dernière équation découle directement de l'indentité de Jacobi :

$$ [T^a, [T^b, T^c]] + [T^b, [T^c, T^a]] + [T^c, [T^a, T^b]] = 0. \qquad (7.1.22) $$

On introduit maintenant la dérivée covariante opérant sur la représentation adjointe dont les éléments de matrice sont

$$ \begin{aligned} (\mathcal{D}_{\mu})^{ab} &= \partial_{\mu} \delta^{ab} - ig(\mathcal{T}^{c})^{ab} A_{\mu}^{c}(x) \\ &= \partial_{\mu} \delta^{ab} - gf^{abc} A_{\mu}^{c}(x). \end{aligned} \qquad (7.1.23) $$

Il est alors facile de voir que l'éq. (7.1.18) prend la forme :

$$ \delta A_{\mu}^{a}(x) = (\mathcal{D}_{\mu})^{ab} \alpha^{b}(x), \qquad (7.1.24) $$

qui met en évidence la nature non abélienne de la transformation de jauge SU(3) sur un élément de la représentation adjointe. Cette formule sera utile pour la discussion sur la quantification de QCD.

## • Terme cinétique pour les gluons

Mais nous n'avons pas encore fini car, comme pour QED, le terme cinétique du champ de jauge est absent et le modèle n'admet que des solutions triviales. On va donc définir le tenseur antisymétrique qui généralise le $F_{\mu\nu}$ de QED dans le cas non abélien par :

$$ \mathcal{F}_{\mu\nu} = \frac{i}{g}[\mathcal{D}_{\mu}, \mathcal{D}_{\nu}] \qquad (7.1.25) $$

avec $\mathcal{D}_{\mu}$ donné par l'éq. (7.1.11). Ce terme a la bonne dimension en terme de masse. On montre facilement, utilisant la formule de Leibniz $\partial_{\mu}A_{\nu} = (\partial_{\mu}A_{\nu}) + A_{\nu}\partial_{\mu}$, que

$$ \mathcal{F}_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu} - ig[\mathcal{A}_{\mu}, \mathcal{A}_{\nu}], \qquad (7.1.26) $$
ou, en termes de composantes,

$$F_{\mu\nu}^{a} = \partial_{\mu}A_{\nu}^{a} - \partial_{\nu}A_{\mu}^{a} + \underbrace{gf^{abc}A_{\mu}^{b}A_{\nu}^{c}}_{\text{terme non abélien}}. \qquad (7.1.27)$$

Pour obtenir la variation du tenseur $\mathcal{F}_{\mu\nu}$ sous une transformation de jauge $U$ il est utile de se souvenir que, par l'éq. (7.1.13), $D'_{\mu} = U\mathcal{D}_{\mu}U^{\dagger}$, ce qui est aussi le cas pour $\mathcal{D}_{\mu}\mathcal{D}_{\nu}$ et par conséquent pour le tenseur d'énergie-impulsion

$$\mathcal{F}'_{\mu\nu} = U\mathcal{F}_{\mu\nu}U^{\dagger}. \qquad (7.1.28)$$

Pour une transformation infinitésimale $U = 1 + ig\tilde{\alpha}(x)$, cela mène à,

$$\delta\mathcal{F}_{\mu\nu} = -ig[\mathcal{F}_{\mu\nu}, \tilde{\alpha}(x)]. \qquad (7.1.29)$$

Du point de vue des transformations du groupe SU(3), $\mathcal{F}_{\mu\nu}$ se transforme comme $\mathcal{A}_{\mu}$, c'est-à-dire un élément de la représentation adjointe (éq. (7.1.17)). On définit le terme cinétique des champs de jauge comme :

$$\mathcal{L}_{\text{cin}} = -\frac{1}{2}\text{Tr}\mathcal{F}_{\mu\nu}\mathcal{F}^{\mu\nu} = -\frac{1}{2}F_{\mu\nu}^{a}F^{b\mu\nu}\underbrace{\text{Tr}T^{a}T^{b}}_{\frac{1}{2}\delta^{ab}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^{a}F^{a\mu\nu},$$

qui est évidemment un scalaire invariant de jauge, comme on le prouve aisément en utilisant l'éq. (7.1.28) et la propriété de cyclicité de la trace. Finalement, le lagrangien, au niveau classique, pour un fermion coloré s'écrit :

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\text{Tr}\mathcal{F}_{\mu\nu}\mathcal{F}^{\mu\nu} + \bar{\psi}(i\mathcal{D} - m)\psi. \qquad (7.1.30)$$

The premier terme contient les couplages à trois et quatre gluons tandis que le deuxième terme contient le couplage des gluons aux fermions.

## • Résumé des transformations de jauge

On rappelle les notations :

$$\psi = (\psi_i), i = 1, 2, 3, \text{champs de quark}$$

$$\mathcal{A}_{\mu}(x) = A_{\mu}^{a}(x)T^{a}, a = 1, \dots, 8, \text{champs de jauge (connexion)}$$

$$\mathcal{D}_{\mu} = \partial_{\mu} - ig\mathcal{A}_{\mu}(x), \text{dérivée covariante, représentation fondamentale}$$

$$(\mathcal{D}_{\mu})^{ab} = \partial_{\mu}\delta^{ab} - gf^{abc}A_{\mu}^{c}(x), \text{dérivée covariante, représentation adjointe}$$

$$\mathcal{F}_{\mu\nu}(x) = F_{\mu\nu}^{a}(x)T^{a} = \partial_{\mu}\mathcal{A}_{\nu}(x) - \partial_{\nu}\mathcal{A}_{\mu}(x) - ig[\mathcal{A}_{\mu}(x), \mathcal{A}_{\nu}(x)], \text{courbure.}$$

$$\Leftrightarrow F_{\mu\nu}^{a}(x) = \partial_{\mu}A_{\nu}^{a}(x) - \partial_{\nu}A_{\mu}^{a}(x) + gf^{abc}A_{\mu}^{b}(x)A_{\nu}^{c}(x)$$

(7.1.31)
La densité lagrangienne éq. (7.1.30), et par conséquent l'action, est invariante de jauge, c'est-à-dire invariante sous la transformation de jauge paramétrée par la variable $\tilde{\alpha} = \alpha^a(x)T^a$ :

$$ 
\begin{align} 
\delta\psi &= ig\tilde{\alpha}\psi, \quad \delta\bar{\psi} = -ig\bar{\psi}\tilde{\alpha}, \quad \delta\mathcal{D}_{\mu}\psi = ig\tilde{\alpha}(x)\mathcal{D}_{\mu}\psi \nonumber \\ 
\delta A_{\mu} &= \partial_{\mu}\tilde{\alpha} - ig[A_{\mu}, \tilde{\alpha}] &\Longleftrightarrow& \delta A_{\mu}^{a}(x) = (\mathcal{D}_{\mu})^{ab}\alpha^{b}(x) \tag{7.1.32} \\ 
\delta F_{\mu\nu} &= -ig[F_{\mu\nu}, \tilde{\alpha}] &\Longleftrightarrow& \delta F_{\mu\nu}^{a} = gf^{abc}F_{\mu\nu}^{b}\alpha^{c}(x). \nonumber 
\end{align} 
$$

La forme explicite des matrices $T^a$ n'intervient quasiment jamais. Cependant, quand c'est nécessaire, nous utiliserons les matrices de Gell-Mann : $T^a = \frac{1}{2}\lambda^a$. On donne en appendice un certain nombre de relations utiles entre les facteurs de couleur.

## 7.2 Quantification : théorie scalaire

On rappelle les difficultés rencontrées lors de la quantification de QED. D'une part, le fait de représenter le photon par un champ vecteur $A_\mu(x)$ qui a quatre états de polarisation alors qu'une particule de masse nulle n'en n'a que deux, nécessitait de s'assurer que les polarisations non physiques n'affectaient pas les prédictions. D'autre part, pour respecter les relations de commutation du photon il avait fallu briser l'invariance de jauge ce qui avait introduit dans le lagrangien, et par conséquent dans le propagateur du photon, un paramètre arbitraire qui ne devait pas affecter la prédiction des observables. On avait vu aussi le rôle primordial joué par le fait que le photon se couplait aux fermions via un courant conservé ce qui conduisait au découplage des paramètres non physiques dans la prédiction des observables. Le même phénomène est à l'oeuvre en QCD mais, dans ce cas, l'autocouplage des gluons entre eux ne filtre pas les états de polarisation non physique comme le faisait le couplage aux fermions et une procédure spéciale doit être introduite pour l'éliminer. La façon moderne de procéder est d'utiliser le formalisme d'intégrale fonctionnelle de Feynman et de suivre la procédure de Fadeev-Popov. Etant donné la subtilité de la logique et du formalisme nous allons illustrer dans un premier temps la méthode et la dérivation des règles de Feynman dans le cas d'un modèle scalaire où on ne s'embarasse pas de contraintes d'invariance de jauge. Puis nous nous tournerons, dans la section suivante, vers QCD et introduirons les fantômes de Fadeev-Popov qui permettent de d'écrire une fonctionnelle génératrice de QCD en respectant l'invariance de jauge et ensuite nous assénerons les règles de Feynman correspondantes.

### • Fonctionnelle génératrice et règles de Feynman

On considère le modéle $\lambda\phi^4$ (déjà mentionné plus haut) dont la densité lagrangienne est

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi(x)\partial^{\mu}\phi(x) - \frac{m^2}{2}\phi^2(x) - \frac{\lambda}{4!}\phi^4(x). \tag{7.2.33} $$

Toute quantité physique peut se calculer à partir des fonctions de Green

$$ G^n(x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{\langle 0 | \mathcal{T}(\phi(x_1)\phi(x_2)\dots\phi(x_n)) | 0 \rangle}{\langle 0 | 0 \rangle}. \tag{7.2.34} $$

On peut montrer qu'elles peuvent être obtenues à partir de la fonctionnelle génératrice

$$ W[J] = \int [D\phi] \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4x [\mathcal{L} + \hbar J(x)\phi(x)] \right] \tag{7.2.35} $$
où $[D\phi]$ signifie que l'on intègre sur toutes les fonction $\phi(x)$ pour tous les $x$, et $J(x)$ est le terme de source du champ $\phi(x)$. Dans ce formalisme une fonction de Green s'écrit (sans démonstration !) :

$$G^n(x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{\int [D\phi] \phi(x_1) \phi(x_2) \dots \phi(x_n) \exp[i \int d^4 x \mathcal{L}]}{\int [D\phi] \exp[i \int d^4 x \mathcal{L}]} \quad (7.2.36)$$

qui peut être obtenue par dérivation fonctionnelle par rapport au terme de source (on prend $\hbar = 1$) :

$$G^n(x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{1}{W[0]} \frac{\delta^n W[J]}{i \delta J(x_1) \dots i \delta J(x_n)} \Big|_{J=0} \quad (7.2.37)$$

où la dérivée fonctionnelle d'une expression telle que $\int d^4 y \phi(y) J(y)$ est $\frac{\delta}{\delta J(x)} \int d^4 y \phi(y) J(y) = \phi(x)$. Développant dans l'éq. (7.2.35) le terme exponentiel par rapport au terme de source on trouve

$$W[J] = \int [D\phi] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) J(x_1) \cdots J(x_n) \exp[i \int d^4 x \mathcal{L}], \quad (7.2.38)$$

ce qui montre que la fonctionnelle peut s'écrire

$$W[J] = W[0] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} G^n(x_1, x_2, \dots, x_n) J(x_1) \cdots J(x_n), \quad (7.2.39)$$

et donc que la connaissance de toutes les fonctions de Green est équivalente à celle de la fonctionnelle génératrice.

### • Développement perturbatif

Dans le cadre d'une approche perturbative on sépare la densité lagrangienne entre une partie libre $\mathcal{L}_0 = (\partial_\mu \phi(x) \partial^\mu \phi(x) - m^2 \phi^2(x))/2$ et une partie contenant l'interaction (polynomiale) $\mathcal{L}_I = -\frac{\lambda}{4!} \phi^4(x)$. On introduit d'abord la fonctionnelle génératrice de la théorie libre qui est construite à partir de $\mathcal{L}_0$

$$W_0[J] = \int [D\phi] \exp[i \int d^4 x (\mathcal{L}_0 + J(x)\phi(x))], \quad (7.2.40)$$

et qui permet, en particulier, d'obtenir le propagateur du champ libre par dérivation fonctionnelle de $W_0[J]$ (éq. (7.2.37)). On fait ensuite un développement de $W[J]$ en fonction du couplage $\lambda$, donc en fonction de $\mathcal{L}_I$,

$$ \begin{align} W[J] &= \int [D\phi] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( \int d^4 y i \mathcal{L}_I(\phi(y)) \right)^n \exp[i \int d^4 x (\mathcal{L}_0 + J(x)\phi(x))] \nonumber \\ &= \int [D\phi] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( \int d^4 y i \mathcal{L}_I(\frac{\delta}{i\delta J(y)}) \right)^n \exp[i \int d^4 x (\mathcal{L}_0 + J(x)\phi(x))] \nonumber \\ &= \int [D\phi] \exp[\int d^4 y i \mathcal{L}_I(\frac{\delta}{i\delta J(y)})] \exp[i \int d^4 x (\mathcal{L}_0 + J(x)\phi(x))] \nonumber \\ &= \exp[\int d^4 y i \mathcal{L}_I(\frac{\delta}{i\delta J(y)})] W_0[J]. \tag{7.2.41} \end{align} $$
Le passage de la première à la deuxième ligne s'explique par le fait qu'un facteur $\phi$ dans l'intégrand s'obtient par dérivation par rapport au terme de source. La dernière équation permet de construire la série perturbative, à n'importe quel ordre, à partir de la fonctionnelle génératrice de la théorie libre en développant l'exponentielle en fonction du couplage. Ainsi :

$$ W[J] = \exp \left( i \mathcal{L}_I \left( \frac{\delta}{i \delta J(y)} \right) \right) W_0[J] \\ = \left[ 1 - i \frac{\lambda}{4!} \int d^4 x \left( \frac{\delta}{i \delta J(x)} \right)^4 - \frac{1}{2} \left( \frac{\lambda}{4!} \right)^2 \left( \int d^4 x \left( \frac{\delta}{i \delta J(x)} \right)^4 \right)^2 + \dots \right] W_0[J] \quad (7.2.42) $$

Cette expression donne la base d'une représentation graphique, que l'on introduira plus bas, de la fonctionnelle génératrice et le premier terme non trivial contient la fonction de Green à 4-points à l'ordre le plus bas (couplage).

## • Le propagateur

Pour obtenir le propagateur de la théorie libre on va d'abord effectuer l'intégrale fonctionnelle de $W_0[J]$, éq. (7.2.40). Pour cela on ré-écrit l'action

$$ \int d^4 x \mathcal{L}_0 = \int d^4 x \left(-\frac{1}{2}\right) \left(\phi(x) \partial^2 \phi(x) + m^2 \phi^2(x)\right) \\ = \left(-\frac{1}{2}\right) \int d^4 x d^4 y \phi(x) K(x, y) \phi(y) \quad (7.2.43) $$

où on a effectué une intégration par partie, en ignorant le terme dérivée totale comme il est de coutume, et l'opérateur cinétique $K(x, y)$ est défini par

$$ K(x, y) = \delta^{(4)}(x - y) (\Box_y + m^2), \quad (7.2.44) $$

avec $\Box_y = \frac{\partial}{\partial y^\mu} \frac{\partial}{\partial y_\mu}$ n'opèrant que sur la variable $y$. La fonctionnelle $W_0[J]$ prend alors la forme

$$ W_0[J] = \int [D\phi] \exp \left[ -\frac{i}{2} \int d^4 x d^4 y \left[ \phi(x) K(x, y) \phi(y) + iJ(x) \phi(y) \delta^4(x-y) \right] \right], \quad (7.2.45) $$

qui se prête à une intégration gaussienne comme on va le voir. Dans un premier temps on discrétise cette expression

$$ W_0[J] = \lim_{N \to \infty} \int d\phi_1 \cdots d\phi_N \exp \left[ -\frac{i}{2} \sum_{i,j} \phi_i K_{ij} \phi_j + i \sum_i J_i \phi_i \right]. \quad (7.2.46) $$

S'inspirant du cas à une dimension, $N=1$, où on effectue une translation sur $\phi \to \phi - J/K_{11}$ pour reconstruire un carré parfait, ici on introduit la combinaison $\phi'_i = \phi_i - \Delta_{ik}J_k$, $\Delta_{ij}$ est un élément d'une matrice $\Delta$ à déterminer, et on ré-écrit la fonctionnelle

$$ W_0[J] = \lim_{N \to \infty} \int d\phi_1 \cdots d\phi_N \exp \left[ -\frac{i}{2} \sum_{i,j,k,l} (\phi_i - \Delta_{ki}J_k) K_{ij} (\phi_j - \Delta_{jl}J_l) + \frac{i}{2} \sum_{i,j,k,l} J_k \Delta_{ki} K_{ij} \Delta_{jl} J_l \right], \quad (7.2.47) $$
la matrice $\Delta_{ik}$ étant contrainte par la condition que l'on retrouve bien le terme linéaire en les sources, c'est à dire que l'on doit avoir

$$ \Delta_{ki} K_{ij} = \delta_{kj}, \quad K_{ij} \Delta_{jl} = \delta_{il}. \qquad (7.2.48) $$

La matrice $\Delta$ est donc simplement, l'inverse de la matrice K. La fonctionnelle génératrice peut donc s'écrire, après changement de variables

$$ \begin{aligned} W_0[J] &= \lim_{N \to \infty} \int d\phi_1' \cdots d\phi_N' \exp \left[ \frac{-i}{2} \sum_{i,j} \phi_i' K_{ij} \phi_j' + \frac{i}{2} \sum_{i,j} J_i \Delta_{ij} J_j \right] \\ &= \frac{c}{\det(K)} \lim_{N \to \infty} \exp \left[ \frac{i}{2} \sum_{i,j} J_i \Delta_{ij} J_j \right], \end{aligned} \qquad (7.2.49) $$

où on a effectué l'intégrale gaussienne sur les variables $\phi'$ (pour obtenir ce résultat facilement on peut diagonaliser la matrice symétrique $K_{ij}$). Le facteur de normalisation devant cette intégrale peut être, comme d'habitude ignoré, et revenant à la limite du continu on trouve

$$ W_0[J] = \exp \left[ \frac{i}{2} \int d^4 x \, d^4 y \, J(x) \, \Delta(x, y) \, J(y) \right], \qquad (7.2.50) $$

où l'opérateur $\Delta(x, y)$, satisfait la version continue de l'éq. (7.2.48), c'est à dire :

$$ \int d^4 z \, K(x, z) \, \Delta(z, y) = \int d^4 z \, \Delta(x, z) \, K(z, y) = \delta^{(4)}(x - y). \qquad (7.2.51) $$

On cherche la solution de cette équation en introduisant la transformée de Fourier

$$ \Delta(z, y) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik(z-y)} \Delta(k) \qquad (7.2.52) $$

et on trouve facilement

$$ \Delta(k) = -\frac{1}{k^2 - m^2 + i\epsilon}. \qquad (7.2.53) $$

Pour donner un sens à ces expressions on a attribué une petite partie imaginaire négative à la masse $m^2 \to m^2 - i\epsilon$ pour respecter la causalité induite par l'opérateur $\mathcal{T}$ (voir sec. 2.3). Le propagateur libre sera donc (voir éq. (7.2.37)) :

$$ \begin{aligned} G^2(x_1, x_2) &= \frac{1}{W_0[0]} \frac{\delta^2}{i\delta J(x_1) i\delta J(x_2)} \exp \left[ \frac{i}{2} \int d^4 x \, d^4 y \, J(x) \, \Delta(x, y) \, J(y) \right] \Big|_{J=0} \\ &= -i \, \Delta(x_1, x_2). \end{aligned} \qquad (7.2.54) $$

Dans l'espace des impulsions on trouve alors que la propagateur d'une particule scalaire libre est finalement :

$$ G(k) = \frac{i}{k^2 - m^2 + i\epsilon}. \qquad (7.2.55) $$
En règle générale, la propagateur de Feynman dans l'espace des impulsions est $-i$ fois la transformée de Fourier de l'inverse de l'opérateur cinétique du Langrangien de la théorie libre.

## • Le vertex

On va s'attacher maintenant à expliciter le premier terme non trivial de l'éq. (7.2.42) :

$$ -\frac{i\lambda}{4!} \int d^4 x \left( \frac{\delta}{i\delta J(x)} \right)^4 \exp \left[ \frac{i}{2} \int d^4 y \, d^4 z \, J(y) \, \Delta(y, z) \, J(z) \right], \quad (7.2.56) $$

où on a utilisé la forme explicite éq. (7.2.50) de $W_0[J]$. L'application d'un opérateur $\delta/i\delta J(x)$ sur l'exponentielle engendre le terme

$$ \begin{aligned} & -\frac{i\lambda}{4!} \int d^4 x \left( \frac{\delta}{i\delta J(x)} \right)^3 \frac{1}{2} \left[ \int d^4 z \Delta(x, z) J(z) + \int d^4 y J(y) \Delta(y, x) \right] \\ & \qquad \qquad \qquad \exp \left[ \frac{i}{2} \int d^4 y \, d^4 y z \, J(y) \, \Delta(y, z) \, J(z) \right] \\ & = -\frac{i\lambda}{4!} \int d^4 x \left( \frac{\delta}{i\delta J(x)} \right)^3 \left[ \int d^4 z \Delta(x, z) J(z) \right] \exp \left[ \frac{i}{2} \int d^4 y \, d^4 y z \, J(y) \, \Delta(y, z) \, J(z) \right], \quad (7.2.57) \end{aligned} $$

puisque la fonction $\Delta(x, y)$ est symétrique en $x$ et $y$ (voir éqs. (7.2.52, 7.2.55)), de sorte que l'on trouve finalement

$$ -\frac{i\lambda}{4!} \left[ \begin{aligned} & -3 \int d^4 x \Delta(x, x) \Delta(x, x) - 6 i \int d^4 x \Delta(x, x) \int d^4 y \Delta(x, y) J(y) \int d^4 z \Delta(x, z) J(z) \\ & + \int d^4 y \Delta(x, y) J(y) \int d^4 z \Delta(x, z) J(z) \int d^4 t \Delta(x, t) J(t) \int d^4 u \Delta(x, u) J(u) \end{aligned} \right] W_0[J]. \quad (7.2.58) $$

On peut donner une représentation graphique de cette expression :

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

Le premier terme correspond à deux propagateurs qui se referment sur eux-mêmes au point $x$, le deuxième à la création de champs $\phi$ aux points $y$ et $z$ par les sources et à leur propagation jusqu'au point $x$ où ils interagissent, enfin le dernier terme décrit la création de 4 champs aux points $y, z, t$ et $u$ et leur propagation jusqu'au point $x$ où ils se couplent entre eux. Le terme qui nous intéresse est ce dernier terme qui est le seul qui va contribuer à la fonction de Green à 4 points. En effet, cette fonction est obtenue par application de la formule éq. (7.2.37) pour $n = 4$ : il suffit pour cela d'appliquer les opérateurs $\delta/\delta J(x_i)$ sur le terme quadratique en $J$ de l'expression ci-dessus, leur action sur $W_0[J]$ donnant 0 lorsqu'on imposera $J = 0$ à la fin du calcul. On trouvera donc

$$ G^4(x_1, x_2, x_3, x_4) = -i\lambda \int d^4 x \Delta(x, x_1) \Delta(x, x_2) \Delta(x, x_3) \Delta(x, x_4) \quad (7.2.59) $$
où le facteur 1/4! d'origine est compensé du fait que chaque opérateur de dérivation $\delta/\delta J(x_i)$ agit sur chacun des facteurs de type $\int d^4y \Delta(x, y)J(y)$ soit, en tout, 4! possibilités. Introduisant les propagateurs dans l'espace des impulsions par l'éq. (7.2.52) et effectuant l'intégrale sur $x$, on trouve

$$G^4(x_1, x_2, x_3, x_4) = -i\lambda \int \prod_{1}^{4} \left( \frac{d^4 p_j}{(2\pi)^4} i \frac{e^{ip_j x_j}}{p_j^2 - m^2 + i\epsilon} \right) (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_1 + p_2 + p_3 + p_4) \quad (7.2.60)$$

ce qui permet d'écrire la fonction à 4 points dans l'espace des impulsions (transformée de Fourier de $G^4(x_i)$) :

$$\tilde{G}^4(p_1, p_2, p_3, p_4) = -i\lambda(2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_1 + p_2 + p_3 + p_4) \prod_{1}^{4} \frac{i}{p_i^2 - m^2 + i\epsilon} \quad (7.2.61)$$

où l'on a bien prouvé la conservation d'impulsion au point d'interaction des champs. Le vertex au sens de diagramme de Feynman est, par définition, obtenu par amputation des propagateurs des particules externes et suppression de la contrainte de conservation de l'impulsion ce qui donne vertex = $-i\lambda$.

### Les règles Feynman en $\lambda\phi^4$

Normalement on devrait montrer ici comment retrouver le théorème de Wick, engendrer les diagrammes de Feynman à n'importe quel ordre de la théorie des perturbations ainsi qu'inclure une discussion sur les génératrices fonctionnelles des fonctions de Green connexes et irréductibles à une particule mais nous ne le ferons pas pour rester dans l'esprit utilitaire et appliqué de ces notes. Nous nous bornerons à rappeler les règles de Feynman qui permettent de calculer un élément de matrice dans l'espace des impulsions :

- pour chaque vertex : $-i\lambda$

- pour chaque propagateur d'impulsion $p : i/(p^2 - m^2 + i\epsilon)$

- pour chaque boucle interne d'impulsion $p : \int d^4p/(2\pi)^4$.

## 7.3 Quantification : chromodynamique quantique

Nous revenons maintenant à QCD et nous nous tournons vers les difficultés causées par la contrainte d'invariance de jauge.

### Fixage de la jauge

On ne considère dans un premier temps que le terme de jauge dans la densité lagrangienne, $\mathcal{L}_G = -F_{\mu\nu}^a(x)F^{a\mu\nu}(x)/4$, et la fonctionnelle génératrice sans le terme de source (et on prend de plus $\hbar = 1$) :

$$W_G[0] = \int [DA] \exp \left[ i \int d^4 x \mathcal{L}_G \right]. \quad (7.3.62)$$

La mesure d'intégration invariante est de la forme $[DA] = \Pi_{a,x,\mu} dA_{\mu}^{a}(x)$ où l'on doit sommer sur toutes les fonctions $A_{\mu}^{a}(x)$ y compris leurs transformées sous l'action des éléments $g = g(\alpha^{a}(x))$ du groupe de jauge. Le terme $\mathcal{L}_G$ étant invariant sous une transformation de jauge, on voit aisément
que $W[0]$ n'est pas définie puisque l'intégrale $\int [Dg] = \int \Pi_a d\alpha^a(x)$ est infinie (groupe non-compact). Pour donner un sens à l'expression on va fixer la jauge par une contrainte de type

$$G^\mu A_{\mu}^{a,g}(x) - B^a(x) = 0, \forall a = 1, \dots, 8 \qquad (7.3.63)$$

supposée définir une configuration de jauge unique. Différents choix sont possibles pour $G^\mu$ correspondants à différents choix de jauge. Par exemple,

$$ 
\begin{align*}
G_{\mu} &= \partial_{\mu}, \text{ jauge covariante (Lorentz)} \\
G^{\mu} &= n^{\mu}, \text{ vecteur constant de genre espace, jauge axiale} \\
G^{\mu} &= (0, \vec{\nabla}), \text{ jauge de Coulomb.} \tag{7.3.64}
\end{align*}
$$

On introduit la fonctionnelle $\Delta_G[A_\mu]$ par

$$\Delta_G[A_\mu] \int [Dg] \Pi_a \delta(G^\mu A_\mu^{a,g} - B^a) = 1 \qquad (7.3.65)$$

avec $[Dg] = \Pi_a d\alpha^a(x)$ la mesure d'intégration invariante du groupe de jauge et $A_\mu^{a,g}$ le champ pour le choix de l'élement du groupe de jauge $g$. $\Delta_G[A_\mu]$ est invariant sous transformation de jauge. En effet :

$$ 
\begin{align*}
\Delta_G^{-1}[A_\mu^{g'}] &= \int [Dg] \Pi_a \delta(G^\mu A_\mu^{a,gg'} - B^a) \\
&= \int [Dgg'] \Pi_a \delta(G^\mu A_\mu^{a,gg'} - B^a) \\
&= \int [Dg] \Pi_a \delta(G^\mu A_\mu^{a,g} - B^a) \\
&= \Delta_G^{-1}[A_\mu] \tag{7.3.66}
\end{align*}
$$

On ré-écrit la fonctionnelle génératrice éq. (7.3.62) en injectant l'éq. (7.3.65) :

$$W_G[0] = \int [DA] \int [Dg] \Pi_a \delta(G^\mu A_\mu^{a,g} - B^a) \Delta_G[A_\mu] \exp i \left[ \int d^4 x \mathcal{L}_G \right]. \qquad (7.3.67)$$

L'idée est de n'intégrer que sur une seule copie des champs de jauge et non sur toutes les configurations obtenues à partir de cette copie par application des éléments $g(\alpha^a(x))$ du groupe. Profitant de ce que tous les termes dans l'éq. ci-dessus sont invariants, sauf les champs $A_\mu^{a,g}$ dans les fonctions $\delta$, sous une transformation de jauge, on peut écrire :

$$W_G[0] = \int [DA] \int [Dg] \Pi_a \delta(G^\mu A_\mu^{a,g} - B^a) \Delta_G[A_\mu^g] \exp i \left[ \int d^4 x \mathcal{L}_G \right], \qquad (7.3.68)$$

faire le changement de notation $A_\mu^{a,g} \rightarrow A_\mu^a$ et factoriser l'intégrale sur les configurations de jauge $\int [Dg]$ puisque les autres facteurs n'en dépendent plus,

$$W_G[0] = \left( \int [Dg] \right) \int [DA] \Pi_a \delta(G^\mu A_\mu^a - B^a) \Delta_G[A_\mu] \exp i \left[ \int d^4 x \mathcal{L}_G \right]. \qquad (7.3.69)$$
Le facteur $\int [Dg]$ apparaît comme une constante multiplicative infinie qui s'élimine quand on considère les rapports comme en éq. (7.2.36). On peut donc l'ignorer. On cherche maintenant une expression pour $\Delta_G^{-1}[A_\mu]$, le déterminant de Fadeev-Popov. L'éq. (7.3.65) s'écrit :

$$ 
\begin{align*}
\Delta_G^{-1}[A_\mu] &= \int \Pi_b d\alpha^b(y) \Pi_a \delta(G^\mu A_\mu^{a,g}(x) - B^a) \\
&= 1/\det\left(\frac{\delta(G^\mu A_\mu^a(x))}{\delta\alpha^b(y)}\right) \\
&\equiv \frac{1}{\det(M_G^{ab}(x, y))}. \tag{7.3.70}
\end{align*}
$$

où le symbole $g$ dans $A_\mu^{a,g}(x)$ est un élément du groupe de jauge paramétré par les $\alpha^b(y)$. Le déterminant apparaît car, comme pour l'intégration ordinaire, quand on effectue l'intégrale sur une variable, $\alpha^b$ par exemple, à l'aide de la fonction $\delta(G^\mu A_\mu^{a,g}(x) - B^a)$ on introduit une dépendance implicite de cette variable sur les autres dont il faut tenir compte dans les intégrations successives. La fonctionnelle génératrice avec source va pouvoir s'écrire maintenant

$$ W_G[J] = \int [DA] \det(M_G^{ab}) \Pi_a \delta(G^\mu A_\mu^a - B^a) \exp i \int d^4 x \ [\mathcal{L}_G + J^{a\mu} A_\mu^a]. \quad (7.3.71) $$

Puisque la fonction $B^a(x)$ est arbitraire, on va intégrer sur les $B^a(x)$ avec un poids gaussien<fnref n="2" />

$$ \int [DB] \Pi_b \exp\left[\frac{-i}{2\xi} \int d^4 x (B^b(x))^2\right] \Pi_a \delta(G^\mu A_\mu^a - B^a) = \Pi_a \exp\left[\frac{-i}{2\xi} \int d^4 x (G^\mu A_\mu^a)^2\right] \quad (7.3.72) $$

de sorte que l'on peut écrire

$$ W_G[J] = \int [DA] \det(M_G^{ab}) \exp i \int d^4 x \left[ \mathcal{L}_G - \frac{(G^\mu A_\mu^a)^2}{2\xi} + J^{a\mu} A_\mu^a \right]. \quad (7.3.73) $$

$W_G[J]$ serait une fonctionnelle génératrice au sens habituel s'il n'y avait pas le déterminant de Fadeev-Popov $M_G^{ab}$ dans l'intégrand. On va voir qu'on peut ré-écrire ce terme sous la forme d'une intégrale fonctionnelle de façon à exprimer $W_G[J]$ sous une forme standard mais au prix de l'introduction de champs scalaires $\chi^a$ et $\chi^{*a}$ anti-commutants (variables de Grassmann), les fantômes de Fadeev-Popov. On a la relation :

$$ \det(M_G^{ab}(x, y)) = \int \Pi_{a,b} d\chi^{*a}(x) d\chi^b(y) \exp[-i \int d^4 x d^4 y \chi^{*a}(x) M_G^{ab}(x, y) \chi^b(y)], \quad (7.3.74) $$

que l'on va discuter maintenant. Ce terme a bien la structure d'une fonctionnelle génératrice des champs $\chi^a$ et $\chi^{*a}$.

## • Digression sur les variables de Grassmann

On introduit des c-nombres $\chi_j$, qui anti-commutent

$$ \{\chi_i, \chi_j\} = 0, \quad (7.3.75) $$

<footnote n="2">2. Le terme qui "fixe" la jauge par la contrainte $(G^\mu A_\mu^a - B^a) = 0$, $B^a(x)$ arbitraire, est l'équivalent du terme qui "casse" l'invariance de jauge du lagrangien (éq. 2.4.49) dans la quantification canonique de QED avec $1/\xi = \lambda$.</footnote>
ainsi toute expression de la forme $E = \chi_{i_1}\chi_{i_2}\cdots\chi_{i_k}$ est nulle si elle contient deux $\chi_{i_l}$ identiques, et toute fonction d'une seule variable de Grassmann est nécessairement de la forme

$$E(\chi) = e_o + e_1\chi, \qquad (7.3.76)$$

puisque $\chi^2 = 0$. On définit la dérivée à gauche de $E$ par

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial \chi_i} (\chi_{i_1} \chi_{i_2} \cdots \chi_{i_l} \cdots \chi_{i_k}) &= (-1)^{l-1} (\chi_{i_1} \chi_{i_2} \cdots \chi_{i_k}), \text{ si } i = i_l \\ &= 0, \text{ si } i \neq i_l, \forall l. \end{aligned} \qquad (7.3.77)$$

On a donc

$$\frac{\partial^2 E}{\partial \chi_i \partial \chi_j} = - \frac{\partial^2 E}{\partial \chi_j \partial \chi_i}, \qquad (7.3.78)$$

et par conséquent,

$$\frac{\partial^2 E}{(\partial \chi_i)^2} = 0. \qquad (7.3.79)$$

On introduit l'intégration sur les variables de Grassmann par les règles

$$\int d\chi_i = 0 \text{ et } \int d\chi_i \chi_j = - \int \chi_j d\chi_i = \delta_{ij}, \qquad (7.3.80)$$

où les éléments d'intégration $d\chi_i$ sont également des variables de Grassmann satisfaisant les relations éq. (7.3.75). La première définition permet de préserver la propriété d'invariance de l'intégrale sous un changement de variable $\chi \to \chi + a$. On peut citer quelques propriétés amusantes et utiles, comme par exemple l'identité suivante

$$\int d\chi f(\chi) = \frac{\partial}{\partial \chi} f(\chi). \qquad (7.3.81)$$

On note $\chi^*$ la variable complexe conjuguée de $\chi$ et on considère $\chi^*$ et $\chi$ sont comme deux variables indépendantes.

Pour "prouver" la relation éq. (7.3.74), c'est à dire l'exponentiation du déterminant de Fadeev-Popov, on discrétise le problème et on définit l'intégrale :

$$I = \int d\chi_1^* \cdots d\chi_N^* d\chi_1 \cdots d\chi_N \exp\left(\sum_{i,j} \chi_i^* A^{ij} \chi_j\right), \qquad (7.3.82)$$

où $(A^{ij})$ est une matrice $NxN$ de nombres complexes. On somme sur les indices $i, j$ dans l'équation. Développant l'exponentielle on voit que seul le terme d'ordre $N$, $(\chi_i^* A^{ij} \chi_j)^N/N!$, survit car d'après les définitions éq. (7.3.80) if faut une et seulement une variable de chaque type pour que l'intégrale ne soit pas nulle. Collectant tous les $\chi_i^*$ à gauche et les $\chi_j$ à droite, on trouve

$$\begin{aligned} (\chi_i^* A^{ij} \chi_j)^N &= (-1)^{N(N-1)/2} \sum_{i_1 \cdots, j_1 \cdots} A^{i_1 j_1} \cdots A^{i_N j_N} \chi_{i_1}^* \cdots \chi_{i_N}^* \chi_{j_1} \cdots \chi_{j_N} \\ &= (-1)^{N(N-1)/2} \sum_{i_1 \cdots, j_1 \cdots} \varepsilon_{i_1 \cdots i_N} \varepsilon_{j_1 \cdots j_N} A^{i_1 j_1} \cdots A^{i_N j_N} \chi_1^* \cdots \chi_N^* \chi_1 \cdots \chi_N \\ &= (-1)^{N(N-1)/2} N! \sum_{i_1 \cdots, j_1 \cdots} \varepsilon_{j_1 \cdots j_N} A^{i_1 j_1} \cdots A^{i_N j_N} \chi_1^* \cdots \chi_N^* \chi_1 \cdots \chi_N. \end{aligned} \qquad (7.3.83)$$
Les tenseurs totalement antisymmétriques de type $\epsilon_{i_1 \dots i_N}$ apparaissent quand on anticommute les $\chi_i^*$ et $\chi_j$ pour les ordonner de 1 à N. Pour comprendre le dernière ligne, il faut se rappeller que l'on N! permutations de $i_i$ avec la combinaison par exemple de termes tels que $\epsilon_{12 \dots i_N} [A^{1j_1} A^{2j_2} \dots A^{i_N j_N} - A^{2j_1} A^{1j_2} \dots A^{i_N j_N}] \epsilon_{j_1 \dots j_N} = 2 \epsilon_{12 \dots i_N} A^{1j_1} A^{2j_2} \dots A^{i_N j_N} \epsilon_{j_1 \dots j_N}$ après permutation des indices $j_1$ et $j_2$ et changement de signe dans le deuxième terme. Dans la dernière ligne on reconnaît bien, à un signe près, le déterminant de la matrice $(A_{ij})$ puisque :

$$ \det(A_{ij}) = \epsilon_{j_1 \dots j_N} A^{1j_1} \dots A^{Nj_N}. \qquad (7.3.84) $$

D'autre part, comme le facteur N! dans l'équation compense un terme identique dans le développement de l'exponentielle $\exp(\chi_i^* A^{ij} \chi_j)$ on a finalement "démontré" l'éq. (7.3.74).

On peut remarquer, en passant, que l'introduction des variables de Grassmann est nécessaire pour pouvoir "exponentier" le déterminant de Fadeev-Popov. En effet, si on avait utilisé des variables commutantes $\phi_a$ dans l'équation (7.3.74) le résultat aurait été

$$ \int \Pi_{a,b} d\phi^{*a} d\phi^b \exp[-i\phi^{*a} M_G^{ab} \phi^b] \sim \frac{1}{\det(M_G^{ab})}, \qquad (7.3.85) $$

résultat que l'on a déjà rencontré en éq. (7.2.49).

### • Fonctionnelle génératrice des fantômes et forme de $(M_G^{ab})$

L'exponentiation du déterminant de Fadeev-Popov, éq. (7.3.74), conduit donc une nouvelle contribution à la fonctionnelle génératrice de la théorie :

$$ W[\zeta, \zeta^*] = \int [D\chi][D\chi^*] \exp[-i \int d^4x d^4y \chi^{*a}(x) M_G^{ab}(x,y) \chi^b(y) + i \int d^4x (\chi^{*a}(x) \zeta^a(x) + \zeta^{*a}(x) \chi^a(x))] \qquad (7.3.86) $$

avec $\zeta^a$ et $\zeta^{*a}$ les sources respectivement des champs $\chi^{*a}$ et $\chi^a$. On rappelle que la matrice $(M_G^{ab})$ introduite en éq. (7.3.70) décrit la variation de la quantité $G^\mu A_\mu^a(x)$ sous un changement des paramètres du groupe de gauge.

Pour une *jauge covariante* :

$$ \begin{aligned} M_G^{ab}(x, y) &= \frac{\delta \partial^\mu A_\mu^a(x)}{\delta \alpha^b(y)} = \frac{\partial^\mu \delta A_\mu^a(x)}{\delta \alpha^b(y)} \\ &= \frac{\partial^\mu (\mathcal{D}_\mu)^{ac} \alpha^c(x)}{\delta \alpha^b(y)} = \delta^{(4)}(x-y) \partial^\mu (\mathcal{D}_\mu)^{ab}, \end{aligned} \qquad (7.3.87) $$

où on a utilisé une des équations (7.1.32) avec $(\mathcal{D}_\mu)^{ac}$ la dérivée covariante dans la représentation adjointe.

Pour une *jauge axiale* :

$$ \begin{aligned} M_G^{ab}(x, y) &= \frac{\delta n^\mu A_\mu^a(x)}{\delta \alpha^b(y)} = \delta^{(4)}(x-y) n^\mu (\mathcal{D}_\mu)^{ab} \\ &= \delta^{(4)}(x-y) (\delta^{ab} n \cdot \partial - g f^{abc} n \cdot A^c(x)). \end{aligned} \qquad (7.3.88) $$
L'éq. (7.3.86) devient donc en jauge covariante :

$$
W[\zeta, \zeta^*] = \int [D\chi][D\chi^*] \exp[i \int d^4x (-\chi^{*a}(x)\partial^\mu (D_\mu)^{ab}\chi^b(x) + \chi^{*a}(x)\zeta^a(x) + \zeta^{*a}(x)\chi^a(x))], \qquad (7.3.89)
$$

avec une modification évidente pour le choix d'une jauge axiale.

• Le lagrangien et la fonctionnelle génératrice de QCD

Revenant à l'éq. (7.2.35) et rassemblant toutes les pièces du puzzle (contribution des gluons et des fermions, fixage de la jauge, exponentiation du déterminant de Fadeev-Popov) on arrive à la génératrice fonctionnelle de QCD pour une saveur de quark $\psi$ :

$$
W[J, \eta, \bar{\eta}, \zeta, \zeta^*] = \int [DA][D\psi][D\bar{\psi}][D\chi][D\chi^*] \\
\exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x [\mathcal{L}_{QCD} + \hbar (J^{a\mu} A_{\mu}^a + \bar{\eta}\psi + \eta\bar{\psi} + \chi^*\zeta + \zeta^*\chi)] \right] \quad (7.3.90)
$$

où η et $\bar{\eta}$ sont les sources des anti-fermions et des fermions respectivement, $\zeta$ et $\zeta^*$ sont celles des fantômes. $\mathcal{L}_{QCD}$ est le lagrangien complet de QCD que l'on décompose en

$$
\mathcal{L}_{QCD} = \mathcal{L}_G + \mathcal{L}_{GF} + \mathcal{L}_{FP} + \mathcal{L}_F \qquad (7.3.91)
$$

avec respectivement le terme cinétique des gluons,

$$
\mathcal{L}_G = -\frac{1}{2} \mathrm{Tr} \mathcal{F}_{\mu\nu} \mathcal{F}^{\mu\nu} = -\frac{1}{4} [\partial_{\mu} A_{\nu}^{a} - \partial_{\nu} A_{\mu}^{a} + g f^{abc} A_{\mu}^{b} A_{\nu}^{c}] [\partial^{\mu} A^{a\nu} - \partial^{\nu} A^{a\mu} + g f^{ade} A^{d\mu} A^{e\nu}] \quad (7.3.92)
$$

le terme de fixage de jauge (covariante),

$$
\mathcal{L}_{GF} = \frac{-1}{2\xi} (\partial^{\mu} A_{\mu}^{a})^{2}, \qquad (7.3.93)
$$

le terme cinétique des fantômes de Fadeev-Popov (jauge covariante),

$$
\begin{align}
\mathcal{L}_{FP} &= -\chi^{*a} \partial^{\mu} (\mathcal{D}_{\mu}^{ab} \chi^{b}) = (\partial^{\mu} \chi^{*a}) \mathcal{D}_{\mu}^{ab} \chi^{b} \tag{7.3.94} \\
&= (\partial^{\mu} \chi^{*a}) (\delta^{ab} \partial_{\mu} - g f^{abc} A_{\mu}^{c}) \chi^{b}, \nonumber
\end{align}
$$

le terme cinétique du quark (fermion),

$$
\mathcal{L}_F = \bar{\psi} (i \not{D} - m) \psi = \bar{\psi} (i (\partial_\mu - igA_\mu^b T^b) \gamma^\mu - m) \psi. \qquad (7.3.95)
$$

On note que les première et deuxième égalités de l'éq. (7.3.94) diffèrent par une une dérivée totale
que l'on néglige, comme d'habitude, car elle donne une contribution nulle à l'intégrale $\int d^4 x \mathcal{L}_{FP}$
en supposant les champs suffisamment convergents à l'infini.

Une rapide inspection des différents termes du lagrangien montre qu’il existe un couplage dérivatif
à 3 gluons et un couplage à 4 gluons dans $\mathcal{L}_G$, un couplage fantôme-fantôme-gluon dans $\mathcal{L}_{FP}$. Ces
termes d'interaction entre bosons de jauge sont nouveaux par rapport à QED et sont la conséquence de la structure non abélienne du groupe de jauge. En revanche, les couplages des gluons aux fermions sont similaires (à une matrice de couleur près) à ceux du photon aux fermions chargés en QED. Mais comme prévu les fantômes ne sont pas couplés aux fermions.

Si on travaille en *jauge axiale* les termes $\mathcal{L}_{GF}$ et $\mathcal{L}_{FP}$ sont différents et on a :
le terme de fixage de jauge (axiale),

$$ \mathcal{L}_{GF} = \frac{-1}{2\xi} (n^{\mu} A_{\mu}^{a})^{2}, \qquad (7.3.96) $$

le terme cinétique des fantômes de Fadeev-Popov (jauge axiale),

$$ \mathcal{L}_{FP} = -\chi^{*a}(n^{\mu}\mathcal{D}_{\mu})^{ab}\chi^{b} = -\chi^{*a}(n \cdot \partial - gf^{abc}n \cdot A^{c})\chi^{b}. \qquad (7.3.97) $$

Le choix $n \cdot A^c = 0$ permet d'annuler l'interaction entre les gluons et les fantômes ce qui conduit alors, pour ce choix de jauge, à ignorer les fantômes puisqu'ils ne couplent à aucun degré de liberté physique<fnref n="3" />.

## 7.4 Règles de Feynman en QCD

Pour dériver les règles de Feynman à partir de la fonctionnelle génératrice $W[J, \eta, \bar{\eta}, \zeta, \zeta^*]$, éqs. (7.3.90) et (7.3.91) on procède en deux temps, comme pour le modèle $\lambda\phi^4$: on considère d'abord $W_0[J, \eta, \bar{\eta}, \zeta, \zeta^*]$ obtenu en prenant le couplage nul dans la densité lagrangienne et on construit les fonctions à deux points, éq. (7.2.37), en dérivant par rapport aux sources : cela permet d'obtenir le propagateur libre des gluons, fantômes et fermions. Puis on dérivera les couplages de QCD via une équation de type (7.2.42). Dans toute la discussion, la génératrice fonctionnelle libre joue un rôle crucial : on utilisera la forme où l'intégration sur les champs a été effectuée selon la dérivation menant à l'éq. (7.2.50) et il est facile de voir que cette génératrice peut s'écrire sous une forme factorisée :

$$ W_0[J, \eta, \bar{\eta}, \zeta, \zeta^*] = W_0[J] W_0[\zeta, \zeta^*] W_0[\eta, \bar{\eta}]. \qquad (7.4.98) $$

### Les propagateurs

#### Gluons

Considérant maintenant chacune des composantes de $W_0[J, \eta, \bar{\eta}, \zeta, \zeta^*]$ de la génératrice fonctionnelle libre de QCD, on a pour les termes gluoniques et celui de fixage de jauge (il est nécessaire de considérer seulement la partie de la génératrice qui dépend des sources de gluons) :

$$ W_0[J] = \exp \left[ \frac{i}{2} \int d^4 x \, d^4 y \, J^{a\mu}(x) \mathcal{P}_{\mu\nu}^{ab}(x, y) J^{b\nu}(y) \right]. \qquad (7.4.99) $$

<footnote n="3">3. On remarque, qu'en jauge covariante, la condition $\partial^\mu A_\mu^c = 0$ n'implique pas le découplage des gluons. En effet, quelque soit la forme de l'éq. (7.3.94), il y a bien un couplage dérivatif du gluon aux fantômes : pour la première forme on a $\chi^{*a}(\delta^{ab}\Box\chi^b - gf^{abc}A_\mu^c\partial^\mu\chi^b)$, tandis que pour la deuxième on trouve $(\partial^\mu\chi^{*a})(\delta^{ab}\partial_\mu\chi^b - gf^{abc}A_\mu^c\chi^b)$.</footnote>
Pour obtenir cette expression on a effectué l'intégrale fonctionnelle sur les champs suivant la discussion précédent l'éq. (7.2.50) et la fonction $P_{\mu\nu}^{ab}(x, y)$ satisfait (voir éq. (7.2.51) :

$$ \int d^4 z \mathcal{D}^{ac\mu\nu}(x, z) P_{\mu\nu}^{cb}(z, y) = \delta^{ab}\delta^{(4)}(x - y), \qquad (7.4.100) $$

avec l'opérateur $\mathcal{D}^{cb\mu\nu}(z, y)$, jouant le rôle de l'opérateur $K(z, y)$ dans le terme cinétique des gluons. Il est extrait des éqs. (7.3.92) et (7.3.93) pour trouver :

$$ \mathcal{D}^{cb\mu\nu}(z, y) = \delta^{cb} \delta^{(4)}(z - y) (-g^{\mu\nu} \Box_y + (1 - \frac{1}{\xi}) \partial_y^\mu \partial_y^\nu). \qquad (7.4.101) $$

Cette forme est obtenue en faisant une intégration par partie dans $\mathcal{L}_G$ et $\mathcal{L}_{GF}$ et négligeant le terme dérivée totale. Pour résoudre l'éq. (7.4.100), on introduit la transformée de Fourier :

$$ P_{\mu\nu}^{ac}(x, z) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} e^{-ik \cdot (x-z)} P_{\mu\nu}^{ac}(k) \qquad (7.4.102) $$

dans l'équation éq. (7.4.100) et on trouve après quelques manipulations simples :

$$ P_{\mu\nu}^{ab}(k) = \delta^{ab} \frac{g_{\mu\nu} - (1-\xi)k_{\mu}k_{\nu}/k^2}{k^2 + i\epsilon}. \qquad (7.4.103) $$

Nous avons maintenant tous les éléments pour obtenir le propagateur du gluon dans l'espace des coordonnées (voir éq. (7.2.37)) :

$$ \begin{aligned} G_{\mu\nu}^{ab}(x_1, x_2) &= \frac{\delta^2}{i\delta J^{a\mu}(x_1) i\delta J^{b\nu}(x_2)} \exp \left[ \frac{i}{2} \int d^4 x \, d^4 y \, J^{c\rho}(x) P_{\rho\sigma}^{cd}(x, y) J^{d\sigma}(y) \right] \\ &= -i P_{\mu\nu}^{ab}(x_1, x_2). \end{aligned} \qquad (7.4.104) $$

Dans l'espace des impulsions le propagateur du gluon est finalement, en *jauge covariante* :

$$ G_{\mu\nu}^{ab}(k) = -i P_{\mu\nu}^{ab}(k) = \delta^{ab} \frac{-i}{k^2 + i\epsilon} (g_{\mu\nu} - (1-\xi) \frac{k_\mu k_\nu}{k^2}) = \delta^{ab} G_{\mu\nu}(k). \qquad (7.4.105) $$

On mentionne également la forme du propagateur du gluon en *jauge axiale* dans la limite $\xi \to 0$ (voir éq. (2.5.72)) :

$$ G_{\mu\nu}^{ab}(k) = \delta^{ab} \frac{-i}{k^2 + i\epsilon} \left( g_{\mu\nu} - \frac{k_{\mu}n_{\nu} + k_{\nu}n_{\mu}}{k \cdot n} + n^2 \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{(k \cdot n)^2} \right). \qquad (7.4.106) $$

On vérifie bien les contraintes suivantes :

$$ n^{\mu} G_{\mu\nu}^{ab}(k) = n^{\nu} G_{\mu\nu}^{ab}(k) = 0. \qquad (7.4.107) $$

## Fantômes

Pour dériver le propagateur des fantômes en *jauge covariante*, on part de

$$ \int d^4 x \mathcal{L}_{0FP} = - \int d^4 x \, d^4 y \, \delta^4(x - y) \chi^{*a}(x) \delta^{ab} \delta_y^2 \chi^b(y), \qquad (7.4.108) $$
d'après l'éq. (7.3.94) ce qui permet d'écrire la génératrice libre (seule la partie de la génératrice fonctionnelle dépendant des sources $\zeta^{*a}, \zeta^b$ est à prendre en compte)

$$W_0[\zeta, \zeta^*] = \exp[i \int d^4 x d^4 y \zeta^{*a}(x) \mathcal{P}^{ab}(x, y) \zeta^b(y) \quad (7.4.109)$$

où les $\zeta^{*a}, \zeta^b$ sont les termes de source et $\mathcal{P}^{ab}(x, y)$ est l'inverse de l'opérateur $\delta^4(x-y)\delta^{ab} \delta_y^2$ au sens de l'équation (7.2.51). On trouve facilement sa transformée de Fourier

$$\mathcal{P}^{ab}(k) = -\delta^{ab} \frac{1}{k^2 + i\epsilon}. \quad (7.4.110)$$

Le propagateur du fantôme dans l'espace des coordonnées est

$$\begin{aligned} \mathcal{G}^{ab}(x_1, x_2) &= \left[ \frac{\delta}{i\delta\zeta^{*a}(x_1)} \left( \frac{\delta}{-i\delta\zeta^b(x_2)} \right) W_{0FP}[\zeta, \zeta^*] \right]_{\zeta, \zeta^* = 0} \\ &= i\mathcal{P}^{ab}(x_1, x_2). \end{aligned} \quad (7.4.111)$$

On rappelle le signe négatif associé à l'opérateur $\delta/\delta\zeta^b(y)$ dans l'équation ci-dessus du fait qu'il faut anti-commuter cet opérateur avec le champ $\chi^*$ dans la génératrice fonctionnelle (éq. (7.3.90)) pour construire le propagateur $\langle T\chi(x)\chi^*(y) \rangle$. Dans l'espace des impulsions le propagateur est donc :

$$\mathcal{G}^{ab}(k) = -\delta^{ab} \frac{i}{k^2 + i\epsilon}. \quad (7.4.112)$$

On remarque que le signe du propagateur du fantôme est l'opposé de celui d'un champ scalaire usuel (comparer l'équation avec (7.2.55)) : ceci est la conséquence du fait que les fantômes de Fadeev-Popov sont des scalaires, de masse nulle qui, comme les fermions obéissent à des relations d'anti-commutation.

En jauge axiale avec la condition $n \cdot A^c = 0$ la forme du propagateur est différente mais on verra plus bas qu'il n'y a, dans ce cas pas lieu d'introduire les champs de fantômes.

### Fermions

Un raisonnement similaire permet d'obtenir, à partir de $W_0[\eta, \bar{\eta}]$ et de l'éq. (7.3.95) le propagateur du fermion

$$S^{ij}(p) = \delta^{ij} \frac{i}{p - m + i\epsilon}, \quad (7.4.113)$$

avec la définition

$$-iS^{ij}(x_1, x_2) = \frac{\delta}{i\delta\bar{\eta}^i(x_1)} \left( \frac{\delta}{-i\delta\eta^j(x_2)} \right) \exp[i \int d^4 x d^4 y \bar{\eta}^k(x) \mathcal{P}^{kl}(x, y) \eta^l(y)]|_{\eta, \bar{\eta}=0}, \quad (7.4.114)$$

où $i, j$ sont les indices de couleur du fermion.
• Les vertex

Gluons

Les termes d'interaction dans le lagrangien $\mathcal{L}_G$ éq. (7.3.92) s'écrivent :

$$ \mathcal{L}_{G_I} = -\frac{g}{2} f^{a'b'c'} [\partial^{\mu'} A^{a'\nu'} - \partial^{\nu'} A^{a'\mu'}] A_{\mu'}^{b'} A_{\nu'}^{c'} - \frac{g^2}{4} f^{a'b'c'} f^{a'd'e'} A_{\mu'}^{b'} A_{\nu'}^{c'} A^{d'\mu'} A^{e'\nu'} \quad (7.4.115) $$

D'après l'éq. (7.2.42), la partie de la génératrice fonctionnelle qui nous intéresse pour dériver les auto-couplages du gluon est celle proportionnelle à $\mathcal{L}_{G_I}$ dans laquelle les champs sont remplacés par les opérateurs $\frac{\delta}{i\delta J}$. Ces opérateurs agissent sur la génératrice fonctionnelle libre calculée en éq. (7.4.99). On devra donc calculer :

$$ W[J]_{G+GF} = \left[ -i \frac{g}{2} \int dx \, f^{a'b'c'} \left[ \frac{\partial^{\mu'} \delta}{i\delta J_{\nu'}^{a'}} - \frac{\partial^{\nu'} \delta}{i\delta J_{\mu'}^{a'}} \right] \frac{\delta}{i\delta J^{b'\mu'}} \frac{\delta}{i\delta J^{c'\nu'}} - i \frac{g^2}{4} \int dx \, f^{a'b'c'} f^{a'd'e'} \frac{\delta}{i\delta J_{\mu'}^{b'}} \frac{\delta}{i\delta J_{\nu'}^{c'}} \frac{\delta}{i\delta J^{d'\mu'}} \frac{\delta}{i\delta J^{e'\nu'}} \right] \exp \left( \frac{i}{2} \int dy \, dz \, J^{g\rho}(y) \mathcal{P}_{\rho\sigma}^{gh}(y, z) J^{h\sigma}(z) \right), $$

où toutes les sources dans les opérateurs $\frac{\delta}{i\delta J_{\nu'}^a}$, ..., sont évaluées au point $x$, $\frac{\delta}{i\delta J_{\nu'}^a(x)}$ et on écrit $dx$ au lieu de $d^4x$. On veut construire la fonction à 3-points qui est donnée par

$$ G_{\mu\nu\rho}^{abc}(x_1, x_2, x_3) = \left[ \frac{\delta}{i\delta J^{a\mu}(x_1)} \frac{\delta}{i\delta J^{b\nu}(x_2)} \frac{\delta}{i\delta J^{c\rho}(x_3)} W[J]_{G+GF} \right]_{\forall J=0}, \quad (7.4.117) $$

ainsi que celle à 4-points $G_{\mu\nu\rho\sigma}^{abcd}(x_1, x_2, x_3, x_4)$ qui est donnée par une expression similaire. Seuls contribueront les termes cubiques en les sources $J$ dans l'équation (7.4.116) pour la fonction à 3-points et les termes quartiques en les sources pour la fonction à 4-points. Evaluant l'éq. (7.4.116) ces termes sont :

$$ \left[ -i \frac{g}{2} f^{a'b'c'} \int dx dz_1 dz_2 dz_3 \left[ \partial^{\mu'} \mathcal{P}^{a'h_1\nu'\sigma_1}(x, z_1) - \partial^{\nu'} \mathcal{P}^{a'h_1\mu'\sigma_1}(x, z_1) \right] \mathcal{P}_{\mu'\sigma_2}^{b'h_2}(x, z_2) \mathcal{P}_{\nu'\sigma_3}^{c'h_3}(x, z_3) \right. \\ \left. \qquad J_{\sigma_1}^{h_1}(z_1) J_{\sigma_2}^{h_2}(z_2) J_{\sigma_3}^{h_3}(z_3) \right. \\ \left. \qquad -i \frac{g^2}{4} f^{a'b'c'} f^{a'd'e'} \int dx dz_1 dz_2 dz_3 dz_4 \mathcal{P}_{\mu'\sigma_1}^{b'h_1}(x, z_1) \mathcal{P}_{\mu'\sigma_2}^{c'h_2}(x, z_2) \mathcal{P}_{\nu'\sigma_3}^{d'h_3}(x, z_3) \mathcal{P}_{\nu'\sigma_4}^{e'h_4}(x, z_4) \right. \\ \left. \qquad J_{\sigma_1}^{h_1\sigma_1}(z_1) J_{\sigma_2}^{h_2\sigma_2}(z_2) J_{\sigma_3}^{h_3\sigma_3}(z_3) J_{\sigma_4}^{h_4\sigma_4}(z_4) \right] \exp \left( \frac{i}{2} \int dy \, dz \, J^{g\rho}(y) \mathcal{P}_{\rho\sigma}^{gh}(y, z) J^{h\sigma}(z) \right) \quad (7.4.118) $$

Il existe d'autres termes dans $W[J]_{G+GF}$, par exemple,

$$ -i \frac{g}{2} f^{abc} \int dx dy \partial^{\mu} \mathcal{P}_{\nu}^{ca \nu}(x, x) \mathcal{P}_{\mu\sigma}^{bh}(x, y) J^{h\sigma}(y) \quad (7.4.119) $$

que l'on peut représenter graphiquement par un diagramme de "tadpole" (tétard) comme indiqué sur la figure.

<figure><img src="image_47.png" /></figure>
Ce diagramme est nul puisque l'on contracte le tenseur $f^{abc}$ avec un propagateur symétrique en les indices de couleur $P^{ca}$ : un gluon coloré ne peut s'annihiler en un état qui a les nombres quantiques du vide puisque la symétrie de couleur est exacte. Quant au terme en $g^2$ il contient deux autres facteurs, un sans source et l'autre proportionnel au produit de deux sources : ils ne sont pas nuls et ont la même interprétation que des termes similaires dans le modèle $\lambda\phi^4$ (voir la discussion de l'éq. (7.2.58)).

Appliquant l'éq. (7.4.117) à l'éq. (7.4.118), seul contribuera le terme en $-ig/2$ à la fonction à trois pattes. L'action de la dérivée par rapport aux trois sources donne le résultat suivant

$$ \frac{g}{2} f^{a'b'c'} \int dx \left\{ \begin{aligned} & [\partial^{\mu'} \mathcal{P}^{a'\alpha\nu'\mu}(x, x_1) - \partial^{\nu'} \mathcal{P}^{a'\alpha\mu'\mu}(x, x_1)][\mathcal{P}_{\nu'\nu}^{c'b}(x, x_2) \mathcal{P}_{\mu'\rho}^{b'c}(x, x_3) + \mathcal{P}_{\mu'\nu}^{b'b}(x, x_2) \mathcal{P}_{\nu'\rho}^{c'c}(x, x_3)] \\ & + [\partial^{\mu'} \mathcal{P}^{a'b\nu'\nu}(x, x_2) - \partial^{\nu'} \mathcal{P}^{a'b\mu'\nu}(x, x_2)][\mathcal{P}_{\mu'\rho}^{b'c}(x, x_3) \mathcal{P}_{\nu'\mu}^{c'a}(x, x_1) + \mathcal{P}_{\nu'\rho}^{c'c}(x, x_3) \mathcal{P}_{\mu'\mu}^{b'a}(x, x_1)] \\ & + [\partial^{\mu'} \mathcal{P}^{a'c\nu'\rho}(x, x_3) - \partial^{\nu'} \mathcal{P}^{a'c\mu'\rho}(x, x_3)][\mathcal{P}_{\mu'\nu}^{b'b}(x, x_2) \mathcal{P}_{\nu'\mu}^{c'a}(x, x_1) + \mathcal{P}_{\nu'\nu}^{c'b}(x, x_2) \mathcal{P}_{\mu'\mu}^{b'a}(x, x_1)], \end{aligned} \right\} \quad (7.4.120) $$

où chaque ligne correspond à l'action de $\delta/i\delta J^{c\rho}(x_3)$ sur chacun des $J^{h_i\sigma_3}(z_i)$ de l'éq. (7.4.118). Rappelant que les tenseurs $P$ sont proportionnels aux propagateurs, $P_{\mu'\mu}^{a'a}(x, y) = i G_{\mu'\mu}^{a'a}(x, y)$ et introduisant la transformée de Fourier de ces derniers (voir les éqs. ((7.4.104), 7.4.105)),

$$ G_{\mu'\mu}^{a'a}(x, x_i) = \int \frac{dk}{(2\pi)^4} \exp^{-ik(x-x_i)} \delta^{a'a} G_{\mu'\mu}(k), \quad (7.4.121) $$

dans l'éq. (7.4.120), puis effectuant l'intégrale sur $x$ on trouve

$$ G_{\mu\nu\rho}^{abc}(x_1, x_2, x_3) = -\frac{g}{2} f^{a'b'c'} \int \prod_{i=1}^{3} \left( \frac{dk_i}{(2\pi)^4} e^{ik_i x_i} \right) (2\pi)^4 \delta^{(4)}(k_1 + k_2 + k_3) \\ \left\{ \begin{aligned} & \delta^{a'a}[k_1^{\mu'} G^{\nu'\mu}(k_1) - k_1^{\nu'} G^{\mu'\mu}(k_1)][\delta^{b'b} G_{\mu'\nu}(k_2) \delta^{c'c} G_{\nu'\rho}(k_3) + \delta^{c'b} G_{\nu'\nu}(k_2) \delta^{b'c} G_{\mu'\rho}(k_3)] \\ & \delta^{a'b}[k_2^{\mu'} G^{\nu'\nu}(k_2) - k_2^{\nu'} G^{\mu'\nu}(k_2)][\delta^{b'c} G_{\nu'\rho}(k_3) \delta^{c'a} G_{\nu'\mu}(k_1) + \delta^{c'c} G_{\nu'\rho}(k_3) \delta^{b'a} G_{\mu'\mu}(k_1)] \\ & \delta^{a'c}[k_3^{\mu'} G^{\nu'\rho}(k_3) - k_3^{\nu'} G^{\mu'\rho}(k_3)][\delta^{b'b} G_{\mu'\nu}(k_2) \delta^{c'a} G_{\nu'\mu}(k_1) + \delta^{c'b} G_{\nu'\nu}(k_2) \delta^{b'a} G_{\mu'\mu}(k_1)] \end{aligned} \right\} $$

Contractant les indices de couleurs on fait facilement sortir un facteur global $f^{abc}$, et regroupant les termes de façon à faire apparaître la combinaison d'impulsions $k_1 - k_2$ portant l'indice de Lorentz de l'impulsion $k_3$, soit $(k_1 - k_2)^{\mu'} G_{\mu'\rho}(k_3)$ (et de même pour les autres permutations), on trouve finalement

$$ G_{\mu\nu\rho}^{abc}(x_1, x_2, x_3) = \int \prod_{i=1}^{3} \left( \frac{dk_i}{(2\pi)^4} e^{ik_i x_i} \right) (2\pi)^4 \delta^{(4)}(k_1 + k_2 + k_3) G_{\mu'\mu}(k_1) G_{\nu'\nu}(k_2) G_{\rho'\rho}(k_3) \\ g f^{abc} [(k_1 - k_2)^{\rho'} g^{\mu'\nu'} + (k_2 - k_3)^{\mu'} g^{\nu'\rho'} + (k_3 - k_1)^{\nu'} g^{\rho'\mu'}]. \quad (7.4.122) $$

Le vertex, au sens de diagramme de Feynman, est obtenu en tronquant la fonction à trois points des propagateurs externes et en omettant la conservation d'énergie-impulsion au vertex et le résultat est donc donné par la deuxième ligne de l'équation ci-dessus. La dérivation du couplage à trois gluons